adriano de moraes dos santos -...
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ADRIANO DE MORAES DOS SANTOS
TEORIA DO CAOS APLICADA AS COTAÇÕES DA SOJA
Trabalho apresentado para obtenção parcial do
título de Agronegócio no curso de pós-
Graduação em Agronegócio do dep. de
Economia Rural e Extensão , Setor de Ciências
Agrárias , Universidade Federal do Paraná .
Orientador: MsC Robson Mafioletti
CURITIBA
2009
A espera de um Novo Mundo
Dedico este trabalho a Deus, que me deu a
Vida, e a minha querida esposa, que acreditou em
Mim.
AGRADECIMENTOS
A
Todos que, direta ou indiretamente, contribuíram para a realização deste
trabalho.
Professor Robson
Pela disposição em dar as suas orientações para este trabalho.
A minha esposa
Pela paciência.
As tutoras do curso
Pela prontidão.
Aos Professores
Por mostrar o caminho
SUMÁRIO
RESUMO..........................................................................................................6
CAPITULO I.....................................................................................................1
1. INTRODUÇÃO.........................................................................................1
1.1 O PROBLEMA DA PESQUISA..........................................................1
1.2 JUSTIFICATIVA................................................................................2
1.3 OBJETIVOS DA PESQUISA..............................................................3
1.3.1 Objetivo da pesquisa................................................................3
1.3.2 Objetivo geral...........................................................................3
1.3.3 Objetivos específicos...............................................................3
1.3.4 Complexo soja.........................................................................3
1.3.4.1 Soja grão.......................................................................3
1.3.4.2 Farelo e óleo de soja.....................................................6
CAPITULO II .................................................................................................11
2. REVISÃO DE LITERATURA..................................................................11
2.1 Definição da Teoria do Caos............................................................11
2.2 Caos e Modelagem Matemática.......................................................12
2.3 Um Pouco de História......................................................................15
CAPITULO III.................................................................................................24
3. METODOLOGIA.....................................................................................24
3.1 Teste para Detecção do Caos..........................................................24
CAPITULO IV.................................................................................................31
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES...........................................................31
4.1 Gráficos gerados com o aulixio do Software VRA............................31
CAPITULO V.................................................................................................37
5. CONCLUSÕES .....................................................................................37
i
6. REFERÊNCIAS......................................................................................38
LISTAS DE TABELAS
Tabela 1 Produção, Consumo e Exportação de soja....................................5
Tabela 2 Produção, Consumo e Exportação de Farelo e soja......................7
Tabela 3 Produção, Consumo e Exportação de Óleo de soja.......................8
Tabela 4 Dinâmica do farelo de soja e óleo de soja......................................9
LISTAS DE FIGURAS
Figura 1 Produção, Consumo e Exportação de soja..................................4
Figura 2 Área plantada de soja e cana de açúcar.....................................6
Figura 3 Produção, Consumo e Exportação de farelo de soja...................9
Figura 4 Produção, Consumo e Exportação de óleo de soja...................10
Figura 5 Entradas e Saídas de um sistema..............................................14
Figura 6 Gráfico da equação logística......................................................20
Figura 7 Hipersensibilidade dos sistemas caóticos..................................21
Figura 8 Gráfico da bifurcação.................................................................22
Figura 9 Close returns para uma série caótica.........................................27
Figura 10 Close returns para uma série aleatória....................................28
Figura 11 Teste Close returns para diferentes valores de k.....................29
Figura 12 Teste de Close returns para 3,56 > k > 3,59............................30
Figura 13 Serie Logística..........................................................................31
Figura 14 Série de Lorenz.......................................................................32
Figura 15 Série das cotações da soja tomando como referência o
indicador soja CEPEA/ESALQ – PARANÁ no período de 29/07/1997 à
14/08/09 totalizando 2996 observações......................................................33
Figura 16 Histograma da série logística...................................................34
Figura 17 Histograma da série de Lorenz................................................35
Figura 18 Série das cotações da soja tomando como referência o
indicador soja CEPEA/ESALQ – PARANÁ no período de 29/07/1997 à
14/08/09 totalizando 2996 observações......................................................36
ii
RESUMO:
Recentemente o interesse da dinâmica não-linear, especialmente a dinâmica não-linear caótica determinista, aumentou tanto na literatura das ciências físicas quanto na ciência financeira. No mercado esse fato ocorre porque a freqüência dos choques e de grandes movimentos nos mercados está além do que seria esperado sob a hipótese da distribuição normal. O objetivo deste estudo é investigar a presença de comportamento caótico determinista nas cotações da soja,utilizando o teste close returns com o auxilio do software VRA(Visual Recurrence analysis) . O estudo utiliza a série de retornos diários das cotações da soja, tomando como referência o indicador soja CEPEA/ESALQ – PARANÁ no período de 29/07/1997 à 14/08/2009 totalizando 2996 observações. Os resultados obtidos indicam a existência de uma fraca dependência não-linear complexa, porém, não é consistente com um processo de geração não linear caótico. Palavras-Chave: mercado de soja, caos, dinâmica não-linear, close returns, complexidade.
iii
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TEORIA DO CAOS APLICADA AS COTAÇÕES DA SOJA
CAPITULO I
1. INTRODUÇÃO
Mudança e Tempo, são os dois aspectos fundamentais do Caos. O Caos se
refere principalmente a como algo evolui ao longo do tempo.Espaço ou Distância,
substituem o Tempo em algumas situações, podendo então distinguir entre “Caos
Temporal” e “Caos Espacial” . Estando implícito o aspecto dinâmico-temporal, a
equação característica de um dos modelos para estudo do Caos fica melhor
representada como sendo X t+1 = r. Xt ( 1 - Xt ).
Nesse caso, a probabilidade de um evento no instante t+1 é diretamente
proporcional ao produto da probabilidade do evento no tempo t pelo seu valor
complementar (fator inibidor). Considera-se que nos sistemas dinâmicos haja apenas
uma quantidade desprezível de randomicidade e, assim, o comportamento desses
sistemas é considerado determinístico (existe sempre apenas um único evento futuro
imediato, o qual fica determinado pelo evento que o precede). Além disso, uma das
características fundamentais dos sistemas dinâmicos é sua sensível dependência das
condições iniciais pelo qual, mínimas diferenças no início de um processo qualquer,
podem levar a situações completamente opostas ao longo do tempo.
1.1 O Problema da Pesquisa
Será que há presença de ordem caótica nas cotações da soja, tomando
como referência o indicador soja CEPEA/ESALQ - PARANÁ ?
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1.2 Justificativa
A complexidade da dinâmica que se desenvolve no mercado de soja, e pela
importância que essa commodity representa, faz com que se desperte o interesse em
analisar o comportamento das suas cotações. Grande parte dos estudos quantitativos,
baseado em modelos matemáticos, tem por objetivo verificar a hipótese de eficiência ou
ineficiência do mercado, ou seja, se é possível determinado investidor, de maneira
objetiva, obter ganhos financeiros acima da média.
Dentro da busca por um melhor entendimento do comportamento do
mercado (spot) surge o papel dos estudos matemáticos baseados em sistemas não-
lineares, mais precisamente a teoria do caos. Esse campo teórico pesquisa uma
qualidade de ordem complexa que surge em equações determinísticas relativamente
simples. Segundo BERNSTEIN (1997), pressupostos da teoria do caos deterioram
conceitos básicos de estatística e matemática devido à complexidade não-linear
existente nos sistemas ditos caóticos. A nova perspectiva é capaz de prover outro tipo
de abordagem para elucidar o comportamento do mercado, com o objetivo de se
determinar à existência de possíveis indícios de previsibilidade, ou se os mesmos
seguem um processo chamado de caminho aleatório (random walk) e, portanto, não
são passíveis de qualquer previsão quantitativa.
Os testes de detecção de caos são comumente utilizados no mercado de
ações, deixando uma lacuna investigativa para o mercado de spot. No estudo de
CERETTA (2003), é testada a hipótese da existência de comportamento caótico no
índice Ibovespa, os resultados obtidos no estudo identificaram poucos indícios de
dependência não-linear, sendo estes insuficientes para evidenciar a presença de caos.
Essa pesquisa é relevante, porque pode orientar os agentes da cadeia produtiva a
como se preparar para as tomadas de decisões, além do mais, essa pesquisa
contribuirá para que o curso de Agronegócios com ênfase em Mercados da UFPR,
abram novas portas de pesquisas em outros mercados, utilizando conceitos
matemáticos. Pessoalmente, essa pesquisa irá enriquecer os meus conhecimentos,
tanto no âmbito de mercado como em matemática.
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1.3 OBJETIVOS DA PESQUISA
1.3.1 Objetivo da Pesquisa
O objetivo principal da presente pesquisa é verificar a presença, ou não, de
ordem caótica nas cotações da soja, também orientar os agentes da cadeia produtiva
quanto a investimentos futuros, bem como produzir conhecimento teórico, que possa
ser transformado em uma ferramenta de tomada de decisões.
1.3.2 Objetivo Geral
Entender o mercado de soja, verificando se há ordem caótica nas cotações
da soja.
1.3.3 Objetivos específicos
Discorrer sobre a teoria do caos e suas implicações;
Explanar sobre a convergência da teoria do caos no mercado ;
Evidenciar os aspectos metodológicos na detecção de caos;
1.3.4 Complexo Soja
1.3.4.1 Soja Grão
As estimativas realizadas pela AGE (Assessoria de Gestão estratégica)
indicam uma produção brasileira de 80,9 milhões de toneladas de soja em 2018/2019.
Essa projeção é maior em cerca de 20 milhões de toneladas em relação ao que o Brasil
está produzindo na safra de 2007/08. A taxa de crescimento anual prevista é de 2,43%
no período da projeção, 2008/09 a 2018/19. Essa taxa está próxima da taxa mundial
para os próximos dez anos, estimada pelo FAPRI (Food and Agricultural Policy
Research Institute) (2008) em 2,56% ao ano.
O consumo doméstico de soja em grão deverá atingir 44,4 milhões de
toneladas no final da projeção, representando 55,0% da produção. O consumo está
projetado crescer a uma taxa anual de 2,11%, taxa esta praticamente idêntica ao
crescimento previsto mundialmente.
Como se sabe, a soja é um componente essencial na fabricação de rações
animais e adquire importância crescente na alimentação humana.
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As exportações de soja projetadas pela AGE (Assessoria de Gestão
estratégica) para 2018/2019 são de 36,5 milhões de toneladas. Representam um
aumento de cerca de 11 milhões de toneladas em relação a quantidade exportada pelo
Brasil em 2007/08. A taxa anual projetada para a exportação de soja em grão é de
3,1%. Essa taxa está um pouco acima da taxa mundial projetada pelo FAPRI(Food and
Agricultural Policy Research Institute) (2008), de 2,72% ao ano para os próximos anos.
Os resultados obtidos mostram que a exportação de soja brasileira deve representar no
período final das projeções, 40% do comércio mundial. Esse percentual representa um
acréscimo de 4 pontos percentuais em relação ao ano de 2008.
Figura 1 – Produção, Consumo e Exportação de soja
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TABELA 1 – PRODUÇÃO, CONSUMO E EXPORTAÇÃO DE SOJA
As projeções de expansão de área plantada de soja mostram que a área
deve passar para 26,5 milhões de hectares em 2018/19. Representa um acréscimo de
5,0 milhões de hectares em relação à safra 2007/08. Essa expansão é superada
apenas pela expansão prevista da área de cana de açúcar, de 7 milhões de hectares
até o final das projeções. Mas o aumento de produtividade será o principal fator de
aumento da produção de soja no Brasil. Enquanto o aumento de produção previsto é de
2,43% ao ano, nos próximos anos a expansão da área é de 1,95%. A soja deve
expandir-se através de uma combinação de expansão de fronteira em regiões onde
ainda há terras disponíveis e um processo de substituição de lavouras onde não
há terras disponíveis para serem incorporadas.
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Figura 2 – Área plantada de soja e Cana de Açucar
1.3.4.2 Farelo e Óleo de soja
O farelo de soja e o óleo mostram grande dinamismo nos próximos anos.
Nas exportações o óleo deve crescer a taxa maior que o farelo – o farelo deve crescer a
1,12% ao ano e o óleo de soja, 2,03% ao ano. Em ambos os produtos o consumo
interno deve crescer a taxas elevadas nos próximos anos. O consumo de óleo de soja
deverá crescer a uma taxa anual de 3,2% no período 2008/09 a 2018/19, e o farelo de
soja deve crescer o consumo em 4,2% ao ano. Esses dados refletem o dinamismo do
mercado interno para esses produtos.
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TABELA 3 – PRODUÇÃO, CONSUMO E EXPORTAÇÃO OLEO DE SOJA
A Tabela 4 ilustra a dinâmica prevista para óleo de soja e farelo através dos
dados da AGE(Assessoria de Gestão estratégica) e FAPRI(Food and Agricultural Policy
Research Institute)
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TABELA 4 – DINÂMICA DO FARELO DE SOJA E ÓLEO DE SOJA
Figura 3 – Produção, Consumo e Exportação de Farelo de Soja
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Figura 4 – Produção, Consumo, Exportação de Óleo de soja
Essas projeções demonstram a magnitude e a importância do complexo soja
para o agronegócio no Brasil e no mundo. Esses dados descrevem com propriedade as
possibilidades de crescimento na produção, consumo e exportação do complexo soja, o
que justifica um aprofundamento nos estudos do comportamento do mercado do
complexo soja, especialmente, nas suas cotações.
Neste capítulo, fez-se uma rápida introdução do trabalho, definiu-se o
problema da pesquisa, a justificativa, traçou-se o objetivo geral e específico do trabalho,
fez-se um breve cenário das projeções do complexo soja.
No próximo capítulo, será discutida a revisão da literatura, a qual trata do
referencial teórico em que serão apresentados os argumentos sobre a teoria do caos.
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CAPITULO II
2. REVISÃO DE LITERATURA
2.1 Definição da Teoria do Caos
A teoria do caos é uma disciplina científica em desenvolvimento, cujas
fronteiras não estão bem definidas, focalizada no estudo dos sistemas não-lineares
complexos. Portanto, o entendimento do caos está intrinsicamente relacionado com os
conceitos de três termos básicos: sistemas, não-linearidade e complexidade.
O termo sistema é uma relação de interdependência e inter-relacionamento
entre partes. Um exemplo clássico apresentado por RUELLE (1991), é uma pilha de
pedras. A inter-relação e a interdependência é vista com mais facilidade quando se
retira uma pedra da base, provocando um desmoronamento da pilha.
O desmoronamento nada mais é do que uma reorganização na busca de um
novo estado de equilíbrio. Naturalmente, o sistema é dinâmico, ou seja, a cada nova
alteração na base, a pilha de pedra se reorganizará, procurando manter-se em
equilíbrio.
O segundo termo, não-linearidade, está relacionado à estrutura matemática
utilizada para representar o comportamento do sistema real. Um modelo linear constitui-
se na tentativa de estabelecer uma relação de proporcionalidade constante entre
variáveis, ou seja, a mudança em uma variável causará uma alteração proporcional em
outra variável e essa alteração pode ser representada por uma linha reta. Por outro lado,
a não-linearidade significa ausência de proporcionalidade constante. Desse modo, a
mudança em uma variável deverá produzir alterações não proporcionais em outra
variável. No modelo não-linear, a melhor maneira de se identificar o relacionamento
entre variáveis não é uma linha reta, mas sim, opções curvilíneas.
O terceiro termo, complexidade, está relacionado com a dificuldade de se
estruturar um modelo para predizer o comportamento de um sistema real. Por exemplo,
é pouco complexo predizer o tempo necessário para se deslocar da cidade (A) para a
cidade (B); salvo a interferência maligna do destino, o tempo necessário é dado pela
razão entre a distância e a velocidade de deslocamento (t = d/v).
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Observa-se que uma parada para abastecimento ou uma possível troca de
pneu, pode ser administrada e não causará uma grande distorção entre o resultado
estimado e o resultado real.
Por outro lado, conforme o exemplo de RUELLE (1991), nada simples é a
tentativa de predizer o comportamento de uma pilha de pedras desmoronando. Nesse
caso, será necessário obter informações detalhadas sobre a forma de cada pedra, seus
pesos, medidas, locais em que estão inseridas na pilha, a interdependência e a inter-
relação que cada pedra sofrerá e exercerá sobre as demais devido aos atritos. Mesmo
assim, se for desprezado um simples grão de pedra por mais pequeno, que seja, o
resultado da predição será muito diferente do sistema real.
Grande dependência a condições iniciais é uma das características dos
sistemas complexos.
2.2 Caos e Modelagem Matemática
O desenvolvimento científico no estudo de fenômenos naturais parte da
delimitação e escalonamento das variáveis tangíveis ao evento observado, onde a
dinâmica quantitativa é expressa na forma de uma equação algébrica. Com essa
delimitação é possível prever o comportamento futuro do sistema baseando-se nas
variáveis da equação. Por exemplo, um veículo que anda a 100 km/h em um trajeto
retilíneo, na segunda hora do trajeto terá percorrido exatamente 200 km do ponto de
partida, dispensando é claro o atrito do corpo do veículo com a estrada, o atrito com o
ar, uma pequena variação da pressão do motorista no pedal de acelerador, uma
recarga de combustível e tempo para necessidades pessoais, uma pedra que o veículo
passou por cima e, portanto andou maior distância, etc.
Pode-se encontrar infinitas razões para sustentar a hipótese de que um
veículo que se desloca a 100 km/h não irá percorrer, precisamente, 200 km após 2h de
viagem, porém é bastante claro que esses erros ou perturbações no modelo não
causarão, uma invalidez no resultado da equação, dentro da necessidade básica de
planejamento temporal de uma viagem. Verifica-se tal situação,pois a equação da
velocidade e sua derivada, a aceleração, são equações lineares e, portanto, são
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simples e suficientes para descrever o fenômeno, apesar de seus resultados algébricos
não corresponderem exatamente à realidade.
A teoria do caos contesta a noção de validade científica no estudo de
sistemas. Utilizando-se o exemplo anterior sobre a distância percorrida por um veículo,
caso a equação da velocidade apresentasse propriedades caóticas, sua validade seria
seriamente questionada, pois uma menor diferença que for causada na velocidade
inicial do veículo (não necessariamente na velocidade inicial, mas em qualquer
momento), por exemplo, a influência da componente de vento, irá causar uma grande
perturbação nas velocidades futuras. Tal qualidade deve-se à dinâmica não-linear que é
encontrada no caos determinístico, onde uma pequena variação entre o real e o
calculado se acumula de forma exponencial até o momento quando a diferença entre o
resultado algébrico e a constatação real tornar-se absurdamente visíveis (geralmente
no longo prazo).
Para complementar a explicação sobre caos pode-se utilizar outro tipo de
abordagem. Dentro da teoria sistêmica de BERTALANFFY (1988), encontra-se a
bastante divulgada noção de entradas, processamento e saídas que um determinado
sistema proporciona. A seguir, na Figura 5, é ilustrado graficamente um sistema no seu
contexto básico.
Por entradas ou inputs entende-se tudo aquilo que o sistema necessita como
base para processar ou produzir saídas ou outputs. Por exemplo, para uma fábrica de
luminárias as entradas seriam a matéria-prima necessária, a força de trabalho e tudo
mais aquilo que é preciso para a produção de luminárias, nesse caso, as luminárias, os
refugos e as perdas são os outputs, gerados pelo processamento dos inputs.
O ponto principal da intersecção entre a teoria sistêmica e a teoria do caos
encontra-se na falta de controle que será encontrado no sistema caso o mesmo for
caótico. As entradas não observáveis terão uma sensibilidade extrema no resultado das
saídas resultantes do processamento, e, como é impossível determinar as entradas
imperceptíveis, o sistema acaba ficando fora de controle (caótico) após a passagem de
certo intervalo de tempo. Desta forma, supondo a presença de propriedades caóticas
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em uma fábrica de luminárias, o fato de um trabalhador não gostar de uma sobremesa
de morango servida logo após o almoço, pode acabar ocasionando a falência da
empresa.
Figura 5 - Entradas e Saídas de um sistema.
Esse abalo no determinismo matemático foi identificado por POINCARÉ
(1908) quando esse matemático estava procurando entender o comportamento de uma
partícula perante a influência de grandes corpos. Os cálculos mostraram que uma
pequena diferença na posição inicial da partícula em relação aos grandes corpos
causaria uma grande diferença no comportamento de longo prazo. Em seguida,
LORENZ (1963), buscou quantificar, através de equações, o comportamento climático
de uma determinada região e a conclusão de seu estudo corroborou com os resultados
de POINCARÉ (1908), ou seja, hipersensibilidade do sistema perante as condições
iniciais.
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2.3 UM POUCO DE HISTÓRIA
Um dos paradigmas da ciência até o início do século 20 foi o determinismo,
ou seja, a preocupação com uma completa descrição dos sistemas através de um
conjunto de equações, de maneira a predeterminar o seu comportamento. Essa idéia é
a base do que se chama hoje de mecânica clássica ou newtoniana, em homenagem a
seu célebre expoente Isaac Newton.
Segundo NEWTON (1687), conhecendo-se o estado de um sistema num
instante inicial e sua variação entre dois instantes quaisquer pode-se determinar seu
estado em qualquer outro instante do futuro. Em outras palavras, se a posição e a
velocidade de um objeto pode ser medida, então sua posição futura pode ser
determinada.
A obra de Newton, em mecânica, baseada nas suas três famosas leis, Lei da
inércia, Lei da força e Lei da ação e reação, foi o fundamento do determinismo
laplaciano. Segundo LAPLACE (1814) não há lugar para o acaso. Tanto os maiores
quanto os menores corpos do universo podem ter seus movimentos modelados pelas
equações. Assim, em certo grau, se forem conhecidas às posições e as velocidades de
uma partícula em um determinado momento, então pode-se determinar sua posição e
velocidade em qualquer outro momento, tanto do passado quanto do futuro.
Embora a idéia de Newton de pré-determinar o futuro possa parecer
extravagante, foi considerada muito avançada frente às idéias até então em evidência.
Por exemplo, frente às idéias de Descartes, em torno do ano de 1637. Os cartesianos,
discípulos de Descartes, consideravam irracional a idéia de que existiam forças de
atração à distância entre corpos, para eles a explicação deveria ser mais mecanicista
como uma engrenagem e nada de forças à distância.
Mais tarde, com a publicação do princípio da incerteza, o físico
HEISENBERGER (1927) reduz o impacto das idéias de Newton. Segundo o princípio
da incerteza de Heisenberger, quanto mais se tenta medir a posição de uma partícula,
menos exatamente se consegue medir a sua velocidade e vice-versa, isso influência
diretamente a previsibilidade de qualquer sistema.
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RUELLE (1991) cita que, na prática, nunca é perfeitamente conhecido o
estado de um sistema no instante inicial. Assim, sempre existirá um pouco de acaso,
que no longo prazo se manifestará na forma de uma grande distorção nos resultados.
De fato, essa idéia não é nova e foi primeiramente demonstrada pelo matemático
francês HADAMARD (1898), apoiado posteriormente pelas demonstrações do físico
DUHEM (1906). Para um melhor entendimento da demonstração de Hadamard sobre a
dependência hipersensível das condições iniciais, é necessário recorrer a um exemplo
sobre um jogo de bilhar descrito por RUELLE (1991 p. 48).
No exemplo do jogo de bilhar, uma bola (A) é colocada em movimento na
direção de outra bola (B). Depois de várias colisões com várias outras bolas e contra as
bordas da mesa, a bola (A) estaciona num lugar específico sobre a mesa. Observe-se
que, se a bola (A) fosse colocada em movimento com uma ínfima diferença no ângulo
de deslocamento na mesma direção à bola (B), após várias colisões, realizaria outro
percurso e estacionaria num lugar totalmente diferente do anterior. Portanto, a ínfima
diferença na medida do ângulo do deslocamento da bola (A) perturba totalmente o
resultado final.
O matemático e filósofo francês POINCARÉ (1908) analisou a influência que
dois grandes corpos exerciam sobre uma pequena partícula. A idéia era de que a
partícula teria sua trajetória influenciada pela atração dos grandes corpos. Poincaré
relatou que uma pequena alteração na posição inicial da partícula em relação aos
corpos conduz a um resultado completamente diferente; salientou, ainda, que um
pequeno erro inicial resultará num enorme erro no futuro e isso torna as previsões
impossíveis, portanto, tem-se um fenômeno fortuito.
Segundo POINCARÉ (1908) um campo que merece destaque está
relacionado aos fenômenos meteorológicos. Para ele na meteorologia existe uma
grande dependência a condições de um estado inicial. O fato de que o estado inicial
não é conhecido com exatidão torna as previsões meteorológicas com mais de uma ou
duas semanas de antecedência cercadas de pouca confiabilidade. O fato de se
descobrir que não é possível realizar previsões meteorológicas à longo prazo favorece
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a atribuição dos fenômenos ao acaso, e isso não deve ser confundido com tendências
das estações do ano.
No início da década de 60, o meteorologista Edward N. Lorenz fez, com a
ajuda de um equipamento relativamente primitivo, várias simulações computadorizadas
sobre as condições do tempo. Seu programa usava 12 equações recursivas para
simular aspectos rudimentares do clima. Ele acrescentava algumas variáveis ao
programa, a cada vez, e observava que padrões climáticos tais condições iniciais
gerariam. Um dia, tentou recriar um padrão interessante que tinha visto e, para tanto, re
inseriu os valores que haviam sido previamente calculados. Entretanto os resultados
foram diferentes daqueles obtidos na primeira vez.. Lorenz suspeitou de alguma falha,
mas após as tentativas de localização do erro constatou que quando o programa foi
testado na primeira vez os dados numéricos tinham seis dígitos significantes, enquanto
que na segunda vez os valores foram calculados com três dígitos significantes (Esses
números foram respectivamente 0,506127 e 0,506). Lorenz havia assumido que essa
mínima diferença não teria conseqüências. Entretanto, devido à natureza recursiva das
equações, pequenos erros poderiam causar pequena variação a princípio, mas que
afetariam o resultado do cálculo seguinte e assim por diante até que o resultado final de
uma longa série de cálculos recursivos resultasse em um padrão totalmente diferente
do esperado. O termo "sensível dependência das condições iniciais" foi cunhado para
descrever esse fenômeno, em que pequenas mudanças em um sistema recursivo
podem alterar drasticamente os resultados em longo prazo. A dependência às
condições iniciais, foi chamado de “efeito gaivota” originalmente, e posteriormente de
"efeito borboleta", provavelmente em decorrência de uma palestra ministrada em 1972
por Edward Lorenz em um encontro em Washington, intitulada “Does de Flap of a
Butterfly’s Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?”. Existem outras versões para a
origem essa alegoria, conforme comenta o próprio Lorenz em seu livro The Essence of
Caos (1993), qual seja a de um conto de autoria de Ray Bradbury (“The Sound of the
Thunder,- 1962”) onde o futuro sofre alteração em decorrência de uma pequena
modificação no sistema provocada por uma viagem ao passado. Entretanto, à idéia
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persiste , no sentido de que eventos de grande magnitude ou mesmo catastróficos
podem ocorrer após um determinado tempo, tendo como origem um acontecimento
trivial, figurativamente “um bater de asas de borboleta”. Na próxima vez que a borboleta
bate as asas, entretanto, pode não acontecer conseqüência alguma (diferenças
mínimas nas condições iniciais produzem resultados muito diferentes). Quem assistiu
ao filme Jurassic Park pôde observar uma pequena demonstração do fato, quando Jeff
Goldblum fez cair duas gotas de água no dorso da mão da cientista protagonizada por
Laura Dern, que percorreram trajetos totalmente diferentes justamente devido a essas
mínimas variações nas condições iniciais.
Essa é a base da imprevisibilidade dos sistemas não lineares. É por esta
razão que não se consegue fazer uma previsão em longo prazo das condições do
tempo, de uma forma acurada. Para alinhar um modelo com a realidade
necessitaríamos enxertá-lo com aqueles valores de variáveis denominadas condições
iniciais. Sabemos porém, que é impossível medir essas condições iniciais perfeitamente,
em conseqüência, entre outras, do Princípio da Incerteza de Heisenberg pelo qual ao
se medir alguma coisa, provoca-se necessariamente uma alteração, tornando assim a
medida obsoleta.Mesmo que se pudesse construir um computador que monitorasse
cada átomo individual na Terra, qualquer mínima alteração não detectada poderia
afetar o clima de uma maneira profunda. Fascinado com esta idéia, Edward Lorenz
começou a se afastar da meteorologia e passou a explorar os meandros da matemática,
procurando por mais sistemas não-lineares imprevisíveis.
Segundo HSIEH (1990), a atratividade dos teóricos de finanças em relação à
teoria do caos surge em função da propriedade das equações em produzir grandes
movimentos que, aparentemente, são aleatórios e semelhantes aos movimentos do
mercado financeiro. Para CONNELY (1996), a transição do comportamento da
economia entre quedas e períodos de estabilidade é uma característica marcante e
muito semelhante ao comportamento de sistemas caóticos.
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A principal conclusão que se pode tirar, através da afirmativa de existência
de propriedades caóticas em um conjunto de resultados no mercado de soja, responde
o questionamento formulado: Será que há presença de ordem caótica nas cotações da
soja ?
Se as propriedades caóticas forem existentes, conclui-se a impossibilidade
de previsões de longo prazo devido à hipersensibilidade das condições primárias
conforme demonstrado anteriormente e, portanto, o mercado é apenas parcialmente
previsível numa perspectiva de curto prazo.
HSIEH (1990) cita diversas equações com propriedades caóticas, entre elas,
tent map, logistic map, hénon map e mackey-glass equation. Com o objetivo de
desenvolver e analisar as propriedades do caos, uma das equações determinísticas
que mais amplamente ficou conhecida é a :
Equação Logística (logistic map) xt = k*xt-1*(1-xt-1 ).
Observa-se que a equação logística é retroalimentada pelo resultado do
período anterior, onde k é uma constante e x é o resultado no período de tempo t. Para
a explanação das características do caos determinístico, será utilizado um valor inicial
de x igual a 0,05 e um valor da constante k maior que 3,67 ,pois é com valores da
constante maiores deste que as propriedades caóticas se apresentam.Plotando os
valores de x em função do tempo representativo da função logística (assumindo k = 3,8
e valor inicial em 0,05) com um número total de 100 observações, encontra-se a Figura
6 que é demonstrada a seguir.
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Figura 6 – Gráfico da Equação Logística
Observa-se que a Figura segue linearmente até meados da décima
observação e, após isto, a mesma entra em oscilações regulares em torno de,
aproximadamente, 0,75.
A partir da Figura 6, pode-se apresentar a primeira propriedade dos sistemas
caóticos, a hipersensibilidade às condições iniciais. Na Figura 7, são ilustradas duas
projeções, a projeção 1 possui um valor inicial de 0,05 e a simulação 2 com o período
inicial de 0,05000000001. Foram simuladas 100 observações com o valor da constante
k igual a 3,8.
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Figura 7 – Hipersensibilidade dos sistemas caóticos
Observa-se que ambas simulações seguem sobrepostas até,
aproximadamente, a observação número 45, após os dois sistemas começam a diferir
fortemente seus comportamentos, evidenciando que uma diferença aparentemente
insignificante de 0,00000000001 foi suficiente para causar uma variação significativa no
comportamento de longo prazo das equações. Isto comprova a hipersensibilidade às
condições iniciais que os resultados de uma equação caótica estão sujeitos. Para
maiores detalhamentos desta propriedade, encontrada em sistemas caóticos, destaca-
se o trabalho de HARRISSON (1999), onde tal qualidade é demonstrado de forma
extensiva.
A segunda e principal característica dos sistemas caóticos surge a partir de
conclusões da propriedade anterior. Como as condições iniciais de um sistema são
dificilmente mensuráveis com exatidão por razões de complexidade, a diferença irá
desencadear uma perturbação no longo prazo entre o valor calculado e o valor real, ou
seja, o sistema somente será controlável por um breve período. Por CONNELY (1996),
- 22 -
a previsão em sistemas caóticos somente é possível no curto prazo, antes que o efeito
borboleta domine o sistema.
A terceira qualidade das equações determinísticas com propriedades
caóticas é o comportamento do gráfico da bifurcação. No gráfico da bifurcação são
relacionadas 2 variáveis de uma mesma função ao contrário do relacionamento de 1
variável com o tempo ou com número de observações como normalmente é realizado.
Simula-se 50 ou mais observações para cada combinação das duas variáveis e, após
isto, cria-se o gráfico de dispersão com os resultados obtidos. Na Figura 8, apresenta-
se o gráfico da bifurcação para a equação logística, relacionando os valores de xt (eixo
y) com a constante k (eixo x).
Figura 8 – Gráfico da Bifurcação
O gráfico ilustrado na Figura 8 foi gerado com 10.000 observações para um
valor inicial de 0,495. Observa-se que, o comportamento segue normal até meados de
k=3, onde os valores criam a primeira bifurcação e, aproximadamente, em 3,4, onde a
segunda bifurcação se apresenta. Conforme descrito anteriormente, as propriedades
caóticas surgem em valores de k maiores que, aproximadamente, 3,67 pois, é a partir
deste valor que as órbitas regidas pelos atratores estranhos se encontram, conforme
- 23 -
pode ser observado na Figura 8. O limite numérico-espacial da equação é evidenciado
em k=4, pois com este valor, xt iguala-se a 1 e ,portanto, o cálculo da equação com
esse valor retorna como resultado o valor de 0.
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CAPITULO III
3. METODOLOGIA
3.1 Teste para Detecção do Caos
A idéia da imprevisibilidade no mercado de ações ou no mercado spot tem
como base o modelo de caminho aleatório. Assim, a melhor previsão para o preço de
amanhã é o preço de hoje, ou seja, Et(xt+1 Ωt) = xt, onde Ωt é o conjunto de
informações no tempo t que já está refletido no preço. É comum o modelo de caminho
aleatório ser escrito na forma xt+1 = xt + εt, onde εt é a variação que ocorre no preço de
um período para outro. Sob a hipótese do caminho aleatório, εt (t = 1 ..., n) é
imprevisível dado um conjunto de informações Ωt, pois o preço já reflete todo o conjunto
de informações disponíveis. A imprevisibilidade das variações de preço, no sentido de
não possibilitar a formulação de estratégias de negociação que assegurem lucros acima
do normal, é conhecida como Hipótese de Mercados Eficientes. A maioria dos testes
para caminho aleatório são baseados em modelos lineares.
Por outro lado, um sistema caótico é um sistema não-previsível para o longo
prazo, embora seja determinista e possa ser um pouco previsível em curtos intervalos
de tempo. Sob a hipótese de caos a previsibilidade se deteriora exponencialmente com
os aumentos dos intervalos de tempo. Sistemas caóticos também têm uma memória
muito curta para um pequeno histórico de seu passado. Como conseqüência, a
estatística padrão, utilizada nos testes de caminho aleatório, não pode ser utilizada para
verificar se uma série de tempo é caótica, mas pode ser utilizada para rejeitar a
hipótese nula de que a série seja independente e identicamente distribuída (i.i.d.).
Rejeitar a hipótese nula i.i.d., em dados pré-filtrados de dependência linear,
não significa aceitar a hipótese alternativa de comportamento caótico. Esse é o caso do
mais famoso teste para detectar estruturas não-lineares, o teste BDS, desenvolvido por
BROCK, DECHERT e SCHEINKMAN (1987). O teste BDS é baseado na correlação
dimensional sugerida por GRASSBERGER e PROCACCIA (1983). O teste BDS é
indicado apenas para investigar evidências sobre a dependência não-linear e essa é
- 25 -
uma condição necessária, mas não suficiente para caos. Essa questão é discutida de
forma exaustiva em BARNETT et al. (1998).
Atualmente, são muitos os softwares disponíveis para identificar caos em
uma série de dados.
Um dos limitantes para o uso desses softwares é a necessidade de se ter um
certo domínio dos termos técnicos e do conhecimento da área da Física. Porém,
GILMORE (1993) apresentou um teste para detectar caos, denominado de close
returns. O teste close returns é um teste simples, de fácil aplicação e que não requer de
seu usuário prévios conhecimentos da área da Física.
O teste close returns foi desenvolvido com base na formulação topológica do
caos descrita por TUFILLARO et al. (1990), MINDLIN e GILMORE(1992) e, mais
recentemente, por GILMORE (1998). É um teste de duplo enfoque, tanto qualitativo
quanto quantitativo. Enquanto que o teste BDS procura detectar um possível
afastamento da hipótese i.i.d., o teste close returns foi estruturado para capturar
estruturas caóticas que, notadamente, apresentam órbitas periódicas instáveis.
A idéia básica do teste close returns é identificar a existência de órbitas
periódicas instáveis em várias dimensões, que são atribuídas aos atratores estranhos.
Nesse ponto é importante salientar algo sobre os atratores estranhos. Segundo
RUELLE (1991), os atratores estranhos não são curvas ou superfícies lisas, mas
objetos de dimensões não inteiras que MANDELBROT (1977) designou de fractais.
Desse modo, uma linha reta tem um fractal de 1,0, um quadrado 2,0 e um cubo 3,0.
Segundo LARRAIN (1991), o gráfico da evolução dos preços deverá ter um fractal entre
1,3 a 1,4.
Segundo GILMORE (1998) a formulação topológica do caos, base do teste
close returns, procura evidências de caos no comportamento recursivo de uma série de
tempo. Para uma série caótica, espera-se que seu comportamento recursivo esteja
perto de uma determinada órbita periódica instável, devendo ser repelida ou atraída
para outras regiões conforme a ação do atrator estranho. Deve ficar claro que uma
órbita periódica instável não é estática, logo, nunca se reproduzirá perfeitamente.
- 26 -
Para uma série caótica Xt, onde t = 1, ..., n, espera-se que qualquer
observação específica ocorra perto de uma órbita periódica, desse modo, observações
subseqüentes deverão por perto da série depois de um intervalo de tempo i , onde i =
1, ..., n-1. Portanto, conforme GILMORE (1993), a diferença entre xt e xt+1 deverá ser
muito pequena e, por conseqüência, xt+1 deverá estar próximo de xt+1+i e, xt+2 perto de
xt+2+i. A essência do teste close returns é, justamente, identificar segmentos nos dados
onde a diferença xt - xt+i seja muito pequena.
A identificação dos close returns em uma série de dados é realizada pelo
cálculo de todas as diferençasxt - xt+i . Após, deve-se verificar se essas diferenças
são muito pequenas comparando-as com um valor limite ε. Segundo GILMORE (1993),
o valor de ε é um pequeno percentual da maior diferença entre quaisquer dois valores
do conjunto de dados, geralmente de 2 a 5% dessa diferença. Essas informações são,
então, colocadas em forma de gráfico.
Assim, se ε > xt - xt+i , o resultado será um ponto preto () no gráfico, e um
ponto branco ( ) para os demais casos.
A base da detecção de caos do teste é que uma série com propriedades
caóticas apresenta espaços brancos não utilizados em seu gráfico close returns devido
às suas órbitas regulares resultando em um padrão visual bastante peculiar, linhas
horizontais no espaço da Figura.
A seguir, na Figura 9, é ilustrado o gráfico close returns para a série gerada a
partir da equação logística, onde o eixo horizontal representa as observação H(i) e o
eixo vertical a contagem de órbitas e seus respectivos lags perante a observação.
Nesta Figura foi utilizado k=3,9 e valor de x igual a 0,01.
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Figura 9 – Close returns para uma série caótica
Observa-se, na Figura 9, que as órbitas seguem um padrão visual bastante
peculiar, deixando espaços não utilizados no gráfico. Esse comportamento deve-se a
atuação dos atratores estranhos, os quais puxam e repelem as órbitas.
Na Figura 10, a seguir, plota-se os pontos do gráfico close returns para uma
série pseudo-aleatória.
Observa-se, na Figura 10 que o padrão visual (onde os valores ocupam os
espaços sem deixar lacunas vazias) não se apresenta. Verifica-se tal situação, pois a
série gerada não possui órbitas regulares e ,portanto, pode-se descartar o encontro de
propriedades caóticas.
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Figura 10 - Close Returns para uma série aleatória
Se a série temporal apresentar comportamento aleatório, os close returns
deverão estar distribuídos de forma aleatória, exibindo uma dispersão uniforme sem a
definição de segmentos de linha horizontais. Esse é o caso ilustrado pela Figura 10,
onde são apresentados os close returns de uma série aleatória.
Para verificar a eficácia do teste close returns na detecção da transição do
determinismo para o caos, utiliza-se a metodologia variando os valores da constante k
da equação logística onde as propriedades caóticas não se apresentam, isto é, com
valores de k menores de aproximadamente 3,58. A seguir, na Figura 11, ilustra-se o
gráfico do teste close returns para diferentes valores de k (valor inicial de 0,495).
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Figura 11 – Teste de close returns para diferentes valores de k
Observa-se que a medida que os valores da constante k crescem, o sistema
passa de determinista para caótico e o teste close returns descrito por GILMORE (1993)
é capaz de detectar esta transição. Outro ponto a salientar é o começo do caos
determinístico, que inicia em um valor de k entre 3,5 e 3,6.
Uma problemática encontrada nesse teste é que o diagnóstico é visual e,
portanto, não quantitativo, estando sujeito a ilusão de ótica do observador. Para ilustrar
essa deficiência, abaixo, na Figura 12, é apresentado o teste close returns para
variações pequenas dos valores de k, mais precisamente entre 3,56 e 3,59.
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Figura 12 – Teste de Close returns para 3,56>k>3,59
Para minimizarmos os erros de ótica, iremos usar neste trabalho um software
chamado VRA (Visual recurrence analisys), este software , usa os testes de close
returns, apresentado por GILMORE(1993) para detecção do caos. Ele possui uma
interface com o Windows, tornando-o de fácil manuseio, além do que, ele trás em sua
memória várias séries já testadas para detecção do caos. Sendo assim, usaremos
neste trabalho a série de cotações da soja, tomando como referência o indicador soja
CEPEA/ESALQ – PARANÁ no período de 29/07/1997 à 14/08/2009 totalizando 2996
observações. Pretendemos comparar duas séries caóticas, com a série que
selecionamos.
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CAPITULO IV
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES
4.1 Gráficos gerados com o auxilio do software VRA
Figura 13 - Série LOGISTICA
Esta figura representa a série logística, que como demonstrado, no trabalho
é uma série que tem comportamento caótico.
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Figura 14 - Série de LORENZ
Esta figura representa a série de Lorenz, a qual deu origem ao efeito
borboleta e,portanto com comportamento caótico.
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Figura 15 – Série das cotações da soja, tomando como referência o
indicador soja CEPEA/ESALQ – PARANÁ no período de 29/07/1997 à 14/08/2009
totalizando 2996 observações.
Podemos observar, visualmente, que a imagem gerada para a série
escolhida tem um padrão diferente, das imagens geradas para as séries caóticas.
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Figura 16 – Histograma da Série Logística
Este gráfico representa a série logística, e como podemos observar, tem um
comportamento caótico.
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Figura 17 – Histograma da Série de Lorenz
Este gráfico representa a série de Lorenz, e como podemos observar tem um modo peculiar de se apresentar.
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Figura 18 - Histograma das Série de cotações da soja, tomando como
referência o indicador soja CEPEA/ESALQ – PARANÁ no período de 29/07/1997 à
14/08/2009 totalizando 2996 observações.
Este gráfico representa a série escolhida das cotações da soja, e como
podemos observar difere do comportamento caótico, apresentado nos gráficos
anteriores.
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CAPITULO V
5. CONCLUSÕES
O objetivo principal deste trabalho foi verificar se há ordem caótica nas
cotações da soja. O teste aplicado foi de close returns, com o auxilio do software VRA
(Visual Recurrence analysis). Foram utilizados as cotações da soja, tomando como
referência o indicador soja CEPEA/ESALQ – PARANÁ no período de 29/07/1997 à
14/08/2009 totalizando 2996 observações.
Sendo o objetivo desta pesquisa estudar a presença de propriedades
caóticas dentro do mercado spot de soja, verificou-se, tanto no enfoque qualitativo
quanto no quantitativo do teste close returns, o encontro de uma fraca dinâmica não-
linear no comportamento das cotações.
Salienta-se que estes sinais comprovam uma fraca evidência da presença de
propriedades caóticas nas cotações da soja para a série analisada. Conclui-se, a partir
dos resultados da pesquisa, que não existe tendência de que o comportamento das
cotações, seja previsível no curto prazo, e mantendo uma parcela de imprevisibilidade
no longo prazo.
Destaca-se a importância de maiores pesquisas para que a aplicação de
testes que possam confirmar com exatidão a não presença de propriedades caóticas
dentro de uma série temporal, assim como também a necessidade de estudos
adicionais sobre previsibilidade no mercado.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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