abreviar teoretic matematica ix-xii
DESCRIPTION
Abreviar teoretic cu toate notiunile utile din clasa IX pana in XII.TRANSCRIPT
-
1
NOIUNI TEORETICE PENTRU BACALAUREAT Formule de calcul
222 2)( bababa 222 2)( bababa
))((22 bababa
a ))(( 2233 bababab
a ))(( 2233 bababab
(a+b) 32233 33 babbaa
(a-b) 32233 33 babbaa
a ))(( 121 nnnnn bbaabab
Funcia de gradul I
Definiie:f:RR,f(x)=ax+b,a 0 , a,b R , se numete funcia de gradul I Proprieti:Dac a>0 f este strict cresctoare Dac a
-
2
Semnul funciei de gradul II 0
x - x 1 x 2
f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a
0
x - x 21 x
f(x) semnul lui a 0 semnul lui a
0
x -
f(x) semnul lui a
Imaginea funciei de gr.II
a0, Imf=[ ),4
a
Funcii
Definiii:Fie f:AB
I. 1)Funcia f se numete injectiv,dac Axx 21, cu f(x 2121 )() xxxf
2)Funcia f este injectiv dac Axx 21, cu x )()( 2121 xfxfx
3)Funcia f este injectiv, dac orice paralel la axa 0x,dus printr-un punct al lui B, intersecteaz graficul funciei n cel mult un punct.
4)Funcia f nu este injectiv dac )()(.. 2121 xfxfiaxx
II.1)Funcia este surjectiv, dac y B, exist cel puin un punct x A, a.. (x)=y. 2) Funcia este surjectiv, dac (A) =B. 3) Funcia este surjectiv, dac orice paralel la axa 0x, dus printr-un punct al lui B, intersecteaz graficul funciei n cel puin un punct. III.1) Funcia este bijectiv dac este injectiv i surjectiv. 2) Funcia este bijectiv dac pentru orice y B exist un singur x A a.. (x) =y (ecuaia (x)=y,are o singur soluie,pentru orice y din B) 3) Funcia este bijectiv dac orice paralel la axa 0x, dus printr-un punct al lui B, intersecteaz graficul funciei ntr-un singur punct . IV.Compunerea a dou funcii Fie f:AB,g:BC
))(())((,: xfgxfgCAfg
V. AAA :1 prin 1 xxA )( , Ax .(aplicaia identic a lui A)
Definiie:Funcia : AB este inversabil , dac exist o funcie g:BA astfel nct
Afg 1 i Bgf 1 , funcia g este inversa funciei i se noteaz cu 1 .
Teorem: este bijectiv este inversabil.
-
3
Funcii pare,funcii impare,funcii periodice. Definiii:
f:RR se numete funcie par dac f(-x) = f(x), x R f:RR se numete funcie impar dac f(-x) = -f(x), x R f:AR(A )R se numete periodic de perioad T Axdac ,0 avem x+T A i
f(x+T)=f(x).Cea mai mic perioad strict pozitiv se numete perioada principal.
Numrul funciilor f:AB este [n(B)] )( An ,n(A) reprezentd numrul de elemente al mulimii A. Numrul funciilor bijective f:AA este egal cu n!,n fiind numrul de elemente al mulimii A.
Numrul funciilor injective f:AB este A kn ,unde n reprezint numrul de elemente al
mulimii B, iar k al mulimii A(k )n
Funcia exponenial
Definiie f: R (0,), f(x)= a x ,a>0,a 1 se numete funcie exponenial. Proprieti:
1)Dac a>1 f strict cresctoare 2)Dac a )1,0( f strict descresctoare
3)Funcia exponenial este bijectiv
Funcia logaritmic
Definiie: f:(0,) R, f(x)= log a x , a>0, a 1 se numete funcie logaritmic.
Proprieti:
1)Dac a >1 f strict cresctoare 2)Dac a )1,0( f strict descresctoare
3)Funcia logaritmic este bijectiv
4)log yxxy aaa loglog 5)log xmx am
a log ,m R
6)log yxy
xaaa loglog 7)a x
xa log
Schimbarea bazei:loga
AA
b
b
alog
log ,log
ab
b
alog
1
Progresii aritmetice
Definiie: Se numete progresie aritmetic un ir de numere reale a n n care diferena
oricror doi termeni consecutivi este un numr constant r, numit raia progresiei
aritmetice:a 1,1 nrann
Se spune c numerele a naa ,,, 21 sunt n progresie aritmetic dac ele sunt termenii
consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Teorem:irul 1)( nna este progresie aritmetic 2,2
11
naa
a nnn
Termenul general al unei progresii aritmetice:a rnan )1(1
Prop.:Numerele a,b,c sunt n progresie aritmetic2
cab
-
4
Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice:S2
)( 1 naa nn
Trei numere x 1 , x 2 , x 3 se scriu n progresie aritmetic de forma :
x 1 = u r, x 2 = u, x 3 = u + r ; u,r R .
Patru numere x 1 , x 2 , x 3 , x 4 se scriu n progresie aritmetic astfel:
x 1 = u 3r, x 2 = u r , x 3 = u + r , x 4 = u + 3r, u,r R .
Progresii geometrice
Definiie : Se numete progresie geometric un ir de numere reale b 0, 1 bn n care
raportul oricror doi termeni consecutivi este un numr constant q, numit raia progresiei
geometrice: qb
b
n
n 1 ,q 0
Se spune c numerele b nbb ,,, 21 sunt n progresie geometric dac ele sunt termenii
consecutivi ai unei progresii geometrice.
Teorem:irul 1)( nnb este progresie geometric 2,112
nbbb nnn
Termenul general al unei progresii geometrice:b 11 nn qb
Prop.:Numerele a,b,c sunt n progresie geometric cab 2
Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice: S1
)1(1
q
qb n
n ,q 1 sau
S dacbnn ,1 q = 1
Trei numere x 321 ,, xx se scriu n progresie geometric de forma :
x 0,,, 321 qquxuxq
u
Patru numere x 1 , x 2 , x 3 , x 4 se scriu n progresie geometric de forma:
x 1 = 0,,,,3
4323 qquxqux
q
ux
q
u
Formule utile:
1+2+3+2
)1(
nnn
16
)12)(1(2 222
nnnn
1 2333 ]2
)1([2
nnn
Modulul numerelor reale Proprieti:
0,
0,
xx
xxx
1. Rxx ,0 2. yxyx 3. xx 4. yxyx 5. y
x
y
x
6. 0, aaxaax 7. 0),,[],( aaaxax 8. yxyx
-
5
Partea ntreag
1.x = [x]+{x}, Rx , [x] Z i {x} )1,0[
2. [x] x< [x]+1, [x] = a xa < a+1 3. [x+k]=[x]+k, ZkRx ,
4. {x+k}={x}, ZkRx ,
Numere complexe
1. Numere complexe sub form algebric
z =a+bi, a,b R , i2
= 1, a=Re z , b=Im z C- mulimea numerelor complexe;C={a+bi/a,b R }
Conjugatul unui numr complex: biaz Proprieti:
1. 2121 zzzz
2. 2121 zzzz
3. nn zz
4.2
1
2
1
z
z
z
z
5.z zzR
6.z zziR
Modulul unui numr complex: 22 baz
Proprieti:
1. Czz ,0 2. zz 3. 2121 zzzz
4. nn zz 5.
2
1
2
1
z
z
z
z 6. 2121 zzzz
Numere complexe sub form trigonometric Forma trigonometric a numerelor complexe:
z = r(cos t + i sin t ) ,r =a
btgtba ,22 ;r-raza polar;t-argument redus,t )2,0[
M(a,b)-reprezint imaginea geometric a numrului complex z = a+bi Operaii:
z )sin(cos),sin(cos 22221111 titrztitr
z )sin()[cos( 21212121 ttittrrz ], )sin(cos ntintrznn
)]sin()[cos( 21212
1
2
1 ttittr
r
z
z
}1,,1,0{),2
sin2
(cos
nkn
kti
n
ktrzz nk
n
-
6
Combinatoric
n!=1 n2 ,n )1!0( N , P !nn ,nN
A)!(
!
kn
nkn
,0 1,,; nNnknk C
)!(!
!
knk
nkn
, 0 Nnknk ,;
Proprieti:1. C knnk
n C ,0 Nnknk ,; 2. C kCC kn
k
n
k
n
1,1
11
-
7
Teorem:Vectorii u i v sunt coliniari R a.i. v = u .
Punctele A, B, C sunt coliniare R a.i. AB = AC
AB CD R a.i. AB = AC
Produsul scalar a doi vectori .
),cos( vuvuvu
jyixu 11 , jyixv 22 2121 yyxxvu ,2
1
2
1 yxu
Daca 0, vu ,atunci 0 vuvu
Ecuaiile dreptei n plan Ecuaia cartezian general a dreptei:ax+by+c=0 (d)
Punctul M(x M ,y M ) d a Mx + 0 cbyM
Ecuaia dreptei determinat de dou puncte distincte:A( ), AA yx ,B(x ), BB y
AB:
1
1
1
BB
AA
yx
yx
yx
=0
Ecuaia dreptei determinat de un punct A(x ), AA y i panta m : y-y )( AA xxm
Dreptele d 1 ,d 2 sunt paralele 21 dd mm
Dreptele d 1 ,d 2 sunt perpendiculare 21 dd mm = -1
Distana dintre punctele A(x ), AA y ,B(x ,B y )B :AB=22 )()( ABAB yyxx
Distana de la punctul A(x ), AA y la dreapta h:ax+by+c=0:
d(A,h)=22 ba
cbyax AA
Punctele A,B,C sunt coliniare 0
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
Permutri
Definiie:Se numete permutare de gradul n a mulimii },,2,1{ nA orice funcie
bijectiv .: AA
)()2(
2
)1(
1
n
n
n
ne
2
2
1
1
se numete permutarea identic de gradul n.
-
8
nS reprezint mulimea permutrilor de gradul n.
Produsul(compunerea) a dou permutri:Fie nS ,
))(())((,: kkAA
Proprieti:
1) nS ,,),()(
2) nSee ,
3) eiaSS nn 111 .., , 1 se numete inversa permutrii
Puterile unei permutri: )(, 01 eNndefinimSFie nnn
Prop.: NnmSFie mnnmnmnmn ,,)(,
Inversiunile unei permutri:
Definiie: nSFie i i,j },,2,1{ n , ji .Perechea (i,j) se numete inversiune a
permutrii dac )()( ji .Numrul inversiunilor permutrii se noteaz cu m( ).
Definiii:Se numete semnul permutrii ,numrul )()1()( m
Permutarea se numete permutare par dac 1)(
Permutarea se numete permutare impar dac 1)(
Propoziie: nS ,),()()(
Permutarea
n
n
i
j
j
iij
2
2
1
1 se numete transpoziie.
Proprieti:
1) jiij 2) eij 2)( 3) ijij
1 4) 1)( ij
Matrice
A=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
.....
....................
......
......
21
22221
11211
-matrice cu m linii i n coloane;nj
miijaA
,1
,1)(
)(, CMA nm ,unde )(, CM nm -reprezint mulimea matricelor cu m linii i n coloane cu
elemente din C.
)(, CMA mnt -reprezint transpusa lui A i se obine din A prin schimbarea liniilor n
coloane(sau a coloanelor n linii). Dac m = n atunci matricea se numete ptratic de ordinul n i are forma
A=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
.....
....................
......
......
21
22221
11211
- )(CMA n
Tr(A)= nnaaa 2211 -reprezint urma matricei A
-
9
Sistemul ordonat de elemente ),,,( 2211 nnaaa se numete diagonala principal a matricei
A,iar sistemul ordonat de elemente ),,( 11 nn aa se numete diagonala secundar a
matricei A.
nI =
1000
0010
0100
-matricea unitate de ordinul n ; nmO , =
0000
0000
0000
-matricea nul
Proprieti ale operaiilor cu matrice.:
1)A+B=B+A , )(, , CMBA nm (comutativitate)
2)(A+B)+C = A+(B+C) , )(,, , CMCBA nm (asociativitate)
3)A+ nmO , = nmO , +A = A , )(, CMA nm
4) )()(),( ,. CMACMA nmnm a.. A+(-A) = (-A)+A= nmO , , )(, CMA nm
5)(AB)C = A(BC) , )(),(),( ,,, CMCCMBCMA qppnnm (asociativitate)
6)a)A(B+C) = AB+AC , )(,),( ,, CMCBCMA pnnm (distributivitatea nmulirii fa de
adunare)
b)(B+C)A = BA+CA, )(),(, ,, CMACMCB pnnm
7) )(, CMAAAIAI nnn
8)a(bA) = (ab)A, )(,, , CMACba nm
9)(a+b)A=aA+bA, )(,, , CMACba nm
10)a(A+B)=aA+aB, )(,, , CMBACa nm
11)aA = 0, aO nm sau A= nmO ,
12) ABABAaaABABAAA tttttttttt )(,)(,)(,)(
Puterile unei matrice:Fie )(CMA n
Definim NnAAAAAAAAAAAIA nnn ,,,,,,123210
Relaia Hamilton-Cayley: 222 )()( OIbcadAdaA ,unde
dc
baA
Determinani.
bcaddc
ba (determinantul de ordinul doi)
Determinantul de ordinul trei(regula lui Sarrus)
fed
cba
ibdfhaceggbfdhcaei
ihg
fed
cba
-
10
Proprieti: 1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul matricei transpuse;
2. Dac toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricei este nul;
3. Dac ntr-o matrice schimbm dou linii(sau coloane) ntre ele obinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei iniiale. 4. Dac o matrice are dou linii (sau coloane) identice atunci determinantul su este nul; 5. Dac toate elementele unei linii(sau coloane) ale unei matrice sunt nmulite cu un element a, obinem o matrice al crei determinant este egal cu a nmulit cu determinantul matricei iniiale. 6. Dac elementele a dou linii(sau coloane) ale unei matrice sunt proporionale atunci determinantul matricei este nul;
7. Dac o linie (sau coloan) a unei matrice ptratice este o combinaie liniar de celelate linii(sau coloane) atunci determinantul matricei este nul.
8. Dac la o linie (sau coloan) a matricei A adunm elementele altei linii (sau coloane) nmulite cu acelai element se obine o matrice al crei determinant este egal cu determinantul matricei iniiale;
9)
ihg
pnm
cba
ihg
fed
cba
ihg
pfnemd
cba
10)det(A BAB detdet) , A,B )(CM n
Definiie:Fie )()( CMaA nij .Se numete minor asociat elementului njiaij ,1,
determinantul matricei obinute din A prin eliminarea liniei i i a coloanei j.Se noteaz
acest minor cu ijM .
Numrul ijji
ij MA )1( se numete complementul algebric al elementului ija .
Matrice inversabile
Inversa unei matrice :A )(CM n se numete inversabil dac exist o matrice notat
A )(1 CM n a.i. A nIAAA
11
Teorem:A 0det)( AinversabilCM n
A AAdet
11 ,A adjuncta matricei A. A se obine din At nlocuind fiecare element cu
complementul su algebric.
Dac A,B )(CM n sunt inversabile,atunci au loc relaiile: a)(A1 ) 1 = A
b)(AB) 111 AB
Rangul unei matrice
Fie A )(, CM nm , ),min(1, nmrNr
Definiie: Se numete minor de ordinul r al matricei A,determinantul format cu elementele matricei A situate la intersecia celor r linii i r coloane.
-
11
Definiie: Fie A O nm, o matrice . Numrul natural r este rangul matricei A exist un
minor de ordinul r al lui A,nenul, iar toi minorii de ordin mai mare dect r (dac exist)sunt nuli.
Teorem: Matricea A are rangul r exist un minor de ordin r al lui A, nenul , iar toi minorii de ordin r+1(dac exist)obtinui prin bordarea(adaugarea unei linii i a unei coloane)minorului de ordin r cu elementele corespunzatoare ale uneia dintre liniile i uneia dintre coloanele rmase sunt zero.
Sisteme de ecuaii liniare Forma general a unui sistem de m ecuaii cu n necunoscute:
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
a ij -coeficienii necunoscutelor, x nxx ,,, 21 - necunoscute, b mbb ,,, 21 -termenii liberi
A=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
.....
....................
......
......
21
22221
11211
-matricea sistemului, A =
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
.....
....................
......
......
21
222221
111211
-matricea extins
B=
mb
b
b
....
2
1
matricea coloan a termenilor liberi,X=
nx
x
x
...
2
1
.matricea necunoscutelor.
AX=B -forma matriceal a sistemului Definiie: - Un sistem se numete incompatibil dac nu are soluie; - Un sistem se numete compatibil dac are cel puin o soluie; - Un sistem se numete compatibil determinat dac are o singur soluie; - Un sistem se numete compatibil nedeterminat dac are mai mult de o soluie. Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer:
Un sistem de ecuaii liniare este de tip Cramer dac numrul de ecuaii este egal cu numrul de necunoscute i determinantul matricei sistemului este nenul.
Teorema lui Cramer: Dac det A notat 0 , atunci sistemul AX=B are o soluie
unic x i =
i ,unde i se obine nlocuind coloana i cu coloana termenilor liberi.
Teorema lui Kronecker- Capelli: Un sistem de ecuaii liniare este compatibil rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse.
Teorema lui Rouche: Un sistem de ecuaii liniare este compatibil toi minorii caracteristici sunt nuli.
-
12
Elemente de geometrie i trigonometrie Formule trigonometrice.Proprieti.
sin Rxxx ,1cos 22
-1 Rxx ,1sin -1 Rxx ,1cos
sin(x+2k xsin) , ZkRx , cos(x+2k kRxx ,,cos)
sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
sin(a-b)=sinacosb-sinbcosb cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
sin2x=2sinxcosx, cos2x=cos xx 22 sin
sin xx cos)2
(
cos xx sin)2
(
sina+sinb=2sin2
cos2
baba cosa+cosb=2cos
2cos
2
baba
sina-sinb=2sin2
cos2
baba cosa-cosb= -2sin
2sin
2
baba
tgx= 0cos,cos
sinx
x
x ctgx= 0sin,
sin
cosx
x
x
tg(x+k tgx) ctg(x+k ctgx)
tg ctgxx )2
(
ctg tgxx )2
(
tg(a+b)=tgatgb
tgbtga
1 tg(a-b)=
tgatgb
tgbtga
1
tg2x=xtg
tgx21
2
sinx =
21
22
2 xtg
xtg
cosx =
21
21
2
2
xtg
xtg
Valori principale ale funciilor trigonometrice
x 0
6
4
3
2
2
3
2
sinx 0
2
1
2
2
2
3
1 0 -1 0
cosx 1
2
3
2
2
2
1
0 -1 0 1
tgx 0
3
3
1 3 - 0 - 0
ctgx - 3 1
3
3
0 - 0 -
Semnele funciilor trig. sin:+,+,-,- tg.,ctg.:+,-+,-
cos:+,-,-,+
-
13
sin(-x)= -sinx (impar) cos(-x)=cosx(par) tg(-x)= -tgx ctg(-x)= -ctgx
Funcii trigonometrice inverse
arcsin:[-1,1] ]2
,2
[
arcsin(-x)= -arcsinx
arcsin(sinx)=x, ]2
,2
[
x sin(arcsinx)=x,x ]1,1[
arccos:[-1,1] ],0[ arccos(-x)= xarccos
arccos(cosx)=x, ],0[ x cos(arccosx)=x, ]1,1[x
arcsinx+arccosx= ]1,1[,2
x
arctg:R )2
,2
(
arctg(-x)= -arctgx
arctg(tgx)=x, )2
,2
(
x tg(arctgx)=x, Rx
arcctg:R ),0( arcctg(-x)= arcctgx
arcctg(ctgx)=x, ),0( x ctg(arcctgx)=x, Rx
arctgx+arcctgx= Rx,2
Ecuaii trigonometrice
sinx = a,a },arcsin)1{(]1,1[ kkax k
cosx = b,b },2arccos{]1,1[ kkbx
tgx = c,c },{ kkarctgcxR
ctgx = d,d },{ kkarcctgdxR
sinax = sinbx kkbxax k ,)1(
cosax = cosbx kkbxax ,2
tgax = tgbx kkbxax ,
ctgax = ctgbx kkbxax ,
Teorema sinusurilor:C
c
B
b
A
a
sinsinsin =2R,unde R este raza cercului circumscris
triunghiului.
Teorema cosinusului:a Abccb cos2222 Aria unui triunghi:
A2
hb A
2
),sin( ACABACAB A ))()(( cpbpapp ,p=
2
cba
A
1
1
1
,2
CC
BB
AA
ABC
yx
yx
yx
A2
21 cccdreptunghi
A
4
32llechilatera
-
14
Raza cercului circumscris unui triunghi:R=S
abc
4,unde S este aria triunghiului
Raza cercului nscris ntr-un triunghi:R=p
S,unde S este aria triunghiului iar
p=2
cba
Grupuri
Definiie:Fie MMM : lege de compozitie pe M.O submultime nevid H a lui M
,se numete parte stabil a lui M n raport cu legea dac HyxHyx , .
Proprietile legilor de compoziie
Fie MMM : lege de compoziie pe M.
Legea se numete asociativ dac (x Mzyxzyxzy ,,),()
Legea se numete comutativ dac x Myxxyy ,,
Legea admite element neutru dac exista e M a.i Mxxxeex ,.
Definiie:Cuplul (M, ) formeaz un monoid dac are proprietile:
1)(x Mzyxzyxzy ,,),()
2) exist e M a.i Mxxxeex ,.
Dac n plus x Myxxyy ,, atunci monoidul se numete comutativ.
Notaie:U(M)={x xM / este simetrizabil}
Definiie:Cuplul (G, ) formeaz un grup dac are proprietile:
1)(x Gzyxzyxzy ,,),()
2) exist e M a.i Gxxxeex ,.
3) GxGx ', a.i. x exxx ''
Dac n plus x Gyxxyy ,, atunci grupul se numete abelian sau comutativ.
Definiie:Un grup G se numete finit dac mulimea G este finit i grup infinit ,n caz contrar.
Se numete ordinul grupului G ,cardinalul mulimii G(numrul de elemente din G). Ordinul unui element
Definie:Fie (G, ) un grup i x G .Cel mai mic numr natural nenul n cu proprietatea
x en se numete ordinul elementului x n grupul G.(ordx = n)
Subgrup
Definiie:Fie (G, ) un grup.O submulime nevid H a lui G se numete subgrup al
grupului (G, ) dac ndeplinete condiiile:
1) HyxHyx , .
2) HxHx '
Grupul claselor de resturi modulo n, }1,,2,1{^^^
nZn
),( nZ grup abelian
),( nZ -monoid comutativ ,n care }1),.(..../{)(^
nkcdmmcZkZU nn
-
15
Morfisme i izomorfisme de grupuri
Definiie:Fie (G, ) i (G ),' dou grupuri.O funcie f:G 'G se numete morfism de
grupuri dac are loc conditia f( Gyxyfxfyx ,),()()
Dac n plus f este bijectiv atunci f se numete izomorfism de grupuri.
Prop. Fie (G, ) i (G ),' dou grupuri.Dac f:G 'G este morfism de grupuri atunci:
1)f(e)=e ' unde e,e ' sunt elementele neutre din cele dou grupuri.
2)f(x '' )]([) xf Gx
Inele i corpuri
Definiie:Un triplet (A, ), , unde A este o multime nevid iar ,, i ,, sunt dou legi de compozitie pe A,este inel dac: 1) (A, )este grup abelian 2) (A, )este monoid 3)Legea ,, este distributiv fata de legea ,, : x (y z)=(x y) (x z),(y Azyxxzxyxz ,,)()()
Inelul (A, ), , este fr divizori ai lui 0,dac (. eyxeyx e element
neutru de la legea ,, )
Un inel (A, ), , se numete comutativ dac satisface i axioma: x Ayxxyy ,,
Un inel (A, ), , comutativ,cu cel putin 2 elemente i fr divizori ai lui 0, se
numete,domeniu de integritate .
Definiie :Un inel (K, ), cu e e se numete corp dac KxexKx ',, a.i.
eeexxxx ,(''
fiind elementele neutre )
Un corp (K, ), , se numete comutativ dac satisface i axioma: x Kyxxyy ,,
Obs.:Corpurile nu au divizori ai lui zero.
Morfisme i izomorfisme de inele i corpuri.
Definiie :Fie (A, ),(),, ' A dou inele.O funcie f:A 'A se numete morfism de
inele dac :
1)f( Ayxyfxfyx ,),()()
1)f( Ayxyfxfyx ,),()()
3)f(e )= e (e , e fiind elementele neutre corespunztoare legilor , )
Dac n plus f este bijectiv atunci f se numete izomorfism de inele.
Definiie:Fiind date corpurile K, 'K ,orice morfism(izomorfism) de inele de la K la 'K ,se numete morfism(izomorfism)de corpuri.
Inele de polinoame
Forma algebric a unui polinom:f = 0,011
1
n
n
n
n
n aaxaxaxa , Aai un
inel comutativ.
Definiie:a A se numete rdcin a polinomului f dac f(a)=0.
Teorema mpririi cu rest:Fie K un corp comutativ,iar f i g,cu g polinoame,0 din
K[X].Atunci exist polinoamele q i r din K[X] ,unic determinate,astfel nct f=gq+r cu gradr
-
16
Consecin:a este radcin a lui f X-a divide f.
Definiie:Elementul a K este rdcin de ordinul p N pentru polinomul f ][XK
dac (X-a) p divide pe f iar (X-a) 1p nu divide pe f.
Teorem: Elementul a K este rdcin de ordinul p N pentru polinomul
f ][XK 0)(,,0)(,0)( )1(' afafaf p i 0)()( af p ,unde f este fucia
polinomial asociat polinomului f. Polinoame cu coeficieni reali
Teorem:Fie f ][XR ,f 0 .Dac z = a+ib,b 0 este o rdcin complex a lui f,atunci:
1) z = a-ib este de asemenea o rdcin complex a lui f
1)z i z au acelai ordin de multiplicitate.
Obs. : fzXzX /))((
Polinoame cu coeficieni raionali
Teorem :Fie f ][XQ , f 0 .Dac x 0 ba este o rdcin a lui f,unde
a,b QbbQ ,0, ,atunci
1) bax 0 este de asemenea o rdcin a lui f 2)x 0 , 0x au acelai ordin de
multiplicitate.
Obs. : fxXxX /))(( 00
Polinoame cu coeficieni ntregi
Teorem :fie f= 0,011
1
n
n
n
n
n aaxaxaxa ;f ][XZ
1)Dac x qpq
p,(0 numere prime ntre ele) este o rdcin raional a lui f,atunci
a)p divide termenul liber a 0
b)q divide pe a n
2)Dac x p0 este o rdcin ntreag a lui f,atunci p este un divizor al lui a 0 .
Polinoame ireductibile
Definiie:Fie K un corp comutativ,f un polinom din K[X] cu gradf>0 se numete reductibil peste K dac exist g,q din K[X] cu gradg
-
17
Dac f = ][,012
2
3
3 XCfaxaxaxa
3
0
321
3
1323121
3
2321
a
axxx
a
axxxxxx
a
axxx
f=a
4
0
4321
4
1432431421321
4
2433121
4
3
4321
01
2
2
3
3
4
4 ][,
a
axxxx
a
axxxxxxxxxxxx
a
axxxxxx
a
axxxx
XCfaxaxaxax
Ecuaii reciproce
Definiie:O ecuaie de forma 0,011
1
n
n
n
n
n aaxaxaxa pentru care
niaa iin 0, se numete ecuaie reciproc de gradul n.
Orice ecuaie reciproc de grad impar are rdcina -1.
Ecuaia reciproc de gradul IV are forma:a 0,234 aabxcxbxx
Se mparte prin 2x i devine a 0)1
()1
(2
2 cx
xbx
x ;notez x tx
1i obinem o
ecuaie de gradul II. iruri de numere reale
ir monoton (cresctor sau descresctor)
Fie Nnna )( un ir de numere reale.
irul )( na este cresctor dac: Nnaa nn ,1 .
irul )( na este strict cresctor dac: Nnaa nn ,1 .
irul )( na este descresctor dac: Nnaa nn ,1 .
irul )( na este strict descresctor dac: Nnaa nn ,1 .
ir mrginit
Fie Nnna )( un ir de numere reale.
irul )( na este mrginit dac: Nnan ,.i.aR,
Definiie Un ir care are limita finit se numete convergent. Un ir care nu are limit sau care are limita infinit se numete divergent Teorem :Orice ir convergent este mrginit. Consecin :Dac un ir este nemrginit atunci el este divergent.
-
18
Teorem Dac un ir are limit, atunci orice subir al su are aceeai limit. Consecint: dac un ir conine dou subiruri cu limite diferite, atunci irul nu are limit. Teorema lui Weierstrass Orice ir monoton i mrginit este convergent. Teorema cletelui
Dac knyax nnn , si lyx nn
nn
limlim atunci lann
lim .
Criteriul raportului
Fie Nnna )( un ir cu termeni strict pozitivi. Dac )1,0[lim1
l
a
a
n
n
n atunci 0lim
n
na .
Daca ),1(lim 1
la
a
n
n
n sau l atunci
n
nalim .
Lema lui Stolz-Cezaro Fie Nnna )( i Nnnb )( dou iruri de numere reale.
Dac lbb
aa
nn
nn
n
1
1lim (finit sau infinit) i Nnnb )( este strict monoton i nemrginit ,
atunci lb
a
n
n
n
lim
Criteriul radicalului
Fie Nnna )( un ir cu termeni strict pozitivi.Dac la
a
n
n
n
1lim atunci lan nn
lim .
iruri remarcabile
]1,( ,
),1( ,
1 ,1
)1,1( dac ,0
lim
qdacexistnu
qdac
qdac
q
q nn
0,0
0,lim
nn
0lim
nk
nan ,unde N),1,1( ka
en
n
n
11lim ; ...7178,2e este constanta lui Euler
generalizare: ex
nx
nn
11lim dac nx ; ey nyn
n
1
1lim dac 0ny
1sin
lim
n
n
n x
xdac 0nx , 1
tglim
n
n
n x
xdac 0nx ,
1arcsin
lim
n
n
n x
xdac 0nx , 1
tglim
n
n
n x
xarcdac 0nx ,
-
19
Limite de functii
Teorem:O funcie are limit ntr-un punct finit de acumulare dac i numai dac are limite laterale egale n acel punct.
f are limit n x )()( 000 xlxl ds )0()0( 00 xfxf )(lim)(lim
0
0
0
0
xfxf
xxxx
xxxx
Obs.:Funcia f :D R nu are limit n punctul de acumulare x 0 n una din situaiile :
a)exist un ir x }{ 0xDn cu limita x 0 astfel nct irul ))(( nxf nu are limit
b)exist irurile },{,),(),( 0xDyxyx nnnn astfel nct irurile ))(()),(( nn yfxf au
limite diferite.
Teorem:Fie f :D R ,o funcie elementar i x D0 un punct de acumulare al lui
D )()(lim 00
xfxfxx
Teorem(Criteriul majorrii,cazul limitelor finite)
Fie f,g:D R i x 0 un punct de acumulare al lui D.Dac 0)(lim0
xgxx
i exist Rl
a.. ,,),()( 0xxVDxxglxf V vecintate a lui x 0 i dac
lxfxgxxxx
)(lim0)(lim00
Teorem(Criteriul majorrii,cazul limitelor infinite)
Fie f,g:D R , x 0 un punct de acumulare al lui D i 0,),()( xxVDxxgxf ,V
vecintate a lui x 0 .
a)Dac
)(lim)(lim00
xgxfxxxx
b)Dac
)(lim)(lim00
xfxgxxxx
Teorem(Criteriul cletelui)
Fie f,g,h:D R , x 0 un punct de acumulare al lui D i
0,),()()( xxVDxxhxgxf , V vecintate a lui x 0 .
Dac lxglxhxfxxxxxx
)(lim)(lim)(lim000
Limite uzuale.Limite remarcabile. n
nx
n
n
n
nx
xaaxaxaxa
lim)(lim 011
1
mkb
a
km
mkb
a
bxbxbxb
axaxaxa
mk
m
k
m
k
m
m
m
m
k
k
k
k
x
,)(
,0
,
lim01
1
1
01
1
1
01
lim xx
01
lim xx
x
xx
1lim
00
x
xx
1lim
00
xxlim
3lim xx
3lim xx
-
20
10daca0
1dacalim
, a ,
a , ax
x
10daca
1daca0lim
, a ,
a , ax
x
10daca
1dacaloglim
, a , -
a , x a
x
10daca
1dacaloglim
00 , a ,
a , x a
xx
2arctglim
x
x
2arctglim
x
x 0lim
arcctgx
x
arcctgx
xlim
ex
x
x
11lim e
x
x
x
11lim ex x
x
1
01lim
1sin
lim0
x
x
x 1lim
0
x
tgx
x 1
arcsinlim
0
x
x
x 1
arctglim
0
x
x
x
1
1lnlim
0
x
x
x 1,0ln
1lim
0
a a , a
x
a x
x
1)(
)(sinlim
0
xu
x u
x 1
)(
)(tglim
0
xu
x u
x 1
)(
)(arcsinlim
0
xu
x u
x 1
)(
)(arctglim
0
xu
x u
x
1
)(
)(1lnlim
0
xu
xu
x 1,0ln
)(
1lim
)(
0
a a , a
xu
a xu
xunde 0)(lim
0
xuxx
Operaii fr sens: 00 ,0,1,0,,0
0,
Funcii continue
Definiie Fie RDf : i D0 x punct de acumulare pentru D
f este continu n D0 x dac )()(lim 00
xfxfxx
Dac f nu este continu n D0 x ,ea se numete discontinu n 0x ,iar 0x se numete
punct de discontinuitate.
Definiii:Un punct de discontinuitate D0 x este punct de discontinuitate de prima spe
pentru f ,dac limitele laterale ale funciei f n punctul 0x exist i sunt finite.
Un punct de discontinuitate D0 x este punct de discontinuitate de spea a doua dac nu
este de prima spe.(cel puin una din limitele laterale ale funciei f n punctul 0x nu este
finit sau nu exist)
Teorem: Fie RDf : i D0 x punct de acumulare pentru D f continu n 0x
)()( 00 xlxl ds = f( )0x
Teorem:Funciile elementare sunt continue pe domeniile maxime de definiie. Operaii cu funcii continue
Teorem:Fie f,g:D R continue pe D
f+g, ),min(),,max(,),0(, gfgffgg
fgf sunt funcii continue pe D.
Compunerea a dou funcii continue este o funcie continu. Teorem: Fie f:[a,b]R o funcie continu a.. f(a)f(b)
-
21
Asimptote
1.Asimptote verticale
Definiie:Fie f :E RaR , punct de acumulare pentru E.Se spune c dreapta x = a este
asimptot vertical la stanga pentru f,dac
)(lim xf
axax
sau
)(lim xf
axax
.
Definiie:Fie f :E RaR , punct de acumulare pentru E.Se spune c dreapta x = a este
asimptot vertical la dreapta pentru f,dac
)(lim xf
axax
sau
)(lim xf
axax
.
Definiie : Fie f :E RaR , punct de acumulare pentru E.Se spune c dreapta x = a
este asimptot vertical pentru f dac ea este asimptot vertical att la stnga ct i la dreapta sau numai lateral.
2.Asimptote oblice
Teorema : Fie f :E ,R unde E conine un interval de forma(a, )
Dreapta y=mx+n,m 0 este asimptot oblic spre + la graficul lui f dac i numai dac
m,n sunt numere reale finite,unde m= ])([lim,)(
lim mxxfnx
xf
xx
.Analog la - .
3.Asimptote orizontale
Dac llxfx
,)(lim
numr finit atunci y = l este asimptot orizontal spre + la graficul
lui f.
Analog la - Obs :O funcie nu poate admite att asimptot orizontala ct i oblic spre + (- )
Funcii derivabile
Definiie:Fie f:D R ,x D0 punct de acumulare pentru D
Derivata ntr-un punct:f )( 0' x =
0
0 )()(lim0 xx
xfxf
xx
.
f este derivabil n x 0 dac limita precedent exist i este finit.
Dac f este derivabil n 0x , graficul funciei are n punctul ))(,( 000 xfxM tangent a
crei pant este )( 0' xf .Ecuaia tangentei este: ))(()( 00
'
0 xxxfxfy .
Teorem:Fie f:DR , x 0 D punct de acumulare pentru D f este derivabil n
punctul de acumulare 0x (finite)R)()( 0'
0
' xfxf ds 0
0 )()(lim
0
0 xx
xfxf
xxxx
= .
Rxx
xfxf
xxxx
0
0 )()(lim
0
0
.
Teorem . Orice funcie derivabil ntr-un punct este continu n acel punct. Puncte de ntoarcere.Puncte unghiulare.
Definiii:Fie f:DR , x 0 D punct de acumulare pentru D.Punctul x 0 se numete punct
de ntoarcere al funciei f, dac f este continu n x 0 i are derivate laterale infinite i
diferite n acest punct. Punctul x 0 se numete punct unghiular al funciei f dac f este
continu n x 0 ,are derivate laterale diferite n x 0 i cel puin o derivat lateral este finit.
-
22
Derivatele funciilor elementare
Functia Derivata
c 0
x 1 *
Nnxn , 1nnx
Rrxr , 1rrx
x
x2
1
n x n nxn 1
1
xln
x
1
xe xe
)1,0( aaa x aa x ln
xsin xcos
xcos xsin xtg
x2cos
1
xctg
x2sin
1
xarcsin
21
1
x
xarccos
21
1
x
xarctg 21
1
x
xarcctg 21
1
x
Operaii cu funcii derivabile
Teorem:Fie f,g:D R derivabile pe D f+g ,fg,g
f(g 0 )sunt funcii derivabile pe D.
Compunerea a dou funcii derivabile este o funcie derivabil. Reguli de derivare
''')( gfgf ; ''')( gfgfgf ; '')( ff ;2
'''
g
gfgf
g
f
''' )()( uufuf
-
23
Proprietile funciilor derivabile
Definiie:Fie f:DR.Un punct x 0 D se numete punct de maxim local(respectiv de
minim local)al lui f dac exist o vecintate U a punctului x 0 astfel nct
f(x) f(x 0 )(respectiv f(x) f(x 0 ) ) pentru orice x UD .
Dac f(x) f(x 0 )(respectiv f(x) f(x 0 ) ) pentru orice x D atunci x 0 se numete punct
de maxim absolut(respectiv minim absolut)
Teorem . ( Fermat) Fie I un interval deschis i x 0 I un punct de extrem al unei funcii
: IR. Dac este derivabil n punctul x 0 atunci (x 0 )=0.
Definiie:O funcie : [a, b] R (a< b) se numete funcie Rolle dac este continu pe intervalul compact [a, b] i derivabil pe intervalul deschis (a, b). Teorema lui Rolle
Fie : [a, b] R, a< b o funcie Rolle astfel nct (a)= (b), atunci exist cel puin un punct c (a, b) astfel nct (c)=0. Teorema(teorema lui J. Lagrange). Fie o funcie Rolle pe un interval compact [a, b]. Atunci c (a, b) astfel nct (b)- (a)= (b- a)(c) Consecine: 1.Dac o funcie derivabil are derivata nul pe un interval atunci ea este constant pe acel interval.
2.Dac dou funcii derivabile au derivatele egale pe un interval atunci ele difer printr-o constant pe acel interval. Rolul primei derivate
3. Fie f o funcie derivabil pe un interval I.
Dac I),0)((0)( '' xxfxf , atunci f este strict cresctoare( cresctoare) pe I.
Dac I),0)((0)( '' xxfxf , atunci f este strict descresctoare(descresctoare) pe I.
4.Fie f:D R ,D interval i x 0 D .Dac
1)f este continu n 0x
2)f este derivabil pe D- }{ 0x
3)exist Rlxfxx
)(lim '
0
atunci f are derivat n 0x i f lx )( 0' .Dac Rl atunci f este derivabil n 0x .
Observaie: Cu ajutorul primei derivate se stabilesc intervalele de monotonie ale unei funcii derivabile i se determin punctele de extrem local. Rolul derivatei a doua Teorem: Fie f o funcie de dou ori derivabil pe I.
Dac I,0)(" xxf , atunci f este convex pe I.
Dac I,0)(" xxf , atunci f este concav pe I.
Definiie: Fie f o funcie continu pe I si I0x punct interior intervalului. Spunem c 0x
este punct de inflexiune al graficului funciei dac f este convex pe o vecintate stnga a
lui 0x i concav pe o vecintate dreapta a lui 0x sau invers.
Observaie:Cu ajutorul derivatei a doua se stabilesc intervalele de convexitate i concavitate i se determin punctele de inflexiune.
-
24
Noiunea de primitiv
Definiie: Fie I R interval, f : I R. Se numete primitiv a funciei f pe I, orice funcie F : I R derivabil pe I cu proprietatea F '(x) = f (x), x I.
Teorem.Orice funcie continu f : I R posed primitive pe I.
Teorem:Fie f : I R,I interval ,o funcie care admite primitive pe I.Atunci f are proprietatea lui Darboux.
Consecine:
1.Dac g : I R nu are proprietatea lui Darboux pe intervalul I,atunci g nu admite primitive pe I.
2.Fie g : I R.Dac g(I)= }/)({ Ixxg nu este interval atunci g nu admite primitive pe I.
3.Dac g : I R are discontinuiti de prima spe atunci g nu admite primitive pe I. Tabel de integrale nedefinite
Cn
xdxx
nn
1
1
,n N ,x R
Ca
xx
aa
1
1
,a 1, aR ,x ),0(
),0(,ln1
xCxdxx sau x )0,(
RxaaCa
adxa
xx ,1,0,ln
),(,0,ln2
1122
axaCax
ax
aax
sau x ),( aa sau x ),( a
RxaCa
xarctg
adx
ax
,0,
1122
),(,0,arcsin1
22aaxaC
a
xdx
xa
RxaCaxxdxax
,0,)ln(1 22
22
),(,0,ln1 22
22axaCaxxdx
ax
sau x ),( a
RxCxxdx ,cossin
RxCxxdx ,sincos
0cos,cos
12
xCtgxdxx
0sin,sin
12
xCctgxdxx
-
25
Integrala definit
Teorem.Funciile continue pe un interval ba, sunt integrabile pe ba, . Teorem.Funciile monotone pe un interval ba, sunt integrabile pe ba, . Proprietile funciilor integrabile. a)(Proprietatea de linearitate)
Dac f,g Rba ].[: sunt integrabile i R
1) b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
2) b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
b)Dac baxxf , ,0)( i este integrabil pe ba, , atunci 0d)( b
axxf .
c)Dac )()( xgxf pentru orice bax , i dac f i g sunt integrabile pe ba, ,
atunci b
a
b
axxgxxf d)(d)(
d)(Proprietatea de aditivitate n raport cu intervalul)
Funcia f : [a, b] R este integrabil pe [a, b] dac i numai dac, c (a, b) funciile
1 2[ , ] i [ , ] f f a c f f c b sunt integrabile i are loc formula:
.d)(d)(d)( b
a
b
c
c
axxfxxfxxf
e)Dac funcia f este integrabil pe ba, , atunci i f este integrabil pe ba, i
b
a
b
axxfxxf d)(d)( .
Teorem (Formula Leibniz - Newton)
Dac f : [a, b] R este o funcie integrabil i f admite primitive pe [a, b] atunci pentru orice primitiv F a lui f pe [a, b] are loc formula Leibniz-Newton:
( ) ( ) ( ) ( )b b
aaf x dx F x F b F a .
Teorema de medie Dac f : [a, b] R este o funcie continu, atunci exist c[a, b] a.i.
)()(d)( cfabxxfb
a .
Teorema de existen a primitivelor unei funcii continue
Dac g : [a, b] R este o funcie continu,atunci funcia G: [a, b]R,
x
a
baxdttgxG ],[,)()( are proprietile:
1)G este continu pe [a, b] i G(a) = 0
2)G este derivabil pe [a, b] i ],[),()(' baxxgxG
Reinem: )()(
'
xgdttg
x
a
-
26
Teorem (Formula de integrare prin pri)
Fie f , g : [a, b] R cu f , g derivabile cu derivatele continue, atunci are loc formula de
integrare prin pri: ' 'b bb
aa afg dx fg f gdx .
Teorem:Fie f:[-a,a] R, 0a o funcie continu.Atunci
1)
a
a
a
dxxfdxxf0
,)(2)( dac f este funcie par.
2)
a
a
dxxf 0)( ,dac f este funcie impar.
Teorem:Fie f:R R o funcie continu de perioad
T
Ta
a
T
Radxxfdxxf0
,)()(0
Aria unui domeniu din plan
1. Aria mulimii din plan D R2 mrginit de dreptele x = a, x = b, y = 0 i graficul
funciei f : [a, b] R pozitiv i continu se calculeaz prin formula: ( )Ab
aD f x dx .
2. n cazul f : [a, b] R continu i de semn oarecare, avem: | ( ) |Ab
aD f x dx .
3. Aria mulimii din plan mrginit de dreptele x = a, x = b i graficele funciilor
f , g : [a, b] R continue este calculat prin formula: | ( ) ( ) |Ab
aD g x f x dx .
Volumul unui corp de rotaie Fie f : [a, b] R o funcie continu, atunci corpul C f din
spaiu obinut prin rotirea graficului lui f , Gf, n jurul axei Ox, are volumul calculat prin
formula: .V(C f )= b
a
dxxf )(2