บทที่ 1 เมทริกซì - t...
TRANSCRIPT
บทท 1
เมทรกซ
1.1 เมทรกซและการดำเนนการบนเมทรกซ
กลมของจำนวนซงนำมาจดเรยงกนเปนรปสเหลยมมมฉาก หรอทเรยกวา เมทรกซ ไดถกนำมาใชในหลายสาขาวชา เมทรกซจดวาเปนหนงในเครองมอทสำคญมากทางดานคณตศาสตร ในหวขอนเราจะเรยนรบทนยามเบองตนของเมทรกซ การดำเนนการบวก ลบ และคณเมทรกซ
สญลกษณของเมทรกซ
บทนยาม 1.1 เมทรกซ (matrix) คอ กลมของจำนวนซงนำมาจดเรยงกนเปนรปสเหลยมมมฉากและบรรจภายในเครองหมาย [ ] หรอ ( ) จำนวนซงนำมาจดเรยงแตละจำนวนเรยกวา สมาชก(element หรอ entry) ของเมทรกซ
ตวอยางเชน
2 3
−1 2
0 −5
(1.1)
(
1 −1 0
0 5 2
)
(1.2)
[
1√2 π 0
]
(1.3)
และ
2
−3
7
(1.4)
สมาชกซงจดเรยงกนในแนวนอนเรยกวา แถว ของเมทรกซ ในขณะทสมาชกซงจดเรยงในแนวตงเรยกวา หลก ของเมทรกซ ตวอยางเชนแถวทสามของเมทรกซ (1.1) ประกอบดวยสมาชก 0
และ −5 และสมาชกในหลกทหนงเมทรกซ(1.1) คอ 2, −1 และ 0 สำหรบเมทรกซทม mแถว และ n หลก เรากลาววาเมทรกซนนม มต (dimension) หรอ อนดบ (order)
1
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 2
m × n ดงนนเมทรกซ (1.1) มมต 3 × 2 เมทรกซ (1.2) มมต 2 × 3 และเมทรกซ (1.3)มมต 1× 3
เมทรกซทมเพยงแถวเดยว หรอเมทรกซมต 1 × n เรยกวา เมทรกซแถว (row matrix)หรอ เวกเตอรแถว (row vector) ในขณะเดยวกนเมทรกซทมเพยงหลกเดยว หรอเมทรกซมต m × 1 เรยกวา เมทรกซแนวตง (column matrix) หรอ เวกเตอรแนวตง (columnvector) ดงนนเมทรกซ (1.3) คอ เมทรกซแถวหรอเวกเตอรแถว และเมทรกซ (1.4) คอเมทรกซแนวตงหรอเวกเตอรแนวตง
โดยทวไปเรานยมใชตวอกษรพมพใหญเชน A,B,C, . . . แทนเมทรกซ ในขณะทสมาชกของเมทรกซจะเขยนแทนดวยตวพมพเลกทมดชนลาง 2 ตว เชน aij หมายถงสมาชกในแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ ดงนนรปทวไปของเมทรกซมต 2× 4 สามารถเขยนแทนดวย
A =
[
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
]
และรปทวไปของเมทรกซมต m× n คอ
A =
a11 a12 · · · a14
a21 a22 · · · a24...
......
am1 am2 · · · amn
(1.5)
เพอความสะดวกในการนำไปใช บางครงเราเขยนแทนเมทรกซ A ในรป
[aij ]m×n หรอ [aij]
โดยทสญลกษณตวแรกจะใชเมอตองการทราบมตของเมทรกซ ในขณะทสญลกษณตวทสองจะใชเมอไมจำเปนตองกลาวถงมตของเมทรกซ
นอกจากนสมาชกในแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ A อาจจะเขยนแทนดวยสญลกษณ(A)ij ดงนนสมาชกในแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ (1.5) สามารถเขยนแทนดวย
(A)ij = aij
และสำหรบเมทรกซ
A =
3 6 −1
4 2 0
1 −3 −5
เราไดวา a12 = 6, a21 = 4 และ a33 = −5
เมทรกซ A ทม n แถว และ n หลก เรยกวา เมทรกซจตรส (square matrix) มตn× n หรอ เมทรกซจตรสอนดบ n และสมาชก a11, a22, . . ., ann ในเมทรกซ (1.6) คอสมาชกทอยใน เสนทแยงมมหลก (main diagonal) ของ A
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n... ... ...an1 an2 · · · ann
(1.6)
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 3
เมทรกซจตรสทสมาชกใตเสนทแยงมมหลกทกตวเปนศนยเรยกวา เมทรกซแบบสามเหลยมบน(upper triangular matrix) เมทรกซจตรสทสมาชกเหนอเสนทแยงมมหลกทกตวเปนศนยเรยกวา เมทรกซแบบสามเหลยมลาง (lower triangle matrix) และเมทรกซจตรสซงสมาชกทอยนอกแนวเสนทแยงมมหลกทกตวเปนศนยเรยกวา เมทรกซทแยงมม (diagonal matrix)
เมทรกซทนาสนใจอกเมทรกซหนงคอ เมทรกซจตรสทสมาชกในเสนทแยงมมหลกทกตวมคาเทากบ 1 และสมาชกทอยนอกแนวเสนทแยงมมหลกทกตวมคาเทากบ 0 ตวอยางเชน
[
1 0
0 1
]
,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
.
เมทรกซในรปแบบนเรยกวา เมทรกซเอกลกษณ (identity matrix หรอ unit matrix)และเขยนแทนดวย I แตหากตองการแสดงมตของเมทรกซ เราจะเขยนแทนเมทรกซเอกลกษณมต n× n ดวย In
เมทรกซมต m× n ทสมาชกทกตวเปนศนย เรยกวา เมทรกซศนย (zero matrix หรอnull matrix) และเขยนแทนดวย 0m×n หรอ 0 ตวอยางตอไปนเปนตวอยางของเมทรกซศนย
0 0 0
0 0 0
0 0 0
,
[
0 0 0
0 0 0
]
,
0
0
0
และ
[
0 0 0 0]
การดำเนนการบนเมทรกซ
บทนยาม 1.2 กำหนดให A และ B เปนเมทรกซใดๆ สมาชก aij และ bkp เปน สมาชกทสมนยกน (corresponding entries) กตอเมอ i = k และ j = p หรอกลาวอกนยหนงวาสมาชกของ A สมนย กบสมาชกของ B กตอเมอ สมาชกทงสองอยในตำแหนงเดยวกน
ตวอยางเชน ถา
A =
[
1 2 3
4 5 6
]
และ B =
[
7 8 9
−1 −2 −3
]
แลว 1 สมนยกบ 7, 2 สมนยกบ 8 และ 4 สมนยกบ −1
หมายเหต เราจะกลาวถงการสมนยกนของสมาชก ถาเมทรกซทง 2 เมทรกซมมตเทากน
บทนยาม 1.3 (การเทากนของเมทรกซ) เมทรกซ A และ B จะ เทากน และเขยนแทนดวยA = B ถาเมทรกซทงสองมมตเทากน และสมาชกทสมนยกนของเมทรกซทงสองมคาเทากน
หรอกลาวไดวา ถา A = [aij] และ B = [bij ] เปนเมทรกซทมมตเทากน แลว A = B กตอเมอ aij = bij สำหรบทก i และ j
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 4
ตวอยาง 1.1 จงพจารณาวาเมทรกซใดตอไปนเทากน
A =
[
1 2 −1
4 0 1 + 2
]
, B =
[
1 2
4 0
]
, C =
[
1 42
−1
4 0 3
]
, D =
[
1 2 −1
4 0 1
]
วธทำ . . . . . . . . .
บทนยาม 1.4 (ผลบวกของเมทรกซ) กำหนดให A และ B เปนเมทรกซทมมตเทากน ผลบวกของ A และ B ซงเขยนแทนดวย A+ B คอ เมทรกซทไดจากการบวกสมาชกทสมนยกนของA และ B
หรอกลาวไดวา ถา A = [aij ] และ B = [bij ] เปนเมทรกซทมมตเทากน แลว C = A + B
กตอเมอ cij = aij + bij สำหรบทก i และ j
ตวอยาง 1.2 จงหาเมทรกซ C ทเปนผลบวกของเมทรกซ
A =
3 6
−1 5
0 2
และ B =
12
−4
−2 0
−3 −2
วธทำ . . . . . . . . .
บทนยาม 1.5 (การคณโดยสเกลาร) กำหนดให A เปนเมทรกซใดๆ และ c เปนสเกลารใดๆผลคณ cA คอ เมทรกซทไดจากการคณสมาชกทกตวของ A ดวยสเกลาร c และเราจะเรยกเมทรกซ cA วา พหคณสเกลาร (scalar multiple) ของ A
หรอกลาวไดวา ถา A = [aij ] แลว B = cA กตอเมอ bij = caij สำหรบทก i และ j
ตวอยาง 1.3 กำหนดให
A =
[
1 −1 0 3
2 6 −4 8
]
จงหา 3A และ (−1)A
วธทำ . . . . . . . . .
บทนยาม 1.6 ตวลบ ของเมทรกซ B ซงเขยนแทนดวย −B คอ เมทรกซ (−1)B ทไดจากการเปลยนเครองหมายของสมาชกทกตวของ B
บทนยาม 1.7 (ผลตางของเมทรกซ) กำหนดให A และ B เปนเมทรกซทมมตเทากน ผลตางของ A และ B ซงเขยนแทนดวย A− B คอ เมทรกซ C ทนยามโดย C = A+ (−B)
หมายเหต เมทรกซ A− B สามารถหาไดจากการลบสมาชกทกตวของ A ดวยสมาชกทสมนยกนของ B
ตวอยาง 1.4 จงหาเมทรกซ C = 2A−B เมอ A =
[
1 2
−1 0
]
และ B =
[
0 4
−1 0
]
วธทำ . . . . . . . . .
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 5
บทนยาม 1.8 (การคณเมทรกซ) ถา A เปนเมทรกซมต m × n และ B เปนเมทรกซมตp × q แลว ผลคณ AB สามารถหาไดถา n = p และ AB เปนเมทรกซมต m × q โดยทสมาชกของ AB ในแถวท i และหลกท j ไดมาจากการบวกกนของผลคณระหวางสมาชกแตละตวของแถวท i ของ A กบสมาชกทสมนยกนในหลกท j ของ B
หรอกลาวไดวา ถา C = AB แลว
cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj หรอ cij =
n∑
k=1
aikbkj
ตวอยาง 1.5 กำหนดให A และ B เปนเมทรกซตอไปน จงหาผลคณ AB และ BA (ถาหาได)
(a) A =
3 −2
2 4
1 −3
, B =
[
−2 1 3
4 1 6
]
(b) A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
, B =
x
y
z
วธทำ . . . . . . . . .
หมายเหต จากตวอยางขางตนจะเหนไดวาการคณของเมทรกซ จะแตกตางจากการคณของจำนวนกลาวคอ การคณของจำนวนมสมบตการสลบท นนคอ ถา a และ b เปนจำนวนใดๆ แลว ab = ba
แตการคณของเมทรกซไมมสมบตดงกลาวอยางไรกตาม สถานการณหนงททำให AB และ BA สามารถหาได (แตอาจจะไมเทากน)
คอ เมอเมทรกซ A และ B มมตเทากนและเปนเมทรกซจตรส
เมทรกซสลบเปลยน
บทนยาม 1.9 กำหนดให A เปนเมทรกซมต m × n ใดๆ เมทรกซสลบเปลยน ของ A
(transpose of A) เขยนแทนดวย AT คอเมทรกซมต n × m ทไดจากการสลบแถวและหลกของ A นนคอ หลกท j ของ AT คอแถวท j ของ A
หรอกลาวไดวา B = AT กตอเมอ bij = aji สำหรบแตละคาของ i และ j
ตวอยาง 1.6 จงหาเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซตอไปน
(a) A =
[
1 2 3
4 5 6
]
(b) B =
−3 2 1
4 3 2
1 2 5
(c) C =
2
3
5
วธทำ . . . . . . . . .
บทนยาม 1.10 ถา A เปนเมทรกซจตรสใดๆ แลว รอย (trace) ของ A เขยนแทนดวยtr(A) คอ ผลบวกของสมาชกทอยในเสนทแยงมมหลกของ A แตถา A ไมใชเมทรกซจตรสแลว tr(A) หาคาไมได
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 6
ตวอยาง 1.7 จงหารอยของเมทรกซตอไปน
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
, B =
−3 1 7 0
2 4 −8 4
1 −2 5 0
8 3 −1 0
วธทำ . . . . . . . . .
เราจะจบหวขอนโดยการกลาวถงสมบตพชคณตของเมทรกซตอไปน
ทฤษฎบท 1.1 (สมบตพชคณตของเมทรกซ) กำหนดให A, B และ C เปนเมทรกซใดๆและ a และ b เปนสเกลารใดๆ และสมมตใหมตของเมทรกซในแตละการดำเนนการเปนไปตามบทนยาม พชคณตของเมทรกซตอไปนสมเหตสมผล
(a) A+B = B + A (กฎการสลบทสำหรบการบวก)
(b) A+ (B + C) = (A+B) + C (กฎการจดหมสำหรบการบวก)
(c) A(BC) = (AB)C (กฎการจดหมสำหรบการคณ)
(d) A(B + C) = AB + AC (กฎการแจกแจงทางซาย)
(e) (B + C)A = BA + CA (กฎการแจกแจงทางขวา)
(f) A(B − C) = AB − AC (g) (B − C)A = BA− CA
(h) a(B + C) = aB + aC (i) a(B − C) = aB − aC
(j) (a+ b)C = aC + bC (k) (a− b)C = aC − bC
(l) (ab)C = a(bC) (m) a(BC) = (aB)C = B(aC)
(n) A+ 0 = 0+ A = A (o) A−A = 0
(p) 0−A = −A (q) A0 = 0, 0A = 0
(r) AI = A
แบบฝกหด 1.1
1. สมมตให A,B,C,D และ E เปนเมทรกซทมมตดงน
A B C D E
(4× 5) (4× 5) (5× 2) (4× 2) (5× 4)
จงพจารณาวาเมทรกซใดตอไปนหาได และมมตเทาใด?(a) BA (b) AC +D (c) AE +B (d) AB +B
(e) E(A +B) (f) E(AC) (g) ETA (h) (AT + E)D
2. ถา A เปนเมทรกซมต 3× 5 และ AB เปนเมทรกซมต 3× 7 แลวมตของเมทรกซ B
คออะไร?
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 7
3. จงหาคา a, b, c และ d จากสมการ[
a− b b+ c
3d+ c 2a− 4d
]
=
[
8 1
7 6
]
4. กำหนดให
A =
3 0
−1 2
1 1
, B =
[
4 −1
0 2
]
, C =
[
1 4 2
3 1 5
]
,
D =
1 5 2
−1 0 1
3 2 4
, E =
6 1 3
−1 1 2
4 1 3
จงหาเมทรกซตอไปน (ถาหาได)(a) 2AT + C (b) DT − ET (c) (D −E)T (d) BT + 5CT
(e) 12CT − 1
4A (f) B −BT (g) 2ET − 3DT (h) (2ET − 3DT )T
5. จงใชเมทรกซทกำหนดใหในขอ 4. หาเมทรกซตอไปน (ถาหาได)(a) AB (b) BA (c) (3E)D (d) (AB)C
(e) A(BC) (f) CCT (g) (DA)T (h) (CTB)AT
(i) tr(DDT ) (j) tr(4ET −D) (k) tr(CTAT + 2ET )
6. จงหาเมทรกซ [aij ] มต 6× 6 ทสอดคลองกบเงอนไขตอไปน และเขยนคำตอบใหอยในรปทวไปมากทสด โดยใชตวอกษรแทนจำนวนทไมเทากบศนย
(a) aij = 0 ถา i 6= j (b) aij = 0 ถา i > j
(c) aij = 0 ถา i < j (d) aij = 0 ถา |i− j| > 1
7. จงหาเมทรกซ A ททำให
A
x
y
z
=
x+ y
x− y
0
สำหรบทกคาของ x, y และ z
8. กำหนดให
A =
1 −2 0
3 5 −1
2 3 4
, B =
6 0 2
4 1 −1
−3 8 5
C =
4 −5 3
5 7 −2
−3 2 −1
, a = 3, b = −5
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 8
จงแสดงวา
(a) A + (B + C) = (A+B) + C (b) (AB)C = A(BC)
(c) (a+ b)C = aC + bC (d) a(B − C) = aB − aC
(e) a(BC) = (aB)C = B(aC) (f) A(B − C) = AB −AC
(g) (B + C)A = BA + CA (h) a(bC) = (ab)C
(i) (AT )T = A (j) (A+B)T = AT +BT
(k) (aC)T = aCT (l) (AB)T = BTAT
9. กำหนดให 0 เปนเมทรกซศนยมต 2× 2 จงหา
(a) เมทรกซ A ททำให A 6= 0 และ AA = 0
(b) เมทรกซ A ททำให A 6= 0 และ AA = A
10. จงพจารณาวาขอความตอไปนเปนจรงหรอไม? ถาขอความทพจารณาเปนเทจ จงยกตวอยางประกอบ
(a) tr(AAT ) และ tr(ATA) หาคาไดเสมอ
(b) tr(AAT ) = tr(ATA) สำหรบทกเมทรกซ A
(c) ถาสมาชกทกตวในหลกทหนงของ A มคาเทากบศนย แลวสมาชกทกตวในหลกทหนงของผลคณ AB ใดๆมคาเทากบศนย
(d) ถาสมาชกทกตวในแถวทหนงของ A มคาเทากบศนย แลวสมาชกทกตวในแถวทหนงของผลคณ AB ใดๆมคาเทากบศนย
(e) ถา A เปนเมทรกซจตรสทมแถว 2 แถวเหมอนกน แลวเมทรกซ AA จะมแถว 2
แถวเหมอนกน
(f) ถา A เปนเมทรกซจตรส และ AA มหลกใดหลกหนงเปนศนย แลว A จะตองมหลกใดหลกหนงเปนศนย
(g) ถา B เปนเมทรกซมต n × n ทสมาชกทกตวเปนจำนวนเตมบวกค และถา A เปนเมทรกซมต n×n ทสมาชกทกตวเปนจำนวนเตมบวก แลวสมาชกทกตวของ AB และBA เปนจำนวนเตมบวกค
(h) ถาผลบวกของเมทรกซ AB +BA หาได แลว A และ B ตองเปนเมทรกซจตรส
คำตอบแบบฝกหด 1.1
1. (a) หาไมได (b) 4× 2 (c) หาไมได (d) หาไมได (e) 5× 5
(f) 5× 2 (g) หาไมได (h) 5× 2
2. 5× 7 3. a = 5, b = −3, c = 4, d = 1
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 9
4. (a)
[
7 2 4
3 5 7
]
(b)
−5 0 −1
4 −1 1
−1 −1 1
(c)
−5 0 −1
4 −1 1
−1 −1 1
(d) หาไมได
(e)
−14
32
94
034
94
(f)
[
0 −1
1 0
]
(g)
9 1 −1
−13 2 −4
0 1 −6
(h)
9 −13 0
1 2 1
−1 −4 −6
5. (a)
12 −3
−4 5
4 1
(b) หาไมได (c)
42 108 75
12 −3 21
36 78 63
(d)
3 45 9
11 −11 17
7 17 13
(e)
3 45 9
11 −11 17
7 17 13
(f)
[
21 17
17 35
]
(g)
[
0 −2 11
12 1 8
]
(h)
12 6 9
48 −20 14
24 8 16
(i) 61 (j) 35 (k) 28
6. (a)
a11 0 0 0 0 0
0 a22 0 0 0 0
0 0 a33 0 0 0
0 0 0 a44 0 0
0 0 0 0 a55 0
0 0 0 0 0 a66
(b)
a11 a12 a13 a14 a15 a16
0 a22 a23 a24 a25 a26
0 0 a33 a34 a35 a36
0 0 0 a44 a45 a46
0 0 0 0 a55 a56
0 0 0 0 0 a66
(c)
a11 0 0 0 0 0
a21 a22 0 0 0 0
a31 a32 a33 0 0 0
a41 a42 a43 a44 0 0
a51 a52 a53 a54 a55 0
a61 a62 a63 a64 a65 a66
(d)
a11 a12 0 0 0 0
a21 a22 a23 0 0 0
0 a32 a33 a34 0 0
0 0 a43 a44 a45 0
0 0 0 a54 a55 a56
0 0 0 0 a65 a66
7.
1 1 0
1 −1 0
0 0 0
9. (a)
[
0 1
0 0
]
(b)
[
1 0
0 0
]
10. (a) จรง (b) จรง (c) เทจ ตวอยางเชน A =
[
0 2
0 4
]
และ B =
[
1 2
3 4
]
(d) จรง (e) จรง (f) เทจ ตวอยางเชน A =
[
1 −1
1 −1
]
(g) จรง
(h) จรง
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 10
1.2 การดำเนนการขนมลฐานและรปแบบขนบนได
การดำเนนการตามแถวขนมลฐาน
การดำเนนการตามแถวขนมลฐาน (elementary row operations) ประกอบดวยการดำเนนการ3 แบบ ดงน
1. คณแถวใดแถวหนงดวยคาคงตวทไมเทากบศนย เขยนแทนดวยสญลกษณ α ri
2. สลบทสองแถวใดๆของเมทรกซ เขยนแทนดวยสญลกษณ ri ↔ rj
3. คณแถวใดแถวหนงดวยคาคงตวทไมเทากบศนย แลวนำไปบวกกบอกแถวหนง เขยนแทนดวยสญลกษณ rj + α ri
ตวอยาง 1.8 กำหนดให A =
2 −3 2 1
0 8 6 −10
4 1 3 −2
จงหาเมทรกซ B ทเกดจากการดำเนนการ
ตามแถวขนมลฐานตอไปนบนเมทรกซ A
(a) r1 ↔ r2 (b) 12r2 (c) r3 − 2r1
วธทำ . . . . . . . . .
บทนยาม 1.11 เมทรกซ A สมมลตามแถว (row equivalent) กบเมทรกซ B กตอเมอ B
เปนเมทรกซทไดจากการใชการดำเนนการตามแถวขนมลฐานบน A และจะเขยนแทนดวย A ∼ B
รปแบบขนบนได
บทนยาม 1.12 เมทรกซ A จะเปน เมทรกซขนบนไดตามแถว (row-echelon matrix)กตอเมอ เมทรกซ A มสมบตตอไปน
1. ถาแถวใดแถวหนงของ A มสมาชกทกตวเปนศนย แลวแถวดงกลาวจะตองเปนแถวทอยดานลางของเมทรกซ
2. สมาชกตวแรกทไมเปนศนย หรอเราเรยกวา ตวนำ ของแตละแถวจะตองอยในหลกทางขวามอของตวนำของแถวบน
ถาเมทรกซขนบนไดตามแถว A มสมบตตอไปนเพมเตม แลวเราจะเรยก A วา เมทรกซขนบนไดตามแถวลดรป (reduced row-echelon matrix)
3. สมาชกตวแรกทไมเปนศนย หรอตวนำของแถวตองมคาเทากบ 1
4. ถาตวนำ 1 ของแถวใดแถวหนงอยในหลกใด แลวสมาชกตวอนของหลกนนตองเทากบศนย
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 11
เมทรกซตอไปนเปนเมทรกซขนบนไดตามแถว
3 4 −3 7
0 2 6 2
0 0 1 −1
,
1 0 0
0 3 1
0 0 0
,
0 −1 2 6 0
0 0 3 −1 0
0 0 0 0 1
เมทรกซตอไปนเปนเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรป
1 0 0 1
0 1 0 −1
0 0 1 2
,
1 0 3 1 0
0 1 2 1 0
0 0 0 0 0
,
0 1 −2 0 0
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
,
[
0 0
0 0
]
ตวอยาง 1.9 จงหาเมทรกซขนบนไดตามแถวของ A เมอ
A =
0 −3 −6 4 9
−1 −2 −1 3 1
−2 −3 0 3 −1
1 4 5 −9 −7
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 1.10 จงหาเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรปของ B เมอ
B =
0 3 −6 6 4 −5
3 −7 8 −5 8 9
3 −9 12 −9 6 15
วธทำ . . . . . . . . .
บทนยาม 1.13 คาลำดบชน (rank) ของเมทรกซ A ใดๆ ซงเขยนแทนดวย rank(A) คอจำนวนแถวทมสมาชกไมเปนศนยของเมทรกซขนบนไดตามแถวทสมมลกบเมทรกซ A
ตวอยางเชน เมทรกซในตวอยาง 1.9 มคาลำดบชนเทากบ 3
แบบฝกหด 1.2
1. จงพจารณาวาเมทรกซใดตอไปน เปนเมทรกซขนบนไดตามแถว
(a)
1 0 0
0 2 0
0 0 3
(b)
2 3 0
0 0 −1
0 0 0
(c)
4 1 1
0 −2 2
0 0 3
(d)
1 0 0
0 2 0
0 3 0
(e)
1 4 6
0 0 1
0 −2 3
(f)
−1 1 0
0 2 0
0 0 0
(g)
1 3 4
0 0 1
0 0 0
(h)
1 2 3
0 0 0
0 0 4
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 12
2. จงพจารณาวาเมทรกซใดตอไปน เปนเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรป
(a)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
(b)
0 1 0
1 0 0
0 0 0
(c)
0 1 0
0 0 1
0 0 0
(d)
1 0 0
0 0 1
0 0 0
(e)
1 0 0
0 0 0
0 0 1
(f)
1 1 0
0 1 0
0 0 0
(g)
1 0 2
0 1 3
0 0 0
(h)
0 0 0
0 0 0
0 0 0
3. จงพจารณาวาเมทรกซตอไปน เปนเมทรกซขนบนไดตามแถว หรอเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรป หรอทงสองอยาง หรอไมใชทงสองอยาง
(a)
0 1 3 5 7
0 0 1 2 3
0 0 0 0 0
(b)
1 0 0 5
0 0 1 3
0 1 0 4
(c)
[
1 0 3 1
0 1 2 4
]
(d)
[
1 −7 5 5
0 1 3 2
]
(e)
1 0 0 1 2
0 1 0 2 4
0 0 1 3 6
(f)
0 1
0 0
0 0
4. จงหาเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรปทสมมลตามแถวกบเมทรกซ A เมอ
A =
2 2 −1 0 1 0
−1 −1 2 −3 1 0
1 1 −2 0 −1 0
0 0 1 1 1 0
5. จงหาเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรปทสมมลตามแถวกบเมทรกซ B เมอ
B =
0 0 −2 0 7 12
2 4 −10 6 12 28
2 4 −5 6 −5 −1
6. จงแสดงวา rank(A) = rank(AT ) เมอ
A =
1 −1 2 1
0 1 1 −2
1 −3 0 5
7. จงหาคาลำดบชนของเมทรกซตอไปน
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 13
(a) A =
[
2 0 −3 1
3 4 2 2
]
(b) A =
1 0 1
−2 1 1
1 1 2
(c) A =
1 4 5 2
2 1 3 0
−1 3 2 2
(d) A =
0 6 6 3
1 2 1 1
4 1 −3 4
1 3 2 0
(e) A =
1 2 1 4 2 5
2 4 3 1 6 1
1 2 3 10 6 3
2 4 4 −6 8 −8
8. คาของ r และ s ททำให
1 0 0
0 r − 2 2
0 s− 1 r + 2
0 0 3
มคาลำดบชน 1 หรอ 2 มหรอไม? ถาม จงหาคาเหลานน
คำตอบแบบฝกหด 1.2
1. (a), (b), (c), (f), (g) 2. (a), (c), (d), (g), (h)
3. (a) เมทรกซขนบนไดแบบแถว (b) ไมใชทงสองอยาง (c) ทงสองอยาง
(d) เมทรกซขนบนไดแบบแถว (e) ทงสองอยาง (f) ทงสองอยาง
4.
1 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
5.
1 2 0 3 0 7
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 1 2
6. rank(A) = rank(AT ) = 2
7. (a) rank(A) = 2 (b) rank(A) = 3 (c) rank(A) = 2 (d) rank(A) = 3
(e) rank(A) = 3
8. คาลำดบชนเทากบ 2 ถา r = 2 และ s = 1; คาลำดบชนไมเทากบ 1
บทท 2
ดเทอรมแนนต
ในบทนเราจะศกษาสมบตทสำคญของเมทรกซจตรส นนคอเมทรกซจตรสทกเมทรกซจะสอดคลองกบจำนวนจรงทเรยกวา ดเทอรมแนนต (determinant) หรอ ตวกำหนด ของเมทรกซ ถาA เปนเมทรกซจตรส แลวดเทอรมแนนตของ A จะเขยนแทนดวย det(A) หรอ |A|
บทนยาม 2.1 ดเทอรมแนนตของเมทรกซมต 1× 1 และ 2× 2
(a) ดเทอรมแนนตของเมทรกซ A =[
a]
มต 1× 1 คอ det(A) =∣
∣
∣a∣
∣
∣= a
(b) ดเทอรมแนนตของเมทรกซ A =
[
a b
c d
]
มต 2× 2 คอ det(A) =
∣
∣
∣
∣
∣
a b
c d
∣
∣
∣
∣
∣
= ad− bc
สำหรบหวขอยอยตอไปน เราจะเรยนรการหาดเทอรมแนนตของเมทรกซจตรสทมอนดบตางๆ
2.1 ดเทอรมแนนตโดยการกระจายตวประกอบรวมเกยว
ไมเนอรและตวประกอบรวมเกยว
วธการหาดเทอรมแนนตในหวขอน เปนการใหบทนยามดเทอรมแนนตของเมทรกซมต n× n ในรปของดเทอรมแนนตของเมทรกซมต (n−1)× (n−1) โดยทเมทรกซมต (n−1)× (n−1) ทปรากฎในบทนยามนน เปนเมทรกซยอยของเมทรกซทกำหนดให และเมทรกซยอยเหลานมชอเรยกเฉพาะ
บทนยาม 2.2 ถา A เปนเมทรกซจตรส แลว ไมเนอร (minors) ของ aij ซงเขยนแทนดวย Mij คอ ดเทอรมแนนตของเมทรกซยอยทไดจากการตดแถวท i และหลกท j ออกจากเมทรกซ A และจำนวน (−1)i+jMij ซงเขยนแทนดวย Cij เรยกวา ตวประกอบรวมเกยว(cofactor) ของ aij
ตวอยาง 2.1 กำหนดให A =
2 1 3
4 1 2
1 2 −3
จงหาไมเนอรและตวประกอบรวมเกยวของ a11
และ a32
14
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 15
วธทำ . . . . . . . . .
สงเกตไดวาตวประกอบรวมเกยว และไมเนอรของ aij จะแตกตางกนเฉพาะเครองหมาย นนคอ Cij = ±Mij วธการทงายและรวดเรวในการพจารณาวาจะใชเครองหมาย + หรอ − อาศยขอเทจจรงทวา เครองหมายทสมพนธกบ Cij และ Mij คอ เครองหมายในแถวท i และหลกทj ของการจดเรยงตอไปน
+ − + − + · · ·− + − + − · · ·+ − + − + · · ·− + − + − · · ·... ... ... ... ...
ตวอยางเชน C11 = M11, C21 = −M21, C13 = M13 และ C32 = −M32
การกระจายตวประกอบรวมเกยว
สำหรบบทนยามของดเทอรมแนนตของเมทรกซมต 3 × 3 ในรปของไมเนอรและตวประกอบรวมเกยวคอ
det(A) = a11M11 + a12(−M12) + a13M13
= a11C11 + a12C12 + a13C13 (2.1)
จากสมการ (2.1) ดเทอรมแนนตของ A สามารถหาไดจากการคณสมาชกในแถวท 1 ของ A
ดวยตวประกอบรวมเกยวของสมาชกนน แลวนำมาบวกกนสำหรบกรณทวไป ดเทอรมแนนตของเมทรกซมต n× n คอ
det(A) = a11C11 + a12C12 + · · ·+ a1nC1n
วธการคำนวณ det(A) นเรยกวา การกระจายตวประกอบรวมเกยว ตามแถวท 1 ของ A
ตวอยาง 2.2 กำหนดให A =
1 5 0
2 4 −1
0 −2 0
จงหา det(A) โดยใชการกระจายตวประกอบ
รวมเกยวตามแถวท 1 ของ A
วธทำ . . . . . . . . .
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 16
ถา A เปนเมทรกซมต 3× 3 ใดๆ แลวดเทอรมแนนตของ A คอ
det(A) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= a11
∣
∣
∣
∣
∣
a22 a23
a32 a33
∣
∣
∣
∣
∣
− a12
∣
∣
∣
∣
∣
a21 a23
a31 a33
∣
∣
∣
∣
∣
+ a13
∣
∣
∣
∣
∣
a21 a22
a31 a32
∣
∣
∣
∣
∣
= a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a23a31)
+ a13(a21a32 − a22a31) (2.2)
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31
− a12a21a33 − a11a23a32 (2.3)
การจดเรยงพจนใน (2.3) ใหมใหมรปแบบดงเชน (2.2) มหลายวธดวยกน และเราสามารถแสดงไดวา
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13
= a11C11 + a21C21 + a31C31
= a21C21 + a22C22 + a23C23
= a12C12 + a22C22 + a32C32
= a31C31 + a32C32 + a33C33
= a13C13 + a23C23 + a33C33 (2.4)
สงเกตไดวาในแตละสมการ สมาชกและตวประกอบรวมเกยวมาจากแถว หรอหลกเดยวกน สมการเหลานเรยกวา การกระจายตวประกอบรวมเกยว ของ det(A)
ทฤษฎบท 2.1 (การกระจายโดยตวประกอบรวมเกยว) ดเทอรมแนนตของเมทรกซ A ทมมต n × n ใดๆ สามารถหาไดโดยการคณสมาชกในแถวใดแถวหนง(หรอหลกใดหลกหนง) ดวยตวประกอบรวมเกยวของสมาชกตวนนแลวนำมาบวกกน นนคอสำหรบแตละ 1 ≤ i ≤ n และ1 ≤ j ≤ n
det(A) = a1jC1j + a2jC2j + · · ·+ anjCnj
(การกระจายตวประกอบรวมเกยวตามหลกท j)
และ
det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · ·+ ainCin
(การกระจายตวประกอบรวมเกยวตามแถวท i)
ตวอยาง 2.3 กำหนดให A เปนเมทรกซในตวอยาง 2.2 จงหา det(A) โดยใชการกระจายตวประกอบรวมเกยวตามสดมภท 1 ของ A
วธทำ . . . . . . . . .
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 17
หมายเหต โดยทวไปการหาดเทอรมแนนต โดยใชการกระจายตวประกอบรวมเกยวนนเรามกเลอกกระจายตวประกอบรวมเกยวตามแถว หรอหลกทมสมาชกเปนศนยจำนวนมากๆ เพอความสะดวกและรวดเรวในการคำนวณ
ตวอยาง 2.4 กำหนดให
A =
0 2 3 0
0 4 5 0
0 1 0 3
2 0 1 3
จงหา det(A) โดยใชการกระจายตวประกอบรวมเกยว
วธทำ . . . . . . . . .
ทฤษฎบท 2.2 ถา A เปนเมทรกซแบบสามเหลยมมต n × n (เมทรกซแบบสามเหลยมบนเมทรกซแบบสามเหลยมลางหรอเมทรกซทแยงมม) แลว det(A) คอ ผลคณของสมาชกในเสนทแยงมมหลกของ A นนคอ det(A) = a11a22 · · ·ann
ตวอยาง 2.5 จงหา det(A) เมอ
A =
2 4 −3 5 3
0 −1 6 7 −2
0 0 3 8 5
0 0 0 9 3
0 0 0 0 −4
วธทำ . . . . . . . . .
แบบฝกหด 2.1
1. กำหนดให
A =
3 2 4
1 −2 3
2 3 2
(a) จงหาไมเนอรทงหมดของ A (b) จงหาตวประกอบรวมเกยวทงหมดของ A
2. จงหาดเทอรมแนนตของเมทรกซในขอ 8. โดยใชการกระจายตวประกอบรวมเกยวตาม
(a) แถวท 1 (b) หลกท 1 (c) แถวท 2
(d) หลกท 2 (e) แถวท 3 (f) หลกท 3
3. จงหาคาของ λ ทงหมดททำใหดเทอรมแนนตของเมทรกซตอไปนเทากบ 0∣
∣
∣
∣
∣
2− λ 4
3 3− λ
∣
∣
∣
∣
∣
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 18
4. จงหาดเทอรมแนนตของเมทรกซตอไปน โดยใชการกระจายตวประกอบรวมเกยว
(a)
5 2 1
1 −1 4
3 0 2
(b)
3 3 1
1 0 −4
1 −3 5
(c)
4 3 0
3 1 2
5 −1 −4
(d)
k + 1 k − 1 7
2 k − 3 4
5 k + 1 k
(e)
2 3 4 6
2 0 −9 6
4 1 0 2
0 1 −1 0
(f)
2 0 0 1
0 1 0 0
1 6 2 0
1 1 −2 3
(h)
2 1 2 1
3 0 1 1
−1 2 −2 1
−3 2 3 1
คำตอบแบบฝกหด 2.1
1. (a) M11 = −13, M12 = −4, M13 = 7, M21 = −8, M22 = −2,
M23 = 5, M31 = 14, M32 = 5, M33 = −8
(b) C11 = −13, C12 = 4, C13 = 7, C21 = 8, C22 = −2, C23 = −5,
C31 = 14, C32 = −5, C33 = −8
2. −3 3. λ = 6 หรอ −1
4. (a) 13 (b) −66 (c) 58 (d) k3 − 8k2 − 10k + 95 (e) 320
(f) 8 (h) 20
2.2 การหาดเทอรมแนนตโดยใชการดำเนนการตามแถวขนมลฐาน
ในหวขอน เราจะเหนไดวาดเทอรมแนนตของเมทรกซจตรสสามารถหาได โดยการลดรปเมทรกซใหอยในรปขนบนไดตามแถว วธการนมความสำคญ เนองจากเปนวธการทมประสทธภาพมากทสด ในการหาคาดเทอรมแนนตของเมทรกซทวไป
ทฤษฎบทพนฐาน
เรมดวยทฤษฎบทพนฐาน ทจะนำเราไปสขนตอนทมประสทธภาพสำหรบการคำนวณดเทอรมแนนตของเมทรกซอนดบ n ใดๆ
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 19
ทฤษฎบท 2.3 กำหนดให A เปนเมทรกซจตรส ถา A มแถวใดแถวหนง หรอหลกใดหลกหนงทสมาชกทกตวเปนศนย แลว det(A) = 0
ทฤษฎบท 2.4 ถา A เปนเมทรกซจตรส แลว det(A) = det(AT )
การดำเนนการตามแถวขนมลฐาน
ทฤษฎบทตอไปจะแสดงใหเหนวาการดำเนนการตามแถวขนมลฐานบนเมทรกซใดๆ มผลกระทบกบดเทอรมแนนตของเมทรกซนนอยางไร
ทฤษฎบท 2.5 กำหนดให A เปนเมทรกซมต n× n
1. ถา B เปนเมทรกซทไดจากการคณแถวใดแถวหนงหรอหลกใดหลกหนงของ A ดวยสเกลารk แลว det(B) = k det(A)
2. ถา B เปนเมทรกซทไดจากการสลบทแถวสองแถวหรอหลกสองหลกใดๆของ A แลว det(B) =
−det(A)
3. ถา B เปนเมทรกซทไดจากการคณแถวใดแถวหนงของ A ดวยสเกลารแลวนำไปบวกกบอกแถวหนง หรอคณหลกใดหลกหนงของ A ดวยสเกลารแลวนำไปบวกกบอกหลกหนง แลวdet(B) = det(A)
เราสามารถแสดงทฤษฎบทน โดยใชเมทรกซมต 3× 3 ดงน
ความสมพนธ การดำเนนการ∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
k a11 k a12 k a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= k
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
คณแถวท 1 ของ A
ดวย k
det(B) = k det(A)∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a21 a22 a23
a11 a12 a13
a31 a32 a33
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
สลบทแถวท 1 กบแถวท 2 ของ A
det(B) = − det(A)∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 + k a12 a12 + k a22 a13 + k a23
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
คณแถวท 2 ของ A
ดวย k แลวนำไปบวกกบแถวท 1
det(B) = det(A)
หมายเหต จากทฤษฎบท 2.5(a) ซงแสดงโดยสมการแรกในตารางขางตน กลาวไดวาเราสามารถดงตวประกอบรวมออกจากแถวใดแถวหนง หรอหลกใดหลกหนง โดยผานเครองหมายดเทอรมแนนต
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 20
ทฤษฎบท 2.6 ถา A เปนเมทรกซจตรสทมแถวสองแถวเปนสดสวนกน หรอมหลกสองหลกเปนสดสวนกน แลว det(A) = 0
ตวอยางตอไปนเปนเมทรกซทมแถวสองแถวเปนสดสวนกน หรอหลกสองหลกเปนสดสวนกน ดงนนดเทอรมแนนตของแตละเมทรกซมคาเทากบศนย
[
1 −3
−2 6
]
,
1 −2 7
−4 8 8
3 −6 5
,
1 −2 5 2
3 1 −4 −2
4 7 8 1
−9 −3 12 6
การหาดเทอรมแนนตโดยใชการลดรปตามแถว
ลำดบตอไปเราจะแนะนำวธการหาดเทอรมแนนต ซงใชการคำนวณนอยกวาการหาดเทอรมแนนตโดยการกระจายตวประกอบรวมเกยว แนวคดของวธดงกลาวคอ การลดรปเมทรกซทกำหนดให ไปอยในรปเมทรกซแบบสามเหลยมบนโดยใชการดำเนนการตามแถว แลวจงคำนวณคาดเทอรมแนนตของเมทรกซแบบสามเหลยมบน และหาความสมพนธของดเทอรมแนนตทไดกบดเทอรมแนนตของเมทรกซทกำหนดให ดงตวอยางตอไปน
ตวอยาง 2.6 จงหาคาของ det(A) เมอ A =
3 −6 9
−2 4 −7
0 5 2
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 2.7 จงหาคาของ det(A) เมอ
A =
1 2 0 −2
0 0 2 −1
0 −1 1 0
1 3 4 1
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยางตอไปเปนการหาดเทอรมแนนตโดยใชการกระจายตวประกอบรวมเกยวรวมกบการดำเนนการตามแถว ซงจดวาเปนวธการหาดเทอรมแนนตทมประสทธภาพวธหนง
ตวอยาง 2.8 จงหาคาของ det(A) เมอ
A =
3 5 −2 6
1 2 −1 1
2 4 1 5
3 7 5 3
วธทำ . . . . . . . . .
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 21
ตวอยาง 2.9 จงหาคาของ det(A) เมอ
A =
2 1 −3 1
−3 −2 0 2
2 1 0 −1
1 0 1 2
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 2.10 จงหาคาของ det(A) เมอ
A =
13
0 34
25
−1 32
18
−34
54
วธทำ . . . . . . . . .
แบบฝกหด 2.2
1. จงแสดงวา det(A) = det(AT ) เมอ
(a) A =
[
1 2
6 −3
]
(b) A =
1 3 2
−1 4 1
5 3 8
2. จงหาคาของดเทอรมแนนตตอไปน
(a)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3 −17 4
0 5 1
0 0 −2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(b)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 0 3
0 4 1
2 3 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(c)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
−2 1 3
1 −7 4
−2 1 3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(d)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 −2 3
2 −4 6
5 −8 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(e)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
√2 0 0 0
−8 2 0 0
7 0 −1 0
9 5 6 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(f)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 3
0 3 1 1
0 0 2 2
−1 −1 −1 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
3. จงหาคาของดเทอรมแนนตของเมทรกซทกำหนดใหตอไปน โดยการลดรปเมทรกซใหอยในรปเมทรกซแบบสามเหลยมบน
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 22
(a)
3 0 2
−1 5 0
1 9 6
(b)
1 −3 0
−2 4 1
5 −2 2
(c)
1 −2 3 1
5 −9 6 3
−1 2 −6 −2
2 8 6 1
(d)
2 0 −1 3
4 0 1 −1
−3 1 0 1
1 4 1 1
(e)
4 5 0 1 0
0 0 0 0 1
4 1 8 2 0
1 0 0 1 0
4 8 0 1 0
(f)
0 0 0 3 −4
0 0 0 2 1
−1 2 4 0 0
3 1 −2 0 0
5 1 5 0 0
4. กำหนดให
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a b c
d e f
g h i
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 7 จงหา
(a)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a b c
d e f
5g 5h 5i
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(b)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a b c
g h i
d e f
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(c)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a b c
2d+ a 2e+ b 2f + c
g h i
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(d)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
−2a −2b −2c
d e f
3g 3h 3i
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
5. กำหนดให
A =
0 1 2 3
1 1 1 1
−2 −2 3 3
1 2 −2 −3
(a) จงหา det(A) โดยการลดรปเมทรกซ A ใหอยในรปเมทรกซแบบสามเหลยมบน
(b) จงใชคาของ det(A) ทคำนวณไดจากขอ(a) หาคาของ∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 1 2 3
−2 −2 3 3
1 2 −2 −3
1 1 1 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 1 2 3
1 1 1 1
−1 −1 4 4
2 3 −1 −2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
6. จงแสดงวา∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 x1 x21
1 x2 x22
1 x3 x23
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (x2 − x1)(x3 − x1)(x3 − x2)
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 23
7. จงหาคาของดเทอรมแนนตของเมทรกซทกำหนดใหขอ 3. โดยการใชการกระจายตว ประกอบรวมเกยวรวมกบการดำเนนการตามแถวดงเชนตวอยาง 2.8
8. จงหาคาของ x จากสมการ∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x 5 7
0 x+ 1 6
0 0 2x− 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
9. จงหาคาของ x ทงหมดททำให det(A− xI) = 0 เมอ
A =
0 −3 4
0 5 0
1 −2 0
และ I เปนเมทรกซเอกลกษณมต 3× 3
คำตอบแบบฝกหด 2.2
2. (a) −30 (b) 2 (c) 0 (d) 0 (e) −2 (f) 30
3. (a) 62 (b) −17 (c) 39 (d) 30 (e) −72 (f) −715
4. (a) 35 (b) −7 (c) 14 (d) −42 5. (a) 10 (b) 20
8. x = 0,−1, 12
9. x = 5, 2,−2
2.3 เมทรกซผกผน
บทนยาม 2.3 กำหนดให A เปนเมทรกซจตรส ถามเมทรกซ B ททำให AB = BA =
I แลวจะกลาววา A เปน เมทรกซทหาตวผกผนได (invertible matrix) หรอ A เปนเมทรกซไมเอกฐาน (nonsingular matrix) และเรยก B วา เมทรกซผกผน (inversematrix) ของ A แตถา A ไมมเมทรกซผกผน หรอไมสามารถหาเมทรกซ B ได แลวจะกลาววา A เปน เมทรกซเอกฐาน (singular matrix)
ตวอยาง 2.11 จงแสดงวา B =
[
2 −5
−1 3
]
เปนเมทรกซผกผนของ A =
[
3 5
1 2
]
วธทำ . . . . . . . . .
สมบตของเมทรกซผกผน
ทฤษฎบท 2.7 ถา B และ C เปนเมทรกซผกผนของเมทรกซ A แลว B = C
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 24
จากทฤษฎบท 2.7 เราสามารถกลาวไดวา ถา A เปนเมทรกซไมเอกฐาน แลวเมทรกซผกผนของ A มเพยงเมทรกซเดยว ซงจะเขยนแทนดวย A−1 ดงนน
AA−1 = I และ A−1A = I
ทฤษฎบท 2.8 ให A เปนเมทรกซมต n×n ใดๆ A จะมเมทรกซผกผน กตอเมอ rank(A) =
n นนคอกตอเมอ det(A) 6= 0 ดงนน A เปนเมทรกซไมเอกฐาน ถา rank(A) = n และเปนเมทรกซเอกฐานถา rank(A) < n
ทฤษฎบท 2.9 ถา A และ B เปนเมทรกซไมเอกฐานและมขนาดเทากน แลว AB เปนเมทรกซไมเอกฐาน และ
(AB)−1 = B−1A−1
ทฤษฎบท 2.10 ถา A1, A2, . . . , An เปนเมทรกซไมเอกฐานและมขนาดเทากน แลว A1A2 · · ·An
เปนเมทรกซไมเอกฐาน และ
(A1A2 · · ·An)−1 = A−1
n A−1n−1 · · ·A−1
2 A−11
ทฤษฎบท 2.11 ถา A เปนเมทรกซทหาตวผกผนได แลว
(a) A−1 เปนเมทรกซไมเอกฐาน และ (A−1)−1 = A
(b) สำหรบสเกลาร k 6= 0 ใดๆ เมทรกซ kA เปนเมทรกซไมเอกฐาน และ (kA)−1 =1
kA−1
ทฤษฎบท 2.12 ถา A เปนเมทรกซไมเอกฐาน แลว AT เปนเมทรกซไมเอกฐาน และ
(AT )−1 = (A−1)T
ลำดบตอไปเราจะศกษาวธการหาเมทรกซผกผนของเมทรกซไมเอกฐานขนาดใดๆ อยางไรกตามทฤษฎบทตอไปนจะกลาวถงเงอนไขททำใหเมทรกซมต 2 × 2 มเมทรกซผกผน พรอมทงสตรงายๆของเมทรกซผกผนของเมทรกซมต 2× 2
ทฤษฎบท 2.13 เมทรกซ
A =
[
a b
c d
]
เปนเมทรกซไมเอกฐาน ถา ad− bc 6= 0 และเมทรกซผกผนของ A คอ
A−1 =1
ad− bc
[
d −b
−c a
]
=
d
ad− bc− b
ad− bc
− c
ad − bc
a
ad− bc
ตวอยาง 2.12 จงหาเมทรกซผกผนของ
A =
[
12(ex + e−x) 1
2(ex − e−x)
12(ex − e−x) 1
2(ex + e−x)
]
วธทำ . . . . . . . . .
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 25
การหาเมทรกซผกผนโดยวธกำจดเกาส-จอรแดน
การหาเมทรกซผกผน A−1 ของเมทรกซไมเอกฐาน A มต n × n นนเราสามารถใชวธการทเรยกวา วธการกำจดเกาส-จอรแดน (Gauss-Jordan elimination) ซงมขนตอนดงน
ขนตอน 1 สรางเมทรกซแบงสวน [A | In ] ซงมขนาด n× 2n
ขนตอน 2 ใชการดำเนนการตามแถวขนมลฐานกบเมทรกซน จนกระทงเมทรกซยอยทางซายมอถกลดรปเปนเมทรกซ In และการดำเนนการตามแถวขนมลฐานเหลานจะแปลงเมทรกซยอยทางขวามอเปน A−1 ดงนนขนตอนสดทายจะไดเมทรกซแบงสวนในรป [ I |A−1 ]
ตวอยาง 2.13 จงหาเมทรกซผกผนของ
A =
1 −2 1
2 −5 2
3 2 −1
วธทำ . . . . . . . . .
บอยครงทเราไมทราบวาเมทรกซทกำหนดใหเปนเมทรกซไมเอกฐานหรอไม? ถาเมทรกซA มต n × n เปนเมทรกซเอกฐาน แลวเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรปของ A จะมแถวอยางนอยหนงแถวทมสมาชกทกตวเปนศนย ดงนนถาใชวธการเชนเดยวกบตวอยาง 2.13 กบเมทรกซทกำหนดให แลวพบวามแถวทมสมาชกทกตวเปนศนยเกดขนในการคำนวณกบเมทรกซยอยทางซายมอในกรณเชนนเราสามารถหยดการคำนวณ และสรปไดวา เมทรกซทกำหนดใหเปนเมทรกซเอกฐาน
ตวอยาง 2.14 จงพจารณาวาเมทรกซ
A =
1 3 4
−2 −5 −3
1 4 9
เปนเมทรกซไมเอกฐานหรอไม?
วธทำ . . . . . . . . .
การหาเมทรกซผกผนโดยใชเมทรกซผกพน
บทนยาม 2.4 ถา A เปนเมทรกซมต n×n ใดๆ และ Cij เปนตวประกอบรวมเกยวของ aij
แลวเมทรกซ
C11 C12 · · · C1n
C21 C22 · · · C2n
......
...Cn1 Cn2 · · · Cnn
เรยกวา เมทรกซของตวประกอบรวมเกยว ของ A และเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซนเรยกวา เมทรกซผกพน (adjoint matrix) ของ A เขยนแทนดวย adj(A)
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 26
ตวอยาง 2.15 จงหา adj(A) เมอ
A =
3 2 −1
1 6 3
2 −4 0
วธทำ . . . . . . . . .
ทฤษฎบทตอไปนจะกลาวถงการหาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A ซงเปนเมทรกซไมเอกฐานโดยใชเมทรกซผกพนของ A และอาศยขอเทจจรงทสำคญทไดกลาวไปแลว นนคอ เมทรกซ จตรสA เปนเมทรกซไมเอกฐาน กตอเมอ det(A) ไมเทากบศนย
ทฤษฎบท 2.14 ถา A เปนเมทรกซไมเอกฐาน แลว
A−1 =1
det(A)adj(A) (2.5)
ตวอยาง 2.16 จงใช (2.5) หาเมทรกซผกผนของเมทรกซ A ในตวอยาง 2.15
วธทำ . . . . . . . . .
แบบฝกหด 2.3
1. จงใชทฤษฎบท 2.13 หาเมทรกซผกผนของเมทรกซตอไปน
(a) A =
[
1 3
2 −4
]
(b) B =
[
2 3
1 1
]
(c) C =
[
−4 −5
5 6
]
(d) D =
[
3 −7
−6 13
]
2. จงใชเมทรกซ A, B และ C ในขอ 1 แสดงวา
(a) (A−1)−1 = A (b) (BT )−1 = (B−1)T
(c) (AB)−1 = B−1A−1 (d) (ABC)−1 = C−1B−1A−1
3. จงใชขอมลทกำหนดใหในแตละขอตอไปน หาเมทรกซ A
(a) A−1 =
[
2 −1
3 5
]
(b) (7A)−1 =
[
−3 7
1 −2
]
(c) (5AT )−1 =
[
−3 −1
5 2
]
(d) (I + 2A)−1 =
[
−1 2
4 5
]
4. จงหาเมทรกซผกผนของ
[
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
]
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 27
5. จงใชวธการในตวอยาง 2.13 และตวอยาง 2.14 หาเมทรกซผกผนของเมทรกซทกำหนดให ถาเมทรกซทกำหนดใหเปนเมทรกซไมเอกฐาน
(a)
[
1 4
2 7
]
(b)
[
−3 6
4 5
]
(c)
[
6 −4
−3 2
]
(d)
1 0 1
3 3 4
2 2 3
(e)
1 1 1
0 1 1
0 0 1
(f)
2 0 5
0 3 0
1 0 3
(g)
2 1 4
3 2 5
0 −1 1
(h)
15
15
−25
15
15
110
15
−45
110
(i)
√2 3
√2 0
−4√2
√2 0
0 0 1
(j)
1 0 0 0
1 3 0 0
1 3 5 0
1 3 5 7
(k)
−8 17 2 13
4 0 25
−9
0 0 0 0
−1 13 4 2
(l)
0 0 2 0
1 0 0 1
0 −1 3 0
2 1 5 −3
6. จงหาคา a ททำใหเมทรกซตอไปนเปนเมทรกซไมเอกฐาน
(a) A =
[
2 a
3 4
]
(b) A =
1 a 0
−1 0 1
0 1 1
7. กำหนดให
A =
[
3 1
5 2
]
และ B =
[
1 2
3 4
]
จงหา A−1 จากนนใช A−1 คำนวณหา
(a) เมทรกซ X มต 2× 2 ททำให AX = B
(b) เมทรกซ Y มต 2× 2 ททำให Y A = B
8. กำหนดให
A =
3 2 4
1 −2 3
2 3 2
จงหา
(a) adj(A) (b) A−1 โดยใชทฤษฎบท 2.14
9. จงหา A−1 โดยใชทฤษฎบท 2.14
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 28
(a) A =
2 5 5
−1 −1 0
2 4 3
(b) A =
2 −3 5
0 1 −3
0 0 2
(c) A =
2 1 2
3 2 2
1 2 3
(d) A =
4 0 1
2 2 0
3 1 1
10. กำหนดให
A =
1 3 1 1
2 5 2 2
1 3 8 9
1 3 2 2
(a) จงหา A−1 โดยใชทฤษฎบท 2.14
(b) จงหา A−1 โดยใชวธการในตวอยาง 2.13
(c) วธการแบบใดทใชการคำนวณนอยกวา
11. จงแสดงวาเมทรกซ
A =
cos θ sin θ 0
− sin θ cos θ 0
0 0 1
เปนเมทรกซไมเอกฐานสำหรบทกคาของ θ และจงหา A−1 โดยใชทฤษฎบท 2.14
คำตอบแบบฝกหด 2.3
1. (a) A−1 =
[
25
310
15
− 110
]
(b) B−1 =
[
−1 3
1 −2
]
(c) C−1 =
[
6 5
−5 −4
]
(d) D−1 =
[
−133
−73
−2 −1
]
3. (a) A =
[
513
113
− 313
213
]
(b) A =
[
27
117
37
]
(c) A =
[
−25
1
−15
35
]
(d) A =
[
− 913
113
213
− 613
]
4.
[
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
]
5. (a)
[
−7 4
2 −1
]
(b)
[
− 539
213
439
113
]
(c) ไมมเมทรกซผกผน
(d)
1 2 −3
−1 1 −1
0 −2 3
(e)
1 −1 0
0 1 −1
0 0 1
(f)
3 0 −5
0 13
0
−1 0 2
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 29
(g)
−7 5 3
3 −2 −2
3 −2 −1
(h)
1 3 1
0 1 −1
−2 2 0
(i)
√2
26−3
√2
260
4√2
26
√2
260
0 0 1
(j)
1 0 0 0
−13
13
0 0
0 −15
15
0
0 0 −17
17
(k) ไมมเมทรกซผกผน (l)
−45
35
15
15
32
0 −1 012
0 0 045
25
−15
−15
6. (a) a 6= 83
(b) a 6= 1 7. (a)
[
−1 0
4 2
]
(b)
[
−8 5
−14 9
]
8. (a) adj(A) =
−13 8 14
4 −2 −5
7 −5 −8
(b) A−1 =
133
−83
−143
−43
23
53
−73
53
83
9. (a) A−1 =
3 −5 −5
−3 4 5
2 −2 −3
(b) A−1 =
12
32
1
0 1 32
0 0 12
(c) A−1 =
25
15
−25
−75
45
25
45
−35
15
(d) A−1 =
12
14
−12
−12
14
12
−1 −1 2
10. A−1 =
−4 3 0 −1
2 −1 0 0
−7 0 −1 8
6 0 1 −7
11. A−1 =
cos θ − sin θ 0
sin θ cos θ 0
0 0 1
บทท 3
ระบบสมการเชงเสน
ปญหาทจดวาสำคญมากในทางคณตศาสตรคอ การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน หรอกลาวไดวา 70 เปอรเซนตของปญหาทางคณตศาสตรจะเกยวของกบการหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนการนำวธการทางคณตศาสตรสมยใหมมาใช บอยครงปญหาทมความซบซอนจะถกลดรปใหเปนระบบสมการเชงเสนเพยงระบบสมการเดยว ระบบสมการเชงเสนสามารถนำมาประยกตใชในหลายสาขาวชาดวยกน ตวอยางเชน เศรษฐศาสตร สงคมศาสตร นเวศนวทยา สถตประชากร พนธกรรม วศวกรรมและฟสกส
3.1 ระบบสมการเชงเสน
สมการเชงเสน
เสนตรงใดๆ ในระนาบเรขาคณตสามารถเขยนแทนไดดวยสมการ
ax+ by = c
เมอ a, b และ c เปนคาคงตวทเปนจำนวนจรง และ a, b ไมเปนศนยพรอมกน ซงสมการในรปแบบนเรยกวา สมการเชงเสน ของตวแปร x และ y ในกรณทวไปเราสามารถเขยนสมการเชงเสนของตวแปร x1, x2, . . ., xn ใหอยในรป
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b
โดยท a1, a2, . . ., an และ b เปนคาคงตวทเปนจำนวนจรง และ a1, a2, . . ., an ไมเปนศนยพรอมกน บางครงเราจะเรยกตวแปรทอยในสมการเชงเสนวา ตวแปรไมรคา
ตวอยาง 3.1 สมการ
3x+ y = 7, y = 15x+ 2z + 4 และ x1 + 3x2 − 2x3 + 5x4 = 7
เปนสมการเชงเสน แตสมการ√x+ 3y = 2, 3x− 2y − 5z + yz = 4 และ y = cosx
ไมเปนสมการเชงเสน z
30
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 31
ขอสงเกต สมการเชงเสนจะเปนสมการทไมเกยวของกบผลคณ หรอรากของตวแปร และตวแปรทกตว ตองเปนตวแปรทมเลฃชกำลงเปนหนง และไมปรากฎในนพจนของฟงกชนตรโกณมตฟงกชนลอการทม หรอฟงกชนเลขชกำลง
ผลเฉลย ของสมการเชงเสน a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b คอลำดบของ n จำนวน: s1, s2,. . ., sn ททำใหสมการนเปนจรงเมอแทนคา x1 = s1, x2 = s2, . . ., xn = sn และเชตของผลเฉลยทงหมดของสมการเชงเสนเรยกวา เชตผลเฉลย หรอบางครงเรยกวา ผลเฉลยทวไป ของสมการเชงเสน
ระบบสมการเชงเสน
เชตจำกดของสมการเชงเสนของตวแปร x1, x2, . . ., xn เรยกวา ระบบสมการเชงเสน หรอระบบเชงเสน และลำดบของจำนวน s1, s2, . . ., sn จะเปน ผลเฉลย ของระบบสมการเชงเสนถา x1 = s1, x2 = s2, . . ., xn = sn เปนผลเฉลยของสมการทกสมการในระบบสมการเชงเสนตวอยางเชน
4x1 − x2 + 3x3 = −1
3x1 + x2 + 9x3 = −4
เปนระบบสมการเชงเสนทมผลเฉลยคอ x1 = 1, x2 = 2 และ x3 = −1 เนองจากคาเหลานสอดคลองกบสมการทงสอง อยางไรกตาม x1 = 1, x2 = 8 และ x3 = 1 ไมเปนผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนขางตน เนองจากคาเหลานสอดคลองกบสมการแรกเพยงสมการเดยว ดงนนระบบสมการเชงเสนบางระบบอาจจะไมมผลเฉลย
ถาระบบสมการเชงเสนใดไมมผลเฉลยเราจะเรยกระบบสมการเชงเสนนวา ระบบไมสอดคลอง (in-consistent) แตถาระบบสมการเชงเสนใดมผลเฉลยอยางนอยหนงผลเฉลย แลวจะเรยกระบบสมการนนวา ระบบสอดคลอง (consistent)
รปแบบเมทรกซของระบบสมการเชงเสน
พจารณาระบบสมการเชงเสนทม m สมการ และตวแปรไมรคา n ตวแปร
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2 (3.1)...
......
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
โดยท x1, x2, . . ., xn เปนตวแปรไมรคา และ a และ b ทมดชนลางเปนคาคงตวใดๆดชนลางของสมประสทธของตวแปรไมรคาจะชวยบอกตำแหนงของสมประสทธของระบบสมการ โดยทดชนลางตวแรกของสมประสทธ aij จะบงชสมการทมสมประสทธนน และดชนลางตวทสองจะบงชตวแปรทมสมประสทธนนเปนตวคณ ตวอยางเชน a23 เปนสมประสทธทอยในสมการทสองและเปนตวคณของตวแปรไมรคา x3
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 32
เนองจากเมทรกซ 2 เมทรกซใดๆ จะเทากน กตอเมอ สมาชกทสมนยกนของเมทรกซทงสองมคาเทากน ดงนนเราสามารถเขยนแทนสมการ m สมการของระบบสมการเชงเสนนดวยสมการเมทรกซเพยงสมการเดยว
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn
... ... ...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn
=
b1
b2...bm
และเมทรกซทางซายมอทมมต m× 1 ของสมการน สามารถเขยนในรปของผลคณดงน
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n... ... ...am1 am2 · · · amn
x1
x2
...xm
=
b1
b2...bm
ถากำหนดให A, x และ b แทนเมทรกซแตละเมทรกซตามลำดบ แลวระบบสมการเชงเสน(3.1) สามารถเขยนแทนดวยสมการเมทรกซ
Ax = b
เพยงสมการเดยว และเมทรกซ A ในสมการนเรยกวา เมทรกซสมประสทธ ของระบบสมการเชงเสน เมทรกซแตงเตม (augmented matrix) ของระบบสมการเชงเสน คอเมทรกซทไดจากการนำเมทรกซ b มาเขยนรวมกบเมทรกซ A โดยเขยนตอจาก A เปนหลกสดทาย ดงนนเมทรกซแตงเตมของระบบสมการเชงเสน (3.1) คอ
[
A b
]
=
a11 a12 · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2n b2... ... ... ...am1 am2 · · · amn bm
ตวอยางเชน เมทรกซแตงเตมของระบบสมการเชงเสน
x+ 2y + z = 3
3x− y − 3z = −1
2x+ 3y + z = 4
คอ
1 2 1 3
3 −1 −3 −1
2 3 1 4
หมายเหต ในการสรางเมทรกซแตงเตม ตวแปรไมรคาของแตละสมการจะเขยนในลำดบเดยวกน และคาคงตวตองอยทางขวามอ
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 33
แบบฝกหด 3.1
1. จงพจารณาวาสมการใดตอไปนเปนสมการเชงเสนของตวแปร x1, x2 และ x3
(a) x1 + 5x2 −√2x3 = 1 (b) x1 + 3x2 + x1x3 = 2
(c) x1 = −7x2 + 3x3 (d) x−21 + x2 + 8x3 = 5
(e) x3/51 − 2x2 + x3 = 4 (f) πx1 −
√2 x2 +
13x3 = 71/3
2. จงพจารณาวาระบบสมการใดตอไปนเปนระบบสมการเชงเสน
(a) x1 − 3x2 = x3 − 4
x4 = 1− x1
x1 + x4 + x3 − 2 = 0
(b) 2x−√y + 3z = −1
x+ 2y − z = 2
4x− y = −1
(c) 3x− xy = 1
x+ 2xy − y = 0
(d) y = 2x− 1
y = −x
(e) 2x1 − sin x2 = 3
x2 = x1 + x3
−x1 + x2 − 3x3 = 0
(f) x1 + x2 + x3 = 1
−2x21 − 2x3 = −1
3x2 − x3 = 2
3. จงเขยนระบบสมการเชงเสนตอไปนในรปของสมการเมทรกซ Ax = b
(a) 3x1 + 2x2 = 1
2x1 − 3x2 = 5
(b) x1 + x2 = 5
2x1 + x2 − x3 = 6
3x1 − 2x2 + 2x3 = 7
(c) 2x1 + x2 + x3 = 4
x1 − x2 + 2x3 = 2
3x1 − 2x2 − x3 = 0
(d) 4x1 + −3x3 + x4 = 1
5x1 + x2 − 8x4 = 3
2x1 − 5x2 + 9x3 − x4 = 0
3x2 − x3 + 7x4 = 2
4. จงเขยนสมการเมทรกซตอไปนในรปของระบบสมการเชงเสน
(a)
3 −1 2
4 3 7
−2 1 5
x1
x2
x3
=
2
−1
4
(b)
3 −2 0 1
5 0 2 −2
3 1 4 7
−2 5 1 6
w
x
y
z
=
0
0
0
0
5. จงหาเมทรกซแตงเตมของระบบสมการเชงเสนตอไปน
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 34
(a) 3x1 − 2x2 = −1
4x1 + 5x2 = 3
7x1 + 3x2 = 2
(b) 2x1 + 2x3 = 1
3x1 − x2 + 4x3 = 7
6x1 + x2 − x3 = 0
(c) x1 = 1
x2 = 2
x3 = 3
(d) x1 + 2x2 − x4 + x5 = 1
3x2 + x3 − x5 = 2
x3 + 7x4 = 1
6. จงหาระบบสมการเชงเสนทสมนยกบเมทรกซแตงเตมตอไปน
(a)
2 0 0
3 −4 0
0 1 1
(b)
3 0 −2 5
7 1 4 −3
0 −2 1 7
(c)
[
7 2 1 −3 5
1 2 4 0 1
]
(d)
1 0 0 0 7
0 1 0 0 −2
0 0 1 0 3
0 0 0 1 4
คำตอบแบบฝกหด 3.1
1. (a), (c), (f) 2. (a), (d)
3. (a)
[
3 2
2 −3
][
x1
x2
]
=
[
1
5
]
(b)
1 1 0
2 1 −1
3 −2 2
x1
x2
x3
=
5
6
7
(c)
2 1 1
1 −1 2
3 −2 −1
x1
x2
x3
=
4
2
0
(d)
4 0 −3 1
5 1 0 −8
2 −5 9 −1
0 3 −1 7
x1
x2
x3
x4
=
1
3
0
2
4. (a) 3x1 − x2 + 2x3 = 2
4x1 + 3x2 + 7x3 = −1
−2x1 + x2 + 5x3 = 4
(b) 3w − 2x + z = 0
5w + 2y − 2z = 0
3w + x+ 4y + 7z = 0
−2w + 5x+ y + 6z = 0
5. (a)
3 −2 −1
4 5 3
7 3 2
(b)
2 0 2 1
3 −1 4 7
6 1 −1 0
(c)
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 35
(d)
1 2 0 −1 1 1
0 3 1 0 −1 2
0 0 1 7 0 1
6. (a) 2x1 = 0
3x1 − 4x2 = 0
x2 = 1
(b) 3x1 − 2x3 = 5
7x1 + x2 + 4x3 = −3
−2x2 + x3 = 7
(c) 7x1 + 2x2 + x3 − 3x4 = 5
x1 + 2x2 + 4x3 = 1
(d) x1 = 7
x2 = −2
x3 = 3
x4 = 4
3.2 การหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน
3.2.1 วธการกำจดเกาสเซยน (Gaussian Elimination)
เปนวธการหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน Ax = b โดยใชการดำเนนการตามแถวขนมลฐานลดรปเมทรกซแตงเตม [A |b] ใหเปนเมทรกซขนบนไดตามแถว จากนนหาผลเฉลยของระบบสมการทสมนยกน โดยใชวธการทเรยกวา การแทนคายอนหลง (back-substitution) ดงตวอยางตอไปน
ตวอยาง 3.2 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนตอไปนโดยใชวธการกำจดเกาสเซยน
x1 − x2 + x3 = 0
−x1 + x2 − x3 = 0
10x2 + 25x3 = 90
20x1 + 10x2 = 80
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 3.3 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนตอไปนโดยใชวธการกำจดเกาสเซยน
x1 + x2 − 2x3 + 4x4 = 5
2x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 3
3x1 + 3x2 − 4x3 − 2x4 = 1
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 36
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 3.4 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนตอไปนโดยใชวธการกำจดเกาสเซยน
3x1 + 2x2 + x3 = 3
2x1 + x2 + x3 = 0
6x1 + 2x2 + 4x3 = 6
วธทำ . . . . . . . . .
3.2.2 วธการกำจดเกาส-จอรแดน (Gauss-Jordan Elimination)
เปนวธการหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน Ax = b โดยใชการดำเนนการตามแถวขนมลฐานลดรปเมทรกซแตงเตม [A |b] ใหเปนเมทรกซขนบนไดตามแถวลดรป จากนนหาผลเฉลยของระบบสมการทสมนยกน ดงตวอยางตอไปน
ตวอยาง 3.5 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนตอไปน โดยใชวธการกำจดเกาส-จอรแดน
x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 1
−x1 − x2 + 4x3 − x4 = 6
−2x1 − 4x2 + 7x3 − x4 = 1
วธทำ . . . . . . . . .
3.2.3 หลกเกณฑคราเมอร
ทฤษฎบทตอไปจะใหสตรสำหรบการหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนของ n สมการ n ตวแปรไมรคา ซงสตรนรจกกนในนาม หลกเกณฑคราเมอร (Cramer’s rule) 1
ทฤษฎบท 3.1 (หลกเกณฑคราเมอร) ถา Ax = b เปนระบบสมการเชงเสนของ n สมการ n
ตวแปร โดยท det(A) 6= 0 แลวระบบสมการเชงเสนจะมผลเฉลยเพยงผลเฉลยเดยว และผลเฉลยคอ
x1 =det(A1)
det(A), x2 =
det(A2)
det(A), . . . , xn =
det(An)
det(A)
เมอ Aj เปนเมทรกซทไดมาจากการแทนสมาชกทกตวของหลกท j ของเมทรกซ A ดวยสมาชกทกตวของเมทรกซ
b =
b1
b2...bn
1Gabriel Cramer (1704-1752) นกคณตศาสตรชาวสวส
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 37
ตวอยาง 3.6 จงใชหลกเกณฑคราเมอรหาผลเฉลยของระบบสมการ
x1 + 2x2 + x3 = 5
2x1 + 2x2 + x3 = 6
x1 + 2x2 + 3x3 = 9
วธทำ . . . . . . . . .
ทฤษฎบท 3.2 กำหนดให Ax = b เปนระบบสมการเชงเสนของ m สมการ n ตวแปร ถาp = rank(A) และ q = rank([A |b]) แลวระบบสมการเชงเสน Ax = b
(a) ไมมผลเฉลย ถา p < q
(b) มผลเฉลยเพยงผลเฉลยเดยว ถา p = q = n
(c) มผลเฉลยมากมายไมจำกด ถา p = q และ p < n
แบบฝกหด 3.2
1. จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนตอไปน โดยใชวธการกำจดเกาสเซยน(a) x1 + x2 + 2x3 = 8
−x1 − 2x2 + 3x3 = 1
3x1 − 7x2 + 4x3 = 10
(b) 2x1 + 2x2 + 2x3 = 0
−2x1 + 5x2 + 2x3 = 1
8x1 + x2 + 4x3 = −1
(c) 2x1 − 3x2 = −2
2x1 + x2 = 1
3x1 + 2x2 = 1
(d) −2b+ 3c = 1
3a+ 6b− 3c = −2
6a+ 6b+ 3c = 5
(e) 4x1 − 8x2 = 12
3x1 − 6x2 = 9
−2x1 + 4x2 = −6
(f) x1 + 3x2 + x3 + x4 = 3
2x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 8
3x1 + x2 + 2x3 − x4 = −1
(h) x− y + 2z − w = −1
2x+ y − 2z − 2w = −2
−x+ 2y − 4z + w = 1
3x − 3w = −3
(h) 3x1 + 2x2 − x3 = −15
5x1 + 3x2 + 2x3 = 0
3x1 + x2 + 3x3 = 11
−6x1 − 4x2 + 2x3 = 30
(i) x1 + x2 + x3 + x4 = 0
2x1 + x2 − x3 + 3x4 = 0
x1 − 2x2 + x3 + x4 = 0
(j) 10y − 4z + w = 1
x+ 4y − z + w = 2
3x+ 2y + z + 2w = 5
−2x− 8y + 2z − 2w = −4
x− 6y + 3z = 1
2. จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนในขอ 1 โดยใชวธการกำจดเกาส-จอรแดน
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 38
3. พจารณาระบบสมการเชงเสนทมเมทรกซแตงเตมอยในรป
1 2 1 1
−1 4 3 2
2 −2 α 3
จงหาคาของ α ททำใหระบบสมการมผลเฉลยเพยงผลเฉลยเดยว
4. พจารณาระบบสมการเชงเสนทมเมทรกซแตงเตมอยในรป
1 2 1 0
2 5 3 0
−1 1 β 0
(a) ระบบสมการนมโอกาสทจะเปนระบบไมสอดคลองหรอไม? จงอธบาย
(b) จงหาคาของ β ททำใหระบบสมการมผลเฉลยมากมายไมจำกด
5. พจารณาระบบสมการเชงเสนทมเมทรกซแตงเตมอยในรป
1 1 3 2
1 2 4 3
1 3 α β
(a) จงหาคาของ α และ β ททำใหระบบสมการมผลเฉลยมากมายไมจำกด
(b) จงหาคาของ α และ β ททำใหระบบสมการนเปนระบบไมสอดคลอง
6. จงหาผลเฉลย x1, x2, และ x3 ของระบบสมการ
2x1 − x2 = λ x1
2x1 − x2 + x3 = λ x2
−2x1 + 2x2 + x3 = λ x3
เมอ λ = 1 และ λ = 2
7. จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนตอไปนโดยใชหลกเกณฑคราเมอร (ถาหาได)
(a) x1 + 2x2 = 3
3x1 − x2 = 1
(b) 2x1 + 3x2 = 2
3x1 + 2x2 = 5
(c) 2x1 + x2 − 3x3 = 0
4x1 + 5x2 + x3 = 8
−2x1 − x2 + 4x3 = 2
(d) x1 + 3x2 + x3 = 1
2x1 + x2 + x3 = 5
−2x1 + 2x2 − x3 = −8
(e) 3x1 − x2 + x3 = 4
−x1 + 7x2 − 2x3 = 1
2x1 + 6x2 − x3 = 5
(f) x1 + x2 = 0
x2 + x3 − 2x4 = 1
x1 + 2x3 + x4 = 0
x1 + x2 + x4 = 0
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 39
8. จงใชหลกเกณฑคราเมอรหาผลเฉลย x2 ของระบบสมการ
x1 + x2 − 3x3 + x4 = 1
2x1 + x2 + 2x4 = 0
x2 − 6x3 − x4 = 5
3x1 + x2 + x4 = 1
9. จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน
4x+ y + z + w = 6
3x+ 7y − z + w = 1
7x+ 3y − 5z + 8w = −3
x+ y + z + 2w = 3
โดยใช (a) หลกเกณฑคราเมอร (b) วธการกำจดเกาส-จอรแดน
คำตอบแบบฝกหด 3.2
1. (a) x1 = 3, x2 = 1, x3 = 2 (b) x1 = −17− 3
7t, x2 =
17− 4
7t, x3 = t
(c) ระบบไมสอดคลอง (d) ระบบไมสอดคลอง (e) x1 = 3 + 2t, x2 = t
(f) x1 =34− 5
8t, x2 = −1
4− 1
8t, x3 = t, x4 = 3
(g) x = t− 1, y = 2s, z = s, w = t (h) x1 = −4, x2 = 2, x3 = 7
(i) x1 = −43t, x2 = 0, x3 =
13t, x4 = t
(j) x = 145− 6
5t, y = − 7
10+ 3
10t− 1
10s, z = −2 + t, w = t
3. α 6= −2 4. β = 2 5. (a) α = 5, β = 4, (b) α = 5, β 6= 4
6. ถา λ = 1 แลว x1 = x2 = s, x3 = 0
ถา λ = 2 แลว x1 = −12s, x2 = 0, x3 = s
7. (a) x1 =57, x2 =
87
(b) x1 =115, x2 = −4
5
(c) x1 = 4, x2 = −2, x3 = 2 (d) x1 = 2, x2 = −1, x3 = 3
(e) ใชหลกเกณฑคราเมอรไมได (f) x1 = −23, x2 =
23, x3 =
13, x4 = 0
8. x2 = 10 9. x = 1, y = 0, z = 2, w = 0
บทท 4
ลมตและความตอเนอง
การพฒนาของแคลคลสในชวงเวลาทผานมา ทำใหนกวทยาศาสตรไดเขาใจความหมายทแทจรงของอตราการเปลยนแปลงขณะใดขณะหนง เชน ความเรว และความเรง เมอเกดความเขาใจแลว วธการคำนวณทมประสทธภาพกเกดขนตามมา และรากฐานทสำคญของอตราการเปลยนแปลงคอ ลมต
ในบทนเราจะกลาวถงบทนยามของลมต สญลกษณทใชแทนลมต ทฤษฎบท และวธการตางๆสำหรบการหาคาลมต และจะจบบทนดวยการใชลมตในการศกษาความตอเนองของเสนโคง
4.1 ลมตของฟงกชน
ความหมายพนฐานของลมตคอ การใชลมตเพออธบายลกษณะของฟงกชนเมอตวแปรอสระของฟงกชนมคาเขาใกลคาทกำหนดให ตวอยางเชน หากเราพจารณาลกษณะของฟงกชน
f(x) = x2 − x+ 1
เมอ x มคาเขาใกล 2 จากกราฟและตารางขางลางน จะเหนไดวาคาของ f(x) มคาเขาใกล 3
เมอ x มคาเขาใกล 2 ทงทางซายและทางขวา เราสามารถอธบายลกษณะดงกลาวโดยกลาววา ลมตของ x2 − x+ 1 เทากบ 3 เมอ x มคาเขาใกล 2 ทงสองทาง และเขยนแทนดวย
limx→3
(x2 − x+ 1) = 3
3
2x
y
b b b
b
b
b
x x
f(x)
f(x)
y = x2 − x+ 1
x f(x) x f(x)
1.0 1.000000 3 7.000000
1.5 1.750000 2.5 4.750000
1.9 2.710000 2.1 3.310000
1.95 2.852500 2.05 3.152500
1.99 2.970100 2.01 3.030100
1.995 2.985025 2.005 3.015025
1.999 2.997001 2.001 3.003001
40
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 41
บทนยาม 4.1 ถาคาของ f(x) สามารถทำใหมคาเขาใกล L โดยการให x มคาเขาใกล a แลวเราสามารถเขยนแทนดวย
limx→a
f(x) = L (4.1)
และกลาวไดวา ลมตของ f(x) เมอ x มคาเขาใกล a มคาเทากบ L นอกจากนสมการ (4.1)สามารถเขยนแทนดวย
f(x) → L เมอ x → a (4.2)
ตวอยาง 4.1 จงพจารณาหาคา limx→1
x− 1√x− 1
วธทำ ถงแมวาฟงกชน f(x) =x− 1√x− 1
หาคาไมไดท x = 1 แตจากกราฟและตารางแสดงคาของ
ฟงกชนตอไปน
1
2
3
1 2 3x
y
b b
b
b
b
bc
x x
y =x− 1√x− 1
x f(x) x f(x)
0.9 1.9 1.1 2.1
0.99 1.99 1.01 2.01
0.999 1.999 1.001 2.001
0.9999 1.9999 1.0001 2.0001
0.99999 1.99999 1.00001 2.00001
0.999999 1.999999 1.000001 2.000001
เหนไดวาเมอ x มคาเขาใกล 1 ทงทางซายและทางขวา คาของ f(x) มคาเขาใกล 2 ดงนน
limx→1
x− 1√x− 1
= 2 z
ตวอยาง 4.2 จงพจารณาหาคา limx→0
sin x
x
วธทำ ในทนฟงกชน f(x) =sin x
xหาคาไมไดทจด x = 0 แตจากกราฟและตารางแสดงคาของ
ฟงกชนตอไปน
x
y
y =sin x
x1
0
b b
bb b
x x
f(x)
x f(x)
±0.1 0.998334
±0.01 0.999983
±0.001 0.99999983
±0.0001 0.9999999983
±0.00001 0.999999999983
จะไดวาlimx→0
sin x
x= 1 z
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 42
ลมตดานเดยว
ลมตในสมการ (4.1) เรยกวา ลมตสองดาน (two-sided limit) เนองจาก f(x) มคาเขาใกล L เมอ x มคาเขาใกล a ทงทางซายและทางขวา อยางไรกตามมฟงกชนบางฟงกชนทคาของฟงกชนมคาแตกตางกน เมอ x มคาเขาใกล a ทางซายและทางขวา ตวอยางเชน ฟงกชน
f(x) =x
|x| ={
1, x > 0
−1, x < 0
ซงมกราฟดงน
x
y
1
−1y =
x
|x|
จากกราฟจะเหนไดวาเมอ x เขาใกล 0 ทางขวา คาของ f(x) เขาใกลคาลมต 1 ในทำนองเดยวกนเมอ x เขาใกล 0 ทางซาย คาของ f(x) เขาใกลคาลมต −1 และเราสามารถเขยนแทนลมตเหลานดวยสญลกษณดงน
limx→0+
x
|x| = 1 และ limx→0−
x
|x| = −1
บทนยาม 4.2 ถาคาของ f(x) สามารถทำใหมคาเขาใกล L โดยการให x มคาเขาใกล a
(แตมากกวา a) แลวเราจะเขยนแทนดวย
limx→a+
f(x) = L (4.3)
และอานวา ลมตของ f(x) เมอ x มคาเขาใกล a ทางขวา มคาเทากบ L หรอ f(x) เขาใกล L เมอ x มคาเขาใกล a ทางขวา
ถาคาของ f(x) สามารถทำใหมคาเขาใกล L โดยการให x มคาเขาใกล a (แตนอยกวาa) แลวจะเขยนแทนดวย
limx→a−
f(x) = L (4.4)
และอานวา ลมตของ f(x) เมอ x มคาเขาใกล a ทางซาย มคาเทากบ L หรอ f(x) เขาใกล L เมอ x มคาเขาใกล a ทางซาย
ความสมพนธระหวางลมตดานเดยวและลมตสองดาน
โดยทวไปไมมการรบประกนวาฟงกชน f จะมลมตสองดานทจด a ทกำหนดให นนคอ คาของf(x) อาจจะไมเขาใกลจำนวนจรง L เพยงคาเดยว เมอ x → a ในกรณนเราจะกลาววา
limx→a
f(x) หาคาไมได
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 43
ในทำนองเดยวกน คาของ f(x) อาจจะไมเขาใกลจำนวนจรง L เพยงคาเดยว เมอ x → a+
หรอเมอ x → a− ในกรณนกลาวไดวา
limx→a+
f(x) หาคาไมได
หรอlimx→a−
f(x) หาคาไมได
การทลมตสองดานของฟงกชน f(x) จะหาคาไดทจด a คาของ f(x) จะตองเขาใกลจำนวนจรงL บางจำนวน เมอ x → a และคาดงกลาวจะตองมคาเทากน ไมวา x มคาเขาใกล a ทางซายหรอทางขวา
บทนยาม 4.3 ลมตสองดานของฟงกชน f(x) จะหาคาไดทจด a กตอเมอ ลมตดานเดยวทงสองหาคาไดทจด a และมคาเทากน นนคอ
limx→a
f(x) = L กตอเมอ limx→a−
f(x) = L = limx→a+
f(x)
ตวอยาง 4.3 จงอธบายวาทำไมlimx→0
x
|x|หาคาไมได
วธทำ . . . . . . . . .
ลมตอนนต
บางครงลมตดานเดยวหรอลมตสองดานหาคาไมได เพราะวาคาของฟงกชนเพมขนหรอลดลงโดยไมมขดจำกด ตวอยางเชน พจารณาฟงกชน f(x) = 1/x เมอ x เขาใกล 0 จากกราฟและตารางแสดงคาของฟงกชนตอไปน
x
y
y =1
x
b
b
x
1/xx
y
y =1
x
b
b
x
1/x
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 44
x 1/x x 1/x
−1 −1 1 1
−0.1 −10 0.1 10
−0.01 −100 0.01 100
−0.001 −1000 0.001 1000
−0.0001 −10, 000 0.0001 10, 000
จะเหนไดวา เมอ x มคาเขาใกล 0 ทางซาย f(x) = 1/x มคาเปนลบ และลดลงโดยไมมขดจำกดและเมอ x มคาเขาใกล 0 ทางขวา f(x) = 1/x มคาเปนบวก และเพมขนโดยไมมขดจำกดนนคอ
limx→0−
1
x= −∞ และ lim
x→0+
1
x= +∞
บทนยาม 4.4 นพจนlimx→a−
1
x= +∞ และ lim
x→a+
1
x= +∞
หมายถง f(x) มคาเพมขนโดยไมมขดจำกด เมอ x มคาเขาใกล a ทางซายและทางขวาตามลำดบ และถาสมการทงสองเปนจรง แลวจะเขยนแทนดวย
limx→a
1
x= +∞
ในทำนองเดยวกน นพจน
limx→a−
1
x= −∞ และ lim
x→a+
1
x= −∞
หมายถง f(x) มคาลดลงโดยไมมขดจำกด เมอ x มคาเขาใกล a ทางซายและทางขวาตามลำดบและถาสมการทงสองเปนจรง แลวจะเขยนแทนดวย
limx→a
1
x= −∞
ตวอยาง 4.4 กำหนดให f เปนฟงกชนทมกราฟดงรป
x
y
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
bc bc
จากกราฟจงหาคาลมตตอไปน
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 45
(a) limx→0−
f(x) (b) limx→0+
f(x)
(c) limx→3−
f(x) (d) limx→3+
f(x)
(e) limx→5−
f(x) (f) limx→5+
f(x)
วธทำ . . . . . . . . .
แบบฝกหด 4.1
1.
x
y
1
y = f(x)
จากรปทกำหนดให จงหาคาลมตตอไปน ถาลมตหาคาไมได จงใหเหตผลประกอบ
(a) limx→0−
f(x) (b) limx→0+
f(x)
(c) limx→0
f(x) (d) limx→2−
f(x)
(e) limx→2+
f(x) (f) limx→2
f(x)
(g) limx→−3
f(x)
2.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4 y
x
b
b
y = f(x)
จากรปทกำหนดให จงหาคาลมตตอไปน ถาลมตหาคาได แตถาลมตหาคาไมได จงใหเหตผลประกอบ(a) lim
x→1f(x) (b) lim
x→3−f(x) (c) lim
x→3+f(x)
(d) limx→3
f(x) (e) f(3) (f) limx→−2−
f(x)
(g) limx→−2+
f(x) (h) limx→−2
f(x) (i) f(−2)
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 46
3.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1
0
1
2
3
4
x
y
bcbc
b
b
b
bc
y = f(x)
จากรปทกำหนดให จงหาคาลมตตอไปน ถาลมตหาคาได แตถาลมตหาคาไมได จงใหเหตผลประกอบ(a) lim
x→−3f(x) (b) f(−3) (c) f(−1)
(d) limx→−1
f(x) (e) f(1) (f) limx→1−
f(x)
(g) limx→1+
f(x) (h) limx→1
f(x)
4. จงใชกราฟหรอตารางแสดงคาของฟงกชน เพอหาคาลมตตอไปน
(a) limx→1
x− 1
x3 − 1(b) lim
x→−1
x2 − 1
x+ 1
(c) limx→−1
x2 + x
x2 − x− 2(d) lim
x→25
(1/√x)− (1/5)
x− 25
(e) limx→0
x2 + x
sin x(f) lim
x→0
1− cos x
x2
(g) limx→0
tan x
sin x
5. จงหาคาลมตตอไปน
(a) limx→6+
4
x− 6(b) lim
x→2
1
(x− 2)8
(c) limx→1
1− 2x
x2 − 1(d) lim
x→2
4− x
(x− 2)2
(e) limx→2−
−x√4− x2
(f) limx→−1
(x2 − 2x− 3)−2/3
(g) limx→−2+
x− 1
x2(x+ 2)(h) lim
x→(−π/2)−sec x
6. จงพจารณาวาขอความตอไปน เปนจรงหรอ เปนเทจ
(a) ถา f(a) = L แลว limx→a
f(x) = L
(b) ถา limx→a
f(x) หาคาได แลว limx→a−
f(x) และ limx→a+
f(x) หาคาได
(c) ถา limx→a−
f(x) และ limx→a+
f(x) หาคาได แลว limx→a
f(x) หาคาได
(d) ถา limx→a+
f(x) = +∞ แลว f(a) หาคาไมได
7. จงเขยนกราฟของฟงกชน f ทมสมบตตอไปน (อาจมหลายคำตอบ)
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 47
(a) f(−1) = 2, f(0) = −1, f(1) = 3 และ limx→1
f(x) หาคาไมได
(b) f(0) = 1, limx→0−
f(x) = 2 และ limx→0+
f(x) = 3
(c) f(3) = 3, f(−2) = 1, limx→3+
f(x) = 4, limx→3−
f(x) = 2 และlimx→−2
f(x) = 2
คำตอบแบบฝกหด 4.1
1. (a) −2 (b) 2 (c) หาคาไมได (d) −1 (e) 3 (f) หาคาไมได
(g) 2
2. (a) 3 (b) 2 (c) −2 (d) หาคาไมได (e) 1 (f) −1 (g) −1
(h) −1 (i) −3
3. (a) 2 (b) 1 (c) 2 (d) 52
(e) 2 (f) 2 (g) 1
(h) หาคาไมได
4. (a) 13
(b) −2 (c) 13
(d) −0.004 (e) 1 (f) 12
(g) 1
5. (a) +∞ (b) +∞ (c) −∞ (d) +∞ (e) −∞ (f) +∞(g) −∞ (h) −∞
6. (a) เปนเเทจ (b) เปนจรง (c) เปนเเทจ (d) เปนเเทจ
7. (a)
x
y
3
1
(b)
x
y
3
b
1
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 48
(c)
1x
y
b
b3
4.2 การคำนวณคาลมต
ขนตอนวธในการหาคาลมตในทนประกอบดวย 2 ขนตอนดงน
• เรมดวยการหาคาลมตของฟงกชนอยางงาย
• จากนนใชทฤษฎบทตางๆ และลมตของฟงกชนอยางงาย หาคาลมตของฟงกชนทซบซอน
เราจะเรมดวยการกลาวถงทฤษฎบทพนฐานตอไปน
ทฤษฎบท 4.1 กำหนดให a และ k เปนจำนวนจรงใดๆ
(a) limx→a
k = k (b) limx→a
x = a (c) limx→0−
1
x= −∞ (d) lim
x→0+
1
x= +∞
ตวอยาง 4.5lim
x→−157 =
limx→π
5 =
limx→3
x =
limx→−2
x =
ทฤษฎบทตอไปนเปนเครองมอเบองตนทใชในการหาคาลมต
ทฤษฎบท 4.2 กำหนดให a และ c เปนจำนวนจรงใดๆ และสมมตให
limx→a
f(x) = L1 และ limx→a
g(x) = L2
แลวจะไดวา
(a) limx→a
[
cf(x)]
= c limx→a
f(x) = cL1
(b) limx→a
[
f(x) + g(x)]
= limx→a
f(x) + limx→a
g(x) = L1 + L2
(c) limx→a
[
f(x)− g(x)]
= limx→a
f(x)− limx→a
g(x) = L1 − L2
(d) limx→a
[
f(x) · g(x)]
= limx→a
f(x) · limx→a
g(x) = L1L2
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 49
(e) limx→a
f(x)
g(x)=
limx→a
f(x)
limx→a
g(x)=
L1
L2ถา L2 6= 0
(f) limx→a
n
√
f(x) = n
√
limx→a
f(x) = n
√
L1 โดยท L1 > 0 ถา n เปนจำนวนค
นอกจากนกฎแตละขอขางตนเปนจรงสำหรบลมตดานเดยวเมอ x → a− หรอ x → a+
ตวอยาง 4.6limx→a
[f(x) + 2g(x)− h(x)] = limx→a
f(x) + 2 limx→a
g(x)− limx→a
h(x)
limx→a
[f(x)g(x)h(x)] =(
limx→a
f(x))(
limx→a
g(x))(
limx→a
h(x))
limx→a
[f(x)]3 =(
limx→a
f(x))3
limx→a
[f(x)]n =(
limx→a
f(x))n
limx→a
xn =(
limx→a
x)n
= an z
ลมตของฟงกชนพหนามและฟงกชนตรรกยะเมอ x → a
ตวอยาง 4.7 จงหาคา limx→4
(5x2 + 3x− 2)
วธทำ . . . . . . . . .
จากตวอยาง 4.7 จะสงเกตไดวา ลมตของฟงกชนพหนาม p(x) = 5x2 + 3x − 2 มคาเทากบ p(4) สงทเกดขนนมใชความบงเอญ ทฤษฎบทตอไปนจะกลาวโดยทวไปวา ลมตของฟงกชนพหนาม p(x) เมอ x → a มคาเทากบคาของฟงกชนพหนามท a
ทฤษฎบท 4.3 สำหรบฟงกชนพหนาม
p(x) = c0 + c1x+ · · ·+ cnxn
และจำนวนจรง a ใดๆlimx→a
p(x) = c0 + c1a + · · ·+ cnan = p(a)
ตวอยาง 4.8 จงหาคา limx→3
(3x2 − 2x− 21)2013
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 4.9 จงหาคา limx→2
x3 + 2x− 5
x2 − 3
วธทำ . . . . . . . . .
วธการทใชในการหาคาลมตในตวอยาง 4.9 ไมสามารถใชไดกบฟงกชนตรรกยะ ในกรณทลมตของตวสวนมคาเปนศนย ซงมกรณทตองพจารณา 2 กรณ ดงน
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 50
I ลมตของตวสวนมคาเปนศนย แตลมตของตวเศษไมเทากบศนย
I ลมตของตวเศษและตวสวนมคาเปนศนย
กรณทลมตของตวสวนมคาเปนศนย แตลมตของตวเศษไมเทากบศนย เราสามารถแสดงไดวาลมตของฟงกชนตรรกยะหาคาไมได โดยทเกดกรณใดกรณหนงตอไปน
• ลมตเปน −∞ ทางดานหนง และ +∞ อกดานหนง
• ลมตเปน +∞
• ลมตเปน −∞
ตวอยาง 4.10limx→5+
3− x
(x− 5)(x+ 3)=
limx→5−
3− x
(x− 5)(x+ 3)=
limx→5
3− x
(x− 5)(x+ 3)=
สำหรบกรณทฟงกชนตรรกยะ p(x)/q(x) มลมตของตวเศษและตวสวนเปนศนย นนคอ p(x) =
0 และ q(x) = 0 ตวเศษและตวสวนของฟงกชนตรรกยะจะมตวประกอบรวมอยางนอย 1 ตวประกอบในกรณนลมตของ p(x)/q(x) เมอ x → a สามารถหาคาได โดยการตดตวประกอบรวมออก และหาคาลมตของฟงกชนทเหลอ
ตวอยาง 4.11 จงหาคาลมตตอไปน
(a) limx→−3
x2 − 14x− 51
x2 − 4x− 21(b) lim
x→1
x4 + 2x2 − 3
x2 + 2x− 3
(c) limx→5
x2 − 3x− 10
x2 − 10x+ 25
วธทำ . . . . . . . . .
เศษสวน f(x)/g(x) ทลมตของตวเศษและตวสวนเทากบศนยเมอ x → a เรยกวา รปแบบยงไมกำหนด 0/0 (indeterminate form of type 0/0) ลมตของฟงกชนในรปแบบนบางครงสามารถหาคาลมตได โดยใชวธการเดยวกบตวอยาง 4.11 (c) แตบางครงวธการในตวอยาง 4.11 (c)ไมสามารถนำมาใชได ตองอาศยวธอน ซงจะกลาวตอไปในหวขอ4.4
ทฤษฎบทตอไป เปนขอสรปของลมตของฟงกชนตรรกยะ
ทฤษฎบท 4.4 กำหนดให
f(x) =p(x)
q(x)
เปนฟงกชนตรรกยะ และให a เปนจำนวนจรงใดๆ
1. ถา q(a) 6= 0 แลว limx→a
f(x) = f(a)
2. ถา q(a) = 0 แต p(a) 6= 0 แลว limx→a
f(x) หาคาไมได
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 51
ลมตทเกยวของกบราก
ตวอยาง 4.12 จงหาคา limx→−1
x2 − 1
1−√2 + x
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 4.13 จงหาคา limx→2
2− 3√x+ 6
x− 2
วธทำ . . . . . . . . .
ลมตของฟงกชนทนยามเปนชวง
บางครงเราอาจพจารณาฟงกชนทมนพจนทแตกตางกนบนชวงทตางกน ซงฟงกชนในลกษณะนเรยกวา ฟงกชนทนยามเปนชวง (piecewise-defined functions) การหาลมตของฟงกชนทนยามเปนชวงนน จะใชลมตสองดานในการหาลมตทจดแบงชวง หรอจดทมการเปลยนนพจน
ตวอยาง 4.14 กำหนดให
f(x) =
x2 − 5x+ 6
|x− 2| ถา 0 ≤ x ≤ 2
2x− 1
x+ 1ถา x > 2
จงหา (a) limx→2
f(x) และ (b) limx→1
f(x)
วธทำ . . . . . . . . .
แบบฝกหด 4.2
1. กำหนดใหlimx→a
f(x) = −3, limx→a
g(x) = 0, และ limx→a
h(x) = 8
จงหาคาลมตตอไปน ถาลมตหาคาได และถาลมตหาคาไมได จงใหเหตผลประกอบ
(a) limx→a
[
f(x) + h(x)]
(b) limx→a
[
f(x)]2
(c) limx→a
3√
h(x) (d) limx→a
1
f(x)
(e) limx→a
f(x)
h(x)(f) lim
x→a
g(x)
f(x)
(g) limx→a
f(x)
g(x)(h) lim
x→a
2f(x)
h(x)− f(x)
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 52
2. จงหาคาลมตตอไปน
(a) limx→0
(x2 − 3x+ 1) (b) limx→3
(x3 + 2)(x2 − 5x)
(c) limx→2
x− 5
x2 + 4(d) lim
x→1
(
x4 + x2 − 6
x4 + 2x+ 3
)2
(e) limx→1
√x2 + 2x+ 4 (f) lim
x→4−
√16− x2
(g) limx→−3
x2 − x− 12
x+ 3(h) lim
x→−2
x+ 2
x2 − x− 6
(i) limx→1
x2 + x− 2
x2 − 3x+ 2(j) lim
x→1
x3 − 1
x2 − 1
(k) limh→0
(1 + h)4 − 1
h(l) lim
h→0
(2 + h)3 − 8
h
(m) limt→1
t− 1√t− 1
(n) limt→9
9− t
3−√t
(o) limt→2
t2 + t− 6
t2 − 4(p) lim
t→0
√2− t−
√2
t
(q) limx→2
x4 − 16
x− 2(r) lim
x→9
x2 − 81√x− 3
(s) limx→1
[
1
x− 1− 2
x2 − 1
]
(t) limt→0
[
1
t√1 + t
− 1
t
]
(u) limh→0
(3 + h)−1 − 3−1
h(v) lim
x→2
1x− 1
2
x− 2
(w) limx→1
√x− x
1 −√x
(x) limx→0
x√1 + 3x− 1
(y) limx→0
√3 + x−
√3
x(z) lim
x→0
xe−2x+1
x2 + 1
3. จงหาคา limx→2
f(x) โดยท f(x) =
{
3x2 − 2x+ 1 ถา x < 2
x3 + 1 ถา x ≥ 2
4. จงหาคา limx→2
f(x) โดยท f(x) =
{
2x ถา x < 2
x2 ถา x ≥ 2
5. จงหาคา limx→0
f(x) โดยท f(x) =
{
x2 + 1 ถา x < −1
3x+ 1 ถา x ≥ −1
6. จงหาคา limx→−1
f(x) โดยท f(x) =
2x+ 1 ถา x < −1
3 ถา −1 ≤ x < 1
2x+ 1 ถา x ≥ 1
7. จงหาคาลมตตอไปน
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 53
(a) limx→−4
|x+ 4| (b) limx→−4−
|x+ 4|x+ 4
(c) limx→1.5
2x2 − 3x
|2x− 3| (d) limx→0+
(
1
x− 1
|x|
)
คำตอบแบบฝกหด 4.2
1. (a) 5 (b) 9 (c) 2 (d) −13
(e) −38
(f) 0 (g) −∞(h) − 6
11
2. (a) 1 (b) −174 (c) −38
(d) 49
(e)√7 (f) 0 (g) −7
(h) −15
(i) −3 (j) 32
(k) 4 (l) 12 (m) 2 (n) 6 (o) 54
(p) −√24
(q) 32 (r) 108 (s) 12
(t) −12
(u) −19
(v) −14
(w) 1 (x) 23
(y) 12√3
(z) 0
3. 9 4. 4 5. 1 6. หาคาไมได
7. (a) 0 (b) −1 (c) หาคาไมได (d) 0
4.3 ลมตทอนนต
นอกจากลมตของฟงกชนทไดกลาวไปแลว เรายงสนใจการหาคาลมตของฟงกชนเมอ x มคาเพมขนหรอลดลงโดยไมมขดจำกด เชนถา f(x) = 1/x แลวจะไดวา 1/x → 0 เมอ x มคาเพมขนโดยไมมขดจำกด (x → +∞) ในกรณนเราเขยนแทนดวยสญลกษณ
limx→+∞
1
x= 0
ในทำนองเดยวกน เราไดวา 1/x → 0 เมอ x มคาลดลงโดยไมมขดจำกด (x → −∞) ในกรณนเราเขยนแทนดวยสญลกษณ
limx→−∞
1
x= 0
ทฤษฎบทตอไปกลาวถงลมตของฟงกชน 1/xt สำหรบจำนวนตรรกยะ t > 0 เมอ x → ±∞ซงจะมลกษณะเดยวกบลมตของฟงกชน f(x) = 1/x เมอ x → ±∞ ทกลาวมาแลวขางตน
ทฤษฎบท 4.5 สำหรบจำนวนตรรกยะ t > 0 ใดๆ
limx→±∞
1
xt= 0
(
สำหรบกรณท x → −∞ จะสมมตให t =p
qเมอ q เปนจำนวนค
)
ทฤษฎบทตอไปกลาวถงการหาคาลมตของฟงกชนพหนามทอนนต ซงสามารถหาไดโดยงาย
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 54
ทฤษฎบท 4.6 กำหนดให pn(x) = anxn + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0 เปนฟงกชนพหนามทมระดบขนพหนาม n > 0 แลวจะไดวา
limx→+∞
pn(x) = limx→+∞
anxn =
{
+∞ ถา an > 0
−∞ ถา an < 0
ตวอยาง 4.15 จงหาคาลมตตอไปน
(a) limx→+∞
x3 − x2 + 5x− 3
2x4 − 3x+ 5(b) lim
x→−∞
5x3 − 2x2 + 1
1− 3x
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 4.16 จงหาคา limx→+∞
√x4 − 3x2 + 5
2x2 − x
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 4.17 จงหาคา limx→+∞
(√x2 + 3x− x
)
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 4.18 จงหาคา limx→−∞
x3 − 5√x6 − 1− 2x3
วธทำ . . . . . . . . .
แบบฝกหด 4.3
1. กำหนดให
limx→+∞
f(x) = 3, limx→+∞
g(x) = −5 และ limx→+∞
h(x) = 0
จงหาคาลมตตอไปน ถาลมตหาคาได และถาลมตหาคาไมได จงใหเหตผลประกอบ
(a) limx→+∞
[
f(x) + 3g(x)]
(b) limx→+∞
[
h(x)− 4g(x) + 1]
(c) limx→+∞
[
f(x)g(x)]
(d) limx→+∞
[
g(x)]2
(e) limx→+∞
3√
5 + f(x) (f) limx→+∞
3
g(x)
(g) limx→+∞
3h(x) + 4
x2(h) lim
x→+∞
6f(x)
5f(x) + 3g(x)
2. กำหนดใหlim
x→−∞f(x) = 7 และ lim
x→−∞g(x) = −6
จงหาคาลมตตอไปน ถาลมตหาคาได และถาลมตหาคาไมได จงใหเหตผลประกอบ
(a) limx→−∞
[
2f(x)− g(x)]
(b) limx→−∞
[
6f(x) + 7g(x)]
(c) limx→−∞
[
x2 + g(x)]
(d) limx→−∞
[
x2g(x)]
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 55
(e) limx→−∞
3√
f(x)g(x) (f) limx→−∞
g(x)
f(x)
(g) limx→−∞
[
f(x) +g(x)
x
]
(h) limx→−∞
xf(x)
(2x+ 3)g(x)
3. จงหาคาลมตตอไปน
(a) limx→+∞
x+ 4
x2 − 2x+ 5(b) lim
x→−∞
(1− x)(2 + x)
(1 + 2x)(2− 3x)
(c) limx→−∞
−x√4 + x2
(d) limx→−∞
x3 − 2x+ 1
3x3 + 4x− 1
(e) limx→+∞
x3 − 2x+ 4
3x2 + 3x− 5(f) lim
x→+∞
x2 − sin x
x2 + 4x− 1
(g) limx→+∞
3x3 − x+ 5
4x3 + 4x2 − 1(h) lim
x→+∞
x4 − x2 + 1
x5 + x3 − x
(i) limx→+∞
(√x2 + 3− x
)
(j) limx→+∞
√x2 + 4x
4x+ 1
(k) limx→+∞
1−√x
1 +√x
(l) limx→+∞
(√x2 + 1−
√x2 − 1
)
(m) limx→+∞
(√9x2 + x− 3x
)
(n) limx→+∞
√x
(o) limx→+∞
(
x−√x)
(p) limx→−∞
(x3 − 5x2)
(q) limx→+∞
x7 − 1
x6 + 1(r) lim
x→+∞e2x
(s) limx→+∞
sin 2x (t) limx→+∞
e−3x cos 2x
(u) limx→+∞
ln(2x) (v) limx→0+
(x ln 2x)
คำตอบแบบฝกหด 4.3
1. (a) −12 (b) 21 (c) −15 (d) 25 (e) 2 (f) −35
(g) 0
(h) +∞
2. (a) 20 (b) 0 (c) +∞ (d) −∞ (e) 3√−42 (f) −6
7
(g) 7 (h) −∞
3. (a) 0 (b) 16
(c) 1 (d) 13
(e) ∞ (f) 1 (g) 34
(h) 0
(i) 0 (j) 14
(k) −1 (l) 0 (m) 16
(n) ∞ (o) ∞(p) −∞ (q) ∞ (r) ∞ (s) หาคาไมได (t) 0 (u) ∞(v) 0
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 56
4.4 ลมตของฟงกชนตรโกณมต
ในหวขอน เราจะศกษาวธการหาคาลมตของฟงกชนทเกยวของกบฟงกชนตรโกณมต โดยเรมดวยการกลาวถงทฤษฎบทตอไปน ซงจะเปนประโยชนสำหรบการหาคาลมต
ทฤษฎบท 4.7 ถา a เปนจำนวนใดๆ ทอยในโดเมนของฟงกชนตรโกณมตทกำหนดให แลว
limx→a
sin x = sin a limx→a
cosx = cos a limx→a
tanx = tan a
limx→a
csc x = csc a limx→a
sec x = sec a limx→a
cot x = cot a
ทฤษฎบท 4.8
limx→0
sin x
x= 1
ทฤษฎบท 4.9 สำหรบจำนวนจรง k 6= 0 ใดๆ
limx→0
k sin x
x= k
ตวอยาง 4.19 จงหาคา limx→0
1− cos 2x
x2
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 4.20 จงหาคา limx→0+
2x− sin x
tan 2x
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 4.21 จงหาคา limx→0
2x cot2 x
csc x
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 4.22 จงหาคา limx→0
1− cosx
x sin x
วธทำ . . . . . . . . .
แบบฝกหด 4.4
จงหาคาของลมตตอไปน
1. limx→0
sin 3x
x2. lim
x→0+
sin 3x
x2
3. limx→0
sin 5x
3x4. lim
t→0
sin 8t
sin 9t
5. limx→0
tan 7x
sin 3x6. lim
x→0+
sin x
5√x
7. limθ→0
cos θ − 1
sin θ8. lim
x→0
sin2 x
x
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 57
9. limx→0
tan x
4x10. lim
x→0
cot 2x
csc x
11. limx→π/4
sin x− cosx
cos 2x12. lim
x→0
2x cot2 x
csc x
13. limx→0
x+ sin x
tan x14. lim
x→0
sin(cosx)
sec x
15. limt→0
t2
1− cos2 t16. lim
x→θ
θ2
1− cos θ
17. limx→0+
sin
(
1
x
)
18. limx→0
2− cos 3x− cos 4x
x
คำตอบแบบฝกหด 4.4
1. 3 2. +∞ 3. 53
4. 89
5 73
6. 0 7. 0 8. 0 9. 14
10. 12
11. − 1√2
12. 2 13. 2 14. sin 1 15. 1 16. 2 17. หาคาไมได 18. 0
4.5 ความตอเนอง
สงหนงทจะชวยใหเราเขาใจความหมายทแทจรงของความตอเนองของฟงกชนคอ การพจารณากราฟของฟงกชนท ไมตอเนอง (discontinuous) ทจด x = a ตอไปน
x
y
y = f(x)
a
(a)
x
y
y = f(x)b
a
(b)
x
y
y = f(x)
a
(c)
จากกราฟเราสามารถสรปแตละกราฟไดดงน
(a) ลมตของ f(x) หาคาไมไดเมอ x เขาใกล a
(b) คาของฟงกชนและคาลมตท a มคาไมเทากน
(c) ฟงกชน f ไมนยามท a
กราฟของฟงกชนทงสามลกษณะขางตน นำไปสบทนยามของความตอเนองทจดใดๆของฟงกชน ดงน
บทนยาม 4.5 ฟงกชน f จะมความ ตอเนอง (continuous) ทจด x = a ถา
1. f(a) หาคาได
2. limx→a
f(x) หาคาได และ
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 58
3. limx→a
f(x) = f(a)
ตวอยาง 4.23 จงพจารณาวาฟงกชนตอไปนตอเนองทจด x = 2 หรอไม?
(a) f(x) =x2 − 4
x− 2(b) g(x) =
x2 − 4
x− 2, x 6= 2
1 , x = 2
(c) h(x) =
x2 − 4
x− 2, x 6= 2
3 , x = 2
วธทำ . . . . . . . . .
ทฤษฎบท 4.10 ถาฟงกชน f และ g ตอเนองท x = a แลว
(a) f + g ตอเนองท x = a
(b) f − g ตอเนองท x = a
(c) f · g ตอเนองท x = a
(d)f
gตอเนองท x = a ถา g(a) 6= 0 และไมตอเนองท x = a ถา g(a) = 0
บทนยาม 4.6 ถาฟงกชน f ตอเนองททกๆ จดบนชวงเปด (a, b) แลวจะกลาววา f ตอเนองบนชวง (a, b) นอกจากนเราสามารถใหนยามความตอเนองบนชวง (a,+∞), (−∞, b) และ(−∞,+∞) ในทำนองเดยวกน และสำหรบกรณท f ตอเนองบนชวง (−∞,+∞) เราจะกลาววาf ตอเนองททกจด
บทนยาม 4.7 ฟงกชน f จะตอเนองททกๆ จดบนชวงบนชวงปด [a, b] ถาเงอนไขตอไปนเปนจรง
1. f ตอเนองบนชวงเปด (a, b)
2. f ตอเนองทางขวาของ a : limx→a+
f(x) = f(a)
3. f ตอเนองทางซายของ b : limx→b−
f(x) = f(b)
ตวอยาง 4.24 จงแสดงวาฟงกชนตอไปนตอเนองบนชวงทกำหนดให
f(x) =√16− x2 , [−4, 4]
วธทำ . . . . . . . . .
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 59
ฟงกชนตอไปนตอเนองททกๆ จดบนโดเมนของฟงกชน
1. ฟงกชนพหนาม (polynomial functions)
2. ฟงกชนตรรกยะ (rational functions)
3. ฟงกชนราก (root functions)
4. ฟงกชนตรโกณมต (trigonometric functions)
5. ฟงกชนตรโกณมตผกผน (inverse trigonometric functions)
6. ฟงกชนเลขชกำลง (exponential functions)
7. ฟงกชนลอการทม (logarithmic functions)
ตวอยาง 4.25 จงหาคาของ x ททำใหกราฟของฟงกชนตอไปนไมตอเนอง
f(x) =x5 − 2x3 + 5x
x2 − 3x+ 2
วธทำ . . . . . . . . .
จากตวอยางทผานมาขางตน พบวาฟงกชน f ไมตอเนองท x = a อาจมสาเหตมาจาก f(a)
หาคาไมได หรอ limx→a
f(x) หาคาไมได หรอ f(a) 6= limx→a
f(x) ภาวะไมตอเนองของฟงกชน f
น สามารถแบงออกเปน 2 ชนดคอ
1. ภาวะไมตอเนองทขจดได (removable discontinuity) เปนภาวะไมตอเนองทเกดขนเมอ f(a) 6= lim
x→af(x) หรอ f(a) หาคาไมได ซงสามารถขจดภาวะไมตอเนองได โดยการ
กำหนดคา f(a) ใหมใหมคาเทากบ limx→a
f(x) และผลลพธทไดคอ f ตอเนองท x = a
2. ภาวะไมตอเนองทขจดไมได (non-removable discontinuity) เปนภาวะไมตอเนองทเกดขนเมอ lim
x→af(x) หาคาไมได ภาวะไมตอเนองนไมสามารถขจดได นนคอ f เปน
ฟงกชนไมตอเนองท x = a
ตวอยาง 4.26 จงพจารณาวาฟงกชนตอไปนตอเนองทจดทกำหนดใหหรอไม? ถาไมตอเนองแลวภาวะไมตอเนองนสามารถขจดไดหรอไม? ถาได จะขจดอยางไร?
(a) f(x) =x2 − 2x− 8
x+ 2, x = −2
(b) f(x) =x3 + 64
x+ 4, x = −4
วธทำ . . . . . . . . .
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 60
ตวอยาง 4.27 กำหนดให
f(x) =
x2 − 2x− 3
|x− 3| ถา −2 ≤ x < 3
1− 5x√x+ 1
ถา x ≥ 3
จงพจารณาวาฟงกชน f ตอเนองทจด x = 3 หรอไม? ถา f ไมตอเนอง แลวภาวะไมตอเนองนสามารถขจดไดหรอไม? ถาได จะขจดอยางไร?
วธทำ . . . . . . . . .
ทฤษฎบท 4.11 ทฤษฎบทคาระหวางกลาง (Intermediate Value Theorem) ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] และ N เปนจำนวนจรงใดๆ ทมคาอยระหวาง f(a) และ f(b)
แลวมจำนวนจรง c ∈ [a, b] อยางนอยหนงจำนวน ททำให f(c) = N
ขอสงเกต คา N ในทฤษฎบทคาระหวางกลางนนม 2 ลกษณะคอ f(a) < N < f(b) หรอf(b) < N < f(a)
ทฤษฎบทคาระหวางกลางกลาววา ถา f ตอเนองบนชวงปด [a, b] แลวคาของ f ทกคาจะอยระหวาง f(a) และ f(b) ดงนนคา x ของ f ทสมนยกบคา N อาจจะเกดขนไดเพยงครงเดยว(
ดงรป (a))
หรอหลายครง(
ดงรป (b))
กได
f(a)
N
f(b)
y
a c bx
y = f(x)
(a)
f(a)
N
f(b)
y
a c1 c2 c3 bx
y = f(x)
(b)
ทฤษฎบท 4.12 ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] และถา f(a) และ f(b) มคาไมเทากบศนย และมเครองหมายตรงกนขาม แลวสมการ f(x) = 0 จะมผลเฉลยอยางนอยหนงผลเฉลยบนชวง (a, b)
หมายเหต ทฤษฎบท 4.12 เปนผลจากทฤษฎบทคาระหวางกลางเมอ N = 0
ตวอยาง 4.28 จงแสดงวาผลเฉลยของสมการ 4x3−6x2+3x−2 = 0 มคาอยระหวาง 1 และ 2
วธทำ . . . . . . . . .
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 61
แบบฝกหด 4.5
1. จากกราฟของฟงกชนตอไปน จงหาจดททำใหฟงกชนไมตอเนอง
(a)
x
y
(b)
x
y
(c)
x
y
2. จงแสดงวาฟงกชนตอไปนตอเนองทจดทกำหนดให
(a) f(x) = x2 +√7− x , x = 4
(b) g(x) = (x+ 2x3)4, x = −1
(c) h(x) =x+ 1
2x2 + 1, x = 4
3. จงแสดงวาฟงกชนตอไปนตอเนองบนชวงทกำหนดให
(a) f(x) =1
x+ 1, (−1,∞)
(b) f(x) =x− 1
x2 − 4, (−2, 2)
(c) g(t) =√9− 4t2 , [−3
2, 32]
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 62
(d) h(z) =√
(z − 1)(3− z) , [1, 3]
4. จงอธบายวาทำไมฟงกชนตอไปนไมตอเนองทจดทกำหนดให
(a) f(x) =x
x− 1; x = 1 (b) f(x) = sin
1
x; x = 0
(c) f(x) = e1/x ; x = 0 (d) f(x) = ln |x− 2| ; x = 2
(e) f(x) =
1
x− 1ถา x 6= 1
2 ถา x = 1; x = 1
(f) f(x) =x2 − 1
x+ 1; x = −1
(g) f(x) =
x2 − 2x− 8
x− 4ถา x 6= 4
3 ถา x = 4; x = 4
(h) f(x) =
{
1− x ถา x ≤ 2
x2 − 2x ถา x > 2; x = 2
(i) f(x) =
x2 ถา x < 2
3 ถา x = 2
3x− 2 ถา x > 2
; x = 2
(j) f(x) =
x2 ถา x < 0
−x ถา 0 ≤ x ≤ 1
x ถา x > 1
; x = 1
5. จงพจารณาวาฟงกชนตอไปนตอเนองบนชวงใดบาง?
(a) f(x) = 2x+ 3√x (b) f(x) =
1
x+ 3
(c) f(x) =1
x2 + 1(d) f(x) =
x− 5
|x− 5|
(e) f(x) =x2 + 4
x− 2(f) f(x) = 3
√
x+ 1
x− 1
(g) f(x) =3
x2 − x(h) f(x) =
x
4− x2
(i) f(x) =sin x
x2
6. จงพจารณาวาฟงกชนตอไปนมความตอเนองและไมตอเนองทจดใดบาง? ถา f ไมตอเนองทจดใด แลวภาวะไมตอเนองนสามารถขจดไดหรอไม? ถาไดจะขจดอยางไร?
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 63
(a) f(x) =x− 2
x2 − 4(b) f(x) =
1
1− |x|
(c) f(x) =x− 17
|x− 17| (d) f(x) =3−√
x
9− x
(e) f(x) =
√x− 1
x− 1(f) f(x) =
x4 + 2x2 − 3
x+ 1
(g) f(x) =
{
−x ถา x < 0
x2 ถา x ≥ 0(h) f(x) =
1 + x2 ถา x ≤ 0sin x
xถา x > 0
7. จงหาคาของ c ททำใหฟงกชน f(x) ตอเนองบนชวง (−∞,∞)
(a) f(x) =
{
x+ c ถา x < 0
4− x2 ถา x ≥ 0(b) f(x) =
{
c2 − x2 ถา x < 0
2(x− c)2 ถา x ≥ 0
(c) f(x) =
{
cx+ 1 ถา x ≤ 3
cx2 − 1 ถา x > 3(d) f(x) =
{
x2 − c2 ถา x < 4
cx+ 20 ถา x ≥ 4
8. จงหาคาของ a และ b ททำใหฟงกชนตอไปนตอเนองททกๆ จด
f(x) =
x+ 1 ถา x < 1
ax+ b ถา 1 ≤ x < 2
3x+ 1 ถา x ≥ 2
9. จงหาคาของ k และ m ททำใหฟงกชนตอไปนตอเนองททกๆ จด
f(x) =
x2 + 5 ถา x > 2
m(x+ 1) + k ถา − 1 < x ≤ 2
2x3 + x+ 7 ถา x ≤ −1
10. จงหาคา k 6= 0 ททำใหฟงกชน
f(x) =
tan kx
xถา x < 0
3x+ 2k2 ถา x ≥ 0
ตอเนองท x = 0
11. จงใชทฤษฎบทคาระหวางกลางแสดงวา ฟงกชน f(x) มคาเทากบศนยในชวงทกำหนดให
(a) f(x) = x2 − 7 ; [2, 3]
(b) f(x) = x3 − 4x− 2 ; [−1, 0]
(c) f(x) = cosx− x ; [0, 1]
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 64
12. จงใชทฤษฎบทคาระหวางกลางพสจนวาสมการ x3 + 3x − 2 = 0 มผลเฉลยทเปนจำนวนจรงทมคาอยระหวาง 0 และ 1
13. จงใชทฤษฎบทคาระหวางกลางพสจนวาสมการ (cos t) t3 + 6 sin5 t − 3 = 0 มผลเฉลยทเปนจำนวนจรงทมคาอยระหวาง 0 และ 2π
14. จงแสดงวาสมการ x5 + 4x3 − 7x+ 14 = 0 มผลเฉลยทเปนจำนวนจรงอยางนอยหนงผลเฉลย
คำตอบแบบฝกหด 4.5
1. (a) x = −2, 2 (b) x = −2, 1, 4 (c) x = −2, 2, 4
4. (a) f(1) หาคาไมได (b) f(0) หาคาไมได (c) f(0) หาคาไมได
(d) f(2) หาคาไมได (e) limx→1
f(x) หาคาไมได (f) f(−1) หาคาไมได
(g) limx→4
f(x) 6= f(4) (h) limx→2
f(x) หาคาไมได (i) limx→2
f(x) 6= f(2)
(j) limx→1
f(x) หาคาไมได
5. (a) R (b) (−∞,−3) ∪ (−3,∞) (c) R (d) (−∞, 5) ∪ (5,∞)
(e) (−∞, 2) ∪ (2,∞) (f) (−∞, 1) ∪ (1,∞) (g) (−∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1,∞)
(h) (−∞,−2) ∪ (−2, 2) ∪ (2,∞) (i) (−∞, 0) ∪ (0,∞)
7. (a) 4 (b) 0 (c) 13
(d) −2 8. a = 5, b = −3 9. k = 4 m = 53
10. k = 12
บทท 5
อนพนธ
เหตการณทางธรรมชาตหลายเหตการณ เกยวของกบการเปลยนแปลงของปรมาณ เชน ความเรวของจรวด อตราเงนเฟอ จำนวนของแบคทเรยในการเพาะเชอ ความรนแรงของแผนดนไหว หรอความตางศกยของกระแสไฟฟา ในบทนเราจะเรยนรแนวคดของ อนพนธ ซงเปนเครองมอทางคณตศาสตรสำหรบการศกษาอตราการเปลยนแปลงของปรมาณใดปรมาณหนงเทยบกบปรมาณอน การศกษาอตราการเปลยนแปลงของปรมาณมความใกลเคยงกบแนวคดของความชนของเสนสมผสเสนโคงดงนนเราจะเรมหวขอแรกดวยการกลาวถงบทนยามทวไปของความชนของเสนสมผส และศกษาวธการหาความชนและสมการของเสนสมผสเสนโคง
5.1 ความชนของเสนสมผสและอตราการเปลยนแปลง
ความชนของเสนสมผสโคง
กำหนดใหเสนโคง C เปนกราฟของสมการ y = f(x) และให P(
x0, f(x0))
เปนจดใดๆ บนเสนโคง C จากรปท 5.1 ถา Q
(
x, f(x))
เปนจดอกจดหนงบนเสนโคง C ทไมใชจด P แลวความชนของเสนตด PQ คอ
mPQ =f(x)− f(x0)
x− x0
ถาให x มคาเขาใกล x0 แลวจด Q จะเลอนเขาหาจด P ตามแนวของเสนโคง C และจะไดวาความชน mPQ ของเสนตด PQ มคาเขาใกลความชน m ของเสนสมผสโคงทจด P
65
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 66
y
x
f(x)f(x0)
x0 x
Q
P
รปท 5.1: เสนตดและเสนสมผสโคง
บทนยาม 5.1 เสนสมผสโคง (tangent line) y = f(x) ทจด P(
x0, f(x0))
คอ เสนตรงทผานจด P และมสมการคอ
y − f(x0) = m(x− x0)
เมอ m คอความชนของเสนสมผสทนยามโดย
m = limx→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
(5.1)
เมอลมตหาคาได
ตวอยาง 5.1 จงหาสมการของเสนสมผสโคง y = x2 ทจด P (1, 1)
วธทำ . . . . . . . . .
ถาหากให h = x − x0 แลวความชนของเสนสมผสโคง (5.1) สามารถเขยนในรปแบบทงายตอการนำไปใชดงน
m = limh→0
f(x0 + h)− f(x0)
h(5.2)
ตวอยาง 5.2 จงหาสมการของเสนสมผสโคง y =2
xทจด x = 2
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 5.3 จงหาความชนของเสนสมผสโคง f(x) =√x ทจด (1, 1), (4, 2) และ (9, 3)
วธทำ . . . . . . . . .
ความเรว
หวขอหนงทสำคญในแคลคลสคอ การศกษาการเคลอนทของวตถ ในทนเราจะพจารณาการเคลอนทของวตถตามแนวเสนตรง โดยมสมการการเคลอนทคอ s = f(t) เมอ s แทนระยะทางของวตถจากจดเรมตน ณ เวลา t ใดๆ และฟงกชน f ซงแทนการเคลอนทของวตถเรยกวาฟงกชน
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 67
ตำแหนง (position function) ความเรวเฉลย (average velocity) ของวตถในชวงเวลา [t0, t0 + h] เมอ h > 0 คอ
ความเรวเฉลย =ระยะทางเวลา
=f(t0 + h)− f(t0)
h(5.3)
ถาหากหาความเรวเฉลยในชวงเวลาสนๆ นนคอชวง [t0, t0 + h] เมอ h → 0 แลวเราสามารถใหนยาม ความเรว (velocity) หรอ ความเรวขณะใดขณะหนง (instantaneous velocity)v(t0) ทเวลา t = t0 ดงน
v(t0) = limh→0
f(t0 + h)− f(t0)
h(5.4)
ตวอยาง 5.4 กำหนดใหลกบอลตกจากตกสง โดยทระยะทางทลกบอลตกลงมาสามารถเขยนในรปของสมการ
s = f(t) = 64− 16t2 ฟต
เมอ t แทนเวลาหลงจากทลกบอลตกลงมา และมหนวยเปนวนาท จงหา
(i) ความเรวเฉลยของลกบอลระหวางเวลา t = 1.5 ถง t = 2
(ii) ความเรวเฉลยของลกบอลระหวางเวลา t = 1.9 ถง t = 2
(iii) ความเรวขณะใดขณะหนงของลกบอลทเวลา t = 2
วธทำ (i) ความเรวเฉลยของลกบอลระหวางเวลา t = 1.5 ถง t = 2 คอ
f(2)− f(1.5)
2− 1.5=
[
64− 16(2)2]
−[
64− 16(1.5)2]
0.5= −56 ฟตตอวนาท
(ii) ความเรวเฉลยของลกบอลระหวางเวลา t = 1.9 ถง t = 2 คอ
f(2)− f(1.9)
2− 1.9=
[
64− 16(2)2]
−[
64− 16(1.9)2]
0.1= −62.4 ฟตตอวนาท
(iii) จากสมการ (5.4) จะไดความเรวขณะใดขณะหนงของลกบอลทเวลา t = 2 คอ
v(2) = limh→0
f(2 + h)− f(2)
h
= limh→0
[
64− 16(2 + h)2]
−[
64− 16(2)2]
h
= limh→0
[
64− 16(4 + 4h+ h2)]
−[
64− 16(2)2]
h
= limh→0
−64h− 16h2
h= lim
h→0
−16h(h+ 4)
h
= limh→0
[
− 16(h+ 4)]
= −64 ฟตตอวนาท z
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 68
อตราการเปลยนแปลง
ความเรวจดเปนอตราการเปลยนแปลงของตำแหนงของวตถเทยบกบเวลา สำหรบการประยกตเรองอนๆ อตราการเปลยนแปลงทพบไดเชน
• นกจลชววทยาตองการทราบอตราการเปลยนแปลงจำนวนของแบคทเรยในการเพาะเชอเทยบกบเวลา
• วศวกรตองการทราบอตราการเปลยนแปลงความยาวของแทงโลหะเมออณหภมมการเปลยนแปลง
• นกเศรษฐศาสตรตองการทราบอตราการเปลยนแปลงตนทนในการผลตเทยบกบคณภาพของสนคา
• นกวจยทางการแพทยตองการทราบอตราการขยายตวของหลอดเลอดใหญเทยบกบความเขมขนของแอลกอฮอลในกระแสเลอด
วตถประสงคตอไปคอ การใหความหมายของอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x เมอ y
เปนฟงกชนของ x
ในกรณท y เปนฟงกชนเชงเสนของ x นนคอ y = mx + b ความชน m หมายถงอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x
สำหรบกรณท y = f(x) อตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x บนชวง [x0, x1] เทากบ
อตราการเปลยนแปลงเฉลย =f(x1)− f(x0)
x1 − x0(5.5)
และอตราการเปลยนแปลงขณะใดขณะหนงของ y เทยบกบ x ท x0 เทากบ
อตราการเปลยนแปลงขณะใดขณะหนง = limx1→x0
f(x1)− f(x0)
x1 − x0(5.6)
ถาให h = x1 − x0 แลว (5.5) และ (5.6) จะเขยนแทนดวย
อตราการเปลยนแปลงเฉลย =f(x0 + h)− f(x0)
h(5.7)
อตราการเปลยนแปลงขณะใดขณะหนง = limh→0
f(x0 + h)− f(x0)
x0(5.8)
ตวอยาง 5.5 ตนทนการผลต (หนวยเปนดอลลาร) ของสนคาชนดหนงเปนไปตามสมการ C(x) =
5000 + 10x+ 0.05x2 เมอ x แทนปรมาณสนคา (หนวยเปนชน)
(a) จงหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ C เทยบกบ x เมอปรมาณการผลตมการเปลยนแปลงจาก x = 100 ถง x = 105
(b) จงหาอตราการเปลยนแปลงขณะใดขณะหนงของ C เทยบกบ x เมอ x = 100
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 69
วธทำ (a) จาก (5.5) จะไดวาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ C เทยบกบ x เทากบ
C(105)− C(100)
105− 100=
6601.25− 6500
5=
101.25
5= 20.25
นนคอตนทนการผลตเพมขนโดยเฉลย 20.25 ดอลลารตอการเพมขนของสนคาหนงชน
(b) จาก (5.6) จะไดวาอตราการเปลยนแปลงขณะใดขณะหนงของ C เทยบกบ x เมอx = 100 คอ
limx1→x0
C(x1)− C(x0)
x1 − x0
= limx1→100
C(x1)− C(100)
x1 − 100
= limx1→100
(5000 + 10x1 + 0.05x21)− 6500
x1 − 100
= limx1→100
0.05x21 + 10x1 − 1500
x1 − 100
= limx1→100
0.05(x1 − 100)(x1 + 300)
x1 − 100= lim
x1→100(0.05)(x1 + 300) = 20
นนคอตนทนการผลตเพมขนดวยอตรา 20 ดอลลารตอชน z
แบบฝกหด 5.1
1. กำหนดใหเสนโคงมสมการ y = f(x)
(a) จงเขยนนพจนของความชนของเสนตดทผานจด P(
3, f(3))
และ Q(
x, f(x))
(b) จงเขยนนพจนของความชนของเสนสมผสทจด P
2. กำหนดใหวตถเคลอนทโดยมฟงกชนตำแหนงคอ s = f(t)
(a) จงเขยนนพจนของความเรวเฉลยของวตถในชวงเวลาจาก t = t0 ถง t = t0 + h
(b) จงเขยนนพจนของความเรวขณะใดขณะหนงทเวลา t = t0
3. จงหาสมการของเสนสมผสโคงทจดทกำหนดให
(a) y = x2 − 2, (1,−1) (b) y = x2 − 3x, (−2, 10)
(c) y = 1− 2x− 3x2, (−2,−7) (c) y =1
x2, (−2, 1
4)
(e) y =2
x+ 1, (1, 1) (f) y =
√x+ 3, (−2, 1)
4. (a) กำหนดเสนโคง y =2
x+ 3จงหาความชนของเสนสมผสโคง y ทจด x = x0
(b) จงหาความชนเสนสมผสโคง y ทจด (i) x = −1, (ii) x = 0 และ (iii) x = 1
5. (a) กำหนดเสนโคง y = x3 − 4x+ 1 จงหาความชนของเสนสมผส y ทจด x = x0
(b) จงหาสมการของเสนสมผสเสนโคง y ทจด (1,−2) และ (2, 1)
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 70
6. กำหนดใหฟงกชนตอไปนแทนตำแหนงของวตถทเวลา t ใดๆ
(a) s = f(t) = 16t2 + 10 (b) s = f(t) =√t2 + 8t
i. จงหาความเรวเฉลยระหวางเวลา t = 0 และ t = 2
ii. จงหาความเรวเฉลยระหวางเวลา t = 1 และ t = 2
iii. จงหาความเรวเฉลยระหวางเวลา t = 1.9 และ t = 2
iv. จงหาความเรวเฉลยระหวางเวลา t = 1.99 และ t = 2
v. จงประมาณคาความเรวขณะใดขณะหนงทเวลา t = 2
7. จงใชฟงกชนตำแหนง s = f(t) ตอไปน หาคาความเรวทเวลา t = t0
(a) s = f(t) = −16t2 + 5, t0 = 1 (b) s = f(t) =√t + 16 , t0 = 0
8. เครองวดอณหภมไดมการบนทกอณหภม T (หนวยเปนองศาเซลเซยส) ทกๆ ชวโมง ตงแตเทยงคนของวนๆหนงในเมองแหงหนง ถา x แทนจำนวนชวโมงทวดอณหภมนบตงแตเทยงคนและตารางตอไปนแสดงขอมลทจดบนทกได
x(h) T (◦C) x(h) T (◦C)
0 6.5 13 16.0
1 6.1 14 17.3
2 5.6 15 18.2
3 4.9 16 18.8
4 4.2 17 17.6
5 4.0 18 16.0
6 4.0 19 14.1
7 4.8 20 11.5
8 6.1 21 10.2
9 8.3 22 9.0
10 10.0 23 7.9
11 12.1 24 7.0
12 14.3
จงหา
(a) อตราการเปลยนแปลงเฉลยของอณหภมเทยบกบเวลา
i. จากเทยงวนถง 15.00 น.ii. จากเทยงวนถง 14.00 น.iii. จากเทยงวนถง 13.00 น.
(b) คาประมาณของอตราการเปลยนแปลงขณะใดขณะหนงของอณหภมณ เวลาเทยงวน
9. โยนลกบอลขนไปในอากาศดวยความเรว 40 ฟตตอวนาท ความสงของลกบอล (หนวยเปนฟต) เมอเวลาผานไป t วนาท ถกกำหนดโดยสมการ y = 40t − 16t2 จงหาความเรวเมอt = 2 วนาท
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 71
10. ถาระยะทาง (หนวยเปนเมตร) ทวตถชนดหนงเคลอนทในแนวเสนตรงถกกำหนดโดยสมการs = f(t) = 4t3 + 6t + 2 เมอ t มหนวยเปนวนาท จงหาความเรวของวตถชนดนทเวลาt = t0, t = 1, t = 2 และ t = 3 วนาท
คำตอบแบบฝกหด 5.1
1. (a)f(x)− f(3)
x− 3(b) lim
x→3
f(x)− f(3)
x− 3
2. (a)f(t0 + h)− f(t0)
h(b) lim
h→0
f(t0 + h)− f(t0)
h
3. (a) y = 2x− 3 (b) y = −7x− 4 (c) y = 10x+ 13 (d) y = 14x+ 3
4
(e) y = −12x+ 3
2(f) y = 1
2x+ 2
4. (a) −2/(x0 + 3)2 (b) (i) −12
(ii) −29
(iii) −18
5. (a) 3x20 − 4 (b) y = −x− 1, y = 8x− 15
6. (a) (i) 32 (ii) 48 (iii) 62.4 (iv) 63.84 (v) 64
(b) (i) 2.236 (ii) 1.472 (iii) 1.351 (iv) 1.343 (v) 1.342
7. (a) −32 (b) 18
8. (a) i. 1.3 องศาเซลเซยสตอชวโมง ii. 1.5 องศาเซลเซยสตอชวโมง
iii. 1.7 องศาเซลเซยสตอชวโมง (b) ≈ 1.9 องศาเซลเซยสตอชวโมง
9. −24 ฟตตอวนาท 10. 12t20 + 6, 18 เมตรตอวนาท, 54 เมตรตอวนาท, 114 เมตรตอวนาท
5.2 อนพนธของฟงกชน
จากหวขอทผานมาเราไดวาlimh→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
หมายถง ความชนของเสนสมผสโคง y = f(x) ท x = x0 หรออตราการเปลยนแปลงขณะใดขณะหนงของ y เทยบกบ x ท x = x0 และทำใหเหนไดวาเราสามารถใชสญลกษณทางคณตศาสตรเดยวกน เพออธบายสงทแตกตางกนได ในหวขอนจะกำหนดชอและสญลกษณของ
limh→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
เพอความสะดวกในการนำไปประยกตใช
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 72
บทนยาม 5.2 ฟงกชน f ′ นยามโดย
f ′(x) = limh→0
f(x+ h)− f(x)
h(5.9)
เรยกวา อนพนธของ f เทยบกบ x โดยทโดเมนของ f ′ ประกอบดวยคา x ในโดเมนของ f
ททำใหลมตหาคาได
ตวอยาง 5.6 จงหาอนพนธของ f(x) = x3 +7x พรอมทงหาสมการของเสนสมผสโคง y = f(x)
ทจด x = 1
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 5.7 จงหา f ′(x) ถา f(x) =√x
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 5.8 ถา f(x) =2x− 3
5− xจงหา f ′(x)
วธทำ . . . . . . . . .
บทนยาม 5.3 ฟงกชน y = f(x) หาอนพนธได (differentiable) ท x0 ถาลมต
f ′(x0) = limh→0
f(x0 + h)− f(x0)
h(5.10)
หาคาได และถา f หาอนพนธไดททกจดบนชวงเปด (a, b) แลวเรากลาววา f หาอนพนธไดบนชวงเปด (a, b) และเราสามารถใหนยามการหาอนพนธไดบนชวง (a,+∞), (−∞, a) และ(−∞,+∞) ในทำนองเดยวกน สำหรบกรณท f หาอนพนธไดบนชวง (−∞,+∞) เราจะกลาววา f หาอนพนธไดททกจด
ตวอยาง 5.9 จงแสดงวา f(x) = |x| หาอนพนธไมไดท x = 0
วธทำ จากสมการ (5.10) โดยม x0 = 0 จะได
f ′(0) = limh→0
f(0 + h)− f(0)
h= lim
h→0
f(h)− f(0)
h
= limh→0
|h| − |0|h
= limh→0
|h|h
แต|h|h
=
{
1 ถา h > 0
−1, ถา h < 0
ดงนนlimh→0−
|h|h
= −1 และ limh→0+
|h|h
= 1
เนองจากลมตดานเดยวมคาไมเทากน ดงนน limh→0
|h|h
หาคาไมได เพราะฉะนน f หาอนพนธไม
ไดท x = 0 z
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 73
ทฤษฎบท 5.1 ถาฟงกชน f หาอนพนธไดท x0 แลว f ตอเนองท x0
ตวอยาง 5.10 จงพจารณาวา
f(x) =
{
4 ถา x < 2
2x ถา x ≥ 2
เปนฟงกชนทหาอนพนธไดทจด x = 2 หรอไม?
วธทำ . . . . . . . . .
สญลกษณอนของอนพนธ
ถา y = f(x) นนคอ x เปนตวแปรอสระ และ y เปนตวแปรตาม แลวสญลกษณตอไปนแทนอนพนธของฟงกชน f
f ′(x) = y′ =dy
dx=
df
dx=
d
dxf(x) = Df(x) = Dxf(x)
และสำหรบอนพนธของฟงกชน y = f(x) ทจด x0 เราเขยนแทนดวย
f ′(x0) =dy
dx
∣
∣
∣
∣
x=x0
=d
dxf(x)
∣
∣
∣
∣
x=x0
แบบฝกหด 5.2
1. ถา f(x) = 3x2 − 5x แลวจงหาคาของ f ′(2) และหาสมการของเสนสมผสกราฟพาราโบลาy = 3x2 − 5x ทจด (2, 2)
2. ถา g(x) = x3 − 5x + 1 แลวจงหาคาของ g′(1) และหาสมการของเสนสมผสโคง y =
x3 − 5x+ 1 ทจด (1,−3)
3. จงใชบทนยาม 5.2 หาอนพนธของฟงกชน f(x)
(a) f(x) = 3x2 + 1 (b) f(x) =3
x+ 1
(c) f(x) =√3x+ 1 (d) f(x) = x3 + 2x− 1
4. จงหา f ′(x0) ของฟงกชนตอไปน โดยใชบทนยาม 5.3
(a) f(x) = 3x+ 1, x0 = 1 (b) f(x) =√3x+ 1 , x0 = 1
(c) f(x) = x2 + 2x, x0 = 0 (d) f(x) = x3 + 4, x0 = −1
(e) f(x) =x
2x− 1, x0 = 1 (f) f(x) =
2√3− x
, x0 = −1
5. จงพจารณาหาคาของ f ′(0) (ถาหาคาได) เมอกำหนด f(x) ดงตอไปน
(a) f(x) =
{
2x+ 1 ถา x < 0
3x+ 1 ถา x ≥ 0
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 74
(b) f(x) =
x sin1
xถา x 6= 0
0 ถา x = 0
คำตอบแบบฝกหด 5.2
1. 7, y = 7x− 12 2. −2, y = −2x− 1
3. (a) 6x (b)−3
(x+ 1)2(c)
3
2√3x+ 1
(d) 3x2 + 2
4. (a) 3 (b) 34
(c) 2 (d) 3 (e) −1 (f) 18
5. (a) หาคาไมได (b) หาคาไมได
5.3 กฎอนพนธทวไป
จากหวขอทผานมา เราไดนยามอนพนธของฟงกชนในรปของลมต ในหวขอนเราจะศกษาทฤษฎบทตางๆ ทชวยในการหาอนพนธของฟงกชน
ทฤษฎบท 5.2 อนพนธของฟงกชนคาคงตวเทากบ 0 นนคอถา c เปนจำนวนจรงใดๆ แลว
d
dx[c] = 0
ตวอยาง 5.11d
dx[1] = 0,
d
dx[−5] = 0,
d
dx[π] = 0,
d
dx[ln 2] = 0 z
ทฤษฎบท 5.3 (กฎกำลง) ถา n เปนจำนวนจรงใดๆ แลว
d
dx[xn] = nxn−1
ตวอยาง 5.12d
dx
[
x2013]
= . . . . . . . . .
d
dx[xπ] = . . . . . . . . .
d
dx
[
3√x7]
= . . . . . . . . .
d
dx
[
1
x−3/4
]
= . . . . . . . . .
ทฤษฎบท 5.4 (กฎการคณดวยคาคงตว) ถา f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ c เปนจำนวนจรงใดๆ แลว cf เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ
d
dx
[
cf(x)]
= cd
dxf(x)
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 75
ตวอยาง 5.13d
dx
[
2x56]
= . . . . . . . . .
d
dx
[
−5 3√x]
= . . . . . . . . .
d
dx
[π
x
]
= . . . . . . . . .
ทฤษฎบท 5.5 (กฎผลบวกและกฎผลตาง) ถา f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x แลวf + g และ f − g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ
d
dx
[
f(x) + g(x)]
=d
dxf(x) +
d
dxg(x)
d
dx
[
f(x)− g(x)]
=d
dxf(x)− d
dxg(x)
ตวอยาง 5.14 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
(a) f(x) = x12 + 5x−2 − πx−10 (b) f(x) =5x5/2 + 3x3/2 − 2
√x+ 6x
x
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 5.15 จงหาจดบนเสนโคง y = x4 − 6x2 + 4 ทมเสนสมผสในแนวนอน
วธทำ . . . . . . . . .
ทฤษฎบท 5.6 (กฎผลคณ) ถา f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x แลว f · g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ
d
dx[f(x)g(x)] = f(x)
d
dx[g(x)] + g(x)
d
dx[f(x)]
ตวอยาง 5.16 จงหา f ′(x) ถา f(x) = x−7/8(x3 − 2x+ 1)
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 5.17 จงหาอนพนธของฟงกชน f(x) = (3x4 − 4x)
(
x2 −√x+
3
x
)
วธทำ . . . . . . . . .
ทฤษฎบท 5.7 (กฎผลหาร) ถา f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ g(x) 6= 0
แลว f/g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x
d
dx
[
f(x)
g(x)
]
=g(x)
d
dx[f(x)]− f(x)
d
dx[g(x)]
[
g(x)]2
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 76
ตวอยาง 5.18 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
(a) f(x) =x2 + x+ 1
x3 + 4(b) f(x) =
5x2 + 2x− 6
3x− 1
วธทำ . . . . . . . . .
แบบฝกหด 5.3
1. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
(a) f(x) = x3 − 2x+ 1 (b) f(x) = 3x2 − 4
(c) f(x) = 4 (d) f(x) = 3x3 − 2√x
(e) f(x) =3
x− 8x+ 1 (f) f(x) =
10√x− 2x
(g) f(x) = 2x3/2 − 3x−1/3 (h) f(x) = 2 3√x+ 3
(i) f(x) = x (3x2 −√x) (j) f(x) =
3x2 − 3x+ 1
2x
(k) f(x) = x+5√x2 (l) f(x) = x
√x+
1
x2√x
2. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
(a) f(x) = (x2 + 3)(x3 − 3x+ 1)
(b) f(x) = (3x+ 4)(x3 − 2x2 + x)
(c) f(x) = (√x+ 3x)
(
5x2 − 3
x
)
(d) f(x) =3x− 2
5x+ 1(e) f(x) =
x− 2
x2 + x+ 1
(f) f(x) =3x− 6
√x
5x2 − 2(g) f(x) =
(x+ 1)(x− 2)
x2 − 5x+ 1
(h) f(x) =x2 + 3x− 2√
x(i) f(x) = x( 3
√x+ 3)
(j) f(x) = (x2 + 1)
(
x3 + 3x2
x2 + 2
)
(k) f(x) =x
x+c
x
3. จงหาสมการของเสนสมผสโคงทจดทกำหนดให
(a) y = x+4
x, (2, 4) (b) y = x+
√x, (1, 2)
(c) y =2x
x+ 1, (1, 1) (d) y =
1
1 + x2,(
−1, 12
)
4. จงหาจดบนเสนโคง y = x3 − x2 − x+ 1 ทมเสนสมผสในแนวนอน
5. จงแสดงวาเสนโคง y = 6x3 + 5x− 3 ไมมเสนสมผสทมความชนเทากบ 4
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 77
6. กำหนดให
f(x) =
{
2− x ถา x ≤ 1
x2 − 2x+ 2 ถา x > 1
จงพจารณาวาฟงกชน f หาอนพนธไดท x = 1 หรอไม?
7. จงหาคาของ x ททำใหฟงกชน f(x) = |x2 − 9| หาอนพนธได
8. จงหาคาของ a และ b ททำใหเสนตรง 2x + y = b สมผสกบเสนโคง y = ax2 เมอx = 2
9. จงหาฟงกชน y = ax3 + bx2 + cx + d ทกราฟของฟงกชนมเสนสมผสในแนวนอนทจด(−2, 6) และ (2, 0)
10. จงหากฎผลคณสำหรบผลคณของสามฟงกชน f(x)g(x)h(x)
11. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน โดยใชกฎผลคณทหาไดจากขอ 3.
(a) f(x) = x2/3(x2 − 2)(x3 − x+ 1)
(b) f(x) = (x+ 1)(x3 + 4x)(x5 − 3x2 + 1)
12. ถา f และ g เปนฟงกชนทมกราฟดงรป และให u(x) = f(x)g(x) และ v(x) = f(x)/g(x)
แลว
(a) จงหา u′(1) (b) จงหา v′(1)
x
y
1
1
f
g
13. กำหนดให f(5) = 1, f ′(5) = 6, g(5) = −3 และ g′(5) = 2 จงหาคา
(a) (fg)′(5) (b) (f/g)′(5) (c) (g/f)′(5)
คำตอบแบบฝกหด 5.3
1. (a) 3x2 − 2 (b) 6x (c) 0 (d) 9x2 − 1√x
(e) − 3x2 − 8
(f) −5x−3/2 − 2 (g) 3x1/2 + x−4/3 (h) 23x−2/3 (i) 9x2 − 3
2x1/2
(j) 32− 1
2x−2 (k) 1 + 2/(5
5√x3) (l) 3
2
√x− 5/(2x3
√x)
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 78
2. (a) 2x(x3 − 3x+ 1) + (x2 + 3)(3x2 − 3)
(b) 3(x3 − 2x2 + x) + (3x+ 4)(3x2 − 4x+ 1)
(c)(
1
2x−1/2 + 3
)(
5x2 − 3
x
)
+ (√x+ 3x)(10x+ 3x−2) (d)
13
(5x+ 1)2
(e)−x2 + 4x+ 3
(x2 + x+ 1)2(f)
(3− 3x−1/2)(5x2 − 2)− (3x− 6√x)(10x)
(5x− 2)2
(g)−4x2 + 6x− 11
(x2 − 5x+ 1)2(h) 3
2x1/2 + 3
2x−1/2 + x−3/2 (i) 4
3x1/3 + 3
(j) 2xx3 + 3x2
x2 + 2+ (x2 − 1)
(3x2 + 6x)(x2 + 2)− (x3 + 3x2)(2x)
(x2 + 2)2(k)
2cx
(x2 + c)2
3. (a) y = 4 (b) y = 32x+ 1
2(c) y = 1
2x+ 1
2(d) y = 1
2x+ 1
4. (1, 0), (−13, 3227) 6. ไม 7. หาอนพนธไมไดท x = −3 และ 3 8. a = −1
2, b = 2
9. y = 316x3 − 9
4x+ 3
10. f ′(x)g(x)h(x) + f(x)g′(x)h(x) + f(x)g(x)h′(x)
11. (a) 23x−1/3(x2 − 2)(x3 − x+ 1) + 2x4/3(x3 − x+ 1) + x2/3(x2 − 2)(3x2 − 1)
(b) (x3 + 4x)(x5 − 3x2 + 1) + (x+ 1)(3x2 + 4)(x5 − 3x2 + 1)
+ (x+ 1)(x3 + 4x)(5x4 − 6x)
12. (a) 0 (b) −23
13. (a) 16 (b) −209
(c) 20
5.4 กฎลกโซ
หากตองการหาอนพนธของฟงกชน h(x) =√x2 + 1 จะพบวากฎการหาอนพนธทไดกลาวไปแลว
ขางตน ไมสามารถนำมาใชหา h′(x) ได แตจะสงเกตไดวา h เปนฟงกชนประกอบ นนคอถาให f(u) =
√u และ g(x) = x2 + 1 แลว h(x) = f(g(x)) = (f ◦ g)(x) และอนพนธของ
ฟงกชน f และ g สามารถหาไดโดยงาย ดงนนเปนการดทจะมกฎการหาอนพนธของฟงกชนประกอบ h = f ◦g ในรปอนพนธของ f และ g ซงพบวาอนพนธของฟงกชนประกอบ f ◦g คอผลคณของอนพนธของ f และ g และเราเรยกกฎการหาอนพนธนวา กฎลกโซ (The ChainRule)
ทฤษฎบท 5.8 (กฎลกโซ) ถา g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท g(x) แลวฟงกชนประกอบ f ◦ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x และ
d
dx
[
f(
g(x))]
= f ′(g(x))
g′(x)
ถา y = f(u) และ u = g(x) แลว y = f(
g(x))
และ
dy
dx=
dy
du· dudx
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 79
ตวอยาง 5.19 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
(a) y = (x5 − 4x3 + πx)101 (b) g(x) =1
3√x2 + 5
(c) h(x) =
(
x− 2
2x+ 1
)9
วธทำ . . . . . . . . .
แบบฝกหด 5.4
1. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
(a) f(x) = (x3 + 4x)7 (b) f(x) = (x3 + x− 1)3
(c) f(x) =√x2 − 7x (d) f(x) =
√x2 + 4
(e) f(x) =
(
x− 1
x
)3/2
(f) f(x) = (2x− 5)4(8x2 − 5)−3
(g) f(x) = (3x− 2)10(5x2 − x+ 1)12 (h) f(x) =4
(3x2 − 2x+ 1)3
(i) f(x) =
(
x− 6
x+ 7
)3
(j) f(x) =1
5√2x− 1
2. จงหาสมการของเสนสมผสโคง y = f(x) ทจด x = a
(a) y =√x2 + 16 , a = 3 (b) y =
8√4 + 3x
, a = 4
3. ถา f และ g เปนฟงกชนทมกราฟดงรป และให u(x) = f(
g(x))
, v(x) = g(
f(x))
และw(x) = g
(
g(x))
แลวจงหาคาของอนพนธตอไปน ถาหาคาได แตถาอนพนธหาคาไมได จงใหเหตผลประกอบ
(a) u′(1) (b) v′(1) (c) w′(1)
x
y
1
1
f
g
4. กำหนดให F (x) = f(
g(x))
และ g(3) = 6, g′(3) = 4, f ′(3) = 2 และ f ′(6) = 7 จงหา F ′(3)
5. ตารางตอไปนแสดงคาของ f, g, f ′ และ g′
x f(x) g(x) f ′(x) g′(x)
1 3 2 4 6
2 1 8 5 7
3 7 2 7 9
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 80
(a) ถา h(x) = f(
g(x))
แลวจงหาคาของ h′(1)
(b) ถา H(x) = g(
f(x))
แลวจงหาคาของ H ′(1)
คำตอบแบบฝกหด 5.4
1. (a) 7(x3 + 4x)6(3x2 + 4) (b) 3(3x2 + 1)(x3 + x− 1)2 (c)2x− 7
2√x2 − 7x
(d) x(x2 + 4)−1/2 (e) 32(x− 1/x)1/2(1 + 1/x2)
(f) 8(2x− 5)3(8x2 − 5)−4(−4x2 + 30x− 5)
(g) 6(3x− 2)9(5x2 − x+ 1)11(85x2 − 51x+ 9)
(h)24(1− 3x)
(3x2 − 2x+ 1)4(i)
39(x− 6)2
(x+ 7)4(j) −2
5(2x− 1)−6/5
2. (a) y = 35x+ 16
5(b) y = − 3
16x+ 11
4
3. (a) 34
(b) หาคาไมได (c) −2 4. 28 5. (a) 30 (b) 36
5.5 อนพนธของฟงกชนตรโกณมต
กอนทจะศกษาในหวขอน นกศกษาควรมการทบทวนเกยวกบฟงกชนตรโกณมต ดงเชนเมอกลาวถงฟงกชน f ทนยามโดย
f(x) = sin x เมอ x เปนจำนวนจรงใดๆ
แลว sin x จะหมายถง ไซน (sine) ของมม x ทมหนวยเปนเรเดยน (radian) และสำหรบฟงกชนตรโกณมตอนๆกจะมลกษณะเชนเดยวกน นอกจากนจะไดวา ฟงกชนตรโกณมตทกฟงกชนตอเนองททกๆ จดบนโดเมนของฟงกชนนนๆ
อนพนธของฟงกชนตรโกณมตทง 6 ฟงกชน มดงน
d
dx[sin x] = cosx
d
dx[cosx] = − sin x
d
dx[tan x] = sec2 x
d
dx[cot x] = − csc2 x
d
dx[sec x] = sec x tan x
d
dx[csc x] = − csc x cot x
ตวอยาง 5.20 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
(a) f(x) = x4 sin x (b) f(x) = 3 tanx− 2 csc x
(c) f(x) =sec x
1 + tanx(d) f(x) =
√cot x− cos 3x
วธทำ . . . . . . . . .
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 81
แบบฝกหด 5.5
1. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
(a) f(x) = 4 sinx− x (b) f(x) = tan x− csc x
(c) f(x) = x cosx (d) f(x) = 4√x− 2 sin x
(e) f(x) =sin x
x(f) f(x) =
tan x
x
(g) f(x) =cosx− 1
x2(h) f(x) =
x
sin x+ cos x
(i) f(x) = csc x cotx (j) f(x) = sin x sec x
(k) f(x) = 2 sin x cosx (l) f(x) = 4x2 tanx
(m) f(x) = 4 sin2 x+ 4 cos2 x (n) f(x) = sin(2x2 + 3)
(o) f(x) = cos(a3 + x3) (p) f(x) = tan2 x
(q) f(x) = tan(cosx) (r) f(x) = sec3 4x
(s) f(x) = cos2(
3√x))
(t) f(x) = cos3(sin 2x)
(u) f(x) =[
x+ csc(x3 + 3)]−3 (v) f(x) = sin
(
tan√sin x
)
2. จงหาสมการของเสนสมผสเสนโคงตอไปนทจดทกำหนดให
(a) y = sin x, (π2, 1) (b) y = cos x, (π
2, 0)
(c) y = tanx, (π4, 1) (d) y = x+ cosx, (0, 1)
(e) y = x cosx, (π,−π) (f) y = sin(sin x), (π, 0)
3. จงหาคา x ททำใหกราฟของฟงกชน f(x) = x+ 2 sin x มเสนสมผสในแนวนอน
4. จงหาจดทงหมดบนกราฟของฟงกชน f(x) = 2 sinx+ sin2 x ทมเสนสมผสในแนวนอน
คำตอบแบบฝกหด 5.5
1. (a) 4 cosx− 1 (b) sec2 x+ csc x cot x (c) cosx− x sin x
(d) 2x−1/2 − 2 cosx (e)x cosx− sin x
x2(f)
x sec2 x− tanx
x
(g)−x2 sin x− (cosx− 1)2x
x4(h)
sin x+ cosx+ x sin x− x cosx
1 + sin 2x
(i) − csc x cot2 x− csc3 x (j) sec2 x (k) 2 cos2 x− 2 sin2 x
(l) 8x tanx+4x2 sec2 x (m) 0 (n) 4x cos(2x2+3) (o) −3x2 sin(a3+x3)
(p) 2 tanx sec2 x (q) − sin x sec2(cosx) (r) 12 sec3 4x tan 4x
(s) − 3√xcos(3
√x) sin(3
√x) (t) −6 cos2(sin 2x) sin(sin 2x) cos 2x
(u) −3[
x+ csc(x3 + 3)]−4
[1− 3x2 csc(x3 + 3) cot(x3 + 3)]
(v) cos(
tan√sin x
)
(sec2√sin x)
[
1/(2√sin x)
]
(cosx)
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 82
2. (a) y = 1 (b) y = −x + π2
(c) y = 2x+ 1− π2
(d) y = x+ 1
(e) y = −x (f) y = −x+ π
3. (2n+ 1)π ± π/3, เมอ n เปนจำนวนเตม
4.(
π2+ 2nπ, 3
)
,(
3π2+ 2nπ,−1
)
, n เปนจำนวนเตม
5.6 อนพนธของฟงกชนเลขชกำลง
ฟงกชนเลขชกำลง (exponential function) เปนฟงกชนทพบบอยมากในการประยกตเรองตางๆ รปแบบทวไปของฟงกชนเลขชกำลงคอ f(x) = ax เมอ a > 0, a 6= 0
(
ในทน a เรยกวาฐาน (base) ของฟงกชน
)
ทฤษฎบทตอไปนจะกลาวถงอนพนธของฟงกชนเลขชกำลง
ทฤษฎบท 5.9 สำหรบคาคงตว a > 0 ใดๆ
d
dx[ax] = ax ln a
สำหรบกรณท a = e จะไดวา ln e = 1 และอนพนธของฟงกชน f(x) = ex คอ
d
dx[ex] = ex
นอกจากนถา u เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x แลว
d
dx[au] = au ln a · du
dxและ
d
dx[eu] = eu · du
dx
ตวอยาง 5.21 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
(a) f(x) = 4x cosx (b) g(x) =ex − 5x+ 1
x3 − ln 2
(c) h(x) = 2secx +1
3√etan x
วธทำ . . . . . . . . .
แบบฝกหด 5.6
1. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
(a) f(x) = 4ex − x (b) f(x) = xex
(c) f(x) = x− 2x (d) f(x) = 2ex+1
(e) f(x) = (1/3)x (f) f(x) = 4−x+1
(g) f(x) = e2x (h) f(x) = x2e−x
(i) f(x) =ex
x(j) f(x) = ex cos x
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 83
2. จงหาสมการของเสนสมผสโคง y = f(x) ทจด x = 1 เมอกำหนด f(x) ดงตอไปน
(a) f(x) = 3ex (b) f(x) = 3x
(c) f(x) = xex
3. กำหนดให f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนเซตของจำนวนจรง R และให F (x) = f(ex)
และ G(x) = ef(x) จงหานพจนสำหรบ (a) F ′(x) และ (b) G′(x)
คำตอบแบบฝกหด 5.6
1. (a) 4ex−1 (b) ex+xex (c) 1+(ln 2)2x (d) 2ex+1 (e)(
ln 13
) (
13
)x
(f) −(ln 4)4−x+1 (g) 2e2x (h) 2xe−x − x2e−x (i)xex − ex
x2
(j) (cosx− x sin x) ex cos x
2. (a) y = 3ex (b) y = 3 ln 3(x− 1) + 3 (c) y = 2ex − e
3. (a) F ′(x) = exf ′(ex) (b) G′(x) = ef(x)f ′(x)
5.7 อนพนธของฟงกชนปรยาย
จากการพจารณาเปรยบเทยบสมการ 2 สมการตอไปน
y =√x2 + 3 และ x2 + y2 = 9
เหนไดวา สมการแรกเปนการใหนยามของ y อยางชดเจนในรปฟงกชนของ x เราเรยกฟงกชนทมลกษณะเชนนวา ฟงกชนชดแจง (explicit function)
สำหรบสมการทสองนนไมเปนฟงกชน แตเราสามารถแกสมการหาคา y ทำใหเราไดฟงกชน 2
ฟงกชน(
y =√9− x2 และ y = −
√9− x2
)
ทกำหนดโดยปรยายดวยสมการ x2 + y2 = 9
และเราเรยกฟงกชนทมลกษณะนวา ฟงกชนปรยาย (implicit function) วธการหาอนพนธของฟงกชนปรยายเรยกวา การหาอนพนธโดยปรยาย (implicit differentiation) ซงหาไดโดยการ หาอนพนธทงสองขางของสมการของฟงกชนปรยายเทยบกบ x จากนนแกสมการหาคาdy/dx
ตวอยางและแบบฝกหดในหวขอน จะสมมตใหสมการทกำหนดใหเปนการกำหนด y โดยปรยายในรปฟงกชนของ x นนคอเราพจารณาให x เปนตวแปรอสระ และ y เปนตวแปรตาม
ตวอยาง 5.22 จงหาdy
dxถา x3 + y2 − 3y = 5
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 5.23 จงหาdy
dxถา x2 cos y + sin 2y = xy
วธทำ . . . . . . . . .
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 84
ตวอยาง 5.24 จงหาdy
dxถา cos(x+ y) = y2 sin x
วธทำ . . . . . . . . .
แบบฝกหด 5.7
1. จงหาdy
dxโดยวธการหาอนพนธโดยปรยาย
(a) x2 + y2 = 1 (b) x3 + x2y + 4y2 = 6
(c) x2y + xy2 = 3x (d) x2y2 + 3y = 4x
(e) √xy − 4y2 = 12 (f)
x+ 3
y= 4x+ y2
(g)√x+ y − 4x2 = y (h)
y
x− y= x2 + 1
(i) √xy = 1 + xy (j) ex
2y − ey = x
(k) e4y − ln y = 2x (l) 4 cosx sin y = 1
(m) cos(x− y) = xex (n) xy = cot(xy)
2. จงหาสมการของเสนสมผสเสนโคงตอไปนทจดทกำหนดให
(a) x2 − 4y2 = 0, (2, 1) (b) x2 − 4y3 = 0, (2, 1)
(c) x2y2 = 4y, (2, 1) (d) x3y3 = 9y, (1, 3)
(e)x2
16− y2
9= 1, (−5, 9
4) (f) y2 = x3(2− x), (1, 1)
(g) 2(x2 + y2)2 = 25(x2 − y2), (3, 1) (h) y2 = x3 + 3x2, (1, 2)
(i) y(y2 − 1)(y − 2) = x(x− 1)(x− 2), (0, 1)
3. จงใชวธการหาอนพนธโดยปรยายแสดงวาสมการเสนสมผสโคงx2
a2+
y2
b2= 1 ทจด (x0, y0)
คอx0x
a2+
y0y
b2= 1
4. จงหาสมการของเสนสมผสไฮเพอรโบลาx2
a2− y2
b2= 1 ทจด (x0, y0)
5. จงหาจดทงหมดบนเสนโคง x2y2 + xy = 2 ทความชนของเสนสมผสเทากบ −1
6. ถา x[
f(x)]3
+ xf(x) = 6 และ f(3) = 1 แลวจงหาคาของ f ′(3)
คำตอบแบบฝกหด 5.7
1. (a)−x
y(b)
−x(3x+ 2y)
x2 + 8y(c)
3− 2xy − y2
x2 + 2xy(d)
4− 2xy2
3 + 2x2y
(e)y
16y√xy − x
(f)y − 4y2
x+ 3 + 2y3(g)
16x√x+ y − 1
1− 2√x+ y
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 85
(h)2x(x− y)2 + y
x(i)
2y√xy − y
x− 2x√xy
(j)1− 2xyex
2y
x2ex2y − ey(k)
2y
4ye4y − 1
(l) tanx tan y (m) 1 +ex(1 + x)
sin(x− y)(n)
−y
x
2. (a) y = 12x (b) y = 1
3x+ 1
3(c) y = −x+ 3 (d) y = −9
2x+ 15
2
(e) y = −54x− 4 (f) y = x (g) y = − 9
13x+ 40
13(h) y = 9
2x− 5
2
(i) y = −x+ 1 4.x0x
a2− y0y
b2= 1 5. (−1,−1), (1, 1) 6. −1
6
5.8 อนพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน
เราจะเรมดวยการพจารณาฟงกชน sin−1 ถาให f(x) = sin x (−π/2 ≤ x ≤ π/2) แลวf−1(x) = sin−1 x จะเปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนชวง (−1, 1) และอนพนธของ sin−1 x สามารถหาไดโดยใชวธการหาอนพนธโดยปรยายดงน ให y = sin−1 x จะไดวา x = sin y จากการหาอนพนธทงสองขางของสมการเทยบกบ x จะได
d
dx[x] =
d
dx[sin y]
1 = cos ydy
dxdy
dx=
1
cos y=
1
cos(
sin−1 x)
ซงสามารถเขยนในรปแบบทงาย โดยการใชเอกลกษณของฟงกชนตรโกณมตจากรปสามเหลยมตอไปน
x1
√1− x2
sin−1 x
cos(
sin−1 x)
=√1− x2
ดงนนdy
dx=
1√1− x2
ฉะนนอนพนธของฟงกชน sin−1 x คอ
d
dx
[
sin−1 x]
=1√
1− x2(−1 < x < 1)
นอกจากนถา u เปนฟงกชนทหาอนพนธไดของ x แลวจากกฎลกโซจะไดวา
d
dx
[
sin−1 u]
=1√
1− u2
du
dx(−1 < x < 1)
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 86
จากการใชวธการทกลวไปขางตน เราสามารถหาอนพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผนทเหลอไดและอนพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผนทง 6 ฟงกชน สามารถสรปไดดงน
d
dx
[
sin−1 x]
=1√
1− x2(−1 < x < 1)
d
dx[cos−1 x] =
−1√1− x2
(−1 < x < 1)
d
dx[tan−1 x] =
1
1 + x2
d
dx[cot−1 x] =
−1
1 + x2
d
dx[sec−1 x] =
1
|x|√x2 − 1
(|x| > 1)
d
dx[csc−1 x] =
−1
|x|√x2 − 1
(|x| > 1)
ตวอยาง 5.25 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
(a) y = tan−1√x+ 1 (b) y = cot−1 (sin
√x)
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 5.26 จงหาdy
dxถา y = sec(π2) + x tan−1
(x
2
)
+ (ln 4)(52x)
วธทำ . . . . . . . . .
แบบฝกหด 5.8
จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
1. y = sin−1(x2) 2. y = tan−1(ex)
3. y = cos−1(x3) 4. y = sec−1(x2)
5. H(x) = (1 + x2) tan−1 x 6. g(t) = sin−1(4/t)
7. y = x2 cot−1(3x) 8. f(x) = ex − x2 tan−1 x
9. y = tan−1(cos 2x) 10. y = x cos−1(2x)
11. y = cos−1(sin x) 12. y = tan−1(sec x)
คำตอบแบบฝกหด 5.8
1.2x√1− x4
2.ex
1 + e2x3.
−3x2
√1− x6
4.2
x√x4 − 1
5. 1 + 2x tan−1 x 6.−4√
t4 − 16t27. 2x cot−1(3x)− 3x2
1 + 9x2
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 87
8. ex − x2
1 + x2− 2x tan−1 x 9.
−2 sin 2x
1 + cos2 2x10. cos−1 2x− 2x√
1− 4x2
11.− cosx
√
1− sin2 x= ±1 12.
sec x tan x
1 + sec2 x
5.9 อนพนธของฟงกชนลอการทม
อนพนธของฟงกชนลอการทม y = loga x เมอ x > 0 สามารถหาไดโดยใชวธการหาอนพนธโดยปรยายดงน ให y = loga x, x > 0 ดงนน ay = x จากการหาอนพนธทงสองขางของสมการเทยบกบ x และใชกฎการหาอนพนธของฟงกชนเลขชกำลง จะไดวา
d
dx(ay) =
d
dx(x)
ay ln ady
dx= 1
dy
dx=
1
ay ln a=
1
x ln a
ดงนนd
dx[loga x] =
1
x ln a, x > 0 (5.11)
ถาให a = e ในสมการ (5.11) แลวตวประกอบ ln a ทางขวามอของสมการ (5.11) จะกลายเปน ln e = 1 ดงนนจะไดอนพนธของฟงกชนลอการทม loge x = ln x คอ
d
dx[ln x] =
1
x(5.12)
นอกจากนถา u เปนฟงกชนทหาอนพนธไดของ x และถา u(x) > 0 แลวจากกฎลกโซจะไดวา
d
dx[loga u] =
1
u ln a· dudx
และd
dx[ln u] =
1
u· dudx
ตวอยาง 5.27 จงหาอนพนธของ f(x) = log5(3 + tan x)
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 5.28 จงหาอนพนธของ f(x) = ln[
sin(
ex2−tanx
)
]
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 5.29 จงหาอนพนธของ y = sin−1 2x+ log3(x2 − 4)
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 5.30 จงหาอนพนธของ y = ln
(√2x+ 3
x− 2
)
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 5.31 จงหา f ′(x) ถา f(x) = ln |x|วธทำ . . . . . . . . .
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 88
การหาอนพนธโดยใชลอการทม
ลำดบตอไปเราจะศกษาวธการหาอนพนธทเรยกวา การหาอนพนธโดยใชลอการทม (logarith-mic differentiation) จากตวอยางตอไปน วธการนมประโยชนสำหรบการหาอนพนธของฟงกชนประกอบของผลคณ ผลหาร หรอเลขชกำลง
ตวอยาง 5.32 จงหาอนพนธของ y =x3/4
√x2 + 1
(3x+ 2)5
วธทำ . . . . . . . . .
จากตวอยาง 5.32 จะไดขนตอนการหาอนพนธของฟงกชนโดยใชลอการทมไดดงน
ขนตอนการหาอนพนธโดยใชลอการทม1. ใสลอการทมฐาน e เขาไปทงสองขางของสมการ y = f(x) และใชคณสมบตของลอการทมจดสมการใหงายขน
2. ใชวธการหาอนพนธโดยปรยาย หาอนพนธเทยบกบ x
3. แกสมการหา y′
ตวอยาง 5.33 จงหาอนพนธของ y = (ln x)cos x
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 5.34 กำหนดให yx = sin y จงหาdy
dx
วธทำ . . . . . . . . .
แบบฝกหด 5.9
1. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
(a) f(x) = ln(2x) (b) f(x) = ln(x3)
(c) f(θ) = ln(cos θ) (d) f(x) = log3(x2 − 4)
(e) f(x) = ln√x (f) f(x) =
√x ln x
(g) f(x) = ln
(
a− x
a + x
)
(h) f(x) = ex ln x
(i) f(x) =ln x
1 + x(j) f(x) = |x3 − x2|
(k) f(x) = ln(e−x + xe−x) (l) f(x) = x2 ln(1− x2)
2. จงหาสมการของเสนสมผสเสนโคงตอไปนทจดทกำหนดให
(a) y = x2 ln x, (1, 0) (b) y = ln(lnx), (e, 0)
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 89
3. จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปนโดยใชลอการทม
(a) y = (2x+ 1)5(x4 − 3)6 (b) y =sin2 x tan4 x
(x2 + 1)2
(c) y = xx (d) y = xsinx
(e) y = (ln x)x (f) y = xex
คำตอบแบบฝกหด 5.9
1. (a) f ′(x) =1
x(b) f ′(x) =
3
x(c) f ′(θ) = − tan θ
(d) f ′(x) =2x
(x2 − 4) ln 3(e) f ′(x) =
1
2x(f) f ′(x) =
2 + lnx
2√x
(g) f ′(x) =−2a
a2 − x2(h) f ′(x) = ex
(
ln x+1
x
)
(i) f ′(x) =1 + x− x ln x
x(1 + x)2(j) f ′(x) =
3x− 2
x(x− 1)(k) f ′(x) =
−x
1 + x
(l) f ′(x) = 2x ln(1− x2)− 2x3
1− x2
2. (a) y = x− 1 (b) x− ey = e
3. (a) y′ = (2x+ 1)5(x4 − 3)6(
10
2x+ 1+
24x3
x4 − 3
)
(b) y′ =sin2 x tan4 x
(x2 + 1)2
(
2 cotx+4 sec2 x
tan x− 4x
x2 + 1
)
(c) y′ = xx(ln x+ 1) (d) y′ = xsinx
[
cosx ln x+sin x
x
]
(e) y′ = (ln x)x(
ln ln x+1
lnx
)
(f) y′ = exxex(
lnx+1
x
)
5.10 อนพนธอนดบสง
เนองจากอนพนธ f ′ ของฟงกชน f เปนฟงกชน ดงนนอนพนธของ f ′ อาจจะหาคาได ถาf ′ เปนฟงกชนทหาอนพนธได แลวจะเขยนแทนอนพนธของ f ′ ดวย f ′′ และเรยกวา อนพนธอนดบสอง (second derivative) ของ f และสญลกษณทนยมใชแทนอนพนธอนดบสองของ y = f(x) มดงน
y′′ = f ′′(x) =d2y
dx2
สำหรบ อนพนธอนดบสาม (third derivative) ของ f คออนพนธของอนพนธอนดบสอง สญลกษณทนยมใชแทนอนพนธอนดบสามของ y = f(x) มดงน
y′′′ = f ′′′(x) =d
dx
(
d2y
dx2
)
=d3y
dx3
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 90
ในทำนองเดยวกน เราสามารถหาอนพนธอนดบทส และอนดบอนๆได โดยทวไปอนพนธอนดบท n ของ y = f(x) ไดมาจากการหาอนพนธของ f เปนจำนวน n ครง และเขยนแทนดวยสญลกษณดงน
y(n) = f (n)(x) =dny
dxn
ตวอยาง 5.35 ถา f(x) = 5x3 − 2x2 + 1 แลว
f ′(x) = . . . . . . . . .
f ′′(x) = . . . . . . . . .
f ′′′(x) = . . . . . . . . .
f (4)(x) = . . . . . . . . .
...
f (n)(x) = . . . . . . . . . (n ≥ 4)
ตวอยาง 5.36 จงหาd2y
dx2เมอ y = log5(e
2x + 1)
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 5.37 จงหา y′′ ถา x2 − xy + y2 = 6
วธทำ . . . . . . . . .
แบบฝกหด 5.10
1. จงหาอนพนธอนดบหนงและอนดบสองของฟงกชนตอไปน
(a) f(x) = x4 + 3x2 − 2 (b) f(x) = x5 + 6x2 − 7x
(c) f(x) = x6 +√x (d) f(x) =
√2x+ 1
(e) f(x) = e2x (f) y = cos 2θ
(g) h(x) =√x2 + 1 (h) F (s) = (3s+ 5)8
(i) y =x
1− x(j) y = (1− x2)3/4
(k) H(t) = tan 3t (l) g(t) = t3e5t
2. ถา f(x) = (2− 3x)−1/2 แลวจงหา f(0), f ′(0), f ′′(0) และ f ′′′(0)
3. ถา f(θ) = cot θ แลวจงหาคาของ f ′′′(π/6)
4. จงหา f (n)(x) ของฟงกชนตอไปน
(a) f(x) =1
x(b) f(x) = e2x (c) f(x) =
1
3x3
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 91
5. จงหาฟงกชนพนนาม P ทมระดบขนพหนามเทากบสอง (degree 2) ททำให P (2) =
5, P ′(2) = 3 และ P ′′(2) = 2
6. จงหาคา r ททำใหฟงกชน y = erx สอดคลองกบสมการ y′′ + 5y′ − 6y = 0
7. กำหนดให F (x) = f(x)g(x) โดยท f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดทกอนดบ จงแสดงวา
F ′′ = f ′′g + 2f ′g′ + fg′′
8. กำหนดให y = f(u) และ u = g(x) โดยท f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธอนดบสองได จงแสดงวา
d2y
dx2=
d2y
du2
(
du
dx
)2
+dy
du
d2u
dx2
คำตอบแบบฝกหด 5.10
1. (a) f ′(x) = 4x3 + 6x, f ′′(x) = 12x2 + 6
(b) f ′(x) = 5x4 + 12x− 7, f ′′(x) = 20x3 + 12
(c) f ′(x) = 6x5 + 12x−1/2, f ′′(x) = 30x4 − 1
4x−3/2
(d) f ′(x) = (2x+ 1)−1/2, f ′′(x) = −(2x+ 1)−3/2
(e) f ′(x) = 2e2x, f ′′(x) = 4e2x (f) y′ = −2 sin 2θ, y′′ = −4 cos 2θ
(g) h′(x) =x√
x2 + 1, f ′′(x) =
1
(x2 + 1)3/2
(h) F ′(s) = 24(3s+ 5)7, F ′′(s) = 504(3s+ 5)6
(i) y′ =1
(1− x)2, y′′ =
2
(1− x)3
(j) y′ = −32x(1− x2)−1/4, y′′ = 3
4(1− x2)−5/4(x2 − 2)
(k) H ′(t) = 3 sec2 3t, H ′′(t) = 18 sec2 3t tan 3t
(l) g′(t) = t2e5t(5t+ 3), g′′(t) = te5t(25t2 + 30t+ 6)
2.1√2,
3
4√2,
27
16√2,
405
64√2
3. −80
4. (a)(−1)nn!
xn+1(b) 2ne2x (c)
(−1)n(n + 2)!
6xn+35. P (x) = x2 − x+ 3
6. r = 1,−6
บทท 6
การประยกตของอนพนธ
6.1 คาสงสดและคาตำสดของฟงกชน
การประยกตทสำคญอยางหนงของอนพนธคอ ปญหาการหาคาเหมาะทสด (optimization prob-lems) ปญหาดงกลาว เปนปญหาของการหาวธทดทสดเพอทำบางสงบางอยาง ตวอยางเชน
• ชาวสวนตองการเลอกผสมพชพนธทจะปลก เพอใหไดผลผลตททำใหมรายไดมากทสด
• ผผลตสนคาตองการใหคาขนสงสนคามคานอยทสด
• ผผลตตองการทราบขนาดของกระปอง ทใชวสดในการผลตนอยทสด
• นกเดนทางตองการทราบระยะทางทนอยทสดระหวางเมอง 2 เมอง
• นกบนอวกาศตองการหาความเรงทมากทสดของยานอวกาศ
ปญหาเหลานสามารถเปลยนเปนการหาคาสงสดหรอคาตำสดของฟงกชนได ดงนนเราจะเรมดวยการใหนยามของคาสงสดและคาตำสด
บทนยาม 6.1 กำหนดให f เปนฟงกชนทนยามบนสบเซตของจำนวนจรง D (โดเมนของ f)และ c ∈ D
(a) f ม คาสงสดสมบรณ (absolute maximum หรอ global maximum) ท c ถาf(c) ≥ f(x) สำหรบทกคาของ x ในโดเมน D และเราเรยก f(c) วา คาสงสด (max-imum value) ของ f บน D และเรยกจด
(
c, f(c))
วา จดสงสดสมบรณ ของ f บนD
(b) f ม คาตำสดสมบรณ (absolute minimum หรอ global minimum) ท c ถาf(c) ≤ f(x) สำหรบทกคา x ในโดเมน D และเราเรยก f(c) วา คาตำสด (minimumvalue) ของ f บน D และเรยกจด
(
c, f(c))
วา จดตำสดสมบรณ ของ f บน D
และเราจะกลาววา f ม คาสดขดสมบรณ (absolute extremum) ท c ถา f มคาสงสดสมบรณหรอคาตำสดสมบรณท c
92
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 93
รปท 6.1 แสดงกราฟของ f ทมจด(
b, f(b))
เปนจดสงสดบนกราฟ และมจด(
e, f(e))
เปนจดตำสด ดงนน f มคาสงสดสมบรณท b และมคาตำสดสมบรณท e
x
y
a b c d e
b
b
(
b, f(b))
(
e, f(e))
รปท 6.1: คาสงสด f(b), คาตำสด f(e)
คำถาม ฟงกชนทกฟงกชนมคาสงสดสมบรณและคาตำสดสมบรณหรอไม?คำตอบ ไม ซงพจารณาไดจากกราฟของฟงกชนตอไปน
c
f(c)
y
x
b
y = f(x)
(a)
c
f(c)
y
x
by = f(x)
(b)
รปท 6.2: (a) คาตำสดสมบรณ (b) คาสงสดสมบรณ
จากรปท 6.2(a) พบวาฟงกชน f ไมมคาสงสดสมบรณ แตมคาตำสดสมบรณท c สำหรบรปท 6.2(b) เปนกราฟของฟงกชน f ทไมมคาตำสดสมบรณ แตมคาสงสดสมบรณท c
คำถาม เมอใดฟงกชนทเราพจารณาจะมคาสงสดสมบรณ และคาตำสดสมบรณ?
ทฤษฎบทตอไปนจะตอบคำถามดงกลาว
ทฤษฎบท 6.1 ทฤษฎบทคาสดขด (Extreme Value Theorem) ถาฟงกชน f ตอเนองบนชวงปด [a, b] แลว f จะมคาสงสดสมบรณ f(c) และคาตำสดสมบรณ f(d) ทจด c และ d
บางจดในชวง [a, b]
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 94
พจารณากราฟตอไปนy
x
b
b
| |
a c d b
y
x
b
b
|
a c d = b
y
x
b
b
| |
a c1 d c2 b
จะเหนวาแตละกราฟสอดคลองกบสมมตฐานของทฤษฎบท 6.1 ดงนนแตละกราฟจะมคาสงสดสมบรณและคาตำสดสมบรณ
แตถาฟงกชนใดขาดสมมตฐานใดสมมตฐานหนงในทฤษฎบท 6.1 แลวฟงกชนนนไมจำเปนตองมคาสงสดสมบรณ หรอคาตำสดสมบรณ ดงตวอยางกราฟตอไปน
y
x
fb
b
bc
b|
+
0 2
1
3
ฟงกชนมคาตำสดสมบรณ f(2) = 0
แตไมมคาสงสดสมบรณ
y
x
g
1
1 bc
0
ฟงกชนตอเนอง g ไมมคาสงสดและคาตำสดสมบรณ
ทฤษฎบทคาสดขดกลาวแตเพยงวา ฟงกชนตอเนองบนชวงปดจะมคาสงสดและคาตำสดสมบรณ แตไมไดบอกเราวาจะหาคาเหลานไดอยางไร กอนทจะศกษาวธการหาคาสดขดสมบรณ เราจำเปนตองพจารณาคาสดขดอกชนดหนง ซงเรานยามไดดงน
บทนยาม 6.2
1. f(c) จะเปน คาสงสดสมพทธ (relative maximum หรอ local maximum) ของ f
ถา f(c) ≥ f(x) สำหรบทกคาของ x ในชวงเปดบางชวงทบรรจคา c และจะเรยก(
c, f(c))
วา จดสงสดสมพทธ
2. f(c) จะเปน คาตำสดสมพทธ (relative minimum หรอ local minimum) ของ f
ถา f(c) ≤ f(x) สำหรบทกคาของ x ในชวงเปดบางชวงทบรรจคา c และจะเรยก(
c, f(c))
วา จดตำสดสมพทธ
ถา f มคาสงสดสมพทธหรอคาตำสดสมพทธท c แลวเราจะกลาววา f ม คาสดขดสมพทธ (rel-ative extremum) ท c
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 95
y
xab
cd
b
b
b
b
คาสงสดสมพทธ[
f ′(a) หาคาไมได]
คาตำสดสมพทธ[
f ′(b) หาคาไมได]
คาสงสดสมพทธ[
f ′(c) = 0]
คาตำสดสมพทธ[
f ′(d) = 0]
รปท 6.3: คาสดขดสมพทธ
รปท 6.3 แสดงกราฟของฟงกชนทมคาสดขดสมพทธหลายคาดวยกน นอกจากน จากรปเราสงเกตไดวา คาสดขดสมพทธแตละคาจะเกดทจดทมเสนสมผสในแนวนอน
(
นนคอ f ′(x) = 0)
หรอทจดทมเสนสมผสในแนวยน
(
นนคอ f ′(x) หาคาไมได)
ดงนนเราจงกำหนดชอใหกบจดดงกลาว ดงบทนยามตอไปน
บทนยาม 6.3 คาวกฤต (critical number) ของฟงกชน f คอคา c ทอยในโดเมนของf ททำให f ′(c) = 0 หรอ f ′(c) หาคาไมได
ทฤษฎบท 6.2 ทฤษฎบทของแฟรมา (Fermat’s Theorem) ถา f มคาสดขดสมพทธท c
แลว c เปนคาวกฤตของ f
ตวอยาง 6.1 จงหาคาวกฤตและคาสดขดสมพทธของ f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 5
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 6.2 จงหาคาวกฤตและคาสดขดสมพทธของ f(x) = (2x+ 3)2/3
วธทำ . . . . . . . . .
หมายเหต ทฤษฎบทของแฟรมากลาวแตเพยงวา คาสดขดสมพทธจะเกดขนเฉพาะทคาวกฤต แตไมไดกลาววา จะมคาสดขดสมพทธท ทกคาวกฤต ตวอยาง 6.3 จะแสดงใหเหนวา ณคาวกฤต ฟงกชนไมไดใหคาสดขดสมพทธ
ตวอยาง 6.3 จงหาคาวกฤตและคาสดขดสมพทธของ f(x) = x3
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 6.4 จงหาคาวกฤตของ f(x) =x2 + 3
x+ 1
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 96
วธทำ . . . . . . . . .
จากทไดกลาวมาขางตน คาสดขดสมพทธจะเกดขนเฉพาะทคาวกฤต และฟงกชนตอเนองบนชวงปดจะมคาสงสด และคาตำสดสมบรณ แตเรายงไมไดกลาวถง วธการหาคาสดขดดงกลาว ทฤษฎบทตอไปนจะมประโยชนในการหาคาสดขดสมบรณ
ทฤษฎบท 6.3 ถาฟงกชน f ตอเนองบนชวงปด [a, b] แลวคาสงสดและคาตำสดสมบรณของ f
จะเกดขนทจดปลายของชวง (a หรอ b) หรอทคาวกฤตของ f
ทฤษฎบท 6.3 ชวยใหเราไดขนตอนของการหาคาสดขดสมบรณของฟงกชนตอเนอง f บนชวงปด [a, b] ดงน
ขนตอนท 1 หาคาวกฤตของ f ในชวง (a, b)
ขนตอนท 2 หาคา f ทคาวกฤตทงหมด และทจดปลาย a และ b
ขนตอนท 3 คาทมากทสดทไดจากขนตอนท 2 คอ คาสงสดสมบรณของ f บนชวง [a, b] และคาทนอยทสดคอ คาตำสดสมบรณ
ตวอยาง 6.5 จงหาคาสงสดและคาตำสดสมบรณของ f(x) = x3 − 3x+ 1 บนชวงปด [0, 3]
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 6.6 จงหาคาสงสดและคาตำสดสมบรณของ f(x) =ln x
xบนชวงปด [1, 3]
วธทำ . . . . . . . . .
แบบฝกหด 6.1
1. จากกราฟของฟงกชนทกำหนดใหตอไปน จงพจารณาวาแตละคา a, b, c, d, e, r, s และt ใหคาสงสดหรอตำสดสมบรณ และคาสงสดหรอตำสดสมพทธหรอไม?(a) y
x
b
b
a b c d e r s t
(b)y
x
b
ba b c d e r s
t
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 97
2. จากกราฟของฟงกชนตอไปน จงหาคาสดขดสมบรณ และคาสดขดสมพทธ(a)
x
y
b
b10
1
y = f(x)
(b)
x
y
b
b
10
1
y = f(x)
3. จงหาคาวกฤตของฟงกชนตอไปน พรอมทงพจารณาวาทคาวกฤตนน ฟงกชนใหคาสงสดสมพทธหรอคาตำสดสมพทธหรอไม?
(a) f(x) = x2 + 5x− 1 (b) f(x) = x3 − 3x+ 1
(c) f(x) = x3 − 3x2 + 3x (d) f(x) = x4 − 3x3 + 2
(e) f(x) = x3/4 − 4x1/4 (f) f(x) = x3 − 2x2 − 4x
(g) f(x) = sin x cosx, [0, 2π] (h) f(x) =x+ 1
x− 1
(i) f(x) =x
x2 + 1(j) f(x) = 1
2(ex + e−x)
(k) f(x) = x4/3 + 4x1/3 + 3x−2/3 (l) f(x) = 2x√x+ 1
(m) f(x) = e−x2 (n) f(x) = sin x2, [0, π]
4. จงหาคาสงสด และคาตำสดสมบรณของฟงกชนตอไปน บนชวงทกำหนดให
(a) f(x) = 3x2 − 12x+ 5, [0, 3] (b) f(x) = 2x3 + 3x2 + 4, [−2, 1]
(c) f(x) = x4 − 4x2 + 2, [−3, 2] (d) f(x) = x2 − 2
x, [1
2, 2]
(e) f(x) =x
x2 + 1, [0, 2] (f) f(x) = sin x+ cosx, [0, π/3]
(g) f(x) = xe−x, [0, 2] (h) f(x) = x− 3 lnx, [1, 4]
(i) f(x) = |x− 1|, [0, 3] (j) f(x) = 3√x , [−1, 27]
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 98
คำตอบแบบฝกหด 6.1
1. (a) คาสงสดสมบรณท b ; คาสงสดสมพทธท b, e และr ; คาตำสดสมบรณท d
คาตำสดสมพทธท d และ s
(b) คาสงสดสมบรณท e ; คาสงสดสมพทธท e และs ; คาตำสดสมบรณท t
คาตำสดสมพทธท b, c, d, r และ t
2. (a) คาสงสดสมบรณ f(4) = 4 ; คาตำสดสมบรณf(7) = 0
คาสงสดสมพทธ f(4) = 4, f(6) = 3 ; คาตำสดสมพทธ f(2) = 1, f(5) = 2
(b) คาสงสดสมบรณ f(7) = 5 ; คาตำสดสมบรณ f(1) = 0
คาสงสดสมพทธ f(0) = 2, f(3) = 4, f(5) = 3
คาตำสดสมพทธ f(1) = 0, f(4) = 2, f(6) = 1
3. (a) −52, คาตำสดสมพทธ (b) −1, คาสงสดสมพทธ ; 1, คาตำสดสมพทธ
(c) 1, ไมใหคาสงสดและคาตำสดสมพทธ
(d) 0, ไมใหคาสงสดและคาตำสดสมพทธ ; 94, คาตำสดสมพทธ
(e) 0, ไมใหคาสงสดและคาตำสดสมพทธ ; 169, คาตำสดสมพทธ
(f) −23, คาตำสดสมพทธ ; 2, คาสงสดสมพทธ
(g) π4, 5π
4, คาสงสดสมพทธ ; 3π
4, 7π
4, คาตำสดสมพทธ
(h) 1, ไมใหคาสงสดและคาตำสดสมพทธ
(i) −1, คาตำสดสมพทธ ; 1, คาสงสดสมพทธ
(j) 0, คาตำสดสมพทธ (k) −2, 1, คาตำสดสมพทธ
(l) −23, คาตำสดสมพทธ (m) 0, คาสงสด
(n) 0,√
3π2, คาตำสดสมพทธ ;
√
π2,√
5π2, คาสงสดสมพทธ
4. (a) f(0) = 5, f(2) = −7 (b) f(1) = 9, f(−2) = 0
(c) f(−3) = 47, f(±√2) = −2 (d) f(2) = 3, f(1) = −1
(e) f(1) = 12, f(0) = 0 (f) f(π/4) =
√2, f(0) = 1
(g) f(1) = 1/e, f(0) = 0 (h) f(1) = 1, f(3) = 3− 3 ln 3
(i) f(3) = 2, f(1) = 0 (j) f(27) = 3, f(−1) = −1
6.2 ฟงกชนเพมและฟงกชนลด
คำถามหนงทยงไมมคำตอบกคอ คาสงสดและคาตำสดสมพทธของฟงกชนเกดขนทใด? และสงททราบมาแลวกคอ คาสดขดสมพทธจะเกดขนเฉพาะทคาวกฤต แตคาวกฤตทกคาไมจำเปนตองใหคาสดขดสมพทธ ในหวขอนเราจะพจารณาวา ทคาวกฤตใดใหคาสดขดสมพทธ ในขณะเดยวกนจะศกษาความสมพนธของอนพนธกบการเขยนกราฟของฟงกชน
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 99
บทนยาม 6.4 กำหนดให f เปนฟงกชนทนยามบนชวง I และให x1 และ x2 เปนจดในชวงI
(a) f เปน ฟงกชนเพม (increasing function) บนชวง I ถา f(x1) < f(x2) เมอx1 < x2
(b) f เปน ฟงกชนลด (decreasing function) บนชวง I ถา f(x1) > f(x2) เมอx1 < x2
(c) f เปน ฟงกชนคงตว (constant function) ถา f(x1) = f(x2) สำหรบทกคา x1
และ x2
ทฤษฎบท 6.4 กำหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงปด [a, b] และหาอนพนธไดบนชวงเปด(a, b)
(a) ถา f ′(x) > 0 สำหรบทกคา x ∈ (a, b) แลว f เปนฟงกชนเพมบนชวง [a, b]
(b) ถา f ′(x) < 0 สำหรบทกคา x ∈ (a, b) แลว f เปนฟงกชนลดบนชวง [a, b]
(c) ถา f ′(x) = 0 สำหรบทกคา x ∈ (a, b) แลว f เปนฟงกชนคงตวบนชวง [a, b]
ถงแมวาทฤษฎบท 6.4 กลาวเฉพาะฟงกชนทนยามบนชวงปด แตทฤษฎบท 6.4 นสามารถนำมาใชกบชวงใดๆได เชนถา f ตอเนองบนชวง [a,+∞) และ f ′(x) > 0 บนชวง (a,+∞)
แลว f เปนฟงกชนเพมบนชวง [a,+∞) และถา f ตอเนองบนชวง (−∞,+∞) และ f ′(x) <
0 บนชวง (−∞,+∞) แลว f เปนฟงกชนลดบนชวง (−∞,+∞)
ตวอยาง 6.7 จงหาชวงททำให f(x) = 3x4 + 4x3 − 12x2 − 5 เปนฟงกชนเพม และชวงททำใหf(x) เปนฟงกชนลด
วธทำ . . . . . . . . .
ทฤษฎบท 6.5 การทดสอบโดยใชอนพนธอนดบหนง (First Derivative Test) กำหนดให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a, b] และ c ∈ (a, b) เปนคาวกฤตของ f
(a) ถา f ′(x) > 0 สำหรบทกคาของ x ∈ (a, c) และ f ′(x) < 0 สำหรบทกคาของ x ∈ (c, b)(
นนคอ f ′ เปลยนเครองหมายจากบวกเปนลบท c)
แลว f มคาสงสดสมพทธท c
(b) ถา f ′(x) < 0 สำหรบทกคาของ x ∈ (a, c) และ f ′(x) > 0 สำหรบทกคาของ x ∈ (c, b)(
นนคอ f ′ เปลยนเครองหมายจากลบเปนบวกท c)
แลว f มคาตำสดสมพทธท c
(c) ถา f ′(x) มเครองหมายเหมอนกนบนชวง (a, c) และ (c, b)(
นนคอ f ′ มเครองหมายบวกทงสองดานของ c หรอมเครองหมายลบทงสองดานของ c
)
แลว f ไมมคาสดขดสมพทธท c
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 100
รปภาพตอไปนจะชวยใหเขาใจทฤษฎบท 6.5 มากขนy
x0 c
f ′(x) > 0 f ′(x) < 0
(a) f มคาสงสดสมพทธ
y
x0 c
f ′(x) < 0 f ′(x) > 0
(b) f มคาตำสดสมพทธy
x0 c
f ′(x) > 0
f ′(x) > 0
(c) f ไมมคาสดขดสมพทธ
y
x0 c
f ′(x) < 0
f ′(x) < 0
(d) f ไมมคาสดขดสมพทธ
ตวอยาง 6.8 จงหาคาสงสดหรอคาตำสดสมพทธของฟงกชนในตวอยาง 6.7
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 6.9 จงหาคาสงสดหรอคาตำสดสมพทธของฟงกชน f(x) = x(x− 1)3
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 6.10 จงหาคาสดขดสมพทธของฟงกชน f(x) = (sin x)2/3 บนชวง(
−π6, 2π
3
)
วธทำ . . . . . . . . .
แบบฝกหด 6.2
1. จงหาชวงททำใหฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนเพม และฟงกชนลด(a) f(x) = x3 − 3x+ 2 (b) f(x) = x4 − 8x2 + 1
(c) f(x) = x6 + 192x+ 17 (d) f(x) = (x+ 1)2/3
(e) f(x) = x− 2 sin x, [0, 2π] (f) f(x) = sin 3x, [0, π]
(g) f(x) = ex2−1 (h) f(x) = (ln x)/
√x
2. จงหาคา x ททำใหฟงกชนตอไปนมคาสดขด(
คาสดขดสมบรณ หรอคาสดขดสมพทธ)
พรอมทงเขยนกราฟ
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 101
(a) f(x) = x3 + 2x2 − x− 1 (b) f(x) = x√x2 + 1
(c) f(x) = xe−2x (d) f(x) = ln x2
(e) f(x) =x
x2 − 1(f) f(x) =
x3
x2 − 1
(g) f(x) = sin x+ cosx (h) f(x) =√x3 + 3x2
(i) f(x) = x2/3 − 2x−1/3
3. จงเขยนกราฟของฟงกชน ทมคณสมบตตามทกำหนดให
(a) f(0) = 1, f(2) = 5, f ′(x) < 0 สำหรบ x < 0 และ x > 0, f ′(x) > 0
สำหรบ 0 < x < 2
(b) f(−1) = 1, f(2) = 5, f ′(x) < 0 สำหรบ x < −1 และ x > 2, f ′(x) > 0
สำหรบ −1 < x < 2, f ′(−1) = 0, f ′(2) หาคาไมได
(c) f(3) = 0, f ′(x) < 0 สำหรบ x < 0 และ x > 3, f ′(x) > 0 สำหรบ 0 < x < 3,
f ′(3) = 0, f(0) และ f ′(0) หาคาไมได
(d) f(1) = 0, limx→∞
f(x) = 2, f ′(x) < 0 สำหรบ x < 1, f ′(x) > 0 สำหรบx > 1, f ′(1) = 0
4. จงแสดงวา 5 เปนคาวกฤตของฟงกชน g(x) = 2 + (x − 5)3 แต g ไมมคาสดขดสมพทธท5
5. จงหาฟงกชน f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d ทมคาสงสดสมพทธท −2 เทากบ 3 และมคาตำสดสมพทธท 1 เทากบ 0
6. สมมตให f เปนฟงกชนตอเนอง และหาอนพนธไดททกคาของ x จงพจารณาวาขอความตอไปน เปนจรงหรอ เปนเทจ
(a) ถา f เปนฟงกชนลดบนชวง [0, 2] แลว f(0) > f(1) > f(2)
(b) ถา f ′(1) > 0 แลว f เปนฟงกชนเพมบนชวง [0, 2]
(c) ถา f เปนฟงกชนเพมบนชวง [0, 2] แลว f ′(1) > 0
(d) ถา f มคาสงสดสมพทธท x = 1 แลว f(1) ≥ f(2)
(e) ถา f มคาสงสดสมพทธท x = 1 แลว x = 1 เปนคาวกฤตของ f
คำตอบแบบฝกหด 6.2
1. (a) ฟงกชนเพม: (−∞,−1) ∪ (1,∞) ; ฟงกชนลด: (−1, 1)
(b) ฟงกชนเพม: (−2, 0) ∪ (2,∞) ; ฟงกชนลด: (−∞,−2) ∪ (0, 2)
(c) ฟงกชนเพม: (−2,∞) ; ฟงกชนลด: (−∞,−2)
(d) ฟงกชนเพม: (−1,∞) ; ฟงกชนลด: (−∞,−1)
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 102
(e) ฟงกชนเพม: (π3, 5π
3) ∪ (7π
3, 3π) ; ฟงกชนลด: (0, π
3) ∪ (5π
3, 7π
3)
(f) ฟงกชนเพม: (0, π6) ∪ (3π
6, 5π
6) ; ฟงกชนลด: (π
6, 3π
6) ∪ (5π
6, π)
(g) ฟงกชนเพม: (0,∞) ; ฟงกชนลด: (−∞, 0)
(h) ฟงกชนเพม: (0, e2) ; ฟงกชนลด: (e2,∞)
2. (a) คาสงสดสมพทธทx = −23−
√73; คาตำสดสมพทธท x = −2
3+
√73
x
y
2
2
(b) ไมมคาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ
x
y
10
2
(c) คาสงสดสมบรณท x = 12
x
y0.2
1
(d) ไมมคาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ
x
y
1
1
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 103
(e) ไมมคาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ
x
y
2
1
(f) คาสงสดสมบรณท x = −√3 ; คาตำสดสมบรณท x =
√3
x
y
2
4
(g) คาสงสดสมบรณทx = π4+ 2nπ ; คาตำสดสมบรณท x = 5π
4+ 2nπ
x
y
2
π
(h) คาสงสดสมพทธท x = −2 ; คาตำสดสมบรณท x = 0
x
y
2
1
(i) คาตำสดสมบรณท x = −1
x
y
2
2
5. f(x) = 19(2x3 + 3x2 − 12x+ 7)
6. (a) เปนจรง (b) เปนเทจ (c) เปนเทจ (d) เปนเทจ (e) เปนจรง
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 104
6.3 ความเวา
แมวาอนพนธของฟงกชน f จะบอกชวงททำใหกราฟของ f มลกษณะเพมขนหรอลดลง แตไมไดบอกวากราฟมลกษณะโคงแบบใด ตวอยางเชนกราฟของรปท 6.4 ทงสองกราฟ มลกษณะเพมขน แตมลกษณะของโคงไมเหมอนกน กราฟทางดานซายมอมลกษณะเวาอยดานบน ในขณะทกราฟทางดานขวามอมลกษณะเวาอยดานลาง สำหรบชวงททำใหกราฟของ f มความเวาอยดานบนเรากลาววา f เวาบน (concave up) บนชวงนน และชวงททำใหกราฟของ f มความเวาอยดานลาง จะกลาววา f เวาลาง (concave down) บนชวงนน
y
x0 a b
y
x0 a b
รปท 6.4:
รปท 6.5 ชวยใหเราสามารถพจารณาความเวาของฟงกชนบนชวงเปดใดๆ ดงน
• f เวาบน บนชวงเปดใดๆ ถาความชนของเสนสมผสโคงเพมขนบนชวงนน และ f เวาลางถาความชนของเสนสมผสโคงลดลงบนชวงนน
• f เวาบน บนชวงเปดใดๆ ถากราฟของ f อยบนเสนสมผสโคงบนชวงนน และ f เวาลางถากราฟของ f อยลางเสนสมผสโคงบนชวงนน
y
x0 a b
y
x0 a b
รปท 6.5:
บทนยาม 6.5 ถา f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนเปด I ใดๆ แลว
(a) f จะ เวาบน(concave up) บนชวง I ถา f ′ เปนฟงกชนเพมบนชวง I
(b) f จะ เวาลาง(concave down) บนชวง I ถา f ′ เปนฟงกชนลดบนชวง I
เนองจากความชนของเสนสมผสกราฟของฟงกชน f ซงเปนฟงกชนทหาอนพนธได คอคาของอนพนธ f ′ และจากทฤษฎบท 6.4 จะไดวา f ′ เปนฟงกชนเพมบนชวงท f ′′ มคาเปนบวก และf ′ เปนฟงกชนลดบนชวงท f ′′ มคาเปนลบ ดงทกลาวในทฤษฎบทตอไปน
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 105
ทฤษฎบท 6.6 กำหนดให f ′′ หาคาไดบนชวงเปด I ใดๆ
(a) ถา f ′′(x) > 0 สำหรบทก x บนชวง I แลว f จะเวาบนบนชวง I
(b) ถา f ′′(x) < 0 สำหรบทก x บนชวง I แลว f จะเวาลางบนชวง I
บทนยาม 6.6 ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวงเปดใดๆ ทบรรจคา c และถา f มการเปลยนความเวาทจด (c, f(c)) แลว f จะม จดเปลยนเวา (inflection point) ท c และจะเรยกจด(c, f(c)) บนกราฟของ f วา จดเปลยนเวาของ f
ตวอยาง 6.11 จงพจารณาความเวาของฟงกชน f(x) = x4 − 6x2 +3 และหาจดเปลยนเวา (ถาม)
วธทำ . . . . . . . . .
ทฤษฎบท 6.7 การทดสอบโดยใชอนพนธอนดบสอง (Second Derivative Test) กำหนดให f เปนฟงกชนทมอนพนธอนดบสองท c
(a) ถา f ′(c) = 0 และ f ′′(c) < 0 แลว f มคาสงสดสมพทธท c
(b) ถา f ′(c) = 0 และ f ′′(c) > 0 แลว f(c) มคาตำสดสมพทธท c
(c) ถา f ′(c) = 0 และ f ′′(c) = 0 แลวการทดสอบนไมสามารถหาขอสรปได นนคอ f อาจจะมคาสงสดสมพทธ หรอคาตำสดสมพทธ หรอไมมคาสดขดสมพทธท c
ตวอยาง 6.12 จงหาคาสดขดสมพทธของ f(x) = 3x5 − 5x3
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 6.13 กำหนดฟงกชน f(x) = x4 − 4x3 + 12
• จงหาชวงททำให f เปนฟงกชนเพม และฟงกชนลด
• จงหาคาสงสด และคาตำสดสมพทธ (ถาม) ของ f
• จงหาชวงททำใหกราฟของ f เวาบน หรอเวาลาง และหาจดเปลยนเวา (ถาม)
• จงเขยนกราฟของ f โดยใชขอมลทหาไดขางตน
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 6.14 กำหนดฟงกชน f(x) = x2/3(6− x)1/3
• จงหาชวงททำให f เปนฟงกชนเพม และฟงกชนลด
• จงหาคาสงสด และคาตำสดสมพทธ (ถาม)
• จงหาชวงททำให f เวาบน หรอเวาลาง และหาจดเปลยนเวา (ถาม)
• จงเขยนกราฟของฟงกชนโดยใชขอมลทหาไดขางตน
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 106
วธทำ . . . . . . . . .
แบบฝกหด 6.3
1. จงหาชวงททำใหกราฟของฟงกชนตอไปนเวาบน และเวาลาง(a)
x
y
10
20
1 3−1−3
(b)
x
y1
2 4−2−4
(c)
x
y
5
10
−5
−10
2 4−2
(d)
x
y
5
10
−5
1 2 3−1−3
2. จากฟงกชนทกำหนดใหตอไปน
• จงหาชวงททำใหฟงกชนเพมขน และลดลง
• จงหาคาสงสด และคาตำสดสมพทธ (ถาม)
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 107
• จงหาชวงททำใหฟงกชนเวาบนหรอเวาลาง และหาจดเปลยนเวา (ถาม)
• จงเขยนกราฟของฟงกชนโดยใชขอมลทหาไดขางตน
(a) f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x (b) f(x) = x4 − 6x2
(c) f(x) = 3x5 − 5x3 + 3 (d) f(x) = x√x2 + 1
(e) f(x) = x1/3(x+ 3)2/3 (f) f(x) = sin2 x
3. จงเขยนกราฟของฟงกชนทมคณสมบตทกำหนดใหตอไปน
(a) f(0) = 2, f ′(x) > 0 สำหรบทกคาของ x, f ′(0) = 1, f ′′(x) > 0 สำหรบx > 0, f ′′(x) < 0 สำหรบ x < 0, f ′′(0) = 0
(b) f(0) = 1, f ′(x) ≥ 0 สำหรบทกคาของ x, f ′(0) = 0, f ′′(x) > 0 สำหรบx > 0, f ′′(x) < 0 สำหรบ x < 0, f ′′(0) = 0
(c) f(0) = 0, f ′(x) > 0 สำหรบ x < −1 และ −1 < x < 1, f ′(x) < 0 สำหรบx > 1, f ′′(x) > 0 สำหรบ x < −1, 0 < x < 1 และ x > 1, f ′′(x) < 0
สำหรบ −1 < x < 0
(d) f(0) = 2, f ′(x) > 0 สำหรบทกคาของ x, f ′(0) = 1, f ′′(x) > 0 สำหรบx < 0, f ′′(x) < 0 สำหรบ x > 0
(e) f(0) = 0, f(−1) = −1, f(1) = 1, f ′(x) > 0 สำหรบ x < −1 และ0 < x < 1, f ′(x) < 0 สำหรบ −1 < x < 0 และ x > 1, f ′′(x) < 0 สำหรบx < 0 และ x > 0
(f) f(1) = 0, f ′(x) < 0 สำหรบ x < 1, f ′(x) > 0 สำหรบ x > 1, f ′′(x) < 0
สำหรบ x < 1 และ x > 1
คำตอบแบบฝกหด 6.3
1. (a) เวาบน: (−∞,−1) ∪ (1,∞) ; เวาลาง: (−1, 1)
(b) เวาบน: (−∞, 0) ; เวาลาง: (0,∞)
(c) เวาบน: (1,∞) ; เวาลาง: (−∞, 1)
(d) เวาบน: (−1, 0) ∪ (1,∞) ; เวาลาง: (−∞,−1) ∪ (0, 1)
2. (a) เพมขน: (−∞,−1) ∪ (2,∞) ; ลดลง: (−1, 2)
คาสงสดสมพทธ: f(−1) = 7 ; คาตำสดสมพทธ: f(2) = −20
เวาบน: (12,∞) ; เวาลาง: (−∞, 1
2) ; จดเปลยนเวา: (1
2,−13
2)
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 108
x
y
5
−10
−20
1
b
b
b
(b) เพมขน: (−√3, 0) ∪ (
√3,∞) ; ลดลง: (−∞,−
√3) ∪ (0,
√3)
คาตำสดสมพทธ: f(±√3) = −9 ; คาสงสดสมพทธ: f(0) = 0
เวาบน: (−∞,−1) ∪ (1,∞) ; เวาลาง: (−1, 1) ; จดเปลยนเวา: (±1,−5)
x
y
−10
1−1
b b
b
b b
(c) เพมขน: (−∞,−1) ∪ (1,∞) ; ลดลง: (−1,−1)
คาสงสดสมพทธ: f(−1) = 5 ; คาตำสดสมพทธ: f(1) = 1
เวาบน: (−1/√2, 0) ∪ (1/
√2,∞) ; เวาลาง: (−∞,−1/
√2) ∪ (1/
√2,∞)
จดเปลยนเวา: (0, 3), (±1/√2, 3∓ 7
8
√2)
x
y
5
1−1
b
b
b
b
b
(d) เพมขน: (−∞,∞) ; ไมมคาสงสดและคาตำสดสมพทธเวาบน: (0,∞) ; เวาลาง: (−∞, 0) ; จดเปลยนเวา: (0, 0)
x
y
b
e) เพมขน: (−∞,−3) ∪ (−1,∞) ; ลดลง: (−3,−1)
คาสงสดสมพทธ: f(−3) = 0 ; คาตำสดสมพทธ: f(−1) = − 3√4
เวาบน: (−∞,−3) ∪ (−3, 0) ; เวาลาง: (0,∞) ; จดเปลยนเวา: (0, 0)
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 109
x
y
2
1b
b
b
(f) เพมขน: (0, π/2) ∪ (π, 3π/2) ; ลดลง: (π/2, π) ∪ (3π/2, 2π)
คาสงสดสมพทธ: f(π/1) = f(3π/2) = 1 ; คาตำสดสมพทธ: f(π) = 0
เวาบน: (0, π/4) ∪ (3π/4, 5π/4) ∪ (7π/4, 2π)
เวาลาง: (π/4, 3π/4) ∪ (5π/4, 7π/4)
จดเปลยนเวา: (π/4, 12), (3π/4, 1
2), (5π/4, 1
2), (7π/4, 1
2)
x
y
b
b
b
b
b
b
b
b
b
0
1
π2
π 3π2
2π
6.4 รปแบบยงไมกำหนดและหลกเกณฑโลปตาล
ในหวขอนเราจะกลาวถงวธการทวไปในการหาลมตโดยใชอนพนธ ซงเปนวธการทนยมใชมากในการหาลมตโดยใชโปรแกรมคอมพวเตอร และสามารถหาลมตไดหลากหลายรปแบบ
6.4.1 รปแบบยงไมกำหนด 0/0
โดยทวไปถาลมตอยในรปแบบ
limx→a
f(x)
g(x)
โดยท f(x) → 0 และ g(x) → 0 เมอ x → a แลวจะเรยกลมตรปแบบนวา รปแบบยงไมกำหนด0/0
(
indeterminate form of type 0/0)
และคาของลมตอาจจะหาคาไดหรอหาคาไมไดเราไดพบลมตในรปแบบนมาแลวบางในบทท 4 ตวอยางเชน
limx→2
x3 + 2x− 5
x2 − 3= 7 และ lim
x→0
sin x
x= 1
ลมตแรกเปนลมตของฟงกชนตรรกยะ ซงสามารถหาคาลมตไดโดยการตดทอนตวประกอบรวม สำหรบลมตทสอง เราสามารถใชวธการเชงเรขาคณตในการหาคาลมต อยางไรกตามมรปแบบลมตหลายรปแบบทไมสามารถใชวธการทางพชคณต หรอวธการเชงเรขาคณตหาคาลมตได
ดงนนในหวขอนเราจะเรยนรวธการทเรยกวา หลกเกณฑโลปตาล (L’Hospital’s Rule) ซงจะใชในการหาลมตในรปแบบยงไมกำหนด
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 110
ทฤษฎบท 6.8(
หลกเกณฑโลปตาลสำหรบรปแบบยงไมกำหนด 0/0)
สมมตให f และ g เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนชวงเปดทบรรจจด x = a (อาจจะยกเวนท x = a) และให
limx→a
f(x) = 0 และ limx→a
g(x) = 0
ถา limx→a
[f ′(x)/g′(x)] หาคาได หรอถาคาลมตเปน +∞ หรอ −∞ แลว
limx→a
f(x)
g(x)= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
นอกจากนขอความขางตนยงคงเปนจรงสำหรบกรณของลมตเมอ x → a−, x → a+, x →−∞ หรอเมอ x → +∞
ตวอยางตอไปนจะใชหลกเกณฑโลปตาลในการหาคาลมต โดยมขนตอนดงน
ขนตอนท 1 ตรวจสอบวา limx→a
f(x)
g(x)อยในรปแบบยงไมกำหนด 0/0
ขนตอนท 2 หาอนพนธของ f และ g แยกกน
ขนตอนท 3 หาคา limx→a
f ′(x)
g′(x)ถาลมตหาคาได หรอคาลมตเปน +∞ หรอ −∞ แลวจะไดวา
limx→a
f ′(x)
g′(x)= lim
x→a
f(x)
g(x)
ตวอยาง 6.15 จงหาคาของ limx→1
ln x
1− x
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 6.16 จงหาคาของ limx→0
1− cosx
sin x
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 6.17 จงหาคาของ limx→0
tan x− x
x3
วธทำ . . . . . . . . .
6.4.2 รปแบบยงไมกำหนด ∞∞
ถาพจารณาลมตในรปแบบ
limx→a
f(x)
g(x)
โดยท f(x) → +∞ (หรอ −∞) และ g(x) → +∞ (หรอ −∞) เมอ x → a แลวจะไดวาลมตอาจจะหาคาไดหรอหาคาไมได และจะเรยกลมตรปแบบลกษณะนวา รปแบบยงไมกำหนด ∞/∞(
indeterminate form of type ∞/∞)
เราไดพบลมตในรปแบบนมากอนแลว เชน
limx→+∞
2x2 − 3
3x2 − 5x
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 111
จากหวขอ 4.3 จะไดวาลมตนสามารถหาคาได โดยการหารตวเศษและตวสวนดวย x ยกกำลงเลขชกำลงมากทสดของตวสวน นนคอ
limx→+∞
2x2 − 3
3x2 − 5x= lim
x→+∞
(2x2 − 3)/x2
(3x2 − 5x)/x2
= limx→+∞
2− 3
x2
3− 5
x
=2− 0
3− 0=
2
3
อยางไรกตามเราไมสามารถใชวธการนกบการหาคาลมต
limx→1
ln x
1− x
แตหลกเกณฑโลปตาลสามารถนำมาใชในการหาลมตรปแบบยงไมกำหนด ∞/∞
ทฤษฎบท 6.9(
หลกเกณฑโลปตาลสำหรบรปแบบยงไมกำหนด ∞/∞)
สมมตให f และ g
เปนฟงกชนทหาอนพนธไดบนชวงเปดทบรรจจด x = a (อาจจะยกเวนท x = a) และให
limx→a
f(x) = ±∞ และ limx→a
g(x) = ±∞
ถา limx→a
[f ′(x)/g′(x)] หาคาได หรอถาคาลมตเปน +∞ หรอ −∞ แลว
limx→a
f(x)
g(x)= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
นอกจากนขอความขางตนยงคงเปนจรงสำหรบกรณของลมตเมอ x → a−, x → a+, x →−∞ หรอเมอ x → +∞
ตวอยาง 6.18 จงหาคาของ limx→+∞
ex
x2
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 6.19 จงหาคาของ limx→0+
ln x
csc x
วธทำ . . . . . . . . .
6.4.3 รปแบบยงไมกำหนด 0 · ∞ถา lim
x→af(x) = 0 แต lim
x→ag(x) = ±∞ แลวไมมความชดเจนวา lim
x→af(x)g(x) มคาเทาไร?
เราเรยกลมตในรปแบบนวา รปแบบยงไมกำหนด 0 · ∞(
indeterminate form of type0 ·∞
)
ลมตในรปแบบยงไมกำหนด 0 ·∞ สามารถหาคาได โดยการเขยนผลคณ fg ในรปผลหารนนคอ
fg =f
1/gหรอ fg =
g
1/f
จากนนใชหลกเกณฑโลปตาลหาลมตสำหรบรปแบบยงไมกำหนด 0/0 หรอ ∞/∞
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 112
ตวอยาง 6.20 จงหาคาของ limx→0+
x ln x
วธทำ . . . . . . . . .
หมายเหต อกวธหนงของการหาคาลมตของตวอยาง 6.20 คอเขยนลมตใหมในรป
limx→0+
x ln x = limx→0+
x
1/ lnx
ซงลมตทางขวามอมรปแบบยงไมกำหนด 0/0 แตการใชหลกเกณฑโลปตาลในกรณนจะมความยงยากมากกวา เพราะตองหาอนพนธของ 1/ lnx ดงนนโดยทวไปการเปลยนรปแบบยงไมกำหนดจาก 0 · ∞ เปนรปแบบยงไมกำหนด 0/0 หรอ ∞/∞ ควรเลอกกรณทนำไปสการหาลมตทงายกวา
ตวอยาง 6.21 จงหาคาของ limx→π/4
(1− tanx) sec 2x
วธทำ . . . . . . . . .
6.4.4 รปแบบยงไมกำหนด ∞−∞ถาคาลมต lim
x→a[f(x)− g(x)] อยในรป
(+∞)− (+∞), (−∞)− (−∞), (+∞) + (−∞), (−∞) + (+∞)
แลวจะเรยกลมตรปแบบนวา รปแบบยงไมกำหนด ∞−∞(
indeterminate form of type∞−∞
)
การหาคาลมตในรปแบบน บางครงสามารถหาไดโดยการเปลยนรปลมตของผลตางเปนลมตของผลหาร ซงจะไดลมตทมรปแบบยงไมกำหนด 0/0 หรอ ∞/∞
ตวอยาง 6.22 จงหาคาของ limx→0
[
1
ln(x+ 1)− 1
x
]
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 6.23 จงหาคาของ limx→(π/2)−
(sec x− tanx)
วธทำ . . . . . . . . .
6.4.5 รปแบบยงไมกำหนด 00,∞0, 1∞
รปแบบยงไมกำหนดหลายรปแบบเกดขนมาจากลมตในรป
limx→a
[
f(x)]g(x)
ซงแบงเปนกรณไดดงน
1. limx→a
f(x) = 0 และ limx→a
g(x) = 0 จะไดรปแบบยงไมกำหนด 00
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 113
2. limx→a
f(x) = ∞ และ limx→a
g(x) = 0 จะไดรปแบบยงไมกำหนด ∞0
3. limx→a
f(x) = 1 และ limx→a
g(x) = ±∞ จะไดรปแบบยงไมกำหนด 1∞
ในแตละกรณเราสามารถหาคาลมตได เรมดวยการให
y =[
f(x)]g(x)
จากนนหาลมตของ ln y เนองจาก
ln y = ln[
f(x)]g(x)
= g(x) · ln[f(x)]
ดงนนลมตของ ln y จะมรปแบบยงไมกำหนด 0 ·∞ ซงสามารถหาคาลมตได โดยวธการทกลาวมาขางตน หลงจากททราบคาลมตของ ln y แลวเราสามารถหาคาลมตของ y =
[
f(x)]g(x) ดงตวอยาง
ตอไปน
ตวอยาง 6.24 จงหาคาของ limx→0
(tanx)sinx
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 6.25 จงหาคาของ limx→+∞
(ex + x)1
x
วธทำ . . . . . . . . .
ตวอยาง 6.26 จงหาคาของ limx→1+
x1
x−1
วธทำ . . . . . . . . .
แบบฝกหด 6.4
จงหาคาของลมตตอไปน
1. limx→−2
x+ 2
x2 − 42. lim
x→−2
x+ 1
x2 + 4x+ 3
3. limx→+∞
3x2 + 2
x2 − 44. lim
x→−∞
x+ 1
x2 + 4x+ 3
5. limx→0
ex − 1
sin x6. lim
x→0
sin x
x3
7. limx→0
sin x− x
x38. lim
x→1
√x− 1
x− 1
9. limx→+∞
x3
ex10. lim
x→0
ex − 1
x
เอกสารประกอบการสอนวชา SC142 จดทำโดย ดร.อจฉรา ปาจนบรวรรณ 114
11. limx→1
sin πx
x− 112. lim
x→+∞
ln x
x2
13. limx→+∞
xe−x 14. limx→0
x sin x
cos x− 1
15. limx→0+
x ln x 16. limx→0+
ln x
cot x
17. limx→+∞
(√x2 − 1− x
)
18. limx→+∞
(
1 +1
x
)x
19. limx→0+
(
lnx+1
x
)
20. limx→0+
(1/x)x
21. limx→0+
xsinx 22. limx→0
(1− 2x)1/x
คำตอบแบบฝกหด 6.4
1. −14
2. 1 3. 3 4. 0 5. 1 6. ∞ 7. −16
8. 12
9. 0
10. 1 11. −π 12. 0 13. 0 14. −2 15. 0 16. 0 17. 0 18. e
19. ∞ 20. 1 21. 1 22. e−2