adquisició i processat de senyalhermessuspendeme.com/docs/grevagreta/3a/mecanica ii/laborato… ·...

Adquisició i processat de senyal

Robert Arcos Villamaŕın

Meritxell Genescà Francitorra

Arnau Clot Razquin

Revisat a

26 de setembre de 2012

http://leamhttp://www.etseiat.upc.edu

Índex

1 Introducció 1

1.1 Tipus de Senyals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Adquisició de senyals 5

2.1 Sensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Conversió A/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Eix temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.2 Eix de voltatge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Anàlisi de senyals 10

3.1 Anàlisi temporal de senyals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Anàlisi freqüencial de senyals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.1 La Transformada de Fourier (FT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.2 La Transformada Discreta de Fourier (DFT) . . . . . . . . . . . . 15

3.2.3 Senyals transitoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.4 Senyals periòdics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.5 Senyals aleatoris continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.6 “Leakage” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Bibliografia 23

i

Caṕıtol 1

Introducció

Vibració: Moviment ondulatori d’un cos (sòlid o part́ıcula) o sistema de cossos entorn

una posició d’equilibri. Les vibracions poden caracteritzar-se mitjançant la mesura del

desplaçament, velocitat o acceleració lineal o angular del cos. Cadascuna d’aquestes

magnituds pot ser descrita en el domini temporal o freqüencial. Com veurem al caṕıtol

3, la descripció d’un senyal en el domini freqüencial s’anomena espectre i pot ésser

obtingut a partir del senyal temporal utilitzant la transformada de Fourier (FT). La

Taula 1.1 mostra el śımbol i les unitats associades a cada una d’aquestes magnituds.

En aquest curs entendrem com a senyal a la evolució temporal tant d’una de les mag-

nituds anteriors com de la força. Segons la forma de caracteritzar aquesta evolució, es

distingiran diferents tipus de senyals.

1.1 Tipus de Senyals

El següent esquema mostra la classificació dels senyals segons la llei temporal que descriu

es moviment [1].

Senyals deterministes: Senyals que poden ser definits o aproximats per una

funció matemàtica f(t).

– Periòdics: Senyals que compleixen que f(t) = f(T + t) on T és el peŕıode

del senyal.

* Harmònics: Senyals sinusoidals. Vegeu la Fig. 1.1.

* No harmònics. Vegeu la Fig. 1.2.

– Transitoris: Senyals finits en el temps. Vegeu la Fig. 1.3.

1

Introducció 2

Domini Magnituds Śımbol Unitats

Temporal

Desplaçament lineal x(t) m

Desplaçament angular θ(t) rad

Velocitat lineal ẋ(t) m/s

Velocitat angular θ̇(t) rad/s

Acceleració lineal ẍ(t) m/s2

Acceleració angular θ̈(t) rad/s2

Força f(t) N

Freqüencial

Desplaçament lineal X(ω) −Desplaçament angular θ̃(ω) −

Velocitat lineal Ẋ(ω) −Velocitat angular

˙̃θ(ω) −

Acceleració lineal Ẍ(ω) −Acceleració angular

¨̃θ(ω) −

Força F (ω) −

Taula 1.1: Śımbols i unitats de les magnitud utilitzables per caracteritzar la vibraciód’un cos. Les unitats en el domini freqüencial estan sotmeses a com s’hagi definit la

FT (veure caṕıtol 3).

– Altres.

Senyals aleatoris: Senyals que no poden ser predits de forma prou precisa i

només es poden definir mitjançant les seves propietats estad́ıstiques, tals com la

mitjana i la variància. Vegeu la Fig. 1.4.

– Continus: Senyals que són persistents en el temps.

* Estacionaris: Senyals en els que les seves propietats estad́ıstiques no va-

rien en el temps.

* No estacionaris: Senyals en que aquestes propietats si que varien en el

temps.

– Transitoris: Senyals que presenten una variabilitat important del seu valor

eficaç mòbil (veure secció 3.1).

Introducció 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

Temps [s]

ẍ(t)[m

/s2]

Figura 1.1: Senyal determinista, periòdic i harmònic. Podria correspondre al senyalde vibració generat per una màquina rotativa no equilibrada.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

4

Temps [s]

f(t)[N

]

Figura 1.2: Senyal determinista, periòdic i no harmònic. Podria correspondre alsenyal de força generat per un motor de quatre temps.

Introducció 4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

Temps [s]

ẍ(t)[m

/s2]

Figura 1.3: Senyal determinista i transitori. Podria correspondre al senyal de vibraciómesurada en un sistema que ha estat excitat per un impuls o un xoc, com pot ser el

cas d’un tren d’aterratge en el moment que l’avió està aterrant.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−3

−2

−1

0

1

2

3

x 10−3

Temps [s]

ẍ(t)[m

/s2]

Figura 1.4: Senyal aleatori, continu i estacionari. Podria correspondre al senyal devibració indüıda per la turbulència de l’aire en l’ala d’un avió

Caṕıtol 2

Adquisició de senyals

La cadena de mesura és el conjunt d’equips que intervenen en l’adquisició del senyal.

Normalment està integrada per un sensor i un equip que realitza la conversió del senyal

d’analògic a digital (A/D) abans de realitzar el processament d’aquest. La Fig. 2.1

mostra un esquema d’aquesta cadena de mesura.

��

��

��

Figura 2.1: T́ıpica cadena de mesura i processament d’un senyal.

2.1 Sensor

El sensor s’encarrega de generar un senyal elèctric proporcional al valor de la magnitud

f́ısica (acceleració, velocitat, desplaçament o força en el nostre cas) mesurada. Aquesta

constant de proporcionalitat s’anomena sensibilitat i, a la pràctica, només es pot consi-

derar aproximadament constant dins del rang de freqüències de funcionament del sensor.

En aquesta assignatura el sensor més usat és l’acceleròmetre, el qual mesura l’acceleració

de la vibració ẍ(t). La sensibilitat d’aquest tipus de sensors es mesura en [V/(m/s2)].

La Fig. 2.2 mostra de manera gràfica la transformació d’un senyal d’acceleració ẍ(t) a

un senyal de voltatge proporcional V (t) per part d’un acceleròmetre de sensibilitat S.

5

Adquisició de senyals 6

..

..

��

��

��

��

��

��

��

Figura 2.2: La lectura de voltatge del sensor V (t) es transforma a un senyal querepresenta la magnitud f́ısica mesurada (en el cas d’un acceleròmetre ẍ(t)) per aquest

a través de la seva sensibilitat S.

2.2 Conversió A/D

En aquesta etapa el senyal proporcionat per l’acceleròmetre (senyal analògic o continuu)

es discretitza tant en l’eix temporal com en l’eix de voltatge (senyal digital o discret).

És a dir, pel que fa a l’eix temporal es passa de tenir un senyal continu en el temps a

tenir només mostres del senyal cada cert increment de temps ∆t. Cadascuna d’aquestes

mostres pren un valor de voltatge que no és exactament el que mesura el sensor, sinó el

valor més proper a l’exacte d’una llista de possibles valors (veure l’apartat 2.2.2).

2.2.1 Eix temporal

Al discretitzar l’eix temporal passem a tenir només mostres del senyal cada cert incre-

ment de temps ∆t. Per a fer-ho es defineix normalment una freqüència de mostratge

(fs), que està relacionada amb l’increment de temps segons

fs =1

∆t(2.1)

Una mala elecció en aquesta freqüencia de mostratge implicaria l’aparició del fenomen

conegut com aliasing. Aquest fenomen comporta que s’obtingui, un cop discretitzat,

un senyal de freqüència inferior a la real. Aquest fet queda il·lustrat en la Fig. 2.4 on

el senyal sinusoidal (senyal blau o “actual signal”) ha estat discretitzat de manera que

se n’han pres mostres amb un ∆t que sembla provenir d’un senyal de freqüència inferior

(senyal vermell o “alias signal”).


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−6

−4

−2

0

2

4

6

8x 10

−3

Temps [s]

ẍ(t)[m

/s2]

∆t

Figura 2.3: Discretització de l’eix temporal del senyal.

Figura 2.4: Senyal afectat per aliasing durant la conversió analògica-digital.

El criteri de Nyquist diu que teòricament la freqüència de mostreig ha de ser més de dos

cops superior a la freqüència màxima del rang de freqüències amb contingut significatiu

del senyal (fmax):

fs ≥ 2fmax. (2.2)


Els equips d’adquisició de dades són aplicar filtres anti-aliasing per obligar a que l’es-

pectre a prop de la freqüència de Nyquist sigui pràcticament nul. Això fa que s’hagi

de triar un criteri una mica més restrictiu per tal de que aquests filtres no afectin la

qualitat del contigut freqüencial significatiu del senyal mesurat. S’exigirà que

fs ≥ 2, 5fmax. (2.3)

Normalment però s’utilitza el criteri

fs ≥ 2, 56fmax, (2.4)

ja que és més pràctic numèricament parlant (al ésser 28/100 = 2, 56).

2.2.2 Eix de voltatge

La precisió de l’eix de voltatge bé donada per dos paràmetres: el rang dinàmic d’entrada

i la resolució digital de l’equip encarregat de fer la discretització analògica/digital.

El rang dinàmic d’entrada (± IS[V]) és l’amplitud màxima de senyal que l’equipadmet. Si l’amplitud del senyal és superior al rang dinàmic d’entrada, el senyal quedarà

escapçat. Aquest fet es pot observar en la Fig. 2.5.

Figura 2.5: Senyal escapçat.

La resolució digital (n [bits]) defineix el número de divisions en les que queda separat

el rang dinàmic d’entrada. La relació entre les divisions i el nombre de bits és simplement

ndivisions = 2n. La Fig. 2.6 mostra la conversió A/D d’un senyal sinodal. Com que la

precisió de l’eix de voltatge és ara finita, el valor de cada mostra de senyal es redefineix

al nivell (o divisió) més pròxima.

Un cop realitzada la discretització del senyal, es tenen un conjunt de mostres x((n−1)∆t)on n = 1, 2, 3...N . D’aquesta forma la longitud temporal del senyal enregistrat Tr es pot

escriure com Tr = N∆t, on N és el número de mostres total del senyal enregistrat.


Figura 2.6: Conversió A/D d’un senyal sinodal.

Un cop discretitzat el senyal, cal reconvertir l’eix de voltatge a la unitat de la magnitud

mesurada. Per això és necessari introduir a l’equip d’adquisició el valor de la sensibilitat

del sensor. Aquest pas es mostra en la Fig. 2.7 pel cas d’un acceleròmetre.

..

..

��

��

��

��

��

��

��

Figura 2.7: Cadena d’adquisició i processament del senyal

Caṕıtol 3

Anàlisi de senyals

En aquest caṕıtol es resumeixen els conceptes i les tècniques referents a l’anàlisi de

senyals de vibració. Per a tots aquells que volgueu aprofundir en el tema és molt reco-

manable la lectura de [2]. Les variables que utilitzarem en aquest apartat seran:

Tr: Temps total del senyal o temps d’enregistrament.

N : Número de mostres total del senyal discretitzat.

Tb: Durada en temps d’un determinat tram del senyal, al qual anomenarem bloc.

Nb: Número de mostres d’un bloc. Anomenat habitualment “blocksize”. Sol valdre

una potencia de 2 per tal d’aconseguir la màxima eficiència en l’aplicació de la Fast

Fourier Transform (FFT) (veure apartat 3.2).

n: Índex que recorre les mostres en el domini temporal.

m: Índex que recorre les mostres en el domini freqüencial.

En el codi MATLAB que s’ha proporcionat a l’alumne, aquest podrà observar l’imple-

mentació pràctica dels processats de senyal que seguidament s’expliquen.

3.1 Anàlisi temporal de senyals

L’anàlisi temporal d’un senyal consisteix en obtenir informació de la seva representació

temporal. Aquest tipus de representació sol donar menys informació rellevant sobre

la fenomenologia de la vibració mesurada que la representació freqüencial. Tot i aix́ı,

moltes normatives la utilitzen per quantificar el nivell de vibració en forma d’un únic

valor global. Existeixen gran varietat d’avaluadors d’aquest valor global:

10

Anàlisi de senyals 11

Valor de pic: Valor màxim del valor absolut del senyal.

ẍpic = max |ẍ(t)| . (3.1)

Valor mig: S’utilitza habitualment per saber quant de centrat a zero està el

senyal.

¯̈x =1

Tr

∫ Tr0

ẍ(t)dtDiscret−−−−→ ¯̈x = 1

N

N∑n=1

ẍ ((n− 1)∆t)︸︷︷︸ẍn

=1

N

N∑n=1

ẍn. (3.2)

Valor eficaç o RMS (Root Mean Square): És el valor més utilitzat per carac-

teritzar en el domini temporal senyals estacionaris, tan siguin deterministes com

aleatoris.

ẍRMS =

√1

Tr

∫ Tr0

ẍ2(t)dtDiscret−−−−→ ẍRMS =

√√√√ 1N

N∑n=1

ẍ2n. (3.3)

Valor eficaç mòbil o “running” RMS: Aquest avaluador determina el valor

RMS tram a tram del senyal (on cada bloc té una llargada Tb i un número de

mostres Nb), obtenint-se un registre temporal que defineix l’evolució de l’arrel de

la potencia del senyal en el temps. Cada bloc és un tros de senyal retallat avançant

mostra a mostra. És l’avaluador més utilitzat per caracteritzar senyals transitoris,

tan siguin deterministes com aleatoris, normalment a partir del seu valor màxim,

el qual s’anomena MTVV (“Maximum Transient Vibration Value”).

ẍ(t)RMS =

√1

Tb

∫ tt−Tb

ẍ2(t′)dt′Discret−−−−→ ẍRMSn =

√√√√ 1Nb

n′=n−1∑n′=n−dTb/∆te

ẍ2n′ , (3.4)

on d.e és una de les funcions part entera, concretament la “ceiling function”. Exis-teix una altre versió d’aquest avaluador que treballa amb tot el senyal anterior al

instant avaluat i que el pondera segons una llei exponencial, la qual dona més pes

als events propers a l’instant avaluat i menys pes als llunyans.

ẍ(t)RMS =

√1

τ

∫ t0

e−t−t′τ ẍ2(t′)dt′

Discret−−−−→ ẍRMSn =

√√√√ 1Nb

n′=n−1∑n′=1

e−∆tτ

(n−n′)ẍ2n′ .

(3.5)

Per senyals transitoris impulsionals es sol treballar amb Tb o τ de 125 ms (l’anome-

nat temps d’integració “Fast” en els clàssics sonòmetres) i per senyals d’evolució

temporal lenta amb 1 s (l’anomenat temps d’integració “Slow” també en els clàssics

sonòmetres).


Tots els valors anteriors d’una senyal d’acceleració poden expressar-se en decibels (dB).

Per fer-ho cal tenir en compte el valor de referencia de la magnitud mesurada segons les

següents expressions

Desplaçament en dB = 20 log

(x

x0

),

Velocitat en dB = 20 log

(ẋ

ẋ0

),

Acceleració en dB = 20 log

(ẍ

ẍ0

),

(3.6)

on x, ẋ i ẍ poden ser qualsevol de les variables definides anteriorment: Valor de pic,

valor mig, valor eficaç o valor eficaç mòbil. Els valors de referència prenen els següents

valors: x0 = 10−12 m, ẋ0 = 10

−9 m/s i ẍ0 = 10−6 m/s2.

3.2 Anàlisi freqüencial de senyals

Els paràmetres obtinguts de l’anàlisi temporal en l’apartat anterior donen idea de si el

nivell de vibració es troba dins dels ĺımits permesos per la normativa o no. No obstant, no

ofereixen massa informació de cara a l’estudi de les possibles causes d’aquesta vibració.

De l’anàlisi freqüencial, en canvi, es poden obtenir resultats molt més útils. Per exemple,

a la Fig. 3.2 es mostra l’espectre freqüencial del senyal en la Fig. 3.1, es pot deduir que

el senyal té components sinusöıdals de la freqüència i amplitud dels pics que es veuen en

la representació.

Com s’observa a la Fig. 3.2, l’espectre freqüencial del senyal de la Fig. 3.1 representa

l’offset com un pic a freqüència nul·la, les tres components sinusöıdals com tres pics a

les seves corresponents freqüències i el soroll blanc gaussià com una distribució mes o

menys uniforme de contingut frecuencial. Com que en aquest cas estem representant

l’espectre de valor de pic (veure apartat 3.2.5) també succeeix que les amplituds dels

sinus i de l’offset són aproximadament iguals a les utilitzades per generar el senyal.

En el cas de que la senyal de la Fig. 3.1 fos una senyal mesurada a la realitat, la freqüència

on es troben els pics dóna idea de la font que pot haver-los generat; per exemple un pic

a la freqüència de rotació d’un motor pot indicar que la causa és un descentrament de

la seva massa. Un pic a la freqüència de rotació d’un motor multiplicada pel número de

boles d’un coixinet pot indicar que la causa de la vibració és el coixinet. L’amplitud dels

pics permet determinar quines fonts són més importants que d’altres i per tant sobre


0 0.5 1 1.5 2−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Temps [s]

ẍ(t)[m

/s2]

Figura 3.1: Representació temporal d’un senyal composat per un soroll blanc gaus-sià, un offset de 3,5 mm/s2, i tres senyals sinusöıdals de freqüències 5, 10 i 20 Hz i

d’amplituds 3, 4 i 2 mm/s2.

0 10 20 30 400

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

−3

Freqüència [Hz]

|Ẍ(f)|[m

/s2]

Figura 3.2: Espectre de valor de pic a una cara de la senyal mostrada a la Fig. 3.1.


quines fonts és més eficaç actuar. En els següents apartats es veurà què és i com s’obté

la representació freqüencial d’un senyal en funció de quin tipus de senyal és.

3.2.1 La Transformada de Fourier (FT)

La Transformada de Fourier (FT) és la eina matemàtica utilitzada generalment per

obtenir l’espectre freqüencial d’un senyal temporal. La transformada de Fourier cont́ınua

no té una forma estandaritzada; normalment pren formes basades en la següent expressió:

X(ω) =1

(2π)p

∫ +∞−∞

x(t)e±iωtdt, (3.7)

on p sol valdre 0, 1/2 ó 1. Si x(t) ∈ R, cosa que sempre succeeix per a senyals demagnituds f́ısiques, X(ω) ∈ C. A més, es compleix que la part real de X(ω) és sempresimètrica respecte freqüència 0, i la part imaginària és sempre antisimètrica. Per tant,

X(ω) té simetria conjugada respecte la freqüència nul·la: X(ω) = X∗(−ω). La FTnomés pot ser aplicada a funcions d’energia finita, les quals hauran de complir doncs

que

∫ +∞−∞

x2(t)dt


Energia d’un senyal =

∫ +∞−∞

x2(t)dt =

∫ +∞−∞

X(f)X∗(f)df (3.11)

Tot seguit veurem com adaptar la FT per a la transformació al domini freqüencial

de les diferents tipologies de senyals separades en tres grans grups: transitoris (tan

deterministes com aleatoris), periòdics o aleatoris continus.

3.2.2 La Transformada Discreta de Fourier (DFT)

Ara bé, les Eqs. (3.9) i (3.10) només són aplicables per a senyals analògics i, per tant,

han de ser adaptades a format discret per a poder treballar amb senyals digitalitzats.

En aquest sentit, podem definir la Transformada Discreta de Fourier (DFT) segons

l’expressió

Ẍm =N∑n=1

ẍne− 2πi(n−1)(m−1)

N . (3.12)

essent la seva funció inversa (DFT−1)

ẍn =1

N

N∑m=1

Ẍme2πi(n−1)(m−1)

N . (3.13)

com es pot trobar demostrat a [2] (pp. 115-116). L’Eq. (3.12) és la fórmula més comuna

de la DFT, la qual sol ésser implementada per l’algoritme més eficient que existeix per

calcular-la: la Fast Fourier Transform (FFT). És el cas de MATLAB que, com es pot

veure en aquest link [3], utilitza les funcions fft i ifft per implementar la DFT i la

DFT−1 en la forma aqúı mostrada. Per tant les Eqs. (3.12) i (3.13) es simplifiquen a

Ẍm = fft(ẍn), (3.14)

ẍn = ifft(Ẍm). (3.15)

Els vectors temps tn i freqüència fm, associats a ẍn i Ẍm respectivament, s’han de

prendre amb la forma

tn =[0 (n− 1)∆t Tr

]= ∆t

[0 n− 1 N − 1

], (3.16)


fm =[0 (m− 1)∆f fs

]=[0 m−1Tr

1∆t

]=

1

Tr

[0 m− 1 N − 1

], (3.17)

ja que es compleix que ∆f = 1/Tr. Tot i aix́ı, el vector freqüència es sol reescriure (i

conseqüentment Ẍm) de la forma

N imparell → fm =1

Tr

[−(N − 1)/2 m− 1 (N − 1)/2

],

N parell → fm =1

Tr

[1− (N/2) m− 1 N/2

],

(3.18)

per treballar amb la freqüència nul·la al centre de l’espectre i amb freqüències negatives i

positives a banda i banda. Existeix una funció a MATLAB que permet realitzar aquesta

operació: fftshift. Per tant, per treballar amb aquesta nova representació espectral

les Eqs. (3.14) i (3.15) passen a ser

Ẍm = fftshift (fft(ẍn)) , (3.19)

ẍn = ifft(ifftshift(Ẍm)

). (3.20)

Aquesta manera de visualitzar l’espectre s’anomena espectre a dos cares. Com s’ha

vist anteriorment, una de les propietats de la FT és que l’espectre té simetria conjugada

respecte la freqüència nul·la, cosa que òbviament es conserva per la DFT. Això fa que

habitualment s’opti per simplificar la representació espectral concentrant tota la infor-

mació a les freqüències positives, obtenint-se l’espectre a una cara (veure següents

apartats). El vector freqüències utilitzat per aquesta descripció té la forma

N imparell → fm =1

Tr

[0 m− 1 (N − 1)/2

],

N parell → fm =1

Tr

[0 m− 1 N/2

].

(3.21)

Per tal d’aconseguir la màxima eficiència computacional de les funcions fft es recomana

sempre treballar amb N que siguin potència de 2. Tot i aix́ı aquesta funció també té

una bona eficiència per a una N arbitrària.


3.2.3 Senyals transitoris

Els senyals transitoris compleixen la condició d’energia finita (Eq. (3.8)), la qual és

necessària per poder aplicar la transformada de Fourier. Concretament, per descriure

freqüencialment senyals transitoris digitalitzats s’utilitza la Densitat Espectral d’E-

nergia (ESD), la qual es pot avaluar a partir de la DFT com veurem seguidament.

Es parteix del teorema de Parseval en forma discreta per avaluar l’energia d’un senyal

transitori digitalitzat. L’Eq. (3.11) es pot escriure discretament com

∫ +∞−∞

x2(t)dt ≈(

N∑n=1

ẍn

)∆t =

N∑m=1

(∆t

N

∣∣∣Ẍm∣∣∣2) , (3.22)on s’observa que el terme

∣∣∣Ẍm∣∣∣2 ∆t/N és l’aportació a l’energia total de l’harmònic mi, per tant, això vol dir que l’espectre d’energia EEm es pot escriure com

EEm =∆t

N

∣∣∣Ẍm∣∣∣2 . (3.23)Si es divideix l’espectre d’energia per l’ample de banda (∆f = 1/Tr) s’obté una aproxi-

mació a la ESD SEm a l’entorn de la freqüència fm

SEm = (∆t)2∣∣∣Ẍm∣∣∣2 . (3.24)

La ESD és el descriptor freqüencial estàndard per a senyals transitoris, ja que a partir

d’ella es poden calcular tota la resta de descriptors que habitualment s’utilitzen. Aquests

altres descriptors es detallen a la següent llista:

Espectre d’energia a una cara EWEm :

N imparell →{EWE1 = EE(N+1)/2

EWEm = 2EEm m = 2, . . . , (N + 1)/2

N parell →

EWE1 = EEN/2

EWEm = 2EEm m = 2, . . . , (N/2)

EWE(N/2)+1 = EE(N/2)+1

. (3.25)


Densitat espectral d’energia a una cara WEm :

N imparell →{WE1 = SE(N+1)/2

WEm = 2SEm m = 2, . . . , (N + 1)/2

N parell →

WE1 = SEN/2

WEm = 2SEm m = 2, . . . , (N/2)

WE(N/2)+1 = SE(N/2)+1

,

. (3.26)

Espectre per bandes freqüencials a una cara EEB : Segurament la repre-

sentació freqüencial més habitual a l’enginyeria són les bandes d’octava o de terç

d’octava [4]. Cada banda frequencial B té una freqüència central fcB , que és la que

li dóna nom, i unes freqüències inferior finfB i superior fsupB que defineixen el seu

ample de banda. El contigut d’energia associat a aquesta banda s’obté d’integrar

la ESD a llarg de l’ample de banda, segons l’expressió

EEB =

∫ fsupBfinfB

WE(f)df, (3.27)

que a efectes discrets implica sumar tot el contigut freqüencial WEm entre finfB i

fsupB i multiplicar per ∆f .

3.2.4 Senyals periòdics

Teòricament, la FT de Fourier no pot ser aplicada a senyals periòdics ja que aquests

no compleixen la condició definida a l’Eq. (3.8). El mètode que s’ha d’utilitzar en

aquests casos és la descomposició en series de Fourier, que com veurem és una

versió adaptada de la FT. Aquesta metodologia diu que qualsevol senyal periòdic es pot

descomposar en una suma de funcions sinusöıdals segons

ẍ(t) =

m=+∞∑m=−∞

[am cos (ωmt) + bm sin (ωmt)] , (3.28)

la qual es pot simplificar utilitzant la fórmula d’Euler (eiθ = cos(θ)+i sin(θ)), obtenint-se

ẍ(t) =m=+∞∑m=−∞

Ẍmeiωmt, (3.29)

on


Ẍm = am + ibm =1

T

∫ T/2−T/2

ẍ(t)eiωmtdt, (3.30)

essent T el peŕıode de la senyal periòdica. Com s’observa, l’Eq. (3.30) és molt similar a

la FT definida a l’Eq. (3.9), amb les els únics canvis de la reducció de ĺımits d’integració

per abarcar un únic peŕıode del senyal i la inclusió del terme 1/T . A la pràctica, mai

mesurarem un senyal purament periòdic i tampoc sabrem mai, a priori, quina és la seva

periodicitat T , per tant la descomposició en sèries de Fourier esdevé una tècnica només

vàlida per a funcions estrictament deterministes. A nivell discret per tant, els senyals

periòdics o aproximadament periòdics els processarem d’igual forma que els senyals

aleatoris continus.

3.2.5 Senyals aleatoris continus

Per tal de poder utilitzar la FT per analitzar aquesta tipologia de senyals que tampoc

compleix l’Eq. (3.8), aquesta s’adapta de la següent forma:

Ẍ(ω) = limT→∞

1

T

∫ +∞−∞

ẍ(t)e−iωtdt. (3.31)

Habitualment però, no s’utilitza aquest descriptor espectral per descriure el contigut

freqüencial d’aquesta tipologia de senyals, sinó que s’utilitza la Densitat Espectral

de Potència (PSD). Per estimar aquest descriptor per al cas d’un senyal discret es

divideix tot el registre temporal enregistrat Tr en blocs de peŕıode Tb i número de

mostres Nb (“blocksize”), els quals poden estar solapats entre ells. Aquest solapament

es sol quantificar via una variable anomenada “overlap”, la qual és senzillament un

tant per cent. Aquest procés de subdivisió de la senyal original en blocs s’anomena

“windowing”. Per a cada bloc pot estimar-se la seva PSD a partir de la seu Ẍm (Eq.

(3.19)), com veurem seguidament. Es parteix del teorema de Parseval en forma discreta

per avaluar la potència de només un bloc del senyal aleatori continu digitalitzat:

Potència d’un bloc de senyal =1

Tb

∫ Tb0

ẍ2(t)dt ≈ 1Nb

Nb∑n=1

|ẍn|2 =Nb∑m=1

(1

N2b

∣∣∣Ẍm∣∣∣2) ,(3.32)

on s’observa que el terme∣∣∣Ẍm∣∣∣2 /N2b és l’aportació a la potència total de la freqüència

fm i, per tant, això vol dir que l’espectre de potència d’un bloc es pot escriure com


EbPm =1

N2b

∣∣∣Ẍm∣∣∣2 . (3.33)Si es divideix aquest espectre de potència per l’ample de banda ∆f = 1/Tb s’obté una

aproximació a la PSD SbPm del bloc a l’entorn de la freqüència fm

SbPm =∆t

Nb

∣∣∣Ẍm∣∣∣2 . (3.34)Una vegada obtingut la PSD estimada per a cada bloc del senyal SbPm , es fa un amitjanat

de tots aquests espectres obtenint-se una PSD global SPm . Els amitjanaments més

utilitzats són:

Lineal:

SPm =1

Nblocs

Nblocs∑b=1

SbPm , (3.35)

on Nblocs és el número de blocs en que s’ha dividit el senyal total enregistrat.

RMS:

SPm =

√√√√ 1Nblocs

Nblocs∑b=1

SbPm2, (3.36)

Exponencial: S’utilitza sobretot quan es vol veure l’espectre global en temps

real. Dóna més pes als blocs propers al instant actual i menys pes als blocs més

distanciats temporalment d’aquest instant.

Altres descriptors de l’espectre freqüencial per a senyals aleatoris continus són que es

poden obtenir a partir de SPm són:

Densitat espectral de potència a una cara WPm :

N imparell →{WP1 = SP(N+1)/2

WPm = 2SPm m = 2, . . . , (N + 1)/2

N parell →

WP1 = SPN/2

WPm = 2SPm m = 2, . . . , (N/2)

WP(N/2)+1 = SP(N/2)+1

,

(3.37)

Espectre de valor eficaç o RMS a una cara ERMSm :

ERMSm =

√WPmTb

(3.38)


Espectre de valor de pic a una cara Epicm :

Epeakm =√

2

√WPmTb

(3.39)

Espectre per bandes freqüencials a una cara EPB o ERMSB : Es pot definir

l’espectre de potència per una banda de freqüència B com

EPB =

∫ fsupBfinfB

WP (f)df, (3.40)

que a efectes discrets implica sumar tot el contigut freqüencial WPm entre finfB i

fsupB i multiplicar per ∆f . També es pot definir l’espectre de valor eficaç d’una

banda freqüencial B, el qual ve donat per

ERMSB =

√∫ fsupBfinfB

WP (f)df, (3.41)

on el procés de càlcul a nivell discret és igual que per l’Eq. (3.40).

3.2.6 “Leakage”

La realització del “windowing” d’un senyal implica multiplicar el senyal per una finestra

temporal, la qual es va desplaçant en el temps per obtenir cadascun dels blocs. Cada

bloc resultant del “windowing” no tindrà el mateix contingut freqüencial que el senyal

original, ja que l’aplicació de la finestra temporal (sigui quina sigui) el modifica. Per

exemple, per un senyal sinusöıdal infinit, que tindria per tant un espectre de freqüència a

una cara en forma d’una delta de Dirac a la freqüència d’oscil·lació del sinus, l’espectre de

cada bloc tindria contigut freqüencial no només a la freqüència del sinus sinó també a les

freqüències col·lidants a aquesta, com s’observa a la Fig. 3.3. Aquest fet es dona per que

dins de cada bloc, el nombre de peŕıodes de cadascuna de les components freqüencials

del senyal no té per que ser un número enter. Aquestes porcions de peŕıode restants

generen continguts a freqüèncials de freqüència sensiblement diferent a la freqüència que

els hi pertocaria, generant una lobulació al voltant d’aquesta. Aquest fenomen és el que

s’anomena “leakage”.

Aquest fenomen no pot evitar-se, però pot modelar-se mitjançant una tria adequada de

la finestra temporal. Les funcions finestra prenen valors entre 0 i 1 en el peŕıode Tb i

són nul·les (o tendeixen a zero amb suficient rapidesa per ser integrables) fora d’aquest

peŕıode. Les necessitats de resolució en freqüència i amplitud seran les que dictaminaran

quina hauria de ser la finestra a escollir. La Taula 3.1 resumeix l’idonëıtat de cada tipus

de finestra en funció dels requeriments de la mesura.


0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

−3

Freqüència [Hz]

Ẍ(f)[m

/s2]

Figura 3.3: Espectre d’un senyal sinusöıdal d’amplitud 2,5 m/s2 i freqüència d’os-cil·lació 5 Hz. El gràfic blau representa l’espectre d’aquest senyal si fos analògic iel gràfic verd representa l’espectre del bloc resultant d’aplicar una finestra temporal

rectangular de Tb = 7, 7 s al senyal mostrejat segons fs = 1000 Hz.

Finestra Precisióenfreqüència

Precisióen ampli-tud

Senyalsperiòdics

Senyalstransitoris

Senyalsaleatoriscontinus

Rectangular � � ↓ ↑ ↓Kaisser-Bessel

� ↓ ↑ ↓ ↓

Flat top ↓ � ↑ ↓ ↓Hanning ↑ ↑ ↑ ↓ ↑

Taula 3.1: Idonëıtat de les tipologies de finestres temporals més utilitzades.

Bibliografia

[1] D. Havelock, S. Kuwano, and M. Vorländer. Handbook of signal processing in acous-

tics - Volume 1. Springer, 2008.

[2] D.E. Newland. An introduction to random vibrations, spectral & wavelet analysis.

Dover Publications, Inc., 1993.

[3] MathWorks. Fast fourier transform, 2012. URL http://www.mathworks.es/es/

help/matlab/ref/fft.html.

[4] AENOR. UNE-EN 61260 - Filtros de bandas de octava y de bandas de una fracción

de octava, 1997.

23

http://www.mathworks.es/es/help/matlab/ref/fft.htmlhttp://www.mathworks.es/es/help/matlab/ref/fft.html

1 Introducció1.1 Tipus de Senyals

2 Adquisició de senyals2.1 Sensor2.2 Conversió A/D2.2.1 Eix temporal2.2.2 Eix de voltatge

3 Anàlisi de senyals3.1 Anàlisi temporal de senyals3.2 Anàlisi freqüencial de senyals3.2.1 La Transformada de Fourier (FT)3.2.2 La Transformada Discreta de Fourier (DFT)3.2.3 Senyals transitoris3.2.4 Senyals periòdics3.2.5 Senyals aleatoris continus3.2.6 ``Leakage''

Bibliografia

adquisició i processat de senyalhermessuspendeme.com/docs/grevagreta/3a/mecanica ii/laborato… ·...

Documents