Aerodynamics & Flight Mechanics Research Group

The Rotor in Axial Flight

S. J. Newman

Technical Report AFM-11/02

January 2011

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 UNIVERSITY OF SOUTHAMPTON

SCHOOL OF ENGINEERING SCIENCES

AERODYNAMICS AND FLIGHT MECHANICS RESEARCH GROUP

The Rotor in Axial Flight

by

S. J. Newman

AFM Report No. AFM 11/02

January 2011

© School of Engineering Sciences, Aerodynamics and Flight Mechanics Research Group

 

 

 

 

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Introduction The following analysis is an appraisal of Actuator Disc Theory and Blade Element Theory applied to a 

rotor in axial flight. The solutions to the methods require scrutiny to choose which is correct for the 

particular flight condition. The report discusses the manner in which the solutions interact and 

roposes a scheme to assemble them together in a unified whole. p

The analysis is then extended to Ann

 Nomenclature 

ulus Theory. 

 

T  Thrust 

R  Rotor Radius 

VT  Tip Speed 

VC  Climb Velocity 

VD  Descent Velocity 

Vi  Rotor Downwash Velocity 

N  No of Blades 

C  Blade Chord (Constant) 

Air Density 

a  Lift Curve Slope 

s  Rotor Solidity 

0  Collective Pitch 

Overall Blade Twist (Linear) 

x  Non‐ Dimensional Spanwise Variable 

z Vertical Advance Ratio 

i  Non Dimensional Rotor Downwash 

CT  Thrust Coefficient 

   

BET  Blade Element Theory 

ADT  Actuator Disc Theory 

AT  Annulus Theory 

 

 

 

Diagrams 

 

 

Disc Plane

Blade Section

r

iC VV

 Diagram 1 ‐ BET for Climb  

Disc Plane

Blade Section

r

iD VV

Diagram 2 ‐ BET for Descent  

 

 

T

VC

VC+Vi

VC+2Vi 

Diagram 3 ‐ ADT for Climb  

T

VD

VD-Vi

VD-2Vi

 Diagram 4 ‐ ADT for Descent 

  

 

x

dx

 Diagram 5 ‐ Annulus Theory 

 

 

 

 

Blade Element Theory with Momentum Theory 

 

Climb Root BET gives: 

 

 

dxx

xxaNcRVT izT

1

0

022

2

1

 (1.)

 

which on normalisation becomes: 

 

 

23

243

75

0

iz

izT

sa

C

 

(2.)

ADT gives the following expression for rotor thrust: 

 

  iizT

iiz

AV

VVVAT

22

2

 

(3.)

 

which on normalisation becomes: 

 

 

 

 

 

  2

4

4

iizT

iizT

C

C

 

(4.)

Combining equations (2) & (4) results in the quadratic equation: 

 

02348

752

z

zii

sasa

 (5.)

 

i.e.: 

 

02 CBA ii  

(6.)

 

where the coefficients are defined as: 

 

 

234

8

1

75 z

z

saC

saB

A

 

(7.)

 

if we introduce the product sa as a basic normalisation variable, the above equations reduce to: 

 

 

 

 

 

2375

2

7575

iz

TT

ii

zz

sa

CC

sa

sa

sa

 

(8.)

 

0234

1

8

1 752

z

zii   (9.)

 

 

 

 

02

CBA ii  (10.)

 

 

234

1

8

1

1

75 z

z

C

B

A

 

(11.)

 

It is now possible to solve this problem within a domain where rotor scale factors have been 

completely removed. 

 

 

 

 

The solutions of (10) & (11) are: 

 

 

2

38

1

8

1

2

238

1

8

1

75

2

75

2

zz

zzz

i

 (12.) 

These are denoted C+ & C‐ 

 

In order for either solution to exist, the following condition must be met: 

 

 

042

CAB  (13.)

i.e.: 

 

038

1 75

2

z

 

(14.)

 

which is a parabolic region defined by: 

  2

75 8

13

z

 

(15.)

 

Provided that this region is avoided, the remaining part of the domain will give rise to a positive or 

negative solution. 

 

 

 

 

For a positive solution we have from inspection of (12): 

 

C+  

 

 

8

1

08

1

z

z

 

(16.)

  

OR 

 

 

8

1

38

1 75

2

zz

 

(17.) 

 

which on squaring out gives: 

 

 

 

z2

375

 

(18.)

the domain now sub‐divides as shown in Figure 1: 

 

 

 

 

75

z

C+

+ve solution

-ve solution

no solution

 

Figure 1 ‐ C+ Solution Space 

 

 

C­  

a positive root will be obtained if: 

 

 

8

1

08

1

z

z

 

(19.)

AND 

 

 

 

 

 

8

1

38

1 75

2

zz (20.)

 

which on squaring out gives: 

 

 

 

z2

375  

(21.)

the domain now sub‐divides as shown in Figure 2: 

 

 

75

z

C-

+ve solution

-ve solution

no solution

 

Figure 2 – C‐ Solution Space 

 

 

 

Descent Root  

BET gives: 

 

 

dxx

xxaNcRVT izT

1

0

022

2

1

 (22.)

 

which on normalisation becomes: 

 

 

23

243

75

0

iz

izT

sa

C

 

(23.)

ADT gives the following expression for rotor thrust: 

 

  iizT

iiz

AV

VVVAT

22

2(24.)

 

which on normalisation becomes: 

 

  2

4

4

iizT

iizT

C

C

 

(25.)

 

 

 

 

Equations (23) & (25) combine to give: 

 

 

02348

752

z

zii

sasa  

(26.)

i.e. 

 

02 CBA ii  

(27.)

 

where the coefficients are defined by: 

 

 

234

8

1

75 z

z

saC

saB

A

 

(28.)

 

normalisation using sa gives: 

 

 

0234

1

8

1 752

z

zii

 (29.) 

 

i.e.: 

 

02

CBA ii  

(30.)

 

 

 

 

where: 

 

 

234

1

8

1

1

75 z

z

C

B

A

 

(31.)

 

It is now possible to solve this problem within a domain where rotor scale factors have been 

completely removed. 

 

The solutions of (30) & (31) are: 

 

 

2

38

1

8

1

2

238

1

8

1

75

2

75

2

zz

zzz

i

 (32.) 

These are denoted D+ & D‐ 

In order for a solution, the following condition must be met: 

 

 

042

CAB  (33.)

 

 

 

 

 

i.e.: 

 

038

1

0238

1

75

2

75

2

z

zz

 

(34.)

 

This is a parabolic region, but defined by: 

  2

75 8

13

z

 

(35.)

 

Provided that this region is avoided, the remaining part of the domain will give rise to a positive or 

negative solution. 

 

For a positive solution we have from inspection of (32): 

 

D+  

 

 

8

1

08

1

z

z

 

(36.)

  

OR 

 

 

 

 

 

8

1

38

1 75

2

zz (37.)

 

which on squaring out gives: 

 

 

 

z2

375  

(38.)

the domain now sub‐divides as shown in Figure 3: 

 

75

z

D+

+ve solution

-ve solution

no solution

 

Figure 3 ‐ D+ Solution Space 

 

 

 

 

D­ a positive root will be obtained if: 

 

 

8

1

08

1

z

z

 

(39.)

AND 

 

 

8

1

38

1 75

2

zz (40.)

 

which on squaring out gives: 

 

 

 

z2

375  

(41.)

the domain now sub‐divides as shown in Figure 4: 

 

 

 

 

75

z

D-

+ve solution

-ve solution

no solution

 

Figure 4 – D‐ Solution Space 

 

 

 

 

 

 

 

Combined Solution 

 

 

It is now possible to determine a calculation strategy permitting climb and descent with positive & 

negative pitch angles. 

 

The following procedure is proposed: 

 

The C+ & D‐ solutions form the basis. (The C‐ & D+ solutions are not appropriate.) These are shown 

together in Figure 5: 

 

75

z

C+

+ve solution

-ve solution

no solution

 

75

z

D-

+ve solution

-ve solution

no solution

Figure 5 – Comparison of C+ & D‐ Solution Spaces 

 

for any point in the domain of  z  &  75 75 a choice of C+ or D‐ solution is required. 

 

The tables show the choice order. 

 

Select 1st Choice if it exists  

Otherwise  

Select 2nd Choice

 

 

 

 

 

The choices are as follows: 

 

75  z  1st Choice  2nd Choice 

=>0  C+  C+ 

=>0 

<0  D‐  C+ 

=>0  C+  D‐ 

<0 

<0  D‐  D‐ 

 

This can be simplified to: 

 

 

z  1st Choice  2nd Choice 

=>0  C+  D‐ 

<0  D‐  C+ 

 

 

 

 

 

 

Extension to Annulus Theory  

The thrust over an elemental annulus is given by BET: 

 

 

x

aNcdrrdT iz 2

2

1 

(42.)

 

 

 

 

 

 

 

Momentum Theory ­ Climb  

from momentum theory over the annulus: 

 

 

Equating (42) & (43) gives: 

 

 

From which we have: 

 

Hence: 

 

 

Normalizing on sa gives finally: 

 

  iiC VrdrVVdT 22 (43.)

 

xa

R

xVNcVVV izT

iiC

2

8

1 

(44.)

 

iziiz xsa 8

 

(45.)

 

088

2

zzii x

sasa  

(46.)

 

 

08

1

8

12

zzii x

 

(47.)

 

 

Momentum Theory ­ Descent  

The thrust over an elemental annulus is given by BET: 

 

  iiD VrdrVVdT 22 (48.)

 

Noting that: 

 

CD VV  (49.)

 

from momentum theory over the annulus: 

  iiC VrdrVVdT 22 (50.)

 

 

Equating gives: 

 

 

xa

R

xVNcVVV izT

iiC

2

8

1 

(51.)

 

From which we have: 

 

 

 

 

 

 

 

Hence: 

 

 

Normalizing on sa gives finally: 

 

 

Comparison of Actuator Disc Theory (ADT) & Annulus Theory (AT)  

The quadratic equations for ADT & AT are presented below: 

Climb 

ADT 

AT  

 

iziiz xsa 8

 

(52.)

 

088

2

zzii x

sasa  

(53.)

 

08

1

8

12

zzii x

 

(54.)

 

0234

1

8

1 752

z

zii

 (55.)

 

 

08

1

8

12

zzii x

 

(56.)

 

 

Descent  

ADT  

 

0234

1

8

1 752

z

zii

 (57.)

 

 

AT  

 

08

1

8

12

zzii x

 

(58.)

 

Inspection of these equation pairs shows the following equivalence between the local pitch angle 

(AT) and the pitch at 75% radius (ADT): 

 

 

753

2 x 

(59.)

In other words, the AT solution can be achieved using the same choice of solution developed for the 

ADT. 

 

The thrust variation can then be evaluated by: 

 

 

 

 

 

 

dxx

xaNcRVT izT

1

0

22

2

1  

(60.)

 

whence: 

 

dxx

xsa

C izT

1

0

2  

(61.)

 

where finally: 

 

 

 

 

dxx

x

sa

CC

iz

TT

1

0

2

2

 

(62.)