1 R RA AC CI IO OC C N NI IO O L L G GI IC CO O E EN NV VO OL LV VE EN ND DO O P PR RO OB BL LE EM MA AS SA AR RI IT TM M T TI IC CO OS S, , G GE EO OM M T TR RI IC CO OS S E E M MA AT TR RI IC CI IA AI IS S P PO OL L C CI IA A F FE ED DE ER RA AL L - - C CE ES SP PE E Prof. Weber Campos webercampos@gmail.com Agora Eu Passo - AEP www.cursoagoraeupasso.com.br www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 2 NDICE 1. PROBLEMAS ARITMTICOS3 2. PROBLEMAS MATRICIAIS9 - Matrizes 9 - Sistemas Lineares20 3. PROBLEMAS GEOMTRICOS26 EXERCCIOS PROPOSTOS55 GABARITO60 www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 3 PROBLEMAS ARITMTICOS Asoluodeumproblemaaritmticoenvolveapenasoconhecimentodasoperaes matemticaselementares:adio,subtrao,multiplicaoediviso.Vejamosalgunsproblemas resolvidos a seguir. Resolues de Problemas Aritmticos 01. (TFC/96Esaf)Emumedifciodeapartamentos,exatamente1/3dosapartamentossode3 dormitrios, e exatamente 1/7 dos apartamentos de 3 dormitrios so apartamentos de frente. Um valor possvel para o numero total de apartamentos do edifcio : a) 42c) 51e) 57 b) 50d) 56 Soluo: O enunciado nos informa que: - 1/3 dos apartamentos so de 3 dormitrios; - 1/7 dos apartamentos de 3 dormitrios so apartamentos de frente. pedidonaquestoonmerototaldeapartamentosdoedifcio.ChamaremosdeN esta quantidade. Da, encontramos que: N de apart. de 3 dormitrios = 1/3 x N = N/3 N de apart. de frente de 3 dormitrios = 1/7 x N/3 = N/21 Encontraremosaopocorretadaquesto,apartirdofatodequeasduasquantidades acima (N/3 e N/21) devem ser nmeros inteiros.Passemos ao teste das alternativas. Teste da letra A: N=42 Substituindo N por 42 na razo N/3, vem: 42/3 = 14 (inteiro!) Substituindo N por 42 na razo N/21, vem: 42/21 = 2 (inteiro!) Como ambas as razes resultaram em valores inteiros, ento aalternativa A a resposta da questo. Resposta: Alternativa A. Nas demais alternativas pelo menos uma das fraes (N/3 e N/21) no resultar num valor inteiro. 02. (CVM2000ESAF)Ernesto,ErnanieEveraldosotrsatletasqueresolveramorganizarum desafio de ciclismo entre eles. Ficou combinado o total de pontos para o primeiro, o segundo e o terceirolugaresemcadaprova.Apontuaoparaoprimeirolugarmaiorqueaparao segundo e esta maior que a pontuao para o terceiro. As pontuaes so nmeros inteiros positivos. O desafio consistiu de n provas (n > 1), ao final das quais observou-se que Ernesto fez 20 pontos, Ernani 9 pontos e Everaldo 10 pontos. Assim, o nmero n de provas disputadas no desafio foi igual a: a) 2b) 3c) 5d) 9e) 13 Soluo: O total de pontos nas n provas igual soma dos pontos obtidos pelos trs atletas: Total de pontos = 20 + 9 + 10 = 39 pontos Vamos calcular o total de pontos de outra forma, para comparar com o resultado acima.No houve empates nas n provas disputadas pelos trs atletas, assim em cada prova haver um 1 lugar (a pontos), um 2 lugar (b pontos) e um 3 lugar (c pontos).www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 4 Em 1(uma) prova, a soma dos pontos dos trs primeiros lugares igual a: a + b + c. Desta forma, o total de pontos nas n provas igual a: Total de pontos = n.a + n.b + n.c Comparandoesteresultadocomoresultadoobtidonoinciodasoluo,formaremosa seguinte equao: n.a + n.b + n.c = 39 Colocando o n em evidncia, vem: n . (a+b+c) = 39 Oprimeiromembrodaequaoacimaoprodutodedoisvalores:ne(a+b+c).O segundomembro(39)podetambmserescritocomoumprodutodedoisnmeros.Hapenas quatro possibilidades:1) 39 x 12) 1 x 393) 13 x 34) 3 x 13 Testaremos cada uma dessas possibilidades: 1) Teste do 39x1 n . (a+b+c) = 39 . 1 Comparando os dois membros da equao, encontramos que: n=39e (a+b+c)=1 A pontuao (a, b e c) para as posies em cada prova so nmeros inteiros positivos (1, 2, 3,4,...).Assim,ovalor mnimo da soma(a+b+c)6(quandoa=3, b=2 ec=1).Logo,(a+b+c) no pode ser igual a 1. Teste invlido! 2) Teste do 1x39 n . (a+b+c) = 1 . 39 Comparando os dois membros da equao, encontramos que: n=1e (a+b+c)=39 O enunciado diz que n maior do que 1, portanto teste invlido! 3) Teste do 13x3 n . (a+b+c) = 13 . 3 Comparando os dois membros da equao, encontramos que: n=13 e (a+b+c)=3 J havamos concludo que o valor mnimo da soma (a+b+c) 6. Logo, (a+b+c) no pode ser igual a 3. Teste invlido! 4) Teste do 3x13 n . (a+b+c) = 3 . 13 Comparando os dois membros da equao, encontramos que: n=3 e (a+b+c)=13 Os valores acima so permitidos! Da, o nmero de provas realizadas igual a 3.Resposta: Alternativa B. 03. (FUVEST)Emumacaixaautomticadebancostrabalhacomnotasde5e10reais.Um usuriodesejafazerumsaquedeR$100,00.Dequantasmaneirasdiferentesacaixa eletrnica poder fazer esse pagamento? a) 5 d) 15 b) 6 e) 20 c) 11 Soluo: www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 5 Temos os seguintes dados: - A caixa tem notas de 5 e 10 reais;- preciso fazer um saque de R$ 100,00.Designaremos por x e y as quantidades de notas de 5 reais e 10 reais, respectivamente, queserousadasparacomporosaquede100reais.Apartirdestasconsideraes,podemos formar a equao: 5x + 10y = 100 reais Simplificaremos esta equao dividindo os coeficientes por 5: x + 2y = 20 Atribuiremosvaloresparaumadasvariveisafimdedescobrirassoluesdaequao. Cada soluo corresponder a um modo de realizar o saque de 100 reais! prefervelescolheravarivelquepossuiomaiorcoeficientenaequao(ouseja,a varivel que est associada nota de maior valor). Logo, atribuiremos valores a varivel y.Na equao: x + 2y = 20, atribuiremos inicialmente o valor zero para a varivel y. Depois, iremos aumentando o valor de y de 1 unidade at encontrarmos todos os possveis valores para y. - Para y=0, o valor de x : x + 2 . 0 = 20 x=20 - Para y=1, o valor de x : x + 2 . 1 = 20 x=18 - Para y=2, o valor de x : x + 2 . 2 = 20 x=16 Observequemedidaqueaumentamosoyde1unidade,ovalordexdiminuide2 unidades. Portanto, no necessrio continuar calculando o x a partir da equao, pois j sabemos como est sendo a sua variao. Colocaremos todos os resultados para y e x na tabela abaixo: y (n de notas de 10)x (n de notas de 5) 020 118 216 314 412 510 68 76 84 92 100 Observe na tabela que o ltimo valor de x zero, no podemos reduzir mais do que isso, seno o valor de x ficar negativo. O que significa cada linha da tabela acima? O par (x, y) de uma mesma linha indica de que formavamos comporomontante de100reais.Porexemplo,aterceira linhatraz:y=2e x=16. Isso significa que vamos compor a quantia de R$ 100,00 usando 2 notas de R$ 10,00 e 16 notas de R$ 5,00. Ok? Portanto, o nmero de linhas da tabela indica o nmero de modos que pode ser efetuado o saque de 100,00 reais. Como na tabela existem 11 linhas, ento h 11 modos de efetuar o saque de 100,00 reais. Resposta: Alternativa C. www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 6 04. (TRF 1 Regio Tcnico Jud 2006 FCC) Certo dia, um tcnico judicirio foi incumbido de digitar um certo nmero de pginas de um texto. Ele executou essa tarefa em 45 minutos, adotando o seguinte procedimento: nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total das pginas e mais meia pgina; nos 15 minutos seguintes, a metade do nmero de pginas restantes e mais meia pgina; nos ltimos 15 minutos, a metade do nmero de pginas restantes e mais meia pgina. Se, dessa forma, ele completou a tarefa, o total de pginas do texto era um nmero compreendido entre (A) 5 e 8(B) 8 e 11(C) 11 e 14(D) 14 e 17(E) 17 e 20 Soluo: Chamaremos o total de pginas do texto de N.Vamos colocar abaixo a seqncia das digitaes. 1) Nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total das pginas e mais meia pgina: N TemosinicialmenteNpginas.Aodigitarametadedototaldepginas,sobraraoutra metade, por isso que abaixo da primeira seta colocamos a multiplicao por 1/2. Aps digitar mais meiapgina,teremosmeiapginaamenos,porissoqueabaixodasegundasetacolocamosa subtrao por 1/2. O que vem depois de cada seta o nmero de pginas do texto que resta ainda a digitar. 2) Nos 15 minutos seguintes, a metade do nmero de pginas restantes e mais meia pgina: N Ao digitar a metade do nmero de pginas que resta, sobrar a outra metade, por isso que abaixo da terceira seta colocamos a multiplicao por 1/2. Aps digitar mais meia pgina, teremos meia pgina a menos, por isso que abaixo da quarta seta colocamos a subtrao por 1/2. 3) Nos ltimos 15 minutos, a metade do nmero de pginas restantes e mais meia pgina: N Ao digitar a metade do nmero de pginas que resta, sobrar a outra metade, por isso que abaixo da quinta seta colocamos a multiplicao por 1/2. Aps digitar mais meia pgina, teremos meia pgina a menos, por isso que abaixo da sexta seta colocamos a subtrao por 1/2.Ao final dessas operaes ele completou a tarefa, ou seja, no sobrou nenhuma pgina. Por este motivo colocamos o valor zero ao final da seqncia. ParaencontrarovalordoN,iniciaremosdovalorzero,queestaofinaldaseqncia,e caminharemosemdireoaoinciodaseqncia,fazendoaolongodessecaminhoasoperaes inversas quelas que esto anotadas abaixo de cada seta.Aoperaoinversadasubtraopor1/2asomapor1/2.Eaoperaoinversada multiplicao por 1/2 a diviso por 1/2 (que o mesmo que multiplicar por 2).O novo desenho com as operaes inversas dado abaixo. N Vamosagoraexecutarasoperaesqueestoescritasabaixodecadaseta,iniciandoa partir do valor zero que est ao final da seqncia. Faremos passo a passo: 0 x 1/2- 1/2 x 1/2 x 1/2- 1/2- 1/2 x 1/2x 1/2- 1/2- 1/2- 1/2x 1/2 0 x 2x 2+1/2+1/2+1/2x 2 www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 7 1 passo) N 2 passo) N 3 passo) N 4 passo) N 5 passo) N 6 passo) N = 7 Pronto! Encontramos que N igual a 7. Resposta: Alternativa A. 05.Um produto que custava R$ 80,00 sofreu um aumento de 15%. Quanto passou a custar? Soluo:novo preo = 80 + 15% x 80= 80 + 0,15 x 80 = 80 + 12 = 92,00. 06.Um artigo custa R$ 250,00. Com uma reduo de 35% no seu valor, quanto passar a custar? Soluo:novo preo = 250 35% x 250 = 250 0,35 x 250 = 250 87,5 = 162,50. 07.Numa escola de 800 alunos, temos que 60% so meninas. Qual a quantidade de meninos? Soluo: Comoaquantidadedemeninasrepresenta60%dototal,aquantidadedemeninos representar 40% do total. Da, teremos: Nmero de meninos = 40% de 800 = 0,4 x 800 = 4 x 80 = 320(Resposta!) 08.Numa urna, 35% das bolas so pretas e as outras 455 so brancas. Quantas bolas h na urna? Soluo: Aporcentagemdebolasbrancasnaurnaiguala65%(=100% 35%)dototal. Considerando que o total de bolas da urna X, podemos montar a seguinte equao: 455 % 65 = X 1/2 0 x 2x 2+1/2+1/2+1/2x 2 1/2 0 1 x 2x 2+1/2+1/2+1/2x 2 1/2 0 3/2 1 x 2x 2+1/2+1/2+1/2x 2 1/2 0 33/2 1 x 2x 2+1/2+1/2+1/2x 2 1/2 0 7/2 33/2 1 x 2x 2+1/2+1/2+1/2x 2 1/2 0 7/2 33/2 1 x 2x 2+1/2+1/2+1/2x 2 www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 8 Resolvendo vem: 700 100 713100 9165100 45565 , 0455= === = XPortanto, h 700 bolas na urna. 09.Certo produto passou de R$ 24,00 para R$ 30,00. Qual foi a taxa percentual de aumento? Soluo: Aumento em reais = 30 24 = 6,00 Avariaopercentualpodesercalculadadividindo-seoaumentoemdinheiropelovalor inicial do produto: % 25 25 , 0246= =(Resposta!) 10. OsalriodeAmarildo 30% maior queo deBrunoeosalrio deste20%menorqueode Carlos. A soma dos salrios dos trs igual a R$ 5680,00. Qual o salrio de cada um deles? Soluo: Vamos designar as seguintes letras: A = salrio de Amarildo B = salrio de Bruno C = salrio de Carlos Do enunciado, temos que: A = B + 30%.B = 1,3.B B = C 20%.C = 0,8.C Devemostrabalharapenascomumaletra,paratantovamoscolocarAemfunodeC. Teremos: A = 1,3.B = 1,3.(0,8C) = 1,04.C A expresso da soma dos salrios : A + B + C = 5680 Vamos substituir as letras A e B em funo de C: 1,04C + 0,8C + C = 5680 2,84C = 5680 C = 5680/2,84 C = 2000 Da: A = 1,04.C = 1,04 . 2000 = 2080 B = 0,8.C = 0,8 . 2000 = 1600 Portanto,o salriode Amarildo R$ 2080,00, ode Bruno R$ 1600,00 e ode Carlos de R$ 2000,00.www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 9 PROBLEMAS MATRICIAIS IMPORTANTE:NoprogramadoconcursodaPolciaFederal/2012apareceotpicoProblemas Matriciais. Na pesquisa que realizei nas provas passadas do Cespe que apresentavam esse mesmo tpico,observeiqueforamcobradosapenasproblemasqueenvolviamasoluodesistemasde equaes (pgina 20).Dequalquermodo,coloqueinestematerialalgunsfundamentosbsicosdeMatrizeseem seguida a soluo de Sistemas de Equaes do 1 grau (Sistemas Lineares). 1.MATRIZES 1.1.Conceito de Matriz Ditodaformamaissimplespossvel,umaMatriznadamaisqueumatabela,queserve para a organizao de dados numricos.Esta tabela ser limitada por colchetes (ou parnteses), dentro dos quais estaro dispostos os valores numricos. As linhas de uma matriz so enumeradas de cima para baixo e as colunas so enumeradas da esquerda para a direita. Vejamos um exemplo de matriz com 3 linhas e 4 colunas: A = ---6 / 1 8 2 15 20 7 04 0 1 3 Aordemdeumamatrizindicaoseutamanhoeformato,aqualvaidependerda quantidade de linhas e de colunas. Dizemos que a matriz A uma matriz de ordem 3 x 4 (l-se trs por quatro), pois ela possui 3 linhas e 4 colunas. Mais exemplos: B = -0 17 713 5 uma matriz 3 x 2. C = - 9 45 2 / 1 uma matriz 2 x 2. D =[ ] 8 4 11 - uma matriz 1 x 3. E = 0105 uma matriz 3 x 1. imprescindvel que guardemos essa ordem: linhas x colunas. Para efeitos mnemnicos, podemos gravar a palavra LI-CO, designando a ordem linha x coluna. 1.2.Elementos de uma Matriz Seja uma matriz A com m linhas e n colunas, ou seja, do tipom x n. Um elemento qualquer dessamatrizserrepresentadosimbolicamenteporaij,emqueosndicesiejindicam, respectivamente, a linha e a coluna no qual se encontra tal elemento.1a

2a

3a

1a 2a 3a 4a

colunas linhas www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 10 Assim,setemosoelementoa12 (l-sea,um,dois), esteseroqueocupaa1 linhaea2 coluna da matriz. Por sua vez, o elemento a32 ser aquele que ocupa a terceira linha e a segunda coluna da matriz.NamatrizA,dadaabaixo,identificaremosoa23,ouseja,oelementoqueseencontrana2 linha e 3 coluna: A = ---6 / 1 8 2 15 20 7 04 0 1 3 Logo: a23 = 20. Portanto, uma matriz A, do tipo m x n, pode ser representada da seguinte forma: A = mn m m mnnna a a aa a a aa a a aa a a aLM M M MLLL3 2 13 33 32 312 23 22 211 13 12 11 De forma simplificada, a mesma matriz A tambm pode ser representada como: A = (aij)m x nou Am x n = (aij) Como i indica a linha da matrizm x n onde se encontra o elemento, entoi assume todos os valores 1, 2, 3, ..., m. Como j indica a coluna da matriz m x n onde se encontra o elemento, ento j assume todos os valores 1, 2, 3, ..., n. Importante lembrar que sempre a linha vem antes da coluna. Numa matriz 5 x 7, so 5 linhas e 7 colunas. No elemento a4,5, tal elemento est na 4 linha e 5 coluna. 1.3.Lei de Formao de uma Matriz Se estivermos trabalhando com a matriz A de ordem 3 x 3, seus elementos sero os seguintes: A = 33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a a Precisaremosconhecerbemasimbologiaaijparaacertarmosumtipodequestomuito freqenteemprovasderaciocniolgico.Ora,muitasvezesasquestesjtrazemasmatrizes prontas, com seus respectivos valores numricos. Outras vezes, a questo apresenta apenas uma lei de formao da matriz. Neste caso, cabe a ns construirmos a matriz, obedecendo quela lei. Como isso? Vejamos alguns exemplos.Exemplo 01:Encontre a matriz do tipo 3 x 3 que tem a seguinte lei de formao: X=xi,j , tal que xi,j= (i2 - j) Soluo: Oquesignificaisso?Significaqueteremosquecalcularelementoporelemento(xi,j)da matriz X, sempre obedecendo essa relao apresentada.Ora, se a questo disse que se trata de uma matriz do tipo 3 x 3, seus elementos sero os seguintes: m linhas n colunas www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 11 X = 33 32 3123 22 2113 12 11x x xx x xx x x Observe que os ndices i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna do elemento que estar sendo calculado. Assim, teremos que: x11 = (12 1) = 0 x12 = (12 2) = -1 x13 = (12 3) = -2 x21 = (22 1) = 3 x22 = (22 2) = 2 x23 = (22 3) = 1 x31 = (32 1) = 8 x32 = (32 2) = 7 x33 = (32 3) = 6 E agora sim, acabamos de compor nossa matriz X, que a seguinte: X = - -6 7 81 2 32 1 0 1.4.Matrizes Especiais Dependendodequalsejaaordemdeumamatriz,elapoderreceberdeterminadas nomenclaturas. Alguns nomes dados a certas matrizes so os seguintes: Matriz Linha: aquela, como o prprio nome sugere, formada por apenas uma linha. C =[ ] 8 3 5 - uma matriz linha 1x3. Matriz Coluna: aquela que apresenta uma nica coluna.D = 046 uma matriz coluna 3x1. Matriz Nula: aquela cujos elementos so todos iguais a zero. F = 0 00 0 uma matriz nula 2 x 2.G =[ ] 0 0 0 uma matriz nula 1 x 3.Matriz Quadrada: aquela que tem o mesmo nmero de linhas e de colunas.A= -4 07 5umamatrizquadrada2x2.DizemosqueAquadradadeordem2(ou2 ordem). www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 12 B = - -6 7 81 2 32 1 0 uma matriz quadrada 3 x 3. Dizemos que A quadrada de ordem 3 (ou 3 ordem).Ainda sobre a Matriz Quadrada, convm sabermos que essa matriz tem duas diagonais, que seroditasdiagonalprincipalediagonalsecundria.Pelodesenhoabaixo,aprenderemosa reconhecer cada uma delas. Vejamos: 33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a a Diagonal SecundriaDiagonal Principal Adiagonalprincipal,portanto,comeadoelementoesquerdanaprimeiralinha,evai descendo para o sentido da direita. O inverso ocorre com a diagonal secundria. Observequenoselementosdadiagonalprincipal,ondicedalinhaigualaondiceda coluna: a11, a22, a33. Somenteratificando:sfalaremosnasdiagonais principal esecundriaquandoestivermos trabalhando com Matrizes Quadradas! Maisumacoisa,chama-setraodeumamatrizquadradaasomadoselementosdesua diagonal principal. MatrizIdentidadeouMatrizUnidade:aquelacujoselementosdadiagonalprincipalso todos iguais a 1, e os demais elementos da matriz, iguais a 0 (zero). (A matriz identidade um tipo particular de matriz diagonal.) I2=1 00 1 uma matriz identidade de 2 Ordem, designada por I2. I3=1 0 00 1 00 0 1 uma matriz identidade de 3 Ordem, designada por I3. Matriz Transposta Trata-sedeumconceitomuitovisadopelaselaboradoras!Etambmumconceitomuito simples. Se temos uma matriz A qualquer, diremos que a matriz transposta de A, designada por At, ser aquela que resultar de uma transposio entre linhas e colunas da matriz original. Ditodeumaformamaisfcil:parachegarmosmatriztransposta,tomaremosamatriz original e, nesta ltima, quem linha vai virar coluna! S isso! Exemplo 02:Encontre a matriz transposta da matriz A=4 32 1. Soluo: As duas linhas da matriz A so destacadas abaixo: A = 4 32 1 Poisbem!AprimeiralinhadeAeasegundalinhadeAvovirar,respectivamente,a primeira coluna e a segunda coluna da transposta de A! Teremos: www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 13 At = 4 23 1 Quando se faz a transposta da transposta volta-se a matriz original, simbolicamente: (At)t = A. 1.5.Igualdade de Matrizes Duas matrizes de mesma ordem so ditas iguais quando apresentarem todos os elementos correspondentes iguais. Exemplo 03:Encontre os valores a, b e c sabendo que as matrizes X e Y so iguais. X = +- -3 8 075 4a c b b a,Y = -3 8 013 7 65 4 9. Soluo:Seduasmatrizessoditasiguais,entoiguaissoosseuselementoscorrespondentes! Logo, teremos trs igualdades que envolvem as letras: 1)a b = 9 2)b = 6 3)c + a = 13 Da segunda igualdade, temos: b = 6.Substituindo b por 6 na primeira e igualdade, encontraremos: a 6 = 9 a = 15 Substituindo a por 15 na terceira igualdade, encontraremos: c + 15 = 13c = -2 Pronto! 1.6.Adio e Subtrao de Matrizes Aprimeiracoisaaserditaaseguinte:spossvelsomar(ousubtrair)matrizesde mesma ordem! E mais: o resultado da soma (ou subtrao) entre matrizes ser sempre uma outra matriz, de mesma ordem daquelas que foram somadas (ou subtradas)! Comisso,jmatamosaseguintecharada:suponhamosqueumenunciadodigaque,ao somarmosasmatrizesAeB,talsomaresultarnumamatrizZ,de2ordem.Ora,comisso, saberemos imediatamente que as matrizes A e B so tambm matrizes quadradas de 2 ordem! E vejam que isso no foi dito expressamente pela questo! Essa informao estava nas entrelinhas!Parasomarmos(ousubtrairmos)duasmatrizes,steremosquesomar(ousubtrair)os elementos que estejam nas posies correspondentes! Vejamos dois exemplos: Exemplo 04:Sejam as matrizes A e B, tais que: A = 8 35 2e B = 1 23 4 Qual ser a matriz resultante da soma A+B? Soluo: Teremos:www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 14 8 35 2+ 1 23 4 = + ++ +1 8 2 33 5 4 2 = 9 58 6 (resposta!) DesignandoamatrizsomaporS,podemosestabelecerasseguintesrelaesentreos elementos das matrizes A, B e S: s11 = a11 + b11; s12 = a12 + b12 s21 = a21 + b21;s22 = a22 + b22 Enfim, no h segredo algum na soma de matrizes! Exemplo 05:Sejam as matrizes A e B, tais que: A = 8 35 2e B = 1 23 4 Qual ser a matriz resultante da diferena A B? Soluo: Teremos:8 35 2 1 23 4 = - -- -1 8 2 33 5 4 2 = -7 12 2 (resposta!) Exemplo 06:(AFC-SFC 2001) A matriz S = sij, de terceira ordem, a matrizresultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que aij = i2 +j2 e que bij = 2ij, en-to a soma dos elementos s31 e s13 igual a: a) 12b) 14c) 16d) 24e) 32 Soluo: Comecemos pela seguinte anlise: o enunciado diz que a matrizS a que resulta da soma deduasoutrasmatrizes,equesetratadeumamatrizquadradadeterceiraordem.Da, concluiremos que as duas matrizes que esto sendo somadas so igualmente matrizes quadradas de terceira ordem! Ora, a questo no nos deu as matrizes A e B j construdas. Em vez disso, forneceu-nos as respectivas leis de formao de uma e de outra. Teramos, pois, a princpio, ter que construir estas duas matrizes, para depois som-las. Ocorre que, numa leitura mais atenta do enunciado, percebemos que a resposta procurada dizrespeitoapenasadoiselementosdamatrizsoma,quaissejam,s31 es13.Assim,nemser necessrio construir toda a matriz A ou toda a matriz B. Claro que no! Como S = A + B, ento apenas nos lembraremos que: s13 = a13 + b13es31 = a31 + b31 ApartirdaleideformaodamatrizA,encontraremosa13ea31.Eapartirdaleide formao da matriz B, encontraremos b13 e b31. A lei de formao da matriz A : aij = i2 +j2. Clculo do elemento a13: Do elemento a13, temos: ndice i igual a 1, e ndice j igual a 3. Vamos lanar esses valores na lei de formao da matriz A: aij = i2 +j2 a13 = 12 +32 = 1 + 9 = 10 Clculo do elemento a31: Do elemento a31, temos: ndice i igual a 3, e ndice j igual a 1. Vamos lanar esses valores na lei de formao da matriz A: www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 15 aij = i2 +j2 a31 = 32 +12 = 9 + 1 = 10 A lei de formao da matriz B : bij = 2ij. Clculo do elemento b13: Do elemento b13, temos: ndice i igual a 1, e ndice j igual a 3. Vamos lanar esses valores na lei de formao da matriz B: bij = 2ij b13 = 2.1.3 = 6 Clculo do elemento b31: Do elemento b31, temos: ndice i igual a 3, e ndice j igual a 1. Vamos lanar esses valores na lei de formao da matriz B: bij = 2ij b31 = 2.3.1 = 6 Com isso, chegaremos a s13 e s31: s13 = a13 + b13 = 10 + 6 = 16 s31 = a31 + b31 = 10 + 6 = 16 Finalmente, chegaremos ao que nos pede a questo, da seguinte forma: s13 + s31 = 16 + 16 = 32 Resposta: Alternativa E. 1.6.1. Propriedades da Adio de Matrizes SejamA,B,CeOmatrizesdemesmaordem,sendoOamatriznula.Ento,valemas seguintes propriedades para a adio de matrizes: i.Propriedade Comutativa: A + B = B + A ii.Propriedade Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) iii.Existncia de um elemento neutro: A + O = A iv.Existncia de matriz oposta: A + (-A) = O v.Transposta da soma: (A + B)t = At + Bt

1.7.Produto ou diviso de um nmero real por uma Matriz Estetipodeoperaotambmnotemnenhumsegredo.Apenasmultiplicaremos(ou dividiremos) a constante por cada um dos elementos da matriz. E chegaremos matriz resultante! Exemplo 07: 3 x -1 50 2 = - 1 3 5 30 3 ) 2 ( 3 = -3 150 6 Exemplo 08: 36 50 9 - = -3 6 3 53 0 3 9 = -2 3 50 3 www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 16 Sejam A, B e O matrizes de mesma ordem m x n, sendo que O a matriz nula. Considere, ainda, que c e k so nmeros reais quaisquer. Feitas essas consideraes, so vlidas as seguintes propriedades: i.1 . A = A ii.0 . A = O iii.k . O = O iv.k . (A + B) = k . A + k . B v.(A + B) . k = k . A + k . B vi.k . (c . A) = (k . c) . A vii.(k . A)t = k . At 1.8.Multiplicao de Matrizes Aqui se costuma fazer alguma confuso! Embora seja igualmente muito fcil se multiplicar duas matrizes. Vamos aprender com calma. Antesdequalquercoisa,convmsabermosquehumaexignciaparaquesepossa multiplicar duas matrizes. Ou seja, no so quaisquer duas matrizes que podem ser multiplicadas! Para que seja possvel se efetuar o produto de duas matrizes, preciso que se verifique o seguinte: que o nmero de colunas da primeira matriz seja igual ao nmero delinhas da segunda matriz. Se essa exigncia se verificar, ento o produto possvel. Caso contrrio, nada feito! Outracoisaimportante:aosemultiplicarduasmatrizes,qualseradimensodamatriz resultante? Aprenderemos da seguinte forma: suponhamos que pretendemos multiplicar a matriz A, de dimenso 3x2, com a matriz B, de dimenso 2x5. Teremos, ento, que analisar os valores das dimenses das duas matrizes, da seguinte forma: (A3x2) x (B2x5) (3x2)x (2x5)

Funcionaassim:paraqueoprodutodeduasmatrizessejapossvel,compararemosas dimenses dos meios. Se forem iguais, ento diremos que possvel, sim, realizar esse produto! Se os meios, ao contrrio, fossem diferentes, j nem poderamos multiplicar as matrizes! Uma vez constatado que o produto possvel, verificaremos osextremos: e a ns temos qual ser a dimenso da matriz produto!Neste nosso exemplo acima, teremos que a matriz resultante do produto entreA e B ser uma matriz de dimenso 3x5. Compreendido? Reprisando: os meios dizem se possvel o produto; os extremos dizem a ordem da matriz resultado do produto. Para treinar mais esses conceitos, obteremos em cada produto de matrizes abaixo a ordem da matriz produto: Exemplo 09: a)A2,4 x B4,5 = C2,5 b)A1,3 x B3,1 = C1,1 c)A3,3 x B3,1 = C3,1 d)A3,2 x B3,4 = no possvel multiplicar Poisbem!Precisamosagoraaprendercomosefazamultiplicao.Tomemosoexemplo seguinte: meios extremos www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 17 Exemplo 10:Multipliquemos as duas matrizes =5 4 33 1 2A e - =2 31 26 4B . Soluo: Vamos averiguar a possibilidade do produto, e qual seria a dimenso da matriz resultante. Teremos: (A2x3) x (B3x2) (2x3)x (3x2)

Concluso: o produto possvel, e a matriz resultante C ter dimenso 2x2: C = A x B = 5 4 33 1 2 x-2 31 26 4 = 22 2112 11c cc c Os ndices desses elementos (cij) da matriz produto tero uma interpretao especial. Temos que saber o seguinte: para achar um elemento da matriz produto, estaremos sempre multiplicando uma linha da primeira matriz por uma coluna da segunda matriz. Sempre assim! Da,nahora decalcularovalordo elementoc11,faremosoprodutodoselementosda1 linha da primeira matriz pelos elementos da 1 coluna da segunda matriz. Ou seja, os ndices desse elemento c11 (da matriz produto) significam o seguinte: c11 1 linha da 1 matriz 1 coluna da 2 matriz Assim,nahoradecalcularoelementoc11,utilizaremosalinhaeacolunadestacadas abaixo: 5 4 33 1 2 x-2 31 26 4 Um modo interessante para encontrar os elementos da matriz produto colocar lado a lado a linha e a coluna a serem multiplicadas. Para colocar lado a lado, teremos que colocar a linha na vertical. Teremos a seguinte disposio: 312 324 E depois efetuaremos a multiplicao entre os elementos correspondentes: 312 324 ===928 Agora, somamos os resultados da multiplicao: meios extremos www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 18 312 324 ===928 19 Logo, c11 = 19. Vamosencontraroselementosrestantesdamatrizprodutoutilizandoessemesmo procedimento. Oelemento c12obtidoapartirdoproduto dos elementosda1 linhadaprimeira matriz (A) pelos elementos da 2 coluna da segunda matriz (B). 312

216-=== 6112- 17 Da: c12 = 17. Oelemento c21obtidoapartirdoproduto dos elementosda2 linhadaprimeira matriz (A) pelos elementos da 1 coluna da segunda matriz (B). 543 324

=== 15812 35 Da: c21 = 35. Oelemento c22obtidoapartirdoproduto dos elementosda2 linhadaprimeira matriz (A) pelos elementos da 2 coluna da segunda matriz (B). 543 216-=== 10418-24 Da: c22 = 24. Com isso, chegamos ao nosso resultado final, ou seja, matriz produto C: C = 24 3517 19 1 linha de A 2 coluna de B 2 linha de A 1 coluna de B 2 linha de A 2 coluna de B www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 19 1.8.1Propriedades da multiplicao de Matrizes A multiplicao de matrizes possui as seguintes propriedades: i.Propriedade Associativa: (A . B) . C = A . (B . C) ii.Propriedade Distributiva Esquerda: A . (B + C) = A . B + A . C iii.Propriedade Distributiva Direita: (A + B) . C = A . C + B . C iv.Existncia de um elemento neutro: A . I = I . A = A v.Transposta do produto: (A . B)t = Bt . At

vi.Potncia de uma matriz: An = A . A . A . ... . A Note que no temos a propriedade comutativa, pois no podemos garantir que A.B igual a B.A. Exemplo 11:(TFC-97) Se A, B e C so matrizes de ordens respectivamente iguais a (2x3), (3x4) e (4x2), ento a expresso [A . (B . C)]2 tem ordem igual a: a) 2 x 2 c) 4 x 4e) 12 x 12 b) 3 x 3 d) 6 x 6 Soluo: Umaquestoquetrataunicamenteacercadaordem(dimenso)dasmatrizes.Eissoj aprendemos perfeitamente. Vamos, portanto, substituir a letra da matriz pela sua ordem, conforme nos forneceu o enunciado.Teremos: [A. (B . C)]2 = {(2x3).[(3x4).(4x2)]2} Primeiramente devemos fazer o produto das matrizes B e C, que esto dentro do parntese! Teremos: (B3x4) x (C4x2) (3 x 4) x (4 x 2) meios extremos O resultado, conforme podemos ver no esquema acima, ser uma nova matriz de dimenso (3x2), que so os extremos das ordens das matrizes multiplicadas! Pois bem! Teremos agora que multiplicar a matriz A, de dimenso (2x3) pela matriz produto que acabamos de encontrar, de ordem (3x2). Teremos: (2 x 3) x(3 x 2) meios extremos Da,chegamosaumanovamatriz,dedimenso(2x2),conformepercebemospelo esquema acima. Esse o resultado final do produto [A . (B . C)].S que a questo quer mais! Quer que elevemos esse resultado ao quadrado! Ora, A2 = A.A (assim como A3 = A.A.A, e assim por diante). preciso, finalmente, que ns multipliquemos essa matriz resultante por ela mesma. Teremos, pois, que: (2 x 2) x(2 x 2) meios extremos

n fatores www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 20 Ouseja,oresultadofinaldaexpressotrazidapeloenunciadojustamenteumamatriz quadrada de 2 ordem: uma matriz de dimenso (2x2). Resposta: Alternativa A. Exemplo 12:(TFC 1995 ESAF) Dada as matrizes =1 02 1A, =12Be =baX , assinale os valores de a e b, de modo que AX=B a) a=0 e b=1c) a=0 e b=0e) a=0 e b=-1 b) a=1 e b=0d) a=1 e b=1 Soluo:AquestoquerquefaamosoprodutoentreasmatrizesAeX,equeigualemosesse resultado matriz B. Comecemos, pois, pelo produto. Teremos: A . X = 1 02 1.ba= +=++b b ab ab a 21 02 1 Da, igualando essa matriz produto matriz B, teremos: = +12 2b b a Dessa igualdade, podemos tirar os seguintes resultados: a + 2b = 2e b = 1 Encontramos: b = 1! Vamos substituir esse resultado na equao acima: a + 2b = 2a + 2.1 = 2 a = 0 Chegamos ao nosso resultado: a = 0 e b = 1. Resposta: Alternativa A. 2. SISTEMAS LINEARES 2.1.Conceito de Sistema Linear Um sistema de equaes lineares ou, simplesmente, sistema linear um conjunto de duas ou mais equaes lineares. Por exemplo: = += -9 47 3 2y xy x Este sistema linear apresenta duas equaes e duas incgnitas (ou variveis): x e y. Os nmeros que vem juntos com as incgnitas so chamados de coeficientes. Na primeira equao, o coeficiente de x 2 e o coeficiente de y -3. O nmero que no vem acompanhado de incgnita, e que nesse exemplo aparece direita do sinal de igual, chamado de termo independente. Veja outro exemplo de sistema linear com trs equaes e trs incgnitas: - = + - -= - += + -8 312 45 2 3z y xz y xz y x www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 21 importante saber que numa equao linear os expoentes das incgnitas so todos iguais a 1. Dessa forma, no so equaes lineares: 3x2 2y = 8x + 1/y = 10 Tambm no so equaes lineares: 2xy + 3z = 14 x y + zw = 20 2.2.Representao de um Sistema Linear na Forma Matricial Lembrandooconceitodeprodutodematrizes,possvelrepresentarqualquersistema linear na forma matricial. Vejamos: = += -9 47 3 2y xy x Forma matricial: = -974 13 2yx. - = + - -= - += + -8 312 45 2 3z y xz y xz y x Forma matricial: -=- ---81251 3 14 1 11 2 3zyx. A matriz formada pelos coeficientes das incgnitas chamada de Matriz Incompleta.Algumasvezespodesernecessrioarrumarosistemadeequaesantesdemontaras matrizes,colocandoasincgnitasnumamesmaordemdentrodecadaequaodosistemae passando os termos independentes para a direita do sinal de igual. Vejamos o prximo exemplo: = + -= - += - + + -0 3 50 14 2 30 5 4 2 3y xz xz x y Aps organizar as equaes do sistema, teremos:- = + -= + += + -3 0 514 2 0 35 4 3 2z y xz y xz y x Forma matricial: -=--31450 5 12 0 34 3 2zyx. A montagem da matriz incompleta s vezesde fundamental importncia na resoluo do sistema linear. 2.3.Soluo de um Sistema Linear Considere o seguinte sistema, composto por duas equaes lineares: = += -9 47 3 2y xy x. Um par de valores (x, y) soluo desse sistema, se for soluo das duas equaes.Numsistemacomtrsincgnitas,asoluoumatriplaordenada(x,y,z)quedever satisfazer a todas as equaes do sistema. Exemplo 13:Encontre a soluo do sistema = += -9 47 3 2y xy x Soluo: Existemdoismtodosbemconhecidospararesolversistemasdeequaes:omtododa substituio e o mtodo da adio.O mtodo da substituio consiste em isolar uma das incgnitas em uma das equaes para depois substituir na outra equao. www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 22 Eomtododaadioconsisteemtornaroscoeficientesdeumadasincgnitascomo mesmo mdulo, mas de sinais contrrios, a fim de eliminar essa incgnita no momento que se faz a soma, membro a membro, das equaes. Vamosoptarpelomtododaadiopararesolveropresentesistema.Multiplicaremosos coeficientes e o termo independente da segunda equao por (-2). Com isso, teremos: - = - -= -18 8 27 3 2y xy x Somando,membroamembro,asduasequaes,avarivelxsereliminadaeficaremos apenas com a seguinte equao: 11 11 - = - yResolvendo, vem:1 = y . Substituindo y por 1 em uma das equaes, encontraremos o x.9 4 = +y x 9 1 4 = + x 5 = xPortanto, o sistema admite uma nica soluo: x=5 e y=1. Podemos tambm representar a soluo pelo par ordenado (5, 1).Exemplo 14:Encontre a soluo do sistema - = + - -= - += + -8 312 45 2 3z y xz y xz y x. Soluo: Quando temos trs variveis e trs equaes, a soluo padro eliminar uma das variveis afimdeficarmoscomduasvariveiseduasequaes.Porexemplo,pelomtododaadio podemoscombinarasduasprimeirasequaesafimdeeliminarmosavarivelx.Emseguida, combinamosasegundaeterceiraequaestambmparaeliminaramesmavarivelx.Desse modo,ficaremoscomduasequaeseduasvariveis(yez).Easeprocedecomofoifeitono exemplo anterior. Masfaremosdiferente,vamosutilizaromtododasubstituioparaeliminarumadas variveis.Isolaremosavarivelznaprimeiraequaoparadepoissubstituirnasoutrasduas equaes.Isolando z na primeira equao: 5 2 3 = + - z y xy x z 2 3 5 + - =Substituindo z nas outras duas equaes: - = + - + - -= + - - +8 ) 2 3 5 ( 312 ) 2 3 5 ( 4y x y xy x y x Simplificando, vem: - = - -= -13 432 7 13y xy x Agora aplicaremos o mtodo da adio. Vamos multiplicar a segunda equao acima por (-7) a fim de eliminar a varivel y. Teremos: = += -91 7 2832 7 13y xy x Somando,membroamembro,asduasequaes,avarivelysereliminadaeficaremos apenas com a seguinte equao: 123 41 = xwww.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 23 Resolvendo, vem:3 = x . Substituindo x por 3 em qualquer uma das equaes de duas variveis, encontraremos o y.13 4 - = - - y x 13 3 4 - = - - y1 = yPor enquanto, encontramos que: x=3 e y=1. Resta ainda o valor de z.Vamos usar a primeira equao dada no enunciado. Teremos: 5 2 3 = + - z y x5 1 2 3 3 = + - z2 - = zPortanto,osistemaadmiteumanicasoluo:x=3,y=1ez=-2.Podemostambm representar a soluo pela tripla ordenada (3, 1, -2).Comohouvesoluoparaosistemadeequaes,podemosclassific-locomo POSSVEL E DETERMINADO. Exemplo 15:Encontre a soluo do sistema = += +45 6 315 2y xy x Soluo: Usando o mtodo da adio, multiplicaremos a primeira equao do sistema por (-3). Com isso, teremos: = +- = - -45 6 345 6 3y xy x Somando, membro a membro, as duas equaes, ficaremos com a igualdade: 0 0 =Todavezqueaparecerumaigualdadedessetipo(0=0;2=2;7=7;...)significaqueo sistematerinfinitassolues.Paraencontraralgumasdessassolues,bastaselecionaruma das equaes do sistema e atribuir valores para uma das variveis.Na equao15 2 = +y xatribuiremos alguns valores a x. Vejamos: x = 0 15 2 0 = +y 5 , 7 = yx = 1 15 2 1 = +y 7 = yx = 2 15 2 2 = +y 5 , 6 = yLogo,ostrsparesordenados:(0,7,5);(1,7);(2,6,5)soalgumasdassoluesdo sistema. A resposta desta questo : o sistema tem infinitas solues. E Esse sistema classificado como POSSVEL E INDETERMINADO. Exemplo 16:Encontre a soluo do sistema = -= -14 6 45 3 2y xy x Soluo: Usando novamente o mtodo da adio, multiplicaremos a primeira equao do sistema por (-2). Com isso, teremos: = -- = + -14 6 410 6 4y xy x Somando, membro a membro, as duas equaes, ficaremos com a igualdade:4 0 =claroquezerono iguala4!Todavezque apareceralgodessetipo(0=4;2=7;4=-1;...) significa que o sistema no tem soluo! Esse sistema classificado como IMPOSSVEL. www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 24 RESOLUES DE PROBLEMAS MATRICIAIS 11. (MPE/PEAnalista2006FCC)Nabeiradeumalagoacircularexiste,dentreoutrascoisas,um bebedouro(B),umtelefonepblico(T)eumacerejeira(C).Curiosamente,umapessoa observou que, caminhando de: - B a T, passando por C, percorreu 455,30 metros; - C a B, passando por T, percorreu 392,50 metros; - T a C, passando por B, percorreu 408,20 metros. O permetro da lagoa, em metros, igual a (A) 942(B) 871(C) 785(D) 628(E) 571 Soluo: Designaremos por x a distncia, pela beira da lagoa, do bebedouro (B) cerejeira (C); por y a distncia da cerejeira (C) ao telefone pblico (T); e porz a distncia do telefone pblico (T) ao bebedouro.Vamos fazer o desenho da lagoa incluindo as distncias x, y e z.

Segundo o enunciado, a distncia de B a T, passando por C, de 455,30 metros. Este mesmo percurso corresponde distncia x+y, ento temos a seguinte igualdade: x + y = 455,30 A distncia de C a B, passando por T, de 392,50 metros. Este mesmo percurso corresponde distncia y+z, ento temos a seguinte igualdade: y + z = 392,50 A distncia de T a C, passando por B, de 408,20 metros. Este mesmo percurso corresponde distncia z+x, ento temos a seguinte igualdade: z + x = 408,20 A questo quer o permetro da lagoa que dado pela seguinte soma: x+y+z.Em questes de Lgica onde a resposta uma soma de variveis (como no caso desta questo, emquepedidaasomax+y+z),semprebomverificarseapartirdasomadasequaes montadas pode-se chegar soma das variveis que se quer encontrar. Se der certo, chegaremos rapidamente resposta da questo.Vamos,ento,somarasequaesabaixo,membroamembro,paraverificarseaparecea soma x+y+z. x + y = 455,30 y + z = 392,50 z + x = 408,20 Somando os primeiros membros das equaes e depois os segundos membros, teremos: x + y + y + z + z + x=455,30 + 392,50 + 408,20 Simplificando, vem: 2x + 2y + 2z = 1256 2.(x + y + z) = 1256 (x + y + z) = 628 B CT x y z www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 25 Encontramos a soma (x + y + z)! Ela igual a 628! Resposta: Alternativa D. 12. (Sec Adm/PE 2008 FGV) Na figura abaixo, cada quadradinho possui um nmero oculto. Em cada uma das situaes abaixo, o nmero que aparece embaixo de dada figura a soma dos nmeros que esto nos quadradinhos sombreados. 26 2922 23 24 O nmero do quadradinho central : (A) 5 (B) 6(C)) 7(D) 8(E) 9 Soluo: Representaremos os valores que se encontram em cada um dos quadradinhos pelas letras: a, b, c, d e x, conforme mostrado na figura abaixo: Temos que encontrar o nmero do quadradinho central, ou seja, o valor de x.Somandoasletrasqueestonosquadradinhossombreados,emcadaumadasfiguras, obteremos as seguintes equaes: 1 eq.)a + b + d + x = 26 2 eq.)a + c + d + x = 29 3 eq.)b + c + d + x = 22 4 eq.)a + b + c + x = 23 5 eq.)a + b + c + d = 24 Vamossomartodasessasequaes.fcilsom-las,bastaperceberqueasletrasse repetem o mesmo nmero de vezes, no caso 4 repeties. Da, teremos: 4.(a + b + c + d + x) = (26 + 29 + 22 + 23 + 24) Simplificando, vem: (a + b + c + d + x) = 124/4 a + b + c + d + x = 31 (6 equao) Na 5 equao, temos que a soma (a + b + c + d) igual a 24. Lanando esse resultado na 6 equao, encontraremos o valor de x. Teremos: 24 + x = 31x = 31 24 x = 7Resposta: Alternativa C. a b c dx www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 26 PROBLEMAS GEOMTRICOS Nas solues dos problemas geomtricos, necessrio conhecer vrios conceitos e frmulas da Geometria, os quais so apresentados a seguir. 1. NGULOS 1.1. Definio nguloonomequesedaberturaformadaporduassemi-retasquepartemdeum mesmo ponto. Indica-se o ngulo por: AB ou a. 0A e 0B so semi-retas que formam os lados do ngulo, e O o vrtice do ngulo. 1.2. Tipos de ngulos nguloreto:aquelecujamedida iguala 90 (ou p/2 rad). nguloraso: aquele cuja medida igual a 180 (ou p rad). nguloagudo:aquelecujamedida menor que a de um ngulo reto. nguloobtuso:aquelecuja medida maior que a de um ngulo reto e menor que a de um raso. 2. CIRCUNFERNCIA o lugar geomtrico dos pontos de um plano que eqidistam de um ponto. Esse ponto o centro da circunferncia e a distncia do centro a qualquer ponto da circunferncia o raio. 2.1.Elementos da circunferncia 1)Cordadeumacircunfernciaumsegmentocujasextremidadesestona circunferncia. O segmento CD uma corda. 2) Dimetro de uma circunferncia uma corda que passa pelo centro. O segmento AB um dimetro. 3) Raio de uma circunferncia um segmento com uma extremidade no centro e a outra num ponto da circunferncia. O segmento OP um raio. 4) Arco de uma circunferncia a curva compreendida entre dois pontos da circunferncia. O traado em vermelho corresponde ao arco BD. A B O a 180 aa 90 A B C D raio dimetro corda O P arco www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 27 2.2.Regies do crculo Crculo a reunio da circunferncia com o seu interior. Setor circular a regio de um crculo delimitada por dois raios e um arco. Segmento a regio de um crculo delimitada por uma corda e um arco. Semicrculo um segmento que limitado pelo dimetro. 2.3.Comprimento da circunfernciaO comprimento (permetro) de uma circunferncia de raio r dado pela expresso:C = 2pr O smbolo p (l-se: pi) uma constante cujo valor : p = 3,14... Odimetro(D)deumacircunfernciaodobrodoraio,entopodemosescrevero comprimento da circunferncia como: C = pD 2.4.Comprimento de um arco da circunfernciaSabendo que uma volta completa na circunferncia corresponde a um ngulo de 360 (ou 2p rad), podemos encontrar a medida de qualquer arco atravs de uma regra de trs simples. Exemplo 01:Calcule o arco compreendido entre os pontos A e B da circunferncia abaixo: Soluo: O comprimento da circunferncia : C = 2p.12 = 24p Faremos a seguinte regra de trs: 24p ------- 360 x -------60 Resolvendo, vem: 360 . x = 24p . 60 x = 24p/6 x = 4p cm @ 12,56 cm A B O 60 12 cm A B O setor segmento C D www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 28 3. TRINGULOS 3.1.Classificao Quanto aos lados: Equiltero:temostrslados iguais e os trs ngulos iguais. Isceles: tem dois lados iguais e dois ngulos iguais. Escaleno:ostrsladosso diferentesetambmostrs ngulos. Quanto aos ngulos: Retngulo:possuiumngulo reto. Acutngulo:todososngulos so menores que 90. Obtusngulo:possuium ngulo maior que 90. Otringulopodeseraomesmotempoissceleseretngulo.Nestecaso,eleapresentar dois ngulos de 45 e um de 90, conforme mostrado a seguir: 3.2.Condio de existncia do tringulo Qualquer lado do tringulo est compreendido entre a diferena positiva e a soma dos outros dois. Ou seja: |b c| < a < b + c |a c| < b < a + c |a b| < c < a + b Exemplo 02:Verifique se possvel formar um tringulo com os segmentos de medidas: 10 cm, 15 cm e 20 cm. Soluo: Estes trs segmentos podem formar um tringulo, pois atendem a condio de existncia do tringulo, conforme mostrado abaixo: |15 10| < 20 < 15 + 10 5 < 20 < 25(Ok!) |20 10| < 15 < 20 + 10 10 < 15 < 30(Ok!) |20 15| < 10 < 20 + 15 5 < 10 < 35(Ok!) 60 6060 45 45 c b a A C B www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 29 Temos o seguinte tringulo: 3.3.Teorema do ngulo interno A soma dos ngulos internos de um tringulo igual a 180. A) +B) +C) = 180 3.4.Teorema do ngulo externo Em qualquer tringulo, a medida de um ngulo externo igual soma das medidas dos dois ngulos internos no-adjacentes. Exemplo 03:Encontre o valor do ngulo x em graus. Soluo: ProlongandooladoBC,formaremosumtringulodevrticesCDE,conformemostrado abaixo: Chamamos de a o ngulo do vrtice E. Repare que a a medida de um ngulo externo do tringulo ABE. Da, usando o teorema do ngulo externo, teremos: a = 20 + 100a = 120 E como x a medida de um ngulo externo do tringulo CDE, vem: x = a + 15x = 120 + 15x = 135 (Resposta!) Toda vez que tivermos um desenho como este, podemos simplesmente somar os ngulos de dentro da figura para encontrar o ngulo x. Repare que x = 20 + 100 + 15 = 135. 15 20 10 e a b A B C e = a + b x 100 20 15 A B C D x a 20 15 100 E A B C D www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 30 3.5.Cevianas do tringulo Cevianaqualquersegmentoderetaquetemumaextremidadenumvrticedeum tringulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte do lado oposto a esse vrtice. Veremos as cevianas mais importantes: Mediana, Bissetriz interna e Altura. 3.5.1.Mediana osegmentoqueuneumvrticeaopontomdiodoladooposto.OsegmentoBMa mediana relativa ao vrtice B. 3.5.2.Altura o segmento que parte de um vrtice e perpendicular ao lado oposto. O segmento BH a altura relativa ao vrtice B. 3.5.3.Bissetriz Abissetrizdongulodivideestenguloemduaspartesiguais(emdoisngulos congruentes). O segmento AD a bissetriz interna relativa ao vrtice A. Teoremadabissetrizinterna:abissetrizdongulointernodeumtringulodetermina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados. Da figura acima, temos: BC =ABAC

Exemplo 04:O tringulo ABC da figura abaixo tem permetro igual a 35 cm. O segmento AP a bissetriz de e as medidas dos segmentos AB e PB so, respectivamente, 12 cm e 9 cm. Calcule a medida do segmento AC. Soluo: Designaremos por x a medida do segmento AC e por y a medida do segmento CP. A B C H altura A B C H altura A B C D A B C M 12 9 A BC P 12 9 A BC P x y www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 31 Como o permetro do tringulo ABC igual a 35, podemos formar a seguinte equao: x + y + 12 + 9 = 35 Simplificando, vem: x + y = 14 E pelo teorema da bissetriz interna, temos: xy = 129 Isolando y na primeira equao e substituindo na segunda, teremos: x(14 -x) = 129 = 4S Resolvendo, vem: x S = (14 - x) 4 7x = S6 x = 8(Resposta!) 3.6.Pontos notveis do tringulo INCENTRO O incentro o ponto de encontro das bissetrizes internas.Oincentroserocentrodacircunferncia inscrita no tringulo. BARICENTRO Obaricentroopontodeencontrodas medianas. Obaricentrodividecadamedianaemdois segmentosdemodoqueomenor1/3da medida da mediana. Ou seja: OX = AX/3;OY = BY/3;OZ = CZ/3. ORTOCENTRO O ortocentro o ponto de encontro das alturas. CIRCUNCENTRO Ocircuncentroopontodeencontrodas mediatrizes dos lados do tringulo. (A mediatriz deumsegmentoaretaperpendicularque passa pelo ponto mdio desse segmento.) Ocircuncentroocentrodacircunferncia circunscrita ao tringulo. A BC O Y Z X www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 32 Notringuloeqiltero,oincentro,obaricentro,oortocentroeocircuncentrocoincidem num nico ponto. Exemplo 05:Encontreosraiosdascircunfernciasinscritaecircunscritadeumtringulo eqiltero de lado 10 cm. Soluo:O desenho do tringulo eqiltero com as circunferncias inscrita e circunscrita : Porprimeiro,calcularemosaalturadotringuloeqiltero,representadanodesenhopelo segmento AM, atravs da aplicao do teorema de Pitgoras no tringulo AMC.

Da, vem: 102 = h2 + 52 100 = h2 + 25 h2 = 100 25h2 = 75 h = V7S h = 5V3 Noprimeirodesenho,osegmentoAM,almdeseraaltura,tambmamedianaea bissetriz relativa ao vrtice A. Do conceito dado anteriormente sobre o baricentro, podemos afirmar que o segmento OM igual a 1/3 do segmento AM. E este segmento OM exatamente o raio da circunferncia inscrita. Da, vem: Raio da circ. inscrita = OM = AM/3 = SVS 2 = 2, 5V3 A medida do raio da circunferncia circunscrita igual a do segmento OA.E como OM 1/3 do segmento AM, logo OA 2/3 do segmento AM. Da, vem: Raio da circ. circunscrita = OA = 2/3 . AM = 2SSVS = 1V3 3 A BC M N O P A M C h 10 5 www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 33 3.7.Relaes mtricas no tringulo retngulo O tringulo ABC abaixo chamado de tringulo retngulo porque possui um ngulo interno igual a 90. Vamos caracterizar os elementos seguintes desse tringulo: a : hipotenusa b e c : catetos h : altura relativa hipotenusa m e n : projees dos catetos sobre a hipotenusa Temos as seguintes relaes mtricas no tringulo retngulo:1) bc = ah2) c2 = m.a3) b2 = n.a4) h2 = m.n TeoremadePitgoras:Oquadradodahipotenusaigualasomadosquadradosdos catetos. Assim: a2 = b2 + c2

Exemplo 06:Determine o valor de x, y e z na figura abaixo. Soluo: Escrevendo todas as relaes mtricas, teremos: 1) bc = ah z.8 = (12+y).x 2) c2 = m.a 82 = y.(12+y) 3) b2 = n.a z2 = 12.(12+y) 4) h2 = m.n x2 = y.12 Na segunda relao mtrica h apenas uma varivel, ento iniciaremos por ela. 82 = y.(12+y) 64 = 12y + y2 y2 12y 64 = 0 Aoresolveraequao,encontraremos:y=4ey=-16.Ficaremosapenascomaraiz positiva: y=4. Lanaremos esse resultado na terceira relao mtrica.z2 = 12.(12+4) z2 = 12.16 z = 8V3 Para determinar x, usaremos a quarta relao mtrica: x2 = 4.12 x = 4V3 bc a h nm A CB z8 x 12y A CB www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 34 Exemplo 07:Determine o valor de x na figura abaixo. Soluo: OtringuloABDumtringuloretngulo.ChamaremososegmentoBDdemedepois aplicaremos o teorema de Pitgoras no tringulo ABD.52 = 42 + m2 m2 = 25 16 m = 3 Chamaremos a hipotenusa de a e aplicaremos a relao mtrica: c2 = m.a.52 = 3 . a a = 25/3 Para encontrar x, aplicaremos a relao mtrica: b.c = a.h.x . 5 = 25/3 . 4 x = 20/3(Resposta!) 4.QUADRILTEROS Quadriltero o polgono de quatro lados.A soma dos ngulos internos de um quadriltero igual a 360. A` +B` +C` + = 360 Alguns quadrilteros notveis so: paralelogramo, retngulo, losango, quadrado e trapzio. 4.1.Paralelogramo o quadriltero cujos lados opostos so paralelos. No paralelogramo tambm se observa: - Os lados opostos so congruentes; - Os ngulos opostos so congruentes; - Os ngulos adjacentes so suplementares. AB C D 5 4 A CB x D www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 35 4.2. Retngulo o paralelogramo que possui seus quatro ngulos retos. 4.3. Losango o paralelogramo que tem os quatro lados iguais. 4.4. Quadrado o paralelogramo que tem os quatro lados e os quatro ngulos iguais entre si. 4.5.Trapzio o quadriltero em que apenas dois lados so paralelos entre si. Onde: AB paralela a CD. AB a base menor. CD a base maior. AH a altura. Propriedade: SendoMopontomdiodeADeNopontomdiodeBC,amedidadosegmentoMN, chamada de base mdia do trapzio, dada por: HN =AB+C2. DC BA M N DC BA H www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 36 Exemplo 08:Na figura abaixo, ABCD um trapzio cujas bases so: AB = 4 cm e CD = 10 cm. Sejam M o ponto mdio do lado AD e N o ponto mdio do lado BC. Os pontos P e Q so os pontos de interseco de MN com as diagonais AC e BD. Calcule o segmento PQ. Soluo: O segmento MN a base mdia do trapzio, da vem: HN =4+102= 7 cm O segmento MP uma base mdia do tringulo ABC, da vem: HP =42 = 2 cm O segmento QN a base mdia do tringulo ABD, da vem: N =42 = 2 cm J temos condies de calcular PQ. Observe no desenho que a medida PQ igual a: (MN MP QN). Da vem: P = 7 -2 -2 PQ = 3 cm 5. POLGONOS Polgonouma superfcieplana limitadaporsegmentosdereta,chamadosde lados.Veja um exemplo de polgono de quatro lados: Onde:A, B, C e D so os vrtices do polgono. AB, BC, CD e DA so os lados do polgono. Quanto ao nmero de lados, os polgonos recebem os seguintes nomes:tringulo 3 lados quadriltero 4 lados pentgono 5 lados hexgono 6 lados heptgono 7 lados octgono 8 lados enegono 9 lados decgono 10 lados icosgono 20 lados Se os lados forem todos iguais e os ngulos internos tambm, o polgono diz-se regular. A B C D CD BA N M P Q 4 cm 10 cm www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 37 5.1.Diagonais de um polgono Deumnicovrtice,numpolgonoden lados(envrtices),partemn3diagonais.Pois dos n vrtices, devemos descartar o prprio vrtice e os dois vrtices vizinhos, porque no formam diagonais. No hexgono abaixo so mostradas as 3 (=63) diagonais que partem do vrtice A. Traamos tambm todas as diagonais do hexgono:

Sabemos que de cada vrtice partem (n-3) diagonais. Como so n vrtices, ento teremos n.(n-3) diagonais. No entanto, a diagonal AC a mesma diagonal CA, assim como AD a mesma DA, e assim por diante. Ou seja, cada diagonal est se repetindo duas vezes. Desse modo, o total de diagonais distintas obtido dividindo-se n.(n-3) por 2. Teremos: N de diagonais do polgono = 2) 3 (- n n 5.2.ngulos internos e externos de um polgono Sejami1,i2,i3,...,inasmedidasdosngulosinternosee1,e2,e3,...,en asmedidasdos ngulos externos de um polgono de n lados. Sobre o polgono, temos que: 1) A soma dos ngulos internos = i1 + i2 +...+ in = 180.(n-2) 2) A soma dos ngulos externos = e1 + e2 +...+ en = 360 3) Se o polgono for regular, ele tem todos os ngulos congruentes, da vem: ngulo interno de um polgono regular de n lados = 18(n-2)n

ngulo externo de um polgono regular de n lados = 3n Exemplo 09:Encontreamedidadongulointernodopolgonoregularcujasomadosngulos internos igual a 2520.A BC D EF A BC D EF i1 i2 i3 i4 i5 in e1 e2 e3 e4 e5 en www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 38 Soluo: Pela frmula da soma dos ngulos internos, teremos: 180.(n-2) = 2520 (n-2) = 252/18 n = 14 + 2 = 16 lados (Hexadecgono regular) Este polgono possui tambm 16 ngulos iguais, cuja soma 2520. Da, vem: ngulo interno = 2520/16 = 157,5 6. TEOREMA DE TALES Umfeixedeparalelasdetermina,emduastransversaisquaisquer,segmentosqueso proporcionais. Posto isso, teremos:

EFDEBCAB= Ou ainda:

DFACEFBCDEAB= = Exemplo 10:Nafiguraabaixo,htrsretasparalelascortadasporduastransversais, emquea soma x+y+z igual a 36. Calcule x, y e z.

Soluo: Pelo teorema de Tales, podemos montar a seguinte proporo: x8 =6 =z10 De acordo com as propriedades da proporo, podemos escrever a igualdade: x8 =6 =z10 = x++z8+6+10 Simplificando, vem: A B C D E F r1 r2 r3 t1 t2 x y z 8 6 10 www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 39 x8 =6 =z10 = 3624 =32 Igualando a primeira frao com a ltima: x8 =32 2x = 24 x = 12 Clculo de y: 6 =32 2y = 18 y = 9 Clculo de z: z10 = 32 2z = Su z = 15 7. SEMELHANA DE POLGONOS Dois polgonos ABCDE... e ABCDE..., com o mesmo nmero de lados, so semelhantes se, e somente se: 1) seus ngulos correspondentes (homlogos) so congruentes, isto : A =A',B =B',C`=C`', ... 2) seus lados homlogos so proporcionais, isto : ABAB =BCBC =CC = = k A constante k, de proporcionalidade entre os lados, chamadarazo de semelhana dos polgonos.Dada a constante k de proporcionalidade entre os lados, temos tambm que: - A razo entre os permetros k; - A razo entre as diagonais homlogas k; - A razo entre as alturas homlogas dos vrtices k; Enfim, a razo entre dois elementos lineares homlogos k. Arazoentreasreasdepolgonossemelhantesigualaoquadradodarazode semelhana, ou seja, k2. Nas questes de concursos mais freqente a semelhana entre tringulos. E, neste tipo de polgono,paraquehajasemelhana,necessrioapenasquesetenhamdoisngulosem comum entre eles. B C D E A A B CD E www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 40 Exemplo 11:Na figura abaixo, o ngulo AC`B congruente ao ngulo BPQ, AB = 16 cm, BC = 12 cm, AC = 16 cm e BP = 6 cm. Calcule as medidas dos segmentos PQ e QB. Soluo: Na figura acima, podemos observar dois tringulos: ABC e BPQ, onde o ngulo B` comum aos dois tringulos. Separaremos os dois tringulos colocando as medidas de cada um. Como h dois ngulos em comum, claro que o terceiro ngulo tambm ser comum. Da, os tringulos so semelhantes. Vamosreposicionarosegundotringulodeformaqueosngulosdosdoistringulosse correspondam.

Como so semelhantes, faremos a proporo entre os lados correspondentes: x10 =16 =612 Igualando a primeira e a ltima frao, encontraremos o valor de x: x10 =612 x10 =12x = 5 Clculo de y: 16 =612 16 =12y = 8 8. REAS DAS FIGURAS PLANAS 9.1.Retngulo 9.2.Quadrado a b rea = a . b a a rea = a2

A B C 16 12 10 A B C 16 12 10 P Q 6 P Q B x y 6 Q BP y x 6 www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 41 9.3.Paralelogramo 9.4.Trapzio 9.5.Losango 9.6.Tringulo qualquer 9.7.Tringulo Eqiltero h = 23 aerea = 432a 9.8.Tringulo Inscrito numa Circunferncia rea = base x altura = a x h ou 2 2 a b h rea = base x altura = a x h c B d b h rea = (B + b).h 2 a a a a D d rea = D . d 2 d = diagonal menor D = diagonal maior b c a h a rea = a.b.sena ou 2 rea =) )( )( ( c p b p a p p - - - , p = semi-permetro. b c a R rea do tringulo = a.b.c 4R a aa h www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 42 9.9.Tringulo Circunscrito a uma Circunferncia 9.10.rea do Crculo 9.11.Setor Circular 9.12.Hexgono Regular No seu interior h seis tringulos eqilteros. rea = 4362a Exemplo 12:DetermineareadoquadrilteroABCDabaixo,cujasmedidasdadasestoem centmetros. Soluo: O rrea = pr2 Pela aplicao da regra de trs simples, teremos: rea = 2360ro pa a aa a a aa a b c a r rea do tringulo = (a+b+c).r 2 A B C D 1 2 V1S VS4 P r a www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 43 A rea total pode ser obtida pela soma das reas dos tringulos ABC e ACD.Aplicaremos o teorema de Pitgoras no tringulo CDP a fim de obter a medida do segmento DP.CD2 = CP2 + DP2

V1S2= 22 + DP2 DP2= 13 4 DP2= 9 DP

= 3 Aplicaremos agora Pitgoras no tringulo ADP a fim de obter a medida do segmento AP.AD2 = AP2 + DP2

VS42= AP2 + 32 AP2= 34 9 AP2= 25 AP

= 5 A medida de AC igual soma das medidas AP e CP.AC = AP + CP = 5 + 2 = 7 A rea do tringulo ABC : rea do DABC = (AC.BP)/2 = (7 . 1)/2 = 3,5 cm2

A rea do tringulo ACD : rea do DACD = (AC.DP)/2 = (7 . 3)/2 = 10,5 cm2

Portanto, a rea do quadriltero ABCD igual a 14 (=3,5 + 10,5) cm2. Exemplo 13:Calcule a rea da parte sombreada dentro quadrado ABCD de lados 12 cm. Soluo: Observe que os pontos A e D so centros de circunferncias de mesmo raio. Assim, AD = AE =DE=12cm.Dessemodo,otringuloADEeqiltero,comladosiguaisa12cmengulos iguais a 60. A rea do tringulo eqiltero ADE dada por: rea do DADE = (122 VS)4 = S6VS O setor circular ADE tem rea igual a: rea do setor ADE = n260360= n12260360 = 24n A diferena entre a rea do setor circular ADE e a rea do tringulo ADE igual rea do segmento circular DE.12 12 1212 E A BC D 60 www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 44 rea do segmento circular DE = S6VS - 24n Observe no ltimo desenho que a rea sombreada corresponde soma das reas de trs partes: segmento circular AE, tringulo ADE e segmento circular DE. rea sombreada = (S6VS -24n) + S6VS + (S6VS -24n) = 18V3 -48a(Resposta!) 9. VOLUME DOS SLIDOS 10.1.Paraleleppedo retngulo

b

10.2.Cubo

10.3. Cilindro

h

10.4.Esfera R = raio da esfera Volume = 343R p rea da superfcie esfrica = 4p2R Volume = rea da base x altura = a . b . c rea total = 2(ab + ac + bc) Volume = rea da base x altura = a2. a = a3 rea total = 2(a2 + a2 + a2) = 6a2 Volume = rea da base x altura = pr2 . h rea lateral = 2pr . h rea total = rea lateral + rea das bases = 2prh + 2.pr2

c a b a a a r h www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 45 10.5.Pirmide

10.6.Cone

h r Volume = rea da base x altura 3 Para o tetraedro regular (as faces so tringulos eqilteros), o volume : Volume = 3432ha h Volume = rea da base x altura = pr2 . h 3 3 www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 46 EXERCCIOS RESOLVIDOS 01. (TFC 1996 ESAF) Os pontos X, Y e Z esto todos no mesmo plano. A distncia, em linha reta, do ponto X ao ponto Y de 30 cm, e do ponto X ao ponto Z de 22 cm. Se d a distncia em centmetros,tambmemlinhareta,dopontoYaopontoZ,entooconjuntodospossveis valores para d dado por: a) 8 d 30d) 22 d 52 b) 8 d 52e) 30 d 52 c) 22 d 30 Soluo: Desenharemos os pontos X e Y de acordo com os dados fornecidos: OpontoZestaumadistnciade22cmdeX.Logo,Zpodeestaremqualquerpontoda circunferncia de raio 22 e de centro no ponto X, conforme mostrado abaixo: A maior distncia que Z pode ficar de Y mostrada a seguir: Logo, a maior distncia igual a: 22 + 30 = 52 cm A menor distncia que Z pode ficar de Y mostrada a seguir: Logo, a menor distncia igual a: 30 22 = 8 cm Portanto, os valores de d esto entre 8 e 52, ou seja, 8 d 52. Resposta: alternativa B. 02. (AFTN1998/ESAF)Emumtringuloretngulo,umdoscatetosformacomahipotenusaum ngulo de 45. Sendo a rea do tringulo igual a 8 cm2, ento a soma das medidas dos catetos igual a: a)8 cm2 d) 16 cm2 b)16 cme) 8 cm c)4 cm Soluo: Vamos desenhar um tringulo retngulo de catetos b e c, e hipotenusa a, com um ngulo de 45 entre a hipotenusa e um dos catetos. X Y 30cm X Y 30cm 22cm Z X Y 30cm Z 22cm X Y

30cm Z 22cm www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 47 A soma dos ngulos internos de um tringulo 180. Da, o nguloB igual a: B= 180 (90 + 45) = 45Como o tringulo possui dois ngulos iguais, ento ele issceles, com b = c. A rea do tringulo igual metade do produto entre a base e a altura. Como b = c, a rea ser dada por: rea = (b x b)/2 = b2/2 Foi informado no enunciado que a rea 8 cm2. Da, temos a seguinte igualdade: b2/2 = 8 Resolvendo, vem: b = 4 Portanto, os dois catetos tm valor igual a 4 cm. A soma das medidas dos catetos igual a: 4 cm + 4 cm = 8 cm. Resposta: alternativa E. 03. (AFTN 1998/ESAF) Um trapzio ABCD possui base maior igual a 20 cm, base menor igual a 8 cm e altura igual a 15 cm. Assim, a altura, em cm, do tringulo limitado pela base menor e o prolongamento dos lados no paralelos do trapzio igual a: a) 10d) 17 b) 5e) 12 c)7 Soluo: Aquestonoespecificacomoexatamenteoformatodotrapzio.Desenharemosda forma mais simples: Prolongando-se os lados no-paralelos do trapzio, obteremos: A questo solicita a altura h indicada no desenho acima. Encontraremos esta altura atravs da semelhana de tringulos, conforme mostrado abaixo. 45 a c b B CA 20 8 15 20 8 15 h www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 48 Da semelhana, temos que os lados correspondentes dos dois tringulos so proporcionais: 20815 =+ h h Resolvendo, vem: ) 15 ( 8 20 + = h h 120 8 20 + = h h 10 = hResposta: alternativa A. 04. (EPPGGMPOG/2000ESAF)Emumtringuloeqilterodeladoiguala12cm,traa-seum segmentoXY paralelo ao lado de modo que o tringulo fique decomposto em um trapzio e em um novo tringulo. Sabendo-se que o permetro do trapzio igual ao permetro do novo tringulo, ento o comprimento do segmento de reta XY, em centmetros, vale a)5c) 9 e) 12 b)6d) 10Soluo: O tringulo equiltero de lado igual a 12 cm desenhado a seguir: Passaremos um segmento paralelo base de modo que o tringulo fique decomposto em um trapzio e um tringulo menor. Este tringulo tambm ser eqiltero, pois possui todos os ngulos iguais a 60. Teremos: O permetro do tringulo menor igual a: permetro = x + x + x = 3x O permetro do trapzio igual a: permetro = x + (12-x) + 12 + (12-x) = 36 x A questo afirma que os permetros calculados acima so iguais, da: 3x = 36 x 4x = 36 x = 9Resposta: alternativa C. BC8 h 12 12 12 20 h+15 12 x x x 12-x 12-x 60 60 60 60 60 www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 49 05. (MPOG e ENAP 2006 ESAF) A base de um tringulo issceles 2 metros menor do que a altura relativa base. Sabendo-se que o permetro deste tringulo igual a 36 metros, ento a altura e a base medem, respectivamente a) 8 m e 10 m.d) 14 m e 12 m. b)) 12 m e 10 m.e) 16 m e 14 m. c) 6 m e 8 m. Soluo: Faremos duas solues para esta questo. O desenho do tringulo issceles : Chamamos de 2x a base do tringulo issceles, h a sua altura e de a os lados iguais. A partir do teorema de Pitgoras podemos escrever a seguinte relao: a2 = h2 + x2

Do enunciado, temos que: h = 2x + 2 e a + a + 2x = 36 a = 18 x Substituiremos o h e o a em funo do x na primeira equao: (18 x)2 = (2x + 2)2 + x2

Resolvendo, vem: 324 36x + x2 = 4x2 + 8x + 4 + x2 4x2 + 44x 320 = 0 x2 + 11x 80 = 0 As razes desta equao so: x=5 e x=-16. A raiz negativa deve ser descartada, logo x=5. A altura h igual a: h = 2x + 2 = 2 . 5 + 2 = 12 A base do tringulo issceles igual a: base = 2x = 2 . 5 = 10 Resposta: alternativa B. 06. (AFC2005ESAF)Umfeixede4retasparalelasdeterminasobreumaretatransversal,A, segmentosquemedem2cm,10cme18cm,respectivamente.Essemesmofeixederetas paralelasdeterminasobreumaretatransversal,B,outrostrssegmentos.Sabe-sequeo segmento datransversalB, compreendidoentre aprimeira eaquartaparalela, mede90cm. Desse modo, as medidas, em centmetros, dos segmentos sobre a transversal B so iguais a: a) 6, 30 e 54d) 14, 26 e 50 b) 6, 34 e 50e) 14, 20 e 56 c) 10, 30 e 50 h xx 2x a a www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 50 Soluo: O desenho da questo : OsegmentodatransversalB,compreendidoentreaprimeiraeaquartaparalela,mede90 cm, da: x + y + z = 90 SegundooTeoremadeTales,umfeixedeparalelasdetermina,emduastransversais quaisquer, segmentos que so proporcionais. Portanto, teremos que: 18 10 2z y x= =De acordo com as propriedades da proporo, teremos: 18 10 2 18 10 2 + ++ += = =z y x z y x Sabemos que x + y + z = 90, da: 3309018 10 2= = = =z y x Para obter x, igualaremos a primeira frao com o resultado 3 da proporo: 32 =xx=6 Da forma semelhante, encontraremos y e z:310 =y y=30 318 =z z=54 Resposta: alternativa A. 07. (MPOG e ENAP 2006 ESAF) A razo de semelhana entre dois tringulos, T1, e T2, igual a 8. Sabe-se que a rea do tringulo T1 igual a 128 m2. Assim, a rea do tringulo T2 igual a a) 4 m2.b) 16 m2.c) 32 m2.d) 64 m2.e)) 2 m2. Soluo: Da semelhana entre tringulos, temos a seguinte proporo: rea de T1rea de T2 = k2 Onde k a razo de semelhana entre os tringulos T1 e T2. Lanando os dados fornecidos na questo na proporo acima, teremos: AB 2 10 18 x y z www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 51 128rea de T2 = 82 Resolvendo, vem: rea de T2 =1284= 2 m2 Resposta: alternativa E. 08.(FiscaldoTrabalho2006ESAF)Emumpolgonodenlados,onmerodediagonais determinadas a partir de um de seus vrtices igual ao nmero de diagonais de um hexgono. Desse modo, n igual a: a) 11b)) 12c) 10d) 15e) 18 Soluo: O nmero de diagonais de um polgono de n lados dado pela frmula: n de diagonais = n.(n 3)/2Um hexgono (n=6) tem a seguinte quantidade de diagonais: n de diagonais = 6.(6 3)/2 = 6.3/2 = 9 Emumpolgonoden lados,onmerodediagonaisdeterminadasapartir deumdeseus vrtices igual a: (n 3). Da, faremos a igualdade: (n 3) = 9 n = 9 + 3 = 12 Resposta: alternativa B. 09. (MPOG 2008 ESAF) Dois polgonos regulares, X e Y, possuem, respectivamente, (n+1) lados e n lados. Sabe-se que o ngulo interno do polgono X excede o ngulo interno do polgono Y em 5 (cinco graus). Desse modo, o nmero de lados dos polgonos X e Y so, respectivamente, iguais a: a))9 e 8c)9 e 10e)10 e 12 b)8 e 9d)10 e 11 Soluo: Antes de iniciar qualquer soluo sempre bom observar as opes de resposta para ver se possvel descartar algumas delas.A questo diz que o polgono X tem (n+1) lados e o polgono Y tem n lados, ou seja, X tem mais lados do que Y. E a questo quer o nmero de lados desses dois polgonos, nesta ordem: X e Y. Ocorre que h apenas uma nica alternativa onde o nmero de lados de X maior do que o de Y. a alternativa A! Logo, esta a resposta da questo! De qualquer modo, faremos tambm a soluo completa da questo. A frmula para obter o ngulo interno de um polgono de n lados dada pela expresso: 180(n-2)n O polgono Y que tem n lados, assim seu ngulo interno : 18(n-2)n

O polgono X que tem (n+1) lados. Na frmula acima, substituiremos n por (n+1) para obter o ngulo interno de X. Teremos: 180((n+1)-2)(n+1)

Simplificando, vem:18n-18n+1 www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 52 Segundo o enunciado, o ngulo interno do polgono X excede o ngulo interno do polgono Y em 5. Logo, podemos escrever a equao: 180n-180n+1=180(n-2)n+ 5 Resolvendo, vem: 180n-180n+1180(n-2)n= 5 n(180n-180) -180(n-2)(n+1)n(n+1)= 5n(n+1)n(n+1) 18un2 - 18un -18un2 -18un +S6un +S6u= Sn2 + Sn Sn2 + Sn- S6u = un2 + n- 72 = uAs razes so n = 8 e n = -9. Da, n=8. O nmero de lados dos polgonos X e Y so, respectivamente, iguais a 9 e 8. Resposta: Alternativa A. 10. (MPOG e ENAP 2006 ESAF) Considere um tringulo ABC cujos lados, AB, AC e BC medem, em metros,c,bea,respectivamente.Umacircunfernciainscritanestetringulotangenciada pelos lados BC, AC e AB nos pontos P, Q e R, respectivamente. Sabe-se que os segmentos AR, BPeCQmedemx,yezmetros,respectivamente.Sabe-se,tambm,queopermetrodo tringulo ABC igual a 36 metros. Assim, a medida do segmento CQ, em metros, igual a a)) 18 - c.c) 36 - a.e) 36 - x. b) 18 - x.d) 36 - c. Soluo: Faremos o desenho do tringulo com uma circunferncia inscrita. Como os segmentos AQ e AR so tangentes circunferncia, podemos afirmar que: AQ = AR = x.Do mesmo modo, temos que: BR = BP = y e CP = CQ = zO novo desenho com esses resultados mostrado a seguir: A B C P Q R x y z b c a z y x A B C P Q R x y z b c a www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 53 Do desenho, tiramos as seguintes igualdades: 1) c = x + y 2) b = x + z 3) a = z + y Foi dado que o permetro do tringulo ABC igual a 36 metros. Da, vem: a + b + c = 36 Substituiremos a, b e c pelos resultados das trs igualdades: (x + y) + (x + z) + (z + y) = 36 Simplificando, vem: 2x + 2y + 2z = 36 x + y + z = 18 A questo quer a medida do segmento CQ que corresponde no desenho a medida z. Vamos isolar o z nesta ltima equao: z = 18 x y Este resultado no aparece nas opes de resposta, mas podemos adapt-lo para que fique igual ao resultado mostrado na alternativa A. Teremos: z = 18 x y = 18 (x + y) = 18 c Resposta: alternativa A. 11. (AFC-CGU2008ESAF)Umquadrilteroconvexocircunscritoaumacircunfernciapossuios lados a, b, c e d, medindo (4 x - 9), (3 x + 3), 3 x e 2 x, respectivamente. Sabendo-se que os lados a e b so lados opostos, ento o permetro do quadriltero igual a: a) 25b) 30c) 35d) 40e) 50 Soluo: O desenho da questo : Nodesenhodotrapzio,o mais importantequeos lados2x e3xfiquemopostos,assim como os lados 3x+3 e 4x-9, a fim de que estejam de acordo com o enunciado.Podemos resolver esta questo de forma semelhante a anterior, utilizando a propriedade de quesegmentostangentescircunferncia,partindodeummesmoponto,socongruentes. Contudo,aoutromodomaisrpidoderesolver,atravsdaseguintepropriedadedoquadriltero circunscritocircunferncia:Asoma de dois ladosopostos igual somadosoutrosdois. Da vem: AB + CD = AC + BD 4x-9 + 3x+3 = 2x + 3x 7x - 6 = 5x 2x = 6 x = 3 4x-9 B A 3x2x CD 3x+3 www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 54 Assim, os lados do quadriltero so:2x = 2.3 = 6; 3x = 3.3 = 9; 3x+3 = 3.3 + 3 = 12; 4x-9 = 4.3 - 9 = 3. E o permetro : 6 + 9 + 12 + 3 = 30 Resposta: alternativa B. 12. (AFC-SFC 2001 ESAF) Um hexgono regular quando, unindo-se seu centro a cada um de seus vrtices,obtm-seseistringulosequilteros.Dessemodo,seoladodeumdostringulos assim obtidos igual a2 / 3m, ento a rea, em metros, do hexgono igual a: a) 9 34d) 3 3b) 37e) 33 c)2 3Soluo: Desenhamosabaixoohexgonoregular,eobservequeeleformadoporseistringulos eqilteros. A rea do tringulo eqiltero dada pela frmula: 432a , onde a o lado do tringulo. Foi informado que o lado do tringulo igual a2 / 3 . Lanando este valor na frmula da rea, teremos:rea do tringulo = 43 ) 2 / 3 (2 = 43 2 / 3 = 83 3 A rea do hexgono seis vezes a rea do tringulo, da: rea do hexgono = 83 36= 43 9 Resposta: alternativa A. www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 55 EXERCCIOS DE PROBLEMAS ARITMTICOS, GEOMTRICOS E MATRICIAIS PROBLEMAS ARITMTICOS 01. (SESA/ES 2011 Cespe) Em determinado concurso pblico, os 400 candidatos inscritos para um dos cargos foram listados em ordem alfabtica. Seguindo-se essa ordem, tais candidatos foram numerados de 1 a 400 e divididos em grupos de 20 candidatos cada um, da seguinte forma: os candidatosnumeradosde1a20fariamasprovasnasala1;osde21a40,nasala2;eassim sucessivamente, de modo que todos os 400 candidatos a esse cargo fizessem as provas em 20 salas, numeradas de 1 a 20. Combasenessasinformaes,julgueositensseguintesacercadadistribuiodesses400 candidatos. 1. Suponha que os nmeros de dois candidatos fossem p e q, com p < q, e que um deles fizesse as provasnasala11,eooutro,nasala14.Entonalista,entreasposiespeqexistiriam,no mximo, 78 candidatos.2.SeexistissemoitocandidatoscomonomePedro,entoaprobabilidadedequetodoseles ficassem em uma mesma sala seria de 100%.3. Se o nmero do candidato Lcio Vieira fosse 252, ento ele faria a prova na sala 13.4. Os candidatos de nmeros 319 e 321 fariam a prova na mesma sala. 02. (MPE/PI 2011 Cespe) Andr, Joo e Pedro so os analistas responsveis pela execuo de nove tarefas, sendo que cada um deles executa tarefas distintas dos demais e cada analista executa pelomenosumatarefa.Sabe-setambmqueaquantidadedastarefasdePedromaiorou igualquantidadedastarefasdeJooeestamaiorouigualquantidadedastarefasde Andr, e que o nmero correspondente quantidade de tarefas de Pedro um nmero par. Combasenessesdados,julgueositensseguintesacercadasquantidadesdetarefasexecutadas pelos analistas. 1.Nohmaneiradeexecutarastarefasdemodoquealgumanalistaexecuteamesma quantidade de tarefas de outro analista.2. possvel algum analista executar cinco tarefas a mais que outro.3. Com relao s quantidades de tarefas que cada analista executa, correto afirmar que existem trs possibilidades distintas. 03. (PM DF 2009 CESPE) Considerando que os 3 filhos de um casal tmidades que, expressas em anos, so nmeros inteiros positivos cuja soma igual a 13 e sabendo tambm que 2 filhos so gmeos e que todos tm menos de 7 anos de idade, julgue os itens seguintes.1.AproposioAsinformaesacimasosuficientesparadeterminar-secompletamenteas idades dos filhos falsa.2.AproposioSeumdosfilhostem5anosdeidade,entoelenoumdosgmeos verdadeira.3. A proposio Se o produto das 3 idades for inferior a 50, ento ofilho no gmeo ser o mais velho dos 3 falsa.www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 56 04. (TJ/ES2010Cespe)Seoprodutodasidades,emanos,de3irmosiguala22,eseoirmo mais novo se chama Fernando, ento 1. o irmo mais velho tem mais de 12 anos de idade.2. a soma das idades dos 3 irmos inferior a 20 anos. 05. (TJ/ES 2010 Cespe) Carlos desafiou Pedro a acertar quantos gols marcou cada um de seus trs amigosemumtorneiodefutebol.Sabe-sequeoprodutodessestrsnmerosiguala40e que a soma igual idade, em anos, do nico filho de Pedro. Pedro sabe a idade de seu filho mas tem dvida acerca das quantidades de gols marcados pelo amigos. A respeito dessa situao hipottica, julgue os itens a seguir. 1. Para Pedro o desafio consiste em acertar uma opo entre trs.2. O filho de Pedro tem mais de 16 anos.3. Um dos amigos fez mais gols que cada um dos outros dois.4.SePedrosouberqueumdosamigosfezmenosgolsquecadaumdosoutrosdois,entoele acertar o desafio. PROBLEMAS MATRICIAIS 06. (TRE/ES 2010 Cespe) Com relao a problemas aritmticos e matriciais, cada um dos prximos itens apresenta uma situao hipottica, seguida de uma assertiva a ser julgada. 1.Seemummunicpioquetem2.500eleitores,avotaodura10horas,cadaseoeleitoral possui apenas uma urna, todos os eleitores votam e cada eleitor leva 1 minuto e meio para votar, ento, nesse municpio sero necessrias, no mnimo, 7 sees eleitorais. 2.Se,emummunicpio,asseeseleitoraisX,YeZtm,juntas,1.500eleitores;ostempos mdiosdevotaonessasseesso1minutoe30segundos,2minutose1minutoporeleitor, respectivamente;otempomdiodevotaonastrs seesde2.175minutos;eonmerode eleitoresdaseoYigualmetadedasomadonmerodeeleitoresdasseesXeZ,ento, nesse caso, a seo eleitoral que tem o maior nmero de eleitores a X. 07. (SERPRO 2010 Cespe) Uma afirmao formada por um nmero finito de proposies A1, A2, ..., An,quetemcomoconsequnciaoutraproposio,B,denominadaargumento.As proposiesA1,A2,...,AnsoaspremissaseBaconcluso.Se,emumargumento,a conclusoforverdadeirasemprequetodasaspremissasforemverdadeiras,entoo argumento denominado argumento vlido. Tendo como base essas informaes, julgue os itens que se seguem. 1.UmaindstriafabricaequipamentoseletrnicosnosmodelosReS.Parafabricarcada equipamento do modelo R, ela emprega 5 transistores, 8 capacitores e 12 resistores; para fabricar cadaequipamentodomodeloSsoempregados7transistores,6capacitorese8resistores.A indstria recebeu encomendas desses equipamentos para o ms de junho e prev que usar 310 transistores e 340 capacitores nessa produo. Considerando essa situao como premissa de um argumento,esseargumentoseriavlidose,comoconcluso,fosseapresentadaaseguinte proposio: Para fabricar os equipamentos da encomenda, a indstria gastar 480 resistores. www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 57 08. (TJ/ES2010Cespe)NadivisodeR$19.000,00entreAndr,BeatrizeCelso,aquantiaque coubeaBeatrizcorrespondea2/5doquesobroudepoisdeserretiradaapartedeCelsoe antes de ser retirada a parte de Andr; a quantia que Celso recebeu corresponde a 3/5 do que sobroudepoisserretiradaapartedeBeatrizeantesdeserretiradaapartedeAndr.Nessa situao, julgue os itens seguintes. 1. Celso recebeu menos de R$ 8.500,00.2. Andr recebeu mais que Beatriz. 09.(CESPE 93) Para uma construo foram pesquisados trs tipos de concreto, de trs diferentes fbricas, A, B e C. Para cada quilo de concreto, determinou-se que: I - O concreto da fbrica A tem 1 unidade de brita, 3 de areia e 4 de cimento. II - O concreto da fbrica B tem 2, 3 e 5 unidades, respectivamente, de brita, areia e cimento. III o concreto da fbrica C tem 3 unidades de brita, 2 de areia e 3 de cimento. Oconcretoidealdeverconter23unidadesdebrita,25deareiae38decimento.Usando-se concreto das trs fbricas, as quantidades, em kg, de cada uma delas, necessrias para se obter o concreto ideal sero, respectivamente, para A, B e C: a) 5, 3 e 2c) 3,4 e 5e) 1,5 e 3 b) 4,4 e 2d) 2, 3 e 5 10.(Sebrae2008Cespe)Oproprietriodeumalojareformoucompletamenteoseuimvele, almdasdespesascommateriais,pagouamo-de-obradediversosprofissionais.Paraesse pessoal, ele pagou R$ 1.100,00 para o decorador e para o pintor; R$ 1.700,00 para o pintor e para o bombeiro; R$ 1.100,00 para o bombeiro e para o eletricista; R$ 3.300,00 para o eletricista e para o carpinteiro; R$ 5.300,00 para o carpinteiro e para o pedreiro; e R$ 3.200,00 para o pedreiro e para o pintor. Nessa situao, correto afirmar que A) a menor quantia foi paga ao eletricista. B) a maior quantia foi paga ao pedreiro. C) o pintor e o carpinteiro receberam, juntos, mais de R$ 3.800,00. D) a quantia paga ao decorador foi superior quantia paga ao bombeiro. www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 58 PROBLEMAS GEOMTRICOS 11. (MEC2011Cespe)Trscrianascostumambrincardecaaaotesouro,emlocalplano,na praia,daformadescritaaseguir:depossedeumabssola,elasfixamumpontoPnapraia com uma bandeirinha, uma delas esconde um brinquedo sob a areia e, depois, passa o mapa e a bssola para que as outras duas tentem encontrar o tesouro. O mapa consiste em uma sequncia de instrues formadas pelo nmero de passos em linha reta e um sentido a partir da bandeirinha , que deve ser observada para se encontrar o tesouro. A partir do texto acima e considerando que a medida do passo de todas as crianas seja idntica e que as instrues do mapa sejam seguidas na ordem apresentada, julgue os itens seguintes. 1. Se as crianas se unirem no ponto P e a primeira caminhar 2 passos para o norte, a segunda, 2 passosparaosudoesteeaterceira,2passosparaosudeste,otringulocujosvrtices correspondero s posies finais das crianas ser equiltero.2. O mapa contendo as instrues 4 passos para o norte, 5 passos para o sudeste e 5 passos para o oeste conduzir ao mesmo ponto que o mapa com a instruo 2 passos para o oeste. 12. (PolciaCivildoES2010Cespe)...Suponha,tambm,queasestaesA,BeCtenhamsido construdasempontosequidistantes,demodoqueadistnciadeumadessastrsestaes paraoutrasejade150km.Comrefernciasinformaescontidasnotextoacimaes consideraeshipotticasqueaeleseseguem,econsiderando1,73comovaloraproximado para !3 , julgue os itens seguintes. 1. Supondo que uma nova estao, D, seja instalada em um ponto equidistante das estaes A, B e C, ento a distncia da estao D para as estaes A, B e C ser inferior a 87 km. 13. (TJ/RR2011Cespe)Emumacircunfernciacomraiode5cm,somarcadosnpontos, igualmente espaados. A respeito dessa situao, julgue os prximos itens. 1. Se n = 4, ento a rea do polgono convexo que tem vrtices nesses pontos igual a 60 cm2.2. Se forem iguais as quantidades de tringulos distintos e de quadrilteros convexos distintos que se podem formar a partir desses n pontos, ento n > 8.3. Se n = 6, ento o polgono convexo que tem vrtices nessespontos tem permetro inferior a 32 cm. 14. (TRT 10 Regio 2004 CESPE) Julgue os seguinte item: 1.Areadeumlosangoquepossuiopermetroiguala52cmequetemumadasdiagonais medindo 10 cm de comprimento igual a 120 cm. 15. (TRT10regio2004CESPE)Considereumasalanaformadeumparaleleppedoretngulo, com altura igual 3 m e julgue os itens que se seguem. 1. Se as medidas dos lados do retngulo da base so 3 m e 5 m, ento o volume da sala superior a 44 m. www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 59 2.Seasmedidasdosladosdoretngulodabaseso4me5m,entoareatotaldo paraleleppedo inferior a 93 m. 3. Se as medidas dos lados do retngulo da base so 6 m e 8 m, ento a medida da diagonal desse retngulo inferior a 9 m. 4.Supondoqueopermetrodoretngulodabasesejaiguala26mequeasmedidasdoslados desseretngulosejamnmerosinteiros,entoareamximapossvelparaoretnguloda base superior a 41 m. 5.Seasmedidasdosladosdoretngulodabaseso3me4m,entoamedidadadiagonaldo paraleleppedo inferior a 6 m. 16. (TRE/ES2010 Cespe) No prisma reto da figura acima, que representa, esquematicamente, uma urna eletrnica, as bases so trapzios retos, em que a base maior mede 27 cm, a base menor, 14 cm, e a altura, 13 cm. A altura do prisma igual a 42 cm. No retngulo da parte frontal do prisma mostrado na figura, em um dos retngulos destacados, localizam-se as teclas e, no outro, uma tela em que aparece a foto docandidatoescolhidopeloeleitor.Paraatenderaoseleitoresportadoresdedeficinciavisual, cadateclapossui,almdocaracterecomum,suacorrespondenterepresentaonalinguagem braille.Cadacaracterenalinguagembrailleformadoapartirdeseispontoscolocadosemduas colunasparalelasdetrspontoscada.Seguindoasregrasdalinguagembraille,cadacaractere formadolevantandoorelevodealgunsdessespontos,quepodeserapenasumpontoouat cinco pontos.A partir dessas informaes e considerando 1,4 como valor aproximado de V2 , julgue os itens que se seguem. 1. Se duas urnas sero armazenadas, sem sobras de espao, em uma caixa que tem a forma de um paraleleppedo retngulo, ento a soma das dimenses dessa caixa ser igual a 96 cm. 2. A rea da face da urna onde esto localizados a tela e as teclas superior a 7 dm2. 3. O volume do prisma superior a 11 dm3. 4.Aquantidadedecaracteresbrailledistintosquepodemserformadospeloaumentodorelevo de apenas dois pontos em uma tecla igual a 30. www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos 60 GABARITO: 01 CECE06 CE11 EE 02 ECC07 C12 C 03 CEC08 EC13 EEC 04 EC09 d14 C 05 EECC10 c15 CEECC 16 CCCE