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Mecánica cuánticaTRANSCRIPT
Universidad Autónoma de Yucatán
Facultad de Ingeniería
Mecánica Cuántica
Actividad # 4: Matrices, espín, suma de momentos y
teoría de perturbaciones
Maestra: Dra. Maritza de Coss
Carrillo Gómez Alejandro
Díaz Serrano Alejandro
Xool Herrera Manuel
Fecha de entrega: jueves 28 de mayo de 2015
1. Realice una investigación del experimento de Stern-Gerlach donde conteste:
Explicar el experimento Stern-Gerlach.
El experimento Stern-Gerlach consiste en revelar una de las propiedades más
importantes de las partículas como lo es el momento magnético intrínseco que poseen
las partículas, independientes del número cuántico que caracteriza el nivel de energía.
Consistió en lo siguiente:
Se hace pasar un haz de átomos de plata a través de
unas rendijas colimadoras para ajustar la trayectoria
del haz de luz, luego el haz colimado atraviesa un
campo magnético no homogéneo que su función
principal es: si el haz de átomos de plata es totalmente
neutro, no posee carga neta para que un campo
magnético homogéneo lo desvíe de su trayectoria rectilínea, que es como sucede. Pero
si el campo magnético es no homogéneo, la geometría de las líneas de campo
cambiarán y se esperaría que el haz de átomos neutros no se desviara; sin embargo
existe una desviación hacia arriba y hacia abajo de las partículas que llegan a la
pantalla receptora, lo que indica que existe una propiedad magnética de las partículas
que se pone de manifiesto en este experimento.
¿Qué es el momento magnético y como se relaciona con el espín de la
partícula?
El momento magnético es una propiedad de las partículas que les permite interactuar
con campos magnéticos externos, ya que se produce un torque que hace que un
material, objeto o partícula con momento magnético sienta una fuerza y tienda a
alinearse en la misma dirección que las líneas e campo magnético.
Se relaciona con el espín del electrón debido a que para que exista un momento
magnético es necesario tener un momento angular, lo que revela el experimento de
Stern-Gerlach es que los electrones en el átomo de plata poseen un momento angular
intrínseco que genera a su vez un momento magnético que les permite interactuar con
el campo no homogéneo, esta característica de los electrones que poseen un
movimiento de rotación alrededor de su propio eje, generando una corriente y a su
vez un pequeño campo magnético que les lleva a tener un momento magnético se le
denomina espín.
Investigue sobre alguna o algunas propiedades macroscópicas
originadas por la propiedad de espín de las partículas.
Una propiedad originada por el espín de las partículas es el magnetismo, cada partícula
genera un momento magnético ya sea por su movimiento alrededor del núcleo del
átomo o por su movimiento de rotación sobre su mismo eje, esto contribuye a que el
momento magnético total de un material sea la suma de los momentos magnéticos
individuales de cada uno de sus electrones.
Investigue sobre alguna tecnología (o aplicación) basada en el espín de
las partículas.
La magnetorresistencia gigante que consiste en un efecto mecánico cuántico que se
observa en estructuras de película delgada compuesta de capas alternadas
ferromagnéticas y no magnéticas. Se observa en una bajada significativa de la
resistencia eléctrica observada bajo la aplicación de un campo magnético externo. Este
efecto se debe a las orientaciones de los espines electrónicos cuando se aplica el
campo magnético externo.
La principal aplicación es la creación por parte de IBM de la cabeza de lectura de los
discos duros de las computadoras actuales.
2. Realice un resumen sobre el tema “suma de momentos angulares”.
Existen tres tipos de sumas de momentos angulares. Suma de espines, suma de
momentos angulares orbitales y suma de momento angular orbital con espín.
Suma de espines:
En un electrón con espín ½ s=(1/2) puede suceder que el espín se encuentre con
espín hacia arriba (1/2) o espín hacia abajo (-1/2), como en la siguiente figura.
Cuando se consideran d os e le c tron e s , cada uno de ellos tienen la propiedad
de espín, entonces se puede considerar que la propiedad de espín son
independientes entre sí.
Considerando que el espín de un electrón es descrito por un operador S1 y el espín
del segundo electrón es S2, se satisfacen las condiciones de conmutación:
Análogamente, las componentes del operador de espín satisfacen:
Debido a que los operadores de espín son independientes entre sí, se
cumple:
Se define el operador de suma de espín o espín total, como: S=S1+S2
Así mismo se define el operador de bajada en función de los operadores de bajada de
cada partícula
S−¿=S1−¿+S2−¿¿¿
¿
Consecuencias de la definición anterior:
1.-Las componentes del operador suma de espín son:
2.- Las componentes del operador suma también cumplen con relaciones de
conmutación.
Por ejemplo:
3.- El operador suma al cuadrado se define:
Considerando 2 electrones, cada uno puede estar en dos estados de espín:
El electrón 1 puede estar en estados
El electrón 2 puede estar en estados
Se espera que los estados del operador suma, sean productos de los estados de
espín de la partícula 1 y los estados de espín de la partícula 2. Existen 4 posibles
estados:
Para poder determinar la proyección hacia el eje de los 4 estados posibles de espín
(de esta forma se va a determinar el valor de cada estado), se aplica el siguiente
operador:
De la misma forma se obtiene:
Recordemos que el eigenvalor del operador S2 es h2 s (s+1) Entonces, si m=1, 0, -
1 corresponde al valor de s=1 (excepto que hay un estado extra adicional con ms=0).
Para resolverlo, se realiza este procedimiento:
Al sumar dos espines ½ (S1=S2= ½) se espera que el valor máximo que puede tomar
la suma de espines sea:
En este caso, si s=1 entonces m=1, 0, -1 . Por lo que de los 4 estados posibles, se
tiene que el estado más alto de la suma de espines, que en notación de brakets (s, m)
corresponde a:
Por lo que se puede aplicar el operador de bajada para conocer todos los estados
posibles:
Entonces, el estado |1,0> se encuentra dado por,
Aplicando nuevamente el operador de bajada (8) al estado dado por (9), se obtiene:
Existe otro estado ortogonal a (9), dado por:
2. Suma de momentos angulares orbitales
Se pueden sumar momentos angulares orbitales utilizando las relaciones triangulares
de la siguiente manera:
Se define el operador de suma de momento angular, en este caso la suma de espines y
con el operador de suma al cuadrado y la proyección en z del operador suma.
y
Sean | j,m> los estados de los operadores mencionados anteriormente, por lo
tanto se cumple que:
La regla de la relación triangular dice que:
Y para cada valor de j, se tiene que:
m = j, j-1, j-2, …, j-1
Estado de la suma de momento angular es una combinación lineal de productos de
los estados de los momentos angulares de las 2 partículas.
3. Suma de momentos angulares orbital y espín
Para este último caso de suma de momentos angulares, se usa nuevamente la
relación, nuevamente se procede en forma análoga al caso anterior.
1.-Se define el operador suma de momento angular, en este caso la suma de espines
J=L+S y se definen los siguientes operadores:
Sean | j, m > los estados de los operadores mencionados anteriormente, se cumple
que:
Aplicando la regla de la relación triangular:
Y para cada valor de j, se tiene que:
m=j, j-1, j-2, …, -j
Ejemplificando los casos de suma de momentos por medio de la relación triangular se
considera el caso de una partícula con momento angular l=1 y espín de s=1/2
Determinar:
a) Los valores que puede tomar el momento angular o suma.
b) El estado más alto de momento angular total.
a) Usando la relación triangular Para este caso:
Entonces, los valores disponibles son: j= 3/2, ½
b) El estado más alto de momento angular, ocurre cuando jmax=32
y mmax=32
El estado de momento orbital más alto es:
En el estado del espín más alto es:
Por lo que el estado del momento angular más alto es:
3. Realice una investigación y resumen de lo visto en clase sobre el tema teoría
de perturbaciones y mencione al menos una aplicación.
En mecánica cuántica la gran mayoría de las veces los problemas que se presentan no
tienen solución analítica por lo que es necesario utilizar métodos aproximados para
obtener información relevante de ellos. Se presentara la teoría de perturbaciones
independientes del tiempo no degeneradas. Para este método partimos de un
Hamiltoneano el cual tiene sus eigenvalores ya conocidos, así como sus
eigenfunciones.
H 0ϕn=En0ϕn
Ahora se trata de encontrar los eigenvalores y las eigenfunciones de un Hamiltoniano
de la forma:
H=H 0+ λ H 1
Cuyas ecuaciones de valores propios es:
(H 0+λ H 1)ψn=Enψn
El Hamiltoniano no perturbado está acompañado de una λ que es el factor que indica
cuanto afectará la perturbación.
Las soluciones de ψn serán una combinación lineal de las soluciones de ϕk por lo que
las soluciones de ψnserán:
ψn=N ( λ )¿
N ( λ ) es el factor de normalización de ψn
La energía estará dada por:
En=En0+λEn
1+ λ2En2+…
Para calcular las correcciones de la energía de primer y segundo orden se tienen las
formulas:
λEn1=⟨ϕn|λ H 1|ϕn ⟩
Para la corrección de primer orden.
En2=∑
k ≠n
⟨ϕn|λ H 1|ϕn ⟩En0−E k
0
Para la corrección de segundo orden.
La teoría de perturbacional es una herramienta extremadamente importante para la
descripción de sistemas cuánticos reales, ya que es muy difícil encontrar soluciones
exactas a la ecuación de Schrödinger a partir de hamiltonianos de complejidad
moderada. De hecho, la mayoría de los hamiltonianos para los que se conocen
funciones exactas, como el átomo de hidrogeno, el oscilador armónico cuántico y la
partícula en una caja están demasiado idealizados como para describir a sistemas
reales. A través de la teoría de las perturbaciones, es posible usar soluciones de
hamiltonianos simples para generar soluciones para un amplio espectro de sistemas
complejo. Por ejemplo, añadiendo un pequeño potencial eléctrico perturbativo al
modelo mecanocuántico del átomo de hidrogeno, se pueden calcular pequeñas
desviaciones en las líneas espectrales del hidrogeno causadas por un campo eléctrico.
4. Por último, realice un cuadro sinóptico del material visto durante el curso.
5. Conclusión
De acuerdo en lo investigado en esta actividad, se distinguen muchas cosas
importantes en los conceptos nuevos; para el espín, es increíble que las
partículas por sí mismas, en este caso del electrón, posean un momento
angular intrínseco que les permitan interactuar con campos magnéticos y con
un estudio de sus propiedades mediante experimentos, se puedan llegar a
desarrollos tecnológicos en beneficio de las personas.
Por otro lado, la teoría de perturbaciones que se basa en cambios o
perturbaciones, valga la redundancia, que afectan a un sistema mecánico-
cuántico y son importantes porque al añadirlos, los modelos físicos se
aproximan a lo que es la realidad, no se queda como un sistema idealizado en
el que se tengan que ignorar ciertos aspectos para simplificar las cosas
didácticamente, pero que en la realidad no se aplican cuando se están
llevando a cabo experimentos.
6. Bibliografía y referencias.
Robinett Richard W., Quantum Mechanics, 1st Edition, p. 376-380, New York
1997, Edit. Oxford University Press.
Griffiths David J., Introduction to Quantum Mechanics, 2nd edition, United
States, Pearson Prentice Hall, 2005, ISBN 0-13-191175-9.
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/spin.html#c4
http://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/el-experimento-
stern-gerlach.html