TERMINOLOGY

KiG No. 29, Vol. 1 7, 201 884

Many authors use auxiliary sur-faces when writing about map pro-jections. For example, they state thatthere are azimuthal, conic and cyl-indrical projections, depending onwhether the Earth’s sphere or ellips-oid is mapped in the plane, to the coneor cylinder surface. However, theyforget that there are also pseudocon-ic, pseudocylindrical, polyconic, cir-cular, mixed and other projections forwhich no corresponding auxiliarysurfaces exist. Since some projectionsin these groups are of necessity men-tioned in their writing, they need toexplain what they are. For example,pseudocylindrical projections are de-scribed as projections onto a pseudo-cylinder (e.g. Srivastava 2014),althoughnobody actually knows whata pseudocylinder is. Others introduceoval surfaces (Clarke 2017), withoutseeming to notice that oval surface isnot a developable surface. What is thepoint of mapping a sphere, which isnot a developable surface, to anothersurface which is also not a develop-able surface, using only animation as ameans of proof? Such explanationsare hardly appropriate in professionaland scientific writing about map pro-jections, particularly in teaching ma-terials.

There are a number of other reas-ons why we argue in principle for ex-cluding the interpretation of mapprojections using auxiliary, interme-diate or developable surfaces. Hereare some ofthem.▪ The authors of the oldest cyl-

indrical and conic projections didnot define their projections usingauxiliary or developable surfaces.In the 16th century, Mercator didnot use a cylindrical surface todefine the cylindrical projectionwhichbears his name today, and inthe 18th century, Lambert did notuse a conic surface to define theprojection today known as Lam-bert’s conformal conic projection.

Auxil iary Surfaces and Aspect of Projection

Fig. 1 Network of merid ians and paral lels (black) andnetwork of pseudomerid ians and pseudoparal lels (blue)

Slika 1 Mreža merid i jana i paralela (crno) imreža pseudomerid i jana i pseudoparalela (plavo)

Fig. 2 Normal aspect of conformal azimuth projectionSlika 2 Uspravni aspekt konformne azimutne projekci je

TERMINOLOGIJA

KiG Br. 29, Vol. 1 7, 201 885

O pomoćnim plohama i aspektu projekcije

U mnogim tekstovima o karto-grafskim projekcijama autori se služepomoćnim plohama. Tako na primjertvrde da postoje azimutne, konusne icilindrične projekcije ovisno o tomepreslikavaju li se Zemljina sfera iliZemljin elipsoid u ravninu, na plaštstošca ili valjka. Pri tome zaboravljajuda postoje i pseudokonusne, pseudo-cilindrične, polikonusne, kružne,mješovite i neke druge projekcije zakoje ne postoje odgovarajuće pomoć-ne plohe. Budući daneke odprojekcijaiz tih skupina moraju spomenuti usvojim tekstovima, onda kada trebaobjasniti što su to npr. pseudocilin-drične projekcije pišu da su to projek-cije na pseudocilindar (npr. Srivastava2014) pri čemu nitko ne zna što je topseudocilindar. Drugi pak uvodeovalne plohe (Clarke 2017), a pri tomene uoče da takva ploha nije razvojnaploha. Kakvog smisla ima preslikavatisferu, koja nije razvoja ploha, na dru-gu plohu koja također nije razvojnaslužeći se pritom samo animacijomkao sredstvom dokaza? Takva objaš-njenja nisu primjerena u stručnim iznanstvenim tekstovima o kartograf-skim projekcijama, a posebno ne unastavnimmaterijalima.

Postoji i niz drugih razloga zbogkojih se autori ovoga članka u načeluzalažu za izostavljanje tumačenjakartografskih projekcija s pomoćupomoćnih, posrednih ili razvojnihploha. Neki od njih su ovi:▪ Autori najstarijih cilindričnih i

konusnih projekcija nisu definiralisvoje projekcije s pomoću posred-nih, tj. razvojnih ploha. Npr. Mer-cator u 16. st. pri definiranjuprojekcije koja danas nosi imeMercatorova cilindrična projekci-ja nije upotrijebio cilindričnu plo-hu ili Lambert u 18. st. pridefiniranju projekcije koja danasnosi ime Lambertova konformnakonusna projekcija nije upotrije-bio konusnu plohu. Baš suprotno,nakon izvođenja jednadžbi te

Fig. 3 Transverse aspect of conformal azimuthal projectionSlika 3 Poprečni aspekt konformne azimutne projekci je

Fig. 4 Oblique aspect of conformal azimuthal projectionSlika 4 Kosi aspekt konformne azimutne projekci je

TERMINOLOGY

KiG No. 29, Vol. 1 7, 201 886

The aspect ofa projection is

the position ofthe axis ofthe

projection in relation to the

axis ofrotation ofthe Earth’s

sphere.

The aspectmaybe normal,

transverse, oroblique.

On the contrary, having per-formed the equations for the pro-jection, he mentioned that a mapproduced in it could be rolled upinto a cone.

▪ Authors who today go into greatdetail about map projections us-ing intermediate surfaces areperhaps not aware ofthe fact thatthey are introducing doublemapping into the theory of mapprojections. First, the Earth’ssphere is mapped onto an auxili-ary surface, then transformed in-to a map in the plane usinganother method, for example,development. Double mappinghas a role in the theory of mapprojections, not in a general way,but only for certain special cases.

▪ In the context of classifying pro-jections as conic, cylindrical andazimuthal/planar, it is not naturalto use a plane as a developablesurface if the developable surfaceis one that can be developed in theplane. What does developing aplane in the plane mean? Devel-opment is isometry, so from thecartographic point of view, noth-ingwould change.

▪ The use of developable surfacesleads to secant projections, that is,projections onto an auxiliary de-velopable surface which inter-sects the sphere, andwith that theconclusion that azimuthal pro-jections can have a maximum ofone standard parallel, and conicprojections a maximum of two.This is erroneous, as there are

azimuthal and conic projectionswith more standard parallels(Lapaine 2015).

▪ Authors who understand mapprojections to be mappings usingintermediate surfaces often dis-tinguish between contact and in-tersection. So, for them, as a rulethe curve of intersection is also acurve with no distortion. Theytake this for granted, with noproof. However, it has beenshown not to be the case at all(Lapaine 2017, Lapaine 2018).

▪ Developing an auxiliary surface inthe plane preserves distance (iso-metry). This wouldmean that twoparallels selected as standardparallels in all normal aspect pro-jections of the Earth’s sphere of agiven radius would be mapped toparallels which are at the samedistance from each other. This, ofcourse, is not true, as can easily betested.

▪ It is possible to understand eachother perfectly without introdu-cing auxiliary surfaces and theircontact or intersection with thesphere, and to speak ofprojectionswithout distortion, or with zero-dis-tortion at one point, or along onecurve (e.g. a parallel), or alongseveral curves (e.g. parallels).

▪ Though it is a nice idea to explainmapping a sphere onto the sur-face of a cylinder or cone, if itavoids the mathematical basis ofthe process, it leads to erroneousclaims, of which the authors areprobably unaware. Instead of a

conceptual approach which is insome parts mistaken, we need toreturn to reality and not run frommathematics. Let us rememberthat in the not too distant past,the study ofmap projections wascalledmathematical cartography.Similarly, aspect of projection ex-

plains the position of the axis of anauxiliary surface in relation to the axisof the Earth’s sphere. This could beconditionally accepted for azimuthal,conic and cylindrical projections, butwould not explain the normal, trans-verse or oblique aspects of othergroups of projections, for example,Winkel’s triple projection.

Therefore, we have explained oneof the classifications of map projec-tions and aspect ofprojectionwithoutusing auxiliary surfaces (Lapaine,Frančula 2016). To this end, we usedthe appropriate mathematical ap-proach. Since many cartographers,unfortunately, shy away from such anapproach, we will present all the ne-cessary definitions with theoreticalaccuracy, but without formulae.

In order to define azimuthal, conic,cylindrical and other groups ofprojec-tions, and then the aspect of theseprojections, it is necessary to use anetwork of pseudomeridians andpseudoparallels. This network can becreated through an imaginary rotationof the network of meridians and par-allels in any other position (Fig.1). Wehave called the straight line whichpasses through the poles of the net-work of pseudomeridians and pseudo-parallels the axis ofthe projection.

Aspekt projekcije je

položaj osi projekcije u

odnosu na os rotacije

Zemljine sfere.

Aspektmože biti uspravni

(normalni), poprečni ili

kosi.

TERMINOLOGIJA

KiG Br. 29, Vol. 1 7, 201 887

Terminaspektprojekcije

nijedosadabiouobičajenu

hrvatskojkartografskoj

literaturi, većsuseumjesto

uspravni, poprečniikosi

aspektkartografske

projekcije rabilitermini

uspravna, poprečna ikosa

projekcija.

projekcije spomenuo je da bi sekarta izrađena u toj projekcijimogla svinuti u konus (Lambert1772).

▪ Autori koji u današnje doba vrlodetaljno opisuju kartografske pro-jekcije s pomoću posrednih plohamožda nisu ni svjesni činjenice dana taj način uvode u teoriju karto-grafskih projekcija dvostrukapreslikavanja. Najprije se Zemljinasfera preslika na pomoćnuplohu, azatim se ona na neki način, npr.razvijanjem, transformira u kartuu ravnini. Dvostruka preslikavanjaimaju svoju ulogu u teoriji karto-grafskih projekcija, ali ne općenito,nego samo u nekim posebnim slu-čajevima.

▪ U kontekstu klasifikacije projek-cija na konusne, cilindrične i azi-mutne/ravninske, neprirodno jeupotrijebiti ravninu kao razvojnuplohu kad je razvojna ploha takvaploha koja se može razviti u rav-ninu. Što bi to bilo razvijanje rav-nine u ravninu? Razvijanje jeizometrija, pa se s kartografskogstajališta time ništa ne bi promi-jenilo.

▪ Upotreba razvojnih ploha vodina sjekuće projekcije (secant pro-jections), tj. projekcije na pomoć-nu razvojnu plohu koja siječesferu i s tim u vezi zaključak daazimutne projekcije mogu imatinajviše jednu standardnu para-lelu, a konusne najviše dvije. To jepogrešno jer postoje azimutne ikonusne projekcije s većim bro-jem standardnih paralela (Lapa-ine 2015).

▪ Autori koji kartografske projekci-je doživljavaju kao preslikavanja spomoću posredne plohe redovitorazlikuju slučaj dodirivanja i sje-čenja. Pri tom je za njih u pravilukrivulja presjeka ujedno i krivuljabez deformacija. Tu činjenicuuzimaju zdravo za gotovo, bezdokaza. Međutim, pokazuje se dato općenito nije tako (Lapaine2017, Lapaine 2018).

▪ Razvijanje pomoćne plohe u rav-ninu čuva udaljenosti (izometri-ja). To bi onda značilo da se dvijeodabrane paralele kao standardne

paralele pri svim uspravnim pro-jekcijama Zemljine sfere zadanogpolumjera preslikaju u paralelekoje su međusobno na istoj uda-ljenosti. To naravno nije istina, štose lako može provjeriti.

▪ Moguće se sporazumijevati savr-šeno bez uvođenja pomoćnihploha i njihovih dodira ili sječenjasa sferom te govoriti o projekcijamakoje su bez deformacija, ili kod kojih jedeformacija nula u jednoj točki, iliuzduž jedne krivulje (npr. parale-le), ili uzduž više krivulja (npr. pa-ralela).

▪ Objašnjavanje preslikavanja sferena plašt cilindra ili konusa zgodnaje priča, koja na žalost, uz izbjega-vanje matematičke pozadine togprocesa dovodi do pogrešnihtvrdnji kojih, vrlo vjerojatno,autori nisu svjesni. Umjesto kon-ceptualnog pristupa koji je uz to unekim svojim dijelovima i pogre-šan, potrebno se vratiti stvarnostii ne bježati od matematike. Pod-sjetimo se samo na to da se pro-učavanje kartografskih projekcijane tako davno nazivalo matema-tičkom kartografijom.Slično tome i aspekt projekcije

objašnjava se položajem osi pomoćneplohe u odnosu na os Zemljine sfere.To bi se još uvjetno moglo prihvatitiza azimutne, konusne i cilindričneprojekcije, ali kako objasniti što je touspravni, poprečni i kosi aspekt osta-lih skupina projekcija ili npr. Winke-love trostruke projekcije.

Zbog toga smo jednu od klasifika-cija kartografskih projekcija i aspektprojekcije objasnili ne služeći se po-moćnim plohama (Lapaine, Frančula2016). U tu svrhu poslužili smo se od-govarajućim matematičkim pristu-pom. Budući da mnogi kartografi,nažalost, zaziru od takvog pristupa, toćemo ovdje dati sve potrebne defini-cije teorijski korektno, ali bez i jedneformule.

Da bismo mogli definirati azimut-ne, konusne, cilindrične i ostale sku-pine projekcija, a potom i aspekt tihprojekcija, nužno je poslužiti se mre-žom pseudomeridijana i pseudopara-lela. Ta se mreža dobiva zamišljenomrotacijommreže meridijana i paralela

u bilo koji drugi položaj (sl. 1). Pravackoji prolazi polovima mreže pseudo-meridijana i pseudoparalela nazvatćemo os projekcije.

Mreža peudomeridijana i pseudo-paralela ima to važno svojstvo daneovisno o položaju osi projekcijepreslikana u ravninu zadržava karak-teristični oblik za pojedinu skupinuprojekcija i time omogućava jednoz-načnu definiciju svake skupine pro-jekcija. U nastavku navodimo defi-nicije najvažnijih skupina projekcijapomoću mreže pseudomeridijana ipseudoparalela (Lapaine, Frančula2016).▪ Cilindrične projekcije su projekcije u

kojima su pseudomeridijani pri-kazani međusobno paralelnimpravcima, a pseudoparalele me-đusobno paralelnim pravcimakoji su okomiti na slike pseudo-meridijana.

▪ Konusne projekcije u užem smislu(conic) su projekcije u kojima supseudomeridijani prikazanipravcima koji se sijeku u jednojtočki, a pseudoparalele koncen-tričnim kružnim lukovima, s timda je kut između bilo koja dvapseudomeridijana manji od od-govarajuće razlike pripadnih pse-udogeografskih dužina.

▪ Azimutne projekcije su projekcije ukojima su pseudomeridijani pri-kazani pravcima koji se sijeku ujednoj točki i međusobno zatvara-ju kut koji je jednak razlici pripad-nih pseudogeografskih dužina, a

TERMINOLOGY

KiG No. 29, Vol. 1 7, 201 888

The network of pseudomeridiansand pseudoparallels has the import-ant property of retaining a character-istic shape for each group ofprojections, regardless ofthe positionof the axis of the projection into theplane, and this allows an unambigu-ous definition of each group of pro-jections. In what follows, we mentiondefinitions of the most importantgroups ofprojections using a graticuleof pseudomeridians and pseudopar-allels (Lapaine, Frančula 2016).▪ Cylindrical projections are those in

which the pseudomeridians are

shown by mutually parallel lines,while pseudoparallels aremutuallyparallel lines perpendicular to theimage ofthe pseudomeridians.

▪ Conic projections, in the narrowsense, are projections in whichthe pseudomeridians are shownas lines which intersect at onepoint, while the pseudoparallelsare concentric arc circles, and theangle between any two pseudo-meridians is less than the corres-pondingdifference ofthe relevantpseudogeographic longitudes.

▪ Azimuthal projections are those inwhich the pseudomeridians areshown as lines which intersect atone point and mutually enclosethe angle which is equal to thedifference of the relevantpseudogeographic longitudes,while the pseudoparallels areconcentric circles with a com-mon centre at the point wherethe pseudomeridians intersect.

▪ Pseudocylindrical projections arethose in which the pseudomeridi-ans are shown as curves which aresymmetrical in relation to thecentral meridian which is mappedas a straight line, while thepseudoparallels are mutually par-allel lines perpendicular to the im-age ofthe central pseudomeridian.

▪ Pseudoconic projections are those inwhich the pseudomeridians areshown as curves which are sym-metrical in relation to the centralmeridian which is mapped as astraight line, while the pseudopa-rallels are the arcs of concentriccircles.

▪ Polyconic projections are those inwhich the pseudomeridians aretransferred as curves which aresymmetrical in relation to thecentral pseudomeridian which ismapped as a straight line, whilethe pseudoparallels are mappedas eccentric circles whose centresare located on the centralpseudomeridian.

The aspect of a projection is theposition of the axis of the projec-tion in relation to the axis of rota-tion of the Earth’s sphere. Theaspect may be normal, transverse,or oblique.

In the normal aspect, the axis ofthe projection corresponds to theaxis of the Earth’s sphere, and thegraticule of pseudomeridians andpseudoparallels corresponds to thegraticule of meridians and paral-lels.

In the transverse aspect, the axisof the projection is perpendicularto the axis of the Earth’s sphere.

The oblique aspect is neithernormal nor transverse.

Figures 2, 3 and 4 show the nor-mal, transverse and oblique aspectsof conformal azimuthal projection.

It should be emphasised thatthe term aspect of projection hasnot been used commonly in Croatiauntil now, so that instead of nor-mal, transverse and oblique aspectsof map projections, the terms nor-mal, transvers and oblique projec-tions have been used.

Nedjeljko Frančula,Miljenko Lapaine�

In the normalaspect, the axisof the projection corresponds

to the axis of the Earth’ssphere, and the graticule of

pseudomeridians andpseudoparallels correspondsto the graticule of meridians

and parallels.

In the transverseaspect, theaxis of the projection is

perpendicular to the axis ofthe Earth’s sphere.

The obliqueaspect is neithernormal nor transverse.

TERMINOLOGIJA

KiG Br. 29, Vol. 1 7, 201 889

pseudoparalele su koncentričnekružnice sa zajedničkim sredi-štem u točki u kojoj se sijeku pse-udomeridijani.

▪ Pseudocilindrične projekcije su pro-jekcije u kojima su pseudomeridi-jani prikazani krivuljama simet-ričnima u odnosu na srednjipseudomeridijan koji se preslika-va kao pravac, a pseudoparalelekao međusobno paralelni pravciokomiti na sliku srednjega pse-udomeridijana.

▪ Pseudokonusne projekcije su projek-cije u kojima su pseudomeridijaniprikazani krivuljama simetričnimau odnosu na srednji pseudomeri-dijan koji se preslikava kao pravac,a pseudoparalele kao lukovi kon-centričnih kružnica.

▪ Polikonusne projekcije su projekcijeu kojima se pseudomeridijanipreslikavaju kao krivulje sime-trične u odnosu na srednji pse-udomeridijan koji se preslikavakao pravac, a pseudoparalele sepreslikavaju kao ekscentričnekružnice čija se središta nalaze nasrednjem pseudomeridijanu.

Aspekt projekcije je položaj osi pro-jekcije u odnosu na os rotacije Zemlji-ne sfere. Aspekt može biti uspravni(normalni), poprečni ili kosi.

Uspravni aspekt je aspekt pri kojemse os projekcije podudara s osi Zemlji-ne sfere, a mreža pseudomeridijana ipseudoparalela podudara se s mre-žommeridijana i paralela.

Poprečni aspekt je aspekt pri kojemje os projekcije okomita na os Zemlji-ne sfere.

Kosi aspekt je aspekt koji nije ni us-pravan ni poprečan.

Na slikama 2, 3, i 4 dani su usprav-ni, poprečni i kosi aspekt konformneazimutne projekcije.

Treba naglasiti da termin aspektprojekcije nije do sada bio uobičajen uhrvatskoj kartografskoj literaturi, većsu se umjesto uspravni, poprečni i kosiaspekt kartografske projekcije rabilitermini uspravna, poprečna i kosaprojekcija.

Literatura / References:Clarke KC (201 5) : Maps & Web Map-

ping, eText, MyGeosciencePlace,Pearson

Lambert JH (1 772): Beiträge zum Geb-rauche der Mathematik und derenAnwendung: Part I I I , section 6: An-merkungen und Zusätze zur Entwer-fung der Land- und Himmelscharten:Berl in. Translated into Engl ish andintroduced by W. R. Tobler as Notesand comments on the compositionof terrestrial and celestial maps: AnnArbor, Univ. Michigan, 1 972, Mich.Geographical Publ ication no. 8, 1 25p. Also reprinted in German, 1 894,Ostwald’s Klassiker der Exakten Wis-senschaften, no. 54: Leipzig, Wil-helm Engelmann, with editing byAlbert Wangerin

Lapaine M (201 5) : Multi Standard-Paral-lels Azimuthal Projections, in: Carto-graphy – Maps Connecting theWorld, C. Robbi Sluter, C. B.Madureira Cruz, P. M. Leal de Me-nezes (Eds.) , Springer InternationalPubl ishing, Series: Publ ications ofthe International Cartographic Asso-ciation (ICA), DOI 1 0.1 007/978-3-31 9-1 7738-0_3, 33–44

Lapaine M (201 7): Standard parallels andsecant parallels in conic projections,Scientific Journal of Civi l Engineering,Skopje, Vol. 6, No. 1 , 1 27 1 34

Lapaine M (201 8): Behrmann projection,Proceedings, Eds: Bandrova T,Konečný M, 7th International Con-ference on Cartography and GIS,1 8 23 June 201 8, Sozopol , Bulgaria226 235

Lapaine M, Frančula N (201 6): Map pro-jections aspects. InternationalJournal of Cartography 2, 201 6, 1 ,38–58. ht-tp://dx.doi .org/1 0.1 080/23729333.201 6.1 1 84554

Srivastava SK (201 4): Techniques fordeveloping resources to understandgeographic and projected coordinatesystems, Journal of Spatial Science,59:1 , 1 67 1 76, doi :1 0.1 080/1 4498596.201 4.845538

Nedjeljko Frančula, Miljenko Lapaine�

Uspravniaspekt je aspektpri kojem se os projekcijepodudara s osi Zemljinesfere, a mreža pseudo-meridijana i pseudoparalelapodudara se s mrežommeridijana i paralela.

Poprečniaspekt je aspektpri kojem je os projekcijeokomita na os Zemljinesfere.

Kosiaspekt je aspekt kojinije ni uspravan nipoprečan.