Metodi di analisi

Esercizio 1 Analisi alle maglie in presenza di soli generatori indipendenti di tensione

Vs1

Vs2

R5

R4

R1

R2

J1

J2

J3

Risoluzione

Determinare le tensioni sulle resistenze sapendo che:

Vs1=Vs2=110V

R4=R5=1.3R1=15R2=40R3=16

R3

Disegniamo il grafo, ed indichiamo i rami dellalbero con la linea continua e quelli di coalbero con una linea tratteggiata. In questo modo possiamo individuare le maglie fondamentali, considerando un ramo di coalbero alla volta.

J1

J2

J3 Rami di albero: Vs1 Vs2 R1 R2Rami di coalbero: R4, R3, R5Le tre variabili indipendenti sono: J1, J2, J3

Per scrivere il sistema di equazioni possiamo

1) Applicare la LKV a ciascuna maglia contenente una corrente di maglia incognita, ed esprimere ciascuna tensione in termini di una o pi correnti di maglia.

Maglia 1: -Vs1+R4J1+R1(J1-J3)=0

Maglia 2: -Vs2+R2(J2-J3)+R5J2=0

Maglia 3: R1(J3-J1)+R3J3+R2(J3+J2)=0

2) Scrivere direttamente il sistema in forma matriciale: [R]*[J]=[V]

1 4 1 1 1

2 5 2 2 2

1 2 1 2 3 3

00

0

s

s

R R R J VR R R J V

R R R R R J

+ + = + + Passando ai valori numerici otteniamo

1

2

3

16.3 0 15 1100 41.3 40 11015 40 73 0

JJJ

= Risolviamo con la regola di Cramer:

2

16.3 110 150 110 4015 0 73 168553 13.57

16.3 0 15 124240 41.3 4015 40 73

J A

= = =

1

110 0 15110 41.3 40

0 40 73 212553 17.1116.3 0 15 12424

0 41.3 4015 40 73

J A

= = =

3

16.3 0 1100 41.3 11015 40 0 139865 11.26

16.3 0 15 124240 41.3 4015 40 73

J A = = =

1 1 1 3

2 2 2 3

3 3 3

( ) 15(17.11 11.26) 87.75( ) 40(13.57 11.26) 92.4

16 11.26 180.16

r

r

r

V R J J VV R J J VV R J V

= = == = = = = =

Analisi alle maglie in presenza di generatori indipendenti di tensione e di correnteEsercizio 2

R1 R3

R2

R4

VI J1

J3

J2

Trovare le correnti di maglia sapendo che:

I=0.5A V=6V

R1=3 R2=8 R3=6 R4=4

RisoluzioneDisegniamo albero e coalbero (rispettivamente linea continua e linea tratteggiata) per determinare le maglie fondamentali.

J1 J2

J3Le tre variabili indipendenti sono le tre correnti nei rami di coalbero (J1, J2, J3).

Ma una di queste correnti J1 coincide con la corrente impressa dal generatore per cui possiamo scrivere

J1=I=0.5A

Avendo una incognita gi determinata il nostro sistema diventa un sistema a 2 incognite con 2 equazioni.

Per questo motivo non scriviamo alcuna equazione per la maglia 1, mentre per le maglie 2 e 3 scriviamo le LKV per ciascuna maglia ed esprimiamo ciascuna tensione in termini di una o pi correnti di maglia.

2 2 1 3 2 3

1 3 1 4 3 3 3 2

2 1 2 3 2 3 3

1 1 3 2 1 3 4 3

2 3 2

32 3

( ) ( )( ) ( ) 0

( )( ) 0

14 6 10 0.950.556 13 1.5

R J J R J J VR J J R J R J J

R J R R J R J VR J R J R R R J

J J J AJ AJ J

+ = + + =

+ + = + + + =

= = = + =

N.B.: le sorgenti di corrente hanno semplificato il problema.

Esercizio 3 Analisi alle maglie in presenza di generatori indipendenti di tensione e di corrente

R4 R5

R6

VgIg1 Ig2

Risolvere il circuito con il metodo delle maglie sapendo che:

Ig1=2A Ig2=1A Vg=1V

R4=R5=1 R6=2

Risoluzione

In questo esempio, molto importante la scelta delle correnti di maglia, infatti se prendiamo come correnti di maglia quelli degli anelli, come nel caso precedente dobbiamo aggiungere al sistema due incognite (le tensioni sui generatori di corrente) ed aggiungere 2 equazioni di vincolo date proprio dalla presenza dei generatori di corrente.

Un possibile semplificazione pu essere quella di scegliere un coalbero nei cui rami ci siano tutti i generatori di corrente.

Scegliamo albero e coalbero con le considerazioni fatte in precedenza:

J1 J2

J3

1 2 3

4 6

7La maglia 1 composta dai rami: 1-4-6-3

La maglia 2: 2-6-3

La maglia 3: 4-7-6

Le correnti di maglia sono J1, J2, J3 , ma con la scelta fatta abbiamo

J1=Ig1=2A

J2=Ig2=1A

Le incognite ulteriori sono le tensioni ai capi dei due generatori di corrente vg1 e vg2

Sistema risolvente: Sostituendo i valori numerici

4 5 1 5 2 4 5 3 1

5 1 5 2 5 3 2

4 5 1 5 2 4 5 6 3

( ) ( )

( ) ( )

g g

g g

R R J R J R R J v VR J R J R J v VR R J R J R R R J

+ + + = + =

+ + + + =

3 1

3 2

3

4 1 2 1

2 1 1

4 1 4 0

g

g

J vJ vJ

+ = + = + =

Non abbiamo nessun generatore di corrente in nessun ramo di albero per cui non dobbiamo aggiungere alcuna equazione di vincolo.

Risoluzione del sistema, iniziando dallultima equazione:

3

1 1

2 2

54

5 5 75 1 62 2 25 5 113 1 44 4 4

g g

g g

J

v v

v v

=

= = =

= = =

Analisi ai potenziali di nodo in presenza di soli generatori indipendenti di correnteEsercizio 4

3

Ig1 R1 R2

R31 2 Calcolare le tensioni e le correnti relative a tutti gli elementi, risolvendo il minor numero possibile di equazioni, sapendo che:

Ig1=2A Ig2=3A

R1=2 R2=4 R3=2

Risoluzione

Esercizio 4

Risoluzione

Ig2

Utilizzando il metodo dei potenziali di nodo il numero di incognite sarebbe n-1=3-1=2

Utilizzando il metodo delle correnti di maglia il numero di incognite sarebbe l-n+1=5-3+1=3

Utilizziamo il metodo dei potenziali di nodo, considerando come nodo di riferimento il nodo 3, disegniamo lalbero e le nostre incognite saranno V1 e V2 cio le tensioni dei rami dellalbero

3

21

11 3 3 1

2 2

3 2 3

1

2

1 1 1

1 1 1

11 221 3 32 4

g

g

IR R R VV I

R R R

VV

+ = + =

Il sistema sar:

Scrivendo le equazioni e facendo tutti i passaggi si dovrebbero:

Scrivere le LKC applicate agli n-1 nodi

sostituiamo le espressioni delle correnti nel sistema di riferimento.

321 2

2A 2 4i2 i3

i1

Per esprimere la V12 in funzione di V1 e di V2 bisogna applicare la LKT alla maglia 1-2-3-1

2

2

2

0302

121

23

12

31

21

Vi

Vi

Vi

iiii

=

=

=

=+=++

3A

12 2 1 12 1 2

1 21

1 2 1 21

1 2 2 1 2

0

2

2 0 22 2 2

( ) 33 0 32 4 2 4

V V V V V VV Vi

V V V VV

V V V V V

+ = = =

+ + = = + + = + = 2

2

2

0302

121

23

12

31

21

Vi

Vi

Vi

iiii

=

=

=

=+=++

Risolviamo il sistema con la regola di Cramer

1

122

3 3 13 2* *3 34 4 2 63 1 1114 4 22

1 32 4

V V

+= = = =

2

1 21 3 3 12 8111

221 32 4

V V += = =

Le due tensioni hanno il ruolo di variabili principali, una volta calcolate queste possibile risalire a tutte le tensioni e le correnti del circuito

12 1 2

1 21

12

23

6 8 2

12

6 32 2

8 24 4

V V V VV Vi A

Vi A

Vi A

= = = = =

= = =

= = =

Esercizio 53A

2

2

1 2 35V

Risoluzione

20V

i1 i3

i4

Analisi ai potenziali di nodo in presenza di generatori indipendenti di corrente e di tensione

Risolvere il circuito con il metodo dei potenziali nodali.

i2

4

Scegliamo come nodo di riferimento quello in basso (vedi figura)

Scriviamo le LKC per i 3 nodi, considerando positive le correnti uscenti.

03302

031

53

452

41

=+==++

iinodoiiinodo

iinodo

1 24

22

33

2

2

4

V Vi

Vi

Vi

=

=

=

Applicando la legge di Ohm

Sostituendo

=+

=+

=++

034

022

032

53

125

2

211

iV

VViV

VVi i1 e i5 non posso esprimerlo in funzione delle tensioni di nodo.Per cui ho un sistema di 3 equazioni in 5 incognite che non determinato.

Devo per tener conto delle equazioni dei vincoli.

V1=20 V2-V3=5

Aggiungendo i vincoli ho quindi un sistema di 5 equazioni in 5 incognite i1, i5, V1, V2, V3.

Per sommando le ultime 2 equazioni e considerando che V1 nota

32

2 3 2 3

134

5 5

VV

V V V V

+ = = = +

Per sostituzione ottengo2

3

11.46.4

V VV V

==

Analisi ai potenziali di nodo in presenza di generatori indipendenti di corrente e di tensioneEsercizio 6

Risoluzione

R1

R5 R4

Vg2

Vg3

Vg6+

+

+Ig7

ix2ix3

ix6

1 2 3

456

Analizzare il circuito sapendo che

R1=R5=1 R3=1\2R4=1\3Ig7=3A

Vg2=1V Vg3=2V Vg6=1V

R3

1. Scegliamo come nodo di riferimento il nodo 2, perch a questo sono connessi il maggior numero di generatori di tensione (2)

2. Le variabili ausiliarie sono V1, V3, V4, V5, V6, cio le tensioni dei rimanenti nodi rispetto al nodo 2. Le tensioni V3 e V5 sono gi note perch ai nodi 3 e 5 sono connessi con due generatori di tensione con laltro capo collegato al nodo due. Perci:

VVV g 235 ==3 2 1gV V= =

Notiamo che V4 e V6 non corrispondono ad alcun ramo del circuito

3. Le ulteriori incognite sono le correnti che scorrono nei generatori di tensione, cio la ix2, ix3, ix6.

4. Scriviamo il sistema di equazioni su base nodi, si ha:

1 1 7

3 3 3 4 2

3 3 3 4 4 4 5 6

4 4 4 5 5 5 6 3

5 5 5 6 6 7

1

34 ( )5 ( )6

g

x

x

x

x g

nodo GV Inodo G V GV inodo G V G G V G V inodo G V G G V G V inodo G V G V i I

= = + + = + + = + =

5. Scriviamo lequazione relativa al vincolo introdotto dal generatore Vg6.

4 6 6gV V V =Il sistema diventa:

1

4 2

4 6

32 2

2 5 6x

x

VV iV i

= =

+ + =

4 6 3

6 6

4 6

3 82 3

1

x

x

V V iV i

V V

= + = =

Le cui soluzioni sono:

6

2

3

83

143

53

x

x

x

i

i

i

= ==

1

4

6

34

37

3

V

V

V

== =

Le altre grandezze del circuito valgono:

3 3 4

4 4 5

5 6 5

7 1 6

7323

13

163

R

R

R

g

v V V V

v V V V

v V V V

v V V V

= =

= =

= =

= =

3 3 3

4 4 4

5 5 5

1 1 1

1432

13

3

R R

R R

R R

R

i G v A

i G v A

i G v A

i G E A

= == == = = =