วชา คณตศาสตรธรกจ (3000-1403)

โดย ครยพด นธภากร

หนวยท 1ตรรกศาสตรเบองตน

ความหมายของตรรกศาสตร

ตรรกศาสตร หมายถง วชาวาดวยความนกคด

อยางเปนระบบ การใชกฎเกณฑ การใชเหตผล

ประพจน

ประพจน คอ ประโยคหรอขอความทมคาความ

จรงเปนจรงหรอเปนเทจอยางใดอยางหนงเทานน

ประโยคเหลานอาจอยในรปประโยคบอกเลาหรอ

ประโยคปฏเสธกได

ตวอยางเชน

1. สนขมสขา

เปนประพจนทมคาความจรงเปน จรง

2. นครสวรรคเปนเมองหลวงของประเทศไทย

เปนประพจนทมคาความจรงเปน เทจ

3. 4 × 5 = 20

เปนประพจนทมคาความจรงเปน จรง

4. กรณาปดประตดวย

ไมเปนประพจน (เปนประโยคขอรอง)

5. นกเรยนท าขอสอบวชาคณตศาสตรธรกจไดหรอไม

ไมเปนประพจน (เปนประโยคค าถาม)

การเชอมประพจน

ตวเชอม คอ สงทใชในการเชอมประพจน ซงเปนการ

สรางประพจนใหม ตวเชอมประพจน ม 5 ชนด คอ

1. ไม , ไมใช เขยนแทนดวย

2. และ เขยนแทนดวย

3. หรอ เขยนแทนดวย

4. ถา...แลว เขยนแทนดวย

5. กตอเมอ เขยนแทนดวย

1.นเสธของประพจน

นเสธของประพจน คอ ประพจนทมคาความจรง

ตรงกนขามกบ p เขยนแทนดวย p

p pT FF T

2.การเชอมดวยตวเชอม “ และ” (ใชสญลกษณ )

คาความจรงของ (pq) แสดงดวยตารางความจรงไดดงน

p q pqT T TT F FF T FF F F

3.การเชอมดวยตวเชอม “ หรอ” (ใชสญลกษณ)

คาความจรงของ (p q) แสดงดวยตารางความจรงไดดงน

p q pqT T TT F TF T TF F F

4.การเชอมดวยตวเชอม “ ถา…แลว ” (ใชสญลกษณ )

คาความจรงของ(p q) แสดงดวยตารางความจรงไดดงน

P q pqT T TT F FF T TF F T

5.การเชอมดวยตวเชอม “ กตอเมอ” (ใชสญลกษณ )

คาความจรงของ (pq) แสดงดวยตารางความจรงไดดงน

p q pqT T TT F FF T FF F T

สรปตวเชอมของประพจน

การหาคาความจรงของประพจน

จงหาคาความจรงของประพจนตวอยาง 3 เปนจ านวนเตม และ 4 เปนจ านวนนบ

วธท า p แทน 3 เปนจ านวนเตม

q แทน 4 เปนจ านวนนบ

p qT T

Tดงนน 3 เปนจ านวนเตม และ 4 เปนจ านวนนบ มคาความจรงเปน จรง

ตวอยาง 5 ไมเทากบ 6 หรอ 4 ไมนอยกวา 9

วธท า p แทน 5 ไมเทากบ 6

q แทน 4 ไมนอยกวา 9

p qT F

Tดงนน 5 ไมเทากบ 6 หรอ 4 ไมนอยกวา มคาความจรงเปน จรง

ตวอยาง ถา 9 เปนจ านวนค แลว 92 เปนจ านวนค

วธท า p แทน 9 เปนจ านวนค

q แทน 92 เปนจ านวนค

p qT F

F

ดงนน ถา 9 เปนจ านวนค แลว 92 เปนจ านวนค

มคาความจรงเปน เทจ

ตวอยาง 4 เปน ห.ร.ม . ของ 4 และ 8 กตอเมอ 4 หาร 4+8 ไมลงตว

วธท า p แทน 4 เปน ห.ร.ม . ของ 4 และ 8

q แทน 4 หาร 4+8 ไมลงตว

p qT F

F

ดงนน 4 เปน ห.ร.ม . ของ 4 และ 8 กตอเมอ 4 หาร 4+8 ไมลงตว

มคาความจรงเปนเทจ

ตวอยาง ก าหนดให p , q , r , s เปนประพจน มคาความจรงเปน จรง เทจ เทจ และจรง ตามล าดบ จงหาคาความจรงของประพจน[( p q ) r ] (ps )วธท า [ ( p q ) r ] ( p s )

T F F T TF T

TT

ดงนน [( p q ) r ] (ps ) มคาความจรงเปน จรง

ตวอยาง ก าหนดให p , q , r , s เปนประพจน มคาความจรงเปน จรง เทจ เทจ และจรง ตามล าดบ จงหาคาความจรงของประพจน( p q ) (rs )วธท า ( p q ) (rs )

T T F TT T

T ดงนน ( p q ) (rs ) มคาความจรงเปน จรง

การสรางตารางหาคาความจรงของประพจน

ตวอยาง จงสรางตารางหาคาความจรงของประพจน

[ ( p q ) p ] qวธท า

p q p q ( p q ) p [ ( p q ) p ] q

T T T T T

T F F F T

F T T F T

F F T F T

ตวอยาง จงสรางตารางหาคาความจรงของประพจน p qr)

วธท า p q r r qr p qr)

T T T F T T

T T F T T T

T F T F F F

T F F T T T

F T T F T F

F T F T T F

F F T F T F

F F F T T F

สจนรนดร

(Tautology)

สจนรนดร คอ รปแบบของประพจนทมคาความจรง

ทกกรณ ไมวาประพจนยอยจะเปนจรงหรอเทจกตาม

ตวอยาง รปแบบของประพจน ( p q ) p

เปนสจนรนดรหรอไม

วธท า

ดงนน ( p q ) p เปนสจนรนดร

p q p q ( p q ) p

T T T T

T F F T

F T F T

F F F T

ตวอยาง รปแบบของประพจน [ ( p q ) p ]q

เปนสจนรนดรหรอไม

วธท า

ดงนน [ ( p q ) p ]q ไมเปนสจนรนดร

p q p q p ( p q ) p q [ ( p q ) p ]q

T T T F F F T

T F F F F T T

F T T T T F F

F F T T T T T

ประพจนทสมมลกนหรอเปนนเสธกน

ประพจนทสมมลกน (Equivalent stament) คอ

ประพจนทใหคาความจรงเปนจรงหรอเทจเหมอนกน

ทกกรณ

ประพจนทนเสธกน คอ ประพจนทใหคาความจรง

ตรงกนขามเปนนเสธซงกนและกน

ตวอยาง จงแสดงวา p q สมมลกบ p q วธท า

ดงนน p q สมมลกบ p q

p q p q p q p q T T F F T T

T F F T F F

F T T F F F

F F T T T T

ตวอยาง จงแสดงวา p q สมมลกบ p q หรอไมวธท า

ดงนน p q ไมสมมลกบ p q (ประพจนทเปนนเสธกน)

p q p q p q p q T T F F T F

T F F T F T

F T T F F T

F F T T F T

ประโยคเปด(Open Sentence)

ประโยคเปด คอ ประโยคบอกเลาหรอประโยคปฏเสธทม

ตวแปรและไมใชประพจน แตเมอแทนตวแปรนนดวยสมาชกของ

เอกภพสมพทธแลว ท าใหประโยคนนเปนประพจน

เชน 3X – 1 = 5

X + 2Y = 9

เขาเปนนกกฬาทมชาต

ตวบงปรมาณ

(Quantifier)

ตวบงปรมาณ ม 2 ประเภท คอ

แทนตวบงปรมาณ “ส าหรบๆ…”

“ ส าหรบแตละ”

แทนตวบงปรมาณ “ส าหรบบางสวน…”

“ จะมบางคาของ”

ตวอยางเชน

x มความหมายวา “ส าหรบทกคาของ X ”

x มความหมายวา “ มคา X บางตว

ตวอยาง จงเขยนขอความตอไปนในรปสญลกษณ1. จ านวนเตมทกตวเปนจ านวนจรง x [ x I x R ]

2. จ านวนตรรกยะแตละตวคณกบ 1 แลวเทากบจ านวนนนx [ x Q x (1) = x = (1) x ]

3. มจ านวนจรง x บางตวซง x2 = 2x [ x R x2 = 2 ]

4. ไมวา x และ y จะเปนจ านวนจรงใดๆ จะไดวา x+y 10xy [x+y 10 ]

ตวอยาง จงเขยนสญลกษณตอไปนใหอยในรปขอความ1. x [ x 2 x2 4 ]

ส าหรบจ านวนจรง x ทกจ านวน ถา x 2 แลว x2 4 2. x [ x Q x2 = 2 ]

มจ านวน x บางจ านวน ถา x เปนจ านวนตรรกยะ แลว x2 = 2 3. x R y N [x2 + y2 = 9 ]

มจ านวนจรง x บางจ านวน ส าหรบจ านวนนบ y ทกจ านวนซง x2 + y2 = 9

ส าหรบตวบงปรมาณมากกวา 1 ตว หมายถง

ตวบงปรมาณทใชขยายประโยคเปดทมตวแปรมากกวา 1 ตว

เชน

xy [P(x,y)] มความหมายวา “ ส าหรบ x และ y ทกตวซง [P(x,y)] ”

xy [P(x,y)] มความหมายวา “ ส าหรบ x ทกตว ม yบางตวซง [P(x,y)] ”

xy [P(x,y)] มความหมายวา “ ม x บางตว และ y บางตวซง [P(x,y)] ”

xy [P(x,y)] มความหมายวา “ ม x บางตว ส าหรบ yทกตวซง [P(x,y)] ”

นเสธของประพจนทมตวบงปรมาณ x [P(x)] สมมลกบ x [P(x)]x [P(x)] สมมลกบ x [P(x)] x [P(x)] สมมลกบ x [P(x)]x [P x)] สมมลกบ x [P(x)]ตวอยางเชนx [ x 0 ] เมอ U = เซตของจ านวนเตมมคาความจรงเปนเทจ เพราะเมอแทน x เปนจ านวนเตมบวกและศนย จะท าให x 0 เปนเทจ

คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณตวเดยว

คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณตวเดยว1. x [P(x)] มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ [ P(x)]

เปนจรงส าหรบทกๆ คาของ x U

x [P(x)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ x Uอยางนอย 1ตว ทท าให P(x) เปนเทจ

2. x [P(x)] มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ x Uอยางนอย 1ตว ทท าให P(x) เปนจรง

x [P(x)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ ทกๆ คาของ xใน U ทท าให P(x) เปนเทจทงหมด

ตวอยาง ส าหรบแตละ P(x) ตอไปน จงพจารณาดวา

x P(x) ตอไปนเปนจรงหรอเทจ

1. x x + 1 0 ; U = -1 , 0 , 1 วธท า

P( -1 ) ; -1 + 1 0 จรง

P( 0 ) ; 0 + 1 0 จรง

P( 1 ) ; 1 + 1 0 จรง

นนคอ x x + 1 0 ; U = -1 , 0 , 1 เปนจรง

2. x x2 + 2 0 ; U = -1 , 0 , 1 วธท า

P( 1 ) ; 1 + 2 0 เปนจรง

P (2) ; 2+2 0 เปนจรง

P (3) ; 3+2 0 เปนจรง

นนคอ x x2 + 2 0 ; U = -1 , 0 , 1 เปนจรง

3. x x2 - 1 0 ; U = -1 , 0 , 1 วธท า

P ( 1) ; 1 -1 0 เปนเทจ

นนคอ x x2 - 1 0 ; U = -1 , 0 , 1 เปนเทจ

ตวอยาง ก าหนดให U = 1 , 2 , 3 ส าหรบแตละ P(x) ตอไปน จงพจารณาดวา x P(x) เปนจรงหรอเทจ

1. x x 1 วธท า

P( 1) ; 1 1 เปนเทจ

P(2) ; 2 1 เปนจรง

P(3) ; 3 1 เปนจรง

นนคอ x x 1 ; U = 1 , 2 , 3 เปนจรง

2. x x 0 วธท า

P( 1 ) ; 1 0 เปนเทจ

P( 2 ) ; 2 0 เปนเทจ

P( 3 ) ; 3 0 เปนเทจ

นนคอ x x 0 ; U = 1 , 2 , 3 เปนเทจ

คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณ 2 ตว

ตวบงปรมาณ เปนจรง เปนเทจ

xy [P(x,y)] yx [P(x,y)]

P(x,y) เปนจรง ส าหรบทกค x,y

ม x,y หนงคทท าให[P(x,y)] เปนเทจ

xy [P(x,y)] ส าหรบ x ม y หนงตวทท าให [P(x,y)] เปนจรง

ม x หนงตวทท าให[P( x,y)] เปนเทจ ส าหรบทก y

xy [P(x,y)] ม x หนงตวทท าให [P(x,y)] เปนเทจส าหรบทก y

ส าหรบ x ม y หนงตวทท าให [P(x,y)] เปนเทจ

xy [P(x,y)] yx [P(x,y)]

ม x,y หนงคทท าให [P(x,y)] เปนจรง

[P(x,y)] เปนเทจส าหรบx,y ทกค

การอางเหตผล

การอางเหตผล คอ การตรวจสอบวา จากเหตหรอสงทโจทย

ก าหนดใหสามารถน ามาสรปเปนผลอยางหนงอยางใดไดหรอไม

การอางเหตผล ประกอบดวยสวนทส าคญ 2 สวนคอ

1. สวนทเปนเหต หรอสงทโจทยก าหนดให

ซงไดแก P1, P2, P3,…, Pn

2. สวนทเปนผล ไดแก q

การอางเหตผลน

ขอความจะอยในรป (P1 P2 P3 … Pn ) q

ถาสวนทเปนเหต หรอสงทโจทยก าหนดให สงผลใหเกด q จรง

จะเรยกการอางเหตผลแบบนวา “สมเหตสมผล”

แตถาสวนทเปนเหตหรอสงทโจทยก าหนดให สงผลใหเกด q ไมจรง

จะเรยกการอางเหตแบบนวา “ไมสมเหตสมผล”

การตรวจสอบความเปนสมเหตสมผล ท าได 2 วธ คอ

1. ตรวจสอบวา (P1 P2 P3 … Pn ) q เปนสจนรนดร2. พจารณาจากรปแบบการอางเหตผลทสมเหตสมผลบางรปแบบ

ไดแก

2.1 เหต 1. P q 2. q

ผล q

2.2 เหต 1. p q

2. q

ผล p

2.3 เหต 1. p q

2. q r

ผล p r

2.4 เหต 1. pq

2. p ผล q

2.5 เหต 1. p2. q

ผล pq2.6 เหต 1. p r

2. q rผล pq r

2.7 เหต 1. p q ผล p

หรอ q

2.8 เหต 1. p q

ผล q pนอกจากรปแบบการอางเหตผลดงกลาวแลว ยงมรปแบบท

เปนสจนรนดร สามารถใชอางองในการพสจนได

2.9 เหต 1. ( p q ) ( r s )

2. p r

ผล q s

2.10 เหต 1. ( p q ) ( r s )

2. q s

ผล p r

2.11 เหต 1. p q

ผล p q

ตวอยาง จงตรวจสอบดวาการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผล

หรอไม

เหต 1. 3 เปนจ านวนเฉพาะ หรอ 4 เปนจ านวนเฉพาะ

2. 3 ไมเปนจ านวนเฉพาะ

ผล 4 ไมเปนจ านวนเฉพาะ

วธท า

ให p แทน 3 เปนจ านวนเฉพาะ หรอ 4 เปนจ านวนเฉพาะ

q แทน 3 ไมเปนจ านวนเฉพาะ

เขยนสญลกษณแทนขอความไดดงน

เหต 1. pq

2. p

ผล qการอางเหตผลไมสมเหตสมผล (ตามรปแบบขอท 2.4)

วธท 2 ตรวจสอบโดยการสรางตารางวาเปนสจนรนดรหรอไม

รปแบบประพจนคอ [ ( pq ) p ] q

p q p q ( pq ) ( pq ) p [ ( pq ) p ] q

T T F F T F T

T F F T T F T

F T T F T T F

F F T T F F T

[ ( pq ) p ] q

ดงนน การอางเหตผลนไมสมเหตสมผล

ขอขอบคณภาพจาก Internet