บทที่ 3dspace.spu.ac.th/bitstream/123456789/4782/7/7บท... · 2017-02-02 ·...
TRANSCRIPT
25
บทที่ 3 การขับเคลื่อนมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงด้วยการควบคุมแบบวงรอบปิด
หากจะกล่าวกนัไปแลว้อตัราความเร็วรอบของมอเตอร์ไฟฟ้ากระแสตรงจะมีการเปล่ียน
แปลตามแรงบิดโหลด ดงันั้นการรักษาอตัราเร็วรอบใหค้งท่ีจึงควรมีการปรับเปล่ียนค่าแรงดนัของอาร์เมเจอร์และหรือฟิลดอ์ยา่งต่อเน่ืองเพื่อ ควบ คุมกระแสใหส้อดคลอ้งกบัแรงบิดโหลด โดยทั้งน้ีเราสามารถกระท าไดโ้ดยการปรับมุมขบัน าหรือมุม จุดชนวนของวงจรชอปเปอร์ ซ่ึ งในทางปฏิบติัระบบขบัเคล่ือนท่ีมีความตอ้งการการท างานท่ีแรงบิดคงท่ีมกัจะเป็นการควบคุมแบบวงรอบปิด (Close Loop Control) เกือบทั้งหมดซ่ึงระบบการควบคุมดงักล่าวจะมีขอ้ดีในแง่ของความแม่นย าการตอบสนองพลวตัหรือไดนามิกส์ท่ีรวดเร็ว และลดผลของการรบกวนหรือเปล่ียนแปลงโหลดรวมทั้งระบบท่ีไม่เป็นเชิงเสน้และในล าดบัต่อไปน้ีเราจะมาศึกษากนัถึงระบบควบคุมตามชนิดของสญัญาณดงัน้ี
-ตวัควบคุมแบบสดัส่วน (P-Controller) -ตวัควบคุมแบบบูรณาการรวมหน่วย (I-Controller) -ตวัควบคุมแบบอนุพนัธ ์(D-Controller) -ตวัควบคุมแบบสดัส่วนรวมกบัแบบบูรณาการรวมหน่วย (PI-Controller) -ตวัควบคุมแบบสดัส่วนรวมกบัแบบอนุพนัธ ์(PD-Controller) -ตวัควบคุมแบบสดัส่วนรวมกบัแบบบูรณาการรวมหน่วยและอนุพนัธ ์(PID-Controller)
3.1 ตวัควบคุมแบบสัดส่วน (Proportional Controller) ตวัควบคุมแบบสดัส่วน (P-Controller) น้ีเป็นตวัควบคุมท่ีไม่มีการหน่วง (Delay) ระหว่าง
สญัญาณทางออก แต่สญัญาณทางออกจ ะเป็นสดัส่วนกบัสญัญาณทางเขา้ ซ่ึ งมีอตัราขยายเป็น พารามิเตอร์ท่ีท าใหข้นาดของสญัญาณทางเขา้ และสญัญาณทางออกเกิดความแตกต่างกนั สามารถเขียนเป็นสมการไดด้งัน้ี uout t = gp . uin t (3.1) โดยท่ี uout t = สญัญาณทางออกของตวัควบคุม uin t = สญัญาณผดิพลาดท่ีเกิดข้ึนหรือสญัญาณทางเขา้ gp t = ความไวของสดัส่วน หรือตัราขยาย
26
เราสามารถเขียนเป็นฟังกช์ัน่ถ่ายโอน (Transfer Function) ไดเ้ป็น
F s =Uout (s)
U in (s) = G p (3.2)
และจากฟังกช์ัน่ถ่ายโอนในสมการท่ี (3.1) น้ีเราก็สามารถเขียนเป็นภาพบลอ็ก (Block Diagram) ได้ดงัภาพท่ี 3.1 ภาพท่ี 3.1 บลอ็กไดอะแกรมของตวัควบคุมแบบสดัส่วน
เมื่อ Ur(s) = เป็นสญัญาณอา้งอิงหรืออาจจะเขียนแสดงในภาพของผลตอบสนองต่อ
ฟังกช์ัน่ขั้นบนัได (Step Response)
ภาพท่ี 3.2 ผลตอบสนองต่อฟังกช์ัน่ขั้นบนัไดของตวัควบคุมแบบสดัส่วน
Uout (s) Uin (s) Ur(s)
+
+
-
+
𝐺𝑃
Gp
Gp . uin (t)
uout (t)
uin (t)
uin (t)
27
ซ่ึงสามารถสร้างวงจรอิเลก็ทรอนิกส์ ท่ีท าหนา้ท่ีเป็นตวัควบคุมแบบสดัส่วนดงัภาพท่ี 3.3
ภาพท่ี 3.3 วงจรตวัควบคุมแบบสดัส่วน
จากภาพท่ี 3.3 เป็นตวัควบคุมแบบสดัส่วน ซ่ึงสร้างจากวงจรขยายผกผนั (Inverting Amplifier) ของออปแอมป์โดยท่ีสามารถหาฟังกช์ัน่ถ่านโอน (Transfer Function) ไดด้งัน้ี
จากภาพท่ี 3.3 พิจารณาท่ีขาลบ (-) จะได ้
I2 = - I1 (3.3)
u in = I1 R1
U out = I2 R2 = - I1 R2
ดงันั้น F s =Uout (s)
U in (s)=
−I1R2
I1R1=
−R2
R1= Gg (3.4)
โดยท่ี Gp คือพร็อบโพชนัเนิลเกรน (Proportional Gain; Gp) แต่เน่ืองจากตวัควบคุมแบบสดัส่วน (P-Controller) เราตอ้งการอตัราการขยายตวัเป็น 1 ถึง 10 เท่า โดยการปรับท่ี R2 หรือ R1
สรุป ตวัควบคุมสดัส่วนน่ีจะได ้ -สญัญาณทางออกจะเป็นสดัส่วนกบัสญัญาณทางเขา้ -ตอบสนองไดเ้ร็วนั้นคือไม่มีการหน่วงเวลา (Delay) นัน่เอง
−Vcc
+Vcc
Uout
I1
Uin
R1
R2
+
-
I2
28
3.2 ตวัควบคุมแบบบูรณการรวมหน่วย (Integral Controller)
ตวัควบคุมแบบ บูรณาการหน่วย จะ เป็นตวัควบคุมท่ีใชส้ญัญาณทางออกเป็นสดัส่วนโดยตรงกบัสญัญาณผดิพลาด หรือสญัญาณทางเขา้ ซ่ึงสญัญาณออกท่ีออกจากตวัควบคุ มก็คือพ้ืนท่ีของสญัญาณผดิพลาดหรือสญัญาณเขา้นัน่เอง เขียนเป็นสมการเชิงอนุพนัธ ์ (Differential Equation) ดงัน้ี
\
𝑢𝑜𝑢𝑡 𝑡 =1
𝑇𝑖 𝑢𝑖𝑛𝑑𝑡
𝑡
0 (3.5)
𝑢𝑜𝑢𝑡 𝑡 = 𝑢𝑖𝑛 (𝑡)1
𝑇𝑖
เมื่อ Ti =เป็นค่าคงท่ีปรับค่าไดห้รือเวลาของการบูรณาการรวมหน่วย (Integral Time) จากสมการดงักล่าวสามารถเขียนเป็นฟังกช์ัน่ถ่ายโอน (Transfer Function) ได ้
𝐹 𝑠 = 𝑈𝑜𝑢𝑡 (𝑠)
𝑈𝑖𝑛 (𝑠)=
1
𝑇𝑖(𝑠)= 𝐾𝑖 (3.6)
และฟังกช์ัน่ถ่ายโอนน้ี สามารถเขียนเป็นบลอ็ก (Block Diagram) และแสดงผลตอบสนองต่อฟังกช์ัน่ขั้นบนัได ไดด้งัภาพท่ี 3.4ก.และ ข.
ก.
Uout (s) Um (s) UR (s)
-
+
+
+
1
𝑇𝑖𝑠
29
ข.
ภาพท่ี 3.4 Block Diagram ฟังกช์ัน่ถ่ายโอนแบบบูรณาการรวมหน่วย
ก. ภาพบลอ็กของตวัควบคุมแบบบูรณาการรวมหน่วย ข. ผลตอบสนองต่อฟังกช์ัน่ขั้นบนัไดของตวัควบคุมแบบบรูณาการหน่วย
จากสมการอนุพนัธ ์จะพบว่าถา้สญัญา ณทางเขา้เพ่ิมข้ึนเป็นสองเท่า ท าใหอ้ตัราการ
เปล่ียนแปลงของสญัญาณทางออกของตวัควบคุม ความเร็วข้ึนเป็นสองเท่าดว้ยและสญัญาณทางเขา้เป็นศนูยค่์าของสญัญาณทางออกจะคงท่ีท่ีค่าๆหน่ึง ในการควบคุมแบบน้ีบางคร้ังเรียกว่าการควบคุมจดัใหม ่(Reset Control)”
เมื่อพิจารณาวงจรขยายผกผนั (Inverting Amplifier) ถา้เปล่ียนตวัตา้นทานท่ีป้อนกลบัให้
เป็นประจุแทนดงัภาพท่ี 3.5 วงจรน้ีจะกลายเป็นวงจรอินทิเกรต (Integral) ซ่ึงสามารถหาฟังกช์ัน่ถ่ายโอนของวงจรได ้และสามารถสร้างวงจรอิเลก็ทรอนิกส์ข้ึนมาท าหนา้ท่ีไดด้งัภาพท่ี 3.5
ภาพท่ี 3.5 วงจรตวัควบคุมแบบบูรณาการรวมหน่วย
uin (t)
uin (t)
uin (t)
uout (t)
−Vcc
+Vcc
Uout
I1 I2
Uin
R1
+
-
C
+
-
30
พิจารณาจากวงจร จะได ้
I1 + I2 = 0 (3.7)
uin
R1+ I2
duin
dt= 0
C duin
dt= −
uin
R1
duout = −1
R1udt (3.8)
Take Laplace Transform ในสมการท่ี (3.8) ไดเ้ป็น
Uout (s) = −1
R1CsUin (s) (3.9)
สามารถเขียนเป็นฟังกช์ัน่ถ่ายโอนได ้
F(s) = Uout (s)
U in (s)=
1
R1Cs=
1
Ti s= Ki (3.10)
โดยท่ี อินทิกรัลไทม ์(Integral Time; Ti) = R1C หรือเรียกว่า Time Constant จากวงจรสามารถปรับค่า Ti ไดท่ี้ R1 และ C1 นัน่เอง สรุป การควบคุมแบบบูรณาการรวมหน่วยน้ี จะท าใหร้ะบบมีความแม่นย าซ่ึงก็หมายถึงสญัญาณทางออกท่ีออกจากตวัควบคุมจะติดตามสญัญาณทางเขา้ไดต้ลอดเวลา
3.3 ตวัควบคุมแบบอนุพนัธ์ (Derivative Controller)
ตวัควบคุมแบบอนุพนัธ ์จะเป็นตวัควบคุมท่ีใหส้ญัญาณทางออกเป็นสดัส่วนโดยตรงกบัอตัราการเปล่ียนแปลงของค่าความผดิพลาด (Error) สามารถเขียนเป็นสมการไดด้งัน้ี
31
uout (t) = Tddu out (t)
dt (3.11)
เมื่อ Td= เป็นค่าคงท่ีปรับค่าไดห้รือเวลาของการอนุพนัธ ์(Derivative Time) จากสมมาการดงักล่าวสามารถเขียนเป็นฟังกช์ัน่ถ่ายโอน (Transfer Function) ได ้
F(s) =Uout (s)
U in (s)= Td s = Kd (3.12)
และฟังกช์ัน่ถ่ายโอนน้ี สามารถเขียนเป็นบลอ็ก (Block Diagram) และแสดงผลตอบสนองต่อฟังกช์ัน่ขั้นบนัได ไดด้งัภาพท่ี 3.6(ก) และ (ข)
ก.
ข. ภาพท่ี 3.6 ภาพบลอ็กของตวัควบคุมแบบอนุพนัธ ์
ก. ภาพบลอ็กของตวัควบคุมแบบอนุพนัธ ์ ข. ผลตอบสนองต่อฟังกช์ัน่ขั้นบนัไดของตวัควบคุมแบบอนุพนัธ ์
Uout (s) Um (s) UR (s)
-
+
+
+
1
𝑇𝑑𝑠
Uin (t)
uin (t) uout (t)
uin (t)
32
ในการควบคุมแบบน้ีบา้งคร้ังเรียกว่า “การควบคุมอตัรา” (Rate Control) เมื่อพิจารณา ภาพท่ี 3.6 สามารถสร้างวงจรอิเลก็ทรอนิกส์ข้ึนมาท าหนา้ท่ีไดด้งัภาพท่ี 3.7
ภาพท่ี 3.7 วงจรแบบอนุพนัธ ์
พิจารณาจากวงจร จะได ้ I1 + I2 = 0 (3.13)
C
du in
dt+
uout
R1= 0
uout
R1= −C
du in
dt
uout = −R1C1 (3.14) Take Laplace Transform ในสมการท่ี (3.14) ไดเ้ป็น Uout (s) = −R1C1sR1Uin (s) (3.15) สามารถเขียนเป็นฟังกช์ัน่ถ่ายโอน F(s) =
Uout (s)
Uin (𝑠)= R1C1s = Td s = Kd (3.16)
−Vcc
+Vcc
Uout
Uin
I1 I2
R1
C1
+
-
33
โดยท่ี ดีริฟเวอร์ทีฟไทม ์(Derivative Time ;Td) = R1C1 หรือเรียกว่า Time Constant จากวงจรสามารถปรับค่า Td ไดท่ี้ R1 และ C1 นัน่เอง
3.4 ตวัควบคุมแบบสัดส่วนร่วมกับแบบบูรณาการร่วมหน่วยและอนุพนัธ์ (Proportional Integral Derivative Controller)
เป็นการน าคุณสมบติัของตวัควบคุมวงจร P-Controller, I-Controller, D-Controller มารวมกนั จะไดส้ญัญาณท่ีออกจากตวัควบคุมชนิดน้ีก็คือ
uout (t) = gp uin (t) +
1
Ti uin (t) +
t
0Td
d
dtuin (t)
= gp uin (t) +
1
Tiuin (t) + Td
d
dtuin (t) (3.17)
หรือเขียนในรูปของฟังกช์ัน่ถ่ายโอนได ้
Uout (s) = Gp Uin (s) +1
TiUin (s) + TdsUin (s)
= Gp Uin (s)(1 +1
TiGp+
Td s
Gp)
Uout (s) = Gp (1 +1
Ti Gp s+
Td s
Gp) (3.18)
เมื่อให ้ Uin = TiGp
Uin =Td
Gp
หรือเขียนใหอ้ยูใ่นรูปฟังกช์ัน่ถ่ายโอนได ้ F(s) =
Uout (s)
U in (s)= Gp(1 +
1
Ti s+ Tds) Tds (3.19)
34
โดยท่ี Gp = Proportional Gain Ti = Integral Time Td = Derivative Time
จากสมการท่ี (3.19) น ามาเขียนฟังกช์ัน่ถ่ายโอนในรูปของ Gain ไดด้งัน้ี F(s) = Gp +
Gp
Ti s+ Gp Tds (3.20)
= Gp +Ki
s+ Kd s
เมื่อ Gp = K
\
Ki =Gp
Ti
Kd = GpTd
จากสมการฟังกช์ัน่ถ่ายโอน น ามาเขียนเป็นภาพบลอ็กไดอะแกรมไดด้งัภาพท่ี 3.8 ภาพท่ี 3.8 ภาพบลอ็กไดอะแกรมสดัส่วนร่วมกบับูรณาการหน่วยและอนุพนัธ ์ เมื่อพิจารณาจากภาพท่ี 3.8 สามารถสร้างวงจรอิเลก็ทรอนิกส์ข้ึนมาท าหนา้ท่ีไดด้งัภาพท่ี 3.9
-
+
+
+
Uout (s) Um (s) UR (s) Gp(1 +
1
𝑇𝑑𝑠+ Td𝑠)
35
ภาพท่ี 3.9 วงจรตวัควบคุม พีไอดี (PID-Controller) จากภาพท่ี 3.9 สามารถเขียนฟังกช์ัน่ถ่ายโอนได ้
U(s)
Uin (𝑠) =
−Z2
𝑍1
Z1 = R1//C1 = R1 ×
1
SC1
R1 +1
SC1
= R1 ×
1
SC1
R1 +1
SC1
Z1 = R1 + C2 = R2 + 1
C2s
= R1C2 + 1
C2s
∴U s
Uin s =
− R2C2s+1
C2s
R1
R1C1s+1
+Vcc
U
−Vcc
R2
+
-
I1
I2
R1
C1 C2
R3
−Vcc
R2
+
-
I3
+Vcc
+Uout
36
= R2C2s+1
sC 2 R1C1+1
sC 1 (3.21)
Uout (s)
U(𝑠) =
−R4
R3
Uout (s)
U(𝑠)
U(s)
U 𝑖𝑛 (s) =
Uout (s)
U in (s)
=R4R2
R3R1
𝑅1𝐶1𝑠 + 1 𝑅2𝐶2𝑠 + 1
R2C2s
=R4R2
R3R1
𝑅1𝐶1 + 𝑅1𝐶1
𝑅2𝐶2
+1
𝑅2𝐶2𝑠+ 𝑅1𝐶1𝑠
= R4R4 𝑅1𝐶1+𝑅2𝐶2
R3R1C2 1 +
1
R1C1+R2C2 𝑠+
𝑅1𝐶1𝑅2𝐶2s
𝑅1C1+R2C2 (3.22)
โดยท่ี
Kp =R4R1C1 + R2C2
R1C1 + R2C2
Ki =R4
R3R1C2
Kd =R4 R2C1
R3
37
3.5 ระบบควบคุมพไีอดี (PID Controller)
การควบคุมแบบพีไอดีจากภาพท่ี 3.10 ถา้การค านวณทางคณิตศาสตร์ของส่ิงท่ีจะควบคุม (Plant) สามารถตั้งสมมุติฐานไดว้่า ปัญหาท่ีเกิดข้ึนนั้นสามารถประยกุตก์ารออกแบบไดจ้ากการหาค่าพารามิเตอร์ของระบบควบคุมจะเห็นไดว้่าตอ้งใชร้ายละเอียดจากสภาวะชัว่ขณะ (Transient) และสภาวะคงตวั (Steady State) จากคุณสมบติัของระบบแบบปิด (Close Loop System) ถึงแมว้่าถา้แพลน นั้นจะซบัซอ้นจะใชว้ิธีทางคณิตศาสตร์ไม่สามารถท าใหห้าค่าไดง่้าย ดงันั้นการวิเคราะห์และการออกแบบพีไอดี ก็ไม่สามารถท าได ้เราจึงตอ้งอาศยัการทดลองหาค่าใกลเ้คียงจากการปรับเปล่ียนระบบควบคุมพีไอดีในกระบวนการเลือกการควบคุมค่า พารามิเตอร์ให้ ไดป้ระสิทธิภาพหาไดจ้ากกฎของ Single –Nichol ท่ีจะแนะน าการปรับตวัควบคุม พี ไอ ดี (หมายถึงการตั้งค่า Kp ,Ti และ Td)
จากการทดลอง ผลตอบสนอง (Step Responses) หรือพ้ืนฐานบนค่าของ Kp ผลลพัธท่ี์เช่ือได ้เมื่อ
อตัราส่วนการควบคุมท่ีใช ้กฎของ ซิงเกิล-นิโคล ท่ีซ่ึงไดส้รุปมา ดงันั้นกฎจะแนะน าใหต้ั้งค่าของKp
,Ti และ Td ใหก้ารท างานของระบบใหม้ีเสถียรภาพ (Stable Operation) อยา่งไรก็ตามผลลพัธข์องระบบอาจจะมีค่าโอเวอร์ชูท้ มากในผลตอบสนอง ท่ียอมรับไม่ได ้เพราะฉะนั้น ตอ้งปรับใหจ้นกระทั้งผลลพัธเ์ป็นท่ียอมรับได ้
ภาพท่ี 3.10 การควบคุมแบบพีไอดีของระบบ 3.5.1 กฎของซิงเกลิ-นิโคล
ส าหรับการปรับการควบคุมพีไอดี (Ziegler-Nichols Rules for Tuning PID Controllers) ซิงเกิล- นิโคลไดเ้สนอกฎส าหรับการก าหนดค่า อตัราขยาย พรอพรึชนันอล Kp อินทิเกริลไทม์และดิวลิเวอร์ทีฟไทม ์Td บนพ้ืนฐานในการตอบสนองแบบชัว่ขณะ (Transient) ดงันั้นการก าหนดค่าพารามิเตอร์ของ การควบคุมพีไอดี สามารถท าไดโ้ดยวิศวกรท่ีไดจ้ากการทดลอง
-
+
+
+
Um (s) kp (1 +
1
𝑇𝑖𝑠+ Td𝑠)
Uout (s) 𝑃𝑙𝑎𝑛
UR (s)
38
3.5.2 วธิีที่หนึ่ง (First Method) ในวิธีน้ีจะไดจ้ากการทดลองผลตอบสนอง (Response) ของระบบ (Plan) ท่ีป้อน Unit Step
Input ใหก้บัแพลนดงัภาพท่ี 3.10 โดยค่าของผลตอบสนองท่ีได ้(Response) อาจจะเห็นเป็นลกัษณะ S(S- shaped) ดงัภาพท่ี 3.12
รูปกราฟ S น้ีจะเป็นคุณลกัษณะของค่าคงท่ี 2 ตวั คือ ดีเลยไ์ทม ์ (Delay Time) L และค่าไทมค์อนสตนัท ์(Time Constant) T ทั้งสองค่าน้ีจะไดจ้ากการลากเสน้ตรงสมัผสั (Tangent Line) กบักราฟจุดส่วนโคง้ (Inflection Point) และผลจากการตดักนัระหว่าง เสน้ตรงสมัผสักบั c(t) จะมีค่าเท่ากบั K ดงัภาพท่ี 3.12
u(t) ภาพท่ี 3.11 ผลการตอบสนองของแพลนจากการป้อนอินพุทยนิูตสเต็ป
ภาพท่ี 3.12 การตอบสนองรูปเอส
I
Plant
c t
L T
c(t)
0
K
Tangent line at inflection point
39
ตารางท่ี 3.1 กฎการปรับของซิงเกิล-นิโคลพ้ืนฐานบน Step Response ของ Plant (อนัดบัหน่ึง)
Type of Controller
Kp
Ti
Td
P 𝑇𝐿 𝛼 0
PI 0.9 𝑇𝐿 𝐿
0.3 0
PID 1.2 𝑇𝐿 2𝐿 0.5L
ค่าของทรานเฟอร์ฟังกช์ัน่ (Transfer Function) C(s)
U(s) อาจประมาณโดยวิธีอนัดบัหน่ึงจะได้
สมการดงัน้ี
C(s)
U(s)=
Ke−Ls
Ts +1 (3.23)
ซิงเกิล-นิโคลแนะน าท่ีจะตั้งค่าของ ค่าของ Kp,Ti และ Td ข้ึนอยูก่บัรูปแบบท่ีแสดงในตารางท่ี 3.1 ขอ้สงัเกตในระบบควบคุม PID นั้นจะปรับโดยวิธีอนัดบัหน่ึงโดยกฎของซิงเกิล-นิโคลได ้
Gc s = KP1 +
1
Ti s+ Tds
= 1.2T
L 1 +
1
2Ls+ 0.5s
= 0.6T s +
1
L
2
s
ดงันั้นการควบคุม PID จะมีค่า Zeros ท่ี S = −
1
L