บทท 4 สมบตของคลน

เราไดทราบเกยวกบการเคลอนทของคลนในแบบตาง ๆ มาแลว ซงคณสมบตทสาคญอยางหนงของคลน คอ สามารถเคลอนทผานจากตวกลางหนงไปยงอกตวกลางหนงได โดยการเคลอนทผานตวกลางเหลานเราเรยนวา การแผของคลน (Waves Propagation) และคณสมบตทสาคญอกอยางหนงของคลน คอ คลนสามารถรวมกนได โดยเมอมคลนตงแตสองคลนเคลอนทผานตวกลางมาพบกนจะเกดการรวมกนขน ทาใหการกระจดของอนภาคตวกลางในบรเวณทมการรวมกนของคลนจะมคาเทากบผลบวกของการกระจดของคลนยอยแตละคลน ณ ตาแหนงและเวลานน และเมอคลนยอยผานเลยกนไปแลวแตละคลนจะมลกษณะและทศการเคลอนทเหมอนเดมทกประการ การรวมกนของคลน เรยกวา การซอนทบของคลน (superposition of waves) โดยในการซอนทบของคลนอาจจะทาใหเกดการแทรกสอดเกด คลนนง บตส ได

หนาคลน (Wavefronts ) เมอโยนกอนหนหรอกอนดนลงในนา เราจะพบวา จะเกดคลนนามลกษณะเปนวงกลมแผกระจายออกรอบ ๆ จดทวตถตก คลนในลกษณะอยางนเปนคลนสองมต สนคลนหรอทองคลน วงกลมน เราเรยกวา หนาคลน โดยทศทางการเคลอนทของคลนจะตงฉากกบหนาคลนเสมอ ดงรปท 4.1

ทศทางการเคลอนทของคลน

ก. หนาคลนวงกลม

ข. หนาคลนตรง รปท 4.1 แสดงหนาคลนแบบตาง ๆ

พจารณารปท 4.1 ก เปนการเกดคลนในลกษณะทแหลงกาเนดเปนจด ขณะทเกด

คลน คลนจะแผออกไปตามแนวรศมของวงกลมโดยสวนโคงของวงกลมคอแนวของหนาคลน สวนแนวเสนตรงจากจดศนยกลางไปทตงฉากกบตามรศมนนเองเปนการเกดเคลอนทมหนาคลนเปนวงกลม ทศทางการเคลอนทจะตงฉากกบสวนโคงของวงกลม คอ ทศทางการเคลอนทของคลน สวนรปท 4.1 ข เปนการเกดคลนในลกษณะทแหลงกาเนดเปนเสนตรง การเคลอนทของคลนทเกดในลกษณะทหนาคลนเปนแนวตรงโดยทศทางการเคลอนทของคลนจะตงฉากกบหนาคลนเสมอ หลกของฮอยเกนส (Huygens’ Principle) การเคลอนของคลนอาจจะมหนาคลนเปนวงกลมหรอแนวตรง หรอลกษณะใดลกษณะหนงขนอยกบแหลงกาเนดคลน คลนจะคลนทไปเรอย ๆ ถาไมมสงกดขวางหรอไมมการเปลยนตวกลางในการเคลอนท ในกรณทคลนเคลอนทผานสงกดขวางในลกษณะตาง ๆ แลวคลนจะเกดการเปลยนแปลงรปรางของหนาคลนในการเคลอนท เชน เมอหนาคลนตรงเคลอนทผานชองแคบ ๆ จะเกดการเลยวเบนเกดขน โดยรปแบบของหนาคลนจะเปลยนเปนหนาคลน

แหลงกาเนดคลน

แหลงกาเนด

คลน ทศทางการเคลอนทของคลน

วงกลม ดงรปท 4.2 การเปลยนแปลงในลกษณะเชนนเปนไปตามหลกของฮอยเกนส ทวา ทกทกจดบนหนาคลนใด ๆ อาจถอ ไดวาเปนแหลงกาเนดคลนใหมซงจะทาใหเกดคลนออกไปรอบ ๆ คลนใหมนจะมอตราเรวเทากบอตราเรวของการเคลอนทของคลนเดม ดงนนถาทราบลกษณะของหนาคลนเดมกจะสามารถใชหลกเรขาคณตหาหนาคลนใหมตามหลกของ ฮอยเกนสโดยการสรางผวซงสมผสกบหนาคลนใหมทเปนคลนเลก ๆ เหลานนได

รปท 4.2 การเลยวเบนของคลนหนาตรงผานชองแคบเดยว

รปท 4.3 การใชหลกฮอยเกนสสรางหนาคลนใหม

หนาคลนใหม B’ B

A A’ 3 24 15

vt

หนาคลนทเวลา t =0

จากรปท 4.3 ใหคลนระนาบ AA ′ ทมหนาคลนเสนตรงเคลอนทดวยความเรว v พจารณาจด 1, 2 , 3, 4 และ 5 ซงถอเปนจดกาเนดของคลนเลก ๆ กจะเคลอนทดวยความเรว v เชนกน การหาตาแหนงของหนาคลนเมอเวลาผานไป t ทาไดโดยสรางวงกลมเลก ๆ รศม r ซงมคาเทากบ vt โดยจดศนยกลางอยทจด 1, 2 , 3, 4 และ 5 หนาคลนใหมทเกดขนคอเสนตรงทลากสมผสกบวงกลมทมรศม vt เหลาน การสะทอนและการสงผานของคลน คณสมบตอยางหนงของคลนทเกดขนเมอคลนเคลอนทจากตวกลางหนงผานไปยงอกตวกลางหนง เมอไปถงรอยตอระหวางตวกลางสวนหนงของคลนไมสามารถผานไปไดจะเกดการสะทอนกลบ เรยกวาเกดการสะทอนของคลน ในหวขอนนจะศกษาเฉพาะการสะทอนในเสนลวดเทานน สวนการสะทอนของเสยงและแสงจะศกษาในบทตอไป

1. ความตานทานเชงซอนของเสนลวด (Impedance of String) เมอเกดคลนผานตวกลางใด ๆ ตวกลางเหลานนจะมแรงตานการเคลอนทของ

คลนโดยจะแปรตรงตามความตานทานเชงซอนของตวกลางนน สาหรบตวกลางทเปนระบบเปดจรง ๆ คลนเคลอนทจะผานตวกลางไปไดตลอดไมมการสะทอนแตทงนตองขนอยกบลกษณะความตานทานเชงซอนของตวกลางนน กลาวคอ ถาความตานทานของตวกลางมคาเทากนตลอดจะไมมการสะทอนเกดขน แตถาคาความตานทานมคาตางกนในตวกลางนนจะทาใหเกดการสะทอนได และถายงมคาความตานทานไดมาก การสะทอนกจะเกดขนมากดวย คาความตานทานเชงซอนของตวกลางหาไดจากอตราสวนระหวางแรงททาใหคลนเกดการเคลอนทและอตราเรวของการเคลอนท

vFZ =

เมอ Z คอ คาความตานทานเชงซอนของตวกลาง F คอ แรงททาใหคลนเกดการเคลอนท v คอ อตราเรวของคลนเคลอนท เมอออกแรงขนาด ti

0eF ω ดงเสนลวดขนลงในแนวดงทาใหเกดคลนเคลอนทบนเสนลวดดงรปท 4.4

รปท 4.4 คลนทเกดเนองจากแรงกระทาขนาด ti

0eF ω จากรปท 4.4 ถาเสนลวดมแรงตงเทากบ T จะไดวา

θtanT TsineF ti

0−=

−= θω

เมอ θ มคานอย ๆ

xyTeF ti

0 ∂∂

−=ω

การกระจดของคลนเคลอนทของเสนลวดเขยนในรปของเลขชกาลงไดวา )kxt(iAey −ω= ดงนนเมอแทนคา y ในสมการ จะไดวา

)kxt(i

)kxt(iti0

ikTAe

)Ae(x

TeF

−ω

−ωω

=∂∂

−=

ท x = 0 จะไดวา )0.kt(iti

0 ikTAeeF −ωω = และเวลาเรมตน (t = 0) ikTAF0 =

หรอ )Tc(

iF

ikTFA 00

ω==

และ )kxt(i0 e)Tc(

iFy −ωω

=

T

T

θ−=ω sinTti0eF

ti0eF ω

เมอ k

c ω=

ความเรวของคลนเคลอนท คอ

)kxt(i0 e)

Tc(Fv −ω=

แอมพลจดของความเรว คอ )Tc(FC 0= หรอ

ZFC 0= ดงนน คาความตานทานเชงซอน

ของเสนลวด คอ

cTZ=

เมอ 2cT ρ= นนคอ cz ρ= หรอเรยกวาลกษณะความตานทานเชงซอนของเสนลวด (Characteristic impedance of string)

2. การสะทอนและการสงผานของคลนในเสนลวด จากหวขอทผานมาเราพบวา ลกษณะความตานทานเชงซอนของเสนลวด คอ cρ

ซงถาคลนเคลอนทในเสนลวดทมคาลกษณะความตานทานเชงซอนของเสนลวดคงท จะไมเกดการสะทอนเกดขน แตถาคลนเคลอนทผานเสนลวดทมคาลกษณะความตานทานเชงซอนเปลยนไปจะเกดการสะทอนและการสงผาน (Transmission) เกดขน

คลนตกกระทบ T คลนสงผาน คลนสะทอน 222 cZ ρ= T

111 cZ ρ= x=0 รปท 4.5 การสะทอนและการสงผานของคลนในเสนลวดทมความตานทานเชงซอน

11cρ และ 22cρ

พจารณารปท 4.5 เมอคลนเคลอนทในเสนลวดทมแรงตงในเสนลวด T โดยเสนลวด

แบงออกเปน 2 สวน ทมความหนาแนนแตกตางกน เสนลวดสวนแรกมความหนาแนน 1ρ และสวนท สองมความหนาแนน 2ρ ดงนนความเรวของคลนเคลอนทในทงสองสวน คอ

11

Tcρ

= และ 2

2Tcρ

= คาความตานทานเชงซอนของเสนลวดทงสองสวนคอ

111 cZ ρ= และ 222 cZ ρ= เมอคลนตกกระทบเคลอนทในเสนลวดผานจดเชอมตอของเสนลวดทมคาความ

ตานทานเชงซอนตางกน ทจด x = 0 ดงรปท 4.5 สวนหนงของคลนตกกระทบจะเกดการสะทอน และสวนหนงจะถกสงผานไปยงสวนทมคาความตานทานเชงซอน 22cρ

สมการการกระจดในสวนท 1 ประกอบดวยการกระจดของคลนตกกระทบ คอ )xkt(i

1i 1eAy −ω= โดย 1A เปนแอมพลจดของคลนตกกระทบ เคลอนทไปตามแนว +x ดวยอตราเรว 1c และการกระจดของคลนสะทอน คอ )xkt(i

1r 1eBy −ω= โดย 1B เปนแอมพลจดของคลนสะทอน เคลอนทไปตามแนว -x ดวยอตราเรว 1c

สวนท 2 เปนการกระจดของคลนสงผาน คอ )xkt(i

2t 2eAy −ω= โดย 2A เปนแอมพลจดของคลนสงผาน เคลอนทไปตามแนว +x ดวยอตราเรว 2c

เราสามารถหาสมประสทธของการสะทอน(Reflexion coefficent of Amplitude) และสมประสทธการสงผาน(Transmission coefficent of Amplitude) ในรปของความสมพนธระหวาง 1B , 1A และ 2A ทผวรอยตอ (x = 0) ภายใตเงอนไขขอบเขตดงน

เงอนไขท 1 เงอนไขเชงเรขาคณต (geometrical condition) ซงเกยวของกบการกระจดของการเคลอนท สมการ คอ

tri yyy =+ หรอ )xkt(i

2)xkt(i

1)xkt(i

1 211 eAeBeA −ω−ω−ω =+ ท x = 0 จะไดวา 211 ABA =+ (4.1)

เงอนไขท 2 เงอนไขเชงพลวต (dynamical condition) ซงเกยวของกบแรงททาใหเกดการเคลอนท สมการ คอ

x

yT)yy(x

T tri ∂

∂=+

∂∂

ท x = 0 จะไดวา 221111 TAkTBkTAk −=+−

หรอ 22

11

11

AcTB

cTA

cT

ω−=ω+ω−

แต 1111

ZccT

=ρ= และ 2222

ZccT

=ρ=

จะไดวา 22111 AZ)BA(Z =− (4.2)

รปท 4.6 การสะทอนของพลสหรอกลมคลนทประกอบดวยคลนหลายความถ จากรปท 4.6 พลส (Pulse) หรอกลมคลนทประกอบดวยคลนหลายความถ มการสะทอนทจดทมคาความตานทานเชงซอนเปนอนนต ( ∞=ρc ) สวนของคลนยอยแตละสวนเกดการสะทอนโดยมมมเฟสเปลยนไป π จากสมการ (4.1) และ (4.2) จะไดวา แอมพลจดของสมประสทธการสะทอน คอ

2121

11

12 ZZZZ

ABR

+−

== (4.3)

และแอมพลจดของสมประสทธการสงผาน คอ

21

112

ZZZ2

AAT

+== (4.4)

A B

C

A’+B’ C’

พลสหรอกลมคลนตกกระทบ

พลสหรอกลมคลนสะทอน

จากสมการ (4.3) และ (4.4) เราจะพบวา ถา 21 ZZ = แสดงวาเปนกรณไมมคลนสะทอน กลาวคอ 0R12 = แอมพลจดของสมประสทธการสงผานเปน 1 แตสภาวะ 21 ZZ = นน ไมไดหมายความวาตวกลางทงสองเหมอนกน ถาความหนาแนนของมวลและแรงตงของเสนลวดทงสองตางเปลยนคาตรงจดเชอมในทางทผลคณยงเปนคาคงท ดงนนคาความตานทาน

เชงซอน 111 cZ ρ= และ 222 cZ ρ= มคาเทากน แตความเรวเฟส 11

1Tcρ

= และ

22

2Tcρ

= ไมจาเปนตองเทากนในตวกลางทงสอง

กรณท 12 ZZ >> จะทาใหคา 1R12 −= ดงนนจดทเปนรอยตอระหวางตงกลางทงสองเหมอนตรงอยกบทคอไมมการแกวงกวด การกระจดและความเรวมสมประสทธการสะทอนเปน – 1 ดงนนคลนตกกระทบและคลนสะทอนทบรเวณนรวมกนไดเปนศนย หรอเสมอนทปลายของเสนลวดถกตรง กลาวคอ คลนตกกระทบทเปนพลสบวกเกดการสะทอนกลบหมดกลายเปนคลนสะทอนทมพลสเปนลบ สวนแรงตามขวางมสมประสทธการสะทอนเปน +1 ดงนนแรงกระทาตอเสนลวดทรอยตอของตวกลางมทศไปทางเดยวกนสาหรบคลนทงสอง ทาใหแรงเพมขนเปนสองเทาและทาใหคลนสะทอนมแอมพลจดเปนลบ มขนาดเทากบแอมพลจดของคลนตกกระทบ ดงรปท 4.7 ก กรณท 12 ZZ << จะทาใหคา 1R12 = นนคอทบรเวณรอยตอของตวกลางเปนปลายอสระดงนนความชนของเสนลวดทจดนเปนศนย สมประสทธสาหรบแรงคนกลบเปน -1 ทาใหคลนตกกระทบทมแรงคนกลบเปนพลสบวกกลายเปนพลสลบหลงจากการสะทอน สวนสมประสทธการสะทอนสาหรบการกระจดและความเรวเปน +1 เสนลวดจะมความเรวเปนสองเทาทรอยตอตวกลาง คลนตกกระทบทมพลสการกระจดบวกยงคงมพลสเปนบวกหลงจากการสะทอนแลว ดงรปท 4.7 ข

รปท 4.7 ก การสะทอนของพลสโดยตกกระทบทปลายเสนลวดยดแนน ข การสะทอนของพลสโดยตกกระทบทปลายเสนลวดอสระ ตวอยางท 4.1 เสนลวดทมแรงตงในเสนลวด 0.3 นวตน โดยเสนลวดแบงออกเปน 2 สวน แตละสวนทมความหนาแนนแตกตางกน เสนลวดสวนแรกมความหนาแนน

0.01 กโลกรมตอเมตร และสวนทสองมความหนาแนน 0.02 กโลกรมตอเมตร เมอเกดคลนเคลอนทผานเสนลวดเสนน จงหาแอมพลจดของสมประสทธการสะทอนและแอมพลจดของสมประสทธการสงผานของลวดเสนน

วธทา หาความเรวของคลนในเสนลวดจากสตร ρ

=Tc จะไดวา

ความเรวของคลนในเสนลวดสวนท 1 คอ01.03.0c1 = = 5.48 เมตรตอวนาท

ความเรวของคลนในเสนลวดสวนท 2 คอ02.03.0c2 = = 3.87 เมตรตอวนาท

หาคาความตานทานเชงซอนของเสนลวดทงสองสวน จากสตร cZ ρ= จะไดวา คาความตานทานเชงซอนของเสนลวดสวนท 1 คอ )48.5)(01.0(Z1 = = 0.0548 คาความตานทานเชงซอนของเสนลวดสวนท 1 คอ )87.3)(02.0(Z2 = = 0.0774

หาแอมพลจดของสมประสทธการสะทอน จากสตร

1709.0 0774.00548.00774.00548.0

ZZZZR

2121

12

−=+−

=

+−

=

และหาแอมพลจดของสมประสทธการสงผาน จากสตร

8291.0 0774.00548.0)0548.0(2

ZZZ2T

211

=+

=

+=

3. การสะทอนและการสงผานพลงงาน

การแผของคลนจะเกยวของการเปลยนแปลงของพลงงานทถกสงผานในตวกลางทมคาความตานทานเชงซอนแตกตางกน โดยถาพจารณาแตละชวงความยาวและมวลของเสนลวดเหมอนกบการแกวงกวดฮารมอนกอยางงายในกรณทมแอมพลจดสงสด เราทราบวา

พลงงานรวม คอ 22A21ρω ดงนนพลงงานรวมของคลนตกกระทบ คอ 2

12

1 A21

ωρ และ

พลงงานรวมของคลนสะทอน คอ 21

21 B

21

ωρ จากนยามของสมประสทธการสะทอนความ

เขมของพลงงาน คอ อตราสวนของพลงงานของคลนสะทอนตอพลงงานของคลนตกกระทบ นนคอ

21

21

21

21

21

21

AB

A21

B21

=ωρ

ωρ

หรอ สมประสทธการสะทอนความเขมของพลงงาน คอ 221

221

)ZZ()ZZ(

+−

สวนสมประสทธการสงผานความเขมของพลงงาน คอ อตราสวนของพลงงานของคลนสงผานตอพลงงานของคลนตกกระทบ นนคอ

211

222

21

21

21

22

AA

A21

A21

ρρ

=ωρ

ωρ (4.5)

ถาคลนเคลอนทมความเรว c ดานขวาของสมการ (4.5) คณดวย c ทงเศษและสวนจะไดวา

211

222

211

222

AZAZ

cAcA

=ρρ

หรอ สมประสทธการสงผานความเขมของพลงงาน คอ 22121

)ZZ(ZZ4

+

ถา 21 ZZ = จะไมมการสะทอน ตวอยางท 4.2 จากตวอยางท 4.1 สมประสทธการสะทอนและสงผานความเขมของพลงงาน ในเสนลวด มคาใด วธทา หาสมประสทธการสะทอนความเขมของพลงงาน จากสตร

0292.0 )0774.00548.0()0774.00548.0(

)ZZ()ZZ(

22

221

221

=+−

=

+−

=

สมประสทธการสงผานความเขมของพลงงาน จากสตร

9708.0 )0774.00548.0()0774.0)(0548.0(4

)ZZ(ZZ4

2

22121

=+

=

+=

การหกเหของคลน คลนแสดงสมบตการหกเห โดยเมอเคลอนทจากตวกลางหนงไปยงอกตวกลางหนง โดยมทศทางการเคลอนท อตราเรวของคลนและความยาวคลนเปลยนไปจากเดม แตความถยงมคาเทาเดม การหกเหของคลนสามารถอธบายโดยการอาศยหลกการของฮอยเกนส การหกเหของคลนระนาบทผวราบ

รปท 4.8 การหกเหของคลน หนาคลน A’A ซงพบกบผวแบง M’M สวนหนงจะสะทอนดวย เกณฑทกลาวมาแลว อกสวนหนงจะทะลผานไป สมมตใหตวกลางทงสองมดชนหกเห 1n และ 2n รปท 4.8 A’A เปนหนาคลนในตวกลางท 1 ซงไปพบผวแบงทจด A ในเวลา t ตอมาหนาคลน ในตวกลางท 1 เดนทางเปนระยะทาง 1v หนาคลนใหมคอ O'B สวนคลนททะลออกไปตวกลางท 2 จะเดนทางเปนระยะ tv 2 และหนาคลนใหม คอ OB ทานองเดยวกน ในเวลา t ตอมา หนาคลนในตวกลางท 1 จะเปน C’P และหนาคลนในตวกลาง b คอ PC มม 1φ คอมมตกกระทบ และมม 2φ คอมมหกเห เพอจะหาความสมพนธระหวาง 1φ กบ 2φ พจารณารปท 4.9 ลาก OR เทากบ tv1 กบ A'A ลาก OB ลาก At เทากบ tv 2 ตงฉากกบ BO

A’

A

B

0 φ1

φ2 M M’

2

1

R

T v2t

v1t

A’

A

B’

B C

C’

0 P

φ1φ2 M M’

v1t ตวกลางท 1

ตวกลางท 2

รปท 4.9 ความสมพนธระหวางมมตกกระทบและมมหกเห

จากสามเหลยม AOR sinφ1 = AO

tv1 (4.4)

จากสามเหลยม AOT sinφ2= AO

tv 2 (4.5)

สมการ (4.4) หารดวย (4.5) จะได

21

21

vv

sinsin

=φφ (4.6)

จากสมการท (4.6) คอ กฏของสเนล (Snell ’s law) เราอาจเขยนเปนอกรปหนง คอ

12

21

nn

sinsin

=φφ เมอ

12

21

nn

vv=

นนคอ 2211 vnvn = (4.7) ถาเราเลอกเวลา t เปนคาบของคลน ระยะ tv1 จะเทากบความยาวคลน λ พอด ดงนนจากรปท 4.8 จะเหนวา ความยาวคลนในตวกลางท 2 จะสนกวาความยาวคลนในตวกลางท 1 เนองจาก คลนวงดวยความเรวทตากวา

เราทราบวาเมอคลนเคลอนทในสองตวกลางโดยทมความเรวตางกน ทาใหความยาวคลนเปลยนไปโดยท 2211 fv และfv λ=λ= เมอ f คอความถของคลนดงกลาว หรอ อาจเขยนไดวา

22

11

vvλ

=λ หรอ 2211 nn λ=λ (4.8)

ตวอยางท 4.3 ถาคลนนาเคลอนทผานจากนาลกไปยงเขตนาตน แลวทาใหความยาวคลนลดลง ครง จงหาอตราสวนความเรวของคลนในนาลกกบความเรวของคลนในนาตน

วธทา โจทยกาหนดให 2ล

ตλ

=λ หรอ 2ตล =

λλ

จากสตร ตล

ตล

vv

=λλ

จะไดวา 2vvตล =

การสะทอนภายในกลบหมด คลนตกกระทบทอยในตวกลางทมดชนหกเหสงกวาดชนหกเหของตวกลางอกดานหนงของผวแบง มโอกาสทจะสะทอนกลบมาอยในตวกลางเดม โดยไมไดหกเหผานไปอกตวกลางหนง ทงนขนอยกบคามมตกกระทบ

รปท 4.10 การสะทอนภายในกลบหมด จากรปท 4.10 ซงใชเสนรงสแทนหนาคลน จะเหนวาเมอมมตก 1φ เพมขนจากศนย ความเขมของคลนสะทอนจะเพมขน ในขณะทความเขมของคลนหกเหจะลดลง จนกระทงมมตกกระทบ 1φ โตพอคาหนง คลนจะสะทอนหมด กลาวคอ ความเขมของคลนหกเหเปนศนย นนคอ คลนทควรจะเคลอนทผานไปในตวกลาง b จะอยในแนว เสนสมผสกบผวแบง หรอมมหกเห 2φ เทากบ 90 องศา เราเรยกมมตกนวา มมวกฤต cφ ถามมตกใหญกวามมวกฤต รงสจะไมสามารถทะลไปในตวกลาง b ได จะสะทอนกลบอยในตวกลาง a ซงเรากลาววา มการสะทอนภายในกลบหมด รปท 4.10 นเปนตวอยางการสะทอนภายในกลบหมด ของผวแกวกบ

อากาศ เราอาจแสดงใหเหนไดดงน จากกฎของสเนล คอ 121

2 sinnnsin φ=φ เนองจาก

21 nn > 21 sinsin φ>φ ถา o902 =φ 1sin 2 =φ o90 กวาจะตองนอย1φ มม ตคอมมวกฤ1φ ถา c1 ามคามากว ๆ ใด φφ แลว sin 2φ จะตองมากกวา 1 ซงหมายความวา

คลนไมสามารถผานไปในตวกลาง b ได แตจะมการสะทอนกลบหมดทผวแบง คามมวกฤตจะ

มคา 12

c nnsin =φ (4.9)

Pφ1 φc

12

3

4

φ2 φ2=900

แกว

อากาศ

ตวอยางท 4.4 จากตวอยางท 4.3 ถาตองการใหเกดการสะทอนกลบหมดคลนนาตองเดนทาง จากบรเวณนาใดไปบรเวณใด และมมมตกกระทบตองเปนเทาใด

วธทา หาคามมวกฤตจากสตร 21

12

c vv

nnsin ==φ

จากตวอยางท 4.3 2vv

21 = แสดงวา 12 vv < หรอ 12 nn > นนคอในตวอยาง

ท 4.3 จะไมมโอกาสเกดการสะทอนกลบหมด จะเกดการสะทอนกลบหมด เมอ 21 nn < หรอ 12 vv > ดงนนคลนนาตองเคลอนทจากบรเวณนาตนไปยงบรเวณ นาลก เมอ 1v คอความเรวคลนนาบรเวณนาลก และ 2v คอความเรวคลนนาบรเวณนาตน และคลนนาเคลอนทจากบรเวณนาตนไปยงบรเวณนาลก จะไดวา

21

vvsin

12

c ==φ

จะไดวา cφ = 450 นนคอ จะเกดการสะทอนกลบหมด เมอคลนนาเคลอนทจากบรเวณนาตนไปยงบรเวณนาลก และมมตกกระทบมากกวา 450 การเลยวเบนของคลน การเลยวเบนของคลน คอ ความสามารถของคลนในการออมไปทางดานหลงสงกดขวาง โดยอาศยหลกการของฮอยเกนสทวา ทก ๆ จดบนหนาคลน เสมอนเปนแหลงกาเนดคลนใหม เมอคลนมการเลยวเบนพบวา ความถและความยาวคลน จะคงตว แตทศทางจะเปลยนไป ขณะเดยวกนแอมพลจดและพลงงานจะลดลง ดงรปท 4. 11

รปท 4.11 การเลยวเบนของคลนผานชองของสงกดขวาง

ปรากฏการณการเลยวเบนของคลนจะเหนไดชด เมอสงกดขวางมขนาดใกลเคยงกบความยาวคลน นนคอ สงกดขวางอาจจะเปนชอง เลก ๆ ซงปลอยใหหนาคลนสวนหนงผานไปได หรอ อาจจะเปนเสนลวดหรอแผนกลม ซงกนสวนหนงของหนาคลน การเลยวเบนทเกดขนเมอตนกาเนดคลนและฉากทรบ อยหางจากสงกดขวางเปนระยะหางพอสมควรมชอวาการเลยวเบนแบบเฟรสเนล (Fresnel diffraction) ถาตนกาเนดคลนอยไกลจากสงกดขวางมาก ๆ จนถอไดวาคลนทไปถกสงกดขวางเปนคลนระนาบ หรอถาใชเลนสยนระยะทาง โดยตนกาเนดคลนและฉากไมจาเปนตองอยไกลกนมากนก การเลยวเบนแบบนมชอวาการเลยวเบนแบบ ฟราวนโฮเฟอร (Fraunhofer diffraction)

รปท 4.12 การเลยวเบนแบบฟราวนโฮเฟอร พจารณาชองเลกเดยวซงแคบและยาวมาก ๆ จนไมตองคดถงผลทเกดจากปลายทงสองขาง ใหแสงขนานตกกระทบตงฉากกบระนาบของชองแคบ ซงกวาง b ตามหลกของฮอยเกนส ถอไดวา ทก ๆ จดบนหนาคลน เคลอนทมาเจอชองเลก ๆ เปนตนกาเนดคลนเลก ๆ ใหมได คลนเลก ๆ ใหมน จะเกดการแทรกสอดกน ถาเราพจารณาการแทรกสอดททามม θ ตาง ๆ กบทศการเคลอนทของคลน พบวาบางตาแหนง ความเขม เปนศนย โดยตาแหนงเหลานหาไดจากสมการ

0n,nsind ≠λ=θ (4.10) n อาจเปนคาบวกหรอลบกได

d θ θ

λ21

หนาคลนตกกระทบ

f

P0

P1

ฉาก

0n = ใหตาแหนงซงอยในแนวแสงตกซงเปนตาแหนงซงมความสวางมากทสด การคานวณหาการแจกแจงความเขมของลวดลายการเลยวเบนหาไดโดยการรวมคลน

จากคลนเลกทชองแคบซงเดนทางไปถง P ใด ๆ บนฉาก โดยคานงถงผลตางของเฟสของคลนเลก ๆ ทจดนน จะไดผล ดงน

( ) 2

0 /sind/sindsinII

λθπλθπ

= (4.11)

รปท 4.13 การแจกแจงความเขมของลวดลายการเลยวเบนจากชองเลกยาว จากรปท 4.13 ซงแสดงการแจกแจงความเขม ณ ตาแหนงตาง ๆ ลกษณะการแจกแจง

ความเขมนขนอยกบ การเปรยบเทยบของ d และ λ ถา d ∼ λ ตาแหนงมดอนแรกจะเกดขนท o90=θ ซงแสดงวารวสวางตรงกลางกนเนอทกวาง ถา λ ≤ b ตาแหนงมดอนแรกจะเกดขน ทงสองขางของรวสวางตรงกลาง โดยทมม θ หาไดจากการแทนคา 1n ± ในสมการ (4.10) นนคอ

d

sin λ±=θ≈θ (4.12)

λθsind

ในกรณทการเลยวเบนจากชองกลม จะพบวา ลวดลายการเลยวเบนทเกดจากชองกลมไมเปนรวตรงแตเปนรววงกลมสวางตรงกลาง และลอมรอบดวยวงมดและสวางสลบกน ถา ใหชองกลมรศม R เสนผานศนยกลาง D (D= 2R) มมทใหวงมดวงแรก คอ

D

22.1R

22.1sin λ=

λ=θ≈θ (4.12)

θ เปนเรเดยน ตวอยางท 4.5 ในการทดลองเพอหาความยาวคลนของแสงโดยใชเกรตตง เมอใชแสงสเดยว สองผานเกรตตง จะสงเกตเหนแถบสวางลาดบท 1 อย ณ ตาแหนง 10 และ 90

เซนตเมตร บนไมเมตร แถบสวางทงสองนตางกอยหางจากเกรตตงเปนระยะทาง 1 เมตร ถาเกรตตงทใชมจานวน ชองตอความยาว 1 เซนตเมตร จงหาความยาวคลนของแสง

วธทา แถบสวางลาดบท 1 สองขางอยหางจากแถบสวางตรงกลาง

เทากบ 402

1090=

− เซนตเมตร

รปท 4. 14 การเลยวเบนผานเกรตตง

จาก λ=θ n

Nsin

λ= )1()100(10

404

61040 −×=λ เซนตเมตร 400= นาโนเมตร

10 ซม.

90 ซม.

40 ซม. L

θ

100 ซม.

ปรากฏการณดอปเพลอร ปรากฏการณดอปเพลอร (doppler’s effect) เปนปรากฏการณอนหนงทเกยวกบการรบรและรสกไดเมอมการเคลอนทสมพทธระหวางแหลงกาเนดคลนกบผสงเกต ทาใหผสงเกตรบรและรสกวาคลนมความถเปลยนไปเมอมการเคลอนทของแหลงกาเนดคลนและผสงเกต การพจารณาความสมพนธตาง ๆ เพอคานวณหาความถของคลนทเกยวกบปรากฏการณน พจารณาไดดงน กรณท 1 เปนกรณทแหลงกาเนดคลนเคลอนทและผสงเกตอยนง ถาให v เปนความเรวของคลน Sv เปนความเรวของแหลงกาเนดคลน จากรปท 4.15 แหลงกาเนดคลนเคลอนทไปดานขวาเขาหาผสงเกตดวยความเรว Sv ผสงเกตจะรสกวาหนาคลนของคลนถกอดเขาหากน ทาใหความยาวคลนเปลยนไปจากเดมเปน λ′ และไดความเรวสมพทธของคลนเทยบกบแหลงกาเนดคลน v′ เปน Svv − แตความถคลนยงคงเปนความถเดม ( )0f นนคอ ความยาวคลนใหม λ′ เกดขนเนองจาก v′ นนเอง

รปท 4.15 แสดงความยาวคลน ความเรวคลนในกรณทแหลงกาเนดคลนเคลอนท และผสงเกตอยนง

0f

v′=λ′

ผสงเกตอยดานหนา ผสงเกตอย ดานหลง

Sv S

λ’

ความเรวคลน v ความเรวคลน v

0

Sf

vv −=

ดงนน ความถเดมทเปลยนไปเปน f ปรากฏตอผสงเกต จะได

0S

fvv

vvf

−

=λ′

= (4.13)

ในทานองเดยวกน ถาแหลงกาเนดคลนวงออกจากผสงเกต ผสงเกตจะรสกวาหนาคลนของคลนขยายออกจากเดม ไดความเรวสมพทธของคลนเทยบกบแหลงกาเนดคลนเปน Svv + จะได

0S

fvv

vf

+

= (4.14)

กรณท 2 เปนกรณทผสงเกตเคลอนท และแหลงกาเนดคลนอยนง

รปท 4.16 แสดงความยาวคลน ความเรวคลนในกรณทผสงเกตเคลอนทและ แหลงกาเนดคลนอยนง

Ov λ S

จากรปท 4.16 ถาผสงเกตเคลอนทเขาหาแหลงกาเนดคลน ผสงเกตจะรสกวาคลนวงเขาหาดวยความเรวทเปลยนไปเนองจากเกดความเรวสมพทธของคลนเทยบกบผสงเกตนนเอง จะไดความเรวสมพทธของคลนเทยบกบผสงเกต Lvv)v( +=′ นนคอ ความถเดมทเปลยนไปปรากฏตอผสงเกต เนองจากความเรวสมพทธนนเอง จะได

λ+

=λ′

= Lvvvf

แตเดมคลนม 0fv

=λ

0L f

vvvf

+

= (4.15)

ในทานองเดยวกน ถาผสงเกตเคลอนทออกจากแหลงกาเนดคลน จะไดวา

0L f

vvvf

−

= (4.16)

ในกรณทแหลงกาเนดคลนและผสงเกตเคลอนททงค การพจารณากเหมอนกบทกลาวมาแลวทง 2 กรณ มารวมเขาดวยกน โดยสตรรวมทว ๆไป คอ

0SL f

vvvvf

±±

= (4.17)

พจารณาเครองหมายของ Sv และ Sv โดยดทศทางการเคลอนทของแหลงกาเนดคลนและผสงเกต ตวอยางท 4.6 จากรป S เปนแหลงกาเนดคลนทผวนา ซงไหลอยางสมาเสมอจากทาง A ไป B

ถาอตราเรวของนาไหลเปน 31 ของอตราเรวทคลนกระจายออกไปในนานง

ความยาวคลนของคลนทผาน B จะเปนกเทาของความยาวคลนทผาน A

B A • • S • ทศทางการไหลของนา

วธทา ใหอตราเรวคลนนา เทากบ v

อตราเรวนาไหล เทากบ v31u =

กรณนเปนกรณทแหลงกาเนดคลนอยนงแตนาไหล 0vS =

หาความยาวคลนจากสตร S

Sf

v)uv( ++=λ

ทจด A SS

A f3v2

f

0)v31v(

=+−

=λ

ทจด B SS

B f3v4

f

0)v31v(

=++

=λ

จะไดวา 2

f3v2f3v4

s

S

A

B ==λλ

นนคอความยาวคลนผาน B เปน 2 เทาของความยาวคลนทผาน A คลนกระแทก (shock waves) ในหวขอเรอง ปรากฏการณดอปเพลอร ทผานมาเราไดทราบมาแลววาปรากฏการณ ดงกลาวเกดจากการเคลอนทสมพทธระหวางแหลงกาเนดคลนและผสงเกต ทาใหความถของคลนทผสงเกตรบรไดเพมขนหรอลดลง แตถาแหลงกาเนดคลนเคลอนทเรวกวาความเรวของคลนแลวจะเกดคลนกระแทกขน คลนทถกสงออกมาจะไปรวมตวกนทางดานขางของแหลงกาเนดเปนรปตว v (ใน 2 มต) หรอรปกรวยกลม(ใน 3 มต) โดยแหลงกาเนดจะอยตรงปลายแหลมหนาคลน

รปท 4.17 แสดงหนาคลนและทศทางการเคลอนทของแหลงกาเนดคลนของ คลนกระแทก ทมา (Holliday D., Resnick R., Walker J., 1993. p. 521) พจารณารปท 4.17 จะไดวา

tv

vtsinS

=θ

หรอ m1

vvsinS==θ

เมอ θ คอ มมระหวางหนาคลนกระแทกกบแนวการเคลอนท v คอ ความเรวของคลน Sv คอ ความเรวของแหลงกาเนดคลน m คอ เลขมค (mach number) หรออตราสวนระหวางความเรวของแหลงกาเนดคลนกบความเรวของคลน ในกรณทแหลงกาเนดคลนเคลอนทดวยความเรวมากกวาความเรวของคลนมาก ๆ เชน เครองบนเจต ซงเคลอนทดวยความเรวเหนอเสยง (supersonic speed) คลนกระแทกจะทาใหเกดการเปลยนแปลงความดนอยางรวดเรวทาใหเกดเสยงดงมาก เรยกวา ซอนกบม (sonic boom)

รปท 4.18 คลนกระแทกทเกดจากกระสนปน ทมา (Holliday D., Resnick R., Walker J., 1993. p. 521) ตวอยางท 4.7 เรอแลนดวยความเรว 72 กโลเมตร/ชวโมง แลนขนานฝงทะเลสาบในแนวหาง

จากฝง 45 เมตร คนทยนอยรมฝงจะสงเกตเหนคลนจากเรอกระทบฝง เมอเรอแลนผานไป 3 วนาท จงหาอตราเรวของคลนนา

วธทา เรอแลนดวยความเรว 72vS = กโลเมตร/ชวโมง = 20

3600100072

=× เมตร/วนาท

จากรป AB = 45 เมตร 60320tvBC S =×== เมตร

45 เมตร

A

B C θ

แนวทเรอแลน ตาแหนงเรอเรมแลน

ผสงเกต

vSt ตาแหนงเรอเมอคลนกระทบทฝง A

43

6045tan ==θ

o37=θ

u20

uveccos S ==θ

35

u2037eccos ==o

12u = เมตร/วนาท อตราเรวของคลนนาเทากบ 12 เมตร/วนาท

หลกการซอนทบของคลน จากการทดลองพบวาคลนตงแตสองคลนหรอมากกวาสองคลนขนไปสามารถเคลอนทผานทแหงเดยวกนไดโดยไมขนตอกน เหมอนกบวาคลนอกขบวนไมไดอยทนน ตวอยางเชน การฟงเสยง ดนตรจากเครองดนตรแตละชนดจากวงดนตร สามารถทจะแยกเสยงจากเครองดนตรแตละชนดไดอยางชดเจน ในทางคณตศาสตรอาจพจารณาไดวาทเวลาใด ๆ ผลลพธของการกระจดของคลนนน ๆ ทจดใด จะเปนผลบวกทางเวกเตอรของปรมาณกระจดของแตละคลน

เมอคลนตงแต 2 คลนเคลอนทมาพบกน ณ ตาแหนงหนง ขณะชวเวลาทพบกนจะเกดการรวมกนตามหลกพชคณตของเวคเตอร และการรวมกนของคลนจะไมรวมตวอยางถาวรหลงจากนนคลนจะเคลอนทผานกนไป

หลกการซอนทบของคลน มใจความวา เมอคลนเคลอนทมาพบกนแลวเกดการรวมกน โดยการกระจดของแตละตาแหนงของคลนรวมมคาเทากบผลบวกของการกระจดของแตละคลน และหลงจากทคลนผานพนกนแลว คลนยงคงรปราง ขนาด และทศทางเดม เหมอนกอนการซอนทบ การซอนทบของคลนมสองแบบ คอ

1. เมอสนคลนรวมกบสนคลน หรอเมอทองคลนรวมกบทองคลนจะทาใหการกระจดลพธทเกดจากการรวมกนของคลนมขนาดเพมขน เรยกวาการรวมกนของคลนแบบเสรม ดงรปท 4.18 ก

2. เมอสนคลนรวมกบทองคลน คลนจะทาใหการกระจดลพธทเกดจากการรวมกนของคลนมขนาดลดลง เรยกวาการรวมกนของคลนแบบหกลาง ดงรปท 4.19 ข

ก ข รปท 4.19 ก แสดงการรวมคลนเมอคลนยอยมการกระจดทศเดยวกน ข แสดงการรวมคลนเมอคลนยอยมการกระจดทศตรงขาม

การซอนทบของคลนรปไซน เราสามารถรวมคลนสองคลนเคลอนทในทศทางเดยวกนมความถ ความยาวคลน และแอมพลจดเทากน แตคามมเฟสตางกน เขยนคลนทงสอง คอ

)tkxsin(Ay

)tkxsin(Ay

2

1φ−ω−=

ω−=

ผลรวมของคลน คอ

)]-t-sin(kxt)-A[sin(kx

yyy 21φω+ω=

+=

)2

tkxsin()2

cos(A2 φ−ω−

φ= (4.18)

ผลทไดในสมการ (4.18) คอ คลนลพธซงมความถและความยาวคลนเทากบความถ

และความยาวคลนเทาเดม แตคาแอมพลจดของคลนลพธ เปน )2

cos(A2 φ และมมมเฟสเปน

2φ และถาคามมเฟสมคาเทากบ 0 ฉะนนคา cos

2φ = cos(0) = 1 คาแอมพลจดมคาเทากบ A2

ในกรณนเปนกรณทคลนทงสองมเฟสตรงกน (imphase) ฉะนนการรวมกนจงเปนแบบเสรมสรางกน กลาวไดวายอดคลนและทองคลนของคลนทงสองตรงกนและตรงกบคลนลพธ

ดวย รวมถงกรณท πππ=φ ,...2n4 ,22

เมอ n = 1, 2, 3, … ดวย จะเปนการรวมกนแบบ

เสรมสรางกนเสมอ ในทางตรงกนขาม ถา ππππ=φ 1)-,...(2n5 ,3 ,2

เมอ n = 1, 2, 3, …

จะเปนการรวมกนแบหกลางเสมอ โดยแอมพลจดจะมคาอยระหวาง 0 ถง 2A การแทรกสอดของคลน

เมอมคลนตงแต 2 คลน เคลอนทมาพบกนจะเกดการรวมกนแบบเสรมและแบบหกลาง ซงสงเกตไดจากการเกดแนวสวางและแนวมดของถาดคลน เราเรยกสมบตการรวมกนของคลนนวา “การแทรกสอด” (interference) และเรยกแนวสวางและแนวมดทเกดวา “ลวดลายการแทรกสอดหรอรวของการแทรกสอด” (interference pattern) ดงรปท 1 ซงเปนการแทรกสอดของคลนวงกลมตอเนองสองขบวนทเหมอนกนทกประการ หรอเรยกวาแหลงกาเนดคลนอาพนธ ซงหมายถง แหลงกาเนดคลนตงแต 2 อนขนไป ใหคลนออกมาทม ลกษณะเหมอนกนทกประการคอ ความถเทากน มเฟสตางกนคงท รปท 4.20 แสดงลวดลายการแทรกสอด จากรปท 4.20 เมอคลนจากแหลงกาเนดทงสองเคลอนทมาพบกนจะเกดการซอนทบ (superposition) ซงม 2 ลกษณะ

1. การแทรกสอดแบบเสรม( constructive interference) เกดขนเมอสวนทเปนสนคลนพบสวนทเปนสนคลน หรอสวนทเปนทองคลนพบสวนทเปนทองคลน แอมพลจดของคลนทงสองจะเสรมกน ทาใหผวนา ณ ตาแหนงนนมระดบสงขนมากทสดและลดตามากทสดตามลาดบ เราเรยกตาแหนงนวา “ปฏบพ” (antinode)

2. การแทรกสอดแบบหกลาง (destructive interference) เกดขนเมอสวนทเปนสนคลนพบกบสวนทเปนทองคลน แอมพลจดของคลนทงสองจะหกลางกน

ทาใหผวนา ณ ตาแหนงนนไมกระเพอม เราเรยกตาแหนงนวา “บพ” (node)

จากการศกษาเมอใหคลนตอเนองสองขบวนเคลอนทมาพบกนตลอดเวลา จะเกดบพและปฏบพอยางตอเนอง และพบวาเมอลากเสนเชอมตอปฏบพทอยถดกนไปจะไดแนวเสนทเรยกวา เสนปฏบพ (antinode line) สวนเสนทเชอมตอบพทอยถดกนไป จะไดแนวเสนทเรยกวา เสนบพ (node line) ทาใหเหนลวดลายการแทรกสอดดงรปท 4.21

รปท 4.21 แสดงการแทรกสอดของคลนนา จากรปขางบน แสดงการรวมกนแบบเสรมและแบบหกลางของคลนวงกลมตอเนอง 2 แหลงกาเนด เปนจดททองคลนพบกบทองคลน (ปฏบพ) เปนจดทสนคลนพบกบสนคลน (ปฏบพ) เปนจดทสนคลนพบกบทองคลน (บพ) A เปนเสนปฏบพ N เปนเสนบพ จากรปท 4.21 แสดงตาแหนงบพและปฏบพเมอคลนวงกลม 2 คลนเกดการแทรกสอดกน กาหนดให S1 เปนแหลงกาเนดคลนท 1 และ S2 เปนแหลงกาเนดคลนท 2 ถาให P0 , P1และ

P2 ,… เปนจดทอยบนเสนปฏบพท 0 ,ปฏบพท 1 ,ปฏบพท 2,…ตามลาดบและให Q1,Q2,…เปนจดทอยบนเสนบพท 1 , บพท 2,…ตามลาดบ นกเรยนจะสงเกตเหนวาแนวกลางจะเปนแนว ปฏบพเสมอถาแหลงกาเนคลนทงสองแหลงเปนแหลงกาเนดอาพนธทมเฟสตรงกน ฉะนนแนว ปฏบพจะเรมจากแนวท 0,1,2,3…สวนแนวบพจะไมมแนวกลางจะเรมท 1,2,3,… แตถาเปนแหลงกาเนดอาพนธทมเฟสตางกน 180 องศา แนวตรงกลางจะเปนแนวบพ

จากรปท 4.21 ทกลาวมาทงหมด เราจะเหนวาถาเราใหตาแหนง P เปนตาแหนงปฏบพใด ๆ บนเสนปฏบพ เราจะไดความสมพนธวา S1P – S2P = nλ เมอ n = 1,2,3,… (4.19) และถาใหตาแหนง Q เปนตาแหนงบพใด ๆ บนเสนบพ เราจะไดความสมพนธวา

S1Q – S2Q = n – 21 λ เมอ n = 1,2,3,… (4.20)

ตวอยางท 4.8 แหลงกาเนดคลนนาอาพนธ 2 แหลง สรางคลนทมความยาวคลน 3 เซนตเมตร ท

ตาแหนงซงหางจากแหลงกาเนดทงสอง 18 เซนตเมตร และ21 เซนตเมตร ตามลาดบ จะเกดการแทรกสอดไดบพหรอปฏบพทเทาใด

วธทา จากสตร S1P – S2P = nλ เปนกรณท P อยทตาแหนงปฏบพ

และ S1P – S2P = n – 21 λ เปนกรณท P อยทตาแหนงบพ

โจทยกาหนดให λ = 3 เซนตเมตร S1P = 21 เซนตเมตร และ S2P = 18เซนตเมตร ดงนน S1P – S2P = 3 นนคอ 3 = n(3) นนคอ n = 1 แสดงวา จด P เปนตาแหนงปฏบพท 1

คลนนง การแทรกสอด เปนสมบตของคลนซงเปนผลจากการซอนทบของคลนสองขบวนหรอมากกวา เกดขนเมอ เมอคลนหลายขบวนเคลอนทมาพบกนจะเกดการรวมกนของคลน คลนนง เปนปรากฏการณทเกดขนจากการแทรกสอดของคลนสองขบวนทมความถ และแอมพลจดเทากน เคลอนทในทศตรงกนขาม

รปท 4.22 แสดงคลนนงขณะใดขณะหนง

ฟงกชนคลนของคลนนง จาก )tkxsin(Ay1 ω+= เคลอนทไปทางซาย )tkxsin(Ay 2 ω−= เคลอนทไปทางขวา ( )tkxsinA)tkxsin(Ayyy 21 ω−+ω+=+=

( ) ( )[ ]tkxsintkxsinA ω−+ω+= (4.21) แต

( ) ( )

( ) ( )

ω+−ω+

ω−+ω+

=

−+=+

tkxtkx21costkxtkx

21sin2Ay

BA21cosBA

21sin2BsinAsin

( ) ( )

ω

= t2

21coskx2

21sin2A

[ ]tcoskxsinA2 ω= ( ) kxsintcosA2 ω= (4.22)

ฟงกชนคลนน คอ ฟงกชนคลนสถต ใชไดทงคลนตามยาวและคลนตามขวาง ซง y เปนฟงกชน ของ x เทยบกบ t เมอเทยบกบฟงกชนคลน ( )tkxsinAy ω−= จะไดวา แอมพลจดของคลนนง คอ tcosA2 ω ซงแปรผนกบเวลา( t ) เรยกสมการ

kxsintcosA2y ω= วาสมการคลนนง

คลนนงในเสนเชอก คลนนงในเสนเชอกทตรงปลายทง 2 ขาง

n = 1 Fundamental คอ ความถตาสดททาใหเกดคลนนง หรอ First Harmornic n = 2 Second Harmonic คอ ความถทถดจากความถมลฐาน หรอ First Overtone n = 3 Third Harmonic คอ จานวนเทาของความถมลฐาน หรอ Second Overtone

รปท 4.23 คลนนงในเสนเชอกทตรงปลายทง 2 ขาง จากฟงกชนคลนนง ( ) kxsintcosA2y ω=

หรอ ( ) x2sintcosA2yλπ

ω=

ตาแหนงบพ (Node) คอ ตาแหนง 0y = นนคอ 0kxsin = หรอ 0x2sin =λπ ซง

จะเกดขนเมอ πππ= 3,2,,0kx หรอ

k

3,k

2,k

,0x πππ=

แต λπ

=2k

π

ππ

=2

3,2

2,2

,0x

เมอ x คอระยะระหวางจดทขงตงระหวางปลายเชอก นนคอ จะเกดตาแหนงบพท 0x = และ ท 0L= เพราะวา 0y = จะเกดตาแหนงบพท

π= nkx เมอ ,.....3,2,1n = จาก π= nkx

λ=

λπ nx2

ถาใชเชอกยาว ( )LxL =

2nL

2nL

nL2

π=

πλ

π=

π=

λπ

เมอ ,...3,2,1n= นนคอกรณทปลายเชอกถกตรง ทงสองดาน ความยาวของเชอกทจะทาใหเกด

คลนนงได จะมคา2

nL λ=

เมอ ,...3,2,1n=

จาก λ

=vf

L2

nvfn = เมอ ,...3,2,1n= (4.23)

แต µ

= TFv

µ

= Tn

FL2nf (4.24)

เมอ ,...3,2,1n=

คลนนงในเสนเชอกทตรงปลายขางเดยว

รปท 4.24 คลนนงในเสนเชอกทตรงขางเดยว จากฟงกชนคลนนง ( ) kxsintcosA2y ω= 0y = เมอ 0x = เกดตาแหนงบพ (Node) y สงสด เมอ Lx = เกดตาแหนงปฏบพ (Antinode) พจารณาจากรป ความถมลฐาน (Fundamenta) ระยะความยาวเชอก L จะได

ความยาวคลน 4λ ทตาแหนงน เกดปฏบพ หรอคา y สงสด เมอ

2

5,2

3,2

kxsin πππ= คอคาสงสด

2nkxsin π

=

นนคอ 2

nkx π=

แตคาสงสดเกดขนเมอ Lx =

2nL22

nkL

π=

λπ

π=

นนคอ 4

L λ=

เมอ ,.....5,3,1n =

และ λ

=vfn

L4

nvfn = (4.25)

เมอ ,.....5,3,1n =

แต µ

= TFv

µ= T

nF

L4nf เมอ ,.....5,3,1n = (4.26)

ตวอยางท 4.9 เชอกยาว 2.5 เมตร ถกขงตรงทงสองขางโดยมดไวระหวางเสา 2 เสา จนทาให

ความเรวคลนในเสนเชอกเปน 80 เมตร/วนาท ถาทาใหเกดคลนนงในเสนเชอกจะตองปอนคลนทมความถเทาใด

วธทา โจทยกาหนดให L = 2.5 m, v = 80 m/s , fn = ?

จากสตร L2

nvFL2nf T

n =µ

=

จะไดวา n16)5.2(2)80(nfn == เฮรตซ เมอ n = 1, 2 , 3, …

นนคอ ความถทจะทาใหเกดคลนนงไดคอ 16, 32, 48, 64, ... เฮรตซ

คลนนงในทอ คลนนงในทอปลายปด 2 ขาง เชน กลอง

รปท 4.25 คลนนงในทอ จากสมการคลนนง ( ) kxsintcosA2y ω= ทตาแหนง 0x = และ Lx = เกดตาแหนงบพ (Node) นนคอ π== nkLkx เมอ n = 1, 2, 3, …

นนคอ 2

nL λ= เมอ n = 1, 2, 3, …

และ λ

=vf

L2

nv= (4.27)

เมอ ,.....3,2,1n =

แต ρ

=Bv

ρ

=B

L2nfn (4.28)

เมอ ,.....3,2,1n = คลนนงในทอปลายปด

รปท 4.26 คลนนงในทอปลายปด ในทานองกบทอปลายปด โดยอาศยหลกการเกดบพและปฏบพ ความยาวทอทนอยทสดททาใหเกดคลนนงไดตามเงอนไข คอ

นนคอ 4

nL λ=

เมอ ,.....5,3,1=n

และ L4

nvvfn =λ

=

L4

nvfn = (5.29)

เมอ ,.....5,3,1=n

แต ρBv =

ρ

=B

L4nfn (4.30)

เมอ ,.....5,3,1=n คลนนงในทอปลายเปด

รปท 4.27 คลนนงในทอปลายเปด เงอนไขของความยางทอ และความยาวคลนททาใหเกดคลนนง หาไดในทานองเดยวกนกบทอปลายปดทง 2 ขาง คอ

นนคอ 2

nL λ=

เมอ ,...3,2,1=n

จาก L2

nvvfn =λ

=

L2

nvfn = (4.31)

เมอ ,...3,2,1=n

แต ρ

=Bv

ρ

=B

L2nfn

เมอ ,...3,2,1=n ตวอยางท 4.10 ความถฮารมอนกท 5 เนองจากการสนพองของอากาศในทอปลายปดทอหนง

เทากบ 425 เฮรตซ ถาอตราเรวของคลนเสยงในอากาศเทากบ 340 เมตร/วนาท จงหาความยาวของทอปดทอน

วธทา โจทยกาหนดให f5 = 425 Hz, v = 340 m/s, n = 5 , L = ?

จากสตร L4

nvfn =

จะไดวา )L(4)340(5425=

1L= เมตร

บทสรป หนาคลน

การเกดคลนในลกษณะทแหลงกาเนดเปนจดคลนจะแผออกไปตามแนวรศมของวงกลมโดยสวนโคงของวงกลมคอแนวของหนาคลน ทศทางการเคลอนทของคลนจะตงฉากกบหนาคลนเสมอ สวนการเกดคลนในลกษณะทแหลงกาเนดเปนเสนตรง การเคลอนทของคลนทเกดในลกษณะทหนาคลนเปนแนวตรงโดยทศทางการเคลอนทของคลนจะตงฉากกบหนาคลนเชนกน

หลกของฮอยเกนส (Huygens’ principle) ทกทกจดบนหนาคลนใด ๆ อาจถอ ไดวาเปนแหลงกาเนดคลนใหมซงจะทาใหเกดคลนออกไปรอบ ๆ คลนใหมนจะมอตราเรวเทากบอตราเรวของการเคลอนทของคลนเดม การสะทอนและการสงผานของคลน 1. ความตานทานเชงซอนของเสนลวด (Impedance of string)

คาความตานทานเชงซอนของตวกลางหาไดจากอตราสวนระหวางแรงททาใหคลนเกดการเคลอนทและอตราเรวของการเคลอนท

vFZ =

เมอ Z คอ คาความตานทานเชงซอนของตวกลาง F คอ แรงททาใหคลนเกดการเคลอนท v คอ อตราเรวของคลนเคลอนท คาความตานทานเชงซอนของเสนลวด คอ

cTZ=

เมอ 2cT ρ= นนคอ cz ρ=

2. การสะทอนและการสงผานของคลนในเสนลวด สมประสทธของการสะทอน และสมประสทธการสงผานภายใตเงอนไขขอบเขตดงน เงอนไขท 1 เงอนไขเชงเรขาคณต คอ 211 ABA =+

เงอนไขท 2 เงอนไขเชงพลวต 22111 AZ)BA(Z =−

แอมพลจดของสมประสทธการสะทอน คอ

2121

11

12 ZZZZ

ABR

+−

==

แอมพลจดของสมประสทธการสงผาน คอ

21

112

ZZZ2

AAT

+==

3. การสะทอนและการสงผานพลงงาน

พลงงานรวมของคลนตกกระทบ คอ 21

21 A

21

ωρ

พลงงานรวมของคลนสะทอน คอ 21

21 B

21

ωρ

สมประสทธการสะทอนความเขมของพลงงาน คอ 21

21

21

21

21

21

AB

A21

B21

=ωρ

ωρ

หรอสมประสทธการสะทอนความเขมของพลงงาน คอ 221

221

)ZZ()ZZ(

+−

สวนสมประสทธการสงผานความเขมของพลงงาน คอ 211

222

21

21

21

22

AA

A21

A21

ρρ

=ωρ

ωρ

หรอ สมประสทธการสงผานความเขมของพลงงาน คอ 22121

)ZZ(ZZ4

+

ถา 21 ZZ = จะไมมการสะทอน การหกเหของคลน 1. การหกเหของคลนระนาบทผวราบ

กฏของสเนล คอ 21

21

vv

sinsin

=φφ

หรอ 12

21

nn

sinsin

=φφ เมอ

12

21

nn

vv=

หรอ 22

11

vvλ

=λ

2. การสะทอนภายในกลบหมด

จากกฎของสเนล คอ 121

2 sinnnsin φ=φ

ถา 21 nn > จะทาให 21 sinsin φ>φ และถา o902 =φ 1sin 2 =φ ซงจะทาให o90 าตองนอยกว1φ มม 1φ เรยกวามมวกฤตหรอ cφ ถา 1 φ มคามากกวามมวกฤตแลว sin 2φ จะตองมากกวา 1 ซงหมายความวา คลนไมสามารถผานไปในตวกลางท 2 ได แตจะมการสะทอนกลบหมดทผวแบง คามมวกฤตจะมคา

12

c nnsin =φ

การเลยวเบนของคลน สตรในการคานวณการเลยวเบน

0n,nsind ≠λ=θ n อาจเปนคาบวกหรอลบกได 0n = ใหตาแหนงซงอยในแนวแสงตกกระทบซงเปนตาแหนงทมความสวางมากทสด การคานวณหาการแจกแจงความเขมของลวดลายการเลยวเบน

( ) 20 /sind

/sindsinII

λθπλθπ

=

ปรากฏการณดอปเพลอร

ปรากฏการณดอปเพลอร (doppler’s effect) เปนปรากฏการณอนหนงทเกยวกบการรบรและรสกไดเมอมการเคลอนทสมพทธระหวางแหลงกาเนดคลนกบผสงเกต ทาใหผสงเกตรบรและรสกวาคลนมความถเปลยนไป สตรในการคานวณปรากฏการณดอปเพลอร คอ

0SL f

vvvvf

±=

m

คลนกระแทก เปนปรากฏการณทแหลงกาเนดคลนเคลอนทเรวกวาความเรวของคลน

m1

vvsinS==θ

เมอ θ คอ มมระหวางหนาคลนกระแทกกบแนวการเคลอนท v คอ ความเรวของคลน Sv คอ ความเรวของแหลงกาเนดคลน m คอ เลขมค หลกการซอนทบของคลน

เมอคลนเคลอนทมาพบกนแลวเกดการรวมกน โดยการกระจดของแตละตาแหนงของคลนรวมมคาเทากบผลบวกของการกระจดของแตละคลน และหลงจากทคลนผานพนกนแลว คลนยงคงรปราง ขนาด และทศทางเดม เหมอนกอนการซอนทบ การซอนทบของคลนมสองแบบ คอ

1. เมอสนคลนรวมกบสนคลน หรอเมอทองคลนรวมกบทองคลนจะทาใหการกระจดลพธทเกดจากการรวมกนของคลนมขนาดเพมขน เรยกวาการรวมกนของคลนแบบเสรม

2. เมอสนคลนรวมกบทองคลน คลนจะทาใหการกระจดลพธทเกดจากการรวมกนของคลนมขนาดลดลง เรยกวาการรวมกนของคลนแบบหกลาง การแทรกสอดของคลน การแทรกสอดแบบเสรม เกดขนเมอสวนทเปนสนคลนพบสวนทเปนสนคลน หรอสวนทเปนทองคลนพบสวนทเปนทองคลน แอมพลจดของคลนทงสองจะเสรมกน เรยกตาแหนงนวา “ปฏบพ” (antinode) การแทรกสอดแบบหกลาง เกดขนเมอสวนทเปนสนคลนพบกบสวนทเปนทองคลน แอมพลจดของคลนทงสองจะหกลางกน เรยกตาแหนงนวา “บพ” (node)

ถาใหตาแหนง P เปนตาแหนงปฏบพใด ๆ บนเสนปฏบพ จะไดความสมพนธวา

S1P – S2P = nλ เมอ n = 1,2,3,… และถาใหตาแหนง Q เปนตาแหนงบพใด ๆ บนเสนบพ จะไดความสมพนธวา S1Q – S2Q = n –

21 λ เมอ n = 1,2,3,…

คลนนง คลนนง เปนปรากฏการณทเกดขนจากการแทรกสอดของคลนสองขบวนทมความถ และแอมพลจดเทากน เคลอนทในทศตรงกนขาม ให )tkxsin(Ay1 ω+= เคลอนทไปทางซาย และ )tkxsin(Ay 2 ω−= เคลอนทไปทางขวา สมการคลนนง คอ

kxsintcosA2y ω= คลนนงในเสนเชอก

ความถ คอ µ

= Tn

FL2nf เมอ ,...3,2,1n=

คลนนงในเสนเชอกทตรงปลายขางเดยว

ความถ คอ µ

= Tn

FL4nf เมอ ,.....5,3,1n =

คลนนงในทอปลายปด

ความถ คอ ρ

=B

L4nfn เมอ ,.....5,3,1=n

คลนนงในทอปลายเปด

ความถ คอ ρ

=B

L2nfn เมอ ,...3,2,1=n