คณิตศำสตร์ -...

คณตศำสตร ตำมมำตรฐำนกำรเรยนรและตวชวดกลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2560)ตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551

ชนมธยมศกษำปท 2 เลม 2

ผเรยบเรยงนำงกนกวลอษณกรกล

นำงสำวปำจรยวชชวลค

ดร.สเทพบญซอน

ผตรวจนำงจนดำอยเปนสข

นำยรณชยมำเจรญทรพย

นำยสกจพทธชำตเสว

บรรณาธการรศ.ดร.อ�ำพลธรรมเจรญ

หนงสอเรยนรำยวชำพนฐำน

ม.2เลม 2

สงวนลขสทธตามพระราชบญญตปทพมพ 2562

พมพครงท 1จานวนพมพ 30,000 เลมISBN : 978-616-203-820-4

รหสสนคา 2216012

พหนามทเปนตวประกอบแตละ

ตวจะมดกรตากว าพหนามท

กาหนด

¤³Ôµ¹‹ÒÃÙŒ

¢ŒÍ¤ÇÃÃÐÇÑ§

พจารณาการเขยน 6x2y + 15xyz ใหอยในรป A × B เมอ A เปนตวประกอบรวมของ 6x2y + 15xyz และ B เปนพหนาม

6x2y + 15xyz = 3xy(2x + 5z) เปนการแยกตวประกอบของพหนาม เนองจาก ไมสามารถหา

ตวประกอบรวมทไมใช 1 ของ 2x และ 5z ได

1.3 การแยกตวประกอบของพหนาม โดยใชสมบตการแจกแจง พจารณาพหนาม 6x2y + 15xyz ซงสามารถเขยนใหอย ในรปของการคณกนของ

พหนามสองพหนามไดเปน 3xy(2x + 5z) นนคอ 3xy และ 2x + 5z เปนตวประกอบของ

6x2y + 15xyz กลาวไดวา 3xy(2x + 5z) เปนการแยกตวประกอบของพหนาม (factorization of

polynomials) 6x2y + 15xyz

พหนามทกาหนด พหนามทเปนตวประกอบพหนามทเปนตวประกอบ

6x2y + 15xyz = 3xy (2x + 5z)

จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน

1) 4x + 12 2) 5x + 10y 3) 2x3 + 3xy

วธทา 1) ตวประกอบรวมของ 4x และ 12 คอ 4 ดงนน 4x + 12 = 4(x + 3)

2) ตวประกอบรวมของ 5x และ 10y คอ 5 ดงนน 5x + 10y = 5(x + 2y)

3) ตวประกอบรวมของ 2x3 และ 3xy คอ x ดงนน 2x3 + 3xy = x(2x2 + 3y) ตอบ

ตวอยางท 8

การแยกตวประกอบของพหนาม 13

แนวขอสอบ O-NET เพอใหผเรยนไดศกษาแนวคดกอนสอบจรง

คณตนำร เสรมความร หรอขอสงเกต ทไดจากเนอหา

สรปแนวคดหลก โดยรวมของทงหนวยการเรยนร เพอทบทวนความรใหแกผเรยน

H.O.T.S. ค�ำถำมทำทำยกำรคดขนสง

ตามทฤษฎการเรยนรของบลม (Bloom’s Taxonomy)

แบบฝกทกษะประจ�ำหนวย กำรเรยนร เพอประเมนความรความเขาใจของผเรยนประจาหนวยการเรยนร

มมเทคโนโลย ความรเกยวกบการใชเทคโนโลยเปนเครองมอเพอชวยตรวจสอบคาตอบ

คณตศาสตรในชวตจรง

ทรงสามมตใดมความจมากทสด

ปจจบนการออกแบบบรรจภณฑตาง ๆ มความสาคญอยางมาก

ซงสงผลใหเกดการสรางสรรคงานทมรปทรงหลากหลายปรากฏ

ใหเหน เชน กลองนม ลงผลไม อาหารกระปอง

สมมตวา มกระดาษ 21 นว × 35 นว อย 1 แผน ตองการสรางทรงสามมต เชน

ทรงกระบอก ปรซมสเหลยมจตรส ปรซมสเหลยมผนผา ปรซมสามเหลยมหนาจว นกเรยนคดวา

จะใชกระดาษแผนนสรางพนทผวดานขางทรงสามมตทรงใดทมความจมากทสด

แนวคด เนองจาก กระดาษมความยาว 35 นว ควรใชดานนเปนความยาวรอบฐานของ

ทรงสามมต และดานซงมความกวาง 21 นว กจะเปนความสงของทรงสามมต

และเนองจาก ปรมาตรของทรงสามมตเทากบผลคณของพนทฐานกบความสง

ดงนน จงเปรยบเทยบเฉพาะพนทฐานของแตละทรงกจะทราบคาตอบ

ทมา : คลงภาพ อจท.

35 นว

21 นว

132


สรปแนวคดหลก

ทฤษฎบทพทาโกรส จากรป สามารถสรปเปนทฤษฎบทพทาโกรสได 2 แบบ ดงน

1. ในรปสามเหลยมมมฉากใด ๆ กาลงสองของความยาว

ดานตรงขามมมฉากเทากบผลบวกของกาลงสองของความยาว

ดานประกอบมมฉาก

2. ในรปสามเหลยมมมฉากใด ๆ พนทของรปสเหลยมจตรสบนดาน

ตรงขามมมฉากเทากบผลบวกของพนทของรปสเหลยมจตรส

บนดานประกอบมมฉาก

a2 + b2 = c2

บทกลบของทฤษฎบทพทาโกรส จากรป สามารถสรปเปนบทกลบของทฤษฎบทพทาโกรสได 2 แบบ ดงน

1. ในรปสามเหลยมใด ๆ ถากาลงสองความยาวของดานดานหนงเทากบผลบวกของกาลงสอง

ของความยาวอกสองดาน แลวรปสามเหลยมนนเปนรปสามเหลยมมมฉาก

2. ในรปสามเหลยมใด ๆ ถาพนทของรปสเหลยมจตรสบนดานดานหนงเทากบผลบวกของ

พนทของรปสเหลยมจตรสบนดานอกสองดาน แลวรปสามเหลยมนนเปนรปสามเหลยม

มมฉาก

c2 = a2 + b2

การนาความรเกยวกบทฤษฎบทพทาโกรสไปใชในชวตจรง ความรเรองทฤษฎบทพทาโกรสและบทกลบ สามารถนาไปใชแกปญหาไดในชวตจรง เชน

การคานวณหาระยะทาง ความกวาง ความยาว หรอความสงของสงตาง ๆ

ทเกยวของกบรปสามเหลยมทเชอมโยงกบทฤษฎบทพทาโกรส

กาลงสองของความยาวดาน ABหรอพนทของ □ ABDE

กาลงสองของความยาวดาน ABหรอพนทของ □ ABDE

กาลงสองของความยาวดาน BCหรอพนทของ □ BCHI

กาลงสองของความยาวดาน BCหรอพนทของ □ BCHI

กาลงสองของความยาวดาน ACหรอพนทของ □ ACFG

กาลงสองของความยาวดาน ACหรอพนทของ □ ACFG

a

a

a

a

b

bb

b

A

E

D

C

B I

H

FG

cc

cc

ทฤษฎบทพทาโกรส 85

แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 3

หมอนขวานมลกษณะเปนปรซมสามเหลยมหนาจว

á¹Ðá¹Ç¤Ô´

1. จงหาพนทผวดานนอกและปรมาตรของทรงสามมตในแตละขอตอไปน

1) 2)

2. ปรซมสเหลยมผนผาแทงหนงยาว 4 หนวย และความกวางกบความยาวของฐานเทากบ

2 หนวย และ 3 หนวย ตามลาดบ จงหาพนทผวและปรมาตรของปรซม

3. รศมของฐานทรงกระบอกตนเทากบ 2 นว และความสง 3 นว จงหา

1) ปรมาตร 2) พนทผวขาง

3) พนทผว (กาหนดให π ≈ 3.14)

4. พนทผวขางของทรงกระบอกเทากบ 880 ตารางเซนตเมตร และถาทรงกระบอกนสง

10 เซนตเมตร จงหาความยาวเสนรอบรปของฐานและพนทฐานของทรงกระบอกน

(ตอบในรปของ π)

5. ทอทรงกระบอกยาว 30 เซนตเมตร มความยาวเสนผานศนยกลางภายนอก 10 เซนตเมตร

และหนา 2 เซนตเมตร (กาหนดให π ≈ 3.14) จงหา

1) พนทผวภายนอก 2) พนทผวภายใน 3) ปรมาตรของวสดทใชทาทอ

6. หมอนขวานใบหนงมความยาวฐาน 12 นว ดานประกอบมมยอด

ยาว 10 นว หมอนมความยาว 16 นว สรโชคตองการมอบ

หมอนขวานใบนใหแดคณยาเนองในโอกาสวนเกดครบ 72 ป

สรโชคตองใชกระดาษหอของขวญทมพนทอยางนอยเทาใด

7. มานตตองการซอผาใบมาทาหลงคาเตนทมความกวาง 7 เมตร ความยาว 24 เมตร มลกษณะ

เปนทรงกระบอกผาครง มานตจะตองซอผาใบทาหลงคาอยางนอยกตารางเมตร

(กาหนดให π ≈ 227 )

2 ซม. 2 ซม.

4 ซม.2 ซม.

2 ซม.

2 ซม.2 ซม.2 ซม.

2 ซม.

2 ซม.

2 ซม.

พนทผวและปรมาตร 135

เกรดนำร เสรมความรทวไปทสอดคลองกบเนอหา

จะได ปรมาตรของปรซม = 2.88 × 0.05

= 0.144 ลกบาศกเมตร

ดงนน จะตองใชปยคอกเทากบ 0.144 ลกบาศกเมตร ตอบ

บอเลยงปลามลกษณะเปนปรซมสเหลยมมมฉากทมฐานเปนรปสเหลยมผนผา ซงมความกวาง

8 เมตร ความยาว 12 เมตร และบอนลก 3 เมตร ถาตองการเตมนาโดยสงไมเกน 2 เมตร

จะตองเตมนาลงบอเลยงปลาทงหมดเทาไร

ลองทาด

หนวยการวดความจของตเยน มหนวยเปนคว ซงมาจาก

คาเตมวา ควบกฟต หรอลกบาศกฟต ขนาดของตเยนจะ

คานวณจากความจของเนอทภายในตเยน โดยวดความกวาง

ความลก และความสงภายในตเยนใชหนวยเปนฟต แลวนามา

คณกน เชน ตเยนตหนงวดความกวาง 1.8 ฟต ความลก

1.4 ฟต และความสง 6.5 ฟต แลวนามาคณกนจะไดความจ

ของตเยนประมาณ 17 คว1

เกรด นาร

นกเรยนสามารถใชเครองคดเลขเพอตรวจสอบคาตอบได ดงตวอยางตอไปน

1) 1.2 × 2.4

1 2 .× 4. 2 =

2) 2.88 × 0.05

2 8 .× 5. 8 0 0 =

เทคโนโลยÁØÁ


1 ขนาดของตเยน. สบคนเมอ 10 กนยายน 2561, https://home.kapook.com/view171008.html

114

แบบฝกทกษะ แบงระดบความยากงายเหมาะสมกบระดบการเรยนรของผเรยน

คณตศำสตรในชวตจรง เชอมโยงความรคณตศาสตร ไปใชในชวตจรง

ขอควรระวง อธบายในสงทผเรยน มกเขาใจผดหรอคลาดเคลอน

วธสราง ขนท 1 ลากเสนจานวน กาหนดจด A แทน 0 และจด C แทน 1 จะได

AC = 1 หนวย

ขนท 2 ลาก BC ตงฉากกบ AC ทจด C

โดยให BC = AC = 1 หนวย แลวลาก AB

ขนท 3 ใชจด A เปนจดศนยกลาง รศมยาวเทากบ AB

เขยนสวนโคงตดเสนจานวนทจด D และจด F ตามลาดบ

จากทฤษฎบทพทาโกรส AB2 = AC2 + BC2

= 12 + 12

= 2

จะได AB = 2

ดงนน จด D แทนจานวน 2 บนเสนจานวน และจะไดจด F แทนจานวน - 2

บนเสนจานวน


นกคณตศาสตรชอ ธโอดรส ไดคดสรางเสนเวยนกนหอยธโอดรสหรอเรยกอกอยางหนงวา รากเสนเวยน

กนหอย เสนเวยนกนหอยพทาโกรสเปนเสนเวยนกนหอยทประกอบดวยรปสามเหลยมมมฉากเขยน

ตอเนองกน โดยมดานหนงเปนดานรวมของรปสามเหลยมมมฉากทงสอง ดงรป

ทมา : http://en.wikipedia.org/wiki/spiral_of_Theodorus

ในระดบชนนนกเรยนจะไดศกษาตวอยางการนาทฤษฎบทพทาโกรสไปใชในการหา

ความกวาง ความยาว หรอความสงของสงตาง ๆ ดงตวอยาง

1

11 1

1

1

1

1

1

1111

1

15

1413

1210

9

8

7

6

543

2

11


ลองท�ำดเพอใหผเรยนไดฝกทาจนเกดความชานาญ

กจกรรม คณตศาสตร

กจกรรมท 1

1) สราง Δ ABC โดยให AB = 3 เซนตเมตร

BC = 4 เซนตเมตร

และ AC = 5 เซนตเมตร

2) ตดกระดาษเปนรปสเหลยมจตรส 3 รป ทมความยาวดานละ 3 เซนตเมตร 4 เซนตเมตร

และ 5 เซนตเมตร ตามลาดบ

3) นารปสเหลยมจตรสทตดในขอ 2) มาวางตามความยาวของดานทเทากนกบ Δ ABC ท

จด A จด B และจด C ตามลาดบ ดงรป

A

B C

จากรปใหนกเรยนตอบคาถามในแตละขอตอไปน

1. พนทของรปสเหลยมจตรสบนดาน AC, AB และ BC เทากบกตารางเซนตเมตร

2. Δ ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากหรอไม

3. พนทของรปสเหลยมจตรสบนดานตรงขามมมฉากเทากบผลบวกของพนทรปสเหลยมจตรส

บนดานประกอบมมฉากหรอไม

4. ถากาหนดใหพนทของรปสเหลยมจตรสบนดาน AC ซงเปนดานตรงขามมมฉากเทากบ AC2

พนทของรปสเหลยมจตรสบนดาน AB และ BC ซงเปนดานประกอบมมฉากเทากบ AB2 และ

BC2 ตามลาดบ จะเขยนความสมพนธของพนทรปสเหลยมจตรสบนดานตรงขามมมฉากและ

พนทรปสเหลยมจตรสบนดานประกอบมมฉากไดอยางไร

5. ความสมพนธทไดจากขอ 4. เปนไปตามทฤษฎบทพทาโกรสหรอไม

ãËŒ¹Ñ¡àÃÕÂ¹·Ó¡Ô ¡ÃÃÁµ‹Íä»¹Õé â´Â·ÓÅ§ã¹ÊÁØ


ถงนาทรงกระบอกใบหนงมรศม 40 เซนตเมตร และสง 70 เซนตเมตร ถาใสนาลงในถงนาเพยง

ครงถงแลวนาในถงจะมปรมาตรประมาณเทาไร

1) 124,000 ลกบาศกเซนตเมตร




แนวคด จากโจทย สรางรปจาลองได ดงน

เนองจาก ปรมาตรของทรงกระบอก = πr2h

จะได ปรมาตรของทรงกระบอก ≈ 227 × 40 × 40 × 35

= 176,000 ลกบาศกเซนตเมตร

นนคอ ถาใสนาลงในถงนาเพยงครงถงแลวนาในถงจะมปรมาตรประมาณ

176,000 ลกบาศกเซนตเมตร

ดงนน คาตอบ คอ ขอ 4)

แนวขอสอบ O-NET

บรษทผลตชาเขยวแหงหนงใหพนกงานประกวดการออกแบบกลองบรรจชาเขยว โดยมกตกา

วากลองตองมปรมาตร 240 ลกบาศกเซนตเมตร และประหยดกระดาษทใชทากลองมากทสด

ในรอบสดทายมกลองทเขารอบ 2 กลอง ดงรป นกเรยนคดวากรรมการตดสนควรเลอกกลอง

แบบใดเปนกลองบรรจชาเขยวของบรษท เพราะเหตใด (กาหนดให 3 ≈ 1.732)

คาถามทาทายการคดขนสง

3570

5 ซม.4 ซม.4 ซม.

240 ลกบาศกเซนตเมตร 240 ลกบาศกเซนตเมตร

130

กจกรรมคณตศำสตร เพอสงเสรมการเรยนรแบบ Active Learning

แบบฝกทกษะ 3.3 คระดบ พนฐาน

1. ถงใสขยะทรงกระบอกสง 6 ฟต และมเสนผานศนยกลางภายนอกของถงเทากบ 7 ฟต

ถาตองการทาสรอบถงภายนอก จะมพนทผวทตองทาสเทาไร (กาหนดให π ≈ 227 )

2. แทงกเกบนาฝนทรงกระบอกแทงกหนงมรศมภายใน 1.8 เมตร และมความสง 3.6 เมตร

แทงกเกบนาฝนนจะมปรมาตรเทาไร เมอฝนตกหนกและไดนาเตมแทงกพอด

ระดบ กลาง

3. นายสญญามแทงเหลกตน A กบ แผนเหลกตน B ดงรป

จงตอบคาถามในแตละขอตอไปน

1) ปรมาตรของแทงเหลก A

และแผนเหลก B เปนเทาไร

2) ปรมาตรของแทงเหลก A

และแผนเหลก B ตางกนเทาไร

3) อตราสวนของพนทผวภายนอกของแทงเหลก A ตอแผนเหลก B เทากบเทาไร

หลงเรยนจบหนวยนแลว ใหนกเรยนบอกสญลกษณทตรงกบระดบความสามารถของตนเอง

1. อธบายลกษณะและสมบตของปรซมและทรงกระบอกได

2. หาพนทผวของปรซมและทรงกระบอกได

3. หาปรมาตรของปรซมและทรงกระบอกได

4. สามารถนาความรเกยวกบพนทผวและปรมาตรของปรซม

และทรงกระบอกไปใชในการแกปญหาได

ตรวจสอบตนเอง

ด พอใชควร

ปรบปรง

5 ซม.1 ซม.

4 ซม.

5 ซม.


A

B

ตรวจสอบตนเอง แบบประเมนเพอใหผเรยนสามารถตรวจสอบความรความเขาใจของตนเอง

แนะแนวคด เทคนคตาง ๆ ทชแนะวธการแกโจทยทางคณตศาสตร

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 2 เลม 2จดท�ำขนส�ำหรบใชประกอบกำรเรยนกำรสอนชนมธยมศกษำปท2 โดยด�ำเนนกำรจดท�ำใหสอดคลอง

ตำมมำตรฐำนกำรเรยนรและตวชวดกลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร(ฉบบปรบปรงพ.ศ.2560)

ตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช2551 ทกประกำร เพอสงเสรมทกษะ

ทจ�ำเปนส�ำหรบกำรเรยนรในศตวรรษท21ทงทกษะดำนกำรคดวเครำะหกำรคดอยำงมวจำรณญำณ

กำรแกปญหำกำรคดสรำงสรรคกำรใชเทคโนโลยกำรสอสำรและกำรรวมมอเพอใหผเรยนรเทำทน

กำรเปลยนแปลงของระบบเศรษฐกจสงคมวฒนธรรมและสภำพแวดลอมสำมำรถแขงขนและ

อยรวมกบประชำคมโลกได

หนงสอเรยนกลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตรในระดบชนมธยมศกษำปท2น

คณะผเรยบเรยงไดจดแบงออกเปน2เลมดงน

Thinking Timeค�ำถำมกระตนใหผเรยนคดตอยอดจำกเนอหำทเรยน

ควรรกอนเรยน ทบทวนควำมรเดมเพอเชอมโยงเขำสเนอหำใหม

ถำหำกน�ำรปหลำยเหลยมดำนเทำมมเทำใดๆ ทไมใชรปสเหลยมจตรสไปสรำงบนดำนประกอบ

มมฉำกและดำนตรงขำมของรปสำมเหลยมมมฉำกนกเรยนคดวำผลสรปจำกกจกรรมท3ยงคงเปนจรง

อยหรอไม

Thinking Time

นกเรยนจะพบวำ รปสเหลยมทงสรป ในขอ4) และรปสเหลยมจตรสทมดำนยำว3 หนวย

สำมำรถบรรจในรปสเหลยมจตรสทมดำนยำว5หนวยไดพอดดงรป

3

4

5

จำกรปใหนกเรยนตอบค�ำถำมในแตละขอตอไปน

1.รปสเหลยมทง4รปในขอ4)มพนทรวมกนทงหมดเทำกบเทำใด

พนทของรปสเหลยมจตรสทมดำนยำว3หนวยเทำกบเทำใด

พนทของรปสเหลยมจตรสทมดำนยำว5หนวยเทำกบเทำใด

2.เมอน�ำรปสเหลยม 4 รป ในขอ 4) และรปสเหลยมจตรสทมดำนยำว 3หนวยบรรจในรป

สเหลยมจตรสทมดำนยำว5หนวยไดพอดจะเขยนควำมสมพนธของพนทตำงๆ ไดอยำงไร

3.ควำมสมพนธทไดจำกขอ2.เปนไปตำมทฤษฎพทำโกรสหรอไม

จำกกจกรรมท3สรปไดวำพนทของรปสเหลยมจตรสทอยบนดำนตรงขำมมมฉำกซงยำว

5 หนวย จะเทำกบผลรวมของพนทของรปสเหลยมจตรสทอยบนดำนประกอบมมฉำกซงยำว

3หนวยและ4หนวยตำมล�ำดบ

ทฤษฎบทพทาโกรส62

ค�ำถำมประจ�ำหนวย กำรเรยนร ทครอบคลมตวชวดสงสดในหนวยกำรเรยนร

ตวชวด

• เขำใจและใชทฤษฎบทพทำโกรสและบทกลบในกำรแกปญหำคณตศำสตรและปญหำในชวตจรง(ค 2.2 ม.2/5)

สาระการเรยนรแกนกลาง

•ทฤษฎบทพทำโกรสและบทกลบ•กำรน�ำควำมรเกยวกบทฤษฎบทพทำโกรสและบทกลบไปใชในชวตจรง

โดยทวไปโทรทศนจะมหลายขนาด เชน โทรทศนขนาด

32 นว 43 นว และ 52 นว ซงขนาดของโทรทศนคอความยาว

ของเสนทแยงมมของหนาจอทเปนรปสเหลยมผนผาทไมรวมขอบนอก

ถาโทรทศนเครองหนงมหนาจอกวาง 53.7 เซนตเมตร ยาว 98.7

เซนตเมตร และขอบนอกกวาง

1.5 เซนตเมตร

อยากทราบวา

â·Ã·ÑÈ¹�à¤Ã×èÍ§¹ÕéÁÕ¢¹Ò´¡Õè¹ ÔéÇ

Q.

ทฤษฎบทพทาโกรสหนวยการเรยนรท

2


หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 2 เลม 1 หนวยการเรยนรท 1-6

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 2 เลม 2 หนวยการเรยนรท 1-5

ค�ำแนะน�ำในกำรใชสอ

องคประกอบตำง ๆ ในแตละหนวย

ตวชวด ทสอดคลองกบ

เนอหำในหนวย

กำรเรยนร

สำระกำรเรยนรแกนกลำง ขอบขำยเนอหำในหนวยกำรเรยนร

ควรรกอนเรยน

รปคลของรปเรขาคณตสามมต

ความยาวรอบรปและพนทของรปเรขาคณตสองมต

ชอ รปเรขาคณตสามมต รปคล

ทรงกระบอก

ปรซมสำมเหลยม

รปเรขาคณตสองมต ความยาวรอบรป พนท

a + b + c 12 × a × h

2 × (a + b) a × b

4 × a a × a

2 × (a + b) a × h

4 × a a × h

a + b + c + d 12 × (a + c) × b

แบบทดสอบพนฐานกอนเรยน

c b

a

h

b

a

a

b

a

h

h

a

b

ad

c


QR Code รองรบกำรเรยนรผำนสอดจทล

กำรแยกตวประกอบของพหนำม 2 1.1กำรหำรพหนำม 4 1.2ตวประกอบของพหนำม 10 1.3กำรแยกตวประกอบของพหนำม โดยใชสมบตกำรแจกแจง 13 1.4กำรแยกตวประกอบของพหนำมดกรสองตวแปรเดยว 161.5กำรแยกตวประกอบของพหนำมดกรสอง ทเปนก�ำลงสองสมบรณ 331.6กำรแยกตวประกอบของพหนำมดกรสอง ทเปนผลตำงก�ำลงสอง 39

คณตศาสตรในชวตจรง 47 สรปแนวคดหลก 48 แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 1 49

ทฤษฎบทพทำโกรส 502.1ทฤษฎบทพทำโกรส 52 2.2บทกลบของทฤษฎบทพทำโกรส 672.3กำรน�ำควำมรเกยวกบทฤษฎบทพทำโกรส และบทกลบไปใชในชวตจรง 72


พนทผวและปรมำตร 903.1ควำมรเกยวกบปรมำตร 92 3.2ปรซม 933.3ทรงกระบอก 117


กจกรรมคณตศำสตรเชงสะเตม 246อภธำนศพท 248บรรณำนกรม 251

สถต 1364.1กำรน�ำเสนอกำรวเครำะหและกำรแปลควำมหมำย ขอมล 138 4.2คำกลำงของขอมล 1634.3กำรเลอกและกำรใชคำกลำงของขอมล 1804.4กำรใชควำมรเกยวกบสถตประกอบกำรตดสนใจ 188


กำรใหเหตผลเกยวกบกำรสรำงทำง 200

เรขำคณต 5.1ประโยคเงอนไขและบทกลบ 202 5.2กำรใหเหตผลเกยวกบกำรสรำงทำงเรขำคณต 2085.3กำรน�ำควำมรเกยวกบกำรสรำงทำงเรขำคณต และกำรใหเหตผลไปใชในชวตจรง 233


หนวยกำรเรยนรท

4


5

QR Code หนา 62, 122, 214, 217, 221, 223, 224, 237

สำรบญ

กำรแยกตวประกอบของพหนำม 2 1.1กำรหำรพหนำม 4 1.2ตวประกอบของพหนำม 10 1.3กำรแยกตวประกอบของพหนำม โดยใชสมบตกำรแจกแจง 13 1.4กำรแยกตวประกอบของพหนำมดกรสองตวแปรเดยว 161.5กำรแยกตวประกอบของพหนำมดกรสอง ทเปนก�ำลงสองสมบรณ 331.6กำรแยกตวประกอบของพหนำมดกรสอง ทเปนผลตำงก�ำลงสอง 39


ทฤษฎบทพทำโกรส 502.1ทฤษฎบทพทำโกรส 52 2.2บทกลบของทฤษฎบทพทำโกรส 672.3กำรน�ำควำมรเกยวกบทฤษฎบทพทำโกรส และบทกลบไปใชในชวตจรง 72


พนทผวและปรมำตร 903.1ควำมรเกยวกบปรมำตร 92 3.2ปรซม 933.3ทรงกระบอก 117




1


2

3

คณตศำสตร ชนมธยมศกษำปท 2 เลม 2

ควรรกอนเรยน

พหนาม

นพจนทอยในเอกนามหรอเขยนใหอยในรปการบวกของเอกนามตงแตสองเอกนามขนไป

เรยกวา “พหนาม” และดกรสงสดของพหนามทอยในรปผลสาเรจทไมมพจนทคลายกน เรยกวา

“ดกรของพหนาม”

การบวกและการลบพหนาม

1. การหาผลบวกของพหนาม ทาไดโดยนาพหนามมาเขยนในรปการบวก จากนนบวกพจน

ทคลายกนในแตละพหนามเขาดวยกน

ตวอยาง (2x2 + 3y2) + (5x2 + 7y2) = (2x2 + 5x2) + (3y2 + 7y2) = 7x2 + 10y2

2. การหาผลลบของพหนาม ใชหลกการ ดงน

พหนามตวตง - พหนามตวลบ = พหนามตวตง + พหนามตรงขามของตวลบ

ตวอยาง (2x2y + 7y2) - (6x2y + 5y2) = (2x2y + 7y2) + [-(6x2y + 5y2)]

= 2x2y + 7y2 - 6x2y - 5y2

= -4x2y + 2y2

การคณพหนาม

1. การคณระหวางเอกนามกบพหนาม ทาไดโดยใชสมบตการแจกแจง

ตวอยาง (5x)(3x - 2y) = 15x2 - 10xy

2. การคณระหวางพหนามกบพหนาม ทาไดโดยนาแตละพจนของพหนามหนงมาคณ

กบทก ๆ พจนของอกพหนามหนง จากนนนาผลคณทงหมดมาบวกกน

ตวอยาง (2x + 3)(3x - 2) = 2x(3x - 2) + 3(3x - 2) = 6x2 - 4x + 9x - 6 = 6x2 + 5x - 6การหารพหนาม

การหารพหนามดวยเอกนาม ทาไดโดยหารแตละพจนของพหนามตวตงดวยเอกนาม

ทเปนตวหาร จากนนนาผลหารแตละพจนมาบวก

หรอลบกน ถาไดผลหารเปนพหนาม จะกลาววา

การหารนนเปนการหารลงตว

ตวอยาง 4x3 - 8x2x = 4x3

2x - 8x2x = 2x2 - 4

ตรวจสอบผลหาร (2x)(2x2 - 4) = 4x3 - 8x ตวหาร × ผลหาร = ตวตง

แบบทดสอบพนฐานกอนเรยน


ตวชวด

• เขาใจและใชการแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง ในการแกปญหาคณตศาสตร (ค 1.2 ม.2/2)

สาระการเรยนรแกนกลาง

• การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใช

- สมบตการแจกแจง

- กาลงสองสมบรณ

- ผลตางของกาลงสอง

ดนสอสไม เปนอปกรณเครองเขยนทนกเรยนทกคนเคยใชใน

การระบายสรปภาพ ดนสอสไมมสวนประกอบหลกอย 2 สวน ไดแก

ไสดนสอส และตวดนสอสททามาจากไม ดนสอสไมทรงกระบอก

ทยงไมไดเหลาแทงหนงยาว 18 เซนตเมตร มรศมยาว 4 มลลเมตร

และไสดนสอสมรศมยาว 1 มลลเมตร

นกเรยนสามารถ

ใชความรเกยวกบ

การแยกตวประกอบพหนาม

ชวยในการËÒ»ÃÔÁÒµÃ¢Í§µÑÇ´Ô¹ÊÍÊÕäÁŒ

ไดอยางไร

Q.

การแยกตวประกอบของพหนาม

หนวยการเรยนรท

1


x - 4 (-4x) ÷ x = -4

x - 4

(x + 1) × (-4) = -4x - 4

(-4x - 4) - (-4x - 4) = 0

4) หารพจนท 1 ของผลลบทไดจากขอ 3) ดวยพจนท 1 ของตวหาร จะไดพจนท 2

ของผลหาร

x + 1 x2 - 3x - 4

x2 + x

- 4x - 4

5) คณตวหารดวยพจนท 2 ของผลหารทได แลวนาไปลบออกจากตวตง โดยพจนทม

ดกรเทากนใหวางในตาแหนงตรงกน จะเหนไดวา ผลลบทไดเปนพหนาม 0 นนคอ

ไมมจานวนใหหารตอแลว จงหยดการหาร

x + 1 x2 - 3x - 4

x2 + x

- 4x - 4

- 4x - 4

0

ดงนน x2 - 3x - 4 หารดวย x + 1 ไดผลหารเทากบ x - 4 ตอบ

0 ÷ (x + 1) มผลหารเทากบ

เทาใด

Thinking Time

จากการหารพหนามในตวอยางท 1 จะเหนวา การหาร x2 - 4 - 3x ดวย x + 1

ไดผลหารเปน x - 4 และไมมเศษเหลอ หรอมเศษเปน 0 กลาวไดวา การหาร x2 - 4 - 3x ดวย x + 1 เปนการหารลงตว (exact division) ซงเขยนสมการแสดงความสมพนธไดวา

x2 - 4 - 3x = (x + 1)(x - 4)

จงหาผลลพธของการหารพหนามในแตละขอตอไปน

1) x2 + 6 - 5x หารดวย x - 22) x2 + 2x - 15 หารดวย x + 5

ลองทาด


1.1 การหารพหนาม นกเรยนเคยศกษาเกยวกบการหารพหนามดวยเอกนามมาแลว หวขอตอไปนจะมาศกษา

เกยวกบการหารพหนามดวยพหนามทมสมประสทธของแตละพจนเปนจานวนเตม ซงสามารถ

ทาไดโดยใชวธตงหารยาว ดงตวอยางตอไปน

จงหาผลลพธของการหาร x2 - 4 - 3x ดวย x + 1

วธทา 1) เรยงลาดบพจนในพหนามทงตวตงและตวหาร จากพจนทมดกรมากไปพจนทม

ดกรนอยแลวนามาตงหาร

ตวตง x2 - 4 - 3x ตวหาร x + 1

เรยงลาดบพจนในพหนามของตวตง เรยงลาดบพจนในพหนามของตวหาร

จากพจนทมดกรมากไปพจนทมดกรนอย จากพจนทมดกรมากไปพจนทมดกรนอย

จะได x2 - 3x - 4 จะได x + 1

เมอนามาตงหาร จะได

x + 1 x2 - 3x - 4

2) หารพจนท 1 ของตวตงดวยพจนท 1 ของตวหาร จะไดพจนท 1 ของผลหาร

x + 1 x2 - 3x - 4

3) คณตวหารดวยพจนท 1 ของผลหารทได แลวนาไปลบออกจากตวตง โดยพจนทม

ดกรเทากนใหวางในตาแหนงตรงกน

x + 1 x2 - 3x - 4 x2 + x - 4x - 4


ดกรเทากบ 0



ดกรเทากบ 2ดกรเทากบ 1

พจนท 1 พจนท 2 พจนท 3

ตวตง x2 -3x -4

ตวหาร x 1

x x2 ÷ x = x

x

(x + 1) × x = x2 + x

(x2 - 3x - 4) - (x2 + x) = -4x - 4

4

จากกจกรรมคณตศาสตรจะเหนไดวา ความสมพนธระหวางตวตง ตวหาร และผลลพธของ

การหารจานวนเตมดวยจานวนเตม เปนดงน

ตวตง = (ตวหาร × ผลหาร) + เศษ

เมอใชความสมพนธขางตนในการตรวจสอบผลลพธในตวอยางท 1 และ 2 จะได

ตวอยางท 1 (x + 1)(x - 4) = x2 - 4x + x - 4 = x2 - 3x - 4 ตวอยางท 2 (x - 2)(x + 4) + 3 = x2 + 4x - 2x - 8 + 3 = x2 + 2x - 5

จะเหนวา ความสมพนธระหวางตวตง ตวหาร และผลลพธของการหารพหนามดวย

พหนาม เปนเชนเดยวกบความสมพนธระหวางตวตง ตวหาร และผลลพธของการหารจานวนเตม

ดวยจานวนเตม ดงน

ตวตง = (ตวหาร × ผลหาร) + เศษ

เมอผลหารเปนพหนาม และเศษเปนศนยหรอเปนพหนามทมดกรนอยกวาดกรของตวหาร


ãËŒ¹Ñ¡àÃÕÂ¹µÃÇ¨ÊÍº¼ÅÅÑ¾ �¢Í§¡ÒÃËÒÃ¨Ó¹Ç¹àµçÁ ŒÇÂ¨Ó¹Ç¹àµçÁ·Õè¡ÓË¹´ áÅŒÇµÍº¤Ó¶ÒÁ

µ‹Íä»¹Õé â´Â·ÓÅ§ã¹ÊÁØ

ตวตง ตวหาร ผลลพธ เศษ

7,182 21 …………………………… ……………………………

8,227 32 …………………………… ……………………………

40,950 75 …………………………… ……………………………

1. นกเรยนใชวธการใดในการตรวจสอบผลลพธขางตน

2. จากตาราง นกเรยนสามารถเขยนความสมพนธระหวางตวตง ตวหาร และผลลพธของการหาร

จานวนเตมดวยจานวนเตมไดวาอยางไร

3. ใหนกเรยนใชความสมพนธในขอ 2. ชวยในการตรวจสอบผลลพธของการหารพหนามดวย

พหนามในตวอยางท 1 และ 2 แลวพจารณาวาสามารถใชความสมพนธในขอ 2. ตรวจสอบ

ผลลพธของการหารพหนามดวยพหนามไดหรอไม


จงหาผลลพธของการหาร x2 + 2x - 5 ดวย x - 2

วธทา จากวธทาในตวอยางท 1 จะไดวา

x - 2 x2 + 2x - 5

x2 - 2x

4x - 5

4x - 8

3

ดงนน x2 + 2x - 5 หารดวย x - 2 ไดผลหารเทากบ x + 4 เศษ 3 ตอบ


x + 4

x2 ÷ x = x

4x ÷ x = 4

(x - 2) × x = x2 - 2x

(x2 + 2x - 5) - (x2 - 2x) = 4x - 5

(x - 2) × 4 = 4x - 8

(4x - 5) - (4x - 8) = 3

การหารพหนามดวยพหนาม

จะดาเนนการหารไปเรอย ๆ จน

กระทง ผลลบทไดจากการนา

ตวตงลบดวยผลคณระหวางตว

หารกบผลหารเปนศนยหรอเปน

พหนามทมดกรนอยกวาตวหาร


จากการหารพหนามในตวอยางท 2 จะเหนวา การหาร x2 + 2x - 5 ดวย x - 2 ไดผลหาร

เปน x + 4 และมเศษเปน 3 กลาวไดวา การหาร x2 + 2x - 5 ดวย x - 2 เปนการหารไมลงตว

(inexact division) ซงเขยนสมการแสดงความสมพนธไดวา

x2 + 2x - 5 = (x - 2)(x + 4) + 3

นกเรยนคดวา การหาร x2 + 2x - 5 ดวย x + 4 จะมผลลพธเปนเทาใด

Thinking Time

จงหาผลลพธของการหารพหนามในแตละขอตอไปน

1) x2 - 5x - 4 หารดวย x - 62) x2 + 9x + 20 หารดวย x + 7

ลองทาด

6

ตรวจสอบคาตอบ

(2x - 5)(2x2 + 2x + 5) + 8= 4x3 + 4x2 + 10x - 10x2 - 10x - 25 + 8= 4x3 - 6x2 - 17

จงหาผลลพธของการหาร 5y3 + 6y2 - 17y - 31 ดวย y2 - 4y - 5 พรอมตรวจสอบคาตอบ

วธทา y2 - 4y - 5 5y3 + 6y2 - 17y - 31

5y3 - 20y2 - 25y

26y2 + 8y - 31

26y2 - 104y - 130

112y + 99

ดงนน ผลลพธของการหาร 5y3 + 6y2 - 17y - 31

ดวย y2 - 4y - 5 เทากบ 5y + 26 เศษ 112y + 99 ตอบ


5y + 26

112y + 99 เปนพหนามทเปนตวตง มดกรเทากบ 1 ซงมดกรนอยกวา y2 - 4y - 5 เปนพหนามทเปนตวหารมดกรเทากบ 2 ดงนน จงหยดการหาร

á¹Ðá¹Ç¤Ô´

จงหาผลลพธของการหารพหนามในแตละขอตอไปน พรอมตรวจสอบคาตอบ

1) 8x3 + 6x + 55 หารดวย 2x + 32) 6x3 + 14x2 - 7x - 13 หารดวย 3x + 4

ลองทาด


1) 4y3 - 10y2 + 12y - 53 หารดวย y2 + 3y - 2

2) 2y3 - 7y2 + 79y - 36 หารดวย y2 - y + 5

ลองทาด



(y2 - 4y - 5)(5y + 26) + (112y + 99)

= 5y3 + 26y2 - 20y2 - 104y - 25y - 130 + 112y + 99

= 5y3 + 6y2 - 17y - 31

จงหาผลลพธของการหาร x3 + 5x2 - 7x - 39 ดวย x + 3 พรอมตรวจสอบคาตอบ

วธทา x + 3 x3 + 5x2 - 7x - 39

x3 + 3x2

2x2 - 7x 2x2 + 6x - 13x - 39

- 13x - 39

0

ดงนน x3 + 5x2 - 7x - 39 หารดวย x + 3 ไดผลหารเทากบ x2 + 2x - 13 ตอบ

จงหาผลลพธของการหาร 4x3 - 6x2 - 17 ดวย 2x - 5 พรอมตรวจสอบคาตอบ

วธทา 2x - 5 4x3 - 6x2 + (0)x - 17

4x3 - 10x2

4x2 + (0)x 4x2 - 10x 10x - 17

10x - 25

8

ดงนน 4x3 - 6x2 - 17 หารดวย 2x - 5

ไดผลหารเทากบ 2x2 + 2x + 5 เศษ 8 ตอบ



x2 + 2x - 13

2x2 + 2x + 5

พจารณา 4x3 - 6x2 - 17 จะ เหนว า เป นพหนาม ทประกอบดวยพจนทมดกร 3, 2 และ 0 ตามลาดบ ซงไมมพจน ท ม ด ก ร เ ท า ก บ 1 ในการตงหารจะทาใหเกดความสบสน จงเพมพจน (0)x เขาไปในพหนาม ซงพหนามดงกลาวยงคงเทาเดม

á¹Ðá¹Ç¤Ô´


1) x3 - 3x2 - 6x + 16 หารดวย x - 22) x3 + 4x2 - 7x + 30 หารดวย x + 6

ลองทาด

8


(x + 3)(x2 + 2x - 13)= x3 + 2x2 - 13x + 3x2 + 6x - 39= x3 + 5x2 - 7x - 39

2x เปนตวประกอบของ 4x2 และ 6xy หรอไม เพราะเหตใด

วธทา พจารณา 4x2 ÷ 2x = 2x และ 6xy ÷ 2x = 3y

ดงนน 2x เปนตวประกอบของ 4x2 และ 6xy เพราะ 2x หาร 4x2

และ 6xy ลงตว ตอบ


จากตวอยางท 6 จะเหนวา 2x เปนตวประกอบของ 4x2 และ 6xy เรยก 2x วาเปน

ตวประกอบรวมของ 4x2 และ 6xy


จงหาพหนามทเปนตวประกอบรวมของ 4x และ 2xy พหนามทหาร 4x ลงตว ไดแก ………………………………………………………………………………………………………………………

พหนามทหาร 2xy ลงตว ไดแก ………………………………………………………………………………………………………………………

ตวหารรวมของ 4x และ 2xy คอ …………………………………………………………………………………………………………………

ดงนน พหนามทเปนตวประกอบรวมของ 4x และ 2xy คอ ……………………………………………………………….

นกเรยนคดวา ตวหารรวมของพหนามกบตวประกอบรวมของพหนาม มความสมพนธกนอยางไร

ãËŒ¹Ñ¡àÃÕÂ¹àµÔÁ¤ÓµÍºã¹ª‹Í§Ç‹Ò§ áÅŒÇµÍº¤Ó¶ÒÁµ‹Íä»¹Õé â´Â·ÓÅ§ã¹ÊÁØ

จากกจกรรมคณตศาสตรจะเหนไดวา นกเรยนสามารถนาความรเกยวกบการหาตวหารรวม

มาชวยในการหาตวประกอบรวมของพหนามตงแตสองพหนามขนไปได

1) 3y เปนตวประกอบของ 9xy และ 12x2y หรอไม เพราะเหตใด

2) 5a เปนตวประกอบของ 5b และ 10ab3 หรอไม เพราะเหตใด

ลองทาด


แบบฝกทกษะ 1.1ระดบ พนฐาน

1. จงหาผลลพธของการหารในแตละขอตอไปน

1) (x2 + 5x + 6) ÷ (x + 2) 2) (3x2 - 4x - 1) ÷ (x - 2)

3) (6x2 - 8x - 8) ÷ (3x + 2) 4) (2x2 + 5x + 4) ÷ (2x + 1)

5) (x3 + 7x2 + 7x - 15) ÷ (x + 3) 6) (2x3 + 7x2 + 14x - 21) ÷ (2x - 1)

7) (10x3 - 37x2 + 32x - 5) ÷ (2x - 5) 8) (8x3 - 6x2 - 5x + 3) ÷ (2x + 5)

9) (12x3 - x2 - 62x - 45) ÷ (4x2 - 7x - 9) 10) (2x3 - x2 - 8x + 15) ÷ (2x2 + 3x - 2)

2. จงหาผลลพธของการหารในแตละขอตอไปน

1) (2x4 - 3x3 + x2 + 4x - 5) ÷ (x + 1) 2) (3x4 + 2x2 + 3x - 3) ÷ (x + 1)

3) (x4 - 2x2 + 3x - 1) ÷ (x2 - 2x + 1) 4) (x4 + 10x3 + 36) ÷ (x2 + 5x + 6)

5) (3x4 + 21x + 15) ÷ (3x2 + 6x - 15) 6) (6x4 - 5x2 - 5x - 2) ÷ (2x2 + 1)

7) (x3 - 1) ÷ (x - 1) 8) (x4 + 2x2 + 1) ÷ (x - 1)

9) (x4 + x2 + 1) ÷ (x2 + 1) 10) (4x4 - 6x3 + 3) ÷ (2x2 - 3)

1.2 ตวประกอบของพหนามนกเรยนเคยทราบมาแลววา ตวประกอบของจานวนนบใด ๆ คอ จานวนนบทหารจานวนนบนน

ไดลงตว เชน

2 เปนตวประกอบของ 6 เพราะ 2 หาร 6 ลงตว

5 เปนตวประกอบของ 15 เพราะ 5 หาร 15 ลงตว

ในทานองเดยวกน ตวประกอบของพหนามใด ๆ คอ พหนามทหารพหนามนนลงตว เชน

3 เปนตวประกอบของ 3x เพราะ 3 หาร 3x ลงตว 4y เปนตวประกอบของ 4xy เพราะ 4y หาร 4xy ลงตว


10

พหนามทเปนตวประกอบแตละ

ตวจะมดกรตากว าพหนามท

กาหนด


¢ŒÍ¤ÇÃÃÐÇÑ§

พจารณาการเขยน 6x2y + 15xyz ใหอยในรป A × B เมอ A เปนตวประกอบรวมของ 6x2y + 15xyz และ B เปนพหนาม

6x2y + 15xyz = 3xy(2x + 5z) เปนการแยกตวประกอบของพหนาม เนองจาก ไมสามารถหา

ตวประกอบรวมทไมใช 1 ของ 2x และ 5z ได

1.3 การแยกตวประกอบของพหนาม โดยใชสมบตการแจกแจง พจารณาพหนาม 6x2y + 15xyz ซงสามารถเขยนใหอย ในรปของการคณกนของ

พหนามสองพหนามไดเปน 3xy(2x + 5z) นนคอ 3xy และ 2x + 5z เปนตวประกอบของ

6x2y + 15xyz กลาวไดวา 3xy(2x + 5z) เปนการแยกตวประกอบของพหนาม (factorization of

polynomials) 6x2y + 15xyz

พหนามทกาหนด พหนามทเปนตวประกอบพหนามทเปนตวประกอบ

6x2y + 15xyz = 3xy (2x + 5z)


1) 4x + 12 2) 5x + 10y 3) 2x3 + 3xy

วธทา 1) ตวประกอบรวมของ 4x และ 12 คอ 4 ดงนน 4x + 12 = 4(x + 3)

2) ตวประกอบรวมของ 5x และ 10y คอ 5 ดงนน 5x + 10y = 5(x + 2y)

3) ตวประกอบรวมของ 2x3 และ 3xy คอ x ดงนน 2x3 + 3xy = x(2x2 + 3y) ตอบ



จงหาตวประกอบรวมของ 5x2 และ 10xy

วธทา ตวประกอบของ 5x2 ไดแก 1, 5, x, x2, 5x, 5x2

ตวประกอบของ 10xy ไดแก 1, 2, 5, 10, x, y, 2x, 2y, 5x, 5y, 10x, 10y, xy, 2xy, 5xy, 10xy

ดงนน ตวประกอบรวมของ 5x2 และ 10xy คอ 1, 5, x, 5x ตอบ



1. จงพจารณาวาขอความตอไปนเปนจรงหรอเทจ

1) 2x เปนตวประกอบของ 6x3

2) 3x เปนตวประกอบของ 3xy2

3) 5xy เปนตวประกอบของ 10x2y

4) 4xy เปนตวประกอบของ 2x2y2

5) 12a2b เปนตวประกอบของ 24ab2

2. จงเขยนพหนามทเปนตวประกอบของพหนามทกาหนดใหในแตละขอมา 3 พหนาม

1) 6xy 3) 10x2y

5) xyz

2) 2xy2

4) 7x2y2

6) 5xyz


3. จงเขยนพหนามทเปนตวประกอบรวมของพหนามทกาหนดใหในแตละขอ โดยพหนามทเปน

ตวประกอบรวมมสมประสทธเปนจานวนเตมมา 3 จานวน

1) 6x และ 8x 3) 5x2y และ 4xy2

2) 2xy และ 3xy 4) 7xyz และ 5yz

จงหาตวประกอบรวมของพหนามในแตละขอตอไปน

1) 2y2 และ 6yz

2) 4a2b และ 12a3b

ลองทาด

12


1) ax + ay + bx + by 2) 7x2z - 2x2 - 2y + 7yz

ลองทาด

(a - b) เปนตวประกอบรวมของx(a - b) และ y(a - b)

(3x2 - 1) เปนตวประกอบรวมของx(3x2 - 1) และ 7(3x2 - 1)


1. จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน

1) 4 + 6x 3) 2x + 8y 5) 3x2y + 9xy2

2) 3y - 6

4) 5x2 - 15x 6) 4xyz + 6xy2z - 8x2yz


1) x(x + y) + 2(x + y) 3) x(x - y) - z(x - y) 5) a(x + y + z) - b(x + y + z)

2) x(x + 3) - 5(x + 3) 4) a(x + y) + b(x + y) 6) a(x + y) + b(x + y) + c(x + y)


1) ax - by - bx + ay 2) 3x3 - x + 21x2 - 7

วธทา 1) ax - by - bx + ay = (ax - bx) + (ay - by) = x(a - b) + y(a - b) = (a - b)(x + y) ดงนน ax - by - bx + ay = (a - b)(x + y)

2) 3x3 - x + 21x2 - 7 = (3x3 - x) + (21x2 - 7)

= x(3x2 - 1) + 7(3x2 - 1)

= (3x2 - 1)(x + 7) ดงนน 3x3 - x + 21x2 - 7 = (3x2 - 1)(x + 7) ตอบ



จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน โดยใชสมบตการแจกแจง

1) 12x3y2 - 9x2y3 2) 16xz2 + 18x2z3 - 6x2z2

วธทา 1) ตวประกอบรวมของ 12x3y2 และ 9x2y3 คอ 3x2y2

ดงนน 12x3y2 - 9x2y3 = 3x2y2(4x - 3y)

2) ตวประกอบรวมของ 16xz2, 18x2z3 และ 6x3z4 คอ 2xz2

ดงนน 16xz2 + 18x2z3 - 6x3z4 = 2xz2(8 + 9xz - 3x2z2) ตอบ



1) 3x + 9 2) 4x + 6y 3) 7x2 - 5xy

ลองทาด

จงแยกตวประกอบของพหนามในแตละขอตอไปน โดยใชสมบตการแจกแจง

1) 30xy2 - 25x2y 2) 20x4y3 - 18x3y4 + 22x4y5

ลองทาด

จากตวอยางท 8 เมอคณพหนามทไดจากการแยกตวประกอบ โดยใชสมบตการแจกแจง

จะไดพหนามทกาหนดให จงกลาวไดวา ตวอยางท 8 เปนการแยกตวประกอบโดยใชสมบต

การแจกแจง

ถา a, b และ c เปนพหนาม แลวสามารถแยกตวประกอบของพหนาม ab + ac

โดยใชสมบตการแจกแจงไดเปน a(b + c) นนคอ ab + ac = a(b + c)

ในบางครง การแยกตวประกอบของพหนามทมหลายพจนไมสามารถใชสมบตการแจกแจง

มาใชแยกตวประกอบไดทนท แตเมอจดเรยงพจนในพหนามดงกลาวใหม โดยใชสมบตการเปลยน

หมหรอการสลบทแลวสามารถแยกตวประกอบได ดงตวอยางตอไปน

14

พหนามทเขยนไดในรป ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนคาคงตวท a ≠ 0 และ x เปนตวแปร เรยกวา พหนามดกรสองตวแปรเดยว

จงบอกคา a, b, c ของพหนามดกรสองตวแปรเดยวในแตละขอตอไปน

ซงอยในรป ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนคาคงตวท a ≠ 0 และ x เปนตวแปร

1) 4x2 + 5x + 63) 3x2 - 12

2) 2x2 - 7x - 94) 5x2 - 15x

วธทา 1) 4x2 + 5x + 6 เทยบกบ ax2 + bx + c จะได a = 4, b = 5 และ c = 6

2) 2x2 - 7x - 9 เทยบกบ ax2 + bx + c จะได a = 2, b = -7 และ c = -9

3) 3x2 - 12

เทยบกบ ax2 + bx + c จะได a = 3, b = 0 และ c = -12

4) 5x2 - 15x เทยบกบ ax2 + bx + c จะได a = 5, b = -15 และ c = 0 ตอบ


จงบอกคา a, b, c ของพหนามดกรสองตวแปรเดยวในแตละขอตอไปน ซงอยในรป

ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนคาคงตวท a ≠ 0 และ x เปนตวแปร

1) 8x2 - 3x - 9 2) -4x2 + 1 3) 7x2 - 4x

ลองทาด

1. การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองในรป ax2 + bx + c เมอ a, b เปนจานวนเตม และ c = 0

พหนามดกรสองในรป ax2 + bx + c เมอ a, b เปนจานวนเตม และ c = 0 คอ พหนาม

ทอยในรป ax2 + bx เชน 2x2 + 4x, 3y2 - 9y, -4x2 - 8x เปนตน

การแยกตวประกอบของพหนามในรป ax2 + bx สามารถทาไดโดยใชสมบตการแจกแจง

ทเคยกลาวมาแลวในหวขอ 1.3 ดงตวอยางตอไปน




1) 6a(x + y) + 4a(x + y) 3) 8x2y(a + b) + 12xy2(a + b)

5) (x2 + xy) + (2x + 2y)

2) 3xy(a + b) - 6x(a + b) 4) 10(x + y) - 12(ax + ay) 6) 15x2y(a + b) - 10xy2(3a + 3b)


1) x2 - xz + xy - yz 3) 6x2 - 3xy + 2xy - xy

2) x3 - x2 + x - 1 4) 2ax2 + 3axy - 2bxy - 3by2

5. จงแยกตวประกอบของ a2x + abx - ac + aby - bc + by2

6. จงแยกตวประกอบของ x2 + y2 - 3x - 3y + 2xy

ระดบ ทาทาย

1.4 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง ตวแปรเดยว พจารณาพหนามตอไปน

7x2 + 4x + 5 3x2 + 2x - 1 y2 - 3y - 4

x2 - 4

y2 - 8y

-x2 + 7x

พหนามขางตนเปนตวอยางของพหนามดกรสองตวแปรเดยว (quadratic polynomial in

one variable)

เมอพจารณาพหนามขางตน นกเรยนจะพบวา พหนามดงกลาวมตวแปรตวเดยว เชน

7x2 + 4x + 5 ม x เปนตวแปรเพยงตวเดยว y2 - 8y ม y เปนตวแปรเพยงตวเดยว และพหนาม

เหลานมดกรสงสดเทากบ 2 ในทางคณตศาสตร กลาวไดวา

นกเรยนคดวา พหนามดกรสอง

ตวแปรเดยวคออะไร

Thinking Time

16

พหนามทกาหนด m n b c

(x + 3)(x + 4)

(x - 3)(x - 4)

(x + 3)(x - 4)

(x - 3)(x + 4)

จากตาราง ตอบคาถามตอไปน

1) m และ n มความสมพนธกบ b อยางไร

2) m และ n มความสมพนธกบ c อยางไร

3. จากความสมพนธทไดในขอ 2. นกเรยนคดวา x2 + 6x - 7 สามารถแยกตวประกอบ

ไดอยางไร

3) (x + 3)(x - 4)

คณ x 4

x x2

3 -12

ดงนน (x + 3)(x - 4)

= …………………………………………

4) (x - 3)(x + 4)

คณ x 4

x x2

-3 -12

ดงนน (x - 3)(x + 4)

= …………………………………………

2. กาหนดให (x + m)(x + n) = x2 + bx + c เมอ b, c, m, n เปนจานวนเตม

พจารณาผลคณของพหนามทกาหนดในขอ 1. ใหอยในรปขางตน แลวเขยนลงในตาราง

ตอไปน

จากกจกรรมคณตศาสตรจะเหนไดวา การคณของพหนามทอยในรป (x + m)(x + n)

เมอ m, n เปนจานวนเตม ผลคณทไดจะอยในรป x2 + bx + c เมอ b และ c เปนจานวนเตม

และ c ≠ 0 กลาวไดวา


พจารณาการแยกตวประกอบท

กาหนดใหตอไปนวาถกตองหรอไม

1) -4x2 - 8x = 4x(-x - 2)2) -7y2 + 49y = 7y(-y + 7)

Thinking Time


1) 2x2 + 4x 2) 3y2 - 9y 3) -4x2 - 8x 4) -7y2 + 49y

วธทา 1) 2x2 + 4x = 2x(x + 2) 2) 3y2 - 9y = 3y(y - 3)

3) -4x2 - 8x = -4x(x + 2) 4) -7y2 + 49y = -7y(y - 7) ตอบ



1) x2 - x 2) 5y2 + 10y 3) -3x2 - 12 4) -11y2 + 44y

ลองทาด

2. การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองในรป ax2 + bx + c เมอ a = 1, b และ c เปนจานวนเตม และ c ≠ 0

พหนามดกรสองในรป ax2 + bx + c เมอ a = 1, b และ c เปนจานวนเตม และ c ≠ 0 คอ พหนามทอยในรป x2 + bx + c เชน x2 + 4x + 3, y2 - 5y - 6


1. จงหาผลคณของพหนามในแตละขอตอไปน โดยใชตาราง


1) (x + 3)(x + 4)

คณ x 4

x x2

3 12

ดงนน (x + 3)(x + 4)

= …………………………………………

2) (x - 3)(x - 4)

คณ x 4

x x2

-3 12

ดงนน (x - 3)(x - 4)

= …………………………………………

18

จงหาจานวนเตม m และ n ททาให m + n = b และ m × n = c เมอกาหนด b และ c ดงตอไปน

1) b = 16 และ c = 63

3) b = 1 และ c = -72

2) b = -11 และ c = 28

4) b = 0 และ c = -9

วธทา 1) b = 16 และ c = 63

c = 63 = 1 × 63

= 3 × 21

= 7 × 9

เนองจาก 7 + 9 = 16 และ 7 × 9 = 63

ดงนน m = 7 และ n = 9

2) b = -11 และ c = 28

c = 28 = 1 × 28 = (-1) × (-28)

= 2 × 14 = (-2) × (-14)

= 4 × 7 = (-4) × (-7)

เนองจาก (-4) + (-7) = -11 และ (-4) × (-7) = 28

ดงนน m = -4 และ n = -7

3) b = 1 และ c = -72

c = -72 = 1 × (-72) = (-1) × 72

= 2 × (-36) = (-2) × 36

= 3 × (-24) = (-3) × 24

= 4 × (-18) = (-4) × 18

= 6 × (-12) = (-6) × 12

= 8 × (-9) = (-8) × 9

เนองจาก (-8) + 9 = 1 และ (-8) × 9 = -72

ดงนน m = -8 และ n = 9

4) b = 0 และ c = -9

c = -9 = 1 × (-9) = (-1) × 9

= 3 × (-3)

เนองจาก 3 + (-3) = 0 และ 3 × (-3) = -9

ดงนน m = 3 และ n = -3 ตอบ


ในการหา m และ n นกเรยนคดวา

ควรหาจาก m × n = c กอน หรอ

หาจาก m + n = b กอน

Thinking Time


(x + m)(x + n) = x2 + bx + c เมอ b, c, m, n เปนจานวนเตม และ c ≠ 0

เมอพจารณาความสมพนธระหวาง b, c, m และ n ของพหนามทกาหนดใหในกจกรรม

คณตศาสตร จะไดวา

b = m + n และ c = m × n

โดยใชสมบตของการเทากน จะกลาวไดวา

x2 + bx + c = (x + m)(x + n) เมอ b, c, m, n เปนจานวนเตม และ c ≠ 0

โดยท b = m + n และ c = m × n

จากกจกรรมคณตศาสตร เมอพจารณาเครองหมายหนาสมประสทธของพหนามและ

ตวประกอบทอยในรป x2 + bx + c = (x + m)(x + n) เมอ b, c, m, n เปนจานวนเตม และ c ≠ 0 โดยท b = m + n และ c = m × n พบวา

x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) = (x + 4)(x + 3)

b เปนจานวนเตมบวก และ c เปนจานวนเตมบวก กตอเมอ

m เปนจานวนเตมบวก และ n เปนจานวนเตมบวก

x2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = (x - 4)(x - 3)

b เปนจานวนเตมลบ และ c เปนจานวนเตมบวก กตอเมอ

m เปนจานวนเตมลบ และ n เปนจานวนเตมลบ

x2 - x - 12 = (x + 3)(x - 4) = (x - 4)(x + 3)

b เปนจานวนเตมลบ และ c เปนจานวนเตมลบ กตอเมอ

m เปนจานวนเตมบวก, n เปนจานวนเตมลบ และ �m� < �n�

หรอ m เปนจานวนเตมลบ, n เปนจานวนเตมบวก และ

�m� > �n�

x2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4) = (x + 4)(x - 3)

b เปนจานวนเตมบวก และ c เปนจานวนเตมลบ กตอเมอ

m เปนจานวนเตมลบ, n เปนจานวนเตมบวก และ �m� < �n�

หรอ m เปนจานวนเตมบวก, n เปนจานวนเตมลบ และ

�m� > �n�

20

b = -9 และ c = -90

b = -24 และ c = 144

b = 0 และ c = -144

จงแยกตวประกอบของ x2 - 9x - 90

วธทา เนองจาก 6 × (-15) = -90

และ 6 + (-15) = -9

ดงนน x2 - 9x - 90 = (x + 6)[x + (-15)] = (x + 6)(x - 15) ตอบ

จงแยกตวประกอบของ x2 - 24x + 144

วธทา เนองจาก (-12) × (-12) = 144

และ (-12) + (-12) = -24

ดงนน x2 - 24x + 144 = [x + (-12)][x + (-12)] = (x - 12)(x - 12) ตอบ

จงแยกตวประกอบของ x2 - 144

วธทา เนองจาก (-12) × 12 = -144

และ (-12) + 12 = 0

ดงนน x2 - 144 = [x + (-12)](x + 12) = (x - 12)(x + 12) ตอบ





1) x2 + 17x + 303) x2 + 12x - 64

2) x2 - 15x + 504) x2 - 6x - 72

ลองทาด


1) x2 - 26x + 169 2) x2 - 169

ลองทาด

x2 - 144 เปนพหนามทอยในรป

x2 + bx + c หรอไม

Thinking Time


จงหาจานวนเตม m และ n ททาให m + n = b และ m × n = c เมอกาหนด b และ c ดงตอไปน

1) b = -13 และ c = 36

3) b = -3 และ c = -108

2) b = 18 และ c = 77

4) b = 0 และ c = -16

ลองทาด

จงแยกตวประกอบของ x2 + 15x + 44

วธทา เนองจาก 4 × 11 = 44

และ 4 + 11 = 15

ดงนน x2 + 15x + 44 = (x + 4)(x + 11) ตอบ

จงแยกตวประกอบของ x2 - 16x + 48

วธทา เนองจาก (-4) × (-12) = 48

และ (-4) + (-12) = -16

ดงนน x2 - 16x + 48 = [x + (-4)][x + (-12)] = (x - 4)(x - 12) ตอบ

จงแยกตวประกอบของ x2 + 14x - 72

วธทา เนองจาก (-4) × 18 = -72

และ (-4) + 18 = 14

ดงนน x2 + 14x - 72 = [x + (-4)](x + 18) = (x - 4)(x + 18) ตอบ




b = 15 และ c = 44

b = -16 และ c = 48

b = 14 และ c = -72

22


1) x2 + 21x + 54

3) x2 + 23x + 132

5) x2 + 6x - 112

7) x2 + 33x - 108

9) x2 - 14x - 95

11) y2 - 2y - 195

13) 36 - 15x + x2

15) 70 - 17x + x2

17) 195 + x2 - 28x

19) a2 - 169

2) x2 - 18x + 65

4) x2 - 30x + 104

6) x2 - 3x - 108

8) x2 + 15x - 154

10) x2 - 17x - 84

12) a2 - 79a - 332

14) 42 - 13a + a2

16) 232 + 37x + x2

18) 225 + m2 + 34m

20) b2 - 196


1) -x2 - 37x - 232

3) -x2 + 28x - 115

5) 116 - 25x - x2

7) 136 + 9x - x2

9) x2 - 729

11) -361 + x2

2) -a2 + 19a + 372

4) -x2 - 24x + 217

6) 336 - 34x - x2

8) 138 + 17x - x2

10) x2 - 289

12) -529 + x2




สาหรบพหนามดกรสองบางจานวน เชน x2 + 6x + 1 เมอเทยบกบ x2 + bx + c จะไดb = 6 และ c = 1 นกเรยนจะพบวา ไมสามารถหา m และ n ททาให m × n = 1 และ m + n = 6

กลาวไดวา ไมสามารถเขยนพหนาม x2 + 6x + 1 ใหอยในรปการคณของพหนามดกร

หนงสองจานวนทมสมประสทธเปนจานวนเตม นนคอ ไมสามารถแยกตวประกอบของพหนาม

x2 + 6x + 1 โดยใชเงอนไขขางตนได

แบบฝกทกษะ 1.4 กระดบ พนฐาน


1) 2x2 + x

3) -8x - 104x2

2) 9y2 - 36y

4) -6y2 + 2y

2. จงหาจานวนเตม m และ n ททาให m + n = b และ m × n = c เมอกาหนด b และ c

ดงตอไปน

1) b = 15 และ c = 56

3) b = 12 และ c = -64

5) b = -24 และ c = 108

7) b = -16 และ c = -105

9) b = 0 และ c = -25

2) b = -18 และ c = 81

4) b = -8 และ c = -65

6) b = 21 และ c = 90

8) b = -10 และ c = 25

10) b = 0 และ c = -100


1) x2 - 8x

3) -y2 + 9y

5) x2 + 9x + 2x + 10

7) x2 + 7x - 3x - 21

9) x2 + 12x + 32

11) x2 + 6x - 16

13) x2 - 36

2) 4x2 - 8x

4) -8x2 - 16x

6) x2 - 7x - 6x + 12

8) x2 - 9x + 3x - 27

10) x2 - 13x + 42

12) x2 - 6x - 40

14) x2 - 121

24

จากกจกรรมคณตศาสตร เพอใหงายตอการกลาวถง จะกาหนดใหเรยกพจนในพหนามวา

พจนหนา 2x2 + 7x + 3 พจนหลง

พจนกลาง

พจารณาการหาผลคณของ (2x + 1)(x + 3) จะพบวา (2x + 1)(x + 3) = 2x2 + 7x + 3

เมอพจารณาพจนกลางของพหนามทเปนผลคณ สามารถกลาวไดวา

พจนกลางของพหนามทเปนผลคณไดมาจากผลคณของพจน

ในวงเลบทอยใกลกน บวกกบผลคณของพจนในวงเลบทอย

ไกลกน

พจนกลาง = (ใกล × ใกล) + (ไกล × ไกล)

ไกล × ไกล

ใกล × ใกล

(2x + 1)(x + 3)

จากสมบตการเทากน จะไดวา 2x2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3) ซงเปนการแยกตวประกอบ

ของ 2x2 + 7x + 3 จงสามารถสรปเกยวกบวธการแยกตวประกอบของพหนามดกรสองในรป

ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนจานวนเตม และ a ≠ 0, a ≠ 1, c ≠ 0 ไดดงตวอยางตอไปน

พจารณาการแยกตวประกอบของ 6x2 + 19x + 10

พจนหนา 6x2 + 19x + 10 พจนหลง

พจนกลาง

พจนหนาของพหนามทเปนผลคณเกดจากพจนหนาของแตละวงเลบคณกน

2x × x = 2x2

พจนหลงของพหนามทเปนผลคณเกดจากพจนหลง

ของแตละวงเลบคณกน

1 × 3 = 3

พจนกลางของพหนามทเปนผลคณเกดจากผลคณของพจนหนาในวงเลบแรกกบพจนหลง

ในวงเลบหลง บวกกบผลคณของพจนหลงในวงเลบแรกกบพจนหนาในวงเลบหลง

(2x × 3) + (1 × x) = 6x + x = 7x

(2x + 1)(x + 3)

3

x

2x2

6x


3. การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองในรป ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนจานวนเตม และ a ≠ 0, a ≠ 1, c ≠ 0

พหนามดกรสองในรป ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนจานวนเตม และ a ≠ 0, a ≠ 1, c ≠ 0 เชน 5x2 + 4x - 1 20a2 + 77a + 18

3y2 - 40y + 117

9m2 - 16

นกเรยนจะไดศกษาการแยกตวประกอบของพหนามรปแบบดงกลาวจากกจกรรม

คณตศาสตรตอไปน


พจารณาการหาผลคณของ (2x + 1)(x + 3) แลวตอบคาถามตอไปน

(2x + 1)(x + 3)

= 2x2 + 6x + x + 3

= 2x2 + 7x + 3

1. 2x2 ไดจากการคณกนของพจนใด

2. 7x ไดจากการคณกนของพจนใดบาง

3. 3 ไดจากการคณกนของพจนใด

คณ x 3

2x 2x2 6x1 x 3

26

การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองดงเชนตวอยางทกลาวมา ทตองแยกตวประกอบ

ของพจนหนาทมสมประสทธของตวแปร x2 ทไมใช 1 และตวประกอบของพจนหลง เพอหาพจน

กลางทถกตอง กรณทสมประสทธหรอพจนหลงแยกตวประกอบไดหลายแบบ จะเสยเวลามาก

นกเรยนอาจลองแยกตวประกอบของสมประสทธของตวแปร x2 และแยกตวประกอบของพจนหลง

แลวจบคหาสมประสทธของพจนกลางทถกตองไวกอนนาไปใสวงเลบ เชน

จาก 6x2 + 19x + 10

6 อาจแยกตวประกอบเปน 1 × 6 10 อาจแยกตวประกอบเปน 1 × 10

หรอ 2 × 3 หรอ 2 × 5

ลองจบคจานวนทแยกได แลวเลอกคทบวกลบกนไดเทากบสมประสทธของพจนกลาง

เชน เลอก 6 แยกตวประกอบเปน 2 × 3

เลอก 10 แยกตวประกอบเปน 2 × 5

ถาให 2 คณคกบ 2 จะได 4


จะเหนวา 4 + 15 = 19 เทากบสมประสทธของพจนกลางพอด จงนาไปใสในวงเลบ

โดยใหได (ใกล × ใกล) + (ไกล × ไกล) เทากบ 19 อาจใสเปนขนตอน ดงน

(2x )(3x ) ใสพจนหนากอน

(2x + 5)(3x + 2) ใสพจนหลง

(2x + 5)(3x + 2) ตรวจสอบพจนกลาง 4x + 15x = 19x

เพอเพมความเขาใจ ใหนกเรยนศกษาเพมเตมไดจากตวอยางตอไปน

พจารณาการแยกตวประกอบของ 6x2 + 5x - 216x2 + 5x - 21

6 อาจแยกตวประกอบเปน 1 × 6 21 อาจแยกตวประกอบเปน 1 × 21

หรอ 2 × 3 หรอ 3 × 7

ลองจบคจานวนทแยกได

เชน เลอก 6 แยกตวประกอบเปน 2 × 3

เลอก 21 แยกตวประกอบเปน 3 × 7

15x

4x


1. พจนหนา คอ 6x2 แยกตวประกอบไดเปน x × 6x หรอ 2x × 3x 2. พจนหลง คอ 10 แยกตวประกอบไดเปน 1 × 10

หรอ 2 × 5

3. นาตวประกอบของพจนหนาและพจนหลงไปจดใหอยในรปการคณกนของพหนามสอง

พหนาม จะไดเปน

1) (x + 1)(6x + 10) 3) (2x + 1)(3x + 10) 5) (x + 10)(6x + 1) 7) (2x + 10)(3x + 1)

2) (x + 2)(6x + 5) 4) (2x + 2)(3x + 5) 6) (x + 5)(6x + 2) 8) (2x + 5)(3x + 2)

รวมทงหมด 8 กรณ

4. หาพจนกลางของแตละกรณ โดยตองพจารณาเลอกกรณททาใหพจนกลางเปน 19x ไดจาก


จะไดวา

1) (1 × 6x) + (x × 10) = 6x + 10x = 16x 2) (2 × 6x) + (x × 5) = 12x + 5x = 17x 3) (1 × 3x) + (2x × 10) = 3x + 20x = 23x 4) (2 × 3x) + (2x × 5) = 6x + 10x = 16x 5) (10 × 6x) + (x × 1) = 60x + x = 61x 6) (5 × 6x) + (x × 2) = 30x + 2x = 32x 7) (10 × 3x) + (2x × 1) = 30x + 2x = 32x 8) (5 × 3x) + (2x × 2) = 15x + 4x = 19x

จะเหนไดวา กรณท 8) ทาใหไดพจนกลางเปน 19x ดงนน 6x2 + 19x + 10 แยกตวประกอบไดเปน

6x2 + 19x + 10 = (2x + 5)(3x + 2)

ซงสามารถตรวจสอบคาตอบไดโดยการคณตวประกอบทได ดงน

(2x + 5)(3x + 2) = 6x2 + 4x + 15x + 10 = 6x2 + 19x + 10

28

จงแยกตวประกอบของ -4x2 + 20x - 25

วธทา -4x2 + 20x - 25 = -(4x2 - 20x + 25) = -[(2x - 5)(2x - 5)] = -(2x - 5)2


พจนหนา = 4x2

พจนกลาง = (-10x) + (-10x) = -20x พจนหลง = 25

จะได (2x - 5)2 = 4x2 - 20x + 25 ดงนน -(2x - 5)2 = -(4x2 - 20x + 25) = -4x2 + 20x - 25 ตอบ


4) 24a2 - 42a - 27 = (4a - 9)(6a + 3)


พจนหนา = 24a2

พจนกลาง = (-54a) + 12a = -42a

พจนหลง = -27 ตอบ


1) 6y2 + 17y + 12

3) 8x2 - 22x + 15

2) 6b2 + b - 12

4) 15n2 - 9n - 42

ลองทาด

คณ 6a 3

4a 24a2 12a

-9 -54a -27

24 = 4 × 6

27 = 3 × 9

คณ 2x -5

2x 4x2 -10x

-5 -10x 25

4 = 2 × 2

25 = 5 × 5


1) -3x2 + 10x + 8 2) -25x2 - 30x - 9

ลองทาด




ตองการสมประสทธของพจนกลางเปน 5 ไดจาก 14 + (-9) จงนาไปใสในวงเลบ

(2x )(3x ) ใสพจนหนากอน

(2x - 3)(3x + 7) ใสพจนหลง ใหสงเกตเครองหมายในวงเลบ

(2x - 3)(3x + 7) ตรวจสอบพจนกลาง 14x + (-9x) = 5x


1) 20x2 + 53x + 183) 13x2 + 69x - 54

2) 6m2 - 38m + 56

4) 24a2 - 42a - 27

วธทา 1) 20x2 + 53x + 18 = (4x + 9)(5x + 2) ตรวจสอบคาตอบ


พจนกลาง = 45x + 8x = 53x พจนหลง = 18

2) 6m2 - 38m + 56 = (2m - 8)(3m - 7)


พจนหนา = 6m2

พจนกลาง = (-24m) + (-14m) = -38m

พจนหลง = 56

3) 13x2 + 69x - 54 = (x + 6)(13x - 9) ตรวจสอบคาตอบ


พจนกลาง = 78x + (-9x) = 69x พจนหลง = -54


-9x

14x

คณ 5x 2

4x 20x2 8x

9 45x 18

20 = 4 × 5

18 = 9 × 2

คณ 3m -7

2m 6m2 -14m

-8 -24m 56

6 = 2 × 3

56 = 7 × 8

คณ 13x -9

x 13x2 -9x

9 78x -54

13 = 1 × 13

54 = 6 × 9

30



1) 27 - 30x + 8x2

3) -28x2 + 23x + 15 5) -33x2 - 67x + 56 7) 12x2 - 38x -14 9) 24x2 + 90x - 81

2) 21 - 65x + 24x2

4) -18x2 - 59x +14 6) -39x2 + 31x + 28 8) 18x2 - 75x + 72 10) 105x2 - 39x - 12


1) 6(x - 3)2 + (x - 3) - 12

3) 9(x - 7)2 - 6(x - 7) + 1

5) (x - 3)2 + 13(x2 - 3x) + 40x2

2) 10 - 19(a + 1) - 15(a + 1)2

4) -9 + 42(x - 2) - 49(x - 2)2

6) (x + 2)2 - 18(x2 + 2x) + 81x2


1.5 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง ทเปนกาลงสองสมบรณ จากหวขอทผานมา นกเรยนไดเรยนรเกยวกบการแยกตวประกอบของพหนามทอยในรป

ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนจานวนเตม และ a ≠ 0 ถาตวประกอบทไดอยในรปผลคณของ

พหนามทเหมอนกนสองพหนาม จะเรยกพหนาม ax2 + bx + c วา พหนามดกรสองทเปนกาลง

สองสมบรณ

จงพจารณาวา พหนามในแตละขอตอไปนเปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณหรอไม

1) x2 + 6x + 93) 4x2 - 12x + 9

2) x2 - 2x - 84) 4x2 + 5x + 1

วธทา 1) x2 + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3) = (x + 3)2

ดงนน x2 + 6x + 9 เปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ



จงแยกตวประกอบของ 8x2 + 26x + 20

วธทา

วธท 1 8x2 + 26x + 20 = 2(4x2 + 13x + 10) = 2(4x + 5)(x + 2)

วธท 2 8x2 + 26x + 20 = (8x + 10)(x + 2) = 2(4x + 5)(x + 2)

วธท 3 8x2 + 26x + 20 = (4x + 5)(2x + 4) = (4x + 5)[2(x + 2)] = 2(4x + 5)(x + 2) ตอบ


จากตวอยางท 22 นกเรยนคดวาการแยกตวประกอบในกรณทแตละพจนในพหนามดกรสอง ซงม

ตวประกอบรวม วธใดสามารถแยกตวประกอบไดงายและสะดวกทสด

Thinking Time

แบบฝกทกษะ 1.4 ขระดบ พนฐาน


1) 2x2 + 11x + 5 3) 3x2 + 26x + 16 5) 4x2 + 12x + 9 7) 20x2 + 77x + 18 9) 12b2 + 20b + 7

11) 3x2 - 10x - 8

2) 4x2 - 7x + 3 4) 18x2 - 63x + 40 6) 35 - 26x + 3x2

8) 4a2 - 28a + 49

10) 13m2 + 69m - 54

12) 7y2 + 72y - 55

4 = 1 × 4

10 = 2 × 5

8 = 1 × 8

20 = 2 × 10

8 = 2 × 4

20 = 4 × 5


1) 4 + 10x + 6x2 2) 12x2 - 21x + 9

ลองทาด

32


1) x2 + 26x + 169 2) x2 - 24x + 144

วธทา 1) x2 + 26x + 169 = x2 + 2x(13) + 132

ดงนน x2 + 26x + 169 = (x + 13)2

2) x2 - 24x + 144 = x2 - 2x(12) + 122

ดงนน x2 - 24x + 144 = (x - 12)2 ตอบ



1) x2 + 14x + 49 2) x2 - 22x + 121

ลองทาด

ถาใหพจนหนาแทนดวย a และพจนหลงแทนดวย b จะไดสตรการแยกตวประกอบของ

พหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ ดงน

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

นกเรยนอาจจดจางาย ๆ วา หนา2 + 2(หนา)(หลง) + หลง2 = (หนา + หลง)2

หนา2 - 2(หนา)(หลง) + หลง2 = (หนา - หลง)2


การใชความรเกยวกบการหาพนทของรปสเหลยมมมฉาก เพอแสดงวา a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

พจารณารปสเหลยมจตรส ทมดานยาวดานละ a + b หนวย รปสเหลยมนจะมพนทเทาใด

พนทรปสเหลยมจตรส = ความยาวดาน × ความยาวดาน

= × ตารางหนวย

= ตารางหนวย



a + b

a + b

จงพจารณาวา พหนามในแตละขอตอไปนเปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณหรอไม

1) x2 - 8x + 16

3) 4x2 + 4x + 1

2) x2 + 6x + 5

4) 6x2 + 7x + 1

ลองทาด

พจารณา (x + a)(x + a) = x2 + 2ax + a2

จากสมบตของการเทากน จะได

x2 + 2ax + a2 = (x + a)(x + a) x2 + 2ax + a2 = (x + a)2

จะเหนวา x2 + 2ax + a2 เปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ

จาก (x + a)2 เรยก x วาพจนหนา และ a วาพจนหลง สามารถเขยนความสมพนธของ

x2 + 2ax + a2 = (x + a)2 ไดวา

(พจนหนา)2 + 2(พจนหนา)(พจนหลง) + (พจนหลง)2 = (พจนหนา + พจนหลง)2

ในทานองเดยวกน สามารถเขยนความสมพนธของ x2 - 2ax + a2 = (x - a)2 ไดวา

(พจนหนา)2 - 2(พจนหนา)(พจนหลง) + (พจนหลง)2 = (พจนหนา - พจนหลง)2

2) x2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) ดงนน x2 - 2x - 8 ไมเปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ

3) 4x2 - 12x + 9 = (2x - 3)(2x - 3) = (2x - 3)2

ดงนน 4x2 - 12x + 9 เปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ

4) 4x2 + 5x + 1 = (4x + 1)(x + 1) ดงนน 4x2 + 5x + 1 ไมเปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ ตอบ

คณ 3x a

x x2 axa ax a2

34

จงหาคา k ททาใหพหนามทกาหนดในแตละขอเปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ

1) x2 + 8x + k 2) 4x2 - 12x + k

วธทา 1) เนองจาก x2 + 8x + k เปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ

จะไดวา x2 + 8x + k = x2 + 2x(4) + k ดงนน k = 42

= 16

2) เนองจาก 4x2 - 12x + k เปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ

จะไดวา 4x2 - 12x + k = (2x)2 - 2(2x)(3) + k ดงนน k = 32

= 9 ตอบ



1) 49x2 + 70x + 25 2) 100x2 - 220x + 121

ลองทาด

จงหาคา k ททาใหพหนามในแตละขอตอไปนเปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ

1) x2 + 10x + k 2) 4x2 - 16x + k

ลองทาด

จงแยกตวประกอบของ (x - 2)2 + 6(x - 2) + 9

วธทา ให x - 2 = A จะได (x - 2)2 + 6(x - 2) + 9 = A2 + 6A + 9

= A2 + 2(A)(3) + 32

= (A + 3)2

ดงนน (x - 2)2 + 6(x - 2) + 9 = [(x - 2) + 3]2

= (x + 1)2 ตอบ




1) 4x2 + 12x + 9 2) 25x2 - 40x + 16

วธทา 1) 4x2 + 12x + 9 = (2x)2 + 2(2x)(3) + 32

ดงนน 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2

2) 25x2 - 40x + 16 = (5x)2 - 2(5x)(4) + 42

ดงนน 25x2 - 40x + 16 = (5x - 4)2 ตอบ


ถาแบงรปสเหลยมจตรสออกเปนหลาย ๆ สวน ดงรป

จะได รป 1 เปนรปสเหลยมจตรส ทมดานยาวดานละ a หนวย

มพนท เทากบ ตารางหนวย


รป 2 และ 3 เปนรปสเหลยมผนผา ทมความกวาง b หนวย

และมความยาว a หนวย มพนท เทากบ ตารางหนวย


รป 4 เปนรปสเหลยมจตรส ทมดานยาวดานละ b หนวย

มพนท เทากบ ตารางหนวย


จะไดวา มพนทเทากบ

พนทรปสเหลยมจตรสเดม = ผลรวมของพนทรป 1 2 3 และ 4 =


นกเรยนสามารถใชความรเกยวกบพนทของรปสเหลยมมมฉาก เพอแสดงวา

a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 ไดหรอไม อยางไร

36

a + b

a + b

a

a

b

b

1 2

3 4

a

a

b

b

1 2

3 4

3. จงหาคา k ททาใหพหนามในแตละขอตอไปนเปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ

1) x2 - 20x + k 2) 64x2 - 176x + k



1) (x + 1)2 + 6(x + 1) + 9 3) (2x - 1)2 + 10(2x - 1) + 25

2) (x - 2)2 - 8(x - 2) + 16 4) (3x + 2)2 - 24(3x + 2) + 144


1) 9x2 - 6(x2 - 3x) + (x - 3)2

3) 25x2 + 2(5x2 + 10x) + (x + 2)2 2) 16x2 + 8(x2 + 4x) + (x + 4)2

4) (x + 2)2 + 2(x2 + x - 2) + (x - 1)2


1.6 การแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง ทเปนผลตางกาลงสอง จากหวขอทผานมา นกเรยนสามารถแยกตวประกอบของพหนามตอไปนไดวา

x2 - 4 = (x + 2)(x - 2) 4x2 - 64 = (2x + 8)(2x - 8)

เมอพจารณาพหนามดงกลาวจะเหนวา

x2 - 4 = x2 - 22

4x2 - 64 = (2x)2 - 82

เรยกพหนามดกรสองทมลกษณะเชนนวา พหนามดกรสองทเปนผลตางกาลงสอง

เมอพจารณาการแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางของกาลงสองขางตนจะพบวา

1) x2 - 4 = x2 - 22

= (x + 2)(x - 2)

จาก x2 - 22 ถาให x แทนพจนหนา และ 2 แทนพจนหลง สามารถเขยนความสมพนธ

ของการแยกตวประกอบไดวา

(พจนหนา)2 - (พจนหลง)2 = (พจนหนา + พจนหลง)(พจนหนา - พจนหลง)


จงแยกตวประกอบของ 9x2 + 6(x2 + 5x) + (x + 5)2

วธทา จาก 9x2 + 6(x2 + 5x) + (x + 5)2 = (3x)2 + 6x(x + 5) + (x + 5)2

= (3x)2 + 2(3x)(x + 5) + (x + 5)2

ให 3x = a และ x + 5 = b จะได (3x)2 + 2(3x)(x + 5) + (x + 5)2 = a2 + 2ab + b2

= (a + b)2

= [3x + (x + 5)]2

= (4x + 5)2 ดงนน 9x2 + 6(x2 + 5x) + (x + 5)2 = (4x + 5)2 ตอบ



1) (x + 1)2 + 20(x + 1) + 100 2) x2 + 2(x2 + x) + (x + 1)2

ลองทาด


1. จงพจารณาวา พหนามในแตละขอตอไปนเปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ

หรอไม

1) x2 + 2x + 1 3) x2 - 4x - 3 5) 4x2 + 2x + 1

2) x2 + 6x + 9 4) x2 - 8x + 16 6) 9x2 - 16x + 12


1) x2 + 14x + 49 3) x2 + 26x + 169 5) x2 - 46x + 529

2) x2 - 16x + 64 4) x2 - 60x + 900 6) x2 + 52x + 676

38

ãËŒ¹Ñ¡àÃÕÂ¹·Ó¡Ô ¡ÃÃÁµ‹Íä»¹Õé


1. ตดกระดาษเปนรปสเหลยมจตรส ใหมดานยาวดานละ x หนวย

ดงนน รปสเหลยมจตรสรปนมพนท x2 ตารางหนวย

2. ตดรปสเหลยมจตรสทมดานยาวดานละ y หนวย

ทมมใดมมหนงของรปสเหลยมจตรส ในขอ 1. ออก

รปสเหลยมจตรสรปนมพนท y2 ตารางหนวย

3. จะไดวา รปทเหลออยมพนท x2 - y2 ตารางหนวย

จากนนเขยนเสนประ ดงรป

4. ตดกระดาษในขอ 3. ตามแนวเสนประ แลวนากระดาษ

ทไดจากการตดมาตอเปนรปสเหลยมผนผา ดงรป

5. เมอสารวจดรปในขอ 4. จะพบวา รปสเหลยมผนผาทได มดานยาวยาว x + y หนวย

และมดานกวางยาว x - y หนวย

พนทรปสเหลยมผนผา = ความกวาง × ความยาว

= (x - y)(x + y) แตพนทรปสเหลยมผนผาน มพนทเทากบพนทของรปในขอ 3. ซงมพนท x2 - y2 ตารางหนวย

นนคอ x2 - y2 = (x - y)(x + y)จากกจกรรมขางตน เปนการพสจนการแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางกาลงสอง

นกเรยนคดวาสามารถพสจนดวยวธอนไดอกหรอไม


x

x

x2 ตารางหนวย

yy

x - y

x - y

x

x

x - y

y

y x

x

y2

y

y


1) x2 - 144 2) 36x2 - 49y2

วธทา 1) x2 - 144 = x2 - 122

= (x + 12)(x - 12) ดงนน x2 - 144 = (x + 12)(x - 12)

2) 36x2 - 49y2 = (6x)2 - (7y)2

= (6x + 7y)(6x - 7y) ดงนน 36x2 - 49y2 = (6x + 7y)(6x - 7y) ตอบ



1) x2 - 225 2) 64x2 - 121y2

ลองทาด

2) 4x2 - 64 = (2x)2 - 82

= (2x + 8)(2x - 8)

จาก (2x)2 - 82 ถาให 2x แทนพจนหนา และ 8 แทนพจนหลง สามารถเขยนความสมพนธ

ของการแยกตวประกอบไดวา

(พจนหนา)2 - (พจนหลง)2 = (พจนหนา + พจนหลง)(พจนหนา - พจนหลง)

ในกรณทวไป ถาใหพจนหนาแทนดวย a และพจนหลงแทนดวย b จะไดสตรการแยก

ตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางของกาลงสอง ดงน

a2 - b2 = (a + b)(a - b)

สามารถใชสตรนในการแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางของกาลงสอง และ

เพอใหงายแกการจดจาและการนาไปใช นกเรยนอาจจดจางาย ๆ วา

หนา2 - หลง2 = (หนา + หลง)(หนา - หลง)

40

จงแยกตวประกอบของ (3x - 5)2 - (2x + 3)2

วธทา (3x - 5)2 - (2x + 3)2 = [(3x - 5) + (2x + 3)][(3x - 5) - (2x + 3)] = (3x - 5 + 2x + 3)(3x - 5 - 2x - 3) = (5x - 2)(x - 8) ดงนน (3x - 5)2 - (2x + 3)2 = (5x - 2)(x - 8) ตอบ

จงแยกตวประกอบของ 16(x + 4)2 - 4(x - 1)2

วธทา 16(x + 4)2 - 4(x - 1)2 = [4(x + 4)]2 - [2(x - 1)]2

= [4(x + 4) + 2(x - 1)][4(x + 4) - 2(x - 1)] = (4x + 16 + 2x - 2)(4x + 16 - 2x + 2) = (6x + 14)(2x + 18) = [2(3x + 7)][2(x + 9)] = 4(3x + 7)(x + 9) ดงนน 16(x + 4)2 - 4(x - 1)2 = 4(3x + 7)(x + 9) ตอบ



วงกลมสองวงมจดศนยกลางรวมกน โดยวงกลมวงหนงมรศม 73 หนวย อกวงหนงมรศม

53 หนวย ใหนกเรยนใชความรเกยวกบการแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง เพอหาวา

วงกลมสองวงนมพนทตางกนเทาใด (กาหนดให π ≈ 227 )

คาถามทาทายการคดขนสง


1) (5x + 3)2 - (4x - 7)2 2) (7x - 3)2 - (x + 11)2

ลองทาด


1) 25(x - 3)2 - 9(x + 2)2 2) (x + 5)2 - 49(x + 1)2

ลองทาด



1) (x - 3)2 - 196 2) (2x + 1)2 - 81 3) x2 - (x - 7)2

วธทา 1) (x - 3)2 - 196 = (x - 3)2 - 142

= [(x - 3) + 14][(x - 3) - 14] = (x + 11)(x - 17) ดงนน (x - 3)2 - 196 = (x + 11)(x - 17)

2) (2x + 1)2 - 81 = (2x + 1)2 - 92

= [(2x + 1) + 9][(2x + 1) - 9] = (2x + 10)(2x - 8) = [2(x + 5)][2(x - 4)] = 4(x + 5)(x - 4)

ดงนน (2x + 1)2 - 81 = 4(x + 5)(x - 4)

3) x2 - (x - 7)2 = [x + (x - 7)][x - (x - 7)]

= (x + x - 7)(x - x + 7)

= (2x - 7)(7)

= 7(2x - 7)

ดงนน x2 - (x - 7)2 = 7(2x - 7) ตอบ



1) (x + 2)2 - 256 2) (2x - 1)2 - 49 3) x2 - (x + 12)2

ลองทาด

การแยกตวประกอบ ถามตวประกอบรวมจาเปนตองดงตวประกอบรวมนนทกครงหรอไม

Thinking Time

42

จงแยกตวประกอบของ (16x2 + 56x + 49) - (4x2 - 36x + 81)

วธทา วธท 1 (16x2 + 56x + 49) - (4x2 - 36x + 81) = (4x + 7)2 - (2x - 9)2

= [(4x + 7) + (2x - 9)][(4x + 7) - (2x - 9)] = (6x - 2)(2x + 16) = [2(3x - 1)][2(x + 8)] = 4(3x - 1)(x + 8) ดงนน (16x2 + 56x + 49) - (4x2 - 36x + 81) = 4(3x - 1)(x + 8)

วธท 2 (16x2 + 56x + 49) - (4x2 - 36x + 81) = 16x2 + 56x + 49 - 4x2 + 36x - 81 = 12x2 + 92x - 32 = 4(3x2 + 23x - 8) = 4(3x - 1)(x + 8) ดงนน (16x2 + 56x + 49) - (4x2 - 36x + 81) = 4(3x - 1)(x + 8) ตอบ




1) x2 - 36

3) x2 - 441

5) 196 - x2

7) 25x2 - 49

9) 400 - 36x2

11) 982 - 32

2) x2 - 324

4) 121 - x2

6) 676 - x2

8) 81x2 - 121

10) 625 - 361y2

12) 9982 - 9952


1) (x2 - 32x + 256) - (x2 + 24x + 144) 2) (25x2 - 60x + 36) - (9x2 + 48x + 64)

ลองทาด


จงหาคาของ 9992 - 9972

วธทา 9992 - 9972 = (999 - 997)(999 + 997)

= 2(1,996)

= 3,992

ดงนน 9992 - 9972 = 3,992 ตอบ

จงแยกตวประกอบของ (4x2 + 4x + 1) - x2

วธทา วธท 1 (4x2 + 4x + 1) - x2 = (2x + 1)2 - x2

= [(2x + 1) + x][(2x + 1) - x] = (2x + 1 + x)(2x + 1 - x) = (3x + 1)(x + 1) ดงนน (4x2 + 4x + 1) - x2 = (3x + 1)(x + 1)

วธท 2 (4x2 + 4x + 1) - x2 = 4x2 + 4x + 1 - x2

= (4x2 - x2) + 4x + 1 = 3x2 + 4x + 1 = (3x + 1)(x + 1) ดงนน (4x2 + 4x + 1) - x2 = (3x + 1)(x + 1) ตอบ



จงหาคาของ

1) 992 - 112 2) 1212 - 212

ลองทาด


1) (4x2 + 12x + 9) - x2 2) (9x2 - 30x + 25) - x2

ลองทาด

44

คณตศาสตรในชวตจรง

สวนสาธารณะ เปนสถานทสาหรบพกผอนและออกกาลงกายของทกเพศทกวย เนองจากสวน

สาธารณะสวนใหญจะมพนทกวางขวางและมอากาศด ซงสวนสาธารณะแตละแหงจะมตาแหนงทตง

ของสงตาง ๆ แตกตางกน หรอตามการวางผงและออกแบบของเจาของสถานท

สวนสาธารณะแหงหนงเปนรปสเหลยมจตรสทมดานยาวดานละ 72 เมตร และมตาแหนงทตง

ของสงตาง ๆ ในสวนสาธารณะ ดงรป

ทางเดน

สนามหญา

แปลงดอกไม

นาพ2 ม.

2 ม.

66 ม.

72 ม.

66 ม.72 ม. 2 ม.2 ม.

นกเรยนสามารถใชความรเกยวกบการแยกตวประกอบของพหนามมาชวยในการหาพนท

สวนทเปนทางเดนไดอยางไร





1) (x + 8)2 - 100 3) 169 - (5a + 3)2

5) (x + 9)2 - (x + 4)2

7) (x - 5)2 - (x + 8)2

9) (2x - 13)2 - (x - 4)2

2) (4x + 1)2 - 289 4) 576 - (2x - 3)2

6) (x + 11)2 - (x - 7)2

8) (x - 7)2 - (x - 12)2

10) (6x - 1)2 - (3x + 1)2


1) 81(x - 8)2 - 196(x - 6)2

3) x3 - x2

5) x2m - 1

7) (x2 - 22x + 121) - 4x2

9) 400x2 - 81(x2 - 4x + 4)

2) 36(3x - 7)2 - 25(2x - 1)2

4) 4(x + y)3 - (x + y) 6) x4m - y2m

8) 16(x2 - 2x + 1) - 225x2

10) (16x2 - 40x + 25) - (9x2 + 6x + 1)


หลงเรยนจบหนวยนแลว ใหนกเรยนบอกสญลกษณทตรงกบระดบความสามารถของตนเอง

1. เขาใจความหมายของการแยกตวประกอบของพหนาม

2. สามารถแยกตวประกอบของพหนาม โดยใชสมบตการแจกแจงได

3. สามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสองตวแปรเดยวได

4. สามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง ทเปนกาลงสองสมบรณได

5. สามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง ทเปนผลตางของกาลงสองได

ตรวจสอบตนเอง

ด พอใชควร

ปรบปรง

46

แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 1

1. จงหาผลลพธของการหารในแตละขอตอไปน พรอมทงตรวจสอบคาตอบ

1) (x2 + 3x + 2) ÷ (x + 1) 2) (x2 - 4x + 5) ÷ (x - 3)

3) (4y3 - 2y2 + y + 1) ÷ (y + 2) 4) (3y3 + 6y2 - 5y - 17) ÷ (y2 + 2y - 1)


1) 5x2 - 40x3 2) 8y6 - 12y7

3) 4a2 + 12a5 + 40a10 4) 12m5 - 8m3 + 2m

5) x(x + 4) + 2(x + 3) 6) (x + 7)2 + 4(x + 7) 7) (2c + 1)2 - 8(2c + 1) 8) ab - 2ac + bc - 2c2

9) mr2 - 3mp + 15np - 5nr2 10) 5a2c - 3b + 5bc - 3a2

11) x2 - 26x - 56 12) x2 + 11x - 60 13) x2 + x - 110 14) x2 - 19x - 42 15) 2x2 - x - 6 16) 11x2 - 12x - 20 17) 8x2 - 34x + 33 18) 12x2 + 8x - 4 19) 28 + 3x - 18x2 20) 6 - 11x - 10x2

21) 81x2 + 360x + 400 22) 64y2 - 176y + 121

23) (x - 4)2 + 12(x - 4) + 36 24) (2x - 3)2 - 26(2x - 3) + 169 25) 81(x + 3)2 - 196x2 26) (4x + 7)2 - (2x - 3)2

27) (2a - 1)2 - (4a2 - 12ab + 9b2) 28) (16xy + 40xy + 25y2) - (4x2- 28xy + 49y2)

29) 16(3x - 1)3 - 4(2x - 1)2 30) (2x - 3y)3 - (2x - 3y)

3. จงหาคา k ททาใหพหนามในแตละขอตอไปนเปนพหนามดกรสองทเปนกาลงสองสมบรณ

1) x2 + 16x + k 2) x2 - 14x + k 3) 9x2 + 36x + k 4) 81x2 - 180x + k

4. จงหาคาของ

1) 5112 - 112 2) 4782 - 782

3) 1,5912 4) 9,9912


สรปแนวคดหลก

1. การเขยนพหนามทกาหนดให ในรปการคณกนของพหนามทมดกรตากวาตงแตสองพหนามขนไป

เรยกวา การแยกตวประกอบของพหนาม

2. การแยกตวประกอบของพหนามโดยใชสมบตการแจกแจง ทาไดโดยใชสมบตการแจกแจงทกลาววา

ถา a, b และ c แทนจานวนเตมใดๆ แลว

a(b + c) = ab + ac หรอ (b + c)a = ba + ca

อาจเขยนสมบตการแจกแจงขางตนใหมเปน

ab + ac = a(b + c) หรอ ba + ca = (b + c)a

3. การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองตวแปรเดยวทเขยนไดในรป ax2 + bx + c เมอ a, b, c

เปนคาคงตวท a ≠ 0 และ x เปนตวแปร จะแยกตวประกอบไดเปน 2 วงเลบ ทาไดโดยแยกพจนหนา

และพจนหลง แลวตรวจคาตอบไดจากหาผลบวกของผลคณของพจนทอยใกลกนในวงเลบกบผลคณของ

พจนทอยไกลกนในวงเลบ ซงจะไดพจนกลาง หรอกลาววา


4. การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองตวแปรเดยวทเขยนไดในรป ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปน

คาคงตวท a ≠ 0 และ x เปนตวแปรทเมอแยกตวประกอบแลวไดตวประกอบเปนพหนามดกรหนงทซากน

หรอไดเปนกาลงสองของพหนามดกรหนงเรยกวา กาลงสองสมบรณ

ถาให A แทนพจนหนา และ B แทนพจนหลง จะแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนกาลงสอง

สมบรณได โดยใชสตร

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

A2 - 2AB + B2 = (A - B)2

หรอเพอใหงายตอการจดจาในการนาไปใช อาจจดจางาย ๆ วา

(หนา)2 + 2(หนา)(หลง) + (หลง)2 = (หนา + หลง)2

(หนา)2 - 2(หนา)(หลง) + (หลง)2 = (หนา - หลง)2

5. การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางกาลงสอง คอ การแยกตวประกอบทในกรณทวไป

ถาให A แทนพจนหนา และ B แทนพจนหลง จะแยกตวประกอบของพหนามในรปแบบนไดตามสตร

A2 - B2 = (A + B)(A - B)

หรอเพอใหงายตอการจดจาในการนาไปใช อาจจดจางาย ๆ วา

(หนา)2 - (หลง)2 = (หนา + หลง)(หนา - หลง)

48

คณิตศำสตร์ -...

Documents