UNIVERSIDAD “FERMÍN TORO”VICERECTORADO ACADÉMICO

FACULTAD DE INGENIERÍAESCUELA DE INGENIERÍA

Actividad IIISolución de sistemas de

ecuaciones lineales Método de gaussiana

Alumnos:ERICK GIL C.I: 14,442,417

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

Métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales Método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado.Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).

Ejemplo

Descomposición de LU

Método de descomposición LU para la solución de sistemas de ecuaciones lineales debe su nombre a que se basa en la descomposición de la matriz original de coeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y U).Esto es:

Donde:L - Matriz triangular inferiorU - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.De lo anterior, para matrices de 3x3 se escribe:

Si efectuamos la multiplicación de L y U, igualando los elementos de ese producto con los de la matriz A correspondientes, se obtiene:

De aquí que los elementos de L y U son, en este caso:

Si el sistema de ecuaciones original se escribe como:A x = b ;lo cual resulta lo mismo escribir: L U X = b Definiendo a: U X = Y podemos escribir: L Y = b Resolviendo para Y, encontramos:

El algoritmo de solución, una vez conocidas L, U y b, consiste en encontrar primeramente los valores de "Y" por sustitución progresiva sobre "L Y = b". En segundo lugar se resuelve "U x = y " por sustitución regresiva para encontrar los valores de "x", obteniendo:

La determinación de los elementos de las matrices L y U se realizan eficientemente aplicando una forma modificada del método de eliminación de Gauss. Se observa que el método de descomposición LU opera sólo sobre la matriz de coeficientes, sin modificar el vector de excitación (en este caso b), por lo que resulta superior al método de eliminación gausiana.

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, factorizando la matriz en LU:

Las matrices de factores L y U de A son:

El primer paso es resolver la ecuación L Y = b por sustitución progresiva para obtener los elementos del vector auxiliar Y

El segundo paso es resolver la ecuación U X = Y para encontrar los elementos de X, por sustitución regresiva:

Factorización de CholeskySe define como que una matriz simétrica definida positiva puede ser descompuesta como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior. La matriz triangular inferior es el triángulo de Cholesky de la matriz original positiva definida.

Ejemplo

Factorización de Cholesky

Ejemplo

La descomposición o factorización QR de una matriz es una descomposición de la misma como producto de una matriz ortogonal por una triangular superior. La descomposición QR es la base del algoritmo QR utilizado para el cálculo de los vectores y valores propios de una matriz.

Metodo Gauss Seidel

Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una

solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en

notación matricial.

Metodo Jacobi

El Método de Jacobi transforma una matriz simétrica en una matriz diagonal al eliminar de forma simétrica los elementos que están fuera de la diagonal. Desafortunadamente, el método requiere un número infinito de operaciones, ya que la eliminación de cada elemento no cero a menudo crea un nuevo valor no cero en el elemento cero anterior. Si A es diagonalmente dominante, entonces la sucesión que resulta de la iteración de Jacobi converge a la solución de Ax = b para cualquier vector inicial Xo. Partimos de una aproximación inicial Xo para las soluciones Xi al sistema de ecuaciones y sustituimos estos valores en la ecuación

Muchas Gracias