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Séquence 4

151Séquence 4

Statistique et probabilités

Sommaire

1. Statistique p.1522. Probabilités p.1583. Exercices d’application p.166 4. Corrigés des exercices p.169

Cned – Académie en ligne

152 Séquence 4

On dispose de la série statistique suivante, le caractère étudié étant un caractère quantitatif discret :

Valeurs xxiix1 x2 x3 … xp

Effectifs nniin1 n2 n3 … np

L’effectif total de cette série est : n = + + + + ==∑n n n n np ii

p

1 2 31

... .

1. Moyenne

� Définition

La moyenne de cette série statistique est le nombre

réel x défini par :

x

n x

n

n x n x n x

n

i ii

p

p p=

×

=× + × + + ×

=∑

1 1 1 2 2 ...

2. Variance et écart-type

� Définitions

� La variance de cette série statistique est le nombre réel V défini par

Vn

n x xi ii

p= −( )

=∑1 2

1

.

C’est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.

� L’écart-type de cette série est le nombre réel s défini par s = V .

L’écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne.

A Moyenne et écart-typeA Moyenne et écart-type

La moyenne est le réel qui mini-mise la fonction

xn

n x xi ii

p

�1 2

1

−( )=∑ .

Remarque

La moyenne est le réel qui mini-mise la fonction

xn

n x xi ii

p

�1 2

1

−( )=∑ .

Remarque

1 Statistique


153Séquence 4

� Propriété

La variance est aussi égale à la moyenne des carrés moins le carré de la

moyenne Vn

n x xi ii

p= −

=∑1 2

1

2 .

On s’intéresse au temps total de transport des employés d’une usine pendant une semaine. Voici les résultats obtenus :

Temps en heures 1 2 3 4 5 6 7 8

Effectifs 2 3 6 8 10 15 24 16

Calculer la moyenne et l’écart-type de cette série, en arrondissant les résultats à 0,1.

�

La durée hebdomadaire moyenne de transport est d’environ 5,9 heu-res soit 5 heures 54 minutes.

� Pour le calcul de l’écart-type, on commence par calculer la variance en utilisant éventuellement un tableau :

Valeurs xxii1 2 3 4 5 6 7 8 Total

Effectifs nnii2 3 6 8 10 15 24 16 84

nn xxii ii22 2 12 54 128 250 540 1 176 1 024 3 186

V = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − =3 18684 42

53114

61 0091 764

52

247 88971 764

3 3� , et

s = V = 5 8971 764

� 1 8, .

Avec une calculatrice, on se met en mode statistique ; on entre les valeurs dans la liste L1 et les effectifs dans la liste L2, puis on fait afficher les résultats numéri-ques avec Calc 1-Var stats L L1 2, . On lit : x � 5 9, ;

x x x= =∑ ∑494 3186 1 82 ; ; ,σ � et n = 84.

Exemple 1Exemple 1

Dans le cas d’un caractère quantita-tif continu, on prend pour valeurs les cen-tres des classes.

Remarque

Dans le cas d’un caractère quantita-tif continu, on prend pour valeurs les cen-tres des classes.

Remarque

x =× + × + × + × + × + × + × + ×

+ + +2 1 3 2 6 3 8 4 10 5 15 6 24 7 16 8

2 3 6 88 10 15 24 16

494

84

247

425 9

+ + + += = � , .


154 Séquence 4

On considère une série statistique dont les n termes a a an1 2, , ,... sont rangés par ordre croissant, chaque valeur figurant autant de fois que son effectif. n est donc l’effectif total.

1. Médiane

� Définition

� Si n est impair (c’est-à-dire n p= +2 1, p ∈�), la médiane Me est le terme situé « au milieu » :

a1

p termes

ap ap+2

Me = ap+1

a2p+1

p termes

Me = +ap 1 .

� Si n est pair (c’est-à-dire n p= 2 , p ∈�*), la médiane Me est le centre

de l’intervalle a ap p ; :+⎡⎣

⎤⎦1

a1

p termes

ap ap+1

Me

a2p

p termes .

Au moins 50 % des termes de la série sont inférieurs ou égaux à la médiane et au moins 50 % des termes de la série sont supérieurs ou égaux à la médiane.

Remarque

2. Quartiles, déciles

� Définitions� Le 1er quartile, noté Q1, est la plus petite valeur des termes de la série

telle qu’au moins 25 % des données lui soient inférieures ou égales.

B Médiane et écart interquartileB Médiane et écart interquartile

Me =+ +a ap p 1

2Me =

+ +a ap p 1

2

.


155Séquence 4

� Le 3e quartile, noté Q3, est la plus petite valeur des termes de la série telle qu’au moins 75 % des données lui soient inférieures ou égales.

� L’intervalle interquartile est l’intervalle Q Q1 3 ; .⎡⎣ ⎤⎦ L’écart interquartile est le réel Q3 1−Q .

� Le 1er décile, noté d1, est la plus petite valeur des termes de la série telle qu’au moins 10 % des don-nées lui soient inférieures ou égales.

� Le 9e décile, noté d9, est la plus petite valeur des termes de la série telle qu’au moins 90 % des don-nées lui soient inférieures ou égales.

� L’intervalle interdécile est l’intervalle d d1 9 ; .⎡⎣ ⎤⎦ L’écart interdécile est le réel d d9 1− .

3. Diagramme en boîte ou boîte à moustaches due au statisticien John W. Tuckey (1915-2000)

C’est un outil graphique permettant d’étudier la répartition des valeurs d’une série. On y fait figurer les valeurs extrêmes xmin et xmax , la médiane Me, les 1er et 3e quartiles Q1 et Q3, et les 1er et 9e déciles d1 et d9 :

xmin d9

Q1d1

Me Q3

xmax

axegradué

Ces diagrammes peuvent être utilisés pour comparer le même caractère pour deux populations différentes.

La température est relevée chaque heure pendant 4 jours dans une forêt.Les 97 résultats obtenus ont été triés et sont rassemblés dans le tableau suivant :

Température (en °C) 14,5 15 15,5 16 16,5 17 17,5 18 18,5 19 19,5

Nombre de fois où cette température a été relevée

5 7 10 12 15 10 11 9 7 7 4

Construire le diagramme en boîte de cette série statistique, les extrémi-tés du diagramme correspondant aux premier et neuvième déciles.On vérifie que les valeurs sont rangées par ordre croissant. Il est inté-ressant, pour faire les différents calculs nécessaires à la réalisation du diagramme, de travailler avec les effectifs cumulés croissants.

Température (en °C) 14,5 15 15,5 16 16,5 17 17,5 18 18,5 19 19,5

Nombre de fois où cette température a été relevée

5 7 10 12 15 10 11 9 7 7 4

L’écart interquartile est une mesure de dispersion associée à la médiane pour résumer la série statistique. Ce cou-ple (médiane ; écart interquartile) n’est pas sensible aux valeurs extrêmes. L’intervalle inter-quartile contient la médiane et au moins 50 % des données.

Remarques

L’écart interquartile est une mesure de dispersion associée à la médiane pour résumer la série statistique. Ce cou-ple (médiane ; écart interquartile) n’est pas sensible aux valeurs extrêmes. L’intervalle inter-quartile contient la médiane et au moins 50 % des données.

Remarques

Exemple 2Exemple 2


156 Séquence 4

Effectifs cumulés croissants 5 12 22 34 49 59 70 79 86 93 97

� Calcul de la médiane : l’effectif total 97 est impair : 97 2 48 1= × + donc la médiane est le 49e terme de la série c’est-à-dire 16,5.

� Calcul du 1er quartile Q1 : 25

100974

24 25× = =97 , donc Q1 est le 25e

terme de la série (25 est le plus petit entier supérieur ou égal à 24,25)

c’est-à-dire 16.

� Calcul du 3e quartile Q3 : 75

10034

97 72 75× = × =97 , donc Q3 est le 73e

terme c’est-à-dire 18.

� Calcul du 1er décile d1 : 10

1009710

9 7× = =97 , donc d1 est le 10e terme

c’est-à-dire 15.� Calcul du 9e décile d9 :

90100

910

97 87 3× = × =97 , donc d9 est le 88e

terme c’est-à-dire 19.

(champ)

(forêt)xmind1 d9

Q1 Me Q3

xmax

323113 15 16 18 1914,5 19,5

Le 2e diagramme en boîte corres-pond à une série de températu-res relevées de la même manière et aux mêmes instants dans un champ à l’extérieur de la forêt. Il est réalisé avec le même axe que l’autre diagramme. Cela permet de comparer la température dans la forêt et dans le champ : les tem-pératures sont beaucoup plus dis-

persées dans le champ que dans la forêt ; dans la forêt, les températures sont plus fraîches (influence des arbres).

Soient x ni i ; ( ) une série statistique, x sa moyenne, V sa variance, s son écart-type, Q1 son 1er quartile et Q3 son 3e quartile.Soit f une fonction affine définie sur � par f x =( ) +aaxx bb. En posant pour tout i, f x yi i( ) = , on obtient une nouvelle série statistique y ni i ; .( ) Les valeurs ont été transformées mais les effectifs sont conservés.

C Influence d’une transformation affine…

C Influence d’une transformation affine…

La boîte est un rectangle qui va du premier au troisième quartile et on y fait figurer la médiane. Pour les moustaches, on peut trouver diffé-rents modèles (les extrémités des pattes peuvent par exemple corres-pondre aux maximum et minimum).

Remarque


157Séquence 4

1. … sur l’intervalle interquartileSi a > 0, pour la nouvelle série statistique y ni i ; ,( ) le 1er quartile est Q aQ b1 1' = + et le 3e quartile est Q aQ b3 3' .= +

L’intervalle interquartile est donc aQ b aQ b1 3+ +⎡⎣ ⎤⎦ ; et l’écart interquar-

tile est Q Q a Q Q3 1 3 1' ' .− = −( )

La médiane est Me aMe b' .= +

2. … sur l’écart-typePour la nouvelle série statistique y ni i ; :( ) – la moyenne est y ax b= + – la variance est multipliée par a2 : V a V' = ×2 – l’écart-type est multiplié par a : s a s' .= ×

Une série statistique x ni i ; ( ) a pour quartiles Q1 6= et Q3 10= , pour moyenne x = 7 5, et pour écart-type s = 2 8, . On considère la fonction f définie sur � par f x x( ) , .= +0 5 3 En posant pour tout i, y f xi i= ( ), on obtient une nouvelle série statistique. Calculer les paramètres de cette série y ni i ; .( )

La fonction f est bien une fonction affine (à vérifier car les résultats énoncés ne sont pas valables pour les autres fonctions) et le coefficient de x est 0,5 qui est strictement positif.La série y ni i ; ( ) a donc pour quartiles : Q f Q Q1 1 10 5 3 0 5 6 3 6' ( ) , ,= = + = × + = et Q f Q3 3 0 5 10 3 8' ( ) , .= = × + =

La série y ni i ; ( ) a pour moyenne y f x x= = + = × + =( ) , , , ,0 5 3 0 5 7 5 3 6 75

et pour écart-type s s' , , , , .= = × =0 5 0 5 2 8 1 4

V Voir exercices 1 à 5.

Exemple 3Exemple 3


158 Séquence 4

� Une expérience aléatoire est une épreuve dont l’issue ne peut être connue à l’avance.

Lors d’une expérience aléatoire, on appelle :� Univers : l’ensemble Ω de toutes les éventualités (issues, résultats

possibles) de l’expérience aléatoire réalisée.� Evénement : une partie de Ω .� Evénement élémentaire : un événement formé d’une seule éventualité.� Ω est appelé l’événement certain (qui se produit à coup sûr).

� ∅ est l’événement impossible (qui ne peut pas se produire).

La réunion des événements A et B est l’événement : A B∪ et il est formé de toutes les éventualités qui appartiennent à A ou à B (et peuvent donc appar-tenir à A et à B).

L’intersection des événements A et B est l’événe-ment A ∩ B et il est formé de toutes les éventuali-tés qui appartiennent à la fois à A et à B.

� L’événement contraire de A est noté AA et il est formé de toutes les éventualités de Ω qui ne sont pas dans A. On a : AA AA AA AA∪ = ∩ = ∅Ω et .

� A et B sont incompatibles si AA BB∩ = ∅ .

Le nombre d’éventualités d’un événement A est appelé cardinal de A et se note card A.

Remarque

On lance un dé non pipé à six faces et on s’intéresse au numéro de la face supérieure.� Décrire l’univers lié à cette expérience puis donner les éventualités

qui composent les événements suivants : A : « obtenir un nombre pair » ; B : « obtenir 4 » ; C : « obtenir un nom-bre supérieur ou égal à 3 ».

� Décrire par une phrase les événements suivants et déterminer les éventualités qui les composent : A C A C∪ ∩, , A C, . .Que peut-on dire des événements B et A ?

A VocabulaireA Vocabulaire

A

A ∪ ∪ B

A ∩ B B

Ω

A

AA ∪ ∪ B

A ∩ B B

Ω

Ω

AA

Ω

AA

Exemple 4Exemple 4

2 Probabilités


159Séquence 4

� On a Ω = {1 ;2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } ; card Ω = 6. A = {2 ; 4 ; 6 } ; card A = 3. B = {4 }.C’est un événement élémentaire. De même, C = {3 ; 4 ; 5 ; 6} .

� A ∪ C : « obtenir un nombre pair ou supérieur ou égal à 3 » ;A∪C = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} et A ∩ C : « obtenir un nombre pair et supérieur ou égal à 3 » ; A ∩ C = {4 ; 6}. De plus A : « obtenir un nombre impair » ; A = {1 ; 3 ; 5} et C : « obtenir un nombre inférieur ou égal à 2 » ; C = {1 ; 2}.

Les événements B et A sont incompatibles car A ∩ = ∅B .

1. Loi des grands nombres

Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d’un événement A tend vers une valeur « idéale » qui est la probabilité de l’événement A : c’est la « loi des grands nombres ».

Si on lance un grand nombre de fois un dé non truqué à 6 faces, on remarque que la fréquence moyenne d’apparition du 2 tend vers

16

qui est la probabilité de l’événement « obtenir 2 ».

2. Définition

Définir une probabilité sur un univers Ω = { ; ; ... ; } e e en1 2 lié à une expé-rience aléatoire, c’est associer à toute éventualité ei de Ω un nombre pi appelé probabilité de l’événement élémentaire { ei } tel que :

pour tout i ∈ …{ , , },1 n 0 1≤ ≤pi et p p p pn1 2 1+ + + = =

=∑... ii 1

n .

Un dé est truqué. On le lance un grand nombre de fois. On s’aperçoit que :– le 6 tombe environ 3 fois plus que le 1– le 4 et le 5 tombent chacun deux fois plus que le 1– le 2 et le 3 tombent chacun autant de fois que le 1.Proposer un modèle de loi de probabilité pour cette expérience.

On a Ω = { ; ; ; ; ; }.1 2 3 4 5 6

On note p p ii = ({ }). D’après l’énoncé, on a : p p6 13= ; p p p4 5 12= = et p p p2 3 1= = .

De plus, pii

==∑ 1

1

6 donne : 10 11p = soit p1

110

= .

La loi de probabilité peut donc être résumée par le tableau suivant :

B Loi de probabilitéB Loi de probabilité

ExempleExemple

Exemple 5Exemple 5


160 Séquence 4

i 1 2 3 4 5 6

ppii1

101

101

10

210

15

= 210

15

= 310

3. Probabilité d’un événement

� Définition

La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qu’il contient.

On reprend l’exemple 5. Calculer la probabilité de l’événement A : « obte-nir un nombre pair ».On a A = {2 ; 4 ; 6} donc : p A p p p( ) ({ }) ({ }) ({ })= + + = + + = =2 4 6

110

210

310

610

355

.

� Propriétés

� Si A et B sont 2 événements quelconques, on a : pp pp pp pp( ) ( ) ( ) ( )AA BB AA BB AA BB∪ = + − ∩ .

Cas particulier : Si A et B sont deux événements incompatibles, p p p( ) ( ) ( ).A B A B∪ = +

� Si A est un événement, on a : pp pp( )AA 11 AA)= (− .

On reprend l’exemple 5. Déterminer la probabilité de B : « obtenir un nombre au moins égal à 2 » .Comme B = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, on peut utiliser

p B p p( ) ...= + + =2 69

10 ou bien considérer l’événement contraire :

B :"obtenir 1" = { }1 ; p p( )B = =11

10 donc p p( ) ( ) .B B= − =1

910

4. Equiprobabilité

On dit qu’il y a équiprobabilité quand chaque événement élémentaire a la même probabilité. On parle de loi équirépartie.

Lancer d’un dé non truqué , d’une pièce équilibrée ; un tirage au hasard.

� PropriétéSoit une expérience aléatoire avec Ω = { ; ; ... ; }e e en1 2 .

p( )∅ = 0 ; p( )Ω = 1 ;

pour tout événement A, 0 1≤ ≤p( )A .

Remarques

p( )∅ = 0 ; p( )Ω = 1 ;

pour tout événement A, 0 1≤ ≤p( )A .

Remarques

Exemple 6Exemple 6

Exemple 7Exemple 7

ExemplesExemples


161Séquence 4

S’il y a équiprobabilité alors : p en

i ni{ }( ) = 1pour tout de {1 ; 2 ; ... ; }} et

p( )Anombre de cas favorables à A

nombre de=

ccas possiblescard Acard

=Ω

.

On lance un dé non pipé à 6 faces et on s’intéresse au numéro de la face supérieure.Déterminer la probabilité de l’événement A : « obtenir un multiple de 3 ».

On a Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } ; card Ω = 6. De plus, A = {3 ; 6} ; card A = 2.On est en situation d’équiprobabilité (dé non pipé) donc


nombre de=

ccas possibles2= =6

13

.

5. Espérance et variance d’une loi de probabilité

Ces paramètres ne se calculent que lorsque les issues ei d’une expé-rience aléatoire sont des réels.

� L’espérance mathématique μ de la loi de probabilité est

définie par : μ ==∑ p ei ii

n

1

.

� La variance V de la loi de probabilité est définie par :

V p e p ei ii

n

i ii

n= − = −

= =∑ ∑( ) .μ μ2

1

2

1

2

� L’écart-type σ de la loi de probabilité est défini par : σ = V .

(analogues à la moyenne, la variance et l’écart –type en statistique)

� Si on est en situation d’équiprobabilité : pour calculer la probabilité d’un événement A, on utilise la formule vue au B)4, en dénombrant les nombres de cas possibles (card Ω ) et de cas favorables à A (card A).

� Sinon, on utilise la définition et les propriétés sur la probabilité d’un événement (vues au B)3.).

� Pour dénombrer, on peut procéder « à la main » ou bien utiliser des représentations : un arbre, un tableau double entrée (pour le lancer de deux dés par exemple), un diagramme…

� On peut faire appel à l’événement contraire quand cela s’avère plus économique, notamment quand l’événement est décrit avec les locu-tions « au moins » ou « au plus » . Il faut savoir dans ce cas prendre la négation d’une phrase.

Exemple 8Exemple 8

ei e1 e2… en

pi p1 p2… pn

ei e1 e2… en

pi p1 p2… pn

C Exemples-typeC Exemples-type


162 Séquence 4

On tire au hasard une carte dans un jeu de 32. Calculer la probabilité des événements suivants :A : « obtenir le roi de trèfle » ; B : « obtenir un roi » ; C : « obtenir un trè-fle » ; D : « obtenir un cœur ou un carreau » ; E : « obtenir un roi ou un trèfle ».

Il y a 32 éventualités possibles (card Ω = 32 ) et on est en situation d’équi-probabilité (tirage au hasard d’une carte).

� Il n’y a qu’un seul roi de trèfle dans le jeu donc


nombre de=

ccas possibles= 1

32 (card A = 1).

� Il y a de même 4 rois, 8 trèfles dans le jeu donc : p( )B = =432

18

(card B=4); p( )C = =832

14

(card C=8).

D D D1 2= ∪ où D1 : « obtenir un cœur » et D2 : « obtenir un carreau ».

Comme D1 et D2 sont incompatibles,

p p p( ) ( ) ( ) .D D D= + = + = =1 28

328

321632

12

� On a E = B C∪ donc p p p p( ) ( ) ( ) ( )E B C B C= + − ∩ avec B C A∩ = donc p( )E = + − =4

328

321

321132

.

On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On obtient ainsi une suite de 3 résultats.� Écrire toutes les éventualités correspondant à cette expérience aléa-

toire.� Calculer P(A) où A : « les 3 résultats sont identiques ». � Calculer P(B) où B : « la suite des 3 résultats commence par Pile ».� Calculer P(C) où C : « la suite de résultats comporte au moins un

pile ».

� Pour écrire toutes les éventualités, on peut faire un arbre (ou les dénombrer « à la main ») :

PPP

PPF

PFP

PFF

FPP

FPF

FFP

FFF

P

F

P

F

P

F

P

F

P

F

P

F

P

F

1er lancer 2e lancer 3e lancer Eventualité

Exemple 9Exemple 9

En faisant p(B) + p(C), on compte deux fois le roi de trèfle ! Ne pas oublier de retirer une fois l’intersection.

Attention

En faisant p(B) + p(C), on compte deux fois le roi de trèfle ! Ne pas oublier de retirer une fois l’intersection.

Attention

Exemple 10Exemple 10


163Séquence 4

Il y a donc : 2 2 2× × = 8 éventualités possibles. On est de plus en situa-tion d’équiprobabilité (pièce équilibrée).

� A ={PPP ; FFF} donc card A = 2 et p( ) .A = =28

14

� Les éventualités de l’événement B sont marquées en gras dans l’ar-bre : il y en a 4.

Donc p( ) .B = 12

(remarque : cohérent car il y a autant de résultats com-

mençant par F que de résultats commençant par P).

� C : « la suite de résultats comporte au moins un pile ».On peut consi-dérer l’événement contraire C : « la suite de résultats ne comporte

aucun Pile ». C ={FFF} d’où p( )C = 18

et p p( ) ( ) .C C= − =178

1. Définitions

On réalise une expérience aléatoire avec pour univers Ω = { ; ; ... ; } e e en1 2 et on y définit une probabilité p.

� Une variable aléatoire est une fonction de Ω dans � . On la note sou-

vent X . X : Ω → � . e xi i�

� Soient X une variable aléatoire définie sur un univers Ω et X x x xm( ) ; ; ... ; Ω = { }1 2 l’ensemble des valeurs prises par X.

On note p i' la probabilité de l’événement « X prend la valeur xi », évé-nement noté ( ).X xi= La loi de probabilité de X est alors définie par la liste des probabilités p i' et est représentée par le tableau :

xi x1 x2… xm

p p X xi i' ( )= = p'1 p'2… p m'

Ceci implique p ii

m

' .=∑ =

1

1

2. Paramètres d’une variable aléatoire

� L’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X est définie

par : E X p xi ii

m( ) '=

=∑

1

.

D Variable aléatoireD Variable aléatoire


164 Séquence 4

� La variance V de la variable aléatoire X est définie par :

V X p x E X p x E Xi ii

m

i ii

m( ) ' ( ( )) ' ( ( ))= − = −

= =∑ ∑2

1

2

1

2 .

� L’écart-type σ de la variable aléatoire X est défini par : σ( ) ( )X V X= .

On lance deux dés non pipés(l’un rouge, l’autre bleu) et on s’intéresse à la somme des faces supérieures. On gagne 7 € si la somme est supé-rieure ou égale à 10 ; on perd 2 € si la somme est inférieure ou égale à 4 et 1€ dans les autres cas.X désigne la variable aléatoire prenant comme valeur le gain algébrique (positif si on gagne, négatif si on perd) lors d’un lancer.� Déterminer la loi de probabilité de X.� Calculer E(X), V(X) et σ( )X .

� • L’univers lié à l’expérience réalisée peut être résumé par le tableau à double entrée ci-contre. L’univers Ω est composé de 36 éventualités qui sont les 36 cou-ples (i ; j) où i et j sont dans {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. Avec l’univers choisi, on est en situation d’équiprobabi-lité (chaque événement élémen-

taire a une probabilité de 1

36 ).

• L’ensemble des valeurs prises par X est : X( ) ; ; .Ω = − −{ }2 1 7

• ( )X = =7 « obtenir une somme supérieure ou égale à 10 ». Cet événement comporte d’après le tableau 6 éventualités (mar-quées en bleu) et on peut uti-liser la loi équirépartie donc

p X( ) .= = =76

3616

De même, l’événement ( )X = − =2 « obtenir une somme inférieure ou égale à 4 » comporte 6 éventualités (marquées en gras) donc :

p X( ) .= − =216

Enfin, p X( ) .= − = =12436

23

La loi de probabilité de X est donc représentée par :

xxii –1 –2 7

pp pp XX xxii ii' ( )= = 23

16

16

� E X p xi ii

( ) ' ( ) ( ) .= = × − + × − + × ==∑

1

3 23

116

216

716

Exemple 11Exemple 11

On vérifie que

p ii

' .=∑ =

1

3

1

Remarque

On vérifie que

p ii

' .=∑ =

1

3

1

Remarque

Si on choisit comme univers l’ensemble des 11 sommes possibles, on ne peut pas utiliser la loi équirépartie.

Remarque

1 2 3 4 5 6

1(1 ; 1)S = 2

(2 ; 1)S = 3

(3 ; 1)S = 4

(4 ; 1)S = 5

(5 ; 1)S = 6

(6 ; 1)S = 7

2(1 ; 2)S = 3

(2 ; 2)S = 4

(3 ; 2)S = 5

(4 ; 2)S = 6

(5 ; 2)S = 7

(6 ; 2)S = 8

3(1 ; 3)S = 4

(2 ; 3)S = 5

(3 ; 3)S = 6

(4 ; 3)S = 7

(5 ; 3)S = 8

(6 ; 3)S = 9

4(1 ; 4)S = 5

(2 ; 4)S = 6

(3 ; 4)S = 7

(4 ; 4)S = 8

(5 ; 4)S = 9

(6 ; 4)S = 10

5(1 ; 5)S = 6

(2 ; 5)S = 7

(3 ; 5)S = 8

(4 ; 5)S = 9

(5 ; 5)S = 10

(6 ; 5)S = 11

6(1 ; 6)S = 7

(2 ; 6)S = 8

(3 ; 6)S = 9

(4 ; 6)S = 10

(5 ; 6)S = 11

(6 ; 6)S = 12

rouge

bleu


165Séquence 4

Sur un grand nombre de parties, le joueur peut espé-rer gagner en moyenne un sixième d’euro.

V X p x E Xi ii

( ) ' ( ( ))

( ) ( )

= −

= × − + × − +

=∑ 2

1

32

2 223

116

2116

716

576

136

34136

22

× −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −

=

et σ( ) ( ) , .X V X= = =34136

3416

3 08�

V Voir exercices 6 à 11.

Pour calculer la variance, on peut éventuellement ajou-ter une ligne don-nant les xi

2

dans le

tableau.Comme en statis-tique, l’écart-type mesure la disper-sion des valeurs de X autour de l’espé-rance.

Remarque

Pour calculer la variance, on peut éventuellement ajou-ter une ligne don-nant les xi

2

dans le

tableau.Comme en statis-tique, l’écart-type mesure la disper-sion des valeurs de X autour de l’espé-rance.

Remarque


166 Séquence 4

La liste ci-dessous donne les poids de naissance de nouveaux nés (arron-dis à 10 g près) dans une maternité :3 240 ; 3 350 ; 3 640 ; 3 120 ; 3 640 ; 2 960 ; 2 880 ; 3 400 ; 3 030 ; 2 980 ; 3 850 ; 3 670 ; 2 990 ; 3 020 ; 3 380 ; 3 420 ; 3 320 ; 3 240 ; 3 650 ; 3 010 ; 3 170 ; 2 830 ; 3 400 ; 3 260 ; 3 080 ; 2 950 ; 3 070 ; 3 120 ; 3 350 ; 3 470.

� Déterminer la médiane, les quartiles Q1 et Q3, et les déciles d1 et d9 de cette série statistique.

� Réaliser un diagramme en boîte de cette série statistique, en prenant les déciles pour extrémités.

On a demandé leur salaire mensuel aux employés d’une entreprise. Les résultats de l’enquête sont résumés dans le tableau ci-dessous, les salaires étant indiqués en milliers d’euros.

Salaire 1 1 2 ; ,⎡⎣ ⎡⎣

1 2 1 4, ; ,⎡⎣ ⎡⎣ 1 4 1 6, ; ,⎡⎣ ⎡⎣ 1 6 2, ; ⎡⎣ ⎡⎣ 2 3 ; ⎡⎣ ⎡⎣ Total

Effectifs hommes 125 75 38 26 12 276

Effectifs femmes 25 60 82 34 8 209

Déterminer le salaire mensuel moyen masculin, le salaire mensuel moyen féminin et en déduire le salaire mensuel moyen dans l’entreprise. Arron-dir ces moyennes à 1 euro près.

Le directeur d’une grande école de journalisme cherche à comparer deux promotions d’élèves lors de leur entrée dans l’école. Il a relevé dans les dossiers les notes de français des 33 élèves de chaque promotion pour dresser les tableaux d’effectifs reproduits ci-dessous.

Promotion 2 003

Notes 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Effectifs 1 2 3 4 4 5 4 4 3 2 1

Promotion 2 004

Notes 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Effectifs 1 2 4 6 7 6 4 2 1

Pour chaque promotion, calculer la moyenne et l’écart-type arrondi au dixième de la série de notes de français.Comparer les deux promotions.

Exercice 1Exercice 1



3 Exercices d’application


167Séquence 4

Le diagramme ci-dessous représente une série statistique x ni i ; :( )

4035

On considère la fonction f définie sur � par f x x( ) , , .= −1 5 0 8 On pose y f xi i= ( ) pour tout i.

Déterminer les quartiles de la série statistique y ni i ; .( )

En relevant les abscisses de différents points placés sur une droite gra-duée d’origine O et d’unité de longueur OI, on a obtenu une série statis-tique x ni i ; ( ) de moyenne x = 5 7, et d’écart-type s = 2 3, . On ne déplace pas les points placés sur cette droite mais on change de repère : l’origine est maintenant le point I et l’unité de longueur est

12

OI. On obtient une série statistique y ni i ; ( ) en relevant les abscisses des points avec ce nouveau repère.Déterminer la moyenne et l’écart-type de cette nouvelle série statistique.

Dans une classe de 20 élèves, 6 élèves déclarent avoir une télé dans leur chambre, 12 avoir un ordinateur et 4 élèves n’avoir ni télé ni ordinateur dans leur chambre. On interroge un élève de cette classe au hasard.� Quelle est la probabilité qu’il ait une télé ou un ordinateur dans sa

chambre ?� Quelle est la probabilité qu’il ait à la fois télé et ordinateur dans sa

chambre ?� Quelle est la probabilité qu’il n’ait que la télé dans sa chambre ?

La fermeture de sécurité d’un cartable est assurée par la composition d’un code de trois chiffres obtenu en faisant tourner trois mollettes por-tant les chiffres de 0 à 9. Une personne compose au hasard un code.Déterminer p(A), p(B) et p(C) où A, B, C désignent les événements :A : « le code est le bon », B : « le code est formé de trois chiffres distincts »,C : « le code comporte deux chiffres identiques et deux seulement ».

On interroge au hasard une mère de trois enfants et on appelle X la variable aléatoire égale au nombre de filles parmi ses trois enfants ; on suppose que lors d’une naissance, l’arrivée d’une fille et l’arrivée d’un garçon sont équiprobables.Choisir un univers adapté à cette expérience. Déterminer la loi de proba-bilité de X puis p X( )≥ 2 et p X( ).< 2

Dans une école maternelle, l’enseignante demande à chaque enfant de choisir chaque matin 2 jouets parmi 3 rouges, 2 jaunes et 1 bleu. Tous








168 Séquence 4

ces jouets se trouvent mélangés dans une caisse.L’enseignante s’intéresse plus particulièrement à Samuel qui choisit chaque matin les 2 jouets au hasard. On suppose que tous les choix de 2 jouets sont équiprobables.� Combien y a-t-il de choix possibles de 2 jouets ?� Déterminer la probabilité des événements A, B, C et D suivants :

A : « Samuel choisit un jouet rouge et un jouet jaune »B : « Samuel choisit exactement un jouet rouge »C : « Samuel choisit au moins un jouet rouge »D : « Samuel choisit 2 jouets de la même couleur ».

Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher (deux blanches numérotées 1 et 2 et trois noires numérotées 1, 2 et 3).On tire une première boule, on note sa couleur et son numéro puis on tire une deuxième boule sans remettre la première dans l’urne.Calculer les probabilités des événements : A : « les deux boules tirées ont la même couleur » et C : « les deux boules tirées ont le même numéro ».

Un jeu de hasard est formé d’un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette dans une cible ayant la forme suivante :

B B B B B B B B B J J J V V R R V V J J J B B B B B B B B B

La fléchette atteint toujours une case et une seule. Les trente cases, blanches (B), jaunes (J), vertes (V) ou rouges (R), ont toutes la même probabilité d’être atteintes.Si la fléchette atteint une case rouge, le joueur gagne 8 €.Si la fléchette atteint une case verte, le joueur gagne 5 €.Si la fléchette atteint une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd rien.Si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perd a € où a est un réel strictement positif.On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur.

� Déterminer la loi de probabilité de X .� Calculer a pour que le jeu soit équitable, c’est-à-dire pour que l’espé-

rance E X( ) soit nulle.� Dans le cas où a = 1, calculer V X X( ) ( .et )σ




169Séquence 4

� Ordonnons dans l’ordre croissant les termes de la série statistique :2 830 ; 2 880 ; 2 950 ; 2 960 ; 2 980 ; 2 990 ; 3 010 ; 3 020 ; 3 030 ; 3 070 ; 3 080 ; 3 120 ; 3 120 ; 3 170 ; 3 240 ; 3 240 ; 3 260 ; 3 320 ; 3 350 ; 3 350 ; 3 380 ; 3 400 ; 3 400 ; 3 420 ; 3 470 ; 3 640 ; 3 640 ; 3 650 ; 3 670 ; 3 850.• L’effectif total, 30, est pair : 30 2 15= × ; donc

Me15 terme + 16 terme

2

e e= = + =3 240 3 240

23 2400.

• 25100

7 5× =30 =304

, donc Q1 est le 8e terme c’est-à-dire Q1 3 020= .

• 75100

30 22 5× × =30 =34

, donc Q3 est le 23e terme c’est-à-dire

Q3 3= 400.

• 10100

3× =30 =3010

donc d1 est le 3e terme c’est-à-dire d1 2 950= .

• 90100

× 30 = 27 donc d9 est le 27e terme c’est-à-dire d9 3= 640.

� Diagramme en boîte :

2800 2900 3000 34003240 3640

Q3MeQ1d1 d9 xmax

3900

xmin

Il s’agit ici d’un caractère quantitatif continu ; on utilise donc le centre des classes.

Salaire [1 ; 1,2[ [1,2 ; 1,4[ [1,4 ; 1,6[ [1,6 ; 2[ [2 ; 3[ Total

Centre 1,1 1,3 1,5 1,8 2,5

Effectifs hommes 125 75 38 26 12 276

Effectifs femmes 25 60 82 34 8 209

• Salaire mensuel moyen masculin :

Le salaire mensuel moyen masculin est donc d’environ 1 336 euros (ne pas oublier l’unité donnée dans l’énoncé : milliers d’euros, et l’arrondi demandé : à 1 euro).



xm = × + × + × + × + × =125 1 1 75 1 3 38 1 5 26 1 8 12 2 5276

3, , , , , 668 8276

1 336,

,�xm = × + × + × + × + × =125 1 1 75 1 3 38 1 5 26 1 8 12 2 5276

3, , , , , 668 8276

1 336,

,�

4 Corrigés des exercices


170 Séquence 4

• Salaire mensuel moyen féminin :

xf = × + × + × + × + × =25 1 1 60 1 3 82 1 5 34 1 8 8 2 5209

309, , , , , ,,,

7209

1 482�

Le salaire mensuel moyen féminin est donc d’environ 1 482 euros.

• Déduction du salaire mensuel moyen dans l’entreprise :

x = × + ×+

=276 1 336 209 1 482276 209

678 474485

1 3, , ,

,� 999

Le salaire mensuel moyen dans l’entreprise est d’environ 1 399 euros.

• Promotion 2003 :

x20031 6 2 7 3 8 3 14 2 15 1 16

3336= × + × + × + + × + × + × =... 3333

11=

Notes xxii 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Effectifs nnii 1 2 3 4 4 5 4 4 3 2 1

nn xxii × ii22 36 98 192 324 400 605 576 676 588 450 256

v n x xi ii

20032 2

1

11133

36 98 192 324 400= × − = + + + + +

=∑ 6605 576 676 588 450 256

33+ + + + + −

v20034 1

33121

20833

= − =20 et donc s V2003 2003

20833

2 5= = � , .

• Promotion 2004 :

x2004

1 7 2 8 4 9 4 13 2 14 1 1533

36= × + × + × + + × + × + × =... 3333

11=

v n x xi ii

2004

2

1

9 2 21

33

7 11 2 8 11 4= × −( ) =

−( ) + −( ) +

=∑

99 11 2 14 11 15 11

33

2 2 2−( ) + + −( ) + −( )...

v200416 18 16 6 0 6 16 18 16

3311233

= + + + + + + + + = et donc

s V2004 200411233

1 8= = � , .

• Comparaison des deux promotions : les deux promotions ont la même moyenne de français mais l’écart-type de la promotion 2004 (1,8) est inférieur à celui de la promotion 2003 (2,5) : les notes sont plus dis-persées autour de la moyenne pour la promotion 2003. La promotion 2004 est plus homogène (en français) que la promotion 2003.



171Séquence 4

Le diagramme nous donne les 1er et 3e quartile de la série x ni i ; :( ) Q1 34 3= , et Q3 40 7= , (ce sont les bornes de la boîte).

La fonction f définie sur � par f x x( ) , ,= −1 5 0 8 est une fonction affine et le coefficient de x est 1,5 qui est strictement positif.Les quartiles de la série statistique y ni i ; ( ) sont donc :

Q f Q1 1 1 5 34 3 0 8 50 65' ( ) , , , ,= = × − = et Q3 1 5 40 7 0 8 60 25' , , , , .= × − =

xi est l’abscisse d’un point Ai dans le repère O ; OI��( ) sur la droite, et

yi est l’abscisse du même point dans le repère I ; 12

OI��⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

. On a donc

y x xi i i= −( ) = −2 1 2 2.

A2 A1

–1–4 1 30

0

0

1

I

2,5

Soit f la fonction affine définie sur � par f x x( ) = −2 2. On a y f xi i= ( )

pour tout i.

Par conséquent, la série statistique y ni i ; ( ) a pour moyenne

y f x= ( ) = × − =2 5 7 2 9 4, , et pour écart-type s s' , ,= = × =2 2 2 3 4 6 car

a = =2 2.

On peut résumer les données dans le diagramme ci-dessous : T désigne l’événement : « l’élève a une télé dans sa chambre » ; card(T) = 6. O désigne l’événement : « l’élève a un ordinateur dans sa chambre » ; card(O) =12.

L’univers Ω est l’ ensemble des 20 élèves de la classe.On est en situation d’équiprobabi-

lité donc p( )T = 620

et p( ) .O = 1220

� La probabilité demandée est p(T O).∪ T O∪ : « l ‘élève a une télé ou un ordinateur dans sa chambre »et l’événement contraire est T O∪ : « l’élève n’a ni télé ni ordinateur dans sa chambre ».

Comme p T O∪( ) = 420

, p p(T O) T O∪ = − ∪( ) = =11620

45

.

La probabilité que l’élève ait une télé ou un ordinateur dans sa cham-

bre est donc de 45

.




Ω (20)

T (6)

O (12)O: T ∩

4

1024

Ω (20)

T (6)

O (12)O: T ∩

4

1024


172 Séquence 4

� La probabilité demandée est p(T O).∩

p p p p(T O) (T) (O) (T O)∩ = + − ∪ = + − = =620

1220

1620

220

1110

.

La probabilité que l’élève ait à la fois télé et ordinateur dans sa cham-

bre est donc de 1

10.

� La probabilité demandée est en fait p T O∩( ).

Or cet événement comporte d’après le diagramme

( 6 2− ) soit 4 issues donc p T O∩( ) = =420

15

.

(Remarque : p p pT O T T O∩( ) = − ∩( ) ( ) ).

La probabilité que l’élève n’ait que la télé dans sa chambre est donc de 15

.

Déterminons d’abord le nombre d’éléments de l’univers Ω c’est-à-dire le nombre de codes possibles.Pour cela, on peut utiliser l’arbre suivant :

1er chiffre

012...9

...

2ème chiffre

012...9

...

3ème chiffre

(arbre incomplet)

012...9

Pour chaque chiffre, on a 10 choix : 0 ; 1 ; 2 ; ... ou 9.Il y a donc 10 10 10× × soit 1000 codes différents donc card Ω =1000.

• A : Il n’y a qu’un seul bon code et on est en situation d’équiprobabilité

donc p( ) .AcardAcard

= =Ω

11000

• B : Cette fois, le 2e chiffre est différent du premier et le troisième des deux premiers : on a 10 façons de choisir le 1er chiffre puis pour chacun de ces choix, on n’a que 9 façons de choisir le 2e et pour chacun des choix des deux premiers, on n’a plus que 8 façons de choisir le 3e chif-fre (on peut refaire un arbre avec ces modifications). Il y a donc 10 9 8× × soit 720 codes avec trois chiffres distincts et

p( ) .B = =7201000

1825

• 1ère méthode : On peut considérer l’événement contraire C : « le code comporte soit trois chiffres distincts soit trois chiffres identiques ».On sait déjà qu’il y a 720 codes avec trois chiffres tous distincts.Les codes avec 3 chiffres identiques sont : 000 ; 111 ; 222 ; ... ; 999. Il y en a 10.



173Séquence 4

Ces deux ensembles étant bien disjoints, on a

card C = 720 +10 = 730 puis p( ) .C = =7301000

73100

Donc p p( ) ( ) .C C= − = − =1 173

10027

100

• 2e méthode : ex de code :112.Commençons par dénombrer les codes avec deux 1 et un 2 : il y en a 3 à savoir 112 ; 121 et 211(autant que de façons de placer le chiffre 2). Il faut ensuite dénombrer les façons de choisir le chiffre qui apparaîtra deux fois dans le code et celui qui n’apparaîtra qu’une fois. Il y a 10 façons de choisir le chiffre qui apparaîtra deux fois et pour chacune de ces façons, il y a 9 (on ne peut pas reprendre le même) façons de choisir celui qui apparaîtra une fois. Il y a donc 90 façons de choisir cette paire de nombres.Chaque façon de choisir le chiffre qui apparaîtra deux fois dans le code et celui qui n’apparaîtra qu’une fois engendre 3 codes différents donc il y a en tout 90 × 3 soit 270 codes avec deux chiffres identiques exactement.On retrouve bien p(C) = 0,27.

On peut décrire l’univers en utilisant l’arbre ci-dessous :

GFG

GF

G

F

GGGGGF

F

GFGFGF

3ème

enfant2ème

enfant1er

enfant Issue xi

GFGGFFFGGFGFFFGFFF

01121223

Il y a donc 2 2 2× × soit 8 issues possibles dans l’univers Ω.

Ensemble des valeurs prises par X :X désigne le nombre de filles parmi les 3 enfants donc X( ) ; ; ; }.Ω = {0 1 2 3

Probabilités des ( )X xi= :(X = 0) = « avoir 0 fille sur les 3 enfants »= {GGG} ; (X =1) = {FGG ; GFG ; GGF} ; (X =2) = {FFG ; GFF ; FGF} et (X =3) = {FFF} donc comme on est en situation d’équiprobabilité : p X p X( ) ( )= = = =0 3

18

et p X p X( ) ( ) .= = = =1 238

La loi de probabilité de X est donc représentée par le tableau :

xxii 0 1 2 3

pp pp XX xxii ii= =( ) 18

38

38 2= p

18 3= p

Remarque :

La première méthode est sans doute ici plus simple.

Remarque :

La première méthode est sans doute ici plus simple.



174 Séquence 4

Puis p X p p X( ) ( )≥ = + = = <248

12

22 3 et étant l’événement contraire de

( )X ≥ 2 , on a p X p X( ) ( ) .< = − ≥ =2 1 212

� Il y a 6 jouets en tout. On note R1 , R2 , R3 les jouets rouges, J1 , J2 les jouets jaunes et B le jouet bleu.

Les choix possibles de deux jouets sont (l’ordre entre les deux jouets n’est pas important) : { R1 ; R2 }, { R1 ; R3 }, { R1 ; J1 }, { R1 ; J2 }, { R1 ;B }, { R2 ; R3 }, { R2 ; J1 }, { R2 ; J2 }, { R2 ;B }, { R3 ; J1 }, { R3 ; J2 }, { R3 ;B }, { J1 ; J2 }, { J1 ;B },{ J2 ; B }.

Il y a donc en tout 15 choix possibles.

� On est ici en situation d’équiprobabilité. L’univers Ω est l’ensemble des choix de deux jouets donc card Ω =15.

a) On dénombre alors les choix de deux jouets avec 1 jouet rouge et un jouet jaune : 1re méthode : « à la main ». On note 6 choix possibles (voir dans la liste ci-dessus) avec 1 jouet rouge et un jouet jaune donc card A = 6.

2e méthode : on utilise le principe multiplicatif. Il y a 3 façons de choisir un jouet rouge et pour cha-cune de ces façons, on a 2 façons de choisir un jouet jaune soit 3 2 6× = façons de choisir un jouet rouge et un jouet jaune.

On a ensuite p( ) .AcardAcard

= = =Ω

615

25

b) 1re méthode (à la main) : on dénombre alors 9 choix possibles (les 6 précédents plus 3 choix avec 1 rouge et 1 bleu).

2e méthode : Il y a 3 façons de choisir un jouet rouge et pour chacune de ces façons, on a 3 façons de choisir un jouet jaune ou bleu soit 3 × 3 = 9 façons de choisir exactement un jouet rouge.

Donc card B = 9 et p( ) .B = =915

35

c) 1ère méthode : on fait une disjonction des cas :• SOIT Samuel choisit exactement un jouet rouge : on a trouvé 9 choix

possibles.• SOIT Samuel choisit deux jouets rouges : il y a 3 choix possibles

({ R1 ; R2 }, { R1 ; R3 } et { R2 ; R3 }). Il y a donc (9 +3)=12 choix avec au

moins un jouet rouge d’où p( ) .C = =1215

45

2e méthode : on dénombre l’événement contraire de C. Ici, C : « Samuel ne choisit aucun jouet rouge ». Il y a 3 choix possibles avec aucun jouet rouge : { J1 ; J2 }, { J1 ; B} et { J2 ; B}.

Donc p( )C = =315

15 et p C p C( ) ( ) .= − = − =1 1

15

45


jouetrouge

R1

R2

R3

jouetjaune

J1J2J1J2J1J2

jouetrouge

R1

R2

R3

jouetjaune

J1J2J1J2J1J2

� Attention lors du raisonnement à ne pas compter plusieurs fois le même choix.

� Attention lors du raisonnement à ne pas compter plusieurs fois le même choix.


175Séquence 4

d) SOIT les deux jouets choisis sont rouges : on a trouvé 3 choix au c). SOIT les deux jouets sont jaunes : il n’y a qu’un choix : { J1 ; J2 }. De plus les deux jouets ne peuvent pas être tous les deux bleus car il n’y a qu’un jouet bleu.D’où card D = 3+1 = 4 et p( ) .D = 4

15

• On commence par dénombrer l’univers : on a 5 choix pour la première boule puis pour chacun de ces choix, on a 4 choix pour la deuxième boule (car on ne remet pas la première) ce qui peut se voir sur l’arbre ci-dessous :

Donc card Ω = 5 4 20× = et on est en situation d’équiprobabilité .

• L’événement A : «les deux bou-les tirées ont la même couleur » est la réunion des 2 événements incompatibles A1 : « tirer 2 blan-ches » et A2 : « tirer 2 noires » donc p p p( ) ( ) ( )A A A= +1 2 .

Or card A1 = 2 ( A1 = { (B , B ) ; (B , B1 2 2 1) }) et card A2 3 2 6= × = d’où

p( ) .A = + = =220

620

820

25

• C C C= ∪1 2 avec C1 : « les deux boules tirées portent le numéro 1 » et C2 : « les deux bou-les tirées portent le numéro 2 ». Comme C1 et C2 sont incompatibles, p(C)= p(C

1) + p(C

2).

C B , N ) ; (N , B1 1 1 11 = {( )} e t C B , N ) ; (N , B )}2 2 2 22 = {(

d’où p p( ) ( )C C1 22

201

10= = = puis p( ) .C = =2

1015

Ici , l’univers Ω est composé de 30 événements élémentaires équipro-bables (représentés par les 30 cases).

� X a( ) { ; ; ; }Ω = −8 5 0 (ensemble des valeurs prises par X ).

( )X = =8 « la fléchette atteint une case rouge ». Il y a deux cases rou-ges sur 30 donc p X( ) .= = =8

230

115

De même, p X( )= = =54

302

15 (il

y a 4 cases vertes) ; p X( )= = = =06

303

1515

(il y a 6 cases jaunes)

Et p X a( )= − = = =1830

915

35

(il reste 18 cases blanches).

La loi de probabilité de X est donc représentée par le tableau :

xi −a 0 5 8

p p X xi i= =( )9

153

152

151

15


1ère boule

B1B2N1N2N3

...

2ère boule

B2N1N2N3

1ère boule

B1B2N1N2N3

...

2ère boule

B2N1N2N3


� (On ne peut pas tirer deux bou-les numéro 3 car il n’y en a qu’une et que l’on fait un tirage sans remise)


176 Séquence 4

� E X p x ai ii

( ) ( )= = × − + × + × + × ==∑

1

4 915

315

02

155

115

8188 9

15− a

.

D’où E X a a( ) .= ⇔ − = ⇔ =0 18 9 0 2 Le jeu est équitable quand a = 2.

� Quand a = 1, E X( ) ,= − = = =18 915

915

35

0 6 et on a :

(le joueur peut espérer gagner en moyenne 0,6 €)

V X p x E Xi ii

( ) ( )= − ( ) = + × + × −=∑ 2 2

1

4 915

215

251

1564

355

12315

925

58875

19625

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − = =

et σ( ) ( ) ,X V X= = = =19625

145

2 8 (€). ■

xi – 1 0 5 8

pi9

153

152

151

15

xi2


al7 ma19tepa0009 sequence-04

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