1

2.3.4. Oscilaţiile neamortizate ale girocompaselor

• Se proiectează traiectoria descrisă de axa principală pe un plan perpendicular pe planele orizontului şi meridianului.

Fig. 2.25 Oscilaţiile neamortizate

2

• În momentul iniţial (poziţia I) se consideră girocompasul cu axa Ox în planul orizontului şi înclinată spre E cu un unghi .

• Se urmăreşte capătul nordic al axului.

• Axa girocompasului se va deplasa sub influenţa celor trei viteze:

• Traiectoria descrisă este o elipsă foarte turtită, se poate neglija înclinarea faţă de planul orizontului şi se pot reprezenta oscilaţiile doar faţă de meridian.

• Fig. 2.26 Oscilaţiile periodice

neamortizate faţă de meridian

• T = perioada oscilaţiilor

neamortizate (perioada pendulului

gravitaţional)

sin2 tzV

sincos1 tyV

H

mghV p

sin3

0max 53

3

• 2.3.4.2. Analiza analitică a oscilaţiilor neamortizate• Se consideră două sisteme

de coordonate:

• sistemul ONWZn legat de

Pământ şi sistemul OXYZ

legat de giroscop.

• Se presupune că axa OX

a girocompasului este deviată

faţă de planurile orizontului şi

meridianului cu unghiurile

mici respectiv

• Se vor studia legile de variaţie a acestor unghiuri, adică legile de mişcare a girocompasului în raport cu sistemul de coordonate ONWZn.

Fig. 2.27 Analiza analitică a oscilaţiilor

4

• În acest caz ecuaţiile lui Euler pentru giroscop devin:

• Pentru a putea rezolva sistemul este necesar să se folosească expresiile care dau vitezele unghiulare funcţie de unghiurile: -

precesie, - nutaţie şi - de rotaţie proprie al torului:

• este mic şi considerând de asemeni mic, produsul

• poate fi neglijat ţinând seama că (viteza proprie)

Ozzxz

Oyzxy

Oxxx

MJII

MIJI

MJ

sincoscos

sincoscos

sin

z

y

x

sin

5

din expresiile proiecţiei momentului cinetic obţinem:

deci

• Din considerentele făcute anterior ecuaţiile lui Euler devin:

• În cazul girocompasului considerat şi sunt vitezele unghiulare de giraţie a elementului sensibil respectiv în jurul axelor OZn şi OY care caracterizează mişcarea lui faţă de sistemul coordonatelor orizontale ONWZn, ce se roteşte odată cu Pământul.

• Proiecţiile şi se vor adăuga la viteza

unghiulară respectiv Ţinând cont că şi iar respectiv sunt mici şi pot fi

neglijaţi , ecuaţiile girocompasului vor deveni

sinJJK xx

KJK xx

z

y

MKI

MKI

00 sin Oy z

0zM

BBM y sin I

I

6

• unde: B - momentul maxim de pendul • Se derivează în raport cu timpul prima ecuaţie

se introduce în a II-a ecuaţie se împarte ecuaţia cu termenul

se introduce notaţia se obţine

• Soluţia acestei ecuaţii este: unde

C1 şi C2 constante de integrare care se determină din condiţiile

iniţiale: la t = 0 şi • Se derivează ecuaţia în raport cu timpul

Se determină constantele C1 şi C2 din condiţiile iniţiale: şi dar

BK 00

K

hgmB

B

KBK

00

2

KB

K

BK 2 00

K

B

0K

Bq 02

q

qtCqtC sincos 21

0 0qtqCqtqC cossin 21

01 C 02 qC 00 2 Cq

7

• Se introduc constantele C1 şi C2 şi rezultă

• Se revine la prima ecuaţie din sistemul lui Euler şi se rezolvă în raport cu

• Se derivează în raport cu timpul ecuaţia de sus şi rezultă

• Se introduce în ecuaţia şi se obţine • Se notează cu rezultă

• Rezultă că girocompasul execută în planurile unghiurilor şi oscilaţii întreţinute de aceeaşi pulsaţie q şi de aceeaşi perioadă T0

dată de relaţia: • Pentru a afla traiectoria mişcării axului principal, se elimină

timpul din expresiile lui şi , se ridică aceste expresii la pătrat şi trecând pe şi în membrul întâi al ecuaţiilor se obţine:

qtcos0

B

K

B

K

B

Kqtq

B

K sin0

00 qB

K

B

Ke eqt sin0

qT

20

20 2

0

120

2

20

2

e

qtq sin0

8

• Oscilaţiile elementului sensibil algirocompasului se produc în raport cu poziţia de echilibru, determinată de unghiurile: Ecuaţia reprezintă ecuaţia mişcării în planul

unghiului a girocompasului, ce execută oscilaţii neamortizate.

• Perioada acestor oscilaţii poate fi determinată cu formula:

• Metode pentru amortizarea oscilaţiilor

00 B

Ke

00

2

KB

K

00

2

0 22

B

K

KB

K

T

2.4. Amortizarea oscilaţiilor girocompaselor

9

- metoda vaselor comunicante - folosită la girocompasele pendulare;

- metoda deplasării centrului de greutate folosită la girocompasele cu mercur;

- metoda electromagnetică.

- Se creează o precesie suplimentară la girocompas care dă naştere unei viteze liniare cu un astfel de sens încât accelerează intrarea în meridian a axului principal şi frânează pe timpul ieşirii, sau accelerează intrarea în planul orizontului sau frânează ieşirea din planul orizontului.

- 2.4.1. Metoda vaselor comunicante- Se foloseşte un sistem de două vase comunicante cu ulei numit şi

dispozitiv hidraulic, dispus în partea superioară a girocamerei girocompasului, vasele sunt fixate în planul axei principale de rotaţie, un vas în partea nordică celălalt în partea sudică.

4V

10

11

• În cazul că există ulei mai mult în unul din vase (vasul nordic) (fig. b) surplusul de ulei crează forţa de gravitaţie , care produce momentul astfel ia naştere precesia suplimentară

• Axa giroscopului se va deplasa cu viteza liniară de precesie suplimentară care va avea sensul spre vest când există surplus de ulei în vasul nordic şi spre est pentru ulei mai mult în vasul sudic

• Pentru calculul vitezei unghiulare de precesie considerăm dispozitivul hidraulic înclinat cu unghiul faţă de planul

orizontului • Se duce simetrica liniei NS faţă de axa xx şi se obţine astfel

volumul ABCD a surplusului de ulei din vasul înclinat.

- greutatea specifică a uleiului

• VABCD- volumul surplusului de ulei

P

'yM

'p

4V

K

OEV

K

MuABCDy

p

'

'

u

12

• Sensul vitezei de precesie

este spre vest când există ulei

mai mult în vasul nordic şi spre est când există ulei mai mult în

vasul sudic.

2.4.1.1. Oscilaţiile amortizate ale girocompaselor pendulare

• Se proiectează traiectoria descrisă de axa girocompasului pe un plan perpendicular pe planele orizontului şi meridianului. Intersecţia dintre planul de proiecţie şi planul orizontului este linia orizontală EW, iar între planul de proiecţie şi planul meridianului este linia verticală (fig. 2.30).

4V

SRtgLNSMNSVABCD 22

cosROE

4

2' sinsin2

VK

B

K

gSR uup

13Fig. 2.30 Diagrama oscilaţiilor amortizate

14

• Axul principal al girocompasului se va deplasa sub influenţa următoarelor viteze:

• viteza aparentă care are sensul în sus sau jos, funcţie de sensul de înclinare al axului spre est sau vest şi este proporţională cu

• viteza aparentă care este constantă deoarece latitudinea este constantă şi are sensul spre est sau vest funcţie de semnul

latitudinii • viteza de precesie principală proporţională cu unghiul

înclinare faţă de planul orizontal şi cu sensul spre est sau vest funcţie de sensul de înclinare

• viteza de precesie suplimentară proporţională cu surplusul de ulei în unul din vase şi cu sensul spre est sau vest funcţie de vasul în care este surplus de ulei

1Vsin

2V

03 V

4V

15

• Când girocompasul nu este alimentat

girosfera care este suspendată în lichid are o

uşoară flotabilitate negativă şi cade pe

fundul sferei de urmărire, punctul de

suspensie nu mai este în centrul geometric

al girosferei ci în partea inferioară a sa

(fig. 2.31), punctul O2.

Fig. 2.31 Poziţia girosferei în interiorul sferei de urmărire când girocompasul nu este alimentat

• Când se alimentează girocompasul, girosfera se centrează, centrele O1 şi O se suprapun şi axa va executa o mişcare rapidă de

precesie înclinându-se cu unghiul spre est faţă de meridian,

de unde încep oscilaţiile propriu zise • La echilibru:

16

• 2.4.1.3. Diagrama de orientare în meridian• Oscilaţiile amortizate ale girocompasului, dacă se neglijează abaterile faţă de

planul orizontului, pot fi considerate ca fiind nişte oscilaţii amortizate care se realizează faţă de planul meridianului sau faţă de poziţia de echilibru.

• Aceste oscilaţii sunt caracterizate de următoarele mărimi:• amplitudinea oscilaţiilor : ( , ) reprezintă înclinaţiile maxime succesive,

ale axei aparatului faţă de poziţia de echilibru.• perioada oscilaţiilor amortizate, timpul în care axa principală execută o

oscilaţie amortizată completă (Ta)

• factorul de amortizare (f) - raportul dintre două amplitudini succesive.

01 V

432 VVV

0y'ppz

0sincos et

K

BB ent

sinsin

0sin e 0e

n

te BB

K

sinsin n

te BB

K

sin

1 n

1

1

3

2

2

1 ...

n

n

n

nf

17

• Perioada oscilaţiilor amortizate şi factorul de amortizare sunt date în formularul tehnic al aparatului.

• Diagrama de orientare în meridian este obţinută la înregistratorul automat de drum pe timpul cât girocompasul se orientează în meridian.

• Această diagramă foloseşte pentru a verifica buna funcţionare a elementului sensibil când s-a schimbat sau la înlocuirea lichidului de susţinere, diagramă care se compară cu diagrama obţinută prin calcul.

• Se consideră un girocompas de tip pendular (KURS AUSCHUTZ etc) cu axa deviată în momentul iniţial faţă de meridian cu un unghi , considerăm girocompasul la latitudinea , factorul de amortizare f = 3. Să se determine după cât timp axa girocompasului intră în meridian.

• Pentru ;

01 90 060

060 min120aT

18

• după

• după

• după

• după

• după

• Deci după aproximativ 5 ore axa girocompasului intră în meridian.

min602

aT 012 30

3

min1202

aT 023 10

3

30

3

min1802

aT 034 3,3

3

10

3

min2402

aT 045 1,1

3

3,3

3

min3002

aT 056 3,0

3

1,1

3

19

Fig. 2.33 Diagrama de orientare în meridian

20

• 2.4.2. Metoda deplasării centrului de greutate• Metoda se foloseşte la girocompasele la care transformarea

giroscopului în girocompas s-a făcut cu ajutorul vaselor comunicante cu mercur.

• Pentru compensarea componentei orizontale de rotaţie a Pământului, deci a rotaţiei planului orizontului în jurul direcţiei nord-sud, centrul de greutate al elementului sensibil se deplasează faţă de centrul de suspensie pe axa Oy spre vest (fig.2.34)

• Fig. 2.34 Deplasarea centrului

de greutate la girocompasul cu

mercur

• Cât timp axa Ox a elementului

sensibil este orizontală, momentul

dat de forţa de gravitaţie

este orizontal şi este paralel cu

momentul cinetic ( ) al giroscopului, deci nu apare precesie.

gmG

K

21

• Când axa principală a giroscopului se înclină faţă de planul orizontului cu unghiul (datorită rotaţiei planului orizontului) momentul dat de forţa nu mai este paralel cu momentul cinetic ( ) (fig. 2.35), rămânând în planul orizontului.

• Momentul ( ) dat de forţa se descompune în două componente: componenta ( ) coliniară cu momentul cinetic , care nu creează precesie şi componenta ce produce precesia după axa Oy.

• Fig. 2.35. Apariţia precesiei

suplimentarela înclinarea axului

girocompasului

• unde:m - masa elementului sensibil;

G

K

0MG

xMK

zM

'p

Fig. 2.35. Apariţia precesiei suplimentarela înclinarea axului girocompasului

K

dgm

K

M

K

M zp

sinsin0'

22

• d - excentricitatea (distanţa de deplasare a centrului de greutate);

• - unghiul de înclinare al axei Ox faţă de planul orizontului.

• Notând cu , constanta constructivă, expresia devine:

•

• Viteza unghiulară de precesie produce viteza liniară orientată spre planul orizontului, care va compensa viteza aparentă de înclinare a axei Ox faţă de planul orizontului, când capătul nordic al axului girocompasului este deasupra planului orizontului are sensul în jos, iar când axa este sub planul orizontului are sensul în sus.

dgmBex

K

Bexp

sin'

4V

1V

4V

4V

23

• 2.4.2.1. Oscilaţiile amortizate ale girocompaselor cu mercur

• Sub influenţa vitezelor aparente şi şi a vitezelor de precesie şi axa elementului sensibil va executa oscilaţii amortizate (fig. 2.36) faţă de planurile meridianului şi orizontului, iar după o perioadă de timp axa principală Ox se va stabiliza în meridian.

• Condiţia de stabilitate în meridian este:

• rezultă condiţiile de echilibru:

1V

2V

3V

4V

32 VV

41 VV

pvz '

poy K

B eHgt

sinsin

K

B eexet

sinsincos

ee sinK

B eHgt

sin

K

B eexet

sincos

Hg

te B

K sin tg

B

B

Hg

exe sin ee sin

Hg

te B

K sin tg

B

B

Hg

exe

24

Fig. 2.36. Oscilaţiile amortizate ale girocompaselor cu vase comunicante cu mercur

25

• Unghiul reprezintă eroarea de amortizare, este proporţională cu latitudinea locului, la Ecuator axa elementului sensibil se stabilizează în meridianul adevărat, eroarea de amortizare fiind zero.

• 2.4.3. Metoda electromagnetică de amortizare a oscilaţiilor

• Pentru obţinerea momentelor în vederea creării precesiei în planele orizontului şi meridianului se folosesc traductoare de moment orizontal (TMO) respectiv de moment vertical (TMV)

• Constructiv se realizează astfel încât vitezele de precesie liniare şi să acţioneze la fel ca la girocompasul cu mercur, astfel că oscilaţiile amortizate la acest tip de girocompas sunt asemănătoare cu ale girocompasului cu vase comunicante cu mercur (fig. 2.41).

e

3V

4V

26

• Condiţia de stabilitate

în meridian este:

se înlocuieşte în prima ecuaţie: Fig. 2.41. Oscilaţiile amortizate ale girocompasului electromagnetic

41 VV

32 VV

psoy

0vz

K

B eemzet

sincos

K

B eemyt

sin

emy

te B

K sin

KB

KB

emy

temzet

sinsincos

tg

B

B

B

B

emy

emz

t

t

emy

emze

cos

sinsin

tgB

B

emy

emzee sin

27

• - valorile unghiurilor la echilibru.

• Condiţia de echilibru în meridian:

• Eroarea de amortizare se poate anula prin aplicarea unei tensiuni de corecţie la traductoare de moment orizontal pentru creşterea vitezei astfel încât axa girocompasului să vină în meridianul adevărat.

• Pentru determinarea tensiunii de corecţie recalculăm condiţia de echilibru în condiţiile aplicării tensiunii de corecţie la traductorul orizontal.

• din a doua ecuaţie rezultă:

• se înlocuieşte în ecuaţie:

ee ,

tgB

B

emy

emze

emy

te B

K sin

3V

K

UKUK

K

UUK

K

BCTioATioCATioeemy

p

K

B eemzet

sincos

K

UK

K

BCTioeemy

t

sin

emy

CTiote B

UKK

sin

28

• se pune condiţia şi rezultă:

• de unde rezultă tensiunea de corecţie:

• Se observă că tensiunea de corecţie pentru

anularea erorii de amortizare este proporţională cu sinusul latitudinii la care se navigă.

cos

sinsin

t

CTiot

emy

emze K

UKK

B

B

0sin e 0sin CTiot UKK

sin

Tio

tC K

KU

29