การหารากของสมการ f(x) =...

หนวยท 2การหารากของสมการ f(x) = 0

2.1 บทน าเมอก าหนดให f(x) = 0 .....(2.1)โดยท f(x) เปนฟงชนตอเนอง ( Continuous function ) และเปนฟงชนไมเปนเชงเสน ( nonlinear

function ) ตองการหาคา x ทสอดคลองกบสมการท (1) ตวอยางของ (1) จะแบงออกไดเปน 2 กลมคอกลม 1 ฟงกชนผสมของฟงชนพชคณต ( Algebraic) กบ ฟงชนอดศย (transcendental) เชน

e – x – x = 0x + cos (x) = 0

sin (x) – x + 0.5 = 0x2 + x - 2 = 0x2 – ln (x) – 2 = 0

กลม 2 ฟงชนพหนาม ( Polynomial) เชนx5 – 15.5x4 + 77.5x3 – 15.5x2 + 124x – 32 = 0

รากของสมการคอคาตวแปรของสมการซงเมอน าไปแทนคาลงในสมการแลวไดคาสมการเทากบศนย เชน สมการ f(x) = x3 – 3x + 1 สามารถเขยนกราฟไดดงรปท 2.1

รปท 2.1 กราฟของ f(x) = x3 - 3x + 1

จะเหนวากราฟของฟงชน f(x) ในรปท 2.1 ตดผานแกน x หรอ f(x) = 0 ทคา x = -1.8, 0.3, 1.5 เมอพจารณาในชวงคาของ x = -2 ถง 2.5 และเมอพจารณาในชวงคาของ x = 0 ถง 2 กราฟ f(x) จะตดแกน x ทคา x = 0.3, 1.5 ซงคาดงกลาวนเมอน าไปแทนในสมการแลวจะท าให f(x) = 0 เราเรยกคาตาง ๆ นวา รากของสมการ

จากการแบงสมการขางตนทงสองกลมตางกเปนสมการไมเปนเชงเสนทม x เปนตวแปรเพยงตวเดยว ในการหาคารากของสมการเหลานถาเปนสมการทมก าลงเปน 2 หรอ 3 เราสามารถทจะค านวณไดไมยากนก แตถามเทอมของลอการทม หรอเอกโปเนนเชยลอยดวยอาจจะตองใชเวลามากเมอค านวณโดยไมใชเครองค านวณชวย

!" !#$% !# !&$% & &$% # #$% " "$%!"

&

"

'

(

)

#&

*

+

+,* - !.-.*./.#

หนวยท 2 การหารากของสมการ f(x) = 0 27

พจารณาจากคาของ f(x) เมอเราแทนคา x ลงในสมการจะไดคา f(x) ซงแปรตามคา x สามารถใชเครองหมายของคาฟงชน f(x) คอเมอเครองหมายเปลยนจาก บวก(+) เปน ลบ(-) หรอตรงกนขามชวยใหเราสามารถประมาณไดวาคารากของสมการอยระหวางคา x ทอยใกลกนโดยพจารณาทมเครองหมายของ f(x) เปลยน จะท าใหสามารถหาคา x (รากของสมการ) ทเมอน ามาแทนลงในสมการ f(x) แลวท าให f(x) = 0 ไดเรวขนเพราะไมตองทดลองแทนดวยคา x ทกคา ซงวธการนเราจะน ามาใชเปนล าดบขนตอนวธเชงตวเลขเพอเขยนโปรแกรมหาคารากของสมการโดยน ามาใชก าหนดเงอนไขส าหรบตรวจเชคเครองหมายของคา f(x) ทค านวณออกมาได ซงมวธการหาคารากสมการหลายวธคอ วธแบงสองชวง และวธต าแหนงผดเปนการหารากสมการโดยการประมาณคาเปนชวง ๆ สวนวธนวตนราฟสน และวธเสนตดโคงจะเปนวธทใชความชนของเสนตรง และการท าซ าจนไดคารากสมากรทตองการออกมาซงจะกลาวถงตอไป2.2 วธกราฟ

จาก f(x) = 0เราจะแยก f(x) ออกเปน f(x) = f1(x) – f2(x)เขยนกราฟของ y = f1(x) , y = f2(x) โดยใชแกนและสเกลเดยวกน ตรวจดวา กราฟทงสองตดกนทใด

รปท 2.2จดตด A มพกด (x* , f(x*))นนคอ f1(x*) = f2(x*)

f1(x*) + f2(x*) = 0f(x*) = 0

แสดงวา x* เปนรากจรงของ f(x) = 0เพอความสะดวกและเขยนกราฟไดรวดเรว ควรเลอกใช f1(x), f2(x) ใหเปนฟงกชนทเขยนกราฟไดงาย

ตวอยาง 2.1 จงหาต าแหนงรากจรงอยางหยาบ ๆ ของฟงชนตอไปนคอ1. 3xex = 12. sin (x) – x + 0.5 = 03. x2 – ln(x) – 2 = 0

A (x*, f(x*))

y= f1(x)

y= f2(x)x

y=f(x)

0

28 ระเบยบวธเชงเลขส าหรบงานวศวกรรม

วธท า 1. 3xex = 1 สามารถเขยนเปน 3x = e– x แยกสมการเพอเขยนกราฟได y = 3x และ y = e– x

รปท 2.32. sin (x) – x + 0.5 = 0

sin (x) = x – 0.5เขยนกราฟของ y = sin(x) และ y = x – 0.5

รปท 2.43. x2 – ln(x) – 2 = 0

x2 – 2 = ln(x)เขยนกราฟของ y = x2 – 2 และ y = ln(x)

รปท 2.5มรากจรง 2 ตว คอ ตวท 1 x ≈ 0.2

ตวท 2 x ≈ 1.6

y= 3 xy= ex

x

y=f(x)

0 1 2-1-2x~ 0.25

y= x - 0.5

x

y=f(x)

1 2 3-3 -2 -1

1

2

y= sin(x)

-1

x~1.5

y= x2 - 2

x

y=f(x)

y=x2

- 2 y= ln( x)

1 2 3-1-2-3

1

2

3

-1

-2

x= 0.2

x= 1.6


2.3 วธแบงสองชวง(Bisection Method) บางครงเรยกวธแบงครงชวง (Half interval method) ซงมวธหารากของสมการ f(x) = 0 ทมความตอเนองบนชวง (x1,x2) ดงนคอ

รปท 2.6 การเลอกชวง x1 x2

ขนท 1 พจารณาเลอกชวงของ (x1,x2) ท f(x) มความตอเนองในชวงของ (x1,x2) แลวมการเปลยนแปลงเครอง

หมายของ f(x) แสดงวามคารากของสมการ ทท าให f(x) = 0 อยในชวงของ (x1,x2) เชน คารากของสมการ y = x2 – 2

รปท 2.7 ประมาณคารากของสมการ y = x2 – 2 อยในชวง x = 1.2 และ x = 1.5

พจารณาจากกราฟจะเหนวากราฟตดแกน x หรอ f(x) = 0 ทคา x ประมาณมากวา 1.2 แตนอยกวา 1.5 ซงคาของ f(1.2) มคาเปนลบ และคาของ f(1.5) มคาเปนบวก นนคอ

ถาก าหนดใหพจารณาในชวง x1= 1.2 และ x2 = 1.5 แลวจะไดวา1.2 < 1.5 และ f(1.2) * f(1.5) ≤ 0

ถา f(x1)*f(x2) = 0 เมอเงอนไขนเปนจรงจะไดวา คา x1 หรอ x2 เปนรากของสมการ

ขนท 2 ถา f(x1)*f(x2) ≤ 0 ใหก าหนดคา x คาใหมเปน xm = (x1 + x2) / 2 ในทนคอ

(x1, f(x1))

(x2, f(x2))

x2xnxmx1

(x1, f(x1))

(x2, f(x2))

x2

xnxm

x1

& &$% # #$% " "$%!"

!#

&

#

"

-

'

%


xm = (1.2 + 1.5 ) / 2 = 2.7 / 2 = 1.35

ซงอาจจะไดคา f(xm) = 0 หรอ f(xm)*f(x1) < 0 หรอ f(xm)*(x2) < 0 กได

กรณทถาแทนคา xm ลงในสมการแลวท าให f(xm) = 0 แสดงวา xm เปนรากของสมการ

แตจากสมการนได f(xm) = (1.35)2 – 2 = - 0.1775 นนคอ f(xm) มเครองหมายลบ คอ f(xm)<0 ดงนนเราจะใชเงอนไขดงกลาวขางตนชวยในการหาคารากของสมการในวธแบงสองชวงดงน

กรณ f(xm) = 0 จะไดวา xm คอรากของสมการ

กรณ f(x1)*f(xm) < 0 หมายความวารากของสมการอยในชวง x1 และ xm จะแทนคา x2

เดมดวยคา xm (แทน 1.5 ดวย 1.35) แลวท าซ าหาคาใหม จาก (x1+xm) / 2 แลวตรวจดวาเขาเงอนไขกรณใด

กรณ f(xm)*f(x2) < 0 หมายความวารากของสมการอยในชวง xm และ x2 จะแทนคา x1เดมดวยคา xm (แทน 1.2 ดวย 1.35) แลวท าซ าหาคาใหม จาก (xm+x2) / 2 แลวตรวจดวาเขาเงอนไขดงกลาวขางตนกรณใด

จะพจารณาเหนวาชวงทครอบคลมรากของสมการจะแคบลง จนสดทายจะไดคารากสมการทท าให f(x) = 0 หรอบางครงอาจเลอกคาทท าให f(x) มคาเขาใกล 0 มาก ๆ หรอเทากบคายอมรบ คาดงกลาวถอวาเปนรากของสมการ บางครงอาจก าหนดใหเปนคาคลาดเคลอน เชน ถอวา x เปนรากของสมการเมอคาสมบรณของ สมการ f(x) < 0.0001 เมอเรายอมรบไดวา 0.0001 ≈ 0

วธการทกลาวมานเปนขนตอนวธเชงเลขส าหรบหาคารากของสมการเรยกวาวธแบงสองชวง หรอ วธแบงครงชวง น ามาเขยนเปนขนตอนการค านวณ (Algorithm) ไดดงนล าดบขนตอน 2.1 วธแบงสองชวง (Bisection Method)

1. ก าหนดคาเรมตน x1, x2 คาขอบเขต ε = n105.0 −× ( n = จ านวนหลกตวเลขทศนยม)

2. ตรวจสอบวา f(x1), f(x2) มเครองหมายตรงกนขามหรอไม ดวยการใชเงอนไข

f(x1) ⋅ f(x2) < 0 ?

ถาใชท าขนตอไป ถาไมใชกหยดการกระท าแสดงวาไมมรากในชวง (x1, x2)

3. ค านวณ xm = 2xx 21 + ....( 2.2 )

4. แทนคา xm ในฟงชน ถา |f(xm)| < ε หยดเพราะพบคารากแลว มฉะนนท าขนตอนตอไป

5. ตรวจสอบวา ชวงยอยใด มรากของ f(xm) = 0 โดยการใชเงอนไข

ถา f(x1) ⋅ f(xm) < 0 แทน x2 ดวย xm แลวยอนกลบไปท าขน 3

มฉะนนแทน x1 ดวย xm แลวยอนกลบไปท าขน 3


โฟวลชารท 2.1 (Bisection Method)

รปท 2.8 โฟลวชารทของวธแบงสองชวง

ตวอยาง 2.2 จงหารากของสมการ 3xex = 1 ตองการค าตอบมทศนยมถกตอง 4 ต าแหนงวธคด 3xex = 1

คณดวย e – x จะได 3x = e – x หรอ 3x – e – x = 01. check ; x = 0.25 ; f(x) = -0.028801 < 0

x = 0.26 ; f(x) = 0.008948 > 9แสดงวามรากจรงในชวง (0.25, 0.26)จะได x1 = 0.25 และ x2 = 0.26

แสดงผลทไดจากการท าซ าโดยวธแบงสองชวงดงตารางท 2.1

START

read data : x1, x2, εdefine function : f(x)

f(x1)f(x2) < 0 exitNo

STOPYes

n = 0

xm= (x1 + x2) / 2

n = n + 1

|f(xm)| < ε Yesprint : n, x1, x2, xm, f(x1),f(x2),f(xm)

STOPNo

print : n, x1, x2, xm, f(x1),f(x2),f(xm)

f(x1)f(xm) < 0Yes

No

x2:= x

x1:= x


ตารางท 2.1 ผลการท าซ าดวยวธแบงสองชวง ( ตวอยางท 2.2 )n x1 x2 xm = 2

xx 21 + f(x1) f(xm)1 0.25 0.26 0.255 –0.028801 –0 .0099162 0.255 0.26 0.2575 –0.009916 –0.0004823 0.2575 0.26 0.25875 –0.000482 –0.0042344 0.2575 0.25875 0.257125 –0.000482 –0.0018765 0.2575 0.258125 0.257813 –0.000482 –0.0006896 0.2575 0.257813 0.257657 –0.000482 –0.0001097 0.2575 0.257657 0.257579 –0.000482 –0.0001858 0.257579 0.257657 0.257618 –0.000185 –0.0000369 0.257618 0.257657 0.257638 –0.000036 –0.000039

ค าตอบ x = 0.2576

ความมประสทธภาพ วธแบงสองชวงนสะดวกทจะน าไปใชเขยนโปแกรมใหคอมพวเตอรค านวณ เพราะเปนวธทงาย และลเขาหาค าตอบแนนอน ถาเงอนไขเปนจรงคอ f(x) มความตอเนองในชวง [x1,x2 ] และถา f(x1) f(x2) < 0 แสดงวา

f(x1) และ f(x2) มเครองหมายตรงกนขาม ดงนนสมการ f(x) = 0 จะมรากอยางนอยหนงคาในชวง [x1,x2 ]ความผดพลาดกอาจเกดขนได เนองจากการสะสมคาคลาดเคลอนในการค านวณแตละรอบ อาจท าให

f(x) ณ จดแบงครงชวง xn เปนคาลบทมขนาดเลกมาก แตในความเปนจรง xn อาจเปนคาบวกทชนดเลกมาก

(และในทางกลบกน) จงเปนเหตใหการเลอกชวงยอยตอไปผดพลาดได เพอใหไดคา xn ทมความแมนย าเพยงพอ

ระเบยบวธนเหมาะจะใชในกรณท f(x) มเครองหมายเปลยนไปแตละ xn แตระเบยบวธนใชไมไดกบรากซ าพจารณารปท 2.9 ทต าแหนง x = 2 อกประการหนง ถาสมการ f(x) = 0 มราก 2 คาทอยใกลเคยงกนมาก กไมเหมาะจะใชระเบยบวธน เพราะอาจค านวณขามไปไดหรออาจขามไมได เชน ทต าแหนง x = 1 และ x = 2 ถาทงสองจดแทนทจะหางกนเทากบ 1 แตหางกนเปน 0.1 หรอ 0.01 เปนตน

& &$% # #$% " "$% - -$%!'

!-

!"

!#

&

#

"

-

'

%

(

รปท 2.9 รากสองคาใกลเคยงกนมาก และท x = 2 มรากซ า


ระเบยบวธนลเขาหาค าตอบคอนขางชา ทงนเพราะหลงการกระท าซ า n ครง ชวงทมรากอยจะกวาง

= 1n21

2xx

++

ซงหมายความวา ตองใชจ านวนการท าซ าคอนขางมาก จงไมเหมาะจะค านวณดวยมอ แตควรใช

คอมพวเตอรชวยค านวณสามารถใชโปรแกรม MATLAB เพอวาดกราฟดงรปท 2.2 ของสมการ y = x2 – 2 ขางตนและหาราก

ของสมการไดโดยพมพล าดบค าสงลงในหนาตางค าสงของ MATLAB ดงน

>> %This is plot of y = x^2 – 2>> x=0:0.1:2.5;>> y=x.^2-2;>> plot(x,y),...>> title('plot of y = x^2 - 2'); grid

และเขยนค าสงเพอหาคารากไดดงน

>> a=[1 0 -2]; >> r=roots(a) >> r = 1.4142, -1.4142 จะไดคารากสมการสองคา คอ 1.4142 , –1.4142หมายเหต เครองหมาย >> เปนเครองหมายทเครองแสดงวาพรอมรบค าสงจะเหนในหนาคางค าสงไมตองพมพอก

เขยนโปรแกรมภาษา ซ ไดดงน#include "stdio.h"#include "conio.h"#include "iostream.h"#include "stdlib.h"#include "math.h"float fxn(float);main(){ int n,max; float x1,x2,xm,fx1,fx2,fxm; clrscr(); cout<<"Enter lower limit x1 = ";cin>>x1; cout<<"Enter upper limit x2 = ";cin>>x2; cout<<"Enter max iteration = ";cin>>max; fx1 = fxn(x1);


fx2 = fxn(x2); if (fx1*fx2 >=0)

{printf("\n not have root in range x1 and x2\n");getch();return 0;}cout<<"\n n\t x1\t x2\t xm\tfx1\t fx2\t fxm\n"<<endl;for (n=1;n<=max;n++){ xm=(x1+x2)/2; fxm=fxn(xm); fx2=fxn(x2); if (fxm*fx2 >0)

x2=xm; else x1=xm; printf("%2d %8.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f\n",n,x1,x2,xm,fx1,fx2,fxm); n+1; }

cout<<"\nRoot of equation is "<<xm;endl; getch(); return 0; }

float fxn(float x) { float fx; //fx = pow(x,3) -3*x + 1; //fx=0.1 + (0.51*x) - (sin(x)); //fx=2.5 + 1.7*x - 0.9*pow(x,2); fx=-2.0 +6.2*x - 4.0*pow(x,2)+0.7*pow(x,3); return fx; }


เขยนโปรแกรม Matlab ( แกไขคา n ปรบตาม error) ไดคอx1 = input(' input lower limits :');x2 = input(' input upper limits :');sec = input(' input function :');fx1 = fxn(x1,sec);fx2 = fxn(x2,sec);xm = (x1+x2)/2;fxm= fxn(xm,sec);if fx1*fx2 >= 0 fprintf('\n not have root in range x1 and x2 \n'); pause(10);

elsefprintf(' \n n x1 x2 xm fx1 fx2 fxm\n');n=1;while abs(fxm) > 0.000001 xm = (x1+x2)/2; fxm= fxn(xm,sec); fx1= fxn(x1,sec); fx2= fxn(x2,sec); if fxm*fx2 > 0 x2 = xm; else x1 = xm; end fprintf('%2d %8.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f \n ',n,x1,x2,xm,fx1,fx2,fxm); n = n+1;endend %if

แฟมของ ฟงชนส าหรบใชเลอกโจทย f(x) ตองจดเกบในชอเดยวกบชอฟงชน กรณนคอ fxn.m% function [fx] = fxn(x,sel); function [fx] = fxn(x,sel);

if sel ==1 fx =x^3-3*x+1;elseif sel == 2 fx = 0.1+0.51*x-sin(x);


elseif sel == 3 fx=2.5+1.7*x-0.9*x^2;else fx=-2.0+6.2*x-4*x^2+0.7*x^3;end

2.4 วธต าแหนงผด (False Position Method or Regula-falsi Method)

เปนวธเกาแกส าหรบหาคารากของสมการ f(x) = 0 และมความคลายคลงกบวธแบงสองสวนมขนตอนคอ

ขนท 1 วธนเราจะเลอก จด x1 และ x2 ซง f(x1) และ f(x2) มเครองหมายตรงกนขาม พจารณาจากรปกราฟของ y=f

(x) ตดแกน x ซงอยระหวางจดตด AB น แสดงวารากของสมการอยระหวาง x1 และ x2 ซงท าใหไดผลคณของฟง

ชน f(x1) * f(x2) < 0

x2x3x4x1

A[x1,f(x1)]

B[x2,f(x2)]

x5P(x)

y = f(x)]

0

รปท 2.10 การหารากโดยวธต าแหนงผด

สมการของเสนคอรดทตอผานจด A[x1,f(x1)] และ B[x2,f(x2)] คอ

[y-f(x1)] / [x-x1] = [f(x2) - f(x1)] / [x2-x1]

วธนจะใชเสนคอรด AB สมการ f(x) โดยประมาณ และใชจดตดบนแกน x เปนคารากโดยประมาณเมอท าการแปลงสมการจะไดจดตดบนแกน x ซงเปนคารากในทน คอ xm จากสมการ ( 3 )

xm = x2-[(x2-x1)*f(x1) ] / [f(x2) -f(x1)] …..( 2.3 )

ขนท 2 ถา f(x1) และ f(xm) มเครองหมายตรงกนขาม แสดงใหเหนวาคารากของสมการจะอยระหวาง x1 และ xm

ดงนนเราจะแทน x2 ดวย xm ทค านวณไดจากสมการ (3) ซงกคอคา x ล าดบตอไป เมอไดคาแลวกน าไปแทนในสมการ f(x) = 0 ถาไดคาเทากบศนยหรอใกลเคยงกบความถกตองทตองการ แสดงวาคา x ทหาไดเปนค าตอบ (ราก) ของสมการ


ถายงไมเปนไปตามทก าหนด กจะท าซ ากระบวนการเดมโดยใชสมการ ( 3 ) ตอไปจนกระทงไดค าตอบ กระบวนการนเราเรยกวา วธต าแหนงผด น ามาเขยนเปนขนตอนการค านวณ ไดดงน

ล าดบขนตอน 2.2 วธต าแหนงผด1. ก าหนดคาเรมตน x1, x2, ε , f(x)

2. ตรวจสอบ f(x1) ⋅ f(x2) < 0 หรอไม ถาใชท าขอ 3 ถาไมใช แสดงวาไมมคารากอยในชวง

(x1, x2) ทเลอก จะหยดท าตอไป ถามคาเปนไปตามเงอนไขกหาคาใหมตามสมการในขอ 3

3. ค านวณ xm = )x(f)x(f)xx)(x(fx12122

2 −−−

4. ตรวจสอบวา |f(xm)| < ε ใชหรอไม ถาใชหยด มฉะนนท าขอ 5 ตอไป

5. เงอนไข f(x1) ⋅ f(xm) < 0 ใชหรอไม

ถาใช แทน x2 ดวย xm แลวยอนไปท าขอ 3

ถาไมใช แทน x1 ดวย xm แลวยอนไปท าขอ 3

หรอ สามารถแทนไดดวยล าดบขนคลายกนดงน

1.. อานคาเรมตนของขดจ ากดลางและขดจ ากดบนของชวงทคาดวาจะมคารากอย เชน x1= 0 และ x2 =

1 แทนคา x1, x2 ลงในสมการ f (x)

2.. หาคาระหวางกลางของขดจ ากดในขอ 1 จากสมการ

xm = [x1*f(x2) - x2*f(x1)] / [f(x2) -f(x1)]

3.. หาคา f(x) = 0 โดยใชคา x1, x2 และ xm แทนคาลงในสมการทจะหาคาราก

4.. ตรวจสอบเงอนไข ถา f(xm) = 0 บอกใหทราบวารากของสมการ คอ xm จบการท างาน ถาไมใช ท าขอ 5

5.. ตรวจสอบเงอนไข ถา f (xm)*f (x2) < 0 แสดงวารากอยในชวง xm และ x2 ก าหนดให x1 = xm แลวท าตงแตขอท 2 ซ า ถาไมเปนตามเงอนไข ท าขอ 6 ตอไป

6. ตรวจสอบเงอนไข ถา f (xm)*f (x2) > 0 แสดงวารากอยในชวง x1 และ xm ก าหนดให x2 = xmแลวท าตงแตขอท 2 ซ า

7. ท าตงแตขอ 2 จนพบค าตอบ(รากของสมการ) แลว พมพคารากของสมการ (ค าตอบ)

8. จบ


โฟวลชารท 2.2 วธต าแหนงผด ( ε= (0. )105 n−× เมอ n = จ านวนตวเลขหลงจดทศนยม )

รปท 2.10 โฟวลชารทการหารากของสมการดวยวธต าแหนงผด

ตวอยาง 2.3 หารากของ 3xex = 1 โดยวธ Method of False Position ตองการทศนยมถกตอง 4 ต าแหนงจาก 3xex = 1เอา e – x คณตลอด ; 3x = e – x หรอ 3x – e – x = 0

f(x) = 3x – e – x

ใชจดเรมตน x1 = 0.25 และ x2 = 0.26

dx = )x(f)x(f)xx()x(f

12122

−−⋅

ตารางท 2.2 ผลการท าซ าดวยวธต าแหนงผด ( ตวอยางท 2.3 )x1 x2 f(x1) f(x2) dx xm = x2 – dx f(xm)

0.25 0.26 -0.028801 0.008948 0.002370 0.25763 (0.88549)10-5

START

read data : x1, x2, εdefine function : f(x)

f(x1)f(x2) < 0 exitNo

STOPYes

n = 0

xm = x2 - dx

n = n + 1

|f(xm)| < ε Yes print n, x1,x2,f(x1),f(x2),f(xm)

STOP

No

print n, x1,x2,f(x1),f(x2),f(xm)

Yes

)1x(f)2x(f)1x2x()2x(fdx −⋅=

f(x1) f(xm) < 0No

x1 = xmx2 = xm


ค าตอบ x = 0.2576

ตวอยางท 2.4 จงหารากของสมการ x3- 2x- 5 = 0 โดยใชวธต าแหนงผด และก าหนดใหคดความถกตองททศนยม 3 ต าแหนง

วธท า ทดลองน าคาตวเลขแทน x ในสมการ x3- 2x- 5 = 0 ไดคาของสมการดงน

x 0 1 2 3 4

f(x) -5 -6 -1 16 51

ครงท 1 พจารณาคา f (2) = -1 และ f (3) = 16 มเครองหมายตางกน แสดงวารากของสมการอยระหวาง 2 กบ 3

ดงนนเลอกให x1 = 2 และ x2 = 3 โดยใชสมการ ( 3 ) ในวธต าแหนงผด เราจะได

xm = x1-[(x2-x1)*f(x1) ] / [f(x2) - f(x1)]

= 2 - [(3 - 2)*(-1)] / [16 -(-1)]

= 2 + 1/17 = 2.0588

จะไดคา f (xm) = f(2.0588) = (2.0588)3 - 2(2.0588) - 5 = -0.3908

เลอกให x1 = 2.0588, x2 = 3 จะได f (x1) = f (2.0588) = -0.3908 และ f (x2) = f (3) = 16 และใชสมการ( 3 )

หาคาราก (xm) ตอไป ท าซ าจนกระทงไดคาของสมการ f(x) =0.00X (ความถกตองเปนทศนยม 3 หลก)

ครงท 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 ไดคาดงน

x4 = 2.0813 x5 = 2.0862 x6 = 2.0915

x7 = 2.0934 x8 = 2.0941 x9 = 2.0943

ดงนนรากของสมการทถกตองททศนยม 3 หลก คอ 2.094สามารถเขยนโปรแกรมภาษา ซ ไดคอ#include "stdio.h"#include "conio.h"#include "iostream.h"#include "stdlib.h"#include "math.h"float fxn(float);main(){ int n,max;


float x1,x2,xm,fx1,fx2,fxm; clrscr(); cout<<"Enter lower limit x1 = ";cin>>x1; cout<<"Enter upper limit x2 = ";cin>>x2; cout<<"Enter max iteration = ";cin>>max; fx1 = fxn(x1); fx2 = fxn(x2); if (fx1*fx2 >=0)

{printf("\n not have root in range x1 and x2\n");getch();return 0;}cout<<"\n n\t x1\t x2\t xm\tfx1\t fx2\t fxm\n"<<endl;for (n=1;n<=max;n++) { fx1=fxn(x1); fx2=fxn(x2); xm=((x1*fx2)-(x2*fx1))/(fx2 - fx1);

fxm =fxn(xm);if (fxm*fx2 <0)

x1=xm; else x2=xm; printf("%2d %8.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f\n",n,x1,x2,xm,fx1,fx2,fxm); n+1; }

cout<<"\nRoot of equation is "<<xm;endl; getch(); return 0; }

float fxn(float x) { float fx; fx = pow(x,2) +(x*sin(x)) - 4;


//fx=0.1 + (0.51*x) - (sin(x)); //fx=2.5 + 1.7*x - 0.9*pow(x,2); //fx=-2.0 +6.2*x - 4.0*pow(x,2)+0.7*pow(x,3); return fx;

}สามารถเขยนโปรแกรม Matlab ไดคลายกบวธแบงสองชวง ตางกนทสมการหาคารากตวใหมเปลยนจาก

สมการท ( 2 ) เปนสมการท ( 3 ) และแกไขเงอนไขใหเปนไปตามวธต าแหนงผด นอกจากนในวธนวตน-ราฟสนและวธตดเสนโคงจะเขยนโปรแกรมไดคลายกนและตางกนทสมการส าหรบหาคารากตวใหมและเงอนไขของ แตละวธเชนกน ดงนนจะไมแสดงโปรแกรม Matlab2.5 วธนวตน-ราฟสน (Newton-Rhapson Method)

เปนวธทใชส าหรบหาคารากสมการทก าหนดหรอเดาคาเรมตนเพยงจดเดยว หากเลอกคาเรมตนทเหมาะสมคอมคาใกลกบคารากแทจรงพอสมควรจะท าใหไดค าตอบเรวมากเมอเทยบกบวธแบงสองชวงและวธต าแหนงผดในหวขอทกลาวขางตน

สมมตฟงชน f(x) เปนฟงชนทมความตอเนอง (continuous function ) และมความตอเนองของอนพนธ ( continuous derivative )

รปท 2.11 การหารากสมการดวยวธนวตนราฟสน

เรมตนดวย x0 อนเปนคาประมาณของราก x ของ f(x) = 0 (x0 ไดมาโดยวธกราฟหรอการเดาคา)

จาก x0 หาจดบนเสนโคง y = f(x) นนคอจด (x0, f(x0)) ณ จดน ลากเสนสมผสตดแกน x ทจด x1, x1 จะเปนคาประมาณตวถดไปของราก x จากนน กด าเนนการดวยวธเดยวกน

สมการของเสนสมผสเสนโคงทจด (x0, f(x0)) คอ

y – f(x0) = f'(x0) ⋅ (x – x0)

เสนสมผสตดแกน x ท (x1, 0) จะได

–f (x0) = f'(x0) ⋅ (x – x0) หรอ x1 = )x(f)x(fx

00

0 ′−

ดวยวธเดยวกน จะได x2 ;

x0

f(x0)y=f(x)

0 x1x2

x


x2 = )x(f)x(fx11

1 ′−

ท าเชนนเรอยไปจะไดสตรทวไป คอ

xn+1 = )x(f)x(fx

nn

n ′− ; nกคาดบถดไปจาการทาซาลา1n...2,1,0n

=+=

.....(2.4)

วธหาค าตอบของวธนสามารถแทนไดดวยล าดบขนดงน

1. เลอกคารากโดยประมาณ ( เชน x0 = 2 ) แทนลงในสมการ f(x) ถาไดคา f(x0) = 0 แสดงวา x0 คอรากของสมการ ถาไมเปนตามเงอนไขนกตองท าล าดบขนท 2 ตอไป

2. หาคาอนพนธของสมการ f(x) และหาคารากทมคาใกลคาทแทจรงตอไปจากสมการ

x1 = x0 - [f(x0) / f’(x0)]

หรอ xn+1 = xn - [f(xn) / f’(xn)]

3. หาคา f (xn+1) ถา f (xn+1) = 0 แสดงวา xn+1 เปนคารากของสมการ

4. ท าตงแตขอ 2 จนพบค าตอบ(รากของสมการ) แลว พมพคารากของสมการ (ค าตอบ) 5. หยดหรอจบโปรแกรมหรอล าดบขนตอน 2.3 วธนวตน-ราฟสน (Newton's Method)

1. ก าหนด f (x), f '(x), คาเรมตน x0, คาขอบเขต ε

2. ค านวณคา x = )x(f)x(fx

00

0 ′−

3. หยดค านวณ ถา |x – x0| < ε มฉะนนแทน x0 ดวย x แลวยอนกลบไปท าขอ 2 ซ า

เพอความสะดวกในการค านวณดวยมอ สามารถสรางตารางไดดงนx f(x) f ' (x) dx = f(x)/ f '(x)x0 f(x0) f'(x0) dx0 = f(x0) / f '(x0)

x1 = x0 – dx0 f(x1) f'(x1) dx1 = f(x1) / f '(x1)

x2 = x1 – dx1 : : :


โฟวลชารท 2.3 วธนวตน-ราฟสน (Newton's Method)

รปท 2.12 โฟวลชารทการหารากของสมการดวยวธนวตนราฟสน

ตวอยางท 2.5 จงหารากของสมการ 3x + sin (x) – ex = 0 โดยใชวธของนวตน ตองการค าตอบทมความถกตองททศนยม 6 ต าแหนง

f(x) = 3x + sin (x) – ex

f ' (x) = 3 + cos (x) – ex

START

read data : x0, εdefine fn. : f(x), f'(x)

n = 0

x = x0 -dx

n = n + 1

|x - x0| < ε

Yesprint n, x, f(x)

STOP

)x(f)x(fdx

00

′=

x0 = xNo


เรมตนดวย x0 = 0

n x f(x) f'(x) dx = f(x)/f'(x)0 0 -1.0 3.0 -0.3333331 0.333333 -0.068418 2.549345 -0.0268372 0.360170 (-6.2977)10 – 4 2.502264 (-2.5168)10 – 4

3 0.3604217 (-7.00)10 –9

ค าตอบ x = 0.3604217 ; |f(x)| = 7.00 × 10 – 9 < 5 × 10 – 7

เขยนโปรแกรมภาษา ซ ไดดงน#include "stdio.h"#include "conio.h"#include "iostream.h"#include "stdlib.h"#include "math.h"float fxn(float);float dfxn(float);main(){ int n,max; float e,re,x,x0,x1,fx,fx0,dfx; clrscr(); cout<<"Enter initial x0 = ";cin>>x0; cout<<"Enter tolerance e = ";cin>>e; cout<<"Enter max iteration = ";cin>>max; cout<<" n\tx0\t x\t fx0\t fx\t f'x0\n"<<endl;

fx0 =fxn(x0);dfx =dfxn(x0);x = x0 - fx0/dfx;

for (n=1;n<=max;n++){fx0 =fxn(x0);dfx =dfxn(x0);


x = x0 – fx0/dfx; fx = fxn(x); printf("%2d %8.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f\n",n,x0,x,fx0,fx,dfx);x0=x;

re=((-fx0/dfx)*100)/x;if (abs(re<e)){

cout<<"\nRoot of equation is "<<x0; getch(); return 0;}}

return 0; } float fxn(float x)

{ float fx; fx = pow(x,2) -2; return fx; } float dfxn(float x) { float df; df = 2*x; return df;

}2.6 วธเสนตดโคง (Secant Method)

วธนตองใชจดเรมตน 2 จด เหมอนกบวธแบงสองชวง และวธต าแหนงผดแตมขอแตกตางคอไมจ าเปนทจดเรมตน 2 จดนนจะตองอยคนละดานของรากของสมการ f(x) = 0 นนคอ คาของ f(x) ทจดเรมตน 2 จด ไมจ าเปนตองมเครองหมายตางกนนนเอง

0

y=f(x)

x2 x0 x1x3

x x

รปท 2.13 การลเขาหาค าตอบของวธเสนตดโคง


สมมตให x0, x1 เปนคาประมาณเรมตนของราก x ของสมการ f(x) = 0 สามารถประมาณกราฟ

ของ y = f(x) ดวยเสนตรงทผานจด (x0, f(x0)) และจด (x1, f(x1)) เสนตรงนตดแกน x ท (x2, 0) x2 เปนคาประมาณถดไปของ x

เราหาสมการเสนตรงไดจาก )x(f)x(fxx

0101

−− = )x(fy

xx11

−−

จด (x2, 0) อบยบนเสนตรง นนคอ x2 = 0, y = 0

จะได )x(f)x(fxx

0101

−− = )x(f

xx112

−−

x2 = )0x(f)1x(f)0x1x()1x(f

1x −−⋅−

จาก x1, x2 หาคาประมาณ x3 ไดโดยวธการเชนเดยวกน จะได

x3 = )x(f)x(f)xx()x(fx

12122

2 −−⋅−

ท าเชนนเรอยไป จะไดสดรการท าซ า

xn+1 = )x(f)x(f)xx()x(fx

1nn1nnn

n −−

−−⋅− ....(2.5)

สตรของวธเสนตดโคง คลายคลงกบสตรการท าซ าในวธต าแหนงผด แตวธเสนตดโคงไมตองพจารณาวา f(x) จะมเครองหมายเปลยนไปหรอไม

ล าดบขนตอน 2.4 วธเสนตดโคง (Secant Method)1. ก าหนดคาเรมตน x0, x1, คาชอบเขต ε, ฟงกชน f(x)

2. ค านวณคา x = )x(f)x(f)xx()x(fx

01011

1 −−⋅−

3. หยดการค านวณ ถา |x –x1| < ε มฉะนน แทนคา x0 ดวย x1, x1 ดวย x แลวยอนไปท าขอ 2


โฟลวชารท 2.4 วธเสนตดโคง (Secant Method)

รปท 2.14 โฟลวชารทของวธเสนตดโคง

ส าหรบการค านวณดวยมอ เพอความสะดวก รวดเรว เราสรางตารางส าหรบการค านวณดงนx y = f(x) ∆∆∆∆x ∆∆∆∆y

yx

∆∆ dx = y

xy ∆∆⋅

x0 y0

x1 y1 ∆x1 = x1 – x0 ∆y1 = y1 – y0 Z1 dx1 = y1 ⋅ Z0

x2 = x1 – dx1 y2 ∆x2 = x2 – x1 ∆y2 = y2 – y1 Z2 dx2 = y2 ⋅ Z1x3 = x2 – dx2 y3 ∆x3 = x3 – x2 ∆y3 = y3 – y2 Z3 dx3 = y3 ⋅ Z2

x4 = x3 – dx3 y4 ∆x4 = x4 – x3 ∆y4 = y4 – y3 Z4 dx4 = y4 ⋅ Z3

: : : : : :

START

read data : x0, x1, ε definefunction : f(x)

n = 0

x =x1 - dx

n = n + 1

|x - x1| < ε

Yes

print n, x, f(x)

STOP

)0x(f)1x(f)0x1x()1x(fdx −

−⋅=

x0 = x1f(x0) = f(x1)

x1 = xf(x1) = f(x)

No


ตวอยางท 2.6 จงหารากของสมการ 3x+ sin (x) – ex = 0 ตองการค าตอบถกตองททศนยม 6 ต าแหนงf(x) = 3x + sin x – ex ใชคาเรมตน x0 = 0 , x1 = 1

n x y = f(x) ∆x ∆yyx

∆∆ dx = y

xy ∆∆⋅

0 -10 1 1.123189 1 2.123189 0.470990 0.5290101 0.470900 0.265160 -0.529010 -0.858029 0.616541 0.1634822 0.307508 -0.134823 -0.163482 -0.399983 0.408722 -0.0551053 0.362613 0.005478 0.055105 0.140301 0.392763 0.0021524 0.360416 (9.83)10 – 5 -0.002152 -0.005380 0.400000 (3.93)10-5

5 0.3604217 (-7.00)10 – 9

ค าตอบคอ x = 0.3604217 ; |f(x)| = 7.00 × 10– 9 < 5 × 10– 8 < 5 × 10– 7

หมายเหต วธเสนตดโคงบางครงไมลเขา แตในกรณทลเขาจะลเขาดวยอนดบสงกวาก าลงหนง คอ ≈ 1.618ขอดของวธเสนตดโคง คอ ไมตองเรมตนดวยจดทอยคนละดานของราก บางครงถารากเปนจดสมผส

ภายนอก x กสามารถใชวธนหารากได ในขณะทวธแบงสองชวงใชไมได

ตวอยางท 2.7 การไมลเขาเมอใชวธเสนตดโคง แมวาจะเลอก x0 ใกลต าแหนงของรากกตาม

f(x) = (x3 – 3x2 – x + 9) ex = 0 คาเรมตน x0 = - 1 , x1 = -2

รปท 2.15 กรณไมลเขาสค าตอบของวธเสนตดโคง

0

y=f(x)

x2

x0

x1x3

x


เขยนโปรแกรมภาษา ซ ไดดงน#include <stdio.h>#include <conio.h>#include <iostream.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#define DEFAULT_LOOP 100#define DEFAULT_TOL 1.0E-07#define ZERO_APPROACH 1.0E-07double TF(double); /* Function -- for finding roots */void InputValue(double*,double*,int*,double*);int Secant(double,double,double*,int*,double* );void DisplayOutput(int,int,double,double );/* Global Variable *//* keeping the results in array for display */double first[1000],second[1000],xx[1000],yy[1000];void main(){double guess1, /* first initial guess */

guess2, /* second guess */root,tolerance;

int loop_limit, /* Maximum of Iteration */ error; /* Flag for printing output */ guess1 = guess2 = root = tolerance=0; loop_limit = 0; error = 0; clrscr(); printf("\n\t\tFind Root of equation by Secant method\n"); printf("\t\t===========================================\n"); InputValue(&guess1,&guess2,&loop_limit,&tolerance); error = Secant(guess1,guess2,&root,&loop_limit,&tolerance); DisplayOutput(error,loop_limit,root,tolerance);}


void InputValue( double* lower, double* upper, int* maxloop, double* tol){char buffer[81]; printf("\nInput First initial estimated root : ");gets(buffer); *lower=atof(buffer); printf("Input Second initial estimated root : " );gets(buffer); *upper=atof(buffer); printf("Input Limit of iteration : ");gets(buffer); *maxloop = atoi(buffer); printf("Tolerence (default = 1E-7): ");gets(buffer); *tol = atof(buffer);}void DisplayOutput(int printflag,int iter,double root,double tolerance){int i;

switch(printflag) {case 0 : {if (iter) {

printf("\n Iter Guess 1 Guess 2 x y(x) \n"); printf( "===== ======= ========= ======= ========");

}; for ( i =1; i <= iter; i++) { printf("\n%3d %10.5f %10.5f %10.5f %10.5f ",

i,first[i],second[i],xx[i],yy[i]); if (i%15==0){

getch(); clrscr();

printf("\n Iter Guess 1 Guess 2 x y(x) \n"); printf( "===== ======= ========= ======= ========");

} } printf("\n\n Approximate root of eqn = % 12.8f", root); printf("\n tolerence of f(x) = %e",tolerance); break; } /* case 0 */


case 1 : { printf ("\n The slope is nearly zero. Choose a new Guess!!.\n"); break; case 2:{ printf("\nIt must exceed the limit of iteration.\n"); break; } } } /* switch */}/*======================================================================*/int Secant(double x1, double x2, double* root,int* maxloop,double *tol){double x3,y1,y2,y3;int found=0,i=0;

if (*maxloop <= 0 ) *maxloop = DEFAULT_LOOP;if (*tol <= 0) *tol = DEFAULT_TOL;y1 = TF(x1);y2 = TF(x2);if (fabs(y1) <= ZERO_APPROACH) {

found = 1;}else{

if (fabs(y2) <= ZERO_APPROACH) { found = 1;}else{if (fabs(y2-y1) <= ZERO_APPROACH) return(1);}

} while (!found && (i < *maxloop)){

i+=1; first[i] =x1; second[i]=x2; /* for display */ x3 = x2-y2*(x2-x1)/(y2-y1); /* secant formula */ xx[i] = x3; /* for display */ y3 = TF(x3);


yy[i] = y3; /* for display */ if (fabs(x2-x1) < *tol) { found = 1; break; } y1 = y2; x1 = x2; x2 = x3; y2 = y3;

} /* while loop */ *root = x2; if (i >= *maxloop && !found)

return 2; else

*maxloop = i;return 0;}double TF(double h){

/*y=.........*/return(3.284*exp(-(h-36089)/20806) - 7.35);

}/*======================================================================*/2.7 การหารากของสมการพหนาม

ก าหนดให สมการพหนามดกร n (Polynomial Equation Degree n)p(x) = an + 1x

n + anxn – 1 + ... + a3x2 + a2x + a1 = 0 .....(2.6)

โดยทสมประสทธ ai (i = 0, 1, 2, ..., n) เปนจ านวนจรงตองการหา รากคาตาง ๆ ของ (6) กอนแกสมการ (6) ควรจะดองมความรพนฐานเกยวกบสมการ

พหนาม เชน ทฤษฎพนฐานทางพชคณต (Fundamental Theorem of Algebra) ทสามารถจะสรปไดวา1. สมการพหนาม (6) จะมรากทงหมด n ราก โดยทรากทงหมดน ไมจ าเปนตองมคาแตกตางกน

หมด และอาจจะเปนรากจรง หรอรากเชงซอนกได และถาม a + bi เปนรากเชงซอน 1 คา ดงนน คสงยค

(Coujugate) a – bi จะเปนคารากของ p(x) = 0 ดวย

2. ถาดกรของพหนามเปนเลขค และสมประสทธ ai เปนจ านวนจรง ดงนน p(x) = 0 จะตองมรากจรงอยางนอย 1 ราก ทงนเพราะวา ถามรากเชงซอนจะตองมดกรเปนจ านวนคเสมอ

นอกจากนแลว ยงมแนวทางพจารณาไดอกวา p(x) = 0 จะมรากจรงหรอเปลา


กฎแหงเครองหมายของเดสการตส (Descrates' rule of sign)สมการพหนาม ทมสมประสทธเปนจ านวนจรงบวก จะมจ านวนรากจรงทเปนคาบวก ไมเกนจ านวน

ครงของการเปลยนเครองหมายของสมประสทธตวอยางท 2.8

1. p(x) = x5 – x4 + 3x3 – 9x2 + 10x – 10มรากเชงซอน 4 ราก รากจรง 1 ราก คอx1 = –1 + 2i, x2 = –1 – 2i, x3 = 1 + i, x4 = 1 – i, x5 = 1

2. p(x) = x4 + 5x2 + 4 = 0ไมมการเปลยนเครองหมายของสมประสทธ ฉะนนจงไมมรากจรง

(x2 + 1) (x2 + 4) = 0(x + i) (x – i) (x + 2i) (x – 2i) = 0

x = –i , i , –2i , 2iซงเปนรากเชงซอนทงหมด

การหารากจรงของ an+1xn + anxn – 1 + ... + a3x2 + a2x + a1 = 0 กระท าโดยใชวธของนวตน

xn + 1 = )nx(p)nx(p

nx ′− .....(2.7)

n = จ านวนการท าซ า และ n = 0, 1, 2, .....p(xn) คอ คาของพหนาม p(x) ท xn

p'(xn) คอ คาของอนพนธของ p'(x) ท xn

เรมตนดวย x0 อนเปนคาประมาณเรมตนของรากจรง และแตละรากหาไดจากวธการคนหาต าแหนงทของราก

การค านวณคาของ p(xn) จะไมใชการแทนคา xn ลงใน p(x) โดยตรง เพราะใชจ านวนครงของการบวก การคณคอนขางมาก อาจท าใหผลลพธมคาคลาดเคลอนมากดวย

พจารณา p(x) = a4x3 + a3x2 + a2x + a1แทนคา xi โดยตรง p(xi) = a4(xi)

3 + a3(xi)2 + a2xi + a1

ใชเครองหมายคณ = 3 + 2 + 1 = 6 ครงใชเครองหมายบวก = 3 ครงแตถาเขยน p(xn) ในแบบการคณซอน (Nested Multiplication)

p(xn) = ((a4xn + a3)xn) + a2)xn + a1 .....(2.8)จะเหนวาใชการคณเพยง 3 ครง และใชการบวกเพยง 3 ครงเทานน


การหาคาของพหนามโดยวธของฮอรเนอร (Horner's Method)การหาคาของ p(x) หนงสอบางเลมจะเรยกวธการหารสงเคราะห (Syntetic division) แทนทจะเรยก

วธของฮอรเนอรจาก (8) น ามาเขยนเปนตารางการค านวณไดดงน

a4 a3 a2 a1x = xi - a4xi (a4xi + a3)xi ((a4xi + a3) xi + a2) xi

a4 a4xi + a3 (a4xi + a3)xi + a2 ((a4xi + a3) xi + a2) xi + a1 = p(xi)

ส าหรบการหาคาของพหนาม p(x) ดกร n เมอ x = z เรมตนดวยการเขยน ส.ป.ส. ของ xn เรยงตามล าดบ ถา ส.ป.ส. ตวใดมคาเปนศนย กใสคา 0 ดวย ดงตารางขางลางน

p(x) : an + 1 an an – 1 ... ak ... a2 a1x = z : - zbn + 1 zbn ... zbk + 1 ... Zb3 zb2

bn + 1 bn bn – 1 ... bk ... b2 b1 = p(z)

โดยท 1,...,1n,nk;zbab ab

1kkk

1n1n−=+=

=

+

++ .....(2.9)

ล าดบขนตอน 2.5 Horner's Method or Nested Multiplication or Synthetic Division1. ก าหนดให : ส.ป.ส. ak เมอ k = 1, 2, 3, n + 1 ; คา z

2. bn + 1 = an + 1

3. ส าหรบ k = n ถง 1 ทละ -1 ท า bk = ak + zbk + 1

4. p(z) = b1


โฟวลชารท 2.5 Horner's Method or Nested Multiplication or synthetic Division

รปท 2.16 โฟวลชารทวธของ Horner's หรอ การคณซอน หรอ Synthetic divisionตวอยางท 2.9 จงหาคาของ p(x) = 3x5 – 2x4 + x2 – 7x – 4 เมอ x = 2

a6 a5 a4 a3 a2 a13 -2 0 1 -7 -4

x = 2 - 6 8 16 34 543 4 8 17 27 50 = p(2)

b6 b5 b4 b3 B2 b1

ตรวจสอบp(2) = 3(2)5 – 2(2)4 + (2)2 - 7(2) – 4

= 3(32) –2(16) +4 – 14 – 4= 96 – 32 + 4 – 14 – 4= 50

การหาคาอนพนธ p'(x)ก าหนดพหนาม p(x) ดกร n : p(x) = an + 1x

n + anxn – 1 + ... + a3x2 + a2x + a1 = 0

โดยการหารดวย x – z จะไดผลลพธเปนพหนามดกร n - 1 และเศษ r1

START

input : a(k) ; k = 1, 2, n + 1

b(n+1) = a(n+1)

b(k) = a(k) + z . b(k + 1)

output : print p(z)

k = n (-1) 1

p(z) = b(1)

STOP


zx)x(p

− = zxr)x(q 1−+ .....(2.10)

q(x) เปนพหนามดกร n – 1 ซงเขยนในรปq(x) = bn + 1x

n – 1 + bnxn – 2 + ... + b4x2 + b3x + b2 .....(2.11)แทน q(x) ใน (2.10)

p(x) = (x – z)(bn + 1xn – 1 + bnxn – 2 +... + b4x2 + b3x + b2) + r1

= bn + 1xn + bnxn – 1 + ... + b4x3 + b3x2 + b2x + r1 - zbn + 1 x

n – 1 - ... - zb4x2 - zb3x - zb2

p(x) = bn + 1xn + (bn – zbn + 1) x

n – 1 + ... + (b3 – zb4)x2 + (b2 – zb3)x + (r1 – zb2) .....(2.12)

เปรยบเทยบสมการ (2.12) กบ p(x) = an + 1xn + anxn – 1 + ... + a3x2 + a2x + a1

จะพบวา bn + 1 = an + 1

bk = ak + zbk +1 ; k = n, n – 1, ..., 1

โดยท b1 = r1 = a1 + zb2

จาก (2.10) zx)x(p

− = zxr)x(q 1−+

ถา (x – z) หาร p(x) ลงตว ดงนนเศษ r1 = 0

กรณท (x – z) หาร p(x) ไมลงตว ดงนนเศษ r1 = a1 +zb2

q(x) เปนพหนามดกร (n –1) ซง ส.ป.ส. bk : k = n + 1, n, ... , 2 ซงหาไดจาก

an + 1 an an – 1 ... ak ... a2 A

x = z - zbn + 1 zbn ... zbk + 1 ... zb3 zb2

bn + 1 bn bn – 1 -- bk -- b2 b1 = a1 + zb2 = เศษ r1bn + 1 = an + 1

bk = ak + zbk + 1 ; k = n, n – 1, ...1

จาก (10) p(x) = (x – z) q(x) + r1แทน x = z : p(z) = r1

อนพนธของสมการ (10) เทยบกบ x : p' (x) = (x – z) q'(x) + q(x) ⋅ 1เมอ x = z p' (z) = (z – z) q'(z) + q(z)จะไดวา p' (z) = q(z)นนหมายความวา การหาคาของ p' (x) เมอ x = z คอ การหาคาของ q(z) นนเอง เราท าการหาแบบ

Horner ดงเชนทผานมาดงน


q(x) bn + 1 bn bn – 1 ... bk ... b3 b2x = z - zcn + 1 zcn ... zck + 1 ... zc4 zc3

cn + 1 cn cn – 1 --- ck --- c3 c2 = q(z) = p'(z)

โดยท cn + 1 = bn + 1

ck = bk + zck + 1 ; k = n, n – 1, ..., 3, 2 ....(2.13)น าตารางทงสองมาเขยนตอกนไดดงน

p(x) : an + 1 an an – 1 ... ak ... a2 a1x = z - zbn + 1 zbn ... zbk + 1 ... zb3 zb2

q(x) : bn + 1 bn bn – 1 --- bk --- b2 b1 = p(z)- zcn + 1 zcn ... zck + 1 ... zc3

cn + 1 cn cn – 1 --- ck --- c2 = p'(z)เขยนเปนสตรไดดงน

bn + 1 = an + 1

cn + 1 = bn + 1 .....(2.14)

bk = ak + zbk + 1 ; k = n, n – 1, ...1

ck = bk + zck + 1 ; k = n, n – 1, ..., 2ล าดบขนตอน 2.6 การค านวณ (Compute) p(x), p'(x) for x = z

1. ก าหนดให ส.ป.ส. ak , k = 1, 2, ..., n + 1 คา z

2. bn + 1 = an + 1

cn + 1 = bn + 13. ส าหรบ k = n ถง 2 ทละ -1 ท า

bk = ak + z ⋅ bk + 1

ck = bk + z⋅ ck + 1

4. b1 = a1 + z ⋅ b2

5. p(z) = b1p'(z) = c2


โฟวลชารท 2.6 การค านวณ p(x) , p'(x) for x = z

รปท 2.17 โฟวลชารทค านวณ p(x) และ p ' (x)

START

input : a(k) ; k = 1, 2, n + 1input z

b(n+1) = a(n+1)c(n+1) = b(n+1)

b(k) = a(k) + z . b(k + 1)c(k) = b(k) + z . c(k + 1)

output : print p(z), dp(z)

k = n (-1) 2

b(1) = a(1) + z . b(2)

STOP

p(z) = b(1)dp(z) = c(2)


ตวอยางท 2.10 จงหาคา p(2) และ p'(2) ชอง p(x) = 3x5 – 2x4 + x2 – 7x – 4

3 -2 0 1 -7 -4x = 2 - 6 8 16 34 54

3 4 8 17 27 50 = p(2)- 6 20 56 1463 10 28 73 173 = p'(2)

p(2) = 50p'(2) = 173

ตรวจสอบp'(x) = 15x4 – 8x3 + 2x – 7

p'(2) = 15(2)4 – 8(2)3 + 2(2) – 7= 15(16) – 8(8) + 4 – 7= 240 – 64 + 4 – 7= 173

การหาคาอนพนธอนดบสงของพหนาม p(x)เพองายตอการเขาใจ จะยกตวอยาง p(x) ดกร 4

p(x) = a5x4 + a4x3 + a3x2 + a2x + a1ให z เปนจ านวนจรงใด ๆ

หาร p(x) ดวย (x – z)

−+=−

−+=−

−+=−

−+=−

zxrazx

)x(qzx

r)x(qzx)x(q

zxr)x(qzx

)x(qzx

r)x(qzx)x(p

45

3

33

2

22

1

11

.....(2.15)

โดยท r1, r2, r3, r4 เปน เศษหาไดจาก Complete Horner Table ดงน


Complete Horner Tablep(x) : a5 a4 a3 a2 a1

x = z zb5 zb4 zb3 zb2

q1(x) : b5 b4 b3 b2 b1 = p(z) ⇒ เศษ r1- zc5 zc4 zc3

q2(x) : c5 c4 c3 c2 = q1(z) ⇒ เศษ r2- zd3 zd4

q3(x) : d5 d4 d3 = q2(z) ⇒ เศษ r3- zc5

c5 c4 = q3(z) ⇒ เศษ r4

โดยท c5 = d5 = c5 = b5 = a5

ในทน p(x) = a5x4 + a4x3 + a3x2 + a2x+ a1q1(x) = b5x3 + b4x2 + b3x + b2

q2(x) = c5x2 + c4x + c3

q3(x) = d5x + d4จาก (2.15) แทนคายอนกลบจากบรรทดลางไปสบรรทดบน

q3(x) = a5(x – z) + r4

q2(x) = (x – z) q3(x) + r3

= (x – z) (a5(x – z) + r4) + r3

= a5(x – z)2 + r4(x – z) + r3

q1(x) = (x – z) q2(x) + r2

= (x – z) [a5(x – z)2 + r4(x – z) + r3] + r2

= a5(x – z)3 + r4(x – z)2 + r3(x – z) + r2

p(x) = (x – z) q1(x) + r1= (x – z)[a5(x – z)3 + r4(x – z)2 + r3(x – z) + r2] + r1= a5(x – z)4 + r4(x – z)3 + r3(x – z)2 + r2 (x – z) + r1

ซงเปนพหนามในเทอมดกรของ (x – z) ซง ส.ป.ส. a5, r4, r3, r2, r1 หาไดจาก Complete Horner Table


ถา p(x) เปนพหนามดกร n ใด ๆ เราดดแปลง p(x) เปนพหนามดกรของ (x – z) ไดดงนp(x) = r1 + r2(x – z) + r3(x – z)2 + r4(x – z)3 + ...+rn + 1(x – z)n .....(2.16)

เรากระจาย p(x) รอบจด x = z โดยใชอนกรมเทเลอร จะไดวา

p(x) = p(z) + p'(z) (x – z) + p"(z) !2)zx( 2− +p'"(z) !3

)zx( 3− +...+p(n)(z) !n)zx( )n(− .....(2.17)

เทยบ ส.ป.ส. เทอมดานขวาในสมการ (2.16), (2.17) จะไดp(z) = r1 p(z) = r1p'(z) = r2 p'(z) = r2

!21 p"(z) = r3 หรอ p"(x) = 2!r3

Μ Μ

!n1 p(n)(z) = rn + 1 p(n)(z) = n!rn + 1

โดยท r1, r2, r3, ..., rn +1 หาไดจาก Complete Horner Table

ตวอยางท 2.11 จงแปลงพหนาม p(x) = 2x3 – x2 + 3x – 5 ใหเปนพหนามในเทอม (x – 2) และจงหาคา p(2) ,p'(2), p"(2), p'"(2)

2 -1 3 -5x = 2 - 4 6 18

2 3 9 13 = r1- 4 142 7 23 = r2

- 42 11 = r3

p(x) = 2(x – 2)3 + 11(x – 2)2 + 23(x – 2) + 13p(2) = 13p'(2) = 23p"(2) = 2!(11) = 22p'"(2) = 3!(2) = 12

ตรวจสอบ

=′′′=−=−=′′

=+−=+−=′

12)x(p22224)2("p,2x12)x(p

233424)2('p,3x22x6)x(p


2.7.1 การหารากจรงของพหนาม โดยวธของนวตนเราไดรการหาคาของ p(x) และ p'(x) แลว ในทนตองการหารากของพหนาม

p(x) = 0เราจะผนวกวธของ Horner กบวธของ Newton เขาดวยกนจะไดสมการ (2.18)

xn + 1 = )nx(p)nx(p

nx ′− ; n = 0, 1, 2, ... .....(2.18)

โดยเรมตนท x0 ซงเปนคาประมาณเรมตนของรากจรงตวใดตวหนงของ p(x) = 0 ค านวณหาคาของ p(x0), p ' (x0) โดยใชวธ Horner แลวปรบปรงคา x0 ใหดขนโดยใชสตรนวตน (2.18)

x1 = )x(p)x(px

00

0 ′−

จากนนค านวณคา p(x1), p'(x1) โดยใชวธ Horner แลวปรบปรงคา x1 ใหดขนโดยใชสตร (2.18)

x2 = )x(p)x(px11

1 ′−

ท าเชนนเรอยไปจนกวาจะได p(xn) = 0 หรอ xn มคาแมนย า ( ทศนยมถกตองตามทตองการ )เขยนเปนล าดบขนตอนการหารากจรงไดดงล าดบขนตอน 2.7ล าดบขนตอน 2.7 หารากจรง 1 คาของ p(x)

1. ก าหนด ส.ป.ส. ak , k = 1, 2, ..., n + 1

คาขอบเขต ε, δ, คาเรมตน x0 = z

2. bn + 1 = an + 1

cn + 1 = bn + 13. Iteration i = 04. ส าหรบ k = n ถง 2 ทละ -1 ท า

bk = al + z ⋅ bk + 1

ck = bk + z ⋅ ck + 1

5. b1 = a1 + z ⋅ b2

6. dx = 21

cb

7. x = z – dx8. Iteration i = i + 19. หยด ถา | dx | < ε และ | b1 | < δมฉะนน แทน z ดวย x แลวยอนไปท าขอ 4


การหาคาเรมตนของรากจรงแตละราก1. พจารณาจากเครองหมาย p(x) เชน p(xn) ⋅ p(xn + 1) < 0 แสดงวารากจรงอยระหวา (xn, xn + 1)

2. กรณทเปนรากซ า p(xn) ⋅ p(xn + 1) > 0 กรณนตองดเครองหมายของอนพนธ ถาเครองหมายของ

p'(xn – 1) แตกตางกบของ p'(xn + 1) และ |P(x)| < δ , δ = 10 – 2 แสดงวามรากท xn

รปท 2.18โฟวลชารท 2.7 หารากจรง 1 คา (Find one Real of p(x)

START

input : read a(k), k = 1,2, n +1, ε, δ, z

b(n+1) = a(n+1)c(n+1) = b(n+1)

i = 0

i = i + 1

| dx | < εYes

output : print i, x

STOP

z = x

k = n(-1)2

b(k) = a(k) + z . b(k+1)c(k) = b(k) + z . c(k+1)

b(1) = a(1) + z . b(2)dx = b(1) / c(2)

x = z - dx

| b(1) < δNo

0

y=f(x)

xnxn-1

x x

p(x)

xn+1

รปท 2.19 โฟวลชารทการหารากจรงของนวตน 1 ราก


ตวอยางท 2.12 จงหารากจรงทงหมดของ p(x) = 3x5 – 2x4 + x2 – 7x – 4 ตองการค าตอบถกตองททศนยม4 ต าแหนง ( หารากจรงวามกคากอน )

ส.ป.ส. ของ p(x) มเครองหมาย + - + - - เปลยนไป 3 ครง นนคอมรากจรงไมเกน 3 คาx p(x) p'(x)

-1.5 -24.16 92.94-1.2 -5.77 35.53-0.9 0.03 6.87-0.6 0.06 -4.53-0.3 -1.83 -7.43

0 -4 -70.3 -6.02 -6.490.6 -7.87 -5.580.9 -9.03 -1.191.2 -7.64 12.681.5 0.41 44.941.8 22.33 107.41

มรากจรงอยใกล ๆ x = -0.9 , x = -0.6, x = 1.5 และรากอก 2 รากเปนรากเชงซอนการหารากจรงตวทหนง ใชคาเรมตน x 0 = -0.9

3 -2 0 1 -7 -4x = -0.9 - -2.7 4.23 -3.807 2.5263 4.02633

3 -4.7 4.23 -2.807 -4.4737 0.02633- -2.7 6.66 -9.801 11.34723 -7.4 10.89 -12.608 6.8735

x1 =

−− 8735.602633.09.0 = -0.90383

3 -2 0 1 -7 -4x = -0.90383 - -2.71149 4.25839 -3.84886 2.57489 3.99955

3 -4.71149 4.25839 -2.84886 -4.42511 -0.00045- -2.71147 6.70911 -9.91276 11.534343 -7.42298 10.9675 -12.76162 7.10923

x2 =

−−− 10923.700045.090383.0 = -0.90377


3 -2 0 1 -7 -4x = -0.90377 - -2.71131 4.25794 -3.84820 2.57489 3.99955q1(x) 3 -4.71131 4.25794 -2.84820 -4.42588 -0.00002

- -2.71131 6.70834 -9.91100 11.531383 -7.42262 10.96628 -12.75920 7.10550

x3 =

−−− 10550.700002.090377.0 = -0.90377

รากจรงตวทหนง คอ x = -0.90377การหารากจรงตวทสอง ใชคาเรมตน x0 = -0.6

p(x) = ( x + 0.90377 ) ( 3x4 – 4.71131x3 + 4.25794x2 – 2.84820x – 4.42588 )

q1(x) : 3 -4.71131 4.25794 -2.84820 -4.42588x = -0.6 - -1.8 3.90670 -4.89884 4.64822

3 -6.51131 8.16473 -7.74704 0.22234- -1.8 4.98679 -7.890913 -8.31131 13.15152 -15.63795

x1 =

−−− 63795.15

22234.06.0 = -0.58578

3 -4.71131 4.25794 -2.84820 -4.42588x = -0.58578 - -1.75734 3.78921 -4.71386 4.42970

3 -6.46865 8.04715 -7.56206 0.00382- -1.75734 4.81862 -7.536513 -8.31131 12.86577 -15.09857

x2 =

−−− 09857.15

00382.058578.0 = -0.58553

3 -4.71131 4.25794 -2.84820 -4.42588x = -0.58553 - -1.75659 3.78715 -4.71064 4.42593

3 -6.46790 8.04509 -7.55884 0.00005- -1.75659 4.81569 -7.530373 -8.22449 12.86078 -15.08921

x3 =

−−− 08921.15

00005.058553.0 = -0.58553

รากจรงตวทสอง คอ x = - 0.58553p(x) = (x + 0.90377) (x + 0.58553) (3x3 – 6.46790 x2 + 8.04509x – 7.55884)


การหารากจรงตวทสาม ใชคาเรมตน x0 = 1.5

3 -6.46790 8.04509 -7.55884x = 1.5 - 4.5 -2.95185 7.63986

3 -1.9679 5.09324 0.08102- 4.5 3.798153 2.5321 8.89139

x1 =

− 89139.808102.05.1 = 1.49089

3 -6.46790 8.04509 -7.55884x = 1.49089 - 4.47267 -2.974668 7.559441

3 -1.99523 5.070422 0.000601- 4.47267 3.6935913 2.47744 8.764013

x2 =

− 764013.8000601.049089.1 = 1.49082

3 -6.46790 8.04509 -7.55884x = 1.49082 - 4.47246 -2.974841 7.558824

3 -1.99544 5.070249 -0.000012- 4.47246 3.6927913 2.47702 8.76304

x3 =

−− 76304.8000012.049082.1 = 1.49082

รากจรงตวท 3 คอ x = 1.49082p(x) = (x + 0.90377) (x + 0.58553)(x – 1.49082)(3x2 – 1.99544x + 5.070249)


รากทเหลออก 2 รากเปนรากเชงซอนหาไดจากสตร

x = )3(2)070249.5)(3(42)99544.1(99544.1 −−±

= 6861207.5699544.1 −±

= 0.33257 + 1.25677iรากตวท 1 = -0.90377รากตวท 2 = -0.58553รากตวท 3 = 1.49082รากตวท 4 = 0.33257 + 1.25677iรากตวท 5 = 0.33257 – 1.25677i

2.7.2 วธของแบรสโตว (Bairstow's Method) วธของแบรสโตว มไวส าหรบใชหารากเชงซอนของพหนาม

p(x) = an + 1 xn + anxn – 1 + ... + a3x2 + a2x + a1 = 0 .....(2.19)

ถา p(x) มรากเชงซอน คสงยค กเปนรากเชงซอนดวย นนคอ z1, z2 = α ± iβ เปนรากของ p(x) = 0ดงนน h(x) = (x – (α + iβ)) (x – (α – i β))

= x2 – 2αx + (α2 + β2)หรอจะเขยน

h(x) = x2 – rx – s โดยท

β+α=⋅=α=+=

2221

21zzs

2zzr

ฟงกชน h(x) จะเปนตวประกอบก าลงสองของ p(x) เมอเอา h(x) = x2 – rx – s หาร p(x) จะได

p(x) = (x2 – rx – s) q(x)+b2(x – r) + b1 .....(2.20)โดยท q(x) เปนพหนามก าลง (n – 2) และพจน b2(x – r) + b2 เปนเศษ q(x) เขยนไดในแบบ

q(x) = bn + 1xn – 2 + bnxn – 3 + bn – 1x

n – 4 + ...+ b5x2 + b4x + b3) .....(2.21)จากสมการ (20)จะไดวา

p(x) = (x2 – rx – s)(bn + 1xn – 2 + bnxn – 3 + bn – 1x

n – 4 + ...+ b5x2 + b4x + b3)+ b2(x – r) + b1= bn + 1x

n + (bn – rbn + 1)xn – 1 + (bn – 1 – rbn – sbn + 1)x

n + 2 +....+ (bk – rbn + 1 - sbk + 2)xk – 1

+ ...+ (b2 – rb3 – sb4) x + b1 – rb2 – sb3 .....(2.22)


เปรยบเทยบ ส.ป.ส. ของ x ก าลงตางๆ ใน (2.22) กบ (2.19)p(x) = an + 1 x

n + anxn – 1 + an – 1xn – 2 + ... + akxk – 1 + ... + a3x2 + a2x + a1

จะพบวาbn + 1 = an + 1

bn – rbn + 1 = an

bn – 1 – rbn – sbn + 1 = an – 1

bk – rbk + 1 –sbk + 2 = ak

b1 – rb2 – sb3 = a1

หรอbn + 1 = an + 1

bn = an + rbn + 1

bk = ak + rbk + 1 +s bk + 2 , k = n – 1, n – 2, ..., 2, 1

สรางเปนตารางการหารสงเคราะห ของตวประกอบก าลงสอง ดงน

p(x) : an + 1 an an – 1 ... ak .... a3 a2 a1r - rbn + 1 rbn ... rbk + 1 .... rb4 rb3 rb2s - - sbn + 1 ... sbk + 2 ... sb5 sb4 sb3

q(x) : bn + 1 bn bn - 1 ... bk ... b3 b2 b1u v

ถา b2 = 0, b1 = 0 จะไดวา p(x) = (x2 – rx – s) q(x)

ตวอยางท 2.131. จงหาร p(x) = x5 + 6x4 – 20x2 + 22x – 8 ดวย (x2 + 2x – 3) โดยวธการหารสงเคราะหของ

ตวประกอบก าลงสองในทน r = -2 , x = 3


a6 a5 a4 a3 a2 a11 6 0 -20 22 8

r = -2 -2 -8 10 -4 -6s = 3 3 12 -15 6

1 4 -5 2 3 8b2 b1

p(x) = (x2 + 2x – 3) (x3 + 4x2 –5x + 2) + 3(x + 2) + 8

(x2 – rx – s) ( q(x) ) + b2(x – r) + b1

2. จงหาร p(x) = x4 + 5x2 + 4 ดวย x2 + 1 ในทน r = 0, s = -1

a5 a4 a3 a2 a11 0 5 0 4

r = 0 0 0 0 0s = -1 -1 0 -4

1 0 4 0 0b2 b1

p(x) = (x2 – rx – s) q(x) +b2(x – r) + b1(x4 + 5x2 + 4) = (x2 +1)(x2 + 4)

แสดงวา x2 + 1 เปนตวประกอบก าลงสองของ x4 + 5x2 + 4

จดมงหมายของเรา คอ จะหาวธของ Bairstowแนวคดของ Bairstow กคอ การหาร quadratic factor ของ p(x) นนเอง

p(x) = (x2 – rx – s) q(x)

คอ ตองการหา x2 – rx – s คอ จะหาคา r, s ทท าให b2 = 0, b1 = 0

เราจะสงเกตเหนวา คาของ b2, b1 ขนอยคา s* ของ r, s ดวยเหตนเราจงเขยน b2, b1 เปนฟงกชนของตวแปร r, s ดงน

b2 = b2(r, s) , b1 = b1(r, s)และตองหาคา r = r* , s = s*ทท าให


====

0*)s*,r(bb0*)s*,r(bb

11

22 .....(2.23)

เรากระจายฟงกชน b2 = b2(r, s), b1 = b1(r, s) รอบจด (r0, s0) โดยใชอนกรมเทเลอรของ 2 ตวแปร

b2(r, s) = b2(r0, s0) + (r – r0) r)s,r(b 002

∂∂ + (s – s0) s

)s,r(b 002∂

∂ +...

b1(r, s) = b2(r0, s0) + (r – r0) r)s,r(b 001

∂∂ + (s – s0) s

)s,r(b 001∂

∂ +...

โดยท s)s,r(b 002

∂∂ หมายถงอนพนธยอย ( partial derivative ) ของ b2 = b2(r, s) เทยบกบตวแปร

r แลวแทนคา r = r0, s = s0ถา r = r*, s = s* และจาก (2.23) จะได

0 = b2(r*, s*) ≈ b2(r0, s0) + (r* – r0) r)s,r(b 002

∂∂ + (s* – s0) s

)s,r(b 002∂

∂

0 = b1(r*, s*) ≈ b1(r0, s0) + (r* – r0) r)s,r(b 001

∂∂ + (s* – s0) s

)s,r(b 001∂

∂

−=∂∂−+∂

∂−

−=∂∂−+∂

∂−

)s,r(bs)s,r(b)s*s(r

)s,r(b)r*r(

)s,r(bs)s,r(b)s*s(r

)s,r(b)r*r(

001001

0001

0

002002

0002

0 .....(2.24)

ในทางปฏบตในการหาคา r = r* , s = s* เราจะไดเพยงคาประมาณ r1, s1 แทนคา r* = r1, s* =

s1 ใน (2.24) จะได

)s,r(bs)s,r(b)ss(r

)s,r(b)rr(

)s,r(bs)s,r(b)ss(r

)s,r(b)rr(

001001

01001

01

002002

01002

01

−=∂∂−+∂

∂−

−=∂∂−+∂

∂−

เขยนยอ ๆ เปน

01011

112

22sss,rrr;

bsbrr

br

bsbrr

br−=∆−=∆

−=∂∂∆+∂

∂∆

−=∂∂∆+∂

∂∆.....(2.25)

ถาเราทราบ rb2∂∂ , s

b2∂∂ , r

b1∂∂ , s

b1∂∂ ทจด (r0, s0) กแกสมการ (25) หาคา ∆r , ∆s ซงกจะได

คา r1, s1 ตวใหมตอไป


แนวทางการหา rb2∂∂ , s

b2∂∂ , r

b1∂∂ , s

b1∂∂

เนองจากbn+1 = an + 1 bn = an + rbn + 1

r1nb

∂+∂ = 0 s

nb∂

∂ = 0

bn = an + rbn + 1 bn – 1 = an – 1 + rbn + sbn + 1

rnb

∂∂ = bn + 1 + r r

1nb∂+∂

s1nb

∂−∂ = r s

nb∂

∂ + bn + 1

rnb

∂∂ = bn + 1 s

1nb∂

−∂ = bn + 1

bn – 1 = an – 1 + rbn + sbn + 1 bn – 2 = an – 2 + rbn – 1 + sbn

r1nb

∂−∂ = r

nbrnb ∂∂+ s

2nb∂−∂ = nbs

1nbr +∂−∂

r1nb

∂−∂ = bn + rbn + 1 s

2nb∂−∂ = bn + rbn + 1

bn – 2 = an – 2 + rbn – 1 + sbn bn – 3 = an – 3 + rbn – 2 + sbn – 1

r2nb

∂−∂ = bn – 1 + r

1nb∂−∂ +s r

nb∂

∂s

3nb∂−∂ = r s

2nb∂−∂ +bn – 1 +s s

1nb∂

−∂

= bn – 1 + r s2nb

∂−∂ + s s

1nb∂

−∂

s3nb

∂−∂ = bn – 1 +r r

1nb∂−∂ + s s

nb∂

∂

bk = ak + rbk +1 + sbk + 2

tkb

∂∂ = bk + 1 + r r

2kbsr1kb

∂+∂+∂

+∂ ; k = n – 1, n – 2, ..., 2, 1จะสงเกตเหนวา

r1nb

∂+∂ = s

nb∂

∂ = 0

rnb

∂∂ = s

1nb∂

−∂

r1nb

∂−∂ = s

2nb∂−∂

r2nb

∂−∂ = s

3nb∂−∂

หรอจะเขยนทวไป rkb

∂∂ = s

1kb∂

−∂ , k = n + 1, n ,..., 2

ถาให ck + 1 = rkb

∂∂ = s

1kb∂

−∂ , k = n, n – 1, ..., 2 .....(2.26)


ผลทไดคอ

3cs1b;2cr

1b4cs

2b;3cr2b

=∂∂=∂

∂=∂

∂=∂∂

.....(2.27)

แทน (2.27) ลงใน (2.25) :1b3sc2rc2b4sc3rc

−=∆+∆−=∆+∆

.....(2.28)

เมอทราบคา c2, c3, c4 กแกสมการหา ∆r, ∆s ไดท าใหหาคา r1 = r0 + ∆r , s1 = s0 + ∆s ได

การหาคา c2, c3, c4

จาก (2.26) ck + 1 = rkb

∂∂

k = n ; cn + 1 = rnb

∂∂ = bn + 1

k = n – 1 ; cn = r1nb

∂−∂ = bn + r⋅bn + 1 = bn + r⋅cn + 1

ck + 1 = rkb

∂∂ = bk + 1 + r. r

1kb∂+∂ + s⋅ r

2kb∂+∂

k = k – 1 ; ck = bk + r⋅ rkb

∂∂ + s⋅ r

1kb∂+∂

ck = bk + r ⋅ ck + 1 + s ⋅ ck + 2

เขยนสรปคา bk, ck ตาง ๆ ไดดงน

bn + 1 = an + 1

bn = an + r ⋅ bn + 1

bk = ak + r ⋅ bk + 1 + s ⋅ bk + 2k = n – 1, n – 2, ..., 1

cn + 1= bn + 1

cn = bn + r ⋅ cn + 1

ck = bk + r ⋅ ck + 1 + s ⋅ ck + 2 k = n – 1, n – 2, ..., 2

เพอความสะดวกในการค านวณคา bk, ck ตาง ๆ เราสรางตาราง Quadratic synthetic divisionp(x) : an + 1 an an - 1 ... ak ... a4 a3 a2 a1

r rbn + 1 rbn ... rbk + 1 ... rb5 rb4 rb3 rb2s sbn1 ... sbk + 2 ... sb6 sb5 sb4 sb3

q(x) : bn + 1 bn bn – 1 ... bk ... b4 b3 b2 b1r rcn + 1 rcn ... rck + 1 ... rc5 rc4 rc3 rc2s scn + 1 ... sck + 2 ... sc6 sc5 sc4

cn + 1 cn cn - 1 ... ck ... c4 c3 c2

...(2.29)


ยอนกลบไปทระบบสมการ (2.28)

132

243bscrcbscrc

−=∆+∆−=∆+∆

.....(2.28)

D = 32

43cccc

= 4223 ccc − ตอง ≠ 0

D1 = 31

42cbcb

−−

= b1c4 – b2c3 , D2 = 12

23bcbc

−−

= b2c2 – b1c3

∆r = DD1 , ∆s = D

D2

r1 = r0 + ∆ r , s1 = s0 + ∆s

จากนนใชคา r1, s1 เปนคาเรมตนค านวณดวยวธการแบบเดยวกน จนกวาจะไดคา b2 = 0, b1 = 0 หรอไดคา r, s ถกตองตามทตองการ จะได

p(x) = (x2 – rx – s) q(x)

การหารากเชงซอนของ x2 – rx – s = 0 ใชสตรส าเรจ x1, 2 = 2s4rr 2 +±

ตวอยางท 2.14 จงหารากเชงซอนของ p(x) = x4 + x3 + 3x2 + 4x + 6 ใชคาเรมตน r0 = -2.1, s0 = -1.9 เพอหา

quadratic factor ของ (x2 – rx – s) ของ p(x) ตองการความถกตองททศนยม 4 ต าแหนงครงท 1

1.0000 1.0000 3.0000 4.0000 6.0000r = -2.1 -2.1000 2.3100 -7.1610 2.2419s = -1.9 -1.9000 2.0900 -6.4790

1.0000 -1.1000 3.4100 -1.0710 1.7701-2.1000 6.7200 -17.2830 b2 b1

-1.9000 6.08001.0000 -3.2000 8.2300 -12.2740

c4 c3 c2

แทนลงใน 7701.1s2300.8r2740.120710.1s2000.3r2300.8

bscrcbscrc

132

243−=∆+∆−

=∆−∆⇒−=∆+∆

−=∆+∆


D = 2300.82740.122000.32300.8

−−

= 28.4561000

D1 = 2300.87701.12000.30710.1

−−

= 3.1500100

D2 = 7701.12740.120710.12300.8

−− = - 1.4224690

r1 =

+− 4561000.281500100.31.2 = –1 .9893028

s1 =

−+− 4561000.284224690.19.1 = –1.9499881

ครงท 21.0000 1.0000 3.0000 4.0000 6.0000

r = – 1.9893028 -1.9893028 1.9680228 -6.0037848 0.1485138s = – 1.9499881 -1.9499881 1.9291286 -5.8851317

1.0000 -0.9893028 3.0180347 -0.0746562 0.2633821-1.9893028 5.9253484 -13.9119800

-1.9499881 5.80824541.0000 -2.9786056 6.9933950 -8.1783707

6.9933950∆r – 2.9786056∆s = 0.0746562-8.1783904∆r + 6.9933950∆s = - 0.2633821

D = 9933950.61783907.89786056.29933950.6

−−

= 24.547373

D1 = 9933950.62633821.09786056.20746562.0

−−

= -0.2624111

D2 = 2633821.01783907.80746562.09933950.6

−− = -1.2313674

r1 = D1D

1r + =

−+− 547373.242624111.09893028.1

= –1 .9999927

s2 = DDs 2

1+ =

−+− 547373.242313674.19499881.1

= –2.0001509จะเหนวา r2 → r* = -2

s2 → s* = -2 ∴ quadratic factor ของ p(x) คอ x2 – 2x + 2


p(x) = (x2 + 2x + 2) q(x)

1.0000 1.0000 3.0000 4.0000 6.0000r* = – 2 -2.0000 2.0000 -6.0000 0.0000s* = – 2 -2.0000 2.0000 -6.0000

1.0000 -1.0000 3.0000 0.0000 0.0000

q(x) = x2 – x + 3

p(x) = (x2 + 2x + 2) (x2 – x + 3 ) = 0

หารากของ x2 + 2x + 2 = 0

x = 2)2)(1(442 −±−

= 2i22 ±− = -1 + i

หารากของ x2 – x + 3 = 0

x = 21211 −±−

= i2115.0 ± = 0.5 + 1.6583123i

p(x) มรากเชงซอน 4 รากคอ –1 + i , –1 – i , 0.5 + 1.6583123 i , 0.5 – 1.6583123 i

ล าดบขนตอน 2.8 Bairstow's Methodส าหรบหา quadratic factor x2 – rx – s ของ p(x) = an +1 xn + anxn – 1 + ... + a2x + a11. ก าหนด ส.ป.ส. ของ p(x), ak, k = 1, 2, ..., n + 1คาขอบเขต ε, คาเรมตน r, s

2. ให bn + 1 = an + 1 ; cn + 1 = bn + 1i = 0

3. bn = an + r ⋅ bn + 1 , cn = bn + r ⋅ cn + 14. ค านวณ

bk = ak + r ⋅ bk + 1 + s ⋅ bk + 2

ck = bk + r ⋅ ck + 1 + s ⋅ ck + 2 k = n – 1, n – 2, ..., 2

5. b1 = a1 + r ⋅ b2 + s ⋅ b3

6. det = 23c = c2 ⋅ c4


det 1 = b1 ⋅ c4 – b2 ⋅ c3

det 2 = b2 ⋅ c2 – b1 ⋅ c37. ถา det = 0 แลว แทน dr = (0.05)r , ds = (0.05)s

มฉะนน dr = det1 / det , ds = det 2 / det8. r = r + dr , s = s + ds

i = i + 19. ถา | dr | < ε และ | ds | < ε แลว แสดง quadratic factor = x2 – rx – sมฉะนนยอนกลบไปท าขอ 3.


โฟวลชารท 2.8 Bairstow's Method

รปท 2.20 โฟวลชารทของการหารากของสมการพหนามดวยวธของแบรสโตว

START

input : a(k), k = 1, 2,n +1, ε, r, s

b(n+1) = a(n+1)c(n+1) = b(n+1)

i = 0

det = c(3) * c(3) - c(2) * c(4)det1 = b(1) .c(4) - b(2) *c(3)

det2 = b(2) * c(2) - b(1) * c(3)

det = 0Yes

output : print quadraticfactor = x2 - rx - s

STOP

k = n-1(-1)2

b(k) = a(k) + r . b(k+1) + s . b (k+2)c(k) = b(k) + r . c(k+1) + s . c (k+2)

b(1) = a(1) + r * b(2) + s * b(3)

| ds | < εNo

b(n) = a(n) + r . b(n+1)c(n) = b(n) + r . c(n+1)

r = r + drs = s + ds

dr = det1 / detds = dets / det

No

| dr | < εNo

dr = 0.05*rds = 0.05*s

YesYes


2.8 สรปในหนวยนกลาวถงวธการหารากสมการไมเปนเชงเสนคอ วธแบงสองชวง วธต าแหนงผด วธนวตน

ราฟสน วธเสนตดโคง นอกจากนยงมวธหาคารากของสมการพหนามทน าเสนอในหนวยนคอวธของฮอรเนอรทใชรวมกบวธของนวตน และวธของแบรสโตว ซงสามารถใชส าหรบหาคารากเชงซอนไดดวย แตอยางไรกตามไมมวธใดดทสดและแกปญหาไดทกปญหา ซงแตละวธกมขอดขอเสยตางกน

วธแบงสองชวงและวธต าแหนงผดจะสามารถลเขาหาค าตอบอยางแนนอน โดยตองเลอกคาเรมตนใหคาฟงชนมเครองหมายตางกนแตความเรวในการเขาหาค าตอบจะชา

วธนวตนราฟสนจะลเขาหาค าตอบเรวกวาวธอน แตตองหาอนพนธของฟงชนท าใหไมสะดวก สามารถใชวธเสนตดโคงแทนไดแตความเรวในการลเขาหาค าตอบจะชากวาของวธนวตนราฟสน นอกจากนถาเลอกคาเรมตนไมเหมาะสมอาจท าใหไมลเขาหาค าตอบได

วธฮอรเนอรและแบรสโตวชวยใหสามารถหาคารากของฟงชนทเปนรากเชงซอนไดโดยไมตองหาอนพนธของสมการ


แบบฝกหดท 2

1. ใชวธกราฟหาต าแหนงของรากสมการตอไปน1

1.1 x + cos (x) = 01.2 ex + 2x – 2 = 0

2. หารากของสมการโดยวธแบงสองชวง ตองการความถกตองทจดทศนยม 4 ต าแหนงของสมการ 3xex = 1

ก าหนดใหคารากอยระหวาง x1 = 0.25 และ x2 = 0.263. หารากของสมโดยวธต าแหนงผด ใหมความถกตองททศนยม 3 ต าแหนง2

3.1 x3 - 4x -9 = 03.2 x6 - x4 - x3 - 1 = 0

4. แสดงลกษณะการลเขาหาค าตอบของวธนวตนราฟสน พรอมทงเขยนสมการทใชหาคารากของวธน5. ใชวธต าแหนงผดค านวณหารากของสมการตอไปน โดยใหมความถกตองททศนยม 4 ต าแหนง

5.1 xex = 2 5.2 cos x = 3x - 1 5.3 xex = cos x 5.4 x log10x = 1.2

6. หารากเชงซอนของ p(x) ตอไปน โดยมการท าซ า ( Iteration ) เพยง 2 ครง 5.1 p(x) = 3x4 – 2 x3 + 4 x2 – x + 6 = 0 ใชคาเรมตน r = 1 และ s = 1

5.2 p(x) = 5x4 + 7 x2 + x + 3 = 0 และควอดราตคแฟคเตอรโดยประมาณของ p(x) คอ x2 - 0.5 x + 1

5.3 p(x) = 2x4 – 3 x3 + 5 x2 + x + 9 = 0 มคาประมาณของรากรากหนงเปน -0.5 + i

******

1 ปรงจนทร วงศวเศษ เอกสารค าสอนระเบยบวธเชงตวเลข I. สถาบนเทคโนโลยพระจอมเกลาธนบร หนา 3-42 B.S. Grewal Numerical Methods in Engineering & Science :KHANNA PUBLISHERS, 1996 , p35.

การหารากของสมการ f(x) =...

Documents