ตวับ่งปริมาณ · 4.1...
TRANSCRIPT
บทท 4
ตวบงปรมาณ
ในบทนจะให
แทนเซตของจ านวนเตม
+ แทนเซตของจ านวนเตมบวก
แทนเซตของจ านวนนบ
แทนเซตของจ านวนตรรกยะ
+ แทนเซตของจ านวนตรรกยะบวก
แทนเซตของจ านวนจรง
+ แทนเซตของจ านวนจรงบวก
ขอความตอไปนเรามกใชกนอยเสมอ
“นสตทกคนในมหาวทยาลยเกษตรศาสตรแตงกายเรยบรอย”
“สามเหลยมดานเทาทกรปเปนสามเหลยมหนาจว”
“สามเหลยมหนาจวบางรปเปนสามเหลยมดานเทา”
“แตละจ านวนเตม x จะไดวา 0x2 ”
ค าวา “ทกๆ” “ทงหมด” “แตละ” และ ค าวา “บาง” เรยกวา ตวบงปรมาณ
(quantifier) พบวาประโยคบางประโยคไมเปนประพจน เชน
06x5x2
จะเหนวาประโยคขางบนเกยวของกบตวแปร x เราจงเรยกประโยคขางบนวา ประโยคเปดหรอขอความฟงกชน
บทนยาม 4.1 ประโยคเปดหรอขอความฟงกชน (open statement or predicate) คอประโยคซงมสมบตตอไปน
1. ประกอบดวยตวแปรตงแตหนงตวขนไป
2. ไมใชประพจน
3. จะเปนประพจนเมอแทนคาตวแปรทปรากฏอยท งหมดดวยคาบางคาในเอกภพ สมพทธ
รศ. นงนช สขวาร ภาควชาคณตศาสตร มหาวทยาลยเกษตรศาสตร --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
ตวอยาง 4.1 1. 06x5x2 เปนประโยคเปดทม x เปนตวแปรอสระและใช
สญลกษณเหมอนเปนฟงกชน เขยนแทนดวย
06x5x:)x(p 2
หมายถง “p(x) แทนขอความ 06x5x2 ” และเมอแทนคา x ดวยจ านวนใด
จ านวนหนง แลวจะท าใหประโยคเปดนเปนประพจน เชน 06)1(5)1(:)1(p 2 เปนประพจนทมคาความจรงเปนเทจ
06)2(52:)2(p 2 เปนประพจนทมคาความจรงเปนจรง
2. 22 y6xy5x เปนประโยคเปดทม x และ y เปนตวแปรอสระและ
เขยนแทนดวย
22 y6xy5x:)y,x(p
ถาแทน y ดวย 2 ได 22 26x10x:)2,x(p เปนประโยคเปดทม x เปนตวแปรอสระ
ถาแทน x ดวย 1 ได 22 y6y51:)y,1(p เปนประโยคเปดทม y เปนตวแปรอสระ
แตถาแทนคาทง x และ y ในประโยคเปด p(x, y) กจะไดประพจน เชน 22 26)2)(1(51:)2,1(p เปนประพจนทมคาความจรงเปนเทจ
22 16)1)(10(510:)1,10(p เปนประพจนทมคาความจรงเปนจรง
ประพจนบงปรมาณทมตวแปรเพยงตวเดยว
พจารณาประพจนประโยคเปดทมตวแปรเพยงตวเดยว เชน
06x5x2
เมอใสตวบงปรมาณเขาไปแลวจะท าใหประโยคเปดนนกลายเปนประพจน เชน
ส าหรบทกจ านวนจรง x, 06x5x2 เปนเทจ
ส าหรบบางจ านวนจรง x, 06x5x2 เปนจรง
มจ านวนจรง x เพยงจ านวนเดยวซงท าให 06x5x2 เปนเทจ
เรยกประพจนทมตวบงปรมาณ วา ประพจนบงปรมาณ แบงตวบงปรมาณออกเปน 2 แบบ คอ
คณตตรรกศาสตรเบองตน ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3
แบบท 1 ตวบงปรมาณทงหมด (universal quantifier)
ในประโยคจะมค าวา “ส าหรบทก” หรอ “ส าหรบทงหมด” หรอ “ส าหรบแตละ”
(for every or for all or for each) หรอวลในท านองเดยวกนน เขยนแทนดวยสญลกษณ “ ”
ถา p(x) เปนประโยคเปด และ D เปนเอกภพสมพทธของ x ขอความตอไปน เขยนแทนกนได
ส าหรบทก x ใน D, p(x)
ส าหรบแตละ x ใน D, p(x)
ส าหรบ x ทกตวใน D, p(x)
ส าหรบ x แตละตวใน D, p(x)
เขยนแทนดวยสญลกษณ
)x(p,Dx หรอ )]x(p[Dx
หรออาจละเอกภพสมพทธไวในกรณทไมสบสนเกยวกบเอกภพสมพทธโดยเขยนอยในรป
)x(p,x หรอ )]x(p[x
ตวอยาง 4.2 ประพจนบงปรมาณตอไปนมความหมายเหมอนกน
จ านวนเตมทกจ านวนเปนจ านวนตรรกยะ ส าหรบทก x, ถา x เปนจ านวนเตม แลว x เปนจ านวนตรรกยะ ส าหรบแตละ x, ถา x เปนจ านวนเตม แลว x เปนจ านวนตรรกยะ จ านวนเตมแตละจ านวนเปนจ านวนตรรกยะ
เขยนอยในรปสญลกษณไดเปน
x,x x หรอ x[,x x ]
หรอ x x
ขอสงเกต ขอความในต าราคณตศาสตรทงทเปนทฤษฎบทและบทนยามสวนมากจะละตวบงปรมาณ “ ” ไวใหผอานเขาใจเอง เชน
“ถา x เปนจ านวนเตมแลว x เปนจ านวนตรรกยะ” “ 1xcosxsin 22 ”
ขอความทงสองละตวบงปรมาณ “ ” และละเอกภพสมพทธของ x ซงคอ เซตของจ านวนจรงไว นนคอ ขอความแรกหมายถง
“ส าหรบทกจ านวนจรง x, ถา x เปนจ านวนเตมแลว x เปนจ านวนตรรกยะ”
ขอความทสองหมายถง
รศ. นงนช สขวาร ภาควชาคณตศาสตร มหาวทยาลยเกษตรศาสตร --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4
“ส าหรบทกจ านวนจรง x, 1xcosxsin 22 ”
พจารณาขอความ
“ถา BA และ CB แลว CA ”
นนคอ ขอความนละตวบงปรมาณ “ ” ไว ขอความดงกลาวหมายถง “ส าหรบทกเซต A, B และ C ใด ๆ ทเปนเซตยอยของเอกภพสมพทธ จะไดวา
ถา BA และ CB แลว CA ”
แบบท 2 ตวบงปรมาณมอยางนอยหนง (existential quantifier)
ในประโยคจะมค าวา “ส าหรบบาง” หรอ “ส าหรบอยางนอยหนง” หรอ “มอยางนอยหนง” (for some or there exist) เขยนแทนดวย “ ”
ถา p(x) เปนประโยคเปด และ D เปนเอกภพสมพทธของ x ขอความตอไปนเขยนแทนกนได ส าหรบบาง x ใน D, p(x)
ม x อยางนอยหนงตวใน D, p(x)
ม x ใน D , p(x)
เขยนแทนดวยสญลกษณ
)x(p,Dx หรอ )]x(p[Dx
หรออาจละเอกภพสมพทธไวโดยเขยนอยในรป
)x(p,x หรอ )]x(p[x
ตวอยาง 4.3 ประพจนบงปรมาณตอไปนมความหมายเหมอนกน
มจ านวนตรรกยะอยางนอยหนงจ านวนทเปนจ านวนเตม มจ านวนบางจ านวนเปนจ านวนตรรกยะและเปนจ านวนเตม ส าหรบบาง x, x เปนจ านวนตรรกยะและเปนจ านวนเตม เขยนอยในรปสญลกษณไดเปน
x,x x หรอ x[x x ]
ขอสงเกต มกใชตวเชอม “และ” ในประโยคทมตวบงปรมาณ
นอกจากนยงมตวบงปรมาณทเฉพาะเจาะจงลงไปอก คอ “ มเพยงหนงเดยวเทานน ”
หรอ “ มเพยงหนง ” (there exists a unique) เขยนแทนดวยสญลกษณ “ ! ”
เชน
คณตตรรกศาสตรเบองตน ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5
“มจ านวนเตม x เพยงจ านวนเดยวเทานน ซง 72x ”
เขยนแทนดวยสญลกษณได x! , 72x
ตวอยาง 4.4 ตวอยางของประพจนทอยในรปขอความและรปสญลกษณ
1. ถาให A แทนเซตของสามเหลยมดานเทา และ B แทนเซตของสามเหลยมหนาจวประพจน : สามเหลยมดานเทาทกรปเปนสามเหลยมหนาจว
สญลกษณ : ]BxAx[x
ประพจน : สามเหลยมหนาจวบางรปเปนสามเหลยมดานเทา สญลกษณ : ]AyBy[y
2. ประพจน : แตละจ านวนเตม x จะไดวา 0x2
สญลกษณ : x , 0x2 หรอ x[x ]0x2
3. ประพจน : ม x เพยงจ านวนเดยวเทานนซง x + 3 = 5
สญลกษณ : 53x,x!
4. ประพจน : มจ านวนเตมบวกบางจ านวน ซง x2 = 5
สญลกษณ : x +, 5x2
คาความจรงของประพจนบงปรมาณทมตวเพยงแปรเดยว
บทนยาม 4.2 ประพจน )x(p,Dx มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ ในการแทนท x
ดวยสมาชก a ทกตวใน D แลวท าให p(a) มคาความจรงเปนจรง ประพจน )x(p,Dx มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ มสมาชก a อยางนอย
หนงตวในเซต D ซงท าให p(a) มคาความจรงเปนจรง ประพจน )x(p,Dx มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ มสมาชก b บางตวใน
D ทท าให p(b) เปนเทจ ประพจน )x(p,Dx มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอแทน x ดวยสมาชก b
ทกตวใน D แลวท าให p(b) เปนเทจ
รศ. นงนช สขวาร ภาควชาคณตศาสตร มหาวทยาลยเกษตรศาสตร --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6
ตวอยาง 4.5 ให D = {1, 2, 3, 4} และ S = {-1, 0, 1, 2} p(x) : x < 3
จงพจารณาคาความจรงของประพจนบงปรมาณตอไปน 1. )x(p,Dx 2. )x(p,Sx
3. )x(p,Dx 4. )x(p,Sx
วธท า 1. เนองจาก p(3) เปนเทจ โดยบทนยาม 4.2 ไดวา )x(p,Dx เปนเทจ
2. เนองจาก p(-1), p(0), p(1) และ p(2) เปนจรง นนคอ )2(p)1(p)0(p)1(p เปนจรง
โดยบทนยาม 4.2 ไดวา )x(p,Sx เปนจรง
3. เนองจาก p(2) เปนจรง นนคอ )4(p)3(p)2(p)1(p เปนจรง โดยบทนยาม 4.2 ไดวา )x(p,Dx เปนจรง
4. เนองจาก p(-1) เปนจรง โดยบทนยาม 4.2 ไดวา )x(p,Sx เปนจรง
5. เนองจาก p(3), p(4), p(5) เปนเทจ นนคอ )5(p)4(p)3(p เปนเทจ โดยบทนยาม 4.2 ไดวา )x(p,Sx
ขอสงเกต 1. ถาให }x,...,x,x{D n21 แลวจะไดวา
)x(p,Dx เปนจรง )x(p...)x(p)x(p n21 เปนจรง
)x(p,Dx เปนจรง )x(p...)x(p)x(p n21 เปนจรง
2. ถาเอกภพสมพทธ D แลวจะไดวา )x(p,Dx เปนจรง แต )x(p,Dx เปนเทจเสมอ
ตวอยาง 4.6 จงหาคาความจรงของประพจนตอไปน 1. 91x1,}8,6,4,2,0{x
2. x , xx2
3. x , 104x
4. 3x,}3,2,1,0{x
วธท า
คณตตรรกศาสตรเบองตน ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7
นเสธของประพจนบงปรมาณทมตวแปรเพยงตวเดยว
ตอไปเราจะหานเสธของขอความ )x(p,Dx และ )x(p,Dx เพราะใน
บางครงเรากจ าเปนตองใชนเสธของประพจนบงปรมาณในการหาคาความจรงของประพจนบงปรมาณดวย
จากบทนยาม 4.2 กลาววา ถา )x(p,Dx เปนเทจ แลวตองมสมาชก x
บางตวใน D ทท าให p(x) เปนเทจ ดงนนได )x(p~,Dx)]x(p,Dx[~
ดวยเหตผลท านองเดยวกน เราจงไดนเสธของประพจนบงปรมาณ ดงบทนยามตอไปน บทนยาม 4.3 )x(p~,Dx)]x(p,Dx[~
)x(p~,Dx)]x(p,Dx[~
ตวอยาง 4.7 จงหานเสธของขอความตอไปน
1. ขอความ : )x(q)x(p,Dx
นเสธ : )]x(q)x(p,Dx[~
))x(q)x(p(~,Dx (บทนยาม 4.3)
)x(q~)x(p~,Dx (เดอรมอแกน)
2. ขอความ : )]x(p,x[)]x(q~,x[
นเสธ : ])]x(p,x[)]x(q~,x[[~
])]x(p,x[~)]x(q~,x[ (T12 ขอ ข.)
)]x(p~,x[~)]x(q~,x[ (บทนยาม 4.3)
3. ขอความ : )]x(r)x(q)x(p[x
นเสธ :
รศ. นงนช สขวาร ภาควชาคณตศาสตร มหาวทยาลยเกษตรศาสตร --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8
เนอหาการพสจน
4. ขอความ : ส าหรบ x ทกตวทอยในเซต A จะท าให 5)x(f
สญลกษณ :
นเสธ :
ขอความ :
5. ขอความ : มจ านวนบวก y ซงท าให 1yg0
สญลกษณ :
นเสธ :
ขอความ :
การพสจนประพจนบงปรมาณทมตวแปรเพยงตวเดยว
จากบทนยาม 4.2 ไดวาประพจน )x(p,Dx เปนจรง กตอเมอ แทนท x
ดวยสมาชก a ทกตวใน D แลวท าให p(a) เปนจรง และประพจน )x(p,Dx เปนจรง
กตอเมอ แทนท x ดวยสมาชก a บางตวใน D แลวท าให p(a) เปนจรง ส าหรบกรณทเซต D มสมาชกไมมาก เราอาจใชวธแทนท x ดวยสมาชก a แตละ
ตว แลวพจารณาวา p(a) เปนจรงหรอไม ดงทไดแสดงในตวอยาง 4.6 แตคงไมสะดวกหรอท าไมไดในกรณท D เปนเซตทมสมาชกจ านวนมากหรออนนตตว ปญหาคอแลวเราจะแสดงไดอยางไรจงจะสามารถแทนท x ดวยสมาชก a ทกตวในเซต D ไดทงหมด ในกรณเชนน
การพสจนวาประพจนบงปรมาณเปนจรงท าไดดงน
การพสจนวาประพจน )x(p,Dx เปนจรง เรมตนโดยการสมมตให x เปน
สมาชกใด ๆ ในเซต D ซงหมายถง x เปนสมาชกใน D ทตรง (fixed) และแทนสมาชกตวใดกได (arbitrary) ในเซต D น แลวใหเหตผลในทางตรรกศาสตรเพอแสดงวา p(x) เปนจรง มโครงรางการพสจน ดงน
การพสจน )x(p,Dx เปนจรง
พสจน สมมตวา x เปนสมาชกใด ๆ ในเซต D
เพราะฉะนน p(x)
นนคอ )x(p,Dx
คณตตรรกศาสตรเบองตน ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9
เนอหาการพสจน
ตวอยาง 4.10 จงพสจนวา x , 1x3x3x)1x( 233
พสจน ให x เปนจ านวนจรงใด ๆ ดงนนได
23 )1x)(1x()1x(
)1x2x)(1x( 2
1x3x3x 23
นนคอ x , 1x3x3x)1x( 233
การพสจนวาประพจน )x(p,Dx เปนจรง เรมตนโดยการเลอก a ทเปนสมาชก
ในเซต D ตวใดตวหนงอยางนอยหนงตวทท าให p(a) เปนจรง มโครงรางการพสจน ดงน
การพสจน )x(p,Dx เปนจรง
พสจน เลอก x = a ซงเปนสมาชกในเซต D
เพราะฉะนน p(a)
นนคอ )x(p,Dx
ตวอยาง 4.11 จงพสจนวา x , 03x2x2
พสจน เลอก 1x ซงเปนจ านวนเตม จะไดวา 3)1(213x2x 22
0
นนคอ x , 03x2x2
จากบทนยาม 4.2 ไดวาประพจน )x(p,Dx เปนเทจ กตอเมอ มสมาชก b
บางตวใน D ทท าให p(b) เปนเทจ และประพจน )x(p,Dx เปนเทจ กตอเมอ
แทน x ดวยสมาชก b ทกตวใน D แลวท าให p(b) เปนเทจ ดงนนส าหรบการแสดงวาประพจน )x(p,Dx หรอ ประพจน )x(p,Dx เปนเทจนน เราจะพสจนวานเสธ
ของประพจนดงกลาวเปนจรงแทน ดงตวอยางตอไปน
รศ. นงนช สขวาร ภาควชาคณตศาสตร มหาวทยาลยเกษตรศาสตร --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
10
ตวอยาง 4.12 จงพจารณาวา ทกจ านวนจรง x จะท าให xx2 เปนจรงหรอไมพรอมพสจนค าตอบ พสจน เขยนอยในรปสญลกษณไดเปน
ตวอยาง 4.13 จงพจารณาวา มบางจ านวนจรง x จะท าให 01xx2 เปนจรงหรอไมพรอมพสจนค าตอบ พสจน เขยนอยในรปสญลกษณไดเปน
คณตตรรกศาสตรเบองตน ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
11
การสมมลกนของประพจนบงปรมาณทมตวแปรเพยงตวเดยว
ตวอยาง 4.13 ให }5,4,3,2,1{D
p(x) แทนขอความ 4x q(x) แทนขอความ 4x
จงหาคาความจรงของ 1. )x(p,Dx
2. )x(q,Dx
3. )]x(p,Dx[ )]x(q,Dx[ )]x(q)x(p[Dx
4. )]x(q)x(p[Dx )]x(p,Dx[ )]x(q,Dx[
พสจน
ขอสงเกต จากตวอยาง 4.13 จะเหนวา ประพจนบงปรมาณ )]x(q)x(p[Dx กบ )]x(p,Dx[ )]x(q,Dx[ ใชแทนกนไมได
นนคอ )]x(q)x(p[Dx ไมสมมลกบ )x(p,Dx )]x(q,Dx[
หรออาจกลาวไดวาไมสามารถแจกแจง “ ” เขาไปในตวเชอม “ ” ได ท าไมจงเปนเชนนได
รศ. นงนช สขวาร ภาควชาคณตศาสตร มหาวทยาลยเกษตรศาสตร --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
12
ให }2,1{D พจารณาประพจน )]x(q)x(p[Dx
หมายถง )]2(q)2(p[)]1(q)1(p[ (4.1)
แตประพจน
[ )x(p,Dx ] )]x(q,Dx[
หมายถง )]2(q)1(q[)]2(p)1(p[ (4.2)
จะเหนวาประพจน (4.1) ไมสมมลกบประพจน (4.2) เนองจากการสลบอนดบของ “ ” กบ “ ” จะไดประพจนทตางกน
ดวยเหตผลท านองเดยวกน จะไดประพจน
)]x(q)x(p[Dx ไมสมมลกบ )]x(p,Dx[ )]x(q,Dx[
)]x(q)x(p[Dx ไมสมมลกบ )]x(p,Dx[ )]x(q,Dx[
การสมมลของประพจนบงปรมาณทมตวแปรเดยว
ทฤษฎบท 4.1 ให )x(p และ )x(q เปนประพจนใด ๆ จะไดวา 1. )]x(q)x(p[Dx )]x(p,Dx[ )]x(q,Dx[
2. )]x(q)x(p[Dx )]x(p,Dx[ )]x(q,Dx[
3. )]x(p,Dx[ )]x(q,Dx[ )]x(q)x(p[Dx
4. )]x(q)x(p[Dx )]x(p,Dx[ )]x(q,Dx[
5. )]x(q)x(p[Dx )]x(p,Dx{[ )]}x(q,Dx[
หมายเหต ส าหรบขอ 3. หมายความวา ถา )]x(p,Dx[ )]x(q,Dx[ เปนจรง
แลวจะท าให )]x(q)x(p[Dx เปนจรงดวย
แตในทางกลบกน ถา )]x(q)x(p[Dx เปนจรง แลว
)]x(p,Dx[ )]x(q,Dx[ อาจเปนเทจได
คณตตรรกศาสตรเบองตน ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
13
แบบฝกหด 4.1 1. จงเขยนประโยคตอไปนในรปสญลกษณทางตรรกศาสตร
1.1 ทกจ านวนค n จะมจ านวนเตม k ซงท าให n = 2k
1.2 ส าหรบทกสมาชก y ทอยใน B จะมสมาชก x ทอยใน A ซงท าให y = f(x)
1.3 ส าหรบแตละ x ทอยในโดเมนของ f และทก 0 จะม 0 ซงท าให
ไดวา ถา cx แลว Lxf
1.4 ส าหรบแตละสมาชก x ทอยใน G จะมสมาชก x ทอยใน G ซงท าให
exx
1.5 ถาทกจ านวนเตมเปนจ านวนค แลวจะไดวาทกจ านวนเตมเปนจ านวนค
2. จงหานเสธของขอ 1.
3. จงพสจนทฤษฎบท 4.1 ขอ 2. ขอ 3. และขอ 5.
4. จงยกตวอยางคานเพอแสดงใหเหนวาประพจนบงปรมาณตอไปนเปนเทจ 4.1 )]x(q)x(p[Dx )]x(p,Dx{[ )]}x(q,Dx[
4.2 )]x(p,Dx{[ )]}x(q,Dx[ )]}x(q)x(p[Dx{
4.3 )]x(p,Dx{[ )]}x(q,Dx[ )]}x(q)x(p[Dx{
5. จงหาคาความจรงประพจนตอไปนพรอมพสจนค าตอบ
5.1 x , 34x2
5.2 x , 34x2
5.3 x )]xx()01x2x[( 22
5.4 x , 020xx2
5.5 x , 12x3
5.6 ( x , xx2 ) x( , 03xx2
5.7 x , )01x20x(
5.8 x , )01x( 2 x , 5x2x4 2
รศ. นงนช สขวาร ภาควชาคณตศาสตร มหาวทยาลยเกษตรศาสตร --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
14
ประพจนบงปรมาณทมตวแปรมากกวาหนงตว
ขอความทางคณตศาสตรหลายขอความทเกยวของกบตวบงปรมาณมากกวาหนงตว เชน
ส าหรบทกจ านวนนบ x จะมจ านวนเตม y ทท าให xyx 22
ทกจ านวนจรงบวก จะมจ านวนจรงบวก ซง ส าหรบทกจ านวนจรง x ถา 2x แลวจะได x2x2
พจารณาประพจนบงปรมาณดงกลาว จะเหนวามตวบงปรมาณซอนกนอย เขยนอยในรปสญลกษณได ดงน x y , xyx 22
+ + x , 2x x2x2
ตามล าดบ
ตวบงปรมาณทใชก ากบในประพจนบงปรมาณตองมจ านวนเทากบจ านวนตวแปรอสระทปรากฏในประโยคเปด และในการหาคาความจรงและการพสจนประพจนบงปรมาณพจารณาในท านองเดยวกนกบประพจนทมตวบงปรมาณเพยงตวเดยว
ตวอยาง 4.15 ตวอยางของประพจนทอยในรปขอความและรปสญลกษณ
1. ขอความ : ส าหรบทกจ านวนเตม x และ y ใดๆ จะไดวา 0yx
สญลกษณ : x y , 0yx
หรอ y,x , 0yx
2. ขอความ : มจ านวนเตม x และ y บางจ านวนทท าให 0yx
สญลกษณ : x y , 0yx
หรอ y,x , 0yx
3. ขอความ : ไมวา x จะเปนจ านวนเตมใด ๆ จะมจ านวนเตม y
อยางนอยหนงจ านวนทท าให x + y = 0
สญลกษณ : x y , 0yx
คณตตรรกศาสตรเบองตน ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
15
4. ขอความ : มจ านวนเตม y อยางนอยหนงจ านวนซงท าให x + y = 0 ส าหรบจ านวนเตม x ทกจ านวน
สญลกษณ :
5. ขอความ : ถา Nn แลว 3)x(f)x(fn ทก x ทอยในเซต A
สญลกษณ :
6. ประพจน : ทกจ านวนจรงบวก M จะมจ านวนจรงบวก N ซง M
1N
สญลกษณ :
พจารณาประพจนบงปรมาณทมสองตวแปร และตวบงปรมาณทงสองตวตางกน คอ )y,x(p,TySx
ประพจนน สมมลกบ
)]y,x(p,Ty[Sx
ถาให }2,1{S และ }4,3{T เราจะใชความหมายของตวบงปรมาณ “ ” กอนดงน )]y,2(p,Ty[)]y,1(p,Ty[
แลวจงใชความหมายของตวบงปรมาณ “ ” ไดประพจนทสมมลกน คอ )]4,2(p)3,2(p[)]4,1(p)3,1(p[ (4.3)
ตอไปพจารณาในท านองเดยวกนส าหรบประพจน )y,x(p,SxTy
สมมลกบประพจน
])y,x(p,Sx[Ty
เราจะใชความหมายของตวบงปรมาณ “ ” กอนไดประพจนทสมมลกน คอ )]4,x(p,Sx[])3,x(p,Sx[
แลวจงใชความหมายของตวบงปรมาณ “ ” จะไดประพจนทสมมล คอ )]4,2(p)4,1(p[])3,2(p)3,1(p[ (4.4)
พจารณา (4.3) และ (4.4) จะเหนวาประพจนทงสองไมสมมลกน เนองจากถาให )4,1(p และ )3,2(p เปนจรงทงค
)3,1(p และ )4,2(p เปนเทจทงค
จะไดวา ประพจน (4.3) เปนจรง แตประพจน (4.4) เปนเทจ นนคอ ประพจน )y,x(p,TySx กบ )y,x(p,SxTy ไมสมมลกน
รศ. นงนช สขวาร ภาควชาคณตศาสตร มหาวทยาลยเกษตรศาสตร --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
16
ดงนนผเรยนตองระมดระวงเปนอยางมากในการสลบอนดบของตวบงปรมาณ เนองจากถาพจารณาไมรอบคอบแลวใชเพยงความรสกโดยไมใชหลกในการใหเหตผลทถกตองจะดเหมอนวาประพจนทงสองนใชแทนกนได แตในความเปนจรงแลวประพจนทงสองมความหมายตางกนมาก โดยพจารณาดงน
ถาประพจน )y,x(p,TySx เปนจรง หมายความวา ส าหรบแตละ x
ใน S จะตองม y0 อยางนอยหนงตวใน T ทท าให p(x, y0) เปนจรง ในกรณน y0 จะขนกบ x
ส าหรบประพจน )y,x(p,SxTy จะเปนจรง เมอม y0 บางตวใน T ท
ส าหรบ x ทกตวใน S จะท าให p(x, y0) เปนจรง ในกรณน y0 จะไมขนกบ x เพอใหเขาใจยงขน พจารณาตวอยางตอไปน
ให S = T เปนเซตของคนทงหลายและ p(x, y) แทนขอความ y เปนพอของ x
ดงนนประพจน
)y,x(p,TySx
หมายถง “ไมวา x จะเปนใครกตามจะตองมคนอยางนอยหนงคนคอ y ซง y เปนพอของ x”
หรอ กลาวไดอกแบบวา “คนทกคนตองมพอ” (แตละคนอาจมพอคนเดยวกนหรอตางกนกได) ซงเปนประพจนทเปนจรง ในขณะทประพจน
)y,x(p,SxTy
หมายถง “มคนอยางนอยหนงคนซงเปนพอของคนทกคนรวมถงตวเองดวย” ซงเปนเทจ จากตวอยางน จะเหนไดชดวาประพจนทงสองมความหมายทตางกน
ถาสมมตใหประพจน )y,x(p,SxTy เปนจรง จะไดวา ประพจน
)y,x(p,TySx เปนจรงดวย นนคอ
)y,x(p,SxTy )y,x(p,TySx เปนจรงเสมอ
แตในกรณกลบ ถาประพจน )y,x(p,TySx เปนจรง แลวไมจ าเปนวาประพจน
)y,x(p,SxTy จะเปนจรงดวย
จากตวอยาง 4.15 ไดวา ขอความ 3. อยในรป x y , 0yx เปนจรง แต
ขอความ 4. อยในรป y x , 0yx เปนเทจ
ดงนนไดขอสรป คอ ถาประพจน )y,x(p,TySx เปนจรง แลวประพจน
)y,x(p,SxTy อาจไมเปนจรงดวย นนคอ
)y,x(p,TySx )y,x(p,SxTy เปนเทจ
คณตตรรกศาสตรเบองตน ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
17
ขอสงเกต จากกฎการสลบทเปนจรงส าหรบตวเชอม กบ ท าใหแสดงไดวาสามารถสลบอนดบของสองตวบงปรมาณทเปนแบบเดยวกนได ดงนนสรปไดวา
1. )y,x(p,SxTy)y,x(p,TySx
2. )y,x(p,SxTy)y,x(p,TySx
3. )]y,x(p,TySx[)]y,x(p,SxTy[
นเสธของประพจนบงปรมาณทมตวแปรมากกวาหนงตว
นยามในท านองเดยวกบนเสธของประพจนบงปรมาณทมตวแปรเดยว
)y,x(p~,TySx)]y,x(p,TySx[~
)y,x(p~,TySx)]y,x(p,TySx[~
)y,x(p~,TySx)]y,x(p,TySx[~
)y,x(p~,TySx)]y,x(p,TySx[~
)z,y,x(p~,WzTySx)]z,y,x(p,WzTySx[~
ตวอยาง 4.16 จงเขยนประพจนบงปรมาณตอไปนใหอยในรปสญลกษณ และหานเสธทงในรปสญลกษณและในรปขอความ
1. ขอความ : มจ านวนจรง x บางจ านวนทส าหรบทกจ านวนจรง y ท าให 222 yxyx
สญลกษณ : x y , 222 yxyx
หรอ 222 yxyx,yx
นเสธ : 222 yxyx,yx
2. ขอความ : มจ านวนจรง x และ y บางตวซง x = 2y
สญลกษณ : y2x,yx
นเสธ : y2x,yx
3. ขอความ : ส าหรบจ านวนเตม x, y และ z ใด ๆ จะท าให
(x + y) + z = x + (y + z)
สญลกษณ : นเสธ :
รศ. นงนช สขวาร ภาควชาคณตศาสตร มหาวทยาลยเกษตรศาสตร --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
18
4. สญลกษณ : y,x , )0y0x()0xy(
นเสธ :
5. สญลกษณ : N0 n ])x(f)x(f,SxNn[ n
นเสธ :
การพสจนประพจนบงปรมาณทมตวแปรมากกวาหนงตว
ตวอยาง 4.17 จงหาคาความจรงของประพจนบงปรมาณตอไปนพรอมทงพสจนค าตอบ
1. }2,1{x }2,1{y yxx,
2. xyyx,yx 2
3. yx},2,1,0{y}1,0,1{x
4. 333 xyxy,yx
5. y,x ]xyyx[ 22
6. y,x , yxyx
7. 0y2xy3x,xy 22
8. 0y2xy3x,yx 22
9. zzyx,zyx
10. ]53x251x1[00
คณตตรรกศาสตรเบองตน ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
19
แบบฝกหด 4.2
1. ให p(x, y) : x + 2 > y จงหาคาความจรงของประพจนบงปรมาณ
ตอไปน พรอมพสจนค าตอบ
1.1 x y , y,xp
1.2 x y , y,xp
1.3 x y , y,xp
1.4 x y , y,xp
2. จงพสจนวาขอความตอไปนเปนเทจโดยยกตวอยางคาน
2.1 x y ]yxyx[ 22
2.2 x y ]yxyx[
2.3 x - {0} y - {0} ]yxyx[ 22
2.4 x y ]0yx0y0x[
2.5 ทกจ านวนเตมบวก n จะไดวา 13nn2 เปนจ านวนเฉพาะ
3. จงพจารณาวาขอความตอไปนเปนจรงหรอเปนเทจ พรอมพสจนค าตอบ
3.1 x y ]1yx[
3.2 x y , 1yx
3.3 x y ]yxy[
3.4 x - {0} y ]xxy[ x y ]yx[
3.5 y,x +
])2xy
xy()0y3xy10x3()yx([ 22
3.6 x y , 2yx34x2
3.7 b,a - {0},
ba
ba+ -
b
1
a
1+
3.8 x1z y , x(y + z) = xyz
3.9 x y , 1x2y 2
รศ. นงนช สขวาร ภาควชาคณตศาสตร มหาวทยาลยเกษตรศาสตร --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
20
3.10. x y , 1x2y 2
3.11 x y , 1x2y 2
3.12 x y , 1x2y 2
3.13 x y , xyx
3.14 y,x z , z = 2x – 3y
3.15 x y , 9x
y
3.16 x y , 1xy
3.17 x y , 1xy
3.18 c,b,a x , 0cbxax2
4. จงพสจนวา ทกจ านวนจรง z ซง z > 3 จะมจ านวนจรงบวก x และ y ซงไมเทากน ทท าให
y2
3y2
x2
3x2z
22