หน่วยที่ 3 -...

การประมาณคา

สาระการเรยนร การประมาณคา (Estimation )

1. แบบการประมาณคา 2. การประมาณคาเฉลยของประชากร 2.1 การประมาณคาเฉลยของประชากรกลมเดยว 2.2 การประมาณคาผลตางคาเฉลยของประชากรสองกลม 3. การประมาณคาสดสวนของประชากร 3.1 การประมาณคาสดสวนของประชากรกลมเดยว 3.2 การประมาณคาผลตางสดสวนของประชากรสองกลม

จดประสงคการเรยนร 1. บอกความหมายของการประมาณคาได 2. อธบายแบบการประมาณคาได 3. อธบายความแตกตางการประมาณคาแบบจดและแบบชวงได 4. ค านวณการประมาณคาเฉลยของประชากรแบบจดและแบบชวงได 5. ค านวณการประมาณคาสดสวนของประชากรแบบจดและแบบชวงได

แนวคด การประมาณคา เปนวธการทางสถตเชงอนมาน ทใชขอมลจากกลมตวอยาง เพอสรปเกยวกบคาพารามเตอร หรอสรปลกษณะของประชากร การประมาณคาแบงได 2 แบบดงน

1. การประมาณคาเฉลยของประชากร 2. การประมาณคาสดสวนของประชากร

หนวยท 3



การประมาณคาในแตละแบบ สามารถแบงออกเปน 2 ลกษณะ คอ การประมาณคาแบบจดและการประมาณคาชวง การประมาณคาแบบจด (Point Estimation) หรอเรยกวาการประมาณคาเดยว เปนการค านวณหาคาสถตตวหนงจากขอมลตวอยาง แลวน าคาทไดไปเปนคาประมาณของพารามเตอร เชน การใชคาเฉลยของตวอยาง ( x ) เปนตวประมาณคาเฉลยของพารามเตอรประชากร ( µ ) หรอ การใชคาสดสวนของตวอยาง ( p ) เปนตวประมาณคาสดสวนของพารามเตอรประชากร ( P) การหาคาประมาณแบบชวง (Interval Estimation) เปนการประมาณวาคาพารามเตอรของประชากร จะอยในชวงใดชวงหนงทมคาอยระหวางคาสองคา คอ L และ U เมอ L = ขอบเขตต า (lower limit) และ U = ขอบเขตสง (upper limit) สมมตวาพารามเตอรทตองการประมาณในประชากรหนง คอ θ คาประมาณแบบเปนชวงของ θ น จะอยในชวง L < θ < U โดยใชขอมลจากกลมตวอยาง

73


ค าชแจง ขอสอบปรนยมจ านวน 10 ขอ ใหนกศกษาเลอกค าตอบทถกทสดเพยงค าตอบเดยว

1. ขอใดตอไปนถกตอง

ก. การประมาณคา เปนคาเฉลยทค านวณไดจากกลมประชากร

ข. สมชายคาดคะเนวาจะไดเกรด 4 ในวชาสถตและการวางแผนการทดลอง ถอวาเปนการประมาณคา

ค. สมหญงมคาใชจายรายวนโดยเฉลย 250 บาท ถอวาเปนการประมาณคา

ง. การประมาณคาทดตองอาศยหลกการและเหตผล

จ. การประมาณคาทดมโอกาสเปนไปไดมากกวา 50%

2. ระดบความเชอมนในการประมาณคา หมายความวาอยางไร

ก. ระดบความนาเชอถอของขอมลทน ามาประมาณคา

ข. ระดบความนาเชอถอของการประมาณคาทถกตอง

ค. ระดบหรอโอกาสทจะเกดความผดพลาดในการประมาณคา

ง. ระดบหรอโอกาสในการเลอกขอมลมาประมาณคาแลวเกดความถกตอง

จ. ความนาจะเปนในการสรปคาการประมาณคาทถกตอง

3. ชวงของการประมาณคาจะกวางหรอแคบ ขนอยกบปจจยใด

ก. ระดบความเชอมน

ข. ขนาดของกลมตวอยาง

ค. การกระจายของขอมล

ง. แหลงของขอมล

จ. ขอ ก และ ขอ ค ถกตองทสด

74

แบบทดสอบกอนเรยน


4. การประมาณคาในขอใดทเกดความผดพลาดนอยทสด

ก. การประมาณคาทระดบความเชอมน 90%

ข. การประมาณคาท = 0.05

ค. การประมาณคาท = 0.01

ง. การประมาณคาท = 0.10

จ. การประมาณคาท = .005

5. ขอใดกลาวผด

ก. x แทนการประมาณคาเฉลย

ข. p แทนการประมาณคาสดสวน

ค. การประมาณคาเฉลยแบบชวงจะอยระหวาง L < µ < U

ง. ระดบความเชอมนสง ชวงของการประมาณคาจะกวาง

จ. ชวงของการประมาณคากวาง โอกาสของการผดพลาดในการประมาณคาจะมากขน

6. ขอมลตอไปน เปนคาใชจายตอเดอนของนกศกษาระดบปรญญาตร จ านวน 10 คน 4500, 6000, 5000, 5500, 7000, 4500, 6000, 6500, 6000, 8000 ขอใดถกตองทสด

ก. นกศกษากลมนมสวนใหญมคาใชจายโดยประมาณ 6,000 บาท

ข. คาเฉลยเทากบ 5900 บาท ถอวาเปนการประมาณคาแบบจด

ค. คาใชจายระหวาง 4500 – 8000 บาท ถอเปนเปนการประมาณคาแบบจด

ง. การประมาณคาแบบชวงในขอน ไมสามารถท าได ถาไมก าหนดระดบความเชอมน

จ. ค าตอบทถกตองทสดคอ ขอ ข และ ง

7. วทยาลยแหงหนงตองการจดนกศกษาไปทศนศกษาในภาคเรยนฤดรอน จงส ารวจความตองการของนกศกษาทงหมด 300 คน พบวาสนใจไปทศนศกษาจ านวน 256 คน จงประมาณคาสดสวนแบบจดของนกศกษาทไปทศนศกษาในครงน

ก. 256

ข. 44

75


ค. 1.172

ง. 0.853

จ. 0.172

8. ปรมาณน าฝนในของภาคตะวนออกเฉยงเหนอในรอบ 10 ปทผานมามการแจกแจงใกลเคยงปกต มคาเฉลย 8.5 นว สวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.45 นว ถาตองการประมาณคาปรมาณน าฝนทผานมาขอใดถกตอง (ก าหนด = 0.05)

ก. สถตทใชประมาณคาคอ t-test

ข. เปดตารางท df = 10

ค. µ = 8.5

ง. = 0.45

จ. คาเปดตารางเทากบ 1.96

9. สมนกศกษามา 2 กลม เพอประมาณคาความแตกตางของคะแนนสอบเฉลย ดงขอมลตอไปน กลม 1. 15, 19, 10, 13, 16, 8, 16 กลม 2. 10, 17, 16, 12, 10, 16, 10, 14, 17, 13

ขอใดตอไปนถกตอง ก. คาเฉลยคะแนนสอบกลมท 1 เทากบ 13.50 ข. คาเฉลยคะแนนสอบกลมท 2 เทากบ 13.86 ค. คาประมาณความแตกตางของคะแนนเฉลยสองกลมเทากบ 0.36 ง. คาประมาณทไดอยระหวาง 13.50 ถง 13.86 จ. นกเรยนกลมท 2 มคาเฉลยของคะแนนสงกวากลมท 1

10. จากการสอบถามแมบาน 50 คน เกยวกบการใชน ายาลางจานยหอ A และ B พบวาแมบาน ใชน ายาลางจานยหอ A จ านวน 38 คน ถาตองประมาณสดสวนแบบชวงของแมบานทใช น ายาลางจานยหอ B ทระดบความเชอมน 90% ขอใดถกตอง

ก. สดสวนของคนทใชยาลางจานยหอ B เทากบ 0.76 ข. สดสวนของคนทใชยาลางจานยหอ A เทากบ 0.24 ค. คาประมาณความแตกตางสดสวนของการใชน ายาลางจานสองกลมเทากบ 0.52 ง. คา Z ของการเปดตารางเทากบ 1.645 จ. ชวงของการประมาณสดสวนอยระหวาง 0.24 ถง 0.76

76


การประมาณคา (Estimation)

การประมาณคา เปนวธการทางสถตเชงอนมาน ทใชขอมลจากกลมตวอยาง เพอสรปเกยวกบคาพารามเตอร หรอสรปลกษณะของประชากร เชน ตองการทราบรายไดตอเดอนของประชากรในเขตกรงเทพมหานคร ถาสามารถสอบถามผทมรายไดทงหมดในเขตกรงเทพมหานคร แลวน าขอมลทไดมาค านวณ คาทค านวณไดจะเรยกวาเปนคา พารามเตอร แตในทางปฏบตการจะสอบถามผทมรายไดทงหมดนนเปนไปไดยาก จงอาจใชวธการสมตวอยาง หรอเลอกบางสวนมาเปนตวแทนของผทมรายไดทงหมดในเขตกรงเทพมหานคร เพอมาสอบถามรายไดตอเดอน คาค านวณทไดจากกลมตวอยางดงกลาวเรยกวา คาสถต ขอมลทไดจากตวยางขางตน สามารถน ามาประมาณรายไดตอเดอนของประชากรในเขตกรงเทพมหานครได

1. แบบการประมาณคา การประมาณคาแบงได 2 แบบดงน

1.1 การประมาณคาเฉลยของประชากร 1.2 การประมาณคาสดสวนของประชากร

การประมาณคาในแตละแบบ สามารถแบงออกเปน 2 ลกษณะ คอ การประมาณคาแบบจด (Point Estimation) และการประมาณคาชวง (Interval Estimation) การประมาณคาแบบจด (Point Estimation) หรอเรยกวาการประมาณคาเดยว เปนการค านวณหาคาสถตตวหนงจากขอมลตวอยาง แลวน าคาทไดไปเปนคาประมาณพารามเตอร เชน การใชคาเฉลยของตวอยาง ( x ) เปนตวประมาณคาเฉลยของพารามเตอรประชากร ( µ ) หรอการใชคาสดสวนของตวอยาง p เปนตวประมาณคาสดสวนของพารามเตอรประชากร (P)

ลกษณะทตองการทราบ คาสถต คาพารามเตอร คาเฉลย x µ

คาสดสวน p P

ตวอยางการประมาณคาแบบจด เชน การประมาณรายไดเฉลยตอเดอนของคนในเขตกรงเทพมหานคร ดวยการศกษาจากกลมตวอยางจ านวนหนงทมรายไดในเขตกรงเทพมหานคร ไดคาเฉลยรายไดตอเดอนเทากบ 4,700

77



บาท ( x = 4,700) กจะประมาณวาคนในเขตกรงเทพมหานคร มรายไดเฉลยตอเดอนประมาณ 4,700 บาท ( µ = 4,700 ) เชน การประมาณสดสวนของนกเรยนทจบชนมธยมศกษาปท 3 ของประเทศไทยและเรยนตอในสายอาชพ ดวยการศกษาจากนกเรยนทจบชนมธยมศกษาปท 3 จ านวนหนงได ไดสดสวนของผเรยนตอในสายอาชพเทากบ 0.55 ( p = 0.55) กจะประมาณวานกเรยนทจบชนมธยมศกษาปท 3 ของประเทศไทย และเขาศกษาตอในสายอาชพในสดสวน 0.55 ( P = 0.55 )

การประมาณคาแบบจด เปนคาประมาณคาคาเดยวทมโอกาสเทากบหรอไมเทากบคาพารามเตอรกได มโอกาสคลาดเคลอนจากคาพารามเตอรของประชากรสง จงไมนยมน ามาใชเพอประมาณคากนมากนก การหาคาประมาณแบบชวง (Interval Estimation) เปนการประมาณวาคาพารามเตอรของประชากร จะอยในชวงใดชวงหนง ทมคาอยระหวางคาสองคา คอ L = ขอบเขตต า (lower limit) และ U = ขอบเขตสง (upper limit) สมมตวาพารามเตอรทตองการประมาณในประชากรหนง คอ θ คาประมาณแบบเปนชวงของ θ น จะอยในชวง L < θ < U โดยใชขอมลจากกลมตวอยาง เชน รายไดเฉลยตอเดอนของคนในเขตกรงเทพมหานคร อยในชวง 3,500 ถง 5,500 นนคอ 3,500 < µ < 5,500 สดสวนของนกเรยนทจบชนมธยมศกษาปท 3 ของประเทศไทยและเรยนตอในสายอาชพ อยระหวาง 0.39 ถง 0.67 นนคอ 0.35 < p < 0.67

การประมาณคาแบบชวง จะใหคาครอบคลมคาพารามเตอรทเราตองการประมาณมากกวาการประมาณคาแบบจด และการประมาณคาแบบชวงสามารถบอกคาความนาจะเปนหรอเปอรเซนตของความเชอมนไดวาคาพารามเตอรทเราประมาณแบบชวงนน จะตองอยดวยความเชอมนเทานน

การประมาณคาแบบชวงจะกวางหรอแคบขนอยกบ 1. การกระจายของประชากร ถาประชากรมการกระจายมากชวงคาประมาณก

จะกวาง และถาประชากรมการกระจายนอยชวงคาประมาณจะแคบ 2. ระดบความเชอมน ถาระดบความเชอมนสงชวงการประมาณคากวาง และถา

ระดบความเชอมนต า ชวงของการประมาณคาจะแคบ

78


รปแสดงโคงปกตแสดงชวงของการประมาณคา

H 0 H0 H0

UL

t Z

แผนภาพท 4 คาประมาณแบบเปนชวงของ θ

2. การประมาณคาเฉลยของประชากร 2.1 การประมาณคาเฉลยของประชากรกลมเดยว 2.1.1 การประมาณคาแบบจด เปนการค านวณหาคาเฉลย

จากขอมลกลมตวอยาง ไมวาขอมลนนจะแจกแจงแบบใดกตาม โดยใชสตรการค านวณ ดงน

N

XN

1ii

μ

และ

n

xx

n

1ii

เมอ µ แทน คาเฉลยของประชากร x แทน คาเฉลยของตวอยาง xi แทน คาของลกษณะทสนใจในหนวย i N แทน ขนาดของประชากร n แทน ขนาดของตวอยาง

79


ตวอยางท 1 คะแนนทดสอบวชาสถตและการวางแผนการทดลองของนกศกษา จ านวน 12 คน ขอมลเปนดงน 16 19 15 14 13 11 13 8 12 17 16 14 จงหาคาประมาณคะแนนการสอบโดยเฉลยของนกศกษากลมน วธท า ให xi แทน คะแนนการสอบแตละคน

x = n

x12

1ii

= 12

14161712813111314151916

= 12168

= 14 ดงนน คาประมาณคะแนนสอบโดยเฉลยของนกศกษาเปน 14 คะแนน

ตวอยางท 2 สมผเขาสอบสมภาษณจ านวน 8 คน เพอวดจ านวนครงการเตนของหวใจ ไดขอมลดงน 80 76 79 77 71 74 76 81 (ครง/นาท) จงหาคาประมาณการเตนของหวใจโดยเฉลยของผเขาสอบสมภาษณในครงน วธท า ให xi แทน จ านวนครงการเตนของหวใจแตละคน

x = 8

x8

1ii

= 8

8176747177797680

= 8

614

= 76.75 ดงนน คาประมาณการเตนของหวใจเปน 76.75 ครง/นาท 2.1.2 การหาคาประมาณแบบชวง เปนการประมาณคาพารามเตอรของประชากร ทคาดวาจะมคาอยระหวางคาสองคา คอ L = ขอบเขตต า (lower limit) และ U = ขอบเขตสง (upper limit) สมมตวาพารามเตอรทตองการประมาณในประชากรหนง คอ θคาประมาณแบบเปนชวงของ θ น จะอยในชวง L < θ < U

80


การค านวณคา L และ U จะพจารณาได 3 กรณ ดงน

1. ประชากรมการแจกแจงปกต และทราบความแปรปรวนของประชากร 2. ประชากรมการแจกแจงแบบใดๆ ทไมทราบคาความแปรปรวนของประชากรและ

ขนาดตวอยางมขนาดใหญ 3. ประชากรมการแจกแจงปกตหรอใกลเคยงปกต ทไมทราบความแปรปรวนของ

ประชากร และขนาดตวอยางเลก

1. ประชากรมการแจกแจงปกต และทราบความแปรปรวนของประชากร เมอมการสมตวอยางขนาด n จากประชากรทมการแจกแจงปกตทมคาเฉลยเทากบ µ และความแปรปรวนเทากบ 2 จะไดคาเฉลยของตวอยางเทากบ x เมอตองการประมาณคาเฉลยของประชากร µ แบบชวง จะตองแปลงคา x ใหเปนคาปกตมาตรฐาน Z โดยท

Z =

n

xσ

μ

ระดบความเชอมน (1- )100% ทนยมใชในการประมาณคาสวนใหญมคาเปน 90% 95% และ 99% จะไดคาประมาณแบบชวงของคาปกตมาตรฐาน Z อยระหวาง

2

Z และ 2

Z ดงรป

2

2

1 -

2

Z2

-Z 0

แผนภาพท 5 คาประมาณแบบชวงปกตมาตรฐาน Z คาค านวณแบบชวงของการประมาณคา µ หาไดจากสตร

n.Zx

nZx

22

σ

αμ

σ

หรอ คาประมาณแบบชวงของ µ คอ n

.Zx

2

σ

α

81


ตวอยางท 3 จากคะแนนการเรยนวชาสถตและการวางแผนการทดลองของนกศกษา ในรอบ 3 ปทผานมา พบวา คะแนนมการแจกแจงปกต และมสาวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 10 คะแนน ในการเรยนภาคเรยนนจงสมนกศกษามา 20 คน เพอหาคะแนนเฉลยและพบวามคะแนนเฉลยเทากบ 63.5 คะแนน จงประมาณคะแนนเฉลยของนกศกษา ทระดบความเชอมน 90% วธท า จากโจทย พบวาประชากรมการแจกแจงปกต และทราบสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร และ = 10 , n = 20 , x = 63.5 , 1- = .90

2

2

1 -

0 1.645-1.645

จากสตรการประมาณคา

n.Zx

n.Zx

22

σμ

σ

αα

แทนคา จะได = 63.5 – 1.645. μ20

10 63.5 + 1.645.20

10

= 63.5 – 1.645(2.237) < μ < 63.5 + 1.645(2.237)

= 63.5 – 3.680 < μ < 63.5 + 3.680

= 59.82 < μ < 67.18

นกศกษามคะแนนเฉลยระหวาง 59.82 - 67.18 ทระดบความเชอมน 90%

ตวอยางท 4 น าหนกของนกเรยนมการแจกแจงปกต และมความแปรปรวนเทากบ 9 กโลกรม ถาสมนกเรยนมา 25 คน พบวามน าหนกเฉลย 47 กโลกรม จงประมาณน าหนกเฉลยของนกเรยนทงหมดทระดบความเชอมน 99% วธท า จากโจทย พบวาประชากรมการแจกแจงปกต และทราบความแปรปรวนของประชากร และ 2σ = 9 (แสดงวา σ = 3 ) , n = 25 , x = 47 , 1- = .99

2

2

1 -

0 2.575-2.575

82


จากสตรการประมาณคา n

.Zxn

.Zx σ

2

αμ

σ

2

α

แทนคา จะได = 47 – 2.575. μ253 47 + 2.575.

253

= 47 – 2.575 (0.6) < μ < 47 + 2.575 (0.6)

= 47 – 1.545 < μ < 47 + 1.545

= 45.455 < μ < 48.545

ดงนน นกเรยนมน าหนกเฉลยระหวาง 45.455 – 48.545 ทระดบความเชอมน 99%

2. ประชากรมการแจกแจงแบบใดๆ ทไมทราบคาความแปรปรวนของประชากรและขนาดตวอยางมขนาดใหญ (n 30)

ถาสมกลมตวอยางทมจ านวนมากหรอมขนาดใหญ จากประชากรทมการแจกแจงแบบใด ๆ (แจกแจงปกตหรอไมกได) คาเฉลยทได ( x ) จะมคาเขาใกลคา μ และเขาใกลการแจกแจงปกตเสมอ ดงนน ถาตองการประมาณคาเฉลยของประชากร μ แบบชวง ดวยการสมกลมตวอยางทมขนาดใหญ จงสามารถใชสถต Z ในการประมาณคาได ซงแบงออกเปน 2 กรณ คอ

1.1 กรณทราบความแปรปรวนของประชากร เมอทราบ 2σ และ n 30 ระดบความเชอมน (1- )100%

คาประมาณแบบชวง ค านวณจากสตร

n.Zx

n.Zx σ

2

αμ

σ

2

α


.Zx

2

σ

α

83


2.2 กรณไมทราบความแปรปรวนของประชากร

เมอไมทราบ 2σ และ n 30 จะใชความแปรปรวนของกลมตวอยางแทน (s2) หรอ (S.D..)2 คาประมาณของ 2σ ระดบความเชอมน (1- )100% คาประมาณแบบชวง ค านวณจากสตร

n

.Zxn

.Zx

2

μ

2

s

α

s

α


.Zx

2

s

α

2. กรณทขอมลแจกแจงความถ การหาคาเฉลยเลขคณต หาไดดงสตร ถา x1 , x2 , x3 , ….., xk เปนขอมล k จ านวน

และ f1 , f2 , f3 , ….., fk เปนจ านวนความถของขอมล k จ านวน จะได

N

xf

f

xfk

1iii

k

1ii

k

1iii

μ

(กรณขอมลมาจากทกหนวยของประชากร

μ = k321

kk332211f....fff

xf.....xfxfxf

หรอ n

xfx

n

1iii

(กรณขอมลมาจากกลมตวอยาง)

84


ตวอยางท 5 บรษทตองการตรวจสอบอายการใชงานของเครองซกผา จงสมตวอยางเครองซกผามา 32 เครอง เพอตรวจสอบอายการใชงาน พบวามอายการใชงาน 8 ป สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 2.5 ป จงประมาณอายการใชงานเฉลยของเครองซกผา ทระดบความเชอมน 95% วธท า จากโจทย พบวากลมตวอยางมขนาดมากกวา 30 และไมทราบความแปรปรวนของประชากร จงใช s2 ของตวอยางแทน และโจทยก าหนด n = 32 , x = 8 , s = 2.5 1- = .95

2

2

1 -

0 1.96-1.96


n.Zx

n.Zx

22

sμ

s

αα

แทนคา จะได = 8 – 1.96 μ32

2.5 8 + 1.9632

2.5

= 8 – 1.96 (0.44) < μ < 8 + 1.96 (0.44)

= 8 – 0.866 < μ < 8 + 0.866

= 7.134 < μ < 8.866

ดงนน เครองซกผามอายการใชงานเฉลยระหวาง 7.134 – 8.866 ป ทระดบความเชอมน 95%

ตวอยางท 6 สมตวอยางนกเรยนหญงวยรนมา 30 คน เพอวดความสง พบวา วนรนหญงมความสงเฉลย 155 เซนตเมตร และความแปรปรวนเทากบ 36 เซนตเมตร จงประมาณความสงเฉลยของนกเรยนวยรน ทระดบความเชอมน 90% วธท า จากโจทย พบวากลมตวอยางมขนาดเทากบ 30 และไมทราบความแปรปรวนของประชากร จงใช s2 ของตวอยางแทน และโจทยก าหนด n = 30 , x = 155 , s = 6 1- = .90

2

2

1 -

01.645-1.645

85


จากสตรการประมาณคา n

.Zxn

.Zx

22

sμ

s

αα

แทนคา จะได = 155 – 1.645 μ306 155 + 1.645

306

= 155 – 1.645 (1.095) < μ < 155 + 1.645 (1.095)

= 155 – 1.801 < μ < 155 + 1.801

= 153.199 < μ < 156.801 ดงนน นกเรยนวยรนหญงมสวนสงเฉลยระหวาง 153.199 – 156.801 เซนตเมตร ทระดบความเชอมน 90%

3. ประชากรมการแจกแจงปกตหรอใกลเคยงปกต ทไมทราบความแปรปรวนของประชากร และขนาดตวอยางเลก ( n < 30)

ถาประชากรมการแจกแจงปกตหรอใกลเคยงปกต และกลมตวอยางมขนาดเลก ( n < 30) คาเฉลยของกลมตวอยาง ( x ) จะมการแจกแจงแบบท ( t- Distribution) และมองศาของความเปนอสระ (Degree of freedom) เทากบ n-1 (df = n-1) และสตรทใชในการประมาณคาแบบชวง คอ

ns.tx

ns.tx

22

ααμ


s.tx

2

α

ระดบความเชอมน (1- )100% คาประมาณแบบชวงอยระหวาง

2

αt และ

2

αt ดงรป

2

2

1 -

0 t-t 2

2

แผนภาพท 6 คาประมาณแบบชวงปกตมาตรฐาน t

86


ตวอยางท 7 สมมตเวลาในการลงทะเบยนเรยนของนกศกษามการแจกแจงปกต ถาสมนกศกษามาจ านวน 25 คน พบวามเวลาเฉลยในการลงทะเบยน 25 นาท และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 8 นาท จงประมาณเวลาในการลงทะเบยนเฉลยของนกศกษา ทความเชอมน 95% วธท า โจทยก าหนด n = 25 , df = 25 -1 , x = 25 , s = 8 1- = .95

2

2

1 -

0 2.064-2.064


ns.tx

ns.tx

22

ααμ

แทนคา จะได = 25 – 2.064 μ258 25 + 2.064

258

= 25 – 2.064 (1.60) < μ < 25 + 2.064 (1.60)

= 25 – 3.302 < μ < 25 + 3.302

= 21.698 < μ < 28.302

ดงนน นกศกษาใชเวลาในการลงทะเบยนเรยนเฉลยระหวาง 21.698 – 28.302 นาท ทระดบความเชอมน 95%

87


ตวอยางท 8 ขอมลปรมาณน าในของภาคตะวนออกเฉยงเหนอในรอบ 10 ปทผานมา มการแจกแจงใกลเคยงปกต มคาเฉลย 8.5 นว สวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.45 นว จงประมาณคาเฉลยของปรมาณน าฝนในภาคตะวนออกเฉยงเหนอ ทระดบความเชอมน 99% วธท า โจทยก าหนด n = 10 , df = 10-1 , x = 8.5 , s = 0.45 1- = .99

2

2

1 -

0 3.250-3.250


ns.tx

ns.tx

22

ααμ

แทนคา จะได = 8.5 – 3.250 μ10

0.45 8.5 + 3.25010

0.45

= 8.5 – 3.250 (0.142) < μ < 8.5 + 3.250 (0.142)

= 8.5 – 0.462 < μ < 8.5 + 0.462

= 8.038 < μ < 8.962

ดงนน ภาคตะวนออกเฉยงเหนอมปรมาณน าฝนเฉลยระหวาง 8.038 – 8.962 นว ทระดบความ เชอมน 99%

88


ค าชแจง จงแสดงวธท าเพอหาค าตอบจากโจทยตอไปน

1. นกเรยน 15 คน เรยนรวธการจดดอกไม โดยใชเวลาในการเรยนคดเปนนาท แตกตางกน ดงน 12, 8, 15, 8, 6, 9, 12, 10, 8, 9, 11, 9, 11, 9 และ 13 จงประมาณคาเวลาเฉลยใน การเรยนรวธการจดดอกไมของนกเรยน (2 คะแนน) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………. 2. จากการสอบถามนกเรยน 10 คน เกยวกบจ านวนเงนทไดรบจากผปกครองในการมาเรยนตอวน ดงน 80, 120, 100, 130, 150, 200, 150, 120, 90 และ 120 จงประมาณคาจ านวนเงนเฉลยทไดรบตอวนของนกเรยน (2 คะแนน) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………….

แบบฝกหด 3.1

89


3. จากโจทย ขอ 1. จงประมาณคาแบบชวงของเวลาในการเรยนรการจดดอกไมของนกเรยน ทระดบความเชอมน 95% (3 คะแนน) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………. 4. ความสงเฉลยของนกศกษาชายในวทยาลยแหงหนงมการแจกแจงปกต มสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 2.7 นว จงสมนกศกษาชายในวทยาลยแหงนนมา 50 คน เพอวดสวนสง พบวามสวนสงเฉลย 69.7 นว จงประมาณคาแบบชวงความสงเฉลยของนกศกษาทระดบความเชอมน 90% (3 คะแนน) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………….

90


5. สมตวอยางโทรศพทมอถอยหอ A มา 45 เครอง พบวามอายการใชงานเฉลย 5 ป และมความแปรปรวนของอายการใชงาน 100 ชวโมง จงประมาณคาแบบชวงอายการใชงานเฉลยของโทรศพทมอถอยหอ A ทระดบความเชอมน 99% (3 คะแนน) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………….. 6. ขอมลเวลาทใชในการเปดบญชใหมของลกคามการแจกแจงปกต จงสมลกคาทมาเปดบญชใหมจ านวน 22 คน พบวาใชเวลาเฉลยในการเปดบญช 10 นาท สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 2 นาท จงประมาณคาเฉลยของเวลาทใชในการเปดบญชของลกคา ทระดบความเชอมน 95% (3 คะแนน) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

91


7. สมกาแฟยหอหนงมา 15 กระปอง เพอหาปรมาณสารคาเฟอน พบวามปรมาณสารคาเฟอนเฉลย 0.89 มลลกรม สวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.05 มลลกรม จงประมาณคาสารคาเฟอนเฉลยในกาแฟยหอน ทระดบความเชอมน 95% (3 คะแนน) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 8. อายการใชงานของหลอดไฟฟายหอหนง มการแจกแจงปกต มความแปรปรวนเทากบ 49 ชวโมง สมหลอดไฟฟามา 25 หลอด พบวามอายการใชงานเฉลย 800 ชวโมง จงประมาณคาการใชงานเฉลยของหลอดไฟฟา ทระดบความเชอมน 99% (3 คะแนน) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………….………………….

92


2.2 การประมาณคาผลตางคาเฉลยของประชากรสองกลม

เปนการศกษาเปรยบเทยบผลตางคาเฉลยของประชากรสองกลม เชน สนใจเปรยบเทยบคาเฉลยคะแนนสอบของนกเรยนสองกลม เพอพจารณาวากลมไหนมคะแนนดกวา หรอสนใจเปรยบเทยบอายการใชงานของรถยนตสองยหอ เพอพจารณาวารถยนตยหอไหนมาความคงทนในการใชงานนานกวา เปนตน

การประมาณคาผลตางคาเฉลยของประชากรสองกลม ม 2 แบบ คอ การประมาณคาผลตางคาเฉลยของสองประชากรแบบจด และ การประมาณคาผลตางคาเฉลยของสองประชากรแบบชวง

1. การประมาณคาผลตางคาเฉลยของสองประชากรแบบจด การประมาณคาผลตางคาเฉลยของสองประชากรแบบจด เขยนแทนดวย 2μ1μ

และการประมาณคาผลตางคาเฉลยของสองกลมตวอยางแบบจด เขยนแทนดวย 21 xx

เมอ 1μ เปนคาเฉลยของประชากรกลมทหนง และ 1x เปนคาเฉลยของตวอยางกลมทหนง

2μ เปนคาเฉลยของประชากรกลมทสอง และ 2x เปนคาเฉลยของตวอยางกลมทสอง

สตร 1

N

1ii

X

1 N

μ เมอ N1 คอ จ านวนประชากรกลมท 1 และ

1

n

1ii

1 n

xx

( n1 สมจาก N1 )

2

N

1ii

X

2 N

μ เมอ N2 คอ จ านวนประชากรกลมท 2 และ

2

n

1ii

2 n

xx

( n2 สมจาก N2 )

ตวอยางท 9 สมนกศกษามา 2 กลม เพอประมาณคาความแตกตางของคะแนนสอบเฉลยโดยสมกลมท 1 มาจ านวน 7 คน กลมทสองจ านวน 10 คน ดงขอมลตอไปน กลม 1. 15, 19, 10, 13, 16, 8, 16 กลม 2. 10, 17, 16, 12, 10, 16, 10, 14, 17, 13 วธท า ให

1x แทน คะแนนเฉลยของนกศกษากลมทหนง

2

x แทน คะแนนเฉลยของนกศกษากลมทสอง

1x =

71681613101915

= 797

= 13.86

93


2x =

1013171410161012161710

= 10135

= 13.50

21 xx = 13.86 – 13.5

= 0.36 ดงนน คาประมาณความแตกตางของคะแนนสอบเฉลยของนกเรยนสองกลม เปน 0.36 คะแนน

2. การประมาณคาผลตางคาเฉลยของสองประชากรแบบชวง การประมาณคาผลตางเฉลย 2μ1μ แบบชวง แบงเปน 3 กรณ ดงน

1. ประชากรทงสองกลมมการแจกแจงปกต และทราบความแปรปรวนของสองประชากร

2. ประชากรทงสองกลมมการแจกแจงแบบใดๆ ทไมทราบคาความแปรปรวนของสองประชากร และขนาดตวอยางทงสองกลมตางมขนาดใหญ

3. ประชากรทงสองกลมมการแจกแจงปกตหรอใกลเคยงปกต ทไมทราบความแปรปรวนของประชากร และกลมตวอยางมขนาดเลก

3.1 ทราบวาความแปรปรวนของสองประชากรเทากน 22σ

21σ

3.2 ทราบวาความแปรปรวนของสองประชากรไมเทากน 22σ

21σ

1. ประชากรทงสองกลมมการแจกแจงปกต และทราบความแปรปรวนของสองประชากร 2

1σ และ 22σ แทน ความแปรปรวนของประชากรกลมหนง และกลมสอง ผลตาง

คาเฉลยของกลมตวอยาง 21 xx จะมการแจกแจงปกต เมอแปลงใหเปนคามาตรฐาน Z ดงน

2

22

1

21

2121

nn

xxZ

σσ

μμ

ทระดบความเชอมน (1- )100% คาประมาณแบบชวงของ 21 μμ ค านวณจากสตร

94


2

22σ

1

21σ

2212μ1μ

2

22σ

1

21σ

221 nn

.Zxxnn

.Zxxαα

หรอ

2

22σ

1

21σ

221 nn

.Zxxα

ตวอยางท 10 สมตวอยางรถยนตทใชยางรถยนต ชนด A และ ชนด B มาชนดละ 100 คน เพอหาคณภาพของยางแตละชนด พบวายางชนด A แลนไดระยะทาง 25,400 ไมล ยางชนด B แลนไดระยะทาง 25,100 ไมล และพบวาระยะทางทแลนไดของยางรถยนตมการแจกแจงปกต ม สวนเบยงเบนมาตรฐาน ของชนด A เปน 100 ไมล ชนด B เปน 80 ไมล จงประมาณคาผลตางระยะทางเฉลยของยางรถยนตทงสองชนดทแลนได ทระดบความเชอมน 95% วธท า ยางรถยนตชนด A : n1 = 100 , 1x = 25,400 , 2

1σ = 1002

ยางรถยนตชนด B : n2 = 100 , 2x = 25,100 , 22σ = 802

เนองจากประชากรทงสองมการแจกแจงปกต และทราบ 2

1 , 2

2 ทระดบความเชอมน 95% การประมาณคาแบบชวงส าหรบ 2μ1μ คอ

2

22σ

1

21σ

2212μ1μ

2

22σ

1

21σ

221 nn

.Zxxnn

.Zxxαα

100

280100

21001.96.25,10025,400100

280100

21001.96.25,10025,400 2μ1μ

300 – 1.96 (12.806) 2μ1μ 300 + 1.96 (12.806)

300 – 25.099 2μ1μ 300 + 25.099

274.901 2μ1μ 325.099

ดงนน คาประมาณของผลตางระยะทางเฉลยในการแลนไดของยางรถยนตอยระหวาง 274.901 ถง 325.099 ไมล ทระดบความเชอมน 95%

95


2. ประชากรทงสองกลมมการแจกแจงแบบใดๆ และขนาดตวอยางทงสองกลมตางมขนาด

ใหญ (n1 30 , n2 30) ถาประชากรมขนาดใหญ และไมวาประชากรจะแจกแจงแบบใดกตาม แลว 21 xx ม

การแจกแจงโดยประมาณแบบปกต แบงได 2 กรณ ดงน 1. ทราบคา 2

1σ และ 22σ

2. ไมทราบคา 21σ และ 2

2σ

กรณ ทราบคา 21σ และ 2

2σ

สตรการประมาณคา 2μ1μ ทระดบความเชอมน (1- )100% คอ

2

22σ

1

21σ

2212μ1μ

2

22σ

1

21σ

221 nn

.Zxxnn

.Zxxαα

หรอ 2

22σ

1

21σ

221 nn

.Zxxα

กรณไมทราบคา 2

1 และ 2

2 ในกรณทประชากรมขนาดใหญ ไมวาประชากรจะแจกแจงแบบใดๆ กตาม และไมทราบความแปรปรวนของประชากร จงใช 2

1S เปนคาประมาณของ 21σ และใช 2

2S เปนคาประมาณของ 2

2σ สตรการประมาณคา 2μ1μ ทระดบความเชอมน (1- )100% คอ

2

22

1

21

22121

2

22

1

21

221 nn

.Zxxnn

.Zxxss

μμss

αα

หรอ

2

22

1

21

2

21 ns

ns

.Zxxα

96


ตวอยางท 11 ฟารมเลยงหม สมหมทมคณสมบตเหมอนกนมา 2 คอก คอกละ 30 ตว แลวใหกนอาหารทแตกตางกน โดยคอกแรกใหกนร ากบเศษขาว คอกทสองใหกนร าตมกบผก เลยงไวสามเดอน แลวมาชงน าหนก ผลปรากฏ ดงน

คอกท 1 คอกท 2 น าหนกเฉลย (กก.) 76 69

สวนเบยงเบนมาตรฐาน (กก.) 6.9 4.1

จงประมาณคาความแตกตางระหวางน าหนกของหมทงสองคอก ทระดบความเชอมน 90% วธท า คอกท 1 : n1 = 30 , 1x = 76 , 2

1s = 6.92

คอกท 2 : n2 = 30 , 2x = 69 , 22s = 4.12

เนองไมทราบ 21σ , 2

2σ และ n1 30 , n2 30 ทระดบความเชอมน 90% การประมาณคาแบบชวงส าหรบ 2μ1μ คอ

2

22

1

21

22121

2

22

1

21

221 nn

.Zxxnn

.Zxxss

μμss

αα

30

2(4.1)30

2(6.9)1.645.697630

2(4.1)30

2(6.9)1.6456976 2μ1μ

7 – 1.645 (1.442) 2μ1μ 7 – 1.645 (1.442)

7 – 2.372 2μ1μ 7 + 2.372

4.628 2μ1μ 9.372

ดงนน คาประมาณผลตางของน าหนกเฉลยหมสองคอกอยระหวาง 4.628 ถง 9.372 กโลกรม ทระดบความเชอมน 90%

3. ประชากรทงสองกลมมการแจกแจงปกตหรอใกลเคยงปกต ทไมทราบความแปรปรวนของประชากร และกลมตวอยางมขนาดเลก (n1 < 30 , n2 < 30)

3.1 ไมทราบ 21σ และ 2

2σ แตทราบวาความแปรปรวนของสองประชากรเทากน 22σ

21σ

กรณนไมทราบความแปรปรวนของสองประชากร ทราบเพยงวาความแปรปรวนของประชากรสองกลมเทากน กลมตวอยางมขนาดเลก จงมการแจกแจงแบบ t จงค านวณหาคาความแปรปรวนรวม (Pooled variance) 2

pS แทนคาประมาณความแปรปรวนของประชากร

( 22σ

21σ

2σ )

97


2pS =

2nn1)(n1)(n

21

22

S2

21

S1

เปดตารางคา t ท df = n1 + n2 – 2 สตรการประมาณคา 2μ1μ ทระดบความเชอมน (1- )100% คอ

21

pS

2

212μ1μ21

pS

2

21 n1

n1..txx

n1

n1.txx

αα

หรอ 21

pS

2

21 n1

n1.txx

α

ตวอยางท 12 ตองการเปรยบเทยบยอดขายสนคาแผนกตางๆ ของพนกงานในหางสรรพสนคา จงสมพนกงานขายมาสองแผนก คอ แผนกเครองเขยน จ านวน 10 คน และแผนกของใชในครวเรอน จ านวน 12 คน เพอสอบถามยอดขายเฉลยในรอบหนงเดอน พบวา แผนกเครองเขยน มยอดขายเฉลยตอเดอนเทากบ 5.8 ลานบาท สวนเบยงเบนมาตรฐาน 1 ลานบาท แผนกของใชในครวเรอน มยอดขายเฉลยตอเดอนเทากบ 3.9 ลานบาท สวนเบยงเบนมาตรฐาน 2.5 ลานบาท สมมตวาตวอยางทสมมานนมากจากประชากรทมการแจกแจงปกต และมความแปรปรวนเทากน จงประมาณคาความแตกตางยอดขายเฉลยของพนกงานทงสองแผนก ทระดบความเชอมน 90% วธท า แผนกเครองเขยน : n1 = 10 , 1x = 5.8 , 2

1s = 12

แผนกของใชในครวเรอน : n2 = 12 , 2x = 3.9 , 22

s = 2.52

เนองจากไมทราบความแปรปรวนของประชากร ทราบแตวาความแปรปรวนเทากน และ กลมตวอยางมขนาดเลก ((n1 < 30 , n2 < 30)

สตรการประมาณคา 21 μμ ทระดบความเชอมน (1- )100% คอ

21

pS

2

21 n1

n1.txx

α

2pS =

22nn 1)(n 1)(n

1

22

S2

21

S1

98


= 21210

1)(2.5)(121)(1)(10 22

= 20(11)(6.25)(9)(1)

= 2068.759

= 20

77.75

= 3.88 pS = 3.88

= 1.97 df = n1 + n2 – 2 = 10 + 12 – 2 = 20

ชวงการประมาณคา = 121

1017)1.725.(1.93.95.8

= 1.9 ± 1.725. (1.97).(0.423)

= 1.9 ± 1.437 = 0.463 2μ1

μ 3.337

ดงนน ความแตกตางในยอดขายเฉลยของสองแผนกอยระหวาง 0.463 ถง 3.337 ลานบาททระดบความเชอมน 90%

3.2 ไมทราบ 21σ และ 2

2σ แตทราบวาความแปรปรวนของสองประชากรไมเทากน 2

2σ21σ

กรณนไมทราบความแปรปรวนของสองประชากร ทราบเพยงวาความแปรปรวนของประชากรสองกลมไมเทากน จงใช 2

1S และ 22S แทนตวประมาณคา 2

1σ และ 22σ และกลมตวอยางมขนาด

เลก จงมการแจกแจงแบบ t ทม df = โดย

=

1n

nS

1n

nS

nS

nS

2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

99


สตรการประมาณคา 2μ1μ ทระดบความเชอมน (1- )100% คอ

2

22

1

21

ν2

212μ1μ2

22

1

21

ν2

21 nS

nS

..

txxnS

nS

..

txxαα

หรอ 2

22

1

21

ν2

21 nS

nS

.txxα

ตวอยางท 13 ฟารมเลยงหม ทดลองอาหารส าหรบการเลยงหม 2 ชนด คอ เลยงดวยร ากบเศษขาว จ านวน 8 ตว เลยงดวยร าตมกบผก จ านวน 6 ตว เวลาผานไปสามเดอน ไดขอมล ดงน

ร ากบเศษขาว ร าตมกบผก น าหนกเฉลย (กก.) 80 76

ความแปรปรวน (กก.)2 6.5 4.1

ถาน าหนกของหมทกนหารทงสองชนดน มการแจกแจงปกต และมความแปรปรวนไมเทากน จง ประมาณคาความแตกตางระหวางน าหนกของหมทกนอาหารตางกน ทระดบความเชอมน 99% วธท า อาหารร ากบเศษขาว : n1 = 8 , 1x = 80 , 2

1s = 6.5

อาหารร าตมกบผก : n2 = 6 , 2x = 76 , 22

s = 4.1

เนองไมทราบ 21σ , 2

2σ และ n1 < 30 , n2 < 30 ทราบเพยงวา 22σ

21σ

ทระดบความเชอมน 99% การประมาณคาแบบชวงส าหรบ 2μ1μ คอ

2

22

1

21

ν2

21 nS

nS

.txxα

100


=

1n

nS

1n

nS

nS

nS

2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

=

166

4.1

188

6.56

4.18

6.5

22

2

= 0.182.22

= 12.33 12

ดงนน df = 12 12

2.

tα

= 3.055

2

22

1

21

ν2

21 nS

nS

.txxα

= 6

4.18

6.53.0557680

= 4 ± 3.055 (1.22)

= 4 ± 3.727 = 0.27 2μ1

μ 7.727

ดงนน คาประมาณผลตางของน าหนกเฉลยหมทกนอาหารตางกนอยระหวาง 0.27 ถง 7.727 กโลกรม ทระดบความเชอมน 99%

101


ค าชแจง จงแสดงวธท าเพอหาค าตอบจากโจทยตอไปน

1. สมนกเรยนชน ปวช.1 แผนกบญชของวทยาลยแหงหนงมา 2 กลม กลมละ 10 คน เพอท าการทดสอบการพมพดดบทความ โดยก าหนดเวลาให 1 นาท จงประมาณคาความแตกตางคาเฉลยแบบจดของจ านวนพยญชนะทพมพผด ดงขอมลตอไปน (2 คะแนน) กลม 1. 9, 11, 8, 13, 12, 15, 7, 16, 14, 10 กลม 2. 10, 17, 16, 12, 10, 16, 9, 14, 7, 13 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………….………………….. 2. จากขอ 1 สมมตวาตวอยางทงสองทได มาจากประชากรทมการแจกแจงปกต ซงมคาความแปรปรวนเทากน จงประมาณคาความแตกตางคาเฉลยแบบชวงของจ านวนพยญชนะทพมพผด ทระดบความเชอมน 90% (3 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..


102


3. สมอาหารกระปองมา 2 ชนด เพอตรวจหาปรมาณสารกนบด โดยสมอาหารกระปองชนด A มา 35 กระปอง พบวามสารกนบดเฉลย 0.89 มลลกรม สวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.05 มลลกรม และ สมอาหารกระปองชนด B มา 30 กระปอง พบวามสารกนบดเฉลย 0.77 มลลกรม สวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.09 มลลกรม จงประมาณคาผลตางปรมาณสารกนบดเฉลยของอาหารกระปองทงสองชนด ทระดบความเชอมน 95% (3 คะแนน) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 4. เกษตรกรปลกขาวโพด 2 ชนด ในแปลงทดลองขนาด 1 ไร โดยปลกขาวโพดชนดท 1 ในแปลงทดลอง 15 แปลง ไดผลผลตขาวโพดเฉลย 270 กโลกรมตอไร ความแปรปรวนเทากบ 25 กโลกรมและปลกชนดท 2 ในแปลงทดลอง 12 แปลง ไดผลผลตขาวโพดเฉลย 247 กโลกรมตอไร ความแปรปรวนเทากบ 16 กโลกรม สมมตวาพนธขาวโพดทงสองชนดนมการแจกแจงปกต และมคาความแปรปรวนไมเทากน จงประมาณคาความแตกตางของผลผลตเฉลยทไดจากขาวโพดทงสองชนดน ทระดบความเชอมน 99% (3 คะแนน)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

103


…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. สมมตวาผลผลตทไดจากการเยบผาของชางเยบผาชายและชางเยบผาหญงมการแจกแจงปกต มความแปรปรวนของผลผลตทไดเทากน คอ 49 ชน สมตวอยางชางเยบผชายมา 8 คน พบวามผลผลตเฉลย 80 ชน สมตวอยางชางเยบผหญงมา 15 คน พบวามผลผลตเฉลย 68 ชน จงประมาณผลตางระหวางผลผลตเฉลยทไดจากชางเยบผาชายและชางเยบผาหญง ทระดบความเชอมมน 90% (3 คะแนน) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

104


3. การประมาณคาสดสวนของประชากร

3.1 การประมาณคาสดสวนของประชากรกลมเดยว การประมาณคาสดสวนของประชากรจะใชกบขอมลเชงคณภาพทไมสามารถหา

คาเฉลยได และประชากรจะมการแจกแจงแบบทวนาม เชน คณภาพของสนคา ความสนใจในการเลอกใชสนคา เปนตน

การประมาณคาสดสวนของประชากร ม 2 แบบ คอการประมาณคาสดสวนของประชากรแบบจด และการประมาณคาสดสวนของประชากรแบบชวง

1. การประมาณคาสดสวนของประชากรกลมเดยวแบบจด จะแบงลกษณะของประชากรออกเปน 2 กลม คอ ลกษณะประชากรทสนใจและลกษณะประชากรทไมสนใจ ให p เปนสดสวนของประชากรทสนใจศกษา q เปนสดสวนของประชากรทไมสนใจศกษา โดยท q = 1 – p หรอ p + q = 1 เนองจากไมทราบ p ของประชากร จงใช p ซงเปนสดสวนของตวอยาง แทนการประมาณสดสวนของประชากร p = จ านวนตวอยางทมลกษณะสนใจ

จ านวนตวอยางทงหมด

หรอ p = nx

ตวอยางท 14 จากการสอบถามแมบาน 50 คน เกยวกบการใชน ายาลางจานยหอ A และ B พบวา แมบานใชน ายาลางจานยหอ A จ านวน 38 คน จงประมาณสดสวนของแมบานทใชน ายาลางจานยหอ B วธท า ให p เปนตวประมาณสดสวนของผใชน ายาลางหองน ายหอ B p = จ านวนตวอยางทมลกษณะสนใจ

จ านวนตวอยางทงหมด

= 5012

= 0.24 นนคอ คาประมาณสดสวนแบบจดของแมบานทใชน ายาลางจานยหอ B เทากบ 0.24 หรอ 24 %

105


2. การประมาณคาสดสวนของประชากรกลมเดยวแบบชวง การสรางความเชอมน p ขนอยกบการแจกแจงของประชากร ตวประมาณของ p จะ

ใช p ซง p มคาอยระหวาง 0 ถง 1 และ ถาประชากรมการแจกแจงปกต คา p จะมคาไมใกล 0 และ 1 เกนไป

ให p เปนคาประมาณของ p

และ p มคาเฉลยเทากบ p และมคาความแปรปรวนเทากบ N

p)p(1

เนองจากไมทราบคา p จงใช p ในการหาความแปรปรวน

ดงนน ความแปรปรวน = n

)p(1p ˆˆ

เมอ n มขนาดใหญ p มการแจกแจงปกต จะไดคาประมาณสดสวนแบบชวง ดงสตร ตอไปน

n

) p(1 p.zp pn

) p(1 p.zp

22

ˆˆˆ

ˆˆˆ

αα

หรอชวงของคาประมาณของ p ทระดบความเชอมน %100)1( คอ

n

) p(1 p.zp

2

α

ˆˆˆ

หรอ สามารถประมาณคาสดสวนของประชากร ไดอกแบบจากสตร

nqp.zp p

nqp.zp

22

ˆˆˆ

ˆˆˆ

αα เมอ q = p1 ˆ

หรอ nqp.zp

2

α

ˆˆˆ

106


ตวอยางท 15 จากการสอบถามแมบาน 50 คน เกยวกบการใชน ายาลางจานยหอ A และ B พบวา แมบานใชน ายาลางจานยหอ A จ านวน 38 คน จงประมาณสดสวนแบบชวงของแมบานทใชน ายาลางจานยหอ A ทระดบความเชอมน 90% วธท า ให p เปนสดสวนของแมบานทใชน ายาลางจานยหอ A

p = nx

= 5038

= 0.76 ดงนน สดสวนการประมาณคา คอ

2

2

1 -

01.645-1.645

สตรการประมาณคาสดสวน = n

) p(1 p.zp p n

) p(1 p.zp

22

ˆˆˆ

ˆˆˆ

αα

= 50

0.76)0.76(11.645.0.76p50

0.76)0.76(11.645.0.76

= 50

0.76(0.24)1.645.0.76p50

0.76(0.24)1.645.0.76

= 50

0.18241.645.0.76p50

0.18241.645.0.76

= 60)1.645.(0.00.76p60)1.645.(0.00.76

= 0.0330.76p0.0330.76

= 0.793p0.727

ดงนน สดสวนของแมบานทใชน ายาลางจานยหอ A อยระหวาง 0.727 ถง 0.793 ทระดบความเชอมน 90%

107


ตวอยางท 16 สมชาวนาในจงหวดอดรธานมา 100 คน พบวาเปนหนธนาคาร ธกส. จ านวน 60 คน จงประมาณชวงความเชอมน 95% ของสดสวนชาวนาในจงหวดอดรธานทเปนหนธนาคาร ให p เปนวดสวนของชาวนาทเปนหน

p = nx

= 10060

= 0.60 และ p = 1 – 0.6 = 0.40 ดงนน การประมาณคาสดสวนของประชากร คอ

2

2

1 -

01.96-1.96

P = nqp.zp

2

α

ˆˆˆ

P = 0.60 ± 1.96100

(0.6)(0.4)

= 0.60 ± 0.096

= 0.504 ถง 0.696

ดงนน สดสวนชาวนาในจงหวดอดรธานทเปนหน ธกส. อยในชวง 0.504 - 0.696 ทระดบความความเชอมน 95%

3.2 การประมาณคาผลตางสดสวนของประชากรสองกลม เปนการเปรยบเทยบผลตางสดสวนของประชากรสองกลม เชน ตองการเปรยบเทยบ

ผลตางระหวางสดสวนของนกศกษาชายและนกศกษาหญงทชอบดการแขงขนฟตบอล เปนตน ก าหนดให 1p แทนลกษณะตวอยางทสนใจ จากประชากรกลมท 1 n1 แทนจ านวนตวอยางทสนใจ จากประชากรกลมท 1

108


สตร 1

p = 1

1inx

และ 2

p แทนลกษณะตวอยางทสนใจ จากประชากรกลมท 2

n2 แทนจ านวนตวอยางทสนใจ จากประชากรกลมท 2

สตร 2

p = 2

2inx

การประมาณคาผลตางสดสวนของประชากรสองกลม ม 2 แบบ คอ การประมาณคาผลตางสดสวนของประชากรสองกลมแบบจด และการประมาณคาผลตางสดสวนของประชากรสองกลมแบบชวง

1. การประมาณคาผลตางสดสวนของประชากรสองกลมแบบจด สดสวนของประชากร 2 กลม แทนดวย p1 และ p2 ตามล าดบ การ

ประมาณคาผลตางสดสวนของประชากรแบบจดของประชากรสองกลม คอ p1 – p2 และการประมาณคาผลตางของกลมตวอยางสองกลม คอ

1p -

2p เมอ

1p แทนลกษณะตวอยางทสนใจ

จากประชากรกลมท 1 และ 2

p แทนลกษณะตวอยางทสนใจจากประชากรกลมท 2

ในทางปฏบตการประมาณคาสดสวนของประชากรแบบจด จะตองใชกลมตวอยางทมขนาดใหญในการศกษา

ตวอยางท 17 ตองการประมาณคาความแตกตางระหวางสดสวนนกเรยนวยรนชายตอนกเรยนวยรนหญงในการชอบดฟตบอล จงสมนกเรยนวนรนชายและหญงมาจ านวน 120 คน และ 150 คน ตามล าดบ นกเรยนวยรนชายชอบดฟตบอล 90 คน นกเรยนวยรนหญงชอบดฟตบอล 60 คน วธท า

p ชาย = 12090 = 0.75

p หญง = 15060 = 0.40

p ชาย - p หญง = 0.75 – 0.40 = 0.35

ดงนน คาประมาณผลตางสดสวนการชอบดฟตบอลของนกเรยนวยรนชายและนกเรยนวยรนหญงเปน 0.35

109


2. การประมาณคาผลตางสดสวนของประชากรสองกลมแบบชวง

ให P1 แทนสดสวนประชากรในกลมท 1 P2 แทนสดสวนประชากรในกลมท 2

1p แทนลกษณะตวอยางทสนใจ จากประชากรกลมท 1


2p แทนลกษณะตวอยางทสนใจ จากประชากรกลมท 2


1p -

2p แทนการแจกแจงผลตางของสดสวนกลมตวอยางสองกลม ซงใชแทนการประมาณ

สดสวนเฉลยของประชากรทมการแจกแจงปกต คอ P1 – P2 และมความแปรปรวนเทากบ

2

22

1

11nqp

nqp ˆˆˆˆ

เมอ q = p1 ˆ

ดงนน ชวงของคาประมาณของ p1 – p2 ทระดบความเชอมน %100)1( คอ

2

22

1

11.

2

21 n)p(1p

n)p(1p

z)pp(α

ˆˆˆˆˆˆ

หรอ 2

22

1

11

2

21 nqp

nqp

.z)pp(α

ˆˆˆˆˆˆ

ตวอยางท 18 จากการสอบถามนกศกษาชายและหญงทจบในระดบ ปวส. วาตองการศกษาตอในระดบปรญญาตรหรอไม โดยสอบถามนกศกษาชายจ านวน 125 คน และนกศกษาหญง 103 คน พบวา นกศกษาชายเรยนตอจ านวน 83 คน นกศกษาหญงเรยนตอ 80 คน จงประมาณคาผลตางสดสวนของนกศกษาชายและหญงทเรยนเขาศกษาตอในระดบปรญญาตร ทระดบความเชอมน 90%

วธท า สดสวนนกศกษาชายทเรยนตอ 1

p = 12583 = 0.66

1–1

p = 1 – 0.67 = 0.34

สดสวนนกศกษาหญงทเรยนตอ 2

p = 10380 = 0.77

1–2

p = 1 – 0.77 = 0.23

ระดบความเชอมน %100)1( = 90%

110


2

= 0.05

Z0.05 = ±1.645 ชวงของคาประมาณของ p1 – p2 ทระดบความเชอมน %100)1( คอ

2

22

1

11

2

21 nqp

nqp

.z)pp(α

ˆˆˆˆˆˆ

= 125

0.66(0.34)103

0.77(0.23)1.6450.66)(0.77

= 0.11 ±1.645 1250.22

1030.18

= 0.11 ±1.645 (0.063)

= 0.11± 0.104

= 0.11 – 0.104 < p1 – p2 < 0.11 + 0.104 = 0.006 < p1 – p2 < 0.214 ดงนน ผลตางสดสวนของนกศกษาชายและนกศกษาหญงทศกษาตอในระดบปรญญาตร อย

ระหวาง 0.006 ถง 0.214

111


ค าชแจง จงแสดงวธท าเพอหาค าตอบจากโจทยตอไปน 1. วทยาลยแหงหนงตองการจดครไปศกษาดงานในภาคเรยนฤดรอน จงส ารวจความตองการของครทงหมด 205 คน พบวามครสนใจไปศกษาดงานจ านวน 156 คน จงประมาณคาสดสวนแบบจดและแบบชวงของครทสนใจไปศกษาดงาน ทระดบความเชอมน 99% (3 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………….2. จากโจทยขอ 1 ถามครผชายทงหมด 123 คน และครชายสนใจไปศกษาดงานจ านวน 85 คน ทเหลอเปนครหญง จงประมาณคาผลตางสดสวนแบบจดและแบบชวงของครชายและครหญงทสนใจไปศกษาดงานทระดบความเชอมน 95% (3 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


112


3. สมตรวจคณภาพเครองยนต ของรถยนต 2 ยหอ คอยหอ A และ ยหอ B ทมอายการใชงาน 3 ถง 5 ป พบวายหอ A เคยเขารบบรการซอมเครองยนต จ านวน 63 คน จากทงหมด 200 คน ยหอ B เคยเขารบบรการซอมเครองยนต จ านวน 40 คน จากทงหมด 160 คน (3 คะแนน) 3.1 จงประมาณผลตางสดสวนของการเขาซอมเครองยนตของรถยนต 3.2 จงประมาณผลตางสดสวนของการเขาซอมเครองยนต ทระดบความเชอมมน 90% ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. โรงพยาบาลแหงหนงตรวจสขภาพผสงวยทมอาย 60 ป ขนไป เพอหาปรมาณน าตาลในเลอด พบวา เพศหญงจ านวน 70 คน มปรมาณน าตาลในเลอดเกนเกณฑทก าหนดจ านวน 37 คน และเพศชายจ านวน 50 คน มปรมาณน าตาลในเลอดเกนเกณฑทก าหนดจ านวน 22 คน จงประมาณผลตางสดสวนของคนทมน าตาลในเลอดเกนเกณฑทก าหนด ทระดบความเชอมน 95% (3 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

113


ค าชแจง ขอสอบปรนยมจ านวน 10 ขอ ใหนกศกษาเลอกค าตอบทถกทสดเพยงค าตอบเดยว

1. ขอใดตอไปนถกตอง

ก. การประมาณคา เปนคาเฉลยทค านวณไดจากกลมประชากร

ข. สมชายคาดคะเนวาจะไดเกรด 4 ในวชาสถตและการวางแผนการทดลอง ถอวาเปนการประมาณคา

ค. สมหญงมคาใชจายรายวนโดยเฉลย 250 บาท ถอวาเปนการประมาณคา

ง. การประมาณคาทดตองอาศยหลกการและเหตผล

จ. การประมาณคาทดมโอกาสเปนไปไดมากกวา 50%

2. ระดบความเชอมนในการประมาณคา หมายความวาอยางไร

ก. ระดบความนาเชอถอของขอมลทน ามาประมาณคา

ข. ระดบความนาเชอถอของการประมาณคาทถกตอง

ค. ระดบหรอโอกาสทจะเกดความผดพลาดในการประมาณคา

ง. ระดบหรอโอกาสในการเลอกขอมลมาประมาณคาแลวเกดความถกตอง

จ. ความนาจะเปนในการสรปคาการประมาณคาทถกตอง

3. ชวงของการประมาณคาจะกวางหรอแคบ ขนอยกบปจจยใด

ก. ระดบความเชอมน

ข. ขนาดของกลมตวอยาง

ค. การกระจายของขอมล

ง. แหลงของขอมล

จ. ขอ ก และ ขอ ค ถกตองทสด

114

แบบทดสอบหลงเรยน


4. การประมาณคาในขอใดทเกดความผดพลาดนอยทสด

ก, การประมาณคาทระดบความเชอมน 90%

ข. การประมาณคาท = .05

ค. การประมาณคาท = .01

ง. การประมาณคาท = .10

จ. การประมาณคาท = .005

5. ขอใดกลาวผด

ก. ชวงของการประมาณคากวาง โอกาสของการผดพลาดในการประมาณคาจะมาก

ข. X แทนการประมาณคาเฉลย

ค. p แทนการประมาณคาสดสวน

ง. การประมาณคาเฉลยแบบชวงจะอยระหวาง L < µ < U

จ. ระดบความเชอมนสง ชวงของการประมาณคาจะกวาง

6. ขอมลตอไปน เปนคาใชจายตอเดอนของนกศกษาระดบปรญญาตร จ านวน 10 คน 4500, 6000, 5000, 5500, 7000, 4500, 6000, 6500, 6000, 8000 ขอใดสรปถกตอง

ก. นกศกษากลมนสวนใหญมคาใชจายโดยประมาณ 6,000 บาท

ข. คาเฉลยเทากบ 5900 บาท ถอวาเปนการประมาณคาแบบจด

ค. คาใชจายระหวาง 4500 – 8000 บาท ถอเปนเปนการประมาณคาแบบจด

ง. การประมาณคาแบบชวงในขอน ไมสามารถท าได ถาไมก าหนดระดบความเชอมน

จ. ค าตอบทถกตองทสดคอ ขอ ข และ ง

7. วทยาลยแหงหนงตองการจดนกศกษาไปทศนศกษาในภาคเรยนฤดรอน จงส ารวจความตองการของนกศกษาทงหมด 300 คน พบวาสนใจไปทศนศกษาจ านวน 256 คน จงประมาณคาสดสวนแบบจดของนกศกษาทไปทศนศกษาในครงน

ก. 256

ข. 44

115


ค. 1.172

ง. 0.853

จ. 0.172

8. ขอมลปรมาณน าในของภาคตะวนออกเฉยงเหนอในรอบ 10 ปทผานมา มการแจกแจงใกลเคยงปกต มคาเฉลย 8.5 นว สวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.45 นว ถาตองการประมาณคาทระดบความเชอมน 90% ขอใดถกตอง

ก. สถตทใชประมาณคาคอ t-test

ข. เปดตารางท df = 10

ค. μ = 8.5

ง. = 0.45

จ. คาจากการเปดตารางเทากบ 1.96

9. สมนกศกษามา 2 กลม เพอประมาณคาความแตกตางของคะแนนสอบเฉลย ดงขอมลตอไปน กลม 1. 15, 19, 10, 13, 16, 8, 16 กลม 2. 10, 17, 16, 12, 10, 16, 10, 14, 17, 13 ขอใดตอไปนถกตอง

ก. คาเฉลยคะแนนสอบกลมท 1 เทากบ 13.50 ข. คาเฉลยคะแนนสอบกลมท 2 เทากบ 13.86 ค. คาประมาณความแตกตางของคะแนนเฉลยสองกลมเทากบ 0.36 ง. คาประมาณทไดอยระหวาง 13.50 ถง 13.86 จ. นกเรยนกลมท 2 มคาเฉลยของคะแนนสงกวากลมท 1

10. จากการสอบถามแมบาน 50 คน เกยวกบการใชน ายาลางจานยหอ A และ B พบวา แมบานใชน ายาลางจานยหอ A จ านวน 38 คน ถาตองประมาณสดสวนแบบชวงของแมบานทใชน ายาลางจานยหอ B ทระดบความเชอมน 90% ขอใดถกตอง

ก. คา Z ของการเปดตารางเทากบ 1.645 ข. ชวงของการประมาณสดสวนอยระหวาง 0.24 ถง 0.76 ค. สดสวนของคนทใชยาลางจานยหอ B เทากบ 0.76 ง. สดสวนของคนทใชยาลางจานยหอ A เทากบ 0.24 จ. คาประมาณความแตกตางสดสวนของการใชน ายาลางจานสองกลมเทากบ 0.52

116

หน่วยที่ 3 -...

Documents