ALBERI BILANCIATI

Ricordiamo che un albero si dice bilanciato se il livello di tutte

le foglie è uguale all’altezza dell’albero o a questa stessa

altezza meno 1.

Dato ad esempio, un albero BST di interi non bilanciato, si

attraversa l’albero secondo la procedura IN-ORDER, e per

ogni chiave letta:•Si inserisce la chiave in un vettore;•Al termine del processo il vettore risulta ordinato in maniera

crescente;•Si leggono i dati del vettore come per una ricerca binaria,

dividendolo in sottovettori e inserendo i valori via via letti in un

albero BST che risulterà ordinato e bilanciato.

// MAINint main () { Tnodo Bilanciato,A1; int V[40]; RTnodo Nodo; CreaAlbero(A1); writeTree(A1,1);cout<<endl; int vmax=0;

DaAlberoAVettore(A1 , V, vmax); Bilanciato=vet2alb(V, 0 ,vmax-1); writeTree(Bilanciato,1);cout<<endl; if (ControlloBilanciamento(Bilanciato)==0) cout<<" L'albero e' bilanciato "<<endl; else if (ControlloBilanciamento(Bilanciato)==1) cout<<" L'albero non e' bilanciato "<<endl;

cout<<" FINE"<<endl; system("pause"); }

Trasforma DaAlberoAVettore

Bilanciamentovet2alb

Controllo bilanciamento

Stampa

BILANCIAMENTO{ Dato un albero binario BST non bilanciato costruire un albero bilanciato }

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

14

13 15

10

9 11

12

2

1 3

6

5 7

4

8

12 3

5 6 74

12 1314 15

118 9 10

void DaAlberoAVettore(Tnodo A, int V[], int &max){ int i; if (A!=NULL) { DaAlberoAVettore(A->left, V, max); V[max]=A->key;

max=max+1; DaAlberoAVettore(A->right, V, max); } }

DaAlberoAVettore(A1 , V, vmax);Bilanciato=vet2alb(V, 0 ,vmax-1);writeTree(Bilanciato,1);cout<<endl; if (ControlloBilanciamento(Bilanciato)==0)cout<<" L'albero e' bilanciato "<<endl;elseif (ControlloBilanciamento(Bilanciato)==1)cout<<" L'albero non e' bilanciato "<<endl;

Tnodo vet2alb(int Vx[], int i ,int j){int k; if (i>j) return NULL; else if (i==j) return UnisciAlberi(Vx[i],NULL,NULL); else { k=(i+j)/2; return UnisciAlberi(Vx[k],vet2alb(Vx,i,k-1),vet2alb(Vx,k+1,j)); } }

Tnodo UnisciAlberi(int e,Tnodo a, Tnodo b){

Tnodo c; c=new RTnodo; c->left=a; c->right=b; c->key=e;

return c; }

DaAlberoAVettore(A1 , V, vmax);Bilanciato=vet2alb(V, 0 ,vmax-1);writeTree(Bilanciato,1);cout<<endl; if (ControlloBilanciamento(Bilanciato)==0)cout<<" L'albero e' bilanciato "<<endl;elseif (ControlloBilanciamento(Bilanciato)==1)cout<<" L'albero non e' bilanciato "<<endl;

int ControlloBilanciamento(Tnodo A) //supponiamo un max=10000 e min=0{int cmaxx,cmin;

cmaxx=0;cmin=10000;cammino(A,0,cmaxx,cmin);return (cmaxx-cmin);

}

void cammino(Tnodo A, int livello, int &cmax, int &cmin){ if (A!=NULL) { if ((A->right==NULL)|| (A->left==NULL)) { if (cmax<livello) cmax=livello; if (cmin>livello) cmin=livello; }

cammino(A->right,livello+1,cmax,cmin); cammino(A->left,livello+1,cmax,cmin); } else return ; }

DaAlberoAVettore(A1 , V, vmax);Bilanciato=vet2alb(V, 0 ,vmax-1);writeTree(Bilanciato,1);cout<<endl; if (ControlloBilanciamento(Bilanciato)==0)cout<<" L'albero e' bilanciato "<<endl;elseif (ControlloBilanciamento(Bilanciato)==1)cout<<" L'albero e' quasi bilanciato "<<endl;

L’animazione che segue mostra come opera

l’algoritmo prima descritto e successivamente

viene mostrato un suo output.

UnisciAlberi(Vx[K],vet2alb(Vx,I,K-1),vet2alb(vx,K+1,j))

gfedcba

7654321

Vet2ALb(V,1,Vmax);

Vet2ALb(V,1,7); K=4

UnisciAlberi(Vx[4],vet2alb(Vx,1,3),vet2alb(vx, 5,7))

Vet2ALb(V,1,3); K=2

UnisciAlberi(Vx[2],vet2alb(Vx,1,1),vet2alb(vx, 3,3))

Vet2ALb(V,1,1); K=1 Vet2ALb(V,3,3); K=3a c

b

UnisciAlberi(Vx[4],vet2alb(Vx,1,3),vet2alb(vx, 6,7))

Vet2ALb(V,5,7); K=6

Vet2ALb(V,5,5); K=5 Vet2ALb(V,7,7); K=7e g

f

d

d

f

e gca

b

Tnodo vet2alb(int Vx[], int i ,int j){int k; if (i>j) return NULL; else if (i==j) return UnisciAlberi(Vx[i],NULL,NULL); else { k=(i+j)/2; return UnisciAlberi(Vx[k],vet2alb(Vx,i,k-1),vet2alb(Vx,k+1,j)); } }

Tnodo UnisciAlberi(int e,Tnodo a, Tnodo b){Tnodo c;

c=new RTnodo; c->left=a; c->right=b; c->key=e;

return c; }

20 30 35 40 41

0 1 2 3 4

42 43 44 45

5 6 7 8

44

45

43

42

35

40

35

30

20

41

Tnodo vet2alb(int Vx[], int i ,int j){int k; if (i>j) return NULL; else if (i==j) return UnisciAlberi(Vx[i],NULL,NULL); else { k=(i+j)/2; return UnisciAlberi(Vx[k],vet2alb(Vx,i,k-1),vet2alb(Vx,k+1,j)); } }

albBilanciato

GENERAZIONE DI ALBERI CASUALI NON ORDINATI

Per generare un albero con chiavi casuali e non ordinato è

sufficiente utilizzare una funzione rand() per ottenere chiavi

casuali e inserire queste chiavi una volta a destra e una volta

a sinistra nell’albero, come mostrato dal codice che segue.

Tnodo AlberoCasuale(int n) {//Dato un intero n restituisce un albero di interi di altezza n NON ORDINATO

if (n==0) return Insert(rand()%100 ,NULL,NULL); else return Insert(rand()%100,AlberoCasuale(n-1),AlberoCasuale(n-1)); }

GENERAZIONE DI ALBERI CASUALI NON ORDINATI

Tnodo Insert(int info1, Tnodo As, Tnodo Ad) {// PER INSERIRE UNA FOGLIA SI CHIAMA CON Insert(Numero,NULL,NULL) Tnodo A2; A2= new Tnodo; A2->inf=info1; A2->ps=As; A2->ps=Ad; return A2;}

alberiNonOrdinati

Verificare se due alberi sono isomorfi

Due alberi binari ordinati si dicono isomorfi solo se sono

identici, cioè le radici sono uguali, i rispettivi sottoalberi sinistri

sono identici ed i rispettivi sottoalberi destri sono identici.

Per gli alberi non ordinati, è del tutto indifferente se una chiave

è presente nel sottoalbero destro o nel sottoalbero sinistro

della radice. Pertanto due alberi non ordinati sono isomorfi se

le loro radici contengono lo stesso elemento ed inoltre o

accade che i due sottoalberi sinistri ed i due sottoalberi destri

sono isomorfi tra loro oppure accade che il sottoalbero sinistro

del primo sia isomorfo al sottoalbero destro del secondo ed il

sottoalbero destro del primo è isomorfo al sottoalbero sinistro

del secondo.

Una procedura ricorsiva, che sfrutta questa definizione

permette di verificare se due alberi A e B, non ordinati, sono

isomorfi tra di loro.

bool uguale(Tnodo A, Tnodo B) { // VERIFICA SE DUE ALBERI SONO ISOMORFI

if (A==NULL || B==NULL) return (A==NULL) && (B==NULL); // due alberi sono uguali se sono entrambi NULLelse return (A->key==B->key) && uguale(A->left,B->left) && uguale(A->right,B->right);}

Allegato: albIsomorf

bool cerca(Tnodo A1, Tnodo B1){ // CERCA SE IN A C'E' LA CHIAVE DELLA ROOT DI B// SE LA TROVA VERIFICA CHE I DUE SOTTO ALBERI SONO UGUALI if (A1!=NULL) { if ((A1->key)==(B1->key)) { if (uguale(A1,B1)==true) return true;} else { if (A1->key>B1->key) return cerca(A1->left,B1); else return cerca(A1->right,B1); } } else return false; }

ESERCIZIOSiano A e B due alberi BST verificare se B è un sottoalbero di A.

albsub

In generale se si vogliono contare i nodi di un albero

contenenti un elemento che soddisfa una proprietà data P

si adotta il seguente schema per la funzione conta:

if (A==NULL) return 0;

else

if (A->key soddisfa P) k=1

else k=0

return k +conta(A->left)+conta(A->right)

dove l’espressione booleana in parentesi nei casi in cui P

sia una proprietà difficile da verificare può diventare una

funzione booleana che verifica se A->key gode o meno

della proprietà.

CONTARE I NODI DI UN ALBERO

ESERCIZIO

Sia assegnato un albero binario, scrivere un algoritmo tale che sposti ogni figlio sinistro nel corrispondente figlio destro e viceversa.

A

B C

D E F

G H

A

C B

DF E

H G

void ScambiaNodi(Tnodo Tree){Tnodo Temp;if (Tree != NULL)

{ScambiaNodi(Tree->left);ScambiaNodi(Tree->right);Temp=Tree->left;Tree->left= Tree->right;Tree->right=Temp;};

};

post-order

albvari

ESERCIZIO LA FAMIGLIA

{calcola le parentele }Supponiamo di avere una famiglia tale che ogni suo membro ha al più due figli.

Descritte le parentele secondo un albero non ordinato scrivere le funzioni

char Padre{dato un nome determinare se ha un padre e chi è}

void Figlio{dato un nome determinare se ha uno o due figli e chi sono}

char Nonno {dato un nome determinare chi è il nonno}

char Fratello{dato un nome determinare se ha un fratello e chi è}

char Cugino{dato un nome determinare se ha un Cugino e chi è}

7

5

1

5 11

34

10

figlio

padre

nonno

zio

cugino

Di seguito si mostra lo pseudo-codice che risolve il problema

dell’albero genealogico.

Cerca(A, Candidate, Pcand, Pparent)

Cerca(A, figlio, Pfiglio, Ppadre) Ppadre->key padre

Cerca(A, Ppadre->key, Ppadre, Pnonno) Ppadre ->left ->key|| Ppadre ->right ->key

figlio

Cerca(A, Ppadre->key, Ppadre, Pnonno) Pnonno ->left ->key Pnonno ->right ->key

zio

Cerca(A, Ppadre->key, Ppadre, Pnonno) (Pnonno ->left ->left ->key Pnonno ->left ->right ->key)|| (Pnonno -> right ->left ->key Pnonno -> right ->right ->key)||

cugino

7

5

1

5 11

34

10

figlio

padre

nonno

zio

cugino

Cerca(A, Ppadre->key, Ppadre, Pnonno) Pnonno ->key nonno

9

ALBERO GENEALOGICO

Assegnato un albero A trovare rispettivamente il padre di un assegnato figlio, il figlio di un assegnato padre, il nonno di un assegnato nipote, lo zio di un assegnato nipote,

// MAIN cerca_il_padre(A); cerca_il_figlio(A); cerca_il_nonno(A); cerca_lo_zio(A);

void cerca_il_padre(Tnodo Tree){int figlio; Tnodo Candidato=NULL;Tnodo Padre; cout<<" Cerca il padre di ";cin>>figlio; Cerca( Tree, figlio, Candidato, Padre); if (Candidato==NULL) cout<<" Il figlio non c'e'"<<endl; else { if (Padre==NULL) cout<<" E' orfano"<<endl; else cout<<"Il padre di "<<Candidato->key<<" e' "<<Padre->key<<endl;}}

ALBERO GENEALOGICO

void cerca_il_figlio(Tnodo Tree){int padre; Tnodo Candidato,Padre; cout<<" Cerca il figlio di ";cin>>padre; Cerca( Tree, padre, Candidato, Padre); if (Candidato==NULL)cout<<" Il padre non c'e' "<<endl; else { if ((Candidato->left==NULL)&&(Candidato->right==NULL)) cout<<" Non ha figli "<<endl; else {if (Candidato->left!=NULL) cout<<"Il figlio sinistro di "<<padre<<" e' "<<Candidato->left->key<<endl; if (Candidato->right!=NULL) cout<<"Il figlio destro di "<<padre<<" e' "<<Candidato->right->key<<endl; }}}

void cerca_lo_zio(Tnodo Tree){int figlio; Tnodo Candidato,Padre,Nonno; cout<<" Cerca lo zio di ";cin>>figlio; Cerca( Tree, figlio, Candidato, Padre); if (Candidato==NULL) cout<<" Il figlio non c'e'"<<endl; else { if (Padre==NULL) cout<<" E' orfano"<<endl; else { cout<<"Il padre di "<<Candidato->key<<" e' "<<Padre->key<<endl; Cerca( Tree, Padre->key, Candidato, Nonno); if (Nonno==NULL) cout<<" il padre e' orfano"<<endl; else {cout<<"Il nonno di "<<Candidato->key<<" e' "<<Nonno->key<<endl; if ((Nonno->left==NULL)&&(Nonno->right==Padre)) cout<<figlio<<" non ha zio "<<endl; if ((Nonno->left!=NULL)&&(Nonno->left!=Padre)) cout<<"Lo zio di "<<figlio<<" e' "<<Nonno->left->key;} if ((Nonno->right!=NULL)&&(Nonno->right!=Padre)) cout<<"Lo zio di "<<figlio<<" e' "<<Nonno->right->key;}} }

void cerca_il_nonno(Tnodo Tree){int figlio; Tnodo Candidato,Padre,Nonno; cout<<" Cerca il nonno di ";cin>>figlio; Cerca( Tree, figlio, Candidato, Padre); if (Candidato==NULL) cout<<" Il figlio non c'e'"<<endl; else { if (Padre==NULL) cout<<" E' orfano"<<endl; else { cout<<"Il padre di "<<Candidato->key<<" e' "<<Padre->key<<endl; Cerca( Tree, Padre->key, Candidato, Nonno); if (Nonno==NULL) cout<<" il padre e' orfano"<<endl; else cout<<"Il nonno di "<<Candidato->key<<" e' "<<Nonno->key<<endl; }}}

alberoGenealogico

Scrivere una procedura tale che assegnato un albero binario non ordinato di interi positivi restituisca un puntatore al valore massimo e indichi quante volte questo valore massimo è contenuto nell'albero.

void CercaMax(Tnodo ANonOrd, int &Max, int &Cont){ if (ANonOrd!=NULL) { CercaMax(ANonOrd->left,Max,Cont); if (ANonOrd->key>Max) { Max=ANonOrd->key; Cont=1; } else if (ANonOrd->key==Max) Cont=Cont+1; CercaMax(ANonOrd->right,Max,Cont); }}

Allegato: alb non ordinati

ESERCIZIO

// Scrivere una procedura che assegnato un albero binario di interi //positivi non ordinato e due numeri positivi N1 e N2 restituisca la // quantità di numeri pari compresi tra N1 e N2.

void Elab_Albero(Tnodo ANonOrd,int N1a, int N2a, int & Cont){ if (ANonOrd!=NULL) { Elab_Albero(ANonOrd->left, N1a,N2a,Cont); if ((ANonOrd->key%2==0)&&(ANonOrd->key>N1a)&&(ANonOrd->key<N2a)) { Cont=Cont+1; cout<<" Chiave=> "<<ANonOrd->key<<" cont "<<Cont<<endl; } Elab_Albero(ANonOrd->right, N1a,N2a,Cont); } } alb non ordinati

ESERCIZIO

ESERCIZI

•Verificare se un albero A contiene almeno uno zero.

•Verificare se l’albero A contiene solo zeri.

Verificare se un albero A contiene almeno uno zero.

bool unozero(Pnodo A) { if(A==NULL)return false;

else if A->key =0 return true;else return ((unozero(A->left) || (unozero(A->right) );

}

Verificare se l’albero A contiene solo zeri.

bool tuttizero(Pnodo A) { if(A==NULL) return true;

else if (A-> key!=0) return false;else return(tuttizero(A->left) && tuttizero(A-> right) );

}

ESERCIZIO

Sviluppare una funzione che, assegnato un nodo T di un albero binario, restituisce il puntatore al nodo "Zio” di T se esiste, NULL altrimenti (nodo "zio" è quel nodo che è figlio dello stesso genitore del nodo T).

ESERCIZIO

Dati due alberi non ordinati verificare che ordinatamente tutte le chiavi dell'albero A sono multipli delle chiavi dell'albero B.

Allegato: alberimultipli

ESERCIZIO

1- Scrivere un algoritmo che dato un albero binario scriva le chiavi in ordine prima crescente e poi decrescente.

2- Assegnato un albero BST di numeri interi, fornire una procedura ricorsiva che dica quanti nodi, la cui chiave è un numero dispari, hanno sottoalbero destro nullo.

3- Assegnato un albero non ordinato di interi scrivere una procedura ricorsiva che trasformi l'albero non ordinato in un albero BST. Determinare l'altezza dell'albero non ordinato e dell'albero BST.

4 -Dato un albero binario calcolare quanti nodi hanno il sottoalbero sinistro nullo.

ESERCIZIO

7

5

0

0 11

7

5

11

Sia A un albero binario non ordinato. Ogni qualvolta un nodo dell'albero ha al più un figlio e presenta il campo numero uguale a zero eliminare il nodo sostituendolo con l’unico figlio.

Esempio:

34

0

34

0

ESERCIZI

Dato un albero binario calcolare quanti nodi hanno il sottoalbero sinistro nullo.

Dato un albero binario ordinato di interi definire una funzione ricorsiva che restituisca il numero di elementi positivi in esso presenti.

Dato un albero BST contare quanti nodi ci sono al di sotto di un nodo preassegnato.

Dato un albero BST e la chiave K di un suo nodo determinare il valore della chiave più piccola e di quella più grande del sotto albero di K.

Dato un albero non ordinato contare quanti nodi hanno la stessa chiave e quanti figli sono multipli del padre.

/* Sviluppare una funzione che, assegnato un albero binario T, conti quanti nodi sinistri, hanno come unico figlio un nodo foglia. */ int contafigli(Tnodo A) { if (A==NULL) return 0; else { if ( ( (A->left!=NULL)&& (A->left->left==NULL)&& (A->left->right==NULL)&& (A->right==NULL) ) ) { cout<<" "<<A->key<<" ha come unico figlio un nodo foglia "<<endl; return contafigli(A->left)+contafigli(A->right)+1; } else return contafigli(A->left)+contafigli(A->right); }}

Albvari

A

A->rightA->left

A-> left ->left A-> left -> right