เฉลยแบบฝึกหัด calculus 2 เจษฎา ห่อไพศาล...
TRANSCRIPT
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 2 เจษฎา ห่อไพศาล (พีแ่บงค)์ www.clipvidva.com
17
แบบฝึกหัด 4.3
1. จงหาอนุพนัธ์ยอ่ยของฟังกช์นัต่อไปน้ี
1.1. 4 4f(x, y) 3xy 4x y
วธิีท ำ fx(x, y) = 4 4(3xy 4x y )x
= 4
4x x3y 4yx x
= 3 43y 16x y
fy(x, y) = 4 4(3xy 4x y )y
= 4
4y y3x 4xy y
= 4 33x 16x y
1.2. 3 23f(x, y) 1 cos (x y)
วธิีท ำ fx(x, y) = 3 23( 1 cos (x y) )x
= 3 223 2 3
1 (1 cos (x y))x3(1 cos (x y))
= 2 2
223 2 3
3cos (x y) (cos(x y))x3(1 cos (x y))
= 2 2 2
223 2 3
3cos (x y)sin(x y) (x y)x3(1 cos (x y))
= 2 2 2
23 2 3
2xy cos (x y)sin(x y)
(1 cos (x y))
fy(x, y) = 3 23( 1 cos (x y) )y
= 3 223 2 3
1 (1 cos (x y))y3(1 cos (x y))
= 2 2
223 2 3
3cos (x y) (cos(x y))y3(1 cos (x y))
= 2 2 2
223 2 3
3cos (x y)sin(x y) (x y)y3(1 cos (x y))
= 2 2 2 2
23 2 3
x cos (x y)sin(x y)
(1 cos (x y))
1.3. f(x, y) ln(sec x y )
วธิีท ำ fx(x, y) = (ln(sec x y ))x
= 1 (sec x y )xsec x y
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 2 เจษฎา ห่อไพศาล (พีแ่บงค)์ www.clipvidva.com
18
= sec x y tan x y ( x y )xsec x y
= 1 tan x y (x y)x2 x y
= tan x y2 x y
fy(x, y) = (ln(sec x y ))y
= 1 (sec x y )ysec x y
= sec x y tan x y ( x y )ysec x y
= 1 tan x y (x y)y2 x y
= tan x y2 x y
1.4. x yf(x, y) x y
วธิีท ำ fx(x, y) = x y( )x x y
= 2
(x y) (x y) (x y) (x y)x x(x y)
= 2x y x y
(x y)
= 22y
(x y)
fy(x, y) = x y( )y x y
= 2
(x y) (x y) (x y) (x y)y y(x y)
= 2x y x y
(x y)
= 22x
(x y)
1.5. 2 2f(x, y) x y sin(xy)
วธิีท ำ fx(x, y) = 2 2(x y sin(xy))x
= 2 2x (y sin(xy))x x
= 22x y sin(xy)x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 2 เจษฎา ห่อไพศาล (พีแ่บงค)์ www.clipvidva.com
19
= 22x y cos(xy) (xy)x
= 32x y cos(xy)
fy(x, y) = 2 2(x y sin(xy))y
= 2
2x (y sin(xy))y y
= 2
2 sin(xy) yy sin(xy)y y
= 2 (xy)y cos(xy) 2y sin(xy)y
= 2xy cos(xy) 2y sin(xy)
1.6. 2 3x y 5 4f(x, y) 4e cos(x y )
วธิีท ำ fx(x, y) = 2 3x y 5 4(4e cos(x y ))x
= 2 3x y 5 44 (e ) (cos(x y ))x x
= 2 3x y 2 3 4 5 4 54e (x y ) y sin(x y ) (x )x x
= 2 33 x y 4 4 5 48xy e 5x y sin(x y )
fy(x, y) = 2 3x y 5 4(4e cos(x y ))y
= 2 3x y 5 44 (e ) (cos(x y ))y y
= 2 3x y 2 3 5 4 5 44e (x y ) sin(x y ) (x y )y y
= 2 32 2 x y 5 3 5 412x y e 4x y sin(x y )
1.7. 2yf(x, y) x
วธิีท ำ ln f(x, y) = 2y lnx
ln f(x, y)x
= 2(y lnx)x
1 f (x, y)f(x, y) x
= 2y (lnx)x
f (x, y)x
= 2yf(x, y) x =
22 y 1y x
ln f(x, y)y
= 2(y lnx)y
1 f (x, y)f(x, y) y
= 2ylnx y
f (x, y)y
= 2y ln x f(x, y) = 2y2y ln x x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 2 เจษฎา ห่อไพศาล (พีแ่บงค)์ www.clipvidva.com
20
1.8. xy yf(x, y) e ln( )x
วธิีท ำ fx(x, y) = xy y(e ln( ))x x
= xy y(e ) (ln( ))x x x
= xye x 1x ( )y x x x
= xye 1
y x
fy(x, y) = xy y(e ln( ))y x
= xy y(e ) ln( )y y x
= xy y1 1xe ( )y y y y
=
xy
2xe 1
yy
1.9. 2yf(x, y) arctan( )x
วธิีท ำ fx(x, y) = 2y(arctan( ))x x
= 22
2 4yx ( )x xx y
= 2
2 4y
x y
fy(x, y) = 2y(arctan( ))y x
= 22
2 4yx ( )y xx y
= 2 42xy
x y
1.10. 3 2x 3zf(x, y, z) y e
วธิีท ำ fx(x, y) = 3 2x 3z(y e )x
= 3 3z 2xy e (e )x
= 3 2x 3z2y e
fy(x, y) = 3 2x 3z(y e )y
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 2 เจษฎา ห่อไพศาล (พีแ่บงค)์ www.clipvidva.com
21
= 2x 3z 3e (y )y
= 2 2x 3z3y e
2. ก าหนดให้ 2 xyf(x, y) x ye จงหาค่าของ D1f (1, 1) และ D2f (1, 1)
วธิีท ำ D1f (x, y) = 2 xy(x ye )x
= 2 xy xy 2y{x (e ) e (x )}x x
= 2 xy xyy{x e (xy) 2xe }x
= 2 2 xy xyx y e 2xye
เพราะฉะนั้น D1f (1, 1) = 2 2 1 1(1 )(1 )(e ) 2(1)(1)e = 3e
D2f (x, y) = 2 xy(x ye )y
= 2 xy xyx {y (e ) e (y)}y y
= 2 xy xyx {ye (xy) e }y
= 3 xy 2 xyx ye x e
เพราะฉะนั้น D2f (1, 1) = 3 1 2 1(1 )(1)(e ) (1 )e = 2e
3. ก าหนดให้ 2 2 2 2f(x, y) (x 2y ) x y จงหาค่าของ fx(2, 1) และ fy(2, 1)
วธิีท ำ fx (x, y) = 2 2 2 2((x 2y ) x y )x
= 2 2 2 2 2 2 2 2x y (x 2y ) (x 2y ) x yx x
= 2 2
2 2 2 22 2
x 2y2x x y ( ) (x y )x2 x y
= 2 2
2 22 2
x 2y2x x y xx y
= 2 2 2 2
2 22x 2y x 2yx
x y
= 3
2 23x
x y
เพราะฉะนั้น fx (2, 1) = 3
2 23 2
(2) (1)
= 8 3
fy (x, y) = 2 2 2 2((x 2y ) x y )y
= 2 2 2 2 2 2 2 2x y (x 2y ) (x 2y ) x yy y
= 2 2
2 2 2 22 2
x 2y4y x y (x y )y2 x y
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 2 เจษฎา ห่อไพศาล (พีแ่บงค)์ www.clipvidva.com
22
= 2 2
2 22 2
x 2y4y x y yx y
= 2 2 2 2
2 24x 4y x 2yy
x y
= 2 2
2 23y(x 2y )
x y
เพราะฉะนั้น fy (2, 1) = 2 2
2 23(2 2(1) )
2 1
= 2 3
4. ก าหนดให้ f(x, y, z) x sin(xyz) จงหาค่าของ f 1(1, , )x 2
และ f 1(1, , )z 2
วธิีท ำ f(x, y, z)x
= (x sin(xyz))x
= x sin(xyz) sin(xyz) xx x
= x cos(xyz) (xyz) sin(xyz)x
= xyz cos(xyz) sin(xyz)
เพราะฉะนั้น f 1(1, , ) cos( ) sin( ) 1x 2 2 2 2
f(x, y, z)z
= (x sin(xyz))z
= x sin(xyz)z
= x cos(xyz) (xyz)z
= 2x y cos(xyz)
เพราะฉะนั้น f 1 1(1, , ) cos( ) 0z 2 2 2
5. ก าหนดให้ 3 3
2 2x y (x, y) (0, 0)
f(x, y) x y 0 (x, y) (0, 0)
จงหาค่าของ fx(0, 0) และ fy(0, 0)
วธิีท ำ เพราะว่า h 0 h 0
f(h, 0) f(0, 0) h 0lim lim 1h h
เพราะฉะนั้น fx(0, 0) = 1
และ เพราะว่า h 0 h 0
f(0, k) f(0, 0) k 0lim lim 1k k
เพราะฉะนั้น fy(0, 0) = 1
6. ก าหนดให้ 2 3
4 2x y (x, y) (0, 0)
f(x, y) x 4y 0 (x, y) (0, 0)
จงหาค่าของ f (0, 0)x
และ f (0, 0)y
วธิีท ำ เพราะว่า h 0 h 0
f(h, 0) f(0, 0) 0 0lim lim 0h h
เพราะฉะนั้น f (0, 0)x
= 0
เม่ือ เม่ือ
เม่ือ
เม่ือ
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 2 เจษฎา ห่อไพศาล (พีแ่บงค)์ www.clipvidva.com
23
และ เพราะว่า h 0 h 0
f(0, k) f(0, 0) k 0lim lim 1k k
เพราะฉะนั้น f (0, 0)y
= 0
7. ก าหนดให้ 2x xy x y 0x yf(x, y)
0 x y 0
จงหาค่าของ
7.1. D1f (0, y) เม่ือ y 0 และ D1f (0, 0)
วธิีท ำ เพราะว่า
2
h 0 h 0 h 0
h hy 0f(h, y) f(0, y) h y h ylim lim lim 1h h h y
เพราะฉะนั้น D1f (0, y) = –1
และ เพราะว่า h 0 h 0
f(h, 0) f(0, 0) h 0lim lim 1h h
เพราะฉะนั้น D1f (0, 0) = 1
7.2. D2f (x, 0) เม่ือ x 0 และ D2f (0, 0)
วธิีท ำ เพราะว่า
22 2
k 0 k 0 k 0 k 0
x xk xf(x, k) f(x, 0) x xk x xk 2xkx klim lim lim lim 2k k k k(x k)
เพราะฉะนั้น D2f (x, 0) = –2
และ เพราะว่า k 0 k 0
f(0, k) f(0, 0) 0 0lim lim 0k k
เพราะฉะนั้น D2f (0, 0) = 0
8. ก าหนดให้ yxxz x sin( ) yey จงแสดงว่า z zx y zx y
วธิีท ำ y yx xz z x xx y x (x sin( ) ye ) y (x sin( ) ye )x y x y y y
y y y
2 2x x xx x x 1 x 1 x( cos( ) sin( ) y e ( )) y(x cos( ) ( ) y e e )y y y x x y y y y
y y y2 2x x x
2 2y yx x x x x x( cos( ) sin( ) e ) y( cos( ) e e )y y y y xx y
y y y2 22 2x x xy yx x x x x cos( ) xsin( ) e cos( ) e yey y y x y y x
yxx xsin( ) yey
z
9. ก าหนดให้ 1
2 xz y tan(ye ) จงแสดงว่า 2 2z zx y 2yx y
วธิีท ำ 1 1
2 2 2 2x xz zx y x (y tan(ye )) y (y tan(ye ))x y x y
1 1
2 2x x x tan(ye ) y y y tan(ye )x y y
เม่ือ เม่ือ
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 2 เจษฎา ห่อไพศาล (พีแ่บงค)์ www.clipvidva.com
24
1 1 1 1
2 2 2 2x x x x x y sec (ye ) (e ) 2y ye sec (ye )x
1 1 1 1
2 2 2 2x x x x1 x e y sec (ye ) ( ) 2y ye sec (ye )x x
1 1 1 1
2 2 2x x x x e y sec (ye ) 2y ye sec (ye )
2 2y
10. ก าหนดให้ 2 2 y zu f(x, y, z) (x y )cos( )x
จงแสดงว่า f f fx y z 2fx y z
วธิีท ำ พิจารณา 2 2 y zf {(x y )cos( )}x x x
2 2 2 2y z y z (x y ) cos( ) cos( ) (x y )x x x x
2 2 y z y z1 (y z)(x y )sin( ) ( ) 2x cos( )x x x x
2 2
2(y z)(x y ) y z y z sin( ) 2x cos( )x xx
พิจารณา 2 2 y zf {(x y )cos( )}y y x
2 2 2 2y z y z (x y ) cos( ) cos( ) (x y )y x x y
2 2 y z y z1 (x y )sin( ) (y z) 2y cos( )x x y x
2 2 y z y z1 (x y )sin( ) 2y cos( )x x x
พิจารณา 2 2 y zf {(x y )cos( )}z z x
2 2 y z (x y ) cos( )z x
2 2x y y z ( )sin( ) (y z)x x z
2 2x y y z ( )sin( )x x
2 2
2 22 (y z)(x y ) y z y z y zf f f 1x y z x{ sin( ) 2x cos( )} y{ (x y )sin( )x y z x x x xx
2 2y z x y y z2y cos( )} z( )sin( )x x x
2 2
2 2 2 2 (y z)(x y ) y z y z y y z y zsin( ) 2x cos( ) (x y )sin( ) 2y cos( )x x x x x x
2 2x y y zz( )sin( )x x
2 2 y z y z2x cos( ) 2y cos( )x x
2 2 y z2(x y )cos( )x
2f(x, y, z)
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 2 เจษฎา ห่อไพศาล (พีแ่บงค)์ www.clipvidva.com
25
11. จงหาความชนัของเส้นโคง้ท่ีเป็นรอยตดัของพ้ืนผวิ x2 + 3y2 – z = 0 กบัระนาบ x = 2 ท่ีจุด (2, 1, 7)
วธิีท ำ ให้ z = f(x, y) = x2 + 3y2
จะไดว้่า fy(x, y) = 6y
ดงันั้น ความชนัของเส้นโคง้ท่ีจุด (2, 1, 4) คือ f(2, 1) = 6
12. จงหาความชนัของเส้นโคง้ท่ีเป็นรอยตดัของพ้ืนผวิ 9x2 – 36y2 – 4z2 = 36 กบัระนาบ y = –1 ท่ีจุด ( 12 , –1,–3)
วธิีท ำ ให้ z = f(x, y) = 2 21 9x 36y 362
จะไดว้่า fx(x, y) = 2 2
3x2 x 4y 4
ดงันั้น ความชนัของเส้นโคง้ท่ีจุด ( 12 , –1,–3) คือ f( 12 , –1,–3) = 3 122 12 4 4
= 3 32