คู่มือประกอบสื่อการสอน...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

จ านวนจรง (เนอหาตอนท 9) กราฟคาสมบรณ

โดย

ศาสตราจารย ดร.กฤษณะ เนยมมณ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง จ านวนจรง สอการสอน เรอง จ านวนจรง มจ านวนตอนทงหมดรวม 17 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง จ านวนจรง 2. เนอหาตอนท 1 สมบตของจ านวนจรง

- ระบบจ านวนจรง - สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง

3. เนอหาตอนท 2 การแยกตวประกอบ - การแยกตวประกอบ

4. เนอหาตอนท 3 ทฤษฎบทตวประกอบ - ทฤษฎบทเศษเหลอ - ทฤษฎบทตวประกอบ

5. เนอหาตอนท 4 สมการพหนาม - สมการพหนามดกรหนง - สมการพหนามดกรสอง - สมการพหนามดกรสง - การประยกตสมการพหนาม

6. เนอหาตอนท 5 อสมการ - เสนจ านวนและชวง - อสมการทเกยวของกบพหนามดกรหนง - อสมการทเกยวของกบพหนามดกรสง

7. เนอหาตอนท 6 เทคนคการแกอสมการ - อสมการในรปเศษสวน - การแกอสมการโดยวธการยกก าลงสอง - การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร - การประยกตโจทยการแกอสมการ

8. เนอหาตอนท 7 คาสมบรณ - คาสมบรณ - สมการคาสมบรณ

9. เนอหาตอนท 8 การแกอสมการคาสมบรณ


2

- อสมการคาสมบรณ - โจทยประยกตอสมการคาสมบรณ

10. เนอหาตอนท 9 กราฟคาสมบรณ - กราฟคาสมบรณ

11. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 12. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 13. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 14. แบบฝกหด (ขนสง) 15. สอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน 16. สอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) 17. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง จ านวนจรง นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง จ านวนจรง (กราฟคาสมบรณ) หมวด เนอหา ตอนท 9 (9/9) หวขอยอย กราฟคาสมบรณ จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. เขาใจและสามารถเขยนกราฟคาสมบรณได 2. เขาใจและสามารถเขยนกราฟอสมการคาสมบรณพนฐานได

ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถ

1. อธบายวธการเขยนและเขยนกราฟคาสมบรณได 2. อธบายวธการเขยนและเขยนกราฟอสมการคาสมบรณได


4

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด


5

3 2

2

xf x

เมอ 2x เมอ 2x

3 2

2

1

x

f x

x

เมอ 2x เมอ 3 2x เมอ 3x

ในสอตอนน เราจะศกษาการเขยนกราฟคาสมบรณในแบบตาง ๆ

ตวอยาง จงเขยนกราฟของ วธท า

ตวอยาง จงเขยนกราฟของ

y

x 2

2

8

3 2y x

2y


6

วธท า

y

x 2

2

8

3

2

3 2y x

1y x


7

ตวอยาง จงเขยนกราฟตอไปน

1. 3y x 2. 2y x 3. 3y x 4. 3 1y x

วธท า

1. 3y x

y

x

3

y x

3y x


8

2. 2y x

3. 3y x

4. 3 1y x

y

x

2

y x

2y x

y

x

3y x

y x

y

x

1

3 1y x

y x


9

ตวอยาง จงเขยนกราฟตอไปน

1. 1x y 2. 2 3x y

วธท า

1. 1x y


10

2. 2 3x y

y

x 1

x y

1x y

y

x 3

x y

2x y

2 3x y


11


12

2

22

xx

x


y

yy

เมอ 0y เมอ 0y

2

22

xx

x


y

yy


ตวอยาง จงเขยนกราฟ

1. 2 2x y 2. 2 2x y

วธท า

1. 2 2x y เนองจาก และ

2. 2 2x y เนองจาก และ

y

x 1

2 2x y 2

1

2

2 2x y

2 2x y 2 2x y


13

y

x 1

2 2x y

1

2 2x y

2 2x y 2 2x y


14

3 13 1

3 1

yy

y


2 12 1

2 1

xx

x


3 13 1

3 1

yy

y


2 12 1

2 1

xx

x


ตวอยาง จงเขยนกราฟของ 1. 2 1 3 1 6x y 2. 2 1 3 1 6x y

วธท า

1. 2 1 3 1 6x y

เนองจาก และ

2. 2 1 3 1 6x y

เนองจาก และ

y

x 4

2 3 1x y

1

2 3 5x y

1

3

2

2 3 7x y 2 3 11x y

1


15

y

x

1

2 3 11x y

1 2

2 3 1x y

4

2 3 5x y

2 3 7x y


16

แบบฝกหดเพมเตม 1-10 จงเขยนกราฟตอไปน

1. 2 3x y 2. 3y x 3. 2 3x y 4. 2x y x 5. 3 2 1x y 6. 1 3 6x y 7. 2 3 12x y 8. 1 2 1 4x y 9. x y x y 10. 2 3 1 6x y


17

สรปสาระส าคญประจ าตอน


18

สรปสาระส าคญประจ าตอน


19

ภาคผนวกท 1 การเขยนกราฟอสมการคาสมบรณ


20

การเขยนกราฟอสมการคาสมบรณ

เราจะเรมตนโดยการเขยนกราฟอสมการของกราฟเสนตรงกอน ดงตวอยางตอไปน ตวอยาง จงเขยนกราฟของอาณาบรเวณทสอดคลองกบอสมการตอไปน

2 3 6x y 2 4x y และ 0, 0x y วธท า เขยนกราฟเสนตรงของสมการ 2 3 6x y และ 2 4x y ไดดงน

โดยการแทนคา 0x และ 0y จะพบวา 2 3 6x y ดงนน อาณาบรเวณทสอดคลองกบอสมการ 2 3 6x y คออาณาบรเวณทงหมด

ทอยดานลางของเสนตรง 2 3 6x y

y

x

2 4x y

2 3 6x y

0

y

x

2 3 6x y

0


21

โดยการแทนคา 0x และ 0y จะพบวา 2 4x y ดงนน อาณาบรเวณทสอดคลองกบอสมการ 2 4x y คออาณาบรเวณทงหมด ทอยดานบนของเสนตรง 2 4x y

สรปไดวา อาณาบรเวณทสอดคลองกบอสมการทงสอง และ 0, 0x y คอ อาณาบรเวณ ภายในรปสามเหลยม OAB ทแรเงาไวรวมทงเสนรอบรปดวย

# ตวอยาง จงเขยนกราฟของอาณาบรเวณทสอดคลองกบอสมการตอไปน

2 4x y 2 4 4x y และ 0, 0x y วธท า เขยนกราฟเสนตรงของสมการ 2 4x y และ 2 4 4x y ไดดงน

y

x

2 4x y

2 3 6x y

0

A

B

y

x

2 4x y

0


22

โดยการลองแทนคา ,x y ใด ๆ เชน 0,0 จะพบวาอาณาบรเวณทสอดคลองกบอสมการ ทก าหนดใหคอ บรเวณทแรเงาไวดงรป

ซงจะเปนอาณาบรเวณทเปดยาวออกไปไมมทสนสด แตจะอยระหวางเสนตรง 2 4x y กบ

2 4 4x y รวมเสนตรงทงสองดวยเฉพาะทอยในจตภาคท 1 # ตอไปจะเปนการเขยนกราฟของอสมการคาสมบรณ

ตวอยาง จงเขยนกราฟของอสมการ 3x y วธท า ขนตอนท 1 เขยนกราฟ 3x y

y

x

2 4 4x y

2 4x y 0

y

x

2 4 4x y

2 4x y 0


23

แทนคา 0x และ 0y จะพบวา 3x y ดงนนอาณาบรเวณทสอดคลองกบสมการ

3x y คอ อาณาบรเวณภายในรปสเหลยม

จากรปท 1 และรปท 2 ท าใหอาณาบรเวณทสอดคลองกบอสมการ 3x y คอบรเวณดง รปตอไปน

y

x

3x y

3

3

3

3

y

x

3x y

3

3

3

3


24

ตวอยาง จงเขยนกราฟของอสมการ 3x y

ตวอยาง จงเขยนกราฟของอสมการ 2 2x y

ตวอยาง จงเขยนกราฟของอสมการ y x

y

x

3x y

3

3

3

3

y

x 3 3

y

x 1

2

2

1


25

ตวอยาง จงเขยนกราฟของอสมการ 2x y

หมายเหต ในการเขยนกราฟของอสมการนน มรายละเอยดอยในสอเรอง ก าหนดการเชงเสน (ตอนท 1)

y

x

y

x 2


26

ภาคผนวกท 2 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


27

2

xy

x

เมอ 1 1x

เมอ 1x หรอ 1x

แบบฝกหดระคน

1. กราฟดงรปมลกษณะตรงกบสมการในขอใด

1. 1 2 2x y 2. 1 2 2x y

3. 1 2 2x y 4. 1 2 2x y 2. อาณาบรเวณ , | 3 2 2x y x y มพนทกตารางหนวย

1. 4 2. 6 3. 8 4. 16 3. คาสงสดของ y ในขอใดมคามากทสด

1. 3y x 2. 3y x 3. 3 2y x 4. 3 1 2y x

4. ขอใดตอไปนถกตอง ก. กราฟของสมการ x y x y เปนกราฟเสนตรง 2 เสนทตงฉากกน ข. มจด ,a b ซง 0a และ 0b อยบนกราฟ x y x y 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด

5. อาณาบรเวณ , |1 2x y x y มพนทกตารางหนวย 1. 2 2. 4 3. 6 4. 8

6. ให , | 1A x y x y และ , | 1B x y x y จงหาจ านวนสมาชกของ A B 1. 0 2. 1 3. 2 4. 4

7. ขอใดคอลกษณะกราฟของสมการ

y

x 1,2 3,2

1 5 3


28

1.

2.

3.

y

x 1

1

3

1

1

x 1 1

1

2

y

x 1 1

1

2

y


29

4.

8. ขอใดคอสมการของกราฟตอไปน

1. 2 2x y 2. 2 4x y 3. 2 2x y 4. 2 2 4x y

9. ขอใดตอไปนถกตอง ก. อาณาบรเวณ , | 2 1x y x y มพนทเทากบอาณาบรเวณ , | 2 1x y x y ข. จด ,a b ทอยในกราฟ , | 2x y x y ตองมสมบตวา 0a และ 0b เสมอ 1. ก ถก ข ถก 2. ก ถก ข ผด 3. ก ผด ข ถก 4. ก ผด ข ผด

10. โดเมนและเรนจของความสมพนธ , | 1 1r x y x y คอขอใด 1. rD และ , 1 1,rR 2. rD และ , 2 0,rR 3. , 1 1,rD และ rR 4. , 2 0,rD และ rR

y

x 2

1

1

2

y

x 1 1

1

2


30

ภาคผนวกท 3 เฉลยแบบฝกหด


31

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม

1. 2 3x y

2. 3y x

y

x 3

3

2

3

2

y

x 3

3

3


32

3. 2 3x y

4. 2x y x

y

x 3

3

2

3

2

3

y

x

1

1

y x

0y


33

5. 3 2 1x y

6. 1 3 6x y

y

x 1

3

1

2

1

2

1

3

y

x 5

2

7 1

2


34

7. 2 3 12x y

8. 1 2 1 4x y

9. x y x y

y

x

0x

0y

y

x 6 6

y

x 5 7

1

1 3 5 7


35

10. 2 3 1 6x y

เฉลยแบบฝกหดระคน 1. 2 2. 3 3. 1 4. 2 5. 3 6. 3 7. 1 8. 1 9. 2 10. 4

y

x 3

1

9

2

9

2

3


36

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


37

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


38


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


39


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

คู่มือประกอบสื่อการสอน...

Documents