alexi_programacion linea

Prof. Ing. Claudio L. R. Sturla

FRBA PROGRAMACIÓN LINEALPARTE VIII

Proemio al Problema de la DietaUn ejemplo hipotético sencillo servirá para facilitar la comprensión de la naturaleza del problema.Supóngase solamente dos elementos nutritivos 1 y 2, o sea calorías y vitaminas, siendo

(C1, C2) = (700, 400)

Supongamos que hay cinco alimentos.El primero, X1, contiene solamente calorías y se mide en unidades que dan por resultado el coeficiente a11 =1, siendo a21 igual a cero; el segundo, X2, contiene solamente vitaminas, lo que viene indicado por los coeficientes a22 =1 y a12 igual a cero; el tercero es igual al primero en que contiene solamente calorías de forma que 2313 y 1 aa = igual a cero; el cuarto contiene cantidades iguales de ambos elementos, y definamos una unidad del cuarto alimento como una cantidad tal que a14 y a24 son iguales entre sí e iguales a la unidad; finalmente, una unidad del quinto alimento tiene el doble de calorías que el cuarto, de forma que a15 =2 y 125 =aPara terminar, debemos suponer algunos precios para completar el problema.Sean

( ) ( )12,11,3,20,2,,,, 54321 =ppppp

estando todos los precios expresados en UM por unidad.Nuestros datos numéricos se pueden resumir en la tabla:

Símbolos Datos Numéricos

Nutrientes por unidad de alimento Mínimo requerido

Nutrientes por unidad de alimento

Mínimo requerido

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5Elemento:Calorías

11a 12a 13a 14a 15a 1C 1 0 1 1 2 700

Vitaminas 21a 22a 23a 24a 25a 2C 0 1 0 1 1 400Precios 1p 2p 3p 4p 5p Z 2 20 3 11 12 (¿)

El problema consiste en encontrar la mejor dieta

5

4

3

2

1

xxxxx

y el costo mínimo Z que viene indicado por el signo de interrogación.Si resolviésemos este problema mediante tanteos, por pura suerte, o por sentido común, se encontraría al final que:

(1) la Z más barata es 4700; que, además, (2) este valor sólo se alcanza de una manera: mediante la dieta:

pl-08.doc 97


=

300100

000

5

4

3

2

1

xxxxx

siendo nula la compra de los tres primeros alimentos; que(3) se compran tantos alimentos como elementos nutrientes hay, consumiéndose los demás al nivel

cero, y finalmente(4) que esta dieta óptima es también exacta, ya que no da exceso para ninguno de los dos elemen-

tos.¿Cómo se ha llegado a estos resultados? Dejemos a un lado por el momento estas cuestiones, y veamos primeramente cuál es el grado de generalidad que dichos resultados presentan.¿Es universalmente cierta en programación lineal nuestra primera deducción, o sea, la existencia de un valor óptimo de Z único?Se puede responder afirmativamente, siempre y cuando los programas estén correctamente planteados.No puede haber dos Z óptimas diferentes, pues en cualquier par de Z diferentes una será mejor que la otra.Además, en un problema de programación lineal correctamente planteado habrá un límite al valor que Z puede tomar (tanto para el máximo como para el mínimo, según los casos), y casi invariablemente estos problemas se plantean de forma que se puedan alcanzar en la realidad estos valores extremos permisibles de ZPor consiguiente, habrá un valor posible máximo (o mínimo) de Z que será el óptimo.La segunda deducción, o sea que los valores de x son únicos, no es universalmente cierta.Suele ocurrir que el Z óptimo se puede obtener con cierto número de valores de x alternativos y, en consecuencia, por un número infinito de ellos.Así, por ejemplo., supongamos que los tres primeros alimentos tuviesen precios relativamente bajos comparados con los dos últimos.La mejor dieta se encontraría, evidentemente, entre los tres primeros alimentos.Pero supongamos que el alimento X1 y el alimento X2 , que son exactamente iguales, tuviesen también precios bajos.Entonces, la mejor manera de alcanzar el número de calorías necesarias sería mediante una cualquiera de las infinitas combinaciones posibles de X1 y X3, siempre y cuando su suma sea igual a 700.En este último caso la dieta estaría formada por tres alimentos en lugar de dos solamente.Pero, incluso en este caso, no habría inconveniente alguno en hacer x1 o x3 iguales a cero y alcanzar el Z óptimo con el mismo número de alimentos que elementos nutrientes hay.

Solución GráficaEl método gráfico, resulta práctico cuando solamente hay dos restricciones y sirve para aclarar algunos aspectos adicionales de los problemas de la programación.El método gráfico está basado en considerar la cantidad de cada elemento alimenticio —en el caso de nuestro ejemplo, vitaminas y calorías — que se pueden comprar con una cantidad fija, por ejemplo, 1000 UM, gastada en cada uno de los alimentos.Estas cantidades, en nuestro ejemplo numérico, aparecen en la tabla:

ElementosAlimento

1 2 3 4 5 Cantidad necesariapl-08.doc 98


Calorías 500 0 333,33 91,91 166,57 700Vitaminas 0 50 0 91,91 83,33 400

Y están representadas gráficamente en la figura:

En la figura cada alimento está representado por un punto, indicado por un número dentro de un círculo, señalando la cantidad de calorías y vitaminas que se pueden obtener por 1000 UM.Una simple mirada a la figura (o a la tabla, para los mismos efectos) muestra que hay dos alimentos que no están al alcance de un presupuesto económico a los precios fijados.El alimento 3 proporciona menos calorías por UM que el alimento 1 sin proporcionar más vitaminas y, por tanto, no deberá comprarse nunca.Análogamente, el alimento 2 es inferior al alimento 4 y al 5 con respecto a ambos elementos nutritivos.Por tanto, prescindimos inmediatamente de ambos y atendemos solamente a los otros tres.Supongamos ahora que repartimos 1000 UM entre los alimentos 1 y 5, gastando 500 UM en cada uno de ellos.Mediante la tabla se calcula que la dieta resultante dará 333,33 cal [1/2*(500+166,67)] y 41,67 vitami-nas, que viene indicada en el punto A de la figura.Análogamente, 250 UM del alimento 1 y 750 UM del alimento 5 proporcionaran 250 cal y 62,5 vitami-nas, lo que viene indicado por el punto B de la figura.Obsérvese que los puntos A y B se encuentran-los dos en la recta que une los puntos correspondientes a los alimentos 1 y 5 y, como es fácil de ver, todas las combinaciones de 1000 UM gastadas en esos dos alimentos corresponderán a puntos situados sobre la misma línea.La línea que une los alimentos 4 y 5 representa análogamente los resultados de repartir 1000 UM entre los mismos.También podríamos repartir 1000 UM entre los alimentos 1 y 4, estando situados sobre la línea recta que los une los resultados de dichos repartos, pero no se ha trazado dicha línea porque para cualquier

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punto de la misma habrá alguno en una de las dos líneas anteriores que representará una dieta con una cantidad superior de ambos elementos sin mayor coste.Por tanto, las dos líneas que se han trazado representan lugares geométricos de dietas eficientes.Estos lugares geométricos representan solamente cómo se pueden gastar eficientemente 1000 UM, y para otros niveles de gastos corresponderán lugares geométricos análogos.Una suma de 2000 UM gastados en el alimento 4 proporcionará el doble de ambos elementos nutritivos que una suma de 1000 y, por consiguiente, se representará por un punto situado al doble de distancia del radio vector que pase por el punto 4.Este punto lo hemos representado por 4'.Análogamente habría un punto 5' como resultado de gastar 2000 UM en el alimento 5, y puntos simila-res para los demás alimentos en el caso de gastar esa cantidad en cada uno de ellos.Con estos nuevos puntos se pueden trazar los lugares geométricos de gastos eficientes correspondientes a 2000 UM y a cualquier otro presupuesto.Así se han trazado los lugares geométricos correspondientes a 1000, 2000, …, 5000 UM.Fijémonos ahora en la zona rayada de la figura.El ángulo inferior izquierdo de la misma coincide con el punto 400 vitaminas y 700 cal.Por consiguiente, esta es la región de las dietas adecuadas y nuestro problema consiste en determinar la dieta más barata de esta región.Evidentemente, será la dieta de la región que se encuentre en el lugar geométrico más bajo posible co-rrespondiente a una dieta eficiente.Es también evidente que esa dieta mínima coincide con el punto del ángulo inferior izquierdo de la re-gión rayada, que vemos se encuentra situado sobre un segmento que une los alimentos 4 y 5.Dicho de otra forma, la dieta de costo mínimo estará compuesta por los alimentos 4 y 5 en ciertas can-tidades que es preciso determinar con exclusión de todos los demás alimentos.Además, esta dieta mínima no contendrá ninguno de los dos elementos nutritivos en exceso, es decir, las dos restricciones están saturadas.En efecto, en el gráfico se puede ver que la dieta de coste mínimo proporciona justamente las cantidades especificadas de los dos elementos.El resto es álgebra elemental.Tenemos dos incógnitas, las cantidades de los alimentos 4 y 5, y dos restricciones, una para cada ele-mento nutritivo.Por tanto, tenemos exactamente el número necesario de ecuaciones para determinar las dos incógnitas

4001170021

54

54

=+=+

xxxx

La solución es, como vimos, x4 = 400, x5 = 300

Ejemplo Nº 8Nos proponemos realizar la alimentación diaria más económica para ganado, que debe contener obligatoriamente cuatro tipos de componentes nutritivos A, B, C y D. La industria alimenticia produce precisamente dos alimentos, M y N, que contienen estos componentes. Un kilogramo de alimento N contiene 100 g de A, 100 g de C y 200 g de D; un kilogramo de alimento M contiene 100 g de B, 200 g de C y 100 g de D.Un animal debe consumir al menos 0,4 Kg de A; 0,6 Kg de B; 2 Kg de C y 1,7 Kg de D. El alimento M cuesta 10 UM/Kg y el N 4 UM/Kg ¿Qué cantidad de alimentos M y N se deben utilizar diariamente para alimentar al ganado en la forma más económica?.La tabla que resume lo enunciado es:

pl-08.doc 100


N M Necesidad diaria

A 0,1 0 0,4B 0 0,1 0,6C 0,1 0,2 2D 0,2 0,1 1,7

Costo 4 10Solución:Llamaremos

x1 = cantidad de N a proporcionar diariamente.x2 = cantidad de M a proporcionar diariamente.

El problema es: encuentre el vectorxx

1

2

que MINIMICE la función z x x= +4 101 2

s.a.

≥+≥+

≥≥

7,11,02,022,01,0

6,01,04,01,0

21

21

2

1

xxxx

xx

Lo que es equivalente a

≥+≥+

≥≥

1712202

64

21

21

2

1

xxxx

xx

La solución es 92=z UMEjercicio Nº 9 [Dresdner, Evelson y Dresdner]Una empresa recibió una orden para la producción de 2.200 unidades del producto P debiendo en-tregarse 800 unidades el primer mes y 1.400 el segundo.La capacidad normal de la Compañía es de 920 unidades por mes pero trabajando horas extra puede producirse 250 unidades adicionales.El costo adicional por unidad cuando se produce en horas extra es de 1,25 UM/u y el costo mensual de almacenamiento es 0,5 UM/u.La no satisfacción de la demanda se considera inadmisible.El inventario inicial de P es nulo y se desea que el final también lo sea.Solución:Como no hay inventario a principios de mes y no queda después de producir, habrá que determinar las cantidades a producir uno y otro mes.

x1 = cantidad de producto P a producir en el primer mes.x2 = cantidad de producto P a producir en el segundo mes.

La producción debe programarse de modo de minimizar los costos de horas extra y en almacenamiento. Lo producido en el primer mes que exceda de 800 unidades deberá almacenarse a un costo de 0,5 UM y las cantidades que se produzcan en el primero o segundo mes que excedan las 920 unidades deberán adicionarse de un costo de 1,25 UM.

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( ) ( ) ( )z x x xx x x

x x min

= − + − + − == − + − + − =

= + − →

1 1 2

1 1 2

1 2

800 0 5 920 1 25 920 1 250 5 400 1 25 1150 1 25 1150

1 75 1 25 2 700

, , ,, , . , .

, , .Y como el término constante es irrelevante desde el punto de vista de la optimización, se puede con-siderar

z x x min= + →1 75 1 251 2, ,y restar 2.700 del valor que tome la solución final.Esta expresión de z es lícita sólo si

x x1 2920 920≥ ≥puesto que si fuera por ejemplo x1 700= no se incurriría en costos de almacenamiento ni de horas extra.Es decir, no deberían considerarse los términos ( )x1 800 0 5− , ni ( )x1 920 1 25− ,Si al resolver el problema surgiera que en la solución final el valor de x x1 o 2 no cumplieran con las condiciones indicadas, habrá que eliminar los términos correspondientes del funcional y resolver de nuevo.Las restricciones del problema son:

xx

x x

1

2

1 2

11701170

2 200

≤≤

+ =

..

.

(920 unidades de capacidad mas 250 unidades posibles en horas extra)(idem anterior)

(produccion conjunta igual a la demanda)Se puede resolver gráficamente.X2

R3 R1

X2* = 1.170 R2

z

X1 X1* = 1.030

z = + − =1 75 1170 1 25 1 030 2.700 635, . , .

Ejemplo Nº 10Se dispone de tres trenes de laminación: A, B y C. Se desean fabricar, de la manera más económica, 14 categorías de láminas que tienen los espesores siguientes: 5/10, 6/10, 8/10, 10/10, 12/10, 14/10, 16/10, 18/10, 20/10, 22/10, 24/10, 26/10, 28/10 y 30/10.Se conoce:— Costo por tonelada para producir el perfil de tipo j fabricado por el tren i.— La producción horaria de cada perfil j de acuerdo al tren i utilizado.— La producción prevista de cada perfil j.— La disponibilidad en horas de cada tren i.

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Los datos son:Costo del proceso

[UM/t]Producción

[t/h]Previsión

fabricación[t/mes]

Producto Tren A Tren B Tren C Tren A Tren B Tren C5/10 5.454 10.422 — 20,7 7,2 — 5.0006/10 5.095 9.637 — 23,8 8,6 — 2.2008/10 6.025 9.333 — 40 9,3 — 5.10010/10 6.025 8.620 12.430 40 11,5 9 5.00012/10 4.600 8.540 11.010 30 11,8 12 4.20014/10 4.125 8.500 10.400 40 12 14 3.00016/10 4.125 8.440 10.150 40 12,2 15 2.00018/10 3.958 8.420 10.150 45,3 12,3 15 1.30020/10 3.980 8.380 — 44,5 12,5 — 75022/10 4.175 8.310 — 38,7 12,8 — 50024/10 4.430 8.310 — 36 12,8 — 50026/10 4.430 8.270 — 36 13 — 25028/10 — 8.270 — — 13 — 10030/10 — 8.270 — — 13 — 100

Capacidad de producción[h/mes]

600 600 400

Llamaremos xij a las toneladas de perfil j a producir en el tren i

Por ejemplo, en la primera inecuación x1120 7,

tiene el siguiente análisis dimensional:

A tren de horaAen tren hacerse a 5/10 perfil de toneladas

5/10 perfil de toneladas

Las inecuaciones son:x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x

x

11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 10 1 11 1 12

21 22 23 24 25 26 27 28 29 2 10 2 11 2 12 2 13

2 14

20 7 23 8 40 40 30 40 40 45 3 44 5 38 7 36 36600

7 2 8 6 9 3 11 5 11 8 12 12 2 12 3 12 5 12 8 12 8 13 13

13600

, , , , ,

, , , , , , , , , ,

, , ,

, , , ,

,

+ + + + + + + + + + + ≤

+ + + + + + + + + + + + +

+ ≤

x x x x x34 35 36 37 389 12 14 15 15

400+ + + + ≤

x xx xx x

11 21

12 22

13 23

5 0002 2005100

+ =+ =+ =

...

x x xx x xx x x

14 24 34

15 25 35

16 26 36

5 0004 2003 000

+ + =+ + =+ + =

.

.

.

pl-08.doc 103

Prof. Ing. Claudio L. R. Sturlax x xx x xx x

17 27 37

18 28 38

19 29

2 0001300

750

+ + =+ + =+ =

..

x xx xx x

1 10 2 10

1 11 2 11

1 12 2 12

500500250

, ,

, ,

, ,

+ =+ =+ =

xx

2 13

2 14

100100

,

,

==

El funcional es:z x x x x x x x

x x x x x x xx x x x x x xx x x x x

= + + + + + + ++ + + + + + + ++ + + + + + + ++ + + + +

5 454 5 095 6 025 6 025 4 600 4 125 4 1253 958 3 980 4 175 4 430 10 422 9 637 9 3338 620 8 540 8 500 8 440 8 420 8 380 8 3108 310 8 270 8 270 8 270 12 340

11 12 13 14 15 16 17

18 19 1 10 1 12 21 22 23

24 25 26 27 28 29 2 10

2 11 2 12 2 13 2 14 34

. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . .

, ,

,

, , , , + ++ + + →

1101010 400 10150 10150

35

36 37 38

.. . .

xx x x min

Es una tabla Simplex con 17 filas y 62 columnas.El óptimo es z = 199.822.700 UMEjemplo Nº 11Para una pizzeria se necesita el siguiente número de empleados, variable según la hora del día. 0

20 5 3 4

14 8

16 8 10 8

12Los cambios de turno son posibles cada cuatro horas a partir de las 00:00 horas y cada turno dura 8 horas. Calcúlese el número de operarios a ingresar a las 0, 4, 8, 12, 16 y 20 hs. con el fin de minimizar el tiempo ocioso.x0 = numero de empleados que toma servicio a las 00:00 horas.

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X16 X20 X0

X12 X4

16 X8

8

x xx xx x

0 20

4 0

4 8

3810

+ ≥+ ≥+ ≥

x xx xx x

8 12

12 16

16 20

8145

+ ≥+ ≥+ ≥

z x x x x x x min= + + + + + →0 4 8 12 16 20La respuesta es:

x xx xx x

0 12

4 16

8 20

3 35 115 0

= == == =

¿Qué le sugiere al alumno este resultado?

Programación de ColectivosEjemplo N° 12Progress City está estudiando la factibilidad de introducir un sistema de colectivos que disminuya el problema de la contaminación ambiental, reduciendo el número de vehículos que circulan en la ciudad.El estudio inicial busca la determinación del número mínimo de colectivos que pueda manejar las nece-sidades de transporte.Después de recopilar la información necesaria, el ingeniero de la ciudad observó que el número mínimo de colectivos fluctuaba según la hora del día.Al estudiar más a fondo los datos, fue evidente que era posible hacer una aproximación del número de colectivos mediante valores constantes sobre intervalos sucesivos de 4 horas cada uno.La figura muestra los descubrimientos del ingeniero.

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Para llevar a cabo el mantenimiento diario requerido, cada colectivo podía operar sólo ocho horas suce-sivas al día.Representación MatemáticaSe requiere determinar el número de colectivos que van a operar durante los diferentes turnos (varia-bles) que satisfagan la demanda mínima (restricciones), al mismo tiempo que se minimiza el número total de colectivos diarios en operación (objetivo).Tal vez usted ya ha observado que la definición de las variables es ambigua.Sabemos que cada autobús operará turnos de ocho horas, pero no sabemos cuándo debe empezar cada turno.Si seguimos un horario normal de tres turnos (8:01 a.m. - 4:00 p.m., 4:01 p.m. - 12:00 de la noche y 12:01 - 8:00 a.m.) y suponemos que x1, x2 y x3 son el número de autobuses que empiezan el primero, segundo y tercer turnos, podemos notar que

81210

3

2

1

≥≥≥

xxx

donde el número mínimo correspondiente es igual a

x1 + x2 + x3 = 10 + 12 + 8 = 30

colectivos diariamenteEsta solución es aceptable sólo si los turnos deben coincidir con el programa normal de tres turnos.Sin embargo, puede ser ventajoso permitir que el proceso de optimización elija la “mejor” hora para empezar un turno.Una forma razonable de lograrlo es permitir que un turno empiece cada 4 horas.Los turnos (que se superponen en parte) pueden empezar a las 12:01 a.m., 4:01 a.m., 8:01 a.m., 12.01 p.m., 4:01 p.m. y 8:01 p.m., donde cada turno continúa durante 8 horas consecutivas.El modelo matemático se escribe como:Minimice

z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6

sujeta a

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41271084

65

54

43

32

21

61

≥+≥+≥+≥+≥+≥+

xxxx

xxxx

xxxx

y a

jjx ∀≥ 0La salida en WinQSB es

Muestra que se necesita un total de 26 colectivos para satisfacer la demanda.El programa óptimo requiere que x1 = 4 autobuses empiecen a las 12:01. a.m., x2 = 10 a las 4:01 am., x4

= 8 a las 12:01 p.m y x5 = 4 a las 4:01 pm.El problema tiene una solución óptima alternativa.

Ejemplo Política de Préstamos BancariosEjemplo N° 13El Banco ABC está en proceso de formular una política de préstamos que incluye un máximo de 12 millones de UM.

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La tabla siguiente proporciona los datos pertinentes acerca de los diferentes tipos de préstamos que ofrece el banco:

Tipo de préstamo Tasa de interés Probabilidad de un mal crédito

Personal 0,140 0,10Automóvil 0,130 0,07Vivienda 0,120 0,03Agrícola 0,125 0,05Comercial 0,100 0,02

Los malos créditos son irrecuperables y, por tanto, no producen ningún ingreso por intereses.La competencia con otras instituciones financieras en el área requiere que el banco asigne por lo menos 40 % de los fondos a préstamos agrícolas y comerciales.Para ayudar a la industria de la vivienda en la región, los préstamos para viviendas deben ser equiva-lentes por lo menos a 50 % de los préstamos personales, para automóvil y para viviendas.El banco también ha declarado una política de que la proporción total de malos créditos en todos los préstamos no puede exceder de 0,04Modelo matemáticoLas variables del modelo se pueden definir como sigue:

x1 = préstamos personales (en millones de UM)x2 = préstamos para automóvilx3 = préstamos para viviendax4 = préstamos agrícolasx5 = préstamos comerciales

El objetivo del Banco ABC es maximizar su utilidad neta, que se compone de la diferencia entre el in-greso de los intereses y los fondos perdidos por los malos créditos.Debido a que estos últimos no son recuperables, ni el capital ni los intereses, la función objetivo se da como

Maximice

( ) ( ) ( ) ( ) ( )543

2154321

02,005,003,007,01,098,01,095,0125,097,012,093,013,09,014,0

xxxxxxxxxxz

−−−−−++++=

Operando y ordenando es:Maximice

54321 078,06875,00864,00509,0026,0 xxxxxz ++++=

El problema tiene cinco restricciones:1. Fondos totales.

1254321 ≤++++ xxxxx

2. Préstamos comerciales y agrícolas:

12*4,054 ≥+ xx

pl-08.doc 108


o

8,454 ≥+ xx

3. Préstamos para vivienda:

( )3213 5,0 xxxx ++≥

o

05,05,05,0 321 ≥+−− xxx

4. Límite en los malos créditos:

04,002,005,003,007,01,0

54321

54321 ≤++++

++++xxxxx

xxxxx

o

002,001,001,003,006,0 54321 ≤−+−+ xxxxx

5. No negatividad

5,4,3,2,10 =∀≥ jjx

Una suposición sutil en la formulación anterior es que todos los préstamos se hacen aproximadamente al mismo tiempo.Esta suposición nos permite no tener en cuenta las diferencias en los valores de tiempo de los fondos asignados a los diferentes préstamos.

Ejemplo Nº 14Una firma siderúrgica produce bobinas de chapa de acero inoxidable de 1 mm de espesor y 115 cm de ancho.Su clientela le solicita bobinas de diferentes anchos aunque conservando el diámetro de la bobina original.El cuadro muestra los pedidos recibidos:

Cantidad de bobinas de los siguientes centímetros de anchoCliente 20 30 45

A 70 85 120B 150C 70 150 80D 140E 160F 270 75G 90H 10 50

TOTAL 420 600 500

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El fabricante debe cortar las bobinas de acuerdo con los pedidos tratando de minimizar el desperdicio.¿Cómo deben ser los cortes para maximizar los beneficios?

En el cuadro se pueden apreciar ocho formas o programas en que pueden hacerse los cortes:

Programas de corteAncho de la hoja: 115 cm

1 2 3 4 5 6 7 8

20 cm 5 1 - 4 3 2 2 130 cm - - 2 1 - 1 2 345 cm - 2 1 - 1 1 - -

Desperdicio [cm]

15 5 10 5 10 0 15 5

Variable x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

SoluciónSe escriben las restricciones del problema llamando xj a las incógnitas que representan los distintos programas de corte siendo las filas las distintas unidades de bobinas.

5 4 3 2 2 420

2 2 3 6002 500

1 2 4 5 6 7 8 1

3 4 6 7 8 2

2 3 5 6 3

x x x x x x xx x x x x

x x x x

+ + + + + + + =

+ + + + + =+ + + + =

µ

µµ

z x x x x x x x M M M min= + + + + + + + + + →15 5 10 5 10 15 51 2 3 4 5 7 8 1 2 3µ µ µResuelto el problema por Simplex da como resultado:x x x2 3 654 209 183= = =; ; (se ha redondeado)Las variables duales tomas los valores:

yyy

1

2

3

3 57142 85714 2857

= −==

,,,

Son los desperdicios a imputar a cada corte de un ancho dado. Y son los valores marginales de des-perdicio total con respecto a cada restricción del problema.Así, la disminución de una unidad en la producción de bobinas de 20 cm de ancho traerá aparejado un aumento del desperdicio de 3,5714 en tanto que una disminución en la restricción de bobinas de 30 cm producirá una disminución del desperdicio de 2,8571.En el corte 2:

( )1 3 5714 2 4 2857 5− + =, ,O sea, el valor imputado a cada medida de ancho multiplicado por el número de bobinas de ese ancho en ese programa, da el desperdicio.En el caso del programa de corte 2 se generan una bobina de 20 cm de ancho (valor de desperdicio imputado: -3,5714) y dos bobinas de 45 cm de ancho (valor imputado: 4,2857). El resultado es:

2 4 2857 3 5714 8 5714 3 5714 5, , , ,− = − =5 es el desperdicio esperado por ese programa.Ejercicio Nº 15 [Winston] [Optativo]Un panadero tiene 30 onzas de harina y 5 paquetes de levadura. La producción de un pan requiere 5 onzas de harina y un paquete de levadura. Se puede vender cada pan a 0,3 UM. El panadero puede comprar más harina a 0,04 UM/onza o vender el excedente de harina al mismo precio. Formule un problema de programación lineal para ayudar al panadero a maximizar sus ganancias.SoluciónDefinimos:

pl-08.doc 110


xx

1

2

==

numero de panes producidosnumero de onzas en el cual las transacciones de dinero aumentan el suministro de harina

Por lo tanto x2 0≥ indica que se compraron x2 onzas de harina, y x2 0⟨ indica que se vendieron − x2 onzas de harina ( x2 0= indica que no se compró, ni se vendió).Como x2 es una variable sin restricción de signo el programa adecuado sería:

5 305

1 2 2

1

x x xx

≤ + ′ − ′′≤

x x x2 2 2= ′ − ′′ y x x x1 2 2 0, ,′ ′ ′ ≥

maxxxxz →′′+′−= 221 04,004,03,0Nota: Este no es estrictamente un problema del tipo visto porque inicialmente no se cumplen las condiciones de no negatividad. Es un caso especial. Puede verse sobre el particular [Winston], sección 4.12 VARIABLES SIN RESTRICCIÓN DE SIGNO.

Ejemplo N° 16Una fábrica produce dos artículos, Q y R. Ambos productos requieren dos min para ser procesados en la maquinaria.Se dispone de 2.000 min de tiempo de máquina.El producto Q puede hacerse tanto con material A como con material B y se requieren 3 Kg de cualquiera de ellos.El R puede hacerse con A, B ó C, y se requieren 4 Kg de cualquiera de ellos.Las cantidades disponibles son: 800 Kg de material A, de B se dispone de 1.000 Kg y de C se disponen 2.000 Kg.¿Cuáles son las restricciones correspondientes?.

Respuesta2 2 2 2 2 2 000Q Q R R RA B A B C+ + + + ≤ .

3 4 8003 4 1000

4 2 000

Q RQ R

R

A A

B B

C

+ ≤+ ≤

≤..

Debe notarse que la restricción de material A requiere que tanto Q RA A como (productos Q y R hechos con material A) se incluyan en la restricción de 800 Kg de material A.

Ejemplo N° 17Se fabrican dos productos, R y T.Cada producto se procesa en los departamentos de fundición, maquinado y ensamble.La fundición del producto T puede comprarse a 6 UM/pieza y después procesarse en las máquinas y ensamblarse.Si la fundición no se compra, el producto T se hace a partir de 2 Kg de material K y se funde en la planta.El producto R puede hacerse ya sea con 4 Kg de L ó con 5 Kg de material K para el período de producción a iniciarse.El material L cuesta 0,1 UM/Kg y el material K 0,2 UM/Kg.Se dispone de 2.000 Kg de material L y 10.000 Kg de material K.El departamento de fundición puede fundir 3.000 u del producto R ó 3.000 u del producto T en el período considerado.Se dispone asimismo en ese lapso de 200 h de tiempo de máquina.El maquinado del producto R hecho con el material L requiere 8 minEl maquinado del producto R hecho con el material K requiere 10 minEl maquinado del producto T requiere 6 min

pl-08.doc 111


El departamento de ensamble puede armar 2.000 u del producto R, 4.000 u del producto T o cualquier combinación entre ellos.Los costos variables de fundición suman 1 UM/u. los costos variables de maquinado son 0,2 UM/min.Los costos variables de ensamble son nulos.El producto R se vende a 10 UM y el T a 12 UM. Plantear el problema para hacer uso óptimo de los recursos.

Respuesta Los productos son:R R LR R KT TT T

L

K

C

P

: .: .

::

hecho con material hecho con material

fundido en planta. hecho con fundición comprada.

Se pueden hacer cálculos de costos y beneficios como el que muestra a continuación:

RL RK TC TPMateriales 0,4 1,0 0,4 6,0Fundido 1,0 1,0 1,0 —-Maquinado 1,6 2,0 1,2 1,2 Subtotal 3,0 4,0 2,6 7,2Precio de venta 10,0 10,0 12,0 12,0Beneficio 7,0 6,0 9,4 4,8

Luego:7 6 9 4 4 8R R T T máxL K C P+ + + →, ,

A continuación se establecen las restricciones, las cuales son:I) Las 3.000 u del departamento de fundición.II) Las 200 h disponibles de maquinado (12.000 min).III) La capacidad de ensamble: 2.000 u de R ó 4.000 u de T.IV) Los 2.000 Kg disponibles de material L.V) Los 10.000 Kg disponibles de material K.; entonces:

R R TR R T TR R T TR

R T

L K C

L K C P

L K C P

L

K C

+ + ≤+ + + ≤+ + + ≤

≤+ ≤

3 0008 10 6 6 12 0002 2 4 0004 2 000

5 2 10 000

..

.

..

Ejemplo N° 18Una empresa metalúrgica de no ferrosos debe programar la producción de dos productos.Del producto A se puede colocar por semana cualquier cantidad en el mercado (no hay saturación); del producto B se pueden vender hasta 1.500 unidades.En ambos casos, se venden las producciones a precios fijos para cualquier cantidad vendida.Cada producto requiere fundición, maquinado y operaciones de armado.La fundición podría subcontratarse trabajando a "fason", es decir, entregando el material para que otro fundidor lo funda.Los datos son los siguientes:

pl-08.doc 112


RUBRO PRODUCTO A PRODUCTO BCosto de fundición subcontratada (UM/u)Materia prima, flete incluido (UM/u)

0,20,4

0,30,4

Costo de fundición en planta (UM/u)Materia prima (UM/u)

0,10,3

0,30,3

Costo de maquinado (fresado) (UM/u) 0,25 0,25Costo de armado (UM/u) 0,3 0,25Precio (UM/u) 4,55 1,8Tiempo de fundición (min/u) 5 10Tiempo de fresado (min/u) 8 4Tiempo de armado (min/u) 4 3

Capacidades de cada proceso:u Capacidad de fundición: 83 h 20 min/semana.u Capacidad de fresado: 133 h 20 min/semana.u Capacidad de armado: 100 h/semana.u Capacidad de fundición subcontratada: sin límites.

Encontrar la producción que maximiza el beneficio. El beneficio es definido como el ingreso total por ventas menos el costo total.

Respuesta:Fundición subcontratada del producto A:

0,2 UM + 0,4 UM = 0,6 UMFundición en planta del producto A.

0,1 UM + 0,3 UM = 0,4 UMFundición subcontratada del producto B.

0,3 UM + 0,4 UM = 0,7 UMFundición en planta del producto B.

0,3 UM + 0,3 UM = 0,6 UMCosto de subcontratado.

UM

Costo de con fundición en planta. UM

Ac

Ac

A

A

s

p

= + + =

= + + =

0 6 0 25 0 3 1 15

0 4 0 25 0 3 0 95

, , , ,

, , , ,

UM1,125,025,06,0planta.en fundición con de Costo

UM20,125,025,07,0ado.subcontrat de Costo

=++=

=++=

p

s

B

B

cB

cB

Por ende:

≤+++

≤+++

≤+

≤+

hxxxx

hxxxx

hxx

xx

psps

ppps

pp

ps

BBAA

BBAA

BA

BB

1003344

'201334488

'2083105

500.1

y

máx)18,1()2,18,1()95,055,4()15,155,4( →−+−+−+−=psps BBAA xxxxZ

Ejemplo N° 19Una fábrica produce cinco clases de tornillos de precisión en tres grupos de máquinas automáticas.pl-08.doc 113


Cada producto puede hacerse en cualquiera de los tres grupos de máquinas, pero el tiempo requerido en cada grupo es diferente como se muestra en la siguiente tabla:

PRODUCTO 1 2 3 4 5Grupo Máq. I 0,4 0,2 0,4 0,2 0,4Grupo Máq. II 0,8 0,6 0,4 0,6 0,6Grupo Máq. III 1,0 1,0 0,8 0,6 1,0

La disponibilidad semanal es de 2.400 h máquina para cada grupo.Las órdenes para cada tipo de tornillos son respectivamente 800, 1.800, 1.400, 1.800 y 800 uSi el costo por h de trabajo para cada grupo de máquinas es de 12 UM, 9 UM y 9 UM respectivamente, establecer un programa de producción que minimice el costo total.

Ejemplo N° 20Una compañía debe cumplir un contrato importante.Éste requiere la fabricación de 1.000 u de KCada u de K consiste en el ensamble de una parte de X y dos partes de Y.Esta compañía tiene un departamento de ensamble y tres departamentos de manufactura con dos máquinas principales en cada departamento de manufactura.Por conveniencia los departamentos de manufactura se designarán como D, E y F y las máquinas como D D E E F F1 2 1 2 1 2, , , , , .Cada parte se procesa a través de tres departamentos de manufactura, algunas veces en una máquina, otras en las dos y algunas veces en ninguna.La parte X se procesa en las máquinas D D1 2 y ; en la ó en la E E1 2 y en la F2O sea:

2221

2121

FEDDFEDD

La parte Y se procesa en la máquina D E E2 1 2; en la ó en la y además ya sea en la F1 ó en la F2O sea:

222

122

212

112

FEDFEDFEDFED

Los requerimientos de tiempo para la parte X son:Máquina D1 4 min/uMáquina D2 1 min/uMáquina E1 6 min/uMáquina E2 2 min/uMáquina F2 4 min/u

Los requerimientos de tiempo para la parte Y son:Máquina D2 3 min/uMáquina E1 2 min/uMáquina E2 3 min/uMáquina F1 6 min/uMáquina F2 4 min/u

En el departamento de ensamble las dos partes Y se unen entre sí y a continuación con la parte X para obtener el producto KLas partes Y se arman a una velocidad de una unión por min mientras que las partes X se arman a una velocidad de 10 uniones/minEstas operaciones comparten las mismas instalaciones de ensamble.

pl-08.doc 114


Se dispone de 8.880 min en cada máquina y de 40 h de ensamble.Los costos variables son:

Material de la parte X 1 UMMaterial de la parte Y 2 UM

Máquina D1 0,10 UM/minMáquina D2 0,30 UM/minMáquina E1 0,20 UM/minMáquina E2 0,15 UM/minMáquina F1 0,05 UM/minMáquina F2 0,25 UM/min

No hay costos de ensamble. Plantee el problema.

Respuesta La pieza X puede producirse de dos maneras y la Y de cuatro.Las variables son entonces X X Y Y Y Y1 2 1 2 3 4, , , , e Los costos correspondientes son:

60,325,0*62,0*23,0*30,200,325,0*415,0*23,0*110,0*400,1

90,325,0*42,0*63,0*110,0*400,1

1

2

1

=+++→=++++→

=++++→

YXX

35,425,0*415,0*33,0*300,265,305,0*615,0*330,0*300,2

30,425,0*420,0*230,0*300,2

4

3

2

=+++→=+++→

=+++→

YYY

Entonces,Z X X Y Y Y Y mín= + + + + + →3 9 3 3 6 4 3 3 65 4 351 2 1 2 3 4, , , , ,

Las restricciones son los 8.880 minutos de cada una de las máquinas, las 40 horas de ensamble y los requerimientos de 1.000 u de X y 2.000 u de Y.

4 4 88803 3 3 3 8880

6 2 2 88802 3 3 8880

6 6 88804 4 4 4 88800 1 0 1 0 5 0 5 0 5 0 5 2 400

10002 000

1 2

1 2 1 2 3 4

1 1 2

2 3 4

1 3

1 2 2 4

1 2 1 2 3 4

1 2

1 2 3 4

X XX X Y Y Y YX Y Y

X Y YY Y

X X Y YX X Y Y Y YX X

Y Y Y Y

+ ≤+ + + + + ≤

+ + ≤+ + + ≤

+ ≤+ + + ≤+ + + + + ≤

+ =+ + + =

...

..

., , , , , , .

.

.

Ejemplo N° 21La empresa lechera Milko no puede recibir más de 100.000 l de leche al día debido a las limitaciones impuestas por el congestionamiento de recepción.Las políticas de la administración requieren el uso de cuando menos 10.000 l de leche diarios para la fabricación de queso, y el resto para ser empleado en manteca o leche embotellada según lo permita el equipo.El beneficio de un litro de l según como se emplee es como sigue:

Manteca 0,02 UMLeche 0,10 UMQueso 0,03 UM

pl-08.doc 115


El equipo para fabricar manteca puede procesar hasta 60.000 l de leche por día y el de fabricar queso hasta 30.000 l de leche diarios.Plantear el problema.

Respuesta: Las variables son x x xm l q, , y o sea los l de leche convertidos en manteca, leche embotellada o queso. Las restricciones y el funcional son:

xx

x

m

q

q

≤≥

≤

60 00010 00030 000

...

x x xm l q+ + ≤ 100 000.Z x x x máxm l q= + + →0 02 0 1 0 03, , ,

Ejemplo N° 22Una empresa trituradora de piedra, vende la que obtiene de una cualquiera de tres canteras adyacentes.La piedra vendida por la empresa debe regirse por las siguientes especificaciones:

Material MaterialMaterial entre y

xyz

=≤

3040

30 40

%%

%La piedra de la cantera A cuesta 1 UM/t y tiene las siguientes propiedades:

Material x..........20%Material y...........60%Material z..........20%

La piedra de la cantera B cuesta 1,2 UM/t y tiene las siguientes propiedades:Material x..........40%Material y..........30%Material z..........30%

La piedra de la cantera C cuesta 1,5 UM/t y tiene las siguientes propiedades:Material x..........10%Material y..........40%Material z..........50%

¿De qué canteras debe obtener la roca la empresa?¿En que proporción?.

Respuesta: El resumen de especificaciones es:Material Material Material Material

xyzz

=≤≤≥

30404030

%%%%

Las variables del problema son A, B y C. El funcional será:20 40 10 3060 30 40 4020 30 50 4020 30 50 30

A B CA B CA B CA B C

+ + =+ + ≤+ + ≤+ + ≥

La primer restricción satisface el requerimiento de x, la segunda el de y y la tercera y la cuarta los de z.

Ejemplo N° 23Considere tres alimentos: leche, carne y huevos y su contenido en vitaminas A, C y D.

pl-08.doc 116


Contenido por litro de leche.

Contenido por Kg de carne.

Contenido por docena de huevos.

A 2 2 10D 200 20 10C 20 200 10

Los contenidos están dados por unidad de alimento indicada.El requerimiento mínimo diario es 1 mg de vitamina A, 50 mg de vitamina C y 10 mg de vitamina D para una persona adulta.Si el costo es de 5 UM/Kg carne; 0,4 UM/l leche y 1,2 UM/docena de huevos, ¿cuál es la mezcla óptima de alimentos, de costo mínimo, que cumple las necesidades de nutrición del individuo?

Problemas de Flujo MáximoSe pueden modelar muchas situaciones mediante una red en la cual se considera que los arcos tienen la capacidad de limitar la cantidad de un producto que se puede enviar a través del arco.O sea, se desea transportar la máxima cantidad de flujo desde un punto de partida (llamado fuente) hacia un punto final (llamado pozo o sumidero).Tales problemas se llaman problemas de flujo máximo.Comenzaremos mostrando cómo se puede utilizar la programación lineal para resolver un problema de flujo máximo.

Solución de Problemas de Flujo Máximo Mediante la Programación LinealEjemplo N° 24Sunco Oil quiere enviar (por hora) la máxima cantidad de petróleo por un oleoducto desde el nodo so (del inglés source) al nodo si (del inglés sink) en la Figura 6.En su camino del nodo so al nodo si, el petróleo tiene que pasar por algunas, o por todas, las estaciones 1, 2 y 3.Los arcos de la Figura 6 representan oleoductos de diferentes diámetros.En la Tabla 7 se muestra el máximo número de barriles de petróleo (millones de barriles por hora) que se pueden bombear por cada arco.Cada uno de estos números se llama capacidad de arco.Plantee un problema de programación lineal que se pueda utilizar para determinar el máximo número de barriles de petróleo que se pueden mandar de so a sí

Figura 6Red para el ejemplo de Sunco Oil

Tabla 7Capacidades de arco para Sunco Oil

pl-08.doc 117


ARCO CAPACIDAD(so, 1) 2(so, 2) 3(1, 2) 3(1, 3) 4(3, si) 1(2, si) 2

SoluciónEl nodo so se llama fuente porque el petróleo sale del nodo, pero no entra petróleo alguno.De manera análoga, el nodo si se llama pozo, porque el petróleo entra al nodo, y no sale nada de petróleo.Por razones que serán evidentes luego, hemos añadido un arco ficticio a0 del pozo a la fuente en la Figura 6.El flujo a través de a0 no es realmente petróleo; por lo tanto, se lo llama arco ficticio.Para plantear un problema de programación lineal que proporcione el flujo máximo del nodo so al nodo si, observamos que Sunco tiene que determinar cuánto petróleo (por hora) tendría que enviarse a través del arco (i, j)Por lo tanto, definimos

ijx = millones de barriles de petróleo que pasarán por hora por el arco (i, j) del oleoducto

Como un ejemplo de un flujo posible (llamado flujo factible), considere el flujo identificado por los números entre paréntesis en la Figura 6.Debe remarcarse que es un flujo arbitrario.

0;2;2;0;0;2 2,,,2,3131, ====== sososisisiso xxxxxx

Para que un flujo sea factible, tiene que tener dos características:

≤0 flujo a través de cada arco <= capacidad del arco (1)

y

Flujo que entra al nodo i = flujo que sale del nodo i (2)

Suponemos que no se pierde petróleo al ser bombeado por la red y, por lo tanto, el flujo factible tiene que satisfacer (2), la restricción de la conservación de flujo en cada nodo.La introducción del arco ficticio a0 permite escribir la restricción de la conservación de flujo para la fuente y el pozo.Sea x0 el flujo a través del arco ficticio, entonces la conservación de flujo significa que x0 = la cantidad total de petróleo que entra al pozo e igual a la suma de las capacidades de las de entrada.Así, la meta de Sunco Oil es maximizar 0x sujeto a (1) y (2):

0máx xz =

sujeto a21, ≤sox (Restricciones de capacidad de arco)

pl-08.doc 118


3

3

12

2,

≤

≤

xxso

4

2

13

,2

≤

≤

xx si

1,3 ≤six

2,1,0 soso xxx += (Restricción de flujo para el nodo so)

13121, xxxso += (Restricción de flujo para el nodo 1)

siso xxx ,2122, =+ (Restricción de flujo para el nodo 2)

sixx ,313 = (Restricción de flujo para el nodo 3)

0,2,3 xxx sisi =+ (Restricción de flujo para el nodo si)

pl-08.doc 119


OTROS EJEMPLOSRECICLADO DE DESECHOS SÓLIDOSEjercicio N° 25 [Hillier 3.3]La SAVE-IT COMPANY opera un centro de reciclado que recolecta cuatro tipos de material de de-secho sólido y los trata para amalgamarlos en un producto comercializable. (El tratamiento y el amalgamado son dos procesos diferentes.) Se pueden hacer tres grados diferentes de este producto (vea la primera columna de la tabla 3.16), según la mezcla de materiales que se use. Aunque existe alguna flexibilidad para esta mezcla en cada grado, los estándares de calidad especifican una cantidad mínima y una máxima para la proporción de los materiales permitidos en ese grado. (Esta proporción es el peso del material expresado como un porcentaje del peso total del producto de ese grado.) Para los dos grados más altos se especifica un porcentaje fijo de uno de los materiales. Estas especificaciones se dan en la tabla 3.16 junto con el costo de amalgamado y el precio de venta para cada grado.El centro de reciclado recolecta los materiales de desecho sólido de ciertas fuentes habituales por lo que casi siempre puede mantener una tasa de producción estable para tratarlos.

Tabla 3.16 Datos de productos para la Save-It Co.Grado Especificación Amalgamado

Costo ($) por libraPrecio de venta

($) por libra

AMaterial 1: no más del 30% del totalMaterial 2: no menos del 40% del totalMaterial 3: no más del 50% del totalMaterial 4: exactamente el 20% del total 3.00 8.50

BMaterial 1: no más del 50% del totalMaterial 2: no menos del 50% del totalMaterial 4: exactamente el 10% del total 2.5 7.00

C Material 1: no más del 70% del total 2.00 5.50

Tabla 3.17 Datos de los materiales de desechos sólidos para la Save-It Co. Material Libras por semana

disponiblesCosto del tratamiento

($) por libraRestricciones adicionales

1 3000 3.00

2 2000 6.003 4000 4.00

4 1000 5.00

1. Para cada material, deben re-colectarse y tratarse al menos la mitad de las libras disponibles por semana

2. Deben usarse $30.000 semana-les para tratar estos materiales

En la tabla 3.17 se dan las cantidades disponibles para la recolección y tratamiento semanal, al igual que el costo del proceso para cada tipo de material.La Save-It Co. es propiedad de Green Earth, una organización dedicada a asuntos ecológicos, por lo que las ganancias se usan para apoyar las actividades de Green Earth.Esta organización ha logrado contribuciones y apoyos por la cantidad de $30.000 semanales, que deben usarse exclusivamente para cubrir el costo del tratamiento completo de los desechos sólidos. El consejo directivo de Green Earth ha girado instrucciones a la administración de la Save-It para que divida este dinero entre los materiales de manera tal que al menos la mitad de la cantidad disponible de cada tipo de material sea recolectado y tratado.Estas restricciones adicionales se enumeran en la tabla 3.17.Dentro de las restricciones especificadas en las tablas 3.16 y 3.17, la administración desea determinar la cantidad que debe producir de cada grado y la mezcla exacta de qué materiales debe usar para cada uno, de manera que se maximice la ganancia semanal total (ingresos totales por ventas menos los costos totales del tratamiento y del amalgamado).pl-08.doc 120


FORMULACIÓN COMO UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL:En este problema específico, las decisiones que deben tomarse están bien definidas, pero vale la pena pensar un poco en la manera de manejar la información a través de ellas. (Intente hacerlo y vea si primero obtiene el siguiente conjunto inapropiado de variables de decisión.)Como un conjunto de decisiones se refiere a la cantidad de cada grado de producto que se debe fa-bricar, parecería natural definir un conjunto de variables de decisión acorde.Siguiendo esta línea de pensamiento, se define

iy = número de libras del producto de grado i producidas a la semana ( =i A, B,C).

[ ]

=

=

i semanai producto

j librai producto

i semanaj libras

iy

El otro conjunto de decisiones es la mezcla de cada grado.Esta mezcla se identifica por la proporción de cada material en el producto, lo que sugiere definir el otro conjunto de variables de decisión como

ijz = =

i productoj material

proporción del material j en el producto de grado i (i = A, B, C; j = 1, 2, 3, 4)

Sin embargo, la tabla 3.17 da los costos del tratamiento y la disponibilidad de los materiales por cantidad (libras) y no en proporciones y es esta información en cantidad la que se necesita captar en algunas de las restricciones. Para el material j (j = 1, 2, 3,4),

Cantidad en libras de material j usada por semana = CcjBBjAAj yzyzyz ++

i semanai producto

i productoj material

Por ejemplo, como la tabla 3.17 indica que se dispone de 3.000 libras del material l por semana, una restricción en el modelo seria

3000111 ≤++ CCBBAA yzyzyz

Desafortunadamente, ésta no es una restricción legítima de programación lineal.La expresión en el lado izquierdo no es una función lineal porque incluye la multiplicación de variables.Por lo tanto, no se puede construir un modelo de programación lineal con estas variables de decisión.Por suerte, existe otra manera de definirlas que se ajustará al formato de programación lineal.(¿Tiene usted una idea de cómo hacerlo?)Esto se logra simplemente sustituyendo cada producto de las variables de decisión anteriores por una sola variable.En otras palabras, se define

iijij yzx = (para i = A, B, C; j = 1, 2, 3, 4) = número total de libras del material j que se asigna al producto i a la semana.

y después se definen las ijx como las variables de decisión.Al combinar las ijx en diferentes formas se llega a las siguientes cantidades necesarias en el modelo (para i = A, B, C; j = 1, 2, 3, 4).pl-08.doc 121


4321 iiii xxxx +++ = número de libras del producto grado i producido por semana. CjBjAj xxx ++ = número de libras de material j usado por semana.

4321 iiii

ij

xxxxx

+++ = proporción del material j en el producto de grado i.

El hecho de que esta última expresión es una función no lineal no causa complicaciones.Por ejemplo, considere la primera especificación para el producto grado A en la tabla 3.16 (la pro-porción de material 1 no debe exceder a 30%). Esta limitación da la restricción no lineal

3,04321

1 ≤+++ AAAA

A

xxxxx

Sin embargo, al multiplicar ambos lados de esta desigualdad por el denominador se llega a la restricción equivalente

( )43211 3,0 AAAAA xxxxx +++≤

de manera que

03,03,03,07,0 4321 ≤−−− AAAA xxxx

que es una restricción legítima de programación lineal.Con este ajuste a las tres cantidades dadas se llega directamente a todas las restricciones funcionales del modelo.La función objetivo está basada en el objetivo de la gerencia de maximizar la ganancia semanal total (ingresos totales por ventas menos el costo total del amalgamado) obtenida por los tres grados de productos.El costo del tratamiento de los materiales de desechos sólidos no se incluyó al calcular las ganancias porque este gasto está cubierto por las contribuciones y los apoyos de $30.000 semanales reunidos para ello.Entonces, para cada grado de producto, la ganancia por libra se obtiene restando el costo del amal-gamado dado en la tercera columna de la tabla 3.16 del precio de venta dado en la cuarta columna.Estas diferencias proporcionan los coeficientes de la función objetivo.Maximizar ( ) ( ) ( )432143214321 5,35,45,5 CCCCBBBBAAAA xxxxxxxxxxxxZ +++++++++++=

Las restricciones son:Especificaciones de mezcla (segunda columna de la tabla 3.16)Se especifica sólo una:

04,04,06,04,0 4321 ≥−−+− AAAA xxxxDisponibilidad de materiales (segunda columna de la tabla 3.17)

20003000

222

111

≤++≤++

CBA

CBA

xxxxxx

10004000

444

333

≤++≤++

CBA

CBA

xxxxxx

Restricciones sobre las cantidades tratadas (lado derecho de la tabla 3.17)

pl-08.doc 122


10001500

222

111

≥++≥++

CBA

CBA

xxxxxx

5002000

444

333

≥++≥++

CBA

CBA

xxxxxx

Restricciones sobre el costo del tratamiento (lado derecho de la tabla 3.17)( ) ( ) ( ) ( ) 300005463 444333222111 =+++++++++++ CBACBACBACBA xxxxxxxxxxxx

Ejemplo N° 26 [Winston 3.6—8]Una compañía petrolera considera cinco diferentes oportunidades de inversión.En la tabla se dan los desembolsos y los valores actuales netos (en millones de UM)

INV. 1 INV. 2 INV. 3 INV. 4 INV. 5Salida de caja al tiempo 0 11 53 5 5 29Salida de caja al tiempo 1 3 6 5 1 34

VAN 13 16 16 14 39La compañía dispone de 40 millones de UM para invertir en el momento actual (tiempo 0); estima que en un año (tiempo 1) dispondrá de 20 millones de UM para invertir.Puede comprar cualquier fracción de cualquier inversión.Por ejemplo, si comprara una quinta parte de la inversión 3, entonces se necesitaría un desembolso de efectivo de 1/5*5 = 1 millón de UM al tiempo 0, y un desembolso de 1/5*5 = 1 millón de UM en el tiempo 1.La quinta parte de la inversión 3 producirá un VAN de 1/5*16 = 3,2 millones de UMQuiere maximizar el VAN que se puede obtener mediante las inversiones 1 a 5Supóngase que los fondos no usados en el tiempo 0, no se pueden utilizar en el tiempo 1SOLUCIÓNLa compañía tiene que determinar qué fracción de cada inversión hay que comprar.Definimos

( )5,4,3,2,1 empresa lapor comprada inversion la defraccion == iixi

La meta es maximizar el VAN ganado por las inversiones.Ahora

(VAN total) = (VAN ganado por la inversión 1) + (VAN ganado por la inversión 2 + ... + VAN ganado por la inversión 5)

Obsérvese que

VAN de la inversión 1 = (VAN de la inversión 1) (fracción de la inversión 1 comprada) = 13 1x

Al aplicar un razonamiento similar a las inversiones 2 a 5, vemos que se quiere maximizar

z x x x x x= + + + +13 16 16 14 391 2 3 4 5

Se pueden expresar las restricciones como:Restricción 1 No puede invertir más de 40 millones de UM en el tiempo 0.Restricción 2 No puede invertir más de 20 millones de UM en el tiempo 1.Restricción 3 No puede comprar más del 100 % de la inversión ( i = 1 2 3 4 5, , , , )

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Para expresar matemáticamente la restricción 1, obsérvese que (UM invertidas en el tiempo 0) = (UM invertidas en la inversión 1 en el tiempo 0) + (UM invertidas en la inversión 2 en el tiempo 0) + ... + (UM invertidas en la inversión 5 en el tiempo 0). También en millones de UM.UM invertidas en la inversión 1 en el tiempo 0 = (UM requeridas para la inversión 1 en el tiempo 0)

(fracción de inversión 1 comprada)Si lo extendemos a las inversiones 2 a 5

UM invertidas en el tiempo 0 = + + + +11 53 5 5 201 2 3 4 5x x x x x

Entonces la restricción 1 se reduce a 1 se reduce a

11 53 5 5 29 401 2 3 4 5x x x x x+ + + + ≤ (Restriccion del tiempo 0)

La restricción 2 se reduce a

3 6 5 29 201 2 3 4 5x x x x x+ + + + ≤ (Restriccion de tiempo 1)

Se pueden representar las restricciones 3 a 7 mediante

( )x ii ≤ =1 1 2 3 4 5, , , ,

Al combinar las restricciones con las condiciones de no negatividad obtenemos el siguiente problema de programación linealmaximizar

z x x x x x= + + + +13 16 16 14 391 2 3 4 5

s.a.

11 53 5 5 29 406 5 34 20

1

1 2 3 4 5

2 3 4 5

x x x x xx x x x

+ + + + ≤+ + + + ≤

≤

(Restriccion del tiempo 0)3 x (Restriccion del tiempo 1)

x1

1x

xx

2

3

4

111

≤≤≤

x5 1≤

( )x ii ≥ =0 1 2 3 4 5, , , ,

E jemplo N° 27 [Hillier 3.4-13]Al principio del semestre de otoño, la directora de las instalaciones de cómputo de cierta universidad se enfrenta al problema de asignar horas de trabajo distintas a sus operadores.Debido a que los operadores son estudiantes de la universidad, están disponibles para el trabajo sólo un número limitado de horas al día.Se cuenta con seis operadores (cuatro hombres y dos mujeres).Todos tienen salarios diferentes según su experiencia con las computadoras y su habilidad para programar.

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La siguiente tabla muestra estos salarios junto con el número máximo de horas al día que cada uno puede trabajar.

Máximo de horas disponiblesOperador Salarios ($ / hora) Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

K.C. 10.00 6 0 6 0 6D.H. 10.10 0 6 0 6 0H.B. 9.90 4 8 4 0 4S.C. 9.80 5 5 5 0 5K.S. 10.80 3 0 3 8 0N.K. 11.30 0 0 0 6 2

Se garantiza a cada operador un número mínimo de horas de trabajo a la semana que lo mantendrán con un conocimiento adecuado de la operación.Este nivel se establece arbitrariamente en 8 horas de trabajo a la semana para los hombres y 7 horas a la semana para las mujeres (K. S. y N.K.).La instalación de cómputo debe abrir para operación de 8:00 a 22:00 hs. de lunes a viernes con exac-tamente un operador de guardia en este horario.Los sábados y domingos, otras personas operan la computadora.Debido al reducido presupuesto, la directora tiene que minimizar el costo.Ella quiere determinar el número de horas que debe asignar a cada operador cada día.a) Formule un modelo de programación lineal para este problema.b) Resuelva este modelo por el método símplex.Ejemplo N° 28 [Winston 3.3]Una compañía automotriz produce automóviles y camiones.Cada vehículo tiene que pasar por un taller de pintura y por un taller de montaje de la carrocería.Si el taller de pintura pintara solamente camiones, se podrían pintar 40 camiones al día.Si el taller de pintura pintara solamente automóviles, se podrían pintar 60 automóviles diariamente.Si el taller de carrocería produjera solamente automóviles, podría fabricar 50 automóviles al día.Si el taller de carrocería produjera solamente camiones, podría fabricar 50 camiones al día.Cada camión aporta 300 dólares a la utilidad, y cada automóvil, 200. Utilice la programación lineal para determinar la producción diaria que maximizará la ganancia de la compañía.SoluciónLa compañía tiene que decidir cuántos automóviles y cuántos camiones hay que producir diariamente.Esto nos lleva a la definición de las siguientes variables de decisión:

x1 = número de camiones producidos al díax2 = número de automóviles producidos al día

La utilidad diaria de la compañía (en cientos de dólares) es 21 23 xx + ; por lo tanto, la función objetivo de la compañía se puede escribir como

máx 21 23 xxz +=Las dos restricciones para la compañía son las siguientes:Restricción 1 La fracción del día que el taller de pintura está trabajando es menor que o igual a 1.Restricción 2 La fracción del día que el taller de carrocería está trabajando es menor que o igual a 1.Tenemos que

Fracción del día que el taller de pint. trabaja en camiones = 1401

díacamiones

camióndía delfracción x=

La fracción del día que el taller de pintura trabaja en automóviles = 2601 x

pl-08.doc 125


La fracción del día que el taller de carrocería trabaja en camiones = 1501 x

La fracción del día que el taller de carrocería trabaja en automóviles = 2501 x

Por lo tanto, se puede expresar la Restricción 1 mediante

1601

401

21 ≤+ xx (Restricción del taller de pintura)

y la Restricción 2 por

1501

501

21 ≤+ xx (Restricción del taller de carrocería)

El PL pertinente esmaximizar 21 23 xxz +=

s.a.

0;0

1501

501

1601

401

21

21

21

≥≥

≤+

≤+

xx

xx

xx

(Resolver con WinQSB)El PL de la compañía automotriz tiene un número infinito de soluciones óptimas, o soluciones óptimas alternativas o múltiples.Esto se debe a que al salir una línea de isoutilidad de la región factible, la línea "corta" todo un segmento rectilíneo, correspondiente a la restricción obligatoria.Del ejemplo anterior, parece razonable concluir (y se puede demostrar que es cierto) que si dos puntos son óptimos, entonces cualquier punto del segmento rectilíneo que une estos dos puntos, también será óptimo.Si se presenta un óptimo alternativo, quien tome la decisión puede utilizar un segundo criterio para escoger entre las soluciones óptimas.Se usa frecuentemente la técnica de programación de metas (véase la Sec. 14.1 de [Winston]) para escoger entre soluciones óptimas alternativas.

Actualizado al 26/11/2.002 D:\INVESTIGACIÓN OPERATIVA\FRBA PL 8 — Impreso el 18/03/2008.

pl-08.doc 126

alexi_programacion linea

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