Deducción e Inducción

Un tema que desarrollamos en la segunda unidad del curso de lógica matemática, es el de la introducción al estudio de la manera como los seres humanos elaboramos los diferentes razonamientos lógicos.

La Unidad 1 constituyó la puerta de entrada a este nuevo mundo, mediante el análisis de los diferentes tipos de proposiciones que pueden darse, es decir, las proposiciones que ya aprendimos a reconocer, a su vez, también pueden ser clasificadas, ya no como compuestas o simples, pero si sufrirán clasificaciones importantes que nos ayudarán en la construcción de enunciados científicos y en el seguimiento a la validez de los diferentes razonamientos lógicos, por ejemplo, a continuación encontrarás dos proposiciones lógicas, ambas proposiciones simples que aprendimos a reconocer y clasificar:

“Algunos estudiantes de psicología matricularon el curso de lógica”

“Todos los estudiantes de psicología matricularon competencias”

En la segunda unidad estudiaremos los temas de deducción e inducción.

Aprendamos a identificar estos conceptos mediante un ejemplo:

En el siguiente ejercicio encontrarás que de una o varias afirmaciones se llega a una conclusión. Analiza las diferencias existentes entre las dos formas de razonamiento que a continuación se presentan:

Primera forma de razonamiento:

“Todos los padres Jóvenes son más tolerantes con sus hijos que los padres mayores; Juan es un padre joven, luego es más tolerante con su hijo Daniel, que Diego con su hijo Juan”

Segunda forma de razonamiento:

“Juan es un padre joven y es tolerante con su hijo Daniel, Camilo es un padre joven y es tolerante con su hija Marisol, Mateo es un padre joven y es tolerante con su hijo Diego, de donde, podemos concluir que Todos los padres Jóvenes son tolerantes con sus hijos”.

¿Logras ver la diferencia entre los dos razonamientos? Observa que en el primer caso se parte de una ley o afirmación general para posteriormente concluir sobre los casos particulares, mientras que en la segunda forma de razonamiento partimos de casos particulares para llegar a concluir una ley general.

La segunda forma de razonar la identificamos normalmente con el método científico, no obstante, en la práctica encontrarás que ambas formas de razonar hacen parte del diario quehacer en el desarrollo de un proyecto de investigación.

Antes de dar inicio a las últimas preguntas, toma dos minutos, para realizar el siguiente ejercicio:

Inicia por identificar cada una de las proposiciones simples presentes en cada uno de los ejemplos de las formas dos formas de razonamiento que se han planteado. Posteriormente plantea dos ejemplos análogos a cada forma de razonamiento.

Ahora estás listo para iniciar la pregunta... EXITOS.

Aplicaciones del Algebra Booleana

Un interesante tema de transferencia del conocimiento que adquirirás en la segunda unidad del curso en la construcción de funciones lógicas:

Boole declara algunas proposiciones como entradas o variables de un sistema y las respuestas o salidas del mismo, de esta manera, un sistema podía ser descrito por un álgebra que el denominó Lógica Simbólica. Así, la lógica simbólica desarrollada por Boole, contiene un conjunto de reglas algebraicas que permiten su operación, razón por la cual la lógica Simbólica de Boole y sus reglas algebraicas se han denominado álgebra Booleana.

En el Algebra Booleana, los estados Verdadero y Falso, pasan a ser representados por números binarios de un dígito o bits, de allí que el álgebra Booleana también se conozca como el álgebra del sistema binario, un álgebra en la cual también trabajamos con constantes, variables y operaciones de suma, resta y multiplicación, para conformar ecuaciones o expresiones booleanas.

De esta manera, un elemento físico que represente dos estados como Abierto y cerrado de una puerta o el encendido y apagado de una bombilla o un nivel alto y un nivel bajo de agua en su señal de salida, o un modelo filosófico que arroje los estados verdadero y falso, puede ser modelado y simplificado mediante el Álgebra Booleana.

En los sistemas digitales, la implementación de las funciones lógicas se realiza por medio de dispositivos que denominamos puertas o compuertas, los cuales son normalmente dispositivos electrónicos basados en transistores.

Esta lógica Booleana, se fue transformando en lo que conocemos hoy como Lógica Digital, una lógica mediante la cual Shannon y John Von Neumann lograron desarrollar la estructura interna de los computadores que aún hoy está vigente. Es por esto que al algebra de Boole debemos hoy el advenimiento de los computadores digitales y sus aplicaciones van en aumento en muchos campos. El límite es la creatividad.

Entre otras aplicaciones, hoy se hacen muchos desarrollos interesantes en el área de psicología, mediante aplicaciones denominadas pruebas psicométricas que utilizan todos los recursos del álgebra de Boole para su diseño.

A continuación encontrarás un interesante ejemplo aplicado a las ciencias humanas:

Características del Algebra Booleana

El Álgebra Booleana nos permite determinar si dos expresiones presentan o no la misma función, de esta manera, podemos elegir la función más simplificada, un conocimiento que en el momento de implementar físicamente una solución a un problema lógico, resulta crucial, ya que una función lógica con menos variables permite reducir dinero y tiempo.

Uno de los métodos especiales de simplificación son los llamados mapas de Karnaugh, un sistema fácil y rápido que permite simplificar expresiones siempre y cuando usemos pocas variables.

Técnicas de simplificación

Técnicas de simplificación

Existen varios métodos para simplificar expresiones Booleanas:

• Los métodos de simplificación automáticos, métodos que son implementados en un computador, por ejemplo el Quine-McCluskey• Otra técnica desarrollada en esta unidad es la de simplificar funciones mediante manipulaciones algebraicas, este sistema manual es un sistema lento y es difícil llegar a la representación mínima de una función lógica.• Los Métodos gráficos corresponden al método desarrollado por Veitch-Karnaugh, un método también manual, más fácil que el método algebraico pero aplicable a pocas variables.

Los mapas de K, son una técnica para la simplificación de expresiones lógicas, inventada por Veitch, y perfeccionada en 1950 por el físico y matemático Maurice Karnaugh en los laboratorios Bell, es un método que aprovecha la capacidad del cerebro humano para trabajar con patrones en lugar de ecuaciones y otras formas de expresión analítica. También son conocidos como los mapas de K, K-Mapa o KV-Mapa.

Básicamente consisten en una cuadrícula, en la cual se representan las tablas de verdad. De manera tal que una tabla de verdad de 16 filas, tendrá un correspondiente mapa de K con 16 cajones, cada uno de los cuales alberga un 0 o un 1, un valor que dependerá del valor que tome la función en cada fila.

Es importante anotar que las tablas de Karnaugh son prácticas para simplificar funciones hasta de 6 variables.

Referencias:

Prats A. (2007). Introducción y conceptos generales de Electrónica Digital. http://64.233.169.104/search?q=cache:AKvMhgtMuDUJ:www.dinel.us.es/util/bajar.php%3Ffile%3DTE_1_rev.pdf%26x%3D46%26y%3D8%26r%3D0+Veitch+mapas+de+k&hl=es&ct=clnk&cd=2&gl=co

Mapa de Karnaugh. (2008, 15) de abril. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 18:10, abril 17, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Mapa_de_Karnaugh&oldid=16638673./>

Ejemplo de aplicación

A continuación, encontrarás un interesante ejemplo de aplicación a las ciencias humandas, en el cual los doctores Antonio M. BATTRO y Percival J. DENHAM recurren a los conceptos desarrollados en el Álgebra de Boole como base teórica de la investigación "Hacia una inteligencia digital", publicada por la Academia nacional de educación de Buenos Aires en el año 2007:

Trataremos de ir de lo simple a lo complejo. Los instrumentosmusicales de teclado, por ejemplo, son una buena muestra deprogramar acciones complejas con los dedos. Tienen la propiedadde generar un sonido cuando se presiona una tecla. Esta esla opción clic que usa el pianista. Con un solo dedo puede crearuna melodía, con dos ya puede producir acordes, es decir crearsonidos simultáneos. Las combinaciones de sonidos aumentanen forma exponencial a medida que aumentamos el número dededos sobre el teclado y el número de teclas. Por lo tanto hay un«espacio combinatorio» que va aumentando, de una tecla a muchas,los llamaremos espacios clic unarios, binarios, ternarios,n-arios.

EL ESPACIO CLIC UNARIO. Como dijimos anteriormente, la alternativafundamental con un elemento (alternativa unaria) por sí o porno, por «A o no A» (en símbolos, A v ~A), genera un reticulado deBoole que es la base lógica de todo el proceso de selección basadoen la opción clic.El reticulado elemental de Boole tiene 22, cuatro nodos. Ennuestro ejemplo del piano, la opción clic elemental, es decir «tocaro no la tecla A», es el «supremo» del reticulado, que en el cálculoproposicional se expresa como la disyunción A v ~A, dondeA signi.ca «tocar la tecla A» y ~A signi.ca «no tocar la tecla A».En cambio, el «ín.mo» es la conjunción A . ~A, que no tiene realizaciónmusical posible pues es contradictoria, sería optar porambos opuestos conjuntamente. Se podría también interpretarcomo la meta-opción de «no tomar ninguna opción», ni por A nipor ~A, de recusar este juego de opciones: algo equivalente acerrar el piano (o desconectar la computadora).

El experimento mayor/menor de Dehaene que hemos analizadoes un caso de espacio clic unario. Finalmente, las líneasentre nodos que componen la trama del reticulado pueden interpretarse como caminos heurísticos, o sea como los «caminospor el espacio de opciones» que nos ofrece la situación. Comose trata aquí del espacio más restringido posible: una sola tecla

para tocar o no tocar, estos caminos son triviales, hay dos queconvergen al supremo y dos que van hacia el ín.mo. Pero veremosque cuando empieza a crecer el espacio de opciones loscaminos heurísticos pueden ser de una enorme complejidad, einterés.

EL ESPACIO CLIC BINARIO. Sigamos con el ejemplo del piano y delpianista. Con dos teclas A y B, la combinatoria aumenta a 24, esdecir hay 16 nodos en el reticulado que representa este conjuntode opciones. El nodo supremo, que representa todas las alternativasposibles para dos elementos A y B, se puede representarsimbólicamente por cuatro opciones básicas. La expresión formalde la opción clic para dos elementos en el cálculo lógico deproposiciones es una tautología (es siempre verdadera):

(A . B) v (A . ~B) v (~A . B) v (~A . ~B).

En el ejemplo del teclado, el primer miembro de esta expresión(A . B) representa un acorde de dos notas; (A . ~B) signi.ca quese toca la tecla A y no se toca la tecla B; (~A . B), que no se tocala tecla A y se toca la tecla B; (~A . ~B), que no se toca ningunade las dos teclas (silencio).

EL ESPACIO CLIC TERNARIO. Como dijimos, para un espacio de opcionesde tres dimensiones (de.nido por tres elementos, A, B yC), el número de combinaciones aumenta signi.cativamente yobtenemos un reticulado con 256 nodos. Jean Piaget dedicó unlibro a las operaciones ternarias, que él consideraba de.nitoriodel pensamiento operatorio formal del adolescente (Piaget 1952),pero este no es el sentido que le atribuimos aquí.Podemos trasladar el ejemplo de las opciones clic de un pianistaque tiene solo tres teclas disponibles, a la conducta de unapersona frente a una página de Internet donde existen solo tresbotones (o íconos, frases subrayadas, imágenes, etcétera), quepueden ser activados en forma independiente. En una páginaque tiene solo tres botones (A, B y C), hay ocho opciones clicposibles, a saber:

(A . B . C) v (~A . B . C) v (~A . ~B . C) v (~A . ~B . ~C) v(A . ~B . C) v (A . ~B . ~C) v (~A . B . ~C) v (A . B . ~C).

La combinatoria subyacente es inmensa, son 256 posibilidadeslógicas. La mente humana no necesita recorrerlas a todas,salvo en el caso de un análisis formal como el que estamos haciendoahora. Basta con elegir una de las ocho opciones clic porvez en un sistema serial, como es lo habitual en las computadoras

corrientes. Y el espacio clic puede seguir expandiéndoseinde.nidamente en número creciente de dimensiones. Pero seacual fuere la complejidad del sistema, todo se reduce siempre auna combinación de opciones clic elementales. Estamos frentea un fenómeno propio del mundo digital, ante un espacio clic enexpansión inde.nida. Y aquí se encuentra el fundamento de laprodigiosa versatilidad y el enorme potencial de una inteligenciadigital.

Como pudimos apreciar, por medio de los conceptos desarrollados hasta ahora en el curso, logramos identificar varios conceptos y símbolos propios de la Lógica Matemática utilizados en esta interesante propuesta.

Como lo expresamos en las página anterior, el límite es la creatividad, ya que la lógica matemática, constituye una herramienta que te ayudará en el camino de elaborar mejores razonamientos, y porque no, como en este ejemplo, servir de base para la construcción de mejores argumentos.

Referencia:

Battro, Antonio M. Battro Denham.(2007) Hacia una inteligencia digital Buenos Aires : Academia Nacional de Educación. pp 44-46. Tomado de la Worl wide web el 10 de Abril de2007 en http://www.byd.com.ar/InteligenciaDigital.pdf./>