ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่...
TRANSCRIPT
![Page 1: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/1.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคม
มหาวทยาลยราชภฏนครปฐม
การสอสารดจทล
ตวแปรสมเเละกระบวนการสม (2)
Assoc.Prof.Piya Kovintavewat, Ph.D.Data Storage Technology Research CenterNakhon Pathom Rajabhat University http://home.npru.ac.th/piya
“All things are difficult before they are easy”
![Page 2: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/2.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
Outlineความนาจะเปนและปรภมตวอยาง
ตวเเปรสมคาเฉลยเอนเซมเบล
โมเมนต
ฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปนแบบเกาสเซยน
กระบวนการสมคาเฉลยเเละฟงกชนอตสหสมพนธ
สเตชนเนร
อตสหสมพนธของกระบวนการสมสเตชนเนรเเบบไวดเซนส
กระบวนการเออรกอดก
ความหนาเเนนสเปกตรมกาลง
ความสมพนธระหวางกระบวนการสมเเละระบบ LTI
สญญาณรบกวนในระบบสอสาร
2
![Page 3: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/3.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
ความนาจะเปนและปรภมตวอยางพจารณาเหตการณการโยนเหรยญบาทซงผลลพธทไดม 2 แบบคอ
nH = หว (head) nT = กอย (tail)N = จานวนครงททาการโยนเหรยญบาท
ถาเหรยญบาททใชไมมการถวงนาหนก ⇒ ความนาจะเปน (probability) ทจะไดผลลพธเปน “หว” หรอ “กอย” มคาเทากน
ปรภมตวอยาง (sample space) ⇒ เซตของผลลพธทเปนไปไดทงหมดทไดจากการทดลอง
3
[ ]Pr 1Ω =
![Page 4: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/4.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
เซตยอย (subset) ของปรภมตวอยางจะเรยกวาเหตการณ (event) และสมาชกแตละตวในเหตการณเรยกวาเหตการณมลฐาน (elementary event)กฎความนาจะเปน
4
![Page 5: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/5.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน 5
![Page 6: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/6.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
Exampleพจารณาสถานฐาน (base station) ไดรบกลมขอมล (data packet) ทสงมาจากดาวเทยม 1 และ 2 เพอใชประมวลผลในขนตอไป กาหนดใหกลมขอมลทสถานฐานไดรบทงหมดมาจากดาวเทยม 1 และ 2 เทากบ 40% และ 60% ตามลาดบ โดยสมมตวากลมขอมลทสงมาจากดาวเทยม 1 มขอผดพลาด(error) 5% และกลมขอมลทสงมาจากดาวเทยม 2 มขอผดพลาด 3% ดงนนถาทาการสมกลมขอมลมาหนงกลมแลวพบวามขอผดพลาด จงหาคาความนาจะเปนทกลมขอมลนนถกสงมาจากดาวเทยม 1
A คอเหตการณทสมเลอกกลมขอมลมาแลวพบวามขอผดพลาด
Bi คอเหตการณทกลมขอมลนนถกสงมาจากดาวเทยม i ∈ 1, 2
6
![Page 7: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/7.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
ดงนนถาทาการสมกลมขอมลมาหนงกลมแลวพบวามขอผดพลาด ความนาจะเปนทกลมขอมลนนถกสงมาจากดาวเทยม 1 มคาเทากบ
7
![Page 8: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/8.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
ตวเเปรสมตวแปรสม (random variable) คอฟงกชนทกาหนดคาจานวนจรงใหกบแตละผลลพธในปรภมตวอยางของการทดลองสม โดยจะใชสญลกษณ X(A) แทนตวแปรสมของเหตการณ Aการโยนเหรยญบาทหนงครง ⇒ ผลลพธ 1 (แทน “หว”) และ –1 (แทน “กอย”) ดงนนจะได X(A) ∈ –1, 1การทอดลกเตาหนงครง ⇒ ผลลพธ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 ดงนนจะได X(A) ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6
8
![Page 9: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/9.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
ฟงกชนการแจกแจงสะสมในทางปฏบตคาความนาจะเปนของตวแปรสมจะถกกาหนดโดยตรง (แทนทจะกาหนดใหกบเหตการณในปรภมตวอยาง) ในรปของฟงกชนการแจกแจงสะสม (cumulative distribution function)
คอความนาจะเปนทตวแปรสม X มคานอยกวาหรอเทากบจานวนจรง x
Property:
9
( ) [ ]Pr= ≤XF x X x
![Page 10: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/10.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
ฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปนอนพนธ (derivative) ของฟงกชนการแจกแจงสะสมมคาเทากบฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปน (pdf: probability density function)
Property
10
( )( )X
X
dF xp x
dx=
![Page 11: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/11.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
Exampleกาหนดใหตวแปรสม X คอเวลาทใชในการสงขาวสารผานชองสญญาณ โดยท X เปนตวแปรสมเลขชกาลงทมฟงกชนความนาจะเปนเทากบ
เมอ x > 0 เปนเลขจานวนจรง และ λ คอคาคงตว จงคานวณหา
11
[ ]Pr −> = xX x e λ
จงหา
![Page 12: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/12.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน 12
![Page 13: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/13.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
ตวแปรสมวยตฟงกชนมวลความนาจะเปน (probability mass function)
ฟงกชนการแจกแจงสะสม
Ex: การทดลองการโยนเหรยญบาทหนงเหรยญ
13
( ) [ ]Pr= =X i ip x X x
( ) [ ] ( )Pr≤ ≤
= = =∑ ∑i i
X i X i
x x x x
F x X x p x
( )0, 10.5, 1 11, 1
X
x
F x x
x
⎧ <−⎪⎪⎪⎪= − ≤ <⎨⎪⎪⎪ ≥⎪⎩
![Page 14: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/14.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
ฟงกชนของตวเเปรสม
14
![Page 15: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/15.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
Example
15
![Page 16: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/16.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน 16
วธทา
![Page 17: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/17.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
ตวเเปรสมหลายตวกาหนดให X และ Y เปนตวแปรสมในปรภมตวอยาง ดงนนฟงกชนการแจกแจงสะสมรวม (joint cumulative distribution function) นยามโดย
Property
17
( ) [ ], Pr ,= ≤ ≤XYF x y X x Y y
![Page 18: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/18.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
ฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปนรวม (joint pdf)
Property
18
( ) ( )2
, ,XY XYp x y F x yx y
∂=
∂ ∂
![Page 19: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/19.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
ฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปนแบบมเงอนไข (conditional pdf) ของตวแปรสม X เมอกาหนดตวแปรสม Y = y มาให
19
( )( )( )
( )|
,, 0
0, else=
⎧⎪⎪ ≠⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎪⎩
XY
Y
X Y y Y
p x yp y
p x p y
![Page 20: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/20.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
คาเฉลยเอนเซมเบลในทางปฏบตบางครงไมมความจาเปนตองคานวณหาคาทแนนอนของฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสม ถาทราบพฤตกรรมเชงเฉลยทเรยกวาคาเฉลยทางสถต (statistic average) ของตวแปรสมสาหรบเหตการณนน อยในรปของคาคาดหมาย (expected value) คาเฉลยทางสถตของตวแปรสม ⇒ คาเฉลยเอนเซมเบล (ensemble average)
20
![Page 21: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/21.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
Ex: คาเฉลยของเหตการณการโยนเหรยญบาททไมมการถวงนาหนกคอ
21
[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( )( ) ( )( )1 Pr 1 1 Pr 1 1 0.5 1 0.5 0= = + − =− = + − =E X X X
![Page 22: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/22.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
โมเมนตโมเมนต (moment) หรอคาเฉลยทางสถตลาดบท n ของการแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมตอเนอง X นยามโดย
Property
22
( )n nXE X x p x dx
∞
−∞
⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫
![Page 23: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/23.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
โมเมนตศนยกลาง (central moment) ลาดบท n
โมเมนตศนยกลางลาดบทสอง ⇒ ความแปรปรวน (variance)
Property
23
( ) ( ) ( )∞
−∞
⎡ ⎤− = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫n n
X X XE X m x m p x dx
[ ] ( )2 2 2Var ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦n
X X XX E X m E X mσ
![Page 24: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/24.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
Example
24
( )1 ,
0, elseX
a x bp x b a
⎧⎪⎪ ≤ ≤⎪= −⎨⎪⎪⎪⎩
[ ] ( )2 21 1
2 2
∞
−∞
⎛ ⎞− +⎟⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜− − ⎝ ⎠∫ ∫b
Xa
b a a bE X p d d
b a b aα α α α α
( )( )
( ) ( )22 /22 2
/2
1 12 12
−
− −
−⎛ ⎞+⎡ ⎤ ⎟⎜= − = − = =⎟⎜⎢ ⎥ ⎟⎟⎜⎣ ⎦ ⎝ ⎠− −∫ ∫b
b an
X Xb a
a
b aa bE X m x dx y dy
b a b aσ
![Page 25: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/25.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
ความสมพนธระหวางตวเเปรสม
สหสมพนธ (correlation)
ความแปรปรวนรวมเกยว (covariance)
25
[ ] ( ),XY XYR E XY xyp x y dxdy∞ ∞
−∞ −∞= = ∫ ∫
( ) ( )( ) [ ]Cov , ⎡ ⎤= − − = −⎢ ⎥⎣ ⎦X Y X YX Y E X m Y m E XY m m
![Page 26: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/26.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
สมประสทธสหสมพนธ (correlation coefficient)
ตวแปรสม X และ Y มลกษณะเชงตงฉาก (orthogonal)
ตวแปรสม X และ Y ไมมสหสมพนธ (uncorrelated) ตอกน
ตวแปรสม X และ Y เปนอสระเชงสถตตอกน
26
( ) [ ]Cov , X Y
XY
X Y X Y
X Y E XY m mρ
σ σ σ σ
−= = 1 1XYρ− ≤ ≤
[ ] 0E XY =
![Page 27: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/27.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
PDF แบบเกาสเซยนนยมใชงานมากสาหรบการวเคราะหระบบสอสาร เพราะพฤตกรรมของตวแปรสมเกาสเซยนมลกษณะคลายกบขอมลทพบในระบบสอสาร เชน สญญาณขอมล และสญญาณรบกวน เปนตน ฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปนแบบปรกต (normal pdf)
การแจกแจงปรกตแบบมาตรฐาน (standard normal distribution) ⇒
27
( )( )2
22
1 exp22
⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
X
X
XX
x mp x
σπσ
( ) ( )2,=∼ X X XX p x m σN
( )0,1N
![Page 28: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/28.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน 28
Ex: สญญาณรบกวนเชงความรอน (thermal noise)
![Page 29: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/29.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน 29
( )21 exp
22
∞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫x
vQ x dv
π
ตารางคนหา(look-up table)
![Page 30: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/30.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
ตวเเปรสมวยตทนาสนใจตวเเปรสมเบอรนลล
การทดลองสมทมผลลพธจากการทดลองไดเพยงสองแบบคอ ความสาเรจ (success) และความลมเหลว (failure) เชน การโยนเหรยญหนงบาทครงฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปน
คาเฉลยและความแปรปรวน
30
![Page 31: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/31.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
ตวเเปรสมทวนามพจารณาการทดลองสมททาซากน n ครงอยางเปนอสระตอกน และการทดลองแตละครงมผลลพธทจาแนกไดสองแบบคอ ความสาเรจและความลมเหลว พบมากในงานทดลองทมผลลพธเพยงสองแบบเทานน เชน หว/กอย, บตทถก/บตทผด, หรอชนสวนทด/ชนสวนทบกพรอง เปนตน
ถาให Y คอจานวนครงทเหตการณ A เกดขนภายในการทดลอง n ครงฟงกชนความหนาแนนความนาจะเปน
คาเฉลยและความแปรปรวน
31
[ ] ( )( )
( )!Pr 1 1! !
− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟= = − = −⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
n k n kk kn nY k q q q q
k n k k
![Page 32: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/32.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
Example
32
![Page 33: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/33.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
วธทา
33
![Page 34: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/34.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
กระบวนการสมกระบวนการสม (random process) X(A, t) พจารณาไดวาเปนฟงกชนของตวแปรสมสองตวคอ ตวแปรสมของเหตการณ A และตวแปรสมของเวลา t
34
( ) ( )1 1,X A t X t=
( ) ( )2 2,X A t X t=
( ) ( )3 3,X A t X t=
( ) ( ),n n
X A t X t=
ktt
An = เหตการณในการเปดเครองกาเนดแรงดนไฟฟาครงท n
ใชสญลกษณ X(t) แทนกระบวนการสม X(A, t)
![Page 35: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/35.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
คาเฉลยเเละฟงกชนอตสหสมพนธคาเฉลย (mean) ของกระบวนการสม X(t) ทเวลา t = tk
ฟงกชนอตสหสมพนธ
อตความแปรปรวนรวมเกยว (auto-covariance)
คาสมประสทธสหสมพนธ
35
( ) ( ) ( )kX k k Xm t E X t xp x dx
∞
−∞
⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫
( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 1 2, ,X X XR t t E X t X t uvp u v dudv
∞ ∞
−∞−∞
⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2, ,⎡ ⎤= − − = −⎢ ⎥⎣ ⎦X X X X X XC t t E X t m t X t m t R t t m t m t
( )( )
( ) ( )1 2
1 2
1 1 2 2
,,
, ,X
X
X X
C t tt t
C t t C t tρ =
หมายเหตกระบวนการสม 2 กระบวนการทตางกนอาจมคาเฉลย ฟงกชนอตสหสมพนธ และฟงกชนอตความแปรปรวนรวมเกยว เหมอนกนได
![Page 36: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/36.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
Example
36
![Page 37: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/37.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
สเตชนเนรสเตชนเนรแบบสตรกเซนส (SSS: strict-sense sta-tionary) ⇒ คาทางสถตทกอนดบของกระบวนการสมไมขนกบเวลา ในทางปฏบตระบบสอสารสวนมากไมมคณสมบตสเตชนเนรแบบสตรกเซนส
สเตชนเนรแบบไวดเซนส (WSS: wide-sense stationary) ⇒ คาทางสถตเฉพาะอนดบทหนงและอนดบทสองของกระบวนการสมนนไมขนกบเวลา
37
( ) ( )X XE X t m t m⎡ ⎤ = =⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2,X X XR t t R t t R E X t X tτ τ⎡ ⎤= − = = +⎢ ⎥⎣ ⎦
1 2t tτ = − คอผลตางของเวลา
WSS ∈ SSS
![Page 38: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/38.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
อตสหสมพนธของกระบวนการสม WSSฟงกชนอตสหสมพนธจะใชเปนตววดความสมของกระบวนการสมเปนฟงกชนของผลตางของเวลา เทานนสาหรบกระบวนการสม WSS ทมคาเฉลยเทากบศนย ฟงกชนอตสหสมพนธยงบอกใหทราบถงผลตอบสนองเชงความถทเกยวของกบกระบวนการสมดวย
Property
38
1 2t tτ = −
![Page 39: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/39.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
Example
39
วธทา
![Page 40: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/40.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน 40
![Page 41: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/41.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
กระบวนการเออรกอดกการหาคาเฉลยและฟงกชนอตสหสมพนธของกระบวนการสมตองอาศย joint pdf อนดบทหนงและอนดบทสอง ซงหาไดยากในหลายๆ งานประยกตกระบวนการเออรกอดก (ergodic) มคณสมบตเฉพาะคอ คาเฉลยทางเวลา = คาเฉลยเอนเซมเบล คณสมบตทางสถตของกระบวนการสามารถถกกาหนดไดดวยการหาคาเฉลยทางเวลาของฟงกชนตวอยาง (sample function) เพยงฟงกชนเดยว
กระบวนการสม X(t) เปนเออรกอดกเชงคาเฉลย กตอเมอ
เออรกอดกเชงฟงกชนอตสหสมพนธ กตอเมอ
41
( ) ( )1lim2→∞ −
= = ∫T
XT T
m X t X t dtT
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1lim2→∞ −
= + = +∫T
XT T
R X t X t X t X t dtT
τ τ τ
![Page 42: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/42.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
Example
42
![Page 43: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/43.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน 43
![Page 44: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/44.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
ความหนาเเนนสเปกตรมกาลง
44
![Page 45: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/45.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
ความหนาเเนนสเปกตรมกาลงของกระบวนการสม X(t) นยามโดย
GX(f) มคาเทากบผลการแปลงฟเรยรของฟงกชนอตสหสมพนธ RX(τ)
Property
45
( ) ( )21lim
→∞
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦X T
TG f E X f
T
( ) ( ) ( ) 2j fX X XG f R R e dπ ττ τ τ
∞−
−∞
⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫F
(ดตวอยางท 3.13 และ 3.14 ในหนงสอ)
![Page 46: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/46.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
ความสมพนธระหวางกระบวนการสมเเละระบบ LTI
46
( )X t ( )Y t
( ) ( )⇔h t H f( ) ( ) , ,
X X Xm R G fτ ( ) ( ) , ,
Y Y Ym R G fτ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y t X t h t X t h dτ τ τ∞
−∞= ∗ = −∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞ ∞
−∞ −∞
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫Ym E Y t E X t h d E X t h dτ τ τ τ τ τ
( ) ( )0∞
−∞= =∫X Xm h d m Hτ τ
![Page 47: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/47.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน 47
![Page 48: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/48.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
สญญาณรบกวนในระบบสอสารสญญาณรบกวนเปนสงทระบบไมตองการ เพราะจะไปขดขวางความสามารถของวงจรภาครบในการตรวจหาและถอดรหสขอมลสญญาณรบกวนสขาว (white noise) กระบวนการสม W(t) ทไมมสหสมพนธกน
48
( ) ( ) 00
else
/ 2, 00,2
⎧ =⎪⎪= =⎨⎪⎪⎩W
NNR
ττ δ τ
( ) ( ) ( ) 2 0
2
∞−
−∞
⎡ ⎤= = =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ j fW W W
NG f F R R e dπ ττ τ τ
![Page 49: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/49.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
สญญาณรบกวนสขาวมผลกระทบตอระบบสอสารในทกแถบความถกาลงของสญญาณรบกวนมคาเปนอนนต จงเปนเหตผลวาทาไมวงจรภาครบของจงตองใชวงจรกรองผานตา (low-pass filter) เพอทาใหกาลงของสญญาณรบกวนมคาจากด
สญญาณรบกวนแบบส (colored noise)สญญาณรบกวนแบบสคอกระบวนการสม V(t) ทมสหสมพนธกน
49
![Page 50: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/50.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
Example
50
L
( )i t
( )X t ( )Y tR
![Page 51: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/51.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน
วธทา
51
![Page 52: ตัวแปรส มเเละกระบวนการสุ่ มุ่(2)home.npru.ac.th/piya/DigitalComm/file/Lec02.pdfโปรแกรมว ศวกรรมโทรคมนาคม](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022041608/5e359d7938c7af138b1013fb/html5/thumbnails/52.jpg)
โปรแกรมวศวกรรมโทรคมนาคมรศ.ดร.ปยะ โควนททววฒน 52
*** END