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Radiacion electromagnetica Transferencia radiativa Cuerpo negro Sistemas cuanticos Moleculas Radiacion solar Termica infrarroja
Fısica atmosferica - Cap 3. Radiacion en la atmosfera
Alberto Carraminana
INAOE, Tonantzintla @ lınea, 3 de marzo de 2021
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Radiacion en la atmosfera - temas
Temas
1. Radiacion electromagnetica
2. Transferencia radiativa
3. Radiacion de cuerpo negro
4. Sistemas cuanticos
5. Radiacion solar en la atmosfera terrestre
6. Radiacion termica infrarroja en la atmosfera
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Radiacion en la atmosfera - referencias
Algunas referencias
I “Atmospheric science”, Wallace & Hobbs, ed. Academic Press, 2nd edition.
I “An introduction to atmospheric physics”, Andrews, ed. Cambridge, 2nd edition.
I “An introduction to atmospheric radiation”, Liou, ed. Academic Press, 2nd ed.
I “Radiative processes in astrophysics”, Rybicki & Lightman.
I “Classical electrodynamics”, Jackson, ed. Wiley, 3rd edition.
I “Quantum mechanics”, Cohen-Tannoudji, Diu & Laloe, ed. Wiley.
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Radiacion electromagnetica - ecuaciones de Maxwell
I La electrodinamica clasica se basa las ecuaciones de Maxwell. En el vacıo estasecuaciones describen a los campos electrico (~E ) y magnetico (~B), con densidadesde carga y corriente (ρ,~) localizadas en alguna region,
∇ · ~E = ρ/ε0, ∇× ~B − 1
c2
∂ ~E
∂t= µ0~, ∇× ~E +
∂ ~B
∂t= 0, ∇ · ~B = 0, (1)
con ε0, µ0 las permeabilidades electrica y magnetica del vacıo1.I Para describir campos electromagneticos en un medio se emplea el desplazamiento
electrico ~D = ε~E , mientras que ~B = µ ~H denota la induccion magnetica, con ~H elcampo magnetico. Los campos estan afectados por las permeabilidades electrica ymagnetica del medio, ε, µ.
I Las dos ecuaciones “inhomogeneas”de Maxwell se re-escriben en un medio como,
∇ · ~D = ρ, ∇× ~H − ∂ ~D
∂t= ~. (2)
1ε0 = e2/2αhc = 8.854 188× 10−12 F/m, µ0 = 2αh/e2c = 1.256 637× 10−6 H/m ' 4π10−7 H/m.
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Radiacion electromagnetica - ondas electromagneticas
I En el vacıo y en ausencia de fuentes las ecuaciones de Maxwell son,
∇ · ~E = 0, ∇× ~B − 1
c2
∂ ~E
∂t= 0, ∇× ~E +
∂ ~B
∂t= 0, ∇ · ~B = 0. (3)
I Usando ∇× (∇× ~a) = ∇(∇ · ~a)−∇2~a obtenemos una ecuacion de onda paracada campo,
∇2 ~E − 1
c2
∂2 ~E
∂t2= 0, ∇2 ~B − 1
c2
∂2 ~B
∂t2= 0,
I Las soluciones son funciones armonicas, del tipo,
~E (~r , t) = E0e1 expi(~k · ~r − ωt)
, ~B(~r , t) = B0e2 exp
i(~k · ~r − ωt)
, (4)
donde k2 − ω2/c2 = 0. Reemplazando en (3),
~k · ~E = 0, ~k × ~B +ω
c2~E = 0, ~k × ~E − ω~B = 0, ~k · ~B = 0. (5)
de donde ~k ⊥ ~E , ~k ⊥ ~B, ~E ⊥ ~B, B0 = E0/c .
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Ondas electromagneticas
I El vector de onda se relaciona con la longitud de onda: ~k = (2π/λ)k, con k ladireccion de propagacion.
I La frecuencia angular se relaciona con la frecuencia: ω = 2πν.
I De donde la relacion de dispersion k2−ω2/c2 = 0 se puede escribir como λν = c .
I Los campos ~E , ~B se situan en el plano perpendicular al vector de propagacion ~k .Su comportamiento determina la polarizacion.
I Si ~k = kz : (i) e1 = x ⇒ e2 = y, e1 = y ⇒ e2 = −x: dos modos depolarizacion lineal; (ii) e1 = (x ± i y)/
√2 ⇒ e2 = (∓i x + y)/
√2 dos modos
de polarizacion circular.
I Para ondas electromagneticas en un medio se tiene λν = c/n, con n =√εµ/ε0µ0
el ındice de refraccion (n > 1).
I La solucion mas general a la ecuacion de onda es una superposicion de ondasmonocromaticas.
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Ondas electromagneticas
I La propagacion de energıaelectromagnetica sedescribe mediante elvector de Poynting,
~S = ~E × ~H =
√ε
µ|E0|2 k ,
(6)con unidades [W m−2].
I En descripcion cuantica,la radiacion EM estaformada de “cuantos”deenergıa E = hν, con h laconstante de Planck2.
2h = 6.626 069× 10−34 JHz−1 = 4.135 667× 10−15 eVHz−1.
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Espectro electromagnetico
Espectro electromagnetico
Respuesta del ojo humano
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Espectro visible e infrarrojo
Ondas EM: λν = c . Es comun el uso del numero de onda, ν = 1/λ, en cm−1.
Banda λ ν (cm−1) ν (Hz)
Lyman α 126 nm 79,365 2.38× 1015
Ultravioleta (U) 360 nm 27,780 8.33× 1014
Azul (B) 440 nm 22,727 6.81× 1014
Visual (V) 550 nm 18,182 5.45× 1014
Rojo (R) 700 nm 14,286 4.28× 1014
Infrarrojo cercano (I) 900 nm 11,111 3.33× 1014
Infrarrojo cercano (J) 1.25 µm 8,000 2.40× 1014
Infrarrojo medio (M) 5.0 µm 2,000 6.00× 1013
Infrarrojo medio (N) 10.2 µm 980 2.94× 1013
Infrarrojo medio (Q) 21 µm 476 1.43× 1013
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Transferencia radiativa
1. Definiciones: intensidad especıfica, flujo de energıa.
2. Emision espontanea; absorcion y emision inducida; dispersion.
3. Ecuacion de transferencia radiativa.
4. Lıneas de Fraunhofer y ley de Kirchhoff.
5. Radiacion de cuerpo negro, funcion de Planck.
6. Emision termica, atmosferas plano-paralelas.
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Transferencia radiativa - definiciones
I Para describir la propagacion de radiacion se define la intensidad especıfica, Iν oIλ, como el flujo de energıa, por unidad de area y tiempo, angulo solido, y bandaespectral,
dEdA dt
= Iν(~r , n, t) · (k · n) dΩ dν = Iλ cos θ dΩ dλ , (8)
con cos θ = k · n.
I La intensidad puede ser integrada sobre intervalo espectral,
I =
∫Iν dν =
∫Iλ dλ → [W m−2sr−1].
Unidades Iν : [W m−2sr−1Hz−1]; Iλ : [W m−2sr−1µm−1].
I Siendo distribuciones tenemos, Iν dν = −Iλ dλ ⇒ Iλ = (c/λ2) Iν .
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Transferencia radiativa - conservacion de la intensidad
Un haz de radiacion: dA→ 0, dΩ→ 0
Por construccion,
dA2 = r2 dΩ1, dA1 = r2 dΩ2,
de donde dA1 dΩ1 = dA2 dΩ2. Sino hay absorcion o emision de ra-diacion en el trayecto, la conser-vacion de energıa implica,
dE (1) = dE (2) ⇒ I (1)ν = I (2)
ν ,
conservacion de la intensidad.
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Transferencia radiativa - flujo de energıa
I A partir de la intensidad se define el flujo de energıa por intervalo espectral(W m−2µm−1, W m−2Hz−1) e integrado (W m−2),
Fν =
∫Iν cos θ dΩ, F =
∫Fν dν =
∫Fλ dλ . (9)
I Para fuentes con tamano angular pequeno,
Fλ ' Iλ cos θ? ∆Ω?.
I El Sol visto desde la Tierra: F = 1367 W m−2, ∆Ω ' 6.84× 10−5sr,
⇒ I = F/∆Ω ' 2× 107 W m−2 sr−1.
I El Sol tiene una luminosidad L = 3.84× 1026 W, y un radio R = 6.96× 108 m,de donde el flujo de la radiacion en su superficie,
F =L
4πR2
= 6.31× 107 W m−2 ⇒ I ′ =Fπ' 2× 107 W m−2 sr−1 = I.
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El flujo de energıa por intervalo espec-tral (W m−2µm−1, W m−2Hz−1) e integra-do (W m−2), esta definido como,
Fν =
∫Iν cos θ dΩ,
Para fuentes con tamano angular pequeno,
Fλ ' Iλ cos θ? ∆Ω,
con θ? el angulo cenital de la fuente.
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Transferencia radiativa - absorcion
I En el vacıo no hay procesos de absorcion o emision de radiacion, por lo que seconserva Iλ a lo largo de un haz (s),
dIλds
= 0 ⇔ Iλ = constante.
I La presencia de un medio da lugar a absorcion de radiacion de acuerdo a,
dIλds
= −αλIλ , (10)
con αλ el coeficiente de absorcion (unidades m−1).I El coeficiente de absorcion depende de la densidad de absorbedores (n) y su
seccion eficaz (σλ, en cm2),
αλ = nσλ = ρκλ,
con κλ coeficiente de opacidad (g−1cm2), ρ densidad de masa.I El inverso del coeficiente de absorcion es el camino libre medio, `λ = 1/αλ.
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Transferencia radiativa - emision espontanea e inducida
I El proceso de absorcion (10) provoca la atenuacion exponencial de la intensidad,Iλ(s) = Iλ(0)e−τλ , con la profundidad optica definida por,
τλ ≡∫ s
0αλ ds
′ . (11)
I Se distinguen los medios opticamente delgados (“transparentes”: τλ 1), yopticamente gruesos (“opacos”: τλ 1).
I Un medio tambien pierde energıa mediante la emision espontanea de radiacion,descrita con el coeficiente de emision, jλ [W m−3sr−1µm−1], tal que,
dIλds
= jλ ⇒ Iλ(s) = Iλ(0) +
∫ s
0jλ(s ′) ds ′.
I Se puede emplear tambien la emisividad especıfica: ελ = 4πjλ/ρ. [W kg−1]I Finalmente, la emision estimulada funciona de manera analoga a la absorcion,
pero incrementa la intensidad del haz. Corresponde a una contribucion negativa alcoeficiente de absorcion.
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Ecuacion de transferencia radiativa
I Considerando conjuntamente emision (espontanea e inducida) y absorcion,
dIλds
= −αλ Iλ + jλ. (12)
I Si solo consideramos absorcion (jλ = 0), se tiene una atenuacion exponencial,Iλ(s) = Iλ(0)e−τλ , con profundidad optica τλ.
I La ecuacion de transferencia se plantea tambien en terminos de la profundidadoptica,
dIλdτλ
= −Iλ + Sλ, (13)
definiendo la funcion fuente Sλ ≡ jλ/αλ.I Para Sλ constante se obtiene,
Iλ(τλ) = Iλ(0) e−τλ + Sλ(1− e−τλ
),
con lımites: τλ 1→ Iλ(τλ) ' Iλ(0); τλ 1→ Iλ(τλ) ' Sλ.
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Transferencia radiativa - Dispersion
I Analogo al proceso de absorcion es el de dispersion: absorcion y re-emision deradiacion modificando su direccion de propagacion sin alterar su longitud de onda.
I Para incluir la dispersion se emplea la intensidad media, Jλ, promedio de laintensidad sobre todas las direcciones,
Jλ =1
4π
∫Iλ dΩ ,
I La dispersion remueve radiacion del haz, de forma proporcional a su intensidad y
de acuerdo al coeficiente de dispersion α(d)λ , redistribuyendola de manera
isotropica. La contribucion de la dispersion a la ecuacion de transferencia es,
dIλds
= −α(d)λ (Iλ − Jλ). (14)
I En la atmosfera terrestre son importantes los procesos de dispersion de Rayleigh yde Mie.
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Dispersion - radiacion dipolar, dispersion de Rayleigh
I Una carga q en movimiento acelerado produce radiacion con una potencia P dadapor,
dP(t)
dΩ≈ q2a2
4πc3sin2 θ ⇒ P(t) =
2q2a2
3c3,
con θ el angulo entre la aceleracion (~a) y la lınea de vision. La aceleracion puededeberse a una oscilacion causada por luz incidente.
I Para un sistema de cargas con momento dipolar ~d =∑
qi~ri ,
dP(t)
dΩ≈ |
~d |2
4πc3sin2 θ ⇒ P(t) =
2|~d |2
3c3.
I El espectro de emision dipolar esta dado por la transformada de Fourier,
dP(ω)
dΩ=
ω4
2πc3| ~dω|2 sin2 θ, P(ω) =
4ω4
3c3| ~dω|2 . (15)
I La dispersion de luz por atomos o moleculas es de tipo dipolar electrico.
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Transferencia radiativa - Dispersion
Figura: Procesos de dispersion y dispersion multiple. La radiacion es dispersada conservando sulongitud de onda, pero la seccion eficaz de dispersion puede depender de λ.
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Ecuacion de transferencia radiativa - caso general
I La ecuacion de transferencia radiativa, sin dispersion, tiene solucion general,
dIλdτλ
= −Iλ + Sλ ⇒ Iλ(τλ) = Iλ(0) e−τλ +
∫ τλ
0Sλ(τ ′λ) e(τ ′λ−τλ) dτ ′λ.
Para Sλ constante se obtiene, Iλ(τλ) = Iλ(0) e−τλ + Sλ (1− e−τλ) , conIλ(τλ) ' Iλ(0), si τλ 1; Iλ(τλ) ' Sλ, si τλ 1.
I Si la emision es termica: Sλ = Bλ(T ), la funcion de Planck para T (~r).I La ecuacion de transferencia considerando dispersion (αd
λ), absorcion (αaλ) y
emision es,dIλds
= −(αaλ + αd
λ)Iλ + jλ + αdλJλ
para emision termica y empleando el coeficiente de extincion dτλ = (αaλ + αd
λ) ds,se obtiene,
dIλdτλ
= −Iλ + Sλ con Sλ =αaBλ(T ) + αd
λJλ
αaλ + αd
λ
. (16)
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Radiacion de cuerpo negro - Lıneas de Fraunhofer
I Un gas absorbe y emiteradiacion en longitudes deonda que lo identifican.
I Un material que es buenabsorbedor a una λ dada,es buen emisor a esamisma λ.
I Un mal absorbedor es malemisor.
I Un absorbedor (emisor)perfecto es un cuerponegro.
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Ley de Kirchhoff
Figura: Ilustracion de la ley de Kirchhoff.
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Espectro solar
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Radiacion electromagnetica Transferencia radiativa Cuerpo negro Sistemas cuanticos Moleculas Radiacion solar Termica infrarroja
Radiacion de cuerpo negro - Ley de Kirchhoff
I Gustav Kirchhoff desarrollo el principiode absorcion ⇔ emision, enfocado alequilibrio entre materia y radiacion.
I Mostro que el equilibrio radiativo secumple para toda frecuencia, todopunto y toda direccion, de manera queen equilibrio termodinamico,
jν = ανBν(T ) , (17)
con jν , αν coeficientes emision yabsorcion del objeto.
I Bν(T ) es una funcion universal de latemperatura, independiente del objeto.
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Radiacion electromagnetica Transferencia radiativa Cuerpo negro Sistemas cuanticos Moleculas Radiacion solar Termica infrarroja
Radiacion de cuerpo negro - la funcion de Planck
I La emision de un cuerpo negro es isotropica y descrita por la funcion de Planck,
Bν(T ) =2hν3/c2
ehν/kT − 1⇔ Bλ(T ) =
2hc2/λ5
ehc/λkT − 1. (18)
I Al integrar sobre el espectro se obtiene la ley de Stefan-Boltzmann3,
B(T ) =
∫ ∞0
Bν(T ) dν =
∫ ∞0
Bλ(T ) dλ =σ
πT 4. (19)
I Campo isotropico ⇒ F = 0. Al integrar sobre medio hemisferio,
F (T ) =
∫ π/2
0
∫ 2π
0B(T ) cos θ d(cos θ) dφ = σT 4.
I El maximo de la funcion de Planck cumple la ley de Wien, λmaxT ≈ 2.898 mmK .I Planck obtuvo la expresion (18) de forma empırica. En un analisis estadıstico
mostro que requiere intercambios de energıa E = nhν, con n entero y h constante.3σ = 2π5k4/15h3c2.
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Radiacion electromagnetica Transferencia radiativa Cuerpo negro Sistemas cuanticos Moleculas Radiacion solar Termica infrarroja
Radiacion atmosferica
Las dos componentes de radiacionatmosfera estan diferenciadas:(1) la radiacion solar tiene maxi-mo en λ = 0.5µm, con 90 % deemision entre 0.32 y 2.16 µm.(2) la radiacion atmosferica tienemaximo en λ = 11.4µm, con 90 %de emision entre 7.34 y 48.9 µm(⇒ 1,400 a 200 cm−1).
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Emision termica en atmosferas plano-paralelas
En muchos casos es posible y conveniente emplear una geometrıa plano-paralela.
I La trayectoria del haz esta descrita pords = ±dz/ cos θ = ±dz/µ, conµ = cos θ relativo a la vertical y elsigno a conveniencia para un hazincidente o emergente.
I Condicion a la frontera normalmenteτλ = 0 en z →∞ para haz incidente;τλ = 0 en z = 0 para haz emergente.
I Simetrıa acimutal, de forma queIλ = Iλ(z , θ) = Iλ(z , µ),
I Medio estructurado verticalmente,T (~r) = T (z), ρ = ρ(z).
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Emision termica en atmosferas plano-paralelas
Bajo equilibrio termodinamico local, laecuacion de transferencia se escribe,
µ
αλ
dIλdz
= −Iλ + Bλ [T (z)] , (20)
con αλ = ρ(z)κλ.
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Sistema cuanticos
1. Sistema de dos niveles
2. Fundamentos cuanticos: estados y funcion de onda
3. Ecuacion de Schrodinger y sistemas basicos
4. Atomos: hidrogeno y otros atomos
5. Moleculas; moleculas de la atmosfera
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Sistema cuantico de dos niveles
I En 1916 Einstein realiza un analisis de la interaccion entre radiacion y materiabasada en un sistema cuantico idealizado de dos niveles de energıa.
I La radiacion puede ser absorbida con una transicion 1→ 2; puede estimular laemision de mas radiacion y una transicion 2→ 1; o ser emitida de formaespontanea (2→ 1).
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Sistema cuantico de dos niveles - coeficientes de Einstein
I La emision espontanea esta cuantificada por la probabilidad de transicion porunidad de tiempo, A21.
I La absorcion se cuantifica con la probabilidad de transicion B12J, producto delcoeficiente B12 y la intensidad media de la radiacion,
Jν =1
4π
∫Iν dΩ, J(ν) =
∫ ν+∆ν
ν−∆νJν φ(ν ′) dν ′,
con φ(ν) respuesta del sistema alrededor de ν = (E2 − E1)/h.
I La emision inducida esta dada por la probabilidad de transicion por unidad detiempo B21J, con B21 el coeficiente respectivo.
I El equilibrio estadıstico entre los dos niveles, con poblaciones n1,2, requiere
n1B12J = n2A21 + n2B21J ⇒ J =A21/B21
(n1/n2)(B12/B21)− 1, (21)
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Sistema de dos niveles - ancho de lınea
I La funcion φ(ν) cuantifica el ancho de lalınea.
I La transicion tiene un ancho naturalderivado de la relacion de incertidumbre∆E∆t >∼ ~, con ∆t ∼ A. La separacionentre niveles, ∆E , no esta plenamentedeterminada.
I En la practica tienden a ser dominanteslos ensanchamientos debidos a procesosfısicos como el ensanchamiento termico(Doppler) y el colisional (de presion).
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Sistema cuantico de dos niveles - coeficientes de Einstein
A temperatura ambiente kT ' 0.025 eV.
I Hay una relacion de equilibrio estadısticoentre las poblaciones de dos niveles bajoequilibrio termodinamico,
n1/n2 = (g1/g2)e(E2−E1)/kT ,
con gi peso estadıstico nivel energetico i .
I Junto con el equilibrio entre materia yradiacion, J(ν) = Bν(T ), se obtienen lasrelaciones entre coeficientes de Einstein,
g1 B12 = g2 B21, A21 =2hν3
c2B21.
(22)
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Sistema cuantico de dos niveles - balance detallado
I Las relaciones entre coeficientes de Einstein se cumplen de forma general,independientemente de que haya o no un estado de equilibrio.
I De ellas resultan la relaciones de balance detallado, con los coeficientes de emisiony absorcion en el caso general,
jν =hν
4πφ(ν) n2A21, αν =
hν
4πφ(ν) (n1B12 − n2B21) .
I Dados dos estados cuanticos (1) y (2), es posible determinar los coeficientes detransicion, en particular A2→1.
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Sistemas cuanticos - funcion de onda
I La mecanica cuantica permite la descripcion de sistemas fısicos basicos, comoatomos y moleculas.
I Los sistemas fısicos son descritos mediante su funcion de onda, ψ(qk , t), con qklas coordenadas que describen al sistema (k = 1, . . .N, para N grados de libertad).
I La funcion de onda es en general una funcion compleja. Su norma representa ladensidad de probabilidad para cada coordenada. En una dimension, la probabilidadde observar x en un intervalo dado, [x0, x1], es,
P(x0 ≤ x ≤ x1) =
∫ x1
x0
|ψ(x , t)|2 dx ,
para una funcion de onda normalizada,∫ +∞
−∞|ψ(x , t)|2 dx = 1.
I La funcion de onda contiene toda la informacion de un sistema fısico.
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Sistemas cuanticos - variables fısicas
I Las variables fısicas medibles (A) se representan mediante operadores que actuansobre la funcion de onda, modificandola,
Aψ(qk , t) = ϕ(qk , t).
I El valor observado de una cantidad fısica es su promedio sobre la funcion de onda.Para una partıcula,
〈A〉 =
∫ψ∗(~r , t)Aψ(~r , t) d3r . (23)
I Toda medicion tiene una incertidumbre asociada: ∆A =√〈A2〉 − 〈A〉2.
I Los operadores de coordenadas (por ejemplo x) y de los momentos asociados (porejemplo px) cumplen,
x ψ(x , t) = x ψ(x , t); px ψ(x , t) = −i~ ∂∂xψ(x , t) , (24)
I Todo sistema fısico cumple el principio de incertidumbre: ∆x∆px ≥ ~/2.
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Sistemas cuanticos - el Hamiltoniano clasico
I En mecanica clasica se define el Hamiltoniano, expresado en terminos decoordenadas generalizadas (qk) y sus respectivos momentos (pk = ∂Ecin/∂qk).
I Dos ejemplos:
Ecin =1
2mx2 ⇒ px =
∂Ecin
∂x= mx ⇒ Ecin =
p2x
2m,
Ecin =1
2mr2θ2 ⇒ pθ =
∂Ecin
∂θ= mr2θ ⇒ Ecin =
p2θ
2mr2.
I El Hamiltoniano se define como la suma de las energıas cinetica y potencial enterminos de las coordenadas qk , pk. En una dimension (cartesiana),
H =p2
2m+ U(q). (25)
I Las ecuaciones de movimiento se conocen como ecuaciones de Hamilton,
qk =∂H
∂pk, pk = − ∂H
∂qk.
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Sistemas cuanticos - Operador Hamiltoniano
I En mecanica cuantica se emplea el operador Hamiltoniano para determinar laevolucion temporal de un sistema, a traves de su funcion de onda ψ,
Hψ = i~∂ψ
∂t⇒
[p2
2m+ U
]ψ = i~
∂ψ
∂t. (26)
I Considerando las expresiones para los operadores (24), se expresa la ecuacion deSchrodinger como,
− ~2
2m∇2ψ + U ψ = i~
∂ψ
∂t. (27)
I Para un potencial independiente del tiempo, se puede plantear la funcion de ondacomo superposicion de estados estacionarios, ϕ(~r), de energıa E ,
ψ(~r , t) =∑k
ϕk(~r)e−iEk t/~. (28)
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Ecuacion de Schrodinger - estados estacionarios
I En la ecuacion de Schrodinger, dado un potencial independiente del tiempo,
− ~2
2m∇2ψ + U(~r)ψ = i~
∂ψ
∂t,
se puede plantear la funcion de onda como una superposicion de estadosestacionarios, ϕ(~r), de energıa E ,
ψ(~r , t) =∑j
ϕj(~r) e iEj t/~.
I Las funciones ϕj deben cumplir la ecuacion de Schrodinger para estadosestacionarios,
Hϕj = Ejϕj ⇒ − ~2
2m∇2ϕj + U(~r)ϕj = Ejϕj , (29)
con H el operador Hamiltoniano y Ej el valor propio correspondiente.
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Ecuacion de Schrodinger: sistemas de interes
Un vistazo a algunos sistemas fısicos de interes:
I Partıcula libre,
I Rotor rıgido,
I Oscilador armonico,
I Atomo de hidrogeno,
I Atomos,
I Moleculas.
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Ecuacion de Schrodinger: partıcula libre en una dimension
I Para una partıcula libre en una dimension (U = 0), la ecuacion de Schrodinger,
− ~2
2m
d2ϕ
dx2= E ϕ ⇒ ϕ(x) = A e ikx + B e−ikx , (30)
con k =√
2mE/~ ⇒ E (k) = ~2k2/2m.I La energıa puede tomar cualquier valor del continuo E > 0. Tomando B = 0,
〈p〉 =
∫ +∞
−∞ϕ∗(x)
(−i~dϕ(x)
dx
)dx = ~k .
I La normalizacion de (30) diverge (→∞): la partıcula no esta localizada, mientrasque el momento esta plenamente determinado (∆p = 0).
I La solucion general es de la forma,
ϕ(x) =
∫ +∞
−∞A(k) e ikxdk ⇒ ψ(x , t) =
∫ +∞
−∞A(k) exp i (kx − ω(k)t) dk,
con A(k) una funcion normalizada, ω(k) = ~k2/2m.
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Ecuacion de Schrodinger: partıcula libre en una dimension
I La solucion general a laecuacion de Schrodingerpara la partıcula libre noesta normalizada:∆p = 0⇐⇒ ∆x →∞.
I Una solucion moduladaacota ∆x a valores finitos:∆p >∼ ~/∆x 6= 0.
I La funcion de onda tiendea dispersarse con el tiempo:
〈x(t)〉 = 〈x(0)〉+〈~k/m〉 t,
∆x = ∆x(0) + (∆p/m)t.
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Ecuacion de Schrodinger: rotor rıgido
I El rotor rıgido proporciona una descripcion de larotacion molecular.
I El rotor rıgido esta constituido por dos masas, m1 ym2, unidas por el vector ~r = ~r1 − ~r2, y restringidas auna separacion |~r | fija.
I En ausencia de un potencial,
H =|~p1|2
2m1+|~p2|2
2m2=|~pcm|2
2M+|~p|2
2m=|~pcm|2
2M+|~L|2
2I,
con M = m1 + m2 masa total; m = m1m2/M masareducida; ~pcm = el momento del centro de masa;I = mr2 = el momento de inercia de dos masaspuntuales; ~L = ~r × ~p = el momento angular.
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Ecuacion de Schrodinger: rotor rıgido
I Referido al centro de momento, tenemos el Hamiltoniano, en coordenadasesfericas,
H =L2
2I=
p2θ + p2
φ sin2 θ
2I, (31)
de donde la ecuacion de Schrodinger,
−~2
2I
1
sin2 θ
[sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂ϕ
∂θ
)+∂2ϕ
∂φ2
]= E ϕ(θ, φ). (32)
I Las soluciones son los armonicos esfericos, ϕ(θ, φ) = Ym` (θ, φ), con ` entero
positivo (` = 0, 1, 2, . . . ) y m entero, positivo o negativo, tal que |m| ≤ `.I Los armonicos esfericos son de la forma,
Ym` (θ, φ) = C`m P
|m|` (cos θ) e imφ,
con Pm` funciones asociadas de Legendre y C`m coeficientes de normalizacion tales
que la integral de |Ym` (θ, φ)|2 sobre angulo solido sea igual uno.
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Ecuacion de Schrodinger: rotor rıgido
I La energıa esta restringida a unconjunto discreto de valores,
⟨L2⟩
= `(`+1)~2 ⇒ E` = `(`+1)~2
2I.
I La diferencia entre dos nivelesconsecutivos, ∆E`→`−1 = ` (~2/I ).
I Para moleculas comunes en laatmosfera se tiene ~2/I ∼ 0.001 eV.
I Hay g` = 2`+ 1 estados de energıa E`(nivel de degeneracion; peso estadısticodel nivel de energıa).
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Ecuacion de Schrodinger: oscilador armonico
El oscilador armonico es util para describir vibraciones moleculares.
I Desarrollo cuadratico de potencial alrededor de un mınimo,
U(x) = U(x0)+
(dU
dx
)0
(x−x0)+1
2
(d2U
dx2
)0
(x−x0)2+. . .
I La ecuacion de Schrodinger para el oscilador 1D,
− ~2
2m
d2ϕ
dx2+
1
2mω2x2 ϕ = E ϕ.
I Solucion con estados de energıa equi-espaciados,
En =
(n +
1
2
)~ω, n = 0, 1, . . .
con estado base: E0 = ~ω/2.
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Ecuacion de Schrodinger: el atomo de hidrogeno
I Ecuacion de Schrodinger para un nucleo (qN = +Ze, con Z = 1 para hidrogeno)atrayendo un electron (q = −e),
− ~2
2m∇2ϕ− Ze2
rϕ = E ϕ.
I Desarrollada en coordenadas esfericas,
− ~2
2m
1
r
∂2
∂r2(rϕ) +
(L2
2mr2− Ze2
r
)ϕ = E ϕ ,
con ~L = ~r × ~p el momento angular.
I Cada funcion de onda esta descrita por cuatro numeros cuanticos: ϕn,`,m,ms .
I Son productos de polinomios de Laguerre (Rn`(r), parte radial), armonicosesfericos (Ym
` (θ, φ), parte angular en potenciales centrales) y espın electronico.
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Ecuacion de Schrodinger: el atomo de hidrogeno
I Un estado estacionario del atomo de hidrogeno esta descrito por los cuatronumeros cuanticos n, `,m,ms.
I El numero cuantico principal, n, indica el nivel de energıa,
En = −1
2
(e2
a0
)Z 2
n2= −13.6 eV
(Z 2
n2
),
con a0 = ~2/me2 el radio de Bohr, y n = 1, 2, . . . .Se puede escribir como En = −(Ze2/2az)(1/n2), con az = a0/Z .
I El numero cuantico de momento angular:⟨L2⟩
= `(`+ 1)~2, con ` = 0, . . . , n− 1.
I El numero cuantico magnetico, m, se asocia a la proyeccion del momento angularsobre un eje de referencia: 〈Lz〉 = m~, con m = −`, . . . ,+`.
I El numero cuantico de espın: ms = ±1/2.
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5.3.1. Sistemas hidrogenoides
Figura: Los niveles de energıa de un sistemahidrogenoide dependen del numero cuanticoprincipal, En = E1/n
2.Existe una pequena dependencia con losnumeros cuanticos `,m,ms que apareceal considerar la estructura fina del atomo.Estados con distinto momento angular sedistinguen con la secuencia de letras: s(` = 0), p (` = 1), d (` = 2), f (` = 3).
Hay gn = 2n2 estados para el nivel n.
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Sistemas cuanticos - espectroscopıa del hidrogeno
Las series espectroscopicas del hidrogeno estan dadas por transiciones a nivelesdeterminados:
I Serie de Lyman: n1 → n2 = 1.Las transiciones se distinguen con letras griegas: Lyα (2→ 1) λ = 1215.7A; Lyβ(3→ 1), Lyγ (4→ 1), etc. . . Estas transiciones caen en el ultravioleta y seobservan desde el espacio.
I Serie de Balmer: n1 → n2 = 2.Transiciones Hα (3→2) λ = 6564A; Hβ (4→2) λ = 4863A; Hγ (5→2). Lıneas enel visible y ultravioleta cercano, observables desde la Tierra.
I Series de Paschen (n1 → 3), Brackett (n1 → 4), Pfund (n1 → 5): IR cercano.
I Lıneas de recombinacion:Aparecen en radio, desde n1 1 o transiciones entre niveles altos. Por ejemplo,110→ 109, denominada 109α, a una frecuencia de 5.009 GHz.
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Sistemas cuanticos: atomos con muchos electrones
I No hay solucion analıtica para atomos mas complejos que el hidrogeno.
I El potencial efectivo que percibe cada electron tiene simetrıa aproximadamenteesferica, permitiendo el uso de armonicos esfericos (`,m).
I Lo que permite describir cualitativamente el estado de un atomo con Z electronesmediante 4Z numeros cuanticos,
nk , `k ,mk ,ms.k , k = 1, . . . ,Z ,
con nk = 1, 2, . . . ; `k = 0, . . . , nk − 1; mk = −`k , . . . ,+`k ; ms.k = ±1/2.
I No puede haber dos electrones con mismos numeros cuanticos.
I Los niveles de energıa dependen de nk , `k, de manera que,
En` > En′` para n > n′; En` > En`′ para ` > `′.
I Secuencia de estados base:1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f, 5d, 6p, 7s, 5f, 6d.
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Secuencia de energıa de losniveles base de los elementosquımicos.
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Z χ (eV) n ` ConfiguracionH 1 13.6 1 0 1sHe 2 24.6 1 0 1s2 Z χ (eV) n ` Configuracion
Li 3 5.39 2 0 [He] 2s Na 11 5.14 3 0 [Ne] 3sBe 4 9.32 2 0 [He] 2s2 Mg 12 7.64 3 0 [Ne] 3s2
B 5 8.30 2 1 [He] 2s2 2p Al 13 5.98 3 1 [Ne] 3s2 3pC 6 11.3 2 1 [He] 2s2 2p2 Si 14 8.15 3 1 [Ne] 3s2 3p2
N 7 14.5 2 1 [He] 2s2 2p3 P 15 10.6 3 1 [Ne] 3s2 3p3
O 8 13.6 2 1 [He] 2s2 2p4 S 16 10.4 3 1 [Ne] 3s2 3p4
F 9 17.4 2 1 [He] 2s2 2p5 Cl 17 13.0 3 1 [Ne] 3s2 3p5
Ne 10 21.6 2 1 [He] 2s2 2p6 Ar 18 15.8 3 1 [Ne] 3s2 3p6
K 19 4.34 4 0 [Ar] 4sCa 20 6.11 4 0 [Ar] 4s2
Cuadro: Configuracion base y primer potencial de ionzacion (χ) de los primeros 20 elementos:χ decrece con n, tiende a crecer con `, aumentando al pasar de un elemento Z impar a par. Lacapa 4s empieza a ser ocupada antes que la 3d.
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Radiacion electromagnetica Transferencia radiativa Cuerpo negro Sistemas cuanticos Moleculas Radiacion solar Termica infrarroja
Moleculas - moleculas en la atmosfera terrestre
I La atmosfera terrestre tiene condiciones propicias para congregar a los atomos enmoleculas, completando sus capas externas.
I Las moleculas mas abundantes en la atmosfera estan formadas por los elementosmas abundantes: principalmente H, C, N, O.
I De importancia en el balance energetico de la atmosfera: N2, O2, O3, H2O, CO2,CH4, N2O, ...
I Las moleculas de descripcion mas directa son las diatomicas: O2, N2, H2, CO...I Un poco mas complejas son las moleculas triatomicas lineales: CO2, N2O, ...I Un poco mas complejas son las moleculas triatomicas no-lineales: H2O, O3, ...I Un poco mas complejas las moleculas multi-atomicas 3D: CH4, NH3, ...I La interaccion de la radiacion con un sistema depende de su momento dipolar:
Aif =4ω3
if
3~c3
∣∣∣⟨f ∣∣∣~d∣∣∣ i⟩∣∣∣2 .Las moleculas con mayor momento dipolar son mas activas.
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Radiacion electromagnetica Transferencia radiativa Cuerpo negro Sistemas cuanticos Moleculas Radiacion solar Termica infrarroja
Moleculas - moleculas diatomicas
I Las moleculas diatomicas muestran las caracterısticas genericas de las moleculas.I Los niveles de energıa se separan, de forma jerarquica, en tres componentes:
(i) Componente electronica: los electrones dan cohesion a la molecula, quetiende a estar en un estado de mınima energıa. La escala electronica esta dictadapor las dimensiones del radio de Bohr, a = ~2/me2,
Eel ∼e2
a∼ 10 eV .
(ii) Componente vibracional: la distancia de equilibrio entre los nucleosdetermina el modo vibracional de la molecula,
Ma2ω2 ∼ e2
a⇒ ω ∼
(e2/Ma3
)1/2 ⇒ Evib = ~ω ∼(mM
)1/2Eel ∼ 0.1 eV .
(iii) Componente rotacional: la rotacion de la molecula da lugar a sub-nivelesenergeticos dentro de la estructura vibracional,
Erot ∼ ~2/I ∼ ~2/Ma2 ∼(mM
)Eel ∼ 0.001 eV .
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Moleculas - moleculas diatomicas
Nivel / banda energıa λ ν
Electronico Eel ∼ e2/a 10 eV 100 nm 100,000 cm−1
Vibracional (m/M)1/2Eel 0.1 eV 10 µm 1000 cm−1
Rotacional (m/M)Eel 0.001 eV 1 mm 10 cm−1
Cuadro: Niveles de energıa en una molecula diatomica. Dada kT ' 0.025 eV, las estructuraselectronicas tienden a estar en el nivel base y las rotacionales ocupadas en varios niveles. Lastransiciones vibracionales son particularmente activas.
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Moleculas - niveles energeticos
Figura: A la izquierda la estructura electronica define un punto de equilibrio, alrededor del cualse presenta vibraciones moleculares. A la derecha, a los niveles vibracionales se agregan losniveles rotacionales, formando una estructura roto-vibracional (figs. de Liou).
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Moleculas - modos vibracionales
I Moleculas con una estructura mas compleja (H2O, CO2, CH4, O3, N2O) tienenuna mayor variedad de modos vibracionales, torsionales (y tambien rotacionales).
I Algunas vibraciones inducen momento dipolar.
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Moleculas - radiacion y moleculas
I Los niveles electronicos interaccionan con UV y visible a partir de la parte alta dela atmosfera. UV causa foto-ionizacion y disociacion (→ quımica de laestratosfera).
I Moleculas diatomicas homonucleares (N2, O2, ...) solo tienen un modo vibracionaly carecen de momento dipolar. Poco interactivas en el IR termico.
I Moleculas triatomicas lineales (CO2, N2O) tienen tres modos vibracionales ycarecen momento dipolar permanente. Manifiestan dipolo inducido.
I Moleculas triatomicas no lineales (H2O, O3) tiene tres modos fundamentales devibracion y momento dipolar.
I Metano (CH4; tambien el amoniaco NH3) tiene simetrıa cuasi-esferica (tetraedro),cuatro modos vibracionales, sin momento dipolar permanente, pero sı inducido.
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Moleculas - moleculas de la atmosfera
Dos paginas para la descripcion de moleculas:
1. Estructuras moleculares en webbook.nist.gov
2. Base de datos HITRAN. Con informacion espectroscopica. Requiere cuenta.
Molecula Dimension D Estructura
H2 (H-H)=0.74A.N2 (N≡N)=1.0976A. triple enlace N≡NO2 (O=O)=1.21A. doble covalenteO3 1.278A angulo 116.8.CO2 (C=O)=1.15A Ligaduras lineales O=C=O (tipo π)
H2O (H-O)=0.96A Angulo 104.5.
CH4 (H-C)=1.087A Angulo entre vertices 109.5.
NH3 (N-H)=1.02A Angulo 106.75.N2O (N≡N)=1.126A, (N=O)=1.186A N≡N-O ↔ N=N=O
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Radiacion electromagnetica Transferencia radiativa Cuerpo negro Sistemas cuanticos Moleculas Radiacion solar Termica infrarroja
Radiacion en la atmosfera terrestre
La radiacion en la atmosfera se distin-gue en dos componentes:
I radiacion solar en el visible(UV+IR), temperatura de color5780 K. Maximo en 0.5 µm, conemision entre 0.2 y 3.0 µm(ν = 3, 300→ 50, 000 cm−1).
I radiacion termica atmosferica,IR, de temperatura caracterıstica255 K. Maximo en 11 µm conemision entre 5.0 y 60 µm(ν = 150→ 2, 000 cm−1).
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Radiacion solar - emision ultravioleta
Espectro del Sol en el ultra-violeta como se observa fue-ra de la atmosfera. Se mues-tran curvas de cuerpo negrocomo referencia. La radia-cion solar con λ <∼ 300 nmes absorbida en la atmosferaalta.
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Radiacion electromagnetica Transferencia radiativa Cuerpo negro Sistemas cuanticos Moleculas Radiacion solar Termica infrarroja
Radiacion solar - absorcion UV
Para un haz descendente con angulo de in-cidencia θ podemos escribir,
µ∂Iλ∂τλ
= Iλ ⇒ Iλ(z , µ) = I()λ e−τλ(z)/µ .
con µ = cos θ y la intensidad de la radiacion
solar fuera de la atmosfera dada por I()λ . A
una altura z el espesor optico debido a unamolecula de coeficiente de opacidad κλ yabundancia relativa r es
τλ(z) =
∫ ∞z
rρ(z)κλ dz ' τλ(0) e−z/H ,
aproximando la atmosfera como isotermicay para r constante.
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Radiacion electromagnetica Transferencia radiativa Cuerpo negro Sistemas cuanticos Moleculas Radiacion solar Termica infrarroja
Radiacion solar - absorcion en la atmosfera
El maximo deposito de energıaradiativa se da cuando ∂Iλ/∂zes maximo ⇒ τλ/µ = 1.
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Radiacion atmosferica
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Radiacion solar - absorcion UV
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Radiacion electromagnetica Transferencia radiativa Cuerpo negro Sistemas cuanticos Moleculas Radiacion solar Termica infrarroja
Radiacion solar - absorcion y dispesion
I La absorcion del UV ocurre a partir de las capas mas altas, incluso arriba de lamesosfera.
I Nitrogeno molecular con un papel menor: UV entre 0.145 y 0.112 µm.
I Oxıgeno molecular absorbe radiacion UV con λ entre 0.20 y 0.26 µm; relevantepara formar ozono.
I Ozono: capa influenciada por la quımica de la estratosfera. Disociacion de O3 porradiacion UV con λ < 0.31µm; calentamiento atmosferico importante.
I Absorcion de luz solar en el rojo e infrarrojo mayormente por H2O en la troposfera.
I La dispersion es importante en el visible, principalmente violeta y azul. Sedistinguen las dispersiones de Rayleigh y de Mie, mediante el parametrox = 2πr/λ.
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Radiacion electromagnetica Transferencia radiativa Cuerpo negro Sistemas cuanticos Moleculas Radiacion solar Termica infrarroja
Radiacion solar - absorcion + dispersion
![Page 72: Alberto Carraminana~ INAOE, Tonantzintla @ l nea, 3 de](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012016/615ae5ea020d6311d52dcf81/html5/thumbnails/72.jpg)
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Dispersion
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Dispersion Rayleigh & Mie
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Radiacion electromagnetica Transferencia radiativa Cuerpo negro Sistemas cuanticos Moleculas Radiacion solar Termica infrarroja
Dispersion de Rayleigh
El calculo del coeficiente de dispersion por Rayleigh (1871) arroja,
αλ = nσλ =32π3
3n
1
λ4|N − 1|2 ,
con n la densidad numerica del aire (m−3), N ' 1 + 2.78× 10−4 el ındice de refracciondel aire.
Color λ `λ e−smin/`λ e−smax/`λ
Rojo 650 nm 188 km 0.96 0.21Verde 520 nm 77 km 0.90 0.024Azul 410 nm 30 km 0.76 6.5× 10−5
Cuadro: Dispersion de luz solar a tres longitudes de onda. La atenuacion mınima corresponde alcenit; la maxima al amanecer y anochecer. De “Classical electrodynamics”, Jackson.
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Dispersion de Rayleigh
Radiacion solar fuera de laatmosfera (A), y al cenit desdeel nivel del mar (B). Las lıneasdiscontinuas representan el es-pectro estimado al cenit (supe-rior) y al amanecer/anochecer(inferior) considerando unica-mente dispersion de Rayleigh(sin absorcion). Fig. 10.4 Jack-son.
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Radiacion electromagnetica Transferencia radiativa Cuerpo negro Sistemas cuanticos Moleculas Radiacion solar Termica infrarroja
Problemas
I Calcular la temperatura de la fotosfera del Sol si F = 1368 W/m2,d = 1.5× 1011 m, y R = 7.0× 108 m.
I El calculo de la temperatura en la Tierra si el albedo terrestre es A = 0.3.
I ¿Cuanta energıa recibe el cuerpo humano en radiacion IR atmosferica?
I ¿Cuanta energıa emite el cuerpo humano en radiacion IR?
I Demostrar que para una atmosfera isotermica ∂Iλ/∂z es maximo en τ/µ = 1.
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Radiacion electromagnetica Transferencia radiativa Cuerpo negro Sistemas cuanticos Moleculas Radiacion solar Termica infrarroja
Radiacion termica en la atmosfera
I La emision termica de laatmosfera ocurre en el infrarrojointermedio, alrededor deλ >∼ 10µm⇔ ν <∼ 1000 cm−1.
I El proceso consiste en laabsorcion de radiacion visible(solar) e infrarroja, y re-emisionen el infrarrojo por moleculasatmosfericas, en particular H2O,CO2, O3 y CH4
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Radiacion electromagnetica Transferencia radiativa Cuerpo negro Sistemas cuanticos Moleculas Radiacion solar Termica infrarroja
Opacidades infrarrojo - nitrogeno y oxıgeno
Radiacion termica: 150 <∼ ν <∼ 2000 cm−1. Radiacion solar: ν >∼ 3300 cm−1.
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Opacidades infrarrojo - agua
Radiacion termica: 150 <∼ ν <∼ 2000 cm−1. Radiacion solar: ν >∼ 3300 cm−1.
![Page 80: Alberto Carraminana~ INAOE, Tonantzintla @ l nea, 3 de](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012016/615ae5ea020d6311d52dcf81/html5/thumbnails/80.jpg)
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Opacidades infrarrojo - dioxido de carbono
Radiacion termica: 150 <∼ ν <∼ 2000 cm−1. Radiacion solar: ν >∼ 3300 cm−1.
![Page 81: Alberto Carraminana~ INAOE, Tonantzintla @ l nea, 3 de](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012016/615ae5ea020d6311d52dcf81/html5/thumbnails/81.jpg)
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Opacidades infrarrojo - ozono y oxido nitroso
Radiacion termica: 150 <∼ ν <∼ 2000 cm−1. Radiacion solar: ν >∼ 3300 cm−1.
![Page 82: Alberto Carraminana~ INAOE, Tonantzintla @ l nea, 3 de](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022012016/615ae5ea020d6311d52dcf81/html5/thumbnails/82.jpg)
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Opacidades infrarrojo - metano
Radiacion termica: 150 <∼ ν <∼ 2000 cm−1. Radiacion solar: ν >∼ 3300 cm−1.
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Radiacion en la atmosfera - transferencia de radiacion termica
I Se resuelve de forma numerica (lınea por lınea) o metodos aproximados laecuacion de transferencia para radiacion termica, sin dispersion, en una atmosferaplano-paralela
µ∂Iλ∂τλ
= Iλ(τλ, µ)− Bλ[T (τλ)] , (33)
con µ = cos θ, y
τλ(z) =
∫ ∞z
ρ(z)κλ r dz .
teniendo ρ(z) comportamiento exponencial en z .I El resultado puede expresarse en terminos de Fλ el flujo radiativo monocromatico
(9) y la distribucion de Planck,
d2Fλdτ2
λ
= 3Fλ − 4πdBλdτλ
. (34)
Al integrarse sobre λ se obtiene el flujo neto de energıa en diferentes niveles.
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Radiacion en la atmosfera - equilibrio radiativo en atmosfera gris
Un modelo ilustrativo es el equilibrio radiativo en una atmosfera gris (Emden 1913):I no se considera el transporte de calor por otros procesos, como conduccion,
conveccion y calor latente.I Equilibrio radiativo monocromatico ⇒ dFλ/dτλ = 0, de donde (??) implica,
3Fλ = 4πdBλdτλ
. (35)
I En el caso de una atmosfera gris el espesor optico no depende de λ, es decirτλ = τ , y se tiene una solucion lineal Bλ(τ).
I Definiendo condiciones a la frontera en τ = 0, la parte superior de la atmosfera, seobtiene, se obtiene
T 4(τ) = T 4(0)
(1 +
3τ
2
).
En general se tiene una discontinuidad, Tg 6= T (τg ), con τg , la profundidadoptica de la atmosfera.
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Radiacion electromagnetica Transferencia radiativa Cuerpo negro Sistemas cuanticos Moleculas Radiacion solar Termica infrarroja
Radiacion en la atmosfera - equilibrio radiativo en atmosfera gris
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Radiacion electromagnetica Transferencia radiativa Cuerpo negro Sistemas cuanticos Moleculas Radiacion solar Termica infrarroja
Atmosfera gris: tres casos
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Radiacion electromagnetica Transferencia radiativa Cuerpo negro Sistemas cuanticos Moleculas Radiacion solar Termica infrarroja
Atmosfera gris en equilibrio radiativo
I Al aumentar τg aumenta el gradiente de temperatura y disminuye ladiscontinuidad en el suelo.
I Un ajuste a lo observado puede ser:
T (0) = 200 K, T (τg ) = 250 K ⇒ Tg = 272.4 K.
I Los perfiles de temperatura son adecuados.
I las discontinuidades a nivel del suelo son muy altas, y los gradientes por encimade 6.5 K/km.
I Modelo simplista: (1) se considera una atmosfera gris; (2) no se toma en cuentael calentamiento por absorcion de radiacion solar de la capa estratosferica deozono; (3) no se consideran procesos dinamicos y termodinamicos.
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Radiacion electromagnetica Transferencia radiativa Cuerpo negro Sistemas cuanticos Moleculas Radiacion solar Termica infrarroja
Enfriamiento y calentamiento de capas atmosfericas
Se puede describir el calentamiento, en una capa atmosferica dada, a traves del flujoradiativo,
dh
dt= ρcp
dT
dt= −dF
dz,
con F = F+ − F− el flujo neto. Se debe considerar la contribucion de cada intervalode frecuencia, (
dT
dt
)ν
= − 1
ρcp
dFνdz
=2π
cp
∫ +1
−1κνr(Iν − Bν)dµ ,
que se aproxima definiendo un angulo medio, µ = 0.66.(dT
dt
)ν
= −2π
cp
∫ 1
0κνr Bν(z)eτν/µdµ = − π
cpκνr Bν(z)
eτν/µ
µ
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Perfiles de enfriamiento - calentamiento
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Radiacion monocromatica terrestre
Intensidad de radiacion mo-nocromatica terrestre, medi-da desde el espacio y compa-rada con espectros de cuerponegro de referencia.
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Radiacion monocromatica terrestre
Figura: Temperatura de brillo de la radiacion monocromatica terrestre, ubicando regiones deabsorcion por moleculas atmosfericas.