สุปรีชา วงศ...

กาหนดการเชงเสนเบองตน

สปรชา วงศอารย วท.ม. (คณตศาสตรประยกต)

สานกวชาศกษาทวไป มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน

2556

(1)

คานา ตารา กาหนดการเชงเสนเบองตน เปนเอกสารสวนหนงทใชประกอบการเรยนการสอนรายวชาการคดและการตดสนใจ (GE40003) และรายวชากาหนดการเชงเสน (MA07302) ทจาแนกเนอหาสาระเปนบทเรยน โดยมงเนนใหผศกษาไดมความรความเขาใจตวแบบกาหนดการเชงเสนทชวยในการตดสนใจปญหาตางๆ ทเกดขนในการดาเนนงาน ซงการจดทาตาราฉบบน ผเขยนไดศกษาคนควาจากหนงสอ ตารา ผลงานวจย และจากประสบการณทใชในการจดกจกรรมการเรยนการสอนแลวนามาเรยบเรยงเพอใหนกศกษาไดนาไปใชประกอบการเรยนการสอน ตาราเลมน ประกอบดวยเนอหาเกยวกบ ความรเบองตนของกาหนดการเชงเสน การหาผลเฉลยดวยวธกราฟ วธซมเพลกซ และวธการใชโปรแกรมสาเรจรป ปญหาค กน การวเคราะหความไว และปญหาลกษณะพเศษของกาหนดการเชงเสน ผเขยนขอขอบพระคณผเขยนหนงสอ ตาราและเอกสารตางๆ ทไดนามาใชอางองในการเรยบเรยงเปนตาราฉบบน และขอขอบพระคณบคคลทมสวนเกยวของทใหความชวยเหลอและกาลงใจในการจดทาตาราฉบบนจนกระทงสาเรจ และหากทานทนาตาราฉบบนไปใชแลว มขอเสนอแนะทจะใหคาแนะนาแกผเขยน ซงผเขยนมความยนดทจะนอมรบและนาคาแนะนาเหลานนมาใชพฒนา ปรบปรง แกไขใหตาราฉบบนมความถกตอง สมบรณมากยงขนตอไป

สปรชา วงศอารย ตลาคม 2556

(3)

สารบญ หนา คานา............................................................................................................................... (1) สารบญ............................................................................................................................ (3) สารบญภาพ..................................................................................................................... (7) บทท 1 ความรเบองตนของกาหนดการเชงเสน................................................................ 1 ความหมายของกาหนดการเชงเสน..................................................................... 1 ประวตความเปนมาของกาหนดการเชงเสน......................................................... 2 ลกษณะปญหาทใชกาหนดการเชงเสน................................................................ 3 ขนตอนของการใชกาหนดการเชงเสน................................................................. 7 โครงสรางของกาหนดการเชงเสน....................................................................... 8 1. ตวแปรทตองการตดสนใจ......................................................................... 8 2. ฟงกชนจดประสงค................................................................................... 9 3. เงอนไขบงคบ.......................................................................................... 10 4. ขอจากดของตวแปร................................................................................ 11 สมมตฐานของกาหนดการเชงเสน....................................................................... 11 1. ความเปนสดสวนหรอความสมพนธทคงท................................................. 12 2. กาหนดคาไดแนนอน............................................................................... 12 3. สามารถแบงแยกได................................................................................. 12 4. บวกเขาดวยกนได................................................................................... 12 5. ตวแปรมคาไมตดลบ................................................................................ 13 รปแบบทวไปของตวแบบกาหนดการเชงเสน...................................................... 13 การสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนจากปญหาลกษณะตางๆ............................... 14 บทสรป.............................................................................................................. 26 แบบฝกหดบทท 1.............................................................................................. 27 บทท 2 การหาผลเฉลยดวยวธกราฟ............................................................................... 31 การเขยนกราฟสมการเชงเสนและอสมการเชงเสน............................................... 31 1. การเขยนกราฟสมการเชงเสน.................................................................. 31 2. การเขยนกราฟอสมการเชงเสน................................................................ 34

(4)

สารบญ (ตอ) หนา ขนตอนในการหาผลเฉลยดวยวธกราฟ................................................................ 37 การหาผลเฉลยของปญหาคาสงสดดวยวธกราฟ................................................... 38 การหาผลเฉลยของปญหาคาตาสดดวยวธกราฟ................................................... 53 บทสรป.............................................................................................................. 65 แบบฝกหดบทท 2.............................................................................................. 66 บทท 3 การหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ......................................................................... 69 แนวคดพนฐานของวธซมเพลกซ......................................................................... 69 ขนตอนในการหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ......................................................... 70 การเปลยนรปของตวแบบกาหนดการเชงเสนทวไปใหอยในรปแบบมาตรฐาน....... 71 1. กรณเงอนไขบงคบอยในรปอสมการทมเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ.... 72 2. กรณเงอนไขบงคบอยในรปอสมการทมเครองหมายมากกวาหรอเทากบ.... 73 3. กรณเงอนไขบงคบอยในรปสมการคอมเครองหมายเทากบ........................ 75 การตงผลเฉลยเบองตน...................................................................................... 76 การตรวจสอบและพฒนาผลเฉลย........................................................................ 77 1. กรณทปญหาเปนฟงกชนจดประสงคคาสงสด............................................ 79 2. กรณทปญหาเปนฟงกชนจดประสงคคาตาสด............................................ 80 การหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซตามลกษณะของตวแบบกาหนดการเชงเสน ในกรณตางๆ............................................................................................... 81 1. กรณทปญหาเปนฟงกชนจดประสงคคาสงสด............................................ 81 1.1 เงอนไขบงคบเปนอสมการทมเครองหมายนอยกวาหรอเทากบทกขอ.. 81 1.2 เงอนไขบงคบมทงอสมการทมเครองหมายนอยกวาหรอเทากบและ เครองหมายมากกวาหรอเทากบ........................................................ 90 1.3 เงอนไขบงคบเปนสมการและอสมการทมเครองหมายนอยกวาหรอ เทากบหรอเครองหมายมากกวาหรอเทากบ....................................... 93 2. กรณทปญหาเปนฟงกชนจดประสงคคาตาสด............................................ 98 2.1 เงอนไขบงคบเปนอสมการทมเครองหมายมากกวาหรอเทากบทกขอ.. 98 2.2 เงอนไขบงคบมทงอสมการทมเครองหมายนอยกวาหรอเทากบและ เครองหมายมากกวาหรอเทากบ........................................................ 107

(5)

สารบญ (ตอ) หนา 2.3 เงอนไขบงคบเปนสมการและอสมการทมเครองหมายนอยกวาหรอ เทากบหรอเครองหมายมากกวาหรอเทากบ....................................... 110 บทสรป.............................................................................................................. 113 แบบฝกหดบทท 3.............................................................................................. 114 บทท 4 การหาผลเฉลยดวยวธการใชโปรแกรมสาเรจรป.................................................. 117 การหาผลเฉลยของกาหนดการเชงเสนดวยคอมพวเตอร...................................... 117 โปรแกรมสาเรจรปทใชในการหาผลเฉลยของกาหนดการเชงเสน......................... 118 1. โปรแกรมสาเรจรป LINDO...................................................................... 118 2. โปรแกรมสาเรจรป Win QM หรอ QM for Windows................................ 118 3. โปรแกรมสาเรจรป Excel........................................................................ 118 การใชโปรแกรมสาเรจรป LINDO...................................................................... 119 การวเคราะหผลเฉลยจากคอมพวเตอร................................................................ 123 การหาผลเฉลยของกาหนดการเชงเสนจากปญหาลกษณะตางๆ ดวยโปรแกรมสาเรจรป.................................................................................. 143 บทสรป.............................................................................................................. 157 แบบฝกหดบทท 4.............................................................................................. 158 บทท 5 ปญหาคกนและการวเคราะหความไว................................................................... 161 หลกการสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกนจากปญหาเดม................ 161 การสรางตวแบบปญหาคกนจากตวแบบปญหาเดม.............................................. 163 การนาปญหาคกนไปใชในการตดสนใจ............................................................... 169 ความสมพนธของผลเฉลยของปญหาเดมและปญหาคกน..................................... 177 ประโยชนของปญหาคกน................................................................................... 190 การวเคราะหความไว......................................................................................... 191 การวเคราะหความไวโดยใชผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป................................. 192 บทสรป.............................................................................................................. 209 แบบฝกหดบทท 5.............................................................................................. 210

(6)

สารบญ (ตอ) หนา บทท 6 ปญหาลกษณะพเศษของกาหนดการเชงเสน........................................................ 213 ปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได........................................................................... 214 ปญหาผลเฉลยไมมขอบเขต............................................................................... 218 ปญหาผลเฉลยเหมาะสมทสดมมากกวาหนงคา................................................... 225 ปญหามเงอนไขบงคบมากเกนจาเปน................................................................. 233 ปญหาสภาพซอนสถานะ.................................................................................... 240 บทสรป.............................................................................................................. 246 แบบฝกหดบทท 6.............................................................................................. 247 บรรณานกรม................................................................................................................... 251 ภาคผนวก....................................................................................................................... 255 เฉลยแบบฝกหดทายบท..................................................................................... 257 ดชน................................................................................................................................ 273

(7)

สารบญภาพ ภาพท หนา 2.1 กราฟของสมการเชงเสน 5X1 + 2X2 = 10......................................................... 33 2.2 กราฟของอสมการเชงเสนใดๆ ทแบงระนาบออกเปน 3 สวน............................... 35 2.3 กราฟของอสมการเชงเสน 5X1 + 2X2 ≤ 10..................................................... 36 2.4 กราฟของเงอนไขบงคบ 10X1 + 8X2 200.................................................. 39 2.5 กราฟของเงอนไขบงคบ 7X1 + 3X2 84....................................................... 40 2.6 กราฟของเงอนไขบงคบ 7X1 + 2X2 70....................................................... 41 2.7 กราฟของเงอนไขบงคบ X1 0 และ X2 0................................................ 41 2.8 บรเวณผลเฉลยทเปนไปได................................................................................ 42 2.9 เสนฟงกชนจดประสงคทมกาไรรวมเทากบ 6,000 บาท....................................... 43 2.10 เสนฟงกชนจดประสงคทใหคากาไรรวมสงทสด หรอใหคา maximize P............... 44 2.11 กราฟของเงอนไขบงคบ X1 + X2 6............................................................ 47 2.12 กราฟของเงอนไขบงคบ X1 + X2 12........................................................... 48 2.13 กราฟของเงอนไขบงคบ X2 1..................................................................... 48 2.14 กราฟของเงอนไขบงคบ X2 5..................................................................... 49 2.15 กราฟของเงอนไขบงคบ X1 0 และ X2 0................................................. 49 2.16 บรเวณผลเฉลยทเปนไปได................................................................................. 50 2.17 เสนฟงกชนจดประสงคทมคาเทากบ 300 บาท.................................................... 51 2.18 เสนฟงกชนจดประสงคทใหคาสงทสด หรอใหคา maximize P............................. 51 2.19 กราฟของเงอนไขบงคบ 40X1 + 30X2 600................................................. 54 2.20 กราฟของเงอนไขบงคบ 35X1 + 70X2 700................................................. 55 2.21 กราฟของเงอนไขบงคบ X1 0 และ X2 0................................................. 55 2.22 บรเวณผลเฉลยทเปนไปได................................................................................. 56 2.23 เสนฟงกชนจดประสงคทมตนทนรวมเทากบ 2,400 บาท..................................... 57 2.24 เสนฟงกชนจดประสงคทใหคาตนทนรวมตาทสด หรอใหคา minimize P.............. 57 2.25 กราฟของเงอนไขบงคบ 5X1 + 2X2 40...................................................... 60 2.26 กราฟของเงอนไขบงคบ 4X1 + 5X2 20....................................................... 61 2.27 กราฟของเงอนไขบงคบ X1 2....................................................................... 61

(8)

สารบญภาพ (ตอ) ภาพท หนา 2.28 กราฟของเงอนไขบงคบ X1 0 และ X2 0.................................................. 62 2.29 บรเวณผลเฉลยทเปนไปได................................................................................. 62 2.30 เสนฟงกชนจดประสงคทมคาเทากบ 1,400 บาท................................................. 63 2.31 เสนฟงกชนจดประสงคทใหคาตาทสด หรอใหคา minimize P.............................. 64 3.1 ขนตอนการใชวธซมเพลกซเพอแกปญหาตวแบบกาหนดการเชงเสน................... 70 4.1 แสดง LINDO Solver Status............................................................................. 122 4.2 หนาจอทแสดงเพอใหเลอกวาจะทาการวเคราะหความไวตอการเปลยนแปลง หรอไม............................................................................................................... 122 4.3 แสดง LINDO solution ของบรษทบานสนขสวย จากด........................................ 123 4.4 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของบรษทบานสนขสวย จากด กรณเพมจานวนไมเปน 201 เมตร...................................................................... 126 4.5 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของบรษทบานสนขสวย จากด กรณลดจานวนไมเปน 199 เมตร........................................................................ 127 4.6 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของบรษทบานสนขสวย จากด กรณเพมเวลาการทางานของแผนกประกอบเปน 85 ชวโมง................................. 128 4.7 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของบรษทบานสนขสวย จากด กรณลดเวลาการทางานของแผนกประกอบเปน 83 ชวโมง................................... 129 4.8 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของบรษทบานสนขสวย จากด กรณเพมเวลาการทางานของแผนกทดสอบเปน 71 ชวโมง.................................. 130 4.9 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของบรษทบานสนขสวย จากด กรณลดเวลาการทางานของแผนกทดสอบเปน 69 ชวโมง.................................... 131 4.10 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต... 132 4.11 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต กรณลดตนทนเนอ 1 กโลกรม ลงเหลอ 79 บาท.................................................. 134 4.12 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต กรณเพมความตองการปรมาณของวตามน A ไมนอยกวา 601 หนวย.................. 135 4.13 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต กรณลดความตองการปรมาณของวตามน A ไมนอยกวา 599 หนวย.................... 136

(9)

สารบญภาพ (ตอ) ภาพท หนา 4.14 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต กรณเพมปรมาณของวตามน B เปนอยางนอย 701 หนวย.................................. 137 4.15 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต กรณลดปรมาณของวตามน B เปนอยางนอย 699 หนวย.................................... 138 4.16 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาดานเกษตรกรรม..................... 139 4.17 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาดานเกษตรกรรม กรณเพมทนในการเพาะปลกเปน 12,001 บาท................................................... 140 4.18 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาดานเกษตรกรรม กรณลดทนในการเพาะปลกเปน 11,999 บาท..................................................... 141 4.19 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาดานเกษตรกรรม กรณเพมเวลาสาหรบการเพาะปลกเปน 301 ชวโมง............................................ 142 4.20 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาดานเกษตรกรรม กรณลดเวลาสาหรบการเพาะปลกเปน 299 ชวโมง.............................................. 143 4.21 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการกาหนดสดสวนการผลต..... 144 4.22 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการเลอกสอโฆษณา................ 146 4.23 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการจดสรรเงนลงทน................ 148 4.24 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาดานโภชนาการ....................... 150 4.25 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการขนสง................................ 152 4.26 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการกาหนดงาน....................... 154 4.27 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการจดสรรพนกงาน................. 156 5.1 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาเดมของตวอยางท 5.8............. 185 5.2 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาคกนของตวอยางท 5.8............ 186 5.3 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาคกนของตวอยางท 5.9............ 188 5.4 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาคกนของตวอยางท 5.10.......... 190 5.5 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของการวเคราะหความไว ตามตวอยางท 5.11............................................................................................ 194 5.6 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของบรษทบานสนขสวย จากด กรณเพมกาไรบานสนขแบบ A เปนหลงละ1,300 บาท และเพมกาไร บานสนขแบบ B เปนหลงละ 420 บาท................................................................ 197

(10)

สารบญภาพ (ตอ) ภาพท หนา 5.7 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของบรษทบานสนขสวย จากด กรณจานวนไมลงเปน 175 เมตร........................................................................ 198 5.8 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของบรษทบานสนขสวย จากด กรณชวโมงการทางานของแผนกประกอบเพมขนเปน 89 ชวโมง......................... 199 5.9 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของบรษทบานสนขสวย จากด กรณชวโมงการทางานของแผนกทดสอบลดลงเปน 65 ชวโมง............................. 200 5.10 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของการวเคราะหความไว ตามตวอยางท 5.12............................................................................................ 202 5.11 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต กรณลดตนทนขาวเปน 30 บาท และลดตนทนเนอเปน 70 บาท........................... 204 5.12 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต กรณปรมาณของวตามน B ทใชในการผลตอาหารลดลงเปน 600 หนวย............... 206 5.13 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของการวเคราะหความไว ตามตวอยางท 5.13............................................................................................ 207 6.1 ปญหาไมมบรเวณผลเฉลยทเปนไปได................................................................. 215 6.2 การหาผลเฉลยดวยวธการใชโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาไมมบรเวณ ผลเฉลยทเปนไปได............................................................................................ 218 6.3 บรเวณผลเฉลยทเปนไปได................................................................................. 219 6.4 ปญหาผลเฉลยไมมขอบเขต............................................................................... 220 6.5 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาผลเฉลยไมมขอบเขต.............. 225 6.6 บรเวณผลเฉลยทเปนไปได................................................................................. 227 6.7 ปญหาผลเฉลยเหมาะสมทสดมมากกวาหนงคา................................................... 227 6.8 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาผลเฉลยเหมาะสมทสด มมากกวาหนงคา............................................................................................... 233 6.9 บรเวณผลเฉลยทเปนไปได................................................................................. 234 6.10 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหามเงอนไขบงคบมากเกนจาเปน. 239 6.11 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาทตดเงอนไขบงคบ มากเกนจาเปนออก............................................................................................ 240

(11)

สารบญภาพ (ตอ) ภาพท หนา 6.12 บรเวณผลเฉลยทเปนไปได................................................................................. 242 6.13 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาทผลเฉลยเหมาะสมทสด เกดสภาพซอนสถานะ........................................................................................ 245

บทท 1 ความรเบองตนของกาหนดการเชงเสน

กาหนดการเชงเสน (Linear Programming หรอ เรยกสนๆ วา “LP”) เปนเทคนคทางคณตศาสตรประยกตทนาไปใชในการจดสรรทรพยากรทมอยอยางจากด ใหแกกจกรรมตางๆ เพอใหบรรลจดประสงคหรอเปาหมายทกอใหเกดประโยชนสงสด กาหนดการเชงเสนในปจจบนไดนาไปประยกตใชอยางแพรหลายในดานอตสาหกรรม การเกษตร ธรกจการเงน เศรษฐกจ การขนสง และอนๆ เชน ปญหาการจดสรรทรพยากรทมอยอยางจากดในการผลตสนคาหลายชนดของโรงงาน เพอใหไดกาไรสงสด หรอมคาใชจายตาสด ปญหาการวางแผนการใชทดนใหเปนประโยชนตอการเพาะปลกเพอใหไดกาไรสงสด ปญหาการจดสรรเงนในการลงทนในกจการตางๆ เพอใหไดกาไรสงสด และปญหาการขนสงทางบกหรอทางนาหรอทางอากาศเพอใหคาใชจายตาสด เปนตน โดยอาศยตวแบบกาหนดการเชงเสนเขามาชวยในการแกปญหา ซงเปนตวแบบทางคณตศาสตรทสรางขนแทนปญหาทเกดขนเพอหาแนวทางในการแกปญหาทดทสดตามจดประสงคทตงไว และสอดคลองกบเงอนไขทมอยในปญหานนๆ โดยมความสมพนธของตวแปรตางๆ ในจดประสงคและในเงอนไขตางๆ ของปญหาซงจะอยในรปของความสมพนธเชงเสนหรอเสนตรง และจะอยในลกษณะของสมการเชงเสนหรออสมการเชงเสนกได ความหมายของกาหนดการเชงเสน ความหมายของกาหนดการเชงเสน ไดมนกวชาการทงชาวไทยและชาวตางประเทศใหความหมายไวหลายทาน ในทนไดรวบรวบมาบางสวนเพอเปนแนวทางในการเรยนรและเกดความเขาใจในลาดบตอไปได ความหมายของกาหนดการเชงเสนมดงตอไปน นกร วฒนพนม (2535 : 1) ไดใหความหมายของกาหนดการเชงเสนวา เปนตวแบบ (model) ทางคณตศาสตรเพอแทนความสมพนธของกจกรรมตางๆ โดยใชตวแปรทางคณตศาสตรแทนระดบกจกรรมในการตดสนใจ และพฒนาเปนตวแบบคณตศาสตรใหมความสมพนธในรปฟงกชนคณตศาสตร ซงฟงกชนคณตศาสตรนมคณสมบตเปนฟงกชนเชงเสน (linear function) ถาอยในรปเรขาคณต 2 มต จะเปนเสนตรง ถาอยในรปเรขาคณต 3 มต จะเปนรประนาบ (plane) นราศร ไววนชกล (2538 : 87) กลาววา กาหนดการเชงเสนเปนหลกการอยางหนงทใชชวยในการตดสนใจของฝายจดการทองคการธรกจตองเผชญกบปญหาการแบงสรรปนสวนทรพยากรทมอยอยางประหยด ไดแก เงน วตถดบ เครองจกร สถานท เวลา แรงงาน ใหเกดประโยชนมากทสด ฉววรรณ แกวไทรฮะ และคณะ (2546 : 225) กลาววา กาหนดการเชงเสนเปนวธการทใชตวแบบเชงคณตศาสตร (mathematical model) ในการอธบายปญหาททาการศกษา คาวา

2

การโปรแกรมหรอกาหนดการ (programming) หมายถง การวางแผนการกาหนดขนตอน สวนคาวา เชงเสน (linear) เปนคาขยายความของตวแบบคณตศาสตรวาเปนตวแบบคณตศาสตรชนดเชงเสน ซงหมายถงวาสมการตางๆ ทเขยนขนเพออธบายตวปญหามลกษณะเปนสมการเชงเสน ดงนนกาหนดการเชงเสน หมายถงการวางแผนสาหรบกจกรรมตางๆ เพอใหไดผลลพธเหมาะสมทสด (optimal result) โดยใชตวแบบเชงคณตศาสตรชนดเชงเสน สทธมา ชานาญเวช (2554 : 26) กลาววา กาหนดการเชงเสนเปนเทคนคเชงปรมาณอยางหนงทเปนทนยมนาไปใชกนอยางแพรหลายในการดาเนนงานธรกจในปจจบน กาหนดการ เชงเสนเปนตวแบบทางคณตศาสตรทสรางขนแทนปญหาทเกดขนในองคการเพอหาแนวทางในการแกปญหาทดทสดตามเปาหมายทตงไว และสอดคลองกบเงอนไขทมอยในปญหานนๆ โดยทความสมพนธของตวแปรตางๆ ในเปาหมายและในเงอนไขของปญหาจะอยในรปเสนตรง เรนเดอร (Render, 2006 : 242) กลาววา การตดสนใจทางการจดการจานวนมากพยายามทจะใชทรพยากรขององคการมาใชใหมประสทธภาพมากทสด ทรพยากร ไดแก เครองจกร แรงงาน เงน เวลา คลงสนคา และวตถดบ ทรพยากรเหลานนามาใชผลตสนคา (เฟอรนเจอร อาหาร หรอ เสอผา) หรอบรการ (ตารางสาหรบการขนสงและการผลต นโยบายการโฆษณา หรอการตดสนใจการลงทน) กาหนดการเชงเสนเปนการใชเทคนคการสรางตวแบบทางคณตศาสตรทไดออกแบบมาเพอชวยผบรหารหรอผจดการ ในการวางแผนและการตดสนใจทเกยวกบการจดสรรทรพยากรไปใชอยางมประสทธภาพ จากความหมายของกาหนดการเชงเสนขางตน อาจสรปไดวา กาหนดการเชงเสนเปนตวแบบทางคณตศาสตรทสรางขนเพอแสดงความสมพนธของตวแปรตางๆ ในรปความสมพนธ เชงเสนหรอเสนตรง เพอใชในการแกปญหาทตองการหาผลลพธทดทสดตามจดประสงคทตงไว และสอดคลองกบเงอนไขของปญหาตามการแบงสรรปนสวนทรพยากรทมอยอยางจากด ประวตความเปนมาของกาหนดการเชงเสน กาหนดการเชงเสนมแนวความคดรเรมจากนกคณตศาสตรและนกวทยาศาสตรหลายทาน เรมจากในป ค.ศ.1928 ฟอน นอยมนน (Von Neumann) ใชทฤษฎการหาคาสงสด – ตาสด และไดมการพฒนาเรอยมา จนกระทงในระหวางสงครามโลกครงท 2 นน กองทพอากาศของสหรฐอเมรกาไดนาไปใชแกปญหาดานการขนสง ปรากฏวาไดรบความสาเรจเปนอยางมาก จงไดมผนาไปใชกนอยางแพรหลายในวงการทหาร ในป ค.ศ.1939 นกคณตศาสตรชาวรสเซยชอ แอล ว แคนโตโรวช (L.V. Kantorovich) ไดเสนอตวแบบและการแกปญหากาหนดการเชงเสนเกยวกบปญหาขององคการและปญหาการวางแผนการผลต ในป ค.ศ.1941 ฮทซคอค (Hitchcock) กไดเสนอตวอยางการแกปญหาทางดานปญหาการขนสง ในป ค.ศ.1947 คปแมน (Koopmans) ไดเสนอ

3

วธการแกปญหาเดยวกน และในป ค.ศ.1945 สตกเลอร (Stigler) ไดเสนอวธแกปญหาทางดานโภชนาการ ซงนบเปนการประยกตกาหนดการเชงเสนอกรปแบบหนงซงแตกตางออกไป ปญหาทวไปของกาหนดการเชงเสน มการพฒนาและนามาประยกตใชอยางเขมขนขนครงแรกเมอเดอนมถนายน ป ค.ศ.1947 โดยมหวหนาคณะทางาน คอ ยอรชบ แดนทซก (George B. Dantzig) และมารแชล วด (Marshall Wood) พรอมทงทมงานในกองทพอากาศสหรฐอเมรกา ในชวงนนคณะทางานชดนไดรบมอบหมายใหวเคราะหความเปนไปไดในการประยกตคณตศาสตรและเทคนคทเกยวของตอปญหาการวางแผนและการวางโปรแกรมทางทหาร ภารกจทไดรบมอบหมายนนทาใหแดนทซก ไดเสนอวธการดงน “ความสมพนธระหวางกจกรรมตางๆ ขององคกรขนาดใหญ เปนตวแบบกาหนดการเชงเสน ทาใหบรรลเปาหมายสงสด โดยทาใหฟงกชนเชงเสนเปาหมายมคาตาสด” พรอมกนนนยงไดเสนอวธการคานวณทเปนระบบในการแกปญหากาหนดการเชงเสนทเรยกวา วธซมเพลกซ (simplex method) ทาใหสามารถแกปญหาไดอยางรวดเรว แมนยาและใชแกปญหาไดกวางขวางขน นอกจากนนเพอพฒนาความคดของแดนทซก ตอมาในเดอนตลาคม ป ค.ศ.1948 กองทพอากาศสหรฐอเมรกาไดจดตงคณะวจยคณะหนงภายใตชอโครงการ สคป (Scoop : Scientific Computation of Optimum Program) ซงโครงการนเปนโครงการทมสวนสาคญยงในการพฒนาและประยกตตวแบบกาหนดการเชงเสนอยางเปนทางการ ในชวงตนกาหนดการเชงเสนสวนใหญนาไปประยกตในวงการทหาร และทางเศรษฐศาสตรในตวแบบ อนพท-เอาทพท (input-output) ของลอองทฟ (Leontief) และปญหาเกม ตอจากนนกแพรหลายในปญหาทางดานอตสาหกรรม ดานสงคม และปญหาทอยอาศย ตอมาไดมการนาเครองคอมพวเตอรมาใชในการแกปญหาตวแบบกาหนดการเชงเสนขน ซงไดประสบผลสาเรจครงแรกทองคกร National Bureau of Standard ของสหรฐอเมรกา เมอเดอนมกราคม ค.ศ. 1952 ตงแตนนปญหากาหนดการเชงเสนโดยวธซมเพลกซไดพฒนาเปนโปรแกรม (computer program หรอ software) ทใชในเครองคอมพวเตอร จนกระทงในปจจบนไดมโปรแกรมสาเรจรป (software package) ทสามารถนาไปใชไดในเครองคอมพวเตอรสวนบคคล (personal computer หรอ microcomputer) ลกษณะปญหาทใชกาหนดการเชงเสน ลกษณะปญหาทใชกาหนดการเชงเสนชวยในการตดสนใจ สวนใหญเปนปญหาเกยวกบการจดสรรทรพยากรทมอยอยางจากด ซงมจดมงหมายใหเกดประโยชนสงสดหรอเสยคาใชจายตาสด โดยการประยกตของกาหนดการเชงเสน (applications of linear programming) สามารถนาไปใชกบปญหาในดานตางๆ ไดอยางกวางขวาง ซงจะชวยใหเกดประสทธภาพในการบรหาร และการดาเนนงานของบคคล องคกรหรอหนวยงานนนๆ ในปจจบนนเทคนคกาหนดการเชงเสนไดถกนาไปประยกตใชกบปญหาในดานตางๆ มากมาย ดงตวอยางเชน

4

1. ปญหาการผลต (product mix problem) เปนการพจารณาหาปรมาณสนคาแตละประเภททควรจะทาการผลต เพอทจะใหการใชทรพยากรทมอยไมวาจะเปนเครองจกร วตถดบ แรงงาน เวลา ฯลฯ เปนไปอยางเหมาะสม โดยมจดมงหมายเพอทจะไดผลตอบแทนสงสด 2. ปญหาการผสมสาร (blending problem) เปนการพจารณาเพอหาปรมาณสารหรอวตถดบชนดตางๆ ทจะนามาผสมกนหรอนามาใชในการผลตสนคาประเภทตางๆตามคณสมบตทกาหนดไว เพอจดมงหมายใหมคาใชจายทตาทสด 3. ปญหาการขนสง (transportation problem) เปนการพจารณาหาปรมาณสนคาทจะทาการขนสงจากแหลงผลตสนคาไปยงกลมผบรโภค หรอจดหมายปลายทางเพอใหคาใชจายในการขนสงตาทสดหรอสงสนคาตางๆ ในเวลาทนอยทสด 4. ปญหาการมอบหมายงาน (assignment problem) เปนการพจารณาการมอบหมายงานทจะตองทาโดยบคคลหรอเครองจกร โดยมจดหมายใหไดรบการมอบหมายงานใหแลวเสรจโดยเรวหรอใชเวลานอยทสด เสยคาใชจายตาสด 5. ปญหาการลงทน (investment project selection) เปนการพจารณาจดสรรเงนทนในโครงการตางๆ เพอใหไดรบผลตอบแทนสงสด 6. ปญหาการเลอกสอโฆษณา (media selection) เปนการพจารณาเลอกสอโฆษณาชนดตางๆ เพอใหไดขอมลหรอขาวสารทตองการจะเผยแพรออกสกลมเปาหมายเปนจานวนมากทสด หรอเสยคาใชจายในการโฆษณานอยทสด 7. ปญหาการตดวสด (trim loss problem) เปนการพจารณารปแบบหรอวธการทจะทาการตดวสด เชน กระดาษ เหลก โลหะตางๆ เพอทจะหารปแบบการตดทเหมาะสมและไดมาตรฐานในการกาหนดขนาดและปรมาณทตองการ เพอใหเหลอเศษนอยทสด 8. ปญหาดานการทหาร โดยอาจจะใชในการขนสงกาลงบารง หรอการกาหนดจดยทธศาสตรตางๆ ไดอยางแมนยา ผดพลาดนอยทสด 9. ปญหาสขภาพและการบรการสงคม (health and social services) ซงเปนปญหาทคอนขางสลบซบซอนกวาปญหาอนๆ และปญหาทใชกาหนดการเชงเสนชวยไดเปนอยางมาก เชน การจดระบบบรการคนไข การทาบตร การจดแพทยตรวจคนไข การจดอาหารทมคณคาเพยงพอตอการรกษา เปนตน 10. ปญหาในระบบสงคม (social systems) เกยวกบการจดสรรทรพยากรทมอยอยาง มคณคาและคมครองผบรโภค เชน การจดกาลงเจาหนาทในการรกษาความปลอดภยดานตางๆ เพอประสทธภาพสงสด การรกษาคณภาพนาดม เปนตน 11. ปญหาดานการเกษตรกรรม (agriculture problem) เกยวกบการจดสรรปจจยทมอยอยางจากด อนไดแก ทดน นา ปย แรงงาน และเงนลงทน เปนตน เพอทจะใหไดรายไดจากผลผลตนนสงสด โดยการเลอกปลกพชใหเหมาะสมกบฤดกาล และจานวนผลผลตทไดนนจะตองไมมากเกนความตองการของตลาดซงจะทาใหขายผลผลตทางการเกษตรไดในราคาด

5

12. ปญหาดานการอตสาหกรรม (industry problem) เกยวกบการทจะลดตนทนในการผลต และดาเนนกจการใหไดผลกาไรสงสด ตลอดจนชวยใหการทางานของบคคลและเครองมอตางๆ นนเปนไปอยางมประสทธภาพ ซงกไดประสบความสาเรจในดานอตสาหกรรมตางๆ เชน อตสาหกรรมถานหน เหลกกลา กระดาษ และนามน เปนตน (อารสา รตนเพชร, 2545 : 141) ดงนน เพอใหงายตอการศกษาและการทาความเขาใจในการใชกาหนดการเชงเสน เพอแกปญหาตางๆ โดยจะยกตวอยางปญหาบางปญหา และแสดงวธการหาคาตอบในลกษณะตางๆ ตอไป ตวอยางท 1.1 ปญหาการผลต (product mix problem) บรษทบานสนขสวย จากด เปนบรษทผผลตบานสนขออกขาย ซงจะผลตบานสนข 2 แบบ คอแบบ A และแบบ B ในแตละสปดาหบรษทตองสงไมมาผลตบานสนขทง 2 แบบ สปดาหละ 20 ทอนๆ ละ 10 เมตร ในการผลตบานสนขแบบ A จานวน 1 หลงตองใชไม 10 เมตร และแบบ B จานวน 1 หลงตองใชไม 8 เมตร โดยบรษทมแผนกในการทางาน 2 แผนก คอ แผนกประกอบและแผนกทดสอบ บรษทไดกาหนดเวลาในการทางาน คอ แผนกประกอบทางานวนละ 12 ชวโมง แผนกทดสอบทางานวนละ 10 ชวโมง และในการผลตบานสนขแตละหลงทงสองแผนกตองใชเวลาในการผลต เปนดงน

แผนก แบบ A (ชงโมง) แบบ B (ชวโมง) ประกอบ

ทดสอบ 7 7

3 2

ทางบรษทกาลงตดสนใจวาในแตละสปดาหจะตองผลตบานสนขแบบ A และแบบ B อยางละกหลง จงจะทาใหไดกาไรสงสด โดยบรษทจะไดกาไรจากการขายสนคาทงสองแบบเปนดงน บานสนขแบบ A ไดกาไรหลงละ 1,000 บาท และบานสนขแบบ B ไดกาไรหลงละ 400 บาท จากตวอยางขางตนบรษทตองการตดสนใจวาควรจะผลตบานสนขแบบ A และแบบ B อยางละกหลง จงจะทาใหไดรบกาไรสงสด ปญหานจงเปนปญหาทตองตดสนใจเกยวกบการผลตสนคาหลายชนด หากตอนนยงไมมความรในการใชตวแบบทางคณตศาสตรทจะทาการตดสนใจปญหาลกษณะน ดงนนจงจาเปนตองใชวธทาการลองผดลองถก โดยการกาหนดทางเลอกในการตดสนใจขนมาแลวพจารณาวาทางเลอกทกาหนดขนมาน สอดคลองกบเงอนไขของปญหาหรอไม และถาทางเลอกใดสอดคลองกบเงอนไขของปญหา กจะคานวณวาทางเลอกนจะใหกาไรเทาไร แลวทาการเปรยบเทยบกาไรของแตละทางเลอก และทาการเลอกทางเลอกทใหกาไรสงสด โดยแสดงไดดงน

6

เมอพจารณาขอมลทใชในการผลต คอจานวนไมทใชและเวลาในการทางานทมอยอยางจานวนจากด ดงนนบรษทจงจาเปนตองนาขอมล ทงหมดมาพจารณาโดยจะลองพจารณาทางเลอกสองทาง คอ การผลตบานสนขแบบ A อยางเดยว กบการผลตบานสนขแบบ B อยางเดยว แลวคานวณกาไรทบรษทจะไดรบมาเปรยบเทยบกนดงน ทางเลอกท 1 ผลตบานสนขแบบ A อยางเดยว จะผลตได 10 หลง หาไดจาก - จานวนไมทใชจะผลตบานสนขแบบ A ได =

10200 = 20 หลง

- แผนกประกอบจะประกอบบานสนขแบบ A ได = 784

= 12 หลง

- แผนกทดสอบจะทดสอบบานสนขแบบ A ได = 7

70

= 10 หลง

โดยจะเลอกคาทสามารถเปนไปไดและสอดคลองกบเงอนไข คอ 10 หลง ดงนน กาไรของทางเลอกน เทากบ 10 x 1,000 = 10,000 บาท ทางเลอกท 2 ผลตบานสนขแบบ B อยางเดยว จะผลตได 25 หลง หาไดจาก - จานวนไมทใชจะผลตบานสนขแบบ B ได =

8200 = 25 หลง

- แผนกประกอบจะประกอบบานสนขแบบ B ได = 384

= 28 หลง

- แผนกทดสอบจะทดสอบบานสนขแบบ B ได = 2

70

= 35 หลง โดยจะเลอกคาทสามารถเปนไปไดและสอดคลองกบเงอนไข คอ 25 หลง ดงนน กาไรของทางเลอกน เทากบ 25 x 400 = 10,000 บาท จะเหนไดวาทางเลอกทงสองใหกาไรทเทากน ดงนนจงสามารถเลอกทางเลอกใดกได แตในความเปนจรงแลวทางเลอกในการตดสนใจของปญหาไมไดมเพยง 2 ทางเลอกเทานน แตยงมทางเลอกอนๆ อกมากมาย เชน ทางเลอกท 3 ผลตบานสนขทงสองแบบ แบบละ 10 หลง ไดกาไร 14,000 บาท ทางเลอกท 4 ผลตบานสนขทงสองแบบ แบบละ 7 หลง ไดกาไร 9,800 บาท ทางเลอกท 5 ผลตบานสนขแบบ A จานวน 5 หลง และแบบ B จานวน 14 หลง ไดกาไร 10,600 บาท ทางเลอกท 6 ผลตบานสนขแบบ A จานวน 8 หลง และแบบ B จานวน 16 หลง ไดกาไร 14,400 บาท

7

จากการพจารณาทางเลอกตางๆ สามารถสรปได ดงน

ทางเลอก ท

จานวนบานสนขทผลต(หลง)

เงอนไขของทรพยากรทใช รายได (บาท)

แบบ A แบบ B จานวนไม เวลาประกอบ เวลาทดสอบ 1 2 3 4 5 6

10 0 10 7 5 8

0 25 10 7 14 16

100 200 180 126 162 208

70 75 100 70 77 104

70 50 90 63 63 88

10,000 10,000 14,000 9,800 10,600 14,400

ผลการพจารณาทางเลอกเพอหาผลเฉลยจะเหนวาการผลตในทางเลอกท 6 ไดกาไรมากทสด แตไมสามารถผลตไดเพราะไมเปนไปตามเงอนไขของทรพยากรทมอย ซงการผลตทตรงตามเงอนไขของทรพยากรทม คอการผลตในทางเลอกท 1, 2, 4 และ 5 และการผลตในทางเลอกท 5 เปนทางเลอกทไหกาไรมากทสดและตรงตามเงอนไข ดงนนจงเปนทางเลอกทดทสด แตจะเหนไดวามทางเลอกทเปนไปไดอกมากมาย ซงอาจจะมทางเลอกแบบอนทดกวากเปนไปได เพราะการหาคาตอบโดยทดลองลกษณะนเปนแคการลองผดลองถกเทานน ดงนนการทบรษทจะพยายามระบทางเลอกทเปนไปไดทงหมดและคานวณกาไรออกมานนเปนการเสยเวลาและคาใชจายเปน อยางมาก ดงนนจงมผคดคนเครองมอทางคณตศาสตรเพอชวยในการแกปญหาในลกษณะเชนนขน ซงเรยกวา กาหนดการเชงเสน ขนตอนของการใชกาหนดการเชงเสน การใชกาหนดการเชงเสนชวยในการตดสนใจ ประกอบดวยขนตอนใหญๆ 2 ขนตอน คอ ขนท 1 การสรางตวแบบขนแทนลกษณะของปญหาทเกดขน ขนตอนนนบเปนขนตอนทสาคญทสด เนองจากตองมการวเคราะหปญหาทถกตอง ถถวน และมขอมลทเชอถอได เปนขนตอนทไมมโปรแกรมสาเรจรปใดทจะชวยได ตองอาศยความร ประสบการณ และทกษะเกยวกบรายละเอยดหรอลกษณะเฉพาะของปญหา รวมทงทกษะในดานการสรางตวแบบ โดยเรมจากการทาความเขาใจปญหาจากรายละเอยดของขอมลทมอย แลวสรางแบบจาลองทางคณตศาสตรของปญหานน ซงจะใชเปนตวแทนของปญหาในการหาผลเฉลยเหมาะสมทสดตอไป ตวแบบ

8

เชงคณตศาสตรสาหรบปญหากาหนดการเชงเสนจะเรยกวา ตวแบบกาหนดการเชงเสน (linear programming model) นนเอง ขนท 2 การแกปญหาตวแบบกาหนดการเชงเสนทไดสรางไวในขนท 1 หรอเรยกวา การหาคาตอบหรอการหาผลเฉลย (solution) ของตวแบบกาหนดการเชงเสน เพอหาผลเฉลยเหมาะสมทสด (optimal solution) แลวนามาใชในการพจารณาตดสนใจ ซงการคานวณหาผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสน ม 3 วธหลกๆ ไดแก 1. วธกราฟ 2. วธซมเพลกซ 3. วธการใชโปรแกรมสาเรจรป โครงสรางของกาหนดการเชงเสน ในการสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนจะตองทาความเขาใจโครงสรางของกาหนดการเชงเสน (linear programming structure) เสยกอน แลวจงสรางตวแบบขนแทนปญหาทเกดขนจรง เพราะการทาความเขาใจโครงสรางของกาหนดการเชงเสนจะชวยใหการหาผลเฉลยเปนไปไดอยางสะดวกมากขน การสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนจะตองประกอบดวยโครงสรางตอไปน 1. ตวแปรทตองการตดสนใจ (decision variable) หรอเรยกสนๆ วา ตวแปร ไดแก สงทตองการหาผลลพธ หรอสงทตองการทราบคาในปญหานน โดยทวไปนยมกาหนดใหเปนตวอกษร เชน X1, X2, X3, X4,…,Xn หรอ A, B, C,… เปนตน การกาหนดตวแปรทตองการตดสนใจมความสาคญอยางยง เพราะเปนสวนประกอบในฟงกชนตางๆ ทงฟงกชนจดประสงคและฟงกชนเงอนไขบงคบ ในปญหาหนงๆ อาจจะกาหนดตวแปรไดหลายลกษณะ ขนอยกบความตองการของผสรางตวแบบวาตองการใหตวแบบคานวณหาอะไร เชน จากตวอยางท 1.1 บรษทตองการทราบจานวนของบานสนขแตละแบบทจะผลต ดงนนจงกาหนดให X1 แทน จานวนบานสนขแบบ A และ X2 แทน จานวนบานสนขแบบ B เปนตน เมอกาหนดตวแปรทตองการตดสนใจแลวจาเปนตองระบหนวยของตวแปรเหลานนดวย เพอเปนแนวทางในการสรางฟงกชนตางๆ เชน กาหนดให X เปนจานวนการผลตนาฬกา หนวยเปนเรอน Y เปนจานวนการผลตอาหารสตว หนวยเปนตน และ Z เปนจานวนการผลตคอมพวเตอร หนวยเปนเครอง เปนตน เนองจากในปญหาเดยวกนอาจจะกาหนดตวแปรไดหลายรปแบบ ซงตวแปรตวเดยวกนถากาหนดหนวยไมเหมอนกนจะเขยนฟงกชนตางๆ ในลกษณะทแตกตางกนออกไป เชน ถากาหนดให X แทน จานวนการผลตกางเกงขายาว หนวยเปนตว และ Y แทน จานวนการผลตกางเกงขาสน หนวยเปนตว โดยผลตกางเกงขายาวไดกาไรตวละ 50 บาท สวนกางเกงขาสนไดกาไรตวละ 30 บาท

9

เขยนฟงกชนกาไรรวมทไดรบจากการผลตกางเกง = 50X + 30Y แตถากาหนดให X แทน จานวนการผลตกางเกงขายาว หนวยเปนโหล และ Y แทน จานวนการผลตกางเกงขาสน หนวยเปนโหล จะใชฟงกชนกาไรรวมเชนขางตนไมได เนองจาก X และ Y มหนวยเปนโหล จงตองใชขอมลกาไรตอโหล โดยใชบญญตไตรยางคดงน ถาผลตกางเกงขายาว 1 ตว ไดกาไร 50 บาท ดงนนผลตกางเกงขายาว 1 โหล หรอ 12 ตว ไดกาไร 600 บาท ถาผลตกางเกงขาสน 1 ตว ไดกาไร 30 บาท ดงนนผลตกางเกงขาสน 1 โหล หรอ 12 ตว ไดกาไร 360 บาท เขยนฟงกชนกาไรรวมทไดรบจากการผลตกางเกง = 600X + 360Y 2. ฟงกชนจดประสงค (objective function) หรอสมการเปาหมาย โดยจดประสงคของกาหนดการเชงเสนจะมเพยงจดประสงคเดยวเทานน ซงจะตองตงจดประสงคอยางชดเจนและกาหนดคาของเปาหมายเปนปรมาณ เชน คาสงสด (maximize) หรอ คาตาสด (minimize) ของปญหานน ยกตวอยาง ถาตองการทารายไดใหสงทสด ฟงกชนจดประสงคจะเปนฟงกชนของกาไร หรอถาตองการทาใหเสยคาใชจายตาทสด ฟงกชนจดประสงคจะเปนฟงกชนของตนทน เปนตน และความสมพนธของตวแปรตางๆ ในฟงกชนจดประสงคตองเปนความสมพนธเชงเสน ในกรณทมจดประสงคเกนหนงจดประสงค ตองเลอกจดประสงคทสาคญทสดเขยนเปนฟงกชนจดประสงค สวนจดประสงคอนๆ จะดดแปลงเปนเงอนไขบงคบ วธการเขยนฟงกชนจดประสงคจะเขยนได 2 วธ คอ 2.1 รปแบบฟงกชนจดประสงคของการหาผลเฉลยทมคาสงสด

maximize P = C1X1 + C2X2 + .... + CnXn 2.2 รปแบบฟงกชนจดประสงคของการหาผลเฉลยทมคาตาสด minimize P = C1X1 + C2X2 + .... + CnXn โดยกาหนดให จานวนกจกรรมซงอาจหมายถง จานวนสนคาทผลต เทากบ n กจกรรม

P คอ ฟงกชนจดประสงค (นยมใชสญลกษณ P หรอ Z ในทนจะใชสญลกษณ P)

Cj คอ สมประสทธของตวแปรตวท j ในฟงกชนจดประสงค ซงหมายถง กาไรตอหนวย หรอ ตนทนตอหนวย ฯลฯ Xj คอ ตวแปรทตองการตดสนใจตวท j หรอสงทตองการทราบคาใน ปญหา

เมอ j = 1, 2, 3, …, n

10

ในกรณตวอยางท 1.1 เปาหมายหรอจดประสงคทบรษทตองการคอ การทากาไรใหสงทสด จากการใชทรพยากรทมอย คอจานวนไมทสงมา และเวลาการทางานของแผนกตางๆ ในแตละสปดาห มาผลตบานสนขแบบ A และแบบ B ในการผลตบานสนขแบบ A จานวน 1 หลงไดกาไร 1,000 บาท ถาผลต X1 หลง จะไดกาไร 1,000X1 บาท ในทานองเดยวกน การผลตบานสนขแบบ B จานวน 1 หลงไดกาไร 400 บาท ถาผลต X2 หลง จะไดกาไร 400X2 บาท ดงนนกาไรรวมคอ 1,000X1 + 400X2 บาท และเขยนฟงกชนจดประสงคไดดงน maximize P = 1,000X1 + 400X2 3. เงอนไขบงคบ (constraint) คอ สมการหรออสมการทแสดงถงขดจากดในดานทรพยากร ความตองการ หรอเงอนไขตางๆ ของปญหา เชน ขอจากดเกยวกบแรงงาน ขอจากดเกยวกบวตถดบ ขอจากดเกยวกบเงนทน เปนตน โดยมความสมพนธของตวแปรตางๆ ในเงอนไขบงคบแตละขอเปนความสมพนธเชงเสน จานวนเงอนไขบงคบจะขนอยกบสภาพของปญหาวามความยงยากและซบซอนเพยงใด รปแบบของเงอนไขบงคบ ไดแก a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn ( , , , หรอ = ) b1

a21X1 + a22X2 + ... + a2nXn (, , , หรอ = ) b2

am1X1 + am2X2 + ... + amnXn (, , , หรอ = ) bm

โดยกาหนดให จานวนของขอจากดหรอจานวนทรพยากรทม เทากบ m ขอจากด aij คอ สมประสทธของตวแปรท j ในเงอนไขบงคบขอท i bi คอ คาคงททางขวามอ (right hand side) ของเงอนไขบงคบขอท i เมอ i = 1, 2, 3, …, m คา aij จะเปนคาคงททแสดงอตราการใชทรพยากรแตละชนดตอหนวย ในขณะทคา bi เปนคาคงททแสดงจานวนทรพยากรทมอย ประการสาคญคอ คา aij และคา bi จะตองมหนวยทเหมอนกน เชน กโลกรม กรม หนวย โหล ฟต นว นาท ชวโมง ฯลฯ เครองหมายของเงอนไขบงคบสามารถแสดงในรป , , , และ = โดยเลอกใชใหเหมาะสมกบเงอนไขบงคบนนๆ ในกรณตวอยางท 1.1 เงอนไขบงคบในการผลตบานสนขทงสองแบบคอ จานวนไมทสงมา และเวลาการทางานของแผนกประกอบ และแผนกทดสอบในแตสปดาห ดงนนจงมเงอนไขบงคบ 3 ขอ เงอนไขแรก คอ จานวนไมทสงมาในแตสปดาห จานวน 20 ทอนๆ ละ 10 เมตร จะมไมทงหมดจานวน 200 เมตร และในการผลตบานสนขแบบ A จานวน 1 หลง ใชไมจานวน 10 เมตร

... ... ... ... ...

11

ดงนน ถาผลตบานสนขแบบ A จานวน X1 หลง ตองใชไมจานวน 10X1 เมตร สวนการผลตบานสนขแบบ B จานวน 1 หลง ใชไมจานวน 8 เมตร ดงนน ถาผลตบานสนขแบบ B จานวน X2 หลง ตองใชไมจานวน 8X2 เมตร ซงจะตองไมเกนจานวนไมทมอย คอ 200 เมตร โดยเขยนเปนเงอนไขบงคบไดดงน จานวนของไม 10X1 + 8X2 200 เงอนไขทสอง คอ การทางานของแผนกประกอบในแตละวนตองทางานวนละ 12 ชวโมง และหนงสปดาหจะมเวลาทางานทงหมด 84 ชงโมง ในการผลตบานสนขแบบ A จานวน 1 หลง ใชเวลาประกอบ 7 ชวโมง ดงนน ถาผลตบานสนขแบบ A จานวน X1 หลง ตองใชเวลาประกอบ 7X1 ชวโมง สวนการผลตบานสนขแบบ B จานวน 1 หลง ใชเวลาประกอบ 3 ชวโมง ดงนน ถาผลตบานสนขแบบ B จานวน X2 หลง ตองใชเวลาประกอบ 3X2 ชวโมง ซงจะตองไมเกนจานวนเวลาทางานทงหมด 84 ชงโมง โดยเขยนเปนเงอนไขบงคบไดดงน แผนกประกอบ 7X1 + 3X2 84 ในทานองเดยวกน สามารถเขยนเงอนไขบงคบทสามคอการใชเวลาในการทางานของแผนกทดสอบ ไดดงน แผนกทดสอบ 7X1 + 2X2 70 4. ขอจากดของตวแปร (restriction of variable) แสดงถงเงอนไขของตวแปรทตองการตดสนใจวาทกตวจะตองมคามากกวาหรอเทากบศนยเสมอ นนคอ คาของตวแปรจะตองเปนคาไมตดลบ (nonnegativity) สามารถเขยนเปนสญลกษณได ดงน Xj 0 โดยท j = 1, 2, 3, …, n การกาหนดตวแปรกาหนดการเชงเสนไมใหตดลบยอมสงผลใหพนททเปนผลเฉลยทเปนไปได (feasible area) ในกราฟไมตดลบดวยเชนกน สมมตฐานของกาหนดการเชงเสน การทจะนากาหนดการเชงเสนไปใชในการแกปญหาหรอเปนเครองมอในการตดสนใจจะตองพจารณาวาปญหานนสอดคลองกบสมมตฐานของกาหนดการเชงเสนหรอไม หากปญหานนไมไดสอดคลองกบสมมตฐานของกาหนดการเชงเสน แตนาวธกาหนดการเชงเสนไปใชแกปญหา ผลเฉลยทไดกจะไมถกตอง หรอไมมความหมายทจะนาไปใชงาน ดงนนควรทจะตองทราบถงสมมตฐานทสาคญของกาหนดการเชงเสน ดงน

12

1. ความเปนสดสวนหรอความสมพนธทคงท (proportionality) หมายความวา คาของตวแปรและคาของสมประสทธตางๆ ในฟงกชนจดประสงคและเงอนไขบงคบจะมความสมพนธเปนสดสวนทคงทไมเปลยนแปลง เชน จากตวอยางท 1.1 กาไรตอหนวยของบานสนขแบบ A จานวน 1 หลง เทากบ 1,000 บาท เมอเพมการผลตบานสนขแบบ A เปน 10 หลง กาไรตอหนวยของการผลตบานสนขแบบ A จานวน 1 หลง ยงคงเทาเดม คอ 1,000 บาท ดงนน กาไรทจะไดรบ คอ (101,000) = 10,000 บาท และถากาหนดให X1 แทน จานวนบานสนขแบบ A กาไรทจะไดรบ คอ 1,000X1 บาท ในทานองเดยวกน ถาการผลตบานสนขแบบ B จานวน 1 หลง ตองใชเวลาในการประกอบ 3 ชวโมงตอหลง เมอเพมการผลตบานสนขแบบ B เปน 10 หลง เวลาทใชในการประกอบยงคงเทากบ 3 ชวโมงตอหลง เหมอนเดม ดงนน เวลาทใชในการประกอบ คอ (103) = 30 ชวโมง และถากาหนดให X2 แทน จานวนบานสนขแบบ B เวลาทใชในการประกอบ คอ 3X2 ชวโมง เปนตน จะเหนไดวาคาของฟงกชนจดประสงคและเงอนไขบงคบจะเปลยนแปลงไปในสดสวนทคงทแนนอน และรปแบบความสมพนธทไดจะอยในรปของตวแปรทมเลขชกาลงเปนหนง และไมมการคณกนของตวแปร ซงจะเรยกความสมพนธลกษณะเชนนวา ความสมพนธเชงเสน (linearity relationship) แตในกรณทความสมพนธของตวแปรและสมประสทธตางๆ ในฟงกชนจดประสงคและเงอนไขบงคบไมเปนความสมพนธเชงเสน (nonlinearity relationship) จะตองใชการคานวณดวยวธอน เชน กาหนดการไมเชงเสน (nonlinear programming) เปนตน 2. กาหนดคาไดแนนอน (certainly) หมายความวา ขอมลตางๆ ภายในปญหาของกาหนดการเชงเสนสามารถทราบคาไดแนนอน กลาวคอ คาสมประสทธของตวแปรและคาคงท ทกตวในปญหากาหนดการเชงเสน ตองสมมตวาเปนคาทรไดลวงหนาและกาหนดไดอยางแนนอนไมเปลยนแปลง เชน กาไรหรอตนทนตอหนวย อตราการใชทรพยากรในการผลตสนคาตอหนวยและปรมาณทรพยากรแตละชนดทมอย เปนตน ซงในความเปนจรงแลวขอมลบางอยางไดมาจากการคาดคะเนหรอเปนตวเลขโดยประมาณอนอาจจะคาดเคลอนได ดงนนจงมความไมแนนอนแฝง อยบาง บางทอาจใชคาเฉลยเปนตวแทนของขอมล (อาพล ธรรมเจรญ, 2551 : 26) 3. สามารถแบงแยกได (divisibility) หมายความวา ตวแปรทกตวในปญหากาหนดการเชงเสนสามารถมคาเปนเศษสวนหรอทศนยมได เชน ผลตบานสนขแบบ A จานวน 10.5 หลง หรอ ผลตบานสนขแบบ B จานวน 8.25 หลง ซงในความเปนจรงอาจจะเปนไปไมได แตในกรณทตองการผลเฉลยเปนจานวนเตมกอาจทาไดโดยการปดเศษหรอจะใชวธการของตวแบบเชงปรมาณทเรยกวา กาหนดการเชงเสนจานวนเตม (Linear Integer Programming หรอ เรยกสนๆวา “LIP”) กได 4. บวกเขาดวยกนได (addibility) หมายความวา ผลรวมไดมาจากการบวกกนของกจกรรมตางๆ เชน จากตวอยางท 1.1 กาหนดให X1 แทน จานวนบานสนขแบบ A มกาไรตอหลง 1,000 บาท และ X2 แทน จานวนบานสนขแบบ B มกาไรตอหลง 400 บาท ดงนนกาไรรวม คอ กาไรจากการผลตบานสนขแบบ A คอ 1,000X1 บาท รวมกบกาไรจากการผลตบานสนขแบบ B คอ 400X2 บาท จะไดกาไรรวม คอ 1,000X1 + 400X2 บาท หรอ จานวนไมทงหมดทใชในการผลต คอ

13

จานวนไมทใชผลตบานสนขแบบ A คอ 10X1 เมตร รวมกบจานวนไมทใชผลตบานสนขแบบ B คอ 8X2 เมตร ดงนน จานวนไมทงหมดทใชในการผลต คอ 10X1 + 8X2 เมตร เปนตน 5. ตวแปรมคาไมตดลบ (nonnegativity) หมายความวา ตวแปรทกตวในกาหนดการ เชงเสนจะตองมคาไมนอยกวาศนย เชน จากตวอยางท 1.1 ให X1 แทน จานวนบานสนขแบบ A และ X2 แทน จานวนบานสนขแบบ B ดงนน จานวนบานสนขแบบ A และแบบ B จะตองไมตดลบ นนคอ X1 และ X2 จะตองมคาไมตดลบ เปนตน รปแบบทวไปของตวแบบกาหนดการเชงเสน จากการศกษาโครงสรางของกาหนดการเชงเสน สามารถสรปรปแบบทวไปของตวแบบกาหนดการเชงเสนทจะมาใชเปนตวแทนของปญหาในการหาผลเฉลยเหมาะสมทสด ทงนขนอยกบวาปญหากาหนดการเชงเสนทพจารณาอยนน เปนปญหาในลกษณะทตองการคาสงสด หรอตองการคาตาสด โดยสามารถเขยนเปนรปแบบทวไปของตวแบบกาหนดการเชงเสน ไดดงน กาหนดให จานวนกจกรรม เทากบ n กจกรรม จานวนของเงอนไขบงคบ หรอจานวนทรพยากรทม เทากบ m เงอนไข

P คอ ฟงกชนจดประสงค Xj คอ ตวแปรทตองการตดสนใจตวท j หรอสงทตองการทราบคาใน ปญหา Cj คอ สมประสทธของตวแปรตวท j ในฟงกชนจดประสงค ซงหมายถง กาไรตอหนวย หรอ ตนทนตอหนวย ฯลฯ

aij คอ สมประสทธของตวแปรท j ในเงอนไขบงคบขอท i bi คอ คาคงททางขวามอของเงอนไขบงคบขอท i

เมอ i = 1, 2, 3, …, m และ j = 1, 2, 3, …, n ฟงกชนจดประสงค maximize หรอ minimize P = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn เงอนไขบงคบ a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn (, , , หรอ = ) b1

a21X1 + a22X2 + ... + a2nXn (, , , หรอ = ) b2

am1X1 + am2X2 + .... + amnXn (, , , หรอ = ) bm

Xj 0 เมอ i = 1, 2, 3, …, m และ j = 1, 2, 3, …, n

... ... ... ... ...

14

การสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนจากปญหาลกษณะตางๆ การสรางตวแบบกาหนดการเชงเสน หรอการสรางตวแบบเชงคณตศาสตร เปนการนาเอาปญหาท เกดขนมาเขยนใหอย ในรปแบบของกาหนดการเชงเสน โดยใชสญลกษณ เครองหมาย และตวแปรตางๆ ซงขนตอนการสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนเปนเรองสาคญ ดงรายละเอยดตอไปน (เกรยงศกด อวยพรเจรญชย, 2548 : 10-11) 1. คนหาวาโจทยปญหาตองการคานวณหาคาอะไรหรอตองการวดผลคาอะไร แลวใหกาหนดตวแปร เชน ตวแปร X แทนคาดงกลาวนน พรอมทงแจกแจงจานวนตวแปรทงหมดทเปน ไปได 2. วเคราะหเปาหมายหรอจดประสงคของโจทยปญหา พรอมทงตความโจทยปญหาวาตองการแกปญหาคาสงสดหรอแกปญหาคาตาสด ถาเปนการแกปญหาคาสงสดจะเกยวของกบรายได กาไร หรอยอดขาย และถาเปนการแกปญหาคาตาสดจะเกยวของกบตนทน คาใชจาย โดยทตองกาหนดคาจดประสงคเปนตวแปร P (นยมใชสญลกษณ P หรอ Z ในทนจะใชสญลกษณ P) 3. ตความโจทยปญหาเพอสรางเทอมของตวแปรของฟงกชนจดประสงค โดยทเทอมของตวแปรจะประกอบดวยตวแปรทกาหนดไวจากขอท 1 รวมทงคาคงทสมประสทธหนาตวแปร หลงจากนนหาความสมพนธระหวางเทอมของตวแปรทกาหนดขนกบคาเปาหมาย P เพอสรางฟงกชนจดประสงค 4. ตความโจทยปญหาเพอสรางเงอนไขบงคบ โดยเรมตนคนหาคาขดจากดพรอมทง แจกแจงออกมาทกคา โดยทคาขดจากด 1 คา จะเกยวของกบเงอนไขบงคบหรอขอจากดหนงประเดนในโจทยปญหา หลงจากนนแปลงประเดนขอจากดจากโจทยดงกลาวใหกลายเปนฟงกชนเงอนไขบงคบ และคาขดจากด 1 คา จะอยดานขวามอของเครองหมายสมการหรออสมการของฟงกชนเงอนไขบงคบเสมอ 5. ตความโจทยปญหาเพอสรางเทอมของตวแปรทกาหนดขนจากขอท 1 โดยทเทอม ตวแปรดงกลาวจะอยดานซายมอของเครองหมายสมการหรออสมการของฟงกชนเงอนไขบงคบเสมอ ทายสดตความโจทยปญหาเพอระบเครองหมายลงในฟงกชนเงอนไขบงคบ อนไดแก , , , และ = หลงจากนนแจกแจงฟงกชนเงอนไขบงคบทเปนไปไดทกฟงกชนจากโจทยปญหา 6. ตความโจทยปญหาเพอสรางขอจากดของตวแปรทกาหนดขนจากขอท 1 7. นาขอกาหนดของตวแปร ฟงกชนจดประสงค ฟงกชนเงอนไขบงคบ และขอจากด ของตวแปร มาประกอบกนเปนรปแบบของตวแบบกาหนดการเชงเสน โจทยปญหาทนามาวเคราะหเพอสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนมอยหลายแบบ เชน โจทยทมตารางแสดงผลตอบแทนหรอตนทน หรอโจทยทไมมตารางมแตคาอธบาย เปนตน

15

การสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนใหไดอยางถกตองครบถวนตามความเปนจรงนนนบเปนสงทสาคญและควรใหความระมดระวงอยางยง เพราะผลเฉลยทไดจากการแกปญหากาหนดการเชงเสนจะนาไปใชกบปญหาทเกดขนไดอยางมประสทธผลเพยงใดนนขนอยกบการสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนขนแทนปญหาไดอยางถกตองเปนประการสาคญ และในความเปนจรงแลว ขนตอนการสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนเปนขนตอนทมกจะเกดปญหาและความยงยากมากกวาขนตอนทนาตวแบบกาหนดการเชงเสนทสรางแลวไปคานวณหาผลเฉลย เพราะในการคานวณนนเปนศาสตรทมวธการ ขนตอน และการคานวณทแนนอน นอกจากนนในปจจบนยงมโปรแกรมคอมพวเตอรชวยในการคานวณทาใหการแกปญหามความสะดวก รวดเรว และถกตองแมนยามากขน ในขณะทการสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนถอเปนศลปะอยางหนงซงตองอาศยการพจารณาปญหาอยางละเอยดถถวนและจาเปนตองมการฝกฝน ดงนน ในหวขอนจงประกอบดวยตวอยางในการสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนจากปญหาลกษณะตางๆ เพอใหผเรยนไดฝกหดการสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนและไดเหนถงลกษณะปญหาทสามารถนากาหนดการเชงเสนไปใชไดในหลายๆ รปแบบ ดงตอไปน ตวอยางท 1.2 จากตวอยางท1.1 จงสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนของบรษทบานสนขสวย จากด วธทา กาหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน จานวนกาไรทไดรบ (บาท) X1 แทน จานวนการผลตบานสนขแบบ A (หลง) X2 แทน จานวนการผลตบานสนขแบบ B (หลง) สรางฟงกชนจดประสงค maximize P = 1,000X1 + 400X2 สรางเงอนไขบงคบ 10X1 + 8X2 200 (จานวนของไม) 7X1 + 3X2 84 (เวลาของแผนกประกอบ)

7X1 + 2X2 70 (เวลาของแผนกทดสอบ) X1 , X2 0 ตวอยางท 1.3 ปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต (blending problem) บรษทผลตอาหารสาเรจรปแหงหนงตองการผลตอาหารสาเรจรปออกจาหนาย อาหารสาเรจรปทผลตจะตองประกอบดวยวตามน A อยางนอย 600 หนวย และวตามน B อยางนอย 700 หนวย การผลตอาหารสาเรจรปจะตองใชขาวหรอเนออยางใดอยางหนงหรออาจจะใชทงขาวและเนอกได โดยทขาว 1 กโลกรม ใหวตามน A จานวน 40 หนวย ใหวตามน B จานวน 35 หนวย และเนอ

16

1 กโลกรม ใหวตามน A จานวน 30 หนวย ใหวตามน B จานวน 70 หนวย ซงตนทนขาว 1 กโลกรม เทากบ 40 บาท ตนทนเนอ 1 กโลกรม เทากบ 100 บาท บรษทตองการทราบวาในการผลตอาหารสาเรจรปใหเสยตนทนตาสดควรใชขาวและเนออยางละกกโลกรม จงสรางตวแบบกาหนดการเชงเสน วธทา กาหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน ตนทนรวมทใชในการผลตอาหารสาเรจรป (บาท) X1 แทน จานวนขาวทใชในการผลตอาหารสาเรจรป (กโลกรม) X2 แทน จานวนเนอทใชในการผลตอาหารสาเรจรป (กโลกรม) สรางฟงกชนจดประสงค minimize P = 40X1 + 100X2 สรางเงอนไขบงคบ 40X1 + 30X2 600 (ปรมาณของวตามน A) 35X1 + 70X2 700 (ปรมาณของวตามน B) X1 , X2 0 ตวอยางท 1.4 ปญหาดานเกษตรกรรม (agriculture problem) เกษตรกรรายหนงในจงหวดอดรธานมขอมลวาพชเศรษฐกจททารายไดใหจงหวดมอย 2 ชนด คอ ออย และมนสาปะหลง ดงนนเขาจงตดสนใจทจะซอทดนในการเพาะปลกพช 2 ชนดน ซงในการปลกออยตองเสยคาใชจาย 800 บาทตอไร และการปลกมนสาปะหลงเสยคาใชจาย 600 บาทตอไร เกษตรกรผนมทนในการเพาะปลกครงน จานวน 12,000 บาท และในการปลกออยตองใชแรงงาน 30 ชวโมงตอไร สวนการปลกมนสาปะหลง ตองใชแรงงาน 10 ชวโมงตอไร ถาเขามเวลาสาหรบการเพาะปลกมากทสด 300 ชวโมง โดยเขาคาดหวงไววาออยและมนสาปะหลงจะทากาไรใหแกเขาจานวน 250 บาทตอไร และ 150 บาทตอไร ตามลาดบ เขาควรจะตดสนใจซอพนทในการปลกออยและมนสาปะหลงเปนจานวนเทาใด จงจะทาใหไดกาไรสงทสด จงสรางตวแบบกาหนดการเชงเสน วธทา กาหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน จานวนกาไรทไดรบ (บาท)

X1 แทน จานวนพนทในการปลกออย (ไร) X2 แทน จานวนพนทในการปลกมนสาปะหลง (ไร) สรางฟงกชนจดประสงค maximize P = 250X1 + 150X2

17

สรางเงอนไขบงคบ 800X1 + 600X2 12,000 (ทนในการเพาะปลก) 30X1 + 10X2 300 (เวลาสาหรบการเพาะปลก) X1 , X2 0 ตวอยางท 1.5 ปญหาการกาหนดสดสวนการผลต (product mix problem) บรษทผลตของเลนแหงหนงผลตของเลน 3 ชนด ในการผลตของเลนทง 3 ชนดนตองใชวตถดบ 3 อยาง คอ M , N และ O ในจานวนทแตกตางกน โดยจานวนวตถดบทใชในการผลตสนคา 1 ชนมดงน

วตถดบ ของเลนชนดท 1 (ชน)

ของเลนชนดท 2 (ชน)

ของเลนชนดท 3 (ชน)

วตถดบ M วตถดบ N วตถดบ O

4 7 9

6 5 8

8 3 10

ขณะนบรษทมวตถดบ M , N และ O อยเปนจานวน 600 หนวย 800 หนวย และ1,000 หนวย ตามลาดบ และวตถดบเหลานไมสามารถหามาเพมเตมไดในระยะเวลาอนสน ถาของเลนทง 3 ชนดทากาไรใหแกบรษทหนวยละ 20 บาท 15 บาท และ 30 บาท ตามลาดบ บรษทควรจะกาหนดปรมาณการผลตของเลนทง 3 ชนดนอยางไรใหไดกาไรมากทสด จงสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาน วธทา กาหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน จานวนกาไรทไดรบ (บาท) X1 แทน ปรมาณการผลตของเลนชนดท 1 (ชน) X2 แทน ปรมาณการผลตของเลนชนดท 2 (ชน) X3 แทน ปรมาณการผลตของเลนชนดท 3 (ชน) สรางฟงกชนจดประสงค maximize P = 20X1 + 15X2 + 30X3 สรางเงอนไขบงคบ 4X1 + 6X2 + 8X3 600 (ปรมาณการใชวตถดบ M) 7X1 + 5X2 + 3X3 800 (ปรมาณการใชวตถดบ N) 9X1 + 8X2 + 10X3 1,000 (ปรมาณการใชวตถดบ O) X1 , X2 , X3 0

18

ตวอยางท 1.6 ปญหาการเลอกสอโฆษณา (media selection problem) บรษทผจาหนายโทรศพทมอถอแหงหนงกาลงพจารณาวางแผนการโฆษณาสนคาของบรษทในชวงเวลา 3 เดอนขางหนา โดยจะโฆษณาทางหนงสอพมพ ทางวทย และทางโทรทศน บรษทมงบประมาณคาโฆษณารวม 500,000 บาท ทงนไดทาการเกบขอมลทจาเปนตองใชประกอบการตดสนใจ ไดแก จานวนผชม ผฟง หรอผอานหนงสอพมพทจะไดรบขอมลทโฆษณา คาใชจายในการโฆษณาในสอตางๆ และเงอนไข นโยบายของบรษทในการใชสอโฆษณา ดงแสดงในตารางตอไปน

เงอนไข หนงสอพมพ วทย โทรทศน จานวนผอาน ผฟง ผชม (คน/ครง) คาใชจายในการโฆษณา 1 ครง (บาท) จานวนครงมากทสดทจะโฆษณา (ครง) จานวนครงอยางตาทจะโฆษณา (ครง)

20,000 1,500 100 10

15,000 3,000 100 10

30,000 5,000 200 20

บรษทตองการทราบวาในชวง 3 เดอนขางหนานควรโฆษณาสนคาทางหนงสอพมพ กครง ทางวทยกครง และทางโทรทศนกครง จงจะมผไดรบขอมลการโฆษณามากทสดภายในวงเงนจากดคอ 500,000 บาท และภายใตเงอนไขของบรษทดงกลาว จงสรางตวแบบกาหนดการเชงเสน วธทา กาหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน จานวนรวมของผทรบขอมลการโฆษณาจากสอตางๆ (คน)

X1 แทน จานวนของการโฆษณาทางหนงสอพมพ (ครง) X2 แทน จานวนของการโฆษณาทางวทย (ครง) X3 แทน จานวนของการโฆษณาทางโทรทศน (ครง) สรางฟงกชนจดประสงค maximize P = 20,000X1 + 15,000X2 + 30,000X3 สรางเงอนไขบงคบ 1,500X1 + 3,000X2 + 5,000X3 500,000 (คาใชจายในการโฆษณา) X1 100 (จานวนครงมากทสดทจะโฆษณาทางหนงสอพมพ) X2 100 (จานวนครงมากทสดทจะโฆษณาทางวทย) X3 200 (จานวนครงมากทสดทจะโฆษณาทางโทรทศน) X1 10 (จานวนครงอยางตาทจะโฆษณาทางหนงสอพมพ) X2 10 (จานวนครงอยางตาทจะโฆษณาทางวทย) X3 20 (จานวนครงอยางตาทจะโฆษณาทางโทรทศน) X1 , X2 , X3 0

19

ตวอยางท 1.7 ปญหาการจดสรรเงนลงทน (investment problem) นายปรชาไดเงนจากการขายทดนแหงหนงเปนเงน 2,500,000 บาท เขาตองการนาเงนจานวนนทงหมดไปลงทนใหเกดผลตอบแทนสงสด โดยชนดของการลงทนและผลตอบแทนเปนดงน

ชนดของการลงทน ผลตอบแทนทคาดวาจะไดรบ ฝากธนาคารประเภทฝากประจา ซอสลากออมสนชนดพเศษ กบธนาคารออมสน ซอหนของบรษทตางๆ ซอทองมาเกบไว

4% ตอป 5% ตอป 10% ตอป 2% ตอป

เพอเปนการกระจายความเสยง นายปรชาตงใจวาจะฝากธนาคารเปนเงนไมตากวา 500,000 บาท และจะใชเงนในการซอทองไมตากวา 100,000 บาท แตจานวนเงนทฝากธนาคารและซอทองรวมกนไมควรเกน 1,800,000 บาท นอกจากนน นายปรชาตงใจวาจะซอสลากออมสนชนดพเศษ ใชเงนไมเกน 700,000 บาทและซอหนไมเกน 400,000 บาท อยางไรกด จานวนเงนทซอสลากออมสนชนดพเศษและซอหนรวมกนไมควรเกน 1,000,000 บาท จากขอมลขางตนใหทาการสรางตวแบบกาหนดการเชงเสน เพอชวยนายปรชาทาการตดสนใจในการลงทน วธทา กาหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน จานวนผลตอบแทนจากการลงทนใน 1 ป (บาท) X1 แทน จานวนเงนทฝากธนาคาร (บาท) X2 แทน จานวนเงนทซอสลากออมสนชนดพเศษ (บาท) X3 แทน จานวนเงนทซอหน (บาท) X4 แทน จานวนเงนทซอทอง (บาท) สรางฟงกชนจดประสงค maximize P = 0.04X1 + 0.05X2 + 0.10X3 + 0.02X4 สรางเงอนไขบงคบ X1 500,000 X4 100,000 X1 + X4 1,800,000 X2 700,000 X3 400,000 X2 + X3 1,000,000 X1 + X2 + X3 + X4 = 2,500,000 X1 , X2 , X3 , X4 0

20

ตวอยางท 1.8 ปญหาดานโภชนาการ (nutrition problem) ในการเกบตวนกกฬากอนการแขงขน ผจดการทมตองการกาหนดเมนอาหารกลางวนทมคณคาอาหารทเหมาะสมสาหรบนกกฬา ในขณะเดยวกนตองคานงถงคาใชจายคาอาหารทประหยดดวย นกโภชนาการไดแนะนาวาในอาหารกลางวนหนงมอนกกฬาควรจะไดรบสารอาหาร ดงน - พลงงานไมตากวา 1,000 แคลอร และไมเกน 2,000 แคลอร - โปรตนไมตากวา 100 กรม - คารโบไฮเดรตไมตากวา 50 กรม - ไขมนไมเกน 60 กรม - คอเลสเทอรอลไมเกน 40 มลลกรม ผจดการทมและนกโภชนาการไดรวมกนพจารณาอาหาร 4 ชนด ซงมคณคาอาหารในปรมาณทแตกตางกน ตารางตอไปนแสดงถงคณคาอาหารทไดรบจากการบรโภคอาหารแตละชนด 1 หนวย รวมทงตนทนทตางกน ดงน

อาหาร พลงงาน (แคลอร)

โปรตน (กรม)

คารโบไฮเดรต (กรม)

ไขมน (กรม)

คอเลส เทอรอล

(มลลกรม)

ตนทนตอหนวย (บาท)

อาหารชนดท 1 อาหารชนดท 2 อาหารชนดท 3 อาหารชนดท 4

450 400 580 300

20 50 40 15

30 0 20 50

10 5 20 10

90 70 50 0

6 7 9 4

ผจดการตองการทราบวาในอาหารกลางวน 1 มอ ควรจดใหมอาหารชนดใดบาง ชนดละกหนวย จงจะมคณคาอาหารตามทนกโภชนาการแนะนาและมตนทนตาทสด จงสรางตวแบบกาหนดการเชงเสน วธทา กาหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน ตนทนรวม (บาท)

X1 แทน จานวนอาหารชนดท1 ทใชในการประกอบอาหารกลางวน (หนวย) X2 แทน จานวนอาหารชนดท 2 ทใชในการประกอบอาหารกลางวน (หนวย) X3 แทน จานวนอาหารชนดท 3 ทใชในการประกอบอาหารกลางวน (หนวย) X4 แทน จานวนอาหารชนดท 4 ทใชในการประกอบอาหารกลางวน (หนวย) สรางฟงกชนจดประสงค minimize P = 6X1 + 7X2 + 9X3 + 4X4

21

สรางเงอนไขบงคบ 450X1 + 400X2 + 580X3 + 300X4 1,000 (พลงงาน) 450X1 + 400X2 + 580X3 + 300X4 2,000 (พลงงาน) 20X1 + 50X2 + 40X3 + 15X4 100 (โปรตน) 30X1 + 20X3 + 50X4 50 (คารโบไฮเดรต) 10X1 + 5X2 + 20X3 + 10X4 60 (ไขมน) 90X1 + 70X2 + 50X3 40 (คอเลสเทอรอล) X1 , X2 , X3 , X4 0 ตวอยางท 1.9 ปญหาการขนสง (transportation problem) บรษทผผลตสนคาแหงหนงมโรงงานผลต 2 แหง สนคาทผลตไดจากโรงงานทงสองแหงจะถกสงไปเกบทคลงสนคาของบรษทซงมอย 3 แหง เพอรอจดสงใหลกคาตอไป ถาโรงงานแหงแรกผลตสนคาไดวนละ 6,000 หนวย โรงงานแหงทสองผลตสนคาไดวนละ 8,000 หนวย สวนคลงสนคาทง 3 แหงนน สามารถเกบสนคาไดเตมทแหงละ 4,000 หนวย 7,000 หนวย และ 3,000 หนวย ตามลาดบ ในการสงสนคาจากโรงงานทงสองแหงไปยงคลงสนคาตางๆ จะเสยคาใชจายในการขนสงตางกน ดงน ตารางแสดงคาใชจายในการขนสงสนคา (บาท/หนวย)

ถง จาก

คลงสนคา 1



โรงงานท 1 โรงงานท 2

5 6

8 10

3 2

บรษทควรจดสงสนคาจากโรงงานทงสองแหงไปยงคลงสนคาทง 3 แหงอยางไรจงจะเหมาะสมทสด โดยแตละโรงงานจะตองสงสนคาใหหมด และคลงสนคาแตละแหงจะตองเกบสนคาใหไดตามความตองการ จงสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาน วธทา ปญหาการขนสงน เปนปญหาเฉพาะดานทนากาหนดการเชงเสนมาประยกตใชในการตดสนใจ เพอทจะทาใหการสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนทาไดงายขน สามารถสรปลกษณะของปญหาน ไดดงน

22

สงทบรษทตองการทราบ คอ จานวนสนคาทจะสงจากโรงงานท 1 ไปยงคลงสนคาทง 3 แหง และจานวนสนคาทจะสงจากโรงงานท 2 ไปยงคลงสนคาทง 3 แหง ซงจานวนการจดสรรการขนสงสนคาจากโรงงานไปยงคลงสนคาดงกลาวนนจะตองกอใหเกดคาใชจายในการขนสงสนคารวมตาสดและโรงงานแตละโรงจะตองสงสนคาใหครบทงหมด และคลงสนคาแตละแหงจะตองเกบสนคาใหเตมตามความตองการ จากลกษณะปญหาขางตน สามารถสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนไดดงน กาหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน คาใชจายในการขนสงรวมทงสน (บาท) X11 แทน จานวนสนคาสงจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1 (หนวย) X12 แทน จานวนสนคาสงจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 2 (หนวย) X13 แทน จานวนสนคาสงจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3 (หนวย) X21 แทน จานวนสนคาสงจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 1 (หนวย) X22 แทน จานวนสนคาสงจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 2 (หนวย) X23 แทน จานวนสนคาสงจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 3 (หนวย) สรางฟงกชนจดประสงค minimize P = 5X11 + 8X12 + 3X13 + 6X21 + 10X22 + 2X23

สรางเงอนไขบงคบ X11 + X12 + X13 = 6,000 X21 + X22 + X23 = 8,000 X11 + X21 = 4,000 X12 + X22 = 7,000 X13 + X23 = 3,000 Xij 0 (i = 1, 2) ( j = 1, 2, 3)




โรงงาน 1

โรงงาน 2

4,000 หนวย

7,000 หนวย

3,000 หนวย

6,000 หนวย

8,000 หนวย 3

8

5 6

2

10

23

ตวอยางท 1.10 ปญหาการกาหนดงาน (assignment problem) ธนาคารแหงหนงกาลงพจารณาจดพนกงานหญงใหม จานวน 3 คนเขาประจาในฝายตางๆ 3 ฝาย คอ ฝายบรการ ฝายตรวจสอบ และฝายสนเชอ ขอมลทใชชวยในการตดสนใจ คอ ความเหมาะสมในดานตางๆ ไดแก ความสามารถดานภาษา มนษยสมพนธ ความรบผดชอบ ความละเอยดถถวน ฯลฯ โดยใหคะแนนความเหมาะสมในการทางานแตละฝายของพนกงานทง 3 คน ดงน คะแนน 10, 9, 8, ... , 0 แทนความเหมาะสมจากมากไปหานอย

ทางธนาคารแหงนควรมอบหมายงานใหพนกงานทง 3 คน อยางไรจงเหมาะสมทสด จงสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาน วธทา ปญหาการกาหนดงานน เปนปญหาเฉพาะดานทนากาหนดการเชงเสนมาประยกตใชในการตดสนใจ สงทตองตระหนกไวในปญหาการกาหนดงานกคอ ตวแปรในปญหาการกาหนดงานจะมคาเปน 0 หรอ 1 เทานน กลาวคอ ถาผลลพธใหคาตวแปรเปน 1 แสดงวามการมอบหมายงานนน แตถาผลลพธใหคาตวแปรเปน 0 แสดงวาไมมการมอบหมายงานนน โดยมเงอนไขวาพนกงานแตละคนตองทางานเพยงงานเดยว เชน น.ส. A จะอยทงฝายบรการและฝายตรวจสอบดวยไมได เปนตน และงานแตละงานจะตองมอบหมายใหพนกงานคนเดยวเทานน ตวอยางเชน ถาใหน.ส. A ประจาฝายสนเชอแลว จะตองไมสงน.ส. B หรอ น.ส. C มาประจาทฝายนอก และเปนปญหาการหาคาสงสด นนคอคะแนนรวมของพนกงานทง 3 คนเมอไดรบการมอบหมายงานแลวจะตองมคามากทสด จากลกษณะปญหาขางตน สามารถสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนไดดงน กาหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน คะแนนรวม X11 แทน การมอบหมายใหพนกงานคนท 1 ทางานท 1 X12 แทน การมอบหมายใหพนกงานคนท 1 ทางานท 2 X13 แทน การมอบหมายใหพนกงานคนท 1 ทางานท 3 X21 แทน การมอบหมายใหพนกงานคนท 2 ทางานท 1 X22 แทน การมอบหมายใหพนกงานคนท 2 ทางานท 2

งาน พนกงาน

ฝายบรการ

ฝายตรวจสอบ

ฝายสนเชอ

น.ส. A น.ส. B น.ส. C

8 4 8

9 6 8

9 7 7

24

X23 แทน การมอบหมายใหพนกงานคนท 2 ทางานท 3 X31 แทน การมอบหมายใหพนกงานคนท 3 ทางานท 1 X32 แทน การมอบหมายใหพนกงานคนท 3 ทางานท 2 X33 แทน การมอบหมายใหพนกงานคนท 3 ทางานท 3 สรางฟงกชนจดประสงค maximize P = 8X11 + 9X12 + 9X13 + 4X21 + 6X22 + 7X23 + 8X31 + 8X32 + 7X33

สรางเงอนไขบงคบ X11 + X12 + X13 = 1 X21 + X22 + X23 = 1 X31 + X32 + X33 = 1 X11 + X21 + X31 = 1 X12 + X22 + X32 = 1 X13 + X23 + X33 = 1 Xij = 0 หรอ 1 ( i = 1, 2, 3) และ ( j = 1, 2, 3) ตวอยางท 1.11 ปญหาการจดสรรพนกงาน (labor allocation problem) รานอาหารฟาสตฟดแหงหนงเปดบรการตลอด 24 ชวโมง โดยแบงการทางานของพนกงานออกเปน 6 ชวงเวลา แตละชวงเวลาทางาน 8 ชวโมงตดตอกนดงน

ชวงเวลาท เวลาทางาน 1 2 3 4 5 6

24.00 – 08.00 น. 04.00 – 12.00 น. 08.00 – 16.00 น.

12.00 – 20.00 น. 16.00 – 24.00 น. 20.00 – 04.00 น.

ในแตละชวงเวลาทเปดดาเนนการตลอด 24 ชวโมงนน จะมจานวนลกคาเขามามากนอยตางกน ดงนนจานวนพนกงานทจาเปนตองมอยประจารานเพอใหบรการลกคาจงควรแตกตางกนไปในแตละชวงเวลาดวย จากประสบการณและการรวบรวมขอมลจานวนลกคาทเขามาใชบรการ ผจดการแบงเวลาทงวนออกเปน 6 ชวงๆ ละ 4 ชวโมง และกาหนดจานวนพนกงานขนตาทตองมประจารานในแตละชวงเวลาไวดงน

25

ทางรานอาหารฟาสตฟดแหงนควรจดสรรจานวนพนกงานในแตละชวงเวลา อยางไรจงเหมาะสมทสด เพอประหยดคาใชจายในการจางพนกงาน จงสรางตวแบบกาหนดการเชงเสน วธทา ปญหานเปนปญหาการหาคาตาสด ดงนนผจดการตองการทราบจานวนพนกงานททางานในแตชวงเวลารวมกนแลวใหมจานวนนอยทสด เพอประหยดคาใชจายในการจางพนกงาน กาหนดตวแปรทตองการตดสนใจ ให P แทน จานวนพนกงานรวม (คน) X1 แทน จานวนพนกงานชวงเวลาท 1 (ทางาน 24.00 – 08.00 น.) X2 แทน จานวนพนกงานชวงเวลาท 2 (ทางาน 04.00 – 12.00 น.) X3 แทน จานวนพนกงานชวงเวลาท 3 (ทางาน 08.00 – 16.00 น.) X4 แทน จานวนพนกงานชวงเวลาท 4 (ทางาน 12.00 – 20.00 น.) X5 แทน จานวนพนกงานชวงเวลาท 5 (ทางาน 16.00 – 24.00 น.) X6 แทน จานวนพนกงานชวงเวลาท 6 (ทางาน 20.00 – 04.00 น.)

จากขอมลขางตนสามารถสรางเปนความสมพนธ ไดดงน

เวลา จานวนพนกงานขนตา (คน) 24.00 – 04.00 น. 04.00 – 08.00 น. 08.00 – 12.00 น. 12.00 – 16.00 น. 16.00 – 20.00 น. 20.00 – 24.00 น.

4 6 10 8 12 7

ชวงเวลา ชวงเวลาท

24.00 -

04.00 น.

04.00 -

08.00 น.

08.00 -

12.00 น.

12.00 -

16.00 น.

16.00 -

20.00 น.

20.00 -

24.00 น. 1 2 3 4 5 6

X1

X6

X1 X2

X2 X3

X3

X4

X4

X5

X5 X6

จานวนพนกงาน ขนตา

4 6 10 8 12 7

26

สรางฟงกชนจดประสงค minimize P = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6

สรางเงอนไขบงคบ X1 + X6 4

X1 + X2 6 X2 + X3 10 X3 + X4 8 X4 + X5 12 X5 + X6 7 X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 0 บทสรป กาหนดการเชงเสนเปนตวแบบทางคณตศาสตรทสรางขนเพอแสดงความสมพนธของตวแปรตางๆ ในรปความสมพนธเชงเสน เพอใชในการแกปญหาทตองการหาผลเฉลยเหมาะสมทสดตามจดประสงคทตงไว และสอดคลองกบเงอนไขบงคบของปญหาตามการจดสรรทรพยากรทมอยอยางจากด ตวแบบกาหนดการเชงเสนสามารถนาไปประยกตใชกบปญหาไดหลายลกษณะ เชน ปญหาการวางแผนการผลต การจดสรรงบประมาณ การขนสงสนคา การลงทน เปนตน ซงจะชวยใหเกดประสทธภาพในการบรหาร และการดาเนนงานของบคคล องคกรหรอหนวยงานนนๆ การนากาหนดการเชงเสนไปใชในการแกปญหาหรอเปนเครองมอในการตดสนใจจะตองใหสอดคลองกบสมมตฐานของกาหนดการเชงเสน ไดแก การมความสมพนธเชงเสน กาหนดคาไดแนนอน สามารถแบงแยกได บวกเขาดวยกนได และตวแปรมคาไมตดลบ สวนขนตอนของการใชกาหนดการเชงเสน ม 2 ขนตอนคอ การสรางตวแบบขนแทนลกษณะของปญหาทเกดขน และการแกปญหาตวแบบกาหนดการเชงเสนทไดสรางไว สาหรบโครงสรางของกาหนดการเชงเสน ประกอบดวย ตวแปรทตองการตดสนใจ ฟงกชนจดประสงค เงอนไขบงคบ และขอจากดของตวแปร ในการสรางตวแบบกาหนดการ เชงเสน หรอการสรางตวแบบเชงคณตศาสตร เปนการนาเอาปญหาทเกดขนมาเขยนใหอยในรปแบบของกาหนดการเชงเสน โดยใชสญลกษณ เครองหมาย และตวแปรตางๆ แลวทาการหาผลเฉลยหรอหาคาของตวแปรทตองการตดสนใจของตวแบบกาหนดการเชงเสนทสรางไว

27

แบบฝกหดบทท 1 จงสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาตอไปน (โดยไมตองหาผลเฉลย) 1.1 ณชามรานจาหนายสนคาเบดเตลดประเภทของใชภายในบาน รวมทงอาหารสาเรจรปและขนมดวย ณชาตงใจวาจะทาซาลาเปามาวางขาย โดยจะทาซาลาเปา 2 แบบ คอ แบบธรรมดาและแบบพเศษ ทงสองแบบมสวนประกอบ คอ หมสบ ไขแดง และไสกรอก โดยมสดสวนการใชดงน

สวนประกอบ สวนประกอบในการทาซาลาเปา 1 ลก จานวน

สวนประกอบทมอย แบบธรรมดา แบบพเศษ หมสบ (ชน) ไขแดง (ชน) ไสกรอก (ชน)

2 1 1

2 2 3

80 45 60

ถาขายซาลาเปาแบบธรรมดาไดกาไรลกละ 10 บาท และขายซาลาเปาแบบพเศษไดกาไรลกละ 15 บาท ณชาควรทาซาลาเปาไวขายอยางละกลก จงจะไดกาไรสงสด 1.2 บรษทเหมองแรแหงหนง เปนเจาของหลมแร 2 หลม หลมแรทง 2 แหงนตงอยคนละภมภาคของประเทศ และมกาลงการผลตตางกน หลงจากไดรบการบดแลว แรนนจะถกนามาจดเปน 3 ประเภท คอ ประเภทเกรด A เกรด B และเกรด C บรษทไดทาสญญาขายและสงมอบแรใหแกลกคา ดงน แรเกรด A จานวน 40 ตน เกรด B จานวน 40 ตน และเกรด C จานวน 55 ตนตอสปดาห ในการดาเนนการขดแรของหลมท 1 และ 2 บรษทตองเสยคาใชจาย 2,000 บาท/วน และ 1,600 บาท/วน ตามลาดบ และถาขดหลมท 1 หนงวนจะไดแรเกรด A จานวน 4 ตน เกรด B จานวน 2 ตน และเกรด C จานวน 5 ตน ขณะทขดหลมท 2 หนงวนจะไดแรเกรด A จานวน 2 ตน เกรด B จานวน 6 ตน และเกรด C จานวน 10 ตน บรษทควรดาเนนการขดกวน/สปดาห เพอจะมแรสงใหลกคาอยางเพยงพอ โดยใหเสยคาใชจายในการดาเนนการนอยทสด 1.3 อดรเฟอรนเจอรเปนบรษทผลตเฟอรนเจอรในสานกงาน ซงสนคาสวนใหญทมการสงซอ คอ โตะวางคอมพวเตอรและตเกบเอกสาร ในการผลตสนคาทงสองจะตองใชทงไมและเหลกแผนในการผลต ทางบรษทมแผนการผลตทตองคานงถงทรพยากรตางๆ ทมในโกดงเกบของ ดงน คอ มไม 10 ทอนๆ ละ 200 เมตร และมเหลกแผน 900 แผน โดยทในแผนกการผลตมชวโมงการทางาน 600 ชวโมง และบรษทผลตเฟอรนเจอรแหงนจะตองผลตสนคาแตละชนดจานวนเทาใดจงจะทาใหบรษทไดกาไรสงสด โดยทโตะวางคอมพวเตอรหนงตวจะใชไมและเหลกแผนเปนจานวน 20 เมตร และ 10 แผน ตามลาดบ และในการผลตตเกบเอกสารหนงตจะใชไมและเหลกแผนเปนจานวน 25 เมตร และ

28

10 แผน ตามลาดบ และแผนกการผลตมการผลตดงน การผลตโตะวางคอมพวเตอรหนงตวจะใชเวลา 6 ชวโมงและตเกบเอกสารหนงตจะใชเวลา 10 ชวโมง หลงจากการผลตกาไรทบรษทจะไดรบจากการขายโตะวางคอมพวเตอรหนงตว คอ 2,400 บาท และจากตเกบเอกสารหนงตว คอ 3,800 บาท 1.4 บรษทผผลตสนคาแหงหนง ผลตสนคา 3 แบบ คอ สนคาแบบ A แบบ B และแบบ C โดยการผลตสนคาแตละแบบจะใชไมในการผลต 10 ชน 20 ชน และ 15 ชน ตามลาดบ และใชเวลาในการผลตสนคาแตละแบบ 5 ชวโมง 8 ชวโมง และ 3 ชวโมง ตามลาดบ ถาบรษทมไม 2,000 ชน และมเวลาในการผลต 500 ชวโมง ซงสนคาทง 3 แบบ มกาไรหนวยละ 30 บาท 55 บาท และ 25 บาท ตามลาดบ จากขอมลดงกลาว บรษทควรกาหนดปรมาณการผลตสนคาทงสามชนดอยางไร จงจะไดกาไรสงสด 1.5 วนเฉลมเจาของฟารมโคนมตองการปรบเปลยนการใหอาหารโคนมเสยใหม เพอใหโคนมแตละตวไดรบสารอาหารครบตามตองการ โดยอาหารทจะใหโคนมกนในแตละวนมอย 2 ชนด คอ อาหารขนและอาหารออน ซงราคาอาหารขนกโลกรมละ 5 บาท และอาหารออนราคากโลกรมละ 7 บาท อาหารแตละชนดใหสารอาหาร 4 อยางทโคนมตองการในปรมาณทแตกตางกนดงน

สารอาหาร จานวนทมใน 1 กโลกรม ของอาหาร ปรมาณขนตาทโคนม

ควรไดรบใน 1 วน อาหารขน อาหารออน 1 2 3 4

20 0 25 15

10 20 0 20

150 200 100 140

วนเฉลมจะตองผสมอาหารขนและอาหารออนทจะใหโคนมแตละตวอยางไรจงจะมตนทนคาอาหารตอวนตาทสด 1.6 บรษทผผลตของทระลกแหงหนงมการผลตสนคาหลายชนดและสนคาชนดหนงทมยอดสงการผลตเปนจานวนมาก คอ กรอบรปซงมการผลต 3 ขนาด คอ ขนาดเลก ขนาดกลาง และขนาดใหญและวตถดบทใชในการผลต คอ ไมไผขดเงาทมลวดลายสวยงาม ซงบรษทจะสงซอวตถดบจากโรงงานตางจงหวด ครงละ 2,400 ชน นามาผลตเปนกรอบรปขนาดเลกหนงกรอปใชไมไผ 10 ชน และใชเวลาในการผลต 4 ชวโมง กรอบรปขนาดกลางหนงกรอปใชไมไผ 25 ชน และใชเวลาในการผลต 9 ชวโมง กรอบรปขนาดใหญหนงกรอปใชไมไผ 20 ชน และใชเวลาในการผลต 5 ชวโมง

29

บรษทมเวลาในการผลตรวม 900 ชวโมง กรอบรปขนาดเลก ขนาดกลาง และขนาดใหญทผลตไดจะมกาไรชนละ 85 บาท 152 บาท และ 110 บาท ตามลาดบ บรษทควรผลตกรอบรปขนาดตางๆ เปนจานวนเทาใดจงจะทาใหไดกาไรมากทสด 1.7 รานโชคดเฟอรนเจอรเปนรานจาหนายเฟอรนเจอรและเครองใชไฟฟาในครวเรอน สนคาในรานมเฟอรนเจอรเปนสนคาหลกและมเครองใชไฟฟาไมมากนก ลกษณะการดาเนนธรกจเปนแบบซอมาไวขาย นนคอ ทางรานตองลงทนซอของมาไวทรานเพอรอขายใหลกคาตอไป และสนคาสวนใหญตองซอมาเปนเงนสด คณสมวงศเจาของรานไดแบงพนทในโกดงเกบของซงอยหลงรานออกเปนสดสวนเพอใชเกบสนคาแตละชนด โดยมพนท 900 ตารางฟตสาหรบเกบเตยงนอนแบบตางๆ (ในการจดเกบจะไมวางซอนกน) ขณะนไมมสนคาอยในโกดงเลยคงมเหลอเฉพาะทวางขายหนารานเทานน เตยงนอนทจะซอเขามาม 3 แบบ คอ เตยงค (6 ฟต x 7 ฟต) เตยงเดยว (4 ฟต x 7 ฟต) และเตยงเดก (3 ฟต x 5 ฟต) ความตองการของเตยงคคาดวาไมเกนเดอนละ 9 หลง แตควรมไวไมตากวา 2 หลง ในขณะทเตยงเดยวคอนขางจะขายดกวาควรมไวอยางนอย 23 หลง สวนเตยงเดกนนคาดวาจะขายไดไมเกนเดอนละ 12 หลง แตกควรซอไวไมตากวา 8 หลง ถาในการซอเตยงทงสามขนาด คอ เตยงค เตยงเดยว และเตยงเดก มาขายจะทากาไรเขารานคดเปนหลงละ 1,500 บาท 1,000 บาท และ 800 บาท ตามลาดบ คณสมวงศควรสงซอเตยงนอนทงสามชนดดงกลาวอยางไร จงจะไดกาไรสงสด 1.8 ในการกลนนามนดบออกจาหนายของบรษทนามนแหงหนง บรษทจะนานามนดบจากแหลงตางๆ ดวยกน 3 แหลง คอ อาวไทย อาวอนดามน และนาเขาจากตางประเทศ มากลนเปนนามนเกรดตางๆ 3 เกรด คอ A , B และ C ถาตนทนนามนจากอาวไทยบารเรลละ 400 บาท นามากลนเปนนามนเกรด A ได 20% เกรด B ได 60% และเกรด C ได 20% นามนจากอาวอนดามนราคาบารเรลละ 465 บาท นามากลนไดนามนเกรด A ได 35% เกรด B ได 40% และเกรด C ได 25% นามนทนาเขาจากตางประเทศราคาบารเรลละ 415 บาท นามากลนไดนามนเกรด A ได 30% เกรด B ได 40% และเกรด C ได 30% ในแตละเดอนบรษทจะสงซอนามนจากอาวไทยไดไมเกน 2,800 บารเรล จากอาวอนดามนไดอยางนอย 2,000 บารเรล และนาเขาจากตางประเทศไดไมเกน 2,000 บารเรล คาดวาในแตละเดอนจะขายนามนเกรด A ไดอยางนอย 180,000 บารเรล นามนเกรด B ไดอยางนอย 350,000 บารเรล และนามนเกรด C ไดอยางนอย 150,000 บารเรล บรษทควรจะสงซอนามนจากแหลงตางๆ อยางไรเพอใหตนทนตาสด 1.9 บรษท ไทยแลนดอตสาหกรรม จากด ตองการวางแผนงานการผลตเพอทจะเปดตลาดสประชาคมเศรษฐกจอาเซยน (AEC) ในป 2558 โดยทบรษทมการผลตสนคา 4 ชนดออกจาหนายคอ A, B, C และ D ซงตองใชเครองจกร 3 ประเภทในการผลต คอ เครองไส เครองกลง และเครองขด

30

เวลาทสนคาทง 4 ชนดใชในการผลตของเครองจกรแตละประเภท เวลาของเครองจกรทตองทางานในแตละวน และกาไรทไดจากสนคาแตละชนดแสดงดงในตารางตอไปน

ทรพยากร เวลาทใชในเครองจกร (นาท) จานวนเวลาททางาน

(นาท/วน) สนคา A สนคา B สนคา C สนคา C เครองไส เครองกลง เครองขด

3 3 2

2 3 4

3 2 2

1 2 3

300 320 400

กาไร/หนวย (บาท) 60 25 58 80 ดงนนบรษทจะตองวางแผนงานการผลตอยางไรจงจะทาใหไดกาไรสงสด 10. บรษทอดรตเยน จากด เปนบรษทผผลตตเยนสงขายทงในประเทศและตางประเทศ ซงจะสงตเยนจากโกดงจาก 2 โกดง โดยแตละเดอนบรษทมแผนทจะสงสนคาไปขายยงประเทศเพอนบาน คอ ลาว (Laos) เวยดนาม (Vietnam) และกมพชา (Cambodia) แตละประเทศมความตองการจานวนของตเยนทแตกตางกน คอ 1,500 , 1,200 และ 1,300 ตามลาดบ ซงตนทนการผลตตอหนวยของโกดงท 1 คอ 80 บาท และตนทนการผลตตอหนวยของโกดงท 2 คอ 50 บาท และแตละโกดงสามารถผลตจานวนสนคาไดตอเดอน คอ 2,500 หนวย และ 1,500 หนวยตามลาดบ ในการขนสงสนคาไปยงตวแทนจาหนายในแตละประเทศมคาใชจายทแตกตางกน ดงน

บรษทผผลตตเยนรายนตองการทราบวาจะตองจดสงตเยนในเสนทางใด เปนจานวนเทาใดจงจะไดผลรวมของคาขนสงตาทสด

โกดงสนคาท ไปยงประเทศตวแทนจาหนาย

ลาว (Laos) เวยดนาม (Vietnam) กมพชา (Cambodia) 1 2

10 5

30 20

20 10

บทท 2 การหาผลเฉลยดวยวธกราฟ

การแกปญหากาหนดการเชงเสน คอ การหาผลเฉลยหรอหาคาของตวแปรทตองการตดสนใจของตวแบบกาหนดการเชงเสนทสรางไว ในการหาผลเฉลยนนสามารถทาไดหลายวธ ซงวธหนงทสามารถหาผลเฉลยไดงายและมประสทธภาพ คอ วธกราฟ (graphical method) เนองจากเปนวธการแกปญหาทใชกบตวแบบกาหนดการเชงเสนทมตวแปรทตองการตดสนใจ ไมมากนก โดยสวนมากแลวมกจะใชกบตวแบบทม 2 ตวแปร การใชวธกราฟนจะสามารถชใหเหนถงลกษณะและบรเวณผลเฉลยทเปนไปได ตลอดจนมหลกเกณฑในการหาผลเฉลยทชดเจนและเขาใจไดงาย สามารถใชเปนพนฐานในการทาความเขาใจการแกปญหาดวยวธอนๆ ไดเปนอยางด การหาผลเฉลยกาหนดการเชงเสนดวยวธกราฟ จาเปนตองมความรพนฐานเกยวกบสมการเชงเสนและอสมการเชงเสน ดงนนในหวขอแรกนจะกลาวถงการเขยนกราฟของสมการ เชงเสนและอสมการเชงเสนเสยกอน เพอทจะเปนแนวทางในการนาไปประยกตใชกบการแกปญหาทตองการตดสนใจตอไป ซงมรายละเอยดดงน การเขยนกราฟสมการเชงเสนและอสมการเชงเสน 1. การเขยนกราฟสมการเชงเสน สมการเชงเสน (linear equation) ทม n ตวแปร สามารถเขยนอยในรปแบบทวไปไดดงน a1X1 + a2X2 + ... + anXn + b = 0 โดยท Xj เปนตวแปร และ aj เปนสมประสทธของ ตวแปรทไมเปนศนยพรอมกน เมอ j = 1, 2, …, n และ b เปนคาคงท ซงตวแปรทปรากฏในสมการจะมเลขชกาลงเปนหนง และไมมการคณกนของตวแปร เชน 5X1 + 2X2 + (–10) = 0 หรอ 5X1 + 2X2 = 10 3X1 +(–1 )X2 + (–15) = 0 หรอ 3X1 – X2 = 15 2X1 + 4X2 + 5X3 + 20 = 0 หรอ 2X1 + 4X2 + 5X3 = –20 8X1 + (–2)X2 + 0(X3) + 10X4 + (–50) = 0 หรอ 8X1 – 2X2 + 10X4 = 50 สมการเชงเสนสองตวแปร (linear equation with two variables) คอ สมการ เชงเสนทมตวแปรสองตว ซงตวแปรจะมเลขชกาลงเปนหนง และไมมการคณกนของตวแปร รปแบบของสมการเชงเสนสองตวแปร คอ a1X1 + a2X2 + b = 0 โดยท Xj เปนตวแปร และ aj เปนสมประสทธของตวแปรทไมเปนศนยพรอมกน เมอ j = 1, 2 และ b เปนคาคงท เพอความสะดวกในการดาเนนการของการหาคา X2 โดยการแทนคา X1 นยมจดสมการใหอยในรปแบบทเรยกวา รปแบบมาตรฐานของสมการเชงเสนสองตวแปร สามารถแสดงไดดงตอไปน

32

จาก baa 2211

= 0

22a = ba 11 2 =

21

2

1

ab

aa

ให maa

2

1 cab

2

,

จะได cm 12 ซงเรยกสมการนวารปแบบมาตรฐานของสมการเชงเสนสอง ตวแปร เมอ m , c เปนคาคงท โดยท m เปนความชนของเสนตรง (slope of a line) และ c เปนระยะทตดแกน X2 สมการรปแบบนจะบอกถงลกษณะของเสนกราฟได ดงน 1) ถาความชนเปนบวก (m > 0) แลว กราฟจะทามมแหลมกบแกน X1 ในทศทวนเขมนาฬกา 2) ถาความชนเปนลบ (m < 0) แลว กราฟจะทามมปานกบแกน X1 ในทศทวนเขมนาฬกา 3) ถาความชนเทากบศนย (m = 0) แลว กราฟจะขนานกบแกน X1 4) ถาระยะทตดแกน X2 เทากบศนย (c = 0) แลว กราฟจะผานจด (0,0) 5) จากเสนตรงสองเสน คอ X2 = m1X1 + c1 และ Y2 = m2Y1 + c2

- ถาความชนของเสนตรงทงสองเทากน (m1 = m2) แลว เสนตรงทงสองจะ ขนานกน

- ถาทงความชนและระยะทตดแกนเทากน (m1 = m2 และ c1 = c2) แลวเสนตรงทงสองจะซอนทบกน - ถาความชนของเสนตรงทงสองไมเทากน (m1 ≠ m2) แลวเสนตรงทงสองจะ ตดกน

- ถาความชนของเสนตรงทงสองคณกนแลวเทากบ –1 (m1 m2 = –1) แลวเสนตรงทงสองจะเปนเสนตงฉาก การเขยนกราฟของสมการเชงเสนสองตวแปร กราฟจะม 2 แกน คอ แกนตงกบแกนนอน เรยกวาแกนพกดฉาก โดยจะกาหนดให X1 แทนคาในแกนนอน และ X2 แทนคาในแกนตง และจดใดๆ ในกราฟจะใชสญลกษณแทนดวย (X1,X2) จดตดของแกนนอนและแกนตงคอ จดกาเนด (origin) เปนจดทคาของ X1 และ X2 เทากบศนย หรอ จด (0,0) ซงการเขยนกราฟของสมการ เชงเสนสองตวแปร กราฟทไดจะเปนกราฟเสนตรง วธการเขยนกราฟ คอ หาจดสองจดทอยบนเสนตรงเดยวกน แลวลากเสนตรงผานจดทงสอง ซงจดสองจดทอยบนเสนตรงเดยวกนจะมเสนตรงผานไดเพยง 1 เสนเทานน โดยจดในกราฟทหาไดงาย คอ จดทเสนตรงตดแกนพกดฉาก จะเรยกวา จดตดแกนหรอสวนตดแกน ซงถาตองหาจดตดแกนของตวแปรใดจะตองใหตวแปรอกตวเปนศนย สามารถแสดงไดดงตวอยางตอไปน

33

ตวอยางท 2.1 จงเขยนกราฟของสมการเชงเสนเชงเสน 5X1 + 2X2 = 10 วธทา หาจดตดแกน X1 โดยกาหนดให X2 = 0 X1 = 2 ดงนน จดตดแกน X1 คอ (2,0) และหาจดตดแกน X2 โดยกาหนดให X1 = 0 X2 = 5 ดงนน จดตดแกน X2 คอ (0,5) สามารถเขยนกราฟของสมการเชงเสน 5X1 + 2X2 = 10 ไดดงรป

ภาพท 2.1 กราฟของสมการเชงเสน 5X1 + 2X2 = 10 ในการศกษาสมการเชงเสนตงแต 2 สมการขนไปจะเรยกวา ระบบสมการเชงเสน (system of linear equations) ถาในระบบสมการเชงเสนเปนสมการเชงเสนสองตวแปร จะเรยกวา ระบบสมการเสนตรง ซงคาตอบหรอผลเฉลยของระบบสมการเสนตรง คอ จดททาใหระบบสมการเปนจรง และถาระบบสมการเสนตรงม 2 สมการ ผลเฉลยของระบบสมการเสนตรง คอ จดตดของเสนตรงทงสองเสนนนเอง ซงในระนาบสองมต เสนตรง 2 เสนมความสมพนธทเปนไปได 3 กรณ (ศรสรางค ทนะกล, 2542 : 225) คอ 1) กราฟของสมการตดกนเพยงจดเดยว ในกรณนมผลเฉลยเดยว 2) กราฟของสมการขนานกน ในกรณนไมมผลเฉลย 3) กราฟของสมการเปนเสนเดยวกน ในกรณนมผลเฉลยมากมายนบไมถวน

34

ในการหาผลเฉลยของระบบสมการ ถาใชวธการเขยนกราฟ ผลเฉลยทไดอาจจะไดผลเฉลยเพยงคาประมาณ ซงวธทมประสทธภาพมากกวาทจะทาใหไดผลเฉลยทถกตอง ในทนจะใชวธการกาจดตวแปร วธการกาจดตวแปร มวธการดงน 1) เลอกทาสมประสทธของตวแปรตวใดตวหนงใหมคาตรงขามกน หรอ มคาเทากน โดยการคณหรอหารสมการหนงหรอทงสองสมการดวยคาคงท 2) นาสมการทไดจากขอ 1 มาบวกหรอลบกนแลวแตกรณ จะไดสมการใหมทม ตวแปรตวเดยว 3) หาคาตวแปรจากสมการทไดในขอ 2 4) นาคาของตวแปรทไดไปแทนคาในสมการ หาคาของตวแปรอกตวหนงจะไดผลเฉลยทตองการ 2. การเขยนกราฟอสมการเชงเสน อสมการเชงเสน (linear inequality) เปนความสมพนธเชงเสนระหวางตวแปรทไมอยในรปสมการเชงเสน หรออาจจะอยในรปของเครองหมาย , , , และ ≠ เชน 5X1 + 2X2 ≤ 10 3X1 – 4X2 – 15 2X1 + 4X2 + 5X3 ≥ 20 ในการเขยนกราฟของอสมการเชงเสนสองตวแปร รปกราฟของอสมการจะแบงระนาบออกเปน 3 สวน หรอ 3 บรเวณ ดงรป สวนท I และสวนท II จะเรยกวา ครงระนาบ อกสวนหนงคอเสนตรงเรยกวา เสนขอบ (ใน 3 สวน ประกอบดวย ครงระนาบ 2 สวน และเสนขอบ 1 สวน) ดงรป

35

ภาพท 2.2 กราฟของอสมการเชงเสนใดๆ ทแบงระนาบออกเปน 3 สวน

ถาครงระนาบใดรวมเสนขอบเขาไปดวย จะเรยกครงระนาบนนวา ครงระนาบปด และเรยกครงระนาบทไมรวมเสนขอบวา ครงระนาบเปด (สวนทเปนขอบเขยนเปนเสนประ) ดงนนกลาวไดวา ถาอสมการเชงเสนมเครองหมายเทากบ กราฟของอสมการจะเปนครงระนาบปด ถาอสมการไมมเครองหมายเทากบกราฟของอสมการจะเปนครงระนาบเปด การเขยนกราฟของอสมการเชงเสนทาไดดงน (Cooper and Steinbery, 1974 : 24) 1) เปลยนอสมการเชงเสนใหเปนสมการเชงเสน โดยการเปลยนเครองหมาย ของอสมการเชงเสน ( , , , ) ใหเปนเครองหมายเทากบ (=) แลวเขยนกราฟของสมการเชงเสนซงเปนเสนขอบกอน ถาอสมการเปนเครองหมาย หรอ ใหเขยนเสนขอบเปน “เสนทบ” แตถาอสมการเปนเครองหมาย หรอ ใหเขยนเสนขอบเปน “เสนประ” 2) ใชจดทไมอยบนเสนขอบเปนจดตรวจสอบ (จดทงายทสดคอจดกาเนด (0,0)) ถาจดตรวจสอบสอดคลองกบอสมการเชงเสนคอทาใหอสมการเปนจรง แสดงวาครงระนาบทจดตรวจสอบอยเปนครงระนาบทตองการ แตถาจดตรวจสอบไมสอดคลองกบอสมการเชงเสนคอทาใหอสมการเปนเทจ แสดงวา ครงระนาบทอยตรงขามจดตรวจสอบนน เปนครงระนาบทตองการ 3) แรเงาครงระนาบทไดจากขอ 2

สวนท I

สวนท II

เสนขอบ

สวนท I

สวนท II

เสนขอบ

36

ตวอยางท 2.2 จงเขยนกราฟของอสมการเชงเสน 5X1 + 2X2 ≤ 10 วธทา 1. เขยนกราฟของเสนขอบ คอ 5X1 + 2X2 = 10 เนองจากอสมการทกาหนดใหเปนเครองหมาย จงเขยนเปนเสนทบ (ดงตวอยางท 2.1)

2. ใชจด (0,0) ตรวจสอบครงระนาบของอสมการ 5X1 + 2X2 ≤ 10 นนคอ 5(0) + 2(0) 10 จะได 0 10 เปนจรง แสดงวาจด (0,0) อยในครงระนาบทตองการ

3. แรเงาครงระนาบทจด (0,0) อย ไดกราฟของอสมการ 5X1 + 2X2 ≤ 10 ดงรป

ภาพท 2.3 กราฟของอสมการเชงเสน 5X1 + 2X2 ≤ 10 ในการศกษาอสมการเชงเสนตงแต 2 อสมการขนไปจะเรยกวา ระบบอสมการเชงเสน (system of linear inequality) ผลเฉลยของระบบอสมการเชงเสน คอ สวนรวมของบรเวณทเปน ผลเฉลยของแตละอสมการในระบบอสมการเชงเสน นนคอ ทกจดทอยในบรเวณทเปนผลเฉลยของระบบอสมการจะทาใหระบบอสมการเชงเสนเปนจรง

37

ขนตอนในการหาผลเฉลยดวยวธกราฟ ขนตอนในการหาผลเฉลยกาหนดการเชงเสนดวยวธกราฟ มลาดบดงน 1. เขยนกราฟของเงอนไขบงคบ 2. ระบบรเวณผลเฉลยทเปนไปได (feasible region) 3. หาผลเฉลยเหมาะสมทสด ซงสามารถทาได 2 วธ โดยเลอกใชวธใดวธหนงเทานน (สทธมา ชานาญเวช, 2553 : 36) คอ 3.1 วธการลากเสนฟงกชนจดประสงค มขนตอนดงน 3.1.1 สมมตคาคงทคาใดคาหนงเปนคา P ในฟงกชนจดประสงค (ควรสมมตคาทสมประสทธของตวแปรทงสองตวในฟงกชนจดประสงคหารไดลงตว) แลวเขยนเสนฟงกชนจดประสงคซงจะเปนเสนตรง โดยใชหลกการเดยวกนกบการเขยนกราฟเสนตรงของสมการเชงเสนในเงอนไขบงคบ 3.1.2 การลากเสนฟงกชนจดประสงค แบงพจารณาได 2 กรณ คอ 1) ถาเปนปญหาคาสงสด ใหเลอนเสนฟงกชนจดประสงคขนานกบเสนเดมออกไปหางจากจดกาเนดใหมากทสดโดยยงอยในบรเวณผลเฉลยทเปน ไปได 2) ถาเปนปญหาคาตาสด ใหเลอนเสนฟงกชนจดประสงคขนานกบเสนเดมเขาไปใกลจดกาเนดใหมากทสดโดยยงอยในบรเวณผลเฉลยทเปนไปได 3.1.3 ระบจดทใหผลเฉลยเหมาะสมทสด 3.2 วธการทดสอบจดยอดของบรเวณผลเฉลยทเปนไปได การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธน คอการใชแนวคดทวาผลเฉลยของปญหาจะอยทจดยอดของบรเวณผลเฉลยทเปนไปได เนองจากถาปญหากาหนดการเชงเสนม ผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว ผลเฉลยนนจะเกดขนทจดมมของบรเวณทสอดคลองกบเงอนไขบงคบ และถาผลเฉลยเหมาะสมทสดเกดขนทจดสองจดแลว จดทกจดบนเสนตรงระหวางสองจดนนกเปนผลเฉลยเหมาะสมทสดดวย (อาพล ธรรมเจรญ, 2551:8) และถาเปนปญหาคาสงสด จดยอดทเปนผลเฉลยมกจะเปนจดยอดทอยหางจากจดกาเนดมากทสด แตถาเปนปญหาคาตาสด จดยอดทเปนผลเฉลยมกจะเปนจดยอดทอยใกลจดกาเนดมากทสด ในการทดสอบจดยอดของบรเวณผลเฉลยทเปนไปไดมขนตอนดงตอไปน 3.2.1 หาจดยอดของบรเวณผลเฉลยทเปนไปไดทงหมด 3.2.2 หาคา P ของแตละจดยอด 3.2.3 พจารณาวาจดยอดใดใหคา maximize P หรอ minimize P แลวแตกรณ

38

การหาผลเฉลยของปญหาคาสงสดดวยวธกราฟ ตวอยางท 2.3 จากตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาบรษทบานสนขสวย จากด ตามตวอยางท 1.2 จงหาผลเฉลยของปญหาดวยวธกราฟ วธทา ตวแบบกาหนดการเชงเสนทแสดงปญหาของบรษทบานสนขสวย จากด เขยนไดดงน ตวแปรทตองตดสนใจ P แทน จานวนของเงนกาไรทไดรบ (บาท)

X1 แทน จานวนการผลตบานสนขแบบ A (หลง) X2 แทน จานวนการผลตบานสนขแบบ B (หลง) ฟงกชนจดประสงค maximize P = 1,000X1 + 400X2 เงอนไขบงคบ 10X1 + 8X2 200

7X1 + 3X2 84 7X1 + 2X2 70

X1 , X2 0 จากตวแบบกาหนดการเชงเสน สามารถหาเฉลยดวยวธกราฟไดดงตอไปน 1. เขยนกราฟของเงอนไขบงคบ พจารณาเงอนไขบงคบ 10X1 + 8X2 200 เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได 10X1 + 8X2 = 200 หาจดตดแกน X1

โดยกาหนดให X2 = 0 X1 = 20 ดงนน จดตดแกน X1 คอ (20,0) และหาจดตดแกน X2 โดยกาหนดให X1 = 0 X2 = 25 ดงนน จดตดแกน X2 คอ (0,25) โดยใชจด (0,0) ตรวจสอบครงระนาบของอสมการ 10X1 + 8X 200 นนคอ 10(0)+ 8(0) 200 จะได 0 200 เปนจรง แสดงวาจด (0,0) อยในครงระนาบทตองการและ ครงระนาบทไดนจะเปนครงระนาบปด สามารถเขยนกราฟไดดงน

39

ภาพท 2.4 กราฟของเงอนไขบงคบ 10X1 + 8X2 200 พจารณาเงอนไขบงคบ 7X1 + 3X2 84 เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได 7X1 + 3X2 = 84 หาจดตดแกน X1

โดยกาหนดให X2 = 0 X1 = 12 ดงนน จดตดแกน X1 คอ (12,0) และหาจดตดแกน X2 โดยกาหนดให X1 = 0 X2 = 28 ดงนน จดตดแกน X2 คอ (0,28) โดยใชจด(0,0) ตรวจสอบครงระนาบของอสมการ 7X1 + 3X2 84 นนคอ 7(0) + 3(0) 84 จะได 0 84 เปนจรง แสดงวาจด (0,0) อยในครงระนาบทตองการ และ ครงระนาบทไดนจะเปนครงระนาบปด สามารถเขยนกราฟไดดงน

40

ภาพท 2.5 กราฟของเงอนไขบงคบ 7X1 + 3X2 84 พจารณาเงอนไขบงคบ 7X1 + 2X2 70 เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได 7X1 + 2X2 = 70 หาจดตด แกน X1

โดยกาหนดให X2 = 0 X1 = 10 ดงนน จดตดแกน X1 คอ (10,0) และหาจดตดแกน X2 โดยกาหนดให X1 = 0 X2 = 35 ดงนน จดตดแกน X2 คอ (0,35) โดยใชจด (0,0) ตรวจสอบครงระนาบของอสมการ 7X1 + 2X2 70 นนคอ 7(0) + 2(0) 70 จะได 0 70 เปนจรง แสดงวาจด (0,0) อยในครงระนาบทตองการ และ ครงระนาบทไดนจะเปนครงระนาบปด สามารถเขยนกราฟไดดงน

41

ภาพท 2.6 กราฟของเงอนไขบงคบ 7X1 + 2X2 70

พจารณาเงอนไขบงคบ X1 0 และ X2 0 เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได X1 = 0 คอ แกน X2 และ X2 = 0 คอ แกน X1 จะไดกราฟของ X1 0 และ X2 0 คอบรเวณในจตภาค (quadrant) ท 1 ดงรป

ภาพท 2.7 กราฟของเงอนไขบงคบ X1 0 และ X2 0

42

2. ระบบรเวณผลเฉลยทเปนไปได บรเวณผลเฉลยทเปนไปได หมายถง สวนรวมของบรเวณทเปนผลเฉลยของทกเงอนไขบงคบ นนคอ ทกจดทอยในบรเวณทเปนผลเฉลยนจะทาใหตวแบบกาหนดการเชงเสน เปนจรง ซงจะเรยกวา ผลเฉลยทเปนไปไดของปญหา และผลเฉลยทเปนไปไดของปญหากาหนดการเชงเสนจะตองอยในจตภาคท 1 เสมอ (อารสา รตนเพชร, 2545 : 146) ในปญหานบรเวณผลเฉลยทเปนไปได คอ พนทในรปหาเหลยม ABCDE ดงทได แรเงาไวในภาพท 2.8

ภาพท 2.8 บรเวณผลเฉลยทเปนไปได

3. หาผลเฉลยเหมาะสมทสด ทกจดทอยในบรเวณผลเฉลยทเปนไปได จะใหผลเฉลยเปนจรงหรอเรยกวาสอดคลองกบเงอนไขบงคบทกขอ พรอมทงใหคาของฟงกชนจดประสงคตามทตองการในการแกปญหาดวย นนหมายความวา ผลเฉลยทเปนไปไดนนมมากมายนบไมถวน แตในการแกปญหา

43

ตองการผลเฉลยทดทสดซงในทนจะเรยกวา ผลเฉลยเหมาะสมทสด ในโจทยปญหานจะแสดงการหา ผลเฉลยเหมาะสมทสดทง 2 วธ ดงน 3.1 การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธลากเสนฟงกชนจดประสงค จากตวอยาง จะแสดงการใชวธลากเสนฟงกชนจดประสงค เพอหาผลเฉลยเหมาะสมทสด ดงน จากฟงกชนจดประสงค maximize P = 1,000X1 + 400X2 กาหนดให P = 6,000 6,000 = 1,000X1 + 400X2

ถา X2 = 0 จะได X1 = 000,1000,6 = 6 จดตดแกน X1 คอ (6,0)

ถา X1 = 0 จะได X2 = 400000,6 = 15 จดตดแกน X2 คอ (0,15)

ดงนน สามารถนาจด 2 จดดงกลาวมาเขยนกราฟของฟงกชนจดประสงคลงในกราฟทไดระบบรเวณผลเฉลยทเปนไปได ดงภาพตอไปน

ภาพท 2.9 เสนฟงกชนจดประสงคทมกาไรรวมเทากบ 6,000 บาท จดประสงคของปญหาเปนปญหาคาสงสด จงเลอนเสนกราฟของฟงกชนจดประสงคขนานกบเสนเดมออกไปใหหางจากจดกาเนดใหมากทสด โดยยงอยในบรเวณผลเฉลยทเปนไปได ดงภาพตอไปน

44

ภาพท 2.10 เสนฟงกชนจดประสงคทใหคากาไรรวมสงทสด หรอใหคา maximize P จากกราฟจะไดวาจดททาใหไดคา maximize P คอ จด C ซงเปนจดตดของเสนขอบของอสมการ 7X1 + 3X2 84 และ 7X1 + 2X2 70 นนคอ 7X1 + 3X2 = 84 และ 7X1 + 2X2 = 70 ตามลาดบ ซงจะหาไดโดยการอานคาจากกราฟหรอจากการแกสมการ ในตวอยางน จะแสดงวธการแกสมการ โดยใชวธการกาจดตวแปร ไดดงน 7X1 + 3X2 = 84 ....................(1) 7X1 + 2X2 = 70 ....................(2) (1) – (2) ; X2 = 14 แทนคา X2 ใน (1) ; 7X1 + 3(14) = 84

X1 = 6 จดตดของเสนขอบ คอ (6,14)

45

สรป maximize P อยทจด X1 = 6 , X2 = 14 จาก maximize P = 1,000X1 + 400X2 maximize P = 1,000(6) + 400(14) = 11,600 ดงนน ในแตละสปดาห บรษทบานสนขสวย จากด ควรผลตบานสนขแบบ A จานวน 6 หลง และผลตบานสนขแบบ B จานวน 14 หลง จงจะไดกาไรสงสด คอ 11,600 บาท 3.2 การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธทดสอบจดยอดของบรเวณผลเฉลยทเปนไปได จากตวอยางน จะพบวาจดยอดมทงหมด 5 จด ดงนนจะตองหาคา (X1, X2) ณ จดยอดทง 5 แลวนาคา (X1, X2) ของแตละจดยอดมาทาการหาคา P ดงน - จดยอดทสามารถอานไดจากกราฟม 3 จดคอ A (0,0) , B (10,0) และ E (0,25) - จดยอด C คอจดทเกดจากการตดกนของเสนขอบของอสมการ 7X1+ 3X2 84 และ 7X1 + 2X2 70 โดยหาไดเชนเดยวกบทกลาวไวในหวขอการหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธลากเสนฟงกชนจดประสงค ซงจะไดจด (6,14) - จ ดย อ ดD ค อ จ ดท เ ก ด จ า ก กา ร ต ด กน ข อง เ ส น ขอ บ ขอ งอ ส มก า ร 10X1 + 8X2 200 และ 7X1+ 3X2 84 นนคอ 10X1 + 8X2 = 200 และ 7X1 + 3X2 = 84 ตามลาดบ สามารถหาไดโดยการแกสมการ โดยใชวธการกาจดตวแปร ดงน 10X1 + 8X2 = 200 ....................(1) 7X1 + 3X2 = 84 ....................(2) เลอกกาจดตวแปร X1 นา 7 คณ (1) ; 70X1 + 56X2 = 1,400 ..............(3) นา 10 คณ (2) ; 70X1 + 30X2 = 840 ..............(4) (3) – (4) ; 26X2 = 560 X2 =

13280

แทนคา X2 ใน (1) ; 10X1 + 8(13280 ) = 200

X1 = 1336

จดตดของเสนขอบ หรอจดยอด D คอจด (1336 ,

13280 )

46

การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธทดสอบจดยอด สรปเปนตารางไดดงน

คา (X1 , X2) maximize P = 1,000X1 + 400X2 A (0,0) B (10,0) C (6,14)

D (1336 ,

13280 )

E (0,25)

P = 1,000(0) + 400(0) = 0 P = 1,000(10) + 400(0) = 10,000 P = 1,000(6) + 400(14) = 11,600 P = 1,000(

1336 ) + 400(

13280 )

13000,148

P = 1,000(0) + 400(25) = 10,000

พจารณาจากตาราง พบวาคา P สงทสด คอ 11,600 ซงเกดจากจดยอด (6,14) ดงนนจงสามารถสรปไดวา ปญหานมผลเฉลย คอ X1 = 6 และ X2 = 14 โดยมคา maximize P = 11,600 นนคอ ในแตละสปดาห บรษทบานสนขสวย ควรผลตบานสนขแบบ A จานวน 6 หลง และผลตบานสนขแบบ B จานวน 14 หลง จงจะไดกาไรสงสด คอ 11,600 บาท จะเหนไดวา ในการใชวธลากเสนฟงกชนจดประสงค หรอใชวธทดสอบจดยอดเพอทาการหาผลเฉลยเหมาะสมทสด กจะไดผลเฉลยเหมาะสมทสดเหมอนกน ดงนนจงสามารถเลอกใชเพยงวธใดวธหนงกได โดยจะใชวธใดนนขนอยกบความถนดของแตละบคคล ตวอยางท 2.4 จงหาผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสนตอไปน ดวยวธกราฟ ฟงกชนจดประสงค maximize P = 30X1 + 100X2 เงอนไขบงคบ X1 + X2 6 X1 + X2 12 X2 1 X2 5 X1 , X2 0 วธทา 1. เขยนกราฟของเงอนไขบงคบ พจารณาเงอนไขบงคบ X1 + X2 6 เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได X1 + X2 = 6 หาจดตดแกน X1 โดยกาหนดให X2 = 0 X1 = 6 ดงนน จดตดแกน X1 คอ (6,0) และหาจดตดแกน X2 โดยกาหนดให X1 = 0 X2 = 6 ดงนน จดตดแกน X2 คอ (0,6)

47

โดยใชจด (0,0) ตรวจสอบครงระนาบของอสมการ X1 + X2 6 จะได 0 6 เปนเทจ แสดงวาจด (0,0) ไมอยในครงระนาบทตองการและครงระนาบทไดจะเปนครงระนาบปด สามารถเขยนกราฟได ดงน

ภาพท 2.11 กราฟของเงอนไขบงคบ X1 + X2 6 พจารณาเงอนไขบงคบ X1 + X2 12 เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได X1 + X2 = 12 หาจดตดแกน X1 โดยกาหนดให X2 = 0 X1 = 12 ดงนน จดตดแกน X1 คอ (12,0) และหาจดตดแกน X2 โดยกาหนดให X1 = 0 X2 = 12 ดงนน จดตดแกน X2 คอ (0,12) โดยใชจดพกด (0,0) ตรวจสอบครงระนาบของอสมการ X1 + X2 12 นนคอ จะได 0 12 เปนจรง แสดงวาจด (0,0) อยในครงระนาบทตองการ และครงระนาบทไดจะเปน ครงระนาบปด สามารถเขยนกราฟไดดงน

48

ภาพท 2.12 กราฟของเงอนไขบงคบ X1 + X2 12

พจารณาเงอนไขบงคบ X2 1 เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได X2 = 1 จดตดแกน X2 คอ (0,1)

ภาพท 2.13 กราฟของเงอนไขบงคบ X2 1

49

พจารณาเงอนไขบงคบ X2 5 เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได X2 = 5 จดตดแกน X2 คอ (0,5)


พจารณาเงอนไขบงคบ X1 0 และ X2 0 เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได X1 = 0 คอ แกน X2 และ X2 = 0 คอ แกน X1 จะไดกราฟของ X1 0 และ X2 0 คอบรเวณในจตภาคท 1


50

2. ระบบรเวณผลเฉลยทเปนไปได ในปญหานบรเวณผลเฉลยทเปนไปได คอ พนทในรปสเหลยม ABCD ดงทไดแรเงาไวในภาพท 2.16


3. หาผลเฉลยเหมาะสมทสด ในปญหานจะแสดงการหาผลเฉลยเหมาะสมทสด ทง 2 วธ ดงน 3.1 การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธลากเสนฟงกชนจดประสงค จากฟงกชนจดประสงค maximize P = 30X1 + 100X2 กาหนดให P = 300 300 = 30X1 + 100X2 ถา X2 = 0 จะได X1 = 10 จดตดแกน X1 คอ (10,0) ถา X1 = 0 จะได X2 = 3 จดตดแกน X2 คอ (0,3) ดงนน สามารถนา 2 จดดงกลาวมาเขยนกราฟของฟงกชนจดประสงคลงในกราฟทไดระบบรเวณผลเฉลยทเปนไปได จะไดรปกราฟดงตอไปน

51

ภาพท 2.17 เสนฟงกชนจดประสงคทมคาเทากบ 300 บาท จดประสงคของปญหาเปนปญหาคาสงสด จงเลอนเสนกราฟของฟงกชนจดประสงคขนานกบเสนเดมออกไปใหหางจากจดกาเนดใหมากทสด โดยยงอยในบรเวณผลเฉลยทเปนไปได ดงภาพตอไปน

ภาพท 2.18 เสนฟงกชนจดประสงคทใหคาสงทสด หรอใหคา maximize P

52

จากกราฟจะไดวาจดททาใหไดคา maximize P คอ จด C ซงเปนจดทเกดจากการตดกนของเสนขอบของอสมการ X1 + X2 12 และ X2 5 นนคอ X1 + X2 = 12 และ X2 = 5 ตามลาดบ ดงนน จะได X2 = 5 และ X1 = 7

จด C คอ จด (7, 5)

จาก maximize P = 30X1 + 100X2 maximize P = 30(7) + 100(5) = 210 + 500 = 710 ดงนน สรปไดวา maximize P = 710

X1 = 7 , X2 = 5 3.2 การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธทดสอบจดยอดของบรเวณผลเฉลยทเปนไปได จากตวอยางน จะพบวาจดยอดมทงหมด 4 จด คอ จด A, B, C และ D ซงจะตองหาคา (X1, X2) ณ จดยอดทง 4 แลวนาคา (X1, X2) ของแตละจดยอดมาทาการหาคา P ดงน - จดยอด A เปนจดทเกดจากการตดกนของเสนขอบของอสมการ X1 + X2 6 และ X2 1 นนคอ X1 + X2 = 6 และ X2 = 1 ตามลาดบ ดงนนจะได X2 = 1 และ X1 = 5

จะได

จด A คอ จด (5, 1) - จดยอด B เปนจดทเกดจากการตดกนของเสนขอบของอสมการ X1 + X2 12 และ X2 1 นนคอ X1 + X2 = 12 และ X2 = 1 ตามลาดบ ดงนน จะได X2 = 1 และ X1 = 11

จะไดจด C คอ จด (11, 1) - จดยอด C เปนจดทเกดจากการตดกนของเสนขอบของอสมการ X1 + X2 12 และ X2 5 นนคอ X1 + X2 = 12 และ X2 = 5 ตามลาดบ ดงนน จะได X2 = 5 และ X1 = 7

จะไดจด C คอ จด (7, 5) - จดยอด D เปนจดทเกดจากการตดกนของเสนขอบของอสมการ X1 + X2 6 และ X2 5 นนคอ X1 + X2 = 6 และ X2 = 5 ตามลาดบ ดงนน จะได X2 = 5 และ X1 = 1

จะไดจด D คอ จด (1, 5) การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธทดสอบจดยอด สรปเปนตารางไดดงน

คา (X1 , X2) maximize P = 30X1 + 100X2 A (5, 1) B (11,1) C (7, 5) D (1, 5)

P = 30(5) + 100(1) = 250 P = 30(11) + 100(1) = 430 P = 30(7) + 100(5) = 710 P = 30(1) + 100(5) = 530

53

ดงนน สรปไดวา maximize P = 710

X1 = 7 , X2 = 5 การหาผลเฉลยของปญหาคาตาสดดวยวธกราฟ ตวอยางท 2.5 จากตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต ตามตวอยางท 1.3 จงหาผลเฉลยของปญหาดวยวธกราฟ วธทา ตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหา เขยนไดดงน P แทน ตนทนรวมทใชในการผลตอาหารสาเรจรป (บาท) X1 แทน จานวนของขาวทใชในการผลตอาหารสาเรจรป (กโลกรม) X2 แทน จานวนของเนอทใชในการผลตอาหารสาเรจรป (กโลกรม) ฟงกชนจดประสงค minimize P = 40X1 + 100X2 เงอนไขบงคบ 40X1 + 30X2 600 35X1 + 70X2 700 X1 , X2 0 การหาผลเฉลยจากตวแบบกาหนดการเชงเสนน จะมขนตอนเชนเดยวกนกบปญหาคาสงสด ซงจะตางกนในขนตอนของการหาผลเฉลยเหมาะสมทสดเทานน มขนตอน ดงตอไปน 1. เขยนกราฟของเงอนไขบงคบ พจารณาเงอนไขบงคบ 40X1 + 30X2 600 เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได 40X1 + 30X2 = 600 หาจดตดแกน X1 โดยกาหนดให X2 = 0 X1 = 15 ดงนน จดตดแกน X1 คอ (15,0) และหาจดตดแกน X2 โดยกาหนดให X1 = 0 X2 = 20 ดงนน จดตดแกน X2 คอ (0,20) โดยใชจด (0,0) ตรวจสอบครงระนาบของอสมการ 40X1 + 30X2 600 นนคอ 40(0) + 30(0) 600 จะได 0 600 เปนเทจ แสดงวาจด (0,0) ไมอยในครงระนาบทตองการและครงระนาบทไดนจะเปนครงระนาบปด สามารถเขยนกราฟได ดงน

54

ภาพท 2.19 กราฟของเงอนไขบงคบ 40X1 + 30X2 600 พจารณาเงอนไขบงคบ 35X1 + 70X2 700 เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได 35X1 + 70X2 = 700 หาจดตดแกน X1 โดยกาหนดให X2 = 0 X1 = 20 ดงนน จดตดแกน X1 คอ (20,0) และหาจดตดแกน X2 โดยกาหนดให X1 = 0 X2 = 10 ดงนน จดตดแกน X2 คอ (0,10) โดยใชจดพกด (0,0) ตรวจสอบครงระนาบของอสมการ 35X1 + 70X2 700 นนคอ 35(0) + 70(0) 700 จะได 0 700 เปนเทจ แสดงวาจด (0,0) ไมอยในครงระนาบทตองการ และครงระนาบทไดนจะเปนครงระนาบปด สามารถเขยนกราฟไดดงน

55

ภาพท 2.20 กราฟของเงอนไขบงคบ 35X1 + 70X2 700



56

2. ระบบรเวณผลเฉลยทเปนไปได ในปญหานบรเวณผลเฉลยทเปนไปได คอ พนททแรเงา ซงแสดงไดตามภาพท 2.22


3. หาผลเฉลยเหมาะสมทสด (optimal solution) ในปญหานจะแสดงการหาผลเฉลยเหมาะสมทสด ทง 2 วธ ดงน 3.1 การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธลากเสนฟงกชนจดประสงค จากฟงกชนจดประสงค minimize P = 40X1 + 100X2 ให P = 2,400 2,400 = 40X1 + 100X2 ถา X2 = 0 จะได X1 =

40400,2 = 60 จดตดแกน X1 คอ (60,0)

ถา X1 = 0 จะได X2 = 100

400,2 = 24 จดตดแกน X2 คอ (0,24)

ดงนน สามารถนาจด 2 จดดงกลาวมาเขยนกราฟของฟงกชนจดประสงคลงในกราฟทไดระบบรเวณผลเฉลยทเปนไปได ดงภาพตอไปน

57

ภาพท 2.23 เสนฟงกชนจดประสงคทมตนทนรวมเทากบ 2,400 บาท จดประสงคของปญหาเปนปญหาคาตาสด ใหเลอนเสนฟงกชนจดประสงคขนานกบเสนเดมเขาไปใกลจดกาเนดใหมากทสด โดยยงอยในบรเวณผลเฉลยทเปนไปได ดงภาพตอไปน

ภาพท 2.24 เสนฟงกชนจดประสงคทใหคาตนทนรวมตาทสด หรอใหคา minimize P

58

จากกราฟจะไดวาจดททาใหไดคา minimize P คอ จด A ซงมพกด (20,0) สรป minimize P อยท X1 = 20 , X2 = 0 จาก minimize P = 40X1 + 100X2 minimize P = 40(20) + 100(0) = 800 ดงนน บรษทจะตองผลตอาหารสาเรจรปโดยใชขาว 20 กโลกรม และไมตองใชเนอในการผลตจงจะทาใหเสยคาใชจายนอยทสด คอ 800 บาท 3.2 การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธทดสอบจดยอดของบรเวณผลเฉลยทเปนไปได จากตวอยางน จะพบวาจดยอดมทงหมด 3 จด ดงนนจะตองหาคา (X1,X2) ณ จดยอดทง 3 แลวนาคา (X1,X2) ของแตละจดยอดมาทาการหาคา P ดงน - จดยอดทสามารถอานไดจากกราฟม 2 จดคอ A (20,0) และ C (0,20) - จ ดยอดทBค อจ ดท เ ก ดจ ากการตด กนของ เ ส นขอบของอสมการ 40X1 + 30X2 600 แ ล ะ 35X1 + 70X2 700 น น ค อ 40X1 + 30X2 = 600 แ ล ะ 35X1 + 70X2 = 700 ตามลาดบ สามารถหาไดโดยการแกสมการ โดยใชวธการกาจดตวแปร ดงน 40X1 + 30X2 = 600 ....................(1) 35X1 + 70X2 = 700 ....................(2) เลอกกาจดตวแปร X2 นา 7 คณ (1) ; 280X1 + 210X2 = 4,200 ................(3) นา 3 คณ (2) ; 105X1 + 210X2 = 2,100 …………..(4) (3) – (4) ; 175X1 = 2,100 X1 = 12 แทนคา X1 ใน (1) ; 40(12) + 30X2 = 600 X2 = 4 จดตดของเสนขอบ B คอ จด (12, 4) การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธทดสอบจดยอด สรปเปนตารางไดดงน

คา (X1 , X2) minimize P = 40X1 + 100X2 A (20,0) B (12,4) C (0,20)

P = 40(20) + 100(0) = 800 P = 40(12) + 100(4) = 880 P = 40(0) + 100(20) = 2,000

59

พจารณาจากตาราง พบวาคา P นอยทสด คอ 800 ซงเกดจากจดยอด (20,0) ดงนนจงสามารถสรปไดวา ปญหานมผลเฉลย คอ X1 = 20 และ X2 = 0 โดยมคา minimize P = 800 นนคอ บรษทจะตองผลตอาหารสาเรจรปโดยใชขาว 20 กโลกรมและไมตองใชเนอในการผลตจงจะทาใหเสยคาใชจายนอยทสด คอ 800 บาท ตวอยางท 2.6 จงหาผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสนตอไปน ดวยวธกราฟ ฟงกชนจดประสงค minimize P = 200X1 + 100X2 เงอนไขบงคบ 5X1 + 4X2 40 4X1 + 5X2 20 X1 2 X1 , X2 0 วธทา 1. เขยนกราฟของเงอนไขบงคบ พจารณาเงอนไขบงคบ 5X1 + 2X2 40 เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได 5X1 + 4X2 = 40 หาจดตดแกน X1 โดยกาหนดให X2 = 0 X1 = 8 ดงนน จดตดแกน X1 คอ (8,0) และหาจดตดแกน X2 โดยกาหนดให X1 = 0 X2 = 10 ดงนน จดตดแกน X2 คอ (0,10) โดยใชจด (0,0) ตรวจสอบครงระนาบของอสมการ 5X1+ 2X2 40 นนคอ 5(0)+ 2(0) 40 จะได 0 40 เปนจรง แสดงวาจด (0,0) อยในครงระนาบทตองการและครงระนาบทไดจะเปนครงระนาบปด สามารถเขยนกราฟได ดงน

60

ภาพท 2.25 กราฟของเงอนไขบงคบ 5X1 + 2X2 40 พจารณาเงอนไขบงคบ 4X1 + 5X2 20 เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได 4X1 + 5X2 = 20 หาจดตดแกน X1 โดยกาหนดให X2 = 0 X1 = 5 ดงนน จดตดแกน X1 คอ (5,0) และหาจดตดแกน X2 โดยกาหนดให X1 = 0 X2 = 4 ดงนน จดตดแกน X2 คอ (0,4) โดยใชจดพกด (0,0) ตรวจสอบครงระนาบของอสมการ 4X1 + 5X2 20 นนคอ 4(0) + 5(0) 20 จะได 0 20 เปนเทจ แสดงวาจด (0,0) ไมอยในครงระนาบทตองการ และ ครงระนาบทไดจะเปนครงระนาบปด สามารถเขยนกราฟไดดงน

61

ภาพท 2.26 กราฟของเงอนไขบงคบ 4X1 + 5X2 20 พจารณาเงอนไขบงคบ X1 2 เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได X1 = 2 จดตดแกน X2 คอ (2,0)


62


ภาพท 2.28 กราฟของเงอนไขบงคบ X1 0 และ X2 0 2. ระบบรเวณผลเฉลยทเปนไปได ในปญหานบรเวณผลเฉลยทเปนไปได คอ พนทในรปสเหลยม ABCD ดงทไดแรเงาไวในภาพท 2.29


63

3. หาผลเฉลยเหมาะสมทสด ในปญหานจะแสดงการหาผลเฉลยเหมาะสมทสด ทง 2 วธ ดงน 3.1 การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธลากเสนฟงกชนจดประสงค จากฟงกชนจดประสงค minimize P = 200X1 + 100X2 กาหนดให P = 1,400 1,400 = 200X1 + 100X2 ถา X2 = 0 จะได X1 =

200400,1 = 7 จดตดแกน X1 คอ (7,0)

ถา X1 = 0 จะได X2 = 100400,1 = 14 จดตดแกน X2 คอ (0,14)

ดงนน สามารถนาจด 2 จดดงกลาวมาเขยนกราฟของฟงกชนจดประสงคลงในกราฟทไดระบบรเวณผลเฉลยทเปนไปได จะไดรปกราฟดงตอไปน

ภาพท 2.30 เสนฟงกชนจดประสงคทมคาเทากบ 1,400 บาท จดประสงคของปญหาเปนปญหาคาตาสด ใหเลอนเสนฟงกชนจดประสงคขนานกบเสนเดมเขาไปใกลจดกาเนดใหมากทสด โดยยงอยในบรเวณผลเฉลยทเปนไปได ดงภาพตอไปน

64

ภาพท 2.31 เสนฟงกชนจดประสงคทใหคาตาทสด หรอใหคา minimize P

จากกราฟจะไดวาจดททาใหไดคา minimize P คอ จด B ซงเปนจดทเกดจากการตดกนของเสนขอบของอสมการ 4X1 + 5X2 20 และ X1 2 นนคอ 4X1 + 5X2 = 20 และ X1 = 2 ตามลาดบ ดงนน จะได X1 = 2 และ X2 = 4.2

512

5820

5420 1

X

จะไดจด B คอ จด (2, 2.4) จาก minimize P = 200X1 + 100X2 minimize P = 200(2) + 100(2.4) = 400 + 240 = 640 ดงนน สรปไดวา minimize P = 640

X1 = 2 , X2 = 2.4

3.2 การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธทดสอบจดยอดของบรเวณผลเฉลยทเปนไปได จากตวอยางน จะพบวาจดยอดมทงหมด 4 จด คอ จด A, B, C และ D ซงจะตองหาคา (X1, X2) ณ จดยอดทง 4 แลวนาคา (X1, X2) ของแตละจดยอดมาทาการหาคา P ดงน

65

- จดยอดทสามารถอานไดจากกราฟม 2 จดคอ จด C(5,0) และ D(8,0) - จดยอด A ทเกดจากการตดกนของเสนขอบของอสมการ 5X1 + 4X2 40 แ ล ะ X1 2 น น ค อ 5X1 + 4X2 = 40 แ ล ะ X1 = 2 ต า ม ล า ด บ ด ง น น X1 = 2 แ ล ะ X2 = 5.2

410

41040

4540 1

X จะไดจด A คอ จด (2, 2.5)

- จดยอด B ทเกดจากการตดกนของเสนขอบของอสมการ 4X1 + 5X2 20 และ X1 2 นนคอ 4X1 + 5X2 = 20 และ X1 = 2 ตามลาดบ ดงนนจะได X1 = 2 และ X2 = 4.2

512

5820

5420 1

X จะไดจด B คอ จด (2, 2.4)

การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดดวยวธทดสอบจดยอด สรปเปนตารางไดดงน

ดงนน สรปไดวา minimize P = 640

X1 = 2 , X2 = 2.4 บทสรป การหาผลเฉลยของกาหนดการเชงเสนดวยวธกราฟ เปนวธการแกปญหาทใชกบ ตวแบบกาหนดการเชงเสนทมตวแปรทตองการตดสนใจไมมากนก โดยสวนมากแลวมกจะใชกบ ตวแบบทมเพบง 2 ตวแปรเทานน การใชวธกราฟนมจดเดนทคานวณงายดวยหลกการพชคณต มหลกเกณฑในการหาคาตอบทชดเจนและเขาใจไดงาย สามารถใชเปนวธพนฐานทเหมาะกบการทาความเขาใจในเรองการแกปญหาตวแบบกาหนดการเชงเสน ขนตอนในการหาผลเฉลยของกาหนดการเชงเสนดวยวธกราฟ เรมจากเขยนกราฟของสมการเงอนไขบงคบ จากนนระบบรเวณผลเฉลยทเปนไปได และหาผลเฉลยเหมาะสมทสดตอไป ซงวธหาผลเฉลยเหมาะสมทสดทาได 2 วธ ไดแก วธลากเสนฟงกชนจดประสงค และวธทดสอบ จดยอดของบรเวณผลเฉลยทเปนไปได โดยเลอกใชวธใดวธหนงเทานน

คา (X1 , X2) minimize P = 200X1 + 100X2 A (2, 2.5) B (2, 2.4) C ( 5 , 0) D ( 8 , 0)

P = 200(2) + 100(2.5) = 650 P = 200(2) + 100(2.4) = 640 P = 200(5) + 100(0) = 1,000 P = 200(8) + 100(0) = 1,600

66

แบบฝกหดบทท 2 จงหาผลเฉลยของปญหากาหนดการเชงเสนตอไปน ดวยวธกราฟ 2.1 ปญหากาหนดการเชงเสนในแบบฝกหดบทท 1 ขอท 1.1 2.2 ปญหากาหนดการเชงเสนในแบบฝกหดบทท 1 ขอท 1.2 2.3 ปญหากาหนดการเชงเสนในแบบฝกหดบทท 1 ขอท 1.3 2.4 ฟงกชนจดประสงค maximize P = 15X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ 6X1 + 2X2 18 4X1 + 3X2 24 X1 , X2 0 2.5 ฟงกชนจดประสงค minimize P = 7X1 + 5X2 เงอนไขบงคบ 6X1 + 2X2 18 2X1 + 4X2 12 X1 , X2 0 2.6 ฟงกชนจดประสงค maximize P = 15X1 + 12X2 เงอนไขบงคบ 5X1 – 4X2 40 4X1 + X2 20 X2 30 X1 , X2 0 2.7 ฟงกชนจดประสงค minimize P = 40X1 + 10X2 เงอนไขบงคบ X1 + X2 12 4X1 + X2 10 2X2 8 X1 , X2 0

67

2.8 ฟงกชนจดประสงค maximize P = 40X1 + 35X2 เงอนไขบงคบ 20X1 + 10X2 210 12X1 + 12X2 140 24X1 + 4X2 200 10X1 + 100X2 120 X1 , X2 0 2.9 ฟงกชนจดประสงค minimize P = 5X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 10X1 + 20X2 55 2X1 + 3X2 12 2X1 4 3X2 10 X1 , X2 0 2.10 ฟงกชนจดประสงค maximize P = 1,500X1 + 500X2 เงอนไขบงคบ 5X1 + 15X2 150 19X1 + 20X2 540 20X1 + 10X2 440 15X1 + 12X2 150 X1 , X2 0

บทท 3 การหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ

การหาผลเฉลยตวแบบกาหนดการเชงเสนดวยวธกราฟ ถงแมวาจะเปนวธทเขาใจงายและมขนตอนการคานวณทไมยงยากซบซอน แตกมขอจากดในดานขนาดของตวแบบ เนองจากการใชวธกราฟสวนใหญมกจะใชกบตวแบบกาหนดการเชงเสนทมตวแปรเพยง 2 ตว และมเงอนไขบงคบไมมากนก ดงนนถาเปนปญหาทมตวแปรเกน 2 ตว และมเงอนไขบงคบเปนจานวนมาก จะไมสามารถแกปญหาไดดวยวธกราฟ จงจาเปนตองใชวธการแกปญหาทเรยกวา วธซมเพลกซ (simplex method) ซงเปนวธทางพชคณตทเปนระบบมขนตอนทชดเจน สามารถอธบายเหตผลได และสามารถหาผลเฉลยของกาหนดการเชงเสนทซบซอน มตวแปรและเงอนไขบงคบเปนจานวน มากได แนวคดพนฐานของวธซมเพลกซ แนวคดพนฐานของวธซมเพลกซ คอ การแกปญหาเพอหาผลเฉลยจากระบบสมการ เชงเสนโดยการกระทาซาๆ กน ซงเรยกวาวธทาซา (iteration) เรมจากการตงผลเฉลยพนฐานทเปนไปไดแลวปรบคาไปเรอยๆ จนกระทงไดผลเฉลยเหมาะสมทสด การหาผลเฉลยจากระบบสมการเชงเสนใดๆ สามารถทาไดดวยวธทางพชคณต แตในปญหาทระบบสมการเชงเสนทมจานวนสมการนอยกวาจานวนตวแปร จะตองกาหนดใหตวแปร บางตวมคาเปนศนยกอนจงจะสามารถหาผลเฉลยได โดยการกาหนดตวแปรใหเปนศนยนจะตองทาใหตวแปรทเหลอมจานวนเทากบจานวนของสมการ เชน ระบบสมการเชงเสนมตวแปรจานวน 3 ตว แตมสมการเพยง 2 สมการ ดงน a11X1 + a12X2 + a13X3 = b1

a21X1 + a22X2 + a23X3 = b2

โดย Xi เปนตวแปรทตองการทราบคา bi , aij เปนคาคงท โดยท i = 1,2 และ j = 1,2,3 การหาคา X1, X2, X3 จะทาไดโดยการสมมตใหตวแปรตวใดตวหนงมคาเปนศนยกอน แลวจงแกสมการหาคาตวแปรทเหลออก 2 ตว เชน สมมตให X3= 0 จะสามารถหาคา X1, X2 ได และเมอกาหนดให X2 = 0 กจะสามารถหาคา X1, X3 ได ทานองเดยวกนเมอกาหนดให X1= 0 กจะสามารถหาคา X2, X3 ได

70

ถากาหนดให X3 = 0 เพอหาคาของ X1, X2 โดยจะเรยก X3 วาเปน ตวแปรไมพนฐาน (nonbasic variable) สวน X1, X2 จะเรยกวา ตวแปรพนฐาน (basic variable) คา X1,X2 ทหาไดดวยการสมมตให X3 = 0 เรยกวาเปน ผลเฉลยพนฐาน (basic solution) ในทานองเดยวกน เมอกาหนดให X2 = 0 เพอหาคาของ X1, X3 โดยจะเรยก X2 วาเปนตวแปรไมพนฐาน สวน X1, X3 เปนตวแปรพนฐาน คาของ X1, X3 ทหาไดดวยการสมมตให X2 = 0 เรยกวาเปนผลเฉลยพนฐาน และถากาหนดให X1 = 0 เพอหาคาของ X2, X3 โดยจะเรยก X1 วาเปนตวแปรไมพนฐาน สวน X2, X3 เปนตวแปรพนฐาน คาของ X2, X3 ทหาไดดวยการสมมตให X1 = 0 เรยกวาเปนผลเฉลยพนฐาน ขนตอนในการหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ การใชวธซมเพลกซเพอแกปญหากาหนดการเชงเสน ประกอบดวยขนตอน ดงน

ภาพท 3.1 ขนตอนการใชวธซมเพลกซเพอแกปญหาตวแบบกาหนดการเชงเสน ทมา : สมพล ทงหวา, 2544 : 72

การเปลยนรปของตวแบบใหอยในรปแบบมาตรฐาน

การตงผลเฉลยเบองตน

พฒนาผลเฉลยใหม

หยดการคานวณแสดงผลเฉลย การตรวจสอบผลเฉลย เหมาะสม

ไมเหมาะสม

71

การเปลยนรปของตวแบบกาหนดการเชงเสนทวไปใหอยในรปแบบมาตรฐาน วธซมเพลกซ เปนวธทางพชคณตทจะหาผลเฉลยของกาหนดการเชงเสนทอยในแบบมาตรฐาน (อาพล ธรรมเจรญ, 2551:41) ดงนนการหาผลเฉลยของกาหนดการเชงเสนดวย วธซมเพลกซ ขนตอนแรก คอ การเปลยนรปของตวแบบกาหนดการเชงเสนจากลกษณะทเปนอสมการใหอยในรปสมการเสยกอน ซงจะเรยกรปแบบนวารปแบบมาตรฐาน (standard form) มรายละเอยดดงตอไปน รปแบบมาตรฐานของกาหนดการเชงเสน มลกษณะดงน maximize หรอ minimize P = C1X1 + C2X2 + .... + CnXn ภายใตเงอนไขบงคบ a11X1 + a12X2 + .... + a1nXn = b1

a21X1 + a22X2 + .... + a2nXn = b2

am1X1 + am2X2 + .... + amnXn = bm

Xj 0 bi 0 โดยท P คอ ผลรวมของฟงกชนจดประสงค Xj คอ ตวแปรทตองการตดสนใจตวท j Cj คอ สมประสทธของตวแปรตวท j ในฟงกชนจดประสงค

aij คอ สมประสทธของตวแปรท j ในเงอนไขบงคบขอท i bi คอ คาคงททางขวามอของเงอนไขบงคบขอท i

เมอ i = 1, 2, 3, …, m และ j = 1, 2, 3, …, n รปแบบมาตรฐานมลกษณะทสาคญ คอ 1. ฟงกชนจดประสงคจะอยในรปของการหาคาสงสดหรอการหาคาตาสด อยางใดอยางหนง 2. เงอนไขบงคบจะอยในรปทแปลงจากอสมการใหเปนสมการ 3. คาคงทดานขวามอของเงอนไขบงคบทกขอไมตดลบ 4. ตวแปรทกตวไมตดลบ ซงไมตองจดรปใหมเพราะไมตองนาไปใชในการคานวณใน วธซมเพลกซ (นกร วฒนพนม, 2535 : 19)

... ... ... ...

72

การเปลยนรปของตวแบบกาหนดการเชงเสนเพอใชในวธซมเพลกซ จาเปนตองรจก ตวแปรเพมอก 3 ตว ไดแก ตวแปรสวนขาด (slack variables) ตวแปรสวนเกน (surplus variables) และตวแปรเทยม (artificial variables) โดยแยกพจารณาดงน 1. กรณเงอนไขบงคบอยในรปอสมการทมเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ () หมายความวา คาทอยดานซายของอสมการจะนอยกวาหรอเทากบคาทอยดานขวาของอสมการกได ดงนน ในการเปลยนใหเปนสมการจะตองนาตวแปรมาบวกเพมกบคาดานซาย ซงจะเรยกตวแปรทเพมเขาไปนวาตวแปรสวนขาด ตวอยางเชน เงอนไขบงคบแรกของบรษทบานสนขสวย จากด คอ

10X1 + 8X2 200 (จานวนของไม)

ให S1 คอ ตวแปรสวนขาดของเงอนไขบงคบ ถานา S1 บวกเพมเขาไปดานซายของอสมการ จะไดสมการ คอ

10X1 + 8X2 + S1 = 200 ตวแปร S1 มคาเทากบผลตางระหวางจานวนของไมทมทงหมด กบจานวนของไมทถกใชจรง หรอ S1 มคาเทากบผลตางระหวาง 200 กบ 10X1 + 8X2 ถา S1 = 0 แสดงวา 10X1 + 8X2 เทากบ 200 หรอจานวนของไมถกใชหมดพอด แตถา S1 มคาบวก แสดงวาจานวนของไมยงไมถกใชหมด สวนทเหลอจะมคาเทากบ S1 เชน ถา 10X1 + 8X2 เทากบ 180 ดงนนจานวนของไมทถกใชไปคอ 180 เมตร แสดงวาจานวนของไมยงไมถกใชคอ 20 เมตร ซงกคอ S1 = 20 ดงนน สามารถใหความหมายของตวแปรสวนขาดวาเปน จานวนทรพยากรทเหลออยหรอทยงไมถกใช และตวแปรสวนขาดนจะไมเปนคาลบ เพราะจะไมมการใชทรพยากรมากกวาจานวนทมอย กลาวคอจะไมมการใชไมมากกวา 200 เมตร ดงนนสามารถเปลยนเงอนไขบงคบ ไดดงน 10X1 + 8X2 + S1 = 200 และ S1 0 ในทานองเดยวกน สามารถเปลยนเงอนไขบงคบทเหลอของปญหาบรษทบานสนขสวย จากด ไดดงน 7X1 + 3X2 + S2 = 84 (เวลาของแผนกประกอบ) 7X1 + 2X2 + S3 = 70 (เวลาของแผนกทดสอบ) และ S2 , S3 0 จะเหนไดวาตวแปรสวนขาดเปนทรพยากรทเหลออยหรอทยงไมถกใช เพราะฉะนนจงไมมผลตอกาไรหรอตนทน กลาวคอจะไมมผลกระทบกบคาของฟงกชนจดประสงค ดงนนสมประสทธของตวแปรสวนขาดในฟงกชนจดประสงคจงมคาเปนศนย ตวอยางเชน ฟงกชนจดประสงคของบรษทบานสนขสวย จากด คอ maximize P = 1,000X1 + 400X2

73

สามารถเขยนฟงกชนจดประสงคใหมไดดงน maximize P = 1,000X1 + 400X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 ตวแปรสวนขาดของแตละเงอนไขบงคบกจะไมมผลกระทบกบเงอนไขบงคบอนเชนกน ดงนน สมประสทธของตวแปรสวนขาดอนๆ ในแตละเงอนไขบงคบจะมคาเปนศนย และสามารถเขยนเงอนไขบงคบของปญหาบรษทบานสนขสวย จากด สาหรบวธซมเพลกซ ไดดงน 10X1 + 8X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 200 7X1 + 3X2 + 0S1+ 1S2 + 0S3 = 84 7X1 + 2X2 + 0S1+ 0S2 + 1S3 = 70 X1 , X2 , S1 , S2 , S3 0 ตวอยางท 3.1 จากตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาบรษทบานสนขสวย จากด ตามตวอยางท 1.2 จงเปลยนเปนรปแบบมาตรฐาน วธทา ตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาบรษทบานสนขสวย จากด คอ ฟงกชนจดประสงค maximize P = 1,000X1 + 400X2 เงอนไขบงคบ 10X1 + 8X2 200

7X1 + 3X2 84 7X1 + 2X2 70

X1 , X2 0 เปลยนเปนรปแบบมาตรฐานไดดงน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 1,000X1 + 400X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 เงอนไขบงคบ 10X1 + 8X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 200

7X1 + 3X2 + 0S1+ 1S2 + 0S3 = 84 7X1 + 2X2 + 0S1+ 0S2 + 1S3 = 70

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 0 2. กรณเงอนไขบงคบอยในรปอสมการทมเครองหมายมากกวาหรอเทากบ () หมายความวา คาทอยดานซายของอสมการจะมากกวาหรอเทากบคาทอยดานขวาของอสมการกได เพราะฉะนนในการเปลยนใหเปนสมการจะตองนาตวแปรมาหกออกจากคาดานซาย ซงจะเรยก ตวแปรทนามาหกออกนวา ตวแปรสวนเกน โดยทตวแปรสวนเกนจะตองไมเปน คาลบและไมมผลตอคาของฟงกชนจดประสงค กลาวคอ สมประสทธของตวแปรสวนเกนในฟงกชนจดประสงคจะมคา

74

เปนศนย และสมประสทธของตวแปรสวนเกนอนๆ ในแตละเงอนไขบงคบกจะมคาเปนศนยเชนเดยวกนกบในกรณของตวแปรสวนขาด ยกตวอยางเชน เงอนไขบงคบ 2X1 + X2 20

5X1 + 3X2 15 X1 , X2 0

เปลยนเปนรปแบบมาตรฐานไดดงน เงอนไขบงคบ 2X1 + 5X2 – 1S1 + 0S2 = 20

5X1 + 3X2 + 0S1 – 1S2 = 15 X1 , X2 , S1 , S2 0 จากตารางเรมตนของการใชวธซมเพลกซ ตวแปรทตองการตดสนใจหรอตวแปรทตองการทราบคาจะตองเปนตวแปรไมพนฐาน กลาวคอ ตวแปรทการตองตดสนใจตองมคาเทากบศนยทงหมด ในตวอยางนตวแปรทการตองตดสนใจ คอ X1 และ X2 จะเหนวาถา X1 และ X2 เทากบศนยพรอมกน ผลเฉลยพนฐานทไดคอ S1 = –20 และ S2 = –15 ซงจะเปนการขดแยงกบเงอนไขบงคบทตวแปรตองไมเปนลบ ในกรณเชนนจะไมสามารถเรมตนการคานวณดวยวธซมเพลกซได เพราะฉะนนจะตองมการบวกตวแปรเพมอกหนงตวในดานซายมอของสมการ เพอทาใหมผลเฉลยพนฐานทจะสามารถเรมตนในการใชวธซมเพลกซได ซงจะเรยกตวแปรทเพมขนนวา ตวแปรเทยม จะใชสญลกษณแทนดวย A และตวแปรเทยมทสรางขนนเปนเพยงตวแปรทเพมเขามาในระบบเพอใชในการเรมตนการคานวณดวยวธซมเพลกซเทานน ตวแปรจงไมมอยจรงในปญหา ดงนน ตองทาใหตวแปรเทยมนมคาเปนศนยในผลเฉลยเหมาะสมทสด ดงนนจงตองมวธการทจะทาใหตวแปรเทยมถกเลอกออกไปจากตวแปรพนฐานใหกลายสภาพเปนตวแปรไมพนฐาน และมคาเทากบศนย ในตารางสดทาย วธการนเรยกวา วธ Big M (Big M Method) กลาวคอ เมอมการเตมตวแปรเทยมเขาไปในสมการเงอนไขบงคบแลวใหนาตวแปรเทยมนนเพมเขาไปในฟงกชนจดประสงคดวย โดยใหมสมประสทธเปนดงน ถาปญหาเปนการหาคาสงสดใหใส –M ในฟงกชนจดประสงคและ ถาปญหาเปนการหาคาตาสดใหใส +M ในฟงกชนจดประสงค โดย M ตองเปนเลขบวกทมคามากๆ (M ) และจะเหนไดวาตวแปรเทยมของแตละเงอนไขบงคบนจะไมมผลกระทบกบเงอนไขบงคบอน นนคอ สมประสทธของตวแปรเทยมอนๆ ในแตละเงอนไขบงคบจะมคาเปนศนย ฉะนนจากตวอยางสามารถเขยนเงอนไขบงคบใหม สาหรบวธซมเพลกซ ไดดงน เงอนไขบงคบ 2X1 + 5X2 – 1S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 20

5X1 + 3X2 + 0S1 – 1S2 + 0A1 + 1A2 = 15 X1 , X2 , S1 , S2 , A1 , A2 0

75

ตวอยางท 3.2 จากตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต ตามตวอยางท 1.3 จงเปลยนเปนรปแบบมาตรฐาน วธทา ตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต คอ ฟงกชนจดประสงค minimize P = 40X1 + 100X2

เงอนไขบงคบ 40X1 + 30X2 600 35X1 + 70X2 700 X1 , X2 0 เปลยนเปนรปแบบมาตรฐานไดดงน ฟงกชนจดประสงค minimize P = 40X1 + 100X2 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2

เงอนไขบงคบ 40X1 + 30X2 – 1S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 600 35X1 + 70X2 + 0S1 – 1S2 + 0A1 + 1A2 = 700 X1 , X2 , S1 , S2 , A1 , A2 0 3. กรณเงอนไขบงคบอยในรปสมการ คอ มเครองหมายเทากบ (=) หมายความวา คาทอยดานซายของสมการเทากบคาทอยดานขวาของสมการอยแลว ดงนนจงไมตองเปลยนรปสมการ ยกตวอยางเชน เงอนไขบงคบ 2X1 + 10X2 = 300

5X1 + 4X2 = 200 X1 , X2 0

จากททราบอยแลววาตารางเรมตนของการใชวธซมเพลกซ ตวแปรทตองการตดสนใจตองมคาเทากบศนยทงหมด ในตวอยางนตวแปรทตองการตดสนใจ คอ X1 และ X2 จะเหนวา ถา X1 และ X2 เทากบศนยพรอมกนจะทาใหสมการไมเปนจรง ในกรณเชนนจะไมสามารถเรมตนการคานวณดวยวธซมเพลกซได เพราะฉะนนจะตองมการบวกตวแปรเพมอกหนงตวเขาไปในดานซายมอของสมการ เพอทาใหมผลเฉลยพนฐานทจะสามารถเรมตนในการใชวธซมเพลกซได และ ตวแปรนจะเรยกวา ตวแปรเทยม(A) ซงจะใชวธการเชนเดยวกบกรณท 2 ดงนนจากตวอยางสามารถเขยนเงอนไขบงคบใหม สาหรบวธซมเพลกซ ไดดงน เงอนไขบงคบ 2X1 + 10X2 + 1A1 + 0A2 = 300

5X1 + 4X2 + 0A1 + 1A2 = 200 X1 , X2 , A1 , A2 0

76

ตวอยางท 3.3 จากตวแบบกาหนดการเชงเสนทกาหนดตอไปน จงเปลยนเปนรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 50X1 + 60X2

เงอนไขบงคบ 40X1 + 30X2 = 1,000 10X1 + 80X2 = 2,000 X1 , X2 0 วธทา สามารถเปลยนเปนรปแบบมาตรฐานไดดงน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 50X1 + 60X2 – MA1 – MA2

เงอนไขบงคบ 40X1 + 30X2 + 1A1 + 0A2 = 1,000 10X1 + 80X2 + 0A1 + 1A2 = 2,000 X1 , X2 , A1 , A2 0 การตงผลเฉลยเบองตน เมอจดตวแบบกาหนดการเชงเสนใหอยในรปแบบมาตรฐานแลว ขนตอนตอไปคอ การตงผลเฉลยเบองตน ในการตงผลเฉลยเบองตนของตวแบบกาหนดการเชงเสนใดๆ ควรทาความเขาใจประเดนตางๆ ดงน 1. ตวแปรม 2 ประเภท 1.1 ตวแปรพนฐาน คอ ตวแปรทมคาไมเปน 0 1.2 ตวแปรไมพนฐาน คอ ตวแปรทมคาเปน 0 2. ในตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางแรกของการใชวธซมเพลกซ) มหลกดงน 2.1 จานวนตวแปรพนฐานตองมเทากบจานวนเงอนไขบงคบ (m) 2.2 จานวนตวแปรไมพนฐานตองมเทากบจานวนตวแปรทงหมด (n) ลบ ดวยจานวนเงอนไขบงคบทงหมด (m) นนคอ จานวนตวแปรไมพนฐานเทากบ (n – m) ตว 2.3 ตวแปรทตองการตดสนใจหรอตวแปรทตองการทราบคาจะตองเปนตวแปรไมพนฐานในตารางแรก 2.4 ตวแปรเทยม (A) ในตารางแรกจะตองเปนตวแปรพนฐานและตารางสดทายจะตองเปนตวแปรไมพนฐาน 2.5 การใชวธซมเพลกซเพอความสะดวกจะแสดงเปนตารางการคานวณ โดยตารางการคานวณของวธซมเพลกซ แสดงไดดงน

77

Cj (1) RHS(bi) Cb ตวแปร

พนฐาน

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Pj (7) (9) (Cj – Pj) (8)

โดยแตละแถวหรอแนวตงตางๆ แสดงสงตอไปน แถว (1) แสดงสมประสทธของตวแปรทงหมดในฟงกชนจดประสงค (Cj) แถว (2) แสดงตวแปรทงหมดในฟงกชนจดประสงค แนวตง (3) แสดงสมประสทธของตวแปรพนฐานในฟงกชนจดประสงค (Cb) แนวตง (4) แสดงตวแปรพนฐานทงหมด แถว (5) แสดงถงสมประสทธของตวแปรตางๆ ในฟงกชนจดประสงคทอยในสมการ เงอนไขบงคบตางๆ ตามลาดบ ซงสมประสทธของตวแปรพนฐานในชองน จะเรยงกนอยในรป เมทรกซเอกลกษณ (identity matrix) แนวตง (6) แสดงคาคงททางขวามอ (right hand side หรอ RHS) ของสมการเงอนไขบงคบ ซงจะแสดงถงคาของตวแปรพนฐาน แถว (7) แสดงคา Pj หมายถง ปรมาณททาใหกาไรลดลง ถามการเพมคาตวแปรตวท j ขนหนงหนวย (กรณปญหาคาสงสด) หรอ ปรมาณของตนทนทเพมขน ถามการเพมคาตวแปรตวท j ขนหนงหนวย (กรณปญหาคาตาสด) แถว (8) แสดงคา (Cj – Pj) หมายถง ปรมาณททาใหกาไรรวมหรอกาไรสทธทจะไดรบมการเปลยนแปลงไป ถามการเพมคาตวแปรตวท j ขนหนงหนวย (กรณปญหาคาสงสด) หรอ ปรมาณททาใหตนทนรวมหรอตนทนสทธทจะเสยไปมการเปลยนแปลง ถามการเพมคาตวแปรตวท j ขนหนงหนวย (กรณปญหาคาตาสด) แถว (9) แสดงถงคาของฟงกชนจดประสงค นนคอ คาของ maximize P หรอminimize P แลวแตกรณ การตรวจสอบและพฒนาผลเฉลย เมอไดผลเฉลยขนมาชดหนง ไมวาจะเปนผลเฉลยเบองตนหรอผลเฉลยอนๆ ทไดมาจากการพฒนาใหดขนกตาม จาเปนตองมการตรวจสอบวาผลเฉลยทไดมานนเปนผลเฉลยท

78

เหมาะสมทสดหรอไม สามารถพฒนาใหดขนไดหรอไม มจดยอดอนทจะใหผลเฉลยทดกวานหรอไม ถาไมมแสดงวาผลเฉลยทมอยนนเปนผลเฉลยทเหมาะสมทสดแลว แตถายงมผลเฉลยทเหมาะสมกวากใหทาการพฒนาผลเฉลยทมอยนนใหดขนอก ขนตอนการพฒนาผลเฉลยใหม คอ การพจารณาตวแปรพนฐานและตวแปรไมพนฐานทมอยวามความเหมาะสมหรอยงควรทจะมการเปลยนตวแปรหรอไม นนคอ ตวแปรไมพนฐานตวใดควรจะเปลยนใหเปนตวแปรพนฐาน และควรจะเปลยนตวแปรพนฐานตวใดจงจะทาใหคาฟงกชนจดประสงคสงขนหรอตาลงมากทสดแลวแตกรณ และเมอเปลยนตวแปรแลวผลเฉลยจะเปลยนไปอยางไร ซงการพฒนาผลเฉลยใหมแบงออกเปน 4 ขนตอนดงน 1. การเลอกตวแปรเขา (entering variable) คอ การเลอกตวแปรทเปนตวแปรไมพนฐานเขามาเปนตวแปรพนฐาน (ชองท 2 ในตารางซมเพลกซ) 2. การเลอกตวแปรออก (leaving variable) คอ การเลอกตวแปรทเปนตวแปรพนฐานออกมาเปนตวแปรไมพนฐาน (ชองท 4 ในตารางซมเพลกซ) 3. ทาการหาตวเลขทเรยกวา ตวหลก (pivot) หรอ การหาตวหลก (pivoting) คอ การหาตวเลขทอยในตาแหนงจดตดระหวางแนวตง (column) ทเลอกใหเปนตวแปรเขากบแถว (row) ทเลอกใหเปนตวแปรออก ซงจะเรยกตวเลขทไดนวา สมาชกตามหลก (pivotal element) และแถวทมสมาชกตามหลกอยน จะเรยกวา แถวตวหลก (pivotal row) 4. การเปลยนตวแปรพนฐาน คอ การพฒนาผลเฉลยชดใหม โดยขนตอนแรกตองทาการสลบตวแปรเขาและตวแปรออกในตารางซมเพลกซ แลวใชการคานวณทเรยกวา การดาเนนการของตวหลก (pivot operation) โดยมหลกการวาตองทา สมาชกตามหลกใหมคาเปน 1 และทาตวเลขอนๆ ในแนวตง (column) เดยวกบสมาชกตามหลกใหมคาเปน 0 เพอทาใหสมประสทธของตวแปรพนฐานประกอบกนอยในรปเมทรกซเอกลกษณ (สทธมา ชานาญเวช, 2554 : 74) ขนตอนการคานวณโดยใชการดาเนนการของตวหลก มดงตอไปน 1. ทาสมาชกตามหลก ใหมคาเปน 1 โดยการนาคาของสมาชกตามหลก )( pN หารแถว

ตวหลก (pivotal row ; pR ) หรอ นา 1 สวนคาของสมาชกตามหลก )1(pN

คณกบแถวตวหลก

)( pR แลวจะไดแถวตวหลกใหมทสมาชกตามหลกมคาเปน 1 )( pR นนคอ

pp

p RN

R 1

โดยท pN คอ คาของสมาชกตามหลก

pR คอ แถวตวหลก

pR คอ แถวตวหลกใหมทสมาชกตามหลกมคาเปน 1

79

2. ทาตวเลขอนๆ ในแนวตงเดยวกบสมาชกตามหลกใหมคาเปน 0 โดยการเอาแถวทมตวเลขทตองการทาใหเปน 0 )( 0R ตงแลวลบดวยผลคณระหวางคาของตวเลขทตองการทาใหเปน 0

)( 0N กบแถวตวหลกใหมทสมาชกตามหลกมคาเปน 1 )( pR แลวจะไดแถวใหมทมตวเลขทตองการทาใหเปน 0 )( 0R นนคอ

pRNRR 000

โดยท 0N คอ คาของตวเลขทตองการทาใหมคาเปน 0 0R คอ แถวทมตวเลขทตองการทาใหเปน 0 0R คอ แถวใหมทมตวเลขทตองการทาใหเปน 0 โดยการพฒนาผลเฉลยชดใหมนสามารถอธบายในรปแบบของการใชวธกราฟไดวา ผลเฉลยทไดจากตารางซมเพลกซแตละตาราง คอ ผลเฉลยทไดจากจดตดแตละจดของเงอนไขบงคบ นนคอ ขณะททาการพฒนาผลเฉลยชดใหมนนจะเปนการเคลอนทจากจดตดของเงอนไขบงคบจากจดหนงไปยงอกจดหนง ซงทกครงททาการพฒนาผลเฉลยชดใหม คาของฟงกชนจดประสงคจะมคาเพมขนเสมอในปญหาคาสงสด และคาของฟงกชนจดประสงคจะมคาลดลงเสมอในปญหาคาตาสด หลกในการตรวจสอบและพฒนาผลเฉลยของปญหาตวแบบกาหนดการเชงเสนตามลกษณะปญหาตางๆ มดงตอไปน 1. กรณทปญหาเปนฟงกชนจดประสงคคาสงสด ทาไดดงน 1.1 พจารณาคา (Cj – Pj) - ถาเปนลบหรอศนยหมดทกคา แสดงวาผลเฉลยนนเหมาะสมแลวใหหยดการคานวณและแสดงผลเฉลยทได - ถายงมคา (Cj – Pj) เปนบวกอยใหทาการพฒนาผลเฉลยใหม ในขนตอนตอไป 1.2 เลอกตวแปรทมคา (Cj – Pj) เปนบวกมากทสดเปนตวแปรเขา 1.3 คานวณอตราสวนระหวางคาคงททางขวามอ (bi) กบสมประสทธของตวแปรเขาในเงอนไขบงคบขอท i (ถาสมประสทธเปนลบหรอศนย ไมตองคานวณอตราสวนเพราะจะใหคา ผลเฉลยทไมเปนจรง) เลอกตวแปรพนฐานทใหอตราสวนทตาทสดเปนตวแปรออก 1.4 เปลยนตวแปรพนฐานโดยการสลบทตวแปรเขาและตวแปรออก และทาการสรางตารางผลเฉลยชดใหม โดยใชการดาเนนการของตวหลก แลวยอนกลบไปทาขนตอนการตรวจสอบผลเฉลยตอไป

80

2. กรณทปญหาเปนฟงกชนจดประสงคคาตาสด การแกปญหาเพอหาผลเฉลยเหมาะสมทสดสามารถทาได 2 วธ ดงน 2.1 ทาตามขนตอนของวธซมเพลกซเชนเดยวกนกบกรณทปญหาเปนคาสงสด แตขนตอนการแสดงผลเฉลยทเหมาะสมทสดและการเลอกตวแปรทจะเขาเปนตวแปรพนฐานจะใชหลกเกณฑทตรงกนขามกน มขนตอนดงน 2.1.1 พจารณาคา (Cj – Pj) - ถาเปนบวกหรอศนยหมดทกคา แสดงวาผลเฉลยนนเหมาะสมแลวใหหยดการคานวณและแสดงผลเฉลยทได - ถายงมบางตวเปนลบอย แสดงวาผลเฉลยชดนนยงสามารถพฒนาใหดขนไดอก และใหทาการพฒนาผลเฉลยใหมในขนตอนตอไป 2.1.2 เลอกตวแปรทมคา (Cj – Pj) เปนลบมากทสดเปนตวแปรเขา 2.1.3 คานวณอตราสวนระหวางคาคงททางขวามอ(bi) กบสมประสทธของ ตวแปรเขาในเงอนไขบงคบขอท i (ถาสมประสทธเปนลบหรอศนย ไมตองคานวณอตราสวนเพราะจะใหคาผลเฉลยทไมเปนจรง) เลอกตวแปรพนฐานทใหอตราสวนทตาทสดเปนตวแปรออก 2.1.4 เปลยนตวแปรพนฐานโดยการสลบทตวแปรเขาและตวแปรออก และทาการสรางตารางผลเฉลยชดใหม โดยใชการดาเนนการของตวหลก แลวยอนกลบไปทาขนตอนการตรวจสอบผลเฉลยเชนเดยวกบกรณทปญหาเปนการหาคาสงสด หมายเหต : กรณทเกดตวเลขเทากน ในการเลอกตวแปรเขาหรอตวแปรออก ใหเลอกตวแปรใดกไดไมวาจะเปนปญหาการหาคาสงสดหรอปญหาการหาคาตาสด 2.2 การเปลยนจากปญหาคาตาสดเปนปญหาคาสงสด นนคอ ในการหาคาตาสดของฟงกชน P สามารถหาคาสงสดของฟงกชน –P แทนกได แตคาสงสดของฟงกชน –P ทไดนจะมเครองหมายตรงขามกบการหาคาตาสดของฟงกชน P ดงนนจะไดวา minimize P = –maximize(–P) เมอทาการเปลยนจากปญหาคาตาสด เปนปญหาคาสงสดแลวจงดาเนนการตามขนตอนเชนเดยวกบกรณทปญหาเปนฟงกชนจดประสงคคาสงสด ตอไป

81

การหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซตามลกษณะของตวแบบกาหนดการเชงเสนในกรณตางๆ 1. กรณทปญหาเปนฟงกชนจดประสงคคาสงสด เพอความสะดวกในการศกษาและการทาความเขาใจสามารถแบงออกเปนกรณยอยๆ ไดดงน 1.1 เงอนไขบงคบเปนอสมการทมเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ () ทกขอ ตวอยางท 3.4 จากตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาบรษทบานสนขสวย จากด ตามตวอยางท 1.2 จงทาการแกปญหาเพอหาคาตอบสาหรบการตดสนใจดวยวธซมเพลกซ วธทา ตวแบบกาหนดการเชงเสนทแสดงปญหาของบรษทบานสนขสวย จากด เขยนไดดงน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 1,000X1 + 400X2 เงอนไขบงคบ 10X1 + 8X2 200

7X1 + 3X2 84 7X1 + 2X2 70

X1 , X2 0 1. จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 1,000X1 + 400X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 เงอนไขบงคบ 10X1 + 8X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 200

7X1 + 3X2 + 0S1+ 1S2 + 0S3 = 84 7X1 + 2X2 + 0S1+ 0S2 + 1S3 = 70

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 0 2, ตงผลเฉลยเบองตน หลงจากจดตวแบบกาหนดการเชงเสนใหอยในรปมาตรฐานแลวจะได n = จานวนตวแปรทงหมด = 5 ตว ไดแก X1 , X2 , S1 , S2 , S3 m = จานวนเงอนไขบงคบ = 3 ขอ นนคอ จานวนตวแปรพนฐานม m ตว คอ 3 ตว จานวนตวแปรไมพนฐานม n – m ตว คอ 5 – 3 = 2 ตว เมอไดทราบวาจานวนตวแปรพนฐานม 3 ตว และจานวนตวแปรไมพนฐานม 2 ตวแลวจงพจารณาตอไปวา ในบรรดาตวแปรทงหมด 5 ตว (X1, X2, S1, S2, S3) ในตารางผลเฉลย

82

เบองตนหรอตารางแรกนน มตวแปรใดบางทเปนตวแปรพนฐาน และตวแปรใดบางทเปนตวแปร ไมพนฐาน จากหลกการทอธบายไวขางตนทาใหสามารถสรปไดวา ในตารางผลเฉลยเบองตนนน มจานวนตวแปรไมพนฐาน 2 ตว ไดแก ตวแปรทจะตองหาคา คอ X1 และ X2 สวนตวแปรพนฐาน ไดแก ตวแปรทเหลอซงม 3 ตว คอ S1, S2 และ S3 จากนนนาตวแบบกาหนดการเชงเสน ซงจดอยในรปแบบมาตรฐานแลวมาทาการสรางตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1) ไดดงน ตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1) ทยงไมสมบรณ

Cj 1,000 400 0 0 0 Cb ตวแปร

พนฐาน X1 X2 S1 S2 S3 RHS(bi)

0 S1 10 8 1 0 0 200 0 S2 7 3 0 1 0 84 0 S3 7 2 0 0 1 70 Pj (Cj – Pj)

จะเหนไดวาตารางแรกของวธซมเพลกซสมประสทธของตวแปรพนฐาน (S1, S2, S3) จะเรยงกนอยในรปเมทรกซเอกลกษณเสมอ คอ

100010001

จากการนาสมประสทธของตวแปรตางๆ และคาคงททางขวามอของสมการเงอนไขบงคบในตวแบบกาหนดการเชงเสนรปแบบมาตรฐานมาจดเขาตารางการคานวณขางตน อาน ผลเฉลยไดวา S1, S2 และ S3 เปนตวแปรพนฐาน มคา 200, 84 และ 70 ตามลาดบ ตวแปรทไมไดอยในแถวตงตวแปรพนฐาน เปนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 และ X2 จะมคาเทากบศนย หรออาจอธบายในลกษณะผลเฉลยของปญหาบรษทบานสนขสวย จากด ไดวาบรษทจะไมผลตบานสนขทงสองแบบ ซงการทาเชนน ทาใหทรพยากรทงหมดของบรษทยงเหลออยเทาเดม คอจานวนไมเหลออย 200 เมตร (คา S1) เวลาทางานของแผนกประกอบเหลออย 84 นาท (คา S2) และเวลาทางานของแผนกทดสอบเหลออย 70 นาท (คา S3) ดงนนการทบรษทไมมการผลตสนคาเลยกาไรทจะไดรบจงเทากบศนย จะเหนไดวาผลเฉลยเบองตนทไดมานยงไมตองทาการคานวณแตอยางใด เพยงแตจดตวเลขทมอยเขาในตารางการคานวณและแสดงผลเฉลยออกมาเทานน สวนทตองการคานวณ

83

ไดแก คา Pj และคา (Cj – Pj) ซงคา Pj ในตวอยางน คอ ปรมาณททาใหกาไรลดลง ถามการเพมคา ตวแปรตวท j ขนหนงหนวย เชนในตวอยางน มคา X1 = 0 แสดงวา ไมมการผลตบานสนขแบบ A แตถาตองการเพมคา X1 ขนหนงหนวย คอ ตองการผลตบานสนขแบบ A เพม 1 หลง จะตองใชทงไมและเวลาในการผลต หรอกลาวไดวาจะตองไปลดคา S1, S2 และ S3 ลงเปนจานวน 10, 7 และ 7 ตามลาดบ โดยท S1, S2, S3 หมายถงทรพยากรทมอย ซงจะไมผลกระทบกบกาไรของบรษท นนคอ จะทากาไรใหแกบรษทหนวยละ 0 บาท (คา Cb) ดงนน การทลดคาของทรพยากรลงจงไมมผลกระทบตอกาไรรวม สามารถแสดงไดดงน S1 ลดลง 10 เมตร กาไรตอเมตร คอ 0 บาท ดงนน กาไรจงลดลง 0 10 = 0 บาท S2 ลดลง 7 นาท กาไรตอนาท คอ 0 บาท ดงนน กาไรจงลดลง 0 7 = 0 บาท S3 ลดลง 7 นาท กาไรตอนาท คอ 0 บาท ดงนน กาไรจงลดลง 0 7 = 0 บาท ดงนน จงสามารถคานวณคา Pj ของตวแปร X1 ได คอ 0(10) + 0(7) + 0(7) = 0 ในทานองเดยวกนจะสามารถแสดงการคานวณคา Pj ของตวแปรอนๆ ไดดงน Pj ของ X2 = 0(8) + 0(3) + 0(2) = 0 Pj ของ S1 = 0(1) + 0(0) + 0(0) = 0 Pj ของ S2 = 0(0) + 0(1) + 0(0) = 0 Pj ของ S3 = 0(0) + 0(0) + 0(1) = 0 Pj ของ RHS(bi) ซงแสดงถงกาไรรวม = 0(200) + 0(84) + 0(70) = 0 บาท จะไดตารางผลเฉลยเบองตน ทยงไมสมบรณ เพมเตมดงน ตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1) ทยงไมสมบรณ

Cj 1,000 400 0 0 0 Cb ตวแปร


0 S1 10 8 1 0 0 200 0 S2 7 3 0 1 0 84 0 S3 7 2 0 0 1 70 Pj 0 0 0 0 0 0 (Cj – Pj)

คา (Cj – Pj) ไดมาจากการนาคา Pj ทคานวณไดหกออกจากคา Cj ในแถวบนสด จาก Cj คอ กาไรตอหนวย และ Pj คอ ปรมาณททาใหกาไรลดลง ถามการเพมคาตวแปรตวท j ขนหนงหนวย ดงนน คา (Cj – Pj) จงหมายถง ปรมาณททาใหกาไรรวมหรอกาไรสทธทจะไดรบมการเปลยนแปลงไป ถามการเพมคาตวแปรตวท j ขนหนงหนวย หมายความวา ถาไมมการเพมคา

84

ตวแปรตวท j ขนหนงหนวย กาไรรวมทจะไดรบจะไมมการเปลยนแปลง ซงในทางเศรษฐศาสตร คา (Cj – Pj) หมายถง คาเสยโอกาส นนเอง (เกศน วฑรชาต, 2543 :93) เชน คา (Cj – Pj) ของ X1 = 1,000 หมายความวา ถาเพมคา X1 ขนหนงหนวย จะทาใหกาไรรวมทไดรบเพมขน 1,000 บาท แตถาไมมการเพมคา X1 ขนหนงหนวย จะตองเสยโอกาสไป 1,000 บาท และสามารถแสดงการคานวณคา (Cj – Pj) ของตวแปรอนๆ ไดดงน คา (Cj – Pj) ของ X2 = 400 – 0 = 400 คา (Cj – Pj) ของ S1 = 0 – 0 = 0 คา (Cj – Pj) ของ S2 = 0 – 0 = 0 คา (Cj – Pj) ของ S3 = 0 – 0 = 0

ดงนนจะไดตารางผลเฉลยเบองตน ทเสรจสมบรณ ดงน ตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1)

Cj 1,000 400 0 0 0 Cb ตวแปร


0 S1 10 8 1 0 0 200 0 S2 7 3 0 1 0 84 0 S3 7 2 0 0 1 70 Pj 0 0 0 0 0 0 (Cj – Pj) 1,000 400 0 0 0

อานผลเฉลยจากตาราง ไดดงน

X1 = 0 , X2 = 0 S1 = 200 , S2 = 84 , S3 = 70 maximize P = 0 3. การตรวจสอบและพฒนาผลเฉลย จากตารางซมเพลกซท 1 พบวา ยงไมใชผลเฉลยเหมาะสมทสด จงตองทาการพฒนาผลเฉลย เพราะวายงมคา (Cj – Pj) ทเปนบวกอย ไดแก คา (Cj – Pj) ของ X1 และ X2 เปน 1,000 และ 400 ตามลาดบ แสดงวาถาผลต X1 เพมขนหนงหนวยจะทาใหกาไรรวมเพมขน 1,000 บาท หรอ ถาผลต X2 เพมขนหนงหนวย จะทาใหกาไรรวมเพมขน 400 บาท ดงนน จงทาการตรวจสอบและพฒนาผลเฉลยตามขนตอน ไดดงน

85

3.1 การเลอกตวแปรเขา ใหเลอกตวแปรทมคา (Cj – Pj) เปนบวกมากทสดเปน ตวแปรเขา เพราะจะเพมคาฟงกชนจดประสงคไดมากทสด ซงตามตวอยางจะเลอกตวแปร X1 ดงนน ตวแปร X1 จงเปนตวแปรเขา 3.2 การเลอกตวแปรออก เมอเลอก X1 เขามาในตวแปรพนฐานแลว จาเปนตองเลอกตวแปรทเปนพนฐานอยเดมออกไปเปนตวแปรไมพนฐานแทนท X1 เพอทาใหจานวนตวแปรไมพนฐานมจานวนเทากบ (n–m) ตว คอ 5 – 3 = 2 ตวตามเดม การเลอกตวแปรออกทาไดโดยการคานวณอตราสวนระหวางคาคงททางขวามอ (bi) กบสมประสทธของตวแปรเขา (X1) ในเงอนไขบงคบขอท i โดยเลอกตวแปรทใหคาอตราสวนทตาทสดเปนตวแปรออก ซงอตราสวนทคานวณไดเปนดงน อตราสวนของแถว S1 =

10200 = 20

อตราสวนของแถว S2 = 7

84 = 12

อตราสวนของแถว S3 = 770 = 10

โดยสามารถอธบายไดวาในการนา X1 เขาในตวแปรพนฐานแสดงวาจะพจารณาการผลต X1 ซงในการนจะตองใชไมในการผลต 10 เมตรตอหนงหลง ดงนน ถามไมอย 200 เมตร จะสามารถผลต X1 ไดจานวน 20 หลง นอกจากนน ตองใชเวลาในแผนกประกอบ 7 ชวโมงตอหนงหลง ดงนน เวลาของแผนกประกอบทมอย 84 ชวโมง จะสามารถประกอบ X1 ไดจานวน 12 หลง และยงตองใชเวลาในแผนกทดสอบ 7 ชวโมงตอหนงหลง ดงนน เวลาของแผนกประกอบทมอย 70 ชวโมง จะสามารถทดสอบ X1 ไดจานวน 10 หลง ดวยเหตท X1 เปนตวแปรทจะเพมกาไรใหกจการไดมากทสด ดงนนยงผลต X1 ไดมากเทาไรกจะไดกาไรมากขนเทานน แตจากขอจากดของจานวนไมและเวลาทางานของแผนกตางๆ ดงไดแสดงการคานวณไวแลว จะเหนไดวาสามารถผลต X1 ไดมากทสดเพยง 10 หลงเทานน จากตารางซมเพลกซท 1 สามารถแสดงการเลอกตวแปรเขาและ ตวแปรออก ไดดงน

Cj 1,000 400 0 0 0 Cb ตวแปร


อตราสวน

1R 0 S1 10 8 1 0 0 200 2010200

2R 0 S2 7 3 0 1 0 84 127

84

3R 0 S3 7 2 0 0 1 70 10770

Pj 0 0 0 0 0 0 (Cj – Pj) 1,000 400 0 0 0

86

อตราสวนทตาทสดคอ 10 ซงเปนอตราสวนทไดมาจากเงอนไขบงคบขอท 3 ซงมตวแปรพนฐาน ไดแก S3 ดงนน S3 จงเปนตวแปรออกทจะถกนาออกจากตวแปรพนฐาน กลายเปนตวแปรไมพนฐาน ซงจะมคาเทากบศนยตอไป ตวเลขทอยในตาแหนงจดตดระหวางแนวตงทเลอกใหเปน ตวแปรเขา (X1) กบแถวทเลอกใหเปนตวแปรออก (S3) เรยกวา สมาชกตามหลก (pivotal element) ดงนน สมาชกตามหลก คอ 7 3.3 การเปลยนตวแปรพนฐาน โดยทาการสลบทกนระหวาง X1 กบ S3 แลว คานวณตวเลขในตารางใหม โดยใชการดาเนนการของตวหลก ซงมหลกวาตองสมาชกตามหลกใหมคาเปน 1 ซงในทนคอ 7 และตองทาตวเลขอนๆ ในแนวตง ไดแก 7 และ10 ใหมคาเปน 0 โดยจะแสดงการทาสมาชกตามหลกใหมคาเปน 1 ไดดงน นา

71 คณแถว 3R แลวจะไดตวเลขในแถวท 3

ใหม ( 3R ) ดงน

การคานวณ Cb ตวแปร พนฐาน

X1 X2 S1 S2 S3 RHS(bi)

1R 2R

33 71 RR 1,000 X1 1

72 0 0

71 10

จากนนทาการคานวณแถว 2R โดยตองทาสมประสทธของ X1 ในแถวนเดมเปน 7 ใหเปน 0 ทาไดโดยเอาตวเลขในแถว 2R ตงแลวลบดวย 7 คณแถว 3R จะไดตวเลขในแถว 2R ใหม ( 2R ) นนคอ 322 7RRR


X1 X2 S1 S2 S3 RHS (bi)

1R 322 7RRR 0 S2 0 1 0 1 –1 14

33 71 RR 1,000 X1 1

72 0 0

71 10

ในทานองเดยวกน ทาการคานวณแถว 1R โดยจะตองทาสมประสทธของ X1 ในแถวนเดมเปน 10 ใหเปน 0 โดยเอาตวเลขในแถว 1R ตงแลวลบดวย 10 คณแถว 3R นนคอ

311 10RRR ดงน

87


X1 X2 S1 S2 S3 RHS(bi)

311 10RRR 0 S1 0 7

36 1 0 7

10 100

322 7RRR 0 S2 0 1 0 1 –1 14

33 7

1 RR 1,000 X1 1 72 0 0

71 10

คานวณคา Pj และคา (Cj – Pj) ไดดงน Pj ของ X1 = (0)(0) + (0)(0) + (1)(1,000) = 1,000

Pj ของ X2 = (7

36 )(0) + (1)(0) + (72 )(1,000) =

7000,2

Pj ของ S1 = (1)(0) + (0)(0) + (0)(1,000) = 0 Pj ของ S2 = (0)(0) + (1)(0) + (0)(1,000) = 0

Pj ของ S3 = (7

10 )(0) + (–1)(0) + (71 )(1,000) =

7000,1

Pj ของกาไรรวม = (100)(0) + (14)(0) + (10)(1,000) = 10,000 นาคา Pj ทคานวณไดไปหกออกจากคา Cj ในแถวบนสด จะไดคา (Cj – Pj) สรปเขยนเปนตารางผลเฉลยชดทสองไดดงน ตารางซมเพลกซท 2

Cj 1,000 400 0 0 0

แถว Cb ตวแปร


311 10RRR 0 S1 0 7

36 1 0 7

10 100

322 7RRR 0 S2 0 1 0 1 –1 14

33 71 RR 1,000 X1 1

72 0 0

71 10

Pj 1,000 7000,2 0 0

7000,1 10,000

(Cj –Pj) 0 7

800 0 0 7000,1

88

จากตารางซมเพลกซท 2 มตวแปรพนฐาน ไดแก X1 = 10, S1 = 100 และ S2 = 14 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X2 = 0 และ S3 = 0 ซงสามารถอธบายตามลกษณะตวอยางนไดวา บรษทควรผลตบานสนขแบบ A จานวน 10 หลง (X1) และไมผลตบานสนขแบบ B เลย (X2) ในการผลตเชนนจะทาใหบรษทมจานวนไมเหลออย 100 เมตร (คา S1) เวลาทางานของแผนกประกอบเหลออย 14 นาท (คา S2) และเวลาทางานของแผนกทดสอบไมเหลอเลย (คา S3) และจะทากาไรใหบรษทเปนจานวน 10,000 บาท จะเหนไดวาผลเฉลยของตารางซมเพลกซท 2 นมการพฒนากาไรรวมไดสงขนมาก จาก 0 บาท เปน 10,000 บาท แตกยงไมใชกาไรรวมทสงทสดทจะทาได เพราะยงมคา (Cj – Pj) เปนบวกอย แสดงวาสามารถพฒนาผลเฉลยของตารางซมเพลกซท 2 นใหดขนอกได เนองจากม

คา (Cj – Pj) ของ X2 เพยงคาเดยวทมคาเปนบวกคอ 7

800 จงเลอก X2 เปนตวแปรเขา แสดงวา

ถาผลต X2 หนงหนวยจะเพมกาไรใหบรษท 7

800 บาท ทาการคานวณอตราสวนระหวางคาคงท

ทางขวามอ (bi) กบสมประสทธของตวแปรเขา (X2) ในเงอนไขบงคบขอท i โดยเลอกตวแปรทให คาอตราสวนทตาทสดเปนตวแปรออก ซงอตราสวนทคานวณไดเปนดงน

อตราสวนของแถว S1 =

367100

9175


14 = 14

อตราสวนของแถว X1 =

2710 = 35

จากอตราสวนทคานวณไดจะเลอก S2 เปนตวแปรออก เนองจากใหอตราสวนทตาทสด จากนนทาการพฒนาผลเฉลยใหม โดยสลบทกนระหวาง X2 กบ S2 แลวคานวณตวเลขในตารางใหม คอ การทาใหสมาชกตวหลกมคาเปน 1 แตในตารางซมเพลกซท 2 นมสมาชกตามหลกม

คาเปน 1 อยแลว และทาตวเลขอนๆ ในแนวตงไดแก 7

36 และ 72 ใหมคาเปน 0 จะไดตาราง

ผลเฉลยชดทสามดงน

89

ตารางซมเพลกซท 3 Cj 1,000 400 0 0 0



211 736 RRR 0 S1 0 0 1

736

726 28

22 RR 400 X2 0 1 0 1 -1 14

233 72 RRR 1,000 X1 1 0 0

72

73 6

Pj 1,000 400 0 7

800 7

200 11,600

(Cj – Pj) 0 0 0 7

800 7

200

การคานวณคา Pj และคา (Cj – Pj) ทาไดดงน Pj ของ X1 = (0)(0) + (0)(400) + (1)(1,000) = 1,000 Pj ของ X2 = (0)(0) + (1)(400) + (0)(1,000) = 400 Pj ของ S1 = (1)(0) + (0)(400) + (0)(1,000) = 0

Pj ของ S2 = (7

36 )(0) + (1)(400) + (72 )(1,000) =

7800

Pj ของ S3 = (726 )(0) + (–1)(400) + (

73 )(1,000) =

7200

Pj ของกาไรรวม = (28)(0) + (14)(400) + (6)(1,000) = 11,600 นาคา Pj ทคานวณไดไปหกออกจากคา Cj ในแถวบนสด จะไดคา (Cj – Pj) ดงตารางซมเพลกซท 3 จากผลเฉลยของตารางซมเพลกซท 3 คา (Cj – Pj) เปนลบและเปนศนยหมดทกคา แสดงวาไมวาจะพฒนาผลเฉลยใหดขนไดอก เพราะถานาตวแปรตวใดเขามาในตวแปรพนฐานกจะเปนการลดกาไรรวมทมอย ดงนนผลเฉลยของตารางซมเพลกซท 3 นจงเปนผลเฉลยเหมาะสมทสด สามารถอานผลเฉลยจากตาราง ไดดงน

X1 = 6 , X2 = 14 S1 = 28 , S2 = 0 , S3 = 0 maximize P = 11,600 นนคอ ในแตสปดาห บรษทบานสนขสวย จากด ควรผลตบานสนขแบบ A จานวน 6 หลง และผลตบานสนขแบบ B จานวน 14 หลง จงจะไดกาไรสงสด คอ 11,600 บาท โดยจะมไมเหลออย 28 เมตร สวนเวลาในแผนกทดสอบและแผนกประกอบจะถกใชหมดพอด

90

ดงนนจะเหนไดวาในการหาผลเฉลยของปญหาบรษทบานสนขสวย จากด ไมวาจะใชวธกราฟหรอวธซมเพลกซ เพอหาผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสน ผลเฉลยทไดจาก ทงสองวธจะมคาเทากน 1.2 เงอนไขบงคบมทงอสมการทมเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ () และเครองหมายมากกวาหรอเทากบ () ตวอยางท 3.5 จงหาผลเฉลยตวแบบกาหนดการเชงเสนตอไปน ดวยวธซมเพลกซ ฟงกชนจดประสงค maximize P = 100X1 + 50X2 เงอนไขบงคบ 3X1 + 5X2 8 4X1 + 3X2 10 X1 , X2 0 วธทา 1. จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 100X1 + 50X2 + 0S1 + 0S2 – MA เงอนไขบงคบ 3X1 + 5X2 + 1S1 + 0S2 + 0A = 8 4X1 + 3X2 + 0S1 – 1S2 + 1A = 10 X1 , X2 , S1 , S2 , A 0 2. ตงผลเฉลยเบองตน ตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1)

Cj 100 50 0 0 –M Cb ตวแปร

พนฐาน X1 X2 S1 S2 A RHS(bi)

0 S1 3 5 1 0 0 8 –M A 4 3 0 –1 1 10

Pj –4M –3M 0 M –M –10M (Cj – Pj) 100+4M 50+3M 0 –M 0

สมประสทธของตวแปรพนฐาน (S1, A) จะเรยงกนอยในรปเมทรกซเอกลกษณ

1001

91

จากตารางซมเพลกซท 1 ตวแปรพนฐาน คอ ตวแปรทปรากฏอยในชองแนวตงของตวแปรพนฐาน ไดแก S1 และ A สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 , X2 และ S2 โดยอานคาผลเฉลย ไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 S1 = 8 , S2 = 0 , A = 10 maximize P = –10M 3. ตรวจสอบและพฒนาผลเฉลย จากตารางซมเพลกซท 1 พบวา ยงไมใชผลเฉลยเหมาะสมทสด เพราะวายงมคา (Cj – Pj) เปนบวกอย ดงนนจงทาการตรวจสอบและพฒนาผลเฉลยตามขนตอนไดดงน 3.1 การเลอกตวแปรเขา ใหเลอกตวแปรทมคา (Cj – Pj) เปนบวกมากทสดเปน ตวแปรเขา คอ (100+4M) ซงเปนของตวแปร X1 ดงนนจงเลอกตวแปร X1 เปนตวแปรเขา 3.2 การเลอกตวแปรออก ทาไดโดยการคานวณอตราสวนระหวางคาคงททางขวามอ (bi) กบสมประสทธของตวแปรเขา (X1) ในเงอนไขบงคบขอท i ซงอตราสวนทคานวณไดเปนดงน


อตราสวนของแถว A = 4

10 = 2.5

จากตารางซมเพลกซท 1 สามารถแสดงการเลอกตวแปรเขาและตวแปรออก ไดดงน

Cj 100 50 0 0 –M RHS

(bi)


พนฐาน X1 X2 S1 S2 A อตราสวน

1R 0 S1 3 5 1 0 0 8 38

2R –M A 4 3 0 –1 1 10 5.24

10

Pj –4M –3M 0 M –M –10M (Cj – Pj) (100+4M) 50+3M 0 –M 0

จากการเปรยบเทยบอตราสวนจะได อตราสวนทตาทสดคอ 4

10 ซงเปนอตราสวนท

ไดมาจากตวแปรพนฐาน A ดงนนจงเลอกตวแปร A เปนตวแปรออก และสมาชกตามหลก คอตวเลข

92

ทอยในตาแหนงจดตดระหวางแนวตงทเลอกใหเปนตวแปรเขา (X1) กบแถวทเลอกใหเปนตวแปรออก (A) ดงนน สมาชกตามหลก คอ 4 3.3 การเปลยนตวแปรพนฐาน โดยทาการสลบทกนระหวาง X1 กบ A แลวคานวณตวเลขในตารางใหม โดยใชการดาเนนการของตวหลก คอ ตองทาตวเลขทเปนสมาชกตามหลก ใหมคาเปน 1 และทาตวเลขอนในแนวตง คอ 3 ใหมคาเปน 0 จะไดตารางผลเฉลยชดทสองดงน ตารางซมเพลกซท 2

Cj 100 50 0 0 –M RHS (bi)

แถว

Cb ตวแปร พนฐาน

X1 X2 S1 S2 A

211 3RRR

0 S1 0

411 1

43

43

42

22 41 RR 100 X1 1

43 0

41

41

410

Pj 100 4

300 0 4

100 4

100 250

(Cj – Pj) 0 4

100 0 4

100 )4

100(

จากตารางซมเพลกซท 2 ตวแปรพนฐาน ไดแก S1 และ X1 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X2 ,S2 และ A โดยอานคาผลเฉลยไดดงน

X1 = 4

10 = 2.5 , X2 = 0

S1 = 42 = 0.5 , S2 = 0 , A = 0

maximize P = 250 จะเหนไดวายงมคา (Cj – Pj) เปนบวกอยแสดงวาสามารถพฒนาผลเฉลยของตาราง

ซมเพลกซท 2 นใหดขนไดอก และคา (Cj – Pj) ทเปนบวก คอ 4

100 ซงเปนของตวแปร S2 ดงนน

จงเลอกตวแปร S2 เปนตวแปรเขา และสมประสทธของตวแปร S2 มคาบวกเพยงคาเดยว คอ 43

ซงเปนประสทธในแถวของตวแปร S1 จงเลอก S1 เปนตวแปรออก ดงนน สมาชกตามหลก คอ

43

ทาการสลบทกนระหวาง S2 กบ S1 แลวคานวณตารางใหม คอ ทาสมาชกตามหลกใหมคาเปน 1

และทาตวเลขอนในแถวตงไดแก 41 ใหมคาเปน 0 จะไดตารางผลเฉลยชดทสามดงน

93

ตารางซมเพลกซท 3 Cj 100 50 0 0 –M

แถว


X1 X2 S1 S2 A RHS(bi)

11 34 RR

0 S2 0 3

11 34 1

-1

32

122 )41( RRR 100 X1 1

1220

31 0

0

38

Pj 100 3

500 3

100 0

0

3800

(Cj – Pj) 0 3

350 3

100 0

–M

จากตารางซมเพลกซท 3 ตวแปรพนฐาน ไดแก S2 และ X1 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X2 ,S1 และ A และจะเหนไดวาไมมคา (Cj – Pj) ทเปนบวกแสดงวาไดผลเฉลยเหมาะสมทสดแลวและสามารถอานผลเฉลยไดดงน

X1 = 38

, X2 = 0

S1 = 0 , S2 = 32

, A = 0

maximize P = 3

800

1.3 เงอนไขบงคบเปนสมการ (=) และอสมการทมเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ () หรอเครองหมายมากกวาหรอเทากบ () ตวอยางท 3.6 จงหาผลเฉลยตวแบบกาหนดการเชงเสนตอไปนดวยวธซมเพลกซ ฟงกชนจดประสงค maximize P = 60X1 + 80X2 เงอนไขบงคบ 3X1 + 2X2 12 5X1 + X2 10 X1 + 4X2 = 8 X1 , X2 0 วธทา 1. จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 60X1 + 80X2 + 0S1 + 0S2 – MA1 – MA2

94

เงอนไขบงคบ 3X1 + 2X2 + 1S1 + 0S2 + 0A1 + 0A2 = 12 5X1 + 1X2 + 0S1 – 1S2 + 1A1 + 0A2 = 10 1X1+ 4X2 + 0S1 + 0S2 + 0A1 + 1A2 = 8 X1 , X2 , S1 , S2 , A1 , A2 0 2. ตงผลเฉลยเบองตน ตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1) Cj 60 80 0 0 –M –M

RHS(bi) แถว


X1 X2 S1 S2 A1 A2

1R 0 S1 3 2 1 0 0 0 12

2R –M A1 5 1 0 -1 1 0 10 3R –M A2 1 4 0 0 0 1 8

Pj –6M –5M 0 M –M –M –18M (Cj – Pj) (60+6M) (80+5M) 0 –M 0 0 สมประสทธของตวแปรพนฐาน (S1, A1 , A2) จะเรยงกนอยในรปเมทรกซเอกลกษณ

100010001

จากตารางซมเพลกซท 1 ตวแปรพนฐาน คอ ตวแปรทปรากฏอยในแนวตงของ ตวแปรพนฐาน ไดแก S1 , A1 และ A2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 , X2 และ S2 โดยอานคา ผลเฉลย ไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 S1 = 12 , S2 = 0 , A1 = 10 , A2 = 8 maximize P = –18M 3. ตรวจสอบและพฒนาผลเฉลย จากตารางซมเพลกซท 1 พบวา ยงไมใชผลเฉลยเหมาะสมทสด เพราะวายงมคา (Cj – Pj) เปนบวกอย ดงนนจงทาการตรวจสอบและพฒนาผลเฉลยตามขนตอนไดดงน 3.1 การเลอกตวแปรเขา ใหเลอกตวแปรทมคา (Cj – Pj) เปนบวกมากทสดเปน ตวแปรเขา คอ (60+6M) ซงเปนของตวแปร X1 ดงนนจงเลอกตวแปร X1 เปนตวแปรเขา

95

3.2 การเลอกตวแปรออก ทาไดโดยการคานวณอตราสวนระหวางคาคงททางขวามอ (bi) กบสมประสทธของตวแปรเขา (X1) ในเงอนไขบงคบขอท i ซงอตราสวนทคานวณไดเปนดงน


12 = 4

อตราสวนของแถว A1 = 5

10 = 2

อตราสวนของแถว A2 = 18 = 8

จากการเปรยบเทยบอตราสวนจะได อตราสวนทตาทสดคอ 2 ซงเปนอตราสวนทไดมาจากตวแปรพนฐาน A1 ดงนนจงเลอกตวแปร A1 เปนตวแปรออก และสมาชกตามหลก คอตวเลขทอยในตาแหนงจดตดระหวางแนวตงทเลอกใหเปนตวแปรเขา (X1) กบแถวทเลอกใหเปน ตวแปรออก (A1) ดงนน สมาชกตามหลก คอ 5 3. การเปลยนตวแปรพนฐาน โดยทาการสลบทกนระหวาง X1 กบ A1 แลวคานวณตวเลขในตารางใหม โดยใชการดาเนนการของตวหลก คอ ตองทาตวเลขทเปนสมาชกตามหลก ใหมคาเปน 1 และทาตวเลขอนๆ ในแนวตงไดแก 3 และ 1 ใหมคาเปน 0 จะไดตารางผลเฉลยชดทสองดงน ตารางซมเพลกซท 2

จากตารางซมเพลกซท 2 ตวแปรพนฐาน ไดแก S1, X1 และ A2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X2 ,S2 และ A1 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 2 , X2 = 0 S1 = 6 , S2 = 0 , A1 = 0 , A2 = 6 maximize P = 120 – 6M

Cj 60 80 0 0 –M –M RHS (bi) แถว Cb ตวแปร

พนฐาน X1 X2 S1 S2 A1 A2

211 3RRR 0 S1 0 57 1

53

53

0 6

22 51RR 60 X1 1

51 0

51

51 0 2

233 RRR –M A2 0 5

19 0 51

51

1 6

Pj 60 51960 0

560

560 –M 6120

(Cj – Pj) 0

519340 0

560

5)660(

0

96

จะเหนไดวายงมคา (Cj – Pj) เปนบวกอยแสดงวาสามารถพฒนาผลเฉลยของตารางซมเพลกซท 2 นใหดขนไดอก และคา (Cj – Pj) ทเปนบวกมากทสด คอ

519340 ซงเปนของ

ตวแปร X2 ดงนนจงเลอกตวแปร X2 เปนตวแปรเขา และทาการคานวณอตราสวนระหวางคาคงททางขวามอ (bi) กบสมประสทธของตวแปรเขา (X2) ในเงอนไขบงคบขอท i ซงอตราสวนทคานวณไดเปนดงน อตราสวนของแถว S1 =

756

730

อตราสวนของแถว X1 = 52

10 อตราสวนของแถว A2 =

1956

1930

จากอตราสวนทคานวณไดจะเลอก A2 เปนตวแปรออก เนองจากใหอตราสวนทตาทสด จะไดสมาชกตามหลก คอ

519

จากนนทาการพฒนาผลเฉลยใหม โดยสลบทกนระหวาง X2

กบ A2 แลวทาการคานวณตารางใหม คอ ทาสมาชกตามหลกใหมคาเปน 1 และทาตวเลขอนๆ ในแนวตง ไดแก

57

และ

51 ใหมคาเปน 0 จะไดตารางผลเฉลยชดทสามดงน

ตารางซมเพลกซท 3 Cj 60 80 0 0 –M –M

RHS (bi) แถว Cb ตวแปร พนฐาน

X1 X2 S1 S2 A1 A2

311 57 RRR 0 S1 0 0

1

1910

1910

197

1972

322 51 RRR 60 X1 1 0

0

194

194

191

1932

33 195 RR 80 X2 0 1

0

191

191

195

1930

Pj 60 80

0 19

160

19160

19340

19320,4

(Cj – Pj) 0 0 0 3

32

19

16019

19

34019

จากตารางซมเพลกซท 3 ตวแปรพนฐาน ไดแก S1, X1 และ X2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก S2 , A1 , และ A2 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน

X1 = 1932 , X2 =

1930

S1 = 1972 , S2 = 0, A1 = 0 , A2 = 0

maximize P = 19320,4

97

จะเหนไดวายงมคา (Cj – Pj) เปนบวกอยแสดงวาสามารถพฒนาผลเฉลยของตาราง

ซมเพลกซท 3 นใหดขนไดอก และคา (Cj – Pj) ทเปนบวกมากทสด คอ 3

32 ซงเปนของตวแปร S2

ดงนนจงเลอกตวแปร S2 เปนตวแปรเขา และทาการคานวณอตราสวนระหวางคาคงททางขวามอ(bi) กบสมประสทธของตวแปรเขา (S2) ในเงอนไขบงคบขอท i ซงอตราสวนทคานวณไดเปนดงน

อตราสวนของแถว S1 =

1019

1972 2.7


30

จากอตราสวนทคานวณไดจะเลอก S1 เปนตวแปรออก เนองจากใหอตราสวนทตา

ทสด จะไดสมาชกตามหลก คอ 1910 จากนนทาการพฒนาผลเฉลยใหม โดยสลบทกนระหวาง

S2 กบ S1 แลวทาการคานวณตารางใหม คอ ทาสมาชกตามหลกใหมคาเปน 1 และทาตวเลขอนๆ

ในแนวตงไดแก 194 และ

191 ใหมคาเปน 0 จะไดตารางผลเฉลยชดทสดงน


RHS(bi) แถว Cb ตวแปร พนฐาน

X1 X2 S1 S2 A1 A2

11 1019 RR 0 S2 0 0

1019 1

–1

107

536

122 )194( RRR 60 X1 1 0

52 0

0

9519

95304

133 191 RRR 80 X2 0 1

101 0

0

19057

95114

Pj 60 80

16 0

0

12

288

(Cj – Pj) 0 0 –16 0

–M –(M +12) จากตารางซมเพลกซท 4 ตวแปรพนฐาน ไดแก S2, X1 และ X2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก S1 , A1 , และ A2 และจะเหนไดวาไมมคา (Cj – Pj) ทเปนบวกแสดงวาไดผลเฉลยเหมาะสมทสดแลวและสามารถอานผลเฉลยไดดงน

X1 = 95

304 = 3.2 , X2 = 95

114 = 1.2

S1 = 0 , S2 = 5

36 = 7.2 , A1 = 0 , A2 = 0

maximize P = 288

98

2. กรณทปญหาเปนฟงกชนจดประสงคคาตาสด สามารถแบงออกเปนกรณยอยๆ ได ดงน 2.1 เงอนไขบงคบเปนอสมการทมเครองหมายมากกวาหรอเทากบ () ทกขอ ตวอยางท 3.7 จากตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต ตามตวอยางท 1.3 จงทาการหาผลเฉลยของปญหาดวยซมเพลกซ วธทา ตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหา คอ ฟงกชนจดประสงค minimize P = 40X1 + 100X2 เงอนไขบงคบ 40X1 + 30X2 600 35X1 + 70X2 700 X1 , X2 0 1. จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค minimize P = 40X1 + 100X2 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2 เงอนไขบงคบ 40X1 + 30X2 – 1S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 600 35X1 + 70X2 + 0S1 – 1S2 + 0A1 + 1A2 = 700 X1 , X2 , S1 , S2 , A1 , A2 0 2. ตงผลเฉลยเบองตน

ตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1) Cj 40 100 0 0 M M

RHS(bi) Cb ตวแปรพนฐาน

X1 X2 S1 S2 A1 A2

1R M A1 40 30 –1 0 1 0 600

2R M A2 35 70 0 –1 0 1 700

Pj 75M 100M –M –M M M 1,300M (Cj – Pj) 40–75M (100–100M) M M 0 0

สมประสทธของตวแปรพนฐาน (A1, A2) จะเรยงกนอยในรปเมทรกซเอกลกษณ

1001

99

จากตารางซมเพลกซท 1 ตวแปรพนฐาน คอ ตวแปรทปรากฏอยในแนวตงของ ตวแปรพนฐาน ไดแก A1 และ A2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 , X2 , S1 และ S2 โดยอาน คาผลเฉลยไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 S1 = 0 , S2 = 0 , A1 = 600 , A2 = 700 minimize P = 1,300M 3. ตรวจสอบและพฒนาผลเฉลย จากตารางซมเพลกซท 1 พบวา ยงไมใชผลเฉลยเหมาะสมทสด เพราะวายงมคา (Cj – Pj) ทเปนลบอย ดงนนจงทาการตรวจสอบและพฒนาผลเฉลยตามขนตอนไดดงน 3.1 การเลอกตวแปรเขา ใหเลอกตวแปรทมคา (Cj – Pj) เปนลบมากทสดเปน ตวแปรเขา คอ (100–100M) ซงเปนของตวแปร X2 ดงนนจงเลอกตวแปร X2 เปนตวแปรเขา 3.2 การเลอกตวแปรออก โดยการคานวณอตราสวนระหวางคาคงททางขวามอ(bi) กบสมประสทธของตวแปรเขา (X2) ในเงอนไขบงคบขอท i ซงอตราสวนทคานวณไดเปนดงน



จากการเปรยบเทยบอตราสวนจะได อตราสวนทตาทสดคอ 10 ซงเปนอตราสวนทไดมาจากตวแปรพนฐาน A2 ดงนนจงเลอกตวแปร A2 เปนตวแปรออก และสมาชกตามหลก คอตวเลขทอยในตาแหนงจดตดระหวางแนวตงทเลอกใหเปนตวแปรเขา (X2) กบแถวทเลอกใหเปน ตวแปรออก (A2) ดงนน สมาชกตามหลก คอ 70 3.3 การเปลยนตวแปรพนฐาน โดยทาการสลบทกนระหวาง X2 กบ A2 แลวคานวณตารางใหม โดยใชการดาเนนการของตวหลก นนคอ ตองทาตวเลขทเปนสมาชกตามหลก ใหมคาเปน 1 และตองทาตวเลขอนในแนวตง คอ 30 ใหมคาเปน 0 จะไดตารางผลเฉลยชดทสอง ดงน

100

ตารางซมเพลกซท 2

จากตารางซมเพลกซท 2 ตวแปรพนฐาน ไดแก A1 และ X2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 , S1 ,S2 และ A1 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน

X1 = 0 , X2 = 10 S1 = 0 , S2 = 0 , A1 = 300 , A2 = 0 minimize P = 300M + 1,000 จะเหนไดวายงมคา (Cj – Pj) เปนลบอยแสดงวาสามารถพฒนาผลเฉลยของตารางซมเพลกซท 2 นใหดขนไดอก และคา (Cj – Pj) ทเปนลบมากทสด คอ )5025( ซงเปนของตวแปร X1 ดงนนจงเลอกตวแปร X1 เปนตวแปรเขา ทาการคานวณอตราสวนระหวางคาคงททางขวามอ (bi) กบสมประสทธของตวแปรเขา (X1) ในเงอนไขบงคบขอท i ซงอตราสวนทคานวณไดเปนดงน


300 = 12


1210 = 20

จะเหนวาอตราสวนทตาทสดคอ 12 ซงเปนอตราสวนทไดมาจากตวแปรพนฐาน A1 ดงนนจงเลอกตวแปร A1 เปนตวแปรออก และสมาชกตามหลก คอ ตวเลขทอยในตาแหนงจดตดระหวางแนวตงทเลอกใหเปนตวแปรเขา (X1) กบแถวทเลอกใหเปนตวแปรออก (A1) ดงนน สมาชกตามหลก คอ 25 ทาการสลบทกนระหวาง X1 กบ A1 แลวทาการคานวณตารางใหม คอ ทาสมาชก

ตามหลกใหมคาเปน 1 และทาตวเลขอนในแนวตงไดแก 21 ใหมคาเปน 0 จะไดตารางผลเฉลยชดท

สามดงน

Cj 40 100 0 0 M M RHS(bi) Cb ตวแปร


211 30RRR

M A1 25 0 –1

73 1

73

300

22 701 RR 100 X2

21 1 0

701

0 701 10

Pj 5025 100 –M 7

103 M 7

103

000,1300

(Cj–Pj) )5025( 0 M )

7103(

0 7

1010

101


จากตารางซมเพลกซท 3 ตวแปรพนฐาน ไดแก X1 และ X2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก S1, S2 ,A1 และ A2 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 12 , X2 = 4 S1 = 0 , S2 = 0 , A1 = 0 , A2 = 0 minimize P = 880 จะเหนไดวายงมคา (Cj – Pj) เปนลบอยแสดงวาสามารถพฒนาผลเฉลยของตาราง

ซมเพลกซท 3 นใหดขนไดอก และคา (Cj – Pj) ทเปนลบมากทสด คอ 2510 ซงเปนของตวแปร

S1 ดงนนจงเลอกตวแปร S1 เปนตวแปรเขา และสมประสทธของตวแปร S1 มคาบวกเพยงคาเดยว คอ

501 ซงเปนสมประสทธในแถวของตวแปร X2 ดงนนจงเลอก X2 เปนตวแปรออก และจะได

สมาชกตามหลก คอ 501 ทาการสลบทกนระหวาง S1 และ X2 แลวคานวณตารางใหม คอ ทา

สมาชกตามหลกใหมคาเปน 1 และทาตวเลขอนในแนวตงไดแก 251 ใหมคาเปน 0 จะไดตาราง

ผลเฉลยชดทสดงน

Cj 40 100 0 0 M M RHS (bi)

Cb ตวแปรพนฐาน

X1 X2 S1 S2 A1 A2

11 251 RR 40 X1 1 0

251

175

3 251

1753

12

122 21 RRR 100 X2 0

1

501

3508

501

3508 4

Pj 40

100 2510

3556

52

3556 880

(Cj –Pj) 0 0

2510

3556 )

52( )

355635(

102


จากตารางซมเพลกซท 4 ตวแปรพนฐาน ไดแก X1 และ S1 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X2 , S2 , A1 และ A2 ซงไมมคา (Cj – Pj) ทเปนลบแสดงวาไดผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว ดงนนสามารถอานผลเฉลยไดดงน X1 = 20 , X2 = 0 S1 = 200 , S2 =0 , A1 = 0 , A2 = 0 minimize P = 800 นนคอ บรษทจะตองผลตอาหารสาเรจรปโดยใชขาว 20 กโลกรมและไมตองใชเนอในการผลตจงจะทาใหเสยคาใชจายนอยทสด คอ 800 บาท และจะเหนไดวาในการหาผลเฉลยของปญหาบรษทผลตอาหารสาเรจรป ไมวาจะใชวธกราฟหรอวธซมเพลกซ เพอหาผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสน ผลเฉลยทไดจากทงสองวธจะคาเทากน จากตวอยางขางตนสามารถหาผลเฉลยของปญหาไดอกวธ คอ การเปลยนจากปญหาคาตาสดเปนปญหาคาสงสด นนคอ ในการหาคาตาสดของฟงกชน P สามารถหาคาสงสดของฟงกชน –P แทนได แตคาสงสดของฟงกชน –P ทไดนจะมเครองหมายตรงขามกบการหาคาตาสดของฟงกชน P ดงนนจะไดวา minimize P = –maximize(–P) จากตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหา ในตวอยาง 3.7 คอ ฟงกชนจดประสงค minimize P = 40X1 + 100X2

เงอนไขบงคบ 40X1 + 30X2 600 35X1 + 70X2 700 X1 , X2 0

Cj 40 100

0 0 M M RHS (bi) Cb ตวแปร


211 )251( RRR 40 X1 1 2 0

351 0

351 20

12 50RR 0 S1 0

50 1 78 –1

78 200

Pj 40

80 0

78 0

78 800

(Cj – Pj) 0 20 0

78 M

78

103

สามารถเปลยนจากปญหาคาตาสดเปนปญหาคาสงสด ไดดงน จาก P = 40X1 + 100X2

–P = – 40X1 – 100X2

เขยนเปนตวแบบกาหนดการเชงเสนใหมไดดงน ฟงกชนจดประสงค maximize(–P) = – 40X1 – 100X2

เงอนไขบงคบ 40X1 + 30X2 600 35X1 + 70X2 700 X1 , X2 0 แสดงการหาผลเฉลยของปญหาคาสงสด ไดดงน 1. จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค maximize(–P) = – 40X1 – 100X2 + 0S1 + 0S2 – MA1 – MA2 เงอนไขบงคบ 40X1 + 30X2 – 1S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 600 35X1 + 70X2 + 0S1 – 1S2 + 0A1 + 1A2 = 700 X1 , X2 , S1 , S2 , A1 , A2 0 2. ตงผลเฉลยเบองตน

ตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1) Cj –40 –100 0 0 –M –M

RHS(bi) Cb ตวแปรพนฐาน

X1 X2 S1 S2 A1 A2

1R –M A1 40 30 –1 0 1 0 600

2R –M A2 35 70 0 –1 0 1 700

Pj –75M –100M M M –M –M –1,300M (Cj – Pj) –40+75M (–100+100M) –M –M 0 0

สมประสทธของตวแปรพนฐาน (A1, A2) จะเรยงกนอยในรปเมทรกซเอกลกษณ

1001

จากตารางซมเพลกซท 1 ตวแปรพนฐาน ไดแก A1 และ A2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 , X2 , S1 และ S2 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน

104

X1 = 0 , X2 = 0 S1 = 0 , S2 = 0 , A1 = 600 , A2 = 700 maximize(–P) = –1,300M 3. ตรวจสอบและพฒนาผลเฉลย จากตารางซมเพลกซท 1 พบวา ยงไมใชผลเฉลยเหมาะสมทสด เพราะวายงมคา (Cj – Pj) ทเปนบวกอย ดงนนจงทาการตรวจสอบและพฒนาผลเฉลยตามขนตอนไดดงน 3.1 การเลอกตวแปรเขา ใหเลอกตวแปรทมคา (Cj – Pj) เปนบวกมากทสดเปน ตวแปรเขา คอ (–100+100M) ซงเปนของตวแปร X2 ดงนนจงเลอกตวแปร X2 เปนตวแปรเขา 3.2 การเลอกตวแปรออก โดยการคานวณอตราสวนระหวางคาคงททางขวามอ (bi) กบสมประสทธของตวแปรเขา (X2) ในเงอนไขบงคบขอท i ซงอตราสวนทคานวณไดเปนดงน



จากการเปรยบเทยบอตราสวนจะได อตราสวนทตาทสดคอ 10 ซงเปนอตราสวนทไดมาจากตวแปรพนฐาน A2 ดงนนจงเลอกตวแปร A2 เปนตวแปรออก และสมาชกตามหลกคอตวเลขทอยในตาแหนงจดตดระหวางแนวตงทเลอกใหเปนตวแปรเขา (X2) กบแถวทเลอกใหเปน ตวแปรออก (A2) ดงนน สมาชกตามหลก คอ 70 3.3 การเปลยนตวแปรพนฐาน โดยทาการสลบทกนระหวาง X2 กบ A2 แลวคานวณตารางใหม คอ ตองทาตวเลขทเปนสมาชกตามหลก ใหมคาเปน 1 และตองทาตวเลขอนในแนวตง คอ 30 ใหมคาเปน 0 จะไดตารางผลเฉลยชดทสองดงน ตารางซมเพลกซท 2

Cj –40 –100 0 0 –M –M RHS(bi) Cb ตวแปร


211 30RRR

–M A1 25 0 –1

73 1

73

300

22 701 RR –100 X2

21 1 0

701

0 701 10

Pj 5025 –100 M 7310 –M

7103 000,1300

(Cj – Pj) )2510( 0 –M

7103

0 71010

105

จากตารางซมเพลกซท 2 ตวแปรพนฐาน ไดแก A1 และ X2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 , S1 ,S2 และ A1 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 0 X2 = 10 S1 = 0, S2 = 0 , A1 = 300 , A2 = 0 maximize(–P) = –(300M + 1,000) จะเหนไดวายงมคา (Cj – Pj) เปนบวกอยแสดงวาสามารถพฒนาผลเฉลยของตารางซมเพลกซท 2 นใหดขนไดอก และคา (Cj – Pj) ทเปนบวกมากทสด คอ )2510( ซงเปนของ ตวแปร X1 ดงนนจงเลอกตวแปร X1 เปนตวแปรเขา ทาการคานวณอตราสวนระหวางคาคงททางขวามอ(bi) กบสมประสทธของตวแปรเขา (X1) ในเงอนไขบงคบขอท i ซงอตราสวนทคานวณไดดงน อตราสวนของแถว A1 =

25300 = 12


1210 = 20

จากอตราสวนทตาทสดคอ 12 ซงเปนอตราสวนทไดมาจากตวแปรพนฐาน A1 ดงนน จงเลอกตวแปร A1 เปนตวแปรออก จะไดสมาชกตามหลก คอ 25 ทาการสลบทกนระหวาง X1 กบ A1 แลวคานวณตารางใหม คอ ทาสมาชกตามหลกใหมคาเปน 1 และทาตวเลขอนในแนวตง

ไดแก 21 ใหมคาเปน 0 จะไดตารางผลเฉลยชดทสามดงน


จากตารางซมเพลกซท 3 ตวแปรพนฐาน ไดแก X1 และ X2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก S1, S2 ,A1 และ A2 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 12 , X2 = 4 S1 = 0 , S2 = 0 , A1 = 0 , A2 = 0 maximize(–P) = –880

Cj –40 –100 0 0 –M –M RHS (bi)


X1 X2 S1 S2 A1 A2

11 251 RR –40 X1 1 0

251

175

3 251

1753

12

122 21 RRR –100 X2 0

1

501

3508

501

3508 4

Pj –40 –100 2510

3556

52

3556

–880

(Cj – Pj) 0 0

2510

3556

)52( )

355635(

106

จะเหนไดวายงมคา (Cj – Pj) เปนบวกอยแสดงวาสามารถพฒนาผลเฉลยของตารางซมเพลกซท 3 นใหดขนไดอก และคา (Cj – Pj) ทเปนบวกมากทสด คอ


ดงนนจงเลอกตวแปร S1 เปนตวแปรเขา และสมประสทธของตวแปร S1 มคาบวกเพยงคาเดยว คอ

501 ซงเปนสมประสทธในแถวของตวแปร X2 ดงนนจงเลอก X2 เปนตวแปรออก และจะไดสมาชก

ตวหลก คอ 501 ทาการสลบทกนระหวาง S1 กบ X2 แลวคานวณตารางใหม คอ ทาสมาชกตวหลก

ใหมคาเปน 1 และตองทาตวเลขอนในแนวตงไดแก 251

ใหมคาเปน 0 จะไดตารางผลเฉลยชดทส

ดงน ตารางซมเพลกซท 4

จากตารางซมเพลกซท 4 ตวแปรพนฐาน ไดแก X1 และ S1 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X2 ,S2 ,A1 และ A2 และไมมคา (Cj – Pj) ทเปนบวกแสดงวาไดผลเฉลยเหมาะสมทสดแลวซงสามารถอานผลเฉลยไดดงน X1 = 20 , X2 = 0 S1 = 200 , S2 = 0 , A1 = 0 , A2 = 0 maximize(–P) = –800 จาก minimize P = –maximize(–P) minimize P = – (–800) = 800 ดงนน ผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสน คอ X1 = 20 , X2 = 0 S1 = 200 , S2 = 0 , A1 = 0 , A2 = 0 minimize P = 800

Cj –40 –100 0 0 –M –M RHS (bi)


X1 X2 S1 S2 A1 A2

211 )251( RRR –40 X1 1 2 0

351

0

351 20

12 50RR 0 S1 0

50 1 78

–1 78 200

Pj –40 –80 0

78 0

78

–800

(Cj – Pj) 0 –20 0

78

–M )78(

107

จากตวอยางขางตนจะเหนไดวาในการหาผลเฉลยของปญหากาหนดการเชงเสนในกรณทเปนปญหาคาตาสด สามารถทาไดทงสองวธ และจะไดผลเฉลยทเทากน 2.2 เงอนไขบงคบมทงอสมการทมเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ () และเครองหมายมากกวาหรอเทากบ () ตวอยางท 3.8 จงหาผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสนตอไปน ดวยวธซมเพลกซ ฟงกชนจดประสงค minimize P = 120X1 + 60X2 + 200X3 เงอนไขบงคบ 2X1 + 5X2 + 3X3 30 X1 + 4X2 + 6X3 48 X1 , X2 , X3 0 วธทา 1. จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค minimize P = 120X1 + 60X2 + 200X3 + 0S1 + 0S2 + MA

เงอนไขบงคบ 2X1 + 5X2 + 3X3 + 1S1 + 0S2 + 0A = 30 1X1 + 4X2 + 6X3 + 0S1 – 1S2 + 1A = 48 X1 , X2 , X3 , S1 , S2 , A 0 2. ตงผลเฉลยเบองตน

ตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1) Cj 120 60 200 0 0 M

RHS (bi)

แถว


X1 X2 X3 S1 S2 A

1R 0 S1 2 5 3 1 0 0 30

2R M A 1 4 6 0 –1 1 48 Pj M 4M 6M 0 –M M 48M (Cj – Pj) (120–M) (60–4M) (200–4M) 0 M 0 สมประสทธของตวแปรพนฐาน (S1, A) จะเรยงกนอยในรปเมทรกซเอกลกษณ

1001

108

จากตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1) ตวแปรพนฐาน ไดแก S1 และ A สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 , X2 , X3 และ S2 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 , X3 = 0 S1 = 30 , S2 = 0 , A1 = 48 minimize P = 48M 3. ตรวจสอบและพฒนาผลเฉลย จากตารางซมเพลกซท 1 พบวา ยงไมใชผลเฉลยเหมาะสมทสด เพราะวายงมคา (Cj – Pj) เปนลบอย ดงนนจงทาการตรวจสอบและพฒนาผลเฉลยตามขนตอนดงน 3.1 การเลอกตวแปรเขา ใหเลอกตวแปรทมคา (Cj – Pj) เปนลบมากทสดเปน ตวแปรเขา คอ (60–4M) ซงเปนของตวแปร X2 ดงนนจงเลอกตวแปร X2 เปนตวแปรเขา 3.2 การเลอกตวแปรออก ทาไดโดยการคานวณอตราสวนระหวางคาคงททางขวามอ (bi) กบสมประสทธของตวแปรเขา (X2) ในเงอนไขบงคบขอท i ซงอตราสวนทคานวณไดเปนดงน


30 = 6

อตราสวนของแถว A = 448 = 12

จากการเปรยบเทยบอตราสวนจะได อตราสวนทตาทสดคอ 6 ซงเปนอตราสวนทไดมาจากตวแปรพนฐาน S1 ดงนนจงเลอกตวแปร S1 เปนตวแปรออก และมสมาชกตามหลก คอ 5 3.3 การเปลยนตวแปรพนฐาน โดยทาการสลบทกนระหวาง X2 กบ S1 แลวคานวณตวเลขในตารางใหม โดยใชการดาเนนการของตวหลก คอ ตองทาตวเลขทเปนสมาชก ตามหลก ใหมคาเปน 1 และทาตวเลขอนๆ ในแนวตง ไดแก 4 ใหมคาเปน 0 จะไดตารางผลเฉลย ชดทสองดงน

ตารางซมเพลกซท 2 Cj 120 60 200 0 0 M


X1 X2 X3 S1 S2 A

11 51 RR 60 X2

52 1

53

51 0 0 6

122 4RRR M A 53

0 5

18 54

–1 1 24

Pj 5

3120 60 518180

54300 –M M 2436

(Cj – Pj) 5

3480 0 )518820(

53004 M 0

109

จากตารางซมเพลกซท 2 ตวแปรพนฐาน ไดแก X2 และ A สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 , X3 , S1 และ S2 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 0 , X2 = 6 , X3 = 0 S1 = 30 , S2 = 0 , A1 = 24 minimize P = 36 + 24M จะเหนไดวายงมคา (Cj – Pj) เปนลบอยแสดงวาสามารถพฒนาผลเฉลยของตารางซมเพลกซท 2 นใหดขนไดอก และคา (Cj – Pj) ทเปนลบมากทสด คอ

518820 เปนของ

ตวแปร X3 ดงนนจงเลอกตวแปร X3 เปนตวแปรเขา และทาการคานวณอตราสวนระหวางคาคงททางขวามอ (bi) กบสมประสทธของตวแปรเขา (X3) ในเงอนไขบงคบขอท i ซงอตราสวนทคานวณไดเปนดงน

อตราสวนของแถว X2 = )35(6 =

10

อตราสวนของแถว A = 3

20)185(24

จากการเปรยบเทยบอตราสวนจะได อตราสวนทตาทสดคอ 320 ซงเปนอตราสวนท

ไดมาจากตวแปรพนฐาน A ดงนนจงเลอกตวแปร A เปนตวแปรออก และสมาชกตามหลก คอ 5

18

จากนนทาการพฒนาผลเฉลยใหม โดยสลบทกนระหวาง X3 กบ A แลวทาการคานวณตารางใหม คอ ทาสมาชกตามหลกใหมคาเปน 1 และทาตวเลขอนในแนวตงไดแก

53 ใหมคาเปน 0 จะไดตาราง

ผลเฉลยชดทสามดงน ตารางซมเพลกซท 3 Cj 120 60 200 0 0 M


X1 X2 X3 S1 S2 A

211 53 RRR 60 X2

21 1 0

31

61

61

2

22 185 RR 200 X3

61

0 1 92

185

185

320

Pj 3

10 60 200

9220

9

410

9410

3360,4

(Cj – Pj) 3

350 0 0 9

220 9

410 9

410

110

จากตารางซมเพลกซท 3 ตวแปรพนฐาน ไดแก X2 และ X3 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 , S1 , S2 และ A และจะเหนไดวาไมมคา (Cj – Pj) ทเปนลบแสดงวาไดผลเฉลยเหมาะสมทสดแลวและสามารถอานผลเฉลยไดดงน

X1 = 0 , X2 = 2 , X3 = 320

S1 = 0 , S2 = 0 , A1 = 0 minimize P =

3360,4

2.3 เงอนไขบงคบเปนสมการ(=) และอสมการทมเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ () หรอเครองหมายมากกวาหรอเทากบ () ตวอยางท 3.9 จงหาผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสนตอไปน ดวยวธซมเพลกซ ฟงกชนจดประสงค minimize P = 100X1 + 50X2 + 90X3 เงอนไขบงคบ 2X1 + 4X2 + X3 12 5X1 + 3X2 + 6X3 30 3X1 + X2 + 7X3 = 21 X1 , X2 , X3 0 วธทา 1. จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค minimize P = 100X1 + 50X2 + 90X3 + 0S1 + 0S2 + MA

เงอนไขบงคบ 2X1 + 4X2 + 1X3 + 1S1 + 0S1 + 0A = 12 5X1 + 3X2 + 6X3 + 0S1 + 1S2 + 0A = 30 3X1 + 1X2 + 7X3 + 0S1 + 0S2 + 1A = 21 X1 , X2 , X3 , S1 , S2 , A 0

2. ตงผลเฉลยเบองตน

111

ตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1) Cj 100 50 90 0 0 M

RHS (bi)

แถว


X1 X2 X3 S1 S2 A

0 S1 2 4 1 1 0 0 12 0 S2 5 3 6 0 1 0 30 M A 3 1 7 0 0 1 21

Pj 3M M 7M 0 0 M 21M (Cj – Pj) (100–3M) (50–M) (90–7M) 0 0 0 สมประสทธของตวแปรพนฐาน (S1, S2 , A) จะเรยงกนอยในรปเมทรกซเอกลกษณ

จากตารางซมเพลกซท 1 ตวแปรพนฐาน ไดแก S1 , S2 และ A สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 , X2 และ X3 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 , X3 = 0 S1 = 12 , S2 = 30 , A = 21 minimize P = 21M 3. ตรวจสอบและพฒนาผลเฉลย จากตารางซมเพลกซท 1 พบวา ยงไมใชผลเฉลยเหมาะสมทสด เพราะวายงมคา (Cj – Pj) เปนลบอย ดงนนจงทาการตรวจสอบและพฒนาผลเฉลยตามขนตอนดงน 3.1 การเลอกตวแปรเขา ใหเลอกตวแปรทมคา (Cj – Pj) เปนลบมากทสดเปน ตวแปรเขา คอ (90–7M) ซงเปนของตวแปร X3 ดงนนจงเลอกตวแปร X3 เปนตวแปรเขา 3.2 การเลอกตวแปรออก ทาไดโดยการคานวณอตราสวนระหวางคาคงททางขวามอ (bi) กบสมประสทธของตวแปรเขา (X3 ) ในเงอนไขบงคบขอท i ซงอตราสวนทคานวณไดเปนดงน


12 = 12

อตราสวนของแถว S2 = 630 =

5

อตราสวนของแถว A = 721 = 3

1R

2R

3R

100010001

112

จากการเปรยบเทยบอตราสวนจะได อตราสวนทตาทสดคอ 6 ซงเปนอตราสวนทไดมาจากตวแปรพนฐาน A ดงนนจงเลอกตวแปร A เปนตวแปรออก และมสมาชกตามหลก คอ 7 3.3 การเปลยนตวแปรพนฐาน โดยทาการสลบทกนระหวาง X3 กบ A แลวคานวณตารางใหม โดยใชการดาเนนการของตวหลก คอ ตองทาตวเลขทเปนสมาชกตามหลก ใหเปน 1 และทาตวเลขอนๆ ในแนวตง ไดแก 6 และ 1 ใหเปน 0 จะไดตารางผลเฉลย ชดทสองดงน ตารางซมเพลกซท 2 Cj 100 50 90 0 0 M RHS

(bi) แถว Cb ตวแปร

พนฐาน X1 X2 X3 S1 S2 A

311 RRR 0 S1 711

720 0 1 0

71

9

322 6RRR 0 S2 7

17 7

15 0 0 1 76

12

33 71 RR 90 X3

73

71 1 0 0

71 3

Pj 7

270 790 90 0 0

790 270

(Cj – Pj) 7

430

7260 0 0 0

790

จากตารางซมเพลกซท 2 ตวแปรพนฐาน คอ ไดแก S1 , S2 และ X3 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 , X2 และ A และจะเหนไดวาไมมคา (Cj – Pj) ทเปนลบแสดงวาไดผลเฉลยเหมาะสมทสดแลวและสามารถอานผลเฉลยไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 , X3 = 3 S1 = 9 , S2 = 12 , A = 0 minimize P = 270

113

บทสรป การหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซใชกบกาหนดการเชงเสนไดทกขนาด ไมวาจะเปนกาหนดการเชงเสนขนาดเลกทมตวแปรเพยง 2 ตว หรอกาหนดการเชงเสนขนาดใหญทมความซบซอน มตวแปรและเงอนไขบงคบของปญหาจานวนมาก โดยใชการคานวณทางพชคณตทเรยกวา วธซมเพลกซ ซงขนตอนเรมตนจากการเปลยนรปของตวแบบใหอยในรปแบบมาตรฐาน จากนนทาการตงผลเฉลยเบองตน แลวตรวจสอบผลเฉลยทแสดงอยวาเปนผลเฉลยทเหมาะสมหรอไม ถาผลเฉลยดงกลาวยงไมเปนผลเฉลยเหมาะสมทสด จาเปนตองพฒนาผลเฉลยใหมตอไป เปนลกษณะวธการทาซา โดยทาการคานวณซาๆ จนกวาจะไดผลเฉลยเหมาะสมทสด อยางไรกตาม ถงแมจะเปนทยอมรบกนโดยทวไปวาวธซมเพลกซเปนวธการแกปญหากาหนดการเชงเสนทมประสทธภาพและใชไดอยางกวางขวาง แตการคานวณมความยงยากและใชเวลาในการแกปญหามากเชนกน

114

แบบฝกหดบทท 3 จงหาผลเฉลยของปญหากาหนดการเชงเสนตอไปน ดวยวธซมเพลกซ 3.1 ปญหากาหนดการเชงเสนในแบบฝกหดบทท 1 ขอท 1.4 3.2 ปญหากาหนดการเชงเสนในแบบฝกหดบทท 1 ขอท 1.5 3.3 ปญหากาหนดการเชงเสนในแบบฝกหดบทท 1 ขอท 1.6 3.4 ฟงกชนจดประสงค maximize P = 2X1 + 3X2 + 5X3 เงอนไขบงคบ 2X1 + X2 + X3 500 X1 + X2 + 2X3 400 X1 , X2 , X3 0 3.5 ฟงกชนจดประสงค minimize P = 10X1 + 10X2 + 4X3 เงอนไขบงคบ 4X1 + 8X2 + 5X3 66 2X1 + 3X2 + X3 14 15X1 + 5X3 60 X1 , X2 , X3 0 3.6 ฟงกชนจดประสงค maximize P = 3X1 + 4X2 + 5X3 เงอนไขบงคบ 2X1 + X3 120 4X1 + 2X2 160 3X2 + 2X3 = 140 X1 , X2 , X3 0 3.7 ฟงกชนจดประสงค minimize P = 2X1 + 7X2 + 5X3 เงอนไขบงคบ 3X1 + 2X3 = 9 2X1 + 3X2 4 X1 + 4X2 8 X1 , X2 , X3 0

115

3.8 ฟงกชนจดประสงค maximize P = 40X1 + 5X2 + 20X3 + 100X4 เงอนไขบงคบ 5X1 + X2 15 X3 + 6X4 30 4X1 + X3 30 X1 , X2 , X3 , X4 0 3.9 ฟงกชนจดประสงค minimize P = 30X1 + 2X2 + 5X3 + 10X4 เงอนไขบงคบ 5X1 + X2 50 X3 + 6X4 12 4X1 + X3 40 X1 , X2 , X3 , X4 0 3.10 ฟงกชนจดประสงค maximize P = 36X1 + 40X2 + 20X3 + 18X4 เงอนไขบงคบ 2X1 + 6X2 + 9X3 + X4 18 8X1 + 9X2 + X3 + 5X4 20 X1 + 10X2 + 2X3 + 3X4 30 2X1 + X2 + 4X3 + X4 8 X1 , X2 , X3 , X4 0

บทท 4 การหาผลเฉลยดวยวธการใชโปรแกรมสาเรจรป

การแกปญหากาหนดการเชงเสนสองวธแรก คอ วธกราฟและวธซมเพลกซดงทไดกลาวแลวนนตางกมจดเดนและขอจากดทแตกตางกน กลาวคอ วธกราฟมจดเดนทคานวณงาย เขาใจงาย แตการนาไปใชสวนใหญจากดอยเพยงกาหนดการเชงเสนทมตวแปรเพยง 2 ตว และมเงอนไขบงคบจานวนไมมาก ในขณะทวธซมเพลกซ สามารถใชแกปญหากาหนดการเชงเสนขนาดใหญทซบซอน มตวแปรและเงอนไขบงคบเปนจานวนมากได แตวธซมเพลกซมการคานวณทคอนขางจะยงยาก ทาใหเสยเวลาในการแกปญหามาก ในปจจบนจงมผพฒนาโปรแกรมคอมพวเตอรขนมาใชเพอชวยในการคานวณใหสะดวกและรวดเรวขนทาใหสามารถประหยดเวลาและคาใชจายลงไปไดมาก การหาผลเฉลยของกาหนดการเชงเสนดวยคอมพวเตอร การแกปญหาหรอการหาผลเฉลยกาหนดการเชงเสนสองวธแรก คอ วธกราฟและ วธซมเพลกซทไดกลาวมาแลวจะมขอจากดในดานขนาดของกาหนดการเชงเสน กลาวคอ วธกราฟจะใชแกปญหาไดเฉพาะกาหนดการเชงเสนทมตวแปรและเงอนไขบงคบจานวนไมมาก สวนวธ ซมเพลกซถงแมจะสามารถแกปญหากาหนดการเชงเสนขนาดใหญทซบซอน มตวแปรและเงอนไขบงคบเปนจานวนมากไดแตเปนการคานวณดวยมอ ซงถานาไปใชแกปญหากาหนดการเชงเสนทมตวแปรหรอเงอนไขบงคบจานวนมากๆ กจะตองใชตารางการคานวณขนาดใหญทมความยงยากและใชเวลาในการคานวณไมนอย รวมทงปญหาทเกดขนนนบอยครงทตวแปรมจานวนหลายสบตวหรอเปนรอยตว และมเงอนไขบงคบหลายสบขอ ซงไมสามารถทจะคานวณดวยมอได จงไดมผพฒนาโปรแกรมคอมพวเตอรเพอชวยในการคานวณขนมามากมาย ทงทใชกบเครองคอมพวเตอรขนาดใหญ จนถงโปรแกรมขนาดเลกทใชกบเครองไมโครคอมพวเตอรได อยางไรกตาม วธการคานวณทใชในโปรแกรมคอมพวเตอรเหลานนลวนใชหลกเกณฑการคานวณของวธซมเพลกซทงสน จงอาจกลาวไดวาในขณะนวธซมเพลกซเปนวธการคานวณเพอแกปญหากาหนดการเชงเสนทมประสทธภาพสงสด โดยมโปรแกรมคอมพวเตอรเปนเครองชวยในการคานวณ ซงนอกจากแกปญหาไดรวดเรวแลว อกประเดนหนงทสาคญกคอ ถาหากมการเปลยนแปลงขอมลบางอยาง เชน ความตองการสนคา ราคาสนคาในทองตลาด กาลงการผลต อตราดอกเบย นโยบายขององคการ มาตรการบงคบของรฐบาล ฯลฯ จาเปนตองปรบปรงตวเลขหรอเงอนไขบงคบในกาหนดการเชงเสนทสรางไว การแกปญหาโดยใชโปรแกรมคอมพวเตอรจะสามารถแกไขและเปลยนแปลงกาหนดการเชงเสน และทาการคานวณผลลพธใหมไดอยางรวดเรว สามารถนาไปใชชวยในการตดสนใจไดทนตอเหตการณ

118

โปรแกรมสาเรจรปทใชในการหาผลเฉลยของกาหนดการเชงเสน โปรแกรมคอมพวเตอรสาเรจรปชวยใหการคานวณปญหากาหนดการเชงเสนขนาดใหญทาไดรวดเรวยงขน นอกจากนน โปรแกรมสาเรจรปทใชในการหาผลเฉลยของกาหนดการเชงเสนไดมผพฒนาขนมาหลายโปรแกรม ซงรายงานผลจากโปรแกรมแตละโปรแกรมกคลายๆ กน ในทนจะกลาวถงโปรแกรมสาเรจรปทใชกนแพรหลาย 3 โปรแกรม (สทธมา ชานาญเวช, 2553 : 93-94) ดงน 1. โปรแกรมสาเรจรป LINDO (Linear Interactive Discrete Optimizer) ซงเปนซอฟตแวรทเหมาะสมทสดทใชแกปญหากาหนดการเชงเสน ไดมการพฒนาอยางตอเนองมาตงแตป ค.ศ.1979 โดยไลนส ชราจ แหงมหาวทยาลยชคาโก ประเทศสหรฐอเมรกา ลกษณะเปนโปรแกรมเชงโตตอบ (interactive program) ทนยมใชกนมากเนองจากวธการใชงาย ไมซบซอน สามารถใชกบเครองไมโครคอมพวเตอรได และยงสามารถใชในการแกปญหากาหนดการเชงเสนทมขนาดใหญไดอยางหลากหลาย ในป ค.ศ.2001 บรษทลนโดซสเตม (Lindo System, Inc.) ไดเสนอโปรแกรม LINDO API (LINDO Application Programming Interface) ทคานวณไดรวดเรวและยงใชในการแกปญหากาหนดการเชงเสนขนาดใหญ ปจจบนโปรแกรม LINDO API ม 4 เวอรชน (version) โดยแยกตามขนาดของปญหา คอ 1.1 SUPER LINDO ใชกบปญหาทมตวแปรไดถง 2,000 ตว และมเงอนไขบงคบไดถง 1,000 ขอ 1.2 HYPER LINDO ใชกบปญหาทมตวแปรไดถง 8,000 ตว และมเงอนไขบงคบไดถง 4,000 ขอ 1.3 INDUSTRIAL LINDO ใชกบปญหาทมตวแปรไดถง 32,000 ตว และมเงอนไขบงคบไดถง 16,000 ขอ 1.4 EXTENDED LINDO ใชกบปญหาทมจานวนตวแปรและจานวนเงอนไขบงคบไดไมจากด 2. โปรแกรมสาเรจรป Win QM หรอ QM for Windows ใชแกปญหาตวแบบเชงปรมาณไดทงหมด 19 ตวแบบ มลกษณะเปน menu-driven software คอมเมนใหเลอกเพอชวยให งายในการใชงาน พฒนาโดยศาสตราจารยโฮวารด เวสส แหงมหาวทยาลยเทมเปล ประเทศสหรฐอเมรกา และมการพฒนาใหมประสทธภาพดขนเรอยๆ ใชแกปญหากาหนดการเชงเสนทมขนาดใหญไดสงสดถง 200 ตวแปร และ 200 เงอนไขบงคบ 3. โปรแกรมสาเรจรป Excel ในขณะทโปรแกรมสาเรจรป LINDO และโปรแกรมสาเรจรป Win QM จะมโครงสรางของ input และ output ทคอนขางคงท ไมสามารถปรบเปลยนไดมากนก แตการใชโปรแกรมสาเรจรป Excel ชวยในการแกปญหาตวแบบกาหนดการเชงเสน โดยจะ

119

สามารถออกแบบ output ไดเองตามตองการ แตจาเปนตองมความเขาใจพนฐานเกยวกบโปรแกรมสาเรจรป excel บาง ในการคานวณจะใช solver ซงเปนเครองมอบวกเขา (add-in) ตวหนง ในบทนจะขอนาเสนอการหาผลเฉลยของกาหนดการเชงเสนดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ซงเปนโปรแกรมสาเรจรปทนยมใชกนแพรหลาย และมความสะดวกในการวเคราะหขอมล การใชโปรแกรมสาเรจรป LINDO ในการใชโปรแกรมสาเรจรป LINDO นนสามารถดาวนโหลดโปรแกรมสาเรจรป LINDO เวอรชนตางๆ ไดจากอนเทอรเนตท http://www.Lindo.com ทงนสามารถดาวนโหลดเวอรชนทดลอง (trial version) ซงมขนาดเลก สามารถแกปญหาขนาดไมเกน 150 เงอนไขบงคบ และไมเกน 300 ตวแปร มาทดลองใชกอนได โปรแกรมสาเรจรป LINDO อาจแยกเปน 2 รน คอรนทใชกบระบบปฏบตการ DOS ซงผใชจะตองรจกคาสงทใชโปรแกรม คาสงทสาคญเพอใหโปรแกรมทางาน ไดแก MAX เปนการระบใหทราบวาตองการคานวณหาคาสงสด MIN เปนการระบใหทราบวาตองการคานวณหาคาตาสด SAVE เปนคาสงใหเครองจดเกบกาหนดการเชงเสนทพมพไวในแฟมขอมล (file) RETR เปนคาสงทใชเรยกแฟมขอมลทจดเกบไวมาใช LOOK เปนคาสงทใชเมอตองการดกาหนดการเชงเสนทพมพไวเรยบรอยแลว - ถาตองการดทงโปรแกรมใชคาสง LOOK ALL - ถาตองการดบรรทดใดบรรทดหนงใชคาสง LOOK ตามดวยหมายเลขบรรทด ทตองการ เชน LOOK 7 GO เปนคาสงใหทาการคานวณ ALT เปนคาสงทใชเมอตองการเปลยนแปลงกาหนดการเชงเสน เชน - เปลยนฟงกชนจดประสงค จาก MAX เปน MIN หรอตรงขาม - เปลยนสมประสทธของตวแปร - เปลยนคาคงททางขวามอของสมการเงอนไขบงคบ - เปลยนเครองหมายของสมการเงอนไขบงคบ EXT เปนคาสงทใชเมอตองการเพมเงอนไขบงคบ APPC เปนคาสงทใชเมอตองการเพมตวแปร DEL เปนคาสงใหลบเงอนไขบงคบบางขอ TABLE เปนคาสงทใชเมอตองการใหแสดงตารางการคานวณ QUIT เปนคาสงทใชเมอตองการเลกใชโปรแกรม LINDO

120

ในเวอรชนตอมาซงยงคงใชกบระบบปฏบตการ DOS มการสรางคาสง edit เพอใชในการเปลยนแปลงแกไขขอมลในแฟมทจดเกบไว ทาใหสะดวกในการแกไขกาหนดการเชงเสนทงในดานการเปลยนแปลงตวแปร สมประสทธ เครองหมาย คาขวามอ ฯลฯ โดยสามารถพมพแกไขใหมไดทนท จงไมจาเปนตองใชคาสง alt นอกจากนน โปรแกรม LINDO ในเวอรชนทใชกบระบบปฏบตการ DOS จะไมมคาสง print ถาตองการพมพใหกด ctrl P (กดปม ctrl และ P พรอมๆ กน) หลงจากทกด ctrl P แลว ขอมลทกอยางบนจอภาพจะถกพมพออกมาดวย ซงบางครงอาจจะไมตองการใหพมพจนกวากาหนดการเชงเสนทปอนขอมลเขาไปนนจะถกตองครบถวนแลว ดงนนถาตองหยดเครองพมพไวกอนเพอแกไขตวแบบกาหนดการเชงเสนหรอปอนขอมลใหม สามารถกด ctrl P อกครงเพอหยดการทางานของเครองพมพ ดงนน ctrl P จงเสมอนกบปมทใชสาหรบเปด-ปดเครองพมพนนเอง เมอมการพฒนาโปรแกรมสาเรจรป LINDO เพอใชกบระบบปฏบตการ windows การนาเขาขอมล การแกไขปรบปรงตวแบบ รวมทงการแกปญหามความสะดวกมากขน มลกษณะทเปนมตรแกผใช (use friendly) มากขนโดยไมจาเปนตองใชคาสงขางตนเลย แตจะใชแถบเครองมอ (tool bar) ใหเลอกแทน เมอเรยกโปรแกรมสาเรจรป LINDO จอภาพจะปรากฏหนากระดาษเปลาใหพมพตวแบบทสรางไว โดยดานบนจะมแถบรายการเลอก (menu bar) คอ file, edit, solve, reports, window และ help ซงไมวาจะเปนโปรแกรมสาเรจรป LINDO เวอรชนใด รปแบบของการนาเสนอผลลพธของกาหนดการเชงเสนกไมแตกตางกน ในการแกปญหากาหนดการเชงเสนโดยใชโปรแกรมสาเรจรป LINDO น กอนทจะปอนขอมลเขาคอมพวเตอร มสงสาคญ 2 ประการทควรจะตองระวง ไดแก (สมพล ทงหวา, 2544 : 108) 1. ตวแปรทกตวตามตวแบบกาหนดการเชงเสนจะตองไมเปนคาลบ และเนองจากขอกาหนดนจะเปนความจรงเสมอ (เนองจากตวแบบกาหนดการเชงเสน จะมขอจากดเกยวกบ ตวแปรทกตวจะตองไมเปนคาลบเสมอ) จงไมจาเปนตองปอนขอมลสวนนเขาไป 2. ตวแปรทกตวของเงอนไขบงคบจะตองอยดานซายมอ สวนคาคงทจะอยดานขวามอของสมการหรออสมการ กอนทจะปอนขอมลเขาคอมพวเตอรตองตรวจสอบ และถาตวแบบกาหนดการเชงเสนไมไดอยในรปแบบดงกลาว ใหปรบปรงตวแบบกาหนดการเชงเสนใหเรยบรอยเสยกอน ถาเปนขอมลใหมทไมเคยนาเขาไวกอนกตองสรางแฟมใหม โดยคลกเมน file และเลอก new และพมพตวแบบกาหนดการเชงเสนทตองการใหทาการคานวณ เพอใหงายตอการทาความเขาใจผลลพธในสวนตางๆ ของโปรมแกรม จงอธบายพรอมกบการยกตวอยางประกอบ ดงตอไปน

121

ตวอยางท 4.1 จากตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาบรษทบานสนขสวย จากด ตามตวอยางท 1.2 จงทาการหาผลเฉลยของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO วธทา จากปญหากาหนดการเชงเสนของบรษทบานสนขสวย จากด ไดสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนไวดงน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 1,000X1 + 400X2 เงอนไขบงคบ 10X1 + 8X2 200

7X1 + 3X2 84 7X1 + 2X2 70

X1 , X2 0 โดยกาหนดให X1 และ X2 แทนจานวนการผลตบานสนขแบบ A และแบบ B ตามลาดบ ในการพมพฟงกชนจดประสงคของตวแบบขางตน ใหพมพ Max หรอพมพคาเตมคอ Maximize เพอสงใหโปรแกรมคานวณหาคาสงสด จากนนพมพฟงกชนจดประสงค และเงอนไขบงคบโดยเขยนคาวา Subject to หรอ ST กอนเพอเปนการบอกใหทราบวาแถวทจะตามมาเปนสมการ หรออสมการ linear restriction ชนดตางๆ ดงน Max 1000X1 + 400X2 Subject to 10X1 + 8X2 <= 200 7X1 + 3X2 <= 84 7X1 + 2X2 <= 70 เมอพมพตวแบบกาหนดการเชงเสนขางตนเรยบรอยแลวควร save ไวกอน โดยเลอก save as ทเปนเมนยอยในเมน file แลวสงใหทาการคานวณ โดยคลก solve โปรแกรมจะคานวณหาผลเฉลยเหมาะสมทสดและจอภาพจะแสดง LINDO Solver Status ดงน

122

ภาพท 4.1 แสดง LINDO Solver Status

นอกจากน โปรแกรมจะถามวาตองการใหแสดงพสยของความไวตอการเปลยนแปลง (sensitivity range) หรอไม

ภาพท 4.2 หนาจอทแสดงเพอใหเลอกวาจะทาการวเคราะหความไวตอการเปลยนแปลงหรอไม

Max 1000X1 + 400X2 Subject to 10X1 + 8X2 <= 200 7X1 + 3X2 <= 84 7X1 + 2X2 <= 70

2 0

11600

123

ถาไมตองการใหแสดงการวเคราะหความไว (sensitivity analysis) ใหคลก No แลวโปรแกรมสาเรจรป LINDO จะแสดงผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสนดงน

ภาพท 4.3 แสดง LINDO Solution ของบรษทบานสนขสวย จากด

การวเคราะหผลเฉลยจากคอมพวเตอร จากรายงานผลเฉลยของกาหนดการเชงเสนดงแสดงในภาพท 4.3 โปรแกรมจะแสดงผลเฉลยเหมาะสมทสดของปญหากาหนดการเชงเสนของบรษทบานสนขสวย จากด สามารถอธบายไดดงน เรมจากบรรทดทมขอความวา LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 เปนการบอกวาการหาผลเฉลยของปญหานอาศยการคานวณเปนรอบตามวธซมเพลกซ โดยทาการคานวณ 2 รอบ (หรอตารางซมเพลกซสาหรบปญหานมทงหมด 3 ตาราง) บรรทดตอไปแสดงดวยขอความวา OBJECTIVE FUNCTION VALUE คอ คาของฟงกชนจดประสงค เนองจากในการคานวณจะตองกาหนดหมายเลขประจาแถวใหฟงกชนตางๆ ของตวแบบกาหนดการเชงเสนเพอใชแสดงผลลพธทคานวณได โดยเรมจากกาหนดคาฟงกชน

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 11600.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 6.000000 0.000000 X2 14.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 28.000000 0.000000 3) 0.000000 114.285713 4) 0.000000 28.571428 NO. ITERATIONS= 2

124

จดประสงคเปนแถวท 1) และเงอนไขบงคบของตางๆ เปนแถวท 2) และ 3) ตามลาดบ เปนตน ซงในตวอยางนเปนฟงกชนจดประสงคการหาคาสงสด อธบายไดดงน 1) 11,600.000 หมายความวา คาสงสดของกาไรทจะไดจากการผลตบานสนขแบบ A และแบบ B คอ 11,600 บาท ถดจากนนเปนคาของตวแปร X1 และ X2 ซงผลลพธแบงเปน 3 สดมภ (column) ไดแก VARIABLE คอ ชอของตวแปรทตองการตดสนใจ VALUE คอ คาของตวแปรทตองการตดสนใจ REDUCED COST คอ ปรมาณททาใหกาไรรวมหรอกาไรสทธทจะไดรบมการเปลยนแปลงไป ถามการเพมคาตวแปรตวท j ขนหนงหนวย (กรณปญหาคาสงสด) หรอ ปรมาณททาใหตนทนรวมหรอตนทนสทธทจะเสยไปมการเปลยนแปลง ถามการเพมคาตวแปรตวท j ขนหนงหนวย (กรณปญหาคาตาสด) ในตวอยางน VALUE ของตวแปร X1 และ X2 แสดงผลลพธดงน X1 = 6 หมายถง ผลตบานสนขแบบ A จานวน 6 หลง X2 = 14 หมายถง ผลตบานสนขแบบ B จานวน 14 หลง นนคอ จะตองผลตบานสนขแบบ A จานวน 6 หลง และผลตบานสนขแบบ B จานวน 14 หลง ซงจะทาใหไดกาไรสงสด คอ 11,600 บาท สดมภ REDUCED COST คอ ปรมาณททาใหกาไรรวมหรอกาไรสทธทจะไดรบมการเปลยนแปลงไป ถามการเพมคาตวแปรตวท j ขนหนงหนวย (กรณปญหาคาสงสด) หรอ คาเสยโอกาส ซงคาเสยโอกาสของตวแปร X1 และ X2 ในโปรแกรมเปนศนยทงค แสดงวาไมมคาเสยโอกาสเกดขน เพราะบรษทตดสนใจไดถกตองทจะผลตบานสนขแบบ A จานวน 6 หลง และแบบ B จานวน 14 หลง ซงกาไรทไดรบและทรพยากรทนามาใชในการผลตมความเหมาะสมแลว ดงนน จงสรปไดวาสาหรบตวแปรทมการผลตจะไมมคาเสยโอกาสหรอไมมกาไรทจะลดลงตอหนวย สวนตวแปรทไมมการผลต จะมคาเสยโอกาส แตถาตองการทจะผลตสนคาชนดนนจะตองทาการปรบปรงกาไรใหม คอ ตองเพมกาไรตอหนวยของสนคาชนดนน ซงจะไดอธบายในตวอยางทม คา เสยโอกาสเกดขนตอไป สวนถดไปซงประกอบดวย 3 สดมภ คอ ROW , SLACK OR SURPLUS และ DUAL PRICES ใหผลลพธ ดงน ROW คอ หมายเลขประจาแถวของเงอนไขบงคบ SLACK OR SURPLUS หมายถง ถาเปนตวแปรสวนขาด (SLACK) คอ จานวนของทรพยากรทเหลอเพราะใชไมหมด หรอ ถาเปนตวแปรสวนเกน (SURPLUS) คอ จานวนของทรพยากรทมเกนจากขอกาหนด ซงจะปรากฏอยในสดมภเดยวกนเพอประหยดเนอทในการแสดงผลลพธ เนองจากเงอนไขแตละขอจะมคาตวแปรตวใดตวหนงเทานน ถามตวแปรสวนขาดกจะไมมตวแปรสวนเกน หรอในทางกลบกน ถามตวแปรสวนเกนกจะไมมตวแปรสวนขาด จงไมม

125

ความจาเปนตองแยกแสดงเปน 2 สดมภ จากตวอยางขางตนตวแปรทไดจะเปนสวนขาด สามารถอธบายไดดงน - คาตวแปรสวนขาดในแถวท 2) เทากบ 28 หมายถง ตวแปรสวนขาดของเงอนไขบงคบเกยวกบจานวนของไมทกาหนดใหใชในการผลตไมเกน 200 เมตร ซงมคาตวแปรสวนขาดเทากบ 28 แสดงวาในการผลตบานสนขทง 2 แบบ ตามผลเฉลยเหมาะสมทสดนนจะใชไมในการผลตบานสนขตากวาขดกาหนดสงสดอย 28 เมตร หรอเหลอไมอย 28 เมตร นนเอง - คาตวแปรสวนขาดในแถวท 3) เทากบ 0 หมายถง ตวแปรสวนขาดของเงอนไขบงคบเกยวกบเวลาการทางานของแผนกประกอบ คาตวแปรสวนขาดเทากบ 0 แสดงวาในการผลตบานสนขทง 2 แบบตามผลเฉลยเหมาะสมทสดนนจะตองใชเวลาการทางานของแผนกประกอบทงหมดทมอย คอ 84 ชวโมง - คาตวแปรสวนขาดในแถวท 4) เทากบ 0 หมายถง ตวแปรสวนขาดของเงอนไขบงคบเกยวกบเวลาการทางานของแผนกทดสอบคาตวแปรสวนขาดเทากบ 0 แสดงวาในการผลตบานสนขทง 2 แบบตามผลเฉลยเหมาะสมทสดนนจะตองใชเวลาการทางานของแผนกทดสอบทงหมดทมอย คอ 70 ชวโมง DUAL PRICES หมายถง มลคาของทรพยากรททาใหฟงกชนจดประสงคเพมขนหรอลดลง เมอคาคงทดานขวามอของเงอนไขบงคบเปลยนแปลงหนงหนวย ซงจะปรากฏเมอคาตวแปรสวนขาดหรอตวแปรสวนเกนมคาเทากบ 0 มลคาของทรพยากร จะมผลตอฟงกชนจดประสงค ดงตอไปน 1. ปญหาทฟงกชนจดประสงคตองการกาไรสงสด 1.1 ถาคาคงทดานขวามอของเงอนไขบงคบเพมขนหนงหนวย - มลคาของทรพยากรมคาเปนบวก จะทาใหกาไรสงขน - มลคาของทรพยากรมคาเปนลบ จะทาใหกาไรลดลง 1.2 ถาคาคงทดานขวามอของเงอนไขบงคบลดลงหนงหนวย - มลคาของทรพยากรมคาเปนบวก จะทาใหกาไรลดลง - มลคาของทรพยากรมคาเปนลบ จะทาใหกาไรสงขน 2. ปญหาทฟงกชนจดประสงคตองการตนทนตาสด 2.1 ถาคาคงทดานขวามอของเงอนไขบงคบเพมขนหนงหนวย - มลคาของทรพยากรมคาเปนบวก จะทาใหตนทนตาลง - มลคาของทรพยากรมคาเปนลบ จะทาใหตนทนสงขน 2.2 ถาคาคงทดานขวามอของเงอนไขบงคบลดลงหนงหนวย - มลคาของทรพยากรมคาเปนบวก จะทาใหตนทนสงขน - มลคาของทรพยากรมคาเปนลบ จะทาใหตนทนตาลง

126

จากรายงานผลเฉลยของโปรแกรมสามารถ อธบายมลคาของทรพยากร ไดดงน - มลคาของทรพยากรในแถวท 2) เทากบ 0 และคาตวแปรสวนขาดเทากบ 28หมายความวา ถามการเปลยนแปลงเงอนไขบงคบเกยวกบจานวนของการใชไมหนงหนวยกจะไมมผลกระทบตอผลเฉลย เพราะยงคงใชไมนอยกวาขดจากดทมอย คอจากเดมมไมไมเกน 200 เมตร ถาเพมจานวนไมเปน 201 เมตร จานวนไมทเหลอจากการผลตจะเทากบ 29 เมตร หรอถาลดจานวนไมเปน 199 เมตร จานวนไมทเหลอจากการผลตจะเทากบ 27 เมตร ซงจะเหนไดวาจากการเพมหรอลดจานวนไมหนงหนวย จานวนไมทใชในการผลตกยงคงตากวาขดจากดอย ดงนน การเปลยนแปลงจานวนของการใชไมหนงหนวยจงมผลตอผลเฉลยเหมาะสมทสด สามารถแสดงดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงน

ภาพท 4.4 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของบรษทบานสนขสวย จากด

กรณเพมจานวนไมเปน 201 เมตร

จากภาพท 4.4 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 6 , X2 = 14 และกาไรสงสด คอ 11,600 บาท


127

ภาพท 4.5 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของบรษทบานสนขสวย จากด กรณลดจานวนไมเปน 199 เมตร

จากภาพท 4.5 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 6, X2 = 14 และกาไรสงสด คอ 11,600 บาท - มลคาของทรพยากรในแถวท 3) เทากบ 114.285 หมายความวา ถาเวลาการทางานของแผนกประกอบเพมขน 1 ชวโมง นนคอ จากเดมมเวลาไมเกน 84 ชวโมง ถาเพมเวลาการทางานของแผนกประกอบเปน 85 ชวโมง บรษทจะผลตบานสนขไดมากขนกวาผลเฉลยเหมาะสมทสดทคานวณได และจะทากาไรไดเพมขน 114.285 บาทตอทกๆ 1 ชวโมงทเพมขน จากเดมไดกาไร 11,600 บาท จะเพมเปน 11,714.285 บาท ในทางตรงกนขาม ถาลดเวลาการทางานของแผนกประกอบเปน 83 ชวโมง บรษทจะผลตบานสนขไดนอยกวาผลเฉลยเหมาะสมทสดทคานวณได และจะทาใหกาไรลดลง 114.285 บาทตอทกๆ 1 ชวโมงทลดลง จากเดมไดกาไร 11,600 บาท จะลดเหลอ 11,485.715 บาท


128

สามารถแสดงดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงน

ภาพท 4.6 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของบรษทบานสนขสวย จากด กรณเพมเวลาการทางานของแผนกประกอบเปน 85 ชวโมง

จากภาพท 4.6 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 5.714 , X2 = 15 และกาไรสงสด คอ 11,714.29 บาท


129

ภาพท 4.7 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของบรษทบานสนขสวย จากด กรณลดเวลาการทางานของแผนกประกอบเปน 83 ชวโมง

จากภาพท 4.7 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 6.286 , X2 = 13 และกาไรสงสด คอ 11,485.71 บาท - มลคาของทรพยากรในแถวท 4) เทากบ 28.571 หมายความวา ถาเวลาในการทางานของแผนกทดสอบเพมขน 1 ชวโมง จากเดมมเวลาไมเกน 70 ชวโมง ถาเพมเวลาการทางานของแผนกทดสอบเปน 71 ชวโมง บรษทจะผลตบานสนขไดมากขนกวาผลเฉลยเหมาะสมทสดทคานวณได และจะทากาไรไดเพมขน 28.571 บาทตอทกๆ 1 ชวโมงทเพมขน จากเดมไดกาไร 11,600 บาท จะเพมเปน 11,628.571 บาท ในทางตรงขาม ถาลดเวลาการทางานของแผนกทดสอบเปน 69 ชวโมง บรษทจะผลตบานสนขไดนอยกวาผลเฉลยเหมาะสมทสดทคานวณได และจะทา ใหกาไรลดลง 28.571 บาทตอทกๆ 1 ชวโมงทลดลง จากเดมไดกาไร 11,600 บาท จะลดเหลอ 11,571.429 บาท


130

สามารถแสดงดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงน


กรณเพมเวลาการทางานของแผนกทดสอบเปน 71 ชวโมง จากภาพท 4.8 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 6.429 , X2 = 13 และกาไรสงสด คอ 11,628.57 บาท


131


กรณลดเวลาการทางานของแผนกทดสอบเปน 69 ชวโมง จากภาพท 4.9 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 5.571 , X2 = 15 และกาไรสงสด คอ 11,571.43 บาท การวเคราะหมลคาของทรพยากรในแถวท 3) และ 4) จะชวยในการตดสนใจวาคาใชจายทบรษทจะตองจายในการเพมเวลาในการทางานในแตละแผนกดงกลาวไมควรเกนผลประโยชนทบรษทจะไดรบ ซงการวเคราะหดงกลาวนจะใชไดในกรณทมการเปลยนแปลง คาทางขวามอของสมการของเงอนไขบงคบขอใดขอหนงเทานน


132

ตวอยางท 4.2 จากตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต ตามตวอยางท 1.3 จงทาการหาผลเฉลยของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO วธทา จากปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต สรางตวแบบกาหนดการเชงเสนไดดงน ฟงกชนจดประสงค minimize P = 40X1 + 100X2

เงอนไขบงคบ 40X1 + 30X2 600 35X1 + 70X2 700 X1 , X2 0 ใชโปรแกรมคอมพวเตอรสาเรจรป LINDO เพอหาผลเฉลย จะไดผลลพธ ดงน

ภาพท 4.10 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 800.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 0.000000 20.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 200.000000 0.000000 3) 0.000000 -1.142857 NO. ITERATIONS= 1

133

จากรายงานผลลพธโดยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ดงแสดงในภาพท 4.10 อธบายไดดงน OBJECTIVE FUNCTION VALUE แถวท 1) 800 หมายความวา คาตาสดของตนทนในการผลตอาหารสาเรจรป คอ 800 บาท คาของตวแปร X1 และ X2 แสดงผลลพธดงน X1 = 20 หมายถง ผลตอาหารสาเรจรปโดยใชขาว 20 กโลกรม X2 = 0 หมายถง ไมตองใชเนอในการผลตอาหารสาเรจรป REDUCED COST คอ ปรมาณททาใหตนทนรวมหรอตนทนสทธทจะเสยไปมการเปลยนแปลง ถามการเพมคาตวแปรตวท j ขนหนงหนวย (กรณปญหาคาตาสด) หรอ คาเสยโอกาสซงคาเสยโอกาสของตวแปรในโปรแกรมของ X1 เทากบ 0 และ X2 เทากบ 20 แสดงวา บรษท ตดสนใจทใชขาวในผลต แตไมใชเนอในการผลต เปนการตดสนใจทถกตอง ซงทาใหเสยคาใชจายนอยทสด แตถาบรษทตองการทจะใชเนอในการผลตอาหารสาเรจรป นนคอ ตองทาการเพมคาของ X2 ขน ซงจะทาใหไปลดคา X1 ลง กลาวคอ จานวนขาวในการผลตอาหารจะลดลง ซงการกระทาเชนนไมใชทางเลอกทดทสดและจะทาใหคาใชจายเปลยนแปลงไป คอจะทาใหคาใชจายเพมขน นนคอจะตองเสยคาใชจายเพม 20 บาท ทกๆ 1 กโลกรมของเนอทเพมขน ดงนน ถาบรษทตองการทจะใชเนอในการผลตอาหารและตองการใหมตนทนไมเกนตนทนเดม (800 บาท) ตองทาการลดตนทนตอหนวยของ X2 ลง โดยจานวนทลดลงจะตองมากกวาคาเสยโอกาส ดงนน ตนทนใหมทไดตองมคานอยกวาผลตางของตนทนเดมกบคาเสยโอกาสนนเอง จากเดมตนทนเนอ 1 กโลกรม คอ 100 บาท และคาเสยโอกาส คอ 20 ดงนน จะตองทาการลดตนทนมากกวา 20 บาท หรอ ตนทนทเหลอจะตองมคานอยกวา 80 บาท (100 – 20) เชน ถาทาการลดตนทนของเนอ 1 กโลกรม ลงเหลอ 79 บาท จากปญหาเดมสามารถสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนใหม ไดดงน ฟงกชนจดประสงค minimize P = 40X1 + 79X2

เงอนไขบงคบ 40X1 + 30X2 600 35X1 + 70X2 700

X1 , X2 0 ทาการหาผลเฉลยของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงน

134

ภาพท 4.11 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต กรณลดตนทนเนอ 1 กโลกรม ลงเหลอ 79 บาท

จากภาพท 4.11 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 12 , X2 = 4 และตนทนตาสด คอ 796 บาท SLACK OR SURPLUS ในตวอยางน (ภาพท 4.10) หมายถง ตวแปรสวนเกน คอ จานวนของทรพยากรทมเกนจากขอกาหนด สามารถอธบายไดดงน - คาตวแปรสวนเกนในแถวท 2) เทากบ 200 หมายถง คาตวแปรสวนเกนของเงอนไขบงคบเกยวกบปรมาณของวตามน A มคาเทากบ 200 แสดงวาในการผลตอาหารสาเรจรปตามผลเฉลยเหมาะสมทสดนน จะไดวตามน A เกนกวาคาตาสด 200 หนวย จากเดมคาตาสด คอ 600 หนวย แสดงวาจะไดวตามน A ทงหมด 800 หนวย - คาตวแปรสวนเกนในแถวท 3) เทากบ 0 หมายถง คาตวแปรสวนเกนของเงอนไขบงคบเกยวกบปรมาณของวตามน B มคาเทากบ 0 แสดงวาในการผลตอาหารสาเรจรปตาม ผลเฉลยเหมาะสมทสดนน จะไดวตามน B เทากบคาตาสดทไดกาหนดไว คอ 700 หนวย

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 796.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 12.000000 0.000000 X2 4.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -0.020000 3) 0.000000 -1.120000 NO. ITERATIONS= 1

135

มลคาของทรพยากร ททาใหฟงกชนจดประสงคเพมขนหรอลดลง สามารถอธบายไดดงน - มลคาของทรพยากรในแถวท 2) เทากบ 0 และตวแปรสวนเกนเทากบ 200 หมายความวา ถามการเปลยนแปลงเงอนไขบงคบเกยวกบปรมาณของวตามน A หนงหนวย กจะไมมผลกระทบตอผลเฉลย เพราะยงคงมปรมาณของวตามน A มากกวาขดจากดทตองการ คอจากเดมตองการปรมาณของวตามน A ไมนอยกวา 600 หนวย ถาเพมความตองการปรมาณของวตามน A ไมนอยกวา 601 หนวย จานวนปรมาณของวตามน A ทเกนกวาขดจากดทตองการ จะเปน 201 หนวย หรอถาลดความตองการปรมาณของวตามน A ลงไมนอยกวา 599 หนวย จานวนปรมาณของวตามน A ทเกนกวาขดจากดทตองการ จะเปน 199 หนวย ซงจะเหนไดวาจากการเพมหรอลดปรมาณของวตามน A หนงหนวย ปรมาณของวตามน A กยงคงสงกวาขดจากดอย ดงนน การเปลยนแปลงจานวนของการความตองการปรมาณของวตามน A หนงหนวยจงมผลตอผลเฉลยเหมาะสมทสด สามารถแสดงดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงน

ภาพท 4.12 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต กรณเพมความตองการปรมาณของวตามน A ไมนอยกวา 601 หนวย

จากภาพท 4.12 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 20 , X2 = 0 และตนทนตาสด คอ 800 บาท

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 800.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20. 000000 0.000000 X2 0.000000 20.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 199.000000 0.000000 3) 0.000000 -1.142857 NO. ITERATIONS= 0

136

ภาพท 4.13 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต กรณลดความตองการปรมาณของวตามน A ไมนอยกวา 599 หนวย

จากภาพท 4.13 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 20 , X2 = 0 และตนทนตาสด คอ 800 บาท - มลคาของทรพยากรในแถวท 3) เทากบ –1.143 หมายความวา ถาปรมาณของวตามน B เพมขน 1 หนวย จากในการผลตอาหารสาเรจรปจะตองประกอบวตามน B อยางนอย 700 หนวย ถาเพมเปน 701 หนวย บรษทจะตองใชวตถดบในการผลตอาหารมากขนกวาผลเฉลยเหมาะสมทสดทคานวณได จงทาใหเสยคาใชจายเพมขน และจะมตนทนเพมขน 1.143 บาทตอทกๆ 1 หนวยทเพมขน จากเดมมตนทนทใช เทากบ 800 บาท จะเพมขนเปน 801.143 บาท ในทางตรงขาม ถาปรมาณของวตามน B ลดลง 1 หนวย จากอยางนอย 700 หนวย ลดลงเปน 699 หนวย บรษทจะตองใชวตถดบในการผลตอาหารนอยกวาผลเฉลยเหมาะสมทสด จงทาใหเสยคาใชจายนอยลง ซงจะทาใหตนทนลดลง 1.143 บาทตอทกๆ 1 หนวยทลดลง จากเดมมตนทนทใช 800 บาท จะลดลงเหลอ 798.857 บาท สามารถแสดงดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงน

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 800.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20. 000000 0.000000 X2 0.000000 20.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 201.000000 0.000000 3) 0.000000 -1.142857 NO. ITERATIONS= 0

137

ภาพท 4.14 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต กรณเพมปรมาณของวตามน B เปนอยางนอย 701 หนวย

จากภาพท 4.14 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 20.029 , X2 = 0 และตนทนตาสด คอ 801.143 บาท


138

ภาพท 4.15 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต

กรณลดปรมาณของวตามน B เปนอยางนอย 699 หนวย จากภาพท 4.15 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 19.971 , X2 = 0 และตนทนตาสด คอ 798.857 บาท ตวอยางท 4.3 จากตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาดานเกษตรกรรม ตามตวอยางท 1.4 จงทาการหาผลเฉลยของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO วธทา จากปญหาดานเกษตรกรรม ไดสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนไวดงน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 250X1 + 150X2 เงอนไขบงคบ 800X1 + 600X2 12,000 30X1 + 10X2 300 X1 , X2 0

นาไปหาผลเฉลยของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงน


139

ภาพท 4.16 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาดานเกษตรกรรม

จากรายงานผลลพธโดยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ในภาพท 4.16 อธบายไดดงน OBJECTIVE FUNCTION VALUE แถวท 1) 3,300 หมายความวา คาสงสดของกาไรในการตดสนใจซอพนทมาใชในการปลกออยและมนสาปะหลง คอ 3,300 บาท คาของตวแปร X1 และ X2 แสดงผลลพธดงน X1 = 6 หมายถง จานวนพนททซอมาใชในการปลกออย คอ 6 ไร X2 = 12 หมายถง จานวนพนททซอมาใชในการปลกมนสาปะหลง คอ 12 ไร คา REDUCED COST คอ คาเสยโอกาสของตวแปร X1 และ X2 ในโปรแกรมเปนศนยทงค เพราะเกษตรกรรายนตดสนใจไดถกตองทจะซอพนทมาใชในการปลกออย 6 ไร และปลก มนสาปะหลง 12 ไร แสดงวากาไรทไดรบและทรพยากรทนามาใชในการปลกพชมความเหมาะสมแลวคาเสยโอกาสจงไมเกดขน คา SLACK OR SURPLUS ในตวอยางนหมายถง ตวแปรสวนขาด คอ จานวนของทรพยากรทเหลอเพราะใชไมหมด สามารถอธบายไดดงน - คาตวแปรสวนขาดในแถวท 2) เทากบ 0 หมายถง ตวแปรสวนขาดของเงอนไขบงคบเกยวกบทนในการเพาะปลกคาตวแปรสวนขาดเทากบ 0 แสดงวาการปลกออยและ

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3300.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 6.000000 0.000000 X2 12.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.200000 3) 0.000000 3.000000 NO. ITERATIONS= 2

140

มนสาปะหลง ตามผลเฉลยเหมาะสมทสดนนจะตองใชทนในการเพาะปลกทงหมดทมอย คอ 12,000 บาท - คาตวแปรสวนขาดในแถวท 3) เทากบ 0 หมายถง ตวแปรสวนขาดของเงอนไขบงคบเกยวกบเวลาสาหรบการเพาะปลก คาตวแปรสวนขาดเทากบ 0 แสดงวาการปลกออยและ มนสาปะหลง ตามผลเฉลยเหมาะสมทสดนนจะตองใชเวลาสาหรบการเพาะปลกทงหมดทมอย คอ 300 ชวโมง มลคาของทรพยากร ททาใหฟงกชนจดประสงคเพมขนหรอลดลง สามารถอธบายไดดงน - มลคาของทรพยากรในแถวท 3) เทากบ 0.200 หมายความวา ถาทนในการเพาะปลกเพมขน 1 บาท นนคอ จากเดมมทนไมเกน 12,000 บาท ถาเพมทนในการเพาะปลกเปน12,001 บาท เกษตรกรจะซอพนทในการปลกออยและมนสาปะหลงไดมากขนกวาผลเฉลยเหมาะสมทสดทคานวณได และจะทากาไรไดเพมขน 0.200 บาทตอทกๆ 1 บาททเพมขน จากเดมไดกาไร 3,300 บาท จะเพมเปน 3,300.200 บาท ในทางตรงกนขาม ถาลดทนในการเพาะปลกเปน 11,999 บาท เกษตรกรจะซอพนทในการปลกออยและมนสาปะหลงไดนอยกวาผลเฉลยเหมาะสมทสดทคานวณได และจะทาใหกาไรลดลง 0.200 บาทตอทกๆ 1 บาททลดลง จากเดมไดกาไร 3,300 บาท จะลดเหลอ 3,299.8 บาท สามารถแสดงดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงน

ภาพท 4.17 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาดานเกษตรกรรม กรณเพมทนในการเพาะปลกเปน 12,001 บาท

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3300.200 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 5.999000 0.000000 X2 12.003000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.200000 3) 0.000000 3.000000 NO. ITERATIONS= 0

141

จากภาพท 4.17 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 5.999 , X2 = 12.003 และกาไรสงสด คอ 3,300.200 บาท

ภาพท 4.18 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาดานเกษตรกรรม กรณลดทนในการเพาะปลกเปน 11,999 บาท

จากภาพท 4.18 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 6.001 , X2 = 11.997 และกาไรสงสด คอ 3,299.800 บาท - มลคาของทรพยากรในแถวท 4) เทากบ 3.000 หมายความวา ถาเวลาสาหรบการเพาะปลกเพมขน 1 ชวโมง นนคอ จากเดมมเวลาไมเกน 300 ชวโมง ถาเพมเวลาสาหรบการเพาะปลกเปน 301 ชวโมง เกษตรกรจะซอพนทในการปลกออยและมนสาปะหลงไดมากขนกวา ผลเฉลยเหมาะสมทสดทคานวณได และจะทากาไรไดเพมขน 3.000 บาทตอทกๆ 1 ชวโมงทเพมขน จากเดมไดกาไร 3,300 บาท จะเพมเปน 3,303 บาท ในทางตรงกนขาม ถาลดเวลาสาหรบการเพาะปลกเปน 299 บาท เกษตรกรจะซอพนทในการปลกออยและมนสาปะหลงไดนอยกวา ผลเฉลยเหมาะสมทสดทคานวณได และจะทาใหกาไรลดลง 3.000 บาทตอทกๆ 1 ชวโมงทลดลง จากเดมไดกาไร 3,300 บาท จะลดเหลอ 3,297 บาท สามารถแสดงดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงน



142

ภาพท 4.19 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาดานเกษตรกรรม กรณเพมเวลาสาหรบการเพาะปลกเปน 301 ชวโมง

จากภาพท 4.19 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 6.060 , X2 = 11.920 และกาไรสงสด คอ 3,303 บาท


143

ภาพท 4.20 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการเกษตรกรรม กรณลดเวลาสาหรบการเพาะปลกเปน 299 ชวโมง

จากภาพท 4.20 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 5.940 , X2 = 12.080 และกาไรสงสด คอ 3,297 บาท

การหาผลเฉลยของกาหนดการเชงเสนจากปญหาลกษณะตางๆ ดวยโปรแกรมสาเรจรป ตวแบบกาหนดการเชงเสนเปนตวแบบทมการประยกตกบปญหาลกษณะตางๆ อยางกวางขวาง ผเรยนจงควรฝกฝนใหมระบบในการคด การสราง และการวเคราะหตวแบบกาหนดการเชงเสนจากปญหาลกษณะตางๆ เพอใหมกระบวนการคดแกปญหาทมหลกเกณฑโดยใชตวแบบกาหนดการเชงเสน ในหวขอนจะแสดงการหาผลเฉลยของกาหนดการเชงเสนจากปญหาลกษณะตางๆ ดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ดงน


144

ตวอยางท 4.4 จากตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาการกาหนดสดสวนการผลต ตามตวอยางท 1.5 จงทาการหาผลเฉลยของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO วธทา จากปญหาการกาหนดสดสวนการผลต ไดสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนไวดงน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 20X1 + 15X2 + 30X3 เงอนไขบงคบ 4X1 + 6X2 + 8X3 600 7X1 + 5X2 + 3X3 800 9X1 + 8X2 + 10X3 1,000 X1 , X2 , X3 0 นาไปหาผลเฉลยของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงน

ภาพท 4.21 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการกาหนดสดสวนการผลต

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 2562.500 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 62.500000 0.000000 X2 0.000000 8.125000 X3 43.750000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 2.187500 3) 231.250000 0.000000 4) 0.000000 1.250000 NO. ITERATIONS= 2

145

จากผลลพธของโปรแกรมสาเรจรป LINDO ขางตนสรปไดวา บรษทผลตของเลนควรกาหนดปรมาณการผลตของเลนชนดท 1 จานวน 62.50 ชน ของเลนชนดท 3 จานวน 43.75 ชน และไมมการผลตสวนของเลนชนดท 2 โดยจะทาใหไดกาไรมากทสดเทากบ 2,562.50 บาท ตวอยางท 4.5 จากตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาการเลอกสอโฆษณา ตามตวอยางท 1.6 จงทาการหาผลเฉลยของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO วธทา จากปญหาการเลอกสอโฆษณา ไดสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนไวดงน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 20,000X1 + 15,000X2 + 30,000X3 เงอนไขบงคบ 1,500X1 + 3,000X2 + 5,000X3 500,000 X1 100 X2 100 X3 200 X1 10 X2 10

X3 20 X1 , X2 , X3 0 นาไปหาผลเฉลยของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงน

146

ภาพท 4.22 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการเลอกสอโฆษณา

จากผลเฉลยขางตนสรปไดวา บรษทผจาหนายโทรศพทมอถอควรโฆษณาทางหนงสอพมพเปนจานวน 100 ครง โฆษณาทางวทยเปนจานวน 10 ครง และโฆษณาทางโทรทศนเปนจานวน 64 ครง โดยคาดวาจะมผไดรบขอมลจากสอโฆษณามากทสดทงหมด 4,070,000 คน

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 4070000.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 100.000000 0.000000 X2 10.000000 0.000000 X3 64.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 6.000000 3) 0.000000 11000.000000 4) 90.000000 0.000000 5) 136.000000 0.000000 6) 90.000000 0.000000 7) 0.000000 -3000.000000 8) 44.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 3

147

ตวอยางท 4.6 จากตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาการจดสรรเงนลงทน ตามตวอยางท 1.7 จงทาการหาผลเฉลยของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO วธทา จากปญหาการจดสรรเงนลงทน ไดสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนไวดงน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 0.04X1 + 0.05X2 + 0.10X3 + 0.02X4 เงอนไขบงคบ X1 500,000 X4 100,000 X1 + X4 1,800,000 X2 700,000

X3 400,000 X2 + X3 1,000,000

X1 + X2 + X3 + X4 = 2,500,000 X1 , X2 , X3 , X4 0 นาไปหาผลเฉลยของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงน

148

ภาพท 4.23 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการจดสรรเงนลงทน จากผลเฉลยขางตนสรปไดวา นายปรชาควรนาเงน 2,500,000 บาท ไปลงทน ดงน จานวนเงนทฝากธนาคาร = 1,400,000 บาท จานวนเงนทซอสลากออมสนชนดพเศษ = 600,000 บาท จานวนเงนทซอหน = 400,000 บาท จานวนเงนทซอทอง = 100,000 บาท โดยจะเกดผลตอบแทนสงสดเทากบ 128,000 บาท

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 128000.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1400000.000000 0.000000 X2 600000.000000 0.000000 X3 400000.000000 0.000000 X4 100000.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 900000.000000 0.000000 3) 0.000000 -0.020000 4) 300000.000000 0.000000 5) 100000.000000 0.000000 6) 0.000000 0.050000 7) 0.000000 0.010000 8) 0.000000 0.040000 NO. ITERATIONS= 5

149

ตวอยางท 4.7 จากตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาดานโภชนาการ ตามตวอยางท 1.8 จงทาการหาผลเฉลยของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO วธทา จากปญหาดานโภชนาการ ไดสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนไวดงน ฟงกชนจดประสงค minimize P = 6X1 + 7X2 + 9X3 + 4X4 เงอนไขบงคบ 450X1 + 400X2 + 580X3 + 300X4 1,000 450X1 + 400X2 + 580X3 + 300X4 2,000 20X1 + 50X2 + 40X3 + 15X4 100 30X1 + 20X3 + 50X4 50 10X1 + 5X2 + 20X3 + 10X4 60 90X1 + 70X2 + 50X3 40 X1 , X2 , X3 , X4 0 นาไปหาผลเฉลยของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงน

150

ภาพท 4.24 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาดานโภชนาการ

จากผลเฉลยขางตนสรปไดวา ในอาหารกลางวน 1 มอของนกกฬา ผจดการทมควรจดใหมอาหารชนดท 2 จานวน 0.571 หนวย และอาหารชนดท 4 จานวน 4.761 หนวย จงจะมคณคาอาหารตามทนกโภชนาการแนะนา โดยจะมตนทนตาทสดเทากบ 23.047 บาท

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 23.04762 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 8.809524 X2 0.571429 0.000000 X3 0.000000 2.857143 X4 4.761905 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 657.142883 0.000000 3) 342.857147 0.000000 4) 0.000000 -0.266667 5) 188.095245 0.000000 6) 9.523809 0.000000 7) 0.000000 0.090476 NO. ITERATIONS= 6

151

ตวอยางท 4.8 จากตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาการขนสง ตามตวอยางท 1.9 จงทาการหาผลเฉลยของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO วธทา จากปญหาการขนสง ไดสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนไวดงน ฟงกชนจดประสงค minimize P = 5X11 + 8X12 + 3X13 + 6X21 + 10X22 + 2X23 เงอนไขบงคบ X11 + X12 + X13 = 6,000 X21 + X22 + X23 = 8,000 X11 + X21 = 4,000 X12 + X22 = 7,000 X13 + X23 = 3,000 Xij 0 (i = 1, 2) ( j = 1, 2, 3) นาไปหาผลเฉลยของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงน

152

ภาพท 4.25 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการขนสง

จากผลเฉลยขางตนสรปไดวา การจดสงสนคาทผลตไดจากโรงงานทงสองแหงไปเกบทคลงสนคา 3 แหง เปนดงน จานวนสนคาสงจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 2 = 6,000 หนวย จานวนสนคาสงจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 1 = 4,000 หนวย จานวนสนคาสงจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 2 = 1,000 หนวย จานวนสนคาสงจากโรงงานท 2 ไปคลงสนคาท 3 = 3,000 หนวย โดยไมมการสงสนคาจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 1 และจากโรงงานท 1 ไปคลงสนคาท 3 ซงจะกอใหเกดคาใชจายในการขนสงสนคารวมตาสดเทากบ 88,000 บาท

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 88000.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 1.000000 X12 6000.000000 0.000000 X13 0.000000 3.000000 X21 4000.000000 0.000000 X22 1000.000000 0.000000 X23 3000.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 -2.000000 4) 0.000000 -4.000000 5) 0.000000 -8.000000 6) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2

153

ตวอยางท 4.9 จากตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาการกาหนดงาน ตามตวอยางท 1.10 จงทาการหาผลเฉลยของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO วธทา จากปญหาการกาหนดงาน ไดสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนไวดงน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 8X11 + 9X12 + 9X13 + 4X21 + 6X22 + 7X23 + 8X31 + 8X32 + 7X33 เงอนไขบงคบ X11 + X12 + X13 = 1 X21 + X22 + X23 = 1 X31 + X32 + X33 = 1 X11 + X21 + X31 = 1 X12 + X22 + X32 = 1 X13 + X23 + X33 = 1 Xij = 0 หรอ 1 ( i = 1, 2, 3) และ ( j = 1, 2, 3) นาไปหาผลเฉลยของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงน

154

ภาพท 4.26 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการกาหนดงาน จากผลเฉลยขางตนสรปไดวา ทางธนาคารแหงนควรมอบหมายงานใหพนกงานทง 3 คน ดงน

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 7 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 24.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 1.000000 X12 1.000000 0.000000 X13 0.000000 1.000000 X21 0.000000 2.000000 X22 0.000000 0.000000 X23 1.000000 0.000000 X31 1.000000 0.000000 X32 0.000000 0.000000 X33 0.000000 2.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 -3.000000 4) 0.000000 -1.000000 5) 0.000000 9.000000 6) 0.000000 9.000000 7) 0.000000 10.000000 NO. ITERATIONS= 7

155

การมอบหมายใหพนกงานคนท 1 ทางานท 2 การมอบหมายใหพนกงานคนท 2 ทางานท 3 การมอบหมายใหพนกงานคนท 3 ทางานท 1 โดยคะแนนรวมของพนกงานทง 3 คนเมอไดรบการมอบหมายงานแลวทมคามากทสดเทากบ 24 คะแนน ตวอยางท 4.10 จากตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาการจดสรรพนกงาน ตามตวอยางท 1.11 จงทาการหาผลเฉลยของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO วธทา จากปญหาการจดสรรพนกงาน ไดสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนไวดงน ฟงกชนจดประสงค minimize P = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6

เงอนไขบงคบ X1 + X6 4 X1 + X2 6 X2 + X3 10 X3 + X4 8 X4 + X5 12 X5 + X6 7 X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 0 นาไปหาผลเฉลยของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงน

156

ภาพท 4.27 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการจดสรรพนกงาน จากผลเฉลยขางตนสรปไดวา รานอาหารฟาสตฟดควรจางพนกงาน 5 ชวงเวลา คอ ชวงเวลาท 2-6 ดวยจานวน 6 คน, 4 คน, 4 คน, 8 คน และ 4 คน ตามลาดบ โดยมจานวนพนกงานททางานในแตชวงเวลารวมกนแลวนอยทสดเทากบ 26 คน

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 26.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 0.000000 X2 6.000000 0.000000 X3 4.000000 0.000000 X4 4.000000 0.000000 X5 8.000000 0.000000 X6 4.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -1.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 -1.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 -1.000000 7) 5.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 6

157

บทสรป การใชโปรแกรมสาเรจรปชวยในการหาผลเฉลยของกาหนดการเชงเสนเปนสงทจาเปนอยางยง เนองจากปญหาตางๆ ทเกดขนนนอาจจะมขนาดใหญ ยงยากซบซอน ทงในดานของจานวนตวแปรและเงอนไขบงคบของปญหา รวมทงถามการเปลยนแปลงขอมลบางอยาง เชน ราคาสนคาในทองตลาด ความตองการสนคา อตราดอกเบย นโยบายของรฐบาล เปนตน จาเปนตองปรบปรงตวเลขหรอเงอนไขในตวแบบกาหนดการเชงเสนทสรางไว การแกปญหาโดยใชโปรแกรมสาเรจรปจะสามารถแกไขและเปลยนแปลงกาหนดการเชงเสน และทาการคานวณผลลพธใหมไดรวดเรว สามารถนาไปใชชวยในการตดสนใจไดทนตอเหตการณ นอกจากน ในปจจบนโปรแกรมสาเรจรปทพฒนาขนมามหลากหลายและหามาใชได ไมยาก ถาเปนปญหาทไมซบซอนมากสามารถใชโปรแกรมสาเรจรป LINDO ทกลาวไวในบทนมาใชแกปญหาได ทงนควรพจารณาใหเหมาะสมกบลกษณะของปญหาและความถนดของผตดสนใจ

158

แบบฝกหดบทท 4 จงหาผลเฉลยของปญหากาหนดการเชงเสนตอไปน ดวยวธการใชโปรแกรมสาเรจรป LINDO 4.1 ปญหากาหนดการเชงเสนในแบบฝกหดบทท 1 ขอท 1.7 4.2 ปญหากาหนดการเชงเสนในแบบฝกหดบทท 1 ขอท 1.8 4.3 ปญหากาหนดการเชงเสนในแบบฝกหดบทท 1 ขอท 1.9 4.4 ปญหากาหนดการเชงเสนในแบบฝกหดบทท 1 ขอท 1.10 4.5 ฟงกชนจดประสงค maximize P = 180X1 + 220X2 + 120X3 เงอนไขบงคบ 4X1 + 3X2 + 2X3 600 7X1 + 9X2 + 2X3 1,000 8X1 + 7X2 + 12X3 1,200 3X1 + 8X2 + 12X3 500 X1 , X2 , X3 0 4.6 ฟงกชนจดประสงค minimize P = 150X1 + 120X2 + 50X3 เงอนไขบงคบ 5X1 + 3X2 + 2X3 1,600 9X1 + 9X2 + 2X3 4,000 8X1 + 6X2 + 12X3 1,200 3X1 + 10X2 + 12X3 3,600 X1 , X2 , X3 0 4.7 ฟงกชนจดประสงค maximize P = 500X1 + 600X2 + 900X3 + 200X4

เงอนไขบงคบ 20X1 + 10X2 + 5X3 + 6X4 1,500 30X1 + 5X2 + 30X3 + 25X4 = 2,400 40X1 + 5X2 + 15X3 + 60X4 3,200 15X1 + 20X2 + 50X3 + 55X4 1,500

X1 , X2 , X3 , X4 0

159

4.8 ฟงกชนจดประสงค minimize P = 50X1 + 100X2 + 600X3 + 100X4

เงอนไขบงคบ 10X1 + 15X2 + 50X3 + 20X4 2,550 30X1 + 50X2 + 30X3 + 5X4 2,000 20X1 + 15X2 + 15X3 + 80X4 = 3,200 5X1 + 20X2 + 70X3 + 15X4 3,120

X1 , X2 , X3 , X4 0 4.9 ฟงกชนจดประสงค maximize P = 150X1 + 500X2 + 200X3 + 1,200X4 + 750X5

เงอนไขบงคบ 150X1 + 120X2 + 250X3 + 200X4 + 400X5 22,550 50X1 + 320X2 + 500X3 + 100X4 + 150X5 45,000 400X1 + 150X2 + 200X3 + 700X4 + 100X5 = 15,550

350X1 + 700X2 + 300X3 + 200X4 + 900X5 82,500 250X1 + 300X2 + 250X3 + 800X4 + 400X5 23,500

X1 , X2 , X3 , X4 , X5 0 4.10 ฟงกชนจดประสงค minimize P = 250X1 + 3,500X2 + 2,000X3 + 1,800X4 + 1,750X5

เงอนไขบงคบ 150X1 + 120X2 + 250X3 + 200X4 + 400X5 35,550 850X1 + 320X2 + 500X3 + 100X4 + 150X5 45,000 400X1 + 150X2 + 200X3 + 700X4 + 100X5 = 55,550

650X1 + 750X2 + 350X3 + 200X4 + 900X5 80,500 550X1 + 300X2 + 250X3 + 850X4 + 400X5 55,500

X1 , X2 , X3 , X4 , X5 0

บทท 5 ปญหาคกนและการวเคราะหความไว

นกคณตศาสตรไดคนพบวาปญหากาหนดการเชงเสนทกปญหาจะมกาหนดการเชงเสนอกปญหาหนงคกนมาเสมอ โดยเรยกปญหาทมอยวา ปญหาเดม (primal problem) สวนอกปญหาทมลกษณะตรงกนขามจะเรยกวา ปญหาคกน (dual problem) เชน ถาปญหาเดมเปนปญหาคา สงสด ปญหาคกนจะเปนปญหาคาตาสด ในทางกลบกน ถาปญหาเดมเปนปญหาคาตาสด ปญหาคกนจะเปนปญหาคาสงสด เปนตน โดยการศกษาความสมพนธของปญหาทงสองมประโยชนอยางยงในหลายๆ ดาน เชน เปนการสรางทางเลอกในการคานวณ เนองจากการคานวณผลเฉลยของปญหาหนงสามารถใหคาผลเฉลยของอกปญหาหนงได นอกจากนน ยงสามารถนาไปใชกบการวเคราะหความไวตอการเปลยนแปลง ซงเปนการอธบายวาผลเฉลยเหมาะสมทสดของปญหาตางๆ ไวตอการเปลยนแปลงลกษณะตางๆ หรอไม กลาวคอ ถาเกดการเปลยนแปลงบางอยางขนในปญหาจะกระทบตอผลเฉลยเหมาะสมทสดและจดประสงคของปญหาหรอไม อยางไร รวมทงใหขอมลเกยวกบทรพยากรทมจากดในปญหานนๆ เพอทจะไดมแนวทางและวธการจดสรรหรอการบรหารทรพยากรนนๆ อยางไรจงจะทาใหเกดประโยชนไดเตมท หลกการสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกนจากปญหาเดม หลกการสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกนจากปญหาเดม สรปไดดงน 1. จานวนเงอนไขบงคบในปญหาเดม จะเทากบจานวนตวแปรในปญหาคกน 2. จานวนตวแปรในปญหาเดม จะเทากบจานวนเงอนไขบงคบในปญหาคกน 3. ถาปญหาเดมเปนปญหาคาสงสด ปญหาคกนจะเปนปญหาคาตาสด และถาปญหาเดมเปนปญหาคาตาสด ปญหาคกนจะเปนปญหาคาสงสด 4. คาทางขวามอของเงอนไขบงคบขอท i ในปญหาเดมจะเปนสมประสทธของตวแปร ตวท j ในฟงกชนจดประสงคของปญหาคกน 5. สมประสทธของตวแปรตวท j ในเงอนไขบงคบของปญหาเดม จะเปนสมประสทธของตวแปรในเงอนไขบงคบขอท i ในปญหาคกน 6. ถาปญหาเดมเปนปญหาคาสงสด จะตองมเงอนไขบงคบทกขอเปนเครองหมาย และถาปญหาเดมเปนปญหาคาตาสด จะตองมเงอนไขบงคบทกขอเปนเครองหมาย 7. สมประสทธของตวแปรตวท j ในฟงกชนจดประสงคของปญหาเดมจะเปนคาคงททางขวามอของเงอนไขบงคบขอท i ในปญหาคกน 8. ตวแปรทกตวทงในปญหาเดมและปญหาคกนตองไมตดลบ

162

รปแบบทวไปของปญหาเดมและปญหาคกนจะมความสมพนธบางประการในปญหา ทงสอง แสดงไดดงตอไปน 1. ปญหาคาสงสด จะตองมเงอนไขบงคบทกขอเปนเครองหมาย ปญหาเดม ฟงกชนจดประสงค maximize Pp = C1X1 + C2X2 + C3X3

เงอนไขบงคบ a11X1 + a12X2 + a13X3 b1 a21X1 + a22X2 + a23X3 b2 a31X1 + a32X2 + a33X3 b3 X1 , X2 , X3 0 โดยม X1 , X2 , X3 เปนตวแปรในปญหาเดม และ Pp เปนคาฟงกชนจดประสงคของปญหาเดม สรางปญหาคของกาหนดการเชงเสนขางตนไดดงน ปญหาคกน ฟงกชนจดประสงค minimize Pd = b1Y1 + b2Y2 + b3Y3

เงอนไขบงคบ a11Y1 + a21Y2 + a31Y3 C1 a21Y1 + a22Y2 + a32Y3 C2 a31Y1 + a23X2 + a33X3 C3 Y1 , Y2 , Y3 0 โดยม Y1 , Y2 , Y3 เปนตวแปรในปญหาคกน และ Pd เปนคาฟงกชนจดประสงคของปญหาคกน 2. ปญหาคาตาสด จะตองมเงอนไขบงคบทกขอเปนเครองหมาย ปญหาเดม ฟงกชนจดประสงค minimize P = C1X1 + C2X2 + C3X3

เงอนไขบงคบ a11X1 + a12X2 + a13X3 b1 a21X1 + a22X2 + a23X3 b2 a31X1 + a32X2 + a33X3 b3 X1 , X2 , X3 0 โดยม X1 , X2 , X3 เปนตวแปรในปญหาเดม และ Pp เปนคาฟงกชนจดประสงคของปญหาเดม

163

สรางปญหาคกนของกาหนดการเชงเสนขางตนไดดงน ปญหาคกน ฟงกชนจดประสงค maximize Pd = b1Y1 + b2Y2 + b3Y3

เงอนไขบงคบ a11Y1 + a21Y2 + a31Y3 C1 a21Y1 + a22Y2 + a32Y3 C2 a31Y1 + a23X2 + a33X3 C3 Y1 , Y2 , Y3 0 โดยม Y1 , Y2 , Y3 เปนตวแปรในปญหาคกน และ Pd เปนคาฟงกชนจดประสงคของปญหาคกน การสรางตวแบบปญหาคกนจากตวแบบปญหาเดม สามารถแสดงไดดวยตวอยางในปญหาลกษณะตางๆ ดงตอไปน ตวอยางท 5.1 จงสรางตวแบบกาหนดการเชงของปญหาคกนจากตวแบบกาหนดการเชงเสนของบรษทบานสนขสวย จากด ในตวอยางท 1.2 วธทา จากตวแบบกาหนดการเชงเสน

ฟงกชนจดประสงค maximize Pp = 1,000X1 + 400X2 เงอนไขบงคบ 10X1 + 8X2 200

7X1 + 3X2 84 7X1 + 2X2 70

X1, X2 0 ปญหาเดมขางตนเปนปญหาคาสงสดและเงอนไขบงคบทกขอมเครองหมาย ดงนนปญหาคกนจะเปนปญหาคาตาสด และมเงอนไขบงคบทกขอมเครองหมาย สามารถเขยนตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกน ไดดงน

ฟงกชนจดประสงค minimize Pd = 200Y1 + 84Y2 + 70Y3 เงอนไขบงคบ 10Y1 + 7Y2 + 7Y3 1,000

8Y1 + 3Y2 + 2Y3 400 Y1 , Y2 , Y3 0

164

หรอเขยนเปนตารางแสดงความสมพนธระหวางสมประสทธของตวแปรตางๆ และคาคงทในปญหาเดมกบสมประสทธของตวแปรตางๆ และคาคงทในปญหาคกน ไดดงน

X1 X2 Y1 Y2

Y3

10 7 7

8 3 2

200 84 70

1,000 400 ตวอยางท 5.2 จงสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกนจากปญหาเดมตอไปน ฟงกชนจดประสงค minimize Pp = 400X1 + 250X2 + 300X3 เงอนไขบงคบ 5X1 + 8X2 + 4X3 10 4X1 + 6X2 + 6X3 20 X1 + 4X2 + 2X3 28 2X1 + 3X2 + 5X3 30 X1 , X2 , X3 0 วธทา ปญหาเดมขางตนเปนปญหาคาตาสดและเงอนไขบงคบทกขอมเครองหมาย ดงนนปญหาคกนจะเปนปญหาคาสงสด และมเงอนไขบงคบทกขอมเครองหมาย ซงสามารถเขยน ตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกน ไดดงน

ฟงกชนจดประสงค maximize Pd = 10Y1 + 20Y2 + 28Y3 + 30Y4 เงอนไขบงคบ 5Y1 + 4Y2 + Y3 + 2Y4 400 8Y1 + 6Y2 + 4Y3 + 3Y4 250 4Y1 + 6Y2 + 2Y3 + 5Y4 300 Y1 , Y2 , Y3 , Y4 0

165

สามารถเขยนเปนตารางแสดงความสมพนธ ไดดงน

X1 X2 X3 Y1 Y2

Y3

Y4

5 4 1 2

8 6 4 3

4 6 2 5

10 20 28 30

400 250 300 ตวอยางท 5.3 จงสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกนจากปญหาเดมตอไปน ฟงกชนจดประสงค maximize Pp = 30X1 + 60X2 เงอนไขบงคบ 15X1 + 2X2 500 10X1 + 5X2 200 8X2 400 X1 , X2 0 วธทา ปญหาขางตนเปนปญหาคาสงสด ดงนนจะตองจดเงอนไขบงคบใหเปนเครองหมาย โดยใช –1 คณเงอนไขบงคบขอท 3 จะไดตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาเดมใหม เปนดงน

ฟงกชนจดประสงค maximize Pp = 30X1 + 60X2 เงอนไขบงคบ 15X1 + 2X2 500 10X1 + 5X2 200

– 8X2 –400 X1 , X2 0 เขยนตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกน ไดดงน ฟงกชนจดประสงค minimize Pd = 500Y1 + 200Y2 – 400Y3 เงอนไขบงคบ 15Y1 +10Y2 30 2Y1 + 5Y2 – 8Y3 60 Y1 , Y2 , Y3 0

166

สามารถเขยนเปนตารางแสดงความสมพนธ ไดดงน

X1 X2 Y1 Y2

Y3

15 10 0

2 5 –8

500 200 –400

30 60 หลกเพมเตมในการสรางปญหาคกน ในกรณทปญหาเดมมเงอนไขบงคบเปนเครองหมายเทากบ (=) ซงจาเปนตองมหลกการสรางปญหาคกนเพมเตม จากทกลาวไวแลว (สมพล ทงหวา, 2544 : 134) ดงน 1. ถาเงอนไขบงคบขอท i ในปญหาเดมมเครองหมายเทากบ (=) ตวแปรตวท j ในปญหาคกนจะไมมเครองหมายเปนขดจากด คอ จะมคาเปนบวก เปนศนย หรอเปนลบกได 2. ถาตวแปรตวท j ในปญหาเดมไมมเครองหมายเปนขดจากด เงอนไขบงคบขอท i ในปญหาคกนจะมเครองหมายเทากบ (=) เพอใหเกดความเขาใจในหลกการสรางปญหาคกนจากปญหาเดมมากขน จงขอยกตวอยางเพมเตม ดงตอไปน ตวอยางท 5.4 จงสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกนจากปญหาเดมตอไปน ฟงกชนจดประสงค maximize Pp = 6X1 + 12X2 + 5X3 เงอนไขบงคบ 4X1 + 10X2 + 4X3 40 6X1 – 3X2 + 7X3 = 20 X1 , X2 , X3 0 วธทา ปญหาเดมในตวแบบกาหนดการเชงเสนขางตนเปนปญหาคาสงสด และเงอนไขบงคบขอท 1 มเครองหมาย อยแลว สวนเงอนไขบงคบขอท 2 มเครองหมาย (=) ซงจะไปสมพนธกบ ตวแปรตวท 2 ของปญหาคกน ดงนนปญหาเดมทมอยนนสามารถนาไปสรางปญหาคกนได โดยไมตองมการปรบปรงรปแบบแตอยางใด จากหลกในการสรางปญหาคกนรวมทงทเพมเตมอก 2 ขอ จงสามารถเขยนตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกน ไดดงน

167

ฟงกชนจดประสงค minimize Pd = 40Y1 + 20Y2 เงอนไขบงคบ 4Y1 + 6Y2 6 10Y1 – 3Y2 12 4Y1 + 7Y2 5 Y1 0 , Y2 ไมมเครองหมายเปนขดจากด สามารถเขยนเปนตารางแสดงความสมพนธ ไดดงน

X1 X2 X3 Y1 Y2

4 6

10 –3

4 7

40 = 20

6 12 5 ตวอยางท 5.5 จงสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกนจากปญหาเดมตอไปน ฟงกชนจดประสงค minimize Pp = 4X1 – 5X2 + 4X3 – 5X4 เงอนไขบงคบ 2X1 – 7X2 + 4X3 = 20 3X2 – 3X4 20 4X1 + 5X3 + 3X4 –25 X1 , X2 , X3 , X4 0 วธทา ปรบปญหาเดมใหพรอมทจะเปลยนเปนปญหาคกน ไดดงน ฟงกชนจดประสงค minimize Pp = 4X1 – 5X2 + 4X3 – 5X4 เงอนไขบงคบ 2X1 – 7X2 + 4X3 = 20 – 3X2 + 3X4 –20 4X1 + 5X3 + 3X4 –25 X1 , X2 , X3 , X4 0 เขยนตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกน ไดดงน ฟงกชนจดประสงค maximize Pd = 20Y1 – 20Y2 – 25Y3

168

เงอนไขบงคบ 2Y1 + 4Y3 4 –7Y1 – 3Y2 –5 4Y1 + 5Y3 4 3Y2 + 3Y3 –5 Y2 ,Y3 0 , Y1 ไมมเครองหมายเปนขดจากด สามารถเขยนเปนตารางแสดงความสมพนธ ไดดงน

X1 X2 X3 X4 Y1 Y2

Y3

2 0 4

–7 –3 0

4 0 5

0 3 3

= 20 –20 –25

4 –5 4 –5 ตวอยางท 5.6 จงสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกนจากปญหาเดมตอไปน ฟงกชนจดประสงค maximize Pp = 40X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 5X1 + X2 = 60 10X1 50 15X2 –30 X1 , X2 0 วธทา ปรบปญหาเดมใหพรอมทจะเปลยนเปนปญหาคกน ไดดงน ฟงกชนจดประสงค maximize Pp = 40X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 5X1 + X2 = 60 10X1 50 –15X2 30 X1 , X2 0 เขยนตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกน ไดดงน ฟงกชนจดประสงค minimize Pd = 60Y1 + 50Y2 – 30Y3

169

เงอนไขบงคบ 5Y1 + 10Y2 40 Y1 – 15Y3 20 Y2 ,Y3 0 , Y1 ไมมเครองหมายเปนขดจากด สามารถเขยนเปนตารางแสดงความสมพนธ ไดดงน

X1 X2 Y1 Y2

Y3

5 10 0

1 0

–15

= 60 50 30

40 20 การนาปญหาคกนไปใชในการตดสนใจ การนาปญหาคกนไปใชในการตดสนใจในแตละปญหาใหเกดประสทธภาพมากทสดนน ควรทาการศกษาในปญหาเดมใหเขาใจในรายละเอยดครบถวนเสยกอน ดงตอตวอยางไปน ตวอยางท 5.7 จากปญหาดานเกษตรกรรม ในตวอยางท 1.4 จะนามาแสดงการตดสนใจโดยใชปญหาคกน ดงน หลงจากเกษตรกรรายนตดสนใจซอทดนมาทาการปลกพชแลว กอนทเกษตรกรรายนจะนาผลผลตไปขายดวยตวเองกบมนายหนามาขอซอผลผลตทไดเพอจะนาไปขายตอ ดงนนเกษตรกรรายนจงตองการทราบวาจะตองคดมลคาทรพยากรทใชไปอยางไรเพอใหไดผลตอบแทนทไมนอยกวากาไรทจะไดรบจากการนาไปขายดวยตวเอง วธทา ตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาเดม มดงตอไปน ฟงกชนจดประสงค maximize Pp = 250X1 + 150X2

เงอนไขบงคบ 800X1 + 600X2 12,000 30X1 + 10X2 300 X1 , X2 0

กาหนด ให X1 แทน จานวนพนทในการปลกออย (ไร) X2 แทน จานวนพนทในการปลกมนสาปะหลง (ไร)

Pp แทน จานวนกาไรทไดรบ (บาท)

170

การหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ สามารถทาไดดงน ขนตอนแรก จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค maximize Pp = 250X1 + 150X2 + 0S1 + 0S2 เงอนไขบงคบ 800X1 + 600X2 + 1S1 + 0S2 = 12,000 30X1 + 10X2 + 0S1 + 1S2 = 300 X1 , X2 , S1 , S2 0 ทาการตงผลเฉลยเบองตน พรอมทงทาการพฒนาผลเฉลย ไดดงน ตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1)

Cj 250 150 0 0


พนฐาน X1 X2 S1 S2 RHS (bi)

1R 0 S1 800 600 1 0 12,000 2R 0 S2 30 10 0 1 300

Pj 0 0 0 0 0 (Cj – Pj) 250 150 0 0

สามารถเขยนผลเฉลยไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 S1 = 12,000 , S2 = 300 maximize Pp = 0 ตารางซมเพลกซท 2

Cj 250 150 0 0



211 800RRR 0 S1 0 3000,1 1

380

4,000

22 301 RR 250 X1 1

31 0

301 10

Pj 250 3

250 0 3

25 2,500

(Cj – Pj) 0 3

200 0 3

25

171

สามารถเขยนผลเฉลยไดดงน X1 = 10 , X2 = 0 S1 = 4,000 , S2 = 0 maximize Pp = 2,500

ตารางซมเพลกซท 3 (ตารางผลเฉลยเหมาะสมทสด) Cj 250 150 0 0



11 000,13 RR 150 X2 0 1

000,13 100

8 12

122 31 RRR 250 X1 1 0

000,11

30018 6

Pj 250 150 51 3 3,300

(Cj – Pj) 0 0

51

–3

จะเหนไดวาตารางซมเพลกซท 3 เปนตารางทใหผลเฉลยเหมาะสมทสด และสามารถเขยนผลเฉลยไดดงน X1 = 6 , X2 = 12 S1 = 0 , S2 = 0 maximize Pp = 3,300

แสดงวา เกษตรกรรายนจะตองซอทดนมาใชในการปลกออยจานวน 6 ไร และซอทดนมาใชในการปลกมนสาปะหลง จานวน 12 ไร โดยจะทาใหไดกาไรสงสด คอ 3,300 บาท แตกอนทเกษตรกรรายนจะนาผลผลตไปขายกบมนายหนามาขอซอผลผลตทไดเพอทจะนาไปขายตอ ดงนนเกษตรกรจงตองการทราบวาจะตองคดมลคาทรพยากรทใชไปอยางไรเพอใหไดผลตอบแทนทไมนอยกวา 3,300 บาท ซงเปนกาไรทจะไดรบจากการนาไปขายดวยตวเอง แสดงไดดงตอไปน สรางตวแบบกาหนดการเชงเสน โดยกาหนดตวแปรทตองตดสนใจ ดงน Y1 แทน มลคาของเงอนไขบงคบขอท 1 ตอหนวย

(มลคาทไดจากการลงทนไป 1 บาท) Y2 แทน มลคาของเงอนไขบงคบขอท 2 ตอหนวย

(มลคาทไดจากการใชแรงงานไป 1 ชวโมง) Pd แทน มลคารวมของเงนทนและชวโมงการทางานของแรงงานทงหมด

172

สามารถอธบายการสรางตวแบบกาหนดการเชงเสน ไดดงน - การสรางฟงกชนจดประสงค มลคาของเงนทนทงหมดทเกษตรกรม คอ จากเกษตรกรมเงนทนทงหมด 12,000 บาท ถาเกษตรกรลงทนไป 1 บาทจะตองไดมลคากบมาอยางนอย Y1 บาท ดงนน ถาเกษตรกรลงทนไป 12,000 บาท เกษตรกรจะตองไดมลคากบมาอยางนอย 12,000Y1 บาท และมลคาของชวโมงการทางานของแรงงานทงหมดทเกษตรกรม คอ จากเกษตรกรมเวลาสาหรบการเพาะปลก 300 ชวโมง ถาเกษตรกรใชเวลาไป 1 ชวโมงจะตองไดมลคาของชวโมงการทางานของแรงงานกบมาอยางนอย Y2 บาท ดงนน ถาเกษตรกรใชเวลาไป 300 ชวโมง เกษตรกรจะตองไดมลคากบมาอยางนอย 300Y2 บาท ดงนนมลคารวมทงหมด คอ 12,000Y1 + 300Y2 บาท แตมลคาของทรพยากรทเกษตรกรรายนตงไวในการขายใหนายหนานน ถาสงเกนไปกไมเปนทสนใจทจะซอทรพยากรเหลานน ดงนนฟงกชนจดประสงคสามารถเขยนไดดงน คอ minimize Pd = 12,000Y1 + 300Y2 - การสรางเงอนไขขอบงคบท 1 พจารณาการปลกออย 1 ไร ตองเสยคาใชจาย 800 บาท ซงถาลงทนไป 1 บาท จะตองไดมลคากบมา Y1 บาท ดงนน ถาลงทนไป 800 บาท จะตองไดมลคากบมา 800Y1 บาท และตองใชแรงงาน 30 ชวโมง ซงถาใชแรงงานไป 1 ชวโมง จะตองไดมลคากบมา Y2 บาท ดงนน ถาใชแรงงานไป 30 ชวโมง จะตองไดมลคากบมา 300Y2 บาท ดงนนรายไดหรอมลคาทเกษตรกรรายนไดรบจากทรพยากรในการปลกออย จงเทากบ 800Y1 + 30Y2 ซงมลคาทไดนอยางนอยเกษตรกรควรไดรบเทากบจานวนทนาไปขายเอง ซงถานาไปขายเองจะทาใหไดรบกาไรตอไรเทากบ 250 บาท ดงนนเงอนไขขอบงคบท 1 จงเขยนไดดงน 800Y1 + 30Y2 250 - การสรางเงอนไขขอบงคบท 2 พจารณาการปลกมนสาปะหลง 1 ไร ตองเสยคาใชจาย 600 บาท ซงถาลงทนไป 1 บาท จะตองไดมลคากบมา Y1 บาท ดงนน ถาลงทนไป 600 บาท จะตองไดมลคากบมา 600Y1 บาท และตองใชแรงงาน 10 ชวโมง ฉะนนมลคาของแรงงานทใชเทากบ 10Y2 ดงนนรายไดหรอมลคาทเกษตรกรรายนไดรบจากการขายทรพยากรในการปลกมนสาปะหลง จงเทากบ 600Y1 + 10Y2 ซงมลคาหรอรายไดจานวนนอยางนอยเกษตรกรควรไดรบเทากบจานวนทนาไปขายเอง ซงถาเกษตรนาไปขายเองจะทาใหไดรบกาไรตอไรเทากบ 150 บาท ดงนนเงอนไขขอบงคบท 2 จงเขยนไดดงน 600Y1 + 10Y2 150

173

สามารถเขยนตวแบบกาหนดการเชงเสนไดดงน ฟงกชนจดประสงค minimize Pd = 12,000Y1 + 300Y2

เงอนไขบงคบ 800Y1 + 30Y2 250 600Y1 + 10Y2 150 Y1 , Y2 0 จะเหนไดวาตวแบบกาหนดการเชงเสนทไดสรางขนมาใหมน (ตวอยางท 5.7) เปนปญหาคกน ของตวแบบกาหนดการเชงเสนทไดสรางไวในตวอยางท 1.4 หรอกลาวไดวาปญหาในตวอยางท 1.4 เปนปญหาเดมของปญหาคกนในตวอยางท 5.7 ดงนนจากตวอยางทแสดงขางตน จงกลาวสรปไดวาปญหาเดมจะเกยวของกบการจดสรรทรพยากรตางๆ ทดทสด สวนเปนปญหาคกนจะเปนปญหาทเกยวของกบการคานวณหามลคาของทรพยากรตางๆ ตอหนวยทดทสด ตอไปจะทาการหาผลเฉลยของตวแบบปญหาคกนทไดสรางไวขางตน ดวยวธซมเพลกซดงน ขนตอนแรก จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ไดดงน ฟงกชนจดประสงค minimize Pd = 12,000Y1 + 300Y2 + 0S1 + 0S2 + MA1+ MA2 เงอนไขบงคบ 800Y1 + 30Y2 – 1S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 250 600Y1 + 10Y2 + 0S1 – 1S2 + 0A1 + 1A2 = 150 Y1 , Y2 , Y3 , S1 , S2 , A1 , A2 0 ทาการตงผลเฉลยเบองตน พรอมทงทาการพฒนาผลเฉลย ไดดงน ตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1) Cj 12,000 300 0 0 M M RHS

(bi)


พนฐาน Y1 Y2 S1 S2 A1 A2

1R M A1 800 30 –1 0 1 0 250

2R M A2 600 10 0 –1 0 1 150

Pj 1,400M 40M –M –M M M 400M (Cj – Pj) (12,000–1,400M) (300–40M) M M 0 0

174

สามารถเขยนผลเฉลยไดดงน Y1 = 0 , Y2 = 0 S1 = 0 , S2 = 0 , A1 = 250 , A2 = 150 minimize Pd = 400M ตารางซมเพลกซท 2

สามารถเขยนผลเฉลยไดดงน Y1 = 25.0

41 , Y2 = 0

S1 = 0 , S2 = 0 , A1 = 50 , A2 = 150 minimize Pd = 3,000 + 50M ตารางซมเพลกซท 3 (ตารางผลเฉลยเหมาะสมทสด)

Cj 12,000 300 0 0 M M RHS (bi) แถว Cb ตวแปร


11 503 RR 300 Y2 0 1

503

504

503

504

3

122 601 RRR 12,000 Y1 1 0

000,11

000,39

000,11

000,39

51

Pj 12,000 300 –6 –12 6 12 3,300 (Cj – Pj) 0 0 6 12 M–6 M–12

จะเหนไดวาตารางซมเพลกซท 3 เปนตารางทใหผลเฉลยเหมาะสมทสด และสามารถเขยนผลเฉลยไดดงน

Cj 12,000 300 0 0 M M RHS (bi) แถว Cb ตวแปร


211 800 RRR

M A1 0 3

50 –1 34 1

34

50

22 6001 RR 12,000 Y1 1

601 0

6001

0 600

1 41

Pj 12,000 3

50600 –M 3

604 M 3460 3,000+50M

(Cj – Pj) 0

350300 M

3460 0

3604

175

Y1 = 2.051 , Y2 = 3

S1 = 0 , S2 = 0 , A1= 0 , A2 = 0 minimize Pd = 3,300 แสดงวา เกษตรกรรายนควรคดมลคาของเงนทนทใชไป 1 บาทตอ 0.2 บาท และคดมลคาของชวโมงการทางานของแรงงาน ชวโมงละ 3 บาท โดยทมลคาทงหมดของเงนทนกบมลคาทงหมดของชวโมงการทางานของแรงงานทเกษตรกรรายนจะไดรบเทากบ 3,300 บาท ซงจะเทากบกาไรสงสดทจะไดรบจากการนาไปขายดวยตวเอง จากตวอยางทแสดงขางตนจะไดวา maximize Pp = minimize Pd จากตารางซมเพลกซแสดงผลเฉลยเหมาะสมทสดสาหรบปญหาเดมและปญหาคกน สามารถสรปความสมพนธของผลเฉลยของปญหาทงสองไดดงน 1. คาฟงกชนจดประสงคของปญหาเดมและปญหาคกนจะเทากน นนคอ Pp = Pd = 3,300 2. ตวแปรตวท 1 ของปญหาเดม คอ X1 สมพนธกบเงอนไขบงคบขอท 1 ของปญหา คกน ซงมตวแปรเทยมคอ A1 (หรอกลาวไดวา X1 สมพนธกบ A1) ดงนน X1 จะมคาเทากบคา Pj ของตวแปร A1 ในตารางผลเฉลยชดสดทายของปญหาคกน นนคอ X1 = 6 3. ตวแปรตวท 2 ของปญหาเดม คอ X2 สมพนธกบเงอนไขบงคบขอท 2 ของปญหาคกน ซงมตวแปรเทยมคอ A2 (หรอกลาวไดวา X2 สมพนธกบ A2) ดงนน X2 จะมคาเทากบคา Pj ของตวแปร A2 ในตารางผลเฉลยชดสดทายของปญหาคกน นนคอ X2 = 12 4. ตวแปรตวท 1 ของปญหาคกน คอ Y1 สมพนธกบเงอนไขบงคบขอท 1 ของปญหาเดม ซงมตวแปรสวนขาดคอ S1 (หรอกลาวไดวา Y1 สมพนธกบ S1) ดงนน Y1 จะมคาเทากบคา Pj ของตวแปร S1 ในตารางผลเฉลยชดสดทายของปญหาเดม นนคอ Y1 = 0.2 5. ตวแปรตวท 2 ของปญหาคกน คอ Y2 สมพนธกบเงอนไขบงคบขอท 2 ของปญหาเดม ซงมตวแปรสวนขาดคอ S2 (หรอกลาวไดวา Y2 สมพนธกบ S2) ดงนน Y2 จะมคาเทากบคา Pj ของตวแปร S2 ในตารางผลเฉลยชดสดทายของปญหาเดม นนคอ Y2 = 3 จะเหนไดวาผลเฉลยทไดจากการพจารณาความสมพนธของปญหาเดมและปญหาคกนจะเหมอนกบผลเฉลยทไดจากการคานวณทกประการ ตารางขางลางนจะแสดงการเปรยบเทยบ ผลเฉลยเหมาะสมทสดของปญหาเดมและปญหาคกนเพอใหเหนถงความสมพนธของผลเฉลยของปญหาทงสองไดชดเจนมากยงขน

176

ตารางซมเพลกซแสดงผลเฉลยเหมาะสมทสดของปญหาเดม Cj 250 150 0 0


X1 X2 S1 S2 RHS (bi)

150 X2 0 1 000,13 100

8 12

250 X1 1 0 000,11

30018 6

Pj 250 150 51 3 3,300

(Cj – Pj) 0 0

51

–3

ตารางซมเพลกซแสดงผลเฉลยเหมาะสมทสดของปญหาคกน

Cj 12,000 300 0 0 M M RHS (bi) Cb ตวแปร


300 Y2 0 1

503

504

503

504

3

12,000 Y1 1 0 000,11

000,39

000,11

000,39

51

Pj 12,000 300 –6 –12 6 12 3,300 (Cj – Pj) 0 0 6 12 M–6 M–12

ดงนนจากทกลาวมาขางตน จงสรปไดวาการหาผลเฉลยของปญหาค กนโดย วธซมเพลกซสามารถหาคาไดจากตารางผลเฉลยเหมาะสมทสดของปญหาเดม และเชนเดยวกนการหาผลเฉลยของปญหาเดมสามารถหาคาไดจากตารางผลเฉลยเหมาะสมทสดของปญหาคกน ดงนน การหาผลเฉลยของปญหาคกนหรอปญหาเดมจงไมจาเปนจะตองทาการคานวณกสามารถหาผลเฉลยได ถาทราบผลเฉลยทเหมาะสมทสดของปญหาตรงขาม หมายเหต : ผลเฉลยเหมาะสมทสดทไดในปญหาคกน คอ มลคาของทรพยากรในโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาเดม (ตวอยางท 4.3 ภาพท 4.16)

177

ความสมพนธของผลเฉลยของปญหาเดมและปญหาคกน ในการแกปญหาคกนสามารถทาไดดวยวธการเดยวกนกบการแกปญหาเดม โดยท ผลเฉลยของปญหาหนงจะมความสมพนธกบผลเฉลยอกปญหาหนงในประเดนทสาคญ ดงน 1. คาของฟงกชนจดประสงคของปญหาทงสองจะเทากนเสมอ นนคอ maximize Pp = minimize Pd หรอ minimize Pp = maximize Pd 2. พจารณาจากการหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ พบวา ตวแปรในปญหาเดมทสมพนธกบตวแปรสวนขาดหรอตวแปรเทยมในปญหาคกนจะมคาเทากบ Pj ของตวแปรสวนขาดหรอตวแปรเทยมนนๆ ในตารางสดทายของปญหาค และในทางกลบกนตวแปรในปญหาคทสมพนธกบตวแปรสวนขาดหรอตวแปรเทยมในปญหาเดมจะมคาเทากบคา Pj ของตวแปรสวนขาดหรอตวแปรเทยมนนๆ ในผลลพธตารางสดทายของปญหาเดม ตวอยางท 5.8 กาหนดใหตวแบบของปญหากาหนดการเชงเสน ดงน ฟงกชนจดประสงค minimize Pp = 220X1 + 240X2 เงอนไขบงคบ 5X1 + 6X2 90 3X1 + 2X2 50 X1 + 3X2 10 X1 , X2 0 จากตวแบบกาหนดการเชงเสนทกาหนดให 1. จงหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ 2. จงสรางตวแบบของปญหาคกนและหาผลเฉลย วธทา 1. การหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ จากตวแบบขางตนจดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ไดดงน ฟงกชนจดประสงค

minimize Pp = 220X1 + 240X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + MA1 + MA2 + MA3 เงอนไขบงคบ

5X1 + 6X2 – 1S1 + 0S2 + 0S3 + 1A1 + 0A2 + 0A3 = 90 3X1 + 2X2 + 0S1 – 1S2 + 0S3 + 0A1 + 1A2 + 0A3 = 50 1X1 + 3X2 + 0S1 + 0S2 – 1S3 + 0A1 + 0A2 + 1A3 = 10

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , A1 , A2 , A3 0

178

ทาการตงผลเฉลยเบองตน พรอมทงทาการพฒนาผลเฉลย ไดดงน

ตารางผลเฉลยเบองตน(ตารางซมเพลกซท 1) Cj 220 240 0 0 0 M M M

RHS (bi)

แถว


X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3

1R M A1 5 6

–1 0

0

1 0 0 90

2R M A2 3 2 0 –1 0

0 1 0 50

3R

M A3 1 3 0 0 –1

0 0 1 10 Pj 9M 11M

–M –M –M M M M 150M

(Cj –Pj) 220–9M (240–11M) M M M 0 0 0

สามารถเขยนผลเฉลยไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 S1 = 0 , S2 = 0 , S3 = 0 , A1 = 90 , A2 = 50 , A3 = 10 minimize Pd = 150M

ตารางซมเพลกซท 2 Cj 220 240 0 0 0 M M M

แถว


X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 RHS (bi)

311 6RRR M A1 3

0

–1 0

2

1 0 –2 70

322 2RRR M A2 37 0 0 –1

32 0 1

32

3

130

33 31 RR

240 X2 31 1 0 0

31

0 0 31

310

Pj 3

24016 240

–M –M 3

2408 M M 3

8240 3

400,2340

(Cj –Pj) 316480 0 M M

38240 0 0

32408

สามารถเขยนผลเฉลยไดดงน X1 = 0 , X2 =

310

S1 = 0 , S2 = 0 , S3 = 0 , A1 = 70 , A2 = 3

130 , A3 = 0

minimize Pp = 3

400,2340

179


แถว



311 3RRR M A1 0 –9 –1 0

5

1 0 –5 40

322 37 RRR M A2 0

–7 0 –1 3 0 1 –3 20

33 3 RR

220 X1 1 3

0 0 –1

0 0 1

10

Pj 220

660 – 16M

–M –M 8M – 220

M M 220 – 8M

60M + 2,200

(Cj –Pj) 0 16M – 420 M M (220 – 8M) 0 0 9M – 220

สามารถเขยนผลเฉลยไดดงน X1 = 10 , X2 = 0 S1 = 0 , S2 = 0 , S3 = 0 , A1 = 40 , A2 = 20 , A3 = 0 minimize Pp = 60M + 2,200


สามารถเขยนผลเฉลยไดดงน X1 =

350 , X2 = 0

S1 = 0 , S2 = 0 , S3 =320 , A1 = 20 , A2 = 0 , A3 = 0

minimize Pp = 3

000,1160

Cj 220 240 0 0 0 M M M แถว

Cb ตวแปร

พนฐาน X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 RHS (bi)

211 5RRR M A1 0 38 –1

35 0

1

35

0

320

22 31 RR

0 S3 0

37

0

31

1 0 31 –1

320

233 )1( RRR

220 X1 1

32 0

31

0

0 31 0

350

Pj 220

38440 –M

32205 0

M

35220 0

3000,1160

(Cj –Pj) 0

38220 M

35220 0 0 0 M

180


แถว



11)4(

83 RR

240 X2 0 1

83

85 0

83

85

0

25

1)4(

22)4( )

37( RRR

0 S3 0

087

2427 1

2421

2427

–1 675

1)4(

33)4(

32 RRR

220 X1 1 0

82

2418

0

82

2418 0

15

Pj 220

240

–35 –15 0

35 15

0

3,900

(Cj –Pj) 0 0

35 15 0 M–35 M–15 M

สามารถเขยนผลเฉลยไดดงน X1 = 15 , X2 = 5.2

25

S1 = 0 , S2 = 0 , S3 = 5.12675

, A1 = 0 , A2 = 0 , A3 = 0

minimize Pp = 3,900 2. การสรางตวแบบของปญหาคกนและการหาผลเฉลย จากตวแบบของปญหาเดม คอ ฟงกชนจดประสงค minimize Pp = 220X1 + 240X2 เงอนไขบงคบ 5X1 + 6X2 90 3X1 + 2X2 50 X1 + 3X2 10 X1 , X2 0 สามารถเขยนตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกน ไดดงน ฟงกชนจดประสงค maximize Pd = 90Y1 + 50Y2 + 10Y3

เงอนไขบงคบ 5Y1 + 3Y2 + Y3 220 6Y1 + 2Y2 + 3Y3 240 Y1 , Y2 , Y3 0

181

ในตวอยางน จะแสดงการหาผลเฉลยตวแบบของปญหาค กน โดยใชหลกความสมพนธของผลเฉลยในปญหาเดมกบปญหาคกน ดงน จากตารางซมเพลกซทใหผลเฉลยเหมาะสมทสดของปญหาเดม

Cj 220 240 0 0 0 M M M Cb ตวแปร


240 X2 0 1

83

85 0

83

85

0

25

0 S3 0

087

2427 1

2421

2427

–1 675

220 X1 1 0

82

2418

0

82

2418 0

15

Pj 220

240

–35 –15 0

35 15

0

3,900

(Cj –Pj) 0 0

35 15 0 M–35 M–15 M

สามารถหาผลเฉลยของปญหาคกน ไดดงน - Y1 ในปญหาคกนจะสมพนธกบ A1 ในปญหาเดม ดงนน Y1 จงมคาเทากบคา Pj ของ A1 ในตาราง

Y1 = 35

- Y2 ในปญหาคกนจะสมพนธกบ A2 ในปญหาเดม ดงนน Y2 จงมคาเทากบคา Pj ของ A2 ในตาราง

Y2 = 15


Y3 = 0

- คาของฟงกชนจดประสงคของปญหาคกนจะเทากบคาของฟงกชนจดประสงคของปญหาเดม นนคอ Pp = Pd = 3,900 สรปผลเฉลยของปญหาคกน ไดดงน Y1 = 35 , Y2 = 15 , Y3 = 0 maximize Pd = 3,900 ในตวอยางนสามารถตรวจสอบผลเฉลยขางตนไดวาถกตองหรอไม โดยทาการแกปญหาตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกนดวยวธซมเพลกซ สามารถแสดงไดดงตอไปน จากตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกน ฟงกชนจดประสงค maximize Pd = 90Y1 + 50Y2 + 10Y3

เงอนไขบงคบ 5Y1 + 3Y2 + Y3 220 6Y1 + 2Y2 + 3Y3 240 Y1 , Y2 , Y3 0

182

จดรปตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกนใหอยในรปแบบมาตรฐาน ไดดงน ฟงกชนจดประสงค maximize Pp = 90Y1 + 50Y2 + 10Y3 + 0S1 + 0S2 เงอนไขบงคบ 5Y1 + 3Y2 + 1Y3 + 1S1 + 0S2 = 220 6Y1 + 2Y2 + 3Y3 + 0S1 + 1S2 = 240 Y1 , Y2 , Y3 , S1 , S2 0 ทาการตงผลเฉลยเบองตน พรอมทงทาการพฒนาผลเฉลย ไดดงน ตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1)

Cj 90 50 10 0 0 แถว

Cb ตวแปร

พนฐาน Y1 Y2 Y3 S1 S2 RHS (bi)

1R 0 S1 5 3

1 1

0

220

2R 0 S2 6 2 3 0

1

240 Pj 0 0

0 0

0

0 (Cj – Pj) 90 50 10 0

0

สามารถเขยนผลเฉลยไดดงน Y1 = 0 , Y2 = 0 , Y3 = 0 S1 = 220 , S2 = 240 maximize Pd = 0 ตารางซมเพลกซท 2

Cj 90 50 10 0 0 แถว

Cb ตวแปร


211 5RRR 0 S1 0

34

23

1 65

20

22 61 RR 90 Y1 1

31

21 0

61 40

Pj 90 30

45 0

15

3,600 (Cj – Pj) 0 20 –35 0

–15

183

สามารถเขยนผลเฉลยไดดงน Y1 = 40 , Y2 = 0 , Y3 = 0 S1 = 20 , S2 = 0 maximize Pp = 3,600 ตารางซมเพลกซท 3 (ตารางผลเฉลยเหมาะสมทสด)

Cj 90 50 10 0 0 แถว

Cb ตวแปร


11 43 RR 50 Y2 0

1

89

43

85

15

122 31 RRR 90 Y1 1

0

87

41

83 35

Pj 90 50

245 15

25 3,900

(Cj – Pj) 0 0

225

–15 25

ตารางซมเพลกซท 3 เปนตารางทใหผลเฉลยเหมาะสมทสด และสามารถเขยน ผลเฉลยไดดงน Y1 = 35 , Y2 = 15 , Y3 = 0 S1 = 0 , S2 = 0 maximize Pp = 3,900 ดงนนจะเหนไดวาผลเฉลยของปญหาคกนทไดจากการคานวณดวยวธซมเพลกซจะใหผลเฉลยเทากบคาทไดจากการใชหลกความสมพนธของผลเฉลยในปญหาเดมกบปญหาคกน ในตารางผลเฉลยเหมาะสมทสด (ตารางซมเพลกซสดทาย) ของปญหาเดม แสดงการเปรยบเทยบผลเฉลยทเหมาะสมทสดของปญหาเดมและปญหาคกนเพอใหเหนถงความสมพนธของผลเฉลยของปญหาทงสอง ไดดงน

184

ตารางซมเพลกซแสดงผลเฉลยเหมาะสมทสดของปญหาเดม

Cj 220 240 0 0 0 M M M Cb ตวแปร


240 X2 0 1

83

85 0

83

85

0

25

0 S3 0

087

2427 1

2421

2427

–1 675

220 X1 1 0

82

2418

0

82

2418 0

15

Pj 220

240

–35 –15 0

35 15

0

3,900

(Cj –Pj) 0 0

35 15 0 M–35 M–15 M

ตารางซมเพลกซแสดงผลเฉลยเหมาะสมทสดของปญหาคกน

Cj 90 50 10 0 0 Cb ตวแปร


50 Y2 0

1

89

43

85

15

90 Y1 1

087

41

83 35

Pj 90 50

245 15

25 3,900

(Cj – Pj) 0 0

225

–15 25

สามารถแสดงการหาผลเฉลยของปญหาเดมของตวอยางท 5.8 โดยใชโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงตอไปน

185

ภาพท 5.1 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาเดมของตวอยางท 5.8

จากภาพท 5.1 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 15 , X2 = 2.5 และกาไรสงสด คอ 3,900 บาท จะเหนไดวา ผลเฉลยเหมาะสมทสดทไดในปญหาคกน คอ มลคาของทรพยากรในโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาเดม แตคาทไดในโปรแกรมจะตดลบ ซงจะมผลตอฟงกชนจดประสงคดงทไดอธบายไวในตวอยางท 4.1 นอกจากน สามารถแสดงการหาผลเฉลยของปญหาคกนของตวอยางท 5.8 โดยใชโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงตอไปน

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3900.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 15.000000 0.000000 X2 2.500000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -35.000000 3) 0.000000 -15.000000 4) 12.500000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2

186

ภาพท 5.2 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาคกนของตวอยางท 5.8

จากภาพท 5.2 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 35 , X2 = 15 , X3 = 0 และกาไรสงสด คอ 3,900 บาท จะไดวา ผลเฉลยเหมาะสมทสดในปญหาเดม คอ มลคาของทรพยากรในโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาคกนนนเอง

ตวอยางท 5.9 จงหาผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกนของบรษทบานสนขสวย จากด ในตวอยางท 5.1 วธทา จากตวอยางท 5.1 ตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกนของบรษทบานสนขสวย จากด มดงตอไปน ฟงกชนจดประสงค minimize Pd = 200Y1 + 84Y2 + 70Y3 เงอนไขบงคบ 10Y1 + 7Y2 + 7Y3 1,000 8Y1 + 3Y2 + 2Y3 400

Y1 , Y2 , Y3 0 ใชหลกความสมพนธของผลเฉลยในปญหาเดมกบปญหาคกน ไดดงน

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3900.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 35.000000 0.000000 Y2 15.000000 0.000000 Y3 0.000000 12.500000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 15.000000 3) 0.000000 2.500000 NO. ITERATIONS= 2

187

จากตารางซมเพลกซทใหผลเฉลยเหมาะสมทสด ของบรษทบานสนขสวย จากด ในตวอยางท 3.4

Cj 1,000 400 0 0 0 Cb ตวแปร

พนฐาน X1 X2 S1 S2 S3 RHS (bi)

0 S1 0 0 1 7

36

726 28

400 X2 0 1 0 1 -1 14 1,000 X1 1 0 0

72

73 6

Pj 1,000 400 0 7

800 7

200 11,600

(Cj – Pj) 0 0 0 7

800

7200

สามารถหาผลเฉลยของปญหาคกน ไดดงน - Y1 ในปญหาคกนจะสมพนธกบ S1 ในปญหาเดม ดงนน Y1 จงมคาเทากบคา Pj ของ S1 ในตาราง

Y1 = 0

- Y2 ในปญหาคกนจะสมพนธกบ S2 ในปญหาเดม ดงนน Y2 จงมคาเทากบคา Pj ของ S2 ในตาราง

Y2 =

7800

- Y3 ในปญหาคกนจะสมพนธกบ S3 ในปญหาเดม ดงนน Y3 จงมคาเทากบคา Pj ของ S3 ในตาราง

Y3 =

7200

- คาของฟงกชนจดประสงคของปญหาคกนจะเทากบคาของฟงกชนจดประสงคของปญหาเดม นนคอ Pp = Pd = 11,600 สรปผลเฉลยของปญหาคกนไดดงน Y1 = 0 , Y2 =

7800 , Y3 =

7200

minimize Pd = 11,600 หมายเหต ผลเฉลยเหมาะสมทสดทไดในปญหาคกน คอ มลคาของทรพยากร ในโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาเดม (ตวอยางท 4.1 ภาพท 4.3)

188

จากตวอยางสามารถตรวจสอบผลเฉลยขางตนไดวาถกตองหรอไม โดยทาการแกปญหาตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกนดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO สามารถแสดงไดดงตอไปน


จากภาพท 5.3 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ Y1 = 0 , Y2 = 114.285 , Y3 = 28.571 และตนทนตาสด คอ 11,600 บาท ตวอยางท 5.10 จงหาผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกนของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต ในตวอยางท 1.3 วธทา จากตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาเดม คอ ฟงกชนจดประสงค minimize Pp = 40X1 + 100X2 เงอนไขบงคบ 40X1 + 30X2 600 35X1 + 70X2 700 X1 , X2 0

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 11600.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 0.000000 28.000000 Y2 114.285713 0.000000 Y3 28.571428 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -6.000000 3) 0.000000 -14.000000 NO. ITERATIONS= 2

189

สามารถสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกน ไดดงน ฟงกชนจดประสงค maximize Pd = 600Y1 + 700Y2 เงอนไขบงคบ 40Y1 + 35Y2 40

30Y1 + 70Y2 100 Y1 , Y2 0

ใชหลกความสมพนธของผลเฉลยในปญหาเดมกบปญหาคกน ดงน จากตารางซมเพลกซทใหผลเฉลยเหมาะสมทสด ของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต (ตวอยางท 3.7)

สามารถหาผลเฉลยของปญหาคกน ไดดงน - Y1 ในปญหาคกนจะสมพนธกบ A1 ในปญหาเดม ดงนน Y1 จงมคาเทากบคา Pj ของ A1 ในตาราง

Y1 = 0


Y2 =

78

- คาของฟงกชนจดประสงคของปญหาคกนจะเทากบคาของฟงกชนจดประสงคของปญหาเดม นนคอ Pp = Pd = 800 สรปผลเฉลยของปญหาคกนไดดงน Y1 = 0 , Y2 =

78

maximize Pd = 800

หมายเหต ผลเฉลยเหมาะสมทสดทไดในปญหาคกน คอ มลคาของทรพยากรในโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาเดม (ตวอยางท 4.2 ภาพท 4.10)

Cj 40 100 0 0 M M RHS (bi) Cb ตวแปร


40 X1 1 2 0 351

0

351 20

0 S1 0

50 1 78

–1 78 200

Pj 40

80 0

78

0 78 800

(Cj – Pj) 0 20 0

78 M

78

190

จากตวอยางสามารถตรวจสอบผลเฉลยขางตนไดวาถกตองหรอไม โดยทาการแกปญหาตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกนดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงตอไปน


จากภาพท 5.4 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ Y1 = 0 , Y2 = 1.143 และตนทนตาสด คอ 800 บาท ประโยชนของปญหาคกน จากทไดอธบายมาทงหมดในหวขอของปญหาคกน สามารถทจะสรปประโยชนของปญหาคกน ไดดงน 1. ชวยในการแกปญหากาหนดการเชงเสนทมจานวนเงอนไขบงคบมากกวาจานวน ตวแปรมากๆ จะทาใหการคานวณยงยาก เมอเปลยนเปนปญหาคกนจะทาใหจานวนเงอนไขบงคบลดลง จงทาใหการคานวณงายขน ดงทแสดงไวในตวอยางท 5.8 2. ชวยในการตดสนใจ เนองจากปญหาคกนสามารถอธบายถงลกษณะของปญหาดานตางๆ ได เชน ปญหาดานเศรษฐศาสตร ดงทแสดงไวในตวอยางท 5.7 3. ชวยในการพจารณาการเปลยนแปลงของคาบางคาในปญหาเดม (การวเคราะหความไวตอการเปลยนแปลง) ซงจะไดอธบายในหวขอตอไป

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 800.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 0.000000 200.000000 Y2 1.142857 0.000000


191

การวเคราะหความไว การวเคราะหความไว (sensitivity analysis) หมายถง การวเคราะหวาผลเฉลยเหมาะสมทสดทคานวณไดจะไวตอการเปลยนแปลงลกษณะตางๆ หรอไม และถาเกดการเปลยนแปลงเหล าน น จ ะ ม ผ ลก ร ะท บต อผ ล เฉ ลย ขอ งปญ หา แล ะค า เป าห มาย หร อ ไ ม อ ย า ง ไ ร (สทธมา ชานาญเวช, 2553 : 127) เนองจากสมมตฐานขอหนงของกาหนดการเชงเสนดงทกลาวมาแลววา ปญหาตองมความแนนอน (certainly) นนคอ ตวเลขขอมลตางๆ ทใชในการสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนนนจะตองทราบคาแนชด เชน กาไรในการผลตบานสนขแบบ A คงท คอ 1,000 บาท หรอตนทนขาวกโลกรมละ 40 บาท หรอเกษตรกรมทนในการเพาะปลก 12,000 บาท เปนตน แตในความเปนจรงแลว พบวาเปนการยากทคาพารามเตอรตางๆ (Cj, aij, bi) ทใชในการสรางตวแบบกาหนดการ เชงเสนจะเปนตวเลขทแนนอนหรอคงท เนองจากความยากลาบากในการหาตวเลขทแนนอนนเอง ตวเลขสวนใหญทไดมาจงเปนคาประมาณหรอคาเฉลย นอกจากนน ยงมการเปลยนแปลงของปจจยตางๆ ทอยนอกเหนอการควบคมแตมผลทาใหขอมลทใชในกาหนดการเชงเสนเปลยนแปลงไป เชน การเปลยนแปลงราคาขายของวตถดบ ความตองการของลกคา นามนขนราคา ฯลฯ จงอาจกลาวไดวาในทางปฏบตแลวยงคงมความไมแนนอนของขอมลเกดขนในระดบหนง เมอไดมการใชขอมลชดหนงมาทาการสรางตวแบบและแกปญหากาหนดการเชงเสนไดผลเฉลยเหมาะสมทสดในการแกปญหานนๆ แลว แตเมอมความไมแนนอนของขอมลทใชจงอาจจะเกดปญหาตามมาในกรณมการเปลยนแปลงขอมลบางอยาง เชน ถาตนทนในการผลตสนคาเพมขน 15% จะมผลกระทบอยางไร หรอมคนงานในแผนกประกอบลาหยดงานไป 5 ชวโมงทาใหเวลาในการทางานของแผนกนเหลอเพยง 80 ชวโมง เปนตน ดงนนจงจาเปนตองพจารณาวาการเปลยนแปลงขอมลดงกลาวจะมผลตอผลเฉลยเหมาะสมทสดซงไดคานวณไวแลวหรอไม ดงนนการวเคราะหความไวจงเปนการวเคราะหการเปลยนแปลงของคาคงท ตวแปร และเงอนไขบงคบของตวแบบกาหนดการเชงเสนภายหลงจากทไดผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว ทงนกเพอพจารณาวาการเปลยนแปลงดงกลาวจะมผลกระทบตอผลเฉลยเหมาะสมทสดของฟงกชนจดประสงคหรอไม อยางไร โดยแบงการเปลยนแปลงคาตางๆ เปน 4 ดาน (กตต ภกดวฒนะกล, 2554 : 149) ดงน 1. การเปลยนแปลงคาสมประสทธของตวแปรในฟงกชนจดประสงค เปนการพจารณาวาหากสมประสทธของตวแปรในสมการเปาหมายมการเปลยนแปลงผลเฉลยทเหมาะสมทสดเดมเปลยนแปลงไปหรอไม อยางไร 2. การเปลยนแปลงของเงอนไขบงคบทางดานทรพยากรหรอคาคงททางขวามอของเงอนไขบงคบ เปนการพจารณาวาหากคาคงททางขวามอของอสมการเงอนไขบงคบมการเปลยนแปลง จะทาใหผลเฉลยทเหมาะสมทสดเดมเปลยนแปลงไปหรอไม อยางไร

192

3. การเปลยนแปลงสมประสทธในเงอนไขบงคบ หรอการเปลยนแปลงอตราการใชทรพยากร เปนการพจารณาวาหากสมประสทธหนาตวแปรของเงอนไขบงคบมการเปลยนแปลง จะทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเดมเปลยนแปลงไปหรอไม อยางไร 4. การเปลยนแปลงของจานวนเงอนไขบงคบ เปนการพจารณาวาการเพมขนหรอลดลงของจานวนเงอนไขบงคบ จะทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเดมเปลยนแปลงไปหรอไม อยางไร ในทนจะแสดงการเปลยนแปลงทสามารถพบไดบอยในปญหาตางๆ คอ การเปลยนแปลงในขอ 1 และขอ 2 ซงจะแสดงโดยใชผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO การวเคราะหความไวโดยใชผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป ในการแกปญหากาหนดการเชงเสนดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ถาตองการใหแสดงการวเคราะหความไว ใหคลก Yes ตามหนาจอทแสดงในภาพท 4.2 แลวโปรแกรมสาเรจรป LINDO จะแสดงรายงานผลลพธของตวแบบกาหนดการเชงเสนในสวนทเพมเตมขนมา คอขอมลตงแตบรรทดบรรทด RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED ลงไป ซงจะแบงเปน 2 ชวง คอ 1.OBJ COEFFICIENT RANGES เปนการระบชวงของการเปลยนแปลงสมประสทธของตวแปรในฟงกชนจดประสงค ทไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดของปญหาเปลยนแปลงไปแตจะมการเปลยนแปลงคาของฟงกชนจดประสงค หรออาจกลาวไดวาเปนขอมลทใชสาหรบการวเคราะหการเปลยนแปลงของกาไรหรอตนทนโดยทผลเฉลยเหมาะสมทสดยงคงเดม ขอมลสาหรบการวเคราะหการเปลยนแปลงของกาไรหรอตนทน ประกอบดวย 4 สดมภ คอ VARIABLE คอ ชอของตวแปรในฟงกชนจดประสงค CURRENT COEF คอ คาสมประสทธของตวแปรในปจจบนของฟงกชน จดประสงคในตวแบบกาหนดการเชงเสน ALLOWABLE INCREASE คอ คาสมประสทธของตวแปรของฟงกชนจดประสงค

ทสามารถเพมขนไดอกโดยไมทาใหผลเฉลย เหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป

ALLOWABLE DECREASE คอ คาสมประสทธของตวแปรของฟงกชนจดประสงค ทสามารถลดลงไดอกโดยไมทาใหผลเฉลย เหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป

2. RIGHTHAND SIDE RANGES เปนการระบชวงของการเปลยนแปลงของคาคงททางขวามอของเงอนไขบงคบ ทไมทาใหมลคาของทรพยากรของปญหา เปลยนแปลงไปแตจะมการ

193

เปลยนแปลงจานวนของทรพยากร หรออาจกลาวไดวาเปนขอมลสาหรบการวเคราะหการเปลยนแปลงของทรพยากรโดยทมลของคาทรพยากรยงคงเดม ขอมลสาหรบการวเคราะหการเปลยนแปลงจานวนทรพยากร ประกอบดวย 4 สดมภ คอ ROW คอ เลขแถวของเงอนไขบงคบ CURRENT RHS คอ คาคงททางขวามอของเงอนไขบงคบในปจจบน ALLOWABLE INCREASE คอ คาคงททางขวามอทสามารถเพมขนไดโดยไมทา ใหมลคาของทรพยากรเปลยนแปลงไป ALLOWABLE DECREASE คอ คาคงททางขวามอทสามารถลดลงไดโดยไมทา ใหมลคาของทรพยากรเปลยนแปลงไป ตวอยางท 5.11 จากตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาบรษทบานสนขสวย จากด ตามตวอยางท 1.2 จงทาการวเคราะหความไวของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO วธทา จากปญหากาหนดการเชงเสนของบรษทบานสนขสวย จากด ไดสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนไวดงน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 1,000X1 + 400X2 เงอนไขบงคบ 10X1 + 8X2 200

7X1 + 3X2 84 7X1 + 2X2 70

X1 , X2 0 ทาการหาผลเฉลยของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงตอไปน

194

ภาพท 5.5 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของการวเคราะหความไว ตามตวอยางท 5.11

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 11600.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 6.000000 0.000000 X2 14.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 28.000000 0.000000 3) 0.000000 114.285713 4) 0.000000 28.571428 NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 1000.000000 399.999969 66.666664 X2 400.000000 28.571428 114.285713 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 200.000000 INFINITY 28.000000 3 84.000000 5.444445 14.000000 4 70.000000 14.000000 7.538462

195

จากการวเคราะหความไวของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ดงภาพท 5.5 ซงจะไดผลลพธเรมตงแตบรรทด RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED ลงไป แบงเปน 2 สวน ดงตอไปน สวนท 1 แสดงชวงของการเปลยนแปลงสมประสทธของตวแปรในฟงกชนจดประสงค คอ การแสดงชวงของการเปลยนแปลงกาไรตอหลงของบานสนขทง 2 แบบ ทไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป จากการพจารณาตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาเปนการผลตบานสนข 2 แบบโดยกาหนดให

X1 แทน จานวนการผลตบานสนขแบบ A (หลง) X2 แทน จานวนการผลตบานสนขแบบ B (หลง) จากรายงานผลลพธของโปรแกรม LINDO จะไดวา ถาตองการกาไรสงสดตอสปดาหจะตองวางแผนการผลต คอ - ผลตบานสนขแบบ A (X1) สปดาหละ 6 หลง - ผลตบานสนขแบบ B (X2) สปดาหละ 14 หลง และกาไรสงสดทไดรบคอ สปดาหละ 11,600 บาท ผลลพธท ไดจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ขางตน จะสามารถวเคราะหไดวา ถาสมประสทธของตวแปรในฟงกชนจดประสงคเปลยนแปลงไปในชวงดงกลาวแลว ผลเฉลยเหมาะสมทสดจะยงคงเดม ไมตองทาการหาผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสนใหม สวนคาฟงกชนจดประสงคหรอกาไรจะเปลยนแปลงไปเทาใดจะขนอยกบการเปลยนแปลงของกาไรของบานสนขแตละแบบ สามารถแสดงชวงการเปลยนแปลงกาไรตอหลงของบานสนขแตละแบบ ไดดงน พจารณาชวงของการเพมขนของกาไรตอหลง และชวงของการลดลงของกาไรตอหลง ของการผลตบานสนขแตละแบบ จะพบวา - จานวนการผลตบานสนขแบบ A (X1) กาไรปจจบนมคาเทากบ 1,000 บาทตอหลง ถากาไรเพมไมเกน 399.999 บาทตอหลง หรอลดลงไมเกน 66.666 บาทตอหลง จะทาใหแผนการผลตยงคงเดม ซงหมายความวา ถากาไรของการผลตบานสนขแบบ A อยระหวาง 933.334 (1,000 – 66.666) บาทตอหลง ถง 1399.999 (1,000 + 399.999) บาทตอหลง จะทาใหไดผลเฉลยเหมาะสมทสดหรอการผลตบานสนขแตละแบบยงคงเหมอนเดม คอ X1 = 6 และ X2 = 14 - จานวนการผลตบานสนขแบบ B (X2) กาไรปจจบน มคาเทากบ 400 บาทตอหลง ถากาไรเพมไมเกน 28.571 บาทตอหลง หรอลดลงไมเกน 114.285 บาทตอหลง จะทาใหแผนการผลตยงคงเดม ซงหมายความวา กาไรของการผลตบานสนขแบบ B อยระหวาง 285.715 (400 – 114.285) บาทตอหลง ถง 428.571 (400 + 28.571) บาทตอหลง จะทาใหไดผลเฉลยเหมาะสมทสดเดมหรอการผลตบานสนขแตละแบบยงคงเหมอนเดม คอ X1 = 6 และ X2 = 14

196

สรปไดวาถากาไรของการผลตบานสนขเปลยนแปลงไปแตยงอยในชวงทแสดงในผลลพธจะไมกระทบกบจานวนการผลต และกาไรทเปลยนแปลงไปจะทาการคานวณไดโดยตรงตามกาไรทเพมขนหรอลดลง แตถาการเปลยนแปลงทเกนกวาชวงทแสดงในผลลพธจะตองทาการคานวณหาผลเฉลยเหมาะสมทสดใหม ยกตวอยางเชน ถาปญหาบรษทบานสนขสวย จากด ทาการเพมกาไรบานสนขแบบ A จากหลงละ 1,000 บาท เปนหลงละ 1,300 บาท และเพมกาไรบานสนขแบบ B จากหลงละ 400 บาท เปนหลงละ 420 บาท ซงเปนกาไรตอหนวยทเปลยนแปลงไปแตยงอยในชวงทแสดงในผลลพธ สามารถสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนใหมไดดงน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 1,300X1 + 420X2 เงอนไขบงคบ 10X1 + 8X2 200

7X1 + 3X2 84 7X1 + 2X2 70

X1 , X2 0 จากการเพมกาไรตอหลงของบานสนขแตละแบบทยงอยในชวงแสดงในผลลพธขางตน ผลเฉลยเหมาะสมทสดจะยงคงเหมอนเดม คอ X1 = 6 , X2 = 14 และกาไรทเปลยนแปลงไปจะทาการคานวณใหม ไดดงน 1,300X1 + 420X2 = 1,300(6) + 420(14) = 13,680 บาท สามารถแสดงดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงตอไปน

197

ภาพท 5.6 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของบรษทบานสนขสวย จากด กรณเพมกาไรบานสนขแบบ A เปนหลงละ 1,300 บาท และเพมกาไรบานสนขแบบ B เปนหลงละ 420 บาท

จากภาพท 5.6 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 6 , X2 = 14 และกาไรสงสด คอ 13,680 บาท สวนท 2 แสดงชวงของการเปลยนแปลงคาคงททางขวามอของเงอนไขบงคบหรอจานวนของทรพยากร ซงในปญหาน คอ จานวนของไม ซงมไมทงหมดจานวน 200 เมตร และจานวนเวลาการทางานของแผนกประกอบ และแผนกทดสอบม 84 และ 70 ชงโมง ตามลาดบ การวเคราะหความไวในกรณนเปนการวเคราะหเพอใหทราบถงการเปลยนแปลงทจะเกดขนของทรพยากร แตมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง และมลคาของทรพยากรของการผลตตางๆ มคาดงน - มลคาของไม คอ 0 บาท - มลคาของเวลาการทางานของแผนกประกอบ คอ 114.285 บาท - มลคาของเวลาการทางานของแผนกทดสอบ คอ 28.571 บาท


198

สามารถแสดงชวงของการเปลยนแปลงคาคงททางขวามอของเงอนไขบงคบ ไดดงน - เงอนไขบงคบของจานวนไม มคาคงททางขวามอของเงอนไขบงคบในปจจบน เทากบ 200 เมตร ซงมชวงการเปลยนแปลงอยระหวาง INFINITY ถง 28 แสดงวา จานวนไมจะเพมขนไดโดยไมมขอบเขต และลดลงไดไมเกน 28 เมตร นนคอ มชวงการเปลยนแปลงอยระหวาง 172 (200 – 28) เมตร ถง อนนต () (200 + ) เมตร ซงเปนชวงทสามารถเปลยนแปลงไดและมลคาของไมยงคงเทาเดม แตมลคาของไม คอ 0 บาท ดงนนจงไมมผลกระทบตอกาไรรวม และจะไมมผลกระทบกบจานวนการผลตเชนกน ยกตวอยางเชน ถาลดจานวนไมลงเปน 175 เมตร ซงยงอยในชวงทสามารถเปลยนแปลงได จะยงคงทาใหมลคาของไมยงคงเทาเดมรวมถงกาไรรวมกบจานวนการผลตจะไมเปลยนแปลงไป สามารถแสดงดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงน

ภาพท 5.7 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของบรษทบานสนขสวย จากด กรณจานวนไมลงเปน 175 เมตร

จากภาพท 5.7 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 6 , X2 = 14 และกาไรสงสด คอ 11,600 บาท



199

- เงอนไขบงคบในดานจานวนเวลาการทางานของแผนกประกอบ มคาคงททางขวามอของเงอนไขบงคบในปจจบน เทากบ 84 ชวโมง ซงมชวงการเปลยนแปลงอยระหวาง 70 (84 – 14) ชวโมง ถง 89.444 (84 + 5.444) ชวโมง เชน ถาชวโมงการทางานของแผนกประกอบเพมขนเปน 89 ชวโมง ซงอยในชวงทสามารถเปลยนแปลงไดและมลคาของเวลายงเทาเดม คอ 114.285 บาท แตจะทาใหจานวนการผลตสนคา (X1 = 6,X2 = 14) และกาไรรวมเดม (11,600 บาท) เปลยนแปลงไปแตกาไรรวมทเปลยนแปลงไปจะสามารถคานวณใหมไดดวยมลคาของทรพยากร นนคอ กาไรทเปลยนแปลงไปจะเทากบ จานวนเวลาทเพมขนคณกบมลคาของเวลาหนงชวโมง จะได 5114.285 = 571.425 ทาใหกาไรรวมใหม คอ 11,600 + 571.425 = 12,171.425 บาท สามารถแสดงดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงน

ภาพท 5.8 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของบรษทบานสนขสวย จากด กรณชวโมงการทางานของแผนกประกอบเพมขนเปน 89 ชวโมง




200

- เงอนไขบงคบในดานจานวนเวลาการทางานของแผนกทดสอบ มคาคงททางขวามอของเงอนไขบงคบในปจจบน เทากบ 70 ชวโมง ซงมชวงการเปลยนแปลงอยระหวาง 62.462 (70 – 7.538) ชวโมง ถง 84 (70 + 14) ชวโมง เชน ถาชวโมงการทางานของแผนกทดสอบลดลงเปน 65 ชวโมง ซงอยในชวงทสามารถเปลยนแปลงไดและมลคาของเวลายงเทาเดม คอ 28.571 บาท แตจะทาใหจานวนการผลตสนคา (X1 = 6, X2 = 14) และกาไรรวมเดม (11,600 บาท) เปลยนแปลงไปแตกาไรรวมทเปลยนแปลงไปจะสามารถคานวณใหมไดดวยมลคาของทรพยากร นนคอ กาไรทเปลยนแปลงไปจะเทากบ จานวนเวลาทลดลงคณกบมลคาของเวลาหนงชวโมง เทากบ 528.571 = 142.855 ทาใหกาไรรวมใหม คอ 11,600 – 142.855 = 11,457.145 บาท สามารถแสดงดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงน

ภาพท 5.9 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของบรษทบานสนขสวย จากด กรณชวโมงการทางานของแผนกทดสอบลดลงเปน 65 ชวโมง




201

สรปไดวา ถาคาคงททางขวามอของสมการเงอนไขบงคบแตละขอมการเปลยนแปลงไปแตอยในชวงทแสดงในผลลพธจะคานวณการเปลยนแปลงของกาไรรวมไดดวยมลคาของทรพยากร ถากาไรรวมเปลยนแปลงไป หมายถง จานวนการผลตจะตองเปลยนแปลงไปดวย แตไมสามารถระบลงไปไดวาจานวนการผลตจะเปลยนแปลงไปอยางไร และถาคาคงททางขวามอของสมการเงอนไขบงคบแตละขอมการเปลยนแปลงเกนชวงทแสดงในผลลพธจะไมสามารถคานวณการเปลยนแปลงของกาไรรวมไดดวยมลคาของทรพยากร และกจะมผลกระทบตอจานวนการผลตดวย ดงนน การคานวณกาไรรวมใหมจงจาเปนตองทาการคานวณผลเฉลยใหม ตวอยางท 5.12 จากตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต ตามตวอยางท 1.3 จงทาการวเคราะหความไวของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO วธทา จากปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต ไดสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนไวดงน ฟงกชนจดประสงค minimize P = 40X1 + 100X2

เงอนไขบงคบ 40X1 + 30X2 600 35X1 + 70X2 700 X1 , X2 0

ขนตอไปทาการวเคราะหความไวของปญหาดวยโปรแกรมคอมพวเตอรสาเรจรป LINDO ซงไดผลลพธดงภาพท 5.10

202



ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 200.000000 0.000000 3) 0.000000 -1.142857 NO. ITERATIONS= 1

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 40.000000 10.000000 40.000000 X2 100.000000 INFINITY 19.999996 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 600.000000 200.000000 INFINITY 3 700.000000 INFINITY 174.999985

203

จากรายงานผลลพธการวเคราะหความไวดงแสดงในภาพท 5.10 ซงจะอธบายตงแตบรรทด RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED ลงไป แบงเปน 2 สวน ดงตอไปน สวนท 1 แสดงชวงของการเปลยนแปลงสมประสทธของตวแปรในฟงกชนจดประสงค คอ การแสดงชวงของการเปลยนแปลงตนทนของสวนผสมของวตามนแตละชนด ทจะไมทาให ผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป จากการพจารณาตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาเปนการผลตอาหารสาเรจรป โดยใชขาวหรอเนอในการผลต ซงกาหนดให

X1 แทน จานวนขาวทใชในการผลตอาหารสาเรจรป (กโลกรม) X2 แทน จานวนเนอทใชในการผลตอาหารสาเรจรป (กโลกรม) จากรายงานผลลพธของโปรแกรม LINDO จะไดวา ถาตองการเสยตนทนตาสดในการผลต จะตองวางแผนการผลต คอ - ใชขาวในการผลตอาหารสาเรจรป 20 กโลกรม (X1 = 20) - ไมตองใชเนอในการผลตอาหารสาเรจรป (X2 = 0) และตนทนตาสดทใชไป คอ 800 บาท พจารณาชวงของการเพมขนของตนทนสวนผสมในการผลตอาหารสาเรจรป และชวงของการลดลงของตนทนสวนผสมในการผลตอาหารสาเรจรป จะพบวา - จานวนขาวทใชในการผลตอาหารสาเรจรป (X1) ตนทนปจจบน มคาเทากบ 40 บาท ถาตนทนเพมไมเกน 10 บาทตอกโลกรม หรอลดลงไมเกน 40 บาทตอกโลกรม จะทาใหแผนการผลตททาใหใชตนทนตาสดยงคงเดม ซงหมายความวาตนทนของขาวทใชในการผลต (X1) อยระหวาง 0 (40 – 40) บาทตอกโลกรม ถง 50 (40 + 10) บาทตอกโลกรม จะทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดหรอการใชขาวหรอเนอในการผลต ยงคงเหมอนเดม คอ X1 = 20, X2 = 0 - จานวนเนอทใชในการผลตอาหารสาเรจรป (X2) ตนทนปจจบน มคาเทากบ 100 บาท ถาตนทนทเพมขนได มคา INFINITY หมายความวา ถาตนทนของ X2 เพมขนกจะเพมขนไดโดยไมมขอบเขต และลดลงไมเกน 19.999 บาทตอกโลกรม จะทาใหแผนการผลตททาใหใชตนทนตาสดยงคงเดม นนคอ ชวงของตนทนของจานวนเนอทใชในการผลตอาหารสาเรจรป (X2) อยระหวาง 80.001 (100 – 19.999) บาทตอกโลกรม ถง อนนต () (200 + ) บาทตอกโลกรม จะทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดหรอการใชขาวหรอเนอในการผลต ยงคงเหมอนเดม คอ X1 = 20, X2 = 0 ยกตวอยางเชน ถาบรษทผลตอาหารสาเรจรป ทาการลดตนทนขาว 1 กโลกรม จาก 40 บาท เปน 30 บาท และลดตนทนเนอ 1 กโลกรม จาก 100 บาท เปน 70 บาท ซงเปนตนทนตอ

204

หนวยทเปลยนแปลงไปแตยงอยในชวงทแสดงในผลลพธ สามารถสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนใหมไดดงน

ฟงกชนจดประสงค minimize P = 30X1 + 70X2 เงอนไขบงคบ 40X1 + 30X2 600 35X1 + 70X2 700 X1 , X2 0 จากการลดตนทนตอหนวยของขาวและเนอแตยงอยในชวงทแสดงในผลลพธขางตน ผลเฉลยเหมาะสมทสดจะยงคงเหมอนเดม คอ X1 = 20 , X2 = 0 และกาไรทเปลยนแปลงไปจะทาการคานวณใหม ไดดงน 30X1 + 70X2 = 30(20) + 70(0) = 600 บาท

สามารถแสดงดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงตอไปน

ภาพท 5.11 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต กรณลดตนทนขาวเปน 30 บาท และลดตนทนเนอเปน 70 บาท

จากภาพท 5.11 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 20 , X2 = 0 และกาไรสงสด คอ 600 บาท



205

สวนท 2 แสดงชวงของการเปลยนแปลงคาทางขวามอของเงอนไขบงคบ ซงในปญหาน คอ ปรมาณของวตามน A ไมตากวา 600 หนวย และปรมาณของวตามน B ไมตากวา 700 หนวย การวเคราะหความไวในกรณนเปนการวเคราะหเพอใหทราบถงการเปลยนแปลงทจะเกดขนของทรพยากร แตมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง และมลคาของทรพยากรของการผลตตางๆ มคาดงน - มลคาของปรมาณของวตามน A คอ 0 บาท - มลคาของปรมาณของวตามน B คอ –1.142 บาท หมายความวา ถาปรมาณของวตามน B เพมขน 1 หนวย จะทาใหการผลตอาหารสาเรจรปมตนทนเพมขน 1.142 บาทตอทกๆ 1 หนวยทเพมขน หรอ ถาปรมาณของวตามน B ลดลง 1 หนวย จะทาใหการผลตอาหารสาเรจรปมตนทนลดลง 1.142 บาทตอทกๆ 1 หนวยทลดลง ผลลพธทไดจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ขางตน จะแสดงชวง ของการเปลยนแปลงคาคงททางขวามอของเงอนไขบงคบ ดงน - เงอนไขบงคบในดานปรมาณของวตามน A มคาคงททางขวามอของเงอนไขบงคบในปจจบน เทากบ 600 หนวย ซงมชวงการเปลยนแปลงอยระหวาง 200 ถง INFINITY แสดงวาปรมาณของวตามน A จะลดลงไดโดยไมมขอบเขต และ เพมขนไดแตไมมากกวา 200 หนวย นนคอ มชวงการเปลยนแปลงอยระหวาง อนนต () (600 – ) หนวย ถง 800 (600 + 200) หนวย ซงเปนชวงทสามารถเปลยนแปลงไดและมลคาของปรมาณของวตามน A ยงคงเทาเดม แตมลคาของปรมาณของวตามน A คอ 0 บาท ดงนนจงไมมผลกระทบตอกาไรรวม และจะไมมผลกระทบกบจานวนการผลตเชนกน - เงอนไขบงคบในดานปรมาณของวตามน B มคาคงททางขวามอของเงอนไขบงคบในปจจบน เทากบ 700 เมตร ซงมชวงการเปลยนแปลงอยระหวาง INFINITY ถง 174.999 หนวย หมายความวา ปรมาณของวตามน B เพมขนไดโดยไมมขอบเขต และลดลงไมเกน 174.999 นนคอ ชวงปรมาณของวตามน B ทใชในการผลตอาหารสาเรจรป (X2) อยระหวาง 525.001 (700 – 174.999) หนวย ถง อนนต () (700 + ) หนวย เชน ถาปรมาณของวตามน B ทใชในการผลตอาหารลดลงเปน 600 ซงอยในชวงทสามารถเปลยนแปลงไดและมลคาของปรมาณของวตามน B เทาเดม คอ –1.142 แตจะทาใหจานวนการผลตสนคา (X1 = 20 , X2 = 0) และตนทนรวมเดม (800 บาท) เปลยนแปลงไปแตตนทนรวมทเปลยนแปลงไปจะสามารถคานวณใหมไดดวยมลคาของทรพยากร นนคอ ตนทนรวมทเปลยนแปลงไปจะเทากบ 100(–1.142) = –114.2 ทาใหตนทนรวมใหม คอ 800 +( –114.2) = 685.8 บาท สามารถแสดงดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงน

206

ภาพท 5.12 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาการกาหนดสวนผสมการผลต กรณปรมาณของวตามน B ทใชในการผลตอาหารลดลงเปน 600 หนวย

จากภาพท 5.12 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 17.143 , X2 = 0 และกาไรสงสด คอ 685.714บาท ตวอยางท 5.13 จากตวแบบของปญหากาหนดการเชงเสนทกาหนดให ตอไปน จงทาการวเคราะหความไวของปญหาดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ฟงกชนจดประสงค minimize P = 250X1 + 200X2 เงอนไขบงคบ 25X1 + 35X2 1,500 5X1 + 65X2 1,700 56X1 + 44X2 2,300 X1 , X2 0 วธทา ทาการวเคราะหความไวของปญหาดวยโปรแกรมคอมพวเตอรสาเรจรป LINDO ซงไดผลลพธดงภาพท 5.13



207



ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -0.232558 3) 387.209290 0.000000 4) 0.000000 -4.360465 NO. ITERATIONS= 2

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 250.000000 4.545455 107.142853 X2 200.000000 150.000000 3.571429 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 1500.000000 329.545471 97.368416 3 1700.000000 387.209290 INFINITY 4 2300.000000 229.655167 414.285736

208

จากภาพท 5.13 ผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 16.860 , X2 = 30.814 และ minimize P = 10,377.910 จากรายงานผลลพธการวเคราะหความไวดงแสดงในภาพท 5.13 อธบายไดดงน สวนท 1 OBJ COEFFICIENT RANGES แสดงชวงของการเปลยนแปลงสมประสทธของตวแปรในฟงกชนจดประสงค ทจะไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป - สมประสทธของตวแปร X1 ในฟงกชนจดประสงคปจจบน มคาเทากบ 250 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 4.545 และลดลงไดไมเกน 107.143 ดงนนชวงทสมประสทธของตวแปร X1 ในฟงกชนจดประสงคทสามารถเปลยนแปลงได โดยทจะไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป คอ ชวงระหวาง 142.857 (250 – 107.143) ถง 254.545 (250 + 4.545)

- สมประสทธของตวแปร X2 ในฟงกชนจดประสงคปจจบน มคาเทากบ 200 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 150 และลดลงไดไมเกน 3.571 ดงนนชวงทสมประสทธของตวแปร X2 ในฟงกชนจดประสงคทสามารถเปลยนแปลงได โดยทจะไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป คอ ชวงระหวาง 196.429 (200 – 3.571) ถง 350 (200 + 150) สวนท 2 RIGHTHAND SIDE RANGES แสดงชวงของการเปลยนแปลงคาทางขวามอของเงอนไขบงคบ แตมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง และกาไรรวมทเปลยนแปลงไปจะสามารถคานวณใหมไดดวยมลคาของทรพยากร

- เงอนไขบงคบท 1 มคาคงททางขวามอในปจจบน เทากบ 1,500 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 329.545 และลดลงไดไมเกน 97.368 ดงนนชวงทคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทสามารถเปลยนแปลงได โดยทมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง คอ ชวงระหวาง 1,402.632 (1,500 – 97.368) ถง 1,829.545 (1,500 + 329.545)

- เงอนไขบงคบท 2 มคาคงททางขวามอในปจจบน เทากบ 1,700 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 387.209 และลดลงไดโดยไมมขอบเขต () ดงนนชวงทคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทสามารถเปลยนแปลงได โดยทมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง คอ ชวงระหวาง (1,700 – ) ถง 2,087.209 (1,700 + 387.209)

- เงอนไขบงคบท 3 มคาคงททางขวามอในปจจบน เทากบ 2,300 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 229.655 และลดลงไดไมเกน 414.286 ดงนนชวงทคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทสามารถเปลยนแปลงได โดยทมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง คอ ชวงระหวาง 1,885.714 (2,300 – 414.286) ถง 2,529.655 (2,300 + 229.655)

209

บทสรป ปญหาคกน นบเปนหวขอทสาคญหวขอหนงของการศกษาเรองกาหนดการเชงเสน เนองจากปญหาคกนของกาหนดการเชงเสน สามารถแสดงตวแบบกาหนดการเชงเสนคกนของ ตวแบบกาหนดการเชงเสนทมอยเดม ซงประโยชนสาคญของปญหาคกน ไดแก ใชในการแกปญหากาหนดการเชงเสนทตวแบบเดมมจานวนเงอนไขบงคบมากเมอเทยบกบจานวนตวแปร ใชในการตดสนใจปญหาตางๆ และใชในการวเคราะหความไวของปญหากาหนดการเชงเสน การวเคราะหความไวของกาหนดการเชงเสน เปนการศกษาเพอพจารณาถงการเปลยนแปลงไปของผลเฉลยเหมาะสมทสดของปญหาตางๆ เมอเกดการเปลยนแปลงไปของคาคงทตวแปร และเงอนไขบงคบของตวแบบกาหนดการเชงเสน ซงทาใหสามารถใชประโยชนจาก ผลเฉลยของกาหนดการเชงเสนไดอยางเตมท

210

แบบฝกหดบทท 5

จงสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกน จากตวแบบของปญหากาหนดการเชงเสนตอไปน (ไมตองหาผลเฉลย)

5.1 ฟงกชนจดประสงค maximize P = 5X1 + 15X2 + 20X3

เงอนไขบงคบ 5X1 – 10X2 + 8X3 15 –8X1 + 25X2 + 6X3 35 X1 , X2 , X3 0 5.2 ฟงกชนจดประสงค minimize P = 10X1 + 35X2 + 40X3

เงอนไขบงคบ 35X1 – 15X2 + 9X3 – 25 30X1 + 55X2 – 16X3 15 X1 , X2 , X3 0 5.3 ฟงกชนจดประสงค maximize P = 35X1 + 75X2 + 28X3

เงอนไขบงคบ –7X1 + 10X2 + 8X3 = 20 4X1 + 8X2 + 6X3 – 55 5X1 – 9X2 + 16X3 – 5 X1 , X2 , X3 0 5.4 ฟงกชนจดประสงค minimize P = 15X1 + 25X2 + 50X3

เงอนไขบงคบ 36X1 – 25X2 + 19X3 15 20X1 + 35X2 – 16X3 = –10 24X1 + 7X2 + 55X3 –45 X1 , X2 , X3 0 5.5 ฟงกชนจดประสงค minimize P = 75X1 + 65X2 + 80X3 + 39X4

เงอนไขบงคบ 28X1 – 15X2 + 18X3 + 30X4 45 60X1 + 85X2 – 14X3 + 40X4 –19 14X1 + 28X2 + 25X3 + 10X4 = 35 X1 , X2 , X3 , X4 0

211

5.6 จากปญหากาหนดการเชงเสนในแบบฝกหดบทท 1 ขอท 1.1 – 1.10 จงสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนของปญหาคกนและหาผลเฉลยของปญหาคกน จากตวแบบของปญหากาหนดการเชงเสนทกาหนดให ตอไปน จงหาผลเฉลยของปญหาดวยวธการใชโปรแกรมสาเรจรป LINDO พรอมทงอธบายการวเคราะหความไว 5.7 ฟงกชนจดประสงค minimize P = 150X1 + 220X2 เงอนไขบงคบ 5X1 + 3X2 100 8X1 + 6X2 180 6X1 + 4X2 300 X1 , X2 0 5.8 ฟงกชนจดประสงค maximize P = 25X1 + 10X2 + 4X3 เงอนไขบงคบ 4X1 + 2X2 + X3 10 –3X1 + 5X2 + 6X3 25 X1 , X2 , X3 0 5.9 ฟงกชนจดประสงค minimize P = 200X1 + 170X2 + 300X3 + 65X4 เงอนไขบงคบ 25X1 + 35X2 + 58X3 + 35X4 1,500 5X1 + 65X2 + 40X3 + 38X4 1,700 56X1 + 44X2 + 59X3 + 15X4 2,300 15X1 + 65X2 + 50X3 + 35X4 1,800 X1 , X2 , X3 , X4 0 5.10 ฟงกชนจดประสงค maximize P = 2,000X1 + 2,100X2 + 3,600X3 + 2,500X4 เงอนไขบงคบ 20X1 + 15X2 + 50X3 + 30X4 1,000 50X1 + 15X2 + 45X3 + 35X4 1,000 55X1 + 40X2 + 55X3 + 45X4 1,250 25X1 + 65X2 + 50X3 + 35X4 1,100 X1 , X2 , X3 , X4 0

บทท 6 ปญหาลกษณะพเศษของกาหนดการเชงเสน

การศกษาปญหากาหนดการเชงเสนเพอใชในการแกปญหาตางๆ ผลเฉลยทตองการจะตองเปนผลเฉลยทดทสดและมเพยงผลเฉลยเดยวเทานน หรอเรยกไดวามเพยงผลเฉลยเดยวทเหมาะสมทสด (unique optimal solution) ซงจะแสดงคาสงสดหรอมคาตาสดแลวแตละกรณ แตถา ผลเฉลยของปญหากาหนดการเชงเสนเปนกรณอนนอกเหนอจากทไดกลาวมาแลวจะเรยกปญหาลกษณะเชนนวา ปญหาลกษณะพเศษของกาหนดการเชงเสน ซงมอยหลายกรณดวยกน ซงในการศกษาเกยวกบปญหาลกษณะพเศษของกาหนดการเชงเสนกเพอจะไดเขาใจถงลกษณะและขอจากดตางๆ ของปญหาเหลาน ตลอดจนเรยนรเทคนคในการตรวจสอบวาเปนปญหาประเภทใด มจรงหรอไม และการตดสนใจโดยอาศยเทคนคกาหนดการเชงเสนนน จาเปนทจะตองมตวแบบของปญหา ซงไมมหลกประกนใดๆ ทจะบอกไดวาตวแบบนนถกตองเทยงตรงแคไหน ผลเฉลยทไดในบางครงอาจเปนผลเฉลยทเปนไปไมได หรอเปนผลเฉลยทเกดขนไมไดในปญหาจรง เนองจากขอจากดของการใชทรพยากร หากปญหาใดมผลเฉลยในลกษณะดงกลาว จงจาเปนตองตรวจสอบหาสาเหตทเกดความผดพลาดอนนตอไป ปญหาลกษณะพเศษของกาหนดการเชงเสน สามารถแบงเปนกรณตางๆ ไดดงน 1. ปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได (infeasible solution) 2. ปญหาผลเฉลยไมมขอบเขต (unbounded solutions) 3. ปญหาผลเฉลยเหมาะสมทสดมมากกวาหนงคา (alternative optimal solutions) 4. ปญหามเงอนไขบงคบมากเกนจาเปน (redundancy) 5. ปญหาสภาพซอนสถานะ (degeneracy) ปญหาลกษณะพเศษของกาหนดการเชงเสนน จะสามารถพบไดในปญหาแบบตางๆ หลายกรณดวยกน ดงนนเพอใหงายตอการศกษาและการทาความเขาใจในปญหาลกษณะพเศษ จะแสดงการหาผลเฉลยของปญหาลกษณะพเศษในแตละแบบ ดวยวธกราฟ วธซมเพลกซและวธการใชโปรแกรมสาเรจรป LINDO ดงรายละเอยดตอไปน

214

ปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได ปญหากาหนดการเชงเสนทไมมผลเฉลยทเปนไปได สามารถเกดขนไดอาจเนองมาจากความบกพรองในขนตอนการวเคราะหปญหาและการสรางตวแบบทาใหเงอนไขบงคบตางๆ ทกาหนดขนเกดขดแยงกนเอง ถาเปนการหาผลเฉลยดวยวธกราฟจะไมสามารถหาบรเวณสวนรวมของแตละเงอนไขบงคบได หรอกลาวไดวาไมมบรเวณผลเฉลยทเปนไปไดทสอดคลองกบเงอนไขบงคบครบทกขอ (สโขทยธรรมาธราช, 2548 : 273) และถาเปนการหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซจะพบวาในตารางซมเพลกซสดทายหรอตารางซมเพลกซทใหผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว แตตวแปรเทยมยงคงเปนตวแปรพนฐานหรอยงมคาเปนบวกอย เพราะปญหากาหนดการเชงเสนจะมผลเฉลยเหมาะสมทสดกตอเมอตวแปรเทยมจะตองเปนตวแปรไมพนฐานหรอมคาเทากบศนยในตาราง ซมเพลกซสดทายทใหผลเฉลยเหมาะสมทสด

ตวอยางท 6.1 จงหาผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสนตอไปน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 50X1 + 60X2 เงอนไขบงคบ 5X1 + 2X2 10

X1 + 4X2 8 X2 6

X1 , X2 0 วธทา การหาผลเฉลยดวยวธกราฟ จากตวแบบกาหนดการเชงเสน สามารถหาเฉลยดวยวธกราฟไดดงตอไปน เขยนกราฟของเงอนไขบงคบ 1. พจารณาเงอนไขบงคบ 5X1 + 2X2 10 เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได 5X1 + 2X2 = 10

จดตดแกน X1 คอ (2,0) และหาจดตดแกน X2 คอ (0,5) 2. พจารณาเงอนไขบงคบ X1 + 4X2 8 เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได X1 + 4X2 = 8

จดตดแกน X1 คอ (8,0) และหาจดตดแกน X2 คอ (0,2) 3. พจารณาเงอนไขบงคบ X2 6 เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได X2 = 6 จดตดแกน X2 คอ (0,6)

215

ภาพท 6.1 ปญหาไมมบรเวณผลเฉลยทเปนไปได จากภาพท 6.1 จะเหนไดวาไมมบรเวณสวนรวมของเงอนไขบงคบทง 3 ขอ ดงนนปญหากาหนดการเชงเสนนไมสามารถหาผลเฉลยได ถาพจารณาในแบบของปญหาการผลต จากเงอนไขบงคบทสามตองผลต X2 อยางนอย 6 หนวย ซงจะขดแยงกบเงอนไขบงคบทสอง นนคอ ถาผลต X2 = 6 หนวย จะตองใชทรพยากรตามเงอนไขบงคบทสองคอ 4 x 6 = 24 หนวย จะขดแยงกบจานวนของทรพยากรมสงสดเพยง 8 หนวยเทานน จงเปนไปไมไดทจะผลต X2 อยางนอย 6 หนวย การหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ จากตวอยางนแสดงการหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ ไดดงตอไปน จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 50X1 + 60X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 – MA เงอนไขบงคบ 5X1 + 2X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0A = 10 1X1 + 4X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0A = 8 0X1 + 1X2 + 0S1 + 0S2 – 1S3 + 1A = 6 X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , A 0

216

ตงผลเฉลยเบองตน ตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1) Cj 50 60 0 0 0 –M RHS

(bi)


พนฐาน X1 X2 S1 S2 S3 A

1R 0 S1 5 2 1 0 0 0 10

2R 0 S2 1 4 0 1 0 0 8

3R –M A 0 1 0 0 –1 1 6 Pj 0 –M 0 0 M –M –6M (Cj – Pj) 50 (60+M) 0 0 –M 0 จากตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1) ตวแปรพนฐาน ไดแก S1 , S2 และ A สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 , X2 และ S3 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 S1 = 10 , S2 = 8 , S3 = 0 , A = 6 maximize P = –6M ทงน จากตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1) พบวา ยงไมใชผลเฉลยเหมาะสมทสด เพราะวา ยงมคา (Cj–Pj) เปนบวกอย ดงนนจะทาการพฒนาผลเฉลยได โดยคา (Cj – Pj) ทเปนบวกมากทสด คอ (60+M) ซงเปนของตวแปร X2 ดงนนจงเลอกตวแปร X2 เปนตวแปรเขา และทาการคานวณอตราสวนระหวางคาคงททางขวามอ(bi) กบสมประสทธของ ตวแปรเขา (X2) ในเงอนไขบงคบขอท i ซงอตราสวนทคานวณไดเปนดงน อตราสวนของแถว S1 =

210 =

5

อตราสวนของแถว S2 = 48 = 2

อตราสวนของแถว A = 16 =

6

จากการเปรยบเทยบอตราสวนจะได อตราสวนทตาทสดคอ 2 ซงเปนอตราสวนทไดมาจากตวแปรพนฐาน S2 ดงนนจงเลอกตวแปร S2 เปนตวแปรออก และสมาชกตามหลก คอ 4 ทาการพฒนาผลเฉลยใหม โดยสลบทกนระหวาง S2 และ X2 แลวทาการคานวณตวเลขในตารางใหม ขนตอไปตองทาสมาชกตวหลกใหเปน 1 และตองทาตวเลขอนในแถวตงใหเปน 0 โดยใชการดาเนนการของตวหลก จะไดตารางผลเฉลยชดทสองดงน

217

ตารางซมเพลกซท 2 Cj 50 60 0 0 0 –M

RHS (bi) แถว Cb ตวแปร พนฐาน

X1 X2 S1 S2 S3 A

211 2RRR 0 S1 29 0 1

21

0 0 6

22 41 RR 60 X2

41 1 0

41 0 0 2

233 RRR –M A 21

0 0 41

–1 1 4

Pj 2

30 60 0 4

60 M –M 4120

(Cj – Pj) )2

70(

0 0 )4

60( –M 0

จากตารางซมเพลกซท 2 ตวแปรพนฐาน ไดแก S1 , X2 และ A สวนตวแปร ไมพนฐาน ไดแก X1 , S2 และ S3 และจะเหนไดวาไมมคา (Cj – Pj) ทเปนบวกแสดงวาไดผลเฉลยเหมาะสมทสดแลวและสามารถอานผลเฉลยไดดงน X1 = 0 , X2 = 2 S1 = 6 , S2 = 0 , S3 = 0 , A = 4 maximize P = 120 – 4M จากผลเฉลยทไดจะเหนวาตวแปรเทยม(A) ยงคงเปนตวแปรพนฐานอย ดงนนปญหากาหนดการเชงเสนนไมมผลเฉลยทเปนไปได การหาผลเฉลยดวยวธการใชโปรแกรมสาเรจรป LINDO หลงจากการใสขอมลปญหากาหนดการเชงเสนลงในโปรแกรมสาเรจรป LINDO แลว โปรมแกรมไมสามารถทาการแสดงผลลพธออกมาได ดงแสดงในภาพท 6.2

218

ภาพท 6.2 การหาผลเฉลยดวยวธการใชโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาไมมบรเวณผลเฉลยทเปนไปได

จากภาพท 6.2 จะเหนไดวาโปรแกรมสาเรจรป LINDO แสดงสถานภาพของปญหากาหนดการเชงเสนน เปน infeasible ซงแสดงวาเปนปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได ปญหาผลเฉลยไมมขอบเขต ลกษณะของปญหากาหนดการเชงเสนทผลเฉลยไมมขอบเขตน จะเกดขนในกรณทเปนปญหาการหาคาสงสดเทานน ถาเปนการหาผลเฉลยดวยวธกราฟจะสามารถอธบายไดวา เมอหาบรเวณผลเฉลยทเปนไปไดของตวแบบกาหนดการเชงเสนไดแลว แตเมอหาคาของฟงกชนจดประสงค จะพบวาคาของฟงกชนจดประสงคจะมคาเพมขนเรอยๆ ไมมทสนสดโดยไมฝนเงอนไขบงคบทมอย (สทธมา ชานาญเวช, 2549 : 44) และถาเปนการหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซจะสามารถอธบายไดวา เมอจะทาการพฒนาผลเฉลยของตารางซมเพลกซใหม ถาเลอกตวแปรทจะเขาเปนตวแปรพนฐานไดแลวแตไมสามารถเลอกตวแปรทจะออกจากตวแปรพนฐานได เพราะวาสมประสทธของตวแปรทเลอกเปนตวแปรพนฐานมคาเปนลบหรอเปนศนย กจะสรปไดวาผลเฉลยไมมขอบเขตนนเอง ผลเฉลยกรณนเปนผลเฉลยทเปนไปไดในสภาพความเปนจรง คอ สามารถเกดขนไดจรง และสาเหตทเกดกรณนขนอาจเปนเพราะการสรางตวแบบไมถกตอง เชน มเงอนไขบงคบบางประการทควรจะระบไวแตมไดเขยนเปนเงอนไขบงคบในตวแบบกาหนดการเชงเสน เปนตน

219

ตวอยางท 6.2 จงหาผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสนตอไปน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 20X1 + 40X2 เงอนไขบงคบ 4X1 + X2 8

X1 + 3X2 9 X1 , X2 0 วธทา การหาผลเฉลยดวยวธกราฟ จากตวแบบกาหนดการเชงเสน สามารถหาเฉลยดวยวธกราฟไดดงตอไปน เขยนกราฟของเงอนไขบงคบ 1. พจารณาเงอนไขบงคบ 4X1 + X2 8 เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได 4X1 + X2 = 8

จดตดแกน X1 คอ (2,0) และหาจดตดแกน X2 คอ (0,8) 2. พจารณาเงอนไขบงคบ X1 + 3X2 9 เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได X1 + 3X2 = 9 จดตดแกน X1 คอ (9,0) และหาจดตดแกน X2 คอ (0,3)


220

ภาพท 6.4 ปญหาผลเฉลยไมมขอบเขต

จากภาพท 6.4 จะเหนไดวาคาของฟงกชนจดประสงคยงสามารถเพมขนไดอกเรอยๆ โดยทเสนกราฟของฟงกชนจดประสงคยงคงอยภายในบรเวณทหาผลเฉลยได แสดงวาปญหากาหนดการเชงเสนนไมมผลเฉลยเหมาะสมทสด เพราะจะวามคาเพมขนเรอยๆ ดงนนปญหากาหนดการเชงเสนนมผลเฉลยทไมมขอบเขต และตอไปจะพจารณาโดยการหาผลเฉลยดวย วธซมเพลกซ การหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ จากตวแบบกาหนดการเชงเสน สามารถหาเฉลยดวยวธซมเพลกซไดดงตอไปน จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 20X1 + 40X2 + 0S1 + 0S2 – MA1 – MA2 เงอนไขบงคบ 4X1 + 1X2 – 1S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 = 8 1X1 + 3X2 + 0S1 – 1S2 + 0A1 + 1A2 = 9 X1 , X2 , S1 , S2 , A1 , A2 0

221

ตงผลเฉลยเบองตน

ตารางผลเฉลยเบองตน(ตารางซมเพลกซท 1) Cj 20 40 0 0 –M –M RHS

(bi)



1R –M A1 4 1 –1 0 1 0 8

2R –M A2 1 3 0 –1 0 1 9

Pj –5M –4M M M –M –M –17M (Cj – Pj) (20+5M) 40+4M –M –M 0 0 จากตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1 ตวแปรพนฐาน ไดแก A1 และ A2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 , X2 , S1 และ S2 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 S1 = 0 , S2 = 0 , A1 = 8 , A2 = 9 maximize P = –17M ทงน จากตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1) พบวา ยงไมใชผลเฉลยเหมาะสมทสด เพราะวายงมคา (Cj – Pj) เปนบวกอย ดงนนจะทาการพฒนาผลเฉลยได โดยคา (Cj – Pj) ทเปนบวกมากทสด คอ (20+5M) ซงเปนของตวแปร X1 ดงนนจงเลอกตวแปร X1 เปนตวแปรเขา และทาการคานวณอตราสวนระหวางคาคงททางขวามอ (bi) กบสมประสทธของ ตวแปรเขา (X1) ในเงอนไขบงคบขอท i ซงอตราสวนทคานวณไดเปนดงน อตราสวนของแถว A1 =

48 =

2


จากการเปรยบเทยบอตราสวนจะได อตราสวนทตาทสดคอ 2 ซงเปนอตราสวนทไดมาจากตวแปรพนฐาน A1 ดงนนจงเลอกตวแปร A1 เปนตวแปรออก และสมาชกตามหลก คอ 4 ทาการพฒนาผลเฉลยใหม โดยสลบทกนระหวาง A1 และ X1 แลวทาการคานวณตวเลขในตารางใหม ขนตอไปตองทาสมาชกตวหลกใหเปน 1 และตองทาตวเลขอนในแถวตงใหเปน 0 โดยใชการดาเนนการของตวหลก จะไดตารางผลเฉลยชดทสองดงน

222


RHS(bi) แถว


X1 X2 S1 S2 A1 A2

11 41 RR 20 X1 1

41

41

0 41 0 2

122 RRR

–M A2 0 4

11 41 –1

41

1 7

Pj 20 41120 )

420(

M 4

20 –M 740

(Cj – Pj) 0 )

411140(

420 –M )

4220(

0

จากตารางซมเพลกซท 2 ตวแปรพนฐาน ไดแก X1 และ A2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X2 , S1 , S2 และ A1 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 2 , X2 = 0 S1 = 0 , S2 = 0 , A1 = 0 , A2 = 7 maximize P = 40 – 7M จะเหนไดวายงมคา (Cj – Pj) เปนบวกอยแสดงวาสามารถพฒนาผลเฉลยของตารางซมเพลกซท 2 นใหดขนไดอก และคา (Cj – Pj) ทเปนบวกมากทสด คอ

411140 ซงเปนของ

ตวแปร X2 ดงนนจงเลอกตวแปร X2 เปนตวแปรเขา และทาการคานวณอตราสวนระหวางคาคงททางขวามอ (bi) กบสมประสทธของตวแปรเขา (X2) ในเงอนไขบงคบขอท i ซงอตราสวนทคานวณไดเปนดงน อตราสวนของแถว X1 =

2 x 4 =

8


จากการเปรยบเทยบอตราสวนจะได อตราสวนทตาทสดคอ 1128 ซงเปนอตราสวนท

ไดมาจากตวแปรพนฐาน A2 ดงนนจงเลอกตวแปร A2 เปนตวแปรออก และสมาชกตามหลก คอ 4

11

ทาการพฒนาผลเฉลยใหม โดยสลบทกนระหวาง A2 และ X2 แลวทาการคานวณตวเลขในตารางใหม ขนตอไปตองทาสมาชกตวหลกใหเปน 1 และตองทาตวเลขอนในแถวตงใหเปน 0 โดยใชการดาเนนการของตวหลก จะไดตารางผลเฉลยชดทสามดงน

223


RHS (bi)

แถว Cb ตวแปร พนฐาน

X1 X2 S1 S2 A1 A2

211 41 RRR 20 X1 1 0

4412

111

4412

111

1115

22 114 RR 40 X2 0 1

111

114

111

114

1128

Pj 20 40 4480

11

140

4480

11140

11420,1

(Cj – Pj) 0 0

4480

11140

)444480(

)11

11140(

จากตารางซมเพลกซท 3 ตวแปรพนฐาน ไดแก X1 และ X2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก S1 , S2 , A1 และ A2 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 =

1115 , X2 =

1128

S1 = 0 , S2 = 0 , A1 = 0 , A2 = 0 maximize P =

11420,1

จะเหนไดวายงมคา (Cj – Pj) เปนบวก แสดงวาสามารถพฒนาผลเฉลยของตารางซมเพลกซท 3 นใหดขนไดอก และคา (Cj – Pj) ทเปนบวกมากทสด คอ


ดงนน จงเลอกตวแปร S2 เปนตวแปรเขา และสมประสทธของตวแปร S2 ทเปนบวก คอ 11

1 ซง

เปนของตวแปร X1 ดงนนจงเลอกตวแปร X1 เปนตวแปรออก และสมาชกตามหลก คอ 111

ทาการพฒนาผลเฉลยใหม โดยสลบทกนระหวาง S2 และ X1 แลวทาการคานวณตวเลขในตารางใหม นนคอ ตองทาสมาชกตวหลกใหเปน 1 และตองทาตวเลขอนในแถวตงใหเปน 0 โดยใชการดาเนนการของตวหลก จะไดตารางผลเฉลยชดทสดงน

224

ตารางซมเพลกซท 4 Cj 20 40 0 0 –M –M RHS

(bi) แถว Cb ตวแปร


11 11 RR 0 S2 11 0 –3 1 3 –1 15

122 114 RRR

40 X2 4 1 112

0 1 0 8

Pj 160 40 4480

0 40 0 320

(Cj – Pj) –140 0

)4480(

0

–(M+40) –M

จากตารางซมเพลกซท 4 ตวแปรพนฐาน ไดแก S2 และ X2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 , S2 , A1 และ A2 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 0 , X2 = 8 S1 = 0 , S2 = 15 , A1 = 0 , A2 = 0 maximize P = 320 จะเหนไดวายงมคา (Cj – Pj) เปนบวกอยแสดงวาสามารถพฒนาผลเฉลยของตารางซมเพลกซท 4 นใหดขนไดอก และคา (Cj – Pj) ทเปนบวกมากทสด คอ


ดงนนจงเลอกตวแปร S1 เปนตวแปรเขา แตจะเหนไดวาสมประสทธของตวแปรเขา S1 เปนลบทงหมดเพราะฉะนนจงไมสามารถเลอกตวแปรทจะเปนตวแปรออกจากตวแปรพนฐานได จงสรปไดวาผลเฉลยของปญหานไมมขอบเขต การหาผลเฉลยดวยวธการใชโปรแกรมสาเรจรป LINDO หลงจากการใสขอมลปญหากาหนดการเชงเสนลงในโปรแกรมสาเรจรป LINDO แลว โปรมแกรมทาการแสดงผลลพธออกมาได ดงแสดงในภาพท 6.5

225

ภาพท 6.5 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาผลเฉลยไมมขอบเขต

จากภาพท 6.5 จะเหนไดวาโปรแกรมสาเรจรป LINDO แสดงผลลพธว า UNBOUNDED VARIABLES ARE: ซงแสดงวาเปนปญหาผลเฉลยไมมขอบเขต ปญหาผลเฉลยเหมาะสมทสดมมากกวาหนงคา ปญหากาหนดการเชงเสนทมผลเฉลยเหมาะสมทสดมมากกวาหนงคา คอ กรณทปญหามผลเฉลยเหมาะสมทสดหลายชด และผลเฉลยเหมาะสมทสดแตละชดจะทาใหฟงกชนจดประสงคมคาเทากนทกชด เชน กาไรสงสดเทากน หรอตนทนตาสดเทากน ซงถากรณเชนนเกดขนในปญหาจรงจะชวยทาใหผตดสนใจมทางเลอกในการตดสนใจมากขนเพราะไมวาจะตดสนใจเลอกทางใดผลลพธทไดกจะเหมอนกน ถาเปนการหาผลเฉลยดวยวธกราฟ กรณนจะเกดขนเมอความชนและระยะทตดแกน X2 ของฟงกชนจดประสงคเทากบความชนและระยะทตดแกน X2 ของเงอนไขบงคบททาใหเกดผลเฉลยเหมาะสมทสด และถาเปนการหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซจะพบวาตาราง

UNBOUNDED VARIABLES ARE: SLK 3 SLK 2 X1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.9999990E+08 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 9.000000 0.000000 X2 0.000000 793.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 28.000000 -4.000000 3) 0.000000 -1.000000 NO. ITERATIONS= 1

226

ซมเพลกซสดทายหรอตารางซมเพลกซท ใหผลเฉลยเหมาะสมทสด คา(Cj – Pj) ของตวแปรไมพนฐานบางตวจะมคาเปนศนย เพราะในกรณผลเฉลยแบบปกตคา (Cj – Pj) ของตวแปรไมพนฐานจะมคาเปนลบในปญหาคาสงสดและมคาเปนบวกในปญหาคาตาสด นนคอ ถาคา(Cj – Pj) ของตวแปรไมพนฐานมคาเปนศนย จะสามารถนาตวแปรไมพนฐานนเขาเปนตวแปรพนฐานไดโดยทจะไมมผลกระทบกบคาของฟงกชนจดประสงค แตจะทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไปเทานน แสดงวาจะไดใหผลเฉลยเหมาะสมทสดมาหลายชด และจะเรยกปญหาลกษณะเชนนวาเปนปญหาทมผลเฉลยเหมาะสมทสดมมากกวาหนงคา ตวอยางท 6.3 จงหาผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสนตอไปน ฟงกชนจดประสงค minimize P = 20X1 + 25X2 เงอนไขบงคบ 4X1 + 5X2 20

X1 1 X2 2

X1 , X2 0 วธทา การหาผลเฉลยดวยวธกราฟ จากตวแบบกาหนดการเชงเสน สามารถหาเฉลยดวยวธกราฟไดดงตอไปน เขยนกราฟของเงอนไขบงคบ 1. พจารณาเงอนไขบงคบ 4X1 + 5X2 20

เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได 4X1 + 5X2 = 20 จดตดแกน X1 คอ (5,0) และหาจดตดแกน X2 คอ (0,4)

2. พจารณาเงอนไขบงคบ X1 1 เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได X1 = 1

จดตดแกน X1 คอ (1,0) 3. พจารณาเงอนไขบงคบ X2 2

เปลยนเปนสมการเชงเสนหรอเสนขอบจะได X2 = 2 จดตดแกน X2 คอ (0,2)

227


ภาพท 6.7 ปญหาผลเฉลยเหมาะสมทสดมมากกวาหนงคา

228

การหาผลเฉลยเหมาะสมทสดในตวอยางน ใชวธการลากเสนฟงกชนจดประสงค ดงภาพท 6.7 เรมจากเสนฟงกชนจดประสงค P = 300 แลวเลอนเสนฟงกชนจดประสงคขนานกบเสนเดมเขาไปใกลจดกาเนด (origin) ใหมากทสด โดยยงอยในบรเวณผลเฉลยทเปนไปได จะไดเสนท P = 100 ซงจะซอนทบกบเสนตรง 4X1 + 5X2 = 20 ซงอาจมขอสงสยวาจะสามารถรไดอยางไรวาเสนฟงกชนจดประสงค P = 100 จะซอนทบกบเสนตรง 4X1 + 5X2 = 20 สามารถแสดงไดดงทไดอธบายไวในบทท 2 จากตวอยางจะแสดงความสมพนธของเสนตรงทงสองเสน ไดดงน จาก รปแบบมาตรฐานของสมการเชงเสนสองตวแปร คอ X2 = mX1 + c

เมอ m , c เปนคาคงท โดยท m เปนความชนของเสนตรง , c เปนระยะทตดแกน X2 - จดรปฟงกชนจดประสงค ทม P = 100 เปนรปแบบมาตรฐาน

จาก minimize P = 20X1 + 25X2 ดงนน 100 = 20X1 + 25X2 25X2 = –20X1 + 100 X2 =

54

X1 + 4

- จดรปเสนตรง 4X1 + 5X2 = 20 เปนรปแบบมาตรฐาน จาก 4X1 + 5X2 = 20 5X2 = –4X1 + 20 X2 =

54

X1 + 4

จะเหนไดวาเสนตรงทงสองมความชนและมระยะทตดแกน X2 เทากน แสดงวาเสนตรงทงสองซอนทบกน และผลเฉลยเหมาะสมทสดของปญหาคอ minimize P = 100 จากกราฟจะได คา (X1 ,X2) สองจด คอจด A และ B ดงน 1. จด A เกดจากเสนตรง 4X1 + 5X2 = 20 ตดกบเสนตรง X1 = 1 ดงนน จดตด (X1 , X2) คอ (1, 3.2) ผลเฉลย คอ minimize P = 100 , X1 = 1 , X2 = 3.2 2. จด B เกดจากเสนตรง 4X1 + 5X2 = 20 ตดกบเสนตรง X2 = 2 ดงนน จดตด (X1 , X2) คอ (2.5 , 2) ผลเฉลย คอ minimize P = 100 , X1 = 2.5 , X2 = 2 ซงเรยกปญหาลกษณะเชนนวาเปนปญหาทมผลเฉลยเหมาะสมทสดมมากกวา หนงคา

229

การหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ จากตวแบบกาหนดการเชงเสน สามารถหาเฉลยดวยวธซมเพลกซไดดงตอไปน จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค minimize P = 20X1+25X2+0S1+0S2+0S3+MA1+MA2+MA3

เงอนไขบงคบ 4X1+5X2 –1S1+0S2+0S3+1A1+0A2+0A3 = 20 1X1+0X2 +0S1–1S2+0S3+0A1+1A2+0A3 = 1 0X1+1X2 +0S1+0S2–1S3+0A1+0A2+1A3 = 2 X1 ,X2 ,S1 ,S2 , S3 ,A1 ,A2 ,A3 0

ตงผลเฉลยเบองตน ตารางผลเฉลยเบองตน(ตารางซมเพลกซท 1)

แถว 1R 2R 3R

Cj 20 25 0 0 0 M M M RHS(bi) Cb ตวแปร

พนฐาน X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3

M M M

A1 A2

A3

4 5 –1 0 0 1 0 0 20 1 0 0 –1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 –1 0 0 1 2

Pj 5M 6M –M –M –M M M M 23M (Cj – Pj) 20–5M (25–6M) M M M 0 0 0

จากตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1) ตวแปรพนฐาน ไดแก A1, A2 และ A3 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 , X2 , S1 , S2 และ S3 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 S1 = 0 , S2 = 0 , S3 = 0 , A1 = 20 , A2 = 1 , A3 = 2 minimize P = 23M ตารางซมเพลกซท 2

แถว 311 5 RRR

22 RR 33 RR

Cj 20 25 0 0 0 M M M RHS(bi) Cb ตวแปร

พนฐาน X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3

M M 25

A1 A2

X2

4 0 –1 0 5 1 0 –5 10 1 0 0 –1 0 0 1 0 1

0 1 0 0 –1 0 0 1 2

Pj 5M 25 –M –M 5M–25 M M 25–5M 11M+50 (Cj – Pj) (20–5M) 0 M M 25–5M 0 0 6M–25

230

จากตารางซมเพลกซท 2 ตวแปรพนฐาน ไดแก A1, A2 และ X2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 , S1 , S2 , S3 และ A3 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 0 , X2 = 2 S1 = 0 , S2 = 0 , S3 = 0 , A1 = 10 , A2 = 1 , A3 = 0 minimize P = 11M + 50


แถว 211 4RRR

22 RR 33 RR

Cj 20 25 0 0 0 M M M RHS (bi)


X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3

M 20 25

A1 X1

X2

0 0 –1 4 5 1 –4 –5 6

1 0 0 –1 0 0 1 0 1

0 1 0 0 –1 0 0 1 2

Pj 20 25 –M 4M–20 5M–25 M 20–4M 25–5M 6M+70 (Cj – Pj) 0 0 M 20–4M (25–5M) 0 6M–20 6M–25

จากตารางซมเพลกซท 3 ตวแปรพนฐาน ไดแก A1, X1 และ X2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก S1 , S2 , S3 , A2 และ A3 โดยอานคาผลเฉลยตางไดดงน X1 = 1 , X2 = 2 S1 = 0 , S2 = 0 , S3 = 0 , A1 = 6 , A2 = 0 , A3 = 0 minimize P = 6M + 70


แถว

21 51 RR

22 RR

133 RRR

Cj 20 25 0 0 0 M M M RHS (bi)


X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3

0

20

25

S3

X1

X2

0 0 51

54 1

51

54

–1 56

1 0 0 –1 0 0 1 0 1

0 1 51

54 0

51

54

0 5

16

Pj 20 25 –5 0 0 5 0 0 100 (Cj – Pj) 0 0 5 0 0 M–5 M–5 M–5

231

สามารถอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 1 , X2 = 2.3

516

S1 = 0 , S2 = 0 , S3 = 56 = 1.2 , A1 = 0 , A2 = 0 , A3 = 0

minimize P = 100 จากตารางซมเพลกซท 4 ตวแปรพนฐาน คอ X1, X2 และ S3 สวนตวแปรไมพนฐาน คอ S1 ,S2 , A1 , A2 และ A3 ซงจะเหนไดวาไมมคา (Cj – Pj) ทเปนลบแสดงวาไดผลเฉลยเหมาะสมทสดแลว แตมคา (Cj – Pj) ของตวแปรไมพนฐาน S2 มคาเปนศนย ดงนน ปญหานจงเปนปญหาทมผลเฉลยเหมาะสมทสดมมากกวาหนงคา แตสามารถนาตวแปรไมพนฐานนเขาเปนตวแปรพนฐานได สามารถแสดงไดดงน


แถว

114

45 RR

1

422

4 RRR

1

433

4

54 RRR

Cj 20 25 0 0 0 M M M RHS (bi)


X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3

0

20

25

S2

X1

X2

0 0 41

1

45

41 –1

45

46

1 0 41

0 45

41 0

45

4

10

0 1 0 0 –1 0 0 1 5

10

Pj 20 25 –5 0 0 5 0 0 100 (Cj – Pj) 0 0 5 0 0 M–5 M M

จากตารางซมเพลกซท 5 ตวแปรพนฐาน ไดแก S2 , X1 และ X2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก S1 , S3 , A1 , A2 และ A3 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 5.2

410

, X2 = 25

10

S1 = 0 , S2 = 46 = 1.5 , S3 = 0 , A1 = 0 , A2 = 0 , A3 = 0

minimize P = 100

232

ในทานองเดยวกนตารางซมเพลกซท 5 สามารถนาตวแปรไมพนฐานทมคา (Cj – Pj) เทากบศนยเขาเปนตวแปรพนฐานได สามารถแสดงไดดงน ตารางซมเพลกซท 6

แถว

14

15

54 RR

1

52

42

5

45 RRR

1

53

43

5 RRR

Cj 20 25 0 0 0 M M M RHS (bi)


X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3

0

20

25

S2

X1

X2

0 0 51

54 1

51

54

–1 56

1 0 0 –1 0 0 1 0

1

0 1 51

54 0

51

54

0 5

16

Pj 20 25 –5 0 0 5 0 0 100 (Cj – Pj) 0 0 5 0 0 M–5 M–5 M–5

จะเหนไดวาจากการพฒนาตารางซมเพลกซท 5 จะไดตารางซมเพลกซใหม (ตารางซมเพลกซท 6) ทมลกษณะเหมอนกนกบตารางซมเพลกซท 4 ดงนน ตารางซมเพลกซท 4 และตารางซมเพลกซท 5 จงเปนตารางทใหผลเฉลยเหมาะสมทสด แตยงสามารถนาตวแปรไมพนฐานทมคา (Cj – Pj) ทเปนศนยเขาเปนตวแปรพนฐานไดโดยทจะไมมผลกระทบกบคาของฟงกชนจดประสงค แตจะทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไปเทานน แสดงวาปญหานมผลเฉลยเหมาะสมทสดมากกวาหนงคา

การหาผลเฉลยดวยวธการใชโปรแกรมสาเรจรป LINDO หลงจากการใสขอมลปญหากาหนดการเชงเสนลงในโปรแกรมสาเรจรป LINDO แลว โปรมแกรมทาการแสดงผลลพธออกมาได ดงแสดงในภาพท 6.8

233

ภาพท 6.8 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาผลเฉลยเหมาะสมทสด มมากกวาหนงคา

จากภาพท 6.8 จะเหนไดวา ปญหาผลเฉลยเหมาะสมทสดมมากกวาหนงคา โปรแกรมจะแสดงวาถาคา SLACK OR SURPLUS มคาเทากบศนย แลวจะมคา DUAL PRICES เทากบศนยดวย หรอกรณทตวแปรทตองการตดสนใจมคาเทากบศนย แลวจะมคา REDUCED COST เทากบศนยดวย ปญหาทมเงอนไขบงคบมากเกนจาเปน ปญหาทมเงอนไขบงคบมากเกนจาเปน หมายถง ปญหาทมเงอนไขบงคบบางเงอนไขทไมมผลตอพนทของบรเวณผลเฉลยทเปนไปได ซงสามารถนาเอาเงอนไขบงคบลกษณะเชนนออกไปจากตวแบบได โดยทจะไมมผลทาใหพนทของบรเวณผลเฉลยทเปนไปไดเปลยนแปลงไป และไมมผลกระทบตอผลเฉลยเหมาะสมทสด (สมพล ทงหวา, 2544 : 70)

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 100.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 2.500000 0.000000 X2 2.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -5.000000 3) 1.500000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2

234

ตวอยางท 6.4 จงหาผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสนตอไปน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 20X1 + 30X2 เงอนไขบงคบ X1 + 2X2 6

3X1 + 2X2 12 X1 + X2 8

X1 , X2 0 วธทา การหาผลเฉลยดวยวธกราฟ จากตวแบบกาหนดการเชงเสน สามารถหาเฉลยดวยวธกราฟไดดงตอไปน


จากภาพท 6.9 จะเหนไดวาเงอนไขบงคบ X1 + X2 8 ไมมผลตอการหาบรเวณ ผลเฉลยทเปนไปได ซงหมายความวาสามารถนาเงอนไขบงคบออกจากตวแบบไดโดยทจะไมทาใหบรเวณผลเฉลยทเปนไปไดเปลยนแปลงไป ซงถาปญหากาหนดการเชงเสนทมเงอนไขบงคบลกษณะเชนนจะเรยกวาปญหาทมเงอนไขบงคบมากเกนจาเปน และสามารถหาผลเฉลยเหมาะสมทสดโดยการทดสอบจดยอดของบรเวณทเปนไปได ดงน

235

คา (X1 , X2) maximize P = 20X1 + 30X2 A (0,0) B (4,0)

C (3,1.5) D (0,3)

P = 20(0) + 30(0) = 0 P = 20(4) + 30(0) = 80 P = 20(3) + 30(1.5) = 105 P = 20(0) + 30(3) = 90

สาหรบปญหานมผลเฉลยเหมาะสมทสด คอ X1 = 3 และ X2 = 1.5 โดยมค า maximize P = 105 การหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ จากตวแบบกาหนดการเชงเสน สามารถหาเฉลยดวยวธซมเพลกซไดดงตอไปน จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 20X1 + 30X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 เงอนไขบงคบ 1X1 + 2X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 6

3X1 + 2X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 12 1X1 + 1X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 8

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 0

ตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1)

แถว 1R 2R 3R

Cj 20 30 0 0 0 Cb ตวแปร


0 S1 1 2 1 0 0 6 0 S2 3 2 0 1 0 12 0 S3 1 1 0 0 1 8 Pj 0 0 0 0 0 0 (Cj – Pj) 20 30 0 0 0

ตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1) ตวแปรพนฐาน ไดแก S1 , S2 และ S3 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 และ X2 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 S1 = 6 , S2 = 12 , S3 = 8 maximize P = 0

236


แถว

11 21 RR

122 2 RRR

133 RRR

Cj 20 30 0 0 0 Cb ตวแปร


30 X2 21 1

21 0 0 3

0 S2 2 0 –1 1 0 6 0 S3

21 0

21

0 1 5

Pj 15 30 0 0 0 90 (Cj – Pj) 5 0 0 0 0

จากตารางซมเพลกซท 2 ตวแปรพนฐาน ไดแก X2 , S2 และ S3 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 และ S1 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 0 , X2 = 3 S1 = 0 , S2 = 6 , S3 = 5 maximize P = 90


แถว

211 21 RRR

12 21 RR

233 21 RRR

Cj 20 30 0 0 0 Cb ตวแปร


30 X2 0 1 43

41

0 23

20 X1 1 0 21

21 0 3

0 S3 0 0 21

41

1 27

Pj 20 30 4

50 4

10 0 105

(Cj – Pj) 0 0 4

50

410

0

จากตารางซมเพลกซท 3 ตวแปรพนฐาน ไดแก X2 , X1 และ S3 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก S1 และ S2 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน

237

X1 = 3 , X2 = 5.123

S1 = 0 , S2 = 0 , S3 = 5.327

maximize P = 105 ตอไปจะแสดงวธการหาผลเฉลยโดยการตดเงอนไขบงคบทเกนจาเปนออก จะได ตวแบบกาหนดการเชงเสนใหม คอ ฟงกชนจดประสงค maximize P = 20X1 + 30X2 เงอนไขบงคบ X1 + 2X2 6

3X1 + 2X2 12 X1 , X2 0 จากตวแบบกาหนดการเชงเสน สามารถหาเฉลยดวยวธซมเพลกซ ไดดงน จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 20X1 + 30X2 + 0S1 + 0S2 เงอนไขบงคบ 1X1 + 2X2 + 1S1 + 0S2 = 6

3X1 + 2X2 + 0S1 + 1S2 = 12 X1 , X2 , S1 , S2 0

ตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1)

แถว 1R 2R

Cj 20 30 0 0 Cb ตวแปร

พนฐาน X1 X2 S1 S2 RHS(bi)

0 S1 1 2 1 0 6 0 S2 3 2 0 1 12 Pj 0 0 0 0 0 (Cj – Pj) 20 30 0 0

ตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1) ตวแปรพนฐาน ไดแก S1 และ S2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 และ X2 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 S1 = 6 , S2 = 12 maximize P = 0

238


แถว

11 21 RR

122 2 RRR



30 X2 21 1

21 0 3

0 S2 2 0 –1 1 6 Pj 15 30 0 0 90 (Cj – Pj) 5 0 0 0

จากตารางซมเพลกซท 2 ตวแปรพนฐาน ไดแก X2 และ S2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 และ S1 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 0 , X2 = 3 S1 = 0 , S2 = 6 maximize P = 90


แถว

211 21 RRR

12 21 RR



30 X2 0 1 43

41

23

20 X1 1 0 21

21 3

Pj 20 30 4

50 4

10 105

(Cj – Pj) 0 0 4

50

410

จากตารางซมเพลกซท 3 เปนตารางทใหผลเฉลยเหมาะสมทสด และตวแปรพนฐาน ไดแก X1 และ X2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก S1 และ S2 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 3 , X2 = 5.1

23

S1 = 0 , S2 = 0 maximize P = 105

239

การหาผลเฉลยดวยวธการใชโปรแกรมสาเรจรป LINDO หลงจากการใสขอมลปญหากาหนดการเชงเสนลงในโปรแกรมสาเรจรป LINDO แลว โปรมแกรมทาการแสดงผลลพธออกมาได ดงแสดงในภาพท 6.10

ภาพท 6.10 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหามเงอนไขบงคบมากเกนจาเปน นอกจากน สามารถแสดงการหาผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสนในตวอยางนโดยการตดเงอนไขบงคบทเกนจาเปนออก จะไดตวแบบกาหนดการเชงเสนใหม คอ ฟงกชนจดประสงค maximize P = 20X1 + 30X2 เงอนไขบงคบ X1 + 2X2 6

3X1 + 2X2 12 X1 , X2 0 สามารถแสดงดวยโปรแกรมสาเรจรป LINDO ไดดงน


240

ภาพท 6.11 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาทตดเงอนไขบงคบ มากเกนจาเปนออก

จะเหนไดวาผลเฉลยทไดจากโปรแกรมดงภาพท 6.10 และภาพท 6.11 มคาเทากน คอ X1 = 3 และ X2 = 1.5 โดยมคา maximize P = 105 ดงนนแสดงวา ตวแบบกาหนดการเชงเสนในภาพท 6.10 เปนปญหามเงอนไขบงคบมากเกนจาเปน ปญหาสภาพซอนสถานะ จากการหาผลเฉลยของปญหากาหนดการเชงเสนทวไปแบบปกตผลทไดตามมาอกอยางหนงคอ จานวนตวแปรทมคาเปนบวกจะมคาเทากบจานวนเงอนไขขอบงคบ สวนตวแปรทเหลอจะมคาเปนศนยเสมอ แตถาเกดกรณทผลเฉลยของปญหามจานวนตวแปรทเปนคาเปนบวกมจานวนนอยกวาจานวนเงอนไขขอบงคบ จะเรยกปญหาลกษณะนวา สภาพซอนสถานะ ซงการทปญหาเกดสภาพซอนสถานะขนการวเคราะหและการตความของผลเฉลย อาจมขอยกเวนเพราะวาไมเปนไปตามหลกการทวไปของปญหากาหนดการเชงเสน (เกศน วฑรชาต และคณะ, 2543 : 87) ถาพจารณาในการหาผลเฉลยดวยวธกราฟในกรณผลเฉลยแบบปกตจดยอดของบรเวณผลเฉลยท


241

เปนไปไดแตละจดจะใหผลเฉลยเพยงชดเดยวเทานน แตถามจดยอดบางจดมผลเฉลยหลายชดแสดงวาเกดสภาพซอนสถานะขน และถาพจารณาในการหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซในกรณผลเฉลยแบบปกตตวแปรพนฐานจะมคาเปนบวกสวนตวแปรไมพนฐานจะมคาเปนศนย แตถามตวแปรพนฐานบางตวเทากบศนย แสดงวาเกดกรณสภาพซอนสถานะขน และสภาพซอนสถานะนจะเกดขนระหวางการพฒนาตารางซมเพลกซกได หรออาจจะเกดในตารางซมเพลกซสดทายทใหผลเฉลยเหมาะสมทสดกได และถาเกดในตารางสดทายจะเรยกผลเฉลยนวา ผลเฉลยเหมาะสมทสดทเกดสภาพซอนสถานะ (degenerate optimal solution) ตวอยางท 6.5 จงหาผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสนตอไปน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 200X1 + 300X2 เงอนไขบงคบ 2X1 + X2 12

X2 8 X1 2

X1 , X2 0 วธทา การหาผลเฉลยดวยวธกราฟ จากตวแบบกาหนดการเชงเสน สามารถหาเฉลยดวยวธกราฟไดดงตอไปน จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 200X1 + 300X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 เงอนไขบงคบ 2X1 + 1X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 12

0X1 + 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 8 1X1 + 0X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 2

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 0

242


จากภาพท 6.12 สามารถแสดงผลเฉลยในแตละจดยอดของบรเวณผลเฉลยทเปนไปได ดงน 1. จด A จะได X1 = 0 , X2 = 0 , S1 = 12 , S2 = 8 , S3 = 2 และ maximize P = 0 โดยมตวแปรพนฐาน ไดแก S1 , S2 และ S3 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 และ X2 2. จด B จะได X1 = 0 , X2 = 8 , S1 = 4 , S2 = 0 , S3 = 2 และ maximize P = 2,400โดยมตวแปรพนฐาน ไดแก X2 , S1 และ S3 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 และ S2 3. จด C จะได X1 = 2 , X2 = 0 , S1 = 8 , S2 = 8 , S3 = 0 และ maximize P = 400โดยมตวแปรพนฐาน ไดแก X1 , S1 และ S2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X2 และ S3 4. จด D จะได X1 = 2 , X2 = 8 , S1 = 0 , S2 = 0 , S3 = 0 และ maximize P = 2,800ซงสามารถพจารณาตวแปรตางๆ ไดดงน - ตวแปรพนฐาน ไดแก X1 , X2 และ S3 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก S1 และ S2 - ตวแปรพนฐาน ไดแก X1 , X2 และ S2 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก S1 และ S3 - ตวแปรพนฐาน ไดแก X1 , X2 และ S1 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก S2 และ S3

243

จากการพจารณาผลเฉลยของจดยอดแตละจดจะไดวาจดยอด D เปนจดทเกดสภาพซอนสถานะขน เพราะวามชดตวแปรพนฐานถงสามชด และทกชดมตวแปรพนฐานบางตวมคาเทากบศนย ซงจะเหนไดวาจานวนตวแปรพนฐานทมคาเปนบวกมจานวนนอยกวาจานวนเงอนไขบงคบ ซงในตวอยางนตวแปรพนฐานจะมสามตว แตมคาเปนบวกเพยงสองตว สวนเงอนไขบงคบมสามเงอนไข แสดงวาจานวนตวแปรพนฐานทเปนบวกมคานอยกวาจานวนเงอนไขบงคบ และสภาพซอนสถานะนเกดขนทจดทเปนผลเฉลยเหมาะสมทสด ดงนนจะเรยกผลเฉลยนวา ผลเฉลยเหมาะสมทสดทเกดสภาพซอนสถานะ (degenerate optimal solution) การหาผลเฉลยดวยวธซมเพลกซ จากตวแบบกาหนดการเชงเสน สามารถหาเฉลยดวยวธซมเพลกซไดดงตอไปน จดใหอยในรปแบบมาตรฐาน ฟงกชนจดประสงค maximize P = 200X1 + 300X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 เงอนไขบงคบ 2X1 + 1X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 12

0X1 + 1X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 8 1X1 + 0X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 2

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 0 ตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1)

แถว 1R 2R 3R

Cj 200 300 0 0 0 Cb ตวแปร

พนฐาน X1 X2 S1 S2 S3 RHS (bi)

0 S1 2 1 1 0 0 12 0 S2 0 1 0 1 0 8 0 S3 1 0 0 0 1 2 Pj 0 0 0 0 0 0 (Cj – Pj) 200 300 0 0 0

ตารางผลเฉลยเบองตน (ตารางซมเพลกซท 1) ตวแปรพนฐาน ไดแก S1 , S2 และ S3 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 และ X2 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 0 , X2 = 0 S1 = 12 , S2 = 8 , S3 = 2 maximize P = 0

244


แถว 211 RRR

22 RR 33 RR

Cj 200 300 0 0 0 RHS (bi)


X1 X2 S1 S2 S3

0 S1 2 0 1 –1 0 4 300 X2 0 1 0 1 0 8 0 S3 1 0 0 0 1 2 Pj 0 300 0 300 0 2,400 (Cj – Pj) 200 0 0 –300 0

จากตารางซมเพลกซท 2 ตวแปรพนฐาน ไดแก S1 , X2 และ S3 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก X1 และ S2 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 0 , X2 = 8 S1 = 4 , S2 = 0 , S3 = 2 maximize P = 2,400 จะเหนไดวาอตราสวนตาสดของคาคงท RHS(bi) กบสมประสทธของ X1 มคาเทากน ดงนนจะตองเลอกตวแปรทจะออกจากตวแปรพนฐานสองตวคอ S1 และ S3 เมอเกดกรณเชนนขนมหลกการแนะนาวา ใหเลอกตวแปรทจะพจารณาจากตวแปรทมอตราสวนตาสดเทากนทอยบนสด(uppermost of the tied rows) ในตารางซมเพลกซท 2 นจงเลอก S1 ใหออกจากตวแปรพนฐาน ตารางซมเพลกซท 3

แถว

11 21 RR

22 RR 133 RRR

Cj 200 300 0 0 0 Cb ตวแปร


200 X1 1 0 21

21

0 2

300 X2 0 1 0 1 0 8 0 S3 0 0

21

21 1 0

Pj 200 300 100 200 0 2,800 (Cj – Pj) 0 0 –100 –200 0

245

จากตารางซมเพลกซท 3 เปนตารางทใหผลเฉลยเหมาะสมทสด และตวแปรพนฐาน ไดแก X1 , X2 และ S3 สวนตวแปรไมพนฐาน ไดแก S1 และ S2 โดยอานคาผลเฉลยไดดงน X1 = 2 , X2 = 8 S1 = 0 , S2 = 0 , S3 = 0 maximize P = 2,800 จะเหนวาตวแปรพนฐาน S3 มคาเทากบศนย ดงนน ตวแปรพนฐานทมคาเปนบวกจงมจานวนนอยกวาจานวนของเงอนไขบงคบแสดงวาเกดสภาพซอนสถานะ และเกดในตารางสดทายทใหผลเฉลยเหมาะสมทสด จงเรยกผลเฉลยนวา ผลเฉลยเหมาะสมทสดทเกดสภาพซอนสถานะ การหาผลเฉลยดวยวธการใชโปรแกรมสาเรจรป LINDO หลงจากการใสขอมลปญหากาหนดการเชงเสนลงในโปรแกรมสาเรจรป LINDO แลว โปรมแกรมทาการแสดงผลลพธออกมาได ดงแสดงในภาพท 6.13

ภาพท 6.13 ผลลพธจากโปรแกรมสาเรจรป LINDO ของปญหาทผลเฉลยเหมาะสมทสด เกดสภาพซอนสถานะ



246

สามารถอานผลเฉลยไดดงน X1 = 2 , X2 = 8 S1 = 0 , S2 = 0 , S3 = 0 maximize P = 2,800 จากภาพท 6.13 จะเหนไดวาตวแปรทมคาเปนบวกนอยกวาจานวนของเงอนไขขอจากด ดงนนจะเรยกปญหานวา ผลเฉลยเหมาะสมทสดทเกดสภาพซอนสถานะ บทสรป ในการสรางตวแบบกาหนดการเชงเสนจากปญหาทมอย เมอไดตวแบบกาหนดการ เชงเสนแลว การนาเอาตวแบบกาหนดการเชงเสนไปทาการหาผลเฉลยอาจพบลกษณะปญหาตางๆ ไดแก ปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได ปญหาผลเฉลยไมมขอบเขต ปญหาผลเฉลยเหมาะสมทสดมมากกวาหนงคา ปญหามเงอนไขบงคบมากเกนจาเปน และปญหาสภาพซอนสถานะ เปนตน โดยปญหาลกษณะพเศษของกาหนดการเชงเสนเหลาน จะสามารถพบไดทงในการหาผลเฉลยดวย วธกราฟ วธซมเพลกซ และวธการใชโปรแกรมสาเรจรป การศกษาปญหาลกษณะพเศษของกาหนดการเชงเสนเพอจะไดเขาใจถงลกษณะและขอจากดตางๆ ของปญหาเหลาน และการใชเทคนคตางๆ มาชวยในการพจารณาหรอหาผลเฉลยของปญหานน

247

แบบฝกหดบทท 6 จากตวแบบกาหนดการเชงเสนทกาหนดใหตอไปน จงอธบายวาเปนปญหาลกษณะพเศษของกาหนดการเชงเสนแบบใด 6.1 ฟงกชนจดประสงค maximize P = 25X1 + 30X2 เงอนไขบงคบ 2X1 + 3X2 45 5X1 + 4X2 80 X1 = 20 X1 , X2 0 6.2 ฟงกชนจดประสงค maximize P = 30X1 + 20X2 เงอนไขบงคบ 50X1 + 60X2 60 45X1 – 30X2 20 X1 , X2 0 6.3 ฟงกชนจดประสงค minimize P = 100X1 + 250X2 เงอนไขบงคบ 10X1 + 25X2 400 X1 5 X2 8 X1 , X2 0 6.4 ฟงกชนจดประสงค minimize P = 40X1 + 50X2 เงอนไขบงคบ 5X1 + 2X2 10

9X1 + X2 9 X1 + 2X2 16 X2 2

X1 , X2 0

248

6.5 ฟงกชนจดประสงค maximize P = 165X1 + 80X2 เงอนไขบงคบ 6X1 + 2X2 104 4X1 + 3X2 96 X1 12 X1 , X2 0 6.6 ฟงกชนจดประสงค minimize P = 10X1 + 20X2 + 5X3 เงอนไขบงคบ 4X1 + 8X2 + 5X3 25 2X1 + 3X2 + X3 14 15X1 + 5X3 50 X1 , X2 , X3 0 6.7 ฟงกชนจดประสงค maximize P = 20X1 + 25X2 + 35X3 เงอนไขบงคบ 2X1 + 5X2 + 3X3 15 X1 + 4X2 + 8X3 24 3X1 + 2X2 + X3 20 X1 , X2 ,X3 0 6.8 ฟงกชนจดประสงค minimize P = 15X1 + 24X2 + 10X3 เงอนไขบงคบ 14X1 + 22X2 + 5X3 50 24X1 + 13X2 + 16X3 45 25X1 + 15X2 70 X1 , X2 , X3 0 6.9 ฟงกชนจดประสงค maximize P = 10X1 + 15X2 + 25X3 เงอนไขบงคบ 3X1 + 4X2 + 5X3 15 2X1 + 4X2 + 8X3 20 5X1 + 2X2 + 7X3 30 X1 , X2 , X3 0

249

6.10 ฟงกชนจดประสงค minimize P = 20X1 + 18X2 + 24X3 เงอนไขบงคบ 13X1 + 14X2 + 6X3 260 22X1 + 24X2 + 18X3 200 15X1 + 12X2 + 17X3 300 X1 , X2 ,X3 0

251

บรรณานกรม กตต ภกดวฒนะกล. (2554). การวเคราะหเชงปรมาณเพอการตดสนใจ. กรงเทพฯ : เคพพ

คอมพ แอนด คอนซลท เกรยงศกด อวยพรเจรญชย. (2548). การวเคราะหเชงปรมาณเพอการตดสนใจทางธรกจ. กรงเทพฯ : เพยรสน เอดดเคชน อนโดไชนา. เกศน วฑรชาต และคณะ. (2543). การวเคราะหเชงปรมาณทางธรกจ. พมพครงท 5. กรงเทพฯ : สานกพมพมหาวทยาลยธรรมศาสตร. ฉววรรณ แกวไทรฮะ และคณะ. (2546).การคดและการตดสนใจ. เอกสารประกอบการเรยน

การสอน. สานกงานสภาสถาบนราชภฏ. นราศร ไววนชกล (2538). การวจยขนดาเนนงาน I. กรงเทพฯ : สานกพมพจฬาลงกรณ

มหาวทยาลย. นกร วฒนพนม (2535). การโปรแกรมเชงเสนเบองตน. กรงเทพฯ : โรงพมพมหาวทยาลย

ธรรมศาสตร. ประพนธ ชยกจอราใจ. (2550). การวเคราะหเชงปรมาณเพอการจดการและกรณศกษา.

กรงเทพฯ : ซ.ว.แอล การพมพ. มานพ วราภกด. (2552). การวจยดาเนนการ. กรงเทพฯ : สานกพมพจฬาลงกรณ

มหาวทยาลย. ศร วรกลสวสด. (2544). การโปรแกรมเชงเสน. กรงเทพฯ : สานกพมพมหาวทยาลยรามคาแหง. ศรสรางค ทนะกล. (2542). การคดและการตดสนใจ. กรงเทพฯ : เธรดเวฟ เอดยเคชน. สมคด แกวสนธ. (2530). ลเนยรโปรแกรม : หลกและการประยกต. กรงเทพฯ : สานกพมพ

จฬาลงกรณมหาวทยาลย. สมพล ทงหวา. (2544). การวเคราะหเชงปรมาณเพอการตดสนใจ. กรงเทพฯ : สานกพมพ

มหาวทยาลยรามคาแหง. สโขทยธรรมาธราช มหาวทยาลย. (2545). ประมวลสาระชดวชา การวเคราะหเชงปรมาณและ

การจดการการดาเนนงาน. กรงเทพฯ : สานกพมพมหาวทยาลยสโขทยธรรมธราช. _______. (2548). เอกสารการสอนชดวชา การวจยเชงปฏบตการ. กรงเทพฯ : สานกพมพ มหาวทยาลยสโขทยธรรมธราช. สภา ทองคง. (2547). การวเคราะหเชงปรมาณทางการเงน. กรงเทพฯ : ทรปเพล

เซเวน มลตเทค.

252

สทธมา ชานาญเวช. (2549). การวเคราะหเชงปรมาณเพอการจดการและการตดสนใจ. กรงเทพฯ : วทยพฒน.

_______. (2554). การวเคราะหเชงปรมาณ. กรงเทพฯ : วทยพฒน. _______. (2553). การวจยดาเนนการ. พมพครงท 2. กรงเทพฯ : วทยพฒน. อารสา รตนเพชร. (2545). เมทรกซและกาหนดการเชงเสน. กรงเทพฯ : พทกษการพมพ. อาพล ธรรมเจรญ. (2551). กาหนดการเชงเสนเบองตน. กรงเทพฯ : พทกษการพมพ. Bazaraa, M.S., Jarvis, J.J., and Sherali, H.D. (1990). Linear Programming and Network

Flows. 2nd. New York : Wiley. Cooper L. and D.Steinbery. (1974). Methods and Applications of Linear Programming. Philadelphia : W.B.Saunders. Dantzig, G.B. (1963). Linear Programming and Extensions. Princeton, N.J. : Princeton University Press. Gass, S.I. (1985). Linear Programming, Methods and Application. 5th Ed. New York : McGraw-Hill. Hadley, G. (1969). Linear Programming. 4th Ed. MA : Addison-Wesley Publishing

Company. Hillier, F.S. and G.L. Lieberman. (1990). Introduction to Operations Research. Fifth

Edition, New York : McGraw-Hill. Ignizio, J.P. and Cavalier, T.M. (1994). Linear Programming. N.J. : Prentice-Hall. John S. Edwards and Paul N. Finlay. (1998). Decision Making with Computer. PITMAN

Publishing. Lemke, C.E. (1954). The Dual Method of Solving the Linear Programming Problem. Naval Research Logistics Quartery, Vol.1 : 48-54. Luenberger, D.G. (1973). Introduction to Linear and Nonlinear Programming. New York :

Addison-Wesley Reading Mass. Mik Wisniewski. (2010). Quantiative Methods for Decision Makers. Fifty Edition : Prentice

Hall. Murty, K.G. (1983). Linear Programming. New York : Wiley. Nash, Stephen G. and Ariela Sofer. (1996). Linear and Nonlinear Programming.

New York : The McGraw-Hill Companies, Inc. Nering, E. and Tucker, A. (1992). Linear Programming and Related Problems. Boston : Academic Press.

253

Render, Barry. (2006). Operations management. N.J. : Pearson/Prentice Hall. Strum, J.E. (1970). Introduction to Linear Programming. Sanfrancisco : Holden-Day. Swanson, L.W. (1980). Linear Programming, Basic theory and Applications. New York :

MxGraw-Hill Book Company. Taha, Hamdy A. (1998). Operations Research : An Introduction. Fourth Edition,

Macmillan Publishing Co. Ton, Soo Tang. (1983). Applied Finite Mathematics for the managerial and social

sciences. Boston : Prindle Weber & Schmidt Publishers.

ภาคผนวก

257

เฉลยแบบฝกหดทายบท แบบฝกหดบทท 1 ขอ 1.1 ถาให P แทน จานวนกาไรทไดรบ (บาท)

X1 แทน จานวนซาลาเปาแบบธรรมดา (ลก) X2 แทน จานวนซาลาเปาแบบพเศษ (ลก)

ฟงกชนจดประสงค maximize P = 10X1 + 15X2

เงอนไขบงคบ 2X1 + 2X2 ≤ 80 X1 + 2X2 ≤ 45 X1 + 3X2 ≤ 60

X1 , X2 0 ขอ 1.2 ถาให P แทน จานวนคาใชจายในดาเนนการ (บาท)

X1 แทน จานวนการดาเนนการขดแรของหลมท 1 (วน) X2 แทน จานวนการดาเนนการขดแรของหลมท 2 (วน)

ฟงกชนจดประสงค minimize P = 2,000X1 + 1,600X2 เงอนไขบงคบ 6X1 + 2X2 ≥ 40 3X1 + 6X2 ≥ 40 3X1 + 10X2 ≥ 55 X1 , X2 0 ขอ 1.3 ถาให P แทน จานวนกาไรทไดรบ (บาท)

X1 แทน จานวนโตะวางคอมพวเตอร (ตว) X2 แทน จานวนตเกบเอกสาร (ต)

ฟงกชนจดประสงค maximize P = 2,400X1 + 3,800X2 เงอนไขบงคบ 20X1 + 25X2 ≤ 2,000 10X1 + 10X2 ≤ 900 6X1 + 10X2 ≤ 600 X1 , X2 0

258

ขอ 1.4 ถาให P แทน จานวนกาไรทไดรบ (บาท) X1 แทน จานวนสนคาแบบ A (ชน) X2 แทน จานวนสนคาแบบ B (ชน) X3 แทน จานวนสนคาแบบ C (ชน)

ฟงกชนจดประสงค maximize P = 30X1 + 55X2 + 25X3 เงอนไขบงคบ 10X1 + 20X2 + 15X3 ≤ 2,000 5X1 + 8X2 + 3X3 ≤ 500 X1 , X2 , X3 0 ขอ 1.5 ถาให P แทน จานวนตนทนคาอาหาร (บาท)

X1 แทน จานวนอาหารขน (กโลกรม) X2 แทน จานวนอาหารออน (กโลกรม)

ฟงกชนจดประสงค minimize P = 5X1 + 7X2 เงอนไขบงคบ 20X1 + 10X2 150 30X2 200 25X1 130 15X1 + 20X2 140 X1 , X2 0 ขอ 1.6 ถาให P แทน จานวนกาไรทไดรบ (บาท)

X1 แทน จานวนกรอปรปขนาดเลก (อน) X2 แทน จานวนกรอปรปขนาดกลาง (อน) X3 แทน จานวนกรอปรปขนาดใหญ (อน)

ฟงกชนจดประสงค maximize P = 30X1 + 52X2 + 100X3 เงอนไขบงคบ 10X1 + 15X2 + 30X3 ≤ 4,000 2X1 + 3X2 + 5X3 ≤ 700 X1 , X2 , X3 0 ขอ 1.7 ถาให P แทน จานวนกาไรทไดรบ (บาท)

X1 แทน จานวนเตยงค (หลง) X2 แทน จานวนเตยงเดยว (หลง) X3 แทน จานวนเตยงเดก (หลง)

259

ฟงกชนจดประสงค maximize P = 1,500X1 + 1,000X2 + 800X3 เงอนไขบงคบ X1 ≤ 9 X1 2 X2 23 X3 ≤ 12 X3 8 42X1 + 28X2 + 15X3 ≤ 900 X1 , X2 , X3 0 ขอ 1.8 ถาให P แทน จานวนตนทน (บาท)

X1 แทน จานวนนามนดบจากอาวไทย (บารเรล) X2 แทน จานวนนามนดบจากอาวอนดามน (บารเรล) X3 แทน จานวนนามนดบจากนาเขาจากตางประเทศ (บารเรล)

ฟงกชนจดประสงค minimize P = 400X1 + 465X2 + 415X3 เงอนไขบงคบ 20X1 + 35X2 + 30X3 180,000 60X1 + 40X2 + 40X3 350,000 20X1 + 25X2 + 30X3 150,000 X1 ≤ 2,800 X2 2,000 X3 ≤ 2,000 X1 , X2 , X3 0 ขอ 1.9 ถาให P แทน จานวนกาไรทไดรบ (บาท)

X1 แทน จานวนสนคาแบบ A (หนวย) X2 แทน จานวนสนคาแบบ B (หนวย) X3 แทน จานวนสนคาแบบ C (หนวย) X4 แทน จานวนสนคาแบบ D (หนวย)

ฟงกชนจดประสงค maximize P = 60X1 + 25X2 + 58X3 + 80X4 เงอนไขบงคบ 3X1 + 2X2 + 3X3 + X4 ≤ 300 3X1 + 3X2 + 2X3 + 2X4 ≤ 320 2X1 + 4X2 + 2X3 + 3X4 ≤ 400 X1 , X2 , X3 , X4 0

260

ขอ 1.10 ถาให P แทน จานวนของคาขนสง (บาท) Xij แทน จานวนการของตเยนทสงจากโกดงท i ไปยงประเทศท j (ต) i = 1, 2 j = 1, 2, 3

ฟงกชนจดประสงค minimize P = 90X11 + 110X12 + 100X13 + 55X21 + 70X22 + 60X23

เงอนไขบงคบ X11 + X12 + X13 ≤ 2,500 X21 + X22 + X23 ≤ 1,500 X11 + X21 = 1,500 X12 + X22 = 1,200 X13 + X23 = 1,300 Xij 0 แบบฝกหดบทท 2 ขอ 2.1 X1 = 35 , X2 = 5 และ maximize P = 425 ขอ 2.2 X1 = 8 , X2 = 4 และ minimize P = 22,400 ขอ 2.3 X1 = 75 , X2 = 15 และ maximize P = 237,000 ขอ 2.4 X1 = 0.6 , X2 = 7.2 และ maximize P = 81 ขอ 2.5 X1 = 2.4 , X2 = 1.8 และ minimize P = 25.8 ขอ 2.6 X1 = 32 , X2 = 30 และ maximize P = 840 ขอ 2.7 X1 = 1.5 , X2 = 4 และ minimize P = 100

ขอ 2.8 X1 328

, X2 37

และ maximize P = 455

ขอ 2.9 X1 = 2 , X2 = 1.75 และ minimize P = 45 ขอ 2.10 X1 = 20.4 , X2 = 3.2 และ maximize P = 32,200

261

แบบฝกหดบทท 3 ขอ 3.1 X1 = 0 , X2 = 25 , X3 = 100 และ maximize P = 3,875 ขอ 3.2 X1 = 4 , X2 = 10 และ minimize P = 90 ขอ 3.3 X1 = 200 , X2 = 0 , X3 = 20 และ maximize P = 19,200 ขอ 3.4 X1 = 100 , X2 = 300 , X3 = 0 และ maximize P = 1,100 ขอ 3.5 X1 = 0 , X2 = 0.75 , X3 = 12 และ minimize P = 55.5 ขอ 3.6 X1 = 34 , X2 = 12 , X3 = 52 และ maximize P = 410 ขอ 3.7 X1 = 3 , X2 = 1.25 , X3 = 0 และ minimize P = 14.75 ขอ 3.8 X1 = 3 , X2 = 0 , X3 = 18 , X4 = 2 และ maximize P = 680 ขอ 3.9 X1 = 7 , X2 = 15 , X3 = 5 , X4 = 12 และ minimize P = 300 ขอ 3.10 X1 = 1.35 , X2 = 0.9 , X3 = 1.1 , X4 = 0 และ minimize P = 106.6 แบบฝกหดบทท 4 ขอ 4.1 X1 = 2 , X2 = 23 , X3 = 11.467 และ maximize P = 35,173.33 ขอ 4.2 X1 = 2,800 , X2 = 2,550 , X3 = 2,000 และ minimize P = 3,135,750 ขอ 4.3 X1 = 5.714 , X2 = 0 , X3 = 65.714 , X4 = 85.714

และ maximize P = 11,011.43

ขอ 4.4 X11 = 1,500 , X12 = 1,000 , X13 = 0 , X21 = 0 , X22 = 200 , X23 = 1,300 และ minimize P = 337,000

262

ขอ 4.5 X1 = 140.149 , X2 = 0.743 , X3 = 6.134 และ maximize P = 26,126.39 ขอ 4.6 X1 = 129.231 , X2 = 313.846 , X3 = 6.154 และ minimize P = 57,353.85 ขอ 4.7 X1 = 72.864 , X2 = 0.016 , X3 = 4.004 , X4 = 3.755

และ maximize P = 40,796.52 ขอ 4.8 X1 = 5.563 , X2 = 13.285 , X3 = 34.005 , X4 = 29.742

และ minimize P = 24,983.86 ขอ 4.9 X1 = 0 , X2 = 74.713 , X3 = 0 , X4 = 1.457 , X5 = 33.233

และ maximize P = 64,029.24

ขอ 4.10 X1 = 40.847 , X2 = 0 , X3 = 0 , X4 = 49.009, X5 = 49.053 และ minimize P = 18,4270.1

แบบฝกหดบทท 5 ขอ 5.1 ฟงกชนจดประสงค minimize Pd = 15Y1 – 35Y2 เงอนไขบงคบ 5Y1 + 8Y2 5

–10Y1 – 40Y2 15 8Y1 – 6Y2 20 Y1 , Y2 0 ขอ 5.2 ฟงกชนจดประสงค maximize Pd = 25Y1 + 15Y2 เงอนไขบงคบ –35Y1 + 30Y2 10

15Y1 + 55Y2 35 –9Y1 – 16Y2 40 Y1 , Y2 0

263

ขอ 5.3 ฟงกชนจดประสงค minimize Pd = 20Y1 + 55Y2 + 5Y3 เงอนไขบงคบ –7Y1 – 4Y2 – 5Y3 35

10Y1 – 8Y2 + 9Y3 75 8Y1 – 6Y2 – 16Y3 28 Y2 ,Y3 0 Y1 ไมมเครองหมายเปนขดจากด ขอ 5.4 ฟงกชนจดประสงค maximize Pd = – 15Y1 – 10Y2 – 45Y3 เงอนไขบงคบ –36Y1 + 20Y2 + 24Y3 15

25Y1 + 35Y2 + 7Y3 20 –19Y1 – 16Y2 + 55Y3 50 Y1 ,Y3 0 Y2 ไมมเครองหมายเปนขดจากด ขอ 5.5 ฟงกชนจดประสงค maximize Pd = – 45Y1 – 19Y2 + 35Y3 เงอนไขบงคบ –28Y1 + 60Y2 + 14Y3 75

15Y1 + 85Y2 + 28Y3 65 –18Y1 – 14Y2 + 28Y3 80 –30Y1 + 40Y2 + 10Y3 39 Y1 ,Y2 0 Y3 ไมมเครองหมายเปนขดจากด ขอ 5.6 1.1) ฟงกชนจดประสงค minimize Pd = 80Y1 + 45Y2 + 60Y3 เงอนไขบงคบ 2Y1 + Y2 + Y3 10

2Y1 + 2Y2 + 3Y3 15 Y1 , Y2 , Y3 0 ผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสน คอ Y1 = 2.50 , Y2 = 5 , Y3 = 0 และ minimize Pd = 425

264

1.2) ฟงกชนจดประสงค maximize Pd = 40Y1 + 40Y2 + 55Y3 เงอนไขบงคบ 6Y1 + 3Y2 + 3Y3 2,000 2Y1 + 6Y2 + 10Y3 1,600 Y1 , Y2 , Y3 0 ผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสน คอ Y1 = 240 , Y2 = 186.67 , Y3 = 0 และ maximize Pd = 17,066.67

1.3) ฟงกชนจดประสงค minimize Pd = 2,000Y1 + 900Y2 + 600Y3

เงอนไขบงคบ 20Y1 + 10Y2 + 6Y3 2,400 25Y1 + 10Y2 + 10Y3 3,800

Y1 , Y2 , Y3 0 ผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสน คอ Y1 = 0 , Y2 = 30 , Y3 = 350 และ minimize Pd = 237,000

1.4) ฟงกชนจดประสงค minimize Pd = 2,000Y1 + 500Y2 เงอนไขบงคบ 10Y1 + 5Y2 30 20Y1 + 8Y2 55 15Y1 + 3Y2 25 Y1 , Y2 0 ผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสน คอ Y1 = 0.58 , Y2 = 5.12 และ maximize Pd = 3,875

1.5) ฟงกชนจดประสงค maximize Pd = 150Y1 + 200Y2 + 130Y3 + 140Y4

เงอนไขบงคบ 20Y1 + 25Y3 + 15Y4 5 10Y1 + 30Y2 + 20Y4 7

Y1 , Y2 , Y3 , Y4 0 ผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสน คอ Y1 = 0 , Y2 = 0.23 , Y3 = 0.20 , Y4 = 0 และ maximize Pd = 72.67

265

1.6) ฟงกชนจดประสงค minimize Pd = 4,000Y1 + 700Y2 เงอนไขบงคบ 10Y1 + 2Y2 30

15Y1 + 3Y2 52 30Y1 + 5Y2 100 Y1 , Y2 0

ผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสน คอ Y1 = 2.67 , Y2 = 4 และ maximize Pd = 13,466.67

1.7) ฟงกชนจดประสงค minimize Pd = 9Y1 – 2Y2 – 23Y3 + 12Y4 + 8Y5 + 900Y6

เงอนไขบงคบ Y1 – Y2 + 12Y6 1,500 – Y3 + 28Y6 1,000

Y4 – Y5 + 15Y6 800 Y1 , Y2 , Y3 , Y4 , Y5 , Y6 0

ผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสน คอ Y1 = 860 , Y2 = 0 , Y3 = 493 , Y4 = 0, Y5 = 0, Y6 = 53.33 และ minimize Pd = 44,393.33

1.8) ฟงกชนจดประสงค

maximize Pd = 180,000Y1 + 350,000Y2 + 150,000Y3 – 2,800Y4 + 2,000Y5 – 2,000Y6 เงอนไขบงคบ 20Y1 + 60Y2 + 20Y3 – Y4 400

35Y1 + 40Y2 + 25Y3 + Y5 465 30Y1 + 40Y2 + 30Y3 – Y6 415

Y1 , Y2 , Y3 , Y4 , Y5 , Y6 0 ผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสน คอ Y1 = 0 , Y2 = 11.625 , Y3 = 0 , Y4 = 297.5 , Y5 = 0, Y6 = 50 และ maximize Pd = 3,135,750

266

1.9) ฟงกชนจดประสงค minimize Pd = 300Y1 + 320Y2 + 400Y3 เงอนไขบงคบ 3Y1 + 3Y2 + 2Y3 60

2Y1 + 3Y2 + 4Y3 25 3Y1 + 2Y2 + 2Y3 58 Y1 + 2Y2 + 3Y3 80

Y1 , Y2 , Y3 0 ผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสน คอ Y1 = 1.43 , Y2 = 2 , Y3 = 24.86 และ minimize Pd = 11,011.43

1.10) ฟงกชนจดประสงค maximize Pd = – 2,500Y11 – 1,500Y12 + 1,500Y13 + 1,200Y21 + 1,300Y22

เงอนไขบงคบ –Y11 + Y13 90 –Y11 + Y21 110 –Y11 + Y22 100 –Y12 + Y13 55 –Y12 + Y21 70 –Y12 + Y22 60

Y11 , Y12 0 และ Y13 , Y21 , Y22 ไมมเครองหมายเปนขดจากด ผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสน คอ Y11 = 0 , Y12 = 40 , Y13 = 90 , Y21 = 110 , Y22 = 100 และ maximize Pd = 337,000

ขอ 5.7 ผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสน คอ X1 = 16.860 , X2 = 30.814 และ minimize P = 10,377.910 การวเคราะหความไว อธบายไดดงน สวนท 1 OBJ COEFFICIENT RANGES แสดงชวงของการเปลยนแปลงสมประสทธของตวแปรในฟงกชนจดประสงค ทจะไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป - สมประสทธของตวแปร X1 ในฟงกชนจดประสงคปจจบน มคาเทากบ 150 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 180 และลดลงไดไมเกน 150 ดงนนชวงทสมประสทธของตวแปร X1 ในฟงกชนจดประสงคทสามารถเปลยนแปลงได โดยทจะไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป คอ ชวงระหวาง 0 (150 – 150) ถง 330 (150 + 180)

267

- สมประสทธของตวแปร X2 ในฟงกชนจดประสงคปจจบน มคาเทากบ 220 ซงสามารถเพมขนไดโดยไมมขอบเขต () และลดลงไดไมเกน 120 ดงนนชวงทสมประสทธของ ตวแปร X2 ในฟงกชนจดประสงคทสามารถเปลยนแปลงได โดยทจะไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป คอ ชวงระหวาง 100 (220 – 120) ถง (220 + ) สวนท 2 RIGHTHAND SIDE RANGES แสดงชวงของการเปลยนแปลงคาทางขวามอของเงอนไขบงคบ แตมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง และกาไรรวมทเปลยนแปลงไปจะสามารถคานวณใหมไดดวยมลคาของทรพยากร - เงอนไขบงคบท 1 มคาคงททางขวามอในปจจบน เทากบ 100 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 150 และลดลงไดโดยไมมขอบเขต () ดงนนชวงทคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทสามารถเปลยนแปลงได โดยทมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง คอ ชวงระหวาง (100 – ) ถง 250 (100 + 150) - เงอนไขบงคบท 2 มคาคงททางขวามอในปจจบน เทากบ 180 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 220 และลดลงไดโดยไมมขอบเขต () ดงนนชวงทคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทสามารถเปลยนแปลงได โดยทมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง คอ ชวงระหวาง (180 – ) ถง 400 (180 + 220) - เงอนไขบงคบท 3 มคาคงททางขวามอในปจจบน เทากบ 300 ซงสามารถเพมขนไดโดยไมมขอบเขต () และลดลงไดไมเกน 165 ดงนนชวงทคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทสามารถ เปลยนแปลงได โดยท ม ลคาของทรพยากรไม เปลยนแปลง คอ ชวง ระหวาง 135 (300 – 165) ถง (300 + ) ขอ 5.8 ผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสน คอ X1 = 1.296 , X2 = 0 , X3 = 4.815 และ maximize P = 51.667 สวนท 1 OBJ COEFFICIENT RANGES แสดงชวงของการเปลยนแปลงสมประสทธของตวแปรในฟงกชนจดประสงค ทจะไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป - สมประสทธของตวแปร X1 ในฟงกชนจดประสงคปจจบน มคาเทากบ 25 ซงสามารถเพมขนไดโดยไมมขอบเขต () และลดลงไดไมเกน 1.286 ดงนนชวงทสมประสทธของ ตวแปร X1 ในฟงกชนจดประสงคทสามารถเปลยนแปลงได โดยทจะไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป คอ ชวงระหวาง 23.714 (25 – 1.286) ถง (25 + ) - สมประสทธของตวแปร X2 ในฟงกชนจดประสงคปจจบน มคาเทากบ 10 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 0.333 และลดลงไดโดยไมมขอบเขต () ดงนนชวงทสมประสทธของ ตวแปร X2 ในฟงกชนจดประสงคทสามารถเปลยนแปลงได โดยทจะไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป คอ ชวงระหวาง (10 – ) ถง 10.333 (10 + 0.333)

268

- สมประสทธของตวแปร X3 ในฟงกชนจดประสงคปจจบน มคาเทากบ 4 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 2.25 และลดลงไดไมเกน 0.346 ดงนนชวงทสมประสทธของตวแปร X3 ในฟงกชนจดประสงคทสามารถเปลยนแปลงได โดยทจะไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป คอ ชวงระหวาง 3.654 (4 – 0.346) ถง 6.25 (4 + 2.25) สวนท 2 RIGHTHAND SIDE RANGES แสดงชวงของการเปลยนแปลงคาทางขวามอของเงอนไขบงคบ แตมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง และกาไรรวมทเปลยนแปลงไปจะสามารถคานวณใหมไดดวยมลคาของทรพยากร - เงอนไขบงคบท 1 มคาคงททางขวามอในปจจบน เทากบ 10 ซงสามารถเพมขนไดโดยไมมขอบเขต () และลดลงไดไมเกน 5.833 ดงนนชวงทคาทางขวามอของเงอนไขบงคบ ทสามารถเปลยนแปลงได โดยทมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง คอ ชวงระหวาง 4.167 (10 – 5.833) ถง (10 + ) - เงอนไขบงคบท 2 มคาคงททางขวามอในปจจบน เทากบ 25 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 35 และลดลงไดไมเกน 32.5 ดงนนชวงทคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทสามารถเปลยนแปลงได โดยทมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง คอ ชวงระหวาง – 7.5 (25 – 32.5) ถง 60 (25 + 35) ขอ 5.9 ผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสน คอ X1 = 22.882 , X2 = 21.411 , X3 = 0 , X4 = 5.102 และ maximize P = 8,547.878 สวนท 1 OBJ COEFFICIENT RANGES แสดงชวงของการเปลยนแปลงสมประสทธของตวแปรในฟงกชนจดประสงค ทจะไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป - สมประสทธของตวแปร X1 ในฟงกชนจดประสงคปจจบน มคาเทากบ 200 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 10.394 และลดลงไดไมเกน 18.207 ดงนนชวงทสมประสทธของตวแปร X1 ในฟงกชนจดประสงคทสามารถเปลยนแปลงได โดยทจะไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป คอ ชวงระหวาง 181.793 (200 – 18.207) ถง 210.394 (200 + 10.394) - สมประสทธของตวแปร X2 ในฟงกชนจดประสงคปจจบน มคาเทากบ 170 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 6.181 และลดลงไดไมเกน 6.656 ดงนนชวงทสมประสทธของตวแปร X2 ในฟงกชนจดประสงคทสามารถเปลยนแปลงได โดยทจะไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป คอ ชวงระหวาง 163.344 (170 – 6.656) ถง 176.181 (170 + 6.181) - สมประสทธของตวแปร X3 ในฟงกชนจดประสงคปจจบน มคาเทากบ 300 ซงสามารถเพมขนไดโดยไมมขอบเขต () และลดลงไดไมเกน 77.516 ดงนนชวงทสมประสทธของ ตวแปร X3 ในฟงกชนจดประสงคทสามารถเปลยนแปลงได โดยทจะไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป คอ ชวงระหวาง 222.484 (300 – 77.516) ถง (300 + )

269

- สมประสทธของตวแปร X4 ในฟงกชนจดประสงคปจจบน มคาเทากบ 65 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 12.267 และลดลงไดไมเกน 3.711 ดงนนชวงทสมประสทธของตวแปร X4 ในฟงกชนจดประสงคทสามารถเปลยนแปลงได โดยทจะไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป คอ ชวงระหวาง 61.289 (65 – 3.711) ถง 77.267 (65 + 12.267) สวนท 2 RIGHTHAND SIDE RANGES แสดงชวงของการเปลยนแปลงคาทางขวามอของเงอนไขบงคบ แตมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง และกาไรรวมทเปลยนแปลงไปจะสามารถคานวณใหมไดดวยมลคาของทรพยากร - เงอนไขบงคบท 1 มคาคงททางขวามอในปจจบน เทากบ 1,500 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 680.711 และลดลงไดไมเกน 97.368 ดงนนชวงทคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทสามารถเปลยนแปลงได โดยทมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง คอ ชวงระหวาง 1,402.632 (1,500 – 97.368) ถง 2,180.711 (1,500 + 680.711) - เงอนไขบงคบท 2 มคาคงททางขวามอในปจจบน เทากบ 1,700 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 387.209 และลดลงไดไมเกน 128.406 ดงนนชวงทคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทสามารถเปลยนแปลงได โดยทมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง คอ ชวงระหวาง 1,571.594 (1,700 – 128.406) ถง 2,087.209 (1,700 + 387.209) - เงอนไขบงคบท 3 มคาคงททางขวามอในปจจบน เทากบ 2,300 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 229.656 และลดลงไดไมเกน 536.884 ดงนนชวงทคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทสามารถเปลยนแปลงได โดยทมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง คอ ชวงระหวาง 1,763.116 (2,300 – 536.884) ถง 2,529.656 (2,300 + 229.656) - เงอนไขบงคบท 4 มคาคงททางขวามอในปจจบน เทากบ 1,800 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 113.513 และลดลงไดโดยไมมขอบเขต () ดงนนชวงทคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทสามารถเปลยนแปลงได โดยทมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง คอ ชวงระหวาง (1,800 – ) ถง 1,913.513 (1,800 + 113.513) ขอ 5.10 ผลเฉลยของตวแบบกาหนดการเชงเสน คอ X1 = 0 , X2 = 0.933 , X3 = 13.316 , X4 = 10.674 และ maximize P = 76,580.31 สวนท 1 OBJ COEFFICIENT RANGES แสดงชวงของการเปลยนแปลงสมประสทธของตวแปรในฟงกชนจดประสงค ทจะไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป - สมประสทธของตวแปร X1 ในฟงกชนจดประสงคปจจบน มคาเทากบ 2,000 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 297.927 และลดลงไดโดยไมมขอบเขต () ดงนนชวงทสมประสทธของตวแปร X1 ในฟงกชนจดประสงคทสามารถเปลยนแปลงได โดยทจะไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป คอ ชวงระหวาง (2,000 – ) ถง 2,297.927 (2,000 + 297.927)

270

- สมประสทธของตวแปร X2 ในฟงกชนจดประสงคปจจบน มคาเทากบ 2,100 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 1,369.048 และลดลงไดไมเกน 354.167 ดงนนชวงทสมประสทธของ ตวแปร X2 ในฟงกชนจดประสงคทสามารถเปลยนแปลงได โดยทจะไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป คอ ชวงระหวาง 1,745.833 (2,100 – 354.167) ถง 3,469.048 (2,100 + 1,369.048) - สมประสทธของตวแปร X3 ในฟงกชนจดประสงคปจจบน มคาเทากบ 3,600 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 206.835 และลดลงไดไมเกน 404.762 ดงนนชวงทสมประสทธของตวแปร X3 ในฟงกชนจดประสงคทสามารถเปลยนแปลงได โดยทจะไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป คอ ชวงระหวาง 3,195.238 (3,600 – 404.762) ถง 3,806.835 (3,600 + 206.835) - สมประสทธของตวแปร X4 ในฟงกชนจดประสงคปจจบน มคาเทากบ 2,500 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 180.851 และลดลงไดไมเกน 93.8 ดงนนชวงทสมประสทธของตวแปร X4 ในฟงกชนจดประสงคทสามารถเปลยนแปลงได โดยทจะไมทาใหผลเฉลยเหมาะสมทสดเปลยนแปลงไป คอ ชวงระหวาง 2,406.2 (2,500 – 93.8) ถง 2,680.851 (2,500 + 180.851) สวนท 2 RIGHTHAND SIDE RANGES แสดงชวงของการเปลยนแปลงคาทางขวามอของเงอนไขบงคบ แตมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง และกาไรรวมทเปลยนแปลงไปจะสามารถคานวณใหมไดดวยมลคาของทรพยากร - เงอนไขบงคบท 1 มคาคงททางขวามอในปจจบน เทากบ 1,000 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 36.957 และลดลงไดไมเกน 210.656 ดงนนชวงทคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทสามารถเปลยนแปลงได โดยทมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง คอ ชวงระหวาง 789.344 (1,000 – 210.656) ถง 1,036.957 (1,000 + 36.957) - เงอนไขบงคบท 2 มคาคงททางขวามอในปจจบน เทากบ 1,000 ซงสามารถเพมขนไดโดยไมมขอบเขต () และลดลงไดไมเกน 13.212 ดงนนชวงทคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทสามารถเปลยนแปลงได โดยทมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง คอ ชวงระหวาง 986.788 (1,000 – 13.212) ถง (1,000 + ) - เงอนไขบงคบท 3 มคาคงททางขวามอในปจจบน เทากบ 1,250 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 16.242 และลดลงไดไมเกน 103 ดงนนชวงทคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทสามารถเปลยนแปลงได โดยทมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง คอ ช วงระหวาง 1,147 (1,250 – 103) ถง 1,266.242 (1,250 + 16.242) - เงอนไขบงคบท 4 มคาคงททางขวามอในปจจบน เทากบ 1,100 ซงสามารถเพมขนไดไมเกน 219.149 และลดลงไดไมเกน 37.5 ดงนนชวงทคาทางขวามอของเงอนไขบงคบทสามารถเปลยนแปลงได โดยทมลคาของทรพยากรไมเปลยนแปลง คอ ชวงระหวาง 1,062.5 (1,100 – 37.5) ถง 1,319.149 (1,100 + 219.149)

271

แบบฝกหดบทท 6 ขอ 6.1 ปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได ขอ 6.2 ปญหาผลเฉลยไมมขอบเขต ขอ 6.3 ปญหาผลเฉลยเหมาะสมทสดมมากกวาหนงคา ขอ 6.4 ปญหามเงอนไขบงคบมากเกนจาเปน ขอ 6.5 ปญหาสภาพซอนสถานะ ขอ 6.6 ปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได ขอ 6.7 ปญหาผลเฉลยไมมขอบเขต ขอ 6.8 ปญหาผลเฉลยเหมาะสมทสดมมากกวาหนงคา ขอ 6.9 ปญหามเงอนไขบงคบมากเกนจาเปน ขอ 6.10 ปญหาสภาพซอนสถานะ

273

ดชน

หนา

ก การดาเนนการของตวหลก (pivot operation) 78 การวเคราะหความไว (sensitivity analysis) 123,189 กาหนดการ (programming) 1 กาหนดการเชงเสน (linear programming) 1 กาหนดการเชงเสนจานวนเตม (linear integer programming) 12 ข ขอจากดของตวแปร (restriction of variable) 11 ค ความชนของเสนตรง (slope of a line) 32 ความเปนสดสวน (proportionality) 12 ความสมพนธเชงเสน (linearity relationship) 12 คอมพวเตอรสวนบคคล (personal computer) 3 คาคงทดานขวามอ (right hand side) 10,71,77 คาตาสด (minimize) 9 คาไมตดลบ (nonnegativity) 11,13 คาสงสด (maximize) 9 โครงสรางของกาหนดการเชงเสน (linear programming structure) 8 ง เงอนไขบงคบ (constraint) 10 จ จตภาค (quadrant) 41 จดกาเนด (origin) 32 ช เชงเสน (linear) 2 ต ตวแบบ (Model) 1 ตวแบบกาหนดการเชงเสน (linear programming model) 8 ตวแบบเชงคณตศาสตร (mathematical model) 1

274

ดชน (ตอ)

หนา

ตวแปรเขา (entering variable) 78 ตวแปรทตองการตดสนใจ (decision variable) 8 ตวแปรเทยม (artificial variables) 72,74 ตวแปรพนฐาน (basic variable) 70,76 ตวแปรไมพนฐาน (nonbasic variable) 70,76 ตวแปรสวนเกน (surplus variables) 72,73 ตวแปรสวนขาด (slack variables) 72 ตวแปรออก (leaving variable) 78 ตวหลก (pivot) 78 ถ แถวตวหลก (pivotal row) 78 บ บรเวณผลเฉลยทเปนไปได (feasible region) 37,42 ป ปญหาการขนสง (transportation problem) 4 ปญหาการผลต (product mix problem) 4 ปญหาการผสมสาร (blending problem) 4 ปญหาการมอบหมายงาน (assignment problem) 4 ปญหาคกน (dual problem) 159 ปญหาเดม (primal problem) 159 ปญหาผลเฉลยไมมขอบเขต (unbounded solutions) 216 ปญหาผลเฉลยเหมาะสมทสดมมากกวาหนงคา (alternative optimal solutions) 223 ปญหามเงอนไขบงคบมากเกนจาเปน (redundancy) 231 ปญหาไมมผลเฉลยทเปนไปได (infeasible Solution) 212 ปญหาสภาพซอนสถานะ (degeneracy) 238 ผ ผลเฉลย (solution) 8 ผลเฉลยเดยวทเหมาะสมทสด (unique optimal solution) 211 ผลเฉลยทเปนไปได (feasible solution) 41

275

ดชน (ตอ)

หนา

ผลเฉลยพนฐาน (basic solution) 70 ผลเฉลยเหมาะสมทสด (optimal solution) 8,37 ผลลพธเหมาะสมทสด (optimal result) 2 ฟ ฟงกชนจดประสงค (objective function) 9 ฟงกชนเชงเสน (linear function) 1 ม มลคาของทรพยากร (dual prices) 125 เมทรกซเอกลกษณ (identity matrix) 77 ร ระนาบ (plane) 1 ระบบสมการเชงเสน (system of linear equations) 33 ระบบอสมการเชงเสน (system of linear inequality) 36 รปแบบมาตรฐาน (standard form) 71 ว วธกราฟ (graphical method) 31 วธซมเพลกซ (simplex method) 3,69 วธทาซา (iteration) 69 วธ Big M (Big M Method) 74 ส สมการเชงเสน (linear equation) 31 สมาชกตามหลก (pivotal element) 78,86 อ อสมการเชงเสน (linear inequality) 34

สุปรีชา วงศ...

Documents