adilson lopes de oliveira
TRANSCRIPT
PPOONNTTIIFFÍÍCCIIAA UUNNIIVVEERRSSIIDDAADDEE CCAATTÓÓLLIICCAA DDEE MMIINNAASS GGEERRAAIISS Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Matemática
OBJETO DE APRENDIZAGEM PARA DESENVOLVIMENTO DE
HABILIDADES DE VISUALIZAÇÃO E REPRESENTAÇÃO DE SECÇ ÕES
CÔNICAS:
atividades para o Ensino Médio
Adilson Lopes de Oliveira
Belo Horizonte
2011
Adilson Lopes de Oliveira
OBJETO DE APRENDIZAGEM PARA DESENVOLVIMENTO DE
HABILIDADES DE VISUALIZAÇÃO E REPRESENTAÇÃO DE SECÇ ÕES
CÔNICAS:
atividades para o Ensino Médio
Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais., como requisito parcial para obtenção do título de Mestre
Área de Concentração: Matemática Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares
Belo Horizonte
2011
FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Olivera, Adilson Lopes de O48o Objeto de aprendizagem para desenvolvimento de habilidades de
visualização e representação de secções cônicas: atividade para o ensino médio / Adilson Lopes de Olivera. Belo Horizonte, 2011.
106 p. Orientador: João Bosco Laudares Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática 1. Tecnologia educacional. 2. Inovações educacionais. 3. Educação -
Inovações tecnológicas. 4. Matemática – Estudo e ensino. 5. Ensino auxiliado por computador. 6. Software. I. Laudares, João Bosco. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.
........... CDU: 51:37
Adilson Lopes de Oliveira
Objeto de Aprendizagem para desenvolvimento de habi lidades de
visualização e representação de secções cônicas
- atividades para o Ensino Médio -
Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
___________________________________________________
João Bosco Laudares (Orientador) – PUC Minas
___________________________________________________
Dimas Felipe de Miranda – PUC Minas
___________________________________________________
Wagner Ahmad Auarek - UFMG
Belo Horizonte, 06 de maio de 2011
Dedico esta dissertação ao meu exemplo de professor, meu pai, Afonso, que, ao longo de sua carreira, demonstrou, com muita sabedoria, discernimento e dedicação, como ser um verdadeiro educador.
Obrigado por ser meu pai, profissional correto e competente, fonte de inspiração, apoio e ensino diário.
AGRADECIMENTOS
Em especial, ao meu orientador, João Bosco Laudares, pelo apoio, incentivo,
confiança, amizade, simplicidade e dedicação que foram decisivos durante a
orientação deste trabalho; minha admiração e meu eterno agradecimento.
Aos colegas do Grupo de Pesquisa em Informática e Metodologia para o
Ensino de Matemática – GRUPIMEM, pela importância do trabalho que
desenvolvemos.
Aos professores Doutores Dimas Felipe de Miranda, João Bosco Laudares e
Wagner Ahmad Auarek, pelas valiosas sugestões, quando da banca examinadora.
À minha esposa, Tânia, pelo imprescindível apoio, paciência e incentivo para
a realização de todos os meus projetos.
Aos meus filhos, Fabinho e Adriana, pela presença e pela compreensão
durante a execução deste trabalho.
À minha mãe, Esther, pela compreensão em meus momentos de ausência.
Aos meus irmãos Afonso, Kepler e Dulcinéa, pela amizade e pelo apoio.
À minha amiga, Maria Inês Gariglio, pelo apoio, pelo incentivo, pela
compreensão em meus momentos de ausência.
Ao meu amigo, Fernando Amaral, professor do programa de Mestrado
Profissional em Ensino de Ciências e Matemática da PUC Minas, pelo grande
incentivo.
À colega do Mestrado, Maria Beatriz, pela amizade e pela parceria durante o
decorrer do curso.
Ao diretor geral do CEFETMG, prof. Dr. Flávio Antônio dos Santos, pelo apoio
para a realização deste Mestrado.
À minha amiga, Renata, pela paciência e pelo incansável trabalho de revisão
desta dissertação de Mestrado.
Aos estudantes do Colégio Marista Dom Silvério, pela preciosa contribuição
para a realização desta pesquisa.
“A alegria não chega apenas no encontro do achado,
mas faz parte do processo da busca. E ensinar e
aprender não pode dar-se fora da procura, fora da
boniteza e da alegria.” Paulo Freire
RESUMO
A pesquisa apresentada nesta dissertação teve como objetivo construir Objetos de
Aprendizagem e analisar como, ao usá-los, os estudantes identificam e conceituam
uma cônica (Elipse, Hipérbole e Parábola). Para isso, foi utilizado o software
dinâmico GeoGebra em todo processo de construção e reconhecimento de cada
cônica. Ao construir o primeiro Objeto de Aprendizagem, que permitiu o
reconhecimento de uma Elipse, os estudantes analisaram e discutiram, em
atividades investigativas, diferentes formas de utilização desse software para se
chegar ao conceito de tal figura geométrica. Ao final de cada atividade, os
estudantes identificaram o formato da cônica pelas curvas verificadas nas
figuras/fotos apresentadas por eles. Em outro momento da pesquisa, o professor
pesquisador construiu outros Objetos de Aprendizagem visando à identificação e à
elaboração do conceito de cada uma das cônicas. As atividades elaboradas foram
baseadas nas teorias relativas a Atividades Investigativas e Objetos de
Aprendizagem. A análise das discussões e do resultado das atividades propostas
revelou grande envolvimento dos estudantes no trato com a abordagem pedagógica
e com o software educacional empregado.
Palavras chave: Objeto de aprendizagem, Investigação Matemática, Estudo das
Cônicas, Tecnologia, Software Educacional.
ABSTRACT
The piece of research presented in this work had as objective the construction of
Learning Objects and to analyze how, when used, the students identify and
conceptualize a conic section (Ellipse, Hyperbola, Parabola). To accomplish this, the
dynamic software GeoGebra was employed in the process of construction and
recognition of each conic section. In the first Learning Object construction, which
provided an ellipse recognition, the students analysed and discussed, during
investigative activities, different ways of the software employment to conceptualize
each geometric figure. At the end of each activity, the students identified the conic
section format by means of the verified curves presented in the pictures/photos
brought by them. In another moment, the teacher/ researcher has contructed other
Learning Objects aiming at the identification and concept elaboration of each of the
studied conic sections. All the activities were based upon the theories related to
Investigative Activities and Learning Objects. The discussion and results analysis has
revealed a deep students' involvement with the pedagogical approach as well as with
the employed educational software.
Keywords: Learning Object, Mathematical Investigation, Conic Sections Study,
Technology, Educational Software.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1: Parte superior do software GeoGebra ..... ....................................... 48
FIGURA 2: Página inicial do software GeoGebra ...... ........................................ 49
FIGURA 3: Grupo de estudantes executando a primeira atividade ................. 54
FIGURA 4: “Dente-de-leão” apresentado pelo grupo 5 . ................................... 63
FIGURA 5: Foto de uma traqueia apresentada pelo gru po 1............................ 73
FIGURA 6: Torre de Refrigeração de Usinas Nucleares ................................... 78
FIGURA 7: La Pedrera, Arcos parabólicos............ ............................................. 80
LISTA DE GRÁFICOS
GRÁFICO 1: Parábolas com simetria no eixo das orden adas ......................... 30
GRÁFICO 2: Parábolas com simetria no eixo das absci ssas ou eixos
paralelos a este............. .................................................................. 31
GRÁFICO 3: Segmento de reta construído pelo grupo 1 .................................. 56
GRÁFICO 4: Elipse construída pelo grupo 1 .......... ........................................... 57
GRÁFICO 5: Mediatriz construída pelo grupo 1 ....... ......................................... 59
GRÁFICO 6: Soma das distâncias de um ponto qualquer aos focos da
Elipse, construído pelo grupo 1 ................................................... 61
GRÁFICO 7: Elipse construída sobre o “dente-de-leão ” construído pelo
grupo 5 ....................... ...................................................................... 65
GRÁFICO 8: Elipse sobreposta no “dente-de-leão” con struída pelo grupo 5 67
GRÁFICO 9: Elipse construída pelo grupo 3 .......... ........................................... 74
GRÁFICO 10: Hipérbole construída por um grupo da tu rma de exatas .......... 76
GRÁFICO 11: Parábola construída por um grupo da tur ma de exatas............ 79
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................. 11
2 EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E A APRENDIZAGEM ............. ....................... 16
2.1 A aula de investigação ......................... .................................................... 16
2.2 Objetos de investigação........................ ................................................... 18
2.3 As tecnologias como suporte da didática matemát ica ......................... 20
2.4 Objeto de Aprendizagem e o conceito............ ........................................ 24
2.5 O ensino de geometria analítica e o currículo.. ...................................... 26
3 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS – PCN E OS
LIVROS DIDÁTICOS................................ ..................................................... 33
3.1 Livros didáticos ............................... ......................................................... 35
4 ELABORAÇÃO DOS OBJETOS DE APRENDIZAGEM ........... ................... 43
5 APLICAÇÃO E ANÁLISE .............................. ............................................... 52
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................. ............................................. 82
REFERÊNCIAS ................................................................................................ 86
APÊNDICE........................................................................................................ 89
11
1 INTRODUÇÃO
O ensino aprendizagem de Matemática sempre foi um desafio tanto para o
professor quanto para o estudante. Como professor de Matemática em escolas
públicas e privadas, há mais de trinta e cinco anos, sempre nos incomodou a
dificuldade do estudante no ensino e na aprendizagem da Matemática,
especialmente no estudo da Geometria, seja ela Plana, Espacial ou Analítica.
Nossa primeira experiência com o ensino de Geometria ocorreu em turmas de
7ª série, na década de 70, quando lecionei duas disciplinas: Desenho Geométrico e
Matemática. A inclusão do Desenho Geométrico teve como objetivo minimizar o
nível de dificuldade que os estudantes encontravam ao estudar Geometria Plana. No
mesmo período, passamos a lecionar também no Ensino Médio e em turmas de pré-
vestibular. Nelas a Matemática se dividia em Matemática 1 (um), destinada ao
estudo da aritmética e da álgebra, e Matemática 2(dois), destinada ao estudo da
geometria. Nossa vontade em querer descobrir alternativas que despertassem no
estudante um maior interesse pelo estudo da geometria fez com que trabalhássemos
com a Matemática 2 (dois). Essa experiência nos obrigou a percorrer caminhos que
permitissem ao estudante uma maior facilidade na resolução de problemas de
Geometria e no entendimento de seus diversos conteúdos.
A partir de 1980, passamos também a lecionar em escolas públicas, com
início no Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais (CEFETMG), em
diversos cursos técnicos e, posteriormente, em cursos superiores. No período de
1984 a 1994, lecionamos na Escola Municipal Profª Isaura Santos.
Com o tempo, fomos adquirindo experiência e passamos a coordenar em
diversas escolas a área de Matemática. Assim pudemos verificar que a dificuldade
quanto ao estudo da Geometria não era apenas do estudante, mas também do
professor que, em muitos casos, preferia não trabalhar com séries em que se
estudava Geometria. Tal procedimento era justificado pelo desconhecimento do
conteúdo ou pela falta de tempo para extrapolar o que era apresentado no livro
didático.
Em diversas ocasiões, propostas de mudanças no processo de ensino e
aprendizagem foram apresentadas por equipes pedagógicas de escolas em que
lecionamos, visando à melhoria do nível dos estudantes e quase sempre sem
12
grandes resultados. O não envolvimento do professor na elaboração dessas
propostas talvez possa ter sido o principal fator que o levou a desacreditar dessas
supostas mudanças. Entretanto, nos últimos anos, há um incentivo à capacitação
docente e uma expansão de programas de Educação Matemática e ensino de
Matemática, o que levou as escolas a proporcionar disponibilidade para seus
docentes.
Reflexões foram aflorando no meio dos professores de Matemática: o que
significa conhecer Matemática? Como ensinar Matemática para não matemáticos?
Como participar do processo de construção de conhecimento matemático? Como
enfatizar as ideias Matemáticas no mundo real? Qual o ambiente propício para
ensinar e aprender Matemática? O que se esperar de um professor de Matemática?
Com todas essas reflexões, o professor de Matemática passou a viver um
momento de grandes mudanças didáticas. Houve uma diversificação de métodos
que não mais privilegiava apenas a aula tradicional com o rigor das demonstrações e
memorização das proposições, especialmente em geometria.
A reflexão e a ação são permanentes por parte de quem aprende; a resolução
de problemas é ponto fundamental para a formação de atitude investigativa do
estudante; a análise de situações do dia a dia é parte integrante no processo de
ensino e aprendizagem; a escrita passa a ser também uma forma de expressão do
pensamento; a descoberta e a análise de erros são consideradas caminhos para a
busca do acerto, transformando-se em mais uma fonte de conhecimento.
Apesar de todo esse avanço na didática de Matemática, até hoje, em várias
escolas, o ensino da Matemática se mantém da mesma forma como o que era feito
no auge do movimento da Matemática moderna, o que é criticado por diversos
autores como D’Ambrósio (2001). Segundo esse autor, a Matemática das escolas
atuais é ensinada de forma descontextualizada e isso leva a um grande desinteresse
dos estudantes. Ainda segundo ele, a educação deve ter como objetivo a formação
do cidadão.
Hoje, mudanças na forma de ensinar Matemática, visando às aplicações de
seus conteúdos no dia a dia, têm proporcionado ao estudante a possibilidade de um
maior entendimento desses diversos conteúdos matemáticos. Além disso, as
Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs), principalmente a Internet e os
softwares educacionais, passaram a ser um excelente instrumento para a
aprendizagem da Matemática.
13
Os métodos utilizados nessa pesquisa foram definidos por atividades
investigativas para criação de Objetos de Aprendizagem usando um software
educacional denominado GeoGebra.
Com a utilização desses recursos da informática, podem ser desenvolvidas
atividades de aprendizagem, como é o caso dos Objetos de Aprendizagem. Macêdo,
et al. (2007, p.20), citam que, segundo Wiley “os Objetos de Aprendizagem podem
ser compreendidos como qualquer recurso digital que possa ser reutilizado para o
suporte ao ensino”.
Para os estudantes do Ensino Médio, na Geometria Analítica, especialmente
no estudo das secções cônicas (Elipse, Hipérbole e Parábola), podem ser utilizados
Objetos de Aprendizagem que permitem uma melhor compreensão desse conteúdo,
além de um maior interesse em estudá-lo, o que será mostrado nos capítulos
posteriores na pesquisa realizada.
Constatamos em nossa prática que, nos últimos anos, as secções cônicas,
quando estudadas no Ensino Médio, são quase sempre definidas como “lugar
geométrico”, limitando-se apenas a encontrar as equações reduzidas das curvas.
Muitas vezes, essa forma de estudar tal conteúdo, quando o que é avaliado se
restringe apenas às suas equações, o professor utiliza a aula expositiva como único
recurso didático, reduzindo ao máximo o estudo das cônicas.
Nos últimos anos, como professor de Geometria Analítica em turmas do
primeiro período de cursos de Engenharia, temos percebido que um grande número
de estudantes desconhece conceitos geométricos básicos. O reconhecimento de
uma figura geométrica é quase sempre feito pelo seu formato, deixando de lado
qualquer conceito que possa justificar sua identificação.
Nesse contexto, utilizar Objetos de Aprendizagem, no Ensino Médio, que
permitam ao estudante compreender e identificar as cônicas e suas características,
a partir de situações percebidas no dia a dia, dará condições para que os estudantes
possam entender os conceitos e daí chegar às equações, facilitando seus estudos
superiores.
A partir dessas premissas, definiremos os objetivos da pesquisa realizada.
Assim, o objetivo geral foi elaborado como se segue:
14
a) Criar atividades que possibilitem trabalhar, no Ensino Médio, um Objeto de
Aprendizagem para desenvolver as habilidades de visualização e
representação, problematizando as relações com o cotidiano na
compreensão das propriedades e dos conceitos das secções cônicas, para
colaborar com o processo ensino e aprendizagem.
Já os objetivos específicos foram:
a) Identificar nos PCN’s as propostas do estudo das cônicas.
b) Verificar, em livros didáticos, conteúdos sobre as secções cônicas.
c) Elaborar atividades guiadas e investigativas para utilização na prática
pedagógica do estudo das secções cônicas.
d) Selecionar e identificar softwares educacionais, dinâmicos em geometria,
que possibilitem investigar as cônicas.
e) Desenvolver Objetos de Aprendizagem para identificar e estudar uma
cônica.
A questão formulada, após a problematização da temática em estudo, quanto
ao estudo do conceito das cônicas, foi a seguinte:
a) Como desenvolver o estudo das secções cônicas, identificando suas
características, com estudantes do Ensino Médio, a partir da visualização
e da representação gráfica, para aquisição do pensamento geométrico,
problematizando relações do cotidiano.
Os capítulos foram estruturados da seguinte forma:
No Capítulo I, apresentamos um referencial teórico que possibilita novos
processos de aprendizagem da Matemática, como as investigações de Matemática
em sala de aula. De acordo com Ponte (2003), a utilização de tecnologias que visam
facilitar o ensino da Matemática (BORBA, 2003) e a criação de Objetos de
Aprendizagem que auxiliam o aprendizado com o uso da tecnologia.
No Capítulo II, apresentamos as orientações do PCNEM quanto ao uso da
tecnologia no ensino da Matemática, além de analisar, em cinco livros didáticos, o
15
conteúdo sobre o estudo das cônicas, verificando de que forma os autores
identificam as curvas e mostram suas propriedades.
No Capítulo III, apresentamos as atividades investigativas que
proporcionaram a elaboração de Objetos de Aprendizagem para identificação e
estudo das cônicas.
No Capítulo IV, apresentamos a aplicação e a análise dos resultados obtidos
com o uso da tecnologia no aprendizado do estudante.
No Capítulo V , apresentamos as considerações finais.
PRODUTO
O produto resultante da pesquisa são Objetos de Aprendizagem elaborados a
partir das atividades investigativas guiadas e não guiadas, apresentados no
APÊNDICE.
16
2 A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E A APRENDIZAGEM
A busca da eficácia nos processos de ensino e aprendizagem em Matemática
possibilita espaços para alternativas diferenciadas e inovadoras da didática, em
estudos e pesquisas na educação Matemática. Assim, o ensino tradicional focado na
transmissão do conteúdo tem sido criticado com a discussão de novas propostas
metodológicas de origem na pedagogia progressista. Estas propostas estão sendo
formuladas com suporte numa aula mais participativa por parte dos estudantes,
como agentes de sua própria aprendizagem. Assim, pesquisas da aprendizagem da
Matemática trazem novos processos como das investigações Matemáticas em sala
de aula Ponte et al. (2003), novas tecnologias como facilitadoras ao ensino Borba et
al. (2003), proposição de Objetos de Aprendizagem (MEC – SEED – 2007), entre
outras estratégias.
Todas estas inovações são “progressistas” porque rompem com a didática do
professor transmissor para o professor que faz a interação, orienta o estudante,
deixando de ser o centro do processo para interagir na horizontalidade do trabalho
ativo do estudante na escola, isto é, o estudante trabalha, executa uma atividade,
deixa a passividade e se torna ativo e responsável pela sua aprendizagem.
2.1 A aula de investigação
Se, na pedagogia conservadora, professor e estudante se distanciam pela
verticalidade do processo de entrega/recepção; na pedagogia progressista, o
estudante se aproxima do professor e compartilha da descoberta do conteúdo, o
qual não é dado pronto e acabado, segundo Freire (2008); numa pedagogia
bancária, de depósito pelo professor do conhecimento formalizado no estudante;
este numa posição passiva de receptor. A aula de transmissão passa a ser a aula de
trabalho, de ação, de atitude viva, do fazer. Trata-se então de uma Matemática em
construção, como uma ciência experimental, de lançamento de conjecturas, de
viabilidade da intuição e da indução.
17
Na Matemática construída e trabalhada, há sempre uma conexão entre
problema e investigação, pois
uma investigação Matemática desenvolve-se usualmente em torno de um ou mais problemas. Pode mesmo dizer-se que o primeiro grande passo de qualquer investigação é identificar claramente o problema a resolver. Por isso, não é de admirar que, em Matemática, exista uma relação estreita entre problemas e investigações. (PONTE, 2003, p. 16).
O processo de resolução de um problema se faz pela experiência, apesar de
que, em alguns casos, o resultado correto não é objetivo principal, pois
quando trabalhamos um problema, o nosso objetivo é, naturalmente, resolvê-lo. No entanto, para além de resolver o problema proposto, podemos fazer outras descobertas que, em alguns casos, se revelam tão ou mais importantes que a solução do problema original. Outras vezes, não se conseguindo resolver o problema, o trabalho não deixa de valer a pena pelas descobertas imprevistas que proporciona. (PONTE, 2003, p. 17).
Nenhuma estratégia é sozinha a responsável pelo sucesso da aprendizagem,
há, sem dúvida, lugar para os exercícios, os problemas, os projetos e as investigações. O grande desafio é articular esses diferentes tipos de tarefa de modo a constituir um currículo interessante e equilibrado, capaz de promover o desenvolvimento matemático dos estudantes com diferentes níveis de desempenho. (PONTE, 2003, p. 23-24).
O estudante só aprende com a mobilização de seus recursos cognitivos e
afetivos. Dessa forma, é convidado a atuar como matemático pela atividade cuja
trajetória se inicia pela intuição, levantando hipóteses. Em seguida, pelo
desenvolvimento operacional e, no final, fazendo uma avaliação dos resultados,
buscando compatibilidade dos dados e informações propostas pelas conjecturas
iniciais com as respostas obtidas.
Há assim uma articulação contínua de conhecimentos prévios, interações
entre propriedades e proposições com as quais o estudante trabalha, construindo
conceitos e novos saberes, numa atitude investigativa.
o conceito de investigação Matemática, como atividade de ensino-aprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade Matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O estudante é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor. (PONTE, 2003, p. 23).
18
Na pesquisa desenvolvida, foram utilizadas as 3 (três) fases de uma atividade
de investigação.
(i) introdução da tarefa, em que o professor faz a proposta à turma, oralmente ou por escrito, (ii) realização da investigação, individualmente, aos pares, em pequenos grupos ou com toda a turma, e (iii) discussão dos resultados, em que os estudantes relatam aos colegas o trabalho realizado. (PONTE, 2003, p. 25).
Estas fases foram concretizadas com o apoio de um recurso informatizado,
um software de Geometria Dinâmica, com objetivo de construção de um Objeto de
Aprendizagem para estudo das cônicas: Elipse, Hipérbole e Parábola.
Como ponto de partida da atividade de investigação, o professor pesquisador
garantiu com uma preleção o significado da tarefa proposta e o que se esperava no
transcorrer da atividade.
O professor pesquisador realizou sua gestão como apoiador, incentivando a
exploração e a formulação de questões, levantamento de conjecturas, seu teste,
suas novas reformulações e justificação. Referenciou-se em Ponte (2003), ao propor
desafios ao estudante num espírito interrogativo perante as ideias Matemáticas.
O professor privilegia, então, uma perene discussão numa postura inquiridora,
interrogativa, com proposição de questões abertas, promovendo uma reflexão ativa
e contínua no trabalho do fazer Matemática.
Fiorentini e Lorenzato (2009) definem o processo de investigação em duas
etapas: formulação da questão ou do problema e construção das conclusões. Para
consecução desta trajetória, há que se proporcionar ao estudante alternativas
metodológicas para permitir tratar o problema e responder à questão de
investigação, o que ocorreu com a construção do Objeto de Aprendizagem.
2.2 Objetos de Aprendizagem
Segundo Wiley citado por Souza et al. (2007, p. 59-60), os Objetos de
Aprendizagem (OA) são “definidos como qualquer entidade, digital ou não digital,
que pode ser utilizada, reutilizada ou referenciada durante o aprendizado apoiado
pela tecnologia.”
19
Muitos são os fatores favoráveis aos Objetos de Aprendizagem “OA” pela
didática da Matemática, como flexibilidade, facilidade de atualização entre outros.
Muitos “OAs” são elaborados para a álgebra, mas poucos para a geometria. A
proposta de pesquisa das cônicas constitui uma proposta a contribuir para o
crescimento de alternativas metodológicas à Educação Matemática, na Geometria.
O professor pesquisador estimula os estudantes a executar as atividades com
reflexão, a fazer questionamentos, a explorar intuitivamente os conceitos
matemáticos presentes nas tarefas em realização.
Com base nas etapas em desenvolvimento e nos resultados alcançados, o
professor faz as verificações experimentais e valida as conjecturas levantadas,
buscando legitimidade para a construção do “OA”.
A proposta da pesquisa apresentada trouxe desafios ao longo da exploração
do objeto, pois, a partir dos primeiros resultados, os estudantes foram desafiados a
validar suas conjecturas. A ideia do “OA” surgiu com a preocupação de padronizar o
desenvolvimento e a visualização de conteúdo, levando-se em conta as interações:
estudante/professor, estudante/estudante. São criadas unidades de aprendizagem
planejadas para inclusão de atividades e possibilidades de conexão com outros
objetos. Se o “OA” contém animações e simulações, uma dinâmica, isto pode
possibilitar processos cooperativos, estimulando o raciocínio, a criatividade, o
pensamento reflexivo, a autonomia e a autoria.
As atividades integradoras do “OA” elaboradas devem ser facilitadoras à
compreensão e à interpretação dos conceitos em estudo. O uso do “OA” vai além da
simples transposição dos livros didáticos para um formato digital, isto é, deve
possibilitar a produção de atividades para descoberta de conceitos, proposições,
propriedades, integrando com outras estratégias metodológicas do professor.
As atividades elaboradas se caracterizam como “OA”, pois têm como
características: a flexibilidade, por ser uma atividade investigativa; a fácil atualização,
uma vez que são elaborados utilizando um editor de texto e a reusabilidade, pois
são utilizados comandos do software GeoGebra.
20
2.3 As tecnologias como suporte da didática matemát ica
Aprender é vivenciar, experimentar, atuar. Quando relacionamos, buscamos
interações e vínculos integrando o que está isolado e disperso. Assim
aprendemos quando descobrimos novas dimensões de significação que antes se nos escapavam, quando vamos ampliando o círculo de compreensão do que nos rodeia, quando, como numa cebola, vamos descascando novas camadas que antes permaneciam ocultas à nossa percepção, o que nos faz perceber de outra forma. Aprendemos mais quando estabelecemos pontes entre a reflexão e a ação, entre a experiência e a conceituação, entre a teoria e a prática; quando ambas se alimentam mutuamente. (MORAN, 2000, p. 23).
O mesmo autor afirma que a aprendizagem acontece no encontro com os
outros e depois num processo de síntese acontece uma reelaboração individual na
interiorização das ideias e, então, na formulação dos conceitos, e, mais tarde, na
formalização da definição ou criação de modelos.
A teorização vai acontecer na produção de mecanismos que auxiliam a
experiência e as situações de aprendizagem ao desaguar na generalização, num
contexto participativo e de vivências, em interação.
As tecnologias podem ser ótimos suportes para a comunicação, a
diversificação de pensamentos e o aprender a buscar padrões, regularidades e
generalizações, com manipulação diversificada de dados, imagens, diagramas,
gráficos. O papel do professor muda, pois
o professor é um pesquisador em serviço. Aprende com a prática e a pesquisa e ensina a partir do que aprende. Realiza-se aprendendo-pesquisando-ensinando-aprendendo. O seu papel é fundamentalmente o de um orientador/mediador. (MORAN, 2000, p. 30).
Com acesso a tecnologias telemáticas, pode se tornar um orientador/gestor
setorial do processo de aprendizagem, integrando de forma equilibrada a orientação
intelectual, a emocional e a gerencial.
Se aprender é relacionar e integrar, fator de aprendizagem é trabalhar
integradamente com as tecnologias sejam as telemáticas, audiovisuais, sejam do
computador, da internet.
21
Especificamente em rede, o computador se converte em um meio de comunicação, a última grande mídia, ainda em estágio inicial, mas extremamente poderosa para o ensino e aprendizagem. Com a Internet podemos modificar mais facilmente a forma de ensinar e aprender tanto nos cursos presenciais como nos cursos a distância. (MORAN, 2000, p. 44).
Na sociedade altamente tecnizada e da informação, todos estamos
reaprendendo a conhecer, a integrar o homem à técnica, a um grupo social, na
amplitude da sociedade, permitida pela informatização generalizada seja na
sociedade como um todo, seja nos processos laborais, de lazer entre outros.
Masseto (2000) afirmava que a Escola ainda não tinha uma política de valorização
intensiva da tecnologia computacional, principalmente, para o processo de ensino-
aprendizagem, o que é corroborado por Costa e Oliveira (2004), ao defenderem que
as novas tecnologias – NTs devem estar no projeto pedagógico, o que não tem ainda
uma política bem definida pelas Escolas. Desta forma, “neste cenário, cabe
perguntar: para que se preocupar com tecnologias que colaborem para um ensino e
uma aprendizagem mais eficazes? Não basta o domínio do conteúdo como todos
apregoam?” (MASSETTO, 2000, p. 134).
A tensão entre método e conteúdo traz ao professor de Matemática uma
preocupação quanto à viabilidade do tratamento do conteúdo no cumprimento do
Plano de Ensino, optando pelo modo mais rápido que é a aula de transmissão.
Desta forma, quanto ao processo de aprendizagem, considerando-se o método de
trabalho pedagógico, Masseto (2000, p. 139) traz 4 (quatro) elementos quanto à
inserção da tecnologia “o conceito mesmo do aprender, o papel do estudante, o
papel do professor e o uso da tecnologia”.
O mesmo autor traz 4 (quatro) tópicos para a discussão de
aprendizagem/tecnologia: “Tecnologia e processo de aprendizagem; Tecnologia e
mediação pedagógica; Tecnologia, avaliação e mediação pedagógica; O professor
como mediador”. Masseto (2000, p. 138).
Focando no tópico mediação pedagógica, temos:
Por mediação pedagógica entendemos a atitude, o comportamento do professor que se coloca como facilitador, incentivador ou motivador da aprendizagem, que se apresenta com a disposição de ser uma ponte entre o aprendiz e sua aprendizagem – não uma ponte estática, mas uma ponte “rolante”, que ativamente colabora para que o aprendiz chegue aos seus objetivos. É a forma de se apresentar e tratar um conteúdo ou tema que ajuda o aprendiz a coletar informações, relacioná-las, organizá-las, manipulá-las, discuti-las e debatê-las com seus colegas, com o professor... (MASSETO, 2000, p. 144-145).
22
Na pesquisa realizada, foram usadas as novas tecnologias da informática
educativa, especialmente o computador e a internet, com o intuito de desenvolver o
que Masseto (2000, p.154) chama de “interaprendizagem: a aprendizagem como
produto das inter-relações entre as pessoas.” Na pesquisa, estudante/estudante,
estudante/professor.
Lévy (1993), baseado nas tecnologias da inteligência, na passagem da
oralidade para a escrita e daí para a informática, defende a criação de uma rede de
significações criadas pelo estudante na interação com colegas, tendo como ator
também o professor.
Inicialmente, o conhecimento aparece desorganizado, desconexo, em múltiplas redes. O professor se encarrega de apoiar, com as tecnologias da inteligência, o trabalho mental do estudante, no seu universo de significações, entendendo que as redes individuais não são disjuntas, mas se entrelaçam numa interação simbiótica do coletivo. Portanto, o conhecimento, em relação de reciprocidade, é constituído e reelaborado individual e coletivamente. (VAZ, 2010, p. 28).
A utilização das Novas Tecnologias da Informação e Comunicação
informáticas em ambiente educacional traz uma discussão sobre o lugar do
computador em práticas educativas, enfatizando nas pesquisas e nos estudos a
produção de significado, logo a conquista do saber por parte dos estudantes e
professores, ambos em processo de elaboração cognitiva.
Por outro lado, essa prática pedagógica estimula a utilização de problemas abertos, de formulação de conjecturas em que a sistematização só se dá como coroamento de um processo de investigação por parte de estudantes e, muitas vezes, do próprio professor. Dessa forma, busca-se superar práticas antigas com a chegada desse novo ator informático. Tal prática está também em harmonia com uma visão de construção de conhecimento que privilegia o processo e não o produto-resultado em sala de aula, e com uma postura epistemológica que entende o conhecimento como tendo sempre um componente que depende do sujeito. (BORBA, 2003, p. 45-46).
Ainda, segundo o mesmo autor:
O conhecimento é produzido por um coletivo formado por seres-humanos-com-mídias, ou seres-humanos-com-tecnologias e não, como sugerem outras teorias, por seres humanos solitários ou coletivos formados apenas por seres humanos. (BORBA, 2003, p. 48).
23
Esta estratégia de produção do conhecimento interativo, com mediação do
professor, traz a elaboração cognitiva por simulação.
A manipulação dos parâmetros e a simulação de todas as circunstâncias possíveis dão ao usuário do programa uma espécie de intuição sobre as relações de causa e efeito presentes no modelo. Ele adquire um conhecimento por simulação do sistema modelado, que não se assemelha nem a um conhecimento teórico, nem a uma experiência prática, nem ao acumulo de uma tradição oral. (LÉVY, 1993, p. 122).
O mesmo autor afirma que a crescente importância das linguagens
“orientadas para objeto” em informática pode ser eficiente instrumento de simulação
que
não remete a qualquer pretensa irrealidade do saber ou da relação com o mundo, mas antes a um aumento dos poderes da imaginação e da intuição. [...] O conhecimento por simulação interconexão em tempo real valoriza o momento oportuno, a simulação, as circunstâncias relativas, por oposição ao sentido molar da história ou à verdade fora do tempo e espaço, que talvez fossem apenas efeito da escrita. (LÉVY, 1993, p. 126).
Uma das dificuldades da escola é quanto ao “tempo” que o saber a ser
construído ou simulado deve consumir.
Lollini (2003, p.43) defende que
um dos méritos do computador no campo da educação é, porém, o de tentar resolver um dos grandes problemas da educação: como respeitar o ritmo da aprendizagem, como evitar defasagens entre os tempos propostos (ou impostos) pela escola e o tempo necessário ao estudante numa atividade particular em um determinado momento da vida. (LOLLINI, 2003, p.43)
O professor responsável com seu plano de ação e cronograma tende a
queimar etapas, exigindo do estudante efetivas ações superiores a suas
possibilidades de captação, assimilação e consequente elaboração conceitual.
Perante o computador, o estudante pode ser juiz das próprias escolhas, se isto lhe for permitido. O computador não grita nem impõe nada, e o estudante pode escolher os próprios ritmos automaticamente e sem dramas. A experiência demonstra que, desse modo, a aprendizagem é mais rápida e a atitude para com as disciplinas e a escola são mais positivas. (LOLLINI, 2003, p. 43).
24
2.4 Objeto de Aprendizagem e o conceito
Os objetos matemáticos possuem características sociais e culturais e são
frutos da mente do homem situado em diversos espaços, a escola como um deles,
sem exclusividade.
Sua construção visa à materialização do pensamento, pela linguagem, e são
constituídos na estrutura da Matemática, definida pelos componentes: axioma,
convenção, conceito, definição e o teorema.
Na pesquisa realizada, foi investigado o conceito, que é a representação de
um objeto matemático pela informalidade, pelo que Lins e Gimenes (1997)
demonstraram do significado não matemático, isto é, a expressão de um
conhecimento, sem a formalidade da linguagem simbólica da Matemática. Já a
definição é entendida como a representação do saber formalizado e acadêmico.
Pais (2001, p.56) diferencia o conceito da definição, pois
aprender o significado de um conceito não é permanecer na exterioridade de uma definição, pois a sua complexidade não pode ser reduzida ao estrito espaço de uma mensagem linguística. Definir é necessário, mas é muito menos do que conceituar, porque o texto formal de uma definição só pode apresentar alguns traços exteriores ao conceito. Por exemplo, a definição de uma figura geométrica, por si só, não pode traduzir a essência do conceito correspondente. (PAIS, 2001, p.56)
O conceito trabalhado anteriormente à definição traz a possibilidade de
compreensão dos saberes matemáticos, porque a definição se faz quando da
formalização de determinado conceito com a atualização da linguagem pela
simbologia própria e específica de cada área do conhecimento.
A formação do conceito requer uma rede de situações vivenciadas e
articuladas. Desta forma,
devemos observar ainda que a formação de um conceito não acontece através de um único tipo de situação, da mesma forma como uma única situação, geralmente, envolve uma diversidade de conceitos. O desafio consiste em destacar os invariantes referentes ao conceito principal que conduz a aprendizagem no momento considerado, articulando-os com outros conceitos já aprendidos pelo estudante. De posse dos conceitos já elaborados, o estudante é desafiado a compreender outras situações, onde aparecem os novos conceitos e novos invariantes. Portanto, conclui-se que a aprendizagem não pode ser efetuada em um contexto isolado, como se o significado pudesse subsistir por si mesmo. (PAIS, 2001, p. 60).
25
A elaboração conceitual pelo estudante exige, num processo de subjetivação,
como síntese de extensa e complexa rede de significados pela articulação de
grandezas com variáveis e parâmetros.
O desenvolvimento das capacidades de análise demanda a compreensão,
base epistemológica do trabalho com conceitos. Na elaboração da estrutura
Matemática, tem-se a dialética do conceito e da definição, entendida por Vaz (2010,
p. 39),
se conceituar é uma atividade de compreensão do objeto em estudo e da criação subjetiva de significados pelo estudante, definir é manipular símbolos, registros, sinais da linguagem específica da área de conhecimento, na qual está emersa o objeto, o conceito em tratamento. (VAZ, 2010, p. 39)
Portanto, a não dominação da simbologia da linguagem, isto é, seus códigos,
registros e representações, é para o estudante empecilho à elaboração da definição.
A matematização ou o algebrismo exarcebado pode levar o estudante à
manipulação de fórmulas sem apreensão e compreensão do conceito.
Entendemos que compreender é buscar o significado, em processo de fazer
Matemática, que, segundo Ponte (2003), é, em essência, investir no estabelecimento
de relações à procura de propriedades implícitas e subjacentes ao objeto em estudo,
por meio de estratégias de aprendizagem que os estudantes desenvolvem para
aprender Matemática Frota (2002). Já Laudares (1987, p. 3) traz quatro abordagens
para a metodologia Matemática.
Raciocínio e memorização, o ensino do essencial, a correlação dos conceitos matemáticos com a vida real, com outras disciplinas profissionalizantes e com a física, especialmente, a interfase, entre os próprios compartimentos da Matemática, isto é, da Álgebra e do Cálculo com a Geometria. (LAUDARES, 1987, p. 3)
Para a consecução da pesquisa, ora apresentada, estudamos os métodos
que poderiam facilitar o trabalho com conceito, entre outros: resolução de
problemas, modelagem, Objeto de Aprendizagem, atividades investigativas.
Optamos pela composição dos métodos de aprendizagem baseada nas atividades
investigativas para elaboração do Objeto de Aprendizagem.
Buscamos, referenciando-nos em Pais (2001), a proposição de situações
didáticas, a partir de uma questão investigativa dada: o entendimento do conceito
26
das cônicas (Elipse, Hipérbole e Parábola) sem antecipar a definição, deixando os
estudantes a trabalhar num processo de exploração.
Pais (2001), baseado em Brousseau, apresenta uma tipologia de situações:
(I) situações de ação; (II) situações de formulação; (III) situações de validação; (IV)
situações de institucionalização.
Na pesquisa realizada, ao ser oferecido ao estudante oportunidade e espaço
de exploração de uma situação nova, a procura da elaboração conceitual teve
aspectos e procedimentos destes tipos de situação que foram vivenciados, seja com
as ações, seja com a formulação e a consequente validação do conceito das
cônicas, em estabelecimento.
Se, na pedagogia tradicional, o estudante não vivencia situações, não
experimenta, não formula com atividades investigativas integradas a um Objeto de
Aprendizagem, na pesquisa realizada com parâmetros da pedagogia progressista,
foram oferecidas e oportunizadas diferentes situações para o estudante argumentar,
para descobrir, e viabilizar uma proposição, como será mostrado nos próximos
capítulos.
2.5 O ensino de geometria analítica e o currículo
O estudo da Geometria Analítica teve início no século XVII com o filósofo e
matemático René Descartes, que foi o inventor das coordenadas cartesianas.
Uma característica importante da Geometria Analítica é a união da Geometria
com a Álgebra, proporcionando definições de formas geométricas no modo numérico
e extraindo informação numérica dessa representação.
René Descartes, em 1637, no apêndice “Geometria do seu Discurso do
Método”, criou as bases para os métodos da Geometria Analítica.
Os princípios filosóficos de Descartes e esse livro permitiram criar as
fundações para o cálculo, mais tarde introduzidas por Isaac Newton e também por
Gottfried Wilhelm Leibniz.
Por volta de 225 anos a.C., foi escrito, pelo matemático e astrônomo grego,
Apolônio de Perga, o primeiro estudo completo sobre as cônicas, uma vez que antes
27
dele as secções cônicas já eram conhecidas há mais de um século, com pelo menos
duas exposições importantes sobre o assunto, as de Aristeu e Euclides.
Apolônio foi chamado o "Pai das Cônicas", pois sua obra, em um nível mais
avançado, ultrapassou as demais no campo das secções cônicas.
Foi ele que atribuiu às cônicas as designações ainda hoje utilizadas - Elipse,
Parábola e Hipérbole, apresentando-as como secções produzidas numa mesma
superfície cônica.
A obra “As cônicas”, de Apolônio, foi fundamental para estudos posteriores,
como é o caso da descoberta de Johannes Kepler, por volta de 1605, sobre as
órbitas elípticas descritas pelos planetas em torno do sol; da descoberta de Galileu
Galilei, em 1632, sobre a trajetória parabólica de projéteis; e da descoberta de
Robert Boyle, em 1662, mostrando que, sob temperatura constante, a função que
expressa a relação entre o volume de massa fixa de gás e a pressão exercida sobre
ela é hiperbólica.
Hoje verificamos diversas situações no mundo real em que são utilizadas as
cônicas, como na construção de pontes, antenas, espelhos, lentes etc.
A Geometria Analítica pode ser entendida como:
a) PLANA: - Ponto
- Reta
- Circunferência
- Cônicas (Elipse, Hipérbole, Parábola)
- Curvas em coordenadas paramétricas
- Curvas em coordenadas polares: ciclóide, leminiscata,
entre outras.
b) ESPACIAL: - Reta no espaço
- Planos
- Cilindros (quádricos, não quádricos)
- Quádricas
Seu estudo pode ser vetorial ou analítico, podendo também ter uma
introdução conceitual vetorial e depois um tratamento não vetorial. Por exemplo, a
28
reta no espaço tem equação vetorial vnAB = , sendo v (vetor direcional da reta) ou
em coordenadas cartesianas: c
zz
b
yy
a
xx 000 −=−=− .
Na pesquisa da qual originou esta dissertação, o objeto de estudo ficou
limitado à Geometria Analítica Plana com o estudo de cônicas.
O estudante já no Ensino Fundamental tem contato com a Parábola no estudo
do sinal da função quadrática.
No Ensino Médio, a Parábola está no estudo de função quadrática e,
geralmente, no final deste nível de ensino, há uma introdução às cônicas.
Já no curso superior dos cursos da área exata (Matemática, Física,
Engenharia, entre outras), a Geometria Analítica é conteúdo presente nos currículos,
mas não com o mesmo status do Cálculo. Assim, nos últimos anos, houve uma
fusão com Álgebra Linear, denominada em muitas universidades como GAAL
(Geometria Analítica e Álgebra Linear). Parte da Geometria Analítica Espacial está
nos planos de Cursos de Cálculo.
A produção bibliográfica de Geometria Analítica não é abundante, pois vários
livros de Cálculo a absorvem.
Destacamos o livro de Quádricas de Miranda e Laudares (2011) com
inúmeras edições desde 1988. Esta obra permite a visualização das figuras
espaciais (planos, cilindros e quádricas), porque os autores fazem uma partição das
superfícies com a identificação de curvas de nível e secção transversal.
Mota (2010), em sua pesquisa de Mestrado, elaborou atividades com o
software WINPLOT, usando a mesma metodologia de Miranda e Laudares,
ampliando e facilitando o processo da visualização do traçado de superfícies no
espaço.
A questão problematizadora da pesquisa apresentada, entretanto, refere-se à
exploração da interpretação gráfica das cônicas, enfatizando o tratamento
geométrico das mesmas.
A geometria Analítica, no seu fundamento teórico conceitual, requer a
integração de dois estudos:
29
A tendência a um tratamento desequilibrado destes dois estudos, com mais
ênfase para a Álgebra, pode algebrizar o estudo da Geometria Analítica, restando ao
estudante uma manipulação das equações sem um entendimento da representação
geométrica. A definição algebrizada e formal, baseada em “lugar geométrico”, sem
uma ilustração geométrica, pode dificultar a compreensão do conceito e das
propriedades das cônicas.
Uma contínua referência ao gráfico com a equação, no estudo da variação de
parâmetros da equação traz um efetivo entendimento das figuras e suas equações.
Ao tratar isoladamente a equação, fica rompida a integração com a figura e não se
cumpre o objetivo da interação da Álgebra com a Geometria.
O estudante, ao trabalhar a relação das variações dos parâmetros da
equação com a transformação das figuras, pode perceber melhor a interação gráfica
e algébrica.
Ao interpretar o problema, graficamente, antes de manipular as equações,
podemos obter sucesso para as etapas de desenvolvimento dos cálculos, porque a
análise dos dados e da questão a resolver é mais bem explicitada, objetivando a
escolha mais correta dos passos a serem efetivados com o uso das diversas
equações. Podemos também fazer, por intuição, levantamento de conjecturas ou,
por simulação, uma estimativa de provável solução, graficamente. Isto é, o estudante
pode prever sua solução, anteriormente, ao desenvolvimento algébrico,
compatibilizando dados, parâmetros e provável procedimento das equações. Por
exemplo, ao analisar a família das parábolas com vértices no eixo das ordenadas de
30
equação reduzida (vértice na origem) ou transladada (eixos paralelos aos
coordenados). Se o estudante traçar o gráfico de algumas parábolas da família,
poderá verificar melhor que o eixo de simetria pode ser o próprio eixo das ordenadas
(Gráfico 1) ou o eixo das abscissas ou paralelos a este (Gráfico 2). Podemos
também constatar que serão duas famílias de curvas a satisfazer as condições com
variação dos parâmetros, como no gráfico a seguir:
Gráfico 1: Parábolas com simetria no eixo das orden adas Fonte: Elaborado pelo autor
31
Gráfico 2: Parábolas com simetria no eixo das absci ssas ou eixos paralelos a este.
Fonte: Elaborado pelo autor
Sem o traçado do gráfico, a dificuldade seria grande para formalizar as
equações e a variação dos parâmetros.
Duas análises são requeridas na elaboração da equação: (I) qual é o formato
da equação, isto é, como as variáveis se comportam por meio das operações de
potência, de adição ou subtração de produto ou de divisão; (II) quais são os
parâmetros e sua variação para caracterizar as curvas da família. Os estudantes
apresentam dificuldade para diferenciar variáveis e parâmetros. Apenas fazem uma
identificação, sendo as variáveis as últimas letras do alfabeto, e os parâmetros,
geralmente, as primeiras.
Na pesquisa realizada, optamos por trabalhar com as 3 (três) cônicas,
enfatizando o tratamento gráfico, com a interpretação geométrica, por entender que,
no Ensino Médio, se o estudante aprender o conceito das cônicas em sua
visualização gráfica, teremos, no processo metodológico “em espiral”, no Ensino
Superior, isto é, a construção do conhecimento em níveis e, em contínua ampliação,
a continuidade do aprendizado.
A definição formal, baseada em “lugar geométrico”, e a dedução da equação
das cônicas podem ocorrer no nível superior, limitando-se, na Educação Básica, à
aprendizagem conceitual e à interpretação gráfica no tratamento geométrico.
32
Finalmente, é importante destacar a dissertação da Macena (2007), que
também contribuiu com a investigação em sala de aula para a aprendizagem das
secções cônicas com significado. Na nossa revisão bibliográfica, constatamos o
baixo número de investigação do ensino das cônicas.
33
3 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS – PCN E OS LIVR OS DIDÁTICOS
Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio - PCNEM
mostram que o ensino deve ser direcionado para uma aprendizagem ativa, em que o
aprendiz, além de dominar os conceitos e ter capacidade de utilizar fórmulas, deve
desenvolver atitudes e valores. De acordo com o PCNEM (BRASIL, 2002, p. 83):
“Saber aprender é condição básica para prosseguir aperfeiçoando-se ao longo da
vida”.
O domínio dos conceitos matemáticos, das demonstrações, das definições é
importante para a construção de novos conceitos e isso permite ao estudante a
validação de intuições na construção de técnicas aplicadas em diversas situações.
De acordo com o PCNEM (BRASIL, 2002, p. 84), o estudante deve
“compreender os conceitos, procedimentos e estratégias Matemáticas que permitam
a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral”. A
Matemática, diante disso, tem um papel importante no Ensino Médio, pois cabe a ela
a apresentação de novas informações e instrumentos que deem condições ao
estudante de continuar aprendendo.
O conhecimento matemático tem um papel significativo na formação do
indivíduo. É com ajuda dele que o estudante desenvolve sua capacidade de
raciocínio, de comunicação e o seu espírito crítico e criativo. Esse é um jogo de
conhecimento que, de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCNs,
faz com que o estudante se sinta desafiado, adquira o espírito de pesquisa e
desenvolva ainda mais a capacidade de raciocínio e de autonomia.
As tecnologias de informação ajudam a formação do indivíduo, desde que o
mesmo interaja com a ciência e a tecnologia geradas na atual cultura tecnológica.
Ao pensar nessas tecnologias para a Matemática, há que se identificar os
diversos softwares educacionais e calculadoras em que os estudantes podem
explorar e aprimorar conceitos matemáticos. Os softwares de informática educativa
proporcionam experimentos e facilitam estratégias para resolver os diversos
problemas.
Para o estudo da Geometria Analítica, existem diversos softwares que
permitem ao estudante investigar situações que o levem a uma compreensão
34
geométrica e algébrica de uma curva, o que contribui para desenvolver diversas
habilidades como pensamento geométrico, estratégico e hierárquico.1
Essa estreita relação entre a Matemática e a tecnologia permite que o
estudante utilize essas ferramentas, mas sem deixar que elas constituam o centro da
questão, que é a aprendizagem dos conceitos. A velocidade com que se renovam
essas fontes de tecnologia exige do estudante uma preocupação maior em saber
lidar com múltiplas informações e em poder interagir com outras pessoas,
permitindo-lhe assim um maior desenvolvimento de raciocínio de percepção e de
competências para produção e transmissão de conhecimentos.
De acordo com o PCNEM (BRASIL, 2002), o computador pode ser um
excelente instrumento que facilita a investigação no processo de aprendizagem. O
estudante pode aprender com os seus próprios erros e, junto com outros estudantes,
trocar suas experiências e compará-las. Para isso, é fundamental a utilização de
softwares educacionais adequados ao conteúdo estudado.
Ainda segundo o PCNEM (BRASIL, 2002), a utilização da tecnologia de
informação promove mudanças consideráveis na área do conhecimento:
A denominada “revolução informática” promove mudanças radicais na área do conhecimento, que passa a ocupar um lugar central nos processos de desenvolvimento, em geral. É possível afirmar que, nas próximas décadas, a educação vá se transformar mais rapidamente do que em muitas outras, em função de uma nova compreensão teórica sobre o papel da escola, estimulada pela incorporação das novas tecnologias. (BRASIL, 2002, p. 6).
A escola se adapta a essa nova realidade, com mudanças que não se limitem
à instalação de novos meios de tecnologias de informação. O envolvimento do
professor e do estudante, nesse processo de mudança, na forma de aprendizagem,
permite a retirada do mesmo da condição de espectador passivo, garantindo-lhe
uma aprendizagem significativa com desenvolvimento do conhecimento intuitivo, em
direção ao conhecimento abstrato.
O conhecimento matemático a ser desenvolvido, segundo orientação dos
PCNs, requer competências, tais como: a abstração, a precisão, o rigor lógico.
1 Orientações Curriculares para o Ensino Médio: Secretaria de Educação Básica - MEC
35
3.1 Livros didáticos
O livro didático é um importante material de auxílio ao professor e objeto de
estudo para o estudante. Em muitos casos, esse instrumento é deixado de lado por
diversos motivos, tais como: poucos exercícios, conteúdo pouco explorado e
exercícios sem aplicação prática.
A utilização de um livro didático de Matemática na terceira série do Ensino
Médio tem se tornado um grande desafio para professores e estudantes. Por ser
uma série que deixou de ser concluinte do Ensino Médio e passou a ter uma função
preparatória para provas que permitem o ingresso a uma universidade, o professor
procura adequar o conteúdo às exigências dessas provas, utilizando outros recursos
didáticos, tais como: apostilas, listas de exercícios, simulados, entre outros.
Os autores de diversas coleções para o Ensino Médio editaram o volume
único como mais uma alternativa a ser utilizada no Ensino Médio.
Com o objetivo de melhor entender esses livros didáticos e verificar o
tratamento dado ao estudo das cônicas, objeto de nossa pesquisa, optamos por
analisar três livros “volume 3” e dois livros “volume único”. São eles:
Livro Título Volume Autores Editora Ano
1 Matemática Contexto e aplicações
3 Luiz Roberto Dante Ática 2008
2 Matemática 3 Manoel Rodrigues Paiva Moderna 2009 3 Matemática
Ciência e Aplicações 3 Gelson Iezzi
Osvaldo Dolce Davi Degenszajn Roberto Périco Nilze de Almeida
Atual 2010
4 Matemática Único Luiz Roberto Dante Ática 2008
5 Matemática Único Gelson Iezzi Osvaldo Dolce David Degenszajn Roberto Périco
Atual 2007
A coleção do autor Manoel Rodrigues Paiva não possui o volume único;
portanto, nossa análise de volume único restringiu-se aos outros dois autores.
36
Foram levantados os seguintes questionamentos:
Q1 - O autor, ao iniciar o conteúdo, relata algum fato histórico com alguma
atividade que venha a despertar no estudante um interesse sobre o tema?
Q2 - Há uma preocupação em aplicar essa introdução no decorrer do
conteúdo?
Q3 - O tratamento dado à identificação de uma cônica é só algébrico?
Q4 - O autor propõe atividades explorando a forma geométrica de uma cônica?
Q5 - São apresentadas situações reais e cotidianas para o estudo de uma
cônica?
Q6 - Figuras são exploradas para a identificação de uma cônica?
Q7 - São feitas revisões de conteúdos necessários ao estudo de uma cônica?
Q8 - No estudo das cônicas, o autor faz alguma conexão com outros tópicos
de Matemática já estudados?
Q9 - Nos exercícios, são apresentadas situações contextualizadas com o
cotidiano?
Q10- O autor propõe atividades que exploram geometricamente o
reconhecimento de uma cônica?
Q11- O autor propõe a utilização de recurso tecnológico como instrumento de
aprendizagem para o estudante?
Questões
livro
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
Q8
Q9
Q10
Q11
1 Sim Sim Não Sim Sim Não Não Sim Sim Não Não
2 Sim Não Não Sim Sim Não Sim Sim Sim Sim Não
3 Não Não Sim Não Não Não Não Sim Sim Não Não
4 Não Sim Não Sim Não Não Não Sim Não Não Não
5 Não Não Sim Não Não Não Não Sim Não Não Não
Na tabela, as respostas “sim” foram dadas quando verificamos que o autor
atende às questões levantadas em todo conteúdo sobre cônicas.
37
Percebemos que o enfoque maior sobre o estudo das cônicas, dado pelos
autores, é algébrico, com uma forte tendência às equações das curvas. Entendemos
que tal procedimento deveria ser deixado para o curso superior e que a construção
geométrica, a visualização, o reconhecimento geométrico das cônicas é que
deveriam ter um maior destaque na terceira série do Ensino Médio.
O que os autores apresentam são figuras utilizadas apenas como ilustração,
deixando de lado a análise das curvas que elas representam.
Em nossa pesquisa, tivemos a preocupação de analisar as cônicas, a partir
de figuras/fotos que apresentavam curvas com formato de uma cônica. De acordo
com as Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares
Nacionais – PCNEM.
Usar as formas geométricas para representar ou visualizar partes do mundo real é uma capacidade importante para a compreensão e construção de modelos para resolução de questões da Matemática e de outras disciplinas. Como parte integrante deste tema, o estudante poderá desenvolver habilidades de visualização, de desenho, de argumentação lógica e de aplicação na busca de solução de problemas. (BRASIL, 2002, p. 123).
Finalmente, pudemos concluir o seguinte sobre os livros analisados:
Volume 3
Autor: Luiz Roberto Dante
No início do capítulo, o autor menciona fatos históricos citando a importante
contribuição de Apolônio quanto ao “desenvolvimento dos conceitos das secções
cônicas, acrescentando aos estudos já existentes o fato de essas curvas poderem
ser obtidas a partir de um único sólido, o cone duplo...”, p.70. Em seguida, o autor
sugere duas atividades, sendo que a primeira incentiva o estudante a identificar
elementos e propriedades da Elipse e a segunda fala sobre as órbitas dos planetas
que Kepler2 deduziu sobre suas formas elípticas, Q1.
No iniciar do estudo de cada cônica, o autor faz referência ao que foi
apresentado na introdução, Q2. A partir daí, o autor passa a explorar a construção
2 Johannes Kepler , astrônomo que por volta de 1605 descobriu que os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do sol. (PAIVA, 2002)
38
das cônicas, com o objetivo de especificar seus elementos e a definição da curva
como um lugar geométrico3·, Q3.
O reconhecimento de uma cônica é feito, pelo autor, de forma algébrica,
dando ênfase à análise da equação do segundo grau em x e y. Entretanto, em
algumas atividades, são exploradas as formas geométricas em questões do
cotidiano para resolução das mesmas, Q4, Q5. Em vários momentos, são feitos, em
destaque, questionamentos e afirmações para reflexão, como verificamos:
A excentricidade indica quando a elipse se aproxima de um segmento ou de uma circunferência, conforme seu valor se aproxima de 1 ou de 0, respectivamente. (p. 79).
Se o plano for paralelo ao plano da base, obtemos uma circunferência, que também é uma seção cônica. (p. 78).
Quanto mais próximo de 1 for a excentricidade, mais a hipérbole se aproxima de duas retas paralelas (perpendiculares ao eixo real) E se a excentricidade for cada vez maior, tendendo ao infinito, a hipérbole se aproxima de duas semirretas opostas (com origem em A1 e A2). (p. 86).
Quanto aos exercícios propostos, o autor apresenta poucas questões
contextualizadas, dando enfoque maior a questões tradicionais de aplicação
algébrica, Q9.
Volume 3
Autor: Manoel Paiva
O autor apresenta o conteúdo de forma clara com diversas ilustrações que
permitem ao estudante visualizar curvas com o formato de uma cônica. Logo na
introdução do capítulo, o autor mostra a foto de uma ponte em que um dos cabos de
sustentação tem o formato de uma parábola. Em seguida, ele utiliza o recurso de
uma lanterna para mostrar as figuras cônicas e aproveita para relatar fatos históricos
que enriquecem a apresentação, constatado na coluna Q1 da tabela. Com esses
exemplos, além de outros apresentados no livro, o assunto torna-se mais atrativo
3 lugar geométrico É um conjunto de pontos que gozam de uma determinada propriedade P e que lhes é exclusiva. (OLIVEIRA; MORANDI, 1980)
39
para o estudante. Entretanto, as figuras não são exploradas para a identificação de
propriedades das cônicas, conforme verificado na coluna Q2 da tabela.
Da forma como o conteúdo é desenvolvido no livro, é permitido ao estudante
conjecturar, identificar e construir um conhecimento sobre as figuras cônicas.
Quando necessárias, são feitas revisões de conteúdos já estudados, Q7, com
ilustrações, que permitem um melhor entendimento do assunto.
Os exercícios são divididos em três etapas: de aplicação, contextualizadas e
de desafio, Q9. Além disso, é apresentado, no final do capítulo, um roteiro de
estudos com questões que incentivam o estudante a discutir sobre o assunto
estudado, Q4, Q6, como verificamos na página 293:
O que são figuras cônicas? Dê um exemplo de uma situação do cotidiano que apresente a forma elíptica. Dê um exemplo de uma situação do cotidiano que apresente a forma hiperbólica. Dê um exemplo de uma situação do cotidiano que apresente a forma parabólica.
Essa preocupação do autor é coerente com as questões levantadas na
pesquisa realizada.
Quanto ao reconhecimento de uma cônica, o autor utiliza a interseção de
planos, situações reais do cotidiano, além do reconhecimento algébrico em que a
identificação das curvas é feita a partir de uma equação do 2o grau em x e y,
inclusive em situações de rotação da figura geométrica no plano cartesiano, Q3, Q5.
Volume 3
Autor: Gelson Iezzi e outros
Os autores iniciam o conteúdo, explorando o conceito de uma superfície
cônica e demonstrando as curvas obtidas por Apolônio ao seccionar essa superfície
com planos em diversas posições. Como os autores não exploram essa introdução
no decorrer do capítulo, ela tornou-se apenas ilustrativa, Q1, Q2.
40
A identificação da cônica é feita apenas de forma algébrica, deixando de
explorar outras formas como a construção da curva, análise de figuras, dentre
outras, Q3.
Não há uma preocupação em apresentar uma situação real para que o
estudante perceba uma aplicação prática do que está sendo estudado, Q5.
Nas atividades, o autor apresenta exercícios com aplicação direta do
conteúdo estudado com poucos problemas contextualizados, Q9.
No final do livro, o autor demonstra, em seu “Manual do Professor”, uma
preocupação com diversas situações que não são contempladas no capítulo sobre
as cônicas. São trechos que, segundo o autor, foram tirados do parecer no 15/98 da
Câmara de Educação Básica do Conselho Nacional de Educação:
História da Matemática (p. 6). O recurso à história, além de esclarecer ideias Matemáticas que estão sendo construídas pelos estudantes, tornando a aprendizagem significativa, coloca-os em contato com um processo do qual fazem parte o formular e testar hipóteses, o raciocínio indutivo, a analogia, a intuição e a criatividade na resolução de problemas enfrentados pela humanidade no decorrer do tempo.
Contextualização e aplicação a outras áreas de conhecimento (p. 7). O tratamento contextualizado do conhecimento é o recurso que a escola tem para retirar o estudante da condição de espectador passivo.
Como recurso à história, o autor apresenta apenas uma aplicação no estudo
da Elipse, sobre “As órbitas de planetas e cometas” em que é explorado o conceito
de excentricidade.
No estudo da Hipérbole e da Parábola, não consta aplicação prática em que
são explorados conceitos e propriedades.
Concluímos que os autores se apressam muito em trazer soluções algébricas,
deixando de lado soluções geométricas. Na pesquisa, demonstramos a importância
dessas soluções geométricas para o aprendizado do estudante.
41
Volume único Autor: Luiz Roberto Dante
A introdução é feita como no livro 3 da coleção, também objeto de nossa
análise, porém de forma resumida, Q1. Nesse volume único, o autor mostra três
situações reais como exemplo. Entretanto, as situações apresentadas não são
exploradas durante o desenvolvimento do conteúdo, Q2.
Utilizando a construção da cônica, o autor identifica seus elementos e chega à
sua definição como um lugar geométrico. Entretanto, essas construções não são
exploradas nas atividades propostas pelo autor, Q4.
Os poucos exercícios, constantes no capítulo, não apresentam
contextualização e nem interdisciplinaridade, Q9, contraditoriamente, conforme
consta na página 3 do referido autor: “Priorizamos os exercícios e problemas que
envolvem contextualização, interdisciplinaridade e integração entre os temas
matemáticos”.
Algumas questões são apresentadas para reflexão do estudante, como é o
caso das propriedades de uma cônica. Apesar de ser uma importante alternativa
para a construção do conhecimento do estudante, tal fato não é reforçado nas
atividades propostas.
Volume único
Gelson Iezzi e outros
Os autores iniciam o assunto com uma aplicação prática, identificando as
curvas nas seções verificadas em uma superfície cônica, porém sem nenhum fato
histórico que permita ao estudante a construção do conhecimento proposto, Q1, Q2.
As definições são apresentadas formalmente com linguagem algébrica de
uma forma completa, não possibilitando ao estudante constatar e descobrir
características de uma cônica, Q3.
A maioria dos exercícios é de questões de provas de vestibulares de diversas
escolas de Ensino Superior que quase sempre enfocam mais a álgebra do que a
análise geométrica das cônicas, Q9.
42
No final do capítulo, os autores apresentam duas questões mais elaboradas,
também de provas de vestibular, sob a forma de desafio que, segundo os mesmos,
têm o objetivo de estimular a criatividade dos estudantes, porém sem nenhuma
contextualização.
Finalmente, nos dois livros de Matemática volume único, analisados, os
autores justificam a edição desses livros como alternativa para o Ensino Médio
visando atender a sequência diferenciada de conteúdos adotada nas diversas
escolas e a diversidade do número de aulas semanais de Matemática em cada
escola. Entretanto, em várias escolas, esses livros são adotados na terceira série do
Ensino Médio com o objetivo de evitar o uso de apostilas, muito comum em escolas
que fazem da terceira série um ano destinado à preparação dos estudantes para o
exame de vestibular.
Nesses livros de volume único, os conteúdos exigidos no Ensino Médio são
apresentados de forma resumida, o que ajuda, mas não resolve o problema do
material didático da terceira série. Muitas vezes, conteúdos que são pouco avaliados
em provas de vestibulares são tratados no livro de forma superficial fazendo com
que os estudantes não se interessem pelo assunto ou deixem de estudá-los.
Nesta análise, pudemos constatar que os autores Manoel Paiva e Luiz Dante,
nos volumes 3 das coleções, têm uma preocupação em despertar no estudante um
maior interesse na construção do conhecimento das figuras cônicas. Fatos
históricos, construção geométrica das curvas, situações reais de aplicação e
problemas contextualizados são aspectos que estão de acordo com os PCNs e que
mais nos chamaram a atenção.
43
4 ELABORAÇÃO DOS OBJETOS DE APRENDIZAGEM
Pretendemos, com esta proposta investigativa guiada, elaborar Objetos de
Aprendizagem utilizando recursos computacionais, que servirão de apoio para uma
melhor aprendizagem quanto ao reconhecimento geométrico das cônicas e o seu
conceito. Lima et al. (2007, p. 39) citam que de acordo com Valente
a informática pode ser um recurso auxiliar para a melhoria do processo de ensino e aprendizagem, no qual o foco da educação passa a ser o estudante, construtor de novos conhecimentos, em um ambiente Construtivista, Contextualizado e Significativo, definido por Schlunzen (2000), como um ambiente favorável que desperta o interesse do e o motiva a explorar, a pesquisar, a descrever, a refletir, a depurar as suas ideias. (VALENTE apud LIMA et al.,2007, p. 39)
Propomos, nessa pesquisa, um estudo das cônicas a partir de formas
identificadas em figuras/fotos de construções, de plantas, dentre outras encontradas
no dia a dia.
As atividades propostas contribuem para o aprendizado do estudante de uma
forma mais simples, com os objetivos de:
a) despertar o interesse para o estudo de figuras cônicas;
b) desenvolver a capacidade de investigação de conceitos matemáticos;
c) construir o conhecimento sobre as cônicas, com auxílio de um software
educativo;
d) interagir com os colegas promovendo discussões;
e) estabelecer conjecturas sobre o que está sendo estudado;
f) buscar soluções para facilitar a disseminação da atividade.
O tema Objeto de Aprendizagem cujo estudo é muito recente, não tem ainda
um consenso entre autores sobre sua definição. Entretanto, em todas as definições
que se verifica, é sempre enfocado o ensino, o conhecimento e a reutilização do
objeto, como fatores importantes para a constituição dele próprio.
Lima et al.(2007, p.40) citam que Wiley define OA como “qualquer recurso
digital que pode ser reusado para assistir a aprendizagem”.
44
Souza, Yonezawa e Silva (2007, p. 53) citam Wiley que:
descreve Objetos de Aprendizagem (OA) como elementos de um tipo de instrução, com base em computador, com base no paradigma de orientação a objetos, utilizado na área de ciência da computação. Objetos são representações de abstrações do mundo real. (WILEY apud SOUZA; YONEZAWA ;SILVA , 2007, p. 53)
Macêdo et al. (2007, p. 20) cita Bettio e Martins
Não há um limite de tamanho para um Objeto de Aprendizagem, porém existe um consenso de que ele deve ter um propósito educacional definido, um elemento que estimule a reflexão do estudante e que sua aplicação não se restrinja a um único contexto (BETTIO; MARTINS, apud MACÊDO et al. 2007, p. 20)
Entendemos que os Objetos de Aprendizagem devem favorecer a
aprendizagem de um determinado conteúdo. Para isso, o envolvimento do estudante
no processo de elaboração e execução do objeto é fundamental para se alcançar tal
objetivo.
Tarouco e Dutra (2007, p.88) mostram que “se deve pensar em cursos ou
unidades de aprendizagem em que os objetos de aprendizagem se insiram em um
contexto de interações entre professores e estudantes, bem como entre os próprios
estudantes”.
Souza, Yonezawa e Silva (2007, p. 52) citam Papert que:
afirma que o professor deve buscar meios para promover a aprendizagem segundo um enfoque mais intervencionista e que propicia aos estudantes estabelecer conexões entre as estruturas existentes, com o objetivo de construir estruturas novas e mais complexas. (PAPERT apud SOUZA;YONEZAWA; SILVA 2007, p. 52)
Para a constituição dos Objetos de Aprendizagem nessa pesquisa, optamos
por dividi-la em duas etapas:
45
PRIMEIRA ETAPA
Aplicação de três atividades investigativas guiadas a um grupo selecionado
de 20 estudantes cujo objetivo era que eles constituíssem um Objeto de
Aprendizagem e o aplicassem a um conjunto ampliado de estudantes.
Para os estudantes que participaram da primeira etapa, foi dada a opção de
escolha do software educativo a ser utilizado. Isso é corroborado por Costa (2001, p.
47) que define o software educativo como
uma classe de software educacional cujo objetivo é o de favorecer os processos de ensino-aprendizagem. O que diferencia o SE de outras classes de software educacional, é o fato de ser desenvolvido com a finalidade de levar o estudante a construir determinado conhecimento relativo a um conteúdo didático. (COSTA, 2001, p. 47)
A escolha do software educativo, quando feita pelos estudantes, é
fundamental para que eles se sintam motivados e possam manuseá-lo com maior
facilidade. Compete ao professor a orientação apresentando opções de softwares.
Nessa pesquisa, o professor pesquisador sugeriu dois softwares educativos: o
GeoGebra e o Winplot. Tanto um quanto o outro permite a construção e a análise de
figuras geométricas.
Em todas as atividades, apresentamos o título, os objetivos e a metodologia
utilizada.
Atividade 1 : Análise dos softwares GeoGebra e Winplot
Objetivo :
Identificar o software que será utilizado para desenvolver as atividades.
Metodologia :
Iniciaremos a atividade instalando nos computadores, dois softwares
educativos, Geogebra e Winplot, de domínio público.
46
Após a instalação dos softwares, o estudante deverá verificar os diversos
comandos de cada software, utilizá-los, e finalmente fazer a opção daquele que
melhor se adaptou.
Atividade 2 : Elipse Objetivos :
• Construir uma Elipse utilizando os comandos do programa GeoGebra.
• Identificar o centro da Elipse, seus eixos e suas propriedades.
• Escrever os procedimentos utilizados para cada item da atividade, visando
à elaboração de um Objeto de Aprendizagem.
Metodologia: A atividade deve ser executada em dupla.
Os estudantes devem verificar na tela inicial do software os comandos
necessários para a execução de cada item da atividade.
Nesta atividade, os estudantes devem descobrir as opções de comandos e
executá-los.
As dúvidas devem ser discutidas em cada dupla sem intervenção do
professor pesquisador.
Cada dupla deve registrar os procedimentos utilizados em cada item da
atividade. Ao final, os grupos apresentarão a conclusão sobre a cônica estudada.
Atividade 3 : Reconhecimento de uma Elipse e estudo de suas simetrias e excentricidade
Objetivos :
• Reconhecer uma Elipse utilizando os comandos do programa GeoGebra.
• Verificar as simetrias existentes.
• Identificar os eixos: maior e menor.
• Analisar a excentricidade.
47
• Escrever os procedimentos utilizados para cada item da atividade, visando
à construção de um Objeto de Aprendizagem.
• Construir um Objeto de Aprendizagem que permita ao conjunto ampliado
de estudantes chegarem ao conceito de uma Elipse.
Metodologia:
Cada dupla deve transferir para o GeoGebra o arquivo da figura ou foto
escolhida a fim de verificar se o formato da curva existente nele é uma Elipse.
Utilizando o software GeoGebra, os estudantes devem analisar se
figuras/fotos trazidas por eles têm o formato de uma Elipse.
Assim como na primeira atividade, os estudantes devem escrever os
procedimentos utilizados para a verificação da cônica.
O tempo destinado à realização da atividade é de uma hora.
Atividade 4 : Objeto de Aprendizagem - Reconhecimento de uma Elipse
O Objeto de Aprendizagem foi elaborado pelo grupo de estudantes que
participou das três atividades investigativas guiadas. O professor pesquisador atuou
como orientador na construção do Objeto de Aprendizagem.
Na execução da atividade, esses estudantes atuaram como monitores e, ao
final, eles e o professor pesquisador avaliaram o resultado obtido.
A proposta de pesquisa se torna inovadora quando o professor pesquisador
não se antecipa aos estudantes, criando um Objeto de Aprendizagem, mas
propondo aos mesmos, através de uma atividade investigativa, que cheguem ao
objeto por meio de descobertas, formulação de hipóteses e conjecturas. Com isso,
estamos contribuindo para a melhoria de sua aprendizagem, pois
o estudante aprende quando mobiliza os seus recursos cognitivos e afetivos com vista a atingir um objetivo. Esse é, precisamente, um dos aspectos fortes das investigações. Ao requerer a participação do estudante na formulação das questões a estudar, essa atividade tende a favorecer o seu envolvimento na aprendizagem. (PONTE, 2003, p. 23).
48
Durante a pesquisa realizada nas três primeiras atividades, o professor
pesquisador observou as diversas opções encontradas pelos estudantes no
software GeoGebra, para executar as atividades propostas. Foi a partir dessa
diversidade de opções que os estudantes monitores elaboraram o Objeto de
Aprendizagem, para ser aplicado ao conjunto ampliado de estudantes.
Eles optaram por elaborar um Objeto de Aprendizagem, permitindo a
utilização de comandos do software com fácil visualização e que levavam os
estudantes a concluir o conceito de uma Elipse. Tais comandos são verificados na
parte superior da tela inicial do GeoGebra, conforme figura.
Figura 1: parte superior da tela inicial do GeoGebr a
Fonte: software GeoGebra
Objetivos :
• Construir uma Elipse utilizando os comandos do software “GeoGebra”.
• Identificar o centro da Elipse, seus eixos e sua excentricidade.
• Identificar em uma figura/foto uma curva com o formato de Elipse.
Metodologia : A atividade deve ser executada em grupos de três estudantes e cada
estudante monitor deve acompanhar dois grupos.
As dúvidas devem ser sanadas pelos estudantes monitores sob o
acompanhamento do professor pesquisador.
Os estudantes monitores devem orientar os grupos sobre a utilização do
arquivo com a figura/foto para análise da curva com formato de Elipse existente nele.
Ao final da atividade, o professor pesquisador e os estudantes monitores
farão uma avaliação do Objeto de Aprendizagem executado.
49
SEGUNDA ETAPA
Aplicação de três objetos de aprendizagem elaborados pelo professor
pesquisador.
Na segunda etapa, os estudantes executaram a atividade sem o
acompanhamento dos estudantes monitores. Pelo que havíamos avaliado na
pesquisa, até o momento, os estudantes já tinham adquirido conhecimento suficiente
quanto ao manuseio do software GeoGebra para o reconhecimento de uma cônica.
Diante disso, nos três objetos de aprendizagem, da segunda etapa, os estudantes
utilizaram outros comandos existentes no GeoGebra e disponíveis na parte inferior
da tela inicial, no item “Comando”, conforme figura.
Figura 2 - página inicial do software GeoGebra Fonte: software GeoGebra
50
Atividade 5 : Objeto de Aprendizagem – Estudo da Elipse Objetivos :
• Construir uma Elipse utilizando outros comandos do software “GeoGebra”.
• Identificar em uma figura/foto o formato de uma Elipse.
• Identificar propriedades da Elipse.
Atividade 6 : Objeto de Aprendizagem – Estudo da Hipérbole
Ao constituir o Objeto de Aprendizagem sobre o estudo da Hipérbole, o
professor pesquisador considerou o fato de os estudantes já terem adquirido, com o
estudo da Elipse, um conhecimento satisfatório do software GeoGebra. Isto permitiu
que os mesmos pesquisassem as melhores opções de comandos para se chegar ao
conceito e reconhecimento de uma hipérbole.
Nesta fase da pesquisa, os estudantes ainda não tinham nenhum
conhecimento sobre outra cônica além da Elipse.
Objetivos:
• Construir uma Hipérbole.
• Identificar seus eixos, focos, sua excentricidade e suas assíntotas.
• Identificar em uma figura/foto o formato de uma Hipérbole.
• Identificar na figura/foto propriedades da Hipérbole.
Metodologia :
O Objeto de Aprendizagem foi desenvolvido para ser feito em grupos de três
estudantes.
51
Nos itens, o estudante poderá optar por utilizar o comando do GeoGebra que
achar conveniente, desde que o leve à construção da Hipérbole e ao
reconhecimento da curva no arquivo contendo a figura/foto.
Atividade 7 : Objeto de Aprendizagem – Estudo da Parábola
Objetivos:
• Construir uma parábola utilizando os comandos do software “GeoGebra”.
• Identificar seu eixo, foco e reta diretriz.
• Verificar sua excentricidade.
• Identificar em uma figura/foto o formato de uma parábola.
• Identificar propriedades da parábola.
Metodologia :
O Objeto de Aprendizagem foi desenvolvido para ser feito em grupos de três
estudantes.
A atividade prevista em cada item do objeto poderá ser feita utilizando os
comandos que o grupo achar conveniente.
52
5 APLICAÇÃO E ANÁLISE
Os sujeitos da investigação foram estudantes da terceira série do Ensino
Médio do Colégio Marista Dom Silvério. Trata-se de uma escola, situada em Belo
Horizonte, que mantém um ensino visando à formação integral do estudante, sem
deixar de se preocupar com sua excelência acadêmica.
Na primeira e na segunda série do Ensino Médio, os estudantes intensificam
seus estudos visando ao vestibular nas diversas universidades do País. Na terceira
série, esses estudantes são separados em quatro áreas de conhecimento:
Biomédicas, Exatas, Humanas e Humanas Gerenciais, o que permite um maior
aprofundamento dos conteúdos específicos para cada área.
No início, foram selecionados vinte estudantes das diversas áreas de
conhecimento, com disponibilidade fora do horário normal de aulas e com interesse
em estudar as cônicas, utilizando programas de computadores que tratam da
geometria analítica e que são de domínio público, isto é, free. São softwares de
geometria dinâmica cujo “suporte tecnológico permite o desenho, a manipulação e a
construção de objetos geométricos, facilita a exploração de conjecturas e a
investigação de relações que precedem o uso do raciocínio formal.” (PONTE, 2003,
p. 83)
O objetivo desse trabalho foi o de elaborar, com a participação desses vinte
estudantes, Objetos de Aprendizagem para o estudo e para a compreensão das
cônicas. A participação dos estudantes foi uma estratégia adotada para que eles
tivessem um maior envolvimento na elaboração do Objeto de Aprendizagem.
Segundo Ponte (2003, p. 23): “Ao requerer a participação do estudante na
formulação das questões a estudar, essa atividade tende a favorecer o seu
envolvimento na aprendizagem”.
Dos vinte estudantes selecionados, doze compareceram e fizeram o trabalho
de multiplicadores, que foram denominados estudantes monitores. Iniciamos essa
pesquisa com atividades investigativas, aplicadas em quatro encontros com os
estudantes selecionados. Após a análise de cada uma delas, foi elaborado, com a
participação dos estudantes, um Objeto de Aprendizagem referente a cada atividade
investigada. Esses Objetos de Aprendizagem foram aplicados aos demais
estudantes da terceira série do Ensino Médio.
53
Para que pudéssemos dar início ao desenvolvimento das atividades,
propusemos aos estudantes, em um primeiro encontro, que instalassem em seus
computadores os programas “GeoGebra” e “Winplot”. Em seguida, solicitamos que
manipulassem os programas e identificassem aquele com o qual encontrassem
maior familiaridade.
A opção por trabalhar com computadores dos próprios estudantes foi em
função da dificuldade de locomoção para o laboratório de informática do Colégio que
fica em prédio separado, além do melhor aproveitamento do tempo disponibilizado
para a execução da atividade.
Primeira atividade
Em um segundo encontro, os estudantes fizeram a primeira atividade cujo
objetivo era o de verificar a preferência deles quanto ao software a ser utilizado. É
importante ressaltar que nenhum desses estudantes tinha utilizado os softwares
propostos anteriormente.
Verificamos que todos optaram por utilizar o software GeoGebra, com
algumas justificativas:
“GeoGebra, porque ele é mais simples, tem comandos diretos e é mais
dinâmico.”
“GeoGebra, pois as funções e ferramentas têm mais fácil acesso e são
autoexplicativas.”
“O GeoGebra, por ter uma interface mais amigável, mais simples de ser
compreendida à primeira vista, mais recursos na tela principal.”
“GeoGebra, pois os comandos são mais objetivos e organizados.”
Nesse mesmo encontro, propusemos aos estudantes que se organizassem
em duplas, para que pudessem desenvolver a segunda atividade, cuja duração
estava prevista para uma hora. Dessa forma, foram criados os grupos: G1, G2, G3,
G4, G5 e G6.
A opção de se trabalhar em grupo foi para favorecer o trabalho colaborativo,
dentro de um relacionamento social entre os estudantes, incentivando discussões
entre os membros de cada grupo, pois “no caso em que os estudantes trabalham em
54
grupo, as interações que se geram entre eles são determinantes no rumo que a
investigação irá tomar.” Ponte (2003, p. 29)
O desenvolvimento da atividade em duplas permitiu que eles discutissem
sobre os aplicativos do software e encontrassem soluções para as questões
propostas. O mais interessante foi que cada participante do grupo tentava convencer
o outro, e até mesmo o professor, sobre as estratégias adotadas para a realização
da atividade.
Figura 3: Grupo de estudantes executando a primeira atividade Fonte: Foto do autor
Nessa atividade, a expectativa era a de que os estudantes chegassem ao
conceito de uma Elipse, sem conhecer a definição e a equação da mesma.
No início do processo de identificação da cônica, foi proposta uma atividade
com construção de pontos, segmentos e retas, até que, por meio dos recursos
disponibilizados no GeoGebra, os estudantes conseguissem identificar a curva.
55
Em cada etapa dessa atividade, os estudantes verificavam a tarefa e
escreviam os procedimentos utilizados para a construção do que foi solicitado,
conforme demonstrado por um dos grupos de estudantes.
Todos os gráficos foram construídos pelos estudantes sem a participação do
professor pesquisador.
Segunda atividade
Elipse
Atividade : Construção da Elipse
Item 1:
Identifique pontos nos quatro quadrantes do plano cartesiano.
Grupo G1:
1o quadrante: (2, 3)
2o quadrante: (-1, 2)
3o quadrante: (-2, -2)
4o quadrante: (1, -1)
Este item teve como principal objetivo a familiarização dos comandos
existentes no GeoGebra e a verificação de conceitos básicos da Geometria Analítica
no plano, tais como a localização de pontos no plano cartesiano. Os grupos
utilizaram diversos recursos do software para executar o primeiro item da atividade,
sem orientação do professor pesquisador.
Item 2:
Marque os pontos (-3, 4) e (2, 4), construa um segmento com estas
extremidades, verifique sua medida e escreva o resultado encontrado.
56
Gráfico 3: Segmento de reta construído pelo grupo 1 Fonte: Dados do autor
Grupo G1: “a=5u”
Escreva o procedimento utilizado para construir o segmento e encontrar sua
medida.
Grupo G1: “Primeiramente, utilizamos a ferramenta “novo ponto” e criamos os
dois pontos desejados. Depois disso, recorremos à ferramenta “segmento definido
por dois pontos” e selecionamos os pontos (-3, 4) e (2, 4). Com isso, o programa
criou o segmento e sua medida foi obtida ao selecionar a ferramenta “Distância,
Comprimento e Perímetro” e clicar no segmento.”
Nesse item da atividade, os grupos desenvolveram corretamente o que foi
solicitado. Nenhuma orientação foi dada pelo professor pesquisador quanto à
utilização dos comandos do software.
Item 3:
Construa uma Elipse utilizando os pontos (-3, 4) e (1, 4), chamados focos da
Elipse.
57
Grupo G1:
Gráfico 4: Elipse construída pelo grupo 1 Fonte: Dados do autor
Escreva o procedimento utilizado para construir a Elipse.
Grupo G1: “Utilizamos a ferramenta ‘Elipse’ e selecionamos os pontos (-3, 4)
e (1, 4) como focos da Elipse. Depois disso, marcamos outro ponto qualquer para
delimitar o tamanho da Elipse”.
Na execução desse item, alguns grupos utilizaram o menu situado na parte
superior da tela e outros procuraram na lista de comandos que o programa
disponibiliza na parte inferior da tela. Os estudantes que optaram por verificar a lista
de comandos perceberam que o software apresentava uma relação algébrica com a
figura construída.
Item 4:
Identifique o centro da Elipse.
Grupo G1: “(-0.5, 4)”
58
Escreva o procedimento utilizado para determinar o centro da Elipse.
Grupo G1: “ Utilizamos a ferramenta ‘comando’, no lado direito do vídeo e
selecionamos ‘centro’”.
Os grupos utilizaram a ferramenta comando para construir a Elipse e
socializaram esse procedimento com os demais grupos. Dessa forma, eles puderam
identificar o centro da Elipse de diversas maneiras.
Item 5:
Construa uma reta com os dois focos da Elipse.
Escreva o procedimento utilizado para construir a reta.
Grupo G1: “ Utilizamos a ferramenta ‘reta’ e selecionamos os dois focos da
Elipse anteriormente criada”.
A partir do item 5, os estudantes começaram a compreender o que
representavam os focos da Elipse. Houve manifestações de grupos mais adiantados
na execução da atividade quanto ao comportamento da Elipse, quando se
consideravam focos mais próximos e mais distantes entre si.
Item 6 :
Encontre os pontos de interseção da reta com a Elipse.
Grupo G1 : “(2, 4) e (-4, 4)”
Escreva o procedimento utilizado para encontrar os pontos de interseção.
Grupo G1: “ Utilizamos a ferramenta ‘Interseção de Dois Objetos’ para marcar
os pontos de interseção. As coordenadas destes pontos foram obtidas ao observar a
“zona algébrica”, localizada à esquerda do programa.”
59
Neste item, percebemos claramente que os estudantes já estavam se
familiarizando com os comandos e com a relação algébrica identificada no
GeoGebra.
Alguns grupos marcaram no gráfico os pontos de encontro, sem utilizar o
comando de interseção.
Item 7:
Encontre a distância entre os dois pontos de interseção – eixo maior da
Elipse.
Grupo G1 : “d= 6,84 u”
Item 8:
Trace a reta mediatriz do segmento cujas extremidades são os focos da
Elipse.
Grupo G1:
Gráfico 5: mediatriz construída pelo grupo 1
Fonte: Dados do autor
Escreva o procedimento utilizado para encontrar a reta mediatriz.
60
Grupo G1 : “Utilizamos a ferramenta ‘Mediatriz’ e selecionamos os dois focos”.
Os estudantes tiveram um pouco de dificuldade para traçar a mediatriz.
Apesar do conceito de mediatriz já ter sido estudado tanto na geometria plana
quanto na geometria analítica durante o ano, vários estudantes o desconheciam.
Para que pudessem dar continuidade à atividade, o professor pesquisador
esclareceu que se poderia entender a mediatriz como sendo uma reta perpendicular
ao segmento, passando pelo seu ponto médio.
Este conceito de mediatriz proporcionou aos estudantes um maior
entendimento ao dar continuidade à atividade.
Item 9:
Escreva os pontos de interseção da reta mediatriz com a Elipse.
Grupo G1 : “(-0.5, 1.66) e (-0.5, 6.34)”
Item 10:
Determine a distância entre os dois pontos encontrados – eixo menor da
Elipse.
Grupo G1 : “d=4,68 u”
Item 11:
Calcule a soma das distâncias de um ponto qualquer da Elipse aos dois focos
e compare o resultado com a medida do eixo maior.
61
Grupo G1:
Gráfico 6: soma das distâncias de um ponto qualquer aos focos da Elipse, construído pelo
grupo 1 Fonte: Dados do autor
Item 12:
Escreva as conclusões do resultado encontrado.
Grupo G1: “Concluímos que a soma das distâncias de um ponto qualquer da
Elipse aos focos tem o mesmo valor que a medida do eixo maior.”
Esta também foi a conclusão dos demais grupos de estudantes, sendo que,
em alguns casos, verificou-se uma pequena diferença entre a soma das distâncias
dos pontos aos focos e a medida do eixo maior e que foi assim justificada:
Grupo G2 : “Concluímos que a soma das distâncias de um ponto qualquer da
Elipse aos focos tem o mesmo valor que a medida do eixo maior. Como nossas
medidas não foram perfeitas, observamos que existe uma pequena margem de erro
devido à falta de precisão do cursor do mouse.”
Grupo G4: “ O resultado é praticamente igual, pois os valores foram 5,48 e
5,49. Assim, pode-se considerar que a soma das distâncias de um ponto qualquer
da Elipse é igual ao eixo maior da Elipse.”
62
Grupo G5: “ A distância entre qualquer ponto da Elipse e os focos da mesma
é igual ao valor do eixo maior. Considera-se um erro de 0,01 u.m.”
Nessa segunda atividade, percebemos uma mudança considerável no
envolvimento dos estudantes para sua execução. Segundo eles, a descoberta da
representação gráfica da Elipse e do seu conceito foi o que marcou essa atividade.
A participação e a elaboração da atividade investigativa, passando por vários
passos, sem receber pronto o conceito e uma fórmula de cálculo foi surpreendente,
pois há na terceira série do Ensino Médio uma ansiedade para o imediatismo e o
processo de soluções prontas, porque o “fantasma” do vestibular gera diversas
cobranças da escola, da família e até mesmo do próprio estudante. Apesar de todas
essas variáveis, verificamos que essa primeira atividade incentivou a investigação e
propiciou uma aprendizagem na qual o estudante passou da posição de agente
passivo para agente ativo, pois
o estudante precisa ultrapassar o papel de passivo, de escutar, ler, decorar e de repetidor fiel dos ensinamentos do professor e tornar-se criativo, crítico, pesquisador e atuante, para produzir conhecimento. Em parceria, professores e estudantes precisam buscar um processo de auto-organização para acessar a informação, analisar, refletir e elaborar com autonomia o conhecimento. (MORAN, 2000, p. 71).
Nesse processo participativo de ensinar e aprender, o estudante passou a se
motivar com o uso da tecnologia nas aulas de Matemática.
Segundo Moran (2000, p. 28), “podemos vivenciar processos participativos de
compartilhamento de ensinar e aprender (poder distribuído) por meio de
comunicação mais aberta, confiante, de motivação constante”.
Para aplicação da terceira atividade, o professor pesquisador solicitou aos
estudantes que trouxessem fotos ou figuras com curvas parecidas com a Elipse para
que pudessem verificar se realmente tratava-se de uma Elipse. Nessa terceira
atividade, além do reconhecimento de uma Elipse, os estudantes monitores teriam
que identificar simetrias e excentricidade. Novamente, não foram fornecidas a
definição e a interpretação desses dois conceitos, os quais foram conhecidos “via
descoberta”.
Como na segunda atividade, os procedimentos utilizados para sua execução
foram registrados.
63
Terceira atividade
Reconhecimento de uma Elipse e estudo de suas simetrias e excentricidade
Item 1:
Identifique na barra de ferramentas do Geogebra – “incluir imagem” e inclua a
imagem que você pesquisou.
Figura 4: “Dente-de-leão” apresentada pelo grupo 5
Fonte: Foto do autor
Escreva o procedimento utilizado para incluir a imagem
Grupo G5: “Clique na opção ‘Incluir imagem’ e, logo em seguida, selecione
um ponto qualquer no plano. Depois, localize o arquivo da imagem e o selecione”.
Neste item, os estudantes não se contiveram em realizar a atividade apenas
no grupo e passaram a discutir com os demais grupos alternativas para inserir a
foto/figura no software GeoGebra. Foi uma discussão proveitosa e várias fotos foram
analisadas pelos diversos grupos.
64
Um dos grupos trouxe a foto de uma flor chamada “dente de leão” 4para ser
analisada.
Item 2:
Como verificar se a curva apresentada na figura é ou não uma Elipse?
Grupo G4: “A figura deve ter o valor das somas das distâncias aos focos a
qualquer ponto da Elipse igual ao valor do eixo maior da figura.”
Grupo G3: “Para verificar se a curva é uma Elipse, seleciona-se a ferramenta
“Cônica Definida por Cinco Pontos.” Então se define esses cinco pontos na curva da
figura. Após isso, pela equação do objeto, pode-se confirmar que é uma Elipse.”
Grupo G6: “ Utilizamos a ferramenta “Cônica passando por 5 pontos” e
marcamos 5 pontos da curva descrita pela figura. Depois, na zona algébrica,
colocamos o mouse acima do objeto criado e o programa nos forneceu o nome da
curva.”
Grupo G1: “Primeiro fizemos uma reta, depois, usando a ferramenta “Elipse”,
criamos uma Elipse que coube perfeitamente na imagem.”
O objetivo desse item era verificar se os estudantes conseguiriam identificar
uma Elipse a partir do conceito que eles concluíram na segunda atividade. Ao invés
de verificar se a soma das distâncias de qualquer ponto da Elipse, aos focos, tinha o
mesmo valor do comprimento do eixo maior, conforme conclusão relatada por eles,
vários grupos entenderam que deveria construir uma Elipse sobre a figura,
prejudicando assim o item seguinte da atividade. Isto demonstrou que esses itens da
atividade não ficaram claros para os estudantes.
4 Dente de leão é o nome vulgar de várias espécies pertencentes ao gênero botânico Taraxacum, das quais a mais disseminada é a Taraxacum officinale. É uma planta medicinal herbácea conhecida no Brasil também pelos nomes populares: taráxaco , amor-de-homem , amargosa , alface-de-cão ou salada-de-toupeira Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Dente-de-le%C3%A3o, Acesso em 20 mar 2011.
65
Item 3:
A partir da sua resposta do item 2, construa sobre a figura uma Elipse.
Gráfico 7: Elipse construída sobre o dente-de-leão construído pelo grupo 5 Fonte: Dados do autor
Escreva o procedimento utilizado para construir a Elipse.
Grupo G4: “Clique no sétimo ícone e escolha a opção “cônica definida por
cinco pontos” e marque os pontos na figura.”
Grupo G1: “Criamos dois focos e um ponto sobre a Elipse.”
Grupo G5: “Tente criar, sobre a figura, um círculo. Observe o resultado e,
após, use a ferramenta ‘cônica definida por 5 pontos’ para construir a figura no
plano. Tire suas conclusões. Se necessário, exiba os pontos da cônica e compare-
os.”
Item quatro:
Faça movimentos com a Elipse utilizando o recurso disponível na barra de
ferramentas do Geogebra.
66
Escreva o procedimento utilizado para movimentar a Elipse:
Grupo G5: “Selecionar a opção “Mover” aplicar sobre os objetos da elipse
(ponto, curva) e arrastá-los.”
Grupo G3: “Selecione um ponto qualquer na Elipse e arraste este ponto para
qualquer lado.”
Grupo G1: “Utilizamos a movimentação de focos para mover os focos.”
Essa diversidade de comandos do GeoGebra permitiu que os estudantes
investigassem alternativas para execução da atividade.
Item 5:
Utilizando os focos, faça o movimento da Elipse e escreva sua conclusão.
Grupo G5: “Independente da movimentação de um dos focos, mantém-se a
soma das distâncias de qualquer ponto da Elipse a seus focos, ou seja, a soma das
distâncias dos focos a qualquer ponto da Elipse é igual ao valor do eixo maior.”
Grupo G3: “De acordo com a movimentação dos focos, a Elipse pode ficar
mais magra ou mais gorda. Ao afastarmos o foco, ela fica mais magra e, ao
aproximarmos, mais gorda.”
Mesmo desconhecendo o conceito de excentricidade, a atividade permitiu que
eles analisassem essa característica da Elipse.
Item 6:
Procure mover a Elipse, com o objetivo de sobrepô-la na figura inserida.
67
Gráfico 8: Elipse sobreposta no dente-de-leão const ruído pelo grupo 5 Fonte: Dados do autor
Qual a sua conclusão sobre a curva existente na fotografia?
Grupo G2: “Concluímos que a imagem é uma Elipse.”
Todos os grupos chegaram à mesma conclusão
Item 7:
Construa o eixo maior e menor da Elipse.
Identifique as simetrias existentes na Elipse.
Grupo G4: “Podemos notar uma simetria na Elipse em relação aos seus
eixos. O ponto de interseção entre o eixo maior e o menor divide estas retas
exatamente no meio, criando um eixo de simetria.”
Grupo G1: “Os eixos de simetria da Elipse são os eixos: menor e maior.”
Nem todos os grupos conseguiram identificar as simetrias existentes.
68
Alguns estudantes disseram que não sabiam reconhecer uma simetria no
gráfico. Diante disso, o professor pesquisador interrompeu a atividade e esclareceu
o significado de uma simetria, tornando, a partir daí, possível a identificação das
mesmas.
Item 8:
Na Elipse, construa um segmento cujos extremos sejam um dos focos e uma
das extremidades do eixo menor.
Item 9:
Identifique o ângulo agudo formado pelo segmento construído e pelo eixo
maior.
Grupo G2: “59o19’”
Escreva o procedimento utilizado para construir o ângulo.
Grupo G4: “Selecione o oitavo item da barra de ferramentas e escolha a
opção ‘ângulo’. Selecione três pontos no desenho, sendo que o ponto do meio é
aquele que possui o ângulo a ser descoberto.”
Grupo G3: “Utilizei a ferramenta ângulo, que se encontra na parte superior da
janela e selecionei o segmento construído e o eixo maior.”
Grupo G2: “ Usamos a ferramenta ângulo e clicamos sobre os três pontos
desejados.”
Alguns estudantes encontraram dificuldade em marcar o ângulo desejado.
Entretanto, com a troca de experiências entre os grupos, foi possível identificar o
ângulo.
69
Item 10:
Aumente e diminua o ângulo e descreva o que acontece com a Elipse.
Grupo G4: “A Elipse muda a sua forma, conforme eu mudo o ângulo.”
Grupo G1: “ Ao diminuir o ângulo, a Elipse se achata. Ao aumentar, ela se
aproxima cada vez mais de um círculo.”
Os estudantes começaram a relacionar esse comportamento com o que havia
sido feito no item 5 da atividade.
Item 11:
No triângulo retângulo formado pelo semieixo menor (b), pelo segmento que
determina a metade da distância focal (c) e pelo segmento que une um dos focos da
Elipse e uma extremidade do eixo menor (a), o que acontece com a razão “c/a”,
chamada excentricidade da Elipse, quando aumentamos e diminuímos o ângulo
construído.
Grupos de estudantes:
Grupo G4: “A razão c/a varia quando aumentamos e diminuímos o ângulo
construído. Isso faz com que a excentricidade da Elipse também varie ficando mais
“achatada” ou mais “gorda”. Quanto mais gorda, mais próxima de uma circunferência
a Elipse está.”
Grupo G3: “Quando aumentamos o ângulo construído, a razão c/a diminui,
tendendo a 0. Quando diminuímos o ângulo construído, a razão c/a aumenta,
tendendo a 1.”
70
Item 12:
Qual a conclusão encontrada sobre a excentricidade de uma Elipse?
Grupo G4: “A excentricidade da Elipse se dá pelo cosseno do ângulo
formado por c e a. Esse cosseno varia de 0 a 1, sendo que, quanto mais próximo de
zero esse valor de c/a for, mais próximo de ser uma circunferência esta Elipse está.”
Grupo G2: “Quanto menor a excentricidade da Elipse, mais próxima da
circunferência a Elipse está.”
Grupo G3: “A excentricidade é dada pelo cosseno e varia de 0 a 1. Se a
excentricidade se aproxima de 0, a Elipse tende a uma circunferência.”
Verificamos, nessa atividade, que os estudantes multiplicadores encontraram
poucas dificuldades em executar a tarefa. Uma das alunas que participou dessa
atividade trouxe a foto de uma “traqueia” para análise. Segundo ela, em uma
primeira análise, não conseguiu identificar o formato de uma Elipse. Entretanto,
depois de utilizar alternativas de verificação apresentadas pelos demais grupos, ela
concluiu que se tratava de uma Elipse.
Outras figuras/fotos foram apresentadas para análise: “dente de leão”, “arco
do triunfo”, “estádio de futebol”, dentre outras. Cada grupo verificou uma figura e, a
partir daí, iniciamos o processo de criação do primeiro Objeto de Aprendizagem5,
quarta atividade, a ser aplicado aos demais estudantes da terceira série do Ensino
Médio.
Quarta Atividade
Esse Objeto de Aprendizagem foi aplicado em turmas de 50 estudantes,
divididas em grupos de três estudantes e acompanhadas pelos estudantes
multiplicadores/monitores e pelo professor pesquisador.
5 Objeto de Aprendizagem, Apêndice D, aplicado em turmas de cinquenta estudantes da área de exatas, biológicas e humanas.
71
Em todas as turmas, a participação dos estudantes, nessa quarta atividade,
foi muito produtiva e os estudantes multiplicadores, que participaram da elaboração
do Objeto de Aprendizagem, tiveram a oportunidade de “demonstrar”, aos demais
colegas, propriedades da Elipse verificadas nas fotos de curvas que eles mesmos
identificaram.
Após o término da quarta atividade, reunimos com os estudantes
multiplicadores e fizemos uma avaliação do trabalho desenvolvido. Verificamos que
vários grupos encontraram certa dificuldade com alguns conceitos de geometria,
como o caso do conceito de mediatriz. Percebemos também que os estudantes das
áreas de exatas e biológicas tiveram menos dificuldade do que os estudantes da
área de humanas.
Após a avaliação feita com os estudantes multiplicadores, analisamos os
Objetos de Aprendizagem, que todos os estudantes da terceira série de Ensino
Médio usaram. Verificamos que a sequência adotada nessa atividade levou os
estudantes a concluírem que a soma das distâncias de um ponto qualquer,
pertencente à Elipse, aos focos, é sempre a mesma e igual ao eixo maior.
Entretanto, a identificação da curva, um dos itens da atividade, foi feita de diversas
formas, como demonstrado abaixo, por diversos grupos:
“Uma Elipse é uma cônica com 2 focos na qual a soma das distâncias de
qualquer ponto da figura aos focos é igual ao seu eixo maior.”
“A soma das distâncias de um ponto qualquer na Elipse a seus focos é
sempre igual ao valor do eixo maior da Elipse.”
“Uma figura arredondada que possui dois focos equidistantes do eixo da
Elipse.”
“Para identificar uma Elipse, é necessário verificar se a medida do eixo maior
é a mesma da soma das distâncias de um ponto qualquer aos dois focos.”
“Quando a soma das distâncias de um ponto até os dois focos for a mesma,
se trata de uma Elipse.”
72
“A distância entre as interseções do eixo menor com a Elipse aos focos é
igual à metade do eixo maior.”
“Para identificar uma Elipse, é necessário um eixo formado por duas retas
perpendiculares formadas por 2 pontos pertencentes a uma das retas, com distância
equivalente ao eixo. Além disso, são necessários dois focos que têm a mesma
distância da mediatriz. E os pontos não devem pertencer à Elipse e pertencer à outra
reta do eixo.”
“Forma geométrica em que a soma das distâncias de qualquer ponto aos
focos é igual ao eixo maior.”
“Uma Elipse é identificada a partir de dois focos nos quais uma reta que
passa por eles intercepta com a Elipse. A medida da distância dos pontos de
interseção determina o eixo maior: que é necessariamente igual à soma da distância
de qualquer ponto da Elipse aos dois focos.”
“A Elipse é uma figura geométrica em que a soma das distâncias de
qualquer ponto, pertencente à Elipse. a dois pontos simétricos, denominados focos é
sempre igual ao eixo maior, portanto constante.”
“Para identificar uma Elipse, é necessário um eixo formado por duas retas
perpendiculares formadas por quatro pontos pertencentes às retas com distância
equivalente dos eixos. Além disso, são necessários dois focos que têm uma mesma
distância da mediatriz. Os pontos não devem pertencer à Elipse e sim à outra reta do
eixo.”
“Uma Elipse é definida como uma figura oval que possui dois eixos: um
maior e outro menor, dois focos e um centro que é a interseção dos eixos.”
No último item do Objeto de Aprendizagem, foi solicitado que os estudantes
verificassem em fotos de arquivos disponibilizados para eles, se era possível
identificar uma Elipse e, em caso afirmativo, especificar a medida do eixo maior, do
eixo menor e do centro.
73
Nesse item, a participação dos estudantes monitores foi muito importante
para a identificação da curva e verificação dos pontos solicitados.
No final da atividade, os monitores utilizaram a foto de uma “traqueia” para
apresentar, em cada turma, seu formato de Elipse, bem como as propriedades
verificadas.
Figura 5: Foto de uma traqueia apresentada pelo gru po um
Fonte: Arquivo do autor
Quinta atividade
Como quinta atividade, o segundo Objeto de Aprendizagem6, elaborado com
a participação dos estudantes multiplicadores, foi aplicado aos demais estudantes
da terceira série do Ensino Médio. Nele foi proposto que construíssem uma Elipse e
identificassem o eixo maior, o eixo menor, o centro, a excentricidade e as simetrias
existentes nela.
Nessa atividade, os estudantes encontraram um pouco de dificuldade em
função do desconhecimento de conceitos geométricos e trigonométricos. Foi o
momento em que interrompemos a atividade para esclarecer esses conceitos. Após
os esclarecimentos necessários, os estudantes concluíram a atividade. 6 Objeto de Aprendizagem: Reconhecimento de uma Elipse e estudo de suas simetrias e excentricidade. Apêndice E
74
Ao analisar os Objetos de Aprendizagem feitos pelos estudantes, concluímos
que a maioria deles não encontrou problemas para a execução da atividade.
Um dos grupos de trabalho apresentou o seguinte resultado:
Gráfico 9: Elipse construída pelo grupo 3 Fonte: Dados do autor
• “D= (-0.5, 1.55) e E= (-0.5, 6.45)”
• Ângulo GB̂E = “44,42o”
• Excentricidade = “0,71”
• Conclusão sobre excentricidade:
“A excentricidade, quanto mais próxima de 1, a Elipse é mais achatada,
quanto mais próxima de 0, ela se aproxima de uma circunferência.”
Alguns grupos tiveram dificuldade em citar o ângulo cujo cosseno é a
excentricidade da Elipse, conforme demonstrado a seguir:
“Para encontrar a excentricidade, devemos calcular o cosseno do ângulo
formado entre a interseção do eixo menor com a Elipse passando por um dos focos,
chegando ao centro.”
75
“Ela é o cosseno do ângulo entre o semieixo menor e o eixo maior.”
“A excentricidade é o cosseno do ângulo formado entre a interseção do eixo
menor com a Elipse, passando por um dos focos, chegando ao centro.”
Sexta atividade
Hipérbole
Como sexta atividade, foi aplicado o Objeto de Aprendizagem7 que tem como
principal objetivo a construção e a identificação de propriedades de outra cônica, a
Hipérbole.
Esse Objeto de Aprendizagem não foi elaborado com a participação dos
estudantes multiplicadores. A intenção era verificar qual seria o comportamento de
toda turma diante de uma atividade que era desconhecida por todos.
O resultado não foi o mesmo alcançado na atividade de análise da Elipse, em
que o envolvimento dos estudantes na realização da atividade demonstrou a
importância do papel exercido pelos estudantes multiplicadores.
Optamos, então, por analisar os Objetos de Aprendizagem dos estudantes
das turmas da área de exatas, uma vez que esses estudantes apresentaram maior
interesse e facilidade durante a execução da atividade.
Como nos outros Objetos de Aprendizagem, à medida que o estudante foi
desenvolvendo a atividade, ele chegava a um conceito que lhe permitia reconhecer
uma Hipérbole, como foi verificado na atividade seguinte, desenvolvida por um dos
grupos de estudantes.
7 Objeto de Aprendizagem: Construção de uma hipérbole e identificação de propriedades. Apêndice F
76
Gráfico 10: Hipérbole construída por um grupo da tu rma de exatas
Fonte: Dados do autor
Nesta atividade, os estudantes concluíram que:
“A diferença entre a distância de um ponto qualquer da hipérbole até um dos
focos e a distância desse ponto até o outro foco sempre será igual ao eixo real.”
A excentricidade também foi verificada a partir de outras construções feitas na
Hipérbole, conforme verificado no Objeto de Aprendizagem (Apêndice F).
No item questionado sobre o que se podia concluir em relação à
excentricidade de uma Hipérbole, alguns estudantes encontraram dificuldade,
procurando responder utilizando a mesma sequência de atividades do Objeto de
Aprendizagem que os levou a chegar ao valor da excentricidade da Hipérbole.
Outros estudantes concluíram ser o valor da excentricidade da Hipérbole maior do
que uma unidade.
Ao mover um ponto sobre a hipérbole, conforme solicitado no último item da
atividade, os estudantes concluíram que:
77
“Quanto maior a excentricidade da Hipérbole, maior a abertura da Hipérbole,
e quanto menor a excentricidade, menor a abertura. A excentricidade varia de 1 ao
infinito.”
“A excentricidade da Hipérbole é sempre maior que 1 e é a secante do ângulo
formado pela assíntota e pela metade do eixo real.”
Essa sexta atividade, realizada no início do mês de novembro, não teve o
mesmo nível de resultado positivo como o da atividade sobre Elipse, que foi aplicada
durante o mês de outubro.
Ao questionar os estudantes tivemos alguns posicionamentos:
“Estou preocupado com a prova do ENEM, e esse assunto não cai na prova.”
“Esse assunto só cai na prova aberta da Federal.”
“Você devia ter trabalhado esse assunto em dezembro.”
Essas e outras argumentações feitas pelos estudantes foram verificadas
principalmente nas turmas das áreas de humanas.
Na turma da área de exatas, onde foram analisados os Objetos de
Aprendizagem, o resultado foi melhor.
Ao verificar, em fotos/figuras, o formato de uma Hipérbole, alguns grupos
apresentaram figuras para análise. Um deles identificou o formato de uma Hipérbole
em uma figura de um livro de Matemática para a terceira série do Ensino Médio.
Nessa figura, apresentada abaixo, os estudantes do grupo identificaram o formato
de uma Hipérbole, sua distância focal, o eixo real, o eixo imaginário e a
excentricidade.
78
Figura 6: Torre de Refrigeração de Usinas Nucleares apresentada por um grupo da turma de exatas.
Fonte: MANOEL PAIVA, 2009, vol.3.
No momento em que este grupo de estudantes mostrou aos demais colegas a
figura com a identificação da Hipérbole, fizemos alguns comentários sobre a figura,
mostrando que a forma da torre era de uma Hiperbolóide, obtida pela rotação da
Hipérbole em torno do eixo imaginário.
Sétima atividade
Parábola
Para a sétima atividade, foi elaborado um Objeto de Aprendizagem8 que teve
como objetivo a construção de uma parábola e a identificação de propriedades.
A atividade foi realizada no início do mês de dezembro e foram analisados os
Objetos de Aprendizagem dos estudantes das turmas da área de exatas.
Com o conhecimento que os estudantes adquiriram ao estudar a Elipse e a
Hipérbole, utilizando o GeoGebra, tornou-se possível a elaboração de um Objeto de
8 Objeto de Aprendizagem: Construção de uma parábola e identificação de propriedades- Apêndice G
79
Aprendizagem com comandos que permitiam ao estudante chegar ao conceito da
cônica sem a necessidade de detalhamento das construções de retas, de pontos, de
distâncias, dentre outras.
Alguns grupos de estudantes, questionados na atividade proposta sobre o
conceito de parábola, responderam:
“Todos os pontos da Parábola estão equidistantes do foco e da reta diretriz.”
“Curva na qual a distância de reta diretriz a qualquer ponto da curva é igual à
distância deste mesmo ponto ao foco da parábola.”
“Uma parábola é um conjunto de pontos em que a distância entre um ponto
qualquer à reta diretriz e a distância dele ao foco é igual.”
Todos os grupos conseguiram construir a parábola, conforme figura abaixo,
apresentada por um dos grupos.
Gráfico 11: Parábola construída por um grupo da tur ma de exatas Fonte: Dados do autor
80
Nesta atividade, foi também questionado sobre a excentricidade, em que
todos responderam que a excentricidade, identificada pela razão entre a distância de
um ponto da parábola à reta diretriz e a distância do mesmo ponto ao foco, era
sempre igual a uma unidade.
Quanto à existência de simetria na parábola construída, os estudantes
identificaram a simetria e que era em relação ao eixo das abscissas.
Para verificar se era possível identificar uma parábola em uma foto/figura,
sugerimos aos estudantes uma foto dos Arcos Parabólicos de La Casa Millá, em
Barcelona.
Figura 7: LaPedreraParabola Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro : LaPedreraParabola.jpg 9 Acesso em: 10 dez.2010
Após análise, um dos grupos de estudantes apresentou o resultado. Os
estudantes não identificaram uma parábola no formato da curva. Houve uma série
de discussões, inclusive com identificação da curva como sendo parte de uma
Elipse.
9 Arcos com forma de catenária bajo la terraza de la Casa Milá (o La Pedrera) em Barcelona, Espanha.
81
Ao final da discussão, fizemos uma intervenção, chamando atenção para que,
ao construir uma cônica, utilizando cinco pontos, o GeoGebra procura identificar uma
das três cônicas: a Elipse, a Hipérbole ou a Parábola, e isto pode deixar de
reconhecer curvas muito próximas dessas cônicas, como a curva chamada
“catenária”10. Nesse caso, a curva apresentada para discussão é uma catenária e
aparentava ser uma parte de uma Elipse.
Nessa atividade, foi possível perceber que os estudantes aprenderam a
reconhecer uma cônica a partir de seu conceito. Eles demonstraram ter
compreendido os conceitos geométricos necessários para a construção das cônicas
e também ter adquirido um conhecimento para utilização do software GeoGebra.
10 Catenária descreve uma família de curvas planas semelhantes às que seriam geradas por uma corda suspensa pelas suas extremidades e sujeitas à ação da gravidade. Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Caten%C3%A1ria, Acesso em 20 mar 2011
82
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
A questão investigada se referiu à busca de uma nova metodologia para o
estudo das cônicas no Ensino Médio, por meio de atividades investigativas para a
construção de um Objeto de Aprendizagem. Com privilégio, enfatizou-se o estudo
conceitual das cônicas. Partindo da atividade dos estudantes, com sua intuição,
levantamentos de conjecturas, interação professor/estudante, estudante/estudante
foi feito um convite aos estudantes para “o fazer matemática”, substituindo o simples
receber matemática freiriano, evitando a educação bancária do depositar do
professor no estudante.
Assim, a pesquisa realizada demonstra que, quando um conteúdo é
construído em parceria com os estudantes, transformando-os em agentes ativos no
processo de ensino e aprendizagem, o resultado é bastante eficaz. Segundo
Masseto (2000), o professor, nesse processo, é um facilitador e incentivador que faz
a ponte entre o aprendiz e a sua aprendizagem. Tal procedimento, além de propiciar
um melhor entendimento do conteúdo a ser explorado, ajuda o professor a
estabelecer pontes entre a reflexão e a ação, entre experiência e a conceituação, o
que nos leva a aprender cada vez mais, de acordo com Moran (2000).
A orientação no estudo da Matemática passa a ocupar uma etapa de
destaque no processo de aprendizagem do estudante. O professor deixa de ser um
simples repassador de conteúdo, passando a propor desafios aos estudantes dentro
de um espírito interrogativo, diante das ideias matemáticas, conforme Ponte (2003).
Nessa perspectiva, o estudo das cônicas, em nossa pesquisa, facilitou a
visualização da figura e a identificação de suas características, a partir da
representação gráfica, explorando o pensamento geométrico em situações
vivenciadas no cotidiano.
A inovação nesse trabalho foi a participação intensiva dos estudantes na
elaboração de um Objeto de Aprendizagem. Utilizando o GeoGebra puderam, sem
nenhum conhecimento sobre o tema, investigar e construir um OA que permitiu
conceituar uma Elipse. O acompanhamento do professor pesquisador foi
fundamental para que conceitos matemáticos não fossem utilizados de forma
equivocada.
83
Ao realizar essa experiência, verificamos a facilidade encontrada pelos
estudantes em explorar um software matemático, além de seu envolvimento e de
sua insistência para visualizar o gráfico e chegar ao conceito de uma cônica.
A metodologia inovadora de repasse e troca entre os estudantes pelas três
primeiras atividades investigativas, aplicadas a um grupo selecionado de estudantes
e a sua elaboração, proporcionou condições, por meio de tentativas, para que
encontrassem, no GeoGebra, os comandos que os levassem à construção de
pontos, segmentos, retas, retas perpendiculares, dentre outros, necessários para se
chegar à construção de uma Elipse.
Como a atividade foi desenvolvida em duplas, verificamos que as discussões
ocorridas em cada dupla, e entre elas, permitiram que se chegasse à construção da
Elipse por diversos caminhos. Ressaltamos a diversidade de soluções encontradas
como resultado do trabalho interativo e da possibilidade de experimentar sem uma
exposição prévia do professor.
Na atividade em que os estudantes identificaram a Elipse em figuras/fotos
trazidas por eles, houve uma efetiva integração do saber escolar e não escolar, a
realidade adentrando a sala de aula.
Percebemos que houve um avanço mais significativo no processo de
aprendizagem do conteúdo proposto. Isto nos leva a aceitar a didática da ação para
a elaboração conceitual, isto é, a importância de se construir um conceito
matemático antes de defini-lo. No nosso entendimento isto não significa dar mais ou
menos importância às definições, mas sim permitir um maior e melhor entendimento
delas. De acordo com Pais (2001), ao aprender o significado de um conceito,
extrapola-se o texto formal de uma definição.
O Objeto de Aprendizagem, elaborado pelos estudantes selecionados e
aplicado aos demais colegas da série, permitiu que esses estudantes tivessem uma
oportunidade de socializar o conhecimento adquirido, esclarecendo dúvidas e
mostrando as diversas opções encontradas para a identificação da Elipse.
Na aplicação dos outros OAs, que permitiram identificar e conceituar a
Hipérbole e a Parábola, os estudantes demonstraram novamente a importância de
se construir o conceito de uma cônica e, a partir daí, analisar e identificar suas
propriedades. Nessa experiência, percebemos que as dificuldades encontradas,
principalmente na Hipérbole, eram transformadas em desafios, sempre com alguma
84
alternativa para solução do problema, pois a Hipérbole, pela sua forma assintótica,
traz maiores dificuldades de construção.
Os problemas propostos em livros didáticos do Ensino Médio, enfatizando
mais a construção, a identificação e o conceito de cada cônica, não trazendo o
estudo algébrico dessas curvas, poderiam oportunizar mais tempo ao professor do
Ensino Médio de exploração conceitual, cabendo ao Ensino Superior tratar das
equações e de seus parâmetros.
O uso do computador nessa pesquisa, além de ter sido facilitador, foi mais um
incentivador para descobertas e conclusões construídas dentro de um espírito
participativo e envolvente tanto para o estudante quanto para o professor.
É importante salientar que o uso das tecnologias para a aprendizagem de
conceitos, como os das cônicas, não tem o objetivo de eliminar métodos tradicionais
de aulas expositivas. Elas ajudam a compreensão dessas aulas quando se pretende
construir o conhecimento do conteúdo proposto na mesclagem de processos. Além
disso, estimula o professor a percorrer novos caminhos que visam à aprendizagem
do estudante.
A diversificação de métodos pode trazer um movimento na efetivação da
didática. Assim, a exposição junto à aula dialogada e interativa pode constituir
parâmetro de flexibilização na elaboração do saber, já construído e a construir.
Em suma, podemos sintetizar essas considerações finais em 2(duas)
importantes conclusões:
A primeira a que chegamos, após a pesquisa realizada, é de que, no Ensino
Médio, podemos privilegiar o estudo de conceitos sobre as cônicas, permitindo ao
estudante analisar e identificar uma cônica sem a necessidade de chegar à sua
equação.
Uma segunda conclusão, não menos importante, foi em função do
aprendizado adquirido nessa pesquisa, que incluímos em nossa atividade como
professor, esse formato didático diferenciado para o ensino da Matemática. A nossa
aula que sempre teve a função de repassar conteúdos adquiridos passou a ser um
momento de discussão, de troca de experiências, da vivência de situações
problematizadoras e de investigação. Isto não significa que houve um rompimento
com a aula expositiva, mas sim uma importante contribuição para que a exposição
de conteúdos seja enriquecida com compartilhamento de ideias, proporcionando
uma maior aproximação entre o professor e o estudante, visando à construção de
85
conteúdos matemáticos, procurando mais a presença do educador do que
simplesmente o professor que ensina.
86
REFERÊNCIAS
BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação Matemática . 3. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2003, 104 p. BRASIL. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. PCN+ Ensino Médio: Orientações Educacionais complementares aos Parâmet ros Curriculares Nacionais. Ciências da Natureza, Matemática e suas tecnologias . Brasília: MEC/SEF, 2002. BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Ciência da natureza, Matemática e suas tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, 2006. 135 p.(Orientações para o ensino médio: volume 2). COSTA, J.W.; OLIVEIRA, M.A.M. (Orgs.). Novas Linguagens e Novas Tecnologias : Educação e Sociabilidade. Petrópolis (RJ): Vozes, 2004, v. 1, 149 p. D´AMBRÓSIO, Ubiratan. Prefácio. In: BORBA, M. C.; ARAÚJO, J. L. (Orgs.). Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2004. DANTE, Luiz Roberto. Matemática contexto & aplicações : 3 ensinos médio. 3. Ed. São Paulo: Ática, 2008. FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sérgio. Investigação em educação Matemática: percursos teóricos e metodológicos. 3.ed. rev. Campinas (SP): Autores Associados, 2009. (Coleção Formação de Professores) FREIRE, Paulo; SHOR, Ira. Medo e Ousadia : O cotidiano do professor. Tradução Adriana Lopez, revisão técnica de Lólio Lourenço de Oliveira. Rio de Janeiro: Paz e Terra, 1986. 226 p. FROTA, Maria Clara Resende. O pensar matemático no ensino superior : concepções e estratégias de aprendizagem dos alunos. 2002. 287f. Tese (Doutorado). – Universidade Federal de Minas Gerais, Faculdade de Educação, Belo Horizonte. IEZZI, Gelson; DOLCE, Oswaldo; PÉRIGO, Roberto. Matemática : volume único. 4. Ed. São Paulo: Atual, 2007.
87
LAUDARES, João Bosco. Educação Matemática . Belo Horizonte: CEFETMG, 1987. LÉVY, Pierre. As Tecnologias da Inteligência : O futuro do pensamento da era da informática. Tradução Carlos Irineu da Costa. Rio de Janeiro: Editora 34, 1993. 208 p. (Coleção TRANS) LIMA, Ivan Shirahama Loureiro de et al. Criando interfaces para objetos de aprendizagem. In: PRATA, Carmem Lúcia; NASCIMENTO, Anna Christina Aun de Azevedo (orgs). Objetos de Aprendizagem: Uma proposta de recurso pedagógico. Brasília: MEC, SEED, 2007, p.39-48. LINS, Rômulo Campos; GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas, São Paulo: Papirus, 1997. LOLLINI, Paolo. Didática e Computador: quando e como a informática na escola. Tradução: Antônio Vietti e Marcos J. Marcionilo. 3. Ed. São Paulo: Edições Loyola, 2003, 243 p. MACÊDO, Laécio Nobre de et al. Desenvolvendo o pensamento proporcional com o uso de um objeto de aprendizagem. In: PRATA, Carmem Lúcia; NASCIMENTO, Anna Christina Aun de Azevedo (orgs). Objetos de Aprendizagem: uma proposta de recurso pedagógico. Brasília: MEC, SEED, 2007, p.17-26. MACENA, Marta Maria Mauricio. Contribuições da investigação em sala de aula para uma aprendizagem das secções cônicas com signi ficado. 2007. 162f. Dissertação( Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, 2007. MASSETO, Marcos T. Mediação pedagógica e uso da tecnologia. In: MORAN, José Manuel; MASSETO, Marcos T.; BEHRENS, Marilda Aparecida (orgs). Novas tecnologias e mediação pedagógica. 17. Ed. Campinas (SP): Papirus, 2000, p.133-173. MIRANDA, Dimas Felipe; LAUDARES, João Bosco. Quádricas . Belo Horizonte: Fumarc, UCMG, 1982. MORAN, José Manuel. Ensino e aprendizagem inovadores com tecnologias audiovisuais e telemáticas. In: MORAN, José Manuel; MASSETO, Marcos T.; BEHRENS, Marilda Aparecida (orgs). Novas tecnologias e mediação pedagógica. 17. Ed. Campinas (SP): Papirus, 2000, p.11-65.
88
MOTA, Janine Freitas. Um estudo de planos, cilindros e quádricas exploran do seções transversais na perspectiva da habilidade de visualização com o software WINPLOT. 2010. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática ) - Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. OLIVEIRA, Afonso Soares de; MORANDI, Henrique Morais. Matemática Prática e Instrumental , vol. 3, São Paulo: Lê, 1980 PAIS, Luiz Carlos, Didática da Matemática: uma análise da influência francesa. Belo Horizonte: Autêntica, 2001, 128 p. PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática: vol. 3. São Paulo: Moderna, 2002. PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações Matemáticas na sala de aula . Belo Horizonte: Autêntica, 2003, 152 p. SOUZA, Aguinaldo Robinson de et al. Desenvolvimento de habilidades em tecnologias da informação e comunicação (TIC) por meio de objetos de aprendizagem. In: PRATA, Carmem Lúcia; NASCIMENTO, Anna Christina Aun de Azevedo (orgs). Objetos de Aprendizagem: uma proposta de recurso pedagógico. Brasília: MEC, SEED, 2007, p.49-57. SOUZA, Maria de Fátima C. de et al. Desenvolvimento de habilidades em tecnologias da informação e comunicação (TIC) através de objetos de aprendizagem. In: PRATA, Carmem Lúcia; NASCIMENTO, Anna Christina Aun de Azevedo (orgs). Objetos de Aprendizagem: uma proposta de recurso pedagógico. Brasília: MEC, SEED, 2007, p.59-69. TAROUCO, Liane M. R.; DUTRA, Renato. Padrões e interoperabilidade. In: PRATA, Carmem Lúcia; NASCIMENTO, Anna Christina Aun de Azevedo (orgs). Objetos de Aprendizagem: uma proposta de recurso pedagógico. Brasília: MEC, SEED, 2007, p.81-92. VALENTE, J. A. Formação de educadores para o uso da informática na escola. Campinas (SP): UNICAMP, 2003. VAZ, Ieda do Carmo. Os conceitos de limite, derivada e integral em livr os didáticos de Cálculo e na perspectiva de professore s de matemática e de disciplinas específicas em cursos de engenharia. 2010. 177f. Dissertação (Mestrado) - Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais.
89
APÊNDICES
• ATIVIDADES
• OBJETOS DE APRENDIZAGEM
90
APÊNDICE A - Análise dos softwares GeoGebra e Winpl ot
I Objetivo:
Identificar o software que será utilizado para desenvolver as atividades.
II Metodologia:
Iniciaremos a atividade instalando dois softwares educativos, Geogebra e Winplot,
de domínio público, nos computadores.
Após instalação dos softwares o aluno deverá verificar os diversos comandos de
cada software, utilizá-los, e finalmente fazer a opção daquele que melhor se
adaptou.
III Atividade:
um) Você encontrou dificuldade para instalar os programas GeoGebra e Winplot no
computador?
__________________________________________________________________ 2) Se sua resposta foi positiva, faça suas observações sobre o problema
encontrado.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
__________________________________________________________________
3) Ao verificar os programas qual deles você encontrou maior facilidade para
manipular os comandos? (Justifique sua resposta)
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
91
APÊNDICE B – Estudo da Elipse no GeoGebra
I. Objetivos:
• Construir uma Elipse utilizando os comandos do programa GeoGebra
• Identificar o centro da Elipse, seus eixos e suas propriedades.
• Escrever os procedimentos utilizados para cada item da atividade, visando à
elaboração de um objeto de aprendizagem.
II. Metodologia:
A atividade deve ser executada em dupla.
Os alunos devem verificar na tela inicial do software os comandos
necessários para a execução de cada item da atividade.
Nesta atividade, os alunos devem descobrir as opções de comandos e
executá-los.
As dúvidas devem ser discutidas em cada dupla sem intervenção do
professor pesquisador.
Cada dupla deve registrar os procedimentos utilizados em cada item da
atividade. Ao final, os grupos apresentarão a conclusão sobre a cônica verificada.
III Atividade 1) Identifique pontos nos quatro quadrantes do plano cartesiano
1o quadrante:
2o quadrante:
3o quadrante:
4o quadrante:
92
Escreva o procedimento utilizado para identificar os pontos
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2) Marque os pontos (-3, 4) e (2, 4), construa um segmento com estas
extremidades, verifique sua medida e escreva o resultado encontrado.
_________________________________________________________________ Escreva o procedimento utilizado para construir o segmento e encontrar a sua
medida.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
3) Construa uma Elipse utilizando os pontos (-3,4) e (1, 4), chamados focos da
Elipse.
Escreva o procedimento utilizado para construir a Elipse
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
4) Identifique o centro da Elipse ___________________________________________________________________ 5) Construa uma reta com os dois focos da Elipse Escreva o procedimento utilizado para construir a reta
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
6) Encontre os pontos de interseção da reta com a Elipse
___________________________________________________________________
93
Escreva o procedimento utilizado para encontrar os pontos de interseção
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
7) Encontre a distância entre os dois pontos de interseção – eixo maior da Elipse.
__________________________________________________________________ 8) Trace a reta mediatriz do segmento cujas extremidades são os focos da Elipse
Escreva o procedimento utilizado para encontrar a reta mediatriz
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
9) Encontre os pontos de interseção da reta mediatriz com a Elipse __________________________________________________________________ 10) Determine a distância entre os dois pontos encontrados – eixo menor da
Elipse.
___________________________________________________________________ 11) Calcule a soma das distâncias de um ponto qualquer da Elipse aos dois focos
e compare o resultado com a medida do eixo maior.
Escreva as conclusões do resultado encontrado
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
94
APÊNDICE C - Reconhecimento de uma Elipse e estudo de suas simetrias e
excentricidade
I Objetivos:
• Reconhecer uma elipse utilizando os comandos do programa GeoGebra.
• Verificar as simetrias existentes.
• Identificar os eixos: maior e menor da Elipse.
• Analisar a excentricidade da Elipse.
• Escrever os procedimentos utilizados para cada item da atividade, visando à
construção de um objeto de aprendizagem.
• Construir um Objeto de Aprendizagem que permita ao conjunto ampliado de
alunos chegarem ao conceito de uma Elipse
II Metodologia:
Cada dupla deve transferir para o GeoGebra o arquivo da figura ou foto
escolhida a fim de verificar se o formato da curva existente nele é uma Elipse.
Utilizando o software GeoGebra os alunos devem analisar se figuras/fotos
trazidas por eles tem o formato de uma elipse.
Assim como na primeira atividade, os alunos devem escrever os
procedimentos utilizados para a verificação da cônica.
O tempo destinado à realização da atividade é de uma hora.
III Atividade:
1) Identifique na barra de ferramentas do GeoGebra –“incluir imagem” e inclua a
imagem que você pesquisou.
Escreva o procedimento utilizado para incluir a imagem.
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
95
2) Como você verifica se a curva apresentada na figura é ou não uma Elipse?
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
3) A partir da sua resposta do item 2, construa sob a figura uma Elipse. Escreva
o procedimento utilizado para construir a Elipse.
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
4) Faça movimentos com a Elipse utilizando recurso disponível na barra de
ferramentas do GeoGebra.
Escreva o procedimento utilizado para movimentar a Elipse
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
Utilizando os focos, faça o movimento da Elipse e escreva sua conclusão.
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
96
5) Procure mover a Elipse com objetivo de sobrepô-la na figura inserida. Qual a
sua conclusão sobre a curva existente na fotografia?
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
6) Construa o eixo maior e menor da Elipse.
7) Identifique as simetrias existentes na Elipse.
___________________________________________________________
__________________________________________________________
8) Na Elipse, construa um segmento cujos extremos são: um dos focos e uma
das extremidades do eixo menor.
9) Identifique o ângulo agudo formado pelo segmento construído e pelo eixo
maior.
Escreva o procedimento utilizado para construir o ângulo.
___________________________________________________________
___________________________________________________________
10) Aumente e diminua o ângulo e descreva o que acontece com a Elipse.
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
97
11) No triângulo retângulo formado pelo semieixo menor (b), pelo segmento que
determina a metade da distância focal (c) e pelo segmento que une um dos focos da
Elipse e uma extremidade do eixo menor (a), o que acontece com a razão c/a,
chamada excentricidade da Elipse, quando aumentamos e diminuímos o ângulo
construído.
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
12) Qual a conclusão encontrada sobre a excentricidade de uma Elipse?
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________
98
APÊNDICE D - Objeto de Aprendizagem: Reconhecimento de uma Elipse
I Objetivos:
• Construir uma Elipse utilizando os comandos do software “GeoGebra”.
• Identificar o centro da Elipse, seus eixos e sua excentricidade.
• Identificar em uma figura/foto uma curva com o formato de Elipse.
II Metodologia:
A atividade deve ser executada em grupos de três alunos e cada aluno
monitor deve acompanhar dois grupos.
As dúvidas devem ser sanadas pelos alunos monitores sob o
acompanhamento do professor pesquisador.
Os alunos monitores devem orientar os grupos sobre utilização do arquivo
com a figura/foto para análise da curva com formato de Elipse existente nele.
Ao final da atividade, o professor pesquisador e os alunos monitores farão
uma avaliação do Objeto de Aprendizagem executado.
III Atividade:
1) Acesse o programa “GeoGebra”.
2) Na parte superior do vídeo clique em “Exibir”; em seguida, no item “Malha” e no
item “Janela de Álgebra”.
3) Marque um ponto em cada quadrante do plano cartesiano.
1o quadrante: ...............
2o quadrante: ...............
3o quadrante: ...............
4o quadrante: ...............
4) Na parte superior, clique em “Arquivo” e, em seguida, no item “Novo”.
5) Na parte superior, clique no 2o quadro (novo ponto) e marque os pontos (-4, 2) e
(4, 2).
6) Utilizando o quadro seguinte, construa um segmento unindo os dois pontos.
99
7) No oitavo quadro, identifique o comprimento do segmento traçado.
Resultado: ...............
8) Verifique no sétimo quadro a opção “Elipse” e construa uma Elipse, utilizando os
pontos (-4, 2) e (4, 2) como seus focos e um terceiro ponto não pertencente à
reta que contém os focos.
Terceiro ponto: ..............
9) Verifique no terceiro quadro a opção “Reta Determinada por dois Pontos” e
construa uma reta passando pelos da Elipse.
10) Verifique no segundo quadro “Interseção de dois objetos” e determine a
interseção entre a Elipse e a reta construída.
Pontos de interseção: ................... .....................
11) Encontre a distância entre os dois pontos de interseção, que é identificada como
eixo maior da Elipse.
Eixo maior: ................
12) Utilizando o quarto quadro, construa uma mediatriz do eixo maior da Elipse.
13) Encontre a interseção do eixo maior com a mediatriz, que é o centro da Elipse.
Centro de Elipse: ...............
14) Determine a interseção da mediatriz com a Elipse.
Pontos de Interseção: ...................... .......................
15) Determine a distância entre os dois pontos encontrados, que é identificada como
eixo menor da Elipse.
Eixo menor: ....................
16) Identifique um ponto qualquer na Elipse e calcule as distâncias desse ponto aos
focos, some o resultado e compare com a medida do eixo maior.
17) Repita esse procedimento com outro ponto qualquer, pertencente à Elipse.
18) Escreva suas conclusões sobre o resultado encontrado.
19) A partir do que foi estudado com o auxílio do GeoGebra, como você identifica
uma Elipse?
20) Utilizando o arquivo com a foto, que foi disponibilizada para você, verifique se a
curva existente nela tem um formato de Elipse. Caso tenha, identifique o eixo
maior, eixo menor, centro e a distância entre os focos.
Eixo maior: .........
Eixo menor: ........
Centro: ...........
100
APÊNDICE E - Objeto de Aprendizagem – Estudo da Eli pse
I Objetivos:
• Construir uma Elipse utilizando outros comandos do software “GeoGebra”.
• Identificar em uma figura/foto o formato de uma Elipse.
• Identificar propriedades da Elipse.
II Metodologia:
O Objeto de aprendizagem foi desenvolvido para ser feito em grupos de três
alunos.
Será utilizada alternativa de comandos para a execução dos itens propostos
no Objeto.
Os alunos já tiveram acesso ao software na atividade quatro, com orientação
dos alunos monitores; portanto, o trabalho será desenvolvido pelos grupos, onde o
aluno monitor será mais um integrante desse grupo.
III Atividade:
1) Acesse o programa “GeoGebra”.
2) Na parte inferior da tela “Entrada” escreva o ponto A= (-3, 4) e tecle “enter”.
Repita o processo com os pontos B= (2,4) e C= (3,4).
3) Localize no lado direito da parte inferior da tela a palavra “Comando”, clique
em “Elipse”. Na linha de Entrada, em que aparece “Elipse”, escreva dentro dos
colchetes as letras A,B,C. Tecle “enter”
4) Construa o eixo menor da Elipse.
5) Utilizando a linha de comando determine os pontos de interseção da Elipse
com o eixo menor.
D=(....,....) e E=(....,....)
6) Construa o eixo maior da Elipse
7) Encontre o ponto G centro da Elipse
8) Determine o ângulo EGB
Medida do ângulo EGB:........
101
9) Determine a excentricidade da Elipse
10) O que se pode concluir sobre a excentricidade de uma Elipse?
___________________________________________________________________
__________________________________________________________________
11) Identifique as simetrias existentes na Elipse:
Simétrico em relação à reta x=....
Simétrico em relação à reta y = ...
12) Utilizando o arquivo com a foto, verifique se a curva existente nela tem o
formato de uma Elipse. Caso tenha especifique:
Eixo maior:.............
Eixo menor: ............
Focos:........
Excentricidade: .....
102
APÊNDICE F - Objeto de Aprendizagem – Estudo da Hip érbole
I Objetivos:
• Construir uma Hipérbole.
• Identificar seus eixos, focos, sua excentricidade e suas assíntotas.
• Identificar em uma figura/foto o formato de uma Hipérbole.
• Identificar na figura/foto propriedades da Hipérbole.
II Metodologia:
O Objeto de aprendizagem foi desenvolvido para ser feito em grupos de três
alunos.
Nos itens, o aluno poderá optar por utilizar o comando do GeoGebra que
achar conveniente, desde que o leve à construção da Hipérbole e ao
reconhecimento da curva no arquivo contendo a figura/foto.
III Atividade: 1) Acesse o programa GeoGebra
2) Escolha três pontos.
A= (.....,.....)
B= (.....,.....)
C= (.....,.....)
3) Construa a Hipérbole, conhecendo os pontos A, B e C.
Verifique em “Comando” o item “foco” e Identifique os focos da Hipérbole.
.................... ..................
4) Calcule a diferença das distâncias do ponto pertencente à Hipérbole aos seus
focos.
............................
5) Verifique a interseção da reta que passa pelos focos com a Hipérbole.
D=(....,....)
E= (....,....)
103
6) Determine o comprimento do segmento que une os dois pontos de interseção,
chamado eixo real da Hipérbole.
.......................
7) Compare o resultado encontrado com a diferença das distâncias do ponto
pertencente à Hipérbole aos seus focos.
8) Repita o item 3 com outro ponto da Hipérbole.
9) Tire suas conclusões e escreva como você identifica uma Hipérbole.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
__________________________________________________________________
10) Construa a mediatriz do eixo real
11) Determine o ponto de interseção “F” da mediatriz com o segmento DE, centro
da Hipérbole.
12) Construa uma circunferência com centro em F e raio FB
13) Construa, utilizando “Comando”, na parte inferior da tela, as “Assíntotas” da
Hipérbole.
14) Encontre a interseção das “Assintótas” com a circunferência.
(.....,.....)
(.....,.....)
(.....,.....)
(.....,.....)
15) Construa o retângulo cujas extremidades são os pontos de interseção das
assíntotas com a circunferência.
16) A interseção dos lados do retângulo, paralelos ao eixo real, com a mediatriz
forma um segmento que é chamado eixo imaginário da Hipérbole.
17) Determine o comprimento desse eixo imaginário.
......................
18) Calcule a razão entre a metade da distância entre os focos e a metade do
eixo real. O resultado encontrado é o valor da excentricidade da Hipérbole.
Excentricidade = ............
19) Identifique a relação existente entre a excentricidade, a assíntota e o eixo real
da Hipérbole?
104
20) O que se pode concluir sobre a excentricidade de uma Hipérbole?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
21) Utilizando o comando “Mover” no primeiro quadro na parte superior da tela,
clique em ponto da Hipérbole, faça movimentos com ele e tire suas conclusões
sobre a excentricidade da Hipérbole.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
22) Utilizando o arquivo com a foto, verifique se a curva existente nela tem o formato
de uma Hipérbole.
Justifique sua resposta:
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
105
APÊNDICE G - Objeto de Aprendizagem – Estudo da Par ábola
I Objetivos:
• Construir uma parábola utilizando os comandos do software “GeoGebra”.
• Identificar seu eixo, foco e reta diretriz.
• Verificar sua excentricidade.
• Identificar em uma figura/foto o formato de uma parábola.
• Identificar propriedades da parábola.
II Metodologia:
O Objeto de aprendizagem foi desenvolvido para ser feito em grupos de três
alunos.
A atividade prevista em cada item do objeto poderá ser feita utilizando os
comandos que o grupo achar conveniente.
III Atividade:
1) Construa uma reta que passa por A=(-2,0) e O=(0,0).
2) Construa uma perpendicular AO, no ponto A=(-2,0).
3) Marque o ponto B=(2,0).
4) Verifique em “Comando” o item “parábola” e construa uma parábola, com foco
no ponto B e a reta perpendicular ao eixo x, AO, como reta diretriz.
5) Marque um ponto na parábola e verifique a distância desse ponto à reta
diretriz e a distância dele ao foco.
6) Repita o processo com mais pontos.
7) Qual foi a conclusão a que você chegou sobre o conceito de uma parábola?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
106
8) Determine a razão entre a distância do ponto pertencente à parábola até a
reta e a distância desse ponto ao foco.
............ (Excentricidade da Parábola)
9) Existe alguma simetria na parábola construída?
.............
Em relação a quem?
............ .....................
10) Utilizando o arquivo com a foto, verifique se a curva existente nela tem o
formato de uma parábola.
Justifique sua resposta:
______________________________________________________________
______________________________________________________________