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ANÁLISE DE ESTRUTURAS GEOTÉCNICAS

Março de 2015

Nuno Manuel da Costa Guerra

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Índice de Matérias

I Introdução às Estruturas Geotécnicas 1

1 Introdução 3

1.1 A Análise de Estruturas Geotécnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 As estruturas geotécnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 A importância da determinação das cargas de colapso e de deslocamentos de

estruturas geotécnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II Métodos de análise do colapso de estruturas geotécnicas 17

2 Introdução aos métodos de determinação de cargas de colapso 19

2.1 Problemas geotécnicos “simples”: determinação de cargas de colapso . . . . . . . 19

2.2 Determinação de cargas de colapso através de análise limite . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 Algumas noções de plasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.2 O princípio dos trabalhos virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.3 Teoremas do colapso plástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.4 Exemplos de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.5 Observações aos métodos de análise limite . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3 Determinação de cargas de colapso por equilíbrio limite . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.1 Princípios do método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.2 Exemplo de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

III Cargas de colapso 33

3 Impulsos de terras 35

3.1 Introdução aos impulsos de terras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

i

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ii Índice de Matérias

3.2 Impulso de solos respondendo em condições drenadas, com superfície horizontal

em paramento vertical sem atrito solo-paramento . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.2 Aplicação do teorema estático (TRI): a solução de Rankine . . . . . . . 36

3.2.3 Aplicação do teorema cinemático (TRS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.4 Aplicação de método de equilíbrio limite: o método de Coulomb . . . . 42

3.2.5 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.6 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.7 Pressões devidas a sobrecargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.8 Pressões da água e meios estratificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Impulso de solos respondendo em condições não drenadas, com superfície hori zontal em paramento vertical, sem adesão solo-paramento . . . . . . . . . . . . 51

3.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.2 Aplicação do teorema estático (TRI): a solução de Rankine . . . . . . . 51

3.3.3 Aplicação do teorema cinemático (TRS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3.4 Aplicação de método de equilíbrio limite: o método de Coulomb . . . . 54

3.4 Impulso de solos respondendo em condições drenadas: superfície inclinada, em

paramento inclinado com atrito solo-paramento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4.2 Método de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4.3 Método de Coulomb: o efeito de sobrecargas . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5 Comparação da solução de Coulomb com a de Caquot-Kérisel . . . . . . . . . . 61

3.6 A curvatura da superfície de deslizamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7 Extensão da solução de Rankine a solos com superfície inclinada . . . . . . . . 66

3.7.1 Impulso activo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.7.2 Impulso passivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.7.3 Comparação com os resultados da teoria de Coulomb . . . . . . . . . . . 70

3.8 Consideração da acção sísmica. Método de Mononobe–Okabe . . . . . . . . . . 70

4 Capacidade resistente às acções verticais 75

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 Capacidade resistente às acções verticais em condições não drenadas, para fun dação de comprimento infinito e carregamento vertical e centrado . . . . . . . . 76

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Índice de Matérias iii

4.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.2.2 Aplicação do teorema cinemático (TRS): primeiras abordagens . . . . . 76

4.2.3 Aplicação do teorema estático (TRI): primeiras abordagens . . . . . . . 77

4.2.4 Aplicação de equilíbrio limite: primeiras abordagens . . . . . . . . . . . 794.2.5 Observações ao resultados obtidos nas primeiras abordagens . . . . . . . 79

4.2.6 Melhoria da solução obtida pelo teorema estático . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.7 Melhoria da solução obtida pelo teorema cinemático . . . . . . . . . . . 81

4.2.8 Observações ao resultados obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3 Capacidade resistente às acções verticais em condições drenadas, para fundação

de comprimento infinito e carregamento vertical e centrado . . . . . . . . . . . . 83

4.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3.2 Aplicação do método de equilíbrio limite: primeiras abordagens . . . . . 83

4.3.3 Aplicação do teorema cinemático: primeiras abordagens . . . . . . . . . 84

4.3.4 Aplicação do teorema estático: primeiras abordagens . . . . . . . . . . . 85

4.3.5 Melhoria da solução obtida pelo teorema cinemático . . . . . . . . . . . 86

4.3.6 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.4 Nota à capacidade resistente para carregamento vertical e centrado . . . . . . . 89

4.5 Influência do nível freático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.6 Influência da excentricidade da carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.7 Influência da forma da fundação e da inclinação da carga . . . . . . . . . . . . . 92

4.8 A formulação proposta no Eurocódigo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.8.1 Em condições não drenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.8.2 Em condições drenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5 Colapso de maciços em talude 95

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2 Talude vertical, solo em condições não drenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2.2 Aplicação do método do equilíbrio limite à análise não drenada da esta

bilidade de um talude vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.2.3 Aplicação do teorema cinemático à análise não drenada da estabilidadede um talude vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

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iv Índice de Matérias

5.2.4 Aplicação do teorema estático à análise não drenada da estabilidade de

um talude vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2.5 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3 Talude infinito; solo em condições drenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.3.1 Aplicação do teorema cinemático à análise drenada da estabilidade de

um talude infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.3.2 Aplicação do teorema estático à análise drenada da estabilidade de um

talude infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3.3 Aplicação do método de equilíbrio limite à análise drenada da estabili

dade de um talude infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.3.4 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.4 Talude infinito; solo em condições não drenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.4.1 Aplicação do método de equilíbrio limite à análise não drenada da esta

bilidade de um talude infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.4.2 Aplicação do teorema cinemático à análise não drenada da estabilidade

de um talude infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.4.3 Aplicação do teorema estático à análise não drenada da estabilidade de

um talude infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.4.4 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.5 Talude infinito; condições drenadas: percolação paralela ao talude (EL) . . . . . 106

5.6 Talude com geometria genérica; condições não drenadas (EL) . . . . . . . . . . 107

5.6.1 Análise por equilíbrio limite de superfície circular . . . . . . . . . . . . . 107

5.6.2 Método de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.7 Talude com geometria genérica; condições drenadas (EL) . . . . . . . . . . . . . 109

5.7.1 Os métodos de fatias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.7.2 Método de Fellenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.7.3 Método de Bishop simplificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.7.4 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

IV Verificação da segurança 115

6 Verificação da segurança em relação aos estados limites últimos. O EC7 117

6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

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Índice de Matérias v

6.2 Os estados limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.3 Os estados STR e GEO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.4 O estado EQU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.5 Os estados UPL e HYD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7 Verificação da segurança de taludes. Estabilização de taludes 123

7.1 Instabilização de taludes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.2 Causas da instabilização de taludes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.3 Métodos de análise e verificação da segurança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.3.1 Verificação da segurança com base em coeficientes parciais . . . . . . . . 127

7.3.2 Verificação da segurança com base no coeficiente global . . . . . . . . . 128

7.4 Técnicas de estabilização de taludes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.4.1 Alteração da geometria do talude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.4.2 Drenagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.4.3 Reforço com inclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.4.4 Construção de estruturas de suporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.4.5 Colocação de recobrimento vegetal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8 Verificação da segurança de fundações superficiais 137

8.1 Tipos e funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.2 Critérios de segurança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8.3 Rotura global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.4 Carregamento vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.5 Deslizamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9 Verificação da segurança de estruturas de suporte 143

9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

9.2 Verificação da segurança de estruturas de suporte rígidas . . . . . . . . . . . . . 145

9.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9.2.2 Verificação da segurança em relação à rotura global . . . . . . . . . . . . 146

9.2.3 Verificação da segurança em relação ao deslizamento . . . . . . . . . . . 146

9.2.4 Verificação da segurança em relação ao carregamento vertical . . . . . . 1479.2.5 Verificação da segurança em relação ao derrubamento . . . . . . . . . . 148

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vi Índice de Matérias

9.3 Verificação da segurança de estruturas de suporte em “L” ou “T invertido” . . . 149

9.3.1 Impulsos de terras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9.3.2 Estabilidade interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9.4 Drenagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.5 Verificação da segurança de estruturas de suporte flexíveis . . . . . . . . . . . . 152

9.5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

9.5.2 Dimensionamento de cortinas simplesmente encastradas ou auto-portantes153

9.5.3 Dimensionamento de cortinas mono-apoiadas através do método do apoio

simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

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Índice de Figuras

1.1 Estrutura de contenção flexível ancorada, em Seattle, nos EUA. . . . . . . . . 5

1.2 Representação esquemática de obras de estabilização de um talude. . . . . . . 5

1.3 Túnel sob a Mancha: planta, corte longitudinal e corte transversal. . . . . . . 6

1.4 Fases de construção da Torre de Pisa (Jamiolkowsky, 1999). . . . . . . . . . . 7

1.5 Dados históricos sobre a inclinação da Torre de Pisa (Jamiolkowsky, 1999). . . 8

1.6 Representação esquemática da metodologia para corrigir parcialmente a incli

nação da Torre de Pisa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Ruínas da Barragem de Malpasset. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8 Efeitos da liquefacção do solo de fundação, no sismo de Niigata, em 1964. . . . 10

1.9 a) Palácio das Belas Artes, na Cidade do México. Os degraus visíveis na foto

grafia para acesso ao monumento foram, em tempos, ascendentes; b) Basílica eConvento dos Capuchinhos, na Cidade do México, onde são visíveis importantes

assentamentos diferenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.10 Rotura de cortina de contenção flexível em Lisboa. . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.11 Deslizamento de talude em La Conchita, no Colorado (EUA). . . . . . . . . . . 12

1.12 Escorregamento de Vajont. Aspecto da albufeira vista de montante após o

deslizamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.13 Representação esquemática do escorregamento de Vajont. Estima-se que a

massa instabilizada tenha atingido velocidades da ordem dos 30 m/s e que

terá subido na margem direita cerca de 140 m; 45 segundos após o início do

escorregamento não havia qualquer movimento de terreno. . . . . . . . . . . . 14

1.14 Rotura da Barragem de Teton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1 Determinação de cargas de colapso de problemas geotécnicos simples: a) de

terminação de impulsos de terras; b) determinação de carga vertical limite; c)

estabilidade de maciços em talude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Incrementos de deformação plástica de solo perfeitamente plástico com lei defluxo associada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

vii

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viii Índice de Figuras

2.3 Teorema da região superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Trabalho das tensões internas em superfícies de deslizamento . . . . . . . . . . 24

2.5 Teorema da região inferior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6 Exemplo de aplicação do teorema cinemático: ensaio de compressão simples . . 26

2.7 Variação do parâmetro 1sen ξ cos ξ em função de ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.8 Exemplo de aplicação do teorema estático: ensaio de compressão simples . . . . 27

2.9 Exemplo de aplicação do teorema estático: ensaio de compressão simples –

estado de tensão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.10 Exemplo de aplicação do teorema cinemático: ensaio triaxial. . . . . . . . . . . 28

2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1 Impulso de terras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Impulso de terras: caso de paramento vertical, impulso horizontal, terreno su

portado horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Geometria do problema: aplicação do teorema da região inferior à determinação

do impulso activo: teoria de Rankine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4 Aplicação do teorema da região inferior à determinação do impulso activo: te

oria de Rankine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5 Impulso activo de Rankine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.6 Aplicação do teorema da região inferior à determinação do impulso passivo:

teoria de Rankine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.7 Aplicação do TRS com mecanismo planar à determinação do impulso activo . . 39

3.8 Variação de K LS a com o ângulo ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.9 Aplicação do TRS com mecanismo planar à determinação do impulso passivo . 41

3.10 Variação de K LS p com o ângulo ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.11 Aplicação do método de Coulomb à determinação de impulso activo . . . . . . 43

3.12 Aplicação do método de Coulomb à determinação de impulso passivo . . . . . . 44

3.13 Caso de solo respondendo em condições drenadas, com superfície horizontal em

paramento vertical, sem atrito solo-paramento: exemplo de determinação dos

impulsos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.14 Geometria do problema: aplicação do teorema da região inferior à determinação

do impulso activo com sobrecarga aplicada à superfície do terreno: teoria deRankine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

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Índice de Figuras ix

3.15 Aplicação do TRS com mecanismo planar à determinação do impulso activo

para o caso de sobrecarga aplicada à superfície do terreno. . . . . . . . . . . . . 48

3.16 Pressões da água e influência da água nas pressões de terras. . . . . . . . . . . 49

3.17 Meios estratificados e sobrecargas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.18 Impulso activo de Rankine em solo respondendo em condições não drenadas . . 51

3.19 Impulso activo de Rankine em solo respondendo em condições não drenadas:

fendas por tracção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.20 Aplicação do TRS com mecanismo planar à determinação do impulso activo . . 53

3.21 Geometria para a determinação de impulso de solos respondendo em condições

drenadas, com superfície inclinada, em paramento vertical, com atrito solo-pa

ramento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.22 Cunha de solo para avaliação dos impulsos activos em solos respondendo em

condições drenadas, pela teoria de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.23 Cunha de solo para avaliação dos impulsos activos em solos respondendo em

condições drenadas, parcialmente submersos pela teoria de Coulomb. . . . . . . 57

3.24 Cunha de solo para avaliação dos impulsos passivos pela teoria de Coulomb. . . 60

3.25 Relação K LS ;ELaq /K LS ;EL

aγ em função de β e i (adaptado de Guerra (2012)). . . . 61

3.26 Coeficientes de impulso activo determinados pela teoria de Coulomb (equação(3.118)) para β = 90o e i = 0 face aos valores obtidos por Caquot e Kérisel

(1948). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.27 Coeficientes de impulso passivo determinados pela teoria de Coulomb (equação

(3.127)) para β = 90o e i = 0 face aos valores obtidos por Caquot e Kérisel

(1948). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.28 Coeficientes de impulso passivo determinados pela teoria de Caquot e Kérisel

(1948) e por Rosenfarb e Chen (1972) para β = 90o e i = 0. . . . . . . . . . . . 64

3.29 Mecanismo de colapso considerado por Rosenfarb e Chen (1972) para o casopassivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.30 Superfícies de deslizamento correspondentes ao impulso activo obtidas pelos

métodos de Coulomb e de Rosenfarb e Chen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.31 Superfícies de deslizamento correspondentes ao impulso passivo obtidas pelos

métodos de Coulomb e de Rosenfarb e Chen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.32 Estado de Rankine em terreno com superfície inclinada. . . . . . . . . . . . . . 67

3.33 Extensão da teoria de Rankine a casos com superfície do terreno inclinada:representação do estado de tensão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

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x Índice de Figuras

3.34 Casos correspondentes às equações (3.146) — à esquerda — e (3.151) — à

direita —, respectivamente para os impulsos activos e passivos. . . . . . . . . . 69

3.35 Coeficientes de impulso activo determinados pelas teorias de Rankine (equação

(3.146)) e de Coulomb (equação (3.118)) para β = 90o e δ = i. . . . . . . . . . 70

3.36 Coeficientes de impulso passivo determinados pelas teorias de Rankine (equação

(3.151)) e de Coulomb (equação (3.127)) para β = 90o e δ = −i. . . . . . . . . 71

3.37 Cunha de solo sujeita a acção sísmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.38 Cunha de solo sujeita a acção sísmica: rotação de ângulo θ (método de Mono

nobe–Okabe). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.1 Capacidade resistente às acções verticais. Como se verá, a inclinação da carga,

a sua excentricidade e a geometria da fundação condicionam a capacidade re

sistente às acções verticais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 Capacidade resistente às acções verticais: fundação de comprimento infinito,

carregamento vertical e centrado, em solo argiloso respondendo em condições

não drenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3 Determinação da capacidade resistente vertical; condições não drenadas e me

canismo circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4 Determinação da capacidade resistente vertical através do teorema cinemático;

condições não drenadas e mecanismo composto por dois blocos. . . . . . . . . . 77

4.5 Determinação da capacidade resistente vertical através do teorema estático em

condições não drenadas e admitindo um plano de descontinuidade de tensões. . 78


condições não drenadas e admitindo um plano de descontinuidade de tensões:

círculos de Mohr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


condições não drenadas e admitindo dois planos de descontinuidade de tensões. 80


condições não drenadas e admitindo dois planos de descontinuidade de tensões:

círculos de Mohr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.9 Mecanismos para determinação da capacidade resistente às acções verticais atra

vés do teorema cinemático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.10 Mecanismo para determinação da capacidade resistente às acções verticais atra

vés de equilíbrio limite, em condições drenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.11 Mecanismo para determinação da capacidade resistente às acções verticais atra vés do teorema cinemático, em condições drenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . 85

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Índice de Figuras xi

4.12 Aplicação do teorema estático à determinação da capacidade resistente às acções

verticais, em condições drenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.13 Mecanismo para determinação da capacidade resistente às acções verticais atra

vés do teorema cinemático, em condições drenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.14 Comparação entre valores de N q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.15 Comparação entre valores de N γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.16 Comparação de mecanismos de colapso para as parcelas de N q e de N γ ; caso

para φ′ = 30o (adaptado de Antão et al. (2010)). . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.17 Dependência de N γ com δ/φ′ (adaptado de Guerra et al. (2012)). . . . . . . . . 90

4.18 Capacidade resistente às acções verticais: nível freático coincidente com o plano

da base da fundação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.19 Capacidade resistente às acções verticais: excentricidade do carregamento. . . . 91

5.1 Talude vertical, solo em condições não drenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2 Análise por equilíbrio limite da estabilidade de solo argiloso respondendo em

condições não drenadas formando um talude vertical. . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.3 Valores de N ELs em função de ξ obtidos através de mecanismo planar. . . . . . 97

5.4 Análise através do teorema cinemático da estabilidade de solo argiloso respon

dendo em condições não drenadas formando um talude vertical. . . . . . . . . . 98

5.5 Análise através do teorema estático da estabilidade de solo argiloso respondendo

em condições não drenadas formando um talude vertical. . . . . . . . . . . . . . 99

5.6 Solução da região superior obtida por Taylor (1948). . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.7 Aplicação do teorema cinemático à análise drenada de um talude infinito. . . . 100

5.8 Aplicação do teorema estático à análise drenada de um talude infinito. . . . . . 101

5.9 Aplicação do método de equilíbrio limite à análise drenada de um talude infinito.1025.10 Aplicação do método de equilíbrio limite à análise não drenada de um talude

infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.11 Aplicação do teorema cinemático à análise não drenada de um talude infinito. . 104

5.12 Aplicação do teorema estático à análise não drenada de um talude infinito. . . . 105

5.13 Aplicação do método de equilíbrio limite à análise drenada de um talude infinito

com percolação paralela ao talude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.14 Aplicação do método de equilíbrio limite à análise não drenada de um taludecom geometria genérica com superfície de escorregamento circular. . . . . . . . 107

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xii Índice de Figuras

5.15 Aplicação do método de equilíbrio limite à análise não drenada de um talude

com geometria genérica com superfície de escorregamento circular: divisão em

fatias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.16 Ábacos de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.17 Métodos de fatias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.1 Exemplos de desmoronamentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.2 Exemplos de escorregamentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.3 Exemplo de fluimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.4 Verificação da segurança de taludes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.5 Estabilização de um talude através da alteração da sua geometria. . . . . . . . 129

7.6 Secção tipo de uma valeta revestida com betão . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.7 Secção tipo de uma vala drenante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.8 Estabilização de um talude com contrafortes drenantes. . . . . . . . . . . . . . 131

7.9 Máscara drenante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.10 Estabilização de um talude com drenos sub-horizontais. . . . . . . . . . . . . . 132

7.11 Estabilização de um talude com pregagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.12 Estabilização de um talude com ancoragens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.13 Estabilização de um talude com ancoragens associadas a revestimento contínuo

de betão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.14 Estabilização de um talude com estacas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.15 Estabilização de um talude com micro-estacas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.16 Estabilização de um talude com um muro de suporte gravidade. . . . . . . . . 134

7.17 Estabilização de um talude com uma estrutura de suporte ancorada. . . . . . . 135

7.18 Efeito de “ancoragem” das raizes de uma árvore. . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8.1 Representação esquemática de uma fundação superficial. . . . . . . . . . . . . 137

8.2 Representação esquemática de uma sapata isolada. . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8.3 Representação esquemática de uma sapata corrida ou contínua. . . . . . . . . . 138

8.4 Representação esquemática de um ensoleiramento geral. . . . . . . . . . . . . . 139

8.5 Verificação da segurança em relação à rotura global . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.6 Verificação da segurança em relação ao carregamento vertical. Caso de carre gamento vertical e centrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

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Índice de Figuras xiii

8.7 Verificação da segurança em relação ao carregamento vertical e ao deslizamento. 140

9.1 Muros de suporte “rígidos”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

9.2 Tipos de estruturas de suporte flexíveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9.3 Verificação da segurança em relação à rotura global (NP EN 1997-1, 2010) . . . 146

9.4 Verificação da segurança ao deslizamento de uma estrutura de suporte rígida. . 147

9.5 Verificação da segurança ao carregamento vertical de uma estrutura de suporte

rígida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9.6 Verificação da segurança ao derrubamento de uma estrutura de suporte rígida. 149

9.7 Muro de suporte em “L”: impulsos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

9.8 Dimensionamento estrutural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9.9 Dispositivos de drenagem (adaptado de Brito (1988)). . . . . . . . . . . . . . . 152

9.10 Dimensionamento de cortinas simplesmente encastradas (ou auto-portantes). . 153

9.11 Exemplo de cálculo de uma cortina de contenção auto-portante. . . . . . . . . 155

9.12 Dimensionamento de cortinas mono-apoiadas através do método do apoio mó

vel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

9.13 Exemplo de cálculo de uma cortina de contenção mono-apoiada. . . . . . . . . 157

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xiv Índice de Figuras

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Índice de Quadros

3.1 Coeficientes de impulso activo e passivo determinados pelos métodos de Cou

lomb e de Rosenfarb e Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1 Estimativas da região inferior das cargas de colapso de fundações superficiais

em condições não drenadas em função do número de descontinuidades. . . . . . 81

5.1 Quadro para utilização do método de Fellenius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.1 Valores dos coeficientes de segurança parciais aplicáveis às acções, nos estados

limites GEO e STR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.2 Valores dos coeficientes de segurança parciais aplicáveis às propriedades dos

materiais, nos estados limites GEO e STR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.3 Valores dos coeficientes de segurança parciais aplicáveis às resistências nos es

tados limites GEO e STR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.4 Valores dos coeficientes de segurança parciais aplicáveis às acções, no estado

limite EQU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.5 Valores dos coeficientes de segurança parciais aplicáveis às propriedades dos

materiais, no estado limite EQU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

xv

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xvi Índice de Quadros

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Parte I

Introdução às Estruturas Geotécnicas

1

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Capítulo 1

Introdução

1.1 A Análise de Estruturas GeotécnicasO presente texto aborda as estruturas geotécnicas e a sua análise, e pretende servir de

apoio a uma disciplina de Introdução às Fundações, entendida como a segunda disciplina de

Geotecnia num curso clássico universitário de Engenharia Civil. Foi, em especial, escrito para

apoio a uma disciplina de um curso de Mestrado em Engenharia Civil (no espírito da Con

venção de Bolonha), podendo igualmente servir de apoio a uma Licenciatura em Engenharia

Civil. Pretende dar uma formação básica em Estruturas de Suporte, Fundações e Taludes,

organizada de acordo com o programa que se indica em seguida:

• Introdução às Estruturas Geotécnicas

• Introdução ao colapso dos maciços – métodos de análise:

– Métodos de Análise limite.

– Métodos de Equilíbrio limite.

• Colapso dos maciços:

– Pressões de terras.

– Capacidade resistente ao carregamento vertical.

– Colapso de maciços em talude.

• Verificação da segurança das estruturas geotécnicas aos estados limites últimos:

– o Eurocódigo 7.

– Verificação da segurança de fundações superficiais.

– Verificação da segurança de taludes.

– Verificação da segurança de estruturas de suporte.

• Deslocamentos de estruturas geotécnicas.

3

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4 Capítulo 1. Introdução

O leitor deste texto deverá ter noções elementares de Mecânica dos Solos, conhecendo as

propriedades básicas de um solo em função da sua granulometria e dos limites de consistência

e deve estar familiarizado com as propriedades índice mais comuns aos solos. Deve conhecer

o princípio das tensões efectivas e os problemas de escoamentos em meios porosos. Deve estar

familiarizado com os problemas de deformabilidade de solos e da sua resistência, em condiçõesdrenadas e não drenadas.

Na disciplina básica de Mecânica dos Solos que os utilizadores deste texto deverão ter

frequentado, tomaram contacto, compreenderam e interpretaram a “mecânica dos materiais

geotécnicos”, tendo analisado esse comportamento sob o ponto de vista da sua resistência e da

sua deformabilidade, de forma integrada, recorrendo, por exemplo, à mecânica dos solos dos

estados críticos.

Pretende-se, com o presente texto, passar da mecânica do material – analisada habitual

mente num ponto – para a mecânica da estrutura geotécnica, que exige a compreensão das

alterações dos estados de tensão e as suas consequências: determinação de cargas de colapso e

de deslocamentos. Tem igualmente como objectivo introduzir as noções de segurança e de ve

rificação de segurança, com particular destaque para a aplicação dos conceitos e metodologias

do Eurocódigo 7 (NP EN 1997-1, 2010).

Para uma mais completa formação nesta área, deve seguir-se uma disciplina mais ligada

ao projecto e dimensionamento e que aborde Fundações especiais e Contenções, que o texto

não pretende cobrir.

Finalmente, para uma formação mais específica na área da Geotecnia, os cursos de Enge

nharia Civil têm, habitualmente, formação opcional mais específica, das áreas da EngenhariaSísmica, Obras Subterrâneas, Obras de Aterro, Modelação Avançada, etc.

1.2 As estruturas geotécnicas

Qualquer obra de Engenharia Civil tem uma componente geotécnica, dado que possui, pelo

menos, a fundação. É o caso das estruturas mais correntes, os edifícios, que possuem fundações

que podem ser superficiais, se o terreno possuir superficialmente características adequadas às

cargas e às dimensões das fundações ou profundas, caso seja necessário procurar a maioresprofundidades as características que não estão disponíveis à superfície. O tipo mais comum de

fundações superficiais são as “sapatas” e as fundações profundas são habitualmente designadas

por “estacas”. No que respeita a estes tipos de estruturas, há que efectuar o dimensionamento

dos próprios elementos estruturais e, do ponto de vista do solo, importa garantir, por um lado,

a segurança em relação à rotura e, por outro, que não ocorram assentamentos excessivos, que

possam provocar danos na super-estrutura (estrutura da obra a ser executada acima do nível

do terreno) ou impedir o seu normal funcionamento.

Um outro tipo de estrutura geotécnica muito comum é o caso dos muros de suporte. Con

forme o seu nome indica, destinam-se a suportar os impulsos gerados pelo terreno suportadoe deverão ser estáveis, o que significa que não deverão, por exemplo, deslizar ou derrubar.

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Capítulo 1. Introdução 5

Este tipo de estrutura designa-se habitualmente como estrutura de suporte rígida, pelo

facto de funcionar como corpo rígido, não sendo a sua deformabilidade muito significativa

nem tendo consequências importantes no seu comportamento. Não é, no entanto, o caso das

chamadas estruturas de contenção flexíveis, como as que são apresentadas na Figura 1.1. Com

este tipo de estrutura, conforme se pode verificar através da observação da referida Figura, épossível realizar escavações de face vertical com o recurso a contenção adequada.

Figura 1.1: Estrutura de contenção flexível ancorada, em Seattle, nos EUA.

As escavações de face vertical com contenção flexível, no entanto, só são realizadas em

meios urbanos fortemente ocupados e em que não é possível o recurso a outras soluções que

utilizem taludes inclinados. Estes apresentam o inconveniente de envolverem uma área muitomais significativa mas a vantagem de serem normalmente muito mais económicos. O estudo

da estabilidade e da estabilização de taludes é, assim, uma outra área tipicamente Geotécnica.

A Figura 1.2 mostra, numa representação esquemática, obras de estabilização de um talude,

necessárias no caso representado para que seja verificada a segurança da estabilidade da massa

de solo.

Figura 1.2: Representação esquemática de obras de estabilização de um talude.

Os problemas de taludes ocorrem quer em taludes naturais e de escavação quer em taludes

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de aterro, ou seja, em obras de terra. Os casos mais frequentes são os aterros de estradas e de

aeródromos, assim como os aterros de barragens de terra e, mais recentemente, os aterros de

resíduos sólidos. Note-se que nestes tipos de obra, o próprio solo é utilizado como material de

construção, exigindo, assim, a sua compactação e o adequado controlo das suas características.

Igualmente a própria escolha do material a utilizar é um aspecto fundamental. Dado queservem objectivos diferentes, as características a exigir para um aterro de uma estrada são

consideravelmente diferentes das que se exigem no aterro de uma barragem. A compactação

de solos é, assim, uma matéria de grande importância, mas que não é abordada neste texto.

Uma outra actividade eminentemente geotécnica é o melhoramento de terrenos. Procede-se

ao melhoramento de terrenos quando as obras de engenharia civil que se pretendem fazer em

determinado local exigem solos com melhores características do que as ocorrem nesse local.

Um outro tipo de obra fundamentalmente geotécnica é o caso dos túneis. Estes são re

alizados quando por razões económicas, sociais e (ou) ambientais, se tornam vantajosos em

relação às escavações a céu aberto ou a outras obras. Um caso particularmente mediático e

interessante foi o da execução do túnel sob a Mancha, a que se refere a Figura 1.3.

(a) Planta e corte longitudinal

(b) Corte transversal

Figura 1.3: Túnel sob a Mancha: planta, corte longitudinal e corte transversal.

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1.3 A importância da determinação das cargas de colapso e de

deslocamentos de estruturas geotécnicas

A variedade de obras geotécnicas justifica, por si só, a importância e o interesse da Geotec

nia como área da Engenharia Civil. No entanto, essa importância torna-se talvez ainda maisevidente se tivermos em consideração alguns casos em que ou os aspectos geotécnicos não foram

suficientemente considerados ou constituíram notável surpresa para os técnicos e a sociedade

e que resultaram em acidentes ou simplesmente em incidentes curiosos ou importantes.

Independentemente das causas que os provocaram, a análise e o estudo de acidentes e

incidentes constitui sempre um trabalho que conduz a uma importante aprendizagem.

Um dos casos mais curiosos e conhecidos é o da torre inclinada de Pisa, que apresenta

ainda a particularidade adicional de a sua história ter sofrido em tempos muito recentes,

importantes desenvolvimentos. Uma das publicações mais interessantes sobre esta Torre é otexto da XIV Lição Manuel Rocha (Jamiolkowsky, 1999) e a maior parte da informação que

aqui se apresenta provém dessa interessantíssima Lição.

Contrariamente ao que se possa pensar, a torre de Pisa tornou-se inclinada ainda durante

a própria construção. Esta decorreu em três fases, conforme ilustra a Figura 1.4 e em algumas

zonas nota-se mesmo as tentativas de correcção da inclinação que se terá iniciado durante a

2a fase.

Figura 1.4: Fases de construção da Torre de Pisa (Jamiolkowsky, 1999).

As informações reunidas pela equipa responsável pelo estudo da Torre de Pisa sobre a sua

inclinação estão reunidas na Figura 1.5, mostrando claramente a tendência para o aumento

daquela, assim como a ocorrência de alguns períodos em que o incremento da inclinação é

particularmente significativo.

Um estudo aprofundado do terreno, da torre e da sua fundação mostrou que seria espec tável que o fenómeno fosse progressivo, isto é, que a excentricidade inicial da carga motivada

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Figura 1.5: Dados históricos sobre a inclinação da Torre de Pisa (Jamiolkowsky, 1999).

provavelmente por algum defeito geométrico durante a construção teria iniciado a inclinação

da torre, aumentando assim a excentricidade e assim sucessivamente. Em todo o caso, ficou

bem claro que o fenómeno era associado ao terreno de fundação e ao seu início de rotura. Os

mesmos estudos apontavam para coeficientes de segurança da Torre bastante baixos, entre

1.1 e 1.2, deixando antever que a ruína ocorreria provavelmente nos próximos 40 a 50 anos,

mantendo-se o ritmo de aumento da inclinação.

No entanto, esta previsão de ruína teria apenas em consideração a instabilidade da torre

como corpo rígido que perderia o equilíbrio, não considerando portanto a influência que a

inclinação teria nas tensões na própria estrutura da torre. Com efeito, o facto de a torre estar

inclinada provoca na própria alvenaria da sua estrutura tensões muito mais significativas do

que as que seriam de esperar se ela fosse perfeitamente vertical. Para além disso, a histórica

ruína ocorrida em 1902 da Torre do Sino da Praça de S. Marcos em Veneza e, mais recente

mente, em 1989, a da Torre do Sino da Catedral de Pavia, parecem ter tido como origem um

modo de rotura deste tipo. A agravar tudo isto está ainda o facto de este modo de rotura

ocorrer de forma brusca, sem qualquer aviso.Investigações realizadas na Torre permitiram prever que, efectivamente, este modo de

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rotura seria o mais provável, e foi identificada a zona crítica da estrutura. O processo de

recuperação e reabilitação da Torre iniciou-se, assim, em 1992, com a instalação de cabos de

aço na estrutura da Torre por forma a minorar as hipóteses de ocorrência de colapso estrutu

ral. Entre Maio de 1993 e Janeiro de 1994, foram instalados pesos de chumbo para contrariar

a excentricidade da carga e, pela primeira vez na história da Torre, esta inverteu o sentidode variação da inclinação. Em Fevereiro de 1999 iniciou-se uma outra intervenção, denomi

nada de “subescavação” (“underexcavation”), que consiste na retirada de solo sob a fundação,

através de furos inclinados realizados a partir da superfície do terreno. A Figura 1.6 mostra

esquematicamente estas iniciativas, assim como uma solução de recurso, na eventualidade de

algum comportamento indesejável da torre, que consiste na aplicação de contrapesos através

dos cabos sub-horizontais visíveis na mesma Figura. Os desenvolvimentos recentes parecem

ser, assim, de acordo com a informação disponível, bastante favoráveis.

Figura 1.6: Representação esquemática da metodologia para corrigir parcialmente a inclinaçãoda Torre de Pisa.

O caso da Torre de Pisa é, portanto, bem elucidativo da importância da adequada consi

deração dos mecanismos de rotura de fundações superficiais. Tais mecanismos serão objecto

de estudo do presente texto.

Um outro caso bastante conhecido é o da rotura da Barragem de Malpasset. Trata-se de

uma barragem de betão armado, em França, cujo acidente, de grande gravidade, foi provo

cado por deficiente comportamento da fundação, tendo-se destacado uma cunha da margem

esquerda (Rocha, 1981) no dia 2 de Dezembro de 1959. A barragem tinha sido terminada

em 1954 e o enchimento da albufeira estava a ocorrer desde há 5 anos. Fotografias do local

da Barragem e das suas ruínas são apresentadas na Figura 1.7. Na sequência deste acidente,morreram 420 pessoas. A barragem nunca foi reconstruída.

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Figura 1.7: Ruínas da Barragem de Malpasset.

Os sismos são das acções que podem causar maiores danos nas estruturas executadas pelo

Homem. A Figura 1.8 evidencia os efeitos desta acção sob a forma de liquefacção do solo

de fundação, em consequência do sismo de Niigata, em 1964. A liquefacção é resultado do

aumento das pressões da água no solo em consequência da acção sísmica e ocorre sobretudo

em areias finas soltas e submersas. Trata-se de um efeito que pode já ser parcialmente compre

endido pelos conceitos de Mecânica dos Solos que o leitor deverá conhecer e que será também

aflorada ao longo do presente texto.

Figura 1.8: Efeitos da liquefacção do solo de fundação, no sismo de Niigata, em 1964.

De consequências menos devastadoras mas de inegável interesse é o caso da Cidade do

México. Esta cidade foi edificada num antigo lago, através da sucessiva deposição de material

de aterro sobre este e da construção sobre este meio pantanoso e altamente deformável. Como

consequência, as estruturas sofrem assentamentos muito significativos, conforme se pode ob

servar, por exemplo, na Figura 1.9(a), que mostra o Palácio das Belas Artes. A fotografia, por

si só, talvez não seja suficientemente elucidativa, mas faz-se notar que os degraus descendentes

da rua para o Palácio foram, em tempos, ascendentes. O assentamento total foi, assim, da

ordem dos 3 m.Estes assentamentos, conforme referido, são devidos à existência de uma camada compres

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(a)

(b)

Figura 1.9: a) Palácio das Belas Artes, na Cidade do México. Os degraus visíveis na foto grafia para acesso ao monumento foram, em tempos, ascendentes; b) Basílica e Convento dosCapuchinhos, na Cidade do México, onde são visíveis importantes assentamentos diferenciais.

sível na fundação. Sob o ponto de vista estrutural, se os assentamentos forem uniformes não

ocorrem danos, se bem que outro tipo de inconvenientes possam existir, como as ligações àsinfra-estruturas. No entanto, quando há assentamentos elevados, há normalmente também as

sentamentos diferenciais elevados, ou seja, assentamentos entre diferentes partes da estrutura.

Naturalmente que estes assentamentos diferenciais tenderão a ser maiores se houver variações

de espessura da camada de solo compressível. É o caso da Basílica e do Convento dos Capu

chinhos que lhe é adjacente, também na Cidade do México, que se encontra representado na

Figura 1.9(b). O convento, à direita da Basílica, apresenta elevadíssimas deformações como

resultado deste fenómeno.

A Figura 1.10 representa um caso de rotura de uma cortina de contenção flexível, ocorrida

em Lisboa, em 1993, felizmente sem perda de vidas, que terá sido causada por perda deequilíbrio vertical, isto é por perda de capacidade de carga vertical, face às componentes

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verticais das cargas impostas pelas ancoragens.

Figura 1.10: Rotura de cortina de contenção flexível em Lisboa.

Um outro tipo de acidente geotécnico bastante corrente e de consequências que podem ser

bastante graves é o caso dos escorregamentos de taludes, isto é, de instabilizações de massas

de solo ou rocha. Apresentam-se dois casos.

O primeiro ocorreu nos Estados Unidos da América, em La Conchita, no Colorado, e o

fenómeno ocorrido está bem evidenciado na Figura 1.11. Apesar das aparências, não houve

quaisquer vítimas mortais.

Figura 1.11: Deslizamento de talude em La Conchita, no Colorado (EUA).

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Este caso permite ter uma ideia bem clara do tipo de problemas com que a Engenharia

Geotécnica tem, por vezes, que lidar, assim como das enormes massas de solo que pode ser

necessário estabilizar. Os problemas de estabilidade de taludes serão abordados neste texto.

No entanto, o segundo caso que se apresenta é ainda mais impressionante, quer pelo volume

de terras envolvido quer pelas consequências no que respeita a vítimas humanas. Com efeito,houve 2500 mortes a lamentar. Trata-se do escorregamento ocorrido na margem esquerda da

albufeira da Barragem de Vajont. Esta barragem foi construída entre 1956 e 1960. No dia 9 de

Outubro de 1963 uma enorme massa de material rochoso deslizou para o interior da albufeira.

A Figura 1.12 mostra a albufeira vista de montante, após o deslizamento. A Figura 1.13 é,

talvez, mais clara e permite um melhor entendimento do ocorrido.

Como consequência deste enorme escorregamento, com extensão aproximada de 1.7 km,

formou-se uma enorme onda, proveniente da água da albufeira, expulsa pelo material escor

regado, que provocou grandes prejuízos humanos e materiais. A vila de Casso foi destruída,

assim como as de Longarone, Pirago, Villanova, Rivalta e Fae. A barragem resistiu e encon

tra-se actualmente em funcionamento.

A causa para este comportamento parece estar na existência, entre o material rochoso

do vale na zona escorregada, de uma camada de argila de pequena espessura, ao longo da

qual se terá dado a instabilização, por insuficiente resistência ao corte, diminuída devido ao

enchimento da albufeira, por redução da tensão efectiva. Este conceito de tensão efectiva é já

do conhecimento do leitor deste texto e será amplamente utilizado.

As barragens de grandes dimensões são obras de grande importância e com grandes con

sequências nas sociedades que delas beneficiam, mas podem ser igualmente obras envolvendoinconvenientes importantes de ordem social ou ambiental ou mesmo os decorrentes dos casos

em que ocorrem acidentes, conforme foram os dois respeitantes a barragens anteriormente refe

ridos (Malpasset e Vajont). Em nenhum destes casos, no entanto, se tratava de uma barragem

de terra (ou de aterro, como podem ser igualmente designadas). O caso que em seguida se

apresenta trata de uma barragem deste tipo.

É o caso da rotura da barragem de Teton. No caso das barragens de terra, é espectável

que ao fim de alguns anos se instale no próprio corpo da barragem um regime de percolação

(movimento da água nos solos) que, se a barragem tiver sido bem dimensionada e construída

e se estiver a ser adequadamente explorada, deverá implicar a passagem de um caudal rela

tivamente pequeno pelo corpo da barragem. Uma questão especialmente importante quando

há escoamentos em solos (aterros ou não) é o caso da chamada “erosão interna”.

A barragem de Teton foi destruída por erosão interna. Tratava-se de uma barragem com

90 m de altura, construída no rio Teton, no Idaho, EUA. O enchimento da albufeira começou

em Novembro de 1975. O colapso deu-se a 5 de Junho de 1976, com a albufeira a 1 m da cota

máxima e a 9 m do coroamento da barragem. A Figura 1.14(a) mostra a barragem, vista de

jusante, após a construção.

A rotura da barragem foi precedida de um período de dois dias em que se verificou umgradual aumento da água percolada. Na manhã do dia 5 de Junho começa a ser visível um

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Figura 1.12: Escorregamento de Vajont. Aspecto da albufeira vista de montante após odeslizamento.

Figura 1.13: Representação esquemática do escorregamento de Vajont. Estima-se que a massainstabilizada tenha atingido velocidades da ordem dos 30 m/s e que terá subido na margemdireita cerca de 140 m; 45 segundos após o início do escorregamento não havia qualquermovimento de terreno.

aumento da quantidade de água que atravessa o aterro na face de jusante da barragem. Cerca

das 11:00 tinha-se formado um “túnel” no corpo da barragem com cerca de 1.8 m de diâmetro.

A Figura 1.14(b) traduz esta situação.

Pouco antes das 12:00 horas formara-se uma brecha (Figura 1.14(c)) e a barragem estava

praticamente destruída (Figura 1.14(d)). Ao fim da tarde do dia 5, o aspecto da barragem erao que está representado na Figura 1.14(e).

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(a) (b)

(c) (d) (e)

Figura 1.14: Rotura da Barragem de Teton.

A rotura da barragem, apesar de rápida, permitiu a evacuação das populações a jusante,

mas ainda assim 14 vidas humanas foram perdidas.

Muitos dos casos apresentados mostram a necessidade de se proceder ao dimensionamento

em relação aos modos de rotura que esses casos mostraram e em relação a outros modos de

rotura. Assim, os próximos capítulos irão focar os métodos de análise de colapso de estruturas

geotécnicas e a determinação das cargas de colapso dos casos mais simples dessas estruturas

geotécnicas. Com base no conhecimento dessas cargas de colapso far-se-á, posteriormente, a

introdução à verificação da segurança.

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Parte II

Métodos de análise do colapso de

estruturas geotécnicas

17

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Capítulo 2

Introdução aos métodos de

determinação de cargas de colapso

2.1 Problemas geotécnicos “simples”: determinação de cargas

de colapso

No estudo clássico da Mecânica dos Solos, que o leitor deste texto terá feito, a rotura

do solo foi analisada ao nível pontual ou elementar, isto é, o estado de tensão foi assumido

constante no elemento de solo analisado, pelo que o estudo pôde ser feito como se se tratasse

de um ponto. Mesmo quando se procurou abordar a questão sob um ponto de vista dos

ensaios de laboratório e do comportamento de provetes de solo, o estado de tensão era sempreconstante, dado que as tensões aplicadas ao provete eram bem conhecidas e a geometria e

condições de fronteira relativamente simples.

No entanto, conforme se viu no Capítulo 1, a rotura das estruturas geotécnicas não se

verifica, naturalmente, porque o estado de tensão num ponto atingiu o correspondente à

rotura mas sim porque tal aconteceu ao longo de uma superfície ou ampla zona do maciço.

Na maior parte das situações analisadas, a rotura ocorreu de modo relativamente complexo,

em que diversos detalhes do problema influenciaram o ocorrido. Verifica-se, no entanto, que,

por um lado, na maior parte dos casos estiveram presentes pelo menos uma de três situações

geotécnicas simples, a que se fará referência em seguida e, por outro lado, o estudo destas

situações geotécnicas simples constitui uma base fundamental para a compreensão das mais

complexas.

Um dos objectivos deste texto é, portanto, a determinação de cargas de colapso de três

problemas geotécnicos “simples” e básicos, indicados na Figura 2.1:

• a determinação de impulsos de terras;

• a determinação de cargas verticais limites;

• a determinação da geometria ou do peso de terras que induz a rotura de maciços em

19

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20 Capítulo 2. Introdução aos métodos de determinação de cargas de colapso

talude.

(a) (c)(b)

Figura 2.1: Determinação de cargas de colapso de problemas geotécnicos simples: a) deter minação de impulsos de terras; b) determinação de carga vertical limite; c) estabilidade demaciços em talude

São estes os casos básicos que serão objecto de análise no texto, partindo-se, em cada

caso, da situação mais simples que vai, sucessivamente, sendo tornada mais complexa e mais

próxima de uma situação real.

A determinação de cargas de colapso será feita recorrendo a duas técnicas:

• a análise limite;

• o equilíbrio limite.

Ambas as técnicas implicam a utilização de simplificações que serão descritas e analisadas

em seguida.

2.2 Determinação de cargas de colapso através de análise limite

2.2.1 Algumas noções de plasticidade

As soluções para qualquer problema de mecânica devem respeitar três condições:

• o equilíbrio;

• a compatibilidade;

• as propriedades dos materiais.

O ideal seria que as soluções fossem completas, isto é, que respeitassem as três condições.

No entanto, dada a complexidade dos problemas, haverá que aceitar, em muitas situações, um

compromisso entre a possibilidade de obter soluções e a sua exactidão.

Assumir-se-á que as propriedades resistentes dos materiais geotécnicos podem ser escritas,

em condições drenadas, por:

τ = σ ′tgφ′

ou, em condições não drenadas, por:τ = cu (2.1)

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Capítulo 2. Introdução aos métodos de determinação de cargas de colapso 21

O solo exibe comportamento elástico para deformações muito pequenas; a partir de de

terminado valor de deformação, no entanto, o solo sofre deformações plásticas, permanentes,

irreversíveis.

A deformação total pode ser escrita através da soma da deformação elástica com a defor

mação plástica, ou sejadε = dεe + dε p (2.2)

Para determinar as deformações plásticas é necessário definir um critério de cedência, uma

lei de fluxo e uma lei de endurecimento, o que permite conhecer, respectivamente, quando

ocorrem as deformações plásticas, qual a sua direcção e qual o seu valor.

As deformações plásticas ocorrem quando, no espaço das tensões, é atingida a superfície

de cedência, de equação genérica

F σ′ij, ε p

ij = 0 (2.3)

A dependência do critério de cedência das deformações plásticas traduz o endurecimento.

Num material perfeitamente plástico não ocorre endurecimento e os incrementos de tensão,

uma vez atingida a superfície de cedência, têm que ocorrer na própria superfície. Caso tal não

ocorra, desenvolvem-se deformações plásticas de valor infinito.

Na análise limite, o material é considerado perfeitamente plástico.

Com o objectivo de simplificar os cálculos de estabilidade, é possível ignorar algumas das

condições de equilíbrio e de compatibilidade e usar dois importantes teoremas da teoria do

colapso plástico. Acontece que, ignorando a condição de equilíbrio, pode ser determinadoum limite superior da carga de colapso de forma a que se uma estrutura for carregada até

este nível, colapsará; de forma semelhante, ignorando a condição de compatibilidade, pode

determinar-se um limite inferior da carga de colapso, de forma a que uma estrutura carregada

até este valor não colapsará. Naturalmente que a verdadeira carga de colapso está entre estes

dois limites.

Habitualmente é possível obter limites inferiores e superiores da carga de colapso razoavel

mente próximos um do outro. Considerando, então, o material como perfeitamente plástico

e com lei de fluxo associada ter-se-á que, na rotura, o solo sofre deformações plásticas de

incremento constante e, portanto, com vector de deformação plástica normal à envolvente derotura (Figura 2.2).

No caso não drenado, a envolvente de rotura é horizontal e não há deformações volumétricas

(a deformação ocorre a volume constante) e, portanto, o incremento de deformação plástica é

normal à envolvente, conforme sugere a Figura 2.2. No caso drenado, a envolvente de rotura

é do tipo da representada na mesma Figura e se a lei de fluxo for associada o ângulo de

dilatância ψ é tal que

tgψ = −δε pn

δγ p = tgφ′ (2.4)

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σ σ′

τ

τ = cu

τ = cu

φ′

φ′

δε pn = 0

δε pn

δγ p

δγ pδγ p

ψ

τ,δγ pτ,δγ p

σ,δε pn σ′, δε p

n

δε p −δε pn

Não drenado Drenado

Figura 2.2: Incrementos de deformação plástica de solo perfeitamente plástico com lei de fluxoassociada.

2.2.2 O princípio dos trabalhos virtuais

No caso de corpos rígidos, o princípio dos trabalhos virtuais estabelece que se um corpo

rígido está em equilíbrio, então o trabalho das forças exteriores para um deslocamento virtual

compatível com as condições de fronteira é nulo.

Para o caso de corpos deformáveis, o mesmo princípio estabelece que o trabalho das forças

exteriores para um deslocamento virtual compatível com as condições de fronteira é igual ao

trabalho realizado pelas tensões e deformações internas.

2.2.3 Teoremas do colapso plástico

Considere-se, então, um material com comportamento perfeitamente plástico e com lei de

fluxo associada. Na rotura, as forças e as tensões não se alteram, pelo que a componente

elástica das deformações é nula; qualquer incremento de deformação representa o incremento

de deformação plástica que é, como se viu, normal à envolvente de rotura.

Teorema cinemático ou da região superior

O teorema da região superior (ou do limite superior ou teorema cinemático) diz que se,

para um dado mecanismo de colapso compatível, o trabalho das forças exteriores for igual ao

trabalho das tensões internas, as forças exteriores aplicadas causam o colapso.

Para provar a veracidade deste teorema, considere-se um sistema de forças exteriores, F u

com as correspondentes tensões internas σ′u e um mecanismo de colapso associado a desloca

mentos na fronteira δωu e deformações internas δεu. Se a linha S S da Figura 2.3 representar

a superfície de cedência, o incremento de deformação plástica, δεu será normal à referidasuperfície.

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σ

′

uσ′

c

δεu

σ′, δε

σ′, δε

S

S

Figura 2.3: Teorema da região superior.

A aplicação do teorema superior conduz a que o sistema de forças F u causa colapso se

F uδωu =

σ′

uδεudV (2.5)

Se F c e σc forem, respectivamente, a verdadeira carga de colapso e as tensões internas

correspondentes, o princípio dos trabalhos virtuais estabelece igualmente que

F cδωu =

σ′

cδεudV (2.6)

Considerando, da Figura 2.3, que

σ′uδεu ≥ σ′

cδεu (2.7)

Resulta, assim, que

F u ≥ F c (2.8)

conforme enunciado pelo teorema.

Para determinar um limite superior é, assim, necessário calcular o trabalho realizado pe

las tensões internas e pelas forças exteriores para um incremento de deslocamento de um

mecanismo compatível. O trabalho de uma força é, simplesmente, o produto da força pelo

incremento de deslocamento na direcção da força no seu ponto de aplicação, pelo que, para

forças concentradas, o cálculo é normalmente simples de fazer.

O trabalho das tensões internas é o trabalho dissipado pela deformação plástica no ma

terial, nas superfícies que formam o mecanismo compatível. Considere-se que na Figura 2.4

estão representadas pequenas porções de superfícies de deslizamento de um mecanismo de

colapso, que sofrem incrementos de deslocamento δw.

No caso drenado o trabalho das tensões internas (efectivas) é

δW i = τ Lδℓ − σ′Lδn (2.9)

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σ σ′

τ τ = cu

φ′

δw

LL

yy ψ

δℓ

δn

δγ δγ

Não drenado Drenado

Figura 2.4: Trabalho das tensões internas em superfícies de deslizamento

Note-se que, para um comportamento dilatante o trabalho das tensões normais é negativo

dado que σ ′ e δn têm sentidos opostos. Dado que o volume da superfície analisada é V = Ly,

δεn = − δny e δγ = δℓ

y a equação (2.9) pode escrever-se como

δW i = τ ′Lyδγ + σ′Lyδεn = V τ δγ + σ′δεn (2.10)

Sendo o material puramente atrítico, tem-se que τ = σ tgφ′. Atendendo a que tgψ = − δεnδγ

a equação anterior fica

δW i = V

τ δγ − τ

tgφ′δγ tgψ′

= V τ δγ

1− tgψ

tgφ′

(2.11)

Para um material com lei de fluxo associada, tem-se que ψ = φ′ pelo que, sendo puramente

friccional, o trabalho dissipado pelas tensões internas é

δW i = 0 (2.12)

Poderia, igualmente, ter-se verificado, da Figura 2.4, que:

tg ψ = δn

δw (2.13)

pelo que a equação (2.9) fica:

δW i = τLδℓ− σ′Lδn = σ ′ tg φ′Lδℓ − σ′Lδℓ tg ψ = σ ′Lδℓ tg φ′ − tg ψ (2.14)

que, pela razão exposta, é nula.

Em condições não drenadas o trabalho das tensões (totais) é

δW i = τLδw = cuLδw (2.15)

Teorema estático ou da Região Inferior

O teorema da região inferior (ou do limite inferior ou teorema estático) diz que se um

conjunto de forças exteriores está em equilíbrio com as tensões internas que em nenhum pontoviolam o critério de rotura, as forças exteriores aplicadas não causam o colapso.

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Considere-se novamente a superfície de cedência SS , agora representada na Figura 2.5.

σ′l

σ′c

δεc

σ′, δε

σ′, δε

S

S

Figura 2.5: Teorema da região inferior.

Para a carga de colapso, ter-se-á que:

F cδωc =

σ′

cδεcdV (2.16)

e, para as forças F l e tensões σ ′l o princípio dos trabalhos virtuais permite concluir que:

F lδωc =

σ′

lδεcdV (2.17)

Dado queσ′

lδεc ≤ σ′cδεc (2.18)

vem, conforme enunciado pelo teorema, que

F l ≤ F c (2.19)

2.2.4 Exemplos de aplicação

1. Utilizando o teorema da região superior e o mecanismo indicado na Figura 2.6 determinea carga Q = q uB, resultante da tensão q u distribuída na largura B que, nas condições

de um ensaio de compressão simples, leva ao colapso o provete de material argiloso

saturado, em condições não drenadas. Admita o solo com peso volúmico nulo e com

resistência não drenada cu = 50 kPa.

Considerando o mecanismo sugerido na Figura, admita-se o incremento de deslocamento

δw, com componente horizontal δh e componente vertical δv.

O trabalho das forças exteriores é o produto das forças exteriores pelos deslocamentos

que ocorrem com a sua direcção. A força exterior é a força Q, cuja estimativa (limitesuperior) QLS se pretende determinar.

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ququ

γ = O

cuξ

ξB

L

δw

δw δh

δv

Figura 2.6: Exemplo de aplicação do teorema cinemático: ensaio de compressão simples

O deslocamento com a direcção de Q é:

δv = δw sen ξ (2.20)

pelo que o trabalho das forças exteriores é

δW e = QLS × δv = q LS u B × δw sen ξ (2.21)

O trabalho das tensões internas é o trabalho dissipado pela deformação plástica no

material, nas superfícies que formam o mecanismo compatível:

δW i = cuLδw = cuB

cos ξ δw (2.22)

De acordo com o teorema cinemático,

δW e = δW i ⇒ q LS u B × δw sen ξ = cu

B

cos ξ δw (2.23)

pelo que:QLS

B = q LS

u = cu1

sen ξ cos ξ (2.24)

Faz-se notar que a solução depende de ξ mas que o teorema é válido para qualquer

mecanismo, o que implica qualquer valor de ξ . Ou seja, q LS u causará o colapso qualquer

que seja ξ . Tome-se, assim, como exemplo, ξ = 20o e determine-se q LS u :

q LS u = 50× 1

sen 20o cos 20o= 155.6 kPa (2.25)

Sendo esta uma solução do teorema cinemático, sabe-se que causa o colapso, ou seja,

neste caso, que:

q LS u = 155.6 ≥ q EX

u (2.26)

sendo q EX u a solução exacta do problema, para já desconhecida (na realidade deve ser

conhecida do leitor, da Mecânica dos Solos, mas voltar-se-á a este resultado em seguida).

Ora se o teorema é válido para qualquer mecanismo, isso quer dizer que se se considerar

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agora ξ = 30o se obterá igualmente um valor de q u superior ou igual à solução exacta:

q LS u = 50× 1

sen 30o cos 30o= 115.5 kPa (2.27)

Qual das duas soluções de q u

— 155.6 kPa ou 115.5 kPa — é, portanto, melhor? A

resposta é naturalmente a menor das duas. Com efeito, se ambas são superiores à

solução exacta, a melhor será a mais próxima da exacta, ou seja, a menor.

Pode, assim, analisar-se como varia 1sen ξ cos ξ com ξ . Representa-se, assim, na Figura 2.7

este parâmetro em função do ângulo ξ , constatando-se que possui o mínimo (igual a 2)

para ξ = 45o.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

1 / [ s e n ξ c

o s ξ ]

ξ

Figura 2.7: Variação do parâmetro 1sen ξ cos ξ em função de ξ

Tal significa que a melhor solução para o tipo de mecanismo planar representado na

Figura 2.6 é:

q LS u = 2cu = 100 kPa ≥ q EX

u (2.28)

2. Resolva-se, agora, o mesmo problema através do teorema estático. O estado de tensão

horizontal, na rotura (Figura 2.8), é nulo.

qu

ququ

γ = O

cu

Figura 2.8: Exemplo de aplicação do teorema estático: ensaio de compressão simples

Deste modo, a tensão vertical máxima que pode estar instalada no elemento em análise

é tal que o critério de rotura seja verificado, ou seja, conforme pode ser visto na Figura

2.9:q LI

u = 2cu ≤ q EX u (2.29)

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τ

σ

cu

qLI u

Figura 2.9: Exemplo de aplicação do teorema estático: ensaio de compressão simples – estadode tensão.

Faz-se notar que, dado que

q LS u = q LI

u (2.30)

se tem que foi encontrada a solução exacta para o problema, provavelmente já conhecidado leitor:

q EX u = 2cu (2.31)

3. Pretende-se agora determinar o valor de σ′1 que causa o colapso de um provete de solo

com ângulo de resistência ao corte φ′ = 30o sujeito a um ensaio triaxial em condições

drenadas, sujeito a σ ′3 = 100 kPa (Figura 2.10).

ξξ

B

h1

h2

σ′

1

σ′

3

δw

δw

δh

δv

φ′

ξ − φ′

Figura 2.10: Exemplo de aplicação do teorema cinemático: ensaio triaxial.

Admitindo que se forma uma superfície de deslizamento conforme indicado na figura,

fazendo um ângulo ξ com a horizontal, tem-se que a direcção do deslocamento δw faz

com a superfície de deslizamento um ângulo ψ = φ′ (condição de lei de fluxo associada,

como se viu) e, portanto, faz com a horizontal um ângulo ξ − φ′.

Tem-se, assim, que o trabalho das forças exteriores é:

δW e = σ ′1Bδv + σ′

3h2δh − σ′3(h2 + h1)δh = σ ′

1Bδv − σ′3h1δh (2.32)

Atendendo a que:tg ξ =

h1

B (2.33)

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e que:

tg (ξ − φ′) = δv

δh (2.34)

a equação (2.32) fica:

δW e = σ ′1Bδh tg (ξ − φ′)− σ′3B tg ξδh (2.35)

Como se viu, em condições drenadas a energia dissipada é nula, pelo que a aplicação do

teorema cinemático implica que:

δW e = σ ′1Bδh tg (ξ − φ′)− σ′

3B tg ξδh = 0 = δW i (2.36)

o que conduz a:

σ′LS 1 = σ ′

3

tg ξ

tg (ξ − φ′) (2.37)

Tratando-se de uma solução da região superior (do teorema cinemático), tal significa

que todos os resultados obtidos da equação anterior são soluções que causam o colapso,

ou seja, são superiores ou iguais à verdadeira carga de colapso. Para o caso em estudo

de φ′ = 30o e σ ′3 = 100 kPa, fazendo, por exemplo, ξ = 50o, obtém-se:

σ′LS 1 = 100× tg50

tg (50 − 30) = 327.4 kPa (2.38)

Ou, por exemplo, fazendo ξ = 65o obtém-se:

σ′LS 1 = 306.3 kPa (2.39)

Sendo ambas cargas de colapso, superiores à solução exacta do problema, tem-se que

a melhor solução é a que conduz ao menor valor, ou seja, das duas a mais próxima da

exacta será a segunda. Convida-se o leitor a determinar a carga de colapso mínima dada

pela equação (2.37).

Convida-se igualmente o leitor a procurar a solução para o mesmo problema dada pelo

teorema estático.

2.2.5 Observações aos métodos de análise limite

Os métodos que recorrem à análise limite são dos mais bem fundamentados, teoricamente,

para a determinação de estimativas de cargas de colapso. Permitem, num caso (TRS), deter

minar cargas que causam necessariamente o colapso e, no outro (TRI), determinar cargas que

não o provocam. Sempre que seja possível determinar valores das cargas iguais através de um

e outro método, ter-se-á encontrado a solução exacta.

Faz-se igualmente notar que, em muitas situações, tal não será possível e determinar-se-á

cargas de colapso por uma e outra via, obtendo-se resultados diferentes. Se as soluções esti verem próximas poderá concluir-se que, para efeitos práticos, qualquer das soluções fornece

7/23/2019 aeg 2015



valores adequados ao projecto.

Tal significa que algumas soluções de formulações para a determinação de cargas de co

lapso que são correntemente usadas são soluções aproximadas, mas com suficiente grau de

aproximação para o seu uso corrente.

Recorda-se ainda que se considerou que a lei de fluxo do material era associada. Tal

corresponde bastante bem à realidade no caso de materiais saturados reagindo em condições

não drenadas; no entanto, solos em condições drenadas não exibem, normalmente, lei de fluxo

associada. Para estes materiais, assim, não há uma correspondência entre aquela hipótese da

análise limite e o comportamento real.

Refere-se, a esse propósito, que se pode demostrar, relativamente ao TRS, que um limite

superior para um material com ψ = φ′ é também um limite superior quando ψ < φ′. No

entanto, não se pode demonstrar o equivalente relativamente ao TRI, isto é, não se pode

demonstrar que um limite inferior para um material com ψ = φ′

o seja também para ψ < φ′

.Em qualquer caso, tanto boas soluções da região superior como boas soluções da região

inferior têm visto os seus resultados confirmados por resultados experimentais, o que permite

considerar esta metodologia de análise como bastante adequada.

2.3 Determinação de cargas de colapso por equilíbrio limite

2.3.1 Princípios do método

O método de equilíbrio limite é o mais correntemente utilizado na determinação de cargas

de colapso de estruturas geotécnicas.

A sua aplicação implica, em primeiro lugar, a consideração de um mecanismo de colapso

arbitrário, que no entanto deverá ser tão próximo quanto possível do mecanismo real. Em

seguida, procede-se ao cálculo do equilíbrio através da consideração das forças e (ou) momentos

aplicados ao bloco ou conjunto de blocos definidos pelo mecanismo.

O método combina características da região superior com características da região inferior.

É considerado um mecanismo, tal como no TRS, mas não necessita de ser completamente

compatível. Por outro lado, o equilíbrio de forças (global) é satisfeito, mas o equilíbrio local

não é investigado.

Os resultados das soluções de equilíbrio limite não se encontram necessariamente (como

acontece com a análise limite) de um ou outro lado da solução exacta, pelo que apenas permi

tem obter um valor que, se o mecanismo for bem escolhido, a experiência tem demonstradoser um valor próximo da solução exacta.

7/23/2019 aeg 2015



2.3.2 Exemplo de aplicação

Retome-se o exemplo anteriormente visto em 2.2.4, da determinação da resistência à com

pressão simples. Como se viu, é conhecida a solução exacta para este problema. Analise-se,

então, o mesmo caso do ponto de vista do equilíbrio limite (Figura 2.11). As forças aplicadas

no bloco indicado são Q, N e T , pelo que se pode escrever o sistema de equações seguinte,

fazendo equilíbrio de forças nas direcções de T e de N :

Q sen ξ = T

Q cos ξ = N

de que resulta, da primeira equação do sistema:

Q = T

sen ξ ⇒ q uB =

cuL

sen ξ =

cuB

sen ξ cos ξ ⇒ q EL

u = cu1


ququ

γ = O

cuξ

B

L

Q

T

N

Figura 2.11:

O resultado equivale à solução obtida através do teorema cinemático, pelo que, procuran

do-se o mecanismo condicionante (o que corresponde ao menor valor), se obteria a mesma

solução:

q ELu = 2cu (2.41)

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Parte III

Cargas de colapso

33

7/23/2019 aeg 2015


7/23/2019 aeg 2015


Capítulo 3

Impulsos de terras

3.1 Introdução aos impulsos de terrasO problema da determinação de impulsos de terras foi brevemente descrito no Capítulo

2 como um dos três problemas geotécnicos “simples” que é objecto de análise neste texto.

O problema em questão pode resumir-se ao que se apresentou na Figura 2.1(a) mas, numa

situação mais genérica, pode ser apresentado da forma indicada na Figura 3.1.

i

δ β

I

h

Figura 3.1: Impulso de terras

Note-se que:

1. há um valor mínimo da carga I que deve estar aplicada ao terreno por forma a que este

esteja estável, pelo que, se valores inferiores a este forem aplicados, ocorre o colapso;

2. há um valor máximo da carga I que pode ser aplicada ao terreno por forma a queeste permaneça estável, pelo que, se valores superiores a este forem aplicados, ocorre o

colapso.

No primeiro caso, trata-se de um valor mínimo do impulso e este é designado por “impulso

activo” (I a) e o estado de tensão a que tal corresponde no solo por “estado activo”. No segundo,

trata-se de um valor máximo do impulso e este é designado por “impulso passivo” (I p), sendo

o estado de tensão a que corresponde esta situação designado por “estado passivo”.

A situação a que corresponde a Figura 3.1 é relativamente geral, podendo ainda genera

lizar-se mais no caso de o terreno suportado ter superfície irregular ou suportar sobrecargasaplicadas. Nesta Figura, i, β e h têm o significado indicado e δ é o ângulo de atrito entre

35

7/23/2019 aeg 2015


36 Capítulo 3. Impulsos de terras

o solo e a estrutura que o suporta. Este ângulo pode ter o sentido indicado na Figura ou o

oposto. Comece-se, no entanto, por analisar o problema simples sugerido pela Figura 3.2, com

terreno respondendo em condições drenadas, com envolvente de rotura dado pela equação

τ = σ ′tgφ′ (3.1)

I

Figura 3.2: Impulso de terras: caso de paramento vertical, impulso horizontal, terreno supor tado horizontal.

3.2 Impulso de solos respondendo em condições drenadas, com

superfície horizontal em paramento vertical sem atrito so

lo-paramento

3.2.1 Introdução

O problema em análise será estudado recorrendo às técnicas de determinação de cargas de

colapso estudadas no Capítulo 2:

• através do teorema estático ou da região inferior (TRI) – solução de Rankine;

• através do teorema cinemático ou da região superior, usando um mecanismo do tipo

planar;

• através de método de equilíbrio limite, usando também um mecanismo de tipo planar –

método de Coulomb.

3.2.2 Aplicação do teorema estático (TRI): a solução de Rankine

Impulso activo

Considere-se, para as condições em estudo de solo respondendo em condições drenadas,

com superfície horizontal em paramento vertical e sem atrito solo-paramento, um elemento de

solo à profundidade z (Figura 3.3).

Dada a inexistência de atrito solo-paramento, o impulso é, como se viu, horizontal. As

tensões efectivas vertical e horizontal no elemento de solo são, assim principais. A tensão

efectiva vertical é, portanto, dada porσ′

v = γz (3.2)

7/23/2019 aeg 2015


Capítulo 3. Impulsos de terras 37

I a

z

Figura 3.3: Geometria do problema: aplicação do teorema da região inferior à determinaçãodo impulso activo: teoria de Rankine

sendo γ o peso volúmico do solo. É, assim, conhecido um ponto do círculo de Mohr que

caracteriza o estado de tensão no elemento (Figura 3.4). Pode igualmente representar-se a

envolvente de rotura do solo, dado pela equação (3.1).

τ

φ′

σ′σ′

vσ′

ha

45o + φ′/2

Figura 3.4: Aplicação do teorema da região inferior à determinação do impulso activo: teoriade Rankine

Pretendendo-se conhecer o impulso activo, estão em causa as menores tensões efectivas

horizontais que podem estar aplicadas no elemento, σ′ha, sem violar o critério de rotura do

solo. Esta tensão é a outra tensão principal e é determinável atendendo a que

senφ

′

=

(σ′v

−σ′

ha) /2σ′v + σ′ha

/2 ⇒ σ

′

ha =

1

−senφ′

1 + senφ′ σ

′

v =

1

−senφ′

1 + senφ′ γz (3.3)

O equilíbrio no elemento obriga a que a estimativa da tensão efectiva horizontal mínima que

necessita ser aplicada ao paramento vertical seja, portanto,

σ′LI ha =

1− senφ′

1 + senφ′γz = K LI

a γz (3.4)

com

K LI a =

1− senφ′

1 + senφ′ (3.5)

O coeficiente K LI a é, portanto, a relação entre uma tensão efectiva horizontal e uma tensãoefectiva vertical, designando-se por “coeficiente de impulso”. Por ser a relação entre a tensão

7/23/2019 aeg 2015



efectiva horizontal activa e a tensão efectiva vertical, é um “coeficiente de impulso activo”.

Trata-se do coeficiente de impulso activo obtido por Rankine em 1857.

A equação 3.4 mostra a dependência linear da tensão efectiva horizontal activa com a

profundidade, conforme ilustra a Figura 3.5. A resultante do diagrama é, assim, a estimativa

do impulso activo dada pela aplicação do TRI:

I LI a =

h 0

K LI a γzdz =

1

2K LI

a γz 2

h0

= 1

2K LI

a γh2 (3.6)

45o + φ ′

2

h

h3

K LI a γh

I LI a = 1

2 K LI a γh2

Figura 3.5: Impulso activo de Rankine

A Figura 3.4 permite ainda concluir que os planos segundo os quais ocorrem as tensões

tangenciais que igualam as tensões resistentes (ponto de tangência do círculo de Mohr à

envolvente de rotura) fazem um ângulo de 45o + φ′/2 com a horizontal.

Impulso passivo

Se estiver em causa a determinação da estimativa do máximo valor do impulso (impulso

passivo), há que estudar o valor da tensão efectiva horizontal máxima que pode estar aplicada

no elemento de solo à profundidade z . Essa tensão será a tensão σ ′hp, indicada na Figura 3.6.

τ

φ′

σ′σ′

vσ′

ha σ′

hp

45o + φ′/2

45o − φ′/2

Figura 3.6: Aplicação do teorema da região inferior à determinação do impulso passivo: teoriade Rankine

7/23/2019 aeg 2015



Para haver equilíbrio no elemento, a tensão σ ′hp é tal que:

senφ′ =(σ′

hp − σ′v)/2

(σ′hp + σ′

v)/2 → σ′

hp = 1 + senφ′

1− senφ′σ′

v = 1 + senφ′

1− senφ′γz (3.7)

O equilíbrio no elemento obriga a que a estimativa da tensão efectiva horizontal máxima quepode ser aplicada ao paramento vertical seja, portanto,

σ′LI hp =

1 + senφ′

1− senφ′γz = K LI

p γz (3.8)

com

K LI p =

1 + senφ′

1− senφ′ (3.9)

O coeficiente K LI p é, portanto, a relação entre a tensão efectiva horizontal passiva e a tensão

efectiva vertical, pelo que é designado por “coeficiente de impulso passivo”.

De forma análoga à que foi usada para a determinação da estimativa do limite inferior do

impulso activo, a estimativa do impulso passivo pode ser obtida através de:

I LI p =

h 0

K LI p γzdz =

1

2K LI

p γz 2

h0

= 1

2K LI

p γh2 (3.10)

3.2.3 Aplicação do teorema cinemático (TRS)

Impulso activo

Para a determinação de uma estimativa do impulso activo (impulso mínimo que deve ser

aplicado por forma a evitar o colapso) através do teorema da região superior, propõe-se usar

o mecanismo de superfície planar sugerido pela Figura 3.7.

I LSa h

ℓ

W s

δw

δx

δy

ξ

ψ = φ′

Figura 3.7: Aplicação do TRS com mecanismo planar à determinação do impulso activo

O trabalho das forças exteriores, δW e é dado por:

δW e = −I LS a δx + W sδy (3.11)

sendo que δx e δy são, respectivamente, as componentes horizontal e vertical de δw. O trabalho

das forças exteriores deve ser:δW e = δW i = 0 (3.12)

7/23/2019 aeg 2015



O comprimento ℓ é dado por

ℓ = h

tgξ (3.13)

e as componentes vertical e horizontal do deslocamento δw relacionam-se da seguinte forma:

δyδx

= tg

ξ − φ′

(3.14)

Sendo o peso do solo, W s, dado por

W s = 1

2γh2/tgξ (3.15)

e atendendo às equações (3.11), (3.13) e (3.14), a equação (3.12) resulta em:

I LS a =

1

2γh2 tg(ξ − φ′)

tgξ =

1

2K LS

a γh2 (3.16)

com

K LS a =

tg(ξ − φ′)

tgξ (3.17)

A estimativa da região superior do coeficiente de impulso K LS a depende do ângulo ξ , ou

seja, do ângulo que o plano que define o mecanismo faz com a horizontal. Tratando-se de uma

solução da região superior, todos os mecanismos definidos pelo ângulo ξ causam o colapso.

Por exemplo, para o caso de φ′ = 30o e ξ = 50o, obtém-se, através da equação (3.17):

K LS a =

tg(50−

30)

tg50 = 0.305 (3.18)

Tal significa que o impulso a que corresponde o coeficiente K LS a = 0.305 causará o colapso,

tal como todos os valores determinados pela equação (3.17).

Se todos os resultados dados pela equação (3.17) causam o colapso, então a melhor solução

será a que corresponde ao máximo dos valores fornecidos pela equação.

Assim, representando o coeficiente de impulso em função do ângulo ξ , obtém-se a Figura

3.8. Desta Figura conclui-se que o máximo de cada curva, traçada para cada ângulo de

resistência ao corte analizado, ocorre para ξ = 45 + φ′/2.

Assim, da equação (3.17) vem:

K LS a =

tg(45 + φ′/2− φ′)

tg(45 + φ′/2) = tg(45− φ′/2)tg(90 − 45− φ′/2) = tg2(45 − φ′/2) (3.19)

Assim, para o caso de φ′ = 30o, vem, da equação (3.19):

K LS a = tg2(45 − 30/2) = 1/3 (3.20)

7/23/2019 aeg 2015



0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

20 30 40 50 60 70 80 90

K L S

a

ξ (o)

φ’=25o

φ’=30o

φ’=35o

φ’=40o

φ’=45o

ξ=45

o

+φ’/2

Figura 3.8: Variação de K LS a com o ângulo ξ .

Impulso passivo

Para determinação do impulso máximo (impulso passivo), considere-se o mecanismo ilus

trado pela Figura 3.9.

I LSp h

ℓ

W s

δwδx

δy

ξ

ψ = φ′

Figura 3.9: Aplicação do TRS com mecanismo planar à determinação do impulso passivo

O deslocamento na superfície que define o mecanismo tem a direcção indicada por δw.

Assim, aplicando o teorema da região superior, há que determinar o trabalho das forçasexteriores:

δW e = I pδx −W sδy (3.21)

em que W s é o peso do solo e δx e δy são, respectivamente, os deslocamentos segundo x e y .

Dado que ℓ = h/tgξ , o peso do solo é

W s = 1

2γh2/ tgξ (3.22)

em que γ é o peso volúmico do solo.Tem-se, por outro lado, que o trabalho realizado pelas tensões internas é nulo, se o material

7/23/2019 aeg 2015



for puramente atrítico. Sendo assim, aplicando o teorema, fica que

W e = W i = 0 (3.23)

Como se tem que δy

δx = tg

ξ + φ′

(3.24)

a equação (3.23) conduz a

I p = 1

2γh2 tg

tg (ξ + φ′)

tgξ (3.25)

ou seja

I LS p =

1

2K LS

p γh2 (3.26)

com K LS p dado por

K LS

p =

tg (ξ + φ′)

tgξ (3.27)

O valor assim obtido representa o limite superior da força horizontal, ou seja, se um valor

igual ou superior àquele for aplicado, ocorre colapso.

Aplique-se, então, a equação (3.27) a uma situação concreta de um solo com φ′ = 30o e

para um ângulo ξ = 20o. Para esta situação,

K LS p =

tg (20o + 30o)

tg20o = 3.274 (3.28)

Aplicando, assim, um impulso determinado com K LS p = 3.274, de acordo com o teorema

da região superior, ocorre rotura.

A equação (3.27) está representada graficamente através da Figura 3.10. Dado que todas as

soluções dadas pela referida equação causam o colapso, tal implica que todas as estimativas dos

impulsos (e, portanto, todas as estimativas dos coeficientes de impulso passivo) correspondem

a forças que causam o colapso. Assim, a melhor solução corresponde ao menor valor, que se

constata ser obtido para ξ = 45− φ′/2.

A equação (3.27) fica, assim:

K LS p = tg2(45 + φ′/2) (3.29)

3.2.4 Aplicação de método de equilíbrio limite: o método de Coulomb

Impulso activo

O método de Coulomb, publicado em 1776, é um método de equilíbrio limite em que

o mecanismo é definido por uma superfície planar (Figura 3.11), tal como a usada para aresolução do problema através do TRS.

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0

2

4

6

8

10

10 20 30 40 50 60

K L S

p

ξ (o)

φ’=25o

φ’=30o

φ’=35o

φ’=40o

φ’=45o

ξ=45o−φ’/2

Figura 3.10: Variação de K LS p com o ângulo ξ .

I a

W s

ξ

φ′

R

ℓ

h90 − ξ

ξ − φ′

Figura 3.11: Aplicação do método de Coulomb à determinação de impulso activo

Como método de equilíbrio limite, implica o estudo do equilíbrio de forças sobre a cunha

de solo definida pelo mecanismo. Coulomb propôs que tal equilíbrio fosse estudado através

do traçado do polígono de forças, conforme se sugere na Figura 3.11. Para haver equilíbrio, o

polígono tem que fechar, uma vez que a soma vectorial das forças aplicadas à cunha de solo

tem que ser nula. A determinação gráfica do impulso de terras é, então, possível, através dadeterminação do vector que representa esse impulso para vários valores do ângulo ξ que a

superfície que define o mecanismo faz com a horizontal e da escolha do maior valor do impulso

activo.

Atendendo a que

tg(ξ − φ′) = Rh/Rv (3.30)

que

ℓ = h/tgξ (3.31)

e queW s =

1

2γh2/tgξ (3.32)

7/23/2019 aeg 2015



tem-se que o equilíbrio de forças nas direcções vertical e horizontal, definido pelas equações

ΣV = 0 → W s = Rv (3.33)

ΣH = 0

→I EL

a = Rh = Rvtg(ξ

−φ′) (3.34)

conduz a

I ELa =

1

2γh2 tg(ξ − φ′)

tgξ =

1

2K EL

a γh2 (3.35)

sendo

K ELa =

tg(ξ − φ′)

tgξ (3.36)

Pode notar-se que a equação (3.36) é exactamente a que se obteve a propósito da aplicação

do TRS com o mesmo mecanismo, pelo que o máximo dos valores de K ELa é também dado

por

K ELa = tg2(45− φ′/2) (3.37)

Impulso passivo

A Figura 3.12 apresenta o mecanismo correspondente ao anteriormente apresentado, para

o caso do impulso passivo. A cunha de solo assim formada tenderá a deslocar-se para a direita

e para cima, pelo que a força R tem a direcção agora indicada na Figura (confrontar com a

Figura 3.11).

I p

W s

ξφ′

R

ℓ

hξ + φ′

Figura 3.12: Aplicação do método de Coulomb à determinação de impulso passivo

Da Figura pode concluir-se que:

tg(ξ + φ′) = Rh/Rv (3.38)

ℓ = h/tgξ (3.39)

W s = 1

2γh2/tgξ (3.40)

O equilíbrio de forças implica que:

ΣV = 0

→W s = Rv (3.41)

ΣH = 0 → I EL p = Rh = Rvtg(ξ + φ′) (3.42)

7/23/2019 aeg 2015



de onde:

I EL p =

1

2γh2 tg(ξ + φ′)

tgξ =

1

2K EL

p γh2 (3.43)

com K EL p atingindo o valor mais baixo para ξ = 45− φ′/2, pelo que

K EL p = tg2 (45 + φ′/2) (3.44)

3.2.5 Observações

A determinação de impulsos activos e passivos de solos respondendo em condições drena

das, com superfície horizontal em paramento vertical, sem atrito solo-paramento foi realizada

recorrendo a três técnicas:

• análise limite, recorrendo ao teorema cinemático (ou da região superior);

• análise limite, recorrendo ao teorema estático (ou da região inferior);

• equilíbrio limite.

Em todos os casos foi possível escrever o resultado do impulso de terras recorrendo a uma

expressão do tipo

I = 1

2Kγh2 (3.45)

sendo K um coeficiente de impulso (activo ou passivo) determinado através dos métodos atrás

referidos e cuja melhor solução é função, apenas, do ângulo de resistência ao corte.A solução obtida por análise limite usando o teorema estático corresponde à de Rankine

e encontra-se expressa nas equações (3.5), para o activo, e (3.9), para o passivo. A solução

obtida por análise limite usando o teorema cinemático recorrendo a mecanismo definido por

superfície planar está expressa nas equações (3.19), para o activo, e (3.29), para o passivo.

Dado que1− senφ′

1 + senφ′ = tg2 (45− φ′/2) (3.46)

e1 + senφ′

1− senφ′ = tg2 (45 + φ′/2) (3.47)

tem-se que, para o caso analisado,

K LS a = K LI

a (3.48)

e

K LS p = K LI

p (3.49)

pelo que é conhecida a solução exacta:

K EX a = tg2(45

−φ′/2) (3.50)

K EX p = tg2(45 + φ′/2) (3.51)

7/23/2019 aeg 2015



É igualmente interessante verificar que também o método de equilíbrio limite utilizado

(método de Coulomb) permitiu obter a solução exacta. Verifica-se, na realidade, que a meto

dologia de equilíbrio limite de Coulomb é equivalente à solução da região superior que recorre

a mecanismo definido com base numa superfície de deslizamento planar, pelo que, como se

verá, a solução de Coulomb é, assim, uma solução da região superior.Por último, refere-se que os coeficientes de impulso determinados nas secções anteriores

são coeficientes a aplicar no caso de os impulsos serem dados pela equação 3.45, isto é, para

os impulsos devidos ao peso do solo. Podem ser, por esse motivo, representados por K aγ ou

K pγ , consoante se trate de coeficiente de impulso activo ou passivo. Utiliza-se esta simbologia

quando se pretenda distinguir dos coeficientes de impulso devidos a sobrecargas aplicadas na

superfície do terreno, que serão abordadas na secção seguinte,

3.2.6 Exemplo

Pretende-se determinar os impulsos mínimo (activo) e máximo (passivo) do problema

ilustrado na Figura 3.13, para o caso de γ = 18 kN/m3 e φ′ = 33o.

I

γ

φ′ h = 2 m

Figura 3.13: Caso de solo respondendo em condições drenadas, com superfície horizontal emparamento vertical, sem atrito solo-paramento: exemplo de determinação dos impulsos.

Como se viu, existe solução exacta para ambos os problemas, pelo que o impulso activo

pode ser determinado através de:

I a = 1

2K aγh2 =

1

2tg2(45− 33/2) × 18× 22 = 10.6 kN/m (3.52)

e o impulso passivo através de:

I p = 1

2 K pγh2 = 1

2 tg2(45 + 33/2) × 18× 22 = 122.1 kN/m (3.53)

3.2.7 Pressões devidas a sobrecargas

Aplicação do teorema estático

Considere-se o problema esquematicamente representado na Figura 3.14, análogo ao ante

riormente considerado mas em que existe uma sobrecarga vertical aplicada ao terreno. O caso

é, assim, semelhante ao da secção 3.2.2, mas em que a tensão efectiva vertical é dada por:

σ′v = γz + q (3.54)

7/23/2019 aeg 2015



I a

z

q

Figura 3.14: Geometria do problema: aplicação do teorema da região inferior à determinaçãodo impulso activo com sobrecarga aplicada à superfície do terreno: teoria de Rankine

Deste modo, a equação 3.3 fica:

σ′ha =

1− senφ′

1 + senφ′σ′

v = 1− senφ′

1 + senφ′ (γz + q ) (3.55)

ou, escrevendo-a de outro modo:

σ′ha = K LI

aγ γz + K LI aq q (3.56)

em que, para o caso em estudo:

K LI aγ = K LI

aq = K LI a =

1− senφ′

1 + senφ′ (3.57)

Análise semelhante poderia ser feita para o caso passivo, verificando-se que:

σ′hp = K LI

pγ γz + K LI pq q (3.58)

em que, para o caso em estudo:

K LI pγ = K LI

pq = K LI p =

1 + senφ′

1− senφ′ (3.59)

Aplicação do teorema cinemático

Resolva-se agora o mesmo problema através do teorema cinemático, conforme representado

na Figura 3.15. A resolução é análoga à apresentada na secção 3.2.3, em que W s é substituído

por W s + Q, sendo:

Q = qℓ (3.60)

O trabalho das forças exteriores, δW e é dado por:

δW e = −I LS a δx + (W s + Q) δy (3.61)

que deve serδW e = δW i = 0 (3.62)

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I LSa h

q

ℓ

W s

δw

ξ

ψ = φ′

Figura 3.15: Aplicação do TRS com mecanismo planar à determinação do impulso activo parao caso de sobrecarga aplicada à superfície do terreno.

Atendendo às equações 3.13 e 3.14, a equação 3.62 fica:

I LS a =

1

2K LS

aγ γh2 + K LS aq qh (3.63)

comK LS

aγ = K LS aq = K LS

a = tg(ξ − φ′)

tgξ (3.64)

que é igual à equação 3.17 e, portanto, tem o seu valor máximo para ξ = 45 + φ′/2, o que

conduz a:

K LS aγ = K LS

aq = K LS a = tg2

45o − φ′/2

(3.65)

Análise semelhante pode ser realizada para o caso do impulso passivo, conduzindo a:

I LS p =

1

2K LS

pγ γh2 + K LS pq qh (3.66)

com

K LS pγ = K LS

pq = K LS p = tg2

45o + φ′/2

(3.67)

Aplicação do método do equilíbrio limite

Considerando o mecanismo anteriormente adoptado em 3.2.4 com a sobrecarga aplicada

à superfície do terreno, tem-se que o equilíbrio de forças nas direcções vertical e horizontal é

dado por:

ΣV = 0 → W s + Q = Rv (3.68)

ΣH = 0 → I ELa = Rh = Rvtg(ξ − φ′) (3.69)

conduz a

I ELa =

1

2K EL

aγ γh2 + K ELaq qh (3.70)

com

K ELaγ = K EL

aq = K ELa = tg2(45 − φ′/2) (3.71)

Do mesmo modo, para o passivo, fica:

I EL p =

1

2K EL

pγ γh2 + K EL pq qh (3.72)

7/23/2019 aeg 2015



com

K EL pγ = K EL

pq = K EL p = tg2(45 + φ′/2) (3.73)

Resumo

Verifica-se, assim, que para o caso de solos respondendo em condições drenadas, com

superfície horizontal em paramento vertical sem atrito solo-paramente, se tem que as soluções

exactas dos coeficientes de impulso activo e passivo são:

K EX aγ = K EX

aq = 1− senφ′

1 + senφ′ = tg2 (45 − φ′/2) (3.74)

e

K EX pγ = K EX

pq = 1 + senφ′

1− senφ′ = tg2 (45 + φ′/2) (3.75)

3.2.8 Pressões da água e meios estratificados

A presença de água aumenta as pressões totais sobre as estruturas de suporte. As pressões

de terras são determinadas aplicando o coeficiente de impulso, K a ou K p à tensão efectiva,

pelo que há que lhe somar a parcela do impulso da água.

A Figura 3.16 mostra o cálculo dos impulsos activos numa situação em que parte do solo

se encontra saturada. A tensão σa é, naturalmente, dada por

σa = K aγ hh1 (3.76)

uma vez que, acima do nível freático, se está a considerar que não há pressões intersticiais e,

consequentemente, as tensões efectivas são iguais às tensões totais. A tensão σb é dada por

σb = K a(γ sath2 − γ wh2) = K aγ ′h2 (3.77)

e σc é, naturalmente, a pressão da água, pelo que é

σc = γ wh2 (3.78)

h1

h2

σa σb σc

Figura 3.16: Pressões da água e influência da água nas pressões de terras.

Note-se que, à profundidade h1 + h2 a pressão de terras é σa + σb que é igual ao coeficiente

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de impulso activo, K a, multiplicado pela tensão efectiva vertical à profundidade indicada, ou

seja:

σ′h1+h2h = σa + σb = K aσ′

v = K a(γ hh1 + γ ′h2) (3.79)

A tensão total é, conforme referido, esta tensão somada da parcela da pressão intersticial,

ou seja

σh1+h2h = σ ′h1+h2

h + uh1+h2 = σa + σb + σc = K a(γ hh1 + γ ′h2) + γ wh2 (3.80)

A teoria de Rankine permite determinar com facilidade o impulso de terras em meios

estratificados, conforme ilustra a Figura 3.17. A tensão σa é dada por

σa = K a1γ h1h1 (3.81)

conforme anteriormente apresentado, sendo γ h1 o peso volúmico total do solo 1 e K a1 o seu

coeficiente de impulso activo. Imediatamente abaixo do ponto à profundidade h1, no entanto,o solo é diferente, com coeficiente de impulso activo K a2, pelo que se verifica que

σb = K a2γ h1h1 (3.82)

Solo 1

Solo 2

q

h1

h2σa

σb σc

σd

σe

σf

Figura 3.17: Meios estratificados e sobrecargas.

A Figura sugere que σb < σa, o que será possível se K a2 < K a1, o que significa que φ′2 > φ′

1.

A tensão σc é dada porσc = K a2γ h2h2 (3.83)

e σd tem o valor

σd = K a2(γ h1h1 + γ h2h2) (3.84)

ou seja, o coeficiente de impulso activo do solo 2 – correspondente à zona onde se pretende

determinar a pressão de terras – multiplicado pela tensão efectiva vertical.

A mesma figura permite igualmente compreender como se calculam as pressões de terras

quando, à superfície do terreno, são aplicadas sobrecargas de extensão infinita. Com efeito,

como se viu, uma sobrecarga deste tipo provoca um incremento de tensão vertical igual aovalor da sobrecarga transmitida, pelo que a pressão de terras a qualquer profundidade será

7/23/2019 aeg 2015



somada de K aq , pelo que as tensões σe e σf são dadas por

σe = K a1q (3.85)

σf = K a2q (3.86)

Faz-se notar que apesar da apresentação de meios estratificados, pressões da água e de

vidas a sobrecargas ter sido apresentada tendo em atenção o cálculo de impulsos activos, a

determinação de impulsos passivos é feita de acordo com os mesmos princípios.

3.3 Impulso de solos respondendo em condições não drenadas,

com superfície horizontal em paramento vertical, sem ade

são solo-paramento

3.3.1 Introdução

Tal como no caso do problema anterior, o problema será estudado recorrendo à solução de

Rankine, a uma solução do teorema cinemático (TRS) usando um mecanismo do tipo planar

e ao método de equilíbrio limite (Coulomb) com uma superfície do mesmo tipo.

3.3.2 Aplicação do teorema estático (TRI): a solução de Rankine

Impulso activo

Considere-se a situação esquematicamente representada na Figura 3.18. A menor tensão

horizontal que pode ser exercida pelo solo respondendo em condições não drenadas à profun

didade z é

σha = σv − 2cu = γz − 2cu (3.87)

h

γh 2cu

cu

zA

τ

σσvσha

Figura 3.18: Impulso activo de Rankine em solo respondendo em condições não drenadas

De uma forma simples, ignorando o facto de, até certa profundidade z, a resultante da

tensão aplicada ser negativa, isto é, corresponder a tracção aplicada à estrutura de suporte,pode dizer-se que o impulso activo é o integral das tensões dadas pela equação anterior. Assim,

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o impulso activo poderia ser escrito como:

I LI a =

h 0

σhadz =

h 0

(γz − 2cu) dz = 1

2γz 2 − 2cuz

h

0

= 1

2γh2 − 2cuh (3.88)

Tendo, no entanto, a referida limitação em consideração, pode obter-se um resultado mais

realista. Assim, se até à profundidade z0 a resultante da tensão horizontal é negativa (tracção),

tal significa que não vai ocorrer até à referida profundidade, qualquer impulso de terras. Deste

modo, o impulso será apenas o que resulta do diagrama triangular indicado na Figura 3.19.

h

γh 2cu

zA

z0γ (h− z0)

Figura 3.19: Impulso activo de Rankine em solo respondendo em condições não drenadas:fendas por tracção.

A profundidade z0 (profundidade das fendas por tracção) é tal que

γz0

= 2cu ⇒

z0

= 2cu

γ (3.89)

pelo que a tensão horizontal máxima do diagrama triangular resultante é

γh − 2cu = γh− γz0 = γ (h− z0) (3.90)

O impulso activo é, portanto,

I LI a =

1

2γ (h− z0)2 (3.91)

que pode ser escrito como

I LI

a =

1

2 γh2

− 2cuh +

2c2u

γ (3.92)

Impulso passivo

Considerações semelhantes às que foram feitas a propósito do impulso activo permitem

concluir que a tensão horizontal máxima que pode actuar à profundidade z é

σhp = σv + 2cu = γz + 2cu (3.93)

Os diagramas de pressões têm, neste caso, o mesmo sentido, pelo que não há lugar a fendaspor tracção.

7/23/2019 aeg 2015



O impulso passivo é, portanto:

I LI p =

1

2γh2 + 2cuh (3.94)

3.3.3 Aplicação do teorema cinemático (TRS)

Impulso activo

Considere-se o mecanismo planar indicado na Figura 3.20.

I LSa h

ℓ

L

W s

δw

ξ

Figura 3.20: Aplicação do TRS com mecanismo planar à determinação do impulso activo

Verifica-se que:

ℓ = h/tg ξ (3.95)

L = h/sen ξ (3.96)

δy = δxtg ξ (3.97)

sendo δy e δx as componentes vertical e horizontal do deslocamento virtual δw.

A força W s é dada por

W s = 1

2γh2 1

tg ξ (3.98)

e o trabalho das forças exteriores é

δW e = −I aδx + W sδy = −I aδx + 1

2γh2 1

tg ξ δxtg ξ (3.99)

A energia dissipada é

δW i = cuLδw = cuh

sen ξ

δx

cos ξ (3.100)

Do TRS resulta que

δW e = δW i ⇒ I LS a =

1

2γh2 − cuh

1


Todas as soluções de I a dadas por esta equação (para qualquer ξ ) são soluções da região

superior, o que significa que fornecem resultados inferiores ou iguais ao valor exacto do impulso.

Pode constatar-se que o ângulo ξ que maximiza I a é 45o, para o qual:

I LS a =

12

γh2 − 2cuh (3.102)

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Impulso passivo

Pode, de forma análoga à apresentada para o activo, obter-se

I LS p =

1

2

γh2 + 2cuh (3.103)

3.3.4 Aplicação de método de equilíbrio limite: o método de Coulomb

Conforme se disse, a solução do método de Coulomb é coincidente com a do teorema

cinemático de mecanismo planar. A solução obtida é, tanto para o caso activo como o passivo,

análoga à que acabou de se apresentar. Convida-se, assim, o leitor a demonstrá-lo.

3.4 Impulso de solos respondendo em condições drenadas: su

perfície inclinada, em paramento inclinado com atrito solo paramento

3.4.1 Introdução

Para a geometria “genérica” e com atrito δ solo-estrutura que se apresenta esquematica

mente na Figura não há solução de Rankine.

h

i

δ β I

Figura 3.21: Geometria para a determinação de impulso de solos respondendo em condiçõesdrenadas, com superfície inclinada, em paramento vertical, com atrito solo-paramento

Entre as soluções disponíveis referem-se:

• aplicação do teorema estático (TRI): solução publicada em tabela de Caquot-Kérisel;

• aplicação do teorema cinemático (TRS): pode mostrar-se, como se referiu, que a solução

de mecanismo planar coincide com a solução de Coulomb.

• aplicação de método de equilíbrio limite: há a solução de Coulomb.

O problema do cálculo das pressões correspondentes aos estados limites activo e passivo,

nas situações em que existe atrito entre o solo e a estrutura, foi formulado inicialmente por

Boussinesq. Admitindo um conjunto de hipóteses relativas às tensões no maciço, impondo

o equilíbrio estático, a condição de equilíbrio limite e as condições de fronteira adequadas(Matos Fernandes, 1990) Boussinesq obteve um sistema de equações diferenciais.

7/23/2019 aeg 2015



A resolução do sistema de equações foi conseguida por Caquot e Kérisel, adoptando algu

mas hipóteses adicionais, e chegando assim a uma solução da região inferior. A partir desta

solução, Caquot e Kérisel elaboraram tabelas (Caquot e Kérisel, 1948; Caquot et al., 1972) de

impulsos activos e passivos que se tornaram bem conhecidas e divulgadas.

3.4.2 Método de Coulomb

Impulso activo

Considere-se a estrutura de suporte representada na Figura 3.22 e admita-se que a cunha

representada com superfície plana fazendo um ângulo ξ com a horizontal se destaca da restante

massa de solo causando um impulso activo sobre a estrutura de suporte.

A

B

C

h

i

δ

ξ

β α

φ′

I a

I a

W W

R

R

ξ − iα + i

β − ξ ξ − φ′

180o − β − δ

β + δ − ξ + φ′

Figura 3.22: Cunha de solo para avaliação dos impulsos activos em solos respondendo emcondições drenadas, pela teoria de Coulomb.

Na referida Figura W é o peso da cunha de solo, R é a resultante das forças normal e

de corte na superfície BC e I a é o impulso activo actuante no muro (e de valor igual à sua

reacção, aplicada à cunha de solo, que se representa na Figura). Este impulso tem direcção

inclinada de δ com a normal à superfície do muro que suporta o terreno. δ é o ângulo de atrito

solo–muro.

Para um dado valor de ξ é conhecido o valor de W . As outras duas forças actuantes na

cunha podem ser conhecidas através do método gráfico sugerido na Figura 3.22. Destas duas

forças sabe-se as linhas de acção mas desconhece-se o seu valor. O referido método gráfico

passa pelo desenho do chamado polígono de forças , da forma que se descreve:

1. representação da força W , à escala e com a direcção apropriada;

2. marcação, a partir da extremidade de W , da linha de acção da força R;

3. marcação, a partir da origem de W , da linha de acção da força I a;

4. o triângulo formado permite definir o polígono de forças e, logo, o valor de cada umadas forças envolvidas.

7/23/2019 aeg 2015



Refere-se que a marcação da linha de acção das forças R e I a, descrita nos pontos 2 e 3

pode naturalmente ser trocada, isto é, a marcação da linha de acção da força R pode ser feita

a partir do ponto de origem de W e a da linha de acção da força I a pode realizar-se a partir

da extremidade de W .

As simplificações básicas da teoria de Coulomb são as seguintes:

• a superfície de deslizamento é plana e passa pela base da estrutura de suporte; verifica-se

na realidade que as superfícies são curvas, facto que não tem consequências importan

tes no que respeita ao cálculo de impulsos activos mas, como se verá, assume especial

importância na estimativa de impulsos passivos;

• a direcção do impulso de terras faz um ângulo δ com a normal ao plano da estrutura de

suporte; este ângulo é o ângulo de atrito entre o solo e a estrutura; o impulso actua na

estrutura de suporte à altura de h3 relativa à base;

• o solo suportado é seco, homogéneo, isotrópico, de comportamento rígido–plástico.

• a cunha de solo actua como corpo rígido e o valor do impulso de terras considera o

equilíbrio limite da superfície de deslizamento.

A determinação do impulso é realizada através do equilíbrio das forças aplicadas à cunha

de solo da forma que se descreveu anteriormente. No entanto, a inclinação da superfície de

deslizamento, que forma a cunha, é desconhecida. Para a determinação do impulso activo há,

pois, que efectuar diversas tentativas de diferentes cunhas, correspondendo o impulso activo

ao maior valor obtido.

O método de Coulomb é facilmente aplicável igualmente a casos em que a geometria do

terreno suportado é irregular, como por exemplo no caso da existência de superfícies do terreno

com diferentes inclinações ou na presença de banquetas. A eventual presença destes elementos

em nada afecta o método, interferindo apenas no cálculo de W .

De forma semelhante, o método de Coulomb pode ser aplicado a casos de aplicação de

sobrecargas no terreno suportado, implicando tais sobrecargas a consideração no equilíbrio de

forças de uma força adicional correspondente à sua acção na cunha em análise.

A teoria de Coulomb pode igualmente ser estendida a casos com a presença de água (Figura

3.23).

Nestas situações, sendo a pressão intersticial em B igual a γ whw, tem-se que

I wr = 1

2 × γ whw × hw

senξ =

1

2γ wh2

w

1

senξ (3.104)

e

I ar = 1

2 × γ whw ×

hw

senα =

1

2γ wh2

w

1

senα (3.105)

pelo que as componentes horizontais de I wr e I wa são

I wrH = I wrsenξ = 1

2γ wh2

w (3.106)

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A

B

C

D E F h

S

T

i

δ

ξ

β α

φ′I a

I a

I wa

I waI wrI wr

W 2

W ′2

W 2w

W 1W 1

R

R hw

Figura 3.23: Cunha de solo para avaliação dos impulsos activos em solos respondendo emcondições drenadas, parcialmente submersos pela teoria de Coulomb.

e

I waH = I wasenα = 1

2γ wh2

w (3.107)

ou seja, como seria de esperar,

I wrH = I waH (3.108)

As componentes verticais das forças I waeI wr são

I wrV = I wrcosξ = 1

2γ wh2

w

cosξ

senξ (3.109)

e

I waV = I wacosα = 1

2γ wh2

w

cosα

senα (3.110)

pelo que a força vertical total aplicada pelos impulsos da água é

I wV = I wrV + I waV = 1

2γ wh2

w

1

tgα +

1

tgξ

(3.111)

Note-se, por outro lado, que a área do triângulo BDE é igual a

ABDE = 12

DEhw = 12

(DF + F E ) hw = 12

hwtgα

+ hwtgξ

hw = 1

2h2

w

1tgα

+ 1tgξ

(3.112)

pelo que o peso da referida área (volume por unidade de comprimento) se estivesse completa

mente preenchido com água é

W 2w = ABDE γ w (3.113)

o que significa que o peso W 2w é igual à resultante das forças verticais devidas à água, dadas

pela equação (3.111), conforme seria de esperar e conforme sugerido pelo polígono de forças

da Figura 3.23.

Note-se ainda que na estrutura de suporte há que considerar que, para além dos impulsosdo terreno, estão aplicados impulsos devidos à água no tardoz da estrutura de suporte.

7/23/2019 aeg 2015



De acordo com o referido, o método de Coulomb é um método essencialmente gráfico, em

que o impulso activo é determinado por traçado de um polígono de forças. Por este motivo,

alguns autores dedicaram-se à apresentação de metodologias gráficas para a obtenção mais ou

menos expedita do referido impulso. Citam-se os métodos de Poncelet (de 1840), de Culman

(de 1866) e de Rebhann (de 1871).No entanto, a metodologia da definição do polígono de forças pode ser conseguida por via

analítica. Com efeito, da lei dos senos pode concluir-se, da Figura 3.22, que

I asen(ξ − φ′)

= W

sen(β + δ − ξ + φ′) (3.114)

o que conduz a

I a = W sen(ξ − φ′)

sen(β + δ − ξ + φ′) (3.115)

A expressão 3.115 pode ser, assim, usada para, em função de vários valores de ξ , determinar

o impulso e assim determinar o máximo valor para que ocorre.

A mesma expressão ou uma expressão equivalente poderia ser obtida através da escrita de

duas equações, uma correspondente ao equilíbrio das forças na horizontal e outra ao equilíbrio

de forças na vertical. Estas duas equações formam um sistema a duas incógnitas, I a e R, do

qual a solução de I a é a equação (3.115).

A resolução deste sistema (ou a aplicação da equação referida) é dependente de ξ , ou seja,

corresponde à solução para uma dada cunha. O impulso activo é, conforme referido, o máximo

desses impulsos. Tratando-se de um problema de maximização pode igualmente procurar-se

o valor de ξ que maximiza o impulso I a, ou seja, resolver a equação

dI adξ

= d

dξ

W sen(ξ − φ′)

sen(β + δ − ξ + φ′)

= 0 (3.116)

Em 1906, Muller-Breslau concluíram que o impulso activo I a que resulta da substituição

da solução da equação anterior na equação (3.115) é

I LS ;ELa =

1

2K LS ;EL

aγ γh2 (3.117)

sendo h a altura da estrutura de suporte e K LS ;ELa dado por

K LS ;ELaγ =

cosecβ sen(β − φ′)

sen(β + δ ) +

sen(φ′+δ) sen(φ′−i)sen(β−i)

2

(3.118)

O ângulo ξ a que corresponde este impulso pode ser determinado através de:

cotg (ξ − i) = −tg (φ′ + δ + β −90o− i)+sec(φ′ + δ + β −90o− i)

cos(β − 90o + δ )sen (φ′ + δ )

cos(i

−β + 90o)sen (φ′

−i)

(3.119)

7/23/2019 aeg 2015



A componente horizontal do impulso pode ser determinada através de

I LS ;ELaH =

1

2K LS ;EL

aγH γh2 (3.120)

com

K LS ;ELaγH = K LS ;EL

aγ sen(β + δ ) (3.121)

e a componente vertical através de

I LS ;ELaV =

1

2K LS ;EL

aγV γh2 (3.122)

com

K LS ;ELaγV = K LS ;EL

aγ cos(β + δ ) (3.123)

O ponto de aplicação do impulso activo total não é dado directamente pela teoria de

Coulomb mas pode ser determinada através da distribuição de tensões no tardoz da estrutura

de suporte. A distribuição de tensões pode ser deduzida determinando o impulso de terras

admitindo diversas profundidades de passagem do plano de rotura. Se o impulso de terras

for conhecido relativamente a duas cunhas de solo até às profundidades z e z + dz então o

incremento de impulso pode ser determinado através de

dI a = σadz (3.124)

em que σa é o valor médio das pressões activas em função da profundidade dz, pelo que

σa = dI a

dz (3.125)

A distribuição de pressões activas pode, assim, ser avaliada através da equação (3.125) para

uma série de incrementos de profundidade entre o topo e a base da estrutura de suporte.

Este procedimento, no entanto, é apenas usado raramente, dado que se a inclinação do ter

reno suportado é constante e não tem aplicada qualquer sobrecarga a distribuição de pressões

é triangular.

Impulso passivo

No caso de avaliação do impulso passivo, o método de Coulomb considera princípios se

melhantes aos enunciados a propósito da determinação do impulso activo. A determinação

pode ser gráfica, por um processo de tentativas, de cunhas com diversas inclinações, conforme

sugerido pela Figura 3.24, ou analítica.

Através do método gráfico busca-se, agora, o valor mínimo do impulso. A solução analítica

foi obtida através da minimização do impulso, sendo avaliado através de

I LS ;EL p =

1

2K LS ;EL

p γh2 (3.126)

7/23/2019 aeg 2015



A

B

C

h

i

δ

ξ

β α

φ′

I p

I pW

W

RR

ξ − i

α + i

β − ξ ξ + φ′

180o − β + δ

β − δ − ξ − φ′

Figura 3.24: Cunha de solo para avaliação dos impulsos passivos pela teoria de Coulomb.

sendo K LS ;EL p , o coeficiente de impulso passivo, dado por

K LS ;EL p =

cosecβ sen(β + φ′)

sen(β − δ )−

sen(φ′+δ) sen(φ′+i)sen(β−i)

2

(3.127)

O ângulo ξ a que corresponde este impulso pode ser determinado através de:

cotg (ξ

−i) =

−tg (φ′

−δ

−β + 90o + i)+sec(φ′

−δ

−β + 90o + i)

cos(β − 90o + δ )sen (φ′ − δ )

cos(i− β + 90

o

)sen (φ

′

+ i)(3.128)

3.4.3 Método de Coulomb: o efeito de sobrecargas

A consideração de uma sobrecarga uniformemente distribuída na superfície do terreno pode

ser tida em conta substituindo W por W + Q, sendo Q dado por (ver Figura 3.22):

Q = q AC (3.129)

Assim, a equação 3.115 fica:

I a = (W + Q)sen (ξ − φ′)

sen(β + δ − ξ + φ′) (3.130)

o que conduz a:

I LS ;ELa =

1

2K LS ;EL

aγ γh2 + K LS ;ELaq qh (3.131)

em que K LS ;ELaγ é dado pela equação 3.118 e K LS ;EL

aq é:

K LS ;ELaq = K LS ;EL

aγ

sen β

sen(β

−i)

(3.132)

A Figura 3.25 mostra a relação entre os dois coeficientes.

7/23/2019 aeg 2015



0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

50 60 70 80 90 100 110 120 130

K a q

/ K a γ

β (o)

i=0i=10ºi=20ºi=30º

Figura 3.25: Relação K LS ;ELaq /K LS ;EL

aγ em função de β e i (adaptado de Guerra (2012)).

3.5 Comparação da solução de Coulomb com a de Caquot-Ké

risel

Considerou-se o caso de β = 90o e i = 0 e, através da equação (3.118), calculou-se o

coeficiente de impulso activo através da teoria de Coulomb. Consultando as tabelas de Ca quot–Kérisel (Caquot et al., 1972) e sobrepondo os resultados pode obter-se a Figura 3.26,

ficando claro que os valores não são exactamente os mesmos.

A análise desta Figura permite retirar as seguintes conclusões:

• os resultados da teoria de Caquot e Kérisel coincidem, para efeitos práticos, com os da

teoria de Coulomb; por este motivo e pelo facto de a teoria de Coulomb ser de utilização

mais prática do que a teoria de Caquot e Kérisel (uso de expressão relativamente simples

face a consulta de tabelas) é habitual que o impulso activo seja determinado para efeitos

de dimensionamento através da teoria de Coulomb;

• as diferenças que se verificam entre os resultados estão, globalmente, de acordo com o

esperado: os resultados da teoria de Coulomb são inferiores aos da teoria de Caquot–Ké

risel (veja-se, para maior clareza, o caso de φ′ = 20o); as excepções a esta regra deverão

ser apenas aparentes e devidas à diferença de precisão adoptada na representação dos

resultados (3 casas decimais no caso dos resultados da teoria de Coulomb e 2 casas

decimais no caso da teoria de Caquot–Kérisel).

De forma análoga procedeu-se ao traçado da Figura 3.27, referente à comparação, para ocaso do coeficiente de impulso passivo, da teoria de Coulomb com a teoria de Caquot–Kérisel.

7/23/2019 aeg 2015



Desta Figura pode confirmar-se que os resultados da teoria de Coulomb estão substancial

mente acima dos da teoria de Caquot–Kérisel. Sabe-se igualmente que a teoria de Coulomb

pode sobrestimar consideravelmente os impulsos passivos, em particular para valores elevados

de δ . É frequente afirmar-se que os resultados da teoria de Coulomb podem ser usados para

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 5 10 15 20 25 30 35 40

K a

δ (º)

Coulomb φ’=20ºCoulomb φ’=30ºCoulomb φ’=40º

Caquot−Kérisel φ’=20ºCaquot−Kérisel φ’=30ºCaquot−Kérisel φ’=40º

Figura 3.26: Coeficientes de impulso activo determinados pela teoria de Coulomb (equação

(3.118)) para β = 90o e i = 0 face aos valores obtidos por Caquot e Kérisel (1948).

1

10

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40

K

p

δ (º)

Coulomb φ’=20ºCoulomb φ’=30ºCoulomb φ’=40ºCaquot−Kérisel φ’=20ºCaquot−Kérisel φ’=30ºCaquot−Kérisel φ’=40º

Figura 3.27: Coeficientes de impulso passivo determinados pela teoria de Coulomb (equação(3.127)) para β = 90o e i = 0 face aos valores obtidos por Caquot e Kérisel (1948).

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valores de δ inferiores ou iguais a φ′

3 ou, para outros autores, a φ′

2 . As razões para tais afir

mações são claras a partir da Figura, em especial tendo em atenção o facto de a teoria de

Caquot–Kérisel constituir uma boa aproximação do impulso real.

3.6 A curvatura da superfície de deslizamento

Pelo que se mostrou até agora, sabe-se que:

• a teoria de Coulomb constitui uma aproximação do tipo da região superior, sendo por

tanto espectável que sobrestime o impulso passivo e subestime o impulso activo;

• os resultados de Caquot e Kérisel são, para efeitos práticos, na avaliação de impulsos

activos, coincidentes com os da teoria de Coulomb; sendo os resultados de Caquot–Kérisel

do tipo da região inferior resulta que a solução exacta é, praticamente, conhecida;• na avaliação de impulsos passivos os resultados de Coulomb diferem substancialmente

dos de Caquot–Kérisel para valores elevados do ângulo de atrito solo–muro, δ ; sabendo

-se, com base em resultados práticos, que a teoria de Caquot–Kérisel fornece resultados

mais próximos dos reais, tem-se que a teoria de Coulomb se afasta consideravelmente

daqueles.

A que se deve, então, o referido afastamento na estimativa do impulso passivo, em parti

cular quando é sabido que tal afastamento não ocorre no caso do impulso activo?

A resposta está na questão da curvatura da superfície de deslizamento que define a cunha

de solo. Diversos autores abordaram esta questão, desde os próprios Caquot e Kérisel (uma

das hipóteses que assumiram para a resolução das equações diferenciais foi a existência de

curvatura na referida superfície) passando por Janbu (1957), Shields e Tolunay (1973) (através

de cálculos usando o método das fatias) até Sokolovski (1960) usando a resolução numérica

das equações diferenciais através do método das diferenças finitas ou ainda Rosenfarb e Chen

(1972), que consideram superfícies compostas por planos e espirais logarítmicas.

Por uma questão de facilidade de realização dos cálculos usou-se a metodologia proposta

por Rosenfarb e Chen (1972) para determinação dos impulsos passivos para o caso anterior mente referido de β = 90o e i = 0. A Figura 3.28 apresenta os resultados obtidos, compa

rando-os com os resultados de Caquot e Kérisel. Os resultados de Rosenfarb e Chen (1972)

são do tipo da região superior, o que é consistente com a Figura, na qual estes resultados

são sistematicamente superiores (ou iguais) aos de Caquot e Kérisel. Apesar de, para valo

res elevados de δ , haver diferenças significativas entre as duas metodologias, verifica-se que o

intervalo está agora muito mais estreito, concluindo-se então que os valores de Rosenfarb e

Chen (1972) são substancialmente melhores do que os de Coulomb. Volte-se, então, à questão

inicialmente colocada: porque motivo tal facto ocorre?

Conforme já se adiantou, a resposta reside na curvatura da superfície de deslizamento con siderada: em duas soluções da região superior, uma fornece “bons” resultados (a de Rosenfarb

7/23/2019 aeg 2015



1

10

100

1000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

K p

δ (º)

Rosenfarb e Chen φ’=20ºRosenfarb e Chen φ’=30ºRosenfarb e Chen φ’=40ºRosenfarb e Chen φ’=50ºCaquot−Kérisel φ’=20ºCaquot−Kérisel φ’=30º

Caquot−Kérisel φ’=40ºCaquot−Kérisel φ’=50º

Figura 3.28: Coeficientes de impulso passivo determinados pela teoria de Caquot e Kérisel(1948) e por Rosenfarb e Chen (1972) para β = 90o e i = 0.

e Chen (1972)) e a outra “maus” resultados (a de Coulomb), pelo facto de na primeira ser as

sumida uma superfície de deslizamento curva plana e na segunda tal superfície ser considerada

plana.

Veja-se, em primeiro lugar, em que consiste a solução de Rosenfarb e Chen (1972), apenasnos seus princípios básicos (Bowles, 1996). Na Figura 3.29 indica-se o mecanismo de colapso

adoptado, composto de duas superfícies planas entre as quais existe uma espiral logarítmica.

Este mecanismo é, assim, controlado pelos valores dos ângulos ρ e ψ, podendo os coeficientes de

impulso activo e passivo ser escritos em função destes ângulos e procedendo-se à minimização

(no caso passivo) ou maximização (no caso activo) em relação a estas duas variáveis.

ψ

ρ

i

β δ

espiral logarítmica

Figura 3.29: Mecanismo de colapso considerado por Rosenfarb e Chen (1972) para o casopassivo.

Aplique-se, agora, os métodos de Coulomb e de Rosenfarb e Chen a dois casos para ocálculo dos coeficientes de impulso activo e passivo: um com ângulo de resistência ao corte de

7/23/2019 aeg 2015



30o e ângulo de atrito solo–estrutura de 20o e outro com ângulo de resistência ao corte de 40o

e ângulo de atrito solo–estrutura de 26.67o. Os coeficientes de impulso foram já determinados

para o traçado de figuras anteriormente apresentadas mas resumem-se no Quadro 3.1.

Quadro 3.1: Coeficientes de impulso activo e passivo determinados pelos métodos de Coulombe de Rosenfarb e Chen

φ′ (o) 30 40δ (o) 20 26.67

K Coulomba 0.297 0.200

K Rosenfarb&Chena 0.299 0.201

K Coulomb p 6.105 18.717

K Rosenfarb&Chen p 5.444 13.078

As conclusões da análise do Quadro são as já anteriormente referidas: resultados pratica

mente coincidentes no caso do coeficiente de impulso activo e diferenças significativas para o

caso do coeficiente de impulso passivo.

Para analisar estes resultados traçaram-se as superfícies de rotura obtidas dos dois métodos,

para as duas situações analisadas, para uma altura genérica da estrutura de suporte h. Os

resultados obtidos relativos ao impulso activo estão representados na Figura 3.30.

h

Iaδ

Rosenfarb e ChenCoulomb

(a) φ′ = 30o; δ = 20o

h

Iaδ


(b) φ′ = 40o; δ = 26.67o

Figura 3.30: Superfícies de deslizamento correspondentes ao impulso activo obtidas pelosmétodos de Coulomb e de Rosenfarb e Chen.

Os resultados mostram superfícies praticamente coincidentes entre os métodos de Coulomb

e de Rosenfarb e Chen para os dois casos analisados. Os mecanismos são, assim, praticamente

os mesmos, pelo que a solução é, naturalmente, praticamente a mesma, justificando os resul

tados referidos no Quadro, que podem ser generalizados a uma adequabilidade geral da teoria

de Coulomb para a determinação de impulsos activos.

Veja-se, agora, o que se passa relativamente aos impulsos passivos (Figura 3.31). Pode

verificar-se, da sua análise, que:

• as superfícies determinadas pelos dois métodos apresentam diferenças substanciais, cor

respondentes a mecanismos consideravelmente diferentes e evidenciando a importância

da curvatura da superfície de cedência;

• as diferenças entre os mecanismos são maiores para o maior valor do ângulo de resistência

7/23/2019 aeg 2015



ao corte.

h Ipδ


(a) φ′ = 30o

; δ = 20o

h Ipδ


(b) φ′ = 40o; δ = 26.67o

Figura 3.31: Superfícies de deslizamento correspondentes ao impulso passivo obtidas pelosmétodos de Coulomb e de Rosenfarb e Chen.

Estas observações justificam, por um lado, as diferenças significativas entre os coeficientes

de impulso passivo que se apresentaram no Quadro 3.1 e, por outro, o facto de a diferençaser maior no caso do maior ângulo de resistência ao corte. Estas conclusões podem ser gene

ralizadas em relação à inadequabilidade da utilização da teoria de Coulomb para o cálculo de

impulsos passivos, em particular nos casos de elevados valores de δ .

3.7 Extensão da solução de Rankine a solos com superfície in

clinada

3.7.1 Impulso activo

Viu-se em 3.3.2 a aplicação do teorema estático ao caso de superfície horizontal, sem atrito

solo-paramento e paramento vertical. A teoria de Rankine pode ser extendida ao caso de solo

com superfície do terreno inclinada, conforme se indica na Figura 3.32. Admita-se o prisma

de solo representado na Figura. O seu peso é:

W = γzb (3.133)

A força V é igual a W , N éN = V cos i (3.134)

7/23/2019 aeg 2015



b

b′

z

A

N V

T

i

Figura 3.32: Estado de Rankine em terreno com superfície inclinada.

e T é

T = V sen i (3.135)

A tensão vertical distribuída na largura b′ é:

σ′Av =

V

b′ =

γzb

b′ =

γzb

b/ cos i = γz cos i (3.136)

a tensão normal à mesma largura b ′ é:

σ′An = N

b′ = γz b cos i

b/ cos i = γz cos2 i (3.137)

e a tensão tangencial na mesma largura é:

τ A = T

b′ =

γzb sen i

b/ cos i = γz sen i cos i (3.138)

O estado de tensão dado pelas equações (3.137) e (3.138) pode ser representado através

do ponto A do círculo de Mohr da Figura 3.33.

Atendendo a que o estado de tensão representado através do ponto A ocorre numa facetainclinada de i com a horizontal, o pólo é P . Faz-se notar que a linha AP passa por O,

atendendo a que:τ A

σ′An

= γz sen i cos i

γz cos2 i = tg i (3.139)

Note-se ainda que o comprimento OA é σ ′Av.

O estado de tensão num plano vertical é determinado fazendo passar por P uma linha

vertical. A sua intersecção com o círculo de Mohr, B corresponde a este estado de tensão, que

tem componente horizontal σ ′ha, componente tangencial τ a e resultante σ ′

a = OB. Trata-se de

uma tensão correspondente a um estado activo porque é o menor valor possível da tensão noplano vertical, uma vez que o círculo de Mohr é tangente à envolvente.

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C

D

F

O

A

B

P

σ′

τ

i

φ′

σ′An

τ A

τ a

τ a

σ′ah

Figura 3.33: Extensão da teoria de Rankine a casos com superfície do terreno inclinada:representação do estado de tensão.

Atendendo a que OB = OP e a que DP = AD, pode escrever-se que:

K ∗a = σ′

a

σ′Av

= OB

OA =

OP

OA =

OD −AD

OD + AD (3.140)

(a utilização do símbolo K ∗a em lugar do anteriormente usado K a deve-se à reserva deste para o

tornar válido na expressão do impulso activo I a = 12 K aγh2, conforme se verá posteriormente).

Tendo-se que

OD = OC cos i (3.141)

e

AD =

P C 2 − CD2 =

F C 2 − CD2 =

OC 2 sen2 φ′ −OC 2 sen2 i =

= OC

sen2 φ′ − sen2 i = OC

(1− cos2 φ′)− (1− cos2 i) =

= OC

cos2 i− cos2 φ′ (3.142)

vem que

K ∗a = cos i −

cos2 i− cos2 φ′

cos i +

cos2

i− cos2

φ′

(3.143)

sendo as pressões activas, actuantes paralelamente ao talude, iguais a

σa = K ∗a γz cos i (3.144)

e o impulso activo numa superfície vertical de altura h

I a = 1

2K ∗a γh2 cos i (3.145)

Fazendo

K a = K ∗a cos i = cos i − cos2 i− cos2 φ′

cos i +

cos2 i− cos2 φ′cos i (3.146)

7/23/2019 aeg 2015



assegura-se a validade da expressão

I a = 1

2K aγh2 (3.147)

Faz-se igualmente notar que para i = 0 a expressão (3.146) se reduz à equação (3.5).

3.7.2 Impulso passivo

De forma semelhante, é possível obter que o coeficiente de impulso passivo é dado por

K ∗

p

= cos i + cos2 i− cos2 φ′

cos i− cos2 i− cos2 φ′

(3.148)

sendo as pressões passivas, actuantes paralelamente ao talude, iguais a

σ p = K ∗ p γz cos i (3.149)

e o impulso passivo numa superfície vertical de altura h

I p = 1

2K ∗ p γh2 cos i (3.150)

FazendoK p = K ∗ p cos i =

cos i +

cos2 i− cos2 φ′

cos i−

cos2 i− cos2 φ′cos i (3.151)

tem-se que

I p = 1

2K pγh2 (3.152)

Refira-se que os valores de i da equação (3.151) correspondem a terreno com declive con

forme indicado na Figura 3.34, à direita, isto é, com declive descendente.

Figura 3.34: Casos correspondentes às equações (3.146) — à esquerda — e (3.151) — à direita—, respectivamente para os impulsos activos e passivos.

Tal como para o coeficiente de impulso activo, a expressão (3.151) reduz-se à equação (3.9)para i = 0.

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3.7.3 Comparação com os resultados da teoria de Coulomb

Para a teoria de Coulomb, em solos incoerentes, os coeficientes de impulso activo e passivo

são dados, respectivamente, pelas equações (3.118) e (3.127), escritas em função dos ângulos

β , i, φ′ e δ .

Pode, assim, comparar-se os resultados das teorias de Rankine e de Coulomb para as

condições – mais restritas – da teoria de Rankine, fazendo nas equações (3.118) e (3.127)

β = 90o e δ = i, para o caso activo, ou δ = −i, para o passivo.

Apresenta-se, na Figura 3.35, os resultados obtidos das teorias de Rankine e de Coulomb

para o coeficiente de impulso activo, nas condições indicadas, para alguns valores do ângulo

de resistência ao corte φ′. Verifica-se que os resultados obtidos das duas teorias coincidem

exactamente, o que, tratando-se o resultado de Rankine de uma solução do teorema estático e

o de Coulomb de uma solução do teorema cinemático, mostra que se trata da solução exacta.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

K a

δ=i (º)

Rankine φ’=20ºRankine φ’=30ºRankine φ’=40ºRankine φ’=50ºCoulomb φ’=20ºCoulomb φ’=30ºCoulomb φ’=40ºCoulomb φ’=50º

Figura 3.35: Coeficientes de impulso activo determinados pelas teorias de Rankine (equação(3.146)) e de Coulomb (equação (3.118)) para β = 90o e δ = i.

A mesma constatação pode ser feita através da análise da Figura 3.36, onde são represen

tados os coeficientes de impulso passivo.

3.8 Consideração da acção sísmica. Método de Mononobe–O

kabe

O método de Mononobe–Okabe (Okabe, 1926; Mononobe e Matsuo, 1926) é uma extensão

da teoria de Coulomb, por forma a ter em conta as acções sísmicas. A acção sísmica é consi derada através da adição de forças fictícias obtidas através de coeficientes sísmicos horizontal

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0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

K p

δ=−i (º)

Rankine φ’=20ºRankine φ’=30ºRankine φ’=40ºRankine φ’=50º

Coulomb φ’=20ºCoulomb φ’=30º

Coulomb φ’=40ºCoulomb φ’=50º

Figura 3.36: Coeficientes de impulso passivo determinados pelas teorias de Rankine (equação(3.151)) e de Coulomb (equação (3.127)) para β = 90o e δ = −i.

e vertical, kh e kv, respectivamente. Tal significa que o “peso” da cunha de solo de Coulomb

é uma força W s, com componente horizontal

W sh = khW (3.153)

e componente vertical

W sh = (1± kv) W (3.154)

conforme se indica na Figura 3.37.

h

khW

(1± kv)W

W sθ

Figura 3.37: Cunha de solo sujeita a acção sísmica.

A força resultante W s é:W s =

(1± kv)W

cos θ (3.155)

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sendo θ dado por:

θ = arctg kh

1± kv(3.156)

O método de Mononobe–Okabe admite que o efeito das acelerações sísmicas altera a força

gravítica W , rodando os planos de referência de um ângulo θ (3.38), por forma a que W s sejavertical e se possa usar a expressão analítica de Coulomb (equação 3.118).

h R

R

δ

I aγs

I aγs

φ′h∗

i

i + θ

θθ

khW

(1± kv)W W s

W s

W s

β + θ

β

Figura 3.38: Cunha de solo sujeita a acção sísmica: rotação de ângulo θ (método de Monono be–Okabe).

Deste modo, β dá lugar a β + θ e i a i + θ, pelo que o impulso pode ser determinado usando

o coeficiente de impulso K ∗aγs dado pela equação (3.118) adaptada da forma descrita:

K ∗aγs =

cosec(β + θ) sen (β + θ − φ′)

sen(β + θ + δ ) +

sen(φ′+δ) sen(φ′−i−θ)sen(β−i)

2

(3.157)

A expressão do impulso, no entanto, deve ter em atenção que a altura do muro é h∗ em

lugar de H e que o peso da cunha de solo é W s em vez de W , o que equivale a considerar umpeso volúmico γ ∗:

I aγs = 1

2K ∗aγs γ ∗h∗2 (3.158)

Atendendo a que:

h∗ = sen(β + θ)

sen β h (3.159)

e a que:

γ ∗ = W s

W γ =

1± kv

cos θ γ (3.160)

vem que:I aγs =

1

2K aγs γh2 (3.161)

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com

K aγs =

1± kv

cos θ

sen2(β + θ)

sen2 β

cosec(β + θ) sen (β + θ − φ′)

sen(β + θ + δ ) +

sen(φ′+δ) sen(φ′−i−θ)

sen(β−i)

2

(3.162)

Faz-se ainda notar que, em condições sísmicas, o ângulo φ′ − i− θ (cujo seno é calculado

dentro da raiz quadrada da expressão 3.162) tem que ser positivo (tal como, em condições

estáticas, φ′ − i tem que ser também positivo).

Refere-se finalmente que será facilmente compreensível que se adopte o sentido de khW

indicado na Figura 3.37, dado que o sentido oposto resultaria, claramente, num impulso menor

e, portanto, menos condicionante. Porque motivo, então, não se adopta apenas o sinal positivo

na componente vertical do peso da cunha de solo isto é, porque não se adopta, simplesmente,

W sv = (1+ kv)W , preconizando-se, pelo contrário, que se considere também que o sismo actue

de forma a reduzir o peso da cunha de solo que, claramente, provoca um menor impulso? Osismo afecta quer o terreno quer a estrutura de suporte, pelo que o sinal positivo implica maior

impulso mas também melhores condições de estabilidade da estrutura de suporte, ao passo

que o sinal negativo implica menor impulso mas condições de menor estabilidade.

O impulso sísmico provoca, em relação ao impulso estático, um incremento de força na

estrutura de suporte que, de acordo com resultados de cálculos analíticos e de ensaios, está

situado acima de h/3. Deste modo, o procedimento habitual para o cálculo dos impulsos sob

a acção sísmica passa por determinar o acréscimo de impulso sísmico, ∆I aγs , através de:

∆I aγs = I aγs − I aγ (3.163)

sendo I aγ considerado aplicado a h/3 e ∆I aγs admitido aplicado a h/2.

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7/23/2019 aeg 2015


Capítulo 4

Capacidade resistente às acções

verticais

4.1 Introdução

O problema da determinação de cargas verticais de colapso (ou da capacidade resistente

às acções verticais) foi já apresentado brevemente no Capítulo 2 como um dos três problemas

geotécnicos que constituem o objecto de análise neste texto. Foi resumido, de forma simplifi

cada, no problema indicado na Figura 2.1(b) mas, num caso genérico, pode ser apresentado

como o problema que se indica na Figura 4.1(a) e que corresponde à situação representada na

Figura 4.1(b).

q

B × L

F

e

(a)

B × L

F

D

(b)

Figura 4.1: Capacidade resistente às acções verticais. Como se verá, a inclinação da carga, asua excentricidade e a geometria da fundação condicionam a capacidade resistente às acçõesverticais.

O caso apresentado na Figura 4.1 é relativamente geral, salientando-se, desde já, que:

• B é a menor dimensão da fundação em planta e L é a maior;

• a base da fundação pode ser enterrada a uma profundidade tal que a tensão vertical

(total ou efectiva, consoante o cálculo seja não drenado ou drenado) seja q ou q ′;

• a carga F pode ser inclinada e excêntrica.

75

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76 Capítulo 4. Capacidade resistente às acções verticais

O caso que se irá analisar em primeiro lugar é, no entanto, bastante mais simples. Consi

dera-se, assim, para início do estudo, que:

• a fundação tem largura B mas comprimento L infinito;

• a carga F é vertical e centrada;

• o solo responde em condições não drenadas, com uma resistência não drenada cu.

4.2 Capacidade resistente às acções verticais em condições não

drenadas, para fundação de comprimento infinito e carre

gamento vertical e centrado

4.2.1 Introdução

Conforme se fez no capítulo anterior, este problema será analisado através dos métodos de

determinação de cargas de colapso estudados no Capítulo 2: teorema cinemático (ou da região

superior, TRS); teorema estático (ou da região inferior, TRI); método de equilíbrio limite.

O caso em análise, conforme referido, é o que se sugere na Figura 4.2.

q

B

F

γ cu

Figura 4.2: Capacidade resistente às acções verticais: fundação de comprimento infinito,carregamento vertical e centrado, em solo argiloso respondendo em condições não drenadas.

4.2.2 Aplicação do teorema cinemático (TRS): primeiras abordagens

Considere-se, assim, a situação representada na Figura 4.2, assim como o mecanismo quese mostra na Figura 4.3, Para esse mecanismo e para um deslocamento elementar δwF do

ponto de aplicação de F , o trabalho das forças exteriores é:

δW e = F LS δwF − q B δ wF (4.1)

e a energia dissipada é

δW i = πBcu (δwF × 2) (4.2)

Fazendo, de acordo com o TRS, δW e = δW i vem:

F LS δwF − q B δ wF = πBcu (δwF × 2) ⇒ F LS /B = 2πcu + q (4.3)

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Capítulo 4. Capacidade resistente às acções verticais 77

q

B

F

γ

cur = B

Figura 4.3: Determinação da capacidade resistente vertical; condições não drenadas e meca nismo circular.

Usando o mecanismo sugerido pela Figura 4.4 e o diagrama de deslocamentos indicado na

mesma figura, obtém-se:

δwaF = δwF ; δwba = 2δwF ; δwa = δwb =√

2δwF (4.4)

δW e = F LS δwF − q B δ wF (4.5)

δW i =

cuB√

2×√

2δwF

× 2 + cuB × 2δwF (4.6)

δW e = δW i ⇒ F LS /B = 6cu + q (4.7)

B

F

a b

q

45o45oδwF

δwa

δwaδwb

δwb

δwba

δwaF

Figura 4.4: Determinação da capacidade resistente vertical através do teorema cinemático;condições não drenadas e mecanismo composto por dois blocos.

Atendendo a que ambos os resultados fornecidos pelas equações 4.3 e 4.7 são da região

superior, ambos provocam o colapso, pelo que o menor deles (equação 4.7) é o mais próximo

da solução exacta.

4.2.3 Aplicação do teorema estático (TRI): primeiras abordagens

Considere-se agora a solução do problema anteriormente exposto através do teorema es

tático. Admita-se, assim, conforme indicado na Figura 4.5, a existência de dois planos de

descontinuidade de tensões verticais, com a localização indicada e analise-se metade do pro

blema, conforme sugerido na figura do lado esquerdo.A existência do plano de descontinuidade de tensões indicado implica que, por um lado,

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B

qq

qr = F /Bqr = F /B

σv2σv1

σh2σh1

21

Figura 4.5: Determinação da capacidade resistente vertical através do teorema estático emcondições não drenadas e admitindo um plano de descontinuidade de tensões.

o campo de tensões é contínuo em cada uma das duas zonas 1 e 2 e que, apesar de haver

descontinuidade de tensões no plano, o estado de tensão neste é equilibrado.

Admite-se ainda que, sendo a carga q LI r transmitida à fundação uma estimativa da carga

de colapso, ambas as zonas 1 e 2 têm estados de tensão limites, ou seja, os círculos de Mohr

que os representam são tangentes às envolventes de rotura (neste caso em tensões totais).

Sendo o peso volúmico do solo igual a γ , tem-se que o estado de tensão vertical na zona

1, num ponto qualquer à profundidade z (por exemplo, num ponto próximo do plano de

descontinuidade de tensões) é

σv1 = γz + q (4.8)

e, sendo o terreno horizontal e não havendo aplicação de tensões tangenciais à superfície do

terreno (a tensão q é vertical), é uma tensão principal. É, portanto, conhecido um ponto do

círculo de Mohr correspondente ao estado de tensão na zona 1 (Figura 4.6).

P

cu

4cu

σv2 = q LI r + γzσv1 = γ z + q = σh2σh1 σ

τ

90o

Figura 4.6: Determinação da capacidade resistente vertical através do teorema estático emcondições não drenadas e admitindo um plano de descontinuidade de tensões: círculos deMohr.

Conforme se disse, o círculo de Mohr deverá ser tangente à envolvente de rotura, pelo que

σh1 é também conhecido e o círculo de Mohr correspondente à zona 1 pode ser representado.

Atendendo a que tem que haver equilíbrio no plano de descontinuidade de tensões, a tensãoσh2 deverá ser igual a σh1, pelo que este ponto é também um ponto do círculo de Mohr

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correspondente ao estado de tensão na zona 2. Dado que este círculo de Mohr deve, também,

ser tangente à envolvente de rotura, o círculo de Mohr 2 fica definido.

Pode, assim, constatar-se que a tensão σv2 é:

σv2 = q LI r + γz = γz + q + 4cu (4.9)

o que implica que carga de rotura seja tal que

F LI /B = q LI r = 4cu + q (4.10)

4.2.4 Aplicação de equilíbrio limite: primeiras abordagens

Convida-se o leitor a, usando o mecanismo sugerido pela Figura 4.2, procurar o resultado

correspondente por equilíbrio limite, ou seja, escrevendo a equação de equilíbrio de momentose determinando o valor da carga q EL

r que a verifica. Para o referido mecanismo o resultado

será q ELr = 2πcu + q .

4.2.5 Observações ao resultados obtidos nas primeiras abordagens

Analisando o melhor resultado obtido na secção 4.2.2 (teorema cinemático) e o resultado

da secção 4.2.3 (teorema estático) pode concluir-se que:

F LI /B = q LI r = 4cu + q ≤ F EX /B = q EX

r ≤ 6cu + q = q LS r = F LS /B (4.11)

ou seja:

4cu + q ≤ q EX r ≤ 6cu + q (4.12)

4.2.6 Melhoria da solução obtida pelo teorema estático

A análise da representação do estado de tensão nas zonas 1 e 2 da Figura 4.5 através do

círculo de Mohr (Figura 4.6) permite concluir que, da zona 1 para a zona 2, se verifica umarotação de 90o nas tensões principais. Com efeito, na zona 1 a maior tensão principal é a

tensão horizontal, ao passo que na zona 2 a maior tensão principal é a vertical. A análise dos

círculos de Mohr recorrendo ao pólo permite concluir que as linhas indicadas a traço-ponto cor

respondem às das facetas em que as tensões principais ocorrem (vertical na zona 1 e horizontal

na 2).

Tal rotação das tensões principais é possível devido à existência do plano de descontinui

dade de tensões anteriormente referido. Pode compreender-se, no entanto, que é possível que

uma melhor solução possa ser obtida usando mais do que um plano de descontinuidade de

tensões e fazendo, com isso, com que a rotação das tensões principais se faça de forma maisprogressiva.

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Analise-se, assim, o caso de se considerarem dois planos de descontinuidade, que fazem

ângulos β 1 e β 2 com a horizontal, conforme sugerido pela Figura 4.7.

3

AB

q q r

12

β 1β 2

Figura 4.7: Determinação da capacidade resistente vertical através do teorema estático emcondições não drenadas e admitindo dois planos de descontinuidade de tensões.

Comece-se por admitir que β 1 = 60o e, posteriormente, que β 2 toma o valor necessário

para que a rotação das tensões principais seja, no total, igual a 90o. O estado de tensão na

zona 1 é conhecido, pelo que o círculo de Mohr pode ser representado (Figura 4.8):

σv1 = γz + q ; σh1 = σv1 + 2cu (4.13)

1 32

cu

σ

τ

γz + q σh1 γz + qr60o

β1 = 60o

45o

75o

120o

P 1

P 2

P 3

θA = 30oθB = 60o

2cusen θA 2cusen θB

Figura 4.8: Determinação da capacidade resistente vertical através do teorema estático emcondições não drenadas e admitindo dois planos de descontinuidade de tensões: círculos de

Mohr.

O pólo do círculo de Mohr 1 é P 1, pelo que o estado de tensão no plano A pode ser

conhecido graficamente rodando a faceta horizontal do ângulo β 1 = 60o. O ponto assim

obtido, correspondendo ao estado de tensão no referido plano, é igualmente um ponto do

círculo de Mohr da zona 2. Este pode ser encontrado facilmente, buscando o círculo com raio

igual a cu e que passa neste ponto.

Encontrados os dois círculos de Mohr 1 e 2, pode verificar-se que a faceta em que ocorre a

maior tensão principal da zona 1 é uma faceta vertical (com a direcção da linha a traço-ponto

que passa por P 1). Por outro lado, atendendo a que o pólo do círculo de Mohr 2 é P 2,constata-se que a faceta em que ocorre a maior tensão principal da zona 2 é a linha a traço

7/23/2019 aeg 2015



ponto que passa por P 2. Esta linha faz um ângulo de 30o com a faceta vertical (em que ocorre

a maior tensão principal na zona 1), pelo que se conclui que ocorreu uma rotação de tensões

de 30o, de 1 para 2.

Como encontrar, então, o círculo de Mohr da zona 3? Se β 2 fosse conhecido, o procedimento

seria análogo ao anterior. No entanto, β 2 não é conhecido e deverá ser tal que, de 2 para 3,cause uma rotação da tensão principal de 60o. O leitor poderá verificar que isso obriga a que o

pólo do círculo de Mohr da zona 3 seja um ponto P 3 localizado sobre o eixo das abcissas (para

que a direcção da faceta onde ocorre a máxima tensão principal da zona 3 seja horizontal).

Desta forma, tem-se que o círculo da zona 3 terá que ser o representado e o plano B o que se

indica, pelo que fica encontrada, graficamente, a tensão vertical na zona 3, igual a γ z + q LI r .

Considerações geométricas que não estão no âmbito do presente texto permitem concluir

que as distâncias entre os centros dos círculos de Mohr estão relacionadas com o ângulo de

rotação das tensões principais da forma indicada na Figura 4.8. Tem-se, assim, que

γz + q LI r = γz + q + cu + 2cusen θA + 2cusen θB + cu (4.14)

pelo que

q LI r =

F LI

B = (1 + 2sen 30o + 2sen 60o + 1) cu + q = 4.73cu + q

Note-se, no entanto, que a escolha da localização dos planos A e B poderia ser tal que

causasse, cada um deles, uma rotação das tensões principais idêntica, isto é, de 45o. Note-se,

igualmente, que tal como se considerou dois planos se poderia ter considerado três ou mais.

No caso de se pretender que esses planos provoquem uma rotação idêntica (isto é, de 45o

seforem dois planos, de 30o se forem três, etc.) pode chegar-se aos resultados que se apresenta

no Quadro 4.1.

Quadro 4.1: Estimativas da região inferior das cargas de colapso de fundações superficiais emcondições não drenadas em função do número de descontinuidades.

Número de descontinuidades F LI /B1 4.00cu + q 2 4.83cu + q 3 5.00cu + q

5 5.09cu + q ∞ 5.14cu + q [= (2 + π)cu + q ]

Como se pode ver da análise deste quadro, os resultados tendem para

F LI /B = (2 + π)cu + q (4.15)

4.2.7 Melhoria da solução obtida pelo teorema cinemático

Considere-se o mecanismo representado na Figura 4.9(a). Utilizando-o para determinação

da carga de colapso, o leitor deverá obter q LS r = 6cu + q . Procure-se, então melhorar estemecanismo considerando o que se representa na Figura 4.9(b). Trata-se de uma variante do

7/23/2019 aeg 2015



anterior, em que o bloco central é dividido em dois, admitindo o desenvolvimento de uma

superfície de deslizamento vertical com o comprimento ℓ.

B

F q

45o

45o

45o

45o

(a) Mecanismo A

B

F q

ℓ

ℓ45

o

45o

45o

45o

(b) Mecanismo B

B

F

R

R

δθ

δa

δb

δf

δaδθ

45o

45o

45o

45o

(c) Mecanismo C

Figura 4.9: Mecanismos para determinação da capacidade resistente às acções verticais atravésdo teorema cinemático.

Usando este mecanismo, obtém-se:

q LS r = 5.314cu + q (4.16)

Atendendo a que o resultado assim obtido com o mecanismo B é melhor do que o que

se obtém do mecanismo A, pode tentar-se melhorar ainda este mecanismo através de nova

divisão dos dois blocos centrais. Tal divisão tem como limite o mecanismo C, representado na

Figura 4.9(c). Neste mecanismo, a zona central é dividida num número infinito de blocos e,

portanto, num número infinito de superfícies. Atendendo ao diagrama de deslocamentos que

se representa na mesma figura, tem-se que:

δW e = F LS δf − qBδf (4.17)

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e

δW i = 2× cuR× δa + ΣcuR× δaδθ + ΣcuRδθ × δa

= 2

×cuB

√ 2

2 ×

√ 2δf + 2

×

π/2

0

cuB

√ 2

2

√ 2δf dθ

= 2cuBδf + 2cuBδfθπ/2

0= (2 + π)cuBδf (4.18)

Fazendo δW e = δW i obtém-se

F LS /B = (2 + π)cu + q (4.19)

4.2.8 Observações ao resultados obtidos

A análise do resultado obtido através do teorema da região inferior (teorema estático),

expresso na equação (4.15), e do resultado obtido através do teorema da região superior

(teorema cinemático), expresso na equação (4.19), mostra que a solução exacta foi obtida,

pelo que

F EX /B = (2 + π)cu + q (4.20)

4.3 Capacidade resistente às acções verticais em condições dre

nadas, para fundação de comprimento infinito e carrega

mento vertical e centrado

4.3.1 Introdução

O problema da determinação da capacidade resistente às acções verticais em condições

drenadas para um solo com peso volúmico γ , ângulo de resistência ao corte φ′ e com uma

sobrecarga q ′ (tensão efectiva) aplicada ao nível da base da fundação é um problema complexo

que, habitualmente, não é resolvido com esta generalidade. Assim, as determinações tradici

onais da capacidade resistente para o caso de um solo com ângulo de resistência ao corte φ′

procuram não uma solução, mas duas: uma solução, q r;q′

=0;γ =0, para a situação com q ′

= 0 eγ = 0 e uma outra solução q r;q′=0;γ =0, para o solo com q ′ = 0 e γ = 0. É, depois, assumido,

simplificadamente e do lado da segurança, que

q r ≃ q r;q′=0;γ =0 + q r;q′=0;γ =0 (4.21)

4.3.2 Aplicação do método de equilíbrio limite: primeiras abordagens

Considere-se, como primeira abordagem, o método do equilíbrio limite e o mecanismo

representado na Figura 4.10.Considerando, em primeiro lugar, que q ′ = 0 e γ = 0, tem-se que, admitindo que, do lado

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F

B

q ′

h

45o + φ′/2 45o − φ′/2

Figura 4.10: Mecanismo para determinação da capacidade resistente às acções verticais atravésde equilíbrio limite, em condições drenadas.

esquerdo, se mobiliza um impulso activo de Rankine e, do lado direito, um impulso passivo

de Rankine, numa situação de equilíbrio limite, um é igual ao outro, pelo que:

K aq ELr h = K pq ′h ⇒ q EL

r = K 2 p q ′ = q ′N ELq (4.22)

com

N ELq = K 2 p (4.23)

Para o caso q ′ = 0 e γ = 0 vem:

1

2K aγh2 + K aq EL

r h = 1

2K pγh2 (4.24)

q ELr =

1

2γB N EL

γ (4.25)

com

N ELγ =

K 2 p − 1

K p (4.26)

De acordo com esta solução, fica, então:

q ELr =

1

2γBN EL

γ + q ′N ELq (4.27)

sendo N EL

γ e N EL

q dados pelas equações (4.23) e (4.26), respectivamente.

4.3.3 Aplicação do teorema cinemático: primeiras abordagens

Considere-se o mesmo mecanismo apresentado na Figura 4.10 para aplicação do teorema

cinemático (Figura 4.11).

Usando, tal como anteriormente, ξ a = 45o+φ′/2 e ξ b = 45o−φ′/2, obtém-se, para φ′ < 30o:

N LS q = tg

45

o

+ 32 φ

′tg 3

45o − φ′

2

(4.28)

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F

B

q ′

ha b

ξa ξb

δ f

δ a

δ b

δ ′q

ξa − φ′

ξb + φ′

φ′

Figura 4.11: Mecanismo para determinação da capacidade resistente às acções verticais atravésdo teorema cinemático, em condições drenadas.

e

N LS γ =

tg

45o + 3

2 φ′

tg

4 45

o

− φ′

2 − cotg 45o − φ′

2 (4.29)

Convida-se o leitor a obter ambos os resultados.

4.3.4 Aplicação do teorema estático: primeiras abordagens

Considerando um plano de descontinuidade de tensões vertical, tal como anteriormente

apresentado na Figura 4.5 e considerando o caso γ = 0 e q ′ = 0, tem-se que (Figura 4.12):

σ′v1 = q ′

σ′h1 = σ′

h2 = K pq ′

σ′v2 = σ′

h2/K a = K pσ′h2 = K 2 p q ′ (4.30)

2

1φ′

σ′

v2 = q LI rσ′

v1 = q ′

= σ′

h2σ′

h1 σ′

τ

Figura 4.12: Aplicação do teorema estático à determinação da capacidade resistente às acçõesverticais, em condições drenadas.

Tem-se, assim, que, para γ = 0 e q ′

= 0:

q LI r = N LI

q q (4.31)

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com

N LI q = K 2 p (4.32)

Faz-se notar que não é possível obter uma solução do mesmo tipo para o caso γ = 0 e

q ′ = 0.

4.3.5 Melhoria da solução obtida pelo teorema cinemático

Considere-se agora o mecanismo representado na Figura 4.13. A superfície curva tem a

forma de uma espiral logarítmica, pelo que

rb = raeπ2

tg φ′

(4.33)

F

B

q ′

a b

ℓ

δ f

δ a

δ b

δ q

ra rbr

Figura 4.13: Mecanismo para determinação da capacidade resistente às acções verticais atravésdo teorema cinemático, em condições drenadas.

De forma análoga, os deslocamentos dos blocos a e b podem ser relacionados através de:

δ b = δ aeπ2

tg φ′

(4.34)

Atendendo a que

cos(45 + φ/2) = B/2

ra(4.35)

vem que:

ra = B

2

1

cos(45 + φ/2)

(4.36)

pelo que

rb = B

2

1

cos(45 + φ′/2)eπ2

tg φ′

(4.37)

Tem-se, também, que

sen (45 + φ′/2) = ℓ/2

rb(4.38)

o que conduz a

rb = ℓ

2

1

sen (45 + φ′/2) (4.39)

sendoℓ = Btg (45 + φ′/2)e

π2

tg φ′

(4.40)

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Os deslocamentos são:

δ a = δ f

cos(45 + φ′/2)

δ b = δ f

cos(45 + φ′

/2)

eπ2

tg φ′

δ q = δ bsen (45 + φ′/2) = δ f tg (45 + φ′/2)eπ2

tg φ′

(4.41)

O trabalho das forças exteriores é

δW e = F LS δ f − q ′ℓδ q (4.42)

pelo que, sendo δW i = 0 e δW e = δW i

F LS δ f = q ′ℓδ q (4.43)

F LS /B = q ′N LS q (4.44)

com

N LS q = tg 2(45 + φ′/2)eπtg φ′

(4.45)

De uma forma análoga, poderia deduzir-se igualmente o valor de N γ usando o mesmo

mecanismo. Tal dedução é, no entanto, substanciamente mais complexa e considera-se que

excede os objectivos do presente texto.

4.3.6 Observações

Se se procurasse melhorar a solução obtida para N q através do teorema estático, chegar

se-ia à conclusão de que este factor de capacidade de carga (admitindo um número infinito de

planos de descontinuidade, tal como se fez para o caso não drenado) tomaria um valor dado

pela mesma expressão (4.45) agora obtida para o teorema cinemático. Tal significa que seria,

portanto, encontrada a solução exacta de N q:

N EX q = tg 2(45 + φ′/2)eπtg φ′

(4.46)

Mostra-se, na Figura 4.14, a comparação entre os resultados de N q anteriormente obtidos.

Para o factor de capacidade de carga N γ não é conhecida ainda solução formal exacta

(como se verá, a solução obtida por Martin (2005) pode considerar-se exacta, tendo sido

obtida numericamente).

A solução proposta pela formulação de capacidade resistente às acções verticais proposta

num anexo do Eurocódigo 7 é

N EC 7γ = 2(N q − 1)tg φ′ (4.47)

A Figura 4.15 apresenta os resultados dos valores de N γ anteriormente referidos, assim comoda solução obtida usando resultados da região superior e da região inferior e que deverá estar

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0

10

20

30

40

50

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

N q

φ’ (o

)

LI (1 plano); EL (mec. planar)LS (mec. planar)LS (mec. espiral); EX

Figura 4.14: Comparação entre valores de N q

muito próxima da solução exacta (Hjiaj et al., 2005) e da solução numericamente exacta de

Martin (2005), aproximada através de uma equação por Salgado (2008):

N γ = (N q − 1) tg

1.32φ′

(4.48)

0

10

20

30

40

50

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

N γ

φ’ (o)

EL (mec. planar)LS (mec. planar)EC7Hjiaj et al. (2005)Martin (2005)Martin (2005); Salgado (2008)

Figura 4.15: Comparação entre valores de N γ

Verifica-se da análise da figura que os valores de N γ fornecidos pelo Eurocódigo 7 são

ligeiramente superiores à estimativa de Hjiaj et al. (2005), Martin (2005) e de Salgado (2008),que, na prática, coincidem entre si.

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4.4 Nota à capacidade resistente para carregamento vertical e

centrado

A expressão de capacidade resistente às acções verticais, admitindo-se a simplificação an

teriormente referida implícita na equação (4.21), fica, para o caso analisado de carregamentovertical e centrado na forma

q r = 1

2γBN γ + q ′N q (4.49)

para condições drenadas, com N γ e N q dados por expressões como as (4.47) e (4.46) e sendo

q ′ a tensão efectiva transmitida pelo solo à profundidade do plano de fundação.

As implicações da simplificação implícita na equação (4.21) podem agora ficar mais claras

através da análise da Figura 4.16. Nesta figura apresenta-se, para o caso φ′ = 30o, boas

aproximações para os mecanismos desenvolvidos para os casos de cada uma das parcelas da

equação (4.21). Dada a simetria, apenas foi calculado metade do problema. Conforme se podeconstatar, os mecanismos são bastante diferentes, sobretudo no que respeita à sua dimensão,

pelo que a soma das duas parcelas só faz sentido enquanto simplificação do problema.

N q (γ = 0; q = 0)

N γ (γ = 0; q = 0)

Figura 4.16: Comparação de mecanismos de colapso para as parcelas de N q e de N γ ; casopara φ′ = 30o (adaptado de Antão et al. (2010)).

Tal simplificação é do lado da segurança; um caso com γ = 0 e q = 0 terá, naturalmente,

um mecanismo real que será intermédio dos dois, mais próximo do de cima se a sobrecarga q

for muito elevada e mais próximo do de baixo se a sobrecarga for pequena.

Em condições não drenadas a capacidade resistente às acções verticais é:

q r = (2 + π)cu + q (4.50)

sendo q a tensão total transmitida pelo solo à profundidade do plano de fundação.

Faz-se notar que os factores de capacidade resistente às acções verticais (factores de ca

pacidade de carga – N γ , N q e, como se verá, N c) são função, exclusivamente, do ângulo de

resistência ao corte.

Refere-se ainda que há uma outra simplificação implícita na equação 4.49. Com efeito,

como se viu, o solo acima do plano da fundação apenas é contabilizado pelo efeito do seu pesona capacidade resistente; não é considerada qualquer resistência deste solo. Há, no entanto,

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variantes da expressão assim definida que, directamente ou através de correcções, procuram

contabilizar esse efeito. Tais formulações não serão abordadas neste texto.

Apesar de omisso na descrição feita até ao momento, faz-se notar que as soluções de

N γ anteriormente apresentadas são válidas para δ = φ′, isto é, para um ângulo de atrito

solo–base da sapata igual ao ângulo de resistência ao corte do solo, que corresponde à soluçãohabitualmente considerada. No entanto, este factor de capacidade resistente é dependente de

δ , conforme se ilustra através da Figura 4.17, que mostra que para valores baixos de δ o factor

de capacidade resistente N γ é significativamente reduzido.

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N γ

/ N γ , δ

/ φ ’ = 1

δ / φ’

Guerra et al. (2012): φ’=20o

φ’=30o

φ’=40o

Martin (2005): φ’=20o

φ’=30o

φ’=40o

Figura 4.17: Dependência de N γ com δ/φ′ (adaptado de Guerra et al. (2012)).

As soluções representadas na Figura 4.17 são obtidas numericamente, a de Martin (2005)

sendo numericamente exacta e a de Guerra et al. (2012) sendo obtida através de uma aplicação

numérica do teorema cinemático.

Os restantes factores de capacidade resistente, N q e N c, não dependem de δ .

4.5 Influência do nível freático

A equação (4.50) admite que o solo está saturado e que responde em condições não drena

das, sem que se analise separadamente as tensões efectivas e as pressões intersticiais, devido

à dificuldade em estimar estas últimas e, portanto, em conhecer as primeiras.

A equação (4.49) admite que o solo apresenta o nível freático a grande profundidade, não

afectando a zona envolvida pelas superfícies de deslizamento. Para o nível freático locali

zado a profundidade coincidente com o plano definido pela base da fundação (Figura 4.18), a

expressão vem:q r =

1

2γ ′BN γ + q ′N q (4.51)

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em que γ ′ é o peso volúmico submerso. Para casos em que o nível freático esteja um pouco

mais abaixo deste plano mas numa zona abrangida pelas eventuais superfícies de deslizamento

que se formarão em caso de rotura, o cálculo pode ser feito, simplificadamente e do lado da

segurança, admitindo-o coincidente com o plano da base da fundação.

q ′

B

F

Figura 4.18: Capacidade resistente às acções verticais: nível freático coincidente com o planoda base da fundação.

Para nível freático acima do plano da base da fundação o cálculo da tensão q ′ deve, na

turalmente, ter isso em atenção. Por outro lado, como se verá, as acções devem considerar a

impulsão da água sobre a base da fundação.

4.6 Influência da excentricidade da carga

A excentricidade, e, do carregamento (Figura 4.19) é tida em consideração através da

alteração da largura para o valor B ′:

B′ = B − 2 e (4.52)

q

B

B′

e

F

Figura 4.19: Capacidade resistente às acções verticais: excentricidade do carregamento.

Esta largura B′ é a largura na qual a carga F , com excentricidade e fica centrada. Os

cálculos são, assim, realizados, substituindo a largura B pela largura B′.

Conforme se verá, quando, na secção seguinte, se abordar as fundações com comprimento

L finito, a excentricidade pode também existir segundo L. Se F tiver a excentricidade eL na

direcção de L, então considera-se um comprimento L′ tal que:

L′ = L − 2 eL (4.53)

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4.7 Influência da forma da fundação e da inclinação da carga

A forma e a inclinação da carga são tidas em consideração através de factores correctivos

aplicados às parcelas da expressão de capacidade resistente em relação às acções verticais.

Desta forma, as expressões (4.50) e (4.49) assumem, respectivamente, a forma

q r = (2 + π)cuscic + q (4.54)

e

q r = 1

2γB N γ sγ iγ + q ′N qsqiq (4.55)

Nestas expressões os factores s são os factores de forma, que corrigem a expressão para o

caso de fundação com comprimento L finito e os factores i corrigem a expressão para o caso

de carregamento inclinado.

Estes factores, dos quais há diversas propostas, foram obtidos de diversas formas, como

ensaios em modelo reduzido, cálculos numéricos, etc. A secção seguinte apresenta as expressões

da formulação da capacidade resistente proposta num anexo do Eurocódigo 7.

Refere-se ainda que os valores de q r determinados pelas expressões (4.54) e (4.55) corres

pondem a tensões de rotura normais à base da fundação, pelo que, quando multiplicados por

B′, fornecem o valor da componente vertical, V , da força F .

4.8 A formulação proposta no Eurocódigo 7

Apresenta-se nesta secção a formulação proposta no Eurocódigo 7. Esta formulação, na sua

versão em condições drenadas apresenta, como é o caso de outras formulações, uma terceira

parcela que tem em consideração a eventual existência de coesão efectiva c′ (ou seja, se se

pretender caracterizar a resistência do solo através de τ = c′ + σ′ tg φ′).

A formulação considera ainda outra correcção (a correspondente à inclinação da base), que

não se apresenta neste texto.

4.8.1 Em condições não drenadas

q r = (2 + π)cuscic + q (4.56)

sc = 1 + 0.2B′

L′ (4.57)

em que sc é o factor de forma, sendo B ′ e L′ as largura e comprimento efectivos da fundação

(B′ < L′), comB′ = B − 2eB (4.58)

7/23/2019 aeg 2015



e

L′ = L − 2eL (4.59)

sendo eB e eL, respectivamente, as excentricidades do carregamento segundo B e segundo L.

ic = 12

+ 12

1− H

A′cu(4.60)

em que ic é o factor de inclinação do carregamento, com H ≤ A′cu e A′ = B ′L′, sendo H a

componente horizontal da força aplicada F .

4.8.2 Em condições drenadas

q r = 12

γ ′B′N γ sγ iγ + c′N cscic + q ′N qsqiq (4.61)

N q = eπtg φ′

tg 2

45 + φ′/2

(4.62)

N c = (N q − 1) cotg φ′ (4.63)

N γ = 2 (N q − 1)tg φ′ (4.64)

em que N q, N c e N γ são os factores de capacidade de carga (ou factores de capacidade resistente

às acções verticais).

sγ = 1− 0.3B′

L′ (4.65)

sq = 1 + B ′

L′ sen φ′ (4.66)

sc = sqN q − 1

N q − 1 (4.67)

em que sγ , sc e sq são os factores de forma, que corrigem a expressão para o caso de fundação

com comprimento L′ finito. Nestas expressões B′ e L′ são, respectivamente, as largura e

comprimento efectivos, conforme anteriormente descritos.

iγ =

1− H

V + A′c′cotg φ′

m+1

(4.68)

iq =

1− H

V + A′c′cotg φ′

m

(4.69)

ic = iq − 1− iq

N ctg φ′ (4.70)

em que iγ , iq e ic são factores de inclinação do carregamento, sendo H e V as componentes

horizontal e vertical do carregamento, A′ a área efectiva (igual a B ′ L′) e c′ a coesão efectiva

do solo e sendo:m = mB =

2 + B′/L′

1 + B′/L′ H com direcc̃ao de B (4.71)

7/23/2019 aeg 2015



m = mL = 2 + L′/B′

1 + L′/B′ H com direcc̃ao de L (4.72)

7/23/2019 aeg 2015


Capítulo 5

Colapso de maciços em talude

5.1 IntroduçãoO terceiro e último problema de colapso que será abordado neste texto é o de maciços

em talude (ver Figura 2.1(c)). Tal como a propósito da determinação de outras cargas de

colapso, utilizar-se-á as técnicas anteriormente descritas: análise limite (teoremas estático e

cinemático) e equilíbrio limite.

Aborda-se o problema do colapso de maciços em talude considerando as seguintes situações:

• talude vertical formado por solo respondendo em condições não drenadas;

• talude infinito formado por solo em condições drenadas ou não drenadas;

• talude com geometria genérica deslizando com superfície circular (solo em condições

drenadas e não drenadas).

5.2 Talude vertical, solo em condições não drenadas

5.2.1 Introdução

Considere-se, em primeiro lugar, o problema a que se refere a Figura 5.1, de um solo

argiloso, respondendo em condições não drenadas formando um talude vertical, caracterizado

por uma resistência não drenada cu e pelo peso volúmico γ .

hcu

γ

Figura 5.1: Talude vertical, solo em condições não drenadas.

95

7/23/2019 aeg 2015


96 Capítulo 5. Colapso de maciços em talude

Procure-se, assim, responder à seguinte questão: qual a altura h que causa o colapso

do talude? Este problema será resolvido recorrendo aos três métodos que têm vindo a ser

referidos: equilíbrio limite, teorema cinemático e teorema estático.

5.2.2 Aplicação do método do equilíbrio limite à análise não drenada da

estabilidade de um talude vertical

A análise por equilíbrio limite implica a consideração de um mecanismo e do estudo do

equilíbrio das forças que actuam sobre o bloco ou blocos que o mecanismo forma. Considere-se,

assim, o mecanismo sugerido pela Figura 5.2, correspondente a um bloco formado por uma

superfície planar, formando um ângulo ξ com a horizontal.

hcu

γ

ξ

ξ

ξ

W s

W s N

N T

T

ℓ

L

Figura 5.2: Análise por equilíbrio limite da estabilidade de solo argiloso respondendo emcondições não drenadas formando um talude vertical.

As forças a actuar no bloco são o peso, W s, a força T , resultante das tensões de corte ao

longo da superfície de contacto do bloco com o restante maciço, e a força N , normal à referida

superfície. O equilíbrio de forças segundo N exige que:

N = W s cos ξ (5.1)

e o equilíbrio de forças segundo T que:

T = W s sen ξ (5.2)

Tendo em atenção que:

tg ξ = h/ℓ ⇒ ℓ = h/tg ξ ; sen ξ = h/L ⇒ L = h/sen ξ (5.3)

vem

W s = 1

2γhℓ =

1

2γh2/tg ξ (5.4)

Por outro lado, T toma o valor máximo:

cuL = cuh

sen ξ (5.5)

7/23/2019 aeg 2015


Capítulo 5. Colapso de maciços em talude 97

pelo que, atendendo às equações (5.2) e (5.4):

cuh

sen ξ =

1

2γh2 1

tg ξ sen ξ (5.6)

resultando:

hEL = cu

γ 2

sen ξ cos ξ = cu

γ N EL

s (5.7)

sendo

N ELs =

2

sen ξ cos ξ (5.8)

Verifica-se que o valor mínimo de N ELs é obtido para ξ = 45o e toma o valor de 4 (Figura 5.3)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

N E L

s

ξ

Figura 5.3: Valores de N ELs em função de ξ obtidos através de mecanismo planar.

5.2.3 Aplicação do teorema cinemático à análise não drenada da estabili

dade de um talude vertical

Para a análise do problema através do teorema cinemático, adopte-se o mecanismo idêntico

ao considerado na secção anterior.

Assim, atendendo à Figura 5.4, tem-se que o peso do bloco é, como se viu na equação

(5.4):

W s = 1

2γh2/tg ξ

e o deslocamento virtual na direcção vertical δy relaciona-se com o deslocamento do bloco δw

através de:δy = δwsen ξ (5.9)

7/23/2019 aeg 2015



hcu

γ

ξ ξ

W s

ℓ

L

δwδwδy

Figura 5.4: Análise através do teorema cinemático da estabilidade de solo argiloso respondendoem condições não drenadas formando um talude vertical.

O trabalho das forças exteriores é:

δW e = W sδy = W sδw sen ξ = 1

2γh2 1

tgξ δw sen ξ =

1

2γh2 cos ξ δw (5.10)

e a energia dissipada é:δW i = cuLδw = cu

h

sen ξ δw (5.11)

Igualando o trabalho das forças exteriores à energia dissipada, para a aplicação do teorema

cinemático, obtém-se:

δW i = δW e ⇒ hLS = cu

γ

2

sen ξ cos ξ =

cu

γ N LS

s (5.12)

ou seja,

hLS = cu

γ

2

sen ξ cos ξ =

cu

γ N LS

s (5.13)

com

N LS s =

2


Atendendo a que se trata de resultados do teorema cinemático, esta expressão fornece, para

qualquer valor de ξ , resultados de N LS s que conduzem a hLS para os quais ocorre colapso.

Assim, a melhor solução será a que corresponde ao seu menor valor. Atendendo a que a

expressão (5.14) coincide com a que se obteve na secção anterior (equação 5.8), a Figura 5.3

mostra também os resultados da equação (5.14), pelo que o melhor resultado obtido através

deste mecanismo é, também, N LS

s = 4.

5.2.4 Aplicação do teorema estático à análise não drenada da estabilidade

de um talude vertical

A aplicação do teorema estático implica o estudo do equilíbrio de tensões e a garantia de

que o critério de rotura não é violado. Desta forma, analisando o estado de tensão no elemento

à profundidade máxima h (Figura 5.5), tem-se que:

σv = γh (5.15)σh = 0 (5.16)

7/23/2019 aeg 2015



σv

σv

σh

σh

h

τ

σ

cu cu

γ

Figura 5.5: Análise através do teorema estático da estabilidade de solo argiloso respondendoem condições não drenadas formando um talude vertical.

Logo, hLI é tal que

σv − 2cu = 0 ⇒ hLI = cu

γ N LI

s = 2cu

γ (5.17)

o que implica, portanto, que

N LI s = 2 (5.18)

5.2.5 Observações

Nas secções anteriores verificou-se que, através do teorema cinemático, foi possível obter

uma solução para a profundidade a que se estima que ocorre o colapso, dada por:

hLS = 4cu

γ (5.19)

e que, através do teorema estático, esta profundidade é

hLI = 2cu

γ (5.20)

Dada a origem de cada uma destas soluções pode concluir-se que

2cu

γ = hLI ≤ hEX ≤ hLS =

4cu

γ (5.21)

o que mostra, por um lado, resultados consistentes (a estimativa obtida pelo teorema estático

é inferior à estimativa obtida pelo teorema cinemático) e, por outro, que as duas soluções

estão bastante afastadas uma da outra (uma corresponde, na realidade, ao dobro da outra).

Diga-se, a este propósito, que para o problema em questão não se conhece solução exacta.

Há, no entanto, soluções melhores do que as apresentadas. A melhor solução obtida através

do teorema da região superior com uma superfície circular é devida a Taylor (1948) (Figura

5.6):

N LS s = 3.83, para xO = 1.41h e yO = 2.21h (5.22)

Os melhores resultados conhecidos são devidos a Lyamin e Sloan (2002) (região inferior) e

a Pastor et al. (2009) (região superior) e foram obtidos numericamente:

3.772 ≤ N s ≤ 3.7776 (5.23)

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h

R

OxO

yO

Figura 5.6: Solução da região superior obtida por Taylor (1948).

5.3 Talude infinito; solo em condições drenadas

A ocorrência de depósitos de vertente de espessura relativamente reduzida face à sua

extensão corresponde, aproximadamente, a um talude infinito, conforme se esquematiza na

Figura 5.7. Trata-se, assim, de um problema prático de grande interesse e aplicação.

5.3.1 Aplicação do teorema cinemático à análise drenada da estabilidade

de um talude infinito

Considere-se o talude esquematicamente representado na Figura 5.7. Sendo infinito, as

forças de interacção de uma fatia qualquer de largura B anulam-se, pelo que o peso é a

única força exterior aplicada. Procure-se, assim, a inclinação do talude, i, que conduz aoescorregamento do talude.

h

B

L

F 1

F 2δw

δw

δy ii

i− φ′

W s

γ φ′

Figura 5.7: Aplicação do teorema cinemático à análise drenada de um talude infinito.

Atendendo a que o deslocamento δw faz um ângulo φ′ com a superfície inclinada, tem-se

que a componente vertical do deslocamento é

δy = δwsen(i− φ′) (5.24)

O trabalho das forças exteriores é igual à energia dissipada que, por sua vez, é nula. Fica,

assim:

δW e = W sδy = δW i = 0 (5.25)

do que resultaδy = 0 (5.26)

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o que conduz a

sen(i− φ′) = 0 (5.27)

e a

iLS = φ′ (5.28)

Tem-se, assim, que de acordo com o teorema cinemático, o ângulo de inclinação do talude

para o qual este escorrega é igual ao ângulo de resistência ao corte do solo.

5.3.2 Aplicação do teorema estático à análise drenada da estabilidade de

um talude infinito

Analise-se, agora, o mesmo problema através do teorema estático. Considere-se, para isso,

uma fatia do talude com largura B (Figura 5.8). O peso da fatia é

W s = γhB = γhL cos i (5.29)

h

B

L

F 1

F 2 iW s

T

N

σ′

τ

γ

φ′

Figura 5.8: Aplicação do teorema estático à análise drenada de um talude infinito.

Sendo N a força normal à superfície inclinada, vem

N = W s cos i = γhL cos2 i (5.30)

pelo que a tensão efectiva normal é

σ′n = γh cos2 i (5.31)

A força T , tangencial é

T = W ssen i = γhLsen i cos i (5.32)

pelo que

τ n = γhsen i cos i (5.33)

Das equações (5.31) e (5.33) tira-se que

τ n/σ′n = tg i (5.34)

7/23/2019 aeg 2015



e, por outro lado, a verificação do critério de rotura exige que, no máximo,

τ n/σ′n = tg φ′ (5.35)

pelo que:

iLI = φ′ (5.36)

5.3.3 Aplicação do método de equilíbrio limite à análise drenada da esta

bilidade de um talude infinito

Aplicando o método de equilíbrio limite (Figura 5.9), tem-se que o equilíbrio de forças

exige que:

h

B

L

F 1

F 2

ii

W sW s

T

T

N

N

γ φ′

Figura 5.9: Aplicação do método de equilíbrio limite à análise drenada de um talude infinito.

N = W s cos i (5.37)

T = W ssen i (5.38)

pelo que

N = W s cos i = Bhγ cos i = (L cos ihγ )cos i = γhL cos2 i (5.39)

e

T = W ssen i = γhL cos i sen i (5.40)

O valor máximo de T é N tg φ′, pelo que, nesta hipótese:

T = γhL cos i sen i = γhL cos2 i tg φ′ (5.41)

de onde resulta que

tg i = tg φ′ (5.42)

ou seja,iEL = φ′ (5.43)

7/23/2019 aeg 2015



5.3.4 Observações

Os resultados obtidos aplicando o teorema cinemático e o teorema estático coincidem entre

si (e também com o resultado obtido pelo método de equilíbrio limite). A coincidência das

soluções obtidas por análise limite significa que foi encontrada a solução exacta, pelo que oângulo de inclinação do talude infinito que o conduz ao escorregamento é:

iEX = φ′ (5.44)

É interessante verificar que este resultado depende apenas do ângulo de resistência ao corte e

é, portanto, independente da altura da camada h e do peso volúmico γ .

Poderia igualmente constatar-se que análises semelhantes que considerassem o talude to

talmente submerso conduziriam igualmente ao referido resultado.

5.4 Talude infinito; solo em condições não drenadas

Considera-se agora o caso de talude infinito de solo com espessura h, peso volúmico γ e

resistência não drenada cu.

5.4.1 Aplicação do método de equilíbrio limite à análise não drenada da

estabilidade de um talude infinito

Aplicando o método de equilíbrio limite (Figura 5.10), tem-se que, sendo a força T dada

pela expressão

T = γhL cos i sen i (5.45)

h

B

L

F 1

F 2

ii

W sW s

T

T

N

N

γ cu

Figura 5.10: Aplicação do método de equilíbrio limite à análise não drenada de um taludeinfinito.

e o valor máximo desta força dado por

T = cuL (5.46)

7/23/2019 aeg 2015



se tem que, multiplicando ambas as equações por 2:

2γhL cos i sen i = 2cuL (5.47)

o que conduz a

γh sen2i = 2cu (5.48)

e a

iEL = 1

2arcsen

2cu

γh

que corresponde à inclinação do talude, obtida por equilíbrio limite, que implica o escorrega

mento deste.

5.4.2 Aplicação do teorema cinemático à análise não drenada da estabili dade de um talude infinito

Aplique-se agora o teorema cinemático ao mesmo problema. A Figura 5.11 mostra o

mecanismo adoptado.

h

B

L

F 1

F 2

δw

δwδy ii

W s

γ cu

Figura 5.11: Aplicação do teorema cinemático à análise não drenada de um talude infinito.

A componente vertical do deslocamento, δy é

δy = δwsen i (5.49)

e o peso do solo é

W s = γhL cos i (5.50)

O trabalho das forças exteriores é

δW e = W sδy = γhL cos i δw sen i (5.51)

e o trabalho das tensões internas

δW i = cuL δw (5.52)

Igualando os dois, obtém-seγhL cos i δw sen i = cuLδw (5.53)

7/23/2019 aeg 2015



ou seja,

2cos i sen i = 2cu

γh (5.54)

e

iLS = 1

2

arcsen 2cu

γh

(5.55)

5.4.3 Aplicação do teorema estático à análise não drenada da estabilidade

de um talude infinito

A partir da Figura 5.12 e do que se viu anteriormente a propósito da análise drenada, as

tensões totais normal e tangencial são dadas por:

τ

σn

σh

cu

B

N

T

L

F 1

F 2

ii

W s σn

Figura 5.12: Aplicação do teorema estático à análise não drenada de um talude infinito.

σn = γh cos2

i (5.56)τ n = γhsen i cos i (5.57)

Aplicando o critério de rotura, tem-se que, no máximo, τ n é igual a cu, pelo que:

τ n = γhsen i cos i = cu (5.58)

Dado que

τ n/σn = tg i

ficaτ n/σn =

cu

γh cos2 i = tg i (5.59)

o que conduz a:

iLI = 1

2arcsen

2cu

γh (5.60)

5.4.4 Observações

Viu-se que as estimativas da inclinação do talude infinito em condições não drenadas

são idênticas usando os dois teoremas da análise limite (e, igualmente, usando o método deequilíbrio limite).

7/23/2019 aeg 2015



A solução exacta ficou, portanto, encontrada:

iEX = 1

2arcsen

2cu

γh (5.61)

5.5 Talude infinito; condições drenadas: percolação paralela aotalude (EL)

Considere-se agora que um talude infinito de altura h de um material com peso volúmico

(saturado) γ e ângulo de resistência ao corte φ′ está sujeito a um regime de percolação per

manente, paralela ao talude, de inclinação i (Figura 5.13). Qual a inclinação i que o conduz

ao colapso?

uP /γ w

zP

z = 0

hN = N ′ + U

N = N ′ + U

B

T

T

L

h c o s i

i

i

W s

W s φ′

N ′

U

P

Figura 5.13: Aplicação do método de equilíbrio limite à análise drenada de um talude infinito

com percolação paralela ao talude.

Resolvendo o problema através do método do equilíbrio limite, tem-se que, na fatia de

largura B :

N = γhL cos2 i (5.62)

e a força U (impulsão) na base da fatia é:

U = uL = γ wh cos2 i × L (5.63)

Haverá escorregamento se a força T aplicada, N tg i, igualar a resistência N ′tgφ′:

T = N tg i = N ′tg φ′ (5.64)

pelo que

N tg i = (N − U )tg φ′ (5.65)

e

tg i = tg φ′

1− U

N

(5.66)

ou sejatg i = tg φ′ (1− γ w/γ ) (5.67)

7/23/2019 aeg 2015



Atendendo a que γ w/γ ≃ 1/2, tem-se que a inclinação i a que corresponde o escorregamento

para percolação paralela ao talude é cerca de metade da que se obteve para talude seco ou

totalmente submerso.

5.6 Talude com geometria genérica; condições não drenadas(EL)

5.6.1 Análise por equilíbrio limite de superfície circular

Considere-se o talude com a geometria que se indica na Figura 5.14 e analise-se a superfície

circular aí representada.

O

τ σ

A

B

xW s

W s

r

γ cu

Figura 5.14: Aplicação do método de equilíbrio limite à análise não drenada de um talude

com geometria genérica com superfície de escorregamento circular.

Aplicando o método do equilíbrio limite, pode verificar-se que, sendo o peso do solo W s e

o seu ponto de aplicação conhecido (com braço xW s em relação a O), tem-se que o momento

actuante, M S , em relação ao ponto O é

M S = W sxW s (5.68)

e o momento resistente, M R, é o que resulta da mobilização das tensões de corte ao longo da

superfície de escorregamento circular. Se a resistência não drenada for cu tem-se que

M R = cuABr (5.69)

sendo AB o comprimento do arco de circunferência e r o seu raio.

Há escorregamento se

M S = M R ⇒ W sxW s = cuABr (5.70)

A dificuldade, na equação anterior, está na determinação do momento M S : com efeito, a

determinação de W s e de xW s não será evidente, dada a forma da massa de solo potencialmente

instável, pelo que é habitual a sua divisão em fatias de solo verticais, conforme se indica naFigura 5.15.

7/23/2019 aeg 2015



O

τ σ

A

B

xW s

W s

r

γ

cu

αi

αi

W i

xW i

Figura 5.15: Aplicação do método de equilíbrio limite à análise não drenada de um taludecom geometria genérica com superfície de escorregamento circular: divisão em fatias.

Deste modo, o momento M S pode ser determinado através de:

M S = Σ W i xW i = Σ W i r sen αi (5.71)

ou, se, para além do peso próprio, houver outros carregamentos, como sobrecargas distribuídas,

haverá que, em cada fatia, somar ao peso a resultante dessas sobrecargas, Qi:

M S = Σ (W i + Qi) xW i = Σ (W i + Qi) r sen αi (5.72)

Como se verá, a divisão em fatias pode ter igualmente utilidade na determinação dos

momentos resistentes, nos casos drenados. Este assunto será abordado posteriormente.

Refere-se, finalmente, que esta análise foi feita considerando uma dada superfície de es

corregamento. Conforme é habitual nos métodos de equilíbrio limite, deve procurar-se o

mecanismo (ou seja, a superfície) que conduz à menor relação entre os momentos resistentes

e os actuantes.

Há programas de cálculo automático que permitem testar sistematicamente diversas su

perfícies com centros numa área definida pelo utilizador e com raios variáveis.

5.6.2 Método de Taylor

Taylor (1948) apresentou ábacos baseados no método do círculo de atrito, que não é abor

dado neste texto, que resolve o problema atrás referido. Taylor aplicou-o a condições não

drenadas e esses ábacos são apresentados na Figura 5.16.

A Figura apresenta, do lado esquerdo, um ábaco para solos saturados em condições não

drenadas e, do lado direiro, um ábaco que considera esta situação mas igualmente os casos

em que o ângulo de resistência ao corte em condições não drenadas é diferente de zero. O

leitor deve ignorar esta situação, que sai do âmbito do texto e deve considerar apenas, nestesegundo ábaco, o caso de ângulo nulo (ou seja, os materiais com envolvente de rotura dada

7/23/2019 aeg 2015



Figura 5.16: Ábacos de Taylor.

por uma recta horizontal de equação τ = cu).

O ábaco permite resolver um problema de um talude em solo com resistência não drenada

cu, peso volúmico γ , altura H , inclinação i com a horizontal e estrato rígido à profundidade

D×H . O número de estabilidade N s é cu/γH . A utilização deste ábaco permite, por exemplo,conhecendo-se D, H , i e γ , determinar a resistência não drenada que implica o colapso do

talude: o valor de D e de i permitem conhecer o valor de N s no colapso e este permite conhecer

cu. Outros tipos de utilização podem fazer-se deste ábaco. Note-se que para i > 54o deve

usar-se o ábaco da direita. Note-se também que o método de Taylor fornece já resultados para

o círculo crítico, podendo dele retirar-se ainda informações relativas à sua localização.

5.7 Talude com geometria genérica; condições drenadas (EL)

5.7.1 Os métodos de fatias

O problema correspondente a este em condições não drenadas foi analisado de forma rela

tivamente simples na secção 5.6.1. A simplicidade dessa análise foi possível pelo facto de as

tensões tangenciais serem conhecidas (e iguais a cu). Em situação drenada, no entanto, o pro

blema é substancialmente mais complicado, pelo facto de as tensões tangenciais dependerem

agora do valor da tensão normal transmitida em cada ponto da superfície circular, através da

equação

τ = σ ′tg φ′ = (σ−

u)tg φ′ (5.73)

mas o valor de σ não pode ser determinado com facilidade.

7/23/2019 aeg 2015



Assim, o procedimento adoptado habitualmente recorre a métodos de fatias, isto é, a méto

dos em que a massa potencialmente instável é dividida em fatias também para a determinação

dos momentos resistentes e para além da vantagem desse procedimento para o cálculo dos

momentos actuantes. Procede-se, então, ao estudo do equilíbrio das fatias (Figura 5.17) e

considera-se, depois, o somatório das contribuições das várias fatias.

rO

A

B

N

T

T

ℓ ℓ

αi

αi

θ

W i

W i

xW i

N ′

U

F

yF

φ′

φ′

γ

Figura 5.17: Métodos de fatias.

Verifica-se, assim, que as forças actuantes em cada fatia são: W i; N ; U ; T ; F 1; F 2, tendo

W i, N e T o significado indicado na Figura, sendo U a resultante na base da fatia das pressões

da água e sendo F 1 e F 2 as forças de interacção, com resultante F , inclinação θ e actuando à

altura yF .

As forças W i e U têm valor, direcção e ponto de aplicação conhecidos; as forças T e N têmapenas direcção e ponto de aplicação conhecidos; há, portanto, 5 incógnitas: T , N , F , yF e θ .

Seria possível escrever 3 equações de equilíbrio e ainda atender a que:

T = (N − U )tg φ′ (5.74)

pelo que é necessário fazer pelo menos uma simplificação: as diferentes simplificações dão

origem aos diferentes métodos.

Tal como se fez para o caso do talude com superfície circular em condições não drenadas,

apresenta-se, separadamente, o cálculo do momento actuante e do momento resistente. Dadoque se procedeu à divisão em fatias, estes momentos têm agora a forma de somatórios.

O momento actuante é dado por:

ΣM S = Σ W i xW i = Σ W i r sen αi (5.75)

o que, como se viu, corresponde ao cálculo do momento dado pela equação (5.68) considerando

a divisão em fatias.

O momento resistente é:

ΣM R = ΣT r = Σ(N − U )tg φ′r (5.76)

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em que o problema está na determinação de N .

Os diferentes métodos de fatias diferem entre si na forma como consideram o cálculo de

N , ou seja, na hipótese simplificativa que adoptam para permitir o cálculo de N .

Neste texto estudam-se apenas dois métodos:

• o Método de Fellenius;

• o Método de Bishop simplificado.

5.7.2 Método de Fellenius

O método de Fellenius é o mais simples dos métodos de fatias e considera a hipótese

simplificativa

F = 0 (5.77)

Tal significa que N é dado por

N = W i cos αi (5.78)

pelo que a equação (5.76) fica:

ΣM R = ΣT r = Σ(N − U )tg φ′r = Σ(W i cos αi − uℓ)tg φ′r (5.79)

No caso de haver outros carregamentos aplicados, haverá que os somar, em cada fatia, ao

peso do solo. Para o exemplo de carregamentos motivados por sobrecargas, de resultante Qi

na fatia i, a expressão anterior fica:

ΣM R = ΣT r = Σ(N − U )tg φ′r = Σ [(W i + Qi)cos αi − uℓ] tg φ′r (5.80)

A aplicação do método de Fellenius implica, portanto, a utilização da equação (5.75) para

determinação do momento actuante (que é uma expressão genérica) e da equação (5.79) para

o cálculo do momento resistente. Estima-se que ocorrerá colapso se o primeiro for superior

ao segundo. A aplicação destas equações pode fazer-se com facilidade através de uma tabela,

como a que se apresenta no Quadro 5.1, que pode ser adaptada a uma folha de cálculo paramaior facilidade de utilização.

Quadro 5.1: Quadro para utilização do método de Fellenius.

Fatia A W i αi W isen αi u ℓ (W i cos αi − uℓ)tg φ′

(m2) (kN/m) (o) (kN/m) (kPa) (m) (kN/m)12...

Refere-se, finalmente, que apesar de o método de Fellenius ser especialmente adaptado

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para a sua utilização em condições drenadas, nada impede a sua utilização em condições não

drenadas. O que acontece, simplesmente, é que a sua divisão em fatias não é necessária,

como no caso de condições drenadas, a não ser como uma forma expedita de determinação do

momento actuante. Em qualquer caso, fica:

ΣM S = ΣW irsen αi

ΣM R = ΣT r = Σcuℓr

resultando, assim, na metodologia apresentada na secção 5.6.1.

5.7.3 Método de Bishop simplificado

A hipótese simplificativa adoptada no método de Bishop Simplificado é:

F v = 0 (θ = 0) (5.81)

De acordo com esta hipótese, fazendo equilíbrio de forças verticais vem:

T sen αi + N cos αi = W i (5.82)

o que conduz a

N = (W i − T sen αi)/ cos αi (5.83)

Substituindo esta equação na equação (5.74) fica:

T = (N − U )tg φ′ = ((W i − T sen αi)/ cos αi − U ) tg φ′ (5.84)

que, resolvendo em ordem a T , resulta em:

T = (W i/ cos αi − uℓ)tg φ′

1 + tg αi tg φ′ (5.85)

Os momentos resistentes ficam, portanto:

ΣM R = ΣT × r = Σ(W i/ cos αi − uℓ)tg φ′

1 + tg αi tg φ′ × r (5.86)

ou, para o caso de existência, na fatia i, de sobrecarga de resultante Qi:

ΣM R = ΣT × r = Σ[(W i + Qi) / cos αi − uℓ] tg φ′

1 + tg αi tg φ′ × r (5.87)

Tal como no caso do método de Fellenius, esta equação pode ser aplicada em condições

não drenadas, fazendo as adaptações necessárias, concluindo-se no entanto que o resultado é

equivalente ao dado pela equação (5.69).Um Quadro semelhante ao 5.1 pode ser adoptado, com as devidas adaptações, ao cálculo

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de taludes através do método de Bishop simplificado.

5.7.4 Observações

Faz-se ainda notar que os métodos de fatias, sendo métodos de equilíbrio limite, devemser usados procurando o círculo de deslizamento que conduz à menor relação entre os momen

tos resistentes e os momentos actuantes. Ocorrerá, portanto, colapso, se estes igualarem os

primeiros.

Conforme se referiu, estão disponíveis programas de cálculo automático que permitem

testar diversos círculos, com posições de centros e valores de raios que podem ser controlados

pelo utilizador.

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Parte IV

Verificação da segurança

115

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Capítulo 6

Verificação da segurança em relação

aos estados limites últimos. O

Eurocódigo 7

6.1 Introdução

Viu-se nos capítulos anteriores a determinação de cargas de colapso de estruturas geo

técnicas simples. Ter-se-á, portanto, colapso se, naquelas estruturas, as acções igualarem as

resistências.

Naturalmente que a verificação da segurança implica que as acções sejam inferiores à resis

tência com uma margem adequada. A adopção da margem adequada faz-se, tradicionalmente,

recorrendo à noção de coeficiente de segurança global e, actualmente, com a utilização do Eu

rocódigo 7 no Projecto Geotécnico, através da metodologia que recorre aos coeficientes de

segurança parciais.

A noção de coeficiente de segurança global é a forma como, tradicionalmente, a verificação

da segurança no projecto geotécnico era realizada. A sua utilização, conceptualmente, é

bastante simples: é determinada uma resistência, R e define-se acção admissível, Aadm como

Aadm = R

F S (6.1)

em que F S é o coeficiente de segurança global com um valor que depende do tipo de obra e

da verificação da segurança em causa mas que pode variar entre 1.5 e cerca de 3. É, portanto,

verificada a segurança garantindo que a acção efectivamente actuante, A, é inferior ou igual a

Aadm.

Este procedimento, apesar de ainda em prática em alguns meios, está em substituição pela

adopção dos coeficientes de segurança parciais, que é a metodologia proposta pelo Eurocó digo 7.

117

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118 Capítulo 6. Verificação da segurança em relação aos estados limites últimos. O EC7

De acordo com esta metodologia, com base em coeficientes parciais que afectam (reduzem)

os parâmetros de resistência e (ou), eventualmente, as próprias resistências, é determinada uma

resistência de cálculo, Rd. De forma análoga, com base em coeficientes de segurança parciais

que afectam (majoram) as acções, é determinada uma acção de cálculo, Ad. A segurança fica

verificada se Ad ≤ Rd (6.2)

É em relação a este último procedimento, que recorre aos coeficientes de segurança parciais,

que se fará referência neste texto. Muito do que se refere é, no entanto, aplicável a uma filosofia

de segurança com base em coeficientes de segurança globais.

6.2 Os estados limites

O Eurocódigo 7 prevê os seguintes estados limites:

• EQU – Perda de equilíbrio da estrutura ou do terreno; a resistência do terreno e da

estrutura não são relevantes.

• STR – Rotura ou deformação excessiva de elementos estruturais; a resistência dos ele

mentos estruturais é relevante.

• GEO – Rotura ou deformação excessiva do terreno; a resistência do terreno é relevante.

• UPL – Perda de equilíbrio da estrutura ou do terreno devido a subpressões ou outrasacções verticais.

• HYD – Instabilidade hidráulica (erosão interna; “piping”).

Conforme, se referiu, a segurança é introduzida através de coeficientes parciais de segu

rança:

• nas acções (A), majorando-as;

• nas propriedades dos materiais (M), minorando-as;

• nas resistências (R), minorando-as.

Para cada um dos estados limites apresentados o Eurocódigo 7 prevê valores (ou combina

ções de valores) de coeficientes de segurança parciais adequados.

6.3 Os estados STR e GEO

Os estados STR e GEO (em especial o GEO) são os mais habitualmente usados no projectogeotécnico. O Eurocódigo 7 prevê para estes estados limites 3 abordagens de cálculo, que são

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Capítulo 6. Verificação da segurança em relação aos estados limites últimos. O EC7 119

3 formas de verificar a segurança, combinando diferentes valores dos coeficientes de segurança

parciais.

Para as estruturas que são abordadas neste texto (taludes, estruturas de suporte e funda

ções superficiais) as abordagens de cálculo são:

• AC1:

– Combinação 1: A1 + M1 + R1

– Combinação 2: A2 + M2 + R1

• AC2: A1 + M1 + R2

• AC3: (A1 ou A2) + M2 + R3

em que “+” tem o significado de “combinado com” e em que A1, A2, M1, etc, são conjuntosdiferentes de coeficientes de segurança para as acções (A), para as propriedades dos materiais

(M) e para as resistências (R).

Cada país pode definir uma destas abordagens de cálculo para usar internamente; Portugal

adoptou a abordagem de cálculo 1 (AC1).

No caso da abordagem de cálculo 1 a combinação 2 é normalmente condicionante quando

o que está em causa é a verificação geotécnica (que implica a definição da geometria) e a

combinação 1 quando o que está em causa é o dimensionamento estrutural.

Os coeficientes parciais das acções (A) são os seguintes:

• γ G – aplicado às cargas permanentes (favoráveis ou desfavoráveis);

• γ Q – aplicado às cargas variáveis (favoráveis ou desfavoráveis).

Apresenta-se no Quadro 6.1 os valores dos coeficientes de segurança parciais aplicáveis às

acções para os estados limites STR e GEO e, no Quadro 6.2, os valores dos coeficientes de

segurança parciais aplicáveis às propriedades resistentes dos materiais.

Quadro 6.1: Valores dos coeficientes de segurança parciais aplicáveis às acções, nos estadoslimites GEO e STR.

Coeficiente tipo A1 A2γ G desfavorável 1.35 1.00γ G favorável 1.00 1.00γ Q desfavorável 1.50 1.30γ Q favorável 0 0

Refere-se ainda que Portugal inseriu no seu Anexo Nacional uma indicação de que sempre

que a ocorrência de estados limites de utilização nas estruturas ou nas infra-estruturas situadasnum talude natural ou na sua vizinhança seja evitada através da limitação da resistência ao

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Quadro 6.2: Valores dos coeficientes de segurança parciais aplicáveis às propriedades dosmateriais, nos estados limites GEO e STR.

Coeficiente M1 M2γ φ′ 1.00 1.25

γ c′ 1.00 1.25γ cu 1.00 1.40

corte do terreno mobilizada, devem ser adoptados, na verificação da estabilidade global do

talude para a Combinação 2 os seguintes valores dos coeficientes de segurança parciais para

os parâmetros do terreno: γ φ′ = γ c′ = γ cu = 1.5.

Os coeficientes de segurança aplicáveis às resistências dependem do tipo de estrutura e daverificação em causa. Os valores destes coeficientes de segurança apresentam-se no Quadro

6.3.

Quadro 6.3: Valores dos coeficientes de segurança parciais aplicáveis às resistências nos estadoslimites GEO e STR.

Estrutura Resistência Coeficiente R1 R2 R3Talude terreno γ R;e 1.00 1.10 1.00

Fundação superf./Estrut. suporte Resist. vert. γ R;v 1.00 1.40 1.00Fundação superf./Estrut. suporte Deslizamento γ R;h 1.00 1.10 1.00

Estrut. suporte terreno γ R;e 1.00 1.40 1.00

As acções são, assim, majoradas com os coeficientes γ G e γ Q:

Ad = γ GAG + γ QAQ (6.3)

as propriedades resistentes são minoradas com os coeficientes γ φ′ , γ c′ ou γ cu:

φ′d = arctg

tgφ′

γ φ′

(6.4)

c′d = c′

γ c′

(6.5)

cud = cu

γ cu(6.6)

e as resistências são minoradas com os coeficientes γ R:

Rd = R/γ R (6.7)

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Capítulo 6. Verificação da segurança em relação aos estados limites últimos. O EC7 121

6.4 O estado EQU

Conforme referido, no estado EQU a resistência do terreno e da estrutura não são relevan

tes. Trata-se, simplesmente, de uma verificação de equilíbrio da estrutura em que há acções

que tendem a causar a desestabilização (ou instabilização) e outras que tendem a causar aestabilização.

Os coeficientes de segurança parciais são os indicados no Quadro 6.4 e os coeficientes

aplicados às propriedades dos materiais são os do Quadro 6.5.

Quadro 6.4: Valores dos coeficientes de segurança parciais aplicáveis às acções, no estadolimite EQU.

Coeficiente Acção Valorγ G;dst desfavorável 1.10

γ G;stb favorável 0.90γ Q;dst desfavorável 1.50γ Q;stb favorável 0

Quadro 6.5: Valores dos coeficientes de segurança parciais aplicáveis às propriedades dosmateriais, no estado limite EQU.

Coeficiente Valorγ φ′ 1.25

γ c′

1.25γ cu 1.40

A verificação que deve ser feita é:

Adst;d ≤ Astb;d (6.8)

em que Adst;d é o valor de cálculo da acção instabilizante e Astb;d é o valor de cálculo da acção

estabilizante.

6.5 Os estados UPL e HYD

Os estados UPL e HYD não são abordados neste texto. A consulta do Eurocódigo 7

permitirá conhecer os valores dos coeficientes de segurança e aplicá-los aos casos em que estes

estados possam ser relevantes, não apresentando dificuldade significativa.

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Capítulo 7

Verificação da segurança em relação à

estabilidade de taludes. Estabilização

de taludes

Parte do capítulo é baseado em Guedes de Melo (1993).

7.1 Instabilização de taludes

Os taludes, sejam eles naturais, de escavação ou de aterro, quando são sujeitos a alterações

das condições de serviço (por exemplo a alteração da sua geometria, das solicitações aplica

das, do nível de água no solo, etc.) podem instabilizar. Esta instabilização traduz-se pelo

movimento de uma massa do maciço, no sentido descendente, no qual a gravidade desenpenha

o papel de principal motor. Este fenómeno pode envolver pequenos ou grandes volumes do

maciço, limitados por superfícies mais ou menos profundas.

Os movimentos podem ser classificados em função da velocidade:

• desmoronamento:

– extremamente rápido (>3 m/s);

– muito rápido (0.3 m/min a 3 m/s);

• escorregamento:

– rápido (1.5 m/dia a 0.3 m/dia);

– moderado (1.5 m/mês a 1.5 m/dia);

• fluimento:

– lento (1.5 m/ano a 1.5 m/mês);

123

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124 Capítulo 7. Verificação da segurança de taludes. Estabilização de taludes

– muito lento (0.06 m/ano a 1.5 m/ano);

– extremamente lento (<0.06 m/ano).

Os desmoronamentos estão em geral associados à queda de blocos rochosos, motivada pela

orientação desfavorável das descontinuidades existentes no maciço nas quais se verifica uma

sucessiva diminuição da resistência ao corte, motivada por processos de meteorização ou na

acção da vegetação (Figura 7.1(a)).

Figura 7.1: Exemplos de desmoronamentos.

Outra situação que pode levar ao desmoronamento é aquela em que a falésia de material

rochoso repousa sobre um meio mais deformável (Figura 7.1(b)) ou ainda por erosão diferencial

numa falésia. Neste caso, a erosão de estratos inferiores pode deixar os estratos superiores em

consola, originando assim a sua queda (Figura 7.1(c)).

Os escorregamentos são movimentos relativamente rápidos de massas de terreno, em regra

bem definidas quando ao seu volume, cuja duração é, na maioria dos casos, curta. O movi

mento ocorre em geral em solos ou ao longo de descontinuidades de maciços rochosos, podendo

ser do tipo rotacional (associado a superfície de deslizamento curva (Figura 7.2(a)) ou planar

(associado a uma superfície de deslizamento plana (Figura 7.2(b)).

Os escorregamentos rotacionais ocorrem em taludes onde não existam anisotropias mar cadas e em maciços rochosos fracturados de forma aleatória. Os escorregamentos planares

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Capítulo 7. Verificação da segurança de taludes. Estabilização de taludes 125

Figura 7.2: Exemplos de escorregamentos.

ocorrem em terrenos com anisotropias marcadas, nos quais as superfícies de instabilização

são condicionadas pela existência de planos de menor resistência que a do material sobreja cente. Este tipo de movimento pode ocorrer em taludes de inclinação relativamente suave e é

geralmente extenso, podendo atingir centenas ou milhares de metros.

Para além do tipo de movimento, os escorregamentos podem também ser classificados de

acordo com a máxima profundidade atingida pela superfície de deslizamento, podendo assim

ser superficiais (profundidade < 1.5 m), pouco profundos (1.5 a 5 m), profundos (5 a 20 m) e

muito profundos (profundidade > 20 m).

Os fluimentos são movimentos lentos e contínuos que ocorrem principalmente em taludes

naturais de solo. Podem envolver grandes massas de solo sem que, contudo, seja possíveldefinir a superfície de rotura, assemelhando-se o seu mecanismo de deformação ao de um

líquido muito viscoso).

7.2 Causas da instabilização de taludes

A instabilização de um talude pode ser determinada por causas externas (isto é, associada

a acções actuando exteriormente ao talude), a causas internas (associada a acções actuando no

interior do próprio talude) ou a causas intermédias (associadas a acções exteriores ao maciçoque desencadeiam mecanismos de instabilização actuando no seu interior).

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Figura 7.3: Exemplo de fluimento.

Nas causas externas estão incluídas as seguintes:

• aumento da inclinação dos taludes, por escavação ou por erosão provocada pela água ou

pelo vento;

• aumento da altura do talude, através da escavação no pé ou aterro na crista;

• aplicação de sobrecargas no talude, em particular na sua parte superior;

• variação sazonal da temperatura e humidade, podendo conduzir à abertura de fendas

superficiais de retracção no solo, que favorecem a infiltração de água nos terrenos;

• abalos sísmicos ou vibrações induzidas nos terrenos;

• erosão superficial do terreno, favorecendo a infiltração de água;

• efeito da vegetação no talude que constitui uma sobrecarga e causa uma perda de resis

tência quando se dá o apodrecimento de raízes.

Nas causas internas estão incluídas:

• aumento das pressões intersticiais, com a consequente redução da resistência ao corte;

• aumento das tensões de origem tectónica.

Nas causas intermédias estão incluídos os efeitos de:

• rebaixamento rápido do nível das águas exteriores;

• erosão interna, provocada pela circulação de água no interior do talude;

• liquefacção do solo.

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7.3 Métodos de análise e verificação da segurança

7.3.1 Verificação da segurança com base em coeficientes parciais

Os métodos de análise da estabilidade de taludes foram já apresentados no Capítulo 5. Os

princípios de verificação da segurança baseados no Eurocódigo 7, que se viram no Capítulo 6,

recorrendo a coeficientes de segurança parciais, podem aplicar-se a quaisquer dos métodos e

casos de análise então referidos.

Exemplifica-se esta aplicação com o caso ilustrado pela Figura 7.4. Trata-se de um talude

de solo argiloso, respondendo em condições não drenadas, pretendendo-se verificar a segurança

para o círculo de escorregamento representado na Figura.

O

A

B

C

q

xW s

xQ

W i

r

Figura 7.4: Verificação da segurança de taludes

Exemplificando a aplicação dos princípios referidos, o momento actuante de cálculo, M Sd

é calculado através de:

M Sd = γ GW ixW s + γ QqACxQ (7.1)

sendo os coeficientes de segurança γ G e γ Q obtidos a partir do Quadro 6.1.

O valor de cálculo da resistência (neste caso, a resistência não drenada) é determinado

através de:

cud = cu/γ cu (7.2)

em que o coeficiente parcial γ cu é obtido a partir do Quadro 6.2.

O valor de cálculo do momento resistente é, portanto:

M Rd = cud AB r/γ R;e (7.3)

sendo γ R;e o coeficiente de segurança parcial obtido do Quadro 6.3.

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7.3.2 Verificação da segurança com base no coeficiente global

A verificação da segurança com base na noção de coeficiente de segurança global passariapela determinação de um momento admissível dado por

M adm = M RF S

(7.4)

em que F S é o coeficiente de segurança global e M R o momento resistente, dado por:

M R = cu AB r (7.5)

A segurança seria verificada através do controlo da veracidade da inequação

M S ≤ M adm (7.6)

Equivalente a este procedimento seria o cálculo do valor do coeficiente de segurança do

talude e da comparação desse coeficiente com um valor mínimo:

F S = M RM S

≤ F S min (7.7)

A definição de coeficiente de segurança subjacente às equações anteriores tem, no caso do

método de Fellenius a forma:

F S = ΣM RΣM S

= Σ [(W i + Qi)cos αi − uℓ] tg φ′ × r

Σ (W i + Qi)sen αi × r (7.8)

e, no caso do método de Bishop Simplificado

F S = ΣM RΣM S

=Σ [(W i+Qi)/ cos αi−uℓ]tg φ′

1+tg αi tg φ′ × r

Σ (W i + Qi)sen αi × r (7.9)

Acontece, no entanto, que no caso dos taludes, era prática corrente a definição do coefici ente de segurança global não propriamente como a relação entre a acção resistente e a acção

actuante mas sim como um factor de redução das propriedades resistentes. Os programas

de cálculo automático a que se fez referência no Capítulo 5 usam, de facto esta definição de

coeficiente de segurança global.

No caso do método de Fellenius, essa definição implicava a forma:

1 = Σ [(W i + Qi)cos αi − uℓ] tg φ′/F S × r

Σ (W i + Qi)sen αi × r (7.10)

que, na realidade, é equivalente à expressa pela equação (7.8), que lhe é matematicamenteequivalente.

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No caso do método de Bishop simplificado, no entanto, tal definição implica que:

1 =Σ [(W i+Qi)/ cos αi−uℓ]tg φ′/F S

1+tg αi tg φ′/F S × r

Σ (W i + Qi)sen αi × r (7.11)

que, como se pode ver, não é matematicamente equivalente à equação (7.9).

A consequência prática mais relevante desta diferença (para além de os valores dos coeficien

tes definidos de um outro modo serem diferentes) é o facto de a determinação do coeficiente F S

a partir da equação (7.11) implicar a adopção de um procedimento interativo (habitualmente

associado ao método de Bishop), ao passo que a partir da equação (7.9) a sua determinação

seria imediata.

7.4 Técnicas de estabilização de taludes

Uma vez detectada uma potencial situação de instabilização num talude e quantificado o

coeficiente de segurança a ela associado é necessário conceber e dimensionar uma solução de

estabilização que permita evitar o seu escorregamento ou travar o movimento, aumento o nível

de segurança. As técnicas de estabilização de taludes podem ser englobadas em cinco grupos:

alteração da geometria do talude, drenagem, reforço com inclusões, construção de estruturas

de suporte e colocação de recobrimento vegetal.

7.4.1 Alteração da geometria do talude

A alteração da geometria de um talude, através da execução de aterros e (ou) escavações

é, em muitos casos, a forma mais eficaz de aumentar a estabilidade, em particular nos casos

em que as superfícies de deslizamento estiverem localizadas a elevada profundidade.

A forma de actuação mais directa consiste em remover o solo instabilizado, com eventual

substituição por outro com melhores características mecânicas. Nos casos em que tal não é

possível a alteração da geometria pode consistir na redução da inclinação média do talude,

removendo material do topo da zona instável e colocando-o no pé do talude (ver Figura 7.5).

Figura 7.5: Estabilização de um talude através da alteração da sua geometria.

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7.4.2 Drenagem

A acção da água sobre um talude constitui normalmente um factor instabilizador, quer pe

los efeitos erosivos quer pela diminuição na resistência ao corte quando aumentam as pressões

intersticiais no interior.

A água superficial deve ser intersectada e desviada por forma a diminuir os efeitos da

erosão superficial e reduzir o volume de água infiltrada no talude. A intersecção do escoa

mento é conseguida com sistemas de retenção e captação de água constituídos por valetas,

que poerão ser simplesmente abertas no terreno natural, preenchidas por materiais granulares

ou revestidas por betão, por vezes com elementos pré-fabricados (Figura 7.6).

Figura 7.6: Secção tipo de uma valeta revestida com betão

As valas (Figura 7.7) e os contrafortes drenantes (Figura 7.8) são aplicáveis em taludes

com superfície freática relativamente próxima da superfície do terreno, pretendendo rebaixar a

referida superfície freática. Os contrafortes drenantes, podendo ser levados a profundidades re

lativamente elevadas, poderão intersectar potenciais superfícies de deslizamento, aumentando

assim a resistência ao corte.

Figura 7.7: Secção tipo de uma vala drenante.

As máscaras drenantes são dispositivos de drenagem aplicáveis quando a água emerge à

superfície do terreno, sendo constituídas por uma cobertura de material drenante, colocada

sobre o talude, com espessura crescente do topo para a base e com interposição de um elemento

filtrante sempre que julgado conveniente (Figura 7.9). As águas emergentes captadas pelo

sistema são recolhidas em colector colocado no pé e são conduzidas a um exutor natural. Para

além do efeito drenante, a máscara constitui um sobrecarga no pé do talude, funcionando como

um elemento estabilizador e como uma protecção do terreno natural contra o ravinamento.Os drenos sub-horizontais (Figura 7.10) são utilizados em taludes com o objectivo de re

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Figura 7.8: Estabilização de um talude com contrafortes drenantes.

Figura 7.9: Máscara drenante.

baixarem a superfície freática quando esta se encontra a uma profundidade não acessível por

qualquer outra técnica de drenagem, permitindo actuar sobre massas de solo relativamenteimportantes, apesar do raio de acção de cada dreno ser limitado quando aplicado em terrenos

relativamente pouco permeáveis. São constituídos por furos com 10 a 12 cm de diâmetro, aber

tos no talude com uma orientação aproximadamente horizontal mas permitindo o escoamento

gravítico das águas. Para evitar o seu colapso são colocados no interior dos furos tubos de aço

ou PVC, perfurados em vários metros na sua extremidade de montante.

A estabilidade de um talude pode ser melhorada através da abertura de uma galeria de

pequenas dimensões, que assegura a drenagem profunda do talude. Representa, no entanto, um

investimento bastante elevado, estando por isso a sua aplicação limitada a obras importantes

ou de grande porte. Normalmente não são utilizadas em obras recentes mas sim como medidacorrectiva das já existentes.

7.4.3 Reforço com inclusões

A estabilização de taludes pode ser conseguida recorrendo ao reforço dos solos pela in

trodução de inclusões, que se traduz numa melhoria do comportamento global do conjunto

solo-inclusões. O efeito é, assim, essencialmente estrutural, podendo ser realizado com pre

gagens (Figura 7.11), ancoragens (Figuras 7.12 e 7.13), estacas (Figura 7.14) e micro-estacas(Figura 7.15).

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Figura 7.10: Estabilização de um talude com drenos sub-horizontais.

7.4.4 Construção de estruturas de suporte

O reforço da estabilidade de um talude pode ser conseguido com o aumento da força

resistente no pé do talude através da colocação de uma estrutura de suporte (Figuras 7.16

e 7.17). Esta estrutura deverá estar fundada abaixo das superfícies críticas e num estrado

com boas características de resistência, que permita a mobilização de uma reacção eficaz às

solicitações. É indispensável que nestas estruturas seja instalado um eficiente sistema de

drenagem, uma vez que a água através da diminuição da resistência ao corte que provoca (poraumento das pressões intersticiais) e pelo significativo aumento dos impulsos por acumulação

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Figura 7.11: Estabilização de um talude com pregagens

Figura 7.12: Estabilização de um talude com ancoragens

Figura 7.13: Estabilização de um talude com ancoragens associadas a revestimento contínuode betão

no tardoz da estrutura constitui um importante elemento instabilizador.

7.4.5 Colocação de recobrimento vegetal

O recobrimento vegetal dos taludes é normalmente realizado com o objectivo de fornecer

uma protecção superficial contra a erosão. No entanto, os seus efeitos benéficos podem ser

bastante mais alargados. As folhas das plantas, interceptando a água das chuvas, reduzem por

absorção e evaporação a quantidade de água que atinge o talude. Por outro lado, as raízes,fazendo diminuir o teor em água no solo, aumentam a sua resistência ao corte. As plantas

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Figura 7.14: Estabilização de um talude com estacas

Figura 7.15: Estabilização de um talude com micro-estacas

Figura 7.16: Estabilização de um talude com um muro de suporte gravidade.

de grande porte podem ainda ter uma contribuição mecânica para a estabilidade, através das

suas raízes (Figura 7.18).

A presença de vegetação pode, no entanto, ter efeitos negativos, devido à secagem super

ficial do terreno, dando origem à abertura de fendas que aumenta a capacidade de infiltração

da áhua. Por outro lado, funciona como sobrecarga, podendo o seu efeito não ser desprezável,

principalmente em zonas densamente arborizadas.

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Figura 7.17: Estabilização de um talude com uma estrutura de suporte ancorada.

Figura 7.18: Efeito de “ancoragem” das raizes de uma árvore.

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Capítulo 8

Verificação da segurança de fundações

superficiais

8.1 Tipos e funções

As fundações, assegurando a ligação de qualquer estrutura ao terreno, são elementos funda

mentais na estabilidade daquelas. A forma como se dá a transmissão depende da geometria da

fundação, sendo os vários tipos de fundação determinados pelas diferenças da sua geometria.

A caracterização de uma fundação pode ser realizada, num caso simples, através da menor

dimensão em planta, B e da profundidade da base da fundação, D (Figura 8.1).

ELEMENTO DEFUNDAÇÃO

D

B

Figura 8.1: Representação esquemática de uma fundação superficial.

Desta forma, é corrente dividir as fundações em três tipos:

• fundações superficiais ou directas (D < 4B);

• fundações semi-profundas (4B < D < 10B);

• fundações profundas ou indirectas (D > 10B).

Neste capítulo tratar-se-á de fundações superficiais. O caso mais corrente de fundação superfi

cial é o caso de uma sapata isolada, de dimensão B ×L, sendo B , conforme referido, a menor

dimensão em planta e L a dimensão na outra direcção (Figura 8.2).

Se considerarmos o caso de um edifício, uma situação comum será a de fundar em elementos

separados cada um dos pilares do edifício. Se, no entanto, se verificar a proximidade dospilares num determinado alinhamento, poderá considerar-se a hipótese de realizar uma sapata

137

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138 Capítulo 8. Verificação da segurança de fundações superficiais

Corte

Planta

Figura 8.2: Representação esquemática de uma sapata isolada.

“corrida”, isto é, uma sapata em que L >> B (na prática, em que L > 10B), tal como se

mostra na Figura 8.3. Este será o tipo de fundação que, naturalmente, será utilizado numa

estrutura de suporte ou numa parede.

Corte

Planta

Figura 8.3: Representação esquemática de uma sapata corrida ou contínua.

Voltando ao caso dos edifícios, uma outra hipótese de fundação é a de ensoleiramento

geral, isto é, a situação em que todos os pilares são fundados numa única laje de fundação,

conforme se exemplifica na Figura 8.4. Mesmo sem atender a considerações geotécnicas, esta

solução é habitualmente adoptada quando a área em planta ocupada pela solução de sapatas

for superior a 60% da área em planta da edificação.

8.2 Critérios de segurança

A verificação da segurança de uma fundação superficial deverá passar pela consideração

dos seguintes estados limites:

• rotura global

• carregamento vertical

• deslizamento

• assentamentos excessivos

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Capítulo 8. Verificação da segurança de fundações superficiais 139

Planta

Corte

Figura 8.4: Representação esquemática de um ensoleiramento geral.

O problema dos assentamentos excessivos não é abordado neste capítulo.

8.3 Rotura global

O problema da verificação da segurança em relação à rotura global (Figura 8.5) é analisado

como a verificação da segurança de um talude. Deve ser analisada esta possibilidade sempre

que seja considerada relevante. Trata-se de uma verificação que envolve a zona da obra e a

sua vizinhança e tem em atenção o efeito que a obra tem nesta mas igualmente o efeito do

meio envolvente no problema em estudo.

Figura 8.5: Verificação da segurança em relação à rotura global

8.4 Carregamento vertical

A observação do comportamento de fundações sujeitas a carregamento normal ao plano de

fundação tem mostrado que a ocorrência de rotura por corte do solo de fundação pode dar-se

de três modos diferentes:

• por rotura “geral”;

• por rotura local;

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• por punçoamento.

A existência destes três modos de rotura está associada à compressibilidade do terreno e à

geometria da fundação. A rotura “geral” caracteriza-se pela existência de uma figura de rotura

bem definida, constituída por uma superfície contínua entre o canto da fundação e a superfíciedo terreno; a rotura local ocorre demonstrando a existência de uma zona imediatamente

abaixo da fundação com plastificação e com tendência para se prolongar até à superfície sem,

no entanto, a atingir; a rotura por punçoamento é caracterizada pela zona muito limitada de

ocorrência de plastificação, restringindo-se apenas à região imediatamente abaixo da fundação,

com desenvolvimento de superfícies de rotura verticais. Neste último tipo de rotura não

ocorrem indícios de plastificação à superfície do terreno, ao contrário do que se passa com as

roturas “geral” e local.

Apesar da nítida influência da deformabilidade no modo como ocorre a rotura, o método

de avaliação da capacidade de carga de fundações superficiais mais correntemente utilizado

parte do comportamento rígido-plástico, com rotura “geral” (ver Capítulo 4).

O problema da verificação da segurança em relação ao carregamento vertical (Figuras 8.6

e 8.7) pode, assim, traduzir-se pela verificação da inequação:

V d ≤ Rvd (8.1)

em que V d é o valor de cálculo da componente vertical da acção e Rvd o valor de cálculo da

resistência.

V

Figura 8.6: Verificação da segurança em relação ao carregamento vertical. Caso de carrega mento vertical e centrado.

F

Figura 8.7: Verificação da segurança em relação ao carregamento vertical e ao deslizamento.

O valor de cálculo da acção, V d, é determinado através das componentes verticais das acções

permanentes e variáveis V G e V Q, adequadamente majorados pelos coeficientes de segurança

parciais γ G e γ Q obtidos do Quadro 6.1:

V d = γ GV G + γ QV Q (8.2)

O valor de cálculo da resistência é calculado com base nos valores minorados dos parâmetros

resistentes (através dos coeficientes parciais obtidos do Quadro 6.2) e reduzido do coeficienteparcial γ R;v (Quadro 6.3).

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Capítulo 8. Verificação da segurança de fundações superficiais 141

A resistência pode ser determinada através de formulações de capacidade resistente como

as que se apresentam na secção 4.8. A título de exemplo, o valor de cálculo da resistência

em condições não drenadas seria calculado, para fundação corrida e carregamento vertical e

centrado, através de:

Rvd = B

1

2 γB N γd + c′

dN cd + q ′

N qd

/γ R;v (8.3)

e, em condições não drenadas, seria:

Rvd = B [(2 + π)cud + q ] /γ R;v (8.4)

Para outras situações, as adaptações ao referido podem ser facilmente compreendidas pelo

leitor.

8.5 DeslizamentoQuando o carregamento é inclinado, para além da verificação da segurança em relação ao

carregamento vertical, há que fazer a verificação da segurança ao deslizamento:

H d ≤ Rhd + R pd (8.5)

em que H d é o valor de cálculo da componente horizontal da acção (que, para este efeito,

não deve incluir impulsos passivos), Rhd é o valor de cálculo da resistência ao deslizamento

desenvolvida na base da fundação e R pd é o valor de cálculo da resistência passiva, que pode

ser desprezada.

Em condições drenadas o valor de cálculo da resistência ao deslizamento na base é:

Rhd = V ′d tg δ d/γ R;h (8.6)

e, em condições não drenadas:

Rhd = A′cud/γ R;h (8.7)

Nestas expressões os coeficientes γ R;h devem ser obtidos do Quadro 6.3, δ d é o valor de

cálculo do ângulo de atrito entre o solo e a estrutura, dado por:

δ d = arctgtgδ

γ φ′

(8.8)

e A′ é o produto A′ = B ′ × L′ (ver Capítulo 4).

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Capítulo 9

Verificação da segurança de estruturas

de suporte

9.1 Introdução

Considera-se, no presente texto, dois tipos de estruturas de suporte:

• as estruturas de suporte “rígidas”;

• as estruturas de suporte “flexíveis”.

Os muros de suporte rígidos são, nos casos mais comuns, muros de alvenaria, muros de be

tão não armado, muros de betão armado e muros de gabiões (Figura 9.1). Poderá estranhar-se

a inclusão dos muros de gabiões na categoria de “estrutura de suporte rígida”, sobretudo se

se tiver em atenção que aqueles muros sofrem, em serviço, deformações muito significativas.

No entanto, como se verá, a expressão “estrutura de suporte flexível” está associada a um

outro tipo de estruturas, verificando-se adicionalmente que os mesmos princípios aplicáveis a

estruturas de suporte como as de alvenaria, as de betão não armado ou as de betão armado,

são-no também aos muros de gabiões.

É igualmente comum a designação de “muros gravidade” para os casos dos muros de alve naria, de betão não armado e de gabiões, não se incluindo nesta designação, habitualmente,

os muros de betão armado. Faz-se notar que em todos os casos, no entanto, as forças graví

ticas assumem um importante papel na estabilidade das estruturas. Verifica-se, contudo, que

no caso das estruturas de betão armado o próprio terreno é, de alguma forma, envolvido na

estabilidade da estrutura, ao passo que nas restantes (“muros gravidade”) as forças gravíticas

envolvidas são sobretudo as do próprio muro.

Os muros de betão armado são frequentemente designados por “muros em L” ou “em T

invertido”, dada a sua forma. Uma variante destes muros é a dos muros de contrafortes ou de

gigantes, usados para muros bastante altos (habitualmente a partir dos 8 a 10 m de altura),por razões económicas.

143

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144 Capítulo 9. Verificação da segurança de estruturas de suporte

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(a) Muro de alvenaria0000

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(b) Muro de betão não armado

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(c) Muro de betão armado (d) Muro de gabiões

Figura 9.1: Muros de suporte “rígidos”.

No caso de estruturas de suporte “rígidas”, os movimentos mais importantes a que es

tão sujeitas são, sobretudo, movimentos de corpo rígido e as pressões de terras que neles se

desenvolvem puderam ser determinadas por diversas teorias de cálculos de impulsos.

As “estruturas de suporte flexíveis”, são aquelas que experimentam em serviço deformaçõespor flexão susceptíveis de condicionar a grandeza e a distribuição das pressões de terras que

actuam sobre elas e, logo, dos esforços para que são dimensionadas (Terzaghi, 1943). Assim,

a deformabilidade da estrutura de suporte altera o diagrama de pressões, o que modifica os

esforços e novamente as deformações da estrutura. Nestes casos, o problema em causa é de

interacção solo-estrutura.

Refere-se ainda que a grandeza e distribuição das pressões de terras dependem, para além

da deformabilidade da cortina, das suas condições de apoio (posição e rigidez de escoras e

ancoragens) e, como se verá, do estado de tensão inicial do terreno.

No que respeita ao procedimento construtivo, as cortinas de contenção flexíveis podem

ser de diversos tipos: estacas-pranchas, paredes moldadas, paredes de estacas, paredes tipo

Berlim, etc. No que respeita à forma como é assegurada a estabilidade (e, portanto, no que

respeita também ao tipo de dimensionamento realizado) podem ser:

• simplesmente encastradas, ou auto-portantes (Figura 9.2(a));

• mono-apoiadas – mono-ancoradas ou mono-escoradas (Figura 9.2(b));

• multi-apoiadas – multi-ancoradas ou multi-escoradas (Figura 9.2(c)).

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Capítulo 9. Verificação da segurança de estruturas de suporte 145

(a) Auto-portante (b) Mono-apoiada (c) Multi-apoiada

Figura 9.2: Tipos de estruturas de suporte flexíveis.

Em qualquer caso, uma cortina flexível é normalmente uma estrutura esbelta e, por isso,

funcionando sobretudo à flexão.

As verificações de segurança fundamentais são, nas estruturas de suporte, às verificações:

• à rotura global;

• a movimentos excessivos;

• nos muros “gravidade” e em “L”:

– ao deslizamento;

– ao carregamento vertical;

– ao derrubamento

• nas paredes de contenção (estruturas flexíveis):

– à rotação e (ou) translação da estrutura

– por perda de equilíbrio vertical.

9.2 Verificação da segurança de estruturas de suporte rígidas

9.2.1 Introdução

O processo de dimensionamento de uma estrutura de suporte rígida traduz-se, na maioria

dos casos, numa série de verificações de segurança em que a sua geometria é sucessivamente

alterada até ser obtido o nível de segurança desejado.

Os impulsos de terras são normalmente determinados com base nas teorias que se apresen

taram no Capítulo 3.

Conforme se viu, a estabilidade de muros de suporte deve ser verificada atendendo aos

seguintes estados limites:

• rotura global;

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• deslizamento;

• carregamento vertical.

• derrubamento;

Nos três primeiros o muro de suporte é analisado como uma fundação pelo que, como se

verá, a sua análise é análoga à apresentada no capítulo anterior. O caso do derrubamento é

específico das estruturas de suporte.

Tratando-se de verificações da segurança em que os aspectos geotécnicos são os relevantes,

o dimensionamento destas estruturas deverá ser condicionado pela combinação 2, se se adoptar

a abordagem de cálculo 1.

9.2.2 Verificação da segurança em relação à rotura global

A verificação da segurança em relação à rotura global (Figura 9.3) faz-se da mesma forma

anteriormente apresentada para a rotura global de fundações e para os taludes. Não se fará,

portanto, qualquer referência adicional.

Figura 9.3: Verificação da segurança em relação à rotura global (NP EN 1997-1, 2010)

9.2.3 Verificação da segurança em relação ao deslizamento

A verificação da segurança em relação ao deslizamento faz-se da forma anteriormente

apresentada na secção 8.5. Apresenta-se neste ponto a adaptação do que então se viu ao caso

de uma estrutura de suporte.

Considere-se, assim, a estrutura de suporte que se representa esquematicamente na Figura

9.4.

Para a verificação da segurança ao deslizamento de uma estrutura de suporte como a

da Figura, há que determinar os parâmetros de resistência de cálculo do terreno. De forma

análoga, há que determinar o valor de cálculo do ângulo de atrito entre o solo e a estrutura,δ d.

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δ

F a

I a

I p

Figura 9.4: Verificação da segurança ao deslizamento de uma estrutura de suporte rígida.

Com base nestes parâmetros de resistência, são avaliados os impulsos activos de cálculo,

determinados com os parâmetros de resistência minorados e considerando os coeficientes de

majoração de acções, γ G e γ Q, respectivamente para as acções permanentes e variáveis. Os

impulsos passivos são considerados resistências, na verificação da segurança ao deslizamento.

Deve, assim, verificar-se que a acção de cálculo na direcção da base da estrutura de suporte

(horizontal, na Figura) seja inferior à resistência de cálculo no contacto solo estrutura acrescida

do impulso passivo, ou seja, que:

H d ≤ Rhd + R pd (9.1)

em que H d é a resultante dos impulsos activos na direcção da base da estrutura de suporte,

Rhd é a resistência ao deslizamento de cálculo que se desenvolve na base da estrutura e R pd

a resistência passiva de cálculo. No caso da Figura 9.4 H d toma o valor H d = I aHd (sendo

I aHd a componente horizontal de cálculo do impulso activo) e Rd é a força de corte na base

da estrutura. Em condições drenadas, esta força toma o valor:

Rhd = V dtgδ d/γ R;h (9.2)

em que V d é o valor de cálculo da carga efectiva normal à base da fundação. Em condições

não drenadas Rd é o resultado da adesão na superfície efectiva da base da estrutura:

Rhd = A′cad/γ R;h (9.3)

em que A′ é o produto A′ = B ′

×L′.

9.2.4 Verificação da segurança em relação ao carregamento vertical

O assunto da verificação da segurança em relação ao carregamento vertical foi já abordado

na secção 8.4. O que se apresenta neste ponto é apenas a adaptação do que se referiu para o

caso das estruturas de suporte rígidas.

Para a verificação da segurança em relação à rotura da fundação usando a metodologia

dos coeficientes de segurança parciais, há que determinar as acções de cálculo, ou seja, V d,

H d e M d, respectivamente as cargas vertical, horizontal e momento de cálculo (calculado nocentro da fundação).

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No caso da Figura 9.5 estas cargas podem ser determinadas a partir de:

V d = W d + I aV d (9.4)

H d = I aHd

−I pd (9.5)

(note-se que o impulso passivo é, para este efeito, uma acção).

M d = I aHd × H

3 − I aV d ×

B

2 − I pd ×

h

3 −W × b (9.6)

δ

I a

I ph

h/3

H

B

B′

H/3

b

2e

W b

Figura 9.5: Verificação da segurança ao carregamento vertical de uma estrutura de suporterígida.

A partir dos parâmetros de resistência de cálculo e da utilização de uma formulação decapacidade de carga de fundações (ver secção 4.8) estima-se a tensão resistente de cálculo, q ′rd.

Sendo B ′ a largura efectiva da fundação (igual a B−2ed), a verificação da segurança exige

o respeito pela inequação:

V d ≤ Rvd = B ′q rd (9.7)

9.2.5 Verificação da segurança em relação ao derrubamento

Considere-se a estrutura de suporte representada na Figura 9.6. Admitindo a possibilidadede rotação da estrutura em torno do ponto O, há que garantir que os momentos instabilizadores

de cálculo em relação a este ponto são inferiores ou iguais aos momentos estabilizadores de

cálculo, ou seja, que se verifica a inequação:

M dst,d ≤ M stb,d (9.8)

Trata-se de um caso de equilíbrio, EQU, que foi abordado na secção 6.4.

No exemplo da Figura, o momento instabilizador de cálculo é dado por:

M dst,d = I aHd × H

3 − I aV d ×B (9.9)

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δ

F a

I a

I ph

h/3

O

H

B

H/3

aW

b

Figura 9.6: Verificação da segurança ao derrubamento de uma estrutura de suporte rígida.

e o momento estabilizador de cálculo é:

M stb,d = W bd × a + I pd × h

3 (9.10)

Os parâmetros resistentes devem ser minorados de acordo com o coeficientes de segurança

indicados no Quadro 6.5. As acções estabilizantes devem considerar os coeficientes indicados

no Quadro 6.4.

Faz-se notar que não há, aqui, resistência; apenas acções favoráveis e desfavoráveis.

9.3 Verificação da segurança de estruturas de suporte em “L”

ou “T invertido”

9.3.1 Impulsos de terras

As estruturas de suporte de betão armado em “L” ou em “T invertido” podem ser conside

radas estruturas de suporte de gravidade, na medida em que a sua estabilidade é assegurada

pelo seu peso próprio e pelo peso do solo que funciona como parte integrante do muro. O

que se referiu na secção anterior mantém-se, portanto, válido. Há, no entanto, que clarificar

a questão da definição da referida massa de solo. Este assunto está tratado com clareza em

Matos Fernandes (2011) a partir dos trabalhos de Barghouthi (1990), Greco (1992), Greco

(1999) e Greco (2001).

Admitindo um movimento da estrutura de suporte que se representa na Figura 9.7, ins

tala-se, sobre esta, um impulso do tipo activo, formando-se uma superfície AB que separa a

parte do solo que “acompanha” a estrutura da suporte – e que, portanto, se considera que

faz parte deste – do restante maciço. Considera-se, neste texto, que a referida superfície é,

simplificadamente, AB em lugar de A′B. Admita-se, para já, que a superfície AB intersecta

a superfície do terreno e não o paramento vertical do muro de betão armado, bastando, para

tal, que a sapata do muro seja suficientemente larga. O maciço forma uma cunha activa ABC .

Verifica-se que:α = 45o +

φ′

2 +

1

2

arcsen

sen i

sen φ′ − i

(9.11)

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e que

ξ = 45o + φ′

2 − 1

2

arcsen

sen i

sen φ′ − i

(9.12)

A

B

C

DB

A

B

A

C

B

A

D

1 2

A’

DE E

α ξ

i

i

i

I C a

I C a

I C a

I C a

I Ra

I Ra

φ′φ′φ′

φ′

W = W 1 + W 2W 1

W 1

W 2

R

R

h h′ h′′

Figura 9.7: Muro de suporte em “L”: impulsos.

Sabendo-se o valor de α pode determinar-se o impulso sobre AB , através de

I C a =

1

2K aγ γh′2 (9.13)

podendo K aγ ser determinado através da solução de Coulomb, fazendo na equação 3.118

β = 180o − α e δ = φ′.

Este impulso equilibra, naturalmente, com W e R, a cunha de solo ABC . Considere-se,no entanto, que esta cunha é dividida em duas – 1 e 2 – conforme se representa na figura.

Considere-se, então o equilíbrio da cunha 1 (cunha ABD). Sobre esta cunha estão aplicadas as

forças I C a , W 1 e a acção da cunha 2 sobre a cunha 1, que se designa por I Ra . Pode mostrar-se

que esta acção corresponde ao impulso de Rankine na superfície AD, formando portanto

um ângulo i com a horizontal. O cálculo do impulso de terras pode, assim, ser realizado

na superfície AD, evitando-se a determinação da superfície AB e simplificando-se, assim, o

cálculo. O impulso I Ra será, assim:

I Ra = 1

2 K aγ γh′′2 (9.14)

sendo K aγ dado pela equação 3.146.

Admita-se agora que a superfície AB intersecta o paramento vertical do muro de betão

armado. Para este caso o ângulo α já não é dado pela equação 9.11 e passa a depender, para

além de φ′ e de i, do ângulo de atrito solo–estrutura, δ . Pode facilmente compreender-se que

o impulso para esta situação esteja compreendido entre o impulso de Rankine (para o caso

limite em que o plano AB intersecte o ponto E , e o impulso de Coulomb, para o caso limite

em que os pontos A e E estariam sobre a mesma linha vertical. Pode notar-se que se δ > i, a

adopção dos impulsos de Rankine em AD (como para o caso anterior) é conservativa e umaboa estimativa do impulso.

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9.3.2 Estabilidade interna

As estruturas de suporte devem ainda ser dimensionadas internamente, isto é, para os

esforços estruturais a que ficam sujeitos. No caso de um muro em “L” (Figura 9.8) haverá,

por exemplo, que determinar o momento actuante na base da parede, conforme representado

na Figura.

Figura 9.8: Dimensionamento estrutural.

Naturalmente que, neste caso, os impulsos que são relevantes são os que actuam direc

tamente no paramento da parede de betão armado. Para este dimensionamento é habitual

admitir-se como impulsos actuantes sobre o paramento vertical os determinados a partir de um

coeficiente de impulso intermédio entre o activo e o em repouso, ou seja, com K = (K a+K 0)/2.

Refere-se ainda que será natural que seja, para esta verificação, a combinação 1 a condici

onante, se se adoptar a abordagem de cálculo 1.

9.4 Drenagem

A existência de uma toalha freática no maciço suportado é altamente desfavorável, uma vez

que agrava substancialmente o impulso total. Muitos acidentes envolvendo muros de suporte

estão, aliás, relacionados com a acumulação de água no solo contido.

A construção de sistemas de drenagem eficientes é um aspecto de fundamental importância

para o comportamento adequado de estruturas de suporte. A escolha do sistema mais ade

quado depende sobretudo da permeabilidade do terreno suportado pela estrutura de suporte.

Em solos muito permeáveis, é suficiente a construção de boeiros, se não houver inconveni

ente em que a água seja drenada para a frente do muro, e um dreno longitudinal (Figuras 9.9(a)

e (b)). A escolha do diâmetro e do afastamento dos boeiros deve ter em atenção a necessidade

de escoar o caudal que aflui à estrutura. O dreno longitudinal é constituído por tubo furado

na zona superior e funciona como caleira na zona inferior, conduzindo a água por gravidade.

Deverão ser envolvidos por material de filtro constituído por material granular ou geotêxtil,

para impedir a colmatação e o arraste de partículas.

No caso de solos menos permeáveis, para além dos dispositivos já indicados, devem sercolocadas faixas drenantes verticais (Figuras 9.9(c) e (d)), havendo, nos solos finos que instalar

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Figura 9.9: Dispositivos de drenagem (adaptado de Brito (1988)).

tapete drenante subvertical ou inclinado (Figuras 9.9(e) e (f)).

9.5 Verificação da segurança de estruturas de suporte flexíveis

9.5.1 Introdução

As estruturas de suporte analisadas nas secções anteriores são estruturas rígidas. Com

efeito, os movimentos a que estão sujeitos são, sobretudo, movimentos de corpo rígido e as

pressões de terras que neles se desenvolvem puderam ser determinadas por diversas teorias de

cálculos de impulsos.

Isto significa que os impulsos de terras foram calculados independentemente da estrutura de

suporte, uma vez que o aspecto que condiciona a determinação desses impulsos é a ocorrência

do referido deslocamento de corpo rígido.

Há, no entanto, estruturas de suporte que não podem ser consideradas rígidas. Estas

estruturas, habitualmente designadas genericamente por “estruturas de suporte flexíveis” têm

tratamento diferente sob dois pontos de vista:

• em primeiro lugar porque os diagramas de pressões a que estão sujeitos, devido à flexi bilidade da cortina, não são, em alguns casos, os provenientes das teorias de cálculo de

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impulsos estudadas;

• em segundo lugar porque, como se viu na secção 9.1, as verificações da segurança são

diferentes.

Em relação ao primeiro destes aspectos, faz-se notar que para as estruturas que serão ana lisadas neste texto (cortinas auto-portantes e mono-apoiadas) e para as metodologias simples

que serão abordadas, ele não será considerado. Isto é, as pressões de terras são determinadas

usando as teorias de cálculo de impulso estudadas. Quanto ao segundo, haverá, naturalmente,

que o ter em atenção e será a verificação em relação à rotação e (ou) translação da estrutura

que ditará a verificação da segurança (não se aborda neste texto a questão da verificação em

relação ao equilíbrio vertical).

Faz-se ainda uma outra observação em relação à abordagem que tem sido seguida. Colocou

-se, até aqui, os diferentes problemas de verificação da segurança na perspectiva de definição

de uma geometria e de, posteriormente, verificação da segurança nos seus vários aspectos.

Será fácil de compreender, no entanto, que na maioria das situações o trabalho que é exigido

aos engenheiros é o de definição dessa geometria, procurando a economia da solução.

Naturalmente que, em determinadas situações, há que proceder a um pré-dimensionamento

e, posteriormente, à verificação da segurança, seguindo-se a eventual correcção da geometria.

Noutros casos, no entanto, é possível proceder-se à determinação das dimensões que fazem

com que a segurança fique verificada. Por ser o caso das cortinas flexíveis que se apresentam

neste texto e por ser útil o leitor ficar com essa perspectiva do problema, será assim que estas

estruturas serão abordadas.

9.5.2 Dimensionamento de cortinas simplesmente encastradas ou auto-por

tantes

Considere-se a estrutura de suporte simplesmente encastrada esquematicamente represen

tada na Figura 9.10. Para o dimensionamento deste tipo de estrutura, admite-se que do

lado do terreno suportado se desenvolvem impulsos activos e, do lado da escavação, impulsos

passivos (ver Figura 9.10 à esquerda).

f 0f = 1.2f 0

R

O

Figura 9.10: Dimensionamento de cortinas simplesmente encastradas (ou auto-portantes).

Para o cálculo de impulsos é habitualmente usada a teoria de Rankine. A determinação

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destes impulsos e o respeito pelas condições de equilíbrio permite escrever a equação:

M O = 0 (9.15)

que tem f 0 como incógnita. O coeficiente de segurança pode ser considerado, tradicionalmente,

aplicado ao impulso passivo ou, de acordo com o Eurocódigo 7, o cálculo pode ser realizadoatravés de coeficientes de segurança parciais. O valor de f 0 assim obtido é, portanto, o valor

de cálculo.

Uma vez conhecido f 0, a equação de equilíbrio de forças horizontais conduz a um valor de

R com a direcção indicada na Figura 9.10 à direita e que é designada como “contra-impulso

passivo”.

A materialização da possibilidade de mobilização desta força implica, necessariamente, o

prolongamento da altura enterrada f 0 para um valor f que, do lado da segurança, se considera

habitualmente igual a 1.2f 0. Note-se que este coeficiente de 1.2 não é um coeficiente desegurança. A sua aplicação tem implícita a necessidade de mobilização no pé da cortina

do referido “contra-impulso passivo”, pelo que não está relacionado com qualquer noção de

segurança (a não ser, naturalmente, pelo facto de ser superior ao estritamente necessário).

O diagrama de momentos flectores tem a configuração também esquematicamente represen

tada na Figura 9.10. Com base neste diagrama pode, assim, proceder-se ao dimensionamento

da cortina.

Apesar de, na maior parte das situações, se recorrer à teoria de Rankine para o cálculo

de impulsos, pode, naturalmente, querer considerar-se, na avaliação dos impulsos de terras, oatrito solo–estrutura, pelo que outras teorias de cálculo de impulsos, como a de Coulomb ou

a de Caquot–Kérisel poderão ser usadas.

Tratando-se de uma estrutura de suporte cuja segurança está muito dependente do impulso

passivo e, portanto, da altura enterrada, o Eurocódigo 7 prevê que a profundidade de escavação

de cálculo hd seja igual a

hd = h + ∆h (9.16)

em que ∆h é dado por

∆h = min(0.5 m; 0.1h) (9.17)

Exemplo de cálculo

Considere-se a estrutura de suporte simplesmente encastrada esquematicamente represen

tada na Figura 9.11. O solo é uma areia com φ ′ = 30o, γ h = 18kN/m3 e γ sat = 20kN/m3.

Usando a abordagem de cálculo 1 do Eurocódigo 7 (combinação 2) e a teoria de Rankine

para o cálculo de impulsos, tem-se que:

φ′d = 24.79o; K ad = 0.409; K pd = 2.445 (9.18)

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f 0f

O

x

H 1 = 4m

H 2 = 2m

I a1d

I a2d

I a3dI pd

Figura 9.11: Exemplo de cálculo de uma cortina de contenção auto-portante.

sendo os impulsos (admitindo que são tomadas medidas especialmente cuidadosas para con

trolo da profundidade de escavação e, portanto, não considerando o acréscimo de profundidade

∆h dado pela equação 9.17):

I a1d = γ G1

2K adγ hH 21 = 1.0× 1

2 × 0.409 × 18 × 42 = 58.9kN/m (9.19)

I a2d = γ GK adγ hH 1 (H 2 + f 0) = 1.0× 0.409 × 18× 4× (2 + f 0) = 29.448 (2 + f 0)(9.20)

I a3d = γ G1

2K adγ ′ (H 2 + f 0)2 = 1.0× 1

2 × 0.409 × 10× (2 + f 0)2 = 2.045 (2 + f 0)2(9.21)

I pd = 1

2

K pdγ ′f 20 /γ R;e = 1

2 ×2.445

×10×

f 20 /1.0 = 12.225f 20 (9.22)

A equação de equilíbrio de momentos em relação ao ponto O conduz a:

M 0 = 0 ⇒ 58.9 ×

2 +

4

3 + f 0

+ 29.448(2 + f 0)

2 + f 02

+ 2.045(2 + f 0)2 2 + f 03

− 12.225f 20f 03

= 0 ⇒ f 0 = 10.02m (9.23)

o que resulta em:

f = 1.2f 0 = 1.2× 10.02 = 12.02m (9.24)

Sento frequentemente este tipo de estrutura associada à utilização de estacas-pranchas

metálicas, é habitual pretender-se, simplesmente, determinar o momento máximo, em lugar

do diagrama de momentos que seria preferível obter se se tratasse de uma estrutura de betão

armado. A determinação do ponto em que o momento flector é máximo pode ser feita através

da procura do ponto em que o esforço transverso é nulo. Este ponto localiza-se à distância

x da superfície do terreno do lado passivo, conforme se poderá concluir da observação da

Figura 9.11.

A equação de esforço transverso nulo conduz a:

V Sd = 0 ⇒ 58.9 + 29.448(2 + x) + 2.045(2 + x)2 − 12.225x2 = 0 ⇒ x = 5.82m (9.25)

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e o momento máximo é:

M maxSd = 58.9

4

3 + 2 + x

+29.448(2+x)

2 + x

2 +2.045(2+x)2 2 + x

3 −12.225x2 x

3 = 962kNm/m

(9.26)

Convida-se o leitor a fazer os mesmos cálculos usando a combinação 1 da mesma abordagemde cálculo.

A verificação da segurança obriga a que M Rd ≥ M Sd pelo que haverá que escolher uma

cortina (perfil metálico) que verifique esta condição.

9.5.3 Dimensionamento de cortinas mono-apoiadas através do método do

apoio simples

O dimensionamento de cortinas mono-apoiadas é tradicionalmente feito recorrendo a dois

tipos de métodos: métodos de apoio simples, que consideram a existência, no pé da cortina,

de um apoio simples (ou móvel) e métodos de apoio fixo, que consideram a existência, no pé

da cortina, de um apoio fixo. Neste texto apenas se aborda o primeiro.

Conforme referido, o método do apoio simples considera que, no pé da cortina, existe

um apoio simples (ver Figura 9.12), o que significa que não existe a mobilização de uma

força horizontal do tipo “contra-impulso passivo” que se descreveu a propósito das cortinas

simplesmente encastradas ou auto-portantes.

AF

f 0

Figura 9.12: Dimensionamento de cortinas mono-apoiadas através do método do apoio móvel.

Tal como para o cálculo das cortinas simplesmente encastradas, admite-se que, no caso da

Figura, se mobilizam impulsos activos do lado direito da cortina e impulsos passivos do lado

esquerdo.

Também como no cálculo de cortinas simplesmente encastradas, considera-se habitual

mente a teoria de Rankine para o cálculo de impulsos. A equação de equilíbrio de momentos

relativamente ao ponto A permite conhecer a altura enterrada f = f 0.Tal como para as cortinas auto-portantes, o Eurocódigo 7 considera um valor de cálculo

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da profundidade dado também pela equação (9.16), sendo ∆h dado por:

∆h = min(0.5 m;0.1h′) (9.27)

em que h′ é a distância entre o nível de escoras ou ancoragens e o fundo da escavação.

A equação de equilíbrio de forças horizontais permite determinar a força no apoio (escora

ou ancoragem) que, habitualmente, para efeitos de dimensionamento, deverá ser multiplicada

por 1.2 a 1.3.

O diagrama de momentos flectores tem o andamento aproximado apresentado na Figura

9.12, podendo, com base neste diagrama, proceder-se ao dimensionamento da cortina.

Exemplo de cálculo

Considere-se a estrutura de suporte mono-apoiada esquematicamente representada na Fi

gura 9.13. O solo é uma areia com φ′ = 30o, γ h = 18kN/m3 e γ sat = 20kN/m3.

f 0

x

H 1 = 4m

H 2 = 2m

H 3 = 2mAF

I a1d

I a2d

I a3dI pd

Figura 9.13: Exemplo de cálculo de uma cortina de contenção mono-apoiada.

Usando a AC1 (comb, 2) do Eurocódigo 7 e a teoria de Rankine para o cálculo de impulsos,

tem-se que:

φ′d = 24.79o; K ad = 0.409; K pd = 2.445 (9.28)

sendo os impulsos (admitindo que são tomadas medidas especialmente cuidadosas para con

trolo da profundidade de escavação e, portanto, não considerando o acréscimo de profundidade

∆h dado pela equação 9.27):

I a1d = 58.9kN/m (9.29)

I a2d = 29.448(2 + f 0) (9.30)

I a3d = 2.045(2 + f 0)2

(9.31)I pd = 12.225f 20 (9.32)

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A equação de equilíbrio de momentos em relação ao ponto A:

M a = 0 ⇒

0 = 58.9× 2

3 + 29.448(2 + f 0)3 +

f 02 + 2.045(2 + f 0)2

10

3 +

2

3f 0−(9.33)

− 12.225f 20

4 +

2

3f 0

conduz a:

f 0 = 4.16m (9.34)

A equação de equilíbrio de forças horizontais:

H = 0 ⇒ F d + 12.225f 20 − 58.9 − 29.448(2 + f 0)− 2.045(2 + f 0)2 = 0 (9.35)

que conduz a a:F d = 106.3kN/m (9.36)

Pretendendo-se conhecer o momento máximo, há que conhecer a localização do ponto da

cortina em que o esforço transverso é nulo. Considerando este ponto à distância x do nível de

água, tem-se que:

V = 0 ⇒ 58.9 + 29.448x + 2.045x2 − 106.3 = 0 (9.37)

que resulta em:

x = 1.46m (9.38)

O momento máximo é, assim:

M maxSd = 58.9

x +

4

3

+ 29.448x

x

2 + 2.045x2 x

3 − 106.3(x + 2) = −169.8kNm/m (9.39)

Com base neste momento (ou no que se obteria da combinação 1, cujos cálculos se convida

o leitor a realizar), poderá proceder-se ao dimensionamento estrutural da estrutura de suporte.

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