advanced engineering mathematics solutions (6-1~6-7&ch6review)

8/13/2019 Advanced Engineering Mathematics Solutions (6-1~6-7&Ch6review)

1/33

Solution 6-1~6-7 and Ch6 review

Solution 6-1 No. 6

t et f t 4sinh {f(t)}

2

53

2

444sinh

t et et et et t et e

534538

215335

215131212

53

s s s s s s s s

s s

t et e

No. 11

bt

bt t t f

,0

0 ,

2

0002

020

s

e se

s

bse s

bsbeb

t s

st e s

st tebt

st dt tet f

21

2 s s

bse s

bsbe

No. 22

Since 0 101

2

1

21 t t t t t dt edt t e

Set st then sd

s dt t ,

s s sd

st t

st t

d eedt e

1011

01

01

Remark: 0

1 lim,t t

t f t f kt Met f cannot be met.


2/33

No. 26

,25215

s

s s F find t f

1

s F 1

6.254.2

56.2

s s 1

4.251

s 1 t t

s ee55

51

4.26.2

No. 32

,1

b sa s s F find t f

If ab 1 ab

s F 1 1 b sa s

11 bt at ab ee 1

If ab 1 s F 1

at

a ste

21

No. 43

,10422

76

s s

s s F find t f

1 s F 1 8212

76

s

s 1

421

273

s

s 1

2221

2113

s

s

1

t et e t t

s s

s2sin2cos3

4

1

2221

241

2221

13


3/33

Solution 6-2 No. 4

00' ,00 ,109"

y ye y y t

Set sY t y

,1

109" s

y y 1

109)0(')0()(2 s

sY y sy sY s

Insert 00',00 y y

1

1092

s sY s

232

31

23211

921

9211

921

11

92110

s s

s s s s

s s s

s s s s

sY

t y -1 t t t e sY 3sin313cos

No. 12

52' ,32 ,03'2"

y y y y y Set yt y y y y yt ~ ,0'~2',0~20,2t,2 t,2

Let sY t y , sY y ~~~

0~~3)0(~)~(~~2)0('~)0(~)~(~~ 2 sY y sY s y y s sY s Substitute 50'~ ,30~ y y into the above equation

0~~33)~(~~25~3)~(~~ 2 sY sY s s sY s 11~3)~(~3~2~ 2 s sY s s

3~21

1~27

3~22~11~3)~(

~ s s s s

s sY

)(~ y 1 32127)~(~ ee sY

Restore 2t

23212

27 t t eet y


4/33


5/33

No. 25

422

1

s s s F

And 1 t s 2

2

4221 sin

Then 1

t t d t t s s 22

422

402

20

22

2

4221 cos11coscossin

No. 29

a s sas s

s F 2

123

1

And 1 at a s e 1

Then 1

aat et

a

aet aa s s d e

1

00

1

1

t

a

aet aa

ae

a s sd

00

11

21

2111

a

at eat

a

at ea

t

a sa

s

a sa

a sa

s

a sa

a s sas s 2

1

2

121

21

2

12

1

21

231

-122

123

1

a

at eat

aas s


6/33

Solution 6-3 No. 4

t t t f 0 ,2cos t ut t tut tut tut ut ut t f 2cos2cos2cos2cos2cos

s s

s s se

s s

s se

s s et f

s s 144422 2222222

No. 8

21 2 t t t f

212 t ut ut t f

21 22 t ut t ut

2424211121 22 t ut t t ut t

2422422111211 22 t ut ut t ut t ut ut t ut

s

e se

se

se

se

se s s s s s st f

2

2

2

3

2

234222

No.16

4/2 23 seet f s s

s s s s s s s s se se

eeee 32

2132

21

22

32

3131 3212213212

21 t uet uet uet uet f t t t t

31 3232211212

21 t ueet uee t t t t

332sinh112sinh t ut t ut


7/33

No. 28

R = 1 k , L = 1 H, 0v if t 0 and V t sin40 if t )(sin40)()(')( t tut vt Lit Ri

t ut t tut vii )sin(40)(sin40)('1000

0)0(:0100012

40 ii s sI s I s

se

se s s

s s s

e s I s

e s I s s s

10001

110

11040

1100040;

1401000

2

3

622

t uet t t i t 1000

1610

40 sin1000cos

t u

t et t t i 1000sin1000cos1610

40

0 t ii

t et t t iii 1000cossin1000

11040 6

No. 32

0,10,10 2 v F C R if 4t and V e t 1014 36 if 4t

)(t vt Ri C t Q

410144101410010 43126036 t ueet uet vd ii t t t

3

4126101410010 s

see s

s I s I

34125101410

3

4125101410 ;1 s

see

s s

s

see

s s I s I

s

s s s s

s see ee s I 41253

610

20310

41251014 10

46201043410125

t ueeet i t t


8/33

4 ,361028205104364102012510

40 ,0 t t et eet et eet iii

t t ii

No. 35

oterwise ,0

3 , cos9900 F10C ,1 2

t V t t v H L

3cos9900cos99003cos9900 t tut tut ut ut t v 33cos9900cos9900 t ut t ut

t vC

t qt Li )(' t vd it i t 0100)('

d it i t

0100' t v

12

39900

1299001000

s

s se

s

s se s

s I i s sI

s I t i 00 i

12

39900

129900

1002

s

s se

s

s se s

s I s

100212

329900

100212

29900)( s s

se s

s s

se s s I

s

s s

s

s see 3

100210000

12100

100210000

12100

t i 1 s I 3310sin10003sin10010sin1000sin100 t ut t t ut t

t i 0 0t i 3 t ii t t t t t i 10sin1000sin10010sin1000sin100 3 t iii

310sin10003sin10010sin1000sin100 t t t t t i 010sin1000sin10010sin1000sin100 t t t t


9/33

oterwise ,0

3 , cos9900 F10C ,1 2

t V t t v H L

1 )(' t vC

t qt Li t

;2

2t i L

dt t dq

dt t dv

C dt

t dq

dt

t id

Or 2 100

2

2

dt t dv

dt

t id t i

3cos9900 t ut ut t v

33sin9900sin99003sin9900 t ut t ut t ut ut dt

t dv

Transform both sides of (2)

12

39900

1299001000'02

s

se

s

se s I i si s I s

t v t 3 , 9900,0

vv

03,99003

vv

dt

t dv Laplace transformation

t sevv sedt

dt dv st e ;9900

3 ;3990033333

t sevv sedt

dt dv st e

se se s

se

s

se s I i si s I s 399009900

12

39900

1299001000'02

From (1) At t 0 0000 v L C

qdt

di

Since 00' 00

iq and 00 i


10/33

se s

se s

s I s 3112

1990012

1199001002

se s s

se s s

s I 3112

11002

990012

111002

9900

s

s

s

s

s

s

s

see 3

12

2

10029900

12

2

10029900

s s s

s

s see s I 3

100210000

12100

100210000

12100

t i 1 s I

3310sin10003sin10010sin1000sin100 t ut t t ut t

t i 0 0t i 3 t ii t t t t t i 10sin1000sin10010sin1000sin100 3 t iii

310sin10003sin10010sin1000sin100 t t t t t i 010sin1000sin10010sin1000sin100 t t t t

No. 39

2 t ,0

20 , 1000 F5.0C ,1,2R

t V t v H L

t vC

t qt Ri

dt t di

L Or 1 022 t vt d i I

dt t di

21000 t ut ut v Laplace transform on both side of 1

s

se s s

s I s I i s sI

2110002

20 s I t i 00 i

s

se s s

s I s s 211000222

222

2

222

11 0 0 0

s s

se

s s

s I


11/33

121

2

121

11000 s

se

s s I

t i 1

22sin2

1000sin1000

t ut t

et t

e s I

20 t i t t et i s i n1000

t ii 2s i n21 0 0 0s i n1 0 0 0 t t et t et i


12/33

Solution 6-4

No. 3 0(0)y' ,2y(0) ,29" t y y

Make Laplace transformation on both sides of the equation

0(0)y' ,2y(0) ;90'0 22 s

e sY y sy sY s

are then inserted

se s sY s 22 29

92

2

922

s

se

s

s sY

t y 1

23cos313cos2223sin313cos2 t tut t ut t sY

92

2

922

s

se

s

s sY

t y 1 d t t sY t 0 23

1 3sin3cos2

2

0 t i t t y 3c o s2

2 t i

t t t t t y 3cos3cos23sin3cos231

231

No. 6

se sY y s sY y sy sY s 5040'02

3(0)y' ,0y(0) are then inserted

se sY s sY sY s 5432

se sY s s 3542

1221223

5425423

s

se

s s s

se

s s sY


13/33

t y 1 11sinsin3 122 t ut et e sY t t

1221223

s

se

s sY

t y 1 d t et e sY t t t 0

2212 1sinsin3

10 t i t et y t s i n3 2

1t ii 1s i ns i n3 122 t et et y t t

No. 9

1000),2(212'2" 2 ) , y'( ) y( t eet u y y y t

s s

see s

ee sY y s sY y sy sY s 221

22

112 2020'0

1000 ) , y'( ) y(

s s

see

s

ee sY s sY sY s 22

1

22

1

12 221

s s see

s ee sY s s 22

1

22

112 122

222

22

2221

22

2221

1

2221

s s

see

s s s

see

s s s s s sY

222

2222

22253

51

151

22253

51

151

2221

s s

see s

s s

s

s s s

s

s s see

121

2222

121

53

51

151

121

53

51

151

121

1

s

see s

s

s

s s

s

s see

121

2222

121

521

51

151

121

521

51

151

121

1

s

see s

s

s

s s

s

s see

t y 1 sY

2sincossin22

51

52

51

51

t ueet et eet e t t t t t


14/33


15/33

)sincos3()sincos3()sincos2(sincos2( 333101222

51 et t eeet t ee t t t t

)(3103

101)(2

52

51

52)2

1(3)21(2

)sincos3(sincos t t t t et t et t ee

)(3103)(2

52

101

101)2

1(3)21(2

sincos)( t t t t eet t eet y

No. 11 1000 ,2123" ) , y'( ) y( t t u y y y

s s

se e sY y s sY y sy sY s 22 2030'0

1(0)y' ,0y(0) are then inserted

s s

se e sY s sY sY s 22 231

s s se e sY s s 22 123

21232 s s s s

212

21211

s s

se s s s

se s s

sY

s

s s s

s s s s s ee2

21

11

221

112

1

21

11

t y 1 sY 21 22212

211

212 t ueet ueeee t t t t t t

No. 125(0)y' ,2y(0)),(100255'2" t t y y y

s s

e sY y s sY y sy sY s 1005020'02

252 5(0)y' ,2y(0)

s s

e sY s sY s sY s 100542522

252

s s

e s sY s s 10012522

252

522

100

522225

52212

s s

se

s s s s s

s sY


16/33

2221100

252

522100

252

522100

52212

252

52212

s

se

s s s s

se

s

s

s s

se

s s

s

s

s

s s

s

t y 1

t ut et sY t

2sin5052

t tuet t 2sin5052


17/33

Solution 6-5

No. 4

d t t d t t t t t 02

10 coscoscoscoscoscos

d t t t 02

1 cos2cos

t t t 02

121 cos2sin

0sincossin2

1

2

1

2

1 t t t t

t t t t sincossin

21

21

21

t t t

cossin121

No. 6

t ba baebt et babt t t babt at d eed eeee 000

ba

bt eat eba

t baebt e 1

No. 8

t d t yt y t 24 0

22

04 s

t d t yt y

22

214

s s sY sY

22241 s s sY 222 4

2

s s s sY


18/33

42

2

s sY

t t y 2sin No. 9

20 d yt y t

s

t d yt y 20

s s

sY sY 21

s s

sY 211 s s

s sY 21

1

2 s

sY

t et y 2

No.13

t t t ted e yet y

02

211

02 s

t t d e yet y

211

02 s

t t t t d e yeet y

211

112

s s sY sY

211

121

s s sY

211

11

s s s sY

11

11

21

111

s s s s sY

t eet y t t sinh21


19/33

No.25

2

362

18

s

s s F -1 t s

6sin3362

18 -1 t s

s 6cos362

-1

t

s

s d t 02362

18 6cos6sin3

t d t t 023 666sin666sin

t d t t 023 612sin6sin

t t t 012123 612cos6sin

t t t t 6cos6cos6sin121

121

23

t t 6sin23


20/33

Solution 6-6

No. 2

t t t f 4sinh3

2

444sinh

t et et

162

4

1628

21

41

41

214sinh

s s s st

2162

24

2162

241624

334sinh3

s

s

s

s

ds

sd

t t ds

sdF t tf

No. 6

t t t f 3sin2

9

23

23

233sin

s s

t

2

92

62323

3sin

s

sds

sd

t t

492

922262

926292

6

3sin2

s

s s s s

ds

s

sd

t t

492

2216424486210846

s

s s s s

392

3218

492

923218

492

4862108418

s

s

s

s s

s

s s


21/33

No. 14

2162

s

s s F ds

sd

s

s

1621

2

1

2162

-1 t

s4sin

41

1621 -1 t t t t

s

s 4sin814sin

41

21

2162

Or

-1

d t t t d t t

s

s

0

444sin444sin81cos0 4sin4

12

162

t

t t d t t t 0

48cos814sin

81

0 48sin4sin81

t t t t t t 4sin814cos814cos814sin81

No.15

2)42( s

s s F

ds s

d

s

s 421

21

2)42(

and2

12

141

421

s s s

-1 t t

see 22

41

421

-1 t t t t ds s

d

eet eet 228122

41

2142

1

21


22/33

Or42

1

422)42( s s s

s

s

21

21

21

2242 s s s s s

s

s

-1 t t s

s ee 2221

42

And -1 t t s

ee 2241

421

-1 d eeeet t t s

s

0)(2)(2

4122

21

242

d eeeet t t t t 0

24242281

t t t t t eeee0

2424142

412

81

t t t t t t teeeeete 22412

412

412

412

81

t t tete 2281

No.17

1

ln s

s s F 1lnln1

ln s s s

s

Set -1 )(

1ln t f

s s

then,

-1)(

1ln

t tf ds s

sd

;

-1

ds s

sd 1

ln

-1 )(111

1 t tf t e s s

t

et f t 1


23/33

No.20

b sa s s F ln b sa s

b sa s lnlnln

Set -1 )(ln t f b sa s then, -1 )(

lnt tf ds

d b s

a s

;

-1

ds

d b sa sln

-1 )(11 t tf at ebt e

a sb s

)(1)( at ebt et

t f


24/33

Solution 6-7

No. 2

00 ,10 ,cos2 ,0 21'212'1 y yt y y y y

Writing ,11 sY y sY y 22

10 211 sY y s sY

12

2221 0

s

s y s sY sY Replace 00,10 21 y y

121 sY s sY 1

122

21 s

s s sY sY 2

1 s 2 12

21

2 1 s

s s sY s

2

12

2

121

s

s

s

s sY

Then from 1 21222

121

21222

122

12 11

s

s s s

s s

s s sY sY

Using (3) of sec.6.6 -1 t t

s

s

sin2222

t t t t t t y t sincossincos22

1 In this case 1

And using (4) of sec.6.6 -1 t t t s

s

cossin21

222

2

t t t t t t t t t t t y coscossinsincossinsin22

2 In this case 1


25/33

No. 4

30 ,00 ,4sin93 ,4cos84 211'22'1 y yt y yt y y

Writing

,11 sY y

sY y 22

162

8211 40

s

s sY y s sY

162

36122 30

s sY y s sY Replace 30,00 21 y y

162

821 4

s

s sY s sY 1

16

236

21 33 s

s sY sY 2

1 s 2 4 162

144

162

281

2 1212 s s

s sY s

162

144192212281

2 12 s

s s sY s 162

1224

1624824

12 12

s

s

s

s sY s

162

41

s sY

1

3 2

s

162

2123

162

3336

16236483324

16236

16224

22 312

s

s s

s

s s

s

s s s s

s

s

s

s s sY s

162

32

s

s sY

t t y 4sin1 t t y 4cos32


26/33

No. 6

30 ,10 ,5 ,5 2121'221'1 y y y y y y y y

Writing

,11 sY y

sY y 22 sY sY y s sY 2111 50 sY sY y s sY 2122 50 Replace 30,10 21 y y 15 211 sY sY s sY 15 21 sY sY s 1 35 221 sY s sY sY 35 21 sY s sY 2

1 ( s 5) 2 3515 12 s sY s

6

1

4

2

24102

8

1

s s s s

s sY

1 +2 ( s 5)

163153151 22 s s sY s

6

14

2

24102163

2

s s s s

s sY

t t eet y 641 2

t t eet y 642 2


27/33

No. 8

30 ,40 ,4 ,32 2121'221'1 y y y y y y y y

Writing

,11 sY y

sY y 22 sY sY y s sY 2111 320 sY sY y s sY 2122 40 Replace 30,40 21 y y 432 211 sY sY s sY 432 21 sY sY s 1

34 221 sY s sY sY 314 21 sY s sY 2 1 ( s 1) 2 3 9441212 1 s sY s s

5

12

3

1032134

1

s s s s

s sY

1 4+2 ( s 2)

22363161212 2 s s sY s s

5

12

4

1032223

2

s s s s

s sY

t t eet y 521 3

t t eet y 522 4


28/33

No. 12

00 ,20 ,00 ,10 ,2 ,54 '22'1121"221"1 y y y y y y y y y y

Writing

,11 sY y

sY y 22

sY sY y sy sY s 21'1112 5400

sY sY y sy sY s 21'2222 200 Replace

00 ,20 ,00 ,10 '22'11 y y y y

s sY sY s 21

2 54 1

s sY s sY 22 221 2

1 22 s 2 5 s s s sY s s 102542 2122

s s sY s s 832 3124 s s sY s s 831 3122

3245

189

189

3245

1249

321283

1

s

s

s s s

s

s

s

s s

s s

sY

1 2 42 s 42245 2222 s s s sY s s s s sY s s 7232 3224

s s sY s s 7231 3222

32

41

189

189

3241

1249

3212732

2

s

s s s s

s

s

s

s s

s s sY

t t t eet y t t 3coscosh3cos45

49

45

89

89

1

t t t eet y t t 3coscosh3cos41

49

41

89

89

2


29/33

No.13

60 ,80 ,60 ,00 ,10sin101 ,10sin101 '22'111"22"1 y y y yt y yt y y

Writing

,11 sY y

sY y 22

1002

10102

'111

2 00 s

sY y sy sY s

1002

10101

'222

2 00 s

sY y sy sY s Replace

60 ,80 ,60 ,00 '22'11 y y y y

1002

101021

2 6 s

sY sY s 1

1002

10102

21 68

s s sY s sY 2

1 2 s 2 1002

10102

10021010

14 6861

s s s s sY s

s s sY s s

s 811 2100241026

14

12

4

124

100210

124

12128

12100241026

1 s

s

s

s

s s s s

s

s s

s sY

124

100210

12

12

12

12

124

100210

124

124

s

s

s s s s s s

s

s s

s

s

124

100210

14

s

s

s s

1 2 2 s 210021010

10021010

24 6861 s s sY s

s s

s s sY s s

8161 21002

10102

4

12

4

100210

14

12128

12100241026

2

s

s

s s s s

s

s s

s sY

t t et y t cos410sin41


30/33

t t et y t cos410sin42


31/33

Solution Ch6 review No.13

No.21

No.25


32/33

No.38

No.39


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No.44

advanced engineering mathematics solutions (6-1~6-7&ch6review)

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