การเคลื่อนทีแ่บบหมนุ (Rotational Motion)

วตัถุแขง็เกรง็ (rigid body) คอื วตัถุทีไ่มเ่ปลีย่นแปลงรปูรา่งและขนาด

ตลอดการเคลือ่นที่

ตวัอยา่ง เชน่ การหมนุของลกูขา่ง การหมนุของพดัลม เป็นตน้

1. จลศาสตรข์องการหมนุ

ถา้วตัถุมกีารหมนุรอบแกน z ตาํแหน่งเชงิมมุของวตัถุจะมกีาร

เปลีย่นแปลงไป (เมือ่ใชจ้ดุ p เป็นตวัแทนของวตัถุ) จะทาํใหเ้กดิการ

กระจดัเชงิมมุ (angular displacement) ในชว่งเวลา t

ขนาดความเรว็เชงิมมุเฉลีย่ ( average angular velocity )

ขนาดความเรว็เชงิมมุขณะใดขณะหนึ่ง (instantaneous angular velocity)

ขนาดความเรง่เชงิมมุเฉลีย่ (average angular acceleration)

ความเรง่เชงิมมุขณะใดขณะหนึ่ง (instantaneous angular acceleration)

ทศิของความเรง่เชงิมมุจะมี

ทศิเดยีวกบัความเรว็เชงิมมุ

เมือ่ความเรว็เชงิมมุเพิม่ขึน้

ทศิของความเรง่เชงิมมุจะมทีศิตรงกนัขา้มกบัความเรว็เชงิมมุเมือ่

ความเรว็เชงิมมุลดลง

2. การหมนุด้วยความเร่งเชิงมมุคงตวั

สมการการเคลือ่นทีแ่บบเสน้ตรง สมการการเคลือ่นทีแ่บบหมนุ

ตวัอย่างที่ 1 วงลอ้รถกาํลงัหมนุดว้ยความเรง่เชงิมมุคงที ่3.5 rad/s2

ถา้ทีเ่วลา t = 0 ความเรว็เชงิมมุของวงลอ้เทา่กบั 2.0 rad/s จงหา

ก. ภายในชว่งเวลา 2 วนิาท ี วงลอ้หมนุกวาดมมุไปไดเ้ทา่ใด

และหมนุไดก้ีร่อบ

ข. ความเรว็เชงิมมุของวงลอ้ทีเ่วลา t = 2 วนิาที

3. ความสมัพนัธร์ะหว่างตวัแปรเชิงเส้นและตวัแปรเชิงมมุ

ตวัอย่างที่ 2 โต๊ะตวัหนึ่งสามารถหมนุได ้ ถา้ขณะทีเ่ริม่พจิารณา โต๊ะ

กาํลงัหมนุดว้ยอตัราเรว็เชงิมมุ 33 รอบ/นาท ีและหลงัจากหมนุเป็น

เวลา 20 วนิาท ี จะหยดุนิ่ง

ก. ถา้สมมตใิหค้วามเรง่เชงิมมุของโต๊ะตวันี้มคีา่คงตวั จงหาความเรง่

เชงิมมุ

ข. โต๊ะตวันี้กวาดมมุไปเทา่ไร ก่อนจะหยดุนิ่ง

ค. ถา้รศัมขีองโต๊ะตวันี้เทา่กบั 14 cm จงหาขนาดของความเรง่ในแนว

สมัผสัและความเรง่สูศ่นูยก์ลางทีต่าํแหน่งขอบโต๊ะ ทีเ่วลา t = 0 วนิาที

4. พลงังานจลน์ของการหมนุและโมเมนตค์วามเฉื่อย

วตัถุแขง็เกรง็ทีเ่คลือ่นทีแ่บบหมนุรอบแกน

นิ่ง จะมพีลงังานจลน์ ซึง่พลงังานจลน์

ทัง้หมดจะเทา่กบัผลรวมของพลงังานจลน์

ของแต่ละอนุภาค

เรยีกเทอม วา่ โมเมนตค์วามเฉื่อย มหีน่วยเป็น kg.m2

พลงังานจลน์ของการหมนุ มหีน่วยเป็นจลู

สาํหรบักรณกีารหมนุของวตัถุทีม่กีารกระจายของมวลอยา่งต่อเนื่อง

วตัถุเชงิเสน้ทีม่คีวามหนาแน่นเชงิเสน้

วตัถุเชงิผวิทีม่คีวามหนาแน่นเชงิผวิ

และวตัถุเชงิปรมิาตรทีม่คีวามหนาแน่นเชงิปรมิาตร V

ตวัอย่างที่ 3 แทง่วตัถุเลก็ๆ มมีวล M และยาว L มพีืน้ทีห่น้าตดัและ

ความหนาแน่นสมํ่าเสมอ จะมโีมเมนตค์วามเฉื่อยเป็นเทา่ใด ถา้

ก. หมนุรอบแกนซึง่ผา่นปลายขา้งหนึ่งและตัง้ฉากกบัแทง่วตัถุนัน้

ข. หมนุรอบแกนซึง่ผา่นจดุกึง่กลางและตัง้ฉากกบัแทง่วตัถุนัน้

ตวัอย่างที่ 4 จงหาโมเมนตค์วามเฉื่อย

ของวตัถุรปูทรงกระบอกกลวงรอบแกนที่

เป็นแกนของทรงกระบอก โดยกาํหนดให้

ความหนาแน่นของทรงกระบอกคงที ่และ

ทรงกระบอกมมีวล M รศัมภีายใน R1 และ

รศัมภีายนอก R2

ตวัอย่างที่ 5 จงคาํนวณหาโมเมนตค์วาม

เฉื่อยของทรงกลมรศัม ีR มวล M รอบแกน

หมนุทีผ่า่นจดุศนูยก์ลางของทรงกลม

รศัมีไจเรชนั (radius of gyration, RK)

นิยามตามสมการ

ตวัอยา่ง รศัมไีจเรชนัของทรงกลมรอบแกนหมนุทีผ่า่นจดุศนูยก์ลางมวล

ตวัอยา่ง รศัมไีจเรชนัของทรงกระบอกตนัทีห่มนุรอบแกนของทรงกระบอก

5. ทฤษฎีบทแกนขนาน

“ โมเมนตค์วามเฉื่อยของวตัถุรอบแกนใดๆ มคีา่เทา่กบัโมเมนตค์วาม

เฉื่อยของวตัถุนัน้รอบแกนหมนุทีผ่า่นจดุศนูยก์ลางมวลและขนานกบั

แกนทีก่าํหนดใหบ้วกกบัผลคณูระหวา่งมวลของวตัถุนัน้กบักาํลงัสอง

ของระยะหา่งระหวา่งแกนขนานนัน้ ”

โดยที่ Icm คอื โมเมนตค์วามเฉื่อยของวตัถุมวล M รอบแกนที่

ผา่นจดุศนูยก์ลางมวล และ I เป็นโมเมนตค์วามเฉื่อยของวตัถุ

รอบแกนซึง่ขนานกนั และหา่งกนัเป็นระยะ h จะไดว้า่

2cmI I Mh

6. ทอรก์ (Torque)

ถา้มแีรงลพัธก์ระทาํต่อวตัถุไมผ่า่นจดุศนูยก์ลางมวลจะทาํใหว้ตัถุ

เกดิการหมนุ

นิยาม r F

ทศิทางของทอรก์เป็นไปตามกฎมอืขวา

t trF rma

2( )mr

I I

มหีน่วยเป็น N.m

7. งาน พลงังาน กาํลงั และทฤษฎีบทงาน - พลงังานจลน์

ของการหมนุ.dW F ds

งานทัง้หมดทีเ่กดิขึน้เมือ่มกีารเปลีย่นตาํแหน่งเชงิมมุเนื่องจากทอรก์

dW d

0

f

i

W

W dW d

ทฤษฎบีทงาน - พลงังานจลน์ สาํหรบัการหมนุf

i

W I d

kf ki kW E E E

กาํลงัของการหมนุ dt

dWP

8. โมเมนตมัเชิงมมุ (Angular Momentum)

นิยาม

ทศิทางของโมเมนตมัเชงิมมุ

เป็นไปตามกฎมอืขวา

L r p r mv

มหีน่วยเป็น kg.m2/s

“ อตัราการเปลีย่นแปลงโมเมนตมัเชงิมมุมคีา่เทา่กบัทอรก์ของแรงสทุธิ

ทีก่ระทาํกบัอนุภาค ”

( )dL r ma r Fdt

2( )i i i i i iL m r r m r

2( )i i iL L m r I

L I

กฎอนุรกัษ์โมเมนตมัเชงิมมุ

“ เมือ่ทอรก์ลพัธท์ีก่ระทาํกบัวตัถุเป็นศนูย์ โมเมนตมัเชงิมมุรวมของ

ระบบจะมคีา่คงตวั “

0dLdt

constantL

i i f fI I

9. การเคลื่อนที่แบบกลิ้ง (Rolling Motion)

การเลือ่นตาํแหน่ง + การหมนุ = การกลิง้

พลงังานจลน์ของการกลิ้ง

= พลงังานจลน์ของการเลือ่นตาํแหน่ง + พลงังานจลน์ของการหมนุ

โดยอาศยัทฤษฎบีทแกนขนาน 2MRIcm

2

2

1 PK IE

22

2

1

2

1 cmcmk IMvE

+++++++++ จบบท +++++++++

ตวัอย่างที่ 6 ทรงกระบอกตนัรศัม ีR มวล M หมนุไดอ้สิระรอบแกน

ของทรงกระบอกตามแนวระดบั ถา้มเีชอืกเสน้เลก็ ๆ และเบามากพนั

อยูร่อบผวิของทรงกระบอกนี้ โดยทีป่ลายหนึ่งผกูตรงึไวก้บัผวิของ

ทรงกระบอกอกีปลายหนึ่งหยอ่นลงขา้งลา่งและผกูกบัวตัถุมวล m แกน

หมนุอยูก่บัที ่เมือ่ปลอ่ยใหว้ตัถุเคลือ่นทีจ่ากหยดุนิ่ง จงหา

ก. ความเรง่เชงิมมุของการหมนุของทรงกระบอก

ข. ความเรง่เชงิเสน้ของมวล m

ค. งานทีก่ระทาํโดยทอรก์เมือ่ปลอ่ยใหว้ตัถุเคลือ่นทีเ่ป็นเวลา t

ง. โมเมนตมัเชงิมมุเมือ่เวลา t

ตวัอย่างที่ 7 ลอ้ตน้มวล 6 kg รศัม ี0.5 m หมนุไดร้อบแกนผา่น

ศนูยก์ลางมวลและขนานกบัแนวราบ มเีชอืกพาดลอ้นี้และมกีอ้นมวล 4

และ 3 kg ถ่วงปลายเชอืกปลายละกอ้น จงหา

ก. พลงังานจลน์ทัง้หมดเมือ่เคลือ่นทีจ่ากหยดุนิ่งไปได ้5 วนิาที

ข. ความตงึในเสน้เชอืก

ตวัอย่างที่ 8 วตัถุเลก็ๆ กอ้นหนึ่งมมีวล m ผกูตดิกบัปลายเชอืกเลก็ๆ

และเบาซึง่สอดผา่นทอ่ของหลอดรปูทรงกระบอกกลวง แลว้แกวง่ให้

หมนุเป็นวงกลมตามแนวระดบัดว้ยรศัม ีr1 และอตัราเรว็คงที ่v1 เมือ่ดงึ

เชอืกลงทนัททีาํใหร้ศัมวีงกลมลดลงเป็น r2 จงหาอตัราเรว็เชงิเสน้และ

อตัราเรว็เชงิมมุของวตัถุในขณะมรีศัม ีr2 ในเทอมของ r1 , v1 และ r2

ตวัอย่างที่ 9 วตัถุกลมมมีวล M และรศัมไีจเรชนั k (อาจเป็นลอ้หรอื

วตัถุทรงกลม) กลิง้ลงตามพืน้เอยีง AB เริม่ตน้จากหยดุนิ่งทีจ่ดุ A ดงัรปู

เมือ่ถงึจดุ B วตัถุจะมอีตัราเรว็เชงิเสน้เป็นเทา่ใด

A

C B

h