aanvullend lesmateriaal bij - fisme.uu.nl straling... · 1/2 n(t) maakt sinds kort deel uit van het...

SaLVO!

NATUURKUNDE

KLAS 5 VWO

Lesbrief Straling en exponentiële verbanden

NAAM:

KLAS:

SaLVO! Dit lesmateriaal is een onderdeel van het samenwerkingsproject SaLVO! dat als doel heeft om meer samenhangend onderwijs te ontwikkelen in de bètavakken.

Overzicht projectmateriaal

De leerlijn SaLVO! rond verhoudingen, verbanden, formules en grafieken is opgebouwd uit een aantal delen bij verschillende vakken:

biologie = B, economie = E, informatiekunde = I, natuurkunde = N, scheikunde = S en wiskunde = W. deel titel vak(ken) leerjaar

1 Verhoudingen en evenredigheden W 2 HV

2 Een verband tussen massa en volume N 2 HV

3 Vergroten en verkleinen N, W 2HV

4 Omgekeerd evenredig verband W 2/3 HV

5 Planeten en Leven B, N, S, W 2/3 HV

6 Economie en procenten E, W 3 HV

7 Verhoudingen bij scheikundige reacties S 3 HV

8 Formules en evenredigheden N 3HV

9 Vergelijkingen in de economie E, W 3 HV

10 Exponentiële verbanden I, N, W 3 HV

11 Evenredigheden en machten W 4 HV

12 Verbanden beschrijven N 4 HV

13 Exponentiële functies B, N, S, W 5 V

14 Periodieke functies N, W 5 V

Colofon

Project SaLVO! (Samenhangend Leren Voortgezet Onderwijs)

Auteur Kees Hooyman

Versie december 2009

M.m.v. St. Bonifatiuscollege, Utrecht

Geref. Scholengemeenschap Randstad, Rotterdam

Freudenthal Inst. for Science and Mathematics Education, Univ. Utrecht

Copyright

Op de onderwijsmaterialen in deze reeks rust copyright. Het materiaal mag worden gebruikt voor niet-

commerciële toepassingen. Het is niet toegestaan het materiaal, of delen daarvan, zonder toestemming op een of andere wijze openbaar te maken.

Voor zover wij gebruik maken van extern materiaal proberen wij toestemming te verkrijgen van eventuele rechthebbenden. Mocht u desondanks van mening zijn dat u rechten kunt laten gelden op

materiaal dat in deze reeks is gebruikt dan verzoeken wij u contact met ons op te nemen:

[email protected]

mailto:[email protected]

SALVO! – LESBRIEF STRALING 3

Voorwoord De lesbrief ‘Straling en exponentiële verbanden’ is geschreven voor 5 vwo en hoort bij het vak natuurkunde. In de natuurkunde vormen exponentiële verbanden slechts een klein onderdeel van het vak, daardoor wordt in het middelbaar onderwijs vaak weinig aandacht besteed aan de oorzaak van een dergelijk verband. Extra aandacht voor het ontstaan van zo’n verband en de wiskundige achtergrond daarbij kan leerlingen helpen zich een beter beeld te vormen van het natuurkundig proces. Tegelijk worden de wiskundige vaardigheden van de leerlingen versterkt.

Deze lesbrief behandelt een deel van de examenstof bij het onderwerp radioactiviteit en is bedoeld ter vervanging van een deel van het hoofdstuk van de reguliere onderwijsmethoden. De lesbrief beslaat in totaal ongeveer vier lessen.

Deze lesbrief besteed aandacht aan het proces waardoor een exponentieel verband ontstaat, dat is als de toe- of afnamesnelheid evenredig is met de hoeveelheid. Deze eigenschap komt tot uitdrukking in de vervalfactor, die wordt gebruikt in een dynamisch model om het verband tussen activiteit en aantal instabiele kernen te onderzoeken. Daarnaast worden wiskundige instrumenten toegepast om deze relatie analytisch te bewijzen.

De laatste twee paragrafen gaan over het toepassen van deze eigenschappen bij het bepalen van de halveringstijd bij langlevende isotopen (de formule

A(t) = ln2/t1/2 N(t) maakt sinds kort deel uit van het examenprogramma vwo) en bij de absorptie van verschillende soorten straling.

Dit katern maakt deel uit van een lessenreeks rondom verbanden, formules en grafieken. In deze reeks wordt de samenhang tussen wiskunde en de andere bètavakken versterkt.

Samenhang met deel 13

In deel 13 van het SaLVO-materiaal komen de eigenschappen van exponentiële functies in een veel breder kader aan bod. Deel 13 is dan ook zo geschreven dat het door meerdere vakken samen uitgevoerd kan worden. De samenhang tussen de vakken wordt op die manier veel sterker neergezet. Deze lesbrief is een meer bescheiden vorm van samenhang, waarbij enkel in de natuurkundeles een duidelijk stuk wiskunde aan bod komt. Het kan ook de aanleiding vormen voor een mooi gesprek tussen docenten wiskunde en natuurkunde.


SaLVO! - Lesbrief Straling Leeglopers & exponentieel verband Een radioactieve bron is, net als een lekke band, een voorbeeld van een ‘leegloper’. Een radioactieve bron wordt geleidelijk zwakker, bij een fietsband stroomt de lucht weg door kleine gaatjes.

Instap Wat gebeurt er bij een ‘leegloper’?

De banden van een racefiets worden meestal erg hard opgepompt. Eén van de banden blijkt een beetje lek te zijn. Twee uur na het oppompen is de druk gedaald van 8,0 tot 7,6 bar. Je vraagt je af hoe lang het duurt tot de druk gedaald is tot 4,0 bar, want dan is de band te zacht om nog op te fietsen. a. Zal de druk in de band steeds elke twee uur met 0,4 bar dalen, of verloopt

het leeglopen meer of minder snel? Leg uit.

b. Leg uit dat bij een leeglopende band de grafiek van de luchtdruk in de band als functie van de tijd een dalende kromme lijn moet zijn.

Na 27 uur is de druk in de band gedaald tot 4,0 bar. c. Hoeveel zal de druk in de band nu de komende twee uur dalen? Geef een

voorspelling en licht toe.

Bij de band van een racefiets is het volume vrijwel constant. De uitstroom van lucht is dan evenredig met de druk in de band. Als de druk gehalveerd is dan is de uitstroom ook gehalveerd. d. Leg uit dat bij dit voorbeeld de druk elke twee uur met 5% daalt.

e. Met welke factor wordt de luchtdruk elke twee uur vermenigvuldigd? (gebruik k = nieuwe waarde / oude waarde)

f. Bereken hoe de luchtdruk afneemt. Vul de tabel verder in.

tijd start 2 uur 4 uur 6 uur 8 uur 27 uur 29 uur

luchtdruk 8,0 bar 7,6 bar 4,0 bar

g. Controleer aan de hand van de tabel de volgende regel: “Als de afname evenredig is met de hoeveelheid dan ontstaat er een exponentiële afname.

Kernvraag Wanneer is de grafiek van een leegloper een exponentieel verband?

Kernvraag Hoe verandert de activiteit van een bron in de loop van de tijd?

Pfffffffff


Wat gebeurt er bij radioactief verval?

Een atoom kan straling uitzenden als de kern instabiel is. Door het uitzenden van een α-deeltje of een β-deeltje ontstaat dan een andere atoomkern. We kijken alleen naar situaties waarbij één soort instabiele atomen vervalt naar een stabiel atoom.

1 Beryllium-11 Op de afbeelding zie je een voorstelling van het vervalproces. Er zijn twee soorten atomen te zien: Beryllium-11 en Boor-11. De Beryllium-kernen zijn instabiel en kunnen een β-deeltje uitzenden. Elk atoom kan één keer een deeltje uitzenden, daarna is het een Boor-atoom geworden. a. Bekijk de applet van de Colorado University (Google op ‘Colorado +

halflife’). Na hoeveel seconde is de helft van de Beryllium-atomen vervallen? Kijk naar de grafiek.

Het balkje ‘Energy Released’ geeft ook aan hoeveel straling per seconde wordt uitgezonden. b. Waardoor neemt de straling die per seconde uitgezonden wordt af?

c. Ga aan de hand van de applet na dat de halveringstijd van de straling gelijk is aan de halveringstijd van het aantal instabiele kernen.

d. Is in dit voorbeeld de afname evenredig met de hoeveelheid?

Het vervallen van een individuele atoomkern is een spontaan proces. Een individueel atoom kan in de volgende seconde vervallen, maar ook een miljard jaar later. Omdat de atomen identiek zijn is wel voor elk atoom de kans om te vervallen identiek. e. Hoe lang duurt het voordat alle atomen in de applet vervallen zijn?

f. Leg uit waardoor het niet te voorspellen is wanneer dat zal gebeuren.

2 Instabiele kernen Een radioactieve bron bevat 500 duizend instabiele kernen op tijdstip t=0. Op t = 2,0 uur is dat afgenomen tot 450 duizend kernen. a. Hoeveel instabiele kernen zullen er op tijdstip t = 4,0 uur zijn? En op t =

6,0 uur? Vul de tabel verder in.

tijd t start 2,0 u 4,0 u 6,0 u 8,0 u 10,0 u

instabiele kernen 5,00∙105 4,50∙10

5

b. Het aantal instabiele kernen neemt exponentieel af. Hoe groot is de

groeifactor g per stap van 2 uur?

Figuur .. – Deze applet laat de instabiele atomen en de stralingsenergie zien (bron: Physics 2000 van de Colorado University)

×g ×g

http://www.colorado.edu/physics/2000/isotopes/radioactive_decay3.html




c. Maak een schatting: Na hoeveel uur is het aantal instabiele kernen gehalveerd?

d. Leg uit dat je voor deze vraag moet oplossen: 0,9n = 0,5 en laat met een berekening zien dat geldt: n = 6,6.

e. Hoeveel uur hoort bij n = 6,6?

3 Uitgezonden straling Het aantal instabiele kernen neemt dus exponentieel af, maar wat betekent dat voor de straling die de bron uitzendt? De activiteit van een bron is gelijk aan het aantal stralingsdeeltjes dat de bron per seconde uitzendt. Neemt de activiteit nu ook exponentieel af? Dat kunnen we met het bovenstaande voorbeeld controleren. Het aantal instabiele kernen daalt in twee uur van 5,00∙105 tot 4,50∙105. a. Laat met een berekening zien dat de gemiddelde activiteit dan 6,94

stralingsdeeltjes per seconde is.

b. Hoeveel stralingsdeeltjes worden tussen t = 2,0 en t = 4,0 uur per seconde gemiddeld uitgezonden?

c. Maak de tabel verder af.

periode (uur) 0,0 – 2,0 2,0 – 4,0 4,0 – 6,0 6,0 – 8,0 8,0 – 10

straling (per s) 6,94 6,25

d. Geldt voor de activiteit dezelfde groeifactor? En dezelfde halveringstijd?

Halveringstijd Zowel de stralingsintensiteit als het aantal kernen daalt exponentieel, met dezelfde halveringstijd. Bij de grafiek passen de onderstaande formules.

n

AtA21

0)(

n

NtN21

0)(

21t

tn

In deze formules is A de activiteit (in Bq), N is het aantal instabiele kernen, t1/2 is de halveringstijd en n is het aantal halveringstijden op tijdstip t. LET OP: deze formules worden in BINAS iets anders geschreven.

Achtergrond Bij een exponentieel proces is sprake van een constante groeifactor. Bij wiskunde wordt dat

geschreven als: tgby

De groeifactor g hangt af

van de tijdstap, b is de beginhoeveelheid. Je kunt elk exponentieel verband omschrijven naar

een andere groeifactor, dus ook naar g = 0,5.

tcby 5,0


4 De formule van radioactief verval De onderstaande grafiek geeft het verval van koolstof-14 aan (in %).

a. Lees in de grafiek de halveringstijd van koolstof-14 af.

De grafiek van radioactief verval is altijd een exponentiële functie. Bij de grafiek hoort ook een formule.

n

AtA21

0)(

b. Welke betekenis heeft n in deze formule? (zie theorieblok).

Volgens de grafiek is na 19.000 jaar 90% van het koolstof-14 vervallen. c. Hoeveel halveringstijden zijn verstreken na 19.000 jaar?

d. Controleer met de formule A(t) = A0 ½n dat na 19.000 jaar inderdaad 90% van het koolstof-14 vervallen is.

Als minder dan 0,20% van het koolstof-14 nog over is dan is de methode niet goed meer bruikbaar om de ouderdom van voorwerpen te bepalen. e. Na hoeveel jaar is nog 0,20% over? Stel eerst een vergelijking op.

5 Radonisotoop De radonisotoop Rn-219 heeft een halveringstijd van 4,0 s. Op tijdstip t = 0 heeft deze bron een activiteit A van 56 MBq. a. Teken het vervaldiagram van

Rn-219 van t = 0 s tot t = 12 s. b. Bepaal uit het diagram de

activiteit van de bron op het tijdstip t = 10 s.

c. Bereken met de vervalformule de activiteit van de bron op het tijdstip t =10 s.

20

10

30

50

40

tijd (s)

A (MBq)

Achtergrond Bij het oplossen van een vergelijking met

exponenten wordt gebruik gemaakt van logaritmen.

Los op: ag x

Neem links en rechts logg

Dat betekent: ax g log

Voorbeeld:

Los op: 1,021 n

Neem links/rechts log5,0

Dus: 1,0log5,0n

Uitrekenen:

32,35,0log

1,0log1,0log5,0


6 Jood-128 De tabel laat zien hoe de activiteit A van een hoeveelheid I-128 verandert in de loop van de tijd t. a. Schat aan de hand van de tabel hoe groot de halveringstijd van I-128

ongeveer is.

In 80 minuten is de activiteit gedaald van 75,8 tot 8,3 MBq. b. Hoeveel keer is de activiteit gehalveerd? Stel eerst een vergelijking op.

c. Bereken hiermee de halveringstijd.

d. Controleer het antwoord met tabel 25 in BINAS.

7 Kobalt De kobaltbron (Co-60) van een bestralingsapparaat in een ziekenhuis blijkt nog 15% van de opgegeven activiteit te hebben. a. Zoek in BINAS de halveringstijd van Co-60 op (tabel 25).

b. Bereken de ouderdom van de bron met de vervalformule.

tijd t (min)

activiteit A (MBq)

0 75,8

10 57,4

20 43,5

30 33,0

40 25,0

50 19,0

60 14,4

70 10,9

80 8,3


SaLVO! - Lesbrief Straling Vervalfactor en halveringstijd Een radioactieve bron is een voorbeeld van een ‘leegloper’. De afname is evenredig met de hoeveelheid. De vervalfactor is het deel van de atomen dat per seconde vervalt. Voor een individueel atoom is het de kans om de volgende seconde te vervallen. Die factor bepaalt ook de halveringstijd.

Instap Verval in een dynamisch model

Beryllium-11 is een radioactieve stof die vrij snel vervalt (de halveringstijd is 13,81 s). Elke seconde vervalt ongeveer 5,0% van de instabiele kernen, dat wordt aangegeven met de vervalfactor λ. Voor Beryllium-11 geldt: λ = 0,050. Dit proces is weer te geven in een dynamisch model:

De enige formule in dit model is:

activiteit_A = vervalfactor instabiele_kernen_N

Het resultaat van dit model is de onderstaande grafiek:

a. Hoe zie je aan de grafiek dat de vervalfactor λ = 0,05?

b. Het model klopt niet exact. Hoe groot is in dit model de halveringstijd?

Bij elk exponentieel verband hoort ook een groeifactor g. c. Bepaal bij dit voorbeeld de groeifactor g en laat met een berekening zien

dat bij deze groeifactor een halveringstijd hoort van 13,5 s.

Kernvraag Wat is het verband tussen de vervalfactor en de halveringstijd?

A = λ∙N

vervalfactor λ

activiteit A

instabiele kernen N

Van Beryllium-11 vervalt elke seconde ongeveer 5,0%. De halveringstijd van Beryllium-11 is 13,81 s.

Achtergrond Elke exponentiële functie heeft een groeifactor g. De groeifactor geeft aan met

welke factor elke (tijd)stap vermenigvuldigd wordt. Als elke seconde 5,0% vervalt dan is de vervalfactor = 0,05.

Voor de groeifactor bij een tijdstap van 1 seconde geldt dan: g = 0,95.


8 Vervalfactor en activiteit De grafiek van het aantal instabiele kernen geeft ook informatie over de activiteit van de bron.

a. Hoeveel kernen vervallen er in de eerste seconde? Lees af in de grafiek en leg uit waardoor dat komt.

Na één halveringstijd is nog 50% van de instabiele kernen over. b. Laat met de grafiek zien dat de activiteit dan ook gehalveerd is.

c. Leg uit waarom de activiteit A even groot is als de helling van de raaklijn aan de grafiek van N (zie ook het theorieblok).

Bij het element Neon-23 is de vervalfactor ongeveer 0,02. d. Schets in de bovenstaande grafiek het verval van Neon-23. Start ook met

1000 atomen. e. Hoeveel kernen vervallen er nu in de eerste seconde? Leg uit.

f. Maak een schatting van de halveringstijd van Neon-23

Activiteit en helling De activiteit van een bron is gelijk aan de afname van het aantal instabiele kernen per seconde. In de grafiek van N(t) is dat de helling van de raaklijn. Als N geschreven is als een functie dan is A de afgeleide van N.

t

NtA )(

)(')( tNtA

t

N


9 Vervalkans en halveringstijd De drie grafieken in het onderstaande diagram zijn gemaakt met behulp van een dynamisch model. Voor de vervalfactor zijn verschillende waarden gekozen: naast λ = 0,05 ook λ = 0,02 en λ= 0,10.

a. Lees in de grafiek de halveringstijden af en noteer het antwoord in de tabel.

vervalfactor λ 0,10 0,05 0,02 0,01 0,005

halveringstijd t1/2 13,5

b. Bepaal ook voor λ = 0,01 en λ = 0,05 de halveringstijd. Gebruik een dynamisch model, Excel of een berekening met de groeifactor. Noteer het resultaat in de tabel.

Uit de tabel blijkt: Hoe kleiner de vervalfactor, des te groter de halveringstijd. c. Is de halveringstijd hier omgekeerd evenredig met de vervalfactor? Hoe

kun je dat zien aan de getallen in de tabel?

Bij een omgekeerd evenredig verband geldt: 2

1t constant.

d. Hoe groot is de constante bij de resultaten van het model?

Het model is niet helemaal nauwkeurig omdat er gerekend wordt in tijdstappen van 1 seconde. Tijdens die seconde daalt het aantal instabiele kernen en dus ook de activiteit. Daarmee wordt in het model geen rekening gehouden.

e. Volgens de theorie zou moeten gelden: 2ln2

1t . Klopt dat hier?

EXTRA: Het model kan nauwkeuriger gemaakt worden door kleinere tijdstappen te nemen. Verklein de tijdstap totdat voldoende nauwkeurig bepaald kan worden. Noteer de resultaten in onderstaande tabel en ga na of

nu wel geldt: 2ln2

1t

vervalfactor λ 0,10 0,05 0,02 0,01 0,005

halveringstijd t1/2

Achtergrond

De activiteit geeft niet alleen de sterkte van een bron aan, het is (per definitie) het tempo waarin het aantal instabiele atomen daalt:

)(')( tNtA

Omdat radioactief verval een toevalsproces is, is het tempo waarmee het aantal instabiele kernen

daalt evenredig met de

hoeveelheid:

)()( tNtA

Het verloop van het verval wordt bepaald door twee verbanden.


10 De theorie achter 2ln2

1t (wiskunde B)

Omdat de activiteit A gelijk is aan de afname van het aantal instabiele kernen N per seconde geldt:

)(')( tNtA

Dan moet een formule voor A(t) te bepalen zijn uit de formule voor N(t):

21

)()(21

0

t

t

NtN

a. Bepaal de afgeleide N’(t).

b. Laat zien dat geldt:

21

21ln

)()(t

tNtA

Bovendien geldt: )()( tNtA

c. Combineer de twee vergelijkingen en laat zien dat

21

2ln

t

11 De vervalfactor en het getal e (wiskunde B) Het getal e is bij exponentiële functies een bijzonder grondtal. Het laat bovedien op een elegante manier zien waar het verband tussen λ en t1/2

vandaan komt. De formules voor A en N kunnen geschreven worden als macht van e:

teNtN 0)( en teAtA 0)(

In het voorbeeld van Beryllium-11 geldt = 0,050.

a. Bereken 05,0e . Wat is de betekenis van de uitkomst?

b. Laat zien dat bij deze formules geldt: N’(t) = - N(t).

c. Laat zien dat bij deze formules geldt: A(t) = N(t).

Om nu de halveringstijd te vinden moet je oplossen: 21te

d. Los deze vergelijking op.

e. Laat zien dat nu geldt: 2ln2

1t

Differentiëren Voor het differentiëren van exponentiële functies

gelden de volgende rekenregels:

)(xf )(' xf

xg gg x ln

xga gga x ln

xbg bgg x ln


Vervalfactor De vervalfactor λ geeft aan welk gedeelte van de instabiele kernen elke seconde vervalt. Daarmee bepaalt λ het verband tussen A en N.

)()( tNtA

Dit verband kan gebruikt worden om bij een willekeurige bron het aantal instabiele kernen te bepalen. De vervalfactor hangt af van de atoomsoort, de activiteit kan gemeten worden. De vervalfactor λ is omgekeerd evenredig met de halveringstijd t1/2. Daarvoor geldt:

2ln2

1t

LET OP: De vervalconstante behoort niet tot de huidige examenstof (vermoedelijk wel in de toekomst). Bij het examen wordt alleen gebruik gemaakt van een gecombineerde formule:

)(2ln

)(2/1

tNt

tA

12 Activiteit In de grafiek zie je het aantal instabiele kernen van een radioactieve bron . In de grafiek is de raaklijn getekend op t = 8,0 dag, dat is ook halveringstijd van de atoomsoort. a. Bepaal aan de hand van de grafiek de activiteit op t = 8,0 dag. Geef het

antwoord in Bq.

b. Hoe groot was de activiteit op t = 0? Gebruik het antwoord van vraag a.

c. Bereken met de activiteit A en het aantal instabiele kernen N de vervalconstante λ.

d. Controleer dat geldt: 2ln2

1t

13 Radon Voor een bron van Rn-219 geldt op tijdstip t = 0 dat het aantal instabiele kernen N = 1,7∙108. De halveringstijd voor Rn-219 bedraagt 4,0 s. a. Bereken de vervalconstante.

b. Hoe groot is de activiteit van de bron op t=0?

Een bron Po-209 (halveringstijd 200 jaar) heeft een activiteit van 3,6 kBq. c. Hoeveel kernen Po-209 zitten er in deze bron?

Δt

ΔN

N (1018 kernen)


SaLVO! - Lesbrief Straling Langlevende isotopen Radioactiviteit en straling is overal om ons heen, in de grond en in de lucht. Er komt ook straling uit bouwmaterialen. Sommige bronnen hebben een halveringstijd van miljarden jaren. Hoe is die halveringstijd bepaald?

Instap Bronnen in de natuur

Overal op aarde vind je natuurlijke radioactieve bronnen: veel gesteenten bevatten bijvoorbeeld uranium (U-238), kalium (K-40) en thorium (Th-232). De zwaardere elementen zijn ontstaan door kernfusie in de laatste levensfase van een andere ster. In tabel 25 van BINAS vinden we de halveringstijden van deze bronnen: kalium-40 1,28∙109 jaar uranium-238 4,47∙109 jaar thorium-232 1,4∙1010 jaar a. Waarom is het logisch dat we in de natuur vooral bronnen met een zeer

grote halveringstijd aantreffen?

Thorium-232 heeft een halveringstijd van 14 miljard jaar. Het is onmogelijk om die halveringstijd rechtstreeks te meten, zoals door te meten hoe de activiteit van de bron daalt in de loop van de tijd. b. Leg uit waardoor het onmogelijk is om de halveringstijd rechtstreeks te

meten.

Wat wel gemeten kan worden is de activiteit van de bron en het aantal instabiele kernen Thorium-232 in het materiaal. Dat laatste gebeurt met een massaspectrometer, die alle atomen ‘sorteert’ op massa. c. Hoe zou je de halveringstijd hiermee kunnen bepalen?

14 Koolstof-14 in de atmosfeer In de lucht zit het radioactieve koolstof-14, dat via de koolstofkringloop ook in planten en dieren terechtkomt. Koolstof-14 heeft een halveringstijd van 5730 jaar. De concentratie C-14 in de atmosfeer is redelijk constant. a. Leg uit dat de concentratie alleen constant kan zijn als er voortdurend

nieuwe atomen C-14 ontstaan in de atmosfeer.

Bij een fossiel stuk bot wordt de activiteit gemeten. Deze activiteit wordt alleen veroorzaakt door koolstof-14. De activiteit van het bot is 5,5 Bq. b. Leg uit dat je met dit gegeven nog niet de ouderdom kunt bepalen.

Kernvraag Hoe is de halveringstijd van langlevende isotopen bepaald?

Natuurlijke radioactiviteit


c. Bereken het aantal atoomkernen C-14 in het bot.

Om de ouderdom te bepalen is het nodig om te kijken naar de verhouding tussen ‘normaal’ koolstof-12 en koolstof-14. Naast het aantal atomen koolstof-14 bepaalt men dus het aantal atomen koolstof-12 in het bot. d. Leg uit hoe men met de verhouding koolstof-14 : koolstof-12 de

ouderdom van het bot kan bepalen.

De verhouding koolstof-14: koolstof-12 blijkt tien keer zo klein te zijn als de verhouding koolstof-14 : koolstof-12 in de atmosfeer. Dat betekent dat van het oorspronkelijke koolstof-14 nog maar ééntiende over is. e. Bereken daarmee de ouderdom van het bot.

Koolstof-14 wordt veel gebruikt voor het dateren van organisch archeologisch materiaal, zoals het hout van Romeinse schepen. f. Waarom is datering met C-14 ongeschikt voor botten van dinosauriërs?

15 Radongas in de lucht Ook in baksteen, beton en gips vinden we radioactieve isotopen. Dat is niet ongevaarlijk want uit die materialen (met name gips) kan het radioactieve radongas ontsnappen. De radioactieve radonisotoop Rn-222 wordt in de aardkorst gevormd door het verval van andere radioactieve isotopen. a. Waarom is een gasvormige radioactieve bron extra gevaarlijk?

b. Zoek in BINAS de halveringstijd van Rn-222 op. Hoe kan een isotoop met zo’n kleine halveringstijd in de natuur voorkomen?

Om de concentratie radon te meten maakt men gebruik van de activiteit van het radongas. In Nederland is de activiteit van deze radonisotoop per m³ buitenlucht gemiddeld 3,0 Bq. c. Bereken het gemiddelde aantal kernen van de radioactieve isotoop

Rn-222 per m³ buitenlucht.

Een mol radongas (1,6 10²³ atomen) heeft een massa van 222 gram. d. Bereken de massa (in gram) van de radioactieve isotoop Rn-222 per m³

buitenlucht.


Toepassing vervalfactor De vervalfactor λ geeft aan welk gedeelte van de instabiele kernen elke seconde vervalt. Daarnaast is de vervalfactor λ omgekeerd evenredig met de halveringstijd t1/2. De bijbehorende formules zijn:

)()( tNtA en 2ln2

1t

Deze formules worden op verschillende manieren toegepast. Zo kan door het meten van A en N de vervalfactor bepaald worden. Daarmee wordt indirect de halveringstijd vastgesteld. Omgekeerd kan uit de halveringstijd en de activiteit van een bron het aantal instabiele kernen in de bron bepaald worden.

Opgaven

16 Halveringstijd Sommige natuurlijke bronnen hebben een zeer grote halveringstijd. Om deze halveringstijd te bepalen meet men de activiteit en het aantal instabiele kernen. Bij een bepaalde bron meet men: A = 487 Bq en N = 9,9∙1019 instabiele kernen. a. Bereken de vervalfactor λ van deze stof.

b. Bereken de halveringstijd van deze stof.

17 Ouderdomsbepaling Met een GM-teller bepaalt iemand de activiteit van 10,0 gram koolstof uit oud hout. Deze activiteit is 57,0 Bq. De activiteit van 10,0 gram koolstof uit hout van een net gekapte boom van dezelfde houtsoort blijkt 228 Bq te zijn. Bereken de ouderdom van het oude hout.

18 Kerncentrale In het stalen reactorvat van een oude kerncentrale wordt kobalt-60 aangetroffen. Deze stof is ontstaan door de bestraling van het staal in de reactorwanden met neutronen. Kobalt-60 is radioactief. Het reactorvat moet na het sluiten van de kerncentrale nog veertig jaar bewaard blijven om ervoor te zorgen dat hoeveelheid kobalt-60 tenminste met een factor 250 is afgenomen is. Ga met een berekening na of na veertig jaar de hoeveelheid kobalt in die mate is afgenomen.


19 Achtergrondstraling Ineke wil met een GM-teller de halveringstijd van een bepaalde stof meten. Elke minuut bepaalt zij de activiteit. Van de gemeten waarden maakt zij een grafiek. Zie figuur.

Daarna haalt zij de radioactieve stof weg en meet zij de activiteit van de achtergrondstraling. Zij vindt een gemiddelde waarde van 0,50 Bq. a. Bepaal de activiteit van de bron op t = 0 en op t = 0,0 min. Houd daarbij

rekening met de achtergrondstraling.

b. Gebruik de gegevens van vraag a om de halveringstijd te berekenen.

c. Bereken uit deze gegevens het aantal instabiele kernen op t = 0.


SaLVO! - Lesbrief Straling Absorptie van straling Bij de absorptie van straling neemt de intensiteit van gamma- en röntgen-straling exponentieel af. Dat geldt niet voor alfa- en betastraling.

Instap Absorptie van straling

De absorptie van röntgen- en gammastraling is goed te vergelijken met de absorptie van licht in laagjes zonnebrilfolie. De stralingsdeeltjes worden stuk voor stuk geabsorbeerd door atomen in het materiaal.

Het verschil tussen absorptie van gamma- of röntgenstraling (links) en het afremmen van alfadeeltjes in onderkoelde lucht (rechts). Bij gamma- en röntgenstraling bewegen de deeltjes met de lichtsnelheid. De deeltjes kunnen dus niet afgeremd worden, ze worden stuk voor stuk geabsorbeerd door een atoom. Dat is voor elk stralingdeeltje een toevalsproces, het ene deeltje dringt dan veel verder in het materiaal door dan het andere. In de bovenstaande figuur is het materiaal verdeeld in vijf even dikke laagjes. In het eerste laagje wordt 50% van de stralingdeeltjes geabsorbeerd. a. Hoeveel procent van de overblijvende straling wordt in het tweede laagje

geabsorbeerd?

b. Leg uit dat de absorptie evenredig is met het aantal stralingsdeeltjes.

c. Laat zien dat hierdoor het aantal stralingsdeeltjes exponentieel afneemt.

d. Hoeveel procent van de straling is na vijf laagjes nog over?

Kernvraag Is absorptie van straling ook een exponentieel proces?

Figuur 2.1 Absorptie van zonlicht in laagjes folie.


Voor de intensiteit I na een laag materiaal met dikte x geldt een formule die vergelijkbaar is met de formules voor A en N:

n

IxI21

0)(

e. Welke betekenis heeft n in deze formule?

f. Hoe bereken je n uit de dikte x en de halveringsdikte d1/2 van het materiaal?

20 Dracht van alfa-deeltjes Bij alfa- en bètastraling is de afname van de intensiteit niet exponentieel. Op de foto zie je dat alle alfadeeltjes vrijwel even ver komen (op één deeltje na dat een meer energie heeft). Er treedt ook geen absorptie van het deeltje op. Het stralingsdeeltje botst tegen atomen en geeft daarbij steeds een beetje energie af. De snelheid van het deeltje wordt afgeremd. De sporen op de foto bestaan uit kleine condensdruppeltjes die gevormd zijn rond een molecuul dat door de botsing geïoniseerd is. a. Hoe groot is de snelheid van het alfadeeltje aan het eind van het

condensspoor?

b. Leg uit waardoor bij alfa- en bètadeeltjes de snelheid wel kan worden afgeremd door botsingen, en bij gamma- en röntgendeeltjes niet.

De dracht van alfa- en bètastraling hangt af van de snelheid van de deeltjes en de dichtheid van het materiaal waar ze doorheen bewegen. c. De condenssporen zijn (op één na) allemaal even lang. Wat betekent dat

voor de snelheid waarmee de alfadeeltjes uit de bron (aan de onderzijde van de foto) zijn gekomen?

d. Waardoor is de dracht van bètadeeltjes veel groter dan van alfadeeltjes?

e. Beschrijf in je eigen woorden waardoor bij alfa-deeltjes geen sprake is van een exponentiële afname van de stralingsintensiteit.

dracht in lucht

dracht in water

1-7 cm 20-80 m

0,2-1 m 0,1-10 mm

condenssporen van -deeltjes


Halveringsdikte en dracht Alfa- en bètastraling wordt niet geabsorbeerd maar afgeremd. Vergelijkbare deeltjes met dezelfde energie staan na ongeveer dezelfde afstand stil. Die afstand wordt de dracht van de straling genoemd. De dracht hangt af van het type deeltje, de energie van het deeltje en de dichtheid van het materiaal. Voor de absorptie van gamma- en röntgenstraling geldt dat de intensiteit van de straling exponentieel afneemt met de dikte van het materiaal. De halveringsdikte hangt af van het materiaal en de energie van de deeltjes. Röntgenstraling wordt gedeeltelijk geabsorbeerd in het lichaam, gammastraling gaat vrijwel geheel door het lichaam heen. Voor de intensiteit na een dikte x geldt:

nIxI

21

0)( en

2/1d

xn

In deze formule is I0 de beginwaarde van de intensiteit, x de dikte en d1/2 de halveringsdikte van het materiaal voor het gebruikte type straling.

21 Aluminium Tussen een radioactieve bron en een GM-teller worden aluminiumplaatjes van verschillende dikte d gezet. Met de GM-teller wordt de intensiteit I van de doorgelaten straling gemeten. Het resultaat van de metingen is weergegeven in de tabel. a. Welke soort kernstraling zendt de radioactieve bron uit?

b. Bepaal de halveringsdikte van aluminium voor de straling die deze bron uitzendt.

dikte d (cm)

intensiteit I (deeltjes/min)

2,30 1340

6,90 816

11,4 510

16,0 314


22 Halveringsdikte bij -straling Voor lood is de halveringsdikte voor gammastraling 10 mm. a. Welke waarde heeft n bij een loodplaat van 7,5 cm?

b. Hoeveel % van de straling is nog over na een loodplaat van 7,5 cm?

c. Voor beton is de halveringsdikte voor -straling 50 mm. Hoe dik moet een muur zijn om 99% van de straling tegen te houden?

In één laagje wordt 50% van de straling geabsorbeerd, in drie lagen wordt 87,5% geabsorbeerd. Na 5 lagen is nog maar 3,1% van de straling over.

23 Halveringsdikte Een metalen plaat met een dikte van 6,4 mm laat 20% van de invallende

-straling door. Bereken de halveringsdikte van dit metaal voor -straling.

24 Straling en afstand

Een radioactieve bron zendt -straling uit. De intensiteit I van de uitgezonden straling neemt af naarmate de afstand r tot de bron groter wordt. Het resultaat van de metingen is weergegeven in de tabel. a. Onderzoek of de afname van de intensiteit exponentieel is.

b. Ga na dat het een omgekeerd kwadratisch evenredig verband is.

c. Geldt een dergelijk verband tussen I en r ook voor een bron die - of

-straling uitzendt? Leg uit waarom wel of niet.

afstand r (cm)

intensiteit I (deeltjes/s)

20 88

30 40

40 22

50 14

60 9

70 7

De absorptie van straling hangt af van het soort straling, de energie van de deeltjes, de dikte en de dichtheid van het materiaal.

aanvullend lesmateriaal bij - fisme.uu.nl straling... · 1/2 n(t) maakt sinds kort deel uit van het...

Documents