ACP: analisi in componenti

principali

Giovanni Di Franco

ACP 1

• Spesso, nella vita di tutti i giorni, ci capita di dover

sintetizzare delle informazioni; senza saperlo operiamo con

una logica analoga a quella dell’analisi in componenti

principali. Ad esempio, quando presentiamo le

caratteristiche di una persona possiamo effettuarne una

descrizione minuziosa (la sua professione, il suo reddito, i

suoi consumi, le sue attività nel tempo libero, etc.), oppure

possiamo estrapolare da tutte queste caratteristiche quella o

quelle dimensioni che le riassumono al meglio. In altri

termini, anziché dire della persona X che guadagna cinque

milioni al mese, che vive in una villa in un quartiere

residenziale, che possiede due automobili di grande

cilindrata, che trascorre i fine settimana nella sua casa di

campagna, etc., possiamo dire che X è un benestante.

ACP 2

• Il concetto di benestante equivale a una componente principale

che riassume l’insieme delle caratteristiche di X, cercando di

rendere minima la perdita di informazioni. Obiettivo dell’acp è

esattamente questo: ridurre un insieme di informazioni alle sue

componenti principali minimizzando la perdita di informazioni

(inevitabile in ogni operazione di sintesi).

• L’acp trasforma matematicamente un insieme di variabili

cardinali e/o quasi-cardinali tra loro correlate in un numero

minore di nuovi costrutti (detti componenti principali)

indipendenti (cioè ortogonali fra loro nello spazio). Si tratta,

quindi, sostanzialmente di una operazione che bilancia

l’obiettivo della sintesi con quello di minimizzare la perdita di

informazione. Nella fig. 6.1 abbiamo visualizzato graficamente

lo scopo dell’acp.

Figura 6.1 – L’analisi in componenti principali scompone e

riproduce le varianze e le covarianze presenti fra un insieme

di variabili standardizzate

Le variabili sono fra loro

correlate e hanno tutte

varianza unitariaLe componenti

principali sono fra

loro indipendenti e

riproducono

quote via via

decrescenti di varianza

X1

X2

X3

X4

X5

I Comp. II Com. III IV V

ACP 3

• Nella fig. 6.1 abbiamo rappresentato cinque variabili

standardizzate fra loro correlate con cinque circonferenze

di uguale superficie. Essendo le variabili standardizzate, la

varianza totale è pari al numero delle variabili (dato che

ogni variabile presenta varianza uguale a 1); le covarianze

sono date dalla matrice dei coefficienti di correlazione

bivariata fra le stesse.

• Il coefficiente di correlazione bivariata può essere infatti

interpretato come il prodotto delle varianze (e quindi la

covarianza) fra due variabili standardizzate. In modo

analogo, possiamo considerare una matrice di correlazioni

bivariate come una matrice di varianze e covarianze fra

variabili standardizzate.

ACP 4

• Se tra le variabili esiste una sufficiente

quota di varianza in comune, basteranno

poche componenti principali per ottenere

una buona approssimazione della matrice di

partenza, con il vantaggio di una lettura

semplificata. Quindi, il punto di partenza

dell’acp consiste nella costruzione di una

matrice delle correlazioni. Si calcola la

matrice delle correlazioni tra tutte le coppie

di variabili e da questa si estraggono le

componenti principali.

ACP 5

• L'entità delle correlazioni tra le variabili rilevate è un

prerequisito indispensabile affinché l’acp fornisca risultati

soddisfacenti. Infatti, ragionando per casi limite, se fra tutte le

variabili considerate ci fossero correlazioni molto modeste

(tendenti a zero) avremmo che ogni variabile varia in modo

indipendente da qualsiasi altra, e quindi non sarebbe possibile

operare alcuna sintesi. Nel caso opposto, ovvero se tra le

variabili riscontrassimo correlazioni altissime (tendenti a più o

meno uno) avremmo raccolto delle variabili molto ridondanti, e

anche in questo caso lutilizzo dell’acp non sarebbe conveniente.

L’acp diviene efficace solo quando tra le variabili esiste

un’apprezzabile quota di varianza in comune (espressa da

coefficienti di correlazione non tutti molto bassi o molto alti);

allora saranno sufficienti poche componenti principali per

ottenere una buona approssimazione alla matrice di partenza.

ACP 6

• L’acp riproduce la varianza complessiva combinando

linearmente tutta la varianza e la covarianza delle variabili

in cinque costrutti fra loro indipendenti e con un livello di

varianza riprodotta via via decrescente (vedi le

circonferenze che rappresentano le componenti principali

disposte in ordine decrescente di area in fig. 6.1). La prima

componente è quella che riproduce la massima quota di

varianza; la seconda riproduce meno varianza della prima,

ma più varianza delle successive, e così via fino ad

estrarre tante componenti principali quante sono le

variabili trattate nell’analisi. Le linee che legano ogni

variabile con ciascuna componente rappresentano il

concetto di combinazione lineare.

ACP 7

• Una combinazione lineare (o riduzione lineare) è il risultato

di un’operazione di somma ponderata che combina diverse

variabili in un unico costrutto. Ad esempio, (p11)*peso +

(p12)*altezza = massa; dove p11 e p12 sono i coefficienti di

ponderazione. Il diverso spessore dei legami fra le variabili

e le componenti principali nella fig. 6.1 rappresenta i

diversi pesi delle variabili relativi alle prime tre componenti

principali. Com’è facilmente intuibile, operando questa

riduzione, si riduce di una dimensione lo spazio (nel nostro

esempio, esprimendo la massa come combinazione lineare

di altezza e peso, abbiamo ridotto un piano a due

dimensioni, l’altezza e il peso appunto, in una retta, ossia in

una sola dimensione che rappresenta la massa).

ACP 8

• Analogamente, con tre dimensioni riduciamo un cubo in

un piano, e così via. Ovviamente, la riduzione di

dimensioni, oltre al vantaggio della sintesi, comporta

sempre dei costi. Facciamo un altro esempio: perché

diciamo che alcune persone sono fotogeniche e altre no?

Intanto, che cosa rappresenta una foto? Una foto riproduce

su due dimensioni una realtà tridimensionale: quindi

schiaccia tre dimensioni su due. Quando un volto è ben

riprodotto su una foto diciamo che la persona è

fotogenica; al contrario diciamo che la persona non è

fotogenica. In ogni caso una foto distorce sempre più o

meno (a seconda della prospettiva, della luce, etc.) quello

che rappresenta.

ACP 9

• Il vantaggio dell’acp consiste nella capacità di condensare

nelle prime componenti la maggior parte delle varianze e

covarianze presenti nell’insieme iniziale delle variabili.

Così, considerando solo le prime componenti principali (nel

nostro esempio le prime due) otteniamo la migliore sintesi

possibile per le cinque variabili iniziali.

• Generalizzando, partendo da una matrice dei dati con n casi

e p variabili cardinali e/o quasi-cardinali (vedi tab. 6.1), le

variabili, dopo essere state sottoposte ad acp, possono

essere sostituite nella matrice dalle prime k componenti

principali (con k molto più piccolo di p), rendendo minima

la perdita di informazione. Nella tab. 6.2, ad esempio, le

prime due componenti principali sostituiscono le p variabili

iniziali.

Tabella 6.1 – Una generica matrice dei dati con n casi e p variabili cardinali e/oquasi-cardinali

v1 v2 … vj … vp

caso 1 c1v1 c1v2 … c1vj … c1vp

caso 2 c2v1 c2v2 … c2vj … c2vp

… … … … … … …caso i civ1 civ2 … civj … civp

… … … … … … …

caso n cnv1 cnv2 … cnvj … cnvp

Tabella 6.2 – Le prime due componenti principali sintetizzano e sostituiscononella matrice dei dati le p variabili cardinali e/o quasi-cardinali

cp1 cp2

caso 1 c1cp1 c1cp2

caso 2 c2cp1 c2cp2

… … …

caso i cicp1 cicp2

… … …

caso n cncp1 cncp2

ACP 10

• Generalizzando, partendo da una matrice

dei dati con n casi e p variabili cardinali e/o

quasi-cardinali (vedi tab. 6.1), le variabili,

dopo essere state sottoposte ad acp, possono

essere sostituite nella matrice dalle prime k

componenti principali (con k molto più

piccolo di p), rendendo minima la perdita di

informazione. Nella tab. 6.2, ad esempio, le

prime due componenti principali

sostituiscono le p variabili iniziali.

ACP 11

• Ricapitolando, le componenti principali presentano le seguenti

caratteristiche:

1) ogni componente è una combinazione lineare di tutte le

variabili originarie;

2) le componenti sono per necessità matematica indipendenti fra

loro (ortogonali);

3) esse riproducono, in ordine gerarchico decrescente, il massimo

della varianza riproducibile in quel turno;

4) se si calcolassero tutte le componenti principali si

riprodurrebbe l’originaria matrice delle correlazioni;

5) è possibile assegnare ad ogni caso della matrice dei dati uno

stato su ogni componente principale che si decide di

interpretare.

Nella fig. 6.2 abbiamo visualizzato come l’acp

scomponga e riproduca le varianze e covarianze a

partire da una matrice delle correlazioni.

Matrice di correlazione Autovalori Autovettori

r11 r21 r31 r41 r51 λλλλ1 c11 c21 c31 c41 c51

r12 r22 r32 r42 r52 λλλλ2 c12 c22 c32 c42 c52

r13 r23 r33 r43 r53 = λλλλ3 * c13 c23 c33 c43 c53

r14 r24 r34 r44 r54 λλλλ4 c14 c24 c34 c44 c54

r15 r25 r35 r45 r55 λλλλ5 c15 c25 c35 c45 c55

ACP 12

• Illustriamo il procedimento visualizzato in fig. 6.2 con

un esempio numerico. Dalla matrice dei dati relativi

alle province italiane prendiamo e sottoponiamo ad

acp le seguenti cinque variabili:

• x1 = risparmi pro-capite (sigla ‘risp’);

• x2 = percentuale di case non occupate sul totale delle abitazioni (‘abno’);

• x3 = percentuale dei telefoni ad uso ufficio sul totale degli abbonamenti telefonici (‘teuf’);

• x4 = percentuale di valore aggiunto nell’industria sul totale del valore aggiunto (‘indu’);

• x5 = percentuale di valore aggiunto nel terziario sul totale del valore aggiunto (‘terz’).

Nella fig. 6.3 si presenta il procedimento di scomposizione

della matrice delle correlazioni compiuto dall’acp.

Matrice di correlazione Autovalori Autovettori

1 -.34 .53 .54 .29 2.98 0 0 0 0 .69 .25 .65 -.18 -.06

-.34 1 -.61 -.42 .30 0 .92 0 0 0 -.68 -.49 .46 .30 -.00

.53 -.61 1 .59 -.40 = 0 0 .67 0 0 * .81 .35 -.06 .46 -.04

.54 -.42 .59 1 .86 0 0 0 .34 0 .90 -.37 .03 -.01 .23

.29 .30 -.40 -.86 1 0 0 0 0 .09 -.76 .60 .15 .05 .18

ACP 13

• La matrice delle correlazioni equivale a una

matrice di varianze e covarianze tra

variabili standardizzate. Essendo

standardizzate, le variabili hanno tutte

varianza unitaria, per cui la varianza totale è

uguale al numero delle variabili della

matrice: nel nostro esempio è pari a 5 (vedi

la diagonale principale della matrice delle

correlazioni in fig. 6.3).

ACP 14

• Ogni componente principale è espressa da un

autovalore (anche detto radice latente), che si

indica con la lettera greca lambda λ (vedi la matrice diagonale degli autovalori in fig. 6.3),

un numero (detto scalare in algebra delle

matrici) che deriva dalla soluzione di un

sistema di equazioni. L’autovalore è una

combinazione lineare di tutte le variabili

immesse nella matrice delle correlazioni. Più

avanti chiariremo più dettagliatamente questo

punto.

ACP 15

• Sommando i cinque autovalori (uno per ogni

vettore-colonna) estraibili dalla matrice delle

correlazioni otteniamo esattamente

l’ammontare della varianza totale della matrice

delle correlazioni originaria. Nell’esempio di

fig. 6.3: 2,98 + 0,92 + 0,67 + 0,34 + 0,09 = 5.

• Da quanto detto segue che se si rapporta ogni

autovalore al totale della varianza e si

moltiplica il risultato per cento otteniamo la

percentuale di varianza riprodotta da ogni

componente principale:

ACP 16• λ1 = 2,98/5*100 = 59,6% � (% di varianza

riprodotta dalla prima componente);

• λ2 = 0,92/5*100 = 18,5% � (% di varianza riprodotta dalla seconda componente);

• λ3 = 0,67/5*100 = 13,4% � (% di varianza riprodotta dalla terza componente);

• λ4 = 0,34/5*100 = 6,8% � (% di varianza riprodotta dalla quarta componente);

• λ5 = 0,09/5*100 = 1,7% � (% di varianza riprodotta dalla quinta componente);

ACP 17

• Come si può notare, l’entità di queste percentuali

si riduce rapidamente, e gli ultimi due o tre

autovalori possono essere trascurati senza grave

perdita di informazione.

• Nel nostro esempio siamo partiti da una matrice di

correlazioni tra cinque variabili, e abbiamo

prodotto cinque componenti principali. Ognuna è

una combinazione lineare delle cinque variabili

originarie: quindi ciascuna componente principale

fornisce una rappresentazione sintetica

dell’associazione presente fra le variabili

originarie.

ACP 18

• Come detto, le componenti riproducono in ordine

decrescente la massima quota di varianza totale non

riprodotta dalle componenti già estratte e sono fra

loro indipendenti. La ragione di questo è molto

semplice. La prima componente viene estratta dalla

matrice delle correlazioni originale (quella riportata

sopra nell’esempio di fig. 6.3); la seconda dalla

matrice delle correlazioni che si ottiene depurando la

quota di varianze e covarianze riprodotta dalla prima

componente principale (primi residui); la terza dalla

matrice delle correlazioni tra i secondi residui, e così

via fino all’ultima componente estraibile.

ACP 19

• Questo procedimento causa l’ortogonalità delle

componenti principali e la loro capacità di riprodurre in

ordine gerarchico decrescente la massima quota di

varianza desumibile dalla matrice delle correlazioni

originarie e via via da quelle da esse derivate.

• Dal punto precedente si evince la funzione sintetica delle

componenti principali: la prima componente è in grado di

riprodurre da sola quasi il 60% della varianza della

matrice originaria; le prime due componenti principali

riproducono il 78%, etc. Date queste caratteristiche, di

solito si usano solo le prime componenti per sintetizzare al

meglio le associazioni tra le variabili originarie. Ecco

perché all’inizio si è parlato di sintesi.

ACP 20

• Ad ogni autovalore è associato un autovettore nel

quale sono riportati i pesi componenziali (component

loadings in inglese; vedi le colonne sotto l’intestazione

‘autovettori’ in fig. 6.3). che esprimono la saturazione

(il peso) di ogni variabile rispetto ad ogni componente

principale. Questi coefficienti sono del tutto

equivalenti ai coefficienti bivariati di correlazione

lineare ed esprimono l’associazione tra ciascuna

variabile e ciascuna componente. Inoltre, questi

coefficienti esprimono i pesi ‘lordi’ di ponderazione di

ogni variabile su ciascuna componente (vedi il

concetto di combinazione lineare).

ACP 21

• I pesi componenziali fra le variabili e le componenti

principali sono di estrema importanza in quanto

permettono di discriminare quali variabili contribuiscono

di più alla formazione delle singole componenti; ciò

permette di interpretare semanticamente le componenti,

come vedremo nel prossimo esempio.

• Dal punto di vista geometrico ogni componente principale

serve a rappresentare una dimensione lungo la quale sono

allineate le variabili originarie: i pesi componenziali sono

le coordinate delle variabili sulle componenti principali).

Se vogliamo rappresentare le cinque variabili del nostro

esempio sul piano costituito dalle prime due componenti

principali useremo i loro pesi sulle stesse (vedi fig. 6.4).

Figura 6.4 – La rappresentazione geometrica dei pesi componenziali di cinque variabili sulle prime due

componenti principali

com ponente 1

1,0,50,0-,5-1,0

com

po

ne

nte

2

1,0

,5

0,0

-,5

-1,0

terz

indu

teuf

abno

risp

ACP 22

• Il calcolatore fornisce gli autovalori, gli autovettori, i

diagrammi, etc., restituendo in pochi secondi i risultati

di complicati calcoli che, fatti a mano, richiederebbero

molti giorni di lavoro di un esperto.

• Ogni asse rappresenta una componente. Di solito

sull’asse delle ascisse si dispone la componente

estratta prima e sull’asse delle ordinate quella estratta

dopo (nella fig. 6.4 la prima componente è sulle

ascisse e la seconda sulle ordinate). I due assi sono

graduati lungo scale che variano da −1 a +1 (è questo

infatti il campo di variazione dei pesi componenziali,

come dei coefficienti di correlazione).

ACP 23

• L’asse di ogni componente principale è

divisibile in un semiasse positivo (con

coordinate che variano da 0 a +1) e un semiasse

negativo (con coordinate che variano da 0 a

−1). Il punto di intersezione degli assi del piano cartesiano (con coordinate 0,0) si chiama

baricentro. Il diagramma cartesiano è quindi

scomponibile in quattro quadranti che si

numerano in senso antiorario a partire dal

primo, che è quello delimitato dai semiassi

positivi delle due componenti (in alto a destra).

ACP 24

• Normalmente, i diagrammi a dispersione riescono ad

evidenziare le variabili che più saturano le componenti in

modo migliore rispetto alla mera ispezione della matrice

dei pesi componenziali (vedi oltre). Infatti, visto che la

posizione di una variabile nel diagramma dipende dai suoi

pesi sulle componenti rappresentate nel diagramma (vedi le

linee tratteggiate nella fig. 6.4 che indicano la proiezione di

ogni variabile sui due assi), più questi sono elevati più la

variabile si allontanerà dal baricentro.

• Naturalmente se ne allontanerà lungo lascissa se ha un alto

peso sulla prima componente, lungo lordinata se ha un alto

peso sulla seconda componente, lungo la diagonale se ha

pesi alti su entrambe.

ACP 25

• Al contrario, se una variabile presenta pesi modesti (tendenti a

zero) su entrambe le componenti considerate, la sua posizione

sarà prossima al baricentro. Se due o più variabili sono vicine

fra loro e collocate presso un’estremità di un semiasse

rappresentante una componente, ciò indica che esse sono

altamente correlate in modo positivo fra loro e con la

componente in questione (in modo positivo o negativo a

seconda che si tratti del semiasse positivo o negativo della

componente). Se due variabili si distanziano dal baricentro, ma

una sul semiasse positivo e l’altra su quello negativo di una

stessa componente, ciò indica che tra le due variabili esiste

un’alta correlazione negativa e che entrambe presentano pesi

elevati su quella componente (peso negativo per la variabile

che si trova sul semiasse negativo e positivo per l’altra).

ACP 26

• Se due variabili, o due gruppi di variabili,

sono una vicina ad un asse e l’altra al

secondo asse (non importa in quale

quadrante del piano) ciò indica che tra le

due variabili, o gruppi di variabili, ci sono

basse correlazioni e che esse presentano

pesi alti su una componente e bassi

sull’altra.

ACP 27• I pesi componenziali, permettendo di collocare ogni

variabile nello spazio determinato da due componenti, consentono di dare un’interpretazione alle componenti stesse. Operazione che ovviamente il calcolatore non può fare, e che spetta al ricercatore. All’utente dell’acp competono anche le scelte a monte (scegliere le variabili da sottoporre ad analisi, valutare l’utilitàdell’applicazione dell’acp) e quelle a valle dell’analisi (valutare l’utilità dei risultati; decidere cioè quante componenti principali interpretare e utilizzare in successive analisi). L’interpretazione di una componente principale, con la conseguente scelta dell’etichetta verbale più adeguata per la stessa, verràillustrata più avanti.

ACP 28

• In modo analogo ai coefficienti di correlazione lineare, se

eleviamo al quadrato i pesi componenziali otteniamo la quota

di varianza in comune tra una componente e una variabile.

Fatta questa precisazione, possiamo esplicitare la relazione

fra ogni autovalore e il suo autovettore. Abbiamo già detto

che l’autovalore è il risultato di una combinazione lineare

delle variabili originarie in grado di riprodurre una data quota

della varianza originaria e che i pesi componenziali elevati al

quadrato esprimono la quota di varianza lorda in comune tra

una variabile e una componente. Da ciò derivano

algebricamente due conseguenze. La prima è mostrata nella

fig. 6.5: sommando gli elementi di ogni autovettore elevati al

quadrato otteniamo il valore dell’autovalore associato

all’autovettore.

ACP 29

• Nella fig. 6.5 mostriamo il significato

algebrico dell’espressione ‘combinazione

lineare’ e del rapporto fra ogni autovalore e

il corrispondente autovettore.

Figura 6.5 – La somma degli elementi elevati al quadrato di

ogni autovettore è uguale al corrispondente autovalore

I auto-

vettore

II auto-

vettore

III auto-

vettore

IV auto-

vettore

V auto-

vettore

.688 .254 .653 -.182 -.057

-.676 -.487 .462 .303 -.001

.812 .351 -.061 .461 -.036

.902 -.366 .033 -.009 .226

-.759 .604 .154 .047 .181

I auto-

valore

II auto-

valore

III auto-

valore

IV auto-

valore

V auto-

valore

2,979 0,924 0,668 0,340 0,089

( .688)2 + (-.676)

2 + ( .812)

2 + ( .902)

2 + (-.759)

2 = λ1

( .254)2 + (-.487)

2 + ( .351)

2 + (-.366)

2 + ( .604)

2 = λ2

( .653)2 + ( .462)

2 + (-.061)

2 + ( .033)

2 + ( .154)

2 = λ3

(-.182)2 + ( .303)

2 + ( .461)

2 + (-.009)

2 + ( .047)

2 = λ4

(-.057)2 + (-.001)

2 + (-.036)

2 + ( .226)

2 + ( .181)

2 = λ5

da cui:

.473 + .457 + .659 + .814 + .576 = 2,979

.065 + .237 + .123 + .134 + .365 = 0,924

.426 + .213 + .004 + .001 + .024 = 0,668

.033 + .092 + .213 + .000 + .002 = 0,340

.003 + .000 + .001 + .052 + .033 = 0,089

ACP 30

• La seconda conseguenza algebrica della combinazione lineare

è riportata in fig. 6.6 e riguarda il concetto di comunalità,

relativo alle variabili su cui si è effettuata l’acp. La comunalità

esprime la proporzione della varianza di ogni variabile

riprodotta da un certo numero di componenti. Essendo una

proporzione, essa varia tra zero e uno.

• Anche la comunalità deriva da una somma (questa volta per

riga; vedi fig. 6.6) dei pesi componenziali elevati al quadrato.

E’ evidente che se si considerano tutte le componenti

principali estraibili da una data matrice delle correlazioni (5

nel nostro esempio) la comunalità di ogni variabile sarà pari ad

uno. Se però si decide di usare solo le prime, ad esempio le

prime due, allora la comunalità di ogni variabile si ridurrà; e si

ridurrà in maniera diversa da variabile a variabile.

ACP 31

• Moltiplicando per 100 la comunalità di ogni variabile

otteniamo la percentuale di varianza della variabile

riprodotta dalle componenti principali scelte (nel nostro

esempio le prime due). In questo modo possiamo

valutare per ogni variabile i costi della sintesi prodotta

scegliendo di usare le prime due componenti principali.

L’informazione portata dalle variabili X4 ed X5 è

riprodotta quasi per intero dalle prime due componenti

(rispettivamente 95% la prima e 94% la seconda; vedi

fig. 6.6). Mentre solo il 54% della varianza di X1 viene

riprodotta dalle prime due componenti. Il residuo 46% è

riprodotto dalle componenti successive alle prime due

(che abbiamo deciso di tralasciare; vedi fig. 6.6).

Figura 6.6 – La somma per riga degli elementi elevati al quadrato di ogni autovettore è uguale alla comunalità di

ogni variabilevariabile I autovet-

tore

II auto-

vettore

III auto-

vettore

IV auto-

vettore

V auto-

vettore

somma per riga

= comunalità

x1 .473 .065 .426 .033 .003 1

x2 .457 .237 .213 .092 .000 1

x3 .659 .123 .004 .213 .001 1

x4 .814 .134 .001 .000 .052 1

x5 .576 .365 .024 .002 .033 1

I autova-

lore

II auto-

valore

III auto-

valore

IV auto-

valore

V auto-

valore

varianza totale

somma per co-

lonna = autova-

lore

2,979 0,924 0,668 0,340 0,089 5

variabile I autovettore II autovettore somma per riga

= comunalità

x1 .473 .065 0,538

x2 .457 .237 0,694

x3 .659 .123 0,782

x4 .814 .134 0,948

x5 .576 .365 0,941

I autovalore II autovalore varianza totale

somma per colonna = auto-

valore 2,979 0,924 3,903

ACP 32

• Una volta che sono stati calcolati gli

autovalori e gli autovettori di una matrice

delle correlazioni, è possibile invertire il

procedimento. In altri termini, è possibile,

con opportune formule di algebra

matriciale, ricalcolare la matrice delle

correlazioni a partire dagli autovalori e

dagli autovettori. Questa proprietà di

reversibilità è un fondamentale criterio di

distinzione tra l’acp e le tecniche di analisi

fattoriale (vedi Di Franco, 1997).

ACP 33

• Infine, dopo aver sintetizzato le variabili della

matrice in un numero ridotto di componenti

principali, è possibile assegnare ad ogni caso

un punteggio su ognuna di queste. In questo

modo possiamo aggiungere nella matrice dei

dati nuove colonne che riportano gli stati dei

casi sulle componenti principali che decidiamo

di usare. Per ottenere questi punteggi sui casi

(chiamati punteggi componenziali, component

scores in inglese) si procede nel seguente

modo.

ACP 34

• Per ogni componente si passa dai pesi componenziali ai

coefficienti componenziali (component score coefficients in

inglese) effettuando una regressione multipla, dove la

componente principale è la variabile dipendente e tutte le

variabili originarie sono le indipendenti. Questo passaggio

equivale al passaggio dai coefficienti di correlazione lineare

bivariata a quelli di regressione lineare multipla

standardizzati. Quindi se il peso componenziale è una

misura dell’associazione lorda tra una variabile e una

componente, il coefficiente componenziale (component

score coefficient) è una misura del contributo netto di una

variabile ad una componente (tenendo cioè sotto controllo

tutte le altre variabili).

ACP 35

• I coefficienti componenziali sono pertanto analoghi, dal punto di vista tecnico, ai coefficienti parziali standardizzati di una regressione lineare multipla (beta weights in inglese) e rappresentano il contributo netto delle variabili alla costruzione di ciascuna componente tenendo sotto controllo le altre variabili. Quindi è legittimo usarli come coefficienti di ponderazione di ciascuna variabile nella costruzione di un indice che rappresenti la dimensione individuata mediante l’acp.

ACP 36

• Dopo aver calcolato i coefficienti componenziali si possono

calcolare i punteggi di ciascun caso su ciascuna componente

(punteggi componenziali). Ad ogni caso viene attribuito un

punteggio sulla proprietà che è rappresentata dalla componente

principale che si è costruita; questo è ottenuto sommando per

ogni caso i suoi punteggi standardizzati su tutte le variabili che

formano la componente. Prima di sommarli, i punteggi sono

ponderati con i rispettivi coefficienti componenziali prodotti

dall’acp.

• Nel programma di analisi SPSS per Windows è presente una

procedura per il calcolo automatico e per il salvataggio sulla

matrice dei punteggi componenziali che applica i coefficienti

componenziali per ponderare il contributo delle singole

variabili. E inoltre possibile richiedere la stampa della matrice

dei coefficienti componenziali nell’output (vedi fig. 6.11).

ACP 37• Quindi anche i punteggi componenziali assegnati a ciascun

caso si calcolano come una combinazione lineare dei valori

standardizzati assegnati a quel caso su tutte le variabili,

ponderati per i rispettivi coefficienti componenziali. Questi

punteggi sono espressi in unità di scarto-tipo (sono cioè

valori standardizzati) e tendono a distribuirsi in modo

simmetrico intorno al valore zero che rappresenta la media

della distribuzione. Una volta salvati sulla matrice dei dati

come nuove variabili, essi possono essere usati in analisi

successive.

• Come nel caso della regressione multipla, il coefficiente componenziale di una variabile risente dei coefficienti componenziali di tutte le altre; pertanto esso cambia ogni volta che si modifica l’insieme eliminando o aggiungendo variabili.