—1—

Základy teorie množin

Z minula:

1. zavedení pojmu relace, zobrazení (funkce); prostá zobrazení, zobrazení na,

bijekce

2. rozklady, relace ekvivalence, kongruence, faktorizace

3. usporádání a nekteré typy: lineární, dobré (již z dríve znáte husté a dis-

krétní);

4. související pojmy: dolní množina, minoranta, minimum, infimum, nejmenší

prvek, atd.

5. úplný svaz, veta o pevném bodu

6. srovnávání mohutností množin (definice, základní vlastnosti)

7. Cantor-Bernsteinova veta

—2—Veta (Cantor, Bernstein ):

(x 4 y ∧ y 4 x) → x ≈ y

Dukaz. Podle predpokladu existují prosté funkce f : x → y a g : y → x. Stací

dokázat, že existuje u ⊆ x takové, že platí

x− u = g[y − f [u]], neboli u = x− g[y − f [u]],

nebot’ pak mužeme definovat prosté zobrazení h množiny x na množinu y predpisem

h(z) =

f(z) pro z ∈ u

g−1(z) pro z ∈ x− u

u nalezneme jako pevný bod funkce H : P(x) → P(x), H(u) = x− g[y − f [u]].Jelikož (P(x),⊆) je úplný svaz, stací podle vety o pevném bodu, ukážeme-li, že H je

⊆-neklesající. Necht’ u ⊆ v ⊆ x. Pak zrejme f [u] ⊆ f [v], y−f [u] ⊇ y−f [v], tedy

g[y−f [u]] ⊇ g[y−f [v]] a konecne H(u) = x−g[y−f [u]] ⊆ x−g[y−f [v]] =H(v). 2

—3—Cantor-Bernsteinova veta poskytuje duležitý test toho, že dve množiny x a y mají stej-

nou mohutnost. Namísto toho, abychom se je snažili na sebe vzájemne jednoznacne

zobrazit, stací když sestrojíme dve prostá zobrazení f : x → y a g : y → x.

Príklad: R× R ≈ R

Subvalenci R 4 R× R dosvedcuje napr. zobrazení f(r) = 〈r, r〉, r ∈ R.

Opacnou subvalenci zprostredkujeme napr. takto: predne, existuje prosté zobrazení

p : Z × Z → Z (zkuste si nejaké najít). Reálné císlo r zapíšeme v bežném dese-

tinném rozvoji, jako brc, r1r2r3 . . ., kde brc je dolní celá cást císla r a r1, r2, . . .

jsou jednotlivé cifry obvyklého desetinného rozvoje. Má-li císlo r dva desetinné rozvoje

(napr. 0, 9999 . . . = 1, 0000 . . .), vezmeme vždy ten s 0000 . . .. Nyní dvojici císel

r, s ∈ R priradíme císlo, odpovídající rozvoji:

g(r, s) = p(brc, bsc), r1 s1 r2 s2 r3 s3 . . .

Je jasné, že nevznikne zakázaný rozvoj a že takto definované zobrazení je prosté (z

rozvoje g(r, s) lze jednoznacne získat císla r a s).

Není to však bijekce: napr. císlo p(0, 0), 0703090909 . . . by mohlo být jedine obra-

zem císel 0 a císla 0, 74, ovšem se zakázaným rozvojem 0, 73999 . . ..

—4—

Škála mohutností množin není shora omezená; ke každé množine totiž

existuje množina vetší mohutnosti, jak ukazuje následující veta:

Veta (Cantor ): x ≺ P(x)

Dukaz. Zrejme x 4 P(x) (stací napr., položíme-li f(z) = {z} pro

z ∈ x). Zbývá dokázat ¬(x ≈ P(x)).

Sporem: necht’ f je prostá funkce zobrazující x na P(x). Položme

u = {z ∈ x ; z /∈ f(z)}. Je u ∈ P(x), tudíž musí existovat a ∈ x

tak, že f(a) = u, nebot’ f je "na". Platí bud’ a ∈ f(a), nebo a /∈ f(a).

Každá z techto formulí je však v bezprostredním s sporu s definicí mno-

žiny u. 2

—5—

à Domluvme se, že prázdnou množinu ∅ budeme též oznacovat symbolem

0, singleton {0} symbolem 1 a dvouprvkovou množinu {0, 1} symbolem 2(posléze analogicky zavedeme všechna prirozená císla).

Disjunktní sjednocení tríd X, Y je trída X ] Y definovaná vztahem

X]Y = ({0}×X)∪({1}×Y ) = {〈0, a〉 ; a ∈ X}∪{〈1, b〉 ; b ∈ Y }.

Pak: X = (X ] Y )′′{0} a Y = (X ] Y )′′{1}.

Pro množiny x, y platí zrejme x ∪ y 4 x ] y. Je-li x alespon dvouprvková, je

x ] x 4 x× x. Pro x ≈ x′, y ≈ y′ a z dále platí:

x ] y ≈ x′ ] y′ x× y ≈ x′ × y′

x ] y ≈ y ] x x× y ≈ y × x

x ] (y ] z) ≈ (x ] y) ] z x× (y × z) ≈ (x× y)× z

x× (y ] z) ≈ (x× y) ] (x× z)yx ≈ y′

x′ P(x) ≈ P(x′)

—6—

Príklad: Jak overit uvedené vztahy?

Napr. x× (y ] z) ≈ (x× y) ] (x× z).

Náznak dukazu. Prvky množiny vlevo jsou tvaru d = 〈a, 〈i, b〉〉, kde

a ∈ x, b ∈ y ∪ z, a i ∈ {0, 1}, pricemž

(i = 0 → b ∈ y) ∧ (i = 1 → b ∈ z)

Necht’ f je zobrazení prirazující libovolnému takovému prvku d = 〈a, 〈i, b〉〉množinu f(d) = 〈i, 〈a, b〉〉.

Snadno se overí, že:

1. f(d) ∈ (x× y) ] (x× z),

2. rng(f) = (x× y) ] (x× z), neboli f je na,

3. f je prosté

2

—7—

Pripomenme, že ∅x = {∅} a y∅ = ∅ pro y 6= ∅.

Pro množiny x, y, u, v dále platí:

∅ 6= x 4 y → xu 4 yu y(xu) ≈ (y×x)u

u 4 v → xu 4 xv (x]y)u ≈ xu× yu

Dokažme napríklad formuli v rámecku:

Pro každé zobrazení f : y → xu definujme funkci hf : y × x → u

vztahem

hf (〈a, b〉) = f(a)(b).

Prirazení h : f 7→ hf urcuje funkci h : y(xu) → (y×x)u.

Snadno se overí,že h je prostá a na.

—8—

Z uvedených vztahu vidíme, že pro množinové operace x ] y, x × y a yx

platí podobné zákony (vuci relacím ≈ a 4), jako platí pro scítání, násobení a

umocnování prirozených císel (vuci rovnosti a usporádání).

Tvrzení:

1. P(a) ≈ a2.

2. Je-li a× a ≈ a a a prázdná, nebo alespon dvouprvková, pak a2 ≈ aa.

Dukaz. 1. Zobrazení h : P(a) → a2 bud’ definováno predpisem

h(x)(z) =

1 pro z ∈ x

∅ pro z ∈ a− x

Snadno se nahlédne, že h je prosté zobrazení P(a) na a2.

2. Pro prázdnou množinu platí druhá cást tvrzení evidentne. Je-li a alespon

dvouprvková, je zrejme aa < a2. Dále aa ⊆ P(a× a), tedy aa 4 P(a× a)a tudíž, je-li a× a ≈ a, je aa 4 P(a) ≈ a2. 2

—9—

Prirozená císla v teorii množinPrirozená císla zavádíme do teorie množin zpusobem, jenž pochází od

von Neumanna: prirozené císlo je množina všech menších prirozených

císel. Tedy:

• 0 je prázdná množina ∅

• 1 je jednoprvková množina {0} = {∅}

• 2 je dvouprvková množina {0, 1} = {∅, {∅}}

• 3 je tríprvková množina {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, atd.

. . .

• n je tedy n-prvková množina {0, . . . , n− 1}

• n + 1 je tedy n + 1-prvková množina {0, . . . , n} = n ∪ {n}

Dále se budeme venovat tomu, zda a jak lze definovat množinu všech-

prirozených císel .

—10—

Induktivní množinyRekneme, že množina z je induktivní, jestliže

∅ ∈ z ∧ (∀x)(x ∈ z → x ∪ {x} ∈ z).

Každá induktivní množina tak zrejme obsahuje každé n, kde n je priro-

zené.

Tvrzení: Existuje nejmenší induktivní množina (v usporádání inkluzí⊆).

Dukaz. Axiom nekonecna zarucuje existenci nejaké induktivní množiny

z0. Položme ω =⋂{z ⊆ z0 ; z je induktivní}. ω je induktivní, nebot’

∅ je prvkem všech induktivních podmnožin množiny z0 a je-li y ∈ ω, je

pro každou induktivní z ⊆ z0 y ∈ z , tedy i y ∪ {y} ∈ z, tudíž y ∈ ω.

ω je nejmenší induktivní množina, nebot’ je-li z1 induktivní, je z0 ∩ z1

také induktivní; jelikož z0 ∩ z1 ⊆ z0, je ω ⊆ z0 ∩ z1, a tedy ω ⊆ z1. 2

—11—

Množina p rirozených císelMnožinou prirozených císel nazýváme nejmenší induktivní množinu a znacíme ji

ω, prípadneN. Je to tedy nejmenší množina obsahující ∅ a uzavrená na operaci

"následníka" x ∪ {x} (odpovídá operaci +1).

Na množine ω budeme definovat operace souctu, soucinu. S jejich pomocí lze

zavést další základní pojmy aritmetiky prirozených císel. Ukážeme, že pro prvky

ω platí princip indukce, jenž umožnuje dokázat všechna tvrzení známá z ele-

mentární aritmetiky.

Prvkum množiny ω budeme ríkat prirozená císla v teorii množin, krátce priro-

zená císla.

Uvedomme si však, že prirozená o nichž mluvíme v meta-jazyce (napr. ve vete

"formule ϕ má n volných promenných" nejsou objekty teorie množin. Ríkáme

jim metamatematická prirozená císla.

—12—

Každému metamatematickému císlu n odpovídá nejaké prirozené císlo

n v teorii množin. Získáme je n-násobnou aplikací operace následníka

na ∅, cili n = S(. . . (S︸ ︷︷ ︸n-krát

(∅)) . . .), kde S(x) = x ∪ {x}.

Na opacný vztah obecne nelze spoléhat: z principu kompaktnosti v logice

plyne, že teorie množin rozšírená o novou konstantu c a axiomy

c ∈ ω ∧ c /∈ n

pro každé (metamatematické) n, je bezesporná.

Nevyhneme se tak možnosti, že do ω padne i nejaký prvek, jenž není

tvaru n pro žádné konkrétní metamatematické n.

S tím je treba se smírit. Podstatné je, že se prvky množiny ω v teorii

množin "chovají" jako prirozená císla.

—13—

Tvrzení ( Princip matematické indukce ):

(dve možné formulace)

1. Necht’ ϕ(x) je formule jazyka teorie množin. Pak platí

(ϕ(∅) ∧ (∀x ∈ ω)(ϕ(x) → ϕ(x ∪ {x}))) → (∀x ∈ ω)ϕ(x)

2. Necht’ z ⊆ ω taková, že ∅ ∈ z a pro každé x ∈ z je x ∪ {x} ∈ z.

Pak z = ω.

Dukaz. 1. Množina y = {x ∈ ω ; ϕ(x)} je induktivní, tudíž ω ⊆ y.

Soucasne y ⊆ ω z definice.

2. Opet, z je induktivní, tedy ω ⊆ z. Z predpokladu z ⊆ ω, cili ω = z.

2

—14—

Uspo rádání p rirozených císelOznacme ≤ relaci definovanou na množine ω vztahem

x ≤ y ↔ (x = y ∨ x ∈ y).

Tvrzení: (ω,≤) je dobré (a tedy lineární) usporádání; je diskrétní, nemá

nejvetší prvek, jeho nejmenším prvkem je císlo 0 a (ω,∈) je odpovídající

ostré usporádání.

Dále (∀x, y ∈ ω)(x ≤ y ↔ x ⊆ y).

Pripomenme, že lineární usporádání (A,≤) je diskrétní, má-li každý prvek x,

který není minimální, bezprostredního predchudce (tj. existuje nejvetší z prvku

menších než x) a každý prvek x, který není maximální, má bezprostredního

následníka (tj. existuje nejmenší z prvku vetších než x).

Tvrzení dokážeme, nejprve ale dokážeme lemma...

—15—Lemma: Pro každé x ∈ ω platí:

1. x 6= 0 → 0 ∈ x,

2. (∀y ∈ ω)(x ≤ y → x ⊆ y),

3. (∀y ∈ ω)(x ∈ y → x ∪ {x} ≤ y),

4. x /∈ x

Dukaz. 1. Indukcí: je-li x = 0, není co dokazovat. Je-li 0 ∈ x, je zjevne 0 ∈ x∪{x}.

2. Pro x = y je to triviální, dokazujeme to indukcí dle y pro x ∈ y: pro y = 0 není

co dokazovat. Platí-li to pro y a je-li x ∈ y ∪ {y}, je bud’ x ∈ y a pak dle indukcního

predpokladu x ⊆ y, nebo x = y. V obou prípadech x ⊆ y ⊆ y ∪ {y}.

3. Zvolme x ∈ ω libovolne, ale pevne. Formuli dokazujeme indukcí dle y. Je-li y = 0,

není co dokazovat. Necht’ formule platí pro y, dokážeme ji pro y∪{y}. Necht’ x ∈ y∪∪ {y}. Pak bud’ x = y, odkud x ∪ {x} = y ∪ {y}, nebo x ∈ y 6= x a tedy dle

indukcního predpokladu x ∪ {x} ≤ y, odkud z definice x ∪ {x} ∈ y ∪ {y}.

4. Indukcí: pro x = 0 to platí. Necht’ x /∈ x. Kdyby x ∪ {x} ∈ x ∪ {x}, pak bud’

x ∪ {x} ∈ x odkud dle 2. a 3. x ∪ {x} ⊆ x, nebo x ∪ {x} = x. V obou prípadech

x ∈ x, spor s indukcním predpokladem. 2

—16—

Tvrzení: (ω,≤) je dobré (a tedy lineární) usporádání; je diskrétní, nemá nejvetší pr-

vek, jeho nejmenším prvkem je císlo 0 a (ω,∈) je odpovídající ostré usporádání. Navíc

pro x, y ∈ ω je x ≤ y práve když x ⊆ y.

Dukaz. ≤ je reflexivní z definice. Dle bodu 2 lemmatu, x ≤ y implikuje x ⊆ y. Je-li

x ≤ y ≤ z a x 6= y, pak x ∈ y ⊆ z, cili x ∈ z a tedy x ≤ z. Tudíž je ≤ tranzitivní.

Slabá anti-symetrie plyne z tranzitivity a bodu 4 lemmatu. Kdyby totiž x < y < x, pak

by speciálne x ∈ y ⊆ x, tudíž x ∈ x, spor.

Že (ω,≤) je dobré, neboli že každá neprázdná podmnožina u ⊆ ω má ≤-nejmenší

prvek, ukážeme sporem: Necht’ u nemá≤-nejmenší prvek. Oznacme v množinu všech

minorant množiny u, tj. v = {x ∈ ω ; (∀y ∈ u)(x ≤ y)}. Zrejme u ∩ v = ∅ (prvek

pruniku by byl nejmenší v u). Ze stejného duvodu 0 ∈ v. Necht’ x ∈ v. Pak pro každé

y ∈ u platí x ∈ y (kdyby x = y, byl by x ∈ u∩v). Dle bodu 2. lemmatu x∪{x} ≤ y,

cili x ∪ {x} ∈ v. Z principu indukce tedy v = ω a tedy u = ∅, spor.

(ω,≤) je tedy lineární. Když x ⊆ y, je x ≤ y, neb jinak y < x a tedy y ∈ y, spor.

(ω,≤) nemá nejvetší prvek, nebot’ x < x∪{x}. Je diskrétní, nebot’ je-li 0 6= x ∈ ω,

pak existuje y ∈ x tak, že x = y ∪ {y} (jinak by množina x byla induktivní). Kdyby

existovalo y < z < y ∪ {y}, pak y 6= z, a tedy z ∈ y, cili y < z < y, spor. 2

—17—

Další císelné obory v teorii množinK zavedení operací scítání, násobení a umocnování na ω se vrátíme pozdeji.

Obor celých císel Z zavedeme napr. jako množinu ω ∪ ({1} × (ω − {0})),

pricemž prvek tvaru 〈1, x〉, kde 0 6= x ∈ ω, interpretujeme jako císlo −x.

Operace na Z se zavedou jako vhodná rozšírení operací na ω.

Obor racionálních císel lze zavést napr. faktorizací množiny Z × (ω − {0}),

podle kongruence ∼ definované vztahem 〈a, b〉 ∼ 〈c, d〉 ↔ ad = bc, jak

jsme uvedli již minule. Trídu této ekvivalence tvaru [〈a, 1〉]∼, kde a ∈ Z, navíc

obvykle ztotožnujeme práve s císlem a.

Reálná císla se v teorii množin obvykle konstruují na základe císel racionál-

ních, a to napríklad pomocí tzv. Dedekindových rezu. Konstrukci reálných císel

probírat nebudeme.

—18—

Kone cné množinyTarského definice kone cnosti: Množina x je konecná, píšeme Fin(x), jestliže

každý neprázdný systém jejích podmnožin y ⊆ P(x), y 6= ∅, obsahuje vzhle-

dem⊆-minimální prvek, tj. existuje u ∈ y tak, že pro žádné v ∈ y není v ⊂ u.

Intuitivne: množina je konecná, jestliže z každé neprázdné množiny jejích pod-

množin mužeme vždy vybrat nekterou s minimálním poctem prvku.

Poznámka: Konecné množiny lze též definovat jako množiny jež mají mohut-

nost, jako nejaké prirozené císlo. Tarského definice má však tu výhodu, že ne-

odkazuje na nic jiného než na množinu x samu.

—19—

Tvrzení: Žádná induktivní množina není konecná.

Dukaz. Je-li x induktivní, pak (zjevne neprázdný) systém

y = {x− z ; z /∈ z ∈ x} ⊆ P(x)

nemá ⊆-minimální prvek. Kdyby totiž pro z ∈ x byl x − z minimální prvek y,

pak z induktivnosti z′ = z ∪ {z} ∈ x a x − z ⊃ x − z′ ∈ y, což je spor

s minimalitou. 2

Bud’ x libovolná množina. Necht’ ∅ 6= y ⊆ P(x) a y′ = {x−u ; u ∈ y}. Pak

u ∈ y je minimální prvek (y,⊆) práve když x−u je maximální prvek (y′,⊆).

Kdybychom tedy v definici Fin nahradili slovo minimální slovem maximální ,

získali bychom ekvivalentní definici. Speciálne, každý neprázdný systém pod-

množin konecné množiny má vzhledem k inkluzi maximální prvek.

Trídu všech konecných množin znacíme Fin, tj. Fin = {x ; Fin(x)}.

—20—

Patnáct jednoduchých tvrzení o kone cných množinách

1. a ⊂ b ∧ Fin(b) → a ≺ b

Dukaz. Predpokládejme, že b je konecná a presto existuje nejaká její

vlastní podmnožina a ⊂ b, taková, že ¬(a ≺ b). Jelikož a 4 b, je

nutne a ≈ b. Uvažujme množinu y všech takových vlastních podmnožin

množiny b, tj. y = {a ⊂ b ; a ≈ b}. Dle predpokladu je ∅ 6= y ⊆⊆ P(b) a y má tedy díky konecnosti b ⊆-minimální prvek a0 ∈ y. Je-li

f : b → a0 vzájemne jednoznacné zobrazení, je f ′′a0 ⊂ a0 (nebot’

a0 ⊂ b) a pritom f�a0 je vzájemne jednoznacné zobrazení a0 na f ′′a0.

Odtud vyplývá, že f ′′a0 ≈ a0 ≈ b, cili f ′′a0 ∈ y, což je ve sporu

s minimalitou a0. 2

—21—

Predchozí tvrzení vyslovuje duležitou vlastnost konecných množin, totiž

že jejich vlastní cást je vždy menší než celek.

Toto tvrzení navrhnul jako definici konecnosti množiny Dedekind. Dnes je

však známo, že bez pridání dalšího axiomu (napr. axiomu výberu) nelze

dokázat opacnou implikaci, tj. že množina, jejíž každá vlastní cást má

mohutnost menší než celek, je konecná. Problém spocívá v tom, že po-

mocí axiomu Zermelo-Fraenkelovy teorie nejsme obecne schopni k dané

množine nekonecné dle Tarského nalézt zobrazení, jež by ji vzájemne

jednoznacne zobrazilo na její vlastní cást (prestože pro všechny "bežné"

nekonecné množiny, jako je treba ω, taková zobrazení nalézt umíme).

—22—

2. (Fin(a) ∧ b ⊆ a) → Fin(b)

Dukaz. plyne ihned z definice. 2

3. (Fin(a) ∧ a ≈ b) → Fin(b)

Dukaz. Necht’ f : b → a je vzájemne jednoznacné zobrazení a y ⊆⊆ P(b). Pak y′ = {f ′′x ; x ∈ y} ⊆ P(a) a snadno se overí, že je-li

f ′′x pro x ∈ y minimální prvek y′ (vzhledem k inkluzi), je x minimální

prvek y (vzhledem k inkluzi). 2

4. (Fin(a) ∧ b 4 a) → Fin(b)

Dukaz. Plyne z 2. a 3. 2

—23—

5. (Fin(a) ∧ Fin(b)) → Fin(a ∪ b)

Dukaz. Necht’ ∅ 6= y ⊆ P(a∪ b). Oznacme y1 = {x∩ a ; x ∈ y} ⊆⊆ P(a). Zrejme je y1 neprázdná (nebot’ je taková y) a má tudíž díky

Fin(a) minimální prvek, a to tvaru x1 ∩ a pro nejaké x1 ∈ y. Položme

y2 = {x ∩ b ; x ∈ y ∧ x ⊆ x1}. Zrejme ∅ 6= y2 ⊆ P(b) a má tedy

díky Fin(b) nejaký minimální prvek tvaru x2 ∩ b pro nejaké x2 ⊆ x1,

x2 ∈ y. Dokážeme, že x2 je minimální prvek y. Bud’ x ∈ y, x ⊆ x2.

Pak x ⊆ x1, a tedy x∩b ∈ y2, z cehož plyne, že x∩b = x2∩b, jelikož

x2∩b je minimální v y2. Podobne dostaneme x∩a = x1∩a = x2∩a.

Protože x, x2 ⊆ a ∪ b, je x = x2. 2

—24—

6. Fin(a) → (∀b)Fin(a ∪ {b})

Dukaz. Snadno se overí, že pro každé y je Fin({y}). Zbytek plyne 5. 2

7. ω ⊆ Fin

Dukaz. matematickou indukcí podle 6. 2

8. Princip indukce pro konecné množiny

(∅ ∈ A ∧ (∀a ∈ A)(∀b)(a ∪ {b} ∈ A)) → Fin ⊆ A

Dukaz. Necht’ A splnuje predpoklad uvedené implikace. Dokážeme, že Fin ⊆⊆ A. Sporem. Necht’ a ∈ Fin, ale a /∈ A. Uvažujme y = {b ⊆ a ; b /∈ A}.

Jelikož a ∈ y, je y neprázdná a má tedy minimální prvek b. Zrejme je b 6=6= ∅ nebot’ ∅ ∈ A. Existuje tedy nejaké x ∈ b. Pak ale b − {x} ∈ A nebot’

v opacném prípade dostáváme spor s minimalitou b. Z vlastností trídy A ovšem

plyne, že (b− {x}) ∪ {x} = b ∈ A, což je spor. 2

—25—

9. Fin(a) → Fin(P(a))

Dukaz. Pomocí principu indukce pro konecné množiny. Zrejme Fin(P(∅)), ne-

bot’ P(∅) = {∅}. Zbývá dokázat, že je-li Fin(a) a Fin(P(a)), pak pro libo-

volné b je Fin(P(a∪{b})). To plyne z 5. a toho, že P(a∪{b}) = P(a)∪ c,

kde c = {x ∪ {b} ; x ∈ P(a)} ≈ P(a), a tedy Fin(c) dle 3. 2

10. Fin(a) ∧ Fin(b) → Fin(a× b)

Dukaz. ihned z 9. a toho, že a× b ⊆ P(P(a ∪ b)). 2

11. Fin(a) ∧ Fin(b) → Fin(ab))

Dukaz. ihned z 9. a toho, že ab ⊆ P(a× b). 2

—26—

12. (Fin(a) ∧ (∀z ∈ a)Fin(z)) → Fin(⋃

a)

Dukaz. Tvrzení dokážeme indukcí pro konecné množiny. Pro a = ∅ to platí

triviálne. Platí-li dále tvrzení pro nejakou konecnou množinu a, jejíž všechny

prvky jsou konecné, platí i pro a∪{b} kde b je konecná, nebot’⋃

(a∪{b}) =b ∪

⋃a, pricemž na pravé strane je díky indukcnímu predpokladu sjednocení

dvou konecných množin, tedy konecná množina dle 5. 2

13. Fin(a) → (∀z)(a 4 z ∨ z 4 a)

Dukaz. Indukcí pro konecné množiny: zrejme ∅ 4 z pro každé z. Platí-li z 4 a,

je z 4 a ∪ {x} pro libovolné x. Platí-li naopak a ≺ z, bud’ f : a → z prosté

zobrazení. Jelikož a 6≈ z, není f na, a tedy existuje prvek y ∈ z − rng(f).

Položme f ′ = f ∪{〈x, y〉}. Získali jsme prosté zobrazení f ′ : a∪{x} → z,

cili a 4 z, címž je dokázán potrebný indukcní krok. 2

—27—

14. Fin(a) ↔ (∃n ∈ ω)(a ≈ n)

Dukaz. Na jednu stranu z 7. víme, že každé prirozené císlo n je konecná

množina a tudíž je-li a ≈ n, je rovnež a konecná množina. Obrácenou

implikaci dokážeme opet indukcí pro konecné množiny. Je-li a = ∅ pravá

strana ekvivalence platí triviálne (stací položit n = 0). Ukážeme, že je-li

a ≈ n a x libovolná množina, platí (∃m ∈ ω)(m ≈ a ∪ {x}). Pokud

x ∈ a, je a ∪ {x} = a a stací položit m = n. V opacném prípade

(x /∈ a), položme m = n ∪ {n}. Je-li nyní f vzájemne jednoznacné

zobrazení f : a → n, je f ′ = f ∪ {〈x, n〉} vzájemne jednoznacné

zobrazení a ∪ {x} na m. 2

—28—

15. (∀n, m ∈ ω)(n ≈ m → n = m)

Dukaz. Indukcí dle n. Pro n = 0 je tvrzení triviální. Necht’ n splnuje

formuli (∀m)(n ≈ m → n = m). Dokážeme, že ji splnuje i n ∪ {n}.

Necht’ n∪{n} ≈ m. Pak zrejme m 6= 0, tedy m = k∪{k} pro nejaké

k ∈ ω. Bud’ nyní f : n∪{n} → k∪{k} vzájemne jednoznacné zobra-

zení. Prípadnou zámenou funkcních hodnot f v bodech n a f−1(k) zís-

káme vzájemne jednoznacné zobrazení f ′ : n ∪ {n} → k ∪ {k} ta-

kové, že f ′(n) = k. Odtud vyplývá, že f ′�n je vzájemne jednoznacné

zobrazení n na k, cili n ≈ k a podle indukcního predpokladu n = k.

Tudíž n ∪ {n} = k ∪ {k} = m. 2

—29—

Zavedení operací na ωZ predchozího plyne, že sjednocení, kartézský soucin i množinová mocnina

dvou konecných množin jsou tedy konecné množiny. Každá konecná množina

má mohutnost práve jednoho prirozeného císla. Operace scítání, násobení a

mocnení proto zavádíme následujícími vztahy. Pro n, m, k ∈ ω:

n + m = k ↔ k ≈ n ]m,

n ·m = k ↔ k ≈ n×m,

nm = k ↔ k ≈ mn.

V každém z nich je císlo k, udávající výsledek uvedené operace, urceno jedno-

znacne (díky tvrzení 15.)

—30—

Snadno se overí, že pro prirozená císla v teorii množin s výše uvedenými ope-

racemi a usporádáním, platí všechny axiomy Peanovy aritmetiky.

Na druhou stranu jsou známa tvrzení o prirozených císlech, jež jsou dokaza-

telná v teorii množin, ale v Peanove aritmetice je nelze dokázat ani vyvrátit.

Nahradíme-li však v teorii množin axiom nekonecna jeho negací, situace se

zmení. V takové "teorii konecných množin" jsou o prirozených císlech dokaza-

telná práve tatáž tvrzení jazyka aritmetiky, jako v Peanove aritmetice.

To poukazuje na zajímavý fakt, totiž že až zkoumáním nekonecných množin lze

získat nekteré poznatky o konecných množinách (potažmo prirozených císlech),

jež by nám jinak zustaly skryty.