บทท 3 วงกลม (21 ชวโมง)

3.1 วงกลม (1 ชวโมง) 3.2 มมทจดศนยกลางและมมในสวนโคงของวงกลม (6 ชวโมง) 3.3 คอรด (7 ชวโมง) 3.4 เสนสมผสวงกลม (7 ชวโมง) เนอหาในบทนมจดมงหมายใหนกเรยนรจกสมบตของวงกลมในรปของทฤษฎบท ในการพสจนทฤษฎบทอาศยความรพนฐานทนกเรยนเคยเรยนมาแลวเกยวกบความเทากนทกประการของรปสามเหลยม เสนขนาน รปสามเหลยมคลาย และทฤษฎบทเกยวกบรปสามเหลยมและรปสเหลยม สาระทเสนอไวสวนใหญอยในรปของกจกรรมทใหนกเรยนศกษาสมบตของวงกลม เพอนาไปสทฤษฎบทซงบางทฤษฎบท ไดมการพสจนไว บางทฤษฎบทไมไดแสดงการพสจนแตมคาถามทนาไปสการพสจนได และบาง ทฤษฎบทกใหนกเรยนยอมรบโดยไมมการพสจน นอกจากนยงมกจกรรมทใหนกเรยนเหนการนาสมบตของวงกลมไปใชในการสรางและใชแกปญหาทกาหนดได การจดการเรยนการสอนทอยในรปของกจกรรม ครควรใหนกเรยนไดลงมอปฏบตจรง เพอฝกใหนกเรยนมความสามารถในการสรางขอความคาดการณเกยวกบสมบตทางเรขาคณต สาหรบการพสจน ทฤษฎบทหรอสมบตของวงกลมใหอยในดลพนจของครวาควรใหนกเรยนพสจน หรอใหนกเรยนยอมรบ ทฤษฎบทนนไปใชอางองไดโดยไมจาเปนตองพสจนอยางเปนทางการกได การเขยนเหตผลอางองในแตละขนตอนของการพสจน ครอาจใหนกเรยนเขยนเหตผลเหลานนอยาง สมบรณหรอเขยนอยางยอทไดสาระครบถวนกได สาหรบแนวคดในการใหเหตผลทแสดงไวในสวนเฉลย คาตอบของกจกรรมหรอแบบฝกหด ไดเขยนไวในลกษณะรวบลดขนตอน ถาครเนนการเขยนพสจนอยาง เปนระบบ ควรใหนกเรยนเขยนขนตอนเพมเตมตามเหตและผลทควรจะเปน อยางไรกตามแนวคดทใหไว ในสวนเฉลยเปนเพยงแนวคดหนงในการหาคาตอบ นกเรยนอาจมแนวคดทแตกตางกได สาหรบแบบฝกหด มทงอยในแตละกจกรรมและอยในชดแบบฝกหด ครควรเลอกใหนกเรยนทาตามความเหมาะสมกบความสามารถของนกเรยนและเวลา ผลการเรยนรทคาดหวงรายป ใชสมบตเกยวกบวงกลมในการใหเหตผลและแกปญหาทกาหนดใหได

46

แนวทางในการจดการเรยนร 3.1 วงกลม (1 ชวโมง) จดประสงค นกเรยนสามารถระบสวนตาง ๆ ทกาหนดใหเกยวกบวงกลมได ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ครสนทนากบนกเรยนเกยวกบวงกลมทปรากฏอยในสงแวดลอมรอบตว อาจใหนกเรยนชวยกนยกตวอยางวสดหรอสงทมลกษณะเปนวงกลม เพอโยงไปสความหมายของวงกลม เมอกลาวถง วงกลมซงเปนรปเรขาคณตรปหนง จะเรยกชอวาวงกลมโดยไมมคาวารปนาหนาเหมอนชอรปเรขาคณต อน ๆ เชน รปสามเหลยม หรอรปสเหลยม 2. ในการจดกจกรรมการเรยนการสอนเพอแนะนาสวนตาง ๆ ของวงกลม ครควรแนะนาทละชด โดยแนะนาชดทเปนเสนตรงหรอสวนของเสนตรงทเกยวของกบวงกลม เชน คอรด เสนสมผส วงกลม แลวตรวจสอบความเขาใจโดยใหนกเรยนทากจกรรม “บอกไดไหม” ตอจากนนจงแนะนาชดของ มมตาง ๆ ทเกยวของกบวงกลม เชน มมทจดศนยกลาง มมในสวนโคงของวงกลม และใชกจกรรม “ยงบอกไดไหม” ตรวจสอบความเขาใจอกครง สาหรบความหมายของสวนโคงทรองรบมมทจดศนยกลางหรอรองรบมมในสวนโคงของวงกลมไมไดใหความหมายไวเปนกจลกษณะ ครควรอธบายและชใหเหนวาสวนโคงดงกลาวมจดปลายอยบนแขนทงสองของมมทกลาวถง เชน BAC

∧ เปนมมในสวนโคงของวงกลม ซงม BC อยตรงขามมม

เปนสวนโคงทรองรบมม BAC∧

สงเกตไดวา จด B และจด C อยบนวงกลม จด B อยบนแขน AB และจด C อยบนแขน AC 3. การทบทวนและแนะนาเกยวกบสวนตาง ๆ ของวงกลมในหวขอน มเจตนาเพยงเพอใหนกเรยนเขาใจและเปนพนฐานในการศกษาสาระในหวขอตอ ๆ ไป ครไมควรนาสาระในหวขอนไปวดผล

B

C

A

47

3.2 มมทจดศนยกลางและมมในสวนโคงของวงกลม (6 ชวโมง) จดประสงค นกเรยนสามารถนาทฤษฎบทหรอสมบตของวงกลมทเกยวกบมมทจดศนยกลางและ มมในสวนโคงของวงกลมไปใชได ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. สาระสวนใหญในหวขอนเสนอไวในรปของกจกรรมเชนกจกรรม “มมในครงวงกลม” ครควรใหนกเรยนไดปฏบตกจกรรมจรง ๆ และเขยนขอความคาดการณทนกเรยนคนพบจากกจกรรม สาหรบการพสจนยนยนขอความคาดการณในกจกรรมนไดกลาวไวในรปของทฤษฏบท ครอาจใหนกเรยนชวยกนบอกแนวคดในการพสจนบนกระดานดา และบอกเหตผลโดยใชการอธบายดวยวาจาแทนการเขยน หลงจากนนจงใหนกเรยนศกษารายละเอยดของการพสจนในหนงสอเรยนอกครงกได 2. สาหรบตวอยางท 1 แสดงใหนกเรยนเหนวาโจทยปญหาเกยวกบการคานวณหาขนาดของมม ทกาหนดให ถาตองการแสดงเหตผลประกอบจะทาไดอยางไร สาหรบโจทยปญหาทใหหาขนาดของมมทกาหนดใหในทก ๆ เรองของบทน ในกรณทไมตองแสดงเหตผล ครอาจแนะนาใหนกเรยนเขยนขนาดของมมตาง ๆ ทเกยวของกบการคานวณหาคาตอบไว ในรป เพอครจะไดตรวจสอบรองรอยการคดคานวณและการนาสมบตของวงกลมมาใชวาถกตองหรอไม เชน กาหนดให AB เปนเสนผานศนยกลางของวงกลม O และ ACO

∧ = 35o จงหาขนาดของ OBC

∧

จากรป จะเหนแนวคดของนกเรยนทมรองรอยของขนาดของมม ตาง ๆ ทเกยวของกนตามสมบตทางเรขาคณตทนามาใช ซงจะ ทาใหได OBC

∧ = 55o

3. การดาเนนกจกรรมการเรยนการสอนในกจกรรมอน ๆ เชนกจกรรม “มมทจดศนยกลาง” หรอ “มมในสวนโคงของวงกลม” กอาจจดกจกรรมการเรยนการสอนในทานองเดยวกบกจกรรม “มมในครงวงกลม” สาหรบการพสจนวาขอความคาดการณ “มมทจดศนยกลาง จะมขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน” ถาครเหนสมควรใหนกเรยนพสจน ครอาจแนะนาแนวคดในการพสจน ในกรณทมมในสวนโคงมลกษณะเปนดงรป ก และรป ค ดงน

35o C

O A B 55o

55o

48

ลาก CO ใหตดวงกลมทจด E จะได 1

∧ = 2

∧+ 3∧

= 2( 2∧

) --------- 1 4

∧ = 5

∧+ 6∧

= 2( 5∧

) --------- 2 จาก 1 + 2 จะได 1

∧ + 4

∧ = 2( 2

∧+ 5∧

) ดงนน ในรป ก A OB

∧ = 2( A CB

∧) และในรป ค มมกลบ AOB = 2( A CB

∧)

ในกรณทมมในสวนโคงมลกษณะดงรป ข ครอาจแนะนาแนวคดในการพสจน ดงน โดยลาก CO ใหตดวงกลมทจด D จะได 1

∧ = 2

∧+ 3∧

= 2( 2∧

) ------ 1 1

∧+ 4

∧ = ( 2

∧+ 5∧

)+ 6∧

= 2( 2∧

+ 5∧

) = 2( 2

∧)+ 2( 5

∧) ------ 2

จาก 2 – 1 จะได 4∧

= 2( 5∧

) ดงนน A OB

∧ = 2( ACB

∧)

4. สาหรบแบบฝกหด 3.2 ข ขอ 2 เปนสมบตทครควรใหนกเรยนพสจน และแนะนาให นกเรยนจดจาทฤษฎบทนไปใชในการใหเหตผลอางองตอไป สาหรบแบบฝกหดขอ 3 หลงจากพสจนขอความดงกลาวแลว ครควรใหนกเรยนสรปเปนสมบตของวงกลมทสามารถนาไปใชอางองไดเชนกน อาจใหจดบนทกเปนทฤษฎบทดงน ในวงกลมวงหนง ถาตอดานใดดานหนงของรปสเหลยมทแนบในวงกลมออกไป ขนาดของมมภายนอกจะเทากบขนาดของมมภายในทอยตรงขาม

A B

O

C 2 5

6 4 1 3 E

รป ก

1

A

E

B

C

O 4 6

5 2 3

รป ค

(ขนาดของมมภายนอกของ รปสามเหลยมเทากบผลบวกของมมภายในทไมใชมมประชด ของมมภายนอกนน)

(เหตผลเชนเดยว กนกบขางตน)

O D

B 3 A

1 4 2 5 6

C

รป ข

49

3.3 คอรด (7 ชวโมง) จดประสงค นกเรยนสามารถนาทฤษฎบทหรอสมบตของวงกลมทเกยวกบคอรดและสวนโคงของ วงกลมไปใชได ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. สาระในกจกรรม “คอรดและสวนโคงของวงกลม” เสนอไวในรปคาถามซงมคาตอบนาไปส การใหเหตผลเพอการพสจนยนยนทฤษฎบททเกยวของได ครอาจใหนกเรยนสารวจ ตอบคาถามและ ชวยกนสรปเปนขอความคาดการณ แลวใหนกเรยนพสจนทฤษฎบทนนเปนการบานกได 2. สาหรบกจกรรม “รปหลายเหลยมดานเทามมเทาแนบในวงกลม” มเจตนาใหนกเรยนไดนาความรเกยวกบความสมพนธของมมทจดศนยกลาง สวนโคงทรองรบมมทจดศนยกลางและคอรดมาใชในการสรางรปหลายเหลยมดานเทามมเทาบางรปแนบในวงกลมและการใหเหตผลยนยน ครอาจใหนกเรยน รวมกนอภปรายหาขอสรปเพอตอบคาถามหลงกจกรรมการสราง 3. สาหรบกจกรรม “คอรดกบจดศนยกลางของวงกลม” การพสจนในกจกรรมขอ 1 และ ขอ 2 ทาไดงาย ครอาจใหนกเรยนพสจนเปนการบานและนามาอภปรายรวมกนในชนเรยนอกครงกได 4. การพสจนสมบตของวงกลมเกยวกบจดศนยกลางของวงกลมทอยบนเสนตรงทตงฉากและแบงครงคอรดของวงกลมคอนขางเขาใจยาก ครควรนามาอภปรายในชนเรยนและชใหนกเรยนเหนวาสมบตดงกลาวนมประโยชนในการนาไปใชแกปญหาเกยวกบการหาตาแหนงของจดศนยกลางของวงกลมในกจกรรม “หาจดศนยกลาง” ตอไป สาหรบกจกรรมการหาจดศนยกลางของวงกลมทกาหนดคอรดสองคอรดขนานกน ครอาจ เพมเตมความรโดยใชคาถามใหนกเรยนคดวา ในกรณเชนนในทางปฏบตจะทาอยางไรจงจะทราบตาแหนง ของจดศนยกลางของวงกลม คาตอบของนกเรยนอาจเปนดงน จากรปทม AB // CD และ EF ตงฉากและแบงครง AB และ CD อาจลาก AD แลวสรางเสนตรง ตงฉากและแบงครง AD จะไดจดตดของเสนตรง กบ EF เปนจดศนยกลางของวงกลม

F

A B

C D

E

50

5. สาหรบกจกรรม “วงกลมผานจดทกาหนด” มเจตนาใหเปนกจกรรมสารวจ ครควรใหนกเรยนไดลงมอปฏบตจรง เพอใหไดขอสรปทสาคญตามทเสนอไวทายกจกรรมน 6. กจกรรม “จดศนยกลางวงลอม” เปนกจกรรมทตองการใหนกเรยนเหนการนาความรจาก กจกรรม “หาจดศนยกลาง” ไปใชในการสรางวงกลมลอมรปสามเหลยม ครอาจตงคาถามแลวใหนกเรยนชวยกนสรางและใหเหตผลรวมกนในชนเรยนกได 7. กจกรรม “รปสเหลยมแนบในวงกลม” เปนกจกรรมทตองการใหนกเรยนทราบทฤษฎบท ของวงกลมทนาสนใจอกทฤษฎบทหนงซงเปนบทกลบของทฤษฎบททกลาววา “ผลบวกของขนาดของ มมตรงขามของรปสเหลยมทแนบในวงกลมเทากบ 180 องศา” ครควรนามาอธบายและชใหเหนวาแนวคดในการพสจนจะแตกตางจากแนวการพสจนทนกเรยนคนเคย คอใหเหตผลเพอแสดงวาผลทตองการเปนจรง แตในการพสจนบทกลบนจะพสจนโดยสมมตใหผลทตองการพสจนเปนเทจ แลวใหเหตผลจนเกดขอขดแยงกบสงทกาหนดใหหรอสงททราบวาเปนจรง จงไดขอสรปวา ทสมมตใหผลทตองการพสจนเปนเทจนนเปนไปไมได ดงนนผลทตองการจงเปนจรง การพสจนลกษณะนเปนการพสจนทางออม 8. สาหรบกจกรรม “คอรดทยาวเทากน” หลงจากครใหนกเรยนตอบคาถามและชวยกนสรปคาตอบทจะนาไปสการพสจนแลว ครอาจใหนกเรยนเขยนการพสจนอกครงเปนการบานดวยกได 9. สาหรบแบบฝกหด 3.3 ค ขอ 6 หลงจากนกเรยนพสจนแลว ครควรแนะนาใหนกเรยนทราบวา เราสามารถนาสมบตนไปใชอางองในการใหเหตผลตอไปได

3.4 เสนสมผสวงกลม (7 ชวโมง) จดประสงค นกเรยนสามารถนาทฤษฎบทหรอสมบตของวงกลมทเกยวกบเสนสมผสวงกลมไปใชได ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 1. ในการจดกจกรรมการเรยนการสอนเกยวกบเสนสมผสวงกลมและรศม ครควรนาทฤษฏบททเปนประโยคเงอนไขและบทกลบของประโยคเงอนไขทงสองประโยคมาอธบายและทาความเขาใจแนวการ พสจน เนองจากแนวการพสจนบทกลบเปนการพสจนทางออมซงอาจเปนเรองทเขาใจยากสาหรบนกเรยนบางคน 2. สาหรบสาระเกยวกบการสรางเสนสมผสวงกลมแสดงใหเหนการสราง 2 แบบคอ แบบกาหนดจดสมผสบนวงกลมมาใหและกาหนดจดภายนอกวงกลมมาให ซงเปนความรทนกเรยนควรทราบ ครอาจใหนกเรยนเขยนการพสจนยนยนการสรางดวย ทงนเพราะในแบบฝกหดทกาหนดใหสรางเสนสมผส ไมไดใหมการพสจน 3. สาหรบกจกรรม “ลองคดด” มเจตนาใหนกเรยนไดฝกคดวเคราะหและใชความรทาง เรขาคณต พชคณตและการวดมาเชอมโยงในการแกปญหา ครอาจใหนกเรยนคดและนาเสนอแนวคดบนปายนเทศกได

51

4. สาหรบกจกรรม “นาร” มเจตนาใหเปนความรเพมเตมและใหนกเรยนเหนการเชอมโยงความรโดยนาสมบตของวงกลมมาใชในการอธบายทางภมศาสตรเกยวกบการกาหนดตาแหนงของเสนรง ครอาจใหนกเรยนศกษาดวยตนเองกได 5. สาหรบกจกรรม “วงกลมแนบในรปสามเหลยม” มเจตนาใหนกเรยนเหนการนาความร เกยวกบเสนสมผสวงกลมและรศมมาใชในการวเคราะหการสรางวงกลมแนบในรปสามเหลยม ในการจดกจกรรมการเรยนการสอน ครอาจเขยนรปทตองการสรางอยางคราว ๆ ซงเปนรป ทมวงกลมแนบในรปสามเหลยมกอน แลวใชคาถามใหนกเรยนคดวเคราะหยอนจากผลทตองการไปสจดเรมตนของการสราง ดงตวอยางคาถามตอไปน 1) ถาจด D, E และ F เปนจดสมผสของวงกลม แลว OD, OE และ OF ตอง เกยวของกบวงกลม O อยางไรบาง [แตละสวนของเสนตรงเปนรศมของวงกลม O มความยาวเทากน และตงฉากกบกบเสนสมผส] 2) ถาตองการใหมผลวา OD = OE เหตทจะทาใหเกดผลดงกลาว ควรไดจากความร เรองใด [ความเทากนทกประการของรปสามเหลยม] 3) ถาใชความรเกยวกบความเทากนทกประการของรปสามเหลยม สงทจะใชเปนเงอนไข ในการพจารณา 3 ประการนาจะมอะไรบาง [BD = BE, BO = BO และ D BO

∧ = E BO

∧]

4) จากเงอนไข 3 ประการในขอ 3) มสงใดทนกเรยนคดวายงบอกไมไดวามความเทากน หรอไม [ขนาดของ D BO

∧ และขนาดของ E BO

∧]

5) นกเรยนสามารถสรางให DBO∧

= E BO∧

ไดหรอไม [ได โดยการสรางเสนแบง ครงมม] จากคาถาม 5 ขอขางตน นกเรยนควรเหนแลววาทาไมการสรางวงกลมแนบในรป สามเหลยมจงตองอาศยการแบงครงมมของรปสามเหลยม จากนนครจงใชคาถามตอเนอง เชน

E

O

F A

C B

D

52

6) ถาสรางเฉพาะเสนแบงครงมม A BC∧

มมเดยวจะหาจดศนยกลางของวงกลมไดหรอไม [ไมได] 7) นกเรยนตองสรางเสนแบงครงมมของรปสามเหลยมกมม จงจะไดตาแหนงของ จดศนยกลางของวงกลม [2 มม] 8) จาเปนตองสรางเสนแบงครงมมของมมทสามอกหรอไม เพราะเหตใด [ไมจาเปน เพราะจากการสรางเสนแบงครงมม 2 มมกสามารถพสจนไดแลววา DO = EO = FO และ DO , EO , FO แตละเสนจะตงฉากกบดานทงสามของ รปสามเหลยม ทาใหสรปไดวาจด E, F และ G เปนจดสมผสของวงกลม] 6. ทฤษฎบทในกจกรรม “เสนสมผสและคอรด” เปนอกทฤษฏบทหนงทมการนาไปใชมาก หลงจากนกเรยนตอบคาถามขอ 1 แลว ครควรใหนกเรยนพสจนเปนทฤษฎบทโดยทากจกรรมขอ 2 ดวย 7. สาหรบกจกรรม “ไกลแคไหน” มเจตนาใหเหนการนาความรเรองเสนสมผสไปใชเพอเชอมโยงกบความรทางภมศาสตรอกกจกรรมหนง ครอาจใหนกเรยนศกษาและทาเปนการบานกได แตควรไดมการอภปรายกนถงสถานการณปญหาทตองการใหเหนแนวคดในการหาสตรการคานวณ เพอใชในการคานวณระยะทางในทางภมศาสตรโดยประมาณ ครไมควรนาเรองนไปวดผล 8. สาหรบกจกรรม “ระยะรอบโลก” เปนอกกจกรรมหนงทตองการใหนกเรยนเหนการเชอมโยงความรทางคณตศาสตรกบภมศาสตร ตองการจดประกายใหนกเรยนเหนความสามารถของนกคณตศาสตร ในอดตทมความคดสรางสรรค เปนคนชางสงเกต ใฝร และมความพยายามในการแกปญหา นวนยายเรอง 80 วนรอบโลกเสนอไวในกจกรรมนเพอเสรมกจกรรมใหนาสนใจ ภาพยนตรเรองนสนก ตนเตน ครอาจหาภาพยนตรเรองนมาใหนกเรยนชมกได

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม

คาตอบกจกรรม “บอกไดไหม” 1. 1) หลายเสนนบไมถวน 2) ไมเปน เพราะรศมของวงกลมตดวงกลมทจดจดเดยว 3) หลายเสนนบไมถวน 4) ได 5) หลายเสนนบไมถวน 6) ไมได

53

2. 1) AC 2) AO, BO และ CO 3) AC, BC , CD และ DH 4) AC 5) EF 6) CF 7) ABC และ ADC

คาตอบกจกรรม “ยงบอกไดไหม” 1. A OB, BOC, A OC,

∧ ∧ ∧ มมกลบ AOB และมมกลบ BOC

2. A DC∧

3. BAC, BA D, CA D, A DB, A DC, BDC, ACD

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ และ A BD

∧

4. AB, BC, ABC , ADC , ADB หรอ ACB , BAC หรอ BDC 5. ABC 6. BC, BD, CD, AB, AC และ AD

คาตอบกจกรรม “มมในครงวงกลม” คาตอบในกจกรรม 4. 90o 5. ใช คาตอบแบบฝกหด 1. 25o 2. 55o 3. 37o

54

คาตอบแบบฝกหด 3.2 ก 1. 54o แนวคดในการใหเหตผล 1. A BC

∧ = 180 – 90 – 18 = 72o

2. A OD∧

= A BC∧

= 72o (ถาเสนตรงสองเสนขนานกน และมเสนตด แลวมมภายนอกและมมภายในทอยบน ขางเดยวกนของเสนตด มขนาดเทากน) 3. ∆ ADO เปนรปสามเหลยมหนาจว 4. A DO

∧ = DA O

∧ = 180 72

2− = 54o

2. แนวคดในการพสจน 1. A BC

∧ = BA D

∧ = CDA

∧ = DCB

∧ = 90o

(มมในครงวงกลมมขนาด 90 องศา) 2. ABCD เปนรปสเหลยมมมฉาก 3. แนวคดในการพสจน 1. ∆ ABC ≈ ∆ ADC (ม.ม.ด.) 2. AB = AD (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน)

คาตอบกจกรรม “มมทจดศนยกลาง” คาตอบในกจกรรม 3. ได 4. ขนาดของมมทจดศนยกลางเปนสองเทาของขนาดของมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวย สวนโคงเดยวกน

18o O B

C D

A

A

B

D

C

B

D C

A

55

6. ได 7. ไดเชนเดยวกน 8. จากรป ข ได A OB

∧ = 2( ACB

∧)

จากรป ค ได มมกลบ AOB = 2( ACB∧

) 9. ใช คาตอบแบบฝกหด 1. 45o 2. 55o 3. แตละมมมขนาด 40o 4. 1) 200o 2) 160o 3) 80 o 4) 180o 5) 180 o

คาตอบแบบฝกหด 3.2 ข 1. 122.5o แนวคดในการใหเหตผล 1. มมกลบ AOB = 360 – 115 = 245o 2. มมกลบ AOB = 2( ACB

∧) = 245o

(มมทจดศนยกลางของวงกลม จะมขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคง เดยวกน) 3. ACB

∧ = 245

2 = 122.5o (สมบตของการเทากน)

B 115o

C A

O

56

2. แนวคดในการพสจน ลาก DO และ BO 1. D O B

∧ = 2( DA B

∧) และมมกลบ DOB = 2( DCB

∧)

(มมทจดศนยกลางของวงกลม จะมขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคง เดยวกน) 2. 2( DA B

∧) + 2( DCB

∧) = DOB

∧ + มมกลบ DOB = 360o

3. DA B∧

+ DCB∧

= 180o (สมบตของการเทากน) ในทานองเดยวกนสามารถพสจนไดวา A BC

∧ + A DC

∧ = 180o

3. แนวคดในการพสจน 1. BA D

∧ + DCB

∧ = 180o (ผลบวกของขนาดของมม

ตรงขามของรปสเหลยมทแนบในวงกลมเทากบ 180 องศา) 2. DCB

∧ + BCE

∧ = 180o (ขนาดของมมตรง)

3. BCE∧

= BA D∧

(สมบตของการเทากน)

คาตอบกจกรรม “มมในสวนโคงของวงกลม” คาตอบในกจกรรม 1. A OC

∧ = 2( A BC

∧)

2. A OC∧

= 2( A DC∧

) 3. A BC

∧ = A DC

∧

4. มมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน จะมขนาดเทากน 5. ใช คาตอบแบบฝกหด 1. 62o 2. 75o 3. 29o 4. 53o

A

O B

D C

A B

D

C E

57

คาตอบแบบฝกหด 3.2 ค 1. แนวคดในการพสจน ลาก AO และ CO 1. A OC

∧ = 2( A BC

∧) และ A OC

∧ = 2( A DC

∧)

(มมทจดศนยกลางของวงกลม จะมขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคง เดยวกน) 2. 2( A BC

∧) = 2( A DC

∧) (สมบตของการเทากน)

3. A BC∧

= A DC∧

(สมบตของการเทากน) 2. 76o แนวคดในการใหเหตผล 1. BCD

∧ = A BC

∧ = 50o (ถาเสนตรงสองเสนขนานกน

และมเสนตด แลวมมแยงมขนาดเทากน) 2. BA D

∧ = BCD

∧ = 50o (มมในสวนโคงของวงกลมท

รองรบดวยสวนโคงเดยวกนจะมขนาดเทากน) 3. BAC

∧ = 50 + 26 = 76o

3. 36o 4. แนวคดในการพสจน พจารณา ∆ ABX และ ∆ CDX 1. A B X

∧ = C D X

∧ และ BA X

∧ = D C X

∧

(มมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน จะมขนาดเทากน) 2. A X B

∧ = C X D

∧ (ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลว

มมตรงขามมขนาดเทากน)

A

B D

C

O

X

B D

C A

C

50 °

26 ° A

D

B

58

3. ∆ ABX ∼ ∆ CDX ----- ขอ 1 (ถารปสามเหลยมสองรปมขนาดของมมเทากนเปนค ๆ สามค แลวรปสามเหลยมสองรปนนเปนรปสามเหลยมท คลายกน) 4. BX

DX = AXCX (สมบตของรปสามเหลยมคลาย) ----- ขอ 2

5. BX CX⋅ = DX AX⋅ (สมบตการคณไขวของอตราสวน) ----- ขอ 3

คาตอบกจกรรม “มมและสวนโคงทรองรบมม” 1. 2) ทบกนไดสนท 3) เทากน 4) ถามมทจดศนยกลางของวงกลมมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมทงสองนนจะ ยาวเทากน 5) ใช 2. 2) ทบกนไดสนท 3) เทากน 4) ถามมทจดศนยกลางของวงกลมมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมทงสองนนจะ ยาวเทากน 5) ใช 3. 1) (1) เทากน (2) เทากน (3) ถามมในสวนโคงของวงกลมมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมทงสองนนจะ ยาวเทากน (4) ใช (5) แนวคดในการพสจน

59

A

B O

C

D

พจารณา วงกลม O และวงกลม R ทเทากนทกประการ 1. A CB

∧ = E DF

∧ (กาหนดให)

2. A OB∧

= 2( ACB∧

) และ E R F∧

= 2( E DF∧

) (มมทจดศนยกลางของวงกลม จะมขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคง เดยวกน) 3. A OB

∧ = E R F

∧ (สมบตของการเทากน)

4. m(AB) = m(EF) (ในวงกลมทเทากนทกประการ ถามมทจดศนยกลางมขนาด เทากน แลวสวนโคงทรองรบมมทจดศนยกลางนนจะยาว เทากน)

2) แนวคดในการพสจน ลาก AO , BO และ DO 1. A CB

∧ = ACD

∧ (กาหนดให)

2. A OB∧

= 2( ACB∧

) และ A OD∧

= 2( ACD∧

) (มมทจดศนยกลางของวงกลม จะมขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคง เดยวกน) 3. A OB

∧ = A OD

∧ (สมบตของการเทากน)

4. m(AB) = m(AD) (ในวงกลมวงเดยวกน ถามมท จดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมท จดศนยกลางนนจะยาวเทากน)

คาตอบกจกรรม “มมและสวนโคงทรองรบมม (ตอ)” 1. 2) ทบกนไดสนท 3) เทากน 4) ถาสวนโคงยาวเทากน แลวมมทจดศนยกลางของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงนนจะมขนาด เทากน

A B

O

C

E F

R

D

60

5) ใช 2. 2) ทบกนไดสนท 3) เทากน 4) ถาสวนโคงยาวเทากน แลวมมทจดศนยกลางของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงนนจะมขนาด เทากน 5) ใช

3. 1) แนวคดในการพสจน พจารณาวงกลม O และวงกลม R ทเทากนทกประการ ลาก AO , BO , DR และ FR 1. m(AB) = m(DF) (กาหนดให) 2. A OB

∧ = DR F

∧ (ในวงกลมทเทากนทกประการ

ถาสวนโคงยาวเทากน แลวมมทจดศนยกลางทรองรบดวย สวนโคงนนจะมขนาดเทากน) 3. 2( ACB

∧) = 2( DE F

∧) (มมทจดศนยกลางของวงกลม

จะมขนาดเปนสองเทาของขนาดของมมในสวนโคงของ วงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน) 4. ACB

∧ = DE F

∧ (สมบตของการเทากน)

2) แนวคดในการพสจน ลาก AO , BO และ CO 1. m(AB) = m(AC) (กาหนดให) 2. A OB

∧ = A OC

∧ (ในวงกลมวงเดยวกน ถาสวนโคง

ยาวเทากน แลวมมทจดศนยกลางทรองรบดวยสวนโคงนน จะมขนาดเทากน) 3. 2( ACB

∧) = 2( A BC

∧) (มมทจดศนยกลางของวงกลม

จะมขนาดเปนสองเทาของขนาดของมมในสวนโคงของ วงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน) 4. ACB

∧ = A BC

∧ (สมบตของการเทากน)

A

B O

C

A

B

O

C

D

F

R

E

61

คาตอบแบบฝกหด 3.2 ง 1. A BC

∧ = 95o และ BCD

∧ = 82o

แนวคดในการใหเหตผล 1. A DC

∧ + A BC

∧ = 180o (ผลบวกของขนาดของ

มมตรงขามของรปสเหลยมทแนบในวงกลมเทากบ 180 องศา) 2. A BC

∧ = 180 – 85 = 95o

3. BA D∧

+ BCD∧

= 180o (ผลบวกของขนาดของ มมตรงขามของรปสเหลยมทแนบในวงกลมเทากบ 180 องศา) 4. BCD

∧ = 180 – 98 = 82o

2. A DB

∧ = 25o และ A E B

∧ = 25o

แนวคดในการใหเหตผล 1. A DB

∧ = ACB

∧ = 25o (ในวงกลมวงเดยวกน มมใน

สวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน จะม ขนาดเทากน) 2. A E B

∧ = ACB

∧ = 25o (ในวงกลมวงเดยวกน มมใน

สวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน จะม ขนาดเทากน) 3. m(DE) แนวคดในการใหเหตผล 1. BAC

∧ = E A D

∧ (กาหนดให)

2. m(BC) = m(DE) (ในวงกลมวงเดยวกน ถามมใน สวนโคงของวงกลมมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบ มมทงสองนนจะยาวเทากน)

B

C

A D 98o

85o

A

D B

E

25o

C

D B

E

C

A

62

4. BDC∧

= 60o และ CA D∧

= 50o 5. A DC

∧ = 43o และ BCD

∧ = 43o

6. A OC∧

= 70o และ BOD∧

= 70o 7. แนวคดในการพสจน 1. m(AD) = m(BC) (กาหนดให) 2. A BD

∧ = CDB

∧ (ในวงกลมวงเดยวกน ถาสวนโคงยาว

เทากน แลวมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวย สวนโคงนนจะมขนาดเทากน) 3. AB // CD (ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ทาให มมแยงมขนาดเทากน แลวเสนตรงคนนขนานกน) 8. แนวคดในการพสจน 1. m(BD) = m(BC) (กาหนดให) 2. m(ADB) = m(ACB) (สวนโคงครงวงกลมของวงกลม วงเดยวกน ยาวเทากน) 3. m(ADB) – m(BD) = m(ACB) – m(BC) หรอ m(AD) = m(AC) (สมบตของการเทากน) 4. ACD

∧ = A DC

∧ (ในวงกลมวงเดยวกน ถาสวนโคง

ยาวเทากน แลวมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวย สวนโคงนนจะมขนาดเทากน) 5. AD = AC (ถามมสองมมของรปสามเหลยมรปหนง มขนาดเทากน แลวดานทอยตรงขามมมทงสองนนจะยาว เทากน) 6. ∆ ADC เปนรปสามเหลยมหนาจว 9. แนวคดในการพสจน 1. m(AX) = m(DX) (กาหนดให) 2. A O X

∧ = DO X

∧ (ในวงกลมวงเดยวกน ถาสวนโคง

ยาวเทากน แลวมมทจดศนยกลางทรองรบดวยสวนโคงนน จะมขนาดเทากน)

C

A

B

D

B

C

A

D

B C

A D

O

X

63

3. A OC∧

= BOD∧

(ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลว มมตรงขามมขนาดเทากน) 4. A OC

∧ + A O X

∧ = BOD

∧ + DO X

∧

(สมบตของการเทากน) 5. ∆ COX ≅ ∆ BOX (ด.ม.ด.) 10. แนวคดในการพสจน ลาก AO, BO, CO, DO และ EO 1. A OB

∧ + BOC

∧ + COD

∧ + DOE

∧ + E OA

∧ = 360o

(มมรอบจดจดหนงมขนาดเทากบ 360 องศา) 2. 2( A DB

∧) + 2( BEC

∧) + 2( CA D

∧) + 2( DBE

∧) + 2(

∧ECA )

= 360o (สมบตของการเทากน) 3. A DB

∧ + BEC

∧ + CA D

∧ + DBE

∧ + ACE

∧ = 180o

(สมบตของการเทากน) 4. A

∧ + B

∧ + C∧

+ D∧

+ E∧

= 180o

คาตอบกจกรรม “คอรดและสวนโคงของวงกลม” 1. 1) เทากนทกประการ เพราะ AO = CO, BO = DO และ AB = CD ดงนน ∆ AOB ≅ ∆ COD (ด.ด.ด.) 2) เทากน เพราะ มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะมขนาดเทากน 3) เทากน เพราะ ในวงกลมวงเดยวกน ถามมทจดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงท รองรบมมทจดศนยกลางนนจะยาวเทากน 4) เทากน เพราะ ความยาวของแตละสวนโคงเกดจากความยาวของเสนรอบวงของวงกลม ลบดวยความยาวทเทากนของสวนโคงของวงกลม 5) ใช 6) ใช

B

C

A

D

E O

64

7) แนวคดในการพสจน กาหนดให วงกลม O และวงกลม R เทากนทกประการ คอรด AB และคอรด DE ยาวเทากน ลาก AO, BO, DR และ ER 1. ∆ AOB ≅ ∆ DRE (ด.ด.ด.) 2. A OB

∧ = DR E

∧ (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยม

ทเทากนทกประการ จะมขนาดเทากน) 3. m(AB) = m(DE) (ในวงกลมทเทากนทกประการ ถามมทจดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบ มมทจดศนยกลางนนจะยาวเทากน) 4. m(AB) + m(ACB) = m(DE) + m(DFE) (ตางกมความยาวเทากบความยาวของเสนรอบวงของวงกลม ทเทากนทกประการ) 5. m(ACB) = m(DFE) (สมบตของการเทากน) 2. 1) เทากน เพราะ ในวงกลมวงเดยวกน ถาสวนโคงยาวเทากน แลวมมทจดศนยกลางท รองรบดวยสวนโคงนนจะมขนาดเทากน 2) เทากนทกประการ เพราะ AO = CO, BO = DO และ A OB

∧ = COD

∧ (ด.ม.ด.)

3) AB = CD เพราะ ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน 4) ใช 5) ใช 6) แนวคดในการพสจน กาหนดใหวงกลม O และวงกลม R เทากนทกประการ และ m(AB) = m(DE) ลาก AO, BO, DR และ ER 1. m(AB) = m(DE) (กาหนดให) 2. A OB

∧ = DR E

∧ (ในวงกลมทเทากนทกประการ

ถาสวนโคงยาวเทากน แลวมมทจดศนยกลางทรองรบดวย สวนโคงนนจะมขนาดเทากน) 3. ∆ AOB ≅ ∆ DRE (ด.ม.ด.)

B A

C

O

E D

F R

B A

C

O

E D

F R

65

4. AB = DE (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน)

คาตอบกจกรรม “รปหลายเหลยมดานเทามมเทาแนบในวงกลม” คาตอบแบบฝกหด 1. 1) ยาวเทากน 2) ตงฉากกนและแบงครงซงกนและกน 3) แนวการสราง 1. สรางวงกลม O ใหมรศมยาวเทากบ 10

2 = 5 เซนตเมตร 2. ลาก AB เปนเสนผานศนยกลาง 3. สราง XY ตงฉากกบ AB ทจด O ตดวงกลมทจด C และจด D 4. ลาก AC, BC, BD และ AD จะได ADBC เปนรปสเหลยมจตรสทมเสนทแยงมม AB ยาว 10 เซนตเมตร

A B

C

D

O 5 ซม.

Y

X

66

2. 2) เปน 3) (1) เปน เพราะ ความยาวของแตละดานเทากบรศมของวงกลม (2) 60o เพราะ เปนขนาดของมมภายในแตละมมของรปสามเหลยมดานเทา (3) เทากน เพราะ ในวงกลมวงเดยวกน ถามมทจดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมทจดศนยกลางนนจะยาวเทากน (4) เทากน เพราะ ในวงกลมวงเดยวกน ถาคอรดสองคอรดตดวงกลมทาใหได สวนโคงยาวเทากน แลวคอรดทงสองนนจะยาวเทากน (5) 60o เพราะ F O A

∧ มขนาดเทากบขนาดของมมรอบจด O ลบดวยผลบวก

ของขนาดของมมในขอ (2) FOA∧

= 360 – (5 × 60) (6) เทากน เพราะ ในวงกลมวงเดยวกน ถามมทจดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมทจดศนยกลางนนจะยาวเทากน (7) เทากน เพราะ ในวงกลมวงเดยวกน ถาคอรดสองคอรดตดวงกลมทาใหได สวนโคงยาวเทากน แลวคอรดทงสองนนจะยาวเทากน (8) เปน เพราะ ทกดานมความยาวเทากน (9) 120o เพราะ แตละมมมขนาดเทากบผลบวกของขนาดของมมภายในสองมม ของรปสามเหลยมดานเทาทเรยงตอกน (10) เปน 4) (1) 120 o (2) 720 o คาตอบแบบฝกหด 1) 3 มม แตละมมมขนาด 120 o 2) 8 มม แตละมมมขนาด 45 o 3) 12 มม แตละมมมขนาด 30 o 4) 16 มม แตละมมมขนาด 22.5 o

67

คาตอบแบบฝกหด 3.3 ก 1. แนวคดในการพสจน 1. m(AB) = m(AC) (กาหนดให) 2. AB = AC (ในวงกลมวงเดยวกน ถาคอรดสองคอรดตด วงกลม ทาใหไดสวนโคงยาวเทากน แลวคอรดทงสอง นนจะยาวเทากน) 3. ∆ ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว (มดานประกอบมมยอดยาวเทากน) 2. แนวคดในการพสจน 1. m(AB) = m(BC) (กาหนดให) 2. AB = BC (ในวงกลมวงเดยวกน ถาคอรดสองคอรดตด วงกลม ทาใหไดสวนโคงยาวเทากน แลวคอรดทงสองนน จะยาวเทากน) 3. A DB

∧ =

∧CE B (ในวงกลมวงเดยวกน ถาสวนโคงยาว

เทากน แลวมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวย สวนโคงนนจะมขนาดเทากน) 4. ∆ ABD ≅ ∆ CBE (ม.ม.ด.) 5. BD = BE (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน) 3. แนวการสราง 1. สรางวงกลม O โดยใชรศมยาวพอสมควร 2. สราง A OB

∧ และ BOC

∧ ใหแตละมมมขนาด 120o

3. ลาก AB, BC และ AC จะได ∆ ABC เปนรปสามเหลยมดานเทา

C

A

B

A C

D E

O

B

O A

B

C

68

แนวคดในการพสจน 1. A OB

∧ = BOC

∧ = 120o (จากการสราง)

2. จะได A OC∧

= 120o (ขนาดของมมรอบจดจดหนงเทากบ 360 องศา) 3. m(AB) = m(BC) = m(CA) (ในวงกลมวงเดยวกน ถามมทจดศนยกลางมขนาด เทากน แลวสวนโคงทรองรบมมทจดศนยกลางนนจะ ยาวเทากน) 4. AB = BC = CA (ในวงกลมวงเดยวกน ถาคอรดสองคอรดตดวงกลมทาใหได สวนโคงยาวเทากน แลวคอรดทงสองนนจะยาวเทากน) 5. ∆ ABC เปนรปสามเหลยมดานเทา 4. แนวการสราง 1. สรางวงกลม O โดยใชรศมยาวพอสมควร 2. ลากเสนผานศนยกลาง AE 3. สราง PQ แบงครง A OE

∧ ตดวงกลมทจด C และจด G

จะได A OC∧

= 90o 4. สราง XY แบงครง A OC

∧ ตดวงกลมทจด B และจด F

จะได A OB∧

= 45o 5. สราง MN แบงครง COE

∧ ตดวงกลมทจด D และจด H

จะได COD∧

= 45o 6. ลาก AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH และ HA จะไดรป ABCDEFGH เปนรปแปดเหลยมดานเทามมเทา

แนวคดในการพสจน 1. A OB

∧ = BOC

∧ = COD

∧ = DOE

∧ = E OF

∧ = FOG

∧ = G OH

∧ = H OA

∧ = 45o

(จากการสราง และถาเสนตรงสองเสนตดกน แลวมมตรงขามจะมขนาดเทากน) 2. m(AB) = m(BC) = m(CD) = m(DE) = m(EF) = m(FG) = m(GH) = m(HA) (ในวงกลมวงเดยวกน ถามมทจดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมท จดศนยกลางนนจะยาวเทากน)

C P

D

E

F G

H

A

B X

N

Q

Y

M

O

69

3. AB = BC = CD = DE = EF = FG = GH = HA (ในวงกลมวงเดยวกน ถาคอรดสองคอรดตดวงกลมทาใหไดสวนโคงยาวเทากน แลวคอรด ทงสองนนจะยาวเทากน) 4. รป ABCDEFGH เปนรปแปดเหลยมดานเทา (มดานยาวเทากนทกดาน) 5. ∆ AOB, ∆ BOC, ∆ COD, ∆ DOE, ∆ EOF, ∆ FOG, ∆ GOH และ ∆ HOA แตละรปเปนรปสามเหลยมหนาจวทมมมยอดขนาด 45 องศา 6. มมทฐานของรปสามเหลยมหนาจวแตละรปมขนาดเทากบ 180 45

2− = 67.5 องศา

(ขนาดของมมภายในทงสามมมของรปสามเหลยมรวมกนเทากบ 180 องศา) 7. A BC

∧ = BCD

∧ = CDE

∧ = DE F

∧ = E F G

∧ = FG H

∧ = G H A

∧ = H A B

∧ = 67.5 × 2 = 135o

8. จะไดรป ABCDEFGH เปนรปแปดเหลยมดานเทามมเทา (จากขอ 4 และขอ 7) 5. แนวการสรางและพสจนทาไดในทานองเดยวกบขอ 3 จากรปการสรางขางลางน จะได รป ABCDEFGHIJKL เปนรปสบสองเหลยมดานเทามมเทา

คาตอบกจกรรม “คอรดกบจดศนยกลางของวงกลม” 1. แนวคดในการพสจน 1. ∆ AOX ≅ ∆ BOX (ฉ.ด.ด.) 2. AX = BX (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน)

B A

O

X

30o O A

B C D E

F

G

H

I J K

L

70

2. แนวคดในการพสจน 1. ∆ AOX ≅ ∆ BOX (ด.ด.ด.) 2. A X O

∧ = B X O

∧ (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมท

เทากนทกประการ จะมขนาดเทากน) 3. A X B

∧ = A X O

∧ + B X O

∧ = 180o (ขนาดของมมตรง)

4. A X O∧

= B X O∧

= 90o (จากขอ 2 และขอ 3) คาตอบแบบฝกหด 1. 16 เซนตเมตร 2. 13 เซนตเมตร 3. 3.9 เซนตเมตร 4. 1) 21 เซนตเมตร 2) มลกษณะเปนวงกลม

คาตอบกจกรรม “หาจดศนยกลาง”

1. แนวคด 1. สรางเสนตรง 1 ตงฉากและแบงครง AB 2. สรางเสนตรง 2 ตงฉากและแบงครง BC 3. ใหเสนตรง 1 ตดกบเสนตรง 2 ทจด O จะไดจด O เปนจดศนยกลางของวงกลม

B A

O

X

O

1

2 A B

C

71

2. ถาคอรด AB และคอรด CD ขนานกน เสนตรง 1 และ 2 ทเปนเสนตงฉากและแบงครงคอรดทงสอง จะทบกนเปนเสนตรงเดยวกน จงไมสามารถหาจดตด ทเปนจดศนยกลางของวงกลม

คาตอบกจกรรม “วงกลมผานจดทกาหนด” 1. สรางวงกลมผานจด A ไดจานวนวงกลมนบไมถวน และจดศนยกลางของวงกลมเหลานนเปนจดตาง ๆ บนระนาบ 2. สรางวงกลมผานจด A และจด B ไดจานวนวงกลม นบไมถวน และจดศนยกลางของวงกลมเหลานนจะเรยง อยบนเสนตรงทตงฉากและแบงครง AB 3. ตวอยางการสราง สรางวงกลมผานจด A, B และ C ไดวงเดยวและ จดศนยกลางของวงกลมอยทจดตดของเสนตรงสองเสน ซงเปนเสนตรงทตงฉากและแบงครงสวนของเสนตรง สองเสนทเชอมสองจดใด ๆ ของจด A, B และ C

A B

O1 O2

O3

A B

C

B A

D C

1

2

72

4. สรางไมได 5. สรางไมได

คาตอบกจกรรม “รปสเหลยมแนบในวงกลม” 1. 180o เพราะ กาหนดให 2. 180o เพราะ ผลบวกของขนาดของมมภายในทงสมมของรปสเหลยมใด ๆ เทากบ 360 องศา 3. 180o เพราะ ผลบวกของขนาดของมมตรงขามของรปสเหลยมทแนบในวงกลมเทากบ 180 องศา 4. เทากน เพราะ สมบตของการเทากน 5. ได เพราะ สมบตของการเทากน

คาตอบแบบฝกหด 3.3 ข 1. แนวการสรางและแนวการพสจน ทาไดในทานอง เดยวกนกบกจกรรม “จดศนยกลางวงลอม” ในหนงสอเรยนหนา 121 – 122 2. ใหจด A, B และ C เปนตาแหนงของโรงเรยน โรงพยาบาล และทารถประจาทาง ตามลาดบ เมอใชแนวการสราง และแนวการพสจนในทานอง เดยวกนกบกจกรรม “จดศนยกลางวงลอม” ใน หนงสอเรยน หนา 121 – 122 จะไดตาแหนงทสรางตลาดสดอยทจดศนยกลางของ วงกลม ทผานจด A, B และ C

A

B

C

O F

E 1

2

A

B

C

E

F O

2

1

73

3. กาหนดจด A, B และ C บนขอบจานทจดเหลานไมอยใน แนวเสนตรงเดยวกน เมอใชแนวการสราง และแนวการพสจนในทานองเดยวกนกบ กจกรรม “จดศนยกลางวงลอม” ในหนงสอเรยนหนา 121 – 122 จะไดจดศนยกลางของจานซงทาใหหาความยาวของรศมของ จานได ตอจากนนจงใชความยาวของรศมหาความยาวของ เสนรอบจาน 4. แนวคดในการพสจน 1. ODC

∧ = OEC

∧ = 90o (กาหนดให)

2. ODC∧

+ OEC∧

= 180o (จากขอ 1) 3. ODCE แนบในวงกลมได (ถารปสเหลยมใด ๆ ม ผลบวกของขนาดของมมตรงขามเทากบสองมมฉาก แลว รปสเหลยมนนแนบในวงกลมวงหนงได) 5. แนวคดในการพสจน 1. ให A BD

∧ มขนาดเปน xo

2. จะได DBC∧

= 2xo (กาหนดให) 3. A BD

∧ = A DB

∧ = xo (มมทฐานของรปสามเหลยม

หนาจวมขนาดเทากน) 4. DBC

∧ = DCB

∧ = 2xo (มมทฐานของรปสามเหลยม

หนาจวมขนาดเทากน) 5. จะได DA B

∧+ BCD

∧ = (180 – 2x) + 2x = 180o

6. ABCD แนบในวงกลมได (ถารปสเหลยมใด ๆ ม ผลบวกของขนาดของมมตรงขามเทากบสองมมฉาก แลว รปสเหลยมนนแนบในวงกลมวงหนงได)

B

C

D O E A

A (180 – 2x)o

xo 2xo C

D

B xo 2xo

A B

C O

74

คาตอบกจกรรม “คอรดทยาวเทากน” 1. 1) เทากน เพราะ สวนของเสนตรงซงผานจดศนยกลางของวงกลมและตงฉากกบคอรด ทไมใชเสนผานศนยกลาง จะแบงครงคอรด 2) เทากน 3) เทากน เพราะ สมบตของการเทากน 4) เทากนทกประการ เพราะ OE B

∧ = O FC

∧ = 90o, OB = OC และ BE = CF (ฉ.ด.ด.)

5) เทากน เพราะ ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน 6) เทากน 7) ใช 2. 1) เทากนทกประการ เพราะ OE B

∧ = O FC

∧ = 90o, OB = OC และ OE = OF

(ฉ.ด.ด.) 2) เทากน เพราะ ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน 3) เทากน เพราะ สมบตของการเทากน 4) เทากน เพราะ สวนของเสนตรงซงผานจดศนยกลางของวงกลมและตงฉากกบคอรดทไมใช เสนผานศนยกลาง จะแบงครงคอรด 5) เทากน เพราะ สวนของเสนตรงซงผานจดศนยกลางของวงกลมและตงฉากกบคอรดทไมใช เสนผานศนยกลาง จะแบงครงคอรด 6) เทากน เพราะ สมบตของการเทากน 7) ใช

คาตอบแบบฝกหด 3.3 ค 1. 5 เซนตเมตร 2. แนวคดในการพสจน 1. AD = BD (สวนของเสนตรงซงผานจดศนยกลางของ วงกลมและตงฉากกบคอรดทไมใชเสนผานศนยกลาง จะแบงครงคอรด) 2. ∆ ACD ≅ ∆ BCD (ด.ม.ด.)

D B A

C

O

75

D B

A C

O

F E P

3. AC = BC (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน) 4. AC และ BC อยหางจากจด O เทากน (ในวงกลมวงหนง ถาคอรดสองเสนยาวเทากน แลวคอรด ทงสองนนจะอยหางจากจดศนยกลางของวงกลมเปนระยะ เทากน) 3. แนวคดในการพสจน ลาก OP 1. OE = OF (ในวงกลมวงหนง ถาคอรดสองเสนยาว เทากน แลวคอรดทงสองนนจะอยหางจากจดศนยกลางของ วงกลมเปนระยะเทากน) 2. ∆ OEP ≅ ∆ OFP (ฉ.ด.ด.) 3. EP = FP (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน) 4. BE = DF (ตางกยาวเปนครงหนงของคอรดทยาวเทากน) 5. BE + EP = DF + FP (สมบตของการเทากน) 6. BP = DP (สมบตของการเทากน) 4. แนวคดในการพสจน ให O เปนจดศนยกลางของวงกลม ลาก OE และ OF ตงฉาก กบ AB และ CD ทจด E และจด F ตามลาดบ ลาก OP 1. OE = OF (ในวงกลมวงหนง ถาคอรดสองเสนยาว เทากน แลวคอรดทงสองนนจะอยหางจากจดศนยกลางของ วงกลมเปนระยะเทากน) 2. ∆ OEP ≅ ∆ OFP (ฉ.ด.ด.) 3. EP = FP (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน) 4. BE = DF (ตางกยาวเปนครงหนงของคอรดทยาวเทากน) 5. EP – BE = FP – DF (สมบตของการเทากน) 6. BP = DP (สมบตของการเทากน)

B A

C D

P

E

F

O

76

5. แนวคดในการพสจน ลาก OE และ OF ตงฉากกบ AB และ CD ทจด E และจด F ตามลาดบ ลาก OB และ OD 1. จาก ∆ OEB จะได OB2 = OE2+EB2 (ทฤษฎบทพทาโกรส) 2. จาก ∆ OFD จะ ได OD2 = OF2+FD2 (ทฤษฎบทพทาโกรส) 3. OB = OD (รศมของวงกลมเดยวกนยาวเทากน) 4. OB2 = OD2 (สมบตของการเทากน) 5. OE2 + EB2 = OF2 + FD2 (สมบตของการไมเทากน) 6. AB > CD (กาหนดให) 7. AB

2 > CD2 (สมบตของการไมเทากน)

8. EB = AB2 และ FD = CD

2 (สวนของเสนตรงซงผาน จดศนยกลางของวงกลมและตงฉากกบคอรดทไมใช เสนผานศนยกลาง จะแบงครงคอรด) 9. EB > FD (จากขอ 7 และขอ 8) 10. EB2 > FD2 (EB และ FD เปนจานวนบวก) 11. OE2 < OF2 (จากขอ 5 และขอ 10) 12. OE < OF (OE และ OF เปนจานวนบวก) 13. AB อยใกลจดศนยกลางของวงกลมมากกวา CD 6. แนวคดในการพสจน สาหรบกรณวงกลมวงหนง ให O เปนจดศนยกลางของวงกลม AB เปนคอรดทอยใกล จด O มากกวาคอรด CD ลาก OE และ OF ตงฉากกบ AB และ CD ทจด E และจด F ตามลาดบ ลาก OB และ OD 1. จาก ∆ OEB จะได OB2 = OE2+EB2 (ทฤษฎบทพทาโกรส) 2. จาก ∆ OFD จะ ได OD2 = OF2+FD2 (ทฤษฎบทพทาโกรส) 3. OB = OD (รศมของวงกลมเดยวกนยาวเทากน) 4. OB2 = OD2 (สมบตของการเทากน) 5. OE2 + EB2 = OF2 + FD2 (สมบตของการเทากน) 6. OE < OF (กาหนดให) 7. OE2 < OF2 (OE และ OF เปนจานวนบวก)

D

B A

C

O

E

F

D

B A

C

O

E

F

77

8. EB2 > FD2 (จากขอ 5 และขอ 7) 9. EB > FD (EB และ FD เปนจานวนบวก) 10. 2(EB) > 2(FD) (สมบตของการไมเทากน) 11. AB > CD (สวนของเสนตรงซงผานจดศนยกลางของ วงกลมและตงฉากกบคอรดทไมใชเสนผานศนยกลาง จะแบงครงคอรด)

สาหรบกรณวงกลมทเทากนทกประการ จะใชแนวคดในการพสจนทานองเดยวกน

คาตอบกจกรรม “เสนสมผสวงกลมและรศม” 1. เปน 3. ตงฉาก 4. ตงฉาก 5. ใช

คาตอบในกจกรรม 1) PC 2) เปน

คาตอบกจกรรม “เสนสมผสวงกลมและรศม (ตอ)”

คาตอบในกจกรรม 1. (1) ตงฉาก เพราะ ไดสรางให XY ตงฉากกบ OB ทจด A (2) เปน เพราะ เสนตรงทตงฉากกบรศมของวงกลมทจดจดหนงบนวงกลม จะเปนเสนสมผสวงกลมทจดนน

C B

O D X

Y A

78

2. (1) เปน (2) 90o เพราะ แตละมมเปนมมในครงวงกลม R ซงมมในครงวงกลม มขนาด 90 องศา (3) ตงฉาก เพราะ OA X

∧ = 90o และ OBX

∧ = 90o

(4) สมผสวงกลม O เพราะ เสนตรงทตงฉากกบรศมของวงกลมทจดจดหนงบน วงกลม จะเปนเสนสมผสวงกลมทจดนน (5) สองจด (6) เทากน เพราะ OA X

∧ =

∧OBX = 90o (จากขอ (2))

OX = OX ( OX เปนดานรวม) AO = BO (รศมของวงกลมเดยวกนยาวเทากน) จะได ∆ AOX ≅ ∆ BOX (ฉ.ด.ด.) ดงนน AX = BX (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยม ทเทากนทกประการ จะยาวเทากน) คาตอบแบบฝกหด (หนา 135)

1. แนวการสราง ทาไดในทานองเดยวกนกบในขอ 1 ของ กจกรรม “เสนสมผสวงกลมและรศม (ตอ)” ในหนงสอเรยน หนา 132 – 133 2. แนวการสราง ทาไดในทานองเดยวกนกบในขอ 2 ของ กจกรรม “เสนสมผสวงกลมและรศม (ตอ)” ในหนงสอเรยน หนา 132 – 133

P

Q

O R X

A

B

X O

A

P B

A

B

O X P

Q

R

79

3. 1) 63o 2) 117 o

คาตอบแบบฝกหด 3.4 ก

1. 17 เซนตเมตร 2. 104o 3. 130o 4. 55o 5. 40o 6. 40o 7. แนวคดในการพสจน 1. Y A O

∧ = PBO

∧ = 90o (เสนสมผสวงกลม จะตงฉากกบ

รศมของวงกลมทจดสมผส) 2. XY // PQ (ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ทาให มมแยงมขนาดเทากน แลวเสนตรงคนนขนานกน) 8. แนวคดในการพสจน ลาก CO และ DO 1. EX AB⊥ (เสนสมผสวงกลม จะตงฉากกบรศมของ วงกลมทจดสมผส) 2. E X B

∧ = 90o (จากขอ 1)

3. C Y X∧

= E X B∧

= 90o (ถาเสนตรงสองเสนขนานกน และมเสนตด แลวมมแยงมขนาดเทากน) 4. ∆ CYO ≅ ∆ DYO (ฉ.ด.ด.) 5. CO Y

∧ = DO Y

∧ (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยม

ทเทากนทกประการ จะมขนาดเทากน)

A B O

P

Y Q

X

A B

O

C D Y E

X

80

6. m(CE) = m(DE) (ในวงกลมวงเดยวกน ถามมท จดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมท จดศนยกลางนนจะยาวเทากน) 9. แนวคดในการพสจน 1. BAC

∧ + CA Y

∧ = 90o (เสนสมผสวงกลม จะตงฉากกบ

รศมของวงกลมทจดสมผส) 2. ACB

∧ = 90o (มมในครงวงกลมมขนาด 90 องศา)

3. CA Y∧

+ A Y B∧

= 90o (ขนาดของมมภายในทงสามมม ของรปสามเหลยมรวมกนเทากบ 180 องศา) 4. BAC

∧ + CA Y

∧ = CA Y

∧ + A Y B

∧ = 90o

(สมบตของการเทากน) 5. BAC

∧ = A Y B

∧ (สมบตของการเทากน)

10. แนวคดในการพสจน 1. A BO

∧ = ACO

∧ = 90o (เสนสมผสวงกลม จะตงฉากกบ

รศมของวงกลมทจดสมผส) 2. OA = OA ( OA เปนดานรวม) 3. AB = AC (สวนของเสนตรงทลากมาจากจดจดหนง ภายนอกวงกลมมาสมผสวงกลมวงเดยวกน จะยาวเทากน) 4. ∆ ABO ≅ ∆ ACO (ฉ.ด.ด.) 5. A OB

∧ = A OC

∧ (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมท

เทากนทกประการ จะมขนาดเทากน) 11. แนวคดในการพสจน ลาก BO และ CO 1. A OB

∧ = A OC

∧ (จากการพสจนในขอ 10)

2. BOD∧

+ A OB∧

= COD∧

+ A OC∧

= 180o (ขนาดของมมตรง) 3. BOD

∧ = COD

∧ (สมบตของการเทากน)

A

B

O C

Y X

B

C

O

A

A

B

O D

C

81

4. m(BD) = m(CD) (ในวงกลมวงเดยวกน ถามมท จดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมท จดศนยกลางนนจะยาวเทากน) 5. BD = CD (ในวงกลมวงหนง ถาคอรดสองคอรดตด วงกลมทาใหไดสวนโคงยาวเทากน แลวคอรดทงสองนน จะยาวเทากน) 12. แนวคดในการพสจน ลาก BO และ CO 1. ∆ BOC เปนรปสามเหลยมหนาจว (มดานประกอบมมยอดยาวเทากน) 2. A OB

∧ = A OC

∧ (จากการพสจนในขอ 10)

3. OD ทแบงครงมมยอดของ ∆ OBC จะตงฉากและแบงครง BC (สมบตของรปสามเหลยมหนาจว)

คาตอบกจกรรม “ลองคดด”

เครองหมายกาชาดมพนท r2 17 2−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ตารางหนวย

แนวคด ลาก DX ตด OA ทจด E จะได ODE เปนรปสามเหลยมมมฉาก ให DE = a จะได OE = a, DX = QX = 2a

จาก ∆ ODE จะได a2 + a2 = 2r

4

2a2 = 2r

4

A

B

O D

C

A

B C

O D

Y X Q P r a E

r2

a

82

a = r2 2

หนวย

ฉะนน DX = QX = 2a = r2

หนวย

พนทของรปกาชาด = (PY)(DX) + (PQ + XY)(DX) ตารางหนวย = (DX)(PY + PQ + XY) ตารางหนวย และจะไดวา PY = 2 22 r a− (สวนของเสนตรงซงผานจดศนยกลางของวงกลม และตงฉากกบคอรดทไมใชเสนผานศนยกลาง จะแบงครงคอรดนน) PQ + XY = 2 22 r a 2a− −

ดงนนพนทของรปกาชาด = 2a( )2 2 2 2+2 r a 2 r a 2a− − −

= 2a( )2 24 r a 2a− −

= r2

22 r r4 r 8 2

− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2 27r4r r 8 22

−⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

= 24 r r 7 r

22 2 2−

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

= 2 24 7 r r

4 2−

= r2 1

7 2−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ตารางหนวย

คาตอบกจกรรม “นาร”

14 องศา

83

คาตอบกจกรรม “วงกลมแนบในรปสามเหลยม” คาตอบแบบฝกหด 1. แนวการสราง ทาไดในทานองเดยวกนกบกจกรรม “วงกลมแนบในรปสามเหลยม” ในหนงสอเรยน หนา 141 2. แนวการสราง ทาไดในทานองเดยวกนกบกจกรรม “วงกลมแนบในรปสามเหลยม” ในหนงสอเรยน หนา 141

6

D

O

C B

A

10 8

O

Q R

P

C

D

84

จากรป ให CE = x หนวย และ BF = y หนวย y = 6 – x -------- 1 8 – y = 10 – x -------- 2 จะได 8 – (6 – x) = 10 – x 2 + x = 10 – x 2x = 8 x = 4 แทน x ใน 1 จะได y = 6 – 4 y = 2

เนองจากรศมของวงกลม O เทากบ y หนวย ( BEOF เปนรปสเหลยมจตรส) ดงนน รศมของวงกลม O เทากบ 2 หนวย

คาตอบกจกรรม “เสนสมผสและคอรด”

1. 1) 90o 2) 90o 3) 90o 4) เทากน 5) เทากน เพราะ สมบตของการเทากน 6) เทากน เพราะ A DB

∧ = ACB

∧ (ในวงกลมวงเดยวกน มมในสวนโคงของวงกลมท

รองรบดวยสวนโคงเดยวกน จะมขนาดเทากน) 2. แนวคดในการพสจน ลากเสนผานศนยกลาง AD และลาก CD 1. A CD

∧ = 90o (มมในครงวงกลมมขนาด 90 องศา)

2. A DC∧

+ CA D∧

= 90o (ขนาดของมมภายในทงสามมม ของรปสามเหลยมรวมกนเทากบ 180 องศา)

B C

X Y A

D

10 – x

B C

A

D

F

E

O x y

x 6 – x

8 – y

85

3. CA D∧

+ CA Y∧

= 90o (เสนสมผสวงกลม จะตงฉากกบ รศมของวงกลมทจดสมผส) 4. A DC

∧ + CA D

∧ = CA D

∧ + CA Y

∧ (สมบตของการเทากน)

5. A DC∧

= CA Y∧

(สมบตของการเทากน) 6. A DC

∧ = A BC

∧ (ในวงกลมวงเดยวกน มมในสวนโคง

ของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน จะมขนาด เทากน) 7. CA Y

∧ = A BC

∧ (สมบตของการเทากน)

8. ในทานองเดยวกน เมอลาก BD จะพสจนไดวา BA X

∧ = ACB

∧

คาตอบแบบฝกหด 3.4 ข

1. BAC

∧ = 65o และ ACB

∧ = 80o

2. 44o 3. A DC

∧ = 55o, A BC

∧ = 125o และ DCB

∧ = 38o

4. 6 หนวย (แนวคดของการหาคาตอบทานองเดยวกนกบแนวคดของการหาคาตอบขอ 2 ของกจกรรม “วงกลมแนบในรปสามเหลยม”) 5. 17 เซนตเมตร แนวคด x = 5 – y จะได y = 5 – x เนองจาก BC = 14 – x + 8 – y จะได BC = 14 – x + 8 – (5 – x) BC = 17 เซนตเมตร

B O

C

D

A x y

y (14 – x)

(14 – x) 8 – y

8 – y

(5 – y)

86

คาตอบกจกรรม “คดหนอย”

รศมของวงกลมยาว 2 2 หนวย แนวคด ลาก AE BC⊥ เนองจาก ∆ ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว จะได AE แบงครง BC (สมบตของรปสามเหลยมหนาจว) และ AE ผานจดศนยกลาง O (เสนสมผสวงกลม จะตงฉากกบรศมของวงกลมทจดสมผส) AE2 = 122 – 42 = 144 – 16 = 128 ใหรศมของวงกลมยาว x หนวย จะได AO2 = x2 + 82 AO = 2x 64+ AO + x = 128 2x 64 x+ + = 128 2x 64+ = 128 – x x2 + 64 = ( 128 – x)2 x2 + 64 = 128 – 2 128 x + x2 64 = 128 – 2 128 x 2 128 x = 128 – 64 128 x = 32 x = 32

2 32

= 3232 2 32 32

⋅

= 322 = 4 2

2 = 2 2 หนวย

B C

O

A

8 12

4 F

4 E

x

87

คาตอบกจกรรม “ไกลแคไหน”

1. ประมาณ 6,271.5 กโลเมตร

คานวณจาก r = 2112 12−

2. มากกวา เพราะ ระยะ 112 กโลเมตร เปนระยะทวดในแนวสวนของเสนตรง แต สวนโคงของโลก ( CB ) ยาวกวา 112 กโลเมตร 3. 1) ประมาณ 35.78 กโลเมตร คานวณจาก d2 ≈ (2 × 6,400 × 0.1) + (0.1)2 2) ประมาณ 339.5 กโลเมตร คานวณจาก d2 ≈ (2 × 6,400 × 9) + 92 3) มองไดไกลมากขน เพราะ d2 = 2rh + h2 เมอ h มากขน จะทาให d2 มากขนดวย ดงนน จานวนทแทน d จะเปนจานวนทมากขน

คาตอบกจกรรม “ระยะรอบโลก”

ประมาณ 21 กโลเมตรตอชวโมง คานวณจาก 40,076

80 24× ≈ 21 กโลเมตรตอชวโมง