คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร ep ·...

เอกสารประกอบการบรรยาย

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP ◙ โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด

◙ ภาควชาคณตศาสตร

มหาวทยาลยขอนแกน

อ.วฒนา เถาวทพย

4 ระดบมธยมศกษาตอนปลาย ประกอบสาระการเรยนร พนฐาน

(Relation and Function)

ความสมพนธ และ ฟงกชน

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด ระดบมธยมศกษาปท 4 หนา 1

เรอง Relations and Functions ดร.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 1

◙True or False ?

1. 2a a 2. 3.99999… is an integer

3. 27

9 is an integer.

4. 121 is an integer.

5. 1.21 is a rational

number.

6. 12 is a rational

number.

7. 2 is an irrational

number.

8. 3.99999... 2

☼ How to prove that

3.9999... 4

……………………………………………………

…………………………

…………………………

…………………………

…………………………

…………………………

…………………………

………………………

………………………

………………………

………………………

………………

1 ความสมพนธ และ ฟงกชน (Relation and Function)

ความรพนฐาน (Basic Background)

ความหมายของเซต ในวชาคณตศาสตร เราใชค าวา “เซต” เพอบงบอกถงกลมของสงตางๆ โดย

ตองทราบอยางแนชดวา สงใดอยในกลม และ สงใดไมอยในกลมทเรากลาว และ เรยกสงทอยในเซตนนวา สมาชก

สบเซต(Subset)

บทนยาม A เปนสบเซตของ B กตอเมอ สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B

A เปนสบเซตของ B เขยนแทนดวย A B

แต B A เรยกวา B เปน Supper set ของ A

และ A ไมเปนสบเซตของ B เขยนแทนดวย A B

ขอตกลงเบองตนเกยวกบเซต

(1) เซตวาง เปนสบเซตของทกๆ เซต นนคอ A เมอ A เปนเซตใดๆ

(2) เซตทกเซตเปนสบเซตของตวมนเอง นนคอ A A เมอ A เปนเซตใดๆ

การหาจ านวนสบเซต

เซตทมสมาชก k ตว มจ านวนสบเซตทงหมด k2 สบเซต

เพาเวอรเซต (Power set)

บทนยาม ถา A เปนเซตใด เพาเวอรเซตของ A คอเซตของสบเซตของ A และเขยนแทนดวย P(A)

นนคอ P(A)={x x A}

ยเนยน (Union)

ให A และ B เปนเซตใดๆ

A B {x x A หรอ x B หรอ x เปนสมาชกของทงสองเซต}

อนเตอรเซกชน (Intersection) ให A และ B เปนเซตใดๆ

A B {x x A และ x B}

ผลตาง และ คอมพลเมนต (Difference and Complement)

ให A และ B เปนเซตใดๆ และ U เปนเอกภพสมพทธ A B {x x A และ x B}

A B {x x B และ x A}

และ A = U - A

Who is George

Cantor?

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………



True or False?

(1) 1,2,3 3,2,1

(2) 1,2,3 1,2,3,1

(3) 1,2,3 1,2,1

(4) 1,2,3 1,2,2,3

(5) 1,2,3 1,1,2,2,3,3

(6) , , ,a a b a b

(7) , , ,a a b a b

(8) , , ,b a b a b

(9) , , ,b a b a b

(10) , , , ,b a b b a b

(11) , , , ,a b a b a b

(12) , , ,a a b a b

◙ Names of set of

number:

I : Positive Integer

I : Negative Integer

I : Integer

N : Natural Number

P : Prime Number

Q : Rational Number

R : Positive Integer

True or False?

(1) N I

(2) I R

(3) 9 I

(4) 2 Q

(5) 2.9999... Q (6) Q R

1.1 ความสมพนธ และฟงกชน (Relation and Function)

ความสมพนธ (Relation )

ให A และ B เปนเซตใดๆ

( , ) andA B a b a A b B

ถา r A B จะเรยก r วาความสมพนธจาก A ไป B

หมายเหต

ถา A มสมาชก m และ B มสมาชก n ตว จะมความสมพนธจาก A ไป B ทงหมด ................... ความสมพนธ และมความสมพนธจาก A ไป A ทงหมด ................... ความสมพนธ โดเมน และ เรนจ (Domain and Range)

ให r วาความสมพนธจาก A ไป B โดยท r A B โดเมนของ r เขยนแทนดวย rD โดยท ( , )rD x x y r

เรนจของ r เขยนแทนดวย rR โดยท ( , )rR y x y r

Ex: ใหหาโดเมนและ เรนจของความสมพนธทก าหนดให ฟงกชน (Function)

ฟงกชน คอ ความสมพนธทสมาชกในโดเมนแตละตวจบคกบสมาชกในเรนจ ของความสมพนธเพยงตวเดยวเทานน หมายเหต

1) ถา ( , )x y f แลวเราจะกลาววา คาของฟงกชน f ท x เทากบ y

และเขยนแทนดวยสญลกษณ ( )y f x

2) ถา ( )y f x เปนฟงกชน แลวเสนตรงทขนานกบแกน y จะตดกราฟไดเพยงจด

เดยวเทานน

Ex: 1) ใหวเคราหการเปนฟงกชน 2) ใหยกตวอยางกราฟทเปน และ ไมเปนฟงกชน โดเมน และ เรนจ (Domain and Range)

ให f วาความสมพนธจาก A ไป B โดยท f A B โดเมนของ f เขยนแทนดวย fD โดยท ( , )fD x x y f

เรนจของ f เขยนแทนดวย fR โดยท ( , )fR y x y f

Ex: 1) ใหหาโดเมน และ เรนจ โดยการวเคราะห

หาโดเมน โดยจดคาของ y ใหอยในรปของ x

หาเรนจ โดยจดคาของ x ใหอยในรปของ y 2) ใหโดเมนและเรนจจากกราฟของฟงกชน



Who is Venn?

Who is Euler?

……………………..

……………………..

◙ Which is empty set ?

(1) 2 2x x

(2) 2x x x

(3) 2x x x

(4) 2x x x

(5) 2x x x

(6) 2x x x

◙ Which is finite set ?

(1) 2 2x x

(2) 2x x x

(3) 2x x x

(4) 2x x x

(5) 2x x x

(6) 2x x x

◙ Which is infinite set ?

(1) 2 2x x

(2) 2x x x

(3) 2x x x

(4) 2x x x

(5) 2x x x

(6) 2x x x

1.2 ฟงกชนเชงเสน(LinearFunction)

ฟงกชนเชงเสน คอฟงกชนทอยในรป y ax b เมอ ,a b เปนจ านวนจรง และ 0a

หมายเหต 1) กราฟของฟงกชน y ax b จะเปนเสนตรงทมความชน เทากบ a และตดแกน y ทจด (0, )b 2) ฟงกชน y ax b เมอ 0a จะอยในรป y b และเรยกวา ฟงกชนคงตว (Constant function) Ex: ใหเขยนกราฟของฟงกชนทก านด

1. 1y x

2. 2y x

3. 3y x

4. 3y x

5. 2 1y x

6. 3 1y x

7. 32

xy

8. 35

4y x

9. 932

5F C

1.3 ฟงกชนก าลงสอง(Quadratic Function)

ฟงกชนเชงเสน คอฟงกชนทอยในรป 2y ax bx c เมอ , ,a b c เปนจ านวนจรง และ 0a

หมายเหต 1) กราฟของฟงกชน 2y ax bx c จะเปนเสนโคงพาราโบลา ชนดท

หงาย เมอ 0a

คว า เมอ 0a 2) ฟงกชน 2y ax bx c เมอ 0a จะอยในรป y bx c ซงกคอ ฟงกชนเชงเสน (Linear function)

3) ฟงกชน 2y ax bx c เมอ , ,a b c เปนจ านวนจรง และ 0a จะมจด

วกกลบท 24

,2 4

b ac b

a a

และจดวกกลบนจะเปน

จดสงสด เมอ 0a

จดต าสด เมอ 0a



?

กราฟของฟงกชนก าลงสอง(Graph of Quadratic Function)

Ex: ใหเขยนกราฟของฟงกชนก าลงสองตอไปน พรอมทงบอกจดวกกลบ และระบวาจดวกกลบเปนจดสงสดหรอจดต าสด พรอมทงหาโดเมน และ เรนจ

1) 2 2 5y x x 2) 2 2 5y x x 3) 2 2 5y x x 4) 22 4 3y x x 5) 22 4 3y x x 6) 22 4 3y x x 7) 22 4y x x 8) 24 4y x x

การแกสมการโดยใชกราฟของฟงกชน (Solving Equation using Graph)

พจารณาวากราฟของฟงกชน 2y ax bx c ในรปใดทตดกบแกน X ซงจะท าใหสมการ 2 0ax bx c เปนจรง และพจารณาวาม x กคาทท าใหสมการเปนจรง หมายเหต: การแกสมการ 2 0ax bx c เปนการหาจดตดทแกน X ของกราฟของฟงกชน 2y ax bx c

Ex: จงแกสมการตอไปนโดยใชกราฟ 1) 2 5 0x 2) 2 5 0x 3) 2 2 5 0x x 4) 2 6 0x x 5) 22( 1) 2 0x 6) 22( 1) 2 0x 7) 22 2( 1) 0x 8) 26 5 0x x

The vertex of a parabola

2y ax bx c

is 2 4

( , )2 2

b b ac

a a

True or False?



◙ Some of the most

beautiful mathematical

formulas:

9 The roots of a

quadratic equation :

If 2 0ax bx c

where 0a , then

2 4

2

b b acx

a

.

10 The golden ratio:

1 5

2

11 Imaginary numbers:

1i

การแกอสมการโดยใชกราฟของฟงกชน (Solving Inequality using Graph)

พจารณาอสมการก าลงสองทอยในรป

2 0ax bx c

2 0ax bx c

สามารถหาค าตอบไดโดยการเขยนกราฟของฟงกชน 2y ax bx c

ชวงของ x ทท าให 0y จะเปนค าตอบของอสมการ 2 0ax bx c

ชวงของ x ทท าให 0y จะเปนค าตอบของอสมการ 2 0ax bx c

Ex: จงแกอสมการตอไปนโดยใชกราฟ

1) 2 5 0x 2) 2 5 0x 3) 2 6 0x x 4) 2 6 0x x 5) 22( 1) 2 0x 6) 22( 1) 2 0x 7) 22 2( 1) 0x 8) 26 5 0x x

การประยกตของฟงกชนก าลงสอง(Applications of Quadratic Function)

การเคลอนททมจดวกกลบเพยงครงเดยว สามารถอธบายไดดวยกราฟของฟงกชนก าลงสอง และปญหาในโลกของความเปนจรง ทมตวแบบเชงคณตศาสตร (Mathematical

Model) เปนฟงกชนก าลงสอง สามารถวเคราะหหาคาต าสด หรอคาสงสด ไดโดยยพจารณาจากจดวกกลบของพาราโบลาหงาย หรอ พาราโบลาคว า ตามล าดบ ดงตวอยางตอไปน

Ex: โยนลกบอลขนไปในแนวดง ถาความสงของลกบอลหาไดจากสตร 2( ) 4f t t t เมอ t แทนเวลาเปนวนาท

1) จงหาเวลาในขณะทลกบอลอยสงทสดจากพน

2) จงหาวานานเทาใดลกบอลจงจะตกถงพน



Ex: ตองการท ารวใหเปนรปสเหลยมผนผา โดยทดานหนงตดกบแมน าซงไมตองกนรว ถามวสดทจะท ารวไดยาว 100 เมตร

1) จงหาความสมพนธระหวางพนท และ ดานกวางของบรเวณทกนรว 2) จงหาดานกวางทท าใหไดพนทมากทสด

3) จงหาพนททมากทสดทเปนไปไดในการกนรว

Ex: ถาอตราการตายของทารกในระหวางป พ.ศ. 2540 – 2550 ของประเทศหนงหาไดจากสตร 20.2 0.5 12.5y x x เมอ y แทนจ านวนทารกทเสยชวตจากทารกทเกดมา 1000 คน และให x เปนจ านวนปทนบจากป พ.ศ. 2540

1) จงหาวาในปพ.ศ. 2545 จะมทารกรอดชวตกเปอรเซนต 2) จงหาวาแนวโนวในการเสยชวตของทารกในป 2551 จะเปนกเปอรเซนต

Ex: จงหาคาต าสดของ 2 2m n เมอ 4m n โดยใชความรเรองกราฟของฟงกชนก าลงสอง

Ex: จงหาจ านวนเตมสองจ านวนทตางกน 16 และมผลคณมากทสด

1.4 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล(Exponential Function)

หมายถง ฟงกชนทอยในรป

xy a เมอ 0a และ 1a

หมายเหต : พจารณากรณท 1) 0a

2) 0a

3) 1a

Ex: จงเขยนกราฟของฟงกชนเอกซโพเนนเชยลตอไปนพรอมทงพจารณาโดเมน และ เรนจของฟงกชนในแตละขอ

1) 2xy

2) 3xy

3) 1

( )2

xy

4) 2

( )3

xy

5) 3

( )2

xy

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

………………....

If x ya a

then x y

?



ขอสงเกต 1) กราฟของฟงกชน xy a เมอ 0a และ 1a จะผานจด (0,1)

เสมอทงนเพราะ 0 1a 2) ถา 1a เมอ x มคาเพม แลว y จะมคาเพม ถา 0 1a เมอ x มคาเพม แลว y จะมคาลด 3) x ya a กตอเมอ x y

Ex. จงแกสมการตอไปน

1) 181

3x

2) 4 2x 3) 8 4x

การประยกตของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล (Applications of Exponential Function)

1) ดอกเบยทบตน

(1 )n

nS P i

2) การเพม และ การลด ของประชากร ( ) tA t ka

1.5 ฟงกชนคาสมบรณ(Absolute Value Function)

1.6 ฟงกชนบนได(Step Function)

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

………………....

x ya a x y

Right?



Exercise จงเขยนกราฟ ของฟงกชนตอไปนพรอมทง บอกโดเมน และ เรนจ

1) 2 1xy

2) 3 1xy

3) 1

( ) 22

xy

4) 12xy

5) 13( )2

xy

จงแกสมการตอไปน

1) 2 1 0x

2) 3 1 0x

3) 1

2 02x

4) 23 3 0x

5) 23 4(3 ) 3 0x x

จงใชสตรดอกเบยทบตน แกปญหาโจทยตอไปน 1) จงหาเงนรวม และ ดอกเบยของเงนตน 2,000 บาท ทลงทนเปนเวลา 2 ป

โดยไดรบดอกเบยในอตรารอยละ 7 คดทบตนทกป 2) จงหาเงนรวม และ ดอกเบยของเงนตน 20,000 บาท ทลงทนเปนเวลา 5

ป โดยไดรบดอกเบยในอตรารอยละ 8 คดทบตนไตรมาส < ก าหนดให 20(1 0.02) 1.4859 >

3) จงหาดอกเบยจากการลงทนเงนตน 60,000 บาท เปนเวลา 20 ป และไดรบดอกเบยในอตรารอยละ 6 คดทบตนทกครงป

< ก าหนดให 40(1 0.03) 3.2620 > 4) ถาตองการฝากเงนจ านวนหนงโดยไดรบดอกเบยในอตรารอยละ 4 คด

ทบตนทกไตรมาสเปนระยะเวลา 10 ป และตองการไดรบเงนรวมทงสน 20,000 บาท จะตองฝากเงนตนครงแรกเปนจ านวนเทาใด

< ก าหนดให 40(1 0.01) 1.4888 > 5) ถาผลตอบแทนจากการลงทนเปนดอกเบยอตรารอยละ 8 คดทบตนทก

ครงป จะตองลงทนนานเทาใดจงจะไดเงนรวมเปนสองเทาของเงนตน < ก าหนดให 17(1 0.04) 1.9479 และ 18(1 0.04) 2.0258 >

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

………………....

a ax y x y

Right?



1.5 ฟงกชนคาสมบรณ(Absolute Value Function)

ฟงกชนคาสมบรณทจะกลาวถงตอไปนอยในรป y x h k เมอ h และ k เปนคาคงททเปนจ านวนจรงใดๆ

จงเขยนกราฟ ของฟงกชนตอไปนพรอมทง บอกโดเมน และ เรนจ 1) y x

2) 1y x

3) 2y x

4) 1y x

5) 2y x

6) 2 3y x

7) 2 3y x

◙สรปลกษณะของกราฟของฟงกชน y x h k

Exercise จงเขยนกราฟ ของฟงกชนตอไปนพรอมทง บอกโดเมน และ เรนจ

8) y x

9) 1 1y x

10) 2 2y x

11) 1 2y x

12) 2 3y x

13) 2 3y x

14) 2 3 4y x จงแกสมการตอไปน

15) 2 0x

16) 3 0x

17) 1 2x

18) 2 3 0x

19) 2 3 0x

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

………………....

x x

Right?



1.6 ฟงกชนบนได(Step Function)

พจารณา ฟงกชน [ ]y x เมอ [ ]x หมายถงจ านวนเตมทมากทสดทนอยกวา หรอเทากบ x

ฟงกชนทมกราฟลกษณะดงกลาว เรยกวา ฟงกชนขนบนได (Step function)

Ex. อตราคาไปรษณยากรส าหรบสงจดหมายในประเทศ มดงน

พกดน าหนก อตรา (บาท)

ไมเกน 20 กรม เกน 20 กรม แตไมเกน 100 กรม เกน 100 กรม แตไมเกน 250 กรม เกน 250 กรม แตไมเกน 500 กรม เกน 500 กรม แตไมเกน 1000 กรม เกน 1000 กรม แตไมเกน 2000 กรม

2.00 3.00 5.00 9.00

16.00 30.00

สามารถเขยนในรปฟงกชนขนบนไดดงน

2.00, 0 20

3.00, 20 100

5.00, 100 250( )

9.00, 250 500

16.00, 500 1000

30.00, 1000 2000

x

x

xf x

x

x

x

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

………………....

A B B A

?



◙ ตวอยางขอสอบททาทายเรองความสมพนธ และฟงกชน

ความสมพนธ

1. ให A = {0 , 1 , 2 , 3} และ P(A) คอเพาเวอรเซตของ A ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป

ยง P(A) ก าหนดโดย r = {(a , B) | a 2 , a B และ a+1 B} แลว r มจ านวน

สมาชกกจ านวน

2. ถาความสมพนธ r = {(x, y) R R | y = 4)1x(

42 2 }

แลวขอใดตอไปนคอเรนจของ r 1. (– , 2) [3 , ) 2. (– , 2) (3 , )

3. (– , 2] [3 , ) 4. (– , 2] (3 , )

3. ก าหนดให r เปนความสมพนธในเซตของจ านวนจรง โดยท r = {(x, y) | y = 22

x1x1

}

ขอใดตอไปนถก

1. rD = [–1 , 1] , 1rD = [–1 , 1] 2. rD = [–1 , 1] , 1rD = [0 , 1]

3. rD = [0 , 1] , 1rD = [–1 , 1] 4. rD = [0 , 1] , 1rD = [0 , 1]

4. ก าหนดให S เปนเซตค าตอบของอสมการ 2x 8x + 20

ถา A = {x S | x เปนจ านวนเฉพาะบวก} และ B = {x S | x เปนจ านวนเตมค}

แลว (A B) – (B A) มจ านวนสมาชกเทากบขอใดตอไปน

1. 11 2. 15

3. 21 4. 23

5. ก าหนดให r = {(x , y) | y = 2x9 } และ s = {(x , y) | y = 9x

12

}

พจารณาขอความตอไปน

ก. rD 1sR = ข. rR 1sD = (0 , )


1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด

3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด



6. ก าหนด ความสมพนธ r = { 1x1 |y| | )y,x( 2

} พจารณาขอความตอไปน

ก. rD = (– , –1) (1 , ) ข. } xx1 y | y)(x, { r 1




7. ถา r = { (x , y) R R | 2223 yxxy3x2 = 0 แลว เรนจของ 1r เทากบขอใด

1. (– 31

, 21

] 2. [ – 21

, 31

)

3. (– , – 31

) (– 31

, ) 4. (– , )

8. ก าหนดให r = {(x, y) | 0 x , 0 y 5 และ 22 yx – 2x + 6y 8}


ก. rD = [0, 3]

ข. ถา 0 c และ (3, c) r แลว c = 5




9. ให r = { 2x4x y|)y,x(

2

}


ก. 4 rR

ข. 1rR = [0, 4) (4, )


1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด

10. ก าหนดให r = {(x, y) | x y และ 2y = 2x + 2x – 3 } พจารณาขอความตอไปน

ก. rD = [1, ) ข. rR = (–, )


1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด



ฟงกชน 1. ก าหนดให k เปนคาคงตว และ r = {(x, y) R+ R+ | x + xk = y + yk } พจารณาขอความตอไปน ก. ถา k = 1 แลว r เปนฟงกชน ข. ถา k = –1 แลว r เปนฟงกชน ขอใดตอไปนถก 1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด

2. ก าหนดให f(x) =

2 x เมอ 1x 2 f(x) g(x) และ 2 x 1 เมอ 1)(x

1 x เมอ 2 2

ถา k เปนจ านวนเตมทนอยทสดทท าให g(k) 5 แลว g(f(k)) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 3. ก าหนดให a 0 และ

f(x) = x , x,a > 0

a

g(x) = 3x

ถา ( (4)) 2f g แลว (64)

(64)

f

g มคาเทากบเทาใด

4. ให A = {1, 2, 3, 4} และ B = {1, 2, 3, 4, 5} f เปนฟงกชน จาก A ไป B โดยท f(1) = 2 หรอ f(2) = m เมอ m เปนจ านวนค แลว จ านวนฟงกชน f ทมสมบตดงกลาวเทากบขอใด 1. 75 2. 150 3. 425 4. 500 ==============================

คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร ep ·...

Documents