บทที่ 2

ทฤษฎีบททวินามและอเนกนาม

1142701 ความน่าจะเป็นและสถิติเบ้ืองต้น อาจารย์รัชนีกร ทบประดิษฐ์

1.1 สัมประสิทธิ์ทวนิาม (Binomial Coefficient)

ก าหนดให้ n, r เป็นจ านวนเต็มบวก และ สัญลักษณ์ หรือ อ่านว่า สัมประสิทธิ์ทวนิามเอ็นอาร ์ซึ่งมีความหมายตามบทนิยามดังต่อไปนี ้

บทนิยาม 1 ก าหนดให้ n เป็นจ านวนเต็มบวก และ r เป็นจ านวนเต็มบวกรวมศูนย์ ที่ แล้ว

นั่นคือ

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem)

n rnrC n

r

n r

!

! !nr

n nC

r r n r

!

! !nr

n nC

r r n r

เป็นจ านวนวิธีของการเลือกทีละ r จ านวนจากจ านวนที่แตกต่างกันทั้งหมด n จ านวน

ตัวอย่าง จงหาค่าของจ านวนต่อไปนี ้

1. 2. 3.

4. 5. 6.

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem)

6

4

7

3

7

4

8

0

9

9

4

1

ข้อสังเกต จากตัวอย่างข้างต้น จึงสรุปได้ว่า ส าหรับ n เป็นจ านวนเต็มบวก และ r เป็นจ านวนเต็มบวกรวมศูนย์ และ จะได้ว่า

1.

2.

3.

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem)

n rn n

r n r

10

n n

n

1

nn

1.2 ทฤษฎบีททวนิาม

ก าหนดให้ n เป็นจ านวนเต็มบวก และ r เป็นจ านวนเต็มบวกรวมศูนย์ โดยที่ จะได้ว่า

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomail Theorem)

0

nn n r r

r

na b a b

r

n r

1 2

0 1 2n n n n n n n

n n n na b a a b a b a b

n

หรือ

หรือ 1 2

1 2n n n n n

n na b a a b a b b

ข้อสังเกต

1. จ านวนพจน์ที่ได้จากการกระจาย มีทั้งหมด n+1 พจน์

2. เลขชี้ก าลังของ เริ่มจาก n แล้วลดลงทีละ 1 จนถึง 0 และเลขชี้ก าลังของ เริ่มจาก 0 แล้วเพิ่มขึ้นทีละ 1 จนถึง n

3. ในแต่ละพจน์ ผลบวกของเลขชี้ก าลังของ x และ y เท่ากับ n เสมอ

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem)

na b

a b

ข้อสังเกต จากการกระจายจะได้ว่า

พจน์ที่ คือ นั่นคือ

1r n r rna b

r

1n r r

r

nT a b

r

พิจารณาตัวอย่างการกระจาย

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem)

na b

0

1

2 2 2

3 3 2 2 3

4 4 3 2 2 3 4

5 5 4 3 2 2 3 4 5

1

2

3 3

4 6 4

5 10 10 5

a b

a b a b

a b a ab b

a b a a b ab b

a b a a b a b ab b

a b a a b a b a b ab b

ถ้าน าสัมประสิทธิ์จากการกระจายข้างต้นมาเขียนเป็นรูปสามเหลี่ยม จะได้รูปดังต่อไปนี ้

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem)

0

0

1 1

0 1

2 2 2

0 1 2

3 3 3 3

0 1 2 3

4 4 4 4 4

0 1 2 3 4

5 5 5 5 5 5

0 1 2 3 4 5

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

รูปสามเหลี่ยมข้างต้น เรียกว่า สามเหลี่ยมปาสคาล ตามชื่อนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ชื่อ Blaise Pascal ซึ่งเป็นผูท้ี่น าสัมประสิทธิ์ของการกระจาย

เมื่อ a, b เป็นจ านวนจริงใด ๆ และ n เป็นจ านวนเต็มบวกมาเขียนเรียงกัน โดยมีลักษณะเป็นรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem)

na b

ตัวอย่าง 1 จงกระจาย โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม

วิธีท า จากทฤษฎีบททวินาม จะได้ว่า

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem)

52 2x y

5 5 4 3 22 2 2 2

2 3 4 52 2

5 4 3 22 32 2 2 2

4 52

10 8 6 2 4 3 2 4 5

5 5 52 2 2

0 1 2

5 5 52 2 2

3 4 5

5 2 10 2 10 2

5 2 2

10 40 80 80 32

x y x x y x y

x y x y y

x x y x y x y

x y y

x x y x y x y x y y

ตัวอย่าง 2 จงกระจาย โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม

วิธีท า จากทฤษฎีบททวินาม จะได้ว่า

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem)

42 3x y

ตัวอย่าง 3 จงหาสัมประสิทธิ์ของ ในการกระจาย

วิธีท า..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem)

82 3x y

5 3x y

ตัวอย่าง 4 จงหาสัมประสิทธิ์ของ ในการกระจาย

วิธีท า..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem)

8x10

2 2x

x

ตัวอย่าง 5 จงหาสัมประสิทธิ์ของ ในการกระจาย

วิธีท า..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem)

3 7x y 102x y

ตัวอย่าง 6 จงหาพจน์ที่ไม่มี ปรากฏอยู่เลยในการกระจาย

วิธีท า..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem)

x12

2 1x

x

ส าหรับการหาพจน์กลางของการกระจาย เราพบว่า

ถ้า เป็นจ านวนคู่ แล้วพจน์กลางเท่ากับ พจน์ที่ เช่น

ถ้า เราจะได้ว่าพจน์กลางจะเท่ากับ พจน์ที่ 7

ถ้า เป็นจ านวนคี่ แล้วพจนก์ลางจะมี 2 พจน์ คือ พจนท์ี่ และ

เช่น

ถ้า เราจะได้ว่าพจน์กลางจะเท่ากับ พจนท่ี์ 6 และพจน์ที่ 7

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem)

na bn 1

2

n

12n

n 1

2

n 11

2

n

11n

ตัวอย่าง 7 จงหาสัมประสิทธิข์องพจน์กลางจาก การกระจาย

วิธที า พจน์กลางของการกระจาย คือ พจน์ที่ 4 เนื่องจากมีการกระจาย 7 พจน์ จากสูตร

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem) 6

2 1

3y

62 1

3y

1n r r

r

nT a b

r

3

6 323 1

2 2

6 13 3

1 2020

27 27

T y

y y

ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของพจน์กลาง คือ 2027

ตัวอย่าง 8 จงหาพจน์กลางของการกระจาย

วิธีท า

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem) 102

xx

การกระจาย เมื่อ เป็นจ านวนตรรกยะ

เราจะได้ว่า การกระจาย เมื่อ เป็นจ านวนเต็มลบหรือเศษส่วน จะมีจ านวนพจน์ไม่จ ากัด

ซึ่งสูตรการกระจาย เมื่อ เป็นจ านวนตรรกยะ คิดค้นโดย Issac Newton กล่าวคือ

และเราจะเรียกอนุกรม

ว่า อนุกรมทวินาม (Binomial Series)

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem)

1 nx n

1 nx n

n 1 nx

2 31 1 2

1 12 ! 3 !

n n n n n nx nx x x

2 31 1 21

2 ! 3 !

n n n n nnx x x

ข้อสังเกต

พจน์ที่ เมื่อ คือ

หรือ

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem)

1r 0r

1 2 1

r!rn n n n rx

1

1 2 1

r!r

r

n n n n rT x

ตัวอย่าง 9 จงกระจาย

วิธีท า

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem)

2 31 x

ตัวอย่าง 10 จงกระจาย

วิธีท า

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem)

52 3x

ตัวอย่าง 11 จงหาพจน์ทั่วไปของ

วิธีท า

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem)

2 31 x

ตัวอย่าง 12 จงหาพจน์ที่ 4 ของการกระจาย

วิธีท า

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

ทฤษฎีบททวนิาม (Binomial Theorem)

1 31 3x

ให้ m, n เป็นจ านวนนับ และ เป็นจ านวนจริงใด ๆ จะได้ว่า

เมื่อ

ทฤษฎีบทอเนกนาม (Multinomial Theorem)

1 2, x , , x nx

1 2

1 2

1 2

1 2 1 21 2

n n, n , , n 0

x x x x,n , ,n

m

m

m

nn n n n

m mm

n nn

nx x

n

1 2 1 2

!,n , ,n !n ! n !m m

n nn n

ตัวอย่าง 13 จงใช้ทฤษฎีบทอเนกนามในการกระจาย วิธีท า

ทฤษฎีบทอเนกนาม (Multinomial Theorem)

3x y z

3 3 3 3 2

2 2 2

2 2

3 3 3 2 2 2 2

3 3 3 3

3,0,0 0,3,0 0,0,3 2,1,0

3 3 3 3

2,0,1 1,2,0 1,0,2 1,1,1

3 3

0,1,2 0,2,1

3 3 3 3 6

x y z x y z x y

x z xy xz xyz

yz xy

x y z x y x z xy xz xyz

ตัวอย่าง 14 จงหาสัมประสิทธิ์ของ ในการกระจาย วิธที า จากทฤษฎบีทอเนกนาม จะไดว้่า

และ และ ตามล าดับ

และเนื่องจาก ดังนั้น และ

เพราะฉะนั้น พจน์ทั่วไปของการกระจาย คือ

ดังนั้น สัมประสิทธิข์อง ในการกระจาย คือ 27,720

ทฤษฎีบทอเนกนาม (Multinomial Theorem)

12a b c 3 4 5a b c

12n 3m 1 2 3, ,x a x b x c

3 4 5 12 1 23, 4n n 3 5n

12a b c

3 4 5 3 4 5 3 4 512 12 !

27,7203,4,5 3 !4 !5 !

a b c a b c a b c

3 4 5a b c 12a b c

ตัวอย่าง 15 จงหาสัมประสิทธิ์ของ ในการกระจาย

วิธีท า..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ทฤษฎีบทอเนกนาม (Multinomial Theorem)

4x 52a bx cx

1. จงใช้ทฤษฎีบททวินามในการกระจาย

1.1 1.2

1.3 1.4

2. จงหาสัมประสิทธิ์ของ ในการกระจาย

3. จงหาสัมประสิทธิ์ของ ในการกระจาย 4. จงหาสัมประสิทธิ์ของ ในการกระจาย

5. จงหาพจน์ที่ไม่มี ปรากฏอยู่เลยในการกระจาย

แบบฝึกหัดท้ายบท

42x y

3x y

62 22x y

43x y3 5x y

82x y3 4x y

73 2x y10 7x y

122 2x y

x9

2 2x

x

6. จงใช้ทฤษฎีบทอเนกนามในการกระจาย

6.1 6.2

7. จงหาสัมประสิทธิ์ของ ในการกระจาย

8. จงหาสัมประสิทธิ์ของ ในการกระจาย

แบบฝึกหัดท้ายบท

2 3xy z 6x y z

3 4x y z 82x y z

32x y z

32 2 2x y z