actas thales

INVESTIGACIÓN EN EL AULA DE MATEMÁTICAS

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Conferencia, Talleres, Comunicaciones

Sociedad Andaluza de Dpto. de Didáctica de Educación Matemática la Matemática.

THALES Universidad de Granada

Diseño de portada: María Peñas Troyano Editores: José Mª Cardeñoso Domingo

Encarnación Castro Martínez Antonio J. Moreno Verdejo

María Peñas Troyano Comité Científico: Encarnación Castro Martínez Belén Cobo Merino Pablo Flores Martínez Francisco Ruiz López Edita:

Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada S.A.E.M. “THALES”

Imprime:

Servicio de Reprografía Facultad de Ciencias. Universidad de Granada. Avda. Fuentenueva s/n 18071 Granada

I.S.B.N: Depósito Legal: GR-

Nuestro agradecimiento a todas aquellas personas que han participado y compartido su experiencia profesional con nosotros, de forma desinteresada. Especialmente, a aquellos que desde la sombra han hecho posible que este encuentro se desarrolle.

ÍNDICE

PRESENTACIÓN:

CONFERENCIAS

11

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DESDE

LA INVESTIGACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Enrique Castro Martínez Dep. Didáctica de la Matemática

Universidad de Granada

“Un problema necesariamente no se resuelve porque se dé la respuesta correcta.

Un problema no se resuelve de verdad a menos que el aprendiz entienda lo que ha hecho y sepa por qué sus acciones eran apropiadas.”

—William A. Brownell, La Medida de Comprensión (1946)

En las clases de matemáticas de todos los niveles educativos, se puede observar a los estudiantes resolviendo problemas. Esto no es un hecho novedoso, pues ya hace 3000 años los escolares babilónicos aprendían a calcular la distancia que mediaba entre el pie de la escalera y la pared en que estaba apoyada; a obtener el peso de la piedra que pesaba un kilo más que la mitad de su propio peso; y a resolver problemas de herencias como el siguiente:

“Un anciano dejó al morir 65 monedas de oro, que debían repartirse entre sus 5 hijos de modo que cada uno recibiera 3 monedas menos que el hermano que le antecede”

Junto a los enunciados de los problemas se encuentran instrucciones precisas y particulares para resolver cada uno de los problemas (Puig y Cerdá, 1988). En del antiguo Egipto también se han encontrado problemas enunciados junto con sus soluciones, como la colección que se encuentra en el papyro Rhind.

Desde estos remotos tiempos hasta la actualidad los problemas han recibido mayor o menor atención en educación, pero ha sido en los últimos 25 años cuando los educadores matemáticos han tomado más interés en incrementar la habilidad de los estudiantes para utilizar y aplicar el conocimiento matemático aprendido en la escuela en la resolución de problemas. Durante este periodo ha habido una ingente cantidad de investigaciones centradas en el aprendizaje de las matemáticas y en el empleo del conocimiento matemático para la resolución de problemas. La mayor parte de esta investigación ha sido realizada por psicólogos cognitivistas, que tratan de desarrollar una teoría del aprendizaje humano y la resolución de problemas, y por educadores matemáticos, que tratan de comprender la naturaleza de las interacciones cognitivas entre los estudiantes, el conocimiento matemático que estudian y los problemas que resuelven.

Esporádicamente se encuentran reflexiones a lo largo de la historia sobre la resolución de problemas. Schoenfeld (1995) considera el libro de Descartes “Reglas para la dirección de espíritu” como un antecedente de la actual preocupación por mejorar la capacidad de resolución de problemas. En este libro Descartes propone “modelos de pensamiento

12 Enrique Castro Martínez

productivo”, o “consejos para aquellos que deseen resolver problemas matemáticos con facilidad”. Más recientemente, al principio del siglo veinte, encontramos a matemáticos famosos, como Poincaré, o a filósofos como Dewey, reflexionando sobre cómo pensamos cuando resolvemos problemas.

John Dewey en 1910 y en su faceta psicoeducativa, analiza la resolución de problemas y sus implicaciones educativas. La esencia de la propuesta de Dewey en cuanto a la resolución de problemas como objeto de educación queda reflejada en el siguiente texto:

Nadie puede decirle a otra persona cómo debe pensar... No obstante, es posible indicar y describir a grandes rasgos las distintas maneras en que los hombres piensan realmente. Algunas de ellas son mejores que otras... Quien comprenda cuáles son las mejores maneras de pensar y por qué‚ son mejores puede, si lo desea, modificar su propia manera de pensar para que resulte más eficaz. (Dewey, 1933, p. 21).

Dewey postula ya explícitamente que lo que él llama pensamiento "reflexivo", y que interviene en la resolución de problemas, puede ser enseñado y aprendido. En el pensamiento reflexivo de Dewey hay dos grandes fases:

1. Un estado de duda, de vacilación, de perplejidad, de dificultad mental, en la que se origina el pensamiento, y

2. un acto de busca, de caza, de investigación, para encontrar algún material que esclarezca la duda, que disipe la perplejidad" (Dewey, 1933, p. 28).

A la primera etapa Dewey la llama pre-reflexiva. De ella surge el problema que hay que resolver. La segunda etapa tiende a situar al resolutor en una situación final en la que "la duda se ha disipado", en la que el problema está resuelto. A esta etapa final Dewey la llama post-reflexiva.

Entre estas dos grandes etapas se sitúan sus clásicos pasos o fases que recorre el pensamiento durante la resolución de cualquier problema:

1. se siente una dificultad: localización de un problema.

2. la dificultad es formulada y definida: delimitación del problema en la mente del sujeto.

3. se sugieren posibles soluciones: tentativas de solución;

4. se obtienen consecuencias: desarrollo o ensayo de soluciones tentativas;

5. se acepta o rechaza la hipótesis puesta a prueba.

En el campo matemático el representante más destacado de la tendencia de enseñar a resolver problemas a partir de su descomposición en etapas es George Polya. En 1945, Polya publicó su obra "How to solve it" en la que se propone dar indicaciones al profesor de cómo puede ayudar a sus alumnos de forma efectiva en la resolución de problemas. Para Polya el aprender a resolver problemas es como aprender a nadar o a montar en bicicleta. En la obra citada dice:

El resolver problemas es una cuestión de habilidad práctica como, por ejemplo, nadar. La habilidad práctica se adquiere por la imitación y práctica... Al tratar de resolver problemas, hay que observar e imitar lo que otras personas hacen en casos semejantes (Polya, 1979, p. 27).

Investigación en el Aula de Matemáticas. Resolución de Problemas. 13

La opinión de Polya es que se puede ayudar a resolver problemas a los alumnos de forma efectiva mediante preguntas y sugerencias, de tal manera que, sin imponerle la solución al alumno, éste sea capaz de descubrirla por sí mismo a partir de las indicaciones dadas. Además, sostiene que las preguntas y sugerencias debe de emplearlas el profesor en toda resolución de problemas ante los alumnos, de manera que estos perciban cómo usarlas.

La lista de preguntas y sugerencias que da Polya es amplia y con el fin de hacer más cómoda y efectiva su utilización las agrupa en cuatro fases de trabajo: Primero, comprender el problema; segundo, concebir un plan; tercero, ejecutar el plan, y cuarto, examinar la solución obtenida. Este simple modelo de lo que ocurre durante la resolución de problemas puede servir, y así se ha utilizado en numerosas ocasiones, como un esquema para deducir modelos e incluso materiales de instrucción.

La obra de Polya también tuvo influencia y fue conocida entre los educadores de nuestro país, especialmente en los trabajos de Puig Adam. Así lo refleja el hecho de que en 1959, al plantear su punto de vista cibernético sobre el problema de los problemas, criticó la insuficiencia y generalidad de los consejos de Polya:

todo cuanto se llega a sacar de esta metodología clásica de los problemas es una cierta costumbre de trazar, de tender caminos que enlacen la solución buscada a las premisas establecidas en la red más o menos vasta de implicaciones lógicas en que están inmersas. Pero a medida, que el campo se ensancha y los puntos de partida y de llegada se alejan de las perspectivas corrientes, estos sabios consejos metodológicos muestran una insuficiencia pareja a su generalidad.

Por ello valora mucho más las aportaciones de Polya recogidas en su estudio sobre el razonamiento plausible en matemáticas pues en ella el razonamiento implicativo, para el que son útiles los consejos que da en "How to solve it", cede su lugar al razonamiento plausible fundado en la inducción, en la analogía o en la inferencia. A pesar de ello, en toda su obra didáctica es patente el acuerdo general de sus planteamientos didácticos con los de Polya.

Más recientemente se aprecia también la incidencia de la preocupación por la resolución de problemas en los trabajos del Grupo Cero de Valencia, en los estudios de Miguel de Guzmán, en trabajos de investigación realizados por el grupo de Pensamiento Numérico de la Universidad de Granada (Castro, 1991; Castro y otros, 1995; Fernández, 1997; Rico y otros, 1988), de la Universidad de Valencia (Puig, 1996) y de La Universidad de La Laguna (Noda, 2001). En estos últimos casos la influencia del trabajo de Schoenfeld (1985b, 1987) es patente. En el diseño curricular propuesto para alumnos de 12 a 16 años por el Grupo Cero de Valencia se enfatiza la importancia de las estrategias de la resolución de problemas y las capacidades básicas que se consolidan mediante la actividad matemática: generalizar, abstraer, hacer hipótesis y someterlas- a pruebas, explorar, tomar decisiones, proponer ideas nuevas, hacer frente a situaciones problemáticas con la confianza que pueden ser comprendidas y, en su caso, resueltas.

Factores coyunturales

El trabajo de Polya y posteriormente el de Schoenfeld han tenido una influencia decisiva para que se considere la resolución de problemas en el campo de la educación matemática, pero ha habido factores coyunturales que han fomentado de manera decisiva la investigación en resolución de problemas en educación matemática. En concreto, hay que destacar la incidencia de la Guerra Fría entre USA y la URSS y el nacimiento de la teoría del


procesamiento de la información con su pretensión de crear inteligencia artificial en los ordenadores.

Schoenfeld (1985a) afirma que cuando el 3 de octubre de 1956 Rusia lanzó el Sputnik I los Estados Unidos de América reaccionaron modificando el sistema educativo americano para ganar la carrera espacial a Rusia. Como resultado de los cambios que se produjeron se introdujeron las matemáticas modernas en el currículum escolar. La impresión actual es que esto fue nefasto para la enseñanza y se retornó a lo básico (ejercicios y repetición) en los años setenta. Pero no todo el mundo estaba de acuerdo en esta vuelta atrás: Los alumnos debían aprender a pensar y a resolver problemas complejos. En este movimiento en favor de la resolución de problemas en el currículum escolar se pueden señalar algunos hitos al respecto:

• el N.C.T.M. norteamericano publica An Agenda for Action, 1980, y sitúa como primer ítem en su lista de recomendaciones para la década de los 1980 la idea de que la resolución de problemas debe ser el eje de la matemática escolar, el principal objetivo de la enseñanza de las matemáticas y dedica el libro del año 1980 íntegramente al tema (Problem Solving in School Mathematics, NCTM, 1980).

• la ATM inglesa, en el párrafo 249 del informe Cockcroft establece que la habilidad en resolver problemas es el corazón de las matemáticas, y elabora un escueto documento en el que se afirma taxativamente que la resolución de problemas podría y debería reemplazar a la aritmética rutinaria como el tema principal en las clases de primaria.

Se suele considerar el año 1956 como una fecha clave para el desarrollo del tema desde una perspectiva cognitiva, relacionada con la teoría del procesamiento de la información (Newel y Simón, 1972) aunque habría que resaltar también, en una perspectiva análoga, los análisis neuropsicológicos de los procesos intelectuales directamente implicados en la resolución de problemas realizados por Luria y sus colaboradores en la Unión Soviética desde la década de los cuarenta.

Problema y resolución de problemas Hemos visto la importancia que ha adquirido la resolución de problemas tanto en el

ámbito educativo como en otros relacionados. Pero a pesar de ello, la expresión problema y resolución de problemas no tienen un significado unívoco y preciso que la caracterice dentro de la investigación en Educación Matemática. Más bien se asemeja a una hidra mitológica de múltiples cabezas que afloran en este cuerpo de conocimiento. Desde la investigación se tratan cada una de estas cabezas por separado y, cuando el investigador cree que ha cortado una de estas cabezas afloran otras a manera del monstruo mitológico del lago Leman a la espera de un Hércules que acabe con todas ellas. En el símil que hemos presentado no se trata de acabar con la resolución de problemas, tal como hizo Hércules con la Hidra cortándole todas las cabezas, sino de tener un conocimiento comprehensivo de la resolución de problemas aplicable a la educación en matemáticas, dado que, los programas educativos tienen el importante propósito de enseñar a los estudiantes a resolver problemas.

La confusión aumenta cuando observamos los tipos de problemas que se han utilizado desde una perspectiva general de investigación en resolución de problemas: incluyen tareas tan dispares como la resolución de anagramas, razonamiento silogístico, colocación de cerillas, la torre de Hanoi, hacer cruzar lobos y corderos un río, etc. La construcción de una teoría para la resolución de problemas que abarque todo esto es como intentar proporcionar


una teoría para el arte lo suficientemente extensa para que lo abarque todo, desde la cerámica hasta la música electrónica y, evidentemente no tienen nada en común. Aún ciñéndonos a la resolución de problemas matemáticos en campo es tan amplio que surgen dificultades parecidas a la hora de elaborar una teoría general. Una manera de hacer más asequible el estudio de la resolución de problemas es parcelar su estudio y considerarla desde los distintos agentes que intervienen y, desde el punto de vista escolar hay que tener en cuanta que en la resolución de los problemas de matemáticas en el sistema educativo intervienen tres agentes: el problema a resolver, el alumno (o los alumnos) que han de resolver el problema y el profesor (Fig. 1). La consideración de cada uno de ellos por separado o conjuntamente en interacción con los otros componentes permite precisar lo que es un problema y la resolución de problemas en educación matemática.

Los

alumnos

El Profesor

El Alumno

El Problema

Figura 1. Agentes que intervienen en la resolución de problemas en el sistema educativo

El Problema: La Perspectiva Matemática

Como cualquier disciplina científica, las matemáticas pueden ser definidas por los problemas que trata y los métodos que usa con ellos y, además, por el cuerpo de conocimiento que esta actividad de resolución de problemas ha producido. Uno piensa inmediatamente en problemas famosos de matemáticas: la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo, la trisección de un ángulo, los problemas de Hilbert, la conjetura de Goldbach, el problema de los cuatro colores, la independencia del postulado de las paralelas, etc. Todos estos problemas han producido investigaciones matemáticas, y algunas han llevado a importantes contribuciones de matemáticas en sí mismas incluso cuando ellos no han sido resueltos. Esto no siempre se logra, sin embargo, todas las matemáticas son creadas en el proceso de formulación y resolución de problemas. La mayoría de tales problemas no son famosos -en algunos, normalmente es sólo la solución lo que se recuerda- y muchos de tales problemas se originan en sí mismos inicialmente fuera de las matemáticas. Pero las matemáticas en esencia son formular y resolver problemas.

En este quehacer de la construcción de las matemáticas los problemas se definen al margen del resolutor y de las cuestiones de enseñanza y su origen es remoto. Una de las primeras referencias de la palabra problema desde la matemática la tenemos en Pappus quién distingue entre problema y teorema: al término problema le da un sentido de indagación en la que se plantea hacer o construir algo, mientras que el término teorema lo asocia con una indagación en la que se investigan las consecuencias y las implicaciones necesarias de ciertas hipótesis. (Puig, 1996, p.28) Proclo insiste en esta distinción afirmando que las cosas que se plantean como problemas hay que encontrarlas porque pueden existir diversas opciones


donde elegir. Pone el ejemplo, de construir un triángulo equilátero sobre una recta dada -es un problema porque sobre una recta también se puede construir un triángulo que no sea equilátero. Por el contrario, las proposiciones que se plantean como problemas no son contingentes. Son así y eso es lo que hay que demostrar. Ante la proposición de inscribir un ángulo recto en un semicírculo, si se formula la petición como problema no tendría sentido, porque todo ángulo inscrito en un semicírculo es recto. La tipología de problemas de Polya: Problemas de demostrar y problemas de encontrar está hecha desde esta perspectiva metodológica de la disciplina.

Plantear problemas Plantear problemas y formular problemas son nociones empleadas con los educadores

y los profesores de matemáticas. Sin embargo, la calidad y autenticidad de los problemas de matemáticas que se resuelven en el aula de matemáticas ha sido el tema de muchas discusiones y debates desde 1980. Brown y Walter ofrecen sugerencias para implementar estas ideas. En particular, discuten la estrategia "¿que ocurriría si?" o "¿qué ocurriría si no?" para la generación de problemas nuevos cambiando las condiciones de un problema dado. Así, dado un problema matemático, se le puede pedir a los estudiantes que hagan una lista de sus atributos. Después de discutir los atributos, el profesor puede preguntar, ¿Qué pasaría si alguno de los atributos no es verdadero? A través de esta discusión los estudiantes generan problemas nuevos.

Brown y Walter exponen una amplia variedad de situaciones en las que se puede implementar esta estrategia. Un ejemplo es la discusión histórica del postulado de las paralelas: Después de muchos años de intentar demostrar que el postulado de las paralelas era un teorema, algunos matemáticos se preguntaron ¿Qué ocurríría si no fuera verdad que por un punto exterior a una recta pasara sólo una línea recta? ¿Qué ocurriría si pasaran dos? ¿O ninguna? Históricamente esta forma de razonar dio lugar en el siglo XIX a las geometrías no euclídeas como la Geometría de Riemann y la geometría de Bolyay o de Lobachetwski.

Un ejemplo: El Teorema de Pitágoras

Se parte del Teorema de Pitágoras en el que a2+b2=c2. Un atributo del Teoerma de Pitágoras es que las variables están relacionadas mediante el signo igual. ¿Qué ocurriría si las variables estuvieran relacionadas mediante el signo “<”, es decir, a2+b2<c2.


Otras preguntas adicionales podrían ser:

¿Qué pasaría si en vez de utilizar cuadrados empleamos triángulos equiláteros?

¿Qué pasaría si empleamos semicírculos?

La figura que sirve para definir la unidad de medida es el cuadrado, si en vez de utilizar el cuadrado utilizásemos el triángulo equilátero1, ¿cómo repercutiría en el Teorema de Pitágoras?

El alumno: El problema como actividad

Un problema puede ser definido como “una situación en la cual se intenta alcanzar una meta y se hace necesario encontrar un medio para conseguirlo” porque el camino directo a la meta está bloqueado. Esta clase de formulación es típica de los psicólogos, quienes usualmente añaden que un problema requiere un individuo en la situación, alguien que tenga el problema. Los psicólogos han estados interesados en investigar la resolución de problemas desde los inicios del siglo XX. La teoría asocicionista que tuvo su origen en los experimentos de Edward Thorndike trató sobre el proceso de pensamiento y resolución de problemas. Una de sus ideas claves es que resolver un problema es aplicar el ensayo y el error en familia jerarquizada de hábitos. Esto que en principio puede parecer "poco matemático" y aplicable a problemas de entretenimiento tales como los anagramas ha adquirido importancia en los últimos tiempos como estrategia de resolución de problemas, debido sobre todo a la presencia de calculadoras y ordenadores. Así en un problema, como el siguiente

María y Elena están leyendo la misma novela. María pregunta a Elena por qué página va leyendo. Elena contesta que el producto del número de la página por la que va leyendo y el número de la página siguiente es 98.282. ¿Por qué página va leyendo Elena?

Se puede utilizar la estrategia de escribir una ecuación x·(x+1)=98282.

Si el alumno no sabe resolver la ecuación por no haberlas estudiado aún en su nivel escolar, podemos utilizar la estrategia de ensayo y error. Se construye una tabla con los distintos ensayos que muestren de manera ordenada y sistemática los resultados que se han obtenido. En este caso el empleo de una calculadora es inexcusable.

La tabla muestra una serie de ensayos

x x+1 x· (x+1)

100

200

300

400

101

201

301

401

100 · 101 = 10100

200 · 201 = 40200

300 · 301 = 90300

400 · 401 = 160400

Para Stacey y Groves (1999) el ensayo y error es una técnica potente y consideran como objetivos relacionados con la resolución de problemas el mostrar que hacer un ensayo es una forma razonable de abordar una cuestión. Hay que convertir los ensayos al azar que de forma espontánea utilizan los alumnos en una técnica potente. Para ello aconsejan ser sistemáticos, anotar los ensayos y resultados, y examinar los intentos fallidos para elegir el 1 Una revisión al respecto puede verse en Castro, E., Flores, P. y Segovia, I. (1996)


siguiente ensayo. Para ellos, esta idea básica es muy importante y conduce a métodos iterativos como el de Newton para la resolución de ecuaciones. Con respecto a la resolución de problemas mediante ensayo y error, los asociacionistas aportaron la idea de que al resolver problemas, no sólo es importante la experiencia general pasada del sujeto, sino también su experiencia de antes y durante la resolución del problema.

Los psicólogos de la Gestalt aportaron la idea del insight (comprensión súbita) a la resolución de problemas y lo ejemplificaron con problemas de reorganización como el de los seis palillos (Fig. 2) que requieren una solución creativa.

Dados seis palitos, ordenarlos palito de longitud.

La solución Algunos sujetos toman los seis

Para resolver el problema el subase triangular.

Para los psicólogos de lareorganizar mentalmente los situación de tal manera quecomprensión estructural de slas relaciones entre ellos conduce a la solución. Disttipos de pensamiento: reproductivo, según que ssolución nueva a un problemacomportamientos aprendidos solución de un problema. Esdos enfoques del paralelogram(Fig. 3) en el que se compacomprensión de las relacioneparalelogramo con un métodode fórmulas y, que puso superioridad del método de ctransferencia a otros problema

Los dos tipos anteriorepara resolver problemas: popor memorización están amétodos de instrucción: métopor descubrimiento (Brunerexposición. Como ejemplo descubrimiento tenemos el mpara enseñar a los niños la ecugrado manipulando formas. Eaprendizaje por comprensión la retención como en la transf

Figura 2. El problema de los palitos para formar cuatro triángulos equiláteros y cuyos lados tengan un

palitos, y forman un cuadrado con una X en el medio como

jeto debe pensar en tres dimensiones, formando una pirámide de

Gestalt, resolver un problema es un proceso que consiste en elementos de una se adquiere una us componentes y (insight), lo que inguen entre dos

productivo y e produzca una o se reproduzcan previamente en la to dio lugar a los o de Wertheimer

ran el método de s estructurales del de memorización de manifiesto la omprensión en la s.

s de aprendizaje r comprensión y sociados a dos do de instrucción ) y método por de método por étodo de Dienes ación de segundo l método de instrucción por descubla hipótesis de que mejoran el rendimerencia del conocimiento.

Método de comAlienta a los relaciones e paralelogramo.

Método de memSe enseña a lo perpendicular y memorizadas.

Transferencia El método de transferencia de nuevas

Figura 3 prensión

estudiantes a ver lasstructurales en el

orización

s estudiantes a trazar una luego aplicar las fórmulas

comprensión favorece lal aprendizaje a situaciones

rimiento comparte con el iento del sujeto tanto en


Entre los conceptos que aportaron los investigadores de la Gestalt a la resolución de problemas destacan:

• Rigidez en la resolución de problemas

• Concepto de dirección

• El proceso de resolución de problemas se produce por etapas

La rigidez en la resolución de problemas destaca el papel negativo que en determinados casos puede jugar la experiencia pasada al intentar resolver un problema nuevo. Esto se ha llamado fijeza funcional, conjunto para la resolución del problema y también transferencia negativa. Y decimos en determinados casos, puesto que otras investigaciones pusieron de manifiesto en casos específicos que había transferencia positiva de unos problemas a otros. Como ejemplo, se puede poner lo Polya citó como “buscar un problema relacionado” que puede constituir un factor fundamental para buscar un plan de solución. En definitiva, la a experiencia pasada es útil en situaciones muy parecidas a las experimentadas y es un obstáculo en los problemas que requieren una forma nueva de resolución.

El concepto de dirección trata de explicar de qué modo el resolutor conecta el problema con su experiencia pasada. Puesto que la experiencia pasada no conduce, por sí sola, a la solución, el resolutor necesita un camino que seguir, una dirección. Cuando el resolutor se encuentra "atascado" es útil hacerle sugerencias que le muestren la dirección a tomar.

El proceso de resolución de problemas por etapas lo encontramos ya en la obra de Poincaré quien a principios de siglo XX y mediante el método de introspección señala una etapa de trabajo consciente, una segunda de trabajo inconsciente y un segundo periodo de trabajo consciente. A partir de esta época numerosos investigadores hacen propuestas de etapas en la resolución de problemas como las cuatro fases de Wallas (1926) en su The art of thought

1. Preparación Recolección de información e intentos preliminares de solución.

2. Incubación. Dejar el problema de lado para realizar otras actividades o dormir.

3. Iluminación. Aparece la clave para la solución (insight)

4. Verificación. Se comprueba la solución para estar seguros de que funciona.

o los cuatro pasos que Polya propuso en su How to solve it (1945) que ya había expuesto en una conferencia en Suiza en 1931.

Destacar también dentro de los teóricos de la Gestalt a Duncker que considera la resolución de problemas como un proceso por etapas en el que interviene la reformulación del problema y en el que son útiles las sugerencias desde arriba o desde abajo. Duncker consideró la idea de que la resolución de problemas incluye estadios sucesivos de reformulación o reestructuración del problema y con cada solución parcial se crea un nuevo problema, más específico. En esta reformulación se pueden realizar dos tipos de sugerencias que ayuden cuando el resolutor se encuentra bloqueado:

1. Sugerencia desde arriba. Reformular el objetivo para volverlo más cercano a los datos. Esto es similar al “trabajo hacia atrás” de Polya.


2. Sugerencia desde abajo. Reformular los datos de modo que estén más estrechamente relacionados con el objetivo, que es similar al “trabajo hacia delante” de Polya.

El problema del 13 de Duncker (1945). ¿Por qué todos los números de 6 cifras del tipo 276.276 o 591.591 o 112.112 y así sucesivamente, son divisibles por 13?

La solución implica una sugerencia desde abajo para reformular el problema dado que es de la forma abc.abc en la forma abc x 1001 Y la solución sale al percatarse el sujeto de que 1001 es divisible por 13. Si se les decía a los sujetos”los números son divisibles por 1001” resolvían el problema el 59% Sin ayuda el 15 % o menos lo resolvían.

La Teoría del Significado es una concepción del pensamiento con muchas ideas vinculadas a la Teoría de la Gestalt. Incorpora las nociones nuevas de esquema lógico y asimilación, conceptos que fueron establecidos por Bartlett en 1932 en su obra Remembering.

Un esquema se refiere a una organización activa de reacciones pasadas que siempre debe ser supuesto como operativo en cualquier respuesta orgánica bien adaptada". Expresó la idea de asimilación como la búsqueda del "encuadre" o "esquema" apropiado en la experiencia pasada.

En la Teoría del Significado resolver un problema implica descubrir de qué forma el problema actual se relaciona con los conceptos e ideas que ya existen en la memoria de quien ha de resolver el problema, es decir, las relaciones externas entre los elementos del problema y los esquemas lógicos. Durante el proceso de resolución el problema debe ser asimilado a la propia experiencia del que piensa y ser traducido a términos familiares. La resolución de problemas consiste fundamentalmente en

un proceso de descubrir un esquema o un conjunto de experiencias pasadas con el que ha de relacionarse el nuevo problema y luego interpretar y reestructurar la situación nueva de acuerdo con el esquema particular que se haya seleccionado.

Posteriormente la idea de "asimilación al esquema lógico" ha sido sustituida por la idea de "asimilación a la estructura cognitiva".

Hay cuatro ideas importantes que han destacado en la teoría del significado para la Resolución de Problemas: La concretización, la actividad, imágenes y representación del problema.

Concretización: representar el problema en forma concreta facilita el hallazgo de una solución más que si se mantiene en forma abstracta.

Actividad: el aprendizaje en resolución de problemas es distinto si los estudiantes descubren por sí mismos la solución que si se les muestra cómo obtenerla. El sujeto que realiza un trabajo activo en resolución de problemas los integra con parcelas más amplias de su conocimiento que si es un receptor pasivo de las reglas de solución.


Imágenes: Una forma que tienen las personas de relacionar un problema con su experiencia pasada es formando una imagen. Un ejemplo, típico que subraya el papel de las imágenes en resolución de problemas es el “problema del monje (atribuido a Dunker):

Un monje comenzó a escalar una montaña al amanecer. Llegó al templo que estaba en la cima al ponerse el sol y meditó toda la noche. Al amanecer del día siguiente bajó la montaña siguiendo el mismo camino, pero yendo más rápido, por supuesto. Cuando llegó abajo afirmó: "Hay un punto en este camino por el cual he pasado exactamente al mismo tiempo en mi camino ascendente y en mi camino descendente. ¿Puedes probar que el monje estaba en lo cierto?

Intentar resolver este problema algebraicamente es una tarea complicada si no imposible, sin embargo, la representación gráfica permite obtener la solución y ver que existe un punto en el cual la hora es la misma.

Representación del problema: La teoría del significado trató la influencia de la representación externa en la obtención de la solución. Encontraron que pequeñas diferencias en la forma de presentar un problema puede tener efectos muy importantes en cómo el sujeto comprende el problema y por tanto en la solución del mismo. En la figura adjunta si se trata de calcular la longitud de l a partir de uno de los diagramas se observa que el problema es más difícil si se da el diagrama de la izquierda.

El procesamiento de la información

Desde el punto de vista de la teoría del procesamiento de la información un problema implica la existencia de un estado inicial, un estado final (la meta deseada) y una ruta, es decir, una sucesión de estados intermedios. Él que resuelve el problema pasa por una sucesión de estados intermedios en los que aplica operadores.

Estado Final

Estado Inicial

Esta definición ha permitido distinguir entre dos grandes clases de problemas: los bien definidos y los mal definidos. Un problema bien definido tiene los estados inicial y final bien definidos, así como los operadores a aplicar para pasar de un estado a otro. En caso contrario se habla de problema mal definido.


Los problemas de ajedrez y el problema de la torre de Hanoi son ejemplos típicos de problemas bien definidos. Un problema laboral o un problema de economía son ejemplos de problemas mal definidos.

Siguiendo el criterio de bien y mal definidos y según estén bien o mal definidos los estados inicial y final del problema (Reitman):

1. Estados inicial y final bien definidos

2. Estado inicial bien definido y final mal definido

3. Estados inicial mal definido y final bien definido

4. Estados inicial y final mal definidos.

Según el tipo de actividad que debe realizar el resolutor (Greeno, 1978):

a) Problemas de transformación. Se da un estado inicial y el resolutor debe hallar la secuencia de operaciones que produzca el estado final. Ejemplo:

Problema de la torre de Hanoi

b) Problemas de inducción de estructuras. Se dan varias instancias y quien resuelve el problema debe descubrir la norma o modelo implícito. Ejemplos:

Complección de series y analogías verbales

c) Problemas de ordenación. Se dan todos los elementos y el que resuelve el problema debe ordenarlos de forma tal que resuelva el problema. Ejemplos:

Problemas de anagramas y problemas criptoaritméticos.

Diferenciación entre proceso y producto

Bloom y Broder realizaron en la década de 1950 una investigación en la Universidad de Chicago para mejorar el rendimiento en resolución de problemas de los estudiantes universitarios que fracasaban. Para realizarla introdujeron la siguiente distinción entre productos y procesos en la resolución de problemas:

• Productos de la resolución de problemas, si el estudiante llega a la respuesta correcta o no.

• Proceso de la solución de problema, el procedimiento que usan las personas para obtener una respuesta.

Problema: ¿Cuántos cromos faltan para rellenar un álbum de cromos si tiene tres páginas vacías y en cada una hay 30 estampas? Los niños obtuvieron la solución empleando cuatro procesos.

Bloom y Broder afirmaron que la investigación anterior había puesto demasiado énfasis en los productos de la resolución de problemas, en lugar de poner el acento en los procesos. Dos personas pueden llegar a la misma respuesta y utilizar enfoques diferentes para obtenerla. Por ejemplo, en el problema anterior los estudiantes generaron el mismo producto, es decir, dieron la misma respuesta final, pero sus procesos no lo son.

Bloom y Broder propusieron que la enseñanza de la resolución de problemas se centrase en enseñar estrategias para resolver problemas en vez de centrarse en que los estudiantes dieran las respuestas finales correctas. Pero advierten que es necesario un conocimiento específico de la materia en cuestión, es decir, que las estrategias de resolución de problemas no constituyen un sustituto del conocimiento básico de la materia en cuestión. Para tener éxito


en resolver problemas en un campo dado son necesarios tanto los procedimientos generales como los conocimientos específicos.

Fases en resolución de problemas

Al ser visto el problema como una actividad que se desarrolla en el tiempo la resolución de problemas es vista como un proceso con varias fases o etapas. Se han distinguido en la resolución de un problema dos fases generales: la comprensión del problema y la solución del problema (Mayer, 1986a, 1986b; Newell y Simon, 1974).

Fases en la resolución de problemas verbales

Enunciado ┌─────────────┐ ┌──────────┐

del ─────>│ Comprensión │─────>│ Solución │─────> Respuesta

problema └─────────────┘ └──────────┘

1ª traducción 3ª planificación

2ª integración 4ª ejecución

Para el caso particular de los problemas aritméticos verbales estos dos procesos han sido analizados con más detalle. La comprensión (representación mental) del problema ha sido caracterizada mediante dos subetapas: (a) traducción del problema a una representación interna, y (b) integración del problema en una estructura coherente. De manera similar, la fase de solución de un problema ha sido caracterizada mediante dos subetapas: planificación y ejecución, que incluye seleccionar el proceso a seguir y ejecutar los cálculos necesarios para obtener una respuesta numérica. (Mayer, 1986a, 1986b).

Para resolver un problema se necesitan una serie de conocimientos que se aplican en estas etapas: conocimiento lingüístico, conocimiento esquemático, conocimiento estratégico y conocimiento algorítmico. Desentrañar la influencia de estos conocimientos específicos en la resolución de problemas ha sido el objetivo de multitud de investigaciones en los últimos años.


Metacognición

Además de los conocimientos específicos del contenido del problema, de algoritmos adecuados y de los heurísticos necesarios, aún se necesita algo más para la resolución de problemas. Durante la resolución del problema los estudiantes tienen que tomar una serie de decisiones sobre los heurísticos a aplicar, sobre los algoritmos adecuados, o sobre la razonabilidad de la solución encontrada. Dewey en su obra “How We Think” enfatizó la autoreflexión como un componente de la resolución de problemas. Investigadores como Schoenfeld (1985, 1987, 1992) han prestado atención a este aspecto. El campo de la metacognición concierne a pensar sobre nuestros propios procesos de pensamiento. Las teorías metacognitivas intentan conocer qué es lo que guía, dirige y controla nuestros procesos cognitivos. Schoenfeld desarrolló un curso de resolución de problemas en los que incluyó un conjunto de directrices para reflexionar durante las actividades de resolución de problemas.

El alumno y el profesor: El problema como una tarea a realizar Los problemas que resuelven los alumnos en la clase de matemáticas provienen en

muchas ocasiones o están planteados por el profesor. Con ello se introduce un matiz nuevo: En estas situaciones de enseñanza se emplean a menudo las palabras “problema” y “tarea” de forma intercambiable, sin reconocer que “tarea” implica la existencia de un emisor y un receptor, mientras que no es así con “problema”. Entramos con ello en la perspectiva sociológica de la resolución de problemas, en la cual la clase de matemáticas es una situación social en la que los participantes interpretan las acciones e intenciones de los demás, estructurando conjuntamente la situación a la luz de sus propias agendas.

En la clase el profesor asigna un problema a uno o más estudiantes para que lo resuelvan. Los estudiantes a los que se les ha asignado un problema en clase pueden aportar a la tarea todo un conjunto de consideraciones:

• Pueden suponer que el problema tiene una respuesta única y bien definida que se puede obtener por procedimientos que han estudiado recientemente en clase;

• pueden suponer que serán evaluados por el profesor acorde con el esfuerzo aparente que realizan en la resolución del problema y con el éxito aparente que tienen;

• pueden tener algún indicio de que el profesor conoce la solución al problema, y pueden ser capaces de conseguir pistas de la solución haciéndole al profesor ciertas preguntas, y pueden ser capaces de utilizar los gestos y ademanes del profesor para interpretar si van o no por el buen camino hacia la solución.

Un problema es una construcción social con significado para cada participante en el proceso. El que plantea el problema y el que lo resuelve tienen una relación interactiva, y el problema no sería visto simplemente como rodeado por la cadena de palabras dichas por un participante al otro. Cuando alguien nos plantea un problema, usamos toda clase de indicios para evaluar si esa persona piensa que nosotros podemos resolver el problema, si nos está ocultando información importante, si el problema tiene una solución sencilla o requiere alguna clase de truco, y si merece la pena esforzamos al máximo para obtener la solución. Todo esto y más es parte de un problema cuando lo vemos como una construcción social.


Un ejemplo muy difundido que caricaturiza estas implicaciones del problema como una tarea dada, es la Experiencia del IREM de Grenoble (1980), en la que se emplea el problema conocido como “Problema de la edad del capitán”. El problema tiene su origen en el que Flaubert propuso a su hermana Caroline en una carta:

Puesto que estudias geometría y trigonometría voy a proponerte un problema: Un barco navega en el océano. Salió de Boston con un cargamento de lana. Desplaza 200 toneladas. Se dirige hacia Le Havre. El palo mayor se quebró; el camarero de la cabina está en el puente; a bordo hay doce pasajeros. El viento sopla en la dirección ENE. El reloj marca las tres y cuarto. Es el mes de mayo. ¿Qué edad tiene el capitán? En la experiencia del IREM de Grenoble se propuso un problema menos narrativo, más

telegráfico:

“En un barco hay 26 corderos y 10 cabras. ¿Cuál es la edad del capitán?” • De los 97 alumnos de siete a nueve años a los que se les propuso el

problema, 76 lograron calcular la edad del capitán partiendo de estos datos.

• Para contrastar este resultado, aplicaron una batería de problemas similares como el siguiente:

“Un pastor tiene 360 borregos y 10 perros. ¿Cuál es la edad del pastor?” • Los resultados no variaron mucho.

No es fácil dar una explicación satisfactoria de los resultados de esta y de otras muchas experiencias similares, pero algunos autores opinan que esta falta de sentido no se daría si los niños plantearan sus propios problemas, o si la resolución de problemas se viera formando parte de un proceso de modelización (Verschaffel, 2002).

La invención de problemas

Una manera de ayudar a los estudiantes con la falta de sentido en la resolución de problemas es hacerles que escriban, compartan y resuelvan sus propios problemas. A través de experiencias de invención de problemas, los estudiantes son más conscientes de la estructura de los problemas, desarrollan pensamiento crítico y habilidades de pensamiento. La invención de problemas se puede entender como reformulación de problemas en el sentido que hemos citado previamente empleando la estrategia ¿qué si ...? ¿qué si no...? a partir de un problema ya dado. O bien, hacer que los estudiantes escriban sus propios problemas a partir de situaciones reales, en vez de reformular otros ya existente, un ejemplo es el trabajo de Tortosa y Castro (1997) sobre invención de problemas a través de situaciones ambientales.

El problema como una situación de modelización

Lesh (1997) subraya la diferencia entre los problemas verbales de los libros de texto, en los que los alumnos se tienen que centrar en dar sentido a las preguntas planteadas simbólicamente, con respecto a cuando se intenta utilizar las matemáticas en situaciones de la vida real. En este caso, los procesos necesarios conllevan la necesidad de realizar representaciones simbólicas de situaciones que ya tienen sentido.


Modelo del mundo Mundo real

Resolución de problemas aplicados≠Actividades de obtención de estructuras

Hemos intentado dar una vámbito educativo que viene dadcon la tarea, con las característiresolución de problemas en el asido dar información ya contrperspectiva escolar, pero hay quhay otros aspectos que podrían h

Brown, S. I. y Walter, M. I. (19

Castro, E. (1991). ResoluciónGranada: Memoria de Te

Ilustración 1. Tomado de Lesh (1977)

isión de la complejidad de la resolución de problemas en el a por las distintas posibilidades de las variables relacionadas cas de los resolutores y con las connotaciones añadidas de la ula que conlleva aspectos sociológicos. Nuestra intención ha astada desde la investigación que pueda ser útil desde la e resaltar que se ha quedado mucha información sin dar y que aberse resaltado de haber elegido otra perspectiva.

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29

EVALUACIÓN DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

ARITMÉTICOS EN EL MARCO DE UN PROYECTO EUROPEO

Juan D. Godino Francisco Ruiz, Rafael Roa, M. Jesús Cañizares y Carmen Díaz


1. El Proyecto Valmat Los datos experimentales que se describen en este trabajo han sido obtenidos dentro de

las acciones previstas en el Proyecto VALMAT, “Desarrollo profesional y autoevaluación en la escuela que aprende: El caso de las matemáticas”, que forma parte del Programa Sócrates – Comenius de la Unión Europea. La finalidad del proyecto es establecer modelos y materiales para el desarrollo profesional de los profesores en el campo de las matemáticas, a partir del análisis de la evaluación de la efectividad escolar determinada mediante pruebas objetivas. Como aproximación metodológica al desarrollo profesional se procura establecer relaciones de cooperación entre los investigadores en el campo de la didáctica de las matemáticas y los profesores en ejercicio.

La idea impulsora del proyecto VALMAT parte del análisis comparativo de los rendimientos de los alumnos en matemáticas en distintos países europeos, en particular los realizados en la evaluación TIMSS12, que señala porcentajes de éxito que varían grandemente entre los sistemas educativos y plantea el interés de profundizar en los factores de efectividad potenciales. Así mismo, se ha observado la dificultad que tienen los diversos países para realizar la formación de los profesores en ejercicio mediante cursos tradicionales de perfeccionamiento.

Las organizaciones participantes en el Proyecto VALMAT están comprometidas en el campo de la enseñanza de las matemáticas y en la formación de profesores para la mejora de la calidad de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Al mismo tiempo, dichas organizaciones están interesadas en el campo de la evaluación de los resultados del aprendizaje y de los procesos de enseñanza de las matemáticas en el nivel escolar. El marco teórico de referencia es el del modelo de calidad de las escuelas efectivas, que concede un gran énfasis a la escuela como organización interesada por su propio perfeccionamiento. Dentro de este marco, la principal función de la escuela consiste en lograr que los alumnos alcancen los mejores resultados, en términos de aprendizaje significativo y constructivo, de acuerdo con su potencial y su trasfondo social y cultural.

1TIMSS, Third International Mathematics and Science Study o Tercer Estudio Internacional de Matemáticas y Ciencias.

30 Juan D. Godino

2. Algunos resultados de la evaluación TIMSS en España En 1991 se puso en marcha una nueva evaluación del rendimiento en el área de

matemáticas y ciencias en una muestra de más de 45 países, sobre escolares de edades de 13 y 14 años. Se conoce con el nombre de TIMSS, Third International Mathematics and Science Study o Tercer Estudio Internacional de Matemáticas y Ciencias. Las pruebas fueron aplicadas en España en la primavera de 1995. Los resultados españoles del TIMSS se pueden consultar en INCE (1997)23.

El objetivo del estudio fue conocer el nivel de rendimiento de los alumnos, comparar los resultados entre países y tratar de explicar las diferencias observadas en función de las distintas características de los sistemas educativos.

El punto de partida es la distinción de tres niveles de currículo:

• currículo intencional o previsto: el que oficialmente se fija en la normativa educativa y en las guías curriculares a las que deben ajustarse los libros de texto para su aprobación,

• currículo impartido o práctico: lo que los profesores enseñan a los alumnos al desarrollar en el aula el currículo intencional,

• currículo alcanzado o efectivo: lo que aprenden realmente los alumnos.

Las grandes líneas de investigación del estudio surgen a partir de los tres tipos de currículo antes descritos:

1. ¿Cómo varían los objetivos de aprendizaje del currículo oficial en Matemáticas y Ciencias de un país a otro y qué características de los sistemas educativos influyen para desarrollar esos objetivos?

2. ¿Cómo varía la puesta en práctica de unos países a otros y por qué?

3. ¿Qué conceptos, procesos y actitudes aprenden los alumnos?

4. Relaciones entre el currículo y el contexto social y educativo.

Un estudio de este tipo y de esta magnitud representa una oportunidad extraordinaria para comparar el currículo entre países, la forma de enseñar, los logros alcanzados y así favorecer la reflexión acerca del sistema educativo del país y su puesta en práctica. Los problemas de comparación derivados de la existencia de diferencias en el currículo, tanto en cuanto a contenido, como a objetivos y enfoque deben ser tenidos en cuenta al examinar los resultados de una evaluación internacional, incluso en el caso de que todos los países participantes hayan respetado rigurosamente los procedimientos de realización del estudio. Si bien en el TIMSS se acordó un currículo internacional para Matemáticas y otro para Ciencias, que está formado en gran parte por contenidos comunes a todos los países participantes, es inevitable que haya temas que aún siendo comunes reciban distinto tratamiento y se les atribuya distinta importancia en cada país.

Un dato relevante de este estudio comparativo para las autoridades educativas española ha sido que nuestro país ha obtenido resultados globales por debajo de las puntuaciones medias totales para los distintos países. En concreto, el porcentaje de respuestas correctas

2 Posteriormente se han realizado otras evaluaciones del sistema educativo español en los niveles no universitarios. El INCE realizó a finales del curso 1996/97 un estudio en los centros que imparten clases a alumnos de 14 y/o 16 años con la finalidad de diagnosticar el estado de la educación en los niveles correspondientes. Los resultados para las matemáticas se describen en López Varona (1998). En la actualidad se están aplicando las pruebas correspondientes a la evaluación TIMSS 2003.


de la prueba TIMSS aplicada en España a 7º curso en 1994 (antigua EGB) fue del 43%, mientras que el porcentaje medio a nivel internacional fue del 49%.

Sin duda una evaluación a gran escala como la realizada por el TIMSS tiene interés para comparar las orientaciones curriculares básicas de los distintos países y puede ayudar a tomar decisiones sobre su revisión y mejora. Sin embargo, consideramos que estudios de evaluación del rendimiento en matemáticas a escalas más locales (y modestas) pueden permitir proporcionar a los profesores información más detallada y contextualizada del comportamiento de los propios alumnos. Además, la reversión de los datos a los profesores con una cierto grado de elaboración que permita la comparación de los rendimientos de los alumnos de cada clase respecto de clases situadas en nuestro entorno sociocultural y educativo puede aportar mejores estímulos para la autoevaluación y reflexión, que los estudios a gran escala. Este es uno de los objetivos del Proyecto Valmat. En los siguientes apartados incluimos información correspondiente a una primera fase de desarrollo de dicho proyecto. Los resultados corresponden a tres niveles de análisis:

• los correspondientes a la muestra completa de 207 alumnos agrupados en 9 aulas

• resultados de una de las áreas de contenido (resolución de problemas aritméticos).

• Resultados de un problema aritmético específico.

Consideramos que la actuación del profesor para la mejora de los aprendizajes tiene que descender hasta el nivel de las dificultades específicas de los alumnos con tipos de problemas y áreas de contenido matemático específico, de manera que tome conciencia de fenómenos didácticos ligados a la comunicación y el estudio del saber matemático pretendido.

3. Evaluación inicial de matemáticas en sexto curso de primaria

3.1. El instrumento y la muestra

La prueba objetiva de matemáticas usada en este estudio ha sido desarrollada por profesores de la red de escuelas Avimes de Turín (Prueba PM5), traducida al español y adaptada por el equipo Valmat-Granada. Consta de 115 items o cuestiones que evalúan los conocimientos de los alumnos en las áreas de contenido de aritmética, geometría, medida, estadística, azar y probabilidad. Ha sido aplicada en la primera quincena de octubre del curso 2002-03 a un total de 207 alumnos de 6º curso de primaria pertenecientes a nueve clases de cuatro colegios de Granada.

La prueba está diseñada para su aplicación como evaluación final del aprendizaje matemático de los alumnos de 5º curso de primaria y ha sido aplicada en Turín en el curso 2000-01a una muestra de 930 alumnos de 5º. En una primera fase del proyecto Valmat, en nuestro caso la hemos aplicado como evaluación inicial en 6º curso, por lo que no es posible la comparación directa de los resultados. Por una parte, los alumnos tienen una edad media ligeramente superior (3 meses), pero al ser aplicada tras el paréntesis de las vacaciones de verano es de esperar que nuestros alumnos hayan "olvidado" temporalmente una parte significativa de los conocimientos matemáticos logrados en cursos anteriores. Además, algunos de los ítems no encajan adecuadamente en el currículo efectivamente implementado en nuestras clases.

32 Juan D. Godino

Esta circunstancia no resta interés a nuestros resultados ya que el centro de atención del proyecto son los procesos de autoevaluación que pueden realizar los maestros al examinar el rendimiento de sus propios alumnos y compararlos con los correspondientes a clases situadas en el mismo contexto educativo.

3.2. Algunos resultados globales El porcentaje global de respuestas correctas ha sido 54.8 y una desviación típica de

14.78. En el gráfico 1 se representan mediante gráficos de la caja las distribuciones del porcentaje de respuestas correctas en el total de la prueba para las distintas clases participantes. Cada gráfico de la caja muestra la mediana, cuartiles, máximo y mínimo, permitiendo comparar globalmente las distribuciones de dichos porcentajes. Las clases con menor puntuación promedio (mediana) han sido la 4 y 8 y la que ha obtenido mayor puntuación promedio ha sido la clase 5.

Grafico 1. Comparación de los porcentajes de respuestas correctas en el total de la prueba entre las distintas

aulas

201920232124203030N =

Grupos- aulas

987654321

Porc

enta

je d

e re

spue

stas

cor

rect

as

100

80

60

40

20

0

207

195

En el eje de abscisas se indican el número asignado a cada clase (1 al 9) y el número de alumnos en cada uno de los grupos que varía de 19 a 30.

El gráfico muestra aproximadamente la dispersión de los datos dentro de cada aula. La clase número 2 ha sido la que presenta menor variabilidad y la clase con mayor variabilidad corresponde a la número 3.

En la clase número 9 aparecen marcados dos alumnos (207 y 195) con una puntuación atípica con respecto a su grupo.

El segmento central de la caja indica el valor de la mediana de los porcentajes de respuestas correctas. Por ejemplo, la clase 1 ha obtenido un valor mediano del 60%. La clase con mayor puntuación promedio (en este caso, la mediana) ha sido la 5 (del orden del 70%), y la menor puntuación la 4 y 8. Sobresale la clase 2 por su pequeña variabilidad, mostrada por el valor del recorrido entre cuartiles (el primer y tercer cuartil indicados por las posiciones de las bases de las cajas). La mayor variabilidad corresponde a la clases 3, oscilando entre 40 y 65 %. Los alumnos nº 195 y 207, pertenecientes a la clase 9 tienen un


porcentaje de respuestas bastante menor respecto a su grupo (valores atípicos), lo que indica la necesidad de una indagación específica.

El gráfico 2 muestra la frecuencia absoluta de la variable “porcentaje de respuestas correctas en el total de la muestra”; el eje de ordenadas indica el número de alumnos cuyo porcentaje de respuestas correctas está entre los intervalos indicados en el eje de abscisas. Destaca el hecho que algo más de 60 alumnos tienen un porcentaje de respuestas correctas entre 60 y 70.

Gráfico 2 . Distribución del porcentaje de respuestas correctas

Porcentaje de respuestas correctas

9585756555453525155

70

60

50

40

30

20

10

0

Desv. típ. = 14,78 Media = 55

N = 207,00

El índice de dificultad de esta prueba, aplicada al final de 5º en Mayo de 2000 a una

muestra de 1566 alumnos del área de Turín y provincia ha sido de 0’59.

3.3. Resultados sobre el área de contenido de “Resolución de problemas aritméticos” El conjunto de 115 ítems que componen la prueba PM5 los hemos agrupado en 27

áreas de contenido matemático. En una de estas áreas se evalúa la capacidad de los alumnos para resolver problemas aritméticos mediante 8 cuestiones. En el anexo incluimos los enunciados de los problemas. Se trata de problemas de aplicación a contextos familiares (cesta de la compra) que se modelizan mediante una secuencia de operaciones aritméticas (adición, sustracción, multiplicación y división). En el apartado 3.4 estudiamos con detalle las respuestas a uno de estos problemas en el cual se requiere usar la sustracción, división y multiplicación de números naturales.

La puntuación media obtenida (sobre un máximo de 8) en la “resolución de problemas aritméticos” ha sido de 3,62 con una desviación típica de 2,464. La tabla 1 muestra la distribución de frecuencias del número de aciertos.

Tabla 1. Frecuencias absolutas y porcentajes de respuestas correctas

N° aciertos Frecuencia Porcentaje Porcentaje acumulado 0 28 13,5 13,5 1 24 11,6 25,1 2 34 16,4 41,5 3 14 6,8 48,3 4 16 7,7 56,0 5 33 15,9 72,0 6 26 12,6 84,5 7 26 12,6 97,1 8 6 2,9 100,0

Total 207 100,0

34 Juan D. Godino

Como vemos sólo 6 alumnos (2,9%) lograron resolver correctamente los 8 problemas aritméticos, mientras que el 44% logró resolver 5 o más problemas.

3.4. Resultados comparativos entre aulas en un problema aritmético Con el fin de mostrar la fuerte variabilidad de los alumnos en este área de contenido

indicamos a continuación los resultados para dos de los problemas aritméticos incluidos en la prueba. El primer problema (ítem 51) requiere hacer una resta, una división y una multiplicación. Se ofrecen tres alternativas entre las que los alumnos deben seleccionar la respuesta correcta (2ª opción).

Ítem 51:

Un comerciante compra 894 huevos. Mientras los organiza en paquetes de 6 rompe 24 huevos. ¿Cuántos paquetes prepara? Si por cada paquete gana 50 céntimos de euro ¿cuánto ganará por la venta de todos los paquetes de huevos?

Soluciones ofrecidas como alternativas: Solución 1 Solución 2 Solución 3

894 : 6 = 149

149 - 24 = 125

0,50 x 125 = 62,50

El comerciante prepara 125 paquetes de huevos y gana 62,50 euros.

894 - 24 = 870

870 : 6 = 145

0,50 x 145 = 72,50


894 : 6 = 149

0,50 x 149 = 74,50


En la tabla 2 incluimos los porcentajes de respuestas dadas por los alumnos a cada una de las soluciones ofrecidas, tanto para la muestra total de 207 alumnos, como para cada una de las 9 clases. El índice de dificultad global ha sido de 0.454, esto es, el 45,5% de los alumnos han resuelto correctamente el problema. Vemos que hay una fuerte variabilidad entre las clases, ya que en la clase C2B el porcentaje de respuestas correctas es del 76,7% mientras que en la C4B es sólo del 21,1%. Es también objeto de reflexión la variación en los porcentajes de respuesta a los dos distractores: el 31,4% han elegido la solución 1, mientras que sólo el 5,3% lo han hecho para la solución 3.

Tabla 2: Porcentaje de respuestas en las nueve clases y totales (item 51)

Clases

Respuestas C1

(20)

C2A

(30)

C2B

(30)

C3A

(24)

C3B

(21)

C3C

(23)

C4A (20)

C4B

(19)

C4C

(20)

Total

(207)

Solución 1 31,4 26,7 13,3 41,7 19,0 39,1 40,0 36,8 35,0 31,4

Solución 2 45,4 40,0 76,7 41,7 71,4 47,8 35,0 21,1 35,0 45,4

Solución 3 5,3 6,7 3,3 4,2 9,5 4,3 5,0 ---- 5,0 5,3

Subtotal 82,1 73,3 93,3 87,5 100,0 91,3 80,0 57,9 75,0 82,1

R. blanco 17,9 26,7 6,7 12,5 ----- 8,7 20,0 42,1 25,0 17,9

Total 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0

Solución 2 (correcta); entre paréntesis se indica el número de alumnos en cada clase.


El segundo problema que incluimos requiere realizar una suma y una división, así como interpretar contextualmente el resto de la división, de manera que el cociente se debe aproximar por exceso. La tabla 2 muestra los resultados obtenidos para las nueve clases.

Ítem 62:

Lee el texto del problema.

En una escuela hay 415 niños y 35 maestros que participan en la excursión de fin de curso. Se pueden alquilar autobuses de 60 plazas cada uno. ¿Cuántos autobuses hay que alquilar? Indica con una cruz la solución que consideres correcta:

Solución 1 Solución 2 Solución 3

6 autobuses, porque

415 : 60 = 6 resto 55

7 autobuses, porque

415 + 35 = 450

450 : 60 = 7 resto 30

8 autobuses, porque

415 + 35 = 450

450 : 60 = 7 resto 30

Tabla 3: Porcentaje de respuestas en las nueve clases y totales (Item 62)

Clases

Respuestas C1

(20)

C2A

(30)

C2B

(30)

C3A

(24)

C3B

(21)

C3C

(23)

C4A

(20)

C4B

(19)

C4C

(20)

Total

(207)

Solución 1 15,0 16,7 13,3 8,3 ---- 8,7 5,0 ---- 10,0 9,2

Solución 2 35,0 46,7 70,0 58,3 28,6 21,7 60,0 36,8 55,0 46,9

Solución 3 35,0 33,3 10,0 12,5 71,4 65,2 25,0 10,5 20,0 30,9

Subtotal 85,0 96,7 93,3 79,2 100,0 95,7 90,0 47,4 85,0 87,0

R. blanco 15,0 3,3 6,7 20,8 ---- 4,3 10,0 52,6 15,0 13,0

Total 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0

El alto porcentaje de respuestas dadas a la solución 2 (incorrecta), casi la mitad de los

alumnos, parece indicar la necesidad de enfatizar la interpretación contextual de las soluciones obtenidas tras la aplicación de los algoritmos conocidos, en este caso la división entera.

3.5. Análisis y reflexión sobre los resultados La información proporcionada por los resultados de la prueba objetiva aplicada

permite crear un contexto de reflexión, no sólo para los profesores implicados directamente, sino también formular cuestiones de índole general aplicables en otros contextos. Entre dichas cuestiones citamos las siguientes:

1. ¿Qué conocimientos matemáticos se ponen en juego en la resolución de los problemas?

2. ¿Consideras que los índice medio de dificultad son altos o bajos? ¿Cuáles pueden ser las causas de la fuerte variabilidad del índice de dificultad entre las

36 Juan D. Godino

nueve clases? ¿Qué porcentaje de respuestas correctas a este ítem esperarías en los alumnos de tu escuela?

3. En las respuestas al item 51 los alumnos que no responden correctamente eligen mayoritariamente la solución 1(el 31,4%), frente al 5,3% de la solución 3. ¿Cuál crees que puede ser el motivo de esta diferencia?

4. ¿Cómo contemplas en tus programaciones de aula el estudio de la resolución de problemas aritméticos? ¿Se asigna un tiempo específico semanal para la resolución de problemas?

5. ¿Consideras que estos ítems son apropiados para evaluar los conocimientos sobre la resolución de problemas aritméticos? ¿Qué ventajas e inconvenientes crees que tiene emplear un formato de pregunta con opciones cerradas de respuesta?

Como causas plausibles de las diferencias en el porcentaje de respuestas dadas por los alumnos a los dos distractores del ítem 51 (solución 1 y solución 3) podríamos indagar el hecho de que en la solución 3 no participa uno de los datos del problema (los 24 huevos que se rompen, que es necesario restar en primer lugar). Esto parece condicionar las decisiones de los alumnos: los datos que se dan en un problema se deben usar de alguna manera (cláusula implícita del “contrato didáctico”). El caso de la solución 1, elegida casi por la tercera parte de los alumnos, parece sugerir una tendencia de los alumnos a aplicar de una manera mecánica las operaciones aritméticas, respetando el orden en que aparecen en el enunciado y sin reflexionar sobre el sentido de las mismas: dado que en el enunciado se indica en primer lugar que “organiza los huevos en paquetes de 6”, por tanto, primero divido; después se dice que se rompen 24 huevos, luego resto 24 (sin tener en cuenta que el resultado anterior son paquetes y no huevos; después se multiplica por 50 que es el tercer dato del problema.

4. Conclusiones El Proyecto Valmat comenzó su actividad en Marzo de 2002 y tiene una duración

prevista de dos años. El punto de partida ha sido la experiencia positiva que se viene desarrollando en Italia desde hace varios años consistente en la creación de redes de escuelas (Red Avimes, Turín) que colaboran mutuamente en la realización de estudios comparativos del rendimiento, con vista a su autoevaluación y mejora. Valmat es una apuesta de la Comisión Europea, dentro del Programa Sócrates – Comenius, para favorecer la difusión de estas experiencias entre los países miembros.

En nuestro caso, hemos iniciado la creación de una pequeña red de 4 escuelas (nueve aulas) con el fin de adaptar la experiencia italiana a nuestra realidad educativa. En una primera fase disponemos de información sobre los conocimientos y destrezas matemáticas de los alumnos de primaria (hasta 5º curso) que va a permitir a los maestros reflexionar sobre el aprendizaje de sus propios alumnos, con relación a otros de nuestro propio entorno educativo. Además, esta iniciativa está permitiendo establecer vínculos de colaboración entre las escuelas y la universidad, que sin duda son muy necesarios para la mejora de la educación matemática.

Este trabajo está mostrando también la necesidad de tener en cuenta, no sólo los estudios comparativos de evaluación a gran escala, sino también estudios más locales y referidos a áreas de contenidos matemáticos específicos, como la resolución de problemas. La mejora de la educación matemática precisa hacer análisis detallados de los


comportamientos e interpretaciones de los alumnos ante los tipos de tareas que deseamos sean capaces de resolver.

Referencias Bibliográficas INCE (1997). Resultados españoles de matemáticas en el TIMSS. Madrid: Instituto

Nacional de Calidad y Evaluación. [Disponible en Internet: http://www.ince.mec.es/pub/]

López, J. A. (1998). Diagnóstico general del sistema educativo. Resultados en matemáticas. Suma 29: 17-27.

Reconocimientos: Este trabajo ha sido realizado en el marco del Proyecto BSO2002-02452 del Ministerio

de Ciencia y Tecnología, Programa de Promoción General del Conocimiento, y del Proyecto VALMAT, Programa Sócrates 9407-CP-1-2001-1-IT-Comenius-C21.

http://www.ince.mec.es/pub/

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EXPERIENCIAS SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN EL AULA DE SECUNDARIA

Francisco Luque Mejías

El problema de la resolución de problemas de matemáticas en secundaria La charla – conferencia la voy a dividir en cuatro apartados:

1.- Las Matemáticas y los problemas.

2.- Los ejercicios y los problemas.

3.- Los problemas y su resolución.

4.- Resolución de problemas en Secundaria.

1.- Las Matemáticas y los problemas. Las Matemáticas constituyen un conjunto amplio de conocimientos que tienen en

común un determinado modo de representar la realidad.

Se caracterizan por la naturaleza lógico – deductiva de su aprendizaje.

Nacen de la necesidad de resolver determinados problemas y se sustentan por su capacidad para tratar, explicar, predecir, modelizar situaciones reales y dar consistencia y rigor a los conocimientos científicos.

La Aritmética nació en cuanto al hombre se le presentó el problema de contar sus bienes.

La Geometría en cuanto quiso medirlos y construirlos (acotar terrenos, construir viviendas, etc.).

En las tres operaciones primitivas de contar, medir y construir, está el origen de la Matemática.

La Matemática, contra lo que muchos puedan creer, se presta grandemente a despertar potenciales de interés y afectividad, si se saben presentar sus problemas en la forma estimulante de un misterio a descifrar o de un apuro vital a resolver. Además una de los potenciales educativos de la Matemática radica en el hecho de que sus resultados son auto comprobables. Por ello, un alumno acostumbrado a corregirse a sí mismo por el sencillo vehículo de la comprobación de sus resultados propios, y, por tanto, de sus propios errores, sabrá ser más seguro en sus pasos, menos precipitado y más objetivo en sus juicios y apreciaciones.

La resolución de problemas matemáticos en su sentido más amplio, significa prácticamente lo mismo que el uso de las matemáticas.

40 Francisco Luque Mejías

La resolución de problemas significa mucho más que la aplicación de técnicas específicas para la resolución de distintos enunciados. Además refuerza el proceso por el que se construye el tejido de las Matemáticas.

La resolución de problemas ha de ser el punto central de atención del currículo de Matemáticas. En sí misma, constituye un objetivo primario de toda educación matemática y una parte integral de toda la actividad matemática. No es un tema diferenciado, sino un proceso que debe impregnar el programa entero y proporcionar el contexto donde puedan aprenderse conceptos y destrezas.

Cuando la resolución de problemas es parte integrante de un currículo, empezando desde los primeros encuentros del alumno con las Matemáticas, éste desarrollará la correcta visión de lo que realmente significa aprender Matemáticas y resolver problemas.

Cuando la resolución de problemas pasa a ser una parte integral de la docencia en el aula y los alumnos van teniendo éxito en esta tarea, van ganando confianza en el uso de las Matemáticas y desarrollarán una mente perseverante, aumentan su capacidad para comunicarse matemáticamente y utilizan procesos de pensamiento de mayor nivel.

La resolución de problemas es el proceso por el que los estudiantes experimentan la potencia y la utilidad de las Matemáticas en el mundo que les rodea. Es también un método de indagación y aplicación que ofrece un contexto sólido para el aprendizaje y la utilidad de las Matemáticas y para fomentar la motivación de su desarrollo se producen situaciones que permiten a los alumnos ser especialmente creativos al formular problemas y adquirir confianza en su capacidad para resolverlos, si participan en actividades que los incluyan.

COMENTAR

• Concepto de punto → El sitio donde se pincha el compás para hacer la circunferencia.

• Concepto de paralelogramo → Son dos rectas paralelas que sirven para el gramo.

• El pescadero de la esquina tiene 36 años, calza el 40 de zapatos, el 44 de camisa y el 48 de pantalón. ¿Qué pesa? Respuesta del alumnado 52 Kg. (el 70%) en lugar de “pescado”.

2.- Los ejercicios y los problemas. En el aprendizaje de las Matemáticas hay que distinguir entre: ejercicios, cuestiones y

problemas.

Los ejercicios tienen como objetivo aplicar los conocimientos y conseguir agilidad en las estrategias de cálculo. Basta poseer unos conocimientos concretos y saber aplicarlos.

Las cuestiones tienen como objetivo controlar si el alumno ha entendido la teoría y, a la vez, consolidar los conceptos que se han estudiado.

Los problemas tienen como objetivo utilizar los conocimientos y estrategias estudiadas para resolver situaciones de la vida real y de otras ciencias.

Un ejemplo.- La analogía entre las propiedades formales de la adición y de la multiplicación sugiere fácilmente en el alumno de Secundaria la confusión de una por otra en cuanto se simbolizan. Creerán ciertas las siguientes igualdades:


ba

mbma=

++

( ) nnn baba +=+

yxyx +=+ 22

Los graves errores indicados en las igualdades anteriores nos determinan que los alumnos no han entendido la teoría (propiedades de la suma y del producto) o no saben aplicar los conceptos estudiados (sólo memoria, sin razonar, ni pensar).

Por una u otra razón los resultados al contestar a ejercicios o cuestiones serán deficientes. Por tanto, se hace necesario en Secundaria, más que en ninguna otra etapa, que el alumno, con ayuda del profesor, vaya logrando su técnica de cálculo por un proceso propio de auto corrección que le habitúe a reconocer sus fallos, a rectificarlos y a adquirir seguridad y confianza.

Enfrentándonos con la cuestión de los problemas, nuestra principal acción como profesores no consiste en resolverlos, sino en idearlos y en plantearlos. Resolver un problema planteado es buscar el camino para llegar a una solución, pero siempre reduce la libertad creadora del alumno que es el que debe plantearlo y resolverlo, cometiendo o no errores, que debe corregir.

Ejemplo.- Carmen compra tres tortas y María dos. A la hora de merendar se les une su amiga Ana que no trae tortas, pero todas meriendan la misma cantidad. Al compartir gastos, Ana tiene que poner 5 €. ¿Cómo se reparten el dinero Carmen y María?

Es muy probable (en mi aula el 86%) que la respuesta sea que 3 € son para Carmen y 2 € para María. No se piensa, porque el problema se ve muy fácil, existe precipitación en la respuesta, etc.

La resolución de problemas es comparable con la realización de un deporte. Ésta requiere un esfuerzo y proporciona satisfacciones. Resolver un problema supone un reto (componente deportiva), pero también tiene una componente lúdica porque necesita poner en juego creatividad, curiosidad, espíritu aventurero, etc. No hace falta saber mucho. Basta con pensar bien y tener una actitud mental positiva y creativa. Por tanto, todo el mundo sabe “resolver problemas”, aunque sea poco, y siempre se puede mejorar.

Se debe tener en cuenta que una dificultad para cuya resolución se conoce un camino no es un problema, sino un ejercicio. El problema se plantea cuando no se conoce el camino de resolución y, a veces, ni la magnitud de la dificultad a resolver.

Algunos rasgos que distinguen un ejercicio de un problema pueden ser, en mi opinión:

1. Ejercicio = E. Está clara la pregunta de lo que se pide y el camino para llegar a la solución.

Problema = P. De entrada se desconoce el camino que nos lleva a la solución, y, a veces, como abordarlo.

2. E. Se resuelve aplicando conocimientos y mecanismos previamente aprendidos y, por tanto, es fácil estimar el tiempo que se puede invertir en la resolución.


P. Para resolverlo se requiere reflexionar, profundizar en los conocimientos y relacionar conceptos y datos y, por tanto, no se sabe el tiempo que se necesita para encontrar el camino de su resolución (horas, pueden ser días).

3. E. Tienen un nivel determinado (triviales para un nivel superior), pero imposibles para un nivel inferior.

P. Suele ser posible y de interés para personas de distintos niveles.

Ejemplos.

I. En la caja cubierta de un mago hay revueltas 10 bolas blancas y 10 bolas negras. ¿Cuántas bolas tenemos que sacar, sin mirar, para tener seguro dos blancas?

II. Tenemos seis bolas iguales de tamaño y color. Una de ellas pesa 20 mg. menos que las demás, ¿cómo podríamos detectarla haciendo sólo dos pesadas? ¿Es única la solución?

III. Entré en una pastelería y una caja de bombones yo encontré. En ella bombones hallé, pero bombones no comí y bombones no dejé, ¿cuántos bombones hallé en la caja?

IV. ¿Es cierta la igualdad 5 duros x 5 duros = 25 duros? Razona la respuesta.

3.- Los problemas y su resolución. Un aula que se orienta hacia la resolución de problemas queda llena de preguntas,

especulaciones, investigaciones y exploraciones que estimulan la reflexión.

En un entorno así, el principal objetivo del profesor es el de promover para el aprendizaje de todos los contenidos de las Matemáticas un enfoque basado en la resolución de problemas.

Uno de los objetivos principales del enfoque de resolución de problemas para la docencia es que los alumnos sean capaces de desarrollar y aplicar estrategias para su resolución. Entre ellas, como se verá después, se incluyen el uso de materiales manipulativos, el ensayo y el tanteo, la elaboración de tablas y listas ordenadas, la elaboración de diagramas, etc.

Resolver un problema requiere buscar con ilusión alguna acción apropiada para lograr una meta concebida, que no es inmediata de alcanzar. Para rendir en el trabajo de esa búsqueda es conveniente tener un método que ayude, aunque no asegure el éxito.

Por ello, creo interesante dar algunos consejos que pueden ayudar y mejorar la capacidad de resolución de problemas. Pueden ser:

a) Confianza.- No hace falta saber mucho para resolver un problema. Basta pensar correctamente y actuar con convicción y tranquilidad, pero sin miedo.

b) Constancia y paciencia.- No se puede abandonar ante la dificultad, porque cada problema requiere su tiempo. Pretender resolverlo a la primera es un grave error, que no ayuda al aprendizaje.

c) Concentración.- Teniendo en cuenta que la resolución de problemas es una actividad mental compleja, requiere poner todos los sentidos en su realización.


d) Buscar éxito.- Al principio pueden surgir sentimientos de fracaso y de subestima, pero cuando se nota el progreso se siente satisfacción. Es un proceso lento y, por tanto, los frutos tardan en llegar. El tiempo dedicado, aunque no se haya encontrado la solución, siempre es provechoso.

e) Sacar partido.- Un problema es una fuente de aprendizaje y reflexión. Desarrolla el razonamiento lógico y la creatividad, y aumenta el nivel de abstracción.

En la resolución de un problema se deben tener en cuenta las etapas o pasos siguientes:

1.- Comprender el problema.- Leer el enunciado con atención y reflexionar sobre él. ¿En qué consiste? ¿Qué se conoce? ¿Qué condiciones impone? ¿Qué se pide?

2.- Concebir un plan de resolución o estrategia, que siempre debe ser el que más claro resulte después de la reflexión, aunque no sea el correcto. En este caso se elabora uno nuevo con paciencia y sin desesperación. Algunas estrategias que deben tenerse en cuenta son:

- Representar los datos (esquema, dibujo, etc.).

- Elección de la notación con el fin de relacionar los datos con las variables elegidas. La notación debe ser clara y concisa (aritmética, álgebra, etc.).

- Estudiar posibilidades para analizar las que se pueden aceptar o descartar (tablas doble entrada, diagrama en árbol, etc.).

- Sistematizar los pasos a seguir.

- Experimentar en la búsqueda de la solución mediante tanteos, con casos concretos, para observar los errores que se van cometiendo (deducir ley de formación, inducción, etc.).

- Aprovechar la regularidad del problema que nos lleva a descubrir la solución.

- Relacionar unos datos con otros a través de preguntas intermedias.

3.- Ejecución del plan concebido.- Si el plan está bien concebido pueden surgir dificultades o atascos al llevarlo a cabo. En este caso, no desanimarse y rectificar los posibles errores cometidos en el desarrollo o indicar que debe de haberlos.

Si no está bien concebido, se pondrá de manifiesto al intentar llevarlo a cabo. En este caso, se debe volver a plantearlo con paciencia e ilusión.

4.- Reflexionar sobre la solución, es decir:

- Comprobar que la solución es buena y responde a lo que se planteaba. Darla de forma coherente.

- Interpretar la solución, razonando si es única.

- Plantear problemas similares, suprimiendo o añadiendo condiciones.

5.- Redactar la solución. El proceso de resolución se debe redactar de forma clara, ordenada y comprensible. También se debe de reflexionar sobre la existencia de otras formas de resolución.

Si no se llega a la solución se debe de describir el proceso seguido para corregir los posibles errores y recibir orientaciones.


Finalmente quiero exponer algunos consejos que pueden ayudar a pensar mejor y, por tanto, ser más eficaz en la resolución de problemas:

• Leer con tranquilidad y planificar mentalmente las posibles estrategias de resolución.

• Generar ideas, aunque parezcan descabelladas.

• Actuar de modo sistemático.

• Mantener el problema en la mente y comprenderlo en su totalidad.

• No darse por vencido, ni agobiarse, cuando se tarde en encontrar el camino correcto.

• Tener constancia y paciencia, porque no se aprende en horas, ni de un día para otro.

• Aprender de los errores cometidos y procurar no olvidarlos.

4.- Resolución de problemas en Secundaria. En los cursos de Secundaria conviene alcanzar, en la mayor medida posible, los fines

educativos de la enseñanza de las Matemáticas, puesto que desarrollan la inteligencia y ayudan a la formación del carácter. Estos fines se relacionan con:

a) Los procesos de la lógica (reflexionar, razonar, analizar, abstraer, deducir, etc.).

b) Las cualidades racionales del pensamiento y de su expresión (orden, precisión, claridad, concisión, etc.).

c) La formación del espíritu científico (objetividad, imaginación, intuición, afán de investigación, etc.).

Por otra parte, a la enseñanza en general hay que exigirle dos fines: el utilitario y el formativo.

En Secundaria debe prevalecer el formativo. En Primaria deben de equilibrarse o dar prioridad al utilitario con objeto de suministrar al alumno aquellos conocimientos y aquellas destrezas fundamentales e indispensables, como son la lectura, la escritura, el cálculo, la expresión oral, etc.

A lo largo de la Etapa de Secundaria, las mayores dificultades que se les presentan a los alumnos son:

a) Prioridad de operaciones (1º y 2º ESO).

b) Problemas aritméticos con fracciones (2º y 3º ESO).

c) Porcentajes (1º y 2º ESO).

d) Expresiones algebraicas (1º ESO).

e) Identidades notables (2º, 3º y 4º ESO).

f) Problemas de divisibilidad (2º y 3º ESO).

g) Potencias de exponente entero (2º, 3º y 4º ESO).

h) Fracciones algebraicas (3º y 4º ESO).


i) Resolución de ecuaciones con coeficientes racionales (3º y 4º ESO).

j) Estudio de las soluciones de problemas (3º y 4º ESO).

k) Sector, segmento y corona circulares (1º y 2º ESO).

l) Relación entre áreas de figuras semejantes (2º y 3º ESO).

m) Relación entre volúmenes de figuras semejantes (3º y 4º ESO).

n) Ángulos en la circunferencia (3º ESO).

o) Operaciones con radicales (3º y 4º ESO).

p) Relaciones métricas de triángulos (3º y 4º ESO).

q) Intervalos reales. Desigualdades. Valor absoluto (4º ESO).

r) Teorema del resto y ecuaciones irracionales (4º ESO).

Los siguientes ejemplos u otros similares se deben de proponer a los alumnos de Secundaria que se indican, para que progresivamente aprendan a pensar y razonar y no contesten precipitadamente. Los resultados motivarán a los alumnos en el aprendizaje de las Matemáticas y crearán un ambiente de constancia y paciencia en la resolución de problemas.

I. Para los alumnos del PRIMER CICLO DE SECUNDARIA (12 ó 13 años), propondría:

1.- Escribe todos los números de tres cifras que se pueden formar utilizando solamente los dígitos 1, 2 y 3.

2.- Un transportista carga en su camioneta 4 lavadoras y 5 microondas. Cada lavadora pesa como 5 microondas, y en total ha cargado 250 Kg. ¿Cuánto pesa cada lavadora?

3.- Calcula el valor de cada letra de forma que cada fila, cada columna y cada diagonal del siguiente cuadrado sumen lo mismo:

A 7 B

M N P

8 15 10

4.- Cinco atletas comentan a su entrenador el resultado de la última carrera. Ellas dicen:

ANA: Esta vez he llegado delante de Carmen.

CARMEN: Beatriz ha llegado detrás de Elena.

BEATRIZ: Elena no ha ganado.

ELENA: Ana ha llegado la cuarta.

DOLORES: Ha sido un día bueno para hacer deporte.

¿Cuál ha sido el orden de llegada?

5.- Un matrimonio viaja en su coche con su hija y su hijo. Cada uno se entretiene en el viaje con una actividad diferente: conducir, comer, dormir, leer. El padre ni duerme, ni lee. La madre se marea si lee y jamás come en los viajes. El hijo no deja leer, si está despierto. ¿Qué actividad hace cada uno?


6.- Expresa el número 10 utilizando cinco nueves y las operaciones que necesites. ¿Hay solución única?

7.- Juan, Pedro y Carlos se ponen a contar de tres en tres, diciendo cada uno un número por turno. Juan dice 3, Pedro 6, Carlos 9, Juan 12, etc. ¿Quién dice el número 192?

8.- Una raqueta y una pelota cuestan 12,84 € y la raqueta cuesta 12 € más que la pelota. ¿Cuánto cuesta la pelota?

9.- Completa las casillas que faltan para que sea correcta la operación. ¿Es única la solución?

8ٱٱ

x ٱ

276ٱ

10.- Tenemos cinco monedas, tres de 2 € y dos de 1 €. Están colocadas de la forma 2-1-2-1-2 y queremos colocarlas de la forma 1-1-2-2-2 moviendo monedas consecutivas de dos en dos, partiendo de la posición inicial. ¿Cómo lo haces?

11.- A una reunión acuden 10 personas y todas se saludan dándose un apretón de manos. ¿Cuántos apretones se habrán dado cuando se hayan saludado todos?

12.- Calcula los valores que deben de tener A, B y C para que la suma siguiente sea correcta:

A B C

+ A B C

A B C

B B B

13.- Un encuestador ha preguntado a un grupo de personas sobre sus preferencias para pasar las vacaciones. Ha resultado que: la playa la prefieren 80 personas, la montaña 45 personas y ambos lugares 13 personas. Si a 24 personas no les gusta la playa, ni la montaña, ¿cuántas fueron encuestadas?

II. Para los alumnos del SEGUNDO CICLO DE SECUNDARIA (14 ó 15 años), propondría:

1.- En el mercado del trueque se cambia:

Una sandía y un melón por diez Kg. de patatas.

Diez Kg. de patatas tres panes.

Dos melones por tres panes.

¿Cuántas sandías cambiarán por diez Kg. de patatas?

2.- En una fiesta se reúnen 25 personas. Ana baila con 6 chicos, Rosa con 7, Carmen con 8 y así sucesivamente hasta Laura que baila con todos los chicos que hay en la reunión. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas había en la fiesta?

3.- En un tonel A hay doble cantidad de vino que en otro B. Sacando 5 litros de cada uno, el A tendría triple cantidad de vino que el B. ¿Cuántos litros hay en cada tonel?


4.- Calcula el resultado de 999 sin utilizar la tabla del nueve, ni la calculadora.

2

5.- A unas pruebas de selección se presentan 18 aspirantes de Granada, Málaga, Córdoba y Sevilla. Aprobaron todos los de Córdoba que representaban el 10% del total de aprobados, ¿cuántos aprobaron?

6.- Una campesina lleva una cesta de huevos al mercado. Al preguntarle cuántos huevos tiene contesta:”El número exacto no lo sé, pero al contarlos de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4 y de 5 en 5, me sobraron uno, dos, tres y cuatro huevos, respectivamente”. ¿Cuántos huevos había en la cesta?

7.- Una fábrica de muebles de Lucena dispone de una serie de cadenas de producción con las siguientes características: cadena y media produce dormitorio y medio en día y medio. ¿Cuántos dormitorios producen nueve cadenas en 9 días?

8.- Comprueba que k = 2634

2634 −++ es un número entero.

9.- Sin hacer operaciones, calcula el valor de:

x = 123450 2 - 123440·123460

10.- Calcula el valor de las letras a, b, c, d y e sabiendo que:

a b c d e

x 4

e d c b a

11.- Se dispone de varias jaulas para agrupar pájaros. Si se meten tres pájaros en cada jaula, sobra un pájaro y si se meten cinco, sobran tres jaulas. ¿Cuántos pájaros y cuántas jaulas hay?

12.- En uno de los platillos de una balanza se ha colocado un queso. En el otro

platillo se han colocado 43 de un queso igual al anterior más una pesa de

43 de Kg.

La balanza queda en equilibrio, ¿cuánto pesa el queso?

13.- Juan, con su cortacésped, siega en 15 minutos la misma superficie que su hermano menor Pedro en una hora y cuarto. Si entre los dos, en media hora, siegan 180 m , ¿qué superficie siega Pedro en 6 horas? 2

14.- Para embellecer un paseo rectilíneo, se van colocando, en la línea central del paseo jardineras hexagonales rodeadas de baldosas de la misma forma. ¿Cuántas baldosas se necesitan para embellecer una hilera de 20 jardineras?

15.- Busca los valores de a y de x de manera que se verifique la igualdad:

7 + xa +−−+ 13301 = 8


Resumen.- El objetivo primordial de mi intervención es que todos los profesores de Matemáticas

hagamos ver a los alumnos que la resolución de problemas no es algo imposible de alcanzar para ellos, siempre que tengan en cuenta:

1.- Constancia y paciencia

2.- Pensar y razonar

3.- Imaginación y lógica

4.- Ánimo y no desilusión

5.- Éxito y alegría

6.- No darse por vencidos porque los frutos llegarán, aunque sea tarde

7.- Tener confianza en sí mismos

Conclusión.- Unas Matemáticas sin problemas → Jardín sin flores

Referencias Bibliográficas Puig Adam (1959). “La Matemática y su Enseñanza”. Publicaciones de la

Dirección General de Enseñanza Media.

Brian Bolt (1988). “Más actividades de Matemáticas”. Editorial LABOR.

Rus Mansilla (1993). “Ponte a prueba”. Edita Excmo. Ayuntamiento de Lucena.

“Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática” (1991). S.A.E.M. Thales.

Colera, J. y otros (2000). “Textos de Matemáticas”. Editorial ANAYA.

49

ARTE FRACTAL

José Martínez Aroza

Advertencia

Este texto corresponde a la conferencia del mismo título que he impartido en varias ocasiones ante distintos públicos. Su concordancia con la charla misma viene gravemente condicionada y limitada por dos causas. En primer lugar, las características del medio. Durante la conferencia me apoyo en un abundante despliegue visual que, en mi opinión, la hacen mucho más atractiva que la mera lectura de un texto, el cual viene acompañado solamente de algunas de las imágenes que muestro en vivo, y no puede ofrecer videos con imágenes en movimiento. Y en segundo lugar porque en aquella hay una parte esencial en la que el público participa en la elaboración de una obra colectiva de arte fractal.

Con el fin de atenuar en lo posible el primero de los defectos mencionados he publicado en mis páginas web personales un poco del material visual complementario, con el que el lector podrá ayudarse (se lo recomiendo vivamente) y disfrutar más de la lectura. El material publicado en mi página http://www.ugr.es/local/jmaroza incluye también algunos vídeos, pero he de advertir que su descarga puede ser lenta, ya que son archivos muy grandes (dos de ellos rondan los 200 Mb).

En lo referente a la segunda carencia (la confección de una obra fractal por el público), me temo que no puedo hacer nada salvo indicar que un buen programa para hacer fractales se puede descargar del sitio web http://www.ultrafractal.com, y es tan fácil de usar que se disfruta desde el primer momento.

En apariencia, el objetivo que persigue esta exposición no es más que el de entretener, hacer pasar un buen rato al oyente o al lector; pero hay un propósito oculto que puede pasar inadvertido a lo largo del texto, y es el de mostrar que hay formas de usar las matemáticas para cosas no convencionales, distintas de las usuales, y el de suscitar interés por ellas a través de uno de sus aspectos relativamente más atractivos, recientes y poco difundidos.

Arte y Matemáticas El título preliminar que esta charla tuvo era “Arte Matemático”, el cual también habría

servido. Pero al final, “Arte Fractal” me pareció más concreto, más específico.

El Arte y las Matemáticas son dos materias en apariencia contrapuestas, enfrentadas, de naturalezas incompatibles. Arte significa sensibilidad, sentimiento, emoción, afectividad, excitación, todo lo ligado al corazón. Matemática es una palabra que suena a frialdad, precisión, abstracción, rigor, es decir, cosas ligadas a la mente racional y al pensamiento analítico. Parece difícil conciliar ambas disciplinas, encontrar una zona común en donde ambas interactúen, un terreno en donde justamente se usen las matemáticas para producir obras de arte.

Pues bien, esa región existe. Es más, esa región es un territorio salvaje y fértil, prácticamente inexplorado, y las imágenes fractales están en algunos de sus rincones más bellos.

El Arte no es más que la imitación de la naturaleza

Lucio Anneo Séneca

http://www.ugr.es/local/jmaroza

http://www.ultrafractal.com/

50 José Martínez Aroza

Me gustaría comenzar la exposición citando a uno de los más grandes pensadores y filósofos españoles, andaluz, cordobés por más señas, quien hace 2000 años ya tenía una idea clara de lo que es el arte. Yo diría que en la actualidad esa afirmación de Séneca no está tan clara como entonces, pero tampoco es malo que el concepto de lo que es y lo que no es arte esté bajo discusión.

También creo que es mi obligación precisar algunos detalles. En primer lugar, no entiendo mucho de arte, no más que cualquier ciudadano de cultura media: distingo el gótico del románico en arquitectura, el cubismo del surrealismo en pintura, y soy capaz de diferenciar bien entre la música de Alejandro Sanz y la de Johann Sebastian Bach, pero poco más. En segundo lugar, sí que entiendo algo de Matemáticas, naturalmente, es mi profesión, sería un incompetente si no fuese así; pero tanto mi especialidad docente como mi investigación van por caminos ligeramente distintos al tema de esta charla. De hecho, hace tan solo unos meses mis conocimientos sobre fractales eran más bien superficiales, aunque en la actualidad creo que podría decirse que alcanzo el nivel de un aficionado entusiasta.

La Frontera entre el Arte y las Matemáticas

Las obras que aparecen en las Figuras 1 a 12 proceden de la exposición internacional de imágenes fractales titulada “La Frontera entre el Arte y las Matemáticas”, que se exhibió en Granada en Julio de 2000, primero en la Facultad de Ciencias y después en el Palacio de Exposiciones y Congresos, con motivo de la Conferencia Euro-Árabe de Matemáticas “Alhambra-2000”. Todas ellas son obras de prestigiosos y expertos artistas.

Figura 1: El Arrecife de Coral, de Linda Allison


Los cuadros de esta exposición fueron generados por ordenador y pasados a soporte de gran formato en papel fotográfico por el profesor Javier Barrallo, de la Universidad del País Vasco, a quien debemos la gentileza de darme el permiso para reproducirlas aquí, y de suministrarme parte del material que se muestra.

Figura 2: Volcano, de Javier Barrallo

Figura 3: Ángeles en Verde, de Linda Allison

Una fórmula Cada una de estas obras es la expresión plástica de una fórmula matemática. Si, una

fórmula matemática. Con el tratamiento adecuado de color, y escogiendo ciertas transformaciones sencillas, una sola fórmula matemática puede dar lugar, en un ordenador, a esta explosión de formas y colores. Nada de lo que aparece en ellas tiene la más mínima pincelada ni retoque manual en el sentido pictórico tradicional. Quiero decir que todo esto se ha hecho manejando un teclado y un ratón, y que los autores han experimentado con


fórmulas y con números hasta obtener el efecto deseado, pero en ningún momento han tocado directamente sobre la imagen. Así que cada imagen es, en su totalidad, el resultado de una fórmula. Perdonen que insista. No es que el fondo se haga con una fórmula y los objetos en primer plano con otra, o algo así. No. Todo, absolutamente todo lo que aparece en cada imagen, ha surgido de una sola ecuación. Hasta el punto de que si al autor no le gusta una parte del cuadro y quiere cambiarla, entonces debe escoger entre dejarlo como está o cambiarlo todo, modificando su fórmula.

Figura 4: Sangre Alienígena, de Earl Hinrichs

Figura 5: Bilbao, de Javier Barrallo

Viendo estas obras uno tiende a pensar que sus autores son unos señores muy sesudos que se han estrujado la mollera hasta el agotamiento para dar a luz mágicas y, de seguro, complicadísimas fórmulas matemáticas, capaces de generar esta belleza, y que esto solo está al alcance de mentes muy entrenadas y privilegiadas.


Figura 6: Ojos de los Vigilantes, de Domenick Annuzzi

Figura 7: Génesis, de Iñigo Quílez


Figura 8: Taupenski, de Janet Preslar

Figura 9: La Conjunción Misteriosa, de Mark Townsend

Nada más lejano de la verdad. Para hacer cosas como éstas no hace falta saber muchas matemáticas; con las del Bachillerato basta. Tampoco hay que pasar horas y días interminables frente al ordenador para obtenerlas. Y tampoco el proceso de diseño de una de estas obras es tedioso y aburrido, muy al contrario. Para convencerse de ello basta instalar en un ordenador un programa de los muchos que hay para generar fractales, y


probar al azar. Claro que, para obtener algo de aspecto medianamente artístico, es aconsejable conocer un poco los principios básicos que les dan su existencia.

Sin embargo, es importante resaltar que el hecho de que sea fácil obtener así una imagen bonita o artística, no resta ni una pizca de mérito a los artistas que han logrado estas obras. Ellos las han trabajado durante cientos de horas hasta obtener un resultado que reflejase sus gustos, sentimientos, o concepciones de la manera más fiel, y eso les eleva a la categoría de artistas con todo merecimiento.

Figura 10; Max-Plank Institut, Dortmund, de Mario Markus

Figura 11: Avalancha, de Sylvie Gallet

La propiedad de las obras fractales Y son propietarios de su obra como cualquier otro artista. Porque se comprenderá

fácilmente que una obra de arte debe estar protegida por las leyes de la propiedad intelectual, que regula su reproducción entre otras cosas. Sin embargo, en el caso de obras


como éstas, generadas por computadora, se producen unas muy curiosas condiciones no muy bien cubiertas jurídicamente.

Me explico. En primer lugar, no existe un original. Tanto las imágenes aquí reproducidas como las láminas que fueron expuestas en Granada y en otras ciudades, no son más que expresiones visibles de las fórmulas matemáticas que las generan, y que constituyen la auténtica propiedad de su autor. Podrían, si el autor quisiera, fabricarse mil copias de cada imagen, sin más que darle al botón, y todas ellas serían idénticas entre sí, sin que nadie pueda decir que una de ellas sea la auténtica y las demás imitaciones.

Figura 12: El Bosque Encantado, de Javier Barrallo

Esta situación ha llegado hasta el punto de dar lugar a un suceso bastante chocante. Una organización sudamericana, interesada en exponer estos cuadros en Argentina, solicitó al profesor Barrallo, depositario de la colección, que se los enviara para que permaneciesen en aquel país durante un tiempo, transcurrido el cual serían devueltos a su origen. Barrallo no puso inconveniente, pero los costes de transporte transcontinental de objetos tan frágiles eran prohibitivos. ¿Qué hacer? Se adoptó la revolucionaria solución consistente en enviar por Internet los ficheros de las imágenes para su impresión a gran formato “in situ”, y se pactó la cláusula de que, al término de la exhibición, serían destruidos tanto los archivos como los cuadros físicos. Esto resultó enormemente más barato que el transporte tradicional.

El Teorema Fundamental Así que comenzaré por enunciar y demostrar el Teorema Fundamental del Arte

Matemático, que dice así

Teorema Fundamental del Arte Matemático:

“Con las Matemáticas del Bachillerato es posible hacer obras de arte.”


Y como Matemático que soy, me veo en la obligación de demostrar rigurosamente todo cuanto afirmo. Para ello me voy a remontar a tiempos muy recientes, a los años 70, justo en el desarrollo de la primera generación de computadoras.

Un ingeniero polaco, de nombre Benoît Mandelbrot, trabajaba en la École Politechnique de París, sobre teorías matemáticas relacionadas con la complejidad y el caos de los fenómenos naturales.

Fractal

Fractal Fractal

Fractal

Figura 13: Geometría clásica y naturaleza

Figura 14: Línea de costa

La Geometría clásica, creada hace más de 2000 años, está basada en formas como esferas, cilindros, conos, parábolas, elipses, todas ellas simples, bien conocidas. Son formas útiles en la arquitectura humana, pero no tanto en la naturaleza (Fig. 13). Nuestro


entorno no está hecho en su mayor parte de esferas y cuadrados (naturalmente me refiero a nuestro entorno natural, no al artificial creado por el hombre.)

En palabras del propio Mandelbrot, “Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son circulares y las cortezas no son lisas, ni tampoco el rayo va en línea recta”.

En 1975 Mandelbrot inventó la palabra “fractal” para designar la estructura que siguen ciertas formas naturales. “Fractal” viene del latín “Fractus”, que significa fragmentado o roto, y también “irregular”. Es la palabra perfecta. Veamos algunos ejemplos de fractales naturales.

Autosemejanza Fijémonos en los cuatro dibujos de la Figura 14. Los he sacado de un atlas y, para no

dar pistas, he pintado toda la tierra de verde y todo el mar de azul. Así, no podemos ver montañas, cordilleras, ríos, poblaciones, ni nada que nos pueda ayudar a saber cuál es la escala. Solo hay una línea irregular que separa la tierra verde del mar azul. La pregunta es ¿se puede decir algo de la escala de estas imágenes? ¿Cuántos kilómetros abarca una de ellas?

A simple vista no parece haber diferencias entre ellas. Simplemente parecen haber sido tomadas del mismo mapa, en lugares diferentes, pero con la misma escala. ¿Verdad?

Pues no. En la Figura 15 se puede comprobar algo que en un principio no era tan evidente. Son ampliaciones sucesivas, esto es, se trata de cuatro vistas del mismo lugar, concretamente en la costa norte de Australia, pero con cuatro aumentos distintos. Pero lo más interesante es que la línea de costa presenta la misma estructura en una vista de satélite que en una de avión. Veamos otro ejemplo en la naturaleza.

Figura 15: Cuatro ampliaciones del mismo lugar.

Esta hoja de helecho (Fig. 16), una escolopendra, tiene una bella estructura, que se parece mucho a la de cualquiera de sus fragmentos, y ésta a su vez a la de los fragmentos


menores. Esto se llama AUTOSEMEJANZA, es decir, parecerse a sí mismo. Más ejemplos de autosemejanza en la naturaleza (Fig.17):

Figura 16: Autosemejanza en una rama de helecho

Figura 17: más fractales naturales

Una nube es un espectáculo natural, cotidiano y maravilloso. Todos hemos pasado alguna vez un rato observando su forma y su movimiento. Les buscamos parecido con elefantes, pájaros y naves extraterrestres. Las nubes tienen la misma apariencia vistas desde lejos que desde la ventanilla de un avión. Un pedazo de nube se parece una nube completa. ¿A qué distancia se encuentra ese mechón de nube? Sin una referencia conocida, como por ejemplo un pájaro o un avión que pase por allí, no se puede saber. La forma del mechón de nube no dice nada sobre su tamaño.


Las pequeñas ramitas de un árbol suelen tener el mismo trazado que las ramas principales, y éstas que el mismo tronco. Hay árboles en que esta autosemejanza llega a alcanzar hasta siete niveles, desde el tronco hasta las ramitas más pequeñas. Algo muy semejante ocurre en los cristales de hielo, en los sistemas fluviales con sus grandes ríos, sus afluentes y sus pequeños arroyos y torrentes.

También ocurre esto en las ramificaciones del sistema vascular humano, con sus grandes venas y arterias, y sus minúsculos capilares. En los bronquios sucede algo parecido. Un trozo de roca se parece bastante a la montaña de la que ha sido extraído. Recientemente los astrónomos han descubierto que la distribución de estrellas en enjambres, dentro de las galaxias, de las galaxias a su vez en grupos de galaxias, etc., indica que nuestro universo sigue un modelo fractal. Los fractales se asemejan también al ruido de la radio cuando no sintoniza ninguna estación, a la distribución de vehículos en una autopista con tráfico denso, a la variación de las crecidas del río Nilo durante miles de años, a las fluctuaciones de la bolsa... al paseo de un borracho.

Este trozo de brécol ¿es suficiente para la cena de toda la familia, o es un pedacito como la punta de mi meñique? Todos estos son ejemplos de estructuras que se parecen a sí mismas al cambiar de escala, es decir, que al hacer una ampliación o reducción de la escena, lo que se ve es muy similar a lo que ya había. La geometría fractal es realmente la propia geometría de la naturaleza.

Autosemejanza en Matemáticas En Matemáticas, el concepto de autosemejanza no es nuevo. En 1904 el matemático

sueco Helge von Koch dio a conocer una curva conocida como “curva de Koch” o “copo de nieve”. Se construye a partir de un triángulo sólido (Fig. 18), adjuntando en cada uno de sus tres lados un triangulito de tamaño tres veces inferior. Después, en cada uno de los doce lados resultantes se adhiere un nuevo triangulito tres veces inferior, y el proceso continua así indefinidamente.

Figura 18: El Copo de Nieve de Koch

El resultado final, como límite de este proceso infinito, tiene el aspecto de un cristal de hielo, mal llamado copo de nieve.


Observemos la forma inferior. Es un fragmento de un copo de nieve. ¿Qué tamaño tiene este copo de nieve? Puede que lo que estemos viendo sean tres de los seis lóbulos principales, con lo cual la imagen mostraría más o menos la mitad del copo. Pero también puede ser que lo que vemos sean sólo las rugosidades del lóbulo superior, quedando debajo los otros cinco, y el copo sería algo mayor que la hoja de papel. O también puede que estemos ante la punta del iceberg, y que el copo que está debajo en realidad sea gigantesco, tan grande como la propia Tierra. No hay modo de saberlo.

Por extraño que parezca, la longitud entre dos puntos cualesquiera del borde del copo es siempre infinita. Por muy cercanos que parezcan dos puntos de este orilla, nadie puede pretender recorrerla de uno al otro.

Monstruos matemáticos Los matemáticos de aquella época, extrañados, etiquetaron ésta y otras figuras como

“monstruos matemáticos”. Otro monstruo es el Triángulo de Sierpinski (Fig. 19), que se obtiene a partir de un triángulo inicialmente sólido, retirándole de su parte central un triángulo semejante, más pequeño, invertido, y repitiendo el proceso con los tres triángulos, también semejantes, que quedan. El resultado final de este proceso infinito es el que vemos en la Fig. 19.

Los matemáticos han encontrado que el área del triángulo de Sierpinski es cero. Sí, sí, cero. Sea trata de una figura cuya superficie es nula. Es como si fuese una colcha de tela de araña o de tul muy tenue, hecha de un hilo tan fino, tan fino, que no llega a cubrir absolutamente nada. Podría ser un bonito velo fractal para una novia fractal en su boda fractal, pero está claro que su utilidad como manta para el invierno queda descartada.

Figura 19: Triángulo de Sierpinski


Otro monstruo es la Alfombra de Sierpinski (Fig.20), que es el equivalente del anterior, pero con cuadrados. Al igual que el triángulo, tiene un área de cero unidades. Por tanto, esta alfombra tiene la ventaja de que no hace falta levantarla para barrer por debajo, porque como no tapa nada... Así que el que consiga fabricar alfombras de Sierpinski, puede tener el negocio asegurado.

Otro monstruo, pero en tres dimensiones es la Esponja de Menger (Fig.21), que se obtiene a partir de un cubo macizo, subdividiéndolo en 27 cubitos iguales más pequeños y retirando el cubito central interior y los centros de cada una de las seis caras, en total siete cubitos. Después de esto quedan 20 cubitos, a los cuales se les repite individualmente este proceso, y así indefinidamente. Aquí vemos las tres primeras fases de la construcción de la esponja de Menger.

Figura 20: Alfombra de Sierpinski

Figura 21: Esponja de Menger

Para ver mucho más claro qué forma tiene la porción que se retira del cubo en la primera fase, permítanme recurrir a un artista universal, el español Salvador Dalí. La Figura 22 muestra su obra titulada "Corpus Hipercubicus", que se suele citar como


ejemplo visible del desarrollo tridimensional de un hipercubo de cuatro dimensiones, pero a mí me sirve aquí para ilustrar la parte retirada del cubo. Bueno, con la salvedad del cubito inferior, donde Jesucristo tiene sus pies apoyados.

Hagamos una breve visita turística a la esponja de Menger (Fig 23).

3 4

5

6 1

c

2

Figura 22: Corpus Hipercubicus, de Salvador Dalí

Figura 23: Diversas perspectivas de la esponja de Menger

Pues resulta que la esponja de Menger tiene un volumen de cero unidades. ¿Se imaginan una esponja que no ocupe absolutamente ningún volumen? Debe de ser capaz de empapar un montón de líquido, así que sus posibilidades comerciales como artículo de


limpieza y de aseo son fantásticas. Además, su transporte sería baratísimo, primero, porque no pesa nada, y segundo porque, si las comprimimos, podemos empaquetar mil trillones de esponjas en una caja de cerillas... y la caja seguiría estando igual de vacía.

Procesos iterativos y Caos Hemos hablado de autosemejanza, pero autosemejanza no significa necesariamente

orden y armonía. Puede darse autosemejanza también en el desorden, en el caos. Hablemos un poco de caos.

Mandelbrot estaba trabajando en temas relacionados con el Análisis Numérico, una rama de la Matemática Aplicada (mi especialidad), concretamente con procesos iterativos.

x f (x)

x x1 x2 x3 . . .

Figura 24: Ilustración de un proceso iterativo

Un proceso iterativo (Fig 24), es muy fácil de explicar, consta de una fórmula o función y un número inicial. El proceso consiste en aplicar la fórmula al número inicial para obtener como resultado otro número, que a su vez se reintroduce de nuevo en la fórmula para dar un nuevo resultado, y así sucesivamente.

Los Matemáticos estudiamos el comportamiento de estas secuencias de números, y podemos averiguar si estos números tienden a parecerse entre sí conforme avanzamos en los cálculos, de forma que podamos hablar de un número especial llamado límite, al cual se van aproximando los resultados parciales, o si, por el contrario, los resultados sucesivos tienden a diferenciarse cada vez más, y se hacen enormes. La primera situación se conoce como convergencia, y la segunda como divergencia del proceso iterativo.

Divergente Convergente

11 1.9375 x5

2 Límite

– 5 1.875 x4

3 1.75 x3

– 1 1.5 x2

1 1 x1

0 0 x Fórmula 1

2 1x + 1 2x−

±∞

M M

Figura 25: Dos procesos iterativos, uno convergente y otro divergente


En la columna central de la tabla de la Fig. 25 vemos un ejemplo muy sencillo de proceso iterativo, que cualquiera puede hacer con una simple calculadora. La fórmula consiste en “dividir por la mitad y añadir 1”, y el número inicial es cero. Como resultado de aplicar repetidamente (iterativamente) la fórmula, se generan los números que quedan por debajo, en la misma columna. En el caso del ejemplo mostrado, parece bastante claro que la sucesión generada es convergente hacia un límite que es el número 2.

Como ejemplo de proceso divergente podemos ver el que aparece en la columna derecha. La formula es “1 menos el doble del número en curso”, y los sucesivos términos muestran signos alternos y valores cada vez mayores, indicando con ello una clara tendencia a separarse entre sí y a mostrar divergencia.

De esta manera, parece que los procesos iterativos pueden clasificarse en convergentes o divergentes.

Pero los matemáticos han descubierto que determinadas ecuaciones, con las condiciones adecuadas, pueden producir números que no parecen seguir norma alguna. En la naturaleza hay ejemplos de ello, como pueden ser los sistemas meteorológicos, en los que una minúscula alteración puede provocar un cambio radical. Esto se conoce como el efecto mariposa, y es lo que hace tan difícil el pronóstico del tiempo a medio plazo, sobre todo en condiciones de transición. Si pongo un lápiz en posición vertical, todos sabemos que se caerá en cuanto lo suelte. Pero ¿hacia qué lado? Eso depende de mi pulso, pero basta un pequeño temblor de mi mano o un leve soplo de aire para hacer que el lápiz caiga de otra forma completamente distinta. Eso es el efecto mariposa. Los investigadores médicos sospechan que algunas disfunciones cerebrales como la epilepsia no son más que una transición de la mente entre el comportamiento normal y el caótico, causada porque determinado parámetro químico ha sobrepasado una cierta medida, un umbral.

Ecuación logística En Matemáticas también hay procesos caóticos. Una de esas ecuaciones,

asombrosamente sencilla, es la que vemos aquí, conocida como ecuación logística 4x(1–x). Se utiliza con frecuencia como modelo del crecimiento de una población cuyo tamaño está limitado por algún factor, como puede ser la cantidad de alimento o el territorio disponible.

2 4 6 8 10 12 14

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 26: La ecuación logística como productora de caos

En este experimento he aplicado la ecuación logística partiendo del número inicial 0.20, y los resultados sucesivos están pintados en la gráfica azul, de izquierda a derecha. Se aprecia de inmediato que estos números no parecen seguir ninguna regla, y saltan como


locos de arriba abajo. Pero lo más grave del asunto es que, si tomo como punto de partida uno diferente, pero muy parecido, en nuestro caso el 0.21, entonces la serie, que aquí aparece en rojo, aunque al principio va muy semejante a la azul, pronto se separa y sigue su propio camino caótico independiente.

Números Complejos

El señor Mandelbrot estaba estudiando el comportamiento de los procesos iterativos cuando se utilizan con números complejos.

¿Se acuerdan de los números complejos? ¿Aquello de la parte real y la parte imaginaria? ¿Verdad que sí? Había un número llamado “i” con la extraña propiedad de que su cuadrado, “i” al cuadrado, es igual a –1. Cosa portentosa, pues siempre se ha dicho que un número al cuadrado tiene que dar un resultado positivo. Como es sabido, los números complejos se representan geométricamente en un plano, en el que el eje de coordenadas horizontal es el eje real y contiene todos los números reales, y el eje vertical es el llamado eje imaginario, y contiene la unidad imaginaria y todos sus múltiplos. Todo número complejo corresponde a un punto del plano cuyas coordenadas son su parte real y su parte imaginaria.

- 2 - 1.5 - 1 - 0.5 0.5 1 1.5 2

- 2i

- 1.5 i

- i

- 0.5 i

0.5 i

i

1.5 i

2i

Figura 27: el plano complejo

Los números complejos aparecen por vez primera en el Renacimiento italiano. Los matemáticos de la época les atribuyeron propiedades místicas y les dieron adjetivos caprichosos como "real" e "imaginario", que perduran hoy.

El valiente que por primera vez puso sobre el papel una fórmula que incluía la raíz cuadrada de un número negativo, fue el matemático italiano Jerónimo Cardano alrededor de 1550. Lo escribió con la reserva de que la cosa no tiene sentido, es ficticia e imaginaria, pero lo escribió. En aquella época había que tener mucho cuidado con lo que se decía o escribía. De hecho Cardano fue poco después encarcelado y torturado. En realidad no fue sólo por eso, sino porque como también era astrólogo (como todos los matemáticos de entonces) se le ocurrió hacerle el horóscopo a Jesucristo y, claro, le condenaron por hereje. Pero la vida da muchas vueltas; a su muerte dejó toda su fortuna a la Iglesia Católica.


El propio Leibniz, creador junto con Isaac Newton del moderno Cálculo Infinitesimal, disparataba escribiendo “El Divino Creador ha encontrado ocasión de manifestar su sublime inteligencia en esta maravilla del análisis, este portento del mundo ideal, este anfibio entre el ser y el no-ser que llamamos raíz imaginaria de la unidad negativa”.

No fue sino hasta doscientos años después, en 1777, que Leonard Euler (pronúnciese OILER), matemático suizo, simbolizó la raíz cuadrada de -1 con la letra “i” (inicial de imaginario). Curiosamente, Euler también bautizó al número e.

Ese mismo año, qué extraña coincidencia, nacía en Alemania Carl Friedrich Gauss, quien fue de hecho el primero en usar ampliamente los números complejos, en darles una interpretación geométrica, en expresarlos en su forma binómica (parte real y parte imaginaria) y formular todas sus leyes. En su tesis doctoral usó los números complejos demostrar el Teorema Fundamental del Álgebra, uno de los más importantes pilares sobre los que se sustenta toda el álgebra. Gauss tenía 21 años de edad.

Figura 28: cuatro fases en la generación del conjunto de Mandelbrot

Volviendo a lo nuestro, Mandelbrot estudiaba la convergencia y la divergencia de procesos iterativos en el plano complejo, en particular el proceso , donde c es un determinado número fijo. Partiendo del cero como número inicial, la serie generada por este método puede ser convergente o divergente, y eso dependerá del número c.

2x + c


Pintando puntos Mandelbrot encontró que para unos valores de c, la serie era convergente, mientras que

para otros era divergente. Entonces tuvo la idea (genial y crucial) de representar todos los posibles valores de c en el plano complejo, dándoles color. Por ejemplo, si para un valor particular de c la serie salía convergente, entonces pintaba el punto c de color negro.

En la primera gráfica de la Fig. 28 he pintado de color negro un valor de c para el cual la serie generada, en negro, es convergente. Sin embargo, para otro valor de c, que he pintado en azul, la serie generada es divergente.

Si hacemos esto con la ayuda de un ordenador para todos los posibles valores de c (Fig.28), entonces iremos recubriendo todo el plano con puntitos negros y azules, y al final obtendremos una especie de mapa de color negro y azul.

Figura 29: El conjunto de Mandelbrot

El Conjunto de Mandelbrot Este mapa (Fig. 29) se llama conjunto de Mandelbrot. Fue descubierto por

Mandelbrot en 1980. En la figura que aquí vemos están representados en negro todos los valores posibles de c que provocan convergencia de la serie, y en otros colores los valores que causan divergencia, variando la tonalidad del color según la velocidad de divergencia, es decir, más azul cuanto más rápido diverge la serie, y pasando por azul celeste, blanco, amarillo y rojo cuanto más lentamente diverge.

Lo primero que llama la atención es su forma irregular. Parece una especie de muñeco de nieve tumbado, con verrugas y con pelos.

La parte más interesante de esta figura está en la frontera entre la zona de convergencia y la zona de divergencia. Parece muy caprichosa, llena de rizos. Puede parecer que si ampliamos un poco la escala de la imagen, es decir, si la miramos más de cerca, entonces


la veremos más suave. Pero cuando Mandelbrot lo hizo para comprobarlo, se llevó una gran sorpresa.

Las figuras 30 a 36 son instantáneas extraídas de un video de 2 minutos 14 segundos de duración, consistente en 1 minuto 7 segundos de veloz y constante ampliación del conjunto de Mandelbrot, y otro tanto regresando al punto de partida.

El conjunto de Mandelbrot contiene multitud de copias de sí mismo (Figs. 30,32,34). Recordemos que cada puntito en negro produce una serie convergente, que el azul significa divergencia rápida, el rojo divergencia lenta, y así. Es admirable lo complicada que es esa frontera, y lo realmente extraordinario es la cantidad infinita de formas bellas (Figs. 33,35), unas simétricas, otras no tanto, que surgen al navegar por esa frontera. Se trata de un auténtico fractal, autosemejante y caótico. Y para nuestros propósitos artísticos, es una fuente inagotable de bellas formas y colores.

El video nos está llevando hacia un punto determinado del conjunto de Mandelbrot (en realidad no importa cuál), y mientras nos aproximamos vamos viendo y dejando atrás curiosas y raras formas. ¿Pueden ustedes hacerse una idea de la cantidad de cosas que debe haber en otras regiones vecinas, y que nadie ha visto? Porque nunca podrá visitarse este conjunto en su totalidad, ya que no se trata de un territorio convencional. En realidad es como si tuviera tres dimensiones, las dos del plano normal, y una tercera dimensión a la que se llega haciendo un zoom. Y esta tercera dimensión no tiene fin. Buscando, buscando, podemos encontrar árboles, ríos, lagos, montañas, nubes, y, sobre todo, coliflores, muchas coliflores (Fig. 33,36).

Figura 30: Tres réplicas del conjunto de Mandelbrot. La del centro es

dos mil veces menor que el conjunto principal, que queda a la derecha de la imagen.


Figura 31: Detalle de la réplica que aparece en el centro de la Figura 30.

La ampliación es de 10.000 aumentos.

Figura 32: Una nueva réplica, que aparece aquí con 32 millones de aumentos.


Figura 33: Huerto de coliflores encontrado a un billón de aumentos (1012).

Es lógico preguntarse de dónde ha salido tanto rizo y tanta filigrana? ¿Quién los ha puesto ahí? ¿Cómo es posible que una fórmula tan simple como “equis al cuadrado más ce” pueda dar lugar a tanto jaleo? Señores, no hay respuesta para tal pregunta. Lo más que se puede decir es “son cosas de los números complejos”, que sería la respuesta típica de un político malo (el problema está ahí, no se puede negar, vamos a nombrar una comisión para estudiarlo, que llegará hasta el fondo del asunto y sus últimas consecuencias, y depurará todas las responsabilidades.) En cualquier caso, nadie podía sospechar que bajo de la aparente simpleza de los números complejos se escondiera tanto caos y tanta autosemejanza.

Figura 34: Una nueva réplica del conjunto de Mandelbrot, muy adornada.

Estamos a un trillón (1018) de aumentos de “profundidad”.


Figura 35: Campo de golf con bosque a orillas de un lago.

Estamos a mil cuatrillones (1027) de aumentos.

Figura 36: A cien quintillones (1032) de aumentos, siguen apareciendo

extraños seres, pero el ordenador empieza a chirriar y a crujir. No resiste la presión (numérica) y hay que regresar a la “superficie”.

Ahora que ya conocemos un poco mejor el conjunto de Mandelbrot es muy instructivo volver a ver algunas de las obras de arte mostradas al principio.

En Volcano (Fig.2) se pueden ver detalles que antes no hubiesen llamado la atención. Hay dos formas negras en la parte inferior que pertenecen ¡al conjunto de Mandelbrot!.


Efectivamente, Volcano es , eso sí, con un fantástico disfraz de color. El grueso del conjunto queda por debajo del cuadro.

2x + c

c

Taupensky (Fig.8) es un maravilloso rizo de la frontera del conjunto de Mandelbrot. Bilbao (Fig.5) es una vista lejana del conjunto; de hecho el conjunto completo puede verse abajo a la izquierda. Taupenski y Bilbao son . Otras obras también son conjuntos de Mandelbrot, y otras tienen fórmulas distintas, pero siempre tan sencillas como la de Mandelbrot. Y todas, sean o no Mandelbrots, son el plano complejo.

2x +

Creación de una imagen fractal El proceso de creación de una imagen fractal consta básicamente de dos partes: la

elección de la fórmula y la elección del algoritmo de color. Hay muchas fórmulas posibles, pero la de Mandelbrot da mucho juego. El algoritmo de color se puede escoger diferente para las zonas de convergencia y de divergencia. Con estos elementos es ya suficiente para crear una imagen vistosa.

Para producir algo más elaborado se puede, además, realizar una transformación del plano complejo para cambiar el aspecto de las formas que aparecen. Las transformaciones básicas del plano son las traslaciones, los giros, y los estiramientos, pero hay muchas otras transformaciones con expresiones matemáticas sencillas, que consiguen efectos muy espectaculares, como inversiones, remolinos, etc. Y finalmente, para conseguir un efecto en verdad de artista profesional, se pueden hacer varios fractales y superponerlos, uno encima de otro, de modo que cada fractal sea una capa. Así se pueden conseguir sombras, degradados, o texturas de riqueza inimaginable.

Conclusión Llegados a este punto del texto, tengo que interrumpirlo y darle fin. En mi conferencia

éste es el momento de hacer una imagen fractal con el público. Como tal cosa es imposible aquí, terminaré recomendando al lector que instale en su ordenador un programa para hacer fractales (el UltraFractal está especialmente orientado a la obtención de imágenes atractivas), y que experimente y disfrute.

Por último diré que he orientado esta exposición sobre fractales hacia el aspecto más lúdico posible, el artístico, pero que hoy en día las ciencias están cambiando profundamente, y los científicos más prestigiosos, no sólo matemáticos y físicos, sino también médicos, biólogos e ingenieros han pasado de considerar seriamente la geometría fractal como un modelo más o menos fiel de la naturaleza, a pronosticar con todo convencimiento que las ciencias del próximo siglo estarán fuertemente cimentadas sobre las teorías fractales, como la complejidad y el caos. Nos hemos estado divirtiendo (eso confío) con lo que mañana puede ser nuestra concepción natural del mundo, y, porqué no, quién sabe, una asignatura en el Bachillerato.

José Martínez Aroza

Marzo, 2001

75

MATEMÁTICAS DE AYER PARA EL AULA DE HOY

Carlos O. Suárez Alemán

De niño todos hemos vivido una entrañable experiencia con nuestros mayores: la narración de historias. En ellas insertaban anécdotas y episodios vividos en el pasado.

Yo tengo un grato recuerdo de esas historias. Mi abuela solía entretenerme con relatos y mientras que en su narración, mi imaginación viajaba en el tiempo hacia esos tiempos pasados y me convertía en espectador privilegiado de las escenas descritas, veía, como si estuviera allí mismo, a los personajes que intervenían. Ahora, varios años después, me doy cuenta de que estas experiencias me acercaron enormemente a mi abuela y, además, también soy consciente de que asimilé perfectamente la moraleja de su contenido y que estoy seguro, como cualquiera que conociera a mi abuela, que esas eran sus pretensiones cuando estaba hablando.

Tras la clausura del X Congreso sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas THALES, unos cuantos congresistas nos fuimos a comer juntos antes de partir hacia nuestros domicilios. Yo tuve la inmensa suerte de poder compartir mesa con el profesor Urbiratan D'Ambrosio, un ser entrañable y que por edad y forma de hablar me recordaba enormemente a esas personas mayores de las que he hablado. Durante la comida, Urbiratan hizo referencia al hecho de que hoy día un ordenador sería capaz de reproducir, con gran exactitud y perfección, cualquier melodía o pieza musical. Pero que jamás el oyente podría percibir la misma belleza y sentir la misma emoción que cuando esa obra musical está siendo interpretada por uno o varios músicos. Las razones que aportaba para este razonamiento eran que el ordenador no podría poner jamás su alma en la música, mientras que un intérprete siempre pondrá esa emoción y sentimiento, esa alma que los espectadores percibimos. Del mismo modo, decía, que el alumno no podrá sentirse nunca atraído por las matemáticas si el profesor no es capaz de transmitir esa misma alma que está presente en esta disciplina.

Este discurso me hizo reflexionar: ¿cómo podemos los profesores ser capaces de transmitir una matemática con alma? Una matemática que no permita pasar a un alumno por ella sin provocarle algún sentimiento de emoción y de estar frente a la belleza.

Sin duda alguna considero que, y así me lo demuestra la experiencia, del mismo modo que las historias del pasado que nos contaban nuestros abuelos nos llaman la atención y nos acercan más a ellos, la Historia de las Matemáticas puede servir como un gran recurso para conseguir que el alumno sienta que esta disciplina está viva, que tiene ese alma y por tanto él la sienta mucho más cercana. En esta conferencia intentaré dar algunas pinceladas sobre la utilización de la Historia de las Matemáticas como recurso para el profesor en el aula.

En el artículo The ABCD of Using History of Mathematics in the (Undergraduate) Classroom de Siu Man-Keung, professor de la Universidad de Hong Kong, expone de qué

76 Carlos O. Suárez Aleman

manera él utiliza la historia de las matemáticas en sus aulas, e indica que lo hace en cuatro niveles diferentes (cf. [19, pp. 3-9]):

A de Anécdotas: Las historias y anécdotas han demostrado ser muy útiles en el aula, añaden la esencia, incorporan un elemento humano, inspiran al estudiante, inculcan respeto y admiración hacia los grandes creadores, dan un empujón a las cuestiones de más interés, forjan algunos eslabones de la historia cultural y subrayan algunos conceptos o ideas.

B de Banda Ancha14: Es útil para ofrecer una descripción completa de un tema o hasta de un curso completo, bien al inicio del mismo o bien dar una recapitulación al final. Esto puede proporcionar a los alumnos una motivación y una perspectiva de modo que los estudiantes conozcan hacia dónde se dirigen o la parte del total que ellos han cubierto, o cómo esto se relaciona con el conocimiento antes adquirido. Tanto en uno, como en otro caso, podemos buscar ideas en la historia de un tema, aun cuando en algunos casos el camino histórico y real sea demasiado tortuoso, ésta es la ventaja pedagógica.

C de Contenidos: El estudio de la historia de matemáticas puede tener una razón propia de existir y es, seguramente, la iluminación de las matemáticas en sí mismas para promover una apreciación más madura de sus teorías. Esto debe ser una visión pertinente de la historia de las matemáticas para cualquier profesor de matemáticas en su trabajo cotidiano.

D de Desarrollo de las Ideas Matemáticas: Es importante mostrar cómo se han desarrollado las Ideas Matemáticas, así los alumnos pueden aprender de las aportaciones de los textos originales, se les debe dejar leer algún material seleccionado de los orígenes para que puedan “aprender de los maestros”.

En las propias palabras de Siu Man-Keung:

La conciencia del aspecto evolutivo de las matemáticas puede hacer a un profesor más paciente, menos dogmático, más humano, menos pedante. La historia impulsará a un profesor a hacerse más reflexivo, más impaciente para aprender y dar clases con un compromiso intelectual.

Pronunciándose en este mismo sentido, George Sarton (1884-1956) dijo en [26, p. 28] conocidas palabras:

El estudio de la historia de matemáticas no nos hará mejores matemáticos, pero nos hará más apacibles; enriquecerá nuestras mentes, suavizará nuestros corazones, y recalcará nuestras calidades más finas.

Por otro lado, Lucía Grugnetti, profesora de la Universidad de Parma, expone en su artículo The History of Mathematics an its Influence on Pedagogical Problems [19, pp. 29-35] lo siguiente:

Los profesores deben permanecer conscientes de la relatividad inherente de conocimiento, y del hecho de que, a la larga, proveer a los estudiantes de una visión adecuada de cómo la ciencia aumenta el conocimiento es más valioso que la mera adquisición de hechos.

1 El texto original es B for Broad Outline, que tendría como traducción más fiel B para Amplio Contorno. Pero por respetar la relación entre la secuencia alfabética y el inicio del título he optado por tomar la traducción de Banda Ancha pretendiendo establecer una sinonimia más acorde con los tiempos actuales.


Seguidamente, la profesora Grugnetti nos ofrece diversas justificaciones sobre la influencia que la Historia de las Matemáticas tiene sobre problemas pedagógicos y aporta las siguientes ideas:

1. Con la utilización de problemas antiguos los estudiantes pueden comparar las estrategias que ellos utilizan actualmente con las estrategias originales. Esto produce un camino interesante para entender la economía y la eficacia de nuestro proceso algebraico actual. En la observación de la evolución histórica de un concepto o una técnica, los alumnos encontrarán que las matemáticas no son fijas y definitivas.

2. Utilización para la construir las técnicas matemáticas y los conceptos.

3. El análisis histórico y epistemológico ayuda a los profesores a entender por qué ciertos conceptos presentan dificultades de entendimiento a los estudiantes y puede contribuir a realizar una aproximación y un desarrollo didáctico.

Si se analiza la Historia de las matemáticas se observa que lo que hoy conocemos de esta ciencia se ha construido principalmente a raíz de resolver problemas. Unas veces estos problemas habrán surgido de la vida cotidiana; otras, habían nacido del intento de dar una explicación a fenómenos naturales, o simplemente para dotar de entendimiento a una explicación de un problema físico o para dar solución a un problema surgido en el propio quehacer de las matemáticas.

La Historia nos enseña incluso que algunas soluciones “desafortunadas” a ciertos problemas incómodos han sido copiadas a lo largo de los tiempos. Sirva como ejemplo la solución que pretendió dar la comunidad Pitagórica al descubrimiento de los números inconmensurables. La filosofía pitagórica estaba basaba en la creencia de que todo, absolutamente todo, era expresable mediante números. Las cosas estaban formadas por átomos, unidades indivisibles, y por tanto se podría buscar procedimientos para contarlos y expresarlos en comparación con otras cantidades. Por tanto, dadas dos cantidades, siempre se podría encontrar una medida capaz de expresar mediante proporcionalidad ambas cantidades, esto es, todas las cantidades eran mensurables con otras.

Cuando Hipasos de Metaponto, (S. V a.C.) demostró que la diagonal de un cuadrado o de un pentágono no se podían medir con el lado correspondiente hizo tambalearse los principios básicos de la filosofía pitagórica. Todo aquello en lo que creían podría desmoronarse, así que había que mantenerlo en secreto. Pero, según cuentan algunos historiadores, Hipasos no fue fiel a la comunidad pitagórica y desveló el secreto y fue castigado de la forma que cuenta Proclo25 en una nota al Libro X de los Elementos de Euclides:

Es fama que el primero en dar a dominio público la teoría de los irracionales perecería en un naufragio, y por ello lo inexpresable e inimaginable debería siempre haber permanecido oculto. En consecuencia, el culpable, que fortuitamente tocó y reveló este aspecto de las cosas vivientes, fue trasladado a su lugar de origen, donde es flagelado a perpetuidad por las olas.

Ni un ápice de piedad ni un átomo de conmiseración para quien ha cometido un delito de lesa geometría, pecando contra lo más sagrado. Desvelando el secreto de lo inexpresable, se ha hecho acreedor al más

2Aunque no está verificado que realmente fuera Proclo, se le atribuye la autoría de las Notas.


terrible castigo divino, ser transportado a su lugar de origen, es decir, a la nada, de donde vino, ser desposeído del ser.

Esta forma de “solucionar” los problemas, desgraciadamente, ha sido reiteradamente utilizada por tiranos y dictadores a lo largo de nuestra historia.

Pero volvamos a métodos más propios de las matemáticas para resolver problemas. En la mayor parte de la Historia, los manuales de matemáticas se redactaban utilizando la exposición de la resolución de diversos problemas, estas resoluciones debían interpretarse como modelo utilizable para resolver todos aquellos problemas similares. De este modo los manuales eran, básicamente, una colección de problemas resueltos en los que el que quería resolver debía buscar las similitudes y aplicar el mismo método.

Hagamos un breve recorrido histórico por algunos manuales importantes en la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado. En primer lugar fijémonos en el manual de matemáticas más antiguo del mundo: El Papiro de Rhind. Fue encontrado en Tebas a mediados del siglo XIX en las ruinas de un pequeño edificio cerca del templo de mortuorio de Ramsés II y adquirido en Luxor, junto a otras antigüedades egipcias, por el egiptólogo Alexander Henry Rhind entre los años 1855 y 1857.

El papiro original formó un rollo continuo que consiste en catorce hojas de papiro cada una mide unos 40cm de ancho y 32 cm de alto, pegadas juntas en sus bordes; la longitud total como sobrevive hoy es de 513 cm. La fecha de origen del documento no está muy clara, ya que el copista, que aporta su nombre como Ahmes, indica que escribe el documento en el cuarto mes de la estación de inundaciones en el año 33 del reinado del faraón Apofis I. Éste era un rey de la décimo quinta Dinastía durante el Segundo Período Intermedio, que prosperó alrededor de mediados del siglo XVI a. C.. Pero Ahmes también indica que copia el trabajo en una fecha anterior, en el reinado de faraón Nimaatra, este era el nombre de trono de Amenemes III, que era el sexto rey de la XII dinastía y que reinó durante 50 años en la segunda mitad del siglo XIX a. C..

En el papiro de Rhind podemos encontrar indicaciones sobre los siguientes temas:

1. Números y unidades de medida.

2. Multiplicación y división

3. Doblamiento de unidad

4. Doblar fracciones unitarias

5. División de números por 10. (Problemas 1-6)

6. Adición de fracciones y sumando hasta 1. (Problemas 7-23)

7. Solución de ecuaciones y tablas relacionadas.(Problemas 24-27; 30-38; 47; 80; 81)

8. Distribución desigual de bienes y otros problemas.(Problemas 39; 40; 61; 63; 64; 65; 67; 68)

9. Cuadratura del círculo. (Problemas 41-43; 48; 50)

10. Rectángulos, triángulos y pirámides. (Problemas 44-46; 49; 51-60)

11. Valor, cambios en una feria y sobre la alimentación. (Problemas 62; 66; 69-78; 82-84)

12. Diversión. (Problemas 28;29;79)


Comencemos con los problemas y algunas técnicas de resolución encontrados en el papiro de Rhind. En el problema 24, cuyo enunciado es:

Una cantidad más 7 de ella son 19.

Con la notación: 7 se referían a 71 , por lo tanto, el problema en leguaje actual se

traduce en resolver la ecuación 1971

=+ xx

El método utilizado y expuesto en el papiro es el siguiente:

Cambia 7 por . x

7+ 7 ·7=8

como 8 tiene que ser multiplicado por 842 ++ para conseguir 19

8 ·(2+ 4 +8 ) = 16 + 2+ 1=19

entonces 7 tiene que ser multiplicado por 842 ++ para llegar a la solución.

( )actual

16.62582168428 =++=++⋅ .

Como puede observarse, el procedimiento es el conocido Regula Falsi o “Falsa

Posición” y está basado en conceptos de proporcionalidad directa, lo que permite su utilización sin complicaciones en la enseñanza secundaria obligatoria para resolver problemas relacionados con las ecuaciones de primer grado.

Utilizando la misma técnica se resuelven los problemas del papiro de Rhind siguientes:

Nº 25. 162 =+ xx

Nº 26. 154 =+ xx

Nº 27. 215 =+ xx

Posteriormente, en los problemas 31, 32 y 33 nos encontramos con una primera aproximación a la reducción de términos semejantes, aunque en la matemática actual esto no sería conveniente utilizarlo directamente para la resolución de ecuaciones debido a la forma de operar con fracciones unitarias en el antiguo Egipto, así el problema 31 se resolvería36:

33723 =+++ xxxx

de donde

( ) 337231 =+++ x

y así se obtendría dividendo 33 entre x

+++ 7231 .

3 En este caso 3 significa

32

.


Si se desea ampliar sobre los métodos para operar en la matemática egipcia o ampliar sobre el Papiro de Rhind puede consultarse la obra de Gay Robins y Charles Shute [23] o la de Sánchez Rodríguez [25].

El procedimiento de reducir términos semejantes lo podemos encontrar descrito en La Aritmética de Diofanto de Alejandría (S. III a. C), quien introduce la utilización de la incógnita como abreviatura que designa mediante un símbolo que es la primera o la última letra de la palabra arithmos (αριθµοϕ) y que a su vez da nombre a la obra. La Aritmética era una obra formada por trece libros de los que han llegado hasta nuestros días sólo seis en griego y algunas en árabe.

La obra de Diofanto, como indica Wussing [27, pp.62-65], está impregnada de una gran influencia mesopotámica, hasta tal punto que es posible encontrar un extraordinario parecido entre los problemas de su obra y los que aparecen en los textos mesopotámicos.

Pero de la obra de Diofanto resulta muy interesante y didáctica su formulación sobre la resolución de ecuaciones, aunque requeriría una adaptación lingüística actual. Tras introducir la utilización de un aparato algebraico para resolver los problemas mediante ecuaciones, procede a explicar la transposición de términos y la reducción de términos semejantes:

Si de un problema cualquiera resulta que ciertas especies (se trata de diferentes potencias de la incógnita teniendo el número conocido) sean iguales a las mismas especies, pero en número diferente, de uno y otro lado, habrá que quitar a los semejantes, hasta que se quede sólo una especie. Y si, de uno de los lados, o en los dos, se encuentran algunos restando, habrá que añadir a ambos miembros las especies sustraídas, hasta que, en ambos miembros, las especies sean aditivas; luego entonces suprimir a los semejantes de los semejantes, hasta que, en cada uno de ambos miembros, no quede más que una especie47

Como aplicación de su propuesta, Diofanto nos ofrece el siguiente ejemplo:

Supongamos que habiendo aumentado 20 y suprimido de 100 y procurar que sea el más grande el cuádruplo del más pequeño. Llamemos el número a aumentar y a suprimir x; si lo añadimos a 20, se tendrá , y si lo suprimimos de 100, se tendrá 100 , y hará falta que sea más grande el cuádruplo del más pequeño. O, cuatro veces el más pequeño será , y esto se iguala . Restituyamos en común al ausente, y quitemos a los semejantes de los semejantes, quedará 5 , 380; de donde se obtiene para x, 76. Volviendo a los datos, establecí que el número que añade y que suprime a ambos era x, será pues 76; y si aumentamos 20 unidades 76, se obtendrán 96; si lo suprimimos de 100, quedarán 24, y el más grande es el cuádruplo del más pequeño.

20+x

400x−

x4−20+x

x

Como hemos indicado, en la matemática hindú también podemos encontrar este tipo de procedimientos, un ejemplo claro está en Bhâskara (1114-ca.1185), según Boyer [4, p. 287] el matemático más importante del siglo XII y que completó la obra de Brahmagupta (598-660), escribió su obra Lilavati en la que reunió problemas diversos de Brahmagupta,

4 Utilizada la traducción al francés de [24, p. 38-39] quien indica en Nota a pie de página que está tomada de la Traducción de Bachet de Méziriac quien hizo, en 1621, la primera edición latina incorporando el texto en árabe.


y añadió algunos nuevos, sobre ecuaciones lineales y cuadráticas. En esta obra indica los siguientes sobre la resolución de problemas:

La cuestión al haber formulado el problema, la cantidad desconocida es puesta igual a x, una vez, dos veces, etc. Iniciamos efectuando las operaciones prescritas por el enunciado, la multiplicación, la división, la regla de tres o de cinco, diferencias, suma, etc., todas las operaciones indicadas. Entonces formamos con habilidad dos miembros iguales. Si la igualdad de ambos miembros no resulta del enunciado mismo, los hacemos ser iguales añadiendo al uno o al otro un poco de la cosa, o suprimiendo, multiplicando o dividiendo. [Entonces las desconocidas de uno de los miembros deben ser suprimidas de desconocidas del otro, y del mismo modo los cuadrados u otras potencias de las desconocidas.] Suprimimos también a los números conocidos del segundo miembro de los números conocidos del primero: si hay unos radicales, hacemos lo mismo de la sustracción. Entonces por la diferencia de desconocidas que divide la diferencia de los números conocidos, el cociente hace saber el valor determinado de la cantidad desconocida.

Como aplicación, Bhâskara nos plantea el siguiente problema:

Un hombre tiene seis caballos y trescientas monedas de oro;

Su vecino, tomado de celos, le hizo entrar en su cuadra

- ¡Diez caballos iguales!: por desgracia, todavía debo sobre su valor cien monedas de oro.

Sin embargo poseen el mismo capital.

¿Cuál es pues el precio de cada caballo?

La solución que nos ofrece es la siguiente:

El precio de un caballo, que es desconocido, pongámoslo igual a x; entonces por la regla de tres: si el valor de un caballo es x, ¿cuál es el de seis caballos?:

→→

61 x

la renta multiplicada por la petición y dividida por el tipo da para cociente el valor de los 6 caballos, 6x. Entonces, añadiendo a esto 300 monedas de oro, conocemos la riqueza del primero, a saber: . También el valor de 10 caballos será 10x; al que se añaden 100 piezas tomadas negativamente; se conocerá la fortuna del segundo, a saber: 10 . Los dos son iguales por ellos mismos. Preparamos los dos [miembros] para la sustracción de las cantidades de la misma especie:

6006 +x

100−x

6x + 300

10x - 100

Entonces «qué suprima a las desconocidas de la primera de las del segundo», es el dicho: suprimiendo a las desconocidas del primer miembro de las del segundo, la diferencia es 4x, y suprimiendo a los números conocidos del segundo miembro de los del primero, la diferencia es 400. Dividiendo por la diferencia de los números, el cociente determina el valor de x, sea 100. Si tal es el valor de x ¿cuál es el de 6x? Como decimos: el cociente, por la regla de


tres, el valor de 6x, añadido a 300 monedas de oro, hará saber la fortuna del primero, a saber, 900. procediendo también, conoceremos la fortuna del segundo, a saber: 900.

Como indican los autores, los mismos procedimientos que se acaban de exponer en los ejemplos para resolver ecuaciones de primer grado, son válidos también para transformar ecuaciones del segundo. De este modo, en la India, obtenían siempre la forma del trinomio: , y, para griegos y árabes, unas veces en forma de binomio y otras en forma de trinomio. Los árabes distinguían cinco casos diferentes de estas ecuaciones (seis si se cuentan las ecuaciones de primer grado).

02 =++ cbxax

A continuación veremos el quinto caso que Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi (ca.780-ca.850) expone en la conocida obra Hisab al-jabr w'al-muqabala:

El quinto caso: Divide 10 en dos partes, multiplica cada parte por sí misma, suma y obtendrás 58 dirhams.

La solución que él expone para este problema es la siguiente:

Llamamos a una de las partes x, la otra será 10 , multiplícala por si misma, así obtendrás 100 , y multiplicando x por x, tendrás x

x−xx 202 −+

202 2 =−+ xx

2. Súmalas y obtendrás 100 dirhams. 58

Enriquece los 100 del 20x deficiente que añadirás a los 58 obteniendo

22x+

xx 20582100 2 +=+

Devuelve esto a un único x2, lo que harás tomando la mitad de todo lo que tienes, obtendrás

xx 102950 2 +=+

Haz el equilibrio ahí dentro, es decir, quita de los 50 los 29, se quedará

xx 10221 2 =+

La solución de esta ecuación la ofrece del siguiente modo:

Supone que x2 es un cuadrado de lado desconocido x y añade un rectángulo de la misma altura y base indeterminada pero con área 21.

Al ser igual que 10x, como la altura de la figura es x entonces la base debe

ser 10, por lo que la divide por la mitad y levanta un cuadrado con este lado:


Ahora resta un cuadrado desde la parte superior del cuadrado de lado 5:

Y observa que las zonas sombreadas tienen la misma área, por lo tanto el

área sombreada de la siguiente figura también es 21.

Pero el área del cuadrado grande era 25, por lo que él área del cuadrado

más pequeño es 25-21=4, de donde su lado es 2 y por tanto, x, que es la altura del rectángulo, mide 5-2=3.

También observa que existe otra solución positiva y que esta es . 7=x

Diofanto trata un problema similar del siguiente modo:

Problema: Dado un cuadrado, partirlo en dos cuadrados.

Y la solución es dada en los siguientes términos:

Sea por ejemplo 16 a dividir en dos cuadrados. Supongo que el primero sea x2; hará falta entonces que 16 sea igual a un cuadrado. Formo este cuadrado por medio de un cierto número de veces x menos tantas unidades que hay en el lado del cuadrado dado de 16 unidades, por ejemplo, . El cuadrado de este será pues . Todo esto es igual a 16 .

2x−

x 162 −+42 −x−x164 2x


Añadamos el déficit común y quitemos a los semejantes de los semejantes: será igual a 16x, y valdrá 16 quintos.

25x

=x

En lenguaje actual sería:

( )22 4216 −=− xx

xxx 1616416 22 −+=−

Añadiendo el déficit común 1651616 2 +=+ xx

Quitando semejantes 2516 xx =

x=5

16

Veamos a continuación otra forma de resolver ecuaciones de segundo grado propuestas por Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi (ca.780-ca.850) en la obra Hisab al-jabr w'al-muqabala. Me refiero a la ecuación de segundo grado : 39102 +x

Para resolver esta ecuación identifica x2 con un cuadrado al que se le anexiona un rectángulo de altura x y base 10, esta figura tendrá un área total de 39 unidades.

Continúa con la división del rectángulo

en dos partes iguales por la base, de base 5 cada una, trasladando y girando 90º se llega a la figura:

segu

Completando ésta con un cuadrado de lado 5, tendríamos una figura en la cual el área total es de 39 +25 = 64 unidades y que también es un cuadrado de lado x+5. Pero, como su área es de 64 unidades, el lado debe ser 8, y por tanto x debe ser 3.

En este caso, aunque Al’Kwarizmi es consciente de que la solución 7− , también es posible, no la contempla ya que es negativa.

De este problema se puede inferir la fórmula de resolución de una ecuación de ndo grado del siguiente modo.


El primer paso seguido por Al’Kwarizmi es dividir el coeficiente de la x por 2, de

donde se obtiene 2

10 , después lo eleva al cuadrado y lo añade al término independiente

(operación 39+25=64), que sería 392

10 2

+

.

Seguidamente, le extrae la raíz cuadrada para obtener 8, 392

10 2

+

y final mente le

resta otra vez la mitad del término en x, esto es

−+

21039

210 2

.

Cambiando la ecuación original de la forma a una más genérica del tipo

, la fórmula se transforma en

39102 =+ xx

cbxx =+2

−+

22

2 bcb de la que haciendo unas

operaciones simples y contemplando el doble valor de la raíz cuadrada se puede obtener fácilmente

242 cbb +±−

y por tanto si en lugar de , contemplamos la posibilidad de se llegaría a

cbxx =+2 02 =++ cbxx

242 cbb −±−

una fórmula muy cercana a la definitiva y que como veremos a continuación René Descartes (1596-1650) también obtiene por otros medios en La Géométríe [11, Apéndice] y que ilustra perfectamente algunos métodos posibles para resolver problemas:

Sobre el procedimiento para acceder a las ecuaciones que sirven para resolver los problemas

Si, pues, deseamos resolver un problema, inicialmente debe suponerse efectuada la resolución, dando nombre a todas las líneas que se estimen necesarias para su construcción, tanto a las que son desconocidas como a las que son conocidas. A continuación, sin establecer distinción entre las líneas conocidas y las desconocidas, debemos descifrar el problema siguiendo el orden que muestre de modo más natural las relaciones entre estas líneas, hasta que se identifique un medio de expresar una misma cantidad de dos formas: esto es lo que se entiende por una ecuación, pues los términos de una de estas expresiones son iguales a los de la otra. Deben hallarse tantas ecuaciones como líneas desconocidas se han supuesto. Pero si no se logra esto y, no obstante, no se ha omitido consideración alguna de lo especificado en el problema, esto testimonia que el problema no está completamente determinado. En tal caso podemos elegir arbitrariamente líneas de longitud conocida para cada línea a la que no corresponda una ecuación. Si después de esto aún existen varias, es preciso servirse por orden de cada una de las ecuaciones restantes, bien sea considerándolas aisladamente, bien cada una en comparación con las otras, para obtener un valor para cada una de las


líneas desconocidas; debe procederse de este modo hasta que no exista sino una sola línea desconocida que sea igual a alguna línea conocida o cuyo cuadrado, cubo, cuadrado del cuadrado, supersólido, cuadrado del cubo, etc.., sea igual a la suma o diferencia de dos o más cantidades, una de las cuales sea conocida y las otras estén compuestas de algunas medias proporcionales entre la unidad y ese cuadrado, cubo, cuadrado del cuadrado, etc..., multiplicado por otras conocidas. Esto lo expreso del modo siguiente:

z =b

z2 = - az + bb,

z3 = + az2 + bbz - c3,

z4 = az3 -c3z+d4, etc ...

Es decir, z, tomada como la cantidad desconocida es igual a b; o el cuadrado de z es igual al cuadrado de b menos a multiplicado por z; o el cubo de z es igual a a multiplicado por el cuadrado de z más el cuadrado de b multiplicado por z, menos el cubo de c, y así en otros casos.

De esta manera pueden reducirse todas las cantidades desconocidas a una sola, siempre que el problema pueda ser construido mediante círculos y líneas rectas o por medio de secciones cónicas, o también por medio de cualquier otra línea curva de grado no superior al tercero o cuarto. Pero no me detengo en la explicación detallada de esto, pues os privaría del placer de aprender por vosotros mismos y de la utilidad de cultivar vuestro espíritu al ejercitarse en estas cuestiones, que es, según mi opinión, el principal resultado que se puede obtener de esta ciencia. Pues no creo exista entre estas cuestiones alguna tan difícil que no puedan solucionar aquellos que sean un poco más versados en Geometría común y en el Álgebra si prestan atención a cuanto se diga en este tratado.

Por esta razón me limitaré a advertiros que, si resolviendo estas ecuaciones no se descuida realizar todas las divisiones posibles, infaliblemente se alcanzarán los términos más simples a los cuales puede ser reducido el problema.

Cuáles son los problemas planos

Si el problema puede ser solucionado mediante la Geometría ordinaria, esto es, mediante el uso exclusivo de líneas rectas y círculos trazados sobre una superficie plana, cuando la última ecuación haya sido resuelta no nos encontraremos sino un cuadrado desconocido igual al resultado de multiplicar su raíz por alguna cantidad conocida y sumar o restar alguna otra cantidad conocida.

Cómo se resuelven

Entonces esta raíz o línea desconocida es fácilmente calculable, pues si tengo, por ejemplo: z2 = az + bb, construyo el triángulo rectángulo NLM, cuyo lado LM es igual a b (raíz cuadrada de la cantidad conocida bb) y el otro lado, LN, es igual a ½a, esto es:


la mitad de la otra cantidad conocida que estaba multiplicada por z, la cual he supuesto que es la línea desconocida". Seguidamente, prolongando MN, que es la base de este triángulo, hasta O, de suerte que NO sea igual a NL, la línea OM es z, la línea buscada. La cual se expresa de la siguiente forma:

bbaa +az +=41

21

Pero si,

yy= -ay + bb,

siendo y la cantidad que deseamos calcular, entonces construyo el mismo triángulo NLM y de la hipotenusa MN resto NP que es igual a NL, obteniendo que PM es y, que era la raíz que deseaba calcular. De forma que:

bbaaay ++−=41

21

Y de la misma forma si tuviera

x4 = -ax2 + b2,

PM sería x2, teniendo entonces que:

bbaaax ++−=41

21

y así en otros casos.

Finalmente, si tengo z2=az-bb, supongo NL igual a ½a y LM igual a b como en el caso anterior. Después, en lugar de unir los puntos M y N, trazo MQR paralela a LN, y tomando N como centro trazo por L un círculo que corta a MQR en los puntos Q y R. Por tanto, la línea buscada, z, es MQ o bien MR, pues en este caso se expresa de dos formas, a saber:

bbaaaz

bbaaaz

−−=

−+=

41

21

41

21

Y si el círculo que, teniendo su centro en el punto N y pasando por el punto L, no corta ni toca la línea recta MQR, entonces no existe raíz alguna de la ecuación. En consecuencia, puede asegurarse que es imposible la construcción del problema propuesto.

Finalmente, estas mismas raíces pueden encontrarse por una infinidad de medios. Solamente he deseado presentar éstos por ser muy simples con el fin de mostrar que pueden construirse todos los problemas de la geometría ordinaria sin hacer otra cosa que lo expuesto en las cuatro figuras explicadas.


Esto no creo que haya llegado a ser conocido por los antiguos, pues en caso contrario no se hubiesen tomado la molestia de escribir tan gruesos volúmenes ,ya que el solo orden de sus proposiciones nos permite concluir que no han conocido el verdadero método para calcular todas, sino que solamente han compilado lo que ocasionalmente llegaron a conocer.

También podría utilizarse en Enseñanza Secundaria otro método, más adecuado para los amantes de las deducciones algebraicas, para introducir la fórmula de resolución de ecuaciones de segundo grado, tal y como señala Meavilla Seguí en [21, p. 346 ], y obtenido también de La géométrie de Descartes.

Si en la ecuación hacemos el cambio de variable 02 =++ cbxaxa

byx2

−=

obtenemos que

022

2

=+

−+

− c

abyb

abya

operando queda

04

22 =+− c

abay

de donde

aacbay

442

2 −=

por lo tanto

aacby

242 −

±=

Si ahora deshacemos el cambio de variable a

byx2

−= llegamos a la fórmula conocida

aacbbx

242 −±−

=

A continuación veremos dos aplicaciones históricas relacionadas con la resolución de ecuaciones que son aplicables a la Enseñanza Secundaria y que permiten trabajar con los alumnos más avanzados.

Si observamos la última técnica de Descartes, esta sería aplicable a cualquier ecuación polinómica del tipo

0012

22

21

1 =++++++ −−

−− axaxaxaxaxa n

nn

nn

n

En ella, haciendo el cambio n

n

anayx⋅

−= −1 se llegaría a una expresión del tipo

0012

22

2 =+++++ −− bybybybyb n

nn

n


en la que, como puede observarse, está ausente el término correspondiente a la potencia . 1−ny

Si aplicamos el proceso a una ecuación cúbica y hacemos el cambio obtenemos la ecuación .

08143 23 =−++ xxx0=1−= yx 20113 −+ xx

Esta ecuación se corresponde con la forma que Jerónimo Cardano (1501 - 1576) solucionaba en su obra Ars Magna mediante la utilización de los siguientes versos:

qpxx =+3

Cuando esta el cubo con las cosas preso

y se iguala a algún número discreto

busca otros dos que difieran en eso.

Después tú harás esto que te espeto

que su producto siempre sea igual

al tercio cubo de la cosa neto.

Después el resultado general

de sus lados cúbicos bien restados

te dará a ti la cosa principal.

Y por lo tanto se trata de buscar dos números t y s tales que verifiquen:

=⋅

=−3

3pst

qst

y la solución, viene dada por 33 stx −= .

En nuestro caso, como p=11 y q=20

=⋅

=−3

31120

st

st

de donde 109

12093−=s , 10

912093

+=t y

33 109

12093109

12093−−+=x

Otro método histórico muy interesante para la resolución de ecuaciones de cualquier grado y que es aplicable en la Enseñanza Secundaria Obligatoria consiste en una adaptación del método conocido como Método de Newton. Este método tiene su origen en la obra de François Viéte (1540-1603) y aunque su utilización hoy día se basa en la


aplicación de derivadas y determinación de subtangentes, los orígenes del mismo y la forma en que lo utilizaba el propio Isaac Newton (1643-1727) en De analysi per Æquationes numero terminorum infinitas (1711) no presenta nada de cálculo de derivadas ni de fluxiones. Es un método puramente algebraico consistente en lo siguiente:

Si queremos resolver la ecuación podemos descubrir fácilmente que la solución, x, verifica que está comprendida entre 2 y 3, 2<x<3, por lo que se puede suponer que x=2+a

01972 =−+ xx

2( +1, siendo a1<1. por lo tanto de donde queda .

019)2(7) 12

1 =−++ aa0111 1

21 =−+ aa

A continuación se supone que a1 es lo suficientemente pequeño para que a12 pueda ser

despreciado y por lo tanto se tiene que 111

1 =a y en consecuencia tenemos que

1123

1112 =+=x , sea ahora 211

23 ax += entonces

01911237

1123

2

2

2 =−

++

+ aa

de donde

01211

1211353

222 =++ aa

despreciando de nuevo a se tiene que 22 1353

12 −=a por lo que tenemos una nueva

aproximación del valor de 13532828

13531

1112 =−+=x y continuando obtendríamos las

siguientes aproximaciones

Aproximación Valor obtenido Valor aproximado Valor real

1ª 1123 2.090909090909090 2.090169943745609

2ª 13532828 2.090169992609016 2.090169943745609

3ª 2046683142779155 2.090169943749447 2.090169943745609

Estos dos últimos procedimientos pueden resultar algo complicados para alumnos de un nivel normal, aunque no necesita de mayores conocimientos que los propios de la resolución de sistemas de ecuaciones de segundo grado y de un buen manejo de herramientas básicas. Pero desde luego sí es utilizable con aquellos alumnos avanzados y que puedan afrontar una mayor profundización en la resolución de ecuaciones.

Finalmente veremos cómo la Historia de las Matemáticas nos puede ayudar a los profesores a comprender las dificultades de un cierto concepto. Para ello tomaremos el


caso del concepto de función. El concepto de función se comienza a explicar generalmente entre el 2º y 3er curso de Enseñanza Secundaria Obligatoria. La definición usual para introducir este concepto es la que podemos encontrar en los libros de la editorial ANAYA, una de las editoriales con más presencia en el mundo educativo.

En un libro de texto de estos cursos encontramos la siguiente definición de función (cf.[7]):

Una función es una relación entre dos variables, x e y. A cada valor de la x (variable independiente) le corresponde un único valor de la y (variable independiente).

Esta definición es prácticamente la misma que fue establecida en el año 1954 por Nicolás Bourbaki en la obra Eléments de Mathématiue [3, pp.71-76] del siguiente modo:

Una relación entre un elemento variable x de E y un elemento variable y de F se llama relación funcional en y si, para todo el x ∈ E, existe un único y ∈

F que está en la relación dada con x.

Damos el nombre de función a la operación que de este modo asocia con cada elemento x ∈ E el elemento y ∈ F que está en la relación dada con x; se

dice que y es el valor de la función en el elemento x, y la función se dice que está determinada por la relación funcional dada.

Sin embargo para llegar a formular este concepto, los matemáticos de varios siglos tuvieron que sufrir un largo y tortuoso proceso de abstracción.

El concepto de relación “funcional” se remonta mucho en el tiempo. En la época de Galileo, Torricelli, Roverbal Descartes, Fermat y la mayoría de autores de inicios y mediados del S. XVII pensaban en las funciones simplemente como relaciones dadas por curvas o por tablas.

Según Yushkevich (cf. [35]) fue James Gregory (1638-1675) quien, por primera vez en Vera circuli et hyperbole quadratura, obra publicada en 1667, indica:

Decimos que una cantidad x está compuesta de otras cantidades a, b, c, ... si x resulta de a, b, c, ... por las cuatro reglas elementales (suma, resta, producto y división), extracción de raíces o por cualquier operación imaginable.

La primera definición del concepto de función que hace expresa mención a este término, publicada en 1718 aunque es de 1694, se debe a Johann Bernoulli (1667-1748) quien en el artículo “Sur ce qu'on a donné jusqu'ici de solutions des Problèmes sur les Isoperimetres, avec une nouvelle méthode courte et facile de les résoudre sans calcul, laquelle s'étend aussi à d'autres problèmes qui ont rapport à ceux-là” publicado en Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de París dice así:

Llamamos función de una magnitud variable, una cantidad compuesta de alguna manera de esta magnitud variable y de constantes.

Posteriormente Leonhard Euler(1707-1783), en 1748, intenta dar precisión a la definición en Introductio in Analysin Infinitorum (cf. [16, T I, p. 4]:

Es función de una cantidad variable cualquier expresión analítica compuesta comoquiera que sea por esa cantidad y números o cantidades constantes.


Euler incluye en esta definición el término “expresión analítica”. Hay que decir que en esa época casi todas las funciones conocidas se podían expresar como series de potencias, por lo que eran analíticas.

A finales del siglo XVIII, se intenta dar una mayor precisión al concepto de función por autores como Jean B. D'Alembert (1717-1783), Joseph L. Lagrange (1736-1813) y Silvestre F. Lacroix (1765-1843). Éste último publica en su Traité du calcul différentiel et du calcul intégral de 1797 la siguiente definición de función volviendo a un concepto algo más general:

Toda cantidad cuyo valor depende de una o varias otras, es llamada función de estas últimas, ya sea que uno conozca o no por medio de qué operaciones es necesario pasar de las últimas a la primera cantidad.

Augustin L. Cauchy (1789-1857) en su Cours d'Analyse de 1821 ofrece la siguiente definición:

Cuando se relacionan cantidades variables entre ellas de modo que, dando valores a una ellas, se puedan determinar los valores de todas las otras, de ordinario se concibe que estas cantidades están expresadas por medio de la que está entre ellas, que toma entonces el nombre de variable independiente; y las otras cantidades expresadas por medio de la variable independiente son lo que se llaman funciones de esta variable.

E incluso en la matemática española, José Mariano Vallejo y Ortega (1779-1846), político y científico español que estuvo exiliado a inicios del S. XIX y que viajó por Francia, Bélgica, Inglaterra y Holanda pudiendo establecer contacto con los científicos más importantes de la época como Arago, Biot, Cauchy, Fourier, Gay-Lussac, Lacroix, Laplace, Legendre,. Montgolfier y muchos otros, nos ofrece la siguiente definición en su Tratado elemental de matemáticas de 1812:

Habiendo dicho que cantidad variable es aquella que puede tener todos los valores que se quiera; debemos ahora manifestar, que toda cantidad o expresión cuyo valor depende del de una variable, se llama función de la misma variable: de donde resulta que toda función de una variable es también una cantidad variable (...)de manera, que también se puede decir, que función de una o muchas cantidades, es toda cantidad, cuyo valor depende de ellas, ya sea que sepan o que se ignoren las operaciones que se deben practicar para hallar dicho valor.

En esta definición ya queda patente que la relación funcional entre la variable independiente y la dependiente puede conocerse o puede que no.

Nikolai I. Lobachevsky (1792-1856) escribió en 1832 el artículo “Sur la convergence des séries trigonométriques” publicado en Mémoires de l'Université de Kasan en el que ampliaba las series de Fourier. En este artículo daba un nuevo paso en la definición de función:

El concepto general de una función requiere que una función de x sea definida como un número dado para cada x y variando gradualmente con x. Se pueden obtener valores de la función por una expresión analítica, o por una condición que proporciona el medio de examinar todos los números y escoger a uno de ellos; o finalmente, la dependencia puede existir y permanecer desconocida. Por ejemplo x3 es una función de x expresada analíticamente; pero la raíz de una ecuación de quinto grado es una función del último término


para el cual ninguna expresión analítica ha sido encontrada y sólo es determinada por la ecuación como única condición... Finalmente las condiciones a las cuales una función es sustancial pueden ser aún desconocidas, mientras el hecho de la dependencia de los números indudablemente existe ya.(...) Parece imposible dudar de que todo en el universo puede ser representado por números o que cada cambio y relación en él puede ser representada por una expresión analítica. Al mismo tiempo, una amplia visión de la teoría admite la existencia de una dependencia en el sentido de medir, en cuanto a números se refiere, que tienen alguna conexión el uno con el otro, así como conjuntamente. (...) Así, bajo el nombre de función debemos entender en general un número del que se conocen variaciones graduales y a su vez depende de las variaciones del otro, aun cuando ello pueda estar de una manera completamente desconocida.

Pero realmente, tras la aparición de la función “patológica”, publicada por P. L. Lejeune Dirichlet (1805-1859) en el Journal für die reine und angewandte Mathematik (conocido como Journal de CRELLE) de 1829 con el artículo “Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre les limites dones”, esto es una función discontinua en todos los puntos, conocida como Función de Dirichlet:

=racional es si

irracional es si)(

xdxc

xf

se inicia un nuevo proceso en la definición de función al quedar patente la insuficiencia de las definiciones de la época. El propio Dirichlet aporta la siguiente definición en “Uber die Darstellung ganz willkürlicher Functionen durch Sinus- und Cosinusreihen” de 1837 [14, p.133]:

Sean a y b dos valores fijos y x una cantidad variable que asume todos los valores entre a y b. Sea un único valor finito y correspondiente a cada x, y además de modo que cuando las x varían continuamente sobre el intervalo de a a b, y=f(x) también varía continuamente, entonces y se llama función continua de x para este intervalo. No es necesario que y sea dada en términos de x según la ley misma en todas las partes del intervalo, y tampoco es necesario que la dependencia sea expresada usando operaciones matemáticas. Representada geométricamente, una función continua (p. ejem., en la que x e y representan la abscisa y la ordenada) es una curva unida sobre la cual sólo un punto corresponde a cada abscisa entre a y b.

Esta definición no atribuye ninguna ley a las partes diferentes de la curva; puede ser compuesta de partes diferentes o pensadas como que no tienen ley alguna. Se sigue de esto que tal función puede ser considerada como completamente definida para un intervalo si o la dan gráficamente para el intervalo entero o está sujeta a distintas leyes matemáticas en partes diferentes. Si una función es definida para sólo una parte de un intervalo, el método para continuar desde ella al resto del intervalo es completamente arbitrario.

Aunque la definición se refiere a una función continua, es evidente que ya está presente un gran avance en el concepto de función: que a cada x le corresponde un único y, que se admiten las funciones definidas a trozos e incluso las funciones definidas en un intervalo.


Posteriormente, tras el proceso de aritmetización del análisis iniciado por Karl Weierstraass (1815-1897) surgieron nuevas definiciones hasta llegar, definitivamente, a la citada definición de Bourbaki de 1954.

Puede observarse de esta exposición que el concepto de función no es un concepto trivial y que su abstracción requiere una serie de pasos previos como la identificación de relaciones y la representación gráfica antes de llegar al concepto abstracto de función. Por ello considero que sería mucho más didáctico y pedagógico realizar una introducción paulatina de este concepto, más cercana a la realidad del alumno previa a la abstracción del concepto.

Concluyendo la exposición, la Historia de las Matemáticas permite no solo el contar anécdotas e historietas a los alumnos o como introducción a los temas que se van tratar, sino también como una fuente de recursos didácticos y epistemológicos fundamentales para cualquier profesor de matemáticas. Sería muy beneficioso para la docencia que las universidades, como organismo que forma a los futuros profesores de matemáticas, incluyeran en los currícula el aprendizaje de la Historia de las Matemáticas para completar el camino de su formación como docentes.

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TALLERES

99

MATERIALES DIDÁCTICOS EN LA RESOLUCIÓN DE

PROBLEMAS.

POR EL GRUPO PI 18

Este trabajo se centra en el uso de materiales didácticos en la resolución de problemas. En primer lugar, describiremos cada uno de estos conceptos y las relaciones que existen entre ambos. Seguidamente, basándonos en la importancia de estas relaciones, describiremos el taller, y particularizaremos en las tareas propuestas y en la utilización de algunos materiales para la resolución de problemas.

Resolución de problemas. Definiremos un problema como una situación dificultosa para la que debe darse una

solución que no es evidente para el individuo que se encuentra ante ella. Para que la situación sea considerada como problema, el individuo no debe conocer a priori algoritmos o métodos que permitan la obtención de la solución de manera inmediata. Consideraremos como la resolución de un problema el proceso que comienza con la percepción del problema y finaliza con la solución del mismo.

La importancia de la resolución de problemas en la enseñanza se pone de manifiesto en los documentos curriculares normativos que la consideran como un objetivo principal de la educación matemática. El currículo español considera que la resolución de problemas matemáticos puede desarrollar una actitud favorable para afrontar problemas de la vida cotidiana. Además, la resolución de problemas es un instrumento didáctico, ya que la reflexión que se lleva a cabo durante la resolución de un problema ayuda a la construcción de los conceptos, y a establecer relaciones entre ellos (Junta de Andalucía, 2002). Por ello se recomienda que la resolución de problemas esté integrada en el proceso de enseñanza-aprendizaje de manera habitual y mostrando especial énfasis en cada una de las estrategias de resolución desde diversos contextos matemáticos. Además se destaca como un objetivo general “reconocer y plantear situaciones en las que existan problemas susceptibles de ser formulados en términos matemáticos, utilizar diferentes estrategias para resolverlos y analizar los resultados utilizando los recursos apropiados”(Junta de Andalucía, 2002).

Desde una perspectiva internacional, los Estándares del NCTM (1989, 2000) recogen la resolución de problemas como uno de los ejes del currículo de matemáticas y se hace hincapié en la necesidad de “construir nuevo conocimiento matemático a través de la resolución de problemas; resolver problemas que surjan de las matemáticas y en otros contextos; aplicar y adaptar una variedad de estrategias apropiadas para resolver

1 Los miembros del Grupo PI organizadores y responsables del taller son: Mª Consuelo Cañadas Santiago, Francisco Durán Ceacero, Sandra Gallardo Jiménez, Manuel J. Martínez-Santaolalla Martínez, María Peñas Troyano, Miguel Villarraga Rico y José Luis Villegas Castellanos.

100 Grupo PI

problemas; supervisar y reflexionar sobre los procesos de solución de problemas matemáticos” (NCTM, 2000, p. 52).

Como hemos dicho, existe un problema siempre que queremos conseguir algo y no sabemos cómo hacerlo. Dicho de otro modo, tenemos una meta más o menos clara y no existe un camino inmediato y directo para alcanzarla; por lo tanto nos vemos obligados a elegir una vía indirecta, a hacer un rodeo (Abrantes et al., 2002)

Hemos marcado por tanto una fase inicial del proceso (percepción de la situación problemática) y una fase final (generación de soluciones), pero cómo se produce el proceso intermedio, cómo buscamos estrategias que nos permitan la generación de esa solución. Un elemento de trabajo que nos puede permitir la búsqueda de estas estrategias son los trabajos sobre resolución de problemas. En la literatura encontramos estudios sobre estrategias que ayudan al alumno cuando éste tiene que enfrentarse a un problema matemático (Polya, 1982; Mason, Burton y Stacey, 1988; Brandsford y Stein, 1993). Las fases de estas estrategias nos pueden dar indicaciones sobre como abordar un problema. Entre las distintas fases que encontramos sobre resolución de problemas en matemáticas podemos destacar las siguientes (ver cuadro 1).

POLYA (1982)

MASON, BURTON Y STACEY (1988)

BRANDSFORD Y STEIN (1993)

Comprender el problema estableciendo cuál es la meta y los datos y condiciones de partida.

Idear un plan de actuación que permita llegar a la solución conectando los datos con la meta.

Llevar a cabo el plan ideado previamente.

Mirar atrás para comprobar el resultado y revisar el procedimiento utilizado.

Abordaje:

Comprender el problema

Concebir un plan

Ataque:

Llevar a cabo el plan

Revisión:

Reflexión sobre el proceso seguido. Revisión del plan

Identificación del problema

Definición y representación del problema.

Exploración de posibles estrategias.

Actuación, fundada en una estrategia.

Logros. Observación y evaluación de los efectos de nuestras actividades

Cuadro 1: Fases de resolución de problemas Pero la habilidad para resolver problemas no sólo se adquiere resolviendo muchos

problemas ni conociendo las distintas fases de resolución, sino tomando soltura y familiaridad con una gama de técnicas de resolución (heurísticas). El buen resolutor de problemas se caracteriza por:

• Conocimientos matemáticos adecuados a los problemas con los que se va a enfrentar.

• Conocimiento de diversas estrategias.

• Deseo de resolver el problema, una vez que lo ha aceptado como tal, es decir que lo ve asequible para él y le resulta interesante de resolver (Abrantes et al., 2002).

Entre las heurísticas que se suelen considerar apropiadas nos encontramos las siguientes: resolver un problema más sencillo, hacer una tabla, buscar pautas, empezar desde atrás, dar el problema por resuelto, generalizar, análisis del problema, representación y organización de la información, inferencia, deducción, ensayo y error (fortuito, sistemático, dirigido), descomponer el problema en subproblemas, reducción al absurdo,


búsqueda de incoherencias, análisis del caso más desfavorable, formulación de predicciones, torbellino de ideas,...

Materiales Didácticos. Coriat (1997) distingue entre recursos y materiales didácticos, considerando que los

primeros no han sido diseñados específicamente con fines educativos. En este taller hemos decidido reunir ambos términos en el de materiales didácticos, al considerar que los recursos se convierten en materiales didácticos en el momento en que el profesor de manera consciente los utiliza en su aula con una finalidad didáctica. Entenderemos por materiales didácticos todos los objetos usados por el profesor o el alumno en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas con el fin de lograr unos objetivos didácticos programados. Es decir, aquellos objetos que pueden ayudar a construir, entender o consolidar conceptos, ejercitar y reforzar procedimientos e incidir en las actitudes de los alumnos en las diversas fases del aprendizaje. Pero debemos tener en cuenta que en general no existe una correspondencia biunívoca entre un material y un concepto, procedimiento o actitud. “Un mismo concepto ha de trabajarse, en lo posible, con diversidad de materiales y, recíprocamente, la mayoría de los materiales son utilizables para hacer ejercicios diversos” (Alsina et al., 1988, p. 13).

Alsina et al. (1988) realizan una clasificación no exclusiva de los materiales atendiendo a la funcionalidad distinguiendo entre:

• Materiales dedicados a la comunicación visual.

• Materiales para dibujar.

• Materiales para leer.

• Materiales para hacer medidas indirectas o directas.

• Materiales que son modelos.

• Materiales para la construcción de conceptos.

• Materiales para mostrar aplicaciones.

• Materiales para resolver problemas.

• Materiales para demostraciones y comprobaciones.

Vamos a clasificar los materiales didácticos atendiendo a los siguientes criterios:

1. Tipo de material físico con el que está elaborado.

2. Nivel educativo.

3. Concepto matemático con el que permite trabajar.

4. Versatilidad, posibilidad de ser empleados para estudiar un mayor o menor número de conceptos o propiedades matemáticas.

5. Estructuración didáctica o especificidad del material.

En este taller utilizaremos materiales de carácter manipulativo al considerar que éstos permiten una mayor implicación del alumno en las tareas a realizar en consonancia con una de las características que se le atribuyen a los materiales: su carácter motivador. La manipulación constituye un “modo de dar sentido al conocimiento matemático” (Segovia y Rico, 2001, p. 86). El uso de materiales tiene numerosas ventajas como permitir mayor

102 Grupo PI

independencia del alumno respecto al profesor, conectar las matemáticas escolares con el entorno físico del alumno, favorecer un clima de participación en el aula y el trabajo en equipo de los alumnos; y además el material se convierte en un elemento que refuerza el conocimiento y el aprendizaje significativo de los alumnos.

Los materiales didácticos y la resolución de problemas se relacionan en el currículo donde encontramos entre los objetivos generales de la Educación Secundaria Obligatoria “elaborar estrategias personales para la resolución de problemas matemáticos sencillos y de problemas cotidianos, utilizando distintos recursos y analizando la coherencia de los resultados para mejorarlos si fuera necesario” (Junta de Andalucía, 2002).

Los Materiales Didácticos en la Resolución de Problemas.

Durante la realización del taller se presentan los problemas y materiales implicados en la resolución de los mismos. A continuación se realizan una serie de tareas en las que se pretende la manipulación, construcción, observación, expresión de conjeturas y descubrimiento de distintas relaciones entre los conceptos implicados y soluciones de los problemas propuestos. La discusión y debate en gran grupo nos permitirá enriquecer y comunicar las distintas construcciones realizadas a la vez que se da lugar a un espacio de crítica sobre la viabilidad de las tareas, problemas y materiales presentados.

Objetivos del taller.

• Proporcionar a los docentes herramientas didácticas para la enseñanza de las matemáticas.

• Resolver problemas con ayuda de materiales didácticos

• Motivar a los profesores para que empleen materiales en el aula para los procesos de conceptualización de sus alumnos.

• Fomentar la resolución de problemas en el aula.

• Reforzar la idea de que hacer matemáticas equivale a resolver problemas.

• Proponer problemas interesantes para aumentar el caudal de recursos a disposición de cuantos asistan a nuestro taller.

Algunos de los materiales que se pretendieron utilizar en el taller:

MATERIAL DESCRIPCIÓN CARACTERÍSTICAS CONCEPTOS TRABAJADOS

Papel

Papel de cualquier color uniforme, papel charol, papel vegetal, cartulina para poder doblar y pegar. En ocasiones es necesaria la goma de pegar para poder hacer modelos.

1.Papel

2.Todos los niveles

4.Alta

5.Baja

Rectas y ángulos. Construcción de polígonos.

Clasificación de cuadriláteros. Construcción de poliedros.

Perpendicularidad. Paralelismo. Simetrías.

Construcción de conceptos.

Palillos y plastilina

Palillos y garbanzos

Palillos y/o pajitas de refrescos le longitudes inversas y bolas de plastilina para unir los extremos de los palillos/pajitas.

1.Madera, plástico

2.Secundaria

4.Media

5.Baja/Media

Construcción de polígonos. Construcción de poliedros.

Teorema de Euler.


Geoplano

Tablero de madera o plástico de forma cuadrada de 25x25 cm2 en el que se encuentren distribuidos 25 clavos de cabeza plana, clavados parcialmente formando una cuadrícula. Elásticos de caucho de varios colores. El número de clavos puede variar: 3x3, 4x4, nxn,...

1.Madera, plástico

2.Todos los niveles

4.Alta

5.Alta

Segmentos. Polígonos. Polígonos semejantes. Descomposiciones de

polígonos. Comprobaciones del teorema de

Pitágoras. Geometría del geoplano:

Algoritmo para el cálculo del área en función del número de clavos

que abarca el polígono.

Mapas Mapas de carreteras, planos urbanos.

1.Papel, plástico

2.Secundaria

4.Media

5.Media

Problemas de recorridos mínimos, caminos posibles, distancias reales y en línea recta, escala del mapa,

etc. Averiguar y comparar distancias

en la línea recta entre poblaciones. Estudiar itinerarios posibles.

Semejanza

Corcho Corcho de embalar.

1.Corcho

2.Secundaria

4.Media

5.Baja

Montaje de modelos Teorema de Pitágoras.

Pentominós Doce figuras distintas formadas cada una de ellas por cinco cuadrados iguales.

1.Madera, plástico

2.Secundaria

4.Media

5.Alta

Áreas equivalentes. Concavidad y convexidad.

Tangram Puzzle formado por 7 piezas.

1.Cartulina, Plástico

2.Secundaria

4.Alta

5.Baja

Descripción de figuras. Polígonos. Áreas. Visualización. Creatividad.

Fracciones. Radicales.

Las tareas con las que se trabajaron estos materiales fueron los siguientes:

Tarea 1: Construcción de polígonos utilizando papel.

1. Construye un cuadrado a partir de un trozo irregular de papel.

2. Construye un rectángulo de proporciones 1:2 dado un folio A4.

3. Construye un rectángulo 1:3 a partir del construido anteriormente.

4. Construye un rectángulo )21( − dado un papel cuadrangular.

5. Construye un rectángulo )31( − .

6. Construye un triángulo equilátero.

7. Construye un hexágono.

104 Grupo PI

Tarea 2: Doblando papel

1. ¿Cómo podría dividirse un segmento dado en n partes iguales doblando papel?

2. ¿Cuántos dobleces quedarían marcados si doblases n veces una tira de papel rectangular (siempre por la mitad del mayor lado inicial)?

3. ¿Qué polígonos regulares puedes construir doblando papel?

Tarea 3: Construcción de Poliedros

1. Construye la pieza base para el tetraedro, ditetraedro, octaedro e icosaedro (ten en cuenta que hay dos piezas simétricas).

2. Construye la pieza base para el cubo.

3. Construye el tetraedro.

4. Construye el cubo.

Tened en cuenta que trabajando en grupo conseguiréis terminar antes el poliedro.

Propuestas

1. Construye el di-tetraedro.

2. Construye un octaedro.

3. Construye un icosaedro.

4. Construye un icosaedro estrellado.

Tarea 4: Áreas y volúmenes de los poliedros construidos.

Nombre Área de una cara Área total Apotema Volumen

Tetraedro 2

34a

⋅ 2 3a ⋅ 6

12a⋅

3

212a

Di-tetraedro 2

34a

⋅ 26 3a⋅ ⋅ 6

12a⋅

3 26

a

Octaedro 2

34a

⋅ 22 3a⋅ ⋅ 6

6a

3

23a

Icosaedro 2

34a

⋅ 25 5a⋅ 7 3 5

2 6a +⋅

35 7 36 2a⋅ +

⋅5

Hexaedro 2a 26 a⋅ 2a

3a

Dodecaedro 25 5 2

4 5a +⋅

5 2 5 2 5155

a +⋅ ⋅ 25 11 5

2 10a +⋅

35 47 212 10a⋅ +

⋅5

Tarea 5: El teléfono.

Para la realización de la presente tarea se necesitan dos personas. Una de ellas describirá a un amigo verbalmente (simulación de conversación telefónica) un objeto y la otra, construirá, con palillos y plastilina, la figura descrita.


Tarea 6: Juegos de probabilidad

1. Lanzamiento de dados: Calcular la probabilidad de obtener un número par con un dado construido en papel.

2. Juego del río: (Jugar por parejas).

Cada uno de los jugadores dispondrá de 12 fichas (construidas por él).

Dibujando en el centro de un folio dos líneas paralelas (que representarán un río) y a cada lado del río 12 casillas numeradas.

Cada jugador situará sus fichas sobre las casillas que quieran, e incluso dejar casillas vacías.

Cada jugador (en su turno) lanzará dos dados, sumará los números de las caras superiores y moverá al otro lado del río las fichas que se encuentren en la casilla que tenga ese número.

Ganará el primero que consiga pasar todas sus fichas al otro lado del río.

Tarea 7: Perpendicularidad.

1. ¿Cómo trazar las lindes de una superficie cuadrada en un terreno si sólo se dispone de una cuerda y una estaca?

2. ¿Cómo trazar en un terreno dos líneas perpendiculares?

3. ¿Cómo demostrar el teorema de Pitágoras doblando un papel?

4. ¿Cómo calcular alturas inaccesibles?

Tarea 8: Cuadrados en un tablero de ajedrez.

Escuché decir una vez:

“Doscientos cuatro cuadrados

106 Grupo PI

se cuentan en un ajedrez”.

¿Estaba bien razonado?

Tarea 9: Geoplano 1

1. Determinar todos los segmentos posibles en un geoplano.

2. Ordenar los segmentos por su longitud.

Tarea 10: Geoplano 2

El cuadrilátero construido en el geoplano tiene 16´5 unidades cuadradas de área. El perímetro del cuadrilátero pasa por 9 puntos. En el interior podemos contar 13 puntos.

Prueba a construir otras figuras en el geoplano e intenta encontrar una relación entre el

área de una figura, el número de puntos que quedan sobre el perímetro y el número de puntos que quedan en el interior (Teorema de Pick).

Tarea 11: Palillos

¿Cómo podrían unirse seis palillos de manera que se formen cuatro triángulos?

Tarea 12: Cuadriláteros

Dados los siguientes cuadriláteros


1. Ordénalos en tres o cuatro grupos de cualquier modo dando la norma que

describe tu clasificación.

2. Ordena tu conjunto de cuadriláteros usando una clasificación diferente.

Tarea 13: Tangram

B

E

F A

D C G

Realizar las siguientes actividades. Tome como referencia el tangram dibujado más arriba.

1. Escribe el nombre “matemático” de todas las piezas del tangram.

2. Practica con las piezas realizando los siguientes ejercicios:

a. Une F y G para obtener una pieza igual que C.

b. Une F y G para obtener una pieza igual que D.

c. Une F y G para obtener una pieza igual que E.

d. Une F, G y D para obtener una pieza igual que A o B.

e. Une F, G y C para obtener una pieza el doble que D.

3. Completa la siguiente tabla anotando en cada celdilla qué fracción representa cada figura de la primera columna respecto a cada una de las de la primera fila. Como pista te damos la primera columna resuelta:

Pieza A=B C D E F=G

A 1

B 1

C 1/2

108 Grupo PI

D 1/2

E 1/2

F 1/2

G 1/4

4. Suma todas las fracciones de cada columna y explica por qué sale ese número.

5. Es posible realizar las siguientes tareas. Demuestra tu respuesta.

a. Forma un cuadrado con una sola pieza.

b. Forma un cuadrado con dos piezas.

c. Forma un cuadrado con tres piezas

d. Forma un cuadrado con cuatro piezas.

e. Forma un con cinco piezas

f. Forma un cuadrado con seis piezas.

g. Forma un cuadrado con siete piezas.

6. Construye las figuras siguientes: triángulo, rectángulo, trapecio isósceles, trapecio rectángulo, romboide, hexágono. Cuando lo hagas, dibuja las piezas en tu libreta.

7. Tomando como área unidad el cuadrado pequeño (FIGURA D) expresa el área de las demás piezas (la tabla tienes que dibujarla en tu libreta).

FIGURA D A=B C E F=G

ÁREA 1

8. Haz lo mismo tomando como unidad de área el triángulo pequeño (FIGURAS F y G).

FIGURA F=G A=B C D E

ÁREA

9. Calcula el área de cada pieza tomando como unidad un centímetro cuadrado.

10. Calca las siguientes siluetas en tu libreta. Después trata de construirlas con el tangram. Cuando lo consigas, dibuja la disposición de las piezas en su interior.


Tarea 13: Pentominós

1. Duplica todas las piezas utilizando cuatro piezas de las restantes.

2. Triplica todas las piezas utilizando nueve de las restantes.

3. Construye todos los rectángulos posibles.

4. ¿Cómo colocar las fichas de un pentominó de manera que formen un par de rectángulos de idéntica forma y tamaño?

Algunas Conclusiones Iniciamos la presentación de este taller con la convicción de que los materiales pueden

jugar un papel importante en la resolución de problemas. Este taller refuerza esta idea, ya que se ha observado que los materiales son uno de los medios que podemos utilizar y además nos permiten convencernos de que:

• La resolución de problemas es una actividad útil y motivadora para la representación y la conceptualización en las clases de matemáticas.

• Existe un problema siempre que algún obstáculo separa la situación actual de la deseada.

• Resolver problemas es objeto de aprendizaje.

• El carácter manipulativo de los materiales los hace entretenidos y proporcionará una buena predisposición por parte de los alumnos.

• La visualización de objetos matemáticos mejora la capacidad de abstracción.

• Aunque aquí se han empleado ciertos materiales y ciertos problemas, siempre existirá la posibilidad de utilizar nuevos materiales para resolver estos mismos problemas, y problemas distintos, para resolver con nuevos materiales.

• Las ideas sugeridas por el taller muestran que el conocimiento matemático puede ser construido y que ello depende, en parte, de las posibilidades de organización y adaptación por parte de cada profesor en cada clase.

110 Grupo PI

• Los materiales económicos resultan tan eficaces como los “comerciales”.

• No hace falta una gran infraestructura escolar para la utilización de materiales en el aula.

Bibliografía Abrantes, P. y otros (2002) La resolución de problemas en matemáticas. Barcelona: Graó

Alsina, C.; Burgués, C. y Fortuny, J.M. (1988) Materiales para construir la geometría. Madrid: Ed. Síntesis.

Bransford, J.D. y Stein, B. S. (1993) Solución ideal de problemas. Barcelona: Ed. Labor

Coriat, M. (1997) Materiales, recursos y actividades: un panorama. En L. Rico (Ed.), La educación matemática en la Enseñanza Secundaria (pp. 155-177). Barcelona: Horsori.

Junta De Andalucía (2002). Decreto 148/2002, de 14 de mayo, por el que se modifica el Decreto 106/1992, de 9 de junio, por el que se establecen las enseñanzas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria en Andalucía.

Mason, J.; Burton, L. y Stacey, K. (1988) Pensar matemáticamente. Barcelona: Ed. Labor

NCTM (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM

Polya, G. (1982) Cómo plantear y resolver problemas. México: Ed. Trillas

Segovia, I. y Rico, L. (2001) Unidades didácticas. Organizadores. En E. Castro (Ed.), Didáctica de la matemática en la educación primaria (pp. 83-104). Madrid: Síntesis.

COMUNICACIONES

113

INVENCIÓN DE PROBLEMAS POR PROFESORES DE

PRIMARIA EN FORMACIÓN

Mª Fernanda Ayllón Blanco, [email protected] Encarnación Castro Martínez, [email protected]

Introducción Se dice que una persona domina un conocimiento matemático cuando además de

saber, relacionar entre sí, los conceptos que lo sustentan es capaz de crear situaciones problemas para cuya solución hay utilizar dicho conocimiento.

Desde un punto de vista constructivista el sujeto que aprende es el artífice, de la adquisición y construcción de su propio conocimiento, en el caso que nos ocupa se trata de conocimiento matemático. Para llagar a construir y a dominar conocimiento matemático, es necesario que los alumnos dispongan de situaciones que hagan posible tal construcción. El profesor ha de ayudar en este empeño y debe proponer tareas que permitan el establecimiento de relaciones, y aporten elementos de reflexión sobre aquellos conceptos que se están trabajando. En este sentido, creemos que la invención de problemas constituye una situación que permite construir conocimiento matemático y ayuda a no olvidarlo. El profesor, en su aula, debe de potenciar la actividad de invención de problemas, si acepta las ideas del constructivismo relacionadas con el proceso de aprendizaje.

Existen ejemplos que ponen de manifiesto cómo distintos autores han utilizado la resolución e invención de problemas para este fin. Así, Walter y Brown (1977) y Walter (1980), utilizan problemas ya formulados y sus modificaciones como estrategia para la generación de nuevos problemas y para la construcción del conocimiento matemático. Otros autores como Cobo (1986), consideran que la invención de problemas, por parte de los niños, es una tarea pensada para evaluar el uso que hacen de los números en el contexto de la invención y resolución de problemas; el significado atribuido a los mismos y las relaciones que se establecen entre ellos, ya sea dentro o fuera de las operaciones. Algunos investigadores, entre los que se encuentra English (1997), señalan que la resolución de problemas lleva de la mano la invención de problemas y que formular un problema se convierte en algo esencial para que el niño comprenda qué es un problema, (Cázares 2000).

Por otro lado, un objetivo fundamental de la educación matemática es desarrollar la inteligencia, para ello es necesario pensar y razonar. La resolución de problemas obliga a pensar y a utilizar diferentes estrategias y procedimientos para resolver la situación planteada y la invención de problemas afianza todo lo aprendido a la vez que obliga a la persona a pensar en una estructura que determine un nuevo problema. Todo este bagaje de conocimiento queremos que lo posean los estudiantes futuros profesores de educación primaria, de ahí el interés que ponemos en el desarrollo de esta tarea.

mailto:[email protected]

114 Mª Fernanda Ayllón y Encarnación Castro

Aspectos positivos de la invención de problemas Varios son las cualidades positivas que se esgrimen cuando se aconseja que en la

enseñanza se lleven a cabo tareas de invención de problemas. Una hace referencia a la motivación. Cuando un sujeto formula un problema ha tenido que darle una forma adecuada y en ocasiones ha necesitado validarlo; lo siente, por tanto, como una creación propia. La implicación de los alumnos en la tarea matemática, cuando inventan problemas, ha de ser total por lo que perciben las matemáticas de manera más cercana, algo más real, propio y original. Las matemáticas surgen de una actividad para la que el alumno he de estar motivado.

Otra cualidad positiva se refiere al hecho de incrementar el conocimiento matemático. El sujeto que inventa un problema ha de utilizar distintos conceptos matemáticos que, a veces, ha construido aisladamente y es posible que en momentos distintos de su vida escolar. Si los problemas que los sujetos inventan no se reducen a meros ejercicios de aplicación de un concepto, necesitará relacionar conceptos para poder llegar a la solución del problema planteado. Además se incrementará su habilidad para aplicar los conceptos matemáticos y aprenderán a utilizar una variedad de estrategias para llegar a la solución de los problemas.

Una tercera cualidad positiva hace referencia a la posibilidad de utilizar la invención de problemas para la evaluación. Una tarea de invención de problemas permitirá al profesor conocer las habilidades que tienen sus alumnos para usar su conocimiento matemático Cázares (2000), así mismo permitirá a un investigador, analizar los procesos de pensamiento matemático de los sujetos investigados.

Por otro lado, uno de nuestros objetivos, como formadores de profesionales de la enseñanza para el nivel de educación primaria, es hacer que nuestros estudiantes comprendan, que hacer matemáticas implica razonar y no solamente realizar algoritmos de lápiz y papel. La invención de problemas puede ayudar, además de aportar las cualidades positivas a que hemos hecho referencia, a conseguir este objetivo.

Definición de problema Aunque, en le literatura sobre resolución de problemas, hemos encontrado diferentes

descripciones de lo que es un problema matemático, hemos tomado las dos de Bouvier y George (1979) referida a qué es un problema y la de Castro (1996) que indica las componentes que tiene el mismo. Con estas dos descripciones quedan recogidas las necesidades que exige este trabajo. Bouvier y George señalan que un problema es una cuestión de la que se conocen algunos datos los cuales hay que manejar convenientemente para encontrar otro que se busca, por su parte Castro (1996) indica que un problema matemático incluye los siguientes componentes:

• Una proposición, enunciado oral o escrito.

• Unos datos conocidos.

• Una intención, movilizar una o más personas para que averigüen.

• Una meta, obtener un resultado.

• Un proceso, el modo de actuación para alcanzar el estudio.


En este trabajo consideramos como problema matemático aquellos escritos que incluya los componentes señalados por Castro (1996), y esté redactado en una forma gramatical correcta, es decir, se entiendan las ideas que se quieren expresar.

Descripción del trabajo realizado La actividad que presentamos, se llevó a cabo en un aula donde se forman estudiantes

para ser profesores de Educación Primaria en la Escuela Universitaria de Magisterio “La Inmaculada Concepción” Ave María. La investigadora es la profesora de dicha aula. La asignatura que cursan estos estudiantes, y en la que está inmersa la actividad, tiene como título Matemáticas y su Didáctica. Es una asignatura troncal anual de 9 créditos que se cursa en el primer año de carrera. La principal finalidad de esta materia es trabajar la didáctica de los distintos bloques de contenidos matemáticos que posteriormente se encontraran en la enseñanza primaria: número natural, geometría, medida, estadística y probabilidad. Se trabajan los conceptos, los procesos de aprendizaje de los mismos por los alumnos de primaria, los errores y dificultades que encuentran en sus aprendizajes y las distintas metodologías se pueden seguir en el proceso de enseñanza.

Desde el comienzo de curso los estudiantes saben que una de las tareas que realizarán en la asignatura será la invención de, al menos, un problema. No se les precisa ningún concepto o bloque de contenidos matemáticos a los que estaría referido dicho problema. Tampoco lo tienen que ubicar en ningún nivel educativo, es decir, no tiene que ser un problema para el que sea necesario conocimientos de primaria, secundaria o universitarios. Se comienza a realizar la actividad en el segundo cuatrimestre, una vez estudiado los conceptos matemáticos que se trabajan en los niveles de Educación Primaria desde el punto de vista de la Didáctica de la Matemática. Se les propone como tarea extraescolar que inventen un problema y lo traigan a clase. Una vez que los estudiantes traen los problemas que han inventado, se hace una relación con todos ellos. Posteriormente se procede a su análisis y, en algunos casos a su resolución.

Si los problemas han sido resueltos previamente por los mismos estudiantes que los inventaron, estos presentan la resolución de los mismos ante sus compañeros. Si no han sido resueltos previamente, se procede a su resolución en la clase. El análisis se realiza en el grupo clase, tomando en cuenta los siguientes puntos: se lee el enunciado y se constata: a) si su redacción es clara y correcta, ocurriendo así si todos los estudiantes entienden qué quiere decir el problema, b) si con el problema propuesto los alumnos de primaria que lo resuelvan estarían realizando el trabajo que de ellos se pretende, c) si los datos dados en el problemas son adecuados, d) si el resultado es coherente, e) se constatan distintas estrategias para resolver un mismo problema, f) por último, se clasifican los problemas atendiendo a algún criterio, uno de estos criterios es atender a los bloques de contenido matemático en los que se inserta el problema.

Sobre los problemas inventados El grupo con el que se llevó a cabo la actividad en el curso 2001-02 constaba de 50

estudiantes alumnos de 1º de Educación Primaria. Se recopilaron 62 problemas, lo que muestra que algunos enunciaron más de uno. En efecto, un estudiante, entregó 3 problemas, diez estudiantes entregaron 2 problemas, los treinta y nueve restantes entregaron 1 problema. Nos referimos en primer lugar a la clasificación de los mismos, teniendo en cuenta el bloque de contenido a que hacen referencia y seguiremos con la reflexión hecha, en el grupo, sobre algunos de ellos.


En la figura se recoge la clasificación de los problemas inventados según el contenido matemático al que hace referencia.

TIPOS DE PROBLEMAS

50%

31%

19%

AritméticaAlgebraGeometría

En el diagrama se puede ver que el 50% de los problemas inventados es de aritmética,

el 31% de álgebra y el 19% de geometría, no han aparecido problemas de probabilidad, ni de estadística, ni de magnitudes y medidas como tales, en algunos problemas de geometría aparece de forma indirecta la medida.

Ante la imposibilidad de mostrar el debate realizado, en el aula, sobre todos los problemas, vamos a mostrar solamente cuatro de ellos.

Problema 1

Si Juan tiene la mitad de años que Pedro y la edad de Pedro es 3 veces mayor que la de su abuelo menos 2 años. Si el abuelo tiene 86 años, ¿cuál será la edad de Juan?

Solución:

J = P/2

P = 3A – 2 P = 256 años y J = 129 años

A = 86

El problema fue propuesto y resuelto por un estudiante y permitió dialogar en clase sobre la coherencia de los datos y del resultado con la situación de la vida real. Se argumentó que las situaciones planteadas en un problema se deben de ajustar a la vida real y ser situaciones creíbles, cosa que no se da en el enunciado de este problema, ya que se considera que un nieto es tres veces mayor que su abuelo, situación del todo imposible. Aunque el planteamiento del problema en términos simbólicos y la operatoria es correcta, la solución es absurda por la edad que resulta para los dos personajes involucrados en el problema Pedro 256 años y Juan 129 años. Todo ello fue motivo de discusión entre los alumnos.

Problema 2

pe

resosirvseñatodohech

Un lingote de oro pesa ¾ de kilo más las ¾ partes del peso del lingote. ¿Cuál es el

so?

Esta propuesta de problema fue hecha por un estudiante sin hacer intento alguno para lver, permitió dialogar sobre cómo debe de ser el enunciado de un problema escolar, ió para obtener desde las intervenciones de los alumnos las componentes de Castro ladas anteriormente: enunciado, datos conocidos, una meta, una intención y un proceso y ello relacionado con coherencia. En este intento, la redacción no está correctamente a por lo que no se sabe a qué peso se refiere la pregunta.


Problema 3

En el colegio tercero de E.G.B. van a celebrar la fiesta fin de curso. En la clase A tiene 20 alumnos y cada uno pone 250 pesetas para la fiesta. Igualmente se une la clase B con la misma cantidad de dineros y alumnos. Los delegados de cada clase van al supermercado a comprar con el dinero de sus compañeros patatas fritas y refrescos de 2 litros, sabiendo que las patatas fritas valen 100 pesetas la bolsa y 150 los refrescos. Se plantean las siguientes cuestiones:

1. ¿Con el dinero recibido de sus compañeros habrá para cada uno una bolsa de patatas y un refresco?

2. Si hubiera para cada niño una bolsa de patatas y un refresco. ¿Cuántas bolsas de patatas fritas y refrescos hay que comprar para la fiesta?

No obstante el estudiante que lo presenta, a su vez se entregó la resolución del mismo de la forma siguiente:

20 x 250= 5000 pesetas que tiene toda la clase.

Con este planteamiento, la discusión se centró también sobre la manera de enunciar ya que, en este caso, no hay problema pues no es necesario realizar operaciones para dar respuestas a los interrogantes planteados. No obstante el estudiante había presentado un resolución del mismo de la forma siguiente:

100 + 150 = 250 pesetas para comprar una bolsa de patatas y un refresco

5000 / 20 = 250 pesetas para cada niño; 250 – 100 = 150 luego cada niño tiene para una bolsa de patatas y un refresco.

La presentación de esta manera de resolver el problema permitió reflexionar sobre la forma de abordar los problemas planteados y llegar a la conclusión siguiente: Es necesario leer y entender bien lo que está escrito para saber lo que es necesario hacer, antes de realizar las operaciones, ya que pueden ser innecesarias.

Problema 4

Hallar las dimensiones de una caja ortoédrica de base cuadrada que tenga 10000 litros de capacidad para que su coste no sea mayor a 5000 pesetas.

Materiales: Base: 800 pesetas, Tapa: 1200 pesetas, Lados: 500 pesetas, Frontales: 500 pesetas. ¿Cuál será su coste?

En este problema la interacción entre los alumnos se centra en el terreno de la relación entre preguntas que hay que responder y los datos que se presentan. Se proponen dos acciones a realizar para dar respuesta al problema: una, hallar las dimensiones de una caja que cumpla una serie de condiciones, algo innecesario ya que posteriormente se proporcionan dichos datos y no se tienen en cuenta los condicionantes planteados, otra es hallar el coste de un material para hacer la caja, conociendo el coste de cada pieza de la caja. A la primera pregunta no se le ve sentido.


Conclusiones Cuando se plantea la tarea los estudiantes manifiestan no haber realizado

anteriormente ninguna actividad sobre invención de problemas y su resolución.

Al realizar la tarea fuera del aula, muchos estudiantes no inventan los problemas, sino que los toman de libros de texto de primaria. Los tipos de problemas que trajeron al aula correspondían a los problemas que se encuentran frecuentemente en los libros de texto. Esto puede ser debido, o a que han sido tomados de un libro, como hemos apuntado anteriormente, o a que la esta es la única imagen que tienen de problema.

Han aparecido muchos más problemas aritméticos y algebraicos que de cualquier otro tipo. La ausencia de problemas de estadística y de probabilidad puede ser debido a la menor familiaridad de los estudiantes con estos temas del currículo, o a su menos presencia en los libros de texto.

La actividad resultó ser de gran interés para los estudiantes que mostraron su total disposición para llevarla a cabo y generó un interesante debate entre los mismos, las discusiones ocasionadas para argumentar una estrategia elegida o por qué se enunciaba un problema de una manera determinada ayudó a los estudiantes a comprender qué es un problema y qué características han de tener.

Al profesor del aula le permitió apreciar carencias, algunos alumnos, sobre el conocimiento de algunos aspectos matemáticos, que se propuso subsanar, y también encontró defectos en la forma de proponer la tarea a los estudiantes. Para el próximo curso el enunciado de la tarea será más cerrado, y se llevará a cabo en el aula, sin libros en los que poderse apoyar, con el fin de que se trate de una verdadera invención. de problemas.

Bibliografía Bouvier, A. y George, M. 1979. Diccionario de matemáticas. Madrid: Akal

Castro, E. 1991. Resolución de problemas aritméticos de comparación multiplicativa. Memoria de Tercer Ciclo. Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada.

Castro, E., Rico, L. y Gil, F. 1992. Enfoque de investigación en problemas verbales aritméticos aditivos. Enseñanza de las ciencias, 10,3,243-253.

Castro, E. 1995. Niveles de comprensión en problemas verbales de comparación multiplicativa. Granada, Comares.

Cázares, J. 2000. La invención de problemas en escolares de primaria un estudio evolutivo. Memoria de Tercer Ciclo. Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada.

Cobo, F. Fernández, G. Rico, L. 1986. Las situaciones reales de los problemas aritméticos. Actas de las II Jornadas Andaluzas de Profesores de Matemáticas. Sociedad Thales. Almería, 249-257.

English, L. 1997. The development of fifth-grade children`s problem-posing abilities. Educational Studies in Mathematics (ESM). Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 34, 183-217.

Moses, B., Bjork, E. y Goldenberg, E. 1990. Beyond problem solving: problem posing. In Cooney, T. J. y Hirsch, C. R. (Ed) Teaching and Learning Mathematics in the 1990s. Yearboock. National Council of Teachers of Mathematics, 83-91.


Puig, L. y Cerdán, F. 1989. Problemas aritméticos. Madrid. Síntesis.

Puig, L. 1996. Elementos de resolución de problemas. Granada. Comares.

121

ERRORES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

MATEMÁTICOS DE CARÁCTER INDUCTIVO

Mª Consuelo Cañadas Santiago, [email protected] Encarnación Castro Martínez, [email protected]

Razonamiento inductivo y el proceso de enseñanza/aprendizaje de las matemáticas Consideramos el razonamiento inductivo como una vía para acceder al conocimiento

matemático en todos los niveles educativos.

El razonamiento inductivo es la forma de pensar adoptada para producir afirmaciones y alcanzar conclusiones que están apoyadas en unos casos particulares que se pueden conocer. El proceso inductivo abarca desde el trabajo con casos particulares hasta la formulación de una conjetura para el caso general (Cañadas, 2002).

Problemas matemáticos de carácter inductivo

Un problema es “una situación que un individuo o un grupo quiere o necesita resolver y para la cual no dispone de un camino rápido y directo que le lleve a la solución” (Lester, 1983; citado por Pozo et al, p. 17). Un problema se diferencia de un ejercicio en que para éste último, se disponen y se utilizan mecanismos o estrategias que llevan de forma inmediata a la solución. La resolución de un problema es el proceso que comienza con el planteamiento del problema y finaliza con la resolución del mismo. En este trabajo nos centramos en los problemas matemáticos.

La resolución de problemas es considerada por Segovia & Rico (2001) como un proceso de razonamiento que ayuda a pensar mejor. “La resolución de problemas matemáticos es una actividad altamente formativa por los conocimientos, las destrezas y los tipos de razonamiento que en ella se ponen en juego” (Callejo, p. 91).

Los problemas matemáticos se pueden clasificar atendiendo al razonamiento que tiene que realizar el sujeto. En este sentido, hay problemas cuya resolución se apoya en un razonamiento de carácter deductivo y otros problemas cuyo razonamiento básico es de carácter inductivo. Nuestro trabajo se centra en los problemas matemáticos que se basan en razonamiento inductivo.

Los errores en el proceso de enseñanza/aprendizaje de las matemáticas Error es el desacierto o equivocación en cierta cosa (Moliner, 1986). Pensamos que el

estudio de los errores en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas es de gran relevancia porque, entre otras cosas, nos permite conocer la naturaleza de nociones matemáticas fundamentales (Borasi, 1987). En este sentido, utilizaremos los errores como punto de partida para la exploración del razonamiento matemático inductivo.



122 Mª Consuelo Cañadas y Encarnación Castro

Tomamos los trabajos de Radatz (1979; 1980) para clasificar los errores que detectamos en el trabajo de los sujetos. Nuestros objetivos son algunos de los que cita este autor (Radatz, 1980): listar los errores que se hayan localizado, calcular la frecuencia de aparición de un error y clasificar los errores que aparezcan. Además, este autor resalta el interés de investigar los errores que cometen los alumnos en la resolución de problemas matemáticos y de investigar errores que no sean los meramente aritméticos, a los que se han dedicado la mayoría de los trabajos que menciona. Con base en estas ideas, tomaremos la clasificación que hace Radatz (1979) desde el punto de vista del procesamiento de la información:

• Errores debidos a dificultades de lenguaje.

• Errores debidos a dificultades para obtener la información espacial.

• Errores debidos a un aprendizaje deficiente de destrezas, hechos y conceptos previos.

• Errores debidos a asociaciones incorrectas o a rigidez del pensamiento.

• Errores debidos a la aplicación de reglas o estrategias irrelevantes.

También vamos a considerar que, aunque algunas de las respuestas sean erróneas, los errores pueden no ser tales para algunas condiciones específicas del problema.

Descripción de la actividad

Sujetos

El grupo de alumnos que participó en la actividad lo conformaban 40 trabajadores del Personal de Administración y Servicios de la Universidad de Granada. Estos sujetos estaban inscritos en un curso de formación humanística. De los 40 alumnos, 30 han completado con éxito estudios primarios, 10 cursaron estudios de secundaria y ninguno de ellos ha estudiado en niveles universitarios.

Actividad

La actividad consistió en responder a un cuestionario que contiene diez tareas no rutinarias, de carácter inductivo (tareas para las que el alumno no conoce estrategias que le lleven a la solución de una forma directa pero que no presentan un enunciado en el que se les plantea una situación problemática). Las dos últimas tareas son problemas. Todas las tareas se han elegido según dos de las variables consideradas por Castro (1995). Estas variables son el tipo de representación empleada y tipo de trabajo requerido.

El tiempo máximo de trabajo que dedicaron los alumnos a realizar el cuestionario fue de una hora y media.

Problemas propuestos En este trabajo nos centramos en la segunda parte del cuestionario al que hemos hecho

mención, que está constituido por dos problemas. Hemos de tener presente que previamente habían realizado 8 tareas no rutinarias sobre secuencias numéricas que involucraban el razonamiento inductivo.

Los problemas son los que reproducimos a continuación:


1. Se está organizando un torneo en el que participan 22 equipos. En el torneo, cada equipo tiene que jugar con cada uno de los equipos restantes dos veces – uno en casa y otro fuera-. El organizador quiere saber cuántos partidos se van a jugar.

2. Observa la siguiente torre. Es la llamada Torre de Skeleton:

• ¿Cuántos cubos se necesitan para construir esta torre?

• ¿Cuántos cubos se necesitan para construir una torre como esta, pero con 12 cubos de altura?

• Explica cómo has hecho para llegar a la respuesta de la anterior pregunta.

• ¿Cómo calcularías el número de cubos necesario para una torre con n cubos de altura?

Comparación de los dos problemas

Como observación general, el primer problema está más cercano a la vida cotidiana de los alumnos que el segundo.

Respecto al tipo de representación, en el primer problema no aparece representación adicional al enunciado del problema. Para el segundo problema aparece una representación pictórica (la Torre de Skeleton).

En cuanto al tipo de trabajo que se les pide a los alumnos en relación con el razonamiento inductivo, en el primer problema deben realizar un razonamiento numérico simple. En el segundo problema se les plantean cuatro cuestiones que responden al proceso de razonamiento inductivo desde el trabajo con un caso particular hasta el caso general. Los cuatro apartados responden respectivamente al caso particular que se les presenta, a un término concreto de una secuencia dentro de la que está el caso particular presentado (interpolar), explicar la regla que se sigue en la interpolación (explicar regla) y calcular el término general de la secuencia (generalizar).

Resultados

En el siguiente diagrama se muestra el número de alumnos (sobre el total de 40) que trataron de resolver los dos problemas:

Problema 1

De los 31 alumnos que responden al primer problema, 2 dan el resultado numérico correcto (462). Uno de ellos lo hace por el procedimiento correcto (22x21), mientras que el


otro no. 29 dan una solución errónea a este problema. Consideramos soluciones erróneas significativas las soluciones que aparecen con frecuencia mayores que 1. Indicamos estas soluciones a continuación, con su frecuencia absoluta asociada entre paréntesis: 42 (14), 44 (5), 242 (2) y 84 (2).

Problema 2

Los resultados globales de los 36 alumnos que dieron respuesta a alguno de los cuatro apartados del problema 2 son:

Tabla 1

Para los dos primeros apartados resaltamos las soluciones erróneas que aparecen en más de un alumno. En el primer apartado (cuya respuesta correcta es 66) cinco sujetos dan 61 cubos como solución y dos hacen lo propio con 60 cubos.

Ap. 1 Ap. 2 Ap. 3 Ap. 4 No contestado 0 4 8 27 Bien 21 5 7 0 Mal 15 27 21 9

Las soluciones erróneas (distintas de 276 cubos) con frecuencia absoluta mayor que uno –que aparecen entre paréntesis– correspondientes al segundo apartado son: 132 (8), 312 (2), 265 (2) y 192 (2).

Utilizaremos las explicaciones dadas por los propios alumnos en el tercer apartado para identificar los tipos de errores que han cometido en los dos apartados anteriores.

Las respuestas erróneas dadas en el apartado 4 son en ocho casos explicaciones sin sentido en las que muestran no dominar el lenguaje algebraico. Sólo en un caso hay un intento de encontrar una fórmula en la que aparezca “n” para el término general.

Errores en los dos problemas

Todos los sujetos reconocieron disponer de tiempo suficiente para la realización de la actividad.

En la tabla 2 se muestran los errores detectados en los dos problemas según la clasificación de Radatz (1979):

Errores debidos a

Dificultades lenguaje

Dificultades al obtener

información espacial

Aprendizaje deficiente de

destrezas, hechos o conceptos

Asociaciones incorrectas o rigidez del

pensamiento

Aplicación de reglas o

estrategias irrelevantes

Problema 1 23 0 1 1 0 Ap. 1 0 7 0 15 0

Ap. 2 0 4 0 0 0

Problema

2 Ap.

3 28 0 0 21 0


Errores en el problema 1

Uno de los dos alumnos que llegan al resultado numérico correcto incurre en un error de procedimiento. Este sujeto es el único que comete un error debido a una asociación incorrecta que se deriva de relacionar este problema con otros similares que haya resuelto y que no se resuelva por el mismo procedimiento. Concluye que cada equipo juega 42 partidos y realizando 42x11 llega al mismo resultado numérico correcto basándose en una analogía que en este caso ha funcionado por azar.

Hay veintitrés sujetos que incurren en error debido a dificultades en el lenguaje, dificultades al traducir desde un esquema semántico en el lenguaje natural a un esquema formal en el lenguaje matemático. Catorce de ellos dieron 42 partidos como solución al primer problema. Consideraron que cada equipo juega con todos excepto con él mismo (21) y que cada uno de ellos juega un partido en casa y otro fuera (21x2). En este razonamiento no se consideran todos los cruces posibles entre los 22 equipos, lo que lleva a una solución errónea. Hay cinco alumnos que tampoco consideran todos los cruces posibles y, además, no tienen en cuenta que un equipo no puede jugar consigo mismo (22x2).

Los dos sujetos que dan 242 como respuesta han realizado la operación 22x11.

Hay dos alumnos que consideran que se juegan 84 partidos. El primero de ellos comete un error al sumar, puede ser debido a una distracción momentánea o que se deba a un aprendizaje deficiente de una destreza matemática. Ambos incurren en un error debido a dificultades del lenguaje al interpretar el enunciado.

Ninguno de los alumnos recurre a ningún tipo de representación gráfica que pudiera ayudarlos a la interpretación del enunciado. En este sentido, y atendiendo a que los errores más frecuentes se han debido a que no han considerado todos los cruces posibles entre los equipos, facilitaría el trabajo una tabla de doble entrada en la que aparecieran en ambas entradas todos los equipos, o un diagrama de flechas o alguna representación similar.

Errores en el problema 2

En la tabla 1 se observa que, según se avanza en el proceso de generalización, mayor es el número de sujetos que no contestan a las preguntas y menor es el número de respuestas correctas.

Hay siete sujetos que fallan debido a dificultades para obtener información espacial de la representación gráfica. Dos de ellos no cuentan los cubos de la columna central. Cinco de los alumnos no cuentan los cubos que hay debajo del cubo más alto que se observa. Aunque en el enunciado no se especifica, se puede deducir observando la construcción de la torre que debajo del cubo más alto hay más cubos.

En el trabajo de interpolación requerido por el segundo apartado, quince de los veintisiete alumnos que dan una respuesta errónea, fallan al considerar que para construir una torre de 12 cubos de altura máxima se necesitarán el doble de los cubos que para la torre de 6 cubos de altura máxima. Estos errores son debidos a asociaciones incorrectas, ya que consideran que se trata de un problema de proporcionalidad directa y que como la altura de la torre aumenta en razón 2, de igual modo deben aumentar el número de cubos necesarios.

Dos sujetos vuelven a cometer un error asociado a la dificultad de obtener información espacial y no cuentan los cubos que hay debajo del más alto en el segundo apartado.


También debido a dificultades en la obtención de información espacial cometen errores los que dan 312 cubos como solución. Estos sujetos han considerado la torre dividida en cuatro partes y cada una de ellas comienza con una columna de 12 cubos de altura y va disminuyendo hasta que termina con una columna de 1 cubo de altura. De este modo están contando la torre central de 12 cubos cuatro veces, cuando sólo debería aparecer una vez.

Por último, mencionar los dos sujetos que interpretan el enunciado de forma diferente a la esperada. Nuestro objetivo era que consideraran una torre con altura doce y que conforme se alejaran de esta columna central, la altura vaya disminuyendo a razón de un cubo por columna hasta llegar a una columna formada por un solo cubo. Sin embargo estos sujetos interpretan que la torre está formada por una columna central que determina la altura según su número de cubos y, disminuyendo a razón de un cubo por columna, hay otras cinco columnas en cada uno de los cuatro lados que se observan en el dibujo. Así, dan como respuesta 195 como resultado de realizar 12+4(11+10+9+8+7). Lo que pudiera ser detectado como un error en primera instancia, es una interpretación diferente a la que se esperaba al no haber hecho una definición general de la torre que se ha presentado.

Veintiocho sujetos que dieron contestación errónea al dar la explicación de la regla que habían seguido en los dos apartados previos se han encontrado dificultades en la lectura e interpretación de lo que querían expresar. Veintiuno de estos sujetos manifiestan que en el segundo apartado, el número de cubos debe ser el doble del número de cubos que en el primer apartado (asociación incorrecta).

Aunque la mayoría de los errores en el segundo problema se deben a dificultades para obtener la información espacial, hay algunos casos para los que la representación facilita la explicación que dan para el apartado 3 y, sin embargo no han contestado correctamente en el apartado 2.

Por último, en el cuarto apartado se les propone trabajar para el caso general de la torre, con n cubos de altura. Ninguno de los alumnos responde con éxito. Todos los alumnos que no contestaron a este apartado (veintisiete) manifestaron no saber cómo trabajar con la “n”. De los nueve alumnos que contestaron, sólo uno escribió algo coherente. Este apartado es demasiado difícil para el nivel de conocimientos que tienen estos sujetos.

Conclusiones La actitud de los estudiantes fue de predisposición al trabajo, se mostraron interesados

y motivados durante el desarrollo de la actividad. A ninguno de los alumnos le resultó evidente la resolución de los problemas propuestos y eso lo vieron como un reto.

La representación pictórica ha invitado y motivado a los estudiantes a tratar de resolver los problemas, ya que son más alumnos los que han intentado resolver el segundo problema y no han contestado el primero que los que han hecho lo contrario. A pesar de este hecho y de las numerosas ocasiones en las que la representación gráfica fue usada en las clases de matemáticas a las que asistieron, ninguno de los alumnos trató de usar una representación distinta a la numérica para resolver el problema 1.

El segundo problema nos ha dado más información sobre los errores que cometen los alumnos en el proceso resolución de problemas de carácter inductivo, ya que el propio enunciado los va guiando desde el caso particular hasta la generalización.


Los errores deben ser analizados cautelosamente porque lo que puede ser observado como tal en primera instancia, puede que no lo sea tras el análisis. Esto puede tener implicaciones tanto en el proceso de enseñanza y aprendizaje en general como en otras situaciones como la evaluación y la investigación.

Este trabajo pone de manifiesto cómo el análisis de los errores ayuda a reflexionar sobre el enunciado de un problema, sobre la adecuación del mismo a los sujetos que lo van a trabajar y sobre el contenido matemático que se trabaja en su resolución.

Referencias Borasi, R. (1987). Exploring Mathematics through the Analysis of Errors. For the

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129

ELEMENTOS DE SIGNIFICADO IMPLÍCITOS EN LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE PROMEDIOS

Belén Cobo, IES Los Neveros, [email protected] Carmen Batanero, Departamento de Didáctica de la Matemática,

Universidad de Granada, [email protected]

Introducción Cuando queremos reflexionar sobre la dificultad que el aprendizaje de ciertos

conceptos tiene para los alumnos, es necesario comenzar por hacer un análisis epistemológico de su significado. Como indica Godino (1996), "el problema de la comprensión está íntimamente ligado a cómo se concibe el propio conocimiento matemático. Esta explicitación requiere responder a preguntas tales como: ¿Cuál es la estructura del objeto a comprender? ¿Qué formas o modos posibles de comprensión existen para cada concepto? ¿Qué aspectos o componentes de los conceptos matemáticos es posible y deseable que aprendan los estudiantes en un momento y circunstancias dadas? ¿Cómo se desarrollan estos componentes? (pg. 418).

El propósito de nuestro trabajo es continuar nuestras investigaciones sobre las medidas de posición central (Cobo, 1988; 2001; Cobo y Batanero, 2000). Nos centraremos en la idea de media aritmética, que, aunque aparentemente simple, al preguntarnos por su significado observamos que éste tiene un carácter complejo. Siguiendo a Batanero y Godino (2001), vamos a considerar las siguientes entidades primarias como constituyentes del significado de la media:

• Problemas y situaciones que inducen actividades matemáticas y definen el campo de problemas de donde surge el objeto. Un ejemplo sería repartir una cantidad de forma equitativa, que es el tipo de problema que hemos planteado en este trabajo.

• Procedimientos, algoritmos, operaciones. Cuando un sujeto se enfrenta a un problema y trata de resolverlo, realiza distintos tipos de prácticas, que llega a convertir en rutinas con el tiempo. Prácticas características en la solución de problemas de promedios serían sumar una serie de valores y dividir por el número de sumandos.

• Representaciones materiales utilizadas en la actividad matemática (términos, expresiones, símbolos, tablas, gráficos).

• Conceptos y proposiciones. Las definiciones y propiedades características y sus relaciones con otros conceptos.

• Demostraciones que empleamos para probar las propiedades del concepto y que llegan a formar parte de su significado.

130 Belén Cobo y Carmen Batanero

Investigaciones Previas A pesar de ser uno de los principales conceptos estadísticos, este concepto no es bien

comprendido por los estudiantes. Por ejemplo, Pollatsek, Lima y Well (1981) encontraron que las situaciones en las cuales se debe calcular una media ponderada y la selección de los correspondientes pesos no son fácilmente identificados por los estudiantes. Li y Shen (1992) indican que cuando los datos se agrupan en intervalos, los estudiantes olvidan con frecuencia que cada uno de estos grupos debería ponderarse de modo distinto al calcular la media, error que también es encontrado por Carvalho (1998). Cai (1995) encontró que mientras la mayoría de los alumnos de 12-13 años son capaces de aplicar adecuadamente el algoritmo para calcular la media, sólo algunos saben determinar un valor desconocido en un conjunto pequeño de datos para obtener un valor medio dado. Mevarech (1983) sugiere que los estudiantes suelen creer que un conjunto de números, junto con la operación media aritmética satisface los cuatro axiomas de clausura, asociatividad, elemento neutro y elemento inverso. Batanero, Godino y Navas (1997), observaron que los profesores de primaria en formación, encuentran dificultades en el tratamiento de los ceros y valores atípicos en el cálculo de promedios, en identificar las posiciones relativas de media, mediana y moda en distribuciones asimétricas. Watson y Moritz (2000), analizan el significado intuitivo dado por los niños al término "promedio" y hallan un gran número para los cuales el promedio es simplemente un valor en el centro de la distribución (es una idea próxima al concepto de mediana). Estas investigaciones se han centrado en puntos aislados de la comprensión, por ejemplo el cálculo o la comprensión de propiedades. En nuestro trabajo estamos considerando los cinco tipos de comprensión de nuestro modelo teórico.

El Estudio Analizaremos un problema que forma parte de un cuestionario pasado a una muestra

formada por 164 alumnos de 1º y 148 de 4º de Educación Secundaria Obligatoria. Una vez recogidos los datos, se realizó un análisis de contenido de las respuestas dadas por los alumnos. Puesto que las respuestas eran abiertas, éstas no se limitan a dos opciones (correcta/incorrecta) sino que los alumnos, al justificarlas tenían libertad para emplear los diferentes elementos de significado previstos en el análisis a priori de los ítems. Ha sido tomado de Watson (2000). En el apartado a) queremos que los alumnos expresen con sus propias palabras su interpretación de un valor medio cuyo resultado es no entero, a pesar de que la variable de referencia es entera. En el apartado b) se pide hallar una distribución de media dada. El problema es el siguiente:

a) Un periódico dice que el número medio de hijos por familia en Andalucía es 1.2 hijos por familia. Explícanos qué significa para ti esta frase.

b) Se han elegido 10 familias andaluzas y el número medio de hijos entre las 10 familias es 1.2 hijos por familia. Los García tienen 4 hijos y los Pérez tienen 1 hijo, ¿Cuántos hijos podrían tener las otras 8 familias para que la media de hijos en las diez familias sea 1.2? Justifica tu respuesta.

El 63% de los alumnos de 1ª curso y el 69% de los de segundo curso dieron una respuesta correcta a la primera parte, mientras que sólo el 27% y 37% respectivamente resolvió correctamente la segunda. Para analizar las causas de error, se han obtenido los siguientes tipos de respuesta, que clasificamos en relación a nuestro marco teórico:


Campos de problemas:

• Media como solución del problema de reparto equitativo. Ejemplo: “Significa que por cada familia, si hubiera que repartir todos los hijos, tocaría a cada una un hijo. El 1.2 es tan solo el número de la operación matemática”.“Que el número de hijos a los que tocaría cada familia de Andalucía sería 1.2”.

• Media como solución de problema consistente en hallar valor más probable en una población. Ejemplo: “Que cada familia tiene un hijo y que puede tener otro, pero que no lo tienen todas las familias” También se presentan errores en este tipo de respuesta: “Que no llega a dos hijos de media. Lo máximo que pueden tener las familias son dos hijos”

Representaciones: Hemos tenido en cuenta las representaciones numéricas y verbales, como puede apreciarse en los ejemplos presentados

Algoritmos y procedimientos

• Cálculo correcto de la media de una variable discreta con datos aislados. Ejemplo: “Que se han sumado el número total de hijos en Andalucía y se han dividido entre el número de familias andaluzas”.

• Inversión del algoritmo de cálculo de la media, para hallar un dato, dado el valor de la media, como el siguiente caso; “Cada familia tiene un hijo y cada 5 familias hay una con 2 hijos”. En algunos casos se produce error: “Cada familia tiene un hijo y cada 5 familias hay una con 2 hijos”.

• Búsqueda de una distribución de media dada, como la respuesta que reproducimos:

En algunos casos la distribución obtenida es incorrecta “Podrían tener 1 hijo cada una de las otras familias, ya que si cada una de ellas tiene 1 hijo, menos una que tiene 4, haces la media y te sale 1.3 hijos”

Definiciones y propiedades

• Algunos alumnos reproducen explícitamente la definición correcta de la media. Ejemplo: “Que la suma de hijos dividido por las familias da 1.2”

• La media, mediana y moda de un conjunto de datos son siempre valores pertenecientes al rango de la variable: “Que la mayoría de las familias tienen solo un hijo o dos. Y hay poca gente que tengan más de éstos pero eso dice que algunas parejas tienen 2 y otras 4, pero la media es sobre 1 y 2”.

• Respuesta correcta, enfatizando que la media no es una operación interna “Cada familia tiene un hijo y cada 5 familias hay una con 2 hijos”. En algunos casos no se percibe esta propiedad “ Yo creo que está mal dicho ya que una familia no puede tener un hijo y un poquito, en todo caso podría tener 2”.


• Propiedad de media como representante de los datos. Ejemplo: “Esta frase significa para mí que cada familia tiene de media 1.2 hijos, es decir, que cada familia tendrá alrededor de 1.2 hijos, unos tendrán más y otros menos, pero alrededor de esa cantidad“. Algunos alumnos no comprenden esta propiedad: “No llegarían a tener las otras familias ni un hijo y yo creo que eso no es muy normal”

Argumentos o razonamientos: Se ha diferenciado entre verbales y algebraicos deductivos.

En la tabla 1 presentamos los resultados Tabla 1. Frecuencias (y porcentajes) de elementos usados en la resolución

Apartado a) 1º ESO (n=164) 4º ESO (n=148)

Elementos usados Incorrecto Correcto Incorrecto Correcto Campos de problemas

Media como reparto equitativo

55 (33,5%) 48 (32,4%)

Media como valor probable

4 (2,4%) 51 (30,4%) 3 (2,1%) 51 (35,4%)

Algoritmos y procedimientos

Cálculo media d. aislados

1 (0,6%) 31 (18,9%) 30 (20,8%)

Invertir algoritmo media

20 (11,9%) 28 (16,7%) 11 (7,6%) 38 (26,4%)

Buscar distribución dada la media

20 (11,9%) 31 (18,5%) 19 (13,2%) 25 (17,4%)

Definiciones y propiedades

Definición media como suma ponderada

55 (33,5%) 48 (32,4%)

Definición media (confusión con moda)

14 (8,3%) 1 (0,6%) 13 (9,0%)

Valor en el rango 1 (0,7%) Operación interna 50 (29,8%) 2 (1,2%) 20 (13,9%) 35 (24,3%)

Representante 8 (4,8%) 78 (46,4%) 3 (2,1%) 53 (36,8%) Representaciones

Verbal 142(84,5%) 107(74,3%) Representación

numérica 81 (48,2%) 56 (38,9%)

Representación simbólica

7 (4,9%)

Argumentos Argumento algebraico

deductivo 36 (21,4%) 28 (19,4%)

Casos particulares y contrajemplos

142(84,5%) 107(74,3%)


Conclusiones La idea de media es aparentemente sencilla, pero nuestro trabajo indica que los

estudiantes deben aplicar multitud de elementos en la resolución de estos problemas, tales como la propiedad distributiva de suma y multiplicación, o la inversión del algoritmo de la media. Asimismo deben discriminar las propiedades que aún siendo válidas para la suma y multiplicación no se generalizan para la operación de promediar.

En este trabajo hemos evaluado cómo los alumnos de secundaria usan estas ideas numéricas en los problemas de promedio, resultando las siguientes conclusiones.

El algoritmo de la media no es bien comprendido, ya que aunque la mayoría de los alumnos resuelve la primera parte del problema, en la segunda hubo grandes dificultades y sólo alrededor del 20% de los alumnos fue capaz de invertirlo para resolver un problema. Menos del 20% de alumnos fue capaz de dar una distribución de valores que produzca una media dada. Pensamos que el proponer el algoritmo de cálculo prematuramente puede influir negativamente en la comprensión del concepto. Por ello se debería trabajar sobre las ideas intuitivas que tienen los alumnos para ayudarles a desarrollar caminos nuevos que les permitan enriquecer los conceptos que ya tienen asimilados. A la misma conclusión llega Tormo (1993) en un estudio realizado con alumnos de 12 a 15 años.

Más del 30% de los alumnos identifican incorrectamente la media como valor más probable en situaciones en que no es pertinente. Este hecho puede ser debido a que las distribuciones y ejemplos que se presentan en los libros son simétricas y los alumnos realizan una generalización indebida. Sugerimos la conveniencia de presentar una gama más amplia de ejemplos en la introducción del tema.

También se producen errores en la comprensión de que la media no es una operación interna en el conjunto de los números enteros en los alumnos y en su carácter de representante. Será necesaria la interpretación de la media como una operación (reparto equitativo) y no como valor de dicha operación, lo que supone un nivel de razonamiento numérico alto para los estudiantes de secundaria. Las operaciones con promedios son, en realidad, operaciones compuestas, lo que requiere un razonamiento numérico de segundo nivel. En consecuencia, el profesorado debe atender al razonamiento numérico de sus estudiantes y a su diversidad para asegurar el éxito de los objetivos educativos.

En nuestra opinión, los resultados de las investigaciones que hemos descrito sobre la media muestran también que el conocimiento de las reglas de cálculo por parte de los estudiantes no implica necesariamente una comprensión real de los conceptos subyacentes. Si los alumnos adquieren sólo el conocimiento de tipo computacional es probable que cometan errores predecibles, salvo en los problemas más sencillos.

Agradecimientos: Este trabajo forma parte del Proyecto de Investigación BSO2000-

1507 (MEC, Madrid).

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135

PROBLEMAS CON TRAMAS

Carlos Espinosa Sanz

No cabe ninguna duda de que la Topología es una de las partes básicas y fundamentales de las Matemáticas. Mediante ella podemos estudiar propiedades de formas geométricas complicadas a partir del estudio de otras algo más sencillas desde el punto de vista geométrico. Así, problemas de la vida cotidiana, en apariencia difíciles de abordar, pueden ser resueltos de una forma sencilla mediante el uso de la topología. Los problemas relacionados con la posición relativa de puntos en un plano son aplicaciones de las deformaciones continuas que estudia la topología.

Una de las estructuras fundamentales dentro de la Topología son los Espacios Métricos, que serán uno de los elementos principales de nuestro estudio y que definiremos más adelante.

En la VI Olimpiada Matemática THALES, para alumnos de Educación Primaria, celebrada en Granada, se planteó un problema que tiene una base topológica. En esta comunicación vamos a estudiar las matemáticas que aparecen detrás de dicho problema, analizaremos estrategias de solución y las cualidades educativas del mismo.

El problema que nos ocupa tiene una base topológica y ha sido propuesto a alumnos de Primaria con la finalidad de conocer el grado de asimilación de conceptos básicos dentro de este campo, que también veremos más adelante.

El enunciado del problema aparece en la figura 1.

Distancias y Espacios Métricos:

Tomemos las tramas del problema como conjuntos discretos. Una primera característica de los elementos que aparecen en el problema la podríamos definir de la siguiente forma: Dados dos puntos en cualquiera de las tramas, podemos calcular de forma intuitiva cuál de ellos se encuentra más cerca de un tercer punto determinado. Esto es, cuál de ellos “dista” menos de dicho punto. Podemos ver un ejemplo en la figura 2.

Así, podemos definir una distancia dentro de cada una de las tramas, de forma que podamos determinar cuándo dos puntos están muy próximos y cuándo no lo están tanto. Con lo que las tramas se pueden ver como estructuras donde se pueden medir distancias, esto es, Espacios Métricos.

Una vez propuesto el problema vamos a comentar algunas características de los elementos que aparecen en él.

136 Carlos Espinosa Sanz

Figura 1: Enunciado del problema

Coloca en las distintas tramas A, B y C los puntos representados en la tabla:

m 3 2

p 1 5

q 4 6

r 6 2

s 5 4

t 1 1

U 0 7

V 5 0

Figura 2: Ejemplo de determinación de proximidad:

En el caso de la trama A,

observamos que el punto t está

más próximo al punto m que el

punto q, esto es, t dista menos

de m que q.

0

m

A

q

t

0

m

A

0

m

B

m

0 C


Aplicaciones entre Espacios Métricos: Una segunda característica radica en que si observamos las tres tramas podremos ver la

existencia de una relación entre ellas; y es que podemos pasar de una de las tramas a otra a través de una transformación de la primera, más o menos complicada. Esto es, por ejemplo, si tomamos las tramas A y B, es claro que la diferencia entre ellas está en la distancia que separan los segmentos horizontales, que es distinta en cada caso, mientras que la distancia entre los segmentos verticales es igual en ambas tramas. ¿Qué es lo que hemos hecho para obtener la trama B a partir de A? Pues sencillamente hemos “estirado” la trama A para aumentar la distancia entre los segmentos horizontales que la forman.

Claramente, a cada punto de la trama de partida lo llevamos en un único punto de la trama de llegada, esto es, tenemos una aplicación entre las tramas, o como ya hemos dicho, una aplicación entre espacios métricos.

Del mismo modo que hemos obtenido esta transformación de A en B, podríamos haber conseguido la trama A a partir de la B acortando la distancia entre los segmentos horizontales que la forman. Esto es, encontramos una relación sencilla entre ambas tramas que es biunívoca, es decir, a partir de una de ellas podemos construir la otra y viceversa. Tenemos una aplicación biyectiva entre las tramas.

Ejemplo: Podemos definir la siguiente aplicación para obtener la trama B a partir de la trama A: f(x, y) = (x, a · y) con a >1, para poder “estirar” la trama A.

De igual forma, podríamos obtener la trama A a partir de B mediante la aplicación g(x, y) = (x, y / a) , que es la inversa de f (figura 3).

Figura 3: Transformación entre tramas A y B

0

A

0

g

f

B

No obstante, en el caso de la trama C no queda tan claro el procedimiento a seguir para obtenerla a partir de una de las anteriores. Esto, lo que significa es que la expresión algebraica de la transformación es más complicada que en el caso anterior, e incluso podría ocurrir que no pudiéramos calcularla. Sin embargo, parece obvio que podamos obtener C a partir de una deformación más o menos “suave” de una de las otras trazas, o lo que es lo mismo a partir de una transformación topológica, con lo que intuitivamente podríamos ver a C homeomorfa a cualquiera de las otras trazas.


Aplicaciones continuas y homeomorfismos: Nuestro siguiente paso es ver alguna de las características de este tipo de

transformaciones. Si tomamos dos puntos muy cercanos entre sí en una de las tramas y vemos cuáles son los puntos que van a ellos mediante la transformación elegida, veremos que también éstos quedan muy próximos. Esto indica que la transformación elegida es continua, o lo que es lo mismo, hablando en los términos que estamos usando, tenemos una aplicación continua entre dos espacios métricos. En la figura 4 aparece un ejemplo de esta transformación.

Figura 4: Ejemplo: Si consideramos la aplicación f dada anteriormente entre las tramas A y B, tendremos lo siguiente:

0

m

A

q

t

0

m’

B

q’

t’

q’ = f (q) m’= f (m) t’ = f (t)

f

Podemos ver cómo puntos próximos entre sí en B provienen de puntos próximos entre sí en A, o lo que es lo mismo, f es continua. Si hubiéramos considerado la aplicación g que transforma la trama B en A podríamos comprobar que también dicha aplicación es continua.

Como estamos considerando además aplicaciones que son biyectivas, esto es, que poseen inversa, nos encontramos entonces ante un tipo de aplicaciones entre espacios métricos que son continuas, que poseen inversa y cuya inversa también es continua. Este tipo de aplicaciones reciben el nombre de homeomorfismos.

Así pues, podemos decir que las tramas A y B son homeomorfas entre sí ya que existe un homeomorfismo entre ellas. De igual modo ocurre con las tramas A y C y con las tramas B y C, como hemos comentado anteriormente.

Homeomorfismos y estructuras algebraicas: Veamos que los espacios homeomorfos cumplen una serie de propiedades, que los

engloban en un determinado tipo de estructura.


Propiedad de Reflexividad:

Si consideramos la trama A y el homeomorfismo de A en A tal que lleva cada punto en sí mismo, entonces resulta que A es homeomorfo a A, mediante el homeomorfismo Identidad.

Propiedad de Simetría:

También es claro que si A es homeomorfo a B, B debe ser homeomorfo a A, ya que la inversa del homeomorfismo que transforma A en B también es un homeomorfismo.

Propiedad de Transitividad: Como la composición de aplicaciones continuas es continua, y la composición

de aplicaciones biyectivas también es biyectiva, resulta que la composición de homeomorfismos es otro homeomorfismo. Luego, si A y B son homeomorfos y B y C son homeomorfos, entonces tenemos que A y C deben ser homeomorfos entre sí.

Con todo esto obtenemos las siguientes relaciones:

i) El conjunto de todos los homeomorfismos tiene estructura de grupo, considerando la operación composición.

ii) El conjunto de todos los espacios métricos homeomorfos entre sí forman una clase de equivalencia, dentro de la categoría de Espacios Métricos.

En esencia, lo que tenemos en nuestro problema es un mismo espacio métrico transformado mediante homeomorfismos en los otros dos restantes, aunque no se puedan calcular de manera explícita.

Ubicación del problema dentro del currículo de Primaria:

¿Qué cualidades educativas tiene este problema?. ¿Es posible que un problema que encierra operaciones matemáticas tan complejas sea resoluble por alumnos de Primaria?. Son algunas de las cuestiones que se abren tras la explicación anterior. A estas dudas vamos a responder con tres argumentos. En primer lugar veremos que el problema cabe dentro de lo que establece el Currículo de Matemáticas de Educación Primaria. Después veremos formas de encontrar la solución, que están al alcance de los alumnos. Por último, en las consideraciones finales, haremos algunas reflexiones sobre las cualidades formativas del problema.

Este problema lo podríamos ubicar dentro del Currículo de Matemáticas de Educación Primaria en el bloque 6 de Contenidos, que trata sobre el Conocimiento, Orientación y Representación Espacial. Según el propio currículo:

“...el alumno progresará, en función de sus vivencias y nivel de competencias cognitivas, desde las percepciones intuitivas del espacio, hasta la progresiva construcción de nociones topológicas, proyectivas y euclidianas, que le facilitarán su adaptación y utilización del espacio.

Percepción, conocimiento y generalización de nociones topológicas básicas y aplicación de las mismas al conocimiento del medio.


Durante toda la etapa se propondrán situaciones en las que intervengan nociones como proximidad, separación, orden, cerramiento, continuidad... Se comenzará por vivenciarlas mediante juegos y actividades donde los alumnos hayan de situarse, aproximarse, desplazarse, etc. Posteriormente lo harán con objetos y elementos reales, estableciendo relaciones espaciales como cerca, lejos, dentro, fuera, sobre, debajo, delante, etc.

Entre los aprendizajes más significativos que deben integrar el conocimiento del medio en el que el alumno está inmerso, sin duda ocupan un lugar de excepción los conocimientos sobre el espacio. La realidad que nos rodea comprende objetos con forma y dimensiones diferenciadas, entre los que se establecen determinadas relaciones que configuran aspectos importantes de la vida cotidiana.... Al propio tiempo, las propiedades geométricas de los objetos y lugares, las afinidades y diferencias entre ellas, las transformaciones a las que pueden ser sometidas y la sistematización, conceptualización y representación de todo ello, constituyen un campo de conocimientos idóneo, que puede contribuir al desarrollo intelectual de los alumnos de esta etapa”.

Si nos basamos en la realidad que nos rodea, este tipo de problemas lo podemos encontrar en diversas situaciones de la vida diaria. Por ejemplo, a la hora de realizar la lectura de un mapa urbano, para encontrar una calle o un lugar determinado. Otra aplicación del problema en la vida diaria sería la búsqueda de una vía que condujera de la forma más rápida a un sitio determinado mediante la visualización de un mapa.

Abordaje de formas de resolución del problema:

A la hora de afrontar la resolución de este problema podemos seguir varios métodos, que no revisten especial complejidad:

1. Mediante la técnica del conteo, ir localizando los puntos en las distintas tramas contando el número de intersecciones que presentan las rectas horizontales y verticales entre sí.

No obstante, en el caso de la trama C, donde las curvas de referencia no son rectas, nos encontramos con el problema de la ausencia rectas horizontales y verticales. Sin embargo, procedemos de forma similar a los casos anteriores: A partir de una de las curvas de referencia que pasan por 0, escogemos una dirección,

ó , contamos en la dicha dirección tantas intersecciones como puntos nos indique la tabla. A continuación elegimos la otra dirección y repetimos el proceso. El punto al que hemos llegado es la representación en dicho sistema de referencia del punto de origen (figura 5).

Figura 5

m 3 2 p 1 5 q 4 6 r 6 2 s 5 4 t 1 1 u 0 7 v 5 0

0

m

A2

3


2. Un método alternativo, también basado en el método del conteo, sería contar en la dirección elegida tantos espacios vacíos o huecos consecutivos en la trama como valor tenga la coordenada del punto en dicha dirección.

A continuación, volveríamos a proceder de igual modo siguiendo la otra dirección. En este caso, el punto buscado sería el vértice superior derecho del conjunto de curvas que rodea el hueco obtenido (figura 6).

Figura 6

3. En el caso de encontrarnos con una trama más compleja como es el caso de C, podríamos calcular las posiciones de los puntos en una trama más sencilla, como en el caso A y, mediante el homeomorfismo que transforma A en C obtener la imagen de cada punto en dicha trama.

4. Otra opción sería la de tomar distintos puntos de referencia según vayamos representando los distintos puntos en la trama. Esto lo vemos con un ejemplo en la figura 7:

Figura 7

m 3 2

p 1 5

q 4 6

r 6 2

s 5 4

t 1 1

u 0 7

v 5 0

0

m

A

r

3

Para representar el punto r, podemos partir de la representación de m y, percatándonos de que la coordenada de ambos puntos es la misma, ver qué tanto


se diferencian en la coordenada . En este caso, por ejemplo, para colocar el punto r dentro de la trama A podemos coger y, a partir del punto m, situarnos 6 – 3 = 3 lugares a la derecha de éste.

Consideraciones finales: Los problemas de contenido espacial y gráfico en el caso de Primaria suelen ser

indicadores del grado de asimilación de conceptos básicos de carácter geométrico y topológico. Este es el caso de nuestro problema en cuestión, ya que en él entran en danza nociones topológicas fundamentales como son la continuidad y la metrizabilidad, así como las transformaciones, homeomorfismos, entre espacios métricos y las propiedades de dichas transformaciones.

De acuerdo con lo expuesto en el currículo de Primaria, con este problema se pretende que el alumno progrese desde una base intuitiva espacial hacia la construcción de nociones topológicas, proyectivas y euclidianas, que le facilitarán su adaptación y utilización del espacio. Como destrezas, habría que señalar entre otras, el correcto uso de coordenadas dentro de una estructura dada, el reconocer cuándo estructuras geométricas son semejantes, relacionado directamente con los conceptos de escala y de orientación espacial; el uso adecuado de los sistemas de referencia, así como la utilización de conceptos topológicos tales como proximidad, continuidad, etc.

Una de las tareas fundamentales basadas en este tipo de problemas puede ser la ubicación en un mapa de objetos determinados, a partir de unas coordenadas precisas, que el alumno habría de situar en relación con un modelo dado. Otra de las tareas podría ser la creación de figuras geométricas sencillas a escala en el papel, o también la manipulación de objetos realizados en materiales que el alumno pueda manejar, como el caso de la plastilina, para realizar transformaciones topológicas del mismo.

Desde el punto de vista matemático, este tipo de problemas resulta muy apropiado para introducir los conceptos y elementos básicos de la Topología, así como las relaciones existentes entre ellos, pilares indispensables de esta gran disciplina dentro de las Matemáticas. La idea es que poco a poco el alumno se vaya familiarizando con este tipo de problemas y vaya adquiriendo estrategias y métodos de resolución alternativas para resolverlos, acercándolo así a los fundamentos de esta parte de la ciencia.

Bibliografía Aparicio del Prado, C, Cabrera García, M y Villena Muñoz, A. (1997) “Apuntes de Análisis

Matemático II”, Granada

Bredon, G. E. (1993) “Topology and Geometry”. Springer-Verlag

Junta De Andalucía (1992) DECRETO 105/1992, de 9 de junio, por el que se establecen las Enseñanzas correspondientes a la Educación Primaria en Andalucía. (B.O.J.A. 20.6.92).

143

LA DIVERSIDAD DE SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

PARA RESOLVER PROBLEMAS VERBALES DE ÁLGEBRA ELEMENTAL.

María Elisa Espinosa Valdés.19

En el mundo actual estamos siempre usando conceptos matemáticos relacionados con la vida diaria, por ejemplo: en el ámbito del consumo, en nuestra propia economía y en muchas situaciones de la vida, por lo que los profesores de matemáticas de la escuela secundaria obligatoria juegan un rol especial en el proceso de enseñanza – aprendizaje de la matemática. Ya que como el real decreto (1345/1991) dice: “En este proceso el profesor actúa como guía y mediador para facilitar la construcción del aprendizaje significativo que permita establecer relaciones entre el conocimiento, experiencias previas y los nuevos conocimientos” (p.73). Además, el profesor debe de tener presente que los conocimientos de álgebra que tienen los alumnos son diferentes y que también tiene que atender a esta diversidad.

Después de reflexionar lo anterior creo que si diseñamos nuestras unidades didácticas con una metodología basada en la resolución de problemas y tomando en cuenta la diversidad de alumnos presentes en el aula podríamos cumplir con lo se nos pide como profesores. Podríamos proponer problemas para que los alumnos pongan en práctica sus propias experiencias y los nuevos conocimientos en la resolución de esos problemas y de esta manera tener mejores resultados en el aula. Ya que sabemos que “Aprender a resolver problemas es el principal motivo para estudiar matemáticas”. (Carl, 1989 según citan Carrillo y Contreras, 2000:14).

Para justificar lo anterior podemos citar lo siguiente “en las ultimas dos décadas se ha consolidado en la comunidad de educadores de matemáticas la convicción de que la resolución de problemas debe desempeñar un papel fundamental en la enseñanza – aprendizaje de las matemáticas. A principios de los años ochenta el National Council of Teachers of Mathematices (NCTM) influyente organización del profesorado de matemáticas de Estados Unidos, dio a conocer su “Agenda for Action”. En ella se recogían las directrices básicas que se deberían de tener en cuenta a la hora de configurar la educación matemática secundaria para la década siguiente. Una de estas directrices señalaba, por primera vez la resolución de problemas como uno de los núcleos básicos de todo el curriculum de Matemáticas en la educación secundaria. Desde entonces, esa recomendación ha sido asumida por otros muchos grupos e instituciones y divulgada en numerosos documentos hasta convertirse casi en un tópico” (Luelmo, 1996 según cita Bosch y Frías, 1999:251).

Esto lo podemos ver reflejado en España en el real decreto (1345/1991) que dice entre otras cosas que es necesario “relacionar los contenidos de aprendizaje de las matemáticas

1Nota de Editores: Esta comunicación fue presentada en las Jornadas de Investigación en el aula de Matemáticas. Atención a la diversidad., pero un error de edición impidió su publicación.

144 María Elisa Espinosa Valdés

con las experiencias de los alumnos y alumnas, así como presentarlos y enseñarlos en un contexto de resolución de problemas y de contraste de puntos de vista en esta resolución. En relación con ello, hay que presentar las matemáticas como un conocimiento que sirve para almacenar una información, para proponer modelos que permiten comprender procesos complejos del mundo natural y social, y para resolver problemas de muy distinta naturaleza; y todo ello es posible debido a la posibilidad de abstracción, simbolización y formalización propia de las matemáticas” ( p. 74-75). También los objetivos generales para la educación secundaria están redactados de tal forma que explícita o implícitamente hacen referencia a la resolución de problema y nos piden como profesores atención a la diversidad presente en el aula.

En otro país, por ejemplo, en México también podemos observar que los nuevos programas contienen 2 ó 3 créditos dedicados a la práctica (2 ó 3 horas a la semana), esas horas de práctica son las que se deben de usarse para la resolución de problemas según se estipula la normatividad, estas horas bien aprovechadas por los alumnos y el profesor contribuyen a la formación de los estudiantes como resolutores de problemas.

Por otro lado como en la actualidad la educación centrada en los alumnos, nos permite a los docentes hacer uso del curriculum en forma abierta, esta apertura nos permite dar mejor atención a la diversidad de alumnos que tenemos en el aula, además de atender a la resolución de problemas, y así cuando efectuamos la planeación de nuestras unidades didácticas lo podemos hacer pensando en formar alumnos que sean buenos resolutores de problemas.

Como pensamos en una nueva metodología, también debemos de pensar en nuevos instrumentos de evaluación, sabemos que elaborar este tipo de instrumentos no es tarea sencilla, ya que este instrumento deberá de ser diseñados para comprobar si el alumno es capaz de utilizar las herramientas algebraicas básicas en la resolución de problemas. Pero también debemos de pensar en los beneficios del mismo ya que los resultados de aplicarlo nos pueden proporcionar información a cerca de la diversidad de alumnos que hay en el aula con respecto a su conocimiento en la materia de álgebra.

El ejemplo de un instrumento de evaluación de este tipo es el diseñado por Fernández (1997) en su tesis doctoral el cual fue diseñado con problemas verbales de álgebra elemental, en los que solo se utiliza lápiz y papel, y que se pueden resolver por medio de cinco sistemas de representaciones diferentes. Entendiendo por sistemas de representación “el conjunto estructurado de notaciones, símbolos y gráficos, dotados de reglas y convenios, que permiten expresar determinados aspectos y propiedades de un concepto”(p.73). Estos sistemas de representación son:

1. Sistema de representación Ensayo – Error

2. Sistema de representación Parte – Todo

3. Sistema de representación Gráfico

4. Sistema de representación Gráfico - Simbólico

5. Sistema de representación Simbólico (p.72).

Además, nos dice que: “las vías que un sujeto utiliza para representar externamente un concepto sirven para mostrar, generalmente, cómo es la información que posee sobre tal concepto” (p.72). Esto como docentes nos serviría ya que si aplicamos un instrumento como este, podríamos saber los conocimientos de cada uno de nuestros alumnos dependiendo del sistema de representación que use y así podríamos hacer la planeación de nuestra clase atendiendo a la diversidad de alumnos que hay en el aula en ese año escolar.


La información que podemos obtener de cada alumno al aplicar un instrumento como este dependiendo del sistema de representación utilizado por el alumno al resolver los problemas es:

1.- Sistema de representación Ensayo – Error

Se utiliza cuando se prueba, de forma sistemática, varios valores numéricos concretos para la(s) diferentes incógnita(s), estableciendo las relaciones implícitas en el problema, y utilizando los valores fallidos para conjeturar nuevos valores que aproximen paulatinamente los resultados correctos.

Según Fernández (1997) cuando los estudiantes usan para resolver un problema algebraico este sistema de representación, es por que tienen una noción más desarrollada del equilibrio entre el lado izquierdo y derecho de una ecuación y del papel de signo igual como equivalencia.

2.- Sistema de Representación Parte – Todo

Las relaciones que se establecen son numéricas mediante alguna o varias de estas estrategias se relacionan los datos: combinación, cambios, comparación e igualación. Se establecen comparaciones, consideran los datos desconocidos como parte del resultado de operar los datos conocidos y comparando el total con la parte.

Es un enfoque intuitivo de representación que incluye el uso de hechos numéricos, técnicas de recuento y métodos de recubrimiento (Kieran y Filloy, 1989 según cita Fernández, 1997). En algunos casos el alumno llega a plantearse ecuaciones, pero las resuelven con operaciones aritméticas basadas en comparación e igualación, no llega a generalizar pero si establece una relación entre las cantidades que no son operaciones aisladas, además, existe siempre una planificación de lo que va a hacer. El sentido del signo “=” no es solo establece el resultado, sino que sabe del equilibrio en la relación matemática.

3.- Sistema de Representación Gráfico

Este sistema de representación utiliza un código gráfico, para plantear las relaciones entre datos e incógnitas del problema, no utiliza elemento que podamos considerar simbólico. Las operaciones numéricas que se realizan son planteadas desde el gráfico.

Aunque puede existir una representación simbólica, todavía no hay generalidad, se utiliza un esquema particular que cambia con cada problema. Cualquiera que sea el dibujo geométrico que se utilice, las operaciones que implican las relaciones del problema se hacen depender de la componente longitud que se establece en el gráfico. Se apoya en la aritmética, con sus operaciones y propiedades.

4.- Sistema de representación Gráfico - Simbólico

En este sistema de representación se trata de establecer las relaciones mediante un lenguaje simbólico (alfabético), pero con un apoyo explícito de un gráfico o dibujo donde se van poniendo los datos y las incógnitas, identificando los elementos que intervienen en la relación, y a veces las propias relaciones. Este sistema todavía no alcanza la formalidad de la generalización.

5.- Sistema de representación Simbólico

Se presenta cuando se utiliza un lenguaje algebraico puro. Se identifican las incógnitas con letras o palabras y se expresan las relaciones mediante ecuaciones. No se utilizan objetos concretos (dibujos o gráficos) para representa los datos o las relaciones. El modelo se puede aplicar a cualquier otro problema de las mismas características, con lo cual se

146 María Elisa Espinosa Valdés

generaliza el método.

El uso del lenguaje algebraico deberá hacerse con competencia, para dar sentido y significado a las letras y aplicar las reglas algebraicas para producir nuevas relaciones que lleven a la solución.

Por otro lado sabemos que no es fácil diseñar un instrumento que contenga problemas que se puedan resolver por todos esos sistemas de representación, ya que no serían las únicas variables presentes, por lo que construir un instrumento de evaluación no sería tarea fácil, pero como profesores podemos analizar los beneficios que tendría en nuestro trabajo en el aula, creo que valdría la pena empezar a diseñar instrumentos de este tipo, ya que podemos hacer muchas cosas en el aula con ellos, ya que por ejemplo lo podemos aplicar como diagnostico y de esta forma conocer al inicio del curso escolar las competencias algebraicas de nuestros alumnos y de esta manera pensar en la estrategia que usaríamos para tratar de homogeneizar al grupo, redituando en beneficio del alumno y del profesor, también lo podemos aplicar al final del Curso para conocer las competencias algebraicas de nuestros alumnos. Creo como docente que este reto vale la pena.

Bibliografía

Boch, S. y Frías A. (1999). La resolución de Problemas de Matemáticas desde la necesidad de la sociedad Postmoderna en Epsilon Nº 45

Carrillo J. (1996). Modos de resolver problemas y concepciones sobre la matemática y su enseñanza de profesores de matemáticas de alumnos de 14 años. Tesis doctoral. Universidad de Sevilla.

Carrillo, J y Contreras, LC (2000) Resolución de Problemas en Matemáticas en los albores del siglo XXI.

Contreras G. J.L. (1999). Concepciones de los profesores sobre la resolución de Problemas. Universidad de Huelva.

Fernández F. (1997). Evaluación de competencia en álgebra elemental a través de problemas verbales. Tesis Doctoral. Granada. Real Decreto 1345/1991, 6 de septiembre, por el que se establece el currículo de la Educación secundaria obligatoria.

147

LA SOLUCION DE LOS PROBLEMAS ALGEBRAICOS

EN LA VIDA DIARIA DE LOS ESTUDIANTES

María Elisa Espinosa Valdés. elisaesva @ yahoo.es Instituto Tecnológico de Minatitlán (México) Universidad de Granada.

Francisco Fernández García. [email protected] Universidad de Granada.

Introducción En los últimos 20 años se ha generado y consolidado la enseñanza de la matemática

basada en la resolución de problema, ya que por ejemplo la NCTM (1977 según cita Carrillo,1996) menciona: “aprender a resolver problemas es la razón principal para estudiar matemáticas”.

Desde esta nueva perspectiva podemos encontrar 3 enfoques del papel que la resolución de problemas desempeña en la enseñanza de la matemática:

a) Enseñanza para la resolución de problemas.

b) Enseñanza sobre la resolución de problemas.

c) Enseñanza vía la resolución de problemas.

(Blanco, 1993)

Ahora bien, los nuevos requerimientos curricluares (Decreto 148/2002; Real Decreto 1345/1991, 3473/2000) tienen en común la necesidad de que los estudiantes aprendan vía la resolver problemas.

Esto supone todo un reto para los profesores y para los estudiantes, ya que esto requiere de cambios de roles tanto de los profesores, como de los estudiantes, generando esto una nueva dinámica dentro del salón de clases y la necesidad de crear un ambiente de apoyo para que se dé el aprendizaje y así poder entender el nuevo concepto de una clase de matemáticas.

En forma general se pide que los estudiantes no solamente “aprendan una gama de contenidos matemáticos, reglas, fórmulas y procedimientos; sino que también es necesario que desarrolle un conjunto de habilidades y estrategias que le permitan aplicar y encontrar el sentido de las ideas matemáticas. En este proceso, es importante que los estudiantes propongan y analicen conjeturas, formule, rediseñe y resuelva diversos tipos de problemas”.(Santos, 1996) Y así poder formar estudiantes que sepan hacer un uso inteligente, adecuado y suficiente de las matemáticas aprendidas durante su fase formativa obligatoria. (Alsina, 1994)

Creemos que los estudiantes se pueden encontrar con diferentes tipos de problemas que tendrán que resolver, los cuales caracterizamos de la siguiente manera:

• Problemas en su vida diaria.

148 María Elisa Espinosa y Francisco Fernández

• Problemas de las asignaturas que cursaran posteriormente.

• Problemas en su vida profesional.

Centrándonos en la resolución de problemas en la vida diaria de los estudiantes, nos propusimos indagar, si los estudiantes para maestros están preparados para hallar la solución de problema algebraicos en su vida diaria, así como los conocimientos que ponen en juego para hallar dicha solución, ya que las matemáticas que podemos encontrar en nuestra entorno son abundantes, pero muchas veces invisibles como tales.(Nomdedem, 2001)

Además tomamos en cuenta que los estudiantes con los que íbamos a trabajar, ya habían cursado la educación básica, la secundaria obligatoria y el bachillerato, por lo tanto consideramos que han recibido la misma formación básica y tienen un nivel similar de conocimientos tanto de aritmética como de álgebra, aunado a una mayor madurez y formación profesional. Por lo que nos hicimos la misma pregunta que Alsina (1994) ¿ Serán capaces nuestros estudiantes de dar el salto adelante y reconocer y usar en su vida adulta lo que en la escuela se les enseño?

De esta forma nuestro interés se centra en saber si los estudiantes para maestro saben hallar la solución (correcta) a los problemas algebraicos que le surjan en la vida diaria, ya que creemos que en la vida diaria se deben de resolver bien los problemas, por que no seria bueno para el resolutor hallar una respuesta incorrecta o simplemente no terminar el problema. Por otro lado también es de nuestro interés saber cuales de esos conocimientos adquiridos hasta el momento pone en juego para hallar la solución.

Problemas y Solución

Entendemos por problema: “una situación para la que el individuo que se enfrenta a ella no posee algoritmo que garantice una solución. El conocimiento relevante de esa persona tienen que ser aplicado en una nueva forma para resolver el problema”(Kantowski,1980). De acuerdo con lo anterior podemos decir que el carácter de que una tarea sea un problema es de tipo subjetivo ya que “lo que es un problema para una persona puede no serlo para otra, y lo que es un problema para una persona un día puede no serlo es próximo día” (Agre,1982:30).

Como el interés de este trabajo es la resolución de problemas en la vida diaria, entenderemos que “la solución no conlleva sólo la respuesta sino también el procedimiento que conduce a ella”. (Polya,1945;233) Por lo tanto cuando hablemos de solución en este trabajo vamos a estar hablando del “procedimiento y resultado correcto”.

Tipo de Problema Creemos que la mayoría de los problemas con los que se encuentran los estudiantes en

su vida diaria, son problemas de los que Polya (1976) denomina “problemas por resolver”.

Según Polya las principales características de un “problema por resolver” son:

• El objetivo de un problema por resolver es descubrir la incógnita del problema.

• Los principales elementos son las incógnitas, los datos y las condiciones.

• Para encontrar la solución hay que conocer de manera precisa los elementos principales del problema.


• Este tipo de problemas tiene mayor importancia en las matemáticas elementales.

Los Problemas Propuestos Se propusieron dos problemas de álgebra elemental, redactados en un contexto familiar

a la vida diaria de los estudiantes, son problemas con los que se pueden encontrar fácilmente.

Los problemas se podían resolver únicamente con lápiz y papel y tenían la característica de poderse resolver con aritmética, álgebra o una combinación de ambas.

Los problemas propuestos:

Problema 1: Marta y Sandra encuentran una tienda en rebajas donde por ese día todos los CD están al mismo precio. Marta lleva 65 euros y Sandra 87 euros. Marta se compra 3 CD y Sandra compra 5 CD. Cuando salen de la tienda, después de haber pagado, resulta que a las dos les sobra la misma cantidad de dinero.

¿Cuánto cuesta cada CD?

Problema 2: Melissa y Julieta van a comprar discos. Les gustaría comprar 2 CD y 5 cassettes que cuestan 40.5 euros.

Pero como no pueden gastarse tanto dinero, solamente compran 1 CD y 3 cassettes por los que pagan 22.6 euros.

¿Cuánto cuesta cada CD? ¿Cuánto cuesta cada cassette?

En la tabla nº.1 representamos las características generales de cada uno de los problemas propuestos:

PROBLEMA 1 2 nº de ecuaciones que se

requiere para hallar la solución del problema.

1 ecuación.

2 ecuaciones.

Tipo de números en el texto y en la solución.

Números enteros

Números decimales.

Contiene algún dibujo orientativo que ayude a encontrar la solución

No

Si

Conocimientos necesarios para encontrar la solución

Aritmética o

álgebra.

Aritmética o

álgebra.

Tabla nº.1

150 María Elisa Espinosa y Francisco Fernández

La muestra y la aplicación de los problemas Participaron 304 estudiantes de la Facultad de Ciencias de la Educación de la

Universidad de Granada de las especialidades de Licenciatura en Psicopedagogía, Licenciatura en Pedagogía y de las Diplomaturas de Magisterio en las especialidades de:

• Educación Física.

• Educación Infantil.

• Educación Primaria y

• Lengua Extranjera.

La participación de los estudiantes fue voluntaria, cada uno trabajo cerca de 25 minutos en tratar de encontrar la solución de los problemas, la aplicación se realizo en las aulas donde se desarrollan normalmente las clases. Se fotocopiaron cada problema en un folio, por lo tanto les entregamos a cada estudiante dos folios, uno con cada problema, con la finalidad de que tuvieran espacio suficiente para poner todo el procedimiento.

Resultados En la tabla nº.2 se muestran los porcentajes de los estudiantes que abordaron los

problemas, intentando encontrar la solución fueron:

PROBLEMA Estudiantes que abordaron los problemas.

1 80.1%

2 81.3% Tabla nº.2

En la tabla nº. 3 se encuentran los resultados obtenido en la solución de los problemas, especificando los conocimientos que pusieron en juego los estudiantes para hallar la solución:

PROBLEMA Conocimientos usados en la solución

% de estudiantes que hallaron la solución

% de solución

Aritmética 3,0

Uso de algún gráfico y aritmética 1,0

Uso de algún gráfico y álgebra 0,7

1

Algebra 69,7

73.8

Aritmética 13.8

Uso de algún gráfico y aritmética 0.7

Uso de algún gráfico y álgebra 0.7

2

Algebra 55.3

70.5

Tabla nº. 3


Comentarios sobre los resultados De los estudiantes que participaron podemos decir los siguientes:

• La mayoría de los estudiantes tratan de resolver los problemas, ya que tenemos porcentajes altos de estudiantes que abordan ambos problemas.

• Muy pocos estudiantes utilizaron solamente aritmética, para hallar la solución de el problemas nº.1.

• Son más los estudiantes (comparados con el problema nº.1) que utilizan aritmética para hallar la solución del problema nº.2.

• En forma general los estudiantes no hacen uso solamente de aritmética para hallar la solución de los problemas algebraicos.

• La mayoría de los estudiantes en ambos problemas, los resuelven utilizando álgebra.

Creemos que la mayoría de los estudiantes que participaron están preparados para encontrar la solución de los problemas de álgebra elemental que les surjan en su vida diaria y además lo hacen poniendo en juego el álgebra aprendida en la escuela.

Referencias

Agre, G.P. (1982). The Concept of Problems :Educational Studies in Mathematics.13 (2), 121-142.

Alsina, C. (1994). ¿Para qué aspectos concretos de la vida deben preparar las matemáticas? .Revista de Didáctica de las Matemáticas Uno, 1 (pp.37-43). Barcelona: Grao.

Blanco, L. (1993). Consideraciones Generales sobre la Resolución de Problemas. Baradoz: Universitas.

Carrillo, J. (1996). Modos de resolver problemas y concepciones sobre las matemáticas y su enseñanza de profesores de matemáticas de alumnos de más de 14 años . Algunas aportaciones a la metodología de la investigación y estudios de posibles relaciones. Tesis doctoral inédita Departamento de didáctica de las ciencias. Universidad de Sevilla. (Publicada por la Universidad de Huelva en 1997).

Decreto 148/2002 de 14 de mayo por el que se modifica el Decreto 106/1992, de 9 de junio por el que se establecen las enseñanzas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria en Andalucia (Próxima publicación en Boja).

Kantowski, M. G. (1980). Some thoughts on teaching for problem solving. En KRULIK S. y Reys (Eds.). Problem Solving in school mathematics. Reston: NCTM.

Nomdeden (2001). Matemáticas cotidianas a través de la historia. .Revista de Didáctica de las Matemáticas Uno, 26 (pp. 29-35) Barcelona: Grao.

Real Decreto 1345/1991 del 6 de septiembre por el que se establece el curriculum de la educación secundaria obligatoria. Pp 81-82

Real Decreto 3473/2000 de 29 de diciembre de 2000, para la modificación de las Enseñanzas mínimas para la ESO.(BOE 14/2001 de 16 de enero).

Santos, T.M. (1996). Análisis de algunos métodos que emplean los estudiantes al resolver problemas matemáticos con varias formas de solución. En Educación Matemátic, 18 (2), 57-69.

153

UNA PROPUESTA DE ANÁLISIS DE PROBLEMAS SOBRE FRACCIONES

José Daniel Felip Scapini, [email protected] Encarnación Castro Martínez, [email protected]

Introducción. Se considera un momento crucial para los estudiantes de nivel medio, el paso de los

números enteros que les son familiares, a los números racionales. Estos últimos son más abstractos debido, entre otras cosas, al escaso uso que se hace de los mismos en la vida real. Así lo afirman Freudenthal desde la fenomenología didáctica y Llinares (1997) desde la investigación en Educación Matemática. Este hecho ha motivado nuestro interés por estudiar los problemas en los que aparecen números racionales.

El hecho de ser pocas las fracciones utilizadas en la vida cotidiana unido al uso de las calculadoras y de los ordenadores, herramientas que permiten trabajar más fácilmente con las expresiones decimales que con las fracciones, hizo que en un momento determinado se cuestionara su inclusión en los currícula de la Educación Obligatoria (Llinares, 1997). No obstante, la reflexión concluyó defendiendo el estudio de las fracciones tal como se hace actualmente. La normativa de cómo hay que hacerlo el aula se puede ver en los actuales contenidos mínimos establecidos por la Conserjería de Educación de la Junta de Andalucía (B.O.J.A. 27 de Junio de 2002).

Significados o usos de las fracciones. A lo largo de los años, distintos investigadores en educación matemática han elaborado

clasificaciones de subconstructos a partir del constructo del número racional. De entre todas las posturas, que hemos constatado, hemos seleccionado dos, debido a su gran relevancia por la influencia que han tenido en otras investigaciones y por estar presentes en toda la bibliografía consultada sobre el tópico de los números racionales.

Estas dos clasificaciones son; una la propuesta por Kieren y otra la defendida por Behr y sus colaboradores en el Rational Number Project (RNP). Kieren partiendo del constructo de los racionales identifica cuatro subconstructos: Cociente, medida, operador y razón (Kieren, 1993). Esta clasificación es una depuración de su postura defendida en 1976. Por otro lado, Behr et all (1983) incluyen en el RNP el subconstructo parte-todo a los ya citados por Kieren. Más tarde, Kieren (1993) defiende su postura, argumentando que este subconstructo de parte-todo puede considerarse que está contenido en los otros.

La importancia de estos subconstructos, se puede observar en los comentarios de Behr et all (1983) donde se defiende que una comprensión completa del número racional depende de la comprensión de todos y cada uno de los subconstructos. Más aún, Kieren, (1976, cit. Behr, 1983) añade que también se requiere que se sepa cómo se interrelacionan dichos



154 José Daniel Felip y Encarnación Castro

subconstructos. Por todo esto, consideramos que es importante tener presente los distintos subconstructos o interpretaciones del número racional en el proceso de enseñanza/aprendizaje de este concepto matemático. Coincidimos, de acuerdo con Llinares (1997), que un objetivo a largo plazo del proceso de enseñanza del número racional es la integración de todas sus interpretaciones.

Behr et all (1983), consideran que la partición en partes iguales y la relación parte-todo son elementos básicos para aprender otros subconstructos del número racional. El inconveniente está en quedarse sólo en dicho subconstructo pues la instrucción sería parcial y, por tanto, inadecuada para desarrollar una completa comprensión de los mismos (Behr et all, 1992). Para evitar este enfoque unidireccional hay que considerar los distintos subconstructos del número racional y para ello, Llinares (1997), recomienda empezar por la interpretación parte-todo e ir ampliándola con las demás.

Nosotros vamos a utilizar la postura defendida por Behr y sus colaboradores en el Rational Number Project, es decir, consideraremos los subconstructos:

Cociente, medida, operador, razón y parte-todo.

Dos motivos nos han llevado a incluir este último subconstructo. Uno es de tipo bibliográfico y otro de tipo personal. El de tipo bibliográfico ha sido expuesto anteriormente, y en él hemos observado que diversos autores enfatizan la importancia del subconstructo parte-todo. Entre los de tipo personal, está nuestra propia experiencia como docentes, en la cual hemos observado que el subconstructo parte-todo es el más intuitivo en los alumnos y proporciona un buen comienzo desde el que continuar el trabajo con los Números racionales.

Modelos. Castro (1997), define el modelo como una abstracción de la realidad fenomenológica y

sirve de intermediario entre dicha realidad y las matemáticas (en nuestro caso). El modelo es algo que sustituye al original haciendo, si se trata de algo abstracto, que sea más accesible para el que aprende. El modelo permite pasar de un “mundo” a otro, en el caso de la matemática, del mundo de las ideas al de la realidad, y es importante que los alumnos sepan moverse en ambos “mundos”. Los modelos, si se obtienen a partir del entorno próximo del alumno permiten presentar los conceptos matemáticos de forma más cercana a ellos. Para Streefland (1993), es el contexto el que funciona como modelo, refiriéndose a él como situación modelo. Por otra parte, un modelo puede ser significativo para un alumno en una situación y no serlo para otro en la misma situación (Behr et all, 1983). Por lo que no existe un modelo único a tomar.

Una clasificación de los modelos, a utilizar en la enseñanza de las fracciones, utilizada por algunos autores (Llinares, 1997 y Castro, 2001) los divide en discretos y continuos. Autores como Behr et all (1992) sugieren comenzar la enseñanza por los contextos discretos, se apoyan para dar esta sugerencia en que los conceptos que los niños necesitan para trabajar con cantidades continuas tienen su base en sistemas que incluyen estructuras de elementos discretos.

Para el análisis que vamos a realizar de problemas sobre fracciones propuestos en un libro de texto, para llevar al aula, nos basaremos en esta clasificación de modelos dado por Castro (2001),

• Discretos.


• Continuos.

VolumencÁreab

Lineala

.

.

.

Consideramos esta clasificación muy genérica pero, válida para cubrir nuestro objetivo.

Representaciones. De acuerdo con Ball (1993), aprender a representar es una meta de la instrucción, pero

no debe de quedarse ahí, el profesor debe ayudar al estudiante a construir sus propias representaciones. Se pueden utilizar varios tipos de representación para un tópico dado y es importante tener posibilidad de pasar de unos a otros (Behr, 1992; Ball, 1993; Llinares, (1997). Castro (1997), considera que cada concepto o estructura conceptual dispone de unos sistemas de representación prioritarios que conviene conocer y cuyas relaciones de conversión entre sistemas hay que comprender.

La importancia de las representaciones se ve también reflejada cuando el Rational Number Project, plantea el problema de las representaciones como uno de sus ejes de investigación. Una de las clasificaciones más importantes de los distintos modos de representación es la propuesta por Lesh, utilizada en el Rational Number Project. En ella, se recogen los siguientes: dibujos, símbolos hablados, material manipulativo, símbolos escritos y situaciones del mundo real. Se da gran importancia, en esta clasificación, a las distintas traslaciones entre los sistemas de representación. Behr et all (1992), creen que es la habilidad de los estudiantes para hacer estas traslaciones las que les proporcionan ideas significativas. Además, defienden que esta clasificación puede ser una herramienta poderosa para el profesor en la orientación de su clase. Por otro lado, Castro (1997) distingue entre dos grandes familias de representaciones: sistemas de representación simbólicos y gráficos, también considera que el conocimiento matemático se recibe y transmite, prioritariamente, mediante dos canales sensoriales: el auditivo y el visual.

Atendiendo a estas dos clasificaciones y a la de Lesh, tomamos para nuestro trabajo los siguientes sistemas de representación:

Auditivo simbólico. Visual simbólico.

Auditivo gráfico. Visual gráfico.

Materiales manipulativos. Situaciones del mundo real.

Esta clasificación se basa en los modos de representación de Lesh, pero además tiene presente la clasificación de Castro. Mediante la cual hemos añadido la distinción entre el auditivo gráfico y el visual gráfico, ya que además de ver una figura, también se puede describir o nombrar.

En el trabajo que nos ocupa, en el que se trata de analizar los problemas propuestos en un libro de texto, no aparecerán las representaciones auditivas. Damos este nombre a aquellas representaciones que se expresan verbalmente y no mediante símbolos o gráficos. Por ejemplo, “un rectángulo” sería auditivo gráfico y “dos tercios” auditivo simbólico.


Caracterización de los ítems Teniendo en cuenta las anteriores clasificaciones, hemos construido el siguiente

cuadro, que nos servirá como filtro o parrilla para analizar y caracterizar los problemas sobre fracciones, que vamos a analizar.

Presentamos a modo de ejemplo, como queda relleno el cuadro al reflejar, en el mismo, las características que presentan algunos de los problemas sobre este tópico, que aparecen en el libro de texto de 3º de E.S.O. de la Editorial Anaya, en su versión para Andalucía (los enunciados de los ítems se recogen en el Anexo) Modelos Representaciones Usos

Items D CL CA CV AS AG VS VG MM SMR PT RA CO ME OP 1 X X

2 X X

3 X X

4 X X

Tabla 1.

D= discreto; CL=continuo lineal; CA= continuo área; CV= continuo volumen; AS= auditivo simbólico; AG= auditivo gráfico; VS= visual simbólico; VG= visual gráfico; MM= material manipulativo; SMR=situaciones del mundo real; PT= parte todo; RA= razón; CO= cociente; ME= medida; OP= operador.

Como ejemplo veamos como hemos caracterizado al item 1. (ver anexo) En el problema se hace referencia a un bidón, no utiliza modelo alguno, por lo que no se marca ninguna casilla. Para expresar las fracciones se utiliza las expresiones “mitad” y “quinta parte”, las cuales son representaciones auditivo simbólicas. El subconstructo de fracción empleado en este caso, es el de operador, ya que, en definitiva, utiliza las fracciones para realizar operaciones. De forma análoga se procede con el resto de items.

De los 16 problemas sobre fracciones que hemos encontrado en este libro de texto de Anaya, hemos seleccionado estos cuatro, por ser representativos del resto, y por presentar una mayor variedad de casos.

A continuación, realizamos un breve análisis de estos 16 problemas, aunque por simplificación no están expuestos en la tabla 1.

Por lo que al modelo se refiere, no aparece en modelo alguno en la totalidad de los problemas. En cuanto a la representación, la visual simbólica predomina con un 75%, de

los problemas, correspondiendo todas a la expresión ba . A parte de este tipo de

representación, la visual gráfica sólo aparece en un 12,5% de los problemas, al igual que la representación auditivo simbólica. No aparece ningún otro tipo de representaciones.

En los usos, observamos que predomina el operador (81,25%), ya que en la mayoría de problemas propuestos, su resolución se limita a operar con las fracciones. Los subconstructos razón, medida y cociente no están presentes y la relación parte-todo se reduce a dos actividades (12,5%) en las que el alumno debe de decir qué fracción está coloreada en unas determinadas figuras.

De lo anterior se desprende que en este libro la resolución de problemas en los que aparecen fracciones se trabaja de forma parcial. Este hecho lo hemos constatado: primero


por los modelos empleados, que son prácticamente inexistentes; segundo, por las representaciones utilizadas las cuales son casi exclusivamente visuales simbólicas de la forma a/b; tercero, por no trabajar por igual las distintas interpretaciones del número racional, centrándose exclusivamente en operar con las fracciones.

Esta forma de trabajar propuesta, en la que se toman la fracciones y las operaciones con las mismas de forma abstracta, puede ser debida a la edad de los alumnos a los que están dirigidas (15 años). Nuestro propósito es continuar analizando otros libros de textos de otras editoriales y de niveles inferiores, ver si en cursos anteriores se utilizan modelos y representaciones en la enseñanza de las fracciones y los usos que se hacen de las mismas, ver si en los problemas que se proponen se reflejan estas nociones y precisar en que momento y de qué forma se produce el cambio o “salto” hacia la consideración abstracta del número racional.

Al hilo de los resultados del análisis que hemos llevado a cabo, nos surgen interrogantes a los que trataremos de responder en un futuro, como por ejemplo ¿la abstracción necesaria para resolver estos problemas, es posible en alumnos de estos niveles?, ¿dominan los alumnos los distintos usos del número racional?, ¿Cómo influye la representación, tomando un modelo determinado, en la resolución de los problemas en los que intervienen fracciones? ¿Qué factores influyen en el proceso que permite el paso de las representaciones básicas y el uso de modelos a la consideración de las fracciones de forma abstracta? En esta línea de trabajo queremos continuar, intentando dar alguna respuesta a los interrogantes que nos planteamos.

Anexo

1. De un bidón de aceite se saca primero la mitad y después la quinta parte, quedando aún 3 litros. ¿Cuál es la capacidad del bidón? (pag. 64, 54)

2. Tres socios invierten sus ahorros en un negocio. El primero aporta 1/3 del capital, el segundo 2/5 y el tercero el resto. Al cabo de tres meses, reparten unos beneficios de 150.000 euros. ¿Cuánto corresponde a cada uno? (pag. 64, 58)

3. Al lavar una tela, su longitud se reduce en 1/10 y su anchura, 1/15. ¿Qué longitud debe comprarse de una pieza de 0,90 m de ancho para tener, después de lavada, 10,5 m2 de tela? (pag. 64, 64)

4. Una pelota pierde en cada bote 2/5 de la altura a la que llegó en el bote anterior. ¿Qué fracción de la altura inicial, desde la que cayó, alcanza después de cuatro botes? (pag. 64, 59)

Referencias Ball, D. (1993) Halves, Pieces, and Twoths: Constructing and Using Representational

Contexts in Teaching Fractions. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds), Rational Numbers (pp 157-196). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.

Behr, M.; Lesh, R.; Post, T. & Silver E. (1983) Rational Number Concepts. En R. Lesh, M. Landau. (Eds), Acquisition of Mathematics Concepts and Processes (pp 91-126). Orlando, Florida: Academic Press.

Behr, M.; Harel, G.; Post, T. y Lesh, R. (1992) Rational Number, ratio, and proportion. En D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp 296- 333). New York: Macmillan.


Castro, E. y Castro E. (1997) Representaciones y modelización. En Luis Rico (Coord.), La educación matemática en la enseñanza secundaria. Vol 12 (pp 95-124). Barcelona: Universidad de Barcelona ICE/ Hursori.

Castro, E. y Torralbo, M. (2001) Fracciones en el currículo de la Educación Primaria. En Castro E. (Ed.), Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. Madrid: Síntesis.

Gimenez Rodríguez, J. (1991) Innovación metodológica de la didáctica especial del número racional positivo (diagnosis cognitiva y desarrollo metodológico). Tesis Doctoral. Universidad Autónoma de Barcelona.

Kieren, T. (1993) Rational and Numbers: From Quotient Fields to Recursive Understanding. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds), Rational Numbers (pp 49-84). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.

Llinares, S. Y Sánchez García, Mª V. (1997) Fracciones. Madrid: Síntesis.

Post, T.; Cramer, K.; Behr, M.; Lesh, R. and Harel, G. (1993) Curriculum Implications of Research on the Learning, Teaching, and Assessing of Rational Numbers Concepts. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds), Rational Numbers (pp 327-362). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.

Streefland, L. (1993) Fractions: A Realistic Approach. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds), Rational Numbers (pp 289-326). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.

159

INFLUENCIA DE LA HEURÍSTICA DE LA

REPRESENTATIVIDAD EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS SOBRE MUESTREO

Sandra Gallardo Jiménez Angustias Vallecillos Jiménez


1. Introducción La estadística se reconoce hoy día como un conocimiento básico para los ciudadanos

de la sociedad de la información (NCTM, 2000). El reconocimiento oficial en nuestro país se produce con su inclusión en los currículos para la enseñanza obligatoria (ESO) y la post-obligatoria (Bachillerato) (M.E.C., 1990; 1992; Junta de Andalucía, 1992; 1994). Como novedad curricular se incluyen en ellos contenidos de estadística inferencial, concretamente relacionados con el muestreo y las conclusiones que cabe extraer del análisis de muestras representativas. En el campo de la psicología se ha estudiado desde hace tiempo, y se han descrito, diversas heurísticas de razonamiento empleadas por los individuos para la toma de decisiones en situación de incertidumbre (Kahneman, Slovic y Tversky, 1982). Dado que la presencia y el uso de estas heurísticas pueden dificultar grandemente el aprendizaje de los alumnos y el uso correcto de los contenidos estadísticos que necesitan manejar para desenvolverse en el mundo de hoy, y la mas que probable presencia de éstas entre ellos, nos hemos planteado la necesidad de investigar este tema con el fin de contribuir en la mejora de la instrucción en estos niveles de enseñanza.

En este trabajo describimos parte de un estudio piloto cuya meta es analizar cómo influyen algunas de estas heurísticas en el razonamiento de los alumnos enfrentados a la tarea de resolver problemas sobre muestreo. Nos centraremos aquí en analizar como influye una heurística concreta, la de la representatividad, una de las más importantes en estudios sobre estadística inferencial por su incidencia en la selección de muestras adecuadas.

2. Descripción del estudio Nuestro interés se centra en estudiar el posible uso de heurísticas de razonamiento por

parte de un grupo de estudiantes, enfrentados a la resolución de problemas de muestreo.

2.1. Objetivos Para ello nos hemos planteado los siguientes objetivos:

1. Analizar los conceptos de población, muestra y sus relaciones

2. Analizar el uso de la heurística de la representatividad

3. Analizar la idea de espacio muestral

160 Sandra Gallardo y Angustias Vallecillos

4. Detectar concepciones previas relacionadas con el muestreo

5. Detectar posibles dificultades de enseñanza del tema

2.2. Muestra y metodología Para llevar a cabo el estudio se entrevistó de forma individual a nueve estudiantes de

segundo de bachillerato de ciencias sociales. En el momento en que las entrevistas fueron realizadas estos alumnos aún no habían visto en clase el tema de muestreo y, además, en el currículo de este curso no se incluye el estudio de la distribución binomial, por lo que las respuestas de los estudiantes pueden considerarse espontáneas. A cada alumno se le entregó por escrito el enunciado del problema, en el que no aparecían las cuestiones que sobre este enunciado iban a planteársele. Presentamos a continuación el problema completo:

2.3. Cuestionario

“Los Ositos de Goma”:

Supón que fuiste con tu hermana o hermano pequeño a la cabalgata de reyes. En la cabalgata, el rey Melchor llevaba en una caja todos los paquetes de ositos de goma que iba a repartir a todos los niños. Cada paquete contenía 6 ositos de goma dentro. Para llenar los paquetes, el rey Melchor mezcló 2 millones de ositos de goma verdes y 1 millón de ositos de goma rojos, y los puso todos juntos en un barril muy grande. Después de mezclarlos bien, se pasó las siguientes horas llenando los paquetes que iba a repartir a los niños de manera que en cada paquete había seis ositos de goma. Para llenarlos cogía un puñado de ositos de goma del barril y los introducía en un paquete, volvía a coger otro puñado de ositos de goma y los introducía en otro paquete, y así sucesivamente, hasta que todos los ositos estuvieron repartidos en paquetes de 6 ositos cada paquete.

Cuando, en el desfile, el rey Melchor os dio un paquete de ositos y lo abristeis,

a) ¿Cuántos ositos de goma verdes piensas que podría tener el paquete? ¿Cómo has conseguido ese número?

b) ¿Piensas que todos los niños consiguieron el mismo número de ositos verdes que tú? ¿Podrías explicarme por qué?

c) ¿Cuántas combinaciones de colores diferentes de ositos rojos y verdes puede haber en los paquetes? Di cuántos verdes habrá en cada uno. (El estudiante tiene que apuntar todas las posibilidades.)

d) De 100 niños, ¿cuántos piensas que tendrán: 0 verdes?; 1 verde?; … ; 6 verdes?

e) ¿Cómo decidiste la respuesta para 0 verdes? ¿Y para 4 verdes? ¿Y para 6 verdes?

En esta situación son conocidos tanto el tamaño de la muestra, 6 ositos en cada bolsita, como el tamaño de la población, 3 millones de ositos. Además, hay una gran diferencia numérica entre ambos tamaños. La composición de la población es, pues, perfectamente conocida (dos terceras partes de ositos verdes y una tercera parte de ositos rojos). Observamos, por tanto, que el modelo teórico que describe esta situación es una distribución binomial de parámetros N = 6 (tamaño de la muestra) y p = 2/3 (probabilidad de éxito = probabilidad de seleccionar un osito verde).


Con las cuestiones a) y b) pretendemos comprobar si los alumnos se ven influenciados por la heurística de la representatividad, es decir, si la muestra y la población tendrán características similares, sin que el tamaño de estas presente ningún tipo de inconveniente.

Nuestro propósito al plantear la cuestión c) es comprobar si los alumnos entrevistados son capaces de construir el espacio muestral asociado a este problema, ofreciendo todas las posibles combinaciones que pueden ocurrir.

Una vez establecidas por los alumnos las posibles combinaciones nos preguntaremos cuál es la probabilidad que éstos otorgan a dichas combinaciones, y hasta que punto esas probabilidades se ajustan a las probabilidades teóricas que dicho problema conlleva. Este es el cometido de la cuestión d).

Por último, con la cuestión e) obtendremos los motivos por los que los alumnos asignaron los valores ofrecidos en la cuestión anterior.

3. Análisis de los resultados Veamos a continuación el análisis de las respuestas de los alumnos a las cuestiones

planteadas:

Cuestión a) ¿Cuántos ositos de goma verdes piensas que podría tener el paquete? ¿Cómo has conseguido ese número?

Los resultados obtenidos fueron los siguientes: de los 9 alumnos entrevistados, 6 creen que la muestra debe representar a la población a la que pertenece, independientemente del tamaño de dicha muestra y del tamaño de la población. Concretamente, 4 de esos 6 alumnos eligieron la moda de la distribución teórica, 4 ositos verdes y 2 rojos, como el valor más representativo de entre todas las posibles ocurrencias. Sólo 2 alumnos piensan que a la vista de los datos no puede decirse nada de la composición de la bolsa de ositos; uno de ellos ofrece todas las combinaciones posibles. Por último, 1 alumno no ofrece una respuesta clara a esta cuestión.

Cuestión b) ¿Piensas que todos los niños consiguieron el mismo número de ositos verdes que tú? ¿Podrías explicarme por qué?

Se obtuvieron los siguientes resultados: un total de 7 de los 9 alumnos contestaron que no todos los niños conseguirían el mismo número de ositos verdes que ellos; el motivo: los ositos eran seleccionados al azar. Los dos alumnos restantes pensaban que todos los demás niños deberían obtener el mismo número de ositos verdes que ellos. Aunque aquí parece no influir la representatividad muestral en la respuesta de la mayoría de los alumnos, esta fue la única cuestión en la que esto ocurrió.

Cuestión c) ¿Cuántas combinaciones de colores diferentes de ositos rojos y verdes puede haber en los paquetes? Di cuántos verdes habrá en cada uno. (El estudiante tiene que apuntar todas las posibilidades.)

Presentamos las combinaciones que los alumnos ofrecieron en la Tabla 1.

En cada fila aparecen los resultados de cada uno de ellos, indicando la notación A1 al alumno 1 y así hasta A9 que corresponde con el alumno 9. Por columnas detallamos todas las posibles combinaciones que puede ocurrir. (iV,jR) es la combinación i ositos verdes y j rojos. Por último, el símbolo “*” en una celda indica que esa combinación fue ofrecida por el alumno correspondiente. Si ese símbolo no aparece significará que la combinación no fue dada por ese alumno.


Tabla 1. Combinaciones aportadas por los alumnos en la cuestión c)

COMBINACIONES (0V,6R) (1V,5R) (2V,4R) (3V,3R) (4V,2R) (5V,1R) (6V,0R)

A1 * * * * * * A2 * * * * * * * A3 * * * * * A4 * * * A5 * * * * * A6 * * * * * A7 * * * * * * A8 * * * * * * *

A L U M N O S A9 * * * * * * *

Observamos que la mayor parte de los alumnos han ofrecido todas las combinaciones, olvidando en varios casos las combinaciones extremas. A estos alumnos se les planteó si podrían ocurrir dichas combinaciones. Algunos admitieron esta posibilidad, aunque con ciertas reservas pues pensaban que era bastante difícil la ocurrencia de las mismas debido a la composición de la población. Vemos en este último hecho la influencia de la representatividad muestral. Si la población contiene ositos de dos colores, la muestra también.

Cuestión d) De 100 niños, ¿cuántos piensas que tendrán: 0 verdes?; 1 verde?; … ; 6 verdes?

Pretendemos ahora que los alumnos asignen probabilidades o porcentajes a cada una de las combinaciones que piensan que pueden ocurrir. Veamos en la Tabla 2 los valores que éstos dieron. La notación seguida es la misma que en la tabla anterior.

Resulta curioso observar que prácticamente todos los alumnos han sobrepasado el 100% como valor total. Este hecho no se relaciona con los objetivos de este estudio y por eso no va a ser analizado aquí.

Tabla 2: Porcentajes aportados en la cuestión e) para cada combinación

COMBINACIONES

(0V,6R) (1V,5R) (2V,4R) (3V,3R) (4V,2R) (5V,1R) (6V,0R) % total A1 30 10 20 20 10 10 100 A2 10 15 20 25 30 35 39 174 A3 15 25 40 50 40 25 15 210 A4 10 10 20 20 50 50 50 220 A5 80 60 40 30 25 235 A6 5 10 40 30 40 50 40 215 A7 6 40 30 50 28 20 15 193 A8

A L U M N O S

A9 10 20 5 15 45 30 25 150

A continuación vamos a presentar una segunda tabla, similar a la anterior salvo por los nuevos valores numéricos que aparecen en cada celda, de manera que ahora sí obtendremos en la última columna el 100% como porcentaje total. Para obtener cada uno de esos valores se ha actuado de la siguiente forma. Por ejemplo:


A2 da un total de 174%. En la combinación 0V-6R tenemos un 10%. Mediante una regla de tres, este 10% equivaldría en un total de 100% a x, determinado mediante una simple regla de tres:

10% 174%

x 100%

Es decir: x = 10×100 =5.7471%174

Si realizamos este proceso con todos los demás datos, obtendremos los valores que se presentan en la Tabla 3. Ésta tabla será utilizada para realizar las representaciones gráficas de los datos aportados por los alumnos. En cada una de las gráficas aparecerán dos representaciones, una será la que corresponde a los valores ofrecidos por el alumno. La otra es la representación teórica que corresponde con el problema planteado. De esta forma podremos comparar los valores teóricos correctos con los valores que los alumnos han aportado en sus respuestas.

Tabla 2. Porcentajes ajustados en la cuestión e) para cada combinación

COMBINACIONES 0V – 6R 1V – 5R 2V – 4R 3V – 3R 4V – 2R 5V – 1R 6V – 0R % total

A1 30 10 20 20 10 10 100 A2 5.7471 8.6207 11.4943 14.3678 17.2414 20.1149 22.4138 100 A3 7.1428 11.9048 19.0476 23.8096 19.0476 11.9048 7.1428 100 A4 4.5454 4.5454 9.0910 9.0910 24.2424 24.2424 24.2424 100 A5 34.0426 25.5319 17.0213 12.7659 10.6383 100 A6 2.3256 4.6512 18.6046 13.9535 18.6046 23.2559 18.6041 100 A7 5.1813 20.7254 15.5440 25.9067 14.5078 10.3627 7.7721 100 A8

A L U M N O S

A9 6.6667 13.3333 3.3333 10 30 20 16.6667 100

Veamos a continuación tres ejemplos de representaciones gráficas que contienen, en cada caso, la comparación de la distribución teórica y la empírica obtenida por el alumno correspondiente:

Gráfica 1. Alumno A3 Gráfica 2. Alumno A3

Observamos como el alumno A3 se ha aproximado bastante bien a la distribución teórica del problema, mientras que para el alumno A4 ha resultado más influyente la cantidad de ositos verdes en la bolsa, asignando mayor probabilidad a aquellas combinaciones con más ositos verdes que rojos.

��

��

��

��

��

05

101520253035

0 1 2 3 4 5 6

distribuciónteórica

��distribución A4distribución A3��

��

��

��

��

��

��

��

05

101520253035

0 1 2 3 4 5 6

distribuciónteórica

��


Al igual que ocurría con el alumno 3, A9 también se ha aproximado bastante bien, salvo en una combinación, a los valores teóricos de la distribución subyacente al problema planteado.

��

��

��

��

��

��

��

05

101520253035

0 1 2 3 4 5 6

distribuciónteórica��

��

distribución A9

Gráfica 3: Alumno A9

En general, si comparamos la distribución ofrecida por cada uno de los alumnos con la distribución teórica, se puede observar que son aceptables, produciéndose las mayores diferencias siempre en las colas de la distribución. Los resultados completos pueden verse en Gallardo (2002).

Cuestión e) ¿Cómo decidiste la respuesta para 0 verdes? ¿Y para 4 verdes? ¿Y para 6 verdes?

Ahora pretendemos saber que criterio han seguido los alumnos para dar las respuestas ofrecidas en la Tabla 2. Sus respuestas pueden resumirse como sigue:

Encontramos influencia de la variabilidad muestral en 2 de los 9 alumnos. Otros 2 alumnos se aproximan bastante bien en sus explicaciones a lo que ocurre realmente. Veamos la respuesta de uno de ellos:

- “No porque, tener sólo un verde cuando se supone que están bien mezcladas las golosinas pues es una probabilidad pequeña; y así, cuantos más verdes más probabilidad. Pero a partir de cuatro también es menos probable que salgan cinco verdes o seis verdes, entonces pues tres verdes pues el menor por ciento” (Al. 3).

Por último, los 5 alumnos restantes son claros representantes de razonamiento basado en la representatividad muestral.

4. Conclusiones En este trabajo hemos descrito, en síntesis, una investigación destinada a determinar el

uso de heurísticas de razonamiento por parte de estudiantes de secundaria enfrentados a la resolución de problemas en los que están implicadas muestras. Hemos utilizado la metodología de entrevista a un grupo de estudiantes que no han recibido entrenamiento estadístico previo. En general, en las respuestas de los alumnos se observa una clara influencia de la heurística de la representatividad en las respuestas analizadas. Además, observamos que los alumnos han dado prácticamente todo el espacio muestral, olvidando muchos de ellos los valores extremos de la distribución. A la hora de asignar probabilidades, éstas han sido bastante aceptables, si las comparamos con la distribución teórica, aunque en general, las colas de la distribución han sido olvidadas o subestimadas. También observamos la gran importancia que parecen darle al valor modal de la distribución, considerándolo como el valor más representativo de todas las posibles combinaciones que pudiesen ocurrir.


Agradecimientos: Al Proyecto de Investigación BS02000-1507, financiado por el Ministerio de Ciencia y Tecnología, Madrid.

Referencias Gallardo, S. (2002). Variabilidad y Representatividad Muestral: Un Estudio de Casos.

Trabajo de Investigación Tutelada. Granada: Universidad de Granada.

Junta de Andalucía (1992). Decreto 106/1992 de 9 de Junio (BOJA del 20) por el que se establecen las enseñanzas correspondientes a la E.S.O. en Andalucía.

Junta de Andalucía (1994). Decreto 126/1994 de 7 de Junio (BOJA del 26 de Julio) por el que se establecen las enseñanzas correspondientes al Bachillerato en Andalucía.

Kahneman, D.; Slovic, D. y Tversky, A. (1982). Judgement Under Uncertainty: Heuristics and Biases. Cambridge: Cambridge University Press.

MEC (1990). Ley Orgánica 1/1990 de Ordenación General del Sistema Educativo (LOGSE, BOE de 4 de Octubre).

MEC (1992). Decreto por el que se establecen las enseñanzas mínimos correspondientes al Bachillerato. (B.O.E. 253).

Moreno, A. (2000). Investigación y Enseñanza de la Estadística Inferencial en el Nivel de Secundaria. Memoria de Tercer Ciclo. Granada: Universidad de Granada.

NCTM (2000). Principles and standards of schools mathematics. Reston, Va.

Rubin, A,; Bruce, B. y Tenney, Y. (1990). Learning About Sampling: Trouble at the Core of Statistics. In D. Vere-Jones (Ed.): Proceedings of the ICOTS III, pp. 314-339. Dunedin, New Zealand: Otago University Press.

Vallecillos, A. (1999). Some Empirical Evidences on Learning Difficulties About Testing Hypotheses. Ponencia invitada. Proceedings of the 52nd Session of the International Statistical Institute, Vol. 2, Tome LVIII, pp. 201-204. The Netherlands: ISI

Vallecillos, A. (2000). Statistical Education for the XXI Century. Mathematics for Living. Proceedings of the International Conference, pp. 333-338. Ammam: The Hashemite Kingdom of Jordan.

167

UN PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN CON

INFINITESIMOS

Manuel José Martínez–Santaolalla Martínez.

Introducción Los infinitésimos se han presentado a lo largo de la historia como distintos términos.

Así, han aparecido como infinitesimales (Roberval, Fermat, Newton y Leibniz), indivisibles (Galileo y Cavalieri), diferenciales (Leibniz), cantidades evanescentes, momentos (Newton), magnitudes infinitamente grandes e infinitamente pequeñas, sumas infinitas, series de potencias (Euler, 2000), límites, números hiperreales (Robinson, 1966; Goldblatt, 1998), elementos infinitesimales nilpotentes (Bell, 1998), e incluso también, se ha llegado a hablar de la naturaleza mística de los infinitesimales y se insinúan nuevos sistemas: el “non–nonstandard analysis” (Henle, 1999).

En nuestro caso, tomaremos el concepto de infinitesimal al estilo que se usa en el sistema de los números hiperreales, y para ello tomaremos como modelo práctico de enseñanza el usado por Salat (1992).

Breve aproximación a las herramientas a utilizar

La principal característica de la recta hiperreal, que la distingue de la recta real, es la existencia y presencia de números infinitesimales y números infinitos. Los infinitesimales no solo aparecen en la recta hiperreal, si no también en cuerpos ordenados que no verifiquen la propiedad arquimediana. Damos a continuación una serie de definiciones que se requieren para la comprensión de la resolución del problema presentado.

Un número se dice que es infinitesimal (no cero), y lo notamos como i, si verifica que: |i| < 1/n para todo n natural. En este caso el recíproco ω = 1/i será un número infinito, esto es: |ω| > n para todo n natural. Recíprocamente, si un número ω tiene esta última propiedad, entonces 1/ω será un infinitesimal distinto de cero. Dados dos elementos x e y, diremos que son infinitamente próximos, en símbolos , si y solo si y = x + d para algún infinitesimal d (Goldblatt, 1998).

x ≈ y

Si ponemos todos los segmentos infinitesimales posibles sobre la recta numérica con un extremo en el origen, los otros extremos de estos segmentos determinarán una infinidad de puntos a la izquierda y a la derecha del origen; estos nuevos puntos solo podrán distinguirse del origen con la ayuda del microscopio y estarán más cerca del origen que cualquier número real. Al conjunto de todos estos números infinitesimales junto con el cero lo llamaremos mónada de cero. (Véase siguiente figura).

168 Manuel José Martínez-Santaolalla Martínez

Keisler (1976, 1994) representa los números infinitesimales y los números infinitos en

la recta geométrica con ayuda de dos metáforas: un “microscopio infinitesimal” y un “telescopio infinito” (respectivamente). La figura anterior correspondería al microscopio infinitesimal.

Por tanto, además de los números reales, tenemos en la recta numérica números de la forma x+i, donde x es un número real e i un infinitesimal. Será útil, dado un número, saber la mónada del número real en que se encuentra. Dado un número de la forma x+i o x–i, diremos que x es su parte estándar, y escribiremos: st(x+i) = x o st(x–i)=x.

También tendremos presentes las siguientes dos propiedades:

• La suma de dos infinitesimales es un segmento infinitesimal o cero; el producto de dos infinitesimales es un infinitesimal.

• El producto de un número real diferente de cero por un infinitesimal, es un infinitesimal.

Si tomamos la parte estándar de la rapidez instantánea de cambio de una función f(x) en x, en un intervalo infinitesimal (x, x+i) tenemos que la derivada de f(x) va a quedar de la

forma: ( ) ( ) ( ) ( )'( ) f x i f x f x i f xf x st stx i x i+ − + − = = + −

, donde i es un infinitesimal (no

cero). Traduciendo la expresión anterior, tenemos que la función f(x) o bien tiene un

máximo o un mínimo en x si ( ) ( )f x i f xi

+ − es un infinitesimal; o bien, si está en la

mónada de algún número real, es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x. Esto es, si la parte estándar de la expresión es cero, tendremos un máximo o un mínimo; si la parte estándar de la expresión es un número real, ese número real es la pendiente de la recta tangente.

Pero la expresión que hemos dado para la derivada puede someterse al siguiente

planteamiento: como ( ) (f x i f xi

+ − ) está en la mónada de , entonces podemos

escribir que

'( )f x

( ) ( ) '( )f x i f x f x ji

+ −− =

( ) '( )f x f x i ji+ +

para algún infinitesimal j. Despejando tenemos

que , luego el valor de la función en cualquier punto de la mónada de x se puede expresar como la suma de tres términos; uno, es el valor de la función en x; otro, la derivada de la función en x multiplicado por i; y el último, es un término que al dividirlo entre i da un infinitesimal.

( )f x i+ =

Observación histórica La noción anterior de pendiente se confronta con la definición que dio Leibniz de la

siguiente manera. Leibniz define la pendiente de la curva y = f(x) en (x, y) como dy/dx, donde dx es la diferencial de x y dy=f(x+dx)–f(x) la diferencial correspondiente de y. Así,


según Leibniz, [ ]'( ) ( ) ( )f x f x dx f x dx= + − . La formulación no estándar moderna es

renombrar esta última tal y como notamos [ ]{ }'( ) ( ) ( )f x st f x dx f x dx= + − . Por ejemplo, en el paso final del cálculo de la derivada de f(x)=x2, Leibniz identificaría 2x+dx con 2x, mientras que Robinson (1966) escribiría st(2x+dx)=2x. Esta identificación del cálculo de Leibniz con los números hiperreales y sus partes estándares, y en particular la identificación de los infinitesimales con cero, eran la causa de las dificultades lógicas de los infinitésimos en siglos anteriores. La herramienta “parte estándar” de Robinson reemplaza la necesidad de los límites.

Con este apartado queremos dejar clara la distinción del uso de los infinitesimales según el sistema numérico con que estemos trabajando. Mientras que en los números hiperreales (análisis no estándar) los infinitesimales son un número y nos puede interesar tomar su parte estándar, en los números reales (análisis estándar) el infinitésimo suele definirse como un límite de una variable tendiendo a cero.

¿Qué observación parece más intuitiva? Explicar a los alumnos y alumnas el paso al límite con la correspondiente definición de límite de una función en un punto donde entran en juego ε y δ; o por el contrario, explicarles que existen los números infinitesimales y que nos interesa tomar la parte estándar (la parte real). Aún no se han considerado completamente las posibles consecuencias que puede tener este hecho en la enseñanza.

Un problema de optimización

Con las herramientas descritas y los incisos mencionados, vamos a proceder a resolver un problema de optimización utilizando infinitésimos. Esto lo haremos bajo dos puntos de vista distintos: el geométrico y el operacional. Cabe decir que no nos preocupamos en esta comunicación de proponer un proceso de resolución para el problema, si no más bien de mostrar los anteriores significados de derivada con el sistema numérico hiperreal y la forma en que se puede resolver este problema. No obstante, el problema seleccionado aparece en Azcárate (1996, pág. 115) y allí se encuentra un proceso de resolución. El enunciado es el siguiente:

Si se dispone de 100 m. de cerca para cerrar un campo rectangular, ¿cómo debe hacerse si se desea que cierre un área máxima?

1) si se debe colocar cerca en los cuatro lados,

2) si un lado es un río, y basta con colocar la cerca en los tres lados restantes.

Por motivos de espacio solamente vamos a resolver la segunda cuestión que plantea este problema desde las dos perspectivas mencionadas.

Punto de vista geométrico

Llamemos x a la anchura del campo rectangular, el largo será 100–2x puesto que la cerca debe medir 100 m. Por lo tanto, el área del terreno en términos de su anchura vendrá dada de la siguiente manera: A(x)=x(100–2x)=100x–2x2. Es razonable suponer que si el área A(x) toma el valor máximo en x, entonces la pendiente de la recta secante que corta a la gráfica de A(x) en los puntos de abscisa x y x+i sea un infinitesimal. Observemos el siguiente gráfico:


2100 2x x−

2100( ) 2( )x i x i+ − +

x x+i

El valor máximo del área se obtiene en la cima de la curva y corresponde a un valor de x que deseamos encontrar. Si aumentamos el valor de x en una cantidad muy pequeña, i (infinitesimal), el valor del área prácticamente no cambiará. Es decir, como x y x+i están infinitamente próximos, deberá cumplirse la siguiente igualdad:

( ) (2 2100( ) 2( ) 100 2st x i x i st x x+ − + = − )

( )2

)

Realizando las operaciones y simplificando obtenemos,

( )( ) ( )

2 2

2

100 100 2 4 2 100 2

100 4 2 0 0

st x i x xi i st x x

st i xi i st

+ − − − = −

− − = =

Dividiendo por 2i en ambos miembros,

(50 2 0st x i− − = , con lo que 50 =0. 2x−

De donde, despejando x, tenemos que 50 252

x m= = .

Y si x=25 m. (anchura), el largo del campo rectangular tiene que ser 100 2(25) 50 .m− =

También podríamos haber ido trabajando directamente igualando las expresiones desde el principio sin tener en cuenta la parte estándar y haberla aplicado finalmente al resultado obtenido tras las operaciones y simplificaciones.

Punto de vista operacional

Desde esta perspectiva caben posibilidades de acción:

• Por definición de derivada teniendo en cuenta que la parte estándar debe ser cero para que tengamos máximo o mínimo.

La función área que queremos optimizar venía dada de la siguiente manera: A(x)=x(100–2x)=100x–2x2.


( ) ( )

( )

2 2

2 2 2 2

100( ) 2( ) 100 2( ) ( )'( )

100 100 2 2 4 100 2 100 2 4

100100 2 4 100 4 0 25 .4

x i x i x xA x i A xA x st sti i

x i x i xi x x i i xist sti i

st i x x x m

+ − + − −+ − = = + − − − − + − −

= =

= − − = − = ⇒ = =

=

=

2

• Por la expresión simplificada obtenida al final del apartado 2.

De acuerdo con la expresión simplificada de la derivada que dimos anteriormente tenemos que: . Operemos sustituyendo en nuestra función área: ( ) ( ) '( )A x i A x A x i ji+ = + +

( ) ( )

2 2

2 2

( ) 100( ) 2( ) 100 100 2 2 4

100 100 4 2

A x i x i x i x i x i xi

x x x i i

+ = + − + = + − − − =

= − + − −

Comparando expresiones tenemos que: y que j=–2i. El dato relevante es que la expresión de la función derivada es 100–4x, que ahora igualaremos a cero, obteniendo que x=25 m. (anchura), igual que en el caso anterior.

'( ) 100 4A x x= −

Y por tanto, el largo del campo rectangular será 50 m.

Conclusiones. Pretendemos haber mostrado con lo anterior que el análisis con infinitésimos

proporciona simplicidad algebraica, así como también, un carácter mucho más intuitivo y aparentemente de fácil acceso para los alumnos. Sin embargo, la representación geométrica de los puntos sobre una recta proporciona un considerable atractivo intuitivo a la recta real, hecho que aún no posee la recta hiperreal puesto que no poseemos un buen modelo para visualizar los infinitesimales cuando pensamos en ellos (Kossak, 1996).

¿Convendría enseñar el análisis vía métodos no estándar? Las respuestas posibles dependen de muchos factores. En general, los rasgos deseables de una teoría matemática son la claridad de sus conceptos, su apelación intuitiva, la belleza y la simplicidad de la teoría, y la fácil manipulación de su aparato técnico (Kleiner, 2001). Por estos procedimientos el análisis no estándar sería muy recomendable.

Según Artigue (1998) el análisis con infinitésimos (análisis no estándar) proporciona dos ventajas esenciales sobre el enfoque estándar:

1) que las definiciones pueden constituirse en verdaderas herramientas de trabajo para una persona que comienza su trabajo en análisis, y

2) que permite darse cuenta de intuiciones o de propiedades gráficas que muy difícilmente podrían expresarse en el nivel estándar.

Sería conveniente trabajar con distintos ejemplos y en distintos contextos, previamente seleccionados, para que los estudiantes también reconozcan estos métodos y suscitemos la expectativa para que estén deseosos de tolerarlos pero siempre a su debido tiempo. La claridad y el entendimiento deben surgir fuera de toda confusión.

En un nivel informal, los infinitesimales parecerían tener mucho más atractivo que los límites. Formalmente, la noción de infinitesimal está establecida en los hiperreales como la


noción de límite lo está en los reales; y también formalmente, los reales son apenas más “reales” que los hiperreales.

Debemos ser conscientes de que podemos trabajar en el desarrollo de un cálculo infinitesimal muy pegado a la concepción general que manejaban Leibniz y sus seguidores, usando, desde luego, los hiperreales, pero sin tomar en cuenta el problema de su fundamentación, es decir, utilizándolos como algo dado.

En este enfoque, la relación conceptual variable–función adquiere nuevos matices, se retoma la diferencial como cambio o incremento, se retoma la integral como suma, se da un nuevo enfoque al problema de existencia y unicidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales, se unifican ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, se da sentido matemático simple a la definición y manipulación de funciones como la δ de Dirac, etc. (Imaz, 1996).

Sentimos la necesidad de estudiar si está presente esta noción de infinitésimo en nuestras aulas, que tan natural parecía por el siglo XVII, donde se puede decir que resolver un problema era buscar un nuevo heurístico; y también sentimos la necesidad de tener presente que como profesores, podemos estar haciendo a veces alusiones (sin percatarnos de ello) en nuestras clases al concepto de infinitesimal o infinitésimo, y que debemos ser conscientes que este hecho tiene su firme formulación desde el sistema numérico hiperreal.

Bibliografía Artigue, M. (1998). “La enseñanza de los principios del cálculo: problemas

epistemológicos, cognitivos y didácticos”, en Ingeniería Didáctica en Educación Matemática: Bogotá, Universidad de los Andes, págs. 97–135.

Azcárate, C. y otros (1996). Cálculo diferencial e integral. Madrid: Editorial Síntesis, S. A.

Bell, J. L. (1998). A primer of infinitesimal analysis. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press.

Euler, L. (2000). Introducción al análisis de los Infinitos. Trad. J. L. Arantegui Tamayo. Durán Guardeño, A. J. y Pérez Fernández, F. J. (eds.). Sevilla: SAEM “Thales” y Real Sociedad Matemática Española. (Trabajo original, “Introductio in Analysin infinitorum”, publicado en 1748).

Goldblatt, R. (1998). Lectures on the Hyperreals: an introduction to non-standard analysis. New York: Springer–Verlag, Inc.

González Urbaneja, P. M. (2000). “De la cuadratura de la espiral a la cuadratura de parábolas: la integración Xk” en Carrillo, J. y Contreras, L. C. (Eds.): Resolución de problemas en los albores del siglo XXI: una visión internacional desde múltiples perspectivas y niveles educativos. Huelva: Hergué, Editora Andaluza.

González Urbaneja, P. M. (1992). Las raíces del cálculo infinitesimal en el siglo XVII. Madrid: Alianza Universidad.

Henle, J.M. (1999). “Non–nonstandard analysis: Real Infinitesimals”, en The Mathematical Intelligencer, vol. 21, nº 1. New York: Springer–Verlag, págs. 67–73.

Imaz, C. (1996). “Una alternativa teórica del cálculo”, en Hitt, F. (ed.). Investigaciones en Matemática Educativa I. México: Grupo Editorial Iberoamericana, págs. 17–26.

Keisler, H. J. (1976). Foundations of Infinitesimal Calculus. Boston: Prindle, Weber & Schmidt.


Keisler, H. J. (1994). “The hyperreal line”, en Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua. Ehrlich, P. (ed.). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, págs. 207–237.

Kossak, R. (1996). “What are infinitesimals and why the cannot be seen”, en American Mathematical Monthly, nº 103, págs. 846–854.

Robinson, A. (1966). Non-standard analysis. Amsterdam: North-Holland.

Salat, R. S. (1992). Cálculo Infinitesimal, Lecturas de Cálculo para Docentes de Ingeniería, nº 3. México: Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav–IPN.

175

NUEVAS TECNOLOGÍAS PARA LA ENSEÑANZA EN

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Alexander Maz, Mª del Pilar Gutiérrez, Rafael Bracho, Juan Reyes y Manuel Torralbo

Durante la década de los ochenta se produjo un inusitado auge en la investigación sobre resolución de problemas, esto repercutió en el fomento de incluir en la enseñanza de las matemáticas actividades que desarrollen en los alumnos capacidades de resolver problemas, prueba de esto se reflejó cuando el NCTM (1980) indicaba que la resolución de problemas debería ser el objetivo principal de la matemática en la década de los 80.

Más tarde en el informe Cockroft (1985) se recomendaba que la enseñanza en todos los niveles debería incluir entre otras cosas Resolución de Problemas, incluyendo la aplicación de matemática a situaciones de la vida cotidiana. El NCTM (1991) incluyó la resolución de problemas como uno de los estándares curriculares para la enseñanza de las matemáticas en todos los niveles, algunos de los objetivos que se pretenden con ello son:

• Generalizar soluciones y estrategias para situaciones de problema nuevas.

• Verificar e interpretar resultados en relación con la situación del problema original.

• Desarrollar y aplicar diversas estrategias para resolver problemas, haciendo hincapié en problemas de pasos múltiples y no rutinarios.

• Reconocer y formular problemas a partir de situaciones dentro y fuera de las matemáticas.

• Aplicar el proceso de formulación de modelos matemáticos a situaciones de problemas del mundo real.

En España este auge reporto innumerables libros, artículos y tesis doctorales que trataban sobre la resolución de problemas en los más variados niveles y aspectos matemáticos (como por ejemplo Rico, 1988; Puig, L. y Cerdán, F. 1988); Castro, 1994).

Recursos tecnológicos y enseñanza de las matemáticas La introducción de las nuevas tecnologías en la enseñanza va siendo cada vez más una

realidad en las instituciones educativas en todos los niveles, hecho que convierte su incorporación en los procesos de enseñanza en el aula en una necesidad para los profesores.

Bajo la denominación de Nuevas Tecnologías se consideran fundamentalmente las calculadoras, el ordenador, el vídeo, la radio y la televisión. Esta comunicación centra la atención en el ordenador, un soporte activo que fomenta el desarrollo del pensamiento lógico a través de la resolución de problemas y la capacidad de trabajo en cuestiones tanto

176 Alexander Maz et al.

abiertas como cerradas. Además, los ordenadores ofrecen una gran variedad de caminos para que tenga lugar un adecuado proceso de enseñanza-aprendizaje, así como una apropiada integración dentro del currículo escolar (Perraton, 2000). El NCTM (2000) indica que la tecnología es esencial en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, pues es una ayuda para el dominio matemático.

Por otra parte, los profesores no podemos olvidar que estamos educando a niños y jóvenes a los que podríamos llamar como la generación.com, en consideración a su intensa y continua interacción con los ordenadores e Internet; ante esto surgen aspectos cruciales para el profesor, cómo decidir ¿Cuál es el soporte tecnológico que permita mejores y fructíferas estrategias de enseñanza?

Debemos señalar que el profesor no tiene por que ser un experto en programación o en Internet, tan sólo debe tener la capacidad para decidir entre todas las ofertas tecnológicas cuál es la que mejor se adapta a su clase, tomando en consideración las características de su grupo, el nivel y los contenidos matemáticos. Algunos países han tomado conciencia de este hecho y llevan a cabo para los profesores programas de iniciación y uso de la tecnología en la escuela (Schawab & Foa, 2001); en nuestra comunidad autónoma la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales, se erige como abanderada del estimulo, fomento y patrocinio de proyectos, programas y todo tipo de actividades encaminadas a acercar las nuevas tecnologías al aula en los procesos de enseñanza de las matemáticas.

Como ejemplo de dicha actividad la sociedad Thales ha publicado dos Cds educativos para la enseñanza de las matemáticas. En el año 2001 publica Recreo Matemático. Actividades para el aula, de Rafael Bracho, esta fue la actividad ganadora del primer software educativo de la SAEM THALES, y en el año 2002 Tratamiento Interactivo de la Resolución de Problemas. 18 años de olimpiadas matemáticas “Thales” de Bracho, Reyes, Anillo y Torralbo.

Será el tema de esta comunicación, la presentación de este último programa en el que pueden observar las ventajas y beneficios que brinda como recurso a los profesores en la enseñanza de la resolución de problemas matemáticos en la Educación Secundaria Obligatoria.

El software “Un tratamiento interactivo de la Resolución de Problemas” El programa recopila la totalidad de problemas planteados en los 18 años de las

olimpiadas matemáticas de la Sociedad Thales; aporta una alternativa al tratamiento de la resolución de problemas aprovechando la potenciabilidad y recursos que brinda la multimedia.


Al inicio del programa aparece un menú principal, desde el cual se puede acceder a una introducción (donde se indica entre otras cosas el objetivo que pretenden los autores con este material educativo), a los problemas desde cuatro opciones: aleatoriamente, por bloques temáticos, por nivel de dificultad, o por el número de olimpiada; asimismo ofrece la oportunidad de ver algunos tratamientos metodológicos planteados por distintos autores. Veamos esta última opción metodológica:

Permite conocer los esquemas de Polya, Bransford y Stein, Gavilan, y Mason. Al elegir uno de ellos se despliega un esquema explicativo del mismo; de esta manera las distintas posturas teóricas pueden ser comparadas por los alumnos y así comprender que no hay una forma única de resolver un problema.


Veamos la opción “por bloques temáticos”: lleva a un submenú el cual da acceso a los problemas según seis bloques: números/medida, estadística/azar, geometría, lógica, álgebra, y funciones/gráficas. Seleccionamos geometría y vamos a una pantalla que nos ofrece 79 problemas agrupados en cuatro grupos, escogemos uno de ellos y aparece en pantalla un listado de problemas por nombres.

Escogemos el problema denominado la loseta, aparece una pantalla con el enunciado y una gráfica ilustrativa; al pinchar en solución se activan sucesivas imágenes que ilustran la solución, formulando preguntas de reflexión en cada paso.

Se indica que para este problema hay dos formas de resolverlo, escogemos la opción 2; se invita al alumno a intentar resolverlo o continuar a través de los menús.


En cada pantalla que aparece se avanza un poco en el planteamiento y al mismo

tiempo se plantean preguntas cortas.

Finalmente se llega a la solución y se brinda la opción de otra solución para el

problema para que de esta manera el alumno comprenda distintas formas de abordarlo.

Consideraciones finales

Con esta comunicación hemos mostrado uno de los muchos ejemplos de la utilización de las nuevas tecnologías, y en concreto del ordenador, para la enseñanza de las matemáticas.

Lo más interesante, no está solamente en el gran atractivo que de por sí tienen estos medios entre los estudiantes, sino que aportan una nueva forma de entender la metodología en la enseñanza de las matemáticas, donde el alumno cobra un papel más participativo, se incorpora el aspecto lúdico en las actividades y se anima a la búsqueda de otras posibles soluciones en la resolución de los problemas, lo que obliga al alumno a enfrentarse ante los ejercicios como un reto o un descubrimiento y no como simples ejercicios mecánicos.

Creemos que materiales de este tipo contribuyen a favorecer los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en el aula y pueden servir como una buena ayuda al profesorado de Secundaria en su labor docente.


Referencias bibliográficas Bracho, R. (2001). Recreo Matemático. Actividades recreativas para el aula. CD-ROM.

Sevilla: SAEM THALES.

Bracho, R.; Reyes, J. A.; Anillo, F., y Torralbo, M. (2002). Tratamiento interactivo de la resolución de Problemas. CD-ROM. Sevilla: SAEM THALES.

Castro, E. (1994). Niveles de comprensión en problemas verbales de comparación multiplicativa. Tesis doctoral. Universidad de Granada.

Cockroft, W. H. (1985). Las matemáticas si cuentan. Informe Cockroft. Madrid: M.E.C.

Nacional Council of Teachers of Mathematics. (1980). An agenda for action: recomendations for school mathematics of the 80s. Reston, Va: NCTM.

Nacional Council of Teachers of Mathematics. (1990). Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática. Sevilla: S.A.E.M. Thales.

Nacional Council of Teachers of Mathematics. (2000).Principles and Standards for School Mathematics.. Reston, Va: NCTM.

Perraton, H. (2000). Choosing techologies for education. Journal of Educational Media, Vol. 25, Nº 1, 31-37.

Puig, L. y Cerdán, F. (1988). Problemas aritméticos escolares. Madrid: Síntesis.

Rico, L. (dir.)(1988). Didáctica activa para la resolución de problemas. 6º nivel de E.G.B. Curso 86-87. Granada: Departamento de Didáctica de la Matemática-S.A.E.M. Thales.

Schwab, R., y Foa, J. L. (2001). Integrating techologies throughout our schools. Phi Delta Kappan. April. Pp. 620-624

181

OLIMPIADAS THALES

Juana Mª Navas Pleguezuelos

Las competiciones sobre problemas de Matemáticas tienen su origen en los comienzos del siglo XX. La más conocida, los "EOTVOS", se celebraba durante el primer cuarto del siglo. En el año 1.959 nacen unas OLIMPIADAS MATEMÁTICAS para alumnos/as de Enseñanza Secundaria que agrupaba a distintos países del Este de Europa (Bulgaria, Hungría, Polonia, Rumania, Checoslovaquia y las desaparecidas URSS y la República Democrática Alemana). En 1.967 empiezan a participar en las mismas algunos países occidentales.

Desde 1.964, bajo el patrocinio de la Real Sociedad Matemática Española, se viene celebrando en España una Olimpiada Nacional dirigida a los alumnos/as de C.O.U. En las últimas ediciones ha servido para seleccionar a los participantes españoles en la Olimpiada Matemática Internacional.

Este tipo de competiciones no se había organizado para estudiantes más jóvenes hasta el curso escolar 1.984-85, en el que la Sociedad Andaluza de Educación Matemática "THALES" puso en marcha la 1ª Olimpiada "THALES" con el propósito fundamental de que los chicos y chicas que entonces finalizaban sus estudios de E.G.B. o los que actualmente terminan el Primer ciclo de la E.S.O. fueran desechando la imagen de "coco" de la enseñanza que las Matemáticas han tenido tradicionalmente, mientras se adentran en el estudio y disfrute de esta disciplina.

Nuestra intención es contribuir a la popularización de las Matemáticas y a elevar el nivel de la educación matemática de chicos y chicas implicados durante el tiempo de celebración de las distintas fases en la tarea de resolver diversos problemas matemáticos.

Entre los objetivos que se pretenden alcanzar están:

Fomentar el desarrollo de una actitud positiva hacia las matemáticas, trasladando su natural dificultad a un estimulante desafío que proporcione la aventura del pensamiento y la creación.

Estimular la creatividad, la capacidad de decisión, el pensamiento divergente y la habilidad para enfrentarse a nuevas situaciones y a resolver problemas imprevistos.

Propiciar la participación de alumnos/as y profesores/as en actividades matemáticas complementarias al trabajo realizado en el aula.

Contribuir a la difusión entre el profesorado y el alumnado de aquellos aspectos de las Matemáticas más lúdicos y creativos.

Conocer y practicar estrategias heurísticas y destrezas convenientes para la resolución de problemas.

182 Juana Mª Navas Pleguezuelos

Realizar pruebas en las que se fomente el gusto por hacer matemáticas, evitando que la dificultad se convierta en sinónimo de rechazo, sino más bien en un desafío para la mente y como tal sean tomadas como un juego.

Favorecer, en la sociedad en general, una reflexión que posibilite el aprecio que las matemáticas merecen como instrumento de compresión del mundo actual.

Las Olimpiadas THALES de Secundaria. Se organiza en dos fases: provincial y regional.

La fase provincial consiste en la investigación de seis problemas, a propuesta de una comisión formada por los coordinadores/as de cada una de las provincias.

Además del contenido fundamental de la actividad, cada provincia programa una serie de eventos que se desarrollarán a lo largo de la mismo día y que tendrán como objetivo propiciar el disfrute de una jornada lúdica, en la que prime la convivencia de chicos y chicas en torno a la matemática.

La fase regional reúne a los cinco mejores clasificados de cada provincia más dos invitados de Ceuta y dos de Melilla. En dicha fase regional los alumnos y alumnas participantes conviven durante unos cuatro o cinco días, y se desarrolla una programación de actividades que además las pruebas individuales y por equipos, incluye excursiones, visitas y otros actos de carácter lúdico y cultural, destinados a conseguir los objetivos.

En esta 19ª edición la fase regional se celebrará en la capital granadina durante el mes de mayo de 2.003.

Desde aquí queremos pedir vuestra colaboración, tanto a nivel de animar a vuestros alumnos a que participen en una actividad que estamos convencidos aumenta su autoestima y favorece una actitud mucho más positiva hacia la actividad matemática. Baste decir que, aunque se seleccionan los cinco primeros clasificados para la fase Regional, abundando en nuestra intención, los veinte accésit que se otorgan, se entregan por orden alfabético, y en ningún caso se hacen públicas las puntuaciones obtenidas. A otro nivel de implicación, contactar con nosotros.

Como ejemplo de las situaciones problemáticas que planteamos a los participantes en las Olimpiadas, hemos seleccionado el siguiente problema que se presentó para su investigación en la fase provincial de la XVIII Olimpiada, celebrada el presente año.


Finalmente, nos gustaría presentar nuestras Olimpiadas de 6º de Primaria de las que este curso se celebrará la séptima edición.

El interés principal de esta actividad se centra en nuestro afán de Divulgación y popularización de las Matemáticas. Nos parece que estas actividades deben promoverse desde las edades más tempranas, para que de esta forma impliquemos a los más pequeños en el gusto por las Matemáticas y desechar la imagen negativa que tradicionalmente han tenido. Por eso, hace seis años, con la implantación de la LOGSE, y la adscripción de los maestros a Primaria y Secundaria, surgió la necesidad de recoger todos los esfuerzos que los maestros de octavo de EGB habían realizado para que las Olimpiadas fueran un éxito. En esta situación pensamos que plantear unas Olimpiadas para 6º de Primaria podría ser una forma excelente para seguir contando con el apoyo y el buen hacer de todos los que colaboraban con nosotros.

De esta forma, y teniendo conocimiento de otras experiencias similares decidimos poner en marcha las I Olimpiadas para 6º de Primaria en la provincia de Granada.

• Los objetivos que nos planteamos son:

• Fomentar entre los niños y las niñas la adicción por las Matemáticas.

• Contribuir a la mejora de la Enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas en la escuela.

• Apoyar la innovación en la forma de hacer Matemáticas.

• Propiciar la participación masiva de los estudiantes, maestros y profesores en las distintas fases.

• Favorecer las relaciones de amistad y conocimiento entre jóvenes de diversas localidades de nuestra provincia.

• Fomentar entre los estudiantes el gusto por las Matemáticas, así como presentar una visión de las mismas complementaria a la utilizada en el aula.

Las Olimpiadas de 6º de Primaria se celebran en su primera fase, la comarcal, simultáneamente con las Olimpiadas de 2º de Secundaria, con sedes en Baza, Granada capital, Guadix, Motril, Órgiva, y una fase final, con los equipos seleccionados en la fase provincial, que celebramos en Granada y cuyos resultados y premios damos a conocer al mismo tiempo que los finalistas para la fase Regional de dichas Olimpiadas de Secundaria. Los colegios que quieren participar pueden presentar un máximo de tantos equipos, formados por tres componentes, como grupos de 6º tengan.

Las pruebas recogen una serie de ejercicios, problemas y demás cuestiones que pretenden una reflexión sobre distintas situaciones problemáticas que intentan implicar todas las áreas del currículum de Matemáticas en Primaria.

Se hace más énfasis en el proceso de resolución que en el propio resultado final. No se puede utilizar la calculadora, pero sí se aconseja utilizar los instrumentos de dibujo y ser cuidadosos con la presentación.

Las pruebas se dividen en Prueba de Equipos, Prueba de Velocidad y Prueba de Relevos, en las dos primeras se trabaja en grupo, y en la última el trabajo es individual, aunque la colaboración del equipo es primordial.

La Prueba de Equipos, donde intentamos promocionar el trabajo cooperativo, tiene una duración de cuarenta minutos, repartidos en dos partes: cinco minutos para la lectura del problema y elaboración de las estrategias iniciales, y treinta y cinco minutos, para su


resolución. Esta prueba es una situación problemática en la que deben imbuirse como protagonistas y pensar, crear, hacer estimaciones y, si el tiempo lo permite, conseguir la resolución total. Se plantea como un problema adaptado para que su resolución no sea sólo un agregado de trabajos independientes, sino consecuencia de una puesta en común de pistas, estrategias, planificación y resultados que se vuelcan en una sola hoja de respuestas.

Prueba de equipos. Fase Final. VI Olimpiadas de 6º de Primaria.

AYUDA AL PUEBLO ARGENTINO

Los Consejos Escolares de tres centros educativos de una determinada localidad han decidido hacer una campaña denominada “AYUDA AL PUEBLO ARGENTINO” solicitando a sus alumnos que aporten ayuda económica y/o alimentos para enviar a Argentina. La dirección de los centros ha acordado que los alumnos de dos de los centros aporten alimentos, mientras que los alumnos del tercero de los centros entregarán dinero en efectivo.

Cada uno de vosotros será el alumno o alumna encargada en esta campaña en cada uno de los centros, y se coordinará con los otros encargados.

Como la población argentina necesita urgentemente recibir ayuda alimenticia, han decidido mandar por avión unos paquetes conteniendo los alimentos.

Los envíos por avión, para que se les pueda aplicar la tarifa más barata (más baja), deben ir en cajas cuyas medidas interiores son: 60 cm de ancho, 40 cm de largas y 35 cm de altas.

Sabemos que los paquetes recogidos tienen las siguientes dimensiones:

Tamaño del paquete de legumbres o de azúcar: 15 cm de ancho, 10 cm de largo y 5 cm de alto.

Tamaño del cartón de leche o de zumo: 20 cm de ancho, 8 cm de largo y 7 cm de alto.

De los 231 alumnos del Colegio de Ed. Infantil:

93 alumnos llevaron cada uno dos cartones de litro de leche y un paquete de kilo de legumbres, 126 alumnos llevaron cada uno un cartón de litro de zumo y dos paquetes de kilo de azúcar.

De los 476 alumnos del Colegio de Ed. Primaria:

47 alumnos llevaron cada uno un paquete de kilo de azúcar y dos cartones de litro de zumo, 84 alumnos llevaron dos paquetes de kilo de legumbres y 232 alumnos llevaron un cartón de litro de leche y otro de zumo.

De los 528 alumnos que hay en el Instituto de Ed. Secundaria:

Han colaborado 392 alumnos aportando cada uno distintas cantidades de dinero. Al hacer recuento de los importes entregados se han contabilizado las siguientes cantidades de billetes y monedas como se observa en la siguiente gráfica:


Recaudación en el IES

186240175220

620

342

8712143

0100200300400500600700

0,05 €

0,10 €

0,20 €

0,50 €

1,00 €

2,00 €

5,00 €

10,00 €

20,00 €

valor en euros

cant

idad

de

mon

edas

y

bille

tes

Es decir, de 20 euros hay 43 billetes....

CUESTIONES:

1. Realiza una tabla en la que aparezca el número de alumnos de cada uno de los centros que han colaborado en la campaña “AYUDA AL PUEBLO ARGENTINO”.

2. Señala, en la misma tabla, el número de alumnos de cada centro que no ha participado.

3. Indica:

- El número de paquetes de kilo de alimentos se han recogido en la campaña.

- El número de cartones de litro de leche.

- El número de cartones de litro de zumo.

4. Realiza una tabla, a partir de la gráfica, que te ayude a calcular el importe total en euros que se ha recogido en el Instituto de Educación Secundaria.

5. Calcula la aportación media, expresada en euros, de los alumnos del instituto.

6. Calcula el número de cartones de litro de leche caben en una caja.

7. Indica cuántos paquetes de legumbres tienes que poner para llenar una caja.

8. Calcula la cantidad mínima de cajas que se necesitarán para enviar todos los alimentos recogidos.

9. Si la compañía aérea cobra 1’5 € por cada caja enviada y ese importe hay que pagarlo del dinero recaudado, ¿cuál será la cantidad de euros que finalmente se podrá enviar a Argentina?

La Prueba de Velocidad, que consta de 5 ejercicios, se resuelve también en equipo, pero el tiempo de realización de cada ejercicio se limita a cinco minutos. Los ejercicios que se proponen en esta prueba tienen una amplia serie de respuestas.


LOS MÓVILES DE ANA ORIGAMI.

A Ana Origami también le gustan los móviles, por lo que propone hacer móviles de pajaritas de papel de colores. El móvil se construye poniendo una pajarita atada al extremo de un alambre, para que al suspenderlo por el centro quede en equilibrio. Una vez completado un alambre, se puede poner en equilibrio con otro, suspendiendo ambos del extremo de otro alambre. Esto se puede seguir siempre que no se rompa el equilibrio. Si se añade una pajarita en el centro de un alambre no se pierde el equilibrio de ese alambre, pero si con este alambre se continúa habrá que compensar el peso de la pajarita del centro.

Dibujar varios diseños de móvil, en el que quepan 5, 6, 7 y 8 pajaritas, y que estén en equilibrio.

La Prueba de Relevos, que consta de 8 ejercicios, se trabaja de forma individual, si bien cada equipo trabaja sobre la misma resolución de los ejercicios, cinco minutos cada componente del equipo en cada vuelta, con un minuto de intercambio de información de lo realizado, totalizando dos vueltas por la mesa de trabajo. Todos los ejercicios que se entregan permanecen en la mesa de trabajo hasta el final, estén o no terminados.

BLANCO Y NEGRO:

¿Este conjunto es más blanco que negro o más negro que blanco? Justifica la respuesta.


Las pruebas se han ido modificando durante estos cuatro años en aquellos aspectos que se ha visto necesario, tanto en cuanto a la organización del tiempo, por ejemplo, la duración de debate en la prueba de equipo, que ha pasado de 10 a 5 minutos, mientras que el tiempo de resolución se ha ampliado de 30 a 35 minutos, como en el número de ejercicios en la prueba de velocidad que ha pasado de 6 ejercicios a 5. Respecto a las situaciones problemáticas que se plantean, estamos consiguiendo que vayan en consonancia con la participación por equipos, y con todo lo que ello conlleva de trabajo cooperativo.

189

ANÁLISIS DE LAS ESTRATEGIAS A UTILIZAR EN LA

RESOLUCIÓN DEL “PROBLEMA DE LOS APRETONES DE MANOS”.

María Peñas Troyano, [email protected]

Introducción La importancia de la resolución de problemas en el aula de matemáticas no es tan sólo

un principio deseable sino que debe de convertirse en una realidad a tener en cuenta en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. En los diferentes documentos curriculares se destaca como un objetivo general “reconocer y plantear situaciones en las que existan problemas susceptibles de ser formulados en términos matemáticos, utilizar diferentes estrategias para resolverlos y analizar los resultados utilizando los recursos apropiados”(Junta de Andalucía, 2002). Este objetivo surge de una necesidad consensuada en la comunidad de educadores matemáticos, que perciben la resolución de problemas como un campo de trabajo con autonomía propia y al que debe darse una especial relevancia. Los Estándares del NCTM (1989, 2000) recogen la resolución de problemas como uno de los ejes del currículo. Destacan que la enseñanza de las matemáticas debería centrarse en la resolución de problemas como parte de la comprensión de las matemáticas:

• construyendo nuevo conocimiento matemático mediante el trabajo con problemas

• desarrollando la disposición para formular, representar, abstraer, y generalizar en situaciones sin y con matemáticas.

• aplicando una gran variedad de estrategias para resolver problemas y adaptar las estrategias a nuevas situaciones

• guiando y reflexionando sobre el pensamiento matemático en la resolución de problemas (NCTM, 2000).

Esta comunicación pretende poner de manifiesto la potencialidad de la resolución de problemas y justificar la relevancia como tema independiente y articulador de los diferentes campos de la matemática. Para ello trabajaremos sobre un problema conocido, el problema de los apretones de manos.

Estrategias para la resolución de problemas. La importancia de la resolución de problemas plantea una nueva cuestión: cómo

resolver problemas. En la literatura encontramos estudios sobre estrategias que ayudan al estudiante cuando éste tiene que enfrentarse a un problema matemático (Polya, 1982; Mason, Burton y Stacey, 1988; Brandsford y Stein, 1993). Estos trabajos muestran diversas formas de afrontar el problema y de actuar de acuerdo al contexto. Entre las distintas estrategias que encontramos sobre resolución de problemas en matemáticas podemos destacar las siguientes:

190 María Peñas Troyano

POLYA (1982):

Comprender el problema estableciendo cuál es la meta y los datos y condiciones de partida.

Idear un plan de actuación que permita llegar a la solución conectando los datos con la meta.

Llevar a cabo el plan ideado previamente.

Mirar atrás para comprobar el resultado y revisar el procedimiento utilizado.

MASON, BURTON Y STACEY (1988)

Abordaje: Comprender el problema / Concebir un plan

Ataque: Llevar a cabo el plan

Revisión: Reflexión sobre el proceso seguido. Revisión del plan

BRANDSFORD Y STEIN (1993)

Identificación del problema

Definición y representación del problema.

Exploración de posibles estrategias.

Actuación, fundada en una estrategia.

Logros. Observación y evaluación de los efectos de nuestras actividades

Vamos a utilizar el modelo de Mason, Burton y Stacey (1988) para analizar las posibles soluciones del problema elegido.

Planteamiento del problema y estrategias de resolución.

Problema:

¿Cuántos apretones de manos debemos dar al saludar si nos encontramos “n” amigos?

Este problema tiene características similares al de hallar el número de partidos que disputan “n” equipos de una liguilla de fútbol.

García (2002) nos presenta otros problemas análogos:

• “Se construye una carretera para comunicar un par de ciudades. ¿Cuántas carreteras se construirán si se quiere comunicar 12 ciudades y cada carretera puede comunicar sólo 2 ciudades?

• Pedro y 6 amigos pasaron un día en el parque de atracciones. Al final del día decidieron emparejarse para subir a la montaña rusa. Cada amigo se montaría con los otros una y sólo una vez. ¿Cuántos viajes deberían hacer?

• En una estación ferroviaria se venden tantos billetes distintos como estaciones a las que se puede acceder desde ella. Desde cada una se accede a todas las demás; se abren nuevas estaciones y ello obliga a imprimir 34 nuevos billetes. ¿Cuántas estaciones había? ¿Cuántas se han inaugurado?”

Consideraremos como una estrategia posible que podemos emplear en la búsqueda de una solución al problema, el resolver un problema análogo. En nuestro caso vamos a considerar “la búsqueda de las diagonales de un polígono de n lados”.


C D C

A B A A B B

2 PERSONAS 3 PERSONAS

Además consideraremos un problema más simple, ya que no tomaremos en cuenta las aristas del polígono que también serían apretones.

Ante este nuevo problema podemos empezar a contar diagonales y para ello podríamos utilizar diversos métodos:

• Contar sistemáticamente las líneas nuevas, que parten desde cada punto (vértice).

• Multiplicar y hallar la mitad (líneas de cada punto - número de puntos 1/2).

• Contar desde un ángulo diferente: contar líneas saltando puntos. (Líneas que se forman si se salta un punto, líneas que se forman si se saltan dos puntos...).

• Buscar patrones (inducción).

La mejor manera de empezar es abordar un problema concreto y probar con algunos casos particulares.

El menor polígono que puedo construir tiene 3 lados (triángulo), así que comienzo con él viendo el número de diagonales que posee.

Denotaré: n = número de lados del polígono, d = número de diagonales.

n=3

0

n=4

2

n=5

5

n=6

9

n=7

14

n=8 … …

4 PERSONAS

Organizar la información por medio de tablas es también una estrategia que puede ayudar a la resolución del problema, así como utilizar representaciones diversas (imágenes, diagramas, símbolos, notación,...), lo que permitan la visualización y simplificación del problema.

En nuestro caso, otra forma de representar los gráficos puede consistir en considerar sólo los vértices del polígono, con lo que tendríamos polígonos estrellados.


Si trazamos las diagonales siguiendo un orden nos damos cuenta de:

n Conteo Total Diagonales Lados + Diagonales 3 0 0 3 4 1+1 2 6 5 2+2+1 5 10 6 3+3+2+1 9 15 7 4+4+3+2+1 14 21 … … … ... p

Generalizar constituye el verdadero nervio de la matemática. El proceso de generalización comienza en cuanto se intuye un cierto esquema general subyacente, aunque todavía no se pueda expresar claramente (Mason, Burton y Stacey, 1988).

Luego, para generalizar es necesario conjeturar:

p (p-3)+(p-3)+(p-4)+(p-5)+…+1 (p-3)+(p-3) + p 4

i 1i

−

=∑

(p-3)+(p-3)+ = p+p-3-3+ = 2p-6+ =2p-6+p 4

i 1i

−

=∑

p 4

i 1i

−

=∑

p 4

i 1i

−

=∑ ( ) ( )p 4 1 p 4

2− + − = =2p - 6

+ ( ) ( )p 3 p2

− − 4 = 2p - 6 + 2p p 3p 1+4

2− − 2 =

212 p 4p 3p 122

− + − − +4p =

( )2 p pp 3p2 2−

=3−

En la resolución de un problema es importante comprobar cualquier intuición con algunos ejemplos (particularización), así como comprobar inmediatamente los cálculos o razonamientos hechos y si tu solución resuelve, de hecho, el problema planteado.

En nuestro caso, probamos si funciona para un número de términos conocido:

n Fórmula Diagonales 3 4 5 6

… p

3(3 3) 3 0 02 2− ⋅

= =

( )4 4 3 4 1 22 2− ⋅

= =

( )5 5 3 5 2 52 2− ⋅

= =

( )6 6 3 6 3 92 2− ⋅

= =

… ( )p p 32−

0 2 5 9

…


Podemos llegar a esta fórmula de otra forma, mediante la utilización de gráficos, representando los primeros puntos gráficamente y buscando la curva que mejor se aproxima a estos puntos. Parece que es una función cuadrática, por lo que ajustamos:

f(p)= ( )p p 32− =

2p 32− p

Veamos ahora otra forma de hallar las diagonales de un polígono utilizando la estrategia de organizar la información y utilizar tablas. En este caso elaboramos una tabla con las diferencias entre el número de diagonales de un polígono de n lados y el número de diagonales del anterior (n-1 lados).

n d Diferencias

3

4

5

6

7

…

n-1

n

0

2

5

9

14

…

dn-1=( ) ( )n 1 n 4

2− −

dn=( )n n 32

⋅ −

2-0=2

5-2=3

9-5=4

14-9=5

20-14=6

…

n-2 (*)

n-1 (*)

(*) 2 2n(n 3) (n 1)(n 4) n 3n (n 4n n 4) 2n 4 n 22 2 2 2

− − − − − − − + −− = = = −

Observamos que el número de diagonales de un polígono de n lados= (Número de diagonales de un polígono de lados n-1) + (n-2) ⇒ dn = dn-1 + (n-2)

Lo comprobamos en los primeros términos:

n dn = dn-1 + (n-2) d

3

4

5

6

7

…

n-1

n

0

0+(4-2)

2+(5-2)

5+(6-2)

9+(7-2)

…

dn-1

dn = dn-1 + (n-2)

0

2

5

9

14

…


Si n=10⇒d10=d9+(10-2)=d9+8=(d8+7)+8 =(d7+6)+7+8= (d6+5)+6+7+8 =…= (d3 + 2) + 3 + 4 + … + 8 = d3+ (2 + 3 + …+ 8) = d3+

( )8

3i 2

8 2 7 70i d 0 32 2=

+= + = + =∑ 5

Y por la fórmula:

d10= 10(10 3) 10 7 70 352 2 2− ⋅

= = =

Esto mismo podría verse con una tabla del siguiente tipo:

Nº lados 3 4 5 6 7 8 …

Diferencias 2 3 4 5 6 7 …

Nº de diagonales

0 2 5 9 14 20 27 …

Las flechas indican la suma del número de diagonales con las diferencias situadas en la vertical en dicha tabla y que da como resultado el número de diagonales del polígono siguiente (ej. 0 diagonales en tres lados + 2 diferencias = 2 diagonales en cuatro lados).

Otra forma de expresarlo, utilizando las diferencias:

Lados Diagonales

3 4 5 6 7 8 … 0 2 5 9 14 20 …

1ª Diferencias 2 3 4 5 6 2ª Diferencias 1 1 1 1

Entonces ha sido generado por una expresión de segundo grado f(x)=ax2+bx+c.

Si x=3 ⇒ 9a+3b+c= 0

Si x=4 ⇒ 16a+4b+c= 2

Si x=5 ⇒ 25a+5b+c= 5

Resolviendo el sistema: a=1/2, b=-3/2, c=0.

Entonces: 1/2 x2 - 3/2 x +0 = 2x 3x x(x 3)2 2−

=− Luego la siguiente función permite

obtener el número de diagonales de un polígono de n lados: f(n)= n(n 3)2− .

Hemos resuelto ya el problema de las diagonales, pero nuestro problema inicial era el de los apretones de manos. Debemos volver a él eliminando las restricciones que hemos realizado al resolver el problema de las diagonales. Basta con sumar el número de lados al número de diagonales:

Polígono Lados+Diagonales Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono . n-ágono

3 6 10 15 21 . n(n 1)

2−


El número de apretones de manos entre n amigos vendrá dado por la siguiente función

f(n)= n(n 3)2− +n=

2 2n(n 3) 2n n 3n 2n n n n(n 1)2 2 2

− + − + − −= = = 2

Otra posibilidad para resolver un problema matemático es APLICAR FÓRMULAS MATEMÁTICAS. En este caso nuestro problema puede resolverse por combinatoria:

2n

n! n(n 1)C (n 2)!2! 2−

= =−

García (2002) presenta una resolución que hizo un alumno de 13 años. Se observa que el alumno utiliza diversas representaciones, organización de la información (tablas), particulariza, conjetura, comprueba y generaliza.

“Para resolver el problema de los apretones realizó la siguiente tabla en la cual P1 es la persona 1, P2 es la persona 2 y P3 es la persona 3. Con 3 personas hay 3 saludos.

P3 3-1 3-2 NO P2 2-1 NO NO P1 NO NO NO P1 P2 P3

En una reunión hay 4 personas. Con cuatro personas hay 6 saludos.

P4 4-1 4-2 4-3 NO P3 3-1 3-2 NO NO P2 2-1 NO NO NO P1 NO NO NO NO P1 P2 P3 P4

Ahora busca una ley, para lo cual hace el número de saludos sin necesidad de realizar una tabla. En el caso más sencillo puede realizar la siguiente ley: (3-1)+(3-2)=3 saludos

Puesto que en este caso es cierta, la pone en práctica para el siguiente caso: (4-1)+(4-2)+(4-3)=3+2+1=6 saludos.

En el caso 5: (5-1)+(5-2)+(5-3)+(5-4)=4+3+2+1=10 saludos, lo que comprueba nuevamente con una tabla.

P5 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 P4 4-1 4-2 4-3 NO NO P3 3-1 3-2 NO NO NO P2 2-1 NO NO NO NO P1 NO NO NO NO NO P1 P2 P3 P4 P5

Luego ya tiene la ley: Si hubiera n amigos sería (n-1)+(n-2)+...+(n-x)=y saludos.”

Conclusiones. En la resolución de este problema hemos podido observar las posibilidades que ofrece

la resolución de problemas para el trabajo en los diferentes campos del conocimiento matemático. El problema elegido se presta a utilizar diversas estrategias para resolverlo, pero también que se trabajen diversos temas como Aritmética, Geometría, Funciones y Estadística. Este hecho está en consonancia con la consideración de la resolución de problemas como un eje curricular que permite la relación entre los diferentes temas de las matemáticas escolares.


Además se observa como la resolución de problemas implica la exploración del contexto más allá de lo que explicita el enunciado, la creación de formulaciones alternativas o la interpretación y clarificación de lo que se proporciona (Abrantes, 2002). La enseñanza de las matemáticas debe desarrollar la capacidad de resolver problemas, razonar y comunicar matemáticamente, y al mismo tiempo estimular la apreciación del valor de las matemáticas y la confianza de los alumnos y alumnas para que participen en actividades relacionadas con ellas.

Si consideramos que “aprender matemáticas es esencialmente hacer matemáticas” (NCTM, 1989) la resolución de problemas adquiere una importancia decisiva.

Bibliografía. Abrantes, P. (2002) El papel de la resolución de problemas en un contexto de innovación

curricular. En P. Abrantes y otros: La resolución de problemas en matemáticas. (pp. 95-110). Barcelona: Graó.

Bransford, J.D. y Stein, B. S. (1993) Solución ideal de problemas. Barcelona: Ed. Labor

García, J.E. (2002) Ideas, pautas y estrategias heurísticas para la resolución de problemas. En P. Abrantes y otros: La resolución de problemas en matemáticas. (pp. 111-130). Barcelona: Graó.

Junta De Andalucía (2002). Decreto 148/2002, de 14 de mayo, por el que se modifica el Decreto 106/1992, de 9 de junio, por el que se establecen las enseñanzas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria en Andalucía.

Mason, J.; Burton, L. y Stacey, K. (1988) Pensar matemáticamente. Barcelona: Ed. Labor

National Council Of Teachers Of Mathematics (1989) Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston: NCTM

National Council Of Teachers Of Mathematics (2000) Principles and standards for school mathematics: Discussion craft. Reston: NCTM

Polya, G. (1982) Cómo plantear y resolver problemas. México: Ed. Trillas

197

¿CUÁNTO DE INGENIO HAY EN UN PROBLEMA DE

INGENIO?

Rafael Ramírez y Santiago Morales

Esta comunicación contiene las experiencias y reflexiones recogidas en un aula de matemáticas de 4º de ESO, en la que los alumnos debatieron la cuestión ¿cuándo podemos decir que la resolución de un problema es ingeniosa? Veremos, a la luz de algunos casos prácticos, que la calificación de un problema como “de ingenio” es una tarea relativa al aprendizaje y depende, en su mayoría al conocimiento de estrategias previamente adquiridas.

No pretendemos que esta comunicación resuelva ninguna cuestión, ni tan siquiera daremos una definición de problema de ingenio. Nuestro objetivo es compartir la reflexión que estos alumnos hicieron sobre este tema, por lo que seguiremos las pautas marcadas por ellos. Así, nuestra propia definición de problema de ingenio viene determinada por las cualidades atribuidas por ellos a este tipo de ejercicios:

• Desconocimiento de la técnica a utilizar para resolverlo: (“¿De qué tema es este problema? ¿es con logaritmos o de inecuaciones?”. “¿Es de la x”?).

• Rapidez y resolución óptima en cuanto al número de operaciones: (“Este problema yo sé hacerlo con menos pasos”. “... Responde rápidamente: ¿en que lugar te quedas en una carrera si adelantas al segundo?, dilo ya”.).

• Utilización de las “menos matemáticas posibles”: (... “las matemáticas son un rollo, pero estos problemas si me gustan”.)

• La satisfacción del que lo resuelve y la admiración provocada en los que no han sabido resolverlo: ( “... qué tontería de problema. ¿Así se resolvía? ¿Cómo has caído en eso?)

Partiendo de estas consideraciones, y siguiendo el espíritu de la frase del matemático inglés John Edensor Littlewood: “Un buen pasatiempo matemático vale más y aporta más a la matemática, que una docena de artíclos mediocres”, elaboramos en el aula la actividad que describimos a continuación, teniendo siempre presente: ¿se puede enseñar a ser ingenioso?

El taller de ingenio: Seleccionamos 44 problemas de ingenio de los libros citados en la bibliografía y

siguiendo los criterios y clasificación que expondremos más adelante. Cada alumno de los interesados, unos 19, eligió, según sus preferencias, varios de estos “juegos” sin conocer la solución. En el plazo de dos semanas deberían entregar el juego en una cartulina procurando exponerlo de una forma atractiva, ya que formaríamos un taller el día de la fiesta del colegio en el que participarían los alumnos desde 1º de E.S.O. hasta 2º de

198 Rafael Ramírez y Santiago Morales

Bachillerato. La solución, entregada aparte, se colocaría independiente del juego. Si no llegaban a resolver el problema en la primera semana se les explicaría la forma de hacerlo.

Durante estas dos semanas, al resto de las clases, se les motivó para participar en el taller, dejando propuestos algunos de los juegos que se iban a exponer.

Figura 1

Clasificación de los juegos del taller: Los 44 problemas eran de muy diferentes estilos, por lo que una buena clasificación

necesitaría de unas definiciones más estrictas pero, en rasgos muy generales, distinguimos los siguientes tipos, en los que especificamos el número de problemas que lo formaban y un ejemplo:

• Optimización. Resolverlo con el menor número de pasos. (Problemas 42,40,25,13,18 y 32). 42-“ ¿Eres capaz de, en tres minutos, tostar las tres tostadas por los dos lados de la misma teniendo en cuenta:

- la tostadora sólo admite dos rebanadas

- sólo tuesta una cara

- el proceso de tostar dura un minuto

- para tostar la otra cara de la rebanada hay que darle la vuelta?”

• Combinatoria. Contar. Probabilidad. Operaciones. Realizar algunos cálculos un tanto particulares. (Problemas 19,33,36,5,6,15 y 4). 15- “ ¿Eres capaz de sumar 1000 con ocho ochos”

• Lenguaje. El ingenio está en el lenguaje usado en el problema. (Problemas 20,1 y 4) 20- “¿Conoces alguna palabra de más letras que adiós que también este ordenada alfabéticamente?”

• Geométricos. Usan algún concepto geométrico en su planteamiento. (Problemas 37,41,17,26,22,44,11,27,9,38,3,35) 22- “Coloca 10 soldados formando cinco filas de cuatro soldados cada una”.

• Topológicos. Manipulativos. Usan alguna propiedad topológica.(Problemas 7,39,15,18,43). 18- “Curva de Jordan. Dado un punto en un plano, ¿sabes cuándo está dentro o fuera de una curva cerrada?”

• Lógicos. Es necesario algún argumento lógico para su resolución. (Problemas 31,24,23,2,29 y 28). 23-”Un cofre contiene un tesoro, otro una bomba


y otro está vacío. Sólo la frase del cofre que contiene el tesoro dice la verdad. ¿Podrías encontrar el tesoro si estas son las frases que aparecen en los cofres?

- Primer cofre: El tercero está vacío.

- Segundo cofre: El primero está vació.

- Tercer cofre: El segundo tiene una bomba.”

• Otro punto de vista. Es necesario “ver” el problema de una forma distinta a la habitual. (Problemas 12,30,2,34 y 10) 10- “Construye con seis cerillas cuatro triángulos equiláteros”

Colocación de los juegos en el taller Como nuestro objetivo principal era detectar qué estrategias aprendidas influían en la

resolución de determinados problemas, consideramos de gran importancia el orden en el que los juegos eran expuestos, ya que dentro de un mismo tipo, el conocimiento de la solución de uno de ellos podría ser la clave para resolver el siguiente. Por lo tanto, según nuestra definición, éste dejaba de ser de ingenio.

Figura 2

¿Es resolver una ecuación de segundo grado una solución ingeniosa? “La primera vez cuando la inventaron fue genial, pero ahora como aplicamos alguna formula deja de serlo”. Quedó patente, en esta respuesta dada por un alumno, el papel que en nuestra investigación matemática asume la invención de nuevas técnicas, por lo que cada alumno debería colocar su juego “lejos” de alguno que diera pistas sobre su resolución.

Veamos, con dos parejas de juegos, como el ingenio de uno de ellos desaparece conocida la estrategia de la resolución de otro.

Ejemplo 1

“Del siguiente dibujo se conoce que el radio de la circunferencia es 5 metros. ¿Podrías calcular la longitud de la figura señalada?”


Si conocemos la estrategia del siguiente problema, la resolución parece un poco más

fácil.

“Del siguiente dibujo se conoce que el radio de la circunferencia es 5 metros. ¿Podrías calcular la longitud del segmento señalado?”

Nuestra solución “ingeniosa” para el segundo problema es: 5 metros porque:

Por lo tanto, la solución “ya nada ingeniosa” al primer problema es: 20 metros porque:

Ejemplo 2

“¿En qué se basa el orden en el que se han dispuesto estos 10 números?

0, 5, 4, 2, 9, 8, 6, 7, 3, 1, __?

Si conocemos la solución del siguiente, nos ayudará:

“Cuál es el siguiente número en la siguiente sucesión:

2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ___?


La solución ingeniosa del segundo es:

“Dos, Diez, Doce, Dieciséis, Diecisiete, Dieciocho, Diecinueve, Doscientos”

Por lo que la solución, ya “menos ingeniosa” de nuestro primer problema sería:

“Cero, Cinco, Cuatro, Dos, Nueve, Ocho, Siete, Tres, Uno, Veinte (o cualquier número que siga el orden alfabético)”

Además de estas estrategias, encontramos técnicas usadas en la resolución de problemas como son: reducción al absurdo y otros razonamientos lógicos, análisis de todos los casos posibles, buscar contraejemplos, mejorar una solución conocida, generalizar casos particulares... por lo que las estrategias adquiridas al ir descubriendo las soluciones aportaba al alumno un lenguaje y una cultura “ingeniosa” que le ayudaba para afrontar los siguientes juegos.

Conclusiones La participación en el taller fue considerable y una actividad en el que los alumnos

jugaron aprendiendo, por lo que la valoración ha sido positiva. Además, destacamos algunas conclusiones:

• Se experimentó un aumento progresivo de la capacidad para la resolución de problemas, mediante el conocimiento de nuevas técnicas.

• Se produjo un acercamiento a las técnicas de investigación matemática: ¿cuándo un problema se puede resolver y, cuándo no se puede, cómo demostrarlo?

• Aumentó la motivación para preparar las Olimpiadas Matemáticas, ya que los problemas que aquí aparecen cumplen nuestra definición de “ingeniosos”

• Participaron alumnos que presentan dificultades en la asignatura de matemáticas pero a los que les gustan este tipo de actividades.

• Se cambió la palabra problema por la de juego.

• El profesor aprende soluciones nuevas y más ingeniosas que las propuestas.

Finalmente, nos gustaría terminar esta comunicación dejando abiertas algunas preguntas, cuyas respuestas bien pueden ser consideradas verdaderas pruebas de ingenio, ya que cumplen muchas de las características de la definición que hemos utilizado.

- ¿Es el profesor el menos ingenioso ya que conoce más estrategias?

- ¿Se puede enseñar o aprender a ser un genio?

Bibliografía Rus, C., Rus, F. y Rus, J. Ponte a prueba. Delegación del Excmo. Ayuntamiento de

Lucena.

Calendario matemático de la Societat d´Educació Matemática de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”. Editorial S.M.

Mark, F. Creaciones y trucos con palillos y cerillas. Ediciones Altosa

Gardner, M. Nuevos pasatiempos matemáticos. Ed. Alianza


Gardner, M. Matemática para divertirse. Ediciones Granica.

Revista QUO. 101 juegos de ingenio

Grath, R. Ingenio, trucos de mesa y acertijos. Ediciones Altosa

Figura 3 y 4

203

LA ELABORACIÓN DE PAQUETES DIDÁCTICOS PARA

LOS CURSOS DE MATEMÁTICAS

Blanca Ruiz Hernández (ITESM, Campus Monterrey), Pedro Ortega Cuenca (CECyT 11), José Luis Torres Guerrero (CECyT 7)

Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior, Instituto Politécnico Nacional de México

[email protected], [email protected]

El Proyecto ‘Paquetes Didácticos para los cursos de Matemáticas’ de la Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior del Instituto Politécnico Nacional de México (AIM-NMS-IPN) tiene como propósito dotar al profesor y al estudiante de materiales de calidad, elaborados usando el conocimiento generado por las investigaciones y aplicado de manera sistemática, que les permitan trabajar conjuntamente para lograr los objetivos institucionales del área de matemáticas. Estos objetivos se conciben como la dimensión matemática de las Competencias Básicas de los Estudiantes de Bachillerato y la formación para el trabajo. El paquete didáctico es un conjunto de materiales que concretan operativamente los cuatro organizadores del currículo: objetivos, contenidos, metodología y evaluación. En particular, las estrategias didácticas y metodológicas, los conocimientos matemáticos y los elementos teóricos para ampliar la cultura matemática de los estudiantes.

Para el diseño del paquete se consideran el marco institucional y algunos estándares, tanto nacionales como internacionales. Se define una gama de experiencias de aprendizaje congruente con las competencias que ahí se establecen. Los materiales necesarios para lograr los ambiciosos objetivos de la educación actual son complejos y requieren de un profesor con una cultura profesional, capaz de aprovechar creativamente el sustento técnico que proporciona el conocimiento profesional, principalmente el que proviene de los resultados de la investigación en educación matemática. Una parte fundamental del proyecto corresponde, entonces, a la familiarización y capacitación del profesor en el manejo del paquete. Diversas son las estrategias que se consideran para darle viabilidad a los paquetes. La primera se refiere a la comunicación permanente con los grupos académicos de las escuelas mediante sus representantes en el cuerpo académico rector. La segunda pasa por la formación de núcleos en cada escuela que promueven y asesoran a los profesores interesados durante la instrumentación de las guías. Una tercera es la Red de Interacción Académica (RIA) que ha comenzado a operar en internet. La capacitación de estos núcleos se realiza en un taller que se diseña específicamente con este fin. Los profesores participantes en este taller se prepararan para coordinar los talleres que se realizan en las distintas zonas del área metropolitana, primero, y según la demanda de las academias, después. La evaluación que se hace, tanto del paquete como de su instrumentación, permite aprovechar la experiencia para mejorar el material y su uso.



204 Blanca Ruiz, Pedro Ortega y José Luis Torres

Bogue y Saunders hacen una adaptación de los elementos de la ingeniería de la calidad al campo de la educación. Definen la calidad como «la conformidad con la misión especificada y el logro de los objetivos, dentro de estándares públicamente aceptados y en un contexto de responsabilidad social e integridad». Estos mismo autores señalan diez principios que orientan los esfuerzos para propiciar la calidad en la educación y se pueden constituir en criterios para evaluarla y que hemos considerado en el proyecto.

Los principios que requieren de mayor atención, y de esfuerzos adicionales, se refieren principalmente a los indicadores que permitan describir el desempeño de los actores y la eficiencia de los materiales y las prácticas. Con este proyecto se tiene una mayor probabilidad de cumplir con los objetivos institucionales pero estamos todavía lejos de contar con indicadores válidos y confiables en algunos de los aspectos fundamentales, señaladamente el aprendizaje de los estudiantes y del desempeño docente.

En el proceso distinguimos cinco etapas:

1. Conformación del equipo; 2. Elaboración de las guías; 3. Preparación de la instrumentación del paquete; 4. Instrumentación del paquete; 5. Evaluación del paquete.

En la segunda fase del proyecto se introdujeron algunos cambios: La labor de los núcleos de promotores y asesores se tratará de integrar al funcionamiento de las Academias de las escuelas, avanzando en el objetivo de incrementar significativamente el tiempo que los grupos de profesores ocupan en un trabajo académico de carácter profesional. En la medida en que estos núcleos estén en condiciones de hacerse cargo de patrones de prácticas más complejos se podrán incorporar esquemas de evaluación que arrojen información válida y confiable, que sirva efectivamente para orientar las decisiones que pueden contribuir a mejorar la práctica docente y el aprendizaje de los estudiantes. En este sentido se incorporan dos enfoques en el modelo de evaluación: Un primer enfoque de perfeccionamiento para la práctica docente y el paquete y un segundo enfoque de comprensión y complejidad para los aprendizajes de los estudiantes que se centra en la comprensión de los alumnos y reconoce la complejidad del conocimiento matemático y la importancia de la diversidad de los sistemas de representación.

Las tres primeras etapas se desarrollan en un taller diseñado específicamente para generar los productos correspondientes. El plan de seguimiento y evaluación es también un producto del taller, lo mismo que el diseño del taller dirigido a los profesores que usarán el paquete didáctico, que será coordinado por los profesores participantes en la elaboración del paquete y por los que conforman los núcleos de promotores y asesores en las escuelas.

El taller

En las sesiones del taller se realizarán las actividades siguientes:

Sesión 1 Sesión 2

Introducción La historia del problema

Por sus obras los conoceréis El proyecto Paquetes Didácticos

Resolución de un problema. Los productos del proyecto PDCM

El producto principal del taller será la historia de un problema considerando su caracterización según el marco, las evidencias del trabajo de los estudiantes, en reportes y video, y la experiencia de los participantes en problemas de estructura similar.


La caracterización de las actividades Para conformar y caracterizar la red de actividades que comprende el paquete, se

definieron diez características:

01. Experiencia de aprendizaje 06.Producto

02. Modalidad de trabajo 07.Referencias curriculares

03. Lugar de realización 08.Representaciones

04. Herramientas tecnológicas 09.Estrategias

05. Tiempo 10.Evaluación

Con esta caracterización de las actividades de aprendizaje, se puede establecer explícitamente la vinculación que hay entre ellas desde perspectivas diferentes que se deben articular para organizar una sesión de clase. En el rubro de ‘Referencias curriculares’ se consideraron, además de los contenidos que marca el programa, algunos contenidos procedimentales y actitudinales, las competencias básicas del estudiante de bachillerato y los estándares 9-12 del NCTM. La complejidad del diseño y de la instrumentación de las actividades no se riñe con una consideración del tiempo disponible, que debe ser suficiente para que los estudiantes puedan realizar realmente las actividades, y de otros factores importantes como el nivel de desarrollo cognitivo de los estudiantes, sus ideas previas, sus expectativas y la pertinencia de los contenidos, que suelen variar para cada grupo de estudiantes en particular. Por el contrario, si el profesor dispone de más información se espera que la use para armonizar un trabajo que conduzca a un aprendizaje verdaderamente significativo para el estudiante.

Los ejemplos En el paquete se incluyen algunos ejemplos de los documentos que se consideran útiles

para el trabajo del profesor. Se presenta el desarrollo de la solución que podemos esperar que produzcan los estudiantes del nivel medio superior y que llamamos ‘de referencia’, sin dejar de lado las variantes posibles. También se incluye un comentario de la actividad que se detiene en las distintas vías que puede seguir un estudiante, con la aplicación de las estrategias correspondientes, para avanzar en la solución de la actividad y describe la articulación de las representaciones. Apunta algunas sugerencias para la interacción con los estudiantes, en forma individual o en equipo, durante la realización de la actividad y para la discusión de las soluciones que se hace con todo el grupo. El comentario concluye con una ficha que resume los aspectos más importantes. Así se irán conformando historias de problemas, en particular, y de actividades, en general, que se robustecerán cada vez que las trabajemos en clase. Estas historias se harán más detalladas y útiles en la medida en que podamos elaborar los documentos que se describen en la sección siguiente. Esta labor la podremos emprender mejor aprovechando la red de interacción académica en internet.

El trabajo del profesor En el paquete se presenta una propuesta de trabajo que toma en cuenta las

características del quehacer docente mencionadas antes y, por tanto, se puede modificar o


adaptar aprovechando la información que aporta. Cada profesor tiene su estilo de docencia, que se puede beneficiar de una práctica y una reflexión más sistemáticas, así como de las discusiones que se realicen alrededor de nuestras preocupaciones comunes. En nuestras academias y en la red de interacción en internet podemos ventilar nuestras inquietudes y dificultades y beneficiarnos de los comentarios y sugerencias de nuestros colegas.

Para utilizar las actividades en una sesión de clase, hay que hacer un plan, instrumentarlo y evaluarlo. Esta terna se repite en distintos niveles: la actividad, la clase, el tema, la unidad, el curso, el área, el ciclo, etc. Necesitamos desarrollar la habilidad de usar una especie de zoom que nos permita destacar los aspectos importantes que corresponden a cada nivel como el zoom lo hace con la escala. En cada acto de enseñanza, consideramos los objetivos de niveles distintos con los que se relaciona y la forma en que lo hace. Por ejemplo si se trata de una experiencia necesaria pero que no genera un aprendizaje inmediato exigible, como es el caso de algunas de las líneas que apuntan al desarrollo de las habilidades intelectuales de orden superior, establecemos los lineamientos de interacción con los alumnos y los criterios de evaluación correspondientes, vinculándolos con otras experiencias de aprendizaje posteriores y haciendo inferencias explícitas sobre el desarrollo de la comprensión de los conceptos y procesos que se ponen en juego. Así mismo identificamos, desde una perspectiva sistémica, los factores que influyen en su práctica para establecer estrategias de acción, aun cuando la posibilidad de actuar sobre algunos factores sea muy escasa. En este sentido, es importante que nos veamos como parte de diferentes subsistemas y nos propongamos ampliar gradualmente nuestro campo de competencia y responsabilidad. El «zoom del profesor» se constituye así en una herramienta para, desde perspectivas distintas pero pertinentes, superar algunos callejones sin salida que parecen tales cuando sólo se atiende a la perspectiva del salón de clases.

A modo de ilustración se presenta cómo se puede planear, instrumentar y evaluar una sesión de resolución de problemas.

1. La Planeación de una Sesión de Trabajo

Documentos que concretan la planeación de la actividad Enunciado Propósito y Precepto Solución de referencia Cuadro de soluciones Lineamientos para la interacción de los participantes y la intervención del profesor Guión de la discusión Variables del problema

Caracterización de la actividad Comentario didáctico Precepto de evaluación

Caracterización de la situación según las

categorías del marco

Situación problemática embrionaria

Marco para el análisis de actividades

Figura 1. La planeación de un problema.


Aquí describimos una manera de organizar una sesión a partir de una actividad, que permite generar información sobre estos aspectos en cada instrumentación, conformando una ‘historia del problema’ o, en general, de la actividad de aprendizaje.

La fase de planeación requiere un análisis de la actividad desde un marco de referencia y el registro por escrito de ese análisis. Esto le permitirá al profesor definir previamente no sólo la actividad que trabajará, cuál es el objetivo de la sesión y los tiempos disponibles, sino también cuáles son los obstáculos con los que se puede topar el alumno, cuáles van a ser sus actitudes ante los obstáculos, hasta donde debe llegar la sesión y en caso de no lograrlo qué hará para cumplir sus objetivos. Uno de los objetivos de la planeación es hacer explícitas nuestras expectativas.

Por supuesto que lo que ocurrirá en la sesión de trabajo no puede estar completamente definido. Dentro del salón de clases el profesor toma decisiones constantemente con base en el marco de referencia que le brindan los documentos de la planeación y la información que va registrando durante la sesión. La planeación, entonces, debe ser flexible. Los documentos que concretarán nuestra planeación son:

Propósito de la actividad: que se manejará no únicamente desde la perspectiva de un contenido programático sino considerando las representaciones que articula (gráfica, aritmética, textual, icónica, etc), los aprendizajes que prepara, las categorías de resolución de problemas y los objetivos institucionales. El propósito de la actividad debe considerar que no todos los aprendizajes pueden ser inmediatos y que hay cuestiones que sólo se logran a largo plazo.

Recomendaciones durante la actividad: Cada uno de estos documentos está enfocado a los momentos que constituyen la sesión de trabajo, son una guía que nos permite dirigir la sesión hacia el objetivo establecido, sin desvirtuar la actividad.

a) Lineamientos para la interacción con los equipos: darán las pautas a seguir en la interacción del profesor con los alumnos mientras realizan la actividad. La intervención de un profesor debe estar guiada por el ambiente, en el sentido de no invalidar el trabajo de los alumnos ni privarlos de la satisfacción de encontrar la solución por ellos mismos.

PProfesor

EA1

A2

A4

A3

Lineamientos

Reporte

M

Equipo

PProfesor

Expectativas

Guión

A1A2

A4A3EEquipo

GRUPO

Figuras 2 y 3. La interacción del profesor con un equipo. Las interacciones durante la discusión del trabajo de un equipo.

b) Guión de la discusión: brinda un marco para la conducción de la discusión. Se consideran los posibles desarrollos de las soluciones y se establecen los lineamientos para la participación del profesor.


Recomendaciones para la evaluación de la actividad: La evaluación de la actividad debe considerar por lo menos:

a) Solución de referencia: Esta solución se elabora considerando los conocimientos que se ponen en juego durante la resolución del problema o la realización de la actividad.

b) Precepto de evaluación: Este documento contiene la descripción de los estándares de evaluación de un problema en particular. El precepto debe reflejar los principales aspectos del problema y aportar información útil para orientar el curso de las acciones del profesor y del estudiante ya sea para avanzar o profundizar en los contenidos que se pusieron en juego en el problema o para corregir las ideas erróneas que se hayan identificado.

2. La Instrumentación La planeación debe tomar en cuenta los cursos diversos que puede seguir la acción

durante la instrumentación y sus posibles consecuencias en función de los propósitos de la sesión.

No es conveniente prodigar los comentarios ni las reformulaciones. Sin embargo, hay algunas intervenciones en las que se pueden solicitar aclaraciones, precisiones, explicaciones, justificaciones, cuando el profesor advierte indicios de perplejidad o incomodidad en el equipo o en el grupo que no logran formularse. La disyuntiva fundamental del profesor es decidir cuándo conviene detenerse para profundizar algún aspecto matemático.

Las intervenciones del profesor deben estar guiadas por los lineamientos para la interacción con los equipos y por el guión de la discusión de tal manera que no se vaya a desvirtuar la experiencia de aprendizaje que le corresponde disfrutar a los estudiantes con comentarios impacientes o irreflexivos. Hay un principio básico para que la planeación resulte útil: antes de hablar, hay que escuchar.

3. La Evaluación de la Actividad Después de realizada la actividad el profesor debe evaluar la efectividad y los

resultados que se obtuvieron. No se trata sólo de la evaluación de los conocimientos, habilidades, actitudes y transferencia del alumno. La evaluación de la actividad debe aportar información útil y confiable para mejorar el diseño de la actividad.

Además de la evaluación en los alumnos, se tiene la evaluación de la actividad y parte importante de ella es ‘historiar el problema’. La idea es contrastar los análisis previo y posterior a la instrumentación para hacer un registro cada vez más robusto de las interacciones posibles, las formas de comprensión y el uso de las matemáticas que hacen los alumnos, se puede complementar muy provechosamente con la investigación de los problemas y las condiciones en que se originaron los conceptos que se ponen en juego. Pero, puesto que nuestra perspectiva es la del profesor, y lo que necesariamente hace el profesor es trabajar con los alumnos, hemos optado por basarnos en nuestra experiencia y en la disposición de hacer explícitas nuestras expectativas para que, aun cuando nuestro primer análisis sea muy rudimentario, se vaya robusteciendo en las sucesivas puestas en escena, de tal manera que esta historia del problema se constituya en un saber propio del profesor generado en su práctica. Los registros audiovisuales brindan la oportunidad de


aprovechar las ventajas de un análisis más detenido para incorporar sus resultados en las historias de los problemas.

Historia del problema

Organizadores y Viñetas

Documentos que concretan la planeación

Registros audiovisuales

Productos de los estudiantes

Registros del profesor

Figura 4. La historia de un problema.

Las primeras versiones de la historia de una actividad pueden ser muy rudimentarias, e incluso contener sólo esbozos de algunos de los documentos que la integran, pero las contribuciones de los profesores las convierten rápidamente en un robusto conjunto de referencias que puede ser muy útil al profesor. Así se concreta una de las ideas principales de una organización profesional: la comunidad apoya sustancialmente el ejercicio profesional del individuo.

Referencias Bibliográficas AIM-NMS-IPN (2001). Álgebra. Guía para el estudiante. Guía para el profesor.

AIM-NMS-IPN (2001). Proyecto ‘Paquetes Didácticos para los Cursos de Matemáticas’.

Alarcón, J. et al. (1996). Un marco para el análisis de problemas. Memoria del Seminario ‘Precálculo y resolución de problemas’ realizado en el DME-CINVESTAV-IPN.

Alvarado, D. (1998). Las Creencias y Concepciones en un Ambiente de Resolución de Problemas. Tesis de Maestría del DME-CINVESTAV-IPN.

Bogue, E. G. & Saunders, R. L. (1992). The evidence for quality. San Francisco: Jossey-Bass.

IPN, (1994). Modelo Educativo “Pertinencia y Competitividad”.

Suárez, L. (2000). El trabajo en equipo y la elaboración de reportes en un ambiente de resolución de problemas. Tesis de Maestría del DME-CINVESTAV-IPN.

Torres, J. (1997). La Metodología de Estudio en un Ambiente de Resolución de Problemas. Tesis de Maestría del DME-CINVESTAV-IPN.

211

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ESTADÍSTICOS EN LA

ESO

Mª José Sánchez Domínguez Angustias Vallecillos Jiménez


1. Introducción Las últimas reformas curriculares para la enseñanza secundaria en Andalucía, en el área

de Matemáticas, (Junta de Andalucía, 2002a; 2002b), han venido confirmado el auge de la Estadística, que aparece como un bloque de contenidos específico en cada uno de los cursos de la Secundaria Obligatoria denominado Tratamiento de la Información Estadística y el Azar, y en las programaciones de asignaturas, tanto propias como optativas, de la mayoría de las modalidades de Bachillerato.

A pesar de la primacía que actualmente tiene en las aulas la “cara descriptiva” de la estadística, últimamente se está haciendo hincapié cada vez más en su “cara inferencial”. No debemos olvidar que los resúmenes numéricos tienen como objetivo, con frecuencia, una toma de decisión, bien a corto o a largo plazo.

Así, la estadística inferencial se convierte en un punto importante en el currículum, sobre el que hay que tener en cuenta, además, la gran dificultad que tienen parte de los profesionales de la enseñanza de las matemáticas para llevarla a sus aulas. Este problema es superable, en parte, por medio de la atención institucional a la formación permanente del profesorado y, en otra parte, con el concurso de la investigación especifica para poner en contacto investigación y docencia y colaborar en el diseño de los recursos y materiales didácticos necesarios. La falta de recursos materiales de ayuda para el profesor está dificultando grandemente el éxito docente de la empresa. En resumen, la introducción de la estadística en las clases no llega a ser real y, si es que llega a los institutos, lo hace, como siempre, como una larga lista de números y de cálculos numéricos y apenas se advierte de su poder predictivo.

Así pues, consideramos bastante serio el problema con el que el profesor de “a pie” se encuentra, tal y como han manifestado otros investigadores (Vallecillos y Moreno, 1997; Rodríguez Morales, 1997). Pensamos que, desde el campo de la investigación de la Didáctica de las Matemáticas, como primer recurso, se debería de facilitar esta “llegada de la Inferencia a los institutos”, buscando vías para superar estas dificultades, como el diseño de actividades y recursos que introduzcan estos temas de manera apropiada. Por supuesto, debe existir una conexión entre investigadores y profesores, para que estos intentos no se queden sólo en eso.

En esta comunicación presentamos un diseño de actividad basada en la resolución de problemas con la finalidad docente de trabajar contenidos estadísticos incluidos en los currículos de la ESO. En ella se plantea un problema, identificado previamente por los alumnos como algo de interés para ellos, se decide que datos son necesarios, cómo obtenerlos y analizarlos y, finalmente, como organizar la información obtenida de manera que sea

212 Mª José Sánchez y Angustias Vallecillos

comunicable a los demás fácilmente y en forma amena para los demás estudiantes. La toma de datos se hace a través de una encuesta, lo que plantea, además, algunas cuestiones de tipo metodológico que serán analizadas desde el marco de la investigación con el fin de aportar datos de interés para la planificación de la enseñanza de los temas inferenciales en los niveles de enseñanza correspondientes.

2. Cuestiones metodológicas El estudio de la estadística está pasando en estos momentos de ser una mera enumeración

de hechos o datos para poner el énfasis en el razonamiento sobre lo que representan los datos o extraer conclusiones de ellos. “Ir más allá de los datos, realizar inferencias y sacar conclusiones, con mayor o menor grado de certeza, de manera consistente y ordenada es el objetivo de la estadística aplicada moderna”, (Cowles, 1989, p. 6).

Las recomendaciones metodológicas para el estudio de la estadística actualmente incluyen el trabajo con datos reales y de interés para los estudiantes, a ser posible, obtenidos por ellos mismos, con el fin de que sean significativos para ellos y aumente su motivación para su análisis. También se recomienda organizar el trabajo en forma de ‘Proyectos’ con el fin de que los análisis a realizar se vean como parte de un todo y no aisladamente. En definitiva, se trata de ‘resolver un problema’ en el marco de la estadística. La resolución del problema pasa, pues, por las siguientes fases: comprender el problema, elaborar un plan de actuación, llevar a cabo el plan previsto, reflexionar sobre la solución obtenida y redactar la resolución.

La obtención de los datos necesarios para la resolución de un problema estadístico puede hacerse de muchas maneras. Una de ellas es la realización de una encuesta, que se usa frecuentemente para estudiar fenómenos de tipo social pero que, en este punto, nos gustaría destacar su poder como herramienta metodológica para la obtención de datos. En la realización de una encuesta hay que resolver muchos problemas no triviales que van desde el diseño mismo del cuestionario para la encuesta, cómo elegir la muestra adecuada, determinar su tamaño, cómo controlar el error, hasta la realización de las inferencias y las limitaciones del estudio. Todos estos procedimientos no son automáticos, no son meros ejercicios, pues las situaciones reales son susceptibles de cambio, más que ningún problema planteado en clase de una forma teórica y, por tanto, cada investigación estadística necesitará su propio tratamiento.

En otro orden de cosas, en la resolución de problemas de esta índole, se trabaja también el razonamiento inductivo, ya que pretendemos el descubrimiento de normas generales o conclusiones en cierto modo globales, a partir de la observación de ejemplos particulares. De esta forma, lo mismo que una ecuación es la herramienta para resolver un determinado problema, la estadística y, en particular, la encuesta, puede ser vista como herramienta para resolver problemas en nuestro entorno. En este caso, el poder de la encuesta es mayor porque es una herramienta para el alumno que pretende resolver el problema y para el profesor que la utiliza, es la guía en su intervención didáctica para conseguir unos objetivos determinados.

3. Cuestiones curriculares Vamos a diseñar una actividad basada en la resolución de problemas, utilizando la

técnica de encuesta, planificada y realizada por los propios alumnos, para la obtención de los datos necesarios. Esta herramienta, que se suele utilizar para estudios sociológicos, va a ser empleada aquí, como hemos dicho, para diseñar una actividad dirigida a alumnos de


ESO. Prevemos que la dificultad de esta actividad pueda ser graduada de manera que sirva para toda la etapa, tanto para el primer ciclo como para el segundo, e incluso pueda extenderse al nivel de Bachillerato.

A continuación se describen los elementos curriculares básicos necesarios para el desarrollo de la actividad propuesta.

3.1. Contenidos

3.1.1. Hechos, conceptos y sistemas conceptuales: • Población. Tamaño de la población. Caracteres de una población.

• Muestra. Representatividad y aleatoriedad. Tipos de muestreo. Sesgos.

• Encuesta. Cuestionario. Codificación.

• Tablas de frecuencias. Gráficos. Resúmenes numéricos y gráficos.

• Inferencias. Toma de decisiones.

3.1.2. Procedimientos: • Obtención y registro de datos.

• Elaboración de tablas de frecuencias.

• Elaboración de gráficos estadísticos.

• Interpretación de los datos obtenidos de una encuesta.

• Lectura e interpretación de tablas y gráficos.

• Elaboración de informes finales.

• Cálculo de medidas de resumen.

• Realización de gráficos apropiados.

• Generalización de resultados.

3.1.3. Valores, actitudes y normas:

• Valoración de la variedad de resultados.

• Apreciación de la estadística como herramienta para conocer la realidad.

• Apreciación de las tablas y gráficos para expresar hechos de la vida cotidiana.

• Tolerancia y respeto frente al trabajo del resto de los compañeros.

3.2. Metodología

En cuanto al marco curricular para este tipo de actividad, las recomendaciones de carácter general que aparecen en el curriculum oficial dentro del Bloque de Tratamiento de la Información Estadística y del Azar, incluyen que la especial motivación que presentan los alumnos de este nivel en temas relacionados con el entorno, deportes, modas o juegos, sean aprovechadas para la realización de investigaciones y estudios de carácter estadístico. Incluso se detallan las etapas del proceso, que luego utilizaremos en la planificación de la actividad. Pretendemos que los alumnos comiencen a trabajar sin una introducción teórica previa y que ellos mismos vayan determinando lo que necesitan saber para realizar su investigación. Así, los resultados que vayan obteniendo podrán contrastarlos primero dentro del grupo con sus compañeros y, después, con el resto de la clase para obtener unas conclusiones finales. Planteamos, pues, un enfoque totalmente constructivista en la realización de la actividad, en


sintonía con la preponderancia que hoy día tiene este enfoque en el aprendizaje de las matemáticas.

La actividad está diseñada como trabajo en grupo, para llevarla a cabo en grupos de cuatro alumnos. Shaughnessy (1981), describe las ventajas que se desprenden del trabajo en pequeños grupos donde el profesor sólo juega el papel de organizador y crítico. De los beneficios que supone el trabajo en pequeños grupos, señaladas por Shaughnessy (1981), extraemos y adaptamos las que consideramos que pueden darse en nuestra actividad:

1. Los estudiantes pueden ver la variabilidad de los resultados experimentales de un grupo a otro, permitiendo discutir las fuentes de sesgos en el proceso de recogida de datos.

2. Se puede investigar la influencia del tamaño de la muestra en los resultados experimentales.

3. Las concepciones iniciales pueden ser confrontadas comparando predicciones y resultados experimentales.

4. Es muy divertido para profesores y alumnos estudiar la inferencia de este modo.

Schuyten (1991) también habla a favor de los grupos de discusión sobre problemas. Otros autores resaltan otras cualidades de esta actividad, como la interacción del alumno con el contexto que le rodea, por ejemplo, Kissane (1981) o Burril (1996).

Para conseguir buenos resultados trabajando en grupo se han de definir previamente con claridad los objetivos que se persiguen, debe haber una normativa explícita, una buena comunicación y una actitud positiva por parte de los miembros del grupo y por supuesto se debe cuidar el contexto en el que se trabaja.

Como final de la actividad, a la vez que elemento motivador, proponemos la presentación de los resultados de cada grupo, la forma de realizar la investigación de cada grupo así como sus conclusiones a toda la clase por medio de un mural.

Las ideas anteriores las vamos a ejemplificar a continuación en un proyecto estadístico. En primer lugar, preguntamos a los estudiantes sobre sus aficiones y tratamos de determinar un tema sobre el que hayan manifestado un interés concreto, en nuestro caso, por los gustos musicales de los alumnos del instituto.

4. Descripción y planificación de la actividad

4.1. Objetivos Este apartado dependerá en gran medida del curso en el que lleve a cabo la actividad y

la programación de la asignatura en el centro. En principio, nuestros objetivos quedan enmarcados en el segundo ciclo de la ESO.

Los objetivos que perseguimos, formulados en términos de capacidades, son los que siguen:

• Recopilar información a partir de datos obtenidos mediante una encuesta.

• Ordenar agrupar y clasificar datos estadísticos para confeccionar tablas de fenómenos estadísticos de una variable.

• Distinguir los conceptos de población y muestra.


• Comprender los conceptos contrapuestos de representatividad y variabilidad muestral.

• Construir gráficos que recojan los datos obtenidos y discernir la conveniencia de cada uno de ellos en los diferentes casos.

• Calcular medidas resúmenes de datos (medidas de centralización y dispersión) y comprender su significado.

• Manejar con soltura la terminología estadística empleada en esta actividad.

• Hacer inferencias informales a partir de datos de forma razonada.

• Mantener una actitud crítica ante las estadísticas que aparecen en los medios de comunicación.

• Valorar la encuesta como un tipo de investigación de gran importancia en la sociedad actual.

4.2. Fases del proyecto La actividad seguirá el siguiente esquema (propuesto en las recomendaciones de

carácter general de la Junta de Andalucía):

a) Formulación y refinamiento de preguntas. El tema a investigar será el mismo para todos los grupos para poder comparar posteriormente las conclusiones obtenidas de forma colectiva. Se planteará un problema de su interés. A la vista del problema, se formulará la pregunta de manera exacta.

b) Planificación y recogida de datos. A partir de aquí la actividad se realizará en grupos de cuatro alumnos. Se hará hincapié en la importancia de una buena planificación. Se exigirá la realización de un pequeño proyecto. En este punto, diseñarán la muestra en función de los objetivos del estudio de la forma que ellos consideren adecuada, argumentando siempre su elección. En la recogida de datos será un punto fundamental la elaboración de un cuestionario apropiado. También será necesaria la codificación de este cuestionario de manera apropiada. Para la recogida de datos, podemos llevar a los alumnos a la calle o por todo el instituto, según la muestra que hayan elegido. La planificación de esta etapa depende en buena medida del profesor.

c) Organización y representación de los datos mediante tablas y gráficos. Se realizará un análisis “a pequeña escala” de los datos aportados por el grupo. Los gráficos realizados se deben dejar a la elección de los alumnos para fomentar su creatividad y conocer sus creencias.

d) Análisis y resumen de la información. Los grupos se centrarán en analizar los datos y sus representaciones.

e) Elaboración de conjeturas y toma de decisiones. Se trabajará especialmente la realización de inferencias o predicciones y de generalizaciones a partir de estos datos.

f) Comunicación de la información y crítica de las conclusiones. Los grupos elaborarán un informe de su investigación y un mural resumen para mostrar a sus compañeros. Se realizará un debate conjunto para exponer las conclusiones de cada grupo y hacer una pequeña crítica. Los alumnos pueden rellenar individualmente una ficha en la que el profesor les pregunte sobre cuestiones fundamentales.


4.3. Criterios de Evaluación: En esta actividad se tendrán en cuenta los criterios de evaluación relacionados con

la consecución de los objetivos citados anteriormente. La evaluación tendrá en cuenta la observación del profesor del trabajo del grupo realizado en clase, el Proyecto de Investigación, la observación de las intervenciones personales y de las aportaciones en el grupo, la ficha de cada alumno, el informe final, así como el mural resumen final del trabajo de la clase.

5. Documentos para el alumno

5.1. Proyecto estadístico “Gustos musicales” Se trata de un documento en donde se le resumen al alumno los objetivos de la

actividad, se describen brevemente las fases del proyecto y lo que cada grupo y alumno debe hacer y que, finalmente deberá hacer un informe personal a modo de síntesis del proceso de resolución del problema.

5.2. Ficha personal

Es un documento que nos servirá para recoger los datos iniciales para la elaboración de le encuesta, redacción de las preguntas, determinación del tamaño y tipo de muestra (a cuantos y a quienes se va a preguntar), cómo se van a analizar los datos (en su caso), etc.

6. Conclusiones La resolución de problemas es una metodología de trabajo especialmente útil en el

caso de la estadística, ya que permite ver su aplicabilidad inmediata en la resolución de problemas de la vida ordinaria. La organización de proyectos estadísticos permite, como hemos visto, ejemplificar las recomendaciones de tipo metodológico para el campo de las matemáticas y la estadística. En particular, el uso de la metodología de encuesta para la toma de datos permite a los estudiantes observar de forma evidente, además de su utilidad en este orden de cosas, el riesgo inherente al uso de unos datos ‘poco fiables’, de la facilidad con que se pueden presentar los sesgos y de la importancia de contar con datos ‘fiables’ y, en definitiva, de la importancia de la aleatoriedad.

Agradecimientos: Al Proyecto de Investigación BS02000-1507, financiado por el Ministerio de Ciencia y Tecnología, Madrid.

Referencias

Batanero, C. (2001). Didáctica de la Estadística. Granada: La autora.

Cowles, M. (1989). Statistics in Psychology: An Historical Perspective. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associated, Publishers.

Junta de Andalucía (2002a). Decreto 208/2002, de 23 de julio, por el que se modifica el Decreto 126/1994, de 7 de junio, por el que se establecen las enseñanzas correspondientes al Bachillerato en Andalucía.

Junta de Andalucía (2002b). Decreto 148/2002, de 14 de Mayo, por el que se modifica el Decreto 106/1992 de 9 de Junio por el que se establecen las enseñanzas correspondientes a la ESO en Andalucía.


Kissane, B. V. (1981). Activities in Inferencial Statistics. Teaching Statistics and Probability. 1981 Yearbook, (pp. 182-193). Reston, VA: NCTM.

Rodríguez Morales, J. M. (1997). Elementos de decisión estadística en bachillerato. Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas 30, 31-42.

Schuyten, G. (1991). Statistical thinking in Psichology and Education. En D. Vere-Jones (Ed.): Procedings of the third International Conference on Teaching Statistics. Volumen 2. Teaching Statisitics Beyond School Level, (pp. 486-489). Vooburg, The Netherlands: ISI.

Shaughnessy (1981). Misconceptions of probability: From Systematic Errors to Systematic Experiments and Decisions (pp. 90-100). Reston, VA: NCTM.

Vallecillos, A. y Moreno, A. (1997). Los profesores de matemáticas y la inferencia estadística en la enseñanza secundaria. En M. I. Berenguer, B. Cobo y F. Fernández (Eds.): Investigación en el aula de Matemáticas: la tarea docente (pp. 279-287). Granada: SAEM ‘Thales’.

219

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN EL PROCESO

DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS DE EDUCACIÓN SECUNDARIA

OBLIGATORIA

Serradó Bayés, Ana i10 Cardeñoso, José Mª ii

Perspectivas en la enseñanza y aprendizaje de la resolución de problemas La incorporación de la resolución de problemas en el curriculum de matemáticas de

Educación Secundaria Obligatoria, al igual que en cualquier currículum escolar, se puede realizar desde diferentes perspectivas.

Desde una perspectiva tradicional, se puede entender la resolución de problemas cómo la resolución de enunciados de problemas afines con los contenidos matemáticos desarrollados con anterioridad. Consideramos que este tipo de problemas se asemeja más al concepto tradicional de ejercicio, y las dificultades de su resolución están relacionadas con la posibilidad de los alumnos de asociar enunciados con los procedimientos correctos de resolución. Este tipo de problemas favorece un aprendizaje memorístico por asociación y, como tal, dejan de ser problemas en el momento que los alumnos han realizado un aprendizaje significativo de los contenidos conceptuales y procedimentales (DÁmore, 1997). Si pensamos en el siguiente enunciado:

"¿Cuál es el precio real de un pantalón marcado a 58 €, si nos hacen un descuento del 12%?"

Podemos considerar que se trata de un ejercicio con enunciado, que resolvería sin ninguna dificultad un alumno del segundo ciclo de la ESO. Desde esta perspectiva tradicional de la enseñanza, podemos considerar que la resolución de problemas es un "proceso por el que quien aprende descubre una combinación de reglas previamente aprendidas… para lograr una solución a una nueva situación problemática" (Gagné, 1979). La intervención del profesor en esta perspectiva se centra en "enseñar para resolver problemas" (Blanco y Nieto, 1993).

Pero si, por el contrario, lo consideramos que el enunciado sirve para la exploración inicial de los contenidos cotidianos sobre porcentajes que presentan los alumnos del primer ciclo de ESO, su finalidad en el proceso de enseñanza y aprendizaje cambia. Se trata en este caso de un problema en que los alumnos desconocen que contenidos conceptuales y procedimentales que deben aplicar.

* Esta publicación es resultado parcial del proyecto PB97-0737 financiado por la CICYT i Profesora de Matemáticas de Educación Secundaria Ana Serradó Bayés Tel: 956472437 email: [email protected] Profesora de Enseñanza Secundaria La Salle-Buen Consejo, C/ San Ignacio, 20, puerta, 4; Puerto Real Cadiz ii TEU Dca. de Matemáticas email: [email protected]


220 Ana Serradó y José Mª Cardeñoso

El significado de la resolución de problemas, ya no se puede analizar desde la perspectiva tradicional, sino que se debe analizar desde una perspectiva innovadora (Carrillo, 1990). Desde esta perspectiva, los problemas deben ser situaciones que impliquen cierto desconocimiento por parte de los alumnos, donde su resolución les favorezca el aprendizaje de nuevos contenidos conceptuales y estrategias procedimentales. Según Lester (1983), "un problema es una tarea que plantea un individuo la necesidad de hallar una solución y ante la cuál no tiene un procedimiento directamente accesible que garantice la resolución". Desde esta perspectiva, la intervención del profesor se centra en "enseñar vía la resolución de problemas" (Blanco y Nieto, 1993).

Desde la perspectiva de Lester, esta noción de problema pone de manifiesto la necesidad de motivación e interés hacia la búsqueda de soluciones, la no existencia de respuestas inmediatas, la necesidad de poner en marcha una serie de estrategias que permitan hallar dicha solución y la necesidad de una actitud creativa y autónoma en la toma de decisiones para descubrir la solución.

Ante la dificultad de no tener un proceso directamente accesible a la resolución de un problema, se ha abierto un campo de investigación en torno a la resolución de problemas, que se ha centrado en el análisis de las fases de la resolución de problemas (Polya, 1986, Shoenfeld, 1987 y Maza, 1991). Las aportaciones de estos autores han otorgado un nuevo significado a la intervención del profesor con relación a la resolución de problemas, al considerar que éstos deben "enseñar sobre la resolución de problemas" (Blanco y Nieto, 1993).

Desde esta perspectiva la enseñanza sobre la resolución de problemas se asocia a menudo a la aplicación de heurísticos, entendidos como guías para la instrucción que favorecen el aprendizaje de la resolución de problemas. La aplicación de los heurísticos aporta una nueva consideración del significado de los problemas como heurísticos.

La consideración de los problemas como heurísticos se puede realizar desde dos perspectivas diferenciadas de la intervención del profesor, Kilpatrick (1985). Desde una perspectiva tecnológica, la consideración del uso de los heurísticos puede realizarse a modo de recetas cerradas. Este uso favorecería el aprendizaje memorístico y asociativo de cada uno de los contenidos matemáticos con el uso restringido que realice el profesor del uso de los heurísticos.

Por ejemplo, los alumnos podrían asociar la resolución de problemas/ejercicios de ecuaciones con la expresión en otros términos, mediante la traducción al lenguaje algebraico. En este ejemplo, el contenido matemático es la ecuación y el heurístico es "expresar en otros términos".

En cambio, desde una perspectiva constructivista del conocimiento matemático, la consideración de los problemas como heurísticos permite reflexionar sobre el proceso de resolución de los problemas. En este caso, hablamos de problemas con reflexión u observación de las estrategias desarrolladas, los contenidos matemáticos aplicados, las dificultades encontradas en el proceso de resolución por los alumnos (Grupo Cero, 1987). Que en el proceso de verbalización de esta reflexión y observación se favorece "aprender a aprender a resolver problemas".

Es decir, enseñar y aprender se concibe como un proceso de comunicación social entre los actores (profesor y alumnos), como una construcción conjunta que comporta la negociación de significados y el traspaso progresivo del control y la responsabilidad del proceso se enseñanza y aprendizaje (Jorba, Gómez y Prat, 1998). Desde esta perspectiva cultural de la resolución de problemas, éstos deben considerarse como organizadores del


currículum, (en otro sentido del usado por Rico y colbs., 1997) al considerarlos centros de interés y de abordarse en entornos ricos relacionados con el entorno, a ser explotados por su significado, su lógica y sus conexiones matemáticas, que permitan ser generalizados a otros contextos para ejemplificar y validar su poder explicativo.

Desde esta perspectiva no podemos hablar de problemas o de resolución de problemas, sino de situaciones problemáticas e investigación sobre situaciones problemáticas. Según el Grupo de Investigación en la Escuela, resolver un problema es "una investigación de situaciones problemáticas que tiene que ver con nosotros mismos, con las personas y con los grupos sociales próximos, con los productos tecnológicos, con los seres vivos y en general, con el medio circundante".

Situaciones problemáticas Las situaciones problemáticas se caracterizan por ser un conjunto de situaciones que

tienen asociados diferentes contenidos matemáticos o de otras áreas curriculares, desde una concepción del currículum integrado. Estas situaciones permiten la exploración, manipulación, construcción de estrategias de resolución, toma de decisiones (Resnick y Ford, 1990), generalización y formulación del contenido matemático puesto en juego en la investigación sobre la situación problemática.

Según Azcárate (1997), la elección de las situaciones problemáticas debe ser temas interesan, preocupan o son un obstáculo para el alumno y que están relacionados con diferentes aspectos del entorno.

En la investigación sobre las situaciones problemáticas, encontramos diferentes acciones concretas que debe realizar el profesor (Serrado, 2000). Una primera acción a realizar consiste en favorecer la comprensión de la situación problemática planteada, y en mediar para la delimitación de un conjunto de subproblemas asociados, que permitan su resolución. Este conjunto de subproblemas puede consistir en la definición de un concepto matemático, en la demostración de una conjetura planteada, en analizar los elementos que clasifican un determinado concepto. En estas actividades el profesor actúa como mediador para la delimitación de los errores que surgen en el proceso de investigación de la situación problemática y, la posterior delimitación de los obstáculos en la construcción del conocimiento matemático asociado. Una segunda acción, que consiste en promover el contraste y el cuestionamiento reflexivo y argumentado de las concepciones y experiencias de los alumnos que favorezcan la toma de decisiones sobre cómo resolver la situación problemática. Una tercera acción, consiste en ubicar, analizar, generalizar y formular los contenidos matemáticos desarrollados en la resolución de la situación problemática. Una cuarta acción, consiste en favorecer la reflexión y evaluación del alumno sobre el proceso realizado en la resolución de la situación.

La elección de las situaciones problemáticas a realizar en el aula (Cardeñoso y Azcárate, 1997), ha de partir del consenso entre los intereses de los alumnos y las necesidades detectadas por el profesor (Serrado, 2000). Algunos ejemplos de situaciones problemáticas cercanas a los intereses de los alumnos y que se pueden desarrollar a nivel de Educación Secundaria Obligatoria son:

• ¿Puedes crear un sistema de numeración usando los colores blanco y negro?

• Construcción de una maqueta de un edificio cercano a los alumnos.

• Calculo del área de la parte interior de la Bahía de Cádiz.


• Los españoles opinan que las matemáticas sirven para…

• "Tenemos dos urnas. La urna A contiene seis botas numeradas con los primeros seis números impares. Y la urna B contiene los seis primeros números naturales. ¿De qué urna es más probable que al sacar dos bolas, la suma de sus cifras sea par?…

A continuación presentamos el análisis detallado de cómo se puede desarrollar en el aula la investigación/resolución sobre una situación problemática.

Construcción una maqueta de un edificio cercano a los alumnos

Objetivos:

Esta situación problemática se plantea con el objetivo de que los alumnos reflexionen sobre las figuras geométricas que se pueden encontrar en un edificio (de una, dos y tres dimensiones), y analizar el desarrollo plano de figuras en tres dimensiones. En el proceso de construcción de una maqueta, además, se trabajan otros contenidos matemáticos como la orientación, los sistemas de referencia, la visualización, los modelos, el perímetro, las escalas, las aproximaciones, operaciones con decimales, medida de longitudes y áreas, las estimaciones en los cálculos, la proporcionalidad, el Teorema de Thales. Somos conscientes que esta situación problemática también se podría trabajar en el bloque de medidas, como síntesis de los contenidos desarrollados en los tres primeros bloques.

La elección de esta situación problemática surge de analizar que necesidades sociales de la vida cotidiana se han producido a lo largo de la historia de la humanidad y de las matemáticas. En este sentido, el desarrollo matemático de la geometría del espacio esta asociado a la necesidad social de la arquitectura. Además de tratarse de una situación problemática que surge del entorno natural y social de los alumnos.

Planificación:

La planificación de la situación problemática de carácter didáctico tiene dos momentos fundamenThales. Un primer momento dedicado a la construcción de la maqueta, y un segundo momento dedicado al análisis del proceso realizado.

Debido a la embergadura del trabajo, se planifica realizar una única maqueta con todo el grupo clase, de forma que cada uno de los grupos de alumnos elabore una parte significativa de la maqueta. La planificación del proceso de construcción de la maqueta tiene distintas fases, que son: la distribución del trabajo en grupos, la elección de la escala de la maqueta, la construcción del plano de la maqueta, el cálculo de la altura de los edificios, la elección de los materiales de construcción, el análisis del coste de realización, la construcción de las diferentes partes de la maqueta, diseño de los elementos de decoración y el montaje de la maqueta.

Para cada una de las fases presentadas desarrollamos el mismo esquema metodológico:

• Exposición: presentación de la situación problemática.

• Reconocimiento, identificación y formulación de los problemas asociados por parte de los alumnos.

• Planificación de la ejecución de la fase, a partir del contraste de las concepciones y experiencias de los alumnos.


• Ejecución del plan. Análisis de los posibles obstáculos en la ejecución del plan, detección de los errores en las concepciones planteadas y si es necesario planificar de nuevo la fase.

• Exposición de cada grupo del proceso realizado, validación por el grupo clase del proceso, toma de decisiones del grupo clase de esta fase.

• Identificación de los contenidos matemáticos usados, de las dificultades surgidas en la fase debidas al uso incorrecto de los contenidos matemáticos.

• Presentación de cada grupo de las conclusiones referentes a los contenidos matemáticos. Debate sobre el papel de los contenidos matemáticos usados en la fase.

• Exposición recapituladora del profesor, y formulación de los contenidos matemáticos.

A continuación desarrollaremos para cada una de las fases presentadas los aspectos a considerar en la planificación (descritas en el gráfico adjunto).

Fase de distribución del trabajo en grupos: El objetivo de esta fase es la presentación del trabajo a realizar, de forma que los alumnos pudiesen delimitar cuáles son las partes más significativas de las que se compone el edificio (aparcamientos, bar, edificio principal, patios interiores, pistas de deportes,…). La delimitación de los elementos que contiene se realizaría a partir de la observación detallada de las diferentes figuras geométricas que delimitan el recinto, a partir de un proceso de visualización de formas geométricas básicas. Se les pediría a los alumnos que por grupos realizarán un esbozo de la planta del edificio. En el momento de la toma de decisiones y la realización de un esbozo conjunto sería necesario la toma en consideración de un sistema de referencia. En el momento de discusión se les pediría la construcción de grupos de trabajo con relación a las diferentes partes delimitadas. En el momento de formulación del conocimiento matemático se harían referencia a los conceptos de orientación, visualización, formas básicas en tres dimensiones, sistemas de referencia.

Fase de elección de la escala: Planificamos que una de las formas posibles de delimitar la escala del edificio es la delimitación de perímetro de la superficie que ocupa. Y en particular, la longitud de los diferentes lados de la superficie poligonal. Análisis de las posibles escalas y decisión sobre el tamaño de la maqueta a escala. En el momento de la formulación del conocimiento matemático se haría referencia a los conceptos de escala, longitud, figuras poligonales, perímetro.

Fase de construcción de un plano: Creemos conveniente planificar esta fase de construcción de un plano como forma de validación de las diferentes mediciones que realicen cada uno de los grupos. En esta fase los alumnos deberían realizar las diferentes mediciones de la base de la parte de la maqueta que hubiesen de construir. En el momento del debate se pondrían en común las diferentes mediciones, para validar las medidas en función de la medida total de la maqueta. En caso de errores se procedería a medir de nuevo. En la fase de exposición se formularían los conceptos de la orientación, sistemas de referencia, escalas, aproximaciones y estimaciones.

Fase de calcular las alturas: Se planifica como método que podrían utilizar los alumnos es la aplicación del Teorema de Thales, a partir de la medición de la sombra. Para llevar a cabo esta medición, nos podemos encontrar con la dificultad de que los alumnos tengan que hacer mediciones durante diferentes horas del día. Los alumnos expondrían el proceso realizado, y validaría el resultado a partir del contraste con otros grupos. Los contenidos


matemáticos a formular son la proporcionalidad geométrica, el Teorema de Thales, la medición de puntos inaccesibles, las estimaciones en la realización de medidas.

Distribución del Orientación Visualización Esbozo trabajo en grupos

Escala d la Medición Análisis posibles Tamaño e maqueta perímetro escalas maqueta

Construc ión de Medición Aproximaciónes Plano cun plano longitudes escala

Alturas Proporcionalid d Estimación Valoración aTeorema Tales aproximación

Materiales d Decisiones en Desarrollo plano Calcu econstrucción

función coste

lo coste Cálculo áreas

Construc ión de la Tres Dos Tres cmaqueta dimensiones dimensiones dimensiones

Elementos de Visuali ación zfiguras decoración

Montaje de la Sistema d Modelo de ereferencia maqueta la realidad

Fase de elección de los materiales de construcción: En la planificación de la ejecución

de esta fase se considera oportuno que en un primer momento los diferentes grupos de alumnos presenten propuestas de materiales. Los alumnos deberían hacer una estimación de la cantidad de material necesario, a partir de calcular el área de la superficie del poliedro que tengan que construir y estimar el coste. En la fase de debate se analizarían las diferentes propuestas y se decidiría el material. Los contenidos matemáticos trabajados son desarrollo plano de un poliedro, el cálculo del área de la superficie, el cálculo del coste, multiplicaciones, sumas con números decimales.

Fase de construcción de la maqueta: En esta fase de construcción de la maqueta los alumnos deberían poner en práctica todos los procesos desarrollados con anterioridad, reflexionando sobre la relación entre las figuras de tres dimensiones y su desarrollo plano.

Fase de realización de los elementos de decoración: Esta fase de realización de los elementos de decoración, supone volver a empezar las mismas fases desde la construcción del plano. En este caso será importante formular el papel de la visualización de figuras planas, las figuras poligonales, el perímetro y área, el círculo, la descomposición de figuras en figuras simples.


Fase de montaje de la maqueta: Se planifica que uno de los representantes de cada uno de los grupos, pase a formar parte del montaje. En esta parte del montaje será muy importante delimitar cuáles son las primeras piezas a montar, y por lo tanto será necesario delimitar un sistema de referencia, el análisis de la maqueta como un modelo de la realidad.

Una vez terminado el montaje de la maqueta, los alumnos deben describir el proceso que han realizado, analizar las dificultades en cada uno de los pasos, identificar los contenidos matemáticos desarrollados. Esta reflexión y evaluación del proceso realizado ha de permitir a los alumnos "aprender a aprender a investigar sobre situaciones problemáticas".

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Blanco Nieto, L. (1993): Consideraciones elemenThales sobre la resolución de problemas. Badajoz: Ed. Universal Editorial.

Cardeñoso, JM y Azcárate, P (1997): “El conocimiento didáctico-matemático en la formación inicial de maestros: un “proyecto de escuela alternativa”, como propuesta didáctica de aula”, en Abraira, C. y Francisco, A. (Coord.): El curriculum en la formación inicial de los profesores de Primaria y Secundaria en el área de Didáctica de la Matemática, León, pp. 45-55. Ed. Universidad de León

Carrillo, J. (1990): Modos de resolver problemas y concepciones sobre la matemática y su enseñanza: metodología de la investigación y relaciones. Universidad de Huelva.

D'Amore, B. (1997): Pedagogía y psicología de la Matemática en la actividad de resolución de problemas. Madrid: Síntesis.

Gagné, R.M. (1979): Las condiciones del aprendizaje. Méjico: Interamericana.

Grupo Cero (1987): De 12 a 16. Valencia: Mestral.

Jorba, J. Gómez, I. y Prat, A (eds.) (1998): Parlar i escriure per apendre. Ús de la llengua en situación d'ensenyament/aprenentatge de les àrees curriculars. ICE de UAB, Bellaterra.

Kilpatrick, J. (1985): Variables and methodologies in research on problem solving. En Hartfeld y Bradbard (Eds.): Mathematical problem solving: papers from a research workshop. Columbus, Ohio: ERIC Cleainghouse for Science.

Lester, (1983): Trends and issues in mathematical problem-solving research. En Lesly y Landau (Eds.): Adquisition of matematics concepts and process. New York: Academic Press.

Maza, C. (1991): Multiplicar y dividir a través de la resolución de problemas.

Polya, G. (1986): Cómo plantear y resolver problemas. México: Trillas.

Resnick.L.B y Ford.W.W. (1990): La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos". Barcelona: Paidós-MEC.

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Serrado, A. (2000): Proyecto docente. Documento inédito. Universidad de Cádiz.

Shoenfeld, A.H. (1980): Heuristics in the Classroom. En Krulik y Reys (Eds.): Problem solving in School Mathematics. Reston, Virginia: NCTM.

Shoenfeld, A.H. (1987): What's All the Fuss About Metacognition?, Cognitive, Science and Mathematics Education. En Schoenfeld (Ed.), LEA, Hillsdale.

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ESQUEMAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE

PROPORCIONALIDAD SIMPLE DIRECTA EN NIÑOS CON TALENTO

Miguel E. Villarraga Rico Enrique Castro Martínez Maryorie Benavides Universidad del Tolima Universidad de Granada Universidad de Granada [email protected] [email protected] [email protected]

Introducción En este documento se pretende mostrar diversos esquemas de resolución de problemas

presentes en alumnos de 14-15 años de edad, esto es relevante para el profesor de Matemáticas de Educación Secundaria y debe conocerlo. Los esquemas se limitan a la resolución de problemas del campo conceptual denominado de Estructura Multiplicativa. El planteamiento básico es que habiendo una amplia gama de problemas de estructura multiplicativa que pueden ser clasificados en unas cuantas categorías, los problemas de una sola de éstas, al ser resueltos por sujetos talentosos en la clase de matemáticas, dan lugar a una diversidad de esquemas según sus habilidades cognitivas. Mostramos al profesor de matemáticas una representación de los esquemas de resolución de problemas evidenciados por los sujetos, empleando redes para tal cuestión. La variedad de redes encontradas implican distinta conceptualización por parte de los alumnos.

Análisis conceptual del término “Esquema” Es relevante un análisis conceptual (Scriven 1988; Rico 1999) del término esquema.

Esquema ha sido ampliamente usado, aunque no siempre con idéntico significado, fundamentalmente en dos disciplinas: filosofía y psicología, una revisión del término se encuentra en Villarraga (2002).

Ferrater (1988) establece que el término esquema ha sido empleado con algún significado por filósofos a lo largo de la historia. Asi por ejemplo:

“el término ‘esquema’, σχηµα, fue usado por Platón por lo menos en dos sentidos: como «delimitación de lo corpóreo», ... , y como «lo que, en cuanto cosa singular entre varias, está siempre conectado con el color»”. (p. 1022).

Aunque Aristóteles fue discípulo de Platón, no es mencionado por Ferrater (1988), sin embargo en relación con la noción de esquema. Marshall (1995) considera que:

“Aristóteles discute formas [esquemas] esenciales mientras que Platón describe formas [esquemas] ideales... Aristóteles frecuentemente usa naturaleza, esencia, y forma como intercambiables” (p. 6).




228 Miguel Villarraga, Enrique Castro y Maryorie Benavides

Ferrater (1988) dice que Kant (1781-1787) habla del esquematismo de los conceptos puros del entendimiento en la Doctrina Trascendental del juicio (o analítica de los principios) y se refiere a la noción de esquema, diciendo que:

“tiene que haber un tercer término que debe de estar en homogeneidad por una parte con la categoría y por otra parte con el fenómeno, y hacer posible la aplicación de la primera al último.” (p. 97).

Refiriéndose a algunas características del esquema, Kant (1781-1787) dice que:

“esa condición formal y pura [vacía de contenido empírico] de la sensibilidad, a la cual el concepto del entendimiento en su uso está restringido, vamos a llamarla esquema..., ...el esquema es en sí mismo un producto de la imaginación;..., ... hay pues que distinguir el esquema de la imagen..., ... A la base de nuestros conceptos puros sensibles no hay imágenes de los objetos, sino esquemas..., ...el esquema del triángulo no puede nunca existir en otra parte que en el pensamiento..., ...Al concepto de un triángulo en general no podría nunca adecuarse imagen alguna del mismo..., ...Pues no alcanzaría la universalidad del concepto que hace que éste [el esquema] valga para todos....” (pp. 98-99).

Esta introducción desde la filosofía, a la noción de esquema, tiene por objeto hallar alguna conexión entre ésta disciplina y la psicología en lo referente a la noción bajo estudio. Con un propósito semejante Marshall (1995) considera que:

“los psicólogos de hoy, han adoptado buena parte de la formulación Kantiana, especialmente con respecto a la conexión entre concepto y precepto. Casi todo uso moderno de esquema bosqueja una aplicación del conocimiento de la persona encontrado en la memoria para construir sentido de alguna experiencia o evento que tiene lugar en su mundo. Sin embargo, buena parte de la investigación actual en psicología cognitiva desafiarán la premisa de que los esquemas reflejan conocimientos innatos” (p. 8).

En Psicología Cognitiva. Mayer (1983) considera que una definición general de esquema contendría los aspectos siguientes:

“General, un esquema puede ser utilizado en una amplia gama de situaciones para enmarcar la comprensión de la información entrante.

Conocimiento, un esquema existe en la memoria como algo que una persona conoce.

Estructura, un esquema está organizado alrededor de un tema.

Comprensión, un esquema contiene <<huecos>> que son llenados por la información específica del pasaje.

De modo que un esquema es una estructura general del conocimiento utilizada para la comprensión. Un esquema sirve para seleccionar y organizar la información entrante en un marco integrado y con sentido. La naturaleza precisa de este marco y su rol en la comprensión es el centro de la teoría de los esquemas.”(pp. 249-250).

En psicología cognitica hay variedad de aproximaciones a la noción “esquema” , por ejemplo, Piaget (1973), considera que:

“lo importante para el conocimiento no es la serie de tales acciones consideradas aisladamente, sino el <<esquema>> de dichas acciones, o sea, lo que


en ellas es general y puede transponerse de una situación a otra (por ejemplo un esquema de orden o un esquema de reunión, etc). Y el esquema no sale de la percepción, sea propioceptiva o de otro tipo; el esquema es el resultado directo de la generalización de las acciones mismas y no de su percepción; como tal, el esquema no es perceptible en absoluto” (p.90).

La novedad en ésta definición es el énfasis en la “acción”, los esquemas gobiernan tanto la acción como la cognición y consecuentemente a todo el comportamiento. Fischbein considera que la noción de esquema hace referencia a un sistema adaptativo, el cual contiene intuiciones111, entre sus elementos. Para precisar el significado del término, Fischbein (1999) considera que pueden ser distinguidas dos interpretaciones. La primera hace referencia a un mecanismo ejecutivo y la segunda a un comportamiento adaptativo.

Marshall (1995) considera inicialmente dos premisas: el esquema consiste de varias clases diferentes de conocimiento, y, el funcionamiento del esquema involucra ambos procesamientos paralelo y secuencial. Propone una definición básica para la noción de esquema; al respecto dice que:

“Un esquema es un vehículo de memoria, que permite la organización de experiencias similares del individuo, de tal forma que el individuo:

• Puede reconocer fácilmente experiencias adicionales que también son similares, discriminando entre esas y otras que son distintas;

• Puede acceder a marcos genéricos que contienen los elementos esenciales de todas las experiencias similares incluyendo componentes verbales y no verbales;

• Puede delinear (trazar) inferencias, hacer estimaciones, crear metas, y desarrollar planes usando el marco; y

• Puede utilizar habilidades, procedimientos o reglas como necesarias cuando se enfrenta con un problema para el cual este marco particular es relevante.” (p.39).

Como se puede deducir, de la definición anterior se desprenden cuatro funciones, cada una de las cuales depende de un tipo de conocimiento particular. Los conocimientos que Marshall considera presentes en un esquema son los siguientes: de identificación, de elaboración, de planeación y de ejecución (pp. 40-41)

Por su parte Vergnaud (1998) menciona que un esquema, considerado como totalidad organizada, puede generar conductas diferentes de acuerdo con las características particulares de cada una de las situaciones de una clase particular, lo cual es posible debido a los elementos que involucra, tales elementos son:

“Invariantes operatorios (conceptos-en-acción y teoremas-en-acción) que conducen el reconocimiento por parte del sujeto de los elementos pertinentes de la situación, y la toma de información sobre la situación a tratar;

Anticipaciones del fin a lograr, los efectos que se esperan y las eventuales etapas intermedias;

1 Debe anotarse que para Fischbein hablar de intuición -como cognición intelectuales referirse a evidencia-en-si-misma en oposición a esfuerzo lógico-analítico, lo obvio frente a lo científico; es hablar de intuiciones cognitivas en oposición a conocimiento lógica y objetivamente justificado. Considera que las intuiciones son caracterizadas como súbitas, globales, reacciones sinergéticas, dependientes del contexto, en cambio las cogniciones basadas en la lógica son discursivas y analíticas. Considera que lo no intuitivo debe ser probado lógicamente, indirectamente razonado con un número sucesivo de pasos.


Reglas de acción del tipo si .... entonces ..... que permiten generar la continuidad de las acciones del sujeto;

Inferencias (o razonamientos) que permiten “calcular” las reglas y las anticipaciones a partir de las informaciones y del sistema de las invariantes operatorias de las que dispone el sujeto.” (p. 159).

Para Vergnaud (1998) los Teoremas-en-acción son definidos como relaciones matemáticas que son tenidas en cuenta por los estudiantes cuando ellos escogen un funcionamiento o una sucesión de funcionamientos para resolver un problema. Esas relaciones usualmente no son expresadas por los estudiantes. Así los teoremas-en-acción no son teoremas en el sentido convencional porque la mayoría de ellos no son explícitos. Éstos subyacen en la conducta de los estudiantes, y su alcance de validez es usualmente menor que el alcance de los teoremas. Ellos, incluso pueden estar equivocados y por consiguiente ser falsos o tener un ámbito de validez local o restringido. No obstante, un teorema-en-acción puede ser visto como que tiene aplicación sobre un conjunto de problemas. Para estudiar la conducta matemática de los niños es necesario expresar los teoremas-en-acción en términos matemáticos. Este tipo de instrumento ha sido básico en el presente estudio, al igual que los conceptos-en-acción, “un concepto-en-acción es un objeto, o una categoría la cual es asumida como relevante” (p. 168), tal noción merece un análisis. Realmente los conceptos-en-acción hacen referencia a objetos (objeto, clase, predicado, condición, etc.) matemáticos de muchos órdenes, pero que son empleados por los sujetos en los procesos de resolución de los problemas sin precisarlos teóricamente, así como tampoco explicitar su uso, éstos pueden ser identificados por el investigador desde su conocimiento de la teoría. El sujeto resolutor de problemas generalmente usa términos como “proporción”, “relación”, “ganancia o pérdida”, “incremento y decremento”, “suma y resta”, “el doble”, “transformación”, etc. para referirse a acciones concretas en sus procesos, y los considera porque cree que en esa condición particular son relevantes; ya sea por el procedimiento o por la estrategia empleada en la resolución de un problema o por alguna otra razón.

Se debe hacer énfasis en que ni los teoremas-en-acción son teoremas, ni los conceptos-en-acción son conceptos. Los unos y los otros pueden ser interpretados en términos de teoremas y conceptos, aunque los referidos a la acción pueden tener validez local. Refiriéndose a los invariantes operacionales Vergnaud (1990) considera que se pueden diferenciar tres tipos lógicos: Proposiciones, función proposicional y argumento.

Invariantes del tipo “proposiciones” (ItP). Las “proposiciones” son susceptibles de ser verdaderas o falsas. Un ejemplo son los teoremas-en-acción.

Invariantes del tipo “función proposicional” (ItFP). Las “funciones proposicionales” no son susceptibles de ser verdaderas o falsas, pero se emplean para construir “proposiciones”. Ejemplo de ésta tipología son los “conceptos-en-acción” o “categorías-en-acción”. Los conceptos-en-acción son construidos por los alumnos en la acción, aunque raramente son hechos explícitos; así los conceptos de cardinal y de colección, los del estado inicial, de transformación y de relación cuantificada, son indispensables para la conceptualización de estructuras aditivas. No son proposiciones. (p. 143). Las funciones proposicionales las clasifica Vergnaud (p. 143) según el número de argumentos de la manera como se presenta a continuación: Propiedades (ItFP-1). Son funciones proposicionales con un argumento. Por ejemplo: R (x) = “ ..... es azul”. Relaciones binarias (ItFP-2). Son funciones proposicionales con dos argumentos. Por ejemplo: R (x, y) = “... está a la derecha de ...”. Relaciones ternarias (ItFP-3). Son funciones proposicionales con tres argumentos. Por ejemplo: R (x, y, z) = “... está entre ... y ...”. También las leyes de composición binaria son ejemplos de esta tipología. Funciones de

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cuatro argumentos (ItFP-4). Son funciones proposicionales con cuatro argumentos. Por ejemplo: R (x, y, z, w) = “... es a ... como ... es a ...” y en general la proporcionalidad. Funciones de más de cuatro argumentos: se deducen de las anteriores.

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Invariantes del tipo Argumento (ItA). Son instancias o casos particulares concretos de las variables de las funciones proposicionales.

Características de los sujetos con talento La mayor parte de los esfuerzos en la educación especial han ido encaminadas hacia

las minusvalías. En España, la nueva ley General de Educación del sistema educativo para las comunidades autónomas españolas, promulgada en el 1990 contempla, en otros aspectos, la necesidad de adoptar una perspectiva diferenciada de la pedagogía, así como proponer como necesaria y obligatoria la atención a la diversidad.

Las primeras formulaciones del término superdotación, se remontan a la obra de Galton. Marland (1972) (Comisario de educación del gobierno norteamericano) afirma que la superdotación se caracteriza con las siguientes habilidades y aptitudes: habilidad intelectual general, aptitud académica específica, pensamiento creativo o productivo, habilidad de liderazgo, aptitud visual y ejecución en arte, habilidad psicomotriz.

El diccionario de la Real Academia Española define talento, en una de sus acepciones como: “dotes intelectuales, como ingenio, capacidad, prudencia ,etc., que resplandecen en una persona”. Distintos son los autores que han ofrecido taxonomías de los talentos, Tannembaum (1983), surgida del intento de diferenciar la superdotación del talento, elaborando una taxonomía basada en cuatro tipos básicos de talentos: talentos escasos, talentos excedentes, talentos de cuota y talentos anómalos.

De las caraterísticas generales de los niños: “Un rasgo común entre las listas de control de las características y los test de talento matemático es que buscan la destreza en la resolución de problemas, de forma que el trabajo reciente sobre la resolución de problemas es importante en la presente discusión” Freeman (p.221)

Los alumnos de este estudio han sido seleccionados utilizando dos criterio: el test de Raven (1996) y la nominación de los profesores de las respectivas escuelas de los niños.

Problemas Los problemas resueltos por los sujetos corresponden a lo que Verganud (1983)

considera problemas del campo conceptual de la Estructura Multiplicativa. Algunos de los problemas empleados son los siguientes: ¿Cuántas botellas de 0´33 litros hacen falta para envasar 8´75 litros?, ¿Un trozo de queso pesa 0´92 kilogramos. Si un kilo cuesta 6´50 dólares, ¿Cuánto cuesta el trozo de queso?.

Análisis de resultados En este estudio se han realizado las siguientes tareas: 1. Identificar los invariantes

operatorios (Teoremas-en-acción, los conceptos-en-acción, argumentos) evidenciados por los alumnos en sus resoluciones escritas. 2. Describir los conocimientos de elaboración y de ejecución presentes en los esquemas de resolución empleados por los alumnos al resolver los problemas. 3. Describir, analizar y clasificar los esquemas que utilizan los sujetos para producir sus resoluciones de acuerdo a la articulación de los elementos de


conocimiento del esquema. 4. Representar los mapas cognitivos empleados por los sujetos en la resolución de problemas.

Se halló un escalamiento de sujetos en el espacio presentado en la Figura 1. Los sujetos están etiquetados como VAR1 hasta VAR16.

Puntos de objeto

Espacio común

Dimensión 1

1,0,50,0-,5-1,0

Dim

ensi

ón 2

,8

,6

,4

,2

0,0

-,2

-,4

-,6

-,8

VAR16

VAR15

VAR14

VAR13VAR12

VAR11

VAR10

VAR9

VAR8VAR7

VAR6 VAR5

VAR4

VAR3

VAR2

VAR1

Figura 1. Escalamiento multidimensional de sujetos según sus esquemas

Las dimensiones en este escalamiento, permiten encontrar tipologías de sujetos por sus esquemas según los ejes de las dos dimensiones. Se constituyen 4 grupos.

Con el objeto de analizar el significado de las dimensiones se realizó un análisis, encontrando significado indicativo de conocimiento conceptual para la dimensión 1 (Hiebert y Lefevre, 1986; p: 3-5), en particular de proporcionalidad. Este hecho justamente coincide con la aproximación de Piaget al sentido de proporcionalidad, en cuanto se refiere a ella como el establecimiento de relación entre dos relaciones. .Se halló también que la dimensión 2 está relacionada con el conocimiento procedimental de manera inversa.

Mapas cognitivos. Una representación de los esquemas empleando las redes PathFinder.

A continuación se presentan los mapas cognitivos, mapas mentales, o representación de los esquemas empleados por los sujetos en la resolución de los problemas según la terminología de Marshall (1995), que en éste estudio hace referencia al empleo de los invariantes.

Empleado redes Pathfinder, McDonald, Schvaneveldt, y Sitze, (1998), Schvaneveldt (1990). se ha encontrado el Mapa cognitivo promedio para el grupo de los 16 sujetos, el cual está representado en la Figura 2 .

Figura 2. Mapa del esquema promedio del grupo


Este mapa muestra relación directa entre ItA-e, ItFP-2-r, ItFP-3-v y ItFP-2-v con ItFP-4-v que evidencian una conexión con el conocimiento relacionado con ItFP-2-r correspondiente a lo que en el análisis multidimensional se denominó sentido proporcional.

También se obtuvieron mapas cognitivos, empleando redes Pathfinder, para cada uno de los 16 sujetos (Villarraga, 2002. pp 88-93). De los mapas cognitivos presentamos los mapas de los sujetos identificados en el escalamiento como VAR1 (buen conocimiento conceptual, mediano conocimiento procedimental) y VAR16 (poco conocimiento conceptual, poco conocimiento procedimental).

Los mapas de los esquemas referidos a la resolución de los 8 problemas en el sujeto 1 se presentan en la Figura 3.

Figura 3. Mapa del esquema en el sujeto 1

Mapas de los esquemas referidos a la resolución de los 8 problemas en el sujeto 16, se presentan en la Figura 4.

Figura 4. Mapa del esquema en el sujeto 16

Conclusiones Los sujetos participantes en el estudio evidenciaron diversidad de formas de empleo

de esquemas de conocimiento en términos de invariantes operacionales, identificando y caracterizando los invariantes por sujeto y por problema. Los sujetos emplean pocas veces el pensamiento proporcional, el cual esencialmente se identifica con el empleo del invariante ItFP-2-r: invariante tipo función proposicional con dos argumentos relación, es decir relación entre relaciones.

Mediante el análisis de los procedimientos empleados por los sujetos y con la clasificación en funcionales, escalares, valor unidad, descomposición escalar, regla de tres o producto cruz y operación binaria entre datos del problema sin relación directa con la vía de solución esperada del problema, se ha logrado describir los conocimientos de


elaboración y de ejecución presentes en los esquemas de resolución empleados por los alumnos al resolver los problemas.

Se han escalado los sujetos de acuerdo con la tendencia por el empleo de conocimiento procedimental, y con tendencias al uso del conocimiento conceptual de proporcionalidad en un espacio de dos dimensiones y se evidencia la articulación de los elementos de conocimiento del esquema mediante redes Pathfinder.

Implicaciones para la enseñanza y el aprendizaje Es importante que los profesores reciban instrucción sobre la evaluación de los

esquemas de conocimiento cuando se encuentran en situación de enseñanza aprendizaje, así como también que éstos podrían analizar sus propios esquemas y la de otros expertos, en la resolución de los problemas, y comparar éstos esquemas con los empleados por los alumnos en los procesos de aprendizaje. Esto debe conducir a la evaluación cuidadosa de las resoluciones presentadas por los alumnos a la hora de valorar sus conocimientos, como también como retroalimentación para el diseño de situaciones de enseñanza o unidades didácticas.

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237

MARCO PARA EL ANÁLISIS DE PROTOCOLOS DE

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.

José Luis Villegas Castellanos, Universidad de Los Andes, Mérida-Venezuela. [email protected]

Enrique Castro Martínez, Universidad de Granada, Granada, España. [email protected]

Representaciones y Resolución de Problemas

En los últimos años dentro de la comunidad de investigadores en educación matemática, hay un renovado interés entorno a las ideas de representaciones y de sistemas de representación en el ámbito de la enseñanza y aprendizaje. Esto se debe, en gran medida, a que los tipos de representaciones externas de los conceptos matemáticos son elementos fundamentales para su comprensión y, por ende, para su enseñanza y aprendizaje (Castro y Castro, 1997). Lo anterior se puede percibir en un gran número de investigaciones en didáctica de las matemáticas, que confirman la importancia del papel que juegan las representaciones en el desarrollo y adquisición del conocimiento matemático(Cifarelli, 1998; Goldin, 1998; Kaput, 1992).

La NCTM incluye la representación como uno de sus estándares en el “Principles and Standards for School Mathematics” (NCTM, 2000) donde manifiestan la importancia de las representaciones, resaltando que los medios con los cuales las ideas matemáticas son representadas son fundamentales para que las personas puedan entender y usar esas ideas. Asimismo, cuando los estudiantes acceden a las representaciones matemáticas y a las ideas que ellas representan, tienen un conjunto de herramientas que amplían significativamente su capacidad para pensar matemáticamente. Lo anterior también está avalado por investigadores como Hiebert y Carpenter (1992), Kaput (1992) y Skemp(1980) los cuales además indican que el uso de múltiples representaciones debe ser enfatizada durante toda la educación matemática.

De igual manera la resolución de problemas es un tema central en la construcción del conocimiento matemático, y constituye una actividad cognitiva básica que ha sido reconocida como esencial para la teoría y la práctica educativa. Hace ya, más de dos décadas que el National Council of Teachers of Mathematics propuso la resolución de problemas como eje de la enseñanza y el aprendizaje, y lo incluyó en primer lugar de las diez áreas de habilidades básicas en "An Agenda for Action", esta inclusión hizo que las investigaciones en este tópico se incrementasen, logrando grandes avances en los siguientes años.

Los investigadores en resolución de problemas reconocen la importancia que tienen las representaciones y la traducción entre representaciones en la adquisición de conceptos y la resolución de problemas, afirmando que el éxito de los resolutores de problemas competentes pueden ser debidas en gran parte a su habilidad para construir representaciones problema apropiadas para situaciones de resolución de problemas y utilizar esas representaciones como ayuda para entender la información y las relaciones de la situación (Cifarelli, 1998).

238 José Luis Villegas y Enrique Castro

Pensamiento en voz alta y análisis de protocolos Los protocolos verbales son transcripciones que se obtienen de las grabaciones del habla

de individuos mientras están resolviendo una tarea bajo instrucciones de pensamiento en voz alta, estas instrucciones son, básicamente, pensar en voz alta durante la tarea, verbalizando claramente todos los pensamientos que, normalmente, hacían en silencio. A los participantes no se les invita a explicar ó justificar lo que están haciendo, ni ha comentar sus estrategias. Las inferencias de las estrategias cognitivas es la tarea del análisis, no de los participantes (Gilhooly y Green, 2000).

Los métodos de protocolos verbales han sido encontrados útiles en las investigaciones puras y aplicadas, y tienen como objetivos obtener y describir las actividades que constituyen la resolución de problemas en adultos inteligentes así como identificar los procesos cognitivos y mecanismos simbólicos internos que subyacen en los resolutores de problemas. Tales objetivos se alcanzan mejor obteniendo datos desde una situación en la cual el sujeto trata con un problema estimulante y en el cual hay una mínima intervención del investigador (Gindburg, Kossan, Schwartz y Swanson, 1983), ya que lo que se desea observar es el curso del proceso de resolución y no si el resultado es correcto o incorrecto (Schoenfeld, 1985).

Descripción del problema El trabajo que presentamos forma parte de un estudio mas amplio (Villegas, 2002), él

cual estaba dirigido a describir el papel que juegan las representaciones y la traducción entre representaciones que usan los estudiantes de quinto año de la Licenciatura de Matemáticas, especialidad metodología de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Granada, cuando resuelven problemas de optimización.

Para el cumplimiento del objetivo propuesto se consideró necesaria la utilización del análisis de protocolos de resolución de problemas; en el cual los sujetos resuelven un problema y los datos son principalmente las verbalizaciones de los sujetos durante la resolución con algunos comentarios del investigador. Ocasionalmente, “observaciones conductuales pueden también ser hechas” (Gindburg, Kossan, Schwartz y Swanson, 1983). Para la recolección de datos se ha usado el pensamiento en voz alta “thinking aloud”, ya que hay un fuerte incremento en la cantidad de conducta que puede ser observada cuando la comparamos con el mismo sujeto en condiciones de silencio. Además, no es necesario que el sujeto se ejercite antes, para ser capaz de pensar en voz alta y se puede inferir que este reporte verbal es consistente con la estructura de sus procesos cognitivos normales (Ericsson y Simon, 1993).

Una dificultad inicial en el estudio, radicó en el hecho de la inexistencia de un marco para el análisis de protocolos en resolución de problemas de optimización que tomara en cuenta las representaciones y la traducción entre representaciones; por tal razón fue necesaria su elaboración, la cual la hicimos adaptando el análisis de protocolos realizado por Schoenfeld (1985).

Schoenfeld (1985), divide los protocolos de resolución de problemas en trozos (chunks) macroscópicos de conducta constante llamado episodios. Un episodio es un período de tiempo durante el cual un resolutor ó un grupo de resolutores esta ocupado en una acción específica. Esta definición de episodio tiene que estar acompañada para que tenga sentido, de una definición correspondiente de cuales son los tipos de conducta distintas que se van a usar para calificarlos y segmentar así el protocolo en trozos.


En nuestro estudio, en lugar de examinar, como lo hace Schoenfeld, las conductas de los estudiantes en la resolución de problemas, se consideró el uso de las representaciones y la traducción entre representaciones por parte de los estudiantes cuando resuelven problemas de optimización.

Desarrollo del Marco

Una cuestión clave para el desarrollo del marco era definir los tipos de representación que se iban a usar. Para esto se considero las cuestiones que queríamos interpretar, los problemas a aplicar y las investigaciones relacionadas, obteniendo las siguientes representaciones (ver Fig.1):

1. Representación verbal del enunciado del problema: consiste fundamentalmente en el enunciado del problema, que puede ser escrito ó hablado.

2. Representaciones pictóricas: aquella que se hacen a través de dibujos, diagramas ó gráficos, así como cualquier tipo de acción relacionada con estos.

3. Representaciones simbólicas: se refiere a las que se forman de números, signos de operación y de relación; símbolos algebraicos, además de cualquier tipo de acción referida a estos.

Y la traducción entre representaciones:

4. De lo verbal a lo pictórico

5. De lo pictórico a lo simbólico.

6. De lo simbólico a lo verbal.

Fig. 1.1 Tipos de sistemas de representación

Cada una de las representaciones y las traducciones entre representaciones constituyen un episodio; es decir, que consideramos seis episodios. Estos episodios constituían un criterio para el análisis de los protocolos escritos; para realizar este análisis se procedió a recorrer las transcripciones previamente realizada cortando con líneas verticales cada vez que consideraba que un párrafo pertenecía a un episodio en particular.

Al efectuar esta división habían párrafos que no se correspondían con ninguno de los seis episodios anteriores, viéndose la necesidad de anexar un séptimo episodio, en el cual se incluyeron los eventos que no eran catalogados como representación.

Para facilitar la división del protocolo escrito, a los episodios antes mencionados, le fueron anexados indicadores, de tal manera que las categorías de los episodios son descritos teórica y empíricamente (Artzt y Armour-Thomas, 1992). El marco para el análisis de protocolos de resolución de problemas que hemos construido para analizar las


representaciones y la traducción entre representaciones, consta de los episodios mostrados en la tabla 1.

Con este marco para el análisis de protocolos de resolución de problemas se analizaron las transcripciones generando un protocolo escrito el cual fue comprobado por otro investigador usando el mismo marco de análisis de protocolo. Cuando existía duda en ubicar un ítem dentro de un episodio en particular los investigadores observaban de nuevo el vídeo y acordaban a que episodio pertenecía el ítem, incrementando así el grado de credibilidad en el análisis.

Tabla 1. Marco para el análisis de protocolos de resolución de problemas de optimización.

Episodio 1: Representación interna del enunciado del problema.

Descripción: El estudiante lee el problema.

Indicadores:

a. El estudiante lee el problema en voz alta.

b. El estudiante, lee el problema en silencio ó “murmurando”.

c. El estudiante enuncia el problema cambiando algunas palabras por otras propias de su lenguaje personal.

Episodio 4: Traducción entre una representación verbal y una representación Pictóricas.

Descripción: El estudiante relaciona de alguna forma una representación pictórica con una representación verbal.

Indicadores:

a. El estudiante realiza con papel y lápiz una representación pictórica directamente del enunciado, sin modificarlo ó modificándolo a su lenguaje personal.

b. El estudiante transforma ó modifica una representación pictórica de acuerdo a una nueva interpretación del enunciado.

c. El estudiante establece relaciones entre el enunciado y una representación pictórica, a través de verbalizaciones ó gesticulaciones.

d. El estudiante representa elementos pictóricos a través de movimientos corporales, especialmente con las manos, mientras lee el enunciado del problema.

Episodio 2: Representación Pictórica.

Descripción: El estudiante realiza, opera y modifica representaciones pictóricas.

Indicadores:

a. El estudiante dibuja con papel y lápiz una representación pictórica ó bien modifica las representaciones previamente realizadas.

b. El estudiante opera con las representaciones pictóricas.

c. El estudiante señala u observa una representación pictórica ó bien verbaliza términos asociados a las representaciones pictóricas.

d. El estudiante presenta a través de movimientos corporales, bien sea con las manos o otras partes del cuerpo, representaciones pictóricas.

Episodio 5: Traducción entre una representación pictórica y una representación simbólica.

Descripción: El estudiante relaciona de alguna manera una representación pictórica y una representación simbólica.

Indicadores:

a. El estudiante formula una expresión ó parte de ella con lápiz y papel desde una representación pictórica, ó realiza una representación pictórica desde una expresión simbólica.

b. El estudiante establece relaciones entre una expresión simbólica y una representación pictórica a través de verbalizaciones ó gesticulaciones.

c. El estudiante realiza cambios ó elimina una representación pictórica previamente construida debido a resultados obtenidos simbólicamente.

d. El estudiante modifica ó elimina expresiones simbólicas debido a resultados obtenidos en representaciones pictóricas ó a una nueva representación pictórica.

e. El estudiante asigna símbolos a una representación pictórica

Episodio 3: Representaciones Simbólicas.

Descripción: El estudiante realiza, opera y modifica representaciones simbólicas.

Episodio 6: Traducción entre una representación simbólica y una representación verbal.

Descripción: El estudiante relaciona, de alguna manera, una representación simbólica con una representación verbal.


Indicadores:

a. El estudiante resuelve ó intenta resolver con lápiz y papel una expresión simbólica.

b. El estudiante verbaliza como puede resolver una ecuación ó verifica como fue resuelta.

c. El estudiante modifica, rescribe ó elimina una expresión simbólica.

d. El estudiante observa ó señala una expresión simbólica.

Indicadores:

a.El estudiante formula una expresión simbólica ó parte de ella del enunciado, bien sea sin modificarlo ó modificándolo a su lenguaje personal.

b. El estudiante transforma ó modifica una expresión simbólica debido a una nueva interpretación del enunciado.

c.El estudiante reformula el enunciado de una manera diferente debido a algún resultado obtenido en una expresión simbólica.

d. El estudiante asigna una variable a alguna parte del enunciado.

e.El estudiante relaciona una expresión simbólica con el enunciado a través de verbalizaciones ó gesticulaciones.

Episodio 7: Eventos no catalogables como representación.

Descripción: Eventos que no se encuentren en los episodios anteriores.

Indicadores:

a. El estudiante verbaliza expresiones de planificación ó ejecución.

b. El estudiante verbaliza ó gesticula expresiones emocionales ó afectivas.

c. El estudiante verbaliza expresiones de verificación.

A este protocolo le fue anexado el trabajo escrito realizado por el resolutor en la sesión de resolución de problemas, para hacer esto, el investigador observó nuevamente el vídeo, e iba correlacionando, las verbalizaciones realizadas por el resolutor con el material escrito en la sesión de la resolución de problemas, esto se registraba en un folio; el cual se dividía en dos columnas, en la columna izquierda se colocaba lo verbalizado y a su lado, en la columna derecha, lo escrito por el resolutor. Esto se intento hacer lo más parecido posible a lo que el resolutor había hecho en la sesión de la resolución de problemas, de tal forma que al observar el documento, se “perciba” lo que el resolutor estaba realizando en cada momento de la resolución, es decir, que al ir leyendo las verbalizaciones producidas se sepa el momento exacto en que el resolutor escribía en el folio destinado a la resolución del problema.

Conclusiones

El propósito del estudio realizado era describir las representaciones y la traducción entre representaciones usadas en la resolución de problemas de optimización por estudiantes del quinto año de la licenciatura de matemática de la Universidad de Granada, para tal fin en principio, se desarrolló un marco para análisis de protocolos, el cual es una adaptación del desarrollado por Schoenfeld (1985) y toma como episodios112 las representaciones y la traducción entre representaciones. En el proceso de segmentación y codificación surgieron algunos segmentos que no correspondían con los episodios considerados al inicio, por tanto, fue necesario agregarlos, estos episodios fueron considerados como “eventos no catalogados como representación” y comprendían verbalizaciones de planificación ó ejecución, de afectividad y de verificación.

Una vez desarrollado el marco, se le aplico a los protocolos verbales, generados por los resolutores, los análisis de datos generados sugieren la viabilidad y utilidad de este marco para

1períodos de tiempo durante el cual un resolutor esta ocupado en una acción específica


la investigación de la influencia de las representaciones en la resolución de problemas matemáticos213.

Una cuestión importante a reseñar es que la presentación de los protocolos escritos, además de darnos información, es “fácil” y cómoda de leer e interpretar, de tal forma que otros investigadores pueden extraer de ellos sus propias impresiones. Somos concientes de que el marco para el análisis de protocolos elaborado, necesita algunas modificaciones que incrementarían la utilidad de este.

Consideramos que el marco para el análisis de protocolos de resolución de problemas es generalizable para otras unidades conceptuales, además, marcos similares deberían considerar:

a. La inclusión de otros tipos de sistemas de representación314, p.e. Goldin (1987) desarrollo un modelo con cinco tipos de sistemas de representación: verbal, imaginistico, matemático de notación formal, planificación, monitoreo y control ejecutivo, afectivo. Sería interesante desarrollar un marco similar a este, considerando este modelo.

b. La posibilidad de separar los episodios con acciones “positivas” de los episodios con acciones “negativas”, esto daría una mayor visión de los sujetos en pro de su categorización.

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2A pesar que el trabajo se hizo con problemas de optimización, creemos que, bajo ciertos cambios, el marco es valido para otros tipos de problemas. 3Recordemos que al marco para el análisis de protocolos desarrollado fue necesario incluirle un nuevo episodio que incluía la planificación la afectividad y la verificación.


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actas thales

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