ขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารใน 2 มต

ปรญญานพนธ ของ

กตตศกด ศรวงคษา

เสนอตอบณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ เปนสวนหนงของการศกษา ตามหลกสตรปรญญาการศกษามหาบณฑต สาขาวชาฟสกส

มนาคม 2553

ขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารใน 2 มต

ปรญญานพนธ ของ

กตตศกด ศรวงคษา

เสนอตอบณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ เพอเปนสวนหนงของการศกษา ตามหลกสตรปรญญาการศกษามหาบณฑต สาขาวชาฟสกส

มนาคม 2553 ลขสทธเปนของมหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ

ขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารใน 2 มต

บทคดยอ ของ

กตตศกด ศรวงคษา

เสนอตอบณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ เปนสวนหนงของการศกษา ตามหลกสตรปรญญาการศกษามหาบณฑต สาขาวชาฟสกส

มนาคม 2553

กตตศกด ศรวงคษา. (2553). ขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารใน 2 มต ปรญญานพนธ กศ.ม. (ฟสกส). กรงเทพฯ: บณฑตวทยาลย มหาวทยาลย ศรนครนทรวโรฒ. คณะกรรมการควบคม: อาจารย ดร.สร สรนลกล, อาจารย ดร.พศทธวรรณ ศรภรมย.

ขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารใน 2 มต ภายใตอนตรกรยาคลอมบซง

ก าหนดใหประจบวกไมเคลอนทและสสารเปนกลางทางไฟฟา 1

k

i

i

Z = N

โดยท 2k เมอ k แทน

จ านวนนวเคล ยส ค านวณไดจากการพจารณาขอบเขตทวไปของพลงงานศกยคลอมบทเกดจากอนตรกรยาระหวางอเลกตรอนและอนตร กรยาระหวางนวเคลยสซงอยในรปของความหนาแนนของอนภาค x โดยท 2d N x x และขอบเขตลางของคาความคาดหวง ของพลงงานจลนซงอยในรปของ 2 2d x x พลงงานทสถานะพนของสสารประเภทโ บซอนและเฟอรมออนแสดงในรปฟงกชนของจ านวนอเลกตรอนและจ านวนนวเคลยส โดยขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารประเภทเฟอรมออนใน 2 มต ไดแก max4 1 NE q N Z ในหนวยรดเบรก เมอ q แทนจ านวนของสถานะสปนทมผลตอแตละอนภาค และ 2 1q s เมอ s แทนเลขสปนของอนภาค จากขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพน NE N สรปได วาผลตางของพลงงานทสถานะพนจะมคาเปนศนย ดงนนสสารประเภทเฟอรมออนจะเกดการขยายตวของสสารจาก 2 ระบบเปน 1 ระบบใน 2 มต และสสารทเปนไปตามหลกการกดกนของเพาลหรอสสารประเภทเฟอรมออนใน 2 มตยงคงความเสถยร ในขณะทขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพ นของสสารประเภทโบซอนใน 2 มต ไดแก 2

max4 1 NE N Z เมอ maxZ แทนประจของนวเคลยสทมากทสดในหนวยของ e และเมอน าขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารประเภทโบซอนใน 2 มตดงกลาวมาพจารณา รวมกบขอบเขตบนของพลงงานทสถานะพนของสสารประเภทโบซอนใน 2 มต

20.0002 NE N ซงน าเสนอโดยมทาพรและมาโนเคยน (2547 ) จะไดขอบเขตของพลงงานทสถานะพ นของสสารประเภทโบซอนใน 2 มต ไดแก 2 2

max4 1 0.0002 NN Z E N ในหนวยรดเบรก และจากขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพน 2 NE N สรปไดวาการยบตวของสสารประเภทโบซอนจาก 2 ระบบเปน 1 ระบบใน 2 มต คอความไมเสถยรอนเนองจากการคายพลงงานของระบบทประกอบดวยอนภาคจ านวนมาก

LOWER BOUNDS FOR THE GROUND STATE ENERGY OF MATTER IN TWO DIMENSIONS

AN ABSTRACT BY

KITTISAK SHIWONGSA

Presented in Partial Fulfillment of the Requirements for the Master of Education Degree in Physics

at Srinakharinwirot University March 2010

Kittisak Shiwongsa. (2010) Lower Bounds for the Ground State Energy of Matter in Two Dimensions. Master thesis, M.Ed. (Physics). Bangkok: Graduate School, Srinakharinwirot University. Advisor Committee: Dr. Siri Sirininlakul, Dr. Pisuttawan Sripirom.

The lower bounds for the ground state energy in two dimensions with Coulomb

interactions, fixed positive charges and nature matter 1

k

i

i

Z = N

in the case 2k where

k is the nuclei number are obtained by considering the general bound for Coulomb potential due to electron - electron interaction and nucleus - nucleus interaction, which is written in term of particle density , x 2d Nx x and the lower bound for expectation value of kinetic energy, which is in term of 2 2d . x x The ground state energy of boson and fermion types as functions of the number N of electrons and of the nuclear charges by the lower bound for the ground state energy of fermionic matter in two dimensions is max4 1 NE q N Z in Rydberg unit, where q is the number of spin states available to each particle, 2 1q s where s is spin number. Furthermore, the bound for the ground state energy of fermionic matter NE N it follows that the difference of ground state energy is zero which implies that fermionic matter would inflate when two systems brought together which satisfying with the exclusion principle, in the other word, fermionic matter remains stable. The lower bound for the ground state energy of bosonic matter in two dimensions is 2

max4 1 NE N Z where maxZ corresponds to the nucleus with largest charge in units of .e When combining this lower bound with the upper bound in two dimensions, derived by Muthaporn C. and Manoukian E.B. (2004), which is 20.0002 NE N , the range of the ground state energy of bosonic matter in two dimensions, which is 2 2

max4 1 0.0002 NN Z E N in Rydberg unit, is possessed. As for the bound for the ground state energy of bosonic matter, 2 NE N so that in two dimensions, the collapse of the two systems into one is unstable as the released energy becomes overwhelmingly large for large number of particle.

ปรญญานพนธ เรอง

ขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารใน 2 มต ของ

กตตศกด ศรวงคษา

ไดรบอนมตจากบณฑตวทยาลยใหนบเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตร ปรญญาการศกษามหาบณฑต สาขาวชาฟสกส

ของมหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ

.....................................................................คณบดบณฑตวทยาลย (รองศาสตราจารย ดร.สมชาย สนตวฒนกล) วนท.........เดอน....................พ.ศ. 2553 คณะกรรมการควบคมปรญญานพนธ คณะกรรมการสอบปากเปลา .................................................... ประธาน .................................................. ประธาน (อาจารย ดร.สร สรนลกล) (อาจารย ดร.สพชญ แขมมณ) ..................................................... กรรมการ ................................................ กรรมการ (อาจารย ดร.พศทธวรรณ ศรภรมย) (อาจารย ดร.สร สรนลกล) ................................................ กรรมการ

(อาจารย ดร.พศทธวรรณ ศรภรมย) ................................................ กรรมการ

(อาจารย ดร.ชยพจน มทาพร)

งานวจยนไดรบทนอดหนนการวจย จาก

บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ

ประกาศคณปการ

เนองดวยปรญญานพนธฉบบนเปนงานวจยฟสกสทฤษฎ ซงส าเรจลงไดดวยการชแนะและชน าการท างานจาก อาจารย ดร. สร สรนลกล และอาจารย ดร . พศทธวรรณ ศรภรมย จนท าใหงานลลวงไดดวยด รวมทงความเมตตาและน าใจ ของทานทมตอผวจยตลอดระยะเวลาของการท าวจยทผานมา ผวจยจงขอกราบขอบพระคณทานเปนอยางสง

ขอกราบขอบพระคณ อาจารย ดร .สพชญ แขมมณ ทชแนะบางเทคนคทางคณตศาสตรทใชแกปญหาในงานวจยน และอาจารย ดร.ชยพจน มทาพร ทใหความอนเคราะหเปนคณ ะกรรมการในการสอบปากเปลา รวมทงค าแนะน าเพอแกไขขอบกพรองตาง ๆ เพมเตมเกยวกบปรญญานพนธฉบบน

ขอกราบขอบพระคณคณาจารยภาควชาฟสกสทกทานทไดประสทธประสาทวชาความร ตลอดระยะเวลาการศกษา จนผวจยสามารถน าความรมาใชในการท าปรญญานพนธจนส าเรจ

ขอขอบคณนสตปรญญาโท สาขาวชาฟสกส มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒทกทานทคอย ชวยเหลอและเปนก าลงใจในการท างานวจยตลอดมา

ทายทสดน ผวจยขอกราบขอบพระคณ บดา-มารดา และญาตๆ ทกคน ทใหก าลงใจ และ สนบสนนการศกษาของผวจยตลอดมา

กตตศกด ศรวงคษา

สารบญ

บทท 1 บทน า………………………………………………………………………………….

ภมหลง………………………………………………………………………………. ความมงหมายของการวจย…………………………………………………………. ความส าคญของการวจย……………………………………………………………. ขอบเขตของการวจย……………………………………………………………….. ประโยชนทคาดวาจะไดรบจากงานวจยน…………………………………………..

2 เอกสารและงานวจยทเกยวของ…………………………………………………...

อะตอม…………………………………………………………………………......... ฟงกชนเดลตาดแรกใน 2 มต…………………………………………………......... ฟงกชนคลนและความหนาแนนของอนภาคใน 2 มต……………………………… อนภาคโบซอนและอนภาคเฟอรมออน…………………………………………….. กฎ 5 3N ส าหรบอนภาคโบซอน…………………………………………………… ผลการแปลงฟเรยรใน 2 มต………………………………………………………... อสมการทน ามาประยกตใช……………………………………………………….... ฟงกชนขนบนไดหนงหนวย………………………………………………………… อนกรมเทยเลอร…………………………………………………………………….. ฟงกชนเบสเซล……………………………………………………………………… เอกสารงานวจยทเกยวของ………………………………………………………....

3 วธด าเนนงานวจย…………………………………………………………………...

ขอบเขตทวไปของพลงงานศกยคลอมบของสสารประเภทโบซอนใน 2 มต……… ขอบเขตลางของพลงงานจลนของสสารประเภทโบซอนใน 2 มต……………….... ขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารประเภทโบซอนใน 2 มต………... ขอบเขตทวไปของพลงงานศกยคลอมบของสสารประเภทเฟอรมออนใน 2 มต…. ขอบเขตลางของพลงงานจลนของสสารประเภทเฟอรมออนใน 2 มต……………. ขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารประเภทเฟอรมออนใน 2 มต........

4 ผลการวจย……………………………………………………………………………

หนา 1 1 4 4 4 5

6 6

21 22 30 31 33 35 39 40 41 47

49 50 84 92 93 99

102

104

สารบญ (ตอ)

บทท 5 สรป อภปรายผลการวจย และขอเสนอแนะ………………………………………

สรปผลการวจย………………………………………............................................ อภปรายผลการวจย…………………………………………………………………. ขอเสนอแนะ………………………………………………………………………….

บรรณานกรม……………………………………………………………………………….... ภาคผนวก…………………………………………………………………………………….. ประวตยอผวจย……………………………………………………………………………….

หนา 107 107 107 109

110

113

136

บญชตาราง

ตาราง 1 ความสมพนธระหวางเลขควอนตม , ,n m กบเซลยอยและจ านวนออรบทล….

หนา 17

บญชภาพประกอบ ภาพประกอบ

1 เวกเตอรต าแหนงของนวเคลยสและอเลกตรอนตวท i และตวท j ใน 3 มต…….. 2 ตารางธาต……………………………………………………………………………... 3 ระบบพกดทใชแทนแบบจ าลองของอเลกตรอนในอะตอม โดยสมมตใหนวเคลยส

อยทจดก าเนด 0,0,0 และแทน ij i j x x x …………………………………….

4 พกดทรงกลม , ,r ………………………………………………………………. 5 เครองมอของสเตอรน – เกอรลาช…………………………………………………… 6 กราฟ 0 01f t u t u t …………………………………………………………. 7 กราฟ 1a af t u t u t …………………………………………………………. 8 แผนภมแสดงกระบวนการหาขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสาร

ใน 2 มต……………………………………………………………………………..

หนา 1 7

12 14 18 39 40

49

บทท 1 บทน า

ภมหลง

ความส าเรจ หนงทส าคญของกลศาสตรควอนตม (Quantum Mechanics) ไดแก การอธบายความเสถยรภาพ (Stability) และพลงงานทสถานะพน (Ground State Energy) ของอะตอมไฮโดรเจน หรอสภาวะทอเลกตรอนใน อะตอมไฮโดรเจนมพลงงานอยในระดบ ต าทสด หรอกลาววาเปนสภาวะทอะตอมเสถยรมากทสด ความเสถยรและพลงงานทสถานะพน ของอะตอมไฮโดรเจน ไดอธบายไวในกลศา สตรของชเรอดงเงอร (Schrödinger Mechanics) และหลกความไมแนนอนของ ไฮเซนเบรก (Heisenberg Uncertainty Principle) แตไมสามารถน าการอธบายพลงงาน ทสถานะพนดงกลาวมาประยกตใชกบปญหาของอะตอมทซบซอน หรอระบบทมอนภาคจ านวนมากได

ในป ค.ศ. 1967 ไดซอน; และเลนารด (Dyson; & Lenard. 1967: 423) ไดใชวธการประมาณคาหาพลงงานทสถานะพนของอะตอมทซบซอนภายใตศกยทเกดจากอนตรกรยาระหวางอนภาค พบวาสามารถพจารณาพลงงานทสถานะพน จากเลขยกก าลงของอนภาค ดงน NE N เมอ NE แทนพลงงานทสถานะพนในระบบ N อนภาค และ N แทนจ านวนอเลกตรอน โดยทจ านวนจรง 1

ภาพประกอบ 1 เวกเตอรต าแหนงของนวเคลยสและอเลกตรอนตวท i และตวท j ใน 3 มต

z

y

x

iZ

ie

jR

jZ

je i jR R

i jx x

jx ix

iR

2

พจารณาภาพประกอบ 1 เขยนตวด าเนนการแฮมลโทเนยน (Hamiltonian Operator) ได ดงน

2

1 1 1

ˆˆ2

N N k N ki

i j i j i j

i i j i j i j

H V V Vm

p

x x R R x R (1.0.1)

เมอ 2

1

ˆ

2

Ni

i m

p แทนพลงงานจลนของระบบ

N แทนจ านวนอเลกตรอน ˆ

ip แทนตวด าเนนการเวกเตอรโมเมนตมของอเลกตรอนตวท i m แทนมวลของอเลกตรอน

N

i j

i j

V

x x แทนศกยทเกดจากอนตรกรยาระหวางอเลกตรอนตวท i

กบอเลกตรอนตวท j ix แทนเวกเตอรบอกต าแหนงของอเลกตรอนตวท i

jx แทนเวกเตอรบอกต าแหนงของอเลกตรอนตวท j

k

i j

i j

V

R R แทนศกยทเกดจากอนตรกรยาระหวางนวเคลยสตวท i กบ

นวเคลยสตวท j k แทนจ านวนนวเคลยส iR แทนเวกเตอรบอกต าแหนงของนวเคลยสตวท i jR แทนเวกเตอรบอกต าแหนงของนวเคลยสตวท j

1 1

N k

i j

i j

V

x R แทนศกยทเกดจากอนตรกรยาระหวางอเลกตรอนตวท i

กบนวเคลยสตวท j เมอตองการหาพลงงานทสถานะพน จากสมการ (1.0.1) พบวาสมการชเรอดงเงอร (Schrödinger Equation; H E ) ไมสามารถใชกบพจนท 2 ในดานขวามอ ของสมการ (1.0.1) ได แตสามารถหาพลงงานทสถานะพน ของอนภาค จ านวนมาก จากการ ใชเทคนคการประมาณ ได ดงนนพลงงานทสถานะพนของอนภาคในกลศาสตรควอนตม NE จงเปนคาประมาณ

ไดซอนและเลนารด พบวาเมอพจารณาตามศกยทเกดจากอนตรกรยาระหวางอเลกตรอน

i jV Vx x x ในรปตางๆ พลงงานทสถานะพน NE ในกลศาสตรควอนตม จะมคาไ ด

ดงตอไปน

3

1. NE N ส าหรบอนภาคเฟอรมออนและ 7 5 NE N ส าหรบอนภาคโบซอน ถา

1

V xx

(1.0.2)

2. NE N ส าหรบอนภาคเฟอรมออนและอนภาคโบซอน ถา

1 e

V

x

xx

(1.0.3)

เมอ แทนคาคงทใดๆ

3. 2 NE N ส าหรบอนภาคเฟอรมออนและอนภาคโบซอน ถา

eV

xx x (1.0.4)

จากเงอนไขขางตน จะเหนวาส าหรบสสารประเภทโบซอน (Bosonic Matter) พลงงานทสถานะพนจะเปนไปตามกฎ เลขยกก าลง NE N โดยเลขยกก าลงของ N ตองมคามากกวา 1 1 ยงไปกวานนกฎเลขยกก าลง ดงกลาวยงแสดง ถงอเสถยรภาพของสสาร เมอพจารณาจากระบบทมอนภาคประจบวก N อนภาค และอนภาคประจลบ N อนภาค ดงนนระบบของสสารทเปนกลาง จะประกอบดวย 2N อนภาค เมอน า ระบบ 2N อนภาค 2 ระบบมารวมกนโครงสรางของสสารจะประกอบดวย 2 2N N อนภาค แตในกรณของสสารประเภท โบซอนจะพจารณาเฉพาะ อนภาคประจลบ เทานน เนองจาก อนภาค ประจบวกถกก าหนดใหอยกบท ดงนนโครงสรางของสสารจะประกอบดวย N อนภาค เมอน า ระบบ N อนภาค 2 ระบบ มารวมกน โครงสรางของสสาร จะประกอบดวย N N อนภาค การคายพลงงานของระบบทประกอบดวยอนภาคจ านวนมาก จะมอทธพลตอการยบตว ของสสารประเภทโบซอนจาก 2 ระบบเปน 1 ระบบ ท เปนสดสวนกบ

2 2N N นนคอพลงง านทสถานะพนจะลดลงและมลกษณะไมเชงเสน นไมใชกรณของ

สสารประเภทเฟอรมออนทมพลงงานทสถานะพนเพมมากขนและมลกษณะเชงเสนเทานนและยงคงเสถยร ดงนนการหาก าลงเดยวของ N ส าหรบพลงงานทสถานะพนของสสารจงเปนสงส าคญมาก

ในการหาพลงงานทสถานะพนของสสารทผานมา นกวจยหลายทานไดศกษา หาพลงงานทสถานะพนของสสารโดยใชฟงกชนคลนทดลอง (Trial Wave Function) เชน ในป ค.ศ. 2004 มาโน -เกยน และมทาพร (Manoukian E.B.; & Muthaporn C. 2004: 152 – 154) ไดใชฟงกชนคลน

4

ทดลอง ดงน

1 00

1cos

2

j

i i

j

i

x L

LL

x เพอหาขอบเขตบนของพลงงา นทสถานะ

พนของสสารประเภทโบซอน เมอ jiL แทนความยาวของแตละดานของบลอก และไดขอบเขตบน

ของพลงงานท สถานะพนใน มตใดๆ ดงน

24

2 2 32 16 2N

me NE

เมอ 2N

และ

แทนจ านวนมตใดๆ แตเนองจากขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารประเภทโบซอนยงไมสามารถหาในรปของมตใดๆ ได

เพอใหครอบคลมขอบเขตของพลงงานทสถานะพนของสสารและ ก าจดปญหาในการหาฟงกชนคลนทดลองทสอดคลองกบระบบทประกอบดวย N อนภาค ผวจยจงสนใจ หาขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสาร จากการ พจารณาความหนาแนน ของอนภาค ทสอดคลองกบ

d n Nx x แทนการใชฟงกชนคลนทดลอง โดยเรมพจารณาระบบใน 2 มต เพอเปนแนวทาง

ในการหาขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารในมตใดๆ ในล าดบตอไป ความมงหมายของการวจย

ผวจยไดตงความมงหมายของการวจยไว ดงน หาขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสาร ประเภทโบซอนและเฟอรมออน ใน 2

มต ความส าคญของการวจย

1. ไดขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารโดยไม จ าเปนตองพจารณาจากฟงกชนคลนทดลอง

2. ได ใชประโยชนจาก หลกการทางฟสกสและเทคนคทางคณตศาสตรในการอธบายขอบเขตลางของพลงงานทสถ านะพนพรอมทงท าใหเกดความเขาใจ เกยวกบความ เสถยรของสสารใน 2 มต ขอบเขตของการวจย

การวจยนมงหาขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารประเภทโบซอนและ สสารประเภทเฟอรมออนใน 2 มต ดวยเทคนคทางคณตศาสตร โดยพจารณาจากระบบท เปนกลางทางไฟฟาภายใตศกยคลอมบและตวด าเนนการแฮมลโทเนยนของระบบ ดงน

2

1 1 1

ˆˆ2

N N k N ki

i j i j i j

i i j i j i j

H V V Vm

p

x x R R x R (1.0.5)

5

และจ านวนของอนภาคทไดจากเงอนไขการนอรมอลไลซ

2d N x x (1.0.6)

เมอ x แทนความหนาแนนของอนภาค ซงมขนตอน ดงตอไปน

1. หาและไดขอบเขตทวไปของพลงงานศกยคลอมบของสสารประเภทโบซอนและเฟอรม -ออนใน 2 มต

2. หาและไดขอบเขตลางของพลงงานจลนของสสารประเภทโบซอนและเฟอรมออนใน 2 มต

3. หาและไดขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารประเภทโบซอนและเฟอร- มออนใน 2 มต ประโยชนทคาดวาจะไดรบจากงานวจยน

สามารถอธบายเสถ ยรภาพของสสารใน 2 มต ดวยขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารใน 2 มต

บทท 2 เอกสารและงานวจยทเกยวของ

ทฤษฎ

ทฤษฎทเกยวของกบงานวจยน ประกอบดวย

2.1 อะตอม (Atom) 2.2 ฟงกชนเดลตาดแรกใน 2 มต (The Dirac Delta Function in Two

Dimensions) 2.3 ฟงกชนคลนและความหนาแนนของอนภาคใน 2 มต (Wave Function and

the Particle Density in Two Dimensions) 2.4 อนภาคโบซอนและอนภาคเฟอรมออน (Bosons and Fermions) 2.5 กฎ 5 3N ส าหรบอนภาคโบซอน (The 5 3N Law for Bosons) 2.6 ผลการแปลงฟเรยรใน 2 มต (Fourier Transform in Two Dimensions) 2.7 อสมการทน ามาประยกตใช 2.8 ฟงกชนขนบนไดหนงหนวย (Unit Step Function) 2.9 อนกรมเทยเลอร (Taylor Series) 2.10 ฟงกชนเบสเซล (Bessel Function)

2.1 อะตอม (Atom)

อะตอมเปนหนวยมลฐาน (Basic Unit) ของสสาร อะตอมประกอบไปดวยนวเคลยสทเปนแกนกลางซงประกอบดวยการรวมกนของน วตรอนทเปนกลางทา งไฟฟาและโปรตอนทมประจเปนบวก (ยกเวนในกรณของไฮโดรเจน 1 อะตอม จะไมมนวตรอน) ลอมรอบดวยหมอกอเลกตรอนทมประจ เปนลบ อเลกตรอน ในอะตอมยดเหนย วกบนวเคลยสดวยแรงไฟฟา สถต (Electromagnetic Force) อะตอมจะแบงประเภทตามจ านวนของโปรตอน และนว ตรอนในนวเคลยส จ านวนของโปรตอนก าหนดตามธาตเคม (Chemical Element) และจ านวนของนวตรอนก าหนดตาม ไอโซโทป (Isotope) ของธาต อะตอมพบไดในสสารทกชนดและเปนรากฐานของการศกษาวชาเคมและฟสกส อะตอมแตละชนดมชอเรยกตางกนไปตามจ านวนอนภาคทประกอบขนเปนอะตอมนน เรยกว าตารางธาต ดงภาพประกอบ 2

7

ภาพประกอบ 2 ตารางธาต

ทมา: WebElements Periodic Table. (2009). (Online). อนภาคหลกทพบไดในอะตอมทวไปม 3 ชนด ไดแก - โปรตอน (Proton) คออนภาคทมประจไฟฟาเปนบวกจะอยในนวเคลยสหรอใจกลางของธาต ธาตเดยวกนจะมจ านวนโปรตอนเทากน - นวตรอน (Neutron) คออนภาคทเปนกลางไมมประจไฟฟาอยในนวเคลยส จะมจ านวนใกลเคยงกบจ านวนโปรตอนแตอาจจะแตกตางกนได - อเลกตรอน (Electron) คออนภาคทมประจไฟฟาเปนลบวงอยรอบๆ นวเคลยส โดยปกตจ านวนอ เลกตรอนในอะตอมทเปนกลางทางไฟฟาจะมเทากบ จ านวนโปรตอน อเลกตรอนมคา

สปนเปนจ านวนครง 1

2s

เปนอนภาคเฟอรมออนชนดหนง

2.1.1 ทฤษฎอะตอมของบอหร (Bohr's Atomic Theory)

ในป ค.ศ. 1913 นล บอหร (Neil Bohr) ไดเสนอทฤษฎอะตอมของไฮโดรเจนขนซงสามารถอธบายสเปกตรมทสงเกตเหนได ทฤษฎอะตอมของบอ หรเปนการรวมฟสกสยคเกาและแนวความคดของการควอนไตซพลงงานทเสนอขนมาโดย แมกซ พลงค (Max Planck) ในป ค.ศ. 1900 นนคอทฤษฎนเปนทฤษฎคว อนตมยคเกาของอะตอมไฮโดรเจน โดยมสมมตฐานเบองตน ดงตอไปน

8

สมมตฐาน 1 อเลกตรอนในอะตอมสามารถเคลอนทรอบนวเคลยสไดในวงโคจรวงกลมทแนนอนโดยไมมการแผรงสออกมา สถานะเหลานเรยกวาสถานะนงของอะตอม (หรอของระบบ ) และการเคลอนทของอเลกตรอนในสถานะนงน จะเปนไปตามกฎการเคลอนทของกลศาสตรยคเกา

สมมตฐาน 2 สถานะนงทยอมใหอเลกตรอนอยไดนเปนสถานะซงโมเมนตมเชงมมออร -บตล (orbital angular momentum) ของอเลกตรอน เปนจ านวนเตมเทาของ กลาวคอ

L mvr n (2.1.1)

เมอ n แทนเลขควอนตมหลก (Principal Quantum Number) และ 1,2,3,n

สมมตฐาน 3 การปลอยหรอดดกลนรงสเกดขนเมออเลกตรอนกระโดดจากสถานะนงหนงไปยงอกสถานะนงหนง เรยกวาอะตอมเกดการเปลยนสถานะ (Transition) การเปลยนสถานะสถานะนจะท าใหอะตอมปลอยหรอดดกลนคลนแมเหลกไฟฟา (หรอโฟตอน) ทมพลงงาน

i fE h E E (2.1.2)

ส าหรบสมมตฐาน 3 มเหตผลทสนบสนนจากสมมตฐานควอนตมของ พลงค แตเหตผลทสนบสนนสมมตฐาน 2 มขนหลงจากทบอ หรไดตงสมมตฐานแลวเปนเวลาหลายป กลาวคอจากสมมตฐานของเดอ บรอยล (De Broglie's Hypothesis) ในป ค.ศ. 1923 ซงเกยวกบคณสมบตคลนของสสาร เดอ บรอยลคดวามคลนอเลกตรอนทลอมรอบนวเคลยสอยแทนทจะปนอนภาคอเลกตรอน และวงโคจรของบอหรแตละวงโคจรจะตองปร ะกอบดวยจ านวนเตมของอเลกตรอนเดอ บรอยล วงโคจรวงแรกมเสนรอบวงเทากบหนงความยาวคลนอเลกตรอน วงทสองมเสนรอบวงเทากบสองความยาวคลน และวงโคจรตอไปแตละวงมความยาวของเสนรอบวงตางจากวงถดไปหนงความยาวคลนเสมอ ดงนน

2 r n (2.1.3) จากสมมตฐานของเดอ บรอยล

h h

p mv (2.1.4)

9

แทนคาสมการ (2.1.1) ลงในสมการ (2.1.3) จะได

2

nhmvr n (2.1.5)

ระดบพลงงาน ของอะตอมไฮโดรเจน หาไดจากการสมมตวาอเลกตรอนเคลอนทอยในวงโคจรวงกลมทเปนสถานะนง มรศม nr ดวยความเรว nv ดงนนแรงคลอมบเทากบแรงสศนยกลาง

2 2

2

04n

n n

mv e

r r (2.1.6)

แต nv จากสมมตฐานขอท 2 หรอจากสมการ (2.1.5) คอ

n

n

nv

mr (2.1.7)

แทนคา nv จากสมการ (2.1.7) ลงในสมการ (2.1.6) จะไดสมการของรศมของวงโคจรของอเลกตรอน คอ

2 220

02

4 n

nr n a

me (2.1.8)

เมอ 1,2,3,n และ 2

00 2

4a

me เปนรศมวงโคจร เรมตนของบอหรส าหรบอะตอมไฮโดรเจน

9 2 2

0

18.99 10 /

4 N m C

และ 166.5821 10 eV s

2

h แทนคา 0 0.5292 Aa

สอดคลองกบคาทวดไดจากการทดลอง ดงนนตามทฤษฎของบอหร อเลกตรอนจะอยไดเฉพาะวงโคจรทก าหนดให ดงน

0 0 0 0, 4 ,9 ,16 ,nr a a a a (2.1.9)

10

เราสามารถหาความเรวของอเลกตรอนในวงโคจรเหลานไดโดยแทนคา nr จากสมการ (2.1.8) ในสมการ (2.1.7) จะได

2

1

0

1

4 n

vev

n n (2.1.10)

เมอ 2

1

0 04

ev

ma

พลงงานรวม nE ของอเลกตรอนในวงโคจรท n เปนผลรวมของพลงงานจลนและพลงงาน

ศกยกลาวคอ

22

0

1

2 4

n

n

eE mv

r (2.1.11)

แทนคา nv จากสมการ (2.1.10) และ nr จากสมการ (2.1.8) ลงในสมการ (2.1.11) จะได

4

22 2

0

1

2 4

n

e mE

n (2.1.12)

หรอ

1

2n

EE

n (2.1.13)

เมอ

4

1 22

0

13.6 eV2 4

e m

E

โดยท 1E เปนพลงงานของอเลกตรอนในวงโคจรวงแรกของบอ หรส าหรบอะตอมไฮโดรเจน ส าหรบ

1,2,3,n ระดบพลงงานของอะตอมไฮโดรเจนคอ

1 1 11, , , ,

4 9 16n

E E EE E (2.1.14)

11

โดยปกตแลวอเลกตรอนในอะตอมไฮโดรเจนจะอยในสถานะพลงงานต าสดเสมอ (ในกรณนคอวงโคจรแรกของบอหร 1n ) สถานะพลงงานนเรยกวาสถานะพน หรอสถานะปกต (Normal State) ของอะตอมไฮโดรเจน พลงงานทท าใหอเลกตรอนหลดจากอะตอมเทากบขนาด 1E ( 13.6 eV ) ของพลงงานสถานะพน ซงเรยกวาพลงงานการแตกตวเปนไอออน (Ionization Energy) ถาอเลกตรอนอยในสถานะทมพลงงานมากกวาสถานะพน อเลกตรอนและอะตอมนนอยในสถานะกระตน (Excited State) พลงงานทใชในการเปลยนสถานะอเลกตรอนจากสถานะพนไปยงสถานะกระตน nE คอ 1nE E และเรยกวาพลงงานการกระตน (Excitation Energy)

2.1.2 โครงสรางอะตอม (Atomic Structure)1

แบบจ าลองของอะตอมทไดรบการยอมรบมากทสดคอแบบจ าลอง อะตอม เชงคลน (Wave Model) ซงพฒนามาจากแบบจ าลอ งอะตอมของบอหร (Bohr Model) ในกลศาสตรควอนตม แบบจ าลองอะตอมเชงคลนอย างงาย เขยนไดดวยฟงกชนคลน (Wave Function) ทสอดคลองกบสมการชเรอดงเงอรทขนกบเวลา (Time Dependent Schrödinger Wave Equation) ดงน

ˆ, ,i t H tt

x x (2.1.15)

เมอ it

แทนตวด าเนนการพลงงาน (Energy Operator ; E i

t

)

, t x แทนฟงกชนเจาะจง (Eigenfunction) x แทนเวกเตอรต าแหนงของอนภาคใน 3 มต t แทนเวลาใดๆ ในระบบ H แทนตวด าเนนการแฮมลโทเนยน

สมการ (2.1.15) พจารณาจากสถานะนง (Stationary State) ผลลพธของสมการชเรอดงเงอรสามารถแยกฟงกชนพจารณาได ดงน

i, Ett T t e x x x (2.1.16)

1 Bethe, A. Hans and Jackiw, W. Roman (1993). Intermadiate Quantum Mechanics. 3rd ed. pp. 1 – 5.

12

เมอ x แทนฟงกชนทขนกบเวกเตอรต าแหนงของอนภาคเทานน T t แทนฟงกชนทขนกบเวลาเทานน

สมการ (2.1.16) เขยนสมการชเรอดงเงอรทไมขนกบเวลา (Time Independent Schrödinger Wave Equation) ได ดงน

H E x x (2.1.17)

เมอ E แทนคาเจาะจงของพลงงาน (Energy Eigenvalue) ภาพประกอบ 3 ระบบพกดทใชแทนแบบจ าลองของอเลกตรอนในอะตอม โดยสมมตใหนวเคลยสอย ทจดก าเนด 0,0,0 และแทน

ij i j x x x ทมา: Tang C.L. (2005). Fundamentals of Quantum Mechanics for Solid State Electronics and Optics. p. 111.

z

x

y

je

ie i jx x

jx

ix

0,0,0

13

ถาไมสนใจอนตรกรยาจากสปนของอเลกตรอน ผลจากปฏก รยานวเคลยร และก าหนดใหต าแหนงของนวเคลยสอยกบทและอยทจดก าเนด 0,0,0 ดงภาพประก อบ 3 สามารถเขยน ตวด าเนนการแฮมลโทเนยนภายใตพลงงานศกยคลอมบของอเลกตรอนในอะตอมได ดงน

22 2

1 1 1

ˆˆ =N N N k

ji

i= i< j i= j=i j i j

Z eeH +

2m - -

p

x x x R (2.1.18)

เมอ 2N

i j i j

e

-

x x

แทนพลงงานศกยคลอมบทเกดจากอนตรกรยาระหวาง

อเลกตรอนตวท i กบอเลกตรอนตวท j e แทนประจของอเลกตรอน

2

1 1

N kj

i j i j

Z e

-

x R

แทนพลงงานศกยคลอมบทเกดจากอนตรกรยาระหวาง

อเลกตรอนตวท i กบนวเคลยสตวท j

Ze แทนประจของนวเคลยส สมการ (2.1.18) แทนตวด าเนนการ ของเวกเตอรโมเมนตม ˆ i p พจารณาในหนวยอะตอมของฮารทร (Hartree’s Atomic Unit (au)) โดยก าหนดใหคาคงทตางๆ เทากบหนง 1e m

และใชรศมอะตอมไฮโดรเจนของบอหร 2

0 2a

me เขยนสมการท (2.1.24) ได ดงน

2

1 1 1

12 0

N N k Nj

i

i= i= j= i< ji j i j

Z+ E

- -

x R x x

(2.1.19)

โดยท

22 2

2 2 2 2

1 1 1sin

sin sinr

r r r r r

(2.1.20)

เมอ แทนลาปลาเชยน (Laplacian) ในพกดทรงกลม (Spherical

Coordinates) แทนมมเชงขว (Polar Angle) แทนมมแอซมทล (Azimuthal Angle)

14

ส าหรบกรณอะตอมไฮโดรเจน สมการ (2.1.19) สามารถพสจนใหเปนคาทแมนตรงได และจะมระดบ

พลงงานในหนวยของรดเบรก

4

2

0

1Ry 13.6057eV2 4

me คอ

2

2Ry n

ZE

n (2.1.21)

เมอ Z แทนเลขอะตอม (Atomic Number)

n แทนเลขควอนตมหลก (Principal Quantum Number)

ภาพประกอบ 4 พกดทรงกลม , ,r

ทมา: Griffiths, David J. (1995). Introduction to Quantum Mechanics. p. 123 ผลลพธของสมการ (2.1.19) ส าหรบอะตอมไฮโดรเจน ในระบบทรงกลม ดงภาพประกอบ 4 สามารถพจารณาแยกออกมาไดเปน 3 สวน คอ

,r R r (2.1.22)

เมอ R r แทนสวนของฟงกชนทขนกบรศม r แทนสวนของฟงกชนทขนกบมม แทนสวนของฟงกชนทขนกบมม

r

P r

y

z

x

15

แยกสมการดานขวามอของสมการ (2.1.22) เพอหาผลลพธทละฟงกชน ไดดงตอไปน

2

2 2

2

2

2

11 d d ( )2 0

d d

1 d d 1sin 1 0

sin d d sin

d0

d

R r Zr E R

r r r r r

(2.1.23)

เมอ แทนเลขควอนตมโมเมนตมเชงมม

ผลลพธทไดจากสมการ (2.1.23) น าไปสเลขควอนตม 3 ชนด ซงเปนตวก าหนดสถานะของอเลกตรอนในอะตอม ไดแก เลขควอนตมหลก n เลขควอนตมโมเมนตมเชงมม และเลขควอนตมแมเหลก m

2.1.3 เลขควอนตม (Quantum Number) ใชความรพนฐานทา งกลศาสตรควอนตมสรางสมการคลน (Wave Equation) เพอ

ค านวณหาโอกาสทจะพบอเลกตรอนในระดบพลงงานตางๆ จากสมการคลนท าใหทราบวาเราไมสามารถบอกต าแหนงทแนนอนของอเลกตรอนได ตามหลกความไมแนนอนของไฮเซนเบร ก แตอเลกตรอนจะกระจายอยทวทกทศทกทางของอะตอม ดงนนแบบจ าลองอะตอม ทสามารถอธบายอเลกตรอนในอะตอมในลกษณะนไดดทสด คอแบบจ าลองอะตอมแบบกลมหมอก ซงเปนแบบจ าลองอะตอมของ ชเรอดงเงอร กลาววา “อะตอมประกอบดวยกลมหมอกอเลกตรอนรอบ นวเคลยสทมลกษณะเปนทรงกลม บรเวณกลมหมอกทบแสดงวาโอกาสทจะพบอเลกตรอนมมากและบรเวณกลมหมอกจางแสดงวาโอกาสทจะพบอเลกตรอนมนอย ” ทอยของอเลกตรอนหรอบรเวณทมโอกาสพบอเลกตรอน เรยกวา “ออรบทล (Orbital)” ซงออรบทลทมระดบพลงงานเทากนเรยกวา “เชลล (Shell)” กลมของเชลลยอยเรยกวา “เชลลยอย (Subshell)” ขนาดและรปรางของออรบทลจะขนอยกบสภาพพลงงานของอเลกตรอนอนภาคนนๆ อเลกตรอนทมระดบพลงงานต าจะมออรบทลอยใกลนวเคลยส สวนอเลกตรอนทมระดบพลงงานสงขนจะอยหางนวเคลยสเปนระยะทางเพมขนและพบวาพลงงานของอเลกตรอนมคาหางกนเปนชวงคงท (Quantized) เปนไปตามทฤษฎควอนตม (Quantum Theory) จะใชเลขควอนตม 4 ชนด เพอก าหนดพลงงานของอเลกตรอนในอะตอม ดงน

16

2.1.3.1 เลขควอนตมหลก (The Principle Quantum Number) ใชก าหนดพลงงานของอเลกตรอนในเชลลตางๆ ใชสญลกษณแทนดวย n ซงมคาตงแต 1,2,3,… เมอเปรยบเทยบกบเชลลอเลกตรอนในทฤษฎของบอ หร จะเหนไดวา 1n คอเชลล ,K 2n คอเชลล L และ 3n คอเชลล M เปนตน อเลกตรอนในแตละเชลลจะมจ านวนไมเกน 22n อนภาค

2.1.3.2 เลขควอนตมโมเมนตมเชงมม (The Angular Momentum Quantum Number) ใชก าหนดโมเนตมเชงมมของอเลกตรอน ซงจะบอกรปรางของออรบทล หรอหมอกอเลกตรอนนนๆ ใชสญลกษณแทนดวย และมคาเปนเลขจ านวนเตมขนกบเลขควอนตมหลกทมคาตงแต 0,1,2,...ถง 1n จากสมมตฐานของบอหร โมเมนตมเชงมมของอเลกตรอนขนอยกบ

เลขควอนตมส าคญ 2

nhL แตจากการหาค าตอบสมการเชงอนพนธ โดยใชทฤษฎควอนตม

พบวา

1 L (2.1.24)

ทสถานะพนฐาน 1n จะได 0 โมเมนตมเชงมมมคาเพยงคาเดยวคอศนย ทสถานะกระตน 2n จะได 0,1 โมเมนตมเชงมมม 2 คา คอ 0, 2 ทสถานะกระตน 3n จะได l 0,1,2 โมเมนตมเชงมมม 3 คา คอ 0, 2 , 6

ทระดบพลงงาน n เดยวกน แตอเลกตรอนทระดบพลงงานเดยวกนน มโมเมนตมเชงมมตางกน เรยกสภาพเชนนวาเปนสภาพซอนสถานะ (Degeneracy) เชน 3n จะม 3 สภาพซอนสถานะ

2.1.3.3 เลขควอนตมแมเหลก (The Magnetic Quantum Number) ใชก าหนดทศทางอเลกตรอนของออรบทลยอยในเชลลยอยตางๆ หรอเปนตวก าหนดโมเมนตมเชงมมในสนามแมเหลก ใชสญลกษณแทนดวย m คา m ขนอยกบเลขควอนตมโมเมนตมเชงมม จะมคาตงแต 0, 1, 2,... ถง

17

ตาราง 1 ความสมพนธระหวางเลขควอนตม , ,n m กบเซลยอยและจ านวนออรบทล

n เซลยอย m จ านวนออรบทล 1 0 1s 0 1 2 0

1 2s 2p

0 -1 0 1

1 3

3 0 1 2

3s 3p 3d

0 -1 0 1

-2 -1 0 1 2

1 3 5

ทมา: Liboff L. Richard. (1992). Introductory Quantum Mechanics. p. 441.

1.1.3.4 เลขควอนตมของการหมน (The Spin Quantum Number) ในป ค.ศ. 1925 กดสมท (S.A. Goudsmit) และอะเลนเบค (G.E. Uhlenbeck) พบวาอเลกตรอนมโมเมนตมเชงมมเพมมาอก 1 ตวนอกเหนอไปจากโมเมนตมเชงมมทเกดจากการโคจรรอบนวเคลยส โมเมนตมเชงมมนเกดจากการทอเลกตรอนหมนรอบตวเอง เรยกวา สปน (Spin) เรยกชอโมเมนตมเชงมมนวาโมเมนตมเชงมมของการหมนรอบตวเอง (Spin Angular Momentum ; S ) เปนปรมาณเวกเตอรและมสภาพควอนไทซ (Quantize) เลขควอนตม s เรยกวาเลขควอนตมของการหมน

(Spin Quantum number) มคาเพยงคาเดยวคอ 1

2 โมเมนตมเชงมมของการหมน ( S ) หาไดจาก

1 S s s (2.1.25)

เมอ 1

2s จะได

3

2

S (2.1.26)

18

ภาพประกอบ 5 เครองมอของสเตอรน – เกอรลาช (The Stern - Gerlach Apparatus)

ทมา: Griffiths, David J. (1995). Introduction to Quantum Mechanics. p. 163.

เมอมสนามแมเหลกภายนอกผานในอะตอม ดงภาพประกอบ 5 พบวาเวกเตอรของโมเมนตมเชงมมของการหมนสามารถจดตวไดสองลกษณะ คอขนานและสวนกบทศทางของสนามแมเหลกภายนอก จะไดเลขควอนตมแมเหลกของการหมน ( sm Spin Magnetic Quantum Number) 2 คาคอสปนขน

(Spin Up) 1

2 และสปนลง (Spin Drown) 1

2

ดงนนสรปไดวา อเลกตรอนในอะตอมไมสามารถใชเลขควอนตม n เพยงตวเดยวเหมอนกบแบบจ าลองของบอ หรไดอกตอไป การบอกสถานะของอเลกตรอนในอะตอมซงมพฤตกรรมเปนแบบคลนนนตองใชเลขควอนตม 4 ตว คอ , ,n m และ sm

2.1.4 หลกการกดกนของเพาล (Pauli’s Exclusion Principle) หลกก ารกดกนกลาววาอเลกตรอนสองตวใด ๆ จะมเลขควอนตมทงสเหมอ นกน

ทงหมดไมได (หรอกลาววา ในอะตอม ณ สถานะทางควอนตมหนงๆ จะมอเลกตรอนเกนหนงตวไมได) ใชอธบายการจดอเลกตรอนในอะตอมในออรบทลใดๆ ของอะตอมจะมอเลกตรอนไดสงสด 2 ตว อเลกตรอน 2 ตวนจะมเลขควอนตม , ,n m เหมอนกนดงนนตามหลกกดกนอเลกตรอน 2 ตวน จะมเลขควอนตมตวท 4 คอ เลขควอนตมสปนตางกนนนคอตวหนงจะมสปน ขน สวนอกตวหนงจะมสปนลง

z

y

x 1

2sm

1

2sm N

S

Magnetic

19

2.1.5 พลงงานทสถานะพนของอะตอมไฮโดรเจน (Ground State Energy for the Hydrogenic Atom)1

พลงงานทสถานะพน ของอะตอมไฮโดรเจน โดยพจารณาจากสมการชเรอรดงเงอรทไมขนกบเวลา ก าหนดใหอะตอมไฮโดรเจนม 1N และ 0Z (ปกต 1N และ 1Z ) สมมตใหนวเคลยสอยกบท และมประจ Ze สถานะของอเลกตรอนเปนไปตามฟงกชนคลน x โดย

2

x แทนความหนาแนนของโอกาสทจะพบอเลกตรอนทต าแหนง x เนองจาก 2

x เปนฟงกชนคลนทอยภายใตเงอนไขการนอรมอลไลซ (Normalization) สามารถแสดงได ดงน

22 3

2d 1 x x (2.1.27)

พลงงานจลนในกลศาสตรควอนตมแทนดวย

2

23d

2T

m x x (2.1.28)

เมอ แทนคาคงทของพลงค (Planck’s Constant) 271.0545 10 erg sec2

h

พจารณาจากพลงงานศกยคลอมบ สามารถเขยนสมการพลงงานศกยในกลศาสตรควอนตมได ดงน

223d

ZeV

x xx

(2.1.29)

พลงงานรวมกลศาสตรควอนตม E ของอะตอมในฟงกชนคลน แสดงได ดงน

ˆE H T V (2.1.30)

1Loss Michael. (2005). Stability of Matter. pp. 15 – 17.

20

สมการ (2.1.28) - (2.1.30) พจารณาหนวยของพลงงานในหนวยรดเบรก และระยะหางพจารณาจา กรศมอะตอมของ บอหร ในเงอนไขเบองตน พจารณาหาขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของอะตอมไฮโดรเจน ได ดงน

2 23 3 1ˆ d dE H Z x x x x

x (2.1.31)

สมการ (2.1.38) ใชสมการชเรอดงเงอร เพอพสจนหาฟงกชนคลนทสถานะพน 0 ของอะตอมไฮโดรเจนโดยใชสมการเชงอนพนธยอย (Partial Differential Equations) ได ดงน

2

0 0 04

Z Z

x (2.1.32)

ดงนนคาเจาะจงของพลงงานทสถานะพน คอ

2

04

ZE (2.1.33)

เมอ 0E แทนพลงงานทสถานะพนของอะตอมไฮโดรเจนในหนวย 4

2

2e

คาคงท 4

2

2e สามารถเขยนได ดงน

4

2 2 2

2 22 2

emc mc

c (2.2.34)

ในขณะท

2 1

137.03599911 46

e

c และพลงงาน 2 22 4 Ry mc ผลลพธของฟงกชนคลน

ทสถานะพน คอ

2

0 1 2

e

8

Z

x

x (2.1.35)

21

2.2 ฟงกชนเดลตาดแรกใน 2 มต (The Dirac Delta Function in Two Dimensions) ฟงกชนเดลตาดแรกใน 2 มตนยามใหอยในรปปรพนธได ดงน

22

0 0d f - f x x x x x (2.2.1)

เมอ 2

0- x x แทนฟงกชนเดลตาใน 2 มต มคาเปนศนยทกแหงยกเวน x มคาใกล 0x

x แทนเวกเตอรต าแหนงใน 2 มต ใหฟงกชน f k เปนผลการแปลงฟเรยรของฟงกชน f x ดงน

2 i

2

2 i

1d e

2

d e

f f

f f

k x

k x

x k k

k x x

(2.2.2)

เมอ f x แทนฟงกชนทขนกบเวกเตอรต าแหนงของอนภาค x f k แทนผลการแปลงฟเรยรของ f x

k แทนเวกเตอรคลน โดย p

k

ดงนน

2 i 2 i

2

1d e d e

2f f

k x k x

x k x x

i2 2

2

1d d e

2

fk x x

x x k (2.2.3)

สมการ (2.2.3) เทยบกบสมการ (2.2.1) ได ดงน

i 22

2

1d e

2

--

k x x

k x x (2.2.4)

22

และภายใตเงอนไขของการนอรมอลไลซ

22d 1- x x x (2.2.5) แทนสมการ (2.2.4) และ (2.2.5) ในสมการ (2.2.3) ไดผลลพธ ดงน

22df f - x x x x x

f x (2.2.6) 2.3 ฟงกชนคลนและความหนาแนนของอนภาค ใน 2 มต (Wave Function and the Particle Density in Two Dimensions)

ในป ค .ศ.1926 ชเรอดงเงอร ไดเสนอทฤษฎเกยวกบสภาวะของอเลกตรอนในอะตอม กลาววาแตละสภาวะของอเลกตรอนในวงโคจร จะตองระบดวยฟงกชนทางคณตศาสตรทเรยกวา "ฟงกชนคลน " แทนดวยสญลกษณ " " ซงเปนผลลพธของสมการอนพนธอนดบสองทใชไดกบระบบทางฟสกสใดๆ ทสตรพลงงานของอนภาคใน ระบบนน สมการดงกลาว เรยกวา "สมการชเรอ -ดงเงอร " ซงมรปแบบสมการ ดงน

2

2 , , ,2

t V t E tm

x x x

2

2

2, , 0

mt E V t x x (2.3.1)

เมอ 2

2

2m แทนตวด าเนนการโมเมนตม

แทนลาปลาเชยนใน 2 มต

E แทนพลงงานรวมของระบบ

V แทนพลงงานศกยของระบบ

ฟงกชนคลนเปนเพยงฟงกชนทา งคณตศาสตรทอาศยแนวคดของโจเซฟฟเรยร (Joseph Fourier) ซงอธบายเกยวกบ ฟงกชนแบบคาบใดๆ f t โดยทสามารถเขยนไดในรปของผลบวกอนกรมอนนตของฟงกชนฮารโมนกอยางงาย ชเรอดงเงอร มแนวคดวาสถานะของพลงงานในอะตอมตอง

23

สมพนธกบสภาวะทางธรรมชาตของอะตอมซงมการสนตลอดเวลาดวย คาความถตางๆ ดงนน ฟงกชนคลนทชเรอดงเงอรเสนอจงเปนฟงกชนแบบคาบทสามารถประยกตใชกบแนวคดของฟเรยร

2.3.1 กลมคลนใน 2 มต (Wave Packets in Two Dimensions) พจารณากลมคลนจากการรวม กนของคลนฮารมนกสในเชง ระนาบหลายขบวน

สามารถใชการวเคราะหฟเรยร (Fourier Analysis) มาอธบายรปรางของกลมคลน ได โดยพจารณาจากฟงกชนคลนของกลมคลนทวไป ทประกอบดวยคลนฮารมอนกหลายคลน รวมกน พจารณาจากผลการแปลงฟเรยรใน 2 มต ดงน

2 i

2

1d e

2

k xx k k

2 id e k x

k x x (2.3.2)

เมอ x แทนฟงกชนคลนใน 2 มต k แทนผลการแปลงฟเรยรของ x

ส าหรบอนภาคอสระ ณ เวลา t เมอแทน E คอ

i2

2

1, d e

2

tt

k xx k k (2.3.3)

2.3.2 ฟงกชนคลนของอนภาคอสระใน 2 มต พจารณาจากสมการชเรอดงเงอรทไมข นกบเวลา และก าหนดใหอนภ าคอสระม

พลงงานมากกวาศนย 0E เขยนสมการชเรอดงเงอรใน 2 มต ดงน

2 2, , 0x y k x y (2.3.4)

เมอ 2 2

2

2 2x y

2

2

2mEk

24

ผลลพธของสมการ (2.3.4) อยในรปฟงกชนทสามารถแยกตว แปร (Separable Function) ใน 2 มต พจารณาพกดฉาก (Cartesian Coordinates) ได ดงน

x, y X x Y y (2.3.5) เมอ x, y แทนฟงกชนคลนใน 2 มต

X x แทนฟงกชนทขนกบ x Y y แทนฟงกชนทขนกบ y แทนสมการ (2.3.5) ในสมการ (2.3.4) ได ดงน

2 2

2 2

2 2

d d0

d dx y

X x Y yY y + X x k +k X x Y y

x y

(2.3.6)

เมอ 2 2 2

2

2x y

mEk k k

น า X x Y y หารทงสองขางของสมการ (2.3.6) จะได

2 2

2 2

2 2

d1 10

dx y

d X x Y yk k

X x d x Y y y

2

2

2

2

2

d0

d

d0

d

2

x

y

X x+k X x =

x

Y y+k Y y =

y

(2.3.7)

ผลลพธของสมการ (2.3.6) คอ

i

0

i

1

x

y

k x

k y

X x C e

Y y C e

(2.3.8)

เมอ 0C แทนคาคงททไดจากการแกสมการอนพนธอนดบสองของ X x 1C แทนคาคงททไดจากการแกสมการอนพนธอนดบสองของ Y y

25

นอรมอลไลซสมการ (2.3.8) เพอหาคาคงท 0C และ 1C ได ดงน

0

1

1

2

1

2

C

C

(2.3.9)

แทนสมการ (2.3.9) ในสมการ (2.3.8) ได ดงน

i

i

1e

2

1e

2

x

y

k x

k y

X x

Y y

(2.3.10)

แทนคาสมการ (2.3.10) ในสมการ (2.3.5) จะไดผลลพธของสมการชเรอดงเงอรใน 2 มต ดงน

i1, e

2x y

k x

k (2.3.11)

เมอ k แทนเวกเตอรคลน สมการ (2.3.11) เปนฟงกชนคลนของอนภาคอสระ ใน 2 มต ทนอรมอลไลซแลว จากความสมพนธ

ของ 2

2

2mEk และ 2 2 2

x yk k k จากสมการ (2.3.7) เขยนพลงงานรวมได ดงน

2 2

2 2 2

2 2x y x yE E E k k

m m k (2.3.12)

พลงงานรวมในสมการ (2.3.12) จะขนกบขนาดของ เวกเตอรคลน k ซงความแตกตางของการก าหนดต าแหนงของเวกเตอรคลนจะอยภายใตเงอนไข ดงน

2 2

x yk k k เปนคาคงท (2.3.13)

26

แทน E จะไดผลลพธของสมการชเรอดงเงอรทขนกบเวลา ดงน

ii 1, e e

2

ttt

k x

k x x (2.3.14)

2.3.3 ฟงกชนคลนของระบบอนภาคจ านวนมาก (Wave Function of Many Particle Systems) ตามทฤษฎอนภาคในกลศาสตรแผนเดม (Classical Mechanics) อนภาคสามารถแยกแยะออกจากกนได และจะพจารณาเฉพาะอนภาคทไมมปฏกรยาซงกนและกน มพลงงานและจ านวนอนภาคคงตว ส าหรบอนภาคในกลศาสตรควอนต ม อนภาคไมสามารถแยกแยะออกจากกนได เนองจากอนภาคแตละตวจะมลกษณะเหมอนกนทกประการ การเรยงสบเปลยนเลขควอนตมของแตละอนภาคไมสามารถระบได ฟงกชนคลนรวมของระบบจะเปนผลรวมของฟงกชนทเป นไปไดทงหมดของอนภาค ก าหนดให i แทนพกดของอนภาค ตวท i โดย ,i i i x เมอ ix แทนเวกเตอรพกดต าแหนงของอนภาคตวท i และ i แทนพกดสปนของอนภาคตวท i ฟงกชนคลนของระบบ N อนภาค เขยนใหมไดเปน 1 2, , N ก าหนดตวด าเนนการเรยงสบเปลยน ˆ

ijP

เปนตวด าเนนการ สบเปลยนต าแหนงของอนภาคตวท i กบตวท j ในฟงกชนคลนของระบบ N อนภาค ดงน

1 1ˆ ,..., ,..., ,..., ,..., ,..., ,...,ij i j N j i NP (2.3.15)

เมอ , 1,2,3,...,i j N

1 1

1

ˆ ,..., ,..., ,..., ,..., ,..., ,...,

ˆ ,..., ,..., ,...,

ij i j N j i N

ji i j N

P

P

(2.3.16)

เมอ ˆ ˆ

ij jiP P ในรปแบบทวไปตวด าเนนการเรยงสบเปลยนจะไมสลบทกน (Commutative) ดงนน

ˆ ˆ ˆ ˆij kl kl jiP P P P หรอ ˆ ˆ, 0 ;ij klP P ij kl

(2.3.17)

27

ตวอยางเชนในกรณสถานะของอนภาค 4 ตว 141 2 3 4

2 3

3, , ,

ie

ดงนน

2112 14 1 2 3 4 12 4 2 3 1 2 4 3 1

4 3

3ˆ ˆ ˆ, , , , , , , , , ei

P P P

4214 12 1 2 3 4 14 2 1 3 4 4 1 3 2

1 3

3ˆ ˆ ˆ, , , , , , , , , ei

P P P

(2.3.18)

สมการ (2.3.16) ก าหนดให 1,..., ,..., ,...,i j N เปนสถานะเจาะจงของ ˆ

ijP และก าหนดให p เปนคาเจาะจงของ ˆ

ijP เขยนสมการได ดงน

1 1

1

ˆ ,..., ,..., ,..., ,..., ,..., ,...,

,..., ,..., ,...,

ij i j N j i N

i j N

P

p

(2.3.19)

ถาด าเนนการ ˆ

ijP ในสมการ (2.3.19) อกครงพกด i และ j ในฟงกชนคลนจะเกดการสบเปลยน

กน 2 ครง เขยนสมการ (2.3.19) ใหมได ดงน

2

1 1

2

1

1

ˆ ˆ,..., ,..., ,..., ,..., ,..., ,...,

,..., ,..., ,...,

,..., ,..., ,...,

ij i j N ij i j N

i j N

i j N

P pP

p

(2.3.20)

คาเจาะจงยกก าลงสอง ในสมการ (2.3.20) มคาเทากบหนง 2 1p ดงนน 1p ฟงกชนคลนทสอดคลองกบคาเจาะจง 1 เรยกวาฟงกชนคลน แบบสมมาตร (Symmetric Wave Function) สวนฟงกชนคลนทสมนยกบคาเจาะจง 1 เรยกวาฟงกชนคลน แบบปฏสมมาตร (Antisymmetric Wave Function) ดงนนในกลศาสตรควอนตมแบงฟงกชนคลนออกเปน 2 ประเภท ไดแก

2.3.3.1 ฟงกชนคลนแบบสมมาตร เมอพจารณาฟงกชนคลนแบบสมมาตรใน ระบบ N อนภาค จาก ระบบอนภาคเดยว 1 2 3, , , N เขยนสมการฟงกชนคลนแบบสมมาตร ได ดงน

1 2 1 1 2 2

1 ˆ, ,..., ,...,!

N N N

P

PN

(2.3.21)

เมอ แทนฟงกชนคลนรวมของระบบทสมมาตร

28

1

!N แทนคาคงททไดจากเงอนไขการนอรมอลไลซ

P แทนตวด าเนนการเรยงสบเปลยนอนภาคและเลขควอนตม แทนฟงกชนคลนทเปนไปไดทงหมดของแตละอนภาค ตงแตอนภาค

ตวท 1 ถงอนภาคตวท N 2.3.3.2 ฟงกชนคลนแบบปฏสมมาตร ฟงกชนค ลนแบบปฏสมมาตร ในระบบ N อนภาค จากระบบอนภาคเดยว 1 2 3, , , N นยามในรปของสเลเตอรดเทอรมแนนต (Slater Determinant)1 ดงน

1 2 1 1 2 2

1, ,..., 1 ,...,

!

P

N N N

PN (2.3.22)

หรอ

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

1 2

1, ,...,

!

N

N

N

N N N N

N

(2.3.23)

เมอ แทนฟงกชนคลนรวมของระบบทปฏสมมาตร P แทนตวด าเนนการเรยงสบเปลยนอนภาคและเลข ควอนตม

แทนฟงกชนคลนทเปนไปไดทงหมดของแตละ อนภาค ตงแตอนภาคตวท 1 ถงอนภาคตวท N

แถวในแนวนอน (Rows) แทนสถานะของอนภาค แถวในแนวตง (Columns) แทนพกดอนภาค

1Zettili Nouredine. (2001). Quantum Mechanics Concepts and Applications. p. 448.

29

จากเงอนไขเชงตงฉากปรกต (Orthonomal) จะได

i j ij (2.3.24) และภายใตเงอนไขการนอรมอลไลซ

1 (2.3.25)

2.3.4 ความหนาแนนของอนภาค ใน 2 มต (The Particle Density in Two Dimensions)1

ความหนาแนนของอนภาค x จะสมนยกบฟงกชนคลนของระบบ N อนภาค ภายใตเงอนไข นอรมอลไลซ เมอ 2d x x แทนคาความคาดหวงของจ านวนอนภาค ในพนทนอยๆ 2d x รอบจด x เขยนสมการความหนาแนนของอนภาคไดดงน

22 2 2

1 2 1 1 2 2ˆd d ,...,d , ,...,N N N x x x x x x x x (2.3.26)

เมอ x แทนตวด าเนนการทสมนยกบความหนาแนนของอนภาค

แทนฟงกชนคลนของแตละอนภาค เนองจากอนภาคมลกษณะเปน จดอนภาค ตวด าเนนการ ต าแหนงของอนภาคตวท i แทนดวย ˆ

ix ตวด าเนนการต าแหนงนยามไดดงน

1

ˆ ˆ

i

N

i

i

x x x (2.3.27)

เมอ ˆ

i x x แทนฟงกชนความหนาแนนของอนภาคทเวกเตอรต าแหนง x ตวท i

i แทนตวก าหนดสปนของอนภาคตวท i

1 Baer Rio. (2008, October). Electron Density Functional Theory. pp. 30 – 32.

30

พจารณาสมการ (2.3.27) ตามนยามของฟงกชนเดลตา ดงน

22

1 1 1d f f x x x x x (2.3.28) แทนสมการ (2.3.27) ในสมการ (2.3.26) ได ดงตอไปน

22 2 2

1 2 1 1 2 2

1

ˆd d ,...,d , ,...,i N

N

N i N N

i

x x x x x x x x x

22 2 2

1 2 1 1 1 2 2

1

ˆd d ,...,d , ,...,i N

N

N N N

i

x x x x x x x x (2.3.29)

จากสมการ (2.3.29) เนองจากอนภาคมลกษณะเหมอกนทกประการ (Identical particles) ดงนนสามารถแทนอนภาคทเวกเตอรต าแหนง ix ดวย 1x ไดและน าผลรวมของอนภาคทเหมอนกนทกประการ N คณในสมการ (2.3.29) เปน

22 2

2 1 2 2d d , ,i N

N N NN

x x x x x x (2.3.30)

เมอ x แทนการรวมกนของความหนาแนนของอนภาคทงหมด N แทนจ านวนรวมของอนภาค ภายใตเงอนไขการนอรมอลไลซสมการท (2.3.30) แสดงไดดงน

2d N x x (2.3.1.33) 2.4 อนภาคโบซอนและอนภาคเฟอรมออน (Bosons and Fermions) ในทางกลศาสตรควอนตม แบงประเภท ของอนภาคตามรปแบบฟงกชนคลน และสปน ไดดงตอไปน 2.4.1 อนภาคโบซอน (Bosons) อนภาคโบซอน เปนอนภาคท มฟงกชนคลนแบบสมมาตร และมเลขสปนเปนเลขจ านวนเตม (Integral Spin) ไมเปนไปตามหลกการกดกนของเพาล ดงนนในแตละสถานะควอนตมจะมอนภาคอยไดไมจ ากด

31

2.4.2 อนภาคเฟอรมออน (Fermions) อนภาคเฟอรมออนเปนอนภาคทมฟงชนคลนแบบปฏสมมาตร และมเลขสปนเปนเลขจ านวนครง (Half – Integral Spin) ถาน าอนภาคเฟอรมออน 2 อนภาค ไปอยในสถานะเดยวก นจะไดฟงกชนคลนรวมเปนศนย เนองจากฟงกชนคลนเปนแบบปฏสมมาตร ซงจะสอดคลองกบหลกกดกนของเพาล 2.5 กฎ 5 3N ส าหรบอนภาคโบซอน (The 5 3N Law for Bosons)1

ในป ค.ศ. 1978 ลป (Lieb) ไดตงกฎเลขยกก าลงของ N ท 5 3N ส าหรบอนภาคโบซอนโดยพจารณาจากงานวจยของ ไดซอน และเลนารด (Dyson, Freeman J; & Lenard A. 1967: 423) ทไดใชความรทางกลศาสตรควอนตมพสจนหาความเสถยรของสสาร ภายใตเงอนไขแรงคลอมบ พบวาขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของอนภาคเฟอรมออนแสดงคาไดดงน

0 fE A N (2.5.1)

เมอ fA แทนคาคงททไดจากอนภาคเฟอรมออน

จากอสมการ (2.5.1) ไมจ าเปนตองพจารณาจาก เงอนไขความเปนกลางทางไฟฟา โดยก าหนดใหอนภาคทมประจบวกและอนภาคทมประจลบ มมวล m เทากน จากเงอนไขทงสองน เปนสงส าคญมากตอการก าหนดขอบเขต ของพลงงานทสถานะพน ของอนภาค ลป และเทอรรง (Lieb E.H; & Thirring W.E. 1975: 687) ไดศกษาและปรบปรงหาคา คงท fA จากอสมการ (2.5.1) โดยใชเงอนไขความเปนกลางทางไฟฟา พบวาคาทเหมาะสมทสดของ

fA คอ

22.24Ry fA (2.5.2)

เมอ Ry แทนคาคงทของรดเบรก

1Lieb, Elliott H. (1979). The 5 3N Law for Bosons. In Stability of Matter from Atoms to Stars. Thirring W. pp. 327 – 329.

32

ตอมาพวกเขา ไดพสจนหาขอบเขตลาง ของพลงงานทสถานะพนของอนภาคโบซอน โดยพจารณาจากเงอนไขความเปนกลางทางไฟฟา และแทน ประจของอนภาคประจบวกและอนภาค ประจลบเปน

e พจารณาเงอนไขโดยก าหนด มวลของอนภาค ประจเปนลบ เปน em สวนมวลของอนภาคประจบวกสามารถมมวลมากเปนอนนตได พบวาขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของอนภาคโบซอน

คอ

5 3

0 bE A N (2.5.3)

เมอ bA แทนคาคงททไดจากอนภาคโบซอน ลปไดหาคาคงททเหมาะสมของ bA คอ

14.01RybA (2.5.4)

ไดซอนหาขอบเขตบนของพลงงานทสถานะพนของอนภาคโบซอนโดยการค านวณจากการแปรผนเชงซอน พบวาขอบเขตบนของพลงงานทสถานะพนของอนภาคโบซอนเปน

7 5

0E BN (2.5.5)

เมอ B แทนคาคงททไดจากอนภาคโบซอน ผลลพธทไดขอบเขตบนและขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของอนภาคโบซอน ไดซอนพบวาถาก าหนดใหอนภาคทงหมดมมวลทแนนอน จะพจารณาขอบเขตบนและขอบเขตลาง ของพลงงานทสถานะพนของอนภาคโบซอนจากกฎเลขยกก าลงของ N ท 7 5N ซงเปนไปตามกฎ 7 5N ส าหรบประจโบซอนของ คอนลอน ; ลป; และ ฮอรงทเซอรยน (Conlon; Lieb E; & Horng, Tzer Yau. 1988: 417 - 448) ซงไมใชกฎของ 5 3N กฎเลขยกก าลงของ N ท 5 3N จะเปนจรงไดถาพจารณาภายใตเงอนไขทก าหนดใหอนภาคประจบวกมมวลเปนอนนต และประจของนวเคลยสตองมากกวาศนย 0Z e จากเงอนไขเบองตน ไดซอนไดพสจนหาขอบเขตบนของพลงงานทสถานะพนของอนภาคโบซอน พบวาขอบเขตบนของพลงงานทสถานะพนของอนภาคโบซอนเปน

5 3

0E CN (2.5.6) เมอ C แทนคาคงททไดจากอนภาคโบซอน

33

ซงขอบเขตบนของพลงงานทสถานะพน ของอนภาคโบซอน เมอพจารณาจากเลขยกก าลงของ N ในอสมการ (2.5.3) และ (2.5.6) พบวาขอบเขตบนและขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของอนภาคโบซอนจะมขอบเขตเดยวกน ถาพจารณาจากประจของ อนภาคประจลบ e มมวล em และระบบนเปนกลางทางไฟฟา พบวาคาคงท C มคาเปน

4 31Ry

108C Z (2.5.7)

ขอบเขตจ ากดนจ านวนอนภาคประจลบจะลเขาสคาอนนต N และมวลของอนภาคประจบวกกจะลเขาสคาอนนตดวย 2.6 ผลการแปลงฟเรยรใน 2 มต (Fourier Transforms in Two Dimensions)

พจารณา ฟงกชนทขนกบเวกเตอรต าแหนง f x กบฟงกชนทขนกบ เวกเตอรคลน f k ความสมพนธระหวางสองฟงกชนน สามารถเขยนในรปแบบของผลการแปลงฟเรยร ใน 2 มต

ไดดงน

2 i

2

1d e

2f f

k x

x k k (2.6.1a)

และ

2 id ef f k x

k x x (2.6.1b) เมอ f k แทนผลการแปลงฟเรยรของ f x

ในกลศาสตรควอนตม ถา f x เปนฟงกชนคลนของอนภาค จะเรยกผลการแปลงฟเรยร

f k เปนฟงกชนคลนในปรภมโมเมนตม โดย 2

f x และ 2

f k คอการแจกแจงความนาจะ

เปน (Probability Distribution) ของเวกเตอรต าแหนงและเวกเตอรโมเมนตม ตามล าดบ

34

2.6.1 ผลการแปลงฟเรยร 2 มตในพกดเชงขว พจารณาวงกลมทสมมาตรและพกดเชงขว สามารถน ามาใชในปรภมการแปลงโดย

ดดแปลงจากพกดเชงขว , และความสมพนธตอไปน

cos ; sin

cos ; sin

x r y r

p q

โดย

2

2 i cos cos sin sin

0 0

, , e d dr r

r

A f r r r

(2.6.2)

ในขณะท d dr r เปนสวนประกอบของพนทในปรพนธ สามารถหาผลลพธของสมการ (2.6.2) โดย

ใชวธจาโคเบยน (Jacobean)

,

,

x y

r

ดงนนเขยนสมการท (2.6.2) ใหมได ดงน

2

2 i cos

0 0

, , e d dr

r

A f r r r

(2.6.3)

แยกฟงกชน A ออกเปน P r แลวแยกหาปรพนธ จะได

2

2 i cos

0 0

, e d dr

r

A P r r r

(2.6.4)

ถาสมการ (2.6.4) เปนวงกลมทสมมาตรฟงกช น A จะเปนฟงกชนของ r เทานน และก าหนดให 1 เราสามารถเขยนความสมพนธได ดงน

2

2 i cos

0 0

, e d dr

r

A P r r r

(2.6.5)

35

จากสมการ (2.6.5) ก าหนดให เปนตวแปรอสระ และ d d หาปรพนธของพจน ได

2

2 i cos

0

0

e 2 2r d J r

(2.6.7)

เมอ 0J แทนฟงกชนเบสเซลชนดทหนงอนดบศนย

ดงนน

0

0

2 2 dr

A P r rJ r r

(2.6.8)

สมการ (2.6.8) เรยกวา “การแปลงฮานเคล” (Hankel Transform) 2.7 อสมการทน ามาประยกตใช

2.7.1 อสมการโคช – ชวารซ (Cauchy – Schwarz Inequality ; CSI) อสมการโคช – ชวารซ เปนทรจกกน ในชอ อสมการโคช อสมการชวารซ หรอ

อสมการโคช – บนยาคอฟสก – ชวารซ (Cauchy – Bunyakowski – Schwarz Inequality) เปนการน าอสมการไปใช กบฟงกชนทมอนพนธ สงๆ ไดแก พ ชคณตเชงเสน (Linear Algebra) สามารถประยกตใชกบเวกเตอร (Vectors) ในการวเคราะหจะประยกต ใชกบอนกรมอนนต (Infinite Series) และการหาปรพนธของ ของผลลพธ ในทฤษฎของความนาจะเปน (Probability Theory) น าไปประยกตใชกบความแปรปรวน (Variances) และความแปรปรวนรวม (Covariances) อสมการโคช – ชวารซ ทเกยวของกบเวกเตอร x และเวกเตอร y ใหปรภมผลคณภายใน (Inner Product Space) คอ

2

, , , x y x x y y (2.7.1)

เมอ ,x y แทนผลคณภายใน (Inner Product)

36

หรอเขยนอสมการโคช – ชวารซ (CSI) ในรปของปรภมเวกเตอรคาจรง (Real Vector Space) ส าหรบ f และ g เมอ แทนปรภมฮลเบรต (Hilbert Space) ของชวารซได ดงน

2

2 2, f g f g (2.7.2)

เมอ ,f g แทนผลคณภายใน

. แทนนอรม (Norm) โดย 2

2d

nf fx x

และ 2

2d

ng gx x

หรอพจารณาในอกลกษณะหนงถาให 1 2, ,..., na a a และ 1 2, ,..., nb b b เปนสองเซตท ไมเจาะจงใดๆของจ านวนจรง เขยนในรปผลบวกได ดงน

2

2 2

1 1 1

n n n

k k k k

k k k

a b a b

(2.7.3)

เมอ a และ b แทนจ านวนจรงใดๆ

อสมการ (2.7.3) จะเปนจรงถาล าดบ 1 2, ,..., na a a และ 1 2, ,..., nb b b เปนสดสวนกน (Proportion) หรอเขยนในรปปรพนธได ดงน

2 2 2

d d d b b b

a a a

x f x g x x f x x g x (2.7.4)

เมอ x แทนตวแปรอสระใดๆ

f x แทนฟงกชนทขนกบ x g x แทนฟงกชนทขนกบ x ถาพจารณาในอกลกษณะหนงถาให 1 2, ,..., na a a และ 1 2, ,..., nb b b เปนสองเซตท ไมเจาะจงใดๆของจ านวนเชงซอน (Complex Numbers) เขยนในรปผลบวกได ดงน

2

2 2

1 1 1

n n n

k k k k

k k k

a b a b

(2.7.5)

37

อสมการ (2.7.5) จะเป นจรงถาล าดบ 1 2, ,..., na a a และ 1 2, ,..., nb b b เปนสดสวนกน โดย

2

k k ka a a

และ 2

k k kb b b

เมอ ja แทนสงยคเชงซอนของ ja และ jb

แทนสงยคเชงซอนของ jb

2.7.2 อสมการของยง (Young's Inequality) รปแบบมาตรฐาน ของอสมการของยง จะพจารณากรณท a และ b เปนจ านวนจรง

บวก และ ,p q เปนจ านวนจรงบวก (Positive Real Numbers) ซง 1 11

p q โดยท

p qa b

abp q

(2.7.6)

ดงนนทงสองขางจะมคาเทากนถา p qa b จากการวเคราะหจ าน วนจรงซงพสจนครงแรกโดยยง ในป ค.ศ. 1912 ซงเรยกวาอสมการของยง ก าหนดให f และ g เปนฟงกชนใดๆ และเลขจ านวนจรง

บวก , ,p q r มความสมพนธกนดงตอไปน เมอก าหนดให 1 , ,p q r และ 1 11

p q

โดยท 1 1 11

p q r อสมการของยงแสดงได ดงน

r p qf g f g (2.7.7)

เมอ f g แทนคอนโวลชน (Convolution) ระหวางฟงกชน f และฟงกชน g

เขยน

pf และ

qg ในรปปรพนธได ดงน

1

dp

p

pf x f x และ

1

dq

q

qg x g x (2.7.8)

เมอ x แทนตวแปรอสระใดๆ

f x แทนฟงกชนทขนกบ x g x แทนฟงกชนทขนกบ x

38

แทนสมการ (2.7.8) ลงในอสมการ (2.7.7) จะได

1 1

d dp q

p q

rf g x f x x g x (2.7.9)

2.7.3 อสมการของโฮลเดอร (Hölder's Inequality) อสมการโฮลเดอรเดมมชอวา “ออตโตโฮลเดอร ” เปนอสมการเบองตน ในรปปรพนธ

ก าลง โดยก าหนดให 1 11

p q เมอ 1 ,p q อสมการโฮลเดอรเขยนในรปอทกรลได ดงน

1 1

d d d

p qpb b bq

a a a

x f x g x x f x x g x

(2.7.10)

เมอ f x แทนฟงกชนทขนกบ x g x แทนฟงกชนทขนกบ x a และ b แทนเลขจ านวนจรงทไมเปนลบ จากอสมการ (2.7.10) ถา 2p q อสมการ (2.7.10) จะกลายเปนอสมการชวารซ

อสมการของโฮลเดอรเขยนในรปผลบวก ให 1 2, ,..., na a a และ 1 2, ,..., nb b b เปนสองเซตทไมเจาะจงใดๆ ของจ านวนจรง เขยนในรปผลบวกได ดงน

1 1

1 1 1

p qn n n

p p

k k k k

k k k

a b a b

(2.7.11)

จากอสมการ (2.7.11) ถา 2p q อสมการ (2.7.11) จะกลายเปนอสมการโคช

ถาพจารณาในอกลกษณะหนงถาให 1 2, ,..., na a a และ 1 2, ,..., nb b b เปนสองเซตท ไมเจาะจงใดๆ ของจ านวนเชงซอน เขยนในรปผลบวกได ดงน

1 1

1 1 1

p qn n n

p q

k k k k

k k k

a b a b

(2.7.12)

39

2.7.4 อสมการของมนคอฟสก (Minkowski’s Inequality) ก าหนดให 1 2, , , na a a และ 1 2, , , nb b b แทน 2 เซตใดๆของจ านวนจรงบวก และจ านวนจรง 1p เขยนอสมการของมนคอฟสกได ดงน

1 1 1

1 1 1

p p pn n n

p p p

k k k k

k k k

a b a b

(2.7.13)

2.8 ฟงกชนขนบนไดหนงหนวย (Unit Step Function)

ฟงกชนขนบนไดหนงหนวยคดคนโดย โอลเวอร เฮวไซด (Oliver Heaviside) วศวกรไฟฟาชาวองกฤษ จงมชอเรยกอ กอยางหนงวา “ฟงกชนเฮวไซด (Heaviside Function)” ฟงกชนชนดนมคาเพยง 2 ระดบ คอ 0 กบ 1 โดยเขยนแทนดวยสญลกษณ au t หรอ u t a เมอ a คอต าแหนงของ t ทฟงกชนเปลยนระดบจาก 0 ไปเปน 1 และต าแหนง 0a เขยนสมการได ดงน

0,

1,a

t au t u t a

t a

(2.8.1)

ฟงกชนขนบนไดหนงหนวยจะใชก าหนดจดเรมตนของการเกดกราฟ เชน

- 0 01f t u t u t จะมคาคงทเทากบ 1 โดยเกดขนตงแต 0t - 1a af t u t u t จะมคาคงทเทากบ 1 โดยเกดขนตงแต t a

จากความสมพนธทงส องสมการเราสามารถเขยนกราฟ ได ดงภาพประกอบ 6 และภาพประกอบ 7 ตามล าดบ

ภาพประกอบ 6 กราฟ 0 01f t u t u t

ทมา: Kreyszig Erwin. (2006). Advanced Engineering Mathematics. 9th ed. p. 234.

t

0

f t

1

40

ภาพประอบ 7 กราฟ 1a af t u t u t ทมา: Kreyszig Erwin. (2006). Advanced Engineering Mathematics. 9th ed.

p. 234. 2.9 อนกรมเทยเลอร (Taylor’s Series)

วธอนกรมก าลงเปนวธการพนฐานทใชหาค าตอบของสมการเชงอนพนธแบบเชงเสนทมสมประสทธเปนตวแปร ลกษณะของค าตอบจะอยในรปอนกรมก าลง ค าตอบในรปอนกรมก าลงจะ ท าใหเกดฟงกชนพเศษ (Special Function) เชน ฟงกชนเบสเซล ฟงกชนเลอจองด เปนตน การเขยนฟงกชนในรปอนกรมก าลงจะเขยนโดยใชหลกการของอนกรมแมคลอรน (Maclaurin’s Series) หรอหลกการของอนกรมเทเลอร อนกรมแมคลอรนจะใชกระจายฟงกชนเปนอนกรมก าลงในรป x ยกก าลง (อนกรมก าลงรอบจดศนย ) สวนอนกรมเทเลอรจะใชกระจายฟงกชนเปนอนกรมก าลงในรป

0x x ยกก าลง (อนกรมก าลงรอบจด 0x ) ไดสมการเปน

0

0

0

0

0 !

n

n

n

nn

n

f x a x x

f xx x

n

2 30 0 0

0 0 0 0 ...1! 2! 3!

f x f x f xf x x x x x x x

(2.9.1)

เมอ f x แทนฟงกชนวเคราะห (Analytic Function) ทจด 0x x

na แทนคาคงท เรยกวา คาสมประสทธ (Coefficient) ของอนกรมก าลง

โดย 0

!

n

n

f xa

n

0x แทนจดศนยกลางของอนกรม (Center of Series) n แทนคาดชน (Index)

a

1

t

0

f t

41

หรอสามารถเขยนใหอยในรปผลบวกได ดงน

0

0

0 !

nn

n

f xf x x x

n

(2.9.2)

เมอ !n แทนตวประกอบในการคณของ n

0

nf x แทนอนพนธอนดบ n ของ f หาคาท 0x

2.10 ฟงกชนเบสเซล (Bessel Function)

ฟงกชนเบสเซลเปนฟงกชนทเปนผลลพธของสมการอนพนธเบสเซลทศกษา โดย ฟรดรค วลเฮลม เบสเซล (Friedrich Wilhelm Bessel) ฟงกชนเบสเซลเปนฟงกชนพเศษทางคณตศาสตรลกษณะของสมการอนพนธเบสเซลแสดงดงสมการอนพนธ ดงน

2 2 2 0x y xy x y (2.10.1)

เมอ แทนเลขจ านวนจรงทไมมคาเปนลบ 0 เรยกสมการ (2.10.1) วาสมการเบสเซลอนดบ และเรยกค าตอบของสมการนวาฟงกชน เบสเซลอนดบ

สมการ (2.10.1) ก าหนดให 2 2 2

0 1 2, ,P x x P x x P x x และ 1

p xx

,

2 2

2

xq x

x

, 0 0 0P ทต าแหนง 0x เปนจดเอกฐานปกต ซงก าหนดรปแบบค าตอบตาม

วธโฟรเบนอสได ดงตอไปน

0

0

, 0k r

k

k

y a x a

1

0

k r

k

k

y k r a x

2

0

1 k r

k

k

y k r k r a x

(2.10.2)

ส าหรบอนกรมเทยเลอรทกลาวถงใน ขางตนจะใชตว n แทนดชนในกรณนจะเปลยน ดชน

เปนตว k เนองจากจะใช n แทนสญลกษณในบางสวนของฟงกชนเบสเซลภายหลง

42

แทนสมการ (2.10.2) ลงในสมการเชงอนพนธ (2.10.1) แลวใชวธเทยบสมประสทธ จะได

2 2

0 0r a (สมการดชน) (2.10.3a)

2 2

11 0r a

(2.10.3b)

2 2

2 0k k kk r a a a

2

2 22,3, 4,...

,

kk

aa k

k r

(2.10.3c)

จากสมการ (2.10.3c) เปนความสมพนธหมนเวยนหาคา r ในสมการ (2.10.3a) ไดเปน 2 กรณดงน โดยก าหนดให 1 2,r r

- กรณท 1r แทนคา r ลงในสมการ (2.10.3b) และสมการ (2.10.3c) โดยเฉพาะในสมการ (2.10.3b) จะเปนจรงเมอ 1 0a เทยบสมประสทธ k เพอหาคา a สามารถหาคา 2ka ;

1,2,3,...k จากนนใช คณสมบต ของฟงกชนแกมมา ดงน 1 , ; 0 จะไดสมการของ 2ka ไดเปน

2 02

1 1

2 ! 1

k

k ka a

k k

(2.10.4)

เมอ แทนฟงกชนแกมมา จากสมการ (2.10.4) เปลยน k เปน 2k เปลยน r เปน

2

1 2

0

2

1 0 20

12 1

! 1 2

k

k

k

k k

kk

y a x

xy a

k k

(2.10.5)

เมอ 0a แทนคาคงทไมเจาะจง

0

1

2 1a

43

แทน 1y ดวย J x ไดสมการ ดงน

2

20

1

2 ! 1

k k

kk

xJ x x

k k

(2.10.6)

เรยก J x วาฟงกชนเบสเซลชนดท 1 อนดบ (Bessel Function of the First Kind of Order ) ทางดานการประยกตสวนมากจะใชสมการอนดบ 0 และ 1

- กรณท 2r จากสมการ (2.10.6) เปลยน เปน จะได

2

20

1

2 ! 1

k k

kk

xJ x x

k k

(2.10.7)

เรยก J x วาฟงกชนเบสเซลชนดท 1 อนดบ (Bessel Function of the First Kind of Order ) ทงสมการ (2.10.6) และ (2.10.7) เปนอนกรมทลเข าทกคาของ x กรณท เปนเลขจ านวนเตม จะเขยนแทน ดวย n ในสมการ (2.10.6)

2

20

1

2 ! 1

k k

n

n k nk

xJ x x

k n k

(2.10.8)

ฟงกชนเบสเซลในรปการกระจายจาโคบ (Jacobi Expansion) แสดงได ดงน

i cos

0

1

e 2 i cosx n

n

n

J x J x n

i cos ie i ex n n

n

n

J x

(2.10.9)

44

อาฟเกน และเวเบอร (Arfken and Weber H. J.)1 แสดงฟงกชนเบสเซลในรปการกระจายปรพนธ (Integral Expansion) ได ดงน

i cos

0

id e cos

nx

nJ x n

(2.10.10a)

และ

2

i i cos

0

id e e

2

nn x

nJ x

(2.10.10b)

2.10.1 สมการอนพนธ เบสเซล แบบปรบปรง อนดบ (Modified Bessel

Differential Equation of Order ) รปแบบสมการอนพนธของสมการเบสเซลแบบปรบปรง คอ

2 2 2 0x y xy x y (2.10.11)

และ

2

2

11 0y y y

x x

(2.10.12)

เมอ คอพารามเตอรทเปนเลขจ านวนจรง เปนตวก าหนด ผลลพธของสองเชงเสนทไมขนตอกน ผลลพธ ของสองเชงเสนทไมข นตอกนในสมการ (2.10.11) เปนสมการ เบสเซล ชนดทหนงแบบปรบปรงอนดบ เขยนแทนดวย I x และ I x ผลลพธในสมการ (2.10.12) เปนสมการเบสเซลชนดทสองแบบปรบปรงอนดบ เขยนแทนดวย K x ผลลพธทวไปของสมการ (2.10.11) คอ

y AI x BI x (2.10.13)

1 Arfken, George B; & Weber, Hans J. (1995). Mathematical Methods for Physicists. 4th ed. p. 633.

45

เมออนดบ เปนจ านวนเตม แทน n ในกรณ ฟงกชน เบสเซล แบบปรบป รง nI x และ nI x จะเปนอสระ เชงเสน ตอกนเพราะ n nI x I x ผลลพธ ในสมการ (2.10.12) จะเปน

อสระ เชงเสน กบ I x โดย K x จะไม ค านง ถงคาของ ผลลพธ จากสมการ (2.10.12) สามารถเขยนได ดงน

y AI x BK x (2.10.14) ฟงกชนเบสเซลชนดทสองแบบปรบปรงอนดบ สามารถดดแปลงได ดงน

2 sin

I x I xK x

(2.10.15)

และเมอ เปนจ านวนเตม n หรอศนย โดย 0,1,2, n nK x K x n จะได

limnn

K x K x

(2.10.16)

แสดงคาฟงกชนเบสเซลชนดทหนงแบบปรบปรง I x ; I x และ nI x ได ดงน

2

20 2 ! 1

k

kk

xI x i J ix

k k

(2.10.17)

และ

2

20 2 ! 1

k

kk

xI x

k k

(2.10.18)

เมอ เปนจ านวนเตม n หรอศนย เขยนสมการ (2.10.17) ได ดงน

2

20 2 ! !

n k

n n kk

xI x

k n k

(2.10.19)

46

เจฟฟรซ อลาน (Jeffrey Alan)1 แสดง nK x ในรปผลรวมได ดงน

1

2

0

1 !1 1 11 ln 1

2 2 ! 4 2 2 2

n k nnn k n

n n

k

n kx x xK x x I x

k

2

0

11 1

4 ! !

kk

k

xk n k

k n k

(2.10.20)

เมอ x แทนฟงกชนไดแกมมา (Digamma function)

อบราโมวตซ และสเตกนซ2 แสดง nK x ในรปปรพนธได ดงน

0

0

1sec cos sinh cos h

2; Re 1, 0

1csc sin sinh sinh

2

K x x t t dt

x

x t t dt

(2.10.21)

1Jeffrey Alan. (1995). Handbook of Mathematical Formulas and Integrals. p. 273.

2Abramowitz M; & Stegun I. A. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Table. p. 376.

47

เอกสารงานวจยทเกยวของ ในป ค.ศ. 1968 เลนารด; และไดซอน (Lenard A.; & Dyson Freeman J.) ไดศกษาความ

เสถยรภาพของสสาร พบวาขอบเขตลางของพลงงานท สถานะพนของอนภาคเฟอรมออน คอ 2 3 4

2N

Aq NmeE เมอ q แทนสปนจ านวนมาก , N แทนจ านวนรวมของอนภาค ประจลบ, m

มวลของอนภาคประจลบ, e แทนประจของอนภาค และ A แทนคาคงท ในป ค.ศ. 1975 ลป; และเทอรรง (Lieb E. H.; & Thirring W. E.) ไดศกษาหาขอบเขตลาง

ของพลงงานจลนของอนภาคเฟอรมออน พบวาภายใตเงอนไขของการนอรมอลไลซขอบเขตลางของพลงงานจลนของอนภาคเฟอรมออน คอ

3

5 32 32R

T K d x x เมอ แทนฟงกชน คลน

แบบปฏสมมาตร และ K แทนคาคงทสากล ตอมาพวกเขาพบวาคาคงทสากล K มคาเป น 2 32.7709 2 1.7455K ดงนน ขอบเขต ลางของ พลงงานจลนของอนภาคเฟอรมออน คอ

2 3

5 333 3

5 4T d

x x เมอ x แทนความความหนาแนนของอนภาค และไดขอบเ ขต

ลางของพลงงานทสถานะพน คอ 2

1 27 3

1

2.08 1k

j

j

ZH N

N

ในป ค.ศ. 1976 ลป; และเทอรรง (Lieb E. H.; & Thirring W. E.) ไดศกษาหาขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของอนภาคเฟอรมออนและอนภาคโบซอน พบวาขอบเขตลางของพลงงาน

ทสถานะพนของอนภาคเฟอรมออน คอ

21 2

7 3

12 31.13 1

k

j

j

Z

H q NN

เมอพจารณา

เลขยกก าลงของ N โดยแทน 2q (สปนอเลกตรอน 1

2) ไดขอบเขตลางของพลงงานทสถานะ

พนของอนภาคเฟอรมออน คอ NE N และ ไดขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของอนภาคโบซอน คอ 5 3

NE N ในป ค.ศ. 1981 ลป; และสตเฟน ออกซฟอรด (Lieb E. H.; & Stephen Oxford) ไดศกษาและปรบปรงคาคงทของขอบเขตลางท ไดจากศกยคลอมบ พบวาพลงงานของคลอมบทเกดจากแรงผลกกนระหวางอนภาค มขอบเขตลาง คอ

4 32 3 3V Ce d x x คาคงททเหมาะสมทสดของ C จะตองมคามากกวา 1.23

48

ในป ค.ศ. 1988 คอนลอน; ลป; และยน (Conlon; Lieb; & Yau H. T.) ไดท าการพสจนหาขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของอนภาคโบซอน โดยการสมมตให N k เมอ N แทนจ านวนอนภาคประจเปนลบ และ k แทนอนภาคประจเปนบวก พบวาพลงงานทสถานะพน ของอนภาคโบซอน อ 7 5,E N k AN และถาสมมตให N k และจ านวนอนภาคประจเปนลบ มคามากๆท าให คาคงท A จากพลงงานทสถานะพนส าหรบอนภาคโบซอนจะมคาเปน 0.79

ในป ค.ศ. 2004 มทาพร และมานเกยน (Muthaporn C.; & Manoukian E.B.) พบวาขอบเขตบนของพลงงานทสถานะพนแบบแมนตรง NE ของอนภาคโบซอนทมป ระจลบ N อนภาค และอนภาคโบซอนทมประจบวก N อนภาค โดยก าหนดใหอนภาคโบซอนทมประจบวกไมเคลอนท

กบอนตรกรยาคลอมบในมตใดๆ คอ

2

2 316 2N

NE

ในหนวยรดเบรก โดย 2N

ใน

คณสมบตเฉพาะนพบวาความไมเสถยรภาพของสสารประเภทโบซอน ไมเปนลกษณะทเกยวของกบจ านวนมตของอวกาศ

บทท 3 วธด าเนนงานวจย

ในปรญญานพนธนเราหาขอบเขตลางของพลง งานทสถานะพนของส สารประเภทโบซอนและเฟอรมออนใน 2 มตจากผลรวมของขอบเขตทวไปของพลงงานศกยคลอมบและขอบเขตลางของพลงงานจลนโดยใชผลการแปลงฟเรยร และอสมการทกลาวถงในบทท 2 ซงเขยนเปนแผนภมแสดงกระบวนการหาขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารใน 2 มตได ดงน

ภาพประกอบ 8 แผนภมแสดงกระบวนการหาขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารใน 2 มต

พจารณาสมการฮามลโทเนยน

พจารณาศกยในระบบ พจารณาฮามลโทเนยนส าหรบอนภาคเดยว

V x V R V x R

2

02

H v vm

px x

H

H T V

V T

พจารณาฮามลโทเนยนส าหรบ N อนภาค

2

1 12

N Ni

i

i i

vm

px

50

3.1. ขอบเขตทวไปของพลงงานศกยคลอมบของสสารประเภทโบซอน ใน 2 มต (The General Bound for Coulomb Potential Energy of Bosonic Matter in Two Dimensions)

จากตวด าเนนการ แฮมลโทเนยน ใน 2 มตดงสมการ (1.0.1) ภายใตเงอนไข ศกยคลอมบ และก าหนดให 04 1 ดงน

2 22 2

1 1 1

ˆˆ2

N N k N ki j ji

i i j i j i ji j i j i j

Z Z e Z eeH

m

p

x x R R x R

22

1 2

1 1 1

ˆ

2

N N kji

i i j i j

Z eV V

m

p

x Rx R

(3.1.1)

เมอ 2

1

N

i j

i j i j

eV x x

x x

2

2

k

i j

i j

i j i j

Z Z eV R R

R R

สมการ (3.1.1) คอกรณทจ านวนนวเคลยสมากกวาหรอเทากบสอง 2k และสสารเปน

กลางทางไฟฟา 1

k

i

i

Z = N

เทานน

พจารณา เฉพาะศกยพจนท 2 1 i jV x x และพจนท 3 2 i jV R R ในดานซายมอ ของ

สมการ (3.1.1) สวนพจนท 4 เราจะน ามาพจารณาในภายหลง หาขอบเขตทวไปของศกยในระบบของสสารประเภทโบซอนใน 2 มต โดยก าหนด ใหฟงกชน V x และ v x แทนฟงกชนของจ านวนจรง บวกใดๆ เขยนความสมพนธ ระหวาง V x และ v x คอ V vx x เลอกให 0v x ดงนน 0v และก าหนดให V x และ v x มคาตามล าดบ ดงตอไปน

2e

V xx

(3.1.2a)

และ

2 1 ee

v

x

xx

(3.1.2b)

51

0

0 lim

v vx

x (3.1.2c)

เมอ แทนตวแปรใดๆ และก าหนดใหตวแปร 0 นยามฟงกชน v x ในรปผลการแปลงฟเรยร ผกผนและผลการแปลงฟเรยร ใน 2 มตตามล าดบ ดงตอไปน

2

i

2

de

2v v

k xk

x k (3.1.3a)

และ

2 id ev v k x

k x x (3.1.3b) เมอ k แทนเวกเตอรใน 2 มต x แทนเวกเตอรใน 2 มต

จากสมการ (3.1.3a) จะเหนวาถา 0v x แลว 0v k ในท านองเดยวกนกบสมการ (3.1.3a) และ (3.1.3b) นยามฟงกชน V x ในรปผลการแปลงฟเรยรผกผนและผลการแปลงฟเรยรใน 2 มตตามล าดบ ดงตอไปน

2

i

2

de

2V V

k xk

x k (3.1.4a)

และ

2 id eV V k x

k x x (3.1.4b) ในท านองเดยวกนกบ v x ก าหนดให x เปนฟงกชนของจ านวนจรงบวกใดๆ โดยท

2d V x x x x x (3.1.5a)

52

ฟงกชนจ านวนจรง x แทนฟงกชนความหนาแนนของอนภาค และ

2d V x x x x x (3.1.5b) ในท านองเดยวกนกบสมการ (3.1.3a) และ (3.1.3b) นยามฟงกชน x ในรปผลการแปลงฟเรยรผกผนและผลการแปลงฟเรยรใน 2 มตตามล าดบ ดงตอไปน

2

i

2

de

2

k xk

x k (3.1.6a)

และ

2 id e k x

k x x (3.1.6b) ในท านองเดยวกบสมการ (3.1.6a) และ (3.1.6b) นยามฟงกชน จ านวนจรง x ในรปผลการแปลงฟเรยรผกผนและผลการแปลงฟเรยรใน 2 มตตามล าดบ ดงตอไปน

2

i

2

de

2

k xk

x k (3.1.7a)

2 id e k x

k x x (3.1.7b) ก าหนดให

jA เปนคาคงททเปนจ านวนจรงบวก จากคณสมบตของผลการแปลงฟเรยร จะได

1

2

3

2i

1 1 1 2

2i

2 2 2 2

2i

3 3 3 2

2i

2

de

2

de

2

de

2

de

2

k

k k k

A A

A A

A A

A A

k x

k x

k x

k x

kx k

kx k

kx k

kx k

(3.1.8)

53

จากสมการ (3.1.8) เราสามารถเขยนผลบว กเชงเสนของ 1 1 2 2, , , k kA A A x x x ไดดงน 1 1 2 2 3 3 k kA A A A x x x x

31 2

2 2 2ii i

1 2 32 2 2

d d de e e

2 2 2A A A

k xk x k xk k k

k k k

2

i

2

de

2

k

kA

k xkk (3.1.9a)

หรอ

2

i

21 1

de

2

j

k k

j j j

j j

A A

k xk

x k (3.1.9b)

เมอ 1 1 2 2 3 3

1

k

k k j j

j

A A A A A

x x x x x

น า

v

v

k

k คณดานขวามอของสมการ (3.1.9b) จะได

2i

21 1

de

2

j

k k

j j j

j j

vA A

v

k x kk

x kk

2i

21

de

2

j

k

j

j

A vv

k xkk

kk

(3.1.10)

จากอสมการโคช – ชวารซ

2

2 2, f g f g (3.1.11)

54

ก าหนดให

2

2

f

v

kk

k และ

i

1

2

e

2

j

k

j

j

A v

g

k xk

k โดยในกรณ 2 มตแทน

2n พจารณาจากอสมการ (2.7.2) แทน f k และ g k ลงในอสมการ (3.1.11) จะได

22 22 2

i

2 21 1

d de

2 2

j

k k

j j j

j j

A A vv

k xkk kx k

k

22 22 2

i

2 21 1

d de

2 2

j

k k

j j j

j j

A A vv

k xkk k

x kk

(3.1.12)

พจารณาพจน

2

2i

21

de

2

j

k

j

j

A vk xk

k ในดานขวามอของอสมการ (3.1.12) ดงน

22 2

i i i

2 21 1 1

d de e e

2 2

j j j

k k k

j j j

j j j

A v A v A v

k x k x k xk kk k k

(3.1.13) ก าหนดใหดชน j i ในพจนท 2 ดานขวามอของสมการ (3.1.13) เขยนสมการ (3.1.13) ใหมได ดงน

22 2

i i i

2 21 1 1

2i i

21 1

d de e e

2 2

de e

2

j j i

j i

k k k

j j i

j j i

k k

j i

j i

A v A v A v

A v A v

k x k x k x

k x k x

k kk k k

kk k

2i i

21 1

2i

21 1

de e

2

de

2

j i

i j

k k

j i

j i

k k

j i

j i

A A v

A A v

k x k x

k x x

kk

kk

55

ดงนน

22 2

ii

2 21 1 1

d de e

2 2

i jj

k k k

j j i

j j i

A v A A v

k x xk xk k

k k (3.1.14)

แทนผลการแปลงฟเรยรผกผนของ v k ดงสมการ (3.1.3a) ลงในดานขวามอของสมการ (3.1.14) จะได

22

i

21 1 1

de

2

j

k k k

j j i i j

j j i

A v A A v

k xk

k x x (3.1.15)

เมอ

2

i

2

de

2

i j

i jv v

k x xkx x k

แทนสมการ (3.1.15) ลงในอสมการ (3.1.12) จะได

222

21 1 1

d

2

k k k

j j j i i j

j j i

A A A vv

kkx x x

k (3.1.16)

เขยนพจน 1 1

k k

j i

j i

A A

ในอสมการ (3.1.16) ใหม ดงน

1 1 , 1

k k k

j i i j

j i i j

A A A A

(3.1.17)

แทนสมการ (3.1.17) ลงในอสมการ (3.1.16) จะได

222

21 , 1

d

2

k k

j j i j i j

j i j

A A A vv

kkx x x

k (3.1.18a)

56

และ

2

1

22 , 1

2

d

2

k

j j kj

i j i j

i j

A

A A v

v

x

x xkk

k

(3.1.18b)

พจารณาจ านวนจรง c และ d เมอ 0d ดงน

2

2 2

0

2 0

c d

c cd d

2 22c cd d (3.1.19) น า 2d หารทงสองขางของอสมการ (3.1.19) จะได

2 22

2 2 2

c cd d

d d d

2

2 2

c dc

d (3.1.20)

จากอสมการ (3.1.20) แทนจ านวนจรง c และ d ตามล าดบ ดงตอไปน

1

k

j j

j

c A

x (3.1.21a)

และ

22

2

d

2d

v

kk

k (3.1.21b)

57

แทนสมการ (3.1.21a) และ (3.1.21b) ลงในอสมการ (3.1.20) จะได

2

22

1

2 22 1

2

1 1 d

2 2 2d

2

k

j j kj

j j

j

A

Av

v

xkk

xkkk

k

(3.1.22)

แทนอสมการ (3.1.22) ลงในอสมการ (3.1.18b) จะได

22

2, 1 1

1 1 d

2 2 2

k k

i j i j j j

i j j

A A v Av

kk

x x xk

(3.1.23)

พจารณาพจนในดานซายมอของอสมการ (3.1.23) ในกรณทดชน i j และ i j จะได

, 1 1

2

1

1 1

2 2

10

2

k k k

i j i j i j i j i j i j

i j i j i j

k k

i j i j j

i j j

A A v A A v A A v

A A v A v

x x x x x x

x x

2

1

10

2

k k

i j i j j

i j j

A A v v A

x x (3.1.24)

แทนสมการ (3.1.24) ลงในอสมการ (3.1.23) จะได

22

2

21 1

1 1 d0

2 2 2

k k k

i j i j j j j

i j j j

A A v v A Av

kk

x x xk

และ

22

2

21 1

1 d 10

2 22

k k k

i j i j j j j

i j j j

A A v A v Av

kk

x x xk

(3.1.25)

58

จากสมการ (3.1.5b) เราแทน x ดวย jx จะได

2dj jV x x x x x (3.1.26)

แทนสมการ (3.1.26) ลงในอสมการ (3.1.25) จะได

22

2 2

21 1

1 d 1d 0

2 22

k k k

i j i j j j j

i j j j

A A v A V v Av

kk

x x x x x xk

(3.1.27)

เราสามารถ หา 2

k ในอสมการ (3.1.27) จากสมการ (3.1.5a) และ (3.1.5b) โดยก าหนดให

k แทนผลการแปลงฟเรยรของ x จะได

2 id e

k xk x x (3.1.28)

โดยท

2

k k k (3.1.29) เมอ

k แทนคาสงยคเชงซอนของ k แทนสมการ (3.1.5b) ลงในสมการ (3.1.28) จะได

2 2 id d eV

k xk x x x x x (3.1.30)

พจารณาผลการแปลงฟเรยรผกผนของ , k

k และ ,V k V k ดงตอไปน

2

i

2

de

2

k xk

x k (3.1.31a)

2

i

2

de

2

k xk

x k (3.1.31b)

59

2

i

2

de

2V V

k x xk

x x k (3.1.31c)

2

i

2

de

2V V

k x xk

x x k (3.1.31d)

เมอ

x แทนฟงกชนสงยคเชงซอนของ x V x x แทนฟงกชนสงยคเชงซอนของ V x x เนองจาก x และ V x x เปนฟงกชนของจ านวนจรง ใดๆ ดงนน x x และ

V V x x x x ตามล าดบ เพราะฉะนนเขยนสมการ (3.1.30) ใหมได ดงน

2 2 id d eV

k xk x x x x x (3.1.32)

แทนสมการ (3.1.31d) ลงในสมการ (3.1.32) จะได

2i2 2 i

2

2i2 2 i

2

dd d e e

2

dd d e e

2

V

V

k x x k x

x k kk x

kk x x x k

kx x x k

2

i2 2 i

2

dd d e e

2V

x k kk x xx x k k (3.1.33)

พจารณาคณสมบตของฟงกชนเดลตาใน 2 มต ดงตอไปน

2

2 i

2

de

2

x k kx

k k (3.1.34a)

22d 1 k k k (3.1.34b) และ

22d f fk k k k k (3.1.34c)

60

แทนสมการ (3.1.34a) ลงในสมการ (3.1.33) ได ดงน

22 2 id d eV

k xk x x k k k k

22 2 id d eV

k xx x k k k k (3.1.35)

แทนสมการ (3.1.34b) และ (3.1.34c) ในสมการ (3.1.35) จะได

2 id eV k x

k k x x (3.1.36) เพราะฉะนนเราเขยนสมการ (3.1.36) ในรปผลการแปลงฟเรยรจากสมการ (3.1.7b) ได ดงน

V k k k (3.1.37) แทนสมการ (3.1.31a) ในสมการ (3.1.36) จะได

2

2 i i

2

dd e e

2V

k x k xkk k x k

2

i2

2

dd e

2V

k k xx

k k k (3.1.38)

พจารณาคณสมบตของฟงกชนเดลตาใน 2 มตจากสมการ (3.1.34a) จะได

22dV k k k k k k (3.1.39) แทนสมการ (3.1.34b) และ (3.1.34c) ในสมการ (3.1.39) จะได

V k k k (3.1.40) จากสมการ (3.1.40) จะเหนวาสมการ (3.1.38) เทากบสมการ (3.1.37)

2

i2

2

dd e

2V V

k k xx

k k k k k (3.1.41)

61

ในท านองเดยวกนกบสมการ (3.1.28) และ (3.1.30) พจารณาหา k จะได

2 id e

k y

k y y

2 2 id d e V k y

y y y y y (3.1.42) เนองจาก y และ V y y เปนฟงกชนของจ านวนจรง ใดๆ ดงนน y y และ

V Vy y y y ตามล าดบ เขยนสมการ (3.1.42) ใหม ดงน

2 2 id d e V k y

k y y y y y (3.1.43) เปลยนตวแปร x y และ x x y y ในสมการ (3.1.31b) และ (3.1.31c) โดยท x และ y ตางกเปนเวกเตอรต าแหนงใน 2 มต จากนนแทนลงในสมการ (3.1.43) จะได

2 2i2 2 i i

2 2

2 2i2 2 i i

2 2

d dd d e e e

2 2

d dd d e e e

2 2

V

V

k y yk y k y

k k yk y k y

k kk y y k k

k ky y k k

2 2i2 i 2 i

2 2

d dd e d e e

2 2

V

k k yk y k yk yy k k k (3.1.44)

จากคณสมบตของฟงกชนเดลตาใน 2 มตดงสมการ (3.1.34a), (3.1.34b) และ (3.1.34c) จะได

222 i 2 i

2

22 i i

2

2i2

2

dd e d e

2

dd e e

2

dd e

2

V

V

V

k y k y

k y k y

k k y

kk y k k k k k

ky k k

ky k k

2i2

2

22

22

dd e

2

d

d

V

V

V

k k yyk k k

k k k k k

k k k k k

V k k (3.1.45)

62

คณสมการ (3.1.40) กบสมการ (3.1.45) เพอหา 2

* k k k จะได

V V k k k k k k (3.1.46a) หรอ

2 2 2

V k k k (3.1.46b) แทนสมการ (3.1.46b) ในอสมการ (3.1.27) จะได

k

i j i j

i j

A A v x x

22

22 2

21 1

1 d 10

2 22

k k

j j j

j j

VA d V v A

v

kkx x x x k

k

(3.1.47)

บวกพจน

*2

2

1

2 2

d

v

k kk

k และ

*2

2

1

2 2

d

v

k kk

k ทดานขวามอของอสมการ

(3.1.47) เพอใหสอดคลองกบกรณทเราก าหนดให V vx x เพราะฉะนนจะได

k

i j i j

i j

A A v

x x

22

22 2

21 1

1 d 1d 0

2 22

k k

j j j

j j

VA V v A

v

kkx x x x k

k

* *2 2

2 2

1 d 1 d

2 22 2v v

k k k kk k

k k (3.1.48)

ในท านองเดยวกบสมการ (3.1.5a) และ (3.1.5b) ก าหนดให x เปนฟงกชนของจ านวนจรงใดๆ โดยท

2d v x x x x x (3.1.49a)

63

และ

2d v x x x x x (3.1.49b)

จากสมการ (3.1.49b) พจารณาผลการแปลงฟเรยร k ดงน

2 i

2 i 2

2 i 2

d e

d e d

d e d

v

v

k x

k x

k x

k x x

x x x x x

x x x x x

2i2 2 i

2

2i2 2 i

2

dd d e e

2

dd d e e

2

v

v

k x x k x

k k xk x

kx x x k

kx x x k

2

i2 2 i

2

dd d e e

2v

k k xk x xx x k k (3.1.50)

จากคณสมบตของฟงกชนเดลตาใน 2 มต ในสมการ (3.1.49a) เขยนสมการ (3.1.50) ใหม จะได

22 2 id d ev

k xk x x k k k k

22 2 id d ev

k xx x k k k k (3.1.51)

แทนสมการ (3.1.34b) และ (3.1.34c) ในสมการ (3.1.51) จะได

2 id ev k x

k k x x (3.1.52) เพราะฉะนนเราเขยนสมการ (3.1.52) ในรปผลการแปลงฟเรยรจากสมการ (3.1.7b) ได ดงน

v k k k (3.1.53)

64

ในท านองเดยวกนกบสมการ (3.1.42) และ (3.1.42) พจารณาหา k ได ดงน

2 2 i

2 2 i

2i2 2 i

2

d d e

d d e

dd d e e

2

v

v

v

k y

k y

k y y k y

k y y y y y

y y y y y

ky y y k

2

i2 2 i

2

dd d e e

2

v

y k k k yky y y k

2

i2 2 i

2

dd d e e

2

v

y k kk y yy y k k (3.1.54)

จากคณสมบตของฟงกชนเดลตาใน 2 มต ในสมการ (3.1.34a) จะได

22 2 id d e v k y

k y y k k k k

22 2 id d e v k y

y y k k k k (3.1.55) แทนสมการ (3.1.34b) และ (3.1.34c) ในสมการ (3.1.55) จะได

2 id e v k yk k y y (3.1.56)

น า v k หารทงสองขางของสมการ (3.1.56) จะได

2 id e

v

v v

k yk k

y yk k

2 id e k y

y y (3.1.57) จากนนคณ k จากสมการ (3.1.32) กบสมการ (3.1.57) จะได

*

2 2 i 2 id d e d e

V

v

k x k yk k

x x x x x y yk

(3.1.58)

65

ดงนน เราสามารถหา

*2

2

d

2 v

k kk

k ได เมอ 2k และพจารณาจาก คณสมบตของ

ฟงกชนเดลตาใน 2 มตดงสมการ (3.1.34a), (3.1.34b) และ (3.1.34c) จะได

*2 22 2 i 2 i

2 2

d dd d e d e

2 2

Vv

k x k yk kk k

x x x x x y yk

2

i2 2 2

2

dd d d e

2

Vk y xk

x x x x x y y

2i2 2 2

2

22 2 2

dd d d e

2

d d d

V

V

k y xkx x x x x y y

x x x x x y y y x

22 2 2

2 2

d d d

d d

V

V

x x x x x y y x y

x x x x x x

2 2d d V x x x x x x (3.1.59) แทนสมการ (3.1.31a), (3.1.31b) และ (3.1.31c) ลงในสมการ (3.1.59) และพจารณาคณสมบตฟงกชนเดลตาใน 2 มต ดงสมการ (3.1.34a), (3.1.34b) และ (3.1.34c) จะได

*22 2

2

22 i 2

2

2 2i2 i 2

2 2

2 2i2 2 i

2 2

2 2

dd d

2

d e d2

d dd e d e

2 2

d dd d e e

2 2

dd d

Vv

dV

V

V

k x

k x xk x

k x x k x

k kkx x x x x x

k

kx k x x x x

k kx k x x k

k kx x x k k

x x x

2 2ii

2 2

2 2i2 i 2

2 2

222 i 2

2

de e

2 2

d dd e d e

2 2

dd e d

2

V

V

V

k k xk x

k k xk x

k x

k kk k

k xx x k k k

kx x k k k k k

66

22 i

2

2 22 i i

2 2

dd e

2

d dd e e

2 2

V

V

k x

k x k x

kx x k k

k kx k k k

2 2

i2

2 2

d dd e

2 2

Vk k xk x

k k k k

222

2

222

2

dd

2

dd

2

V

V

kk k k k k k

kk k k k k k

2

2

d

2V

k

k k k

2

2

d

2V

k

k k k

2

2

2

d

2V

kk k (3.1.60)

จะเหนวาสามารถเขยนความสมพนธระหวางสมการ (3.1.59) และสมการ (3.1.60) ได ดงน

2

22 2

2

dd d

2V V

kx x x x x x k k (3.1.61)

แทนสมการ (3.1.59) และ (3.1.60) ลงในอสมการ (3.1.48) จะได

k

i j i j

i j

A A v

x x

22

22 2

21 1

1 d 1d 0

2 22

k k

j j j

j j

VA V v A

v

kk

x x x x kk

2

2 2 2

2

1 d 1d d

2 22V V

kk k x x x x x x

2 2 2 2

1 1

1 1d d d 0

2 2

k k

j j j

j j

A V V A v

x x x x x x x x x x

22 2

2 2

2 2

1 d 1 d

2 22 2

VV

v

kk kk k k

k

67

ดงนน

k

i j i j

i j

A A v

x x

2 2 2 2

1 1

1 1d d d 0

2 2

k k

j j j

j j

A V V v A

x x x x x x x x x x

22

2

2

1 d

2 2

VV

v

kk

k kk

(3.1.62)

เนองจากเรานยามให 0i j i jV v x x x x ดงนนเขยนอสมการ (3.1.62) ใหมได ดงน

k

i j i j

i j

A A V

x x

2 2 2 2

1 1

1 1d d d 0

2 2

k k

j j j

j j

A V V v A

x x x x x x x x x x

22

2

2

1 d

2 2

VV

v

kk

k kk

(3.1.63)

จากอสมการ (3.1.63) เราจะใชกระบวนการทางคณตศาสตร เพอหา 0 ,v v k และ V k ตามล าดบ ดงน

เนองจากไมสามารถหาปรพนธของ v x เพอหา 0v ได เราจงใชอนกรมเทยเลอร ดงสมการ (2.9.1) เพอ หา 0v พจารณา พจน e

x ในดานขวามอของ สมการ (3.1.2b) โดยก าหนดใหฟงกชน e xf x พจารณาท 0 0x จะได

e

e

x

x

f x

f x

2

3

e

e

x

x

f x

f x

1 e nn n xf x (3.1.64)

เมอ 0,1, 2, 3,n

68

แทน 0 0x ในสมการ (3.1.64) จะได

2

3

0 1

0

0

0

0 1nn n

f

f

f

f

f

(3.1.65)

แทนสมการ (3.1.65) ลงในสมการ (2.9.1) จะได

2 3

2 32 3

0 0 0e 0 0

2! 3! !

11

2! 3! !

nnx

n n

n

f f ff f x x x x

n

x x x xn

และจากสมการ (2.9.2) จะได

0

1e

!

n nn

x

n

x

n (3.1.66)

แทนสมการ (3.1.66) ลงในสมการ (3.1.2b) เพอหาคา 0v ได ดงน

2

0

11 1

!

n nn

n

xv x e

x n x

2

1

11 1

!

n nn

n

xe

x x x n

2

1

11 1

!

n nn

n

xe

x x x n

2

1

1

!

n nn

n

xe

x n (3.1.67)

69

กระจายสมการ (3.1.67) จะได

2 2 3 2 4 31 1 1

2! 3! 4!

v x e x x x (3.1.68)

ก าหนดให 0x ในสมการ (3.1.68) จะได

2 2 3 2 4 3 2

0

1 1 10 lim

2! 3! 4!

xv e x x x e (3.1.69)

หา v k โดยพจารณาจากสมการ (3.1.2b) โดยก าหนดให

2

2

0 0

d . d d .

x xx (3.1.70a)

และ

cosk x k x (3.1.70b) แทนสมการ (3.1.70a) และ (3.1.70b) ในสมการ (3.1.2b) จะได

2 i

2

2 i

22

i cos

0 0

d e

1 ed e

1 ee d d

x

kx

v v

e

ex x

x

k x

x

k x

k x x

xx

2

2 i cos

0 0

2

2 i cos i cos

0 0

2

2 i cos i cos

0 0

1 e e d d

e e e d d

d e e e d

x kx

kx kx x

kx kx x

e x

e x

e x

2 2

2 i cos i cos

0 0 0

d e d e e d

kx kx xe x (3.1.71)

70

หาปรพนธของ 2

i cos

0

e d

kx เทยบตวแปร จะได

2

i cos

0

0

e d 2kx J k x

(3.1.72)

เมอ 0J แทนฟงกชนเบสเซลชนดทหนงอนดบศนย แทนสมการ (3.1.72) ลงในสมการ (3.1.71) จะได

2

0 0

0 0

2 d 2 e d

xv e J kx x J kx xk (3.1.73)

กราดซเทน และไรซค (Gradshteyn, J.s. and Ryzhic, I.M.)1 หาปรพนธของ 0

0

d

J kx x และ

0

0

e d

xJ kx x เทยบตวแปร x ได ดงน

0

0

1dJ k x x

k

(3.1.74a)

02 2

0

1e d

x J k x x

k (3.1.74b)

1 Gradshteyn I. S; & Ryzhik I. M. (2000). Table of Integrals, Series, and Products. 6th ed. pp. 653 – 686.

71

แทนสมการ (3.1.74a) และ (3.1.74b) ลงในสมการ (3.1.73) จะได

2

2 2

1 12v e

k k

k

2 22

2 22

k ke

k k

(3.1.75)

เมอเราหาคาผลการแปลงฟเรยรของศกยคลอมบ 2e

V xx

ผลการแปลงฟเรยร ของ V x จะไม

นยามในกรณท 0k แตอยางไรกตามถาเราพจารณาจากศกยยกาวา (Yukawa Potential) ดงน

2e

, 0e

V

x

xx

(3.1.76)

เมอ V x แทนศกยยกาวา ก าหนดให 0 ในสมการ (3.1.76) เพอหาผลการแปลงฟเรยร ของศกยคลอมบ เราจะตองหาผลการแปลงฟเรยร ของ V x จากสมการ (3.1.76) โดยก าหนดให v k แทนผลการแปลงฟเรยรของศกยยกาวา V x ดงน

2 id ev V

k x

k x x 2

2 ied e

e

x

k xx

x (3.1.77)

แทนสมการ (3.1.70a) และ (3.1.70b) ลงในสมการ (3.1.77) จะได

2 2

i cos

0 0

2

2 i cos

0 0

ee d d

e e d d

xkx

x kx

ev x x

x

e x

k

2

2 i cos

0 0

e e d dx kxe x

(3.1.78)

72

แทนสมการ (3.1.72) ลงในสมการ (3.1.78) จะได

2

0

0

2 e dxv e J k x x

k (3.1.79)

จากสมการ (3.1.74b) หาปรพนธของ 0

0

e d

xJ k x x เทยบตวแปร x จะได

02 2

0

1e dxJ k x x

k

(3.1.80)

แทนสมการ (3.1.80) ลงในสมการ (3.1.79) จะได

2

2 2

2 ev

k

k (3.1.81)

จากสมการ (3.1.81) ผลลพธทได เปนค าตอบทนาพอใจมากใน กรณท 0k นนคอ 2 0k ในความเปนจรงปฏกรยาจากขอบเขตในชวง ระยะสนๆของแรงนวเคลยรศกยยกาวาจะเพม เขาไป แตในอ านาจดงดดของ แมเหล กไฟฟา จะมขอบเขตในชวง ระยะ อนนต จะมคา เปนศนย และ

2e e

V

x

xx

จะลดลงเปน 2

0

eV x

x ผลการแปลงฟเรยรของศกยคลอมบใน 2 มต จะได

2

02 20

2lim

eV

k

k

22 e

k

(3.1.82)

เพอพสจนวา 2

0

eV x

x จรง เราจะพจารณาไดจากผลการแปลงฟเรยร ของ V k โดยแทน

สมการ (3.1.70a), (3.1.70b) และสมการ (3.1.2a) ลงในสมการ (3.1.4b) จะได

2

i cos

0 0

e d dk xV V x x

k x

2 2

i cos

0 0

e d dkxex x

x

73

2

2 i cos

0 0

e d dkxe x

(3.1.83)

แทนสมการ (3.1.72) และสมการ (3.1.74) ลงในสมการ (3.1.83) จะได

2

0

0

2 dV e J k x x

k

22 e

k

(3.1.84)

ผลลพธทไดจากสมการ (3.1.84) แสดงใหเหนวา 2

0

eV x

x

แทนสมการ (3.1.69), (3.1.75), และ (3.1.82) ลงในอสมการ (3.1.63) จะได

2ki j

i j i j

A A e

x x

2 2

2 2 2

1

1d d d

2

k

j

j j

e eA

x x x x x xx xx x

2

2

2 222 2

22 2

12

2 2

12

1 1 d 2

2 2 22

k

j

j

ek e

e Akk k

ek k

k

k

2 2

2 2 2

1

1d d d

2

k

j

j j

e eA

x x x x x xx xx x

2 2 4 2

22 2

22 2

12 2

2 2

1 1 d 4 2

2 2 22

k

j

j

e ee A

kk ke k

k k

k

k

2 2

2 2 2

1

1d d d

2

k

j

j j

e eA

x x x x x xx xx x

2 2 22 2

22 2

22 2 2

1

21 1 d 2

2 2 2

k

j

j

e k k ee A

kk k k

k

k

74

2 2

2 2 2

1

1d d d

2

k

j

j j

e eA

x x x x x xx xx x

2 2

222 2 2

2 2 2 21

1 1 d 12

2 2 2

k

j

j

ke A e

kk k k

k

k

2 2

2 2 2

1

1d d d

2

k

j

j j

e eA

x x x x x xx xx x

2 2 2 2 22

22 2 2

22 2 2

1

1 1 d2

2 2 2

k

j

j

k k k k ke A e

k k k

kk

2 2

2 2 2

1

1d d d

2

k

j

j j

e eA

x x x x x xx xx x

222 2 2

22 2

1

1 1 d 12

2 2 2

k

j

j

e A ek k

k

k

2

k

i j

i j i j

A A e

x x

2 2

2 2 2 2 2

1 1

1 1d d d

2 2

k k

j j

j jj

e eA e A

x x x x x xx xx x

222

22 2

d 1

2

ek k

kk (3.1.85)

อสมการ (3.1.85) คออสมการทวไปขอบเขตลางของศกยคลอมบของสสารใน 2 มต

เราจะหาขอบเขตของ จากอสมการ (3.1.85) ได โดยพจารณาจาก อสมการของมนคอฟสก (Minkowski’s Inequality) ดงน

1 1 1

1 1 1

p p pn n n

p p p

k k k k

k k k

a b a b

(3.1.86)

แทน 1,n 2p และ , a b k ในอสมการ (3.1.86) จะได

2 2 2

2 2 2

k k

k k k k

75

2 2 2

1 1

k kk k

2

1 1

k k (3.1.87)

และพจารณาจาก

22 2 k k k k

22 2

1 1

k k k k

22 2

1 1

k k k k (3.1.88)

แทนอสมการ (3.1.88) ลงในอสมการ (3.1.87) จะได

2 2

1 1

k k (3.1.89)

เขยนความสมพนธระหวางอสมการ (3.1.89) กบพจนดานขวามอของอสมการ (3.1.85) จะได

2 2

2 2 2 2 2

1 1

1 1d d d

2 2

k k

j j

j jj

e eA e Ax x x x x x

x xx x

222

22 2

d 1

2

ek k

kk

2 2

2 2 2 2 2

0

1 1

1 1d d d

2 2

k k

j j

j jj

e eA e Ax x x x x x

x xx x

2

2 2

0

d

e

x x (3.1.90)

76

ในลกษณะเฉพาะนเลอกพจารณาเฉพาะกรณ

2 2 2

2 2 2

1

1d d d

2

k ki j

j

i j ji j j

A A e e eA

x x x x x xx xx x x x

2

2 2 2 2

0

1 0

1d

2

k

j

j

ee A

x x (3.1.91)

ในกรณเฉพาะนจะเปนจรงไดกตอเมอตวแปร 0 เทานน

เพอหาขอบเขตทวไปของพลงงานศกยของสสารประเภทโบซอนใน 2 มต และงายตอการพจารณาเราจะก าหนดใหสส ารประเภทโบซอนมสปนเปนศนย เขยนสมการ ความหนาแนนของอนภาค x ได ดงน

22 2

2 2d ...d , ,...,N NN x x x x x x (3.1.92)

เมอ แทนฟงกชนคลนของสสารประเภทโบซอนแบบสมมาตรและอยภายใต เงอนไขการนอรมอลไลซ N แทนจ านวนอเลกตรอน ภายใตเงอนไขการนอรมอลไลซ

2d N x x (3.1.93) และ

2 2 2

2 2 2

22 2 2

2 2

d d ...d , ,..., , ,...,

d d ...d , ,...,

1

N N N

N N

x x x x x x x x x

x x x x x x (3.1.94)

เพอใหสมการ (3.1.91) สอดคลองกบพจนศกยคลอมบ ในสมการ (3.1.1) พจารณาศกยคลอมบซงเกดจาก 2 กรณ ดงตอไปน

77

กรณท 1 ศกยคลอมบทเกดจากอ นตรกรยาระหวางอเลกตรอน แทนคาคงทจ านวนจรงบวก 1,iA 1jA ลงในสมการ (3.1.95) และให k N จะได

2 22 2 2 2

1

d d d2

N N

i j ii j j

e ee

x xx x x x

x xx x x x

2 2

2 20

1 0

1 d2

N

i

e e

x x (3.1.95)

กรณท 2 ศกยคลอมบทเกดจากอนตรกรยาระหวางนวเคลยส แทนคาคงทจ านวนจรงบวก

i iA Z และ j jA Z ลงในสมการ (3.1.91) และให i ix R และ j jx R จะได

2 22 2 2 2

1

d d d2

k ki j

j

i j ji j j

Z Z e ee Z

x xx x x x

x xR R x R

2 2

2 2 20

1 0

d2

k

j

j

e eZ

x x (3.1.96)

สมการ (3.1.96) จะพจารณาภายใตเงอนไข 2k เทานน

แทนสมการ (3.1.95) และ (3.1.96) ในสมการ (3.1.1) จะได

2 222 2 2 2 0

1 1 1

2 22 2 2 2 2 2

10

22 22 2 20

1 1 10

22 2

1 1

ˆˆ d d d 12 2 2

d d d d2

d2

ˆd

2

N N Ni

i j ij

k

j

j j

k N kj

i

i i j i j

N Ni

i j j

eeH e

m

xe ee Z

Z ee eZ

e em

x xpx x x x

x xx x

xx x x x x x

x xx R

x xx R

xpx

x x

22 2 2 0

1

22 2 2 2

10

d d 12

d d

N

i

k

j

j j

e

ee Z

xx x x

x x

xx x x

x R

22 2

2 2 20

1 1 10

d2

k N kj

i

i i j i j

Z ee eZ

x xx R

(3.1.97)

78

จากเงอนไข 1

k

i

i

Z N

, 2k และ 1

1N

i

N

เขยนสมการ (3.1.97) ใหมได ดงน

2 22 2 2 2 2 0

1 1

22 2 2 2

10

ˆˆ d d d2 2

d d

N Ni

i j j

k

j

j j

e NH e e

m

ee Z

x xpx x x x

x xx x

xx x x

x R

22 2

2 2 20

1 1 10

d2

k N kj

i

i i j i j

Z ee eZ

x xx R

(3.1.98)

เราสามารถค านวณหาพล งงานศกยของสสารประเ ภทโบซอนใน 2 มตจากสมการ (3.1.8) โดยด าเนนการตวด าเนนการ แฮมลโทเนยน H กบฟงกชนคลนแบบสมมาตร ภายใต เงอนไขการ

นอรมอลไลซ 2d N x x ซง 2

x x และความเปนกลา งทางไฟฟา 1

k

i

i

Z N

โดยท 2k ดงน

H

22 2 2 2 2

1 1

2 22 2 2 20

10

ˆd d d

2

d d2

N Ni

i j j

k

j

j j

e em

e N ee Z

x xpx x x x

x xx x

xx x x

x R

22 2

2 2 20

1 1 10

d2

k N kj

i

i i j i j

Z ee eZ

x xx R

(3.1.99)

แยกพจารณาสมการ (3.1.99) ทละพจน โดยพจาณาจากเงอนไขในสมการ (3.1.92) - (3.1.94) ได ดงตอไปน เขยนพจนท 1 ในดานขวามอของสมการ (3.1.99) ใหม ดงน

2 22 2 2

2 2 2

1 1

2 2 2

2 2 2

ˆ ˆd d d , ,..., , ,...,

2 2

d d d , ,..., , ,...,

N Ni i

N N N

i i

N N N

m m

T

p px x x x x x x x x

x x x x x x x x x

79

2 2 2

2 2 2

22 2 2

2 2

d d d , ,..., , ,...,

d d d , ,...,

N N N

N N

T

T

x x x x x x x x x

x x x x x x

T (3.1.100) เขยนพจนท 2 ในดานขวามอของสมการ (3.1.99) ใหม ดงน

2 2

1

dN

j j

e

xx

x x

2 2 2 2 2

2 2 2

1

d d d , ,..., d , ,...,

N

N N N

j j

ex

x x x x x x x x x xx x

2 2 2 2 2

2 2 2

1

d d d d , ,..., , ,...,N

N N N

j j

e

x

x x x x x x x x x xx x

22 2 2 2 2

2 2

1

d d d d , ,...,N

N N

j j

e

x

x x x x x x xx x

2 222 2 2 2

2

2

22 2

d d d d

d d

N

N

N

e e

N N

e

N

x x x xx x x x

x x x x

x xx x

x x

2 2 2d de

x xx x

x x (3.1.101)

เขยนพจนท 3 ในดานขวามอของสมการ (3.1.99) ใหม ดงน

2 2 2d de

x

x x xx x

2 2 2 2 2 2

2 2 2d d d , ,..., d d , ,...,N N Ne

x xx x x x x x x x x x x

x x

2 2 2 2 2 2

2 2 2d d d d d , ,..., , ,...,N N Ne

x xx x x x x x x x x x x

x x

22 2 2 2 2 2

2 2d d d d d , ,...,N Ne

x xx x x x x x x x

x x

2 2 2d de

x x

x xx x

(3.1.102)

80

เขยนพจนท 4 ในดานขวามอของสมการ (3.1.99) ใหม ดงน

2

0

2

e N

2

2 2 2 02 2 2d d d , ,..., , ,...,

2N N N

e N x x x x x x x x x

2

2 2 202 2 2d d d , ,..., , ,...,

2N N N

e N x x x x x x x x x

2

22 2 202 2d d d , ,...,

2N N

eN

x x x x x x

2

0

2

eN

(3.1.103)

เขยนพจนท 5 ในดานขวามอของสมการ (3.1.99) ใหม ดงน

2

2 2

0

de

x x

2

2 2 2 2 2

2 2 2

0

d d d , ,..., d , ,...,

N N N

ex x x x x x x x x x x

2

2 2 2 2 2

2 2 2

0

d d d , ,..., d , ,...,N N N

e

x x x x x x x x x x x

2

2 2 2 2 2

2 2 2

0

d d d d , ,..., , ,...,N N N

e

x x x x x x x x x x x

2

22 2 2 2 2

2 2

0

d d d d , ,...,

N N

ex x x x x x x x

2

2 2 2

0

1d d

e

N

x x x x

2

2 2

0

de

x x (3.1.104)

81

เขยนพจนท 6 ในดานขวามอของสมการ (3.1.99) ใหม ดงน

2 2

1

dk

j

j j

e Z

xx

x R

2 2 2 2 2

2 2 2

1

d d d , ,..., d , ,...,k

N N j N

j j

e Z

x

x x x x x x x x x xx R

2 2 2 2 2

2 2 2

1

d d d , ,..., d , ,...,k

j N N N

j j

e Z

x

x x x x x x x x x xx R

2 2 2 2 2

2 2 2

1

d d d d , ,..., , ,...,k

j N N N

j j

e Z

x

x x x x x x x x x xx R

22 2 2 2 2

2 2

1

d d d d , ,...,k

j N N

j j

e Z

x

x x x x x x xx R

2 2 2

1

1d d

k

j

j j

e ZN

x

x x xx R

2 2

1

dk

j

j j

e Z

x

xx R

(3.1.105)

เขยนพจนท 7 ในดานขวามอของสมการ (3.1.99) ใหม ดงน

2

20

12

k

i

i

eZ

2

2 2 2 202 2 2

1

d d d , ,..., , ,...,2

k

N N i N

i

eZ

x x x x x x x x x

2

2 2 2 202 2 2

1

d d d , ,..., , ,...,2

k

i N N N

i

eZ

x x x x x x x x x

2

22 2 2 202 2

1

d d d , ,...,2

k

i N N

i

eZ

x x x x x x

220

12

k

i

i

eZ

(3.1.106)

82

เขยนพจนท 8 ในดานขวามอของสมการ (3.1.99) ใหม ดงน

2

1 1

N kj

i j i j

Z e

x R

2

2 2 2

2 2 2

1 1

d d d , ,..., , ,...,N k

j

N N N

i j i j

Z e

x x x x x x x x xx R

2 2 2 2

2 2 2

1 1

1d d d , ,..., , ,...,

k N

j N N N

j i i j

Z e

x x x x x x x x xx R

2 2 2 2

2 2 2

1 1

1d d d , ,..., , ,...,

k N

j N N N

j i i j

Z e

x x x x x x x x xx R

22 2 2 2

2 2

1 1

1d d d , ,...,

k N

j N N

j i i j

Z e

x x x x x xx R

22 2 2 2

2

1 2

1 1 1d d d

k

N

j N

j j j N j

Z eN N N

x x xx x x

x R x R x R

2 2

1

dk

j

j j

Z e

x

xx R

(3.1.107)

แทนสมการ (3.1.100) - (3.1.107) ลงในสมการ (3.1.99) จะได

22 2 2 2 2 2 0

22 2 2 2

10

2 22 2 2 2 20

1 10

2 22 22 2 2 2 20 0

10 0

ˆ d d d d2

d d

d d2

d d2 2

k

j

j j

k k

i j

i j j

k

i

i

eH T e e N

eZ e

e eZ Z e

e ee eT N Z

x x x xx x x x

x x x x

xx x x

x R

xx x x

x R

x x x x

22

2 2 20

10

2d

2

k

i

i

eeT N Zx x (3.1.108)

83

หาอนพนธของ สมการ (3.1.108) เทยบตวแปร 0 เพอหาคาเหมาะสมทสด (Optimization) ของ

0 ดงน

222 2 20

10 0 0 0 0

222 2 20

10 0 0

2 22 2 20

10 0 0

2ˆ d2

20 0 d

2

2d

2

k

i

i

k

i

i

k

i

i

eeH T N Z

eeN Z

e eN Z

x x

x x

x x

22 2 2 2

0

1 0 0 0

2 22 2 2

21 0

2 2

2 2

0

2 2

1

2 2

2

1

12 d

2

2d

2

d4

d4

k

i

i

k

i

i

k

i

i

k

i

i

eN Z e

e eN Z

e

e N Z

N Z

x x

x x

x x

x x

เพราะฉะนน

1 2

2 2

0

2

1

d2

k

i

i

N Z

x x (3.1.109)

แทนสมการ (3.1.109) ลงในสมการ (3.1.108) จะได

ˆ H

1 2

2 21 22 22 2 2 2

1 2 1 22 2 1 12

1

2 d2d

22 d

k k

i ik

i i

i

i

e eT N Z N Z

N Z

x xx x

x x

84

1 2 1 2

1 2 1 22 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2

1 1

d dk k

i i

i i

T e N Z e N Z

x x x x (3.1.110)

ดงนนพลงงานทสถานะพนของสสารประเภทโบซอนใน 2 มต คอ

1 2

1 22 1 2 2 2 2

1

ˆ 2 dk

i

i

H T e N Z

x x (3.1.111)

สมการ (3.1.111) จะบอกเปนนย เกยวกบขอบเขตลางของคาความคาดหวงของพลงงาน

จลน T ซงควรจะอยในรปของ 2 2d x x จากสมการ (3.1.111) ขอบเขตทวไปของพลงงานศกยคลอมบของสสารประเภทโบซอนใน 2 มต คอ

1 2

1 22 1 2 2 2 2

1

2 dk

i

i

V e N Z

x x (3.1.112)

3.2 ขอบเขตลางของพล งงานจลนของสสารประเภทโบซอนใน 2 มต (The Lower Bound for the Kinetic Energy of Bosonic Matter in Two Dimensions)

พจารณาอสมการชวงเงอร (Schwinger’s Inequality) (Schwinger J. 1961: 122-129) ใน 2 มต ส าหรบจ านวนของคาเจาะจง โดยท 0 ภายใตตวด าเนนการ แฮมลโทเนยน

2

2

v

m

px จะไดอสมการ ดงน

22

0 2d

2

mN H v v

x x x (3.2.1)

เพอหา ก าหนดให

22

21 d

2

m

vx x (3.2.2)

และ

22

2d

2

m

vx x (3.2.3)

85

จากอสมการ (3.2.3) เราจะได 0 1 N H v x ถาเราเลอกให มคา ดงน

22

21 d

2

m

vx x (3.2.4)

เมอ แทนคาคงทใดๆ ทมคานอยมากๆ และ 0 หรอเขยนอสมการ (3.2.4) ได ดงน

22

21 d

2

mvx x (3.2.5)

ในกรณท 2

12

N vm

px ซงหมายถง

2

02

N vm

px เนองจาก จ านวน

ของคาเจาะจง N ควรจะเปนจ านวนธรรมชาต (Natural Number) ดงนน 0 N แสดงให

เหนวาพจน 2

02

v

m

px หมายถงสเปกตรม (Spectrum) ของตวด าเนนการแฮมลโทเนยน

2

2v

m

px จะหายไป เม อมพลงงานนอยกวาหรอเทากบ ดงนน พจนดานขวามอของ

อสมการ (3.2.5) คอขอบเขตลางของพลงงาน ภายใตตวด าเนนการแฮ มลโทเนยน

2

2v

m

px

22

21 d

2

mv

x x (3.2.6)

ส าหรบระบบ 1 อนภาคเราสามารถหาขอบเขตลางของคาความคาดหวงของ พลงงานจลน

T โดยพจารณาจากเงอนไขความหนาแนนของอนภาค ดงน 2d 1 x x และ 2

x x เมอ x คอฟงกชนคลนแบบสมมาตรและนยามฟงกชนทเปนบวก v x ใหสอดคลองกบความหนาแนนของอนภาค ดงน

2 1dv T

xx

x x (3.2.7)

86

เมอ และ แทนคาคงททมคาทแนนอน ฟงกชน v x ในสมการ (3.2.7) ไมใชฟงกชนของพลงงานศกยของตวด าเนนการฮามนโทเนยน แต v x คอพจนทเพมเขาไปเพอทจะหาคาขอบเขตลางของพลงงานจลน T เทานน

จากนนค านวณหาขอบเขตลางของพล งงานจลนของสสารประเภทโบซอนใน 2 มต ในระบบ 1 อนภาค โดย ด าเนนการพจน 0H v x เขาไปในฟงกชนคลน เพอหาคาความ

คาดหวงของพลงงานจลน T จากเงอนไข 2d 1 x x และ 2

x x ได ดงน

2

0

22 2 2

1 1

2

d d d , , , , , ,2

N N N

H v vm

vm

2 2 2

px x

px x x x x x x x x x

2

22 2 2

1d d d , , ,2

N Nvm

2 2

px x x x x x x

222 2 2

1

22

2 1

2

2 2

2 2

2

2 2

d d d , , ,2

1d

2 d

d ; 1, 1d

dd

d

N Nvm

TN m

T T N

T T

T T

2 2

px x x x x x x

xpx x

x x

xx x

x x

x xx x

x x

ดงนน

0 1H v T x (3.2.8)

87

น าสมการ (3.2.8) ไปพจารณารวมกบขอบเขตลางของพลงงาน ภายใตตวด าเนนการแฮมล -โทเนยนทหาไดใน (3.2.6) จะได

2

2v

m

px

22

21 d

2

mv

x x (3.2.9)

แทนพจนดานขวามอจากสมการ (3.2.8) ในอสมการ (3.2.9) จะได

22

2 2 1

2

2

2 2 1

2 2

2 2

222 1

1 1 d ;2 d

1 d2 d

d1 1

2 d

mT v v T

mT

mT T

xx x x

x x

xx

x x

x x

x x

ดงนน

2 2

2 2

222 1

d1 1

2 d

mT T

x x

x x

(3.2.10)

ก าหนดให 2 1 และ 1 ในอสมการ (3.2.10) จะได

2 2

2 2

222 1

2 2

2 2 1 1

2 2

2 2 2

d1 1

2 d

11

2 d

11 1

2 d

mT T

mT

mT T

x x

x x

x x

x x

88

ดงนน

22 2

2

1 2d

1

T

mx x (3.2.11)

หาอนพนธของอสมการ (3.2.11) เทยบตวแปร เพอหาคาของ ทเหมาะสมทสด ดงน

2

2

2 3

3 2

10

1 10

1 20

2 1

เพราะฉะนน

2 (3.2.12) แทนสมการ (3.2.12) ลงในอสมการ (3.2.11) จะไดขอบเขตลางของคาความคาดหวงของพลงงานจลน T ในระบบ 1 อนภาค ดงน

22 2

2

22 2

2 1 2d

2 1

1 2d

4 1

Tm

m

x x

x x

22 2d

2 1

T

mx x (3.2.13)

89

เราสามารถหาขอบเขตลางของคาความคาดหวงของพลงงานจลนของอนภาคโบซอนส าหรบระบบ N อนภาค ไดโดยพจารณาจากอนภาคโบซอนทเหมอนกนทกป ระการ N อนภาค ซงมมวล m เทากน และพจารณาจากความหนาแนนของอนภาค ไดจากสมการ (3.1.95) - (3.1.97) เมอก าหนดใหสปนมคาเปนศนย แทนคา 2 และ 1 ลงในสมการ (3.2.7) จะได

2 22

dv T

xx

x x (3.2.14)

เพอหาคาความคาดหวงของพลงงานจลนในระบบ N อนภาค เราด าเนนการพจน 2

1 2

Ni

i m

p และ

1

N

i

i

v

x กบฟงกชนคลนแบบสมมาตร ภายใตเงอนไข 2d 1 x x และ 2

x x

ได ดงน

2

1 2

N

i

i

Tm

p (3.2.15)

และ

1

N

i

i

v

x

2 2 2

1 1

1

d d d , , , , , ,N

N N i N

i

v

2 2 2x x x x x x x x x x

22 2 2

1

1

d d d , , ,N

N i N

i

v

2 2x x x x x x x

22 2 2

1 1

22 2 2

2 2 1

22 2 2

1

d d d , , ,

d d d , , ,

d d d , , ,

N N

N N

N N N N

v

v

v

2 2

2

2

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

2 2 2

2 2 2

1 1 1d d d N N Nv v v

N N N x x x x x x x x x

90

22 2

2 22 2 2 2

2 2

2

2 2

1 1d 2 d 2

d d

1d 2

d

N

N N

N N

T TN N

TN

x xx x x x

x x x x

xx x

x x

2

2 2

d2

dT

x x x

x x

2 2

2 2

d2

dT

x x

x x

ดงนน

1

2N

i

i

v T

x (3.2.16)

เนองจาก 1

N

i

i

v v

x x และฟงกชน v x ไมใชฟงกชนของพลงงานศกยของตวด าเนนการ

แฮมลโทเนยน ใดๆ แต v x คอฟงกชนทเพมเขาไปเพอทจะหาคาขอบเขตลางของพลงงานจลน T (ส าหรบอนภาคโบซอนทเหมอนกนทกประการ N อนภาค) ใน 2 มต

พจารณาตวด าเนนการ

2

1 2

Ni

i

i

vm

px (3.2.17)

นยามใหตวด าเนนการใน (3.2.17) คอแฮมลโทเนยนทสมมตขนมาของอนภาคโบซอน N อนภาคทไมมปฏกรยาตอกนซงอยางไรกตามตวด าเนนการนจะมปฏกรยากบศกยภายนอก v x

จากสมการ (3.2.15) และ (3.2.16) จะได

2

1

22

Ni

i

i

v T Tm

px

T (3.2.18)

91

เพอใหไดขอบเขตลาง ทเปนขอบเขตสดทาย ของสเปกตรม ของตวด าเนนการ แฮมลโทเนยน ใน (3.2.17) เราสามารถใสอนภาคโบซอน N อนภาคในสถานะเดยวกนได โดยไมตองพจารณาตามหลกการกดกนของเพาล (ใสอนภาคโบซอนทงหมด N อนภาคทบรเวณสเปกตรม ทมคาต าทสด

ของ 2

1 2

N

ii

i

vm

px ) ดงนนตวด าเนนการแฮมลโทเนยนในสมการ (3.2.18) จะมขอบเขตลดลง

โดยจ านวนอนภาคโบซอน N อนภาคคณกบขอบเขตลางของพลงงาน ภายใตตวด าเนนการแฮมลโทเนยนใน (3.2.6) ได ดงน

2

1 2

Ni

i

i

v Nm

px

22

21 d

2

mN v

x x (3.2.19)

แทนพจนดานขวามอของสมการ (3.2.18) ลงในพจนดานซายมอของอสมการ (3.2.19) จะได

22

2

2

2

2 2 1

2

2

2 2 1

22 1

2 2

2 2 1 1

1 d2

1 d2

1 d 2 ; 12 d

d1 2

2 d

mT N v

mN T

d

mN T

mN T

x x

xx

x x

xx

x x

x x

x x

2 2

2 2

2 2 2 2 2

d1 2

2 d d

mN T

x x

x x x x

2

2 2 2

2

2 2 2

4 11

2 d

12 1

d

mN T

mN T

x x

x x

22 21

d2 1

TN m

x x (3.2.20)

92

จากอสมการ (3.2.20) เราจะไดขอบเขตลางของคาความคาดหวงของพลงงานจลน ส าหรบอนภาคโบซอนทเหมอนกนทกประการ N อนภาคใน 2 มต คอ

22 21

d2 1

T

N mx x (3.2.21)

3.3 ขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสาร ประเภทโบซอน ใน 2 มต (Lower Bound for the Ground State Energy of Bosonic Matter in Two Dimensions)

หาขอบเขตลางของสสารประเภทโบซอนใน 2 มต โดยแทนอสมการ (3.2.21) ลงในอสมการ (3.1.111) จะได H

1 22 1 22 2 2 1 2 2 2 2

1

1d 2 d

2 1

k

i

i

e N ZN m

x x x x

(3.3.1)

ก าหนดให 1 2

2 2d A x x และ

2

2 1C

m

ดงนนเขยนอสมการ (3.3.1) ใหมได

ดงน

1 2

2 2 1 2 2

1

2k

i

i

CH A e N Z A

N

(3.3.2)

พจารณาอสมการ (3.3.2) ดงน

1 2

2 2 1 2 2

1

2 21 2 1 2

2 1 2 2 2 1 2 2

1 1

2

k

i

i

k k

i i

i i

C NH A e N Z A

N C

C N C NA e N Z e N Z

N C N C

21 2

2 1 2 2

1

k

i

i

C Ne N Z

N C

93

4 2

1

4 2

21

42

21

2 1

21

k

i

i

k

i

i

k

i

i

Ne N Z

C

Ne N Z

m

meN N Z

2

42 1

24 1 1

2

k

i

i

Zme

NN

2

42 1

24 1 1

2

k

i

i

Zme

H NN

(3.3.3)

เมอก าหนดใหคาคงท มคานอยมากๆ หรอ N และ iZ N ไดขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารประเภทโบซอนใน 2 มต คอ

4

2

max24 1

2

meH N Z (3.3.4)

เมอ maxZ แทนประจของนวเคลยสทมากทสดในหนวยของ e 3.4 ขอบเขตทวไปของพลงงานศกย คลอมบของสสารประเภทเฟอรมออน ใน 2 มต (The General Bound for Coulomb Potential Energy of Fermionic Matter in Two Dimensions)

เราจะพจารณาหาขอบเขตทวไปของพลงงานศกย ของสสารประเภทเฟอรมออน ใน 2 มตไดจากอนภาคเฟอรมออนทเหมอนกนทกประการ N อนภาค โดยพจารณาจาก ความหนาแนนของอนภาค x ดงน

22 2

2 1 2 2d d , ,i N

N N NN

x x x x x x (3.4.1)

เมอ แทนตวก าหนดคาสปน

94

แทนฟงกชนคลนแบบปฏสมมาตร ภายใตเงอนไขการนอรมอลไลซ

2d N x x (3.4.2) และ

2 2 2

2 1 2 2 1 2 2d d d , , , , N N N N Nx x x x x x x x x

22 2 2

2 1 2 2d d d , ,

i N

n

N N Nx x x x x x

1 (3.4.3)

แยกพจารณาพจน ดานขวามอของ สมการ (3.1.103) ทละพจน โดยพจารณ าความหนาแนนของอนภาคดงเงอนไขจากสมการ (3.4.1) - (3.4.3) ได ดงตอน เขยนพจนท 1 ในดานขวามอของสมการ (3.1.103) ใหมได ดงน

2

1 2

Ni

i m

p

1

22 2 2

1 2

1

1 2

d d d , , ,2

, , ,

N

Ni

N N N

i

N N

m

2 2

2

px x x x x x

x x x

1

1

2 2 2

1 2 1 2

22 2 2

1 2

d d d , , , , , ,

d d d , , ,

N

N

N N N N N

N N N

T

T

2 2 2

2 2

x x x x x x x x x

x x x x x x

T (3.4.4)

95

เขยนพจนท 2 ในดานขวามอของสมการ (3.1.103) ใหมได ดงน

2 2

1

N

j j

e d

xx

x x

1 2

2 2 2 2 2

2 1 2 2

1

1 2 2

d d d , ,..., d

, ,...,

N

N N N

j j

N N

e

x

x x x x x x xx x

x x x

1 2

2 2 2 2 2

2 1 2 2

1

1 2 2

d d d d , ,...,

, ,...,

N

N N N

j j

N N

ex

x x x x x x xx x

x x x

1 2

22 2 2 2 2

2 1 2 2

1

2 222 2 2 2

2

2

22 2

d d d d , ,...,

d d d d

d d

N

N N N

j j

N

N

N

e

e e

N N

e

N

xx x x x x x x

x x

x x x xx x x x

x x x x

x xx x

x x

2 2 2d de

x xx x

x x (3.4.5)

เขยนพจนท 3 ในดานขวามอของสมการ (3.1.103) ใหมได ดงน

2 2 2d de

x

x x xx x

1

2 2 2 2 2 2

2 1 2 2

1 2 2

d d d , ,..., d d

, ,...,

N

N N N

N N

e

x x

x x x x x x x xx x

x x x

1

1

2 2 2 2 2 2

2 1 2 2

1 2 2

22 2 2 2 2 2

2 1 2 2

d d d d d , ,...,

, ,...,

d d d d d , ,...,

N

N

N N N

N N

N N N

e

e

x xx x x x x x x x

x x

x x x

x xx x x x x x x x

x x

2 2 2d de

x x

x xx x

(3.4.6)

96

เขยนพจนท 4 ในดานขวามอของสมการ (3.1.103) ใหมได ดงน

2

0

2

e N

1

22 2 2 0

2 1 2 2 1 2 2d d d , ,..., , ,...,2

N

N N N N N

e N

x x x x x x x x x

1

1

22 2 20

2 1 2 2 1 2 2

222 2 20

2 1 2 2

d d d , ,..., , ,...,2

d d d , ,...,2

N

N

N N N N N

N N N

e N

e N

x x x x x x x x x

x x x x x x

2

0

2

eN

(3.4.7)

เขยนพจนท 5 ในดานขวามอของสมการ (3.1.103) ใหมได ดงน

2

2 2

0

de

x x

1

1

22 2 2 2 2

2 1 2 2

0

1 2 2

22 2 2 2 2

2 1 2 2

0

1 2 2

d d d , ,..., d

, ,...,

d d d , ,..., d

, ,...,

N

N

N N N

N N

N N N

N N

e

e

x x x x x x x x

x x x

x x x x x x x x

x x x

1

22 2 2 2 2

2 1 2 2

0

1 2 2

d d d d , ,...,

, ,...,

N

N N N

N N

e

x x x x x x x x

x x x

1 2

222 2 2 2 2

2 1 2 2

0

22 2 2

0

d d d d , ,...,

1d d

N N N

e

e

N

x x x x x x x x

x x x x

2

2 2

0

de

x x (3.4.8)

97

เขยนพจนท 6 ในดานขวามอของสมการ (3.1.103) ใหมได ดงน

2 2

1

dk

j

j j

e Z

xx

x R

1

2 2 2 2 2

2 1 2 2

1

1 2 2

d d d , ,..., d

, ,...,

N

k

N N N j

j j

N N

e Z

x

x x x x x x xx R

x x x

1

2 2 2 2 2

2 1 2 2

1

1 2 2

d d d , ,..., d

, ,...,

N

k

j N N N

j j

N N

e Zx

x x x x x x xx R

x x x

1

1

2 2 2 2 2

2 1 2 2

1

1 2 2

22 2 2 2 2

2 1 2 2

1

2 2 2

1

d d d d , ,...,

, ,...,

d d d d , ,...,

1d d

N

N

k

j N N N

j j

N N

k

j N N N

j j

k

j

j j

e Z

e Z

e ZN

xx x x x x x x

x R

x x x

xx x x x x x x

x R

xx x x

x R

2 2

1

dk

j

j j

e Z

x

xx R

(3.4.9)

เขยนพจนท 7 ในดานขวามอของสมการ (3.1.103) ใหมได ดงน

2

20

12

k

i

i

eZ

1

22 2 2 20

2 1 2 2 1 2 2

1

d d d , ,..., , ,...,2

N

k

N N N i N N

i

eZ

x x x x x x x x x

1

1

22 2 2 20

2 1 2 2 1 2 2

1

222 2 2 20

2 1 2 2

1

d d d , ,..., , ,...,2

d d d , ,...,2

N

N

k

i N N N N N

i

k

i N N N

i

eZ

eZ

x x x x x x x x x

x x x x x x

2

20

12

k

i

i

eZ

(3.4.10)

98

เขยนพจนท 8 ในดานขวามอของสมการ (3.1.103) ใหมได ดงน

2

1 1

N kj

i j i j

Z e

x R

1

2

2 2 2

2 1 2 2

1 1

1 2 2

d d d , ,...,

, ,...,

N

N kj

N N N

i j i j

N N

Z e

x x x x x xx R

x x x

1

2 2 2 2

2 1 2 2

1 1

1 2 2

1d d d , ,...,

, ,...,

N

k N

j N N N

j i i j

N N

Z e x x x x x xx R

x x x

1

1

2 2 2 2

2 1 2 2

1 1

1 2 2

22 2 2 2

2 1 2 2

1 1

22 2 2 2

2

1 2

1d d d , ,...,

, ,...,

1d d d , ,...,

1 1 1d d d

N

N

k N

j N N N

j i i j

N N

k N

j N N N

j i i j

kN

j N

j j j N j

Z e

Z e

Z eN N N

x x x x x xx R

x x x

x x x x x xx R

x x xx x x

x R x R x R

2 2

1

dk

j

j j

Z e

x

xx R

(3.4.11)

จากสมการ (3.4.4) - (3.4.11) เมอเราพจารณาคาสปน ในทางกลศาสตรควอนตม พบวา

จะเกดขนไดภายใตสนามแมเหลกและหลกการกดกนของเพาลเทานน ในกรณพลงงานศกยจะไมพจารณาถงหลกการกดกนของเพาล และสนามแมเหลก ดงนนขอบเขตทวไปของพลงงานศกยของสสารประเภทเฟอรมออนจงเทากบขอบเขตทวไปของพลงงานศกยของสสารประเภทโบซอน ดงน

1 2

1 22 1 2 2 2 2

1

ˆ 2 dk

i

i

H T e N Z

x x (3.4.12)

สมการ (3.4.12) คอพลงงานทสถานะพนของสสารประเภทเฟอรมออนใน 2 มต

99

จากสมการ (3.4.12) ขอบเขตทวไปของพลงงานศกยคลอมบของสสารประเภทเฟอรมออนใน 2 มต คอ

1 2

1 22 1 2 2 2 2

1

2 dk

i

i

V e N Z

x x (3.4.13)

3.5 ขอบเขตลางของพลงงานจลน ของสสารประเภทเฟอรมออน ใน 2 มต (The Lower Bound for the Kinetic Energy of Fermionic Matter in Two Dimensions)

พจารณา ในระบบ N อนภาค โดยจะพจารณา จากอนภาค เฟอรมออนทเหมอนกน ทกประการในระบบ N อนภาค ซงมมวล m เทากน และความหนาแนนของอนภาคใน 2 มต เขยนในรปของค วามหนาแนนของอนภาคไดดงสมการ (3.4.1) และตวก าหนดสปน ในแตละคาจะมจ านวนของสถานะสป น คอ 2 1q s จ านวนทงหมดของอนภาคเฟอรมออน N อนภาคไดมาจากเงอนไขของการนอรมอลไลซดงสมการ (3.4.2) และฟงกชนคลน 1 2 2, , N N x x x เปนฟงกชนทสมมตขนมาเพอใหเหมาะสมในทาง กลศาสตร สถต ซงในกรณนจะเปนฟงกชนคลนแบบปฏสมมาตร และในการเรยงสบเปลยนกนของ 2 อนภาคใดๆ จะเปนการสบเปลยนกนของเวกเตอรต าแหนงและสปน i i j j x x

จากนนเราจะหาขอบเขตลางของพลงงานทสถา นะพนของสสารประเภทเฟอรมออนใน 2 มต ในระบบ N อนภาคโดยพจารณาจากเงอนไขดงสมการ (3.4.1) - (3.4.3) ได ดงน

2

1 2

N

i

i

Tm

p (3.5.1)

และพจารณา v x ในสมการ (3.2.16) จะได

1

N

i

i

v

x

1 2

2 2 2

1 2 2 1 2 2

1

d d d , , , , , ,N

N N N i N N

i

v

2x x x x x x x x x x

1

22 2 2

1 2 2

1

d d d , , ,N

N

N i N N

i

v

2x x x x x x x

100

1 2

22 2 2

1 1 2 2

22 2 2

2 2 1 2 2

22 2 2

1 2 2

d d d , , ,

d d d , , ,

d d d , , ,

N N N

N N N

N N N N N

v

v

v

2x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

2 2 2

2 2 2

1 1 1d d d N N Nv v v

N N N x x x x x x x x x

22 2

2 22 2 2 2

2 2

2

2 2

1 1d 2 d 2

d d

1d 2

d

N

N N

N N

T TN N

TN

x xx x x x

x x x x

xx x

x x

2

2 2

d2

dT

x x x

x x

2 2

2 2

d2

dT

x x

x x

เพราะฉะนน

1

2N

i

i

v T

x (3.5.2)

เนองจาก 1

N

i

i

v v

x x และฟงกชน v x ไมใชฟงกชน ของพลงงานศกยของตวด าเนนการ

แฮมลโทเนยน ใดๆ แต v x คอฟงกชนทเพมเขาไปเพอทจะหาคาขอบเขตลาง ของพลงงานจลน T (ส าหรบอนภาคเฟอรมออนทเหมอนกนทกประการ N อนภาค) ใน 2 มต

พจารณาตวด าเนนการ

2

1 2

Ni

i

i

vm

px (3.5.3)

นยามใหตวด าเนนการจาก (3.5.3) คอแฮมลโทเนยนทสมมตขนมาของอนภาคเฟอรมออน

N อนภาคทไมมปฏกรย าตอกน ซงอยางไรกตามตวด าเนนการใน (3.5.3) จะมปฏกรยากบศกยภายนอก v x

101

จากสมการ (3.5.1) และสมการ (3.5.2) จะไดคาความคาดหวงของพลงงานจลน T ของอนภาคเฟอรมออนในระบบ N อนภาค คอ

2

1

22

Ni

i

i

v T Tm

px

T (3.5.4) เพอใหได ขอบเขตลาง ไปจนถงขอบเขตสดทายของ สเปกตร มของตวด าเนนการแฮ มลโทเนยลใน (3.5.3) เราจะพจารณาจากสปนจ านวนมากและสภาพซอนสถานะสปน (Spin Degeneracy) โดยเราสามารถใสอนภาคเฟอรมออน N อนภาคในสถานะของพลงงานทสถานพนเดยวกนได โดยตองพจารณาจากหลกการกดกนของเพาล ถาอนภาคเฟอรมออน มจ านวนมากกวาสถานะของพลงงานทสถานะพน อนภาคเฟอรมออนอสระทเหลอเราจะเลอกใหมพลงงานจลนนอยมากๆ 0 และแยกจากกนเปนอนนต ดงนนขอบเขตของพลงงานของตวด าเนนการแฮมลโทเนยน ในสมการ (3.5.4) มขอบเขตลดลง เนองจากจ านวนของสถานะสปนทมผลตอแตละอนภาค q คณกบขอบเขตลางของพลงงาน ภายใตตวด าเนนการแฮมลโทเนยนใน (3.2.6) จะได

2

1 2

Ni

i

i

v qm

px

22

21 d

2

mq v

x x (3.5.5)

แทนสมการ (3.5.4) ลงในอสมการ (3.5.5) จะได

22

21 d

2

mT q v

x x

2

2

2 2 11 d

2 d

mq T

xx

x x

2

2

2 2 11 d 2 ; 1

2 d

mq T

xx

x x

22 1

2 2

2 2 1 1

d1 2

2 d

mq T

x x

x x

102

2 2

2 2

2 2 2 2 2

2

2 2 2

d1 2

2 d d

2 11

d

mq T

mq T

x x

x x x x

x x

2

2 2 2

2 11

d

mq T

x x

2

2 21d

2 1

T

q mx x

เมอ q แทนจ านวนของสถานะสปนทมผลตอแตละอนภาค และ 2 1 q s ดงนนขอบเขตลางของพลงงานจลนทสถานะพนของสสารประเภทเฟอรมออนใน 2 มต คอ

22 21 1

d2 1

T

q mx x (3.5.6)

3.6 ขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพน ของสสารประเภทเฟอรมออนใน 2 มต (Lower Bound for the Ground State Energy of Fermionic Matter in Two Dimensions)

หาขอบเขตลางของสสารประเภทเฟอรมออนใน 2 มต โดยแทนอสมการ (3.5.6) ในสมการ (3.4.12) ได ดงน

1 22 1 22 2 2 1 2 2 2 2

1

1d 2 d

2 1

k

i

i

H e N Zq m

x x x x

(3.6.1)

ก าหนดให 1 2

2 2d A x x และ

2

2 1C

m

เขยนอสมการ (3.6.1) ใหมได ดงน

1 2

2 2 1 2 2

1

2k

i

i

CH A e N Z A

q

(3.6.2)

103

พจารณาอสมการ (3.6.2) ดงน

H

1 2

2 2 1 2 2

1

2k

i

i

qCA e N Z A

q C

2 2

1 2 1 2

2 1 2 2 2 1 2 2

1 1

k k

i i

i i

q qC CA e N Z e N Z

q C q C

2

1 2

2 1 2 2

1

k

i

i

qCe N Z

q C

4 2

1

k

i

i

qe N Z

C

4 2

21

2 1

k

i

i

qe N Z

m

4

2

21

21

k

i

i

meq N Z

H

2

4

1

24 1 1

2

k

i

i

Zme

q NN

(3.6.3)

ก าหนดให มคานอยมากๆ หรอ N และ iN Z ไดขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารประเภทเฟอรมออนใน 2 มต คอ

4

max24 1

2

meH q N Z (3.6.4)

บทท 4 ผลการวจย

การวจยนไดหาขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารประเภทโบซอนและเฟอรม -ออนใน 2 มต ซงด าเนนตามขนตอนในบทท 3 ภายใตศกยคลอมบ เขยนสมการแฮมลโทเนยนได ดงน

2 22 2

1 1 1

ˆˆ2

N N k N ki j ji

i i j i j i ji j i j i j

Z Z e Z eeH

m

p

x x R R x R (4.0.1)

โดยท

1

, 2

k

i

i

Z N k (4.0.2)

จากสมการ (4.0.1) และ (4.0.2) เราค านวณหา ขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของส สารประเภทโบซอนและเฟอรมออนใน 2 มต ไดผลลพธ ดงตอไปน

1. จากสมการ (4.0.1) และ (4.0.2) ค านวณหาสมการของศกยคลอมบทเกดจากอนตร -กรยาระหวางอเลกตรอนทขนกบความหนาแนนของอนภาค x ไดดงสมการ

2 22 2 2 2

1

d d d2

N N

i j ii j j

e ee

x xx x x x

x xx x x x

2 2

2 20

0

d2

e eN x x (4.1.1)

และ ค านวณหา สมการของศกยคลอมบทเกดจากอนตรกรยาระหวางนวเคลยส ทขนกบความหนาแนนของอนภาค x และ 2k ไดดงสมการ

2 22 2 2 2

1

d d d2

k ki j

j

i j ji j j

Z Z e ee Z

x xx x x x

x xR R x R

2 2

2 2 20

1 0

d2

k

j

j

e eZ

x x (4.1.2)

105

2. เนองจากในทาง กลศาสตรควอนตม ในการศกษาถง สปน พบวาจะเกดขนไดภายใตสนามแมเหลกและหลกการกดกนของเพาลเทานน ใน กรณพลงงานศกยจะไมพจารณาถงหลกการกดกนของเพาล และเนองจากเราพจารณาระบบของอนภาคโบซอนในกรณทสปนมคาเปนศนย ดงนนขอบเขตทวไปของพลงงานศกย คลอมบของสสารประเภทเฟอรมออนจงเทากบขอบเขตทวไปของพลงงานศกย คลอมบ ของสสารประเภทโบซอน เมอแทนผลลพธทไดจาก สมการ (4.1.1) และ (4.1.2) ลงในสมการ (4.0.1) แลวด าเนนการกบฟงกชนคลน ภายใตเงอนไขของการนอรมอลไลซและ 2d Nx x เมอ x แทนความหนาแนนของอนภาค ไดขอบเขตทวไปของ พลงงานศกยคลอมบของสสารประเภทโบซอนและเฟอรมออนใน 2 มต ดงสมการ

1 2

1 22 1 2 2 2 2

1

2 dk

i

i

V e N Z

x x (4.2.1)

3. พจารณาอสมการชวงเงอรใน 2 มต โดยไมสนใจหลกการกดก นของเพาลและขอบเขต

ลางของพลงงานจลนในรปยกก าลงของ ปรพนธ ของ 2 เมอ คอความหนาแนนของอนภาค ค านวณหาขอบเขตลางของพลงงานจลนของสสารประเภทโบซอนใน 2 มตได ดงอสมการ

22 21

d2 1

TN m

x x (4.3.1)

4. พจารณาอสมการ ชวงเงอร ใน 2 มตทสอดคลองตามหลกการกดกนของเพาล และ

ขอบเขตลางของพลงงานจลนในรปยกก าลงของ ปรพนธ ของ 2 ค านวณหาขอบเขตลางของพลงงานจลนของสสารประเภทเฟอรมออนใน 2 มตได ดงอสมการ

22 21

d2 1

Tq m

x x (4.4.1)

5. จากสมการ (4.2.1) และอสมการ (4.3.1) สามารถค านวณหาขอบเข ตลางของสสาร

ประเภทโบซอนใน 2 มตได ดงน

4

2

max24 1

2

meH N Z (4.5.1)

106

หรอ

2

max4 1 H N Z (4.5.2)

อสมการ (4.5.2) พจารณาในหนวยรดเบรก เมอ

4

2

0

1Ry2 4

me

6. จากสมการ (4.2.1) และอสมการ (4.4.1) สามารถค านวณหาขอบเขตล างของสสารประเภทเฟอรมออนใน 2 มตได ดงน

4

max24 1

2

meH q N Z (4.6.1)

หรอ

max4 1 H q N Z (4.6.2) อสมการ (4.6.2) พจารณาในหนวยรดเบรก

บทท 5 สรป อภปรายผลการวจย และขอเสนอแนะ

ในการวจยนเราไดก าหนดเงอนไขการวเคราะหหาขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารใน 2 มต จากระบบอนภาคโบซอนและเฟอรมออนในระบบ N อนภาค โดยพจารณาภายใต ศกยคลอมบ ผลลพธท ไดแสดงในรปฟ งกชนของจ านวนอเลกตรอนและจ านวนนวเคลยส สามารถสรปผลและอภปรายผลการวจยได ดงตอไปน สรปผลการวจย การวจยนไดศกษาหาขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสาร ประเภทโบซอนและเฟอรมออน ใน 2 มต จากสมการ แฮมลโทเนยน ภายใตอนตรกรยาคลอมบ โดยทประจบวกถกก าหนดใหอยกบทและ สสารเปนกลางทางไฟฟา ซงจ านวนนวเคลยสตองมากกวาหรอเทากบ 2 เทานน ไดขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสาร ประเภทโบซอนและเฟอรมออน ใน 2 มต ดงน 1. ไดขอบเขตลางของ พลงงานท สถานะพน ของสสารประเภทโบซอนใน 2 มต คอ

4

2

max24 1

2N

meE N Z

หรอ 2

max4 1 NE N Z ในหนวยรดเบรก

2. ไดขอบเขตลา งของพลงงานทสถานะพน ของสสารประเภทเฟอรมออนใน 2 มต คอ

4

max24 1

2N

meE q N Z

หรอ max4 1 NE q N Z ในหนวยรดเบรก

อภปรายผลการวจย

จากงานวจยของมทาพรและมาโนเกยน ไดขอบเขตบนของพลงงานทสถานะพนของสสารประเภทโบซอนใน 2 มต คอ 20.0002 NE N ดงนนเมอเราพจารณาขอบเขตบนรวมกบขอบเขตลางของสสารประเภทโบซอนใน 2 มต ทไดมาจะ ไดขอบเขตของพลงงานทสถานะพนของสสารประเภทโบซอนในระบบ N อนภาค คอ 2 2

max4 1 0.0002 NN Z E N ในหนวยรดเบรก

โดยท

4

2

0

1Ry 13.6057eV2 4

me เมอ Ry แทนคาคงทของรดเบรก

ขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพน NE ของสสารประเภทโบซอนจะเปนไปตามกฎเลขยกก าลงในรป NE N เมอ 1 ซงส าหรบกรณใน 2 มตเราพบวา 2 ดงนน 2 NE N เลขยกก าลงนแสดงถงความไมเสถยรภาพของสสาร โดยพจารณาไดจากระบบทมอนภาคประจบวก N อนภาค และอนภาคประจล บ N อนภาค ดงนนสสารทเปนกลาง ทางไฟฟาจะ ประกอบดวย

108

2N อนภาค เมอน าระบบ 2N อนภาค 2 ระบบมารวมกนโครงส รางของสสารจะประกอบดวย 2 2N N อนภาค แตในงานวจยน จะพจารณาเฉพาะ ระบบทมอนภาคประจ ลบ N อนภาคเทานน เนองจากประจบวกถกก าหนดใหอยกบท ดงนนโครงสรางของสสารจะประกอบดวย N อนภาค เมอน าระบบ N อนภาค 2 ระบบมารวมกนโครงสรางของสสารจะประกอบดวย N N อนภาค เมอพจารณาโครงสรางของสสารทประกอบดวย N N อนภาค โดยเปรยบเทยบ ผลตางระหวางพลงงานทสถานะพนของสสารประเภทโบซอนใน 2 มตหลงการรวมตวกนแลวของระบบ N อนภาคจาก 2 ระบบรวมเปน 1 ระบบกบพลงงานทสถานะพนของสสารประเภทโบซอนใน 2 มตกอนการรวมตวกนของ 2 ระบบทแตละระบบประกอบไปดวย N อนภาค ซงจะเปนสดสวนกบ

2 22 2N N อนภาค เมอพจารณาผลตางของพลงงานทสถานะพน พบวา ผลตางของ

พลงงานทสถานะพนจะมคาลดลง เนองจากการคายพลงงานของระบบทประกอบดวยอนภาคจ านวนมากซงจะมอทธพลตอการยบตว ของสสารประเภทโบซอนจาก 2 ระบบเปน 1 ระบบ สสารประเภทโบซอนในกอนสสารจะยบตวท าใหลดลงกลายเปนเฟสความหนาแนนสง การรวมตวกนของ 2 วตถซงมองเหนดวยตาเปลาจะปลดปลอยพลงงานออกมา เทยบไดกบการระเบดอะตอม ดงนนแลวสสารทไมเปนไปตามหลกการกดกนของเพาลหรอสสารประเภทโบซอนใน 2 มตจะไมเสถยร

ขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพน NE ของสสารประเภทเฟอรมออนจะเปนไปตามกฎเลขยกก าลงในรป NE N ขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารประเภทเฟอรมออนใน 2 มตจะมเลขยกก าลงของ N เทากบ 1 เลขยกก าลงนแสดงถงความเสถยรภาพของสสาร เมอพจารณาจากระบบทมอนภาคประจบวก N อนภาค และอนภาคประจลบ N อนภาค ดงนนสสารทเปนกลางทางไฟฟาจะประกอบดวย 2N อนภาค เมอน า ระบบ 2N อนภาค 2 ระบบมารวมกนโครงสรางของสสารจะประกอบดวย 2 2N N อนภาค แตในกรณของสสารประเภทเฟอรมออนจะพจารณาเฉพาะ อนภาคประจล บ N อนภาคเทานน เนองจากประจบวกถกก าหนดใหอยกบท ดงนนโครงสรางของสสารจะประกอบดวย N อนภาค เมอน าระบบ N อนภาค 2 ระบบมารวมกนโครงสรางของสสารจะประกอบดวย N N อนภาค เมอ พจารณาโครงสรางของสสารทประกอบดวย N N อนภาค โดยเปรยบเทยบ ผลตาง ระหวางพลงงานทสถานะพนของสสารประเภทเฟอรมออนใน 2 มตหลงการรวมตวกนแลวของระบบ N อนภาคจาก 2 ระบบรวมเปน 1 ระบบกบพลงงานทสถานะพนของสสารประเภทเฟอรมออนใน 2 มตกอนการรวมตวกนของ 2 ระบบทแตละระบบประกอบไปดวย N อนภาค ซงจะ เปนสดสวนกบ 1 1

2 2N N อนภาค เมอ

พจารณาผลตางของพลงงานทสถานะพน พบวาผลตางของ พลงงานทสถานะพน เปนศนย ดงนนสสารประเภทเฟอรมออนจะเกดการขยายตวของสสารจาก 2 ระบบเปน 1 ระบบใน 2 มตและสสารทเปนไปตามหลกการกดกนของเพาลหรอสสารประเภทเฟอรมออนใน 2 มตยงคงความเสถยร

109

ขอเสนอแนะ ในการวจยน เราไดขอบเขตของพลงงานทสถานะพนของสสารประเภทโบซอนใน 2 มตเทานน สวนในกรณ ขอบเขตของพลงงานทสถานะพนขอ งสสารประเภทเฟอรมออนใน 2 มต เรายงไมสามารถหาไดเนองจากขอบเขตบนของ พลงงานทสถานะพนของสสารประเภท เฟอรมออน ใน 2 มตอยในระหวางการท าวจย ขอจ ากดขอหนงคอ ในการวจ ยนศกษาภายใตเงอนไขศกย คลอมบ โดยทประจบวกถกก าหนดใหอยกบท เทานน ด งนนการท าวจยในอ นาคต อาจพจารณาศกยในรปของลอการ ทมธรรมชาต หรอพจารณาในระบบทประจบวกเคลอนท หรอระบบอยในสนามในล าดบตอไป

บรรณานกรม

111

บรรณานกรม Abramowitz M; & Stegun I. A. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Table. New York: Dover. Arfken, B. George; & Weber, J. Hans (1995). Mathematical Methods for Physicists.

4th ed. Ohio: Academic Press. Baer Rio. (2008, October). Electron Density Functional Theory. Israel: The Fritz Haber

Center for Molecular Dynamics. Bethe, A. Hans; & Jackiw, W. Roman. (1993). Intermadiate Quantum Mechanics.

3rd ed. Massachusetts: Addison – Wesley Publishing Company. Conlon, Lieb E; & Horng, Tzer Yau. (1988 May 12). The 7 5N Law for Charged

Bosons. Communications in Mathematical Physics. 116 : 417 – 448. Dyson, Freeman J; & Lenard A. (1967 May). Stability of Matter I. Journal of

Mathematical Physics. 8 : 423. Hobby of Electronic. (1998). Logarithm Table. Retrieved May 20, 2009, from

http://www.massmind.org/images/www/hobby_elec/e_logarithm.htm. Jeffrey Alan. (1995). Handbook of Mathematical Formulas and Integrals. Newcastle: Academic Press. Gradshteyn I. S; & Ryzhik I. M. (2000). Table of Integrals, Series, and Products. 6th ed.

Cambridge, U. K.: Academic Press. Griffiths, David J. (1995). Introduction to Quantum Mechanics. Reed : Prentice Hall. Kreyszig Erwin. (2006). Advanced Engineering Mathematics. 9th ed. Ohio: John

Wiley & Sons. Lenard A; & Dyson, Freeman J. (1968 May). Stability of Matter II. Journal of

Mathematical Physics. 9 : 698. Liboff L. Richard. (1992). Introductory Quantum Mechanics. 2nd ed. New York: Addison –

Wesley Publishing Company, Inc. Lieb, Elliott H; & Thirring, Walter E. (1975). Bound for the Kinetic Energy of

Fermions which Proves the Stability of Matter. In Stability of Matter from Atoms to Stars. Thirring W. pp. 323 – 325. Vienna: Springer – Verlag.

112

Lieb, Elliott H; & Thirring W. (1976). Inequalities or the Moments of the Eigenvalues of the Schrödinger Hamiltonian and Their Relation to Sobolev Inequalities. In Stability of Matter from Atoms to Stars. Thirring W. pp. 135 – 168. Vienna: Springer – Verlag.

Lieb, Elliott H. (1979). The 5 3N Law for Bosons. In Stability of Matter from Atoms to Stars. Thirring W. pp. 327 – 329. Vienna: Springer – Verlag.

Lieb, Elliott H; & Stephen Oxford. (1981). Improved Lower Bound on the Indirect Coulomb Energy. In Stability of Matter from Atoms to Stars. Thirring W. pp. 65 – 68. Vienna: Springer – Verlag.

Loss Michael. (2005, November). Stability of Matter. Retrieved November 20, 2008 from E-mail: loss@math. Gatech. Edu © 2005 by the author.

Manoukian E.B; & Muthaporn C. (2004, October). Instability of Bosonic Matter in all Dimensions. Physical Review Letters A 321: 152 – 154.

Mark Winter. (2009). WebElements Periodic Table. Retrieved May 15, 2009, from http://www.webelements.com

Muthaporn C; & Manoukian E.B. (2004, November). 2N Law For Bosons in 2D. Reports on Mathematical Physics. Vol. 53: 415 – 424. Schwinger J. (1961). On the Bound States of a Given Potential. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 47: 122-129. Tang C.L. (2005). Fundamentals of Quantum Mechanics for Solid State Electronics and Optics. Cornell: Cambridge University Press. Thirring Waiter. (1990). [Dyson F. and Lieb H.] The Stability of Matter from Atoms to

Stars. Vienna: Springer – Verlag. Zettili Nouredine. (2001). Quantum Mechanice Concepts and Applications. New York: John Wiley & Sons, LTD.

113

ภาคผนวก

114

ภาคผนวก ก อสมการชวงเงอร (Schwinger Inequality) ใน 2 มต

115

ขอบเขตลางของคาความคาดหวงของพลงงานจลนของสสารใน 2 มต เพอหาขอบเขตลาง ของพลงงานจลน T เราจะพจารณาหาคาความคา ดหวงของพลงงาน

จลนจากตวด าเนนการแฮมลโทเนยนของอนภาคเดยว ดงสมการ

0ˆ ˆH H V (ก.1)

เมอ 0H แทนตวด าเนนการแฮมลโทเนยนอสระ โดย 2

0

ˆ

2H

m

p

V แทนพลงงานศกยของระบบ เราจะค านวณหาขอบเขตลางของตวด าเนนการ แฮมลโทเนยน จากสมการ (ก.1) โดยเพมตวพารามเตอร g เขาไป เมอ 0g และนยามสมการใหมได ดงน

0ˆ ˆH g H gV x (ก.2)

เมอแทนคา 1g ในสมการ (ก.2) พบวาสมการจะสอดคลองกบสมการ (ก.1)

พจารณาพจนของพลงงานศกยจากสมการ (ก .2) ตามวธฟงกชนขนบนได (Step Function) ดงน

1V V

V V V

V V V V

x x

x x x

x x x x

V V V x x x (ก.3) เนองจาก 0V V x x ในขณะท 1V V x x

ก าหนดให v V Vx x x และ 0v x ดงนนเขยนอสมการ (ก.3) ใหมได ดงน

V v x x (ก.4) แทนอสมการ (ก.4) ลงในสมการ (ก.2) ไดดงตอไปน

0ˆ ˆ H g H gV x (ก.5)

116

และ

0ˆ ˆH g H gv x (ก.6)

ก าหนดให ˆ

N H g แทนจ านวน ของคาเจาะจง ของ ˆ gH โดย 0 สราง

ความสมพนธระหวางคาเจาะจงของสองตวด าเนนการ H g และ 0H gv x สเปกตรมของสองตวด าเนนการนจะถกก าหนดขอบเขตใหลดลงเนองจากเวกเตอร ทงหมดในขอบเขตก าเนด (Domains) ของ H g และ 0H gv x จะได

0ˆ ˆH g H gv x (ก.7)

ดงนนจ านวนของคาเจาะจง ของสถานะขอบ (Bound State) ของ 0H gv x ไมสามารถมคาทนอยกวาจ านวนของคาเจาะจงของ สถานะขอบของ H g ได เขยนความสมพนธระหวาง จ านวนของคาเจาะจงของสถานะขอบของ 0H gv x และ H g ได ดงน

0 0ˆ ˆ

N H gv N H gVx x (ก.8)

เมอ g อยในชวง 0 g g เขยนความสมพนธระหวาง g และ g ได ดงน

0 0ˆ ˆH g v H gv x x (ก.9)

ในท านองเดยวกนกบสมการ (ก.8) จะได

0 0ˆ ˆ

N H gv N H g vx x (ก.10)

จากอสมการ (ก.3) ถง (ก.10) เราเขยนความสมพนธทส าคญได ดงน 0

ˆN H gv x [จ านวนของคาเจาะจงของ g จะอยชวงในชวง 0 g g

ส าหรบ 0H g v x จะมคาเจาะจงเทากบ (ก.11) ดงนน 0H g v x มพลงงานเปน

117

พจารณาสมการ (ก.11) ภายใตเงอนไขของการนอรมอลไลซ เราสามารถหาสมการคาเจาะจง (Eigenvalue Equation) ของ 0H g v x ได ดงน

2

0 0

2

2

ˆˆ ˆ;2

ˆ

2

ˆ

2

H g v Hm

g vm

g vm

g v v

px

px

px

x x

g v x (ก.12)

เมอ v x น า v x คณทงสองขางของสมการ (ก.12) จะได

2

2

2

1

2

ˆ

v g v vm

v g v v

m

g A

px x x

x x xp

1A

g

(ก.13)

เมอ A แทนตวด าเนนการทมคาเปนบวกใดๆ

ตวด าเนนการ A มคาดงน

2

1ˆˆ

2

A v v

m

x xp

(ก.14)

118

คาเจาะจงของตวด าเนนการ A จากสมการ (ก.14) จะมคาเปน 1

g ซงอยในชวง 0 g g เขยน

ความสมพนธระหวางตวด าเนนการ A กบคาเจาะจง 1

g โดยพจารณาจากนยามของฟงกชนเดล -

ตาดแรก ดงน

1

1 1

ˆ

ˆ ˆ ˆˆ ˆ

n m nm

n n

n

n n m m nm n m

n m nm

I

A IAI A A

ˆ ˆnm n mA A (ก.15)

เมอ I แทนตวด าเนนการหนวย (Unit Operator) ดงนน

1 1

1 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆj j j j

j jj j

A IA I I I g g g gg g

1

1ˆj j

j j

A g gg

(ก.16)

เมอ 1 ˆj j

j

g A gg

แทนเลขจ านวนเตมบวกใดๆ โดย 0 จากสมการ (ก.14) ส าหรบ 0 เขยนลกษณะเฉพาะนได ดงน

1ˆd Ag

x x x [จ านวนของคาเจาะจงทงหมดของ g ทเปนคาเจาะจงของ A จะ

อยในชวง0 g g ส าหรบ 0H g v x มคาเจาะจงเทากบ ] (ก.17)

119

แทนอสมการ (ก.17) ลงในอสมการ (ก.11) จะได

0ˆˆN H gv g d A

x x x x (ก.18)

อสมการ (ก.18) เรยกวาอสมการชวงเงอร (Schwinger’s Inequality)

พจารณาอสมการชวงเงอรใน 2 มต โดยแทน 2, 1g x และเราเลอกให 2 ลงในดานขวามอของอสมการ (ก.18) เขยนสมการได ดงน

2 2 2

2 2 2 2

*2 2

22 2

1g d A d A

d A d d A A

d d A A

d d A

x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x

2

2 2

2

1

2

d d v v

m

x x x x x xp

(ก.19)

พจารณาในพจน

2

2

1

2m

x xp

โดยก าหนดให 2

1 ˆ

2

A

m

x x x p xp

และ

เขยนในรปของความสมพนธลกโซได ดงน

2

2 2

2 2

2 2i i

2 2

1 ˆ

2

d d ˆ

2 2

d d ˆe e2 2

A

m

A

Ap p

x x

x x x p xp

p px p p p p p x

p pp p p

120

i

i

2 2

2 2

2 22 2

2 2

d d ˆe2 2

d d ˆe 22 2

A p

A

p x p x

p x p x

p pp p

p pp p p

i

i

i

i cos

2 22 2

2 2

2

2

2

2 2

2

2 2

0 0

d dˆ 2 e2 2

d ˆ e2

d e

2

2

1 ed d ;

2

2

p

A

A

m

p pp

m

p x p x

p x x

p x x

p pp p p

pp

p

p

x x

i cos2

2 2

0 0

1 1d e d

2

2

p

p pp

m

(ก.20)

หาปรพนธของ i cos2

0

e d

p เทยบตวแปร จะได

i cos

2

0

0

e d 2

p p

J (ก.21)

แทนสมการ (ก.21) ลงในสมการ (ก.20) จะได

0

22 2

0

02 2

0

1 2d

2

2 2

4d

22

J pp p

p

m m

m p pJ p

p m

x xp

02 2

0

d2

m p pJ p

p m

(ก.22)

121

กราดซเทน และไรซค1 หาปรพนธของ 02

0

d2

p pJ p

p m เทยบตวแปร p ได ดงน

0 02 2

0

d

pJ ap p K ak

p k (ก.23)

เมอ 0K แทนฟงกชนเบสเซลชนดทสองแบบปรบปรงอนดบศนย

แทนสมการ (ก.23) และ ,

a 2 k m ลงในดานขวามอของสมการ (ก.22) จะได

022

21

2

mmK

m

x xp

(ก.24)

เพราะฉะนน

2

22

022

22

02

21

2

2;

mmK

m

mmK

x xp

x x

22

02

2mmK

x x (ก.25)

1 Gradshteyn I. S; & Ryzhik I. M. (2000). Table of Integrals, Series, and Products. 6th ed. p. 663.

122

แทนสมการ (ก.25) ลงในสมการ (ก.19) จะได

22

2 2 2 2

02

2d d

mmd A v v K

x x

x x x x x x x

22

2 2

02

2d d

mmv v K

x x

x x x x (ก.26)

ดงนนเมอแทนสมการ (ก.26) ลงในอสมการ (ก.18) จะได

22

2 2

0 02

2d d

mmN H v v v K

x x

x x x x x (ก.27)

นยามพจนดานขวามอของอสมการ (ก.27) ในรปอสมการของยงได ดงน

1 1 1

2 2 2 2

r p qr p q

d d f g h d f d x g x x x x x x x x x

1

2s

s

d h x x (ก.28)

จากเงอนไขอสมการของยง 1 1 1 11

p q s r ก าหนดให 1, 2, 2, 1r p s q และแทน

ฟงกชนตางๆได ดงตอไปน

f vx x (ก.29a)

2

0

2mg K

x xx x (ก.29b)

2

0

2mg K

xx (ก.29c)

h v x x (ก.29d)

123

แทนคาของ , , ,p s q r และสมการ (ก.29a) - (ก.29d) ลงในอสมการ (ก.28) จะได

2

2 2

0

2md d v K v

x x

x x x x

2

1 2 1 22 22 2 2

0

2

1 2 1 22 22 2 2

0

2d d d

2d d d

mv K v

mv v K

xx x x x x

xx x x x x

2

22 2

0

2d d

mv K

x

x x x (ก.30)

อทเกรตพจนท 2 ดานขวามอของอสมการ (ก.30) จะได

2 2

2

2

0 0

0 0

2 2d d d

m x mK K x x

xx

2

0

0

22 d

x mK x x

(ก.31)

หาปรพนธของ 2

0

0

2d

x mK x x เทยบตวแปร x จะได

2 2

0 0 2

0 0

2

02

0

d d ;

1d

uK xa x x K u u u xa

a

K u u ua

124

กราดซเทน และไรซค1 หาปรพนธของ 2

0

0

d

K u u u เทยบตวแปร u ได ดงน

2

0

0

1d

2K u u u

ดงนน

2

0 2

0

1d

2K xa x x

a

(ก.32)

แทนสมการ (ก.32) และแทน 2ma

ลงในสมการ (ก.31) จะได

22

2

0

2d 2

2 2

mK

m

x

x

2

2m

(ก.33)

แทนสมการ (ก.33) ลงในอสมการ (ก.30) จะได

2

222 2 2

0

2d d d

2

mv K v v

m

x xx x x x x x (ก.34)

1 Gradshteyn I. S; & Ryzhik I. M. (2000). Table of Integrals, Series, and Products. 6th ed. p. 676.

125

ดงนนเมอแทนอสมการ (ก.34) ลงในอสมการ (ก.27) จะได

2 2

22

0 2d

2

mN H v v

m

x x x

22

2d

2

mv

x x (ก.35)

โดยท 0v x

126

ภาคผนวก ข ขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนของสสารใน 2 มต ในกรณ 1k

127

พจารณาเงอนไขในกรณท 1k ในกรณท 1k เขยนสมการตวด าเนนการแฮมลโทเนยนได ดงน

2 22 1

1

1 1 1 1

ˆˆ2

N N Ni

i i j i j ii j

Z eeH

m

p

x Rx x (ข.1)

โดยท

2 211

1 1 11

N N

i j ji j

Z e Ne

x R x R

(ข.2)

ในกรณท 1k พจน 2k

i j

i j i j

Z Z e

R R จะหายไป เราสามารถเขยนพจน

2N

i j i j

e

x x จากสมการ

(3.1.99) ใหมได ดงน

22 2 22 2 2 2 2 20

1 0

d d d d2 2

N N

i j ji j j

e Ne e ee

x xx x x x x x

x xx x x x

(ข.3) เพราะฉะนน

2 222 2 2 2 0

1 1

2 22 2

10

2 22 2 2 2 2 0

1 1

2 2 22 2 2 2

10

ˆˆ d d d2 2 2

d

ˆd d d

2 2

d d d2

N Ni

i j j

N

j j

N Ni

i j j

N

j j

e NeH e

m

e Ne

e Ne e

m

e e Ne

x xpx x x x

x xx x

x xx R

x xpx x x x

x xx x

xx x x x x

x x x R

2 22 2 2

2 2 2 20

1 10

ˆd d d

2 2 2

N N

i

i j j

e Ne Ne e

m

xpx x x x x

x xx R

2 2 2 2

1

d d d

N

j j

ex x

x x x xx xx x

(ข.4)

128

เราสามารถค านวณหาขอบเขตลางของพลงงานศกยของสสารประเภทโบซอนใน 2 มต ไดจากสมการ (ข.4) โดยพจารณาจากตวด าเนนการ แฮมลโทเนยน H จากเงอนไขการนอรมอลไลซ

ความเปนกลางทางไฟฟา 1

k

i

i

Z N

และ 1k ได ดงน

2 222 2 0

1 0

2 22 2

1

ˆˆ d2 2

d d2

Ni

i

N

j j

e NeH

m

Ne e

px x

xx x x

x xx R

2 2 2 2

1

d d d

N

j j

ex x

x x x xx xx x

(ข.5)

แยกพจารณาสมการ (ข.5) ทละพจน โดยพจาณาจากเงอนไขความหนาแนนของอนภาค ดงตอไปน

22 2

2 2d ...d , ,...,N NN x x x x x x (ข.6) ภายใตเงอนไขการนอรมอลไลซ

2d N x x (ข.7) และ

2 2 2

2 2 2

22 2 2

2 2

d d ...d , ,..., , ,...,

d d ...d , ,...,

N N N

N N

x x x x x x x x x

x x x x x x

1 (ข.8) เขยนพจนท 1 ในดานขวามอของสมการ (ข.4) ใหม ดงน

2

1

ˆ

2

Ni

i

Tm

p (ข.9)

129

เขยนพจนท 2 ในดานขวามอของสมการ (ข.4) ใหม ดงน

2 2

2 2 2 2

0 0

d de e

x x x x (ข.10)

เขยนพจนท 3 ในดานขวามอของสมการ (ข.4) ใหม ดงน

2 2

0 0

2 2

e N eN

(ข.11)

เขยนพจนท 4 ในดานขวามอของสมการ (ข.4) ใหม ดงน

2

1

N

j j

Ne

x R

2

2 2 2

2 2 2

1

d d d , ,..., , ,...,N

N N N

j j

Ne

x x x x x x x x xx R

2 2 2 2

2 2 2

1 1

1d d d , ,..., , ,...,

k N

N N N

j i j

Ne

x x x x x x x x xx R

2 2 2 2

2 2 2

1

1d d d , ,..., , ,...,

k

N N N

j i j

Ne

x x x x x x x x xx R

22 2 2 2

2

1 2

1 1 1d d d

kN

N

j N

NeN N N

x x xx x x

x R x R x R

2 2dNe

x

xx R

(ข.12)

เขยนพจนท 5 ในดานขวามอของสมการ (ข.4) ใหม ดงน

2 2

2 2 2 2d d d d2 2

e e

x x x

x x x x xx x x x

(ข.13)

130

เขยนพจนท 6 ในดานขวามอของสมการ (ข.4) ใหม ดงน

2 2 2 2

1

d d d 0N

j j

e

x x

x x x xx xx x

(ข.14)

แทนสมการ (ข.9) - (ข.14) ลงในสมการ (ข.5) จะได

22 2

2 2 2 2 2 20

0

ˆ d d d d2 2

ee e

H T N Nex x x

x x x x xx R x x

(ข.15)

ก าหนดขอบเขตพจนทเปนบวก 22 2d d

2

e

x x

x xx x

จากสมการ (ข.15) ใหมคาลดลงจน

เปนศนย ดงนนเขยนสมการ (ข.15) ใหมได ดงน

22

2 2 2 20

0

ˆ d d2

eeH T N Ne

x

x x xx R

(ข.16)

หาอนพนธของสมการ (ข.16) เทยบตวแปร 0 เพอหา 0 ทเหมาะสมทสด ดงน

222 2 2 20

0 0 0 0 0 0

222 2 0

0 0 0

2 22 20

0 0 0

ˆ d d2

0 0 d2

d2

eeH T N Ne

eeN

e eN

xx x x

x R

x x

x x

22 2 2

0

0 0 0

2 22 2

2

0

22 2 2

0 2

2 2

1d

2

d2

2d

2d

eN e

e eN

e

e N

N

x x

x x

x x

x x

131

เพราะฉะนน

1 2

2 2

0

2d

N

x x (ข.17)

แทนสมการ (ข.17) ลงในสมการ (ข.16) จะได

ˆ H

1 22 2

2 2 2 2 2 2

1 2

2 2

2d d d

22d

e eT N Ne

N

N

xx x x x x

x Rx x

1 2 1 2

1 2 1 22 2 2 2 2 2 2 2d d d

2 2

N NT e e Ne

xx x x x x

x R (ข.16)

ขอบเขตลางของพลงงานทสถานะพนแบบแมนตรงของสสารใน 2 มต คอ

1 2

1 22 2 2 2 2ˆ 2 d d

2

NH T e Ne

xx x x

x R (ข.17)

จากสมการ (ข.17) ขอบเขตทวไปของพลงงานศกยคลอมบของสสารประเภทโบซอนและเฟอรมออนใน 2 มต คอ

1 2

1 22 2 2 2 22 d d

2

NV e Ne

xx x x

x R (ข.18)

132

ภาคผนวก ค

วธพสจนหา 2

i cos

0

e dkx

และ 2

i cos

0

e dkx

133

พสจนหา 2

i cos

0

e dkx

ได ดงน

2 2

i cos i

0 0

e cos cos isin cos d ; e cos isinkx d kx kx

2 2

0 0

cos cos d isin cos dkx kx

(ค.1)

จากสมการ (ค.1) พจารณาพจน cos coskx ในรปของอนกรมก าลงได ดงน

2 2

0

1 coscos cos

2 !

m m m

m

kxkx

m

(ค.2)

จากสมการ (ค.1) พจารณาพจน i sin coskx ในรปของอนกรมก าลงได ดงน

2 1

0

cosisin cos i 1

2 1 !

n

n

n

xkx

k

(ค.3)

แทนสมการ (ค.2) และ (ค.3) ลงในสมการ (ค.1) ได ดงน

2 2 122 2

i cos

0 00 0

2 2 122 2

0 00 0

2 2 12 22 12

0 00 0

1 cos cose d i 1 d

2 ! 2 1 !

1 cos cosd i 1 d

2 ! 2 1 !

1cos d i 1 cos d

2 ! 2 1 !

1

m m nmnkx

m n

m m nmn

m n

m m n

n nm

m n

m

kx x

n n

kx x

m n

kx x

m n

k

221

2 2 10 0 0

22 1

20 1 0

2 2 sin 2 21 1

2 ! 2 2 2 2

2 1 sin 2 2 11i 1

2 1 ! 2 2 2 1

mm

m mm p

nn

n

nn q

m mx m p xx

m pm m p

nx n q x

qq n q

134

21

2 2 10 0

2 1

20 1

2

220

2

220

2 21 sin 2 2 21 12

2 ! 2 2 2 2

2 1 sin 2 2 2 11i 1

2 1 ! 2 2 2 1

1 2 !2

2 2 ! !

12

2 !

m mm

m mm p

nn

n

nn q

m m

mm

m m

mm

m mkx m p

m pm m p

nx n q

qk n q

kx m

m m

kx

m

02 J kx (ค.4)

พสจนหา 2

i cos

0

e dkx

ได ดงน

2 2

i cos i

0 0

e cos cos +isin cos d ; e cos isinkx d kx kx

2 2

0 0

cos cos d isin cos dkx kx

(ค.5)

จากสมการ (ค.5) พจารณาพจน cos coskx ในรปอนกรมก าลงได ดงน

2 2

0

1 coscos cos

2 !

m m m

m

kxkx

m

(ค.6)

จากสมการ (ค.5) พจารณาพจน i sin coskx ในรปอนกรมก าลงได ดงน

2 1

0

cosisin cos i 1

2 1 !

n

n

n

xkx

k

(ค.7)

แทนสมการ (ค.6) และ (ค.7) ลงในสมการ (ค.5) ได ดงน

2 2 122 2

i cos

0 00 0

1 cos cose d i 1 d

2 ! 2 1 !

m m nmnkx

m n

kx x

n n

135

2 2 122 2

0 00 0

1 cos cosd i 1 d

2 ! 2 1 !

m m nmn

m n

kx x

m n

2 2 12 22 12

0 00 0

1cos d i 1 cos d

2 ! 2 1 !

m m n

n nm

m n

kx x

m n

221

2 2 10 0 0

22 1

20 1 0

2 21 sin 2 21 1

2 ! 2 2 2 2

2 1 sin 2 2 11i 1

2 1 ! 2 2 2 1

m mm

m mm p

nn

n

nn q

m mkx m p xx

m pm m p

nx n q x

qq n q

21

2 2 10 0

2 1

20 1

2 21 sin 2 2 21 12

2 ! 2 2 2 2

2 1 sin 2 2 2 11i 1

2 1 ! 2 2 2 1

m mm

m mm p

nn

n

nn q

m mkx m p

m pm m p

nx n q

qk n q

2

220

1 2 !2

2 2 ! !

m m

mm

kx m

m m

2

220

12

2 !

m m

mm

kx

m

02 J kx (ค.8)

136

ประวตยอผวจย

137

ประวตยอของผวจย ชอ – ชอสกล นายกตตศกด ศรวงคษา วน เดอน ปเกด 10 ธนวาคม 2524 สถานทเกด สกลนคร สถานทอยปจจบน 99/3 หม 2 ซอยสอนพฒนา ถนนพงโคน – วารชฯ บานนาเหมอง ต าบลพงโคน อ าเภอพงโคน จงหวดสกลนคร 47160 ประวตการศกษา

พ.ศ. 2544 มธยมศกษาตอนปลาย จากโรงเรยนสกลราชวทยานกล

พ.ศ. 2548 คบ. (สาขาวชาฟสกส) จากมหาวทยาลยราชภฏสกลนคร

พ.ศ. 2553 กศ.ม. (สาขาวชาฟสกส) จากมหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ