Cálculo diferencial Luis López AcostaUnidad 2. Límites y continuidad

Actividad 2. Límites de funciones

Instrucciones:Resuelve los siguientes los siguientes ejercicios:

1. Resolver .Sustituyendo queda

(limx→ 3

2

2( 32 )3

- 3( 32 )2

- 4( 32 )+2 = 2 ( 278 ) - 3( 94 ) - ( 122 ) +2 = ( 548 ) - ( 274 ) - 6 + 2

=216−21632 - 4 =

032 - 4 = 0 – 4 = -4

2. Resolver .

Si sustituimos la función en X = 3 se indetermina en ( 00 ) entonces para evitarlo se

factoriza tanto el numerador como el denominador de esta función y queda

limx→3 ( 2 x

2−3 x−9x2−9 )

❑

= limx→3 ( (2x+3 )(x−3)

( x+3 )(x−3) )❑

= limx→3 ( (2x+3 )

( x+3 ) )❑

= limx→3 ( 2 (3 )+3

3+3 )❑

=

6+36 =

96 =

32

3. Resolver .

Si sustituimos la función en X = 32 se indetermina en

00 entonces para evitarlo se factoriza

tanto el numerador como el denominador de esta función y queda

limx→

32 ( 6 x2−7 x−32 x2−5 x+3 )

❑

= 32¿¿¿= lim

x→ 32

( 3 x2+1x❑−1 )❑

= limx→ 3

2

( 3 x+1x❑−1 )❑

= =limx→

32 ( 3(

32)+1

32−1 )

❑

= ( 92)+1

32−1

= ( 112

)

12

= 222 = 11

4. Resolver .

Cálculo diferencial Luis López AcostaUnidad 2. Límites y continuidadDividiendo el termino de mayor exponente en la función y da 0 todos numero dividido entre un denominador con potencia según el teorema de límites al infinito y queda

limx→∞ (−6x

2+5 x+63 x2+4 x+7 )

❑

= limx→∞ (

−6x2

x2+ 5 xx2

+ 6x2

3 x2

x2+4 xx2

+7x2

)❑

= limx→∞ (−6+

5x+0

3+ 4x+0 )

❑

= limx→∞ (−6+0+03+0+0 )

❑

= -63 =

-2

5. Demostrar por medio de la definición que .Para un ε>0se quiere encontrar un δ>0 tales que siempre que 0 < |x−xo|<δ 0 < |x−2| < δ |f (x)−L| < ε |(3 x−5 )−1| < ε De donde

|(3 x−5 )−1| = ¿ = |3| |x−2| = 3 |x−2|<ε |x−2| < ε3

Por lo que basta escoger δ= ε2 para que 0¿ |x−2|< ε3

6. Definir y .

Primero definimos que es para toda m < 0 existe r > 0 tales que

0 <¿|x−a| < r f(x) < m

Para finalizar definamos limx→−∞

¿ f(x) = L que es para toda ε > 0 existe m < 0 tales que para

toda x < m f(x) ϵ (L – ε , L+ε ¿

7. Sea , demostrar que si es par, entonces y que si es impar

entonces no existe.Dividamos en dos casos:Si n es par n = 2k con k = 0,1, … para x ϵ (0, ∞ ¿ dad ∝ ϵ R

Sea K ∶=¿ sup 1,∝ ∀ x> kSe tiene

xn= (x¿¿2)k¿ ≤ x ¿∝ limx→0

¿ 1xn

= ∞

Cálculo diferencial Luis López AcostaUnidad 2. Límites y continuidadPuesto que ∝ ϵ Ɽ es un valor cualesquieraSe sigue que ∝es un alor cualesquiera además ∝=∞ a razón que x < ∝ y por tanto

Si n es impar n = 2K + 1 con k = 0,1,…Dada ∝ ϵ ⱤSea K ∶=¿ ínf ∝ ,−1 , y como (x¿¿2)¿ k ≥ 1 para cualquier x<k se tiene

xn = (x¿¿2)k¿ x ≤ x < ∝

Puesto que ∝∈Ɽ es un valor arbitrario pero es absurdo que x < ∝a razón K ∶=¿ ínf

∝ ,−1 llegamos a una contradicción por este hecho mencionado y por tanto limx→0

¿ 1xn

= ∄

(no existe)

8. Supóngase que , demostrar que existen y tales que

, si .

Sea limx→xo

¿ f(x) = L para todo ε>0 consideremos ε=1existente δ>0tales que para toda

x ≠ xo que satisface la condición |x−xo|< δ verifica la desigualdad|f (x)−L|≤1Además por la desigualdad |f (x)| - |(L)| ≤ |f (x)−L|Se deduce que |f (x)| < |(L)|+1Sea M= max |L| + 1, |f (xo)|

Implica para todo punto x del intervalo (xo – δ , xo + δ ¿ queda finalmente |f (x)| < M por definición esto significa que f(x) esta acotada en el entorno del punto xo

9. Demostrar que si y sólo si

Supongamos que limx→xo

¿ f(x)= L y limh→0

¿ f(xo + h) = L

Hay que demostrar que L = KPor la definición del límite limx→xo

¿ f(x)= L

Y así para toda ε>0 existe un δ > 0 tales que si0 < |x−xo|< δ …. (a)

Cálculo diferencial Luis López AcostaUnidad 2. Límites y continuidad

Implica|f (x )−L|< ε … (b)

Observamos que un punto X = a + h satisface la desigualdad (a) e implica que 0 < |( xo+h )−xo| = |h| < δ

Y por (b) tenemos que:|f (xo+h )−L| = |f (x−L )|< ε … (c)

Pero

.limh→ 0

¿ f(xo + h) = k ∀ ε > 0 ∃ δ > 0

Tales queSi |h| < δ implica que |f (xo+h )−k| < ε … (d)Si ahora sumamos (c) y (d) y por desigualdad del triangulo tenemos que|f (xo+h )−L+K−f ( xo+h )|≤ |f (xo+h )−L| + |k−f ( xo+h )|< 2εImplica que |k−L|<2ε ∀ ε>0Esto significa que podemos hacer la distancia entre K y L pequeña como queramos y por tantoK = L

10. Demostrar por definición que .Sea ε > 0 buscamos δ > 0 tales que si0 < |x−x o| < δ |√ x−√ x o| < εSi multiplicamos por 1 notamos que

|√ x−√ x o| = |√ x−√ x o| |√ x+√x o||√ x+√x o|

= |x−xo|

||√x−√x o|| ≤ |x−xo||√ x o|

…. (1)

La desigualdad se debe a que