aczel amir - wielkie twierdzenie fermata

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie FermataWIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

NA ŚCIEŻKACHNAUKIW 1997 roku w serii ukazały się:Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda: Diamenty matematykiRudolf Kippenhahn: Na tropie tajemnic SłońcaKen Croswell: Alchemia nieba. Opowieść o Drodze Mlecznej,gwiazdach i astronomachFrancis Crick: Zdumiewająca Hipoteza, czyli nauka w poszukiwaniuduszyRobert Zubrin, Richard Wagner: Czas Marsa. Dlaczego i w jaki sposóbmusimy skolonizować Czerwoną PlanetęPeter Coveney, Richard Highfieid: Granice złożoności. Poszukiwaniaporządku w chaotycznym świecieRoger Penrose: Makroświat, mikroświat i ludzki umysłSusan Quinn: Życie Marii Curie>-^^-sffV^-W 1998 roku w serii ukazały się:James Shreeve: Zagadka neandertalczyka. W poszukiwaniu rodowoduwspółczesnego człowiekaDonald Goidsmith: Największa pomyłka Einsteina? Stała kosmologicznai inne niewiadome w fizyce WszechświataFrank E. Manuel: Portret Izaaka NewtonaJ. D. Macdougall: Krótka historia Ziemi. Góry, ssaki, ogień i lódW przygotowaniu:Michael White, )ohn Gribbin: Darwin. Żywot uczonegoIgor Nowikow: Rzeka czasu

AMIR D. ACZELWIELKIE TWIERDZENIEFERMATARozwiązanie zagadkistarego matematycznego problemuPrzełożyłPaweł StrzeleckiPrószy^ski i ^l<aWarszawa 1998

Tytuł oryginałuFERMATS LAST THEOREMUniocking the Secretof an Ancient MathematicalProblemCopyright(c)1996by Amir D. AczelAli rights reservedProjekt okładkiKatarzyna A. jarnuszkiewiczZdjęcie na okładceScience Photo Library/EAST NEWSRysunki na podstawiewydania amerykańskiegoKrzysztof BiatkowskiISBN 83-7180-655-8WydawcaPrószyński i S-ka02-651 Warszawa,ul. Garażowa 7Druk i oprawaŁódzka Drukarnia DziełowaSpółka Akcyjnaul. Rewolucji 1905 r. nr 45, Łódź

Strona 1

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermata

Pierrre de Fermat (1601-1665).

SŁOWO WSTĘPNEW czerwcu 1993 roku stary przyjaciel z Kalifornii, TomSchulte, odwiedził mnie w Bostonie. Siedzieliśmyw słonecznej kawiarni na chodniku Newburry Street, a przednami stały napoje w wysokich, oszronionych szklankach. Tomprzerwał głębokie rozmyślania nad niedawnym rozwodem,zwrócił się w moją stronę i rzekł: "Przy okazji, właśnie udowod-niono wielkie twierdzenie Fermata". Pomyślałem, że to na pew-no jakiś nowy żart, a Tom z powrotem zaczął wpatrywać sięw chodnik.Dwadzieścia lat wcześniej Tom i ja byliśmy studentami ma-tematyki na Uniwersytecie Kalifornijskim w Berkeley i dzielili-śmy ten sam pokój w akademiku. Wielkie twierdzenie Fermatabyło częstym tematem naszych rozmów. Dyskutowaliśmy teżo funkcjach, zbiorach, ciałach i topologii. Kto był studentemmatematyki, nie sypiał wiele, gdyż nasza droga życiowa jeżyłasię wprost od trudności. To właśnie odróżniało nas od studen-tów większości innych dziedzin. Czasem nawet dręczyły nasnocą matematyczne koszmary - trzeba było udowodnić to czyinne twierdzenie, zanim nadejdzie ranek. Ale wielkie twierdze-nie Fermata? Nikt nigdy nie wierzył, że zostanie udowodnioneza naszego życia. Twierdzenie było tak trudne l tak wielu ludzipróbowało się z nim zmierzyć przez ponad trzysta lat. Mieliśmy

8 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAteż świadomość, że poszukiwania dowodu doprowadziły dorozwinięcia nowych gałęzi matematyki. Ale próby, jedna zadrugą, wiodły donikąd, a wielkie twierdzenie Fermata stało sięsymbolem nieosiągalnego.Pewnego razu owa aura nieosiągalności i niemożności przy-niosła ml nawet korzyść. Było to parę lat później, równieżw Berkeley, gdy ukończyłem już matematykę i robiłem właśniemagisterium z badań operacyjnych. Pewien arogant szykującydoktorat z matematyki, nieświadomy mojego przygotowaniaw tej dziedzinie, zaoferował mi pomoc, gdy spotkaliśmy sięw miejscu wspólnego zamieszkania, w International House:"Zajmuję się matematyką teoretyczną. Gdybyś miał kiedykol-wiek jakieś zadanie z matematyki, którego nie umiesz rozwią-zać, wal do mnie jak w dym". Chciał odejść, gdy powiedziałem:"Hmmm, no tak... Jest coś, w czym mógłbyś mi pomóc..."Zwrócił się w moją stronę, mówiąc: "Jasne, pokaż, o co cho-dzi", a Ja na rozpostartej serwetce (byliśmy właśnie w jadami)napisałem powoli:x" + y" = z" nie ma żadnych rozwiązań całkowitychdodatnich, gdy n. jest większe od 2."Od wczorajszego wieczoru usiłuję to udowodnić" - powiedzia-łem, podając mu serwetkę. Widziałem, jak zbladł, a potemburknął: "Wielkie twierdzenie Fermata". "Tak - odparłem. -Zajmujesz się matematyką teoretyczną, czy mógłbyś mi po-móc?" Nigdy więcej nie oglądałem Jego twarzy z bliska."Mówię poważnie - powiedział Tom, kończąc drinka. - An-drew Wiłeś. Udowodnił wielkie twierdzenie Fermata w Cam-bridge w zeszłym miesiącu. Zapamiętaj to nazwisko, jeszczeo nim usłyszysz". Wieczorem Tom poleciał z powrotem do Kali-fornii, a ja w ciągu następnych miesięcy przekonałem się, żeprzyjaciel wcale ze mnie nie żartował. Na moich oczach Wiłeśnajpierw był oklaskiwany i wychwalany, potem znalezionolukę w jego dowodzie, potem wycofał się i ukrył na rok, bywreszcie pojawić się znów z poprawionym dowodem. Śledząc tęniekończącą się opowieść, dowiedziałem się również, że Tom

Strona 2

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie FermataSŁOWO WSTĘPNE • 9nie miał racji. Zwracać uwagę należało nie tylko na nazwiskoAndrew Wilesa. Powinienem był - albo raczej powinniśmy byliwszyscy - wiedzieć, że dowód wielkiego twierdzenia Fermatawykracza daleko poza pracę jednego matematyka. Na równiz Wilesem laury należą się także Renowi Rlbetowi, Bany'emuMazurowi, Góro Shimurze, Yutace Taniyamie, GerhardowiFreyowi i wielu innym. Ta książka opowie Warn całą historię,także tę zakulisową, rozgrywającą się z dala od świateł scenyl gazetowego zgiełku. Będzie to także historia intryg, podstępuoraz zdrady.

Moje wtasne doświadczenia z uprawianiemmatematyki można chyba najlepiej oddać, porów-nując je do zwiedzania ciemnego gmaszyska.Wchodzę do pierwszego pokoju; jest ciemno,zupełnie ciemno. Drepczę w kotko i wpadamna meble, dowiadując się stopniowo, gdzie sąustawione. Po jakichś sześciu miesiącach znaj-duję wyłącznik i naciskam go. Światło zalewa na-gle wszystko i wreszcie mogę zobaczyć, gdzie je-stem. A potem wchodzę do następnego ciemnegopokoju...Tymi słowami profesor Andrew Wiłeś opisywał swo-je siedmioletnie poszukiwania matematycznegoświętego Graala.

Tuż przed świtem 23 czerwca 1993 roku profesor JohnConway przyszedł na pogrążony w ciemnościach WydziałMatematyki Uniwersytetu w Princeton. Otworzył drzwi fronto-we własnym kluczem i wbiegł szybko po schodach do swojegogabinetu. W ciągu tygodni poprzedzających wyjazd Jego kolegi,Andrew Wilesa, do Anglii w światku matematyków uporczywiekrążyły niejasne plotki. Conway oczekiwał więc, że wydarzy sięcoś ważnego (nie miał jednak pojęcia co). Włączył swój kompu-ter l zasiadł do biurka, gapiąc się w ekran. O 5:53 z drugiejstrony Atlantyku nadeszła lakoniczna wiadomość, przesłanapocztą elektroniczną: "Wiłeś dowodzi WTF".Cambridge, Anglia, czerwiec 1993W drugiej połowie czerwca 1993 roku profesor Andrew Wiłeśpoleciał do Anglii. Wracał na Uniwersytet w Cambridge, gdzieprzed dwudziestu laty był doktorantem. Jego ówczesny promo-tor, profesor John Coates, organizował w Cambridge konferen-cję poświęconą teorii Iwasawy, o której Wiłeś wiedział bardzodużo, jego doktorat bowiem dotyczył tego właśnie fragmentuteorii liczb. Coates poprosił swego byłego studenta, by zechciał

12 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAwygłosić na konferencji krótki, godzinny wykład na wybranyprzez siebie temat. Ku zaskoczeniu jego l pozostałych organi-zatorów, zazwyczaj nieśmiały i niechętnie przemawiający przedpublicznością Wiłeś zapytał, czy nie mógłby na swe wystąpie-nie dostać trzech godzin zamiast jednej.Przybywając do Cambridge, czterdziestoletni Wiłeś wyglądałjak typowy matematyk: biała koszula z niestarannie podwinię-tymi rękawami, okulary w grubej, rogowej oprawie, nieporząd-ne kosmyki rzednących, jasnych włosów. Wiłeś urodził sięw Cambridge l był to dla niego bardzo szczególny powrót dodomu, powrót połączony ze spełnieniem dziecięcych marzeń.W pogoni za tymi marzeniami Andrew Wiłeś spędził ostatniesiedem lat życia na własnym poddaszu niemal jak więzień.Miał jednak nadzieję, że wyrzeczenia, lata zmagań i długie go-dziny samotności skończą się wkrótce, a on będzie mógł więcejczasu spędzać z żoną i córkami, których przez siedem lat wła-ściwie prawie nie widywał. Rzadko pokazywał się na rodzin-nych obiadach i podwieczorkach, a na kolację zdążał z ledwo-

Strona 3

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermataścią. Za to teraz czuł, że zbierze wszystkie należne mu laury.Instytut Nauk Matematycznych sir Izaaka Newtona w Cam-bridge otwarto niedługo przed przyjazdem profesora Wilesa,który miał tam wygłosić trzygodzinne wykłady. Instytut jestprzestronny, położony w malowniczym otoczeniu w pewnej od-ległości od Uniwersytetu w Cambridge. Szerokie przestrzeniena zewnątrz sal wykładowych wyposażono w miękkie, wygod-ne krzesła, zaprojektowane z myślą, by panom matematykomułatwić nieformalną wymianę pomysłów, a tym samym rozwi-jać naukę.Wiłeś, choć znał większość matematyków przybyłych zeświata na bardzo specjalistyczną konferencję, trzymał się nauboczu. Gdy kolegów zaciekawiło, dlaczego planuje tak długiewystąpienie. Wiłeś odpowiadał, że powinni sami przyjść na je-go wykłady po to, żeby dowiedzieć się, o czym będzie mowa.Była to tajemniczość niezwykła nawet jak na matematyka.Wprawdzie przedstawiciele tej profesji często pracują samotnienad dowodami twierdzeń i wiadomo powszechnie, że nie sąnajbardziej towarzyskimi ludźmi na świecie, ale jednak wyni-

AMIR D, ACZEL • 13kami swych badań zazwyczaj się dzielą. Rezultaty swej pracymatematycy rozprowadzają bez ograniczeń w formie tzw. pre-printów (wydruków wstępnych), zbierając dzięki temu komen-tarze otoczenia, pomocne później, gdy trzeba nadać ostatecznąformę artykułowi tuż przed opublikowaniem. Ale Wiłeś niewręczał preprintów i nie dyskutował o swej pracy. Tytuł jegowykładów: Formy modułowe, krzywe eliptyczne i reprezentacjeGalois nie pozwalał nawet specjalistom domyślić się, w którąstronę zmierza autor. W miarę upływu czasu atmosfera gęst-niała od plotek.Już pierwszego dnia Wiłeś nagrodził zainteresowanie dwu-dziestu słuchaczy zebranych w skupieniu na jego wykładzienieoczekiwanym l potężnym twierdzeniem, a przecież to bytdopiero początek. Zostały mu jeszcze dwa wykłady. Co miałyprzynieść? Dla wszystkich stało się jasne, że wykłady Wilesato miejsce, gdzie należy bywać. Napięcie rosło w miarę gro-madzenia się w sali wykładowej tłumu wyczekujących mate-matyków.Drugiego dnia Wiłeś zwiększył tempo wykładu, przynoszącze sobą ponad dwieście stron zapełnionych wzorami i rachun-kami; formułował nowe twierdzenia i ich długie, abstrakcyjnedowody. Sala była wypełniona po brzegi. Wiłeś znów nie dał ni-komu poznać, dokąd właściwie zmierza, pisząc beznamiętniekredą po tablicy. Gdy nadszedł czas na przerwę, zniknął z sali.Następnego dnia, w środę 23 czerwca 1993 roku, odbył sięjego ostatni wykład. Zbliżając się do sali wykładowej. Wiłeśmusiał torować sobie drogę w tłumie. Ludzie stali na zewnątrz,blokując wejście, a sala pękała w szwach. Wiele osób miało zesobą aparaty fotograficzne. Gdy Wiłeś ponownie wypełniał ta-blicę nie kończącymi się wzorami l twierdzeniami, emocje sięg-nęły zenitu. "Wykład Wilesa mógł mieć tylko jedną kulminację,tylko jedno zakończenie" - powiedział ml później profesor KenRibet z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley. Wiłeś koń-czył ostatnie linijki swego dowodu enigmatycznej i zawiłej hi-potezy, tzw. hipotezy Shimury-Taniyamy. A potem dopisałjeszcze jedną, ostatnią już linijkę, zawierającą przeformułowa-ną wersję twierdzenia sprzed stuleci, wersję, która, jak to udo-

14 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAwodnił siedem lat wcześniej Ken Rlbet, wynikałaby z owej hi-potezy. "I to dowodzi wielkiego twierdzenia Fermata - rzekłskromnie. - Myślę, że na tym skończę".Przez moment na sali panowała pełna zdumienia cisza, po-tem zaś wybuchły spontaniczne gromkie brawa. W błyskufleszy wszyscy wstawali, by podejść z gratulacjami do rozpro-mienionego Wilesa. Parę minut później faksy l poczta elektro-

Strona 4

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermataniczna na całym świecie poinformowały o tym, że najsławniej-szy problem matematyczny wszech czasów został właśnierozwiązany."Najbardziej nieoczekiwany był potop dziennikarzy, któryzalał nas następnego dnia" - wspominał profesor John Coates,który zorganizował konferencję, nie mając pojęcia, że będzieona sceną tak znamienitych osiągnięć. Na całym świecie posy-pał się istny grad gazetowych nagłówków, donoszących o nie-oczekiwanym przełomie. "New York Times" z 24 czerwca1993 roku obwieszczał na pierwszej stronie: "Nareszcie okrzyk•eureka!« w sprawie matematycznej tajemnicy sprzed stuleci"."Washington Post" w dużym artykule nazwał Wilesa "pogrom-cą matematycznych smoków". Wszędzie opisywano osobę, któ-ra najwyraźniej rozwiązała problem matematyczny, opierającysię ludzkim wysiłkom przez ponad 350 lat. W ciągu Jednej no-cy spokojny i ceniący sobie prywatność Andrew Wiłeś trafił nausta wszystkich.Pierre de FermatPlerre de Fermat byt siedemnastowiecznym francuskim praw-nikiem, a także miłośnikiem matematyki. Z formalnego punk-tu widzenia był "amatorem", ponieważ na co dzień wykonywałzawód prawnika. Niemniej żyjący na początku dwudziestegowieku znany historyk matematyki, E. T. Beli, trafnie nazwałFermata "księciem amatorów". Jego zdaniem Fermat miałwśród swych osiągnięć więcej ważnych rezultatów niż więk-szość współczesnych mu "zawodowych" matematyków. Belitwierdził nawet, że Fermat to najbardziej płodny matematyk

AMIR-D. ACZEL • 15siedemnastego stulecia; stulecia, które skądinąd było arenądziałań kilku najtęższych matematycznych umysłów wszechczasów.łNa trzynaście lat przed urodzeniem slr Izaaka Newtona Fer-mat rozwinął podstawowe idee rachunku różniczkowego. Byłoto Jedno z jego najbardziej oszałamiających osiągnięć. Na ogółbowiem uważa się, że to Newton oraz współczesny mu Got-tfried Wilhelm Leibniz stworzyli teorię - zwaną dziś rachun-kiem różniczkowym i całkowym - pozwalającą na zastosowa-nie matematyki do opisu ruchu, sił, przyspieszeń, kształtuorbit ciał niebieskich i innych zjawisk, które podlegają cią-głym zmianom.Fermat fascynował się dziełami matematycznymi starożyt-nych Greków. Być może do swej koncepcji podstaw rachunkuróżniczkowego doszedł właśnie podczas studiowania prac kla-syków matematyki greckiej, Archimedesa i Eudoksosa, żyją-cych odpowiednio w III i IV wieku p.n.e. Dzieła starożytnych,dostępne wówczas w łacińskim przekładzie, Fermat czytywałw każdej wolnej chwili. Jako zdolny prawnik pracował, jeśliwolno tak powiedzieć, na pełnym etacie, lecz dużo czasupoświęcał swemu hobby. Pasjonowały go próby uogólnianiadzieła starożytnych i odnajdywanie nowego piękna w ich zapo-mnianych w ciągu wielu wieków odkryciach. Kiedyś powie-dział: "Znalazłem bardzo wiele niezmiernie pięknych twier-dzeń". Owe twierdzenia Fermat miał zwyczaj notować namarginesach egzemplarzy tłumaczeń starożytnych dzieł, któredo niego należały.Fermat był synem Dominlque'a Fermata, handlarza skóra-mi i zarazem drugiego konsula2 w mieście Beaumont-de-Lo-magne. Matką uczonego była Klara de Long, która pochodziłaz rodziny sędziowskiej. Fermat urodził się w sierpniu 1601 ro-ku (ochrzczono go 20 sierpnia w Beaumont-de-Lomagne). Ro-dzice wykształcili go na prawnika. Chodził do szkoły w Tulu-1 E. T. Beli: Men of Mathematics. Simon and Schuster, Nowy Jork 1937, s. 56.2 Mianem konsulów w ówczesnej Francji określano m.in. sędziów wybranychSpomiędzy kupców (przyp. tłum.).

16 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAStrona 5

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie FermataArichmcticorum Lib. II. 8$tcrułlloqiudratorum,&Canoaes lidem bić etiam locum hłbebunt, vi mn.f.-(luuitlł.OÂSTl O VIII.PnorOtiTYM qu*draium -T ON oftiS.yficł^âyymdiu>derc,nduosquadr.(os. l ^^»sê-n-^yl.^. i-Impcratum l" vi 16. diuidnur «., .<«-',»-.,,»in duos quadracos. Ponatur 'Bl»to^» ArtC A?j«» «(/low-ptimus« OÔportr- igicur 16 9p«ty»ret(. <^ i*5t>3i*' o 'BCy-rec- l CL«q">l" e(rc ^"łdrato. JUwifuusfUlLC. Îli *Ut ^'a-Finzo ouadralum a numens . - i i, o i -.'quo(quot l.bucrit, cum dcfc- ^ "r ^ •'W^-^cłu tot vnitaium quot conii- «9 ł»>«JMra>. <rĄ»MM r •nfa.y,i-aet latus ipfiut ic. cfto a » N. rorônfC*. ^(TU> <AfwnA(i4< n-- 4. ipfe •gitur qu»dr3ius crit rt5r^<i'w^»»?łrV^^-4 Q.-<- K. - K N. hxc «qiu- /" - .,- f i. --• , >bunTur ynkaribu. .< -iCL o/•f(l•'^,/3 ^f* ^•,^WComniunisadiiciarur virimquc «<»» i wp»)A)»et tran <ftw»^(»irdcfetftus , & a fimilibu* aule- ^> ^,''ir[A«'-»Lł (('łr'] ł«JUia imr.nturfiHulia. ficntJ Q«qu»- . ir^^-^"? Wlei ic N. & fic i N. 7 Entiei- ^~ ^ /' • ~t '-v-Jcnr altrr quadraionim T:-' . after "»" <aXyn(rtAB ^ Ac^.'»^«"vcró '.','. & vtriufquc fumma cfl ifwm oyLSKt.fiuia.untC u. y-1 loaf-.•r fen K. & vterque quidr»tui i^y^ y. ^ ^ww, o ^łfl^ccft. "•'<! •'«a\ '"•W •MfŁ'mm. i(a| o py rrr f.KCwwtfJt.iSm. o A ffAfuwnfJi.iKw, 6 dS) f<So •uim3i'mc moSn uMSfsiHfAT^HmfWi^ksir.iuu Kt»mi'-ôcw»p<t'y»y<5^.Notka o wielkim twierdzeniu Fermata w wydaniu Arithmettki Diofantosa, opu-blikowanym przez syna Fermata, Samuela. Oryginalnego egzemplarza książkiDiofantosa z odręcznym zapiskiem Fermata nigdy nie odnaleziono.złe, a w 1631 roku, gdy miał trzydzieści lat, został w tym mie-ście referendarzem. W tym samym roku ożenił się z kuzynkąswej matki, Louise Long. Wkrótce na świat przyszło trzech sy-nów i dwie córki. Prace ojca opublikował po jego śmierci jedenz synów, Clernent Samuel, wykonawca testamentu Fermata.To właśnie z wydanej przez niego i przechowywanej do naszychczasów książki, zawierającej prace uczonego, znamy sławnewielkie twierdzenie Fermata. Clement Samuel de Fermat uznał

AMIR D. ACZEL • 17nagryzmolone na marginesie twierdzenie za fakt ważny i dodałje do kolejnego wydania Jednego z tłumaczeń starożytnychdzieł.Jak wynika z licznych opisów. Fermat wiódł życie spokojne,stabilne, wolne od nieoczekiwanych i gwałtownych zdarzeń.Pracował godnie i uczciwie, w roku 1648 został mianowany naważne stanowisko radcy królewskiego w parlamencie Tuluzy.3Piastował Je aż do śmierci w 1665 roku. Biorąc pod uwagęogrom pracy Fermata na rzecz Korony Francuskiej, służbę któ-rą pełnił umiejętnie, sumiennie i z oddaniem, wielu historykówJest zadziwionych, że starczało mu jeszcze czasu i sił umysłuna uprawianie pierwszorzędnej matematyki, i to na dużą ska-lę. Jeden z ekspertów francuskich sugeruje nawet, że oficjalnapraca Fermata była cenną pomocą w jego matematycznychstudiach, do obowiązku bowiem francuskich radców parla-mentarnych należało zmniejszenie do minimum liczby nieofi-cjalnych kontaktów (po to, by uniknąć pokusy łapownictwal innych przekupstw). Ponieważ Fermat z pewnością potrzebo-wał odprężenia po ciężkiej pracy, a życie towarzyskie musiałograniczyć, matematyka prawdopodobnie stała się dlań pożą-danym wytchnieniem. Pomysły związane z rachunkiem róż-niczkowym nie są bynajmniej jedynym osiągnięciem Fermata.Dzięki Fermatowi rozkwitła teoria liczb. Ważne miejsce w tejteorii zajmuje pojęcie liczby pierwszej.Liczby pierwszeLiczby jeden, dwa i trzy są liczbami pierwszymi.4 Liczba czterynie jest pierwsza, bo jest iloczynem dwóch dwójek: 2x2=4.

Strona 6

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie FermataLiczba pięć Jest pierwsza. Liczba sześć nie jest pierwsza, ponie-waż, podobnie jak cztery, jest iloczynem dwóch mniejszych3 We Francji przed rewolucją 1789 roku nazwa "parlament" oznaczała sąd(przyp. tłum.).4 Zazwyczaj przyjmuje się, że liczba l nie jest ani pierwsza, ani złożona - jesttokwestia dość powszechnie stosowanej umowy, którą być może Czytelnik pamię-ta ze szkoły (przyp. tłum.).

18 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAliczb: 2x3=6. Siedem jest liczbą pierwszą, osiem nią nie jest(2x2x2=8), podobnie jak dziewięć (3 x 3 = 9) i dziesięć (2x5= 10). Ale jedenaście znów jest liczbą pierwszą, ponieważoprócz liii nie ma dwóch liczb naturalnych, których iloczynbyłby równy 11. Tę wyliczankę można przedłużyć: 12 nie jestliczbą pierwszą, 13 jest, 14 nie jest, 15 nie jest, 16 nie jest, 17jest l tak dalej. Nie widać tu żadnej wyraźnej struktury. Niemożna, na przykład, powiedzieć, że co czwarta liczba jestpierwsza; bardziej skomplikowanych prawidłowości też napierwszy rzut oka dostrzec się nie da. Ta sprawa fascynuje lu-dzi od czasów starożytnych. Liczby pierwsze odgrywają w teoriiliczb Istotną rolę l ów brak łatwej do zauważenia struktury po-woduje, że teoria liczb może się wydawać dziedziną niejednoli-tą. Z tej samej przyczyny problemy teorii liczb są izolowanei trudne; ich związki z Innymi gałęziami matematyki wydająsię nie zawsze jasne. Jak powiedział Bany Mazur: "Teoria liczbprodukuje bez wysiłku niezliczone problemy, które wyglądająsłodko i niewinnie jak kuszące kwiatki; mimo to w teorii liczbaż roi się od owadów, które czekają tylko, by zwabić i ukąsićmiłośników kwiatków, a ci, raz ukąszeni, pobudzani są późniejdo nadmiernych wysiłków".5Sławny dopisek na marginesieFermata zauroczył czar liczb; odnajdywał w nich piękno l zna-czenie. Sformułował wiele twierdzeń teorii liczb. Jedno z nichorzeka na przykład, że każda liczba postaci 22n + l (dwa, pod-niesione do potęgi o wykładniku równym dwa do potęgi n, do-dać jeden) jest liczbą pierwszą. Później odkryto, że to twierdze-nie jest fałszywe. Istnieją bowiem liczby, które spełniająpowyższy warunek, ale nie są pierwsze.Wśród łacińskich przekładów starożytnych tekstów Fermatszczególnie upodobał sobie książkę pod tytułem Arithmenca,s Barry Mazur: Number Theory as Gadfiy, "American Mathematical Monthly"98 (1991), s. 593.

AMIR D. ACZEL • 19której autorem był grecki matematyk Diofantos, żyjący w IIIwieku naszej ery. Na marginesie swojego egzemplarza dziełaDiofantosa, obok zadania o rozkładaniu kwadratu liczby nasumę dwóch kwadratów. Fermat umieścił około 1637 roku na-stępujący dopisek po łacinie:Wiadomo, że nie można rozłożyć sześcianu na dwa sześcia-ny ani bikwadratu na dwa bikwadraty, ani żadnej potęgi,oprócz kwadratu, na dwie inne potęgi o tym samym wykład-niku. Odkryłem prawdziwie cudowny dowód tego faktu, jed-nakże ten margines jest zbyt wąski, by go zmieścić.To tajemnicze zdanie zapewniło zajęcie wielu pokoleniom ma-tematyków, próbujących zrekonstruować "prawdziwie cudow-ny dowód", który rzekomo Fermat znał. Twierdzenie, że choćniektóre kwadraty liczb całkowitych można przedstawić w po-staci sumy kwadratów dwóch innych liczb całkowitych (naprzykład, kwadrat piątki, czyli 25, Jest równy sumie kwadratuczwórki - 16 - i kwadratu trójki - 9), a nie da się tego samegozrobić z sześcianami ani żadnymi wyższymi potęgami, wyglądazłudnie prosto. W początkach XIX wieku wszystkie inne twier-dzenia sformułowane przez Fermata były już albo udowodnio-ne, albo obalone. Do rozstrzygnięcia pozostała tylko ta pozor-nie niewinna kwestia. Nadano jej nazwę wielkiego twierdzenia

Strona 7

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie FermataFermata.6 Czy istotnie było ono prawdziwe? Udzielenie twier-dzącej odpowiedzi jest w naszym stuleciu zadaniem przekra-czającym nawet możliwości komputerów. Komputer potrafisprawdzać twierdzenie dla bardzo dużych liczb, nie pomożejednak w sytuacji, gdy trzeba ustalić prawdziwość czegokol-wiek dla wszystkich liczb. Można wypróbować miliardy liczb,a l tak do sprawdzenia pozostanie ich nieskończenie wiele.Wykładników też jest nieskończenie wiele. Dla uzasadnieniawielkiego twierdzenia Fermata potrzebny jest matematycznydowód.6 W literaturze anglojęzycznej powszechnie używa się nazwy "ostatnie twierdze-nie Fermata" (przyp. dum.).

20 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAW XIX wieku akademie nauk we Francji i Niemczech zaofe-rowały nagrody dla autora dowodu. Od tej pory co roku tysiącematematyków i nawiedzonych amatorów wysyłało "dowody" doczasopism matematycznych i wydających osąd ekspertów. Napróżno.Lipiec-sierpień 1993:wykrycie fatalnego przeoczeniaGdy Wiłeś schodził z podestu przy tablicy w ową pamiętnączerwcową środę, wśród matematyków panował ostrożny opty-mizm. Wydawało się, że tajemnica sprzed 350 lat wreszcieznalazła rozwiązanie. Długi dowód Wilesa, wymagający stoso-wania skomplikowanych pojęć matematycznych i teorii nieznanych nie tylko w czasach Fermata, lecz także przed nadej-ściem XX wieku, musiał być sprawdzony przez niezależnychekspertów. Pracę wysłano do kilku czołowych specjalistów.Być może siedem lat samotnych wysiłków w pustelni na stry-chu miało się wreszcie Wilesowi opłacić. Ale radość trwałakrótko: po paru tygodniach w rozumowaniu Wilesa wykrytolukę. Próbował ją załatać, ale luka nie chciała tak po prostuzniknąć. Peter Samak, matematyk z Princeton l bliski przyja-ciel Wilesa, obserwował jego codzienne, pełne udręki zmaganiaz dowodem, który dwa miesiące wcześniej został pokazanyw Cambridge całemu światu. "Było to tak, jakby Andrew pró-bował ułożyć w pokoju za duży dywan - tłumaczył Samak. -Naciągał go i dywan świetnie pasował z Jednej strony pokoju,ale po drugiej stronie właził na ścianę; szedł więc tam i ściągałgo w dół, a dywan wybrzuszał się w innym miejscu. Stwierdze-nie, czy dywan ma rozmiar dopasowany do pokoju, czy nie,przekraczało jego możliwości". Wiłeś wrócił na swój strych,a reporterzy "New York Timesa" i inni przedstawiciele mediówpozostawili go sam na sam z Jego zadaniem. Ponieważ czaspłynął, a dowodu nie było, matematycy (i nie tylko) zaczęli sięzastanawiać, czy w ogóle wielkie twierdzenie Fermata jestprawdziwe. Wiłeś zdołał wprawdzie na chwilę przekonać świat,

AMIR D. ACZEL • 21że posiadł cudowny dowód, lecz oto nagle ów dowód stał sięnie bardziej rzeczywisty niż nie mieszczący się na zbyt wąskimmarginesie, "prawdziwie cudowny dowód" samego Fermata.Między Tygrysem i Eufratem,około 2000 roku p. n. e.Historia wielkiego twierdzenia Fermata jest o wiele starsza niżjego autor. Jest nawet starsza niż Diofantos, którego praceFermat próbował uogólniać. Początki tego nieskomplikowaniewyglądającego, a mimo to głębokiego twierdzenia są równiestare jak ludzka cywilizacja. Ich korzenie sięgają kultury epokibrązu, która rozwinęła się na żyznych terenach między Tygry-sem i Eufratem, w starożytnym Babilonie (dziś Jest to terenIraku). I chociaż wielkie twierdzenie Fermata jest abstrakcyjnel nie ma żadnych zastosowań w nauce, technice czy matema-tyce - nawet w teorii liczb, swej kolebce - rodowód tego twier-dzenia wiąże się z codziennym życiem ludu, który zamieszki-wał Mezopotamię około 2000 roku p.n.e.

Strona 8

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie FermataOkres pomiędzy 2000 a 600 rokiem p.n.e. w dolinie Mezo-potamii można nazwać erą państwa babilońskiego. Był toczas zadziwiającego rozwoju kulturowego, o czym świadczym.in. stosowanie pisma, użycie koła i początki metalurgii. Donawadniania wielkich połaci ziemi między dwiema rzekamiwykorzystywano system kanałów. W miarę rozkwitu cywiliza-cji w żyznej dolinie Babilonu, zamieszkujący tamte nizinystarożytny lud nauczył się prowadzić handel i budować mia-sta, takie jak Babilon czy Ur (w którym urodził się biblijnyAbraham). Prymitywne formy pisma rozwinęły się zarównow Mezopotamii, jak i w dolinie Nilu znacznie wcześniej, bo jużw końcu czwartego tysiąclecia przed naszą erą. W obfitującejw glinę Mezopotamii znaki w kształcie klinów wyciskanotrzcinowym rylcem na glinianych tabliczkach, które późniejwypalano w piecu lub zostawiano, by stwardniały na słońcu.Od kształtu znaków na tabliczkach pochodzi nazwa "pismoklinowe". Pismo klinowe jest najstarsze wśród wszystkich

22 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAznanych odmian pisma, jakich kiedykolwiek używano naświecie.Rozwój handlu i budownictwa w Babilonie oraz starożytnymEgipcie przyniósł zapotrzebowanie na dokładne pomiary. Uczeniobu tych społeczeństw epoki brązu wiedzieli, jak oszacować sto-sunek obwodu kota do jego średnicy. Posługiwali się w tym celuliczbą bliską tej, którą dziś nazywamy n. Budowniczowie potęż-nego zigguratu, biblijnej wieży Babel l wiszących ogrodów Seml-ramidy, jednego z siedmiu cudów starożytnego świata, musieliznać sposoby obliczania pola powierzchni i objętości.Bogactwo mierzy się w jednostkachkwadratowychW Babilonie rozwinięto dość skomplikowany system Uczenia,o podstawie sześćdziesiąt. Dzięki temu babilońscy inżyniero-wie i budowniczowie mogli obliczać wielkości niezbędne w ichcodziennej pracy. Choć nie widać tego na pierwszy rzut oka,kwadraty liczb pojawiają się w życiu w naturalny sposób. Moż-na powiedzieć, że kwadraty liczb przedstawiają bogactwo. Dla-czego? Otóż los rolnika zależy od ilości zebranych plonów. Plo-ny zależą z kolei od powierzchni, na której rolnik może siać.Pole powierzchni to iloczyn długości i szerokości obsiewanegozagonu - tu właśnie pojawiają się kwadraty. Zagon o szeroko-ści i długości równej a ma pole powierzchni równe "a-kwadrat"(a2). Zatem, przynajmniej w tym sensie, bogactwo mierzy sięw jednostkach kwadratowych.Babilończycy chcieli wiedzieć, kiedy można otrzymać kwa-idrat liczby całkowitej, dodając kwadraty innych liczb całkowi-tych. Rolnik, który miał jedno pole o powierzchni dwudziestupięciu jednostek kwadratowych, mógł wymienić Je na dwa polaw kształcie kwadratu: jedno liczące szesnaście jednostek kwa-dratowych i drugie, mające dziewięć jednostek kwadratowych.Zatem pole pięć na pięć jednostek było warte tyle, co dwa pola:Jedno cztery na cztery i jedno trzy na trzy. Ta ważna Informacjapomagała w rozwiązywaniu praktycznych zagadnień. Dzisiaj za-

AMIR D. ACZEL • 23pisalibyśmy ten związek w postaci równania: 52 = 42 + 32.Trójki takich liczb naturalnych, jak 3, 4 i 5, których kwadratyspełniają ów związek, nazywamy trójkami pitagorejskimi nacześć legendarnego greckiego matematyka. Pitagorasa, choćwiadomo, że Babilończycy znali takie trójki Już ponad tysiąclat przed urodzeniem sławnego uczonego. Przekonuje naso tym niezwykła gliniana tabliczka, pochodząca mniej więcejz 1900 roku p.n.e.Plimpton 322Babilończycy mieli na punkcie tabliczek swego rodzaju obse-sję, a dzięki prostej technologii pisma klinowego i obfitości gli-ny mogli ich stworzyć wiele. Glina jest surowcem dość trwałym

Strona 9

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatal dlatego wiele tabliczek zachowało się aż do naszych czasów.Podczas wykopalisk prowadzonych tylko w jednym miejscu,w starożytnym Nippur, odnaleziono ich ponad pięćdziesiąttysięcy. Dziś znajdują się one w zbiorach muzeów w Yale,Columbia i na uniwersytecie w Pensylwanii. Wielu z tych tabli-czek nikt jeszcze nie przeczytał i nie rozszyfrował. W muzeal-nych piwnicach zaczyna pokrywać je kurz.Wśród odczytanych tabliczek na szczególną uwagę zasłu-guje tabliczka, zwana Plimpton 322, znajdująca się w mu-zeum Uniwersytetu Columbia. Na całą jej zawartość składasię piętnaście trójek liczb. Pierwsza liczba każdej trójki Jestpełnym kwadratem, a zarazem sumą dwóch pozostałych liczbdanej trójki, które też są pełnymi kwadratami. Zatem tablicz-ka Plimpton 322 zawiera kwadraty liczb, tworzących piętna-ście trójek pitagorejsklch.7 Są wśród nich m.ln. liczby25 = 16 + 9, odpowiadające najprostszej trójce pitagorej sklej(5, 4, 3), a także 169 = 144 + 25, czyli 132 = 122 + 52. Na py-7 Uwagę społeczności naukowej na tabliczkę Plimpton 322 i zaawansowanypoziom matematyki babilońskiej zwrócił w 1934 roku Otto Neugebauer. Do-kładniejszy opis tych kwestii w języku polskim można odnaleźć np. w pracach:Marek Kordos: Wykłady z historii matematyki. WSiP, Warszawa 1994; Historiomatematyki, pod red. A. P. Juszkiewicza. PWN, Warszawa 1975.

24 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

Fot. Columbia University. Rare Books and Manuscript Library.tanie, z jakich powodów starożytni Babilończycy interesowalisię akurat tymi liczbami, historycy nie udzielają zgodnychodpowiedzi. Jedna z teorii głosi, że to zainteresowanie byłopodyktowane czysto praktycznymi względami; argumentujesię w niej, że Babilończykom do obliczeń w systemie sześć-dziesiątkowym wygodniej było używać liczb całkowitych niżułamków, a ładne, pełne kwadraty liczb całkowitych przyda-wały się do rozwiązywania praktycznych zadań. Inni ekspercisądzą, że zainteresowanie kwadratami liczb całkowitych mog-ło być po prostu przejawem zwykłej ciekawości. Niezależnieod motywów, wydaje się, że tabliczka Plimpton 322 mogła słu-żyć - jako swego rodzaju pomoc dydaktyczna - do tłumacze-nia uczniom rozwiązań zadań, w których występowały kwa-draty liczb całkowitych. Babilończycy bowiem nie rozwijaliogólnych teorii rozwiązywania takich zadań, lecz tworzyli ta-bliczki z listami trójek odpowiednich liczb, a zadaniemuczniów było opanowanie sposobu ich odczytywania i wyko-rzystywania.

AMIR D, ACZEL • 25Starożytne sprzysiężenie czcicieli liczbPitagoras urodził się około 580 roku p. n. e. na greckiej wyspieSamos.8 Zjeździł starożytny świat wzdłuż i wszerz; odwiedzałBabilon, Egipt, może nawet Indie. Podczas swych podróży doBabilonu Pitagoras nawiązał kontakty z tamtejszymi mate-matykami i dowiedział się o badaniach liczb, które późniejnazwano na jego cześć trójkami pitagorejskimi, a które znanebyły wówczas babilońskim uczonym od ponad 1500 lat.Pitagoras spotkał też twórców wspaniałych dzieł sztuki,a matematyczne aspekty cudów architektury niewątpliwienie uszły jego uwadze. Zetknął się również z filozofią i religia-mi Wschodu.Po powrocie do Grecji opuścił wyspę Samos i przeniósł siędo leżącej na podeszwie "włoskiego buta" Krotony. Zwróćmyuwagę na ciekawostkę: Pitagoras zapewne widział większośćz siedmiu cudów świata. Jeden z nich, świątynia Hery, znajdo-wał się na jego rodzinnej wyspie Samos. Ruiny wspaniałejświątyni - do dziś zachowała się tylko jedna samotna kolum-na, która ocalała spośród setek Innych - sąsiadują obecniez nowoczesnym miastem Pythagorion, nazwanym tak na cześć

Strona 10

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermataznamienitego obywatela wyspy. Po drugiej stronie cieśniny,kilka mil na północ wzdłuż brzegu, na terenie dzisiejszej Turcjistała ongiś świątynia Artemidy w Efezie. Kolos Rodyjski znaj-dował się o parę kroków na południe od Samos; w Egipcie Pi-tagoras widział tamtejsze piramidy i Sfinksa, a w Babilonie uj-rzał niewątpliwie wiszące ogrody Semiramidy.Południowa część Półwyspu Apenińskiego, w tym Krotona,w której osiedlił się Pitagoras, była w owym czasie częścią tzw.Magna Graecia, czyli Wielkiej Grecji, obejmującej swym zasię-giem liczne kolonie rozrzucone na wybrzeżach wschodniej czę-ści basenu Morza Śródziemnego. Jedną z takich kolonii stano-8 Istnieją wprawdzie starożytne biografie Pitagorasa, na przykład pióra Dioge-nesa Laertiosa, lecz nie ma pełnej zgody co do tego, czy Pitagoras naprawdęjest postacią historyczną; Arystoteles uważał Pitagorasa jedynie za personifika-cję idei pitagorejskiej (przyp. tłum.).


wiła później Aleksandria - potomkowie ludności etniczniegreckiej przetrwali w niej do początków wieku dwudziestego.Niedaleko Krotony położone były Jaskinie licznych wyroczni,w tym stawnej wyroczni delficklej, przepowiadającej (czy traf-nie, to inna sprawa) losy ludzi i narodów.Wszystko jest liczbąNa jałowych, kamienistych, skąpanych w bezlitosnym słońcuterenach Półwyspu Apenińskiego Pitagoras założył tajemnyzwiązek, którego celem stało się studiowanie własności liczb.Zgodnie z popularnym poglądem członkowie tego związku,tak zwani pitagorejczycy, stworzyli - pracując w głębokiej ta-jemnicy - solidny kawał matematycznej wiedzy. Uważa się, że

AMIR D. ACZEL • 27pitagorejczycy wyznawali doktrynę intelektualną, którą dobrzestreszcza ich motto: "wszystko jest liczbą". Różne liczby, obda-rzone wedle pitagorejczyków cechami magicznymi, były dlanich przedmiotem swoistego kultu. W kręgu zainteresowańpitagorejczyków znalazły się m.in. liczby "doskonałe", pojawia-jące się także w badaniach uczonych średniowiecza i w mistycz-nej żydowskiej Kabale. Liczba doskonała to liczba naturalna,która jest sumą wszystkich (nie licząc jej samej) swych dzielni-ków. Najprostszy przykład stanowi szóstka, która jest iloczy-nem trójki, dwójki i jedynki; w dodatku są to jej wszystkie (nielicząc jej samej) dzielniki. Mamy więc 6 = 3 x 2 x l. Zauważmyjednak, że jeśli - zamiast mnożyć - dodamy te liczby, to wyniksię nie zmieni: 6=3+2+ l. To zaś oznacza, że szóstka jest licz-bą doskonałą. Inną liczbą doskonałą jest 28, której dzielnikamisą l, 2, 4, 7 i 14; łatwo sprawdzić, że 28 = l + 2 + 4 + 7 + 14.Pitagorejczycy wiedli ascetyczny tryb życia, pełen rozlicz-nych obwarowań i zasad. Nie Jedli na przykład bobu, gdyż, ichzdaniem, swym kształtem przypominał jądra. Ich zaabsorbo-wanie liczbami miało charakter religijny; na religijnych pod-stawach także opierał się rygorystycznie przez nich przestrze-gany ścisły wegetarianizm. Nie znamy wprawdzie żadnychdokumentów pisanych z czasów Pitagorasa, lecz wiele niecopóźniejszych źródeł starożytnych przedstawia dzieło mistrzal jego uczniów, a sam Pitagoras uznawany jest za jednegoz największych matematyków starożytnych. Przypisuje mu sięodkrycie twierdzenia, zwanego dziś twierdzeniem Pitagorasa,mówiącego o kwadratach długości boków trójkąta prostokąt-nego. Ma ono ścisły związek z trójkami pitagorejskimi, a po-średnio wiąże się też z młodszym o dwa tysiąclecia wielkimtwierdzeniem Fermata.Kwadrat przeciwprostokątnej Jest równysumie kwadratów pozostałych boków...Samo twierdzenie znane było zapewne już w Babilonie, Babl-lończycy bowiem wiedzieli o istnieniu trójek pitagorejsklch.

Strona 11



Y2Sformułowanie ogólnego zagadnienia geometrycznego, którema sens nie tylko wtedy, gdy długości boków są Liczbami natu-ralnymi, przypisuje się jednak pitagorej czy koma. TwierdzeniePitagorasa (proszę spojrzeć na rysunek powyżej) głosi, że kwa-drat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadra-tów długości przyprostokątnych.Gdy długość przeciwprostokątnej Jest liczbą maturalną (naprzykład równą 5), to może się zdarzyć tak, że wśród dopusz-czalnych przez twierdzenie Pitagorasa długości przyprostokąt-nych znajdziemy parę liczb naturalnych (dla pi-ątki rzeczywi-ście tak Jest - wystarczy wziąć trójkę i czwórkę). Innymi słowy,jeśli długości boków trójkąta prostokątnego są l iczbami natu-ralnymi, to tworzą trójkę pitagorejską (i być moż=e znajdują sięna tabliczce Plimpton 322, chociaż nie jest to takie pewne,albowiem różnych trójek pitagorejskich Jest niesl-esńczenie wie-le, a więc dużo więcej niż na sławnej tabliczce, która zawieraich zaledwie 15).

AMIR D. ACZEL • 29000

0000

0 0

000

0

00

0

Nawiasem mówiąc, pitagorejczycy wiedzieli także, że kwa-draty liczb naturalnych są sumami kolejnych liczb nieparzy-stych: 22 = 4 = l + 3; 32 =9=1+3+5; 42 = 16 =1+3+5+7itd. Ilustrowali tę prawidłowość, rysując kółka układające sięw kwadratowy wzór. Gdy dołożymy nieparzystą liczbę kółek,umieszczając je wzdłuż dwóch sąsiednich boków kwadratu,powstanie nowy kwadrat.Liczby naturalne, wymierne i co jeszcze?Liczby całkowite, a także liczby wymierne (to znaczy liczby ta-kie, jak 1/2, 1/3, 5/8, 147/1769 itp.) znane były w starożyt-ności zarówno w Egipcie, jak i Babilonie. Pitagorejczycy odkry-li, że istnieją jeszcze liczby niewymierne - nie można ichzapisać w postaci ułamka o liczniku i mianowniku natural-nym, zaś ich rozwinięcia dziesiętne składają się z nieskończe-

Strona 12

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatanie wielu chaotycznie, nieokresowo rozmieszczonych cyfr. Licz-bą niewymierną j est na przykład liczba K = 3,141592653...,która wyraża stosunek obwodu koła do jego średnicy. W uło-żeniu nieskończenie wielu cyfr, tworzących rozwinięcie dzie-siętne liczby TI, nie widać żadnej regularności; wypisanie tychwszystkich cyfr zajęłoby całą wieczność. Oszczędzamy cenny

30 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAczas, używając jako symbolu greckiej litery n. Możemy też po-służyć się przybliżeniem, wypisując skończoną liczbę cyfr poprzecinku. W tej chwili, dzięki zastosowaniu komputerów,znamy ich miliony, a nawet miliardy, choć do większościpraktycznych celów wystarczy kilka początkowych.Różne przybliżenia liczby TC znane były już Egipcjanom i Ba-bilonczykom w drugim tysiącleciu przed naszą erą. Zaintereso-wanie tą liczbą wiąże się w naturalny sposób z wynalezieniemkota. Przyjmowano, że n to nieco więcej niż 3. Co ciekawe, licz-ba 7t oddaje też niektóre proporcje piramidy Cheopsa. Niejaw-ną wzmiankę o n odnajdzie też uważny czytelnik PierwszejKsięgi Królewskiej Starego Testamentu (l Kri 7, 23), śledzączawarty tam opis budowy kolistego zbiornika na wodę. Z poda-nych wartości obwodu i średnicy możemy wnioskować, żeprzyjęta przez Izraelitów wartość n równała się, z grubsza bio-rąc, trzy.Pitagorejczycy odkryli, że pierwiastek z dwóch jest licz-bą niewymierną. Stosując twierdzenie Pitagorasa do trój-kąta prostokątnego o dwóch bokach jednostkowej długo-ści, stwierdzili, że długość przeciwprostokątnej takiegotrójkąta wyraża się dziwną liczbą: jej kwadrat jest równydwójce. Potrafili precyzyjnie wykazać, że nie jest to ani licz-ba całkowita, ani też ułamek (mówiąc ściślej: iloraz dwóchliczb naturalnych). Cyfry rozwinięcia dziesiętnego pierwiast-ka z dwóch nie powtarzają się w żaden regularny spo-sób. Podobnie jak w przypadku TI, wypisanie wszystkichcyfr rozwinięcia trwałoby całą wieczność, tworzą bo-wiem one nieskończony, jedyny w swoim rodzaju ciąg, w ni-czym nie przypominający ciągu takiego jak na przykład:1,8571428571428571..., który przecież łatwo możemy do-kładnie opisać, nie wymieniając wcale jego wszystkich cyfr.Każda liczba, która ma okresowe rozwinięcie dziesiętne(w naszym przykładzie okres stanowi powtarzająca się zbit-ka sześciu cyfr 857142), jest liczbą wymierną, czyli ilorazemdwóch liczb naturalnych a l b, a to znaczy, że możemyją zapisać w postaci ułamka a/bo naturalnym licznikul mianowniku. Na przykład iloraz 13/7 jest równy liczbie

AMIR D. ACZEL • 311,8571428571428571... - sześciocyfrowy ciąg 857142 po-wtarza się po przecinku w nieskończoność.Odkrycie niewymiemości pierwiastka z dwóch było dla pita-gorejczyków - zagorzałych wielbicieli liczb - nieprzyjemną nie-spodzianką. Zaprzysięgli, że nie podzielą się tą wiadomościąz nikim, kto nie byłby członkiem ich związku. Tajemnicy nieudało się Jednak zachować. Jedna z legend głosi, że zdrajcę,który ujawnił światu sekret istnienia dziwnych liczb niewy-miernych, Pitagoras skazał na śmierć przez utopienie i samwykonał wyrok.Na osi liczbowej znajdują się liczby dwóch rodzajów: wy-mierne i niewymierne. Razem wypełniają one oś liczbowąszczelnie, nie pozostawiając najmniejszej dziurki. Liczby roz-mieszczone są w bardzo, bardzo małych (nieskończenie ma-łych) odstępach. Mówi się, że ułożenie liczb niewymiernychwśród liczb rzeczywistych jest gęste. Oznacza to, że każdy,choćby i najmniejszy, odcineczek osi liczbowej zawiera liczbyniewymierne. Co więcej, w każdym dowolnie małym otoczeniukażdej liczby wymiernej jest nieskończenie wiele liczb niewy-miernych, a w każdym dowolnie małym otoczeniu liczby nie-

Strona 13

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatawymiernej jest nieskończenie wiele liczb wymiernych. Mówiącnieco inaczej, oba podzbiory osi liczbowej - a więc liczbywymierne i liczby niewymierne - są nieskończone i bardzo do-kładnie nawzajem przemieszane. Okazuje się jednak, że nie-skończoności mogą być różne, a liczb niewymiernych jestw pewnym sensie nieporównywalnie więcej niż wymiernych.W latach siedemdziesiątych XIX wieku udowodnił ten faktniemiecki matematyk Georg Cantor (1845-1918), który stwo-rzył naukę o własnościach zbiorów, tzw. teorię mnogości.Z początku niewiele osób było skłonnych dać wiarę jego od-kryciom. Autora teorii, pozwalającej określić, ile jest liczb wy-miernych, a ile niewymiernych, wyszydzał i ośmieszał jego ar-cywróg, Leopold Kronecker (1823-1891), znany ze swegostwierdzenia: "Liczby naturalne stworzył dobry Bóg, reszta zaśJest dziełem człowieka". Miało to znaczyć, że liczby niewymier-ne, takie Jak choćby pierwiastek z dwóch, nie istnieją napraw-dę, lecz są jedynie idealnymi tworami naszej wyobraźni. Przy-

32 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAMiędzy dwiema dowolnymi liczbami wyinierryinlleży Jakaś liczba niewymierna.i t Uo i ? 1 n 2Liczby wymierne to ułamki o całkowitym liczniku l mianowniku.pomnijmy: rzecz działa się ponad dwa tysiące lat po odkry-ciach pitagorejczyków! Oskarża się czasem Kr-oneckera o to,że z powodu jego wrogości Cantor nie objął prestiżowej profe-sury na Uniwersytecie Berlińskim i ostatecznie, po licznychzałamaniach nerwowych, skończył w przytułku dla obłąka-nych. Dziś wszyscy matematycy przyznają rację Cantorowil zgodnie twierdzą, że chociaż oba zbiory, liczb wymiernychl liczb niewymiernych, są nieskończone, to dr-ugi z nich jestnieskończenie wiele razy większy. Lecz czy starożytni Grecy towszystko wiedzieli?9Pitagorejskie dziedzictwoWażnym aspektem pitagorej sklej doktryny, ob ok uwielbienialiczb, nakazów przestrzegania odpowiedniej ddiety oraz owia-nych nimbem tajemnicy spotkań i rytuałów, było także uzna-nie studiów filozoficznych i matematycznych za moralny obo-wiązek i cel życia. Niektórzy twierdzą, że słowa "filozofia" (czyliumiłowanie mądrości) i "matematyka" (pochodź ące od greckle-9 Cantor w istocie poszedł dużo dalej i postawił hipotezę, że- nie istniejeżadenzbiór, który miałby istotnie więcej elementów niż zbiór liczb* wymiernych i jed-nocześnie istotnie mniej niż zbiór liczb niewymiernych. To zdanie nosi nazwę hi-potezy continuum. W 1963 roku Pauł Cohen udowodnił niezależność hipotezycontinuum. Oznacza to, że można bez obaw dołączyć ją do i nnych aksjomatówteorii mnogości albo - równie dobrze - można przyjąć za p ewnik, że hipotezacontinuum jest fałszywa. Istnienie takich alternatywnych matematycznychświatów pozostaje jednym z najdziwniejszych faktów podsta-w matematyki.

AMIR D, ACZEL • 33go mathem, co znaczy "uczyć się" lut) "wiedzieć") utworzył samPitagoras, który zgłębianie wiedzy matematycznej traktował ja-ko swego rodzaju dążenie do wolności i poznania harmoniiświata.Pitagoras zmarł około 500 r. p.n.e., nie pozostawiając po so-bie żadnych dzieł utrwalonych na piśmie. Szkoła w Krotonieuległa zniszczeniu, gdy grupa, rywalizująca z pitagorej czykamlo polityczne wpływy, podczas niespodziewanego napadu wy-mordowała większość członków tej szkoły filozoficznej. Nielicz-ni, którzy zdołali ocaleć, rozproszyli się po ówczesnym greckimświecie wokół basenu Morza Śródziemnego, zabierając ze sobąswą filozofię i mistyczną miłość do liczb. Wśród nowychuczniów garstki uchodźców znalazł się m.in. Filolaos z Taren-tu, studiujący matematykę i filozofię w szkole założonejw owym mieście przez pitagorejczyków. Filolaos to pierwszy

Strona 14

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermataz greckich filozofów, który spisał historię i osiągnięcia związkupitagorejczyków. Właśnie z jego książki Platon poznawał,a później sam opisał pitagorejską kosmologię, filozofię liczbyi mistycyzm.Znakiem i symbolem związku pitagorejskiego był penta-gram, czyli pięcioramienna gwiazda wpisana w pięciokąt fo-remny. Ramiona gwiazdy to przekątne pięciokąta, które, prze-cinając się, tworzą następny, mniejszy pięciokąt foremny(odwrócony do góry nogami). Gdy narysujemy przekątnemniejszego pięciokąta, utworzą one jeszcze jeden pięciokąti tak dalej, w nieskończoność. Pięciokąt foremny i gwiazda z je-go przekątnych mają ciekawe własności, które pitagorejczycyuznawali za magiczne. Punkt przecięcia dwóch przekątnychdzieli każdą z nich na dwie nierówne części. Stosunek długościcałej przekątnej do długości większego odcinka jest równy sto-sunkowi długości większego odcinka do długości mniejszegoodcinka. Ten sam stosunek długości odcinków powtarza sięw kolejnych, coraz mniejszych pięciokątach. Nazywa się go za-zwyczaj współczynnikiem złotej proporcji (albo złotego podzia-łu). Jest to liczba niewymierna 1,61803398... Gdy podzielimyjedynkę przez tę liczbę, to zostanie tylko część ułamkowa, czyli0,61803398... Taki sam wynik otrzymalibyśmy, odejmując od


współczynnika złotej proporcji jedynkę. Jak się przekonamynieco później, złota proporcja występuje w różnych zjawiskachprzyrodniczych, a oko ludzkie jest skłonne postrzegać ją jakoszczególnie piękną. Współczynnik złotej proporcji jest granicz-ną wartością stosunków kolejnych liczb Fibonacciego - sław-nych liczb, które spotkamy już wkrótce.Czytelnik może sprawdzić, że współczynnik złotej proporcjipojawia się w Interesujący sposób w wyniku wykonania seriiprostych działań na kalkulatorze. Trzeba mianowicie zacząć odJedynki, potem nacisnąć trzy klawisze: +, l, =, później klawiszl/x, następnie znów trzy klawisze +, l, =, znowu l/xitd. Jeślitylko wystarczy nam cierpliwości, po kilkunastu krokach kal-kulator zacznie wskazywać na przemian 1,618... l 0,618...Większa z tych liczb to właśnie współczynnik złotej proporcji,równy w rzeczywistości połowie sumy jedynki i pierwiastkakwadratowego z pięciu. Można się o tym przekonać, układająci rozwiązując równanie opisujące złotą proporcję. Z niewymier-ności pierwiastka kwadratowego z pięciu wynika niewymier-ność współczynnika złotej proporcji (w doświadczeniu z kalku-latorem obserwujemy w istocie tylko Jego coraz dokładniejszewymierne przybliżenia). Temu zjawisku przypatrzymy się jesz-cze bliżej nieco później.Pitagorejczycy odkryli także, że jeśli stosunek długościdwóch napiętych strun wyraża się niewielkimi liczbami natu-ralnymi, to struny te wydają dźwięki przyjemnie współbrzmią-

AMIR D. ACZEL • 35ce. Według Arystotelesa pitagorejczycy wierzyli, że Wszech-świat to przede wszystkim muzyka i liczby. Ich wiara w zasadę,zgodnie z którą wszystko jest liczbą, miała swoje źródła w kon-templacji harmonii, widocznej m.in. w muzyce czy geometrii.Pitagorejczycy sądzili ponadto, że wszystkie podstawowe sto-sunki w muzyce można opisać liczbami: l, 2, 3 i 4, które sąprzez to ważniejsze od innych. Suma tych liczb to 10; dlategowłaśnie liczymy w systemie dziesiętnym. Pitagorejczycy przed-stawiali liczbę 10, rysując trójkąt o nazwie tetraktys:10Oo o0000000Na tetraktys, uznany za świętość, pitagorejczycy składali

Strona 15

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermataprzysięgi. Nawiasem mówiąc, Arystoteles, Owidiusz i wielu In-nych klasycznych autorów podaje, że liczba dziesięć jest pod-stawą systemu liczenia dlatego, że człowiek ma dziesięć pal-ców u rąk. Przypomnijmy jednak, że Babllończycy korzystaliz systemu liczenia o podstawie 60. Pewne ślady innych syste-mów liczenia przechowały się aż do dzisiaj. Francuska nazwaliczby 80 [au.atre-vin.gt, co znaczy "cztery dwudziestki"11) topozostałość dawnego celtyckiego systemu liczenia, opartegona liczbie 20.10 D. Wells: Curious and Interesting Numbers. Penguin Books, Londyn 1987, s. 81.11 Inne "dwudziestkowe" liczebniki są używane do dziś na przykład w językuduńskim (przyp. dum.).

36 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATANapinanie liny. Nil i narodziny geometriiIstotna część naszej wiedzy o matematyce starożytnej Grecjipochodzi z Elementów Euklidesa, który żył w Aleksandrii oko-ło 300 roku p.n.e. Przypuszcza się, że pierwsze dwie księgiElementów składają się w całości z rezultatów badań prowa-dzonych przez Pitagorasa i członków jego tajemnego bractwa.Matematykę w starożytnej Grecji uprawiano z powodu jejpiękna. Obiektem zainteresowań były przede wszystkim abs-trakcyjne figury geometryczne. Grecy rozwinęli pełną, aksjo-matyczną teorię geometrii, którą do dziś w niemal nie zmie-nionym kształcie poznają uczniowie szkół całego świata.W Istocie Elementy, czy też raczej to, co się z nich do dziś za-chowało, uważa się niekiedy za najwspanialszy podręcznikwszech czasów.Słynny historyk starożytnej Grecji, Herodot, sądził, że geo-metria powstała w starożytnym Egipcie około 3000 lat p.n.e.,na długo przed dokonaniami Greków z Aleksandrii i innych te-renów. Opowiada on, jak wylewy Nilu niszczyły granice międzypołożonymi w żyznej delcie tej rzeki polami uprawnymi, co po-wodowało, że trzeba było dokonywać skomplikowanych pomia-rów. W tym celu miemiczowie rozwinęli proste pojęcia geome-tryczne. W swoich Dziejach Herodot pisał o tym w sposóbnastępujący:Gdy rzeka zabrała komuś część jego własności, król wysyłałosoby dla zbadania i dokładnego wymierzenia wielkościowej straty. Praktyka ta doprowadziła, jak sądzę, do po-wstania w Egipcie geometrii, a stamtąd przejęli ją Grecy.12Geometria to badanie kształtów i figur, a więc okręgów, li-nii prostych, trójkątów, łuków, a także ich najróżniejszychprzecięć i konfiguracji. Rozum podpowiada, że tego rodzajuwiedza jest w miernictwie niezbędna. Egipskich geometrównazywano "napinającymi linę", bo linie proste, potrzebne za-12 C. Boyer: A History of Mathematics. John Wiley & Sons, Nowy Jork 1968, s. 9.

AMIR D. ACZEL • 37równo podczas budowy piramid i świątyń, jak l przy ponow-nym wyznaczaniu zniszczonych granic między polami upraw-nymi, wytyczano właśnie za pomocą lin. Przypuszcza się cza-sem, że początki geometrii mogą być jeszcze starsze. Wśródznalezisk z epoki neolitu są przykłady przystawania i symetriirysunków. Być może tam należałoby szukać praźródeł egip-skiej geometrii, którą po stuleciach odziedziczyli i wspanialerozwinęli starożytni Grecy. Rozpatrywane przez Babilończy-ków problemy mierzenia powierzchni pól uprawnych (co, jakwiemy, prowadzi do pojawienia się trójek pitagorejskich) byłyteż zapewne przedmiotem zainteresowania Egipcjan, którzy -obok zagadnień konstrukcyjnych, wynikłych przy budowiepiramid - musieli przecież roztrząsać podobne zadania zwią-zane z rolnictwem. Niewykluczone więc, że również starożytniEgipcjanie wiedzieli o istnieniu trójek pitagorejskich. Jednakto Grecy zmienili geometrię w dziedzinę rozważań czysto ma-tematycznych. Prócz twierdzeń formułowali oni bowiem takżedowody.

Strona 16

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie FermataCo to jest twierdzenie?Grecy wprowadzili i przekazali nam pojęcie "twierdzenia".Twierdzenie to (matematyczne) zdanie zaopatrzone w dowód.Dowód twierdzenia polega na uzasadnieniu jego prawdziwościw sposób tak ścisły, by nie mógł podawać go w wątpliwośćnikt, kto postępuje zgodnie z regułami logiki i jest gotów uznaćskromny zbiór najprostszych pojęć i rządzących nimi podsta-wowych zasad, czyli tak zwanych aksjomatów. Na początkupierwszej księgi Elementów Euklidesa podane są m.in. okre-ślenia punktu i prostej, a także zdanie, z którego wynika, żedwie proste równoległe się nie przecinają. Wychodząc od ak-sjomatów i budując ciągi logicznych rozważań w rodzaju "jeśliz A wynika B, a z B wynika C, to wówczas z A wynika C", Gre-cy udowodnili wiele ważnych twierdzeń, opisujących geometriętrójkątów, kwadratów, okręgów, kuł oraz najrozmaitszych wie-lokątów czy wlelościanów.

38 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA"Eureka! Eureka!"Wielcy matematycy greccy, Eudoksos (IV wiek p.n.e.) i Archi-medes (III wiek p.n.e.), rozszerzyli ludzką wiedzę z zakresugeometrii, proponując metodę określania pól z wykorzysta-niem wielkości nieskończenie małych. Eudoksos z Knidos(408-355 p.n.e.) był uczniem i przyjacielem Platona. Zbyt bied-ny na to, by mieszkać w ateńskiej Akademii, osiedlił się w por-towym mieście Pireus, gdzie życie było znacznie tańsze; stam-tąd każdego dnia docierał do Akademii Platońskiej. Platon,choć sam nie był matematykiem w ścisłym znaczeniu tego sło-wa, zachęcał swych utalentowanych uczniów, takich jak Eu-doksos, do prowadzenia badań matematycznych. Eudoksospoznawał geometrię zarówno w Grecji, jak i w Egipcie, do któ-rego podróżował. Wprowadził do matematyki tzw. metodę wy-czerpywania, określaną niekiedy mianem całkowania starożyt-nych. Był to szalenie zmyślny sposób znajdowania pól figurmetodą dodawania nieskończenie wielu pól coraz mniejszychfigur o szczególnie prostym kształcie. Na tym samym polegaw gruncie rzeczy współczesny rachunek całkowy - stosowanew nim przejścia graniczne niewiele się różnią od metody wy-czerpywania Eudoksosa.Najbardziej błyskotliwym matematykiem starożytności oka-zał się jednak bez wątpienia Archimedes (287-212 p.n.e.), któ-ry żył w Syrakuzach na Sycylii. Archimedes, syn astronomaFidiasza, był także spokrewniony z królem Syrakuz, Heronem II.Podobnie jak Eudoksos, Archimedes rozwijał metody oblicza-nia pól i objętości. W jego dziełach można łatwo odnaleźć śladypomysłów rodem z rachunku różniczkowego i całkowego - byłjednym z prekursorów obu tych dziedzin. Archimedes intere-sował się przede wszystkim czystą matematyką: liczbami, geo-metrią, polami figur geometrycznych Itd.; dobrze wiemy takżeo jego osiągnięciach w zakresie zastosowań matematyki. Bar-dzo znana anegdota13 dotyczy odkrycia przezeń pierwszego13 Anegdota ta była chętnie opowiadana przez dziewiętnastowiecznych nauczy-cieli dla ubarwienia postaci Archimedesa (przyp. tłum.).

AMIR D. ACZEL • 39prawa hydrostatyki, zwanego też prawem Archimedesa. Mówi,ono, że ciało zanurzone w cieczy traci na wadze tyle, ile ważywyparta przez nie ciecz. Oto historia odkrycia tego prawa;W owych czasach żył w Syrakuzach nieuczciwy złotnik. KrólHeron zwrócił się do swego przyjaciela i krewnego, Archimede-sa, z prośbą o udowodnienie oszustwa czarno na białym.Archimedes zaczął śledztwo od badania utraty wagi przezprzedmioty zanurzone w wodzie, wykorzystując do ekspery-mentów m.in. własne ciało. Część pomiarów przeprowadzałw wannie podczas kąpieli. Gdy odkrył swe prawo, wyskoczyłz wanny rozgorączkowany i biegł nago ulicami Syrakuz, woła-jąc: "Eureka! Eureka!" ("Znalazłem! Znalazłem!").

Strona 17

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie FermataArchimedes wynalazł ponoć także śrubę, którą nazwanojego imieniem. Kiedy kręci się korbką tego urządzenia, pom-puje ono wodę do góry. Po dziś dzień używają go ubodzy wie-śniacy w krajach na południowym wybrzeżu Morza Śród-ziemnego.W czasie oblężenia Syrakuz przez legiony rzymskie pod wo-dzą Marcellusa, w latach 214-212 p.n.e., król Heron po razkolejny poprosił znamienitego krewnego o pomoc. Archimedeswykorzystał swą wiedzę o działaniu dźwigni i zbudował potęż-ne katapulty. Dzięki temu mieszkańcy Syrakuz mogli dzielnieodpierać ataki rzymskiej floty. Po pewnym czasie Marcellusprzegrupował siły i zdobył miasto z zaskoczenia. Tym razemArchimedes nie był nawet świadom, że właśnie trwa rzymskiatak; siedział spokojnie na pagórku l kreślił w piasku figurygeometryczne. Gdy nadszedł rzymski żołnierz i nastąpił na Je-go rysunek, Archimedes zerwał się z okrzykiem: "Nie dotykajmoich kół!" Na te słowa zagniewany legionista dobył mieczal zabił Archimedesa. Podobno w testamencie Archimedes zaży-czył sobie, by na jego grobie wyryć figury, które szczególnie po-dziwiał: walec i wpisaną w niego kulę. Zaniedbany i zapomnia-ny grób odnalazł i odnowił po wielu latach rzymski mówcaCyceron. Później pyl wieków znów zrobił swoje. Dopierow 1963 roku, gdy w pobliżu Syrakuz stawiano fundamenty no-wego hotelu, robotnicy w jednym z wykopów ponownie odkryligrób Archimedesa.

40 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAUlubione twierdzenie Archimedesa dotyczyło kuli wpisanejw walec i głosiło, że powierzchnia boczna owego walca Jestrówna całkowitej powierzchni kuli. Ten rezultat Archimedeszawarł w pracy O kuli i walcu. Przypuszczano, że praca ta zagi-nęła, podobnie jak większość tekstów starożytnych. W roku1906 duński uczony J. L. Heiberg zasłyszał, że gdzieś w Kon-stantynopolu znajduje się ponoć wyblakły rękopis, sporządzo-ny na pergaminie, ze śladami tekstu matematycznego. Wybrałsię więc do Konstantynopola i odnalazł 185 pergaminowychkart. Badania naukowe potwierdziły, że była to pochodzącaz X wieku kopia dzieła Archimedesa, pokryta później, w XIIIwieku, tekstami prawosławnych modlitw.Aleksandria, Egipt, około 250 roku n.e.Około 250 roku n.e. mieszkał w Aleksandrii matematyk Diofan-tos. O Jego życiu wiemy tyle tylko, ile wyczytać można z krótkiegofragmentu, napisanego około stu lat po śmierci Diofantosa, a za-mieszczonego w zbiorze tekstów, zwanym Antologią Palatyńską.14Przechodniu, pod tym nagrobkiem spoczywa Diofantos.Dzięki przedziwnym umiejętnościom zmarłego jego wiekzdradzi Cl ten głaz. Przez szóstą część życia Bóg dozwolił mupozostać chłopcem. Gdy znów dwunasta część żywota minę-ła, policzki jego okryła broda, a później, gdy z kolei przebyłsiódmą część żywota, zaznał słodyczy małżeństwa. Po pięciulatach żona powiła mu synka. Niestety, okrutny los prze-znaczył temu dziecku żywot dwukrotnie krótszy niż ojcu,który po śmierci syna, przez ostatnie cztery lata swego ży-cia, szukał wśród liczb ukojenia w bólu. Znajdź odpowiednieliczby i powiedz, ile lat przeżył Diofantos.(Kto rozwiąże nietrudne zadanie postawione w powyższymtekście, dowie się, że Diofantos żył 84 lata).14 Przedruk wg Barry Mazur, op. cit.

AMIR D. ACZEL • 41Nie jesteśmy dziś pewni, kiedy właściwie żył Diofantos. Zna-my tylko dwa fakty pozwalające w przybliżeniu wyznaczyć tenokres. Po pierwsze, w swoich pracach Diofantos cytuje Hipsy-klesa, który żył około 150 roku n.e. Po drugie, Diofantosa cytu-je Teon z Aleksandrii. Zaćmienie Słońca 16 czerwca 364 rokumiało miejsce za życia Teona, a zatem Diofantos z pewnościążył przed rokiem 364, ale po roku 150. Historycy z pewną do-

Strona 18

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatawolnością umieszczają go w okolicach roku 250.Diofantos napisał dzieło Arithmetica, w którym rozwinąłpewne pojęcia algebraiczne i zapoczątkował badania szczegól-nego typu równań, zwanych dziś w matematyce równaniamidiofantycznymi. Do naszych czasów przetrwało tylko sześćz piętnastu tomów prac autorstwa Diofantosa; resztę strawiłpożar, który zniszczył wspaniałą bibliotekę aleksandryjskąi przechowywany w niej najznakomitszy księgozbiór starożyt-ności. Ocalałe tomy należały do najpóźniej przetłumaczonychgreckich tekstów. Pierwszy znany przekład łaciński został wy-dany dopiero w 1575 roku, a Fermat był właścicielem jednegoz egzemplarzy tłumaczenia Claude'a Bacheta wydanegow 1621 roku. Sławny dopisek na marginesie drugiego tomuzostał zainspirowany zadaniem 8, w którym chodziło o to, bypowiedzieć, kiedy i jak można rozłożyć kwadrat liczby natural-nej na sumę dwóch kwadratów (Babilończycy umieli to zrobićprzynajmniej w niektórych przypadkach, a pitagorejczycy znaliogólne rozwiązanie zadania).Matematyczne osiągnięcia Diofantosa i jego współczesnychto ostatni przebłysk starożytnej kultury greckiej, dożywającejz wolna zmierzchu świetności.Baśnie z tysiąca i jednej nocyGdy Europa - pustoszona przez wielką zarazę i pochłoniętabez reszty feudalnymi konfliktami i wojnami, które w imieniunajróżniejszych królów i książąt toczyli ich wasale - zajmowałasię organizowaniem kosztownych, siejących śmierć wyprawkrzyżowych, Arabowie rządzili kwitnącym królestwem, rozcią-

42 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAgającym się od Bliskiego Wschodu po Półwysep Iberyjski.Obok swych osiągnięć w medycynie, astronomii i sztuce Ara-bowie rozwinęli algebrę. W roku 632 n.e. prorok Mahomet za-łożył islamskie państwo ze stolicą w Mekce, która po dziś dzieńpozostaje religijnym centrum islamu. Jego wojska niemal na-tychmiast zaatakowały Cesarstwo Bizantyjskie. Po śmierci Ma-hometa, która miała miejsce w tym samym roku, kontynuowa-no ofensywę. W ciągu zaledwie kilku lat łupem Arabów padły:Damaszek, Jerozolima i większość Mezopotamii. W roku 641ten sam los spotkał Aleksandrię, matematyczne centrum ów-czesnego świata. Około roku 750, po bitwie pod Poitiers, falawojen toczonych przez muzułmanów zarówno między sobą, jakl z resztą świata, opadła. W państwie arabskim zapanowałazgoda między Arabami marokańskimi i potężnym kalifatembagdadzkim.Bagdad stał się wówczas centrum matematycznym. Arabo-wie przejęli od ludów zamieszkujących podbite tereny nie tylkowszelkie bogactwa materialne, lecz także idee matematycznei wiedzę z zakresu astronomii. W okresie panowania kalifówz rodu Abbasydów, na początku IX wieku, napisane zostały Ba-śnie z tysiąca i Jednej nocy, a wiele dzieł greckich, w tym Ele-menty Euklidesa, przełożono na arabski. Kalifowie stworzyliw Bagdadzie wspaniały Dom Nauki, w którym pracowali uczeniz Iranu, Syrii i Aleksandrii. Był wśród nich Muhammad ibnMusa al-Chwarizmi (Mohamet, syn Musy z Chorezmu), który,tak jak Euklides, zapewnił sobie sławę po wsze czasy. Zapoży-czając notację (system symboli) l niektóre idee od Hindusów,a geometryczną myśl od Euklidesa, al-Chwarizmi pisał księgipoświęcone arytmetyce i geometrii. Słowo "algorytm" jest znie-kształconą formą jego nazwiska, a termin "algebra" to fragmenttytułu najbardziej znanego dzieła al-Chwarizmiego: Hisab al--dżabr wa'l mukabala, czyli Sztuka redukcji i przenoszenia.Właśnie z tej książki Europa miała się później po raz pierwszyuczyć gałęzi matematyki, zwanej algebrą. Idee algebraicznetkwią już wprawdzie w Arithmetice Diofantosa, lecz Al-dżabr,która prezentuje kompletne rozwiązania równań liniowychi kwadratowych, bardziej bezpośrednio wiąże się z dzisiejszą al-

Strona 19

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie FermataAMIR D. ACZEL • 43gebrą. Znamienne, że szkolna nauka algebry nadal rozpoczynasię od redukcji wyrazów podobnych l przenoszenia wyrazów -ze zmienionym znakiem - na drugą stronę równania.Algebrę i geometrię, jak niemal wszystkie zresztą gałęziematematyki, łączą liczne związki. W dwudziestym wieku nastyku obu tych dziedzin rozwinęła się tzw. geometria algebraicz-na. Bogata sieć powiązań między teoriami należącymi do róż-nych gałęzi matematyki otworzyła Wllesowi drogę do dowoduwielkiego twierdzenia Fermata.Średniowieczny kupiec i złota proporcjaKilka stuleci później, w roku 1225, problem poszukiwania tró-jek pitagorejskich stał się powodem napisania kolejnej książki:Liber ąuadratorum. Jej autorem był kupiec, Leonardo z Pizy(ok. 1170-1250), znany lepiej jako Fibonacci, czyli "syn Bonac-ciego". Fibonacci urodził się w Pizie. Podczas wypełnionegohandlowymi podróżami życia mieszkał m.in. w Konstantyno-polu i Afryce Północnej, odwiedził Prowansję, Sycylię, Egipti Syrię oraz wiele innych terenów położonych w basenie MorzaŚródziemnego. Dzięki kontaktom z ówczesnymi elitami intelek-tualnymi poznał idee matematyczne Arabów, a także kulturęgrecką i rzymską. Gdy cesarz Fryderyk II przybył do Pizy, Fibo-nacci został wprowadzony na jego dwór i znalazł się w bezpo-średnim otoczeniu cesarza.Oprócz Liber quadratorum Fibonacci znany jest także jakoautor książki Liber abaci. Zadanie o trójkątach pitagorejskichz książki Fibonacciego pojawia się także w bizantyjskim ręko-pisie z XI wieku, który obecnie znajduje się w bibliotece Stare-go Pałacu w Istambule. Być może to tylko zbieg okoliczności,wiele wskazuje jednak na to, że Fibonacci mógł widzieć ów rę-kopis podczas jednej ze swych podróży do Konstantynopola.Niewątpliwie największy rozgłos zapewnił Fibonacciemusławny ciąg liczb, nazwanych od jego nazwiska liczbami Fibo-nacciego. Liczby te pojawiają się w związku z następującymzadaniem z Liber abaci.

44 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAIle par królików można wyhodować w ciągu roku, jeśli napoczątku roku mamy Jedną parę małych królików, każdazaś para staje się płodna po miesiącu i potem po upływiekażdego miesiąca rodzi jedną parę?W ciągu Fibonacciego, do którego prowadzi rozwiązanie zada-nia o królikach, każdy wyraz jest sumą dwóch wyrazów po-przednich. Pierwsze dwa wyrazy to jedynki, a po nich - zgodniez powyższym przepisem - następują: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89, 144, ...Można oczywiście zapomnieć o królikach i wziąć pod lupęwięcej wyrazów ciągu, niż Jest miesięcy w roku. Okaże się wte-dy, że ciąg Fibonacciego charakteryzuje się istotnymi i nieocze-kiwanymi własnościami. Na przykład kolejne stosunki sąsied-nich wyrazów ciągu Fibonacciego, czyli liczby 1/1, 2/1, 3/2,5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89,233/144 itd., w zadziwiający sposób zbliżają się coraz to bar-dziej i bardziej do współczynnika złotej proporcji - liczby(l + \/5^)/2. Rozwinięcia dziesiętne tych właśnie liczb (i ich od-wrotności) widzieliśmy Już wcześniej, podczas zabawy z kalku-latorem i naprzemiennego wciskania klawiszy +, l, = oraz l lx.Ciąg Fibonacciego występuje powszechnie w przyrodzie. Liściena gałązkach rosną w odstępach, których stosunki odpowiadająw przybliżeniu stosunkom liczb Fibonacciego. Liczby Fibonac-ciego kryją się także w kwiatach: jak się okazuje, na bardzo wie-lu kwiatach występuje stała liczba płatków: 3, 5, 8, 13, 21, 34,55 lub 89. Lilie mają trzy płatki. Jaskry pięć, wiele ostróżekosiem, nagietki trzynaście, astry dwadzieścia jeden, a stokrotki -trzydzieści cztery, pięćdziesiąt pięć lub osiemdziesiąt dziewięć.Liczby Fibonacciego pojawiają się też w kwiatach słoneczni-ków. Małe ziarenka na tarczy słonecznika układają się w spiral-ne wzory. Część spiral zwija się zgodnie z kierunkiem ruchu

Strona 20

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatawskazówek zegara, część - w stronę przeciwną. Liczba spiral bie-gnących do środka zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek ze-gara jest zazwyczaj równa trzydzieści cztery. W przeciwną stronęskręca się w takim przypadku pięćdziesiąt pięć spiral. Czasemodpowiednia para liczb to pięćdziesiąt pięć i osiemdziesiąt dzie-


Przedrukowano za zgodą Basie Books.wleć, a nawet osiemdziesiąt dziewięć i sto czterdzieści cztery.Wszystkie te pary to kolejne liczby Fibonacciego. łan Stewartw swojej książce zatytułowanej Liczby natury podaje, że promie-nie wychodzące ze środka tarczy słonecznika do kolejno zawiązu-jących się nasionek tworzą kąt bliski 137,5° (mniejszy z dwóchkątów, które otrzymujemy, dokonując złotego podziału 360 stop-ni). Nasze oko dostrzega zaś raczej nie długą, ciasno zwiniętą spi-ralę, wzdłuż której kolejno układają się ziarenka, lecz dwie rodzi-ny spiral luźniejszych, skręconych w różnych kierunkach.15Gdy narysujemy tzw. złoty prostokąt (taki, którego boki two-rzą złotą proporcję) i odetniemy od niego kwadrat, to otrzyma-my mniejszy złoty prostokąt, podobny do dużego prostokątawyjściowego: jego boki również będą tworzyć złotą proporcję.Z mniejszym prostokątem można postąpić tak samo; gdy ode-tniemy odeń kwadrat, pozostanie złoty prostokąt. Postępująctak dalej, osiągamy cały czas ten sam efekt. Spirala poprowa-dzona przez kolejne wierzchołki odcinanych kwadratów jestłudząco podobna do tych, które dostrzec można w muszlach,w deseniach utworzonych przez nasiona słonecznika czyw ułożeniu liści na gałązkach.Złoty prostokąt ma proporcje zwracające uwagę i miłe dlaoka, a złota proporcja występuje nie tylko w naturze, lecz także-jako klasyczny ideał piękna - w sztuce. Jest w tym wszystkimcoś boskiego; w rzeczy samej, prezesem działającego współcześ-15 łan Stewart: Liczby natury. CIS, Warszawa 1996, s. 163.

46 * WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

nie Towarzystwa Fibonacciego jest ksiądz, a główną kwaterą -Kolegium św. Marii w Kalifornii. Towarzystwo Fibonacciego sta-wia sobie za cel poszukiwanie przykładów występowania złotejproporcji i liczb Fibonacciego w przyrodzie, sztuce i architektu-rze. Przyświeca tym poszukiwaniom wiara, że złoty stosunek todar Boga dla świata. W roli ideału piękna złota proporcja poja-wia się w takich miejscach, jak na przykład Partenon w Ate-nach. Stosunek długości Partenonu do jego wysokości takżerówna się w przybliżeniu współczynnikowi złotej proporcji.Wielka piramida w Gizie, zbudowana wieleset lat przed po-wstaniem greckiego Partenonu, ma stosunek wysokości ścianydo połowy boku podstawy równy współczynnikowi złotej pro-porcji. Egipski papirus Rhinda mówi o "świętym stosunku".W starożytnych rzeźbach przedstawiających ludzkie postaciel na renesansowych obrazach można się doszukać złotych (bo-skich) proporcji.Złotej proporcji jako ideału piękna poszukiwano nie tylkow kwiatach czy architekturze. Jeden z członków TowarzystwaFibonacciego opisał jakiś czas temu w liście, jak ktoś w poszu-kiwaniu złotych proporcji poprosił kilkanaście małżeństwo udział w eksperymencie: mąż mierzył, na jakiej wysokościznajduje się pępek żony, a otrzymaną wartość dzielił przezwzrost żony. Autor listu zarzekał się, że wszystkie pary otrzy-mały wynik bliski 0,618. ;, ,


Strona 21


Ateński Partenon.Poszukiwacze rzeczy nieznanychDo średniowiecznej Europy matematyka wkroczyła dzięki pra-com Fibonacciego, a także dziełom al-Chwarizmiego, docierają-cym na nasz kontynent przez Hiszpanię, która wówczasw części należała do świata arabskiego. Głównym tematemówczesnej algebry było rozwiązywanie równań i znajdowanieniewiadomych wielkości. I dziś w szkole oznaczamy niewiado-mą literką x i próbujemy rozwiązywać równania, żeby dowie-dzieć się, jaka właściwie jest wartość owego iksa. Posłużmy sięprzykładem prościutklego równania x - 5 = O i znajdźmy war-tość niewiadomej, wykonując nieskomplikowane operacje ma-tematyczne. Dodajmy najpierw 5 do obu stron równania; po le-wej stronie otrzymamy: x - 5 + 5, a po prawej: 0+5. Zatemlewa strona jest równa x, a prawa 5. Oczywiście, obie strony sąnadal równe, a więc (jak zresztą można było w tym przypadkuzgadnąć od razu) x = 5. Arabowie w czasach al-Chwarizmiegonazywali niewiadomą wielkość shai, co po arabsku oznacza"rzecz". Rozwiązując równania. Arabowie poszukiwali więc nie-

48 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAznanych, niewiadomych rzeczy (podobnie jak my przed chwiląszukaliśmy nieznanej wartości x). Gdy te idee dotarły do Euro-py, arabskie słowo shai przełożono na łacinę. Po łacinie "rzecz"to res, a po włosku - coso. Ponieważ pierwsi algebraicy w Euro-pie byli Włochami, więc do algebry przylgnęła na pewien czasnazwa ars cossica, a do uprawiających ją matematyków -wspólne miano Cossisti,16 dlatego że rozwiązując równania,zajmowali się oni przecież poszukiwaniem nieznanej cosa.17Tak jak w Babilonie trzy i pół tysiąclecia wcześniej, w śred-niowieczu i na początku renesansu matematyki używanoprzede wszystkim Jako narzędzia pomocnego w handlu. W spo-łecznościach zajmujących się w coraz większym stopniu hand-lem problemy wyznaczania zysków, kosztów, kursów wymianystawały się z dnia na dzień bardzo ważne. Niekiedy można by-ło ujmować rzecz matematycznie, a to wymagało rozwiązaniaodpowiedniego równania. Włoscy "poszukiwacze rzeczy nie-znanych", Luca Pacioli (1445-1514), Girolamo Cardano(1501-1576), Nicolo Fontana (1500-1557), noszący przydomekTartaglia (co znaczy Jąkała), a wraz z nimi inni mistrzowie roz-wiązywania zadań, pozostając w służbie u możnych tego świa-ta, konkurowali ze sobą podczas specjalnych turniejów, wyko-rzystując potwierdzoną później sukcesami umiejętnośćpokonywania abstrakcyjnych problemów jako swego rodzajureklamę. Ponieważ o możnych protektorów i klientów trzebabyło walczyć z konkurencją, więc owi matematycy wkładalisporo wysiłków i trudu w rozwiązywanie problemów nowychi trudnych, wśród których znalazły się równania trzeciegostopnia, tj. równania, w których niewiadoma "rzecz" (nasz x),pojawia się w trzeciej potędze jako x3. Także w owych czasach16 Terminy o zbliżonym źródłosłowie upowszechniły się także w ówczesnej niem-czyźnie. U jednego z niemieckich die Cossisten, Johanna Widmanna, około 1460roku pojawiła się nazwa Regel Algebrę oder Cosse, a Christoph Rudolf f wydałw 1525 roku w Strasburgu książkę zatytułowaną Szybki i piękny rachunek za po-mocą wymyślnych reguł algebry zwykle nazywanej Coss. Zob. też Historia matema-tyki, pod red. A. P. Juszkiewicza. PWN, Warszawa 1975 (przyp. tłum.).17 Michael Mahoney: The Mathematical Career of Pierre de Fermat. PrincetonUniyersity Press, Princeton 1994, s. 4.

AMIR D. ACZEL • 49dzięki znajomości metod rozwiązywania problemów teoretycz-nych zostawało się cenionym i poszukiwanym ekspertem, spe-cjalizującym się w bardziej praktycznych zagadnieniach.Na początku XVI wieku Tartaglia odkrył sposób rozwiązywa-nia równań trzeciego stopnia i zachował go w sekrecie, byutrzymać przewagę nad konkurentami na przynoszącym spore

Strona 22

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatazyski rynku rozwiązywania zadań. Gdy Tartaglia wygrał turniejmatematyczny, Cardano wymógł na nim, by podzielił się swąwiedzą. Tartaglia zgodził się nauczyć go metody rozwiązywaniarównań trzeciego stopnia, pod warunkiem że Cardano docho-wa tajemnicy przed całym światem. Gdy jednak Cardanodowiedział się później o tym samym sposobie od innego z "po-szukiwaczy", Scippione del Ferro (1456-1526), przyjął natych-miast, że Tartaglia nauczył się wzorów na pierwiastki równańtrzeciego stopnia właśnie od del Ferro. Uznał wobec tego, żejest zwolniony od obowiązku dochowania tajemnicy, i opubli-kował wszystko w swojej książce Ars magna, którą wydalw 1545 roku. Tartaglia poczuł się zdradzony i wszczął z Carda-no gwałtowny spór, w ostatnich latach życia wiele czasu po-święcając na obmawianie niedawnego przyjaciela. Udało musię w ten sposób zaszkodzić reputacji Cardano.Włoskich "poszukiwaczy nieznanych rzeczy" uważa się naogół za matematyków nie tak wysokiego lotu, jak starożytnychGreków. Zajmowanie się praktycznymi problemami w pogoniza pieniądzem oraz osobiste, niekonstruktywne swary i kłótniepowstrzymywały ich od prowadzenia badań naukowych dykto-wanych ciekawością i poszukiwaniem piękna. Dlatego też cibadacze nie rozwinęli zamkniętych, aksjomatycznych i abs-trakcyjnych teorii; w poszukiwaniu tego rodzaju matematykiwciąż należało wracać do prac starożytnych Greków. I właśniedo tego doszło w następnym stuleciu.Renesansowe poszukiwania wiedzy starożytnychOd czasów Diofantosa minęło trzynaście stuleci. Świat śred-niowieczny ustąpił pod naporem renesansu l nadchodzącej

50 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAwraz z nim nowej epoki. Po nocy średniowiecza Europa obu-dziła się spragniona wiedzy; uczeni zmieniali zainteresowanial zaczynali zwracać uwagę na klasyczne dzieła starożytnych.W nieustającej pogoni za wiedzą i oświeceniem wszelkie zacho-wane książki starożytne tłumaczono na łacinę, język ludzi wy-kształconych. Francuski szlachcic, Ciaude Bachet, był tłuma-czem żywo zainteresowanym matematyką. Gdy wpadła muw ręce napisana po grecku Arithmetica Diofantosa, nie zwleka-jąc przełożył ją i wydał w 1621 roku w Paryżu pod tytułemDiophantini Alexandrmi arithmeticorum libri sex. Jeden z eg-zemplarzy właśnie tego wydania trafił nieco później do prywat-nej biblioteki Fermata.Wielkie twierdzenie Fermata głosi, że jeśli Jako wykładnikpotęgi weźmiemy jakąkolwiek liczbę naturalną większą oddwójki, to z pewnością nie znajdziemy żadnych odpowiednikówtrójek pitagorejskich. Suma dwóch sześcianów liczb natural-nych nigdy nie będzie pełnym sześcianem, suma czwartychpotęg nie będzie czwartą potęgą, podobnie rzecz się ma z piąty-mi, szóstymi i pozostałymi wyższymi potęgami. Jak właściwieFermat mógł na to wpaść?Kwadraty, sześciany i wyższe wymiaryTwierdzenie to zdanie wyposażone w dowód. Fermat napisałwprawdzie, że zna "prawdziwie cudowny dowód" swego twier-dzenia, ale jeśli nie zobaczy się l nie sprawdzi dowodu takiegoczy innego zdania, nie można go w żadnym razie nazywać twier-dzeniem. Zdanie może przekazywać prawdę niezwykle ważną,nieść znaczące i głębokie treści, ale dopóki nie znamy dowoduJego prawdziwości, musimy nazywać je hipotezą. Gdy się hipote-zę udowodni, zmienia się ona w twierdzenie (lub lemat, jeśli Jesttylko pomocniczym faktem, służącym do udowodnienia innego,głębszego twierdzenia). Proste konsekwencje wypływającez udowodnionego twierdzenia nazywa się wnioskami.Fermat sformułował wiele hipotez. Jedna z nich orzekała,że każda liczba postaci 22" + l jest liczbą pierwszą. "Nie Jest to

AMIR D. ACZEL • 1S1twierdzenie, bo nikt nie podał dowodu prawdziwości; wrę cz

Strona 23

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermataprzeciwnie, w następnym wieku sławny szwajcarski matem-a-tyk Leonard Euler (1707-1783) udowodnił, że jest to hipotekafałszywa.18 Nie było zatem powodu, by wierzyć bezkrytyczmiew prawdziwość wielkiego twierdzenia Fermata - była tow końcu jedynie hipoteza, być może prawdziwa, a być mo.żefałszywa.Wielkie twierdzenie Fermata okazałoby się fałszywe, gdy~byktokolwiek wskazał wykładnik potęgi n, większy od 2, oraz tr-zyliczby naturalne o, b, i c spełniające zależność a" + b" = c". Ta-kiego przykładu nikomu nie udało się Jednak znaleźć (ch oćw późniejszych próbach znalezienia dowodu ważną rolę odie-grało przypuszczenie, że takie liczby a, b, c oraz n istnieją). BMapoczątku lat dziewięćdziesiątych naszego wieku wiadomo by3o,że dla wykładników n mniejszych od czterech milionów mapewno znaleźć nie można odpowiedniej trójki liczb a, b, c, cooczywiście nie gwarantowało jeszcze wcale, że pewnego dalaktoś nie poda kontrprzykładu (biorąc pod uwagę większy wy-kładnik). Twierdzenie należało udowodnić dla wszystkich •wy-kładników.Sam Fermat umiał udowodnić swe wielkie twierdzenie dlan = 4. Użył w tym celu pomysłowej metody (tzw. metody spad-ku lub nieskończonej regresji) i wykazał, że nie ma trójkiliczb naturalnych a, b oraz c, które spełniałyby równaniea4 + b4 = c4.19 Wiedział on też, że z istnienia rozwiązania dlawykładnika n wynika istnienie rozwiązania dla wszystki chwykładników, które są dzielnikami n.20 Aby zatem udowod-nić, że nie ma rozwiązań, wystarczy rozpatrywać jedynie te18 Już dla n = 5 otrzymujemy liczbę złożoną 4 294 967 297 (przyp. dum.).19 W istocie Fermat udowodnił, że nie istnieje trójkąt prostokątny, którymiai.łbyboki długości całkowitej i pole, będące kwadratem liczby całkowitej. Z jego do-wodu wypływał wniosek nieco mocniejszy od wielkiego twierdzenia Ferm-atadla n = 4, a mianowicie, że równanie a4 + 64 = c2 nie ma rozwiązań wśród ILczbnaturalnych (przyp. tłum.).20 Mówiąc inaczej: z prawdziwości wielkiego twierdzenia Fermata dla pewn"egowykładnika k wynika jego prawdziwość dla wszystkich wykładników, które sąwielokrotnościami k (przyp. ttum.).

52 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAwykładniki większe od 2, które są liczbami pierwszymi (toznaczy nie dzielą się przez żadną liczbę naturalną różną odjedynki i od nich samych). Kilka początkowych liczb pierw-szych większych od 2 to: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 - każda z nichdzieli się bez reszty wyłącznie przez jedynkę i przez samą sie-bie. Przykład liczby, która nie jest pierwsza, to 6, która dzielisię bez reszty nie tylko przez l i 6, ale także przez 2 i 3. Fer-mat umiał udowodnić swoje twierdzenie również dla n = 3.W przypadku n = 3 i n = 4 dowód podał także, niezależnie odFermata, Leonard Euler.W 1828 roku Peter Gustaw Lejeune Dirichlet udowodnił, żeteza wielkiego twierdzenia Fermata zachodzi dla n = 5. Jegowynik powtórzył w 1830 roku Adrien Marie Legendre. GabrielLamę i Henri Lebesgue (1875-1947), który poprawił Jego błę-dy z 1840 roku, stwierdzili, że teza twierdzenia jest prawdzi-wa dla n = 7. Zatem po upływie dwustu lat od chwili, gdyFermat dopisał swoją sławną uwagę na marginesie dziełaDiofantosa, jego twierdzenie było udowodnione tylko dla wy-kładników 3, 4, 5, 6 i 7 (i dla ich wielokrotności). Do nieskoń-czoności droga była z tego miejsca daleka, a udowodnienieprawdziwości twierdzenia dla każdego wykładnika n wymaga-ło jej pokonania. Sprawę mógłby rozstrzygnąć jedynie ogólnydowód, który potwierdzałby prawdziwość twierdzenia dlawszystkich, dowolnie dużych wykładników. Takiego nie-uchwytnego, ogólnego dowodu poszukiwało wielu matematy-ków, znajdując, niestety, dowody prawdziwe tylko dla po-szczególnych wykładników.Pierwszy rachmistrz oświeceniaRachmistrz to osoba doskonale radząca sobie z obliczeniami,

Strona 24

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermataobmyślająca metody ich prowadzenia. Niewątpliwie Jedną z ta-kich osób był płodny matematyk szwajcarski Leonard Euler,o którym mówiono, że rachowanie przychodzi mu równie ła-two, jak innym oddychanie. Lecz Euler byt nie tylko chodzą-cym kalkulatorem. To najbardziej produktywny naukowiec

AMIR D. ACZEL • 53tszwajcarski wszech czasów; autor tylu tomów dzieł matema-tycznych, że rząd szwajcarski ustanowił specjalny fundusz pooto, aby zebrać wszystkie jego prace. Podobno zdarzało mu się?produkować artykuły matematyczne podczas przerw między?kolejnymi wezwaniami na obiad, rozbrzmiewającymi w jegodużym domostwie.Leonard Euler urodził się w Bazylei 15 kwietnia 1707 roku..W następnym roku jego rodzina przeniosła się na wieś, domiejscowości Riechen, gdzie ojciec został pastorem obrządku^kalwińskiego. Gdy młody Leonard chodził do szkoły, ojciec za-chęcał go do studiowania teologii, by z biegiem czasu mógFlzająć jego miejsce i zostać wiejskim pastorem. Lecz Euler wy-kazywał przede wszystkim uzdolnienia matematyczne. Opieko-wał się nim Jan Bemoulli, dobrze wówczas znany matematyl-iszwajcarski. Daniel i Mikołaj Bemoulli, młodsi członkowie po--tężnego matematycznego rodu Bernoullich, zaprzyjaźnili sięęz Leonardom i przekonali jego rodziców, by pozwolili synowi -mającemu zadatki na wielkiego uczonego - zajmować się ma--tematyką. Leonard równocześnie z matematyką nadal studio -wał teologię i przez całe życie pozostał człowiekiem bardzo reli--gijnym.W ówczesnej Europie, inaczej niż dzisiaj, badania naukowerozwijano głównie poza uniwersytetami, na których zajmowa--no się przede wszystkim nauczaniem - aktywność innego ro-dzaju nie zostawało wiele czasu. W osiemnastym stuleciu ba_-dania naukowe prowadzone były w pierwszym rzędzLew królewskich akademiach naukowych. Monarchowie wspie--raii najlepszych uczonych w poszukiwaniach wiedzy. Cześ ćbadań miała charakter stosowany i pomagała rządzącymumacniać pozycję państwa, którym władali. Były też badani apodstawowe, teoretyczne; prowadzono je nie ze względu n abezpośrednie korzyści, lecz z myślą o poszerzeniu granic ludzs-klej wiedzy. Oświeceni monarchowie hojnie wspierali takie ba-dania, a uczeni pracujący w akademiach mogli wieść wygodnieżycie.Po ukończeniu na uniwersytecie w Bazylei studiów mate-matycznych, a także teologii l hebrajskiego, Euler wystąp*!!

54 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAo przyznanie mu profesury. Pomimo wielkich osiągnięć, który-mi już się mógł pochwalić, jego prośbę odrzucono. Tymczasemjego dwaj przyjaciele. Daniel i Mikołaj, zostali zatrudnieni Jakomatematycy w Królewskiej Akademii Nauk w Sankt Petersbur-gu w Rosji. Obaj pozostali w kontakcie z Eulerem i obiecalimu, że spróbują go jakoś do siebie ściągnąć. Pewnego dniamłodzi Bernoulli napisali do Eulera list, informując go, żezwolniło się właśnie jedno z miejsc w sekcji medycznej peters-burskiej akademii. Medycyną się wprawdzie Euler nie intere-sował, lecz desperacko poszukiwał pracy, a poza tym miał na-dzieję, że w ten sposób dołączy do przyjaciół, którzy w Rosjimieli wspaniałe stanowiska l mogli zajmować się wyłączniewłasnymi badaniami.Matematykę Euler dostrzegał w każdej dziedzinie, którąsię zajmował, a więc również w medycynie. Badania fizjologiiucha doprowadziły go do skonstruowania matematycznegomodelu rozchodzenia się fal. W każdym razie, zaproszeniedo Sankt Petersburga wkrótce nadeszło i w roku 1727 Eulerdołączył do obu swych przyjaciół. Niedługo potem, po śmier-ci Katarzyny, żony Piotra Wielkiego, potężnej wspomożyciel-kl i opiekunki badań naukowych, w Akademii zapanował

Strona 25

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatachaos. Korzystając z powstałego zamieszania Leonard Eulerzdołał jakoś opuścić sekcję medyczną i przenieść się na na-leżne mu skądinąd miejsce w sekcji matematycznej. Przezsześć lat starał się pozostać w cieniu i ograniczał wszelkiekontakty towarzyskie, żeby jego podstęp nie wyszedł na jaw.Przez cały czas jednak nieustannie pracował, produkująccałe tomy artykułów matematycznych najwyższej klasy.W 1733 roku został mianowany na jedno z czołowych stano-wisk matematycznych w Akademii. Euler najwyraźniej nale-żał do osób, które umieją pracować zawsze i wszędzie. Jegorodzina systematycznie się powiększała i zdarzało się, żeuprawiał matematykę, kołysząc jednocześnie któreś ze swo-ich dzieci.Gdy władzę w Rosji objęła bratanica Piotra Wielkiego, AnnaIwanowa, rozpoczął się okres terroru. Izolując się od zewnętrz-nego świata, Euler na dziesięć lat znów pogrążył się w pracy.

AMIR D. ACZEL • 55W tym czasie zajmował się między innymi trudnym zagadnie-niem z zakresu astronomii, za którego rozwiązanie oferowanow Paryżu nagrodę. Paru matematyków wystąpiło do Akademiiz prośbą o kilkumiesięczne urlopy, żeby móc nad tym zagad-nieniem pracować. Leonard Euler znalazł rozwiązanie w ciągutrzech dni. Za długie okresy koncentracji i wysiłku musiał jed-nak zapłacić: oślepł na prawe oko.Nieco później Euler przeniósł się do Niemiec, by pracowaćw Akademii Berlińskiej. Towarzystwo Niemców, lubiącychnieznośnie długie filozoficzne dysputy, nie odpowiadało muzbytnio. Toteż gdy w 1766 roku panująca wówczas w Rosjicaryca Katarzyna Wielka zaprosiła go znów do Sankt Peters-burga, Euler był niezwykle szczęśliwy z nadarzającej się oka-zji do powrotu. W owym czasie na dworze Katarzyny przeby-wał Denis Diderot, filozof znany ze swych ateistycznychprzekonań. Cesarzowa poprosiła Eulera, żeby spierał się z Di-derotem o istnienie Boga. Diderotowi zaś powiedziano, żesławny matematyk zna dowód na istnienie Boga. Gdy Eulerzbliżył się do Diderota i z powagą na twarzy wypalił: "Panie,a + b/n = x, a. więc Bóg istnieje", Diderot, który o matematycenie miał zielonego pojęcia, zrejterował i natychmiast wrócił doFrancji.Wkrótce po powrocie do Rosji Euler oślepł na drugie oko.Mimo to nadal uprawiał matematykę, korzystając podczas pi-sania prac z pomocy synów. Ślepota zwiększyła jego zdolnoścido wykonywania w pamięci skomplikowanych rachunków. Ba-dania naukowe prowadził Euler jeszcze przez 17 lat. Zmarłpodczas zabawy z wnukiem w 1783 roku.Wiele spośród współcześnie stosowanych oznaczeń ma-tematycznych zawdzięczamy właśnie Eulerowi. To on za-czął na przykład używać litery i dla oznaczenia pierwiastkakwadratowego z -1. Euler darzył szczególnym uwielbieniempewien wzór matematyczny, który uznawał za najpiękniej-szy i polecił nawet umieścić go nad wejściem do Akademii.Ów wzór to:e"1 + l = O.

56 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAWystępują w nim Oli. fundamentalne w naszym systemie li-czenia; występują też trzy działania, dodawanie, mnożeniei potęgowanie; dwie słynne liczby niewymierne, e i n, oraz licz-ba i, jednostka osi urojonej, a oprócz tego wzór jest po prostumity dla oka. Czego można chcieć więcej?Siedem mostów w KrólewcuEuler był wprost niewiarygodnym wizjonerem. Pionierskie pra-ce dotyczące liczb zespolonych (i gałęzi matematyki, zwanejdziś analizą zespoloną) nie są bynajmniej jedynym jego orygi-nalnym wkładem do matematyki. Euler zapoczątkował rów-nież badania w dziedzinie, która w naszym stuleciu stała się

Strona 26

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatanieodzownym składnikiem wykształcenia każdego matematy-ka, a także narzędziem wykorzystywanym podczas prób roz-wiązania zagadki Fermata. Tą dziedziną jest topologia, teoriaodwołująca się do geometrycznej wyobraźni, rozpatrująca figu-ry przestrzenne i te ich własności, które nie zmieniają się przyprzekształceniach ciągłych. Topologia polega na badaniukształtów i form, obdarzonych częstokroć zawiłymi, nieoczeki-wanymi własnościami geometrycznymi i mogących wykraczaćz naszego zwykłego, trójwymiarowego świata w wymiar czwar-ty, piąty, ósmy czy jedenasty. Zetkniemy się jeszcze z tą fascy-nującą dziedziną podczas omawiania współczesnego podejściado wielkiego twierdzenia Fermata. Topologia, mimo że wydajesię zupełnie nie związana z zagadnieniem Fermata, ma wielkieznaczenie dla jego zrozumienia i rozwiązania.Wkład Eulera do topologii, wyprzedzający o dobre sto kilka-dziesiąt lat rozwój tej dziedziny, to rozwiązanie słynnego zada-nia o siedmiu mostach królewieckich. Właśnie ta łamigłówkawzbudziła zainteresowanie topologią.21 W czasach Eulera pły-21 Zadanie o siedmiu mostach w Królewcu uważa się na ogót raczej za początekteorii grafów, choć związków z topologią też można się tu doszukiwać. Do teoriigrafów zalicza się także omawiane dalej przez Autora zagadnienie czterechbarw (przyp. tium.).


nącą przez Królewiec Pregołę przecinało siedem mostów, roz-mieszczonych tak, jak pokazuje powyższy rysunek.Euler postawił pytanie, czy można pójść na taki spacer, że-by po każdym moście przejść dokładnie raz. Okazuje się, żenie można tego zrobić. Z zadaniem o siedmiu mostach bliskowiążą się też różnorodne zagadnienia o kolorowaniu map;próbowano je rozwiązać w XIX i XX wieku. Wyobraźmy sobiekartografa, który kreśli mapę świata. Każde dwa państwa ma-jące wspólny odcinek granicy powinny być na tej mapie poko-lorowane innymi barwami, żeby ułatwić rozróżnianie sąsia-dów. Tym samym kolorem można pomalować państwaodległe, które wspólnej granicy nie mają. Pytanie brzmi: jakajest najmniejsza z możliwych liczba kolorów, których należyużyć do pomalowania mapy zgodnie z powyższymi regułami?Jest to oczywiście problem ogólny - w rozwiązaniu nie należysię sugerować aktualnym wyglądem mapy politycznej świata.W istocie chodzi o to, by wskazać, jaka jest najmniejsza liczbakolorów, która wystarczy do pomalowania dowolnej mapy napłaszczyźnie (lub globusie) ze skończoną liczbą państw. Pólżartem, pół serio można powiedzieć, że przy dzisiejszym powi-kłaniu granic na terenie dawnej Jugosławii czy na BliskimWschodzie, ten ogólny problem ma też pewne praktyczne za-stosowania.Z matematycznego punktu widzenia zagadnienie barw na-leży do szeroko rozumianej topologii. W październiku 1852 ro-ku Francis Guthrie, student uniwersytetu w Londynie, zajmo-wał się kolorowaniem poszczególnych hrabstw na mapie

58 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAAnglii i zastanawiał się, z ilu barw należy w tym celu skorzy-stać. Stwierdził, że cztery barwy wystarczą - a skoro wystar-czają do pokolorowania mapy Anglii, to dlaczego nie miałybywystarczyć do pokolorowania zupełnie dowolnej mapy? W ro-ku 1879 udowodniono, że cztery barwy Istotnie wystarczą.22Później jednak w dowodzie został wykryty błąd23 i dopierow roku 1976 dwaj matematycy, Kenneth Appel oraz WolfgangHaken, rozwiązali problem, który przez ten czas zyskał sobienazwę zagadnienia czterech barw. Ich dowód budzi licznekontrowersje po dziś dzień, opiera się bowiem nie tylko nalogicznym rozumowaniu, lecz także - i to w znacznym stopniu- na wynikach działania skomplikowanego programu kompu-

Strona 27

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermataterowego.Gauss, genialny niemiecki uczonyKwestię rzekomego błędu w podanym przez Eulera dowodziewielkiego twierdzenia Fermata dla n = 3 wyjaśnił Cari Frie-drich Gauss (1777-1855). Podczas gdy większość renomowa-nych matematyków owych czasów wywodziła się z Francji,Gauss, bez wątpienia największy matematyk dziewiętnastegostulecia - a być może w całej historii matematyki - był Niem-cem z krwi i kości. W istocie nigdy, choćby nawet na krótko,nie wyjechał z Niemiec. Dziadek Gaussa był bardzo biednymchłopem, a ojciec - robotnikiem w Brunszwiku. Ojciec obcho-dził się z synem szorstko, za to matka starała się go chronićl wspierać. Młodym Gaussem opiekował się też wuj Friedrich,brat jego matki Dorothei. Wuj, który wyrobił sobie pozycjęw branży włókienniczej, był zamożniejszy od rodziców Carla.Pewnego razu trzyletni Car! obserwował, jak jego wuj dodajedługie kolumny liczb w księdze handlowej. "Proszę wuja -22 Zrobił to najpierw Arthur Bray Kempe, londyński adwokat, a po nim PeterGuthrie Tait (przyp. tłum.).23 Znalazł go w 1891 roku Percy John Heawood, dowodząc przy okazji, że mini-malna liczba barw, która wystarczy do pomalowania dowolnej mapy na torusie,czyli na dętce rowerowej, wynosi siedem (przyp. tłum.).

AMIR D. ACZEL • 59przerwał Cari - w tych rachunkach jest błąd". Począwszy odtego dnia zdumiony wuj robił wszystko, by umożliwić młode-mu geniuszowi zdobycie należnego wykształcenia. Chociażw szkole Gauss zapowiadał się nadzwyczaj obiecująco, jego za-chowanie pozostawiało czasem wiele do życzenia. Pewnegodnia nauczyciel za karę polecił Gaussowi zostać w klasie i zna-leźć sumę wszystkich liczb od l do 100, podczas gdy resztauczniów poszła bawić się na świeżym powietrzu. Po dwóch mi-nutach dziesięcioletni Gauss beztrosko przyłączył się do zaba-wy kolegów. Nauczyciel wrzasnął wściekle: "Cari Friedrich! Czymam clę ukarać surowiej?! Powiedziałem ci, że masz siedziećw klasie, aż skończysz dodawać wszystkie liczby!" "Ależ jużskończyłem - odparł Gauss. - Tu jest odpowiedź". Z tymi słowyGauss wręczył nauczycielowi skrawek papieru z napisaną nanim liczbą 5050, czyli prawidłową odpowiedzią. NajwidoczniejGauss wpadł na pomysł, by wypisać dwa rządki zawierającepo 101 liczb:O l 2 3 ... 97 98 99 100100 99 98 97 ... 3 2 1 0,a następnie zauważył, że suma liczb w każdej kolumience jestrówna 100. Kolumienek jest 101, zatem suma wszystkich wy-pisanych liczb wynosi 101x100 =10100. A suma liczb w każ-dym rządku to właśnie suma, którą Gauss miał obliczyć (sumawszystkich liczb od l do 100). Ponieważ potrzebny jest tylkojeden z dwóch rządków, więc trzeba wziąć połowę z 10100,czyli 5050. Bardzo proste, pomyślał. Nauczyciel wziął sobieową lekcję do serca i nigdy więcej nie kazał Gaussowi rozwią-zywać za karę zadań matematycznych.Piętnastoletni Gauss zyskał uznanie księcia Brunszwikul dzięki ufundowanemu przez niego stypendium mógł ukoń-czyć renomowany uniwersytet w Getyndze. Tam właśnie, 30marca 1796 roku, zapisał pierwszą stronę w swoim słynnymdzienniku. Dziennik miał tylko dziewiętnaście stron, na któ-rych Gauss pomieścił 146 zwięzłych notatek o najważniej-szych wynikach swoich prac. Jak później stwierdzono, różne

60 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAzapiski w dzienniku Gaussa wyprzedzały większość nowych,ważnych pomysłów i osiągnięć, opublikowanych przez mate-matyków końca XVIII wieku i pierwszej połowy XIX wieku.Dziennik ujrzał światło dzienne dopiero w 1898 roku, kiedyodnaleziono go w domu wnuka Gaussa w miejscowościHamlin.

Strona 28

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie FermataWyniki Gaussa w teorii liczb, o których w regularnie pro-wadzonej korespondencji informował kolegów po fachu, mia-ły ogromne znaczenie dla podejmowanych przez wielu mate-matyków prób udowodnienia wielkiego twierdzenia Fermata.Część tych rezultatów można odnaleźć w książce Gaussa,którą opublikował po łacinie w 1801 roku, gdy miał 24 lata.Książka ta, Disqu.lsition.es arithmeticae, została następnieprzełożona na francuski i w 1807 roku wydana w Paryżu,gdzie cieszyła się dużym zainteresowaniem. Uznawano ją zadzieło geniusza. Gauss dedykował ją swemu dobroczyńcy,księciu Brunszwiku.Gauss był również wybitnym znawcą języków klasycznych.Już wstępując na uniwersytet, po mistrzowsku posługiwał sięłaciną.Zainteresowanie filologią wywołało swego rodzaju kryzysw jego karierze: rozmyślał, czy ma zajmować się studiowaniemjęzyków, czy też raczej matematyką. Punkt zwrotny nastąpił30 marca 1796 roku. Z jego dziennika dowiadujemy się, że te-go właśnie dnia młody człowiek postanowił poświęcić się mate-matyce. Gauss wniósł istotny wkład do wielu gałęzi matematy-ki oraz statystyki. Jest m.in. autorem pomysłowej metodynajmniejszych kwadratów, pozwalającej znaleźć prostą najle-piej pasującą do zbioru wyników pomiaru czy eksperymentu.Zawsze jednak uważał, że sercem wszelakiej matematyki jestteoria liczb.Dlaczego największy geniusz matematyczny świata nigdynie próbował dowodzić wielkiego twierdzenia Fermata? Przy-jaciel Gaussa, astronom H. W. M. Olbers, poinformował gow liście napisanym 7 marca 1816 roku w Bremie, że ParyskaAkademia Nauk wyznaczyła pokaźną nagrodę dla tego, ktoudowodni (lub obali) wielkie twierdzenie Fermata. Gaussowi

AMIR D. ACZEL • 61z pewności^. się ta sumka przyda, troskliwie podpowiadałprzyjaciel. W owym czasie, jak zresztą podczas całej swej ka-riery naukowej, Gauss korzystał z finansowego wsparciaksięcia Brunszwiku i dzięki temu mógł zajmować się mate-matyką bez konieczności poszukiwania dodatkowej pracy.Niemniej do zamożności było mu daleko; tymczasem, zgodniez sugestią Olbersa, żaden inny matematyk nie mógł się z nimrównać umiejętnościami i doświadczeniem. "Uważam więc zasłuszne, drogi Gaussie, byś się tym problemem zajął" - koń-czył Olbers.Gauss Jednak nie dał się skusić. Prawdopodobnie wiedział,jak złudne jest wielkie twierdzenie Fermata. Obdarzony genial-ną głową, świetnie znający teorię liczb, mógł być jedynym ma-tematykiem w Europie zdającym sobie sprawę z tego, jak trud-no będzie podać dowód. Dwa tygodnie później, w odpowiedzina list Olbersa, Gauss zakomunikował mu swoje zdanie na te-mat wielkiego twierdzenia Fermata: "Jestem Ci niezmierniewdzięczny za wieści o paryskiej nagrodzie. Muszę jednak wy-znać, że twierdzenie Fermata, jako rezultat izolowany, intere-suje mnie w bardzo niewielkim stopniu. Podobnych stwierdzeńmógłbym z łatwością podać mnóstwo i nikt nie potrafiłby ichani udowodnić, ani obalić". Jak na ironię losu, Gauss wniósłwielki wkład do gałęzi matematyki, zwanej analizą zespoloną ~dziedziny, która wyrosła z prowadzonych przez Eulera badańliczb urojonych i zespolonych. Te zaś liczby miały w XX wiekuodegrać decydującą rolę w zrozumieniu kontekstu wielkiegotwierdzenia Fermata.Liczby urojone i zespoloneCiało liczb zespolonych tworzy się, wrzucając do jednego wor-ka liczby rzeczywiste i liczby urojone; oba rodzaje liczb znał jużEuler. Na trop liczb zespolonych matematycy wpadli, próbującrozwiązać równania typu: x2 + l = O. "W rzeczywistości" to pro-ste równanie nie ma rozwiązań, nie Istnieje bowiem żadna licz-ba rzeczywista, której kwadrat byłby równy -l (tyle właśnie

Strona 29


62 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAtrzeba dodać do jedynki, żeby otrzymać zero). Gdybyśmy jed-nak umówili się, że istnieje liczba równa pierwiastkowi kwa-dratowemu z -l, to - choć nie byłaby to oczywiście liczba rze-czywista - moglibyśmy powyższe równanie rozwiązać.W taki oto sposób wychodzimy poza oś liczbową i dorzuca-my do naszego worka z liczbami liczby urojone, czyli rzeczywi-ste wielokrotności pierwiastka kwadratowego z -l, oznaczane-go symbolem L Liczby urojone umieszczamy na ich własnej osiliczbowej, prostopadłej do osi rzeczywistej. Obie osie razemtworzą układ współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej, poka-zany na rysunku poniżej. Płaszczyzna zespolona ma wiele za-skakujących własności - na przykład Jej obrót o 90 stopniodpowiada mnożeniu przez i.

Mnożąc przez (, obracamy płaszczyznę o kąt prosty w kierunku przeciwnymdo ruchu wskazówek zegara.Płaszczyzna zespolona jest najmniejszym ciałem liczbowym,zawierającym rozwiązania wszystkich równań kwadratowych

AMIR D. ACZEL • 63o współczynnikach rzeczywistych. Jest też narzędziem niewia-rygodnie wprost użytecznym w zastosowaniach matematykiw różnych dziedzinach, m.in. w elektronice i mechanice pły-nów. W roku 1811, wyprzedzając swą epokę o kilka dziesięcio-leci, Gauss studiował własności funkcji zdefiniowanych napłaszczyźnie zespolonej. Odkrył wówczas zadziwiające własno-ści tak zwanych funkcji analitycznych, stwierdzając, że są oneniezwykle regularne, a obliczenia z ich pomocą można wyko-nywać bardzo zgrabnie i elegancko. Funkcje analityczne za-chowują kąty między krzywymi na płaszczyźnie; tę własnośći Jej konsekwencje zaczęto intensywnie badać w naszym stule-ciu. Pewne funkcje analityczne, tak zwane formy modułowe,miały odegrać kluczową rolę w nowych podejściach do proble-mu Fermata.W swojej skromności Gauss nie opublikował owych impo-nujących wyników. Wspomniał tylko o nich w liście do przyja-ciela, Friedricha Wilhelma Bessela (1784-1846). Gdy po wielulatach teoria pojawiła się znów, nikt nie wiązał jej z nazwi-skiem Gaussa. Zasługi za odkrycia dotyczące funkcji anali-tycznych, które Gauss rozumiał tak dobrze, przypadły w udzialeinnym matematykom.Sophie GermainPewnego dnia Gauss dostał list, pod którym podpisał się nieja-ki "Monsleur Leblanc". Leblanc był zafascynowany książkąGaussa Disquisitiones arthmeticae i przysłał jej autorowi swojewyniki z zakresu arytmetyki teoretycznej. Pod wpływem na-wiązanej korespondencji Gauss nabrał szacunku dla pana Le-blanca i jego matematycznych osiągnięć. Uznanie nie zmalało,gdy Gauss odkrył, że jego korespondent nie nazywa się wcaleLeblanc, a w dodatku żaden z niego "Monsieur". Osóbką piszą-cą pełne erudycji listy o matematyce była Sophie Germain(1776-1831), jedna z bardzo nielicznych w owym czasie kobietuprawiających tę dziedzinę wiedzy. Gauss, po wykryciu pod-stępu, pisał do niej tak:

64 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAJakże mam Pani opisać podziw i zdumienie, które ogarnęłymnie, gdy stwierdziłem, że mój godzien szacunku korespon-dent, Mr. Leblanc, zmienił się w osobę tak znamienitą, takpromienny przykład czegoś, w co trudno mi do tej pory byłouwierzyć...(Te słowa kierowane do Sophie Germain zostały napisanew Brunszwiku w dniu urodzin Gaussa; świadczy o tym fran-cuskie zakończenie listu: Bronsute ce 30 avril 1807 jow de ma

Strona 30

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatanaissance).Sophie Germain ukryła się pod męskim nazwiskiem, by unik-nąć powszechnych w owych czasach uprzedzeń wobec uprawia-jących naukę kobiet i na serio zainteresować Gaussa. Podjęłajedną z najpoważniejszych prób udowodnienia wielkiego twier-dzenia Fermata i poczyniła znaczące postępy. Twierdzenie So-phie Germain, dzięki któremu jego autorka zdobyła spore uzna-nie, głosi w najprostszej wersji, że jeśli dla wykładnika p = 5Istnieje trójka liczb tworzących rozwiązanie równania Fermata,to iloczyn tych liczb dzieli się przez 5.24 Twierdzenie to, jak po-kazała Sophie Germain w 1823 roku, zachodzi dla wszystkichp nazywanych obecnie liczbami pierwszymi Sophie Germain,czyli dla takich wykładników pierwszych p, dla których 2p + lteż jest liczbą pierwszą (np. dla p = 11 lub p = 23, ale nie dlap = 13). Dzięki temu w dowodzie wielkiego twierdzenia Fermatamożna rozróżnić dwa przypadki: tak zwany przypadek pierwszy,gdy żadna z trójki liczb będących rozwiązaniem równania Fer-mata nie dzieli się przez wykładnik p, oraz przypadek drugi, gdyktóraś z tych liczb jest podzielna przez p. Wykorzystując ważnywynik Sophie Germain, nietrudno jest, po niewielkich modyfika-cjach rozumowania, udowodnić, że dla nie przekraczających100 wykładników pierwszych p wielkie twierdzenie Fermata mo-że być fałszywe jedynie w drugim przypadku.2524 Jeśli w dodatku założymy, że owe trzy liczby są względnie pierwsze, co w ni-czym nie zmniejsza ogólności rozumowania, to przez 5 dzieli się dokładnie jednaz nich (przyp. tłum.).25 Harold M. Edwards: Fermat's Last Theorem. Springer-Verlag, Nowy Jork1977,s. 61-73.

AMIR D, ACZEL • 65Sophie Germain zmuszona była ujawnić swą tożsamość,gdy Gauss poprosił przyjaciela "Leblanca" o przysługę. Działosię to w roku 1807, kiedy Napoleon okupował Niemcy. Francu-zi nałożyli wówczas na Niemców surowe kontrybucje wojenne,określając sumę przypadającą każdemu do zapłacenia wedletego, jak postrzegali jego zamożność i pozycję. Gauss, jakogruba ryba nauki, wybitny astronom i matematyk z Getyngi,miał spłacić 2000 franków, co przekraczało jego możliwości.Paru francuskich matematyków, którzy przyjaźnili się z wiel-kim uczonym, zaoferowało swą pomoc, on jednak odmówiłprzyjęcia ich pieniędzy.Gauss chciał, by ktoś wstawił się za nim u francuskiego ge-nerała Pemety'ego, stacjonującego w Hanowerze. Napisał więcdo swego przyjaciela "Leblanca", pytając, czy ten nie mógłbyskontaktować się z francuskim generałem w jego imieniu. GdySophie Germain z radością zastosowała się do tej prośby, jejtożsamość wyszła na Jaw. Gauss (jak widać z jego listu - pełenemocji) podtrzymał korespondencję, która z czasem objęła wie-le matematycznych tematów. Niestety, obydwoje nigdy się niespotkali. Sophie Germain zmarła w Paryżu w 1831 roku, za-nim Uniwersytet w Getyndze zdążył przyznać jej honorowydoktorat, do którego rekomendował ją Gauss.Obok swego wkładu do prób udowodnienia wielkiegotwierdzenia Fermata, Sophie Germain ma na koncie wieleosiągnięć, między innymi w zakresie teorii liczb, ale nie tyl-ko. Aktywnie zajmowała się również teorią plastycznościoraz akustyką, a także innymi gałęziami matematyki czystejl stosowanej.Jasna kometa 1811 rokuGauss prowadził ważne badania astronomiczne, zmierzającemiędzy innymi do określenia orbit planet. 22 sierpnia 1811 ro-ku zaobserwował po raz pierwszy kometę, która była ledwo wi-doczna na nocnym niebie. Umiał dokładnie wyznaczyć jej tra-jektorię. Gdy po pewnym czasie kometa zaczęła jasno świecić

66 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAna niebie, prości, nękani wojnami mieszkańcy Europy chętnie

Strona 31

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatawidzieli w niej znak niebios, przepowiadający rychły upadekNapoleona. Gauss natomiast obserwował, jak potwierdzają sięJego przewidywania - kometa poruszała się po orbicie, którąobliczył z dużą dokładnością. Okazało się jednak, że w prze-sądnych opowieściach niewykształconych mieszkańców na-szego globu tkwiło również ziarenko prawdy: w następnym ro-ku Napoleon poniósł klęskę i musiał wycofać swe wojskaz Rosji. Gaussa to nawet bawiło. Po tym, jak Francuzi zdarliz niego i jego rodaków niemal ostatni grosz, wcale się niezmartwił, widząc Napoleona na kolanach.UczeńNorweski matematyk Niels Henrik Abel przyjechał do Paryżaw październiku 1826 roku. Próbował tam nawiązać kontaktyz innymi kolegami po fachu, ponieważ stolica Francji byław owym czasie prawdziwą Mekką matematyków. Do osób naj-bardziej imponujących Abelowi należał Peter Gustaw LejeuneDirichlet (1805-1859), Prusak, który też odwiedzał Paryżi z sympatią odnosił się do młodego Norwega, biorąc go począt-kowo za rodaka z Prus. Abelowi szczególnie spodobało się to,że Dirichlet podał dowód wielkiego twierdzenia Fermata dlan = 5. Pisał o tym w liście do jednego z przyjaciół, wspomina-jąc, że ten sam wynik powtórzył Adrien Marie Legendre(1752-1833), wedle opisu Abela człowiek niebywale uprzejmyl bardzo stary. Legendre udowodnił twierdzenie Fermata dlan = 5 niezależnie od Dlrlchleta, dwa lata później od niego. Nie-stety, podobne odkrycia zdarzały mu się często - wiele jegospóźnionych prac wypierały nowocześniejsze dzieła młodszychmatematyków.Dirichlet był przyjacielem i uczniem Gaussa. Nakład słynnejksiążki Gaussa, Disqu.isition.es arithmeticae, wyczerpał sięwkrótce po jej opublikowaniu. Nawet matematykom pracują-cym w tej samej co Gauss dziedzinie trudno było zdobyć eg-zemplarz na własność. A wielu posiadaczy książki i tak nie ro-

AMIR D. ACZEL • 67zumiało jej do końca. Dirichlet należał do tych szczęśliwców,którzy mieli swój egzemplarz. Uczony prawie się z nim nie roz-stawał. Książka towarzyszyła mu w licznych podróżach po ca-łym kontynencie, do Paryża, Rzymu l innych miast. Dirichletdosłownie sypiał z Disquisitiones pod poduszką. Dzieło Gaussanazywano czasem patetycznie księgą siedmiu pieczęci. Jeślisię z tym zgodzić, to utalentowany Dirichlet wiedział niewątpli-wie, jak te pieczęcie przełamać. Zrobił więcej niż ktokolwiek In-ny, by wyjaśnić i wytłumaczyć całemu światu zawartość dziełaswego mistrza.Poza nagłaśnianiem i wyjaśnianiem treści Disquisitionesoraz podaniem dowodu wielkiego twierdzenia Fermata dla wy-kładnika n = 5, Dirichlet udowodnił wiele innych twierdzeń.Jeden z ciekawszych rezultatów jego badań dotyczy ciągu aryt-metycznego postaci: a, a + b. a + 2b, a + 3b, a + 4b, ... i tak da-lej, przy czym obie liczby a l b są całkowite l nie mają wspólne-go dzielnika większego od jedynki (tzn. mogą to być np. 2 i 3albo 3 l 5. albo 6 i 35, nie mogą zaś być np. 2 i 4, dlatego żeobie dzielą się przez 2, ani 6 l 9, które mają wspólny dzielnik3). Otóż Dirichlet udowodnił, że w każdym ciągu tej postaciwystępuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Zadziwiają-cym składnikiem jego dowodu było wykorzystanie metod ana-lizy matematycznej, ważnej gałęzi matematyki, która zawieraw sobie m.ln. rachunek różniczkowy i całkowy. W analizie ma-my do czynienia z obiektami ciągłymi, z funkcjami określony-mi na contlnuum elementów osi liczbowej. Wydaje się to bar-dzo odległe od dyskretnego świata liczb całkowitych l liczbpierwszych - królestwa teorii liczb.W naszym stuleciu podobny most między odległymi z pozo-ru gałęziami matematyki zapowiedział nowoczesne spojrzeniena twierdzenie Fermata, spojrzenie ukoronowane później do-wodem. Dirichlet był jednym ze śmiałych pionierów, jednoczą-cych odległe gałęzie matematyki.

Strona 32

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie FermataW późniejszym czasie uczeń odziedziczył stanowisko swegomistrza. Gdy Gauss zmarł w 1855 roku, Dirichleta spotkałwielki zaszczyt: opuścił on prestiżową posadę w Berlinie, byzastąpić Gaussa w Getyndze.

68 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAMatematycy NapoleonaCesarz Francuzów kochał matematyków, chociaż sam niebył jednym z nich.26 Bliskie kontakty łączyły go w szczegól-ności z Gaspardem Monge'em (1746-1818) oraz JosephemFourierem (1768-1830). W 1798 roku Napoleon zabrał obupanów do Egiptu, aby pomogli .cywilizować" ten starożytnykraj.Fourier urodził się w Auxerre, we Francji, 21 marca 1768roku. Gdy miał osiem lat, został sierotą. Miejscowy biskup po-mógł mu dostać się do szkoły wojskowej. Już w wieku lat dwu-nastu Fourier wykazywał wielkie zdolności. Zapędzano go dopisania tekstów kazań dla dostojników kościelnych z Paryża,a ci wygłaszali Je następnie jako swoje własne. Wielka Rewolu-cja Francuska z 1789 roku oszczędziła Fourierowi spędzeniareszty życia w zakonnej sukni. Został matematykiem i entuzja-stycznym stronnikiem rewolucji. Okres jakobińskiego terroru,który wkrótce nastąpił, Fourier uznał za odpychająco brutal-ny. Wykorzystywał elokwencję, wykształconą przez lata pisa-nia kazań, głosząc swój sprzeciw wobec okrucieństwa. Talentświetnego mówcy przydawał mu się także w nauczaniu mate-matyki w najlepszych szkołach Paryża.Fourier interesował się Inżynierią, matematyką stosowanąl fizyką. W słynnej Ecole Polytechmque prowadził rozległe ba-dania naukowe w tych dziedzinach. Wiele spośród jego pracdostąpiło zaszczytu prezentacji w Akademii Nauk. Rosnącąsławą Fouriera zainteresował się sam Napoleon i w 1798 rokuzaprosił go na pokład okrętu flagowego, płynącego na czelezłożonej z pięciuset jednostek floty francuskiej, kierującej siędo Egiptu. Fourier należał do tzw. Legionu Kultury, któregozadaniem było "obdarzyć naród egipski wszelkimi dobrodziej-stwami cywilizacji europejskiej". Armada Inwazyjna miałanieść nie tylko podbój, ale i kulturę...26 Ten sąd Autora jest dla Napoleona nieco krzywdzący. W elementarnej geo-metrii płaskiej znane jest tzw. twierdzenie Napoleona; czymś podobnym nie mo-gą się siczycić Clinton, Jelcyn, Chirac czy Kwaśniewski (przyp. tłum.).

AMIR D. ACZEL • 69W Egipcie obaj matematycy założyli Instytut Egipski, a Fou-rier wrócił do Francji dopiero po czterech latach, w roku 1802,by zostać prefektem regionu położonego wokół Grenoble.Przedsięwziął tam wiele pożytecznych inicjatyw, takich jakosuszenie bagien l zwalczanie malarii. Mimo nawału pracyFourier, matematyk, który stał się administratorem, znajdowałjakimś cudem czas na twórczą, znakomitej jakości pracę na-ukową. Arcydziełem Fouriera jest matematyczna teoria prze-wodnictwa cieplnego, udzielająca odpowiedzi na ważne pyta-nie: jak rozchodzi się ciepło? Za to dokonanie uczony otrzymałw 1812 roku Grand Prix Paryskie] Akademii Nauk. Część jegoprac opierała się na eksperymentach, które przeprowadził napustyni podczas lat spędzonych w Egipcie. Niektórzy z jegoprzyjaciół sądzili, że owe eksperymenty - a w szczególnościpoddawanie się działaniu rozpalonego upałem powietrza w za-mkniętych pomieszczeniach - spowodowały jego przedwczesnąśmierć w wieku 62 lat.Ostatnie lata życia Fourier spędził, snując opowieści o Na-poleonie i historii swojej z nim znajomości, zarówno podczaspobytu w Egipcie, jak i później, po ucieczce Napoleona z Elby.Unieśmiertelniła go jednak nie przyjaźń z cesarzem, ale praceo rozchodzeniu się ciepła i stworzona przezeń teoria funkcjiokresowych. Odpowiedni szereg funkcji okresowych, którymożna wykorzystać do przybliżania innej funkcji lub szacowa-

Strona 33

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatania jej wartości, nazywamy szeregiem Fouriera.Funkcje okresoweNajprostszego przykładu funkcji okresowej dostarcza tradycyj-ny zegarek. Minuta po minucie duża wskazówka okrąża tar-czę, by po godzinie wrócić do miejsca, z którego rozpoczynaławędrówkę. Potem wszystko zaczyna się od nowa; po kolejnychsześćdziesięciu minutach wskazówka znów powraca w to samomiejsce. (Oczywiście, w miarę upływu kolejnych godzin maławskazówka zmienia swoje położenie na tarczy zegarka). Poło-żenie wskazówki minutowej na tarczy zegarka to okresowa

70 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAfunkcja czasu. Jej okres stanowi równo sześćdziesiąt minut.Można powiedzieć, że przestrzeń wszystkich minut świata -nieskończenie wielu minut, które upłyną od teraz do wieczno-ści - jest nakładana przez dużą wskazówkę na tarczę zegarka,zupełnie tak, jak nitka nawija się na szpulkę:

Zastanówmy się teraz nad innym przykładem i przypatrzmysię pędzącej po torach lokomotywie. Ramię, przekazujące napędz silnika na koło, porusza się wciąż w górę i w dół, gdy koło sięobraca. Po każdym pełnym obrocie koła ramię powraca do pozy-cji wyjściowej -jego ruch też jest okresowy. Jeśli przyjmiemy, żepromień koła lokomotywy ma jednostkową długość, to wówczasodległość końca ramienia od poziomej płaszczyzny zawierającejoś wyraża się za pomocą funkcji sinus. (To jedna z elementar-nych funkcji okresowych, o których uczymy się w szkole). Zapomocą cosinusa można określić odległość końca ramienia odprzechodzącej przez oś płaszczyzny pionowej. Zarówno sinus,jak i cosinus są funkcjami kąta między poziomą linią przebiega-jącą przez środki kół lokomotywy a promieniem poprowadzo-nym do końca ramienia.Gdy pociąg porusza się do przodu, stojący obserwator widzi,jak koniec ramienia zakreśla falistą krzywą, podobną do wi-docznej na rysunku na następnej stronie. Krzywa ta jest okre-sowa. Okres to 360 stopni, co odpowiada pełnemu obrotowikoła. Z początku koniec ramienia znajduje się na umownej wy-


sokości zerowej, potem wznosi się po grzbiecie falistej krzywejna wysokość jeden, następnie z powrotem opada do zera l ni-żej, aż do minus jedynki, a na koniec wędruje w górę, do zera.Potem cały cykl zaczyna się od nowa.Fourier odkrył, że prawie wszystkie w miarę porządne funk-cje można z dowolną dokładnością przybliżać sumami wielu(teoretycznie nieskończenie wielu, gdy chcemy osiągnąć do-kładność niemal doskonałą) sinusów i cosinusów. Mówi o tynusławne twierdzenie o szeregach Fouriera. Rozwinięcie dowolnej!funkcji w sumę wielu sinusów i cosinusów stosuje się w mate-matyce w bardzo wielu sytuacjach, gdy wyrażenie, z którymimamy do czynienia, jest zawiłe i trudne do zbadania - nato-miast suma wielu sinusów i cosinusów, pomnożonych przezodpowiednio dobrane współczynniki, łatwo poddaje się rozma-itym manipulacjom l obliczeniom. Jest to szczególnie praktycz--ne, gdy do obliczeń wykorzystujemy komputer. Dziedzina ma -tematyki, którą nazywa się analizą numeryczną, zajmuje siaętechnikami sprawnego obliczania wartości najróżniejszycinfunkcji i wyrażeń. Istotną częścią analizy numerycznej jes-ttzw. analiza fourierowska. Za pomocą rozwinięć w szeregi Fom-riera bada ona skomplikowane problemy, których rozwiązani anie wyrażają się prostymi, jawnymi wzorami. Po pionierskicżhpracach Fouriera zaczęto też stosować rozwinięcia, wykorzy-stujące inne, stosunkowo proste funkcje, głównie rozmaitewielomiany (to znaczy sumy rosnących potęg zmiennej: kwa-

Strona 34

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatadratów, sześcianów Itd.). Gdy obliczamy na kalkulatorze pierr-wiastek kwadratowy z jakiejś liczby, to poznajemy w istocietylko jego przybliżenie znalezione tego rodzaju metodą.

72 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAZłożone z sinusów i cosinusów szeregi Fouriera są szczegól-nie przydatne do badania zjawisk, w których sumy funkcjiokresowych pojawiają się tak czy Inaczej w naturalny sposób.Dotyczy to na przykład muzyki. Utwór muzyczny można rozło-żyć na składowe, proste dźwięki. Przypływy i odpływy morzaczy kolejne fazy Księżyca to też zjawiska okresowe.Choć zastosowań szeregów Fouriera do opisu zjawisk natu-ralnych oraz w różnorodnych technikach obliczeniowych niemożna w żadnym razie przemilczeć, naprawdę zaskakujące jestdopiero to, że zarówno szeregów Fouriera, jak i analizy fourie-rowskiej używa się w czystej matematyce, która nigdy nie nale-żała do kręgu głównych zainteresowań Fouriera. W XX wiekuGóro Shimura wykorzystał szeregi Fouriera w swoich pracachteorioliczbowych jako swego rodzaju narzędzie do przenoszeniaobiektów matematycznych z jednego obszaru w inny. (Przypo-mnijmy: dowód hipotezy Shimury to samo sedno dowodu wiel-kiego twierdzenia Fermata). Dzięki badaniu przedłużeń funkcjiokresowych na płaszczyznę zespoloną - łączącemu dwie gałęzieanalizy matematycznej - inny uczony francuski, Henri Poin-care, doszedł na początku XX wieku do odkrycia funkcji auto-morficznych oraz form modułowych, które później miały decy-dujący wpływ na losy wielkiego twierdzenia Fermata.Kulawy dowód LamegoPierwszego marca 1847 roku, na posiedzeniu Paryskiej Akade-mii Nauk, matematyk Gabriel Lamę27 (1795-1870), szaleniepodekscytowany, obwieścił wszystkim, że znalazł dowód wiel-kiego twierdzenia Fermata dla ogólnego przypadku. Przedtembadano Jedynie przypadki pojedynczych wykładników n; do-wód był znany dla n = 3, 4, 5, 6 i 7. Lamę zaproponował ogólnepodejście do zagadnienia Fermata, które -jak sądził - powinnobyć prawdziwe dla dowolnego wykładnika n. Jego metoda pole-27 Nieprzetłumaczalna gra słów: pozbawione akcentu nad e nazwisko "Lamę"i angielskie słowo "kulawy" wyglądają identycznie (prayp. dum.).

AMIR D. ACZEL • 73gala na tym, by wykorzystując liczby zespolone, rozłożyć lewąstronę rozpatrywanego równania (x" + y") na iloczyn czynni-ków liniowych. Lamę stwierdził też skromnie, że sława powin-na spłynąć nie tylko na niego, gdyż wspomnianej metody na-uczył się przy innej okazji od Josepha Liouville'a (1809-1882).Llouville jednak wszedł na mównicę bezpośrednio po Łameml kategorycznie odmówił przyjęcia jakichkolwiek pochwał.Stwierdził ze spokojem, że Lamę wcale nie udowodnił wielkiegotwierdzenia Fermata, bowiem zastosowany przezeń rozkład naczynniki wcale nie jest jednoznaczny (to znaczy, że można gowykonać na wiele sposobów), a zatem nie prowadzi do rozwią-zania. Była to więc próba odważna i pełna fantazji, iście kawa-leryjska, tyle że - jak wiele innych - zupełnie bezowocna. Jed-nakże z samego pomysłu, by zapisać lewą stronę równania-w postaci iloczynu n czynników liniowych, uczyniono powtór-ny użytek.Liczby idealneJako drugi rozkładu na czynniki spróbował Ernst EduarcBKummer (1810-1893), człowiek, który do rozwiązania proble-mu Fermata w przypadku ogólnym zbliżył się bardziej niż kto-kolwiek z jemu współczesnych. W istocie Kummer, próbującudowodnić wielkie twierdzenie Fermata, stworzył nową teorięmatematyczną, tzw. teorię liczb idealnych.Matka Kummera owdowiała, gdy miał on zaledwie trzy lata_,l wykształcenie syna musiała okupić ciężką pracą. W wieku la_tosiemnastu młody Kummer wstąpił na Uniwersytet w Hall«^w Niemczech z zamiarem studiowania teologii i przygotowania

Strona 35

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatasię do życia w służbie Kościoła. Pewien dalekowzroczny profe--sor matematyki, entuzjastycznie podchodzący do algebry i teon-rii liczb, zdołał zainteresować tymi dziedzinami Kummera, temzaś wkrótce porzucił teologię dla matematyki. Podczas trzecie;-go roku studiów rozwiązał trudny problem matematyczny, z. aktóry oferowano nagrodę. Dzięki temu sukcesowi zdobyłdoktorat z matematyki w wieku dwudziestu jeden lat.

74 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAMimo to Kummer nie mógł znaleźć pracy na żadnym z nie-mieckich uniwersytetów i musiał zadowolić się posadą nauczy-ciela w szkole średniej, do której sam kiedyś chodził. Nauczy-cielem był przez dziesięć lat, prowadząc jednocześnie rozlicznebadania naukowe, które częściowo publikował, a częściowoopisywał w listach kierowanych do czołowych matematyków.Przyjaciele zdawali sobie oczywiście sprawę, że los utalentowa-nego matematyka, zmuszonego do wykonywania zawodu na-uczyciela w szkole średniej, jest niewesoły. Dzięki wstawien-nictwu i pomocy kilku wpływowych matematyków Kummerotrzymał profesurę na Uniwersytecie we Wrocławiu. W rokpóźniej zmarł Gauss. Jego miejsce w Getyndze zajął Dirlchlet,opuszczając swą katedrę na słynnym Uniwersytecie Berliń-skim. Kummera wybrano, by zastąpił Dirichleta w Berlinie.Piastował to stanowisko aż do emerytury.Kummer zajmował się najróżniejszymi zagadnieniami mate-matycznymi, od bardzo abstrakcyjnych do bardzo praktycz-nych - pracował nawet nad zastosowaniami matematyki dotechniki wojennej. Największą sławę przyniosły mu jednakszeroko zakrojone prace nad wielkim twierdzeniem Fermata.Zajmował się nim tak jak sławny francuski matematyk Augu-stin Louis Cauchy (1789-1857), któremu wielokrotnie wyda-wało się, że wpadł na trop ogólnego rozwiązania problemu Fer-mata. Lecz Cauchy był też niecierpliwy i niedbały; za każdymrazem okazywało się, że problem jest daleko trudniejszy niżprzypuszczał: liczbom po prostu brakowało własności, którychdo swych rozumowań potrzebował Cauchy. Z czasem więcCauchy porzucił wielkie twierdzenie Fermata i zajął się innymizagadnieniami.Kummer, owładnięty natrętnymi myślami o wielkim twier-dzeniu Fermata, kroczył z początku szlakiem daremnych usi-łowań Cauchy'ego. Nie porzucił jednak nadziei, gdy raz za ra-zem okazywało się, że używanym przezeń ciałom liczbowymbrakuje tej czy innej własności. Zamiast rozpaczać, stworzyłinne, nowe liczby, które miały niezbędne cechy. Nazwał je licz-bami idealnymi. W ten sposób Kummer, wychodząc od zera,zbudował zupełnie nową teorię i wykorzystywał ją, próbując

AMIR D, ACZEL • 75.udowodnić wielkie twierdzenie Fermata. W pewnym momencie-Kummer myślał nawet, że wreszcie znalazł ogólny dowód. Oka-zało się, niestety, że cel pozostał poza zasięgiem jego starań.Niemniej Kummer, atakując problem Fermata, poczynił ol-brzymie postępy. Dzięki zastosowaniu swoich liczb idealnychzdołał udowodnić wielkie twierdzenie Fermata dla wszystklcnwykładników należących do bardzo obszernej klasy tak zwą -nych regularnych liczb pierwszych. Na przykład wśród liczbapierwszych mniejszych od 100 nie są regularne tylko trzy: 37",59 i 67. Tym samym wiadomo było, że twierdzenie zachodzirównież dla każdego z nieskończenie wielu wykładników, któr' edzielą się choćby przez jedną z regularnych liczb pierwszych.218Liczby nieregularne wymknęły się z sieci rozważań Kummera.Nieco później rozpracował on jednak oddzielnie przypadki nie-których nieregularnych liczb pierwszych, w tym wspomniame37, 59 i 67. W efekcie, pod koniec lat pięćdziesiątych XIX wie-ku, dzięki niewiarygodnemu przełomowi, dokonanemu przezKummera, wiadomo było, że wielkie twierdzenie Fermata jestprawdziwe dla wszystkich wykładników mniejszych od 100

Strona 36

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermata(l dla nieskończonego zbioru wykładników złożonego z wszys-t-kich wielokrotności liczb pierwszych mniejszych od 100). Choćnie był to wymarzony ogólny dowód, a prawdziwość twierdz-e-nia pozostawała nie rozstrzygnięta dla nieskończenie wieluwykładników, prace Kummera należy uznać za istotne osi. ą-gnięcie.W 1816 roku Francuska Akademia Nauk ufundowała n^a-grodę dla tego, kto udowodni wielkie twierdzenie Fermata.W roku 1850 Akademia ponowiła propozycję, oferując złcotymedal i sumę 3000 franków matematykowi, który po<iadowód wielkiego twierdzenia Fermata. W roku 1856 zdecydo-wano nagrodę wycofać, nie wydawało się bowiem, żeby roz-wiązanie problemu Fermata miało się pojawić w bliskiej przy-szłości. Zamiast tego Akademia postanowiła, że nagrodę ",za28 Do dziś nie wiemy, czy regularnych liczb pierwszych jest nieskończeniewi-ele;pewne jest natomiast to, że nieregularnych liczb pierwszych jest nieskończeniewiele, co udowodnil w 1915 roku K. L. Jensen (przyp. tłum.).

76 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAprzepiękne badania liczb zespolonych, utworzonych z pier-wiastków z jedynki i liczb całkowitych" otrzyma Ernst EduardKummer. I tak oto Kummer dostał nagrodę, o którą się wcalenie ubiegał.Kummer niestrudzenie kontynuował próby znalezienia do-wodu wielkiego twierdzenia Fermata. Zaprzestał ich dopierow 1874 roku. Kummer był również autorem pionierskichprac z geometrii przestrzeni czterowymiarowej. Niektórez uzyskanych przez niego wyników stosowane są obecniew mechanice kwantowej, jednej z gałęzi współczesnej fizyki.W roku 1893, po przekroczeniu osiemdziesiątki, Kummerzmarł na grypę.Samo wprowadzenie liczb idealnyc.h jest przez matematy-ków uznawane za większy sukces Kummera niż ich zastoso-wanie do częściowego rozwiązania zagadnienia Fermata. Faktpowstania tej wartościowej teorii wskutek prób udowodnieniawielkiego twierdzenia Fermata obrazuje prawidłowość ogólniej-szą: zmaganie z jednym problemem może prowadzić do rozwo-ju zupełnie nowych dziedzin nauki. W istocie, teoria liczb ide-alnych Kummera stała się początkiem współczesnej teoriiobiektów, zwanych ideałami. Bez niej nie byłoby dwudziesto-wiecznych prac Wilesa i innych matematyków, zajmującychsię zagadnieniem Fermata.Kolejna nagrodaW 1908 roku w Niemczech ufundowano dla autora ogólnegodowodu wielkiego twierdzenia Fermata tzw. nagrodę Wolfskehiaw wysokości stu tysięcy marek. W pierwszym roku od ustano-wienia nagrody pojawiło się 621 "rozwiązań". Wszystkie zawie-rały błędy. W kolejnych latach podejmowano kolejne setki i ty-siące podobnych prób. W latach dwudziestych naszego wieku,wskutek panującej w Niemczech hiperinflacji, realna wartośćsumy 100 000 marek spadła niemal do zera. Mimo to fałszywedowody wielkiego twierdzenia Fermata nadal napływały szero-ką falą.

AMIR D. ACZEL • 77Geometria bez EuklidesaWiek XIX przyniósł w matematyce wiele nowych osiągnięć. Wę-gier, Janos Bolyai (1802-1860), i Rosjanin, Mikołaj Iwanowicz-Łobaczewski (1793-1856), zmienili oblicze geometrii. Odrzucili.tzw. piąty postulat Euklidesa, który głosił, że dwie proste rów--nolegle na płaszczyźnie nie przecinają się, i niezależnie od sie-bie zbudowali świat nowej geometrii, pod wieloma względami!podobny do euklidesowego, lecz dopuszczający, by proste rów-noległe przecinały się w nieskończoności. Z geometrią tego ro-dzaju mamy do czynienia choćby w przypadku sfery. Dobregcoprzykładu dostarcza powierzchnia globu ziemskiego. Rolę pro-

Strona 37

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatastych odgrywają na sferze łuki wielkich kół, na przykład połu-dniki. Łatwo zaobserwować, że w pobliżu równika różne połu-dniki są równoległe. Gdy jednak powędrujemy wzdłuż nich aS,do bieguna północnego, zauważymy, że się tam one spotkają .Wiele sytuacji, które przed nadejściem geometrii nieeuklideso-wej wydawało się niejasnych i tajemniczych, można obecnie zeijej pomocą opisać i wytłumaczyć.

Tragiczne dzieje twórcy niezwykłej teoriiAlgebra abstrakcyjna, dziedzina matematyki, której korzeniesięgają dobrze znanej, służącej do rozwiązywania prostyc:hrównań algebry szkolnej, narodziła się w XIX wieku. Do alges-

78 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAbry abstrakcyjnej zalicza się między innymi wspaniałą teorięGalois.Evariste Galois urodził się w 1811 roku pod Paryżem, w ma-łej mieścinie Bourg-la-Reine.29 Jego ojciec był burmistrzemmiasteczka i jednocześnie zagorzałym republikaninem. MłodyEvariste od początku stykał się z Ideałami wolności i demokra-cji. Niestety, niemal cała Francja w owym czasie zmierzaław przeciwnym kierunku. Wielka Rewolucja Francuska prze-szła już do historii, podobnie Jak dokonania Napoleona. Niewszystkie marzenia o wolności, równości i braterstwie zostałyspełnione. Rój aliści cieszyli się z powrotu do życia publicznegowe Francji, na której tronie znów zasiadał jeden z Burbonów,rządząc tym razem wspólnie z przedstawicielami ludu.Życie Evariste'a przesiąknięte było wzniosłymi Ideałami re-wolucji. Wygłaszał o nich nawet publiczne, porywające mowy,a równocześnie był genialnym matematykiem o niezrównanychmożliwościach. Jako nastolatek wchłaniał teorie algebraicznerównie szybko i łatwo, jak najznakomitsi ówcześni matematy-cy. Będąc jeszcze chłopcem, stworzył własną, pełną teorię ma-tematyczną, znaną dziś jako teoria Galois. Niestety, podczastragicznie krótkiego życia nie dane mu było cieszyć się uzna-niem Innych.Galois chodził do szkoły z internatem. Noce, które jego kole-dzy smacznie przesypiali, spędzał, spisując swą teorię. Gotowyrękopis wysłał do Francuskiej Akademii Nauk, do Cauchy'ego,z nadzieją, że ten pomoże mu w opublikowaniu dotychczaso-wych wyników badań. Cauchy był jednak nie tylko człowie-kiem niezwykle zajętym; był też arogancki i niedbały. Błyskot-liwa praca Galois trafiła nieczytana do kosza.Galois spróbował jeszcze raz, z podobnym skutkiem. W tymczasie oblał też egzaminy wstępne do Ecole Polytechnique, któ-ra wykształciła większość słynnych matematyków fran-cuskich. Galois zazwyczaj pracował nad matematyką, używa-jąc jedynie własnej głowy. Nic nie notował l nie zapisywał, do-29 Miasteczko to znajduje się przy drodze do Tuluzy, dziś niedaleko lotniskaOrły(przyp. tłum.).

AMIR D, ACZEL • 7S»póki nie miał w głowie gotowego wyniku. Koncentrował się ra-czej na ideach, niż na detalach, do których, prawdę powie--dziawszy, nie miał zbytniej cierpliwości i uznawał je za matoInteresujące. Naprawdę ciekawiły go wielkie pomysły, pięknoorozległych teorii. Nic dziwnego, że ktoś taki nie czuł się najle -piej, odpowiadając przy tablicy na szczegółowe pytania. Z te=jwłaśnie przyczyny dwukrotnie nie udało mu się dostać do wy-marzonej szkoły. Dwukrotnie postawiony pod tablicą średnioradził sobie z zapisywaniem rozumowań i Irytował się, pytan^yo detale, które po prostu uznawał za nieważne. Było to tragiczs-ne nieporozumienie: niewiarygodnie inteligentnego młodeg.oczłowieka przepytywali daleko mniej uzdolnieni egzaminatoo-rzy, biorąc niechęć do podawania banalnych szczegółów za

Strona 38

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermataniewiedzę. Gdy Galois zdał sobie sprawę, że za chwilę obieg eegzamin po raz drugi (i ostatni, ponieważ więcej razy nie wolniobyło zdawać), a wrota Ecole Polytechnique zamkną się prze-dnim na zawsze, cisnął ścierką do tablicy w twarz jednego z eg-zaminatorów.Pozostała mu druga pod względem atrakcyjności uczelnia,Ecole Normale. Lecz nawet tam nie wiodło mu się dobrze. O*]-ciec Galois, burmistrz Bourg-la-Reine, był w miasteczk-uobiektem klerykalnych Intryg. Pewien pozbawiony skrupułówksiądz rozpowszechniał pornograficzne wierszydła, sygnując _jenazwiskiem burmistrza. Po paru miesiącach prześladowań oj-ciec Galois stracił pewność siebie l nabrał przekonania, że ca_lyświat sprzysiągł się przeciw niemu. Tracąc stopniowo kontaiktz rzeczywistością, pojechał do Paryża. Tam, w mieszkanduo parę ulic od miejsca, gdzie studiował jego syn, popełnił s a-mobójstwo. Po tej tragedii młody Galois nigdy już nie doszesdldo siebie. Zdesperowany przegraną sprawą rewolucji 1830 r-o-ku, sfrustrowany działaniami dyrektora Ecole, którego uważsałza poplecznika rojalistów i kleryka! ów, Galois napisał zjadinwy,krytykujący dyrektora list. Wpadł na ten pomysł po trzechdniach ulicznych zamieszek, kiedy to studenci całego Paryżaburzyli się przeciwko reżimowi. Galois i jego koledzy, nie rrno-gąc wdrapać się na wysoki płot, uwięzieni byli przez jakiś cz:asna terenie uczelni. Rozzłoszczony Galois wysłał swój cięty, p3o-

80 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAmienny list krytykujący dyrektora do "Gazette des Ecoles".Zyskał tyle, że go z uczelni wydalono. Nie zrażony tym Galolsnapisał do "Gazette" drugi list, wzywając studentów uczelni,by stanęli po stronie honoru i sumienia. Odzewu nie było.Wyrzucony z uczelni Galois próbował z początku dawać pry-watne lekcje. Mając ledwie dziewiętnaście lat, chciał poza mu-rami francuskich szkół uczyć własnych teorii matematycz-nych. Nie znalazł jednak chętnych do pobierania nauki - jegoteorie były zbyt zaawansowane, a on sam wyprzedzał o wielelat swą epokę.Stojąc przed niepewną przyszłością, jakby dotknięty jakimśprzekleństwem, które nie pozwalało mu zdobywać rzetelnegowykształcenia w normalny sposób, zdesperowany Galois wstą-pił do oddziałów artylerii francuskiej Gwardii Narodowej.W Gwardii Narodowej, dowodzonej niegdyś przez samego La-fayette'a, wielu młodych ludzi nastawionych było liberalniei wyznawało poglądy polityczne zbliżone do Galois. Służącw Gwardii, Galois spróbował po raz ostatni opublikować wyni-ki swych prac. Napisał artykuł poświęcony ogólnym własno-ściom rozwiązań równań wielomianowych - dziś uznawany zaopis świetnej teorii Galois - i posłał go do Francuskiej Akade-mii Nauk, na ręce Simeona-Denisa Poissona (1781-1840). Po-Isson pracę przeczytał, lecz stwierdził, że jest "niezrozumiała".Jeszcze raz się okazało, że dzłewiętnastolatek przerósł mate-matyków francuskich starszej generacji tak bardzo, że nie bylioni w stanie ogarnąć jego nowych, efektownych teorii. Po tymdoświadczeniu Galois postanowił porzucić matematykę i zo-stać zawodowym rewolucjonistą. Powiedział podobno, że jeślido zaangażowania ludzi w rewolucję potrzebne jest jakieś spe-cjalne ciało, to on może ofiarować własne.Dziewiątego maja 1831 roku dwustu młodych republikanówurządziło bankiet, by protestować przeciw królewskiemu roz-kazowi, rozwiązującemu oddziały artylerii Gwardii Narodowej.Pito za zdrowie bohaterów Wielkiej Rewolucji Francuskiej i zarewolucję 1830 roku. W pewnym momencie Galois wstałl wzniósł toast: POLU- Louis Philippe! za księcia Orleanu i ówcze-snego króla Francji. Wymawiając te słowa i wznosząc jedną rę-

AMIR D. ACZEL • 81ką kielich, w drugiej ręce Galois trzymał wysoko otwarty nóżkieszonkowy. Ponieważ francuskie pour może znaczyć zarówno

Strona 39

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermata"za", jak i "na" lub "dla", więc całe zdarzenie zostało potrakto-wane jako zagrożenie życia króla. Następnego dnia Galois zo-stał aresztowany.Podczas sprawy o spowodowanie zagrożenia życia monarchyadwokat Galois utrzymywał, że jego klient powiedział w rzeczy-wistości: "Dla Ludwika Filipa, gdyby okazał się zdrajcą". Po-twierdziły to zeznania niektórych zaprzyjaźnionych z Galois ar-tylerzystów, a sędziowie przysięgli uznali go za niewinnego.Galois spokojnie zabrał swój scyzoryk ze stolika z dowodami,złożył go i schował do kieszeni, odchodząc jako wolny czło-wiek. Niestety, wolnością nie cieszył się zbyt długo. Po miesią-cu aresztowano go jako "niebezpiecznego republikanina"i przetrzymywano bez postawienia konkretnego zarzutu w wię-zieniu, poszukując jednocześnie czegoś, o co można by gooskarżyć. W końcu wytoczono mu proces o noszenie mundururozwiązanych oddziałów artylerii. Galois został skazany nasześć miesięcy więzienia. Rojaliści cieszyli się, że w końcu uda-ło się usunąć dwudziestolatka, uznanego za groźnego wrogasystemu. Po pewnym czasie Galois został zwolniony warunko-wo. To, co się stało później, wciąż budzi wątpliwości. Będąc nazwolnieniu warunkowym, Galois poznał młodą kobietę, w któ-rej się zakochał. Niektórzy sądzą, że wpadł w pułapkę zasta-wioną przez wrogich mu rojalistów, chcących raz na zawsze-położyć kres jego rewolucyjnej działalności. W każdym raziezwiązał się z kobietą o wątpliwej reputacji (une coąuette de boyetage]. Gdy zostali kochankami, zjawił się pewien rojalista, by-"ratować zagrożony honor" i wyzwał Galois na pojedynek. Mło-dy matematyk znalazł się w sytuacji bez wyjścia. Próbował:wszelkimi sposobami wyperswadować przeciwnikowi pojedy-nek. Na próżno.W nocy przed pojedynkiem Galois napisał kilka listów. Owe=listy do przyjaciół zdają się potwierdzać tezę, że Galois padttofiarą uknutej przez rojalistów intrygi. Sam twierdził, że wy-zwali go na pojedynek dwaj rojaliści, którzy wymogli na ninusłowo honoru, by nie wspomniał o całej sprawie republikań-

82 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAskim przyjaciołom: "Zginę jako ofiara niesławnej kokietki. Mojeżycie gaśnie przez żałosną burdę. Czemuż umierać dla rzeczyrównie banalnej, czemuż umierać z równie nikczemnego powo-du!" Lecz większość ostatniej nocy przed pojedynkiem Galoispoświęcił na staranne przelewanie na papier swej matematycz-nej teorii. Wysłał Ją przyjacielowi, Auguste'owl Chevalierowl.O świcie 30 maja 1832 roku Galois stanął na ubitej ziemi na-przeciw swego adwersarza. Dostał postrzał w brzuch i pozosta-wiony w agonii leżał samotnie na polu. Nikt nie zatroszczył sięo lekarza. Dopiero jakiś wieśniak odnalazł go i zawiózł do szpi-tala, gdzie Galois umarł nazajutrz rano. Nie miał Jeszcze dwu-dziestu jeden lat.W roku 1846 matematyk Joseph Liouvllle zredagowałi wydał drukiem notatki Evarlste'a Galois, opisujące niezwy-kle interesującą teorię. Półtora wieku później teoria Galoismiała stać się jednym z kluczy do wielkiego twierdzeniaFermata.Kolejna ofiaraNiedbalstwo l arogancja Cauchy'ego zrujnowały życie co naj-mniej jeszcze jednemu błyskotliwemu matematykowi. NielsHenrik Abel (1802-1829) był synem pastora z norweskiejmiejscowości Findó. Gdy miał szesnaście lat, nauczyciel za-chęcił go do przeczytania sławnych Disquisitiones Gaussa.Abelowi udało się nawet uzupełnić szczegóły w niektórych do-wodach. Lecz w dwa lata później zmarł jego ojciec. Młody Abelmusiał zawiesić na jakiś czas studia matematyczne i zająć sięna poważnie utrzymywaniem rodziny. Mimo wielu trudności,zdołał odrobinę czasu poświęcać matematyce. Gdy miał dzie-więtnaście lat, dokonał nawet znaczącego matematycznegoodkrycia.W roku 1824 opublikował pracę, w której udowodnił, że roz-

Strona 40

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatawiązań równania wielomianowego piątego stopnia nie możnawyrazić poprzez współczynniki równania żadnym wzorem ogól-nym, polegającym na wykonywaniu skończonej liczby działań

AMIR D. ACZEL • 83arytmetycznych i pierwiastkowań. Rozwiązał tym samym jeden-z najsłynniejszych otwartych problemów ówczesnej matematy-ki. Niemniej jednak utalentowany młodzieniec ciągle nie mógł:zdobyć żadnej stałej akademickiej posady, której skądinąd-bardzo potrzebował, by zapewnić rodzinie środki do życia. Po-słał więc swe wyniki Cauchy'emu, z prośbą o opinię i ewentual-ną pomoc w ich opublikowaniu. Jednakże Cauchy artykuł:Abela, zawierający twierdzenia nadzwyczaj ogólne i ważne, po»prostu zgubił. Gdy po paru latach praca ukazała się drukiem,.na pomaganie Abelowi było już za późno. W 1829 roku zmarlion na gruźlicę, spowodowaną przez nędzę, w jaką popadttwspierając rodzinę, która znajdowała się w skrajnie trudnymipołożeniu. W dwa dni po jego śmierci przyszedł zaadresowanymdo niego list z informacją, że przyznano mu profesurę na Uni-wersytecie Berlińskim.Pisane małą literą słowo "abelowy" to dziś powszechnie-przez matematyków używany przymiotnik. Pojęcie grupy abe-Iowej - w której wynik działania, umownie zwanego mnoże-niem, nie zależy od kolejności czynników - zajmuje poczesne;miejsce we współczesnej algebrze; odegrało ono też rolę?w ostatecznym rozwiązaniu zagadnienia Fermata. Jeszcze bar-dziej abstrakcyjnymi tworami są rozmaitości abelowe, równieSwykorzystywane we współczesnych podejściach do dowodmwielkiego twierdzenia Fermata.Ideały DedekindaDziedzictwo Carla Friedricha Gaussa przetrwało stulecia. Jed-nym z najsłynniejszych matematycznych spadkobiercówGaussa był Richard Dedekind (1831-1916), urodzony równieżw Brunszwiku, tym samym mieście, z którego pochodził wielkilmistrz. Dedekind jednak, w przeciwieństwie do Gaussa-,w dzieciństwie nie wykazywał ani zainteresowań, ani specjał -nych uzdolnień w dziedzinie matematyki. Bardziej zajmowałygo fizyka i chemia, a matematykę traktował jedynie jako nauk^służebną wobec tych dziedzin wiedzy. W wieku siedemnastL-i

84 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAlat Dedekind zaczął uczęszczać do Liceum Karoliny, tej samejszkoły, w której podstawy matematycznego wykształcenia ode-brał Gauss. W znaczący sposób wpłynęło to na jego przyszłość.Skierował swą uwagę ku matematyce i w ślad za owym zainte-resowaniem pojechał do Getyngi, gdzie wykładał Gauss. Toz jego rąk w 1852 roku dwudziestojednoletni Dedekind otrzy-mał doktorat. Mistrz stwierdził, że poświęcona analizie mate-matycznej dysertacja ucznia Jest "w pełni zadowalająca". Niebył to wielki komplement. W istocie geniusz Dedekinda nie za-czął się jeszcze przejawiać.W roku 1854 Dedekind otrzymał w Getyndze posadę wykła-dowcy. Gdy w 1855 roku zmarł Gauss, a z Berlina przybył najego miejsce Dirichlet, Dedekind pilnie chodził na wszystkie je-go wykłady, a także zredagował pionierski traktat Dirichleta,poświęcony teorii liczb, dodając don suplement oparty na jegowłasnych pracach. Suplement zawierał zarys rozwiniętej przezDedekinda teorii liczb algebraicznych - to znaczy rozwiązańrównań wielomianowych z wymiernymi współczynnikami.W skład zbioru liczb algebraicznych wchodzą obok liczb wy-miernych także na przykład pierwiastki kwadratowe czy sze-ścienne z liczb naturalnych. Powstające przy okazji studiowa-nia rozmaitych równań ciała liczbowe, zawarte w zbiorze liczbalgebraicznych, odgrywają ważną rolę w badaniu równaniaFermata. Dedekind stworzył więc istotny dział teorii liczb.Największym wkładem Dedekinda do współczesnych badańpoświęconych wielkiemu twierdzeniu Fermata była rozwinięta

Strona 41

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermataprzezeń teoria ideałów - czysto abstrakcyjnych odpowiednikówliczb idealnych Kummera. Ideały, w stulecie po ich wprowa-dzeniu przez Dedekinda, natchnęły Barry'ego Mazura. Z pracMazura czerpał później pomysły Andrew Wiłeś.W roku akademickim 1857/58 Richard Dedekind poprowa-dził pierwszy wykład teorii Galois. Dedekind pojmował mate-matykę w sposób szalenie abstrakcyjny. Teorię grup wzniósłw zasadzie na ten sam poziom, na którym w dzisiejszych cza-sach uczy się jej studentów. Warsztat algebry abstrakcyjnejumożliwił dwudziestowieczny atak na problem Fermata. Prze-łomowy wykład Dedekinda, poświęcony teorii Galois (na który

AMIR D. ACZEL • 85chodziło tylko dwóch studentów), był ważnym krokiem w tymkierunku.Później w karierze Dedekinda nastąpił dziwny zwrot. Wyje-chał z Getyngi, by objąć posadę w Zurychu, a stamtąd po pię-ciu latach, w 1862 roku, wrócił do Brunszwiku, gdzie następ-nie przez pięćdziesiąt lat wykładał na politechnice. Nikt niezdołał przekonująco wyjaśnić, dlaczego świetny matematyk,który wprowadził algebrę na niewiarygodnie wysoki poziomabstrakcji i ogólności, porzucił nagle jedną z najbardziej pre-stiżowych posad profesorskich w całej Europie, by przez resztężycia uczyć na mało znanej politechnice. Dedekind nigdy sięnie ożenił. Przez wiele lat mieszkał razem z siostrą. Zmarłw 1916 roku, zachowując do ostatnich dni przenikliwy, aktyw-ny umysł.Fin de sieclePod koniec XIX wieku żył we Francji matematyk obdarzony"wlelkimi zdolnościami w nadspodziewanie wielu rozmaitychdziedzinach. Rozległa wiedza Henn Poincarego (1854-1912)sięgała również poza matematykę. Począwszy od roku 1902,gdy był już bardzo sławnym uczonym, pisał popularne ksią-żeczki o matematyce. Znajome, tanie, miękkie okładki możnai.było dostrzec w kafejkach i parkach całego Paryża, w rękach*ludzi w najróżniejszym wieku.Poincare pochodził z rodziny o wielkich tradycjach. Jego ku-zyn, Raymond Poincare, piastował podczas pierwszej wojnyyświatowej godność prezydenta Francji. Inni członkowie rodu tefizajmowali we Francji ważne stanowiska rządowe i publiczne.Już w dzieciństwie Henri odznaczał się wspaniałą pamięcią..Mógł recytować od wskazanej strony dowolną książkę, którąwłaśnie czytał. Legendarne było również jego roztargnienie .Pewnego razu pewien fiński matematyk przebył długą drogę doParyża, by spotkać Poincarego i przedyskutować z nim różnematematyczne kwestie. W przedpokoju gość oczekiwał na wej-ście do gabinetu Poincarego bite trzy godziny. W tym cząstce

86 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAroztargniony Francuz przechadzał się w zamyśleniu w tęi z powrotem - miał taki zwyczaj przez całe swoje zawodowe ży-cie. W końcu Poincare wyjrzał do przedpokoju i wykrzyknął:"Proszę Pana, Pan mi przeszkadza!" Na te słowa gość pospiesz-nie wyjechał i nigdy więcej go w Paryżu nie widziano.Błyskotliwe talenty Poincarego dostrzeżono już w szkolepodstawowej. Ponieważ jednak był szalenie wszechstronny -jak prawdziwy człowiek renesansu - jego szczególne uzdolnie-nia matematyczne jeszcze się nie ujawniły. W młodym wiekuwyróżniał się przede wszystkim świetnym piórem. Nauczyciel,który odkrył jego zdolności i wspierał ich rozkwit, pieczołowicieprzechowywał jego szkolne wypracowania. W pewnym momen-cie troskliwy nauczyciel musiał jednak przestrzec młodego ge-niusza: "Nie rób tego, proszę, tak dobrze... Spróbuj być bar-dziej pospolity". Tę propozycję składał nie bez powodu.Francuski system oświatowy najwyraźniej wyciągnął pewnewnioski z nieszczęść Galois sprzed półwiecza - nauczycielestwierdzili, że utalentowani uczniowie częstokroć ponoszą klę-

Strona 42

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermataski przed obliczem zimnych, pozbawionych wyobraźni egzami-natorów. Nauczyciel Poincarego szczerze się obawiał, że Henrijest wystarczająco błyskotliwy, by oblać egzaminy wstępne.Już jako dziecko Poincare był roztargniony. Często przepadałymu posiłki - nie przychodził w porę, bo nie pamiętał, czy jadłjuż, czy nie.Młody Poincare interesował się przedmiotami klasycznymii nauczył się znakomicie pisać. Jako nastolatek zaczął się inte-resować matematyką i błyskawicznie osiągnął doskonały po-ziom. Rozwiązywał problemy wyłącznie w pamięci, krocząc popokoju; dopiero później siadał i bardzo niecierpliwie wszystkozapisywał. Podobny był w tym do Galois i Eulera. Gdy wreszciePoincare przystąpił do egzaminów wstępnych na Ecole Poty-technique, niewiele brakowało, a nie zdałby egzaminu z mate-matyki, zgodnie z dawnymi obawami nauczyciela z podsta-wówki. Przepuszczono go jednak wyłącznie dlatego, że -w wieku siedemnastu lat! - cieszył się Już jako matematyk ta-kim uznaniem, iż nikt z egzaminatorów nie ośmielił się go ob-lać. "Gdyby to nie był Poincarć, tylko ktokolwiek inny, to do-

AMIR D. ACZEL . 87stałby pałkę" - zadeklarował przewodniczący komisji egzami-nacyjnej, podejmując decyzję o wpuszczeniu w mury Ecole Po-lytechnique studenta, który miał zostać najsławniejszym fran-cuskim matematykiem swoich czasów.Poincare jest autorem dziesiątek książek poświęconych ma-tematyce, fizyce matematycznej, astronomii i popularyzacji na-uki. Napisał grubo ponad pięćset stron prac naukowych o no-wych pojęciach, które wprowadził do matematyki. Wniósłbardzo znaczący wkład do zapoczątkowanej przez Eulera topo-logii. Jego wyniki były na tyle istotne, że często za właściwypoczątek topologii uznaje się dopiero rok 1895, datę wydaniadzieła Poincarego pod tytułem Anałysis situs. Topologia (bada-nie kształtów, powierzchni, funkcji ciągłych) była niezbędnadla podjętej u schyłku XX wieku próby udowodnienia wielkie-go twierdzenia Fermata. Znacznie ważniejszą rolę w tych pró-bach odegrała jednak inna dziedzina zapoczątkowana równieżprzez Poincarego.Formy modułowePoincare badał własności funkcji okresowych, takich jak si-nusy i cosinusy Fouriera, nie na prostej rzeczywistej, jak ro-bił to Fourier, lecz na płaszczyźnie zespolonej. Funkcja si-nus, oznaczana sin x, określa pionową współrzędną punktupołożonego na okręgu o promieniu długości l, gdy kąt mię-dzy promieniem wodzącym owego punktu a prostą poziomąjest równy x. Sinus to funkcja okresowa: jej wartości powta-rzają się nieustannie, gdy kąt wzrasta o wielokrotność zasad-niczego okresu funkcji - 360°. Okresowość to swego rodzajusymetria.Poincare badał płaszczyznę zespoloną, zawierającą na osipoziomej liczby rzeczywiste, a na osi pionowej - liczby urojone.W tym przypadku można rozpatrywać funkcje, które są,okresowe w dwóch kierunkach, na przykład wzdłuż osi rzeczy-wistej i urojonej. Wartości takich funkcji powtarzają się w nie-skończenie wielu równoległobokach tworzących na płaszczyź-

88 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAnie zespolonej ukośną kratkę, przedstawioną na poniższym ry-sunku.

Poincare poszedł dalej i postulował istnienie funkcji o jesz-cze szerszym wachlarzu symetrii. Miały to być funkcje, którenie zmieniają wartości, gdy zmienną zespoloną z będziemyprzekształcać według przepisu f[z) ->f((az + b)/(cz + d)). Róż-nych podstawień tej postaci może być nieskończenie wiele.Liczby a, b, c, d, ułożone w macierz (kwadratową tabelę 2x2),

Strona 43

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatatworzą obiekt algebraiczny, zwany grupą. Porządek wykonywa-nia podstawień nie gra roli; funkcja f jest niezmiennicza wzglę-dem owej grupy przekształceń. Takie dziwne, niesamowitefunkcje Poincare nazwał formami automorflcznymi.Formy automorficzne skrywają w sobie liczne wewnętrznesymetrie; zaiste, to twory bardzo, bardzo niezwykłe. Poincarenie był do końca przekonany o ich istnieniu. Opisując swojąpracę, opowiadał, że przez dwa tygodnie co rano po przebudze-niu zasiadał na parę godzin przy biurku i próbował przekonaćsam siebie, że formy automorficzne, które wymyślił, nie mogąIstnieć. Piętnastego dnia zdał sobie sprawę, że się mylił. Tedziwne, trudne do wyobrażenia i ogarnięcia rozumem funkcjenaprawdę istniały. Poincarć wprowadził też nieco ogólniejsze,jeszcze bardziej skomplikowane, formy modułowe. Formy mo-dułowe mają rację bytu na górnej połówce płaszczyzny zespo-lonej, w świecie geometrii hiperbolicznej, a więc w dziwnejprzestrzeni, gdzie zamiast reguł Euklidesa obowiązują reguły

AMIR D. ACZEL . 89Bolyala i Łobaczewsklego. Przez każdy punkt górnej półplasz-czyzny przechodzi wiele "prostych" równoległych do "prostej"danej.Dziwne formy modułowe odznaczają się w świecie geome-trii hiperbolicznej nieoczekiwanie licznymi symetriami, doktórych należą na przykład przesunięcia czy branie odwrot-ności liczby zespolonej. Na rysunku poniżej przedstawionyjest wykorzystujący te symetrie parkietaż górnej półpłaszczy-

90 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAzny. W hiperbolicznym świecie wszystkie "wielokąty" są iden-tyczne.Poincare wkrótce porzucił obdarzone symetriami formy au-tomorficzne i jeszcze bardziej zawiłe formy modułowe, by za-jąć się inną matematyką. Zaprzątała go masa zagadnień, czę-stokroć po kilka naraz z różnych dziedzin; nie miał czasuprzesiadywać, kontemplując piękno tylko jednego rodzajutrudno wyobrażalnych i nieskończenie symetrycznych obiek-tów. I chociaż tego nie wiedział, zasiał jedno z ziaren, z które-go miał kiedyś wykiełkować ostateczny dowód wielkiegotwierdzenia Fermata.Nieoczekiwane skojarzenie z obwarzankiemW 1922 roku angielski matematyk Louis J. Mordell odkrył coś,co wskazało na dziwny związek między topologią i rozwiązania-mi równań algebraicznych. Przedmiotem zainteresowania topo-logii są różnorodne przestrzenie i powierzchnie. (Gdy topologmówi "powierzchnia", czasem ma na myśli dwuwymiarowyobiekt umieszczony w trójwymiarowym świecie, podobny doklasycznych figur rozważanych w geometrii starożytnych Gre-ków, czasem zaś chodzi mu o dość niezwykły twór położonyw przestrzeni o większej liczbie wymiarów). Topologia bada włas-ności tych przestrzeni i określonych na nich przekształceń cią-głych. Mordell natrafił na fragment topologii, dotyczący po-wierzchni w przestrzeni trójwymiarowej. Jedną z najprostszychpowierzchni stanowi sfera, na przykład powierzchnia piłki dokoszykówki. Piłka Jest wprawdzie trójwymiarowa, ale jej nie-skończenie cienka powierzchnia to obiekt jedynie dwuwymiaro-wy. Weźmy teraz pod uwagę kulę ziemską. Cała Ziemia jest trój-wymiarowa - żeby umiejscowić dowolny jej punkt (czy to napowierzchni, czy wewnątrz globu), trzeba podać trzy współrzęd-ne: długość i szerokość geograficzną oraz głębokość pod po-wierzchnią. Pozbawiona głębokości powierzchnia Ziemi jest jed-nak dwuwymiarowa. By określić położenie dowolnego punktu,wystarczy podać dwie liczby: długość i szerokość geograficzną.

Strona 44

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie FermataAMIR D. ACZEL • 91

genus = Ogenus = 1genus = 2Dwuwymiarowe powierzchnie w trójwymiarowej przestrzenimożna rozróżniać, podając ich genus (albo inaczej rodzaj). Ge-nus to liczba dziur w powierzchni. Genus sfery, w której niema żadnych dziur, równa się zero. Obwarzanek ma w środkujedną dziurę. Zatem powierzchnia obwarzanka (którą matema-tycy nazywają torusem) ma genus równy jeden. Gdy mówimy"dziura", mamy na myśli otwór na wylot, przez który można byna przykład przewlec nitkę. Powierzchnia filiżanki z dwojgiemuszu ma w sobie dwie dziury na wylot. Zatem jej genus jeat-równy dwa.Powierzchnię ustalonego genusu można w sposób wzajem-nie jednoznaczny i ciągły przekształcić na dowolną, inną po-wierzchnię tego samego genusu. Wystarczy sobie wyobrazić, żeobie są wykonane z nieskończenie rozciągliwej gumy. Jeśli jed-

funkcja ciągłafunkcja nieciągta

92 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAnak chcemy przekształcić powierzchnię jednego genusu w po-wierzchnię genusu innego rodzaju, to musimy niektóre dziurystworzyć lub zniszczyć. Nie można tego dokonać jednocześniew sposób i różnowartościowy, i ciągły, bo zmiana liczby dziurwymaga albo meciągłego rozdzierania powierzchni, albo nie-różnowartościowego sklejania Jej różnych punktów.Wróćmy jednak do Mordella. Otóż wpadł on na trop dziwnej,całkowicie nieoczekiwanej zależności: liczby dziur (genusu) po-wierzchni odpowiadającej przestrzeni rozwiązań równania za-leżą tylko od tego, czy równanie ma skończenie, czy też nie-skończenie wiele rozwiązań. Otóż jeśli powierzchnia opisanaprzez równanie, leżąca w pewnej dość specjalnej przestrzeni,tak zwanej dwuwymiarowej zespolonej przestrzeni rzutowej,ma przynajmniej dwie dziury (czyli genus równy dwa lub wię-cej), to wtedy równanie posiada wśród liczb całkowitych tylkoskończenie wiele istotnie różnych rozwiązań. Odkrycia tegoMordell nie umiał, niestety, udowodnić. Zaczęto je więc nazy-wać hipotezą Mordella.Dowód FaltingsaW 1983 roku dwudziestosiedmioletni matematyk niemiecki,Gerd Faltings, pracujący wówczas na Uniwersytecie w Wup-pertalu, udowodnił hipotezę Mordella. Faltings nie interesowałsię wielkim twierdzeniem Fermata, uważając je za izolowanyproblem teorii liczb. Mimo to z Jego niezwykle pomysłowego do-wodu, wykorzystującego potężną dwudziestowieczną maszyne-rię geometrii algebraicznej, wypływały ważne wnioski, zmienia-jące status quo wielkiego twierdzenia Fermata. Powierzchniaopisana równaniem Fermata ma dla n większych od 3 genusco najmniej równy 2. Zatem z prawdziwości hipotezy Mordellajasno wynika, że jeśli w ogóle istnieją trójki liczb całkowitychspełniające to równanie, to jest Ich tylko skończenie wiele.3030 Przy ustalonym wykładniku n i przy założeniu, że liczby wchodzące w składtrójki nie mają wspólnych dzielników (przyp. dum.).

AMIR D. ACZEL • 9.3Ów pocieszający wynik uzmysłowił przynajmniej, że liczba roz;-wiązań jest ograniczona. Wkrótce potem dwaj matematycy,Granville i Heath-Brown, skorzystali z wyniku Faltingsa, byudowodnić, że jeśli w ogóle istnieją rozwiązania równania Fer~-

Strona 45

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatamata, to ich liczba nie rośnie wraz ze wzrostem wykładnika m.Pokazali oni, że gdy n rośnie nieograniczenie, to wśród wykładl-ników mniejszych od n jest niemal sto procent takich, dla któ-rych wielkie twierdzenie Fermata zachodzi.Innymi słowy, okazało się, że wielkie twierdzenie Fermat.ajest "niemal zawsze" prawdziwe. Jeśli istniałyby rozwlązani«arównania Fermata (to znaczy w przypadku, gdyby wielkie twier"-dzenie Fermata okazało się Jednak fałszywe), to byłoby ich, p. opierwsze, "niewiele", a po drugie - istniałyby tylko dla "niewie--lu" wykładników. Zatem status wielkiego twierdzenia Fermatsaw roku 1983 przedstawiał się następująco. Twierdzenie byt" oudowodnione dla wszystkich wykładników n nie przekraczają-cych miliona (w 1992 roku tę granicę podniesiono do czterecBimilionów). Dla większych wykładników n wiadomo było, że Jeśli!w ogóle istnieją rozwiązania równania Fermata, to jest ich mat'o- w pewnym sensie tym mniej, im większy jest wykładnik.Tajemniczy grecki generał o zabawnym nazwisku!Istnieją cale tuziny świetnych książek o matematyce, wyda-nych we Francji i napisanych po francusku przez niejakieg.oNicolasa Bourbakiego. W swoim czasie żył grecki generał no-szący nazwisko Bourbaki (1816-1897); w 1862 roku oferowa-no mu tron grecki, ale odmówił. Generał odegrał ważną rolLęw wojnie francusko-pruskiej i dzięki temu ma pomnik we fran-cuskim mieście Nancy. Kłopot polega na tym, że generał Bouir-bakl z matematyką nie miał nic wspólnego l nigdy nie napisałżadnej książki - ani matematycznej, ani jakiejkolwiek inneJ.Kto więc jest autorem licznych tomów, opatrzonych na okładceJego nazwiskiem?Odpowiedzi na to pytanie należy szukać w beztroskim, rados-nym życiu Paryża w dwudziestoleciu międzywojennym, kledły

94 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAHemingway, Picasso l Matisse, jak wielu innych mieszkańcówtego miasta, uwielbiali przesiadywać w kawiarniach, spotykaćprzyjaciół, przyglądać się przypadkowym przechodniom i sa-memu być przedmiotem ludzkich obserwacji. W owym czasie,w otoczeniu kafejek Dzielnicy Łacińskiej l na Sorbonie, życietętniło też wśród barwnej społeczności matematyków. Profeso-rowie uniwersytetu również lubili spotykać przyjaciół i w do-brej kawiarni na bulwarze St. Michel, przy filiżance kawyz mlekiem lub szklaneczce anyżówki, o dwa kroki od pięknychOgrodów Luksemburskich, podyskutować... o matematyce.Paryska wiosna inspirowała pisarzy, artystów l matematyków.Wyobraźmy sobie, że w słoneczny dzień zebrała się w przy-jemnej kafejce grupa żywo rozprawiających matematyków.Podczas ognistych dysput o subtelnościach takiej czy innejteorii pojawiło się stopniowo uczucie braterstwa. Heming-wayowi, który pisał, że lubił pracować w kawiarni, hałaśliwerozmowy zapewne by przeszkadzały, zmuszając go do przenie-sienia się do Jednej z knajpek rezerwowych, już nie tak przezniego lubianych. Kto jednak zwracałby uwagę na samotnegobrodacza w kącie? Matematycy cenią sobie własne towarzy-stwo i upojną atmosferę kawiarni pełnej kolegów po fachu,mówiących tym samym, symbolicznym Językiem liczb, funkcjii przestrzeni. "Tak właśnie musieli się czuć pitagorejczycy, roz-prawiając o matematyce" - rzucił być może Jeden z seniorów,wznosząc kieliszek w toaście. "No tak, ale oni nie pijali any-żówki" - odparł ktoś inny, wzbudzając salwę śmiechu. "Mogli-byśmy pójść ich śladem - rzekł pierwszy z rozmówców. - Dla-czego właściwie nie stworzymy własnego bractwa? Naturalniew tajemnicy". Dookoła zabrzmiały głosy poparcia. Ktoś wpadłna pomysł, by posłużyć się nazwiskiem starego generała Bour-bakiego - być może dlatego, że w owym czasie na Wydziale Ma-tematyki na Sorbonie panował obyczaj zapraszania co roku za-wodowego aktora, który audytorium profesorów i studentówprzedstawiał się jako Nicolas Bourbaki i - operując matema-tycznym żargonem - wygłaszał następnie długi, dwuznacznymonolog. Publiczność bawiła się na ogół świetnie, gdyż w bo-

Strona 46

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatagatych współczesnych teoriach matematycznych używa się do

AMIR D. ACZEL • 95zwięzłego opisu różnych pojęć bardzo wielu słów, często w zna-czeniu zupełnie odmiennym od potocznego. Jednym z takich!słów jest przymiotnik "gęsty". Zdanie, że "zbiór liczb wymier-nych jest gęsty wśród liczb rzeczywistych", znaczy, iż w każ-dym otoczeniu dowolnej liczby (zarówno wymiernej, Jak i nie-wymiernej) znajdują się liczby wymierne. W codziennym życiu-isłowo "gęsty" ma wiele innych znaczeń.Doktoranci wydziałów matematyki również i dziś w chwilachłbraku lepszego zajęcia zabawiają się słownymi grami, opowia-dając na przykład historię dywizora, który ma odwiedzić pew-ną rozmaitość i sprawdzić, czy wszystkie snopy są wiotkie, czyteż miękkie (słowa "dywizor", "rozmaitość", "snop", "wiotki"*,"miękki" mają w matematyce ściśle określone znaczenie, dale--kie od ewentualnych skojarzeń Czytelnika, nie posiadaj ąceg«owyższego wykształcenia w tej dziedzinie).31Książki napisane wspólnie przez matematyków z owegofrancuskiego stowarzyszenia noszą na okładce nazwisko Nico»-lasa Bourbakiego. Równocześnie zainicjowano seminariunmBourbakiego, na którym często omawiane były nowe idee i teo-rie matematyczne. Członkostwo w stowarzyszeniu było z załoa-żenia anonimowe, a zasługę za uzyskane razem wyniki przypa-sywano nie konkretnym osobom wymienionym z nazwisksa,lecz właśnie Bourbakiemu.Członkom stowarzyszenia Bourbakiego daleko jednak był: odo pitagorejczyków. Wprawdzie autorem podręczników mieniłsię Bourbaki, lecz wyniki badań, czyli twierdzenia i ich dowodly- mające z reguły większy wpływ na prestiż i pozycję matema-tyka niż napisane przezeń książki - podpisywali własnymi na-zwiskami ci członkowie grupy, do których dane osiągnięciew istocie należało. Jednym z pierwszych członków stowarzy-szenia był Andre Well (1906-), który później przeniósł się dioStanów Zjednoczonych, do sławnego Institute for Advance-d31 Angielska gra słów w oryginale: beautiful Poły Nomifil who meets a smoothope-rator Curly Pi, traci po polsku swój urok. W naszym kraju specjalistami w dzBe-dzinie słownych zabaw z terminologią matematyczną są tradycyjnie studenciUniwersytetu Jagiellońskiego, piszący cale opowiadania złożone wylączm.iez dwuznacznych zdań, najeżonych niezrozumiałym żargonem (przyp. tłum.).

96 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAStudy w Princeton. Jego nazwisko zawsze pojawiało się w po-bliżu ważnej hipotezy, prowadzącej do rozwiązania problemuFermata.Do założycieli bractwa Bourbakiego należał także JeanDieudonne, który - podobnie Jak większość pozostałych człon-ków tego towarzystwa "tylko dla Francuzów" - przeniósł sięz czasem na zieleńsze pastwiska uniwersytetów amerykań-skich. Dieudonne, główny autor wielu spośród książek podpi-sanych przez Bourbakiego, świetnie uosabia starcie indywidual-nych ambicji bourbakistów z ich dążeniem do zachowaniaanonimowości członków stowarzyszenia. Pewnego razu Dieu-donne opublikował pracę podpisaną nazwiskiem Bourbakiego.Jak się okazało, praca zawierała błąd, więc Dieudonne napisałnotkę zatytułowaną "O pewnym błędzie N. Bourbakiego" i pod-pisał ją własnym nazwiskiem.32Nieco schizofreniczny charakter stowarzyszenia (wszyscy je-go członkowie byli Francuzami, ale większość z nich mieszkaław Stanach Zjednoczonych) przejawiał się też w adresie do kore-spondencji, umieszczanym przez Bourbakiego w publikacjach.Zazwyczaj wynika z niego, że autor, Nicolas Bourbaki, pracujena uniwersytecie w nie istniejącym mieście Nancago, któregonazwa bierze swój początek od francuskiego Nancy, a końców-kę od Chicago. Bourbaki publikuje jednak wyłącznie po fran-cusku, a gdy spotykają się członkowie stowarzyszenia (zazwy-

Strona 47

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermataczaj dzieje się to w jednym z francuskich kurortów), bywa, żerozmowa toczy się nawet w specyficznym żargonie paryskichstudentów. W życie owych matematyków francuskich, miesz-kających w Ameryce, wkroczył szowinizm. Andre Weił, jedenz założycieli grupy bourbakistów, opublikował wprawdzie wieleIstotnych prac po angielsku, ale jego Dzielą zebrane, mającepewien związek z hipotezą, z której wynika wielkie twierdzenieFermata, ukazały się już po francusku, jako Oeuures.33 W wy-32 Większość powszechnie znanych faktów o sekretnym towarzystwie Bourba-kiego pochodzi z artykułu Paula R. Halmosa: Nicolas Bourbaki, "ScientificAmerican", t. 196, maj 1957, s. 88-97.33 Andre Weił: Oeuures, t. I-III. Springer-Verlag, Paryż 1979.

AMIR D. ACZEL • 97niku niezwykłych działań Weila skrzywdzony został jedenz pierwszoplanowych aktorów naszej historii, czego Well niechciał zresztą uznać.Trzeba przyznać, że członkowie towarzystwa Bourbakiegobyli obdarzeni poczuciem humoru. Przed około czterdziestu la-ty do Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego (Ameri-can Mathematical Society, w skrócie AMS) wpłynęło podanieNicolasa Bourbakiego z prośbą o przyjęcie w poczet członków.Niewzruszony sekretarz towarzystwa odpisał, że jeśli Bourbakichce zostać członkiem AMS, musi ubiegać się o członkostwojako instytucja (z czym, oczywiście, wiązały się dużo -wyższeskładki). Na ten list Bourbaki nie odpowiedział.Krzywe eliptyczneZagadnienia diofantyczne, wiążące się z równaniami podobny-mi do tych, które w III wieku naszej ery rozpatrywał Diofantos,w XX wieku stały się przedmiotem intensywnych badań, pro-wadzonych m.ln. z użyciem obiektów, które matematyk nazywakrzywymi eliptycznymi. Krzywe eliptyczne wbrew pozorom nie-wiele mają wspólnego z elipsami. Najpierw, w dziewiętnastymstuleciu używano ich w związku z tzw. funkcjami eliptycznymi,wymyślonymi z kolei po to, by ułatwić obliczanie obwodu elip-sy. Jak w przypadku wielu różnych innowacji w matematyce,pionierem w tej dziedzinie był nie kto inny, tylko Gauss.Choć nazwa zdaje się sugerować co innego, krzywe eliptycz-ne nie są ani elipsami, ani funkcjami eliptycznymi. Mówiącnajprościej, są wielomianami trzeciego stopnia zależnymi oddwóch zmiennych; fachowcy widzą krzywe eliptyczne w napi-sach postaci y2 = ox3 + Łyc2 + c, gdzie liczby a, b i c są całkowi-te lub wymierne. Przykłady krzywych eliptycznych pokazująrysunki.3434 Wg artykułu Kennetha A. Ribeta i Briana Hayesa: Fermat's Last Theoremand Modern Arithmetic, "American Scientist", t. 82, marzec-kwiecień 1994,s. 144-156.


Gdy spoglądamy na punkty wymierne na krzywej eliptycz-nej - czyli tylko na te pary liczb wymiernych [x. y), spełniającepowyższe równanie, w których zarówno x, jak i y są liczbamiwymiernymi (żadnych niewymierności w rodzaju n czy pier-wiastka z dwóch do rozważań nie dopuszczamy) - okazuje się,

AMIR D. ACZEL • 99*że owe punkty tworzą grupę. Znaczy to, że mają one ciekawe-własności. Dwa rozwiązania można w pewnym sensie "dodać",.a wynik też będzie rozwiązaniem (a więc punktem krzywej).-Specjaliści w dziedzinie teorii liczb fascynują się krzywymi!eliptycznymi, dzięki nim bowiem mogą rozwikłać wiele proble-mów dotyczących różnorodnych równań i ich rozwiązań. Krzy-we eliptyczne stanowią w teorii liczb jedno z najpotężniejszychinarzędzi badawczych.35

Strona 48

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie FermataDziwna hipoteza wisi w powietrzuEksperci w dziedzinie teorii liczb, studiujący krzywe eliptycz-ne, wiedzieli od pewnego czasu, że niektóre z nich są modulo-we. Innymi słowy, niektóre krzywe eliptyczne związane byty/w szczególny sposób z formami modułowymi, z płaszczyzną ze-spoloną l niezwykle symetrycznymi funkcjami w przestrzeń:!hiperbollcznej. Charakter oraz przyczyny tego związku pozo-stawały jednak niejasne. To wszystko stało się przedmiotemzainteresowania matematyki bardzo zawiłej nawet dla specjali-stów. Jej bogatą, niezwykle harmonijną strukturę wewnętrznąniełatwo było zrozumieć. Te krzywe eliptyczne, o których wie-dziano, że są modułowe, miały ciekawe własności. Dlaczegózby więc nie postawić śmiałej hipotezy, że wszystkie krzywe?eliptyczne są modułowe?Aby zrozumieć, na czym polega Istota modułowości, pojęciadotyczącego nieeuklidesowej geometrii górnej półpłaszczyzny -świata, w którym symetrie odbiegają bardzo daleko odcodziennych przyzwyczajeń naszej wyobraźni - wygodnie jes tposłużyć się prostą analogią. Rozpatrzmy dla przykładu krzy-wą, która wcale nie jest eliptyczna; zamiast równania trzeciegostopnia mamy tylko równanie kwadratowe. Nasza krzywa.to zwykły okrąg. Równanie okręgu o promieniu a i środki-ileżącym w początku układu współrzędnych ma postać3S Dobrym wprowadzeniem do tematu jest książka Josepha H. Silvermana i Jol-i-na Tate'a: Rational Points on Elliptic Curves. Springer-Verlag, Nowy Jork 1992.

100 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAx1 + y2 = a2. Weźmy teraz dwie nieskomplikowane funkcjeokresowe zmiennej t: x = a cos t oraz y = a sin t. Można jewstawić do równania okręgu w miejsce xi y i nic złego się niestanie. Będzie tak, jakbyśmy pomnożyli obie strony znanej toż-samości trygonometrycznej cos2 t + sin2 t = l przez liczbę a2.W tym sensie równanie okręgu jest modułowe.Modułowa krzywa eliptyczna to pojęcie ogólniejsze, otrzyma-ne dzięki przeniesieniu powyższego prostego pomysłu napłaszczyznę zespoloną, w świat geometrii nieeuklidesowej. Ro-lę sinusa i cosinusa - świetnie znanych funkcji okresowych,a zarazem symetrii względem jednej zmiennej t - przejmują tuformy modułowe (lub automorficzne), kryjące w sobie symetriewzględem znacznie bogatszego zestawu skomplikowanychprzekształceń, mających postać f [z] ->f((az + b)/(cz + d)).Tokio, Japonia, początek lat pięćdziesiątychNa początku lat pięćdziesiątych naszego wieku Japonia byłakrajem podnoszącym się stopniowo z wojennych zniszczeń.Nikt już nie głodował, ale niemal wszyscy nadal byli biedni;przeciętny Japończyk ciężko zmagał się z codziennością, pró-bując przeżyć kolejny dzień, tydzień czy miesiąc. Mimo toodbudowywano z gruzów fabryki, otwierano na powrót przed-siębiorstwa i ubijano nowe interesy. Z nadzieją patrzonow przyszłość.W tym czasie życie uniwersyteckie w Japonii też było nieła-twe. Studenci zaciekle współzawodniczyli ze sobą: dobre stop-nie oznaczały lepszą pracę po zrobieniu dyplomu. Ta reguładotyczyła zwłaszcza doktorantów specjalizujących się w czystejmatematyce, albowiem etatów na uniwersytetach, mimo ni-skiej płacy, brakowało dla wszystkich chętnych. Jednym z ta-kich doktorantów był Yutaka Taniyama. Urodził się 12 listopa-da 1927 roku Jako najmłodsze, ósme z kolei dziecko w rodzinieprowincjonalnego lekarza w mieście Kisai, położonym około 50kilometrów od Tokio. W młodości zaczął studiować matematy-kę, a ściślej mówiąc, geometrię zespoloną rozmaitości abelo-

AMIR D. ACZEL • 10 1wych. Wiedziano wówczas o tej trudnej dziedzinie niewiel ei Taniyama napotykał w swej pracy mnóstwo trudności. C. ogorsza, przekonał się, że wszelkie porady starszych profesorów?Uniwersytetu Tokijskiego są niemal całkowicie bezużyteczne.

Strona 49

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie FermataDo każdego drobiazgu musiał dochodzić samodzielnie; kolejmekroki swoich badań matematycznych opisywał, używając czte-rech chińskich znaków, które oznaczają "ciężką walkę" i "gorz-kie zmagania". Życie młodego Yutaki Taniyamy nie było usłanieróżami.Taniyama zakwaterował się w jednopokojowym mieszkaniiuo powierzchni około 9 metrów kwadratowych. Na każdej kom-dygnacji budynku była tylko jedna toaleta, wspólna dHawszystkich mieszkańców piętra. Żeby się wykąpać, Taniyamamusiał chodzić do odległej łaźni publicznej. Podły i nędzny bu-dynek mieszkalny, stojący przy ruchliwej ulicy, o dwa kroki odwiaduktu kolejowego, po którym co kilka minut przejeżdż-ałpociąg, jak na ironię był nazywany "Willą Spokojnych Gon"".Zapewne dlatego, by łatwiej się skoncentrować na badaniac:h,młody Yutaka pracował głównie w nocy, często kładąc się odołóżka dopiero o szóstej rano, gdy rozpoczynał się kolejny, hała»ś-llwy dzień. Prawie codziennie, z wyjątkiem letnich upałów, Ta-niyama nosił ten sam niebiesko-zielony garnitur z metalicz-nym połyskiem. Jak wyjaśnił swemu bliskiemu przyj aclelo'\.-vi,Góro Shimurze, jego ojciec kupił ów materiał okazyjnie, nne-zwykle tanio, od handlarza starzyzny. Niestety, nikt w całej n-o-dzinie nie miał ochoty na świecące ubranie. Yutaka, który międbał zbytnio o swój wygląd, zgłosił się w końcu na ochotnilrfa.Z materiału uszyto mu garnitur, który stał się jego codzien-nym strojem.Taniyama ukończył Uniwersytet Tokijski w 1953 roku l do-stał na tamtejszym Wydziale Matematyki posadę asysten-ta.Jego przyjaciel Shimura ukończył uniwersytet rok wcześmieji zajmował podobne stanowisko na Wydziale Pedagogicznym,po drugiej stronie kampusu. Ich przyjaźń zapoczątkował Inst,który jeden z nich napisał do drugiego, prosząc o zwrot do bi-blioteki egzemplarza czasopisma matematycznego, interesują-cego, jak się okazało, obu młodych ludzi. Często jadali razem

102WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

Tokio, rok 1955. Matematycy w tramwaju, w drodze na konferencję. Od lewej:T. Tamagawa, J.-P. Serre, Y. Taniyama l A. Well.w niedrogich restauracyjkach, które serwowały podobno stop-niowo zdobywające w Japonii popularność dania kuchni za-chodniej, w rodzaju na przykład duszonego ozorka.36W owym czasie w Japonii pozostało niewielu dobrych mate-matyków. Kto tylko zdobył nieco uznania i renomy, natych-miast próbował przenieść się na Jakiś uniwersytet amerykań-ski czy europejski, ponieważ i matematycy cieszyli się tamwiększą reputacją l w dodatku można było nawiązać kontaktyz ludźmi prowadzącymi badania w tej samej dziedzinie. Takiewięzy są ważne, gdy usiłuje się zgłębiać ezoteryczne obszarywiedzy, o których wiadomo niewiele lub zgoła nic. By utworzyćzalążek kontaktów naukowych z ludźmi, którzy wiedzieli conieco o dziedzinie ich zainteresowań, dwaj młodzi przyjacielezorganizowali we wrześniu 1955 roku Tokijskie SympozjumAlgebraicznej Teorii Liczb. Niektóre wygłoszone podczas tejmałej konferencji stwierdzenia miały przez długi czas pozostaćniejasne, by - koniec końców - po prawie czterdziestu latachdoprowadzić do rezultatów wielkiej wagi, a także do ostrychkontrowersji.36 Większość informacji o życiu Yutaki Taniyamy pochodzi z artykułu: Góro Slu-niura, Yataka Taniyama and His Time: Very Personal Recollections, "Bullednof the London Mathematical Society", tom 21 (1989), s. 184-196.

AMIR D. ACZEL • 10 3Pełen nadziei początekObaj przyjaciele wypełnili niezbędne papiery l formularze-,wynajęli odpowiednie pomieszczenia i wysłali zaproszenia doo

Strona 50

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatatych matematyków japońskich i zagranicznych, których spo -dziewali się zainteresować tematem konferencji. Na liście za-proszonych znalazł się Andre Well, który w owym czasie wyje -chał Już z Francji i został profesorem na Uniwersyteciew Chicago. Pięć lat wcześniej, podczas MiędzynarodowegoKongresu Matematyków, Well zwrócił uwagę społeczności ma-tematycznej na nieznaną hipotezę niejakiego Hassego, doty-czącą "funkcji dzeta na rozmaitości nad ciałem liczbowym" .Niejasne przypuszczenie niosło w sobie treści interesujące dla.badaczy teorii liczb. Well najwyraźniej kolekcjonował różne hi-potetyczne pomysły dotyczące teorii liczb; ten akurat umieściBw swych Dziełach zebranych, przypisując zasługę jego sformu-łowania Hassemu.Dzięki zainteresowaniu różnymi rezultatami badań w owejdziedzinie, Well był dla Shimury l Taniyamy atrakcyjnym go-ściem. Ucieszyli się obaj, gdy przyjął zaproszenie do udziałmw Ich konferencji. W Tokio oczekiwano też Innego cudzoziem-ca, młodszego od Weila matematyka francuskiego, Jean-Pier-re'a Serre'a. Nie byt on jeszcze wówczas członkiem towarzy-stwa Bourbakiego, przyjmowano bowiem do niego tylko*matematyków bardzo dobrze znanych; miał on jednak zostać-bourbakistą już wkrótce. Serre, opisywany przez niektórych-matematyków jako ambitny i zaciekły wyczynowiec, przyje-chał na tokijskie sympozjum, by dowiedzieć się tyle, ile się tyl-ko da. Japończycy o teorii liczb wiedzieli sporo, a niektóre wy-niki publikowali w pracach dostępnych tylko po japońsku.skrywając je tym samym przed resztą świata. Nadarzała sięwięc wspaniała okazja, żeby poznać owe rezultaty, tym bar-dziej że oficjalnym językiem konferencji miał być angielski.W gronie konferencyjnych gości Serre był jednym z niewielucudzoziemców orientujących się w prezentowanej tematyce.Sprawozdanie z konferencji ukazało się tylko po Japoński!.Gdy więc dwadzieścia lat później Serre zwrócił uwag^ na nie-

104 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAktóre wydarzenia z tokijsklego sympozjum, świat poznał po-czątkowo jego wersję, a nie tę, którą zapisano w japońskichsprawozdaniach.Sprawozdania zawierają trzydzieści sześć problemów. Pro-blemy o numerach 10, 11, 12 i 13, zapisane przez Yutakę Ta-niyamę, tworzyły wspólnie pewną hipotezę o funkcjach typudzeta, przypominającą nieco idee Hassego. Wydawało się, żeTaniyama chce w jakiś sposób powiązać funkcje automorficz-ne na płaszczyźnie zespolonej z funkcją typu dzeta, określonąna krzywej eliptycznej. W tych usiłowaniach było coś tajemni-czego: dlaczegóż dowolna krzywa eliptyczna miała być w jakiśsposób powiązana z czymś na płaszczyźnie zespolonej?"Przepraszam, co Pan powiedział...?"Hipoteza, wypływająca z owych czterech problemów, byłamglista; Taniyama sformułował je niezbyt Jasno, zapewne dla-tego, że nie był do końca pewien. Jakiego właściwie związkuchciałby się doszukać. Ale tkwił tam rdzeń pomysłu; swego ro-dzaju intuicja, instynktowne przeczucie, że funkcje automor-ficzne zmiennej zespolonej i ich bogate symetrie są w jakiśsposób związane z równaniami diofantycznymi. Z pewnościąnie było to oczywiste. Taniyama próbował odnaleźć ukryteprzejście, łączące dwie bardzo odległe gałęzie matematyki.Andre Weił chciał dokładnie wiedzieć, co właściwie Taniy-ama miał na myśli. Jak można wyczytać w protokole z obradkonferencji, opublikowanym łącznie z Japońskimi sprawozda-niami, pewnego dnia odbyta się następująca wymiana zdańobu panów:37WEIŁ: Czy sądzi Pan, że wszystkie funkcje eliptyczne są uni-formizowane przez funkcje modułowe?TANIYAMA: Same funkcje modułowe nie wystarczą. Myślę, żepotrzebne są inne, specjalne typy funkcji automorflcznych.37 Zob. japońskie czasopismo "Sugaku" z maja 1956 roku, s. 227-231. •

Strona 51


AMIR D. ACZEL • 1 05WEIŁ: Oczywiście, z niektórymi zapewne można sobie w tensposób poradzić. W ogólnym przypadku wyglądają o»nejednak tajemniczo i zupełnie Inaczej.Z tej rozmowy wynikają jasno dwie sprawy. Po pierwsze, TTa-nlyama mówił, że z krzywymi eliptycznymi wiążą się raczej"funkcje automorficzne", a nie "same funkcje modułowe". Podrugie, Weił nie wierzył, by w ogólnym przypadku taki związsekmógł mieć miejsce. Później ową niewiarę Weił wyrażał znaczmiedobitniej, dlatego jeszcze bardziej zaskakuje fakt, że to właśmiejego nazwisko zostało w końcu przypisane do hipotezy, kto-rejani sam nie postawił, ani nigdy w Jej prawdziwość nie wierz=ył.Jednakże koleje losu bywają nieoczekiwane; w przyszłoaścimiały wyjść na jaw jeszcze dziwniejsze wydarzenia.Na to, by owe sprawy nabrały wagi, trzeba było odczelsaćkilkadziesiąt lat. Współcześni historycy nauki oddaliby wie=le,żeby szczegółowo poznać treść wypowiedzi l myśli Taniyanny.Lecz, niestety, Taniyama, podobnie jak wielu innych młodychmatematycznych geniuszy, skończył życie młodo l tragicznie-.Po paru latach Góro Shimura wyjechał z Tokio, najpierw doParyża, a potem do Institute for Advanced Study w Princeton.Obaj przyjaciele regularnie ze sobą korespondowali. We wrzaeś-niu 1958 roku Góro Shimura otrzymał od Yutaki Taniyaanyostatni list. Rankiem 17 listopada 1958, pięć dni po jego trzy-dziestych pierwszych urodzinach, Yutakę Taniyamę znalezio»now mieszkaniu martwego. Na biurku leżał list pożegnalny.Hipoteza ShimuryOd tokijskiej konferencji upłynęło dziesięć lat. Góro Shimmraswoje badania w teorii liczb, koncentrujące się na funkcji d:ze-ta i krzywych eliptycznych, prowadził teraz w Princeton. Zrro-zumiał, w których miejscach mylił się nieżyjący przyjacilel,l dzięki własnym badaniom oraz poszukiwaniu harmonii skzry-tej we wnętrzu matematyki doszedł do hipotezy innej, śmilel-szej, dobitnej sformułowanej. Jego hipoteza głosiła, że każda

106 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAkrzywa eliptyczna nad ciałem liczb wymiernych Jest uniformi-zowana przez pewną formę modułową. Formy modułowe są napłaszczyźnie zespolonej tworami bardziej konkretnymi niżfunkcje automorficzne, z których chciał korzystać Taniyama.Shimura dokonał też kilku innych ważnych zmian i poprawek,między innymi doprecyzował, że dziedzinę powinny stanowićliczby wymierne.Hipotezę Shimury można spróbować wyjaśnić, wykorzystu-jąc taki oto rysunek:

Jeśli zwiniemy płaszczyznę zespoloną w torus, czyli tak, byotrzymać powierzchnię obwarzanka z rysunku,38 to owa po-wierzchnia skrywać będzie w sobie wszystkie krzywe eliptycz-'ne nad liczbami wymiernymi. Każda taka krzywa odpowiadaz kolei pewnemu rozwiązaniu równania diofantycznego. Jeśliistniałoby rozwiązanie równania Fermata, x" + y" = z", to od-powiadająca mu krzywa eliptyczna też byłaby ukryta w na-szym torusie. Ten fakt miał później odegrać ważną rolę w do-wodzie wielkiego twierdzenia Fermata. Shimura postawiłhipotezę, że każda krzywa eliptyczna o współczynnikach wy-miernych ma "koleżankę" na rozpatrywanej przez Poincaregogórnej półpłaszczyźnie, wyposażonej w nieeuklidesową, hiper-38 Trzeba sobie wyobrazić, że najpierw zwijamy płaszczyznę w bardzo długą rurkę,a potem jeden koniec rurki wkładamy w drugi i zwijamy dalej, jakbyśmy chcieliz kawałka gumowego węża zrobić kółko przypominające dętkę (przyp. dum.).

AMIR D. ACZEL • 10'7bollczną geometrię. .Koleżanką" danej krzywej eliptycznej miaa-ła być konkretna funkcja zmiennej zespolonej, nieczuła na do-

Strona 52

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatakonywanie najróżniejszych (wspomnianych już nieco wcze-śniej) podstawień postaci z -> [aż + b)/(cz + d), tworzących hgrupę o nieoczekiwanie bogatej symetrii. Wszystko to było ba«--dzo techniczne, szalenie skomplikowane i - jak przez kilkradziesięcioleci sądziło wielu matematyków - nie do udowodnie-nia w dającej się przewidzieć przyszłości.Hipotezę Shimury można pokazać w sposób nieco bardzitejobrazowy l uznać, że każda krzywa eliptyczna jest czymś w ro-dzaju czubka góry lodowej, widocznego nad powierzchnią wo-dy. Pod wodą zaś kryje się zawiła struktura. Żeby udowodnBćhipotezę, należało wykazać, że każda góra lodowa ma częSćpodwodną. Wiedziano wprawdzie, że wiele gór lodowych talcąpodwodną część posiada, ale ponieważ gór lodowych było niee-skończenie wiele, więc nie dawało się, ot tak, po kolei, obejrzećkażdej od spodu. Należało znaleźć ogólną regułę, z której wyn-1-kałoby, że góra lodowa bez podwodnej części nie może po pro-stu istnieć. I właśnie podanie takiego ogólnego dowodu matae-matycy uważali za niezwykle trudną rzecz.Intryga i zdradaNa początku lat sześćdziesiątych, na przyjęciu w Institute fcorAdvanced Study w Princeton, Góro Shimura i Jean-Piera-eSerre spotkali się powtórnie. Według Shimury Serre zbliżył s.iędo niego z dość arogancką miną. "Nie sądzę, by Pana wyniDrio krzywych modułowych były w jakikolwiek sposób pożytecz-ne - powiedział. - Nie można Ich przecież zastosować do ka_ź-dej krzywej eliptycznej". W odpowiedzi Shimura dokładn-lesformułował swą hipotezę: "Taka krzywa, jak przypuszczani!,zawsze jest uniformizowana przez pewną krzywą moduło-wą".39 Nieco później Serre złożył relację ze swojej rozmowy39 Shimura sformułował zatem swą hipotezę; dzieląc się nią po raz pierwszy, uf.al,że Serre uzna go za jej autora.

108 . WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAz Shimurą Weilowi, który na przyjęciu nie był, lecz, jako jedenz pracowników Instytutu, mieszkał w pobliżu. ZaintrygowanyWeił odwiedził potem Shimurę. "Czy Pan naprawdę to powie-dział?" - zapytał. "Tak - odparł Shimura. - Nie sądzi Pan, że toprawdopodobne?" Po dziesięciu latach od pierwszego spotka-nia z Taniyamą Andre Weił nadal nie wierzył w prawdziwośćktórejkolwiek wersji hipotezy. Odparł: "Nie widzę niczego, coświadczyłoby o nieprawdziwości tej hipotezy, oba bowiemzbiory są przeliczalne; nie widzę jednak niczego, co przema-wiałoby na Jej korzyść". Wypowiedziane przy tej okazji przezWeila słowa Serge Lang, matematyk z Yale University, którytak zwaną "teczkę Shimury-Taniyamy", zawierającą kopiedwóch tuzinów listów i jego własne do nich komentarze, roz-powszechnił wśród około pięćdziesięciu matematyków na ca-łym świecie określił później jako "bezmyślne" i "głupie". To, coWeił odpowiedział Shimurze, było równoznaczne mniej więcejnastępującemu stwierdzeniu: Jeśli w pokoju znajduje się sie-dem kobiet i siedmiu mężczyzn, a Pan twierdzi, że to siedemmałżeństw, to nie widzę w tym od razu sprzeczności, ponieważliczba mężczyzn zgadza się z liczbą kobiet. Nie dostrzegamjednak również niczego, co świadczyłoby za pańską hipotezą -być może to sami kawalerowie i same panny. Lang nazwał tęwypowiedź głupią zapewne dlatego, że argument, polegającyna liczeniu, nie znajdował tu wcale zastosowania. "Przeliczal-ny" znaczy bowiem z grubsza tyle, co "nieskończony, lecz da-jący się policzyć" (]'ak na przykład zbiór wszystkich liczb natu-ralnych: l, 2, 3, 4, ...), a ustawianie w pary dwóch takichnieskończonych kolekcji rozmaitych obiektów nie należy doprostych zadań.W każdym razie było oczywiste, że Andre Well nie wierzyłw prawdziwość snutych przez Shimurę teorii. Przyznał póź-niej, że wspomniana rozmowa - mniejsza o to, czy głupiai bezmyślna, czy też nie - istotnie miała miejsce, a nawet jązacytował. Zdarzyło się to jednak dopiero w roku 1979, kiedy

Strona 53

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie FermataWeił napisał:4040 Andrć Weił: Oeuwes, op. cit., t. m, s. 450.

AMIR D. ACZEL • 109Quelques annees plus tarci, a Princeton, Shimura me deman-da sije trouuais plausible que toute courbe elliptiąue surQ jut con.ten.ue dans lejacobienne d'une courbe deflnie parune sous-groupe de congruence du groupe modulaire;je lutrepondis, ii me semble, que je n'y uoyais pas d'empeche'ment, puisque l'un et 1'autre ensemble est denombrable, ma-Isje ne uoyais rien non plus qui parlat enfaveur de cette hy-pothese.[Kilka lat później, w Princeton, Shimura zapytał mnie, czyuważam za prawdopodobne, że każda krzywa eliptyczna nadQ zawiera się w jakobianie krzywej wyznaczonej przez podgru-pę kongruencji grupy modułowej; odpowiedziałem mu, że, jakmi się wydaje, nie dostrzegam przeszkód, ponieważ jedeni drugi zbiór jest przeliczalny, lecz nie widzę też niczego, coprzemawiałoby za ową hipotezą).Niemniej nawet wówczas Weił, pisząc o stwierdzeniu, któreJest hipotezą Shimury, wolał użyć zwrotu "Shimura zapytałmnie", a nie "Shimura powiedział mi". Weił opublikował kilkaprac na zbliżone tematy; chociaż sam nie wierzył w teorię Shi-mury, jego nazwisko zaczęto z nią łączyć. Wielu matematykówten błąd powielało, powołując się we własnych artykułach nastwierdzenia zawarte w pracach kolegów. Błędne cytowaniamożna napotkać do dziś; nie znający historii autorzy pisząo hipotezie Taniyamy-Weila zamiast o hipotezie Shimury-Ta-niyamy. Weilowi najwidoczniej podobało się to połączenie jegonazwiska z niejasnym, lecz pięknym przypuszczeniem; samwprawdzie w jego prawdziwość nie wierzył, lecz wedle osąduwiększości matematyków niezbędne dowody miały pojawić siępewnego dnia w odległej przyszłości.W miarę upływu kolejnych dziesięcioleci znajdowano corazwięcej poszlak, świadczących o istnieniu tajemniczego związ-ku. Hipoteza, gdy się ją udowodni, zmienia się w solidną mate-matyczną teorię. Weił prowadził badania w dziedzinach przyle-gających do hipotezy, a uzyskiwane przez niego matematycznewyniki nigdy nie byty zbyt odległe od teorii form modułowychna płaszczyźnie zespolonej i krzywych eliptycznych odpowla-

110 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAdających równaniom diofantycznym. I mimo że z pewnościąwiedział o kluczowej roli Shimury, nie wspominał o niej przezblisko dwadzieścia lat. Potem bez większych ceregieli napo-mknął o Shimurze w przypadkowej rozmowie i - niemal prze-lotnie - wymienił jego nazwisko w jednej ze swych opublikowa-nych prac. Równocześnie we Francji Serre pracował bardzoaktywnie, dokładając wszelkich starań, by powiązać z hipoteząnazwisko Andre Weila, a nie Góro Shimury."Ćwiczenie dla zainteresowanego Czytelnika"W 1967 roku Andre Weił napisał po niemiecku artykuł,41w którym znalazły się następujące słowa:Ob sich diese Dtnge immer, d.h.fu.rJede uber Q deftnierte Ku-rve C, so uerhalten, scheint im. Moment noch problematischzu sein und mag dem interessierten Leser als Ubungsaufga-be empfohten werden.(Czy tak się sprawy mają, tzn. czy jest tak dla każdej krzywejC określonej nad Q, wydaje się w chwili obecnej problematycz-ne i może być ćwiczeniem dla zainteresowanego Czytelnika].Akapit ten mówi o krzywych eliptycznych nad liczbami wy-miernymi (zbiór wszystkich liczb wymiernych matematycy nacałym świecie oznaczają literą Q), a słowa so uerhalten odno-szą się do tego, czy krzywe są modułowe, czy też nie. A zatemWeił pisze o hipotezie Shimury, po raz kolejny nie wymieniającnazwiska jej autora (wspomniał o nim dopiero 12 lat później,a i wówczas, jak pokazaliśmy przed chwilą, użył nie do końca

Strona 54

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermataprawdziwych słów "Shimura zapytał mnie"). W pracy opubliko-wanej w "Mathematische Annalen" Well mówi o hipotezie, żeJest "problematyczna", by zaraz potem zrobić coś dziwnego -uczynić ją ćwiczeniem dla zainteresowanego Czytelnika (und41 Andre Weił: Ober die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktional-gleichungen, "Mathematische Annalen", tom 168 (1967), s. 165-172.'

ĄMIR D. ACZEL •111mag dem interessierten Leser als Ubungsaufgabe empfohie-nwerden). Próby rozwiązania owego ćwiczenia dla "zaintereso-wanego Czytelnika" miały zająć jednemu z naj świetniej szyć hmatematyków świata siedem lat pracy w samotności. Kiedłymatematyk nazywa coś ćwiczeniem (Ubungsaufgabe), zwyklezna rozwiązanie problemu i nie tyle wierzy, co wie z całą pevw-nością, że przytoczone stwierdzenie jest prawdziwe, a nie, jai.knapisał Weił, "problematyczne".Jest taka stara anegdota o profesorze matematyki, którzy,omawiając pewne pojęcie podczas wykładu, mówi: "to jestoczywiste". Studenci patrzą po sobie zakłopotani, rzecz bo-wiem wcale nie Jest oczywista, i wreszcie jeden z nich ośmielasię zapytać: "Dlaczego?" Profesor na to zaczyna coś rysowaćzawzięcie jedną ręką i pisać na brzeżku tablicy, zasłaniając li-tery i formuły drugą ręką, a gdy mu brak miejsca, szybkowszystko ściera. Po mniej więcej dziesięciu minutach bazgra-nia ukradkiem profesor ściera tablicę do czysta i obwieszczazdumionym studentom: "Tak, to było oczywiste".KłamstwoW latach siedemdziesiątych problemy Taniyamy, sformuł o-wane podczas tokijskiej konferencji, zostały upowszechnLo-ne. Równocześnie, ponieważ Well pisał o tej hipotezie (w któ-rą wątpił), modułowe krzywe eliptyczne zaczęto nazyw-ać"krzywymi Weila". Gdy na Zachodzie poznano lepiej problemyTaniyamy, hipoteza dotycząca modułowości krzywych elLp-tycznych zyskała nazwę "hipotezy Taniyamy-Weila"; o nazwi-sku Shimury nawet nie wspominano. Od kiedy jednak poja-wiło się nazwisko Taniyamy, Weił zaczął tępić wszellilehipotezy na ten temat. W 1979 roku wyraził swój sprzeciwwobec "tak zwanej hipotezy Mordella o równaniach dlofai.n-tycznych" (zaledwie cztery lata później udowodnił ją Ge-rdFaltings), mówiąc: "Byłoby miło, gdyby okazało się to pra_w-dą, i wolałbym się założyć, że jest to prawda, a nie fałsz. Sąto jednak tylko pobożne życzenia, nie ma bowiem nawet

112 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAstrzępka dowodu - ani za, ani przeciw". Niemniej równieżi wówczas Weił się mylił. Matematycy rosyjscy, między Inny-mi Szafarewicz i Parszyn, już na początku lat siedemdziesią-tych otrzymywali rezultaty, które mogty świadczyć o prawdzi-wości hipotezy Mordella. W roku 1983 Gerd Faltingsnajzwyczajniej w świecie tę hipotezę udowodnił, pokazująctym samym, że wielkie twierdzenie Fermata jest "prawie za-wsze prawdziwe".Gdy Andre Weił wytoczył wojnę wszelkim nie udowodnio-nym przypuszczeniom, a z hipotezą, zwaną teraz przez wielumatematyków hipotezą Taniyamy-Weila, wiązano już nie tylkojego nazwisko, w Paryżu Serre dokładał starań, by nazwiskaShimury nikt nadal z owym sądem nie łączył. W 1986 roku, naprzyjęciu zorganizowanym na Uniwersytecie Kalifornijskimw Berkeley, Jean-Pierre Serre przy świadkach powiedział Ser-ge'owi Langowi, że Andre Weił wspomniał o rozmowie, którąw swoim czasie odbył z Shimurą. Według Serre'a, Weił powie-dział mu o następującej wymianie zdań:WEIŁ: Dlaczego Taniyama sądził, że wszystkie krzywe elip-tyczne są modułowe?SHIMURĄ: Sam mu Pan tak powiedział, a potem Pan zapo-mniał.W tym momencie Lang, który sam bezwiednie używał nazw

Strona 55

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermata"krzywa Weila" i "hipoteza Taniyamy-Weila", zaczął coś podej-rzewać. Postanowił poznać prawdę i niezwłocznie napisałzarówno do Weila, jak i do Shimury, a potem do Serre'a. Shi-murą zdecydowanie zaprzeczył, jakoby taka rozmowa kiedy-kolwiek się odbyła, podając obfite uzasadnienie swego stano-wiska. Well nie odpowiedział od razu, Serre zaś w swojejodpowiedzi skrytykował podjęte przez Langa próby ustaleniado prawdy. Na seminarium zorganizowanym przez towarzy-stwo Bourbakiego w czerwcu 1995 roku Serre wciąż jeszcze,mówiąc o "hipotezie Taniyamy-Weila", opuszczał nazwisko jejprawdziwego autora, który przed trzydziestu laty obdarzył gozaufaniem i powierzył swe przypuszczenia.

AMIR D. ACZEL .113Well odpowiedział dopiero po drugiej próbie nawiązaniakontaktu. Oto jego list:423 grudnia 19SS6Drogi Panie Lang,Nie przypominam sobie w tej chwili, kiedy i gdzie otrzyma-łem pański list z dnia 9 sierpnia. Gdy się to stało, zaprząt-nięty byłem (i nadal jestem) daleko ważniejszymi sprawami!.Pańskimi sugestiami, jakobym kiedykolwiek usiłował p>o-mniejszyć zasługi przypadające w udziale Taniyamle l Srni-murze, mogę być jedynie głęboko oburzony. Cieszę się, żre,podobnie jak ja, podziwia Pan tych uczonych.Opowieści o rozmowach sprzed lat bywają źródłem nieporo-zumień. Postanowił Pan uznać je za źródło historyczne, kt-ó-rym nie są. W najlepszym razie to anegdoty. Co się tyc:zykontrowersji, którą zdecydował się Pan podnieść, listy Shi-mury kładą jej, moim zdaniem, kres.Jeśli zaś chodzi o przypisywanie nazwisk pojęciom, twier-dzeniom czy (?] hipotezom, często podkreślałem, że (a) g*<lyjakieś nazwisko łączy się z, powiedzmy, konkretnym poj|ę-clem, nie znaczy to nigdy, że autor, o którym mowa, mflałz tym pojęciem cokolwiek wspólnego; znacznie częściej jestwręcz przeciwnie. Pitagoras ze "swoim" twierdzeniemi Fuchs z funkcjami Fuchsa mają nie więcej wspólnego miźAugust Comte z ulicą Augusta Comte'a; (b) nazwiska częs-to,całkiem zresztą słusznie, zastępowane są przez bardz-iejwłaściwe nazwy; ciąg Leraya-Koszula nazywany jest obecmieciągiem spektralnym (zgodnie z tym, co swego czasu Sieg^elpowiedział Erdósowi, nawet przymiotnik "abelowy" pisze ssieteraz małą literą).42 List Weila do Langa oraz opis chronologii wielu z przedstawionych tu wyda-rzeń, w tym liczne prywatne rozmowy i listy, można odnaleźć w artykule Ser-ge'a Langa: Some History of the Taniyama-Shimura Conjecture, "Notices ot theAmerican Mathematical Society", listopad 1995, s. 1301-1307. Jest zasługą Lan-ga, że ten artykuł i "teczka Taniyamy-Shimury", którą rozpowszechniał wśródmatematyków przez 10 lat, zaczynają wreszcie przywracać Góro Shimurze uzna-nie, które mu się słusznie należy.

114 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATADlaczego nie miałbym od czasu do czasu robić "głupich", jakraczy Pan mówić, uwag? Choć istotnie, wyrażając w 1979roku pewien sceptycyzm wobec hipotezy Mordella, byłem"poza" - nie wiedziałem wówczas nic o pracach Rosjan (Par-szyn itd.), prowadzonych w tym kierunku. Jeśli mogę mlećcoś na swoje usprawiedliwienie, to chyba tylko to, że gdyw 1972 roku wiodłem z Szafarewiczem długie rozmowy,o żadnej z owych prac słowem nie wspomniał.Z należnym szacunkiem,A. WellP.S. Jeśli zechce Pan przepuścić ten list przez swą kopiarkę,proszę czuć się do tego upoważnionym. Ciekaw jestem, cofirma Xerox poczęłaby bez Pana i podobnych osób.W głębi Czarnego Lasu, jesień 1984Podczas gdy w Berkeley, New Haven, Princeton i po drugiej

Strona 56

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatastronie Atlantyku, w Paryżu, toczyły się wściekłe spory o au-torstwo hipotezy Shimury-Taniyamy, w głębi Czarnego Lasu,w południowo-zachodnich Niemczech, wydarzyło się coś zupeł-nie nieoczekiwanego.Gerhard Frey zrobił dyplom na Uniwersytecie w Tybindze,a doktorat na Uniwersytecie w Heidelbergu, gdzie, będąc podwpływem prac Hassego i Weila, studiował teorię liczb. Freyafascynowało wzajemne oddziaływanie teorii liczb i geometrii al-gebraicznej, dziedziny matematyki rozwiniętej w ostatnim pół-wieczu. Interesował się on też geometrią arytmetyczną. To wła-śnie związki między teorią liczb i nowszymi dziedzinami,geometrią arytmetyczną i algebraiczną, doprowadziły go do do-wodu zaskakującego twierdzenia. W latach siedemdziesiątychFrey zajmował się intensywnie krzywymi algebraicznymi i rów-naniami diofantycznymi. W roku 1978 przeczytał artykuł Bar-ry'ego Mazura z Uniwersytetu Harvarda, zatytułowany "Krzywemodułowe i ideał Elsensteina", i przez jakiś czas był nim bar-dzo poruszony, podobnie jak wielu innych specjalistów w dzie-

AMIR D, ACZEL • 1 15dzinie teorii liczb, w tym Kenneth Rlbet z Berkeley l AndnewWiłeś z Princeton. Nabrał przekonania, że powinien bardzo po-ważnie pomyśleć o zastosowaniach teorii krzywych modu ło-wych i reprezentacji Galols w teorii krzywych eliptycznych.Stwierdził, że takie rozważania w niemal nieunikniony spossóbprowadzą do zagadnień diofantycznych, blisko związanychz równaniami Fermata. Ów nagły i potężny przebłysk intuiicjiFrey próbował wykorzystać i doprecyzować.W 1981 roku Frey spędził parę tygodni na UniwersytecieHarvarda, odbywając kilka dyskusji z Barrym Mazurem. WLelerzeczy zdołał dzięki tym rozmowom wyjaśnić. Gęsta mgła, spo-wijająca trudne do uchwycenia związki równań podobnych dorównania Fermata z formami modułowymi l krzywymi eliptycz-nymi, zaczynała się z wolna rozstępować. Frey pojechał ma-stępnie do Berkeley, gdzie rozmawiał z Kenem Ribetem, błys-kotliwym specjalistą w zakresie teorii liczb, który w swoimczasie ukończył Uniwersytet Harvarda i wspólnie z Mazur-empracował nad zbliżonymi zagadnieniami. Z Berkeley Frey rpo-wrócii do ojczystych Niemiec. W trzy lata później otrzymał za-proszenie do wygłoszenia wykładu w Oberwolfach, miejscowro-ści zagubionej pośród wzgórz Czarnego Lasu.W Oberwolfach mieści się matematyczne centrum konfe-rencyjne, położone w pięknej, spokojnej okolicy, z dala odmiast i zaludniających je tłumów. Każdego roku odbywa siętam około pięćdziesięciu międzynarodowych konferencji, po-święconych różnym dziedzinom matematyki. Aby mieć w Obe-rwolfach wykład czy choćby po prostu uczestniczyć w jędrnymze spotkań, należy wpierw otrzymać zaproszenie. W centr-umdokłada się wszelkich starań, by ekspertom z różnych krajówułatwić wymianę pomysłów. W 1984 roku Gerhard Frey, p»od-czas swego wykładu na zorganizowanej tam konferencji z tteo-rii liczb, wygłosił twierdzenie z pozoru zwariowane. Z wypeł-nionych wzorami, powielonych i rozdawanych uczestnilcomnotatek najwyraźniej wynikało, że jeśli hipoteza Shimury-Ta-niyamy rzeczywiście jest prawdziwa, to zachodzi także wie Ikletwierdzenie Fermata. Na pierwszy rzut oka zdawało się, że niema w tym ani za grosz sensu. Gdy Ken Ribet po raz pierwszy

116 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAdowiedział się o twierdzeniu Freya, sądził, że to żart - cóż bo-wiem modułowość krzywych eliptycznych może mleć wspólne-go z wielkim twierdzeniem Fermata? Więcej o tym dziwnymstwierdzeniu nie myślał i wrócił do swych codziennych zajęć.Lecz wypowiedź Freya, pozbawiona dowodu i Jakby niepełna.zainteresowała kilka osób w Paryżu i gdzie indziej. Jean-Pier-re Serre napisał list do matematyka o nazwisku J.-F. Mestre.List dotarł do wiadomości publicznej, a wówczas Serre opubli-

Strona 57

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatakował artykuł powtarzający hipotezy zawarte w liście do Me-stre'a.43Twierdzenie RibetaKen Rlbet, który z początku uznał wszystko za żart, zacząłmyśleć o hipotezach Serre'a l doszedł do wniosku, że przypo-minają mu one kilka myśl

nania Fermata xf1 + y" = z" wzbiorzeliczb całkowitych dodatnich. Owemu rozwiązaniu, czyli trójceliczb a, b i c, odpowiada pewna krzywa eliptyczna. Frey wypi-sał ogólną postać równania takiej krzywej utworzonej z rozwią-zania równania Fermata. Hipoteza, zaprezentowana przezeńw Oberwolfach, orzekała, że ta akurat krzywa eliptyczna, dziś43 Jean-Pierre Serre: Lettre a J.-F. Mestre. Przedruk w: Current Trends inArith-metical Algebraic Geometry, "American Mathematical Society", Proyidence RI,1987,s. 263-268.

AMIR D, ACZEL . -117nazywana krzywą Freya, jest bardzo osobliwym zjawiskiem;w rzeczy samej na tyle dziwnym, że nie mogłaby Istnieć. Coważniejsze, krzywa eliptyczna, którą można by skonstruowaćw razie fałszywości wielkiego twierdzenia Fermata, z pewno-ścią nie była modułowa. A gdyby za prawdziwą uznać hipottezęShimury-Taniyamy, to wszystkie krzywe eliptyczne musiałabybyć modułowe. Krzywa eliptyczna, która nie jest moduło~wa,nie mogłaby zatem istnieć. Wynikałoby więc stąd, że krzywaFreya - krzywa eliptyczna, która ma bardzo wiele dziwn^ychwłasności i nie jest przy tym modułowa - nie może istnieć. Za-tem nie może być także rozwiązań równania Fermata. Ozna-czałoby to, że wielkie twierdzenie Fermata (które głosi przecież,że rozwiązań nie ma, o ile wykładnik Jest większy od 2) jestprawdziwe. Był to skomplikowany ciąg implikacji, ale do loagiklpewnego rodzaju dowodów matematycznych pasował dosko-nale. Chodzi tu o rozumowanie w następującej postaci: z Awynika B, a więc, jeśli B nie jest prawdziwe, to również A» niemoże być prawdziwe. Kłopot polegał jednak na tym, że w rozu-mowaniu brakowało jednego ogniwa. Dlatego mówić możnabyło jedynie o kolejnej hipotezie - tym razem o hipotezie F-reya- głoszącej, że z prawdziwości hipotezy Shimury-Taniyamy" wy-nika wielkie twierdzenie Fermata. Dwa kolejne przypuszcz-eniasformułowane przez Serre'a w liście do Mestre'a pozw oliłyKenowi Ribetowi o hipotezie Freya myśleć w sposób ba-rdzokonkretny.Ken Rlbet nigdy przedtem nie zajmował się wielkim twier-dzeniem Fermata. Zaczynał od studiowania chemii na 'Uni-wersytecie Browna; jednak pod wpływem swego opiekruna,Kennetha F. Irelanda, zwrócił się w stronę matematyki i zain-teresował funkcjami typu dzeta i teorią liczb. Wielkie twierdze-nie Fermata lekceważył jako "jeden z tych problemów, o któ-rych nic już naprawdę ważnego powiedzieć się nie da". Wielumatematyków podzielało ten pogląd, gdyż problemy teorii liczbczęsto są izolowane, nie łączą ich jednolite schematy i ni-e wi-dać kryjących się za nimi ogólnych zasad l prawidłowości- Nie-mniej, w losach wielkiego twierdzenia Fermata zawarte zostałykawałki właściwie całej historii matematyki, od zarania cywlll-

118 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAzacji aż do naszych czasów. Ostateczne rozwiązanie problemuteż wymagało połączenia w jedno rozległych dziedzin: teoriiliczb, algebry, analizy, geometrii i topologii, praktycznie więcniemal całej matematyki.

Strona 58

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie FermataRlbet zaczął następnie pracować nad doktoratem z matema-tyki na Uniwersytecie Harvarda. Tam - z początku pośrednio,a potem, bliżej końca studiów doktoranckich, bezpośrednio -trafił pod skrzydła Barry'ego Mazura, wielkiego geometry, spe-cjalisty w dziedzinie teorii liczb i wizjonera inspirującegowszystkich matematyków w najmniejszym choćby stopniu za-angażowanych w wysiłki zmierzające do udowodnienia wielkie-go twierdzenia Fermata. Praca Mazura poświęcona ideałowiEisensteina przenosiła na grunt współczesnej matematykii geometrii algebraicznej dziewiętnastowieczną, rozwiniętąprzez Emsta Kummera, teorię liczb idealnych, proponując no-we, geometryczne podejście do teorii liczb.44Ken Rlbet został koniec końców profesorem matematyki naUniwersytecie Kalifornijskim w Berkeley i zaczął prowadzićbadania w dziedzinie teorii liczb. W 1985 roku usłyszało Freyu i Jego "szaleńczym" poglądzie, że jeśli istniałoby roz-wiązanie równania Fermata (czyli gdyby wielkie twierdzenieFermata było fałszywe), to można by z jego pomocą skonstru-ować dziwaczną krzywą. Owa krzywa Freya byłaby eliptycz-na, lecz nie modułowa. Skojarzona z nią para hipotez zawar-tych w liście Serre'a do Mestre'a spowodowała, że Ribetzaczął poważnie myśleć o udowodnieniu hipotezy Freya.I chociaż wielkim twierdzeniem Fermata naprawdę się nie in-teresował, zdawał sobie sprawę z tego, że jest to palący pro-blem, w dodatku mieszczący się w kręgu tematów dobrze muznanych. W ciągu tygodnia od 18 do 24 sierpnia 1985 rokuRlbet uczestniczył w konferencji z geometrii arytmetycznejl algebraicznej w Arcata, w Kalifornii. Zaczął rozmyślać o hi-potezie Freya i problem ten zaprzątał jego głowę przez całynastępny rok. Gdy na początku lata 1986 roku uwolnił się od44 Barry Mazur: Modular Curves and the Eisenstein Ideał, The Matematical Pu-blications of IHES, tom 47 (1977), s. 33-186.

AMIR D, ACZEL • 119obowiązków dydaktycznych w Berkeley, poleciał do Nieimlec,gdzie miał prowadzić badania naukowe w Instytucie MlaxaPlancka, sławnym na cały świat ośrodku matematyczn^ym.Wkrótce po przybyciu do Instytutu dokonał wielkiego prz:eło-mu. Mógł teraz przeprowadzić prawie kompletny dowód h-lpo-tezy Freya.W rozumowaniu nadal jednak brakowało kilku szczegó łów,które należało dopracować. Wkrótce po powrocie do BerlseleyRlbet wpadł przypadkowo na Barry'ego Mazura, który przyje-chał akurat z Uniwersytetu Harvarda. "Chodźmy na kawę,Barry" - zaproponował Ribet. Powędrowali wspólnie do poopu-larnej kawiarni w pobliżu kampusu Uniwersytetu Kalifo mij-skiego. Popijając kawę z mlekiem, Ribet zwierzył się Mazurowi:"Próbuję uogólnić to, co zrobiłem wcześniej, żeby udowodnićhipotezę Freya. Nie mogę się uporać tylko z tą jedną rzecz ą...".Mazur rzucił okiem na podsunięte przez Rlbeta formuły. "Aleprzecież już to zrobiłeś, Ken - odparł. - Musisz tylko dorzucićten drobiazg, przeprowadzić powtórnie całe rozumowanie^ l powszystkim!" Zamyślony Ribet spojrzał na Mazura, na swą fili-żankę z kawą l jeszcze raz, z niedowierzaniem, na Mazura."Masz świętą rację!" - zawołał. Nieco później wrócił do s-wegogabinetu, by dopracować do końca dowód. "Ken wpadł nsa ka-pitalny pomysł" - opowiadał potem z szerokim uśmiechem Ma-zur, opisując zręczny, już opublikowany i znany w mat-ema-tycznym świecie dowód Kena Ribeta.Ribet sformułował i udowodnił twierdzenie, które glosi-ło, żejeśli prawdziwa jest hipoteza Shimury-Tantyamy, to, jako bez-pośredni wniosek, wypływa z niej natychmiast wielkie twier-dzenie Fermata. Człowiek, który jedynie rok wcześnie) u^ważałsugestię Freya za żart, udowodnił teraz, że to nie żaden dow-cip, tylko matematyczna rzeczywistość. Drzwi do protolemuFermata, umożliwiające atak z wykorzystaniem całego ar-sena-łu nowoczesnych metod geometrii algebraicznej i arytm«etycz-nej, zostały szeroko otwarte. Świat potrzebował teraz tylko

Strona 59

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatakogoś, kto udowodniłby pozornie nieosiągalną hipotezeę Shi-mury-Tantyamy. Wielkie twierdzenie Fermata byłoby wó-wczasprawdziwe.

120 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATADziecięce marzenieAndrew Wiłeś był człowiekiem, który chciał to właśnie zrobić.Gdy miał dziesięć lat, poszedł do biblioteki publicznej w swoimmiasteczku w Anglii i zajrzał do książki o matematyce. Prze-czytał w niej o wielkim twierdzeniu Fermata. Twierdzenie byłow książce przedstawione tak prosto, że jego treść mogło zrozu-mieć dziecko. Oddajmy zresztą głos samemu Wilesowi:Było tam napisane, że nigdy nie znajdą się takie liczby x,y i z, że x3 + y3 = z3. Żeby nie wiem jak wytrwale szukać,nigdy, przenigdy się takich liczb nie znajdzie. I było też napi-sane, że tak samo jest dla .x4 + y4 = Z4 i dla .x5 + y5 = z5, i takdalej... Wydawało się to takie proste, a autor książki twier-dził, że przez ponad trzysta lat nikt nie zdołał tego udowod-nić. Zapragnąłem więc znaleźć dowód...W latach siedemdziesiątych Andrew Wiłeś wstąpił na uni-wersytet. Gdy skończył studia, przyjęto go na Wydział Mate-matyki w Cambridge, gdzie pod opieką Johna Coatesa zacząłpracować nad doktoratem. Marzenie swego dzieciństwa, byudowodnić wielkie twierdzenie Fermata, Wiłeś musiał porzu-cić. Badania nad tym problemem nieuchronnie okazałyby sięstratą czasu, na którą nie mógłby sobie pozwolić żaden dok-torant. A poza tym, jakiż promotor zgodziłby się opiekowaćstudentem pracującym nad taką starodawną łamigłówką,wciąż nie rozwiązaną mimo trzystuletnich wysiłków nąj-świetniej szych umysłów świata? W latach siedemdziesiątychnaszego wieku Fermat stał się niemodny. Prawdziwie gorą-cym tematem badań, tematem "w dobrym tonie", były wów-czas w teorii liczb krzywe eliptyczne. Adrew Wiłeś zaczął więcpoświęcać swój czas na badania krzywych eliptycznychoraz dziedziny, zwanej teorią Iwasawy. Napisał pracę doktor-ską, a po jej obronie otrzymał posadę na Wydziale Matematy-ki Uniwersytetu w Princeton l przeniósł się do Stanów Zjed-noczonych, by nadal badać krzywe eliptyczne i zgłębiaćteorię Iwasawy.

A.MIR D. ACZEL • 121Dawny ogień bucha nowym żaremBył ciepły letni wieczór, a Andrew Wiłeś sączył właśnie mrożomąherbatę w domu przyjaciela. Nagle, w środku rozmowy, przyj a-ciel rzekł: ,A tak przy okazji, czy słyszałeś, że Ken Ribet właśraleudowodnił hipotezę epsilonową?" Mianem hipotezy epsilono\wejspecjaliści od teorii liczb określali między sobą zmodyfikowałaprzez Serre'a wersję hipotezy Freya, mówiącą o związku pomtię-dzy wielkim twierdzeniem Fermata i hipotezą Shimury-Tamyya-my. Wilesa przeszył prąd. Czuł w tamtej chwili, że jego życie asiezmienia. Dawne dziecięce marzenia, by udowodnić wlell-rietwierdzenie Fermata, marzenia, które przyszło mu porzucić narzecz "rozsądniej szych" badań naukowych, powróciły naggiez niewiarygodną siłą. Wrócił do domu l zaczął myśleć nad tym,w jaki sposób udowodnić hipotezę Shimury-Taniyamy."Przez pierwszych kilka lat - zwierzył się później - nie mi.la-łem żadnej konkurencji; wiedziałem bowiem, że nikt, włącza-jąc w to mnie samego, nie ma pojęcia, od czego zacząć". WLIespostanowił pracować samotnie i w całkowitej tajemnicy. "Ulemożna się skupić, gdy kibiców jest zbyt wielu, a odkryl-emszybko, że wystarczy tylko słówkiem wspomnieć o Fermacie,by natychmiast wzbudzić niezdrowe zainteresowanie". Oczywi-ście, zdolnych, utalentowanych matematyków nie braku-ije,szczególnie w takich miejscach jak Princeton. Istnieje poważneniebezpieczeństwo, że rozpoczętą przez nas pracę ukoń czyktoś inny, w dodatku robiąc to lepiej od nas.W każdym razie Wiłeś zamknął się w swym gabinecie na

Strona 60

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatastrychu i zabrał do pracy. Porzucił wszelkie inne projekty ba-dawcze, żeby swój czas w całości przeznaczyć na problem Fer-mata. Zamierzał zużytkować całą potęgę maszynerii współczes-nej algebry, geometrii, analizy l innych gałęzi matematyki.Planował wykorzystać ważne rezultaty matematyczne, uzyska-ne zarówno przez współczesnych mu badaczy, jak i przez jjegohistorycznych poprzedników. Chciał użyć zręcznych metodz dowodów Ribeta, pragnął włączyć do pracy teorie Barry-'egoMazura oraz idee Shimury, Freya, Serre'a, Andrć Weila i w&elu,wielu innych matematyków.

122 . WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAWielkość Wilesa, jak powie później Gerhard Frey, polegałana tym, że wierzył w to, co robi, podczas gdy praktycznie żadenmatematyk na świecie nie sądził, żeby w XX wieku ktokolwiekbył w stanie udowodnić hipotezę Shimury-Taniyamy.Andrew Wiłeś wiedział, że aby udowodnić hipotezę Shimury--Taniyamy, musi wykazać, ii każda krzywa eliptyczna jest mo-dułowa; musi udowodnić, iż każda krzywa eliptyczna, którejpunkty leżą na powierzchni obwarzanka, jest w istocie formąmodułową w przebraniu. Powierzchnia obwarzanka miała Jak-by skrywać w sobie tę przestrzeń obdarzonych zawiłymi syme-triami obiektów rodem z płaszczyzny zespolonej, które nazywasię formami modułowymi. Nikt nie wiedział, jak wykazać ist-nienie tak dziwnego związku między tworami na pozór tak bar-dzo różnymi.Wiłeś doszedł do wniosku, że najlepiej będzie spróbować po-liczyć, ile jest krzywych eliptycznych, następnie zaś policzyć,Ile Jest modułowych krzywych eliptycznych, a na koniecsprawdzić, czy jest ich tyle samo. Byłoby wtedy wiadomo, żekrzywe eliptyczne i modułowe krzywe eliptyczne to jedno i tosamo (a zatem każda krzywa eliptyczna rzeczywiście jest mo-dułowa, jak orzeka hipoteza Shimury-Taniyamy).Ponadto, Wiłeś uświadamiał sobie dwie kwestie. Po pierw-sze, nie musiał wcale dowodzić hipotezy Shimury-Taniyamyw całej ogólności, lecz tylko w szczególnym przypadku, dla se-mistabllnych krzywych eliptycznych o współczynnikach wy-miernych. Wykazanie, że hipoteza zachodzi dla tej nieconiniejszej klasy krzywych eliptycznych, w zupełności wystar-czyłoby do uzasadnienia wielkiego twierdzenia Fermata.Po drugie. Wiłeś wiedział, że zwykłe "liczenie" na nic się nieprzyda - miał bowiem do czynienia ze zbiorami nieskończony-mi. Zbiór semistabilnych krzywych eliptycznych jest nieskoń-czony. Różnym wymiernym współczynnikom postaci a/b,gdzie a i b są liczbami całkowitymi, odpowiadają różne krzyweeliptyczne (nad liczbami wymiernymi). Ponieważ liczb wymier-nych jest nieskończenie wiele (licznik a i mianownik b każde-go współczynnika można dowolnie wybierać spośród nieskoń-czenie wielu liczb l, 2, 3, 4, ...), nieskończenie wiele jest także

AMIR D. ACZEL • 1123krzywych eliptycznych. Zatem liczenie jako takie nic tu miępomoże.Duży problem podzielićna kilka mniejszychWiłeś myślał, że mógłby spróbować skupić uwagę na mniej-szych problemach, po jednym naraz. Być może byłby wówc^zasw stanie przypatrzeć się mniejszym klasom krzywych eliptycz-nych l sprawdzić, co się da z nimi zrobić. Wydawało się, żejjestto nie najgorsze podejście, ponieważ w ten sposób mógł zrrnie-rzać do celu krok po kroku, stopniowo ogarniając różne klasy.Przede wszystkim wiedziano już wówczas, że niektóre krzyweeliptyczne są modułowe (wynikało to z ważnych rezultatów ba-dań, uzyskanych przez innych specjalistów od teorii licazb).Wkrótce jednak Andrew Wiłeś zdał sobie sprawę, że sa-moprzypatrywanie się różnym krzywym eliptycznym i wynajdywa-nie dla każdej z nich z osobna "koleżanki" do pary wśród form

Strona 61

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatamodułowych nie jest zapewne najlepszą drogą - miał w koncudo czynienia ze zbiorami nieskończonymi. W istocie, nie zmaj-dowal się bliżej rozwiązania niż sceptyczny Andre Weił, którykategorycznie oświadczał: "Nie widzę nic, co stałoby na prze-szkodzie, oba bowiem zbiory są przeliczalne [to znaczy mie-skończone i tego samego "rozmiaru", co zbiór liczb całkowitychczy wymiernych, zaś dużo mniejsze niż na przykład zbiórwszystkich liczb niewymiernych lub jakikolwiek inny zbnórmocy continuum], nie widzę też jednak niczego, co przemaka-łoby na korzyść tej hipotezy..." Po dwóch latach wędrówki do-nikąd Wiłeś spróbował nowego podejścia. Pomyślał, że mógłbyzastąpić krzywe eliptyczne ich reprezentacjami Galois, a forrmymodułowe dobierać potem do tych reprezentacji.Pomysł, choć nie do końca oryginalny, był świetny. Za tymposunięciem kryje się ciekawa zasada. Otóż specjaliści w dizie-dzinie teorii liczb zajmują się znajdowaniem rozwiązań równańtakich jak na przykład równanie Fermata. Matematyczna teo-ria ciał liczbowych umieszcza ów problem w kontekście roz-sze-

124 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATArżeń ciał. Ciała są wielkimi, często nieskończonymi kolekcjamielementów, niełatwo poddającymi się analizie. By temu zara-dzić, specjaliści nierzadko wykorzystują stworzoną przez Eva-riste'a Galois tak zwaną teorię Galols, by przełożyć problemyze skomplikowanego języka ciał na prostszy język obiektówznanych pod nazwą grup. Grupa często jest generowana przezskończony (a nie nieskończony) zbiór elementów. Wykorzysta-nie teorii Galois pozwala zatem specjalistom od teorii liczbprzenieść rozważania z nieskończonej kolekcji na taką, którajest w pełni wyznaczona przez skończony zbiór generatorów.To przesunięcie problemu w inny obszar stanowi olbrzymikrok naprzód, ponieważ ze skończonym zbiorem generatorówgrupy można sobie radzić nieporównanie łatwiej niż z nieskoń-czonym zbiorem elementów ciała. Już choćby samo liczeniema sens tylko dla zbiorów skończonych.Wydawało się z początku, że to podejście działa dla niektó-rych klas krzywych eliptycznych. Był to swego rodzaju prze-tom. Tymczasem po upływie kolejnego roku Wiłeś znów stanąłw miejscu.Praca FlachaAndrew Wiłeś próbował teraz ustawić w pary elementy dwóchzbiorów: form modułowych i reprezentacji Galois, odpowiada-jących semistabilnym krzywym eliptycznym; wszystko tow tym celu, by sprawdzić, że są one takie same. W tej pracyposługiwał się tzw. horyzontalną teorią Iwasawy, dziedziną,z której napisał doktorat l w której czuł się ekspertem. Próbo-wał z niej korzystać po to, by uzyskać wzór na liczbę klas ide-ałów, rezultat potrzebny mu do "liczenia". Znów jednak stanąłprzez murem. Nic z tego, co robił, nie przybliżało go do rozwią-zania.Latem 1991 roku Wiłeś uczestniczył w konferencji w Bosto-nie, gdzie spotkał swego byłego promotora z Cambridge, JohnaCoatesa. Profesor Coates powiedział Wilesowi, że jeden z jegostudentów, Matthlas Flach, bazując na wcześniejszych pra-

AMIR D. ACZEL • 125cach matematyka rosyjskiego o nazwisku Koływagin, podczsaspróby dowodu wzoru na liczbę klas Ideałów obmyślił i sko n-struował tzw. system Eulera (nazywany tak od nazwiska Le-onarda Eulera). Tego właśnie potrzebował Wiłeś do swego do-wodu hipotezy Shimury-Taniyamy (pod warunkiem, żepotrafiłby częściowe wyniki Flacha rozszerzyć tak, by otrzynuaćpełny wzór na liczbę klas ideałów). Coates, mówiąc Wlleso»wio pracy Flacha, wprawił go w dobry nastrój. "Było to skrojo»nena miarę mojego problemu" - powiedział Wiłeś; zupełnie tak,jakby Matthlas Flach całą tę pracę wykonał wyłącznie dla n-ie-go. Wiłeś natychmiast zarzucił dotychczasowe próby użycia

Strona 62

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatahoryzontalnej teorii Iwasawy, by na całe dnie i noce pogrąSyćsię w pracach Koływagina i Flacha. Gdyby się okazało, żestworzony przez nich "system Eulera" naprawdę działa, WLłesmógłby mieć nadzieję, że dostanie do ręki wzór na liczbę kJasideałów, a hipoteza Shimury-Taniyamy zostanie udowodniconadla semistabilnych krzywych eliptycznych. To wystarczy, byudowodnić wielkie twierdzenie Fermata.Była to jednak ciężka praca, wykraczająca poza tak dób rżęWilesowi znaną teorię Iwasawy. Wiłeś zaczął coraz częściej "od-czuwać potrzebę znalezienia kogoś, z kim mógłby poroznna-wlać. Szukał powiernika, który sprawdziłby, jak daleko Wfilespożeglował na nieznanych wodach, a jednocześnie nie zdraodzllsię przed nikim ani słowem.Dobry przyjacielWiłeś musiał w końcu podjąć decyzję l zdecydować się, czyma nadal utrzymywać wszystko w tajemnicy, jak robił to jużod dawna, czy też złamać swe postanowienie i zacząć rozn-na-wiać z kimś dobrze się znającym na teorii liczb? Zdecydowałostatecznie, że zachowując tajemnicę, nie postąpi najlepiej.Jak sam mówił, można całe życie pracować nad jakimś pro-blemem i nigdy nie ujrzeć tego efektów. Potrzeba pokazanianotatek innej osobie przeważyła więc w końcu nad silnympragnieniem zachowania wszystkiego tylko dla siebie. Piozo-

126 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAstało jednak pytanie: kto? Kto jest godzien zaufania, kto do-chowa tajemnicy?W styczniu 1993 roku, po sześciu latach samotnej pracy,głęboko zakonspirowany Wiłeś nawiązał pierwszy kontakt.Zwrócił się do profesora Nicka Katza, jednego ze swych kole-gów na Wydziale Matematyki w Princeton. Katz świetnie znałsię na wielu teoriach wchodzących do arsenału środków wy-korzystywanych w dowodzie wzoru na liczbę klas Ideałów. Coważniejsze, wyglądało na to, że można mu było bezgranicznieufać; nigdy nie zdradziłby, co Andrew Wiłeś zamierza zrobić.Ta ocena, jak się później okazało, była trafna. Nick Katz trzy-mał język za zębami cały czas, przez wszystkie miesiącewspółpracy z Wilesem, aż do końca przedsięwzięcia. Ichwspólni koledzy w małym matematycznym światku w Prince-ton nie podejrzewali niczego ani przez chwilę, nawet wówczas,gdy widzieli obu przyjaciół, wiodących gdzieś w kąciku słyn-nego Commons Room ściszone, wielogodzinne rozmowy przykawie.Lecz Andrew Wiłeś nadal się martwił, że ktoś mógłbyodgadnąć, nad czym właśnie pracuje. Nie chciał ryzykować.Uknuł więc plan mający na celu ukrycie tego, że bardzo inten-sywnie pracuje nad "czymś" wspólnie z Nickiem Katzem.W wiosennym semestrze 1993 zaoferował nowy wykład mono-graficzny dla doktorantów, wykład, na który Nick Katz miałchodzić jako jeden ze słuchaczy, co pozwoliłoby im obu praco-wać wspólnie, nie budząc podejrzeń innych. Tak przynajmniejpowiedział Wiłeś. Doktoranci nie będą mogli podejrzewać, żeza treścią wykładów kryje się droga do wielkiego twierdzeniaFermata, a Wiłeś, przy pomocy swego dobrego przyjaciela Katza,będzie mógł użyć ich mózgów do wyszukiwania ewentualnychsłabych punktów rozumowania.Pojawiły się ogłoszenia o wykładzie, którego przedmiotemmiały być "obliczenia dla krzywych eliptycznych", tytuł wystar-czająco niewinny, by nikt niczego nie podejrzewał. Na pierw-szych zajęciach profesor Wiłeś powiedział, że celem wykładówbędzie zaprezentowanie i studiowanie pewnej nowej pracyMatthiasa Flacha, dotyczącej wzoru na liczbę klas ideałów.

ĄMIR D ACZEL • 127O Fermacie czy Shimurze nie padło ani jedno słowo; nikt n:lemógł przeczuwać, ze wzór na liczbę klas ideałów był kluczo-wym punktem dowodu wielkiego twierdzenia Fermata. I nilkt

Strona 63

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatanie miał pojęcia, że prawdziwym celem wykładów nie bySouczenie doktorantów matematyki, lecz umożliwienie Wileso\-vll Katzowi wspólnej l nie budzącej podejrzeń kolegów pracy neadowym problemem, przy jednoczesnym wykorzystaniu niczegonie podejrzewających doktorantów do sprawdzania niektórychobliczeń.Jednakże po paru tygodniach wszyscy doktoranci stopniowoopuszczali zajęcia. Nie mogli dotrzymać kroku wykładom, kt-ó-re nie miały jasno określonego celu. Jedynym "studentenn",który zdawał się wiedzieć cokolwiek i aktywnie uczestniczmy!w wykładach, był drugi profesor matematyki, siedzący w ławiceobok nich. Tak więc po pewnym czasie Nick Katz został jeoiy-nym słuchaczem. Ale Wiłeś najzwyczajniej w świecie kontyn-zi-ewał wykłady, korzystając z nich, by krok po kroku wypis, aćna tablicy cały swój długi dowód wzoru na liczbę klas ideałó~w,podczas gdy Nick Katz na kolejnych zajęciach sprawdzał pao-szczególne fragmenty rozumowania.Wykłady nie ujawniły żadnych błędów. Wydawało się, że cflo-wód wzoru na liczbę klas ideałów działa bez zarzutu, a WiUesjest na najlepszej drodze do rozwiązania problemu Fermałta.I tak, późną wiosną roku 1993, gdy wykład zbliżał się do kaiń-ca, Andrew Wiłeś niemal zakończył swą pracę. Zmagał się jesz-cze tylko z jedną, jedyną, ostatnią przeszkodą. Umiał wpra_w-dzie udowodnić, że prawie wszystkie krzywe eliptyczne sąmodułowe, lecz kilka z nich nadal wymykało się z łańcucha ar-gumentów. Sądził, że wkrótce pokona owe trudności l, ogólnierzecz biorąc, byt w optymistycznym nastroju. Wiłeś czuł, żenadeszła pora, by porozmawiać z jeszcze jedną osobą, l tymsamym spróbować nieco lepiej zrozumieć ostatnią stój gacąprzed nim trudność. Zwrócił się więc do profesora Petera S.ar-naka, innego kolegi na Wydziale Matematyki w Princetonl również zobowiązał go do zachowania tajemnicy. "Sądzę, żewkrótce dokończę dowód wielkiego twierdzenia Fermata" - yo-wiedział zdumionemu Samakowi.

128 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA"Było to coś niewiarygodnego - wspominał później Samak. -Czułem się osłupiały, rozradowany, wytrącony z równowagi.Chcę powiedzieć... pamiętam, że tamtej nocy po prostu niemogłem spać". Tak więc teraz już dwóch kolegów próbowałopomóc Wllesowi w dokończeniu dowodu. I mimo że nikt niedomyślał się, nad czym właściwie cała trójka pracuje, przecieżludzie zaczęli coś zauważać. A Sarnak, choć zaklinał się, żenikt się od niego niczego nie dowiedział, przyznał później, iż tui ówdzie poczynił "być może kilka aluzji..."Ostatni kawałek układankiW maju 1993 roku Andrew Wiłeś przesiadywał samotnie przybiurku. Z wolna ogarniała go frustracja. Wydawało się, że doschwytania tych kilku wymykających się z zarzuconej siecikrzywych eliptycznych nie zbliżył się ani o włos. Najzwyczaj-niej nie mógł udowodnić, że są modułowe. A przecież potrze-bował to potwierdzić, by wykazać, że wszystkie (semistabilne)krzywe eliptyczne są modułowe i tym samym udowodnić wiel-kie twierdzenie Fermata. Rozważenie większości semistabil-nych krzywych eliptycznych było samo w sobie wspaniałymmatematycznym wynikiem, ale nie wystarczało do osiągnięciacelu. By odrobinę odetchnąć od intensywnych, prowadzącychdonikąd poszukiwań. Wiłeś sięgnął po starą pracę wielkiegomistrza, Barry'ego Mazura z Uniwersytetu Harvarda. Niektóreodkrycia Mazura w teorii liczb były przełomowe; jego wynikiInspirowały wielu ekspertów w tej dziedzinie, w tym Ribetal Freya, których prace wytyczyły drogę Wilesowl. Artykuł Ma-zura, który Wiłeś czytał teraz powtórnie, stanowił rozszerzenieteorii ideałów, mającej swe początki w pracach Dedekindal Kummera, a rozwijanej następnie przez innego dziewiętna-stowiecznego matematyka, Ferdinanda Gottholda Eisenstelna(1823-1852). Eisenstein, mimo że zmarł młodo, dokonałw teorii liczb wielkich odkryć. Podobno, Gauss powiedział

Strona 64

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatakiedyś, że było "tylko trzech epokowych matematyków: Archl-medes, Newton i Eisenstein".

AMIR D. ACZEL • -129Jedna z linijek w poświęconej ideałowi Eisenstelna praacyMazura45 przykuła teraz uwagę Wilesa. Mazur najwyraźmiejtwierdził, że można przełączyć się z jednego zbioru krzywycheliptycznych na inny. "Przełącznik" wykorzystywał liczbypierwsze. Mazur twierdził, że gdy się ma do czynienia z krrzy-wymi eliptycznymi związanymi z liczbą trzy, można prze-kształcić je w taki sposób, by dało się studiować ich wias no-ści, wykorzystując piątkę zamiast trójki. Właśnie taki'ego"przełącznika" z trójki na piątkę potrzebował Wiłeś. Utlcnąłw miejscu, nie mogąc udowodnić, że krzywe eliptyczne p ew-nej klasy, związane z liczbą trzy, są modułowe. I oto Ma-zurorzekał, że wystarczy użyć czarodziejskiej różdżki i zmieniać Jew krzywe związane z inną liczbą pierwszą, mianowicie z Licz-bą pięć. A owe krzywe związane z piątką, jak już wcześrniejWiłeś udowodnił, są modułowe. Zatem cała sztuka polegałana zastosowaniu "przełącznika" z trójki na piątkę. Wrzucałosię do niego sprawiające kłopoty krzywe eliptyczne związ-anez trójką, a wyjmowało krzywe związane z piątką, o któr-ychwiadomo już było, że są modułowe. Po raz kolejny świetnypomysł innego matematyka pomógł Wilesowi obejść prze-szkodę z pozoru nie do pokonania. Andrew Wiłeś ukoń-czyłwreszcie swe dzieło i w dodatku zrobił to w znakomitym mo-mencie.W następnym miesiącu, w czerwcu, jego były promotor JTohnCoates będzie gościł w Cambridge uczestników konferencjiL po-święconej teorii liczb. Z pewnością przyjadą wówczas wszystkiematematyczne sławy. Cambridge było rodzinnym miastem- Wl-lesa; właśnie tam obronił doktorat. Czyż nie byłoby znakomi-cie, gdyby przedstawił swój dowód wielkiego twierdzenia Fer-mata w tym miejscu? Wiłeś prowadził teraz wyścig z czasem.Musiał zredagować i spisać cały swój dowód prawdziwość;! hi-potezy Shimury-Taniyamy dla semistabilnych krzywych -elip-tycznych. Wynikało z niego, że krzywa Freya nie istnieje. S3iorozaś nie istnieje krzywa Freya, to nie istnieją też rozwiąż; aniarównania Fermata dla n > 2, a zatem wielkie twierdzenie45 Barry Mazur, op. cit.

130 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAFermata Jest udowodnione. Przepisany na czysto dowód zająłWllesowi 200 stron. Skończył pracę akurat w porę, by zdążyćna samolot do Anglii. I na zakończenie ostatniego ze swych wy-kładów na konferencji w Cambridge stanął dumnie i zwycięskowśród głośnych braw, reporterów l błysku fleszy.Co było potem?Przyszła teraz pora na recenzje. Nowy wynik matematyczny(a właściwie każde odkrycie naukowe) składa się zwykle do pu-blikacji w "recenzowanym czasopiśmie". Takie recenzowane cza-sopisma określają poziom. Jaki powinny mieć publikowane pra-ce naukowców. Zadaniem redakcji czasopisma jest wysłanieprzedłożonego materiału do innych specjalistów w odpowiedniejdziedzinie, którzy oceniają zawartość pracy, sprawdzają, czy jestona poprawna i czy stanowi godzien opublikowania wkład w na-ukę. Recenzowane artykuły w czasopismach to w życiu uniwer-sytetów l akademii chleb powszedni. Od liczby l jakości produ-kowanych przez uczonego artykułów w recenzowanychczasopismach zależą stanowiska, profesura, awanse, wreszciewysokość wynagrodzenia ł podwyżki.Andrew Wiłeś wybrał Jednak inną drogę. Zamiast złożyćswój dowód do publikacji w profesjonalnym matematycznymczasopiśmie - co zrobiłby na jego miejscu niemal każdy - za-prezentował go na konferencji. Powody po temu były zapewnedwojakie. Przez wszystkie lata pracy nad dowodem Wilesowitowarzyszyła obsesja zachowania tajemnicy. Gdyby złożył

Strona 65

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatadowód w jakimś czasopiśmie, wysłano by go do kilku recen-zentów wybranych przez redakcję, a jeden z nich lub któryśz redaktorów mógłby coś ujawnić. Wiłeś obawiał się też praw-dopodobnie, że ktoś, kto przeczytałby złożony do publikacji do-wód, mógłby dokonać kradzieży i wysłać go do publikacji po-wtórnie, pod własnym nazwiskiem. To się, niestety, w życiuakademickim zdarza. Drugi powód wiązał się z pierwszym.Wiłeś chciał, by prezentacji dowodu w Cambridge towarzyszyłonarastające napięcie i ciekawość słuchaczy.

AMIR D. ACZEL • 131Lecz mimo to, mimo zaprezentowania rezultatów na konfe-rencji, praca Wilesa musiała być poddana recenzji. Jego Ikole-dzy po fachu, Inni specjaliści w dziedzinie teorii liczb, biedąbrnąć przez dowód i wpatrywać się weń linijka po linijce, bypotwierdzić, czy rzeczywiście Wiłeś udowodnił to, co sobi«e za-mierzył.Nad przepaściąDwustustronicową pracę Wilesa wysłano do kilku czoło\-vychekspertów w dziedzinie teorii liczb. Niektórzy z nich szybko wy-razili zaniepokojenie, lecz ogólnie rzecz biorąc matemaatycyuważali, że dowód najprawdopodobniej jest poprawny. Trzebabyło jednak poczekać na werdykt ekspertów. "O tak! - powie-dział Ken Rlbet, gdy zapytałem go, czy wierzył w prawdzr-wośćdowodu Wilesa. - Nie mogłem zrozumieć tego, co niektórzymówili wkrótce po przeczytaniu dowodu, a mianowicie, ż*e niema tam żadnego systemu Eulera".Wśród ekspertów wybranych do prześledzenia dowodu ^Vlle-sa znalazł się jego przyjaciel z Princeton, Nick Katz. Przez- dwanieprzerwane miesiące, lipiec l sierpień 1993 roku, prorfesorKatz zajmował się wyłącznie studiowaniem dowodu. Codzien-nie zasiadał przy biurku i powoli wczytywał się w każdą linijkę,każdy matematyczny znaczek, każdą implikację, by upe-wnićsię, czy wszystko ma sens i czy rzeczywiście każdy czytającydowód matematyk zaakceptowałby go bez zastrzeżeń. Ra-z czydwa dziennie Katz wysyłał do Wilesa, który tego lata przebywałpoza Princeton, pocztą elektroniczną liścik, pytając: "Co miaszna myśli w tej i tej linijce, na tej i na tej stronie?" albo "Disacze-go ta implikacja wynika z poprzedniej? Nie rozumiem". Wiłeśwysyłał swoje odpowiedzi pocztą elektroniczną albo, jeśli trze-ba było podać więcej szczegółów, faksem.Pewnego dnia, po przebrnięciu przez mniej więcej dwie trze-cie długiego maszynopisu Wilesa, Katz napotkał problem.Z początku wyglądało to raczej niewinnie, jak jedna z wielukwestii, na które Wiłeś poprzednio odpowiedział ku jego p"ełne-

132 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAmu zadowoleniu. Lecz tym razem stało się inaczej. WątpliwościKatza Wiłeś próbował wyjaśnić korzystając z poczty elektro-nicznej. Katz jednak musiał wystukać na swojej klawiaturzeodpowiedź: "Nadal tego nie rozumiem, Andrew". Tym razemWiłeś wysłał faks, próbując powiązać wszystko w logiczną ca-łość. Katz ciągle nie był przekonany. Coś najzwyczajniej byłonie w porządku, dokładnie w miejscu, które Wiłeś i Katz sta-rannie sprawdzili wiosną, gdy Wiłeś prowadził swój "wykład".Wszelkie niejasności i zmarszczki powinny ulec już wygładze-niu, lecz najwidoczniej luka w rozumowaniu Wilesa umknęłauwadze ich obu. Może gdyby doktoranci do końca słuchali wy-kładów, jeden z nich uświadomiłby dwójce matematyków, żecoś Jest nie tak...Mniej więcej w tym samym czasie, gdy Katz znalazł błąd, in-ni matematycy w różnych miejscach świata wychwycili tensam kłopotliwy moment w dowodzie Wilesa. Po prostu nie byłotu żadnego systemu Eulera i cała maszyneria nie chciała dzia-łać. Bez systemu Eulera, który miał podobno być uogólnie-niem wcześniejszych prac Flacha i Koływagina, trudno mówićo wzorze na liczbę klas ideałów. Bez wzoru na liczbę klas ide-

Strona 66

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermataałów nie dawało się "ustawiać w pary" form modułowych i re-prezentacji Galois krzywych eliptycznych, a więc nie było uza-sadnienia hipotezy Shimury-Taniyamy. A skoro nic niewiadomo o prawdziwości hipotezy Shimury-Taniyamy, to niema dowodu wielkiego twierdzenia Fermata... Krótko mówiąc,z powodu luki w systemie Eulera cała konstrukcja waliła sięniczym domek z kart.AgoniaZakłopotany, zdenerwowany, zły, sfrustrowany i upokorzonyAndrew Wiłeś wrócił do Princeton jesienią 1993 roku. Obiecałświatu dowód wielkiego twierdzenia Fermata, a okazało się, żenie jest w stanie go dostarczyć. W matematyce, jak w niemalkażdej dziedzinie, nie wręcza się nagród pocieszenia; "srebr-nych medalistów" spotyka zapomnienie. Strącony ze szczytu

AMIR D. ACZEL • 133Wiłeś trafił z powrotem na swój strych, próbując poprawie do-wód. "Żył wtedy jak ktoś, kto ukrywa przed światem tajemmlcę- wspominał Nick Katz. - Sądzę, że w tej roli musiał się czućbardzo niezręcznie". Pomóc Wllesowi próbowali koledzy, mię-dzy innymi jego były student, Richard Taylor, który mczyłw Cambridge, lecz przybył do Princeton wesprzeć Wilesa -^v je-go próbach załatania dowodu."Przez pierwsze siedem lat pracy w całkowitej samotnościcieszyłem się każdą chwilą - wspominał Wiłeś - bez względuna to, jak trudne czy niemożliwe z pozoru do pokonania na-potykałem przeszkody. Teraz jednak przyszło mi upra_wiaćmatematykę publicznie, w nazbyt odsłonięty sposób; z pew-nością nie było to w moim stylu. Nie chciałbym kiedykolwiekdoświadczać tego powtórnie". Tymczasem przykre doświad-czenia wciąż trwały. Richard Taylor, któremu skończył sięurlop naukowy, wrócił do Cambridge, a Wiłeś nadal ni e wi-dział światła w tunelu. Spojrzenia jego kolegów wyrażały mie-szaninę niecierpliwości, nadziel i litości, a jego clerpieni.e do-strzegali wszyscy dookoła. Ludzie chcieli wiedzieć; ctnciellusłyszeć dobrą nowinę, lecz zapytać, jak Wiłeś radzi -sobiez dowodem, nie ośmielał się nikt. Zarówno jego wydziaH, jakl cały świat zamarli w oczekiwaniu. W nocy 4 grudnia 1993 ro-ku Wiłeś wysłał pocztą elektroniczną list do abonentów kom-puterowej listy adresowej Sci.math, wśród których bytto teżkilkunastu specjalistów w dziedzinie teorii liczb i innycł-i ma-tematyków:Z uwagi na liczne spekulacje w kwestii stanu moich, pracnad hipotezą Shimury-Taniyamy i wielkim twierdze-niemFermata składam krótką relację, jak się sprawy mają.. Pod-czas recenzowania wypłynęło kilka problemów; więk-szośćz nich została wyjaśniona, lecz Jednego nie zdołałenn roz-strzygnąć... Ufam, że w niedalekiej przyszłości będę w stanieukończyć pracę, wykorzystując pomysły, które omówiłempodczas wykładów w Cambridge. Mój maszynopis wymagajeszcze dużego nakładu pracy i z tego względu nie nadaje siędo rozpowszechnienia w postaci preprintu. Podczas wykła-

134 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAdów w Princeton, które rozpocznę w lutym, przedstawię mo-ją pracę w całości.Andrew WiłeśPost niortemOptymizm Andrew Wilesa był przedwczesny. Zaplanowane naUniwersytecie w Princeton wykłady nie przyniosły żadnegorozwiązania. Gdy od krótkotrwałego triumfu w Cambridge mi-nął ponad rok, Andrew Wiłeś bliski był porzucenia wszelkiejnadziei i zapomnienia o swym kalekim dowodzie.W poniedziałek rano, 19 września 1994 roku, Wiłeś sie-dział przy swoim zasłanym stertami papierów biurku na Uni-wersytecie w Princeton. Postanowił, że zanim ciśnie wszystkoprecz i porzuci wszelką nadzieję, zerknie jeszcze po raz ostat-

Strona 67

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatani na swój dowód. Chciał dokładnie zrozumieć, dlaczego niemógł skonstruować systemu Eulera. Chciał wiedzieć - choć-by dla własnej satysfakcji - dlaczego poniósł porażkę; chciałprecyzyjnie określić w dowodzie ten techniczny szczegół, któ-ry powodował, że wszystko się waliło. Czuł, że jeśli ma siępoddać, to przynajmniej należy mu się wyjaśnienie, dlaczegosię pomylił.Wiłeś studiował rozłożone na biurku papiery, koncentrującsię bardzo mocno przez niemal dwadzieścia minut. I wtedy na-gle zobaczył jak na dłoni, dlaczego dowód nie działa. Zrozumiałwreszcie, gdzie tkwił błąd. "To była najważniejsza chwila w ca-łym moim zawodowym życiu - opisywał później to uczucie. -Nagle, zupełnie nieoczekiwanie, naszło mnie to niewiarygodneobjawienie. Nic, co kiedykolwiek jeszcze zrobię, nie będziejuż..." W tym momencie głos Wilesa zadrżał ze wzruszenia,a w jego oku wezbrała łza.46 To, co Wiłeś zrozumiał w owejbrzemiennej w skutki chwili, było "tak nieopisanie piękne, tak46 Nie jest to literacka metafora; Izy w oczach Wilesa istotnie zarejestrowałaka-mera telewizji BBC podczas kręcenia zdjęć do programu, o którym Autor wspo-mina w posiowiu (przyp. tłum.).

AMIR D. ACZEL - 135eleganckie l proste... A ja tylko wpatrywałem się w to, ^ełenniedowierzania". Wiłeś zrozumiał, że system Eulera zawodziz tej samej przyczyny, dzięki której mogłoby zadziałać podej-ście wykorzystujące horyzontalną teorię Iwasawy, zaniec-haneprzezeń trzy lata wcześniej. Długo wpatrywał się w swojąi pra-cę. Pomyślał, że chyba śni, bo wszystko wyglądało zbyt pięk-nie, by mogło być prawdziwe. Później jednak mówił, że wszyst-ko wyglądało zbyt pięknie, by mogło być fałszywe. Odisryclebyło tak potężne i tak piękne, że po prostu musiało być yraw-dziwe.Wiłeś spacerował po wydziale przez kilka godzin. Nie wie-dział, czy to jawa, czy sen. Co pewien czas wracał do swegobiurka, zerknąć, czyjego fantastyczne znalezisko nadal jest namiejscu. Było. Poszedł więc do domu. Musiał się przespało; byćmoże rano odnajdzie w nowym rozumowaniu jakąś lukę. Rokżycia pod presją wywieraną przez cały świat, rok pełen frustru-jących, nieudanych prób zachwiał wiarą Wilesa we własn e siły.Rano wrócił do biurka; niezwykły klejnot znaleziony poprzed-niego dnia nadal tam był. Po prostu czekał na niego.Wiłeś przepisał na czysto nowy dowód, oparty na skorygo-wanym podejściu, wykorzystującym horyzontalną teoricę Iwa-sawy. Wszystkie kawałki układanki wreszcie znalazły się naswoich miejscach. Podejście, którego używał przed trzemsa laty,było poprawne. Wiedział o tym dlatego, że droga Flacha i- Koły-wagina, którą jednocześnie próbował kroczyć, zawiodła g^o do-nikąd. Maszynopis pracy był gotowy do wysyłki. Wiłeś w- rado-snym nastroju siedział przy klawiaturze swojego komp utera.Po nitkach pajęczyny Intemetu biegły w świat, do innych ma-tematyków, jednobrzmiące wiadomości: "Spodziewaj się -w naj-bliższych dniach przesyłki ekspresowej".Jak obiecał swemu przyjacielowi Richardowi Taylorow?!, któ-ry przybył z Anglii specjalnie po to, by pomóc mu popra'wlć je-go dowód, nowa praca, korygująca sposób wykorzystania teoriiIwasawy, była podpisana nazwiskami ich obu, choć faktycznieWiłeś otrzymał wynik już po wyjeździe Taylora. W następnychparu tygodniach matematycy, którzy dostali od Wilesa uzupeł-nioną wersję prac z Cambridge, sprawdzali wszystkie szczegó-

136 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAty. Nikt nie znalazł żadnego błędu. Wiłeś tym razem skorzystałze zwyczajowego sposobu prezentowania wyników matema-tycznych. Zamiast robić to samo, co półtora roku wcześniejw Cambridge, wysłał obie prace do redakcji profesjonalnegoczasopisma, "Annals of Mathematics"47, gdzie mogły zostać

Strona 68

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermatapoddane recenzji Innych matematyków. Recenzje zabrały kilkamiesięcy, lecz tym razem nie znaleziono żadnych usterek.Majowy numer "Annals of Mathematics" z 1995 roku zawierapierwotną pracę Wilesa z Cambridge oraz pracę z poprawkamiTaylora i Wilesa.48Wielkie twierdzenie Fermata można wreszcie zostawićw spokoju.Czy Fermat znal dowód?Andrew Wiłeś opisuje swój dowód Jako "dowód dwudziesto-wieczny". Wiłeś wykorzystał osiągnięcia wielu matematykówXX wieku; spożytkował też jednak prace kilku uczonych żyją-cych wcześniej. Wszystkie niezliczone elementy monumental-nej konstrukcji Wilesa istnieją dzięki wkładowi innych mate-matyków. Tak więc przeprowadzony przez Wilesa dowódwielkiego twierdzenia Fermata jest w pewnym sensie osiągnię-ciem sporej grupy matematyków XX wieku, a także ich po-przedników, którzy zmagali się z problemem od czasów Fermata.47 "Annals of Mathematics" uznawane jest powszechnie przez matematyków,obok szwedzkiego "Acta Mathematica", za najlepsze na świecie czasopismo;opinię tę potwierdzają wyniki indeksu cytowań (przyp. tłum.).48 Pierwsza i ważniejsza z obu prac - Andrew Wiłeś: Modular Elliptic Curvesand Fermat's Last Theorem, "Annals of Mathematics", tom 142 (1995),s. 443-551 - przytacza na początku łaciński tekst marginesowej notki Fermataze sformułowaniem jego twierdzenia: Cubum autem in duos cubos aut ąuadrato-ąuadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultraquadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dwidere: cuius rei demon-strationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. Pierre deFermat. Cały nakład "Annals of Mathematics" sprzedano na pniu jeszcze przeddatą publikacji, a czasopismo po raz pierwszy nałożyło dodatkową opłatę w wy-sokości 14 dolarów za numer.

AMIR D. ACZEL • 137Wedle Wilesa, Fermat nie mógł znać tego dowodu, gdy uimiesz-czał swą sławną notkę na marginesie tłumaczeń Badieta.Choćby dlatego, że hipoteza Shimury-Taniyamy nie istailalaprzed nadejściem XX wieku. Ale czy Fermat nie mógł mleć namyśli innego dowodu?Odpowiedź brzmi: prawdopodobnie nie. Nie wiemy je-dnaktego na pewno i nigdy wiedzieć nie będziemy. Z jednej sLrony,po zapisaniu swego twierdzenia na marginesie Fermat pn-zeżyłjeszcze 28 lat i nigdy więcej nie wspomniał o tym ani sto wem.Być może więc wiedział, że nie potrafi podać dowodu. Mó-gł teżbłędnie sądzić, że metodę spadku, użytą przezeń w nie trud-nym dowodzie dla n = 4, da się zastosować do rozpatrzeniaprzypadku ogólnego. A może po prostu zapomniał o twierdze-niu i zajął się innymi sprawami.Udowodnienie twierdzenia w taki sposób, w jaki to w 1-rońcuzrobiono w latach dziewięćdziesiątych naszego stulecia, wyma-gało wiedzy matematycznej znacznie szerszej niż ta, którąmógł dysponować Fermat. Głęboka natura twierdzenia poleganie tylko na tym, że jego historia rozpięta jest w czasie nównieszeroko, jak historia naszej cywilizacji. Ostateczne rozwiązanieproblemu wymagało zaprzęgnięcia - i w pewnym sensie- zjed-noczenia - całej potęgi matematyki. To właśnie owo zjedmocze-nie całkowicie z pozoru odmiennych dziedzin umożliwiłow końcu pokonanie problemu. I mimo że to Andrew Wił es byłosobą, która wykonała ogromną, wieńczącą dzieło, kortcowączęść pracy nad twierdzeniem, dowodząc potrzebnej d o jegouzasadnienia hipotezy Shimury-Taniyamy, cale przedsięwzię-cie stało się udziałem wielu osób. To dzięki wkładowi praicy ichwszystkich rozwiązanie w ogóle było możliwe. Bez prac EmstaKummera nie byłoby teorii Ideałów, a bez ideałów nie isttniała-by praca Barry'ego Mazura. Bez dokonań Mazura nie byłobyhipotezy Freya, a bez tej kluczowej hipotezy, bez dokonanegoprzez Serre'a jej uściślenia, Ribet nie udowodniłby, że z 1-iipote-zy Shimury-Taniyamy wynika wielkie twierdzenie Ferrmata.Wydaje się wreszcie, że żaden dowód wielkiego twi erdze-nia Fermata nie byłby możliwy bez hipotezy, wysi-miętej

Strona 69

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermataw 1955 roku na pamiętnym tokijskim sympozjum przez


Od lewej: John Coates, Andrew Wiłeś, Ken Rlbet l Kar! Rubin bezpośrednio pohistorycznym wykładzie Wilesa w Cambridge świętują sukces.Yutakę Taniyamę, a później udoskonalonej i doprecyzowanejprzez Góro Shimurę. Ale może to nie do końca prawda?Fermat oczywiście nie mógł postawić równie dalekosiężnejhipotezy, spinającej w jedno dwie bardzo różne gałęzie mate-matyki. Ale skąd my to wiemy? A może jednak mógł? Nic niejest pewne. Potrafimy tylko powiedzieć, że twierdzenie zostałow końcu udowodnione, a każdy, najmniejszy nawet szczegółw dowodzie został obejrzany i sprawdzony przez dziesiątki ma-tematyków na całym świecie. Lecz sam fakt, że istniejący do-wód jest szalenie zaawansowany i skomplikowany technicznie,nie oznacza, iż nie można znaleźć dowodu prostszego. W isto-cie, Rlbet w jednej ze swoich prac wskazuje kierunek wiodącybyć może do dowodu wielkiego twierdzenia Fermata z pominię-ciem dowodu hipotezy Shimury-Taniyamy. Niewykluczone, żeFermat znał wiele faktów należących do potężnej, "współcze-snej" matematyki, a tylko ślad po tym zaginął (kopii dzieł Dio-fantosa w tłumaczeniu Bacheta, w której przypuszczalnieumieścił swój dopisek na marginesie, nigdy przecież nie odna-leziono). Czy więc Fermat rzeczywiście odkrył "prawdziwie cu-downy" dowód swego twierdzenia, dowód nie mieszczący się namarginesie książki, pozostanie na zawsze jego tajemnicą.

OD AUTORAPisząc tę książeczkę, zaczerpnąłem wiele wiadomości hi-storycznych z różnych źródeł. Wśród nich najpesiniej-szym, najbardziej oryginalnym była moja ulubiona kssiążkaE. T. Bella Men of Mathematics (nie podoba mi się jedm-ak jejmylący, pełen seksizmu tytuł - wśród bohaterów Bella są dwiekobiety; książka pochodzi z roku 1937). Najwyraźniej u»ni hi-storycy matematyki czerpali garściami Informacje z Bellał., więcnie będę ich tu wymieniał z nazwiska. Wszystkie źródła są wy-mienione w przypisach. Skorzystałem ponadto z artykułówJocełyn Savani z Uniwersytetu w Princeton ("Princeton W^eekłyBulletin", 6 września 1993). Dziękuję jej także za przesłamie mikopii programu BBC, poświęconego wielkiemu twierdzeniuFermata.C. J. Mozzochiemu wdzięczny jestem za zdjęcia mate-maty-ków, uczestniczących w tworzeniu dowodu wielkiego twi-erdze-nia Fermata. Bardzo gorąco dziękuję profesorowi KennethowiA. Ribetowi z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley za po-uczające wywiady i wiele cennych informacji o jego pracach,które zostały wykorzystane podczas przeprowadzania dcowodutwierdzenia Fermata. Głęboko wdzięczny Jestem profesorowiGóro Shimurze z Uniwersytetu w Princeton za poświęcony miczas l dostęp do niezwykle ważnych Informacji o jego pracach

140 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATAl hipotezie, bez której nie byłoby dowodu wielkiego twierdzeniaFermata. Dziękuję też profesorowi Gerhardowi Freyowi z Uni-wersytetu w Essen w Niemczech za prowokujące wywiadyl głębokie przemyślenia. Podziękowania za tłumaczenie miważnych pojęć geometrii i teorii liczb należą się profesorowiBarry'emu Mazurowi z Uniwersytetu Harvarda. Wszelkie błę-dy, które Czytelnik zdoła w książce odnaleźć, są zawinione wy-łącznie przeze mnie.Memu wydawcy, Johnowi Oakesowi, dziękuję za zachętęl wsparcie. Dziękuję też Jill EHyn Riley l Kathryn Belden z wy-dawnictwa Four Walls Eight Windows. Na koniec wyrazy głę-bokiej wdzięczności otrzymuje moja żona, Debra.

Strona 70


INDEKSAbel, Niels Henrik 66, 82-83abelowe grupy 83- rozmaitości 83aksjomaty 37Al-Chwarizmi. Mohamet Ibn Musa 42algebra 42-43, 47-50- abstrakcyjna 77-78algebraiczne liczby 84algorytm 42Amerykańskie TowarzystwoMatematyczne 97analityczne funkcje 63analiza 67- numeryczna 71- zespolona 56, 61-63Analysis situs (Poincare) 87.Annals of Mathematlcs" 136Archimedes 15, 38-40Archimedesa śruba 39Arithmetica (Diofantos) 16, 18-19,41,50Ars magna (Cardano) 49Arystoteles 35automorflczne formy 88, 104-105Babilon 21-24babiloński system Uczenia 22-23Bachet, Ciaude 50Beli, E. T. 14Bemoulll, Daniel 53, 54Bemoulli, Jan 53Bemoulli, Mikołaj 53, 54Bessel, Friedrich Wilhelm 63Bolyai, Janos 77Bourbakl, Nicolas 93-97, 103Cantor, Georg31Cardano, Girolamo 48-49Cauchy, Augustin Louls 74, 78., 82-83Chevaller, Auguste 82ciało liczb zespolonych 61Coates.John 11, 14, 120, 125,. 129Conway, John 11Cossisti (Cossisten) 48-49Cycero 39Dedekind, Richard 83-85Diderot. Denis 55Dieudonne, Jean 96Diofantos 16, 19, 40-41, 50Dirlchlet, Peter Gustav Le)eunee 52,66-67, 74,84-85Disquisitione arithmetlcae (Gamss) 60,66-67, 82dowód- hipotezy Freya 119

142 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA- hipotezy Shimuty-TanIyamy121-130Dzieje (Herodot) 36Elsenstein, Ferdinand Gotthold128-129Elsenstelna Idea} 114Elementy (Euklides) 36, 37Eudoksos z Knidos 15, 38-39Euklides 36, 37Euler, Leonard 51, 52-58

Strona 71

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie FermataEulera system 125, 132, 134-I3BFaltings. Gerd 92, 111Fermat, element Samuel de 16Fermat, Domlnlque 15Fermat, Plerre de 14-17, 18, 50, 51,136-138Ferro, Scipplone del 49Fibonacci (Leonardo z Pizy) 43Fibonacciego liczby (Fibonacciego ciągi44-45Fibonacciego Towarzystwo 46Fllolaos z Tarentu 33Flach, Matthlas 124-125, 126Fourier, Joseph 68-72Fouriera szeregi 71-72fourierowska analiza 72Francuska Akademia Nauk 75Frey. Gerhard 114-119, 122funkcje- analityczne 63- automorflczne 88, 104-105- dzeta 103, 104, 105- okresowe 69-72- zdefiniowane na plaszczyźniezespolonej 62-63Galols teoria 78-80, 85, 115, 123-124Galols, Evariste 78-82, 124Gauss, Cari Friedrich 58-61, 63-66.67, 88, 84,97,128genus91-92geometria- algebraiczna 43, 114- arytmetyczna 114- euklidesowa 37- nieeuklidesowa 77, 88-89- początki 36-37Germain, Sophle 63-65grupy macierzowe 88Guthrie, Francis 57Helberg, J. L. 40Herodot 36Heron II, król Syrakuz 38-39hipoteza 50- epsilonowa 121horyzonatalna teoria Iwasawy 124, 135ideały 84Ireland, Kenneth F. 117Katz, Nick 126-127. 131-132kometa 65-66Kronecker, Leopold 31-32krzywe eliptyczne 97-100, 120- funkcje dzeta na krzywycheliptycznych 104-105- nad ciałem liczb wymiernych105-106- przetaczanie 129- semistabilne 122-130- związek z formami modułowymi99-100,104-105, 106-110,122-130Kummer, Emst Eduard 73-76Lamę, Gabriel 52, 72-73Lang, Serge 108, 112-113Lebesgue, Henri 52Legendre, Adrien-Marie 52, 66Leibniz. Gottfried Wilhelm von 15lemat 50Liber abaci (Fibonacci) 43Liber quadratorum (Fibonacci) 43

Strona 72

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermataliczby doskonale 27- idealne 74- pierwsze nieregularne 75-urojone 56, 61-66-wymierne 30-31Liouville, Joseph 73, 82 ;

INDEKS • 143Łobaczewski, Mikołaj Iwanowicz 77Mahomet 42Marcellus 39Mazur, Barry 18. 84, 115. 118-119, 129Mestre.J.-F. 116metoda spadku 51- wyczerpywania 38Mezopotamia 21-24modułowe formy 63, 88-90, 99-100,104, 105,106-110, 115modulowość 99Monge, Gaspard 68Mordell, LoulsJ. 90-92Mordella hipoteza 92, 111Newton, Izaak 15O fculi (walcu (Archimedcs) 40Olbers. H. W. M. 60-61Owidiusz 35Pacioli, Luca 48Partenon 47pentagram 23-24Pitagoras 23, 25-27, 33Pitagorasa twierdzenie 27-29pitagorejczycy 28-30, 32-35pttagorejskie trójki 22-24, 28Platon 33. 38ptaszczyzna zespolona 62Poincare, Henri 85-90, 106Poisson, Simeon-Denis 80prawo Archimedesa (pierwsze prawohydrostatykl) 39rachunek całkowy 38- różniczkowy 38Rlbet, Kenneth 13-14, 115, 116-119,131.138równania diofantyczne 41, 97, 114- trzeciego stopnia 48-49Samak, Peter 20, 127-128semistabilne krzywe eliptyczne122-129Serre, Jean-Pierre 103, 107-108, 110,112. 116,121Shimura, Góro 72, 102, 105-1" 07Shimury-Taniyamy hipoteza 105-107-dowód 121-130Stewart. łan 45Taniyama, Yutaka 100-105TartagUa (Fontana Nicolo) 48-°49Taylor, Richard 133, 137teoria liczb 60, 65, 115, 117tetraktys 35Tokijskie Sympozjum AlgebraicznejTeorii Liczb 102-105topologia 56, 90torus91twierdzenie 37Well, Andre 95-96, 102, 103,104-105,108-114, 123Weila krzywe 111wielkie twierdzenie Fermata

Strona 73

Aczel Amir - Wielkie twierdzenie Fermata- Gauss o wielkim twierdzeniu!Fermata 60-61- nagrody oferowane za dowócB 75, 76-notka na marginesie 16. 18-1S, 41, 138- próby udowodnienia 19-20, 50-52,72-73.74-76- twierdzenie Sophie Gennain 64- związki z równaniamidiofantycznymi 115Wiłeś, Andrew 115- luka w dowodzie 20-21, 13L--136- wykłady na konferencji w Cambridge11-14.129-130- zainteresowanie wielkimtwierdzeniem Fermata 120-122Wolsfkehia nagroda 76wzór na liczbę klas ideałów 124-125,126zadanie o siedmiu mostachkrólewlecklch 56-58zagadnienie czterech barw 57"złota proporcja (złoty podział) 33-35,44-46

NA ŚCIEŻKACHNAUKIW 1995 roku w serii ukazały się:Igor Nowikow; Czarne dziury i WszechświatMarcin Ryszkiewicz: Ziemia i życie. Rozważania o ewolucji i ekologiiRoger Highfieid, Pauł Carter: Prywatne życie Alberta EinsteinaFrank Drakę, Dava Sobel: Czy jest tam kto? Nauka w poszukiwaniucywilizacji pozaziemskichJames D. Watson: Podwójna helisa. Historia odkrycia struktury DNAMichio Kaku: Hiperprzestrzeń. Naukowa podróż przez wszechświatyrównoległe, pętle czasowe i dziesiąty wymiarjane Goodal l: Przez dziurkę od klucza. 30 lat obserwacji szympansównad potokiem CombeJerzy Sikorski: Prywatne życie Mikołaja KopernikaPeter Ward: Kres ewolucji. Dinozaury, wielkie wymieraniai bioróźnorodnosćGeorge Gamow: Pan Tompkins w Krainie CzarówW 1996 roku w serii ukazały sięLeon Lederman, Dick Teresi: Boska Cząstka. Jeśli Wszechświatjest odpowiedzią, jak brzmi pytanie^Stanisław M, Ufam: Przygody matematykaRichard Dawkins: Samolubny genJohn D. Barrow: 71 razy drzwi. Szkice o liczeniu, myśleniu i istnieniuHarry Y. McSween, Jr.: Od gwiezdnego pyłu do planet.Geologiczna podróż przez Układ SłonecznyJay Ingram: Płonący dom. Odkrywając tajemnice mózguLawrence M. Krauss: Fizyka podróży międzygwiezdnychCarI Sagan: Błękitna kropka. Człowiek i jego miejsce w kosmosie

Strona 74

aczel amir - wielkie twierdzenie fermata

Documents