8/31/2007

1

Predavanjepripremila

Dr.Rada Čahtarević

Arhitektonski fakultet Sarajevo

NACRTNA GEOMETRIJA 1

AKSONOMETRIJSKO / KOSO PROJICIRANJE

Paralelne linije

projiciranja

PARALELNO PROJICIRANJE

Paralelni projekcijski zraci

8/31/2007

2

PARALELNO PROJICIRANJE

Paralelni projekcijski zraci

ORTOGONALNO

PROJICIRANJE

AKSONOMETRIJSKO

ORT. PROJICIRANJE

KOSO

PROJICIRANJE

GLAVNA RAVAN

OBJEKTA

Projekcijski zraci

NORMALNI na

projekcijsku

ravan

ZAKOŠENI na

projekcijsku

ravan

NORMALNI na

projekcijsku

ravan

PARALELNA

projekcijskoj

ravni

PARALELNA

projekcijskoj

ravni

ZAKOŠENA na

projekcijsku

ravan

Tipovi paralelnih projekcija razlikuju se u odnosu

na vrijednosti ugla između zraka projiciranja i

projekcijske ravni

ORTOGONALNO

PROJICIRANJE

AKSONOMETRIJSKO ORT.

KOSO

PROJICIRANJE

IZOMETRIJSKO

Tipovi paralelnih projekcija

8/31/2007

3

AKSONOMETRIJSKO PROJICIRANJE

Metoda aksonometrijske projekcije zasniva se na

povezivanju objekta koji prikazujemo uz neki zadani

koordinatni sistem, te projekciji objekta zajedno sa

koordinatnim sistemom, paralelnim linijama na neku

zadanu ravan.

Projekcijska ravan nije podudarna ni sa jednom od

ravnina odreĊenih koordinatnim osama.

AKSONOMETRIJSKO PROJICIRANJE

Temeljna pravila aksonometrije formulirana

su Polkeovom teoremom :

Bilo koja tri linijska segmenta povuĉena iz

jedne taĉke u ravni , mogu se smatrati

paralelnom projekcijom tri jednaka i

uzajamno okomita linijska segmenta koji

prolaze jednom taĉkom u prostoru.

8/31/2007

4

AKSONOMETRIJSKO PROJICIRANJE

Ovisno o položaju osa koordinatnog sistema u odnosu

na projekcijsku ravan , projekcije osa u aksonometriji

mogu biti skraćene, a pravi uglovi koje meĊusobno

zaklapaju deformisani, u razliĉitim stepenima veliĉina.

Prema Polkeovoj teoremi, može se proizvoljno odabrati

sistem od tri ose sa proizvoljnim uglovima koje

zaklapaju, i skraćenjima veliĉina na njima, kao

aksonometrijska projekcija nekog koordinatnog

sistema.

AKSONOMETRIJSKO PROJICIRANJE

Aksonometrijska

projekcija nekog

objekta može se izvesti iz

njegovih ortogonalnih

projekcija, koje takoĊe

mogu biti projicirane u

aksonometriji, s tim da

su podvrgnute

odreĊenim

deformacijama.

8/31/2007

5

AKSONOMETRIJSKO PROJICIRANJE

Aksonometrijska projekcija nekog objekta može se

izvesti iz njegovih ortogonalnih projekcija

AKSONOMETRIJSKO PROJICIRANJE

8/31/2007

6

AKSONOMETRIJSKO PROJICIRANJE

KOSA PROJEKCIJA

Projekcijska ravan je postavljena paralelno

jednoj od glavnih ravnina objekta - ( RAVNINI

ODREĐENOJ DVJEMA KOORDINATNIM OSAMA)

Projekcijski zraci sijeku ravan projiciranja

pod odreĊenim uglom - ne pod pravim

8/31/2007

7

KOSA PROJEKCIJA

A)

PROJEKCIJSKA RAVAN

POSTAVLJENA

PARALELNO GLAVNOJ

HORIZONTALNOJ RAVNI

B)

PROJEKCIJSKA RAVAN

POSTAVLJENA

PARALELNO GLAVNOJ

VERTIKALNOJ RAVNI

KOSA PROJEKCIJA

A) B)

8/31/2007

8

KOSA PROJEKCIJA

Kavaljerska projekcija

Očuvane jednake dužine

Kabinetska projekcija

Dubina jedinične kocke je ½ širine i visine

Opšta kosa projekcija

Skraćenja po dubini mogu biti proizvoljna

( najprikladnije 3/4)

Skraćenja po

trećoj osi

ovise o uglu

projiciranja

KOSA PROJEKCIJA

8/31/2007

9

Kavaljerska

projekcija

Kavaljerska projekcija- ugao izmeĊu ravni projiciranja

i zraka projiciranja je 45.

Zadržavaju se jednake veliĉine duži okomitih na ravan

projiciranja.

Veliĉina ugla koji zaklapa

treća osa

( dvije su pod pravim uglom )

može biti 45 ,ili proizvoljna

- najĉešće, 30, 60

Kabinetska

projekcija

Skraćenja po

trećoj osi

daju sliku

bliţu stvarnoj

vizualnoj

predstavi

kocke.

8/31/2007

10

KOSA PROJEKCIJA

Kavaljerska

projekcija

Kabinetska

projekcija

Opšta

kosa projekcija

KOSA PROJEKCIJA

8/31/2007

11

KOSA PROJEKCIJA

Likovi paralelni

projekcijskoj ravni , ostaju

nedeformirani u kosoj

projekciji.

KOSA PROJEKCIJA

Likovi paralelni projekcijskoj

ravni , ostaju nedeformirani u

kosoj projekciji.

8/31/2007

12

KOSA PROJEKCIJA

Kružnica koja nije paralelna

projekcijskoj ravni , u kosoj

projekciji postaje elipsa .

KOSA PROJEKCIJA

Orijentacija koordinatnog sistema

8/31/2007

13

Poloţaj osnove

Poloţaj vertikala na osnovu

KOSA PROJEKCIJA

KOSA PROJEKCIJA

8/31/2007

14

AKSONOMETRIJSKO PROJICIRANJE

- ORTOGONALNO AKSONOMETRIJSKO PROJICIRANJE

PROJEKCIJSKA RAVAN MOŢE BITI PROIZVOLJNO

ORIJENTIRANA U ODNOSU NA OBJEKAT, DOK PROJEKCIJSKI

ZRACI OSTAJU OKOMITI NA TU RAVAN

NA PROJEKCIJI OSTAJE OĈUVANA PARALELNOST PRAVACA,

NE I UGLOVI.

MJERE SE MOGU OĈITAVATI POMOĆU FAKTORA SKRAĆENJA

ZA SVAKU OSU

AKSONOMETRIJSKO PROJICIRANJE

IZOMETRIJA TRIMETRIJA DIMETRIJA

Nejednaki

uglovi i veličine

za sve tri ose

Jednaki uglovi i

veličine za

dvije ose

Jednaki uglovi i

veličine za sve tri

ose

AKSONOMETRIJSKO ORTOG. PROJICIRANJE

8/31/2007

15

AKSONOMETRIJSKO ORTOG. PROJICIRANJE

- IZOMETRIJA

PROJEKCIJSKA

RAVAN SIJEĈE GLAVNE

KOORDINATNE OSE POD

UGLOM 45.

UGLOVI IZMAĐU

KOORDINATNIH OSA U

PROJEKCIJAMA SU

JEDNAKI.

FAKTORI SKRAĆENJA

ZA SVAKU OSU SU

JEDNAKI

Proj.ravan

Proj.zraci

Proj.ravan

Proj.zraci

Koord.sistem

45

45

AKSONOMETRIJSKO PROJICIRANJE - IZOMETRIJA

Projekcijska ravan siječe ose koordinatnog

sistema na istoj distanci- simetrično

postavljena projekcijska ravan

IZOMETRIJA

Izometrijska projekcija

Projekcijska ravan

AKSONOMETRIJSKO ORTOG. PROJICIRANJE

- IZOMETRIJA

8/31/2007

16

Skraćenja

veličina na sve tri

ose su jednaka,

kao i uglovi među

osama

AKSONOMETRIJSKO ORTOG. PROJICIRANJE

- IZOMETRIJA

AKSONOMETRIJSKO PROJICIRANJE - IZOMETRIJAAKSONOMETRIJSKO ORTOG. PROJICIRANJE

- IZOMETRIJA

8/31/2007

17

ORIJENTACIJA

KOORDINATNIH OSA

Prikladno je Z osu uzeti

kao glavnu vertikalu

/ svjetski koord.sistem

(WCS)

Desni i lijevi koord. Sistem

/ vezan uz kompjutersku grafiku

AKSONOMETRIJSKO ORTOG. PROJICIRANJE

- IZOMETRIJA

AKSONOMETRIJSKO PROJICIRANJE - IZOMETRIJA

ORIJENTACIJA

KOORDINATNIH

OSA –različiti

sistemi

Z

XY

-Z

XY

Z

X Y

8/31/2007

18

AKSONOMETRIJSKO PROJICIRANJE

POLOŢAJ

KOORDINATNIH

OSA U ODNOSU

NA OBJEKAT

AKSONOMETRIJSKO

PROJICIRANJE -

IZOMETRIJA

8/31/2007

19

IZOMETRIJA

PROJEKCIJE

KRUŢNICE

8/31/2007

20

IZOMETRIJA

CRTANJE PO FAZAMA

IZOMETRIJA

skiciranje

8/31/2007

21

IZOMETRIJA

kotiranje

AKSONOMETRIJSKO PROJICIRANJE- DIMETRIJAAKSONOMETRIJSKO ORTOG. PROJICIRANJE

- DIMETRIJA I TRIMETRIJA

IZOMETRIJA

Jednaki uglovi izmeĊu osa

Sve veliĉine su u jednakom

omjeru

Uglovi izmeĊu osa ne moraju biti jednaki

Veliĉine nisu u jednakom omjeru

DIMETRIJA

Jedna osa

nije u istoj

razmjeri

TRIMETRIJA

Nijedna osa

nije u istoj

razmjeri

8/31/2007

22

AKSONOMETRIJSKO PROJICIRANJE- DIMETRIJAAKSONOMETRIJSKO ORTOG. PROJICIRANJE

- DIMETRIJA I TRIMETRIJA

AKSONOMETRIJSKO PROJICIRANJE- DIMETRIJA

8/31/2007

23

AKSONOMETRIJSKO PROJICIRANJE- TRIMETRIJA

KOSA

PROJEKCIJA

AKSONOMETRIJA

(ORTOGONALNA)

8/31/2007

24

8/31/2007

25

8/31/2007

26

AKSONOMETRIJSKO

PROJICIRANJE

Archicad

8/31/2007

27

AKSONOMETRIJSKO

PROJICIRANJE

IZOMETRIJA

DIMETRIJA

KOSA

PROJEKCIJA

8/31/2007

28

AKSONOMETRIJSKO

PROJICIRANJE - IZOMETRIJA

AKSONOMETRIJSKO

PROJICIRANJE

8/31/2007

29

PRAVILNI POLIEDRI

8/31/2007

30

ARHIMEDOVI

POLIEDRI

Top Row:

Truncated Cube

Cuboctahedron

Truncated Octahedron

Great Rhombicuboctahedron

Lesser Rhombicuboctahedron

Second Row:

Truncated Dodecahedron

Icosidodecahedron

Truncated Icosahedron

Great

Rhombicosidodecahedron

Lesser

Rhombicosidodecahedron

Third Row:

Snub Cube

Snub Dodecahedron

Truncated Tetrahedron

ARHIMEDOVI

POLIEDRI

8/31/2007

31

8/31/2007

32

ORTOGONALNA

PROJEKCIJA

8/31/2007

33

IZOMETRIJA

8/31/2007

34

DIMETRIJA

DIMETRIJA

8/31/2007

35

DIMETRIJA

TRIMETRIJA

8/31/2007

36

KOSA PROJEKCIJA

-U IZOMETRIJI

KOSA PROJEKCIJA

-U IZOMETRIJI

8/31/2007

37

KOSA PROJEKCIJA

-U DIMETRIJI

8/31/2007

38

8/31/2007

39

8/31/2007

40