08/08/59

1

เวกเตอรเวกเตอรVectorVector

นายสมควร โพธารนทรหองพก ๖ – ๒๐๓/๑

E-mail; sky_ubu@hotmail.com

Tel. ; ๐๘ - ๕๙๑๗ - ๘๘๕๗ หมวดวชาฟสกส สาขาวชาวทยาศาสตร คณะวทยาศาสตรและวศวกรรมศาสตร

มหาวทยาลยเกษตรศาสตร วทยาเขตเฉลมพระเกยรต จงหวดสกลนคร

General Physics I

ปรมาณตางๆ ในวชาฟสกสแบงเปน 2 ประเภท คอ

ปรมาณสปรมาณสเกเกลารลาร (Scalar Quantity)(Scalar Quantity) ปรมาณเวกเตอร ปรมาณเวกเตอร (Scalar Quantity)(Scalar Quantity)

ปรมาณท@ระบเพยงขนาดและหนวย กไดความสมบรณ เชน มวล (kg) พHนท@ (m2) ความถ@ (Hz) เวลา (s) อณหภม ( K ) เปนตน

ปรมาณท@ตองระบทHงขนาด และ ทศทาง จงไดความสมบรณ เชน การกระจด ความเรว ความเรง แรง เปนตน

เวกเตอรและสเกลาร

08/08/59

2

สญลกษณเวกเตอรสญลกษณเวกเตอร

ปรมาณเวกเตอรปรมาณเวกเตอร โดยท@วไปเขยนดวยลกศรท@มความยาวเทากบขนาดของเวกเตอร และมทศเดยวกบเวกเตอรบนลกศรจะมอกษรยอกากบวาเปนเวกเตอรของปรมาณใด เชน

มแรง Fv

ขนาด 30 N กระทาตอวตถทศขวา

Fv

ขนาด 30 N30F N=

v

คณสมบตของเวกเตอร

08/08/59

3

คณสมบตของเวกเตอร (ตอ)

Av

A−v

การคณเวกเตอรดวยสเกลาร เปนการเพ3มขนาดของเวกเตอร โดยมทศทางเดม

2pv

การบวก-ลบ เวกเตอรการบวก-ลบ เวกเตอร

การบวกเวกเตอร

การบวกเวกเตอรทาได 2 วธ คอ การบวกเวกเตอรโดย วธเขยนรป และ วธคานวณ

08/08/59

4

การบวกเวกเตอร 2 เวกเตอร

Pv

Qv

Rv

Pv

QvR

v

Pv

Qv

เวกเตอรลพธ และเวกเตอรก

Pv

Qv

Rv

เวกเตอร�ก จะมขนาดเท�ากนกบเวกเตอร�ลพธ� แต�ทศทางตรงกนขาม

Rv

−

Rv

− คอ เวกเตอรก�

Rv

คอ เวกเตอรลพธ

θα

180α θ= +

คอ มมของเวกเตอร�ก

คอ มมของเวกเตอร�ลพธ�θα

เวกเตอร�ก

เวกเตอร�ลพธ�

08/08/59

5

การบวกเวกเตอร

AR B= −v v v

Av

Rv

Bv

Av

Rv

Bv

B−v

( )AR B= −+vv v

- การลบ : เปนการบวกดวยเวกเตอรท3มทศทางตรงกนขาม

ลากหางตอหาง เวกเตอรลพธ คอ เวกเตอรท3ลากจากหวเวกเตอรสดทายถงหวเวกเตอรแรก

Av

Bv

BR A −=v v v

08/08/59

6

กฎการสลบทกฎการสลบท

Av

+Bv

Av B

vRv

A B+v v

Bv A

v

Rv

B A+vv

Av

BvB

vAv

ถายก Rv

ในรปมาซอนจะได

RABBAvvvvv

=+=+

สมบตการบวกเวกเตอร

12

กฎการเปล@ยนกลมกฎการเปล@ยนกลม

( ) ( )CBACBARvvvvvvv

++=++=

+ +Av

Bv

Cv

Av

Bv

Cv

RvBA

vv+

( ) CBARvvvv

++=

Av

Bv C

v

Rv

CBvv

+

( )CBARvvvv

++=

08/08/59

7

Av B

v

ABvv

−BAvv

− )( BAvv

−+=

Bv

− Bv

−Av

)( ABvv

−+=

Bv

Av

− Av

−

ABBAvvvv

−≠−

การลบเวกเตอร

เรยกว�า กฎของโคไซน� (cosine’s law)

หรอ สามารถหาไดจากกฎของไซน� sine’s law)

08/08/59

8

การบวกเวกเตอร โดยการคานวณ

เวกเตอรหน@งหนวย (Unit vector) คอ เวกเตอรท@มขนาดหน@งหนวย และมทศเดยวกบเวกเตอรท@สนใจ (ใชสาหรบกาหนดทศทาง)

ถา Av

เปนขนาดของเวกเตอร

a เปนเวกเตอรหน@งหนวยในทศเดยวกบ

Av จะได ˆ

Aa

A=

v

หรอ ˆ ˆA A a Aa= =v

Av

a

Av

องคประกอบเวกเตอรในระบบพกดฉาก

xA

yA Av

y

xθ

cosxA A θ=v

sinyA A θ=v

การเขยนเวกเตอรองคประกอบเวกเตอรองคประกอบในแนวแกน x คอ เวกเตอรหน3งหนวย i

เวกเตอรองคประกอบในแนวแกน y คอ เวกเตอรหน3งหนวย j

ˆ ˆx y x yA A A A i A j= + = +

v v v

โดยท3

2 2x yA A A= +

ˆ ˆˆ cos sina i jθ θ= +

a

ˆ ˆcos si ˆ ˆcon s sinA A i A j A i jθ θθ θ= + = + v vv v

08/08/59

9

องคประกอบเวกเตอรใน 3 มต

การบวกเวกเตอร

ˆ ˆx yA A i A j= +

v

ˆ ˆx yB B i B j= +

v

กาหนดให

และ

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ

x y x y

x x y y

x y

R A B

A i A j B i B j

A B i A B j

R i R j

= +

= + + +

= + + +

= +

vv v

A

BR

y

x

By

Ay

Ry

BxAx

Rx

tan y

x

R

Rθ =

08/08/59

10

ตวอย�าง

08/08/59

11

เวกเตอรบอกตาแหน�งคอ การบอกตาแหน�งของจดหนง เทยบกบอกจดหนง ซงโดยปกตมกจะเทยบกบจดกาเนด

จงหาเวกเตอร�บอกตาแหน�งของจด

ขนาด

ขนาด

การบอกตาแหน�ง อาจบอกเทยบกบจดอนๆ ทไม�ใช�จดกาเนดกได

x

y

z

( )1 1 1, ,P x y z( )2 2 2, ,Q x y z

PQuuuv

o

การบอกตาแหน�งของจด Q เทยบกบจด P ลากจากจด P ไปยงจด Q

1rv

2rv

PQuuuv หาไดจาก

1 2r PQ r+ =uuuvv v

2 1PQ r r= −uuuv v v

( ) ( )2 2 2 1 1 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆPQ x i y j z k x i y j z k= + + − + +

uuuv

( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1ˆˆ ˆPQ x x i y y j z z k= − + − + −

uuuv

08/08/59

12

ตวอย�าง จงหาขนาดและทศทางของ

x

y

z

( )1,2,3P( )4, 3,5Q −

PQuuuv

o

PQuuuv

1ˆˆ ˆ2 3r i j k= + +v

2ˆˆ ˆ4 3 5r i j k= − +v

2 1PQ r r= −uuuv v v

( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆ4 1 3 2 5 3PQ i j k= − + − − + −uuuv

ˆˆ ˆ3 5 2i j k= − +2 2 23 ( 5) 2PQ = + − +

uuuv

38

6.16

==

ทศทางของ

z

PQuuuv

cos

cos

cos

x

y

z

A A

A A

A A

α

β

γ

=

=

=

v

v

v

1

1

15cos 0.81 ; cos (

3cos 0.49

0.81)

; cos (0.49) 60.666.16

2cos 0.32 ;

144

cos (0.32) 71.346.16

.096.16

x

x

x

A

A

A

A

A

Aβ β

α α

γ γ

−

−

−

−= = = − = − =

= = = = =

= = = = =

o

o

o

v

v

v

08/08/59

13

การคณเวกเตอร� คณเวกเตอรดวยปรมาณ สเกลาร� คณเวกเตอรดวยเวกเตอร ผลท3ไดเปน สเกลาร (dot product)� คณเวกเตอรดวยเวกเตอร ผลท3ไดเปนเวกเตอร (cross product)

ตวคณเปล�ยนความยาว เคร�องหมายเปล�ยนทศทาง

คณเวกเตอรดวยปรมาณ สเกลาร

aA Aa=v vให a และ b เปน สเกลาร

( ) ( )a bA ab A=v v

( )a b A aA bA+ = +v v v

( )a A B aA aB+ = +v vv v

คณเวกเตอรดวยเวกเตอร ผลท�ไดเปน สเกลาร (dot product)

cos cosA B AB A Bθ θ• = =v v vv v v

θcosBABAvvvv

=⋅Av

Bv

θcosB θ

v

เปนผลคณของสวนประกอบในแนวท@ขนานกนน@นเอง

ˆˆ ˆx y zA A i A j A k= + +

v ˆˆ ˆx y zB B i B j B k= + +

v

x x y y z zA B A B A B A B⋅ = + +v v

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 1i i j j k k⋅ = ⋅ = ⋅ =

08/08/59

14

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ

x y z

x y z

A A i A j A k

B B i B j B k

= + +

= + +

v

v

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( . . . )

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( . . . )

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( . . . )

x

x x y y

x x y x z

y x y y y z

z x z y

z

z z

z

A i B i A i B j A i B k

A j B i A j B j A j B k

A k B i A k B j A k B k

A B A A

B

B

A

B

= + +

+ + +

= + +

+ + +

•v v

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ. . . 1

ˆ ˆ ˆ ˆ. . 0

ˆ ˆˆ ˆ. . 0

ˆ ˆˆ ˆ. . 0

i i j j k k

i j j i

i k k i

j k k j

= = =

= =

= =

= =

0 0

0 0

00

08/08/59

15

คณเวกเตอรดวยเวกเตอร ผลท3ไดเปน เวกเตอร (cross product)

ถา 0 180θ = o o จะทาใหผลการครอสมคาเทากบศนยและ

เปนพCนท3ของส3เหล3ยมดานขนานท3มดานเปน และ

ทศทางของ หาไดจากการใชมอขวา กวาดจาก ไป

BA×v v

Av

Bv

BA×v v

Av

Bv

08/08/59

16

vector Product / Cross Product

ˆˆ ˆx y zA A i A j A k= + +

v ˆˆ ˆx y zB B i B j B k= + +

v

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0i i j j k k× = × = × =

ˆˆ ˆ

x y z

x y z

i j k

A B A A A

B B B

× =v v

ˆ( )

ˆ ( )

ˆ ( )

y z z y

z x x z

x y y x

A B A B A B i

A B A B j

A B A B k

× = −

+ −

+ −

v v

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

x y z x y

x y z x y

i j k i j

A B A A A A A

B B B B B

× =v v

+ + +

- - -

คณสมบตของ cross product

08/08/59

17

ผลคณเชงสเกลารสามช (น ผลคณเชงสเกลารสามชCน (scalar triple product)คอ ผลคณของเวกเตอรสามเวกเตอร ซ3งอยในรป ใหคาผลคณเปนสเกลาร.( )A B C×

v vv

ขนาดของ คอ พCนท3รปส3 เหล3ยมดานขนานท3ม และ เปนดานประกอบB C×vv

Bv

Cv

ถา เปนมมระหวาง กบ จะได θ Av

B C×vv

.( ) ( cos )A B C A B Cθ× = ×v v v vv v

จะไดปรมาตรรปทรงส3 เหล3ยมหนาขนานท3มดานประกอบ คอ และ ,Av

Bv

Cv

ผลคณเชงสเกลารสามช (น ผลคณเชงสเกลารสามชCน มคณสมบต ดงนC

1. .( ) .( ) .( )A B C B C A C A B× = × = ×v v v v v vv v v

2. เม3อเขยนสวนประกอบพกดฉากของเวกเตอรเปน

จะได .( )A B C×v vv

ผลคณเชงเวกเตอรสามช (น

( . ) ( . )A B C B AC C A B× × = −v v v v v vv v v

08/08/59

18

ตวอย�าง

( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ(1)(1) (2)(2) (2)(3) (2)(3) (1)(2) (1)(2)

ˆˆ ˆ1 6 4 2 6 2 mN

ˆˆ ˆ5 2 4 mN

i j k i j k mN

i j k

i j k

= + + − − −

= − + − + −

= − + +

แคลคลสเวกเตอรการหาอนพนธของเวกเตอร

เปนฟงกชนของตวแปร t หรอเขยนไดในรป

0

( ) ( )lim

t

dr r t t r t

dt t∆ →

+ ∆ −=∆

v v v

rv

( )r tv

เขยนในรปองคประกอบพกดฉาก จะไดˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )x y zr t r t i r t j r t k= + +v

( )r tเม3อ t เปล3ยนแปลง เขยนอนพนธของ ไดเปน

ˆˆ ˆyx zdrdr drdr

i j kdt dt dt dt

= + +v

08/08/59

19

อนพนธของเวกเตอรในรปผลบวกและผลคณ

( )d dA dBA B

dt dt dt+ = +

v vv v

( ). . .d dA dB

A B B Adt dt dt

= +v v

v vv v

( )d dA dBA B B A

dt dt dt× = × + ×

v vv vv v

( )d dA daaA a A

dt dt dt= +

vv v

เม3อ a เปนสเกลารฟงกชนท3แปรตาม t

กรณท�เวกเตอรเปนฟงกชนของตวแปรหลายตว( , , )A x y zv

0

( , , )limx

A A x x y z

x x∆ →

∂ + ∆=∂ ∆

v

0

( , , )limy

A A x y y z

y y∆ →

∂ + ∆=∂ ∆

v

0

( , , )limz

A A x y z z

z z∆ →

∂ + ∆=∂ ∆

v

การหาอนทกรลของเวกเตอร

( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆ ( )x y zS t dt S t dt S t dt S t dti j k= + +∫ ∫ ∫ ∫

08/08/59

20

ตวดาเนนการเดล (del operater)

ˆˆ ˆi j kx y z

∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂

สญลกษณของตวดาเนนการเดล คอ “ ”∇ในระบบพกดฉาก ตวดาเนนการเดล มรปแบบดงนC

เม3อใชตวดาเนนการตอฟงกชนสเกลาร ท3ขCนกบตาแหนง จะไดคาเกรเดยนต (gradient) ของฟงกชน เขยนเปน หรอเขยนในรปตวดาเนนการเดลเปน คอ ปรมาณเวกเตอร

( , , )f x y z

( , , )f x y z ( , , )f xg d ya zr

( , , )f x y z∇v

ˆˆ( , , ) ˆf f fi j k

x y zf x y z

∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂

v

ตวดาเนนการเดล (del operater)

เม3อใชตวดาเนนการตอฟงกชนแวกเตอร ท3ขCนกบตาแหนง โดยดาเนนการแบบ ดอต จะไดคา ไดเวอรเจนซ (divergence) ของฟงกชน เขยนเปน หรอเขยนในรปตวดาเนนการเดลเปน มคาเปนสเกลาร

( , , )V x y z

( , , )V x y z

( , , )V xd yv zi , ). ( ,V x y z∇v

( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ,. , .( ) x y zi j k V i V j V kx y z

V x y z ∂ ∂ ∂∇ = + + + + ∂ ∂ ∂

v

( , , ). yx zVV V

x y zV x y z

∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂

v

. .V V≠∇ ∇v v

. x y zV Vy

V Vx z

∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂

v

08/08/59

21

ตวดาเนนการเดล (del operater)

เม3อใชตวดาเนนการตอฟงกชนแวกเตอร ท3ขCนกบตาแหนง โดยดาเนนการแบบ ครอส จะไดคา เครล (curl) ของฟงกชน เขยนเปน หรอเขยนในรปตวดาเนนการเดลเปน มคาเวกเตอร

( , , )V x y z

( , , )V x y z

( , , )V xc l yr zu ( , , )V x y z∇×v

( )( , ˆ ˆˆ) ˆ ˆ, ˆx y zi j k V i V j Vx

xV

yy

zz k

∂ ∂ ∂∇ = + + + + ∂ ∂ ∂×

×

v

x y z

j k

( , , ) x

V V V

V

i

y zx y z

∂ ∂ ∂∇ =∂ ∂ ∂

×v

ตวดาเนนการเดล (del operater)

ผลคณสเกลารของ คอ จะได เปนตวดาเนนการ เรยกวา ตวดาเนนการของลาปลาซ หรอ ตวดาเนนการลาปลาเซยน (Laplacian operator) อยในรป

2 2 22

2 2 2.

x y z

∂ ∂ ∂∇ ∇ = ∇ = + +∂ ∂ ∂

v v v

∇v

.∇ ∇v v

2∇v

2 2 22

2 2 2( , , )

x

f f ff x y

yz

z

∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂

v

เม3อนา ไปดาเนนการกบฟงกชนท3เปนสเกลาร จะไดผลเปนสเกลาร เชน2∇v

เม3อนา ไปดาเนนการกบฟงกชนท3เปนเวกเตอร จะไดผลเปนเวกเตอร เชน2∇v

2 2 22

2 2 2( , , )

x

V V VV x y

yz

z

∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂

v