Cálculo diferencial Unidad 2. Límites y continuidadActividad 3. Continuidad de funciones

Resuelve los siguientes ejercicios:

1. Dada la función hallar el valores de y de tal forma que

es continua en y .

Es equivalente a decir que f(x)

f(x) = { x2+4 si x≤1

ax+b si1<x≤2−x2−5 si x ≥2

La s 3 regalas de correspondencias son funciones continuas poligonales continuas en los Reales y por los intervalos dados Luego solo habrá que asegurar la continuidad en los puntos

Xo = 1 y x1 = 2

Así para Xo = 1

a) f(1) = 12 +4 = 1 + 4 = 5

b) limx→1

(x2+4 )❑=¿¿ 12 + 4 = 1 + 4 = 5

limx→1

¿ a x + b = a (1) + b = a + b

limx→1

¿ = limx→1

¿ = a + b = 5… (1)

c) f(1) = limx→1

¿ f(x)

Así para X1

a) f(2) = (-2)2 – 5 = - 4 – 5 = - 9

b) limx→2

¿ a x + b = a(2) + b = 2a + b

limx→2

¿ - x2 - 5 = - (2)2 – 5= -9…(2)

c) f(2) = limx→2

¿ f(x)

Se resuelve el sistema de ecuaciones por suma y resta a + b = 5… (1)

Cálculo diferencial Unidad 2. Límites y continuidad

2 a + b = -9… (2)

Multiplicando por -1 la ecuación… (1) y queda

-a - b = 5 … (1)2 a + b = -9 … (2) Implica a = - 14

Sustituyendo en la ecuación (2) el valor de ab para encontrar el valor de b2a + b = -9 2(-14) + b = -9 b = -9 + 28 b = 19Por tanto los valores que la hacen continua a la función son a = -14b = 19y f(x) queda como

f(x) = { x2+4 si x≤1−14 x+19 si1< x≤2

−x2−5 si x≥2

2. Dada la función continua en . ¿Qué valor debe tomar

para que la función sea continua en ?Se evalúa f(x) en Xo = -5

f(-5) = −15 (−5 )+7¿¿ = 500−500

0 = 00

La f(x) no está definida Xo = -5 sin embargo mediante una simplificación se pude eliminar una discontinuidad para que sea continua en Xo = -5

f(x) = −15 x+7 x2+4 x3

x+5 = x(4 x

2+17 x−15)x+5

= x ( x+5 )(4 x−3)

x+5f(x) = x(4 x−3)= 4x2 - 3x si X≠5

En efecto se cumple ahora para concluir evaluamos esta función en f(-5) y quedaf(-5) = -5(4(-5) – 3) = -5 (-23) = 115

3. Demostrar que es continua en si y sólo si .

Cálculo diferencial Unidad 2. Límites y continuidadlimxo→0

¿ f(Xo + h) = f(Xo)

Supongamos que f es continua y tenemos queX = Xo+ h∴ h= X – XoX Xo h 0 y por esto quedalimx→xo

¿ f(x) = f(Xo) limx→xo

¿ f(h + Xo) = f(Xo)

Supongamos que

limxo→0

¿ f(h + Xo) = f(xo)

Y tenemos queX = Xo + h ∴ h = X-Xo

Donde X es un punto fijo donde h 0 y esto significa que X Xo y por esto quedalimxo→0

f (h+Xo) = f(Xo)

Esto se convierte por lo mencionado como

limxo→0

¿ f(X) = f(Xo)

Que esto f es continua en Xo

4. Dada la función , demostrar que existe tal que .f es continua en el intervalo cerrado [−3,0 ] y además porque es un polinomio dado quef(-3) = (−3¿¿3 – 4(-3) + 4 = - 11 f(0) = (0¿ 3 - (4)(0) + 4 = 4Resulta que

f (-3) < 0 f(0) > 0

Podemos aplicar el teorema del valor intermedio y concluir que debe haber algún c en [−3,0 ] tales que f(c )= 0 y f posee algún 0 en el intervalo cerrado -3, 0) (-3,0)es decir f(-3) < f( c) < f(0) 11 < 0 < 4

El 0 es un número entre 11 y 4De hecho podemos localizar una raíz con mayor precisión aplicando el teorema de valor intermedioF(-2.3) = 1.03 < 0 f(-2.4)= -0.22 > 0Una raíz se debe encontrar entre -2.3 y -2.4F(-2.38) = 0.038 < 0 f(-2.39) = -0.091 >0 De modo de una raíz se encuentra en el intervalo (-2.39, -2.38)

Cálculo diferencial Unidad 2. Límites y continuidadEl valor de la raíz se aproxima a

C ≈ -2.38305. Demostrar que la raíz cuadrada de un número real positivo existe.Sea a ∈Ʀ Considerando este conjuntoC = {x∈Ʀ \ x2 ≤a Es un conjunto real acotado superiormente por a y tiene al menos el elemento, el 0 ya que 02 = 0 ≤ aPor las propiedades de los números reales tiene un supremo en R llamémoslo rSup C = rAhora supongamos que r no es la raíz cuadrada de a, es decir, que su cuadrado es distinto de a, como todo elemento de C tiene el cuadrado ≤ase cumpliría

r2 <a Puesto que los números racionales son densos en R existen números racionales

r2 < mn <

ij < a

y los cuadrados de los racionales también son densos en R.Ya que con el algoritmo de la raíz cuadrada, podemos calcular con cuantos decimales de precisión queramos la raíz cuadrada racional por exceso de m/n hasta que el cuadrado de esta sea tan cercano a m/n que sea menor que i/j.Podemos encontrar un número racional u/v tal que

r2 < mn <

u2

v2 < ij < a

Entonces u/v ∈Ʀ ya que u2

v2 < a

Luego el supremo de C (que es r) debe ser mayor o igual que u/v

r2≥ u2

v2

Pero de la cadena de desigualdades de arriba podemos entresacar

r2 < u2

v2

Pero

r < uv

Cálculo diferencial Unidad 2. Límites y continuidadHemos llegado a un absurdo porque r no puede ser a la y mayor o igual que u/v Luego la suposición de que r no era la raíz cuadrada de a es falsa y entonces existe la raíz cuadrada de a que es el supremo de C

Sea una función definida en todos los números reales tal que .

Demostrar que es continua en .

Sea f(x + 0) = f(x)+ f(0) donde f(0) = 0Queremos demostrar que

limx→xo

¿ f(x) = f(Xo) limxo→0

¿ [ f (x) – f(Xo¿ ] = 0

Tenemos que f(x) – f(Xo) = f(X – Xo) Entonceslimx→xo

¿ [ f (x) – f(Xo¿ ] = limxo→0

¿ ¿ – Xo¿ ] Además consideremos que h = X – Xo donde X Xo h 0 y limx→xo

¿ = f(X – Xo) = limxo→0

¿ f(h) = f(0) = 0

Entonces llegamos alimx→xo

¿ f(X) = f(Xo)

Es f continua en XoPor lo tanto f es continua en todas partes y continua en los Reales siendo Xo arbitraria