เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

1

บทท 5 การเคลอนทในสองมต

(Two-Dimensional Motion)

5.1 การเคลอนทในระนาบ การเคลอนทในระนาบเปนการเคลอนทใน 2 มต ซงเราสามารถแสดงตาแหนง ความเรว และความเรงของอนภาคใดๆทเคลอนทบนระนาบไดดงน ตาแหนงใดๆ jyixr ˆˆ

โดยทขนาดของการกระจด 2 2r x y

ความเรว x y

ˆ ˆd(x i yj)d r ˆ ˆv v i v jdt dt

โดยทขนาดของความเรว 2 2x yv v v

ความเรว x yx y

ˆ ˆd(v i v j)dv ˆ ˆa a i a jdt dt

โดยทขนาดของความเรง 2 2x ya a a

ซงการเคลอนทในระนาบทเราจะศกษาน ไดแกการเคลอนทแบบโพรเจกไทล และการเคลอนทแบบวงกลม 5.2 ขอมลพนฐานสาหรบการเคลอนทแบบโพรเจกไทล

การเคลอนทแบบโพรเจกไทลเปนการเคลอนทบนระนาบแบบหนงทมแนวการเคลอนทเปนแนวโคง ซงจะมการเคลอนทในแนวดงและแนวระดบเกดขนพรอมๆ กน โดยท

1. การเคลอนทในแนวดงเปนการเคลอนทดวย ความเรงเนองจากแรงโนมถวง 2. การเคลอนทในแนวระดบเปนการเคลอนทดวยความเรวคงท เนองจากไมมแรงลพธมา

กระทา 3. การพจารณาการเคลอนทแบบโปรเจกไทลน สามารถพจารณาการเคลอนททงสองแนว

แยกกนได

เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

2

รปท 5-1 แสดงวถการเคลอนทและความเรวของการเคลอนทแบบโพรเจกไทล

จากรปท 1 พจารณาวตถทเคลอนทจออกจากตาแหนง A ดวยความรวตน u โดยทามมกบแนวระดบเปน จะไดวา

ความเรวตนในแนวระดบ cosuux ---------- (5.1) ความเรวตนในแนวดง sinuuy ---------- (5.2)

เนองจาก ความเรงในการเคลอนทนมเฉพาะในแนวดง ( gay เมตร/วนาท) สวนในแนว

ระดบความเรงเปนศนย ( 0xa เมตร/วนาท) ดงนนทเวลาใดๆ จะได ความเรวในแนวระดบทเวลาใดๆ

dtadvdt

dva xx

xx

tv

u

x dtdvx

0cos

)0(

0cos uvx cosuvx ---------- (5.3)

ความเรวในแนวดงทเวลาใดๆ

dtadvdt

dva yy

yy

t

y

v

u

y dtadvy

0sin

tauv yy sin tauv yy sin

เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

3

ในกรณรปท 1 sinuuy มทศขน และ gay มทศลงในแนวดง ดงนน กรณรปท 1 จะได gtuvy sin ---------- (5.4)

การกระจดในแนวระดบทเวลาใดๆ

dt

dSv x

x dtvdS xx

tS

x dtudSx

00

)cos(

tuSx )cos( ---------- (5.5)

การกระจดในแนวดงทเวลาใดๆ

dt

dSv y

y dtvdS yy

t

y

S

y dttaudSy

00

)sin(

2

2

1)sin( tatuS yy ---------- (5.6)

ในกรณรปท 5-1 sinuuy มทศขน และ gay มทศลงในแนวดง ดงนน กรณรปท 1 จะได

2

2

1)sin( gttuS y ---------- (5.7)

ความเรวของวตถทเวลาใดๆ จะเปน jvivv yxˆˆ

และมขนาดเทากบ 22yx vvv

ถามม เปนมมทความเรวกระทากบแนวระดบ ณ เวลาใด ๆ จะไดวา

x

y

v

vtan

การกระจดของวตถทเวลาใดๆ สามารถเขยนไดเปน jSiSS yxˆˆ

และมขนาดเทากบ 22yx SSS

เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

4

จาก สมการท (5.5) และ (5.7) จะได

2

2cos2tan xxy S

u

gSS

---------- (5.8)

จะเหนวาสมการท (5.8) นอยในรปของ 2bxaxy ซงเปนสมการของพาราโบลา

(Parabola) แสดงวา วถการเคลอนทของการเคลอนทแบบโพรเจกไทลเปนรปพาราโบลา 5.3 การเคลอนทแบบโพรเจกไทลบนพนราบ

รปท 5-2 แสดงการเคลอนทแบบโพรเจกไทลบนพนราบ

การหาระยะการกระจดทวตถตกไกลทสด พจารณารปท 2 จะเหนวาในชวงเวลาทวตถเคลอนทไดไกลทสด เปนชวงเวลาทวตถเรม

เคลอนทจนกระทงตกลงมาทพนในแนวระดบเดม (เมอวตถตกในแนวระดบเดม การกระจดในแนวแกน y เปนศนย ( 0yS ) จากสมการท (5-8) จะไดวา

2

2

1sin0 gttu

เวลาทวตถใชในการเคลอนทจากเรมตนจนตกมาทในแนวระดบเดม จะเปน

g

ut

sin2 ---------- (5.9)

ดงนนระยะทางทวตถเคลอนทไดในแนวระดบ จากตาแหนงเรมตนจนถงตาแหนงทวตถตกมาท

แนวระดบเดมจะเปน

g

uuSx

sin2cos ---------- (5.10)

จากเอกลกษณทางตรโกณมต

2sincossin2

เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

5

ดงนน ระยะทวตถเคลอนทไดไกลทสด (พสย) เมอยงวตถออกไปดวยความเรว u และทามมกบแนวระดบ คอ

2sin2

g

uSx ---------- (5.11)

จากสมการท 11 นจะเหนไดวา ระยะทวตถตกไกลทสดกตอเมอ 2sin มคามากทสด ซง

เทากบ 1 ดงนนจะไดวา 045

การหาระยะทวตถสามารถขนไปไดสงสด เมอวตถเคลอนทขนไดสงสด แสดงวาวตถนนไมมความเรวในแนวดง 0yv ดงนน จากสมการท 5.6 จะได เวลาทวตถเคลอนทไดถงจดสงสด ดงสมการท 5.12

g

utgtu

sinsin0 ---------- (5.12)

จะเหนวาจากสมการท 5.9 และ 5.12 เวลาทวตถเคลอนทถงจดสงสดเทากบเวลาครงหนงของเวลาทงหมดทวตถเคลอนทตกลงมาถงแนวระดบเดม ระยะสงสดทสามารถเคลอนท เมอยงวตถออกไปดวยความเรว u และทามมกบแนวระดบ คอ

2

sin

2

1sinsin

g

ug

g

uuS y

g

uS y 2

sin 22 ---------- (5.13)

จากสมการท 5.13 น การกระจดในแนวดงนมากทสด เมอ 1sin 2 ซงจะไดวา 090

5.3 การเคลอนทแบบโพรเจกไทลบนพนเอยง

รปท 5-3 วตถเคลอนทแบบโปรเจกไทลบนพนเอยง

เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

6

จากรปท 5.3 แสดงการเคลอนทของวตถแบบโปรเจกไทลบนพนเอยง ซงพจารณาแกน X และ Y วตถจะมสมการการเคลอนท ดงน

gmdt

vdm

]ˆ)cos(ˆ)sin[()ˆˆ( jgigmjvivdt

dm yx

ซงจะไดวา ความเรงในแนวแกน X คอ singax มทศทางพงลงเขาสจดกาเนด ดงรปท 5.3 ความเรงในแนวแกน Y คอ cosgay มทศทางพงลงเขาสจดกาเนด ดงรปท 5.3 พจารณารปท 3 เมอยงวตถดวยความเรวตน u ในทศทามม กบแนวแกน X จะได ความเรวตนในแนวแกน X cosuux ความเรวตนในแนวแกน Y sinuuy

ซงเราสามารถหาคาความเรวทเวลาใดๆ ทงสองแนวแกน ดงน

ความเรวตนในแนวแกน X tguvx )sin(cos ---------- (5.14) ความเรวตนในแนวแกน Y tguvy )cos(sin ---------- (5.15)

และการกระจดทเวลาใดๆ ทงสองแนวแกน ดงน การกระจดในแนวแกน X

2)sin(2

1)cos( tgtuSx ---------- (5.16)

การกระจดในแนวแกน Y

2)cos(2

1)sin( tgtuS y ---------- (5.17)

ซงจากสมการท 5.14 – 5.17 นเราสามารถหาระยะทวตถตกไกลสดบนพนเอยง ( พสย ) เมอ

ยงวตถออกไปดวยความเรว u และทามม กบแนวแกน X ไดดงน

2

2

)(cos

sin)cos(2

g

uR ---------- (5.18)

เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

7

*** นกเรยนคดวา เราตองยงวตถทามมกบแนวแกน X เทาไร จงทาใหวตถตกไกลทสด และ ระยะทไกลทสดนเปนเทาไร ? ***

เราสามารถหาระยะทวตถอยหางจากพนเอยงมากทสด เมอยงวตถออกไปดวยความเรว u และ

ทามม กบแนวแกน X ไดดงน

)(cos2

sin 22

g

uh ---------- (5.19)

*** นกเรยนคดวา เราตองยงวตถทามมกบแนวแกน X เทาไร จงทาใหวตถหางจากพนเอยงมาก

ทสด และ ระยะหางจากพนเอยงมากทสดนเปนเทาไร ? ***

5.4 การเคลอนทแบบวงกลม วตถทเคลอนทเปนวงกลม บนระนาบใดๆ อตราเรวขณะใดขณะหนงของวตถจะคงทหรอไมกได แตความเรวของวตถไมคงทแนนอน เนองจากวามการเปลยนทศาทางของการเคลอนท ตลอดเวลา ซงเมอวตถทมการเปลยนทศทางการเคลอนทแสดงวา วตถนตองมองคประกอบของแรงมากระทาในทศทางทตงฉากกบเสนทางการเคลอนทดวย และกรณทการเคลอนทมอตราเรวไมคงท แสดงวาตองมองคประกอบของแรงในทศทางทขนานกบแนวการเคลอนทดวย พจารณา รปท 5-4

รปท 5-4 การเคลอนทแบบวงกลม

จากรปท 5-4 วตถมวล m เคลอนทดวยความเรง a

ซงมองคประกอบในแนวสมผส ta และ

แนวตงฉาก ca (เขาสจดศนยกลางวงกลม) กบการเคลอนท โดยท

tc aaa

---------- (5.20)

5.4.1 การเคลอนทแบบวงกลมแบบอยางสมาเสมอ การเคลอนทเปนวงกลมอยางสมาเสมอ เปนการเคลอนทเปนวงกลมทมอตราเรวคงท (ขนาดของความเรวคงท ) ซงการเคลอนทแบบนจะไมมความเรงในแนวสมผสวงกลม ( 0ta

) ดงนน จะได

caa

---------- (5.21)

เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

8

พจารณาวตถ ซงเคลอนทดวยอตราเรวคงท แสดงเวกเตอรความเรว ดงรปท 5-5

ก. ข. รปท 5-5 แสดงความเรวเมอนภาคเคลอนทแบบวงกลม

จากรป 5-5 ก. และ รป 5-5 ข. วตถเคลอนทจากจด P1 ไปจด P2 จะไดสามเหลยมคลายโดยท

1v

v

R

s

R

svv

1

ดงนน ขนาดความเรงเฉลย ava ระหวางเวลา t คอ

tR

sv

t

vaav

1

พจารณา ขนาดความเรงทจด P1 (ใหจด P2 เขาใกลจด P1 มาก ๆ)

tR

sva

t

1

0lim

t

s

R

vt

0

1 lim

เนองจาก 10

lim vt

st

ซงเปนอตราเรวของวตถทจด P1 นนเอง ดงนน

R

va

21

เนองจากการเคลอนททกาลงพจารณานเปนการเคลอนทเปนวงกลมแบบสมาเสมอ (อตราเรว

คงท) จากสมการท 5.21 จะไดวา

R

vac

21

เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

9

“ การเคลอนทเปนวงกลมอยางสมาเสมอ จะมความเรงเฉพาะความเรงทมทศเขาสศนยกลางเทานน ซงเราเรยกความเรงนวา ความเรงสศนยกลาง ( Centripetal acceleration ) ” ดงนน หากพจารณาทใดๆ ซงมความเรว v จะมความเรงเขาสศนยกลาง เปน

R

vac

2

---------- (5.22)

และหากวตถทเคลอนทนมมวล เทากบ m จะได

R

mvmaF cc

2

---------- (5.23)

สมการท 5.23 นแสดงใหเหนวา การทวตถสามารถเคลอนทเปนวงกลมอยางสมาเสมอไดนน

ตองมแรงมากระทาในทศทเขาสจดศนยกลางเสมอ เราเรยกแรงนวา แรงสศนยกลาง (Centripetal Forces)

5.4.2 การเคลอนทแบบวงกลมแบบไมสมาเสมอ ในกรณทวตถเคลอนทปนวงกลมอยางสมาเสมอ (อตราเรวไมคงท ) นนวตถจะมความเรงในแนวสมผสการเคลอนทดวย โดยท ขนาดของความเรงในแนวสมผส ta เทากบ

dt

vdat

---------- (5.24)

เราสามารถเขยนไดวาความเรงของวตถทเคลอนทเปนวงกลมแบบไมสมาเสมอ เทากบ

ctct eR

ve

dt

vdaaa ˆˆ

2

---------- (5.25)

เมอ te และ ce เปนเวกเตอรหนงหนวยทมทศสมผสวงกลม และเขาสศนยกลางวงกลม

ตามลาดบ

อตราเรวเชงมม ( Angular velocity)

เมอวตถเคลอนทเปนวงกลมดวยอตราเรวคงท ระยะทางทเคลอนทไดในหนงหนวยเวลาเรยกวา อตราเรวเชงเสน (Linear velocity) นอกจากขณะทเคลอนทนรศมยงกวาดมมไปได และ มมทกวาดไปไดในหนงหนวยเวลา เรยกวา อตราเรวเชงมม สญลกษณทใช คอ

เมอ r

S

เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

10

ซงหากการเคลอนทนกวาดมมไปได ในเวลา t จะไดวา

t

ถาวตถเคลอนทครบ 1 รอบ มมทรศมกวาดไปไดคอ 2 เรเดยน จะไดเวลาทใชในการเคลอนท 1 รอบ คอ คาบ T ดงนน

T

2 (ก)

และในการเคลอนทครบ 1 รอบ จะเคลอนทไดระยะทาง r2 ดงนน

T

rv

2 (ข)

จากสมการ (ก) และ (ข ) จะไดความสมพนธระหวาง v และ เปน rv จาก สมการท 5.14 จะได rac

2 (ค) และจะได rmFc

2 (ง) สมการ (ค) และ (ง) นเปนการเขยนความเรงสศนยกลางและแรงสศนยกลางในรปของอตราเรวเชงมม

5.5 การประยกตการเคลอนทแบบวงกลม 1. การเคลอนทบนถนนโคง กรณทรถยนตเคลอนทไปตามถนนโคงนนตองมแรงมากระทาทรถในทศทางเขาสศนยกลาง

ความโคง (เพอเปลยนทศทางการเคลอนทของรถ) เราเรยกแรงนวา แรงสศนยกลาง ซงในการเคลอนทของรถบนถนนโคงนแรงททาหนาทเปนแรงสศนยกลาง คอ แรงเสยดทาน ทกระทากบดานขางของยางรถ นนเอง

- รถทเลยวโคงบนถนนราบดวยอตราเรวสงจะตองใชแรงสศนยกลางมากกวาการเลยงโคงดวยอตราเรวตาในบรเวณโคงเดยวกน และมโอกาสทจะไถลออกนอกทางไดมากกวา เพราะการเลยว

โคงดวยอตราเรวสงนนตองใชแรงสศนยกลางมากตามสมการ r

mvFa

2

แตแรงเสยดทานระหวาง

พนถนนกบลอรถททาหนาทเปนแรงสศนยกลางมคาสงสดคาหนงและแรงเสยดทานระหวางพนถนนกบ

เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

11

ลอรถททาหนาทเปนแรงสศนยกลางในกรณทรถเลยวโคงดวยอตราเรวสงขนอาจทาใหรถมโอกาสไถลออกนอกทางไดมากกวาการเลยวโคงดวยอตราเรวตา

- รถยนตทแลนบนถนนราบเมอเลยวโคงทมรศมความโคงสนมาก กบเลยวโคงทมรศมความโคงยาวมาก โดยอตราเรวเทากน กรณแรกจะมโอกาสไถลออกนอกทางไดมากกวากรณหลงทงนเพราะ

ถนนทมรศมความโคงสนตองใชแรงสศนยกลางมาก ดงสมการ r

mvFa

2

จงมโอกาสไถลออกนอก

ทางไดมากกวาการเลยวบนโคงทมรศมความยาวดวยอตราเรวเทากน เพราะการเลยวโคงทมรศมสนนนแรงเสยดทานททาหนาทเปนแรงสศนยกลางอาจจะมขนาดไมเพยงพอ

- แรงเสยดทานระหวางยางรถกบถนนททาหนาทเปนแรงสศนยกลาง จะมคามากหรอนอยขนอยกบ นาหนกรถ ผวถนน และยางรถ

- อตราเรวสงสดทเลยวโคงไดเมอฝนไมตกมคามากกวาเมอฝนตกผวสมผสระหวางบางรถกบถนนจะเปยก ลน ทาใหแรงเสยดทานททาหนาทเปนสศนยกลางมคาลดลง กรณการเคลอนทของจกรยานยนตบนทางโคงราบ

ก.แลนทางตรงราบ ข.แลนทางโคงราบ

รปท 5-5 แสดงแรงทกระทาตอรถจกรยานยนต

กรณรถจกยานหรอรถจกรยานยนตแลนทางตรงบนถนนราบ ดงรป 5-5 ก. จะมแรงเสยดทานมากระทากบลอเพอใหรถเคลอนทไปขางหนา และแรงจากนาหนกของรถ + คน ( mg ) และแรงทพนกระทาตอรถ ( N ) ในแนวทผานจดศนยกลางมวล ทาใหไมมโมเมนตของแรงรอบจดศนยกลางมวล จงทาใหรถไมลม

กรณรถจกยานหรอรถจกรยานยนตแลนเลยวโคงบนถนนราบ ดงรปท 6 ข. แรงสยงทาน

ทพนถนนกระทาตอรถจะมอย 2 แนว ซงแรงเสยดทานในแนวแรกคอ แรงเสยดทานททาใหรถเคลอนทไปขางหนา สวนแรงเสยดทานในอกแนวหนงคอแรงเสยดทานททาหนาทเปนแรงสศนยกลางผลกใหรถเลยวโคง ทาใหตองเอยงตว เพอไมใหมโมเมนตของแรงรอบจดศนยกลางมวล และทาใหรถไม

เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

12

ลม หากกรณนไมเอยงรถจะทาใหมโมเมนตของแรงรอบจดศนยกลางมวลเนองจากแรง R

ซงเปนแรงลพธระหวาง N

และ f

และจะทาใหการหมนรอบจดศนยกลางมวลและมผลทาใหรถลมได

พจารณารปท 5.5 ข. จะไดวา

r

mvR

2

sin ---------- (5.26-1)

mgR cos ---------- (5.26-2)

(5.26-1)/(5.26-2) ; rg

v 2

tan ---------- (5.27)

จากสมการท 5-27 นเราจะไดความสมพนธระหวางมม ซงเปนมมทรถจกยานยนตและคนตอง

เอยงเทยบกบแนวดง เมอรถเลยวโคงซงมรศมความโคง r ดวยความเรว v กรณการเคลอนทของรถยนตและรถจกรยานยนตบนทางโคงเอยง

ในปจจบนลกษณะของถนนโคงตางจะมลกษณะเอยงทามมกบแนวระดบคอขอบถนนดานนอกจะถกยกใหสงกวาขอบถนนดานใน เพอใหการเลยวโคงดวยความเรวไดปลอดภยมากขน

ก.แลนบนพนเอยงทไมมแรงเสยดทาน ข. แลนบนพนเอยงทมแรงเสยดทาน

รปท 5-6 แสดงแรงทกระทาตอรถทแลนบนทางโคงเอยง

กรณทรถเลยวโคงบนถนนทเอยงทามมกบแนวระดบ และทพนเอยง แรงสศนยกลางททาใหรถเลยวโคงได เกดจากองคประกอบของแรงทพนดนรถในแนวระดบ และองคปประกอบของแรงเสยดทานในแนวระดบ ดงรปท 5-6 ข ซงจะไดวา

r

mvfN

2

cossin ---------- (5.28)

สาหรบการสรางถนนบรเวณเลยวโคงทามมกบพนระดบโดยทวไปจะคดแรงองคประกอบในแนว

ระดบของแรงทพนดนรถ sinN เพยงแรงเดยวเทานนททาหนาทเปนแรงสศนยกลาง ใหรถเลยวโคง

เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

13

ไดในอตราเรวทกาหนด ทงนเปนเพราะแรงเสยดทาน cosf ขนอยกบลกษณะของผวถนน ดงนนเราเมอไมคดองคประกอบของแรงเสยดทานจะไดดงรปท 5.6 ก ซงจะไดวา

r

mvN

2

sin ---------- (5.29-1)

mgN cos ---------- (5.29-2)

(5.29-1)/(5.29-2) rg

v 2

tan ---------- (5.30)

จากสมการท 5-30 นเราสามารถหาไดวาจะตองยกขอบถนนดานนอกสงกวาขอบถนนดานใน

เทาไรในการสรางถนน

2. การเคลอนทแบบวงกลมในแนวดง

รปท 5-7 แสดงการเคลอนทของลกกลม บนทางโคงกลมตามแนวดง

วตถทเคลอนทเปนวงกลมตามแนวดง ดงรปท 5-7 จะตองมแรงสศนยกลางซงเกดจากแรงทรางดนวตถและองคประกอบของนาหนก โดยทตาแหนงตางๆ จะมแรงสศนยกลางดงน

ทตาแหนง A mgNr

mvFc

2

---------- (5.31-1)

ทตาแหนง B mgNr

mvFc

2

---------- (5.31-2)

ทตาแหนง C Nr

mvFc

2

---------- (5.31-3)

ทตาแหนง D cos2

mgNr

mvFc ---------- (5.31-4)

เอกสารประกอบการสอน ว30101 ฟสกสพนฐาน สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

14

3. การเคลอนทของดาวเทยม

รปท 5-8 แสดงการเคลอนทของดาวเทยมมวล m รอบโลกมวล M

การโคจรรอบโลกของดาวเทยม หรอการเคลอนทรอบดวงอาทตยของดาวเคราะหนนจะมแรงดงดดระหวางมวลทมากระทาตอดาวเทยมหรอดาวเคราะหนนเปนแรงสศนยกลาง ดงนนหากพจารณา ดาวเทยมมวล m ทโคจรรอบโลกมวล M ดวยความเรว v ทตาแหนงวงโคจรหางจากจดศนยกลางของโลกเปนระยะ r จะไดวา

2

2

r

GMm

r

mvFc

r

GMv 2 ---------- (5.32)

จากสมการท 5-32 นน ดาวเทยมทมวงโคจรตางกนนนจะตองเคลอนทดวยอตราเรวเชงเสน

ตางกน ซงการสงดาวเทยมขนสวงโคจรนนไดทาการกาหนดรสมวงโคจรไวกอน แลวคานวณหาแรงสศนยกลางทกระทากบดาวเทยมและอตราเรวเชงเสนในวงโคจรนน ๆ และเมอยงดาวเทยมขนไปจนมความสงตามทตองการแลวจงปรบทศทางและอตราเรวของดาวเทยมเพอใหเขาสวงโคจร