agujeros negros cl asicos
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Agujeros Negros Clasicos
25 de febrero de 2021
Resumen
Notas escritas por Marcelo Oyarzo1 de las clases del profesor Andres Anabalon (Agujeros negrosclasicos) y del profesor Gaston Giribet (Agujeros negros cuanticos) en el contexto de la Escuelade Verano de la Universidad de Concepcion 2021 Escuela de Agujeros Negros Clasicos y Cuanticos(t.ly/0Tw1).
Indice
I Agujeros negros clasicos 3
1. Agujeros negros y su estructura causal 31.1. Geodesica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Simetrıas y cargas conservadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Colapso esfericamente simetrico sin presion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Extension de Kruskal-Szekers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Compactificaciones conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Teoremas de no pelo y AdS 142.1. Anti de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2. Estabilidad de campo escalar en AdS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3. Solucion exacta de agujero negro con campo escalar en (A) dS4 . . . . . . . . . . . . . 202.4. Agujeros negros con pelo con un potencial dado en AdS . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5. *Agujeros negros con pelo en D = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3. Supersimetrıa y agujeros negros 263.1. Supersimetrıa en AdS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2. Espinores de Killing en AdS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3. Agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.1. Einsten-Maxwell con constante cosmologica negativa . . . . . . . . . . . . . . . 353.4. Generalizacion de la ecuacion del espinor de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4. Agujeros de gusano 384.1. Obstruccion general a la construccion de agujeros de gusano . . . . . . . . . . . . . . . 404.2. Agujero de gusano como una identificacion en AdS y generalizacion . . . . . . . . . . . 43
II Agujeros negros cuanticos 49
1
5. Introduccion a la termodinamica de agujeros negros: entropıa de Bekenstein, ar-gumentos heurısticos, ordenes de magnitud 495.1. Entropıa y temperatura de un agujero negro (Heurıstico) . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2. Ordenes de magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3. Bound de Bekenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4. Radiacion de un agujero negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6. Teorıa cuantica de campos en espacio-tiempo curvo: creacion de partıculas, coefi-cientes de Bogoliubov. 566.1. QFT en espacio–tiempo curvo para un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.2. Coeficientes de Bogoliubov y el vacıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.3. Observaciones sobre el espacio de Rindler y Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7. Derivacion radiacion de Hawking. 647.1. Diagrama de Penrose del espacio de Minkowski y del agujero negro de Schwarzschild . 657.2. Temperatura de Hawking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8. Temperatura para un agujero negro generico y paradoja de la perdida de informa-cion 708.1. Temperatura Gibbons-Hawking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.2. Caso Schwarzschild-AdS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.3. Paradoja de la informacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2
Parte I
Agujeros negros clasicos
1. Agujeros negros y su estructura causal
¿Cual es el espacio tiempo asociado a la metrica
ds2 = dr2 + r2dφ2?
En principio cualquier persona podrıa decir que es el plano, pero la pregunta no esta bien definida,pues aun no definimos el rango de las coordenadas. Por ejemplo si r ∈ [0, L] y φ ∈ [0, 2π] la metricaanterior describe un disco, mientras que si cambiamos el rango de φ ∈ [0, s] con s < 2π describe uncono.
El objetivo de esta clase es poder mostrar que la representacion de la metrica de Schwarzschild es
Esta parte de las notas estan basadas en las notas de Townsend: https://arxiv.org/abs/gr-qc/9707012
1.1. Geodesica
La geodesica es una curva que tiene la distancia mas corta entre dos puntos. Si pensamos en unapartıculas libre masiva, la geodesica se obtiene minimizando el tiempo propio,
I [x] = −mc2
∫ B
Adτ. (1)
Donde el tiempo propio, por definicion es el tiempo medido por un observado comovil con lapartıcula, que se puede escribir en terminos de una parametrizacion arbitraria xµ (λ)
dτ =√−ds2 =
√−dxµdxνgµν =
√−xµxνgµνdλ (2)
donde xµ = dxµ
dλ . Consecuentemente la accion se puede escribir como
I [x] = −mc2
∫ B
A
√−xµxνgµνdλ.
donde hemos considerado c = 1. La linea de mundo que satisface δIδxµ(λ) = 0 es una geodesica por
definicion. Una accion equivalente se puede escribir en terminos de un einbein e, que es una nuevafuncion independiente, que permite escribir la accion de una forma cuadratica en x,
I [x, e] =1
2
∫ λB
λA
dλ[e−1 (λ) xµxνgµν −m2e (λ)
]. (3)
3
Observe que escribir la accion en terminos del einbein nos permite tomar el lımite m→ 0.Demostracion de la equivalencia: Para m 6= 0 la ecuacion de movimiento para el einbein es
dada por extremar la accion δeI!
= 0
δeI =1
2
∫ λB
λA
dλ[−e−2δexµxνgµν −m2δe
],
=1
2
∫ λB
λA
dλδe[−e−2xµxνgµν −m2
] != 0,
Dado que la variacion δe es arbitraria se debe cumplir que
− e−2xµxνgµν −m2 = 0, =⇒ e =1
m
√−xµxνgµν ≡
1
m
dτ
dλ. (4)
Haciendo casi lo mismo se pueden obtener las ecuaciones de movimiento para xµ,
δxI = 0 =⇒ D(λ)xµ =
(e−1e
)xµ, (5)
Donde hemos definido la derivada covariante respecto al parametro λ de un vector V µ (λ) como
D(λ)Vµ := V µ + xν
µρ ν
V ρ. (6)
Observe que la ecaucion de la geodesica que se resuelve usualmente tiene el lado izquierdo de (5)igual a cero. Esto se logra siempre que e = cte es decir que dτ
dλ = cte. Cuando esto ocurre, se dice quela parametrizacion es afın. Osea que el parametro que recorre la curva λ es proporcional al tiempopropio. Observe que la ambiguedad en la eleccion del parametro λ fue cedida a la eleccion de la funcione.
De forma de generan, para cualquier campo vectorial definido en la curva V µ (x (λ)) se tiene que
Xµ∇µV ν = Xµ∂µVν +Xµ
νµ ρ
V ρ,
= V µ + xµνµ ρ
V ρ
= D(λ)Vν .
Donde Xµ = xµ lo definimos como el vector tangente a la curva. Para los campos vectoriales V µ
que cumplenD(λ)V
ν = f (λ)V ν , (7)
donde f (λ) es arbitrario, se dice que es transportado paralelamente a lo largo de la curva. Por lotanto, una geodesica es una curva cuyo vector tangente es trasportado paralelamente a lo largo de ellamisma.
Como ultimo comentario respecto a las lineas de mundo de partıculas, podemos notar que conm = 0 la acion se reduce a
I [x, e] =1
2
∫ λB
λA
dλe−1xµxνgµν , (8)
la variacion con respecto al einbein
δeI =1
2
∫ λB
λA
dλδe[−e−2xµxνgµν
] != 0 =⇒ xµxνgµν = ds2 = 0. (9)
4
1.2. Simetrıas y cargas conservadas
Pensando en el teorema de Noether, si tomamos la accion y hacemos una transformacion de coor-denadas
xµ → xµ − αkµ, e→ e (10)
el cambio de la accion es dada por
I [x, e]→ I [x, e] =1
2
∫ λB
λA
dλ
[e−1 d
dλ(xµ − αkµ)
d
dλ(xν − αkν) gµν (x− αk)−m2e
],
=1
2
∫ λB
λA
dλ[e−1
(xµxν − αkµxν − αxµkν
)(gµν − αkρ∂ρgµν)−m2e
]+O
(α2),
= I [x, e] +1
2
∫ λB
λA
dλ[−2e−1αkµxνgµν − xµxναkρ∂ρgµν
]+O
(α2).
Entonces la variacion de la accion va como
δI [x, e] = −α2
∫ λB
λA
dλe−1xρxν (∂ρkµgµν + ∂νk
µgµρ + kµ∂µgρν) ,
= −α2
∫ λB
λA
dλe−1xρxν (£kg)ρν ,
Donde hemos definido la derivada de Lie para un tensor como
£kgρν := ∂ρkµgµν + ∂νk
µgµρ + kµ∂µgρν .
La accion es invariante cuando£kgρν = 0.
Los vectores k = kµ∂µ que cumplen con esta propiedad son llamados vectores de Killing .Entonces por cada vector de Killing que tengamos, via teorema de Noether existe una cantidad
conservada que es dada porQ = kµpµ.
donde pµ es el cuadri-momentum de la partıcula
pµ : =∂L∂xµ
,
= e−1xνgµν ,
= mdxν
dτgµν .
Ejercicio 1 Muetre que usando las ecuaciones de movimiento y el hecho que kµ es un vector de Killingmuestre que
dQ
dλ= 0.
Para el caso de un espacio tiempo que tenga metrica
ds2 = −f (r) dt2 +dr2
f (r)+ r2
(dθ2 + sin2 θdφ2
),
que puede ser Schwarzschild, Reissner-Nordstrom, etc. Siempre hay un vector de Killing k = ∂t. Demodo que la cantidad conservada es
mkνdxµ
dτgµν = m
dxµ
dτgµ0 = m
dt
dτg00 = −mε (11)
donde ε es la densidad de energıa (energıa/unidad de masa).
5
1.3. Colapso esfericamente simetrico sin presion
Ahora podemos estudiar como se mueve una partıcula en un background, por ejemplo Schwarzs-child. Podemos pensar en un colapso de una hipotetica nube de polvo esfericamente simetrica conpresion cero que colapsa en un agujero negro. Dicha metrica con c = 1 y G = 1 es
ds2 = −(
1− 2M
r
)dt2 +
(1− 2M
r
)−1
dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2
). (12)
Si consideramos r = R (t), pensemos en una partıcula que esta parada sobre la superficie de laestrella. Podemos escribirla como
ds2 = −
[(1− 2M
r
)−(
1− 2M
r
)−1
R2
]dt2 + r2dΩ2. (13)
Para una partıcula libre que cae radialmente junto con la estrella que colapsa tenemos que dΩ2 = 0 yds2 = −dτ2 entonces,
1 =
[(1− 2M
r
)−(
1− 2M
r
)−1
R2
](dt
dτ
)2
. (14)
Pero la cantidad dtdτ aparece en el caculo de la cantidad conservada asociada a traslaciones temporales
en (11). Para el caso de Schwarzschild ε =(1− 2M
R
)dtdτ , entonces
1 =
[(1− 2M
r
)−(
1− 2M
r
)−1
R2
](1− 2M
R
)−2
ε2, (15)
Que finalmente da lugar a una ecuacion para R2,
R2 =1
ε2
(1− 2M
R
)2(2M
R− 1 + ε2
). (16)
Note que para el caso en que la densidad de energıa de la partıcula ε2 ≥ 1 entonces R2 > 0, es decir Rnunca se anula, por lo que no hay puntos de retorno en la orbita, por lo que escapa a infinito. Mientrasque las partıculas con densidad de energıa ε2 < 1 existen puntos de retornos en las orbitas, R = 0.Por lo que estamos interesados en considerar el segundo caso, cuyo grafico es
Note que la estrella comienza con cierto radio maximos Rmax > 2M y luego comienza a acelerarhasta llegar a punto en donde el borde de la estrella deja de acelerar y luego su velocidad disminuye
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hasta aproximarse a cero! De cierta forma el borde de la estrella se ralentiza cuando se acerca a 2M ,pero nunca lo toca. Esto es visto por un observado que esta mirando el colapso desde el exterior.
Por otra parte un observador que esta cayendo con la estrella en colapso tiene un tiempo propio τdistinto al tiempo t del tiempo en infinito. En este caso
d
dt=
(dt
dτ
)−1 d
dτ=
1
ε
(1− 2M
R
)d
dτ.
Entonces si escribimos la derivada de R en terminos de dRdτ pasa algo curioso, y es que
1
ε2
(1− 2M
R
)2(dRdτ
)2
=1
ε2
(1− 2M
R
)2(2M
R− 1 + ε2
)El termino que llevaba a que R se anule en 2M se cancela!(
dR
dτ
)2
=
(2M
R− 1 + ε2
)=(1− ε2
)(Rmax
R− 1
)De modo que ahora el observado atraviesa R = 2M
Esta idea de que existen observadores que pueden atravesar la superficie r = 2M hace aparecernuevas preguntas respecto a como se podrıa explorar el espacio tiempo mas alla de r = 2M . Sinembargo, esta busqueda parece no tener sentido, ya que si tenemos cierta region del espacio es naturalpensar que hacer un cambo de coordenadas va a dar lugar al mismo espacio, pues debemos respetar losrangos de las nuevas coordenadas respecto a las antiguas. La clave para dar sentido a esto es considerarun “cambio de coordenadas” pero permitir que el rango de las nuevas coordenadas se extiendan masalla que las antiguas. Esto es llamado un difeomorfismo y las Relatividad General es invariante bajodifeomorfismos.
Clasicamente nada extrano ocurre en r = 2M , por lo que es interesante estudiar como caen laspartıculas sin masa hacia r = 2M . En este caso, si la partıcula cae de forma radial dΩ2 = 0 y ds2 = 0,de modo que
dt2 =1(
1− 2Mr
)2dr2 ≡ (dr?)2
podemos escribir la coordenada r?,
r? = r + 2M ln∣∣∣ r2M− 1∣∣∣
7
Definiendo las coordenadas ingoing v = t+ r?
ds2 =
(1− 2M
r
)(−dt2 + dr?2
)+ r2dΩ2,
= −(
1− 2M
r
)dv2 + 2drdv + r2dΩ2.
La nueva metrica con coordenadas (v, r, θ, φ) permite r > 0, pues la metrica no explota en r =2M . Observe ademas que la superficie r = 2M es una membrana unidireccional, para mostrar estoreescribamos la metrica como
2drdv = −[−ds2 +
(2M
r− 1
)dv2 + r2dΩ2
]. (17)
Para una curva tipo tiempo −ds2 > 0 y para r < 2M , vemos que del lado izquierdo de la ecuacionanterior 2drdv < 0 y si el observado esta orientado hacia el futuro, dv > 0, entonces dr no puede serpositivo. Es decir, esta condenando a moverse hacia donde r disminuye.
En el diagrama anterior, que se construye siguiendo las geodesicas nulas, se observa que los conosde luz del observado que cae siempre queda apuntando hacia el interior de r = 2M .
Un agujero negro que se creo mediante un colapso gravitacional no es invariante bajo el cambiot→ −t, pues el paso es distinto al futuro. Sin embargo, las ecuaciones de Einstein admiten solucionesque son agujeros negros eternos que han estado desde siempre, y estos sı son invariantes bajo unainversion temporal. Siguiendo esta idea existe otra posible extension al parche de Schwarzschild, elcual se puede logra considerando las coordenadas outgoing
u = t− r?, −∞ < u <∞.
En este caso la metrica se puede poner la siguiente forma,
ds2 = −(
1− 2M
r
)du2 − 2drdu+ r2dΩ2.
Podemos hacer el mismo analisis anterior y estudiar que tipo de superficie es r = 2M . Note que
2drdv = −[−ds2 +
(2M
r− 1
)dv2 + r2dΩ2
]≤ 0.
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Siguiendo los mismos argumentos anteriores, pero en este caso 2drdv ≤ 0, por lo que dr > 0. Demodo que el observador esta saliendo del interior de r = 2M . Esto se puede interpretar como la versioncon tiempo invertido de un agujero negro eterno.
1.4. Extension de Kruskal-Szekers
¿Sera posible extender aun mas el espacio para dilucidar nuevas regiones, o bien encontrar un parchedonde esten todas las regiones que hemos estudiado juntas? La respuestas es que sı, considerando elsiguiente difeomorfismo
U = −e−u/4M , V = ev/4M . (18)
note que como u, v ∈ R, entonces si estuvieremos pensado en un cambio de coordenadas U < 0y V > 0. Sin embargo, para poder extender el parche coordenado debemos considerar que las nuevascoordenadas tengan los siguientes rangos: U ∈ R y V ∈ R. En tal caso la metrica toma la formasiguiente
ds2 = −32M3
rer/2MdUdV + r2dΩ2.Obser (19)
Note que (18) podemos escribir
UV = −(r − 2M
2M
)er/2M . (20)
Observe que cada valor de r = cte corresponde a una hiperbola en el espacio tiempo. Esto da lugar aldiagrama siguiente
Observe que en este nuevo parche se pueden ver 4 regiones. Por otra parte si consideramos
U
V= e−t/2M (21)
Es decir, las superficie a t = cte son lineas rectas en el espacio tiempo, note que el cambio (U, V ) →(−U,−V ) es una isometrıa de la metrica, por lo que la region I es isometrica a las region IV.
9
Para investigar la region IV, como apreciamos que las lineas a t = cte son lineas rectas que conectanlas region I y IV, podemos intentar pasar de una a la otra haciendo otro difeomorfismo,
r =
(1 +
M
2ρ
)2
ρ (22)
En este caso la metrica toma la forma
ds2 = −
(1− M
2ρ
1 + M2ρ
)2
dt2 +
(1 +
M
2ρ
)4 (dρ2 + ρ2dΩ2
)︸ ︷︷ ︸espacio plano
. (23)
Observe que cuando ρ→ +∞ y ρ→ −∞ la metrica va a Mikowski
lımρ→+∞
ds2 = −dt2 + (dρ2 + ρ2dΩ2),
lımρ→−∞
ds2 = −dt2 +(dρ2 + ρ2dΩ2
)Note ademas que para cada valor de r hay dos valores de ρ
hay un mınimos en ρ = M/2, que corresponde a r = 2M .Pero note que cuando ρ→M/2 se anula gtt, por lo que se dice que en estas coordenadas podemos
conectar dos regiones asintoticas que son Mikowski pero no podemos atravesarlo. Esto se conoce comoun agujero de gusano no atravesable.
1.5. Compactificaciones conformes
Las compactificaciones conformes toman un espaciotiempo que en principio es no compacto yhacerlo compacto. De modo que toma puntos que estan en infinito y los lleva a valores finitos. Acontinuacion vamos a hacer compactificaciones conformes de distintos espacios.
10
Comenzaremos tomando la metrica del plano ds2 = dr2 + r2dφ2 y la vamos a multiplicar por unfactor conforme
ds2 = Λ2ds2 = 4dr2 + r2dφ2
(1 + r2)2 . (24)
donde
Λ =2
(1 + r2).
Ahora la metrica ds2 es la metrica de la esfera S2.
Ejercicio 2 Un ejercicio interesante es encontrar la transformacion de coordenadas r = r (θ, ϕ),φ = φ (θ, ϕ) que llevan a las coordenadas usuales de la esfera.
Lo que ocurrio fue que tomamos un espacio no compacto, lo multiplicamos por una funcion y diolugar a un espacio compacto. Observe que en el caso Lorentziano si es que ds2 > 0 entonces ds2 > 0,si ds2 < 0 entonces ds2 < 0 y si ds2 = 0 entonces ds2 = 0, por lo tantos multiplicar por factoresconformes no cambia la estructura causal del espacio tiempo; por eso es interesante estudiarlos.
Otro ejemplo es el espacio de Minkowski
ds2 = −dt2 + dr2 + r2dΩ2, (25)
si nos pasamos a las coordenadas dobles nulas,
u = t− r, (26)
v = t+ r.
La metrica queda
ds2 = − (dt− dr) (dt+ dr) + r2dΩ2
= −dudv +(u− v)2
4dΩ2. (27)
luego si hacemos el siguiente cambio de coordenadas
u = tan U , −π/2 < U < π/2,
v = tan V , −π/2 < V < π/2.
Note que ahora el rango de las coordenadas es un intervalo acotado (pero abierto). La metrica tomala siguiente forma
ds2 = − sec2 U sec2 V dUdV +1
4
(tan U − tan V
)2dΩ2,
=(
2 cos U cos V)−2 [
−4dUdV + sin2(U − V
)dΩ2
]. (28)
La gracias de este cambio es que se factorizo la cantidad que explota en U , V = ±π2 . Por lo que
ahora podemos multiplcar por el factor conforme Λ2 =(
2 cos U cos V)2
y la metrica quedara
ds2 = −4dUdV + sin2(U − V
)dΩ2. (29)
11
Ahora sı podemos cerrar los intervalos de las coordenadas U , V ∈ [−π/2, π/2]. Observe que en elprimer difeomorfismo que hicimos tenemos que r = 1
2 (v − u) > 0 lo cual implica que V ≥ U . De estaforma obtenemos cuatro regiones asintoticas,(
U = −π/2V = +π/2
)⇔
(u→ −∞v → +∞
)⇔
(r → +∞t finito
)infinito espacial
i0(U = ±π/2V = ±π/2
)⇔
(u→ ±∞v → ±∞
)⇔
(r finitot→ ±∞
)futuro (+) y pasado (-) ∞
temporal i±
(U = −π/2∣∣∣V ∣∣∣ 6= +π/2
)⇔
(u→ −∞v finito
)⇔
r → +∞t→ −∞r + t finito
Pasado nulo ∞=−
( ∣∣∣U ∣∣∣ 6= π/2
V = π/2
)⇔
(u finitov → +∞
)⇔
r → +∞t→ +∞r − t finito
futuro nulo ∞=+
Para construir el diagrama de Penrose consideremos el cambio de coordenadas
τ = V + U , χ = V − U .
En tal caso la metrica queda,ds2 = −dτ2 + dχ2 + sin2 χdΩ. (30)
Este es llamado el universo de estatico de Einstein con χ ∈ [0, π] y τ ∈ [−π, π] donde hemos mapeadolos rangos de las coordenadas antiguas a las nuevas.
Si uno hace este mismo ejercicio en AdS es posible notar que χ ∈ [0, π/2]. Por lo que se dice queel espacio estatico de Einstein son dos copias de la compactificaicon conforme de AdS.
Ejercicio 3 (Compactifiacion conforme de AdS) Reliazar la compactifiacion conforme de AdSen coordenadas globales
ds2 = `2(dρ2 − cosh2 ρdτ2 + sinh2 ρdφ2). (31)
donde φ ∈ [0, 2π[, ρ ≥ 0, −∞ < τ < +∞. Hint: Considere la transformacion de coordenadas dq =dρ/ cosh ρ o cosh ρ = 1/ cos q.
Si tomamos (30) y hacemos un diagrama (τ, χ)
12
entonces para cada (τ, χ) hay una 2-esfera. Si queremos dibujar el futuro nulo =+ debemos consi-derar V = π
2 y U 6= π2 , lo cual da lugar τ = π − χ, que es una recta en el espacio (τ, χ). Mientras que
para =− debemos considerar U = −π2 , que da lugar a τ − χ = −π. Lo cual da lugar a
Si aplastamos el diagrama obtenemos el diagrama de Penrose de Minkowski
Por lo que la compactifiacion conforme de Minkowski es un triangulo.Otro ejemplo interesante es considerar el espacio de Rindler en 2 dimensiones,
ds2 = −dt2 + dx2 (32)
= −dU ′dV ′
donde consideramos U ′ = t− x y V ′ = t+ x, observe que ahora no hay restriccion sobre x, por lo queel rango de las coordenadas compactas dara lugar a un cuadrado en vez que a un triangulo.
U ′ = tan U , −π/2 < U < π/2 (33)
V ′ = tan V , −π/2 < V < π/2 (34)
Con estas coordenadas la metrica toma la forma simple
ds2 = −(
cos U cos V)−2
dUdV , (35)
= Λ−2ds2
Multiplicamos por el factor conforma adecuado y cerramos los intervalos de las coordenadas U , V ∈[−π/2, π/2]
ds2 = −dUdV . (36)
Observe que la compatifiacion de Rindler en 2D es el mismo pero con los rangos de las coordenadascambiados!
13
Ejercicio 4 (Kruskal Manifold) Consideremos Schwarzschild en coordenadas dobles nulas (ingoingy outgoing)
ds2 = −(
1− 2M
r
)dudv + r2dΩ2 (37)
y considerando el cambio de coordenadas
u = tan U , −π/2 < U < π/2, (38)
v = tan V , −π/2 < V < π/2.
El diagrama de Penrose sera
2. Teoremas de no pelo y AdS
A continuacion vamos a presenciar el relato de una historia interesante de como se paso desde losteoremas de no pelo para los agujeros negro a que a construir soluciones con pelo escalar asintotica-mente plano y asintoticamente AdS.
La solucion de agujero negro con campos de materia de spin 1 se conoce desde el ano 1918: lasolucion de Reissner-Nordstrom. La pregunta natura es sobre si hay agujeros negros con campos demateria de spin 0. Durante los anos 60-70 se dieron cuenta que estaba difıcil encontrar una solucionde este tipo, lo cual culmino en un teorema:
Teorema de no pelo [Bekenstein, Huesler]: Para una teorıa arbitraria de la gravedad acopladaminimalmente a un campo escalar, donde el campo escalar satisface la ecuacion de Klein-Gordon conpotencial con segunda derivada positiva. Las soluciones de agujero negro implica que el campo escalardebe ser constante.
Para demostrar esto consideremos una metrica de la forma siguiente2
ds2 = −N2(xi)dt2 + hij
(xk)dxidxj . (39)
De las hipotesis del teorema, el campo escalar satisface la ecuacion de Klein-Gordon
∇µ∂µφ−∂V
∂φ= 0. (40)
2Voy a considerar una metrica que contiene a la que el profesor Andres considero en su clase.
14
Si expandimos el box y asumiendo que el campo escalar no depende de la coordenada temporalφ(xi)
∇µ∂µφ = gµν(∂µ∂νφ−
λµ ν
∂λφ
),
= gtt∂t∂tφ+ gij∂i∂jφ− gttkt t
∂kφ− gij
ki j
∂kφ,
= gij∇i∂jφ+1
N2
kt t
∂kφ. (41)
Dondeλµ ν
son los sımbolos de Christoffel. Calculamos el ultimos termino
kt t
=
1
2giµ (∂tgtµ + ∂tgtµ − ∂µgtt) ,
=1
2gik (−∂kgtt) ,
= Ngik∂kN. (42)
Reemplazando lo anterior en (40)
gij∇i∂jφ+1
Ngik∂iN∂kφ−
∂V
∂φ= 0. (43)
Multiplicando por N ∂V∂φ y luego integrando por partes el primer terminos obtenemos
∇i(N∂V
∂φgij∂jφ
)− ∂iN
∂V
∂φgij∂jφ−N
∂2V
∂φ2∂iφg
ij∂jφ+∂V
∂φgik∂iN∂kφ−N
(∂V
∂φ
)2
= 0,
→ ∇i(N∂V
∂φgij∂jφ
)−N ∂2V
∂φ2∂iφg
ij∂jφ−N(∂V
∂φ
)2
= 0
La hipotesis de que existe un agujero negro significa que existe un valor r = r+ tal que N (r+) = 0.Vamos a integrar en Σ, que es todo el volumen exterior a r = r+∫
Σ
√hd3x
[∇i(N∂V
∂φgij∂jφ
)−N ∂2V
∂φ2∂iφg
ij∂jφ−N(∂V
∂φ
)2]
= 0
Podemos usar el teorema de Gauss en el primer termino y nos queda la integral en el borde∂Σ = horizonte ∪
S2r→+∞
, la integral en el horizonte se anula porque N (r+) = 0 y la integral
en infinito se anulo porque asumimos que las soluciones van lo suficientemente rapido a infinito y elpotencial va a cero en infinito tambien. Por lo ultimo la suma de los dos ultimos terminos es unasuma de dos objeto positivos siempre que ∂2V
∂φ2 > 0 (∀r > r+), consecuentemente la ecuacion anteriorse satisface solo cuando φ = cte. Con esto queda demostrado el teorema.
Una forma de evadir el teorema es considerando potenciales con segunda derivada no necesariamen-te positiva en todos lados. por ejemplo el potencial del Higgs, que tiene sectores donde la derivada esnegativa. Sin embargo, en Relatividad General hay teoremas de no pelo para potenciales mas generales:
Teorema de Sudarsky: En Relatividad General con un campos escalar real acoplado minimalmentecon un potencial arbitrario pero no-negativa con Λ = 0 hay teorema de no pelo.
Para la demostracion consideremos la accion
I [gµν , φ] =
∫d4x√−g[R
2κ− 1
2(∂φ)2 − V (φ)
].
15
Cuyas ecuaciones de movimiento son
Eµν := Rµν −1
2gµν − κ
(∂µφ∂νφ−
gµν2
(∂φ)2 − gµνV (φ))
= 0.
φ− ∂V
∂φ= 0.
Vamos a considerar el siguiente ansatz para la funciones
ds2 = −f (r) e−2δ(r)dt2 +dr2
f (r)+ r2dΩ2,
φ = p (r) .
Al reemplazar esto en las ecuaciones de movimiento, la ecuacion del campo escalar queda,
p′′ = −rp′2f ′ − rfp′2δ′ − rV ′ + 2fp′2
rp′f. (44)
Donde hemos abusado de la notacion un poco V (φ (r)) ≡ V (r) y definimos ♠′ ≡ d♠dr . Las ecuaciones
linealmente indendientes son Ett y Err. Resulta que Ett depende de las derivadas f ′, δ′ y p′, mientrasque Err solo depende de derivadas de f ′ y p′. Por que si reemplazamos f ′ proveniente de Err en laecuacion Ett tenemos lo siguiente,
Ett → δ′ = −1
2κrp′2, (45)
Err → f ′ = − 1
2r
(2f − 2 + 2κr2V + κr2fp′2
). (46)
A continuacion vamos definir la cantidad
E :=1
2fp′2 − V (47)
cuya derivada es
E′ =1
2f ′p′2 + fp′p′′ − V ′,
Reemplazando la ecuacion del campo escalar (44)
E′ =1
2f ′p′2 − 1
r
(rp′2f ′ − rfp′2δ′ − rV ′ + 2fp′2
)− V ′,
= −p′2
2r
[rf ′ − 2rfδ′ + 4f
]. (48)
Reemplazamos (46) en (48),
E′ = −p′2
2r
[−1
2
(2f − 2 + 2κr2V + κr2fp′2
)− 2rfδ′ + 4f
],
= −p′2
2r(3f + 1)−
(−κrV 1
2p′2︸︷︷︸−1
4κrfp′2 p′2︸︷︷︸−2rfδ′
p′2
2r
), (49)
ahora vamos a reemplazar la ecuacion (45), que es p′2 = − 2κrδ′, en los terminos subrayados de (49),
E′ = −p′2
2r(3f + 1)−
(V δ′ +
1
2fp′2δ′ − fδ′p′2
),
= −p′2
2r(3f + 1)−
(V − 1
2fp′2
)δ′,
= −p′2
2r(3f + 1) + Eδ′,
16
Haciendo esto, observe que se arma justo (47). Ası obtenemos la ecuacion
E′ − Eδ′ = −p′2
2r(3f + 1) (50)
si multiplicamos por el factor integrante e−δ, podemos reescribirla como
d
dr
(Ee−δ
)= −p
′2 (3f + 1) e−δ
2r. (51)
Observe que esta cantidad es siempre negativa. Por otra parte la cantidad
Ee−δ =1
2fp′2e−δ − V e−δ (52)
evaulada en el horizonte esEe−δ|r=r+ = −V e−δ. (53)
Si asumimos que V (r) ≥ 0, ∀r que es una suposicion razonable: el potencial solo generara estados conenergıa positiva. En tal caso, de la ecuacion anterior se desprende que el valor de la cantidad Ee−δ enel horizonte es negativa
Ee−δ|r=r+ ≤ 0. (54)
Observe ademas que en el caso asintoticamente plano (Λ = 0) debemos requerir que el potencial tieneir a cero V (r →∞) = 0 y el campo escalar tiene que ir a constante p (r → +∞) = cte. Por lo tanto,la cantidad (52) en infinito tiene que ir a cero
Ee−δ|r→+∞ → 0. (55)
Por otra parte, y en contraposicion a este requerimiento, utilizando el hecho que ddr
(Ee−δ
)< 0
en todos lados, tenemos que Ee−δ siempre se vuelve mas negativa a medida que r aumenta. EntoncesEe−δ nunca puede ir a cero. Finalmente, no podemos tener un agujero negro con campo escalar en elcaso asintoticamente plano con un potencial positivo.
Claramente este teorema se puede evadir cambiando las ecuaciones. Por ejemplo introducido aco-plamientos dilatonicos, ya sea a la densidad de Gauss-Bonnet o bien en Einsten-Maxwell-Dilaton dondeel campo escalar se acopla como ∼ eαφFµνFµν al campo de Maxwell. Recientemente fue mostrado en[1] que es posible construir soluciones estables a nivel no lineal. Otras formas serıa considerar camposescalares complejos U (1) [Herdeiro-Radu], estas soluciones resultan ser inestables. Una pregunta serıasi los campos escalares estan valuados en el algebra SU (2) se pueden obtener soluciones estables enel sector no-abeliano. En fin cualquier cambio en la teorıa que permita no cumpla las hipotesis delteorema mostrado anteriormente puede ser un buen candidato a encontrar un agujero negro con uncampo escalar no trivial.
Considerar soluciones con potencial negativa genera otro camino para explorar, ya que esto nospermite evadir el teorema. No obstante, la intuicion lineal nos lleva a pensar que este tipo de potencialeslleva a inestabilidades. Sin embargo, las ecuaciones de Einstein son no-lineales entonces solucionesestables con potenciales negativos podrıan ser encontradas.
Una posibilidad interesante es considerar constante cosmologica, lo cual es interesante en si mismoporque con constante cosmologica positiva es posible explicar la expansion acelerada del universo.Mientras que la constante cosmologica negativa ha mostrado ser relevante en la descripcion de teorıasde campos en el limite large-N . Observe que incluir la constante cosmologica le hace un shift alpotencial:
Rµν −1
2gµν = κ
[∂µφ∂νφ−
gµν2
(∂φ)2 − gµν(V (φ) +
Λ
κ
)]. (56)
De modo que Λ < 0 es como poner potencial negativo. Vamos a hablar un poco sobre soluciones conpotenciales negativos y que son estables.
17
2.1. Anti de Sitter
Es posible definir el espacio Anti de Sitter en 4 dimensiones (AdS4) como el embebimiento en unespacio plano R(2,3), cuya metrica es ζab = diag (−1,−1,+1,+1,+1). AdS4 puede ser visto como una“hiperbola Lorenziana” cuyo constraint es (con ` = 1)
−X20 −X2
1 +X22 +X2
3 +X24 = −1. (57)
Estrictamente hablando AdS son infinitas copias de esta hiperbola. Podemos parametrizar el cons-traint anterior como sigue,
XS2
0 =√ρ2 + 1 sin τ, XS2
1 =√ρ2 + 1 cos τ, (58)
XS2
2 = ρ√
1− y2 cosφ, XS2
3 = ρ√
1− y2 sinφ, XS2
4 = ρy
Calculando el pullback de la metrica de R(2,3): dS2 = ζabdXadXb para el embebimiento anterior
tenemos que
ds2S2 = −
(1 + ρ2
)dτ2 +
dρ2
1 + ρ2+ ρ2
(dy2
1− y2+(1− y2
)dφ2
)≡ gµνdxµdxν . (59)
Esta es llamada foliacion global ; a pesar de que no es global en el sentindo de que cubre todala variedad, pues esta parametrizacion tiene superficies coordenadas que son esferas y como es biensabido, no hay forma de cubrir con una carta toda la esfera. El nombre “globales” es en el sentido queen todo el rango de la coordenada ρ se tiene que gττ 6= 0.
La observacion que esta detras del hecho que AdS son infinitas copias del hiperboloide es que parasatisfacer los terminos del constraint −X2
0 − X21 + · · · = −1 se introdujo X0 ∝ sin τ y X1 ∝ cos τ .
Entonces para cubrir el constraint (57) es suficiente que τ ∈ [0, 2π[ con la identificacion τ ∼ τ + 2π.En cambio, indentificar la coordenada τ en la metrica (59) introduce curvas de tipo tiempo cerradas.Consecuentemente, en (59) τ ∈]−∞,∞[, y ∈ [−1, 1], ρ ∈ [0,+∞[ y φ ∈ [0, 2π[.
Otra parametrizacion para AdS que tambien es global en el sentido anterior, pero no se le llamaglobal, es dada por
XAdS30 =
(sin
t
2sinh
u
2sinh
θ
2+ cos
t
2cosh
u
2cosh
θ
2
)√r2 + 1,
XAdS31 =
(sin
t
2cosh
u
2cosh
θ
2− cos
t
2sinh
u
2sinh
θ
2
)√r2 + 1,
XAdS32 =
(sin
t
2sinh
u
2cosh
θ
2− cos
t
2cosh
u
2sinh
θ
2
)√r2 + 1,
XAdS33 =
(sin
t
2cosh
u
2sinh
θ
2+ cos
t
2sinh
u
2cosh
θ
2
)√r2 + 1,
XAdS34 = r.
La cual da lugar a la siguiente metrica,
ds2AdS3
=dr2
r2 + 1+r2 + 1
4
(− cosh2 θdt2 + dθ2 + (du+ sinh θdt)2
),
donde r ∈]−∞,+∞[, θ ∈]−∞,+∞[, t ∈]−∞,+∞[ y u ∈]−∞,+∞[. Observe que esta parametrizacionse parece a Taub-Nut.
18
Finalmente, otra foliacion que es util es AdS/CFT es dada por
X0 =1
2r
[1 + r2
(1− ηijxixj
)],
XA = rx1−A, A = 1, . . . , 3,
X4 =1
2r
[1− r2
(1− ηijxixj
)].
Ejercicio 5 Muestre que esta foliacion es local. Hint: Calcule X0 −X4.
Ejercicio 6 Muestre que la metrica toma la forma
ds2 =dr2
r2+ r2ηijdx
idxj .
Desde el punto de vista del campo escalar considerar Λ < 0 significa considerar V < 0, por lo queestamos evadiendo una de la hipotesis de teorema de Sudarsky. Aun mas, en AdS es posible considerarpotenciales no acotados por abajo y aun ası tener un espectro de energıa positivo. Esto fue mostradoen detalle por Breitheloner y Freedman.
2.2. Estabilidad de campo escalar en AdS
A continuacion vamos a estudiar pertubativamente la estabilidad de AdS basado en el trabajo [2].Consideremos la cofiguracion siguiente
ds2 = −∆1 (x, t) dt2 + ∆2 (x, t) dx2 + C (x, t) dΣk.
Usando la invarianza bajo difeomorfimos se puede mostrar que C (x, t) = C (x). Mientras que elcampo escalar
φ = φ (x, t) .
Estamos considerando la coordenada radial como x. Supongamos que existe una solucionm que sondadas por el orden 0 en ε. Vamos a perturbar esta solucion a orden lineal en ε,
∆1 (x, t) = A (x) + εA1 (x, t) ,
∆2 (x, t) = B (x) + εB1 (x, t) ,
φ (x, t) = φ0 (x) + εφ1 (x, t) ,
V (φ) = V0 + V1φ1 (x, t) .
Donde Vn := dnVdφn
∣∣∣φ=φ0
y vamos a usar la notacion ♠′ = d♠dx , ♠ = d♠
dt . Las ecuaciones de Einstein
a orden lineal son
Etx =
(C ′
2BCB1 − κφ1φ
′0
)ε+O
(ε2)
→ B1 (x, t) = 2κCB
C ′φ1φ
′0. (60)
Exx =
(−1
2
C ′A′
CA2A1 +
1
2
C ′
CAA′1 + κ
B
C ′[−2κφ′0 + V1C
′ + 2κCV0φ′0
])ε+O
(ε2). (61)
Si hacemos el siguiente cambio de variable
ψ (x, t) = φ1 (x, t)C (x)1/2 , dz =
(B
A
)1/2
dx.
19
obtenemos una ecuacion de la onda con potencial
−∂2zψ + Uψ = −∂2
t ψ
donde el potencial U es dada por las funciones de background,
U
A= 4κC
[(κV0C − k)
(dφ0
dC
)2
+ V1
(dφ0
dC
)]− κV0 + V2 +
k
C− 1
4B
(C ′
C
)2
.
Osea que el background nos dice cual es el potencial efectivo que ve el campo escalar. Vamos a vercomo luce el potencial efectivo considerando el comportamineto asintotico
V = − 3
κ`2+
1
2m2φ2 + ξφ4 +O
(φ5). (62)
C = r2, A =r2
`2+ k = B−1. (63)
En este caso el potencial efectivo queda como
U =
(m2 +
2
`2
)(r2
`2+ k
). (64)
Observe que una masa cuadrado negativa puede dar lugar a soluciones estables. De hecho conm2 = − 2
`2corresponde a un campo escalar massless en AdS. De hecho la masa puede ser aun mas
negativa m2 > − 94`2
, esta es conocido como la cota de Breitheloner-Freedman en 4 dimensiones.Ahora vamos a resolver las ecuaciones asintoticamente con m2 = − 2
`2. Lo que vamos a hacer es
reemplazar en el potencial efectivo el comportamiento de la metrica asintoticamente,
φ =α
r+β
r2+O
(r−3)
(65)
−gtt =r2
`2+ k +O
(r−1), (66)
gmn = r2hmn +O(r−1), (67)
grr =`2
r2−(`4k + 1
2κα2`2)
r4+O
(r−5). (68)
El potencial efectivo toma la forma
Ur→+∞ =3
2
α2(8ξ`2 + κ
)`4
(69)
note que va a una constante que depende de α. Cuando α 6= 0 las perturbaciones ya no son massless.Concluimos que no es descabellado considerar potenciales negativos o m2 < 0, ya que considerandola backreaction tenemos un buen comportamiento asintotico. Por esto uno se podrıa pregunta losiguiente: ¿Es posible construir estas soluciones de forma cerrada? Vamos a responder esta preguntaa continuacion.
2.3. Solucion exacta de agujero negro con campo escalar en (A) dS4
Para construir estas soluciones necesitamos fijar el potencial, entonces ¿como lo fijamos?. Siguiendo[3] podemos proceder como sigue: La metrica mas general que existe en 4 dimensiones, que se contieneagujeros negros dentro de su espacio de parametros es al metrica de Plebanski-Demianski,
ds2 = S (q, p)
[− Y (q)
q2 + p2
(dτ + p2dσ
)2+
X (p)
q2 + p2
(dτ − q2dσ
)2+(q2 + p2
)( dp2
X (p)+
dq2
Y (q)
)]. (70)
20
La cual contiene a Schawrzschil, Kerr, agujeros negros acelerados, Taub-Nut, etc. De forma precisase dice que las metrica de Petrov tipo B estan contenidas en este ansatz.
Las ecuaciones de Einstein se satisfacen cuando se fija S (q, p), X (p) , Y (q). Entonces, para fijarel potencial podemos dejar las funciones de la metrica libre y preguntarnos ¿cual es el potencial masgeneral posible que es compatible con esta forma de la metrica? Para ello consideremos un campoescalar estacionario y axisimetrico,
φ = φ (q, p) (71)
La observacion clave es que dada las dependencias del campo escalar hay ciertas componentes deltensor energıa-momentum que se anulan
Tµν = ∂µφ∂νφ− δµν(
1
2(∂φ)2 + V
). (72)
Las cuales sonT τσ = 0 = T στ . (73)
Se sigue de las ecuaciones de Einstein que el tensor de Ricci en estas direcciones es cero
Rτσ = 0 = Rστ . (74)
Por lo tanto, se puede integrar parcialmente el sistema sin especificar el potencial. Las ecuaciones (74)dan lugar a
∂q lnS = F1 (q, p,X, Y ) , (75)
∂p lnS = F2 (q, p,X, Y ) . (76)
Donde F1,2 son funciones que estan fijas. Dado que las derivadas parciales conmutan podemosescribir
[∂p, ∂q] lnS = 0. (77)
Que es∂pF1 (q, p,X, Y )− ∂qF2 (q, p,X, Y ) = 0. (78)
Las ecuaciones anteriores a pesar de que es no lineal se puede integrar, cuyas soluciones son
X (p) = x0 − x1Ap2+ν − x3p
2−ν − x2p2 + x4p
4,
Y (q) = x0 + x2q2 + x4q
4 + x1q2−ν +Ax3q
2+ν ,
S (q, p) = C(qp)ν−1
[1−A (qp)ν ]2.
donde x1,2,3,4, A,C, ν son constantes de integracion. Estas constantes van a aparecer en el potencialya que debemos considerar las ecuaciones de Einstein que tiene las componentes del tensor de energıamomentum no nulo. Haciendo esto obtenemos el siguiente potencial (con κ = 1),
V (φ) = −α2
ν2
[(ν − 1) (ν − 2)
2e−φ`(ν+1) + 2
(ν2 − 1
)e−φ` +
(ν + 1) (ν + 2)
2eφ`(ν−1)
]+α2 − L−2
ν2
[(ν − 1) (ν − 2)
2eφ`(ν+1) + 2
(ν2 − 1
)eφ` +
(ν + 1) (ν + 2)
2e−φ`(ν−1)
].
y la solucion del campo escalar es
φ = `−1ν ln
(q
p
),
21
donde `−1ν =
√12 (ν2 − 1). Un observacion interesante es que la teorıa de super gravedad maxima en
4 dimensiones tiene 70 campos escalares reales. De los cuales 4 de ellos pueden quedar encendidosmientras se apagan todos los otros. Lo curioso es que para ciertos valos de ν se recuperan estos 4casos:
ν =4
3→ SO (7) ,
ν = 2 → SO (6)× SO (2) ,
ν = 4 → SO (5)× SO (3) ,
ν =∞ → SO (4)× SO (4) ,
En el caso AdS estatico es posible construir una familia de soluciones dadas por
φ = −`−1 lnx, (79)
ds2 = Υ (x)
[−f (x) dt2 + +
η2
f (x)dx2 + `2dΣ2
k
](80)
donde dΣ2k = dθ2 +
sin2(√kθ)
k dϕ2 es la metrica base de las superficies 2 dimensiones Σk =S2,H2,R2
y
f (x) = 1 +x2−νη2 (xν − 1)2
ν2
k
`2+ α2`2
[−1 +
x2
ν2
((ν + 2)x−ν − (ν − 2)xν + ν2 − 4
)], (81)
Υ (x) =xν−1ν2`2
η2 (xν − 1)2 . (82)
Otra observacion es que en el lımite ` → ∞ el potencial aun existe, por lo que es posible teneragujeros negros asintoticamente plano con campos escalares. Note que la metrica (80) tiene la formafuncional del agujero negro de Schwarzschild multiplido por un factor conforme. Cuando x = 1 tenemosque Υ (x = 1) =∞ por lo que esto corresponde a un borde del espacio. Nos podemos ir a x = 1 por laizquierdo o la derecha, los cuales corresponden a dos espacios que estan desconectados. Sin embargocon x < 1 se tiene una singularidad nula, mientras que con x > 1 la singularidad es tipo espacio.
2.4. Agujeros negros con pelo con un potencial dado en AdS
Consideremos el caso en que el horizonte es plano. Asintoticamente una metrica en AdS va como
ds2 =L2
r2dr2 +
r2
L2γµνdx
µdxν +O (1) .
Mientras que el campo escalar asintoticamente decae como
ϕ =L2∆−α (x)
r∆−+L2∆+β (x)
r∆++O
(r−∆−−1
),
∆± =(D − 1)
2
(1±
√1 +
4L2m2
(D − 1)2
).
Note que las dos ramas tiene constantes de integracion α (x) y β (x). El primero termino se llamala fuente y el segundo se llama el VEV. A continuacion vamos a argumentar estos nombres, conectadocon AdS/CFT. Si consideramos la accion euclidea con un termino de borde
IE [ϕ] =1
κ
∫MdDx√g
(1
2(∂ϕ)2 + V (ϕ)
)+
∆−2Lκ
∫∂M
dD−1x√hϕ2. (83)
22
La variacion de la accion euclidea on-shell es dada por
δIE =1
κ
∫MdDx√gδϕ
(−∂µ∂µϕ+
∂V
∂ϕ
)+
1
κ
∫MdDx√hNµδϕ∂µϕ+
∆−Lκ
∫∂M
dD−1x√hϕδϕ,
=1
κ
∫MdDx√h
[Nµ∂µϕ+
∆−Lϕ
]δϕ. (84)
Evaluamos este termino de borde en r → +∞. En infinito el vector normal unitario es Nµ = δµrrL ,
mientras que la variacion del campo es respecto a los parametros δϕ = L2∆−δαr∆− + L2∆+δβ
r∆++O
(r−∆−−1
).
Reemplazando en la variacion anterior tenemos que
δIE = (∆− −∆+)LD−2
κ
∫∂M
βδα√γdD−1x. (85)
Por otra parte, desde el punto de vista de la integral de camino en teorıa de campos, cuando se introduceuna fuente J (x), con respecto al cual se debe hacer la variacion, pues es lo unico con respecto a locual se puede variar. De acuerdo a la correspondecia AdS/CFT la exponecial de la accion eulidea engravedad es igual a la integral de camino de una teorıa cuantica de campos
e−IE
=
∫D [Φ]G (Φ) e−S[Φ]−N#C
∫J(x)O(x)dD−1x ≡
⟨e−N
#C∫J(x)O(x)dD−1x
⟩(86)
De modo que cuando consideramos la variacion respecto a la fuente y comparamos con (85). Debemoshacer la identificacion entre las constantes gravitacionales con las constantes en la teorıa de campos,via el diccionario AdS/CFT
LD−2
κ= N#C.
De modo que1
(∆− −∆+)
(− 1√γ
δIE
δα
)∣∣∣∣α=0
≡ LD−2
κβ = N#C 〈O〉 .
Ası 〈O〉 = β es el VEV y J = α (∆− −∆+) es la fuente. Cuando uno hace el caculo de funciones decorrelacion en QFT despues de calcular las derivadas funcionales de la integral de camino respecto ala fuente se setea J = 0. Mientras que por el lado de gravedad esto es equivalente a poner α = 0, locual es fijar la condicion de borde. Hacer esto permite asegurar soluciones regulares en infinito, pues
∆− =(D − 1)
2
(1−
√1 +
4L2m2
(D − 1)2
),
elegir masas suficientemente altas lleva a comportamientos divergentes en infinito. Sin embargo, cuandoestamos en la ventana de BF
m2BF + L−2 > m2 ≥ m2
BF , m2BF = −(D − 1)2
4L2.
es posible tener soluciones regulares en infinito. Esto nos permite jugar con las condiciones de borde,por ejemplo escribir α en terminos de β.
En los problemas que son descritos por ecuaciones diferenciales no lineales, lo se quiere hacer esintegrar el sistema y luego poder fijar las condiciones de borde, ya que un problema bien definido con-siste en la ecuacion diferencial y las condiciones de borde. Pero a veces ni siquiera es necesario conocerla funcion explicita de la metrica, lo que importa realmente es saber como depende las constantes delsistema que estan en una parte (por ejemplo la masa del agujero negro) con las constantes de ingracionen otra parte (Por ejemplo α y β en infinito).
23
2.5. *Agujeros negros con pelo en D = 5
Vamos a construir un ejemplo explicito en 5 dimensiones siguiento [4]. Consideremos el siguienteansatz
ds2 = eA(−fdt2 + dΣ2
)+ eB
dr2
f. (87)
Haciendo el siguiente cambio de variable
Z =dϕ
dA, Y = Zf
dϕ
df. (88)
Ocurre que las ecuaciones de movimiento se pueden escribir solo en terminos de Z e Y ,
dZ
dϕ=
(3dV
dϕ+ 4ZV
) (2Z2Y − 6Y − 3Z2
)12V ZY
, (89)
dY
dϕ=
(3dV
dϕ+ 2ZV
)2Z2Y − 6Y − 3Z2
6V Z2. (90)
Observe que la ecuacion (89) es algebraica en Y , por lo que podemos despejarlo y reemplazarla en laecuacion (90) y obtenemos una ecuacion de segundo orden para Z,
−3Z
(3dV
dϕ+ 4ZV
)d2Z
dϕ2+
(−9
dV
dϕ+ 12ZV
)(dZ
dϕ
)2
(91)
+
[(Z2 + 3
)8ZV +
(18Z2 + 1
) dVdϕ
+ 9Zd2V
dϕ2
]dZ
dϕ= 0
De la definicion de Z podemos escribir
A (r) =
∫ ϕ(r)
ϕH
dϕ
Z+
2
3lnA
donde A fue elegido ası porque A (rH) = 23 lnA y como el area en D = 5 va como r3 entonces A es el
area dela agujero negro multiplicado por el el volumen de las direcciones planas. Entonces si dividimosel area por el volumen, podemos escribir la densidad de entropıa como
s =A4G
, (92)
δρ = Tδs. (93)
Lo cual satisface la primera ley de Agujero negro donde ρ es la densidad de masa. Ahora lo que debemoshacer es estudiar como se relacion α y β con la masa del agujero negro. Para esto consideremos lamasa del campo escalar saturando el bound de BF m2 = m2
BF , para este caso el campo va en infinitocomo
ϕ =α`4
r2ln
(r
r0
)+β`4
r2+O
(ln2 r
r3
)(94)
siguiendo esto en infinito, como eA ∼ r2
`2tenemos que
eAϕ ∼ α`2 ln
(r
r0
)+ β`2 +O
(ln2 r
r
), (95)
24
Luego reemplazando r ∼ `eA/2 en (94) para calcular la derivada con respecto a A,
ϕ ∼ α`2
eAln
(eA/2
r0
)+β`2
eA, (96)
su derivada es
→ eAdϕ
dA∼ −α`2 ln
(eA/2
r0
)+α`2
2− β`2 +O
(ln2 r
r2
)(97)
Observe que si sumamos (97) con (97) obtenemos,
eA(ϕ+
dϕ
dA
)∼ α`2
2. (98)
De este modo en el lımite de campo pequeno
α (ϕH ,A) `2 = lımϕ→0
2 (Z + ϕ) eA ∼ αH (ϕH)A23 (99)
Observe que se pudo obtener una de las constantes de integracion del horizonte con el valor delcampo en infinito. Lo mismo se puede hacer para las demas constantes de integracion considerandolos compartamientos asintoticos siguientes
eAf =r2
`2+µ`6
r2+O
(r−3), eA =
r2
`2+O
(r−3),
eB
f=`2
r2+O
(ln2 r
r6
). (100)
se sigue que
µ (ϕH ,A) = `−4µH (ϕH)A43 . (101)
Reemplazando esto en (93), se puede obtener β en terminos de las demas constantes
β (ϕH ,A) = −1
2α ln
∣∣∣∣ αα0
∣∣∣∣+ αzH (ϕH) . (102)
Observe que si tomamos µ y lo dividimos por α2 obtenemos una cantidad que no depende de laentropıa,
µ
α2= F (z) (103)
de modo que el sistema esta completamente caracterizado por una funcion que depende del valordel campo escalar en el horizonte. Para obtener F (z) hay que resolver el problema numericamente.
Un ejemplo es considerar un potencial que viene de una supergravedad de tipo II B compactificadasobre una 5 esfera,
V (ϕ) = − 3
2`2
[3 + cosh
(2√
6
3ϕ
)]. (104)
Resolviendo el problema numericamente para este potencial F (z) es graficando abajo a la izquierda.Mientras que la derecha se encuentra un grafico en el espacio de las constantes de integracion dondeesta la funcion µ = µ (α, β) que define una superficies y la condicion de borde α = β. La interseccionde ambas superficies define una familia uniparametrica de agujeros negros:
25
3. Supersimetrıa y agujeros negros
En esta clase vamos a explorar la relacion entre super simetrıa y agujeros negros.A comienzos de la decada de 1960 la gente se fue dando cuenta que las partıculas que se observaban
se podıan clasificar en distintas representaciones de grupos. Surge la pregunta sobre si los gruposde simetrıas interna de las partıculas se podıan relacionar con las simetrıas del espaciotiempo. Sinembargo, Coleman y Mandula mostraron que esto no es posible. Mostraron que de alguna manera lasimetrıa interna como las de electromagnetismo, electro weak o QCD tenıan una vida completamenteindependientes respecto a las simetrıas del espacio tiempo.
Una de las hipotesis que tiene el teorema es que la simetrıa es generada por parametros bosonicos,que por lo tanto satisfacen reglas de conmutacion. Una forma de evadirlo es considerar objetos queanticonmute como generadores de simetrıa. Este tipo de simetrıa es llamada supersimetrıa.
Ahora lo que vamos a ver, es como desde la simetrıa del espacio-tiempo se pueden construir objetosfermionicos que estan relacionados con la simetrıa del espacio tiempo. Para esto vamos a construir unespinor ψ covariantemente constante definido como sigue,
Dµψ =
(∂µ +
1
4ωabµγab
)ψ = 0,
donde ψ es un espinor que transforma en la respresentacion de spin 1/2 del grupo de Lorentz. Es posibleconstruir esta representacion considerando matrices que satisfacen el algebra de Clifford γa, γb =2ηab, donde ηab = (−,+,+,+) Un conjunto de estas matrices son,
γ0 =
0 0 0 −10 0 1 00 −1 0 01 0 0 0
, γ2 =
0 0 0 −10 0 1 00 1 0 0−1 0 0 0
, (105)
γ1 =
−1 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 1
, γ3 =
0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0
.
Esta es llamada la base de Majorana y nos permmite asumir que el espinor es real. Con estas matricesvamos a construir γab = 1
2 [γa, γb] .
26
En el espaciotiempo de Minkowski la conexion de spin es cero ωabµ = 0, por lo que la ecuacion parael espinor covariantemente conservado es simplemente ∂µψ = 0. Donde hay 4 soluciones independientes
ψ1 :=
1000
, ψ2 :=
0100
, ψ3 :=
0010
, ψ4 :=
0001
. (106)
Los cuatro vectores anterior los agruparemos en ψα con α = 1, 2, 3, 4. Es posible demostrar que elındice µ del objeto −iψγµψ transforma en la representacion de spin 1 del grupo de Lorentz, osea esun vector. Donde ψ = iψ†γ0 es el conjugado de Dirac. Utilizando este producto podemos construirvectores:
Kαµβ = −iψαγµψβ. (107)
Podemos reemplazar los espinores covariantemente constante (106). Y algunos de ellas son
K(1)(1)(1) = 1, K(4)(2)(1) = −1, K(1)(3)(1) = 1, K(3)(4)(1) = −1 · · · (108)
Estos son las traslaciones de los vectores de Killing del espaciotiempo. Por esto es que los espinoresque dan lugar estos vectores son llamados spinores de Killing. Si suponemos que esta es una realizacionde una algebra abstracta. Entonces el algebra tiene que tener la forma
Qα, Qβ = λKαµβPµ. (109)
con un anticonmutador, ya que Kαµβ es simetrico en α y β. Este es el sector super simetrica de loque es llamdo D = 4, N = 1 algebra de supersimetrıa del algebra de Poincare.
Es posible seguir este mismo caminos en otros espacios. En lo que sigue de esta seccion vamos aexplorar los espinores de Killing en AdS utilizando Maple. Para el final vamos a hablar de agujerosnegros supersimetricos.
3.1. Supersimetrıa en AdS
Antes de intentar resolver la ecuacion Dµψ = 0 en el espacio de AdS, podemos (y debemos) deduciruna condicion de integrabilididad. Si calculamos el conmutador de derivadas covariantes, obtendremosalgo proporcional al tensor de Riemmann que se debe anular,
[Dµ, Dν ]ψ ≡ Rµνabγabψ = 0. (110)
Por lo tanto, los unicos espacios tiempos que pueden tener estos espinor de Killing son espaciostiempolocalmente planos (Riemann = 0). La forma de proceder sera considerar una nueva definicion dederivada covariante que permita un tensor de Riemann no nulo, la cual es
Dµψ :=
(∂µ +
1
4ωabµγab −
i
2`γµγ
5
)ψ. (111)
donde γ5 = −iγ0γ1γ2γ3. Con esta modificacion el conmutador de derivadas covariantes de lugar a[Dµ, Dν
]ψ ≡
(Rµνabγ
ab +2
`2γµν
)ψ (112)
Ejercicio 7 Considere el tensor de Riemann para AdS
Rµνρσ = − 2
`2gρ[µgν]σ = − 1
`2(gρµgνσ − gρνgµσ) = − 2
`2gµ[ρgσ]ν .
y muestres que (112) se anula indenticamente.
Luego de mostrar esto concluimos que la ecuacion es consistente y podemos intentar resolverla.Para ello vamos a usar Maple y el paquete grtensor.
27
3.2. Espinores de Killing en AdS
Necesitamos definir todas las cantidades que hemos utilizado. Los bloques fundamentales paratrabajar con espinores son las matrices γ, que en Maple se puede programar como sigue:
gamma0:=<<0,0,0,1>|<0,0,-1,0>|<0,1,0,0>|<-1,0,0,0>>:
gamma1:=<<-1,0,0,0>|<0,1,0,0>|<0,0,-1,0>|<0,0,0,1>>:
gamma2:=<<0,0,0,-1>|<0,0,1,0>|<0,1,0,0>|<-1,0,0,0>>:
gamma3:=<<0,1,0,0>|<1,0,0,0>|<0,0,0,1>|<0,0,1,0>>:
El caculo lo vamos a hacer utilizando la metrica, que para evitar problemas vamos a ajustar elradio de AdS a 1 (` = 1),
ds2 =dr2
r2 + 1+r2 + 1
4
(− cosh2 θdt2 + dθ2 + (du+ sinh θdt)2
). (113)
Que ya hemos discutido en las secciones anteriores. Los rangos de los parametros que dan lugar a AdSglobal son t, r, θ, , u ∈ ]−∞,∞[. Para escribir la conexion de spin es necesario escribir esta metrica enterminos de los vielbein eaµ, que satisfacen,
gµν = ηabeaµebν . (114)
Contraemos con la base dxµ para ver mas facil que vielbein sirven
gµνdxµdxν = ηabe
aµebνdx
µdxν ,
= −e0µe
0νdx
µdxν + e1µe
1νdx
µdxν + e2µe
2νdx
µdxν + e3µe
3νdx
µdxν ,
= −(e0
0
)2dt2 +
(e1r
)2dr2 +
(e2θ
)2dθ2 +
(e3tdt+ e3
udu)2, (115)
los terminos que no aparecen en la suma anterior seran igual a cero, debido a que no son necesariopara escribir la metrica. Comparando (113) con (115) vemos que
e0t =√F cosh θ, e1
r =1
2√F, e2
θ =√F , e3
t =√F sinh θ, e3
u =√F . (116)
Donde F = r2+14 . Es posible programar esto en Maple creando un archivo de extension .mpl con el
siguiente codigo
Ndim_ :=4 :
x1_ :=t :
x2_ :=r :
x3_ :=theta :
x4_ :=u :
eta11_ :=-1 :
eta22_ :=1 :
eta33_ :=1 :
eta44_ :=1 :
bd11_ :=g(r)^(1/2)*cosh(theta) :
28
bd22_ :=2*l^2/sigma/F(r)^(1/2) :
bd33_ :=g(r)^(1/2) :
bd44_ :=F(r)^(1/2) :
bd41_ :=F(r)^(1/2)*sinh(theta) :
Info_ :=‘ wormhole ‘ :
En Maple, despues de cargar grtensor, el comando grload( “nombre”, [...]/nomre del archivo.mpl)nos permite cargar el espaciotiempo. Donde en [...] hay que poner la url del archivo. Haciendo estotendremos cargado AdS en Maple en las coordenadas anteriores.
Luego, hay que definir los sımbolos de Christoffelσµ ν
=
1
2gσλ (∂µgνλ + ∂νgµσ − ∂σgµν) . (117)
La conexion de spin se puede calcular desde los sımbolos de Christoffel y de derivadas la metricausando el postulado de vielbein . El cual codifica el hecho que la derivada covariante de un vector enla base de los vielbein o en la base coordenada sea la misma:
∂µeaν + ωabµe
bν −
λµ ν
eaλ = 0. (118)
Despejamos la conexion de spin,
ωacµ = −∂µeaνecν +λµ ν
eaλ. (119)
Ahora los vielbein se pueden escribir en terminos de la metrica desde (114),
eaν = gµνeaµ =: g(a)
ν ↔ ecν = g(c)ν . (120)
Donde el indice con parentesis significa que fue transformado con un vielbein. Esta es justo lanotacion que maple usa para indices en la base de los vielbein. Se desprende de lo anterior que laconexion de spin se escribe como
ωacµ = −∂µg(a)νg
(c)ν +λµ ν
g
(a)λ. (121)
Las conexiones las programamos en Maple como
grdef("Ch1a b ^c:=1/2*g^c ^d*(g a d,b+gb d,a-ga b,d)");
grdef(‘omega^(a) ^(b) c:=-g^(a) d ,c*g^(b) ^d+Ch1d c ^p*g^(a) p*g^(b) ^d ‘
,asym=[1,2]);
Ahora definimos las derivadas del espinor de Killing y el espinor de Killing. El spinor de Killing lodefiniros como
α := ψ =
f1 (t, r, θ, u)f2 (t, r, θ, u)f3 (t, r, θ, u)f4 (t, r, θ, u)
Note que la derivadas del espinor tiene dos tipos de componentes: (i) de vector (ii) de espinor. Losvectores lo escribiremos con corchetes y los espinos con parentesis (al meanos en esta seccion)
ρµdxµ := ∂µψdx
µ =
∂tψ∂rψ∂θψ∂uψ
.29
A su vez cada una de las componentes es un espinor, por ejemplo
∂tψ =
∂tf1
∂tf2
∂tf3
∂tf4
.
Estas cantidades las definimos en Maple con las siguientes lineas de codigo
> vq:=<f1(t,r,theta,u),f2(t,r,theta,u),
f3(t,r,theta,u),f4(t,r,theta,u)>:
> vt:=<diff(f1(t,r,theta,u),t),diff(f2(t,r,theta,u),t),
diff(f3(t,r,theta,u),t),diff(f4(t,r,theta,u),t)>:
> vr:=<diff(f1(t,r,theta,u),r),diff(f2(t,r,theta,u),r),
diff(f3(t,r,theta,u),r),diff(f4(t,r,theta,u),r)>:
> vy:=<diff(f1(t,r,theta,u),theta),diff(f2(t,r,theta,u),
theta),diff(f3(t,r,theta,u),theta),diff(f4(t,r,theta,u),theta)>:
> vu:=<diff(f1(t,r,theta,u),u),diff(f2(t,r,theta,u),u),
diff(f3(t,r,theta,u),u),diff(f4(t,r,theta,u),u)>:
> grdef("rhoa:=[vt,vr,vy,vu]"):grdef("alpha:=vq"):
El simbolofue empleado para indicar donde comienza la linea. A continuacion definimos un vector cuyas
componentes son las matrices
V a :=
γ0
γ1
γ2
γ2
(122)
donde las entradas son las matrices γ definidas por (105). En Maple esto lo programamos como
grdef(‘V^(a):=[gamma0,gamma1,gamma2,gamma3]‘);
Debemos definir el productor entre matrices,S ab1 := V aV b, en maple el producto matricial se hace
con un punto “.” en vez de un “∗”. Definimos el conmutador S abA := 1
4Sab
1 − S ba1 y luego declaramos
que S[ab]B = S ab
A es antisimetrico.
grdef("S1^a ^b:=V^a . V^b")
grdef("SA^(a) ^(b):=1/4*S1^(a) ^(b)-1/4*S1^(b) ^(a)")
grdef("SB^(a) ^(b):=SA^(a) ^(b)",asym=[1,2])
Con estos objetos estamos listos para programar la derivada covariante,
COVµ :=1
4ωabµγab −
i
2`γµγ
5
En la notacion que estamos usando en Maple γab = 2S[ab]B , de modo que esto se escribe
gamma5:=-I*gamma0.gamma1.gamma2.gamma3;
grdef("Wc:=Vc.gamma5")
grdef("COVc:=SB^(a) ^(b)*omega(a) (b) c/2-I*Wc/l/2");
De acuerdo a las definiciones (111) la ecuacion de del espinor de Killing es
30
grdef("D1c:=rhoc+COVc.alpha");
Finalmente la condicionde integrabilidad significa actuar con la derivada covariante sobre la ecua-cion de Killing y antisimetrizar
DµDνψ − DνDµψ = (∂µ + COVµ) (∂νψ + COVνψ)− (µ↔ ν) ,
= ∂µCOVνψ + COVµDνψ − (µ↔ ν) ,
Podemos definir una base para los espinores,
ν1 :=(
1 0 0 0), ν2 :=
(0 1 0 0
), ν3 :=
(0 0 1 0
), ν4 :=
(0 0 0 1
).
Luego construimos un vector con estas componentes
Ξµdxµ :=
ν1
ν2
ν3
ν4
.Ahora proyectamos las componentes del espinor proveninente del conmutador
ΞρDµDνψ − ΞρDνDµψ = ∂µ (ΞρCOVνψ) + ΞρCOVµDνψ − (µ↔ ν) .
Programamos esta cantidad en maple como sigue,
grdef("D2a b:=COVa.D1b")
grcalc(D1(dn));grcalc(D2(dn,dn));
grdef("VVa:=[v1,v2,v3,v4]");v1:=<1|0|0|0>;v2:=<0|1|0|0>;v3:=<0|0|1|0>;v4:=<0|0|0|1>;
grdef("La b:=VVa.D1b");
grdef("L2c a b:=VVc.D2a b");
grdef("COMa [b c]:=La b,c-La c,b+L2a c b-L2a b c")
Si es programamos todo correctamente, todas las componentes del conmutador se anulan.Despues de asegurar que la ecuacion de consistencia se satisface debemos resolver las ecuaciones.
Las ecuaciones son lineales, por lo que se pueden integrar. Resulta que cada componente vectorialde la ecuacion (111) da lugar a 4 ecuaciones lineales que contiene derivada en una direccion, porlo tanto podemos pedir a Maple que resuelva ese sistema de ecuaciones. En el programa lo hicecomo sigue: Resolver el sistema de ecuaciones Dθψ = 0, da lugar a constantes de integracion quedependende de (r, t, u). Luego, la solucion la reemplazamos en el sistema Duψ = 0, que sera un sistemade ecuaciones para las constantes de integracion. La solucion da lugar a constantes que dependen de(r, t), reemplazamos la solucion en Duψ = 0, resolvemos el sistema y finalmente reemplazamos lasolucion en Dtψ = 0 que nos entrega la solucion final con 4 constantes de integracion.
31
Los espinores de Killing son dados por
χ1 =
(√r2 + 1 + 1
)1/2 [(− sinh θ + cosh θ) sin t
2 + cos t2
](cosh θ + sinh θ) e−
θ2
1r
(√r2 + 1− 1
)(√r2 + 1 + 1
)1/2 [(− sinh θ + cosh θ) sin t
2 + cos t2
](cosh θ + sinh θ) e−
θ2(√
r2 + 1 + 1)1/2 [
(− sinh θ + cosh θ) sin t2 − cos t
2
](− sinh θ + cosh θ)−1 e−
θ2
1r
(√r2 + 1− 1
)(√r2 + 1 + 1
)1/2 [(− sinh θ + cosh θ) sin t
2 − cos t2
](cosh θ + sinh θ) e−
θ2
,
χ2 =
(√r2 + 1 + 1
)1/2 [(− sinh θ + cosh θ) cos t
2 − sin t2
](− sinh θ + cosh θ)−1 e−
θ2
−1r
(√r2 + 1− 1
)(√r2 + 1 + 1
)1/2 [(− sinh θ + cosh θ) cos t
2 − sin t2
](− sinh θ + cosh θ)−1 e−
θ2(√
r2 + 1 + 1)1/2 [
(− sinh θ + cosh θ) cos t2 + sin t
2
](− sinh θ + cosh θ)−1 e−
θ2
1r
(√r2 + 1− 1
)(√r2 + 1 + 1
)1/2 [(− sinh θ + cosh θ) cos t
2 + sin t2
](sinh θ + cosh θ) e−
θ2
,
χ3 =
r(√
r2 + 1 + 1)−1/2
eu2
−(√
r2 + 1 + 1)1/2
eu2
00
, (123)
χ4 =
00
r(√
r2 + 1 + 1)−1/2
e−u2(√
r2 + 1 + 1)1/2
e−u2
,
Observe que en este caso los espinores dependen de las coordenadas, a diferencia de los espinoresde Killing en Minkowski que eran constantes. Antes de hablar del vectores engendrados por estosespinores nos detendremos a discutir los vectores de Killing de AdS.
Recordemos que AdS se puede definir por un embebimiento en un espacio Lorenziano de 5 di-mensiones con R(2,3) con signatura (−−+ + +). Podrıamos preguntarnos, por los vectores de Killingde este espacio. El grupo de rotaciones sera SO (3, 2) el cual tiene 10 generadores independientes,mientras que las traslaciones suman 5, una por cada direccion. Entonces los vectores de Killing son,
PA = ∂A y JAB = XA∂B −XB∂A.
Sin embargo, para pensar en los vectores de Killing de AdS debemos preguntarnos acerca de losvectores que dejan invariante el constraint
−X20 −X2
1 +X22 +X2
3 +X24 = −1.
Claramente las traslaciones no dejan invariante este objeto, pero las rotaciones sı. Por lo que losvectores de Killing de AdS son dados por JAB = XA∂B −XB∂A. Para comparar los vectores de queresultan de los Sandwich entre los espinores de Killing debemos escribir los JAB en las coordenadas(t, r, θ, u).
A continuacion vamos a calcular Kαµβ utilizando maple y luego pediremos que los reemplace enla ecuacion de Killing para AdS con tal de mostrar que son vectores de Killing. Para esto debemosdefinir las soluciones como nuevos espinores fila
32
KS1:=simplify(<FS11|FS12|FS13|FS14>,symbolic):
KS2:=simplify(<FS21|FS22|FS23|FS24>,symbolic):
KS3:=simplify(<FS31|FS32|FS33|FS34>,symbolic):
KS4:=simplify(<FS41|FS42|FS43|FS44>,symbolic):
Donde FSIJ es la componente J del espinor de killing I definido por (123). La definicion delconjugado de Dirac que estamos usando es ψ = iψ†γ0, por lo que definimos el producto γ0γµ como
grdef("VK(a):=[-gamma0^2,gamma0.gamma1,gamma0.gamma2,gamma0.gamma3]")
Definimos un vector y su transpuesto que etiqueta cual espinor multiplicaremos
grdef("VK2(a):=[KS1^%T,KS2^%T,KS3^%T,KS4^%T]")
grdef("VK3(a):=[KS1,KS2,KS3,KS4]");
El producto Kαµβ con las definiciones es dado por
grdef("KK(a) (b) (c):=VK3(a).VK(b).VK2(c)");
Con esto ya tenemos los productos formados, le pedimos a Maple que los calcule. Ahora compro-baremos que son solucion a la ecuacion de Killing:
Kλ∂λgµν + ∂µKλgλν + ∂νK
λgµλ = 0. (124)
La cual la programamos en Maple como
> grdef("KE(a)(b) c d:=KK(a) ^p (b)*gc d ,p+gd p*KK(a) ^p (b) ,c
+gc p*KK(a) ^p (b) ,d");
Se verificar que todas las componentes de la ecuacion son cero! Finalmente podemos ver los vectoresde Killing pidiendo a Maple que calcule la cantidad
grdef("KV3(a) (b):=1/4*KK(a) ^p (b)*B0p");grdef("B0b:=[et,er,eth,u]");
Que son los vectores de Killing que vienen de los espinores de Killing,
Kαβ ≡ K µα β∂µ. (125)
Observe que son 4×5/2 = 10 vectores, ya que los ındices α y β son simetricos por ser espinores reales.Algunos de ellos son los siguientes,
K11 =(− sinh θ sin t+ cosh θ)
cosh θ∂t + cos t∂θ −
sin t
cosh θ∂u,
K12 = −sinh θ cos t
cosh θ∂t − sin t∂θ −
cos t
cosh θ∂u,
K22 =(− sinh θ sin t− cosh θ)
cosh θ∂t − cos t∂θ +
sin t
cosh θ∂u,
K33 =eu
cosh θ∂t + eu∂θ − eu
sinh θ
cosh θ∂u,
K34 = −∂u,
K44 =e−u
cosh θ∂t − e−u∂θ − e−u
sinh θ
cosh θ∂u,
...
33
De esta forma vemos que aparecen las rotaciones y ademas las traslaciones, por lo que el algebrade supersimetrıa queda
[Pµ, Qα] =1
4L(γµQ)α ,
Qα, Qβ = −1
2(γµ)αβ Pµ −
1
8L(γµν)αβMµν .
Observe como es que se logra mezclar las simetrıas del espacio tiempo con las simetrıas internas. Acontinuacion vamos a estudiar como hacer esto para el caso de agujeros negros.
3.3. Agujeros negros
Queremos construir una teorıa que incluye la teorıa de Einstein con interacciones adicionales. Demodo que las simetrıas de las cuales venimos hablando sean simetrıas de la teorıa. Las teorıas que soninvariante bajo transformaciones generadas por los espinores, son llamadas teorıas de Supergravedad.La idea es que la teorıa cuantica asociada a la supergravedad tendra las mismas simetrıas que la teorıaclasica. De modo que las soluciones clasicas que sean invariantes bajo transformaciones de supersimetrıaseran tambien estados cuanticos de la teorıa cuantica de supergravedad. Consecuentemente, en el sectorde la teorıa con soluciones supersimetricas, uno puede decir que existen tambien a nivel cuantico. Poresto es que son tan interesantes.
Ahora, si estas soluciones existen a nivel cuantico y existen como estados estaticos y estacionarios.Entonces no deberıan emitir radiacion de Hawking, ya que esto llevarıa a un proceso dependientedel tiempo donde los efecto cuanticos son importantes y modificarıan las soluciones. Entonces si losestados van a existir a nivel cuantico deben ser soluciones que no emitan radiacion de Hawking, haydos formas de imponer esto: (i) que no exista un horizonte y (ii) que el horizonte sea extremo; esdecir, que la segunda derivada de la funcion lapse se anule. Vamos a estudiar el segundo caso, por loque debemos construir soluciones con agujeros negros extremos estaticos. Esto es posible considerandoagujeros negros con carga, los cuales se encuentran en la teorıa de Einstein-Maxwell.
Resulta que la teorıa de Einstein-Maxwell es un sector bosonico de una teorıa supersimetrica. Esllamada mınima N = 2 Maxwell theory,
I [gµν , A] =
∫d4x√−g[
1
2R− 1
8FµνF
µν
], (126)
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ. (127)
Cuyas ecuaciones son
Rµν −1
2gµνR =
1
2
(FµσF
σν −
gµν4FσρF
σρ), (128)
∇µFµρ = 0. (129)
La solucion de Reissner-Nordstrom es,
Aµ =
[2Q
r, 0, 02P cos θ
], (130)
ds2 = −f (r) dt2 +dr2
f (r)+ r2
(dθ2 + sin2 θdφ2
), (131)
f (r) = 1− 2M
r+Q2 + P 2
r2.
34
Necesitamos modificar nuevamente la derivada covariante del espinor,
Dµψ :=
(∂µ +
1
4ωabµγab +
1
8F λσγλσγµγ
5
)ψ. (132)
Del codigo de Maple se observa que las ecuaciones de consistencia no se anulan identicamente. Sinembargo, las ecuaciones de consistencia tienen forma de una matriz cuadrada cuyo determinante esproporcional a det ∼ M2 − Q2 − P 2. Entonces para que existan espinores de Killing necesitamosimponer
M =√P 2 +Q2 ≥ 0.
Observe que la existencia de espinores de killing implica la positividad de la energıa.
La funcion metrica queda f (r) =
(1−√Q2+P 2
r
)2
. Con esto es posible encontrar soluciones a las
ecuaciones del espinores de Killing, los cuales son
χ1 = f (r)1/4
cosα sin φ
2 sin θ2 +
[− sinα cos φ2 + i sin φ
2
]cos θ2
cosα cos φ2 cos θ2 +[sinα sin φ
2 + i cos φ2
]sin θ
2
cosα cos φ2 sin θ2 −
[sinα sin φ
2 + i cos φ2
]cos θ2
− cosα sin φ2 cos θ2 +
[− sinα cos φ2 + i sin φ
2
]sin θ
2
,
(133)
χ2 = f (r)1/4
cosα cos φ2 sin θ
2 +[sinα cos φ2 + i cos φ2
]cos θ2
− cosα sin φ2 cos θ2 +
[sinα cos φ2 − i sin φ
2
]sin θ
2
− cosα cos φ2 sin θ2 +
[− sinα sin φ
2 + i sin φ2
]cos θ2
− cosα cos φ2 cos θ2 +[sinα sin φ
2 + i cos φ2
]sin θ
2
De aquı en adelante vamos a parametrizar la carge electrica y magnetico como Q = qT sinα, P =qT cosα. Observe que solo hay dos espinores de Killing, que son la mitad del maximo numero. Se diceentonces que Reissner-Nordstrom es 1/2 supersimetrico. Los vectores de Killing que dan lugar estosespinores son dados por
K11 = 2∂t, K12 = −2i sinα∂t, K22 = 2∂t. (134)
Es decir, cierran solamente sobre las traslaciones, quizas esto sea un vestigio del hecho que el espacioes asintoticamente plano. Ya que en Minkowski, como vimos el albegra de super simetrıas cierra enlas traslaciones.
3.3.1. Einsten-Maxwell con constante cosmologica negativa
Vamos a considerar el caso con constante cosmologica negativa. Un paper famoso es de Romans[5]. Vamos a discutir el caso de Reisner-Nordstrom AdS. En este caso
I =
∫d4x√−g(
1
2R− 1
8FµνF
µν +3
`2
). (135)
Nuevamente debemos modificar la derivada covariante del espinor a la siguiente,(∂µ +
1
4ωabµγab −
i
2`Aµ +
1
8F λργλργµγ
5 − i
2`γµγ
5
)ψ = 0. (136)
35
La solucion de RN-AdS con horizonte esfericamente simetrico es dada por
f (r) = 1− 2M
r+q2T
r2+r2
`2, (137)
Aµ =
[2q sinα
r, 0, 0, 2q cosα cos θ
]. (138)
En este caso la condicion de integrabilidad tampoco se satisface identicamente, por lo que hay queimponer que el determinante se anule. Lo cual da lugar a dos posibilidades
det CI = 0 →
cosα = 0, → M = qTcosα 6= 0, → M = 0 y qT cosα = ± `
2
(139)
En el primer caso, que cosα = 0 implica necesariamente M = qT , esto da lugar a la siguiente funcionmetrica
f (r) =
(1− M
r
)2
+r2
`2> 0 (140)
no se anula para ningun valor de r, por lo que no hay agujeros negros en este caso, precisamente esuna singularidad desnuda. El segundo caso tambien da lugar a una singularidad desnuda. Por lo tanto,no hay agujeros negros supersimetricos esfericamente simetrica en Einstein-Maxwell con constantecosmologica negativa! Este fue un problema que duro aprox. 17 anos, de lo cual hablaremos luego.
Por otra parte, si seguimos buscando soluciones de agujero negro supersimetrico con otra geometrıapara el horizonte nos quedan dos casos: horizonte plano, donde la solucion toma la forma
ds2 = −f (r) dt2 +dr2
f (r)+ r2
(dθ2 + dφ2
),
f (r) = −2M
r+q2T
r2+r2
`2, (141)
Aµ =
[2q sinα
r, 0, 0, 2qθ cosα
].
Hay dos posibilidades para satisfacer la condicion de integrabilidad,
det CI = 0 →
cosα = 0, → M = 0cosα 6= 0, → M = 0 = qT
(142)
En ningun caso hay un horizonte. El ultimo caso que queda es con un horizonte hiperbolico,
ds2 = −f (r) dt2 +dr2
f (r)+ r2
(dθ2 + cosh θdφ2
)f (r) = −1− 2M
r+q2
r2+r2
`2, (143)
Aµ =
[2q sinα
r, 0, 0, 2q cosα cosh θ
].
La condicion de integrabilidad de este caso es
det CI = 0 →
cosα = 0, → M = 0 = qTcosα 6= 0, → M = 0 y qT cosα = ± `
2
. (144)
El primer caso nos devuelve a AdS. Pero el segundo caso esconde algo, dado que el f (r) tiene un−1 hay posibilidad que exista un horizonte. En efecto, si reemplazamos q = `/2 cosα, tenemos que
f (r) = −1− 2M
r+
`2
4 cos2 αr2+r2
`2, (145)
36
las soluciones a f (r) = 0, son
r → ±√
2`
2 cosα
√cosα
(cosα+
√cos2 α− 1
), ±
√2`
2 cosα
√− cosα
(cosα+
√cos2 α− 1
)(146)
La unica forma de obtener soluciones reales es ajustando α = 0. Lo cual da lugar a un agujeronegro con horizonte hiperbolico con
f (r) =
(`2 − 2r2
)24r2`2
, (147)
que tiene un horizonte en en r = `/√
2. Sin embargo, este caso que daba lugar a una agujero negrono fue visto por Romans, quien los llamo soluciones exotica.
Despues del paper de Romans la gente estaba tan desesperada que comenzo a llamarle agujerosnegros simetricos a las singularidades desnudas! No fue hasta 2009 cuando Cacciatori y Klemm [6]encontraron la primera solucion estatica y esfericamente simetrica que es supersimetrica. La clave deeste logro fue incluir campos escalares, por lo que las soluciones esfericamente simetricas necesitan delos campos escalares para existir. Esta es hoy en dıa una linea de investigacion donde quedan muchascosas por hacer. De hecho, con los potenciales que estudiamos en la seccion anteriores en [7] pudieronconstruir una familia infinita de agujeros negros supersimetricos.
3.4. Generalizacion de la ecuacion del espinor de Killing
El lagrangiano de minimal gauged N = 2 supergravity es
L =1
2eR (ω, e)− 1
8eF (A)µν F (A)µν (148)
−1
2e(ψ iµ γ
µνDνψρi − ψµiγµνρDνψ iρ
)+
1
8F (A)ρσ
(εijψ
iµ γ
[µγρσγν]ψ j
ν + εijψµiγ[µγρσγ
ν]ψνj
)+
√2
2qe(εikt
kjψ
iµ γ
µνψ jν + εikt jk ψµiγ
µνψνj
)+ 6q2e.
Donde F (A)µν = ∂µAν−∂νAµ, e = det(e aµ
)e i = 1, 2. La diferencıa entre los dos dobletes quirales ψ i
µ
y ψµi, es que cuando el ındice esta arriba tiene quiralidad positiva y cuando esta abajo tiene quiralidadnegativa:
γ5ψiµ = +ψ i
µ , γ5ψµi = −ψµi.
La accion es invariante bajo una transformacion de supersimetrıa, la cual es dada por
δe aµ = εiγaψµi + εiγ
aψ iµ , (149)
δψ iµ = 2Dµεi −
1
4Fρσγ
ρσγµεijεj +
√2qεijt kj γµεk, (150)
δψµi = 2Dµεi −1
4Fρσγ
ρσγµεijεj +√
2qεijtjkγµε
k, (151)
δAµ = 2(εij εiψµj + εij ε
iψ jµ
), (152)
donde la derivada covariante de los parametro supersimetricos es definida por
Dµε i =
(∂µ −
1
4ω abµ γab
)ε i − 1
2
√2qAµt
ijε
j , (153)
Dµεi =
(∂µ −
1
4ω abµ γab
)εi −
1
2
√2qAµt
ji εj . (154)
37
Observe que la transformacion de supersimetrıa de los fermiones se parece mucho a la definicion dederivada para el espinor de Killing. De hecho, lo que de alguna forma se quiere lograr es que cuandotenemos una solucion bosonica (con fermiones apagados), al hacer una transformacion de supersimetrıalos fermiones permanezcan apagados, es decir, δψ i
µ = 0 = δψµi. Podemos agrupar los parametros delas transformaciones de supersimetrıa en un solo espinor de Dirac χ = ε1 + ε2. De las transformacionesde supersimetrıa la ecuacion para el nuevo e´pinor de Killing es
2Dµχ+1
4Fρσγ
ρσγµγ5χ+
√2qγµγ
5χ = 0. (155)
Esta es la ecuacion del espinor de Killing que utilizamos anteriormente.
4. Agujeros de gusano
El termino agujero de gusano fue propuesto originalmente por Wheeler y Fuller en un artıculo.Wheeler fue tambien quien invento el termino agujero negro. En su artıculo consideraron el diagramaal inicio de esta seccion, que es la idea intuitiva que todos tienen de un agujero de gusano. La idea esque hay dos manera de conectar dos puntos del espacio tiempo. Esto se dice en terminos matematicosque el espacio no es simplemente conexo. La figura anterior es a tiempo fijo, por lo que si este agujerode gusano fuera asintoticamente plano, entonces el diagrama de Penrose que le corresponde serıa el deMinkowski ya que las regiones asintoticas son las mismas. Esto se conoce como un agujero de gusanocon un borde.
Un ejemplo de agujero de gusano con dos borde es el agujero de gusano de Ellis
ds2 = −dt2 + dr2 +(r2 +N2
)dΩ2. (156)
En este caso hay dos regiones asintoticas cerca de r → ±∞.Vamos a estudiar como se hace el diagrama de un agujero de gusano, para esto debemos hacer un
embedding, que es tomar la metrica del espacio curvo y embeberla en el espacio plano. Esto se logracomo sigue: debemos fijar el tiempo t = cte y la coordenada azimutal θ = θ0. Luego de hacer esto enla metrica (156) la igualamos al plano en coordenadas polares:
dr2 +(r2 +N2
)sin2 θ0dφ
2 != dz2 + dρ2 + ρ2dφ2, (157)
de aquı podemos identificar las siguientes cantidades
ρ = sin θ0
√r2 +N2, (158)
dz2 + dρ2 = dr2 →(dz
dρ
)2
+ 1 =
(dr
dρ
)2
(159)
Si fijamos θ0 = π/2 tenemos que r =√ρ2 −N2 reemplazamos en (159),(dz
dρ
)2
+ 1 =ρ2
ρ2 −N2(160)
38
cuya solucion es
z (ρ) =
N ln
(ρ+√ρ2−N2
N
)−N ln
(ρ+√ρ2−N2
N
) (161)
Donde hemos fijado la constante de integracion. Podemos graficar esta cantidad con N = 1 como
que si hacemos una revolucion en φ obtenemos el diagrama que representa el agujero de gusano.
Ejercicio 8 Mostrar que el mismo embedding para la metrica de Schwarzschild usando las coordenadas
r =(
1 + M2ρ
)2ρ da lugar a
ds2 = −
(1− M
2ρ
1 + M2ρ
)2
dt2 +
(1 +
M
2ρ
)4 (dρ2 + ρ2dΩ2
). (162)
Este es conocido como el puente de Einstein–Rosen. Aquı lo que sucede es que este agujero de gusanono es atravezable, ya que hay puntos donde la componente gtt de la metrica es cero.
Podemos estudiar cuales son las condiciones que tiene que tener un agujero de gusano para ser atra-vezable. Dicho de otra forma, podemos investigar las condiciones de energıa que tiene genericamenteuna metrica para representar un agujero de gusano atravezable, estatico y esfericamente simetrico. Deforma general la metrica tiene la forma
ds2 = −A (r) dt2 + dr2 +B (r) dΩ2, (163)
donde A (r) nunca se anula y B (r) tiene un mınimo. El plan es reemplazar esta metrica en lasecuaciones de Einstein y leer el tensor de energıa momentum que da lugar
Gµν + Λgµν = κTµν . (164)
Es posible mostrar que la condicion de energıa debil se viola en la garganta del agujero de gusano,cuya condicion que los define es dB
dr |garganta = 0 y d2Bdr2 |garganta > 0. Por lo que es imposible tener un
agujero de gusano atravesable con un metrica de este estilo en Relatividad General. Entonces parecieraque con lo unico que nos podemos quedar es con agujeros de gusano no atravesable. Sim embargo,Maldacena y Susskind propusieron en [8] que las soluciones a relatividad general en las cuales haydos black holes conectados a traves de un agujero de gusano, o puente de Einstein-Rosen. Pueden ser
39
interpretados como un estado maximalmente entrelazado de dos agujeros negros. Recordemos que unpar maximalmente entrelazado en mecanica cuantica es algo como∣∣ψ−⟩ =
1√2
(|01〉 − |10〉) . (165)
Esto significa que si conocemos el resultado de una medicion en un sistema, por ejemplo pensemos enel spin, entonces conocemos el resultado de una eventual medicion del otro sistema.
Hay una forma ingeniosa de pensar la continuidad y suavidad de Minkowski que nos llevara aun problema despues. Resulta que como bien muestra el efecto Schwinger, en el vacıo siempre seestan creando pares de partıculas y antipartıculas que estan maximalmente entrelazadas. Entoncespodemos decir que cualquier parte del vacıo de Minkowski esta maxilmalmente entrelazado con suparte contigua. Siguiendo con la idea de que medir un sistema que esta maximalmente entrelazadocon otro significa obtener toda la informacion del segundo sistema, vemos que la continuidad de unavariedad es justo eso: si medimos una cantidad geometrica en un punto de un espacio suave obtenemostodas la informacion de un punto que esta infinitesimalmente proximo. O de forma mas conectrapodemos hacer mediciones en regiones pequenas del espaciotiempo donde se esten creando pares departıculas y antipartıculas, generado ası una red cuyos puntos estan maximalmente entrelazados consu vecino.
Ahora imaginemos lo siguiente, consideremos una maquina que genera dos electrones que estanmaximalmente entrelazados, luego lazamos cada uno de los electrones que la maquina entrega por vezen dos cajas. Cuando juntemos muchos eventualmente formaremos dos agujeros negros que estaranmaximalmente entrelazados.
Hay un teorema en mecanica cuantica que dice que si un sistema esta maximalmente entrelazadocon otro, entonces no puede estar entrelazado con nada mas. Entonces para un observador que estaen caida libre hacia uno de los agujeros negros que creamos surge un problema: el observa que estaen Minkowski por el principio de equivalencia, luego puede hacer lo siguiente, tomar un electron delpar creado y caer con el al agujero negro dejando el otro fuera del agujero negro. Debido a que se estaacercando a una region que esta maximalmente entrelazada tiene que ocurrir algo como firewall o algodevastador que impida que entre, ya que en caso contraria habra una parte de materia que forma alagujero negro que esta maximalmente entrelazado con otro objeto distinto al segundo agujero negroy esto no puede ser!
¿Como soluciona Maldacena y Susskind este problema? Lo que dicen ellos es que los agujeros negroscomparten el interior, de modo que no hay ningun problema en que el interior del agujero negro estemaximalmente entrelazado con sigo mismo. Esto es genial porque permite reinterpretar el diagramade Penrose de Schwarzschild, que justo tiene dos regiones asintoticas que comparten el interior.
4.1. Obstruccion general a la construccion de agujeros de gusano
Hay un teorema de Hochberg y Visser [9] que prohıbe la construccion de un agujero de gusano quesatisfaga la condicion de energıa nula usando solo propiedades locales del espaciotiempo.
Consideremos un espacio de 4 dimensiones y la existencia de una superficie minimal Σu± compactaque depende de las coordenadas nulas u+ y u−. El area de dicha superficie es
A(Σu±
)=
∫Σu±
√γd2x, (166)
donde γ es la metrica inducida sobre la superficie. Podemos calcular la variacion del area a lo largo de
40
las direcciones nulas
δA(Σu±
)=
∫Σu±
d2xd√γ
du±δu± (x) ,
=
∫Σu±
√γd2x
1
2γab
∂γab∂u±
δu± (x) .
Entonces, la superficie sera mınima si y solo sı
1
2γab
∂γab∂u±
= 0. (167)
Vamos a escribir esto de forma covariante. Llamemos l± a los campos vectoriales nulos asociados alas coordenadas u± que estan bien definidos en un abierto cerca de la superficie Σu±. Para escribir laecuacion anterior de forma covariante note que
Ll±gab = ∇al±b +∇bl±a ≡ 2B±(ab) (168)
donde hemos definido B±ab = ∇al±b. Los vectores l± son nulos y normalizados, de modo que la des-composicion de la metrica gab en el espacio completo es
gab = γab − l−al+b − l+al−b. (169)
Considerando que γ es el proyector a la superficie Σ,
la±γab = 0, γacγcd = γad. (170)
Es facil mostrar quela+l+a = la−l−a = 0, la+l−a = la−l+a = −1. (171)
Si actuamos con la derivada de Lie sobre la metrica completa tenemos que
B±(ab) =1
2Ll±gab
=1
2Ll± (γab − l−al+b − l+al−b) ,
=1
2Ll±γab −
1
2
(l+bLl± l−a + l−aLl± l+b + l−bLl± l+a + l+aLl± l−b
).
Si ahora contraemos con la metrica completa gab la cantidad anterior, notamos que los terminos convectores nulos de la descomposicion (169) se anulan quedando solo el termino con γ,
θ± = gabB±(ab),
=1
2
(γab − 2l
(a− l
b)+
)Ll±γab + l
(a− l
b)+
(l+bLl± l−a + l−aLl± l+b + l−bLl± l+a + l+aLl± l−b
), (172)
De hecho el segundo termino de (172) es
l(a− l
b)+
(l+bLl± l−a + l−aLl± l+b + l−bLl± l+a + l+aLl± l−b
)=
1
2
(lb−l
a+l+bLl± l−a + lb−l
a+l−aLl± l+b + la−l
b+l−bLl± l+a + la−l
b+l+aLl± l−b
),
= −(la+Ll± l−a + lb−Ll± l+b
),
= −(−Ll± la+l−a + lb−Ll± l+b
)= 0.
41
De esta forma (172) queda
θ± =1
2
(γab − 2l
(a− l
b)+
)Ll±γab
=1
2γabLl±γab − la−lb+Ll±γab
El ultimo termino se anula,
la−lb+Ll±γab = la−l
b+
(lc±∂cγab − γcb∂alc± − γac∂blc±
),
= la−lb+lc±∂cγab,
= −la−lc±γab∂clb+ = 0.
De modo que (172) es simplemente
θ± =1
2γabLl±γab,
=1
2γab(lc±∂cγab − γcb∂alc± − γac∂blc±
),
=1
2
(γablc±∂cγab − 2∂al
a±
),
=1
2γab
∂γab∂u±
. (173)
donde hemos considerar la± = δau± . Este resultado es justo (167), de modo que
θ± = 0. (174)
Resulta que es posible descomponer un campo vectorial en tres cantidades llamadas el shear σab, twistωab y expansion θ. De este modo el area es minimal cuando la expansion de la congruencia nula escero.
Por otra parte, debemos pedir que el area (166) sea un minimo (no solo un extremo), por lo quela segunda derivada del area debe ser cero,
δ2A (Σu±) =
∫Σu±
√γd2x
θ2±︸︷︷︸
=0
+dθ±du±
δu± (x) δu± (x) ,
=
∫Σu±
√γd2x
dθ±du±
δu± (x) δu± (x) ≥ 0.
lo cual implicadθ±du±
≥ 0. (175)
Si la congruencia es una geodesica podemos usar la ecuaciones de Raychaudhuri,
dθ±du±
= −1
2θ2± − σ ab
± σ±ab + ω ab± ω±ab −Rdcl c± l±d (176)
Si las congruencias nulas con geodesicas entonces el twist es cero ωab = 0, Si contraemos lasecuaciones de Einstein con lc±l
d±
Rcdlc±ld± −
1
2Rgcdl
c±ld±︸ ︷︷ ︸
=0
= 8πTcdlc±ld± → Rcdl
c±ld± = 8πTcdl
c±ld±. (177)
42
Reemplazamos en (176) y obtenemos
dθ±du±
+ σ ab± σ±ab = −8πTcdl
c±ld± (178)
Note que el lado derecho es menos la condicion de energıa nula, mientras que el lado izquierdo essiempre no negativo, tal como mostramos antes. Por lo que la condicion de energıa nula se viola!
Observecion 1: La condicion de energıa no se viola cuando el shear se anula σab = 0 y dθ±du±
= 0.Observacion 2: Este resultado requiere que exista de una geodesica nula que atraviesa el agujero
de gusano. Podemos pensar en evadir el teorema considerando agujeros de gusano que sea necesarioacelerar para atravesarlo, es decir que no sean atravesados por geodesicas
Otra forma de evadir el teorema es considerar un S1 minimos en vez de una esfera minima. Esdecir que el agujero de gusano sea como un portal.
4.2. Agujero de gusano como una identificacion en AdS y generalizacion
Consideremos AdS en las coordenadas (t, r, θ, u) dadas por
XAdS30 =
(sin
t
2sinh
u
2sinh
θ
2+ cos
t
2cosh
u
2cosh
θ
2
)√r2 + 1,
XAdS31 =
(sin
t
2cosh
u
2cosh
θ
2− cos
t
2sinh
u
2sinh
θ
2
)√r2 + 1,
XAdS32 =
(sin
t
2sinh
u
2cosh
θ
2− cos
t
2cosh
u
2sinh
θ
2
)√r2 + 1, (179)
XAdS33 =
(sin
t
2cosh
u
2sinh
θ
2+ cos
t
2sinh
u
2cosh
θ
2
)√r2 + 1,
XAdS34 = r.
donde el rango de las coordenadas es r, θ, t ∈]−∞,∞[ y para que sea globalmente AdS u ∈]−∞,∞[.En estas coordenadas la metrica es
ds2 =dr2
r2 + 1+r2 + 1
4
[− cosh2 θdt2 + dθ2 + (du+ sinh θdt)2
]. (180)
Observe que es posible hacer compacta la coordenada u sin introducir ninguna singularidad, observeque desde el punto de vista de la geometrıa y mirando (du+ sinh θdt)2, vemos que esto da lugara un circulo. Sin embargo, cuando hacemos la identificacion el espacio ya no es globalmente AdS.Estrictamente hablando es un agujero de gusano como veremos a continuacion. Observe que estametrica no cae en la hipotesis del teorema de Hochberg y Visser (HV) ya que si calculamos el area Aque HV utilizan para hacer el calculo, esta resulta ser divergente ya que si tomamos r = r0 y t = ctela metrica es
ds2|r=r0t=cte =r2
0 + 1
4
(dθ2 + du2
)= γabdθ
adθb. (181)
De modo que el area es
A =
∫√γdθdu =
∫ u0
0
∫ +∞
−∞
r20 + 1
4dθdu =∞. (182)
Sin embargo podemos pensar en un rango de integracion finito y tratar de ver si hay alguna otrahipotesis que se viole. Esta divergencia puede venir del hecho que la superfice minima es de codimension
43
3 en vez de ser codimension 2 como en el caso anterior. A continuacion vamos a considerar una metricaun poco mas general para explorar las bondades de la metrica (180),
ds2 =dr2
h (r)+ g (r)
(− cosh2 θdt2 + dθ2
)+ f (r) (du+ sinh θdt)2 (183)
con
h (r) =f (r)σ2
4`4. (184)
Se recupera la metrica (180) con f (r) = g (r) = r2+14 , σ = 4 y ` = 1. La metrica inversa es
gµν∂µ∂ν = − 1
g (r) cosh2 θ∂2t + h (r) ∂2
r +∂2θ
g (r)+
1
fg cosh2 θ
(g cosh2 θ − f sinh2 θ
)∂2u +
2 sinh θ
g cosh2 θ∂u∂t.
(185)Las dos direcciones nulas se pueden leer de la siguiente factorizacion
dr2
h (r)− g (r) cosh2 θdt2 = −
(√g (r) cosh θdt− dr√
h (r)
)(dr√h (r)
+√g (r) cosh θdt
)(186)
de modo que
l±µ = N
(√g (r) cosh θδtµ ±
1√h (r)
δrµ
). (187)
Con el ındice arriba
l±µ = N
(√g (r) cosh θgµt ± 1√
h (r)gµr
),
= N
(√g (r) cosh θ
(gttδµt + gutδµu
)± 1√
h (r)grrδµr
).
El modulo de los vectores es
l±µ l±µ = N2
(1
h (r)grr + g (r) cosh2 θgtt
),
= N2
(1
h (r)h (r)− g (r) cosh2 θ
1
g (r) cosh2 θ
),
= N2 (1− 1) = 0.
por lo que en efecto es un vector nulo. El producto punto entre vectores nos permitira normalizar
l+µ l−µ = −2N2 ≡ −1
lo cual fija N = 1/√
2. Ahora calcularemos la expansion θ± el cual se debe anular en la garganta
θ± =1
2γab
∂γab∂u±
.
Donde γ para este caso sera
ds2|r=r0t=t0= g (r0) dθ2 + f (r0) du2 = γabdθ
adθb.
44
y la derivadas en las direcciones nulas actuando sobre objetos que solo dependen de r son
∂F (r)
∂u±=
1√2
(√g (r) cosh θ
(gtt∂t + gut∂u
)± 1√
h (r)grr∂r
)F (r) = ±
√h (r)
2∂rF (r) .
De modo que la expansion es
θ± = ±1
2
√h (r0)
2
[1
g (r0)∂rg (r) |r0 +
1
f (r0)∂rf (r) |r0
],
= ±√
2h (r0)
4f (r0) g (r0)
d (f (r) g (r))
dr
∣∣∣∣r=r0
,
= ± r0
8√r2
0 + 1.
observe que la expansion de la seccion de vectores tangentes es cero en r0 = 0, que es donde esta lagargate. Por lo tanto se satisface para este caso lo que venimos diciendo! Si uno mira con cuidado elvector no es geodesico siempre, solo lo es cuando θ = 0. Por lo que no es una congruencia geodesicaen todo el espacio. Por tanto, tambien estamos evadiendo una de las hipotesis del teorema de HV poreste lado. Ahora calculamos la derivada de la expansion que debe ser siempre positiva,
l±µ∂µθ± = l±r∂rθ
±,
=
√h (r)
2
d
dr
(r
8√r2 + 1
),
=
√(r2 + 1)
2
1
8 (r2 + 1)32
,
=1√
28 (r2 + 1)> 0.
En efecto es positivo. Por lo tanto, tenemos un agujero de gusano que tiene una geometrıa decondimension 3 minimal con geodesicas que esta solo en dso dimesiones θ = 0, osea las geodesicas nogeneran una congruencia.
Esta geometrıa fue generalizada en [10] y fue supersimetrizada en [11]. Para el caso que no essupersimetrico las funciones h (r), f (r) y g (r) de (183) son
h (r) =f (r)σ2
4`4
f (r) =4`2
σ2
r4 + (6− σ) r2 + `mr + σ − 3
r2 + 1,
g (r) =`2
σ
(r2 + 1
).
Si calculamos la expansion podemos notar que hay una diferencia para valores de σ > 4 y σ < 4.Para σ < 4 vemos que la expansion es
45
donde se anula esta la garganta. Mientras que para σ > 0 la figura cambia
Vemos que se anula en 3 puntos, veremos que al calcular la derviada de la expansion dos de lospuntos son una garganta y el del medio es algo ası como una antigarganta, ya que no es un minimolocal. La derivada direccional de la expasion para el caso σ < 4 es
vemos que siempre es positivo por lo que tenemos un minimo en la garganta. Mientras que para el
46
caso σ > 4 tenemos que la derivada direccional de la expansion es
vemos que hay un minimo, un maximo y un minimo que es lo que adelantamos antes.La version supersimetrica con carga electrica es
h (r) =f (r)σ2
4`4
f (r) =2
q2σ2
r4 + (6− σ) r2 +mr + σ − 3
r2 + 1− Q2 + P 2
r2 + 1,
g (r) =1
2q2σ
(r2 + 1
),
A = Φ (r) (du+ sinh θdt) ,
Φ (r) =2Qr + P
(1− r2
)r2 + 1
,
`−1 =√
2 |q| .
Donde A es el potencial vectorial. Este agujero de gusano puede ser supersimetrico en el caso
P =1
|q|σ√
2 (σ − 4), m = |q|σQ√
2 (σ − 4).
que tiene los siguientes spinores de Killing
χWH1 = α (r)
eiβ(r) [cosh θ/2 cos t/2− sinh θ/2 sin t/2]
−eiβ(r)G (r) [cosh θ/2 cos t/2− sinh θ/2 sin t/2]
e−iβ(r) [cosh θ/2 sin t/2− sinh θ/2 cos t/2]
e−iβ(r)G (r) [cosh θ/2 sin t/2− sinh θ/2 cos t/2]
,
χWH2 = α (r)
−eiβ(r) [sinh θ/2 cos t/2 + cosh θ/2 sin t/2]
eiβ(r)G (r) [sinh θ/2 cos t/2 + cosh θ/2 sin t/2]
e−iβ(r) [sinh θ/2 sin t/2 + cosh θ/2 cos t/2]
e−iβ(r)G (r) [sinh θ/2 sin t/2 + cosh θ/2 cos t/2]
.
Donde las funciones explicitas de r se pueden encontrar en [11]. Finalmente el diagrama de embeddingde este agujero de gusano es el siguiente
47
48
Parte II
Agujeros negros cuanticos
5. Introduccion a la termodinamica de agujeros negros: entropıa deBekenstein, argumentos heurısticos, ordenes de magnitud
El nombre Agujeros negros cuanticos no es tan bueno porque no necesariamente estamos hablandodel estado cuantico que describe a un agujero negro. Al final de las lectures discutiremos un poco deesto. Sin embargo, durante las tres primeras clases estaremos hablando de algo intermedio. Es decir,considerar efectos cuanticos en torno a una agujero negro que es tratado clasicamente.
Esta primera clase seguiremos argumentos heurısticos, un poco mas refinado de como fue histori-camente.
Comenzaremos con un agujero negro estatico y esfericamente simetrico. La diferencia entre esta-cionario y estatico es que en el caso estatico el agujero negro esta quieto. Mientras que en el casoestacionario el agujero negro puede rotar pero la metrica no depende del tiempo: rota siempre igual.Sin embargo, cuando rota se achata un poco, perdiendo ası la simetrıa esferica.
En el caso estatico y esfericamente simetrico, la metrica toma la forma
ds2 = −f (r) dt2 +dr2
g (r)+ r2
(dθ2 + sin2 θdφ2
). (188)
Podemos pensar esto como un ansatz para las ecuaciones de Einstein, donde vamos a motivarla forma que deberıan tener las funciones libres. En muchos casos3 en Relatividad General se da laigualdad
f (r) = g (r) . (189)
En el lımite de campo debil la funcion f (r) se relaciona con el potencial Newtoniano como
f (r) = 1 +2Φ
c2,
= 1− 2G
c2r
(M +
∫ r
0T 0
0 (r) dV
). (190)
Donde T 00 es una de las componentes del tensor de Energıa-Momentum de los campos presentes. Esto
ultimo no es mas que decir que la masa y la energıa son lo mismo, por lo que ademas de la masa hayque agregar toda la energıa que hay bajo nuestros pies. En el caso del campo electromagnetico, laenergıa electrica es
εelect =
∫dV∣∣∣ ~E∣∣∣2 . (191)
Si ademas hay energıa oscura, la energıa sera dada por
εΛ =
∫dV
Λ
8πG. (192)
Reemplazando en (190),
f (r) = 1− 2MG
c2r+GQ2
r2− Λ
3r2. (193)
3Con constante cosmologica, con un campo electromagnetico, etc...
49
Esta es una solucion a las ecuaciones de Einstein con constante cosmologica acoplada al campoelectromagnetico
Rµν +−1
2gµνR+ Λgµν =
8πG
c4Tµν , (194)
∇µFµν = 0. (195)
Observe que hemos intuido con un ansatz educado una solucion a las ecuaciones no lineales, queson muy difıciles de resolver. Siempre hay que asegurarse a posteriori con un metodo mas robusto quelas ideas desarrolladas de forma heurıstico son realmente ası. Consideremos el agujero negro que solotiene masa, es decir Schwarzschild. Podemos confiar de la solucion (193) con Q = 0 = Λ hasta quef (r) = 0. El punto donde se anula lo llamamos radio de Schwarzschild f (RS) = 0.
La metrica de Schwarzschild sirve para modelar objeto esfericamente simetricos, por ejemplo elsol. Lejos del sol Tµν = 0 y es mas o menos redondo, por lo que se puede aproximar a una esfera. Sinembargo, en el interior del sol obviamente no es valido, ya que en este lugar hay un tensor de energıamomentum no trivial. Si tenemos un objeto extremadamente denso, entonces no hay superficie porquela estrella colapso gravitacionalmente y la superficie, de alguna manera, esta dentro del horizonte.Entonces un agujero negro corresponde solo la metrica de Schwarzschild, que es valida hasta r = RSdonde pasa algo curioso, pues gtt → 0, que es como si el tiempo se detiene y grr → +∞. De formaheurıstica, la superficie a r = RS es el lugar donde la velocidad de escape es la velocidad de la luz
1
2mc2 =
GNm
RS→ RS =
2MG
c2. (196)
Con estos mismo argumentos podemos preguntarnos cual es la aceleracion que debe tener un cuerpoen el horizonte para quedarse ahı,
mMG
R2S
= masup → asup =c4
4MG(197)
Esto se conoce como gravedad superficial (surface gravity) y se denota por κ = c4
4MG . De estoselementos nos vamos a valer para hablar de la entropıa de los agujeros negros. Vamos a repasarbrevemente los resultados asociados a agujeros negros que se conocıa a fines de la decada del 60’ y acomienzos de la decada del 70’, para intuir que hay una analogıa entre la termodinamica y las leyesde los agujeros negros.
1. Teorema del area en Relatividad General clasica (Hawking 1970): Si tenemos dos agujeros negrosque colisiona, estos hacen un quilombo, generan ondas gravitacionales y todo culmina en untercer agujero negro. Entonces el scattering de agujeros negros da lugar M1 +M2 →M3 +ondas.Entonces tenemos la desigualdad
M1 +M2 ≥M3
Note que si elevamos al cuadrado esta ecuaciones obtenemos que M21 +M2
2 + 2M1M2 ≥M23 , del
termino crusado es que se inspiro Hawking para mostrar que
M21 +M2
2 ≤M23 . (198)
Esto se puede reescribir de otra forma considerando que RS = 2GMc2
y que Area = 4πR2,
Area1 + Area2 ≤ Area3. (199)
Es decir que el area siempre crece o se mantiene igual. No ası la masa, pues la suma de los radiosiniciales es mayor o igual que el radio final. Este es un teorema que se desprende la teorıa misma.
50
2. Israel-Carter tenıa una coleccion de resultados que apuntaban a hacer la unicidad de las solucio-nes de agujeros negros estacionarios. Para estos anos ya se conocıa la solucion con masa, cargaelectrica y momento angular que es llamada solucion de Kerr-Newman. Que es una generaliza-cion de la solucipon de Kerr, que a su vez es la generalizacion de la solucion de Schwarzschild.Israel y Carter tenıan muchos argumentos para decir que Kerr-Newman es la solucion mas ge-neral estacionaria de la Relatividad General. Estacionaria porque si perturbamos un agujeronegro, esta va a hacer cosas locas que dependen del tiempo y luego va a volver a ser estacionarioexponencialmente.Hoy en dıa se sabe que esto es ası y se conoce como teorema de no-hair. Esto significa que unagujero negro es perfectamente liso. Si no rota es perfectamente esferico, mientras que si rota esoblondo pero totalmente liso.
3. Aquı aparece la pregunta que Wheeler hace a su estudiante Bekenstein. Este le dijo: mira queraro, considera que tienes una taza de te y un vaso de agua. ¿Cual es la diferencia entre tirarla taza de te y despues el vaso con agua al agujero negro con, mezclar la taza de te con el vasode agua, lo cual aumenta la entropıa, y luego lanzarlos al agujero negro? Aparentemente nohay diferencia, pues en ambos procesos el estado final va a ser un agujero negro un poquito masgrande. Entonces ¿como se pueden diferenciar? Como puede ser que la entropıa haya desaparecido¿donde fue la entropıa?Esto le dio una idea a Bekenstein, el cual en este tiempo estaba en Princeton y habıa toda unadiscucion respecto a una analogıa entre la temrmodinamica y las leyes de los agujeros negros.Estas analogıas le hicieron pensar a Bekenstein que los agujeros negros tenıan una entropıaintrınseca.
4. Analogıas entre termodinamica y agujeros negros (Bordeen–Hawking–Carter). Las leyes termo-dinamicas tienen una analogo en los agujeros negros:
Termo BH
Principio 0Si hay equilibrio termino la temperatura
de todos los cuerpos es la misma.La surface gravity es la misma
en cualquier punto del horizonte.
Primer principio dE = TdS − PdV dMc2 = κ2πdArea+ . . .
Segundo principio dS > 0 dArea > 0
Observe que en el segundo principio justo lo que estamos relacionado con la entropıa en la primeraley es lo que siempre aumenta.
5.1. Entropıa y temperatura de un agujero negro (Heurıstico)
Podemos hacer una deduccion heurıstica para calcular a entropıa de un agujero negro. La idea espensar la entropıa en terminos de informacion S = −IkB donde I es una medida de informacion. Lainformacion la podemos codificarla en paquetes de onda con una cierta longitudes de ondas λ. Nospodemos preguntar por la mınima cantidad de informacion que puede absorber el agujero negro. Laslongitudes de onda pequenas de seguro entraran, sin embargo no todas las longitudes de onda largasson absorbidas por el agujero negro. La longitud de onda mas grande que se puede tragar es λ ' 2RS ,esta sera la mınima informacion que podemos enviar: un bit. Vamos a llamar δε a la energıa queabsorbio el agujero negro por haberle lanzado el paquete de onda,
δε = hν = ~ω =2π~cλ
. (200)
51
La mınima energıa que pierdo, es decir por bit sera
δε
δbit=δε
δI=
2π~cλbit
=2π~c2RS
=π~c3
2GM. (201)
Por otra parte si consideramos δε = c2δM vemos que
δM
δI=
π~c2GM
, (202)
integramos para descubrir la informacion perdida,
I =
∫δI (203)
=
[π~c2G
]−1 ∫MδM,
=
[π~c2G
]−1 M2
2. (204)
Lo que acabamos de calcular es la entropıa,
S =kBG
π~cM2
=1
16π2
c3kB(4πR2
s
)~G
=c3kBArea
~G. (205)
Observe que el resultado es proporcional al area, tal como las analogıas invitaban a pensar. Sin em-bargo, no podemos confiar mucho en los factores numericos de este resultado, por ejemplo si lanzamosfotones habra al menos un factor 2 debido a la polarizacion, que no consideramos. Entonces lo quepodemos decir de este resultado es
S = O (1)c3kBArea
~G. (206)
Donde O (1) es un factor de orden 1 que hay que calcular. Hawking hizo el calculo con cuidado yencontro que este factor es 1/4. Algunas propiedades de la formula
SBH =1
4
c3kBArea
~c(207)
son:
1. La entropıa depende de las constantes mas importantes de la fısica
S = S (c, ~, G, kB) (208)
En algun sentido esto lo que nos dice es que los agujeros negros deben tener la clave para entenderuna teorıa unificada de la gravedad.
2. La entropıa es proporcional al area y no al volumen. Esto no es sorprendente, pues pensemos enRelatividad General y un agujero negro. Podemos lanzar cosas a su interior y queremos calcularel tiempo que se demora en caer. Por ejemplo, lanzamos un rayo de luz y calculamos el tiempoque le tarda en llegar a RS visto desde un observador externo. El foton tendra ds2 = 0 =
52
−f (r) dt2 + dr2
f(r) , no escribimos dΩ porque cae radialmente. Entonces el tiempo que le toma alfoton llegar al horizonte es
∆t =
∫ ∆t
0dt =
∫ Rs
ri
dr
f (r)=
∫ Rs
ri
dr
1− 2Mr
=∞. (209)
Es decir, cualquier observador que este fuera del agujero negro observa que al rayo de luz letoma un tiempo infinito llegar al horizonte. Consecuentemente la imagen de los objetos quelanzamos al agujero negro se van congelando y aplasta en su superficie. Toda la informacion quelanzamos va desapareciendo, pero de alguna manera sus grados de libertad estan codificadossobre la superficie.El hecho de que es proporcional al area da tanta vuelta porque por ejemplo, en el caso de ungas ideal la entropıa es proporcional al volumen. En el caso mas simple, pensemos que tenemosN partıculas de spin j, por lo que cada partıcula puede estar en 2j + 1 estados. Un gas ideales un gas muy licuado donde las partıculas no interactuan entre sı, por lo que todos los gradosde libertad del sistema completo sera Ω = (2j + 1)N . Luego la entropıa sera S = kB ln Ω =kBN ln (2j + 1) ∼ V OL. En un agujero negro esto no se cumple obviamente porque no es un gasideal, sino que es un sistema mucho mas complicado. Pensemos en un taca taca (mete gol), queson mas parecidos a un agujero negro que a otra cosa. Una vez que se caracteriza lo que pasaen su superficie (el angulo y profundidad de cada manilla en el taca taca), queda unıvocamentedeterminado lo que ocurre en su interior. Entonces no hay ningun problema que la entropıa seaproporcional al area, al menos conceptualmente hablando. De hecho, sea como sea si tenemosun sistema que esta lejos de ser un gas ideal y queremos reproducir la termodinamica a partirde una fısica estadıstica vamos a tener dos problemas: (i) El primero, es evidente, no tenemosuna descripcion microscopica de la gravedad. (ii) Si la tuvieramos estarıamos al inicio de unproblema fuertemente acoplado que esta muy lejano a ser un gas ideal.
3. S ∼ 1/~ por lo que la finitud de la entropıa es un efecto cuantico. Esto tampoco es nuevo nisorprendente, ya que hay muchos sistema en fısica que tienen esta propiedad.
4. S ∼ 1/G es un efecto no perturbativo en la constante de acoplamiento de la gravedad, que es laconstante de Newton. Es un efecto que difıcilmente se podra ver si es que se tiene una teorıa dela gravedad renormalizable, la cual estarıa muy bien para hacer scattering de gravitones, peropara hacer calculos no perturbativos (como este) serıa muy difıcil.
En este punto a Hawking habıa algo que no le cerraba. Si nos tomamos en serio el hecho que elagujero negro tiene energıa E = Mc2 y tiene una entropıa, entonces ya no hay una mera analogıaentre termodinamica y la mecanica de los agujeros negros. Consecuentemente, siguiendo la primeraley de la termodinamica, el agujero negro tiene que tener una temperatura.
dE = TdS,
→ d(Mc2
)= TH
(c3kBArea
4~G
). (210)
De aquı podemos ver la temperatura
TH =~c3
8πGMkB, (Temperatura de Hawking), (211)
SBH =kBc
3Area
4G~, (Entropıa de Bekenstein-Hawking) (212)
La temperatura de Hawking tambien tiene ciertas peculiaridades:
53
1. La temperatura es inversamente proporcional a la masa TH ∼ 1/M ∼ 1/E por lo que el calorespecifico es
dE
dT= Cv < 0 (213)
negativo. Hay otros sistemas que tienen calor especifico negativo pero son muy raros. Estosignifica que a medida que va perdiendo energıa, el sistema se calienta mas.
2. Es un efecto cuantico TH ∼ ~.
3. La temperatura se puede escribir en terminos de la gravedad de superficie κ como sigue
T =κ
2π
(~kBc
). (214)
Es decir que contra mas grande sea la aceleracion para dejar un cuerpo quieto en la superficie,mayor sera la temperatura del agujero negro. Esto es interesante, ya que hay un fenomenollamado proceso de Unruh, que asocia una temperatura a un observador acelerado. Si tenemosun observador en espacio plano con una aceleracion constante propia ~a = d2~x
dτ2 . El caso massencillo de este escenario es el espacio de Rindler. El efecto Unruh muestra que un observadoracelerado uniformemente en Minkowski ve una temperatura que es proporcional a su aceleracionTH = a~
2πkBc.
5.2. Ordenes de magnitud
Hoy en dıa vivimos en un epoca donde sabemos que existen los agujeros negros y sabemos que masastienen. Observe que las formulas que hemos ido desarrollando dependen de las masa y de constantescuyos valores son conocidos. Entonces nos podemos hacer una idea de cuales son sus temperaturasde Hawking para ciertos valores razonables de M . Las teorıas aceptadas que explican la formacion deagujeros negros como el colapso de estrellas, nos proporciona una cota inferior a la masa, la cual es3M. Pueden haber agujeros negros con menos masas solares pero su orgin es distinto: son llamadosagujeros negros primordiales y fueron formados durante la expansion del universo. Por otra parte, losagujeros negros que de seguro existe son los que tienen millones de masa solares, pues los escuchamoscon LIGO, los vemos en fotos, observamos la dinamica de las estrellas que lo circundan y las radiacionesque solo ellos la pueden explicar. Como la temperatura es inversamente proporcional a la masa, losmas calientes seran los mas pequenos ∼ 3M
T |M ' 2× 10−7K (215)
la temperatura del CMB es TCMB ' 2, 7K. Nos podemos preguntar ¿que masa debe tener un agujeronegro tal que la temperatura de Hawking sea igual a la temperatura de CMB? La masa del agujeronegro debe ser MBH ' 7×1022Kg 'Mluna, el radio de Schwarzschild serıa del orden de los milimetros,muy pequeno!
Observacion: No todos los agujeros negros son densos, ya que la densidad es dada por
ρ =M
vol∼ M
R3S
∼ 1
M2(216)
es decir que contra mas masa tengan menos denso es, por ejemplo
Mtierra → Rs ∼ 1cm Muy denso.
Msol → Rs ∼ 3km Muy denso.
MM87* → Rs ∼ Rsistema solarPoco denso.
¡Menos denso que el agua!
54
Ahora hablemos un poco de la entropıa. Para ganar un poco de intuision respecto a los ordenes demagnitud, comparemos la entropıa del sol con la entropıa de un agujero negro que tiene la masa delsol:
Ssol = 1035 J
K, (217)
SBHMsol
= 1060 erg
K= 1053 J
K. (218)
Entonces la entropıa del agujero negro es 18 ordenes de magnitu mas grande! SBH ∼ 1018Ssol. Al igualcomo la tempratura de Hawking es extremadamente baja comparada con la temperatura de otrossistema, la entropıa de Bekenstein es extremadamente grande respecto a otros sistemas. Y mas valeque sea ası, porque de lo contrario volverıamos a las paradojas iniciales: lanzamos cosas al agujeronegro y pareciera que desaparece entropıa, etc.
5.3. Bound de Bekenstein
De hecho hay una forma de implementar la idea de que un agujero negro debe ser lo mas entropicoque hay, esto es llamado el Bound de Bekenstein. Para ello consideremos un agujero negro y vamos adecir que es lo mas entropico que puede entrar en una bola de radio R. De modo que si le agregamosalgo mas debe ser mas entropico que antes. Entonces la entropıa S de cualquier cosa que este contenidaen un volumen igual tiene que ser menor o igual que una entropıa maxima Smax. Donde la entropıamaxima es la que un agujero negro tendrıa en ese volumen,
S ≤ Smax =4πR2kB
4~G,
=πRkBRc
3
~G,
=π (2MG) kBRc
3
~c2G,
=2πkBRE
~c. (219)
Donde usamos R = 2MGc2
y E = Mc2. Ahora podemos dividir esto por la energıa
S
E≤ Smax
E=
2πkBR
~c(220)
Observe que el lado izquierdo no depende de G, es decir la cota anterior debe ser verdad incluso cuandono hay gravedad G = 0. Esto es un cota que proviene de los agujeros negros, pero es algo mucho masfundamental. Hoy en dia con calculos mas precisos se a mostrado que este bound es cierto.
5.4. Radiacion de un agujero negro
Aun no hablamos de que es lo que produce esta temperatura, sin embargo Hawking hizo el calculopreciso de la temperatura y ademas calculo la intensidad de esta radiacion. Mostro que un agujeronegro es un cuerpo negro: es maximamente absorbente y emite de forma termica. Por esto el espectroesta unıvocamente determinado por la temperatura,
I(ω)intensidad =
~ω3
2π2c2
(1
e~ω
kBTH − 1
). (221)
55
Esto es el espectro de Plack. Por lo tanto, sabemos cuanto emite por unidad de tiempo: emite con laley de Stefan-Boltzmann
Potencia =dE
dt= σT 4Sup. (222)
Entonces, ¿que potencia tiene un agujero negro con la masa del sol? P (MSol) ' 10−28W . Usandoesta formula tambien podemos calcular el tiempo de evaporacion,
dt = − 1
σT 4SupdE → ∆t =
∫ ∆t
0dt ∼ −
∫ 0
Mi
M2dM <∞
usando que Sup ∼M2 , E ∼M y T 4 ∼ 1M4 . El tiempo es finito! pero si reemplazamos las constantes
para el agujero negro mas pequeno M ∼ 3Msol tenemos que ∆t ≈ 1067anos en evaporarse. Es decir 57ordenes de magnitud mas que la edad del universo.
Observe que hay algo interesante a notar: Si el agujero negro pierde masa debido a la radiacion, yla masa a su vez es
E ∼M ∼ R ∼√A ∼
√SBH
proporcional a la raız de la entropıa, por lo que disminuyo la entropıa tambien. Esto parece violarel segundo principio de la termodinamica. Pero no! Porque el agujero negro no es un sistema cerrado.Aun no hablamos de que general la radiacion, pero la radiacion tambien tiene una entropıa, entoncesS = SBH + Srad es la que siempre aumenta.
6. Teorıa cuantica de campos en espacio-tiempo curvo: creacion departıculas, coeficientes de Bogoliubov.
Esta seccion de las notas sera destinada a construir las herramientas para hacer el calculo deHawking y encontrar el factor 1
4 de la entropıa. Como vimos en la clase anterior la entropıa seguiendoargumento herısticos es dada por
S = (?)kBc
3Area
~G. (223)
Hawking mostro que (?) = 14 , con lo cual via la segunda ley de la termodinamica podemos obtener
una temperatura. Pero ¿que significa esa temperatura? ¿de donde “sale” esta radiacion? Ya que nohay geodesicas timelike que salen del agujero negro. Sin embargo, la presencia de ~ sugiere que hayefectos cuanticos como respuestas a estas preguntas.
Intuitivamente lo que pasa es que el vacıo es un lıo de aniquilacion y creacion de partıculas yantipartıculas. Esto ocurre en todos lados, pero en las cercanıas de un agujero negro esto se puede verentorpecido por la presencia del horizonte. Ya que se podrıa crear un par de partıcula y antipartıculay que una de ellas cruce el horizonte, se puede mostrar que por la conservacion del momentum la otrase debe alejar del horizonte. Por lo que desde el punto de vista de un observador exterior observa unflujo saliente de partıculas.
6.1. QFT en espacio–tiempo curvo para un campo escalar
Lo primero que vamos a estudiar es considerar QFT mas Relatividad General. La teorıa mas simpleque podemos considerar es un campo escalar en un espacio donde la metrica sea gµν . Necesitamosincluir al Lagrangiano terminos que sean escalares bajo transformaciones generales de coordenada
S [gµν , φ] =1
2π
∫dt
∫d3x√−det g
[1
2∂µφ∂
µφ− 1
2m2φ2 − ξRφ2
]+
1
16πG
∫dt
∫d3x√−gR (224)
56
si consideramos la metrica de Minkowski
ds2 = ηµνdxµdxν = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2,
obtenemos la QFT de siempre.Observe que en espacio plano tambien es necesario poner el determinante de la metrica para que
la medida de integracion sea invariante bajo un cambio general de coordenadas. Note ademas que eltermino ξRφ2 en espacio plano no se ve, pues se anula identicamente, sin embargo es no nulo cualquierotro espacio que no sea Ricci flat. Este Lagrangiano es el mas simple para acoplar el campo escalara la gravedad, donde ξ es adimensional y es el que media el acoplamiento con la gravedad, aun quetambien hay un acoplamiento con la gravedad via las derivadas covariantes. Podemos agregar otrotipo de terminos (RµνR
µν)N φM , RµνρσRµνρσφN donde N,M son potencias cualquiera; son escalares
tambien, pero son mas complicados y llevan a que en general no se pueda resolver la teorıa. Lagracia que tiene el termino ξRφ2 es que esta en pie de igualdad con m2φ2, es decir que pertenece alsector Gaussiano de la teorıa. Ademas, parece una correcion a la masa que puede depender del puntom2 + ξR (x) .
La ecuacion de movimiento del escalar es
φ+m2φ+ ξRφ = 0, (225)
donde en el box aparece un acoplamiento de la metrica
φ ≡ ∇µ∇µφ ≡ ∇µ∂µφ ≡ ∇µ (gµν∂νφ) ≡ gµν∇µ∂νφ ≡1√−g
∂µ(√−ggµν∂ν
)φ.
Consideremos el fondo fijo (M4, gµν), de modo que la ecuacion del campo escalar resulta ser unaecuacion lineal cuyos coeficientes dependen de las funciones de la metrica.
A continuacion vamos a escribir lo que sabemos de QFT en espacio plano de una forma tan generalque nunca vamos a decir que estamos en espacio plano.
Consideremos fi (x) soluciones a la ecuacion de Klein-Gordon, que puede ser complicada depen-diente del espacio. Con esto vamos a definir un producto interno entre las soluciones,
〈f1, f2〉Σ = i
∫dΣµ (f∗2∂µf1 − f∗1∂µf2) =: i
∫dΣµ
(f∗2↔∂ µf1
)(226)
donde dΣµ = dΣnµ es el elemento de volumen y la normal de la superficie spacelike. Sin embargo,considerar que la teorıa es covariante no es solo modificar la ecuacion de modo tal que sea para unespacio arbitrario, sino que tambien la libertad de elegir la superficie Σ. Por ejemplo, un observadorque se mueve respecto a otro en Minkowski tendra una superficie spacelike que esta inclinada respectoal otro.
57
La definicion (226) sera una buena definicion de producto interno siempre que 〈f1, f2〉Σ = 〈f1, f2〉Σ′para cualquiera de estas superficies. Para esto consideremos dos superficies spacelike Σ y Σ′,
〈f1, f2〉Σ − 〈f1, f2〉Σ′ = i
∫dΣµf∗2
↔∂ µf1 − i
∫dΣ′µf∗2
↔∂ µf1
Podemos escribir esto como una integral en el borde de un volumen V cuyo borde es ∂V = Σ∪Σ′
y note que el −n′ permite que los vector normales apunte hacia el exterior, de modo que podemosutilizar el teorema de Gauss, entonces
〈f1, f2〉Σ − 〈f1, f2〉Σ′ = i
∫∂VdΣµf∗2
↔∂ µf1 − i
∫∂VdΣ′µf∗2
↔∂ µf1,
= i
∫VdV︸︷︷︸
dim 4
∇µ(f∗2↔∂ µf1
),
= i
∫VdV [∇µ (f∗2∂µf1 − f1∂µf
∗2 )] ,
= i
∫VdV (f∗2∇µ∂µf1 − f1∇µ∂µf∗2 + ∂µf∗2∂µf1 − ∂µf1∂µf
∗2 ) ,
= i
∫dV[(f∗2(−m2 − ξR
)f1 − f1
(−m2 − ξR
)f∗2)],
= 0.
Donde hemos usado la ecuacion de Klein-Gordon y que los campos van lo suficientemente rapido acero en infinito. Ahora sı estamos seguros de que el producto interno esta bien definido.
Ya estamos listo para seguir la receta que sabemos de QFT en espacio plamo. Vamos a considerarla accion
S =1
2π
∫d4x√−g[
1
2∂µφ∂
µφ− 1
2m2φ2 − ξRφ2
], (227)
vamos a definir las variables canonicas conjugadas igual que siempre
φ (x) , π (x) ≡ ∂L∂φ
(228)
Observe que la definicion de la variable canoninca conjugada obliga tener una nocion de tiempo masgeneral que el tiempo de Minkowski, pero ya lo tenıamos! Vamos a decir que φ = dφ
dty t es la coordenada
58
que t = cte define la superficie Σ. El siguiente paso es promover las variables canonicas a operadores
φ (x)QFT→ φ (x) , (229)
π (x) → π (x) . (230)
los cuales satisfacen la regla de conmutacion canonica[φ (x) , π (y)
]= iδ(3) (x− y) . (231)
Donde δ(3) (x− y) se define como∫dΣδ(3) (x− y) = 1. En QFT lo que sigue es construir las repre-
sentacion en modos con a y a†. En Mikowski habıa una base clara que usar, pues las soluciones a laecuacion de Kelin Gordon son funciones armonicas ∼ eikµx
µ. De forma general tenemos que hacer lo
mismo, encontrar una familia de soluciones a la ecuacion de Klein-Gordon fk y expandir
φ =∑k
(akfk + a∗kf∗k ) (232)
aquı fk es el analogo a eikµxµ
y ak, a∗k son los coeficientes de Fourier, hemos sumado su conjugado
para obtener una cantidad real. Esto da lugar a la representacion en modos del operador φ,
φ =∑k
(akfk + a†kf
∗k
), (233)
A continuacion construimos el espacio de Fock. Postulamos que existe4 un estado |0〉 tal que es ani-quilado por cualquier operador de aniquilacion,
ak |0〉 = 0, ∀k. (234)
Con esto podemos crear exitaciones con lo operadores de creacion a†k
|nk〉 ∼ a†k |nk − 1〉
6.2. Coeficientes de Bogoliubov y el vacıo
Observe que la eleccion de la base fk es arbitraria, pues basta con cambiar de coordenadas paraque las funciones luzcan diferentes. La unica condicion es que satisfaga la ecuacion de Klein-Gordon.Porotro lado, hay ciertas bases que permiten separar entre estados con energıa positiva y energıa negativa.Entonces usaremos la convencion de que cada observador utilizara las base de funciones que permitaseparar los estados con energıa postiva y negativa.
Elegimos otra base Fk donde podemos expandir el campo tambien,
φ =∑k
(bkFk + b†kF
∗k
). (235)
Debido a que hemos definido un producto interno elegimos las funciones fk y Fk tal que seanortonormales ⟨
fj , fj′⟩
=⟨Fj , Fj′
⟩ != δjj′ ,⟨
f∗j , f∗j′⟩
=⟨F ∗j , F
∗j′⟩
= −δjj′ , (236)⟨f∗j , fj′
⟩= 0 =
⟨F ∗j , Fj′
⟩.
4No es claro que dada la teorıa y un espacio el espacio de Fock exista. Mas aun, dada una teorıa en el espacio deMinkowski no es claro que el vacıo exista, por lo que hay que tener cuidado en este punto.
59
Si son bases del mismo espacio podemos escribir una base en terminos de la otra
fj =∑k
(αjkFk + βjkF∗k ) → Fk =
∑j
(α∗jkfj − βjkf∗j
). (237)
Observe que debe existir una relacion entre los coeficientes α’s y β’s, pues en ambas bases de debesatisfacer la condicion de que las bases son ortonormales. Para esto consideremos el producto interno⟨fj , fj′
⟩= δjj′ , pero escribiendo los f ’s en termino de los F ’s:
δjj′ =⟨fj′ , fj
⟩=
⟨∑k
(αj′kFk + βj′kF
∗k
),∑l
(αjlFl + βjlF∗l )
⟩,
=∑k,l
⟨αj′kFk + βj′kF
∗k , αjlFl + βjlF
∗l
⟩,
=∑k,l
⟨αj′kFk, αjlFl
⟩+⟨αj′kFk, βjlF
∗l
⟩+⟨βj′kF
∗k , βjlF
∗l
⟩+⟨βj′kF
∗k , αjlFl
⟩,
=∑k,l
(αj′kαjlδkl − βj′kβjlδkl
),
=∑k
(αj′kαjk − βj′kβjk
),
De modo que la condicion de ortogonormalidad para los coeficientes es dada por∑k
(αjkα
∗j′k − βjkβ∗j′k
)= δjj′ .
Continuando con la discusion, podemos expandir el campo en ambas bases,
φ =∑k
(akfk + a∗kf∗k ) =
∑k
(bkFk + b∗kF∗k ) .
y escribir los operadores de creacion y aniquilacion de una base en terminos de los operadores dela otra,⟨∑
k
(akfk + a∗kf∗k ) , fn
⟩=
⟨∑k
(bkFk + b∗kF∗k ) , fn
⟩,
→∑k
ak 〈fk, fn〉 =∑k
〈bkFk, fn〉+ 〈b∗kF ∗k , fn〉 ,
→ an =∑k
bk
⟨∑j
(α∗jkfj − βjkf∗j
), fn
⟩+ b∗k
⟨∑j
(αjkf
∗j − β∗jkfj
), fn
⟩,
=∑k,j
bkα∗jk 〈fj , fn〉 − b∗kβ∗jk 〈fj , fn〉 ,
=∑k
(bkα∗nk − β∗nkb∗k) ,
Haciendo lo mismo pero reemplazando los f ′s en termino de los F ′s podemos mostrar que
aj =∑k
(α∗jkbk − β∗jkb
†k
), bk =
∑j
(αjkaj + β∗jka
†j
). (238)
60
Ahora nos podemos hacer preguntas acerca del vacıo porque de las ecuaciones anterior los operadoresde aniquilacion de una base se escriben como combinacion de los operadores de creacion y destruccionde la otra base en general, osea se mezclan. Debido a que el vacıo se define con un operador dedestruccion de una base, en general los estados de vacıo en bases distintas seran distintos, por lo tantodebemos poner una etiqueta al estado de vacıo que indice con que base lo definimos,
ak |0〉(f) = 0, bk |0〉(F ) = 0, ∀k. (239)
Pensemos en un observable N el numero de partıculas en una base cualquiera. Pero calma, debemos
decir en que base y observe que la notacion⟨N⟩
es ambigua, pues puede significar,⟨Na
⟩= (f) 〈0|
∑k
a†kak |0〉(f) = 0,⟨Nb
⟩= (F ) 〈0|
∑k
b†kbk |0〉(F ) = 0, (240)
que se anulan debido a la misma definicion del vacıo. Incluso podemos calcular cuanto vale el sandwichde b†kbk con los vacıos de la base f,
(f) 〈0| b†kbk |0〉(f) = (f) 〈0|
∑j
(α∗jka
†j + βjkaj
)∑l
(αlkal + β∗lka
†l
)|0〉(f) ,
=∑j,l
(f) 〈0|(α∗jka
†j + βjkaj
)β∗lka
†l |0〉(f) ,
=∑j,l
(f) 〈0|(α∗jkβ
∗lka†ja†l + βjkβ
∗lkaja
†l
)|0〉(f) ,
=∑j,l
(f) 〈0|βjkβ∗lkδjl |0〉(f) ,
=∑j
βjkβ∗jk.
que es
(f) 〈0| b†kbk |0〉(f) =
∑j
|βjk|2.
Este resultado dice que el valor de expectacion del operador numero NF =∑
k b†kbk en el estado
vacıo definido por f es
(f) 〈0|NF |0〉(f) =∑k,j
|βjk|2 6= 0. (241)
Esto significa que por ejemplo, si el observador acelerado utiliza su base F y le pregunta al observadoinercial que usa la base f, —¿En que estado esta el sistema?— y este le contesta—: En mi vacıo|0〉(f). Entonces F calcula el bracket del estado |0〉(f) con su operadore numero NF =
∑k b†kb y el
resultado es un numero distinto de cero en general! El resultado es la suma de los numeros positivos|βjk|2, los cuales vinen de invertir las bases fj =
∑k (αjkFk + βjkF
∗k ). Note que los α′s mezclan las
frecuencias positivas con las frecuencias positivas mientras que los β′s mezclan frecuencias negativascon las frecuencias positivas.
6.3. Observaciones sobre el espacio de Rindler y Schwarzschild
Para fijar las ideas que venimos discutiendo aun mas veamos lo siguiente. Consideremos un observa-dor inercial que esta parado en el espacio plano sentado en una roca fumandose un cigarro. Asumamosque usa una base (f) con coordenadas (t, x) que dan lugar a la metrica ds2 = −dt2 + dx2. Mientras
61
que otro observador con una aceleracion propia constante usa una base (F ) y otras coordenadas (τ, x)que hacen ver a la metrica como ds2 = −a2x2dτ2 + dx2. Esta situacion se ilustra como sigue:
Las trayectorias del observador (F ) son hiperbolas en el espaciotiempo con coordenadas (t, x).Note que hay toda una region del espaciotiempo a la cual (F ) no puede acceder, puesto que su conode luz cada vez se hace mas angosto, entonces nada de lo que el envıe puede sale de lo que se conocecomo la cuna de Rindler.
Esto se conecta con lo que venimos hablando porque ambos observadores tienen una nocion detiempo distinto. Entonces cada uno tendra su nocion de energıa, su espacio de Fock y su propio estadode vacıo, etc. Pero en lo que sı estan de acuerdo es en el estado en que se encuentra el sistema.Supongamos que el sujeto que esta sentado en la roca dice –che, yo no veo ninguna partıcula. Tengounos detectores finısimos encendidos y nada!– Concluimos que el campo esta en el vacıo de esteobservador |φ〉 = |0〉(f). ¿Sera este el vacıo del otro observador? La respuesta es que no. El observadoracelerado observa un numero de partıculas no nula, y aun mas, detecta que esta embebido en unestado de partıculas con un numero de partıculas proporcional a su aceleracion. Esto se conoce comoel efecto Unruh.
Nosotros no vamos a hacer esta cuenta, vamos a hacer el calculo con un agujero negro. Sin embargo,esto se parece mucho a una agujero negro como vamos a mostrar ahora. El diagrama de Penrose deun agujero negro de Schwarzschild es dado por
62
donde el interior del agujero negro lo hemos pintado gris. Las lineas a r = cte son hiperbolas quehan sido pintadas con azul en la dibujo, comienzan en el pasado infinito temporal i− y terminan en elfuturo infinito temporal i+. Mientras que las hiperbolas t = cte fueron dibujadas con naranjo y todasterminan en el infinito espacial i0. Vamos a mostrar que cerca del horizonte la geomtrıa del agujeronegro no extremo es parecida a la de Rindler
Para esto comenzamos con la metrica en coordenadas de Schwarzschild
ds2BH = −f (r) dt2 +
dr2
f (r)+ r2dΩ2. (242)
podemos expandir cerca de rH ,
f (r) ' f (rH)︸ ︷︷ ︸0
+f ′ (rH) (r − rH) +1
2f ′′ (rH) (r − rH)2 + . . . (243)
vamos a asumir que f ′ (rH) 6= 0, osea que no vamos a considerar el caso de un agujero negro extremos.Ahora vamos a aproximar la metrica tirando terminos subleading en r − rH . Entonces la metrica
63
aproximada queda
ds2BH ' −f ′ (rH) (r − rH) dt2 +
dr2
f ′ (rH) (r − rH)+ r2dΩ2. (244)
Podemos hacer el cambio de coordenadas que cumpla dρ2 = dr2
f ′(rH)(r−rH) , eso se cumple con
ρ = 2
√r − rHf ′ (rH)
. (245)
En este caso el near horizon geometry de un agujero negro usando la coordenada ρ con los angulosfijos es
ds2 ' −c2
(f ′ (rH)
2
)2
ρ2dt2 + dρ2. (246)
Que tiene la misma forma que la metrica del observador acelerado de Rindler donde la aceleracionse relaciona como
a =f ′ (rH)
2(247)
Para el caso de Schwarzschild f (r) = 1− 2MG/r de modo que
a =MG
r2H
=1
4MG≡ κ (248)
donde hemos usado que rH = 2MG con c = 1. Esta es la aceleracion superficial que habıamos calculadoantes heurısticamente, entonces el espacio cerca del horizonte, si yo estoy fijo frente a el, luce como unobservador acelerado con la aceleracion necesaria para estar cerca del horizonte a una distancia fija.
7. Derivacion radiacion de Hawking.
En esta seccion vamos a realizar el calculo de Hawking para el cual hemos construido todo elandamiaje de los capıtulos anteriores. Una de las observaciones mas importantes que hemos logradorevelar anteriormente es que la nocion de numero de partıculas es sensible a cambios de observadores.Sin embargo, nos falta discutir un elemento mas: Los diagramas de Penrose.
La idea clave que nos permite tomar una espacio no compacto y dibujarlo en un papel de extensionfinita son las transformaciones de Weyl (toma la metrica y entrega la metrica multiplicada por un factorque depende del punto). Esto es debido a que el producto escalar esta definido como v · ω = vµωνgµν .Si hacemos una transformacion de Weyl
gµν → Ω (x) gµν = gµν , (249)
64
entonces el producto escalar cambia y es dado por vµων gµν = Ωvµωνgµν . A pesar de ello hay unacantidad que no cambia: el angulo entre vectores, el cual es definido como
cosα =|v · ω||v||ω|
,
=vµωνgµν√
gαβvαvβgρσωρωσ=
vµων gµν√gαβvαvβ gρσωρωσ
.
En efecto, observamos que los factores conforme se cancelan, por lo que los angulos son invariantesbajo una transformacion de Weyl . Esto esta buenisimo porque los angulos en el espaciotiempo co-difican la estructura causal. Entonces, la idea detras de un diagrama de Penrose poner la metrica encoordenadas donde los rangos de las coordenadas sean acotados y hacer una transformacion de Weyl.Sin embargo, hay cosas que cambian, como lo son,por ejemplo, las trayectorias rectas en el espacio-tiempo corresponden a hiperbolas en el diagrama de Penrose. Necesitamos construir dos diagramas dePenrose para comenzar el calculo, comenzaremos con el espacio mas facil: el espacio de Minkowski.
7.1. Diagrama de Penrose del espacio de Minkowski y del agujero negro de Sch-warzschild
Vamos a dibujar al lado derecho el espacio de Minkowski en coordenadas (r, t), y sobre el dibujare-mos ciertas curvas que describen partıculas masivas, rayos de luz y superficies a t constante. Mientrasque a la izquierdo dibujaremos como estas curvas lucen en el diagrama de Penrose de Minkowski, elcual lo vamos a dibujar como un rombo en vez de un triangulo, de modo que se debe pensar como undiagrama de revolucion.
Las partıculas masivas que estan en una posicion fija para todo tiempo lucen como las lineas azules,observe que todas estas lineas comienzan en i− y terminan en i+, estos son el infinito temporal pasadoy el infinito temporal futuro respectivamente. Es decir, todas las lineas de mundo de las partıculasmasivas comienzan y terminan en el infinito temporal pasado y futuro respectivamente. Los rayos deluz (amarillas) en el diagrama (r, t) describen lineas de 45, lo cual sera lo mismo en el diagrama dePenrose, pues este preserva los angulos, tal como mostramos antes. Observe que hay una region endonde van a parar todos los rayos de luz llamado infinito nulo futuro y se denota por =+. Mientras quela region donde comienzan los rayos de luz se llama infinito nulo pasado denotado por =−. Las curvasa tiempo de Minkowski fijo son las lineas moradas que no son seguidas por ninguna partıcula pero sonimportantes. Todas ellas terminan en el infinito espacial denotado por i0, que es donde confluyen todaslas lineas a tiempo constante. Por ejemplo, si congelamos el tiempo ahora y caminamos a r → +∞en cualquier direccion (nosotros no nos congelamos) llegaremos al infinito espacial. Si hacemos estomismo para otro tiempo habremos llegado al mismo infinito espacial i0.
65
Consideremos un agujero negro eterno: Schwarzschild. Comparar el diagrama de Penrose en Min-kowski cerca de i0 se debe parecer mucho al diagrama de Penrose de Schwarzschild cerca de i0. Puesun agujero negro de Schwarzschild muy lejos del agujero negro es Minkowski. Entonces mas vale quelos diagramas de Penrose coincidan en esta region. Pero a medida que nos adentramos hacia el alagujero negro los diagramas cambian y las curvas cambian. Por ejemplo, las lineas a r = cte cerca delhorizonte tienden a aplastarse. Es decir, cambiar un poco en r cerca del horizonte no es lo mismo quecambiar un poco en r en Minkowski. Note que hay otra forma de alejarse del horizonte: sube arriba deun rayo de luz y alejate del horizonte. Esta region tambien es asintoticamente Minkowski y es llamaigual que en Minkowski =+. El infinito nulo pasado tambien esta muy lejos del agujero negro, entoncesse parece a Minkowski y los llamamos =−.
Podemos entrar al agujero negro desde la region I a la region II con un rayo de luz que viaja a 45,o bien podemos caer con lineas tipo tiempo (lineas rojas). Estas son las dos regiones que podemos vercon las coordenadas de Schwarzschild. Observe que la region r = 0 es una linea horizontal debido aque en el interior del agujero negro las superficies tipo tiempo pasan a ser tipo espacio. Sabemos queun agujero negro no es modelado en la realidad con un agujero negro eterno, de modo que la region IVy la region III son producto del agujero negro eterno. La region IV a veces es llamado agujero blancoya que solo se puede emitir desde la region IV y es inaccesible para un observador en I, lo que ocurraen esta region se puede fijar con una condicion de borde en H−. Por otra parte, la region III nuncadebe ser pensada como la revolucion I, mas aun, ¡estan descontados! De modo que un habitante dela region III, como el marciano, nunca podra llegar a la region I, ni nosotros en la region I podemosllegar a III.
El marciano de la region III puede enviar un rayo de luz hacia la region II, donde se podrıaencontrar con algo que enviemos desde la region I hacia la region II.
66
Se puede ver que el diagrama de Penrose de Minkowski se dibuja usualmente como un panuelotriangular porque hay que sacar el triangulo que contiene los horizontes y ası no hay confusion respectoa si el diagrama que estamos dibujando es de revolucon o no.
A continuacion vamos a construir un diagrama de Penrose de un agujero negro que sea masparecido a uno real: Agujero negro no eterno. Para ello tenemos que quitar las regiones III y IV deldiagrama asociado a Schwarzschild. Vamos a dibujar el diagrama de modo que la mitad izquierda seala revolucion de la mitad derecha: representan la misma region I. En este caso lo que era la region IIIen el digrama de Schwarzschild ahora sı es la revolucion de la region I. Observe que en este caso laregion i− se parece a Minkowski tambien. Esto no es cierto en Schwarzschild, ya que el pasado remotoincluye la region cerca del horizonte.
Podemos pensar que este agujero no eterno fue formado por el colpaso gravitatorio de una estrella(amarillo). Ahora sı es posible lanzar un rayo de luz desde =−, que atraviesa la estrella y llega hasta=+ (linea naranja). Note que hay un conjunto de rayos de luz que no logran llegar a =+ porque caenal agujero negro. Vamos a utilizar las siguiente coordenadas nulas para hacer el caculo,
u = r + 2MG ln( r
2MG− 1)
+ t
v = −r − 2MG ln( r
2MG− 1)
+ t
Note que la coordenada v es la coordenada nula de Minkowski en la region =−.Nos preguntamos sobre el numero de partıculas que mide un observador con coordenada temporal
u que esta en r infinito que tiene un detector y detecta partıculas. Siendo que el observador concoordenada temportal v no ve ninguna. En este picture el cambio del numero de partıculas es creadaspor el cambio de geometrıa que hay para los distintos observadores.
67
Hacer esta cuenta es tecnicamente complicada por las dificultad de la metrica. Sin embargo, lagente suele utilizar la region I del agujero negro de Schwarzschild prescribiendo condiciones de bordeen H− que emulan la situacion real, donde en pasado no hay agujero negro. Nosotros vamos a hacerla cuenta utilizando el ultimo diagrama ya que para efectos del calculo no necesitamos los detalles demetrica.
7.2. Temperatura de Hawking
Para hacer el calculo necesitamos construir las soluciones a la ecuacion del campo escalar. Elobservador cerca de =− tiene soluciones dadas por
f`mω =Y`m (θ, ϕ)√
4πω
1
re−iωv. (250)
mientras que en =+, dado que el espacio de asintoticamente plano, las soluciones son
F`mω =Y`m (θ, ϕ)√
4πω
1
re−iωu. (251)
desde el punto de vista de la expansion son lo mismo. La diferencia radica en los distintos tiempos quecada Minkowski tiene. Si queremos pensar u en terminos v debemos determinar una funcion que lasrelacione u = g (v). Entonces el caculo se remite a encontrar esta relacion. Hawking se dio cuenta queutilizando argumentos de optica geometrica es posible obtener esta relacion sin remitir a la complicadametrica que describe el colapso y que no conoce nadie. Esta relacion es5
u = g (v) = −4MG ln
(v0 − vC
), C = eu0/4MG, (252)
donde u0 es una constante arbitraria que parametriza donde fijamos el cero del reloj en =+, mientrasque v0 no es arbitrario, pues es el momento en que sale el ultimo rayo de luz desde =− que llega a =+.
5Una derivacion de este resultado es presentado en la seccion 2 de [arXiv:gr-qc/9707062]
68
De modo que podemos escribir las funciones en =+ en terminos de la coordenada v,
F`mω =
Y`m(θ,ϕ)√
4πω1reiω4MG ln
(v0−vc
), v < v0
0 , v > v0
(253)
Ahora debemos escribir F en terminos de f para escribir los coeficientes de Bogoliubov β y podercalcular la creacion de partıculas. Esto se siguiendo lo que discutimos en la seccion anterior cambiando∑
j′ →∫dω′,
F`mω =
∫ ∞0
dω′ (α∗ω′ω`mfω′`m − βω′ω`mfω′`m) . (254)
Hemos omitida escribir la suma en m y ` debido a que la parte angular en ambas bases es la misma,lo cual hace aparecer δ``′δmm′ . Los coeficientes de Bogoliubov son dados por
α∗ω′ω`m =1
2π
√ω′
ω
∫ v0
−∞dveiω
′ve4MGiω ln
(v0−vc
), (255)
β∗ω′ω`m = − 1
2π
√ω′
ω
∫ v0
−∞dve−iω
′ve4MGiω ln
(v0−vc
). (256)
Es posible mostrar que los coeficientes anterior satisfacen,
|αω′ω`m| = e4πMGω |βω′ω`m| . (257)
Utilizando la relacion de ortogonalidad entre las bases mostramos que los coeficientes deben satis-
facer∑
k
(αjkα
∗j′k − βjkβ∗j′k
)= δjj′ . Cuando j = j′ y reemplazando los coeficientes anteriores tenemos
que
1 =∑ω′
(|αω′ω`m|2 − |βω′ω`m|2
)=∑ω′
(e8πMGω − 1
)|βω′ω`m|2 (258)
Como la suma en ω′ tenemos que ∑ω′
|βω′ω`m|2 =1
(e8πMGω − 1)(259)
Note que esta suma es justo el numero de partıculas que mide F cuando estamos en el vacıo de f
Nω =∑ω′
|βω′ω|2 =1
e8πGMω − 1
Hawking (1974) noto el parecido con el espectro de radiacion de Planck ∼ 1/(e~ω/kBT − 1
): Siguiendo
esto la temperatura que mide F es
TH =~
kB8πGM, (c = 1)
de vuelva en el calculo en la primera ley de la termodinamica para agujeros negros
dE = dMc2 = THdS. (260)
Podemos calcular la entropıa
S =1
4
c3kBArea
~G, (261)
y como el calculo es bien preciso, el factor tambien lo es. De aquı es de donde aparece el factor 1/4.Sin embargo, este calculo nos entrega mas que el factor, sino que nos dice que el agujero negro radıacomo un cuerpo negro.
69
8. Temperatura para un agujero negro generico y paradoja de laperdida de informacion
8.1. Temperatura Gibbons-Hawking
El calculo que hicimos en la seccion anterior es valido solo cuando el espacio es asintoticamenteplano, pues lo que hicimos estudiar lo que ven los observadores en las regiones asintoticas. Para estecaso mostramos que la temperatura de Hawking es
TH =~
kB8πGM. (c = 1)
Consideramos agujeros negros que no rotan, no tienen carga y son asintoticamente plano, oseaSchwarzschild. Vamos a hacer un calculo mucho mas general desde otra perspectiva, ya que generalizarel mismo calculo es muy complicado, pues depende de los detalles de las regiones asintoticas, etc. Paraello vamos a pensar el calculo de otra forma: Vamos a poner el agujero negro en una parrilla y nospreguntaremos ¿que temperatura debe tener el entorno termico al que sometemos al agujero negropara que la situacion este en equilibrio? Responder esta pregunta es equivalente a preguntarse porla temperatura del agujero negro. Esto es un calculo un poco complicado porque hay que considerarQFT a temperatura finita.
Vamos a comenzar hablando sobre mecanica cuantica calculado la integral de camino de Feynman.Para ello nos preguntemos por el valor de expectacion de que el sistema comienza en el estado qi (ti)en un tiempo inicial y que termine en un estado qf (tf ) en un dado tiempo final. Esto es
〈qf (tf ) |qi (ti)〉 =(〈q| ei
H~ tf)(
e−iH~ ti |q〉
)(262)
= 〈q| eiH~ (tf−ti) |q〉 , (263)
=
∫ q(tf)=qf
q(ti)=qi
Dqei~S[q,q]. (264)
Feynman nos dice como hacer esta cuenta sumando sobre todos los caminos∫Dq que comienzan
en un tiempo inicial q (ti) = qi y termina en un tiempo final q (tf ) = qf . Esta es la formulacionLagrangiana de la mecanica cuantica, fue escrita primero por Dirac (1932) y luego por Feynman(1948), pues S [q, q] =
∫dtL (q, q). En QFT en espacio plano lo anterior se puede escribir como
〈φf (tf ) |φi (ti)〉 =
∫ φ(~xf ,tf)=φf
φ(~xi,ti)=φi
Dφei~S[φ,∇φ,φ]. (265)
Donde en el exponente esta la accion
S =
∫dt
∫d3xL
(φ,∇φ, φ
). (266)
cuyas ecuaciones de Euler Lagrange son
∂µ
(∂L∂∂µφ
)− ∂L∂φ
= 0 → Ecuaciones de Campo. (267)
Para el caso del campo escalar el Lagrangiano es L = φ2 −∇φ · ∇φ− V (φ). La interepretacion dela integral funcional
∫Dφ significa sumar sobre todos los caminos posibles que llevan de una cierta
configuracion del campo a otro que ya hemos especificado.
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Esto se conecta con fısica estadıstica pensando en la funcion de particion a temperatura fija, lacual es
Z (β) =∑config
e−βEJ = Tr|H[e−βH
]=∑|n〉∈H
〈n| e−βE |n〉 = · · · (268)
Donde β = (kBT )−1 y |n〉 es una base del espacio de Hilbert que son autoestados de H. Observeque esto se parece mucho a la integral funcional anterior, nada mas que en (268) H = q2 + V (q) y enla integral hay menos, ademas falta una i. Sin embargo esto se puede arreglar si es que pensamos enun tiempo imaginario. Entonces, vamos a reescribir (268) cambiado los nombres |n〉 = |φ〉 y haciendoφf = φi.
Z (β) = [· · · ] =∑|φ〉
〈φ = φf | ei~ iβH~ |φ = φi〉 = · · · (269)
Observe que esto se parece a (263), en el caso particular que φf = φi y hacemos la identificacion
− iβ =tf − ti
~→ ~β = i (tf − ti) = τf − τi. (270)
Entonces en resumen, si tomamos un sistema que evoluciona en el tiempo imaginario τ = it, quecomienza en una configuracion y vuelve a la misma configuracion en el periodo β, entonces lafuncion de particion del sistema es equivalente a la integral de camino. Esto da lugar a lo siguiente
Z (β) = [· · · ] =∑|φ〉
periodicascon periodo ∼β
en el tiempo imaginario
〈φ| ei~(tf−ti)E |φ〉 = · · ·
Esta interpretacion extrana permite conectar con fısica estadıstica y leer la temperatura del reservorioque es T = ~
kB(τf−τi),
Z (β) = [· · · ] =∑|φ〉
〈φ = φf | eiH~ (−iβ) |φ = φi〉 ,
=∑|φ〉
∫φ(~xi,ti)=φ(~xf ,tf)=φ
Dφe−i~S[φ,∇φ,φ],
=
∫∀φ periodicas
Dφei~∫dt∫d3x[φ2−(∇φ)2−V (φ)]
=
∫∀φ per.
Dφe1~∫ β~0 dτ
∫d3x[−φ2−(∇φ)2−V (φ)]
=
∫∀φ per.
Dφe−1~SE
Donde φ = dφ/dτ = −iφ Y hemos fijado el tiempo inicial a cero τi = 0 = ti, de modo queitf = τf = ~β.
En resumen si tenemos un dado Hamiltoniano en el espacio de Minkowski. Si queremos calcularla funcion de particion debemos pensarlo como un problema de mecanica cuantica pero en el cilindro,donde el tiempo es τ imaginario y periodico. Osea si se hace un calculo de un propagador de unoeprador cuantico en un universo donde el tiempo es periodico e imaginario es lo mismo que un
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problema en el mundo real con fısica estadıstica. Note que despues de hacer esto cambio la topologıadel espacio pues
R3 × R → R3 × S1. (271)
Esto es en Minkowski ¿Que pasa en el espacio curvo?
Lo que tenemos que hacer es considerar la accion S[φ, φ,∇φ; gµν
], pasar al tiempo euclıdeo τ = it
y con τ identificado. Luego llamemos el periodo β = τ/~ . De esta forma habremos obtenido lafuncion de particion del sistema, al cual le corresponde el Hamiltoniano, a una dada temperaturafinita β = 1/kBT .
Para el caso que estamos interesados cuando gµν es un agujero negro, debemos considerar unametrica
ds2 = −f (r) dt2 +dr2
f (r)+ r2dΩ2,
= f (r) dτ2 +dr2
f (r)+ r2dΩ2, (Pasar al tiempo imaginario) ,
para el caso r ' +∞, esto luce como R3 × S1 mientras que r ' rH explota la metrica, entonces hayque ver con cuidado que pasa a la metrica en esta region, ya que f cambia de signo en el interior deagujero negro. Entonces quedemonos solo en la region exterior al agujero negro. Analicemos cerca dehorizonte donde f (rH) ' 0 lo que sucede
ds2E = f (r) dτ2 +
dr2
f (r)+ r2dΩ2,
'(f ′ (rH)
2
)2
ρ2dτ2 + dρ2 + r2HdΩ2, (r ' rH)
donde ρ = 0 es la region cerca del horizonte. Esto luce como(dρ2 + ρ2dψ2
)×S2, donde ψ = τf ′ (rH) /2.
Esto es un plano en coordenadas polares por la esfera, siempre que ψ tenga periodo 2π. Pero el periodoψ esta fijado por el periodo de τ , que aun no fijamos.
Pensemos un poco que significa identificar mal el angulo en el plano. Si tenemos un plano dρ2+ρ2dϕ2
e identificamos ϕ ∼ ϕ+ γ con γ < 2π entonces es equivalente a sacar una trozo del plano y pegarlo
Es decir que el plano es un caso particular de uno cono cuando la identificacion en la coordenadasangular es 2π.Volviendo a la expanasion cerca del horizonte, observe que τ a groso modo es la temperatura del campoque esta en el backgorund de un agujero negro; pedir que todo este en equilibrio termico es equivalentea pedir que cerca del horizonte haya un plano y no un cono. No nos encontramos con este problema en
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Minkowski porque ahı cualquier temperatura para el campo es la temperatura que esta en equilibriocon el background. Pero en presencia de un agujero negro hay un temperatura privilegiada, que es latemperatura del agujero negro. De modo que la suavidad en el horizonte del agujero negro euclıdeofija un periodo para τ
τ ∼ τ +4π
f ′ (rH)
Lo cual a su vez fija β = 4πf ′(rH)~ = 1
kBT, la cual es temperatura de Gibbons-Hawking
T =~f ′ (rH)
kB4π. (272)
Por ejemplo, para f (r) = 1− 2MGr − Λ
3 r2 + GQ2
r2 . Buscamos la solucion f (rH) = 0,
1− 2MG
rH− Λ
3r2H +
GQ2
r2H
= 0. (273)
Y luego reemplazar la temperatura (quizas no es necesario resolver la ecuacion anterior, quizas sepuedan mezclar de una forma astuta).
Ejercicio 9 Asegurese que cuando Q = 0 = Λ tenemos que
T =~
8πGMkB.
8.2. Caso Schwarzschild-AdS
Consideremos el caso en que Q = 0, podemos escribir la temperatura en terminos de rH . Para estoobserve que
f ′ (rH) =2MG
r2H
− 2Λ
3rH (274)
mientras que de (273) con Q = 0 tenemos que
2MG
r2H
=1
rH− Λ
3rH . (275)
Reemplazamos en (274) y luego en la temperatura de Gibbons-Hawking,
T =~
kB4π
(1
rH− ΛrH
)Con Λ < 0 y fijo, el grafico queda
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Donde la linea discontinua representa la temperatura de un agujero negro asintoticamente planoΛ = 0 y la linea continua es el caso que estamos estudiando con Λ < 0.
Algunas observaciones son:
Existe una temperatura minima Tmın: Los agujeros negros en AdS tienen una temperatura mi-nima.
Hay dos black holes con distinto tamano que tienen la misma temperatura.
Note que como f para r grande es f (r) ' |Λ|r2
3 . Podemos calcular el tiempo que tarda un rayo deluz en ir a infinito y volver. En tal caso
ds2 = −f (r) dt2 +dr2
f (r)
luz= 0
∆t =
∫ ∆t
0dt = 2
∫ ∞R
dr
f (r)' 6
∫ ∞Rgrande
dr
|Λ|r2<∞
El tiempo que toma en ir y volver a infinito es finito, a pesar de que la distancia propia para llegara infinito es infinito. Esto tiene que ver con que a medida que vamos mas lejos el tiempo se detiene.Pareciera que hay un volumen efectivo finito. Esto nos lleva a hacer una observacion interesante desdeel punto de vista de la radiacion de los agujero negros en AdS. Ya que la radiacion emitida vuelverapidamente, podrıa ocurrir que el agujero negro no se alcance a evaporar cuando la radiacion vuelva,que es distinto al caso asintoticamente plano. Esto nos permite distinguir dos tipos de agujeros negros:Los grandes y los pequenos. Un agujero negro pequeno en AdS se evapora muy rapidamente, de modoque ya se habra evaporado cuando la radiacion vuelva. Esto permite que el estado final sea un gas departıculas estable a temepratura finita. Sin embargo, un agujero negro grande a la misma temperaturaque el anterior aun no se habra evaporado cuando la radiacion vuelva. De modo que el estado final deeste ultimo sera un agujero negro.
Para mostrar que esto es ası realmente debemos considerarlo como un problema a temperaturafinita fija, para comparar los dos agujeros negros y ver cual de los dos es mas estable, y a volumen fijo(pensado como volumen efectivo fijo)
T = fijo, V ' fijo. (276)
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Para estudiar que ocurre con la estabilidad debemos estudiar la energıa libre de Helmholtz
F = E − TS. (277)
La entropıa y la temperatura las tenemos. De hecho la forma en que encontramos la formula para latemperatura ni siquiera considera que estamos en relatividad general, pues fue algo geometrico. Sinembargo, la formula para la entropıa solo es valida en agujeros negros en Relatividad General
S =kBArea
4~G. (278)
Es posible mostrar que F > 0 para los agujeros negro pequenos y F < 0 para agujeros negrosgrandes. En consecuencia los agujeros negros grandes son mas estables que los pequenos, que es lo queadelantamos antes. La diferencia de signo tiene que ver con el hecho que estamos comparando con laenergıa libre del espacio vacıo, de modo que los agujeros negros pequenos, cuya configuracion final esel espacio inundado de radiacion, es menos estables que el espacio vacıo.
8.3. Paradoja de la informacion
Para el agujero negro de Schwarzschild no hay una temperatura mınima; es como que si el puntode temperatura mınima se mueva a infinito. Consecuentemente el agujero negro no es estable, peroeso ya lo sabıamos, pues calculamos cuanto tiempo se demora en evaporarse. De hecho del calculo deHawking se ve que el agujero negro radıa con el espectro de Planck, que es un estado termino, es decirel mas desordenado. No importa lo que nosotros lacemos al agujero negro, este siempre radıa igual.
Dicho de otra manera el estado cuantico que describe la radiacion de Planck es un estado termico:la matriz densidad de este estado es
ρ = diag (1/N, 1/N, . . . , 1/N) .
Recordemos un poco lo que es la matriz densidad. Si tenemos un ensamble que emite cosas enalgun estado con cierta probabilidad ωi,
|ψ1〉 =∑i
C(i)1 |ϕi〉 → ω1,
|ψ2〉 =∑i
C(i)2 |ϕi〉 → ω2,
...
emite un poco de cada uno. Entonces la suma de los porcentajes de cada uno de los estados debensumar 1
∑Ni ωi = 1. El estado de este sistema se puede representar por una matriz densidad, que en
la base de los |ψi〉 es
ρ =
ω1 0 00 ω2 0
0 0. . .
,que en particular tiene Tr (ρ) = 1. Cuando el sistema esta representado por un unico estado decimosque es un estado puro, por ejemplo si el estado es |ψ2〉 entonces ωi = δi,2, que es lo que esta detras dela afirmacion: El estado de un sistema cuatico esta determinado por un vector unitario en el espaciode Hilbert, lo cual no es verdad en general. Dicho esto, el estado termico es cuando todos los ω′s soniguales ωi = 1/N . El estado termino es lo contrario del estado puro, pues en este ultimo estamosseguros en cual estado esta el sistema, mientras que en el primero no tenemos ni idea.
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Esto nos lleva a un problema. Si consideramos que tenemos una estrella en un estado puro quees descrito por un estado inicial |ψi〉 = |ψ (t1)〉, despues de un tiempo formara un agujero negro quetambien estara descrito por un estado puro que evoluciono desde el anterior |ψ (t2)〉 = eiH(t2−t1)/~ |ψi〉.Luego comenzara a radiar y el agujero negro comenzara a achicarse, de modo que estara en un estado|ψ (t3)〉 = eiH(t3−t1)/~ |ψi〉. En este punto podemos pensar que de alguna forma la infromacion estaen el interior del horizonte. Pero la cosa cambia cuando el agujero negro desaparece y lo unico quequeda es radiacion, que de acuerdo con la evolucion del sistema el estado sera descrito por |ψrad〉 =eiH(t4−t1)/~ |ψi〉, pero sabemos que esto no es ası ya que la radiacion es descrita por un estado mixto(termico) tal como Hawking mostro! Por otra parte, no existe una evolucion Hamiltoniana que llevedesde un estado puro a un estado termico, esto es conocido como la paradoja de la informacion.
Referencias
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