Univerza v LjubljaniPedago²ka fakulteta

Oddelek za matematiko in ra£unalni²tvo

Tadej Star£i£NEKAJ NALOG IZ ELEMENTARNE

GEOMETRIJE OBARVANIH Z ZGODOVINOU£no gradivo

Ljubljana, 2017

Predgovor

Pred vami je zbirka izbranih nalog iz elementarne geometrije. Njennamen je v prvi vrsti spoznavanje nekaterih klasi£nih problemov in razvojageometrije skozi £as ter v razli£nih kulturah, pa tudi opozoriti na prepojenostmatematike in celo drugih podro£ij z geometrijo. V ta namen je dodanihtudi nekaj zanimivih podatkov o znanih matematikih v zvezi z razvojemgeometrije; glavna vira zanje sta [1] in spletna Wikipedia.

Zbirka je nastajala od ²tudijskega leta 2013/14 do sedaj, v tem £asu na-mre£ na Pedago²ki fakulteti Univerze v Ljubljani med drugim vodim vaje izpredmeta Geometrija neko£ in danes, izbirnega predmeta na drugi stopnji, kisi ga lahko izberejo tudi nematematiki. V veliki ve£ini so se naloge re²evalena vajah in v okviru doma£ih malog pri omenjenem predmetu, za njihovore²evanje pa praviloma zado²£a dobro srednje²olsko znanje matematike. Re-²itve, ve£inoma rezultati in uporabni nasveti, pa tudi precej v celoti re²enihnalog, so na koncu.

Pa veliko veselja in zabave pri re²evanju!

Ljubljana, december 2017 dr. Tadej Star£i£

Kazalo

1 Skozi geometrijo pred na²im ²tetjem 4

2 Evklidovi Elementi 10

3 Stoºnice 13

4 �e nekaj o krivuljah 18

5 Par zanimivih problemov evklidske geometrije 21

6 Trigonometrija 26

7 Fraktali 28

8 Re²itve 308.1 Skozi geometrijo pred na²im ²tetjem . . . . . . . . . . . . . . . 308.2 Evklidovi Elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.3 Stoºnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.4 �e nekaj o krivuljah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.5 Par zanimivih problemov evklidske geometrije . . . . . . . . . 368.6 Trigonometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.7 Fraktali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3

1 Skozi geometrijo pred na²im ²tetjem

1. Na babilonskem dokumentu (vklesano v kamen) iz leta 1900 p. n. ².je narisan kvadrat s stranico 30, na diagonali pa sta v ²estdeseti²kemsestavu zapisani ²tevili 42, 25 35 in 1, 24 51 10 (prevedeno v obi£ajnonotacijo). Kaj predstavljata?

2. Babilonci so pribliºek za√

2 verjetno ra£unali z metodo povpre£ja, kjersta zaporedna pribliºka an in an+1 v zvezi an+1 = 1

2(an + 2

an).

(a) Koliko dobi² s tremi koraki omenjene motode in prvim pribliºkoma1 = 1. Ugotovi, kako natan£en je ta izra£un? Ali je pribliºekenak kot v nalogi 1? Poskusi na ta na£in izra£unati ²e pribliºekza√

7.

(b) Ugotovi, ali metoda povpre£ja deluje, t.j. ali je vsak naslednjipribliºek bolj²i od prej²njega? Pozna² ²e kak²no drugo metodo zaizra£un pribliºkov?

3. S pomo£jo Talesovega 1 izreka o podobnosti bi v son£nem vremenu do-lo£ili vi²ino egip£anske piramide tako, da bi v tla zapi£ili palico dolºine1m ravno toliko dale£ stran od piramide, da bi se konca senc palicein piramide ujemala. Kolik²na bi bila vi²ina piramide, £e bi bila sencapalice dolga 2m, senca piramide pa bi segala 300m stran od sredi²£aosnovne ploskve piramide? Kako pomembno je, kam postavimo palico,oziroma ali bo senca vedno enako dolga? (Nasvet: Sonce je zelo dale£stran od Zemlje.)

4. �tevilo ϕ = 1+√

52

, z lati rez, na daljici, ter v trikotniku oziroma petko-tniku:

(a) Naj bo C taka to£ka na daljici AB, da je ABAC

= ACBC

. Pokaºi, da jepotem to razmerje enako ϕ.

(b) Dan je pravokotni trikotnik 4ABC s pravim kotom pri ogli²£u Cin razmerjem katet BC : AC = 1 : 2. Kroºnica s sredi²£em v Bin polmerom BC naj seka hipotenuzo AB v to£ki D, kroºnica ssredi²²£em v A in polmerom dolºine AD pa naj seka kateto AC vto£ki S. Dokaºi, da sta CS : SA v razmerju zlatega reza. (Nasvet:Brez ²kode lahko zaradi podobnosti vzame² BC = 1 in AC = 2.)

(c) Diagonali AC in BD pravilnega petkotnika ABCDE naj se se-kata v to£ki F . Izra£unaj notranji kot petkotnika, ter dakaºi, da

1Tales (okrog 624 p. n. ².- okrog 546 p. n. ².) je bil gr²ki matematik

4

diagonali iz istega ogli²£a razdelita kot na tri enake dele. Pokaºi,da sta trikotnika 4ABD in 4BFA podobna in iz pripadajo£egarazmerja stranic izra£unaj razmerje med stranico in diagonalo pet-kotnika.

(d) S pomo£jo Ptolemajevega2 izreka (t.j. ²tirikotnik ABCD je tetivninatanko tedaj, ko je AB · CD + BC · AD = AC · BD; glej tudi4. nalogo v razdelku 6), dokaºi, da je razmerje med diagonalo instranico v pravilnem petkotniku enako zlatemu rezu.

(e) (Odomova3 konstrukcija) Dan je enakostrani£ni trikotnik 4DEFin njegova o£rtana kroºnicaK. Naj bosta to£kiA in C zaporedomarazpolovi²£i stranic DF in EF , premica skozi to£ki A in C pa najseka kroºnico K v to£kah B in B′ tako, da je C med A in B.Pokaºi, da je AB

AC= AC

BC= ϕ.

5. S ²estilom in ravnilom konstruiraj pravilni petkotnik.

6. (a) Dan je tak pravokotnik, da ko ga razdelimo na kvadrat in pravoko-tnik, ima dobljeni pravokotnik enako razmerje stranic kot prvotnipravokotnik. Pokaºi, da imata pravokotnika stranici v razmerjuzlatega reza.

(b) Ali velja tudi obrat trditve (a)? Dan je pravokotnik P1 s strani-cama v razmerju zlatega reza. Pravokotnik razdelimo na kvadratin manj²i pravokotnik P2. Pokaºi, da je razmerje stranic pra-vokotnikov v zlatem rezu. Nadalje P2 razreºemo na kvadrat inpravokotnik, slednjega spet razdelimo na kvadrat in pravokotnikP3, ter postopek ponavljamo. V vsak kvadrat nari²i £etrt kroºnicetako, da skupaj dobi² krivuljo, ki ji pravimo zlata spirala.

2Klavdij Ptolemaj (okoli 85 - okoli 170) je bil gr²ki ali egip£anski matematik in astronom3George Phillips Odom (1941- ) je ameri²ki umetnik in amaterski geometer

5

(c) Konstrukcijo v to£ki (a) uporabi za dokaz, da je zlati rez iracio-nalno ²tevilo. (Nasvet: Razmisli, ali ima lahko tak pravokotnikstranici z najmanj²ima celo²tevilskima dolºinama.)

7. �e list formata A∗ razdelimo na pol dobimo pravokotna lista z ena-kim razmerjem stranic kot v prvotnem pravokotniku. Kak²no je torazmerje?

8. (Figurativna ²tevila) Poi²£i prvih nekaj trikotni²kih in kvadratnih ²te-vil, ter poskusi najti formulo za n-to trikotni²ko oziroma kvadratno²tevilo. Z indukcijo ali kako druga£e dokaºi ²e, da je n-to petkotni²ko²tevilo enako Pn = 3n2−n

2. Pri danem k zapi²i ²e prvih nekaj k-kotni²kih

�gurativnih ²tevil, ter poskusi najti formulo za n-to k-kotni²ko ²tevilo.Formulo nato poskusi tudi utemeljiti.

9. (Arhimedova4 lema) Na daljici AC leºi to£ka B. Dokaºi, da je plo²£inamed polkrogi nad daljicami AC, CB in AB enaka plo²£ini kroga spolmerom BD, kjer je D prese£i²£e polkroga nad AB in pravokotnicena AB skozi B.

10. Na ve£ razli£nih na£inov dokaºi Pitagorov5 izrek :

(a) (Pitagorov dokaz) V kvadratu s stranico a+ b v ogli²£ih obsekamopravokotne trikotnike s katetama a in b ter hipotenuzo c tako,da nam ostane kvadrat s stranico c. Preuredi dobljene like aliprimerjaj njihove plo²£ine.

4Arhimed (okrog 287 p. n. ². - okrog 212 p. n. ².) je bil gr²ki matematik in �zik5Pitagora (okrog 570 p. n. ². - okrog 495 p. n. ².) je bil gr²ki matematik

6

(b) (Dokaz Bhaskara6) Nad vsako stranico dolºine c v kvadratu nari²ipravokotni trikotnik s hipotenuzo c in katetama a in b tako, dav notranjosti dobi² kvadrat s stranico dolºine |a − b|. Primerjajplo²£ine lokov.

(c) (Dokaz Thabit ibn Qurra 7) Primerjaj plo²£ine likov na sliki.

(d) (Fibonaccijev dokaz8) Spomni se, da vi²ina pravokotnega triko-tnika razdeli trikotnik na ve£ podobnih trikotnikov. S pomo£jorazmerij dokaºi Pitagorov izrek.

(e) (Dokaz Leonarda da Vincija9) Nad stranicami AB, BC in CApravokotnega trikotnika 4ABC z vrhom v C zaporedoma nari²ikvadrate AA′B′B, CBB′′C ′ in ACC ′′A′′, nato pa nad A′B′ ²e tri-kotnik 4A′B′D ∼= 4ABC. Pokaºi, da sta ²tirikotnika A′′B′′C ′C ′′in DB′BC skladna, ter razmisli, kaj to pomeni.

(f) (Einsteinov dokaz10) Vi²ina na hipotenuzo razdeli pravokotni tri-kotnik na dva trikotnika, katerih plo²£ini sta v razmerju s plo²£inoosnovnega trikotnika v razmerju kvadratov hipotenuz. �e vidi² za-kaj velja Pitagorov izrek?

11. V povezavi z znanim starogr²kim problemom kvadrature kroga (t.j. kon-strukcije kvadrata s plo²£ino enako plo²£ini kroga) so na egip£anskem

6Bhaskara (1114-1185) je bil indijski matematik in astronom7Thabit ibn Qurra (826 - 901) je bil arabski matematik, astronom in �zik8Leonardo Pisano Fibonacci (1170-1250) je bil italijanski matematik9Leonardo da Vinci (1452-1519) je bil italijanski znanstvenik in umetnik10Albert Einstein (1879 - 1955) je bil nem²ki �zik

7

Rhind papirusu iz leta 1600 p. n. ² na²li kvadrat s stranico dolºine9 z obsekanimi vogali dolºine 3. Utemelji babilonski pribliºek 64 zaplo²£ino kroga s premerom 9, ter nato iz sorazmernosti plo²£ine s kva-dratom radija sklepaj na pribliºek 256

81r2 za plo²£ino kroga z radijem r.

Kako dober pribliºek za ²tevilo π dobimo iz babilonskega pribliºka zaplo²£ino kroga? (Opomba: Zgolj z neozna£enim ravnilom in ²estilomkvadratura kroga ni mogo£a, saj π ni algebrai£no ²tevilo, kar je dokazalLindemann11.)

12. (a) Ugotovi, ali je re²ljiv problem kvadrature pravokotnika (oziromatrikotnika), t.j. konstrukcija kvadrata, ki bo imel plo²£ino enakoplo²£ini poljubno podanega pravokotnika (oziroma trikotnika).

(b) Kaj pa obratno, ali lahko pri danem kvadratu konstruiramo plo-²£insko enak enakostrani£ni trikotnik? Kaj pa 'pravokotnenje'kvadrata (ali celo kroga)?

13. Grki so pribliºke za plo²£ino oziroma obseg kroga (ter tako za π) izra-£unavali s pomo£jo v£rtanih in o£rtanih pravilnih ve£kotnikov. Kak²nepribliºke so dobili s pravilnim ²estkotnikom, osemkotnikom in dvanajst-kotnikom?

14. Arhimedova ocena 31071< π < 31

7oziroma izra£un stranice enotskemu

krogu v£rtanega in o£rtanega 96-kotnika (metoda iz£rpavanja) je te-mljila na naslednjih premislekih:

(a) Dolo£i stranico pravilnega 12-kotnika.

(b) Pravokotnemu trikotniku 4ABC s pravim kotom pri ogli²£u C jeo£rtan enotski krog. Naj to£ka D leºi na razpolovi²£u loka med Ain C. Premisli, zakaj je ∠CBD skladen ∠DBA, nato pa dolºinoAD izrazi z dolºino AC. Naj nadalje z E oziroma F ozna£imoprese£i²£e premice

←→BC oziroma

←→BD in pravokotnice na

←→AB skozi

A. Premisli, zakaj je ∠CBD skladen ∠DBA, nato pa dolºino AFizrazi z dolºino AE.

Svetovni rekord v ²tevilu decimal π (t.j. 126) je imel nekaj £asa celona² Vega12.

15. Znameniti klasi£ni starogr²ki problem, ki je bil znan tudi Egip£anom, jepodvojitev kocke, t.j. konstrukcija kocke z dvojnim volumnom oziromakonstrukcija 3

√2 zgolj z neozna£enim ravnilom in ²estilom. Problem ni

11Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852-1939) je bil nem²ki matematik12Jurij Bartolomej Vega (1754 - 1802) je bil Slovenski matematik in vojak

8

re²ljiv, saj 3√

2 ni ni£la polinoma stopnje 2n, kar je dokazal Wantzel13.Vendar pa lahko z ozna£enim ravnilom konstruira² 3

√2, kako?

16. Ali je z neozna£eni ravnilom in ²estilom mogo£a

(a) potrojitev oziroma 'poosmitev' kocke?

(b) podvojitev kvadrat, t.j. konstrukcija kvadrata z dvojno plo²£ino?

17. Eden izmed znamenitih starogr²kih problemov je bil tudi tretjinjenjekota s ²estilom in neozna£im ravnilom, ki pa je v splo²nem tudi nere-²ljiv zaradi podobnega razloga kot podvojitev kocke (glej nalogo 16).Razmisli, zakaj.

(a) Pojasni naprej, kako je z bisekcijo kota, ter poi²£i nekaj kotov, kijih je mogo£e tretjiniti.

(b) Arhimed pa je znal problem tretjinjenja re²iti z ozna£enim rav-nilom in ²estilom. Pojasni tako konstrukcijo: Na kroºnici z ra-dijem r in sredi²£em O sta dani to£ki A in B. Ravnilo z ozna-kama na razdalji r postavimo tako, da se dotika to£ke B, enaoznaka leºi na kroºnici, druga oznaka pa na premici

←→OA v to£ki

C; 3∠ADB = ∠AOB.

13Pierre Laurent Wantzel (1814-1848) je bil francoski matematik

9

2 Evklidovi Elementi

1. (Evklid14, Elementi, I.4) Trikotnika s skladnima stranicama in vmesnimkotom sta skladna. V Hilbertovi15 aksiomatski formulaciji je ta trditevaksiom. Komentiraj.

2. (Evklid, Elementi I.32) Spomni se, zakaj je zunanji kot v trikotnikuenak vsoti ostalih dveh neprileºnih notranjih kotov. Zakaj je vsotakotov enaka π? (To ne velja v hiperboli£ni (neevklidski) geometriji,kjer je vzporednic skozi to£ko lahko ve£. Za£etnika te geometrije pasta Bolyai16 in Lobacevsky17, njuno delo pa so nadaljevali Beltrami18,Klein19, Poincare20.)

3. (Evklid, Elementi II.11) Dan je kvadrat ABCD in naj bo E razpo-lovi²£e BC. Kroºnica s sredi²£em v E in polmerom ED seka nosilkostranice BC v to£ki F . Pokaºi, da sta potem AB in BF v razmerjuzlatega reza.

4. Poi²£i geometrijski dokaz Trditve II.8. iz Evklidovih Elementov:

(a+ b)2 − (a− b)2 = 4ab.

5. Geometrijsko dokaºi naslednje enakosti:

(a) 1 + 2 + 3 + . . . + n = n(n+1)2

. (Nasvet: Opazuj enotske kvadratkenad diagonalo kvadratne mreºe dimenzij n× n.)

14Evklid (okoli 365 p. n. ².-275 p. n. ²) je bil gr²ki matematik15David Hilbert (1862 - 1943) je bil nem²ki matematik16Janos Bolyai (1802 - 1860) je bil madºarski matematik17Nikolai Lobachevsky (1792 - 1856) je bil ruski matematik18Eugenio Beltrami (1835 - 1900) je bil italijanski matematik19Christian Felix Klein (1849 - 1925) je bil nem²ki matematik20Jules Henri Poincare (1854 - 1912) je bil francoski matematik in �zik

10

(b) 1 · 2 + 2 · 3 + . . .+ n(n+ 1) = n(n+1)(n+2)3

. (Nasvet: (T. C. Wu21)Na dalj²o stranico pravokotnika dimenzij n(n+1)

2× (n+ 1) zloºi po

vrsti pravokotnike dimenzij 1× 2, 2× 3, . . . n× (n+ 1).)

6. (Evklid, Elementi, Trditev III. 32.) Dan je trikotnik s stranicami a, bin c, ter naj bo v dolºina pravokotne projekcije stranice b na stranicoa. Dokaºi, da potem velja

a2 + b2 − 2av = c2.

Kateri izrek v trikotniku nam pravzaprav opisuje trditev? Odtod skle-paj, da velja tudi obrat Pitagorovega izreka (Evklid, Elementi TrditevI.48.), t.j. £e v trikotniku velja a2 + b2 = c2, potem je trikotnik pravo-kotni. (Evklid je slednje sicer dokazal nekoliko druga£e.)

7. Dokaºi Trditev III. 32 iz Evklidovih Elementov: �e je daljica EF tan-gentna na kroºnico K v to£ki B, ter sta C in D to£ki na kroºnici, potemsta kota ∠DCB in ∠DBE skladna.

8. Naj se kroºnici K1 in K2 sekata v to£kah P in Q. Naj premici skozi Poziroma Q sekata kroºnici K1 oziroma K1 zaporedoma ²e v to£kah Ain C oziroma B in D, tako da sta A in B na isti kroºnici. Pokaºi, dasta premici

←→AB in

←→CD vzporedni.

9. Naj se dve kroºnici sekata v to£kah P in Q . Naj bo T to£ka na eni odkroºnic, premici TP in TQ pa naj sekata kroºnici ²e v to£kah A in B.Pokaºi, da je tangenta na kroºnico v to£ki T vzporedna z AB.

10. V Elementih je opisan tudi Evklidov algoritem za iskanje najve£jegaskupnega delitelja dveh ²tevil, ki ga je predtem poznal ºe Evdods22,nekoliko kasneje pa so ga neodvisno odkrili tudi v Indiji oziroma naKitajskem. Algoritem je v Elementih predstavljen tudi geometrijsko(Trditev X. 2.) preko razrezovanja na kvadratke. Za£etni pravokotnikv prvem koraku razreºe² na kvadrate maksimalne velikosti in ostanek -pravokotnik, ki ima eno stranico enako dolgo kot prvotni pravokotnik,drugo pa manj²o; nato postopek ponovimo na manj²em pravokotnikuitd. dokler ostanka ne dobimo ve£, stranica najmanj²ega kvadratkapa je najve£ji skupni delitelj. S tem postopkom dolo£i najve£ji skupnidelitel D(9, 24).

21T. C. Wu je verjetno ameri²ki matematik22Evdoks (410 p. n. ².- 347 p. n. ².) je bil gr²ki matematik in astronom

11

11. V trditvah od XII.3 do XII.9 Evklidovih Elementov je opisan volumenpiramide V = O·v

3, kjer je O plo²£ina osnovne ploskve, v pa vi²ina.

Pri utemeljevanju faktorja 13Evklid prizmo razreºe na tri piramide, ki

imajo paroma skladni osnovni ploskvi in vi²ino. Zakaj? Za kak posebenprimer poskusi najti enostaven direkten dokaz omenjene formule. Vmodernej²em dokazu formule za volumen piramide pa je pomembnodejstvo, da je razmerje osnovne ploskve in 'rezine' na vi²ini h' enakokvadratu v2

(v−h)2. Razmisli, zakaj to velja. Odtod sklepaj, da sta plo²£ini

rezin na istih vi²inah dveh piramid z istima osnovnima ploskvima invi²inama enaki.

12. Zakaj ne obstaja platonsko telo, ki bi bilo sestavljeno iz pravilnih ²est-kotnikov oziroma sedemkotnikov? Razmisli tudi, zakaj so tetraeder,kocka, oktaeder, dodekaeder in ikozaeder edina platonska telesa (Ev-klid, Elementi XIII.) (Poliedrsko telo je platonsko, £e se v vsakem ogli-²£u stika enako ²tevilo pravilnih ve£kotnikov.)

12

3 Stoºnice

1. Stoºnice je kot preseke stoºca z ustreznimi ravninami vpeljal ºe Apolo-nij23 v svoji znameniti knjigi Stoºnice (Trditev I.11, I.12, III.52). Pa-rabolo dobimo kot presek stoºca z ravnino, ki je enako strma kot stra-nica stoºca. �e je ravnina bolj oziroma manj strma kot stranica stoºca(dvojnega), dobimo hiporbolo oziroma elipso. S pomo£jo Dandelinove24

sfere, ki se dotika tako ravnine kot stoºca poveºi omenjeno de�nicijostoºnic z njihovo geometrijsko lastnostjo.

2. Naj bo dana vrvica dolºine 10, ki je vpeta v obeh koncih, ki sta narazenza 6. Vrvico napnemo in ozna£imo to£ko prijemali²£a. Utemelji, da tato£ka leºi na elipsi. Kolik²ni bosta polosi te elipse?

3. Dani sta vrvica dolºine 4 in palica dolºine 8, ki sta na enem koncuzvezani, druga dva konca pa sta vpeta v dveh to£kah, ki sta narazen za10. �e del vrvice x pritiskamo tesno ob palico, bo to£ka na koncu oddanih �ksnih to£k oddaljena za 4 − x oziroma 8 − x. Katero krivuljodobimo, £e spreminjamo x?

4. Dani sta vrvica in palica enake dolºine 8, ki sta na enem koncu zvezani,drugi konec vrvice je vpet v �ksni to£ki F . �e del vrvice x pritiskamotesno ob palico, bo to£ka na koncu T (x) od F oddaljena za 8−x. Katerokrivuljo opi²e T (x), £e spreminjamo x tako, da se drugi konec palicepremika po vnaprej izbrani premici p in je palica ves £as pravokotnana to premico?

5. Dolo£i mnoºico to£k, katerih produkt razdalj do dveh danih to£k vkoordinatni ravnini F1(−a, 0) in F2(a, 0) je konstantno enak a2 > 0, kiji re£emo Bernoullijeva25 lemniskata. (Nasvet: Kartezi£ni koordinatnisistem, je vpeljal Descartes26.)

23Apolonij (265 p. n. ² - 170 p. n. ²) je bil gr²ki matematik24Germinal Pierre Dandelin (1794-1847) je bil belgijski matematik in inºenir25Jakob Bernoulli I. (1654-1705) je bil ²vicarski matematik26Rene Descartes (1596 - 1650)je bil francoski matematik in �lozof

13

6. Dan je pravokoten (neprozoren) list papirja.

(a) Na listu naj bo dana to£ka P . Papir prepognemo tako, da robpapirja p poteka skozi dano to£ko P . Utemelji, da je prepogib,ki ga tako dobimo, tangenta parabole z vodnico na robu papirjain gori²£em v dani to£ki. Z ve£kratnim tak²nim prepogibanjemdobimo ogrinja£o parabole.

(b) Na listu naj bo dana kroºnica z radijem r, ter to£ka Q v njeninotranjosti, ki ni sredi²£e S. Papir prepogibamo tako, da kroºnicavedno pokrije izbrano to£ko. Utemelji, da je prepogib, ki to£ko nakroºnici A prepogne na Q, tangenta na elipso z gori²£ema v P inS, ter polosjo r

2(in se elipse dotika v to£ki, ki leºi na premici skozi

S in A). Z zaporednim prepogibanjem dobimo mnoºico tangentna elipso.

(c) Naj listu naj bo dan krog s sredi²£em S in radijem r, ter nekato£ka Q zunaj kroga. Papir prepogibamo tako, da kroºnica vednopokrije to£ko Q. Utemelji, da je prepogib p, ki to£ko P na kroºniciprepogne na Q, ravno tangenta na hiperbolo z gori²£ema v Q inS, ter glavno polosjo r

2. �e ve£, p se hiperbole dotika v to£ki A, ki

leºi na premici skozi S in P . Z zaporednim prepogibanjem dobimoogrinja£o hiperbole.

7. Pokaºi, da je elipsa oziroma hiperbola z ena£bo x2

a2± y2

b2= 1, a > b

natanko mnoºica to£k, katerih razmerje oddaljenosti od dane to£ke (t.j.gori²£a) ter premice (t.j. vodnice) z ena£bo x = a2√

a2±b2 je konstantno

enako e =√a2±b2a

, a > b (t.j. ekscentri£nost).

8. Dana je hiperbola z ena£bo 2x2 − y2 = 4. Dolo£i polosi, linearno innumeri£no ekscentri£nost, koordinate gori²£, ter asimptote dane hiper-bole. Hiperbolo tudi nari²i.

14

9. Zapi²i en£bo parabole s temenom v to£ki (0, 0) in gori²£em v to£ki(2, 0). Dolo£i ²e vodnico parabole in nato parabolo ²e nari²i. Danoparabolo tudi prezrcali £ez simetralo lihih kvadrantov in zapi²i njenoena£bo.

10. Po prvem Keplerjevem27 zakonu planeti na²ega oson£ja kroºijo po elip-sah s Soncem v gori²£u. Ekscentri£nost tirnice Zemlje je trenutno0.0167. Kak²no je razmerje njenih polosi?

11. (a) Premisli, da je tangenta skozi dano to£ko elipse simetrala kota medpremicama skozi to to£ko in gori²£i (Apolonij, Stoºnice TrditevIII.48).

(b) Iz gori²£a biljardne mize v obliki elipse udarimo kroglico. Z upo-rabo (a) razloºi, zakaj se ta od stene odbije in gre skozi drugogori²£e.

12. (a) Utemelji, da je tangenta skozi dano to£ko parabole simetrala kotamed premicama skozi to to£ko in njeno pravokotno projekcijo navodnico oziroma gori²£e.

(b) S pomo£jo (a) pokaºi, da se vsi ºarki, ki so pravokotni na vodnicoparaboli£nega zrcala, odbijejo v gori²£e parabole.

13. Pokaºi, da je tangenta skozi dano to£ko hiperbole simetrala kota medpremicama skozi to to£ko in gori²£i hiperbole.

14. Pokaºi, da se tangenti skozi prese£i²£i elipse in hiperbole s skupnimagori²£ema sekata pravokotno.

27Johannes Kepler (1571-1630) je bil nem²ki matematik in astronom

15

15. Naj bo x dolºina 's-tetive', t.j. daljice, ki jo na stoºnici odreºe premicap, ki je pravokotna na os stoºnice, ter gre skozi gori²£e. Z y pa ozna-£imo dolºino omejenega loka, ki ga p odreºe od stoºnice. Pokaºi, da jenatanko pri parabolah in kroºnicah razmerje x

yvedno enako.

16. (Apolonij, Stoºnice III.50) Dana je elipsa z glavno polosjo dolºine a,sredi²£em v O, ter gori²£ema F1 in F2. Naj bo naprej p premica, kije tangentna na elipso v to£ki P in ni pravokotna na glavno polos.Ozna£imo z R1 in R2 zaporedoma pravokotni projekciji gori²£ F1 in F2

na tangento elipse p. Na premici skozi to£ki F1 in P izberi to£ko Btako, da bo P leºala med F1 in B, ter bo veljalo F2P = BP .

(a) Pokaºi, da sta trikotnika 4F2R2P in 4BR2P skladna.

(b) Pokaºi, da sta trikotnika 4F2OR2 in 4F2F1B podobna z razmer-jem stranic 1 : 2.

(c) Utemelji, zakaj velja F1B = F1P + PF2 = 2a.

(d) Dokaºi, da to£ki R1 in R2 leºita na kroºnici z radijem a in s sre-di²£em v sredi²£u elipse.

17. V arhitekturi lahko najdemo oval kot na sliki spodaj. (Konstruiramoga na naslednji na£in: Najprej konstruiramo enakokraka trikotnika4ABC in 4ADB s skupno osnovnico AB dolºine c in skladnimi krakidolºine a. Nato krake podalj²amo do to£k E, F , G in H, da so dolºineBE, AF , AG in BH enake s. Na koncu konstruiramo ²e kroºni lok ssredi²£em v B od to£ke H do E, lok s sredi²£em v D od to£ke E do F ,lok s sredi²£em v A od to£ke F do G, ter lok s sredi²£em v C od G doH.) Natan£no utemelji, ali ima oval obliko elipse.

18. Apolonij je tretjinil dani kot s pomo£jo hiperbole. Pojasni njegovokonstrukcijo: Na kroºnici s sredi²£em O sta dani to£ki A in B. Kon-struiraj hiperbolo z gori²£em v B, ekscentri£nostjo 2, ter simetralo kota

16

∠BOA za vodnico. Presek hiperbole s kroºnico ozna£i s C, ter izpelji3∠BOC ∼= ∠BOC.

19. (a) Pri izra£unu plo²£ine odseka parabole je Arhimed geometrijskoutemeljil vsoto geometrijske vrste

1 + (1

4+

1

16+

1

64+ . . .) = 1 +

1

3.

Kvadrat s stranico 1 je razdelil na ²tiri enake manj²e kvadrate sstranicami 1

2, zgornji desni manj²i kvadrat spet na ²tiri manj²e

s stranicami 14, pa najmanj²i zgornji desni kvakrat spet na ²tiri

manj²e s stranicami 14, itd. Kvadrati na diagonali predstavljajo

ravno vsoto dane vrste. Kolik²en del kvadrata zapolnijo.

(b) Poskusi najti podoben geometrijski dokaz kot v za izra£un po-ljubne geometrijske vrste

1 + r + r2 + . . . =1

1− r, |r| < 1.

S pomo£jo spodnje slike pa poskusi podati ²e en geometrijski dokazza vsoto geometrijske vrste (B. G. Klein 28, Bivens29).

28Benjamin G. Klein je ameri²ki matematik29Irl C. Bivens je ameri²ki matematik

17

4 �e nekaj o krivuljah

1. Arhimedova spirala je v polarnih koordinatah podana z ena£bo r =aϕ. Utemelji, da daljice, dolo£ene z Arhimedovo spiralo in premicamiskozi izhodi²£e, med katerimi so vsi koti enaki, dolo£ajo aritmeti£nozaporedje (Arhimed, O spiralah, Trditev 12.) Na podlagi tega utemelji²e trisekcijo danega kota s pomo£jo spirale, ter ugotovi, za koliko sepove£a oddaljenost to£ke na spirali od izhodi²£a, ko se spirala 5-kratovije okrog izhodi²£a.

2. Arhimedova spirala je tudi tesno povezana s kvadraturo kroga. Naj boP to£ka na spirali, ko ta naredi prvi ovoj. Tangenta na spiralo v Pnaj seka pravokotnico na daljico OP v to£ki T . Pokaºi, da je potemdolºina daljice OT enaka obsegu kroºnice s sredi²£em v O in radijemOP . Odtod sklepaj, da imata omenjeni krog in trikotnik 4OPT enakiplo²£ini (Arhimed, O spiralah, Trditev 19.).

3. Skiciraj

(a) logaritmi£no spiralo z ena£bo r = aebϕ v polarnih koordinatah.(Obliko logaritmi£ne spirale v naravi najdemo pri ²koljkah, obmo-£jih nizkega pritiska, galaksijah, itd.)

(b) hiperboli£no spiralo, ki je v polarnih koordinatah podana z ena£bor = a

ϕ. Dolo£i ²e njeno asimptoto, t.j. izra£unaj limiti limϕ→0 x(ϕ)

in limϕ→0 y(ϕ).

4. Theodorusovo30 spiralo konstruiramo s pomo£jo pravokotnih trikotni-kov. Za£nemo s pravokotnim enakokrakim trikotnikom s katetama dol-ºine 1, nato nad hipotenuzo nari²emo pravokotni trikotnik, katerega

30Theodorus (5. st. p. n. ².) je bil gr²ki matematik

18

ena kateta se ujema s hipotenuzo prvega trikotnika, druga kateta pa jedolºine 1. Postopek nadaljujemo tako, da nad hipotenuzo prej²njegatrikotnika nari²emo nov pravokotni trikotnik, katerega ena kateta seujema s hipotenuzo prej²njega trikotnika, druga kateta pa je dolºine 1.Utemelji, zakaj so dolºine hipotenuz nastalih pravokotnih trikotnikovravno koreni naravnih ²tevil, t.j. hn =

√n, koti trikotnikov z vrhom v

skupnem ogli²£u pa so ϕn = arctan(

1√n

). Razloºi, zakaj vsaj lokalno

Theodorusova spirala dobro aproksimira Arhimedovo spiralo. (To veljacelo globalno, kar pa je teºje dokazati.) Kak²ne oblike je njena ena£bav polarnih koordinatah?

5. V implicitni ali parametri£ni obliki so podane naslednje krivulje:

(a) x(t) = 4 cos(t), y(t) = 3 sin(t), t ∈ R, (elipsa),

(b) x23 + y

23 = 1, (asteroida),

(c) x(t) = a(t−sin t), y(t) = a(1−cos t), t ∈ R, a > 0, (cikloda),

(d) x3 − 3axy + y3 = 0, a > 0, (Descartesov list)(Nasvet: Vpelji parameter t = x

y.)

(e) x(t) = t, y(t) = 12(et + e−t), t ∈ R, (veriºnica),

(f) x = t, y = t2, z = t3, t ∈ R,(g) x = et, y = e−t, z =

√2t, t ∈ R,

�imbolj natan£no nari²i dane krivulje.

6. Dana je vija£nica x = a cos t, y = a sin t, z = bt.

19

(a) Dolo£i pritisnjeno ravnino, t.j. napeto na r(t) in r(t) glede nakrivuljo r(t) = (x(t), y(t), z(t)).

(b) Poskusi reparametrizirati krivuljo z naravnim parametrom. (Na-svet: Izra£unaj s(t) =

∫ t0

√x2(t′) + y2(t′) + z2(t′)dt′, ter nato in-

verz t = s(t).)

(c) Izra£unajte �eksijsko ukrivljenost κ = |r×r||r|3 oziroma radij kroºnice,

ki se krivulji najbolj prilega.

(d) Izra£unajte torzijsko ukrivljenost τ = (r×r)· ˙r|r×r|3 oziroma zvitost kri-

vulje glede na pritisnjeno ravnino.

(Opomba: �e je krivulja r(s) parametrizirana z naravnim parametroms (t.j. |r| = 1), potem je κ = |r| in τ = n ·b, kjer je n = r

|r| in b = r×n.)

7. Izra£unaj ukrivljenost parabole, elipse in hiperbole.

20

5 Par zanimivih problemov evklidske geome-trije

1. Eleganten dokaz, da se nosilke vi²in v trikotniku sekajo v skupni to£ki,je podal tudi Gauss31. Ideja: Skozi ogli²£a torej nari²i vzporednice nanasprotne stranice trikotnika. Kaj opazi²?

2. (Paposov32 izrek o ²estkotniku) Dani sta dve premici, na katerih za-poredoma leºijo to£ke A1, A2, A3 oziroma B1, B2, B3. Potem so to£ke,ki jih dobimo kot preseke premic

←−→A2B3 in

←−→B2A3, A1B3 in

←−→B1A3, ter←−→

A1B2 in←−→B1A2 kolinearne v projektivni geometriji (Papos, Zbirka, VII.

138.-143.). Za za£etnika projektivne geometrije velja Desargues33, zauveljavitelja pa Poncelet34.

Dokaºi poseben primer tega izreka (v nekem abstraktnem smislu nitini zelo poseben), ki ob dodatni predpostavki nevzporednosti za£etnihpremic pravi, da iz vzporednosti parov

←−→A2B1 in

←−→A3B2 oziroma

←−→A1B2 in←−→

A2B3 sledi vzporednost←−→A1B1 in

←−→A3B3.

3. Papos je v svoji Zbirki (Trditev IV. 31.) podal tretjinjene kota s po-mo£jo hiperbole. Dan naj bo pravokotnik AEBF . Hiperbola skozi Ein z asimptotama

←→FA in

←→FB naj seka kroºnico s redi²£em E in radijem

2AB v to£ki H. Vzporednica←→FA skozi H pa naj seka

←→FB v to£ki C.

31Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) je bil nem²ki matematik, astronom in �zik32Papos (okrog 290 - okrog 350)33Girard Desargues (1591 - 1661)34Jean-Victor Poncelet (1788 - 1867) je bil francoski matematik in inºenir

21

Zapi²i ena£bo hiperbole, £e je sredi²£e koordinatnega sistema v F ,←→FB

in←→FA pa sta koordinatni osi. Pokaºi, da je 3∠EAC = ∠EAB.

4. (a) Apolonij naj bi glede na Paposove zapise v eni izmed domnevnoizgubljenih knjig pokazal, da je mnoºica to£k, katerih razdalja dodveh danih to£k je konstanta, t. i. Apolonijeva kroºnica. Zakaj?Konstruiraj jo.

(b) Kaj pa je mnoºica to£ka, katerih razmerje razdalj do dveh premicje konstantno?

5. Uporaba kompleksnih ²tevil pri transformacijah v geometriji:

(a) Ozna£imo z = x + iy in α = a + ib, ter z = x− iy in α = a− ib.Pokaºi, da ena£bama premice ax + by = c in kroºnice (x − a)2 +(y− b)2 = r2 v 'realni' obliki ustrezata ena£bi v kompleksni oblikiαz + αz = 2c in zz − αz − αz = r2 − αα.

(b) Kako transformaciji premika f(z) = z + α, rotacije in raztegaf(z) = βz, zrcaljenja £ez realno os f(z) = z in inverzije prekokroºnice g(z) = 1

z(oziroma g(z) = R2

z) preslikata to£ke, premice

in kroºnice?

6. Ugotovi, kako se s transformacijo inverzije na kroºnico g : C → C,g(z) = 1

zpreslika

(a) kroºnica z ena£bo |z−2|2 = 4, t.j. (z−2)(z − 2) = (x−2)2+y2 = 4,

(b) kroºnica z ena£bo |z−i|2 = 1, t.j. (z−i)(z − i) = x2+(y−1)2 = 1,

(c) kroºnica z ena£bo |z−2|2 = 1, t.j. (z−2)(z − 2) = (x−2)2+y2 = 1,

(d) premica z ena£bo z − z = 2i, t.j. y = 1,

(e) premica z ena£bo z + z = 4, t.j. x = 2,

(f) premica z ena£bo z + z = 1, t.j. x = 12.

7. (Paposov starodavni izrek (Zbirka, Trditev IV. 18.)) Nad premerompolkroºnice K1 s sredi²£em S1 in radijem r1 sta dani dve medsebojnotangentni manj²i polkroºnici, ki sta tangentni tudi na K1, eno izmednjiju ozna£imo s K2(S2, r2) s sredi²£em v S2 in radijem r2. Med kroºnicoin polkroºnici je v£rtana veriga kroºnic (t.i. Paposova veriga) tako, daje vsaka tangentna na oba svoja soseda v verigi, ter na kroºnici K1 inK2. Velja, da so razmerja vi²in sredi²£ v£rtanih kroºnic nad premeromin njihovih premerov po vrsti enaka 2, 3, 4, . . .

22

(a) Z direktnim ra£unom preveri, da Paposov starodavni izrek veljaza prvo kroºnico v verigi, £e sta dani polkroºnici nad premerov K1

enakih radijev. (Modernej²i in enostavnej²i splo²ni dokaz izrekase naredi s pomo£jo inverzije na kroºnico. Poskusi ga narediti.)

(b) Pokaºi, da sredi²£a v£rtanih kroºnic leºijo na elipsi z gori²£ema S1

in S2 ter glavno polosjo dolºine r1+r22

.

8. Dani sta dve taki disjunktni kroºnici (t.j. se ne sekata ali dotikata)K1(S1, r1) in K2(S2, r1) s sredi²£ema S1 in S2, ter radijema r1 in r2, daje ena znotraj druge.

(a) Naj bo med kroºnicama K1(S1, r1) in K2(S2, r1) v£rtana tretjakroºnica, ki se dotika obeh danih kroºnic. Pokaºi, da sredi²£ev£rtane kroºnice leºi na elipsi z gori²£ema S1 in S2 ter glavnopolosjo dolºine r1+r2

2.

(b) Naj bosta kroºniciK1 inK2 koncentri£ni. Pokaºi, da sredi²£e vsakekroºnice, ki leºi v vmesnem kolobarju, ter je tangentna na K1 inK2, leºi na elipsi z gori²£ema S1 in S2 ter glavno polosjo dolºiner1+r2

2. Premisli, kdaj lahko vmesni 'kolobar' med kroºnicama K1

in K2 zapolnimo s kon£no sklenjeno verigo dotikajo£ih se kroºnictako, da je vsaka tangentna na obe svoji sosedi v verigi, ter tudina kroºnici K1 in K2. Utemelji, da problem zapolnitve ni odvisenod izbire sredi²£a ene izmed kroºnic v verigi.

(c) Pokaºi, da velja celo naslednje: �e lahko neko kroºnico K, ki jetangentna na K1 in K2, dopolnimo do sklenjene verige, potemlahko to storimo tudi pri druga£ni izbiri kroºnice K (Steinerjev35

porizem). Moderen in enostaven dokaz gre preko inverzije oziroma

35Jakob Steiner (1796 - 1863) je bil ²vicarski matematik

23

stereografske projekcije, Steiner je to pokazal brez inverzije in zveliko ve£ truda.

9. Dani sta dve taki disjunktni kroºnici (t.j. se ne sekata in se niti nedotikata) K1(S1, r1) in K2(S2, r1) s sredi²£ema S1 in S2, ter radijemar1 in r2, da nobena ne leºi znotraj druge. Naj bo K tretja kroºnicas sredi²£em v S in radijem r, ki se dotika obeh danih kroºnic (t.j. jetangentna na dani kroºnici K1 in K2). Van Roomen36 je pri re²evanjuznamenitega Apolonijevega problema (konstrukcije tangentne kroºnicena tri dane kroºnice) opazil, da sredi²£e S kroºnice K leºi na hiperboliz gori²£ema S1 in S2 ter glavno polosjo dolºine

(a) r1+r22

, £e se K ene izmed kroºnic K1 ali K2 dotika od zunaj (t.j. jene vsebuje), druge pa od znotraj (t.j. jo vsebuje).

(b) |r1−r2|2

, £e se K bodisi obeh danih kroºnic K1(S1, r1) in K2(S2, r1)dotika od zunaj (t.j. ju ne vsebuje) bodisi se obeh kroºnic dotikaod znotraj (t.j. ju vsebuje).

Sredi²£e kroºnice, ki se dotika treh takih paroma disjunktnih kroºnic,da nobena ne leºi znotraj druge, torej leºi na prese£i²£u ustreznih hi-perbol. S tem in z vodnicama hiperbole (glej 7. nalogo razdelka 3), si jepomagal Newton37 in v svoji knjigi Principia je sredi²£e tudi zares kon-struiral. Kako? (Za druge re²itve oziroma posplo²itve tega problemaglej 11. nalogo.)

36Adriaan van Roomen (1561 - 1615) je bil belgijsko-�amski matematik37Isaac Newton (1643 - 1727) je bil angle²ki �zik in matematik

24

10. Dani sta kroºnici C1 in C2 s sredi²£ema S1 in S2, ter z radijema r1 inr2, C2 znotraj C1.

(a) Naj bosta kroºnici C1 in C2 koncentri£ni. Ugotovi, kolik²no morabiti razmerje radijev r1 : r2, da bo obstajal (enakostrani£ni) triko-tnik, ki bo imel eno izmed kroºnic za o£rtano kroºnico, drugo paza v£rtano kroºnico.

(b) Denimo, da obstaja nek trikotnik, ki ima C1 za o£rtano, C2 paza v£rtano kroºnico. Poskusi pokazati, da je potem vsaka tetivakroºnice C1, ki je tangentna na C2, stranica nekega trikotnika, kiima C1 za o£rtano, C2 pa za v£rtano kroºnico (poseben primersplo²nej²ega Ponceletovega porizma za stoºnice in ve£kotnike).(Nasvet: Inverzija.)

11. V evklidski geometriji je zelo znan tudi splo²en Apolonijev problemkonstrukcije kroºnice, ki naj se dotika treh danih objektov. Premislitudi, kako konstruirati kroºnico, ki se dotika

(a) treh to£k,

(b) treh premic,

(c) dveh premic (lahko vzporednih) in ene to£ke,

(d) dveh to£k in ene premice,

(e) dveh to£k in kroºnice,

(f) to£ke, kroºnice in premice,

(g) dveh kroºnic in premice,

(h) dveh premic in kroºnice,

(i) treh disjunktnih kroºnic enakih radijev,

(j) treh kroºnic oziroma dveh kroºnic in to£ke?

�e ne gre v splo²nem, obravnavaj kak poseben primer (t.j. posebno legoobjektov). Ali lahko kak²en primer reducira² na drugega? Razmislitudi, pri kak²ni legi danih objektov ne bo re²itve. (Nasvet: Viete38

je problem, ko sta dva od objektov kroºnica, reduciral na problemto£ke. Coxeter39 pa je s pomo£jo inverzije ustrezne probleme reduciralna problem dveh koncentri£nih kroºnic. Utemelji.)

38Francois Viete (1540 - 1603) je bil francoski matematik39Harold Scott MacDonald Coxeter (1907 - 2003) je bil angle²ki matematik

25

6 Trigonometrija

1. Dokaºi, da za kote ϕ ∈ [0, π2) velja sinϕ ≤ ϕ ≤ tanϕ. (Nasvet: Na

enotski kroºnici s sredi²£em v O naj leºita to£ki A in B tako, da je∠AOB = ϕ, to£ka C naj bo pravokotna projekcija B na OA, to£ka Dpa presek nosilke daljice OB ter tangente na kroºnico skozi A. Primer-jaj plo²£ine nastalih trikotnikov.) Kotne funkcije je vpeljal Euler40.

2. Viete je podal geometrijski dokaz adicijskih formul za sinus in kosinus spomo£jo naslednje konstrukcije: Na polkroºnici s premerom AB dolºine1 sta dani to£ki C in D tako, da je ∠BAC = α in ∠CAD = β, to£kaI pa je presek daljic AC in BD. Opazi, da sta trikotnika 4IBC in4IAD podobna, ter daljice BC, BI, ID, AI, CI, AD,BD izrazi ssinusi oziroma kosinusi kotov α in β.

3. S pomo£jo naslednje konstrukcije pokaºi adicijski formuli za sinus inkosinus: Dana sta pravokotna trikotnika 4ABC s pravim kotom priB, kotom ∠BAC = α in hipotenuzo dolºine AC = 1, ter 4ADBs pravim kotom pri D, kotom ∠DAB = α in hipotenuzo AB. Najpravokotnica na AD skozi C seka AD v to£ki E, pravokotnico na BDskozi B pa v to£ki F . Dolo£i AE in EC.

4. Pri izra£unih dolºine tetive nad sredi²£nim kotom v krogu je Ptole-maj uporabljal trditev, t.i. Ptolemajev izrek: V tetivnem ²tirikotnikuABCD s stranicami a, b, c, d in diagonalama e, f velja ac + bd = ef .Pokaºi ga z uporabo adicijskih izrekov za kotne funkcije. (Nasvet: Na

40Leonhard Euler (1707 - 1783) je bil ²vicarski matematik, �zik in astronom

26

diagonali AC izberi to£ko E tako, da bosta skladna kota ∠EDA in∠CDB, saj sta potem skladna para trikotnikov 4EDA in 4CDB(oziroma 4DCE in 4DBA).)

5. Zapi²i ena£be stoºnic v polarnih koordinatah s sredi²£em v gori²£u:r = a(e2−1)

1+e cosϕza elipso in hiperbolo, ter r = p

1+cosϕza parabolo.

6. Ekvator in poldnevniki, ki so narazen za ve£kratnike kota π5, razre-

ºejo sfero na sferne trikotnike. Ugotovi, koliko jih je, kak²ni so njihovinotranji koti in kak²na je njihova plo²£ina.

7. Naj bosta A in B to£ki na sferi s severnim polom N , ki leºita navzporedniku zemljepisne ²irine ϕ, razlika njunih zemljepisnih dolºin paje ψ.

(a) Poi²£i plo²£ino trikotnika 4ABN , ki ga omejujeta glavni kroºniciz lokoma NA in NB ter vzporednik ²irine ϕ.

(b) Poi²£i plo²£ino sfernega trikotnika 4ABN , ki ga omejujejo triglavne kroºnice.

8. Pokaºi sferni sinusni izrek sinαsin a

= sinβsin b

= sin γsin c

, ter sferni kosinusni izrekcos a = cos b cos c+ sin b sin c cosα. (Vpelji sferi£ne koordinate.)

9. Letalo leti iz Pariza (49o severne zemljepisne ²irine in 3o vzhodne ze-mljepisne dolºine) v Vancouver (49o severne zemljepisne ²irine in 123o

zahodne zemljepisne dolºine). Dolo£i razdaljo med krajema, ter dolo£ismer odhoda letala, t.j. kot glede na severni pol.(Opomba: Predpostavi, da je Zemlja krogla z radijem 6378 km.)

10. Ribi²ka ladja odda SOS signal iz neznanega mesta na morju. Signalprejmejo v Trondheimu (63o 26′ severne zemljepisne ²irine, 10o 24′ vzho-dne zemljepisne dolºine) iz smeri 74o 13′ severozahodno in v Tromsoju(69o 39′ severne zemljepisne ²irine, 18o 59′ vzhodne zemljepisne dolºine)iz smeri 107o 17′ severozahodno. Kam naj gre re²evalni £oln?

27

7 Fraktali

1. (Trikotnik (oziroma preproga) Sierpinskega41) Za£nemo s trikotnikom,v katerem med seboj poveºemo razpolovi²£a stranic. Dobimo ²tirimanj²e trikotnike in srednjega izreºemo. Postopek ponovimo na preo-stalih manj²ih treh trikotnikih. To ponavljamo na vsakem novonasta-lem manj²em trikotniku. (Preprogo Sierpinskega pa dobimo na podo-ben na£in, le na vsakem koraku iz vsakega kvadrata izreºemo manj²ikvadrat.) Razmisli, za kolikokrat se na vsakem koraku pri dvakratnipove£avi pove£a plo²£ina. Koliko je dimenzija fraktala?

2. (Kochova42 sneºinka) je ravninski lik, ki ga dobimo z naslednjim po-stopkom. Za£nemo z enakostrani£nim trikotnikom, nato pa nad srednjotretjino vsake od njegovih treh stranic nalepimo manj²i enakostrani£nitrikotnik. Nato spet nad srednjo tretjino vsake od dvanajstih stra-nic nalepimo ²e manj²i enakostrani£ni trikotnik. Postopek nato pona-vljamo in ponavljamo... Razmisli, za kolikokrat se na vsakem korakupri trikratni pove£avi pove£a obseg. Koliko je dimenzija fraktala?

3. (Cantorjev43 prah) Za£nemo s kvadratom, ki ga razreºemo na ²tirimanj²e kvadrate in razmaknemo, nato vsakega od kvadratkov spet raz-reºemo na ²tiri manj²e kvadratke in jih razmaknemo, ter postopek na-daljujemo... Koliko je dimenzija fraktala?

41Waclaw Franciszek Sierpinski (1882 - 1969) je bil poljski matematik42Helge von Koch (January 1870 - 1924) je bil ²vedski matematik43Georg Cantor (1845 - 1918) je bil nem²ki matematik

28

4. Skiciraj naslednje fraktale:

(a) (Spirala) Za£nemo s kvadratom, na njegovo stranico s hipote-nuzo poloºimo enakokraki pravokotni trikotnik, na njegovo stra-nico nato kvadrat, na njegovo stranico spet enakokraki pravokotnitrikotnik in tako naprej.

(b) (Drevo) Za£nemo z deblom, na katerem sta dve veji, na vsaki odteh dveh vej sta dve manj²i veji, na vsaki od teh spet dve manj²ivejici,...

5. (Apolonijevo tesnilo) Za£nemo s tremi tangentnimi kroºnicami, medkatere v£rtamo nove tangentne kroºnice,...

29

8 Re²itve

8.1 Skozi geometrijo pred na²im ²tetjem

1. Predstavljata pribliºka za√

2 (t.j. 1.43087962897) in za diagonalo vkvadratu s stranico 30 (t.j. 42.0097222195).

2. 1.41422,izra£una za

√7: an+1 = 1

2(an + 7

an),

druge enostavne metode: bisekcija.

3. 150m.

4. (a) Enostaven ra£un.

(b) AS =√

5− 1, SB = 3−√

5.

(c) 12(1 +

√5).

(d) Ptolemajev izrek da d2 = a2 + ab.

(e) Utemelji, zakaj sta trikotnika 4EBC in 4FB′C podobna, terzapi²i pripadajo£e razmerje B′C

CE= CF

CB. Premisli ²e, da velja CF =

CE = AC in B′C = AB.

5. Spomni se, da sta stranica in diagonala v razmerju zlatega reza.

6. Naj bo a ve£ja in b manj²a od stranic pravokotnika. Potem sta triko-tnika podobna natanko tedaj, ko velja a

b= a−b

a.

7.√

2.

8. Tn = n(n+1)2

, Kn = n2, kn = n2(k−2)−n(k−4)2

.

9. π · AC · CB.

10. Vsi dokazi so kratki in elegantni.

11. 92 − 129 · 4 = 63 ≈ 64.

12. Pri konstrukcijah kvadratnih korenov si pomagamo s Talesovim (ali zvi²inskim) izrekom v pravokotnem trikotniku.

(a) Pri danih a in b je potrebno konstruirati√ab (oziroma

√ava2).

(b) Pri danem a je potrebno konstruirati 2 4√

3a.

30

13. �estkotnik je sestavljen iz enakostrani£nih trikotnikov. Osemkotnik padobi², £e kvadratu odreºe² ustrezno velike robove.

Lotimo se sedaj naprimer ²e stranice oziroma plo²£ine 12-kotnika.Krogu s sredi²£em O in radijem 1 naj bo v£rtan pravilni ²estkotnikA1A2A3A4A5A6 s stranico dolºine 1. V razpolovi²£ih lokov med ogli-²£i A1, A2, . . . , A6 zaporedoma izberi to£ke B1, B2, . . . , B6. Pokaºi, daje A1B1A2B2A3 . . . B5A6B6 pravilni dvanajstkotnik s stranico dolºineA1B1 =

√2−√

3. (Pomagaj si s Pitagorovim izrekom.) Ozna£i raz-polovi²£e stranice A1A2 s C. S pomo£jo Pitagorovega izreka pokaºi,

da je dolºina daljice OC enaka√

12

+√

34. Izra£unaj plo²£ino trikotnika

4OA1B1 (s stranico A1B1 in z vi²ino OC) in odtod sklepaj na plo²£inodvanajstkotnika A1B1A2B2A3 . . . B5A6B6.

14. Pri to£ki (a) si pomagaj z nalogo 13.

15. Konstruirajmo 3√k, 0 < k < 8. Naj bo 4ABC enakokraki, kjer AC =

BC = 1 in AB = k4. Podalj²amo AC preko A, da dobimo D in AD = 1.

Podalj²amo ²e AB preko B. Sedaj pa postavimo ravnilo na to£koC tako, da bosta oznaki na ravnilu, ki sta oddaljeni za 1, leºali napremicah

←→BD in

←→AB, ter ozna£evali to£ki Q in R. Kon£no, pokaºi

BR = 3√k.

16. (a) Potrojitev (konstrukcija 3√

3) ni mogo£a, 'poosmitev' (konstrukcija3√

8 = 2) pa je.

(b) Podvojitev kvadrata je ekvivalentna konstrukciji√

2.

17. (a) Tretjinimo lahko π, π2(enakostrani£ni trikotnik in bisekcija), π

5

(petkotnik).

(b) Opazi, da so nekateri trikotniki enakokraki in pora£unaj.

31

8.2 Evklidovi Elementi

1. Formalizem aksiomov in dokazovanja trditev v tistem £asu ²e ni bil dopotankosti razvit.

2. Skozi ogli²£e potegni vzporednico nasprotni stranici.

3. Glej nalogo 4 .

4. �tiri pravokotnike s stranicama a in b zloºi skupaj tako, da omejujejokvadrat s stranico |a− b|.

5. (a) Stolpci kvadratne mreºe dimenzij n×n na in nad diagonalo zapo-redoma vsebujejo 1, 2, . . . , n enotskih kvadratkov, pod diagonalopa jih je skupaj n2−n

2.

(b) �e si pomagamo s to£ko (a), potem je nad oziroma na diagonalipravokotnika dimenzij n(n+1)

2× (n+1) ²tevilo enotskih kvadratkov

enako 12n(n+1)

2((n+ 1)− 1) + n(n+1)

2) = n(n+1)(n+2)

3.

6. Pomagaj si s Pitagorovim izrekom.

7. Upo²tevaj, da je sredi²£ni kot enak dvakratniku obodnega kota.

8. Pomagaj si s Talesovim izrekom o obodnih kotih.

9. Uporabi Talesov izrek o obodnih kotih.

10. D(24, 9).

32

11. Opazuj podobne trikotnike.

12. Opazi, da se v vsakem ogli²£u stikajo vsaj tri ploskve, vsota notranjihkotov teh ploskev pa je < 2π. �e so ploskve trikotniki, se jih v vsakemogli²£u stika 3, 4, 5, dobimo tetraeder, oktaeder, ikozaeder. �e paso ploskve kvadrati oziroma pravilni petkotniki, se stikajo po 3, torejdobimo kocko in dodekaeder.

8.3 Stoºnice

1. Vse primere se obravnava na podoben na£in, zato si naprimer oglejmole elipso.

Dotikali²£a sfer s stoºcem seveda predstavljajo kroºnici na vzpore-dnih ravninah. Premica na stoºcu, ki gre skozi vrh stoºca, ter je tan-gentna na sferi, se zato sfer dotika v to£kah P1 in P2, katerih razdaljaje neodvisna od izbire tangente. �e ozna£imo z F1 in F2 ²e dotika-li²£i ravnine s sferama, potem je F1P = P1P in F2P = P2P . SlediF1P + F2P = P1P2 je konstantna.

2. x+ (10− x) = 2a, b2 = a2 − 32.

3. Spomni se 'geometrijske' lastnosti hiperbole; velja (8− x)− (4− x) =4 = 2a, b2 = 52 − a2.

4. Spomni se 'geometrijske' lastnosti parabole; velja namre£ d(T (x), F )) =d(T (x), p).

5. Ena£ba v kartezi£nih koordinatah (x2 + y2)2 = 2a2(x2 − y2), ter r2 =2a2 cos(2ϕ) v polarnih koordinatah.

33

6. Dan je pravokoten (neprozoren) list papirja.

(a) To£ka na prepogibu, katere oddaljenost do P je enaka oddaljenostiod roba papirja, leºi na paraboli.

(b) Pokaºi |SA+QA| = r.

(c) Pokaºi |SA−QA| = r.

7. Ozna£i F1(e, 0), P (x, y), ter upo²tevaj konstantnost razmerja oddalje-nosti P od premice x = a2

eoziroma to£ke F1.

8. Zapi²i v obliki x2

a2− y2

b2= 1.

9. Parabola y2 = 8x; vodnica x = −2.

10. ba

=√

1− 0.01672.

11. To£ke na simetrali razen dotikali²£a ne leºijo na elipsi, ker je razlikanjihovih razdalj do gori²£ prevelika.

12. To£ke na simetrali razen dotikali²£a ne leºijo na paraboli, t.j. njihovarazdalja od vodnice oziroma do gori²£a ni enaka.

13. Nasvet: Pokaºi, da to£ke na simetrali razen dotikali²£a ne leºijo nahiperboli, t.j. razlika njihovih razdalj do gori²£ je premajhna.

14. Uporabi osnovno lastnost tangente na elipso oziroma hiperbolo.

15. Upo²tevaj, da je dolºina loka grafa funkcije f nad intervalom [a, b] enakal =

∫ ba

√1 + (f(x))2.

16. (a) Upo²tevaj, da je tangenta skozi dano to£ko elipse simetrala kotamed premicama skozi to to£ko in gori²£i, t.j. kota R2PB in F2PR2

sta skladna. Odtod sklepaj, da to£ke B, R2 in F2 leºijo na premici.

(b) Pokaºi, da imata trikotnika skladne kote in opazi F1F2 = 2OF2.

(c) Upo²tevaj geometrijsko lastnost elipse, t.j. vsota razdalj od to£kena elipsi do gori²£ je konstantna.

(d) Uporabi to£ki (a) in (b), da izpelje² OR2 = a. Podobno premisli,da je OR1 = a.

17. Primerjaj ena£bo elipse z ena£bo kroºnega loka v kartezi£nih koordina-tah.

34

18. Naj bo C ′ zrcalna slika C glede na simetralo. Uporabi lastnost hiper-bole, da pokaºe², da je CB = CC ′ = AC ′.

19. (b) Temneje obarvani del predstavlja tretjino.

(b) Pri drugem dokazu si pomagaj s podobnimi trikotniki.

8.4 �e nekaj o krivuljah

1. Dan naj bo torej kot ∠ABC z vrhom B v za£etku spirale. Najprejtretjinimo daljicoBC oziroma z D ozna£imo tako to£ko na njej, da jeBD = 1

3BC. Kroºnica s sredi²£em v B in radijem BD potem seka

spiralo v to£ki E. Pokaºi, da meri kot ∠ABE ravno tretjino kota∠ABC.

2. Pomagaj si z odvodom; Arhimed je to sicer korektno dokazal brez upo-rabe odvoda.

3. Ri²i v polarnih koordinatah.

35

4. Uporabi Pitagorov izrek oziroma kotne funkcije. Opazi tudi, da jeprirastek Theodorusove spirale z enim trikotnikom enak hn+1 − hn,razmerje med prirastkom in kotom ϕn pa gre proti limn→∞

√n+1−

√n

arctan(

1√n

) =

12.

5. Skiciraj grafa x(t) in y(t), ter poskusi dolo£iti ekstremne to£ke, t.j. re²iena£bi x = 0 in y = 0.

7. Nar. par.: x = a cos s√a2+b2

, y = a sin s√a2+b2

, z = b s√a2+b2

,

~r = 1√a2+b2

(−a sin s√

a2+b2, a cos s√

a2+b2, b 1√

a2+b2

),

~r = − 1(a2+b2)

(a cos s√

a2+b2,−a sin s√

a2+b2, 0),

�eksijska ukrivljenost κ = |r×r||r|3 = a

a2+b2; radij kroºnice, ki se krivulji

najbolj prilega 1κ,

torzijska ukrivljenost τ = (r×r)· ˙r|r×r|3 = b

a2+b2.

7. κe = 1a2b2

(x2

a4+ y2

b4

)− 32, κe = ab

ab

(b2ch2(t) + a2sh2(t)

)− 32 , κp = (2a(1 + t2))

− 12 .

8.5 Par zanimivih problemov evklidske geometrije

1. Vi²ine danega trikotnika leºijo na simetralah stranic novega trikotnika,ki ga dolo£ajo vzporednice.

2. Uporabi Talesov izrek o podobnosti.

3. Po Talesovem izreku velja FCFB

= CADA

= BEDE

, ker pa sta E in H naustrezni hiperboli pa FC · CH = FA · FB. Sklepaj na DE = CHter na paralelogram EHCD. Naprej, £e je G razpolovi²£e CD, statrikotnika 4AGB in 4CGB enakokraka.

4. (a) Naj bosta C in D taki to£ki na nosilki daljice AB, da je ACCB

=ADDB

= k. Naj bo naprej X neka taka to£ka, da je XA : XB = k.Ker natanko simetrala notranjega (zunanjega) kota deli nasprotnostranico ('nosilko') v razmerju ostalih dveh stranic, sta torej XCoziroma XD simetrali notranjega oziroma zunanjega kota, ki sesekata pravokotno. Po Talesovem izreku je potem X na kroºnicis premerom AB.

(b) Zaradi podobnosti je mnoºica to£k premica skozi prese£i²£e danihpremic. To£ka, ki je oddaljena od ene premice za 1 in od druge zak pa seveda leºi na ustreznih vzporednicah danima premicama.

36

5. Enostaven ra£un.

6. Vse primere obravnavamo podobno, zato si oglejmo le primer (a).

Kroºnica z ena£bo |z − 2| = 4 se z inverzijo preslika v objekt zena£bo (1

z−2)(1

z−2) = 4. Ko poenostavimo, dobimo (1−2z)(1−2z) =

zz in nato −4zz + 2(z + z) + zz = 1 (kroºnica).

7. (a) Upo²tevaj tangentnost kroºnic in Pitagorov izrek.

(b) Upo²tevaj tangentnost kroºnic in geometrijsko lastnost elipse.

8. (a) Glej 7. (b).

(b) Direktno lahko pokaºe², da je enakost sin(πn) = r1−r2

r1+r2oziroma

r2r1

=1−sin π

n

1+sin πnpotreben in zadosten pogoj za obstoj take verige z n

kroºnicami.

(c) Dani kroºnici najprej z inverzijo na ustrezno kroºnico preslikamov dve koncentri£ni kroºnici. (Utemelji oziroma poi²£i kroºnicoinverzije.) Pri tem se kroºnice v kolobarju med njima preslikajo vkolobar med dobljeni koncentri£ni kroºnici, saj se koti pri inverzijiohranjajo. Sedaj uporabimo (b).

9. Upo²tevaj tangentnost kroºnic in geometrijsko lastnost hiperbole. Glejpodobno nalogo 7. (b).

Kostruiramo lahko vodnici hiperbol. Sredi²£e iskane kroºnice Z,ki leºi na hiperbolah, je potem to£ka, katere razmerji razdalj do gori²£oziroma vodnic sta dani konstanti. �e izberemo prese£i²£e vodnic, jerazmerje oddaljenosti Z od le-tega oziroma do gori²£ tudi konstantna.Vemo pa, da potem Z leºi na ustrezni kroºnici (glej nalogo 4. (a)).Sledi tudi, da je potem razmerje razdalj S do vodnic dolo£eno, zato Sleºi na ustrezni premici skozi prese£i²£e vodnic (glej nalogo 4. (b)).

10. (a) 1 : 2.

(b) Dani kroºnici najprej z inverzijo na ustrezno kroºnico preslikamov dve koncentri£ni kroºnici. (Utemelji.) Pri tem se tetiva v ko-lobarju med njima preslika v tetivo v kolobarju med dobljenimakoncentri£nima kroºnicama, saj se koti pri inverziji ohranjajo. Se-daj uporabimo (b).

11. Opazi, da £e radije danih theh kroºnic zmanj²amo za x, se radij tan-gentne kroºnice pove£a za x, sredi²£e pa se ohrani. Lotimo se sedajkonstrukcij:

37

(a) O£rtana kroºnica.

(b) V£rtana kroºnica.

(c) �e sta premici vzporedni, potem je radij iskane kroºnice enakpolovici razdalje med premicama, sredi²£e pa leºi na vzporednipremici v sredini med njima.

�e premici nista vzporedni, potem najprej konstruiramo po-ljubno kroºnico, ki je tangentna na premici, iskana kroºnica pa jedobljena z raztegom s sredi²£em v prese£i²£u premic, ter faktor-jem, ki ga dolo£a dana to£ka.

(d) Naj bo O prese£i²£e premice←→AB skozi dani to£ki A in B, ter dane

premice p. Razmisli, kako na premici p konstruirati to£ko T , da boOA · OB = OT 2. Upo²tevaj izrek o potenci to£ke na kroºnico inutemelji, zakaj je potem kroºnica skozi to£ke A, B in T tangentnana p.

(e) Naj gre iskana kroºnica skozi A in B in naj bo T njeno dotikali²£ez dano kroºnico K. Naj bo naprej K′ neka druga kroºnica skoziA in B, ki seka K1 v to£kah D in E. Naj se premici

←→AB in

←→EF

sekata v X. Zaradi potence to£ke na kroºnico velja XA · XB =XE ·XF = XD2.

(f) Glej sliko.

(g) Reduciramo na problem 11. (f), saj se z zmanj²anjem radijevkroºnic za k in enakim vzporednim premikom premice pove£a radijtangentne kroºnice ravno za k.

38

(h) Reduciramo na problem 11. (d), saj se z zmanj²anjem radija kro-ºnice za k in enakim vzporednim premikom premic pove£a radijtangentne kroºnice ravno za k.

(i) Opazi, da je sredi²£e iskane kroºnice enako oddaljeno od sredi²£danih kroºnic.

(j) Z zmanj²anjem radijev najprej reduciramo problem na problemdveh kroºnic in to£ke, nato pa s pomo£jo inverzije ²e na problemkoncentri£nih kroºnic.

8.6 Trigonometrija

1. Opazi, da je plo²£ina trikotnika 4OAB manj²a od plo²£ine kroºnegaizseka nad lokom AB, ta pa je manj²i od plo²£ine trikotnika 4OAD.

2. ∠CAD ∼= ∠CBD (obodna kota nad CD).cos(α + β) = AD = AI cos β, AI = AC − CI = cosα − tan βBC,BC = sinα,sin(α + β) = BD = DI + IB, DI = AI sin β, IB cos β = BC,

3. A,E,B,C so konciklicne, saj sta ∠CEA ∼= ∠CBA prava, zato ∠EAB ∼=∠ECB (obodna kota).

4. Na diagonali AC izberi to£ko E tako, da bosta skladna kota ∠EDA in∠CDB, saj sta potem skladna para trikotnikov 4EDA and 4CDB(oziroma 4DCE and 4DBA.

5. Vpelji polarne koordinate x = r cosϕ, y = r sinϕ in ra£unaj.

39

6. 20 sfernih trikotnikov s po dvema pravima kotoma in plo²£ino π5.

7. (a) Upo²tevaj, da je plo²£ina sfernega odseka vi²ine h enaka 2πrh;uporabi izrek o projekciji na cilinder.

(b) Uporabi Girardovo formulo P = α + β + γ − π.

8. Pomagaj si s skalarnim produktom. Dolºino med krajema na sferi izrazina dva na£ina, da izpelje² kosinusni izrek. Sinusni izrek nato izpelji izkosinusnega s pomo£jo osnovne zveze med sinusom in kosinusom.

9. Dolo£i kot med krajema na glavni kroºnici.S pomo£jo sfernih sinusnegain kosinusnega izreka dolo£i stranice in kote sfernega trikotnika z ogli²£iv Parizu, Vancouveru in severnemu polu.

10. S pomo£jo kotov in dveh ogli²£ sfernega trikotnika poskusi dolo£iti tre-tje ogli²£e.

8.7 Fraktali

1. Pri dvakratni pove£avi se plo²£ina (obseg) pove£a trikrat, D = log2(3).

2. Pri trikratni pove£avi se obseg pove£a ²tirikrat, D = log3(4).

3. Pri trikratni pove£avi se plo²£ina pove£a ²tirikrat, D = log3(4).

4. Sliki:

40

5. Konstruirati je potrebno tangente na tri kroºnice, kar Apolonijev pro-blem. (Glej 11. in 9. nalogo v razdelku 5 za re²itev.)

41

Literatura

[1] Ostermann A., Wanner G., Geometry by its history, Springer-Verlag,Berlin Heidelberg 2012.

42