อิสระเชิงเส้น - pccpl.ac.th · ม.6...

ม.6รายวชิาพชีคณติเชงิเสน้ 1 (ค30205)

อิสระเชิงเส้น2

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ปริภูมิเวกเตอร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จัดท าขึ้นจ านวน

3 เล่ม เพ่ือฝึกทักษะในการท าแบบฝึกหัด โดยจัดกระบวนการเรียนรู้ตามล าดับขั้นตอนจากง่ายไปหายากตาม

ขั้นตอนกระบวนการทางคณิตศาสตร์ เน้นการพัฒนาด้านความรู้ ความเข้าใจ การคิดค านวณ และทักษะ

กระบวนการการท างานของผู้เรียน ประกอบด้วย

เล่มที่ 1 ปริภูมิเวกเตอร์บนจ านวนจริง

เล่มที่ 2 อิสระเชิงเส้น

เล่มที่ 3 มูลฐาน

แบบฝึกทักษะเล่มนี้เป็นแบบฝึกทักษะเล่มที่ 2 อิสระเชิงเส้น มีตัวอย่างเพ่ือความเข้าใจ และ

เพ่ือฝึกทักษะในการเรียนรู้ส าหรับผู้เรียน ท าให้ผู้เรียนเกิดทักษะการคิดคล่อง คิดเป็นขั้นตอน หาค าตอบได้

รวดเร็วเป็นการพัฒนาการเรียน และผู้เรียนสามารถเรียนรู้ ได้ด้วยตนเองเต็มตามศักยภาพของแต่ละคน โดย

มุ่งหวังว่านักเรียนจะบรรลุเป้าหมายตามจุดประสงค์ของหลักสูตรโรงเรียนวิทยาศาสตร์ภูมิภาค

ผู้จัดท าหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้จะเกิดประโยชน์แก่นักเรียนและผู้

ที่สนใจในรายวิชาคณิตศาสตร์ได้ตามสมควร ขอขอบคุณทุกท่านที่ให้ค าปรึกษาแก่ข้าพเจ้าเป็นอย่างดีจนแบบ

ฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ส าเร็จสมบูรณ์

อังษณานันท์ เด่นสท้าน

ค ำน ำ

เรื่อง หน้ำ

ค าชี้แจงการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ 1

ค าแนะน าการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ส าหรับครู 2

ผลการเรียนรู้และจุดประสงค์การเรียนรู้ 3

ขั้นตอนการเรียนโดยใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ 4

ค าแนะน าการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ส าหรับนักเรียน 5

แบบทดสอบก่อนเรียน 6

แบบบันทึกค าตอบแบบทดสอบก่อนเรียน 9

ใบความรู้ที่ 1 : ผลรวมเชิงเส้น 10

แบบฝึกทักษะที่ 1 : ผลรวมเชงิเส้น 24

ใบความรู้ที่ 2 : การแผ่ทั่วถึง 34

แบบฝึกทักษะที่ 2 : การแผ่ทั่วถึง 42

ใบความรู้ที่ 3 : อิสระเชิงเส้น 52

แบบฝึกทักษะที่ 3 : อิสระเชิงเส้น 59

แบบทดสอบหลังเรียน 69

แบบบันทึกค าตอบแบบทดสอบก่อนเรียน 72

บรรณานุกรม 73

ภาคผนวก 74

เกณฑ์การให้คะแนนแบบฝึกทักษะ 75

เกณฑ์การประเมิน 75

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน 78

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ที่ 1 : ผลรวมเชิงเส้น 79

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ที่ 2 : การแผ่ทั่วถึง 96

เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ที่ 3 : อิสระเชิงเส้น 115

เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน 132

แบบบันทึกคะแนน 133

สำรบญั

1

1. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง อิสระเชิงเส้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 มีทั้งหมด 3 เล่ม ดังนี้

1.1 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มที่ 1 เรื่อง ปริภูมิเวกเตอร์บนจ านวนจริง

1.2 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มที่ 2 เรื่อง อิสระเชิงเส้น

1.3 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มที่ 3 เรื่อง มูลฐาน

2. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มที่ 2 เรื่อง อิสระเชิงเส้น ใช้เป็นสื่อการเรียนรู้ประกอบแผนการ

จัดการเรียนรู้ที่ 7 – 14

3. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์แต่ละเล่ม มีส่วนประกอบดังนี้

3.1 ค าแนะน าการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ส าหรับครู

3.2 ผลการเรียนรู้และจุดประสงค์การเรียนรู้

3.3 ขั้นตอนการเรียนโดยใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์

3.4 ค าแนะน าการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ส าหรับนักเรียน

3.5 แบบทดสอบก่อนเรียน

3.6 ใบความรู้

3.7 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์

3.8 แบบทดสอบหลังเรียน

3.9 บรรณานุกรม

3.10 เกณฑ์การให้คะแนนแบบฝึกทักษะ

3.11 เกณฑ์การประเมิน

3.12 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน

3.13 เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์

3.14 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน

ค ำชี้แจงกำรใช้แบบฝึกทักษะคณิตศำสตร์

2

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ ใช้ประกอบการจัดการเรียนการสอน เรื่อง ปริภูมิเวกเตอร์ ชั้น

มัธยมศึกษาปีที่ 6 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โดยครูควรปฏิบัติดังนี้

1. ศึกษาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ให้เข้าใจชัดเจนก่อนน าไปใช้ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน

2. ชี้แจงขั้นตอนการเรียนโดยใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ให้นักเรียนเข้าใจ

3. ให้นักเรียนท าแบบทดสอบก่อนเรียน ก่อนศึกษาใบความรู้ และท าแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์

4. จัดกิจกรรมการเรียนการสอน โดยใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ควบคู่กับแผนการจัดการ

เรียนรู้ที่ 7 – 14

5. ขณะปฏิบัติกิจกรรม ดูแลให้นักเรียนปฏิบัติตามข้ันตอนและให้ค าแนะน าเมื่อนักเรียนพบปัญหา

6. ประเมินผลการเรียนของนักเรียนอย่างต่อเนื่องและให้การเสริมแรงในการปฏิบัติกิจกรรมหรือท า

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ของนักเรียน

7. ให้นักเรียนท าแบบทดสอบหลังเรียน หลังจบกิจกรรมการเรียนรู้จากแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์

เล่มที่ 1

8. บันทึกผลการจัดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์

ค ำชี้แจงกำรใช้แบบฝึกทักษะคณิตศำสตร์ส ำหรับครู

3

1. ตรวจสอบได้ว่าเซตของเวกเตอร์ที่ก าหนดให้เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

1. ด้านความรู้ความเข้าใจ (Knowledge)

1.1 อธิบายความหมายของการเป็นผลรวมเชิงเส้นได้

1.2 อธิบายความหมายของการแผ่ทั่วถึงได้

1.3 อธิบายความหมายของการเป็นอิสระเชิงเส้นได้

1.4 ตรวจสอบได้ว่าเซตของเวกเตอร์ที่ก าหนดให้เป็นผลรวมเชิงเส้นหรือไม่

1.5 ตรวจสอบได้ว่าเซตของเวกเตอร์ที่ก าหนดให้มีการแผ่ทั่วถึงหรือไม่

1.6 ตรวจสอบได้ว่าเซตของเวกเตอร์ที่ก าหนดให้เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

2. ด้านทักษะกระบวนการ (Process)

2.1 ใช้การให้เหตุผล การสื่อสาร สื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ การเชื่อมโยง และ

การน าเสนอการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้

3. ด้านคุณธรรมจริยธรรมและค่านิยม

3.1 มีความสนใจใฝ่รู้ใฝ่เรียน

3.2 มีมารยาทในการพูด

3.3 ตอบค าถามได้ชัดเจน

3.4 ช่วยเหลือผู้อื่น

3.5 เรียนรู้อย่างสนุกสนาน

ผลกำรเรียนรู้

จุดประสงค์กำรเรียนรู้

4

ขั้นตอนกำรเรียนโดยใช้แบบฝึกทักษะคณิตศำสตร์ เล่มท่ี 2

เรื่อง อิสระเชิงเส้น

1. อ่ำนค ำแนะน ำส ำหรับนักเรียน

2. ท ำแบบทดสอบก่อนเรียน

3. ศึกษำใบควำมรู้และตัวอย่ำง

- ศึกษำเนื้อหำ

- ท ำแบบฝึกทักษะ

- ตรวจแบบฝึกทักษะ

4. ท ำแบบทดสอบหลังเรียน

5. ศึกษำแบบฝึกทักษะเล่มต่อไป ผ่านเกณฑ์

ไมผ่่านเกณฑ์

ประเมินผล

5

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้เป็นแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ที่ใช้ประกอบการจัดกิจกรรมการเรียน

การสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ปริภูมิเวกเตอร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 โดยปฏิบัติตามขั้นตอนดังต่อไปนี้

1. อ่านค าชี้แจงในการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ให้เข้าใจ

2. นักเรียนท าแบบทดสอบก่อนเรียนในเล่ม

3. นักเรียนศึกษาเนื้อหาความรู้ และตัวอย่างที่ครูน าเสนอไว้ในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ในแต่ละ

เรื่องให้เข้าใจ เมื่อนักเรียนมีข้อสงสัยให้ถามครู

4. นักเรียนท าแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ในแต่ละเรื่อง ด้วยความตั้งใจจนครบทุกข้อ

5. นักเรียนสามารถตรวจค าตอบได้จากเฉลยต่อท้ายแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ในแต่ละเรื่อง

6. นักเรียนควรมีวินัยในการท าแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ โดยการไม่เปิดดูเฉลยก่อน

7. เมื่อนักเรียนท าแบบฝึกทักษะคณิตสาสตร์ครบทุกเรื่อง ให้นักเรียนท าแบบทดสอบหลังเรียนในเล่ม

8. เมื่อนักเรียนท าแบบทดสอบในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เสร็จแล้ว จากนั้นส่งให้ครูตรวจเพื่อ

บันทึกคะแนนอีกครั้ง

ค ำชี้แจงกำรใช้แบบฝึกทักษะคณิตศำสตร์ส ำหรับนักเรียน

6

ค าชี้แจง 1. แบบทดสอบฉบับนี้เป็นแบบทดสอบแบบปรนัยชนิดเลือกตอบ 4 ตัวเลือก จ านวน 4 ข้อ

2. ให้นักเรียนเลือกค าตอบที่ถูกที่สุดเพียงค าตอบเดียว แล้วเขียนเฉพาะตัวอักษรหน้า

ค าตอบที่ถูกต้องลงในแบบบันทึกค าตอบ

3. เวลาที่ใช้ในการท าแบบทดสอบ 30 นาที

................................................................................................................ ..............................................................

1. ก าหนดให้ 1 26, 9,10 , 2, 1, 2 , 5, 3,3w v v โดยที่ w เป็นผลรวมเชิงเส้น

ของ 1v และ 2v จงหาผลรวมเชิงเส้นดังกล่าว

ก. 1 23 2w v v

ข. 1 22 3w v v

ค. 1 23 2w v v

ง. 1 22 3w v v

2. จงหาค่าสเกลาร์ ic แต่ละค่าที่ท าให้ 10,11,1w เป็นผลรวมเชิงเส้นของ

1 21,0, 1 , 3, 2,1v v และ 3 2,3, 1v

ก. 1 2 33 , 2 , 1c c c

ข. 1 2 33 , 1, 2c c c

ค. 1 2 32 , 3 , 1c c c

ง. 1 2 32 , 1, 3c c c

3. ก าหนดให้ 17, 1, 13V เป็นผลรวมเชงิเส้นของ 1 21, 2,4 , 2, 1, 1v v

และ 3 3, 1,2v จงหาผลรวมของค่าสเกลาร์จากข้อมูลที่ก าหนดให้

ก. 1

ข. 5

ค. 5

ง. 2

แบบทดสอบก่อนเรียน


7

4. ปริภูมิเวกเตอร์ใดที่ไม่แผ่ทั่วถึงทุกๆเวกเตอร์ใน 3R

ก. 1,2, 1 , 2,2,1 , 1,3,2 ข. 1, 2,3 , 2,4,2 , 2, 4,0

ค. 1,2, 1 , 0,0,1 , 4,0, 1 ง. 2, 1,0 , 0,1,3 , 4, 1, 2

5. ก าหนดให้ 2 2

1 2, 2 2 , 2 3P x ax bx c p x x x p x x และ

2

3 4 1p x x x โดยที่ 1 2,p x p x และ 3p x แผ่ทั่วถึงทุกๆพหุนามของ P x จงเขียน

การแผ่ทั่วถึงดังกล่าวให้อยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,p x p x และ 3p x

ก. 1 2 3

22 3 2 2 3 2 10 3 2

12 12 12

a b c a b c a b cp x p x p x

ข. 1 2 3

22 3 2 2 3 2 10 3 2

12 12 12


ค. 1 2 3

22 3 2 2 3 2 10 3 2

12 12 12


ง. 1 2 3

22 3 2 2 3 2 10 3 2

12 12 12


6. ร้านกาแฟแห่งหนึ่ง มีสูตรส าหรับชงกาแฟเย็น 3 สูตร คือ สูตร ,A B และ C แต่ละสูตรจะใช้

ส่วนผสม 4 ส่วน คือ กาแฟ ช็อกโกแลต น้ าเชื่อม และนมสด น้ าหนักของส่วนประกอบแต่ละส่วน (มิลลิลิตร)

ต่อ 1 หน่วยของกาแฟเย็น 200 มิลลิลิตร แสดงไว้ดังนี้

ส่วนประกอบ A A B A C A

กาแฟ 70 60 80

ช็อกโกแลต 60 50 40

น้ าเชื่อม 30 30 30

นมสด 60 60 50

ถ้ามีกาแฟ 1200 มิลลิลิตร ช็อกโกแลต 850 มิลลิลิตร น้ าเชื่อม 510 มิลลิลิตร และนมสด 840

มิลลิลิตร จะเป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้ส่วนประกอบทั้งหมดท ากาแฟเย็นทั้ง 3 สูตร ถ้าเป็นไปได้จะได้กาแฟเย็น

สูตรละก่ีหน่วย (แก้ว)

ก. สูตร A 6 หน่วย สูตร B 6 หน่วย สูตร C 6 หน่วย

ข. สูตร A 6 หน่วย สูตร B 5 หน่วย สูตร C 6 หน่วย

ค. สูตร A 5 หน่วย สูตร B 6 หน่วย สูตร C 6 หน่วย

ง. สูตร A 6 หน่วย สูตร B 5 หน่วย สูตร C 5 หน่วย

8

7. ก าหนดให้ 1 21, ,2 , 0,4, 2v a v และ 3 3, ,1v a จงหาค่า a ที่ท าให้เวกเตอร์

ข้างต้นอิสระเชิงเส้นใน 3R

ก. 5a

ข. 5a

ค. 5a

ง. 5a


1 22 , 1p x ax x b p x x และ 2

3 2 2p x x x ซ่ึง

1 2 3, ,p x p x p x เป็นเซตไม่อิสระเชิงเส้นในปริภูมิเวกเตอร์ 2P จงหาค่า b a

ก. 1

ข. 0

ค. 1

ง. ไม่มีค าตอบ


1 23 2 ,p x x x p x x x และ 3 1p x x ซ่ึง

1 2 3, ,p x p x p x เป็นเซตไม่อิสระเชิงเส้น ข้อใดเป็นความสัมพันธ์ระหว่าง 3 พหุนามนี้

ก. 1 2 32 0p x p x p x

ข. 1 2 32 3 0p x p x p x

ค. 1 2 3 0p x p x p x

ง. 1 2 32 3 0p x p x p x

10. ข้อใดไม่ถูกต้อง

ก. ถ้าปริภูมิเวกเตอร์ใดสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้นได้ ปริภูมิเวกเตอร์นั้นจะไม่มี

สมบัติการแผ่ทั่วถึง

ข. ค่าสเกลาร์ที่ท าให้ปริภูมิเวกเตอร์ใดๆเป็นอิสระเชิงเส้น จะมีค่าเท่ากับ 0 ทุกค่า

ค. ค่าสเกลาร์ที่ท าให้ปริภูมิเวกเตอร์ใดๆมีสมบัติการแผ่ทั่วถึง จะมีค่าใดๆใน F

ง. ถูกต้องทุกตัวเลือก

9

ชื่อ – นามสกุล ........................................................................................ชั้ น ม.6/........... เลขท่ี ..........

ค ำชี้แจง : ให้นักเรียนเลือกค าตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงค าตอบเดียว แล้วเขียนเฉพาะตัวอักษรหน้า

ค าตอบที่ถูกท่ีสุดลงในแบบบันทึกค าตอบนี้

ลงชื่อ ......................................... ผู้ตรวจ

ข้อที่ ค ำตอบ ผลกำรตรวจ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

รวมคะแนน

เกณฑ์การให้คะแนน : ในแต่ละข้อของแบบทดสอบ ตอบถูกให้ 1 คะแนน ตอบผิดให้ 0 คะแนน

เกณฑ์การประเมิน : นักเรียนได้คะแนนร้อยละ 60 ขึ้นไป หรือตอบถูก 6 ข้อขึ้นไป ถือว่าผ่านเกณฑ์

การประเมิน

แบบบันทึกค ำตอบแบบทดสอบก่อนเรียน


10

นิยำม 1 ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ V บนฟีลด์ F และ 1 2, , , nv v v เป็นเวกเตอร์ใน V

ให้ w V จะกล่าวว่า w เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2, , , nv v v ก็ต่อเมื่อมี

สเกลาร์ 1 2, , , nc c c ใน F ที่ท าให้ 1 1 2 2 n nw c v c v c v

์

ภาพ 1 ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 1 ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 2R บนฟีลด์ R และ 1 23,1 , 1,2v v ถ้า

22,3w R แล้ว จะมีจ านวนจริง 1 2,c c หรือไม่ที่ท าให้ 1 1 2 2w c v c v

แนวคิด จะมีจ านวนจริง 1 2,c c ที่ท าให้ 1 1 2 2w c v c v ดังนี้

2,3 1 3,1 1 1,2

หรือ w 1 21 1v v

ดังนั้น 1 1c และ 2 1c

จะเรียก w ว่าเป็นผลรวมเชิงเสน้ของ 1v และ 2v

ใบควำมรู้ที่ 1

ผลรวมเชิงเส้น (Linear Combination)

11

ตัวอย่างที่ 2 ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 3R และ 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1i j k

เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยมาตรฐานใน 3R ถ้า , ,v a b c เป็นเวกเตอร์ใดๆ ใน 3R จะได้ว่า

v , ,a b c

1,0,0 0,1,0 0,0,1a b c

ai bj ck

ดังนั้น เวกเตอร์ v เป็นผลรวมเชิงเส้นของ ,i j และ k

ตัวอย่างที่ 3 ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ nR และ

1 21,0,0, ,0 , 0,1,0, ,0 , , 0,0,0, ,1ne e e เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

มาตรฐานใน nR ถ้า 1 2, , , nv a a a เป็นเวกเตอร์ใดๆ ใน nR จะได้ว่า

v 1 1 2 2 n na e a e a e

ดังนั้น เวกเตอร์ v เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2, , , ne e e

หมาย จากตัวอย่างที่ 2 และตัวอย่างที่ 3 จะพบว่า ในปริภูมิเวกเตอร์ nR ทุกๆ เวกเตอร์ใน n

เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยมาตรฐานใน nR เสมอ เช่น

v 2,3, 1,8 1 2 3 42 3 1 8e e e e

w 3,4,0, 5,7 1 2 3 4 53 4 0 5 7e e e e e

แต่ถ้าหากในกรณีท่ีเวกเตอร์ที่ก าหนดให้ไม่ได้เป็นชุดของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยมาตรฐาน

การตรวจสอบการเป็นผลรวมเชิงเส้นหรือไม่ สามารถใช้ความรู้เรื่องระบบสมการเชิงเส้นเข้ามาช่วย

ในการตรวจสอบได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้

แต่ถ้าหากในกรณีท่ีเวกเตอร์ที่ก าหนดให้ไม่ได้เป็นชุดของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยมาตรฐาน การ

ตรวจสอบการเป็นผลรวมเชิงเส้นหรือไม่ สามารถใช้ความรู้เรื่องระบบสมการเชิงเส้นเข้ามาช่วยใน

การตรวจสอบได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้

12

ตัวอย่างที่ 4 ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 3R และก าหนดเวกเตอร์ 1 1,2, 1 ,v 2 6,4,2v

4.1 จงตรวจสอบว่าเวกเตอร์ 9,2,7w เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,v v หรือไม่

ถ้าเป็นจงเขียนผลรวมเชิงเส้นดังกล่าว

4.2 จงตรวจสอบว่าเวกเตอร์ 4, 1,8w เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,v v หรือไม่

ถ้าเป็นจงเขียนผลรวมเชิงเส้นดังกล่าว

วิธีท า 4.1 เวกเตอร์ 9,2,7w จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,v v ก็ต่อเมื่อ

w 1 1 2 2 n nc v c v c v 1

จากสมการ 1 จะได้

9,2,7 1 21,2, 1 6,4,2c c

9,2,7 1 1 1 2 2 2,2 , 6 ,4 ,2c c c c c c

9,2,7 1 2 1 2 1 26 ,2 4 , 2c c c c c c

ดังนั้นจะได้ระบบสมการเชิงเส้นดังนี้

1 26c c 9 2

1 22 4c c 2 3

1 22c c 7 4

2 4 28c 16

2c 2 น า 2 2c แทนค่าใน สมการ 3

12 4 2c 2

1c 3 แสดงว่าระบบสมการเชิงเส้นมีค าตอบ 1 2,c c โดยที่ 1 3c และ 2 2c

ดังนั้น w เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,v v โดยที่ 1 23 2w v v

13

วิธีท า 4.2 เวกเตอร์ 4, 1,8w จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,v v ก็ต่อเมื่อสมการ

w 1 1 2 2 n nc v c v c v 1


4, 1,8 1 21,2, 1 6,4,2c c

4, 1,8 1 1 1 2 2 2,2 , 6 ,4 ,2c c c c c c

4, 1,8 1 2 1 2 1 26 ,2 4 , 2c c c c c c


1 26c c 4 1 22 4c c 1 2

1 22c c 8

หรือ 1

2

1 6

2 4

1 2

c

c

4

1

8

จะได้เมทริกซ์แต่งเติมและเมทริกซ์ขั้นบันไดลดรูปตามแถวที่สมมูลกับเมทริกซ์แต่งเติม

ดังนี้

1 6 4

2 4 1

1 2 8

1 22R R

1 6 4

0 8 9

1 2 8

1 3R R

1 6 4

0 8 9

0 8 12

2

1

8R

41 6

90 1

80 8

12

2 38R R

41 6

90 1

80 0

3

14

2 36R R

11

41 09

0 18

0 03

จากเมทริกซ์แต่งเติมที่ได้จากการด าเนินการตามแถวแสดงว่าระบบสมการเชิงเส้นไม่มีมีค าตอบ

ดังนั้น w ไม่เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,v v

ตัวอย่างที่ 5 ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 3R และก าหนดเวกเตอร์ 1 1,2, 1 ,v 2 6,4,2v

5.1 จงตรวจสอบว่าเวกเตอร์ 9,2,7w เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,v v หรือไม่ ถ้า

เป็นจงเขียนผลรวมเชิงเส้นดังกล่าว

5.2 จงตรวจสอบว่าเวกเตอร์ 4, 1,8w เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,v v หรือไม่ ถ้า

เป็นจงเขียนผลรวมเชิงเส้นดังกล่าว

ศึกษาตัวอย่าง

ต่อไปเลยดีกว่า

วิธีท า 5.1 พหุนาม 2 4 3p x x x จะเปน็ผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,p x p x p x ก็

ต่อเมื่อสมการ p x 1 1 2 2 3 3c p x c p x c p x 1


2 4 3x x 2 2

1 2 32 5 2 3 3c x x c x x c x

2 4 3x x 2 2

1 1 1 2 2 3 32 5 2 3 3c x c x c c x c x c x c

2 4 3x x 2 2

1 2 1 2 3 1 32 2 3 5 3c x c x c x c x c x c c

2 4 3x x 2

1 2 1 2 3 1 32 2 3 5 3c c x c c c x c c

15


1 22c c 1 1 2 32 3c c c 4 2

1 35 3c c 3

หรือ 1

2

3

1 2 0

2 3 1

5 0 3

c

c

c

1

4

3

จะได้เมทริกซ์แต่งเติมและเมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถวที่สมมูลกับเมทริกซ์แต่งเติมดังนี้

1 2 0 1

2 3 1 4

5 0 3 3

1 22R R

1 2 0 1

0 1 1 6

5 0 3 3

1 35R R

1 2 0 1

0 1 1 6

0 10 3 8

2 310R R

1 2 0 1

0 1 1 6

0 0 13 52

3

1

13R

1 2 0 1

0 1 1 6

0 0 1 4

2 12R R

1 0 2 11

0 1 1 6

0 0 1 4

3 12R R

1 0 0 3

0 1 1 6

0 0 1 4

3 21R R

1 0 0 3

0 1 0 2

0 0 1 4

แสดงว่าระบบสมการเชิงเส้นมีค าตอบ 1 2 3, ,c c c โดยที่ 1 23 , 2c c และ 3 4c

ดังนั้น 1 2 33 2 4p x p x p x p x

16

วิธีท า 5.2 ทุกๆพหุนามใน 2P ซึ่งก าหนดให้ 2p x ax bx c จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของ

1 2 3, ,p x p x p x ก็ต่อเมื่อสมการ

p x 1 1 2 2 3 3c p x c p x c p x 1


2ax bx c 2 2

1 2 32 5 2 3 3c x x c x x c x

2ax bx c 2 2

1 1 1 2 2 3 32 5 2 3 3c x c x c c x c x c x c

2ax bx c 2 2

1 2 1 2 3 1 32 2 3 5 3c x c x c x c x c x c c

2ax bx c 2

1 2 1 2 3 1 32 2 3 5 3c c x c c c x c c


1 22c c a 1 2 32 3c c c b 2

1 35 3c c c

หรือ 1

2

3

1 2 0

2 3 1

5 0 3

c

c

c

a

b

c


1 2 0

2 3 1

5 0 3

a

b

c

1 22R R

1 2 0

0 1 1 2

5 0 3

a

a b

c

1 35R R

1 2 0

0 1 1 2

0 10 3 5

a

a b

a c

2 310R R

1 2 0

0 1 1 2

0 0 13 15 10

a

a b

a b c

2 12R R

1 0 2 3 2

0 1 1 2

0 0 13 15 10

a b

a b

a b c

17

3

1

13R

1 0 2 3 2

0 1 1 2

0 0 1 15 10

13

a b

a b

a b c

3 21R R

3 21 0 2

11 30 1 0

130 0 1

15 10

13

a b

a b c

a b c

3 12R R

9 6 2

131 0 011 3

0 1 013

0 0 115 10

13

a b c

a b c

a b c

แสดงว่าระบบสมการเชิงเส้นมีค าตอบ 1 2 3, ,c c c โดยที่

1 2

9 6 2 11 3 3,

13 13

a b c a bc c

และ 3

15 10

13

a b cc

ดังนั้น p x เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,p x p x p x โดยที่

1 2 3

9 6 2 11 3 15 10

1 13 3

3 1

a b c a b c a b cp x p x p x p x

ตัวอย่างข้อต่อไปเลยนะ

18

ตัวอย่างที่ 6 ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 2 2R และก าหนด 1 2 3, ,e e e ใน 2 2R ดังต่อไปนี้

1 2 3

1 1 0 0 0 2, ,

1 0 1 1 0 1e e e

จงตรวจสอบว่า

3 1

1 1E

เป็นผลรวมเชิงเส้นของ

1 2 3, ,e e e หรือไม่ ถ้าเป็นจงเขียนผลรวมเชิงเส้นดังกล่าว

วิธีท า E จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,e e e ก็ต่อเมื่อสมการ

E 1 2 3ae be ce 1


3 1

1 1

1 1 0 0 0 2

1 0 1 1 0 1a b c

3 1

1 1

0 0 0 2

0 0

a a c

a b b c

3 1

1 1

2a a c

a b b c


a 3 2

2a c 1 3

a b 1 4

b c 1 5

น า 3a แทนค่าในสมการ 3

จะได้ 3 2c 1

c 1 3

2

ดังนั้น c 1

น า 3a แทนค่าในสมการ 4

จะได้ 3 b 1

b 1 3 ดังนั้น b 2

ดังนั้น

19

และสุดท้าย น า 2b และ 1c ตรวจสอบความถูกต้องในสมการ 5

จะได้ 2 1 1

แสดงว่าระบบสมการเชิงเส้นมีค าตอบ , ,a b c โดยที่ 3 , 2a b และ 1c

ดังนั้น E เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,e e e โดยที่ 1 2 33 2E e e e

ตัวอย่างข้อสุดท้ายของใบความรู้

เรื่อง ผลรวมเชิงเส้นแล้วจ้า

ตัวอย่างที่ 7 ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 3R และก าหนดเวกเตอร์ 1 1,2, 2 ,v 2 1,3,4 ,v

3 2,0,1v

7.1 จงตรวจสอบว่าเวกเตอร์ 1,2,3w เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v หรือไม่

ถ้าเป็นจงเขียนผลรวมเชิงเส้นดังกล่า;

7.2 จงแสดงว่าทุกๆ เวกเตอร์ใน 3R สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v

ได้

วิธีท า 7.1 เวกเตอร์ 1,2,3w จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v ก็ต่อเมื่อสมการ

w 1 1 2 2 n nc v c v c v 1


1,2,3 1 2 31,2, 2 1,3,4 2,0,1c c c

1,2,3 1 1 1 2 2 2 3 3,2 , 2 ,3 ,4 2 ,0,c c c c c c c c

1,2,3 1 2 3 1 2 1 2 32 ,2 3 , 2 4c c c c c c c c


1 2 32c c c 1 1 22 3c c 2 2

1 2 32 4c c c 3

20

หรือ 1

2

3

1 1 2

2 3 0

2 4 1

c

c

c

1

2

3


1 1 2 1

2 3 0 2

2 4 1 3

1R

1 1 2 1

2 3 0 2

2 4 1 3

1 22R R

1 1 2 1

0 5 4 4

2 4 1 3

1 32R R

1 1 2 1

0 5 4 4

0 2 3 1

2

1

5R

1 1 2 1

4 40 1

5 5

0 2 3 1

2 32R R

1 1 2 1

4 40 1

5 5

23 30 0

5 5

2 1R R

6 11 0

5 5

4 40 1

5 5

23 30 0

5 5

3

5

23R

6 11 0

5 5

4 40 1

5 5

0 0 1 3

23

21

3 2

4

5R R

16

1 0 55

160 1 0

230 0 1

3

23

3 1

6

5R R

1

231 0 016

0 1 023

0 0 13

23

แสดงว่าระบบสมการเชิงเส้นมีค าตอบ 1 2 3, ,c c c โดยที่ 1 2

1 16,

23 23c c และ 3

3

23c

ดังนั้น w เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v โดยที่ 1 2 3

1 16 3

23 23 23w v v v

วิธีท า 7.2 ทุกๆ เวกเตอร์ใน 3R สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v ได้ ก็

ต่อเมื่อสมการ

, ,a b c 1 1 2 2 3 3c v c v c v 1


, ,a b c 1 2 31,2, 2 1,3,4 2,0,1c c c

, ,a b c 1 1 1 2 2 2 3 3,2 , 2 ,3 ,4 2 ,0,c c c c c c c c

, ,a b c 1 2 3 1 2 1 2 32 ,2 3 , 2 4c c c c c c c c


1 2 32c c c a 1 22 3c c b 2

1 2 32 4c c c c

หรือ 1

2

3

1 1 2

2 3 0

2 4 1

c

c

c

a

b

c

22


1 1 2

2 3 0

2 4 1

a

b

c

1R

1 1 2

2 3 0

2 4 1

a

b

c

1 22R R

1 1 2

0 5 4 2

2 4 1

a

a b

c

1 32R R

1 1 2

0 5 4 2

0 2 3 2

a

a b

a c

2

1

5R

1 1 2

4 20 1

5 5

0 2 3 2

a

a b

a c

2 32R R

1 1 2

4 20 1

5 5

23 14 2 50 0

5 5

a

a b

a b c

2 1R R

6 31 0

5 5

4 20 1

5 5

23 14 2 50 0

5 5

a b

a b

a b c

3

5

23R

6 31 0

5 5

4 20 1

5 5

0 0 1 14 2 5

23

a b

a b

a b c

23

3 2

4

5R R

36

1 0 55

2 3 40 1 0

230 0 1

14 2 5

23

a b

a b c

a b c

3 1

6

5R R

3 7 6

231 0 02 3 4

0 1 023

0 0 114 2 5

23

a b c

a b c

a b c

แสดงว่าระบบสมการเชิงเส้นมีค าตอบ 1 2 3, ,c c c โดยที่

1 2

3 7 6 2 3 4,

23 23

a b c a b cc c

และ 3

14 2 5

23

a b cc

ดังนั้น , ,a b c เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v โดยที่

, ,a b c 1 2 3

3 7 6 2 3 4 14 2 5

23 23 23

a b c a b c a b cv v v

เรามาท าแบบฝึกทักษะกันดีกว่านะ

เพ่ือนๆ

24

ค าชี้แจง : จงแสดงแนวคิดวิธีการในการหาค าตอบของค าถามแต่ละข้อต่อไปนี้

1. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 2R บนฟลีด์ F และ 1 21,3 , 2,1v v ถ้า 22,15w R แล้ว จะมี

จ านวนจริง 1 2,c c หรือไม่ที่ท าให้ w เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,v v

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะที่ 1


25

2. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 2R บนฟีลด์ F และ 1 21,3 , 2,1v v จงแสดงว่าทุกๆเวกเตอร์ 2 มิติ

ใน 2R สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,v v ได ้

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

26

3. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 3R บนฟีลด์ F และ 1 20,3,2 , 6,3,0v v และ 3 4,0, 3v จง

ตรวจสอบว่า 12,9,10w เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v หรือไม่ ถ้าเป็นจงเขียนผลรวมเชิงเส้น

ดังกล่าว

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

27

4. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 3R บนฟีลด์ F และ 1 20,3,2 , 6,3,0v v และ 3 4,0, 3v จงแสดง

ว่าทุกๆ เวกเตอร์ 3 มิตใิน 3R สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v ได ้

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

28

5. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 2P และ 2

1 3 2p x x x และ 2

2 5p x x x จงตรวจสอบว่า

2 4p x x x เป็นผลรวมเชิงเส้นของพหุนาม 1p x และ 2p x หรือไม่ ถ้าเป็นจงเขียนผลรวมเชิงเส้น


…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

29

6. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 2P และ 2 2

1 22 2 1, 4 4 4p x x x p x x x และ

2

3 2 1p x x x จงตรวจสอบว่าทุกพหุนามใน 2P สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของพหุนาม

1 2,p x p x และ 3p x ไดห้รือไม่

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

30

7. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 2 2R และก าหนด 1 2 3, ,e e e ใน 2 2R ดังต่อไปนี้

1 2 3

1 1 0 3 0 2, ,

2 0 0 4 3 1e e e

จงตรวจสอบว่า 3 8

9 3E



…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

31

8. ในปริภูมเวกเตอร์ 4 1R

จงเขียน

4

0

1

5

u

ในรูปของผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v และ 4v โดยที่

1 2 3

1 0 0

0 2 1, ,

0 3 0

2 1 4

v v v

และ 4

3

1

2

0

v

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

32


แสดงว่าทุกๆ เวกเตอร์ 3 มิติใน 3R สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v ได ้

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

33

10. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 3R บนฟีลด์ F และ 1 21,1,2 , 2,0, 1v v และ 3 3, 2, 2v จง

แสดงว่าทุกๆ เวกเตอร์ 3 มิติใน 3R สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v ได ้

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

34

นิยาม 2 ก าหนดให้ 1 2, ,..., nS v v v เป็นสับเซตของปริภูมิเวกเตอร์ V และ W เป็น

ปริภูมิย่อยของ V ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ที่เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2, , , nv v v

จะกล่าวว่า W เป็นปริภูมิที่แผ่ทั่วถึงด้วย S ) space spanned by S หรือ (

W เป็นปริภูมิแผ่ทั่วถึงด้วย 1 2, ,..., nv v v หรือ S แผ่ทัว่ถึง W หรือ

1 2, ,..., nv v v แผ่ทั่วถึง W


กำรแผ่ทั่วถึง (Span)

จากนิยาม 2 กล่าวได้ว่า 1 2, ,..., nS v v v แผ่ทั่วถึง W ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ W

สามารถเขียนในรูปของเวกเตอร์ 1 2, ,..., nv v v ในผลรวมเชิงเส้น โดยสามารถใช้สัญลักษณ์แทนการ

แผ่ทั่วถึง ได้ดังนี้ ถ้า W เป็นปริภูมิแผ่ทั่วถึงด้วย 1 2, ,..., nS v v v จะเขียนแทนด้วย

1 2, ,..., nW span v v v หรือ W span S

ตัวอย่างที่ 1 ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์จริง 3R และ 1 1,1,2 ,v 2 1,0,1 ,v 3 2,1,3v

จงพิจารณาว่า 1 2 3, ,v v v แผ่ทั่วถึง 3R หรือไม่

วิธีท า 1 2 3, ,v v v แผ่ทั่วถึง 3R ก็ต่อเมื่อ ทุกๆ เวกเตอร์ใน 3R เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v

ให้ , ,v a b c เป็นเวกเตอร์ใดๆ ใน 3R

ทุกๆ เวกเตอร์ใน 3R สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v ได้ ก็ต่อเมื่อสมการ

, ,a b c 1 1 2 2 3 3c v c v c v 1

35


, ,a b c 1 2 31,1,2 1,0,1 2,1,3c c c

, ,a b c 1 1 1 2 2 3 3 3, ,2 ,0, 2 , ,3c c c c c c c c

, ,a b c 1 2 3 1 3 1 2 32 , ,2 3c c c c c c c c


1 2 32c c c a 1 3c c b 2

1 2 32 3c c c c

หรือ 1

2

3

1 1 2

1 0 1

2 1 3

c

c

c

a

b

c


1 1 2

1 0 1

2 1 3

a

b

c

1 2R R

1 1 2

0 1 1

2 1 3

a

b a

c

1 32R R

1 1 2

0 1 1

0 1 1 2

a

b a

c a

21R

1 1 2

0 1 1

0 1 1 2

a

a b

c a

2 31R R

1 1 2

0 1 1

0 0 0

a

a b

c a b

แสดงให้เห็นว่ามีจ านวนจริง จากเมทริกซ์แต่งเติม , ,a b c บางจ านวนที่ไม่สามารถหา

ค าตอบของระบบสมการได้ หรือ มีเวกเตอร์ 3, ,a b c R บางเวกเตอร์ที่ไม่เป็นผลรวมเชิงเส้นของ

1 2 3, ,v v v ดังนั้น 1 2 3, ,v v v ไม่แผ่ทั่วถึง 3R

36

ข้อสังเกต ระบบสมการเชิงเส้น จะมีค าตอบส าหรับทุกๆ , ,a b c ก็ต่อเมื่อ เมริกซ์

สัมประสิทธิ์เป็นเมทริกซ์ที่หาตัวผกผันได้ ซึ่งจากความรู้เรื่องดีเทอร์มิแนนต์ A จะเป็นเมทริกซ์ที่หา

ตัวผกผันได้ ก็ต่อเมื่อ det 0A เช่น ตัวอย่างที่ 1 1 1 2

1 0 1

2 1 3

A

ซ่ึง det 0A ดังนั้น

A จึงเป็นเมทริกซ์ที่หาตัวผกผันไม่ได้ นั่นคือ มีจ านวนจริง , ,a b c บางจ านวนที่ไม่สามารถหา

ค าตอบของระบบสมการได้ หรือ มีเวกเตอร์ 3, ,a b c R บางเวกเตอร์ที่ไม่เป็นผลรวมเชิงเส้นของ

1 2 3, ,v v v จึงท าให้ 1 2 3, ,v v v ไม่แผ่ทั่วถึง 3R

ตัวอย่างที่ 2 ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์จริง 3 1R และก าหนดเวกเตอร์ 1

1

2 ,

1

v

2

2

2 ,

1

v

3

1

3

2

v

จงพิจารณาว่า 1 2 3, ,v v v แผ่ทั่วถึง 3 1R หรือไม่

วิธีท า 1 2 3, ,v v v แผ่ทัว่ถึง 3 1R ก็ต่อเมื่อ ทุกๆ เวกเตอร์ใน 3 1R เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v

ให้ a

v b

c

เป็นเวกเตอร์ใดๆ ใน 3 1R

ทุกๆ เวกเตอร์ใน 3 1R สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v ได้ ก็ต่อเมื่อสมการ

a

b

c

1 1 2 2 3 3c v c v c v 1

37


a

b

c

1 2 3

1 2 1

2 2 3

1 1 2

c c c

a

b

c

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2

2 2 3

1 2

c c c

c c c

c c c

a

b

c

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2

2 2 3

2

c c c

c c c

c c c


1 2 32c c c a 1 2 32 2 3c c c b 2

1 2 32c c c c

หรือ 1

2

3

1 2 1

2 2 3

1 1 2

c

c

c

a

b

c

ในตัวอย่างนี้จะพิจารณาการมีค าตอบของระบบสมการโดยใช้วิธีการตรวจสอบด้วยการหาดี

เทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ โดย 1 2 1

2 2 3

1 1 2

A

ดังนั้น 1 2 1

2 2 3 17 0

1 1 2

แสดงว่าเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของระบบสมการเชิงเส้นเป็นเมทริกซ์ที่หาตัวผกผันได้

ดังนั้น ระบบสมการสามารถหาค าตอบได้ทุกๆ จ านวนจริง , ,a b c นั่นคือ v เป็นการรวม

เชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v แสดงว่า 1 2 3, ,v v v แผ่ทั่วถึง 3 1R

ลองมำดูตัวอย่ำงที่เกี่ยวกับกำรประยุกต์กำรแผ่ทั่วบ้ำงดีกว่ำ

38

ตัวอย่างที่ 3 บริษัทผลิตคอนกรีตผสมแห่งหนึ่ง มีสูตรผสมคอนกรีต 3 สูตร คือ สูตร ,A B และ

C แต่ละสูตรจะใช้ส่วนผสม 5 ส่วน คือ ซีเมนต์ น้ า ทราย หิน และข้ีเถ้า น้ าหนักของส่วนประกอบแต่

ละส่วน (กรัม) ต่อ 1 หน่วยของคอนกรีตผสม 60 กรัม แสดงไว้ดังนี้


ซีเมนต์ 20 18 12

น้ า 10 10 10

ทราย 20 25 15

หิน 10 5 15

ขี้เถ้า 0 2 8

ถ้ามีซีเมนต์ 960 กรัม น้ า 600 กรัม ทราย 1175 กรัม หิน 625 กรัม และขี้เถ้า 240 กรัม จะเป็นไปได้

หรือไม่ที่จะใช้ส่วนประกอบทั้งหมดท าคอนกรีตผสม ถ้าเป็นไปได้จะได้คอนกรีตผสมสูตรละก่ีหน่วย

วิธีท า ให้ 1 20,10,20,10,0v สูตร A

2 18,10,25,5,2v สูตร B

3 12,10,15,15,8v สูตร C

และ 960,600,1175,625,240u

ส่วนประกอบทั้งหมดจะสามารถน ามาท าคอนกรีตผสมได้ก็ต่อเมื่อ 1 2 3, ,u span v v v

ดังนั้น u 1 1 2 2 3 3c v c v c v

960,600,1175,625,240 1 2 320,10,20,10,0 18,10,25,5,2 12,10,15,15,8c c c


1 2 320 18 12c c c 960

1 2 310 10 10c c c 600 1 2 320 25 15c c c 1175 2

1 2 310 5 15c c c 625

2 32 8c c 240

39

หรือ 1

2

3

20 18 12

10 10 10

20 25 15

10 5 15

0 2 8

c

c

c

960

600

1175

625

240


20 18 12 960

10 10 10 600

20 25 15 1175

10 5 15 625

0 2 8 240

1

1

20R

9 3481

10 5600

10 10 101175

20 25 15625

10 5 15240

0 2 8

1 210R R

9 3481

10 5120

0 1 41175

20 25 15625

10 5 15240

0 2 8

1 320R R

9 3481

10 5120

0 1 4215

0 7 3625

10 5 15240

0 2 8

1 410R R

9 3481

10 5120

0 1 4215

0 7 3145

0 4 9240

0 2 8

40

2 1

9

10R R

1 0 3 60

0 1 4 120

0 7 3 215

0 4 9 145

0 2 8 240

2 37R R

1 0 3 60

0 1 4 120

0 0 25 625

0 4 9 145

0 2 8 240

2 44R R

1 0 3 60

0 1 4 120

0 0 25 625

0 0 25 625

0 2 8 240

2 52R R

1 0 3 60

0 1 4 120

0 0 25 625

0 0 25 625

0 0 0 0

3

1

25R

1 0 3 60

0 1 4 120

0 0 1 25

0 0 25 625

0 0 0 0

3 425R R

1 0 3 60

0 1 4 120

0 0 1 25

0 0 0 0

0 0 0 0

41

3 13R R

1 0 0 15

0 1 4 120

0 0 1 25

0 0 0 0

0 0 0 0

3 24R R

1 0 0 15

0 1 0 20

0 0 1 25

0 0 0 0

0 0 0 0

ดังนั้น 1 215, 20c c และ 3 25c

แสดงว่า เป็นไปได้ที่จะใช้ส่วนประกอบทั้งหมดในการท าคอนกรีตผสมได้ทั้งสามสูตร

นั่นคือ สูตร A 15 หน่วย สูตร B 20 หน่วย และสูตร C 25 หน่วย



42


1. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 2R บนฟีลด์ F และ 1 23,5 , 2,8v v ถ้า 26,2w R แล้ว จะมี

จ านวนจริง 1 2,c c หรือไม่ที่ท าให้ 1 2,v v แผ่ทั่วถึง w

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



43

2. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 2R บนฟีลด์ F และ 1 23,5 , 2,8v v จงแสดงว่า 1 2,v v แผ่ทั่วถึงทุกๆ

เวกเตอร์ มิติ 2ใน 2R

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

44

3. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 3R บนฟีลด์ F โดยที่ 4,13, 33w 1 21,2,3 , 2,1,9v v และ

3 7,1, 36v จงตรวจสอบว่า 1 2 3, ,v v v แผ่ทั่วถึง w หรือไม่ ถ้าแผ่ทั่วถึงจงเขียนผลรวมเชิงเส้นดังกล่าว

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

45


แสดงว่า 1 2 3, ,v v v แผ่ทั่วถึงทุกๆ เวกเตอร์ 3 มิตใิน 3R

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

46


1 3 2p x x x และ 2

2 5p x x x จงตรวจสอบว่า 1p x

และ 2p x แผ่ทั่วถึงทุกพหุนามใน 2P หรือไม่ ถ้าแผ่ทั่วถึงสามารถเขียนอยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้นของ 1p x

และ 2p x ได้อย่างไร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

47

6. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 2P โดยที่ 27 10 6p x x x และ

2

1 5 2 3 ,p x x x 2

2 8 4 3p x x x และ 2

3 13 2 6p x x x จงตรวจสอบว่า

1 2,p x p x และ 3p x แผ่ทั่วถึง 27 10 6p x x x หรือไม่ ถ้าแผ่ทั่วถึง จงเขียนผลรวมเชิงเส้น


…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

48


1 2 3

1 1 0 3 0 2, ,

2 0 0 4 3 1e e e

และ a b

Ec d

จงพิจารณาว่า 1 2 3, ,e e e แผ่ทั่วถึง

E หรือไม่ ถ้าแผ่ทั่วถึงจงเขียนผลรวมเชิงเส้นดังกล่าว

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

49

8. ในปริภูมิเวกเตอร์ 4 1R

โดยที่ 1 2 3

1 0 0

0 2 1, , ,

0 3 0

2 1 4

a

bu v v v

c

d

และ 4

3

1

2

0

v

จงพิจารณาว่า u แผ่ทั่วถึง 1 2 3, ,v v v และ 4v หรือไม่ ถ้าแผ่ทั่วถึง จงเขียนผลรวมเชิงเส้นดังกล่าว

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

50

9. ร้านท าขนมแห่งหนึ่ง มีสูตรส าหรับท าขนม 3 ชนิด คือ ขนม ,A B และ C แต่ละชนิดจะใช้ส่วนผสม 4

ส่วน คือ น้ าตาล กะทิ แป้งข้าวเจ้า และไข่แดง น้ าหนักของส่วนประกอบแต่ละส่วน (กรัม) ต่อ 1 หน่วยของ

ขนม 140 กรัม แสดงไว้ดังนี้


น้ าตาล 40 20 30

กะทิ 50 30 50

แป้งข้าวเจ้า 20 40 60

ไข่ไก่ 30 50 -

ถ้ามีน้ าตาล 1300 กรัม กะทิ 1950 กรัม แป้งข้าวเจ้า 2000 กรัม และไข่ไก่ 1050 กรัม จะเป็นไปได้หรือไม่ที่

จะใช้ส่วนประกอบทั้งหมดท าขนมท้ังสามชนิด ถ้าเป็นไปได้จะได้ขนมชนิดละกีห่น่วย

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

51

10. โรงอาหารของโรงเรียนแห่งหนึ่ง มีสูตรส าหรับท าต้มย ารสอร่อย 3 สูตร คือ สูตร ,A B และ C แต่ละ

ชนิดจะใช้ส่วนผสม 5 ส่วน คอื น้ าตาล น้ าปลา น้ ามะนาว เนื้อสัตว์ และผักสด น้ าหนักของส่วนประกอบแต่ละ

ส่วน (กิโลกรัม) ต่อ 1 หน่วยของต้มย า 15 กิโลกรัม แสดงไว้ดังนี้


น้ าตาล 1 2 1

น้ าปลา 2 1 1

น้ ามะนาว 2 1 2

เนื้อสัตว์ 4 6 9

ผักสด 6 5 2

ถ้ามีน้ าตาล 100 กิโลกรัม น้ าปลา 95 กิโลกรัม น้ ามะนาว 125 กิโลกรัม เนื้อสัตว์ 500 กิโลกรัม และผักสด

305 กิโลกรัม จะเป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้ส่วนประกอบทั้งหมดท าต้มย ารสอร่อยทั้งสามสูตร ถ้าเป็นไปได้จะได้

ต้มย ารสอร่อยสูตรละกี่หน่วย

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

52

นิยำม 3 ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ V บนฟีลด์ F และ 1 2 3, ,S v v v V

1. S เป็นเซตไม่อิสระเชิงเส้น ก็ต่อเมื่อ มีสเกลาร์ 1 2 3, , ,..., nc c c c ใน F

บางตัวที่ไม่เท่ากับ 0 และท าให้ 1 1 2 2 3 3v ... 0n nc v c c v c v

2. S เป็นเซตอิสระเชิงเส้น ก็ต่อเมื่อ ถ้า 1 2 3, , ,..., nc c c c เป็นสเกลาร์ใน F

ที่ท าให้ 1 1 2 2 3 3v ... 0n nc v c c v c v แล้ว 1 2 3 ... 0nc c c c


อิสระเชิงเส้น (Linearly Independent)

จากนิยามสามารถพิจารณาได้ว่า S เป็นเซตอิสระเชิงเส้นหรือไม่อิสระเชิงเส้น

ได้จากสมการ 1 1 2 2 3 3 ... 0n nc v c v c v c v เมื่อ 1 2 3, , ,..., nc c c c เป็นสเกลาร์ใน

F โดยถ้ามีค าตอบ 1 2 3, , ,..., nc c c c มากกว่าหนึ่งค าตอบ (มีบางตัวไม่เท่ากับ 0 ) แล้ว

S เป็นเซตไม่อิสระเชิงเส้น แต่ถ้ามีค าตอบ 1 2 3, , ,..., nc c c c เพียงค าตอบเดียวคือ

1 2 3 ... 0nc c c c แล้ว S เป็นเซตอิสระเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ 1 ก าหนด ปริภูมิเวกเตอร์ 2R ให้ 1,1 , 1,2S จงพิจารณาว่า S เป็นเซตอิสระเชิง

เส้นใน 2R หรือไม ่

วิธีท า ถ้า 1 2,c c เป็นสเกลาร์ที่ท าให้ 1 1 2 2 0c v c v

จึงพิจารณาความเป็นอิสระเชิงเส้นจากค าตอบของ 1 2,c c

ให้ 1 1 2 2c v c v 0 1


1 21,1 1,2c c 0,0

1 1 2 2, ,2c c c c 0,0

1 2 1 2, 2c c c c 0,0

53


1 2c c 0 2

1 22c c 0 3

แก้ระบบสมการเชิงเส้น จะได้ 1 2 0c c

ดังนั้น S เป็นอิสระเชิงเส้นใน 2R

วิธีท า ถ้า 1 2,c c เป็นสเกลาร์ที่ท าให้ 1 1 2 2 0c v c v

จึงพิจารณาความเป็นอิสระเชิงเส้นจากค าตอบของ 1 2,c c

ให้ 1 1 2 2c v c v 0 1

1 21,1 2,2c c 0,0

1 1 2 2, 2 ,2c c c c 0,0

1 2 1 22 , 2c c c c 0,0


1 22c c 0 2

1 22c c 0 3

หรือ 1

2

1 2

1 2

c

c

0

0


1 2 0

1 2 0

1 2R R

1 2 0

0 0 0

จากเมทริกซ์แต่งเติมที่ได้ด าเนินการตามแถวแล้ว จะพบว่าระบบสมการเชิงเส้นมีค าตอบเป็น

อนันต์ โดยมีค าตอบ 1 2,c c มากกว่าหนึ่งค าตอบ (มีบางตัวไม่เท่ากับ 0 )

ดังนั้น S เป็นเซตไม่อิสระเชิงเส้นใน 2R

ตัวอย่างที่ 2 ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 2R ให้ 1,1 , 2,2S จงพิจารณาว่า S เป็นอิสระเชิงเส้น

ใน 2R หรือไม่

54

ตัวอย่างที่ 3 ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 3R ให้ 1 2 3, ,S v v v โดยก าหนดให้ 1 1, 2,3v

2 5,6, 1v และ 3 3,2,1v จงพิจารณาว่า S เป็นเซตอิสระเชิงเส้นใน 3R หรือไม่

วิธีท า ถ้า 1 2 3, ,c c c เป็นสเกลาร์ที่ท าให้ 1 1 2 2 3 3 0c v c v c v

จึงพิจารณาความเป็นอิสระเชิงเส้นจากค าตอบของ 1 2 3, ,c c c

ให้ 1 1 2 2 3 3c v c v c v 0 1


1 2 31, 2,3 5,6, 1 3,2,1c c c 0,0,0

1 1 1 2 2 2 3 3 3, 2 ,3 5 ,6 , 3 ,2 ,c c c c c c c c c 0,0,0

1 2 3 1 2 3 1 2 35 3 , 2 6 2 ,3c c c c c c c c c 0,0,0


1 2 35 3c c c 0

1 2 32 6 2c c c 0 2

1 2 33c c c 0

หรือ 1

2

3

1 5 3

2 6 2

3 1 1

c

c

c

0

0

0


1 5 3 0

2 6 2 0

3 1 1 0

1 22R R

1 5 3 0

0 16 8 0

3 1 1 0

1 33R R

1 5 3 0

0 16 8 0

0 16 8 0

2

1

16R

1 5 30

10 1 0

20

0 16 8

55

2 316R R

1 5 30

10 1 0

20

0 0 0


อนันต์ โดยมีค าตอบ 1 2 3, ,c c c มากกว่าหนึ่งค าตอบ (มีบางตัวไม่เท่ากับ 0 )


ข้อสังเกต ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์ จะมีค าตอบส าหรับทุกๆ 0,0,0 ก็ต่อเมื่อ

เมทริกซ์สัมประสิทธิ์เป็นเมทริกซ์ที่หาตัวผกผันได้ ซึ่งจากความรู้เรื่องดีเทอร์มิแนนต์ A จะเป็น

เมทริกซ์ที่หาตัวผกผันได้ ก็ต่อเมื่อ det 0A เช่น ตัวอย่างที่ 3 1 5 3

2 6 2

3 1 1

A

ซ่ึง det 0A ดังนั้น A จึงเป็นเมทริกซ์ที่หาตัวผกผันไม่ได้ นั่นคือ มีค าตอบ 1 2 3, ,c c c

มากกว่าหนึ่งค าตอบ (มีบางตัวไม่เท่ากับ 0 )


ตัวอย่างที่ 4 ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 3R ให้ 1 2 3, ,S v v v โดยก าหนดให้ 1 1,2,1v

2 1,0, 1v และ 3 1,1,1v จงพิจารณาว่า S เป็นเซตอิสระเชิงเส้นใน 3R หรือไม่



ให้ 1 1 2 2 3 3c v c v c v 0 1


56

1 2 31,2,1 1,0, 1 1,1,1c c c 0,0,0

1 1 1 2 2 3 3 3,2 , ,0, , ,c c c c c c c c 0,0,0

1 2 3 1 3 1 2 3,2 ,c c c c c c c c 0,0,0


1 2 3c c c 0

1 32c c 0 2

1 2 3c c c 0

หรือ 1

2

3

1 1 1

2 0 1

1 1 1

c

c

c

0

0

0


1 1 1 0

2 0 1 0

1 1 1 0

1 22R R

1 1 1 0

0 2 1 0

1 1 1 0

1 31R R

1 1 1 0

0 2 1 0

0 2 0 0

2

1

2R

1 1 10

10 1 0

20

0 2 0

2 32R R

1 1 10

10 1 0

20

0 0 1

จากเมทริกซ์แต่งเติมที่ได้ด าเนินการตามแถวแล้ว จะพบว่าระบบสมการเชิงเส้นมีค าตอบ

เพียงหนึ่งชุดค าตอบ คือ 1 2 3 0c c c ดังนั้น S เป็นเซตอิสระเชิงเส้นใน 3R

57

ตัวอย่างที่ 5 ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 2P ให้ 1 2 3, ,S p x p x p x โดยก าหนดให้

2

1 2p x x x 2

2, 2p x x x และ 2

3 2 2 3p x x x จงพิจารณาว่า S เป็นเซตอิสระเชิง

เส้นใน 2P หรือไม่

วิธีท า ถ้า 1 2 3, ,c c c เป็นสเกลาร์ที่ท าให้ 1 1 2 2 3 3 0c p x c p x c p x


ให้ 1 1 2 2 3 3c p x c p x c p x 0 1


2 2 2

1 2 32 2 2 2 3c x x c x x c x x 20 0 0x x

2 2 2

1 1 1 2 2 3 3 32 2 2 2 3c c x c x c x c x c c x c x 20 0 0x x 2 2 2

1 3 1 2 3 1 2 32 2 2 2 3c c c x c x c x c x c x c x 20 0 0x x 2

1 3 1 2 3 1 2 32 2 2 2 3c c c c c x c c c x 20 0 0x x


1 32 2c c 0

1 2 32c c c 0

1 2 32 3c c c 0

หรือ 1

2

3

2 0 2

1 1 2

1 2 3

c

c

c

0

0

0


2 0 2 0

1 1 2 0

1 2 3 0

1

1

2R

1 0 1 0

1 1 2 0

1 2 3 0

1 21R R

1 0 1 0

0 1 1 0

1 2 3 0

58

1 31R R

1 0 1 0

0 1 1 0

0 2 2 0

2 32R R

1 0 1 0

0 1 1 0

0 0 0 0


อนันต์โดยมีค าตอบ 1 2 3, ,c c c มากกว่าหนึ่งค าตอบ (มีบางตัวไม่เท่ากับ 0 ) ในตัวอย่างนี้จะพิจารณาการมี

ค าตอบของระบบสมการโดยใช้วิธีการตรวจสอบด้วยการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ โดย

2 0 2

1 1 2

1 2 3

A

ดังนั้น 2 0 2

1 1 2 0

1 2 3

แสดงว่าเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของระบบสมการเชิงเส้นเป็นเมทริกซ์ที่หาตัวผกผันได้ ดังนั้น A จึง

เป็นเมทริกซ์ที่หาตัวผกผันไม่ได้ นั่นคือ มีค าตอบ 1 2 3, ,c c c มากกว่าหนึ่งค าตอบ (มีบางตัวไม่เท่ากับ 0 )




59


1. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 2P และ 1 2 3( ), ( ), ( )S p x p x p x โดยที่ 2

1 2 2 4p x x x ,

2

2 2 3 5p x x x และ 3 6p x x จงตรวจสอบว่า S เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………



60

2. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 3R และ 1 2 3, ,S v v v โดยที่ 1 2,1,4v , 2 3,0,2v และ

3 1,2, 2v จงตรวจสอบว่า S เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

61

3. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 4R และ 1 2 3, ,S v v v โดยที่ 1 0,3,1, 1v , 2 6,0,5,1v และ

3 4, 7,1,3v จงตรวจสอบว่า S เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

62

4. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 4R และ 1 2 3 4, , ,S v v v v โดยที่ 1

1

2

3

4

v

, 2

2

4

6

8

v

, 3

0

1

2

0

v

และ

4

4

3

22

16

v

จงตรวจสอบว่า S เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

63

5. ก าหนดให้ 1 ,2, 1v a 2 1,2,0v และ 3 4,4,v a จงหาค่า a ที่ท าให้เวกเตอร์ต่อไปนี้ไม่

เป็นอิสระเชิงเส้นใน 3R

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

64

6. จงหาค่า h ที่ท าให้เซตต่อไปนี้เป็นอิสระเชิงเส้น 1 3 1

1 , 5 , 5

4 7 h

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

65


1 2 1p x x ax ,

2

2 3 5p x x x และ 2

3 2p x ax x a จงหาค่า a ที่ท าให้ S เป็นเซตอิสระเชิงเส้น

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

66


1 3

3 , 5

2 2

v v

และ 3

0

1

1

v

จงพิจารณาว่า 1 2 3, ,v v v เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

ถ้าไม่ จงหาความสัมพันธ์ระหว่าง 3 เวกเตอร์นี้

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

67


1 4

2 , 8

2 8

v v

และ 3

2

2

1

v



…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

68


1 21, 2p x x x p x x x และ 3 1p x x จงพิจารณาว่า

1 2 3, ,p x p x p x เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่ ถ้าไม่ จงหาความสัมพันธ์ระหว่าง 3 พหุนามนี้

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

69

ค าชี้แจง 1. แบบทดสอบฉบับนี้เป็นแบบทดสอบแบบปรนัยชนิดเลือกตอบ 4 ตัวเลือก จ านวน 4 ข้อ

2. ให้นักเรียนเลือกค าตอบที่ถูกที่สุดเพียงค าตอบเดียว แล้วเขียนเฉพาะตัวอักษรหน้า

ค าตอบที่ถูกต้องลงในแบบบันทึกค าตอบ

3. เวลาที่ใช้ในการท าแบบทดสอบ 30 นาที

........................................................................................................................................ ......................................

1. ก าหนดให้ 1 21, ,2 , 0,4, 2v a v และ 3 3, ,1v a จงหาค่า a ที่ท าให้เวกเตอร์

ข้างต้นอิสระเชิงเส้นใน 3R

ก. 5a

ข. 5a

ค. 5a

ง. 5a


1 22 , 1p x ax x b p x x และ 2

3 2 2p x x x ซ่ึง

1 2 3, ,p x p x p x เป็นเซตไม่อิสระเชิงเส้นในปริภูมิเวกเตอร์ 2P จงหาค่า b a

ก. 1

ข. 0

ค. 1

ง. ไม่มีค าตอบ


1 23 2 ,p x x x p x x x และ 3 1p x x ซ่ึง

1 2 3, ,p x p x p x เป็นเซตไม่อิสระเชิงเส้น ข้อใดเป็นความสัมพันธ์ระหว่าง 3 พหุนามนี้

ก. 1 2 32 0p x p x p x

ข. 1 2 32 3 0p x p x p x

ค. 1 2 3 0p x p x p x

ง. 1 2 32 3 0p x p x p x

แบบทดสอบหลังเรียน


70

4. ข้อใดไม่ถูกต้อง

ก. ถ้าปริภูมิเวกเตอร์ใดสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้นได้ ปริภูมิเวกเตอร์นั้นจะไม่มี

สมบัติการแผ่ทั่วถึง

ข. ค่าสเกลาร์ที่ท าให้ปริภูมิเวกเตอร์ใดๆเป็นอิสระเชิงเส้น จะมีค่าเท่ากับ 0 ทุกค่า

ค. ค่าสเกลาร์ที่ท าให้ปริภูมิเวกเตอร์ใดๆมีสมบัติการแผ่ทั่วถึง จะมีค่าใดๆใน F

ง. ถูกต้องทุกตัวเลือก

5. ปริภูมิเวกเตอร์ใดที่ไม่แผ่ทั่วถึงทุกๆเวกเตอร์ใน 3R

ก. 1,2, 1 , 2,2,1 , 1,3,2 ข. 1, 2,3 , 2,4,2 , 2, 4,0

ค. 1,2, 1 , 0,0,1 , 4,0, 1 ง. 2, 1,0 , 0,1,3 , 4, 1, 2


1 2, 2 2 , 2 3P x ax bx c p x x x p x x และ

2

3 4 1p x x x โดยที่ 1 2,p x p x และ 3p x แผ่ทั่วถึงทุกๆพหุนามของ P x จงเขียน

การแผ่ทั่วถึงดังกล่าวให้อยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,p x p x และ 3p x

ก. 1 2 3

22 3 2 2 3 2 10 3 2

12 12 12


ข. 1 2 3

22 3 2 2 3 2 10 3 2

12 12 12


ค. 1 2 3

22 3 2 2 3 2 10 3 2

12 12 12


ง. 1 2 3

22 3 2 2 3 2 10 3 2

12 12 12


7. ร้านกาแฟแห่งหนึ่ง มีสูตรส าหรับชงกาแฟเย็น 3 สูตร คือ สูตร ,A B และ C แต่ละสูตรจะใช้

ส่วนผสม 4 ส่วน คือ กาแฟ ช็อกโกแลต น้ าเชื่อม และนมสด น้ าหนักของส่วนประกอบแต่ละส่วน (มิลลิลิตร)

ต่อ 1 หน่วยของกาแฟเย็น 200 มิลลิลิตร แสดงไว้ดังนี้


กาแฟ 70 60 80

ช็อกโกแลต 60 50 40

น้ าเชื่อม 30 30 30

นมสด 60 60 50

71

ถ้ามีกาแฟ 1200 มิลลิลิตร ช็อกโกแลต 850 มิลลิลิตร น้ าเชื่อม 510 มิลลิลิตร และนมสด 840

มิลลิลิตร จะเป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้ส่วนประกอบทั้งหมดท ากาแฟเย็นทั้ง 3 สูตร ถ้าเป็นไปได้จะได้กาแฟเย็น

สูตรละก่ีหน่วย (แก้ว)

ก. สูตร A 6 หน่วย สูตร B 6 หน่วย สูตร C 6 หน่วย

ข. สูตร A 6 หน่วย สูตร B 5 หน่วย สูตร C 6 หน่วย

ค. สูตร A 5 หน่วย สูตร B 6 หน่วย สูตร C 6 หน่วย

ง. สูตร A 6 หน่วย สูตร B 5 หน่วย สูตร C 5 หน่วย

8. ก าหนดให้ 1 26, 9,10 , 2, 1, 2 , 5, 3,3w v v โดยที่ w เป็นผลรวมเชิงเส้น

ของ 1v และ 2v จงหาผลรวมเชิงเส้นดังกล่าว

ก. 1 23 2w v v

ข. 1 22 3w v v

ค. 1 23 2w v v

ง. 1 22 3w v v

9. จงหาค่าสเกลาร์ ic แต่ละค่าที่ท าให้ 10,11,1w เป็นผลรวมเชิงเส้นของ

1 21,0, 1 , 3, 2,1v v และ 3 2,3, 1v

ก. 1 2 33 , 2 , 1c c c

ข. 1 2 33 , 1, 2c c c

ค. 1 2 32 , 3 , 1c c c

ง. 1 2 32 , 1, 3c c c

10. ก าหนดให้ 17, 1, 13V เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 21, 2,4 , 2, 1, 1v v

และ 3 3, 1,2v จงหาผลรวมของค่าสเกลาร์จากข้อมูลที่ก าหนดให้

ก. 1

ข. 5

ค. 5

ง. 2

72

ชื่อ – นามสกุล ........................................................................................ชั้น ม.6/........... เลขท่ี . .........

ค ำชี้แจง : ให้นักเรียนเลือกค าตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงค าตอบเดียว แล้วเขียนเฉพาะตัวอักษรหน้า

ค าตอบที่ถูกท่ีสุดลงในแบบบันทึกค าตอบนี้

ลงชื่อ ......................................... ผู้ตรวจ

ข้อที่ ค ำตอบ ผลกำรตรวจ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

รวมคะแนน

เกณฑ์การให้คะแนน : ในแต่ละข้อของแบบทดสอบ ตอบถูกให้ 1 คะแนน ตอบผิดให้ 0 คะแนน

เกณฑ์การประเมิน : นักเรียนได้คะแนนร้อยละ 60 ขึ้นไป หรือตอบถูก 6 ข้อขึ้นไป ถือว่าผ่านเกณฑ์

การประเมิน

แบบบันทึกค ำตอบแบบทดสอบก่อนเรียน


ท าได้กี่คะแนนเอ่ย

73

กลุ่มโรงเรียนจุฬาภรณราชวิทยาลัย. (2557). หลักสูตรโรงเรียนวิทยำศำสตร์ภูมิภำคระดับชั้น

มัธยมศึกษำตอนปลำย พุทธศักรำช 2554 (ฉบับปรุงปรุง พุทธศักรำช 2557). กรุงเทพฯ :

กระทรวงศึกษาธิการ.

กมล เอกไทยเจริญ. (2537). พีชคณิตเชิงเส้นและเทคนิคกำรใช้ Graphing Calculator.

กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง.

ยศนันท์ มีมาก. (ม.ป.ป.). พีชคณิตเชิงเส้น 1. 2301234 Linear Algebraa I. สืบค้นเมื่อ 2 ธันวาคม

2559, จาก http://pioneer.netserv.chula.ac.th/myotsana/234_1.pdf

Ron, L. Robert, H. and David, C.F. (2007). Precalculus. United State of America :

Houghton Mifflin.

บรรณำนุกรม

74

ภำคผนวก

75

แบบฝึกทักษะ คะแนน เกณฑ์กำรพิจำรณำ


เรื่อง ผลรวมเชิงเส้น

3

สามารถแสดงวิธีท าโดยใช้วิธีการที่ถูกต้อง เหมาะสม เพ่ือแก้โจทย์

ปัญหา เรื่อง ผลรวมเชิงเส้น และลงข้อสรุปได้อย่างถูกต้อง ครบถ้วน

และสมเหตุสมผล

2


ปัญหา เรื่อง ผลรวมเชิงเส้น แต่ไม่สามารถลงข้อสรุปที่ถูกต้อง

ครบถ้วน และสมเหตุสมผล

1

สามารถแสดงวิธีท าได้บางส่วน และไม่สามารถลงข้อสรุปได้อย่าง

ถูกต้อง ครบถ้วน และสมเหตุสมผล หรือสามารถแสดงวิธีท าได้แต่มี

การคิดค านวณผิดพลาด

0

ไม่สามารถแสดงวิธีท าด้วยวิธีการที่ถูกต้อง เหมาะสม เพ่ือแก้โจทย์

ปัญหา เรื่อง ผลรวมเชิงเส้น และไม่สามารถลงข้อสรุปที่ถูกต้อง



เรื่อง การแผ่ทั่วถึง

3


ปัญหา เรื่อง การแผ่ทั่วถึง และลงข้อสรุปได้อย่างถูกต้อง ครบถ้วน


2


ปัญหา เรื่อง การแผ่ทั่วถึง แต่ไม่สามารถลงข้อสรุปที่ถูกต้อง ครบถ้วน


1




0

ไมส่ามารถแสดงวิธีท าด้วยวิธีการที่ถูกต้อง เหมาะสม เพ่ือแก้โจทย์

ปัญหา เรื่อง การแผ่ทั่วถึง และไม่สามารถลงข้อสรุปที่ถูกต้อง


เกณฑ์กำรให้คะแนนแบบฝึกทักษะ

76

แบบฝึกทักษะ คะแนน เกณฑ์กำรพิจำรณำ



3


ปัญหา เรื่อง อิสระเชิงเส้น และลงข้อสรุปได้อย่างถูกต้อง ครบถ้วน


2


ปัญหา เรื่อง อิสระเชิงเส้น แต่ไม่สามารถลงข้อสรุปที่ถูกต้อง ครบถ้วน


1




0

ไม่สามารถแสดงวิธีท าด้วยวิธีการที่ถูกต้อง เหมาะสม เพ่ือแก้โจทย์

ปัญหา เรื่อง อิสระเชิงเส้น และไม่สามารถลงข้อสรุปที่ถูกต้อง




1. นักเรียนได้คะแนนรวมร้อยละ 60 ขึ้นไป ถือว่าผ่านเกณฑ์

2. นักเรียนได้คะแนนรวมต่ ากว่าร้อยละ 60 ถือว่าไม่ผ่านเกณฑ์

77

เฉลยแบบฝึกทกัษะคณิตศำสตร ์

เล่มที่ 2 : อิสระเชิงเส้น

ไปดูเฉลยกันดีกว่ำครับ

Let’s go to see the answer

78

ข้อที่ ค ำตอบ

1 ก

2 ง

3 ง

4 ข

5 ค

6 ข

7 ค

8 ข

9 ก

10 ก

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน


79

ชื่อ – นามสกุล..................................................................................................ชั้น ม.6/............. เลขที่ ..............

ค าชี้แจง จงแสดงแนวคิดวิธีการในการหาค าตอบของค าถามแต่ละข้อต่อไปนี้


จ านวนจริง 1 2,c c หรือไม่ที่ท าให้ w เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,v v

วิธีท า จะมีจ านวนจริง 1 2,c c ที่ท าให้ 1 1 2 2w c v c v ดังนี้

2,15 1 21,3 2,1c c

2,15 1 1 2 2,3 2 ,c c c c

2,15 1 2 1 22 ,3c c c c


1 22c c 2 1

1 23c c 15 2

น า 3 ... 1 1 23 6c c 6 3

น า ... 2 ... 3 27c 21

2c 3

น า 2 3c แทนใน ... 1 จะได้ 1c 4

ดังนั้น มีจ านวนจริง 1 24, 3c c ที่ท าให้ w เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,v v

เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 1


80

2. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 2R บนฟีลด์ F และ 1 21,3 , 2,1v v จงแสดงว่าทุกๆเวกเตอร์ 2 มิติใน 2R สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,v v ได ้

วิธีท า ทุกๆเวกเตอร์ 2 มิติใน 2R ซึ่งก าหนดให้ ,w a b

จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,v v ก็ต่อเมื่อ 1 1 2 2w c v c v

,a b 1 21,3 2,1c c

,a b 1 1 2 2,3 2 ,c c c c

,a b 1 2 1 22 ,3c c c c


1 22c c a 1

1 23c c b 2

น า 3 ... 1 1 23 6c c 3a 3

น า ... 2 ... 3 27c 3b a

2c 3

7

b a

น า 2 3c แทนใน ... 1 จะได้ 1c 2

7

b a

ดังนั้น ทุกๆเวกเตอร์ 2 มิติใน 2R สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,v v ได้ โดยที ่

1 2

2 3

7 7

b a b aw v v

81


ตรวจสอบว่า 12,9,10w เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v หรือไม่ ถ้าเป็นจงเขียนผลรวมเชิงเส้น


วิธีท า จะมีจ านวนจริง 1 2 3, ,c c c ที่ท าให้ 1 1 2 2 3 3w c v c v c v ดังนี้

12,9,10 1 2 30,3,2 6,3,0 4,0, 3c c c

12,9,10 1 1 2 2 3 30,3 ,2 6 ,3 ,0 4 ,0, 3c c c c c c

12,9,10 2 3 1 2 1 36 4 ,3 3 ,2 3c c c c c c


2 36 4c c 12 1

1 23 3c c 9 2

1 32 3c c 10 3

หรือ 1

2

3

0 6 4

3 3 0

2 0 3

c

c

c

12

9

10


0 6 4 12

3 3 0 9

2 0 3 10

1 2R R

3 3 0 9

0 6 4 12

2 0 3 10

1

1

3R

1 1 0 3

0 6 4 12

2 0 3 10

1 32R R

1 1 0 3

0 6 4 12

0 2 3 4

2

1

6R

1 1 03

20 1 2

34

0 2 3

82

2 32R R

1 1 03

20 1 2

30

50 0

3

2 11R R

21 0

3 52

0 1 23

05

0 03

3

3

5R

21 0

3 52

0 1 23

00 0 1

3 2

2

3R R

21 0

53

0 1 0 2

0 0 1 0

3 1

2

3R R

1 0 0 5

0 1 0 2

0 0 1 0

ดังนั้น มีจ านวนจริง 1 25, 2c c และ 3 0c ที่ท าให้ w เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v

83

4. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 3R บนฟีลด์ F และ 1 20,3,2 , 6,3,0v v และ 3 4,0, 3v จงแสดง

ว่าทุกๆ เวกเตอร์ 3 มิตใิน 3R สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v ได ้

วิธีท า ทุกๆเวกเตอร์ 3 มิติใน 3R ซึ่งก าหนดให้ , ,cw a b

จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v ก็ต่อเมื่อ 1 1 2 2 3 3w c v c v c v

, ,a b c 1 2 30,3,2 6,3,0 4,0, 3c c c

, ,a b c 1 1 2 2 3 30,3 ,2 6 ,3 ,0 4 ,0, 3c c c c c c

, ,a b c 2 3 1 2 1 36 4 ,3 3 ,2 3c c c c c c


2 36 4c c a 1

1 23 3c c b 2

1 32 3c c c 3

หรือ 1

2

3

0 6 4

3 3 0

2 0 3

c

c

c

a

b

c


0 6 4

3 3 0

2 0 3

a

b

c

1 2R R

3 3 0

0 6 4

2 0 3

b

a

c

1

1

3R

1 1 0 3

0 6 4

2 0 3

b

a

c

1 32R R

1 1 0 3

0 6 4

0 2 3 3 2

3

b

a

c b

84

2

1

6R

1 1 0 3

20 1

3 6

0 2 3 3 2

3

b

a

c b

2 32R R

1 1 0 3

20 1

3 6

5 3 20 0

3 3

b

a

a c b

2 11R R

2 21 0

3 6

20 1

3 6

5 3 20 0

3 3

a b

a

a c b

3

3

5R

2 21 0

3 6

20 1

3 6

0 0 1 3 2

5

a b

a

a c b

3 2

2

3R R

22

1 0 63

9 8 120 1 0

300 0 1

3 2

5

a b

a b c

a c b

3 1

2

3R R

3 6 4

101 0 09 8 12

0 1 030

0 0 12 3

5

a b c

a b c

a b c

ดังนั้น ทุกๆเวกเตอร์ 3 มิติใน 3R สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v ได้ โดยที ่

1 2 3

3 6 4 9 8 12 2 3

10 30 5

a b c a b c a b cw v v v

85


1 3 2p x x x และ 2

2 5p x x x จงตรวจสอบว่า

2 4p x x x เป็นผลรวมเชิงเส้นของพหุนาม 1p x และ 2p x หรือไม่ ถ้าเป็นจงเขียนผลรวมเชิงเส้น


วิธีท า จะมีจ านวนจริง 1 2,c c ที่ท าให้ 1 1 2 2p x c p x c p x ดังนี้

2 4x x 2 2

1 23 2 5c x x c x x

2 4x x 2 2

1 1 2 23 2 5c x c x c x c x

2 4x x 2

1 2 1 23 5 2c c x c c x


1 23 5c c 1 1

1 22c c 4 2

หรือ 1

2

3 5

2 1

c

c

1

4


3 5 1

2 1 4

1

1

3R

5 1

13 3

2 1 4

1 22R R

5 11

3 3

13 100

3 3

2

3

13R

15

1 33

100 1

13

2 1

5

3R R

21

1 0 13

0 1 10

13

ดังนั้น มีจ านวนจริง 1 2

21 10,

13 13c c ที่ท าให้ w เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,p x p x

โดยที่ 1 2

21 10

13 13p x p x p x

86

6. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 2P และ 2 2

1 22 2 1, 4 4 4p x x x p x x x และ

2

3 2 1p x x x จงตรวจสอบว่าทุกพหุนามใน 2P สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของพหุนาม

1 2,p x p x และ 3p x ไดห้รือไม่

วิธีท า จะมีจ านวนจริง 1 2 3, ,c c c ที่ท าให้ 1 1 2 2 3 3p x c p x c p x c p x ดังนี้

2ax bx c 2 2 2

1 2 32 2 1 4 4 4 2 1c x x c x x c x x

2ax bx c 2 2 2

1 1 1 2 2 2 3 3 32 2 4 4 4 2c x c x c c x c x c c x c x c

2ax bx c 2

1 2 3 1 2 3 1 2 32 4 2 4 2 4c c c x c c c x c c c


1 2 32 4c c c a 1

1 2 32 4 2c c c b 2

1 2 34c c c c 3

หรือ 1

2

3

2 4 1

2 4 2

1 4 1

c

c

c

a

b

c


2 4 1

2 4 2

1 4 1

a

b

c

1 2R R

1 4 1

2 4 2

2 4 1

c

b

a

1 22R R

1 4 1

0 12 0 2

2 4 1

c

c b

a

1 32R R

1 4 1

0 12 0 2

0 4 3 2

c

c b

c a

2

1

12R

1 4 1

20 1 0

120 4 3

2

c

c b

c a

87

2 34R R

1 4 12

0 1 012

0 0 33 4

3

c

c b

a b c

2 14R R

31 0 12

0 1 012

0 0 33 4

3

b c

c b

a b c

3

1

3R

31 0 12

0 1 012

0 0 13 4

9

b c

c b

a b c

3 1R R

3 2

91 0 12

0 1 012

0 0 13 4

9

a b c

c b

a b c

ดังนั้น ทุกๆพหุนามใน 2P สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,p x p x และ 2p x โดยที ่

1 2 3

3 2 2 3 4

9 12 9

a b c c b a b cp x p x p x p x

88


1 2 3

1 1 0 3 0 2, ,

2 0 0 4 3 1e e e

จงตรวจสอบว่า 3 8

9 3E



วิธีท า จะมีจ านวนจริง 1 2 3, ,c c c ที่ท าให้ 1 1 2 2 3 3E c e c e c e ดังนี้

3 8

9 3

1 2 3

1 1 0 3 0 2

2 0 0 4 3 1c c c

3 8

9 3

31 1 2 2

3 31 2

0 22 3

32 0 0 4

cc c c c

c cc c

3 8

9 3

1 1 2 3

1 3 2 3

3 2

2 3 4

c c c c

c c c c


1c 3

1 2 33 2c c c 8 1

1 32 3c c 9 2

2 34c c 3 3

น า 1 3c แทนในสมการ 2 จะได้ 3 1c

น า 1 33, 1c c แทนในสมการ 1 จะได้ 2 1c

ดังนั้น มีจ านวนจริง 1 23, 1c c และ 3 1c ที่ท าให้ E เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,e e e

89

8. ในปริภูมเวกเตอร์ 4 1R

จงเขียน

4

0

1

5

u

ในรูปของผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v และ 4v โดยที่

1 2 3

1 0 0

0 2 1, ,

0 3 0

2 1 4

v v v

และ 4

3

1

2

0

v

วิธีท า จะมีจ านวนจริง 1 2 3 4, , ,c c c c ที่ท าให้ 1 1 2 2 3 3 4 4u c v c v c v c v ดังนี้

4

0

1

5

1 2 3 4

1 0 0 3

0 2 1 1

0 3 0 2

2 1 4 0

c c c c

4

0

1

5

1 4

32 4

2 4

31 2

00 3

0 2

00 3 2

42 0

c c

cc c

c c

cc c

4

0

1

5

1 4

2 3 4

2 4

1 3

3

2

3 2

2 4

c c

c c c

c c

c c


1 43c c 4 1

2 3 42c c c 0 2

2 43 2c c 1 3

1 32 4c c 5 4

หรือ

1

2

3

4

1 0 0 3

0 2 1 1

0 3 0 2

2 1 4 0

c

c

c

c

4

0

1

5

90


1 0 0 3 4

0 2 1 1 0

0 3 0 2 1

2 1 4 0 5

1 42R R

1 0 0 3 4

0 2 1 1 0

0 3 0 2 1

0 1 4 6 3

2 4R R

1 0 0 3 4

0 1 4 6 3

0 3 0 2 1

0 2 1 1 0

21R

1 0 0 3 4

0 1 4 6 3

0 3 0 2 1

0 2 1 1 0

2 33R R

1 0 0 3 4

0 1 4 6 3

0 0 12 20 8

0 2 1 1 0

2 42R R

1 0 0 3 4

0 1 4 6 3

0 0 12 20 8

0 0 7 13 6

3

1

12R

1 0 0 3 4

0 1 4 6 3

5 20 0 1

3 3

0 0 7 13 6

3 47R R

1 0 0 3 4

0 1 4 6 3

5 20 0 1

3 3

4 40 0 0

3 3

91

3 24R R

1 0 0 3 4

2 10 1 0

3 3

5 20 0 1

3 3

4 40 0 0

3 3

4

3

4R

1 0 0 3 4

2 10 1 0

3 3

5 20 0 1

3 3

0 0 0 1 1

4 3

5

3R R

1 0 0 3 4

2 10 1 0

3 3

0 0 1 0 1

0 0 0 1 1

4 2

2

3R R

1 0 0 3 4

0 1 0 0 1

0 0 1 0 1

0 0 0 1 1

4 13R R

1 0 0 0 1

0 1 0 0 1

0 0 1 0 1

0 0 0 1 1

ดังนั้น มีจ านวนจริง 1 2 31, 1, 1c c c และ 4 1c ที่ท าให้ u เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3 4, , ,v v v v

92


แสดงว่าทุกๆ เวกเตอร์ 3 มิตใิน 3R สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v ได ้



, ,a b c 1 2 32,1,4 3,0,2 1,2, 2c c c

, ,a b c 1 1 1 2 2 3 3 32 , ,4 3 ,0,2 ,2 , 2c c c c c c c c

, ,a b c 1 2 3 1 3 1 2 32 3 , 2 ,4 2 2c c c c c c c c


1 2 32 3c c c a 1

1 32c c b 2

1 2 34 2 2c c c c 3

หรือ 1

2

3

2 3 1

1 0 2

4 2 2

c

c

c

a

b

c


2 3 1

1 0 2

4 2 2

a

b

c

1 2R R

1 0 2

2 3 1

4 2 2

b

a

c

1 22R R

1 0 2

0 3 5 2

4 2 2

b

a b

c

1 34R R

1 0 2

0 3 5 2

0 2 10 4

b

a b

b c

2 3R R

1 0 2

0 2 10 4

0 3 5 2

b

b c

a b

2

1

2R

1 0 2

40 1 5

20 3 5

2

b

b c

a b

93

2 33R R

1 0 24

0 1 52

0 0 202 16 3

2

b

b c

a b c

3

1

20R

1 0 2

40 1 5

20 0 1

2 16 3

40

b

b c

a b c

3 12R R

2 4 3

201 0 02

0 1 08

0 0 12 16 3

40

a b c

a c

a b c


2 4 3 2,

20 8

a b c a cc c

และ

3

2 16 3

40

a b cc


, ,a b c 1 2 3

2 4 3 2 2 16 3

20 8 40

a b c a c a b cv v v

94

10. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 3R บนฟีลด์ F และ 1 21,1,2 , 2,0, 1v v และ 3 3, 2, 2v จง

แสดงว่าทุกๆ เวกเตอร์ 3 มิตใิน 3R สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v ได ้



, ,a b c 1 2 31,1,2 2,0, 1 3, 2, 2c c c

, ,a b c 1 1 1 2 2 3 3 3, ,2 2 ,0, 3 , 2 , 2c c c c c c c c

, ,a b c 1 2 3 1 3 1 2 32 3 , 2 ,2 2c c c c c c c c


1 2 32 3c c c a 1

1 32c c b 2

1 2 32 2c c c c 3

หรือ 1

2

3

1 2 3

1 0 2

2 1 2

c

c

c

a

b

c


1 2 3

1 0 2

2 1 2

a

b

c

1 2R R

1 2 3

0 2 5

2 1 2

a

a b

c

1 2R R

1 2 3

0 2 5

0 5 8 2

a

a b

a c

2

1

2R

1 2 3

50 1

2 2

0 5 8 2

a

a b

a c

2 35R R

1 2 3

50 1

2 2

9 5 20 0

2 2

a

a b

a b c

95

2 12R R

1 0 2

50 1

2 2

9 5 20 0

2 2

b

a b

a b c

3

2

9R

1 0 2

50 1

2 2

0 0 1 5 2

9

b

a b

a b c

3 2

5

2R R

1 0 2

2 8 50 1 0

90 0 1

5 2

9

b

a b c

a b c

3 12R R

2 4

91 0 02 8 5

0 1 09

0 0 15 2

9

a b c

a b c

a b c


2 4 2 8 5,

9 9

a b c a b cc c

และ 3

5 2

9

a b cc


, ,a b c 1 2 3

2 4 2 8 5 5 2

9 9 9

a b c a b c a b cv v v

96

ชื่อ – นามสกุล..................................................................................................ชั้น ม.6/........... .. เลขที่ ..............



จ านวนจริง 1 2,c c หรือไม่ที่ท าให้ 1 2,v v แผ่ทั่วถึง w

วิธีท า จะมีจ านวนจริง 1 2,c c ที่ท าให้ 1 1 2 2w c v c v ดังนี้

6,2 1 23,5 2,8c c

6,2 1 2 1 23 2 ,5 8c c c c


1 23 2c c 6 1

1 25 8c c 2 2

หรือ 1

2

3 2

5 8

c

c

6

2


3 2 6

5 8 2

1

1

3R

2

213

25 8

1 25R R

21

23

14 80

3

2

3

14R

2 2

13 12

0 1 7

2 1

2

3R R

22

1 0 7

0 1 12

7

เพราะฉะนั้น มีจ านวนจริง 1 2

22 12,

7 7c c ที่ท าให้ w เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,v v

ดังนั้น 1 2,v v จึงแผ่ทั่วถึง w



97

2. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 2R บนฟีลด์ F และ 1 23,5 , 2,8v v จงแสดงว่า 1 2,v v แผ่ทั่วถึงทุกๆ

เวกเตอร์ 2 มิติใน 2R

วิธีท า ทุกๆเวกเตอร์ 2 มิติใน 2R ซึ่งก าหนดให้ ,w a b

จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,v v ก็ต่อเมื่อ 1 1 2 2w c v c v

,a b 1 23,5 2,8c c

,a b 1 1 2 23 ,5 2 ,8c c c c

,a b 1 2 1 23 2 ,5 8c c c c


1 23 2c c a 1

1 25 8c c b 2

หรือ 1

2

3 2

5 8

c

c

a

b


3 2

5 8

a

b

1

1

3R

2

13 3

5 8

a

b

1 25R R

21

3 3

14 3 50

3 3

a

b a

2

3

14R

2

1 33

3 50 1

14

a

b a

2 1

2

3R R

4

1 0 7

0 1 3 5

14

a b

b a

เพราะฉะนั้น ทุกๆเวกเตอร์ 2 มิติใน 2R สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,v v ได้ โดยที ่

1 2

4 3 5

7 14

a b b aw v v

ดังนั้น 1 2,v v แผ่ทั่วถึงทุกๆ เวกเตอร์ 2 มิติใน 2R

98

3. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 3R บนฟีลด์ F โดยที่ 4,13, 33w 1 21,2,3 , 2,1,9v v และ

3 7,1, 36v จงตรวจสอบว่า 1 2 3, ,v v v แผ่ทั่วถึง w หรือไม่ ถ้าแผ่ทั่วถึงจงเขียนผลรวมเชิงเส้นดังกล่าว

วิธีท า จะมีจ านวนจริง 1 2 3, ,c c c ที่ท าให้ 1 1 2 2 3 3w c v c v c v ดังนี้

4,13, 33 1 2 31,2,3 2,1,9 7,1, 36c c c

4,13, 33 1 1 1 2 2 2 3 3 3,2 ,3 2 , ,9 7 , , 36c c c c c c c c c

4,13, 33 1 2 3 1 2 3 1 2 32 7 ,2 ,3 9 36c c c c c c c c c


1 2 32 7c c c 4 1

1 2 32c c c 13 2

1 2 33 9 36c c c 33 3

หรือ 1

2

3

1 2 7

2 1 1

3 9 36

c

c

c

4

13

33


1 2 7 4

2 1 1 13

3 9 36 33

1 22R R

1 2 7 4

0 3 15 21

3 9 36 33

1 33R R

1 2 7 4

0 3 15 21

0 3 15 21

2

1

3R

1 2 7 4

0 1 5 7

0 3 15 21

2 33R R

1 2 7 4

0 1 5 7

0 0 0 0

2 12R R

1 0 3 10

0 1 5 7

0 0 0 0

จากเมทริกซ์แต่งเติมที่ได้จากการด าเนินการตามแถวแสดงว่าระบบสมการเชิงเส้นมีจ านวนชุดค าตอบ

เป็นอนันต์ เพราะฉะนั้น w ไม่เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v ดังนั้น 1 2 3, ,v v v ไม่แผ่ทั่วถึง w

99


แสดงว่า 1 2 3, ,v v v แผ่ทั่วถึงทุกๆ เวกเตอร์ 3 มิตใิน 3R



, ,a b c 1 2 31,2,3 2,1,9 7,1, 36c c c

, ,a b c 1 1 1 2 2 2 3 3 3,2 ,3 2 , ,9 7 , , 36c c c c c c c c c

, ,a b c 1 2 3 1 2 3 1 2 32 7 ,2 ,3 9 36c c c c c c c c c


1 2 32 7c c c a 1

1 2 32c c c b 2

1 2 33 9 36c c c c 3

หรือ 1

2

3

1 2 7

2 1 1

3 9 36

c

c

c

a

b

c


1 2 7

2 1 1

3 9 36

a

b

c

1 22R R

1 2 7

0 3 15 2

3 9 36

a

a b

c

1 33R R

1 2 7

0 3 15 2

0 3 15 3

a

a b

a c

2

1

3R

1 2 7

20 1 5

30 3 15

3

a

a b

a c

2 33R R

1 2 72

0 1 53

0 0 05

a

a b

a b c

100

2 12R R

2

31 0 32

0 1 53

0 0 05

a b

a b

a b c

จากเมทริกซ์แตง่เติมที่ได้จากการด าเนินการตามแถวแสดงว่าระบบสมการเชิงเส้นมีจ านวนชุดค าตอบ

เป็นอนันต์ เพราะฉะนั้นทุกๆเวกเตอร์ 3 มิติใน 3R ไมส่ามารถเขียนอยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v ได ้

ดังนั้น 1 2 3, ,v v v ไม่แผ่ทั่วถึงทุกๆเวกเตอร์ 3 มิติใน 3R

101


1 3 2p x x x และ 2

2 5p x x x จงตรวจสอบว่า 1p x

และ 2p x แผ่ทั่วถึงทุกพหุนามใน 2P หรือไม่ ถ้าแผ่ทั่วถึงสามารถเขียนอยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้นของ 1p x

และ 2p x ได้อย่างไร

วิธีท า จะมีจ านวนจริง 1 2,c c ที่ท าให้ 1 1 2 2p x c p x c p x ดังนี้

2ax bx 2 2

1 23 2 5c x x c x x

2ax bx 2 2

1 1 2 23 2 5c x c x c x c x

2ax bx 2

1 2 1 23 5 2c c x c c x


1 23 5c c a 1

1 22c c b 2

หรือ 1

2

3 5

2 1

c

c

a

b


3 5

2 1

a

b

1

1

3R

5

13 3

2 1

a

b

1 22R R

51

3 3

13 2 30

3 3

a

a b

2

3

13R

5

1 33

2 30 1

13

a

a b

2 1

5

3R R

5

1 0 13

0 1 2 3

13

a b

a b

ดังนั้น 1p x และ 2p x แผ่ทั่วถึงทุกๆพหุนามใน 2P และสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้น

ของ 1p x และ 2p x ได้ดังนี้ 1 2

5 2 3

13 30

a b a bp x p x p x

102

6. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 2P โดยที่ 27 10 6p x x x และ 2

1 5 2 3 ,p x x x

2

2 8 4 3p x x x และ 2

3 13 2 6p x x x จงตรวจสอบว่า 1 2,p x p x และ 3p x แผ่

ทั่วถึง 27 10 6p x x x หรือไม่ ถ้าแผ่ทั่วถึง จงเขียนผลรวมเชิงเส้นดังกล่าว

วิธีท า จะมีจ านวนจริง 1 2 3, ,c c c ที่ท าให้ 1 1 2 2 3 3w c p x c p x c p x ดังนี้

27 10 6x x 2 2 2

1 2 35 2 3 8 4 3 13 2 6c x x c x x c x x

27 10 6x x 2 2 2

1 1 1 2 2 2 3 3 35 2 3 8 4 3 13 2 6c c x c x c c x c x c c x c x

27 10 6x x 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 35 8 13 2 4 2 3 3 6c c c c x c x c x c x c x c x


1 2 35 8 13c c c 7 1

1 2 32 4 2c c c 10 2

1 2 33 3 6c c c 6 3

หรือ 1

2

3

5 8 13

2 4 2

3 3 6

c

c

c

7

10

6


5 8 13 7

2 4 2 10

3 3 6 6

1 2R R

2 4 2 10

5 8 13 7

3 3 6 6

1

1

2R

1 2 1 5

5 8 13 7

3 3 6 6

1 25R R

1 2 1 5

0 18 18 18

3 3 6 6

1 33R R

1 2 1 5

0 18 18 18

0 9 9 9

2

1

18R

1 2 1 5

0 1 1 1

0 9 9 9

103

2 19R R

1 2 1 5

0 1 1 1

0 0 0 0

จากเมทริกซ์แต่งเติมที่ได้จากการด าเนินการตามแถวแสดงว่าระบบสมการเชิงเส้นมีจ านวนชุดค าตอบ

เป็นอนันต์ เพราะฉะนั้น p x ไมเ่ป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2,p x p x และ 3p x

ดังนั้น 1 2,p x p x และ 3p x ไม่แผ่ทั่วถึง p x

104


1 2 3

1 1 0 3 0 2, ,

2 0 0 4 3 1e e e

และ a b

Ec d

จงพิจารณาว่า 1 2 3, ,e e e แผ่ทั่วถึง

E หรือไม่ ถ้าแผ่ทั่วถึงจงเขียนผลรวมเชิงเส้นดังกล่าว

วิธีท า จะมีจ านวนจริง 1 2 3, ,c c c ที่ท าให้ 1 1 2 2 3 3E c e c e c e ดังนี้

a b

c d

1 2 3

1 1 0 3 0 2

2 0 0 4 3 1c c c

a b

c d

31 1 2 2

3 31 2

0 22 3

32 0 0 4

cc c c c

c cc c

a b

c d

1 1 2 3

1 3 2 3

3 2

2 3 4

c c c c

c c c c


1c a

1 2 33 2c c c b 1

1 32 3c c c 2

2 34c c d 3

น า 1c a แทนในสมการ 2 จะได้ 3

2

3

c ac

น า 1 3

2,

3

c ac a c

แทนในสมการ 1 จะได้ 2

3 2

12

d c ac

ดังนั้น 1 2 3, ,e e e แผ่ทั่วถึง E มีจ านวนจริง 1 2

3 2,

12

d c ac a c

และ 3

2

3

c ac

ที่ท าให้

E เป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,e e e โดยที่ 1 2 3

3 2 2

12 3

d c a c aE ae e e

105

8. ในปริภูมิเวกเตอร์ 4 1R

โดยที่ 1 2 3

1 0 0

0 2 1, , ,

0 3 0

2 1 4

a

bu v v v

c

d

และ 4

3

1

2

0

v

จงพิจารณา

ว่า u แผ่ทั่วถึง 1 2 3, ,v v v และ 4v หรือไม่ ถ้าแผ่ทั่วถึง จงเขียนผลรวมเชิงเส้นดังกล่าว

วิธีท า จะมีจ านวนจริง 1 2 3 4, , ,c c c c ที่ท าให้ 1 1 2 2 3 3 4 4u c v c v c v c v ดังนี้

a

b

c

d

1 2 3 4

1 0 0 3

0 2 1 1

0 3 0 2

2 1 4 0

c c c c

a

b

c

d

1 4

32 4

2 4

31 2

00 3

0 2

00 3 2

42 0

c c

cc c

c c

cc c

a

b

c

d

1 4

2 3 4

2 4

1 3

3

2

3 2

2 4

c c

c c c

c c

c c


1 43c c a 1

2 3 42c c c b 2

2 43 2c c c 3

1 32 4c c d 4

หรือ

1

2

3

4

1 0 0 3

0 2 1 1

0 3 0 2

2 1 4 0

c

c

c

c

a

b

c

d


1 0 0 3

0 2 1 1

0 3 0 2

2 1 4 0

a

b

c

d

1 42R R

1 0 0 3

0 2 1 1

0 3 0 2

0 1 4 6 2

a

b

c

a d

106

2 4R R

1 0 0 3

0 1 4 6 2

0 3 0 2

0 2 1 1

a

a d

c

d

21R

1 0 0 3

0 1 4 6 2

0 3 0 2

0 2 1 1

a

a d

c

b

2 33R R

1 0 0 3

0 1 4 6 2

0 0 12 20 6 3

0 2 1 1

a

a d

a c d

b

2 42R R

1 0 0 3

0 1 4 6 2

0 0 12 20 6 3

0 0 7 13 4 2

a

a d

a c d

a b d

3

1

12R

1 0 0 3

0 1 4 6 2

5 6 30 0 1

3 12

4 20 0 7 13

a

a d

a c d

a b d

3 47R R

1 0 0 3

0 1 4 6 2

5 6 30 0 1

3 12

4 6 5 30 0 0

3 12

a

a d

a c d

a b d

3 24R R

1 0 0 3

20 1 0

3 3

5 6 30 0 1

3 12

4 6 5 30 0 0

3 12

a

c

a c d

a b d

107

4

3

4R

1 0 0 3

20 1 0 3

36 3

50 0 1 12

36 5 3

0 0 0 116

a

c

a c d

a b d

4 3

5

3R R

1 0 0 3

2 30 1 03 2 7

0 0 1 0 16

0 0 0 1 6 5 3

16

a

c

a c d

a b d

4 2

2

3R R

12 10 16 61 0 0 3480 1 0 0

2 70 0 1 0

160 0 0 1

6 5 3

16

a

a b c d

a c d

a b d

4 13R R

2 15 9

161 0 0 0 6 5 8 3

0 1 0 0 24

2 70 0 1 0

160 0 0 1

6 5 3

16

a b d

a b c d

a c d

a b d

เพราะฉะนั้น ทุกๆเวกเตอร์ใน 4 1R สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของ 1 2 3, ,v v v และ 4v

ดังนั้น 1 2 3, ,v v v และ 4v แผ่ทั่วถงึ ทุกๆเวกเตอร์ใน 4 1R โดยที ่

1 2 3 4

2 15 9 6 5 8 3 2 7 6 5 3

16 24 16 16

a b d a b c d a c d a b du v v v v

108

9. ร้านท าขนมแห่งหนึ่ง มีสูตรส าหรับท าขนม 3 ชนิด คือ ขนม ,A B และ C แต่ละชนิดจะใช้ส่วนผสม 4

ส่วน คือ น้ าตาล กะทิ แป้งข้าวเจ้า และไข่แดง น้ าหนักของส่วนประกอบแต่ละส่วน (กรัม) ต่อ 1 หน่วยของ

ขนม 140 กรัม แสดงไว้ดังนี้


น้ าตาล 40 20 30

กะทิ 50 30 50

แป้งข้าวเจ้า 20 40 60

ไข่ไก่ 30 50 -

ถ้ามีน้ าตาล 1300 กรัม กะทิ 1950 กรัม แป้งข้าวเจ้า 2000 กรัม และไข่ไก่ 1050 กรัม จะเป็นไปได้หรือไม่ที่

จะใช้ส่วนประกอบทั้งหมดท าขนมท้ังสามชนิด ถ้าเป็นไปได้จะได้ขนมชนิดละกี่หน่วย

วิธีท า ให้ 1 40,50,20,30v (ส่วนประกอบ A )

2 20,30,40,50v (ส่วนประกอบ B )

3 30,50,60,0v (ส่วนประกอบ C )

และ 1300,1950,2000,1050u

ส่วนประกอบทั้งหมดจะสามารถน ามาท าขนมได้ก็ต่อเมื่อ 1 2 3, ,u span v v v

ดังนั้น u 1 1 2 2 3 3c v c v c v 1


1300,1950,2000,1050 1 2 340,50,20,30 20,30,40,50 30,50,60,0c c c


1 2 340 20 30c c c 1300

1 2 350 30 50c c c 1950 1 2 320 40 60c c c 2000 2

1 230 50c c 1050

หรือ 1

2

3

40 20 30

50 30 50

20 40 60

30 50 0

c

c

c

1350

1950

2000

1050

109


40 20 30 1300

50 30 50 1950

20 40 60 2000

30 50 0 1050

1 3R R

20 40 60 2000

50 30 50 1950

40 20 30 1300

30 50 0 1050

1

1

20R

1 2 3 100

50 30 50 1950

40 20 30 1300

30 50 0 1050

1 250R R

1 2 3 100

0 70 100 3050

40 20 30 1300

30 50 0 1050

1 340R R

1 2 3 1000

0 70 100 3050

0 60 90 2700

30 50 0 1050

1 430R R

1 2 3 1000

0 70 100 3050

0 60 90 2700

0 10 90 1950

2 4R R

1 2 3 100

0 10 90 1950

0 60 90 2700

0 70 100 3050

2

1

10R

1 2 3 100

0 1 9 195

0 60 90 2700

0 70 100 3050

2 360R R

1 2 3 100

0 1 9 195

0 0 450 9000

0 70 100 3050

110

2 470R R

1 2 3 100

0 1 9 195

0 0 450 9000

0 0 530 1060

2 12R R

1 0 15 290

0 1 9 195

0 0 450 9000

0 0 530 1060

3

1

450R

1 0 15 290

0 1 9 195

0 0 1 20

0 0 530 1060

3 4530R R

1 0 15 290

0 1 9 195

0 0 1 20

0 0 0 0

3 29R R

1 0 15 290

0 1 0 15

0 0 1 20

0 0 0 0

3 115R R

1 0 0 10

0 1 0 15

0 0 1 20

0 0 0 0

ดังนั้น 1 210, 15c c และ 3 20c แสดงว่า เป็นไปได้ที่จะใช้ส่วนประกอบทั้งหมดในการท าขนม

ได้ทั้งสามสูตร นั่นคือ สูตร A 10 หน่วย สูตร B 15 หน่วย และสูตร C 20 หน่วย

111

10. โรงอาหารของโรงเรียนแห่งหนึ่ง มีสูตรส าหรับท าต้มย ารสอร่อย 3 สูตร คือ สูตร ,A B และ C แต่ละ

ชนิดจะใช้ส่วนผสม 5 ส่วน คอื น้ าตาล น้ าปลา น้ ามะนาว เนื้อสัตว์ และผักสด น้ าหนักของส่วนประกอบแต่ละ

ส่วน (กิโลกรัม) ต่อ 1 หน่วยของต้มย า 15 กิโลกรัม แสดงไว้ดังนี้


น้ าตาล 1 2 1

น้ าปลา 2 1 1

น้ ามะนาว 2 1 2

เนื้อสัตว์ 4 6 9

ผักสด 6 5 2

ถ้ามีน้ าตาล 100 กิโลกรัม น้ าปลา 95 กิโลกรัม น้ ามะนาว 125 กิโลกรัม เนื้อสัตว์ 500 กิโลกรัม และผักสด

305 กิโลกรัม จะเป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้ส่วนประกอบทั้งหมดท าต้มย ารสอร่อยทั้งสามสูตร ถ้าเป็นไปได้จะได้

ต้มย ารสอร่อยสูตรละกี่หน่วย

วิธีท า ให้ 1 1,2,2,4,6v (ส่วนประกอบ A )

2 2,1,1,6,5v (ส่วนประกอบ B )

3 1,1,2,9,2v (ส่วนประกอบ C )

และ 100,95,125,500,305u

ส่วนประกอบทั้งหมดจะสามารถน ามาท าต้มย ารสอร่อยได้ก็ต่อเมื่อ 1 2 3, ,u span v v v

ดังนั้น u 1 1 2 2 3 3c v c v c v 1


100,95,125,500,305 1 2 31,2,2,4,6 2,1,1,6,5 1,1,2,9,2c c c


1 2 32c c c 100

1 2 32c c c 95 1 2 32 2c c c 125 2

1 2 34 6 9c c c 500

1 2 36 5 2c c c 305

112

หรือ 1

2

3

1 2 1

2 1 1

2 1 2

4 6 9

6 5 2

c

c

c

100

95

125

500

305


1 2 1 100

2 1 1 95

2 1 2 125

4 6 9 500

6 5 2 305

1 22R R

1 2 1 100

0 3 1 105

2 1 2 125

4 6 9 500

6 5 2 305

1 32R R

1 2 1 100

0 3 1 105

0 3 0 75

4 6 9 500

6 5 2 305

1 44R R

1 2 1 100

0 3 1 105

0 3 0 75

0 2 5 100

6 5 2 305

1 56R R

1 2 1 100

0 3 1 105

0 3 0 75

0 2 5 100

0 7 4 295

2 3R R

1 2 1 100

0 3 0 75

0 3 1 105

0 2 5 100

0 7 4 295

113

2

1

3R

1 2 1 100

0 1 0 25

0 3 1 75

0 2 5 100

0 7 4 295

2 33R R

1 2 1 100

0 1 0 25

0 0 1 30

0 2 5 100

0 7 4 295

2 42R R

1 2 1 100

0 1 0 25

0 0 1 30

0 0 5 150

0 7 4 295

2 57R R

1 2 1 100

0 1 0 25

0 0 1 30

0 0 5 150

0 0 4 120

2 12R R

1 0 1 50

0 1 0 25

0 0 1 30

0 0 5 150

0 0 4 120

31 R

1 0 1 50

0 1 0 25

0 0 1 30

0 0 5 150

0 0 4 120

3 45R R

1 0 1 50

0 1 0 25

0 0 1 30

0 0 0 0

0 0 4 120

114

3 54R R

1 0 1 50

0 1 0 25

0 0 1 30

0 0 0 0

0 0 0 0

3 5R R

1 0 0 20

0 1 0 25

0 0 1 30

0 0 0 0

0 0 0 0

ดังนั้น 1 220, 25c c และ 3 30c แสดงว่า เป็นไปได้ที่จะใช้ส่วนประกอบทั้งหมดในการท าต้ม

ย ารสอร่อยได้ทั้งสามสูตร นั่นคือ สูตร A 20 หน่วย สูตร B 25 หน่วย และสูตร C 30 หน่วย

115

ชื่อ – นามสกลุ..................................................................................................ชั้น ม.6/............. เลขที่ ..............



1 2 2 4p x x x ,

2

2 2 3 5p x x x และ 3 6p x x จงตรวจสอบว่า S เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่



ให้ 1 1 2 2 3 3c p x c p x c p x 0 1


2 2

1 2 32 2 4 2 3 5 6c x x c x x c x 20 0 0x x

2 2

1 1 1 2 2 2 3 32 2 4 2 3 5 6c x c x c c x c x c c x c 20 0 0x x 2 2

1 2 1 2 3 1 2 32 2 2 3 4 5 6c x c x c x c x c x c c c 20 0 0x x 2

1 2 1 2 3 1 2 32 2 2 3 4 5 6c c x c c c x c c c 20 0 0x x


1 22 2c c 0

1 2 32 3c c c 0

1 2 34 5 6c c c 0

หรือ 1

2

3

2 2 0

2 3 1

4 5 6

c

c

c

0

0

0


2 2 0 0

2 3 1 0

4 5 6 0

1

1

2R

1 1 0 0

2 3 1 0

4 5 6 0

1 22R R

1 1 0 0

0 5 1 0

4 5 6 0



116

1 34R R

1 1 0 0

0 5 1 0

0 1 6 0

2 3R R

1 1 0 0

0 1 6 0

0 5 1 0

2 35R R

1 1 0 0

0 1 6 0

0 0 29 0

2 11 R R

1 0 6 0

0 1 6 0

0 0 29 0

3

1

29R

1 0 6 0

0 1 6 0

0 0 1 0

3 16R R

1 0 0 0

0 1 6 0

0 0 1 0

3 26R R

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

จะได้ 1 2 3 0c c c ดังนั้น S เป็นอิสระเชิงเส้นใน 2P

หรือจะตรวจสอบความเป็นอิสระเชิงเส้นโดยการหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์

2 2 0

2 3 1 10

4 5 6

เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์มีค่าไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น S เป็นอิสระเชิงเส้นใน 2P

117

2. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 3R และ 1 2 3, ,S v v v โดยที่ 1 2,1,4v , 2 3,0,2v และ

3 1,2, 2v จงตรวจสอบว่า S เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

วิธีท า การที่เวกเตอร์จะเป็นอิสระเชิงเส้นได้ก็ต่อเมื่อ 1 1 2 2 3 3 0c v c v c v แล้วหาค่า 1 2 3, ,c c c ได้

ให้ 1 1 2 2 3 3c v c v c v 0 1


1 2 32,1,4 3,0,2 1,2, 2c c c 0,0,0

1 1 1 2 2 3 3 32 , ,4 3 ,0,2 ,2 , 2c c c c c c c c 0,0,0

1 2 3 1 3 1 2 32 3 , 2 ,4 2 2c c c c c c c c 0,0,0


1 2 32 3c c c 0

1 32c c 0

1 2 34 2 2c c c 0

หรือ 1

2

3

2 3 1

1 0 2

4 2 2

c

c

c

0

0

0


2 3 1 0

1 0 2 0

4 2 2 0

1 2R R

1 0 2 0

2 3 1 0

4 2 2 0

1 22R R

1 0 2 0

0 3 5 0

4 2 2 0

1 34R R

1 0 2 0

0 3 5 0

0 2 10 0

2

1

3R

1 0 20

50 1 0

30

0 2 10

118

2 32R R

1 0 20

50 1 0

30

400 0

3

3

3

40R

1 0 20

50 1 0

30

0 0 1

จากเมทริกซ์แต่งเติมที่ได้ด าเนินการตามแถวแล้ว จะพบว่าระบบสมการเชิงเส้นมีค าตอบเพียงหนึ่งชุด

ค าตอบ คือ 1 2 3 0c c c ดังนั้น S เป็นเซตอิสระเชิงเส้นใน 3R

119

3. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 4R และ 1 2 3, ,S v v v โดยที่ 1 0,3,1, 1v , 2 6,0,5,1v และ

3 4, 7,1,3v จงตรวจสอบว่า S เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่



ให้ 1 1 2 2 3 3c v c v c v 0 1


1 2 30,3,1, 1 6,0,5,1 4, 7,1,3c c c 0,0,0,0

1 1 1 2 2 2 3 3 3 30,3 , , 6 ,0,5 , 4 , 7 , ,3c c c c c c c c c c 0,0,0,0

2 3 1 3 1 2 3 1 2 36 4 ,3 7 , 5 , 3c c c c c c c c c c 0,0,0,0


2 36 4c c 0

1 33 7c c 0

1 2 33c c c 0

หรือ

1

2

3

4

0 6 4

3 0 7

1 5 1

1 1 3

c

c

c

c

0

0

0

0

จะได้เมทริกซ์แต่งเติมและเมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถวที่สมมูลกับเมทริกซ์แต่งเติมดังนี้ 0 6 4 0

3 0 7 0

1 5 1 0

1 1 3 0

1 3R R

1 5 1 0

3 0 7 0

0 6 4 0

1 1 3 0

1 23R R

1 5 1 0

0 15 10 0

0 6 4 0

1 1 3 0

1 4R R

1 5 1 0

0 15 10 0

0 6 4 0

0 6 4 0

120

2

1

15R

1 5 10

200 1

30

0 6 40

0 6 4

2 36R R

1 5 10

200 1

30

0 0 00

0 6 4

2 46R R

1 5 10

200 1

30

0 0 00

0 0 0

จากเมทริกซ์แต่งเติมที่ได้ด าเนินการตามแถวแล้ว จะพบว่าระบบสมการเชิงเส้นมีค าตอบเป็นอนันต์

โดยมีค าตอบ 1 2 3, ,c c c มากกว่าหนึ่งค าตอบ (มีบางตัวไม่เท่ากับ 0 ) ดังนั้น S เป็นเซตไม่อิสระเชิงเส้นใน 4R

121

4. ก าหนดปริภูมิเวกเตอร์ 4R และ 1 2 3 4, , ,S v v v v โดยที่ 1

1

2

3

4

v

, 2

2

4

6

8

v

, 3

0

1

2

0

v

และ

4

4

3

22

16

v

จงตรวจสอบว่า S เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

วิธีท า ถ้า 1 2 3 4, , ,c c c c เป็นสเกลาร์ที่ท าให้ 1 1 2 2 3 3 4 4 0c v c v c v c v

จึงพิจารณาความเป็นอิสระเชิงเส้นจากค าตอบของ 1 2 3 4, , ,c c c c

ให้ 1 1 2 2 3 3 4 4c v c v c v c v 0 1


1 2 3 4

1 2 0 4

2 4 1 3

3 6 2 22

4 8 0 16

c c c c

0

0

0

0

1 2 4

1 2 43

1 2 43

1 2 4

2 40

2 4 3

3 6 222

4 8 160

c c c

c c cc

c c cc

c c c

0

0

0

0


1 2 42 4c c c 0

1 2 3 42 4 3c c c c 0

1 2 3 43 6 2 22c c c c 0

1 2 44 8 16c c c 0

หรือ

1

2

3

4

1 2 0 4

2 4 1 3

3 6 2 22

4 8 0 16

c

c

c

c

0

0

0

0

122


1 2 0 4 0

2 4 1 3 0

3 6 2 22 0

4 8 0 16 0

1 22R R

1 2 0 4 0

0 0 1 5 0

3 6 2 22 0

4 8 0 16 0

1 33R R

1 2 0 4 0

0 0 1 5 0

0 0 2 10 0

4 8 0 16 0

1 44R R

1 2 0 4 0

0 0 1 5 0

0 0 2 10 0

0 0 0 0 0

จากเมทริกซ์แต่งเติมที่ได้ด าเนินการตามแถวแล้ว จะพบว่าระบบสมการเชิงเส้นมีค าตอบเป็นอนันต์

โดยมีค าตอบ 1 2 3 4, , ,c c c c มากกว่าหนึ่งค าตอบ (มีบางตัวไม่เท่ากับ 0 ) ดังนั้น S เป็นเซตไม่อิสระเชิงเส้นใน

4R

123

5. ก าหนดให้ 1 ,2, 1v a 2 1,2,0v และ 3 4,4,v a จงหาค่า a ที่ท าให้เวกเตอร์ต่อไปนี้ไม่

เป็นอิสระเชิงเส้นใน 3R


ให้ 1 1 2 2 3 3c v c v c v 0 1


1 2 3,2, 1 1,2,0 4,4,c a c c a 0,0,0

1 1 1 2 2 3 3 3,2 , ,2 ,0 4 ,4 ,ac c c c c c c ac 0,0,0

1 2 3 1 2 3 1 34 ,2 2 4 ,ac c c c c c c ac 0,0,0


1 2 34ac c c 0

1 2 32 2 4c c c 0

1 3c ac 0

หรือ 1

2

3

1 4

2 2 4

1 0

a c

c

a c

0

0

0

พิจารณาการมีค าตอบของระบบสมการโดยใช้วิธีการตรวจสอบด้วยการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์

สัมประสิทธิ์ โดย 1 4

2 2 4

1 0

a

A

a

จะได้ 2

1 4

2 2 4 6

1 0

a

a a

a

เนื่องจาก ถ้าเวกเตอร์ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น จะมีดีเทอร์มิแนนต์ เท่ากับ 0

จะได้ว่า 2 6 0a a 3, 2a

ดังนั้น เวกเตอร์ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น เมื่อ 3a หรือ 2a

124

6. จงหาค่า h ที่ท าให้เซตต่อไปนี้เป็นอิสระเชิงเส้น 1 3 1

1 , 5 , 5

4 7 h


ให้ 1 1 2 2 3 3c v c v c v 0 1


1 2 31, 1,4 3, 5,7 1,5,c c c h 0,0,0

1 1 1 2 2 2 3 3 3, ,4 3 , 5 ,7 ,5 ,c c c c c c c c hc 0,0,0

1 2 3 1 2 3 1 2 33 , 5 5 ,4 7c c c c c c c c hc 0,0,0


1 2 33c c c 0

1 2 35 5c c c 0

1 2 34 7c c hc 0

หรือ 1

2

3

1 3 1

1 5 5

4 7

c

c

h c

0

0

0


สัมประสิทธิ์ โดย 1 3 1

1 5 5

4 7

A

h

จะได้ 1 3 1

1 5 5 2 12

4 7

h

h

เนื่องจาก ถ้าเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้น จะมีดีเทอร์มิแนนต์ ไม่เท่ากับ 0

จะได้ว่า 2 12 0h 6h

ดังนั้น เวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้น เมื่อ 6h

125


1 2 1p x x ax ,

2

2 3 5p x x x และ 2

3 2p x ax x a จงหาค่า a ที่ท าให้ S เป็นเซตอิสระเชิงเส้น



ให้ 1 1 2 2 3 3c p x c p x c p x 0 1


2 2 2

1 2 32 1 3 5 2c x ax c x x c ax x a 20 0 0x x

2 2 2

1 1 1 2 2 2 3 3 32 3 5 2c x ac x c c x c x c ac x c x ac 20 0 0x x 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 32 3 2 5c x c x ac x ac x c x c x c c ac 20 0 0x x 2

1 2 3 1 2 3 1 2 32 3 2 5c c ac x ac c c x c c ac 20 0 0x x


1 2 32c c ac 0

1 2 33 2ac c c 0

1 2 35c c ac 0

หรือ 1

2

3

2 1

3 2

1 5

a c

a c

a c

0

0

0


สัมประสิทธิ์ โดย 2 1

3 2

1 5

a

A a

a

จะได้ 2

2 1

3 2 2 6

1 5

a

A a a a

a

เนื่องจาก ถ้าเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้น จะมีดีเทอร์มิแนนต์ ไม่เท่ากับ 0

จะได้ว่า 22 6a a 0

2 3 2a a 0

a 3,2

2

ดังนั้น เวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้น เมื่อ 3,2

2a

126


1 3

3 , 5

2 2

v v

และ 3

0

1

1

v




ให้ 1 1 2 2 3 3c v c v c v 0 1


1 2 31,3, 2 3, 5,2 0,1, 1c c c 0,0,0

1 1 1 2 2 2 3 3,3 , 2 3 , 5 ,2 0, ,c c c c c c c c 0,0,0

1 2 1 2 3 1 2 33 ,3 5 , 2 2c c c c c c c c 0,0,0


1 23c c 0

1 2 33 5c c c 0

1 2 32 2c c c 0

หรือ 1

2

3

1 3 0

3 5 1

2 2 1

c

c

c

0

0

0


1 3 0 0

3 5 1 0

2 2 1 0

1 23R R

1 3 0 0

0 4 1 0

2 2 1 0

1 32R R

1 3 0 0

0 4 1 0

0 4 1 0

2

1

4R

1 3 00

10 1 0

40

0 4 1

127

2 34R R

1 3 00

10 1 0

40

0 0 0

ซึ่งสมนัยกับระบบสมการเชิงเส้น

สมมติให้ 3c t

จาก 2R จะได้ 32

4

cc 0

ดังนั้น 2c 3

4

c

4

t

และจาก 1R จะได้ 1 23c c 0

ดังนั้น 1c 23c 3

4

t

ค าตอบของระบบสมการนี้ คือ 1 2 3

3, , , ,

4 4

t tc c c t

ถ้าให้ 4t จะได้ 1 2 3, , 3, 1,4c c c

ดังนั้น ความสัมพันธ์ระหว่าง 3 เวกเตอร์นี้ คือ 1 2 33 4 0v v v

128


1 4

2 , 8

2 8

v v

และ 3

2

2

1

v




ให้ 1 1 2 2 3 3c v c v c v 0 1


1 2 31, 2,2 4,8, 8 2,2, 1c c c 0,0,0

1 1 1 2 2 2 3 3 3, 2 ,2 4 ,8 , 8 2 ,2 ,c c c c c c c c c 0,0,0

1 2 3 1 2 3 1 2 34 2 , 2 8 2 ,2 8c c c c c c c c c 0,0,0


1 2 34 2c c c 0

1 2 32 8 2c c c 0

1 2 32 8c c c 0

หรือ 1

2

3

1 4 2

2 8 2

2 8 1

c

c

c

0

0

0


1 4 2 0

2 8 2 0

2 8 1 0

1 22R R

1 4 2 0

0 0 6 0

2 8 1 0

1 32R R

1 4 2 0

0 0 6 0

0 0 5 0

2

1

6R

1 4 2 0

0 0 1 0

0 0 5 0

2 35R R

1 4 2 0

0 0 1 0

0 0 0 0

129



จาก 2R จะได้ 3c 0

และจาก 1R จะได้ 1 2 34c c c 0

ดังนั้น 1c 2 34c c 4t

ค าตอบของระบบสมการนี้ คือ 1 2 3, , 4 , ,0c c c t t

ถ้าให้ 2t จะได้ 1 2 3, , 8,2,0c c c

ดังนั้น ความสัมพันธ์ระหว่าง 3 เวกเตอร์นี้ คือ 1 28 2 0v v

130

10. ก าหนดให ้ 2 2

1 21, 2p x x x p x x x และ 3 1p x x จงพิจารณาว่า

1 2 3, ,p x p x p x เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่ ถ้าไม่ จงหาความสัมพันธ์ระหว่าง 3 พหุนามนี้

วิธีท า การทีพ่หุนามจะเป็นอิสระเชิงเส้นได้ก็ต่อเมื่อ 1 1 2 2 3 3 0c p x c p x c p x แล้วหาค่า

1 2 3, ,c c c ได้

ให้ 1 1 2 2 3 3c p x c p x c p x 0 1


2 2

1 2 31 2 1c x x c x x c x 20 0 0x x

2 2

1 1 1 2 2 3 32c x c x c c x c x c x c 20 0 0x x

2 2

1 2 1 2 3 1 32c x c x c x c x c x c c 20 0 0x x

2

1 2 1 2 3 1 32c c x c c c x c c 20 0 0x x


1 2c c 0

1 2 32c c c 0

1 3c c 0

หรือ 1

2

3

1 1 0

1 2 1

1 0 1

c

c

c

0

0

0


1 1 0 0

1 2 1 0

1 0 1 0

1 21R R

1 1 0 0

0 1 1 0

1 0 1 0

1 31R R

1 1 0 0

0 1 1 0

0 1 1 0

2 31R R

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 0 0

131



จาก 2R จะได้ 2 3c c 0

ดังนั้น 2c 3c t

และจาก 1R จะได้ 1 2c c 0

ดังนั้น 1c 2c t

ค าตอบของระบบสมการนี้ คือ 1 2 3, , , ,c c c t t t

ถ้าให้ 5t จะได้ 1 2 3, , 5,5,5c c c

ดังนั้น ความสัมพันธ์ระหว่าง 3 พหุนามนี้ คือ 1 2 35 5 5 0p x p x p x

หมำยเหตุ กำรให้คะแนนแบบฝึกทักษะทั้ง 3 เรื่อง ในแต่

ละข้อนั้น ขึ้นอยู่ในดุลยพินิจของครูผู้ตรวจนะครับ

132

ข้อที่ ค ำตอบ

1 ค

2 ข

3 ก

4 ก

5 ข

6 ค

7 ข

8 ก

9 ง

10 ง

เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนเรียน


เป็นอย่ำงไรบ้ำงครับ หลังจำกที่ได้ใช้แบบฝึกเล่ม

นี้แล้วท ำได้กี่ข้อกี่คะแนนค่ะ

133

ชื่อ – นามสกุล..................................................................................................ชั้น ม.6/........... .. เลขที่ ..............

ค ำชี้แจง 1. ให้บันทึกผลคะแนนจากการท าแบบทดสอบก่อนเรียน หลังเรียน และคะแนนการท าแบบ

ฝึกทักษะ พร้อมทั้งคิดเป็นร้อยละและเขียนระดับคุณภาพตามเกณฑ์การประเมิน

2. ให้นักเรียนท าเครื่องหมาย ในช่องสรุปผลตามผลที่ตนเองได้รับ

เกณฑ์กำรประเมิน

ร้อยละ 80 – 100 ระดับคุณภาพ ดีมาก

ร้อยละ 70 – 79 ระดับคุณภาพ ดี

ร้อยละ 60 – 69 ระดับคุณภาพ พอใช้

ต่ ากว่าร้อยละ 60 ระดับคุณภาพ ควรปรับปรุง

กำรผ่ำนเกณฑ์กำรประเมิน เม่ือได้คะแนนร้อยละ 60 ขึ้นไป

รำยกำรประเมิน คะแนนเต็ม คะแนนที่ได ้ คิดเป็นร้อยละ ระดับคุณภำพ สรุปผล

ผ่ำน ไม่ผ่ำน




รวม

แบบทดสอบก่อนเรียน

แบบทดสอบหลังเรียน

แบบบันทึกคะแนน

อิสระเชิงเส้น - pccpl.ac.th · ม.6...

Documents