สรุปอ่านสอบกลางภาค ภาคต้น...

สรปอานสอบกลางภาค ภาคตน ปการศกษา 2556 รายวชา 01999211 คณตศาสตรและคอมพวเตอรในชวตประจ าวน

สรปอานสอบกลางภาค ภาคตน ปการศกษา 2556 พฒนาการความคดทางคณตศาสตร

นกคณตศาสตรของโลกทนาสนใจ แตละคนมผลงานอะไรทเดนชด เธลส พธากอรส ยคลด อารคมดส ปแอร เดอ แฟรมาต แบลส ปาสคาล เซอร ไอแซค นวตน อลเบรต ไอนสไตน

ระบบเลขฐาน

1. ระบบเลขฐานสบ (Decimal number system) ระบบเลขฐานสบใชสญลกษณตวเลข 10 ตวไดแก 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ต าแหนงของเลขโดดในฐานสบ

ใชแสดงคาของตวเลขนนทต าแหนงของเลขฐานยกกาลงของต าแหนง

2. ระบบเลขฐานสอง (Bianry number system) ระบบเลขฐานสองใชสญลกษณ 2 ตว ไดแก 0 และ 1 ต าแหนงของเลขโดดในฐานสองใชแสดงคาของตวเลขนน

ทต าแหนงของเลขฐานยกกาลงของต าแหนง เชน (1101)2 = (1 x 23) + (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20)

= 8 + 4 + 0 + 1 = 13

3. ระบบเลขฐานแปด (Octal number system) ระบบเลขฐานแปดใชสญลกษณ 8 ตว ไดแก 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 ต าแหนงของเลขโดดในฐานแปดใช

แสดงคาของตวเลขนนทต าแหนงของเลขฐานยกกาลงของต าแหนง เชน (142)8 = (1 x 82) + (4 x 81) + (2 x 80)

= 64 + 32 + 2 = 98

4. ระบบเลขฐานสบหก (Hexadecimal number system) ระบบเลขฐานสบหกใชสญลกษณ 16 ตวไดแก 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E และ F ต าแหนงของเลข

โดดในฐานสบหกใชแสดงคาของตวเลขนนทต าแหนงของเลขฐานยกกาลงของต าแหนง โดยคา A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 และ F = 15

เชน (3B)16 = (3 x 161) + (B x 160) = (3 x 16) + (11 x 1) = 48 + 11 = 59 คณตศาสตรของการแบงเซลล การแบงเซลลครงแรกจาก 1 เซลล เปน 2 เซลล ในครงท 2 จาก 2 เซลล จะถกแบงออกเปน 4 เซลล การแบงเซลลจาก 1 เซลล เปน 2 เซลลจะใชฐาน 2 ยกก าลง n ครงของการแบงเซลลนน เซลลเรมตน N0 เซลลแบงตว 1 ครงจะได 21N0 แบงตว 2 ครงจะได 22N0 แบงตว 3 ครงจะได 23N0 และแบงตว n ครงจะได 2nN0 ดงนน N = 2nN0

http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/mathematicians/thales.htm

http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/mathematicians/pythagorus.htm

http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/mathematicians/euclid.htm

http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/mathematicians/archimedes.htm

http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/mathematicians/fermat.htm

http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/mathematicians/pascal.htm

http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/mathematicians/newton.htm

http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/mathematicians/einstein.htm


คณตศาสตรกบดาราศาสตร ค าวา “ดารา” คอ เรองเกยวกบดวงดาว ดงนนค าวา “ดาราศาสตร” (Astronomy) จงเปนวชาการทวาดวยเหตอนเกดจาก

ดวงดาว สวนค าวา “โหรา” เปนค าสนสกฤต ตรงกบภาษาละตนวา Hora มความหมายวา เวลา เปนวชาทวาดวยการค านวณเวลา จากการสงเกตและเฝาตดตามการเคลอนทของดวงดาวบนทองฟา โดยเฉพาะดาวเคราะห ดวงอาทตยและดวงจนทร ท าให

การพฒนาความรทางคณตศาสตรมความกาวหนามากขน สามารถคดหลกการทางดานตรโกณมต โดยพจารณาจากครงทรงกลมทองฟาแลวน ามาค านวณคาตวเลขธรรมชาต เชน พาย () คาซายน (sin) คอส (cos) แทน (tan) เปนตน

เมอเขยนแผนทดาวในรปแบบทใชในทางโหราศาสตรจะไดรปวงกลมทแบงออกเปน 12 สวนตามต าแหนงดาวทปรากฏบนทองฟาในแตละเดอน ต าแหนงดาวทปรากฏอยบนแผนภาพถกก าหนดใหโลกเปนศนยกลางหรอเ รยกวา Geocentric measurement ต าแหนงการเคลอนทของดาวเสมอนโคจรรอบโลกทงนเพราะผสงเกตทอยบนพนโลกและคดวาเปนต าแหนงคงท เมอเปรยบเทยบกบการเคลอนทของดวงอาทตย ดวงจนทร ซงเคลอนทผานกลมดาวจกรราศ

จกรราศ หากสงเกตดวงดาวและเปรยบเทยบกนทกค าคนจะพบวาเวลาทดวงดาวขนจากขอบฟาจะตางกน เมอจนตนาการดจาก

ภาพสามมตโดยมโลกหมนรอบดวงอาทตยและดาวฤกษดวงอนๆ อยกบท การทมองเหนดวงดาวยามค าคนเพราะดาวเหลานอยในทศตรงขามกบดวงอาทตย คนโบราณสงเกตดวงดาวและจนตนาการการมองเหนกลมดาวเปนรปรางตางๆ เชน แมงปอง สงโต เปนตน และหากพจารณาในรอบปโดยสงเกตดวงอาทตยจากจดสงเกตบนโลกพบวาดวงอาทตยเดนทางผานกลมดาวตางๆ (ทงๆ ทดวงอาทตยและกลมดาวอยกบท แตโลกเคลอนทรอบดวงอาทตย) จงมการแบงกลมดาวออกเปน 12 กลมตามเสนทางทดวงอาทตยเคลอนทผาน เสนทางโคจรนเรยกวา สรยะวถ (Ecliptic)

ระบบ 12 ราศกบการเคลอนทโดยมโลกเปนจดศนยกลาง


จากภาพ แสดงใหเหนวาจากจดสงเกตบนโลกมองเหนดาวองคารอยในราศมน เหนดาวศกรอยในราศพฤษภ เหนดวงอาทตยอยในราศกรกฎ เหนดาวพธอยในราศสงห เหนดาวพฤหสอยในราศกนยและดาวเสารอยในราศพจก และถาดดวงจนทรดวยกขนอยกบวนขางขนหรอขางแรมขณะนน การสงเกตในลกษณะทโลกเปนจดศนยกลางจงเปนการสงเกตทคนโบราณเชอวา รงสของดาวเคราะหทแผตรงมายงโลกจะมอทธพลตอชวตความเปนอยของคนบนโลก ดงนนแผนภาพทางโหราศาสตรในเรองดาวจงเปนแผนภาพแทนต าแหนงของดาวเคราะหบนฟากฟาทสงเกตเหนไดจากพนโลก ท าใหสามารถคาดคะเนการโคจรของดาว

การวเคราะหแผนทดาว แผนทจกรราศ แผนทดาวมลกษณะเปนแผนภาพของครงทรงกลมทองฟาทแบงทองฟา

ออกเปน 12 สวน เทากบจ านวนของกลมดาวนกษตรทประจ าแตละราศ โดยชองกลางของแผนทจกรราศจะเปนองศาของดวงอาทตยทท ามมกบราศนน และมการแบงแตละชองของราศละเอยดออกไปอกเปน องศา ลปดา ฟลปดา ตรยางศและนวางศ ตามอตรา เปรยบเทยบ

1 วงกลมจกรวาล = 360 องศา ม 12 ราศ 1 ราศ = 30 องศา 1 องศา = 30 ลปดา 1 ลปดา = 30 ฟลปดา 1 ตรยางศ = 10 องศา 1 นวางศ = 3.20 องศา การเคลอนทของดาวเคราะหตางๆ สามารถค านวณไดเนองจากการดดวงดาวบนทองฟาจะตองหนหนาไปทางทศ

เหนอ ซงดาวตางๆ จะเดนจากขอบฟาทศตะวนออกไปทางทศตะวนตก เชนเดยวกบการโคจรของดวงอาทตย ดงนน ทศทางการโคจรของดาวเคราะหจะเคลอนทในทศทวนเขมนาฬกา ซงดาวบางดวงจะโคจรไดเรว (เชน ดวงจนทร) บางดวงจะโคจรไดชา เชน ดาวพฤหสจะเคลอนทไดประมาณ 1 ราศตอป ส าหรบดวงอาทตยจะเคลอนทเดอนละ 1 ราศ หรอในปหนงจะเคลอนทครบหนงรอบ ต าแหนงของดวงอาทตยจะอยในราศตามเดอน โดยเรมนบจากราศเมษเปนราศแรก แตใชเลข 0 เปนเลขบอกราศ ราศถดไป คอ ราศพฤษภ ใชเลข ๑ เปนเลขบอกราศ เรอยไปจนครบทง 12 ราศ

เสนชนความดน (Isobaric Lines) บรเวณทมเสนระดบความดนอากาศสงเรยงวนเวยนกนเปนกลม บรเวณนนจะเปน บรเวณความดนอากาศสงทมอากาศ

เยนแผกระจายออกไปยงบรเวณทมความดนอากาศต า เสนระดบความดนอากาศเทากนแตละเสนจะก ากบดวยความดนอากาศมหนวยเปน มลลบาร (1 ใน 1,000 ของความดนบรรยากาศ) ความดนอากาศปกตมคาประมาณ 1,000 มลลบาร

สญลกษณ L แสดงบรเวณความดนอากาศต า H แสดงบรเวณความดนอากาศสง

เสนระดบความดนอากาศเทากน หมายถง เสนโคงททกๆ จดทอยบนเสนนนมความดนอากาศเทากน เสนโคงทวนรอบและเรยงความดนอากาศต าออกไปยงความดนอากาศสง เรยกวา บรเวณความดนอากาศต าหรอหยอมความกดอากาศต า (Low Pressure Zone) เสนโคงทวนรอบและเรยงจากความดนอากาศสงไปยงความดนอากาศต า เรยกบรเวณความดนอากาศสง (High Pressure Zone) เสนระดบความดนอากาศเทากนทเรยงชดกนมากจะม เกรเดยนทของความดนอากาศสงมาก มความหมายวา จะมกระแสลมแรงจากบรเวณทมความดนอากาศสงกวาผานไปยงบรเวณทมความดนอากาศตากวา


แผนภมแสดงทศทางและความเรวลม

ลม คอ กระแสอากาศทเคลอนทในแนวนอน สวนกระแสอากาศคอ อากาศทเคลอนทในแนวตง การเรยกชอลมนนเรยกตามทศทางทลมนนๆ พดมา เชน ลมทพดมาจากทศเหนอเรยกวา ลมเหนอ และลมทพดมาจากทศใตเรยกวา ลมใต เปนตน ในละตจดต าไมสามารถจะค านวณหาความเรวลม แตในละตจดสงสามารถค านวณหาความเรวลมได

การวดลม มวธการวด 2 วธ คอ วดทศลม และวดความเรวลม 1. ทศลม อาจเรยกชอตามทศตาง ๆของเขมทศ หรอเรยกเปนองศาจากทศจรง ถา

วดทศลมดวยเขมทศ เขมทศจะถกแบงออกเปน ทศใหญๆ 4 ทศ คอ ทศเหนอ ทศใต ทศตะวนออก ซงทศทง 4 ทศ เมอแบงยอยอกจะเปน 8 ทศ โดยจะเพมทศตะวนออกเฉยงเหนอ ทศตะวนออกเฉยงใต ทศตะวนตกเฉยงเหนอ และทศตะวนออกเฉยงใต นอกจากนยงสามารถแบงจาก 8 ทศ ใหยอยเปน 16 ทศ หรอ 32 ทศ ได

สวนการวดทศลมทเปนองศาบอกมมของลมจากทศจรง ในลกษณะทเวยนไปตามเขมนาฬกา ใชสเกลจาก 0 องศา ไปจนถง 360 องศา เชน ลมทศ 0 องศา หรอ 360 องศา เปนทศตะวนออก , ลมทศ 45 องศา เปนทศตะวนออกเฉยงเหนอ, ลมทศ 90 องศา เปนทศตะวนออก, ลมทศ 135 องศา เปนทศตะวนออกเฉยงใต, ลมทศ 180 องศา เปนทศใต, ลมทศ 225 องศา เปนทศตะวนออกเฉยงใต, ลมทศ 270 องศา เปนทศตะวนตก และลมทศ 315 องศา เปนทศตะวนตกเฉยงเหนอ

2. ความเรวลมคอ การเคลอนทของอากาศทท าใหเกดแรง หรอความกดทผานจดทก าหนดใหบนพนผวโลก และแรงหรอความกดเปนสดสวนกบก าลง 2 ของความเรวลม


แผนท 1:50,000

แผนทมาตราสวนใหญทนยมใชและผลตคอ แผนทมาตราสวน 1: 50,000 1: 50000 มนกแปลวาวดในแผนท 1 หนวยอะไรกได ของจรง 50000 หนวยเดยวกน วดในแผนท 1 ซม ของจรงก 50000 ซม หรอ 0.5 กม.

เสนชนความสง (Contour Lines)

แผนทภมประเทศเปนแผนททระบสงทส าคญไวหลายประการ เชน ระบต าแหนงทตงหมบาน ต าบล อ าเภอ และจงหวด ระบต าแหนงเสนทางการไหลของน าตงแตล าธารสายเลก จากพนทตนน าบนภเขาสงมาสล าธารสายใหญขน จนกระทงมาบรรจบกนเปนแมน าระบเสนทางคมนาคมตงแตทางเดนเทา ทางเกวยน ถนนไมลาดยาง จนถงทางหลวงจงหวด และทางหลวงแผนดน แตสงทขาดไมไดส าหรบแผนทภมประเทศ คอ เสนชนความสง หรอเสนคอนทวร (Contour Lines) หรอเสนระดบความสงเทากน เสนเหลานมลกษณะเปนเสนโคงตอเนองมตวเลขระดบความสงก ากบไวชดเจน เชน เสนทก าหนดความสงไว 1,000 หมายความวา ทกๆ จดทอยบนเสน 1,000 มระดบความสงเทากนทระดบความสง 1,000 เมตรจากระดบน าทะเลปานกลาง

เสนชนความสงในแผนทภมประเทศจะหางกนเสนละ 20 เมตร ความเสยงของการเกดสถานการณซา

คาบยอนพนจ (Return period) หรอชวงเวลาปรากฏซ า คอ ชวงเวลาเฉลยทคาดวาจะเกดเหตการณรนแรงจากสภาวะปกตซ าอกครงหนง เชนการเกดอทกภย การเกดความแหงแลง การเกดแผนดนถลม เปนตน


สมมตวาในชวงเวลา 60 ปทผานมา ภาคใตของประเทศไทยประสบอทกภยทมความรนแรง ระดบภยพบต จ านวน 5 ครง แสดงวาในแตละปจะมความนาจะเปนในการเกดอทกภยอยางรนแรงเพยง 0.083 หรอประมาณรอยละ 8.3 หรอภายในชวงเวลาเฉลย 12 ปจงมโอกาสเกดขนหนงครง

P (อทกภย) = 5/60 = 0.083 ชวงเวลาปรากฏซาเปนชวงเวลาเฉลยทเหตการณจะอบตซ ามคาเทากบ 12 ป ดงนน ชวงเวลาปรากฏซ าจงเปนสวน

กลบของความนาจะเปนของเหตการณทจะอบตซ า ชวงเวลาปรากฏซ าของอทกภยระดบภยพบตในภาคใตของประเทศไทย T (อทกภย) = 60/5 = 12 ป

= 1/P (อทกภย) กรณทไมเกดอทกภยในชวงเวลา 1 ป คาของความนาจะเปนทไมเกดอทกภยในชวงเวลา 1 ป คอ

P (ไมเกดอทกภย) = 1- P (อทกภย) = 1- 1/T (อทกภย)

ถาไมเกดอทกภยในชวงเวลา n ป คาของความนาจะเปนทจะไมเกดอทกภยในชวงเวลา n ป คอ P (ไมเกดอทกภยในชวงเวลา n ป) = P1 (ไมเกดอทกภย) P2 (ไมเกดอทกภย) . . . Pn (ไมเกดอทกภย) = P (ไมเกดอทกภย)n

= 1- 1/T (เกดอทกภย)n การเขยนความสมพนธของโอกาสทนาจะไมเกดเหตการณตองมขอก าหนดทส าคญมากประการหนง คอ เหตการณนน

เปนเหตการณทเกดขนอยางอสระไมขนกบเหตการณอน ดงนน ความนาจะเปนทจะเกดเหตการณหรอโอกาสเสยงทจะเกดเหตการณ (Risk of Occurrence) จะตองเปนสวน

หนงของโอกาสทนาจะเกดเหตการณทงหมด หกออกดวยโอกาสทนาจะไมเกดเหตการณรนแรงดงกลาว R (ความเสยงในการเกดเหตการณในชวงเวลา n ป) = 1-P (ไมเกดเหตการณในชวงเวลา n ป)

= 1-1-1/T (ชวงเวลาปรากฏซ า)n

คาของความนาจะเปน (สดสวน หรอรอยละ) ทจะเกดเหตการณในชวงเวลาทตองการด าเนนโครงการ ซงเหตการณดงกลาวมโอกาสเกดขนเพยงครงเดยวของคาบยอนพนจ เพอใชในการค านวณส าหรบออกแบบโอกาสเสยงภยจากพบตภยธรรมชาตแสดงในตารางท 2.1

ตารางท 2.1 คาบยอนพนจกบโอกาสเสยงและชวงเวลาทด าเนนการทคาดการณ

โอกาสเสยง ( % )

ชวงเวลาดาเนนการทคาดคะเนไว (ป) 2 5 10 15 20 25 50 100

75 2.00 4.02 6.69 11.0 14.9 18.0 35.6 72.7 50 3.43 7.74 14.9 22.1 29.4 36.6 72.6 144.8 40 4.44 10.3 20.1 29.9 39.7 49.5 98.4 196.3 30 6.12 14.5 28.5 42.6 56.5 70.6 140.7 281 25 7.46 17.9 35.3 52.6 70.0 87.4 174.3 348 20 9.47 22.9 45.3 67.7 90.1 112.5 224.6 449 15 12.8 31.3 62.0 90.8 123.6 154.3 308 616 10 19.5 48.1 95.4 142.9 190.3 238 475 950 5 39.5 98.0 195.5 292.9 390 488 976 1949 2 99.5 248 496 743 990 1238 2475 4950 1 198.4 498 996 1492 1992 2488 4975 9953

กรณศกษา 2.6 วศวกรทางหลวงตองการออกแบบขนาดชองทางระบายน าจากล าธารลอดใตทางหลวงทตดขนานกบเชงเขา

โดยตองการใหมโอกาสเสยงจากการระบายน าไมทนเพยง รอยละ 10 กอนทจะมการกอสรางทางหลวงใหมอกครงหนงในชวงเวลาอก 5 ปขางหนา ตองการทราบวาคาบยอนพนจของการระบายน าไมทนเพยงครงเดยวมคาเทาไร


แนวคด ชวงเวลาด าเนนโครงการ 5 ป โอกาสเสยงจากการระบายน าไมทนเทากบ 10% ค านวณคาบยอนพนจจากการระบายน าไมทนเพยงครงเดยว ทท าใหเกดโอกาสเสยงรอยละ 10 ดงน

R (Risk n years) = 1 – [1 - (1 / T(recurrence))]n

R (Risk 5 years) = 1 - (1 – 1/ T)5 0.1 = 1 - (1 – 1/ T)5 T = 48.1 ป

หมายความวา ถาจะไมยอมใหเกดความเสยงจากน าหลากเกนกวาขนาดของชองทางระบายน าเพยงรอยละ 10 ของโอกาสทจะเกดขนในชวงเวลา 5 ป วศวกรทางหลวงตองออกแบบขนาดของชองทางระบายน าใหมขนาดใหญเพยงพอทรองรบปรมาณน าหลากทจะอบตขนมาเพยงครงเดยวในชวงเวลา 48.1 ป (คาบยอนพนจ)

กรณศกษาท 2.7 บคคลส าคญผหนงตองการเกบรกษารางกายของเขาเพอใหนกวทยาศาสตรใชในการศกษาในอนาคต

โดยระบในพนยกรรมวา ใหเกบรางกายของเขาในถ าน าแขงเปนเวลา 50 ป หลงจากเสยชวตแลวจงน ามาศกษา นกวทยาศาสตรคนพบถ าน าแขงทเหมาะสม แตกพบวาทกๆ 308 ป อณหภมของถ าน าแขงจะสงขนจนน าแขงละลาย ตองการทราบวาโอกาสเสยงทน าแขงจะละลายในชวง 50 ปนน มคาเทาไร

แนวคด ชวงเวลาคาบยอนพนจมคาเทากบ 308 ป ชวงเวลาทก าหนดในการรกษารางไวในถ าน าแขงเทากบ 50 ป ค านวณความเสยงไดจากสมการ R (Risk n years) = 1-1-1/T (Recurrence)n ถา n = 50 ป R (Risk 50 years) = 1-1-1/(308)n

= 15 % ในการเกบรกษารางของบคคลส าคญในถ าน าแขงเปนเวลา 50 ป ถาน าแขงในถ าละลายเพยง 1 ครง ในชวงเวลายอนนจ

308 ป จะมโอกาสเสยงทน าแขงละลายเพยงรอยละ 15 อนกรมเวลา (Time Series)

เมอมเหตการณอยางหนงเกดขนแลวท าใหพฤตกรรมของธรรมชาตเปลยนแปลงไปตามการกระท าของส งทท าใหเกดเหตการณนน การกระท ารวมกนของพฤตกรรมธรรมชาตกบสงทกระท าอยางตอเนองตามอนกรมเวลาหรออนดบเวลา เรยกวา คอนโวลชน ปรมาณทไดจากการคอนโวลชนจะแสดงถงการขยายและรวมกนตามอนดบเวลาของพฤตกรรมธรรมชาตกบสงทกระท าดงกลาว เชน เมอทบพนดนหนงครง พนดนจะกระจายคลนไหวสะเทอนออกไปโดยรอบ คลนไหวสะเทอนทกระจายออกไปประกอบดวย พลงงานทไดรบจากการทบพนดนในชวงเวลาสนๆ ชวงเวลาเดยว ผนวกกบการตอบสนองของพนดนเมอถกทบจะกระเพอมขนและกระเพอมลง จากนนกระเพอมขนไปอกเลกนอยแลวลดลงสระดบเดม พนดนจงสนสะเทอนเปนจงหวะ แมวาจะทบพนดนเพยงครงเดยวกตาม

กรณศกษาท 2.8 ธนาคารสงเสรมการเกษตรและสหกรณการเกษตร (ธ.ก.ส.) สงเสรมการปลกพชเศรษฐกจชนดใหม โดยออกเงนกใหแกเกษตรกรเปนงวดๆ ตอพนท 1 ไร (เนองจากเปนโครงการทดลองจงใหปลกเพยงครอบครวละ 1 ไร) ดงน

งวดท 1 ซอพนธพชและแรงงานปลก จ านวนเงน 1,000 บาท งวดท 2 ซอพนธพชปลกซอม จ านวนเงน 500 บาท งวดท 3-6 คาปยและสารเคมปราบศตรพชและจะจายเพมใหทกงวดงวดละ 200 จ านวนเงน 2,000 บาท งวดท 7 คาแรงเกบเกยวผลผลตโดย จ านวนเงน 500 บาท แตละงวดหางกน 1 สปดาห ถา ธ.ก.ส. ตองการทดลองปลกพชเศรษฐกจนโดยแบงกลมเกษตรกรออกเปน 3 กลม แตละกลมมจ านวนสมาชกไม

เทากนและก าหนดใหเรมตนการปลกหางกนกลมละ 1 สปดาห โดยปลกเพยงครอบครวละ 1 ไร เชนเดม กลมท 1 มสมาชก 3 ครอบครว กลมท 2 มสมาชก 4 ครอบครว กลมท 3 มสมาชก 5 ครอบครว

จะสามารถคดเงนกท ธ.ก.ส.จะตองจายใหกบเกษตรกรเปนจ านวนเทาไรในแตละงวด


แนวคด การใหเงนกของ ธ.ก.ส. เปนไปตามอนกรมเวลาทกสปดาห โดยเงนกแตละสปดาหเปนฟงกชนกระท าและสมาชกแตละกลมเปนพฤตกรรมตอบสนองตอฟงกชนกระท าจงสามารถจดเรยงตารางค านวณการคอนโวลชนไดดงน

ดงนน ธ.ก.ส. จะตองจายเงนกใหกบเกษตรกรทงหมด 9 สปดาห เปนเงน 134,400 บาท โดยในสปดาหท 6 ธ.ก.ส. จายเงนกใหกบเกษตรกรสงสด คอ 28,400 บาท และในสปดาหท 9 ธ.ก.ส. จายเงนกใหกบเกษตรกรต าสด คอ 2,500 บาท แผนภมสามเหลยม

ตวอยาง แผนภมรปสามเหลยมใชส าหรบแสดงองคประกอบของระบบทประกอบดวยสาร 3 ชนด (three components system) สามเหลยมทนยมใช คอ สามเหลยมดานเทา

ดานแตละดานของสามเหลยมดานเทาจะแสดงถงองคประกอบเปนรอยละของสารทปลายขางใดขางหนง เชน ดาน BC แสดงรอยละเปนองคประกอบของ C ถาอานจาก B ไป C หรอเปนรอยละของ B ถาอานจาก C ไป B ทกๆ จดภายในสามเหลยม หมายถงระบบทประกอบดวยสารทงสามตว เชนทจด D

0 0 1 0.5 2 2.2 2.4 2.6 0.5 0 0 (1=1,000 บาท, 0.5=500 บาท) 5 4 3 (50) + (40) + (31) = 3 พนบาท 5 4 3 (50) + (41) + (30.5) = 5.5 พนบาท 5 4 3 (51) + (40.5) + (32) = 13 พนบาท 5 4 3 (50.5) + (42) + (32.2) = 17.1 พนบาท 5 4 3 (52) + (42.2) + (32.4) = 26.0 พนบาท 5 4 3 (52.2) + (42.4) + (32.6) = 28.4 พนบาท 5 4 3 (52.4) + (42.6) + (30.5) = 23.9 พนบาท 5 4 3 (52.6) + (40.5) + (30) = 15 พนบาท 5 4 3 (50.5) + (40) + (30) = 2.5 พนบาท


สมการเสนตรง (Linear Equation)

โมเดลไมเชงเสน (เสนโคง)

ในความสมพนธของตวแบบ แบบงายๆทพบเหนอยางหนง คอแบบไมเปนเชงเสนแบบยกก าลง y = Axn

เมอ A และ n เปนคาคงตว และความสมพนธแบบนเรยกวา Power law หากเรามชดของขอมลทแสดงความสนพนธแบบน ระหวาง x และ y เรากคงตองการหาคา A และ n เทคนคในการหาคา หรอสรางความสมพนธแบบใหมคอใชความรเรองลอการทม มาชวยเชน

log y = log A + n log x ถาเราให log y = Y และ log x = X กจะเขยนเปนสมการ

Y = nX + log A ซงจะเหนไดชดวา เปนความสมพนธเชงเสน ดงนน ชดขอมลดงกลาวน ถาเราพลอตคา log y กบ log x กจะไดสมการเชงเสนโดยมจดตดกนท log A นนคอ ถาหากพลอตคาลงในกระดาษกราฟแบบแกน x และแกน y เปนสากล กจะไดกราฟเสนตรง

ไดเสนโคง Scale ธรรมดา แตไดเสนตรงใน Scale log × log เสนโคงแบบยกก าลงเมอลงจดใน log × log จะไดเสนตรง


ความสมพนธแบบเอกซโพแนนเชยล

กาหนดการเชงเสน (LINEAR PROGRAM)

1. การสรางแบบจาลองของปญหาโปรแกรมเชงเสน เพอจะไดเขาใจถงสภาพของการประยกตใช โปรแกรมเชงเสนตลอดจนการสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตรของปญหา EX: บรษทผลตสนคาแหงหนงวางแผนการผลตภณฑ อยางหนงไวดวยเวลาเปนสปดาหโดยจะผลตผลตภณฑสองชนดแต

ละชนดใชเวลาในการท าแตละขนตอนแตกตางกนไป และขนตอนในการผลตผลตภณฑแตละชนดจะประกอบดวยการเตรยมวตถดบ การขนรป และการตรวจสอบ เวลาทใชในแตละขนตอนแตละชนดของผลตภณฑก าหนดดวยตารางดงตอไปน

เวลาทใชตอหนวยคดเปนชวโมง การเตรยมวตถดบ

การขนรป

การตรวจสอบ

ชนดท 1 6 3 4 ชนดท 2 6 6 2

ในเมอจ านวนชวโมงทจะใชประโยชนไดตามทวางแผนในการผลตไวของงานแตละขนตอนใน หนงสปดาหก าหนดไดดงน การเตรยมวตถดบ 420 ชวโมง การขนรป 300 ชวโมง การตรวจสอบ 240 ชวโมง

ในการด าเนนการหนงหนวยของผลตภณฑชนดท 1 ท าก าไรได 300 บาท และหนงหนวยของผลตภณฑชนดท 2 ท าก าไรได 200 บาท แลวบรษทอตสาหกรรมจะตองด าเนนการผลตผลตภณฑชนดท 1 และ2 อยางไร จงจะไดก าไรทงหมดสงสด และอยภายใตขอก าหนดของทรพยากร (เวลา) ทมจ ากดดงกลาว สงทตองการทราบคอ จ านวนของผลตภณฑทงสองชนดทจะผลตในหนงสปดาห เพอจะไดก าไรสงสดภายใตขอจ ากดของเวลา ดงนน เราสมมตใหผลตภณฑชนดท 1มจ านวน X1 หนวยและชนดท 2 มจ านวน X2 หนวย ท าใหเราได : X1 0 , X2 0 …(1) จากตารางการใชทรพยากรตอหนวย เราไดเงอนไขบงคบของปญหาดงน

เงอนไขบงคบ : 6X1 + 6X2 420 (ขอจ ากดของการเตรยมวตถดบ) 3X1 + 6X2 300 (ขอจ ากดของการขนรป) …(2) 4X1 + 2X2 240 (ขอจ ากดของการตรวจสอบ)

เราสรางเปาหมายโดยก าหนดใหแทนก าไรทงหมด เราจะไดเปาหมายของปญหาในรป

เปาหมาย : P = 300 X1 + 200 X2 = Max …(3)

สมการทงหมดเปนแบบจ าลองทางคณตศาสตร ของปญหาและเปาหมายตองการก าไรสงสด ดงนนปญหาลกษณะเชนนจงเรยกวา การโปรแกรมเชงเสนคาสงสด ( Linear programming maximum problem)


2. การหาคาตอบของปญหาการโปรแกรมเชงเสน วธกราฟ การแกปญหาการโปรแกรมเชงเสนดวยวธกราฟเหมาะทจะใชในกรณทตวแปรของปญหาไมเกน 3 ตวแปร แตทใชมากไดแกปญหา 2 ตวแปร โดยมวธการ

น าชดเงอนไขบงคบไปเขยนกราฟ เลอกพนทใหสมจรงกบเงอนไขบงคบ หาจดยอดและพกดของจดยอดของพนทสมจรงกบชดเงอนไขบงคบ สรางตารางหาคาเปาหมายตามจดยอด เลอกคาเปาหมายทเหมาะสม (optimum)

เราจะไดคาพกดของจดยอดทตรงกบคาเปาหมายทเหมาะสมเปนค าตอบของปญหา จากตวอยางตอไปน.....

ตวแปร : X1 , X2 0 …(1) เงอนไขบงคบ : 6X1 + 6X2 420

: 3X1 +6X2 300 …(2) : 4X1 +2X2 240

เปาหมาย : P = 300X1 + 200X2 = Max …(3)

กอนทจะน าอสมการไปเขยนกราฟ เราจะตองหาจดผานของกราฟเสยกอนโดยจะตองเปลยน อสมการเปน สมการแลวเขยนกราฟ 6X1+6X2 = 420 3X1+6X2 = 300 4X1+2X2 = 240

เขยนกราฟและเลอกพนททสมจรงกบอสมการของชดเงอนไขบงคบได ดงน

พกดของจดยอดตางๆเรารไดเฉพาะจด P0, P1 และ P4 สวนจด P2 และ P3 เราตองแกสมการคทกอใหเกดจดตดของจด

ยอดนนๆกจะไดพกดของจด P2(50,20) และ P3(40,30) ตอไปสรางตารางหาคาเปาหมายตามจดยอดจาก P = 300X1 + 200X2 ไดดงน

P0 P1 P2 P3 P4

X1 0 60 50 40 0 X2 0 0 20 30 50 P 0 18,000 19,000 = Max 18,000 10,000

จากตาราง P มคาสงสดทจด P2 คอ Pmax = 19,000 บาท ดงนนบรษทอตสาหกรรมจะตองผลตผลตภณฑทงสองชนด ดงน ผลตภณฑชนดท 1จ านวน 50 หนวย


ผลตภณฑชนดท 2 จ านวน 20 หนวย ก าไรสงสดเทากบ 19,000 บาท

ตวอยางโปรแกรมคาตาสด ส าหรบปญหาการด าเนนโปรแกรมคาต าสด (Linear programming minimum problem) ดไดจากตวอยาง ในภาคใตของประเทศมเหมองแรแหงหนงทเหมองแรของบรษทเองอยสองแหงโดยทแตละเหมองจะผลตแรไดสามชนด

คอ ดบก ทองแดง และ สงกะส จ านวนแรแตละชนดผลตไดดงตารางตอไปน

จานวนผลตเปนตนตอวน ดบก ทองแดง สงกะส

A 6 2 4 B 2 2 12

บรษทมสญญาจะตองสงแรใหลกคาในหนงสปดาหดงน ดบก จ านวน 12 ตน ทองแดง จ านวน 8 ตน สงกะส จ านวน 24 ตน

ถาตนทนการผลตแรตอวนของเหมอง A เปน 40,000 บาท และเหมอง B เปน 32,000 บาทแลว บรษทจะจดการผลตแรอยางไรจงจะมจ านวนครบตามสญญา และตนทนการผลตทงหมดต าสดดวย

สมมต ใหเหมอง A ท างาน X1 วน/สปดาห และเหมอง B ท างาน X2 วน/สปดาห ดงนน ตวแปร : X1, X2 0 …(1)

จากตารางแสดงขดความสามารถของแตละเหมองเราจะไดเงอนไขบงคบ 6X1 + 2X2 12 2X1 + 2X2 8 ....(2) 4X1 + 12X2 24

และจากตนทนการผลตตอวนของแตละเหมอง เราไดเปาหมาย

C = 40,000X1 + 32,000X2 = Min …(3)

ตวแปร : X1 , X2 0 …(1) เงอนไขบงคบ : 6X1 + 2X2 12

: 2X1 + 2X2 8 …(2) : 4X1 + 12X2 24

เปาหมาย : C = 40,000X1 + 32,000X2 = Min …(3)

จากชดอสมการของเงอนไขบงคบ เราหาจดผานของกราฟในรปของสมการ ดงน 6X1 + 2X2 = 12 2X1 + 2X2 = 8 4X1 + 12X2 = 24


เขยนกราฟและเลอกพนททสมจรงไดดงรป

เราไดจดยอดพรอมดวยพกดเปน P1 (6,2), P2(3,1), P3(1,3)และ P4(0,6) น าจดยอดไปทดสอบหาคาต าสดและเปาหมายของอสมการ C = 40,000X1 + 32,000X2 ไดดงตารางตอไปน

P1 P2 P3 P4

X1 6 3 1 0 X2 0 1 3 6

C 240,000 152,000 136,000 = Min 192,000

จากตารางคาต าสดทจด P3 คอ C min = 136,000 บาท ดงนน บรษทจะตองจดการผลตแรดงน

เหมอง A ท างาน 1 วน /สปดาห เหมอง B ท างาน 3 วน/ สปดาห

ตนทนการผลตต าสดเปน 136,000 บาท / สปดาห


สถตในชวตประจาวน

สถตเปนเครองมอทมประโยชนสามารถชวยท าใหเขาใจสงตางๆ ไดงายขน เพราะการคดเชงสถต คอ การคดอยางเปนเหตเปนผล ความรในเรองสถตจงมความส าคญตอความเปนอยในชวตประจ าวน

ประชากรและตวอยาง ขอมลทเกบรวบรวมมาเพอท าการศกษานนอาจเปนขอมลทงหมดในขอบเขตทสนใจซงเรยกวา ประชากร (Population)

หรออาจเปนเพยงขอมลบางสวนทเปนตวแทนของประชากร เรยกวา ตวอยาง (Samples) เมอก าหนดเรองทจะท าการศกษาแลว ผศกษาจะตองก าหนดขอบเขตของเรองทสนใจศกษากอนจงจะด าเนนการเกบ

รวบรวมขอมลทจะน ามาใชในเรองนน ขอบเขตของสงทสนใจศกษาหรอประชากร จงประกอบดวยขอมลทจะใชศกษาจากทกๆ หนวยในขอบเขตทก าหนด เชน

1) ผสมครรบเลอกตงสมาชกสภาผแทนราษฎรในกรงเทพมหานคร ตองการทราบความคดเหนของประชาชนเกยวกบการจดท าระบบขนสงมวลชน ขอบเขตหรอประชากรทจะศกษานจงประกอบดวยประชาชนในกรงเทพมหานคร หนวยในประชากรทจะท าการเกบขอมล คอ ประชาชนแตละคนในกรงเทพมหานคร

2) ผผลตอาหารกระปองตองการทราบคณภาพของวตถดบทน ามาใชในการผลตแตละวนของโรงงาน A ในตวอยางนประชากร คอ วตถดบทโรงงานสงเขามาในแตละวน หนวยทท าการเกบขอมล คอ วตถดบแตละชนใน 1 วน

3) มหาวทยาลยตองการศกษาปรมาณการใชกระแสไฟฟาแตละเดอนในอาคารสารนเทศ 50 ป ในทนประชากร คอ ปรมาณการใชไฟฟาในทกๆ เดอนอยางตอเนอง หนวยทเกบขอมล คอ จ านวนเดอนทเกบตวอยางนนเอง

ประชากร หมายถง ขอมลทงหมดจากทกหนวยในขอบเขตทตองการศกษา

ขอมลทมาจากสวนหนงของประชากรน เรยกวา ตวอยาง (Samples) การศกษาในทางสถตจะศกษาลกษณะของประชากรโดยอาศยขอมลและรายละเอยดตางๆ ทประเมนไดจากตวอยางแทนทจะศกษาจากประชากร

1) ทดลองออกรายการโฆษณาสนคาประเภทหนงทางทว แลวสอบถามความคดเหนจากผไดชมจ านวน 20 คน ผชมทง 20 คนเปนหนวยทจะเกบขอมลมาเปนตวแทนของประชากร จงเรยกวา ตวอยาง

2) สมหลอดประหยดไฟมาทดลองใชเพอศกษาอายการใชงานจ านวน 50 หลอด หลอดไฟ 50 หลอดนจงเปนตวแทนจากประชากรของหลอดประหยดไฟ หรอเปนตวอยางจากประชากรนนนเอง

ตวอยาง หมายถง ขอมลทเปนตวแทนของประชากรทสนใจศกษา

การเลอกตวอยางเพอเปนตวแทนของประชากรจะตองเปนไปโดยไมเจาะจง ไมมอคตและความเอนเอยง กลาวคอ จะตองกระทาโดยสม(Random) ตวอยางทไดมาจากการสมเรยกวา ตวอยางสม (Random samples) ประเภทของขอมล

ขอมลทน ามาวเคราะหทางสถตมหลายประเภทแตกตางกนแตละประเภทกเหมาะกบวธวเคราะหทไมเหมอนกน ซงสามารถจ าแนกขอมลไดเปนประเภทตางๆ ดงน 1. ขอมลเชงปรมาณหรอขอมลจากการวด (Quantitative data หรอ Measurement data หรอ Numerical data) เปนขอมลทสามารถวดคาไดเปนตวเลขและมกอยในมาตราวดอยางใดอยางหนง เชน น าหนก ความสง คะแนนสอบ พนทเพาะปลก ผลผลต ระดบคลอเรสเตอรอล เปนตน 2. ขอมลจานวนนบหรอขอมลความถ (Count data หรอ Frequency data) ขอมลเหลานมคาเปนเลขจ านวนเตมบวกดงตวอยาง เชน จ านวนบตรในครอบครว จ านวนพนกงานทถกเลกจาง จ านวนนสตในคณะตางๆ จ านวนอบตเหตในแตละวน จ านวนครงทนสตขาดเรยน จ านวนครงทนสตลงทะเบยนเรยนวชาสถต เปนตน 3. ขอมลอนดบ (Rank data) เปนขอมลทไดจากการใหล าดบกบแตละหนวย ตวอยาง เชน ใหอนดบกบนกกฬายอดเยยมประจ าป จดอนดบนกการเมองทคนนยม นกฟตบอล 10 อนดบแรกทท าประตสงสดในฤดกาลแขงขนน จดอนดบสถาบนการเงนในประเทศไทย ใหล าดบกบไวนทชม เปนตน 4. ขอมลจาแนกประเภท (Categorical data) เปนขอมลทน ามาจ าแนกตามประเภทชนดหรอลกษณะ เชน จ าแนกคนตามศาสนาทนบถอ จ าแนกนสตตามคณะ จ าแนกรถยนตตามยหอ จ าแนกคนตามกลมเลอด จ าแนกนกฟตบอลตามต าแหนงทเลน เปนตน


การเกบรวบรวมขอมลและการนาเสนอขอมล ขอมลทเกบรวบรวมมาแลวนนจะยงไมสามารถน ามาใชประโยชนเพอตความไดอยางรวดเรวและถกตองในทนท เวนแตขอมลเหลานจะไดถกน ามาจดหมวดหมและสรปลกษณะของขอมลดวยคาทางสถตตางๆ เสยกอน ตวอยางเชน เกบขอมลจากคน 200 คนอยางตอเนองเปนเวลา 10 ป เพอหาตวแปรหรอปจจยทมผลตอการเกดโรคหวใจ ตวแปรหรอปจจยเหลาน ไดแก อาย ความดนโลหต ระดบคลอเรสเตอรอล ความสง น าหนก และประวตการเกดโรคหวใจ จากขอมลดบเหลานจะไมสามารถอธบายหรอสรปลกษณะของขอมลชดนไดทนทเพราะขอมลยงไมมการจดเรยงหรอจดหมวดหม จงไมสามารถบอกลก ษณะและรายละเอยดเกยวกบขอมลชดนได เชน ขอมลใดในชดนเปนคาต าสดหรอสงสดหรอขอมลใดมคาใกลคากลางของขอมลในชดนน ลกษณะการแจกแจง

โคงการแจกแจงความถมไดหลายลกษณะ คอ อาจเปนโคงทมลกษณะสมมาตรเปนรประฆงคว า หรอทเรยกวาโคงปกต หรออาจเปนโคงทมลกษณะเบซาย เบขวา ซงแตละลกษณะกจะมพนทใตโคงทมความหมายตางกน สามารถวดความเบของขอมลได และในสวนของโคงการแจกแจงความถทเปนโคงปกตกยงอาจมความโดงทมากนอยตางกนดวย กสามารถค านวณคาความโดงของขอมลไดเชนกน

ความเบ (Skewness)

โคงทมลกษณะเปนรประฆงหรอโคงปกตจะเปนโคงทมลกษณะสมมาตร นนคอ เสนโคงทางดานซายและขวาของคาเฉลยจะมลกษณะเหมอนกน

คาเฉลย = มธยฐาน = ฐานนยม

โคงทมลกษณะเบซาย พนทใตโคงทางดานซายของคาฐานนยมจะมพนทมากกวาพนทใตโคงทางดานขวาของฐานนยม ซงจะเหนวาขอมลมการแจกแจงเบไปทางลบ หรอเบไปทางคะแนนมาก

คาเฉลย < มธยฐาน < ฐานนยม

โคงทมลกษณะเบขวา พนทใตโคงทางดานขวาของคาฐานนยม จะมพนทมากกวาพนทใตโคงทางดานซายของฐานนยม

ซงจะเหนวาขอมลมการแจกแจงเบขวา หรอเบไปทางบวก หรอเบไปทางคะแนนนอย

คาเฉลย > มธยฐาน > ฐานนยม


การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง การอธบายลกษณะของขอมลดวยตวเลขจากคาสถตนบเปนสงส าคญเชนเดยวกบการอธบายลกษณะของขอมลดวยแผนภาพ ทงนคาสถตประกอบกบแผนภาพตางๆ จะชวยใหทราบลกษณะของขอมลอยางชดเจนสามารถน าไปใชอางองถงขอมลประชากรได ในหวขอตอไปนจะกลาวถงคาสถตส าคญๆ หลายตวทเปนตววดลกษณะขอมล

เพออธบายลกษณะของขอมลใหชดเจนและมรายละเอยดมากขนจงใชตววดคากลาง (Measure of center) หรอตววดแนวโนมสสวนกลาง (Measures of central tendency) มาชวยใหรายละเอยดเกยวกบคากงกลางของการแจกแจงขอมล ตววดแนวโนมสสวนกลางมหลายตว ทนยมใชและกลาวถงมากทสด ไดแก คาเฉลย คามธยฐาน และคาฐานนยม

คาเฉลย

คาเฉลยเปนผลรวมของขอมลทงหมดหารดวยจ านวนขอมลทงหมดในชดนน (n) โดยใชสญลกษณ X (อานวา เอกซ - บาร) แทนคาเฉลย

n

ลทงหมดผลรวมขอมX

เชนขอมลชดหนงประกอบดวยคะแนนสอบของนกเรยน 3 คนคอ 40, 45 และ 65 ผลรวมของคะแนน คอ 40 + 45 + 65 = 150

และ n = 3 ดงนน 503

150X คะแนน

ถาใชสญลกษณ (อานวา ซกมา) แทนผลรวมขอมลและแทนขอมลแตละตวดวย XI

ดงนน n

X

X

n

1ii

คามธยฐาน คามธยฐานเปนตววดแนวโนมสสวนกลางทส าคญอกตวหนง คามธยฐานเปนจดแบง ขอมลออกเปน 2 สวน

เทาๆ กน ดงนนจะมขอมลจ านวนครงหนงของทงหมดมคามากกวาคามธยฐาน และมขอมลอกครงหนงมคานอยกวาคามธยฐาน ถาขอมลชดหนงมจ านวน n ไดถกจดเรยงจากนอยไปหามากแลว เมอ n เปนจ านวนคคามธยฐานของขอมลชดน คอ ขอมลทอยในต าแหนงกงกลาง แตเมอ n เปนจ านวนค คามธยฐาน คอ คาเฉลยระหวางขอมล 2 ตวในต าแหนงกงกลาง

ตวอยางท ขอมล 2 ชดตอไปนไดจดเรยงจากนอยไปมากเรยบรอยแลว ขอมล A: 11 13 18 19 20 ขอมล B: 4 4 9 11 12 14

ขอมล A มจ านวนขอมล (n) เทากบ 5 เปนจ านวนค ดงนนคามธยฐานของขอมลน คอ ขอมลในต าแหนงท 3 มคาเปน 18 ขอมล B มจ านวนขอมล (n) เทากบ 6 เปนเลขค ดงนนคามธยฐานของขอมลน คอ คาเฉลยระหวาง

คาฐานนยม

คาฐานนยม (Mode) เปนขอมลทเกดขนบอยครงทสดในชดนน ตวอยางเชน คาฐานนยมของขอมล 3, 6, 9, 3, 5, 8, 3, 10, 4, 6, 3, 1 ไดแก คา 3 เพราะ 3 เกดขนบอยครงกวาขอมลอนในชดน ขอมลชดหนงอาจมคาฐานนยมมากกวา 1 คา ตวอยางเชนขอมล 3, 6, 9, 3, 5, 8, 3, 10, 4, 6, 3, 1, 6, 2, 5, 6 คาฐานนยมของขอมลชดนม 2 คา คอ 3 และ 6 เพราะเกดขน 4 ครงเทากน และเกดขนบอยครงกวาขอมลใดๆ ของชดน

ขอมลเชงคณภาพกสามารถมคาฐานนยมได ตวอยางเชน เกรด B เปนเกรดฐานนยมในวชา หลกสถต 1 “สมชาย” เปนชอฐานนยมของผชายไทย เปนตน


การวดการกระจายของขอมล การวดการกระจาย (Measures of Dispersion) เปนสถตประเภทหนงทค านวณออกมาเปนตวเลข เพอใชอธบาย

ลกษณะการกระจายของขอมล การทขอมลชดหนงๆ ประกอบดวยคะแนนทมคาตางๆกนเราเรยกวาเปนขอมลทมการกระจาย ถาขอมลชดนนประกอบดวยคะแนนทมคาตางกนมากเรยกวา เปนขอมลทมกระจายมากถาขอมลชดนนประกอบดวยคะแนนทมคาตางกนนอยเรยกวาเปนขอมลทมการกระจายนอย และถาขอมลชดนนประกอบดวยคะแนนทมคาเทากนหมด เรยกวา เปนขอมลทไมมการกระจาย ดงตวอยาง

ขอมลชดท คะแนนในชดขอมล ลกษณะการกระจาย 1 7 10 35 70 100 มการกระจายมาก 2 50 58 60 61 67 มการกระจายนอย 3 30 30 30 30 30 ไมมการกระจาย

การวดการกระจายนยมใชควบคกบการวดแนวโนมเขาสสวนกลาง เพราะจะชวยอธบายลกษณะของขอมลไดชดเจนขน ทงน เนองจากการวดแนวโนมเขาสกลางเปนเพยงการบอกคากลางของขอมลชดนน แตเรากยงไมทราบชดเจนถงลกษณะการกระจายของขอมลวาคะแนนตางๆ ในชดขอมลนนมคาใกลเคยงกน หรอแตกตางกนมาก ถาเรามทงคาแนวโนมเขาสสวนกลางและคาการกระจายกจะท าใหเขาใจลกษณะขอมลนนไดชดเจนขนมากกวามแตคาแนวโนมเขาสสวนกลางเพยงอยางเดยว การวดการกระจายของขอมล แบงไดเปน 2 วธคอ

1. การวดการกระจายสมบรณ (Absolute Variation) คอการวดการกระจายของขอมลเพยงชดเดยว เพอดวาขอมลชดนนแตละคามความแตกตางกนมากหรอนอยเพยงไร นยมใชกนอย 4 ชนดคอ

พสย (range) เปนคาทใชวดการกระจายของขอมล โดยการหาความแตกตางระหวางคาสงสดกบคาต าสดของขอมลชดใดชดหนง ซงอาจอยในรปของคาผลตางระหวางคาสงสดกบคาต าสดหรออยในรปชวงคะแนนจากคาต าสดถงคาสงสด เปนวธการกระจายอยางคราวๆและงายทสดเนองจากคะแนนเพยง 2 คา เทานนในการค านวณ คอคาสงสดและคาต าสด

พสย = คาสงสด - คาตาสด

สวนเบยงเบนควอรไทล (quartile deviation) สวนเบยงเบนควอไทล (Quartile deviation : Q.D.) เปนคาทใชวดการกระจายขอขอมลรอบๆ คามธยฐาน (Median)

ซงมคาเทากบครงหนงของผลตางระหวางควอไทลท 3 กบควอไทลท 1 ถาสวนเบยงเบนควอไทลมคามากแสดงวา มการกระจายมากถาสวนเบยงเบนควอไทลมคานอยแสดงวามการกระจายนอย

Q.D. = (Q3 - Q1)/2 แตถาหาคาความแตกตางระหวาง Q3 กบ Q1 เทานน เรยกวา คาพสยควอไทล (Interquartile Range : IQR)

IQR = Q3 - Q1

สวนเบยงเบนมาตรฐาน (standard deviation) เปนการวดการกระจายของคะแนนรอบๆ คาเฉลย(Mean) คลายๆ กบสวนเบยงเบนเฉลย แตแกปญหาคาสมบรณโดยใช

วธยกก าลงสอง คาผลตางระหวางคะแนนแตละตวกบคาเฉลย ท าใหเครองหมายลบหมดไปเมอหาคาเฉลยของผลรวม สวนเบยงเบนมาตรฐานมาก ขอมลมการกระจายมาก สวนเบยงเบนมาตรฐานนอย ขอมลมการกระจายนอย

สวนเบยงเบนมาตรฐานเปนศนย ขอมลไมมการกระจาย หรอขอมลเทากน

การวดตาแหนงทของขอมล การวดต าแหนง เปนการแปลงขอมลแตละชดใหอยในลกษณะเดยวกน เพอประโยชนในการเปรยบเทยบขอมล ระหวาง

ขอมลคนละชดกน การแปลงขอมลมลกษณะเปนการแบงชดขอมลออกเปนสวนยอยๆมทงแบงออกเปน 4, 10 และ 100 สวน การวดต าแหนงทแบงขอมลออกเปน 4 สวน คอ ควอไทล การวดต าแหนงทแบงขอมลออกเปน 10 สวน คอ เดไซล การวดต าแหนงทแบงขอมลออกเปน 100 สวน คอ เปอรเซนไทล


ขอมลแตละชดมลกษณะแตกตางกน ดงนนการจะน าคะแนนทอยตางชดกนมาเปรยบเทยบกนจงจ าเปนตองน าขอมลแตละชดนนมาแปลงใหมลกษณะเดยวกนเสยกอน โดยอาจใชวธการทางสถตชนดใดชนดหนงคอ ควอไทล เดไซลหรอเปอรเซนไทล

Q1 = P25 Q2 = Q50 Q3 = Q75 Q4 = Q100 แผนภาพกลอง แผนภาพกลอง (Box-and-whisker plot หรอ Box plot) เปนแผนภาพงายๆ แตมประโยชนในการส ารวจและสรป

ลกษณะของขอมล แผนภาพกลองจะแสดงลกษณะทส าคญของขอมลชดนนๆ ไดแก คากลาง การกระจาย ลกษณะสมมาตรของขอมล และขอมลผดปกต (outliers)

แผนภาพกลอง ประกอบดวย คาควอไทลทงสาม คาต าสดและคาสงสดในขอมลชดนน โดยสรางเปนภาพกลองสเหลยมผนผาทอาจจดวางตามแนวนอนหรอแนวตงกได ดานหวและทายของกลองเปนคาควอไทลท 1 กบคาควอไทลท 3 ความยาวของกลองนจงคลมขอมลกงกลางจ านวนรอยละ 50 ของทงหมด

ในภาพตวอยาง คาควอไทลท 1 2 และ 3 มคาเทากบ 245.5 276 และ 331 ดงนนจงมขอมล กงกลางจ านวนรอยละ 50 ม

คาระดบคลอเรสเตอรอลอยระหวาง 245.5 กบ 331 เมอลากเสนตรงภายในกลอง ณ จดทเปนคาควอไทลท 2 หรอคามธยฐาน ความยาวกลองหรอ Q3 - Q1 เรยกวา Interquartile range หรอ IQR

ภาพท 5.5 แสดงแผนภาพกลองของขอมล

ตวอยาง คะแนนการทดสอบของพนกงาน 15 คน เขยน Box-and-whisker plot ได ดงน

คาต าสด = 5 , Q1 = 10 , Q2 = 15 , Q3 = 18 , คาสงสด = 37 ขอสรปทสาคญประการหนง จากแผนภาพกลองคอ มพนกงานประมาณ 50% ของพนกงานทงหมด ไดคะแนนระหวาง

10 และ 18 คะแนน


แผนภาพ Stem-and-Leaf อกวธหนงในการใชแผนภาพอธบายลกษณะของขอมล ไดแก การสรางแผนภาพ Stem-and-Leaf แผนภาพนเปน

การสรางการแจกแจงความถอยางงายๆ โดยแทนการนบจ านวนความถจากรอยคะแนนในตารางแจกแจงความถ ดวยการใชเลขหลกสดทายของตวเลขแตละจ านวนเปนตวแสดงความถของขอมลแทน ตวอยางของแผนภาพ Stem-and-leaf

---------------------------โชค A ในการสอบทกคนนะครบ---------------------------

สรุปอ่านสอบกลางภาค ภาคต้น...

Documents