Ajustes de Línea Parábola

Glenn R. Revolledo VilchezFacultad de ciencias naturales y matemáticas, Escuela profesional de Física,

Universidad Nacional Del Callaoe-mail: glennr.revolledov@gmail.comPresentado el 12 de Junio del 2015

ResumenEn este trabajo se presenta el ajuste de línea parabólica para series de tiempo. Mediante una rutina de Matlab se realiza el ajuste parabólico, mostrando así, los diversos resultados obtenidos con diferentes datosPalabra clave: Mínimos cuadrados, Matlab, numérico. Anomalía

1. IntroducciónEn diversas áreas de la física es importante el uso de datos, que son obtenidos mediante el trabajo de campo.Sin embargo, no solo es relevante hacer una correcta toma de datos, sino también realizar una correcta administración de estos. Existen diversas técnicas que facilitan esta labor, conocidas en conjunto como técnicas de análisis de datos.El ajuste parabólico es una técnica de análisis de datos similar a la regresión de mínimos cuadráticos, donde la función tendrá la forma:

f ( x)=a x2+bx+c .

2. Métodos y materiales

2.1. Ajuste Parabólico

Para realizar un ajuste parabólico actuaremos del mismo modo que en el caso de Regresión de Mínimos Cuadrados, pero utilizando la función de ajustes:

y=a x2+bx+c

En tal situación los valores previstos son:

y¿=a x i¿2+b x i

¿+c

De donde deducimos que

e i= y i− yi¿= y i−(a x i

¿2+b x i¿+c)

Sea H (a ,b , c)=∑

i

e i2=∑

i

y i−(a x i¿2+b x i

¿+c)

Para determinar los valores de a, b y c que minimizan dicha suma realizamos las correspondientes derivadas parciales e igualamos a cero.

∂ H∂a

=0⇒∑ y i=aN+b∑ x i+c∑ x i2

∂ H∂b

=0⇒∑ y i x i=a∑ x i+b∑ xi2+c∑ x i

3

∂ H∂c

=0⇒∑ y i x i2=a∑ x i

2+b∑ xi3+c∑ x i

4

Dividiendo entre el número total de observaciones N y utilizando la expresión de los momentos obtenemos:

a01=a+b .a10+c .a20

a11=a .a10+b .a20+c .a30

a21=a .a20+b .a30+c .a40

Es decir, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Resolviendo el sistema por el método de Gauss o por la Regla de Cramer obtendremos el ajuste parabólico.

3. Resultados

Mediante una rutina creada en el programa Matlab (y mostrada en el Apéndice A del presente trabajo) sometemos nuestros datos al ajuste parabólico. Los datos buscan, proporcionados en clases, representan una serie de tiempo para las anomalías de temperatura del mar.

1

3.1. Serie de Tiempo Anomalías

Con los mismos datos configurados por defectos en el programa, podemos generar el gráfico.

Figura 1. Anomalías de la Temperatura

La Figura 1, muestra el comportamiento anómalo de la temperatura a través del tiempo. En esta figura también puede observarse cuál es el ajuste con mejor comportamiento para estos datos.

3.2. Serie de Tiempo Anomalías de Paita

Utilizamos los datos proporcionados en clases, para el caso de Paita, obteniendo la Figura 2. Notamos que el ajuste parabólico muestra un mejor comportamiento para los datos analizados.

Figura 2. Anomalías de la Temperatura Paita

3.3. Serie de Tiempo Anomalías del NiñoUtilizamos los datos proporcionados en clases, para el caso del Niño, obteniendo la Figura 3. De manera similar al caso anterior, notamos que el ajuste parabólico muestra un comportamiento más aceptable para el conjunto de datos.

Figura 3. Anomalías de la Temperatura del Niño

4. Anexo

% ajusta linea parabola% % ajustar una linea recta a una serie global de T 1965-2010 %Lee los datosD=load('global_temp.txt');t=D(:,1);T=D(:,2);N=length(T); % grafica los datosf1=figure('units','normalized','Position',[0.15 0.2 0.70 0.4]);subplot(1,2,1);plot(t,T,'ro',t,T,'r-');xlabel('tiempo','fontsize',18);ylabel('Anomalia T, (C)','fontsize',18);axis( [1965, 2010, -0.5, 1.0] );hold on; % Define la matriz del problema de minimos cuadrados (kernel de datos) % orden del ajustem=1; % columnas de la matriz de regresionM=m+1; % % % % % % % % % % % % % % % % %Define el kernel

2

% % % % % % % % % % % % % % % % G=zeros(N,M);% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %rellena el kernel con columna de unos y de tiempos% % % % % % % % % % % % % % % % G(:,1)=1;% % % % % % % % % % % % % % % % G(:,2)=t; % % % % % % % % % % % % % % % % G=[ones(N,1)];% % % % % % % % % % % % % % % % for in=1:M% % % % % % % % % % % % % % % % G=[G t(:).^in];% % % % % % % % % % % % % % % % end %%%TERCERA forma de generar la matriz (sin bucle mucho mas rapido)G=bsxfun(@power,t(:),0:m); % calcula la solucion de minimos cuadrados y el modelom = (G'*G)\(G'*T);d = G*m; % dibuja la linea rectaplot(t,d,'b-','LineWidth',3); % calculo de la varianza asociada al modelo (s2d) y a los parametros (C)e = (T - d);E = e'*e;s2d = E/(N-2);C = s2d * inv(G'*G);sm = sqrt(C(2,2)); % escribe en pantalla la pendiente y su desviacion estandar con intervalo de confianza al 95.45%text(0.1,0.85,['pendiente:',num2str(m(2)),... 'C/year','+-',num2str(2*sm)],'units','normalized','fontsize',18); % fit_straight_line% ajustar una linea recta a una serie global de T 1965-2010 % grafica los datossubplot(1,2,2);plot(t,T,'ro',t,T,'r-');xlabel('tiempo','fontsize',18);ylabel('Anomalia T, (C)','fontsize',18);axis( [1965, 2010, -0.5, 1.0] );hold on; % orden 2m=2;M=m+1; %Define el kernelG=zeros(N,M); %Define el kernel (parabola)G=[ones(N,1), t, t.^2]; %otra forma%G=bsxfun(@power,t(:),0:M-1); % calcula la solucion de minimos cuadrados y el modelom = (G'*G)\(G'*T);d = G*m; % dibuja la linea rectaplot(t,d,'b-','LineWidth',3); % calculo de la varianza asociada al modelo (s2d) y a los parametros (C)e = (T - d);E = e'*e;s2d = E/(N-3); %%Error del modelosmy=sqrt(s2d) disp(['ymodelo +-',num2str(2*smy)])

3